guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.doc

1
CÁLCULO INTEGRAL
Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular
Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do
conceito e da aplicação de Diferencial.
DIFERENCIAL
Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que
dx
dy
representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em
relação a variável independente x.
dx
dy
x
f
y 
 )
´(
´
Contudo, existem certos problemas em que dy e dx deverão ter sentidos
isoladamente. É esse isolamento que verificaremos a seguir.
Seja a função )
(x
f
y 
Determinando
dx
dy
, encontramos:
)
´(x
f
dx
dy

Isolando dy, temos: dx
x
f
dy ).
´(
 .
Em função disso podemos dizer que:
- A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f´(x)
pela diferencial da variável independente dx.
Regras para o cálculo da Diferencial
Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua
derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para
determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso
multiplicarmos a derivada por dx.
Em decorrência dessa informação, vamos calcular as diferenciais das
funções abaixo:

2
a) f(x) = 3 b) y = -3x c) y = 2x5
d) f(x) = x3 + 5x2 - 4 e) y = e4x f) y = Ln (5x)
SOLUÇÃO
0
.
0
0
3
)
(
)




df
dx
df
dx
df
x
f
a
dx
dy
dx
dy
x
y
b
3
3
3
)






dx
x
dy
x
dx
dy
x
y
c
4
4
5
10
10
2
)



dx
x
x
df
x
x
dx
df
x
x
x
f
d
)
10
3
(
10
3
4
5
)
(
)
2
2
2
3







dx
e
dy
e
dx
dy
e
y
e
x
x
x
4
4
4
.
4
.
4
)



dx
x
dy
x
dx
dy
x
x
dx
dy
x
Ln
y
f
.
1
5
5
5
)'
5
(
)
5
(
)




A partir dessas orientações sobre Diferencial, podemos iniciar os estudos de
Cálculo Integral.
CÁLCULO INTEGRAL
01- INTRODUÇÃO
Durante nossos estudos sobre a disciplina Matemática, observamos
algumas funções que apresentam inversas. Relembremos algumas delas com
seus respectivos gráficos.
y y
4 y = x + 4
y
-1
= x - 4
x
0 x -4

3
y
-1
= √x
y = x
2
y = 2
x y-1 = Log
2
x
Agora, verificaremos através de exemplo, que a Integral e a Derivada são
funções inversas uma da outra.
- Seja a função f(x) = x4.
- Determinando a primeira derivada, temos:
f`(x) = 4x3
- Integrando essa derivada, obtemos:
f`(x) = 4x3
f`(x) = x4
Observe que o resultado de f`(x) é igual ao valor da função f(x), logo f(x) é
a antiderivada de f’(x) que é a função Primitiva (Integral).
O2) CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO
- Sejam as funções 4
3
)
( 2

 x
x
f , 2
3
)
( 2

x
x
g e 2
3
)
( 2
Ln
x
x
h 
 .
Calculando suas respectivas derivadas:
f`(x) = 6x g`(x) = 6x h`(x) = 6x
Observando que os resultados das derivadas são iguais e sabendo que a
derivada e a integral são funções inversas, então, podemos afirmar que:
2
3
)
`( x
x
f 
 ,
2
3
)
`( x
x
g 
 e
2
3
)
`( x
x
h 


4
Notamos que, neste momento, não existe condição de sabermos quais as
constantes que irão acompanhar as integrais para que encontremos as funções
primitivas, por isso que, ao integrarmos qualquer função, adicionamos sempre,
no final, a letra c, que é denominada CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.
c
x
x
f 


2
3
)
`( , c
x
x
g 


2
3
)
`( e c
x
x
h 


2
3
)
`(
03- INTEGRAL INDEFINIDA
Toda integral que apresenta a constante de integração é denominada de
INTEGRAL INDEFINIDA.
c
x
f
dx
x
f 

 )
(
)
`(
Notas:
a) A função a ser integrada [ )
`(x
f ] é chamada de integrante.
b) c é chamada de constante de integração.
c) A expressão dx indica que x é a variável independente utilizada na operação
04- REGRAS FUNDAMENTAIS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS (IMEDIATAS)
4.1) Integral de uma constante.
  c
kx
c
x
k
dx
k
kdx 



 

Quando k = 1, temos: c
x
dx 


Exemplo:
- Resolva as integrais:
a) dx
3
 b) dx

 c)
2
5dx
 d) dx
5

Solução:
a) 
 







 c
x
c
x
dx
dx 3
)
.(
3
3
3
Observe que ao multiplicar -3 pela constante c encontramos outra constante (-
3.c). Como não sabemos o valor dessas constantes, no final da integração
colocamos sempre +c.

5
b) 
 

 dx
dx = -x+c
c) c
x
dx
dx



 2
5
2
5
2
5
d) c
x
dx
dx 

 
 5
5
5
4.2) Integral da potência.
1
1
1






 n
c
n
x
dx
x
n
n
Nota: observe o que acontece com a integral da potência quando n = -1.
)
(
0
1
1
0
1
1
1
impossível
c
x
c
x
dx
x 








 .
Então, nesse caso, a regra de integração da função f(x) = x-1 é:

 



c
x
Ln
x
dx
dx
x
1
Exemplo:
a) dx
x3
 b) dx
x5
2

 c) dx
x
2
5
 d) xdb
b 3


e) db
x
b 2
3
 f) 5
3
4
x
dx
 g) dx
x
3
 h) 3 2
x
dx

Solução:
a) c
x
c
x
dx
x 





 4
1
3
4
1
3
3
b) c
x
c
x
c
x
dx
x
dx
x 











 


3
6
.
2
1
5
.
2
2
2
6
6
1
5
5
5
c) 
 

 c
x
Ln
x
dx
dx
x
.
2
5
2
5
2
5
d) c
b
x
c
b
x
c
b
x
db
b
x
xdb
b 
















 2
2
1
3
3
3
2
2
.
1
3
.
e) 
 

 c
x
b
dx
x
b
dx
x
b
3
.
3
3
2
3
2
3
f) 
 











c
x
x
c
x
dx
x
x
dx
4
4
4
5
5
3
1
3
4
.
3
4
3
4
3
4

6
g) c
x
c
x
c
x
dx
x
dx
x 






 


4
3
3
4
1
3
1
3 4
3
4
1
3
1
3
1
3
h) 

 












c
x
c
x
c
x
dx
x
x
dx
x
dx 3
3
1
1
3
2
3
2
3
2
3 2
.
3
3
1
1
3
2
4.3) Integral da soma algébrica.



 



 .
,
,
)
( x
de
funç
são
Z
e
V
U
onde
Zdz
Vdx
udx
dx
Z
V
U
Exemplo:
a)  dx
x 3

 b)  
dx
x
x 4
3
2


 c)  
dx
x
x 

3
d) dt
t
t
t
t







 


3
4
2
Solução:
a)   c
x
x
dx
xdx
dx
x 




  
 3
2
3
3
2
b)  
 







 c
x
x
x
dx
xdx
dx
x
dx
x
x 4
2
3
3
4
3
4
3
2
3
2
2
c)   c
x
x
c
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x 







  
 3
2
4
2
3
4
3
4
2
3
4
2
1
3
3
d)   c
t
t
t
dt
tdt
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t

















 






2
4
3
2
3
3
4
4
2
1
2
2
4.4) Integral da função exponencial.
).
1
( 










Lne
c
e
dx
e
c
Lne
e
dx
e
c
Lna
a
dx
a
x
x
x
x
x
x

7
Exemplo:
a) dx
x
3
 b) dx
x






 3
2
c) dt
et
.
4
 d) db
e
b
2
.
3


Solução:
a) c
Ln
dx
x
x


 3
3
3
b) c
Ln
dx
x
x





















3
2
3
2
3
2
c) )
1
(
4
.
4
4
.
4 




 
 Lne
c
e
c
Lne
e
dt
e
dt
e t
t
t
t
d) c
e
c
Lne
e
db
e
db
e b
b
b
b










 2
3
2
3
2
3
2
.
3
Exercício
- Em cada item abaixo, encontre a função primitiva:
a) f’(x)=2x – 4, sendo f(3) = 2 b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3
Solução:
a) f’(x) = 2x – 4, sendo f(3) = 2
 
5
4
)
(
:
tan
,
5
2
3
3
3
.
4
3
)
3
(
4
)
(
:
,
2
)
3
(
4
)
(
:
log
,
4
4
2
)
(
'
)
(
2
2
2
2
2



























 

x
x
x
f
to
por
c
c
c
c
f
c
x
x
x
f
temos
f
Como
c
x
x
x
f
o
c
x
x
dx
x
dx
x
f
x
f
b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3
 
15
3
12
:
,
3
)
2
(
,
12
)
2
(
2
.
2
2
.
2
2
.
2
)
2
(
2
2
2
:
,
3
)
2
(
2
2
2
2
4
6
'
2
3
2
3
2
3
2





























 

c
c
temos
y
Como
c
y
c
y
c
x
x
x
y
temos
y
Como
c
x
x
x
dx
x
x
dx
y
y

8
Substituindo c = -15 em y, temos a função primitiva y = 2x3 – 2x2 + 2x - 15.
Aplicação na Economia.
- Sabendo que q representa a quantidade produzida de determinado produto e
Rmg = -q2 + 20q – 2, Cmg = 4q – 3, Cf = 70 e Pmg = 4q3 + q, suas
respectivamente, funções Receita Marginal, Custo Marginal, Custo Fixo e
Produção Marginal. Determine as funções Receita, Custo e Produção.
Solução:
- Cálculo da Função Receia (Rt).
Como, a Função Receita Marginal (Rmg) representa a 1a derivada da
Função Receita (Rt), devemos integrar Rmg, para encontrar Rt.
 
c
q
q
q
q
R
dq
q
q
R
q
R
t
mg
t









 

2
10
3
)
(
2
20
)
(
2
3
2
Note que para determinar a constante de integração c, devemos lembrar
que quando q = 0 a Função receita torna-se nula.
c
q
q
q
q
R 



 2
10
3
)
( 2
3
(q = 0  R = 0)
0
0
2
0
10
3
0
0 2
3








 c
c
Logo, a Função Receita é q
q
q
q
R 2
10
3
)
( 2
3




- Cálculo da Função Custo (Ct).
 
c
q
q
q
C
dq
q
Cmg
q
C





 

3
2
)
(
3
4
)
(
2
Note que para determinar a constante de integração c, verifica-se que quando
q = 0 temos C(0) = Cf = 70, logo:
70
0
3
0
2
70
3
2
)
(
2
2










c
c
c
q
q
q
C

9
Portanto, a Função Custo é 70
3
2
)
( 2


 q
q
q
C
- Cálculo da Função Produção (Pt).
 
c
q
q
q
P
dq
q
q
Pmg
q
P





 

2
)
(
4
)
(
2
4
3
Quando q = 0 a Função Produção torna-se nula, logo,
0
2
0
0
0
2
)
(
2
4
2
4








c
c
c
q
q
q
P
Portanto, a Função Produção é
2
)
(
2
4 q
q
q
P 

Aplicação na Física.
- Após determinado instante, a velocidade de um veículo (km/hora) é dada pela
função 35
4
)
( 
 t
t
V  
20
0 
t . Encontre a posição do veículo quando t = 10 h.
Ao estudar derivada observamos que a Função Velocidade está relacionada
com a derivada primeira da Função Espaço, então, para encontrar a Função
Espaço, tendo a Função Velocidade, devemos integrar a mesma da seguinte
maneira:
 
t
t
S
c
temos
S
t
c
t
t
S
dt
t
t
V
S
35
2
0
,
0
,
0
35
2
35
4
)
(
2
2











  
Para t = 10 h, temos:
km
S
S
t
t
S
550
)
10
(
10
.
35
10
.
2
)
10
(
35
2
2
2





Verifica-se que após 10 horas o veículo percorreu 550 km.

10
APLICAÇÃO – 1
1) Calcule a função primitiva em cada caso:
1.1) f’(x) = 2x – 5, sendo f(3) = -14
1.2) f’(x) = 2x2 + 2x – 3, sendo f(-2) = 2
1.3) f’(x) = 3. x , sendo f(4) = 12
1.4) f’(x) =
x
2
, sendo f(e3) = 8
2) Resolva as integrais indefinidas:
2.1)  dx
3 2.2)  dx
5 2.3)  7
dx
2.4)  dx
3 2.5)  xdx
6 2.6) 

dx
x
4
2.7)  dx
x3
2.8)  dx
x5
4 2.9)  4
x
dx
2.10)  2
3
x
dx
2.11) dx
x

3 2
2.12)  x
dx
2
2.13)  xdb
b2
2.14)  dt
t
x ...
333
,
0
2
2.15)   dx
x )
5
2
(
2.16)   dx
x
)
4
3
( 2.17)  
 dx
x
x )
3
4
( 2
2.18)  

 dx
x
x
x )
7
2
3
( 2
3
2.19)   dx
ax
b )
( 2.20)  






 


dx
x
x
x
x 7
2
3
2
3
2.21)   dx
x
x )
1
(
2.22)  
 dx
x
x
x )
2
( 3
2
3
2
1
2.23)  










dx
x
x
x
3
3
2
2
2.24)  
  dx
x
2
2
3
2.25)  
  dx
x
3
3 2.26)  dx
x
5 2.27)  





dx
x
5
3
2.28)  dx
x
5
2 2.29) 

dx
x
2
3 2.30)  






 

dt
t
t
t
t 4
3
2
3
Até esse momento, trabalhamos com funções simples, agora,
utilizaremos as regras de integral vista acima, em funções compostas,
onde foram analisadas quando do estudo de Derivadas (Regra da Cadeia).

11
Para resolvermos esse tipo de integral, utilizaremos o método de
substituição (mudança de variável), por ser um caminho que facilitará a
resolução de integrais pertencentes a uma extensa categoria de funções.
A fim de entendermos esse método, vamos resolver alguns exemplos:
1o)  
  dx
x
5
2
4 .
Um caminho para determinar essa integral seria o desenvolvimento da
potência  5
2
4 
x e, em seguida, integrar um por um dos termos. Para evitar
esse trabalho, vejamos se é possível resolver  
  dx
x
5
2
4 , pelo método da
substituição.
 
  dx
x
5
2
4
1- Chama-se de u a base da potência (4x – 2).
2- Calcula-se du/dx.
3- Isola-se dx (diferencial).
 
















5
4
4
2
4
2
4
5
n
du
dx
dx
du
x
u
dx
x
Agora, faz-se a mudança de variável.
   
 

 du
u
du
u
dx
x n
n
4
1
4
2
4
5
Observa-se que a integral  
  dx
x
5
2
4 , transformou-se na integral simples
 du
un
4
1
, logo, podemos aplicar a fórmula da potência vista anteriormente, e
em seguida, voltar para a variável x.
    c
x
c
x
c
n
u
du
u
du
u
n
n
n










 

24
2
4
6
2
4
.
4
1
1
.
4
1
4
1
4
6
6
1
Para confirmar se o resultado encontrado está correto, devemos verificar
se a derivada do resultado encontrado é igual ao integrante da integral.
 


5
5
5
6
2
4
24
4
.
2
4
.
6
24
'
2
4
.
2
4
6
24
2
4















x
x
x
x
c
x
dx
d

12
A resposta está correta, pois, o resultado encontrado é o integrante de
 
  dx
x
5
2
4 .
2o)  dx
x
5
2 .
 dx
x
5
2
Aplica-se a mesma técnica do exemplo anterior.














2
5
5
5
2
5
a
du
dx
dx
du
x
u
dx
x
c
Ln
ou
c
Ln
c
Lna
a
du
a
du
a
dx
x
x
u
u
u
x







 
 32
2
2
2
.
5
1
.
5
1
5
1
5
2
5
5
5
3o)  
  dx
x
x
4
2
3
4
 
















4
2
2
3
3
4
2
4
2
n
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
x

 
 

c
x
c
x
c
n
u
du
u
x
du
u
x
dx
x
x
n
n
n












 


5
3
2
5
3
.
2
1
.
2
2
2
.
4
3
4
5
2
5
2
1
4
2
4o)   dx
x
3
2
3
 
















 

3
1
3
3
2
3
2
3
2
3 3
1
3
n
du
dx
dx
du
x
u
x
dx
x
  
c
x
c
x
c
n
u
du
u
du
u
x
n
n
n












 


4
2
3
3
4
2
3
.
3
1
1
.
3
1
3
1
3
2
3
3 4
3
4
1
3
1

13
APLICAÇÃO – 2
- Encontre o resultado de cada integral indefinida abaixo:
1-   dx
x
3
2
 2)  dx
x
 
5
4
3 3)  dx
x
 
4
7
4
4) dx
bx
 
2 5) dx
x
 2
3 6)
 
dx
x
 
4
5
3
7)
 
dx
x
x
 

5
2
1
2
4
8) dx
x
x
  2
3
9) dx
x
b
a
  2
10)  dq
q
q
 
5
3
2
4
3 11)  
 dq
q
q
q
 

4
2
2
1 12) dq
q
q
  2
2
1
13) dx
x
x
 








3 2
7
2
4
14) dx
x
x
 








3 3
2
2
3
15) dx
x
 





4
3
5
16) dx
x
x
 





4
2
2 17) dx
x
a
a
 







 2
2
1
18) dx
x
x
 






 
1
19)
  dx
x
x
 






 
3
2
20)
 da
a
a
a
 









4
4
3
3
2
21)  
da
a
a n
n
 

3
2
.
1
22) dx
e
e
x
x
 








2
1
23)
  dx
x
x
x















4
2
4
2 24) da
a
ba
b
a
 







2
2
25) dx
x
x
 







2
2
1
2
26)
 
dx
e
e
x
x
 








4
5
5
2
1
5
27)  dx
e Lnx
x

.
2
28)
  dx
x
x


3 2
3
3
5
29)
 
dx
e
x x
x


 4
2
).
2
( 30) dx
x
x
  2
. 3
2

14
4.5) Integral de Funções trigonométricas.
4.5.1) Função Seno.
 

 c
u
du
u
sen cos
Exemplo:
a)  dx
x
sen
4 b)  
  dx
x
sen
x 5
6
.
3 2
Solução:
a)  

 







 c
x
c
x
senxdx
dx
x
sen cos
4
cos
4
4
4
b)  
  dx
x
sen
x 5
6
.
3 2
 
    c
x
c
u
du
u
sen
x
du
u
xsen
dx
x
xsen
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
xsen


























5
6
cos
4
1
)
cos(
4
1
)
(
4
1
12
)
(
3
5
6
3
12
12
5
6
5
6
3
2
2
2
2
4.5.2) Função Cosseno.
 
 c
u
sen
du
u
cos
Exemplo:
a)  dx
x
5
cos
b)  
  dx
x
x 2
cos
. 3
2
Solução:
a) 
 

 c
senx
xdx
dx
x
.
5
1
cos
5
1
5
cos
b)  
  dx
x
x 2
cos
. 3
2
 
   
c
x
sen
c
senu
udu
x
du
u
x
dx
x
x
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
x
























2
3
1
3
1
cos
3
1
3
cos
2
cos
.
3
3
2
2
cos
.
3
2
2
3
2
2
2
3
3
2

15
4.5.3) Função Tangente.
c
u
Ln
ou
c
u
Ln
du
u
tg 



 sec
cos
Exemplo:
a)  dx
tgx
2
b)  
  dx
x
tg 2
4
Solução:
a)   c
x
Ln
c
x
Ln
tgxdx
dx
tgx








 
 2
cos
cos
.
2
1
2
1
2
b)  
  dx
x
tg 2
4
 
   c
x
Ln
c
u
Ln
tgudu
du
tgu
dx
x
tg
du
dx
dx
du
x
u
dx
x
tg




























2
4
cos
2
1
cos
2
1
2
1
2
2
4
2
2
2
4
2
4
4.5.4) Função Cotangente.
c
u
Ln
ou
c
u
sen
Ln
du
u
g 



 sec
cos
cot
Exemplo:
a)  dx
gx
2
cot
b)  
 dx
x
g 6
cot
Solução:
a) 
 

 c
senx
Ln
gxdx
dx
gx
2
1
cot
2
1
2
cot
b)  
 dx
x
g 6
cot

 c
x
sen
Ln
c
senu
Ln
gudu
du
gu
dx
x
g
du
dx
dx
du
x
u
dx
x
g


























6
6
1
6
1
cot
6
1
6
cot
6
cot
6
6
6
6
cot

16
4.5.5) Função secante.
 

 c
u
tg
u
Ln
du
u sec
sec
Exemplo:
a)  dx
x
2
sec
7
b)  





dx
x
3
2
sec
Solução:
a)  dx
x
2
sec
7

 


 c
tgx
x
Ln
xdx
dx
x
sec
2
7
sec
2
7
2
sec
7
b)  





dx
x
3
2
sec
c
x
tg
x
Ln
dx
x
c
tgu
u
Ln
udu
du
u
dx
x
du
dx
dx
du
x
u
dx
x





























































3
2
3
2
sec
3
2
3
2
sec
sec
2
3
sec
2
3
2
3
sec
3
2
sec
2
3
3
2
3
2
3
2
sec
4.5.6) Função cossecante.
 

 c
u
g
u
Ln
du
u cot
sec
cos
sec
cos
Exemplo:
a) 

dx
x
5
sec
cos
6
b)  
 dx
x
x 2
sec
cos
5
Solução:
a) 

dx
x
5
sec
cos
6

 






c
x
g
x
Ln
xdx
dx
x
cot
sec
cos
5
6
sec
cos
5
6
5
sec
cos
6

17
b)  
 dx
x
x 2
sec
cos
5
 
c
gx
x
Ln
c
gu
u
Ln
udu
x
dx
u
x
dx
x
x
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
x

























2
2
2
4
4
3
cot
sec
cos
2
5
cot
sec
cos
2
5
sec
cos
2
5
2
sec
cos
5
sec
cos
5
2
2
1
1
sec
cos
4
4.5.7)  
 c
u
tg
du
u
2
sec
Exemplo:
- Resolva a integral abaixo:
 
 dx
x
x 2
2
3
sec
.
2
Solução:
 
   c
x
tg
c
tgu
du
u
x
dx
u
dx
x
x
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
x




















2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
3
1
sec
3
1
6
.
sec
2
3
sec
.
2
6
6
3
3
sec
.
2
4.5.8)  

 c
u
g
du
u cot
sec
cos
2
Exemplo:
 
  dx
x
6
3
sec
cos
2
Solução:
 
 
  c
x
g
c
gu
du
u
dx
u
dx
x
du
dx
dx
du
x
u
dx
x


































2
2
2
2
2
3
cot
6
1
cot
6
1
sec
cos
6
1
6
.
sec
cos
6
3
sec
cos
6
6
6
3
6
3
sec
cos

18
4.5.9)  
 c
u
du
u
tg
u sec
sec
Exemplo:
  
 
 dx
x
tg
x
x 3
4
.
3
4
sec 2
2
Solução:
   
   
c
x
c
u
du
tgu
u
x
du
tgu
u
x
dx
x
tg
x
x
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
tg
x
x

































)
3
4
sec(
8
1
sec
8
1
.
.
sec
8
1
8
.
sec
3
4
.
3
4
sec
8
8
3
4
3
4
.
3
4
sec
2
2
2
2
2
2
4.5.10)  

 c
u
du
u
g
u sec
cos
cot
sec
cos
Exemplo:
 
 dx
x
g
x
x 3
3
2
cot
.
sec
cos
5
Solução:
   
   
c
x
c
u
du
gu
u
x
du
gu
u
x
dx
x
g
x
x
x
du
dx
x
dx
du
x
u
dx
x
g
x
x





























3
2
2
3
3
2
2
2
3
3
3
2
sec
cos
3
5
sec
cos
3
5
.
cot
.
sec
cos
3
5
3
cot
.
sec
cos
5
cot
.
sec
cos
5
3
3
cot
.
sec
cos
5
APLICAÇÃO - 3
- Resolva as integrais indefinidas:
1)  
 dx
x
sen
4 2)  
  dx
x
sen 3
7 3)  
  dx
x
xsen 4
32
4)  
 xdx
x
sen cos
3
4
5)  dx
x
x
sen
6)  
 dx
x
sen
x 3
2
6
7)  
  dx
x
5
2
cos 8)    
 
 dx
x
x
x 2
6
cos
3 9)    
 dx
x
sen
x 5
5
cos
3

19
10)  
  dx
x
tg 5 11)  
  dx
x
xtg 2
5
8 12)  dx
x
tgx
2
cos
13)
 
 
 
dx
x
x
sen
2
cos
2
2
14)
 
 
 dx
x
sen
x
5
5
cos
15)  





da
x
sena
gx
cos
.
cot
05- INTEGRAÇÃO POR PARTES.
Existem algumas integrais que não conseguimos resolver utilizando qualquer
método até agora visto. Então, para resolver essas integrais devemos utilizar
um novo método denominado Integração por Partes.
Fórmula da Integração por Partes:
Seja f(x).g(x) o produto de duas funções.
Aplicando a derivada nesse produto, encontramos:
[f(x).g(x)]’= f(x).g’(x) + g(x).f’(x)
Tirando o valor de f(x).g’(x) temos:
f(x).g’(x) = [f(x).g’(x)]’ - g(x).f’(x)
Integrando ambos os membros da igualdade obtemos:
 f(x).g’(x)dx = [f(x).g’(x)]’ -  g(x).f’(x)dx
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx  fórmula de integração por partes.
Exemplo:
- Calcular as integrais:
01) dx
senx
x
 . 02) dx
x
Ln
 03) dx
x
x

2
sec
cos
.
Solução:
01) dx
senx
x
 .
 f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) -  g(x).f’(x)dx
 











 egrando
x
x
g
senx
x
g
x
f
x
x
f
dx
senx
x
int
cos
)
(
)
(
'
1
)
(
'
)
(
.

20
c
sex
x
x
dx
senx
x
xdx
x
x
dx
senx
x
dx
x
x
x
dx
senx
x
















cos
.
.
cos
cos
.
.
1
.
cos
cos
.
.
02) dx
x
Ln

 













egrando
x
x
g
dx
x
g
x
x
f
Lnx
x
f
dx
Lnx
int
)
(
)
(
'
1
)
(
'
)
(
 
 
c
e
x
Ln
x
dx
Lnx
c
Lne
Lnx
x
dx
Lnx
ou
c
Lnx
x
dx
Lnx
c
x
Lnx
x
dx
Lnx
dx
Lnx
x
dx
Lnx
dx
x
x
Lnx
x
dx
Lnx





























..
.
1
.
.
.
1
.
.
03) dx
x
x

2
sec
cos
.
 











 egrando
gx
x
g
x
x
g
x
f
x
x
f
dx
x
x
int
cot
)
(
sec
cos
)
(
'
1
)
(
'
)
(
sec
cos
. 2
2
c
senx
Ln
gx
x
dx
x
x
gxdx
gx
x
dx
x
x
gxdx
gx
x
dx
x
x
gxdx
gx
x
dx
x
x






















cot
.
sec
cos
.
cot
cot
.
sec
cos
.
cot
cot
.
sec
cos
.
cot
cot
.
sec
cos
.
2
2
2
2

21
10- INTEGRAL DEFINIDA
10.1- Introdução.
Durante nossos estudos sobre integral Indefinida, aprendemos a calcular
vários tipos de integrais, utilizando para isso alguns métodos de resolução.
Esses métodos são também utilizados para calcular a Integral Definida.
Essas integrais, que são definidas num intervalo [a, b], facilitam os cálculos das
áreas e dos volumes das figuras geométricas.
10.2- Cálculo de uma Integral Definida.
- Seja a função y = f(x).
- Determinando a diferencial, temos:
dx
x
f
dy
x
f
dx
dy
)
(
'
)
(
'


- Calculando a Integral Definida num intervalo [a, b], encontramos:
 b
a
b
a
x
f
y
dx
x
f
y
)
(
)
(
'

 
Agora, devemos substituir a variável independente x, primeiramente pelo
limite superior (b), depois, pelo limite inferior (a), em seguida subtrair os
resultados encontrados.
y = f(b) – f(a)
Exemplo:
- Encontrar os resultados das seguintes integrais definidas:
01) dx
x

2
1
2
02)  
 
1
0
3
1 dx
x
03)  



2
3 dx
x
sen 04)  



3
1
2
2 dx
x
x
05)  


1
1
4
1
3 dx
x 06) dx
x
 






0 2
cos
Solução:
01) dx
x

2
1
2
3
7
3
1
3
8
3
1
3
2
3
3
3
2
1
3
2
1
2





















x
dx
x

22
02)  
 
1
0
3
1 dx
x
  4
5
0
4
0
1
4
1
4
1
4
1
0
4
1
0
3




























 x
x
dx
x
03)  



2
3 dx
x
sen 

























3
2
3
2
3
)
(
3
du
dx
u
u
x
u 



     
3
1
2
3
cos
3
cos
3
1
cos
3
1
3
.
3
3
2
3
3
2
3
2


















 









u
du
senu
dx
x
sen
04)  



3
1
2
2 dx
x
x
       
3
40
6
80
6
17
2
21
6
12
3
2
2
9
30
2
2
1
3
1
2
9
15
1
.
2
2
1
3
1
3
.
2
2
3
3
3
2
2
3
2
2
3
2
3
3
1
2
3
3
1
2









 








 


























































 x
x
x
dx
x
x
05)  


1
1
4
1
3 dx
x 


















3
4
)
1
(
2
)
1
(
1
3
du
dx
u
u
x
u
    4
,
70
5
352
5
4
5
2
3
1
5
3
1
3
1
3
.
1
3
5
5
2
4
5
2
4
4
2
4
4
1
1
4







 















 


u
du
u
du
u
dx
x
06) dx
x
 






0 2
cos 
 
 

















du
dx
u
u
x
u
2
0
0
2
2


  2
1
.
2
0
2
2
.
2
2
.
cos
2
cos 2
0
2
0

























 sen
sen
senu
du
u
dx
x
o

 


23
APLICAÇÃO
- Resolva as integrais definidas:
01) 
2
1
4
dx
x 02)  



1
1
1 dx
x 03)  
 

1
0
2
4
3 dx
x
x
04)  
5
,
3
5
,
0 2
1 x
dx
05)  
2
1 2
4
4
x
dx
06)  
1
0
1
3 dx
x
07)  



1
1
3
4 dx
x 08)  
2
1
2
4
x
xdx
09) 
2
e
e
x
dx
10) 
2
0

dx
senx 11) 

0
cos dx
x 12) 
3
4


dx
tgx
13) 
2
3
cot


dx
gx 14) 

0
sec dx
x 15) 
2
3
sec
cos


dx
x
CÁLCULO DE ÁREAS
Seja a função y = f(x) que representa uma curva.
Para calculamos a área limitada por essa curva, pelo eixo dos x e pelos
os pontos P(a, c) e Q(b, d), devemos encontrar a integral definida dessa função
no intervalo [a,b], da seguinte maneira:
)
(
)
(
)]
(
[
)
( a
F
b
F
x
F
x
d
x
f
S b
a
b
a



 

24
Exemplo:
1) Resolver os seguintes problemas:
1.1) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 5x + 4 e pelos pontos x = 2 e
x= 3.
y = x2 – 5x + 4
 
 
área
de
unidade
a
u
S
x
x
x
x
d
x
x
x
d
x
f
.
.
6
1
2
6
13
6
13
6
13
2
.
4
2
2
.
5
3
2
3
.
4
2
3
.
5
3
3
4
2
5
3
4
5
)
(
2
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
2







































 

Nota: o sinal negativo significa que a área da figura encontra-se abaixo do eixo-x.
02) Encontrar a área limitada pela parábola y = x2 e pelas retas x = -3 e x = -1.
   
.
.
.
3
2
8
3
26
3
27
3
1
3
3
3
1
3
)
(
3
3
1
3
3
1
3
2
1
3
a
u
x
x
d
x
x
d
x
f
S 

























03) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 4 e pelo eixo dos x.
Inicialmente, determina-se as raízes da função, em seguida, calcula-se a
integral definida no intervalo [x’, x”].

25
y
 
.
..
.
3
32
3
32
3
32
4
3
4
)
(
1
3
3
1
3
2
1
3
a
u
S
x
x
x
d
x
x
d
x
f 























04) Determinar a área limitada pela curva f(x) = x3, eixo dos x e pelas retas x =
-2 e x = 4.
.
.
68
64
4
64
4
.
.
4
4
4
4
2
1
4
0
4
0
2
3
2
1
0
2
4
0
2
3
1
a
u
S
S
S
x
x
d
x
S
a
u
S
x
x
d
x
S
t 
































05) Calcular a área limitada pela curva y2 = 2x, eixo dos y e pelas retas y=2 e y
=3.
.
.
.
6
19
6
2
6
3
6
2
2
2
3
3
3
2
3
3
2
2
2
2
a
u
y
y
d
y
S
y
x
x
y
























26
SÍNTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você verificou que a Integral e a Diferencial são funções
inversas. Aprendeu a resolver exercícios utilizando as regras de Integral
Indefinida. Conceituou Integral Definida. Aprendeu a utilizar Integral Definida na
resolução de exercícios e problemas práticos.
Prezado aluno, esse aprendizado que absorveu sobre Cálculo Integral,
tem como obletivo mostrar os caminhos para resolução de problemas práticos
vinculados a diversas atividades do dia-a-dia, como determinação do valor de
áreas e volumes.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado aluno, chegamos ao final do aprendizado da disciplina Cálculo
Diferencial e Integral. Esperamos que nossos objetivos tenham sidos
alcançados por você. É importante lembrar que os assuntos abordados nesse
trabalho serão de extraordinária ajuda tanto para sua formação acadêmica,
como para continuidade do seu curso.
Abraço fraterno,
Anicio Bechara Arero

27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise
Matemática. Moscou: Mir, 1978.
GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro:
Científica, 1954.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC,
2008.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES:
IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual,
1993, 10v.
LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.

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