Interagindo Com PitáGoras
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Este documento apresenta o Teorema de Pitágoras, incluindo uma breve biografia de Pitágoras, demonstrações do teorema, aplicações e exemplos de problemas resolvidos usando o teorema.
Interagindo Com PitáGoras
- 1. INTERAGINDO COM PITÁGORAS TEOREMA DE PITÁGORAS
- 2. Esta apresentação tem como finalidade: Apresentar quem foi Pitágoras e o Teorema de Pitágoras aos alunos de 8º e 9º anos do ensino fundamental. Demonstrar o teorema de Pitágoras Apresentar algumas curiosidades sobre Pitágoras Propor e resolver alguns exercícios
- 3. Nesta apresentação será mostrado: Quem foi Pitágoras Curiosidades sobre Pitágoras Como surgiu o Teorema de Pitágoras Demonstrações do Teorema Onde utilizá-lo Situações envolvendo o Teorema de Pitágoras Problemas Propostos
- 4. Curiosidades sobre Pitágoras PITÁGORAS E A MÚSICA Pitágoras descobriu que a altura de um som tem relação com o comprimento da corda que, ao vibrar, o produz. Ex.: Se dobrarmos o tamanho de uma corda que produz a nota dó, obteremos a mesma nota, mais grave. Ele identificou, ainda, as subdivisões necessárias para se obter as demais notas. A ele é atribuído a descoberta dos intervalos musicais.
- 5. PITÁGORAS E A ASTRONOMIA Pitágoras pensava que a Terra era uma esfera no centro do Universo. Para ele, o Sol, a Lua e os planetas apresentavam órbitas próprias. Isso lhe permitia concluir que esses astros não se situavam a mesma distância que as estrelas, mas que todos eles estavam situados numa camada esférica mais próxima.
- 6. PITÁGORAS E A RELIGIÃO Sob o aspecto religioso, o pitagorismo assentava-se, fundamentalmente na crença da imortalidade da alma, cuja purificação ocorreria através de sucessivas reencarnações em corpos vivos, até que ela viesse a ter condições de libertar-se de invólucros mortais para confundir-se com o espírito divino .
- 7. Quem foi Pitágoras? Pitágoras foi um matemático grego que viveu em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso, por volta de 572 a .C.
- 8. O que é o Teorema de Pitágoras? O Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos a² = b² + c²
- 9. Porque o Teorema de Pitágoras tem esse nome? O Teorema já era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes”, mas é possível que o teorema tenha o seu nome pois acredita-se que ele tenha sido o primeiro a dar uma demonstração geral.
- 10. Demonstração do Teorema de Pitágoras
- 11. Vamos calcular as áreas dos 2 quadrados e dos triângulos: - área de cada triângulo = (b x c)/2 - área do quadrado menor = a² - área do quadrado maior = (b + c)²
- 12. A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quatro triângulos com a área do quadrado menor. Agora alguns cálculos algébricos: (b + c) (b + c) = 2bc + a² b² + bc + cb + c² = 2bc + a² b² + 2bc + c² = 2bc + a² b² + c² = a²
- 13. Dois ou três mil anos antes de Jesus Cristo, usava-se a corda para medições em terrenos. Esta utilização se verificava de diversas maneiras. Uma das mais notáveis aplicações desta corda era na construção de duas retas perpendiculares, procedimento que se tem conservado até os nossos dias.
- 14. Pega-se uma corda que tenha 12 unidades de comprimento (na Antiguidade não se conhecia o metro como unidade de comprimento), com “ nós” que a dividam em partes de comprimento 3, 4 e 5 respectivamente. Finca-se no solo “estacas” A e B, distantes 4 “nós”. Entre A e B temos a parte central da corda, cujos comprimentos são 3 e 5 “nós”, basta que se encontrem em um ponto C, constataremos, então, que o triângulo ABC é um triângulo retângulo.
- 15. Vemos que, se um triângulo tem os lados 3, 4 e 5, é um triângulo retângulo. Mas é fácil ver também que é um triângulo retângulo aqueles que possuem os lados 6, 8 e 10 ou que tenham os lados 9, 12 e 15, isto quer dizer que os triângulos que tenham os lados equi-múltiplos de 3, 4 e 5 são triângulos retângulos . Observando, em todos os casos resulta: 5² = 4² + 3² ; 10² = 8² + 6² ; 15² = 12² + 9².
- 16. Triangulo retângulo feito com cordas
- 17. Onde utilizar o Teorema de Pitágoras A importância desse teorema é devido ao seu valor cultural, à sua influência em outras áreas, como da Física e da Engenharia e ao grande número de aplicações que ele tem, como, por exemplo, sua utilização no cálculo da inclinação de uma rampa, de um telhado, na medição da distância entre dois pontos invisíveis entre si, no cálculo do raio aproximado da Terra ou para fixar exatamente o ângulo de 90º entre duas paredes a serem construídas.
- 18. Veja uma demonstração visual do teorema de Pitágoras Cada quadradinho tem uma unidade de medida. A soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é igual a área do quadrado construído sobre a hipotenusa.
- 19. Problemas onde se utiliza o teorema de Pitágoras Uma escada de 5 m de comprimento é apoiada na laje de uma casa. Do pé da escada até a parede da casa tem-se 3 m. Qual a altura da casa?
- 20. Resolvendo, temos : Usando o teorema de Pitágoras, temos: a² = b² + c², onde a é o comprimento da escada, b é a distância do pé da escada até a parede e c é a altura da casa. Então: 5² = 3² + c² Logo: c² = 25 – 9 Então, c = 4 A casa tem 4 metros de altura
- 21. Veja o seguinte problema onde se aplica o teorema de Pitágoras Encontre a altura do triangulo mostrada na figura ao lado. X² + 7² = 252 X² + 49 = 625 X² = 576 X² = √576 X = ± 24 Como X é uma medida, então não pode ser negativo. Portanto, X = 24 .
- 22. Problema Proposto Observe a figura ao lado e faça o que se pede: Calcule a área dos dois quadrados menores. Some a área desses dois quadrados. Calcule a área do quadrado maior. Compare a área do quadrado maior com a soma realizada no item b. O que você conseguiu observar através dessa comparação?