M4 58 vb
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O documento fornece exemplos e explicações sobre como calcular volumes de objetos geométricos como cubos, paralelepípedos, prismas e cilindros. É apresentada a relação entre unidades de volume como litros e centímetros cúbicos e como determinar a densidade de um objeto a partir de sua massa e volume.
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- 1. A UA U L A L A 58 58 Calculando volumes Para pensar l Considere um cubo de aresta a : a a a Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a , de quantos cubos de aresta a precisaremos? l Pegue uma caixa de fósforos e uma caixa de sapatos. Considerando a caixa de fósforos como unidade de medida, qual o volume da caixa de sapatos? l Com cartolina, ou algum outro papel encorpado, construa um cubo e uma pirâmide de base quadrada de tal forma que: - a base da pirâmide seja um quadrado igual à face do cubo; - a altura da pirâmide seja igual à medida da aresta do cubo. Nessas condições, qual a relação entre os volumes da pirâmide e do cubo? a a a a a Esquema do cubo Esquema da pirâmide (sem tampa) de base quadrada
- 2. Na Aula 15, estudamos que os objetos têm área, volume e forma. Vimos Nossa aula A U L A também que existem objetos com mesmo volume e formas diferentes. Nesta aula, estudaremos um pouco mais esse assunto, aprendendo a calcular o volume de alguns sólidos. Mas, antes, veremos algumas situações 58 que envolvem a idéia de volume e capacidade: VOLUME DE CAPACIDADE DE l areia retirada de um rio l uma garrafa l entulho retirado de uma obra l uma seringa l dejetos poluentes despejados l uma caixa d'água nos rios, lagos ou mares l ar dos nossos pulmões Medir o volume ou a capacidade de um objeto é saber a quantidade de espaço que ele ocupa ou de que dispõe para armazenar. EXEMPLO 1 Esta garrafa está cheia. Ela contém 290 mililitros (290 ml) de refrigerante: Volume = 290 ml Isso significa que 290 ml é a quantida- de de líquido que a garrafa pode armazenar: Capacidade = 290 ml EXEMPLO 2 Para encher uma caixa d’água de 2 metros de comprimento por 2 metros de largura e 1 metro de profundidade, foram necessários 4.000 litros de água. 1 cm 2 cm 2 cm Volume da caixa d’água = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3 Capacidade da caixa d’água = 4.000 litros
- 3. A U L A As unidades de volume e de capacidade são estabelecidas pela seguinte relação: 58 1 l = 1.000 cm ³ cm³³ Isto é, se tivermos um cubo oco com 10 cm de aresta, podemos colocar nesse cubo, exatamente, 1 litro de líquido (água, suco, leite, óleo etc.). 10 cm 10 cm Outras relações, decorrentes dessa, também são bastante utilizadas: 1 m3 = 1.000 l 1 cm3 = 1 ml As unidades de medida de volume fazem parte do Sistema Decimal de Medidas. As mais usadas são: metro cúbico (m3) decímetro cúbico (dm3) centímetro cúbico (cm3) milímetro cúbico (mm3) 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 = ... Desse modo são necessários 1.000.000 de cubinhos de 1 cm de aresta para formar um cubo de 1 m de aresta. Volume do paralelepípedo Paralelepípedo é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de uma caixa de sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definição de paralelepípedo é mais geral. Se quisermos ser mais precisos, uma caixa de sapato é um paralelepípedo reto de base retangular. Na Aula 15, calculamos o volume do paralelepípedo, multiplicando suas dimensões (comprimento, largura e altura): 1 cm V = a.b.c 2 cm 2 cm
- 4. EXEMPLO 3 A U L A Qual o volume do cubo cuja aresta mede 5 cm? (Lembre-se de que o cubo é um paralelepípedo cujas dimensões têm a mesma medida). 58 5 cm V = 5 cm . 5 cm . 5 cm = 125 cm3 5 cm 5 cm Imagine que esse cubo seja oco. Quantos litros de água seriam necessários para enchê-lo até a boca? Como: 1 l = 1.000 cm3 Então, fazendo uma regra de três, temos: 1 litro = 1.000 cm3 x litros = 125 cm3 1 × 125 x= 1.000 = 0,125 litros = 125 mililitros Podemos colocar 125 l de água num cubo cujo volume é de 125 cm3. Decompondo figuras sólidas O paralelepípedo pode ser decomposto em duas outras figuras sólidas. Veja:
- 5. A U L A Cada um dos sólidos que surge pela decomposição deste paralelepípedo retângulo é um exemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retos 58 de base triangular Observe que, neste exemplo, a base de cada prisma é um triangular. retângulo. triângulo retângulo O volume do prisma reto de base triangular é metade do volume do paralelepípedo. Portanto, o volume do prisma reto de base triangular é: b a c b a a.b.c V= 2 Note que o paralelepípedo também é um prisma reto, porém de base retangular. Para obter o volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamos altura. a área da base pela altura Por exemplo: Prisma reto de base quadrangular(ou paralelepípedo): c b a Volume = área da base x altura V = (a . b) . c V= a.b.c que é o resultado já conhecido para o volume do paralelepípedo.
- 6. Volume do cilindro A U L A Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de um latão de querosene ou de um cigarro. O cilindro é um sólido geométrico 58 cujas bases são dois círculos iguais, como na figura: O volume do cilindro pode ser determinado do mesmo modo que o volume do prisma reto: Volume do cilindro = área da base . altura Como a base do cilindro é um círculo, temos: Área da base = área do círculo = pr2 , onde r é o raio do círculo Então, a área do cilindro pode ser expressa por: A = P ²r ² . a { { área do altura do círculo cilindro da base EXEMPLO 4 Determine o volume de um cilindro de 30 centímetros de altura e cuja base tem 20 centímetros de raio. 20 cm V = área da base · altura Área da base = pr 2 30 cm A = p . 202 = 3,14 . 400 A = 1.256 cm2 Volume = 1.256 . 30 = 37.680 cm3
- 7. A U L A Densidade de um corpo 58 Na Aula 14, aprendemos que a massa de um objeto pode ser dada pelo seu peso. As unidades de medida de massa são o quilograma (kg e o grama (g). kg) kg g Podemos definir a densidade de um objeto (ou corpo) como o quociente entre sua massa e seu volume: massa Densidade = volume Um método prático para determinar o volume de objetos, por exemplo o de uma pedra, é o seguinte: l Pegue um recipiente transparente, cujas medidas sejam fáceis de calcular. Por exemplo, um copo na forma de um cilindro. 10 cm 10 cm l Encha-o com água e meça a altura que a água atingiu. No nosso exemplo, o volume de água é: V = p . 52 . 10 = 3,14 . 25 . 10 = 785 cm3 l Em seguida, mergulhe a pedra na água e meça novamente a altura atingida. 12 cm Volume = p . 52 . 12 = 3,14 . 25 . 12 = 942 cm2 A diferença entre os dois resultados é o volume da pedra: Volume da pedra = 942 - 785 = 157 cm3.
- 8. Exercício 1 Exercícios A U L A 58 De quantos cubinhos iguais a A precisamos para montar um cubo igual a B? A B Exercício 2 Quantos litros de óleo cabem no galão abaixo? 50 cm 20 cm 20 cm Exercício 3 O que significa m3 ? Exercício 4 Qual o volume de um bolo cuja altura é 5 cm e cujo diâmetro é 60 cm? Exercício 5 Quantos litros de leite cabem em um galão cilíndrico de 20 cm de diâmetro e 60 cm de altura? Exercício 6 Meça as arestas e calcule o volume de uma caixa de pasta de dentes. Exercício 7 Calcule a capacidade, em metros cúbicos, de uma caixa que possa conter o fogão de sua casa. Exercício 8 Calcule o volume de duas latas de óleo com formatos diferentes.