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Livro de cálculo 1 com resolução de exercícios

D
DiegoCarniattoCerra

O documento aborda conceitos fundamentais de operações com funções em cálculo diferencial e integral, incluindo soma, diferença, produto, quociente e composição de funções. Ele também discute funções polinomiais, racionais e algébricas, além das definições de funções definidas por partes e funções inversas. Exemplos práticos ilustram esses conceitos matemáticos, demonstrando como calcular domínios e inversas de funções.

Ciências
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MÓDULO 2 Funções (parte 3) Cálculo Diferencial e Integral 1 Prof. Alisson (2021-1) Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR - Campus Apucarana Departamento Acadêmico de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral 1 2 Prof. Alisson Conteúdos - Operações com funções - Funções polinomiais, racionais e algébricas - Funções definidas por partes - Funções inversas - Funções trigonométricas inversas - Funções hiperbólicas - Transformações de funções
Cálculo Diferencial e Integral 1 3 Prof. Alisson Operações com funções - Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções a partir destas operações. Definimos:
Cálculo Diferencial e Integral 1 4 Prof. Alisson Operações com funções - Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções a partir destas operações. Definimos: - Função soma: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 - Função diferença: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
Cálculo Diferencial e Integral 1 5 Prof. Alisson Operações com funções - Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções a partir destas operações. Definimos: - Função soma: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 - Função diferença: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) - Os domínios 𝐷𝑓+𝑔 e 𝐷𝑓−𝑔 das funções soma e diferença, respectivamente, é a intersecção dos domínios 𝐷𝑓 da função 𝑓 e 𝐷𝑔 da função 𝑔, ou seja, 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔.
Cálculo Diferencial e Integral 1 6 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔. 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 7 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔. Então, 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 8 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔. Então, 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 . Além disso, 𝐷𝑓+𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 0 𝑜𝑢 ]0, +∞[ 𝐷𝑓−𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 0 𝑜𝑢 ]0, +∞[ 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 . 0 0 0 𝐷𝑓 𝐷𝑔 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
Cálculo Diferencial e Integral 1 9 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
Cálculo Diferencial e Integral 1 10 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: - Os domínios da função produto e da função quociente são dados por: 𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 . 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
Cálculo Diferencial e Integral 1 11 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: - Os domínios da função produto e da função quociente são dados por: 𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 . Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Obtenha 𝑓/𝑔. 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
Cálculo Diferencial e Integral 1 12 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: - Os domínios da função produto e da função quociente são dados por: 𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 . Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Obtenha 𝑓/𝑔. Então, Além disso, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≠ 1 𝑜𝑢 [0, 1 ∪ 1, +∞[ 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 . 0 0 𝐷𝑓 𝐷𝑔 𝐷𝑓/𝑔 1
Cálculo Diferencial e Integral 1 13 Prof. Alisson - Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 14 Prof. Alisson - Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔 𝑥 ) 𝑓 𝑔 𝑓 ∘ 𝑔
Cálculo Diferencial e Integral 1 15 Prof. Alisson - Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . - O domínio da função 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto de todos os 𝑥 no domínio de 𝑔 tais que 𝑔(𝑥) está no domínio de 𝑓, ou seja 𝐷𝑓∘𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔 𝑥 ) 𝑓 𝑔 𝑓 ∘ 𝑔
Cálculo Diferencial e Integral 1 16 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓.
Cálculo Diferencial e Integral 1 17 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2 = 𝑥2 − 3
Cálculo Diferencial e Integral 1 18 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2 = 𝑥2 − 3 Observação: É possível fazer a composição de três ou mais funções. Por exemplo, sejam 𝑓, g e ℎ funções, então (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥)))
Cálculo Diferencial e Integral 1 19 Prof. Alisson Funções polinomiais, racionais e algébricas Funções polinomiais: Uma função 𝑓 é chamada de polinomial (ou, simplesmente, polinômio) se é da forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 é um número inteiro não-negativo e 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são números reais chamados de coeficientes do polinômio.
Cálculo Diferencial e Integral 1 20 Prof. Alisson Funções polinomiais, racionais e algébricas Funções polinomiais: Uma função 𝑓 é chamada de polinomial (ou, simplesmente, polinômio) se é da forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 é um número inteiro não-negativo e 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são números reais chamados de coeficientes do polinômio. Neste caso, o domínio de 𝑓 é ℝ e se 𝑎𝑛 ≠ 0, então dizemos que o grau do polinômio é 𝑛.
Cálculo Diferencial e Integral 1 21 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 2 𝑥2 − 𝑥 + 8 é um polinômio de grau 5. 2) A função afim 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é um polinômio de grau 1. 3) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é um polinômio de grau 2.
Cálculo Diferencial e Integral 1 22 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 2 𝑥2 − 𝑥 + 8 é um polinômio de grau 5. 2) A função afim 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é um polinômio de grau 1. 3) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é um polinômio de grau 2. Funções racionais: Uma função racional 𝑓 é o quociente de dois polinômios, isto é, onde 𝑃 e 𝑄 são polinômios. Neste caso, o domínio de 𝑓 são todos os valores de 𝑥 tais que 𝑄 𝑥 ≠ 0. 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 ,
Cálculo Diferencial e Integral 1 23 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função recíproca é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 0}. 2) A função é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ ±2}. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 𝑥2 − 4
Cálculo Diferencial e Integral 1 24 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função recíproca é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 0}. 2) A função é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ ±2}. Funções algébricas: Uma função 𝑓 é uma função algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação) a partir de polinômios. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 𝑥2 − 4
Cálculo Diferencial e Integral 1 25 Prof. Alisson Exemplos: 1) Toda função racional é uma função algébrica. 2) A função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 é uma função algébrica. 3) A função é uma função algébrica. 𝑔 𝑥 = 𝑥4 − 16𝑥2 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − 2 3 𝑥 + 1
Cálculo Diferencial e Integral 1 26 Prof. Alisson Funções definidas por partes - Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domínio são chamadas de funções definidas por partes.
Cálculo Diferencial e Integral 1 27 Prof. Alisson Funções definidas por partes - Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domínio são chamadas de funções definidas por partes. Exemplo: Uma função 𝑓 é definida por 𝑓 𝑥 = ቊ 1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1 . Calcule 𝑓(−2), 𝑓 −1 e 𝑓(0). Esboce o gráfico de 𝑓.
Cálculo Diferencial e Integral 1 28 Prof. Alisson Funções definidas por partes - Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domínio são chamadas de funções definidas por partes. Exemplo: Uma função 𝑓 é definida por 𝑓 𝑥 = ቊ 1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1 . Calcule 𝑓(−2), 𝑓 −1 e 𝑓(0). Esboce o gráfico de 𝑓. Para esta função vale a seguinte regra: primeiro olhe para o valor de 𝑥. Se 𝑥 for menor ou igual a −1, então a regra é 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥. Agora, se 𝑥 for maior que −1, então a regra é 𝑓 𝑥 = 𝑥2 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 29 Prof. Alisson Então: −2 < −1 ⇒ 𝑓 −2 = 1 − −2 = 3 −1 = −1 ⇒ 𝑓 −1 = 1 − −1 = 2 0 > −1 ⇒ 𝑓 0 = 02 = 0 Logo, 𝑓 −2 = 3, 𝑓 −1 = 2 e 𝑓 0 = 0.
Cálculo Diferencial e Integral 1 30 Prof. Alisson Então: −2 < −1 ⇒ 𝑓 −2 = 1 − −2 = 3 −1 = −1 ⇒ 𝑓 −1 = 1 − −1 = 2 0 > −1 ⇒ 𝑓 0 = 02 = 0 Logo, 𝑓 −2 = 3, 𝑓 −1 = 2 e 𝑓 0 = 0. Gráfico de 𝑓: Para 𝑥 ≤ −1, 𝑓 comporta-se como a reta 𝑦 = 1 − 𝑥 e, para 𝑥 > −1, 𝑓 comporta-se como a parábola 𝑦 = 𝑥2 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 31 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
Cálculo Diferencial e Integral 1 32 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Cálculo Diferencial e Integral 1 33 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). - Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 34 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). - Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥. - A função 𝑔 definida desta maneira é chamada função inversa de 𝑓 e denotada por 𝑓−1 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 35 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). - Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥. - A função 𝑔 definida desta maneira é chamada função inversa de 𝑓 e denotada por 𝑓−1 . 𝑥 𝑦 𝑓 𝑓−1 𝐴 𝐵
Cálculo Diferencial e Integral 1 36 Prof. Alisson Exemplo: Obtenha a inversa da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5.
Cálculo Diferencial e Integral 1 37 Prof. Alisson Exemplo: Obtenha a inversa da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5. Para obter a inversa de 𝑓, considere 𝑓 𝑥 = 𝑦. Logo, 𝑦 = 2𝑥 − 5 𝑥 = 2𝑦 − 5 𝑦 = 1 2 (𝑥 + 5) Logo, Troque 𝑥 e 𝑦 de posição Isole o 𝑦 𝑓−1 𝑥 = 1 2 𝑥 + 5 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 38 Prof. Alisson Atenção! Nem toda função admite função inversa.
Cálculo Diferencial e Integral 1 39 Prof. Alisson Atenção! Nem toda função admite função inversa. - Uma função 𝑓 é dita injetora se, e somente se, 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2.
Cálculo Diferencial e Integral 1 40 Prof. Alisson Atenção! Nem toda função admite função inversa. - Uma função 𝑓 é dita injetora se, e somente se, 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2. 𝑓 é injetora. 𝑔 não é injetora.
Cálculo Diferencial e Integral 1 41 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto.
Cálculo Diferencial e Integral 1 42 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto. A função 𝑓 não é injetora, pois 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.
Cálculo Diferencial e Integral 1 43 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto. - Uma função 𝑓 é dita sobrejetora se, e somente se, o contradomínio de 𝑓 é igual à sua imagem, isto é, todo elemento do contradomínio precisa estar associado a pelo menos um elemento do domínio. A função 𝑓 não é injetora, pois 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.
Cálculo Diferencial e Integral 1 44 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto. - Uma função 𝑓 é dita sobrejetora se, e somente se, o contradomínio de 𝑓 é igual à sua imagem, isto é, todo elemento do contradomínio precisa estar associado a pelo menos um elemento do domínio. A função 𝑓 não é injetora, pois 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2. A função 𝑓 é sobrejetora, pois 𝐼𝑚𝑓 = −10, 5, 7 = 𝐵.
Cálculo Diferencial e Integral 1 45 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Cálculo Diferencial e Integral 1 46 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
Cálculo Diferencial e Integral 1 47 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.
Cálculo Diferencial e Integral 1 48 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Note que 𝑓 não é injetora nem sobrejetora.
Cálculo Diferencial e Integral 1 49 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Porém, observe que - restringindo o contradomínio da função 𝑓 para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora;
Cálculo Diferencial e Integral 1 50 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Porém, observe que - restringindo o contradomínio da função 𝑓 para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora; - restringindo o domínio da função 𝑓 para para ℝ+, então 𝑓 torna-se injetora.
Cálculo Diferencial e Integral 1 51 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Porém, observe que - restringindo o contradomínio da função 𝑓 para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora; - restringindo o domínio da função 𝑓 para para ℝ+, então 𝑓 torna-se injetora. Neste caso, 𝑓 admite função inversa, que será dada por 𝑓−1 𝑥 = 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 52 Prof. Alisson Observações: 1) Sejam 𝑓 uma função e 𝑓−1 a sua inversa. a) Domínio de 𝑓−1 = Imagem de 𝑓 Imagem de 𝑓−1 = Domínio de 𝑓
Cálculo Diferencial e Integral 1 53 Prof. Alisson Observações: 1) Sejam 𝑓 uma função e 𝑓−1 a sua inversa. a) Domínio de 𝑓−1 = Imagem de 𝑓 Imagem de 𝑓−1 = Domínio de 𝑓 b) Os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1 são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 54 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
Cálculo Diferencial e Integral 1 55 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. - Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥. - Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 56 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. - Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥. - Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥. - O gráfico dessas duas funções são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 57 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. - Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥. - Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥. - O gráfico dessas duas funções são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥. Observação: Em particular, temos que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 e 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 são inversas uma da outra.
Cálculo Diferencial e Integral 1 58 Prof. Alisson Funções trigonométricas inversas - Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦 corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 59 Prof. Alisson Funções trigonométricas inversas - Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦 corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 60 Prof. Alisson Funções trigonométricas inversas - Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦 corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 61 Prof. Alisson - Deste modo, para definirmos a inversa destas funções, precisamos restringir o seu domínio.
Cálculo Diferencial e Integral 1 62 Prof. Alisson - Deste modo, para definirmos a inversa destas funções, precisamos restringir o seu domínio. Função arco-seno: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = sen 𝑥. 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → −1, 1
Cálculo Diferencial e Integral 1 63 Prof. Alisson - Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 .
Cálculo Diferencial e Integral 1 64 Prof. Alisson - Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 . - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arcsen 𝑥 ⇔ sen 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2
Cálculo Diferencial e Integral 1 65 Prof. Alisson - Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 . - Deste modo, vale a equivalência - Gráfico da função arco-seno: 𝑦 = arcsen 𝑥 ⇔ sen 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2
Cálculo Diferencial e Integral 1 66 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 67 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥
Cálculo Diferencial e Integral 1 68 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥 - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥, com 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋.
Cálculo Diferencial e Integral 1 69 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥 - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥, com 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋. - Gráfico da função arco-cosseno:
Cálculo Diferencial e Integral 1 70 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
Cálculo Diferencial e Integral 1 71 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por 𝑓−1: ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
Cálculo Diferencial e Integral 1 72 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arctg 𝑥 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 < 𝑦 < 𝜋 2 . 𝑓−1: ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
Cálculo Diferencial e Integral 1 73 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por - Deste modo, vale a equivalência - Gráfico da função arco-tangente: 𝑦 = arctg 𝑥 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 < 𝑦 < 𝜋 2 . 𝑓−1: ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
Cálculo Diferencial e Integral 1 74 Prof. Alisson Transformações de funções - Aplicando certas transformações ao gráfico de uma função, obtemos o gráfico de novas funções. Isso nos permite esboçar o gráfico de funções mais complicadas a partir do gráfico de funções conhecidas.
Cálculo Diferencial e Integral 1 75 Prof. Alisson - Deslocamentos verticais e horizontais: Seja 𝑐 > 0. Temos que: • 𝑓 𝑥 + 𝑐: descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para cima. • 𝑓 𝑥 − 𝑐: descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para baixo. • 𝑓 𝑥 + 𝑐 : descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para a esquerda. • 𝑓 𝑥 − 𝑐 : descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para a direita.
Cálculo Diferencial e Integral 1 76 Prof. Alisson - Reflexões e expansões: Seja 𝑐 > 1. Temos que: • 𝑐𝑓 𝑥 : alonga o gráfico de 𝑓 verticalmente • 1 𝑐 𝑓(𝑥): comprime o gráfico de 𝑓 verticalmente • 𝑓 𝑐𝑥 : comprime o gráfico de 𝑓 horizontal- mente • 𝑓 1 𝑐 𝑥 : alonga o gráfico de 𝑓 horizontalmente • −𝑓 𝑥 : reflete o gráfico de 𝑓 em torno do eixo 𝑥 • 𝑓 −𝑥 : reflete o gráfico de 𝑓 em torno do eixo 𝑦
Cálculo Diferencial e Integral 1 77 Prof. Alisson Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 78 Prof. Alisson Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥. - Observe que, conhecendo-se o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 , conseguimos esboçar o gráfico de funções ‘mais difíceis’, como 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 = 2 𝑥.
Cálculo Diferencial e Integral 1 79 Prof. Alisson Referências bibliográficas - GOMES, Francisco Magalhães. Pré-Cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo – SP: Cengage Learning, 2018. - STWART, James. Cálculo – Volume 1. 7. ed. São Paulo – SP: Cengage Learning, 2013. - FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo – SP: Pearson Prentice Hall, 2007. - GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo – Volume 1. 5. ed. Rio de Janeiro – RJ: LTC, 2001.

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Livro de cálculo 1 com resolução de exercícios

  • 1. MÓDULO 2 Funções (parte 3) Cálculo Diferencial e Integral 1 Prof. Alisson (2021-1) Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR - Campus Apucarana Departamento Acadêmico de Matemática
  • 2. Cálculo Diferencial e Integral 1 2 Prof. Alisson Conteúdos - Operações com funções - Funções polinomiais, racionais e algébricas - Funções definidas por partes - Funções inversas - Funções trigonométricas inversas - Funções hiperbólicas - Transformações de funções
  • 3. Cálculo Diferencial e Integral 1 3 Prof. Alisson Operações com funções - Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções a partir destas operações. Definimos:
  • 4. Cálculo Diferencial e Integral 1 4 Prof. Alisson Operações com funções - Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções a partir destas operações. Definimos: - Função soma: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 - Função diferença: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
  • 5. Cálculo Diferencial e Integral 1 5 Prof. Alisson Operações com funções - Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções a partir destas operações. Definimos: - Função soma: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 - Função diferença: 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) - Os domínios 𝐷𝑓+𝑔 e 𝐷𝑓−𝑔 das funções soma e diferença, respectivamente, é a intersecção dos domínios 𝐷𝑓 da função 𝑓 e 𝐷𝑔 da função 𝑔, ou seja, 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔.
  • 6. Cálculo Diferencial e Integral 1 6 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔. 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 .
  • 7. Cálculo Diferencial e Integral 1 7 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔. Então, 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 .
  • 8. Cálculo Diferencial e Integral 1 8 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e Obtenha 𝑓 + 𝑔 e 𝑓 − 𝑔. Então, 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 , 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 . Além disso, 𝐷𝑓+𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 0 𝑜𝑢 ]0, +∞[ 𝐷𝑓−𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 0 𝑜𝑢 ]0, +∞[ 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 . 0 0 0 𝐷𝑓 𝐷𝑔 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
  • 9. Cálculo Diferencial e Integral 1 9 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
  • 10. Cálculo Diferencial e Integral 1 10 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: - Os domínios da função produto e da função quociente são dados por: 𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 . 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
  • 11. Cálculo Diferencial e Integral 1 11 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: - Os domínios da função produto e da função quociente são dados por: 𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 . Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Obtenha 𝑓/𝑔. 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)
  • 12. Cálculo Diferencial e Integral 1 12 Prof. Alisson - Função produto: 𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 - Função quociente: - Os domínios da função produto e da função quociente são dados por: 𝐷𝑓⋅𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ≠ 0 . Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Obtenha 𝑓/𝑔. Então, Além disso, 𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≠ 1 𝑜𝑢 [0, 1 ∪ 1, +∞[ 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 . 0 0 𝐷𝑓 𝐷𝑔 𝐷𝑓/𝑔 1
  • 13. Cálculo Diferencial e Integral 1 13 Prof. Alisson - Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .
  • 14. Cálculo Diferencial e Integral 1 14 Prof. Alisson - Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔 𝑥 ) 𝑓 𝑔 𝑓 ∘ 𝑔
  • 15. Cálculo Diferencial e Integral 1 15 Prof. Alisson - Função composta: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑓 com 𝑔, denotada por 𝑓 ∘ 𝑔, é definida por 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 . - O domínio da função 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto de todos os 𝑥 no domínio de 𝑔 tais que 𝑔(𝑥) está no domínio de 𝑓, ou seja 𝐷𝑓∘𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 / 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔 𝑥 ) 𝑓 𝑔 𝑓 ∘ 𝑔
  • 16. Cálculo Diferencial e Integral 1 16 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓.
  • 17. Cálculo Diferencial e Integral 1 17 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2 = 𝑥2 − 3
  • 18. Cálculo Diferencial e Integral 1 18 Prof. Alisson Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3. Obtenha 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥2 = 𝑥2 − 3 Observação: É possível fazer a composição de três ou mais funções. Por exemplo, sejam 𝑓, g e ℎ funções, então (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥)))
  • 19. Cálculo Diferencial e Integral 1 19 Prof. Alisson Funções polinomiais, racionais e algébricas Funções polinomiais: Uma função 𝑓 é chamada de polinomial (ou, simplesmente, polinômio) se é da forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 é um número inteiro não-negativo e 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são números reais chamados de coeficientes do polinômio.
  • 20. Cálculo Diferencial e Integral 1 20 Prof. Alisson Funções polinomiais, racionais e algébricas Funções polinomiais: Uma função 𝑓 é chamada de polinomial (ou, simplesmente, polinômio) se é da forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 é um número inteiro não-negativo e 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 são números reais chamados de coeficientes do polinômio. Neste caso, o domínio de 𝑓 é ℝ e se 𝑎𝑛 ≠ 0, então dizemos que o grau do polinômio é 𝑛.
  • 21. Cálculo Diferencial e Integral 1 21 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 2 𝑥2 − 𝑥 + 8 é um polinômio de grau 5. 2) A função afim 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é um polinômio de grau 1. 3) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é um polinômio de grau 2.
  • 22. Cálculo Diferencial e Integral 1 22 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função 𝑓 𝑥 = −2𝑥5 + 2 𝑥2 − 𝑥 + 8 é um polinômio de grau 5. 2) A função afim 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 é um polinômio de grau 1. 3) A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é um polinômio de grau 2. Funções racionais: Uma função racional 𝑓 é o quociente de dois polinômios, isto é, onde 𝑃 e 𝑄 são polinômios. Neste caso, o domínio de 𝑓 são todos os valores de 𝑥 tais que 𝑄 𝑥 ≠ 0. 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 ,
  • 23. Cálculo Diferencial e Integral 1 23 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função recíproca é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 0}. 2) A função é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ ±2}. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 𝑥2 − 4
  • 24. Cálculo Diferencial e Integral 1 24 Prof. Alisson Exemplos: 1) A função recíproca é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ 0}. 2) A função é uma função racional, cujo domínio é 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≠ ±2}. Funções algébricas: Uma função 𝑓 é uma função algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação) a partir de polinômios. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 𝑥2 − 4
  • 25. Cálculo Diferencial e Integral 1 25 Prof. Alisson Exemplos: 1) Toda função racional é uma função algébrica. 2) A função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 é uma função algébrica. 3) A função é uma função algébrica. 𝑔 𝑥 = 𝑥4 − 16𝑥2 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 − 2 3 𝑥 + 1
  • 26. Cálculo Diferencial e Integral 1 26 Prof. Alisson Funções definidas por partes - Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domínio são chamadas de funções definidas por partes.
  • 27. Cálculo Diferencial e Integral 1 27 Prof. Alisson Funções definidas por partes - Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domínio são chamadas de funções definidas por partes. Exemplo: Uma função 𝑓 é definida por 𝑓 𝑥 = ቊ 1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1 . Calcule 𝑓(−2), 𝑓 −1 e 𝑓(0). Esboce o gráfico de 𝑓.
  • 28. Cálculo Diferencial e Integral 1 28 Prof. Alisson Funções definidas por partes - Funções definidas por fórmulas distintas para diferentes partes do seu domínio são chamadas de funções definidas por partes. Exemplo: Uma função 𝑓 é definida por 𝑓 𝑥 = ቊ 1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > −1 . Calcule 𝑓(−2), 𝑓 −1 e 𝑓(0). Esboce o gráfico de 𝑓. Para esta função vale a seguinte regra: primeiro olhe para o valor de 𝑥. Se 𝑥 for menor ou igual a −1, então a regra é 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥. Agora, se 𝑥 for maior que −1, então a regra é 𝑓 𝑥 = 𝑥2 .
  • 29. Cálculo Diferencial e Integral 1 29 Prof. Alisson Então: −2 < −1 ⇒ 𝑓 −2 = 1 − −2 = 3 −1 = −1 ⇒ 𝑓 −1 = 1 − −1 = 2 0 > −1 ⇒ 𝑓 0 = 02 = 0 Logo, 𝑓 −2 = 3, 𝑓 −1 = 2 e 𝑓 0 = 0.
  • 30. Cálculo Diferencial e Integral 1 30 Prof. Alisson Então: −2 < −1 ⇒ 𝑓 −2 = 1 − −2 = 3 −1 = −1 ⇒ 𝑓 −1 = 1 − −1 = 2 0 > −1 ⇒ 𝑓 0 = 02 = 0 Logo, 𝑓 −2 = 3, 𝑓 −1 = 2 e 𝑓 0 = 0. Gráfico de 𝑓: Para 𝑥 ≤ −1, 𝑓 comporta-se como a reta 𝑦 = 1 − 𝑥 e, para 𝑥 > −1, 𝑓 comporta-se como a parábola 𝑦 = 𝑥2 .
  • 31. Cálculo Diferencial e Integral 1 31 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
  • 32. Cálculo Diferencial e Integral 1 32 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥).
  • 33. Cálculo Diferencial e Integral 1 33 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). - Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥.
  • 34. Cálculo Diferencial e Integral 1 34 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). - Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥. - A função 𝑔 definida desta maneira é chamada função inversa de 𝑓 e denotada por 𝑓−1 .
  • 35. Cálculo Diferencial e Integral 1 35 Prof. Alisson Funções inversas - Seja 𝑓 uma função de 𝐴 em 𝐵, ou seja, 𝑓: 𝐴 → 𝐵. - Suponha que, para cada 𝑦 ∈ 𝐵, exista exatamente um valor 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). - Neste caso, podemos definir uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que 𝑔 𝑦 = 𝑥. - A função 𝑔 definida desta maneira é chamada função inversa de 𝑓 e denotada por 𝑓−1 . 𝑥 𝑦 𝑓 𝑓−1 𝐴 𝐵
  • 36. Cálculo Diferencial e Integral 1 36 Prof. Alisson Exemplo: Obtenha a inversa da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5.
  • 37. Cálculo Diferencial e Integral 1 37 Prof. Alisson Exemplo: Obtenha a inversa da função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5. Para obter a inversa de 𝑓, considere 𝑓 𝑥 = 𝑦. Logo, 𝑦 = 2𝑥 − 5 𝑥 = 2𝑦 − 5 𝑦 = 1 2 (𝑥 + 5) Logo, Troque 𝑥 e 𝑦 de posição Isole o 𝑦 𝑓−1 𝑥 = 1 2 𝑥 + 5 .
  • 38. Cálculo Diferencial e Integral 1 38 Prof. Alisson Atenção! Nem toda função admite função inversa.
  • 39. Cálculo Diferencial e Integral 1 39 Prof. Alisson Atenção! Nem toda função admite função inversa. - Uma função 𝑓 é dita injetora se, e somente se, 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2.
  • 40. Cálculo Diferencial e Integral 1 40 Prof. Alisson Atenção! Nem toda função admite função inversa. - Uma função 𝑓 é dita injetora se, e somente se, 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2 sempre que 𝑥1 ≠ 𝑥2. 𝑓 é injetora. 𝑔 não é injetora.
  • 41. Cálculo Diferencial e Integral 1 41 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto.
  • 42. Cálculo Diferencial e Integral 1 42 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto. A função 𝑓 não é injetora, pois 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.
  • 43. Cálculo Diferencial e Integral 1 43 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto. - Uma função 𝑓 é dita sobrejetora se, e somente se, o contradomínio de 𝑓 é igual à sua imagem, isto é, todo elemento do contradomínio precisa estar associado a pelo menos um elemento do domínio. A função 𝑓 não é injetora, pois 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2.
  • 44. Cálculo Diferencial e Integral 1 44 Prof. Alisson Observação: Graficamente, uma função 𝑓 é injetora se toda reta horizontal intercepta o gráfico de 𝑓 em no máximo um ponto. - Uma função 𝑓 é dita sobrejetora se, e somente se, o contradomínio de 𝑓 é igual à sua imagem, isto é, todo elemento do contradomínio precisa estar associado a pelo menos um elemento do domínio. A função 𝑓 não é injetora, pois 𝑓 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) com 𝑥1 ≠ 𝑥2. A função 𝑓 é sobrejetora, pois 𝐼𝑚𝑓 = −10, 5, 7 = 𝐵.
  • 45. Cálculo Diferencial e Integral 1 45 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
  • 46. Cálculo Diferencial e Integral 1 46 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa.
  • 47. Cálculo Diferencial e Integral 1 47 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa.
  • 48. Cálculo Diferencial e Integral 1 48 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Note que 𝑓 não é injetora nem sobrejetora.
  • 49. Cálculo Diferencial e Integral 1 49 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Porém, observe que - restringindo o contradomínio da função 𝑓 para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora;
  • 50. Cálculo Diferencial e Integral 1 50 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Porém, observe que - restringindo o contradomínio da função 𝑓 para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora; - restringindo o domínio da função 𝑓 para para ℝ+, então 𝑓 torna-se injetora.
  • 51. Cálculo Diferencial e Integral 1 51 Prof. Alisson - Uma função 𝑓 é dita bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. - Se 𝑓 é bijetora, então 𝑓 admite função inversa. Exemplo: A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 não tem inversa. Porém, observe que - restringindo o contradomínio da função 𝑓 para ℝ+, então 𝑓 torna-se sobrejetora; - restringindo o domínio da função 𝑓 para para ℝ+, então 𝑓 torna-se injetora. Neste caso, 𝑓 admite função inversa, que será dada por 𝑓−1 𝑥 = 𝑥.
  • 52. Cálculo Diferencial e Integral 1 52 Prof. Alisson Observações: 1) Sejam 𝑓 uma função e 𝑓−1 a sua inversa. a) Domínio de 𝑓−1 = Imagem de 𝑓 Imagem de 𝑓−1 = Domínio de 𝑓
  • 53. Cálculo Diferencial e Integral 1 53 Prof. Alisson Observações: 1) Sejam 𝑓 uma função e 𝑓−1 a sua inversa. a) Domínio de 𝑓−1 = Imagem de 𝑓 Imagem de 𝑓−1 = Domínio de 𝑓 b) Os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1 são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.
  • 54. Cálculo Diferencial e Integral 1 54 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
  • 55. Cálculo Diferencial e Integral 1 55 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. - Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥. - Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥.
  • 56. Cálculo Diferencial e Integral 1 56 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. - Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥. - Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥. - O gráfico dessas duas funções são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥.
  • 57. Cálculo Diferencial e Integral 1 57 Prof. Alisson 2) As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. - Deste modo, se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, então 𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥. - Analogamente, se 𝑔 𝑥 = log𝑎 𝑥, então 𝑔−1 𝑥 = 𝑎𝑥. - O gráfico dessas duas funções são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥. Observação: Em particular, temos que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 e 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 são inversas uma da outra.
  • 58. Cálculo Diferencial e Integral 1 58 Prof. Alisson Funções trigonométricas inversas - Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦 corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.
  • 59. Cálculo Diferencial e Integral 1 59 Prof. Alisson Funções trigonométricas inversas - Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦 corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.
  • 60. Cálculo Diferencial e Integral 1 60 Prof. Alisson Funções trigonométricas inversas - Inicialmente, observe que é impossível definir uma função inversa para as funções seno, cosseno e tangente, uma vez que a cada valor de 𝑦 corresponde uma infinidade de valores de 𝑥.
  • 61. Cálculo Diferencial e Integral 1 61 Prof. Alisson - Deste modo, para definirmos a inversa destas funções, precisamos restringir o seu domínio.
  • 62. Cálculo Diferencial e Integral 1 62 Prof. Alisson - Deste modo, para definirmos a inversa destas funções, precisamos restringir o seu domínio. Função arco-seno: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = sen 𝑥. 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → −1, 1
  • 63. Cálculo Diferencial e Integral 1 63 Prof. Alisson - Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 .
  • 64. Cálculo Diferencial e Integral 1 64 Prof. Alisson - Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 . - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arcsen 𝑥 ⇔ sen 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2
  • 65. Cálculo Diferencial e Integral 1 65 Prof. Alisson - Neste caso, a função inversa de 𝑓 será chamada de arco-seno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arcsen 𝑥 . - Deste modo, vale a equivalência - Gráfico da função arco-seno: 𝑦 = arcsen 𝑥 ⇔ sen 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2
  • 66. Cálculo Diferencial e Integral 1 66 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥.
  • 67. Cálculo Diferencial e Integral 1 67 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥
  • 68. Cálculo Diferencial e Integral 1 68 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥 - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥, com 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋.
  • 69. Cálculo Diferencial e Integral 1 69 Prof. Alisson Função arco-cosseno: Considere a função 𝑓: 0, 𝜋 → [−1, 1] dada por 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-cosseno e denotada por 𝑓−1: −1, 1 → 0, 𝜋 , onde 𝑓−1 𝑥 = arccos 𝑥 - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ cos 𝑦 = 𝑥, com 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋. - Gráfico da função arco-cosseno:
  • 70. Cálculo Diferencial e Integral 1 70 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
  • 71. Cálculo Diferencial e Integral 1 71 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por 𝑓−1: ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
  • 72. Cálculo Diferencial e Integral 1 72 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por - Deste modo, vale a equivalência 𝑦 = arctg 𝑥 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 < 𝑦 < 𝜋 2 . 𝑓−1: ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
  • 73. Cálculo Diferencial e Integral 1 73 Prof. Alisson Função arco-tangente: Considere a função dada por 𝑓 𝑥 = tg 𝑥. - A função inversa de 𝑓 será chamada de arco-tangente e denotada por - Deste modo, vale a equivalência - Gráfico da função arco-tangente: 𝑦 = arctg 𝑥 ⇔ tg 𝑦 = 𝑥, com − 𝜋 2 < 𝑦 < 𝜋 2 . 𝑓−1: ℝ → − 𝜋 2 , 𝜋 2 , onde 𝑓−1 𝑥 = arctg 𝑥 𝑓: − 𝜋 2 , 𝜋 2 → ℝ
  • 74. Cálculo Diferencial e Integral 1 74 Prof. Alisson Transformações de funções - Aplicando certas transformações ao gráfico de uma função, obtemos o gráfico de novas funções. Isso nos permite esboçar o gráfico de funções mais complicadas a partir do gráfico de funções conhecidas.
  • 75. Cálculo Diferencial e Integral 1 75 Prof. Alisson - Deslocamentos verticais e horizontais: Seja 𝑐 > 0. Temos que: • 𝑓 𝑥 + 𝑐: descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para cima. • 𝑓 𝑥 − 𝑐: descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para baixo. • 𝑓 𝑥 + 𝑐 : descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para a esquerda. • 𝑓 𝑥 − 𝑐 : descola o gráfico de 𝑓 em 𝑐 unidades para a direita.
  • 76. Cálculo Diferencial e Integral 1 76 Prof. Alisson - Reflexões e expansões: Seja 𝑐 > 1. Temos que: • 𝑐𝑓 𝑥 : alonga o gráfico de 𝑓 verticalmente • 1 𝑐 𝑓(𝑥): comprime o gráfico de 𝑓 verticalmente • 𝑓 𝑐𝑥 : comprime o gráfico de 𝑓 horizontal- mente • 𝑓 1 𝑐 𝑥 : alonga o gráfico de 𝑓 horizontalmente • −𝑓 𝑥 : reflete o gráfico de 𝑓 em torno do eixo 𝑥 • 𝑓 −𝑥 : reflete o gráfico de 𝑓 em torno do eixo 𝑦
  • 77. Cálculo Diferencial e Integral 1 77 Prof. Alisson Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥.
  • 78. Cálculo Diferencial e Integral 1 78 Prof. Alisson Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥. - Observe que, conhecendo-se o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 , conseguimos esboçar o gráfico de funções ‘mais difíceis’, como 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 = 2 𝑥.
  • 79. Cálculo Diferencial e Integral 1 79 Prof. Alisson Referências bibliográficas - GOMES, Francisco Magalhães. Pré-Cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo – SP: Cengage Learning, 2018. - STWART, James. Cálculo – Volume 1. 7. ed. São Paulo – SP: Cengage Learning, 2013. - FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo – SP: Pearson Prentice Hall, 2007. - GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo – Volume 1. 5. ed. Rio de Janeiro – RJ: LTC, 2001.