Introdução metodos computacionais
- 1. Introdução aos Métodos Computacionais Professor: Raul B. V. Pessolani
- 2. Análise de sistemas de engenharia Problema físico Erro Simplificações e aproximações Modelo matemático Ex: Equação Diferencial Erro Discretização Modelo numérico Ex: Modelo de Elementos Finitos 2
- 3. Análise de sistemas de engenharia A seleção do modelo matemático depende do tipo de problema: Distribuição de temperatura. Campo de tensões. Um bom modelo deve: Considerar os aspectos essenciais do problema. Desprezar os fatores secundários. Fornecer resultados próximos das respostas reais. Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo: Incluir aspectos inicialmente desprezados. 3
- 4. Análise de sistemas de engenharia Modelos numéricos são aproximações dos modelos matemáticos. Um método numérico é confiável se ele converge para a solução exata do modelo matemático. Garantia de convergência com o refinamento. Velocidade de convergência. Custo computacional envolvido. Facilidade de implementação e utilização. A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado. 4
- 5. Discretização Problema: Determinação do perímetro de um círculo. R Dividindo em n partes: l = 2Rsen(α/2) α α = 2π/n L = n l = 2πR sen(α/2) α/2 5
- 6. Discretização Laprox/Lexato log(Laprox/Lexato- 1) Verifica-se que a solução converge para o resultado exato. A velocidade de convergência é boa ? 6
- 7. Importância dos métodos numéricos Os problemas da engenharia envolvem a solução de equações diferenciais ordinárias ou parciais. Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais: Geometria e condições de contorno simples. Certos tipos de carregamento. Material homogêneo. A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados): Método das Diferenças Finitas. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos de Contorno. 7
- 8. Análise por elementos finitos Malha elemento Geometria Material apoios nó carregamento 8
- 9. Passos da Análise 1. Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples: Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,... Os elementos adjacentes são conectados através dos nós. 2. Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos: Interpolar a partir dos valores nodais. Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,... 3. Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade). 4. Calcular respostas no interior dos elementos: Deformações a partir do campo de deslocamentos. Tensões a partir das deformações. 9
- 10. Vantagens Aplicação a qualquer problema de campo: Tensões, transferência de calor, percolação, etc. Não há restrição quanto a geometria do problema nem quanto ao carregamento e as condições de contorno do problema. O material pode variar de elemento para elemento. O modelo de elementos finitos aproxima o comportamento físico na região a ser analisada segundo funções de interpolação: Constantes, lineares, quadráticas,... Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos: Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc. A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos ⇒ convergência. 10
- 11. Exemplo de aplicação: estrutura de edifício http://www.csiberkeley.com/ 11
- 12. Análise de um tanque esférico http://www.csiberkeley.com/ 12
- 13. Contato pneu-pavimento (não linearidade) http://www.manufacturingcenter.com/dfx/ 13
- 14. Trem de pouso http://www.abaqus.com/ 14
- 16. Fuselagem Cargas e apoios Configuração pós-flambagem 16
- 17. Pontes Depois do terremoto San Francisco Bay Bridge http://www.adina.com/ 17
- 18. Pontes 18
- 19. Passos da Simulação Numérica Análise preliminar: Obter uma solução aproximada do problema. Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise experimental, análises anteriores, etc. Análise por Métodos Numéricos: Pré-processamento: Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ... Geração de malha. Análise numérica. Pós-processamento: Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,... Contornos e gráficos de tensões. 19
- 20. Análise de navios – Malha Global 20
- 21. Análise de Navios - Carregamento 21
- 22. Análise de Navios – Detalhamento 22
- 23. Exmeplo do Método dos Elementos de Contorno Tubulação de 3 metros de comprimento, cubo de 2 metros de lado e o fluxo livre é de 1m/s Discretização inicial com 22 elementos Qoo = 1 m/s Qoo = 1 m/s 23
- 24. Resultados – Validação Discretização final com 2400 elementos Avaliação da faixa central, pois se aproxima à solução 2D que possui solução analítica 24
- 25. Validação - Solução analítica x Solução Programa V p=2 RV ∞ SEN θ Raio = 1 Voo = 1.0 Vp =0.27 =0.58 =0.87 =1.08 =1.14 =1.59 =1.76 =1.89 =1.95 =1.99 25
- 26. Jaqueta para Plataforma 26
- 27. Aeronave para AeroDesign 27
- 28. Passos da Simulação Numérica 1. Pré-Análise Escolher o modelo Obter resultados aproximados Planejar a discretização Matemático Para posterior validação 2. Pacote 3. Análise dos Resultados PRÉ-PROCESSAMENTO Alteração SIM Dados. Devo refinar mais a malha? Devo mudar o tipo de elemento? ANÁLISE Devo mudar o Método? SIM NÃO Os resultados são coerentes? PARAR PÓS-PROCESSAMENTO Há erros grosseiros? 28
- 29. Análise dos resultados Avaliação qualitativa: A resposta “parece” certa ? As simetrias esperadas estão presentes? As condições de contorno são respeitadas? As maiores deformações (ou tensões) estão nos pontos esperados? Verificar se a estrutura está em equilíbrio ou se a massa se mantém Avaliação quantitativa A resposta está correta? Comparar resultados obtidos com as soluções preliminares. Verificar se o nível de discretização é satisfatório especialmente quando há picos na solução. 29
- 30. Por que estudar a teoria? Por que estudar a teoria? Programas comerciais são utilizados a bastante tempo. Intensivamente testados: fabricantes e usuários. Os programas atuais possuem interface amigável. Sua utilização não requer grandes conhecimentos. A obtenção de resultados confiáveis requer: Conhecimento do comportamento físico: Mecânica dos Fluídos , Resistência dos Materiais, ... Conhecimento dos diferentes Métodos: Comportamento dos elementos, características dos algoritmos aproximações e limitações 30
- 31. Principais questões envolvidas na análise Estático x dinâmico As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ? A estrutura é muito flexível ? A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ? O comportamento do material é dependente do tempo ? Linear x não-linear Os deslocamentos/rotações são significativos ? A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ? O material sofre deformações permanentes ? Existe a formação de trincas ? 31
- 32. Tipos de análise Acoplada (multi-física) x desacoplada Termo-mecânico. Solo-estrutura. Fluido-estrutrura. Estado da prática: Depende do ramo de aplicação. Engenharia civil: estática, linear e desacoplada. Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,... Análise não-linear: problemas especiais. 32
- 33. Método das Diferenças Finitas Problema da Difusão e propagação da onda acústica Bor Área do modelo da Algoritmos de absorção testados 33