GeometriaDesign.ppt

“ Em toda obra de arte autêntica, (e por
autêntica se deve entender a tudo que pode
atender a uma finalidade biológica, tudo que
tenha geneticamente um valor), deve haver
dois elementos: um de natureza matemática
que dá causa à categoria de beleza, outro, de
natureza orgânica, que dá origem à categoria
de vitalidade. As maiores obras de arte, são,
portanto, as que conjugam esses dois
elementos em uma forma, a qual se pode
chamar de fundamental, porque possuem
tanto a beleza quanto a vitalidade”.
A Geometria do Design
Estudos sobre proporção e composição da forma
Herbert Read (1893-1968)
Poeta, crítico de arte e de literatura

Como profissional de design e educador, tenho
visto idéias conceitualmente perfeitas
enfrentarem dificuldades no processo de
criação, principalmente porque o designer não
é preparado para compreender os princípios
visuais da composição geométrica.
Tais princípios incluem a compreensão dos
sistemas clássicos de proporção, como a razão
áurea e os retângulos elementares, assim como
as relações e proporções, inter-relações entre
formas e suas linhas reguladoras.
Kimberly Elam Escola de Design de Ringling
Prefácio do autor
O objetivo da Geometria do Design não é
quantificar a estética através da geometria,
mas sim, mostrar as relações visuais que
têm seus fundamentos nas qualidades
essenciais da vida, assim como, a proporção
e padrões de crescimento é natural na
matemática.
Seu propósito é proporcionar um insight no
processo projetual e conferir coerência ao
design, através de uma “estrutura visual”.
De posse deste insight, o artista e o designer,
poderão encontrar validade e valores para
seus próprios trabalhos e projetos.
As obras selecionadas foram escolhidas porque
resistiram ao teste do tempo e sob muitos aspectos
podem ser considerados clássicos do design.
Sinopse

Todos são providos de sistemas naturais de
proporções que propiciam os fundamentos para
o trabalho artistas, arquitetos e designers.
Ao desvendar estes sistemas naturais, revela-
se a misteriosa relação entre a matemática e a
beleza. Nos conduz até o reino da geometria –
das Seções Ouro da Proporção Divina e da
Seqüência de Fibonacci – em linguagem
acessível a muitos dos avessos à matemática.
Ela nos mostra como a simetria, a ordem e o
equilíbrio visual realçam o design, desde os
pôsteres de Jan Tschichold à cadeira Barcelona
de Mies V. der Rohe até o novo Besouro (New
Beetle) da Volkswagen.
A Geometria do Design explica, não somente
como as ciências da medição informam, e até
mesmo criam, a beleza nas obras da natureza e
da criação humana mas, principalmente, como
usar tais técnicas para tornar belos os nossos
próprios designs.
Introdução
O que uma pinha, um corpo humano e uma truta tem em comum?

Albrecht Dürer Do formato correto das
cartas, 1535
“... um julgamento sadio abomina um quadro
cuja feitura tenha dispensado o conhecimento
técnico, mesmo que tenha sido executado com
cuidado e diligência. A única razão pela qual
pintores de tal categoria não se apercebem de
seus próprios erros é que eles não aprenderam
geometria, sem a qual ninguém se pode tornar
um artista absoluto, todavia, a culpa disso deve
ser creditada aos mestres, que por sua vez,
ignoram esta arte.”
Max Bill Retirado dos escritos de 1949
“Sou de opinião de que se pode desenvolver a
arte, com base no pensamento matemático.”
Le Corbusier Por Uma Nova Arquitetura, 1931
“A geometria é a linguagem do homem... ele
descobriu o ritmo, os ritmos aparentes aos olhos
e os espaços em suas relações mútuas, e estes
ritmos e espaços são as verdadeiras essências
das atividades humanas. Eles ressoam no
homem por uma inevitabilidade orgânica, a
mesma inevitabilidade que ocasiona o traçado da
seção áurea pelos jovens, velhos, selvagens e
instruídos.”
Josef Müller-Brockmann
O Artista Gráfico e seus Problemas
com Design,1968
“...as proporções dos elementos formais e seus
espaços intermediários estão muitas vezes
relacionados a certas progressões numéricas
lógicas.”
György Doczi O Poder dos Limites, 1994
“O poder da seção áurea em criar harmonia
deriva de sua propriedade única de unir partes
diferentes de um todo, de forma a que cada uma
delas preserva sua identidade própria, mas
amolda-se a um padrão maior de um todo.”
A natureza não conhece nenhuma estética contrária a razão.
Depoimentos

No contexto da obra humana e do mundo
natural existe uma comprovada preferência
humana cognitiva pela proporção áurea,
comprovada através da história. A arquitetura
de STONEHENGE, na Grã-Bretanha, onde se
encontra o mais importante monumento
megalítico da Europa (2000 a.C) é uma das
mais antigas evidências do uso do retângulo
áureo, com uma proporção de 1:1,618.
Encontram-se outras evidências em escritos,
na arte e arquitetura dos gregos e civilizações
antigas, no século 500 a.C.
Bem mais tarde, os artistas renascentistas
estudaram, documentaram e empregaram a
razão áurea em esculturas célebres, pinturas
e obras de arquitetura.
Além da obra humana, as proporções áureas
podem ser encontradas no mundo natural,
através das proporções dos seres humanos e
dos padrões de crescimento de muitas plantas,
animais e insetos.
O psicólogo alemão Gustav Fechner, no final
do 19° século, investigou a resposta humana
às qualidades estéticas especiais do
retângulo áureo. A curiosidade de Fechner
deveu-se à preferência estética pela seção
áurea, documentada numa extensa gama de
arquetipos culturais.
Fechner limitou seus estudos às obras
feitas pelos seres humanos, tomando as
medidas de milhares de objetos retangulares
como: caixas, prédios, livros, jornais etc.
Ele concluiu que o retângulo médio
aproximava-se do áureo, com a área 1:1,618,
e que a maioria das pessoas preferia
retângulos que guardassem aquela mesma
proporção.
A experiência de Fechner foi repetida por
Lalo, em 1908, e mais tarde por outros, que
obtiveram resultados similares.
Preferências Cognitivas de Proporção

1:1 5:6 4:5 3:4 7:10 2:3 5:8 13:23 1:2 2:5
Quadrado
Retângulo Áureo
Duplo Quadrado
Tabelas das Proporções Preferidas em Retângulos

A razão áurea não se limita unicamente às
preferências estéticas humanas, mas fazem parte
de relações notáveis entre as proporções dos
padrões de crescimento de entidades vivas, como
animais e plantas.
A espiral de contorno das conchas revela um
padrão acumulativo de crescimento, que já foram
objeto de numerosas investigações artísticas e
científicas. Tais padrões são espirais logarítmicas
de razão áurea, o que é conhecido como a teoria
perfeita do padrão de crescimento.
Theodore Andréas Cook, em seu livro “As Curvas
da Vida, descreve estes padrões de crescimento
como “Os processos essenciais da vida...”
Em cada fase de crescimento, caracterizada por
uma espiral, a nova espiral está muito próxima de
um quadrado de razão áurea, maior do que a
anterior.
Atlantic Sundial Shell
crescimento espiralado
Comparação da Tíbia Shell
com o padrão de crescimento
da seção de ouro.
A Anatomia do Compartilhar
Moon Snail Shell
crescimento espiralado

A Nautilus e outras conchas seguem exatamente
aquele padrão que mostram como elas se abrem
em espirais logarítmicas caracterizadas pelas
proporções da seção áurea.
Uma típica espiral logarítmica do crescimento de
uma concha mostra que cada estágio
consecutivo de expansão é contido por um
retângulo áureo que é um quadrado maior que o
anterior.
A estrela pentagonal, de cinco pontas, também
ostenta proporções áureas e pode ser
encontrada em muitos organismos vivos, como o
ouriço.
As subdivisões interiores de um pentágono dão
origem a uma estrela de cinco pontas, e a razão
de cada duas linhas numa estrela de cinco
pontas guarda a proporção de 1:1,618.
Chambered Nautilus
Construção da Espiral da Seção de Ouro
Pentagrama estrelar

Os padrões de crescimento de espirais de uma
pinha e do girassol são similares. As sementes de
cada um crescem como duas espirais que se
interceptam e movem-se em direções opostas, e
cada semente pertence a ambos os pares de
espirais. No exame das espirais de sementes de
uma pinha, 8 delas movem-se na direção dos
ponteiros de um relógio e 13 na direção contrária,
numa razão muito próxima da áurea.
No caso do girassol, há 21 espirais num sentido
e 34 no sentido oposto, também em proporções
próximas à áurea.
Os números 8 e 13, como achados na espiral da
pinha, 21 e 34, no girassol, são muito conhecidos
dos matemáticos. Eles são pares de adjacentes
de uma seqüência matemática denominada
Seqüência de Fibonacci. Cada número da
seqüência é determinado pela soma dos dois
números prévios: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
89, 144, 233...
A relação de cada dois números adjacentes é
progressivamente mais próxima da razão áurea
de 1:1,618.
Pinha
Girasol

Truta
Muitos peixes também apresentam proporções
áureas. Três seções de construção em
proporção áurea, aplicadas ao corpo de uma
truta, mostram as relações entre o olho e a
barbatana da cauda em retângulos e quadrados
áureos recíprocos. Além disso, as barbatanas
individuais também guardam essas mesmas
proporções.
A forma do peixe azul tropical cabe de forma
perfeita num retângulo áureo. Sua boca e
guelras apresentam-se em razões áureas
recíprocas em relação à altura do seu corpo.
Cavala Sardinha Perca

Da mesma forma que plantas e animais
apresentam proporções áureas, fenômeno
similar ocorre com os seres humanos.
Esta talvez seja uma explicação para a
preferência cognitiva pela razão áurea: a face e
o corpo humano guardam as mesmas relações
matemáticas encontráveis em outros seres
vivos.
De acordo com este esquema, o corpo humano
é dividido na metade da virilha, e pela seção
área, no umbigo. As estátuas do Gladiador e de
Zeus tomam por base a teoria de Vitruvius e a
análise de suas proporções é praticamente
idêntica.
Zeus
Gladiador
Proporções do Corpo Humano na Escultura Clássica

O quadrado inscreve a altura do corpo; mãos e pés
tocam o círculo cujo o centro é no umbigo. A figura é
dividida ao meio na virilha pela seção áurea cujo lado
superior do quadrado passa também no umbigo.
Um dos estudos escritos mais antigos,
encontrados sobre o assunto, foi o do arquiteto
grego Marcus Vitruvius Pollio, conhecido
simplesmente como Vitruvius. Ele defendia que a
arquitetura dos templos deveria tomar por base a
analogia com um corpo humano perfeitamente
proporcionado, que é harmônico em todas as
suas partes.
Vitruvius descreveu tal proporção, explicando que
num homem bem proporcionado, sua altura deve
equivaler ao comprimento de seus braços
estendidos (envergadura). A altura do corpo e o
comprimento de seus braços estendidos criam um
quadrado que envolve todo o corpo, enquanto as
mãos e os pés tocam um círculo, tendo o umbigo
como centro.
Vitruvius / Dürer / Da Vinci
Zeus analisado conforme o Canon de Vitruvius.

A teoria de Vitruvius inclui as proporções da
face e do corpo. As características faciais
guardam as proporções clássicas usadas nas
esculturas gregas e romanas.
Embora tanto Da Vinci como Dürer tivessem
empregado os padrões de Vitruvius, no que
toca às proporções do corpo, tal não acontece
com relação às faces, que apresentam
diferenças notáveis: o sistema facial de Da
Vinci está espelhado no de Vitruvius, e fracas
linhas de construção podem ser vistas no seu
desenho original das proporções humanas.
Proporções da Face
Comparação das proporções faciais (desenhos de Da
Vinci e Dürer)
A análise da proporção facial está em acordo com a
teoria de Vitruvius, e as proporções são praticamente
idênticas. O diagrama mostra um retângulo áureo
único, como guia para o comprimento e largura da
cabeça. Esse retângulo é subdividido por outros,
sempre em proporção áurea, para determinar a
colocação dos apêndices.

Estudos de Dürer sobre a proporção facial.
Quatro exemplos da “Quadro Cabeças Construídas”.
Estudos de Fisiognomia , cerca de 1526/27
Dürer, no entretanto, usa proporções diferentes.
As proporções por ele usadas em seu trabalho
“Homem inscrito num círculo” caracterizam-se por
órgãos faciais pequenos e uma grande fronte que
constituía, possivelmente, uma preferência
estética da época. A face é dividida em duas
partes por uma linha, uma no topo das
sobrancelhas, com os olhos, nariz e boca; abaixo
dela, um pescoço curto.
As mesmas proporções faciais são empregadas
repetidamente em muitos dos desenhos contidos
no livro “Quatro livros sob a proporção humana,”
de 1528.
Dürer fez também algumas experiências em seu
desenho “Quatro cabeças construídas,” no qual
ele introduziu linhas oblíquas na grade de
construção para produzir diversas variações.
Proporções da Face

De fato, Vitruvius, nos diz que os gregos até
projetavam seus templos de acordo com as
proporções humanas. Com base nisso, ele
recomenda que o comprimento de um templo
deve ser o dobro de sua largura, e as
proporções do vestíbulo aberto e da câmara
fechada interna devem conservar a relação 3 –
4 – 5; sendo 3 a profundidade do vestíbulo, 4 a
largura e 5, a profundidade da câmara.
Vitruvius fez também outras recomendações em
relação à muitas outras proporções para os
templos, por exemplo; as distâncias entre as
colunas e suas alturas ideais expressas com o
diâmetro da coluna.
Esse elemento foi chamado de Módulo, um
conceito que viria a cumprir um importante papel
no decorrer da história da arquitetura.
Conceito de Módulo

Geometria Modular
O estudo da geometria é extremamente
importante na formação de designers, artistas e
arquitetos: não há divisão de espaços sem a
modulação geométrica; não há sistemas
construtivos sem suportes geométricos que
definam a localização virtual de elementos.
A divisão pela utilização de módulos concerne
não somente ao plano, mas também, a outras
dimensões do espaço.
Saint Chapelle
Sistema LEGO
Sistema ABSTRACTA
A geometria modular é portanto o
estudo rigoroso de formas que
podemos planejar no plano para
conceber o espaço.

A partir de um triangulo:
Comece com um triângulo retângulo, cujos
catetos estão na proporção 1:2. Trace um arco
desde D, usando o segmento DA como raio,
que cruza a hipotenusa.
Trace um outro raio ao longo da hipotenusa,
desde C, usando o segmento CE como raio, até
interceptar a linha de base. Do ponto B, onde o
arco intercepta a base, trace uma vertical, até
encontrar a hipotenusa.
Esse método resulta em proporções áureas,
pois define os lados do retângulo AB e BC cuja
razão é de 1: 1,618.
Construção da Proporção Áurea
D
A C
E
B
x
2x

A partir de um quadrado:
Desenhe um quadrado. Trace uma diagonal,
partindo do centro da base A, até o vértice direto
superior B. Esta diagonal será o raio do arco de
uma circunferência, que se prolonga além dos
limites do quadrado, até o ponto C.
As duas figuras assim formadas (o quadrado
original e o retângulo obtido) formarão um
retângulo áureo. Quando isso acontece, resulta
em outro retângulo áureo proporcional, que lhe é
recíproco, restando ainda uma área quadrada.
Essa área e chamada de “gnomo”. A subdivisão
pode ser feita tantas vezes quantas se desejar,
resultando em retângulos e quadrados menores
de dimensões proporcionais.

Construção de uma Espiral Áurea
Usando o diagrama de subdivisão da seção
áurea, pode-se construir uma espiral áurea.
Use o comprimento dos lados dos quadrados
subdivididos com o raio de um círculo.
Corte e conecte os arcos de cada quadrado
do diagrama.

Quadrados Proporcionais
Os quadrados do diagrama de subdivisão da
seção áurea guardam, entre si, uma proporção
áurea.
Proporções áureas entre círculos e
quadrados
O método de construção do triângulo áureo
também pode resultar numa sucessão de
círculos ou quadrados que guardam, entre si,
a proporção áurea.

A estrela de cinco pontas criada pelas diagonais de um
pentágono regular resulta num pentagrama, cuja parte
central é outro pentágono, e assim sucessivamente.
Esta progressão de pequenos pentágonos e pentagramas
é conhecida como o "alaúde de Pitágoras," devido à
proporção com a razão áurea.
36°
72°
36°
72°
O triângulo áureo é isósceles, e é também
conhecido pelo nome de "triângulo sublime," por
apresentar propriedades estéticas ao retângulo
áureo; é o triângulo preferido pela maioria das
pessoas. É fácil de construí-lo, a partir de um
pentágono, com ângulo de 36° no vértice e 72°
na base.
Esta construção pode ainda gerar um outro
triângulo áureo, ligando-se a base do maior
triângulo ao vértice do pentágono, no lado
oposto. A conexão continuada dos vértices com
as diagonais resultarão num pentagrama em
forma de estrela.
O decágono - polígono de 10 lados - também
pode conter uma série de triângulos áureos,
conectando-se o ponto central a qualquer dos
vértices adjacentes.
Triângulo, Elipse e Espiral Áurea
Proporções Áureas num Pentagrama em forma de
estrela

A elipse áurea também ostenta características
estéticas semelhantes a do retângulo e do
triângulo áureo.
A exemplo do retângulo, os eixos maior e menor
guardam entre si a proporção de 1: 1.618
Um triângulo áureo pode ser subdividido numa série de
triângulos áureos menores, desenhados a partir de um
ângulo de 36° da base. A espiral é assim criada, usando-se
o comprimento dos lados dos triângulos das subdivisões
como raios de um círculo.
Triângulo, Elipse e Espiral Áurea
Espiral Áurea criada a partir de triângulos áureos

Um retângulo tem a propriedade de poder ser
dividido infinitamente em retângulos menores
proporcionais. Isto significa que, quando um
retângulo é dividido ao meio, sucedem dois
retângulos menores. Deve se observar que a
proporção de um retângulo aproxima-se
bastante da razão áurea. As proporções do
retângulo são 1:1,141 e a razão áurea é 1:
1,618.
Construção de um retângulo, pelo método
do quadrado.
1 - comece com um quadrado.
2 - trace uma diagonal dentro do quadrado e
use-a como arco que toca a linha de base do
quadrado. Prolongue os lados do quadrado e
obterá, assim, um retângulo √2.
Construção do Retângulo Raiz √2
1
2

Retângulos possuem a especial propriedade de
poderem ser divididos em número ilimitado de
retângulos proporcionais menores. Por este
motivo, eles se tornaram a base da norma
européia DIN (Deutsche Industrie Normen), que
regula a dimensão dos papéis.
Dobrando-se a folha uma vez, produz-se uma
metade. Se dobrada quatro vezes, a folha
resulta em 8 pedaços de papel etc. Este
sistema é não só eficiente, como conduz a uma
economia de papel. Cidades européias que
mantêm uma rica tradição de pôsteres e
outdoors, normalizaram áreas de colocação,
nas ruas, destes produtos, na proporção da
DIN.
Além de significar economia de papel, o método
do retângulo aproxima-se muito da razão áurea.
Sistema DIN de Classificação de Papéis
Os formatos de papel utilizados no mercado brasileiro
são padronizados pelo sistema internacional DIN série A,
aprovado pela ISO e recomendado pela ABNT. Partem
do formato original A0, cuja medida é 841x1189mm, que
corresponde à área aproximada de 1 metro quadrado.
Normas e Padronizações
A0 = 1 m2

Retângulo Raiz √3
Da mesma forma que o retângulo √2, os
retângulos podem ser divididos em retângulos
similares transformando-os em √3, √4, √5 que
podem ser divididos verticalmente ou
horizontalmente. O retângulo √3 pode ser
subdividido em três retângulos verticais; estes
podem ser subdivididos em três outros,
horizontais etc.
Construção de um retângulo √3
Inicie com um retângulo √2. Trace uma
diagonal neste retângulo. Use a diagonal como
arco, até a linha de base. Envolva a figura por
um retângulo, que será o √3.
√2 √3 √4 √5
√3

Subdivisão de um retângulo √3
Subdivida o retângulo √3 em três partes, para
criar três retângulos menores que serão
proporcionais. Subdivida-os novamente em
três partes. Este processo pode ser repetido
indefinidamente, em uma série infinita de
retângulos √3.
Construção de um hexágono
Pode-se construir um hexágono, a partir de um
retângulo. Basta girar o retângulo em torno do
seu eixo, até que as arestas se encontrem.
O retângulo √3 tem a propriedade de permitir a
construção de um prisma hexagonal regular.
Este hexágono apresenta-se, na natureza, como cristais
de neve, favos de mel e em muitas outras formas naturais.
Retângulo Raiz √3

Além de estudar as proporções do corpo humano,
Vitruvius, que era arquiteto, estudou as
proporções arquitetônicas harmoniosas. Ele
sustentava que a arquitetura de um templo devia
se basear num corpo humano perfeitamente
proporcionado, que apresenta harmonia entre
todas as suas partes.
O Partenon (Atenas), é um perfeito exemplo do
sistema de proporções gregas. Num simples
exame, vê-se que a fachada do templo é
compreendida num retângulo áureo subdividido.
Um retângulo recíproco forma a altura da
arquitrave, o friso e o frontão. O quadrado do
retângulo principal fornece a altura do frontão,
e o retângulo menor no diagrama, contém a
colocação do friso e da arquitrave.
Partenon, Atenas (447- 432 A.C)
Análise da harmonia e das proporções da seção
áurea, de acordo com os diagramas.
Proporções Arquitetônicas

Séculos depois, a "proporção divina," ou seção
de ouro, foi conscientemente empregada na
arquitetura de catedrais góticas.
No livro "Por uma nova arquitetura," Le Corbusier
cita o papel do quadrado e do círculo nas
proporções da fachada da Catedral de Notre
Dame, em Paris. O retângulo que envolve a
fachada da catedral abrange a maior porção da
fachada, e o retângulo áureo recíproco envolve
as duas torres.
As linhas de regulação são as diagonais, que vão
se encontrar logo acima da janela do clerestório,
cruzando os cantos das maiores variações na
superfície da catedral. O centro da porta de
entrada também é um retângulo áureo, conforme
mostra o diagrama.
Catedral de Notre Dame, Paris (1163-1235)
Análise das proporções e linhas de regulação encontra-se
na proporção de um retângulo áureo em toda a fachada.
A parte inferior da fachada está inscrita no quadrado do
retângulo áureo e nas torres do retângulo áureo
recíproco. Além disso, a parte inferior da fachada pode
ser dividida em seis retângulos áureos.
“Proporção Divina”

30°
60°
Le Corbusier, (Uma “Villa“) - 1916
Este desenho mostra, em diagrama, a série de linhas
de regulação usadas no desenho do prédio. As linhas
vermelhas, na base do desenho, mostram o retângulo
áureo e as diagonais da construção.
Linhas de Regulação de Le Corbusier
"Um elemento inevitável na arquitetura.
A necessidade da ordem. A linha de
regulação é uma garantia contra a
teimosia. Ela ajuda a compreender.
É o meio para atingir a um fim, mas não
deve ser encarada como receita. Sua
escolha e as formas de expressão que lhe
são dadas, soa parte integral da criação
arquitetônica."
Le Corbusier –
(“Por uma Nova Arquitetura, 1931”)
30°
60°

(Por uma Nova Arquitetura -1931)
O interesse de Le Corbusier na aplicação da
geometria da arquitetura e da matemática está
registrado em texto do seu livro citado acima.
Na referida obra, ele discute a necessidade de
linhas de regulação para ordenar e embelezar a
arquitetura, e responde à crítica:
"Com suas linhas de regulação você
matará a imaginação, você transformará tudo em
receita."
Ele retruca:
"Mas o passado deu-nos provas,
documentos iconográficos, placas, pedras
esculpidas, pergaminhos, manuscritos,
impressos... mesmo a arquitetura mais primitiva
desenvolveu o uso de unidades de medida,
como a mão, o polegar, o pé ou antebraço, para
sistematizar e ordenar as tarefas.
Simultaneamente, as proporções das estruturas
correspondiam a escala humana."
Relação entre as linhas de regulação em portas, janelas,
fachada e telhado com os diagramas de construção do
retângulo áureo.

Mais tarde, Le Corbusier, publicou em 1942:
"O Modulor: Uma Medida Harmônica da Escala
Humana, Aplicável à Arquitetura e à Matemática"
O Modulor narrava seu sistema de proporções
baseado na matemática da seção áurea e a
proporção do corpo humano.
Além de seu trabalho específico na arquitetura e
no planejamento urbano, seus murais, suas
pinturas, e criações gráficas exerceram
significativa influência sobre o design
bidimensional.
Esse sistema adotou a divisão áurea como base,
fundamentado em três pontos principais na
anatomia de um homem de 1.90m: o plexo solar,
o alto da cabeça e a ponta dos dedos da mão
erguida. Esses pontos constituem uma média e
extrema razão (divisão áurea) que Le Corbusier
transferiu para uma série infinita de proporções
matemáticas.
“A ordem é a verdadeira chave da vida”.
(Modulor I – Le Corbusier).
Modulor I - Le Corbusier
O Modulor

Introduzido no fim da Segunda Guerra, o
Modulor pode ser aplicado ao plano
bidimensional embora sua principal utilização
esteja relacionada com a arquitetura.
Antes de patentear seu trabalho, Le Corbusier
pediu a opinião de Albert Einstein sobre o
sistema. Einstein escreveu que o Modulor podia
ser qualificado...
“como uma série de dimensões que tornam o ruim
difícil e o bom fácil”.
O Modulor

Não existe melhor maneira de iniciar a
análise do design gráfico, da ilustração, da
arquitetura e do desenho industrial, se não
com a introdução de Le Corbusier em “O
Modulor” quando era jovem em Paris.
"Um dia, sob a lâmpada a óleo de seu pequeno
quarto em Paris, alguns cartões estavam
abertos sobre sua mesa. Seu olhar fixou-se
num postal do pavilhão do Capitólio, de Roma,
realizado por Michelangelo. Ele virou um outro
cartão, de face para baixo, e projetou,
intuitivamente, um dos seus ângulos - um
ângulo reto - sobre a fachada do Capitólio. Ele
se viu frente a uma verdade familiar: o ângulo
reto governa a composição; o lieux (lieu de
l'angle droit: locação do ângulo reto) comanda
toda composição. A constatação foi, para ele,
uma certeza, uma revelação”.
Análise visual do Design
Teste idêntico foi feito com uma pintura de
Cézanne. Mas, ele mesmo desacreditava do
seu próprio veredicto, dizendo-se a si próprio
que a composição de obras de arte é
governada por regras; tais regras podem ser
métodos conscientes, indicativos e sutis, ou
podem ser regras comuns, aplicadas no trivial.
Elas podem, ainda, ser subentendidas pelo
instinto criativo do artista, uma manifestação
de harmonia intuitiva, como parecia ser
exatamente o caso de Cezanne.

Em 1918, ele começou a pintar a sério. Suas duas
primeiras obras foram feitas ao acaso, mas a
terceira, em 1919, foi uma tentativa de cobrir uma
tela com um certo ordenamento. O resultado foi
quase bom. Veio, então, a quarta obra,
reproduzindo a terceira de melhor forma, com um
desenho categórico que lhe conferisse estrutura.
Iniciou-se, então, uma série de pinturas em 1920,
todas elas firmemente baseadas nas tais relações:
a colocação do ângulo reto e a razão áurea.
Um livro trouxe-lhe a certeza: algumas
páginas de 'História da Arquitetura,' de
Auguste Choisy, dedicavam-se ao “tracé
regulateur “ (linhas de regulação).
Obras e Conceito
Existiria tal coisa como
linhas de regulação à
governar uma
composição?
Plano urbanístico para o Rio de Janeiro (1930)

Mies van der Rohe é mais conhecido por seus
monumentais arranha-céus em aço e vidro. Ele
foi um mestre em sistemas proporcionais e tais
arranha-céus guardam formas e proporções tão
semelhantes que poderiam ser classificados
como um arquétipo único.
Mies foi diretor da Faculdade de Arquitetura no
Instituto de Tecnologia de Illinois (IIT) por vinte
anos, e naquele período ele projetou todo o
campus e muitos dos seus prédios.
A capela do IIT é um bom exemplo do uso das
proporções em pequena escala. A fachada do
prédio é proporcionada à razão áurea, 1:1,618.
O prédio está perfeitamente subdividido em
cinco colunas por retângulos áureos, e quando
eles são repetidos, como padrão, o prédio
aparece como um módulo de 5x5 retângulos
horizontais.
Arquitetura
Capela do I.I.T., Mies van der Rohe – 1949/1952

A razão áurea pode ser vista de pronto nestes
desenhos. A fachada da frente da capela pode ser
subdividida numa série de retângulos áureos, que
circundam as grandes janelas superiores e as
pequenas superiores, para ventilação.
- As grandes janelas inferiores são quadradas.
- O desenho em corte do interior, em direção ao
altar, mostra que o perímetro da fachada frontal
pode ser definido por três retângulos áureos.
- O plano do perímetro da capela cabe
perfeitamente num retângulo áureo.
- O quadrado do retângulo áureo define o altar e
as áreas de serviço e dispensa da capela.
- Estas duas áreas estão separadas por uma
pequena elevação do altar e grades.
Análise

É um trabalho dinâmico e atraente, que captura
o movimento de um grupo de dançarinos.
À primeira vista a composição parece espontânea
e desprovida de organização geométrica, mas
um exame mais acurado revela uma estrutura
visual extremamente cuidadosa.
A posição dos membros dos dançarinos
masculinos correspondem aproximadamente a
um pentágono, circunscrito por um círculo.
Poster Folies-Bergére, Jules Chéret, 1877
Design Visual

As três figuras estão envolvidas, em primeiro
lugar por um círculo, depois por um pentágono,
em seguida por um pentagrama estrelado e
finalmente por um pentágono, cujo centro é o
pivô para os quadris da dançarina. Até mesmo
a figura do pequeno duende, ao pé da figura,
que dança através de sua estrutura, tem sua
cabeça que encontra o círculo e o pentágono.
A figura criada pelas pernas dos dançarinos é
um triângulo áureo.
As subdivisões interiores do pentágono criam
pentagramas estrelados que, por sua vez,
originam pentágonos menores, proporcionais.
A razão dos lados dos triângulos, no interior do
pentagrama, é 1:1,618, a relação áurea. O
exato centro do pôster é o centro dos quadris
da dançarina, e as pernas dos dançarinos
criam um triângulo invertido, com ângulo na
parte superior do pentagrama que envolve a
dançarina feminina. Cada membro e ombro
está cuidadosamente posicionado de acordo
com a geometria da estrutura.
Análise

Chéret era mestre em litografia e a ele deve-se
a elevação da cromo-litografia à categoria de
arte. Ele desenvolveu seus conhecimentos
acerca da arte desde os 13 anos de idade.
Sua única educação formal foi um curso na
École Nationale de Dessin. Foi provavelmente
naquela ocasião que ele tomou conhecimento
com a geometria e com os princípios de com-
posição.
Embora tivesse freqüentado pouco a escola,
construiu o seu aprendizado visitando os
principais museus da Europa e estudando com
afinco as obras dos grandes mestres.
Muitos dos seus pôsteres tornaram-se sucesso
imediato, devido às belas cores e a precisão
das ilustrações. Ele absorveu muito bem o
processo da cromo-litografia e soube utiliza-lo
com eficácia.
Ele também se especializou nos princípios da
composição e os usou para tornar suas obras
mais ricas.
Poster Job - Jules Chéret, 1889

Análise
Um círculo com o centro no centro da página
determina a localização da figura e do nome
"JOB.“ A diagonal que une a parte superior à
parte inferior esquerda, organiza, visualmente,
o posicionamento da cabeça, do olho e da mão.
A diagonal contrária determina a parte superior
do ombro e do extremo do quadril da figura.
O pentágono estrelado e a proporção da
forma
Expandindo o pentágono inscrito num círculo
observa-se que as proporções do formato do
pôster baseiam-se no sistema conhecido como
"a página do pentagrama“. A base do pôster
conforma-se à base do pentágono e é
estendida de forma que os vértices superiores
encontram a linha do círculo.

Fritz Schleifer homenageou os seguidores do
construtivismo em seu pôster sobre a Mostra
Bauhaus.
De acordo com os ideais do construtivismo da
época, o perfil humano e a tipografia podem ser
abstraídos em formas geométricas simples, da
época das máquinas mecânicas.
Uma face geométrica, desenhada
originalmente para fazer parte
de um selo para a Bauhaus,
por Oskar Schlemmer, foi
ainda mais simplificada em
cinco formas retangulares
simples, eliminando as linhas
finas verticais e horizontais.
A tipografia foi adotada de forma a ser
consistente com os demais elementos
retangulares da face, ecoando suas formas
angulares rígidas.
O tipo é similar àquele criado por Theo van
Doesburg, em 1920.
Poster Mostra Bauhaus - Fritz Schleifer, 1922

Análise
Projeto do tipo:
A estrutura do tipo tomou por base um quadrado
de 5 por 5, que permite que os caracteres mais
largos, M e W, ocupem o quadrado inteiro.
Os caracteres mais estreitos ocupam 5/4 do
quadrado. O B e o R desviam-se de meia unidade,
para que as formas arredondadas possam
distinguir o R do A e o B do algarismo 8.
A vista alinha-se ao longo do centro do eixo
vertical. O tipo alinha-se no topo e na base,
com o retângulo do pescoço. O outro lado da
face é simétrica em relação ao seu eixo.
A tipografia é alinhada junto e abaixo do
pescoço em forma retangular.

Poster L’intransigéant - A. M. Cassandre, 1925
A relação áurea define simplesmente
proporções ideais, já previamente
intuídas pelo designer; é uma forma de
verificação, e não um sistema (estaria
fadado ao insucesso, se assim fosse,
como todos os sistemas).
"Diário, de Adolphe Mouron” - 1960.
Criado em 1925 por Adolphe Mouron, mais
conhecido como A. M. Cassandre, é, ao mesmo
tempo, um triunfo conceitual e um estudo sobre
construção geométrica. Ele foi idealizado para
um jornal parisiense, L'Intransigéant, e o triunfo
conceitual aludido é a translação da forma
representativa da cabeça de uma mulher no
símbolo visual de Marianne, a voz da França.
Cassandre cresceu como artista e estudou
pintura em diversos estúdios de Paris.
Ele adotou o pseudônimo de Cassandre, com a
intenção de retornar ao seu verdadeiro nome,
Adolphe Mouron, quando se tornasse um pintor.
Cedo, tornou-se fascinado com o mundo dos
pôsteres e concluiu que tinha mais potencial
para a experimentação dinâmica do que para a
pintura, propriamente dita.
Ele se sentiu atraído pela idéia da comunicação
em massa, e de um tipo de arte que
transpusesse as fronteiras do tradicional e
estreitasse os limites das diferenças de classe.

Análise - Diagrama
O formato do pôster está organizado numa
série de módulos de 6x8, formando um campo
de 48 campos visuais quadrados. Todos os
elementos do pôster correspondem a este
plano, em termos de colocação e proporção.
A orelha interna encontra-se na intercessão
destes campos visuais, como o centro da
boca. O canto do "L" está no centro exato do
pôster. O queixo da figura cabe num campo
visual assim como o poste telegráfico.
O ângulo do pescoço, em 45°, move-se de um
canto ao outro de um quadrado de quatro
campos visuais. Os fios telegráficos começam
no centro da orelha e movem-se, em
componentes de 15°, formando, novamente,
ângulos de 45° acima e abaixo da linha do
horizonte.

Análise – Âgulos e Retangulos √2
O formato do pôster é um retângulo. O olho é
dividido pela diagonal do retângulo, indicado na
linha tracejada.
A diagonal divide, também, o centro do pôster e
o canto inferior esquerdo do "L". A linha de base
da palavra "L'INTRANS" é uma diagonal de 45°,
tirada do centro do pôster. As linhas
telegráficas estão traçadas em incrementos de
15°, produzindo um módulo de 15° que se
repete nos ângulos do nariz e do pescoço.

Análise – Proporção dos círculos
Os círculos da orelha externa e da boca são o
diâmetro de um campo visual. Os pequenos
círculos do olho, orelha interna, lóbulo da orelha
e isolador têm o diâmetro de dois quintos de um
campo visual. O círculo maior, a cabeça, tem o
diâmetro de quatro círculos visuais.
A colocação dos círculos está organizada de tal
forma que os pontos centrais dos círculos da
cabeça estão alinhados em diagonais de 45°.
Os círculos do isolador estão alinhados em
diagonais com componentes de cerca de 15°.
Três destes componentes formam um módulo
de 15°.

Poster East Coast by L.N.E.R. - Tom Puvis, 1925
O pôster de Tom Purvis, de 1925, East Coast
by L.N.E.R., é um convite ao leitor para uma
viagem de férias de verão pela London
Northeast Railway.
Mais de 25 anos antes, dois designers, que se
auto-denominavam "Os Bergstaffs," já haviam
tentado o então método revolucionário, de
desenvolver fortes composições de áreas
planas de cor, definindo silhuetas gráficas
simples.
O pôster de Purvis usa uma técnica similar de
simplificação e joga espaço, cor e padrões
provendo um balanço perfeito de cor e
imagem.

Seu diagrama é composto por 6 x 6 retângulos. A
linha do horizonte divide o céu e o mar na meta-
de do pôster. As figuras, assim como, a elipse
maior e a menor do guarda-sol se concentram
visualmente no centro do cartaz. O guarda-sol,
de forma elíptica, é o elemento visual mais forte e
apelativo pela sua cor vibrante e pela disposição
diagonal.
A forma elíptica é a que mais atrai a atenção
visual em relação a qualquer outra forma
geométrica e, posta em diagonal, torna-se mais
provocativa devido a sua instabilidade. A
cor laranja está em contraste complementar ao
azul do céu e do mar. Todas as formas se
apresentam em silhueta, com grande economia
de detalhes, situando o conjunto num mesmo
plano visual.
Análise

Este poster destinou-se a uma mostra sobre a
pintura pré-histórica em pedra na África do Sul.
A simplicidade crua e a geometria do pôster tem
suas raízes no desenvolvimento do ideal da
Arte Concreta dos anos 30. Tal movimento
demandava a construção aritmética de
elementos visuais puros. Bill adotou aquele
ideal como uma linguagem visual universal de
clareza absoluta. O diâmetro do círculo central
é a medida básica para toda a figura. A medida
do diâmetro é idêntica à altura do topo e da
base. Os lados medem a metade do diâmetro. A
vertical que passa pelo centro do círculo torna-
se o eixo do conjunto e alinha pelo lado
esquerdo a tipografia.
Poster Negerkunst - Max Bill, 1931

Os círculos exteriores são duas vezes maiores
do que o interior. O formato do pôster baseia-
se num retângulo áureo. O diagrama é uma
decomposição harmônica deste retângulo. A
linha vertical torna-se o eixo do bloco da
tipografia e o centro do círculo interior.
As proporções do grande "O” baseiam-se no
módulo do círculo interno. Os lados esquerdo e
direito são a metade do diâmetro do círculo
interno, e o topo e a base, da medida do
diâmetro do círculo interno. A diagonal passa
de canto a canto pelo centro do círculo interno
e, uma vertical através do centro, determina a
margem esquerda da caixa do tipo.
Análise

Poster Wagon Bar - A. M. Cassandre, 1932
O poster é nada menos do que uma maravilha
de inter-relações geométricas, como o anterior
"L'Intrans." Aqui, Cassandre, mais uma vez,
seleciona elementos representativos a serem
simplificados e estilizados em formas
geométricas simples. A garrafa de água gasosa,
os copos de água e de vinho, a fatia de pão, a
garrafa de vinho e os canudos estão colocados
à frente de uma roda de trem.
O diâmetro da roda torna-se a medida do trecho
de trilho, que enfatiza o "Restaurez-Vous," e o
"A Peu de Frais.“ O centro do pôster está
visualmente pontuado pelos dois canudos no
copo. O pôster pode ser facilmente dividido em
três partes verticais. A geometria do desenho
torna-se aparente na parte mais larga das
garrafas e na taça de vinho. Existe um belo
efeito espacial, quando o fundo branco do
pôster sangra o topo do sifão da garrafa de
gasosa. Fenômeno similar ocorre com a fatia de
pão e o rótulo da garrafa de vinho, e também,
no alto do copo e no eixo da roda.

Análise
O posicionamento consciente e o controle de
cada elemento torna-se evidente, a partir dos
pontos centrais dos círculos que formam o bojo
do copo de vinho e a parte larga da garrafa de
gasosa, que repousam na diagonal desde o
canto esquerdo superior até o canto direito
inferior. Da mesma forma, o centro do círculo na
garrafa de vinho e o centro da roda estão
alinhados na mesma vertical.
O pôster é relativamente complexo devido ao
número de elementos que requerem
simplificação e inter-relações estruturais, assim
como controle organizacional.
Após análise, torna-se claro que existe um
motivo para cada decisão.

Este pôster foi criado por Jan Tschichold em
1929, para uma exposição sobre arte
construtivista. Como ele foi criado à época em
que o Construtivismo estava se esvaecendo, o
círculo e a linha podem ser interpretados como
um sol poente. O movimento Construtivista
mecanizou a arte e o design gráfico através do
posicionamento matemático de elementos
geométricos abstratos, como expressão
funcional da cultura industrial. Este pôster
emprega os ideais do Construtivismo, de
abstração geométrica, organização visual
matemática, e tipografia assimétrica, como o
próprio Tschichold defende em seu livro, “Die
Neue Typographie”, publicado em 1928.
Poster Konstruktivisten - Jan Tschichold, 1937
“Não sabemos a razão, mas podemos
demonstrar que o ser humano julga mais
agradáveis à vista ou bonitos os planos
definidos e intencionalmente proporcionais
do que aqueles que só obedecem a
proporções acidentais”.
(Jan Tschichold, Te Form of the Book,
1975).

O diâmetro do círculo é o padrão de medida
para o pôster e para a colocação de todos
elementos.
O próprio círculo é um elemento focal que leva a
vista inexoravelmente em sua direção. O círculo
também ressalta o título da exposição e a
relação dos expositores.
O pequeno bullet em forma de círculo, próximo à
linha do texto contendo as datas da exposição é
um elemento de atração visual, por ecoar e
contrastar em escala com o círculo maior.
A lista dos expositores começa no ponto de
encontro das diagonais do pôster e da diagonal
do retângulo do pé da página.
As distâncias do texto aos principais elementos
são módulos da distância da linha horizontal à
base do "konstruktivisten", que está centralizado
no círculo.
Análise
Triângulo composicional
O texto básico forma um triângulo que serve para
âncorá-lo ao formato e aumentar o interesse visual.

Foi idealizado para uma exposição de
fotógrafos profissionais e ainda é um clássico,
em termos de conceito e composição,
decorridas muitas décadas. Devido à temática
da exposição, a imagem de uma mulher é
representativa e abstrata, por estar ela retratada
em negativo. Esta técnica conduz a atenção
para o processo da fotografia, em vez de uma
simples imagem de mulher. O título principal,
"der berufsphotograph," aparece impresso
numa fonte bold, em três diferentes cores de
tintas, amarelo, vermelho e azul, colocada
numa faixa, que se misturam, à medida que a
faixa "rola". Este arco-íris de cores na tipografia
é a partida rara para o expressionismo do outro
trabalho de Tschichold. Todavia, seu amor pela
tipografia assimétrica e funcional aparece
evidente no leiaute de elementos e textura.
Poster Berufsphtograph - Jan Tschichold, 1938

A fotografia em negativo está logo à direita do
centro do retângulo. O olho esquerdo da figura
está cuidadosamente posicionado e a imagem
está cortada de tal forma que se torna a
conexão das diagonais que comandam a
colocação dos elementos. A medida da largura
e profundidade da imagem são seguidas pelos
elementos tipográficos à esquerda.
Relações do retângulo:
O diagrama da construção do retângulo está
colocado na parte superior do pôster. O canto
recíproco e as diagonais bisseccionam o olho
da figura na fotografia.
Análise

Max Bill distinguiu-se como um artista de alta
qualidade, arquiteto e tipógrafo. Ele estudou na
Bauhaus, sob a orientação de Walter Gropius,
Moholy-Nagy e Josef Albers, entre outros.
Sofreu a influência do funcionalismo, na
Bauhaus, do estilo De Stijl, e da organização
matemática. A característica principal do estilo
De Stijl, de 1920, incluía a divisão formal do
espaço em linhas verticais e horizontais. Este
estilo foi suavizado, ao tempo em que esta
obra foi criada, em 1944. O espaço permanece
dividido, mas em círculos e arcos, e as rígidas
linhas horizontais de alguns tipos de De Stijl
são desenvolvidos, de forma a criar círculos e
diagonais.
A abstração de Bill foi desenvolvida de forma a
incluir a tipografia, igualmente. As formas da
letra são geradas à mão e baseada no mesmo
princípio do formato do pôster. Cada tipo
guarda uma relação geométrica direta de forma
modular. A fonte foi usada em outros pôsteres,
e também para uma mostra projetada por Bill
em 1949.
Poster Konkrete Kunst - Max Bill, 1944

Análise
O diâmetro do círculo pequeno é equivalente a
1/3 da largura do pôster, e também 1/3 do
diâmetro do próximo círculo maior. O tipo menor
está alinhado com o círculo menor e o tipo maior
alinha-se com a tangente ao círculo e ao eixo do
círculo menor.
A construção da relaciona-se diretamente com o
posicionamento dos círculos. A diagonal
atravessa os centros dos círculos maior e menor,
e esta repousa na linha da construção de um
quadrado. A proporção dos círculos é 1:3:6.

A construção do retângulo é a base a mediana ou
a altura X da fonte em caixa baixa.
Os ascendentes e descendentes estão definidos
pelo comprimento do retângulo. Os traços
baseiam-se numa construção geométrica com
ângulos de 45°. Os desvios dos ângulos ocorrem
na letra "s," com 30° e 60°, e as maiores linhas
do "a" e do "v" em ângulos de 63°. Dois
retângulos foram usados para criar o "m", que é
representado por duas formas de "n". Os
algarismos foram criados de acordo com os
mesmos princípios, utilizando um círculo perfeito,
que reflete as formas do círculo maior na
composição.
Formas das proporções das letras:
As formas das letras têm somente um peso e
as mês-mas proporções dos círculos: 1:3:6.
Bill, mais tarde, refinou levemente a construção
da forma, para uso numa exposição, e este tipo
está disponível, hoje em dia, na The Foundry
em Londres.
Construção do Tipo

Josef Müller Brockmann é tido como um dos
funda-dores do Estilo Internacional Suíço. Seus
pôsteres para os concertos Tonhalle, nos anos
1940 e 1950, estabeleceram um padrão para o
sistema de organização visual usando malhas
(grids).
Os ritmos geométricos dos círculos concêntricos,
enquanto trabalho conceitual, aproximam-se dos
sistemas matemáticos e estruturas presentes na
música. Num trabalho estruturado de design,
cada elemento tem a sua razão de ser, de ser
posicionado, e de ter as suas dimensões
determinadas. A dramática mudança de
proporção nos círculos concêntricos ecoa o
drama da música de Beethoven.
Toda a obra de Josef Müller-Brockmann pode ser
analisada, geometricamente, da mesma forma.
Ele sempre usa um planejamento matemático,
construído logicamente.
Poster Beethoven - Josef Müller-Brockmann 1955

O centro do círculo situa-se na parte superior
esquerda do texto. Todos os ângulos estendem-
se a partir do centro deste círculo. Os ângulos
baseiam-se em módulos de 45º. Os menores
ângulos têm um módulo de 11,25°, o próximo tem
22,5° e daí para frente, à 45°. À medida que os
arcos de círculo giram em torno do ponto central
eles variam em largura, de uma a 32 unidades, e
sua largura duplica em progressão geométrica.
O bloco de texto alinha-se verticalmente à
esquerda, segundo uma vertical que representa
um eixo, assim como a parte superior do bloco de
texto, que corresponde a um ângulo horizontal.
Organização dos ângulos:
A proporção e o posicionamento planejado dos
ângulos pode ser prontamente vista, quando um
quadrado é inscrito no primeiro círculo. A largura
do círculo varia de uma a 32 unidades. Cada arco
tem o dobro da largura do anterior: 1,2,4,8,16,32.
Análise

Poster Musica Viva - Josef Müller-Brockmann 1958
Este pôster pertence à série Tonhalle e, a
exemplo de todo seu trabalho, baseia-se no
planejamento geométrico. Os elementos
repetitivos, não objetivos, são círculos e o jogo
reside nos espaços e proporções. Cada círculo
é 2,5 vezes maior do que o próximo, menor.
Isto pode ser observado no diagrama, onde se
vê que o círculo seguinte menor ocupa um
quadrante. A proporção da imagem é definido
pelo retângulo raiz de 2, que é determinado por
um arco que se origina no eixo horizontal
superior do pôster. A base deste eixo torna-se a
linha horizontal central do segundo círculo
menor. Linhas verticais saindo do centro dos
círculos alinham-se com as colunas e, no caso
do círculo maior, alinha-se com o eixo do
formato.

Análise
Construção e posicionamento dos círculos
O formato deste pôster baseia-se num
retângulo, segundo o diagrama de construção
da linha preta. O eixo da base do quadrado
atravessa o centro do terceiro maior círculo e é
a linha de base do segundo maior círculo. A
linha tracejada em preto da diagonal separa os
dois círculos maiores.
O posicionamento do círculo é determinado
pela diagonal do quadrado e os centros dos
círculos estão arranjados em ângulos de 90°. A
altura X do tipo do "musica viva" guarda uma
proporção de 1:1,141 em relação ao círculo
menor. Esta é uma proporção raiz de 2. As
larguras das colunas são determinadas pelos
eixos e centros dos círculos.

Poster Vormgevers - Wim Crouwel, 1968
Este pôster foi criado em 1968, bem antes do
advento do computador pessoal. Naquela época,
somente os bancos estavam muito envolvidos
com o processamento de dados, e a tipografia
deste pôster é similar a dos números que
constam em talões de cheques. Esta tipografia,
embora similar à legível por computadores, é
também altamente profética, quanto ao advento
da era digital. Wim imaginou que a tela e o
computador teriam uma importância vital para a
comunicação tipográfica.
O pôster está formatado num padrão de divisão
retangular muito simples, dividido pela metade. A
malha é um pouco mais complexa, pois cada
quadrado é subdividido por uma linha
posicionada a um quinto da distância do lado
superior e do lado direito do mesmo. As formas
das letras estão criadas "digitalmente", usando
os quadrados da malha. As linhas opostas da
malha determinam o raio dos cantos e o mesmo
raio é usado para os traços.

Análise
O sistema de construção das formas das letras
baseia-se no uso de uma malha, indicada nos
diagramas pela cor vermelha. A aspereza da
malha quadrada é suavizada pelo uso de raios
que correspondem as linhas opostas, colocadas
a 1/5 da distância do topo e à direita de cada
quadrado da malha, indicado nos diagramas pela
cor cinza. A malha permite a criação "digital" de
traços verticais, horizontais e diagonais.
O alfabeto só tem caixa baixa e as letras contém
espaçamentos mínimos entre si.
Muitas das formas têm a dimensão de 4 x 5. As
letras estreitas, como o "i" e o "j", só ocupam
uma largura do quadrado da malha. O texto na
parte superior do pôster tem 1/5 do tamanho do
texto na parte inferior.

Bruno Monguzzi revive o espírito dos primeiros
russos construtivistas neste pôster, exibido na
mostra de artistas russos em Milão.
Seu design reflete os ideais revolucionários do
construtivismo russo dos anos 20. O uso limitado
de cores, vermelho, preto e cinza, e retângulos
dourados em ângulo de 45°, conferem ao pôster,
um utilitarismo visual que se tornou marca dos
construtivistas. Monguzzi usa a mesma tipografia
sem serifa e as técnicas utilitaristas do
construtivismo com um aguçado olho
composicional. Hierarquicamente, os nomes dos
três artistas, Maiacovski, Meierchold e Stalislavski
constituem a principal força visual.
As linhas e tipografia encontram-se nas mesmas
proporções. O sentido de espaço visual é
comunicado pelas linhas que se sobrepõem e a
transparência é criada pela superposição do
vermelho sobre o cinza, originando uma nova cor.
Poster Majakovskij- Bruno Monguzzi, 1975

As três linhas que se sobrepõem estão na
proporção de 2:3:4 e a altura das maiúsculas
seguem o mesmo sistema. Cada linha encontra
o eixo no formato de um ângulo de 90°,
conferindo uma forte sensação de tensão
visual.
Elementos da proporção:
A largura das linhas onde se dá a reversão da
tipografia é 2:3:4. que está sincronizada à sua
proporção e guarda, igualmente, a relação
2:3:4.
Formato:
O método de construção do círculo que dará
origem ao retângulo mostra o “X” centrado, que
domina a composição.
Análise

Design de
Produto
Chaise Longue - Le Corbusier, 1929
Os arquitetos com formação em Belas Artes são
muito conscientes dos princípios das proporções
clássicas, e os empregam, seja na arquitetura ou
no mobiliário que projetam. Le Corbusier é um
destes arquitetos. A atenção que dá ao detalhe e
proporção podem ser encontrados em sua
"Chaise Longue." Ele sofreu influências, nos anos
20, de outros arquitetos, como Mies van der
Rohe, que estavam projetando estruturas de aço
para suas construções. Ambos foram
influenciados pelas formas geométricas do
mobiliário de Thonet Bentwood e adotaram
formas simplificadas similares em suas obras.
Em 1927, Le Corbusier iniciou uma cooperação
com Charlotte Periand, designer de mobiliário, e
seu primo, Pierre Jeanneret. Obtiveram muito
sucesso e chegaram a muitos projetos clássicos
de mobiliário que levaram suas assinaturas.
Chaise Longue de Thonet - 1870

Análise
A estrutura em cromo tubular da "Cadeira" é um
arco deslizante que repousa sobre uma base
simples. Este arco é um sistema simples e
elegante, que desliza em ambas as direções e se
mantém em posição pelo atrito e pela gravidade,
com os pés ou a cabeça erguidos. Similarmente
ao arco geométrico da estrutura, a almofada é a
forma geométrica de um cilindro, facilmente
reposicionável pelo usuário. O arco da estrutura é
tal que ela pode ser removida do suporte e ser
usada como cadeira de balanço reclinável.
As proporções da cadeira são subdivisões de um
retângulo áureo. A largura do retângulo torna-se o
diâmetro do arco que forma a estrutura da
cadeira. A base, guarda relação direta com o
quadrado na subdivisão harmônica.

Brno Chair - Mies van der Rohe, 1929
Mies van der Rohe recebeu uma encomenda
para projetar a residência da família Tugendhat,
devido à fama alcançada por sua participação
no Pavilhão Barcelona, em 1929. A encomenda
incluía o projeto da mobília, que deveria ser
consentânea com a modernidade do prédio.
Naquela época, a tecnologia de dobragem de
aço tubular era nova e apresentava opções
inovadoras. O projeto da “Brno” baseou-se num
projeto do fim do século 18, a célebre "Cadeira
de Balanço Bentwood," de Michel Thonet.
Originalmente era forrada em couro e pôde ser
desenvolvida com o assento em suave balanço,
por causa da resistência do aço tubular e,
alternativamente, em barras chatas, que
resultavam em variações estruturais.

Análise
A vista superior da cadeira cabe dentro de um
quadrado (em cima, à direita). A vista frontal
(abaixo à direita) e a lateral, na extrema direita,
cabem num retângulo áureo. Os ângulos das
pernas da frente e do encosto da cadeira são
simétricos e os raios das curvas estão na
proporção de 1:3.
Bentwood de Thonet

Barcelona Chair - Mies van der Rohe, 1929
A “Cadeira Barcelona“ foi projetada em 1929
para o pavilhão alemão da Mostra Internacional
de Barcelona, Espanha.
O pavilhão apresentava uma característica
peculiar, que o tornava diverso dos demais: o
próprio pavilhão era a mostra. Elegante,
espalhado, consistia de mármore italiano, vidro
cinzento, colunas em mármore verde-escuro,
cujo único produto eram as “Cadeiras de
Barcelona” e os “Sofás de Barcelona”, estofadas
em couro branco, e as “Mesas de Barcelona”. Os
sofás e as mesas utilizavam uma estrutura em
forma de “x”, similar a das cadeiras.
Mies van der Rohe foi o projetista do prédio e da
mobília, e ambos foram considerados como
marcos do design, e a grande realização da
carreira européia de van der Rohe.

Proporções da Curva:
A curva primária das costas da cadeira e a
perna frontal é formada por um círculo com raio
idêntico ao quadrado, cujo centro é o ponto "A".
A curva do círculo original é repetida em frente
ao suporte do assento, com um círculo idêntico,
com centro no ponto "B". Um outro círculo, cujo
raio é a metade do primeiro, define a perna
posterior, com centro em "C".
Análise
É difícil imaginar que uma peça tão moderna e
clássica tenha sido concebida há mais de 70
anos. O móvel é uma sinfonia de proporções
meticulosas, baseadas na simples figura de um
quadrado. Sua altura é igual ao seu
comprimento, que por sua vez é igual à
profundidade, cabendo perfeitamente em um
cubo. Os assentos de couro e as almofadas são
retângulos, fixados numa estrutura em aço. A
construção em “X" das pernas forma uma
moldura elegante e uma marca registrada
duradoura até hoje.
A
B
C

Mesmo tendo toda a condição escolar para o
estudo de arquitetura, Charles Eames
abandonou a Universidade de Washington, em
St. Louis, após dois anos. O currículo baseava-
se nos princípios tradicionais da Academia de
Belas Artes, que se chocavam com o seu ávido
interesse pelo modernismo e pela obra de
Frank Lloyd Right. Ainda assim, ele apreciou os
fundamentos dos clássicos princípios da
proporção e arquitetura, em que foi treinado.
Sua cadeira em Compensado foi projetada para
uma competição sobre “Mobília Orgânica”,
patrocinada pelo Museu de Arte Moderna, em
1940. Earmes e seu colaborador, o arquiteto
Eero Saarinen procuraram juntar formas
orgânicas num todo. O resultado; formas
curvilíneas maravilhosas, atraiu as vistas dos
juízes, assim como a tecnologia inovadora de
compensado moldado tridimensional e uma
nova técnica de soldar borracha, que fixava o
compensado ao metal. A obra foi a vencedora.
Plywood Chair - Charles Eames, 1946

A cadeira atual, ainda em produção, evoluiu da
premiada. É impossível afirmar que a relação
entre as proporções da cadeira e a seção áurea
foram intencionalmente planejadas, mas o
treinamento da Belas Artes e a colaboração de
Eero Saarinen parecem confirmar a suspeita.
Costas da cadeira: adaptam-se perfeitamente
a um retângulo áureo.
Proporções da cadeira: aproximadamente
as de uma relação áurea.
Detalhe das proporções da cadeira: raios dos
cantos das costas das cadeiras, assim como suas
pernas tubulares, tem proporções modulares de
1: 4: 6: 8, sendo A=1; B=4; C=6; D=8.
Raios: A=1; B=4; C=6; D=8 M.
Análise

Pedestal Chair - Eero Saarinen, 1957
Eero Saarinen nutria amor pela simplicidade e
formas unificadas, o que pode ser observado em
sua arquitetura, como por exemplo, o arco do
portão de entrada de St. Louis, Missouri, e o
projeto de mobiliário do Grupo Pedestal. Já havia
trabalhado com Charles Eames no design da
Cadeira de Compensado. Sua procura de formas
orgânicas simplificadas foi recompensada com o
Grupo Pedestal, em 1957.
Saarinen buscou a simplicidade dos interiores e
a eliminação do que ele considerava como um
desordenamento entre mesas e pernas de
cadeiras. Suas formas eram tão suaves,
modernas e inesperadas que se tornaram ícones
do futuro.
A versão de cadeira lateral do Grupo Pedestal
está ilustrada aqui e faz parte de um grupo que
inclui banquetas, cadeiras de braços e mesas
laterais. As vistas frontal e lateral da cadeira
inserem na razão áurea, e as curvas do pedestal
guardam uma relação com a elipse áurea.

Análise
Elipse Áurea:
De forma similar ao retângulo áureo, o raio do
eixo maior da elipse áurea guarda uma
proporção de 1:1,618 para o menor. Sabe-se
que a preferência cognitiva do olho humano é
para uma elipse áurea.
Vista Frontal e Lateral:
A vista frontal da cadeira cabe perfeitamente
na razão áurea. A vista lateral também pode
ser analisada como dois quadrados
superpostos; o de baixo chega até o topo do
assento e o superior até a junta do pedestal
com o assento.
As curvas do pedestal principal da cadeira
adaptam-se, tanto na parte inferior como na
superior, às elipses áureas.

O desenho simples, elegante e a qualidade dos
aparelhos domésticos Braun tornou-os favorito do
grande público na década de 80. Muitas dessas
peças fazem parte de acervos permanentes de
design em museus de Arte Moderna.
As formas Braun são sempre limpas, simples,
geométricas, em branco, com controles funcionais
negros. Estas linhas simplificadas conferem a
cada aparelho a sensação visual de uma peça de
escultura funcional.
Os designers dessas obras tridimensionais
empregam sistemas similares e desenvolvem
inter-relações espaciais. Tais inter-relações são
visuais e estruturais, aplicadas à
tridimensionalidade.
Estrutura e Proporções:
A medida do longo eixo do misturador manual é
um terço da altura total do aparelho. Os raios dos
botões e das superfícies estão proporcionados
uns com os outros. A simetria é completa e,
mesmo a colocação do logotipo, está em
harmonia com os demais elementos.
Misturador Manual Braun - 1987

Cafeteira Braun Aromaster - 1986
A cafeteira Braun apresenta, igualmente, um
sentido similar de função à sua forma. As formas
permanecem geométricas e os cilindros estão
acentuados por uma alça que é quase um círculo
perfeito. O logotipo é alvo, mais uma vez, de
especial atenção, quanto a detalhes, escala e
colocação, como todos os demais elementos.
Estrutura e Proporção:
A área da cafeteira pode ser dividida em séries
regulares. Cada elemento foi cuidadosamente
planejado de forma a se harmonizar com os
demais. O logotipo Braun situa-se ligeiramente
acima do centro. A forma cilíndrica da cafeteira
combina com a da alça, que é um segmento de
círculo. A diagonal da alça alinha-se com o canto
superior. A simetria dos elementos pode ser
observada nos prendedores na chave de ligação,
que estão alinhados com as marcas de medição
no recipiente, assim como com o centro do
orifício de ventilação, que aparece no topo.

Chaleira Cônica - Aldo Rossi, 1983
O fabricante e designer Alessi tornou-se
conhecido como incentivador e produtor de
trabalhos experimentais de vanguarda, na área
industrial. Os produtos são tão formais como
funcionais. O método de Rossi consiste em criar
um conceito para o produto e discuti-lo com os
técnicos de produção, para resolver eventuais
problemas de fabricação.
A chaleira tem como forma principal um cone
formado de um triângulo eqüilátero, que
possibilita o máximo contato da base, para
maximizar a fonte de calor. A forma da chaleira
divide-se numa grade de 3x3. Seu terço superior,
o vértice, é uma interessante pequena esfera,
que permite a fácil remoção do topo, mas que
atua como uma forma da dimensão tridimensional
do vértice da chaleira. O terço médio estende-se
horizontalmente por toda a largura do pote e
verticalmente para baixo. A forma da alça pode
ser vista como um triângulo invertido, ou como
uma parte do raio. Todas as formas geométricas
primárias são parte da composição: cone,
triângulo, círculo, esfera e quadrado.

Volkswagen Beetle - Jay Mays, Freeman Thomas, Peter Schreyer, 1997
O novo Besouro Volkswagen é menos um
veículo do que uma peça de escultura cinética
à medida que se move pelas ruas.
Distintamente diferente dos demais carros, ele
exibe a idéia visual de coesão de forma. Seu
corpo é, ao mesmo tempo, atrasado e futurista,
uma fusão de geometria e nostalgia.
O corpo adapta-se na metade superior de uma
elipse áurea. As janelas laterais repetem a
forma da elipse áurea, com as portas
repousando num quadrado de um retângulo
áureo.
Todos os detalhes de mudanças de áreas são
elipses áureas tangentes ou círculos, mesmo a
colocação da antena situa-se num ângulo
tangente à roda fronteira.

Carroceria:
Um elipse áurea está inscrita no diagrama de
construção de um retângulo áureo. O corpo cabe
claramente na metade superior desta elipse
áurea. O eixo maior da elipse alinha-se com o
corpo, logo abaixo do centro das rodas.
Volumes:
Uma segunda elipse áurea engloba as janelas
laterais. Está elipse é também tangente à roda da
frente e à roda traseira. O eixo principal da elipse
tangencia tanto a roda frontal como a traseira.
Análise
Vista Frontal:
A frente do carro é um quadrado com todas as
superfícies simétricas. O logotipo da Volkswagen
no capô situa-se no centro do quadrado.

Visão Posterior:
A exemplo da visão frontal, a visão traseira pode
ser inscrita num quadrado. O logotipo está
colocado próxima ao centro do quadrado, e todas
as superfícies e elementos são simétricos.
A geometria do corpo do carro apresenta, ainda,
outros detalhes; os faróis dianteiros e traseiros
são elípticos, mas como repousam sobre curvas,
aparentam ser circulares.
O ângulo que rege o capô da mala está a 45°.
Antena:
O ângulo da antena é tangente ao círculo do
para-lama da roda da frente e a posição da sua
base alinha-se com o para-lama da roda traseira.
Análise

A compreensão dos princípios básicos da
geometria traz à criatividade um senso de
coesão e composição, em que cada
elemento da obra ostenta um sentido de
propriedade visual. Ao se desvendar a
geometria, os sistemas e as proporções,
torna-se possível compreender melhor as
intenções e o raciocínio de muitos
designers e arquitetos. Adquire-se assim,
uma visão do processo de realização e
obtém-se uma explicação racional para
muitas decisões, seja o uso da geometria
intuitivo ou deliberado, aplicado com rigidez
ou por acaso.
Bibliografia Básica:
Kimberly Elam
“Geometry of Design”
(Tradução Elyseu Visconti Neto)
Bibliografia Complementar:
Le Corbusier
“Por Uma Arquitetura”
Josef Müller-Brockmann
“Sistema de Retículas”
György Doczi
“O Poder dos Limites”
Jens Bernsen
“Design: defina primeiro o problema”
Michel Duplay
“Création Architecturale”
Leonardo Visconti (ESDI – EBA – UNIVERCIDADE–
ESPM) Março/Abril 2002
FIM
Conclusão

Década de 40
Década de 60
Quem Mata a Cobra, Mostra o Pau.

Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga - Verschleisser/Visconti, 1972
1/6
2/3

CURBEL Cortume de Belém - Verschleisser/Visconti, 1979

CSN Companhia Siderúrgica Nacional - Verschleisser/Visconti, 1969

HEMORIO - Verschleisser/Visconti, 19??

PORTOBRÁS - Verschleisser/Visconti, 1980

CEG Cia. Estadual de Gás - Verschleisser/Visconti, 1972

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