História dos números complexos

CAEM - Centro de Aperfei¸coamento de Ensino de Matemática
Instituto de Matemática e Estat´ıstica da USP
Texto: Professoras Cristina Cerri e Martha S. Monteiro
Setembro de 2001
História dos Números Complexos
Introdu¸cão
Quando um professor entra na sala de aula e diz que iniciará o estudo dos números complexos,
os alunos pensam que são números, no m´ınimo, muito complicados. Ao saber que também existem
números chamados de imaginários os alunos dirão que tais números, por serem imaginários, não
existem, e portanto, para que estudá-los?
Este texto pretende mostrar que não é bem assim. Percorrendo sua história veremos que o
surgimento de tais números está intimamente ligado à resolu¸cão de equa¸cões algébicas, sobretudo
às equa¸cões de grau 3, e não às de grau 2 como é comum se dizer. Também vamos aprender que
sua aceita¸cão, compreensão e utiliza¸cão ocorreu de maneira lenta e gradual.
Para a elabora¸cão deste texto, sobretudo para as referências históricas, utilizamos o livro de
Gilbert G. Garbi, intitulado Romance das Equa¸cões Algébricas, cuja leitura recomendamos.
O Surgimento dos Números Complexos
Resolver equa¸cões sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da história. Os
matemáticos antigos da Babilônia já conseguiam resolver algumas equa¸cões do 2o
grau baseados
no que hoje chamamos de “completamento de quadrado”.
Os matemáticos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da ma-
temática, resolviam alguns tipos de equa¸cões do 2o
grau com régua e compasso.
A conquista da Grécia por Roma praticamente acabou com o dom´ınio da Matemática Grega.
Com o fim do Império Romano e a ascensão do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas
e o desenvolvimento da Matemática ficou nas mãos dos árabes e dos hindus.
Os matemáticos hindus avan¸caram nas pesquisas em Álgebra e Baskara é o nome que imedia-
tamente vem à nossa memória quando falamos de equa¸cões do 2o
grau. Entretanto a fórmula de
Baskara não foi descoberta por ele, mas sim pelo matemático hindu Sridhara, no século 11.
1

Relembrando, dada a equa¸cão ax2
+ bx + c = 0 com a = 0 a fórmula de Baskara garante que
suas ra´ızes são
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
e x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Dependendo da equa¸cão, poderia acontecer que o número ∆ = b2
−4ac fosse negativo. Entretanto
isso não pertubava muito os matemáticos da época. Neste caso eles simplesmente diziam que o
problema não tinha solu¸cão.
O interesse pelo estudo da Matemática ressurgiu na Europa, mais especificamente na Itália, no
século XVI. Lá, e no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolu¸cão da equa¸cão do 3o
grau, é que se percebeu que os números reais não eram suficientes e as primeiras idéias da cria¸cão
do conjunto dos números complexos surgiram.
Vale à pena falar um pouco desta conturbada história.
Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi
marcada por contrastes e extremos. Sabe-se que era excepcional cientista, mas que também era
violento, traidor, invejoso e outras qualifica¸cões não muito edificantes. Foi autor do Liber de Ludo
Aleae, onde introduziu a idéia de probabilidade e também ensinou maneiras de trapacear nos jogos.
Sua maior obra, entretanto, foi o Ars Magna, publicada na Alemanha em 1545, que na época era
o maior compêndio algébrico existente.
Nicoló Fontana, apelidado de Tartaglia, só tinha em comum com Cardano a nacionalidade
italiana e o talento matemático. Nascido em Bréscia em 1500, na infância, pobre, foi gravemente
ferido por golpes de sabre e, por causa deste incidente, ficou com profunda cicatriz na boca que
lhe provocou um permanente defeito na fala. Da´ı ter sido apelidado de Tartaglia, que significa
gago. Ao longo de sua vida publicou diversas obras mas o que o colocou definitivamente nos anais
da Matemática foram suas disputas com Cardano.
Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou
uma forma geral de resolver equa¸cões do tipo x3
+ px + q = 0, mas morreu sem publicar sua
descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal solu¸cão e tentou ganhar notoriedade com
ela. Na época eram comuns os desafios entre sábios. Como Tartaglia era um nome que come¸cava
a se destacar nos meios culturais da época, Fior propôs a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar
de não saber resolver ainda tais equa¸cões, aceitou o desafio, confiando em seu potencial. Sabendo
que Fior conhecia a solu¸cão das equa¸cões acima citadas, não só deduziu a resolu¸cão para este caso,
como também resolveu as equa¸cões do tipo x3
+ px2
+ q = 0. O resultado deste desafio foi que
Fior saiu humilhado.
2

Nesta época Cardano estava escrevendo a Pratica Arithmeticae Generalis, que continha ensi-
namentos sobre Álgebra, Aritmética e Geometria. Ao saber que Tartaglia achara a solu¸cão geral
da equa¸cão de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu próximo livro.
Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta. Cardano acusou-o
de mesquinho e ego´ısta, e não desistiu. Após muitas conversas e súplicas este, jurando não divulgar
tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a solu¸cão. Conforme qualquer um poderia
prever, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a fórmula de
Tartaglia. No final, como em muitos outros casos, a posteridade não fez justi¸ca a Tartaglia: sua
fórmula é até hoje conhecida como “Fórmula de Cardano.”
Vamos conhecer a fórmula que gerou tanta polêmica.
Problema 1. Considere a equa¸cão geral do 3o
grau, x3
+ ax2
+ bx + c = 0, com a, b, c ∈ R
quaisquer. Mostre que esta equa¸cão pode ser transformada numa equa¸cão do tipo y3
+ py + q = 0,
fazendo uma substitui¸cão y = x + m com algum m conveniente. (Verifique que, de fato, tal m
sempre existe.)
Sendo assim, saberemos resolver qualquer equa¸cão do terceiro grau se soubermos resolver
equa¸cões do tipo x3
+ px + q = 0. A idéia de Tartaglia foi supor que a solu¸cão procurada é do
tipo x = A + B.
Problema 2.
(a) Tome a equa¸cão x3
+ px + q = 0 e substitua x = A + B. Notando que x3
= A3
+ B3
+ 3ABx,
conclua que 3AB = −p e que A3
+ B3
= −q. Portanto,
A3
B3
= −
p3
27
e A3
+ B3
= −q.
(b) Conclua que A3
e B3
são solu¸cões da equa¸cão x2
+ qx − p3
27
= 0 e mostre que suas solu¸cões
são
A3
= −
q
2
+ (
q
2
)2 + (
p
3
)3 e B3
= −
q
2
− (
q
2
)2 + (
p
3
)3.
(c) Mostre que
x =
3
−
q
2
− (
q
2
)2 + (
p
3
)3 +
3
−
q
2
− (
q
2
)2 + (
p
3
)3.
3

Um problema inquietante, que abordaremos a seguir, foi o que levou os matemáticos à desco-
berta dos números complexos.
Problema 3. Considere a equa¸cão x3
− 15x − 4 = 0.
(a) Mostre que x = 4 é solu¸cão da equa¸cão.
(b) Divida x3
− 15x − 4 = 0 por x − 4.
(c) Encontre as outras duas solu¸cões da equa¸cão e verifique que são números reais.
(d) Aplique a fórmula de Cardano (Tartaglia!) e verifique que a solu¸cão fornecida pela fórmula
é:
x =
3
2 +
√
−121 +
3
2 −
√
−121.
(d) Reflita: não parece que há algo de errado com essas solu¸cões?
Assim, questões realmente perturbadoras surgiram e não podiam ser ignoradas. Além da
extra¸cão de ra´ızes quadradas de números negativos também nos deparamos com uma extra¸cão de
raizes cúbicas de números de natureza desconhecidas. Quando, nas equa¸cões de grau 2 a fórmula
de Baskara levava à raiz quadrada de números negativos, era fácil dizer que aquilo indicava a
não existência de solu¸cões. Agora, entretanto, nota-se que há equa¸cões de grau 3 com solu¸cões
reais conhecidas, mas cuja determina¸cão passava pela extra¸cão de ra´ızes quadradas de números
negativos. Isto não ocorre só com esta equa¸cão! Pode-se mostrar, com relativa facilidade, que a
equa¸cão do tipo x3
+ px + q = 0 tem as 3 ra´ızes reais se, e somente se, ∆ = (q
2
)2
+ (p
3
)3
≤ 0.
Não havia como negar que os números reais eram insuficientes para se tratar de equa¸cões
algébricas. O que estava acontecendo no século XVI era semelhante ao que ocorreu no tempo
dos gregos antigos, quando se verificou a insuficiência dos números racionais com a constru¸cão do
número
√
2, que não era racional: o conceito de número precisava ser estendido.
Foi Rafael Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, em 1530, quem conse-
guiu atravessar a barreira e chegar aos novos números.
Conforme seu próprio relato em 1572 no livro L’Algebra parte maggiore dell’Arithmetica, sua
idéia foi supor que os números 3
2 +
√
−121 e 3
2 −
√
−121 deveriam ser números da forma
a +
√
−b e a −
√
−b, respectivamente. Com algumas contas, ele chegou à conclusão que a = 2 e
b = 1. Vamos seguir as idéias de Bombelli.
4

Problema 4. Fazendo de conta que
√
−1 é um número conhecido e que, com ele opera-se do
mesmo modo que com os outros números que já conhecemos, vamos verificar que
(2 +
√
−1)3
= 2 +
√
−121 e (2 −
√
−1)3
= 2 −
√
−121
No meio do caminho, reflita e tente responder:
(a) Quais devem ser as regras para operar com
√
−1 ?
(b) Como devem ser a adi¸cão e a multiplica¸cão de dois números da forma m + n
√
−1 ?
(c) Quando dois números desta forma são iguais?
(d) Conclua que x = 3
2 +
√
−121 + 3
2 −
√
−121 = 4.
A partir da idéia pioneira de Bombelli, ainda se demorou mais de dois séculos para que se
conseguisse, através de Euler, saber como extrair ra´ızes de números complexos.
Os Números Complexos São Definidos
A Aritmética e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendo
descobertas rela¸cões entre números e formas. A idéia de empregar sistemas de coordenadas para
definir posi¸cões de pontos no plano e no espa¸co já havia sido utilizada da no século III a.C.
por Apolônio, em seus trabalhos sobre seçcões cônicas. Entretanto, foi na primeira metade do
século XVII que os geniais matemáticos franceses Pierre de Fermat e René Descartes inventaram,
independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Anal´ıtica.
Fermat não se preocupou em publicar suas idéias, ao contrário de descartes que, no apêndice
de seu mais famoso livro Discurso Sobre o Método de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar a
Verdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, que
é considerado a pedra fundamental da Geometria Anal´ıtica.
Com o dom´ınio da geometria Anal´ıtica Descartes estudou, entre outras coisas, as equa¸cões
algébricas. Em uma passagem do Discurso do Método Descartes escreveu a seguinte frase: “Nem
sempre as ra´ızes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equa¸cão são reais. Às vezes
elas são imaginárias”.
5

Por esse motivo, até hoje o número
√
−1 é chamado de número imaginário, termo que
se consagrou juntamente com a expressão “número complexo”. Infelizmente, são designa¸cões um
tanto inadequadas e subjetivas para objetos matemáticos.
Depois de Bombelli, em 1530, outros personagens importantes da História da Matemática
deram contribui¸cões ao desenvolvimento da teoria dos números complexos, dentre os quais o
matemático francês Abraham de Moivre, amigo de Isaac Newton, e também os irmãos Jacques e
Jean Bernoulli. Mas quem fez o trabalho mais importante e decisivo sobre o assunto foi Euler.
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Sui¸ca, no ano de 1707, quando o Cálculo Diferencial e
Integral, inventado por Newton e Leibniz, estava em expansão. Foi um dos matemáticos que mais
produziu e publicou em todos os tempos, além de ter sido muito boa pessoa. Aos 28 anos perdera
a vista esquerda e viveu totalmente cego os últimos 18 anos de sua vida, per´ıodo em que continuou
produzindo, guiado pela sua memória. Faleceu em 1783. Seu nome ficou ligado para sempre ao
número irracional e, conhecido como número de Euler, cujo valor é aproximadamente 2,71828, e
que aparece freqüentemente em equa¸cões que descrevem fenômenos f´ısicos. A descoberta deste
número ocorreu devido a uma pergunta de Jacques Bernoulli sobre juros compostos.
Dentre as inúmeras contribui¸cões de Euler foi notável seu empenho na melhoria da simbologia.
Muitas das nota¸cões que utilizamos hoje foram introduzidas por ele. Dentre as representa¸cões
propostas por Euler destacamos o i substituindo
√
−1.
Euler passou a estudar números da forma z = a + bi onde a e b são números reais e i2
= −1.
Esses números são chamados de números complexos.
Pergunta: Todo número real é um número complexo. Por que?
Através das próximas atividades vamos percorrer as idéias de Euler, que é considerado o
matemático que dominou os números complexos.
Problema 5.
(a) Defina as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão para os números da forma z = a + bi, tendo
em vista os estudos de Bombelli.
(b) Verifique que, para estes números, valem as seguintes propriedades: associativa da adi¸cão e
associativa da multiplica¸cão, comutativa da adi¸cão e comutativa da multiplica¸cão, existência
de um elemento neutro para a adi¸cão e outro neutro para a multiplica¸cão, existência, para
cada número, de elemento oposto.
6

(c) Verifique também existência, para cada elemento não nulo, de seu inverso, isto é, mostre que
se z = a + bi, z = 0, existe um número complexo w (que você deve calcular qual é) tal que
z · w = 1.
Em geral denota-se por C o conjunto dos números complexos. Com o que acabamos de verificar,
o conjunto C e suas opera¸cões tem uma estrutura que modernamente chamamos de corpo.
Os Números Complexos e a Trigonometria
Logo se percebeu que é poss´ıvel escrever z = a + bi na forma
z =
√
a2 + b2(
a + bi
√
a2 + b2
) =
√
a2 + b2(
a
√
a2 + b2
+
b
√
a2 + b2
i).
Como a√
a2+b2 e b√
a2+b2 são números que pertencem ao intervalo [−1, 1] e a soma de seus quadrados
é 1, existe um número θ tal que
cos(θ) =
a
√
a2 + b2
e sen(θ) =
b
√
a2 + b2
.
Chamando o número positivo ρ =
√
a2 + b2 de módulo de z e θ de argumento de z, escreve-se
z = ρ(cosθ + isenθ).
Esta maneira de escrever o número z é chamada Forma Polar de z.
Problema 6.
(a) Usando a forma polar e utilizando fórmulas da trigonometria, mostre que o produto de dois
números complexos z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = ρ2(cosθ2 + isenθ2) pode ser escrito na
forma
z1 · z2 = ρ1ρ2(cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2))
(b) Como ficam o oposto de z e o inverso de z, com z = 0 na forma polar?
Tendo em mãos a Geometria Anal´ıtica, os matemáticos da época puderam interpretar geome-
tricamente o número z = a + bi como um par ordenado (a, b) num sistema ortogonal.
7

Problema 7. Interprete geometricamente o módulo e o argumento de um número complexo z.
Interprete também o oposto e o inverso de um número z não nulo. Interprete a soma e o produto
de dois números complexos z = a + bi e w = c + di.
Com a forma polar fica muito mais simples calcular potências inteiras de números complexos.
A fórmula
zn
= ρn
(cos(nθ) + isen(nθ))
é conhecida como Fórmula de Moivre.
Problema 8. Mostre a veracidade da fórmula acima. (cuidado com n < 0 )
Pratique o uso da fórmula, calculando: (i − 1)12
= . . . ; (1 + i)−3
= . . .
A Fórmula de Moivre nos diz que
(cosθ + isenθ)n
= cos(nθ) + isen(nθ).
Se chamarmos cosθ + isenθ de f(θ), então temos que
(f(θ))n
= f(nθ).
Repare que esta é uma propriedade de fun¸cões exponenciais: ((ax
)n
= anx
) e não escapou a
Euler: ele então conjecturou a existência de uma fun¸cão exponencial com variáveis complexas.
Utilizando método de séries infinitas Euler demonstrou que
eiθ
= cosθ + isenθ.
No caso em que θ = π teremos que
eiπ
+ 1 = 0,
uma igualdade que envolve os cinco mais importantes números da Matemática.
Voltando às potências de números complexos, foi Euler também quem se propôs a descobrir
como extrair raiz n-ésima de um número da forma a + bi. Mas a idéia central (da fórmula de
Moivre) já estava pronta. Bastava agora acertar alguns detalhes.
Lembrem-se de que esta era a questão que perturbava os matemáticos desde que a Fórmula
de Cardano (Tartaglia) foi obtida. Este é o assunto do próximo parágrafo.
8

As Ra´ızes Complexas
Todos sabem que, em R, a equa¸cão xn
= 1 tem duas ra´ızes se n for par (x = 1 ou x = −1) e
apenas uma se n for impar (x = 1). Euler se perguntou o que ocorreria se as solu¸cões pudessem
ser números complexos.
Formalmente, dado um número complexo w queremos encontrar todos os números complexos
z tais que zn
= w. Vamos primeiramente supor que n > 0. Usando a fórmula de Moivre temos o
seguinte.
Chamando z = ρ(cosφ + isenφ) e w = r(cosθ + isenθ), com 0 ≤ θ, φ < 2π, como zn
=
ρn
(cos(nφ) + isen(nφ)), teremos:
zn
= w ⇔ ρn
(cos(nφ) + isen(nφ)) = r(cosθ + isenθ).
Portanto
ρ = n
√
r e nφ = θ + 2kπ para todo k ∈ Z.
Concluimos que as solu¸cões da equa¸cão zn
= w são números complexos da forma
zk = n
√
r(cos(
θ + 2kπ
n
) + sen(
θ + 2kπ
n
)) para todo k ∈ Z.
Aparentemente encontramos infinitas solu¸cões para a equa¸cão zn
= w já que há infinitos valores
para k. Mas isto não é verdade: há solu¸cões repetidas. Vamos entender melhor.
Problema 9. Seja w = 1 + i.
(a) Escreva w na forma trigonométrica.
(b) Encontre, usando a fórmula obtida acima, todas as solu¸cões complexas da equa¸cão z3
= w.
(c) Represente geometricamente w e as solu¸cões z0, z1, z−1, z2, z−2, z3, z−4, z5 e z−5.
(d) Quantos zk distintos existem ?
O caso geral é análogo. As ra´ızes zk e zk+n são sempre iguais. (Verifique!) Por isso, na verdade,
só existem n ra´ızes distintas zk para a equa¸cão zn
= w, que normalmente são representadas por
z0, z1, z2, . . . , zn−1.
Note que a equa¸cão z2
= 1 tem duas solu¸cões tanto em R quanto em C que são z = 1 ou
z = −1. Mas a equa¸cão z3
= 1 tem 3 solu¸cões em C e apenas uma em R!
9

Quando estamos trabalhando com números complexos as n solu¸cões da equa¸cão zn
= w são
chamadas de ra´ızes n-ésimas de w. Infelizmente, são indicadas também com o símbolo n
√
w, isto
é,
n
√
w = z0, z1, · · · , ou zn−1.
Observa¸cão. Sabemos que, por exemplo, as solu¸cões reais da equa¸cão x2
= 4 são 2 e -2. Pode-
se até escrever x = ±
√
4 ou ainda x = ±2. Porém, a conven¸cão utilizada em R é que
√
4 = 2,
pois entende-se que, no conjunto dos Números Reais, o s´ımbolo
√
x indica a única raiz positiva
do número real x.
A conven¸cão, porém, é diferente no conjunto dos Números Complexos: o s´ımbolo
√
z é usado
para representar todas as ra´ızes do número complexo z! Precisamos estar atentos a esse fato para
podermos transmitir essas conven¸cões de modo claro para nossos alunos!
Voltando à história e usando a consagrada terminologia, o que Euler descobriu foi algo fantástico:
Qualquer número complexo não nulo (os reais em particular) tem exatamente n ra´ızes n-ésimas
em C.
Exerc´ıcios 10. Encontre todas as solu¸cões de zn
= w e localize-as no plano:
(a) n = 3 e w = −8
(b) n = 2 e w = −1
(c) n = 2 e w = i
(d) n = 2 e w = 1 + i
(e) n = 4 e w = i − 1
Exerc´ıcio 11. Encontre todas as solu¸cões de zn
= 1 e, para os casos n = 2, 3, 4 e 5,
localize-as no plano.
As solu¸cões de zn
= 1 são chamadas de ra´ızes n-ésimas da unidade. Geometricamente são
representadas pelos os vértices de um pol´ıgono regular de n lados inscrito na circunferência de raio
1, tendo como um dos vértices o ponto (1, 0). Normalmente são denotadas por w0, w1, ..., wn−1,
sendo que w0 = 1.
Da fórmula que deduzimos, é fácil mostrar que wk = (w1)k
.
10

Repare nas solu¸cões encontradas no Problema 9. Você notou que as ra´ızes cúbicas de w são os
vértices do triângulo inscrito numa circunferência de raio 3
|w| e centrada na origem?
Este fato não é coincidência: as ra´ızes n-ésimas de um número w = r · eiθ
são os vértices do
pol´ıgono regular inscrito na circunferência de centro na origem e raio n
√
r. O primeiro vértice,
também chamado de ra´ız principal, comumente é indicado por z0 = n
√
r(senθ
n
+i cos θ
n
). Os outros
são zk = (z0)k
, para k = 1, 2, · · ·, n − 1.
Voltemos à fórmula de Cardano (Tartaglia). Com as descobertas acima explicadas, Euler
estava pronto para desvendar o mistério da solu¸cão de Tartaglia para a equa¸cão de grau 3.
Como já vimos esta fórmula, à equa¸cão x3
− 15x − 4 = 0 nos fornece a solu¸cão
x =
3
2 +
√
−121 +
3
2 −
√
−121
ou equivalentemente, a
x = 3
√
2 + 11i + 3
√
2 − 11i.
Problema 12.
(a) Verifique que o módulo de 2 + 11i é
√
125 = 5
√
5 e que seu argumento é θ = arccos(2
√
5
25
).
(b) Verifique que o módulo de 2 − 11i é
√
125 = 5
√
5 e que seu argumento é −θ.
(c) Determine as ra´ızes cúbicas de 2 + 11i e de 2 − 11i.
(d) Conclua, usando as descobertas de Euler sobre ra´ızes de números complexos, que a fórmula
de Tartaglia nos fornece 3 solu¸cões da equa¸cão acima. Determine-as.
Assim a fórmula de Tartaglia nos fornece todas as solu¸cões de equa¸cões do tipo x3
+px+q = 0,
ou seja, Tartaglia embora não soubesse, estava resolvendo de forma total as equa¸cões de grau 3.
Bombelli deu o primeiro passo para a compreensão das questões que surgiram em seguida, mas
foi Euler que desvendou completamente o mistério. Por tudo isto e muito mais é que Euler é
conhecido como o matemático que dominou os números complexos.
11

Conseqüências Importantes da Teoria dos Números Complexos
Ainda restavam outras questões importantes sobre as equa¸cões algébricas que ainda não haviam
sido respondidas. Será que outros números não conhecidos poderiam vir a ser necessários para que
outras equa¸cões possam ser resolvidas? Vejamos quem colocou um ponto final a essas questões e
como.
Depois que Euler mostrou que as equacões do tipo zn
= w tinham n solu¸cões em C, os
matemáticos passaram a acreditar que toda equa¸cão de grau n deveria ter n ra´ızes complexas.
Vários matemáticos tentaram provar esta conjectura e Jean le Rond d’Alembert publicou, em
1746, algo que considerou uma prova deste fato. Entretanto um jovem matemático mostrou que
tal prova era “insatisfatória e ilusória” e apresentou uma demonstra¸cão correta. Este matemático
foi Carl Friedrich Gauss. Aos 21 anos, em 1799, Gauss apresentou o que ainda hoje é considerado
a maior tese de doutorado em Matemática de todos os tempos. Nela está a prova do Teorema
Fundamental da Álgebra, cuja denomina¸cão foi dada pelo proprio Gauss. Esse teorema afirma
que:
Toda equa¸cão polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, pelo menos, uma
raiz complexa.
A demostra¸cão deste importante resultado não é simples. A mais fácil dispon´ıvel foi produzida
por Argand em 1815 e simplificada por Cauchy, e pode ser vista em [1].
Com o teorema de Gauss, o procurado e esperado resultado sobre equa¸cões algébricas pode
finalmente ser provado. A seguir veremos por que é que “toda equa¸cão de grau n tem
exatamente n ra´ızes, eventualmente repetidas.”
Problema 13 Seja P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x + a0, onde, para cada i = 0, ..., n, os
coeficientes ai são números complexos.
(a) Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra conclua que a equa¸cão P(x) = 0 tem uma
solu¸cão que denotaremos por α1. Conclua também que P(x) é divis´ıvel por (x − α1).
(b) Como P(x) = (x − α1) · Q(x), o que se pode dizer sobre o grau de Q(x)?
(c) Aplique novamente o Teorema Fundamental da Álgebra, agora para o polinômio Q(x), e con-
clua que P(x) tem duas ra´ızes.
(d) Repetindo este racioc´ınio veja que P(x) deve ter n ra´ızes, eventualmente repetidas.
12

Assim, o Teorema Fundamental da Álgebra resolveu a questão das solu¸cões de equa¸cões
algébricas e ainda mostrou que o conjunto dos números complexos é o melhor conjunto para
se tratar do assunto, pois contém todas as solu¸cões de qualquer equa¸cão algébrica, de qualquer
grau.
Entretanto, encontrar efetivamente as solu¸cões não é tarefa simples. Fórmulas gerais para as
de graus 2 e 3 já tinham sido encontradas. Outro matemático italiano, Ludovico Ferrari (1522-
1560), disc´ıpulo de Cardano, encontrou uma maneira de obter as solu¸cões de uma equa¸cão geral
de grau 4. Seu mérito maior foi o de mostrar que é poss´ıvel encontrar as solu¸cões de uma equa¸cão
de quarto grau apenas com opera¸cões algébricas.
Vários matemáticos tentaram encontrar fórmulas gerais para obter as ra´ızes das equa¸cões de
graus superiores a 5. Não poderiam ter sucesso, pois o famoso matemático norueguês Neils Henrik
Abel (1802-1829) demostrou que, embora algumas equa¸cões particulares possam ser resolvidas
completamente, é imposs´ıvel resolver a equa¸cão geral de grau 5 utilizando-se apenas opera¸cões
algébricas, isto é, usando-se apenas adi¸cão, subtra¸cão, multiplica¸cão, divisão e radicia¸cão.
Mas isto é assunto para um outro curso!
Como curiosidade, vamos resolver as questões abaixo e prestar aten¸cão a um detalhe: as
solu¸cões complexas de equa¸cões algébricas com coeficientes reais aparecem sempre aos pares.
Problema 14.
(a) Encontre todas as solu¸cões de z3
+ z2
+ z = 0.
(b) Encontre todas as solu¸cões de z5
− z4
+ z − 1 = 0.
(c) Seja P(x) um polinômio de grau n e coeficientes reais. Mostre que se w = a + bi é uma
solu¸cão de P(x) = 0 então w = a − bi também o é.
Bibliografia
[ 1 ] Gilberto G. Garbi, O Romance das Equa¸cões Algébricas, Makron Books, 1997.
[ 2 ] M. P. do Carmo, A. C. Morgado, E. Wagner, Trigonometria - Números Complexos IMPA-
VITAE, 1992.
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História dos números complexos

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