Geo10 max

UNIVERSIDADE DE LISBOA

I

Faculdade de Ciências
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Geometria 10o Ano

Armando Machado

Versão mais completa
destinada aos professores

2002

REANIMAT
Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática
no Ensino Secundário

1. Pontos, rectas e planos; Incidência e paralelismo.
A Geometria, enquanto forma de organizar o conhecimento da forma dos
objectos e das posições destes no espaço, já tem vindo a ser abordada em estudos
anteriores. O que pretendemos nesta secção introdutória é relembrar, recorrendo
a situações simples como exemplos, alguns dos conceitos e propriedades básicos
já estudados, em particular o modo como eles contribuem para nos ajudar a
compreender a realidade que nos rodeia e a formular e resolver problemas.
As entidades mais básicas com que se trabalha em Geometria são os pontos as
rectas e os planos. Essas entidades não estão exactamente presentes nos objectos
que pretendemos estudar mas são entidades abstractas que ajudam a
compreender, de maneira mais ou menos aproximada, esses objectos.
Os pontos são as porções mais pequenas dos objectos que se podem
individualizar. Como noutras situações, isso é apenas aproximado, nós nunca
vemos um ponto, podemos é pensar num ponto e isso ajuda-nos a descrever o
que se passa com porções muito pequenas dum objecto.
As rectas são conjuntos de pontos do espaço que são imaginados intuitivamente a partir de realidades experimentais como a imagem de um fio esticado ou
um percurso de um raio luminoso; a ideia de raio luminoso já pode parecer um
pouco abstracta, mas ela pode ser concretizada quando, dados dois pontos,
pensamos nos pontos do espaço donde os dois são vistos na mesma direcção. As
rectas aparecem frequentemente nos objectos e situações estudados através de
algumas das suas partes, como os segmentos e as semirectas. As arestas de certos
sólidos são exemplos de segmentos de recta.
Os planos são também conjuntos de pontos do espaço que modelam realidades experimentais como um tampo de uma mesa ou uma superfície de um lago.
Tanto num caso como noutro, essas realidades não correspondem exactamente à
nossa ideia de plano, que consideramos como algo que se estende indefinidamente em todas as direcções, mas a experiência mostra que a ideia de plano pode
ser utilizada com êxito para descrever propriedades dos objectos. O caso da
superfície dum lago é ainda um exemplo típico do modo como os objectos
abstractos matemáticos são utilizados para estudar uma realidade que não se
adapta perfeitamente a eles: A superfície dum lago aproxima-se mais duma parte
duma superfície esférica, com raio da ordem dos '(!! Km, mas a experiência
mostra que, no caso de não estarmos a estudar porções muito grandes do lago, o
facto de olharmos para a superfície como sendo parte dum plano conduz a
conclusões aceitáveis, dentro do grau de precisão com que trabalhamos.
Entre pontos, rectas e planos existem certas relações elementares, que todos
conhecemos perfeitamente, e a que por vezes se dá o nome de relações de
incidência. Todos nós sabemos o que é um ponto estar ou não sobre uma recta ou
sobre um plano, ou, na linguagem dos conjuntos, o ponto pertencer ou não à
recta ou ao plano. Todos sabemos também o que é uma recta estar ou não sobre
–1–

um plano e que dizer que uma recta está sobre um plano equivale a dizer que
todos os pontos que estão sobre a recta estão também sobre o plano; na linguagem dos conjuntos, a recta está ou não contida no plano. Em vez de dizer que um
ponto está sobre uma recta, também se diz que a recta passa pelo ponto; em vez
de dizer que um ponto ou uma recta está sobre um plano, também se diz que o
plano passa pelo ponto ou pela recta.
A experiência conduziu à formulação de certas propriedades básicas envolvendo pontos, rectas e planos e as respectivas relações de incidência. Trata-se de
propriedades com um tal grau de evidência que ninguém tem dúvidas em aceitar
como válidas, sem sentir necessidade de mais explicações. A Geometria dos
gregos, coligida por Euclides nos famosos Elementos, chamava a essas propriedades básicas postulados ou axiomas e procurava justificar todas as outras a
partir delas usando o raciocínio matemático. Uma vez que no nosso curso não
parece oportuno seguir a mesma via que os matemáticos gregos para estudar a
Geometria, nem o poderíamos fazer no tempo de que dispomos, vamos enunciar
apenas algumas dessas propriedades básicas que, apesar de evidentes, são
suficientemente importantes para merecerem ser sublinhadas (chamar-lhes-emos
propriedades intuitivas, e abreviamo-las com as iniciais PI).
PI 1. Dados dois pontos distintos e ] , existe uma, e uma só, recta
que passa por ambos. Essa recta, que se diz ser a definida pelos pontos
e ] , costuma ser notada ] .
O enunciado anterior poderá levantar uma questão a alguns leitores: Para quê
a palavra “distintos”; afinal, se não fossem distintos era só um ponto, não eram
dois… De facto algumas pessoas omitiriam a palavra “distintos” no enunciado
anterior, mas a razão por que não o fizémos prende-se com a forma como é usual
enunciar propriedades em Matemática. Quando dizemos uma frase do tipo
“dados dois pontos arbitrários …” a expressão “dois pontos” o que pretende
sugerir é uma afirmação envolvendo duas variáveis cujo domínio são os pontos.
O enunciado “Dados dois pontos, existe, uma e uma só recta sobre a qual eles
estão” significaria deste ponto de vista que é universal a expressão proposicional
existe uma, e uma só, recta sobre a qual estão os pontos e ]
e isso não acontece, uma vez que é permitido substituir ambas as variáveis por
termos que designem o mesmo ponto e então obtemos uma proposição falsa (há
então várias rectas nessas condições). O axioma, como foi enunciado acima,
corresponde à expressão proposicional, já universal,
Se Á ] , então existe uma, e uma só, recta sobre a qual estão e ] Þ
Na figura 1 estão representados os vértices e as arestas de um sólido bem
conhecido, o cubo. Os vértices são pontos do espaço. As arestas não são rectas
mas sim porções de rectas que nos ajudam a imaginá-las na sua totalidade. As
faces do cubo, não sendo planos, são porções de planos que, como anteriormente,

–2–

ajudam-nos a imaginar esses planos na sua totalidade.

Figura 1
Quando nos estamos a referir a alguns pontos, dizemos que eles são colineares se existir uma recta que passa por todos eles. Do mesmo modo, quando
nos estamos a referir a alguns pontos, a algumas rectas ou a alguns pontos e
rectas, dizemos que eles são complanares se existir um plano que passa por todos
eles.
A geometria do plano é mais intuitiva, e portanto mais facilmente compreendida, que a geometria do espaço. De certo modo, a maioria dos processos
utilizados para estudar a geometria do espaço corresponde a tentar fazer
depender a resolução dos problemas com que nos deparamos da resolução de
outros problemas de geometria plana, ou seja de problemas que envolvem
objectos complanares.
Dois pontos são sempre colineares. No entanto, três pontos já podem sê-lo ou
não, uma vez que existe uma única recta que passa pelos dois primeiros e então o
terceiro ponto pode estar ou não sobre essa recta.
PI 2. Dados três pontos não colineares , ] e ^ , existe um, e um só,
plano que passa por todos eles. Esse plano, que se diz ser o definido pelos
pontos , ] e ^ , costuma ser notado ] ^ .
Se o leitor pensar um pouco verificará que a propriedade anterior é a que
explica por que razão é mais fácil construir uma mesa com três pernas do que
com quatro e por que razão as mesas com quatro pernas, apesar de frequentes,
levantam problemas quando mal construídas. Repare-se também que se três
pontos forem colineares ainda existe um plano que passa por todos eles; o que
não podemos dizer é que esse plano seja único, uma vez que qualquer plano que
passe pela recta que contém os três pontos também passa pelos três pontos.
Por exemplo, no quadro da figura 1, podemos falar do plano EFG para
significar o único plano que contém os pontos E, F e G , isto é, o plano sugerido
pela face inferior do cubo. Note-se que “o plano EFG ” e “o plano EFH”
significam a mesma coisa, apesar de termos escolhido pontos diferentes para a

–3–

nomear. Repare-se que uma das coisas que a nossa intuição nos garante é que
esse plano contém também, por exemplo, todos os pontos da recta EF. Em geral,
PI 3. Se uma recta tem dois pontos distintos sobre um certo plano,
então a recta está sobre o plano, por outras palavras, todos os outros
pontos da recta estão também sobre o plano.
Exercício 1. Há um método simples, utilizando a propriedade atrás sublinhada,
para testar, utilizando uma régua, se um tampo de uma mesa é plano.
a) Descreva esse método.
b) Repare que, apesar de o teste, ao falhar, poder servir para mostrar que o tampo
não é plano, o facto de o teste não falhar não é suficiente para provar matematicamente que o tampo é plano. Apesar disso, se aplicarmos o teste convenientemente, podemos ficar com uma convicção muito forte de que o tampo é plano1.
Exercício 2. Se estivesse na praia, como faria para alisar (tornar plana) uma
porção irregular da superfície da areia, com a ajuda de duas réguas de madeira?
Exercício 3. Repare que, dos vértices do cubo representado na figura 1, não há
três que sejam colineares. Quantas rectas podem ser nomeadas a partir desses
vértices? Destas, quantas correspondem a arestas do cubo, quantas não
correspondem a arestas do cubo mas estão contidas no plano dalguma das suas
faces (as diagonais faciais) e quantas não estão contidas em nenhum dos planos
das faces (as diagonais espaciais)?
Apesar de não ser nosso objectivo desenvolver a Geometria no espírito dos
matemáticos gregos, não deixa de ser instrutivo tomar o gosto a esse tipo de
actividade intelectual resolvendo as duas alíneas, muito simples, do exercício
seguinte:
Exercício 4. Utilizando propriedades que temos vindo a sublinhar, justifique os
factos seguintes:
a) Dadas duas rectas distintas, ou não existe nenhum ponto que esteja sobre
ambas, ou existe um único ponto nessas condições. Na liguagem dos conjuntos, a
intersecção das duas rectas é o conjunto vazio g ou um conjunto com um único
elemento.
b) Dados uma recta e um ponto que não esteja sobre ela, existe um, e um só,
plano que passa pela recta e pelo ponto (o plano definido pela recta e pelo
ponto).2
c) Dadas duas rectas distintas que passem por um mesmo ponto, existe um único
plano que passe por ambas (o plano definido pelas duas rectas).
1É

o que se passa, analogamente, com a conhecida prova dos noves para testar se nos
enganámos numa operação: Quando a prova falha, a operação está de certeza errada mas
quando ela não falha apenas podemos afirmar que é provável que ela esteja certa.
2Se for escrupuloso, identificará possivelmente uma propriedade que teve necessidade de
utilizar e que, por ser tão simples, nem sentimos a necessidade de enunciar.

–4–

Duas rectas dizem-se concorrentes se forem distintas e tiverem um
ponto comum. A esse ponto comum, que é único como acabámos de
relembrar, dá-se então o nome de intersecção das duas rectas.3
O próximo exercício tem o mesmo espírito que o anterior.
Exercício 5. Mostre que, se uma recta não está sobre um certo plano, então ou
não existe nenhum ponto comum a ambos, ou existe um único ponto nessa
condições. Na linguagem dos conjuntos, a intersecção de um recta com um plano
que não passe por ela é o conjunto vazio ou um conjunto com um único
elemento.
Analogamente ao que se passava com duas rectas, uma recta e um
plano dizem-se concorrentes se a recta não estiver sobre o plano mas
ambos tiverem um ponto comum; neste último caso, dizemos que esse
ponto é a intersecção da recta e do plano.4
Relativamente aos pontos comuns a dois planos já não podemos prever quais
as diferentes situações possíveis apenas a partir das propriedades que já referimos atrás. De facto, com raciocínios do mesmo tipo que os utilizados nos dois
exercícios precedentes, poderíamos deduzir que, relativamente a dois planos
distintos, apenas seriam a priori possíveis três situações:
a) Não existe nenhum ponto sobre ambos os planos;
b) Existe um, e um só, ponto sobre ambos os planos;
c) Os pontos comuns a ambos os planos são exactamente os pontos de uma certa
recta;
(os amantes do raciocínio dedutivo não vão decerto deixar de tentar provar este
facto, apesar de não estarmos a sugerir que o façam5). O que já não conseguimos
justificar, a não ser pelo nosso conhecimento intuitivo, é que a hipótese b) nunca
acontece. Acrescentamos assim à lista das propriedades que temos vindo a
apontar:
PI 4. A intersecção de dois planos distintos ou é o conjunto vazio ou é
uma recta.
Diz-se que dois planos são concorrentes ou secantes, se forem distintos e
tiverem algum ponto comum e, nesse caso, a intersecção dos dois planos é a
recta cujos pontos são os pontos comuns aos dois planos.6
3Trata-se

de um pequeno abuso de linguagem, que não é grave desde que tenhamos
consciência dele: quando pensamos na noção de intersecção no quadro dos conjuntos a
intersecção não é um ponto, mas um conjunto com um único elemento.
4Temos mais uma vez o abuso de linguagem atrás referido.
5Também não estamos a proibir…
6Aqui já não há abuso de linguagem; esta intersecção é precisamente a intersecção no
sentido dos conjuntos.

–5–

Reportando-nos de novo ao cubo da figura 1, os planos correspondentes às faces
superior e inferior não têm pontos comuns e os planos correspondentes às faces
superior e anterior têm pontos comuns e a sua intersecção é a recta IJ .
æ

æ

æ

æ

A discussão atrás conduzida sobre os possíveis pontos comuns a duas rectas,
a dois planos ou a uma recta e um plano conduz também à noção bem conhecida
de paralelismo, que relembramos em seguida.
Comecemos com o caso do paralelismo de duas rectas.
Duas rectas dizem-se estritamente paralelas se forem complanares e
não tiverem nenhum ponto comum. Duas rectas dizem-se paralelas se
forem estritamente paralelas ou forem iguais.
A razão por que não definimos simplesmente rectas paralelas como aquelas
que são complanares e não têm pontos comuns está em que gostaríamos que uma
recta seja paralela a ela mesma, de modo a que, por exemplo, o paralelismo de
duas rectas corresponda intuitivamente à ideia de elas terem a mesma direcção.
Repare-se também na necessidade de exigirmos que a rectas sejam complanares.
Por exemplo, baseando-nos no cubo representado na figura 1, na página 3, as
rectas que contêm as arestas IL e J K são paralelas mas aquelas que contêm as
arestas IL e FJ , apesar de não terem pontos comuns não são paralelas (é
intuitivo que elas não têm a mesma direcção).
Exercício 6. Mostre que, se < e <w são duas rectas estritamente paralelas, então
existe um único plano que contém ambas (o plano definido pelas rectas
estritamente paralelas < e <w ).
PI 5. (Postulado das paralelas) Dados uma recta e um ponto que não
esteja sobre ela, existe uma, e uma só, recta que passa pelo ponto e é
paralela à primeira.7
A afirmação anterior, que, tal como as anteriores, pode ser considerada
intuitiva, jogou um papel muito importante na Historia da Geometria. O que se
passa é que, a começar pelos próprios artífices da Escola Grega de Geometria,
esta propriedade não parecia tão evidente como as restantes pelo que tentaram
várias vezes, sem êxito, demonstrá-la a partir destas. Esses esforços continuaram,
sempre sem êxito, em várias épocas e em várias partes do mundo e só no século
19, com os trabalhos de Lobachevsky e Riemann se compreendeu a razão do
insucesso. Estes matemáticos construiram modelos de Geometria em que os
restantes postulados eram verdadeiros e o postulado das paralelas era falso, no
primeiro caso por existirem várias paralelas a passar pelo ponto e no segundo por
não haver nenhuma, e mostraram que o estudo dessas Geometrias (as Geometrias
7Se

o ponto estiver sobre a recta dada, também há evidentemente uma única paralela a
esta a passar pelo ponto, a saber a própria recta dada.

–6–

não Euclidianas) podia ser desenvolvido sem problemas. Ficava de pé a questão
de saber qual das geometrias, a euclidiana ou alguma daquelas duas, se adaptava
melhor ao espaço em que a nossa experiência vive. Foram realizadas experiências indirectas, nomeadamente através da determinação soma dos ângulos
internos de triângulos de grandes dimensões, uma vez que uma das consequências das geometrias não euclidianas era o facto de essa soma ser diferente de
")!° (menor no caso da Geometria de Lobachevsky e maior no caso da de
Riemann). No entanto essas experiências nunca foram conclusivas e as diferenças
detectadas eram da ordem de grandeza dos erros previsíveis dos instrumentos.
Vamos assim continuar a aceitar que o postulado das paralelas é efectivamente
verdadeiro.
Exercício 7. Utilizando, mais uma vez, o cubo da figura 1 como apoio da
intuição, mostre que, se na definição de rectas paralelas não tivéssemos exigido
que elas fossem complanares, o postulado das paralelas seria claramente falso.
Vamos agora examinar uma propriedade do paralelismo de rectas que tem
inúmeras aplicações. Suponhamos que temos duas rectas paralelas <w e <ww e dois
planos concorrentes !w e !ww , contendo <w e <ww , respectivamente. O que poderemos
dizer sobre a recta <, intersecção dos planos !w e !ww ?

Figura 2
Se pensarmos um pouco, apoiando-nos eventualmente numa experiência com
uma folha de papel dobrada, é possível que a nossa intuição nos sugira que a
recta < é paralela tanto a <w como a <ww . De facto isso acontece e a conclusão é
suficientemente importante para merecer ser sublinhada:
P 6. Sejam !w e !ww dois planos concorrentes, contendo respectivamente duas rectas paralelas <w e <ww . A intersecção < dos planos !w e !ww é
então uma recta, paralela a <w e a <ww .
A propriedade precedente está talvez no limite daquilo que pode ser considerado intuitivo. O estudante mais curioso poderá tentar resolver o exercício
seguinte, onde é sugerido um modo de justificar esta propriedade.

–7–

Exercício 8. Demonstre a propriedade P 6, seguindo, por exemplo, o seguinte
caminho:
a) No caso especial em que <w œ <ww , o que será a recta <? Conclua que neste caso
especial a conclusão é verdadeira pelo que se pode passar a examinar o caso em
que as rectas <w e <ww são estritamente paralelas.
b) Mostre apenas que < é paralela a <w , uma vez que o que se passa com a outra
recta é análogo. Tente raciocinar pelo método de redução ao absurdo, admitindo
que as rectas não eram paralelas e chamando F à intersecção das rectas < e <w .
Chame ! ao plano que contém as rectas <w e <ww (cf. a figura 3).

Figura 3
Reparando que tanto F como < estão simultaneamente sobre os planos ! e !ww e
que F não está sobre <ww , conclua que os planos ! e !ww têm que coincidir e daqui
que < e <w têm que coincidir, contrariando a hipótese de estas rectas não serem
paralelas.
ww

A relação de paralelismo entre rectas do espaço verifica, evidentemente, as
duas propriedades seguintes:
a) Qualquer recta é paralela a si mesma (propriedade reflexiva);
b) Se a recta < é paralela à recta <w , então a recta <w é também paralela à recta <
(propriedade simétrica).
Esta relação entre rectas do espaço é um exemplo de relação de equivalência,
uma vez que, além das propriedades reflexiva e simétrica, referidas atrás, verifica
também a seguinte propriedade transitiva:
P 7. (Propriedade transitiva) Se a recta < é paralela à recta <w e a recta
<w é paralela à recta <ww , então a recta < é paralela à recta <ww .
Continuando a utilizar a figura do cubo como fonte de exemplos, do facto de
as rectas IJ e EF serem paralelas (não têm pontos comuns e estão ambas no
plano anterior) e do facto de as rectas EF e HG serem também paralelas,

–8–

podemos concluir que as rectas IJ e HG são ainda paralelas.

Figura 4
Se pensarmos um pouco, a propriedade transitiva não é tão evidente como
isso, apesar de algumas experiências, envolvendo mais uma vez uma folha de
papel dobrada segundo um vinco paralelo a dois dos lados, nos levarem a intuir a
sua verdade. Tentando uma demonstração, é fácil concluir, utilizando o postulado das paralelas, que as rectas < e <ww , se não coincidirem, não podem ter
nenhum ponto comum (senão, por esse ponto comum estavam a passar duas
paralelas à recta <w ); no entanto, como é que sabemos que < e <ww são
complanares? A propriedade transitiva é efectivamente verdadeira, e pode ser
explicada a partir das outras propriedades que temos vindo a referir mas, uma vez
que a prova é um pouco artificiosa, limitamo-nos a sugeri-la como exercício para
o estudante mais curioso.
Exercício 9. Suponhamos que a recta < é paralela à recta <w e que a recta <w é
paralela à recta <ww . Mostre que a recta < é paralela à recta <ww seguindo, por
exemplo, o seguinte caminho:
a) Repare que a conclusão é verdadeira no caso em que duas das rectas <, <w e <ww
coincidam, o que permite limitar a demonstração ao caso em que as três rectas são
todas distintas.
b) Repare que o postulado das paralelas permite garantir que < e <ww não podem ter
pontos comuns.

Figura 5
c) Escolha um ponto E na recta < e considere o plano !w que contém E e <w e o

–9–

plano !ww que contém E e <ww . Se os planos !w e !ww forem concorrentes, utilize a
propriedade P 6 para garantir que a recta intersecção destes planos é paralela a <w e
a <ww , em particular tem que ser a recta < e esta é paralela a <ww .
d) No caso de “termos azar” e os planos !w e !ww coincidirem, utilize o facto de < e
<w serem paralelas para deduzir que a recta < está no mesmo plano e portanto,
lembrando a conclusão de b), que a recta < é paralela à recta <ww .

Depois de examinarmos a relação de paralelismo entre rectas, relembremos o
que quer dizer o paralelismo entre uma recta e um plano.
Uma recta e um plano dizem-se estritamente paralelos se não tiverem
pontos comuns. Uma recta e um plano dizem-se paralelos se forem
estritamente paralelos ou a recta estiver sobre o plano.
Exercício 10. Apoiando-se na sua intuição e nos objectos manipuláveis que tiver
à mão, diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas.
Para as afirmações que forem verdadeiras poderá, se assim o desejar, apresentar
uma justificação. Poderá ser conveniente riscar com um lápis as afirmações
falsas.
a) Se uma recta é paralela a um plano, então é paralela a todas as rectas desse
plano.
b) Se uma recta é paralela a um plano, então é paralela a alguma recta desse
plano.
c) Se uma recta é paralela a um plano, então é paralela a uma, e uma só, recta
desse plano.
d) Se uma recta é paralela a um plano, então é paralela a todas as rectas desse
plano que sejam complanares com ela.
e) Se uma recta é estritamente paralela a um plano, então é paralela a todas as
rectas desse plano que sejam complanares com ela.
f) Se uma recta é paralela a alguma recta dum plano, então ela é paralela a esse
plano.
g) Se duas rectas são paralelas a um plano então são paralelas entre si.
h) Se uma recta é paralela a um plano, então qualquer recta paralela a esta é
também paralela a esse plano.
i) Se uma recta é paralela a dois planos concorrentes, então também é paralela à
respectiva intersecção.
Algumas das afirmações verdadeiras no exercício
suficientemente importantes para merecerem ser sublinhadas:

precedente

P 8. Uma recta é paralela a um plano se, e só se, é paralela a alguma
recta desse plano.

P 9. Se uma recta é estritamente paralela a um plano, então é paralela a
todas as rectas do plano com as quais ela seja complanar.
– 10 –

são

P 10. Se uma recta é paralela a um plano, então qualquer recta paralela
a esta é também paralela a esse plano.

P 11. Se uma recta é paralela a dois planos concorrentes, então
também é paralela à respectiva intersecção.
Passemos agora ao exame da relação de paralelismo entre dois planos.
Dois planos dizem-se estritamente paralelos se não existe nenhum
ponto simultaneamente em ambos. Dois planos dizem-se paralelos se
forem estritamente paralelos ou coincidirem.
Exercício 11. Apoiando-se na sua intuição e nos objectos manipuláveis que tiver
à mão, diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas.
Para as afirmações que forem verdadeiras poderá, se assim o desejar, apresentar
uma justificação. Como antes, é boa ideia riscar a lápis as afirmações falsas.
a) Se dois planos são paralelos, então qualquer recta de um dos planos é paralela
ao outro plano.
b) Se qualquer recta de um plano é paralela a outro plano, então os dois planos
são paralelos.
c) Se um plano tem duas rectas concorrentes paralelas a outro plano, então os
dois planos são paralelos.
d) Se dois planos são paralelos, então qualquer recta paralela ao primeiro é
também paralela ao segundo.
e) Se o plano ! é paralelo ao plano !w e !w é paralelo ao plano !ww , então ! é
paralelo a !ww (a relação de paralelismo entre planos é uma relação de equivalência).
f) Se dois planos são paralelos a uma mesma recta, então são paralelos entre si.
g) Se os planos ! e " são concorrentes e com intersecção < e se !w é um plano
paralelo a !, então !w e " são concorrentes e com intersecção <w paralela a <.
Como anteriormente, algumas das afirmações verdadeiras nas alíneas do
exercício anterior são suficientemente importantes para merecer a pena sublinhá-las.
P 12. Se dois planos são paralelos, então qualquer recta de um dos
planos é paralela ao outro plano.

P 13. Se um plano tem duas rectas concorrentes paralelas a outro
plano, então os dois planos são paralelos.
– 11 –

P 14. Se dois planos são paralelos, então qualquer recta paralela a um
deles é também paralela ao outro.

P 15. Se dois planos são paralelos a um terceiro então são paralelos
entre si.
Exercício 12. Um cubo, como o da figura 1, é um sólido cujas seis faces são
quadrados. Como justificaria o facto de os planos que contêm duas faces opostas
serem paralelos?
Exercício 13. Considerando que, quando trabalhamos numa escala relativamente
pequena, não há inconveniente em considerar a superfície da Terra como sendo
plana, é costume chamar rectas horizontais às rectas paralelas ao plano da
superfície da Terra e planos horizontais aos planos paralelos àquele. O “nível de
bolha de ar” é um instrumento utilizado em construção civil para determinar se
uma dada recta é horizontal. Por que razão, quando se quer determinar se um
dado plano é horizontal, basta colocar o “nível” sobre esse plano em duas
posições?
Exercício 14. Mostre que, se E é um ponto e ! é um plano, então existe um
único plano !w paralelo a ! que passa por E. Mais precisamente, mostre que esse
plano pode ser construído do seguinte modo: Consideram-se duas rectas
concorrentes < e = sobre o plano !, consideram-se as rectas <w e =w paralelas a < e
=, respectivamente, e que passam por E, e toma-se para !w o plano definido pelas
rectas concorrentes <w e =w .
Sugestão: Comece por mostrar que um plano !w construído pelo processo
indicado, a partir de quaisquer duas rectas concorrentes de !, é paralelo a !. Para
justificar que não há mais que um plano paralelo a ! passando por E, lembrar a
propriedade P 15.
O exercício que propomos em seguida é uma aplicação interessante das ideias
que temos estado a examinar. Uma vez que ele pode ser considerado algo
abstracto, destinamo-lo apenas ao estudante que se sinta mais à vontade nesse tipo
de questões.
Exercício 15. Dado um conjunto T de pontos do espaço, vamos dizer que ele tem
a propriedade da régua se, quaisquer que sejam os pontos distintos E e F de T ,
a recta EF está contida em T .
Por exemplo, a propriedade enunciada em PI 3 diz-nos que qualquer plano é
um conjunto com a propriedade da régua. A nossa primeira proposta de actividade
é a constatação, muito simples, de que, além dos planos, há outros exemplos de
conjuntos que têm também a propriedade da régua.
a) Mostrar que os seguintes conjuntos têm a propriedade da régua: O conjunto
vazio; um conjunto com um único elemento; uma recta; um plano; o espaço todo.

– 12 –

A actividade proposta na alínea a) não levantou possivelmente nenhuma
dificuldade, com excepção talvez dos dois primeiros exemplos que exigem ideias
bem assentes no domínio da Lógica. A actividade mais interessante é descobrir
que não há mais nenhum exemplo além daqueles.
b) Seja T um conjunto de pontos do espaço do qual só sabemos que tem a
propriedade da régua. Mostrar que T tem que ser um dos exemplos referidos na
alínea a).
Se está com dificuldade em saber como começar, poderá ser boa ideia
introduzir uma série de hipóteses alternativas sucessivas: Ou há algum ponto ou
não há nenhum; se houver algum ponto, ou só há esse ou há pelo menos mais um;
se há pelo menos dois pontos, a recta definida por eles está contida em T e, ou há
mais pontos ou não há; se há pelo menos mais um ponto, então todos os pontos do
plano que contém esse ponto e a recta estão em T (este é um dos dois passos
fundamentais, faça um desenho para descobrir porquê); etc…

2. Movimentos rígidos.
Um instrumento extremamente fecundo no estudo da geometria, tanto do
plano como do espaço, é a noção de movimento rígido (ou simplesmente
movimento), noção que, como as que examinámos até agora, entronca profundamente no nosso conhecimento experimental do espaço. O sentido que nos
interessa dar à palavra “movimento” em Geometria tem relações com o sentido
que se dá a esta palavra no estudo da Física mas não corresponde exactamente a
este. As diferenças consistem essencialmente no seguinte:
a) Em Geometria não pensamos apenas no movimento de um dado objecto, mas
interessa-nos imaginar que a totalidade do espaço (ou do plano, quando
estudamos a Geometria Plana) está “agarrada rigidamente” a esse objecto e se
desloca com ele.
b) O aspecto que interessa considerar em Geometria não é o caminho que levou
da posição inicial à posição final durante um movimento, mas apenas a
comparação da posição inicial com a posição final.
O movimento rígido, do ponto de vista da Geometria, vai ser assim um modo
de associar a cada ponto do espaço (ou dum plano, no caso da Geometria Plana)
um ponto do espaço (ou desse plano), aquele para onde o ponto se moveu. Este
último ponto também se diz o ponto transformado do primeiro por meio do
movimento, e, por esse motivo, também se costuma dizer que o movimento
rígido é um exemplo de transformação geométrica.
Quando nos estamos a referir a um certo movimento rígido, é cómodo usar a
notação
E È Ew
para significar que Ew é o transformado de E pelo movimento rígido. Por vezes,
em especial quando se fala simultaneamente de vários movimentos rígidos, é
cómodo utilizar uma letra, por exemplo V , para nomear o movimento em questão
e usar a notação mais explícita
– 13 –

V

E È Ew
para siginificar que Ew é o transformado de E pelo movimento rígido V. Neste
último caso, também é costume usar a notação VÐEÑ para significar o ponto
V

obtido de E após a transformação, por outras palavras a notação E È Ew
significa o mesmo que Ew œ VÐEÑ.
Os movimentos rígidos num plano podem ser intuídos experimentalmente
usando uma folha de papel transparente colocada sobre uma folha de papel;
fazendo um desenho sobre a folha de papel e decalcando-o para a folha de papel
transparente, podemos mover esta sobre aquela de forma a vermos o resultado de
diferentes movimentos rígidos.

Figura 6
Na figura 6, situámo-nos no quadro da Geometria Plana e representámos um
triângulo com os vértices assinalados com as letras E, F e G , assim como os
transformados desse triângulo por dois movimentos rígidos, transformados esses
com os vértices correspondentes assinalados pelas mesmas letras, acompanhadas
de uma e duas plicas, respectivamente. O primeiro movimento é uma translação
da esquerda para a direita numa direcção horizontal e o segundo é uma rotação
de (!° em torno de E no sentido directo (isto é, contrário ao do movimento dos
ponteiros do relógio).
Chamando V" e V# aos dois movimentos rígidos, podemos assim usar as
notações
E È Ew

V"

F È Fw

V"

G È Gw

V#

F È Fww

V#

G È G ww

EÈE

V"
V#

ou, se preferirmos,
Ew œ V" ÐEÑ Fw œ V" ÐFÑ G w œ V" ÐGÑ
E œ V# ÐEÑ Fww œ V# ÐFÑ G ww œ V# ÐGÑ.
Note-se que o parágrafo anterior contém algumas expressões que não são tão
inocentes como podem parecer à primeira vista. Estamos a pensar no “sentido do
movimento dos ponteiros do relógio”, na “direcção horizontal” e no que se
– 14 –

entende por “da esquerda para a direita”. Estas expressões só fazem sentido
porque está implícito que o leitor está dum dos lados da página (o que é natural
uma vez que ela não é transparente) e que o livro está numa posição
“politicamente correcta”. Como descreveria os movimentos referidos um leitor
que estivesse a ler deitado de lado numa cama ou um leitor que estivesse do outro
lado da página (suposta transparente)? Examinaremos adiante com um pouco
mais de cuidado este tipo de questões.
A figura 7 ilustra uma situação análoga na Geometria do Espaço, onde
partimos de um cubo, com quatro vértices assinalados com as letras E, F, G e H.

Figura 7
Temos, no primeiro caso, uma translação e, no segundo, um translação
seguida de uma rotação em torno do eixo definido pelo vértice Fww e pelo oposto.
Citemos agora algumas propriedades dos movimentos rígidos (do espaço ou
dum plano) que aceitamos facilmente como intuitivas.
PI 16 a) Existe um movimento rígido que “deixa tudo quieto”, isto é,
para o qual cada ponto é transformado em si mesmo. A este movimento
rígido costuma dar-se o nome de transformação identidade.
b) Dado um movimento rígido, para cada ponto existe um, e um só, ponto
cujo transformado é aquele. Além disso, fica definido outro movimento
rígido, chamado inverso do primeiro, pela condição de transformar cada
ponto no único ponto cujo transformado é este.8
c) Dados dois movimentos rígidos, pode-se definir, a partir deles, um
terceiro movimento rígido pela condição de transformar cada ponto num
ponto obtido de acordo com a seguinte regra: Primeiro transforma-se o
ponto de partida utilizando o primeiro movimento; seguidamente transforma-se o ponto assim obtido utilizando o segundo movimento. Diz-se que
este movimento foi obtido por composição do segundo após o primeiro
(ou do primeiro seguido do segundo).
8Por

outras palvras, o movimento inverso desfaz aquilo que o primeiro fazia.

– 15 –

As propriedades a), b) e c) atrás referidas costumam ser referidas dizendo que
os movimentos rígidos constituem um grupo de transformações.
Para nomear a transformação identidade usa-se frequentemente a notação M
ou M .. Pode assim escrever-se M ÐEÑ œ E, para cada ponto E.
Para nomear o movimento rígido inverso dum movimento rígido V usa-se a
notação V" , por razões que seria difícil explicar neste momento. A notação
V

V"

E È Ew significa assim o mesmo que Ew È E, por outras palavras, Ew œ VÐEÑ
significa o mesmo que E œ V" ÐEw Ñ.
Quando temos dois movimentos rígidos, notados V" e V# , usamos a notação
V# ‰ V" para nos referirmos ao movimento rígido obtido por composição de V#
após V" . Pode parecer estranho escrever V# antes de V" para significar “V# após
V" ” mas a razão por que o fazemos é que isso permite escrever a fórmula
mnemónica
V# ‰ V" ÐÑ œ V# ÐV" ÐÑÑ.
Exercício 16. Copie a figura 8 para uma folha de papel (eventualmente
transparente) e imagine um movimento rígido que transforme E, F e G nos
pontos Ew , Fw e G w , respectivamente. Utilize uma folha de papel transparente e
um transferidor para:
a) Determinar uma rotação V em torno do ponto S e uma translação X tais que
este movimento rígido seja X ‰ V.
b) Verificar que, considerando a composição por ordem inversa V ‰ X , obtém-se
um movimento rígido diferente e determinar as imagens dos pontos E, F e G por
este novo movimento. Concluir assim que a ordem pela qual compomos dois
movimentos é importante (a operação de composição não é comutativa).
c) Determinar um ponto Sw tal que o movimento rígido originalmente
considerado seja uma rotação em torno de Sw .

Figura 8
Exercício 17. a) Considere um movimento rígido qualquer V, do espaço ou dum
plano. O que serão os movimentos compostos M ‰ V e V ‰ M ? O que serão os
movimentos compostos V" ‰ V e V ‰ V" ?
b) A composição de movimentos, apesar de, como referimos no exercício
– 16 –

precedente, não gozar da propriedade comutativa, goza da propriedade
associtiva. Será capaz de escrever uma fórmula que descreva essa propriedade e
de compreender porque é que ela é válida?
Outra das características intuitivas dos movimentos rígidos é que não é só os
pontos que são transformados mas o mesmo acontece com outras entidades
geométricas, como rectas, segmentos de recta, planos, ângulos, etc… Do mesmo
modo, todas as propriedades geométricas, como os comprimentos, os ângulos ou
o paralelismo, são conservadas depois de um tal movimento. Tentemos explicar
com exemplos, e sem a pretensão de ser exaustivos, o que querem dizer as
afirmações anteriores.
PI 17. Dado um movimento rígido, fica associada a cada recta uma
nova recta, dita transformada da primeira, cujos pontos são precisamente
os transformados dos pontos da primeira, e, no caso da Geometria do
Espaço, fica associado a cada plano um novo plano, o transformado do
primeiro, cujos pontos são precisamente os transformados dos pontos do
primeiro. No caso da Geometria do Espaço, decorre daqui que uma recta
está sobre um plano se, e só se, a recta transformada está sobre o plano
transformado.
Quando se usa a letra V para nomear um movimento rígido, continua a
usar-se as notações VÐ<Ñ e VÐ!Ñ para significar os transformados da recta < e do
plano !.
As propriedades anteriores traduzem a conservação das relações de incidência. É fácil concluir que as relações de paralelismo ficam automaticamente
verificadas, isto é, duas rectas são paralelas se, e só se, as suas transformadas são
paralelas e analogamente para o paralelismo entre uma recta e um plano e entre
dois planos. Outras propriedades que já estudou em anos anteriores e que são
também conservadas são as distâncias e os ângulos de rectas concorrentes:
PI 18. Dado um movimento rígido, a distância de dois pontos é igual à
distância dos repectivos transformados e o ângulo de duas rectas concorrentes é igual ao ângulo das respectivas transformadas. Analogamente, o
ângulo de duas semi-rectas com uma mesma origem é igual ao ângulo das
semi-rectas transformadas.9
Uma outra propriedade que é conservada pelos movimentos rígidos tem a ver
com a noção de esquerdo e direito, noção essa que, apesar de intuitiva exige
talvez uma explicação mais cuidadosa. Comecemos por examinar o caso da
Geometria do Espaço.

9Lembrar

que o ângulo de duas rectas pode tomar valores entre !° e *!°, enquanto o
ângulo de duas semi-rectas com a mesma origem pode tomar valores entre !° e ")!°. O
facto de estas afirmações serem intuitivas resulta de as réguas e os transferidores podem
ser considerados a moverem-se junto com os pontos do espaço.

– 17 –

Em primeiro lugar, dados dois pontos distintos do espaço, não faz sentido
perguntar se um está à esquerda ou a direita do outro. Retomando a figura do
cubo,

Figura 9
o ponto F está à esquerda ou está à direita do ponto J ? Se pensarmos um pouco,
reparamos que, para falar destas noções, temos que pensar num observador
colocado numa certa posição, posição essa que não é determinada simplesmente
por um ponto, mas sim por dois (intuitivamente um define a posição dos pés do
observador e o outro a direcção e sentido em que está a cabeça). Todos
estaremos de acordo em que, se o observador está orientado de E para G (com os
pés em E e a cabeça na direcção de G ), o ponto J está à direita de F (e,
consequentemente, F está à esquerda de J ). Já se o observador estiver orientado
de G para E, o ponto F está à direita de J .
Para falarmos de esquerda e direita no espaço precisamos assim de quatro
pontos, os dois que queremos comparar e os dois que definem a posição do
observador, e esses quatro pontos não devem ser complanares. Por exemplo, com
um observador orientado de E para G , não faz sentido perguntar se F está à
direita ou à esquerda de H (o obervador pode estar “de barriga para cima” ou “de
barriga para baixo”).
Exercício 18. a) Para um observador orientado de F para G qual dos pontos E e
J está à esquerda do outro? E para um observador orientado de G para F?
b) Para um observador orientado de F para J qual dos pontos E e G está à
esquerda do outro? E para um observador orientado de J para F?10

10A

recurso à experiência para responder a algumas destas questões pode conduzir a
situações algo acrobáticas. É talvez conveniente habituarmo-nos a imaginar aquelas
posições sem nos termos de colocar nelas…

– 18 –

PI 19. Dados um movimento rígido do espaço e quatro pontos não
complanares E, F , G e H, com os transformados Ew , Fw , G w e Hw , se um
observador orientado de E para F vê G à esquerda de H, um observador
orientado de Ew para Fw vê G w à esquerda de Hw . Esta propriedade
costuma ser referida dizendo que o movimento rígido conserva a orientação.11
No caso da Geometria Plana a questão da orientação, em vez de envolver
quatro pontos não complanares vai envolver três pontos não colineares. Por
exemplo, considerando a figura 10, uma grande percentagem dos leitores não terá
dúvida em dizer que, na Geometria do plano da página, e relativamente ao ponto
S, E está à esquerda de F.12

Figura 10
Do mesmo modo, no quadro bem conhecido da figura 1, parece pacífico dizer
que, na geometria do plano superior, e relativamente ao ponto I , o ponto L está
à esquerda do ponto K e que, na geometria do plano anterior, e relativamente ao
mesmo ponto I , o ponto F está à esquerda de E. Talvez já comece a não haver
tanta unanimidade se considerarmos a Geometria do plano que contém os
vértices I , J , G , H e perguntarmos se, relativamente ao ponto I , qual dos
pontos H e J está à esquerda do outro.
O problema talvez fique mais claro se dobrarmos uma folha de papel segundo
um ângulo de 90 graus e marcarmos sobre ela os pontos E, F, I , J , K, L da
figura 1. Dobrando em seguida a folha de papel segundo vários ângulos e
examinando o que acontece nas diferentes posições, cedo descobrimos onde está
o problema.
A conclusão é que, ao contrário do que poderia parecer à primeira vista, não é
possível definir de modo absoluto, para qualquer plano do espaço, o que é “estar
à esquerda de”; há sempre duas maneiras opostas de definir isso, ou, como é
usual dizer-se, duas orientações do plano. Uma orientação fica determinada
quando imaginamos um observador colocado dum dos lados do plano, mais
precisamente, com os pés sobre o plano e a cabeça fora dele. Nesse caso, a noção
de “estar à esquerda de” no plano reduz-se à correspondente noção no espaço
que já referimos atrás e o que se passa é que, considerando a posição do
observador no outro lado do plano, obtemos a noção oposta do que é “estar à
11Esta

propriedade é intuitiva uma vez que podemos imaginar o observador a mover-se
conjuntamente com tudo o resto.
12Como referiremos em breve, a pequena percentagem de leitores que eventualmente
tenha dúvidas está mais perto da verdade…

– 19 –

esquerda de”. A razão porque, para planos em certas posições, relativamente ao
local que ocupamos, nós temos uma tendência instintiva para considerar uma
certa orientação, está em que imaginamos naturalmente uma posição para o
observador, e a orientação do plano que lhe corresponde: Por exemplo, para um
plano horizontal imaginamos o observador com a cabeça para cima e para um
plano vertical à nossa frente imaginamos o observador deitado mas com a cabeça
para o lado em que estamos.13 Em qualquer dos casos, seja qual for a orientação
que consideremos, temos para a Geometria Plana o seguinte resultado, que
corresponde ao que sublinhámos anteriormente no caso da Geometria do Espaço.
PI 20. Dados um movimento rígido do plano e três pontos não
colineares E, F e G , com os transformados Ew , Fw , G w , se um observador
colocado em E vê F à esquerda de G , um observador colocado em Ew vê
Fw à esquerda de G w . Esta propriedade costuma ser referida dizendo que o
movimento rígido do plano conserva a orientação.
Exercício 19. Usando a sua intuição, apoiada nalguns desenhos, complete os
espaços deixados por preencher na afirmação seguinte, de acordo com a
conjectura que foi levado a considerar:
Dados três pontos não colineares E, F e G de um plano orientado, se do ponto E
se vê F à esquerda de G , então do ponto F vê-se G à esquerda de E e do ponto
G vê-se E à esquerda de F.
Tendo reflectido sobre as questões da orientação no quadro do espaço e no
dum plano, talvez seja apropriado referir rapidamente que, no quadro da Geometria da Recta, a questão da orientação também se põe. Quando numa recta <
consideramos um observador colocado num ponto S, sabemos perfeitamente o
que significa dois pontos estarem do mesmo lado ou em lados opostos
relativamente a S e, para rectas desenhadas em certas posições (como a da figura
a seguir) somos levados a classificar uns pontos como estando à esquerda e
outros como estando à direita de S. No entanto, variando a posição da recta
verificamos que não é possível dar um critério que defina o que é estar à esquerda e estar à direita em qualquer recta: Há sempre dois critérios possíveis e a
escolha de um deles é o que se chama orientar a recta.

Figura 11

13De

facto também há duas orientações possíveis para o espaço: Não vinha nenhum mal
ao Mundo se passássemos a chamar esquerda àquilo a que chamamos direita e vide-versa.
É por uma convenção arbitrária, que passa de pessoa para pessoa, e só possível pelo facto
de haver só um espaço em que todos vivemos, que todos estamos de acordo com o que
quer dizer “estar à esquerda de” no espaço.

– 20 –

Exercício 20. Considere no plano da página os vértices dos triângulos representados na figura 12. No sentido de apoiar a sua intuição, poderá utilizar uma folha
de papel transparente, onde desenhou o segundo triângulo.

Figura 12
a) Haverá algum movimento rígido do plano que transforme os pontos E, F e G
nos pontos Ew , Fw e G w , respectivamente? Como justifica a sua resposta?
b) Haverá algum movimento rígido do espaço que transforme os pontos E, F e
G nos pontos Ew , Fw e G w , respectivamente?
c) Imagine um movimento rígido V do plano da página tal que VÐEÑ œ Ew e
VÐFÑ œ Fw . Determine o ponto VÐGÑ com a ajuda de um compasso? Quantos
movimentos rígidos do plano haverá que verifiquem as condições VÐEÑ œ Ew e
VÐFÑ œ Fw ?
d) Quantos movimentos rígidos do espaço estarão nas condições enunciadas na
alínea b)?
PI 21. Sejam Eß F e Ew ß Fw dois pares de pontos distintos do mesmo
plano e suponhamos que a distância dos pontos E e F é igual à distância
dos pontos Ew e Fw . Existe então um, e um só, movimento rígido do plano
que transforma E e F em Ew e Fw , respectivamente.
A interpretação intuitiva da propriedade precedente é a de que, ao movermos
dois pontos do plano ao longo desse plano, sem variar a sua distância, todo o
plano vai atrás desse movimento, de um modo perfeitamente determinado. Por
exemplo, quando queremos deslocar uma mesa num plano horizontal de uma
forma precisa, sentimos a necessidade de pegar em dois pontos da mesa (o que
acontece se empurrarmos uma mesa só por um ponto?).
Exercício 21. Seja V um movimento rígido dum plano ! tal que existam dois
pontos distintos E e F de ! com VÐEÑ œ E e VÐFÑ œ F . Provar que se tem
então VÐGÑ œ G , para qualquer ponto G do plano !, por outras palavras V é a
transformação identidade.
Exercício 22. Sejam E e F dois pontos distintos de um plano ! e S o ponto
médio do segmento ÒE FÓ. Seja < a recta que contém os pontos E, F e S.
a) Explicar porque é que existe um único movimento rígido V do plano ! que
– 21 –

V

V

verifica as condições E È F e S È S.
b) Mostrar que o movimento rígido V transforma a recta < nela mesma.
V

c) Mostrar que se tem também F È E.
d) Concluir que se tem V ‰ V œ M , por outras palavras o movimento rígido V é o
inverso dele mesmo.
e) Mostrar que, se G é um ponto de ! distinto de S, então VÐGÑ Á G e S é o
ponto médio do segmento de extremidades G e VÐGÑ. Que nome daria a este
movimento rígido do plano?
Enunciamos a seguir a propriedade correspondente à anterior para a
PI 22. Sejam Eß Fß G e Ew ß Fw ß G w dois triplos de pontos não colineares. Suponhamos que a distância de cada par de pontos no triplo Eß Fß G é
igual à distância do correspondente par de pontos no triplo Ew ß Fw ß G w .
Existe então um único movimento rígido do espaço que transforma E, F,
e G em Ew , Fw , e G w , respectivamente.
Intuitivamente, se tomarmos três pontos não colineares dos espaço e os
movermos de modo a mantermos as distâncias entre eles, todo o espaço vai atrás
desse movimento de um modo perfeitamente determinado. Se pretendermos
mover de forma precisa um sólido no espaço, convém pegar em três dos seus
pontos não colineares (o que sucederia se pegássemos em apenas dois pontos ou
se os três pontos fossem colineares?).
Exercício 23. Por que razão uma porta se pode mover, apesar de estar fixada
com três dobradiças? Por que razão uma porta fixada com duas dobradiças se
pode mover de modo preciso mexendo apenas na respectiva maçaneta?
Exercício 24. Sejam E e F dois pontos distintos e V um movimento rígido do
espaço tal que VÐEÑ œ E e VÐFÑ œ F . Seja < a recta que passa pelos pontos E e
F.
a) Mostrar que se tem VÐ<Ñ œ <.
b) Mostrar que se tem VÐGÑ œ G , para cada ponto G da recta <.
c) Se o movimento rígido V não é a transformação identidade, mostrar que não
existem pontos G não pertencentes a < tais que VÐGÑ œ G .
PI 23. Dado um movimento rígido de um plano, existe um único movimento rígido do espaço que prolonga aquele, isto é, que transforma da
mesma maneira os pontos do plano (também se diz que o movimento
rígido do plano é uma restrição do movimento rígido do espaço).
Pelo contrário, não é verdade que um movimento rígido do espaço que, “por
acaso”, transforme todos os pontos dum dado plano ! em pontos desse plano
tenha que ter por restrição um movimento rígido do plano !; pensar numa rota– 22 –

ção de 180° em torno dum eixo do plano, lembrando o exercício 20 e a figura 12
na página 21.
æ

æ

æ

æ

A ideia de movimento rígido, no plano e no espaço, ajuda a clarificar duas
noções que já foram examinadas em anos anteriores, a de objectos congruentes e
a de objectos regulares.
Comecemos por examinar o caso mais simples da Geometria Plana. Numa
situação como a da figura 13 ou a da figura 14, todos estamos habituados a dizer
que estamos em presença de dois triângulos iguais (o leitor decerto recordará os
“famosos” casos de igualdade de triângulos). A palavra “igual” é aqui utilizada
num sentido algo perigoso, na medida em que normalmente a igualdade está
ligada à ideia de dois termos a designar o mesmo objecto e o que aqui está em
jogo, em ambos os casos, são objectos diferentes. Por esse motivo, há alguma
vantagem em utilizar outra palavra em vez daquela e dizer, em cada caso, que
estamos em presença de objectos congruentes. O facto de termos objectos
congruentes corresponde intuitivamente à ideia de que todas as propriedades
gozadas por um deles (comprimentos dos lados, medidas dos ângulos etc…)
serem também gozadas pelo outro.

Figura 13

Figura 14

No entanto, na figura 13 temos triângulos “mais congruentes” que os da
figura 14, na medida em que nesta última há uma propriedade da Geometria
Plana que não é conservada, a orientação (de F vemos E à esquerda de G , mas
de Fw vemos Ew à direita de G w ). Há assim vantagem em apresentar definições
precisas que distingam as duas situações.
Dois objectos planos dizem-se propriamente congruentes se, tal como
acontece no caso da figura 13, existir um movimento rígido do plano que
transforme o primeiro no segundo. Eles dizem-se simplesmente congruentes se, tal como acontece tanto no caso da figura 13 como no da figura 14,
existir um movimento rígido do espaço que transforme o primeiro no
segundo.

– 23 –

Por exemplo, no caso da figura 14, um movimento rígido que transforma a
primeira na segunda é a rotação de ")!° em torno de um eixo do plano (cf. as
figuras 15 e 16).

Figura 15

Figura 16

Repare-se que, tendo em conta o que dissémos em PI 23, dois objectos planos
propriamente congruentes são também congruentes.
Repare-se que a propriedade que enunciámos em PI 22, na página 22, vai
incluir o bem conhecido “caso de igualdade de triângulos”: Se os comprimentos
dos lados correspondentes de dois triângulos são iguais, então os triângulos são
congruentes. Cabe aqui relembrar os outros casos de igualdade de triângulos que
conhece, enunciados do mesmo ponto de vista:
PI 24. Sejam Eß Fß G e Ew ß Fw ß G w dois triplos de pontos tais que se
verifique pelo menos uma das duas condições seguintes:
1) A distância de E a F é igual à distância de Ew a Fw , a distância de E a
G é igual à distância de Ew a G w e o ângulo das semi-rectas de E para F e
de E para G é igual ao ângulo das semi-rectas de Ew para Fw e de Ew para
G w (“dois lados e o ângulo por eles formado…”).
2) A distância de E a F é igual à distância de Ew a Fw , o ângulo das
semi-rectas de E para F e de E para G é igual ao ângulo das semi-rectas
de Ew para Fw e de Ew para G w e o ângulo das semi-rectas de F para E e
de F para G é igual ao ângulo das semi-rectas de Fw para Ew e de Fw para
G w Ð“um lado e os dois ângulos adjacentes…”).
Existe então um, e um só, movimento rígido do espaço que transforme E,
F, e G em Ew , Fw , e G w , respectivamente.
A noção de polígono regular é outra noção que é interessante revisitar do
ponto de vista dos movimentos rígidos. Pensemos, por exemplo nos polígonos
das figuras 17 a 25. Em cada uma das figuras haverá ou não vértices do mesmo
tipo? E lados do mesmo tipo? O que quererá dizer vértices ou lados “do mesmo
tipo”?
No caso da figura 17 todos estamos de acordo em que dois vértices opostos
são do mesmo tipo, mas dois vértices adjacentes já não o são, e em que dois
lados opostos são do mesmo tipo mas dois lados adjacentes já não o são. Já
quanto à figura 19, se não deverá haver dúvidas sobre o que se passa com os
vértices e com os lados opostos, possivelmente não estaremos todos de acordo se
– 24 –

os lados adjacentes devem ou não ser considerados do mesmo tipo. A razão de
ser desses dúvidas está em que, no quadro dos polígonos planos há duas noções
possíveis, igualmente importantes, do que se deve entender por vértices ou lados
do mesmo tipo. A questão é análoga à que aparecia quando falámos da
congruência de figuras planas.

Figura 17

Figura 18

Figura 19

Figura 20

Figura 21

Figura 22

Figura 23

Figura 24

Figura 25

Dizemos que dois vértices dum polígono plano são do mesmo tipo se
houver um movimento rígido do espaço que transforme o polígono em si
mesmo e o primeiro vértice no segundo. Diz-se que dois vértices são propriamente do mesmo tipo se houver um movimento rígido do plano que
faça isso. Analogamente se definem lados do mesmo tipo e lados propriamente do mesmo tipo.
Por exemplo, no quadro da figura 19, todos os lados são do mesmo tipo mas
enquanto que os lados opostos são propriamente do mesmo tipo, os lados
adjacentes já não são propriamente do mesmo tipo.

– 25 –

Exercício 25. Copie para uma folha de papel transparente as figuras 17 a 25.
Com a ajuda dessa cópia determine, em cada caso:
a) Quais os vértices do mesmo tipo e os vértices propriamente do mesmo tipo.
b) Quais os lados do mesmo tipo e os lados propriamente do mesmo tipo.
c) Quantos tipos (ou tipos próprios) de vértices e de lados existem em cada caso?
Chamam-se polígonos regulares aos polígonos planos cujos vértices
são propriamente do mesmo tipo e os lados são propriamente do mesmo
tipo.
Exercício 26. De entre os polígonos sugeridos nas figuras 17 a 25 dizer quais os
que são regulares e, para cada um deles, descobrir quais os movimentos rígidos
que permitem concluir a respectiva regularidade.
æ

æ

æ

æ

Podemos agora examinar como se adaptam as noções anteriores no quadro da
Dois objectos do espaço dizem-se propriamente congruentes se existir
um movimento rígido do espaço que transforme o primeiro no segundo.
Por exemplo, os cubos sugeridos na figura 7, na página 15, são objectos propriamente congruentes do espaço.
Há um cuidado importante a ter com as definições de congruência: Em cada
caso deverá estar claro se estamos a falar de congruência no sentido da
Geometria Plana ou no sentido da Geometria do Espaço. É claro que o problema
só se põe quando estivermos a pensar em objectos planos que, pelo facto de o
serem, não deixam de ser objectos do espaço. A situação típica é a da figura 14,
onde temos dois triângulos dum mesmo plano que não são propriamente
congruentes, no sentido da Geometria Plana, mas já o são no sentido da
Geometria do Espaço (e por isso, são congruentes no sentido da Geometria
Plana).
Também existe uma noção de congruência (não necessariamente própria) de
objectos no espaço, tal como acontecia no plano, mas ela não pode ser definida
da mesma maneira, uma vez que não nos conseguimos mover por fora do espaço.
Não havendo tempo para estudar esta noção com todo o cuidado, digamos
apenas, a título de informação, que a noção de objectos congruentes abarca
aqueles que são propriamente congruentes assim como aqueles que são imagem
no espelho um do outro, como na figura 26.

– 26 –

Figura 26
Mais precisamente se um objecto é congruente, mas não propriamente
congruente a outro, então ele é propriamente congruente a qualquer imagem no
espelho do outro.
Um exemplo bem familiar de objectos congruentes, mas não propriamente
congruentes, no espaço são as nossas duas mãos. É o facto de elas não serem
propriamente congruentes que faz com que, ao examinarmos uma fotografia em
que apareça apenas uma mão, somos capazes de dizer se se trata da mão
esquerda ou da mão direita.
Exercício 27. Exercitar um pouco a imaginação, tentando descobrir o que
aconteceria num mundo em que as simetrias num espelho pudessem resultar de
um movimento rígido. Concluir, em particular, que não seria possível falarmos
de “lado esquerdo” e “lado direito”.
O mesmo caminho que nos levou a definir vértices e lados do mesmo tipo no
quadro dos polígonos planos permite-nos examinar noções análogas no quadro
dos poliedros, porções do espaço limitadas por regiões planas (as faces). Com o
objectivo de nos mantermos num quadro mais ligado à nossa experiência
concreta, vamos examinar apenas a noção de elementos propriamente do mesmo
tipo.
Diz-se que dois elementos (vértices, arestas ou faces) dum poliedro
são propriamente do mesmo tipo se existir um movimento rígido do
espaço que transforme o poliedro em si mesmo e o primeiro elemento no
segundo.
A noção precedente é mais bem intuida se dispusermos de alguns poliedros
concretos que possamos manipular. O ideal seria que dispuséssemos de dois
modelos de cada um, para podermos comparar o que se passa antes e depois de
efectuado um certo movimento rígido. Uma das formas de construir modelos
desse tipo é por dobragem e colagem, a partir da sua planificação. Para comodidade do leitor apresentamos nas páginas seguintes algumas dessas planificações,
que poderão ser fotocopiadas e eventualmente coladas sobre cartolina para
– 27 –

proceder à montagem dos poliedros. Para evitar um trabalho demasiado
repetitivo, os estudantes poderão dividir entre si os sólidos que vão construir e
compartilharem em seguida as construções feitas.
Exercício 28. Para cada um dos poliedros cujas planificações são apresentadas
nas páginas seguintes determinar quantos tipos próprios de faces, de arestas e de
vértices existem.
Chama-se poliedro regular a um poliedro cujas faces são polígonos
regulares e cujas faces, arestas e vértices são propriamente do mesmo
tipo.

– 28 –

Poliedro A (paralelipípedo rectângulo)

– 29 –

Poliedro B (pirâmide quadrangular)

– 30 –

Poliedro C (tetraedro regular)

– 31 –

Poliedro D (cubo ou hexaedro regular)
– 32 –

Poliedro E (octaedro regular)

– 33 –

Poliedro G (dodecaedro regular)
– 35 –

Poliedro H (icosaedro regular)

– 36 –

Poliedro I (cuboctaedro)

– 37 –

Poliedro J (octaedro truncado)

– 38 –

3. Translações e Vectores.
De entre os movimentos rígidos do espaço, há alguns dum tipo muito
especial, a que se dá o nome de translações. Intuitivamente, as translações são
movimentos rígidos em que as direcções e sentidos não se alteram. Se quisermos
ser mais precisos:
Diz-se que um movimento rígido do espaço, é uma translação se,
quaisquer que sejam os pontos distintos E e F, com E È Ew e F È Fw ,
verificam-se as condições:
1) As rectas EF e Ew Fw são paralelas;
2) Os sentidos de E para F e de Ew para Fw coincidem.14

Figura 27
Um exemplo típico de translação que nos aparece na vida real é um
movimento dum combóio quando “segue em linha recta”. Se olharmos para fora,
os pontos muito afastados parecem quase imóveis relativamente a um ponto de
referência na janela, o que corresponde ao facto de a recta determinada pelo
nosso olho e por esse ponto de referência se manter paralela a si mesmo. Já
quando o combóio começa a curvar isso deixa de acontecer.
É claro que as translações, sendo movimentos rígidos particulares, verificam,
além das condições 1) e 2), as propriedades gerais dos movimentos rígidos (con14Consideramos

como intuitivo a significado de duas semi-rectas, associadas a rectas
paralelas, terem o mesmo sentido.

– 39 –

servação de distâncias, ângulos, etc…). Em particular, sempre que E È Ew e
F È Fw , também é verdade que a distância de E a F é igual à distância de Ew a
Fw .
A propriedade seguinte é facilmente aceitável como verdadeira a partir da
nossa experiência geométrica.
PI 25. Dados dois pontos E e Ew , existe uma, e uma só, translação para
a qual se tenha E È Ew . Esta translação pode ser nomeada com o símbolo
Ä
EEw .
Uma translação fica assim perfeitamente determinada quando damos o transformado de um ponto particular, ao contrário do que acontecia com os
movimentos rígidos gerais em que, para ficarem determinados, era necessário
fixar os transformados de dois pontos distintos, no caso da Geometria Plana, e de
três pontos não colineares, no caso da Geometria do Espaço.
A translação mais simples é a transformação identidade: Trata-se evidentemente de um movimento rígido que verifica as condições da definição.
Exercício 29. Por definição, a transformação identidade transforma qualquer
ponto E em si mesmo (podemos dizer que todos os pontos E são pontos fixos).
Suponha agora que uma translação X não é a transformação identidade.
a) Tendo presente as segundas leis de de Morgan, o que poderá dizer sobre os
pontos fixos de X ?
b) Utilizando a propriedade PI 25, mostre que se pode garantir mais do que o que
foi concluído em a), nomeadamente que X não tem nenhum ponto fixo.
Na prática, quando conhecemos o transformado Ew de um certo ponto E por
meio de uma translação, é fácil determinar o transformado de qualquer ponto F .
Afastando já o caso trivial em que F é o próprio E, procedemos de um modo
diferente consoante o ponto transformado Ew esteja ou não na recta que contém E
e F. No primeiro caso, o transformado Fw fica sobre a mesma recta (uma recta
paralela com um ponto comum tem que ser a mesma recta) e pode ser
determinado pela condição de a sua distância a Ew ser a mesma que a de E a F e
de ele estar relativamente a Ew do mesmo lado que F está relativamente a E;

Figura 28
No segundo caso, reparamos que as condições na definição de translação podem
ser traduzidas do seguinte modo:

– 40 –

P 26. (Propriedade do paralelogramo) Consideremos uma translação
e dois pontos distintos E e F, tais que o transformado Ew de E não esteja
sobre a recta EF. O transformado Fw de F fica então determinado pela
condição de os pontos Fß Eß Ew ß Fw serem os vértices consecutivos dum
paralelogramo.15

Figura 29
A propriedade do paralelogramo atrás referida é o passo fundamental para
justificar a seguinte propriedade das translações:
P 27. Consideremos uma translação distinta da transformação identidade e sejam Ew e Fw os transformados dos pontos E e F. Então as rectas
EEw e FFw são paralelas e as distâncias e sentidos de E para Ew e de F
para Fw coincidem16.
Em rigor, a propriedade do paralelogramo só implica a afirmação precedente
no caso em que o ponto F não está sobre a recta definida por E e Ew . No entanto,
quando F está sobre a recta EEw , a situação é simples compreender intuitivamente (cf. a figura 28).
Uma das conclusões da propriedade precedente diz-nos que, para uma
translação diferente da transformação identidade, a distância de um ponto E ao
seu transformado Ew é a mesma para todos os pontos E. É claro que esta parte da
conclusão é válida também para a transformação identidade, uma vez que essa
distância é então sempre !. Podemos assim apresentar a seguinte definição:
Chama-se comprimento de uma translação à distância comum de cada
ponto E ao seu transformado Ew .17
É claro que a transformação identidade vai ser uma translação de comprimento ! e que todas as outras translações têm um comprimento maior que !.
Lembremos que se diz que duas rectas têm a mesma direcção quando são
paralelas. Tendo em conta a propriedade P 27, faz sentido falar da direcção de
uma translação diferente da identidade como sendo a direcção comum de todas
as rectas definidas por um ponto E e pelo seu transformado Ew , uma vez que as
15O

facto de estes quatro pontos serem complanares é uma consequência da definição de
paralelismo.
16Comparar com as condições enunciadas na definição de translação.
17Quando falamos de distância ou de comprimento supomos que está implícita uma
unidade de comprimento.

– 41 –

rectas que correspondem a diferentes pontos de partida são paralelas entre si.
Mais precisamente,
Diz-se que uma translação X , diferente da identidade, tem a direcção
duma recta < se todas as rectas EEw , com Ew œ X ÐEÑ, forem paralelas a <
(para o concluir, basta sabermos que isso acontece a alguma dessas
rectas).
Repare-se que, ao contrário do que acontecia com o comprimento, não faz
sentido falar da direcção da translação identidade, uma vez que um ponto e a sua
imagem não determinam nenhuma recta.
Quando queremos sublinhar que um certo movimento rígido X é uma
translação, é frequente (mas não obrigatório) utilizar letras minúsculas e colocarmos o sinal Ä em cima do símbolo. Podemos assim falar duma translação Ä,
?
Ä, etc… Esta “notação vectorial” sugere o ponto de vista, que adoptaremos, de
@
os vectores, de que possivelmente já ouviu falar, serem essencialmente a mesma
coisa que as translações.18
Exercício 30. Considere o cubo na figura seguinte.
Ä
a) Encontre nomes alternativos para a translação EF .
Ä
b) O movimento rígido inverso de translação EK é ainda uma translação. Que
nome lhe daria?
Ä
Ä
c) O movimento rígido composto da translação EH após a translação EF é ainda
uma translação. Que nome lhe daria? E ao movimento rígido composto da
Ä
Ä
translação EF após a translação EH?

Figura 30

18Alguns

autores preferem considerar uma distinção entre vectores e translações e usam
então a notação XÄ para designar a translação associada ao vectorÄ.
?
?

– 42 –

Algumas das conclusões do exercício precedente não são propriedades
especiais dos vértices do cubo. Se examinarmos com cuidado a definição de
translação, concluímos facilmente que:
P 28. a) A transformação identidade é uma translação.
b) Se o movimento rígido X é uma translação, então o movimento inverso
X " é também uma translação.
c) Se os movimentos rígidos W e X são translações, então o movimento
rígido X ‰ W , obtido por composição do segundo após o primeiro, é
também uma translação.
Do mesmo modo que as alíneas a) a c) em PI 16, na página 15, exprimiam o
facto de a totalidade dos movimentos rígidos constituir um grupo de
transformações, as propriedades que acabamos de referir exprimem que o
conjunto das translações também constitui um grupo de transformações.
Para além das propriedades anteriores, a composição de translações verifica
ainda uma outra propriedade, a comutatividade, que não é válida para movimentos rígidos arbitrários (cf. a alínea b) do exercício 16, na página 16).
P 29 (Comutatividade da composição de translações). Se W e X são
duas translações, então X ‰ W œ W ‰ X . Por outras palavras, partindo de
um ponto qualquer e aplicando primeiro a translação W e depois a
translação X , chega-se ao mesmo resultado que aplicando primeiro a
translação X e depois a translação W .
A explicação da propriedade anterior não é difícil: A propriedade é válida no
caso em que pelo menos uma das duas translações é a transformação identidade,
uma vez que ambas as compostas são então iguais à outra translação. No caso em
que as translações não têm a mesma direcção, partindo de um ponto E arbitrário
do espaço, podemos considerar os transformados F e G de E, por utilização de
W e X , respectivamente, e então X transforma F no mesmo ponto que W
transforma G , nomeadamente no quarto vértice do paralelogramo na figura a
seguir.

Figura 31
O exame do que se passa no caso em que as translações W e X têm a mesma
direcção também não oferece dificuldade e pode ser deixado ao cuidado do
estudante. Convirá ter o cuidado de tratar separadamente os casos em que W e X
“têm o mesmo sentido” e aqueles em que “têm sentidos opostos” e, neste último
– 43 –

caso, o que se passa quando os comprimentos são iguais e quando estes são
diferentes.
Vamos agora mudar as notações que temos vindo a utilizar ao trabalhar com
translações, substituindo as notações usadas no quadro geral dos movimentos
rígidos por notações mais habituais, quando olhamos para as translações como
vectores.
Em primeiro lugar, e como já foi feito na figura anterior, um vector será
representado graficamente com frequência por uma seta: Esta quer significar que
o vector corresponde à translação que transforma a origem da seta na sua
extremidade (lembrar que uma translação fica determinada quando referimos
qual o transformado de um ponto particular do espaço).
Em segundo lugar, vamos passar a utilizar com mais frequência a “notação
vectorial”, ou seja, como já referimos, usar letras minúsculas, habitualmente
encimadas com o símbolo Ä, para nomear vectores. Continuaremos, no entanto,
Ä
a utilizar a notação EF quando queremos referir o vector que transforma E em
F.
Exercício 31. Considere os vectores (translações) Ä eÄ correspondentes às setas
? @
que aparecem na figura seguinte, assim como os pontos assinalados E, F e G .

Figura 32
a) Represente graficamente os transformados, por meio de Ä e Ä, dos pontos E,
? @
F e G.
b) Desenhe outras setas que representem os mesmos vectoresÄ eÄ.
? @
Outra mudança de notação diz respeito à forma de representar a composição
de translações: Como alternativa ao sinal ‰ , que se utiliza para a composição de
movimentos rígidos arbitrários, é mais frequente utilizar o sinal  no caso da
composição de translações. Se Ä e Ä são dois vectores, o vector Ä Ä é a
?
@
? @
translação composta deÄ apósÄ ou, o que é o mesmo, deÄ apósÄ.
?
@
@
?
Há várias razões para utilizar o sinal  , uma das quais é sublinhar a
semelhança das propriedades da composição de vectores com as da adição de
números (propriedades associativa e comutativa e outras que encontraremos em
breve); outra razão ficará mais clara adiante quando estudarmos as coordenadas
dum vector e a forma de somar vectores em termos destas. Já para a composição
de movimentos rígidos gerais não se utiliza o sinal  , uma vez que essa
composição não é comutativa.

– 44 –

Exercício 32. No contexto da figura 32:
a) Desenhe setas que representem os vectoresÄ Ä, Ä Ä e Ä Ä Ä.
? @ ? ? ? ? ?
b) Por que razão a notação Ä Ä Ä poderia ser ambígua e por que razão ela
? ? ?
não o é?
Ä
Ä
Ä
Ä
c) O que serão os vectores EG  GF e EG  FG ?
Se resolveu o exercício anterior então já descobriu a regra prática para
determinar gráficamente a soma de dois vectores: Parte-se dum ponto arbitrário
E do espaço, desenha-se, com a origem nesse ponto, uma seta representando um
dos dois vectores e desenha-se em seguida uma seta representando o outro
vector, com a origem na extremidade F da primeira seta; o vector soma pode ser
representado por uma seta com origem no ponto de partida E e com extremidade
na extremidade G da segunda seta.

Figura 33
Dito de outro modo:
P 30. Dados três pontos E, F e G , tem-se sempre
Ä
Ä
Ä
EF  FG œ EG .
O facto de se utilizar o sinal  para a composição de translações conduz a
que seja conveniente uma notação a condizer para a transformação identidade.
Uma vez que se trata da translação que somada com qualquer outra tem essa
outra como resultado, é natural dar-lhe também o nome de vector zero, e notá-la
Ä
! (qual é o nome que damos ao número que, somado com qualquer número + dá
Ä
+?). O vector ! é assim a translação que transforma cada ponto nele mesmo, ou
Ä
Ä
seja, podemos escrever, para cada ponto E, ! œ EE. A translação inversa de
uma dada translação Ä também merece um nome especial quando estamos a
?
utilizar a notação vectorial: uma vez que se trata do vector que somado comÄ dá
?
Ä
a tranformação identidade, ou seja, o vector ! , é natural chamar-lhe o vector
Ä
simétrico de Ä e representá-lo por ? (se + é um número, que nome damos ao
?
número que somado com + dá o número !?). Repare-se que a interpretação de
Ä
Ä
Ä
Ä
? como translação inversa de Ä, mostra que, se Ä œ EF, então ? œ FE, em
?
?
Ä por uma seta, o vector ?
Ä
particular, se representarmos graficamente o vector ?
pode ser representado pela seta que se obtém trocando a origem com a extremidade.
– 45 –

Destacamos a seguir algumas das propriedades fundamentais da adição de
vectores que temos estado a referir:
P 31. (Propriedades da adição de vectores)
Ä @
a) Ä  Ð@  Ä œ Ð? ÄÑ  Ä (propriedade associativa)19.
? Ä AÑ
A
Ä Ä œÄ Ä (propriedade comutativa).
b) ? @
@ ?
Ä
Ä
c) Ä  ! œ Ä (! é elemento neutro).
?
?
Ä Ä
Ä
d) Ä  Ð? Ñ œ ! (o vector Ä tem simétrico ? Ñ.
?
?
As propriedades precedentes exprimem o facto de os vectores (translações)
do espaço constituirem um grupo comutativo.
Apesar de a intuição geométrica, que nos conduziu à noção de vector, ser
algo de extremamente fecundo e que nunca devemos abandonar, é útil reparar
que há propriedades dos vectores que podemos deduzir utilizando apenas as que
atrás foram referidas, sem termos que nos lembrar do que são de facto os
vectores. Neste momento damos apenas um exemplo:
P 32. Dados dois vectores Ä e Ä, existe um único vector Ä tal que
? @
B
Ä Ä œÄ, a saber o vector Ä œÄ  Ð? Ñ. Por razões que se prevêm
Ä
? B @
B @
facilmente, para esta solução única da equação Ä Ä œÄ é usada a
? B @
notaçãoÄ Ä:
@ ?
Ä Ä œÄ  Ð? Ñ.
Ä
@ ? @
Comecemos por justificar que não pode haver mais que uma solução para a
Ä
equação, e fazemo-lo mostrando que, se Ä Ä œÄ, então Ä œÄ  Ð? Ñ. Para
? B @
B @
Ä Ä œÄ, podemos inferir
isso, reparamos que, a partir da hipótese ? B @
Ä Ä  Ð? Ñ œÄ  Ð? Ñ,
Ä
Ä
? B
@
donde, utilizando as propriedades comutativa e associativa,
Ä  Ð? Ñ Ä œÄ  Ð? Ñ
Ä
Ä
?
B @
Ä Ä Ä
Ä
!  B œ @  Ð? Ñ
Ä œÄ  Ð? Ñ.
Ä
B @
O leitor mais desatento, poderia pensar que a demonstração estava terminada.
Repare-se que isso não é assim. O que nós provámos é, que, se houvesse solução,
Ä
ela teria que ser Ä  Ð? Ñ; poderia acontecer que não houvesse solução… É
@
claro que o que falta é muito fácil de estabelecer: Já sabemos qual é o candidato
a solução e tudo o que temos que verificar é que se tem, de facto
Ä  Ð@  Ð? ÑÑ œ Ä  Ð? Ñ Ä œ Ä Ä œ Ä.
Ä
Ä
? Ä
?
@
! @
@

19O

valor comum costuma ser notado simplesmente Ä Ä  Ä.
? @ A

– 46 –

Na prática, quando queremos determinar a diferença Ä Ä de dois vectores
@ ?
tanto podemos utilizar o resultado que nos diz que essa diferença pode ser obtida
Ä
somando Ä com ? como determinar, por exemplo por um método gráfico, um
@
vector que somado comÄ dêÄ.
?
@
Exercício 33. Partindo dos vectores Ä eÄ na figura 33, na página 45, determine
? @
graficamente, de dois modos distintosß uma seta que represente o vectorÄ ÄÞ
@ ?
Exercício 34. Justifique, utilizando as propriedades da soma de vectores, a
seguinte propriedade geométrica: Dados quatro pontos E, F, Ew e Fw tais que
Ä
Ä
Ä
Ä
EEw œ FFw , tem-se também EF œ Ew Fw Þ
Fazendo uma figura, descubra qual o significado geométrico da propriedade
precedente.20
Ä
Sugestão: Escreva o vector EFw de duas maneiras diferentes como soma de dois
vectores.
Para o comprimento de um vector também é usual utilizar a seguinte notação:
Ä
Usamos a notação m? m para designar o comprimento do vector Ä,
?
comprimento esse a que se dá também o nome de norma de Ä.
?
Há outra coisa muito importante que se pode fazer com os vectores, além de
os somar ou subtrair, e de determinar os respectivos simétricos. Trata-se da
multiplicação de um vector por um número real. Consideremos então um vector
Ä e um número real + e expliquemos o que é o vector +Ä.
?
?
Ä é o vector Ä. Nesse caso,
É cómodo começar por examinar o caso em que ?
!
Ä Ä
qualquer que seja o número real + definimos + ! œ ! . Do mesmo modo, quando
Ä
+ é o número real !, definimos, para cada vector Ä, !Ä œ ! .
? ?
Ä
A partir de agora supomos que Ä Á ! , de modo que faça sentido pensar na
?
direcção do vector Ä. Quando +  !, o vector +Ä é, por definição, um vector
?
?
com a mesma direcção e sentido que Ä mas com um comprimento igual ao
?
comprimento de Ä multiplicado por +. Em termos de translação, o vector +Ä
?
?
transforma um ponto E num ponto Eww obtido do seguinte modo: Considera-se o
ponto Ew obtido por transformação de E a partir de Ä; o ponto Eww está na recta
?
EEw , para o mesmo lado que Ew relativamente a E e a uma distância de E igual à
distância de E a Ew multiplicada por + (na figura a seguir ilustramos o caso em

20A

vantagem da justificação algébrica é que ela não necessita de tratar separadamente
certos casos particulares, como aquele em que todos os pontos estão sobre uma mesma
recta.

– 47 –

que + œ $ ).
#

Figura 34
Se quisermos ser cuidadosos, temos que nos assegurar de que a definição do
produto +Ä apresentada anteriormente não depende do ponto E utilizado. O que
?
temos que explicar é a razão por que, se partíssemos doutro ponto F ,
transformado em Fw por meio do vector Ä , e se construíssemos o ponto Fww do
?
mesmo modo que o ponto Eww foi construído, então o vector que transforma E em
Eww é o mesmo que transforma F em Fww . Se pensarmos no que está em jogo,
concluímos facilmente que esse facto é uma consequência simples da propriedade 27, enunciada na página 41.
A definição do produto +Ä, no caso em que +  ! é análoga, a diferença
?
estando em que o sentido do vector vem trocado e o comprimento deste vem
multiplicado por l+l (na figura a seguir ilustramos o caso em que + œ  " )
#

Figura 35
Retomando as propriedades utilizadas na definição do produto de um vector
por um número real, podemos dizer
P 33. Quaisquer que sejam o vector Ä e o número real +, tem-se
?
Ä
m+Äm œ l+lm? m.
?
Exercício 35. Na figura seguinte E, F e G são os vértices dum triângulo e Q é o
Ä
Ä
ponto médio do segmento ÒEFÓ. Considerando os vectores Ä œ EF e Ä œ EG ,
?
@
Ä e Ä,
represente cada um dos vectores seguintes como combinação linear de ? @
isto é, na forma +Ä  ,Ä, com + e , números reais:
?
@

– 48 –

Ä
Ä
a) FG ; b) FQ ;

Ä
c) GQ

Ä
Ä
d) Q F  Q G

Figura 36
Exercício 36. No quadro da figura seguinte escreva os vectores Ä e Äw como
A A
combinações lineares de Ä e Ä Sugestão: Utilize régua e esquadro como
?
@
auxiliares.

Figura 37
Exercício 37. Consideremos o cubo da figura seguinte,

Figura 38
Ä
Ä
Ä
e notemos Ä œ EF, Ä œ EH e Ä œ EI . Represente como combinação linear
?
@
A
de Ä,Ä e Ä, isto é, na forma +Ä  ,Ä  - Ä, com +, , e - números reais:
? @ A
?
@
A
Ä
a) O vector EJ ;
– 49 –

Ä
b) O vector KE;
c) O vector com origem no centro da face superior e extremidade no centro da
face inferior.
d) O vector com origem em E e extremidade no centro do cubo.
Ä
Sabemos que, por definição, se Ä é um vector diferente de ! e + é um
?
Ä
número diferente de !, então o vector +Ä é também diferente de ! e tem a
?
Ä
mesma direcção que Ä. Por outro lado, qualquer vector Ä Á ! com a mesma
?
@
direcção que Ä pode ser escrito na forma Ä œ +Ä, para um único número real
?
@
?
não nulo +: No caso em que os dois vectores têm o mesmo sentido + é o
quociente do comprimento de Ä pelo de Ä e no caso em que os vectores têm
@
?
sentido contrário + é o simétrico daquele quociente21. A propriedade anterior é
suficientemente importante para merecer ser destacada:
Ä
P 34. Dois vectores Ä eÄ, diferentes de ! , têm a mesma direcção se, e
? @
só se, existe um número real + Á ! tal queÄ œ +Ä; quando isso acontece
@
?
existe um único número real + nessas condições.
Destacamos a seguir algumas das propriedades fundamentais que envolvem a
multiplicação de vectores por números reais:
P 35. (Propriedades da multiplicação de vectores por números)
Ä
Ä
a) !Ä œ ! , "Ä œ Ä, Ð"ÑÄ œ ? .
?
? ?
?
Ä Ä
b) + ! œ ! .
c) Ð+  ,ÑÄ œ +Ä  ,Ä (primeira propriedade distributiva).
?
?
?
d) + Ð,ÄÑ œ Ð+ ‚ ,ÑÄ (propriedade associativa).
?
?
Ä @
e) + Ð? ÄÑ œ +Ä  +Ä (segunda propriedade distributiva).
?
@
Do mesmo modo que a propriedade associativa da adição de vectores nos
permitia escrever sem ambiguidade uma soma de três vectores Ä Ä  Ä, a
? @ A
propriedade enunciada em d) permite-nos também escrever sem ambiguidade
uma expressão do tipo +,Ä, com Ä vector e + e , números: É indiferente
?
?
considerar que primeiro se multiplicaram os números reais e em seguida o
resultado pelo vector ou que se começou por multiplicar o vector por , e, em
seguida, multiplicou-se por + o vector obtido.
As propriedades anteriores, em conjunto com as referidas em P 31, permitem
trabalhar em muitos casos com os vectores de uma forma que tem algo de comum
com os métodos utilizados para trabalhar com números. Isso permite nalguns
casos resolver problemas geométricos por métodos “algébricos” através da
utilização de vectores. De qualquer modo, é importante reconhecermos quais são
as propriedades geométricas que explicam as propriedades “algébricas” enunciadas.
linguagem utilizada nos exercícios precedentes, podemos dizer que Ä está
@
representado como combinação linear do vector Ä.
?
21Na

– 50 –

Em relação às propriedades em a) e b), o respectivo significado decorre
directamente das definições apresentadas.
As propriedades c) e d) não são muito profundas uma vez que todos os
vectores envolvidos têm a mesma direcção, a do vector Ä (o caso trivial em que
?
Ä œ ! pode ser tratado à parte). Mesmo assim, é útil examinarmos com atenção o
?
que elas significam. Vejamos, por exemplo, o que significa a propriedade c), no
caso em que +  ! e ,  !. Nesse caso, chamando ? ao comprimento de Ä, os
?
vectores +Ä e ,Ä têm ambos o mesmo sentido que Ä e comprimentos +? e ,?,
?
?
?
respectivamente, pelo que a sua soma tem comprimento igual à soma daqueles
dois comprimentos, isto é, igual a +?  ,? œ Ð+  ,Ñ?, e daqui deduzimos que a
soma +Ä  ,Ä é precisamente o vector Ð+  ,ÑÄ .
?
?
?

Figura 39
Exercício 38. a) Justifique a propriedade c) em P 35 no caso em que + œ $ e
, œ #, naquele em que + œ # e , œ $ e naquele em que + œ # e , œ # e
repare que os raciocínios feitos permitem demonstrar todos os casos em que + e ,
têm sinais contrários.
b) Justifique a mesma propriedade no caso em que +  ! e ,  !, começando, se
preferir, por examinar um caso particular.
c) Por que razão a propriedade é verdadeira no caso em que um dos reais + e , é
!?
Exercício 39. Relativamente à propriedade d) em P 35:
Ä
a) Repare que ela é trivialmente verdadeira quer no caso em que Ä œ ! quer
?
naquele em que pelo menos um dos números reais + e , é !.
b) Justifique a propriedade no caso em que +  ! e ,  !, começando, se
preferir, por considerar valores particulares para + e ,.
c) Justifique a propriedade nos restantes casos que ainda não examinou.
Examinemos enfim o conteúdo geométrico que está por detrás da propriedade
e) em P 35. Tratemos em primeiro lugar o caso, “mais genérico”, em que os
Ä
vectores Ä eÄ são diferentes de ! e não têm a mesma direcção e comecemos por
? @
supor +  " (na figura seguinte + œ $ ). Comecemos por partir de um ponto E
#
Ä
Ä
qualquer. Escolhemos F tal que Ä œ EF e G tal que Ä œ FG . Escolhemos F w
?
@
Ä
pela condição de vir EFw œ +Ä Ðportanto a distância de E a Fw é a distância de
?
E a F multiplicada por +). Traçamos em seguida por Fw uma paralela à recta FG
– 51 –

e marcamos o ponto G w na intersecção desta recta com a recta EG . Os triângulos
ÒEFGÓ e ÒEw Fw G w Ó são semelhantes, por terem os ângulos iguais, e portanto os
seus lados correspondentes vão ser proporcionais. Podemos assim concluir que a
distância de Fw a G w é igual à distância de F a G multiplicada por + e a distância
de E a G w é igual à distância de E a G multiplicada por +, por outras palavras
Ä
Ä
Ä
Ä
Fw G w œ + FG œ +Ä e EG w œ + EG . É agora fácil chegar à conclusão
@
pretendida:

Figura 40
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä @
+ Ð? ÄÑ œ + ÐEF  FGÑ œ + EG œ EG w œ EF w  F w G w œ +Ä  +Ä.
?
@
Na demonstração que acabámos de apresentar suposémos que +  ", de
modo que a figura correspondesse ao argumento. É fácil, no entanto, constatar
que o mesmo raciocínio pode ser utilizado, com uma figura convenientemente
adaptada, para justificar a igualdade para os restantes valores de +.
Ä
Exercício 40. Continuando a supor que os vectores Ä e Ä são diferentes de ! e
? @
não têm a mesma direcção,
Ä @
a) Verifique que a igualdade + Ð? ÄÑ œ +Ä  +Ä é trivialmente verdadeira
?
@
nos casos em que + œ " e em que + œ !;
b) Adapte a demonstração que apresentámos e, em particular, a figura utilizada,
de modo a justificar que a igualdade referida continua a ser válida tanto no caso
em que !  +  " como naquele em que +  !.22
Ä @
Resta-nos mostrar que a igualdade + Ð? ÄÑ œ +Ä  +Ä continua a ser
?
@
Ä e Ä serem diferentes de Ä e não
válida mesmo sem a hipótese de os vectores ? @
!
terem a mesma direcção.

22De

certo modo, podemos dizer que a segunda propriedade distributiva é uma forma de
aproveitar algebricamente as propriedades da semelhança de triângulos.

– 52 –

Ä @
Exercício 41. a) Verifique que a igualdade + Ð? ÄÑ œ +Ä  +Ä é trivialmente
?
@
Ä eÄ éÄ.
válida no caso em que pelo menos um dos vector ? @ !
b) Verifique que a mesma igualdade é ainda válida no caso em que os vectores
Ä eÄ são diferentes deÄ mas têm a mesma direcção. Sugestão: Reparar que não
? @
!
é necessário fazer novas figuras ou raciocínios geométricos e que basta escrever
Ä œ ,Ä e raciocinar algebricamente, utilizando as propriedades já estabelecidas.
@
?
É possível que tenhamos ficado com a ideia que trabalhar com vectores é
aborrecido, com imensos casos particulares diferentes a examinar. Essa é a visão
pessimista da situação. A visão optimista é que isso é um trabalho que se faz uma
vez na vida e que acaba recompensando, na medida em que muitas vezes, ao
utilizarem-se as propriedades algébricas que referimos e que tanto trabalho
repetitivo nos deram, estamos eventualmente a estudar ao mesmo tempo várias
situações diferentes e a poupar algum trabalho repetitivo.
Exercício 42. Dados os vectores Ä eÄ na figura a seguir, determine:
? @

Figura 41
a) Um vector Ä tal que Ä Ä œÄ Ä.
B
? B @ B
b) Dois vectoresÄ eÄ tais que
C D
Ä Ä œ Ä
C D
?
.
œ Ä
C  #Ä œÄ
D
@
Exercício 43. Dado um triângulo de vértices E, Ew e Eww , chamam-se medianas
do triângulo às rectas que unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto.

Figura 42
Um resultado conhecido há muito afirma que as três medianas de qualquer
triângulo encontram-se num mesmo ponto, o baricentro do triângulo, e que a
distância desse ponto a cada vértice é a distância desse vértice ao ponto médio do
lado oposto multiplicada por # . As alíneas seguintes sugerem uma demonstração
$
– 53 –

deste resultado que utiliza o cálculo com vectores.
Ä
Ä
a) Consideremos os vectores Ä œ EEw e Ä œ EEww . Sendo Q , Q w e Q ww os
?
@
pontos médios marcados na figura, mostre que
Ä
"
"
EQ œ Ä  Ä,
?
@
#
#

Ä
Ä
"
"
EQ w œ Ä , EQ ww œ Ä .
@
?
#
#

b) Mostre que, sendo F o ponto do segmento ÒEQ Ó cuja distância a E é igual à
distância de E a Q multiplicada por # , tem-se
$
Ä
"
"
EF œ Ä  Ä.
?
@
$
$
c) Defina analogamente pontos Fw e Fww e mostre que se tem também
Ú Äw
EF œ " Ä  "Ä
? $@
$
Û Ä
Ä  "Ä
"
Ü EFww œ $ ? $ @

e portanto que F œ Fw œ Fww .
Exercício 44. Na figura seguinte considerámos uma circunferência de centro S e
um hexágono regular inscrito. O raio S] é perpendicular ao raio S e encontra
portanto o lado ÒE FÓ no seu ponto médio Q . Vamos notar
Ä
Ä
Ä
Ä œ S , Ä œ SE, Ä œ S] .
B
@
C

Figura 43
a) Represente como combinação linear de Ä eÄ os seis vectores com origem em
B @
S e extremidade nos vértices do hexágono.
Ä
Ä
b) Represente como combinação linear de Ä eÄ os vectores SQ eÄ œ S] .
B @
C
c) Represente como combinação linear de Ä eÄ os seis vectores com origem em
B C
S e extremidades nos vértices do hexágono.

– 54 –

Exercício 45. Na figura seguinte está representado um triângulo equilátero
Ä
inscrito numa circunferência de centro S e consideramos os vectores Ä œ EF e
?
Ä
Ä œ EG .
@
Ä
Represente o vector ES como combinação linear de Ä e Ä. Sugestão: Começar
? @
Ä
Ä Ä
por fazer o mesmo sucessivamente com os vectores FG , FQ e EQ .

Figura 44
Exercício 46. Na figura seguinte está representada uma pirâmide triangular de
vértices E, Ew , Eww e Ewww , assim como, a tracejado, os segmentos de recta que
unem cada vértice com o baricentro do lado oposto (lembrar o exercício 43).
Como auxiliar visual desenhámos em cada face uma pequena circunferência de
centro nesse baricentro.

Figura 45
Mostre que os quatro segmentos de recta referidos passam todos por um mesmo
ponto (o baricentro da pirâmide) e que a distância de cada vértice ao baricentro
da pirâmide é igual a distância desse vértice ao baricentro do lado oposto,
multiplicada por $ .
%
– 55 –

Voltemos a ter presente o ponto de vista de um vector como translação, em
particular como movimento rígido do espaço. Tal como a operação de
composição de movimentos rígidos é traduzida com um símbolo especial (o
símbolo  ) no caso em que os movimentos rígidos são vectores (translações),
também no quadro dos vectores é frequente utilizar uma notação especial para o
resultado de transformar um ponto E por um vector Ä. Para além da notação
?
geral ÄÐEÑ para designar o transformado do ponto E pela translação Ä,
?
?
utilizamos, com o mesmo significado a notação E Ä, falando-se então da soma
?
do ponto E com o vectorÄ:
?
E Ä
?

significa o mesmo que

ÄÐEÑ.
?

Uma das razões para se utilizar esta notação alternativa é a de ela “combinar
favoravelmente” com o uso do sinal  para a composição de translações: A
Ä ?
fórmula de definição Ð@ ‰ÄÑÐEÑ œÄÐ? ÐEÑÑ transforma-se na igualdade mne@Ä
mónica
Ä @
E  Ð? ÄÑ œ ÐE ÄÑ Ä,
?
@
que lembra uma espécie de propriedade associativa e que, como é usual, nos
permite escrever, sem ambiguidade, E Ä Ä (lembrar que Ä Ä é igual tanto
? @
? @
Ä
Ä ‰Ä como a Ä ‰Ä). Lembrando que a notação EF designa o vector que
a ? @
@ ?
transforma o ponto E no ponto F, podemos também escrever a igualdade mnemónica
Ä
E  EF œ F
e dizer que
E Ä
?

significa o mesmo que

Ä
“o ponto F tal que EF œ Ä ”.
?

Ä
Exercício 47. Se E é um ponto, o que será o ponto E  ! ?
æ

æ

æ

æ

Vamos agora examinar melhor as possíveis relações de um vector com uma
recta ou com um plano.

– 56 –

Diz-se que um vector Ä pode ser colocado sobre uma recta < ou que é
?
um vector da recta < se existirem pontos E e F da recta < tais que
Ä
Ä œ EF.
?
Analogamente, diz-se que um vector Ä pode ser colocado sobre um
?
plano ! ou que é um vector do plano ! se existirem pontos E e F do
Ä
plano ! tais que Ä œ EF.
?
A definição que acabamos de apresentar merece um comentário. Se o vector
Ä
Ä é um vector da recta < (ou do plano !), ele pode ser escrito na forma EF, com
?
E e F pontos da recta < (ou do plano !) mas pode também ser escrito na forma
Ä
Ew Fw , com Ew e Fw não pertencentes a essa recta (ou plano).

Figura 46
Ä
Em particular, se soubermos que um vector Ä œ Ew Fw é um vector da recta <
?
(ou do plano !), não podemos garantir que Ew e Fw tenham que estar em < (ou em
!). Há, no entanto, um facto importante que podemos garantir:
Ä
P 36. Se Ä œ Ew Fw é um vector da recta < (ou do plano !) e se um dos
?
pontos Ew e Fw está em < (ou em !), então o mesmo acontece ao outro
ponto.
Ä
A justificação da propriedade precedente não é complicada. Se Ä œ ! então
?
Ä
Ew œ Fw , e portanto a afirmação é evidentemente verdadeira. Se Ä Á ! ,
?
Ä
escrevemos Ä œ EF, com E e F em < (ou !) e recordamos que então as rectas
?
w w
EF e E F são paralelas. No caso em que Ä é um vector da recta <, tem-se
?
< œ EF e portanto a recta Ew Fw que é paralela a esta e tem um ponto comum tem
que coincidir com ela; no caso em que Ä é um vector do plano !, a recta Ew Fw é
?
paralela à recta EF do plano ! pelo que é paralela a este plano e, uma vez que
tem um dos seus pontos em ! tem que estar contida em !.
É cómodo introduzirmos neste momento uma notação:

– 57 –

Ä
Vamos usar o símbolo i para designar o conjunto de todos os
vectores.
Ä
Dada uma recta <, vamos notar i < o conjunto dos vectores Ä que
?
Ä
podem ser colocados sobre a recta < e dizemos que i < é a recta vectorial
associada à recta <.
Ä
Dado um plano !, vamos notar i ! o conjunto dos vectores Ä que
?
Ä
podem ser colocados sobre o plano ! e dizemos que i ! é o plano
vectorial associado ao plano !.
Ä
As rectas vectoriais, isto é, os conjuntos da forma i < , para alguma recta <,
gozam de propriedades algébricas interessantes, que correspondem intuitivamente a dizer que, partindo de vectores desse conjunto e utilizando a soma e a
multiplicação por números reais, obtêm-se resultados no mesmo conjunto.
Ä Ä
Comecemos por fazer notar que se tem sempre ! − i < , uma vez que, tomando E
Ä
Ä
Ä
Ä
em <, tem-se 0 œ EEÞ Em segundo lugar, se Ä − i < e Ä − i < , então vem
?
@
Ä
Ä
também Ä Ä − i < . Com efeito, podemos escrever Ä œ EF, com E e F em <
? @
?
Ä
e escolher então G de modo que Ä œ FG ; o que referimos em P 36 garante que
@
Ä
Ä
G − < e portanto o facto de se ter Ä Ä œ EG garante que Ä Ä − i < . Em
? @
? @
terceiro lugar, o modo como foi definido o produto dum vector por um número
Ä
Ä
real implica que, se Ä − i < e + − ‘, então +Ä − i < . As propriedades que
?
?
acabamos de referir, e que destacaremos a seguir, costumam ser expressas pela
Ä
Ä
afirmação que i < é um subespaço vectorial de i Þ
Ä
P 37. Uma recta vectorial, isto é, um conjunto da forma i < , para uma
Ä
certa recta <, é um subespaço vectorial de i , isto é, verifica as condições:
Ä Ä
a) ! − i < .
Ä
Ä
Ä
b) Se Ä − i < eÄ − i < , então Ä Ä − i < .
?
@
? @
Ä
Ä
c) Se Ä − i < e + − ‘, então +Ä − i < .
?
?
O que dissémos sobre as rectas vectoriais pode ser dito, com a mesma
justificação, sobre os planos vectoriais:
Ä
P 38. Um plano vectorial, isto é, um conjunto da forma i ! , para um
Ä
certo plano !, é um subespaço vectorial de i , isto é, verifica as
condições:
Ä Ä
a) ! − i ! .
Ä
Ä
Ä
b) Se Ä − i ! eÄ − i ! , então Ä Ä − i ! .
?
@
? @
Ä
Ä
c) Se Ä − i ! e + − ‘, então +Ä − i ! .
?
?

– 58 –

Recordemos o que foi referido a propósito da noção de direcção de uma
translação na página 42. Traduzido na notação vectorial, dissémos que um vector
Ä Á Ä tem a direcção de uma recta < se, para cada ponto E, a recta que passa
? !
pelos pontos E e F œ E Ä é paralela a < e que, para termos a certeza que isso
?
acontece, basta verificar esta condição para um ponto particular E. Uma vez que
podemos utilizar, em particular, pontos de < para verificar se a condição anterior
é verificada, caso em que “ser paralela a <” passa a querer dizer “coincidir com
<”, podemos relacionar a noção então introduzida com a que estamos a examinar:
Ä Ä
Ä
P 39. Se < é uma recta tem-se sempre ! − i < e, se Ä Á ! , então
?
Ä − Ä se, e só se Ä tem a direcção da recta <. Duas rectas < e <w são
? i<
?
Ä Ä
paralelas se, e só se, i < œ i <w , isto é, têm a mesma recta vectorial associada.
Recordando a definição de vector duma recta ou dum plano, é muito fácil
relacionar a propriedade de um vector se poder colocar sobre uma recta com a de
ele se poder colocar sobre um plano:
Ä
P 40. Um vector Ä pertence a um plano vectorial i ! se, e só se, ele
?
Ä
pertence a alguma recta vectorial i < , com < recta do plano !.
Em consequência, e lembrando o que já conhecemos sobre as rectas:
Ä
Ä
P 41. O vector ! pode ser colocado sobre qualquer plano. Se Ä Á ! ,
?
Ä
então Ä pertence ao plano vectorial i ! se, e só se, Ä tem a direcção de
?
?
alguma das rectas do plano !.
Do mesmo modo que, como referimos em P 39, o paralelismo de duas rectas
é equivalente à igualdade das rectas vectoriais associadas, podemos caracterizar
em termos vectoriais o paralelismo entre uma recta e um plano e o paralelismo
entre dois planos.
Recordando que uma recta é paralela a um plano se, e só se, ela é paralela a
alguma recta desse plano, podemos dizer:
P 42. Uma recta < é paralela a um plano ! se, e só se, qualquer vector
Ä
Ä
da recta vectorial i < pertence ao plano vectorial i ! (nas notações da
Ä Ä
teoria dos conjuntos i < § i ! ).
Recordando que dois planos ! e " são paralelos se, e só se, qualquer recta de
! é paralela ao plano " , concluímos facilmente que
Ä
Ä
P 43. Dois planos ! e " são paralelos se, e só se, i ! œ i " , isto é, têm
o mesmo plano vectorial associado.

– 59 –

æ

æ

æ

æ

Quando < é uma recta e E é um ponto escolhido em <, já referimos que os
Ä
vectores da recta vectorial associada i < são exactamente os que se podem
Ä
escrever na forma EF com F também sobre a recta <. Nas aplicações é muitas
vezes útil olhar para esta propriedade doutro ponto de vista:
P 44. Quando E é um ponto escolhido sobre a recta <, os restantes
pontos sobre essa recta são exactamente os que podem ser escritos na
Ä
Ä
forma E Ä, comÄ − i < , dito de outro modo, < œ E  i < .
@
@
Por outras palavras, conhecendo um ponto particular de <, todos os outros
podem ser obtidos a partir deste através de um vector na recta vectorial associada. Para aplicarmos esta propriedade é útil caracterizarmos de forma algébrica
Ä
o conjunto de vectores i < . Recordando o que referimos em P 34 e reparando que
Ä
! œ !Ä, podemos enunciar:
?
Ä
Ä
P 45. Se Ä Á ! é um vector particular em i < , então os vectoresÄ que
?
@
Ä
também estão em i < são exactamente os que podem ser escritos na forma
+Ä, com + número real.
?
Além disso, para cada vector Ä nessas condições, o número + tal que
@
Ä œ +Ä é único e diz-se que ele é a coordenada de Ä relativa ao vector
@
?
@
Ä fixado.
?
Quando o vector Ä está implícito, para enunciar o facto de + ser a
?
coordenada do vectorÄ é costume escrever simplesmenteÄ Ç +.
@
@
A notação Ä Ç + tem o mérito de lembrar que estamos em presença de uma
@
Ä
correspondência biunívoca entre vectores de i< e números reais (ou, mais
Ä
precisamente, entre o conjunto i< e o conjunto ‘ dos números reais). Quando
falamos de correspondência biunívoca estamos a significar que associámos um
Ä
número real a cada vectorÄ − i< de modo a verificarem-se as duas propriedades
@
seguintes:
1) Se dois vectores têm o mesmo número real associado, então os dois vectores
coincidem.
2) Se nos derem um número real qualquer, existe sempre um vector23 tendo
aquele número real como associado.
Repare-se que, quando falamos de coordenada de um vector Ä, relativa a um
@
Ä, o vector Ä é, por hipótese, diferente de Ä mas o vector Ä pode ser ou
vector ?
?
!
@
Ä
não o vector ! .

23necessariamente

único pelo propriedade 1).

– 60 –

Ä
Ä
Exercício 48. Seja Ä Á ! um vector fixado numa recta vectorial i < .
?
Ä
Ä
a) Quais as coordenadas dos vectores ! , Ä e ? , relativas ao vector Ä.
?
?
Ä
Ä e Ä são dois vectores em i , com coordenadas + e ,, respectivamente,
b) Se @ A
<
relativas ao vector Ä, e se - − ‘ quais as coordenadas dos vectoresÄ  Ä, Aß
?
@ A Ä
Ä eÄ  Ä, também relativas a Ä?
-A @ A
?
Ä Á Ä é um vector em Ä e se + é a coordenada de Ä relativa a Ä, qual
c) Se @
!
i<
@
?
será a coordenada de Ä relativa aÄ?
?
@
Algumas das conclusões a que chegou no exercício precedente podem ser
lembradas de forma gráficamente mais atraente:
Ä
Ä
P 46. Seja Ä Á ! um vector fixado numa recta vectorial i < . Dados
?
Ä
vectoresÄ e Ä de i<, com
@ A
Ä Ç +, Ä Ç , ,
@
A
tem-se
Ä  Ä Ç +  , , A Ç , , -A Ç -, ,
Ä
Ä
@ A

Ä  Ä Ç +  ,.
@ A

Combinando o que dissémos em P 44 e P 45, podemos dizer:
Ä
P 47. Seja E um ponto escolhido sobre uma recta < e seja Ä Á ! um
?
Ä
vector escolhido em i < . Os pontos de < são exactamente os pontos que
podem ser escritos na forma
E  +Ä,
?
com + − ‘. Dizemos que a representação dos pontos da recta nesta forma
é uma representação vectorial da recta ou ainda uma equação vectorial
da recta.24
Repare-se que uma mesma recta < admite várias representações vectoriais,
consoante a escolha do ponto E e do vector Ä. O papel importante que os
?
Ä Ä
vectores diferentes de ! de i < jogam na caracterização dos pontos da recta <
.
leva a dar-lhes uma designação especial.
Chama-se vector director de uma recta < a qualquer vector não nulo
Ä
Ä
dessa recta, isto é, a qualquer vector Ä Á ! pertencente a i < .
?

24A

utilização neste quadro da palavra “equação” é algo enganadadora, na medida que ela
choca com a noção habitual de equação em Matemática. O ideal seria não a utilizar mas o
facto de ela ter caído no uso corrente leva a que seja importante estarmos alertados para o
seu significado.

– 61 –

Ä
Exercício 49. Sejam E e F pontos distintos de uma recta < e seja Ä œ EF.
?
Determine representações vectoriais para os seguintes conjuntos de pontos da
recta:
a) A semi-recta de origem E que contém o ponto F.
b) O semento de recta ÒE FÓ, de extremidades E e F.
c) O conjunto dos pontos da recta que estão mais próximos de E que de F.
Tal como acontecia no caso das rectas, podemos enunciar o que foi referido
em P 36 doutro ponto de vista:
P 48. Quando E é um ponto escolhido sobre o plano !, os restantes
pontos desse plano são exactamente os que podem ser escritos na forma
Ä
E  Ä, com Ä − i ! .
A
A
Ä
Ä
Vimos atrás que, fixado um vector Ä Á ! numa recta vectorial i < os
?
Ä
vectores de i < são exactamente os que se podem escrever na forma +Ä com
?
+ − ‘. O que se passa com os vectores de um plano vectorial é análogo, mas
exige que se parta de dois vectores não nulos e que não tenham a mesma
direcção.
Vamos chamar referencial vectorial dum plano ! a um par de vectores
Ä e Ä diferentes de Ä, pertencentes ao plano vectorial Ä e que tenham
? @
!
i!
direcções distintas (dito de outro modo, que não sejam colineares, isto é,
não pertençam a uma mesma recta vectorial).
Suponhamos que os vectores Ä e Ä constituem um referencial vectorial do
? @
plano !Þ Dados dois números reais + e ,, a combinação linear +Ä  ,Ä é ainda
?
@
Ä
um vector de i ! . O que é mais importante é que a propriedade anterior admite
Ä
uma recíproca: Suponhamos que Ä é um vector arbitrário em i ! .
A

Figura 47
Partamos de um ponto arbitrário E de ! e consideremos o ponto F œ E  Ä.
A
Seja < a recta do plano ! com a direcção do vectorÄ e que passa por E e seja = a
?
recta do mesmo plano com a direcção do vectorÄ e que passa por F. As rectas <
@

– 62 –

e = têm direcções diferentes e portanto intersectam-se num ponto G do plano !.

Figura 48
Ä
Ä
Ä
Podemos assim escrever Ä œ EF como soma dos vectores EG e GF , que
A
Ä
Ä
estão respectivamente em i < e em i = , e este é o único modo de escrever Ä
A
como soma de dois vectores nessas condições. O que vimos atrás, quando
estudámos o caso das rectas, garante-nos que os vectores em questão se podem
Ä
Ä
escrever na forma EG œ +Ä e CF œ ,Ä, com +ß , − ‘ (no caso da figura
?
@
+ œ  $ e , œ " ) e que os números + e , nessas condições são únicos.
&
#
Concluímos assim que o vector Ä se pode escrever de maneira única na forma
A
de combinação linear Ä œ +Ä  ,Ä. Resumindo as considerações anteriores,
A
?
@
podemos dizer:
P 49. Suponhamos que os vectores Ä e Ä constituem um referencial
? @
Ä
vectorial do plano !Þ Os vectores Ä de i ! são exactamente aqueles que
A
se podem escrever na forma
Ä œ +Ä  ,Ä,
A
?
@
com +ß , − ‘. Além disso para cada um desses vectores Ä, os números +
A
e , nas condições anteriores são únicos, dizendo-se que eles são as
coordenadas de Ä relativas ao referencial vectorial em questão, ou que
A
Ä é representado pelo par ordenado Ð+ß ,Ñ de números reais nesse
A
referencial.
Quando o referencial vectorial considerado está implícito, para enunciar o
facto de o vector Ä ser representado pelo par ordenado Ð+ß ,Ñ é costume
A
escrever simplesmente Ä Ç Ð+ß ,Ñ.
A
Ä
Temos assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto i! e o
conjunto ‘# dos pares ordenados de números reais.
Se quisermos fazer o paralelo da propriedade precedente com a enunciada em
P 45 para as rectas, só temos que considerar que um referencial vectorial de uma
Ä
recta < é simplesmente um vector não nulo Ä de i < , ou seja, aquilo a que
?
chamámos um vector director da recta <.
O mesmo raciocínio que conduziu às propriedades enunciadas em P 46
permite-nos enunciar as seguintes:
– 63 –

Ä
P 50. Consideremos um referencial vectorial fixado em i!, constituído
Ä
pelos vectores Ä eÄ. Dados vectores Ä e Äw de i!, com
? @
A A
Ä Ç Ð+ß ,Ñ, Äw Ç Ð+w ß , w Ñ,
A
A
tem-se
Ä  Äw Ç Ð+  +w ß ,  , w Ñ, A w Ç Ð+w ß , w Ñ,
Ä
A A
Äw Ç Ð-+w ß -, w Ñ,
Ä  Äw Ç Ð+  +w ß ,  , w Ñ.
-A
A A
Exercício 50. a) Tente apresentar uma justificação para duas das quatro propriedades que acabamos de enunciar.
b) Continuando a considerar o referencial vectorial constituído pelos vectores Ä
?
eÄ, complete os espaços em branco nas correspondências a seguir:
@
Ä
! Ç Ð!ß !Ñ, Ä Ç Ð!ß !Ñ, Ä Ç Ð!ß !ÑÞ
?
@
Ainda como no caso das rectas, combinando as propriedades precedentes,
podemos dizer:
P 51. Seja E um ponto fixado dum plano ! e consideremos um
referencial vectorial ÄßÄ desse plano. Os pontos de ! são então exacta? @
mente os que podem ser escritos na forma
E  +Ä  ,Ä,
?
@
com +ß , − ‘Þ Dizemos que a representação dos pontos do plano nesta
forma é uma representação vectorial do plano, ou equação vectorial do
plano.25
Exercício 51. Sejam E, F e G três pontos não colineares dum plano e
consideremos o referencial vectorial desse plano constituído pelos vectores
Ä
Ä
Ä
Ä œ EF e Ä œ EG . Seja um ponto do plano tal que E œ +Ä  ,Ä.
?
@
?
@
Ä
Determine, em termos das coordenadas + e , do vector E , condições necessárias e suficientes para que:
a) esteja na recta EF.
b) esteja no segmento de recta ÒEFÓ.
c) esteja na recta FG .
d) esteja no segmento de recta ÒFGÓ.
e) esteja no interior do triângulo ÒEFGÓ.

25Relembrar

o que dissémos na nota de pé de página 24, na página 61.

– 64 –

Exercício 52. Na figura seguinte E, F, G e H são vértices consecutivos dum
paralelogramo, Q e R são os pontos médios dos segmentos ÒEFÓ e ÒFGÓ e é
a intersecção das rectas ER e HQ .
a) Considerando o referencial vectorial do plano da figura constituído pelos vecÄ
Ä
Ä
tores Ä œ EH eÄ œ EF , determine as coordenadas do vector E .
?
@
b) Qual a relação entre os comprimentos dos segmentos ÒEÓ e ÒER Ó ?
c) Qual a relação entre a área do triângulo ÒEHÓ e a área do paralelogramo?
d) Qual a relação entre a área do triângulo ÒEQ Ó e a área do paralelogramo?

Figura 49
Vimos atrás que, dado um certo plano !, podemos considerar referenciais
vectoriais desse plano, constituídos por dois vectores do plano vectorial
associado, que são suficientes para “gerar” todos os vectores desse plano
vectorial, no sentido que qualquer um destes se pode escrever como combinação
linear dos dois vectores que constituem o referencial. E se quisermos agora obter
todos os vectores, e não apenas os dum certo plano vectorial? Vamos verificar
que isso é possível desde que se parta de três vectores, em vez de dois.
Vamos chamar referencial vectorial do espaço a um triplo de vectores
Ä,Ä e Ä diferentes deÄ, que não pertençam a um mesmo plano vectorial
? @ A
!
(não sejam complanares).
Consideremos um referencial vectorial do espaço, constituído pelos vectores
Ä, Ä e Ä e seja Ä um vector arbitrário do espaço. O nosso objectivo é mostrar
? @ A
B
que Ä se pode escrever de maneira única como combinação linear
B
Ä œ +Ä  ,Ä  - Ä,
B
?
@
A
com +, , e - números reais

Figura 50
– 65 –

(na figura atrás o paralelogramo a tracejado destina-se a apoiar a intuição de que
não se trata de uma construção num plano).
Comecemos por tomar um ponto arbitrário S do espaço e considerar os
pontos E œ S Äß F œ S Ä, G œ S  Ä e œ S Ä. Os pontos S , E e
?
@
A
B
F não podem ser colineares senão haveria um plano que continha os quatro
pontos S, E, F e G e então os três vectores do referencial vectorial pertenciam
ao correspondente plano vectorial. Podemos assim considerar o plano ! que
contém os pontos S, E e F e, como anteriormente, o ponto G não pode estar
sobre o plano !. Além disso, uma vez que S, E e F não são colineares, os
vectores Ä eÄ constituem um referencial vectorial do plano !.
? @
Consideremos a recta < que passa pelo ponto e tem a direcção do vector Ä.
A
Essa recta não é paralela ao plano !, por ser paralela à recta SG , que é
concorrente com !. Podemos assim considerar a intersecção H da recta < com o
Ä
plano !, intersecção essa que é o único ponto H de ! para o qual o vector H
Ä.
tem a direcção de A

Figura 51
Ä
O facto de H ter a direcção de Ä garante a existência de um único número
A
Ä
Ä
- tal que H œ - Ä. O facto de o vector SH poder ser colocado sobre o plano !
A
garante a existência de um par único de números reais + e , tais que
Ä
SH œ +Ä  ,Ä.
?
@
Podemos então escrever
Ä
Ä
Ä
Ä œ S œ SH  H œ +Ä  ,Ä  - Ä.
B
?
@
A
Das considerações feitas anteriormente decorre facilmente que este é o único
modo de decompor Ä como combinação linear de Ä,Ä e Ä. Em resumo:
B
? @ A

– 66 –

P 52. Dado um referencial vectorial Ä,Ä, Ä do espaço, cada vector Ä
? @ A
B
decompõe-se de maneira única como combinação linear
Ä œ +Ä  ,Ä  - Ä,
B
?
@
A
com +, , e - números reais. Diz-se então que +, , e - são as coordenadas
de Ä, relativas ao referencial vectorial considerado, ou que o vector Ä é
B
B
representado pelo triplo ordenado Ð+ß ,ß -Ñ naquele referencial.
Quando o referencial vectorial considerado está implícito, para enunciar o
facto de o vector Ä ser representado pelo triplo ordenado Ð+ß ,ß -Ñ é
B
costume escrever simplesmenteÄ Ç Ð+ß ,ß -Ñ.
B
Tal como no caso do plano, fica assim definida uma correspondência
Ä
biunívoca entre o conjunto i dos vectores do espaço e o conjunto ‘$ dos triplos
ordenados de números reais.
Exercício 53. Consideremos um referencial vectorial do espaço constituído pelos
vectores Ä, Ä e Ä e sejam Ä e Ä os vectores representados naquele referencial
? @ A
B C
respectivamente pelos triplos Ð"ß "ß #Ñ e Ð"ß !ß "Ñ.
a) Quais os triplos que representam os vectoresÄ Ä, C , &Ä e Ä Ä ?
B C Ä C B C
Ä e Ä são, ou não, colineares (pertencem, ou não, a uma mesma
b) Os vectores B C
recta vectorial)?
c) Quais os triplos que representam vectores da recta vectorial que contém Ä e
A
quais aqueles que representam vectores do plano vectorial que contémÄ eÄ?
? @
d) Determine um triplo da forma Ð"ß "ß ?Ñ que represente um vector do plano
vectorial que contémÄ eÄ.
B C
O mesmo raciocínio que foi utilizado no caso particular tratado no exercício
precedente permite enunciar mais geralmente o seguinte enunciado análogo a
P 46 e P 50.
P 53. Consideremos um referencial vectorial fixado do espaço,
constituído pelos vectores Ä,Ä e Ä. Dados vectores Ä e Äw , com
? @ A
B B
Ä Ç Ð+ß ,ß -Ñ, Äw Ç Ð+w ß , w ß - w Ñ,
B
B
tem-se
Ä Äw Ç Ð+  +w ß ,  , w ß -  - w Ñ, B w Ç Ð+w ß , w ß - w Ñ,
Ä
B B
Ä
Ä Äw Ç Ð+  +w ß ,  , w ß -  - w Ñ.
>B w Ç Ð>+w ß >, w ß >- w Ñ,
B B
Exercício 54. Na figura a seguir está representado um cubo, assim como o seu
centro S e um hexágono tendo como vértices os pontos médios de seis arestas.

– 67 –

Figura 52
Considerando o referencial vectorial do espaço constituído pelos vectores
Ä
Ä
Ä
Ä œ EF ,Ä œ EH e Ä œ EI ,
?
@
A
a) Determine os triplos que representam naquele referencial os vectores com origem em E e extremidades em S e em cada um dos vértices do hexágono.
b) Determine os triplos que representam os vectores com origem em S e extremidades nos vértices do hexágono.
c) Utilize a conclusão de b) para mostrar que os vértices do hexágono e o centro
S são complanares.
Exercício 55. Partamos dum cubo, como o da figura 30, e seccionemo-lo
retirando oito pirâmides triangulares, cada uma das quais tendo como vértices um
dos vértices do cubo e os pontos médios das arestas que concorrem nesse vértice.

Figura 53
O sólido obtido é o cuboctaedro representado na figura seguinte e cuja planificação foi apresentada na página 37.

– 68 –

Figura 54
Considerando duas faces triangulares opostas, por exemplo as correspondentes
aos vértices I e G do cubo, justifique o facto de os planos que as contêm serem
paralelos.

4. Perpendicularidade e ângulos na Geometria do Espaço.
O estudo da Geometria feito no Ensino Básico levou-nos a encontrar a noção
de ângulo em pelo menos duas situações. A primeira diz respeito a duas
semi-rectas com a mesma origem; sabemos o que é o ângulo dessas semi-rectas,
um valor entre !° e ")!°.

Figura 55
Repare que a situação anterior é a que está em jogo quando se fala, por
exemplo, dos ângulos internos ou externos dum polígono: apesar de os lados
deste serem sementos de recta e não semi-rectas, são as semi-rectas que estes
determinam que estão em jogo.
A segunda situação, relacionada com a primeira, diz respeito ao ângulo de
duas rectas concorrentes < e =. Sendo S o ponto de intersecção, cada uma dessas
duas rectas determina duas semi-rectas com origem em S, uma dirigida em cada

– 69 –

um dos sentidos.

Figura 56
Combinando essas semi-rectas das várias maneiras, podemos assim considerar quatro ângulos, dois a dois iguais (verticalmente opostos). Os que não são
verticalmente opostos (os adjacentes) são suplementares, tendo assim soma igual
a ")!°. Por definição o ângulo das duas rectas é o menor desses dois ângulos
suplementares, um valor entre !° e *!°. Uma vez que, por hipótese, partimos de
duas rectas concorrentes, o ângulo de duas rectas nunca poderia ser !°, embora
possa ser *!°; no entanto extende-se a definição referida, de modo a considerar
que duas rectas concidentes têm um ângulo de !°.
As observações precedentes são já bem conhecidas desde o Ensino Básico.
Relembrámo-las apenas para podermos examinar o que se passa no quadro da
Geometria do Espaço. No caso em que temos duas semi-rectas com a mesma
origem ou duas rectas concorrentes (ou coincidentes), não há nada de novo a
estudar, uma vez que elas vão estar sempre sobre um certo plano e podemos
aplicar o que estudámos na Geometria Plana.

Figura 57
A Geometria do Espaço começa a intervir de modo essencial quando
queremos definir o ângulo de duas semi-rectas cujas origens podem ser diferentes
– 70 –

ou de duas rectas que não são necessariamente concorrentes. Por exemplo,
relativamente ao cubo da figura atrás, que significado devemos dar ao ângulo das
semi-rectas com origens em E e em L e e que contêm os pontos K e J , respectivamente?
A resposta acaba por ser simples, embora não tão simples quanto possa
parecer à primeira vista… Tomamos um ponto arbitrário do espaço, por exemplo
o ponto G , e consideramos a semi-recta transformada da semi-recta de origem E
Ä
pela translação EG e a transformada da semi-recta de origem L pela translação
Ä
LG ; o ângulo das semi-rectas originais é, por definição o ângulo das duas
semi-rectas transformadas, que têm ambas a mesma origem G (no caso da figura
o ângulo é *!°, embora isso possa não ser ainda claro de momento).

Figura 58
Há, no entanto um cuidado que devemos ter antes considerarmos definido o que
é o ângulo das duas semi-rectas: É preciso termos a certeza de que, se tivéssemos
escolhido outro ponto do espaço, em vez do ponto G éramos conduzidos ao
mesmo resultado. Sem isso, diferentes pessoas podiam determinar diferentes
valores para o ângulo em questão… Felizmente, a resposta, afirmativa, acaba por
ser simples: Se, em vez do ponto G , tivéssemos escolhido outro ponto , as
semi-rectas correspondentes de origem iam ser as transformadas das
Ä
semi-rectas de origem G pela translação G e portanto o respectivo ângulo ia
ser o mesmo (lembrar que as translações, como qualquer movimento rígido,
conservam os ângulos).
Na prática, quando queremos determinar o ângulo de duas semi-rectas com
origens diferentes, podemos sempre escolher como ponto auxiliar a origem de
uma das duas semi-rectas e então apenas temos que aplicar uma translação à
outra semi-recta, o que corresponde a considerar a semirecta paralela, com a
nova origem e o mesmo sentido.
Repare-se que o modo como definimos o ângulo de duas semi-rectas
permite-nos enunciar a seguinte propriedade geral:

– 71 –

P 54. O ângulo de duas semi-rectas não se altera se substituirmos qualquer delas pela sua imagem por uma translação arbitrária.
A definição do ângulo de duas rectas não obrigatoriamente concorrentes pode
ser feita de maneira análoga à utilizada no caso das semi-rectas. Dadas duas
rectas < e =, escolhe-se arbitrariamente um ponto S do espaço, consideram-se as
rectas <w e =w paralelas a < e = que passam por S, rectas essas que são
transformadas de < e = por translações convenientes, e define-se o ângulo das
rectas < e = como sendo o ângulo das rectas concorrentes (ou coincidentes) <w e
=w . A razão por que este ângulo não depende da escolha do ponto S é a mesma
que encontrámos quando definimos o ângulo de duas semi-rectas. Como antes,
podemos dizer:
P 55. O ângulo de duas rectas não se altera se substituirmos qualquer
delas por uma recta paralela a ela (ou seja, pela sua imagem por meio de
uma translação).
Resulta também facilmente das considerações que temos vindo a fazer que
P 56. O ângulo de duas rectas é !° se, e só se, elas são paralelas.
Também é possível definir o que é o ângulo de dois vectores Ä e Ä, ambos
? @
Ä
diferentes de ! , a partir da noção de ângulo de duas semi-rectas. Dado um vector
Ä Á Ä, chamamos semi-recta adaptada a Ä a qualquer semi-recta de origem
? !
?
num ponto arbitrário E e que contenha o ponto Ew œ E Ä. Um mesmo vector
?
Ä tem várias semi-rectas adaptadas, uma para cada ponto E de partida, mas duas
?
dessas semi-rectas obtêm-se sempre uma da outra como transformada por meio
de uma translação (lembrar a conclusão do exercício 34). Se nos lembrarmos do
facto de o ângulo de duas semi-rectas não se alterar quando se substitui uma
delas pela sua transformada por uma translação, concluímos que é legítimo apresentar a definição seguinte:

Figura 59

– 72 –

Ä
Define-se o ângulo de dois vectores Ä e Ä, ambos diferentes de ! ,
? @
como sendo o ângulo de duas semi-rectas adaptadas a esses vectores.
Exercício 56. Encontrar, em termos da multiplicação de um vector por um
número real, condições necessárias e suficientes para que dois vectores Ä e Ä,
? @
Ä
diferentes de ! :
a) Tenham um ângulo de !°;
b) Tenham um ângulo de ")!°.
æ

æ

æ

æ

Ä
Duas rectas, duas semi-rectas, ou dois vectores diferentes de ! , dizem-se
perpendiculares quando o respectivo ângulo é *!°Þ Vamos agora estender ao
espaço a seguinte propriedade que já conhecemos muito bem da Geometria
Plana:
P 57. Sejam E e F são pontos distintos de um plano !, seja T o ponto
médio do segmento por eles determinado e seja < a recta que contém E e
F. O conjunto dos pontos G do plano ! que estão à mesma distância de E
e F é a recta do plano ! que passa por T e é perpendicular a < (a mediatriz do segmento ÒEFÓ no plano !).

C
r

A

P

B

C'

Figura 60
Exercício 57. Recorde, do estudo que fez da Geometria Plana, que, se T é um
ponto de um plano ! e < é uma recta do mesmo plano, pelo ponto T passa uma
única recta do plano ! perpendicular a < (este facto está aliás implícito no
enunciado precedente).
a) Será que o enunciado atrás referido continua válido se substituirmos o valor de
*!° por outro valor? Por exemplo, será verdade que, se T é um ponto de uma
recta < sobre o plano !, então pelo ponto T passa uma única recta do plano !
fazendo um ângulo de (!° com a recta <?
b) Será que o mesmo enunciado continua válido se não fizermos referência ao
– 73 –

plano !? Por exemplo, será que, por um ponto T de uma recta < passa uma única
recta do espaço perpendicular a <?
Tentando generalizar a propriedade enunciada em P 57, a questão que se põe
naturalmente é o que será o conjunto dos pontos do espaço que estão
equidistantes de E e F. Há uma resposta que é simples de dar: Uma vez que
qualquer ponto do espaço está nalgum plano ! que passa por < (lembrar que,
dados um ponto e uma recta, há sempre um plano que passa por ambos), os
pontos do espaço equidistantes da E e F são exactamente aqueles que estão na
mediatriz do segmento ÒE FÓ relativa a algum desses planos !. Lembrando a
caracterização da mediatriz relativa a um dado plano, que referimos atrás, o
conjunto em questão vai ser formado pelo ponto médio T do segmento ÒE FÓ e
pelos pontos G não pertencentes à recta EF tais que as rectas T E e T G façam
um ângulo de *!°. Mas que figura geométrica será a formada por esses pontos?

Figura 61
Na figura 61 representámos quatro desses planos e desenhámos a tracejado as
correspondentes mediatrizes. Outra maneira de sentirmos o que está em jogo é
desenhar numa folha de papel o segmento ÒE FÓ e a respectiva mediatriz e
dobrarmos então em várias posições a folha de papel segundo uma dobra feita
sobre a recta EF. É possível que, após alguma reflexão, sejamos levados à
conjectura que aquele conjunto é um plano.
Pode mostrar-se que a conjectura feita é verdadeira e esse facto é suficientemente importante para merecer ser sublinhado.

– 74 –

P 58. Sejam E e F dois pontos distintos do espaço, T o ponto médio
do semento ÒEFÓ e < a recta que passa por aqueles dois pontos. O
conjunto dos pontos do espaço equidistantes dos pontos E e F é um
plano, que passa pelo ponto T , a que se dá o nome de plano mediador do
segmento ÒEFÓ.
Uma recta do espaço que passe pelo ponto T está no plano mediador se, e
só se, é perpendicular à recta <.

Figura 62
A propriedade precedente está talvez no limite entre o que podemos classificar
de propriedade intuitiva e aquilo que poderia pedir alguma justificação. Tendo em
atenção o estudante mais curioso, que sinta o desejo de uma explicação mais
convincente para a validade da propriedade, sugerimos em seguida um possível
caminho para chegar a ela, que utiliza as propriedades dos movimentos rígidos
estudadas atrás.
A ideia é considerar o conjunto T dos pontos do espaço equidistantes de E e
F e provar que este conjunto, que contém o ponto T , é um plano. Para isso vamos
utilizar a conclusão do exercício 15, na página 12, mostrando que o conjunto T
tem a propriedade da régua.

Figura 63

– 75 –

Suponhamos que G e H são pontos distintos em T, ou seja, equidistantes de
E e F e seja = a recta que contém os pontos G e H. Tendo em conta a
propriedade PI 22, na página 22, podemos considerar o movimento rígido
definido pela condição de se ter G È G , H È H e E È F (intuitivamente uma
rotação em torno de =). Uma vez que este movimento rígido deixa fixos os pontos
G e H de =, a conclusão do exercício 24, na página 22, garante que o movimento
também deixa fixos todos os pontos da recta =. Uma vez que um movimento
rígido não faz variar as distâncias, podemos concluir que todos os pontos de =
estão ainda equidistantes de E e F , ou seja, que = está contido em T.
A conclusão do exercício 15 garante agora que T só pode ser o conjunto
vazio, um conjunto só com um ponto, uma recta, um plano ou o espaço todo. Uma
vez que T contém várias rectas distintas (as mediatrizes do segmento ÒEFÓ
relativas aos diferentes planos que o contêm) podemos afastar as três primeiras
possibilidades. A última também não é correcta, uma vez que, por exemplo, o
ponto E não pertence a T. Resta assim apenas a possibilidade de T ser um plano,
que é o que queríamos provar.

Exercício 58. Dissémos atrás que, se T é o ponto médio do segmento ÒEFÓ, o
conjunto dos pontos G do espaço não pertencentes à recta EF e tais que T E e
T G façam um ângulo de *!° coincide com o conjunto dos pontos do plano
mediador diferentes de T . Utilize a sua intuição, apoiada eventualmente numa
folha de papel dobrada, para descobrir o que seria o referido conjunto se, em vez
de *!°, tivéssemos considerado outro ângulo.
O exame que acabamos de fazer sobre a questão do plano mediador de um
segmento de recta vai-nos ajudar a estudar a noção de perpendicularidade entre
uma recta e um plano.
Diz-se que uma recta < é perpendicular, ou ortogonal, a um plano ! se
a recta < for perpendicular a todas as rectas no plano !.
Exercício 59. Tente demonstrar as duas propriedades da perpendicularidade
entre uma recta e um plano cujo enunciado sublinhamos a seguir:
P 59. Se a recta < é perpendicular a um plano !, então:
a) Todas as rectas paralelas a < são também perpendiculares ao plano !.
b) A recta < é perpendicular a todos os planos paralelos a !.
Uma propriedade importante, e que corresponde ao que a nossa experiência
nos sugere, é que, para verificar que uma recta e um plano são perpendiculares,
basta verificar que a recta é perpendicular a duas rectas concorrentes do plano !;
isso é suficiente para garantir que < é também perpendicular a todas as outras
rectas do plano !:
P 60. Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes = e =w de
um plano !, então a recta é perpendicular ao plano !.

– 76 –

É interessante verificarmos como a propriedade anterior pode ser justificada a
partir das propriedades do plano mediador. Seja T a intersecção das rectas = e =w ,
seja < a recta paralela à recta dada que passa por T e mostremos que < é também
perpendicular a todas as rectas do plano ! que passam por T . Para isso
marcamos sobre a recta < dois pontos distintos E e F à mesma distância de T e
consideramos nas rectas = e =w dois pontos G e G w , respectivamente, ambos
distintos de T .

Figura 64
Uma vez que = e =w são duas mediatrizes do segmento ÒE FÓ, os seus pontos G e
G w estão equidistantes de E e F, e pertencem portanto ao plano mediador. O
plano ! possui assim três pontos não colineares T , G e G w no plano mediador,
pelo que, uma vez que por três pontos não colineares passa um único plano, ! é o
plano mediador. Podemos agora concluir, como queríamos que todas as rectas do
plano ! que passam por T são perpendiculares à recta <. É claro que as rectas do
plano ! que não passam por T são também perpendiculares à recta <, por serem
paralelas a uma recta do plano ! que passa por T .
Exercício 60. Verificar que, no quadro da figura 57, na página 70, o ângulo das
semirectas com origens em E e L e que contêm os pontos K e J , respectivamente, é efectivamente *!°, como então adiantámos sem justificação.
O “truque” do plano mediador permite-nos também explicar outra
propriedade da perpendicularidade entre uma recta e um plano que está de
acordo com a nossa experiência.
P 61. Seja T um ponto de uma recta <. Existe então um único plano !
que passa por T e é perpendicular à recta <.
Os pontos do plano ! são exactamente os pontos que pertencem a alguma
das rectas perpendiculares a < que passam por T .
Para justificar a afirmação anterior, referimo-nos de novo à figura 64, depois
de considerar sobre a recta < dois pontos E e F distintos de T e à mesma
distância desse ponto. Tomando para ! o plano mediador do segmento ÒE FÓ, já
sabemos que os pontos de ! são exactamente os que pertencem a alguma recta
perpendicular a < passando por T . Em particular todas as rectas do plano ! que
passam por T são perpendiculares a <, o que implica que o plano ! é
perpendicular à recta <. É também claro que o plano ! é o único plano
– 77 –

perpendicular a < que passa por T , uma vez que as rectas de um tal plano,
passando por T , teriam que ser perpendiculares a <.
Exercício 61. Partindo da propriedade precedente e lembrando as conclusões do
exercício 59, tente demonstrar as duas propriedades que enunciamos a seguir:
P 62. Dados uma recta < e um ponto T (não necessariamente na recta
<) existe um único plano ! que passa por T e é perpendicular à recta <.

P 63. Se dois planos são perpendiculares a uma mesma recta, então
eles são paralelos entre si.
Como referimos atrás, por um ponto de uma recta passa um único plano
perpendicular a essa recta. Será que podemos inverter os papéis da recta e do
plano neste enunciado? Por outras palavras, será ainda verdade que por um ponto
T de um plano ! passa uma única recta perpendicular a esse plano? A nossa
experiência leva-nos a intuir que sim, mas pode ser interessante explicar isso e,
ao mesmo tempo, arranjar uma maneira de construir essa recta. Comecemos por
explicar por que razão por T não pode passar mais do que uma recta
perpendicular a !. Para isso, supomos que havia duas rectas distintas < e =
passando por T a ambas perpendiculares a !, e tentamos chegar a um absurdo.

Figura 65
Consideremos então o plano " que contém as rectas concorrentes < e = e a recta >
intersecção dos planos ! e " .

Figura 66
Uma vez que as rectas < e = são perpendiculares ao plano !, elas sao,
– 78 –

perpendiculares a todas as rectas deste plano, em particular, à recta >. Mas então
a recta > é perpendicular às duas rectas concorrentes < e = do plano " , pelo que >
é perpendicular ao plano " . Mas isso não pode acontecer, uma vez que a recta >
é, ela mesma, uma recta do plano " , e chegámos assim ao absurdo procurado.
Podemos agora passar à construção da recta < que passa por T e é
perpendicular ao plano !. Partimos de duas rectas concorrentes = e > do plano !,
passando por T e consideramos os planos " e # que passam por T e são
respectivamente perpendiculares a = e a >. Os planos " e # não podem coincidir
porque, se isso acontecesse, < e = eram duas rectas distintas perpendiculares a
esse plano a passar por T . Podemos assim considerar a intersecção < dos planos
" e #, que vamos verificar ser a recta que procuramos.

Figura 67
Ora, uma vez que a recta = é perpendicular ao plano " , ela é também perpendicular à recta < que está no plano " e do mesmo modo se conclui que a recta > é
também perpendicular à recta <. Podemos assim concluir que a recta < é
perpendicular ao plano !, como queríamos, por ser perpendicular às duas rectas
concorrentes < e = do plano !.
A conclusão a que acabámos de chegar merece ser sublinhada.
P 64. Seja T um ponto de um plano !. Existe então uma única recta <
passando por T e perpendicular ao plano !.
Exercício 62. Partindo da propriedade precedente e lembrando a conclusão da
alínea a) do exercício 59, tente justificar as propriedades que enunciamos a
seguir
P 65 Dados um plano ! e um ponto T (não necessariamente no plano
!) existe uma única recta < que passa por T e é perpendicular ao plano !.

P 66. Se duas rectas são perpendiculares a um mesmo plano, então
elas são paralelas entre si.
– 79 –

Exercício 63. No quadro da Geometria do Espaço será verdade que “Duas rectas
perpendiculares a uma mesma recta são paralelas entre si”? E no quadro da
Geometria Plana?
Exercício 64. Como referimos atrás, dados dois pontos distintos E e F sobre um
plano ! o conjunto dos pontos de ! equidistantes de E e F constituem uma recta
perpendicular à recta EF e passando pelo ponto médio T do segmento ÒEFÓ e o
conjunto dos pontos dos espaço nas mesa condições constitui um plano
perpendicular à recta EF e passando pelo mesmo ponto T . Suponhamos agora
que temos três pontos não colineares E, F e G sobre um plano !. Como decerto
recorda do que estudou no Ensino Básico existe um único ponto do plano !
equidistante destes três pontos, ponto esse a que se dá o nome de circuncentro do
triângulo ÒEFGÓ.
a) Descubra o que será o conjunto dos pontos do espaço equidistantes dos três
pontos E, F e G .
b) E, se partirmos de quatro pontos não complanares do espaço, E, F, G e H, o
que poderá dizer sobre os pontos que estão à mesma distância desses quatro
pontos?
æ

æ

æ

æ

Vamos agora aplicar o que temos estado a estudar na resolução de problemas
concretos de determinação do ângulo de duas rectas.
Exemplo. Pretendemos determinar, no quadro do cubo da figura 68, o ângulo das
rectas EG e EK.

Figura 68
Para isso, consideramos no plano que as contém, o triângulo de vértices E, G e
K, e começamos por explicar porque é que esse triângulo é rectângulo no vértice
G. A razão está em que, como os lados consecutivos dum quadrado são
perpendiculares, a recta GK é perpendicular às rectas GF e GH. Daqui
concluímos que ela é perpendicular ao plano da base inferior do cubo, e portanto
também à recta GE.
– 80 –

Figura 69
O ângulo que pretendemos determinar é o ângulo E deste triângulo rectângulo e,
se conhecêssemos as medidas dos catetos, essa determinação podia ser feita com
a ajuda da trigonometria. Escolhendo o lado do cubo como unidade de comprimento, a medida do cateto ÒGKÓ é igual a ". Quanto à medida do cateto ÒEGÓ, ela
pode ser determinada aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo
do plano horizontal

Figura 70
cujos catetos têm ambos comprimento ". A medida do cateto ÒEGÓ é assim
EG œ È"#  "# œ È#

e podemos então garantir que a tangente do ângulo que pretendemos calcular é
"
È# . Utilizando uma calculadora científica, podemos determinar um valor
aproximado para o ângulo, nomeadamente o arco cuja tangente é
por exemplo com aproximação às décimas, o valor 35.3°.

"
È#

e obtemos,

Exercício 65. Relativamente ao cubo da figura 1, determine o ângulo das rectas
EJ e EL .
Exercício 66. Acrescentemos ao cubo que temos estado a utilizar os pontos
médios Q e R das arestas ÒIJ Ó e ÒILÓ, respectivamente.

– 81 –

Figura 71
Determine o ângulo das rectas EQ e ER , com aproximação até às décimas de
grau.
æ

æ

æ

æ

Examinámos atrás a noção de ângulo entre duas rectas e relembrámos que
duas rectas se dizem perpendiculares quando o respectivo ângulo é *!°.
Explicámos também quando é que uma recta se diz perpendicular a um plano
mas não dissémos o que se deve entender em geral por ângulo de uma recta <
com um plano !. Trata-se de uma noção que utilizamos com frequência na vida
real, por exemplo quando falamos da inclinação de um certo troço rectilínio de
uma estrada, referindo-nos ao ângulo da recta correspondente com um plano
horizontal.
Exercício 67. O que quererá dizer que uma recta faz um ângulo de #!° com um
plano horizontal? Por analogia com o que se passa com o conceito de perpendicularidade (*!°), será verdade que uma tal recta faz um ângulo de #!° com todas
as rectas do plano horizontal considerado?
Poderá apoiar a sua intuição, por exemplo, desenhando várias rectas concorrentes
num mesmo ponto sobre uma folha de papel e pensando no ângulo de uma recta
passando por esse ponto e inclinada sobre o plano com as diferentes rectas
concorrentes.
Se procurou resolver o exercício anterior, é possível que tenha concluído que,
no caso em que uma recta < não é perpendicular a um plano !, o ângulo da recta
< com o plano ! é o ângulo é o ângulo da recta < com uma recta especial do
plano !, a projecção da recta < sobre o plano !. Antes de explicarmos o que é a
projecção de uma recta sobre um plano, é cómodo começar pela noção mais
simples de projecção de um ponto T sobre um plano !.
Chama-se projecção de um ponto T sobre um plano ! ao ponto T w na
intersecção do plano ! com a recta = perpendicular a esse plano que passa
por T .

– 82 –

Figura 72
Exercício 68. O que será a projecção de um ponto T sobre um plano !, no caso
em que o ponto T pertence ao plano !?
Exercício 69. No estudo da Geometria Plana encontrou decerto já a noção de
projecção de um ponto sobre uma recta, eventualmente com o nome de “pé da
perpendicular”26.
a) No caso de não recordar a definição da noção referida, tente descobri-la, por
analogia com a da noção de projecção de um ponto sobre um plano.
b) A projecção de um ponto T sobre um recta < coincide com a projecção de T
sobre um plano ! conveniente, que contém a recta <. Que plano é esse?
Consideremos agora um plano ! e uma recta < que não seja perpendicular a
!. Tomemos um ponto particular T da recta < e consideremos a recta = perpendicular ao plano ! e que passa por T . Uma vez que as rectas < e = são concorrentes, podemos considerar o único plano " que contém as rectas < e =. Esse
plano não é paralelo ao plano !, uma vez que contém a recta = perpendicular a !,
e podemos portanto considerar a recta <w , intersecção dos planos ! e " . Vamos
agora verificar que a recta <w que acabamos de construir pode ser caracterizada
por uma propriedade fundamental: Os seus pontos são exactamente as projecções
sobre o plano ! dos pontos da recta <.

Figura 73

26Como

determina a distância de um ponto a uma recta?

– 83 –

Examinemos, em primeiro lugar, o que se passa com o ponto particular T de
que partimos. A sua projecção é o ponto T w na intersecção da recta = com o plano
!, e pertence, em particular, à recta <w , intersecção dos planos " e !. E se
partirmos de outro ponto U da recta <?

Figura 74
A recta perpendicular ao plano ! que passa por U é paralela à recta = (as duas
são perpendiculares ao plano !) e portanto é também uma recta do plano " . A
projecção Uw do ponto U sobre o plano !, que é a intersecção desta recta com o
plano ! vai estar sobre a intersecção dos planos ! e " , ou seja, sobre a recta <w .
Concluímos assim que as projecções sobre o plano ! de todos os pontos da recta
< estão sobre a recta <w . Mas isso não é tudo o que nós anunciámos atrás: Quando
dissémos que os pontos da recta <w são exactamente as projecções dos pontos da
recta < estávamos não só a dizer que as projecções dos pontos da recta < estão na
recta <w como a afirmar que todos os pontos da recta <w são obtidos dessa maneira,
isto é, são projecção de algum ponto da recta <. O que nos falta verificar é, no
entanto, simples, bastando fazer a última construção na figura anterior ao
contrário: Se partirmos de um ponto Uw da recta <w , podemos considerar a recta
perpendicular ao plano ! que passa por Uw , que é uma recta paralela à recta = e
portanto também uma recta do plano " ; essa recta é complanar com a recta < e
não é paralela a esta pelo que a vai intersectar num ponto U cuja projecção é Uw .
O argumento que acabamos de apresentar prova mesmo mais do que o que
afirmáramos: Cada ponto de <w é projecção de um único ponto de <. Resumindo
as conclusões anteriores, podemos dizer:
P 67. Dados um plano ! e uma recta <, que não seja perpendicular a !,
o conjunto das projecções dos pontos de < sobre o plano ! é uma recta <w
desse plano. Essa recta pode ser obtida como a intersecção com o plano !
com o plano " que contém a recta < e a recta perpendicular ao plano !
passando por um ponto escolhido em <.
Dizemos que a recta <w é a projecção da recta < sobre o plano !.
Repare-se que, na prática, para determinar a projecção de uma recta sobre um
plano não é necessário determinar a projecção de todos os pontos da recta. Uma
– 84 –

vez que já sabemos que essa projecção é uma recta, bastar-nos-á determinar a
projecção de dois pontos da recta e considerar a recta que contém essas duas
projecções.
Exercício 70. a) Por que razão nas considerações precedentes sobre a projecção
de uma recta < sobre um plano ! se exigiu sempre que a recta < não fosse
perpendicular ao plano?
b) No caso em que a recta < e o plano ! são concorrentes num ponto T (embora
não perpendiculares), mostre que a projecção <w de < sobre ! passa pelo ponto T .
c) No caso em que a recta < é paralela ao plano !, mostre que a recta < é paralela
à sua projecção <w sobre o plano !. Sugestão: Lembrar o modo como a projecção
foi construída atrás.
Exercício 71. Na figura 75 estão representadas as arestas de um tetraedro com os
vértices E, F , G e H, assim como o centro S da base ÒEFGÓ. Justifique o facto
de S ser a projecção de H sobre o plano da base EFG .

Figura 75
Exercício 72. a) Verifique que, se duas rectas < e =, não perpendiculares ao
plano !, são paralelas entre si, então as suas projecções <w e =w , sobre o plano !,
são também paralelas.
b) Verifique que, se dois planos ! e !w são paralelos e se a recta < não é
perpendicular a estes planos, então as projecções da recta < sobre os planos ! e
!w são rectas paralelas.
Sugestão: Recorde o modo como a projecção foi construída atrás.
Estamos agora em condições de explicar o que é o ângulo de uma recta com
um plano.

– 85 –

Se a recta < não é perpendicular a um plano !, chama-se ângulo da
recta < com o plano ! ao ângulo da recta < com a projecção <w de < sobre
!. Se a recta < é perpendicular ao plano !, diz-se que o ângulo da recta
com o plano é *!°.27
Exercício 73. Conside o cubo da figura 76.

Figura 76
a) Determine o ângulo da recta EJ com o plano da face inferior do cubo.
b) Utilizando a máquina de calcular, determine, com aproximação às décimas de
grau, o ângulo da recta EK com o plano da face inferior do cubo.
Exercício 74. Seja + o comprimento das arestas do tetraedro na figura 77.

Figura 77
Determine sucessivamente:
a) A distância do centro S da face ÒEFGÓ a cada um dos vértices dessa face.
b) A distância de S aos pontos médios das arestas correspondentes à face
27Lembrar

que a recta faz então um ângulo de *!° com todas as rectas do plano.

– 86 –

ÒEFGÓ.
c) A distância de S ao vértice H.
d) A área de cada face e a área total do tetraedro.
e) O volume do tetraedro.
f) O ângulo do plano da face ÒEFGÓ com a recta da aresta ÒGHÓ, com
aproximação às milésimas de grau.
Exercício 75. Consideremos um plano ! e uma recta < não perpendicular a !.
a) Quando é que o ângulo da recta < com o plano ! é !°?
b) Seja = uma recta perpendicular ao plano ! passando por um ponto T de <.
Que relação existe entre o ângulo da recta < com o plano ! e o ângulo das rectas
< e = (cf. a figura 73)?
c) Concluir que o ângulo da recta < com o plano ! não pode ser *!°.
Exercício 76. Seja < uma recta não perpendicular a um plano ! e seja <w a
projecção da recta < sobre o plano !. Que relação lhe parece existir entre o
ângulo da recta < com a recta <w e o ângulo de < com as rectantes rectas do plano
!? Nota: Não se pede que apresente uma justificação para a sua opinião, que
pode ser formada com a ajuda de um modelo concreto, mas apenas que elabore
uma conjectura.

æ

æ

æ

æ

Vamos terminar o nosso exame das diferentes situações em que intervém a
noção de ângulo, descrevendo o que é o ângulo de dois planos, mais uma vez
uma noção que utilizamos com frequência na prática mas que importa enunciar
com precisão. O que quererá dizer, por exemplo, uma porta entreaberta segundo
um ângulo de $!°?
Comecemos por examinar o que se passa com dois planos concorrentes ! e " .
Podemos considerar a intersecção < dos planos ! e " , tomar um ponto T dessa
intersecção e tomar as rectas = e > perpendiculares a <, passando por T e contidas
nos planos ! e " , respectivamente. Define-se então o ângulo dos planos ! e "
como sendo o ângulo das rectas = e > atrás consideradas.

Figura 78
– 87 –

É claro que, para a definição anterior fazer sentido temos que nos assegurar que,
se, em vez do ponto T , tivéssemos considerado outro ponto T w na intersecção
dos planos, o ângulo das correspondentes rectas <w e =w era o mesmo. Mas isso
acontece, uma vez que as rectas = e =w são paralelas, uma vez que se trata de duas
rectas do plano ! perpendiculares à recta < desse plano, e que, do mesmo modo,
as rectas > e >w são também paralelas.

Figura 79
Quando os planos ! e " não são concorrentes, ou seja, quando eles são
paralelos, dizemos, por definição, que o ângulo entre eles é !°. Resumindo o que
temos estado a dizer:
O ângulo de dois planos paralelos é !°. O ângulo de dois planos
concorrentes é igual ao ângulo de duas rectas desses planos, passando por
um ponto da respectiva intersecção e que sejam perpendiculares a essa
intersecção.
Exercício 77. a) Qual o ângulo dos planos que contêm duas faces consecutivas
dum cubo?

Figura 80
– 88 –

b) No seguimento do que fez nas diferentes alíneas do exercício 74, determine,
com aproximação às milésimas de grau, o ângulo dos planos que contêm as faces
ÒEFGÓ e ÒEFHÓ.
Exercício 78. Na figura 81 estão representadas as arestas de uma pirâmide cuja
base ÒEFGHÓ é um quadrado e cujas faces laterais são triângulos equiláteros.
a) Determine, com aproximação às milésimas de grau, o ângulo de cada plano
que contém uma das faces laterais com o plano que contém a base.
b) Repare que, justapondo pelas bases dois exemplares da pirâmide atrás referida, obtém-se um modelo do octaedro (cf. a figura 82). Utilize o resultado
obtido na alínea precedente para determinar, com aproximação às milésimas de
grau, o ângulo dos planos que contêm duas faces do octaedro com uma aresta
comum.
Nota: Repare que, na definição de ângulo de dois planos, o valor deste deve estar
entre !° e *!°. Se no seu raciocínio for conduzido a um valor maior que *!°, terá
que adaptar convenientemente o resultado. Repare também que, para obter uma
aproximação às milésimas nesta alínea, será conveniente trabalhar com o resultado da alínea precedente com uma aproximação superior ou, alternativamente,
só fazer o arredondamento depois de resolver as duas alíneas.
c) Comparando os valores aproximados dos ângulos obtidos na alínea precedente
e na alínea b) do exercício 77, somos levados a conjecturar que eles poderão ser
iguais. Tente interpretar o significado da eventual igualdade dos ângulos em
questão, manipulando um modelo do tetraedro e outro do octaedro. Repare que o
facto de se estar a trabalhar com valores aproximados não permite garantir que os
ângulos são efectivamente iguais.28

Figura 81

Figura 82

28De

facto os dois ângulos são efectivamente iguais. Isso pode ser provado quer por um
raciocínio geométrico que o estudante mais perseverante poderá talvez descobrir, quer
trabalhando com os valores exactos das razões trigonométricas e com uma fórmula para o
seno do ângulo duplo que será estudada no décimo primeiro ano.

– 89 –

Exercício 79. Há uma regra prática que permite determinar, de maneira simples,
o ângulo de dois planos ! e " :
Por um ponto T do espaço passa-se uma recta = perpendicular ao
plano ! e um recta > perpendicular ao plano " . O ângulo das rectas = e > é
então igual ao ângulo dos planos ! e " .
Tente encontrar uma justificação para esta regra. Sugestão: Examine separadamente os casos em que os planos são ou não paralelos.
Exercício 80. Sejam ! e " dois planos concorrentes. Baseado na sua intuição, e
com a ajuda dos modelos manipuláveis que achar convenientes, tente conjecturar
a veracidade das seguintes afirmações. Como é habitual nestes casos, poderá ser
conveniente riscar a lápis as afirmações que considere incorrectas.
a) O ângulo dos planos ! e " é maior ou igual ao ângulo de qualquer recta do
plano ! com qualquer recta do plano " .
b) O ângulo dos planos ! e " é menor ou igual ao ângulo de qualquer recta do
plano ! com qualquer recta do plano " .
c) O ângulo dos planos ! e " é maior ou igual ao ângulo de qualquer recta do
plano ! com o plano " .
d) O ângulo dos planos ! e " é menor ou igual ao ângulo de qualquer recta do
plano ! com o plano " .

5. Aplicação à interpretação das perspectivas.
Quando tiramos uma fotografia ou fazemos um desenho, estamos, em geral, a
representar objectos do espaço sobre um plano de tal modo que a visão dessa
representação imita, com mais ou menos precisão, a visão do objecto original. É
costume dizer então que a fotografia, ou o desenho, constitui uma perspectiva do
objecto.
Para simplificarmos o exame do fenómeno da perspectiva vamos imaginar
que o observador tem um dos olhos fechado, de modo a ignorar o fenómeno mais
complexo da formação da consciência de relevo no nosso cérebro. Notaremos
então T o ponto do espaço onde está colocado o olho aberto e ! o plano onde
queremos representar este.
Aquilo que explica o facto de ser possível representar no plano ! objectos do
espaço (situados naturalmente “para lá” do plano) é o facto de haver vários
pontos do espaço que dão a mesma a mesma imagem no nosso olho, a saber
todos aqueles que estão numa mesma semi-recta com origem no ponto T . De
entre esses pontos do espaço com a mesma imagem no nosso olho que um ponto
do objecto pode acontecer que exista um no plano ! e, nesse caso, consideramos
que esse ponto do plano ! representa o ponto do objecto.

– 90 –

Para percebermos o que se está a passar poderá ser útil recorrermos, como os
artistas começaram a fazer já há alguns séculos, a uma mira, para fixar a posição
do olho, e uma folha de papel transparente, constituindo uma parte do plano da
representação, e que pode, for exemplo ser fixada sobre uma janela aberta. É
então simples desenhar sobre a folha de papel transparente pontos que
representem vários pontos de um objecto colocado do outro lado da janela e a
partir daí desenhar uma representação do objecto.
Geometricamente, a representação Ew de um ponto E do objecto é determinada fazendo a intersecção da recta que contém os pontos T e E com o plano !.
Outra situação em que um fenómeno análogo nos aparece na nossa experiência do dia a dia é na formação sobre uma superfície plana da sombra de um
objecto causada por uma fonte de luz com origem num certo ponto. Nesse caso o
plano ! vai ser o plano onde a sombra é formada e a origem T da luz vai jogar o
papel do olho do observador. Como antes, a sombra Ew dum ponto E é a
intersecção da recta que contém os pontos T e E com o plano !.
E um segmento de recta traçado no objecto, por exemplo a aresta ÒFGÓ no
cubo da figura a seguir, como será representado na perspectiva? Todos nós
estamos habituados a ver, por exemplo, representações de um cubo e prevemos
assim que uma aresta vai ser representada, em geral, por um segmento de recta.
Tentemos perceber porque é que isso vai acontecer. Os pontos do segmento de
recta no objecto estão todos sobre uma certa recta <, que, em geral, não passará
pelo ponto T , e podemos considerar o plano " que contém o ponto T e a recta <.
Esse plano contém também todas as rectas que passam por T e pelos pontos da
aresta considerada pelo que as representações dos pontos deste vão estar
simultaneamente no plano " e no plano ! da representação, ou seja, vão estar na
intersecção destes dois planos, que sabemos ser uma recta <w .

Figura 83
Determinando analogamente as perspectivas das restantes arestas do cubo,

– 91 –

obínhamos a representação deste no plano !.

Figura 84
Exercício 81. Descubra o que acontece com a representação de uma aresta do
objecto no caso excepcional em que a recta que a contém passa pelo ponto T
onde está colocado o olho do observador. Como costumamos fazer na prática
quando observamos um sólido com uma aresta nessa situação?
Resumindo as conclusões a que chegámos, podemos dizer:
P68. Pontos dum objecto situados sobre uma recta < que não passe
pelo ponto T onde está o obsevador são representados em perspectiva
sobre um plano ! por pontos de uma recta <w , obtida por intersecção do
plano ! com o plano " que contém o ponto T e a recta <. No caso em que
a recta < passasse pelo ponto T os pontos seriam todos representados por
um mesmo ponto, a saber, a intersecção da recta < com o plano ! da
representação.
E o que é que se passará com os comprimentos? Será que o comprimento de
uma aresta será igual ao comprimento da sua representação? A resposta é evidentemente “não”. A nossa experiência diz-nos que os objectos que estão mais longe
parecem mais pequenos, tal como parecem mais pequenas as arestas que estão
“de esguelha”, ou seja, próximas da posição excepcional de serem colineares
com o ponto T onde está o olho do observador. A figura seguinte, realizada com
o auxílio de um programa de computador, ilustra o que temos estado a examinar,
apresentando as representações de um mesmo cubo examinado a distâncias cada
vez mais curtas e, em cada caso, convenientemente ampliado com o objectivo de
uma maior clareza (na unidade considerada as arestas do cubo têm comprimento

– 92 –

"!).

distância œ #!!!

distância œ &!

distância œ $!

distância œ #&
Figura 85

Exercício 82. Utilizando uma régua graduada compare, em cada uma das representações anteriores, os comprimentos das representações das arestas (que no
objecto inicial têm o mesmo comprimento). Haverá alguma diferença no que
acontece conforme as arestas comparadas sejam ou não paralelas entre si? Que
fenómenos se começam a notar quando a distância do observador se torna mais
pequena?
Exercício 83. Utilizando apenas o facto de segmentos de recta do objecto inicial
serem representados por segmentos de recta determine em cada uma das
representações, com a ajuda de uma régua não graduada, a posição do centro da
face ÒEHLIÓ e a posição do centro do cubo.
Exercício 84. Ao lado do cubo representado nas perspectivas anteriores foi
colocado outro cubo com as mesmas dimensões de forma a ficar com uma face
comum com a face ÒEHLIÓ do primeiro. Partindo da representação do primeiro,
– 93 –

retomada na figura seguinte, tente completá-la com a representação do segundo,
utilizando uma régua não graduada. Sugestão: Poderá ser boa ideia começar por
determinar, como ponto auxiliar, a representação do centro da face ÒEHLIÓ.

Figura 86
E o que é que se passará relativamente ao paralelismo? Será que rectas
paralelas serão representadas por rectas paralelas no plano da representação?
Mais uma vez a nossa experiência conduz-nos à conclusão de que isso
normalmente não acontecerá. Todos nós já devemos ter reparado que os bordos
paralelos de uma estrada rectilínea que se afasta de nós nos aparecem como se
estivéssemos em presença de duas rectas que se encontram no horizonte.
Alternativamente se examinarmos com alguma atenção a perspectiva do cubo na
figura precedente, repararemos que as rectas paralelas que contêm por exemplo
as arestas ÒEHÓ, ÒFGÓ, ÒILÓ e ÒJ KÓ são representadas na perspectiva por quatro
rectas concorrentes no mesmo ponto29. Tentemos perceber porquê e, ao mesmo
tempo, descobrir que ponto é esse, considerando, para fixar ideias, as rectas FG
e EH.
Relembremos que estamos a chamar T ao ponto onde está colocado o olho do
observador e ! ao plano da representação. Chamando < e = às rectas paralelas
FG e EH, sabemos que as representações no plano ! de pontos da recta < e de
pontos da recta = vão estar respectivamente sobre as rectas <w e =w obtidas do
seguinte modo: Consideramos o plano " que contém o ponto T e a recta < e o
plano # que contém o ponto T e a recta =; a recta <w é a intersecção dos planos !
e " e a recta =w é a intersecção dos planos ! e # .
A questão a que queremos responder é a possível existência de um ponto
comum às rectas <w e =w , ou seja, um ponto comum aos três planos !, " e #. Mas
os planos " e # têm pelo menos um ponto comum, o ponto T e portanto a sua
intersecção é um recta > paralela às rectas < e =. Se a recta > intersectar o plano !
num ponto U, esse será o tal ponto comum às rectas <w e =w que estamos a

29Esse

ponto estará possivelmente fora da página pelo que, se quisermos fazer uma
experiência conclusiva convirá trabalhar com uma fotocópia da figura que colaremos
numa folha de papel maior.

– 94 –

procurar.

Figura 87
Em que caso é que a recta > intersecta o plano !? É naquele em que ela não
for paralela a !, ou seja, naquele em que as rectas paralelas de partida < e = não
forem paralelas a !. Podemos assim resumir as considerações anteriores:
P 69. Pontos situados em rectas paralelas entre si, mas não paralelas ao
plano da representação são representados em perspectiva por pontos de
rectas que se intersectam num certo ponto (a que se dá o nome de ponto
de fuga das rectas em questão), que pode ser obtido intersectando o plano
da representação com a recta paralela às rectas em questão que passa pelo
olho do observador.
No caso em que as rectas < e = são paralelas ao plano ! da representação, as
recta > atrás referida também é paralela a esse plano e portanto não existem
pontos comuns aos planos !, " e #, o que garante que as rectas <w e =w , onde os
pontos de < e = são representados são paralelas. Podemos neste caso afirmar
ainda um pouco mais: Se a recta < estiver no plano !, é claro que ela vai
coincidir com a sua representação <w ; caso contrário < não tem pontos comuns
com !, e portanto também não tem pontos comuns com <w ; em qualquer dos
casos podemos garantir que as rectas < e <w são paralelas e, evidentemente, o
mesmo vai acontecer com as rectas = e =w . Tem-se assim, em resumo
P 70. Pontos situados em rectas paralelas entre si e paralelas ao plano
da representação são representados em perspectiva por pontos de rectas
paralelas àquelas, em particular paralelas entre si.
Exercício 85. Na figura seguinte está representada em perspectiva a parte visível
de um certo cubo. Determine a posição da representação do vértice invisível e

– 95 –

represente a tracejado as arestas invisíveis do cubo.

Figura 88
Exercício 86. Considere de novo a representação em perspectiva de um cubo na
figura 86, na página 94.
a) Desenhe a perspectiva do octaedro cujos vértices são os centros das faces do
cubo, tomando o cuidado de utilizar o tracejado para representar as arestas
invisíveis.
b) Determine a perspectiva dos pontos médios das arestas ÒIJ Ó, ÒJ KÓ e ÒFJ Ó
(cuidado, porque a perspectiva do ponto médio de um segmento não tem que ser
o ponto médio da perspectiva desse segmento).
c) Suponhamos que se cortou o cubo segundo o plano definido pelos pontos
médios das arestas atrás referidos e que se retirou a parte que contém o vértice J .
Desenhe a perspectiva do sólido que se obteve, tomando o cuidado de assinalar
as arestas invisíveis a tracejado.
A perspectiva que temos estado a examinar até agora é aquela a que se pode
dar o nome de perspectiva exacta, uma vez que corresponde a representar
exactamente aquilo que se vê numa dada situação. As figuras que temos
encontrado ao longo deste texto foram realizadas com o auxílio de um programa
de computador e são, em geral, perspectivas exactas. No entanto, quando
pretendemos fazer um esboço rápido e elucidativo de um objecto a perspectiva
exacta pode tornar-se demasiado trabalhosa e é substituída com vantagem por
uma perspectiva aproximada, bastante mais fácil de realizar e que é ainda
compatível com a nossa intuição geométrica. É a chamada perspectiva cavaleira
que fornece resultados satisfatórios para objectos cujas dimensões são pequenas,
em relação à distância a que são observados.
Examinemos de novo as perspectivas de um cubo na figura 85, na página 93,
reparando no que acontece quando a distância do observador é maior, nomeadamente nos casos em que esta é #!!! ou &!. Ao contrário do que acontece
quando as distâncias são mais curtas, arestas paralelas parecem ser representadas
por segmentos de recta paralelos, mesmo quando elas não são paralelas ao plano
da representação (não parecem existir pontos de fuga). Também ao contrário do
que acontece no caso das distância mais curtas, parece que arestas paralelas, que
– 96 –

têm o mesmo comprimento, são representadas por segmentos com o mesmo
comprimento.
O que se passa é que, uma vez que a distância do observador é relativamente
grande, a perspectiva não fica muito alterada se, em vez de intersectarmos com o
plano de representação as rectas que unem os pontos do objecto ao ponto onde
está colocado o olho do observador, considerarmos as intersecções com o plano
de representação de rectas com a mesma direcção (portanto paralelas entre si)
passando pelos pontos do objecto. Supomos naturalmente que a direcção referida
não é paralela ao plano da representação. À perspectiva aproximada assim obtida
é que se dá o nome de perspectiva cavaleira.
O que determina a perspectiva cavaleira é a direcção comum das rectas que
partem dos diferentes pontos do objecto (a direcção da perspectiva), em vez da
posição do olho do observador, como acontecia na perspectiva exacta.
Tal como um fenómeno análogo ao da perspectiva exacta nos aparecia
também quando considerávamos a sombra de um objecto sobre uma superfície
plana causada por uma fonte de luz situada num certo ponto, encontramos um
fenómeno análogo ao da perspectiva cavaleira quando observamos a sombra
causada por uma fonte de raios luminosos paralelos. É o que acontece, de forma
aproximada, quando a origem da luz está muito longe, por exemplo quando a
sombra é causada pela luz solar.
Tentemos perceber como funciona a perspectiva cavaleira. Tal como referimos, a representação de um ponto E é o ponto Ew que se obtém intersectando
com o plano ! da representação a recta que passa por E e tem a direcção da
perspectiva. E um segmento de recta traçado no objecto, por exemplo a aresta
ÒFGÓ no cubo da figura a seguir, como será representado? Tal como acontecia no
caso da perspectiva exacta, é fácil de prever que a representação é ainda um
segmento de recta. Tentemos perceber porque é que isso vai acontecer. Os
pontos do segmento de recta no objecto estão todos sobre uma certa recta <, que,
em geral, não passará pelo ponto T , e podemos considerar o plano " que contém
a recta < e as rectas com a direcção da perspectiva que passam pelos pontos de <.
As representações dos pontos do segmento vão estar simultaneamente no plano "
e no plano ! da representação, ou seja, vão estar na intersecção destes dois
planos, que sabemos ser uma recta <w .

– 97 –

Figura 89
Determinando analogamente as perspectivas das restantes arestas do cubo,
obínhamos a representação deste no plano !.

Figura 90
O estudante poderá eventualmente ficar chocado com a perspectiva anterior,
pelo facto de a direcção que se utiliza habitualmente para fazer a perspectiva de
um cubo não ser a que utilizámos. No entanto, se fizer experiências com um
modelo de um cubo e olhar de diferentes posições, descobrirá decerto uma
posição em que o cubo aparece mais ou menos com a imagem que obtivémos.
Exercício 87. Tal como acontecia com a perspectiva exacta, também na perspectiva cavaleira existem segmentos de recta em posição excepcional que são representados por um único ponto. Que posição excepcional será essa?
Resumindo as conclusões a que chegámos, podemos dizer:

– 98 –

P 71. Pontos dum objecto situados sobre uma recta < cuja direcção não
seja a da perspectiva são representados em perspectiva cavaleira sobre um
plano ! por pontos de uma recta <w , obtida por intersecção do plano !
com o plano " que contém a recta < e as rectas com a direcção da
perspectiva que passam por pontos de <. No caso em que a recta < tivesse
a direcção da perspectiva, os pontos seriam todos representados por um
mesmo ponto, a saber, a intersecção da recta < com o plano ! da
representação.
E o que é que se passará com o paralelismo? Pensemos de novo no cubo
habitual e nas arestas ÒFGÓ e ÒJ KÓ, contidas em rectas paralelas < e =. Sabemos
então que os pontos daquelas arestas são representados por pontos das rectas <w e
=w obtidas por intersecção com o plano ! da representação dos planos " e # que
passam por < e = e contêm rectas com a direcção da perspectiva. Mas os planos "
e # são paralelos, porque cada um contém duas rectas concorrentes paralelas ao
outro plano, e daqui podemos concluir que as rectas <w e =w são paralelas (por
exemplo porque =w é paralela ao plano " e complanar com a recta <w desse plano).

Figura 91
Podemos assim dizer:
P 72. Segmentos de rectas paralelos são representados em perspectiva
cavaleira por segmentos de rectas paralelos entre si (embora não
necessariamente paralelos aos segmentos originais).
A propriedade anterior difere do que se passava com a perspectiva exacta, em
que segmentos de rectas paralelos podiam ser representados por segmentos de
rectas concorrentes (no ponto de fuga comum). Podemos assim dizer que a perspectiva cavaleira é uma perspectiva sem pontos de fuga.
Voltando ao exemplo que examinámos atrás, as arestas ÒFGÓ e ÒJ KÓ, além de
serem paralelas, têm o mesmo comprimento e portanto ÒFGKJ Ó é um

– 99 –

paralelogramo30. Daqui podemos concluir que o quadrilátero ÒFw G w Kw J w Ó, que
constitui uma perspectiva cavaleira daquele paralelogramo, tem também os lados
opostos paralelos entre si, sendo assim um paralelogramo, e isso é suficiente para
garantir que os segmentos ÒFw G w Ó e ÒJ w Kw Ó têm também o mesmo comprimento.
Podemos assim destacar mais uma propriedade que distingue a perspectiva
cavaleira da perspectiva exacta.
P 73. Se dois segmentos de recta forem paralelos e com o mesmo
comprimento, então numa perspectiva cavaleira as respectivas representações, além de paralelas têm ambas o mesmo comprimento.
Reparemos que na propriedade precedente não estamos de modo nenhum a
afirmar que um segmento seja representado por um segmento com a mesma
medida que ele. O que se passa é claro se voltarmos a examinar a figura 91. A
única coisa que podemos afirmar é que, para segmentos paralelos, o
comprimento do segmento na representação é proporcional ao comprimento do
segmento original, com um coeficiente de proporcionalidade que só depende da
direcção dos segmentos considerados. Este último facto resulta de uma
propriedade bem conhecida da Geometria Plana sobre segmentos determinados
em duas rectas por três rectas paralelas entre si31:

Figura 92

Ew F w
Fw G w
œ
FG
EF

P 74. Numa perspectiva cavaleira fica bem definido, para cada direcção, um número real (o coeficiente de escala associado à direcção) com a
propriedade de o comprimento da representação de qualquer segmento
com essa direcção ser o comprimento deste multiplicado por esse
coeficiente.

30Neste

caso concreto é mesmo um quadrado mas, em geral, duas arestas paralelas e com
o mesmo comprimento só se pode garantir que definam um paralelogramo.
31Esta propriedade é também conhecida por teorema de Thales.

– 100 –

Exercício 88. Por que razão, ao contrário do que acontece em geral no caso da
perspectiva exacta, numa perspectiva cavaleira o ponto médio de um segmento é
sempre representado pelo ponto médio do segmento que o representa?
O coeficiente de escala associado a uma direcção na perspectiva cavaleira é
especialmente simples quando a direcção for paralela ao plano ! da representação. Vejamos porquê. Suponhamos que temos um segmento de recta ÒEFÓ
contido numa recta < paralela ao plano ! da representação e consideremos a
respectiva representação ÒEw Fw Ó (pensar, por exemplo, na situação nas figuras 89
e 90). A recta <w que contém o segmento ÒEw Fw Ó é então paralela à recta <, por ser
uma recta do plano ! complanar com <. Mas então o quadrilátero ÒEEw Fw FÓ tem
os lados opostos paralelos entre si e é portanto um paralelogramo. Daqui
concluímos que, ao contrário do que acontece em geral, os segmentos ÒEFÓ e
ÒEw Fw Ó têm o mesmo comprimento. O coeficiente de escala é assim igual a " (o
segmento é representado “em verdadeira grandeza”). Em resumo:
P 75. Numa perspectiva cavaleira um segmento de recta paralelo ao
plano da representação é representado por um segmento de recta paralelo
e com o mesmo comprimento.
Exercício 89. O que será o coeficiente de escala da própria direcção que se
utiliza numa perspectiva cavaleira?
Exercício 90. Numa perspectiva cavaleira os ângulos no objecto não são, em
geral, iguais aos ângulos na representação (pense, por exemplo na situação na
figura 90). No entanto, os ângulos envolvendo segmentos paralelos ao plano da
representação não são alterados nesta. Será capaz de descobrir porque é que isso
acontece? Sugestão: Basta examinar o que se passa com segmentos com um
vértice comum.
Existe ainda uma outra propriedade fundamental, que distingue a perspectiva
cavaleira da perspectiva exacta, e que torna a primeira especialmente cómoda.
Essa propriedade vai-nos garantir que faz sentido representar um vector numa
perspectiva cavaleira. Vejamos porquê. Pensemos num vector Ä do espaço e
?
Ä
Ä œ EF. Os pontos E e F vão ser representados no
representemo-lo na forma ?
plano ! por pontos Ew e Fw e parece portanto natural dizer que o vector
Ä
Äw œ Ew Fw do plano ! da representação é a representação do vector Ä na pers?
?
pectiva cavaleira considerada. Por que razão não podemos fazer esta construção
aparentemente tão simples no caso da perspectiva exacta? O cuidado que é
necessário ter resulta de o mesmo vector Ä poder também ser representado na
?
Ä
forma Ä œ GH, para outros pontos G e H, representados no plano ! por pontos
?
G w e Hw , e, se queremos que seja o vector Ä a ser representado, e não a sua
?
representação a partir de dois pontos particulares, temos que nos assegurar que se
Ä
Ä
Ä
tem necessariamente Ew Fw œ G w Hw . Afastando já o caso trivial em que Ä œ ! ,
?
isto será em geral falso no caso da perspectiva exacta, mas é verdade no caso da
– 101 –

perspectiva cavaleira. O que se passa é que, uma vez que os segmentos de recta
ÒEFÓ e ÒGHÓ são paralelos e com o mesmo comprimento, as propriedades P 72 e
P 73 garantem que os segmentos ÒEw Fw Ó e ÒG w Hw Ó também são paralelos e com o
mesmo comprimento. Uma vez que é intuitivo que os sentidos de Ew para Fw e de
G w para Hw coincidem, uma vez que os sentidos de E para F e de G para H
Ä
Ä
coincidem. concluímos que se tem efectivamente Ew Fw œ G w Hw . Resumindo as
considerações anteriores, podemos assim dizer:
P 76. Quando consideramos uma perspectiva cavaleira, com plano de
representação !, fica bem definido, para cada vector Ä do espaço, um
?
vector Äw do plano !, a que damos o nome de perspectiva de Ä, que pode
?
?
Ä
Ä na forma Ä œ EF,
ser construído do seguinte modo: Representa-se ?
?
considera-se as perspectivas Ew e Fw dos pontos E e F e toma-se
Ä
Äw œ Ew Fw .
?
Exercício 91. Consideremos uma perspectiva cavaleira sobre um plano !, definida por uma certa direcção.
Ä
a) Quais serão os vectores Ä cuja perspectiva é o vector ! ?
?
b) Mostre que, se os vectores Ä e Ä são representados na perspectiva pelos
?
@
vectores Äw e Äw do plano !, então o vector Ä Ä é representado pelo vector
?
@
? @
Äw Äw .
?
@
c) Mostre que, se o vector Ä é representado em perspectiva pelo vector Äw do
?
?
plano ! e se + é um número real, então o vector +Ä é representado pelo vector
?
+Äw .
?
As propriedades da perspectiva cavaleira que examinámos atrás conduzem a
regras práticas para desenhar a perspectiva cavaleira de um objecto.
Começamos por imaginar um plano para a representação, usualmente um
plano prependicular ao plano horizontal, e consideramos um cubo auxiliar cuja
aresta pode ser tomada como unidade de comprimento e que, para simplificar, se
coloca com duas faces horizontais (chamamos-lhes a face superior e a face
inferior) e outras duas paralelas ao plano da representação (chamamos-lhes a
face anterior e a face posterior). A representação do cubo em perspectiva
cavaleira pode então ser uma figura como a seguinte, onde, como é usual, se

– 102 –

representaram a tracejado as arestas invisíveis:

Figura 93
Nesta representação as faces anterior e posterior são quadrados em verdadeira
grandeza, uma vez que são formadas por arestas paralelas ao plano da representação. A perspectiva ficará determinada se conhecermos o ângulo com a
horizontal da representação das restantes arestas e o comprimento dessas
representações (a escala da direcção ortogonal ao plano da representação),
valores que dependem da direcção da perspectiva. Apesar desses valores serem
essencialmente arbitrários, a experiência mostra que alguns valores dão uma
imagem mais de acordo com a nossa intuição que outros. Uma convenção
possível é a que seguimos atrás: O valor do ângulo referido é %&° e a escala da
direcção ortogonal ao plano da representação é aproximadamente !Þ( (mais
È

precisamente é ## ). Esta convenção tem vantagens e desvantagens e pode ser
sempre alterada quando for necessário evitar eventuais desvantagens.
Exercício 92. a) Tente descobrir a vantagem da convenção anterior quando se
deseja desenhar a perspectiva em papel quadriculado (ou papel milimétrico).
b) Que situação desagradável aconteceria na perspectiva anterior do cubo se lhe
pedissem para desenhar as quatro diagonais espaciais do cubo?
Até agora limitámo-nos a falar da representação do cubo que dissémos ser
apenas auxiliar. O que se passa se quisermos representar outro tipo de objectos?
Nalguns casos especialmente favoráveis conseguimos isso utilizando directamente certos pontos ligados ao cubo de partida como vértices do objecto a
representar
Exercício 93. Partindo da perspectiva cavaleira do cubo, tente desenhar uma
perspectiva cavaleira dos seguintes sólidos, utilizando como vértices, os vértices
do cubo, os pontos médios das suas arestas ou os pontos médios das suas faces.
Utilize papel transparente, de forma a poder dispensar no fim o cubo utilizado
como auxiliar, e represente a tracejado as arestas invisíveis dos sólidos obtidos.
Repare que a representação fica pouco elucidativa se utilizar, como acima
sugerimos, o ângulo de %&° e o coeficiente de escala !Þ(. Altere assim esse
ângulo e esse coeficiente de escala de modo a obter resultados mais interessantes.
a) Um octaedro.

– 103 –

b) Um tetraedro.
c) Uma pirâmide hexagonal regular.
Em geral, quando o objecto a representar não está numa situação tão
favorável, podemos socorrer-nos de outro método para determinar a posição dos
vértices na perspectiva: Para cada vértice que queremos representar imaginamos
uma sucessão de segmentos de recta paralelos às arestas do cubo partindo de um
dos vértices do cubo e cheganto ao vértice a representar e desenhamos esses
segmentos de recta na perspectiva, de modo a obter a posição do vértice em
questão. É claro que, depois de obtida a posição do vértice, a construção auxiliar
pode ser apagada.
Exercício 94. Considere um hexágono regular no plano horizontal tendo um lado
comum com a aresta da intesecção das faces anterior e inferior do cubo. Desenhe
uma perspectiva cavaleira desse hexágono. Utilize a sua calculadora para
determinar os comprimentos dos segmentos auxiliares que o conduzem à
determinação dos vértices na perspectiva.
Exercício 95. Com o auxílio da sua calculadora desenhe a perspectiva cavaleira
de um tetraedro com uma das faces no plano horizontal. Pode utilizar os resultados obtidos na resolução do exercício 74, na página 86.
Note-se que as observações feitas até agora não nos dizem nada sobre o modo
de desenhar uma larga classe de objectos, como aqueles que são limitados por
superfícies curvas. Como desenhar a perspectiva de uma circunferência, de um
cilindor, de um cone, etc…? A título de exemplo, apresentamos a seguir duas
perspectivas cavaleiras de circunferências inscritas em quadrados, a primeira no
plano da face anterior de um cubo e a segunda numa sua face lateral. No primeiro
caso a perspectiva aparece-nos como uma circunferência, o que não é de espantar
uma vez que os segmentos de recta desse plano (em particular os raios da
circunferência) são representados em verdadeira grandeza. No segundo caso a
perspectiva aparece-nos como uma curva, que nos é familiar da nossa observação

– 104 –

de todos os dias, e a que se dá o nome de elipse.

Figura 94

Figura 95

A elipse é uma curva que nos há de aparecer adiante em várias situações mas,
para já, podemos tomar a propriedade anterior como definição:
Chamam-se elipses às curvas que se podem obter como perspectiva
cavaleira de uma circunferência situada sobre um plano não paralelo à
direcção que define a perspectiva.
Exercício 96. O que seria a perspectiva cavaleira de uma circunferência situada
num plano paralelo à direcção que define a perspectiva?
Diga-se, a título de informação, e embora não estejamos neste momento em
condições de poder dar uma justificação para esse facto, que uma perspectiva
exacta de uma circunferência (situada para trás do plano da representação) é
ainda uma elipse.

6. Introdução à Geometria Analítica Plana.
Começando com o cientista e filósofo Descartes, no século XVII, os
matemáticos foram reconhecendo a fecundidade da ideia de identificar um ponto
do plano ou do espaço por um par ou triplo de números e relacionar a partir daí
as propriedades geométricas das figuras com as propriedades dos números que
estão associados aos respectivos pontos.
Decerto já estudou no ensino básico o modo de definir as coordenadas de um
ponto no plano, depois de fixado um sistema de eixos. Aquilo que estudámos
atrás sobre vectores dum plano permite olhar para essa mesma definição de um
ponto de vista ligeiramente diferente e que por vezes se revela mais fecundo.
Relembremos que, quando se está a trabalhar num plano !, chamámos
referencial vectorial do plano a um par de vectores não colineares desse plano.
– 105 –

Será cómodo nas considerações que vamos fazer em seguida chamar Ä e Ä aos
/B /C
vectores de um certo referencial vectorial do plano ! (por vezes também se usam
outras notações, como Ä e Ä). Lembremos que, dado um vector arbitrário Ä do
/" /#
A
plano !, pode-se escrever de maneira única Ä na forma
A
Ä œ B Ä  C Ä,
A
/
/
B

C

com B e C números reais e que então se diz que B e C são as coordenadas de Ä
A
relativas àquele referencial vectorial ou que Ä é representado pelo par ordenado
A
ÐBß CÑ naquele referencial vectorial.
Mas o que nós pretendemos agora é representar pontos do plano ! e não
apenas vectores desse plano. Para o conseguirmos o que vamos fazer é considerar, para além do referencial vectorial constituído pelos vectores Ä e Ä, um
/B /C
ponto fixado S no plano !, que tomamos como origem. Conhecer um ponto E
Ä
do plano ! é então o mesmo que conhecer o vector SE (o vector de posição do
ponto E) pelo que o ponto E fica perfeitamente determinado pelas coordenadas
Ä
do vector SE.
Chama-se referencial de um plano ! à escolha de um ponto S desse
plano (a origem do referencial) e de dois vectores Ä e Ä do plano, que
/B /C
constituam um referencial vectorial deste. Relativamente a um tal
referencial, chamam-se coordenadas de um ponto E do plano às
Ä
coordenadas do vector de posição SE relativas ao referencial vectorial,
isto é, aos números reais B e C para os quais se tem
Ä
SE œ B Ä  C Ä.
/B
/C
Quando o referencial está implícito, também se diz que o ponto E é
representado pelo par ordenado de números reais ÐBß CÑ; de forma mais
abreviada, pode escrever-se também E Ç ÐBß CÑ ou ainda simplesmente EÐBß CÑ.
A notação E Ç ÐBß CÑ tem o mérito de lembrar que, como acontecia no
quadro do estudo dos vectores dum plano, estamos em presença de uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos do plano ! e o conjunto ‘# dos
pares ordenados de números reais.
Exercício 97. Considerando o referencial do plano da página sugerido na figura
seguinte, determine as coordenadas dos pontos E, F, G e H. Obtenha os

– 106 –

resultados aproximados com a ajuda de um esquadro e um régua graduada.

Figura 96
Existe um modo alternativo de representar o referencial precedente, que
estará possivelmente mais habituado a encontrar. Em vez de se representarem
explicitamente os vectores que constituem o referencial vectorial representam-se
as rectas que passam pela origem e têm as direcções desses vectores, assinalando
com as letras B e C os sentidos dos vectores e sugerindo uma escala de medição
em cada um dos eixos de modo que os vectores do referencial, colocados com
origem na origem deste, tenham extremidades nos pontos correspondentes ao
valor " da escala (cf. a figura a seguir).

Figura 97
Costuma-se então dizer que se fixou no plano um referencial definido pelo
sistema de eixos orientados BSC ou, mais simplesmente, um referencial BSC. É
também comum assinalar com uma seta o sentido positivo de cada eixo, como na
figura a seguir, sendo importante reparar que, neste contexto, a seta não indica a

– 107 –

extremidade do vector do referencial.

Figura 98
Pelo próprio modo como definimos as coordenadas dum ponto a partir das
coordenadas do seu vector de posição, é muito fácil determinar, a partir das
coordenadas dos pontos, as coordenadas dos vectores com origem S. Por
exemplo, na situação das figuras anteriores, considerando os pontos EÐ"ß #Ñ e
Ä
Ä
FÐ#ß !Ñ, os vectores SE e SF são representados respectivamente pelos pares
Ð"ß #Ñ e Ð#ß !Ñ de números reais. E se nos perguntarem qual o par de números
Ä
reais que representa o vector EF? A resposta é muito simples se relacionarmos
Ä
Ä
Ä
este vector com vectores de origem S: Uma vez que SE  EF œ SF , podemos
Ä
Ä
Ä
escrever EF œ SF  SE, e portanto
Ä
EF Ç Ð#  "ß !  #Ñ œ Ð"ß #Ñ.
O que fizémos atrás no caso particular dos pontos EÐ"ß #Ñ e FÐ#ß !Ñ pode ser
feito no caso de dois pontos quaisquer o que nos permite enunciar o resultado
geral:
P 77. Fixado um referencial no plano ! e dados dois pontos desse
plano
E" Ç ÐB" ß C" Ñ, E# Ç ÐB# ß C# Ñ
tem-se
Ä
E" E# Ç ÐB#  B" ß C#  C" Ñ.
Por este motivo é costume usar a notação E#  E" como designação
Ä
alternativa para o vector E" E# .
Ä
A notação E#  E" como alternativa a E" E# destina-se a tornar mnemónica a
Ä
fórmula para E" E# que destacámos atrás, tal como já o era a fórmula para as
coordenadas da soma de dois vectores em P 50 na página 64. No mesmo espírito
– 108 –

podemos apresentar uma fórmula para as coordenadas da soma E Ä de um
?
ponto com um vector, soma essa que, recordemo-lo, designa o ponto F tal que
Ä
EF œ Ä:
?
P 78. Fixado um referencial no plano ! e dados um ponto e um vector
desse plano
E Ç ÐBß CÑ, Ä Ç Ð+ß ,Ñ,
?
tem-se
E Ä Ç ÐB  +ß C  ,Ñ.
?
Ä
A explicação é semelhante à anterior. Sendo F œ E Ä, tem-se EF œ Ä e
?
?
portanto
Ä
Ä
Ä
Ä
SF œ SE  EF œ SE Ä;
?
Ä
daqui se conclui que as coordenadas de F œ + Ä (iguais às de SF ) se obtêm
?
Ä
como soma das coordenadas de SE (iguais às de E) com as coordenadas de Ä.
?
Em Geometria Analítica não se pretende apenas determinar as coordenadas
de vectores e de pontos; a ideia é estudar propriedades geométricas envolvendo
os pontos e os vectores em termos das propriedades das respectivas coordenadas.
Para o fazermos de forma simples convém trabalhar com um tipo particular de
referenciais:
Um referencial vectorial dum plano !, constituído pelos vectores Ä e
/B
Ä, diz-se ortogonal quando os vectores Ä e Ä forem ortogonais, isto é
/C
/B /C
formarem um ângulo de *!°. Ele diz-se ortogonal e monométrico se, além
disso, os dois vectores tiverem o mesmo comprimento.
No caso em que esteja implícita uma unidade de comprimento, um
referencial vectorial diz-se ortonormado quando for ortogonal e
monométrico e o comprimento comum dos dois vectores for igual a ".
É claro que todo o referencial vectorial ortogonal e monométrico passa a ser
ortonormado, desde que se modifique convenientemente a unidade de comprimento considerada, pelo que na prática não costuma ser muito importante a
distinção entre os dois conceitos.
Apesar de serem os referenciais ortonormados aqueles com que trabalharemos daqui em diante com mais frequência, há situações em que é importante
trabalhar com outros tipos de referenciais. Por exemplo, se já utilizou as
capacidades gráficas da sua calculadora já deve ter reparado que, em geral, e
salvo ordem dada em contrário, ela propõe um referencial que, apesar de
ortogonal, não é monométrico, com o objectivo de representar de forma mais
elucidativa aquilo que é pedido.
– 109 –

Note-se também que as definições precedentes, envolvendo referenciais
vectoriais, aplicam-se também a referenciais de um plano, uma vez que estes,
além da origem, incluem também um referencial vectorial.
A razão da importância dos referenciais vectorais ortogonais entronca na
propriedade que enunciamos em seguida e que pode ser considerada como uma
versão vectorial do conhecido teorema de Pitágoras.
Relembremos que dois vectores não nulos se dizem ortogonais quando o
respectivo ângulo é de *!°. Apesar de o ângulo de dois vectores não estar
Ä
definido quando algum deles for o vector ! , será cómodo extender a definição de
Ä
vectores ortogonais de forma a considerar que o vector ! é ortogonal a qualquer
vector. Lembremos ainda que, quando uma unidade de comprimento está
Ä
implícita, usa-se a notação m? m para designar a norma, ou comprimento, de um
Ä.
vector ?
P 79 (Versão vectorial do teorema de Pitágoras) Sejam Ä e Ä dois
? @
vectores ortogonais. Tem-se então
Ä @
Ä
Ä
m? Äm# œ m? m#  m@ m# .
A justificação é muito simples: A igualdade é evidentemente verdadeira no
Ä
caso em que um dos vectores Ä e Ä é o vector ! . No caso em que eles são
? @
Ä
diferentes de ! , podemos considerar um ponto S de partida, escolhemos um
Ä
Ä
ponto E tal que SE œ Ä e um ponto F tal que EF œÄ e aplicamos o teorema
?
@
de Pitágoras ao triângulo rectângulo ÒSEFÓ.

Figura 99
Exercício 98. Utilizar a propriedade precedente para mostrar que, se Ä e Ä são
? @
vectores ortogonais, então tem-se também
Ä @
Ä
Ä
m? Äm# œ m? m#  m@ m# .
Sugestão: A ideia é utilizar a propriedade precedente e não procurar uma
demonstração parecida.
É agora muito fácil determinar o comprimento de um vector quando
conhecemos as suas coordenadas relativas a um referencial vectorial ortonormado. Suponhamos, com efeito, que temos um tal referencial vectorial,
– 110 –

/B /C
constituído pelos vectores Ä e Ä. Os vectores Ä e Ä são assim ortogonais e
/B /C
Ä
Ä
verificam as condições m/Bm œ " e m/C m œ ". Dado um vector
Ä œ B Ä  C Ä,
?
/B
/C
os vectores B Ä e C Ä são ainda ortogonais e têm normas
/B
/C
Ä
Ä
mB Äm œ lBl m/Bm œ lBl, mC Äm œ lCl m/C m œ lCl,
/B
/C
pelo que, tendo em conta a versão vectorial do teorema de Pitágoras,
Ä
m? m# œ mB Äm#  mC Äm# œ B#  C#
/
/
B

C

(reparar que um número real e o seu valor absoluto têm o mesmo quadrado).
P 80. Consideremos um referencial vectorial ortonormado dum plano
!, constituído pelos vectores Ä e Ä. Se Ä Ç ÐBß CÑ é um vector do plano
/B /C
?
!, então
Ä
m? m œ ÈB#  C# .

A partir da fórmula que nos dá o comprimento de um vector é muito fácil
encontrar uma fórmula para a distância entre dois pontos E" e E# , se repararmos
Ä
que essa distância não é mais do que o comprimento do vector E" E# œ E#  E" .
P 81. Considerando um referencial ortonormado dum plano e dois
pontos E" e E# desse plano, com
E" Ç ÐB" ß C" Ñ,

E# Ç ÐB# ß C# Ñ,

a distância distÐE" ß E# Ñ destes pontos é dada por

distÐE" ß E# Ñ œ ÈÐB#  B" Ñ#  ÐC#  C" Ñ# .

Exercício 99. Considerando um referencial ortonormado do plano verifique que
os pontos
E" Ð%ß #Ñ,

E# Ð#ß 'Ñ, E$ Ð"ß (Ñ, E% Ð&ß &Ñ, E& Ð&ß "Ñ,

estão todos sobre uma mesma circunferência de centro no ponto GÐ"ß #Ñ.
Utilizando papel quadriculado ou papel milimétrico, desenhe um sistema de
eixos para este referencial e represente os pontos referidos.
Exercício 100. Considere num referencial ortonormado os pontos EÐ"ß #Ñ,
FÐ#ß !Ñ e GÐ$ß #Ñ. Utilizando a sua calculadora, determine, com aproximação
às milésimas, o perímetro do triângulo com vértices neste pontos.
– 111 –

Quando se está a considerar um referencial ortonormado, é usual chamar
abcissa e ordenada de um ponto às suas primeira e segunda coordenadas,
respectivamente e dar o nome de eixo das abcissas e eixo das ordenadas às
rectas que passam pela origem e têm as direcções dos primeiro e segundo
vectores do referencial vectorial.
Há ainda alguns procedimentos habituais que, que têm carácter mais psicológico que matemático e que não é obrigatório seguir:
1) É usual associar a letra B à primeira coordenada e a letra C à segunda.
2) No caso em que a posição do plano considerado permita que isso tenha
algum significado para nós, é usual escolher o referencial de modo que o
primeiro vector (e portanto o eixo das abcissas) fique com a direcção horizontal e
o sentido da esquerda para a direita e que o segundo vector (e portanto o eixo das
ordenadas) fique com a direcção vertical e o sentido de baixo para cima.
Se é verdade que, na ausência de uma razão para o não fazermos, será
conveniente seguirmos os procedimentos apontados (podemos relembrar esse
facto dizendo que seguimos a convenção psicológica), devemos estar preparados
para, nos casos em que isso se revelar cómodo, sabermos proceder a outro tipo
de escolha. Por exemplo, se jogar um papel importante no nosso estudo um
quadrado como o da figura a seguir, poderá ser cómodo escolher um referencial
com a origem num dos vértices do quadrado e os vectores com as direcções de
dois lados deste.

Figura 100
æ

æ

æ

æ

Todos nós já encontrámos dois processos diferentes de caracterizar um
conjunto de objectos dum certo tipo.
No primeiro processo, por exemplo quando nos referimos ao conjunto
Ö#ß $ß &ß (× de números naturais, temos a chamada caracterização em extensão,
em que enumeramos os elementos do conjunto , ou, dito de outro modo, damos
um método de encontrar todos os elementos do conjunto.
No segundo processo, por exemplo quando nos referimos ao conjunto
Ö8 −  ± 8 é primo • 8  )×, temos a chamada caracterização em compreensão, em que o conjunto é definido a partir de uma condição (expressão
proposicional), de tal forma que os seus elementos são exactamente os objectos
que tornam a expressão proposicional verdadeira. Repare-se que, no dois
– 112 –

exemplos que apresentámos encontrámos um mesmo conjunto definido primeiro
em extensão e depois em compreensão.
Cada um dos dois processos tem as suas vantagens e os seus defeitos: Na
definição em extensão é muito simples encontrar elementos do conjunto mas
pode ser trabalhoso, se o número de elementos do conjunto for grande, decidir se
um dado objecto pertence ou não ao conjunto32. Na definição em compreensão é
em geral muito simples verificar se um dado objecto pertence ou não ao conjunto
mas pode ser trabalhoso encontrar elementos do conjunto.33
Exercício 101. Suponhamos que estamos a trabalhar no contexto dos números
naturais.
a) Dê duas caracterizações em compreensão do conjunto Ö#ß %×.
b) Dê uma caracterização em extensão do conjunto Ö8 −  ± 8# œ '8  )×.
No sentido estrito da nomeação explícita de todos os elementos, a definição
em extensão só é possível no caso dos conjuntos finitos. Existe, no entanto, uma
variante, que também pode ser considerada uma forma de definição em extensão,
e que partilha as qualidades e defeitos que atrás apontámos para esta: facilidade
de exibir elementos e dificuldade de determinar se um objecto pertence ou não ao
conjunto. É por exemplo a definição que aparece quando definimos o conjunto
dos quadrados perfeitos como o conjunto dos números da forma 8# , com 8 − ,
ou quando nos referimos à representação vectorial da recta em P 47, na página
61, dizendo que, fixado um ponto E e um vector director Ä, os pontos desta são
?
os que se podem escrever na forma E  +Ä, com + − ‘. Neste tipo de
?
caracterização, a que podemos dar o nome de caracterização em extensão
generalizada ou caracterização paramétrica, o que se faz é dar uma expressão
designatória com uma variável34, o parâmetro (8 no primeiro exemplo e + no
segundo), e considerar que os elementos do conjunto são exactamente aqueles
que podem ser obtidos como valores da expressão designatória quando o
parâmetro é substituído por elementos dum conjunto dado ( no primeiro
exemplo e ‘ no segundo). Uma notação possível para nomear conjuntos caracterizados parametricamente corresponde a escrever, nos casos exemplificados
atrás
Ö8# × , ÖE  +Ä× . 35
?
8−

+−‘

Exercício 102. No contexto dos números naturais, apresente uma caracterização
paramétrica do conjunto dos números ímpares.
32O

que pensaria do seu professor se este lhe pedisse para verificar se aparece na lista
telefónica de Lisboa o telefone com o número 218437105?
33Tente encontrar um elemento do conjunto ÖB − ‘ ± B&  B  " œ %×Þ
34Ou mais variáveis; pensar, por exemplo na representação vectorial dum plano, referida
em P 51, na página 64.
35Por vezes também são utilizadas as notações Ö8# ± 8 − × e ÖE  +Ä ± + − ‘× mas
?
preferimos evitá-las para não correr o risco de fazer confusão com as definições em
compreensão que utilizam notações deste tipo.

– 113 –

æ

æ

æ

æ

Quando o contexto em que estamos a trabalhar é o dos pontos do espaço ou
dum plano, é costume falar de lugar geométrico para nos referirmos ao conjunto
dos pontos que verificam uma certa condição. Os lugares geométricos são assim
conjuntos de pontos definidos em compreensão. Relembremos alguns lugares
geométricos que já conhecemos:
1) Dados dois pontos distintos E e F do plano, o lugar geométrico dos pontos
do plano que estão à mesma distância de E e F é uma recta, nomeadamente a
prependicular à recta EF que passa pelo ponto médio do segmento ÒEF] (a
mediatriz do segmento ÒEFÓ).
2) Dados dois pontos distintos E e F do espaço, o conjunto dos pontos do
espaço que estão à mesma distância de E e F é um plano, a saber o plano
perpendicular à recta EF que passa pelo ponto médio do segmento ÒEF] (o
plano mediador do segmento ÒEFÓ).

C
A

P

B

C'

Figura 101
3) Dadas duas rectas < e = concorrentes num plano !, o conjunto dos pontos
do plano ! que estão à mesma distância de < e de = é a união de duas rectas,
nomeadamente, as bissectrizes dos ângulos definidos por aquelas rectas.

Figura 102
4) Dados um ponto G dum plano ! e um número <  !, o lugar geométrico
dos pontos do plano ! a distância < do ponto G é a circunferência de centro G e
raio <.
– 114 –

5) Dados dois pontos distintos E e F do plano, o lugar geométrico dos pontos
s
do plano tais que o ângulo EF é *!° é uma circunferência com diâmetro
ÒEFÓ, com os pontos E e F retirados.

Figura 103
Exercício 103. Descrever os seguintes lugares geométricos:
a) Dadas duas rectas estritamente paralelas < e = no plano !, o lugar geométrico
dos pontos de ! à mesma distância das rectas < e =.
b) Dados três pontos não colineares, o lugar geométrico dos pontos do espaço
equidistantes desses três pontos. Sugestão: Reparar que este lugar geométrico se
pode obter como intersecção de dois outros lugares geométricos.
c) Dados dois pontos distintos E e F do plano, o lugar geométrico dos pontos
s
do plano tais que o ângulo EF é '!°.
Para além dos lugares geométricos atrás referidos, há outros que, apesar de
aparentemente simples, não sabemos ainda identificar. Por exemplo:
1) Dados dois pontos distintos E e F do plano, o que será o lugar geométrico
dos pontos do plano cuja distância a E é dupla da sua distância a F?

Figura 104
2) Dados, num plano, uma recta < e um ponto E não pertencente a <, o que
será o lugar geométrico dos pontos do plano tais que a distância de a < é

– 115 –

igual à distância de a E?

Figura 105
Uma das vantagens da Geometria Analítica, que estamos a estudar, é a de
fornecer um método sistemático de examinar este tipo de questões. A ideia é
caracterizar certos conjuntos de pontos através de condições envolvendo as
respectivas coordenadas num referencial ortonormado.
De agora em diante, nesta secção, estará sempre implícito que estamos a
trabalhar num plano, no qual se fixou um referencial ortonormado definido
pela origem S e pelos vectores Ä e Ä.
/B /C
Como primeiro exemplo, tentemos encontrar uma condição que caracterize os
pontos de uma certa recta < cuja direcção seja a do vector Ä (ou seja, se
/C
utilizarmos a “convenção psicológica” uma recta vertical).

Figura 106
Se " Ç ÐB" ß C" Ñ é um ponto particular da recta <, sabemos que os pontos da
recta são exactamente aqueles que podem ser escritos na forma "  > Ä, com
/C
> − ‘, ou seja, uma vez que Ä Ç Ð!ß "Ñ, e portanto > Ä Ç Ð!ß >Ñ e
/C
/C
"  > Ä Ç ÐB" ß C"  >Ñ.
/C
Chegámos assim à conclusão que um ponto Ç ÐBß CÑ está na recta < se, e só
se, B œ B" e C se pode escrever na forma C"  >, para algum > − ‘, por outras
palavras, a recta em questão admite a caracterização paramétrica
– 116 –

< œ ÖÐB" ß C"  >Ñ×>−‘ .
Mas, C" sendo dado, que números reais é que se podem escrever na forma C"  >,
com > − ‘? Todos! (será capaz de arranjar uma justificação deste facto para um
colega seu excepcionalmente céptico?). Em resumo, podemos dar também a
caracterização em compreensão da recta:
Um ponto Ç ÐBß CÑ está em < se, e só se, B œ B"
ou ainda
A recta < pode ser caracterizada pela equação B œ B" .
Um raciocínio inteiramente análogo levar-nos-ia à conclusão que, se = é uma
recta com a direcção do vector Ä (uma recta horizontal) passando pelo ponto
/B
" Ç ÐB" ß C" Ñ, então = admite a caracterização paramétrica
= œ ÖÐB"  >ß C" Ñ×>−‘
e a caracterização em compreensão
Um ponto Ç ÐBß CÑ está em = se, e só se, C œ C" ,
o que ainda pode ser enunciado na forma
A recta = pode ser caracterizada pela equação C œ C" .

Figura 107
Usando a “convenção psicológica”, podemos assim dizer:
P 82. As rectas verticais são os conjuntos de pontos do plano que
podem ser caracterizados por uma equação do tipo B œ B" (com B"
número real fixado) e as rectas horizontais são aqueles que podem ser
caracterizados por uma equação do tipo C œ C" (com C" número real
fixado).
É fácil caracterizar também no mesmo espírito outros conjuntos relacionados
com os anteriores.
– 117 –

Suponhamos, por exemplo, que queremos caracterizar um dos semiplanos
determinados pela recta vertical de equação B œ $, por exemplo o constituído
pelos pontos que estão para a direita desta recta. É fácil concluir que uma
condição que caracteriza os pontos deste semiplano é a de terem uma abcissa
maior que a abcissa comum dos pontos daquela recta. Podemos assim dizer que
os pontos do semiplano à direita da recta de equação B œ $ são caracterizados
pela condição B  $ (neste caso uma inequação). O semiplano que
caracterizámos é o chamado semiplano aberto, uma vez que não inclui a própria
recta. Se quiséssemos encontrar uma condição que caracterizasse o semiplano
fechado correspondente, poderíamos tomar a condição B $.
Noutros casos, para arranjar uma condição que caracterize um conjunto mais
complexo, isso virá facilitado se conseguirmos representar o conjunto como
intersecção, ou união, de conjuntos mais simples: Se soubermos caracterizar estes
por condições, a intersecção pode ser caracterizada pela conjunção das condições
e a união pode ser caracterizada pela disjunção destas. Ainda noutros casos pode
acontecer que o conjunto que nos é proposto seja o complementar de outro mais
facilmente caracterizável. Podemos então obter uma caracterização do primeiro
tomando simplesmente a negação da condição que caracteriza o segundo.
Exercício 104. Determine condições que caracterizem os conjuntos seguintes.
a)

c)

b)

d)

Figura 108
Utilizámos a convenção de representar a cheio as rectas cujos pontos estão
incluídos no conjunto considerado e a tracejado aquelas cujos pontos não
pertencem a este.
Um caso particular importante de conjuntos do tipo dos que encontrámos na
alínea a) do exercício precedente são os quadrantes de que decerto já falou: O
complementar da união dos dois eixos coordenados é formado pelos pontos cujas
coordenadas são ambas não nulas36 e pode ser assim decomposto como união de
36Será

que reconheceu nesta afirmação uma aplicação das primeiras leis de de Morgan?

– 118 –

quatro conjuntos, consoante o sinal de cada uma das coordenadas.
Quadrante
Primeiro
Segundo
Terceiro
Quarto

Abcissa
maior que !
menor que !
menor que !
maior que !

Ordenada
maior que !
maior que !
menor que !
menor que !

Figura 109
Repare-se que a imagem visual da identificação dos diferentes quadrantes,
que acaba por se tornar inconsciente, pressupõe que estamos a seguir aquilo a
que chamámos a “convenção psicológica” sobre a posição dos eixos. Como identificaria os quadrantes se o referencial considerado fosse o correspondente à
figura a seguir (onde o eixo das abcissas está agora na posição vertical)?

Figura 110
Depois de termos estudado representações paramétricas e equações das rectas
horizontais e das rectas verticais, é natural tentarmos proceder do mesmo modo
relativamente às restantes rectas do plano. Relativamente às representações
paramétricas, já temos o resultado praticamente estudado desde o momento em
que referimos em P 47, na página 61, a representação vectorial duma recta.
Consideremos, com efeito uma recta <, em qualquer posição, que passe por um
ponto, E Ç ÐB" ß C" Ñ e que admita um vector director Ä Ç Ð-ß .Ñ. Sabemos
?
então que < admite a representação paramétrica

– 119 –

< œ ÖE  >Ä×>−‘ ,
?
que, traduzida em termos das coordenadas, pode ser escrita na forma
< œ ÖÐB"  >-ß C"  >.Ñ×>−‘ .
À caracterização anterior é costume dar o nome de equação vectorial da recta,
embora fosse mais apropriado falar de “representação vectorial da recta”, para
tornar claro que não estamos em presença de uma equação, no sentido habitual37.
Por vezes também se escreve a equação vectorial da recta na forma
B œ B"  >œ C œ C  >.,
"

que devemos entender como significando o mesmo que a formulação que
apresentámos anteriormente.
Repare-se que uma mesma recta admite muitas representações vectoriais, uma
vez que podemos partir de qualquer ponto particular E e de qualquer vector
director Ä.
?
Exercício 105. Uma recta do plano admite a representação vectorial
< œ ÖÐ"  >ß #>Ñ×>−‘ .
a) Determine as coordenadas de um ponto particular da recta e de um vector
director desta.
b) Determine as coordenadas de mais três pontos da recta.
c) Verifique se o ponto Ð$ß 'Ñ pertence ou não à recta <.
d) Tente arranjar uma caracterização em compreensão dos pontos desta recta
(uma equação da recta).
Já descobrimos como escrever a representação vectorial duma recta quando
conhecemos um ponto particular e um vector director da recta. Em muitos casos
uma recta aparece-nos caracterizada a partir de dois pontos distintos EÐB" ß C" Ñ e
FÐB# ß C# Ñ por onde ela passa. Para determinar então uma equação vectorial da
recta basta escolher um desses dois pontos como ponto particular e tomar para
Ä
vector director o vector EF Ç ÐB#  B" ß C#  C" Ñ (lembrar que qualquer vector
não nulo da recta pode servir como vector director).
Exercício 106. Determine uma equação vectorial da recta que passa pelos pontos
EÐ"ß #Ñ e FÐ"ß %Ñ. A partir da equação vectorial obtida, tente encontrar uma
caracterização em compreensão dos pontos dessa recta (uma equação da recta).
Tentemos agora examinar em geral o que possivelmente já fez nos casos
particulares dos dois exercícios precedentes: Procuremos obter uma caracterização em compreensão dos pontos de uma recta <, da qual conhecemos um ponto
particular EÐB" ß C" Ñ e um vector director Ä Ç Ð-ß .Ñ. A recta será vertical se, e
?
37As

equações aparecem é nas caracterizações em compreensão.

– 120 –

só se, o vector director tiver a direcção de Ä, ou seja, se, e só se, - œ !. Uma vez
/C
que, para a recta vertical, já sabemos que ela admite a equação B œ B" , vamos
centrar a nossa atenção apenas nas rectas não verticais, isto é, naquelas onde
- Á !. O nosso problema está em procurar uma condição necessária e suficiente
para que um ponto ÐBß CÑ pertença à recta, envolvendo apenas as coordenadas
B e C. Ora, o conhecimento da equação vectorial da recta, que obtivémos atrás
diz-nos que ÐBß CÑ está sobre a recta se, e só se, para algum valor de > − ‘, se
tiver simultaneamente
B œ B"  >œ C œ C  >..
"

Mas que valor de > poderá verificar estas duas condições? Uma vez que - Á !,
sabemos que existe um, e um só valor de > que verifica a primeira condição, a
saber o valor
B  B"
>œ
,
que se obtém resolvendo a primeira equação em ordem a >. A existência de um
valor de > que verifique ambas as condições anteriores é assim equivalente à
condição de o valor de > que determinámos verificar também a segunda equação,
isto é de se ter
B  B"
C œ C" 
..
Obtivémos assim a equação procurada, que pode ainda ser transformada noutra
equivalente com um aspecto mais útil:
Cœ

.
.B"
B  ÐC" 
Ñ.
-

O resultado a que chegámos pode ser enunciado do seguinte modo:
P 83. Uma recta não vertical passando pelo ponto EÐB" ß C" Ñ e
admitindo o vector Ä Ç Ð-ß .Ñ como vector director pode ser
?
caracterizada pela equação
C œ 7B  ,,
chamada equação reduzida da recta, onde os números reais 7 e , são
dados por
7œ

.
,
-

, œ C"  7B" .

As fórmulas para 7 e , atrás referidas merecem algum comentário.
Em primeiro lugar não é necessário conhecer de cor a fórmula para , , uma
vez que ela pode ser deduzida muito facilmente em cada caso concreto: Uma vez
– 121 –

que o ponto EÐB" ß C" Ñ pertence à recta, as suas coordenadas devem verificar a
equação, ou seja C" œ 7B"  , , donde se deduz que , œ C"  7B" . O valor de ,
também tem outra interpretação muito importante: Se na equação C œ 7B  ,
tomarmos B œ !, obtemos C œ ,, o que pode ser interpretado dizendo que Ð!ß ,Ñ
é o único ponto da recta que está no eixo das ordenadas.
Passemos agora à interpretação do valor de 7 que aparece na equação
reduzida da recta.
Comecemos por considerar um vector não nulo Ä do plano que, relativamente
?
ao referencial ortonormado que estamos a considerar, não seja vertical. Tem-se
assim Ä Ç Ð-ß .Ñ, com - Á !. Nessas condições, ao número real . dá-se o nome
?
de declive do vector Ä (relativamente ao referencial ortonormado que está implí?
cito). A interpretação intuitiva do declive fica clara se olharmos para o vector
como translação. Uma vez que se tem Ä œ - Ä  . Ä, o translação pode ser
?
/B
/C
interpretada como um movimento “para a direita” de - unidades seguido de um
movimento “para cima” de . unidades38; o declive é assim o quociente daquilo
que se subiu por aquilo que se andou para a direita, noção que possivelmente já
encontrámos quando falamos do declive de uma estrada.
Uma propriedade fundamental do declive dum vector, que, de certo modo,
está na base da sua importância em Geometria, é a de que ele não se altera
quando subsituímos o vector Ä por outro com a mesma direcção, ou seja, por
?
outro da forma >Ä, com > − ‘ não nulo. Com efeito, sendo Ä Ç Ð-ß .Ñ , tem-se
?
?
>Ä Ç Ð>-ß >.Ñ e portanto os declives . e >. são iguais. De facto podemos dizer
?
>mesmo mais, não só dois vectores não verticais com a mesma direcção têm o
mesmo declive como dois vectores não verticais com o mesmo declive têm a
mesma direcção (há portanto equivalência entre os vectores terem o mesmo
declive e terem a mesma direcção). Com efeito, sendo Ä Ç Ð-ß .Ñ eÄ Ç Ð-w ß .w Ñ
?
@
w
w
com o mesmo declive, portanto com . œ .w , então, tomando > œ - , vem -w œ >w
Ä
e, da igualdade . œ . , concluímos que se tem também .w œ >. , ou seja,Ä œ >? .
@
>Uma vez que todos os vectores duma dada recta têm a mesma direcção, as
considerações anteriores permite-nos apresentar a seguinte definição:
Chama-se declive de uma recta não vertical (relativamente ao referencial ortonormado que está implícito) ao declive de qualquer um dos
vectores não nulos da recta.
Além disso, uma vez que duas rectas são paralelas se, e só se, os vectores das
duas rectas são os mesmos, podemos também dizer:
P 84. Duas rectas não verticais são paralelas se, e só se, têm o mesmo
declive.

38Interpretamos,

como é usual, um movimento para a esquerda de, por exemplo, 5
unidades como sendo um movimento para a direita de & unidades, uma convenção
análoga sendo feita para os movimentos na vertical.

– 122 –

Reparemos enfim que o resultado que obtivémos atrás sobre o equação
reduzida de uma recta não vertical pode agora ser enunciado de forma mais
precisa.
P 85. Uma recta não vertical pode ser caracterizada em compreensão
por uma equação do tipo C œ 7B  ,, onde 7 é o declive da recta e , é a
ordenada do ponto de intersecção da recta com o eixo das ordenadas.
Exercício 107. Verifique que a recta <, bissectriz dos quadrantes ímpares (cf. a
figura 111), admite a equação reduzida C œ B. Obtenha analogamente a equação
reduzida da recta <w , bissectriz dos quadrantes pares.

Figura 111
Exercício 108. Determine um ponto particular e um vector director da recta com
equação reduzida C œ $B  &.
Exercício 109. Como pode caracterizar, em termos do declive, as rectas horizontais.
Exercício 110. Considerando a recta < de equação reduzida C œ #B  $, determine uma equação da recta = paralela à recta < e que passa pelo ponto
F Ç Ð"ß #Ñ.
Exercício 111. Dada uma recta não vertical com equação reduzida C œ 7B  , ,
determine uma equação paramétrica desta recta, com um parâmetro > a variar em
‘Þ Repare que essa representação paramétrica não tem que ser obtida a partir de
uma representação vectorial da recta. Sugestão: Para cada > − ‘, considerar o
ponto da recta com abcissa B œ >.
Exercício 112. Determine os valores de > para os quais o ponto Ç Ð># ß #>Ñ
pertence à recta de equação reduzida C œ #B  %.

– 123 –

Exercício 113. Determine as coordenadas do ponto de intersecção das rectas < e
<w , sabendo que:
a) As rectas < e <w admitem as equações reduzidas C œ #B  % e C œ $B  ',
respectivamente.
b) A recta < está definida pela equação reduzida C œ B  # e a recta <w passa pelo
ponto EÐ#ß "Ñ e tem Ä Ç Ð"ß #Ñ como um dos seus vectores directores.
?
Sugestão: Determine a equação vectorial da recta <w e utilize-a para a resolução.
c) As rectas < e <w admitem respectivamente as representações paramétricas
Bœ#>
œC œ $  > ,

Bœ">
œ C œ #  > .

Cuidado! Deverá pensar com cuidado no significado das representações paramétricas, para evitar cair numa situação aparentemente sem saída.
Em qual das alíneas foi mais simples determinar as coordenadas do ponto de
intersecção?
æ

æ

æ

æ

Vamos estudar agora a caracterização em compreensão, por condições envolvendo as coordenadas dos seus pontos, de outros conjuntos que podem ser
definidos como lugares geométricos ligados à noção de distância.
O primeiro exemplo é a circunferência. Comecemos com um caso concreto
muito simples: Uma circunferência de centro na origem do referencial e de raio,
digamos $. Um ponto ÐBß CÑ está sobre essa circunferência se, e só se, a
Ä
distância de à origem S é igual a $, isto é, a norma do vector S é igual a $.
Ä
Mas, uma vez que S Ç ÐBß CÑ, a norma deste vector é igual a ÈB#  C# .
Podemos assim caracterizar a circunferência em compreensão na forma
ÖÐBß CÑ ± ÈB#  C# œ $×

ou ainda, com um aspecto mais bonito,
ÖÐBß CÑ ± B#  C# œ *×.
A possibilidade de escrever esta segunda caracterização, conhecida a primeira,
vem de que que podemos escrever
ÈB#  C# œ $ Í B#  C# œ *.

A validade desta equivalência exige alguma atenção. Que o primeiro membro
implica o segundo é evidente, uma vez que se dois números são iguais, os seus
quadrados também o são e B#  C# é o quadrado de ÈB#  C# ! Mas como é que
sabemos que o segundo membro implica o primeiro? Em geral dois número
diferentes (como $ e $) podem ter o mesmo quadrado! A razão por que, neste

– 124 –

caso, o segundo membro implica o primeiro está no facto de ÈB#  C# e $ serem
ambos positivos (no sentido lato).
O que fizémos atrás com aquela circunferência particular pode ser facilmente
adaptado para circunferências com centro num ponto qualquer e com qualquer
raio. Estudemos então o caso geral da circunferência com centro num ponto
GÐB" ß C" Ñ e raio V  !. Uma vez que a distância dum ponto ÐBß CÑ ao ponto G
é dada pela fórmula ÈÐB  B" Ñ#  ÐC  C" Ñ# a circunferência vai ser caracterizada pela equação ÈÐB  B" Ñ#  ÐC  C" Ñ# œ V ou, o que é equivalente, pela
equação ÐB  B" Ñ#  ÐC  C" Ñ# œ V # .
P 86. Uma circunferência de centro no ponto GÐB" ß C" Ñ e raio V pode
ser caracterizada pela equação
ÐB  B" Ñ#  ÐC  C" Ñ# œ V # .
Exercício 114. Seja < a recta que passa pelos pontos EÐ"ß 'Ñ e FÐ$ß #Ñ.
Determine as coordenadas dos pontos de intersecção desta recta com a circunferência de centro no ponto GÐ#ß "Ñ e raio &.
Exercício 115. Considere a circunferência de centro na origem S do referencial
e raio #!Þ De entre todas as rectas do plano que passam pelo ponto EÐ!ß #&Ñ,
algumas não intersectam a circunferência, outras intersectam-na em dois pontos e
duas intersectam-na apenas num ponto. Determine a equação reduzida destas
últimas rectas.

Figura 112
Exercício 116. a) Determine uma condição que caracterize os pontos do círculo
de centro no ponto GÐ#ß "Ñ e raio &.
b) A intersecção do círculo referido com a recta vertical de equação B œ " é
um segmento de recta. Determine uma condição que caracterize essa intersecção

– 125 –

e o comprimento do segmento de recta.

Figura 113
Em certos casos concretos a equação que obtivémos para a circunferência
pode ser transformada numa equação mais simples, por desenvolvimento dos
quadrados que aparecem no primeiro membro. Suponhamos, por exemplo que
estamos a estudar a circunferência de centro no ponto GÐ"ß !Ñ e raio ". De acordo
com o que vimos, esta circunferência pode ser caracterizada pela equação
ÐB  "Ñ#  C# œ ".
Desenvolvendo o quadrado no primeiro membro e simplificando, podemos obter
sucessivemente outras equações equivalentes:
B#  #B  "  C# œ "
B#  #B  C# œ !.
Esta última equação é talvez mais simples que a original mas, em compensação39, olhando para ela não era imediatamente aparente que o conjunto
representado era uma circunferência nem havia indicações sobre quais os possíveis raio e centro. Em certos casos uma equação como esta última pode-nos
aparecer na resolução de um problema concreto e pode ser importante tentar o
caminho inverso de modo a fazer aparecer a equação que nos identifica a
circunferência (naturalmente isso só é possível se e equação representar
efectivamente uma circunferência…). No exercício seguinte vamos aplicar esse
método para responder a uma das questões que foi levantada sem resposta na
página 115.
Exercício 117. Dados dois pontos distintos E e F dum plano, mostre que o
conjunto dos pontos do plano cuja distância a E é dupla da distância a F é
uma circunferência e explique como se pode obter o centro e o raio dessa circunferência:
Sugestão: 1) Tome a distância de E a F como unidade de comprimento e

39Não

se pode ter tudo…

– 126 –

Ä
escolha um referencial ortonormado com origem E e Ä œ EF.40
/B
2) Escreva uma equação para o lugar geométrico, relativamente ao referencial
considerado.
3) Transforme a equação obtida de forma a identificar a equação de uma circunferência.
Exercício 118. Seguindo um caminho análogo ao seguido no exercício anterior,
generalize-o no seguinte sentido: Sejam E e F dois pontos distintos dum plano e
5 um número real maior que ! e diferente de ". Mostre que o conjunto dos
pontos do plano tais que distÐß EÑ œ 5 distÐß FÑ é uma circunferência e
identificar o raio e o centro desta. O que seria este conjunto no caso em que
5 œ "?
Recordemos que, se E e F são dois pontos distintos dum plano, a mediatriz
do segmento ÒEFÓ, isto é, a recta perpendicular à recta EF e passando pelo
ponto médio deste segmento pode ser caracterizada como o conjunto dos pontos
desse plano que estão equidistantes de E e F. Vejamos num exemplo concreto
como se pode tirar partido desta caracterização para obter uma equação da
mediatriz. Tomemos, para fixar ideias, E Ç Ð"ß #Ñ e F Ç Ð"ß $Ñ. Um ponto
ÐBß CÑ está na mediatriz se, e só se distÐß EÑ œ distÐß FÑ, condição equivalente à equação
ÈÐB  "Ñ#  ÐC  #Ñ# œ ÈÐB  "Ñ#  ÐC  $Ñ#

ou ainda, uma vez que ambos os membros desta igualdade são sempre positivos
(no sentido lato), à equação
ÐB  "Ñ#  ÐC  #Ñ# œ ÐB  "Ñ#  ÐC  $Ñ# .
Desenvolvendo ambos os membros desta equação e simplificando o resultado,
obtemos sucessivamente as equações equivalentes
B#  #B  "  C#  %C  % œ B#  #B  "  C#  'C  *
%B  #C  & œ !.
Obtivémos assim a equação do primeiro grau a duas incógnitas
%B  #C  & œ !
como equação da recta mediatriz do segmento ÒEFÓ.
Exercício 119. Seria possível prever que o conjunto
ÖÐBß CÑ ± %B  #C  & œ !×
tinha que ser uma recta, mesmo sem saber que ele é a mediatriz do segmento
40Este

é um dos passos fundamentais que pode contribuir para simplificar a resolução de
um problema geométrico pelos métodos da Geometria Analítica. Devemos procurar
escolher um referencial que pareça simplificar a resolução.

– 127 –

ÒEFÓ? Determine, em particular, o declive desta recta e a ordenada do ponto em
que ela intersecta o eixo das ordenadas.
Exercício 120. a) Verifique que o simétrico do ponto E Ç Ð#ß $Ñ relativamente
à bissectriz dos quadrantes ímpares é o ponto F Ç Ð$ß #Ñ. Sugestão: Repare
que dizer que um ponto F é o simétrico de um ponto E relativamente a uma recta
< é o mesmo que dizer que < é a mediatriz do segmento ÒEFÓ. Lembre a equação
para a mediatriz dos quadrantes ímpares encontrada no exercício 107.
b) Quais serão as coordenadas do ponto simétrico do ponto E Ç Ð#ß $Ñ relativamente à bissectriz dos quadrantes pares?
c) Generalize o que fez na alínea a) de forma a mostrar que o simétrico de um
ponto E Ç Ð+ß ,Ñ relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares é o ponto
F Ç Ð,ß +Ñ. O que será o simétrico do ponto E Ç Ð+ß ,Ñ relativamente à
bissectriz dos quadrantes pares?

Figura 114
Exercício 121. Lembre que o circuncentro de um triângulo, isto é, o centro de
circunferência que passa pelos vértices deste, pode ser obtido como intersecção
das mediatrizes de dois quaisquer dos seus lados.

Figura 115
Determine o circuncentro do triângulo de vértices nos pontos EÐ"ß #Ñ, FÐ"ß $Ñ e
– 128 –

GÐ!ß "Ñ. Utilize a sua calculadora para determinar, com aproximação às
centésimas, o raio da circunferência circunscrita a este triângulo.
Um dos pontos da mediatriz dum segmento de recta ÒEFÓ é evidentemente o
ponto médio Q desse segmento.

Figura 116
Existe um modo muito simples de determinar as coordenadas desse ponto
médio, conhecidas as coordenadas dos pontos E e F, que se baseia na
Ä
Ä
observação simples de que se tem EQ œ " EF .
#
Sendo E Ç ÐB" ß C" Ñ e F Ç ÐB# ß C# Ñ, deduzimos sucessivamente que
Ä
EF Ç ÐB#  B" ß C#  C" Ñ
Ä
" Ä
B#  B" C#  C"
EQ œ EF Ç Ð
ß
Ñ
#
#
#
Ä
B#  B"
C#  C "
B"  B# C"  C#
Q œ E  EQ Ç ÐB" 
ß C" 
ÑœÐ
ß
Ñ.
#
#
#
#
Podemos assim enunciar uma propriedade com características mnemónicas:
P 87. Se Q é o ponto médio do segmento ÒEFÓ e se E Ç ÐB" ß C" Ñ e
F Ç ÐB# ß C# Ñ, então
Q ÇÐ

B"  B# C"  C#
ß
Ñ,
#
#

por outras palavras, as coordenadas do ponto médio são as médias das
coordenadas correspondentes dos pontos de partida.
Ainda no quadro do exame de lugares geométricos em que intervém a noção
de distância vamos examinar outra das questões que levantámos, sem resposta, na
página 115. Uma vez que o lugar geométrico em questão não é ainda nosso
conhecido, começamos por apresentar uma definição.

– 129 –

Chama-se parábola ao conjunto dos pontos de um plano ! que estão
equidistantes de um ponto E − ! e de uma recta < § ! que não passa por
E. Diz-se então que a parábola tem o foco E e a directriz <.
Uma vez que não sabemos ainda utilizar a Geometria Analítica para
determinar a distância de um ponto a uma recta em posição arbitrária, vamos
tentar obter uma equação para a parábola no caso em que a directriz está numa
posição especialmente simples, por exemplo que seja uma recta horizontal (o
caso em que temos uma recta vertical é igualmente simples). No sentido de obter
um resultado visualmente mais agradável vamos ainda particularizar mais a
posição da directriz e do foco. Mais precisamente, vamos fixar um número 5  !
e procurar uma equação para a parábola com foco no ponto EÐ!ß 5Ñ e com
directriz horizontal com equação C œ 5.

Figura 117
Tentemos então encontrar uma condição para que um ponto ÐBß CÑ pertença à
parábola. A distância do ponto à recta < é a distância de à sua projecção
sobre a recta < que tem coordenadas ÐBß 5Ñ, e é portanto igual a
ÈÐB  BÑ#  ÐC  5Ñ# œ ÈÐC  5Ñ# œ lC  5l .41

Por outro lado, a distância de ÐBß CÑ a EÐ!ß 5Ñ é igual a ÈB#  ÐC  5Ñ# . A
equação procurada pode ser assim escrita na forma
ÈÐC  5Ñ# œ ÈB#  ÐC  5Ñ# ,

sucessivamente equivalente a

que não se pode escrever simplesmente ÈÐC  5Ñ# œ C  5 , uma vez que
não sabemos se C  5 !.
41Repare-se

– 130 –

ÐC  5Ñ# œ B#  ÐC  5Ñ#
C#  #5C  5# œ B#  C#  #5C  5 #
%5C œ B#
B#
Cœ
.
%5
Chegámos assim à seguinte conclusão À
#

B
P 88. A equação C œ %5 caracteriza uma parábola tendo como foco o
ponto E Ç Ð!ß 5Ñ e como directriz a recta horizontal de equação C œ 5.

Exercício 122. Adapte o raciocínio precedente de forma a obter equações para as
seguintes parábolas:
a) O foco é o ponto EÐ!ß 5Ñ e a directriz é a recta horizontal de equação C œ 5.
b) O foco é o ponto EÐ5ß !Ñ e a directriz é a recta vertical de equação B œ 5.
Exercício 123. A equação C œ B# representa uma parábola. Diga quais o seu
foco e a sua directriz. Utilize papel quadriculado ou papel milimétrico para
representar, com o auxílio da sua calculadora, um certo número de pontos da
parábola referida e, a partir daí, procure esboçar um desenho de parte da
parábola. Utilize em seguida as capacidades gráficas da sua calculadora para
representar no respectivo mostrador uma parte do desenho da parábola. Compare
os resultados obtidos no papel e no mostrador da calculadora, descobrindo a
razão de eventuais diferenças.
As parábolas aparecem na vida real em várias situações. Em muitas delas não
é a parábola que aparece exactamente mas uma superfície que se obtém rodando
esta em torno do seu eixo (isto é da recta perpendicular à directriz que passa pelo
foco). Uma tal superfície, a que se dá o nome de parabolóide de revolução, tem
uma propriedade importante de reflexão que está a base da maioria das suas
aplicações: Uma recta paralela ao eixo ao chegar à superfície é reflectida42 numa
recta que vai passar pelo foco (e vice-versa, um recta que passa pelo foco é
reflectida numa recta paralela ao eixo).

Figura 118
42de

acordo com as leis usuais estudadas em Física.

– 131 –

Forno solar do CNRS em França
na região dos Pirinéus
Foto: Fernando Marques

É esta propriedade, que não estamos em condições de justificar neste momento,
que está na base da utilização de partes de parabolóides em situações como a
construção de objectivas para os telescópios, de antenas “parabólicas” para a
recepção de sinais de rádio e de reflectores para os faróis de automóveis.
Outra situação em que as parábolas nos aparecem na vida real está ligada com
o fenómeno da perspectiva exacta. Referimos atrás, embora sem apresentar
justificação para esse facto, que, quando representamos em perspectiva exacta
uma circunferência situada para lá do plano da representação, a imagem que se
obtém é uma elipse. De facto, mesmo que a circunferência original não esteja
toda para lá do plano da representação mas esteja ainda para lá do plano paralelo
a este que passa pelo observador, pode ainda provar-se que, apesar de não se
poder representar toda a circunferência, a parte que se representa é uma parte de
uma elipse. Se continuarmos a aproximar a circunferência, no momento em que
esta toca com um único ponto o último plano referido, pode provar-se que a
representação da parte visível é uma parte de uma parábola. Se continuássemos a
aproximar a circunferência, de forma a que esta intersecte o plano em dois
pontos, passaríamos a ter uma parte duma hipérbole, uma curva que ainda não
encontrámos no nosso estudo e que, a título de informação esboçamos a seguir.

– 132 –

Figura 119
Na figura a seguir tentamos descrever esta situação “vista de cima”, de forma que
o plano da representação e o plano paralelo a este, passando pelo observador, nos
aparecem como rectas (a segunda representada a tracejado).

Figura 120
æ

æ

æ

æ

Vamos agora examinar, através de alguns exemplos, como se modificam as
equações que caracterizam alguns conjuntos quando efectuamos certas
transformações sobre eles.
O primeiro tipo de transformação que vamos considerar é a translação.
Consideremos, para fixar ideias, a translação correspondente a Ä Ç Ð#ß "Ñ, que
?
sabemos transformar cada ponto Ç ÐBß CÑ no ponto

– 133 –

w œ Ä Ç ÐB  #ß C  "Ñ.
?
Essa translação vai transformar cada conjunto de pontos, noutro conjunto de
pontos, nomeadamente o conjunto dos pontos transformados dos primeiros. Por
exemplo, na figura seguinte aparece um quadrado e a sua imagem pela
translação, outro quadrado.

Figura 121
Na figura a seguir esboçámos um conjunto definido paramétricamente por
œ

B œ >$  >
,
C œ >#

com > a variar no intervalo Ò ' ß ' Ó, seguido da imagem do transformado desse
& &
conjunto pela translação que estamos a considerar.

Figura 122
Como poderíamos representar parametricamente este segundo conjunto? A
reposta é muito simples, uma vez que cada ponto Ç Ð>$  $ß ># Ñ é
transformado no ponto w Ç Ð>$  $  #ß >#  "Ñ, este segundo conjunto admite
a representação paramétrica
œ

B œ >$  >  #
,
C œ >#  "

com > a variar no mesmo intervalo.
– 134 –

Exercício 124. Repare que a sua calculadora gráfica possui a capacidade de, sob
certas condições, esboçar conjuntos definidos parametricamente. Utilize-a para
representar o conjunto que considerámos, assim como o seu transformado pela
translação.
Já quando aplicamos uma translação a um conjunto caracterizado em
compreensão temos que ser um pouco mais cuidadosos. Na figura a seguir representámos um esboço do conjunto V definido pela equação C# œ %B# Ð"  B# Ñ,
V œ ÖÐBß CÑ ± C# œ %B# Ð"  B# Ñ×,
assim como o seu transformado Vw pela translação que estamos a considerar.43

Figura 123
Como poderemos caracterizar o conjunto Vw por uma equação? Uma resposta
demasiado apressada poderia eventualmente levar-nos a pensar na equação
ÐC  "Ñ# œ %ÐB  #Ñ# Ð"  ÐB  #Ñ# Ñ, que se obtém da de V substituindo C por
C  " e B por B  #. No entanto, se pensarmos com um pouco mais de cuidado
no problema, verificamos que não é assim: Um ponto ÐBß CÑ pertence ao
conjunto Vw se, e só se, for o transformado de um ponto de V ou seja, se, e só se, o
único ponto do plano do qual ele é o transformado, o ponto
Ä Ç ÐB  #ß C  "Ñ,
?
pertencer a V. Podemos assim chegar à caracterização correcta:
Vw œ ÖÐBß CÑ ± ÐC  "Ñ# œ %ÐB  #Ñ# Ð"  ÐB  #Ñ# Ñ×.
Valerá talvez a pena destacar os fenómenos que aqui constatámos:

43Não

nos preocupemos de momento em saber como este esboço foi obtido. Apesar de a
sua calculadora gráfica não ser possivelmente capaz de esboçar imagens de conjuntos
definidos neste modo, existem programas de computador que o fazem com alguma
facilidade.

– 135 –

O transformado de um conjunto definido parametricamente pode ser
caracterizado parametricamente por utilização directa da transformação
em questão. Para encontrar uma equação que descreva o transformado de
um conjunto, definido em compreensão, torna-se necessário utilizar a
transformação inversa.
As transformações que consideramos em seguida são as simetrias relativas ao
eixo das ordenadas e ao eixo das abcissas. A simetria relativa ao eixo das
ordenadas transforma um ponto Ç ÐBß CÑ no ponto w Ç ÐBß CÑ e a simetria
relativa ao eixo das abcissas transforma aquele ponto no ponto ww Ç ÐBß CÑ.

Figura 124
Aquilo que fizémos atrás com as translações pode ser feito de maneira
análoga com qualquer destas duas simetrias, havendo mesmo um facilidade
suplementar que é explicada pelo exercício seguinte:
Exercício 125. Na simetria relativamente ao eixo das ordenadas cada ponto
Ç ÐBß CÑ é transformado no ponto w Ç ÐBß CÑ. E qual é o ponto cujo
transformado é ? Quer relação existe entre esta transformação e a transformação inversa? Repare que o mesmo fenómeno está presente na simetria relativamente ao eixo das abcissas.
Exercício 126. Considere de novo o conjunto da figura 122, definido parametricamente por
œ

B œ >$  >
,
C œ >#

com > − Ò ' ß ' Ó.
& &
a) Esboce à mão os transformados deste conjunto por meio das simetrias relativas aos dois eixos e determine representações paramétricas desses transformados.
b) Este conjunto é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas. Defina o que

– 136 –

isso significa e tente descobrir uma razão que nos levasse a prever esse facto,
independente do exame da figura.
Exercício 127. Considere de novo o conjunto V da figura 123, definido por
V œ ÖÐBß CÑ ± C# œ %B# Ð"  B# Ñ×.
Determine equações que caracterizem os simétricos de V relativamente ao eixo
das ordenadas e ao eixo das abcissas e descubra a razão que explica porque é que
este conjunto é simétrico relativamente aos dois eixos.
Para além das simetrias relativamente aos dois eixos, é também importante
considerar a simetria relativa à origem S das coordenadas. Trata-se da simetria
que transforma cada ponto ÐBß CÑ no ponto w ÐBß CÑ. Como qualquer
simetria que se preze, também esta transformação tem a propriedade de coincidir
com a sua transformação inversa.

Figura 125
Exercício 128. Determine a imagem por meio da simetria relativamente à origem
das coordenadas da recta de equação reduzida C œ #B  $.
Exercício 129. Por que razão um conjunto que seja simétrico tanto em relação ao
eixo das ordenadas como em relação ao eixo das abcissas é também simétrico
relativamente à origem? Dê exemplo de um conjunto, definido por uma equação,
que, apesar de não ser simétrico relativamente a nenhum dos dois eixos, seja
simétrico relativamente à origem.
Outra simetria que é frequente encontrar nas aplicações é a simetria relativa à
bissectriz dos quadrantes ímpares. Já verificámos no exercício 120 que o
simétrico de um ponto E Ç ÐBß CÑ relativamente a essa recta é o ponto
F Ç ÐCß BÑ. A partir daí é muito fácil obter caracterizações, paramétricas ou em
compreensão, do simétrico de um certo conjunto relativamente à bissectriz dos
quadrantes ímpares a partir das caracterizações correspondentes do conjunto de
partida.
– 137 –

Exercício 130. Consideremos de novo o conjunto representado parametricamente por
œ

B œ >$  >
,
C œ >#

com > − Ò ' ß ' Ó. Obtenha uma representação paramétrica do simétrico deste
& &
conjunto relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares.

Figura 126
Exercício 131. Considerando de novo o conjunto
V œ ÖÐBß CÑ ± C# œ %B# Ð"  B# Ñ×,
obtenha uma equação que caracterize o simétrico deste conjunto, relativamente à
bissectriz dos quadrantes ímpares.

Figura 127

– 138 –

Exercício 132. Considere os conjuntos definidos em compreensão por:
E œ ÖÐBß CÑ ± B#  C#  B œ &×,
F œ ÖÐBß CÑ ± B#  C$ œ #×,
G œ ÖÐBß CÑ ± ÐB#  BÑ$  ÐC#  CÑ$ œ  #}.
Sem tentar esboçar estes conjuntos diga quais os que pode garantir serem:
a) Simétricos relativamente ao eixo das abcissas.
b) Simétricos relativamente ao eixo das ordenadas.
c) Simétricos relativamente à bissectris dos quadrantes ímpares.
Outra transformação do plano que se encontra com frequência é a homotetia
com centro na origem S das coordenadas e com razão 5  !. A homotetia
transforma S em S e cada ponto Á S no ponto w situado na mesma
semi-recta de origem S que e cuja distância à origem é a de multiplicada
por 5. Por outras palavras, em termos vectoriais, se w é o transformado de ,
Ä
Ä
tem-se S w œ 5 S e portanto, sendo Ç ÐBß CÑ, tem-se w Ç Ð5Bß 5CÑ.
Às homotetias de razão 5  " também se dá o nome de dilatações e às de
razão 5  " o de contracções.
Nas figuras a seguir retomamos os conjuntos das figuras 122 e 123, acompanhados dos seus transformados por uma homotetia de razão $ .
#

Figura 128

Figura 129
– 139 –

Exercício 133. Lembrando que o primeiro conjunto conjunto na figura 128 era
caracterizado parametricamente por
œ

B œ >$  >  #
,
C œ >#  "

com > − Ò ' ß ' Ó, escreva uma caracterização paramétrica do seu transformado
& &
por meio da homotetia de centro na origem das coordenadas e razão $ .
#
Exercício 134. Lembrando que o primeiro conjunto na figura 129 era caracterizado em compreensão pela equação C# œ %B# Ð"  B# Ñ, encontre uma equação
que caracterize o seu transformado por meio da homotetia de centro na origem
das coordenadas e razão $ . Cuidado! Repare que o fenómeno que tornava as
#
simetrias mais simples que as translações já não está presente no caso das homotetias.
Exercício 135. Por definição, na homotetia de origem S e razão 5, para cada
Ä
Ä
com transformado w tem-se S w œ 5 S .
a) Mostre que, mais geralmente, dados dois pontos E e F, com os transformados
Ä
Ä
Ew e Fw , respectivamente, tem-se ainda Ew Fw œ 5 EF .
b) De que modo esta propriedade permite justificar a afirmação “Numa homotetia de razão 5 todas as distâncias vêm multiplicadas por 5 ”?
c) Numa homotetia de razão 5 uma recta é sempre transformada numa recta.
Utilize a equação vectorial da recta para justificar este facto.
d) Como pode justificar que numa homotetia de razão 5 os vértices de qualquer
triângulo são transformados nos vértices dum triângulo semelhante e concluir daí
que uma homotetia não altera os ângulos?
Para motivar o último exemplo de transformação geométrica que vamos
examinar no quadro da Geometria Analítica Plana, vamos voltar a pensar no que
se passa quando se considera uma perspectiva cavaleira, embora agora numa
posição muito particular.

Figura 130

– 140 –

Mais precisamente, vamos representar figuras situadas num plano horizontal (o
plano representado), usamos um plano vertical como plano de representação e
supomos que a direcção da perspectiva é perpendicular à intersecção dos dois
planos mas não é paralela ao plano representado.
Escolhemos um referencial ortonormado no plano representado de forma que
o eixo das abcissas seja paralelo à intersecção dos dois planos. Nas condições
particulares que escolhemos para a perspectiva cavaleira, as representações dos
eixos das abcissas e das ordenadas vão ser rectas perpendiculares no plano da
representação. Podemos assim considerar neste último um referencial ortonormado tendo como eixos das abcissas e das ordenadas as representações do eixos
correspondentes do plano representado e como sentido positivos nesses eixos
aqueles que representam os sentido positivos dos eixos originais.
Os segmentos do plano representado paralelos ao eixo das abcissas são
paralelos ao plano da representação e portanto, como sabemos, são representados
em verdadeira grandeza. Os segmentos do plano representado paralelos ao eixo
das ordenadas já não são obrigatoriamente representados em verdadeira grandeza
e tudo o que podemos dizer é que, para um certo real 5  ! (o coeficiente de
escala associado à direcção), o comprimento do segmento representado é igual ao
do segmento original multiplicado por 5.
O valor de 5 determina-se muito facilmente se olharmos “de lado” para a
figura anterior, de forma que os planos representado e de representação nos
apareçam como rectas;

Figura 131
o valor de 5 é assim o quociente do cateto oposto ao ângulo ! pelo cateto
adjacente, ou seja, é a tangente do ângulo !Þ O valor de 5 pode assim tomar
qualquer valor do intervalo Ó!ß _Ò, conforme a direcção escolhida para a
perspectiva.
É agora fácil estudar analíticamente o modo como funciona a perspectiva,
usando a convenção de notar Sw , w , Ew , etc… as representações dos pontos S,
, E, etc… Sendo Ç ÐBß CÑ, sabemos que podemos ir de S para indo
primeiro de S para E, com a direcção do eixo das abcissas e seguidamente de E
para com a direcção do eixo das ordenadas. Podemos então ir de Sw para w
começando por ir de Sw para Ew , com a direcção do eixo das abcissas, e
seguidamente de Ew para w , com a direcção do eixo das ordenadas. Uma vez
Ä
que SE œ B Ä e que esta direcção é representada em verdadeira grandeza,
/B
– 141 –

Ä
Ä
Ä
w
tem-se também Sw Ew œ B /B . Uma vez que E œ C Ä e que nesta direcção
/C
Äw
Ä
w
w
temos o coeficiente de escala 5 , tem-se E œ 5C /C . Chegamos assim à
w
conclusão que o ponto é representado no novo referencial ortonormado pelo
par ordenado ÐBß 5CÑ.
Destaquemos então a conclusão a que acabámos de chegar:
P 89. Considerando uma perspectiva cavaleira nas condições atrás
descritas e os referenciais ortonormados escolhidos do modo indicado, A
imagem de um ponto Ç ÐBß CÑ é o ponto w Ç ÐBß 5CÑ, onde
5 − Ó!ß _Ò é o coeficiente de escala associado à direcção do eixo das
ordenadas.44
Repare-se que a transformação atrás referida é também utilizada fora do
contexto da perspectiva cavaleira com alguma frequência. Por exemplo, é ela que
é utilizada nas calculadoras gráficas para adaptar os gráficos pedidos à dimensão
da janela visível.
Exercício 136. Considere uma perspectiva cavaleira com coeficiente de escala
5 œ $ . Considere no plano representado o conjunto da figura 122, que pode ser
%
definido parametricamente por
œ

B œ >$  >  #
,
C œ >#  "

com > − Ò ' ß ' Ó. Determine uma equação paramétrica da sua perspectiva e utilize
& &
a sua calculadora gráfica para comparar a figura original com a perspectiva
correspondente.
Exercício 137. Considere uma perspectiva cavaleira com coeficiente de escala 5.
Considere no plano representado um circunferência de centro na origem das
coordenadas e raio V. Mostre que a perspectiva desta circunferência admite a
equação
C
B#  Ð Ñ# œ V# .
5
Se nos lembrarmos que chamámos elipses às figuras que podem aparecer
como perspectiva cavaleira de uma circunferência, podemos assim dizer:
P 90. Dados 5  ! e V  ! a equação B#  Ð C Ñ# œ V# representa uma
5
elipse.

44Repare

na semelhança com as homotetias, a diferença estando em que apenas a segunda
coordenada vem multiplicada por 5 .

– 142 –

Exercício 138. Explique a afirmação “As circunferências são casos particulares
de elipses”.
Exercício 139. Mostre que o conjunto representado pela equação
%B#  *C# œ $'
é uma elipse e determine o coeficiente de escala e o raio da circunferência que o
originou como perspectiva.
Se resolveu o exercício precedente, facilmente constatará que aquilo que fez
com os coeficientes %, * e $' poderia ser feito de modo análogo com quaisquer
outros, o que permite enunciar o seguinte resultado geral:
P 91. Dados -  !, .  ! e V  !, a equação
-# B#  .# C# œ V#
representa uma elipse, que pode aparecer como perspectiva cavaleira, com
coeficiente de escala . , de uma circunferência de raio V .45
Exercício 140. Mostre que o conjunto representado pela equação
#B#  C# œ "
é uma elipse e determine o coeficiente de escala e o raio da circunferência que o
originou como perspectiva. Sugestão: Pode utilizar a caracterização em P 91.
A equação obtida em P 91 pode ser escrita numa forma equivalente que tem o
mérito de fazer aparecer constantes + e , com um significado geométrico mais
rico. Para a obtermos começamos por dividir ambos os membros da equação por
V# , o que conduz à equação equivalente
Ð

- #
.
BÑ  Ð CÑ# œ "
V
V

e introduzimos então as constantes + e , pelas igualdades + œ
conduz a escrever a equação na forma
B
C
Ð Ñ#  Ð Ñ# œ ".
+
,

V
-

e,œ

V
,
.

o que


45Só

por uma questão de comodidade escrevemos os coeficientes na forma de quadrados,
- # , . # e V# . É claro que quaisquer números positivos se podem escrever daquela maneira.

– 143 –

P 92. Dados -  !, .  ! e V  !, a elipse de equação
-# B#  .# C# œ V#
pode ser caracterizada equivalentemente pela equação
B
C
Ð Ñ#  Ð Ñ# œ ",
+
,
onde + œ

V
-

e,œ

V
.
.

Exercício 141. Considere a elipse representada num certo referencial
ortonormado pela equação
B
C
Ð Ñ#  Ð Ñ# œ ".
+
,
a) Em que condições se pode afirmar que a elipse anterior é uma circunferência?
b) Repare que os eixos coordenados do referencial considerado são eixos de
simetria da elipse e determine os pontos desses eixos que pertencem à elipse.
æ

æ

æ

æ

Em P 91 obtivémos a equação de uma elipse obtida como perspectiva cavaleira de uma circunferência. Utilizámos para isso uma perspectiva cavaleira numa
situação algo especial, em que, em particular, a direcção da perspectiva era
perpendicular à intersecção do plano da representação com o plano da
circunferência, o que conduziu a uma simplificação nos cálculos. Uma questão
que ficou sem a resposta foi qual a relação entre as elipses que são obtidas como
perspectivas cavaleiras deste tipo especial e as que são obtidas por perspectivas
cavaleiras mais gerais. A resposta, como veremos, vai ser a de que não se obtém
nada de novo quando se consideram perspectivas cavaleiras mais gerais, mais
precisamente, que as perspectivas cavaleiras de circunferências nas situações
mais gerais continuam a poder ser definidas, num referencial conveniente, por
uma equação da forma
-# B#  .# C# œ V# .
Para chegarmos à conclusão que acabamos de referir, vamos considerar uma
perspectiva cavaleira, definida por uma certa direcção e com um plano de
representação !w e vamos tentar estudar, do ponto de vista da Geometria
Analítica Plana, as perspectivas de pontos num certo “plano representado” !.
Não vamos supor, como no caso particular já estudado, a condição restritiva de
os planos ! e !w se intersectarem segundo uma recta perpendicular à direcção da
perspectiva. Suporemos apenas a condição natural de a direcção da perspectiva
não ser paralela ao plano representado ! nem ao plano da representação !w .
O nosso primeiro objectivo será relacionar as coordenadas ÐBß CÑ de um ponto
T do plano !, relativamente a um certo referencial ortonormado desse plano,
– 144 –

com as coordenadas ÐBw ß Cw Ñ da perspectiva T w de T , relativamente a um
referencial ortonormado conveniente do plano !w Þ Para isso será natural
trabalharmos com um referencial ortonormado do plano ! definido pela origem
S e pelos vectoresÄB eÄC ortogonais e de norma " e tomar como referencial de
/
/
!w aquele que tem por origem Sw a imagem de S pela perspectiva e como
referencial vectorial o constituído pelas imagens ÄBw e ÄC w dos vectores ÄB e ÄC .
/
/
/
/
O problema está em que, uma vez que as perspectivas cavaleiras não têm que
“respeitar” os comprimentos nem os ângulos, este último referencial não será
usualmente ortonormado.

Figura 132
No exemplo ilustrado na figura anterior os vectores do referencial obtido na
perspectiva não têm norma " nem são ortogonais entre si. Se ao menos eles
fossem ortogonais talvez já conseguíssemos continuar o nosso estudo de forma
não muito complicada… Esse objectivo menos ambicioso já pode felizmente ser
atingido! Pode-se provar que, se escolhermos convenientemente o referencial
vectorial ortonormado constituído pelos vectores ÄB e ÄC , podemos sempre
/
/
conseguir que os correspondentes vectores ÄBw e ÄC w , apesar de não terem
/
/
obrigatoriamente norma ", fiquem ortogonais entre si. Apesar de não estar neste
momento ao nosso alcance uma justificação completa da possibilidade de
escolher um tal referencial vectorial ortonormado, podemos apresentar um
argumento intuitivo nessa direcção que poderá ser transformado numa verdadeira
justificação quando mais tarde viermos a fazer um estudo mais aprofundado das
propriedades das funções.
A ideia do argumento é muito simples: Suponhamos que escolhemos o
referencial vectorial ortonormado original de modo arbitrário (cf. a figura 132) e
que os correspondentes vectores ÄBw e ÄC w não ficaram ortogonais, como nós
/
/
desejaríamos.

Figura 133
– 145 –

Rodemos “continuamente” os vectores ÄB e ÄC até ÄB ficar na posição em que
/
/
/
Ä
estava ÄC e ÄC ficar na posição em que estava / B e examinemos o que sucede
/
/
aos correspondentes vectoresÄBw eÄC w (cf. a figura 133).
/
/
Ä w eÄ w no decurso da rotação referida é algo que não
O modo como variam / B / C
conhecemos perfeitamente mas o que é fácil concluir é que, no final desta, a
posição em que ficaÄBw é aquela em que estavaÄC w e a posição em que ficaÄC w é
/
/
/
Ä
aquela em que estava / Bw (cf. a figura 133). Daqui concluímos que os ângulos
formados pelos vectoresÄBw eÄC w antes e depois de feita a rotação são suplemen/
/
tares e, portanto, que um deles é agudo e o outro é obtuso. O facto que vamos
admitir intuitivamente é que no decorrer da rotação o ângulo formado pelos vectoresÄBw eÄC w “varia continuamente” e que, portanto, se começou por ser obtuso
/
/
e acabou sendo agudo (ou vice-versa) nalgum momento intermédio ele há de ser
recto. É a posição nesse momento intermédio aquela que procurávamos (cf. a
figura 134).

Figura 134
Os vectores ÄBw e ÄC w , imagens de ÄB e de ÄC , apesar de serem mutuamente
/
/
/
/
ortogonais, não constituem um referencial vectorial ortonormado uma vez que os
seus comprimentos, iguais aos coeficientes de escala das direcções de ÄB e de
/
Ä , não têm que ser ". Uma vez que em Geometria Analítica queremos trabalhar,
/C
sempre que possível, com referenciais vectoriais ortonormados, vamos substituir
os vectores ÄBw e ÄC w pelos vectores com a mesma direcção e sentido e que têm
/
/
norma ", vectores que deixam evidentemente de ser as imagens dos vectoresÄB e
/
Ä . As conclusões a que chegámos até agora podem ser enunciadas do seguinte
/C
modo:
P 93. Consideremos um plano ! que representamos em perspectiva
cavaleira num plano !w , com uma direcção de perpspectiva que não é
paralela a nenhum dos dois planos. É possível escolher um referencial
vectorial ortonormado ÄB ßÄC do plano ! e um referencial vectorial
/ /
Ä w ß Ä w do plano !w de tal modo que, sendo 5  ! e j  !
ortonormado / B / C
os coeficientes de escala associados às direcções de ÄB e ÄC , respectiva/
/
mente, as imagens dos vectores ÄB e ÄC nesta perspectiva sejam os
/
/
vectores 5ÄB e jÄC .
/
/

– 146 –

É agora muito fácil comparar as coordenadas, relativas a estes referenciais
vectoriais ortonormados, de um vector Ä do plano ! com as do vector Äw do
?
?
plano !w , imagem daquele pela perspectiva: Se Ä Ç ÐBß CÑ, ou seja, se
?
Ä œ BÄ  CÄ , tem-se Äw œ BÐ5Ä w Ñ  CÐjÄ w Ñ, ou seja, Äw Ç Ð5Bß jCÑ. Se
?
/B
/C
?
/B
/C
?
nos lembrarmos da relação entre as coordenadas de um ponto e as coordenadas
do respectivo vector de posição relativas à origem do referencial, podemos
enunciar para as coordenadas dos pontos a propriedade precedente:
P 94. Nas condições de P 93, fixemos uma origem S no plano ! e
tomemos como origem no plano !w a imagem Sw de S pela perspectiva.
Seja E um ponto do plano ! com imagem Ew no plano !w . Sendo
E Ç ÐBß CÑ e Ew Ç ÐBw ß Cw Ñ, tem-se
Bw œ 5 B,

Cw œ j C.

Está finalmente ao nosso alcance obter, num referencial ortonormado
conveniente, uma equação para a elipse que se obtém como perspectiva cavaleira
no plano !w de uma circunferência de raio V no plano !. Tomamos para isso
como origem S no plano ! o centro da circunferência e como origem no plano
!w a perspectiva Sw de S. Fixamos além disso referenciais ortonormadas nas
condições que temos estado a referir. Sabemos então que a circunferência do
plano ! vai ser o conjunto dos pontos Ç ÐBß CÑ tais que B#  C# œ V # . Uma
vez que cada ponto w do plano !w , com w Ç ÐBw ß Cw Ñ, é perspectiva de um
w
w
único ponto Ç ÐBß CÑ do plano !, a saber aquele com B œ B e C œ C .
5
j
Concluímos que a elipse no plano !w , perspectiva da circunferência, vai ser
constituída pelos pontos w Ç ÐBw ß Cw Ñ tais que
Ð

Bw #
Cw
Ñ  Ð Ñ# œ V # ,
5
j

equação que pode ser escrita na forma, que nos é mais familiar,
#

#

-# Bw  .# Cw œ V# ,
desde que se tome - œ

"
5

e . œ ".
j
– 147 –

æ

æ

æ

æ

Existe ainda outro processo bem conhecido de obter elipses e que é
classicamente utilizado pelos jardineiros para desenhar o contorno de canteiros
com essa forma. Espeta-se duas estacas no chão a uma certa distância uma da
outra e unem-se essas estacas por um corda de comprimento maior que a distância entre elas. Com a ajuda de um objecto capaz de desenhar sulcos no chão, que
se apoia na corda esticando esta, desenha-se então uma curva formada por pontos
cuja soma das duas distâncias às estacas é igual ao comprimento da corda.
A construção dos jardineiros pode ser modelada em termos geométricos do
seguinte modo: Considerem-se dois pontos J e J w dum plano ! a uma distância
que será cómodo representar por #- (os focos), considera-se um comprimento
maior que #-, que será cómodo designar por #+, e procura-se estudar o lugar
geométrico dos pontos do plano para os quais a soma das distâncias de a J
e de a J w seja igual a #+.46 Vamos utilizar a Geometria Analítica para concluir
que este conjunto é uma elipse e, para isso, consideramos um referencial
ortonormado cuja origem é o ponto médio do segmento cujas extremidades são
os focos J e J w e orientado de tal modo que os focos fiquem situados no eixo das
abcissas. Nesse referencial tem-se assim J Ç Ð-ß !Ñ e J w Ç Ð-ß !Ñ.47

Observemos desde já que há dois pontos que pertencem claramente a este
lugar geométrico, a saber os pontos EÐ+ß !Ñ e Ew Ð+ß !Ñ, uma vez que,
lembrando que +  -, concluímos que as distâncias de cada um deles aos focos
são +  - e +  -. Outros dois pontos que pertencem ao lugar geométrico são os
pontos FÐ!ß ,Ñ e Fw Ð!ß ,Ñ, onde a constante ,  ! está definida pela condição
de se ter , #  - # œ +# , portanto , œ È +#  - # (lembrar, mais uma vez, que

46As

constantes + e - correspondem assim a metade do comprimento da corda e a metade
da distância entre os focos.
47ou vice-versa, mas fixamos esta escolha para fixar ideias.

– 148 –

+  -).

Em geral, podemos dizer que um ponto ÐBß CÑ pertence ao lugar geométrico
se, e só se, se verifica a seguinte condição:
(1)

ÈÐB  -Ñ#  C#  ÈÐB  -Ñ#  C# œ #+.

Esta condição é assim uma equação do nosso lugar geométrico mas, olhando
para ela, não é nada evidente que estejamos em presença de uma elipse. Que isso
acontece é o que vamos verificar em seguida, embora, para isso, tenhamos que
ser cuidadosos. Em primeiro lugar podemos transformar a equação (1) na
seguinte equação equivalente:
(2)

ÈÐB  -Ñ#  C# œ #+  ÈÐB  -Ñ#  C# .

Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, obtemos a equação
(3)

ÐB  -Ñ#  C# œ %+#  ÐB  -Ñ#  C#  %+ÈÐB  -Ñ#  C # Þ

Repare-se, no entanto que, pelo menos por agora, não nos é possível garantir
que as equações (2) e (3) sejam equivalentes, uma vez que não temos nada que
nos garanta que o segundo membro de (2) tem que ser maior ou igual a !
(lembrar que ## œ Ð#Ñ# e, apesar disso, não é verdade que # œ #). O que
podemos garantir é que sempre que (2) é verificado, (3) também é verificado. No
sentido inverso, apenas podemos garantir que, se (3) é verificado e se, além
disso, #+  ÈÐB  -Ñ#  C# !, então (2) também é verificado.
Apesar de não termos garantido ainda a equivalência dentre (2) e (3) vamos
continuar a tentar simplificar, obtendo as seguintes condições equivalentes a (3):
B#  #-B  -#  C# œ %+#  B#  #-B  - #  C#  %+ÈÐB  -Ñ#  C #
%-B  %+# œ %+ÈÐB  -Ñ#  C#

(4)

+

B œ ÈÐB  -Ñ#  C# .
+

– 149 –

Para fazermos desaparecer os últimos radicais que ainda resistem, elevamos
de novo ambos os membros ao quadrado e obtemos
(5)
+#  Ð Ñ# B#  #-B œ B#  - #  #-B  C# .
+
Mais uma vez, podemos por enquanto apenas garantir que todos os pares
ÐBß CÑ para os quais se verifica (4) também verificam (5). Para a recíproca, só
podemos garantir que os pares ÐBß CÑ, que verifiquem (5) e para os quais
+  + B !, também verificam (4). A equação obtida em (5) pode ser
simplificada se nos lembrarmos que +#  -# œ , # , e portanto também
+#  - #
,#
"  Ð Ñ# œ
œ #.
+
+#
+
Concluímos assim que (5) é equivalente a
(6)

,# #
B  C# œ , #
+#

e portanto também a
(7)

B
C
Ð Ñ#  Ð Ñ# œ ",
+
,

que já reconhecemos como sendo a equação de uma elipse. O nosso trabalho não
está, no entanto, ainda terminado. De acordo com o que fomos dizendo, apenas
está provado que todos os pontos do lugar geométrico de que partimos são
pontos da elipse caracterizada pela equação (7). Resta-nos mostrar que, reciprocamente, todos os pares ÐBß CÑ, para os quais se tem (7), tem-se também (1).
Suponhamos então que ÐBß CÑ verifica a equação (7). Já sabemos que ÐBß CÑ
#
verifica também a condição (5) e, por outro lado, B# Ÿ ", donde, lembrando que
+
-  +,
-# #
B Ÿ - #  +# ,
+#
ou seja
(8)

+ 

B  +.
+

A condição (8) garante, por um lado, que !  +  + B o que, como referimos
atrás, em conjunto com (5) é suficiente para garantir que (4), e portanto também
(3) é verificado. Por outro lado, a condição (8) garante que +  + B  #+, ou
seja, tendo em conta (4), que #+  ÈÐB  -Ñ#  C#  !. Esta condição, em
conjunto com (3), garante, como já referimos, que a condição (2), e portanto
também a condição (1) é verificada.

– 150 –

Terminámos assim a prova de que (1) e (7) são equivalentes, ou seja que o
lugar geométrico de que partimos é precisamente a elipse definida pela equação
(7).
A dedução feita atrás permite-nos, em particular, enunciar a seguinte
propriedade:
P 95 Se +  ,  !, a elipse de equação
B
C
Ð Ñ#  Ð Ñ# œ "
+
,
admite como focos os pontos de coordenadas Ð-ß !Ñ e Ð-ß !Ñ, onde
- œ È+#  , # , e pode ser caracterizada como o lugar geométrico dos
pontos do plano cuja soma das distâncias aos dois focos é #+.
Exercício 142. O que poderá dizer, sem repetir explicitamente os raciocínios
precedentes, sobre a elipse de equação
B
C
Ð Ñ#  Ð Ñ# œ "
+
,
no caso em que ,  +  !? E o que acontecerá no caso em que + œ ,  !?

7. Introdução à Geometria Analítica no Espaço.
Os fundamentos da Geometria Analítica no Espaço são muito semelhantes
aos da Geometria Analítica Plana e a razão por que começámos por estudar estes
com algum detalhe foi a de nos tentarmos manter desde o início num quadro mais
intuitivo e em que é mais fácil esboçar figuras.
Relembremos que, quando estudámos os vectores do espaço, chamámos
referencial vectorial a um triplo de vectores não complanares do espaço. Será
cómodo nas considerações que vamos fazer em seguida chamar Ä, Ä e Ä aos
/B /C /D
vectores de um certo referencial vectorial do plano ! (por vezes também se usam
outras notações, como Ä, Ä e Ä). Lembremos que, dado um vector arbitrário Ä
/" /# / $
A
do espaço, pode-se escrever de maneira única Ä na forma
A
Ä œ B Ä  C Ä  D Ä,
A
/
/
/
B

C

D

com B, C e D números reais e que então se diz que B, C e D são as coordenadas de
Ä relativas àquele referencial vectorial ou que Ä é representado pelo triplo
A
A
ordenado ÐBß Cß DÑ naquele referencial vectorial.
Mais uma vez, o que nós pretendemos agora é representar pontos do espaço e
não apenas vectores. Para o conseguirmos o que vamos fazer é considerar, para
além do referencial vectorial constituído pelos vectores Ä, Ä e Ä, um ponto
/B /C /D
fixado S, que tomamos como origem. Conhecer um ponto E do espaço é então o
– 151 –

Ä
mesmo que conhecer o vector SE (o vector de posição do ponto E) pelo que o
Ä
ponto E fica perfeitamente determinado pelas coordenadas do vector SE.
Chama-se referencial do espaço à escolha de um ponto S (a origem
do referencial) e de três vectores Ä, Ä e Ä constituindo um referencial
/B /C /D
vectorial. Relativamente a um tal referencial, chamam-se coordenadas de
Ä
um ponto E do espaço às coordenadas do vector de posição SE relativas
ao referencial vectorial, isto é, aos números reais B, C e D para os quais se
tem
Ä
SE œ B Ä  C Ä  D Ä.
/B
/C
/D
Quando o referencial está implícito, também se diz que o ponto E é
representado pelo triplo ordenado de números reais ÐBß Cß DÑ; de forma mais
abreviada, pode escrever-se também E Ç ÐBß Cß DÑ ou ainda simplesmente
EÐBß Cß DÑ.
Exercício 143. Tomando como referência o cubo na figura a seguir, considere o
Ä
Ä
Ä
/C
/D
referencial de origem S definido pelos vectores Ä œ SE, Ä œ SF e Ä œ SG .
/B

Figura 135
Determine, relativamente a este referencial:
a) As coordenadas dos oito vértices do cubo;
b) As coordenadas do ponto médio da face superior;
c) As coordenadas do ponto médio de uma aresta da base superior à sua escolha;
d) As coordenadas do centro do cubo.
Como no caso do plano também aqui é comum um método alternativo para
representar um referencial como o precedente. Em vez de se nomearem
explicitamente os vectores que constituem o referencial vectorial representam-se
as rectas que passam pela origem e têm as direcções desses vectores, assinalando
com as letras B, C e D os sentidos dos vectores e sugerindo uma escala de
medição em cada um dos eixos de modo que os vectores do referencial,
colocados com origem na origem deste, tenham extremidades nos pontos

– 152 –

correspondentes ao valor " da escala (cf. a figura a seguir).

Figura 136
Repetindo os argumentos utilizados no quadro da Geometria Analítica Plana,
também aqui é muito fácil justificar as duas propriedades seguintes:
P 96. Fixado um referencial do espaço e dados dois pontos
E" Ç ÐB" ß C" ß D" Ñ, E# Ç ÐB# ß C# ß D# Ñ
tem-se
Ä
E" E# Ç ÐB#  B" ß C#  C" ß D#  D" Ñ,
o que dá um carácter mnemónico para a notação E#  E" como
Ä
designação alternativa para o vector E" E# .

P 97. Fixado um referencial do espaço e dados um ponto e um vector
E Ç ÐBß Cß DÑ, Ä Ç Ð+ß ,ß -Ñ,
?
tem-se
E Ä Ç ÐB  +ß C  ,ß D  -Ñ,
?
o que explica a notação mnemónica E Ä para designar o transformado
?
do ponto E pela translação Ä.
?

– 153 –

Um referencial vectorial do espaço, constituído pelos vectores Ä, Ä e
/B /C
Ä, diz-se ortogonal quando estes vectores forem ortogonais dois a dois.
/D
Ele diz-se ortogonal e monométrico se, além disso, os três vectores
tiverem o mesmo comprimento.
No caso em que esteja implícita uma unidade de comprimento, um
referencial vectorial diz-se ortonormado quando for ortogonal e
monométrico e o comprimento comum dos três vectores for igual a ".
As designações anteriores aplicam-se também naturalmente a referenciais
do espaço, uma vez que estes têm um referencial vectorial associado.
Como acontecia no caso do plano, a importância de se considerarem
referenciais vectoriais ortonormados resulta da facilidade com que se pode
calcular a norma de um vector. Consideremos, com efeito, um referencial
vectorial ortonormado constituído pelos vectores Ä, Ä e Ä. Suponhamos que
/B /C /D
Ä Ç ÐBß Cß DÑ, ou seja, que Ä œ B Ä  C Ä  D Ä. Uma vez que o vector Ä é
?
?
/B
/C
/D
/D
Ä e Ä, a sua direcção é ortogonal a duas direcções
ortogonal aos dois vectores /B /C
distintas dum plano, e portanto também ortogonal a todas as direcções desse
plano. Em particular Ä é também ortogonal ao vector B Ä  C Ä desse plano e o
/D
/B
/C
mesmo vai acontecer ao vector D Ä, que tem a mesma direcção que Ä. Podemos
/D
/D
então aplicar a versão vectorial do teorema de Pitágoras, enunciada em P 79,
para deduzir que se tem
Ä
m? m# œ mB Ä  C Äm#  mD Äm# œ mB Ä  C Äm#  D # .
/
/
/
/
/
B

C

D

B

C

Mas, quando estudámos a Geometria Analítica Plana, já tínhanos verificado que
mB Ä  C Äm# œ B#  C# ,
/
/
B

C

pelo que podemos concluir que
Ä
m? m# œ B#  C#  D # .
A fórmula obtida é suficientemente importante para merecer ser destacada:
P 98. Consideremos um referencial vectorial ortonormado do espaço,
constituído pelos vectores Ä, Ä e Ä. SeÄ Ç ÐBß Cß DÑ, então
/B /C /D
?
Ä
m? m œ ÈB#  C#  D # .

Como antes, a partir da fórmula que nos dá o comprimento de um vector é
muito fácil encontrar uma fórmula para a distância entre dois pontos E" e E# , se
repararmos que essa distância não é mais do que o comprimento do vector
Ä
E" E# œ E#  E" .

– 154 –

P 99. Considerando um referencial ortonormado do espaço e dois
pontos E" e E# , com
E" Ç ÐB" ß C" ß D" Ñ, E# Ç ÐB# ß C# ß D# Ñ,
a distância distÐE" ß E# Ñ destes pontos é dada por

distÐE" ß E# Ñ œ ÈÐB#  B" Ñ#  ÐC#  C" Ñ#  ÐD#  D" Ñ# .

Exercício 144. Retomando o que fez no exercício 143 e supondo que a unidade
de comprimento utilizada coincide com a medida da aresta do cubo, determine o
comprimento das diagonais espaciais do cubo, assim como a distância de cada
vértice aos pontos médios das arestas que concorrem no vértice oposto.
Quando se está a considerar um referencial ortonormado, é usual chamar
abcissa, ordenada e cota de um ponto às suas primeira, segunda e terceira
coordenadas, respectivamente. Analogamente, dá-se o nome de eixo das abcissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas às rectas que passam pela origem e têm
as direcções dos primeiro, segundo e terceiro vectores do referencial vectorial.
De agora em diante, nesta secção, estará sempre implícito que se fixou
um referencial ortonormado definido pela origem S e pelos vectores Ä , / C
/B Ä
e Ä.
/D
Há ainda algumas convenções habituais que, que têm carácter mais psicológico que matemático e que não é obrigatório seguir:
1) É usual associar a letra B à primeira coordenada, a letra C à segunda e a
letra D à terceira.
2) No caso em que está implícito um observador numa posição normal,
toma-se o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas num plano horizontal e o eixo
das cotas numa posição vertical e com o sentido positivo a apontar para cima.
Relativamente aos eixos das abcissas e das ordenadas seguem-se se possível as
“convenções psicológicas” que referimos no estudo da Geometria Analítica
Plana.
Como no caso da Geometria Analítica Plana, referimo-nos às convenções
anteriores como sendo as “convenções psicológicas” para lembrar que, apesar de
serem irrelevantes do ponto de vista matemático, elas condicionam e explicam
certas expressões que utilizamos, como a de chamar verticais às rectas paralelas
ao eixo das cotas.
Tal como fizémos no caso da Geometria Plana, vamos agora verificar como
certos conjuntos podem ser caracterizados, em termos das coordenadas dos seus
pontos, parametricamente ou em compreensão.
Como primeiro exemplo, tentemos encontrar uma condição que caracterize os
pontos de uma certa recta < cuja direcção seja a do vector Ä (ou seja, se
/D
utilizarmos a “convenção psicológica” uma recta vertical).
Se " Ç ÐB" ß C" ß D" Ñ é um ponto particular da recta <, sabemos que os pontos
da recta são exactamente aqueles que podem ser escritos na forma "  > Ä,
/D
– 155 –

com > − ‘, ou seja, uma vez que Ä Ç Ð!ß !ß "Ñ, e portanto > Ä Ç Ð!ß !ß >Ñ e
/D
/D
 > Ä Ç ÐB ß C ß D  >Ñ,
/
"

D

"

"

"

chegámos à conclusão que um ponto Ç ÐBß Cß DÑ está na recta < se, e só se,
B œ B" , C œ C" e D se pode escrever na forma D"  >, para algum > − ‘. Por
outras palavras, a recta em questão admite a caracterização paramétrica
< œ ÖÐB" ß C" ß D"  >Ñ×>−‘ .
Mas, D" sendo dado, todos os números reais se podem escrever na forma D"  >,
com > − ‘. Podemos assim dar também a caracterização em compreensão da
recta:
Se Ç ÐBß Cß DÑ então − < Í ÐB œ B" • C œ C" Ñ
ou ainda
A recta < pode ser caracterizada pelo sistema de equações œ

B œ B"
.
C œ C"

Figura 137
Exercício 145. Caracterize parametricamente e por sistemas de equações as
rectas <w e <ww que passam pelo ponto " Ç ÐB" ß C" ß D" Ñ e têm respectivamente a
direcção do vector Ä e a direcção do vector Ä.
/C
/B
Exercício 146. Utilize as regras da perspectiva cavaleira para verificar se o ponto
" na figura anterior está bem colocado.
Quando estamos a trabalhar com um referencial no espaço, para além dos
eixos coordenados, das abcissas, das ordenadas e das cotas, é importante
considerar também os planos coordenados, que são os três planos que contêm
dois dos três eixos coordenados. É costume designar esses planos fazendo
referência aos eixos que cada um deles contém. Fala-se assim do plano
– 156 –

coordenado BSC (com a convenção psicológica, o plano horizontal) e nos planos
coordenados BSD e CSD (com a convenção psicológica, o plano frontal e o
plano lateral).
Dado um ponto " ÐB" ß C" ß D" Ñ, vamos agora procurar caracterizar, parametricamente e em compreensão, o plano ! paralelo ao plano BSC e que passa por
" .

Figura 138
Uma vez que os vectores Ä e Ä constituem um referencial vectorial do plano
/B /C
!, a representação vectorial deste que estudámos atrás garante-nos que os pontos
de ! são exactamente os que podem ser escritos na forma "  > Ä  >w Ä, com
/B
/C
> e >w arbitrários em ‘. Uma vez que >ÄB Ç Ð>ß !ß !Ñ e >wÄC Ç Ð!ß >w ß !Ñ, e por/
/
tanto "  > Ä  >w Ä Ç ÐB"  >ß C"  >w ß D" Ñ, podemos assim escrever a carac/B
/C
terização paramétrica de !
! œ ÖÐB"  >ß C"  >w ß D" Ñ×>ß>w −‘ .
Como no caso das rectas paralelas aos eixos coordenados, também aqui é fácil de
obter uma caracterização do plano ! em compreensão: Uma vez que quaisquer
números reais B e C se podem escrever na forma B œ B"  > e C œ C"  >w com >
e >w números reais convenientemente escolhidos, podemos escrever
! œ ÖÐBß Cß DÑ ± D œ D" ×,
o que também costuma ser enunciado dizendo que o plano ! pode ser caracterizado pela equação D œ D" .
Exercício 147. Caracterize parametricamente e por uma equação o plano que
passa pelo ponto " ÐB" ß C" ß D" Ñ e é paralelo ao plano BSD e aquele que passa
pelo mesmo ponto e é paralelo ao plano CSD .
Exercício 148. Caracterize em compreensão, por um sistema de equações, a
intersecção dos planos que passam pelo ponto " Ð$ß "ß #Ñ e são respectivamente paralelos ao plano BSD e ao plano CSD . Compare o resultado com a

– 157 –

caracterização que encontrámos atrás para as rectas paralelas aos eixos coordenados.
O método que seguimos atrás para determinar uma caracterização paramétrica
das rectas paralelas aos eixos coordenados pode ser aplicado na situação mais
geral em que queremos obter uma caracterização paramétrica duma recta com
qualquer direcção. Como no caso da Geometria Analítica Plana, o problema já
está praticamente resolvido desde que estudámos, em P 47, na página 61, a
representação vectorial duma recta. Consideremos, com efeito uma recta <, em
qualquer posição, que passe por um ponto, " Ç ÐB" ß C" ß D" Ñ e que admita um
vector director Ä Ç Ð-ß .ß /Ñ. Sabemos então que < admite a representação
?
paramétrica
< œ Ö  >Ä× ,
?
"

>−‘

que, traduzida em termos das coordenadas, pode ser escrita na forma
< œ ÖÐB"  >-ß C"  >.ß D"  >/Ñ×>−‘ .
À caracterização anterior é costume dar o nome de equação vectorial da recta.
Essa caracterização também costuma ser apresentada dizendo que < é caracterizada vectorialmente por
Ú B œ B"  >-

Û C œ C"  >.
Ü D œ D"  >/,
com > − ‘.
Exercício 149. Determine uma equação vectorial da recta < que passa pelo ponto
" Ç Ð"ß !ß "Ñ e tem a direcção do vector Ä Ç Ð"ß #ß !Ñ. Utilize essa
?
caracterização para determinar a intersecção da recta < com o plano ! que passa
pelo ponto # Ð$ß "ß #Ñ e é paralelo ao plano BSD .
Exercício 150. Determine uma equação vectorial da recta que passa pelos pontos
" Ð"ß !ß "Ñ e # Ð$ß "ß #Ñ.
Haveremos de estudar, no décimo primeiro ano, um método para caracterizar
em compreensão uma recta com qualquer direcção. Tal como a caracterização
encontrada atrás no caso das rectas paralelas aos eixos coordenados, também no
caso geral as rectas serão então caracterizadas por um sistema de duas equações.
æ

æ

æ

æ

Tal como fizémos no quadro da Geometria Analítica Plana, vamos estudar
agora a caracterização em compreensão, por condições envolvendo as coordenadas dos seus pontos, de conjuntos que podem ser definidos como lugares
geométricos ligados à noção de distância.
– 158 –

O primeiro exemplo é a superfície esférica. Do mesmo modo que a
circunferência de centro G e raio V  ! dum certo plano é o conjunto de pontos
desse plano cuja distância a G é V , sabemos que a superfície esférica de centro
G e raio V é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância a G é igual a V. Se
nos recordarmos da fórmula para a distância de dois pontos dos espaço referida
em P 99, podemos assim concluir que
P 100. A superfície esférica de centro no ponto GÐB" ß C" ß D" Ñ e raio V
é o conjunto dos pontos ÐBß Cß DÑ que verificam a equação
ÐB  B" Ñ#  ÐC  C" Ñ#  ÐD  D" Ñ# œ V # .
Exercício 151. a) Determine uma equação que caracterize a superfície esférica
de centro no ponto GÐ"ß "ß "Ñ e raio $.
b) Determine as coordenadas dos pontos de intersecção da superfície esférica
atrás referida com a recta que passa pelos pontos EÐ#ß #ß "Ñ e FÐ%ß "ß "Ñ.
Sugestão: Comece por determinar uma equação vectorial da recta.
O segundo exemplo é também uma generalização simples do que foi feito no
quadro da Geometria Analítica Plana e limitamo-nos a propô-lo como exercício.
Relembremos que, dados dois pontos distintos E e F do espaço, o plano
mediador, isto é, o plano perpendicular ao segmento ÒEFÓ passando pelo seu
ponto médio, pode ser caracterizado como o conjunto dos pontos do espaço que
estão à mesma distância de E e de F.
Exercício 152. Considerando os pontos E Ç Ð"ß #ß "Ñ e F Ç Ð"ß !ß "Ñ,
obtenha uma equação que caracterize os pontos do plano mediador do segmento
ÒEFÓ.
Um dos pontos do plano mediador do segmento ÒEFÓ é o ponto médio Q
deste segmento. Repetindo o raciocínio feito no quadro da Geometria Analítica
Plana, também aqui é muito fácil obter uma fórmula para as coordenadas do
ponto médio, quando são conhecidas as coordenadas dos pontos E e F de partida
(comparar com o enunciado em P 87):
P 101. Se Q é o ponto médio do segmento ÒEFÓ e se E Ç ÐB" ß C" ß D" Ñ
e F Ç ÐB# ß C# ß D# Ñ, então
Q ÇÐ

B"  B# C"  C# D"  D#
ß
ß
Ñ,
#
#
#

por outras palavras, as coordenadas do ponto médio são as médias das
coordenadas correspondentes dos pontos de partida.
Algumas das transformações que examinámos no quadro da Geometria Analítica Plana, como as translações, as simetrias e as homotetias, podem ser estudadas de modo análogo no quadro da Geometria Analítica do Espaço. Em vez de
– 159 –

examinar, uma por uma, cada uma dessas transformações, o que, não sendo
difícil, seria talvez fastidioso, limitamo-nos a propor o exercício seguinte em que
se procurará descobrir como algumas das simetrias podem ser caracterizadas em
termos de coordenadas.
Exercício 153. Considere o ponto E Ç Ð#ß &ß "Ñ e sejam F o ponto simétrico
de E relativamente ao plano BSC, G o ponto simétrico de E relativamente ao
eixo das abcissas e H o ponto simétrico de E relativamente à origem S.
Determine as coordenadas destes três pontos e represente-os em perspectiva na
figura seguinte.

Figura 139

– 160 –

Bibliografia
D. W. Farmer, Grupos e Simetria, um guia para descobrir a Matemática,
Gradiva, O Prazer da Matemática, no 24, 1999. ISBN 972-662-661-7.
H. R. Jacobs, Geometry, second edition, W. H. Freeman, 1987. ISBN 0-71671745-X.
Yolanda Lima & Francelino Gomes, XEQMAT, ed. O Livro, Lisboa, 1996.
ISBN 972-552-471-3.
G. G. Soler, Poliedros, Editorial Sintesis, Madrid, Matematicas: cultura e
aprendizaje, 15, 1991. ISBN 84-7738-114-3.

– 161 –

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