![V
Apresentação
Professor(a),
Como material de apoio à prática pedagógica, este
Manual traz, de maneira concisa, orientações e sugestões
para o uso do livro do aluno como texto de referência, com
o objetivo de subsidiar seu trabalho em sala de aula. Espe-
ramos que este material o(a) auxilie a melhor aproveitar e
a compreender as diretrizes pedagógicas que nortearam
a elaboração dos quatro livros desta coleção.
Este Manual também discute a avaliação da aprendi-
zagem sob a luz de pesquisas em Educação e Educação
Matemática e em documentos oficiais. Além disso, oferece
indicaçõesdeleiturascomplementaresesitesdecentrosde
formação continuada, na intenção de contribuir para a am-
pliação deseu conhecimento,suaexperiênciaeatualização.
As características da coleção, as opções de abordagem,
os objetivos educacionais a alcançar são também expostos
e discutidos aqui.
Visão geral da proposta da
coleção
Esta coleção tem como principal objetivo servir de
apoio ao professor no desenrolar de sua prática didático-
-pedagógica e oferecer ao aluno um texto de referência
auxiliar e complementar aos estudos.
Com base nos conteúdos indicados para a Matemática
dos anos finais (6o
ao 9o
anos) do Ensino Fundamental e
suas especificidades de ensino, a obra procura possibilitar
ao aluno a elaboração do conhecimento matemático, visan-
do contribuir para a formação de cidadãos que reflitam e
atuem no mundo, e subsidiar o trabalho docente, compar-
tilhando possibilidades de encaminhamento e sugestões
de intervenção. Nesse sentido, atribui especial importância
ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e
por meio de linguagem clara e objetiva, com destaques
pontuais para as noções de maior importância.
As ideias matemáticas são apresentadas e desenvolvi-
das progressivamente, sem a preocupação de levar o aluno
a assimilar a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a
pretensão de esgotar o assunto na primeira apresentação.
Ao longo da coleção, oferecemos constantes retomadas,
não apenas visando à revisão, mas à complementação e
ao aprofundamento de conteúdos. Acreditamos que, por
meio de diversos contatos com as ideias e os objetos ma-
temáticos, o aluno conseguirá apreender seus significados.
Em relação à abordagem, a apresentação de cada
conteúdo procura ser clara e objetiva, buscando situações
contextualizadas e problematizadoras que possibilitem
ao aluno uma aprendizagem significativa, assim como
estabelecer relações da Matemática com outras áreas do
saber, com o cotidiano, com sua realidade social e entre
os diversos campos conceituais da própria Matemática.
Essacontextualizaçãoabarcousituaçõescomuns,viven-
ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais
elaboradas,quecostumamaparecernosgrandesveículosde
comunicação.Assim,aobratemporobjetivocontribuirparaa
formaçãointegraldoaluno,demodoque,enquantoassimila
e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque
emprática,semprequepossível,suascapacidadesreflexiva
e crítica, inter-relacionando tanto os tópicos matemáticos
entre si quanto estes com os de diferentes áreas do saber.
O intento é colaborar de maneira eficaz para a solidificação
do conhecimento matemático e com o preparo do exercício
da cidadania e da participação positiva na sociedade.
Na perspectiva mundial da permanente busca por me-
lhor qualidade de vida, a Matemática, sobretudo em seus
aspectos essenciais, contribui de modo significativo para
a formação do cidadão crítico e autoconfiante, com com-
preensão clara dos fenômenos sociais e de sua atuação na
sociedade, com vistas a uma formação integral e inclusiva.
[...] a BNCC afirma, de maneira explícita, o seu compro-
misso com a educação integral. Reconhece, assim, que a
Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento
humano global, o que implica compreender a complexidade
e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com
visõesreducionistasqueprivilegiamouadimensãointelectual
(cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir
uma visão plural, singular e integral da criança, do adoles-
cente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos
de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu
acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas
suas singularidades e diversidades. [...]
(Base Nacional Comum Curricular, 2017, p. 14.)
A ideia de educação inclusiva sustenta-se em um movi-
mento mundial de reconhecimento da diversidade humana
e da necessidade contemporânea de se constituir uma escola
para todos, sem barreiras, na qual a matrícula, a permanên-
cia, a aprendizagem e a garantia do processo de escolarização
sejam, realmente e sem distinções, para todos.
(SÃO PAULO. Currículo da Cidade, 2017, p. 25.)
Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados
entremeados por blocos de exercícios e, algumas vezes,
por atividades de outra natureza em seções especiais.
A distribuição das atividades em diferentes seções pro-
cura facilitar e flexibilizar o planejamento do trabalho
docente, bem como possibilitar ao aluno desenvolver
habilidades diversas.
ORIENTAÇÕES GERAIS](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-7-320.jpg)
![Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além
de uma linguagem para expressar seu pensamento, ferra-
mentas com as quais ele pode gerar novos pensamentos
e desenvolver raciocínios, ou seja,
[…] a Matemática não é simplesmente uma disciplina,
mas também uma forma de pensar. É por isso que a Mate-
mática, assim como a alfabetização, é algo que deveria ser
tornado disponível para todos […].
(NUNES; BRYANT, 1997, p. 105.)
A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponí-
vel a todo ser humano, para que possa fazer uso dela como
uma de suas ferramentas de sobrevivência e convívio
social, promovendo uma formação inclusiva.
Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar
características da Matemática podem expandir-se para
outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de
aprendizado. Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o
pensamento em um conjunto de axiomas, na geração e va-
lidação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos e
procedimentos de resolução de problemas — ferramentas
aplicáveis a um conjunto de situações similares —, esta-
belecendo conexões e fazendo estimativas. Analisando
situações particulares e inserindo-as na estrutura global,
é possível construir estruturas de pensamento também
úteis em situações não matemáticas da vida em sociedade.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos,
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas
abstratos, que organizam e inter-relacionam fenômenos do
espaço, do movimento, das formas e dos números, associados
ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm
ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão
de fenômenos, a construção de representações significativas
e argumentações consistentes nos mais variados contextos.
(BNCC, 2017, p. 263.)
Ao construir sua história, o ser humano tem modifi-
cado e ampliado constantemente suas necessidades,
individuais ou coletivas, de sobrevivência ou de cultura.
O corpo de conhecimentos desenvolvido nesse longo
trajeto ocupa lugar central no cenário humano. No que
diz respeito aos conhecimentos matemáticos, muitos
continuam atravessando os séculos, enquanto outros
já caíram em desuso. Há, ainda, outros que estão sendo
incorporados em razão das necessidades decorrentes
das ações cotidianas, como é o caso da Educação Fi-
nanceira. As novas práticas solicitam a ampliação e o
aprofundamento desses conhecimentos.
Até algumas décadas atrás,“saber” Matemática impli-
cava basicamente dominar e aplicar as operações básicas:
adição, subtração, multiplicação e divisão. Na atualidade,
contudo, as pesquisas educacionais, as diretrizes peda-
gógicas oficiais e, em especial, a BNCC apontam para a
necessidade de que em todos os anos da Educação Básica
a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unida-
des Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas
e medidas e Probabilidade e estatística, tendo como refe-
rência o desenvolvimento das competências e habilidades
descritas pela BNCC.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização
de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades
(práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores
para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do
pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.
(BNCC, 2017, p .8.)
Para entender a real importância da Matemática, basta
pensar em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de
ações nas quais precisamos mobilizar os conhecimentos
desse campo: calcular uma despesa para efetuar seu paga-
mento; examinar diferentes alternativas de crédito; estimar
valores aproximados; calcular medidas e quantidades com
alguma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia
apresentados por meio de tabelas e gráficos; analisar
criticamente a validade de um argumento lógico; avaliar
a razoabilidade de um resultado numérico ou estatístico;
decidir a sequência de passos necessários para resolver um
problema; orientarmo-nos no espaço (para deslocamentos
ou indicações de trajetórias), entre tantas outras situações.
Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender
continuamente, durante toda a vida, para assimilar as in-
cessantes inovações do mundo moderno e, desse modo,
realimentar seu repertório cultural. Em um ambiente mun-
dial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto de
vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as
pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilida-
de também da educação escolar levar o aluno a perceber
criticamente a realidade, cuja interpretação depende da
compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento
da simbologia adotada no contexto, da análise das infor-
mações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas,
indexadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos
conhecimentos matemáticos pode estar privado de exer-
cer seus direitos como cidadão, por não ter condições de
opinar em situação de igualdade com os demais membros
da sociedade, nem de definir seus atos políticos e sociais
com base em uma avaliação acurada da situação.
No ensino da Matemática, assumem grande importân-
cia aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos
matemáticos com suas representações (esquemas,
diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar
no mundo real o uso de tais representações; o desafio à
interpretação, por meio da Matemática, da diversidade das
informações advindas desse mundo.
Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de
hoje depende cada vez mais do conjunto de conhecimento
produzido pela humanidade, incluindo de maneira notável as
contribuições da ciência matemática. Ao mesmo tempo,
essearcabouçoculturalrevigora-seincessantemente, com
grande diversidade e sofisticação. Os apelos de um mundo
VII](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-9-320.jpg)
![VIII
VIII
que se transforma em incrível velocidade, em uma cres-
centevariedadededomínios,constituemumadasrazões
mais significativas para o maior desafio dos educadores:
preparar os jovens para uma atuação ética e responsável,
balizada por uma formação múltipla e consistente.
Matemática acadêmica 3 Matemática escolar
No âmbito específico da Matemática, há muito mais
conhecimento já estabelecido do que o que chega à sala
de aula. A seleção desses conhecimentos-conteúdos e
a maneira de apresentá-los aos estudantes exigem bom
senso e uma série de estudos e adaptações.
Em sua formação inicial, na universidade, o futuro
professor de Matemática tem contato simultâneo com
a Matemática acadêmica e a Matemática escolar. No en-
tanto, em seu exercício profissional, o destaque será para
a Matemática escolar; daí a relevância de procurarmos
entender a distinção entre ambas.
De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática
acadêmica, ou científica, é o corpo de conhecimentos
produzido por matemáticos profissionais. Nesse caso, as
demonstrações, definições e provas de um fato e o rigor
na linguagem utilizada ocupam papel relevante, visto que
é por meio deles que determinado conhecimento é aceito
como verdadeiro pela comunidade científica.
No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fun-
damentais que modificam significativamente o papel do
rigor nas demonstrações. O primeiro refere-se ao fato de a
“validade” dos resultados matemáticos, que serão apresen-
tadosaosestudantesnoprocessodeensino-aprendizagem,
não ser colocada em dúvida; ao contrário, já está garantida
pela própria Matemática acadêmica. O segundo aspecto diz
respeito à aprendizagem; neste caso, o mais importante é o
desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure
a compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais,
assim como a construção de justificativas que permitam
ao jovem estudante utilizá-los de maneira coerente e con-
veniente, tanto na vida escolar quanto na cotidiana, propi-
ciando o desenvolvimento das competências e habilidades
para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo.
O pensador Jules Henri Poincar também discute a dife-
rença entre o rigor necessário e conveniente à Matemática
científica e o rigor adequado a um processo educativo. Para
ele, uma boa definição é aquela que pode ser entendida
pelo estudante.
Nesse contexto, a coleção procura harmonizar o uso da
língua materna com a linguagem matemática, promovendo
uma leitura acessível e adequada aos alunos dos anos
finais do Ensino Fundamental.
A Matemática como componente
curricular do Ensino Fundamental
A importância de ensinar Matemática no Ensino Funda-
mental, conforme indica a BNCC, decorre também da con-
tribuição que a área representa na formação do cidadão.
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o
desenvolvimentodoletramentomatemático,definidocomo
as competências e habilidades de raciocinar, representar, co-
municareargumentarmatematicamente,demodoafavorecer
o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução
de problemas em uma variedade de contextos, utilizando
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas.
É também o letramento matemático que assegura aos alunos
reconhecerqueosconhecimentosmatemáticossãofundamen-
tais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o
caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que
favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico,
estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinse-
camente relacionado a algumas formas de organização da
aprendizagem matemática, com base na análise de situações
da vida cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da
própria Matemática. [...]
(BNCC, 2017, p. 264.)
Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Edu-
cação Matemática têm procurado sintetizar o papel social
do ensino dessa área do conhecimento. Na literatura,
segundo Ponte (2002), cabem ao ensino da Matemática
quatro diferentes papéis:
• instrumento da cultura científica e tecnológica,
fundamental para profissionais como cientistas,
engenheiros e técnicos, que utilizam a Matemática
em suas atividades;
• filtro social para a continuação dos estudos e seleção
para as universidades;
• instrumento político, como símbolo de desenvolvi-
mento e arma de diversas forças sociais que utilizam
as estatísticas do ensino da Matemática para seus
propósitos;
• promotora do desenvolvimento dos modos de pensar
a serem aplicados na vida cotidiana e no exercício da
cidadania.
É evidente que cada um desses papéis serve a diferen-
tes interesses e finalidades. Contudo, considerando os
indivíduos seres sociais, é o último desses papéis o mais
importante e o que mais nos interessa. Como explica Ponte:
Incluem-se aqui os aspectos mais diretamente utilitários
da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular
a área da sala), mas não são esses aspectos que justificam
a importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a
capacidade de entender a linguagem matemática usada na
vida social e a capacidade de usar um modo matemático de
pensar em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural,
cívico e profissional. Em teoria, todos reconhecem que esta é
a função fundamental do ensino da Matemática. Na prática,
infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos
importância.
(Ibidem)
VIII](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-10-320.jpg)
![A função de promotora dos modos de pensar, porém,
não se concretiza na prática somente por estar explicitada
no currículo e nos programas.
O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura
profissional dos professores podem influenciar de tal modo
as práticas de ensino que as finalidades visadas pelo currículo
em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é
solenemente proclamado nos textos oficiais.
(Ibidem)
Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte analisa em parti-
cular a função de filtro social – “a verdade é que este papel
de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a
relação dos jovens com a Matemática” (ibidem) –, que pas-
sam a enxergá-la como obstáculo a ser transposto para a
conquista de objetivos, em vez de entendê-la como aliada
nesse processo. O pesquisador enfatiza a importância de
identificarosfatoresqueoriginamoinsucessodosalunosem
Matemática. Para ele, tais fatores estão relacionados com:
• a crise da escola como instituição, que se reflete na
aprendizagememgeralenaMatemáticaemparticular;
• aspectos de natureza curricular — tradição pobre de
desenvolvimento curricular de Matemática;
• insuficiente concretização prática e caráter difuso
das finalidades do aprendizado;
• o próprio fato de a Matemática constituir-se em ins-
trumento de seleção, o que, de imediato, desencanta
e amedronta o aluno;
• questões ligadas à formação dos professores.
Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos
destacar que:
[...] Os processos matemáticos de resolução de proble-
mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas
da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo
tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de
todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza-
gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de
competências fundamentais para o letramento matemático
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação)
e para o desenvolvimento do pensamento computacional.
(BNCC, 2017, p. 264.)
As atuais e inúmeras discussões na área educacional
têm nos alertado sobre mudanças na forma de conceber a
Educação Básica no mundo. No que diz respeito à Educação
Matemática, podemos dizer que ela tem atravessado um
grato momento de revitalização:
Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma
ampla discussão dos seus objetivos fazem da Educação
Matemática uma das áreas mais férteis nas reflexões sobre o
futuro da sociedade.
(D’AMBROSIO, 2000.)
A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas
contemporâneos, como é o caso dos “direitos da criança e
do adolescente” e “educação em direitos humanos”.
Por fim, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como
às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe-
tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas
a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida
humana em escala local, regional e global, preferencialmente
de forma transversal e integradora.
(BNCC, 2017, p. 19.)
A orientação de introduzir e interligar no âmbito esco-
lar temas dessa natureza traz efetivas possibilidades de
expansão dos currículos, para além dos conteúdos das
disciplinas tradicionais. Esses temas também podem ser
abordados de acordo com a necessidade dos estudantes
e da comunidade em que estão inseridos.
O importante é ter em vista que, por meio do trabalho
com esses temas, é possível incluir as questões sociais
nos currículos escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos
trabalhados ganham novo papel; o aprendizado da Mate-
mática, entre outras abordagens, concorre para a formação
da cidadania e, consequentemente, para um entendimento
mais amplo da realidade social.
Por compreender a importância desse trabalho, esta co-
leçãoprocura,namedidadopossível,incorporarediscutiral-
guns conteúdos matemáticos em contextos diversificados.
O papel do livro didático
Entendemos que, em geral, os recursos presentes em
salas de aula não são suficientes para fornecer todos
os elementos necessários ao trabalho do professor e
à aprendizagem do aluno. Nesse caso, o livro didático
desempenha um papel importante, assessorando nesse
processo, como organização e encaminhamento da teoria
e propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro di-
dático contribui para o processo de ensino-aprendizagem
e atua como mais um interlocutor na comunicação entre
educador e educando.
Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais
completo que seja, deve ser utilizado intercalado com
outros recursos que enriqueçam o trabalho do professor.
Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que,
partindo do princípio de que o verdadeiro aprendizado
apoia-se na compreensão, não na memória, e de que so-
mente uma real interação com os alunos pode estimular o
raciocínio e o desenvolvimento de ideias próprias em busca
de soluções, cabe ao professor aguçar seu espírito crítico
perante o livro didático.
Na organização desta coleção, os conceitos e ativida-
des foram concebidos e dispostos em uma sequência que
garanta a abordagem dos conhecimentos matemáticos
relativos aos anos finais do Ensino Fundamental, visando à
IX](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-11-320.jpg)
![X
X
ampliação dos conhecimentos básicos tratados nos anos
iniciais do Ensino Fundamental, apresentando-os em capí-
tulos específicos e, depois, retomando-os e ampliando-os
em volumes posteriores. Assim, os alunos podem resgatar
os conhecimentos trabalhados anteriormente, ampliar os
conceitosaolongodeseusestudosemMatemáticado6o
ao
9o
anos e preparar-se para a continuidade no Ensino Médio.
As orientações deste Manual pretendem esclarecer
intenções, objetivos e concepções das atividades que
podem auxiliar o trabalho pedagógico do professor em
seus encaminhamentos, intervenções e na ampliação e
enriquecimento de seus conhecimentos matemáticos.
Caracterização da adolescência
Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei
no
8.069/1990: “Considera-se criança, para os efeitos
desta Lei, a pessoa até doze anos de idade incompletos,
e adolescente aquela entre doze e dezoito anos de idade.”
De acordo com a BNCC:
Os estudantes dessa fase inserem-se em uma faixa etária
que corresponde à transição entre infância e adolescência,
marcada por intensas mudanças decorrentes de transfor-
mações biológicas, psicológicas, sociais e emocionais. [...]
ampliam-se os vínculos sociais e os laços afetivos, as possi-
bilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abs-
tratos. Os estudantes tornam-se mais capazes de ver e avaliar
os fatos pelo ponto de vista do outro, exercendo a capacidade
de descentração, “importante na construção da autonomia
e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010).
(BNCC, 2017, p. 58.)
Esta coleção procura uma aproximação com os estudan-
tes dessa fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha
de assuntos que possam despertar seu interesse. Um des-
ses momentos pode ser observado nas aberturas dos ca-
pítulos, nas quais são apresentadas situações que buscam
aguçar a curiosidade dos alunos para o tema a ser tratado.
Além disso, a coleção busca também facilitar a passagem
de um ano para outro no processo de ensino-aprendizagem
em Matemática, retomando conceitos, revisitando conheci-
mentos – como as quatro operações fundamentais e o es-
tudo das figuras geométricas –, ampliando e aprofundando
conteúdos com novos aspectos, a fim de que os alunos se
apropriemdosconceitoscomacompreensãodosprocessos
neles envolvidos, caso da ampliação do campo numérico
(dos números naturais aos números reais).
Objetivos da formação básica para o Ensino
Fundamental
Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de
Educação/Câmara de Educação Básica sobre Diretrizes
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9
(nove) anos, os objetivos para a formação básica relativos
ao Ensino Infantil e Ensino Fundamental são:
• odesenvolvimentodacapacidadedeaprender,tendocomo
meios básicos o pleno domínio da leitura, da escrita e do
cálculo;
• a compreensão do ambiente natural e social, do sistema
político, das artes, da tecnologia e dos valores em que se
fundamenta a sociedade;
• a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação
de atitudes e valores como instrumentos para uma visão
crítica do mundo;
• o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de
solidariedade humana e de tolerância recíproca em que
se assenta a vida social.
(Parecer 11/2010, p. 32.)
BNCC e currículos
A BNCC e os currículos estão em concordância com os
princípios e valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional (LDB) e as Diretrizes Curriculares
Nacionais da Educação Básica (DCN).
A BNCC relaciona algumas ações que visam adequar
suas proposições à realidade dos sistemas ou redes de
ensino e das instituições escolares, considerando o con-
texto e as características dos alunos:
• contextualizar os conteúdos dos componentes curri-
culares, identificando estratégias para apresentá-los,
representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los
significativos, com base na realidade do lugar e do tempo
nos quais as aprendizagens estão situadas;
• decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos
componentes curriculares e fortalecer a competência
pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias
mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à
gestão do ensino e da aprendizagem;
• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-
-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferen-
ciados e a conteúdos complementares, se necessário, para
trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de
alunos,suasfamíliaseculturadeorigem,suascomunidades,
seus grupos de socialização etc.;
• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para
motivar e engajar os alunos nas aprendizagens;
• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa
deprocessoouderesultadoquelevememcontaoscontex-
toseascondiçõesdeaprendizagem,tomandotaisregistros
como referência para melhorar o desempenho da escola,
dos professores e dos alunos;
• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e
tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;
• criar e disponibilizar materiais de orientação para os
professores, bem como manter processos permanentes
de formação docente que possibilitem contínuo aper-
feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;
• manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges-
tão pedagógica e curricular para os demais educadores,
no âmbito das escolas e sistemas de ensino.
(BNCC, 2017, p. 16-17.)
X](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-12-320.jpg)
![[…] Acreditamos que poucos educadores e educandos
têm consciência de que a avaliação é um processo contínuo
e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam
constantemente, nas mais diversas situações, diante da ne-
cessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as
mais complexas.
(PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 30, 36.)
As divergências, contudo, têm início quando se pretende
redefinir a avaliação escolar e os modos e graus de exigên-
cia desse processo. Podemos dizer que, por longo tempo,
na maior parte da história da Educação Matemática, o
que vigorou foi a chamada avaliação informativa:
Na prática pedagógica da Matemática, a avaliação tem,
tradicionalmente, centrado-se nos conhecimentos especí-
ficos e na contagem de erros. É uma avaliação somativa, que
não só seleciona os estudantes, mas os compara entre si e os
destina a um determinado lugar numérico em função das
notas obtidas. Porém, mesmo quando se trata da avaliação
informativa, é possível ir além da resposta final, superando,
de certa forma, a lógica estrita e cega do “certo ou errado”.
(Ibidem, p. 36-7.)
Alguns autores, porém, concordam que mesmo na
avaliação tradicional há algum espaço para uma busca
mais consciente do processo formativo do aluno. As
mesmas pesquisadoras, por exemplo, fazem a seguinte
consideração:
Mesmo numa avaliação tradicional, na qual é solicitada
ao aluno apenas a resolução de exercícios, é possível avançar
para além da resposta final, considerando:
• o modo como o aluno interpretou sua resolução para
dar a resposta;
• as escolhas feitas por ele para desincumbir-se de sua
tarefa;
• os conhecimentos matemáticos que utilizou;
• se utilizou ou não a Matemática apresentada nas aulas; e
• sua capacidade de comunicar-se matematicamente, oral-
mente ou por escrito.
(BURIASCO, 2002, apud PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.)
Uma concepção de avaliação que tem se configurado
nos últimos anos é a que se refere à avaliação formativa.
Principalmente a partir da década de 1980, muitos es-
tudiosos têm feito importantes contribuições ao enten-
dimento que devemos ter sobre avaliação como processo,
ação contínua. Entre esses pesquisadores, destacamos o
trabalho de Luckesi (2001). Segundo o autor, a avaliação
deve ser tomada como instrumento para a compreensão
do estágio em que se encontra o estudante, tendo em
vista a tomada de decisões, suficientes e satisfatórias,
para avançar no processo de aprendizagem.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), divulgados
desde fins dos anos 1990, colaboraram para a ampliação
do olhar sobre as funções da avaliação. Destacam, por
exemplo, a dimensão social e a dimensão pedagógica da
avaliação.
No primeiro caso, a avaliação tem a função de, para os
estudantes, informar acerca do desenvolvimento das
potencialidades que serão exigidas no contexto social,
garantindo sua participação no mercado de trabalho e na
esfera sociocultural. Para os professores, a avaliação deve
auxiliar na identificação dos objetivos alcançados, com
a intenção de reconhecer as capacidades matemáticas
dos educandos.
No segundo caso, a avaliação tem a função de informar
os estudantes sobre o andamento da aprendizagem pro-
priamente dita, isto é, dos conhecimentos adquiridos, do
desenvolvimento de raciocínios, dos valores e hábitos
incorporados e do domínio de estratégias essenciais.
A BNCC, homologada em 2017, também preconiza
uma avaliação formativa:
[...] construir e aplicar procedimentos de avaliação
formativa de processo ou de resultado que levem em conta
os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais
registros como referência para melhorar o desempenho da
escola, dos professores e dos alunos; [...]
(BNCC, p. 17.)
Os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos e re-
gistros de atitudes, entre outros) devem ser capazes de
fornecer informações ao professor sobre as condições de
cada estudante com relação à resolução de problemas,
ao uso adequado da linguagem matemática, ao desenvol-
vimento de raciocínios e análises e à integração desses
aspectos em seu conhecimento matemático. Devem
também contemplar as explicações, justificativas e
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspec-
tos do raciocínio que muitas vezes não se evidenciam em
avaliações escritas.
Para Charles Hadji (2001, p. 21), a avaliação formativa
implica, por parte do professor, flexibilidade e vontade de
adaptação e de ajuste. O autor ressalta que a avaliação que
não é seguida da modificação das práticas pedagógicas
tem pouca capacidade de ser formativa. Posição seme-
lhante é defendida pelas educadoras Pavanello e Nogueira:
É preciso reconhecer […]que o professor deve selecionar,
dentre as informações captadas, apenas o que é realmente
importante […]. Para isso, existem indicadores que, segun-
doVergani (1993, p. 155), podem nortear a observação pelo
professor, entre os quais poderiam ser citados:
• o interesse com que o aluno se entrega às atividades
matemáticas;
• a confiança que tem em suas possibilidades;
XVII](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-19-320.jpg)
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XXV](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-27-320.jpg)
![XXXVIII
Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades
• Situações que tratam da
partição de um todo em
duas partes desiguais
Problemas que tratam da partição de
um todo em duas partes desiguais,
envolvendo razões entre as partes e entre
uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas
que envolvam a partilha de uma quantidade
em duas partes desiguais, envolvendo
relações aditivas e multiplicativas, bem como
a razão entre as partes e entre uma das
partes e o todo.
• Construção de algoritmo
na resolução de situações
passo a passo (como
na construção de
dobraduras)
Construção de retas paralelas e
perpendiculares, fazendo uso de réguas,
esquadros e softwares
(EF06MA23) Construir algoritmo para
resolver situações passo a passo (como na
construção de dobraduras ou na indicação
de deslocamento de um objeto no plano
segundo pontos de referência e distâncias
fornecidas etc.).
• Cálculo de probabilidades
Cálculo de probabilidade como a razão
entre o número de resultados favoráveis
e o total de resultados possíveis em um
espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de
muitas repetições de um experimento
(frequências de ocorrências e
probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de
um evento aleatório, expressando-a por
número racional (forma fracionária, decimal
e percentual) e comparar esse número
com a probabilidade obtida por meio de
experimentos sucessivos.
• Interpretação e resolução
de situações com
informações apresentadas
em gráficos de setores e
de barras
Leitura e interpretação de tabelas e
gráficos (de colunas ou barras simples
ou múltiplas) referentes a variáveis
categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações
que envolvam dados de pesquisas sobre
contextos ambientais, sustentabilidade,
trânsito, consumo responsável, entre
outros, apresentadas pela mídia em tabelas
e em diferentes tipos de gráficos e redigir
textos escritos com o objetivo de sintetizar
conclusões.
CAPÍTULO
Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica,
nem sempre tem a sua importância reconhecida.
9
Capítulo
Fonte: ABI – 100 anos lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. Disponível em: <http://www.
abi.org.br/poeta-cria-cordel-inspirado-na-campanha-de-cem-anos-da-abi/>. Acesso em: 31 jul. 2017.
Números racionais
na forma decimal
e operações
A vírgula
A vírgula pode
ser uma pausa…
ou não.
Não, espere.
Não espere.
Ela pode
sumir
com seu
dinheiro.
23,4.
2,34.
[...]
MARTIN
KONOPKA/EYEEM/GETTY
IMAGES
207
CAPÍTULO 9
9
Números racionais na
forma decimal e operações
Os números racionais na forma decimal foram estudados no 4o
e 5o
anos do Ensino Fundamental.
Neste momento, esses conhecimentos serão expandidos e aprofundados na perspectiva da cons-
trução de novos conhecimentos, o que favorece a sua apropriação pelos alunos e os prepara para
o detalhamento do estudo desse tema no 7o
ano do Ensino Fundamental (EF07MA10, EF07MA11
e EF07MA012).
Assim, as atividades abordam conhecimentos relativos à notação decimal dos números racionais
positivos, à ampliação do sistema de numeração decimal para as ordens decimais, à ordenação de nú-
meros racionais na forma decimal e sua relação com pontos da reta numérica, às operações de adição,
subtração, multiplicação, divisão e potenciação com números racionais na forma decimal, ao cálculo
de porcentagens na forma decimal e ao uso da calculadora.
Nesse caso, as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística associam-se em ativi-
dades de cálculo de média aritmética e de interpretação de gráfico de duplas colunas.](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-40-320.jpg)
![LII
LII
Multiplicação e divisão
1. Em um tanque havia 2.400 litros de água. Dele foram retirados
12 baldes com 18 litros cada um. Abriu-se, então, uma torneira
que derrama 32 litros de água por minuto até que o tanque
ficasse totalmente cheio, isto é, com 5.000 litros.
a) Durante quantos minutos a torneira ficou aberta?
b) Sabendo que 1 hora é igual a 60 minutos, determine quan-
tas horas e quantos minutos essa torneira ficou aberta.
Respostas:
a) 88 minutos;
b) 1 hora e 28 minutos.
A resolução desta questão exige muito mais que a realização
de simples multiplicações e divisões, pois os alunos terão de
lidar com diferentes grandezas (capacidade e tempo), esta-
belecendo relações de proporcionalidade. Além disso, no caso
da grandeza tempo, farão relações entre duas unidades de
tempo muito usuais: hora e minuto. Por isso, é interessante
reservar um tempo maior para discutir coletivamente a re-
solução, buscando sanar todas as dúvidas a esse respeito.
2. Veja como Ana fez para dividir 46 por 8:
46 9 8
5 8 8 5 40
6 8 8 5 48
46 é maior que 40 e menor que 48.
Logo, 46 dividido por 8 dá 5 com resto 6.
Utilize o procedimento de Ana e calcule mentalmente:
a) 29 9 3
b) 41 9 7
c) 66 9 8
d) 83 9 9
Respostas:
a) quociente 9 e resto 2;
b) quociente 5 e resto 6;
c) quociente 8 e resto 2;
d) quociente 9 e resto 2.
Expressões numéricas
1. Brigite lançou o seguinte desafio a Bruno: Escreva uma ex-
pressão numérica que tenha como resultado 32, utilizando
apenas os números 3 e 7 e as operações: adição, subtração
e multiplicação.
Bruno pensou um pouco e apresentou esta expressão:
(7 2 3) 8 [(7 2 3) 1 (7 2 3)]
a) Bruno acertou?
b) Usando os números 3 e 7, invente uma expressão que tenha
como resultado 24.
Respostas:
a) sim;
b) Exemplo de resposta: 3 1 3 8 7.
Essa questão dá a oportunidade aos alunos de desenvolve-
rem a escrita matemática. Proponha a tarefa em pequenos
grupos e socialize as soluções obtidas para o item b.
2. Calcule o valor destas expressões:
a) 7 8 23
2 22
8 5
b) 16 8 32
2 62
8 9
c) 112
2 (68 1 72
)
d) 8
25 ( 196 2 )
2 3
Respostas:
a) 36;
b) 24;
c) 4;
d) 30.
O cálculo do valor das expressões exige dos alunos a mobi-
lização de diversos conhecimentos a respeito dos números
e das operações. Sabemos que, nesses cálculos, um peque-
no deslize levará a um resultado incorreto. Na correção do
exercício, pode-se pedir aos alunos que, após a resolução
individual, formem duplas e comparem os resultados; no
caso de eles não coincidirem, tendo em vista que só há
uma resposta possível, devem detectar o erro. Em seguida,
revele a resposta final, e as duplas devem empreender nova
conferência; em caso de discordância com suas respostas,
devem retomar cada passo da resolução, para encontrar o
“erro” cometido. Para finalizar, um aluno pode resolver uma
expressão na lousa, fazendo os registros de cada passo.
Capítulo 3
Ampliação
1. Apresente a figura abaixo para os alunos e peça a eles que
determinem o comprimento do lado do quadradinho da nova
malha para que a figura seja ampliada em 4 vezes.
Resposta: Como o quadradinho que compõe a malha da figu-
ra original tem comprimento de meio centímetro, espera-se
que os alunos percebam que, para fazer uma ampliação de
4 vezes, cada lado do quadradinho da nova malha deverá ter
2 centímetros de comprimento (4 vezes o comprimento do
lado do quadradinho da malha da figura original).
Capítulo 4
Múltiplos e divisores
1. Jogo produto secreto
Número de participantes: 2 jogadores (o desafiante e o
descobridor)
NELSON
MATSUDA
LII](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-54-320.jpg)
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Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
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19
de
fevereiro
de
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Reprodução
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Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
47
CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Situação 1
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
39 Um alpinista, depois de subir 455 metros de
uma montanha, subiu mais 325 metros, porém
escorregou e desceu 18 metros. Depois, ele
tornou a subir 406 metros.
a) Determine a expressão correspondente a
essa situação.
b) Qual é o valor dessa expressão?
c) A que altura se encontra esse alpinista?
40 Hora de criar – Pense em um número de três
algarismos e escreva esse número por meio
de uma soma de quatro números. Substitua
dois desses quatro números por diferenças
de outros números. Troque com um colega
essas expressões numéricas criadas por
vocês. Depois de cada um calcular o valor
da expressão do outro, destroquem para
corrigi-las.
Bruna comprou um sofá, que pretende pagar em
10 parcelas de 230 reais cada uma. Qual será o valor
total que Bruna pagará pelo sofá?
Podemos resolver esse problema usando uma adição
de 10 parcelas iguais. Observe:
230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 5 2.300
10 parcelas
4 Multiplicação
Acompanhe as situações a seguir.
Pense mais um pouco...
Giovana achou um velho caderno
com exercícios numa caixa guardada
por seu pai. Mas veja o que as traças
fizeram!
Descubra as contas que havia no ca-
derno do pai de Giovana e escreva-as
em seu caderno.
36 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 36 2 5 1 12 1 10
b) 36 2 (5 1 12) 2 10
c) 36 2 (12 1 10 2 15)
d) (36 2 5) 2 (12 1 10)
37 Se Carlos tivesse mais 8 reais, poderia com-
prar um sorvete por 1 real, um sanduíche por
8 reais e ainda lhe sobraria 1 real. Quantos
reais Carlos tem?
38 Na caixa de entrada de seu e-mail, Pedro acu-
mulou 650 mensagens e deletou 288 delas.
Dias depois, recebeu 740 novas mensagens, e
ele apagou 1.000 mensagens.
a) Determine a expressão que corresponde a
essa situação.
b) Quantas mensagens ficaram na caixa de
entrada de Pedro?
ALAN
CARVALHO
JOSÉ
LUÍS
JUHAS
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
1 Usando os algarismos indo-arábicos, escreva
os números que aparecem por extenso nas
informações.
a) O rio Amazonas tem seis mil, novecentos e
trinta e sete quilômetros de comprimento.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
CARLOS
FABAL/GETTY
IMAGES
Vista aérea do rio Amazonas (Amazonas).
(Foto de 2017.)
b) Segundo estimativa do Instituto Brasileiro
de Geografia e Estatística (IBGE), a popu-
lação da cidade de Belo Horizonte (MG),
em 2017, seria de dois milhões, quinhentos
e vinte e três mil, setecentos e noventa e
quatro habitantes.
2 Considere os seguintes cartões:
1 6 7
Colocando os três cartões um ao lado do outro,
de todos os modos possíveis, obtemos a repre-
sentação de seis números naturais. Determine:
a) o maior número encontrado;
b) o menor número encontrado;
c) o menor número que começa com o alga-
rismo 7;
d) o maior número que começa com o alga-
rismo 6.
3 Um número tem dois algarismos. O algarismo
das dezenas é o dobro do algarismo das uni-
dades.
a) Qual será o número se ele for menor que 40?
b) Qual será o número se ele for maior que 70?
4 Ao formar números com os algarismos 0, 0, 0,
1, 2, 2, 3, responda:
a) Qual é o menor número que pode ser for-
mado?
b) Qual é o maior número que pode ser for-
mado?
a) Nesse salário, qual é o valor posicional do
algarismo 7 antes da medida provisória?
E depois?
b) Nesse salário, qual é o valor posicional do
algarismo 4 depois da medida provisória?
E antes?
c) Pesquise com algum adulto da família (pais,
tios, avós), com base na carteira profis-
sional deles, e registre em seu caderno as
alterações de salário ocorridas com planos
econômicos que mudaram o dinheiro no
Brasil.
5 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Nu-
merou as páginas começando pelo 1.
a) Quantos algarismos ela escreveu?
b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?
6 Lúcia escreveu todos os números de dois
algarismos; Paula escreveu todos os núme-
ros de dois algarismos distintos (diferentes);
Rogério escreveu todos os números pares de
dois algarismos; e Renato escreveu todos os
números pares de dois algarismos distintos.
Entre os cartões coloridos abaixo, aparecem
as quantidades de números que cada um
escreveu.
90
81
45
41 85 95
Descubra qual é o cartão de cada um.
7 No Brasil, o dinheiro já teve outros nomes. Em
julho de 1993, chamava-se cruzeiro. Nesse mês,
o presidente Itamar Franco editou uma medida
provisória criando o cruzeiro real: a quantia de
1.000 cruzeiros passou a valer 1 cruzeiro real.
Assim, um salário de 4.750.000 cruzeiros, que
era pouco mais de um salário mínimo, passou
para 4.750 cruzeiros reais, ou seja, foram tira-
dos três zeros do número anterior.
Nota de 500.000 cruzeiros.
ACERVO
DO
BANCO
CENTRAL
DO
BRASIL
Seu livro está organizado em 12 capítulos. A estrutura de cada capítulo é muito simples e
permite localizar com facilidade os assuntos estudados, os exercícios e as seções enrique-
cedoras. Veja a seguir.
Página de abertura
O tema do capítulo é introduzido
por meio de uma imagem
motivadora e um breve texto.
Exercícios
O livro traz exercícios variados, organizados após os conteúdos na seção Exercícios
Propostos e, ao final de cada capítulo, na seção Exercícios Complementares.
Hora de criar – Atividades
em que você elabora um
problema com base no
assunto estudado.
Apresentação
dos conteúdos
Os conteúdos são
apresentados
em linguagem
clara e objetiva e
acompanhados
de exemplos
e ilustrações
cuidadosamente
elaborados.
No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados
Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas.
O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas
(pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com
conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria).
Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e
suas características.
3Estudando
figuras geométricas
Capítulo
Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.)
MIRA/ALAMY/FOTOARENA
CAPÍTULO 3 73
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
38 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Os oceanos abrigam a maior diversidade da
Terra. O Registro Mundial de Espécies Marinhas
é um banco de dados com a listagem dos seres
conhecidos nos oceanos. Por enquanto, a lista
soma 224.804 espécies catalogadas, de um
total de 240.867 conhecidas. (Dados obtidos
em: Marine Species. Disponível em: <http://www.
marinespecies.org>. Acesso em: 20 jul. 2017.)
FABIO
COLOMBINI
JOE
QUINN/ALAMY/FOTOARENA
0 2
2 0
1 0 5 NELSON
MATSUDA
2 Subtração
Acompanhe estas situações.
Em apenas 20 anos, a população de onças-pintadas caiu 90% no Parque
Nacional do Iguaçu (ParNa), em Foz do Iguaçu (PR), área que protege uma ri-
quíssima biodiversidade da fauna e flora brasileiras. Segundo o Instituto para a
Conservação dos Carnívoros Neotropicais (Pró-carnívoros), que trabalha com
o monitoramento da espécie no Parque, as onças-pintadas foram reduzidas de
100 indivíduos para 20 indivíduos. [...]
Entre as ameaças para garantir a espécie viva na reserva, o Instituto aponta a
falta de investimentos em estrutura e fiscalização, a caça predatória e de retaliação
e a possibilidade de reabertura da Estrada do Colono.
Na Mata Atlântica, a estimativa é de que existam apenas 250 onças-pintadas,
maior felino do continente americano e maior predador terrestre do Brasil.
A perda do hábitat natural da espécie em razão do desmatamento para dar lugar
a atividades agropecuárias ou pastagens nativas é crítica para o animal.
Fonte: WWF-BRASIL APOIA monitoramento de onças-pintadas no Parque
Nacional de Iguaçu. WWF-Brasil. Disponível em: <http://www.wwf.org.br/
wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque-
nacional-de-iguau>. Acesso em: 06 jul. 2017.
Com os dados obtidos no texto acima, é possível descobrir quanto diminuiu a população de
onças-pintadas do Parque Nacional do Iguaçu em 20 anos. Para isso, devemos tirar do total
de indivíduos que existiam há 20 anos o total de indivíduos que existem hoje.
Logo, foram reduzidas 80 onças-pintadas.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Colônia de corais em um recife de Aruba (Caribe).
Onças-pintadas, Manaus
(Amazonas).
Situação 1
Situação 2
Total de indivíduos
há 20 anos
minuendo
100
Total de indivíduos
atualmente
subtraendo
20
Redução do total
de indivíduos
diferença ou resto
80
2 5
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
124 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA
1 Ponto, reta e plano
O ponto, a reta e o plano são noções aceitas sem definição na Geometria, por isso são
chamadas noções primitivas. Elas podem ser associadas, de maneira intuitiva, a diferentes
coisas que nos rodeiam.
PROCY/SHUTTERSTOCK
ZHYKOVA/SHUTTERSTOCK
EDUARDO
TAVARES
Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho de água do lago dão a ideia das noções
primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, respectivamente.
Cada estrela que vemos no céu dá a ideia de um ponto. Um raio de luz dá a ideia de uma reta.
O espelho de água dá a ideia de plano. Parque Farroupilha, Porto Alegre (Rio Grande do Sul). (Foto de 2017.)
Determine a expressão correspondente a
Qual é o valor dessa expressão?
A que altura se encontra esse alpinista?
Hora de criar – Pense em um número de três
algarismos e escreva esse número por meio
de uma soma de quatro números. Substitua
dois desses quatro números por diferenças
de outros números. Troque com um colega
essas expressões numéricas criadas por
vocês. Depois de cada um calcular o valor
da expressão do outro, destroquem para
corrigi-las.
c) A que altura se encontra esse alpinista?
40 Hora de criar – Pense em um número de três
algarismos e escreva esse número por meio
de uma soma de quatro números. Substitua
dois desses quatro números por diferenças
de outros números. Troque com um colega
essas expressões numéricas criadas por
vocês. Depois de cada um calcular o valor
da expressão do outro, destroquem para
c) A que altura se encontra esse alpinista?
40 Hora de criar – Pense em um número de três
algarismos e escreva esse número por meio
de uma soma de quatro números. Substitua
dois desses quatro números por diferenças
de outros números. Troque com um colega
essas expressões numéricas criadas por
vocês. Depois de cada um calcular o valor
da expressão do outro, destroquem para](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-70-320.jpg)
![5
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
DIVERSIFICANDO Reprodução
proibida.
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184
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Código
Penal
e
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9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
308 CAPÍTULO 11 COMPRIMENTOS E ÁREAS
1 No tangram, são necessários quatro triângulos pequenos para compor um triângulo grande. Já para
compor o quadrado, o paralelogramo ou o triângulo médio, são necessários dois triângulos pequenos.
Sabendo disso e tomando como unidade de medida de área o triângulo menor, qual é a área do qua-
drado formado pelas sete peças? E das figuras ao lado do quadrado?
2 Se a unidade de medida de área fosse o quadrado menor, qual seria a área de uma figura construída
com as sete peças do tangram?
3 Forme um grupo com três colegas. Em uma cartolina, desenhem as peças do tangram e recortem-nas
para formar uma das figuras abaixo. Utilizem todas as peças sem sobrepor nenhuma.
4 Ainda em grupo, usem a imaginação, inventem uma figura e troquem com outro grupo. Não se es-
queçam de fazer um esquema da composição da figura que vocês inventaram.
ILUSTRAÇÕES:
NELSON
MATSUDA
Tangram
O tangram é um antigo quebra-cabeça de ori-
gem chinesa composto de sete peças: cinco
triângulos retângulos isósceles (dois triângulos
pequenos, um médio e dois grandes), um qua-
drado e um paralelogramo.
Com esse quebra-cabeça, é possível formar
milhares de figuras diferentes.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
Diversificando
Esta seção oferece a você a
oportunidade de entrar em
contato com temas variados,
em diferentes contextos e
áreas do saber.
Para saber mais
É uma seção que
traz textos sobre
Geometria e
História da
Matemática
para enriquecer
e explorar diversos
conteúdos
matemáticos
estudados.
Ícones da coleção
Atividade em dupla
ou em grupo
Cálculo mental
Calculadora
Reprodução
proibida.
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Código
Penal
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19
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1998.
194 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Pense mais um pouco...
Junte-se a um colega e façam o que se pede.
1. Efetuem as multiplicações das fichas e comparem os resultados.
a) 8 8 8
8
4
3
3
5
3
3
4
5
1
1
4
5
4
1
1
5
b) 8 8 8
8
3
8
4
5
4
8
3
5
1
2
3
5
3
2
1
5
c) 8 8 8 8 8 8 8 8
3
5
5
2
2
7
5
5
2
2
3
7
1
1
1
1
3
7
3
1
1
1
1
7
2. A professora pediu aos alunos que calculassem o
valor da expressão 8
8
3
55
5
13
26
7
.
ƒ Fábio multiplicou todos os numeradores e, depois,
todos os denominadores. Em seguida, simplificou o
resultado dividindo o numerador e o denominador
por 5 e então por 13.
. .
8 8
8 8
8 8
3
55
5
13
26
7
3 5 26
55 13 7
390
5 005
78
1 001
6
77
5 5 5 5
ƒ Débora, antes de multiplicar, dividiu por 5 o numerador 55 e o denominador 5, dividiu por
13 o numerador 13 e o denominador 26 (ela registrou esse procedimento com traços sobre
os números divididos). Em seguida, multiplicou todos os novos numeradores e todos os
novos denominadores:
8 8 8 8 8 8
3
55
5
13
26
7
3
55
5
13
26
7
3
11
1
1
2
7
6
77
5 5 5
11
1
1
2
Discutam e respondam: qual é o procedimento mais prático, o de Fábio ou o de Débora?
3. Calculem, pelo procedimento de Débora, o valor da expressão:
8 8
9
4
15
21
16
10
4. Calculem, da maneira que acharem mais prática, os produtos a seguir.
a) 8
8
3
3
8
b) 8
9
1
9 c) 8
6
7
7
6
d) 8
12
12
1
Quando os números racionais são inversos
Observe as frações a seguir.
ƒ
5
2
2
5
e ƒ
3
1
3
e ƒ
7
4
4
7
e ƒ 8
8
1
e
Uma fração tem como numerador o denominador da outra e como denominador o nume-
rador da outra.
Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que um desses números
é o inverso do outro. Esses números são chamados de números inversos.
DANIEL
ZEPPO
Pense mais um pouco...
Propõe atividades desafiadoras
que permitem aprofundar
conteúdos ao longo do
capítulo.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
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Código
Penal
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9.610
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Penal
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9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
26 27
CAPÍTULO 1 NÚMEROS CAPÍTULO 1 NÚMEROS
Construindo tabelas
Artur Ávila foi o primeiro matemático brasileiro a ganhar a Me-
dalha Fields, o prêmio mais importante dessa área, geralmente
comparado ao Prêmio Nobel.
A Medalha Internacional
de Descobrimentos Proe-
minentes em Matemática,
conhecida popularmente
como Medalha Fields, é
concedida a dois, três ou
quatro matemáticos com
idade máxima de 40 anos.
Desde que foi instituída pelo matemático canadense John
Charles Fields, em 1936, essa medalha tem sido entregue a
cada quatro anos a jovens matemáticos que tenham grandes
destaques em suas pesquisas.
Em 2014, três outros matemáticos também foram premiados:
a iraniana Maryam Mirzakhani, a primeira mulher condecorada, o
canandense Manjul Bhargava e o austríaco Martin Hairer.
De maneira aleatória, as Medalhas Fields distribuídas até 2014
estão listadas abaixo, de acordo com os países de naturalidade
dos condecorados.
Artur Ávila, primeiro brasileiro a ser
condecorado com a Medalha Fields.
(Foto de 2011.)
A iraniana Maryam Mirzakhani foi
a primeira mulher a ganhar uma
Medalha Fields. (Foto de 2014.)
Frente e verso da Medalha Fields.
(Foto de 2007.)
Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática
para sabermos quantas Medalhas Fields foram concedidas a cada país. Organizando as informações
em uma tabela, a análise dos dados será mais fácil. Para isso, inicialmente, podemos percorrer a
lista e atribuir um traço para cada vez que cada país aparece.
LIGIA
DUQUE
ANDRE
VALENTIM/ABRIL
COMUNICAÇÕES
S/A
LEE
YOUNG
HO/AP/GLOW
IMAGES
STEFAN
ZACHOW
–
INTERNATIONAL
MATHEMATICAL
UNION,
BERLIM
EUA Bélgica Noruega França EUA Reino Unido EUA
Ucrânia Finlândia EUA Rússia Itália França Rússia
Japão Reino Unido Suécia Japão EUA Reino Unido Irã
Rússia França Rússia EUA França Alemanha Nova Zelândia
França Rússia EUA França Áustria Austrália EUA
Canadá EUA Japão África do Sul Rússia França Israel
EUA França Brasil EUA EUA Bélgica China
Reino Unido Vietnã França Rússia Reino Unido Rússia França
Essa tabela tem como título Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos
matemáticos premiados até 2014, além de duas colunas (divisões na vertical) e oito linhas (divi-
sões na horizontal).
Na 1a
linha, são apresentados:
• na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, o país de naturalidade dos ganhadores
das Medalhas Fields);
• na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de
Medalhas Fields conquistadas por país).
Da 2a
à 8a
linha são especificados:
• na coluna da esquerda, alguns países de naturalidade dos ganhadores e a categoria “Outros”;
• na coluna da direita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada país e à categoria
“Outros”.
ANDRÉ
LUIZ
DA
SILVA
PEREIRA
Observe que na
categoria “Outros”
agrupamos os países
que ganharam apenas
uma Medalha Fields.
Distribuição de Medalhas Fields por país de
naturalidade dos matemáticos premiados até 2014
País de naturalidade
Quantidade de Medalhas
Fields conquistadas
EUA 12
Bélgica 2
França 10
Japão 3
Reino Unido 5
Rússia 8
Outros (16 países) 16
1 Cada aluno da classe de Enrico escreveu no quadro sua fruta preferida.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora quem trabalha é você!
Com base nas informações do quadro, construa uma tabela. Não se esqueça de dar um título à tabela
e de identificar a categoria dos dados e os dados obtidos. Agora, responda:
a) Quantos alunos têm seriguela como fruta preferida?
b) Qual fruta é apontada como a preferida dos alunos da classe de Enrico?
c) Quantos alunos preferem caju a outras frutas?
d) Qual fruta tem a maior preferência: jabuticaba ou morango?
2 Faça uma pesquisa com os alunos da classe sobre o animal de estimação preferido e organize os
dados obtidos em uma tabela. Compare a tabela construída por você com a de outros colegas. Há
diferenças entre as tabelas construídas? Justifique.
LIGIA
DUQUE
Dados obtidos
em: IMU.
Disponível em:
<https://www.
mathunion.org/
imu-awards/fields-
medal>. Acesso em:
27 mar. 2018.
Trabalhando a informação
Esta seção permite que você
trabalhe com informações
apresentadas em diferentes
linguagens.
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
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Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
“Tique-taque, tique-taque. Relógios de pa-
rede, de pulso, de bolso, de pilha etc. Nos dias
de hoje, somando os modelos novos e os anti-
gos, caros e baratos, simples e complexos, são
produzidos cerca de um bilhão de relógios por
ano, em todo o mundo! [...] Olhando para um
modelo tradicional, vemos que o movimento dos
ponteiros tem uma direção (sempre para direita)
e que esse movimento obedece a ritmos bem
definidos (os segundos, os minutos e as horas).
Você já deve ter estudado que precisamos de
60 segundos para formar um minuto (o ritmo
do ponteiro maior), da mesma forma como
precisamos de 60 minutos para formar uma hora
(o ritmo do ponteiro menor). Para completar
um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o
ponteiro menor percorra duas vezes (12 1 12)
a sequência das horas.
Utilizando outros agrupamentos
Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10
em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamen-
tos, como é o caso dos minutos e dos segundos.
Como os ponteiros de um relógio, todos os fe-
nômenos que começam num ponto e a eles retor-
nam, repetindo o seu movimento, formam o que
chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as
fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova),
as estações do ano (primavera, verão, outono, in-
verno). [...] esses ciclos, observados na natureza,
ajudaramoshomensacontaraduraçãodotempo,
criandomedidascomoodiade24 horas,omêsde
30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram
com que muitas pessoas, em diferentes épocas e
lugares, acreditassem que os acontecimentos de
suas vidas e os acontecimentos da história dos
povos também pudessem se repetir, exatamente
como os fenômenos observados na natureza.”
Fonte: TURAZZI, Maria Inez; GABRIEL,
Carmen Teresa. Tempo e história.
São Paulo: Moderna, 2000.
Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta
completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para
outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o
ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou.
Ao acordar, Lucas lembrou que
seu relógio de pulso estava atrasado
em relação ao relógio digital do des-
pertador. Veja abaixo o que marcava
cada relógio e descubra em quantos
minutos o relógio de pulso de Lucas
estava atrasado.
ANDRÉ
LUIZ
DA
SILVA
PEREIRA
PARA SABER MAIS](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-71-320.jpg)
![16
Exercícios propostos
Na época em que o texto do
exercício 4 foi elaborado,
Oscar Niemeyer era vivo e
tinha 103 anos. Esse famoso
arquiteto faleceu em 15 de
dezembro de 2012.
O exercício 5 permite propor
comparações entre os aspec-
tos comuns e os divergentes
do cotidiano do aluno, valo-
rizando a contextualização.
Além disso, valoriza princi-
palmente a expressão escrita
ao solicitar aos alunos que
“criem três situações”. A es-
crita na aula de Matemática
tem um papel importante na
aprendizagem, pois dá a eles
a oportunidade de repensar
e aprofundar os textos que
produziram, registrar suas
reflexões, percepções e o que
descobriram sobre um con-
ceito ou mesmo sobre uma
situação vivida. Para o pro-
fessor, a produção escrita dá
não apenas uma boa noção
do que o grupo aprendeu
sobre o que foi desenvolvido
nas aulas, mas também per-
mite avaliar como os alunos
expressam suas ideias.
Proponha novos questiona-
mentos para averiguar o que
os alunos já conhecem sobre
o sistema de numeração in-
do-arábico. Por exemplo:
•Vocês sabem de qual siste-
ma de numeração estamos
tratando? Conhecem seus
símbolos?
•Citem duas características
que conhecem desse sis-
tema.
•Na sua opinião, por que
o sistema de numeração
indo-arábico se destacou?
Sugestões de leitura
Para ampliar seu trabalho com esse
tema, sugerimos:
<http://www.matematica.br/historia/
indoarabico.html>;
<http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/
teses/t_000369009.pdf>.
Acessos em: 14 abr. 2018.
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme-
ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan-
ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função
do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação
decimal.
AFEGANISTÃO
PAQUISTÃO
ÍNDIA
OCEANO
ÍNDICO
TRÓPICO DE CÂNCER
70º L
R
io Indo
Vale do Rio Indo
REGIÃO DO RIO INDO
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
16 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
4 No texto abaixo, o jornalista faz uma brin-
cadeira. Escrevendo como se a faixa do
presidente da República pudesse falar, ele
cita o decreto que a instituiu, com a escrita
da época. Leia o texto e escreva os números
que aparecem nele usando o sistema de nu-
meração romano.
Com a palavra, a Faixa
[...] Antes que alguém cometa a desele-
gância de perguntar, vou logo dizendo: tenho
100 anos, recém-completados essa semana.
Qual o problema? Sou mais jovem que o Nie-
meyer. Está na minha certidão de nascimento:
Decreto no
2.299, de 21 de dezembro de 1910.
Faço saber que o Congresso Nacional decretou
e eu sancciono a resolução seguinte: Art. 1o
.
Como distinctivo de seu cargo o Presidente
da Republica usará, a tiracollo, da direita para
a esquerda, uma faixa de seda com as cores
nacionaes, ostentando o escudo da Republica
bordado a ouro. A faixa, cuja largura será de 15
centimetros, terminará em franjas de ouro de
Esse sistema passou a ser conhecido
como sistema de numeração indo-arábico
(indo, em reconhecimento ao povo que criou
o sistema, e arábico, em homenagem ao
povo árabe, que o aperfeiçoou e o divulgou
pela Europa).
Com o passar do tempo, os símbolos cria-
dos pelos indianos para a escrita de números
sofreram várias modificações até chegar à
representação atual — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 e 9 —, composta de dez símbolos denomi-
nados algarismos indo-arábicos.
Observe no quadro a seguir como alguns
sinais, que já foram usados para escrever
os algarismos indo-arábicos, foram se mo-
dificando.
Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria
Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. 4. ed.
rev. e ampl. São Paulo: Moderna, 2013. p. 97.
ANDERSON
DE
ANDRADE
PIMENTEL
NE
L
O
SE
S
N
NO
SO
400 km
10 centimetros de largo e supportará, pendente
do porto de cruzamento das suas extremidades,
uma medalha, de ouro, mostrando no verso o
mesmo escudo de que falla o artigo anterior
e no anverso o dístico – Presidencia da Re-
publica do Brazil. Assina o marechal Hermes
Rodrigues da Fonseca, na data do 88o
ano da
Independência e 21o
da proclamação da Re-
pública. Já que esticamos a prosa, vou falar
um pouco mais de mim. A medalha que eu
tenho é de ouro 18 quilates, cravejada com 21
brilhantes – o número de toques de canhão
disparados em honra aos chefes de Estado. [...]
Fonte: MARSIGLIA, Ivan. Com a palavra, a faixa.
O Estado de S. Paulo, São Paulo, 25 dez. 2010.
5 Hora de criar – Escreva três situações do dia
a dia que expressem números. Depois, troque
esses textos com um colega para que cada um
possa escrever os números do outro usando
os sistemas de numeração dos egípcios, dos
babilônios e dos romanos. Resposta pessoal.
C, MMCCXCIX, XXI, MCMX, I, XV, X, LXXXVIII, XXI,
XVIII, XXI.
Sistema de numeração indo-arábico
Na região ocupada hoje pelo Paquistão, onde se encontra o vale do Rio Indo, vive, há milha-
res de anos, o povo indiano. Foi esse povo que criou o sistema de numeração que adotamos
atualmente.
LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-82-320.jpg)
![20
Habilidade trabalhada: (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ociden-
tal, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor
posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em
sua representação decimal.
Para saber mais
Esta seção mostra que pode-
mos fazer agrupamentos de
outras maneiras, além dos
agrupamentos de 10 em 10
característicos do sistema de
numeração decimal.
Na questão do Agora é com
você!, os alunos devem per-
ceber que, enquanto o reló-
gio de pulso de Lucas está
marcando 5 h 50 min, o re-
lógio digital do despertador
marca 6 h 15 min. Assim, o
relógio de pulso está atrasa-
do em 25 min.
Para enriquecer a discussão,
podem-se fazer outras per-
guntas aos alunos, como:
“Quando o ponteiro dos
minutos se desloca 10 risqui-
nhos, isso equivale a quan-
tos segundos?”. (Resposta:
600 segundos.)
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é com você!
“Tique-taque, tique-taque. Relógios de pa-
rede, de pulso, de bolso, de pilha etc. Nos dias
de hoje, somando os modelos novos e os anti-
gos, caros e baratos, simples e complexos, são
produzidos cerca de um bilhão de relógios por
ano, em todo o mundo! [...] Olhando para um
modelo tradicional, vemos que o movimento dos
ponteiros tem uma direção (sempre para direita)
e que esse movimento obedece a ritmos bem
definidos (os segundos, os minutos e as horas).
Você já deve ter estudado que precisamos de
60 segundos para formar um minuto (o ritmo
do ponteiro maior), da mesma forma como
precisamos de 60 minutos para formar uma hora
(o ritmo do ponteiro menor). Para completar
um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o
ponteiro menor percorra duas vezes (12 1 12)
a sequência das horas.
Utilizando outros agrupamentos
Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10
em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamen-
tos, como é o caso dos minutos e dos segundos.
Como os ponteiros de um relógio, todos os fe-
nômenos que começam num ponto e a eles retor-
nam, repetindo o seu movimento, formam o que
chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as
fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova),
as estações do ano (primavera, verão, outono, in-
verno). [...] esses ciclos, observados na natureza,
ajudaramoshomensacontaraduraçãodotempo,
criandomedidascomoodiade24 horas,omêsde
30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram
com que muitas pessoas, em diferentes épocas e
lugares, acreditassem que os acontecimentos de
suas vidas e os acontecimentos da história dos
povos também pudessem se repetir, exatamente
como os fenômenos observados na natureza.”
Fonte: TURAZZI, Maria Inez; GABRIEL,
Carmen Teresa. Tempo e história.
São Paulo: Moderna, 2000.
Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta
completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para
outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o
ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou.
Ao acordar, Lucas lembrou que
seu relógio de pulso estava atrasado
em relação ao relógio digital do des-
pertador. Veja abaixo o que marcava
cada relógio e descubra em quantos
minutos o relógio de pulso de Lucas
estava atrasado.
ANDRÉ
LUIZ
DA
SILVA
PEREIRA
25 minutos
PARA SABER MAIS](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-86-320.jpg)
![31
Habilidade trabalhada: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou
aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com
e sem uso de calculadora.
BIMESTRE 1
Reprodução
proibida.
Art.
184
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Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
31
CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
1 Adição
Nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, a natação brasileira conquistou cinco medalhas a mais
do que nos Jogos de Londres 2012, quando o Brasil ficou com um total de 14 medalhas, sendo
nove ouros, quatro pratas e um bronze.
Leia o texto abaixo, que trata de conquistas da natação nos Jogos Paralímpicos.
A equipe brasileira masculina
de natação paralímpica ganhou a
medalha de bronze no revezamento
4 # 100 medley masculino, última
competição da natação nas Paralim-
píadas 2016. [...]
Os brasileiros fizeram o tempo de
4:17.51. A medalha de ouro ficou com
a equipe da China, que fez o tempo
de 4:06.44 e a medalha de prata ficou
com os ucranianos, que fizeram um
tempo de 4:07.89.
Com a conquista da medalha de
bronze pela equipe brasileira, o na-
dador Daniel Dias tornou-se o maior
medalhista da natação paralímpica da
história da competição.
A marca de Daniel Dias foi atin-
gida neste sábado com a conquista
das medalhas de ouro nos 100 metros rasos S-5 e de bronze no revezamento 4 # 100 medley masculino. [...] Ele
superou o australiano Matthew Cowdrey, que era o recordista [...].
Daniel Dias tem agora 14 medalhas de ouro, sete de prata e três de bronze. O australiano, que agora ocupa a
segunda colocação na natação paralímpica, tem 13 medalhas de ouro, sete de prata e três de bronze. Na Rio 2016,
o brasileiro subiu ao pódio nove vezes.
Fonte: DANIEL Dias: o maior medalhista da história das Paralimpíadas. Veja.com, 17 set. 2016. Disponível em: http://
veja.abril.com.br/brasil/daniel-dias-o-maior-medalhista-da-historia-das-paralimpiadas/. Acesso em: 14 set. 2017.
Em 2016, Daniel Dias tornou-se o maior medalhista brasileiro da história
das Paralimpíadas. (Foto de 2016.)
BUDA
MENDES/GETTY
IMAGES
Com base no texto, podemos descobrir, por exemplo, o total de medalhas conquistadas
pelo nadador Daniel Dias nos Jogos Paralímpicos ao longo de sua carreira. Para isso, basta
juntarmos as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze:
Portanto, Daniel tornou-se recordista com 24 medalhas nos Jogos Paralímpicos que dispu-
tou até 2016.
Na calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira:
Medalhas
de ouro
Medalhas
de prata
Medalhas
de bronze
Total de
medalhas
14 1 7 1 3 5 24
parcelas soma
4
1 3
7
1 1 5 24
NELSON
MATSUDA
Adição
Para retomar e ampliar a
operação de adição, manti-
vemos o contexto da aber-
tura apresentando um texto
sobre o nadador brasileiro
Daniel Dias, que se consa-
grou no Rio, em 2016, o
maior medalhista da nata-
ção paralímpica da história
da competição. Na adição
que produz o total de me-
dalhas desse nadador, os
alunos retomam o signifi-
cado de juntar associado a
essa operação.
Se possível, peça aos alunos
que tragam para a sala de
aula calculadoras simples a
fim de explorarem um pou-
co esse recurso em situações
de adição.
Sugestões de leitura
Para enriquecer o trabalho com nú-
meros naturais e suas operações,
sugerimos os livros:
RAMOS, Luzia Faraco. O que fazer
primeiro? São Paulo: Ática, 2001.
(Coleção A Descoberta da Matemá-
tica).
______. Uma raiz diferente. São Pau-
lo: Ática, 2001. (Coleção A Desco-
berta da Matemática).
Complemente os estudos com
a Sequência didática 1 –
Operações com números
naturais e a Sequência
didática 2 – Interpretação
de tabelas e gráficos,
disponíveis no Manual
do Professor – Digital.
As atividades propostas
permitem desenvolver de
forma gradual e articulada
objetos de conhecimento
e habilidades da BNCC
selecionados para este
capítulo.](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-97-320.jpg)
![38
Subtração
Aproveite a situação 1, que
inicia o estudo da operação
subtração, para chamar a
atenção dos alunos para a
necessidade de preservação
do meio ambiente, tanto da
fauna quanto da flora. Mui-
tos animais foram extintos,
ou estão em processo de ex-
tinção, como é o caso da on-
ça-pintada. É uma oportuni-
dade para discutir as causas
da extinção dos animais,
principalmente em função
da destruição dos seus hábi-
tats naturais.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais
ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos
neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
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proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
38 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Os oceanos abrigam a maior diversidade da
Terra. O Registro Mundial de Espécies Marinhas
é um banco de dados com a listagem dos seres
conhecidos nos oceanos. Por enquanto, a lista
soma 224.804 espécies catalogadas, de um
total de 240.867 conhecidas. (Dados obtidos
em: Marine Species. Disponível em: http://www.
marinespecies.org. Acesso em: 20 jul. 2017.)
FABIO
COLOMBINI
JOE
QUINN/ALAMY/FOTOARENA
0 2
2 0
1 0 5
NELSON
MATSUDA
2 Subtração
Acompanhe estas situações.
Em apenas 20 anos, a população de onças-pintadas caiu 90% no Parque
Nacional do Iguaçu (ParNa), em Foz do Iguaçu (PR), área que protege uma ri-
quíssima biodiversidade da fauna e flora brasileiras. Segundo o Instituto para a
Conservação dos Carnívoros Neotropicais (Pró-carnívoros), que trabalha com
o monitoramento da espécie no Parque, as onças-pintadas foram reduzidas de
100 indivíduos para 20 indivíduos. [...]
Entre as ameaças para garantir a espécie viva na reserva, o Instituto aponta a
falta de investimentos em estrutura e fiscalização, a caça predatória e de retaliação
e a possibilidade de reabertura da Estrada do Colono.
Na Mata Atlântica, a estimativa é de que existam apenas 250 onças-pintadas,
maior felino do continente americano e maior predador terrestre do Brasil.
A perda do hábitat natural da espécie em razão do desmatamento para dar lugar
a atividades agropecuárias ou pastagens nativas é crítica para o animal.
Fonte: WWF-BRASIL APOIA monitoramento de onças-pintadas no Parque
Nacional de Iguaçu. WWF-Brasil. Disponível em: http://www.wwf.org.br/
wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque-
nacional-de-iguau. Acesso em: 06 jul. 2017.
Com os dados obtidos no texto acima, é possível descobrir quanto diminuiu a população de
onças-pintadas do Parque Nacional do Iguaçu em 20 anos. Para isso, devemos tirar do total
de indivíduos que existiam há 20 anos o total de indivíduos que existem hoje.
Logo, foram reduzidas 80 onças-pintadas.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Colônia de corais em um recife de Aruba (Caribe).
Onças-pintadas, Manaus
(Amazonas).
Situação 1
Situação 2
Total de indivíduos
há 20 anos
minuendo
100
Total de indivíduos
atualmente
subtraendo
20
Redução do total
de indivíduos
diferença ou resto
80
2 5](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-104-320.jpg)
![39
Orientações
A retomada e a ampliação
da subtração são feitas de
modo similar ao da adição,
com situações de contex-
tos variados que destacam
os significados associados
a essa operação: tirar uma
quantidade de outra, com-
pletar uma quantidade para
atingir outra e comparar
duas quantidades para ob-
ter a diferença entre elas.
Sugerimos que explore a
subtração também com o
uso de uma calculadora sim-
ples, pedindo aos alunos
que registrem no caderno
o que fazem, nomeando os
termos de cada subtração
realizada: minuendo, sub-
traendo e resto ou diferença
(resultado da subtração).
Aproveite a situação 3, que
apresenta alguns dados so-
bre a fome no mundo, para
discutir com os alunos a
questão do desperdício de
alimentos, expandindo para
conexões com outras áreas,
como cidadania, por meio
de uma discussão sobre o
direito à alimentação, que
é constitucional. Incentive
o debate a partir de pesqui-
sas sobre o tema, como na
Constituição Federal, cujo
Artigo 6o
, após a Emenda
Constitucional 064 de 2010,
ficou assim redigido: “São
direitos sociais [individuais
e coletivos] a educação, a
saúde, a alimentação, o tra-
balho, a moradia, o lazer,
a segurança, a previdência
social, a proteção à materni-
dade e à infância, a assistên-
cia aos desamparados, na
forma desta Constituição”.
BIMESTRE 1
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39
CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
2 4
2
0 8 6 7
4
2 4
0
8 5
2
1 7 5
9
1 2
1
0 5
Com as informações extraídas do texto, é possível descobrir quantas espécies o Registro
Mundial de Espécies Marinhas ainda tem de catalogar para completar seu banco de dados. Para
isso, devemos subtrair do total de espécies conhecidas o número de espécies já catalogadas:
NELSON
MATSUDA
NELSON
MATSUDA
Portanto, o Registro Mundial de Espécies Marinhas ainda tem de catalogar 16.063 espécies.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Para calcular quanto diminuiu a quantidade, em milhões, de pessoas com fome no mundo
entre 1992 e 2016, devemos comparar a quantidade relativa a 2016 com a quantidade
relativa a 1992. Para isso, subtraímos a quantidade menor da maior.
Portanto, entre 1992 e 2016, a quantidade de pessoas com fome no mundo diminuiu em
216 milhões.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Segundo o relatório da Organização das
Nações Unidas para a Alimentação e a Agri-
cultura (FAO), em 1992, 1.011 milhões de
pessoas passavam fome no mundo. Nos
últimos anos, esse número vem diminuindo.
Em 2016, 795 milhões de pessoas passavam
fome. (Dados obtidos em: FAO. Disponível em:
http://www.fao.org/home/en/. Acesso
em: 07 jul. 2017.)
SIEGFRIED
MODOLA/REUTERS/LATINSTOCK
Mulheres e crianças em fila de distribuição de
alimentos no Sudão do Sul. (Foto de 2017.)
As ideias de tirar, completar ou comparar estão relacionadas à subtração.
Situação 3
Total de espécies
conhecidas
minuendo
240.867
Número de espécies
catalogadas
subtraendo
224.804
Espécies que falta
catalogar
diferença ou resto
16.063
2 5
Milhões de pessoas
com fome em 1992
minuendo
1.011
Milhões de pessoas
com fome em 2016
subtraendo
795
Redução do total de pessoas
com fome (em milhões)
diferença ou resto
216
2 5](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-105-320.jpg)
![40
Adição e subtração
Neste tópico, tratamos da
relação existente entre a
adição e a subtração como
operações inversas.
Exercícios propostos
O bloco de exercícios que se
inicia nesta página explora
a subtração e suas relações
com a adição.
Amplie o exercício 16 explo-
rando a interpretação dos
dados da tabela questionan-
do, por exemplo:
•Em que regiões houve au-
mento da população com
fome de 1992 para 2016?
(África.)
•Em que regiões houve di-
minuição da população
com fome de 1992 para
2016? (Ásia e América Lati-
na e Caribe.)
Ainda é possível discutir
com os alunos fatores que
expliquem o problema da
fome na África. Eles podem
fazer uma pesquisa prévia e
trazer elementos para essa
discussão, como os do texto
a seguir.
É de conhecimento de
todos que a África convive
com o problema da fome,
agora basta saber quais
fatores desencadearam as
diversas mazelas sociais
que essa parte do mundo
se sujeita.
Uma das causas da fome
está ligada à forma de ocu-
pação do território e a ex-
trema dependência econô-
mica externa, herdada do
período do colonialismo.
Isso é agravado ainda mais
com o acelerado crescimen-
to populacional. [...]
Disponível em: https://
mundoeducacao.bol.uol.
com.br/geografia/as-
principais-causas-fome-na-
africa.htm. Acesso em: 20
maio 2018.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais
ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos
neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
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40 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
18 Use uma calculadora para determinar a dife-
rença entre 67.185 e 31.846. Em seguida, ve-
rifique se você acertou, efetuando a operação
inversa. 35.339
3 Adição e subtração
Observe as operações a seguir.
Veja mais alguns exemplos.
a) 60 2 20 5 40, porque 40 1 20 5 60,
e 40 1 20 5 60, porque 60 2 20 5 40 ou porque 60 2 40 5 20.
b) 125 2 32 5 93, porque 93 1 32 5 125,
e 93 1 32 5 125, porque 125 2 32 5 93 ou porque 125 2 93 5 32.
Portanto, as sentenças 60 2 20 5 40 e 40 1 20 5 60 são equivalentes, assim como as
sentenças 125 2 32 5 93 e 93 1 32 5 125.
Considerando os termos de uma subtração, percebemos que ao adicionar a diferença com
o subtraendo obtemos o minuendo. Podemos verificar se uma dessas operações está correta
por meio da outra. Dizemos, então, que a adição e a subtração são operações inversas.
16 Considere a tabela a seguir.
Dados obtidos em: FAO. Disponível em: http://www.
fao.org/home/en/. Acesso em: 07 jul. 2017.
Com o auxílio de uma calculadora, descubra
a diferença, em milhões, entre as populações
com fome de 1992 e 2016 na Ásia e na América
Latina e Caribe. 230, 34
17. b) 3 notas de 10, 1 nota de 2 e 3 moedas de 1 ou
3 notas de 10, 2 notas de 2 e 1 moeda de 1
46.782; 46.782 1 25.586 5 72.368
625; 625 2 209 5 416 e 625 2 416 5 209
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
35 2 10 5 25 25 1 10 5 35
Pense em dois números e
subtraia o menor do maior.
Em seguida, adicione a diferença
obtida ao menor deles. Deu o
outro número pensado? Isso
acontece sempre?
minuendo subtraendo diferença
17 Cristina saiu de casa com 5 notas de 10 reais,
3 moedas de 1 real e 2 notas de 2 reais. Gastou
35 reais para pagar seu almoço.
a) Quanto dinheiro sobrou? 22 reais
b) De que maneira Cristina pôde pagar a conta
sem que tenha recebido troco?
População com fome (em milhões)
Ano
Regiões em
desenvolvimento
1992 2016
África 182 233
Ásia 742 512
América Latina e Caribe 68 34
Oceania 1 1
20 Efetue a adição 416 1 209 e associe a ela as
duas subtrações correspondentes.
19 Efetue as subtrações e associe a cada uma
delas a adição correspondente.
a) 5.812 2 4.815 997; 997 1 4.815 5 5.812
b) 72.368 2 25.586
SIDNEY
MEIRELES](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-106-320.jpg)
![46
Os sinais de
associação em uma
expressão numérica
No estudo das expressões
numéricas, é importante os
alunos perceberem que ex-
pressões numéricas como es-
tas 12 2 (5 1 3) e 12 2 5 1 3
produzem resultados dife-
rentes. Pode ser que alguns
confundam essa situação
com a propriedade associa-
tiva da adição. Esclareça a
eles que, no caso do uso de
uma propriedade da adição,
a única operação envolvida
deve ser a adição, o que não
é o caso dessas duas expres-
sões, já que há também uma
subtração.
Deve-se ressaltar a impor-
tância do sinal de associa-
ção na primeira expressão,
indicando que a primeira
operação a ser efetuada
é a adição. Já na segunda
expressão, as operações de
adição e subtração devem
ser feitas na ordem em que
aparecem:
•12 – (5 1 3) 5 12 – 8 5 4
•12 – 5 1 3 5 7 1 3 5 10
Pode ser discutida com os
alunos também a diferen-
ça apresentada por uma
calculadora simples e uma
calculadora científica (que
podem ser encontradas no
computador). É importante
perceberem que uma calcu-
ladora simples sempre fará
as operações na ordem em
que forem digitadas.
Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais
ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos
neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Reprodução
proibida.
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Código
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Lei
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19
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1998.
46 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
5
0
2
1
8
9
5
8
0
0
2 2 2 1
b) [2 1 (5 1 7) 2 3] 2 1 5
5 [2 1 12 2 3] 2 1 5
5 [14 2 3] 2 1 5
5 11 2 1 5 10
c) 2 1 [5 1 (7 2 3) 2 1] 5
5 2 1 [5 1 4 2 1] 5
5 2 1 [9 2 1] 5
5 2 1 8 5 10
a) 2 1 5 1 [7 2 (3 2 1)] 5
5 2 1 5 1 [7 2 2] 5
5 2 1 5 1 5 5
5 7 1 5 5 12
Repare que, por causa da posição dos parênteses, os valores das duas expressões são
diferentes. Por isso, a posição dos parênteses e dos demais sinais de associação é muito
importante, pois a presença desses sinais indica que devemos resolver as operações neles
contidas seguindo uma ordem: primeiro, efetuam-se as operações entre parênteses; depois,
as operações entre colchetes; finalmente, aquelas que estão entre chaves.
Veja mais alguns exemplos.
a) (12 2 5) 1 3 5
5 7 1 3 5 10
b) 12 2 (5 1 3) 5
5 12 2 8 5 4
200 2 85 2 98 1 120 5
5 115 2 98 1 120 5
5 17 1 120 5 137
Portanto, Alberto iniciará o trabalho na quarta-feira com 137 pães.
Note que, para determinar o valor de uma expressão numérica que envolve adições e sub-
trações, efetuamos essas operações na ordem em que aparecem.
Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira:
NELSON
MATSUDA
Alberto resolve o seu problema da seguinte maneira:
200 2 85 2 98 1 120
Essa sequência de operações é um exemplo de expressão numérica. Ela pode ser repre-
sentada por um único número, obtido quando efetuamos as operações.
Vamos calcular o valor da expressão numérica da situação apresentada:
Os sinais de associação em uma expressão numérica
Existem expressões numéricas que apresentam sinais de associação:
( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
Para exemplificar, observe estas expressões:
a) (12 2 5) 1 3 b) 12 2 (5 1 3)
Veja que a posição dos parênteses é diferente nas duas expressões. Vamos calculá-las.](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-112-320.jpg)
![63
Expressões numéricas
envolvendo as quatro
operações
Nesta página, apresentamos
expressões numéricas que
envolvem as quatro opera-
ções estudadas até o mo-
mento: adição, subtração,
multiplicação e divisão, e re-
tomamos o uso de sinais de
associação.
Exercícios propostos
O exercício 91 representa
mais uma oportunidade
para a realização de estima-
tivas, pois, a cada teste com
o lugar dos parênteses, os
alunos podem observar se o
resultado é maior ou menor
que o esperado. A ideia é
notarem que, quando que-
remos um resultado maior,
devemos fazer o dividendo
ser o maior possível e o divi-
sor, o menor possível, e vice-
-versa quando desejamos
um resultado menor.
Após a resolução do item b
do exercício 93, pode-se dar
início a um debate sobre as
vantagens e consequências
de realizar compras a prazo.
É interessante lembrar aos
alunos que, na maioria das
vezes, as taxas adicionais co-
bradas a prazo são tão altas
que tornam mais vantajosa
a compra à vista. Citar casos
de produtos de maior custo,
que, parcelados em muitas
vezes, acabam tendo o cus-
to final equivalente a dois
desses produtos. Entretan-
to, nessa discussão devem
ser consideradas também a
situação do comprador e as
circunstâncias da compra,
que muitas vezes precisa ser
realizada a prazo, ainda que
matematicamente seja des-
favorável para o comprador.
Atenção: observe se, ao resolver os exercícios, os alunos empregam corretamente as propriedades, se utili-
zam parênteses desnecessários, enfim, se estão conseguindo se expressar matematicamente. A construção
da linguagem matemática inicia-se por situações simples como as de construir expressões numéricas, uma
vez que elas oferecem oportunidade aos alunos de mostrar a interpretação que estão dando aos símbolos
e às propriedades.
BIMESTRE 1
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63
CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
6 Expressões numéricas envolvendo
as quatro operações
Em expressões numéricas que envolvem as quatro operações (adição, subtração, multipli-
cação e divisão), devemos efetuar essas operações na seguinte ordem:
ƒ primeiro, efetuamos as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem;
ƒ depois, efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem.
Nas expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves),
resolvemos primeiro as operações neles contidas. Veja alguns exemplos.
93 Daniel deseja comprar um carro que custa
à vista 35.000 reais. No pagamento a prazo,
seu preço passa a ser 43.850 reais, sendo
6.000 reais de entrada mais 50 prestações
iguais. Sabendo que Daniel vai comprar a
prazo, determine:
a) uma expressão numérica que dê o valor de
cada prestação; (43.850 2 6.000) 9 50
b) o valor de cada prestação; 757 reais
c) a diferença entre o preço à vista e o total
a prazo. 8.850 reais
91 A expressão 64 9 8 9 4 9 2 pode ter diferentes re-
sultados, dependendo do lugar onde forem co-
locados os parênteses. Coloque os parênteses
para que a expressão tenha estes resultados:
a) 4 64 9 8 9 (4 9 2) b) 16 64 9 (8 9 4) 9 2
Associando o valor de cada expressão a seguir
à letra correspondente no quadro, você vai
descobrir uma palavra. Qual é essa palavra?
a) 21 2 (32 2 25) 14 (N)
b) 44 2 (4 8 9 2 25) 2 12 21 (U)
c) 61 2 (54 2 24 9 4) 13 (M)
d) 25 2 {20 1 [18 2 (13 1 10 9 2)]} 5 (E)
e) 69 2 [26 1 (67 2 42)] 18 (R)
f) 4 1 [(55 2 2 8 9) 2 (40 9 2 1 6)] 15 (O)
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
c) 48 2 {28 2 4 8 [3 8 (40 9 5 2 3) 9 (17 2 3 8 4)]} 5
5 48 2 {28 2 4 8 [3 8 (8 2 3) 9 (17 2 12)]} 5
5 48 2 {28 2 4 8 [3 8 5 9 5]} 5
5 48 2 {28 2 4 8 [15 9 5]} 5
5 48 2 {28 2 4 8 3} 5
5 48 2 {28 2 12} 5
5 48 2 16 5 32
a) 12 1 15 9 35
5 12 1 5 5 17
b) 20 9 4 1 3 8 2 2 15 9 5 5
5 5 1 6 2 3 5
5 11 2 3 5 8
número
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
92 O quadro mostra uma correspondência entre
letras e números.](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-129-320.jpg)
![122
Diversificando
Nesta seção, os alunos po-
dem ter dificuldade para en-
tender o uso dos colchetes.
Comente que continuare-
mos a chamar de “parcelas”
os elementos que estão sen-
do operados e de “soma” o
resultado. Note que:
•[1 1 4] 5 5 [2 1 5] 5 12
12 corresponde a 5 1 2 1 5.
•[3 1 6] 5 21
21 corresponde a 12 1 3 1
16.
•[8 1 11] 5 ?
Não se pode obter direta-
mente esse resultado, pois
houve um “pulo” na sequên-
cia das operações, cujas
parcelas aumentavam de
1 em 1, ou seja, é preciso
obter antes os valores de
[4 1 7], [5 1 8], [6 1 9] e
[7 1 10], cujos valores, se-
guindo esse padrão, devem
ser, respectivamente, 32
(21 1 4 1 7), 45 (32 1 5 1
1 8), 60 (45 1 6 1 9) e 77
(60 1 7 1 10). Assim, o va-
lor de [8 1 11] deve ser 77 1
1 8 1 11, ou seja, 96.
No raciocínio de Nilza não
se depende da soma ante-
rior, uma relação que pode
ser aplicada em cada ope-
ração independentemente
das demais, o que é vanta-
joso. Sugira que os alunos
obtenham a próxima soma,
depois de [8 1 11], pelo pro-
cesso de Nilza.
A próxima soma é [9 1 12],
que pelo processo dela é
dada por: 9 1 9 8 12 5 9 1
1 108 5 117.
Esse exemplo auxiliará na
compreensão da questão 1
do Agora é com você!.
Na questão 2, sugira que ob-
servem as sequências das pri-
meiras parcelas (1, 2, ...) e das
segundas parcelas (4, 5, ...).
O primeiro elemento da se-
quência das segundas parce-
las (4) é 3 unidades maior do
que o primeiro elemento das
primeiras parcelas (1). Sendo
assim, se indicarmos por x
um elemento da sequência
das primeiras parcelas, de-
veremos indicar por x 1 3 o
elemento na posição corres-
pondente na sequência das
segundas parcelas.
Desse modo, podem concluir
a relação: [x 1 (x 1 3)] 5
5 x 1 x 8 (x 1 3).
Habilidade trabalhada: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou
aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com
e sem uso de calculadora.
DIVERSIFICANDO
[1 1 4] 5 5
[2 1 5] 5 12
[3 1 6] 5 21
[8 1 11] 5 ?
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
122 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA
Desafiando a sua inteligência
Nas redes sociais, circula um desafio que pede às pes-
soas, com base em três igualdades consideradas válidas,
que completem a quarta igualdade.
Nilza e Carlos enfrentaram o desafio.
Carlos respondeu: 8 1 11 5 40
Você acha que ele acertou? Antes de prosseguir, tente.
Qual seria o padrão dessa sequência de igualdades, a
sua lei de formação?
Vamos descobrir como Carlos chegou ao número 40.
Para explicar o resultado 12, por exemplo, ele pensou
assim:
“O resultado (12) é igual ao resultado anterior (5) mais a
soma das parcelas (2 e 5)”.
12 5 [1 1 4] 1 (2 1 5) 5 5 1 7, veja que [1 1 4] foi subs-
tituído por 5.
Então, Carlos pensou:
21 5 [2 1 5] 1 (3 1 6) 5 12 1 9, aqui [2 1 5] foi substituído pelo resultado anterior (12).
? 5 [3 1 6] 1 (8 1 11) 5 21 1 19 5 40, aqui [3 1 6] foi substituído pelo resultado anterior 21.
Generalizando essa maneira de pensar, o padrão usado pode ser descrito pela lei:
[(x 1 1) 1 (y 1 1)] 5 [x 1 y] 1 (x 1 1) 1 (y 1 1), onde x inicia com 1 e y inicia com 4.
Observamos que Carlos usou um raciocínio por recorrência, pois para cada igualdade ele recorre
à igualdade imediatamente anterior. Com isso, Carlos também obteria o valor correto, mas
teria de calcular as etapas [4 1 7], [5 1 8], [6 1 9], [7 1 10] até chegar a [8 1 11].
A lei criada por Carlos, porém, só poderia ser aplicada em [1 1 4] 5 5 se ele soubesse quanto é
[0 1 3], cujo resultado não é dado. Logo, essa lei não é válida para todas as igualdades dadas.
Mas, então, qual é a lei de formação válida?
Com um pouco mais de atenção, Nilza percebeu o seguinte padrão de cálculo:
[1 1 4] 5 1 1 1 8 4 5 5
[2 1 5] 5 2 1 2 8 5 5 12
[3 1 6] 5 3 1 3 8 6 5 21
Pensando assim, ela calculou: [8 1 11] 5 8 1 8 8 11 5 8 1 88 5 96, que é o valor correto.
O padrão percebido por Nilza pode ser descrito pela lei: [x 1 y] 5 x 1 x 8 y
1 Considerando a sequência dada no celular, calcule o valor de [13 1 16]. 221
2 Há alguma lei de formação da sequência dada no celular em que pode ser usada apenas uma letra?
3 Com alguns colegas, criem desafios parecidos com o de Nilza e Carlos e tentem resolvê-los. Depois
apresentem aos demais colegas da sala para que eles resolvam. Resposta pessoal.
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Agora é com você!
sim, [x 1 x 1 3] 5 x 1 x 8 (x 1 3)
TEL
COELHO](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-188-320.jpg)
![162
Trabalhando a
informação
Nesta seção, exploramos a
interpretação e a construção
de gráficos de colunas com
os dados em porcentagens.
No primeiro gráfico, são
destacadas algumas infor-
mações e seus significados
em relação à forma percen-
tual. Peça aos alunos que
descrevam mais algumas
informações que podem ser
obtidas a partir desse grá-
fico, por exemplo, 8% das
pessoas entrevistadas ou-
vem rádio 2 dias por sema-
na, o que significa que, a
cada 100 pessoas entrevista-
das, 8 ouvem rádio 2 dias na
semana.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Reprodução
proibida.
Art.
184
do
Código
Penal
e
Lei
9.610
de
19
de
fevereiro
de
1998.
162 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO
Dados obtidos em: BRASIL. Presidência da República. Secretaria de Comunicação Social. Pesquisa brasileira de mídia 2016:
hábitos de consumo de mídia pela população brasileira. Brasília: Secom, 2016. Disponível em: http://www.secom.gov.
br/atuacao/pesquisa/lista-de-pesquisas-quantitativas-e-qualitativas-de-contratos-atuais/pesquisa-brasileira-de-midia-
pbm-2016-1.pdf/. Acesso em: 1o
ago. 2017.
Esse gráfico apresenta alguns dados na forma percentual. Por exemplo:
• 4% das pessoas entrevistadas declararam ouvir rádio 5 dias por semana. Isso equivale a
100
4
,
o que significa que a cada 100 brasileiros, nessa pesquisa, 4 ouvem rádio 5 vezes por semana;
• a coluna referente às pessoas que responderam ouvir rádio 7 vezes por semana (todos os
dias) registra 35%, que equivalem a
100
35
, o que significa que a cada 100 brasileiros, nessa
pesquisa, 35 ouvem rádio todos os dias da semana.
Porcentagem nas ondas do rádio
O rádio continua a despertar a imaginação de quem o está ouvindo. Leia o texto.
[...] O rádio se transformou e se adaptou à medida que as tecnologias surgiram e avançaram, tornou-se portátil
e alcançou o ambiente virtual. Entretanto, a sua expansão não se deve somente aos avanços tecnológicos. Seu sinal
chega aonde nenhum outro veículo de comunicação chega, daí o alto alcance geográfico. A abrangência de caráter
social se deve à própria linguagem do rádio, muito mais direta, coloquial, persuasiva e intimista. Em comparação
com os outros meios de comunicação, o rádio é o mais acessível economicamente e com isso ele atinge de forma
mais direta as populações de baixa renda. [...]
Fonte: SILVA, Raíssa Araújo do Rosário. Papel e importância do rádio através da História. Observatório da Imprensa,
n. 718, 30 out. 2012. Disponível em: http://observatoriodaimprensa.com.br/interesse-publico/ed718-papel-e-
importancia-do-radio-atraves-da-historia/. Acesso em: 04 out. 2017.
Foi realizada uma pesquisa para saber com que frequência os brasileiros ouvem rádio. Para a
coleta de dados, perguntou-se: “Quantos dias da semana, de segunda a domingo, você ouve rádio?”.
Veja o resultado dessa pesquisa no gráfico a seguir.
ADILSON
SECCO
N ú mero de dias
(p or s eman a)
P
orcentag
em
de
pessoas
entrev
istadas
2 3
7%
1
8% 8%
4 5
3%
4%
6 7
1%
0%
35%
0
33%
N ã o s ab e/
n ã o res p on d eu
35
33
8
0
4
3
7
1
Audiê ncia de prog ramas de rá dio no B rasil
Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA13) Resolver e
elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de propor-
cionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais,
cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constituti-
vos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas
sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, en-
tre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos
e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-228-320.jpg)
![BIMESTRE 3 207
Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica,
nem sempre tem a sua importância reconhecida.
9
Capítulo
Fonte: ABI – 100 anos lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. Disponível em: http://www.
abi.org.br/poeta-cria-cordel-inspirado-na-campanha-de-cem-anos-da-abi/. Acesso em: 31 jul. 2017.
Números racionais
na forma decimal
e operações
A vírgula
A vírgula pode
ser uma pausa…
ou não.
Não, espere.
Não espere.
Ela pode
sumir
com seu
dinheiro.
23,4.
2,34.
[...]
MARTIN
KONOPKA/EYEEM/GETTY
IMAGES
207
CAPÍTULO 9
Objetivos do capítulo
Levar o aluno a:
•Ler, escrever e representar
números racionais na for-
ma decimal.
•Reconhecer números ra-
cionais em diferentes con-
textos.
•Localizar números racio-
nais na forma decimal na
reta numérica.
•Reconhecer que os núme-
ros racionais podem ser ex-
pressos na forma de fração
e na forma decimal, esta-
belecendo relações entre
essas representações.
•Resolver e elaborar proble-
mas que envolvam números
racionais na forma decimal,
compreendendo os diferen-
tes significados das opera-
ções entre esses números.
•Realizar cálculos que en-
volvam operações com nú-
meros racionais na forma
decimal por meio de estra-
tégias variadas.
•Resolver problemas que
envolvam a ideia de por-
centagem.
•Compreender o significa-
do de média aritmética e
aprender a calculá-la.
Orientações gerais
Este capítulo é uma amplia-
ção dos anteriores, ainda
com foco no estudo dos nú-
meros racionais, agora repre-
sentados sob a forma deci-
mal. É importante ficar claro
aos alunos o caráter de ex-
tensão e continuidade do as-
sunto já em estudo, ou seja,
o fato de não estarem vendo
algo completamente novo e
sem conexão com aquilo que
já conhecem a respeito de
números e operações.
Na abertura, chamamos a
atenção para o sinal gráfi-
co de pontuação – a vírgula
– que é utilizado na escrita
de textos e, também, nos
números racionais. Explora-
-se o fato de a mudança da
vírgula para a esquerda, nos
números racionais, repre-
sentar um número menor.
Material
Digital
Audiovisual
• Videoaula:
Minha altura
em decimal
Orientações
para o
professor
acompanham
o Material
Digital
Audiovisual](https://image.slidesharecdn.com/manualprofessor-6ano-220808011040-2d7abe01/85/Manual-Professor-6-Ano-pdf-273-320.jpg)
Manual Professor - 6º Ano.pdf
- 1. MATEMÁTICA BIANCHINI Componente curricular: MATEMÁTICA Edwaldo Bianchini 6 o ano MANUAL DO PROFESSOR MATEMÁTICA MATEMÁTICA
- 3. MANUAL DO PROFESSOR 9a edição São Paulo, 2018 Componente curricular: MATEMÁTICA Edwaldo Bianchini Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP). Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo, no ensino fundamental e médio, por 25 anos. MATEMÁTICA BIANCHINI o ano 6
- 4. Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco Edição: Glaucia Teixeira Edição de conteúdo: Patrícia Furtado Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Andreza Moreira Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto Foto: Pessoas em barco a remo em Buchelay, França, 2017 . Crédito: Julien Brochard/EyeEm/Getty Images Coordenação de arte: Aderson Assis Editoração eletrônica: Marcel Hideki Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani Revisão: Ana Maria Marson, Erika Nakahata, Kátia Godoi, Lilian Xavier, Salvine Maciel Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento: “Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada. ” 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP , Brasil) Bianchini, Edwaldo Matemática - Bianchini : manual do professor / Edwaldo Bianchini. – 9. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. Obra em 4 v. de 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-16785 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
- 5. III CONHEÇA SEU MANUAL 148 Desprendeu-se na Antártica um dos maiores icebergs já identificados pela ciência, informou o relatório divulgado nesta quarta-feira por pesquisadores do Project Midas. O bloco gigante de gelo tem 5,8 mil quilômetros quadrados, 200 metros de espessura e pesa mais de um trilhão de toneladas — equivalente à área do Distrito Federal, no Brasil. O satélite Aqua, dos Estados Unidos, captou o iceberg ao passar próximo à plataforma Larsen C e identificou água limpa entre o bloco e o continente. Fonte: ICEBERG do tamanho de Brasília se desprende na Antártica. Gazeta Online, 12 jul. 2017. Disponível em: <http://www.gazetaonline.com.br/noticias/mundo/2017/07/iceberg-do-tamanho-de-brasilia-se-desprende-na- antartica-1014076632.html>. Acesso em: 04 out. 2017. Você sabia que a parte visível de um iceberg corresponde a apenas 10 1 do seu volume e a 7 1 da sua altura? 7Números racionais na forma de fração Capítulo Plataforma Larsen C, na Antártica, monitorada por satélite. (Foto de 2017.) BRITISH ANTARTIC SURVEY/AFP 148 CAPÍTULO 7 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Reconhecer números racio- nais em diferentes contex- tos: cotidianos e históricos. •Ler, escrever e representar números racionais na for- ma de fração. •Resolver problemas envol- vendo números racionais na forma de fração com seus diferentes significados: como operadores, relação entre parte e todo, quocien- te e razão. •Identificar frações equiva- lentes. •Simplificar e comparar nú- meros racionais escritos na forma de fração. •Resolver e elaborar proble- mas que envolvam porcen- tagem com base na ideia de proporcionalidade. •Interpretar dados repre- sentados em tabelas, grá- ficos de colunas e gráficos de setores. Orientações gerais Este capítulo trata dos nú- meros racionais não negati- vos em forma de fração, seus significados, equivalência, simplificação, comparação de frações e a forma percen- tual. Tratamos também da interpretação e organização de informações coletadas por meio de tabelas e gráfi- cos de colunas e de setores. Na abertura do capítulo, temos a oportunidade de trabalhar com uma visão interdisciplinar, associan- do Matemática a Ciências e Geografia. Os números em foco, os racionais, são apre- sentados ao aluno em um conjunto de informações sobre icebergs na Antárti- ca, possibilitando variadas comparações de medidas e proporcionalidade. É interes- sante discutir com os alunos que, a exemplo desse con- texto, a compreensão geral dos números, em suas múlti- plas representações e aplica- ções, é fundamental para co- nhecer e melhor entender o mundo em que vivemos. Os números na forma de fração aparecem em uma compara- ção de volume e altura. Sugestões de leitura Para enriquecer a discussão sobre a Antártica, sugerimos os sites: <https://www.infoescola.com/geografia/antartida-antartica/>; <https://exame.abril.com.br/noticias-sobre/antartica/>; <https://oglobo. globo.com/sociedade/ciencia/estacao-antartica-22536905>. Acessos em: 22 maio 2018. 73 BIMESTRE 1 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Distinguir figuras planas de não planas, descreven- do algumas de suas carac- terísticas e estabelecendo relações entre elas. •Classificar figuras não pla- nas como corpos redondos e poliedros. •Identificar e quantificar elementos de um poliedro: faces, vértices e arestas. •Reconhecer prismas e pi- râmides como poliedros e identificar suas bases. •Associar o estudo de Geo- metria à arquitetura e à história. •Trabalhar com informações de embalagens. •Explorar ampliação e redu- ção de figuras com o uso de malhas quadriculadas. Orientações gerais Ao abordar o assunto deste capítulo, é importante tra- balhar com a manipulação de objetos, modelos dos sólidos tratados, para que as características das figu- ras geométricas não planas trabalhadas sejam percebi- das e verificadas. Também se faz necessário promover discussões sobre os modelos de figuras geométricas utili- zados. A abordagem leva em conta que a Geometria talvez seja um dos campos da Matemá- tica em que a interação da imaginação com o real mais se faça presente. O texto e a imagem da aber- tura propiciam uma discussão inicial sobre esse tema. Per- gunte: “Que sólidos geomé- tricos vocês podem observar nessa edificação?”. Sugestão de leitura Para enriquecimento do trabalho, indicamos o livro: MACHADO, Nilson José. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática). Material Digital Audiovisual • Vídeo: Estudando figuras geométricas Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas (pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria). Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e suas características. 3Estudando figuras geométricas Capítulo Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.) MIRA/ALAMY/FOTOARENA CAPÍTULO 3 73 310 Unidades de medida de tempo Nesta página, iniciamos o estudo da grandeza tempo e de suas principais unida- des de medida: hora, minu- to e segundo. Se possível, providencie diferentes modelos de re- lógios e cronômetros para que os alunos percebam as diferenças entre eles. Apro- veite o uso da tecnologia para observar esses instru- mentos de medição em um celular. Discuta com os alu- nos a diferença no modo de registrar os horários feito por relógios de ponteiros (analógicos) e por relógios digitais. Essa pode ser uma oportunidade para verificar os conhecimentos prévios dos alunos na leitura das horas nesses dois tipos de relógio. Ressalte o fato de a relação entre as unidades de tem- po (hora, minuto e segun- do) não ser decimal, mas sexagesimal. Sugestões de leitura Para ampliar a relação entre as uni- dades de tempo, sugerimos os sites: <http://www.oieduca.com.br/ artigos/voce-sabia/por-que-1-hora- tem-60-minutos.html>. <https://hypescience.com/como-o- tempo-e-medido/>. <https://super.abril.com.br/historia/ por-que-dividimos-o-tempo-em-60- minutos-e-60-segundos/>. Acessos em: 20 maio 2018. Complemente os estudos com a Sequência didática 12 – Medida de massa, disponível no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. DOM TER SEG Março QUA QUI SEX SÁB Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 310 CAPÍTULO 12 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA 1 Unidades de medida de tempo No dia a dia, usamos diversos objetos para registrar o tempo. Vejamos alguns. O Sistema Internacional de Unidades adota como unidade padrão de medida de tempo o segundo, representado por s. Dependendo do período que pretendemos medir, pode- mos usar outras unidades: ƒ minuto (min), que corresponde a 60 segundos; ƒ hora(h),quecorrespondea60minutos,oua3.600 segun- dos (60 8 60). No esquema ao lado, mostramos como essas três unida- des de medida de tempo se relacionam. Veja. Observe como essas relações nos ajudam a resolver problemas do cotidiano. h min s 9 60 9 3.600 3 3.600 3 60 9 60 3 60 Situação 1 O triatlo é uma modalidade esportiva composta de três provas: natação, ciclismo e corrida. Magda está treinando bastante para participar do campeonato estadual de triatlo. Em seu último treino, ela obteve os seguintes tempos: 22 min e 32 s na natação, 24 min e 43 s no ciclismo e 1 h 30 min 13 s na corrida. Qual foi o tempo total de Magda nesse treino? O tempo total de Magda é a soma dos tempos das provas: IN GREEN/SHUTTERSTOCK ISE RG /IST OC K/G ETT Y IMA GE S GARSYA/SHUTTER STOCK Com o calendário, medimos o dia, a semana, o mês e o ano. Com o relógio, medimos a hora, o minuto e o segundo. Com o cronômetro, medimos tempos menores que 1 segundo. 22 min 32 s 1 24 min 43 s 1 h 30 min 13 s 1 h 76 min 88 s BIMESTRE 4 329 Orientações Ainda na seção Para saber mais, se possível, seria in- teressante que os alunos comprovassem se suas esti- mativas na questão 3 foram boas ou não. Se houver uma árvore na escola ou nas re- dondezas, peça aos alunos que verifiquem a altura com uma trena, sob sua su- pervisão; com uma balança, podem verificar a massa da mochila de um dos alunos da sala; com uma trena, po- dem obter o comprimento da sala em metro e, depois, expressá-lo em centímetro; com uma régua, podem me- dir a espessura do livro. Exercícios complementares Este bloco de exercícios ex- plora as grandezas e medi- das estudadas no capítulo. Espera-se que os alunos mo- bilizem os conhecimentos construídos, percebendo se ainda têm alguma dificul- dade. Na discussão sobre a solução do exercício 4, solicite que ilustrem cada um dos itens à medida que forem resolvi- dos, para deixar mais claro o que estão calculando e que medidas são necessárias a cada cálculo. No Manual do Professor – Digital poderão ser acessadas Propostas de Acompanhamento da Aprendizagem dos alunos com sugestões de questões, abertas e de múltipla escolha, e fichas para registro do desempenho deles neste bimestre. Habilidade trabalhada: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos am- bientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. 1. 000 900 8 00 7 00 600 500 400 300 200 100 m c Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 329 CAPÍTULO 12 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA 2 Uma piscina tem 8 m de comprimento, 4 m de largura e 1,40 m de profundidade. a) Quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir essa piscina? b) Quantos cubinhos de aresta medindo 1 dm cabem nessa piscina? 44.800 c) Qual é a capacidade da piscina em litro? 44.800 litros 4 Construíram-se três cubos de mesmo volume. A soma das medidas de todas as arestas de cada cubo é 64,8 cm. Foi colocado um cubo sobre o outro, obtendo-se um paralelepípedo. a) Qual é a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo? 108 cm b) Qual é a soma das áreas das faces de cada cubo? 174,96 cm2 c) Qual é a soma das áreas das faces do para- lelepípedo? 408,24 cm2 3 Estimem estas medidas: Respostas pessoais. a) a altura de uma árvore; b) a massa de uma mochila de um aluno do 6o ano; c) o comprimento, em centímetro, da sala de aula; d) a espessura deste livro. Comparem suas respostas com as de outros colegas. Houve muita diferença nas medidas estimadas? Por que vocês acham que isso aconteceu? Respostas pessoais. 1 Quantos cubos iguais a A preciso empilhar para formar uma figura igual ao paralelepí- pedo B? alternativa d a) 12 b) 36 c) 45 d) 54 Observando o gráfico, responda às questões: a) Quantos quilogramas de café foram consu- midos, em média, por habitante em 2010? b) Qual foi a média de consumo de café no período de 2008 a 2015? c) A média de consumo de café de 2011 para 2012 aumentou ou diminuiu? Quanto? d) Pela média de 2015, quantos quilogramas de café teriam sido consumidos por 72.000 habitantes? 352.800 kg a) 4,81 kg FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ADILSON SECCO Consumo médio de café por habitante 4,51 2008 2 4 6 4,65 2009 4,81 2010 4,88 2011 4,98 2012 4,87 2013 4,89 2014 4,90 2015 Consumo (em quilograma) Ano Dados obtidos em: Associação Brasileira da Indústria de Café. Disponível em: <http://www.abic.com.br>. Acesso em: 16 ago. 2017. 3 O gráfico abaixo mostra o consumo médio de café (torrado e moído) por habitante do Brasil ao ano, em quilograma. 7 Faça as conversões. a) 54.756 g em kg b) 2,3 t em kg c) 2 1 t em g d) 80 g em mg e) 15 g em kg f) 5 3 kg em g 54,756 kg 2.300 kg 500.000 g 80.000 mg 0,015 kg 600 g 5 Considerando a proveta ao lado, responda às questões. a) Quantos decilitros mede o líquido nela contido? b) Quantos centilitros mede o líquido nela contido? c) Quantos mililitros mede o líquido nela contido? NELSON MATSUDA 6 Um conta-gotas tem capacidade de 2,5 cc. Qual é sua capacidade em mililitro? 25 mc 240 mc 24 cc 2,4 dc LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 65,60 m2 c) aumentou; 0,10 kg b) aproximadamente 4,81 kg (A) (B) FERNANDO JOSÉ FERREIRA Este Manual do Professor está organizado em: Orientações gerais – apresenta a visão geral da proposta desenvolvida e os fundamentos teórico-metodológicos da coleção. Orientações específicas – traz a distribuição das seções especiais do livro do estudante, comentários sobre cada um dos capítulos e quadros com a correspondência entre conteúdos desenvolvidos, objetos de conhecimento e habilidades da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Ao final, encontram-se sugestões de atividades e, quando possível, textos complementares. Orientações página a página – reproduz as páginas do livro do estudante em formato reduzido, acompanhadas de orientações, sugestões didáticas e comentários nas laterais e na parte inferior, em formato semelhante à letra U. A estrutura permite localizar facilmente as orientações referentes aos assuntos da página e os recursos disponíveis no Manual do Professor – Digital. Veja a seguir. Livros e sites são indicados para aprofundar ou complementar o tema em estudo. No início da página de abertura, encontram-se os Objetivos do capítulo e Orientações gerais sobre o desenvolvimento dos conteúdos trabalhados. Sempre que oportuno, ícones sugerem os momentos para a utilização das Sequências didáticas e das Propostas de Acompanhamento da Aprendizagem, oferecidas no Manual do Professor – Digital. As habilidades da BNCC trabalhadas são reproduzidas ao final da página. A cada bimestre, um marcador sinaliza os Materiais Digitais Audiovisuais disponíveis no Manual do Professor – Digital. Esses materiais são acompanhados de uma ficha com orientações para o desenvolvimento da proposta com os alunos. Na parte inferior da dupla de páginas, um marcador indica o bimestre sugerido para o trabalho com os capítulos. Essa organização bimestral está de acordo com os Planos de desenvolvimento propostos no Manual do Professor – Digital.
- 6. IV IV IV Orientações gerais V Apresentação............................................................................................................ V Visão geral da proposta da coleção.......................................................................... V Objetivos gerais da coleção................................................................................................... VI Fundamentos teórico-metodológicos ...................................................................... VI A importância de aprender Matemática............................................................................ VI A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental...................... VIII BNCC e currículos ..................................................................................................................... X Unidades Temáticas................................................................................................................. XII Propostas didáticas ................................................................................................................. XIII Apresentação da coleção ......................................................................................... XV Estrutura da obra...................................................................................................................... XV Organização geral da obra ..................................................................................................... XVI Avaliação................................................................................................................... XVI A avaliação e as práticas avaliativas.................................................................................. XVI Instrumentos de avaliação nas aulas de Matemática................................................... XVIII Formação continuada e desenvolvimento profissional docente.............................. XX Instituições de estudos e pesquisas em Educação Matemática que mantêm publicações na área........................................................................................ XX Sugestões de leitura................................................................................................................ XXI Sugestões de sites................................................................................................................... XXIV Documentos oficiais ................................................................................................................ XXIV Bibliografia consultada............................................................................................. XXIV Orientações específicas XXVII Capítulo 1 – Números................................................................................................ XXVIII Capítulo 2 – Operações com números naturais ........................................................ XXIX Capítulo 3 – Estudando figuras geométricas ........................................................... XXXI Capítulo 4 – Divisibilidade......................................................................................... XXXII Capítulo 5 – Um pouco de Álgebra............................................................................ XXXIII Capítulo 6 – Um pouco de Geometria plana.............................................................. XXXIV Capítulo 7 – Números racionais na forma de fração................................................. XXXV Capítulo 8 – Operações com números racionais na forma de fração........................ XXXVII Capítulo 9 – Números racionais na forma decimal e operações............................... XXXVIII Capítulo 10 – Polígonos e poliedros.......................................................................... XLI Capítulo 11 – Comprimentos e áreas........................................................................ XLIII Capítulo 12 – Outras unidades de medida................................................................ XLVI Sugestões de atividades XLVIII Livro do estudante – Orientações página a página 1 SUMÁRIO
- 7. V Apresentação Professor(a), Como material de apoio à prática pedagógica, este Manual traz, de maneira concisa, orientações e sugestões para o uso do livro do aluno como texto de referência, com o objetivo de subsidiar seu trabalho em sala de aula. Espe- ramos que este material o(a) auxilie a melhor aproveitar e a compreender as diretrizes pedagógicas que nortearam a elaboração dos quatro livros desta coleção. Este Manual também discute a avaliação da aprendi- zagem sob a luz de pesquisas em Educação e Educação Matemática e em documentos oficiais. Além disso, oferece indicaçõesdeleiturascomplementaresesitesdecentrosde formação continuada, na intenção de contribuir para a am- pliação deseu conhecimento,suaexperiênciaeatualização. As características da coleção, as opções de abordagem, os objetivos educacionais a alcançar são também expostos e discutidos aqui. Visão geral da proposta da coleção Esta coleção tem como principal objetivo servir de apoio ao professor no desenrolar de sua prática didático- -pedagógica e oferecer ao aluno um texto de referência auxiliar e complementar aos estudos. Com base nos conteúdos indicados para a Matemática dos anos finais (6o ao 9o anos) do Ensino Fundamental e suas especificidades de ensino, a obra procura possibilitar ao aluno a elaboração do conhecimento matemático, visan- do contribuir para a formação de cidadãos que reflitam e atuem no mundo, e subsidiar o trabalho docente, compar- tilhando possibilidades de encaminhamento e sugestões de intervenção. Nesse sentido, atribui especial importância ao desenvolvimento de conceitos de maneira precisa e por meio de linguagem clara e objetiva, com destaques pontuais para as noções de maior importância. As ideias matemáticas são apresentadas e desenvolvi- das progressivamente, sem a preocupação de levar o aluno a assimilar a totalidade de cada conteúdo, isto é, sem a pretensão de esgotar o assunto na primeira apresentação. Ao longo da coleção, oferecemos constantes retomadas, não apenas visando à revisão, mas à complementação e ao aprofundamento de conteúdos. Acreditamos que, por meio de diversos contatos com as ideias e os objetos ma- temáticos, o aluno conseguirá apreender seus significados. Em relação à abordagem, a apresentação de cada conteúdo procura ser clara e objetiva, buscando situações contextualizadas e problematizadoras que possibilitem ao aluno uma aprendizagem significativa, assim como estabelecer relações da Matemática com outras áreas do saber, com o cotidiano, com sua realidade social e entre os diversos campos conceituais da própria Matemática. Essacontextualizaçãoabarcousituaçõescomuns,viven- ciadas pelos jovens em seu cotidiano, e informações mais elaboradas,quecostumamaparecernosgrandesveículosde comunicação.Assim,aobratemporobjetivocontribuirparaa formaçãointegraldoaluno,demodoque,enquantoassimila e organiza os conteúdos próprios da Matemática, coloque emprática,semprequepossível,suascapacidadesreflexiva e crítica, inter-relacionando tanto os tópicos matemáticos entre si quanto estes com os de diferentes áreas do saber. O intento é colaborar de maneira eficaz para a solidificação do conhecimento matemático e com o preparo do exercício da cidadania e da participação positiva na sociedade. Na perspectiva mundial da permanente busca por me- lhor qualidade de vida, a Matemática, sobretudo em seus aspectos essenciais, contribui de modo significativo para a formação do cidadão crítico e autoconfiante, com com- preensão clara dos fenômenos sociais e de sua atuação na sociedade, com vistas a uma formação integral e inclusiva. [...] a BNCC afirma, de maneira explícita, o seu compro- misso com a educação integral. Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visõesreducionistasqueprivilegiamouadimensãointelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adoles- cente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. [...] (Base Nacional Comum Curricular, 2017, p. 14.) A ideia de educação inclusiva sustenta-se em um movi- mento mundial de reconhecimento da diversidade humana e da necessidade contemporânea de se constituir uma escola para todos, sem barreiras, na qual a matrícula, a permanên- cia, a aprendizagem e a garantia do processo de escolarização sejam, realmente e sem distinções, para todos. (SÃO PAULO. Currículo da Cidade, 2017, p. 25.) Na sequência, os conceitos teóricos são trabalhados entremeados por blocos de exercícios e, algumas vezes, por atividades de outra natureza em seções especiais. A distribuição das atividades em diferentes seções pro- cura facilitar e flexibilizar o planejamento do trabalho docente, bem como possibilitar ao aluno desenvolver habilidades diversas. ORIENTAÇÕES GERAIS
- 8. VI VI As atividades também foram pensadas de acordo com o mesmo viés da exposição teórica, intercalando-se aos exercícios convencionais, importantes para formalizar e sistematizar conhecimentos, aqueles que associam os contextos matemáticos aos de outras áreas do conheci- mento, que contemplam temas abrangendo informações de Biologia, Ecologia, Economia, História, Geografia, Políti- ca, Ciências e Tecnologia. A constante recorrência a imagens, gráficos e tabelas, muitos deles publicados em mídias atuais, tem por objeti- vo estimular os alunos a estabelecerem conexões com o mundo em que vivem. A obra procura trazer atividades que possibilitam a sistematização dos procedimentos e a reflexão sobre os conceitos em construção. Elas procuram abordar diferentes aspectos do conceito em discussão por meio de variados formatos, apresentando, quando possível, questões abertas, que dão oportunidade a respostas pessoais, questões com mais de uma solução ou cuja solução não existe. Da mesma maneira, há exercícios que estimulam a ação mental, promovendo o desenvol- vimento de argumentações, a abordagem de problemas de naturezas diversas e as discussões entre colegas e em grupos de trabalho. O professor tem, então, uma gama de questões a seu dispor para discutir e desenvolver os conceitos matemáticos em estudo. É importante reafirmar que, ao longo de toda a co- leção, houve preocupação com a precisão e a concisão da linguagem. A abordagem dos conteúdos procurou ser clara, objetiva e simples, a fim de contribuir adequada- mente para o desenvolvimento da Matemática escolar no nível do Ensino Fundamental. Além do correto uso da língua materna e da linguagem propriamente mate- mática, procuramos auxílio da linguagem gráfica, com ilustrações, esquemas, diagramas e fluxogramas que auxiliem a aprendizagem pelas mudanças dos registros de representação. Objetivos gerais da coleção • Apresentar a Matemática, em seus diversos usos, como uma das linguagens humanas, explorando suas estruturas e seus raciocínios. • Introduzir informações que auxiliem a apreensão de conteúdos matemáticos, com vistas à sua inserção em um corpo maior de conhecimentos e à sua apli- cação em estudos posteriores. • Possibilitar ao aluno o domínio de conteúdos ma- temáticos que lhe deem condições de utilização dessa ciência no cotidiano e na realidade social, oportunizando o desenvolvimento do letramento matemático1 . • Propiciar, com o auxílio do conhecimento matemático, o desenvolvimento das múltiplas competências e habilidades cognitivas do aluno, preparando-o como pessoa capaz de exercer conscientemente a cidada- nia e de progredir profissionalmente, garantindo uma formação integral e inclusiva. • Desenvolver hábitos de leitura, de estudo e de or- ganização. Fundamentos teórico- -metodológicos Vamos apresentar alguns temas relativos ao ensino de Matemática que norteiam as escolhas curriculares da coleção e se alinham às proposições da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). A importância de aprender Matemática Partimos da proposição de que uma característica da Matemática é ser uma linguagem humana que, como forma linguística, tem o poder de decodificar, traduzir e expressar o pensamento humano, o que contribui para a formação integral do estudante. O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsa- bilidades sociais. (BNCC, 2017, p. 263.) A palavra matemática vem do grego mathematike. Em sua origem, estava ligada ao ato de aprender, pois signifi- cava “tudo o que se aprende”, enquanto matemático, do grego mathematikos, era a palavra usada para designar alguém “disposto a aprender”. O verbo aprender era origi- nalmente, em grego, manthanein; mas hoje o radical math, antes presente nas palavras ligadas à aprendizagem, pare- ce ter perdido essa conotação e daí talvez resulte a ideia geral de que a Matemática é uma disciplina que lida apenas com números, grandezas e medidas e que se aprende na escola de forma compulsória. 1 Segundo a Matriz de Avaliação de Matemática do Pisa 2012 (disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/ marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>; acesso em: 2 maio 2018): Letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias. VI
- 9. Na realidade, a Matemática fornece ao indivíduo, além de uma linguagem para expressar seu pensamento, ferra- mentas com as quais ele pode gerar novos pensamentos e desenvolver raciocínios, ou seja, […] a Matemática não é simplesmente uma disciplina, mas também uma forma de pensar. É por isso que a Mate- mática, assim como a alfabetização, é algo que deveria ser tornado disponível para todos […]. (NUNES; BRYANT, 1997, p. 105.) A Matemática, portanto, é algo que deve estar disponí- vel a todo ser humano, para que possa fazer uso dela como uma de suas ferramentas de sobrevivência e convívio social, promovendo uma formação inclusiva. Um ponto crucial a considerar é que as formas de pensar características da Matemática podem expandir-se para outros raciocínios, impulsionando a capacidade global de aprendizado. Ao lidar com a Matemática, fundamentamos o pensamento em um conjunto de axiomas, na geração e va- lidação de hipóteses, no desenvolvimento de algoritmos e procedimentos de resolução de problemas — ferramentas aplicáveis a um conjunto de situações similares —, esta- belecendo conexões e fazendo estimativas. Analisando situações particulares e inserindo-as na estrutura global, é possível construir estruturas de pensamento também úteis em situações não matemáticas da vida em sociedade. A Matemática não se restringe apenas à quantificação de fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas abstratos, que organizam e inter-relacionam fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão de fenômenos, a construção de representações significativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos. (BNCC, 2017, p. 263.) Ao construir sua história, o ser humano tem modifi- cado e ampliado constantemente suas necessidades, individuais ou coletivas, de sobrevivência ou de cultura. O corpo de conhecimentos desenvolvido nesse longo trajeto ocupa lugar central no cenário humano. No que diz respeito aos conhecimentos matemáticos, muitos continuam atravessando os séculos, enquanto outros já caíram em desuso. Há, ainda, outros que estão sendo incorporados em razão das necessidades decorrentes das ações cotidianas, como é o caso da Educação Fi- nanceira. As novas práticas solicitam a ampliação e o aprofundamento desses conhecimentos. Até algumas décadas atrás,“saber” Matemática impli- cava basicamente dominar e aplicar as operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Na atualidade, contudo, as pesquisas educacionais, as diretrizes peda- gógicas oficiais e, em especial, a BNCC apontam para a necessidade de que em todos os anos da Educação Básica a escola trabalhe conteúdos organizados nas cinco Unida- des Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, tendo como refe- rência o desenvolvimento das competências e habilidades descritas pela BNCC. Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho. (BNCC, 2017, p .8.) Para entender a real importância da Matemática, basta pensar em nosso cotidiano. É fácil fazer uma longa lista de ações nas quais precisamos mobilizar os conhecimentos desse campo: calcular uma despesa para efetuar seu paga- mento; examinar diferentes alternativas de crédito; estimar valores aproximados; calcular medidas e quantidades com alguma rapidez; compreender um anúncio ou uma notícia apresentados por meio de tabelas e gráficos; analisar criticamente a validade de um argumento lógico; avaliar a razoabilidade de um resultado numérico ou estatístico; decidir a sequência de passos necessários para resolver um problema; orientarmo-nos no espaço (para deslocamentos ou indicações de trajetórias), entre tantas outras situações. Hoje sabemos da importância de o indivíduo aprender continuamente, durante toda a vida, para assimilar as in- cessantes inovações do mundo moderno e, desse modo, realimentar seu repertório cultural. Em um ambiente mun- dial cada vez mais competitivo e desenvolvido do ponto de vista tecnológico, é preciso tornar acessíveis a todas as pessoas as vantagens desses avanços. E é responsabilida- de também da educação escolar levar o aluno a perceber criticamente a realidade, cuja interpretação depende da compreensão de sua estrutura lógica, do entendimento da simbologia adotada no contexto, da análise das infor- mações veiculadas por dados numéricos, imagens, taxas, indexadores econômicos etc. Um indivíduo com poucos conhecimentos matemáticos pode estar privado de exer- cer seus direitos como cidadão, por não ter condições de opinar em situação de igualdade com os demais membros da sociedade, nem de definir seus atos políticos e sociais com base em uma avaliação acurada da situação. No ensino da Matemática, assumem grande importân- cia aspectos como o estímulo a relacionar os conceitos matemáticos com suas representações (esquemas, diagramas, tabelas, figuras); a motivação para identificar no mundo real o uso de tais representações; o desafio à interpretação, por meio da Matemática, da diversidade das informações advindas desse mundo. Podemos afirmar que a maior parte das sociedades de hoje depende cada vez mais do conjunto de conhecimento produzido pela humanidade, incluindo de maneira notável as contribuições da ciência matemática. Ao mesmo tempo, essearcabouçoculturalrevigora-seincessantemente, com grande diversidade e sofisticação. Os apelos de um mundo VII
- 10. VIII VIII que se transforma em incrível velocidade, em uma cres- centevariedadededomínios,constituemumadasrazões mais significativas para o maior desafio dos educadores: preparar os jovens para uma atuação ética e responsável, balizada por uma formação múltipla e consistente. Matemática acadêmica 3 Matemática escolar No âmbito específico da Matemática, há muito mais conhecimento já estabelecido do que o que chega à sala de aula. A seleção desses conhecimentos-conteúdos e a maneira de apresentá-los aos estudantes exigem bom senso e uma série de estudos e adaptações. Em sua formação inicial, na universidade, o futuro professor de Matemática tem contato simultâneo com a Matemática acadêmica e a Matemática escolar. No en- tanto, em seu exercício profissional, o destaque será para a Matemática escolar; daí a relevância de procurarmos entender a distinção entre ambas. De acordo com Moreira e David (2003), a Matemática acadêmica, ou científica, é o corpo de conhecimentos produzido por matemáticos profissionais. Nesse caso, as demonstrações, definições e provas de um fato e o rigor na linguagem utilizada ocupam papel relevante, visto que é por meio deles que determinado conhecimento é aceito como verdadeiro pela comunidade científica. No caso da Matemática escolar, há dois aspectos fun- damentais que modificam significativamente o papel do rigor nas demonstrações. O primeiro refere-se ao fato de a “validade” dos resultados matemáticos, que serão apresen- tadosaosestudantesnoprocessodeensino-aprendizagem, não ser colocada em dúvida; ao contrário, já está garantida pela própria Matemática acadêmica. O segundo aspecto diz respeito à aprendizagem; neste caso, o mais importante é o desenvolvimento de uma prática pedagógica que assegure a compreensão dos conteúdos matemáticos essenciais, assim como a construção de justificativas que permitam ao jovem estudante utilizá-los de maneira coerente e con- veniente, tanto na vida escolar quanto na cotidiana, propi- ciando o desenvolvimento das competências e habilidades para ele exercer a cidadania plena e atuar no mundo. O pensador Jules Henri Poincar também discute a dife- rença entre o rigor necessário e conveniente à Matemática científica e o rigor adequado a um processo educativo. Para ele, uma boa definição é aquela que pode ser entendida pelo estudante. Nesse contexto, a coleção procura harmonizar o uso da língua materna com a linguagem matemática, promovendo uma leitura acessível e adequada aos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental. A Matemática como componente curricular do Ensino Fundamental A importância de ensinar Matemática no Ensino Funda- mental, conforme indica a BNCC, decorre também da con- tribuição que a área representa na formação do cidadão. O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimentodoletramentomatemático,definidocomo as competências e habilidades de raciocinar, representar, co- municareargumentarmatematicamente,demodoafavorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecerqueosconhecimentosmatemáticossãofundamen- tais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição). O desenvolvimento dessas habilidades está intrinse- camente relacionado a algumas formas de organização da aprendizagem matemática, com base na análise de situações da vida cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. [...] (BNCC, 2017, p. 264.) Diversos pesquisadores e profissionais ligados à Edu- cação Matemática têm procurado sintetizar o papel social do ensino dessa área do conhecimento. Na literatura, segundo Ponte (2002), cabem ao ensino da Matemática quatro diferentes papéis: • instrumento da cultura científica e tecnológica, fundamental para profissionais como cientistas, engenheiros e técnicos, que utilizam a Matemática em suas atividades; • filtro social para a continuação dos estudos e seleção para as universidades; • instrumento político, como símbolo de desenvolvi- mento e arma de diversas forças sociais que utilizam as estatísticas do ensino da Matemática para seus propósitos; • promotora do desenvolvimento dos modos de pensar a serem aplicados na vida cotidiana e no exercício da cidadania. É evidente que cada um desses papéis serve a diferen- tes interesses e finalidades. Contudo, considerando os indivíduos seres sociais, é o último desses papéis o mais importante e o que mais nos interessa. Como explica Ponte: Incluem-se aqui os aspectos mais diretamente utilitários da Matemática (como ser capaz de fazer trocos e de calcular a área da sala), mas não são esses aspectos que justificam a importância do ensino da Matemática. São, isto sim, a capacidade de entender a linguagem matemática usada na vida social e a capacidade de usar um modo matemático de pensar em situações de interesse pessoal, recreativo, cultural, cívico e profissional. Em teoria, todos reconhecem que esta é a função fundamental do ensino da Matemática. Na prática, infelizmente, é muitas vezes a função que parece ter menos importância. (Ibidem) VIII
- 11. A função de promotora dos modos de pensar, porém, não se concretiza na prática somente por estar explicitada no currículo e nos programas. O sistema de avaliação, os manuais escolares e a cultura profissional dos professores podem influenciar de tal modo as práticas de ensino que as finalidades visadas pelo currículo em ação, muitas vezes, pouco têm a ver com aquilo que é solenemente proclamado nos textos oficiais. (Ibidem) Ao discorrer sobre esses papéis, Ponte analisa em parti- cular a função de filtro social – “a verdade é que este papel de instrumento fundamental de seleção tem pervertido a relação dos jovens com a Matemática” (ibidem) –, que pas- sam a enxergá-la como obstáculo a ser transposto para a conquista de objetivos, em vez de entendê-la como aliada nesse processo. O pesquisador enfatiza a importância de identificarosfatoresqueoriginamoinsucessodosalunosem Matemática. Para ele, tais fatores estão relacionados com: • a crise da escola como instituição, que se reflete na aprendizagememgeralenaMatemáticaemparticular; • aspectos de natureza curricular — tradição pobre de desenvolvimento curricular de Matemática; • insuficiente concretização prática e caráter difuso das finalidades do aprendizado; • o próprio fato de a Matemática constituir-se em ins- trumento de seleção, o que, de imediato, desencanta e amedronta o aluno; • questões ligadas à formação dos professores. Em contrapartida, de acordo com a BNCC, podemos destacar que: [...] Os processos matemáticos de resolução de proble- mas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem podem ser citados como formas privilegiadas da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de todo o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendiza- gem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para o desenvolvimento do pensamento computacional. (BNCC, 2017, p. 264.) As atuais e inúmeras discussões na área educacional têm nos alertado sobre mudanças na forma de conceber a Educação Básica no mundo. No que diz respeito à Educação Matemática, podemos dizer que ela tem atravessado um grato momento de revitalização: Novos métodos, propostas de novos conteúdos e uma ampla discussão dos seus objetivos fazem da Educação Matemática uma das áreas mais férteis nas reflexões sobre o futuro da sociedade. (D’AMBROSIO, 2000.) A BNCC preconiza a inclusão e a discussão de temas contemporâneos, como é o caso dos “direitos da criança e do adolescente” e “educação em direitos humanos”. Por fim, cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e compe- tência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora. (BNCC, 2017, p. 19.) A orientação de introduzir e interligar no âmbito esco- lar temas dessa natureza traz efetivas possibilidades de expansão dos currículos, para além dos conteúdos das disciplinas tradicionais. Esses temas também podem ser abordados de acordo com a necessidade dos estudantes e da comunidade em que estão inseridos. O importante é ter em vista que, por meio do trabalho com esses temas, é possível incluir as questões sociais nos currículos escolares. Dessa perspectiva, os conteúdos trabalhados ganham novo papel; o aprendizado da Mate- mática, entre outras abordagens, concorre para a formação da cidadania e, consequentemente, para um entendimento mais amplo da realidade social. Por compreender a importância desse trabalho, esta co- leçãoprocura,namedidadopossível,incorporarediscutiral- guns conteúdos matemáticos em contextos diversificados. O papel do livro didático Entendemos que, em geral, os recursos presentes em salas de aula não são suficientes para fornecer todos os elementos necessários ao trabalho do professor e à aprendizagem do aluno. Nesse caso, o livro didático desempenha um papel importante, assessorando nesse processo, como organização e encaminhamento da teoria e propostas de atividades e exercícios. Assim, o livro di- dático contribui para o processo de ensino-aprendizagem e atua como mais um interlocutor na comunicação entre educador e educando. Mas é preciso considerar que o livro didático, por mais completo que seja, deve ser utilizado intercalado com outros recursos que enriqueçam o trabalho do professor. Concordamos com Romanatto (2004) quando diz que, partindo do princípio de que o verdadeiro aprendizado apoia-se na compreensão, não na memória, e de que so- mente uma real interação com os alunos pode estimular o raciocínio e o desenvolvimento de ideias próprias em busca de soluções, cabe ao professor aguçar seu espírito crítico perante o livro didático. Na organização desta coleção, os conceitos e ativida- des foram concebidos e dispostos em uma sequência que garanta a abordagem dos conhecimentos matemáticos relativos aos anos finais do Ensino Fundamental, visando à IX
- 12. X X ampliação dos conhecimentos básicos tratados nos anos iniciais do Ensino Fundamental, apresentando-os em capí- tulos específicos e, depois, retomando-os e ampliando-os em volumes posteriores. Assim, os alunos podem resgatar os conhecimentos trabalhados anteriormente, ampliar os conceitosaolongodeseusestudosemMatemáticado6o ao 9o anos e preparar-se para a continuidade no Ensino Médio. As orientações deste Manual pretendem esclarecer intenções, objetivos e concepções das atividades que podem auxiliar o trabalho pedagógico do professor em seus encaminhamentos, intervenções e na ampliação e enriquecimento de seus conhecimentos matemáticos. Caracterização da adolescência Segundo o Estatuto da Criança e do Adolescente – Lei no 8.069/1990: “Considera-se criança, para os efeitos desta Lei, a pessoa até doze anos de idade incompletos, e adolescente aquela entre doze e dezoito anos de idade.” De acordo com a BNCC: Os estudantes dessa fase inserem-se em uma faixa etária que corresponde à transição entre infância e adolescência, marcada por intensas mudanças decorrentes de transfor- mações biológicas, psicológicas, sociais e emocionais. [...] ampliam-se os vínculos sociais e os laços afetivos, as possi- bilidades intelectuais e a capacidade de raciocínios mais abs- tratos. Os estudantes tornam-se mais capazes de ver e avaliar os fatos pelo ponto de vista do outro, exercendo a capacidade de descentração, “importante na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010). (BNCC, 2017, p. 58.) Esta coleção procura uma aproximação com os estudan- tes dessa fase, seja na linguagem utilizada, seja na escolha de assuntos que possam despertar seu interesse. Um des- ses momentos pode ser observado nas aberturas dos ca- pítulos, nas quais são apresentadas situações que buscam aguçar a curiosidade dos alunos para o tema a ser tratado. Além disso, a coleção busca também facilitar a passagem de um ano para outro no processo de ensino-aprendizagem em Matemática, retomando conceitos, revisitando conheci- mentos – como as quatro operações fundamentais e o es- tudo das figuras geométricas –, ampliando e aprofundando conteúdos com novos aspectos, a fim de que os alunos se apropriemdosconceitoscomacompreensãodosprocessos neles envolvidos, caso da ampliação do campo numérico (dos números naturais aos números reais). Objetivos da formação básica para o Ensino Fundamental Segundo o Parecer 11/2010 do Conselho Nacional de Educação/Câmara de Educação Básica sobre Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos, os objetivos para a formação básica relativos ao Ensino Infantil e Ensino Fundamental são: • odesenvolvimentodacapacidadedeaprender,tendocomo meios básicos o pleno domínio da leitura, da escrita e do cálculo; • a compreensão do ambiente natural e social, do sistema político, das artes, da tecnologia e dos valores em que se fundamenta a sociedade; • a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação de atitudes e valores como instrumentos para uma visão crítica do mundo; • o fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de solidariedade humana e de tolerância recíproca em que se assenta a vida social. (Parecer 11/2010, p. 32.) BNCC e currículos A BNCC e os currículos estão em concordância com os princípios e valores que norteiam a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) e as Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica (DCN). A BNCC relaciona algumas ações que visam adequar suas proposições à realidade dos sistemas ou redes de ensino e das instituições escolares, considerando o con- texto e as características dos alunos: • contextualizar os conteúdos dos componentes curri- culares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas; • decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem; • selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático- -pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferen- ciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de alunos,suasfamíliaseculturadeorigem,suascomunidades, seus grupos de socialização etc.; • conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os alunos nas aprendizagens; • construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa deprocessoouderesultadoquelevememcontaoscontex- toseascondiçõesdeaprendizagem,tomandotaisregistros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos; • selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender; • criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aper- feiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem; • manter processos contínuos de aprendizagem sobre ges- tão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e sistemas de ensino. (BNCC, 2017, p. 16-17.) X
- 13. Competências da BNCC Visando assegurar as aprendizagens essenciais a que todo estudante da Educação Básica tem direito, a BNCC propõe o desenvolvimento de competências que vão além dos conteúdos mínimos a serem ensinados. As competências, já definidas anteriormente, são apresentadas como competências gerais – para nortear os currículos e as ações pedagógicas – e explicitadas pelas competências específicas de área, a serem desenvolvidas pelas diferentes áreas do currículo ao longo das etapas da escolarização. COMPETÊNCIAS GERAIS COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. (Fonte: BNCC, 2017, p. 9-10, 263.) Ao longo dos conteúdos, são oferecidas diferentes oportunidades para o aluno interpretar, refletir, analisar, discutir, levantar hipóteses, argumentar, concluir e expor resultados de diversas maneiras, contribuindo para o desenvolvimento das competências. Esse trabalho é realizado em vários momentos da coleção, como nas seções Diversificando e Trabalhando a informação. XI
- 14. XII XII Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, unidades temáticas organizam diferentes objetos de conhecimento que, por sua vez, propõem um conjunto de habilidades a serem trabalhadas com os alu- nos. As principais habilidades relacionadas ao conteúdo em estudo são indicadas nas páginas do Manual do Professor em formato U. Unidades Temáticas De acordo com a BNCC: Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudantes se deparam com desafios de maior complexida- de, sobretudo devido à necessidade de se apropriarem das diferentes lógicas de organização dos conhecimentos relacio- nados às áreas. Tendo em vista essa maior especialização, é importante, nos vários componentes curriculares, retomar e ressignificar as aprendizagens do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no contexto das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e à ampliação de repertórios dos estudantes. Nesse sentido, também é importante fortalecer a autonomia desses adolescentes, oferecendo-lhes condições e ferramentas para acessar e interagir criticamente com diferentes conhe- cimentos e fontes de informação. (BNCC, 2017, p. 58.) A BNCC propõe cinco Unidades Temáticas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. Dessa forma, procura garantir o trabalho com a variedade de conhecimentos matemáticos ao longo do ano e orientar a formulação de habilidades a serem desen- volvidas durante o Ensino Fundamental. Com base nos recentes documentos curriculares bra- sileiros, a BNCC leva em conta que os diferentes campos que compõem a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que produzem articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependên- cia, representação, variação e aproximação. Essas ideias fundamentais são importantes para o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na escola, em objetos de conhecimento. A proporcionalidade, porexemplo,deveestarpresentenoestudode:operaçõescom os números naturais; representação fracionária dos números racionais; áreas; funções; probabilidade etc. Além disso, essa noção também se evidencia em muitas ações cotidianas e de outras áreas do conhecimento, como vendas e trocas mercantis, balanços químicos, representações gráficas etc. (Ibidem, p. 266.) A proposta presente nesta coleção, aliada ao trabalho do professor em sala de aula, propicia a articulação das diferentes Unidades Temáticas, estabelecendo conexões entre elas e as outras áreas do conhecimento. A seguir, são apresentadas algumas possibilidades: • conexões internas às próprias Unidades Temáticas de Matemática,relacionandoseusdiferentescampos.Por exemplo:unidadesdemedida,objetodeconhecimento da Unidade Temática Grandezas e medidas, podem estar articuladas com números racionais e porcen- tagem, apresentados na Unidade Temática Números (nas atividades propostas no capítulo 11 do 6o ano) e com relações algébricas, estudadas na Unidade Temá- tica Álgebra (na seção Para saber mais, sob o título ”A temperatura e a Álgebra”, no capítulo 5 do 6o ano); • conexões que se referem a articulações possíveis com diversasáreasdoconhecimentocontempladasnacole- ção.Situaçõesdessetipopodemserencontradasem“O RPG e os poliedros de Platão” na seção Diversificando (capítulo 10 do 7o ano) e em “O trapézio no telhado” na seção Para saber mais (capítulo 9 do 8o ano). Apresentamos, a seguir, as principais ideias relaciona- das a cada Unidade Temática que nortearam a organização da coleção. Números As noções matemáticas fundamentais vinculadas a essa Unidade Temática são as ideias de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem. Nos anos finais do Ensino Fundamental são explorados diferentes campos numéricos, de modo que os alunos re- solvam problemas com números naturais, números inteiros e números racionais, envolvendo as operações e fazendo uso de estratégias diversas, reconheçam a necessidade dos números irracionais e tomem contato com os núme- ros reais, comparando, ordenando e relacionando esses números com pontos na reta numérica. Espera-se também que os alunos dominem cálculos com porcentagens, juros, descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias digitais. O pensamento numérico se completa, é ampliado e aprofundado com a discussão de situações que envolvem conteúdos das demais Unidades Temáticas. OutroaspectoquesequerdesenvolvernessaUnidadeTe- máticaéoestudodeconceitosligadosàeducaçãofinanceira dosalunos,comoconceitosbásicosdeeconomiaefinanças. Álgebra O foco dessa Unidade Temática é o desenvolvimento do pensamento algébrico, essencial na compreensão, re- presentação e análise da variação de grandezas e também no estudo das estruturas matemáticas. Nos anos finais do Ensino Fundamental, os estudos de Álgebra retomam, aprofundam e ampliam a identificação de regularidades e padrões em sequências (numéricas ou não) e o estabeleci- mentodeleismatemáticasqueexpressemainterdependên- cia entre grandezas e generalizações. Espera-se que o aluno crie, interprete e transite entre as diversas representações gráficas e simbólicas para resolver equações e inequações, desenvolvidas para representar e solucionar algum tipo de problema. É necessário que o aluno estabeleça conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As ideias matemáticas fundamentais que os alunos precisam desenvolver nessa Unidade Temática são: equi- valência, variação, interdependência e proporcionalidade. XII
- 15. Além disso, a aprendizagem da Álgebra, assim como as de outros campos da Matemática, pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional. Destaca-se, assim, a importância da presença de algorit- mos e fluxogramas como objetos de estudo nas aulas de Matemática nessa fase do aprendizado. Geometria O desenvolvimento do pensamento geométrico, ne- cessário para avançar nas habilidades de investigação de propriedades, elaboração de conjecturas e produção de argumentos geométricos convincentes, está ligado ao estudo da posição e dos deslocamentos no espaço, das formas de figuras geométricas e relação entre seus elementos, temas dessa Unidade Temática. Além disso, o aspecto funcional também deve estar presente por meio do estudo das transformações geométricas, em especial a simetria, com ou sem o recurso de softwares de Geometria dinâmica. Estão associadas a essa Unidade Temática as seguintes ideias matemáticas fundamentais: construção, represen- tação e interdependência. Nos anos finais do Ensino Fundamental, o ensino de Geometria deve consolidar e ampliar os conhecimentos construídos anteriormente – enfatizando-se a análise e produção de transformações, ampliações e reduções de figuras geométricas – para o desenvolvimento dos conceitos de congruência e semelhança. O raciocínio hipotético-dedutivo é outro ponto importante a se desta- car; a realização de demonstrações simples pode contribuir para a construção desse tipo de raciocínio. Além disso, a articulação da Geometria com a Álgebra também deve ser ampliada com propostas que envolvam o plano cartesiano, objeto de estudo da Geometria analítica. Grandezas e medidas O estudo das medidas e das relações entre elas é o foco dessa Unidade Temática. Os anos finais do Ensino Fundamental devem retomar, aprofundar e ampliar as aprendizagens já realizadas. O estudo das relações mé- tricas favorece a integração da Matemática com diversas áreas do conhecimento, assim como a articulação com as demais Unidades Temáticas, consolidando e ampliando a noção de número e promovendo a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico. Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos reconheçam comprimento, área e abertura de ângulo como grandezas associadas a figuras geométricas, resolvam problemas com essas grandezas e obtenham grandezas derivadas como densidade e velocidade. Além disso, deve-se introduzir medidas de capacidade de ar- mazenamento de computadores ligadas a demandas da sociedade moderna, ressaltando-se o caráter não decimal das relações entre elas. Probabilidade e estatística O intuito dessa Unidade Temática é desenvolver habi- lidades necessárias para o exercício pleno da cidadania: coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados; descrever, explicar e predizer fenômenos com base em conceitos e representações. Nos anos finais do Ensino Fundamental, em Estatística espera-se que o aluno seja capaz de planejar e elaborar relatórios com base em pesquisas estatísticas descritivas, incluindo medidas de tendência central, construir tabelas e tipos variados de gráfico. Quanto ao estudo de Probabilidade, deve ser ampliado e aprofundado. Espera-se que os alunos façam experimentos aleatórios e simulações para comprovar resultados obtidos com o cálculo de probabilidades. Propostas didáticas Os tópicos a seguir destinam-se a oferecer suporte à discussão sobre as atuais tendências de ensino – que priorizam a globalidade da formação educacional, no sen- tido de capacitar os jovens a atuar de forma positiva na sociedade – alinhadas à proposta da coleção e auxiliadoras do trabalho em sala de aula. Conhecimentos prévios Ao passar de um ano para outro de escolaridade, o aluno traz experiências, interpretações e conhecimentos acumulados sobre os conteúdos e temas tratados no ano anterior. Torna-se relevante considerar essa bagagem no processo de aprendizagem. Há algum tempo, pesquisas na área da educação reforçam a importância de considerar os conhecimentos prévios como forma de encaminhar o processo de aprendizagem para torná-lo significativo. Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteú- dos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, variação e interdependência. (BNCC, 2017, p. 296.) A coleção apresenta momentos privilegiados para essa finalidade na abertura de cada capítulo. Os pequenos textos e as imagens selecionadas permitem discussões e troca de ideias que possibilitam levantar conhecimentos e experiências anteriormente elaborados sobre o tema. XIII
- 16. XIV XIV Resolução de problemas O trabalho com a resolução de problemas é um dos destaques do ensino matemático contemporâneo. Para atender aos pressupostos de uma educação globalmen- te formadora, o problema matemático deve, sempre que possível, ser apresentado em um contexto desafiador, que faça sentido ao aluno. Ele possibilita a mobilização dos conteúdos estudados em busca de soluções e, sobretudo, abre espaço para a criação de estratégias pessoais e para a produção de novos conhecimentos. Um problema matemático é visto como uma situação desafiadora que tem significado para o aluno e se define como tal não por sua forma, mas sim por sua relação com os saberes e o nível de conhecimento do aluno que deve pensar sobre ele. Na resolução de problemas, é importante que o aluno: • elabore um ou vários procedimentos de resolução (por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); • compare seus resultados com os de outros alunos; • valide seus procedimentos. Nesta coleção, procuramos diversificar as atividades e propor problemas variados, distribuídos entre os capítu- los e, em especial, nas seções Pense mais um pouco... e Diversificando. Uso de tecnologias Os alunos estão inseridos na era digital e fazem uso frequente de tecnologia. Assim, a escola não pode ignorar esses importantes recursos e precisa trazê-los para a edu- cação escolar. Para isso, o professor precisa se apropriar dessas ferramentas de modo que possa identificar tipos de software e formas de utilizá-los com os alunos. Vamos destacar a calculadora e o uso de softwares e aplicativos, entre as diversas possibilidades. É importante salientar que, como instrumento de apoio ao processo de ensino-aprendizagem, a calculadora é somente mais um recurso auxiliar, não um substituto do exercício do raciocínio ou da capacidade analítica. O que propomos é o uso da calculadora de maneira consciente, de modo a contribuir para a reflexão dos conteúdos ma- temáticos. O uso da calculadora é sugerido na coleção como auxiliar na resolução de problemas. Das tecnologias disponíveis na escola, a calculadora é, sem dúvida, uma das mais simples e de menor custo. Ela pode ser utilizada como instrumento motivador na realização de atividades exploratórias e in- vestigativas e, assim, contribuir para a melhoria do ensino. Podemos tomar como orientação para o uso da calcu- ladora em atividades matemáticas os seguintes aspectos: • é um instrumento que possibilita o desenvolvimento de conteúdos pela análise de regularidades e padrões e pela formulação de hipóteses; • é um facilitador da verificação e da análise de resul- tados e procedimentos; • sua manipulação e utilização são, em si, conteúdos a serem aprendidos. Sugerimos que, inicialmente, o professor verifique o conhecimento que os alunos têm sobre o funcionamento da calculadora. O ideal é que a escola disponha de calcu- ladoras simples, que ofereçam as funções básicas. Caso não seja possível disponibilizar uma calculadora para cada aluno, pode-se trabalhar em duplas ou de outra forma a critério do professor. As atividades sugeridas pressupõem um uso simples da calculadora, o que poderá ser ampliado de acordo com as necessidades e os interesses de cada turma. Outrapossibilidadedeaprofundarosconhecimentosma- temáticos com o auxílio de tecnologia é o uso de softwares e aplicativos, conforme a disponibilidade da escola. Por exemplo, no campo geométrico, softwares de Geometria dinâmica permitem a construção de retas paralelas e de retas perpendiculares, a investigação e a verificação de propriedades geométricas, entre outras possibilidades. Trabalho em grupo Quando orientado e praticado adequadamente, além de contribuir para o desenvolvimento da habilidade de interação e participação sociais, o trabalho em grupo auxilia no desenvolvimento de habilidades que depen- dem do confronto e da partilha de ideias, pois oferece a oportunidade de provar resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos de resolução e validar ou não o pensamento na busca de soluções. Além de reforçar a aprendizagem conceitual, o trabalho em grupo contribui para o aprimoramento da evolução de procedimentos e atitudes, tanto em relação ao pensar matemático quanto em relação à dinâmica grupal. Pesquisas acerca dos processos de aprendizagem indi- cam que, mesmo com o exercício em grupo, acaba prevale- cendo o aprendizado individual, o qual apenas se enriquece comasmúltiplascontribuiçõesgeradaspelotrabalhogrupal, pela interação entre diferentes formas de pensar. De qualquer modo, reforçamos que o sucesso do tra- balho em grupo depende notavelmente do planejamento e da supervisão pedagógica, respeitados os diferentes tipos de aprendiz. No intuito de colaborar com a atuação do professor em sala de aula, esta coleção preocupou-se em indicar, pontualmente, as atividades que mais possibilitam a exploração em grupo. Outras possibilidades de trabalho Como já exposto, entendemos o livro didático como apoio do trabalho pedagógico. Nessa perspectiva, o conhe- cimento, a experiência e a autonomia profissional fazem do docente um coautor do material publicado. Assim, a XIV
- 17. despeito das propostas explícitas da coleção, o professor sempre poderá ampliar, complementar e inovar no de- senvolvimento e nas discussões dos temas e atividades sugeridos, aproveitando as novas questões que emergem em sala de aula no desenrolar do estudo. É sempre bom lembrar que o estímulo à imaginação e ao interesse dos alunos conta com uma gama de recursos didáticos, como: o trabalho com jogos ou com materiais ma- nipulativos, vídeos e ferramentas da informática; a pesqui- sa em livros paradidáticos, dicionários, periódicos (jornais, boletins, revistas de informação geral e especializada) e internet; ou a realização de feiras, gincanas e exposições. Apresentação da coleção Estrutura da obra A coleção é composta de quatro livros do estudante e respectivos manuais do professor. O Manual do Professor de cada ano reúne livro impresso e materiais digitais com conteúdo complementar: Planos de desenvolvimento bimestrais, Sequências didáticas, Propostas de Acompa- nhamento da Aprendizagem e Material Digital Audiovisual. Cada livro do estudante é organizado em 12 capítulos. Cada capítulo enfatiza conteúdos que compõem os obje- tos de conhecimento referentes a uma Unidade Temática descrita pela BNCC. Sempre que possível, o capítulo traz conteúdos relacio- nados a mais de uma Unidade Temática, como em proble- mas de contagem relacionados a polígonos, no capítulo 10 do 7o ano em “Combinatória dos polígonos”. Um mesmo conceito é abordado por meio de diferentes enfoques, possibilitando que os alunos se apropriem dele, como no caso do conceito de frações e seus múltiplos significados, no capítulo 7 do 6o ano (fração como parte/ todo, como quociente e como razão), ou ainda o conceito de ângulo, no capítulo 6 do 6o ano (como reunião de duas semirretas de mesma origem e como giro). Os capítulos de cada volume são compostos de: • Desenvolvimento teórico O desenvolvimento dos conteúdos propostos é acom- panhado de diversificação de estratégias. Apresenta- -se intercalado com atividades e seções especiais que ampliam e enriquecem o tema estudado. • Blocos de atividades As atividades presentes na coleção – distribuídas en- tre Exercícios propostos, Exercícios complementares e atividades diferenciadas nas seções especiais – possibilitam o trabalho com as Unidades Temáticas e permitem integrações entre elas. Têm o intuito de estimular o raciocínio lógico, a argumentação e a resolução de problemas, além de propor temáticas atuais relevantes à faixa etária. • Seções especiais Distribuídas ao longo do capítulo, as seções de variados tipos complementam, ampliam e enriquecem o tema trata- do e desafiam os alunos por meio das atividades propostas. Há pelo menos um tipo dessas seções em cada capítulo. A seguir, apresentamos os principais elementos que compõem os capítulos e descrevemos as seções especiais que aparecem ao longo de cada volume da coleção. • Abertura de capítulo: compreendida por uma imagem e pequeno texto motivadores do tema do capítulo. • Exercícios propostos: aparecem ao longo do desen- volvimento teórico, trabalham aspectos importantes de cada conteúdo de maneira variada. Por exemplo, nos exercícios com indicação Hora de criar, os alunos são convidados a usar sua criatividade, imaginação, capacidade de argumentação e colaboração traba- lhando em duplas ou em grupos. • Exercícios complementares: ao final do capítulo, podem ser explorados de diversas maneiras pelo pro- fessor, de acordo com suas necessidades didáticas. Podem servir de base para uma discussão em duplas ou em grupos, sintetizar o tema abordado, ser utiliza- dos para autoavaliação ou ainda aproveitados como tarefa extraclasse ou como fonte de exercícios para uma recuperação paralela, entre outras aplicações. • Seção Pense mais um pouco...: atividades e desafios de aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos no capítulo, que solicitam do aluno um pensamento mais elaborado, exigindo a criação de estratégias pessoais de resolução. • Seção Para saber mais: conteúdos e atividades que, fundamentados em contextos diversos, integram a Matemática a outras áreas do saber ou aos diferentes campos dela própria, como a História da Matemática. Geralmente é finalizada por Agora é com você!, que traz uma proposta de questões relacionadas ao tema exposto. • Seção Trabalhando a informação: são trabalhados conteúdos de Probabilidade e Estatística, como interpretação e construção de tabelas e gráficos e cálculo de probabilidades. • Seção Diversificando: atividades que relacionam o conteúdo trabalhado no capítulo a outros contextos, como jogos, aplicações e desafios. Essa estrutura pretende ser organizadora do trabalho docente sem, contudo, tornar-se um entrave para alunos e professores. Por isso, os capítulos contemplam aspectos fundamentais a serem trabalhados com os alunos, mas permitem maleabilidade e flexibilidade em sua abordagem, na tentativa de facilitar o trabalho do professor no momen- to em que ele precisar fazer as adaptações necessárias a cada turma. XV
- 18. XVI XVI Organização geral da obra No quadro a seguir apresentamos a configuração dos doze capítulos em cada ano desta coleção: 6o ano 7o ano 8o ano 9o ano Capítulo 1 Números Números inteiros Potências e raízes Números reais Capítulo 2 Operações com números naturais Números racionais Construções geométricas e lugares geométricos Operações com números reais Capítulo 3 Estudando figuras geométricas Operações com números racionais Estatística e probabilidade Grandezas proporcionais Capítulo 4 Divisibilidade Ângulos Cálculo algébrico Proporcionalidade em Geometria Capítulo 5 Um pouco de Álgebra Equações Polinômios e frações algébricas Semelhança Capítulo 6 Um pouco de Geometria plana Inequações Produtos notáveis e fatoração Um pouco mais sobre Estatística Capítulo 7 Números racionais na forma de fração Sistemas de equações Estudo dos triângulos Equações do 2o grau Capítulo 8 Operações com números racionais na forma de fração Simetria e ângulos A Geometria demonstrativa Triângulo retângulo Capítulo 9 Números racionais na forma decimal e operações Razões, proporções e porcentagem Estudo dos quadriláteros Razões trigonométricas nos triângulos retângulos Capítulo 10 Polígonos e poliedros Estudo dos polígonos Sistemas de equação do 1o grau com duas incógnitas Estudo das funções Capítulo 11 Comprimentos e áreas Sobre áreas e volumes Área de regiões poligonais Circunferência, arcos e relações métricas Capítulo 12 Outras unidades de medida Estudo da circunferência e do círculo De áreas a volumes Polígonos regulares e áreas Avaliação A avaliação e as práticas avaliativas O cenário de ampla discussão sobre metodologias e práticas pedagógicas que se estabeleceu nos últimos anos de nossa história trouxe à tona pontos vitais para o surgimento de novas formas de pensar a educação: as concepções de avaliação da aprendizagem. Quanto à importância da avaliação, tomamos emprestadas as palavras de Regina Pavanello e Clélia Nogueira: Se há um ponto de convergência nos estudos sobre a avaliação escolar é o de que ela é es- sencial à prática educativa e indissociável desta, uma vez que é por meio dela que o professor pode acompanhar se o progresso de seus alunos está ocorrendo de acordo com suas expectativas ou se há necessidade de repensar sua ação pedagógica. Quanto ao aluno, a avaliação permite que ele saiba como está seu desempenho do ponto de vista do professor, bem como se existem lacunas no seu aprendizado às quais ele precisa estar atento. XVI
- 19. […] Acreditamos que poucos educadores e educandos têm consciência de que a avaliação é um processo contínuo e natural aos seres humanos, de que os homens se avaliam constantemente, nas mais diversas situações, diante da ne- cessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as mais complexas. (PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 30, 36.) As divergências, contudo, têm início quando se pretende redefinir a avaliação escolar e os modos e graus de exigên- cia desse processo. Podemos dizer que, por longo tempo, na maior parte da história da Educação Matemática, o que vigorou foi a chamada avaliação informativa: Na prática pedagógica da Matemática, a avaliação tem, tradicionalmente, centrado-se nos conhecimentos especí- ficos e na contagem de erros. É uma avaliação somativa, que não só seleciona os estudantes, mas os compara entre si e os destina a um determinado lugar numérico em função das notas obtidas. Porém, mesmo quando se trata da avaliação informativa, é possível ir além da resposta final, superando, de certa forma, a lógica estrita e cega do “certo ou errado”. (Ibidem, p. 36-7.) Alguns autores, porém, concordam que mesmo na avaliação tradicional há algum espaço para uma busca mais consciente do processo formativo do aluno. As mesmas pesquisadoras, por exemplo, fazem a seguinte consideração: Mesmo numa avaliação tradicional, na qual é solicitada ao aluno apenas a resolução de exercícios, é possível avançar para além da resposta final, considerando: • o modo como o aluno interpretou sua resolução para dar a resposta; • as escolhas feitas por ele para desincumbir-se de sua tarefa; • os conhecimentos matemáticos que utilizou; • se utilizou ou não a Matemática apresentada nas aulas; e • sua capacidade de comunicar-se matematicamente, oral- mente ou por escrito. (BURIASCO, 2002, apud PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.) Uma concepção de avaliação que tem se configurado nos últimos anos é a que se refere à avaliação formativa. Principalmente a partir da década de 1980, muitos es- tudiosos têm feito importantes contribuições ao enten- dimento que devemos ter sobre avaliação como processo, ação contínua. Entre esses pesquisadores, destacamos o trabalho de Luckesi (2001). Segundo o autor, a avaliação deve ser tomada como instrumento para a compreensão do estágio em que se encontra o estudante, tendo em vista a tomada de decisões, suficientes e satisfatórias, para avançar no processo de aprendizagem. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), divulgados desde fins dos anos 1990, colaboraram para a ampliação do olhar sobre as funções da avaliação. Destacam, por exemplo, a dimensão social e a dimensão pedagógica da avaliação. No primeiro caso, a avaliação tem a função de, para os estudantes, informar acerca do desenvolvimento das potencialidades que serão exigidas no contexto social, garantindo sua participação no mercado de trabalho e na esfera sociocultural. Para os professores, a avaliação deve auxiliar na identificação dos objetivos alcançados, com a intenção de reconhecer as capacidades matemáticas dos educandos. No segundo caso, a avaliação tem a função de informar os estudantes sobre o andamento da aprendizagem pro- priamente dita, isto é, dos conhecimentos adquiridos, do desenvolvimento de raciocínios, dos valores e hábitos incorporados e do domínio de estratégias essenciais. A BNCC, homologada em 2017, também preconiza uma avaliação formativa: [...] construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos; [...] (BNCC, p. 17.) Os instrumentos de avaliação (provas, trabalhos e re- gistros de atitudes, entre outros) devem ser capazes de fornecer informações ao professor sobre as condições de cada estudante com relação à resolução de problemas, ao uso adequado da linguagem matemática, ao desenvol- vimento de raciocínios e análises e à integração desses aspectos em seu conhecimento matemático. Devem também contemplar as explicações, justificativas e argumentações orais, uma vez que estas revelam aspec- tos do raciocínio que muitas vezes não se evidenciam em avaliações escritas. Para Charles Hadji (2001, p. 21), a avaliação formativa implica, por parte do professor, flexibilidade e vontade de adaptação e de ajuste. O autor ressalta que a avaliação que não é seguida da modificação das práticas pedagógicas tem pouca capacidade de ser formativa. Posição seme- lhante é defendida pelas educadoras Pavanello e Nogueira: É preciso reconhecer […]que o professor deve selecionar, dentre as informações captadas, apenas o que é realmente importante […]. Para isso, existem indicadores que, segun- doVergani (1993, p. 155), podem nortear a observação pelo professor, entre os quais poderiam ser citados: • o interesse com que o aluno se entrega às atividades matemáticas; • a confiança que tem em suas possibilidades; XVII
- 20. XVIII XVIII • sua perseverança, apesar das dificuldades encontradas; • se formula hipóteses, sugere ideias, explora novas pistas de pesquisa; • se avalia criteriosamente a adequação do processo que adotou ou a solução que encontrou; • se reflete sobre a maneira de planificar uma atividade e de organizar seu trabalho; • se pede ajuda em caso de dúvida ou de falta de conhe- cimentos; e • se comunica suas dificuldades e descobertas aos colegas, de maneira adequada. No entanto, para que essas atitudes possam ser cultivadas pelo aluno, a prática pedagógica não pode mais se centrar na exposição e reprodução de conteúdos que só privilegiam a memorização e não o desenvolvimento do pensamento. (PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 38-39.) Afinal, o que deve ser avaliado: conteúdos, habilidades, atitudes? Tudo deve ser avaliado. O fundamental, porém, é saber como olhar, o que olhar e como analisar as coletas. Para isso, o professor pode recorrer a diversificados instrumen- tos de coleta de informações, selecionando aqueles que permitam compor o melhor panorama da aprendizagem matemática de seus alunos. Desse modo, as avaliações precisam ser planejadas, assim como qualquer situação de ensino. É fundamen- tal estar sempre atento ao processo de avaliação sem perder de vista os objetivos e as expectativas para cada ano. Portanto, durante o uso de instrumentos avaliati- vos, é importante considerar as habilidades propostas nos documentos curriculares, nos planos de ensino e os trabalhados na coleção. Diante das diferentes concepções sobre como avaliar e com base nas ideias que a coleção assume, entende-se que a avaliação deve ser um processo contínuo durante o ano letivo, e não apenas momentos estanques, como ao final de cada bimestre, de modo que o desenvolvimento dos alunos seja acompanhado pelo professor e por ele próprio, e que intervenções possam ser feitas ao longo do caminho. A organização da coleção em capítulos e o bloco de Exercícios complementares podem ser indicativos ou funcionar como ferramentas iniciais para a construção de momentos avaliativos. Porém, ressalta-se a importância de complementar as atividades do livro com outros instrumentos para acom- panhar os alunos em seu processo de aprendizagem. Desse modo, destacam-se a seguir elementos a se considerar no processo avaliativo: • o caráter processual, formativo e participativo da avaliação e sua forma contínua, cumulativa e diag- nóstica; • a avaliação como oportunidade para professor e aluno refletirem e ajustarem o desempenho; • as diferentes estratégias e oportunidades para avaliação, não deixando de considerá-las também situações de aprendizagem; • a importância de registros constantes dos avanços e dificuldades de observação e acompanhamento diário; • diferentes propostas de avaliação de aprendizagem coerentes com visões atuais de avaliação (mediadora e dialógica, diagnóstica e formativa); • instrumentos para registros como relatórios, portfó- lios, tabelas, fichas, entre outros com critérios para avaliação. Instrumentos de avaliação nas aulas de Matemática Ao diversificar os instrumentos de avaliação e autoa- valiação, o professor pode produzir momentos de apren- dizagem e atender o maior número de alunos do grupo. Como sugestão, vamos apresentar aqui, resumidamente, um leque de modalidades de avaliação. Autoavaliação: em primeiro lugar, o professor deve auxi- liar os alunos a compreenderem os objetivos da autoavalia- ção, fornecendo-lhes para isso um roteiro de orientação. Os alunos devem ser motivados a detectar suas dificuldades e a questionar as razões delas. Prova em grupo seguida de prova individual: nesta modalidade, as questões são resolvidas em grupo e, em seguida, cada aluno resolve questões do mesmo tipo indivi- dualmente. O intuito é colaborar para a metacognição, para que o aluno tenha consciência do próprio conhecimento, de suas potencialidades e dificuldades. Testes-relâmpago: os testes-relâmpago normalmen- te propõem poucas questões, uma ou duas apenas. Têm por objetivo não permitir que os alunos mantenham-se sem estudo durante longos períodos, de modo que se acumule uma grande quantidade de conteúdos. Esse recurso, além de manter os alunos atentos aos assuntos contemplados em aula, ajuda-os na familiarização com os processos avaliativos. Testes e/ou provas cumulativas: este instrumento de avaliação traz à tona conteúdos trabalhados em momentos anteriores. Tal prática contribui para que os alunos percebam as conexões entre os conteúdos e a importância de usar os conhecimentos matemáticos de forma contínua. Testes em duas fases: este tipo de teste, ou prova, é realizado em duas etapas: XVIII
- 21. 1a ) a prova é realizada em sala de aula, sem a interfe- rência do professor; 2a ) os alunos refazem a prova dispondo dos comentários feitos pelo professor. O sucesso desse instrumento depende de alguns fatores, como: • a escolha das questões deve ser norteada pelos objetivos do teste; • o conteúdo dos comentários formulados pelo profes- sor entre as duas fases; • a consciência, por parte dos alunos, de que a segun- da fase não consiste em mera correção do que está errado, mas em uma oportunidade de aprendizagem. As questões devem ser de dois tipos: • as que requerem interpretação ou justificação, e problemas de resolução relativamente breve; • as abertas, e problemas que exijam alguma investi- gação e respostas mais elaboradas. Resolução de problemas: chamamos de “problema ma- temático” aquele que envolve um raciocínio matemático na busca por solução. Pode ser resolvido individualmente ou em grupo. A atividade de resolução de problemas deve envolver, entre outros fatores: • a compreensão da situação-problema por meio de diferentes técnicas (leitura, interpretação, drama- tização etc.); • a promoção da criação de estratégias pessoais (não haver solução pronta); • a identificação do problema e a seleção e mobilização dos conhecimentos matemáticos necessários para sua resolução; • a avaliação do processo para verificar se, de fato, os objetivos estão sendo atingidos; • a interpretação e verificação dos resultados, para que se avaliem sua razoabilidade e validade. Mapa conceitual: durante a fase formal de avaliação, o professor pode solicitar aos alunos que construam o mapa conceitual sobre um tema já discutido e explorado em aula. Este tipo de instrumento propicia a verificação da aprendizagem mais aberta e pode ser usado como autoavaliação. Trabalho em grupo: para que o grupo trabalhe de fato como grupo, são fundamentais a orientação e o auxílio do professor no sentido de estimular os alunos a desem- penharem novas funções em sala de aula, em colaboração com os colegas. Um incentivo para isso é o grupo receber uma única folha de papel com as atividades propostas, para que todos resolvam em conjunto. A questão a ser respon- dida deve ser desafiadora, despertando a curiosidade e a vontade de resolvê-la. Diálogos criativos: a proposta é que os alunos produzam diálogos matemáticos em que estejam inseridos concei- tos e propriedades de determinado conteúdo. Histórias em quadrinhos: nesta modalidade, os alunos criam histórias em quadrinhos para explorar os assuntos estudados em sala de aula. Esse é um recurso que, além de intensificar o interesse pela Matemática, permite ao professor a avaliação do conhecimento assimilado pelos alunos em contextos diversificados. Seminários e exposições: são atividades que oferecem oportunidade para os alunos organizarem seu conhe- cimento matemático e suas ideias sobre os assuntos explorados em aula, além de promover a desinibição e a autonomia dos alunos. Portfólios: são coletâneas dos melhores trabalhos, que podem ser escolhidos pelos próprios estudantes. O pro- fessor deve orientá-los e sugerir que selecionem, durante um período, as atividades de Matemática que preferirem e que justifiquem as suas escolhas. É importante reforçar que um processo fecundo de ava- liação deverá considerar, além dos instrumentos apropria- dos, o estabelecimento de critérios de correção alicerçado em objetivos claros e justos. Chamamos a atenção para o tratamento que devemos dar ao “erro” nas atividades de Matemática. Ele deve ser analisado criticamente, de modo que forneça indícios de sua natureza e da correção do percurso pedagógico, para o (re)planejamento e a execução das atividades em sala de aula. Encarados com naturalidade e racionalmente tratados, os erros passam a ter importância pedagógica, assumindo um papel profundamente construtivo, e servindo não para produzir no aluno um sentimento de fracasso, mas para possibilitar-lhe um instrumento de compreensão de si próprio, uma motivação para superar suas dificuldades e uma atitude positiva para seu futuro pessoal. (PAVANELLO; NOGUEIRA, 2006, p. 37.) Por fim, a observação atenta e a percepção aguçada do professor também são relevantes no processo de avalia- ção, no sentido de detectar as aprendizagens, que muitas vezes não são reveladas pelos instrumentos avaliativos escolhidos. Seja qual for o instrumento utilizado, é fundamental que o professor estabeleça critérios de avaliação da aprendizagem matemática dos alunos para cada ano, tomando como referência as habilidades de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental. Desse modo, os objetivos de aprendizagem destacados no planeja- mento do professor precisam ser explicitados para o aluno, para que ele compreenda aonde se quer chegar, tomando o cuidado de usar uma linguagem compatível com o seu entendimento. XIX
- 22. XX XX Formação continuada e desenvolvimento profissional docente Assim como os estudantes precisam desenvolver habilidades e competências diversificadas, em sintonia com a época em que vivem, nós, professores, mais que outros profissionais, temos a máxima urgência e necessi- dade de cuidar da continuidade de nossa formação e do consequente desenvolvimento profissional. O que aprendemos na universidade e a experiência que adquirimos com a prática pedagógica não são suficientes para nos manter longe de atividades de formação. Pesqui- sas e estudos no campo da Educação Matemática e áreas afins têm nos auxiliado a encontrar as respostas para as muitas dúvidas e angústias inerentes à profissão: “O que ensinar?”, “Por que ensinar?”, “Como ensinar?”… O desenvolvimento profissional do professor deve ser entendido como um processo contínuo, que se dá ao longo de toda a vida profissional, não ocorre ao acaso, tampouco é espontâneo, mas resultado do processo de busca que parte das necessidades e dos interesses que surgem no percurso. Na realidade, a formação profissional docente tem início na experiência como aluno e na formação acadê- mica específica, do período de iniciação à docência, até edificar-se com a experiência profissional e os processos de formação continuada. Lembramos que as ações de formação continuada po- dem ser desenvolvidas por múltiplas modalidades, como leituras atualizadas, cursos, palestras, oficinas, seminários, grupos de estudos, reuniões e encontros com colegas na própria escola. Para ampliar essa proposta, indicamos instituições de educação e algumas de suas publicações, organizamos su- gestões de livros, sites e documentos oficiais que possam contribuir para um aprofundamento do conhecimento do professor e auxiliá-lo na ampliação das atividades propos- tas no livro. Instituições de estudos e pesquisas em Educação Matemática que mantêm publicações na área • Associação de Professores de Matemática (APM/ Portugal). Promove anualmente encontros nacionais como o ProfMat e o Seminário de Investigação em Educação Matemática (Siem). • Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem/USP). Promove a Virada Malba Tahan e publica a revista Malba Tahan. • Centro de Ensino de Ciências e Matemática (Cecimig/ UFMG) • Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem/Unicamp) • Departamento de Matemática do Instituto de Geo- ciências e Ciências Exatas (IGCE) da Unesp/Rio Claro • Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Mate- mática (Gepem/RJ) • Grupo de Pesquisa em Epistemologia e Ensino de Matemática (GPEEM/UFSC) • Programa de estudos e pesquisas no ensino de Ma- temática (Proem/PUC-SP) • Laboratório de Ensino de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco (Lemat/UFPE) • Laboratório de Estudos de Matemática e Tecnologias da Universidade Federal de Santa Catarina (Lemat/ UFSC) • Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) – regionais São Paulo, Minas Gerais, Bahia, Espírito Santo, Rio Grande do Sul, Rio de Janeiro etc. (A maioria das regionais mantêm publicações para professores.) • Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) • Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) • Sociedade de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC) Algumas publicações de associações e centros de Educação Matemática • Bolema (Boletim de Educação Matemática) – publi- cado pelo Departamento de Matemática do Instituto de Geociência e Ciências Exatas da Universidade Es- tadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (IGCE-Unesp), campus de Rio Claro. Disponível em: <http://www. periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema>. Acesso em: 06 set. 2018. • Boletins do Gepem – publicados pelo Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). Disponível em: <http://r1.ufrrj.br/gepem/>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Educação Matemática em Revista – publicada pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Dis- ponível em: <http://www.sbem.com.br>. Acesso em: 30 abr. 2018. XX
- 23. • Revemat:RevistaEletrônicadeEducaçãoMatemática – publicada pelo Grupo de Pesquisa em Epistemolo- gia e Ensino de Matemática (UFSC). Disponível em: <https://periodicos.ufsc.br/>.Acessoem:30abr.2018. • Revista Educação e Matemática e Revista Quadran- te – publicadas pela Associação de Professores de Matemática de Portugal. Disponível em: <https:// wordpress.apm.pt/>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Revista de História da Educação Matemática – publi- cada pela Sociedade Brasileira de História da Mate- mática. Disponível em: <http://histemat.com.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Revista do Professor de Matemática (RPM) – publicada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Revista Zetetiké – publicada pelo Centro de Estu- dos Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Unicamp). Disponível em: <https://www.cempem. fe.unicamp.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018. Sugestões de leitura Números • A compreensão de conceitos aritméticos: ensino e pesquisa. Analúcia Schliemann; David Carraher (Orgs.). Campinas: Papirus, 1998. • Materiais didáticos para as quatro operações. 5. ed. Virgínia Cardia Cardoso. São Paulo: Caem/USP, 2002. • Números: linguagem universal. Vânia Maria P. dos Santos; Jovana Ferreira de Rezende (Coords.). Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto Fundão, 1996. • Repensando adição e subtração. Sandra Magina; Tâ- nia M. M. Campos; Terezinha Nunes; Verônica Gitirana. São Paulo: Proem, 2001. • Sobre a introdução do conceito de número fracionário. Maria José Ferreira da Silva. 1997. Dissertação (Mes- trado) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. Álgebra • Álgebra: das variáveis às equações e funções. Eliane Reame de Sousa; Maria Ignes Diniz. São Paulo: IME- -USP, 1994. • Aplicações da matemática escolar. D. Bushaw; M. Bell; H. O. Pollack. São Paulo: Atual, 1997. • Aprenda Álgebra brincando. I. Perelmann. Curitiba: Hemus, 2001. • Erros e dificuldades no ensino da Álgebra: o tratamen- to dado por professoras de 7a série em aula. Renata Anastacia Pinto. 1997. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, Campinas. • Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Rômulo Campos Lins; Joaquim Gimenez. Campi- nas: Papirus, 1997. • Ressonâncias e dissonâncias do movimento pendular entre Álgebra e Geometria no currículo escolar brasi- leiro. Ângela Miorin; Antonio Miguel; Dário Fiorentini. Zetetiké. Campinas: Unicamp, n. 1, 1993. • Um estudo de dificuldades ao aprender Álgebra em situações diferenciadas de ensino em alunos da 6a série do Ensino Fundamental. Nathalia Tornisiello Scarlassari. 2007. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, Campinas. Geometria • A Matemática das sete peças do Tangram. 3. ed. Eliane Reame de Souza; Maria Ignez S. V. Diniz; Rosa Monteiro Paulo; Fusako Hori Ochi. São Paulo: Caem/ USP, 2003. • Aprendendo e ensinando Geometria. Mary M. Lind- quist; Albert P. Shulte (Orgs.). São Paulo: Atual, 1994. • Aprendendo e ensinando Matemática com geoplano. Gelsa Knijnik; Marcus Vinícius Basso; Renita Klüsener. Ijuí: Unijuí Editora, 1996. • Ensino de Geometria no virar do milênio: investigações em Geometria na sala de aula. Eduardo Veloso; Helena Fonseca; João Pedro da Ponte; Paulo Abrantes (Orgs.). Lisboa: Defcul, 1999. • Espaço e forma. Célia Maria C. Pires; Edda Curi; Tânia Maria M. Campos. São Paulo: Proem, 2000. • Experiências com Geometria na escola básica: narrati- vas de professores em (trans)formação. Adair Mendes Nacarato; Adriana A. M. Gomes; Regina Célia Grando. São Carlos: Pedro & Editores, 2008. • Geometria na era da imagem e do movimento. Maria Laura M. Leite Lopes; Lílian Nasser (Coords.). Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto Fundão, 1996. • O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas e consequências. Regina Maria Pavanello. Zetetiké. Campinas: Unicamp, n. 1, p. 7-17, mar. 1993. • O uso de quadriculados no ensino da Geometria. 4. ed. Fusako Hori Ochi; Rosa Monteiro Paulo; Joana Hissae Yokoya; João Kazuwo Ikegami. São Paulo: Caem/USP, 2003. • Por que não ensinar Geometria? Sérgio Lorenzato. Educação Matemática em Revista. Florianópolis: SBEM, n. 4, 1o sem. 1995. Grandezas e medidas • Medida e forma em Geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Elon Lages Lima. Rio de Janeiro: SBM, 2011. • Temas e problemas elementares. Eduardo Wagner; Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Augusto Cezar de Oliveira Morgado. Rio de Janeiro: SBM, 2016. XXI
- 24. XXII XXII Probabilidade e estatística • A Probabilidade e a Estatística no Ensino Fundamen- tal: uma análise curricular. Celi Aparecida Espasandin Lopes. 1998. Dissertação (Mestrado) – Unicamp, Campinas. • Encontro das crianças com o acaso, as possibilida- des, os gráficos e as tabelas. Anna Regina Lanner; Celi Aparecida Espasandin Lopes (Orgs.). Campinas: Unicamp, 2003. • Tratamento da Informação para o Ensino Fundamental e Médio. Irene Maurício Cazorla; Eurivalda dos Santos Santana. Itabuna/Ilhéus: Via Litterarum, 2006. • Tratamento da Informação: explorando dados es- tatísticos e noções de probabilidade a partir das séries iniciais. Maria Laura M. Leite Lopes (Org.). Rio de Janeiro: UFRJ, 2005. Resolução de problemas • A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. George Polya. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. • A resolução de problemas na Matemática escolar. Stephen Krulik; Robert E. Reys (Orgs.). São Paulo: Atual, 1997. • Didática da resolução de problemas de Matemática. Luiz Roberto Dante. São Paulo: Ática, 1991. • Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 5. ed. Júlia Borin. São Paulo: Caem/USP, 2004. • Ler, escrever e resolver problemas: habilidades bási- cas para aprender Matemática. Kátia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2001. Educação matemática • A Matemática e os temas transversais. Alexandrina Monteiro; Geraldo Pompeu Junior. São Paulo: Moder- na, 2001. • A Matemática na escola: aqui e agora. Délia Lernerde Zunino. Porto Alegre: Artmed, 1995. • Aplicações de Vygotsky à educação matemática. Lúcia Moysés. Campinas: Papirus, 1997. • Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Cecília Parra; Irma Saiz (Orgs.). Porto Alegre: Artmed, 1996. • Educação matemática. Maria Aparecida Viggiani Bi- cudo (Org.). São Paulo: Centauro, 2005. • Educação matemática, leitura e escrita: armadilhas, utopias e realidade. Celi Espasadin Lopes; Adair Men- des Nacarato (Orgs.). Campinas: Mercado de Letras, 2009. • Ensinar e aprender Matemática. Luiz Carlos Pais. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. • Ensino de Matemática na escola de nove anos: dú- vidas, dívidas e desafios. Vinício de Macedo Santos. São Paulo: Cengage Learning, 2014. • Escritas e leituras na Educação matemática. Adair Mendes Nacarato; Celi Espasandin Lopes (Orgs.). Belo Horizonte: Autêntica, 2005. • Etnomatemática: currículo e formação de professo- res. Gelsa Knijnik; Fernanda Wanderer; Cláudio José de Oliveira (Orgs.). Santa Cruz do Sul: Edunisc, 2004. • Etnomatemática: elo entre as tradições e a moderni- dade. Ubiratan D’Ambrosio. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. • Fundamentos da didática da Matemática. Saddo Ag Almouloud. Curitiba: UFPR, 2007. • Histórias e investigações de/em aulas de Matemáti- ca. Dario Fiorentini; Eliane Matesco Cristovão (Orgs.). Campinas: Alínea, 2006. • Investigações matemáticas na sala de aula. João Pedro da Ponte; Joana Brocardo; Hélia Oliveira. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. • Letramento no Brasil: habilidades matemáticas. Maria da Conceição F. R. Fonseca (Org.). São Paulo: Global, 2004. • Matemática e atualidade. Christiane Rousseau; Yvan Saint-Aubin. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2015. • Matemática em projetos: uma possibilidade. Celi Espasandin Lopes (Org.). Campinas: FE/Cempem/ Unicamp, 2003. • Matemática escolar e Matemática da vida cotidiana. José Roberto B. Giardinetto. Campinas: Autores As- sociados, 1999. • Matemática, estupefação e poesia. Bruno D’Amore. São Paulo: Livraria da Física, 2012. • Múltiplos olhares: Matemática e produção de conhe- cimento. Jackeline Rodrigues Mendes; Regina Célia Grando (Orgs.). São Paulo: Musa, 2007. • Para aprender Matemática. Sérgio Lorenzato. Campi- nas: Autores Associados, 2006. • Sala de aula: um espaço de pesquisa em Matemática. Cristina Maranhão; Stella Galli Mercadante. São Paulo: Vera Cruz, 2006. História da Matemática • Análise histórica de livros de Matemática. Gert Schu- bring. Campinas: Autores Associados, 2003. • História concisa das matemáticas. Dirk J. Struik. Lis- boa: Gradiva, 1998. • História da Matemática. Carl B. Boyer. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. XXII
- 25. • História na educação matemática: propostas e de- safios. Antônio Miguel; Maria Ângela Miorim. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. • História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Tatiana Roque. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. • História universal dos algarismos. Georges Ifrah. São Paulo: Nova Fronteira, 1997. • Introdução à história da Educação matemática. An- tonio Miguel; Maria Ângela Miorim. São Paulo: Atual, 1998. • Introdução à história da Matemática. Howard Eves. Campinas: Unicamp, 1997. • Os números: a história de uma grande invenção. Georges Ifrah. São Paulo: Globo, 1989. • Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. John K. Baumgart. São Paulo: Atual, 1992. • Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Geometria. Howard Eves. São Paulo: Atual, 1992. • Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Números e numerais. Bernard H. Gundlash. São Paulo: Atual, 1992. • Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria. Howard Eves. São Paulo: Atual, 1992. Jogos • Aprender com jogos e situações-problema. Lino de Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto Alegre: Artmed, 2000. • Jogos de matemática de 6o ao 9o ano. Kátia Stocco Smole; Estela Milani Diniz. Porto Alegre: Artmed, 2007. • O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e aritméticas. Rosely Palermo Brenelli. Campinas: Papirus, 1996. • O jogo e a Matemática no contexto da sala de aula. Regina Célia Grando. São Paulo: Paulus, 2004. • Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Lino de Macedo; Ana Lúcia S. Petty; Norimar C. Passos. Porto Alegre: Artmed, 2005. Tecnologia • A influência da calculadora na resolução de proble- mas matemáticos abertos. Katia Maria de Medeiros. Educação Matemática em Revista. São Paulo: SBEM, n. 14, 2003. • Ensinando com tecnologia: criando salas de aula centradas nos alunos. Judith H. Sandholtz; Cathy Ringstaff; David C. Dwyer. Porto Alegre: Artmed, 1997. • Informática e Educação matemática. Marcelo de Carvalho Borba; Miriam G. Penteado. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. • Informática educativa: dos planos e discursos à sala de aula. Ramon de Oliveira. Campinas: Papirus, 1997. • Prática pedagógica: ambientes informatizados de aprendizagem, produção e avaliação de software educativo. Celina Couto Oliveira; José Wilson Costa; Mércia Moreira. Campinas: Papirus, 2001. • Projetos de trabalho em informática: desenvolvendo competências. Sônia Petitto. Campinas: Papirus, 2003. • Uso didático da calculadora no ensino fundamental: possibilidades e desafios. Juliana de Alcântara S. Rubio. 2003. Dissertação (Mestrado) – Unesp, Marília. Avaliação • Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Helena Noronha Cury. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. • Avaliação da aprendizagem escolar. Cipriano Carlos Luckesi. São Paulo: Cortez, 2001. • Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Mate- mática: métodos alternativos. Vânia Maria Pereira dos Santos (Coord.). Rio de Janeiro: UFRJ – Projeto Fundão, 1997. • Avaliação: da excelência à regulação das aprendiza- gens. Philippe Perrenoud. Porto Alegre: Artmed, 1999. • Avaliação desmistificada. Charles Hadji. Porto Alegre: Artmed, 2001. • Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. Jussara Hoffmann. Porto Alegre: Mediação, 2000. • Currículo e avaliação: uma perspectiva integrada. Maria Palmira Castro Alves. Porto: Porto, 2004. • Desafios reais do cotidiano escolar brasileiro: 22 dilemas vividos por diretores, coordenadores e pro- fessores em escolas de todo o Brasil. Katherine K. Merseth (Coord.). São Paulo: Moderna, 2018. • O erro como estratégia didática: estudo dos erros no ensino da Matemática elementar. Neuza Bertoni Pinto. Campinas: Papirus, 2000. • Sobre avaliação em Matemática: uma reflexão. Re- gina Buriasco. Educação em Revista. Belo Horizonte: UFMG, n. 36, 2002. XXIII
- 26. XXIV XXIV Sugestões de sites • Centro de Estudos Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem/FE/Unicamp). Disponível em: <https://www.cempem.fe.unicamp. br>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Sociedade Brasileira de Educação matemática (a partir desse site é possível acessar as instituições e publicações sobre Educação Matemática no Brasil). Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/ sbembrasil/>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://www.sbm.org.br>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Com- putacional. Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de Matemática, Estatística e Ciência Computacional da Unicamp. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/lem>. Acesso em: 30 abr. 2018. • Laboratório de Ensino de Matemática, Instituto de Matemática e Estatística da USP. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/lem/> Acesso em: 06 set. 2018. Documentos oficiais MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO – CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO • Base Nacional Comum Curricular (BNCC), 2017. • Plano Nacional de Educação (PNE) 2014-2024: Linha de Base, 2015. • Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fun- damental de 9 (nove) anos – Parecer CNE/CBE no 11/2010 • Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Edu- cação Básica • Parecer CNE/CEB no 07/2010 • Decreto no 9.099/2017 • Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Introdução (cidadania, concepções de áreas, temas transversais, organização/gestão do trabalho escolar, adolescên- cia, concepção de ensino e de aprendizagem) • Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) Bibliografia consultada Livros, dissertações, artigos e documentos ABRANTES, P.; SERRAZINA, M. de L.; OLIVEIRA, J. A Matemá- tica na Educação básica. Lisboa: Ministério da Educação, Departamento de Educação básica, 1999. ANUÁRIO Estatístico do Brasil. Rio de Janeiro: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, 2016. ARAKI, T. As práticas avaliativas em sala de aula de Ma- temática: possibilidades e limites. 2005. Dissertação (Mestrado) – Universidade São Francisco, Itatiba/SP. BANNELL, R. I. et al. Educação no século XXI: cognição, tecnologias e aprendizagens. São Paulo: Vozes, 2016. BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 2001. BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2017. _______. Ensino Fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília: MEC/SEB, 2007. _______. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional nº 9.394. Brasília: MEC/SEB, 20 dez. 1996. _______. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educa- ção Básica. Brasília: MEC/SEB/Dicei, 2013. _______. Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília: Parecer CNE/ CBE no 11/2010. _______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. BURIASCO, R. Sobre avaliação em Matemática: uma re- flexão. Educação em Revista (UFMG), Belo Horizonte, n. 36, dez. 2002. CAPORALE, S. M. M. Formação continuada de professores que ensinam Matemática: possibilidades de desenvol- vimento profissional a partir de um curso de especia- lização. 2005. Dissertação (Mestrado) – Universidade São Francisco, Itatiba/SP. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, 1998. XXIV
- 27. COLL, C. Os conteúdos na reforma: ensino e aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes. Porto Alegre: Artmed, 1998. _______. Psicologia e currículo. São Paulo: Ática,1999. _______ et al. O construtivismo na sala de aula. São Paulo: Ática, 1997. _______; TEBEROSKY, A. Aprendendo Matemática. São Paulo: Ática, 2000. D’AMBROSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 2000. DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Mate- mática. São Paulo: Ática, 1989. DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática.Trad. João Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985. DEL GRANDE, J. J. Percepção espacial e Geometria primária. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Orgs.). Aprendendo e ensinando Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. DELORS, J. (Org.). Educação: um tesouro a descobrir. Rela- tório para a Unesco da Comissão Internacional sobre Educação para o século XXI. Lisboa: Edições Asa, 1996. ESTATUTO da Criança e do Adolescente: Lei no 8.069, de 13 de julho de 1990. São Paulo: Fisco e Contribuinte, [s.d.]. FAZENDA, I. Didática e interdisciplinaridade. Campinas: Papirus, 1998. FERNANDES, D. Aspectos metacognitivos na resolução de problemas de Matemática. Viana do Castelo, Por- tugal: Escola de Educação de Viana do Castelo, 1989. (Digitado) FERREIRA, M. K. L. Ideias matemáticas de povos cultural- mente distintos. São Paulo: Global, 2002. (Série Antro- pologia e Educação). FIORENTINI, D.; NACARATO, A. M.; PINTO, R. Saberes da expe- riência docente em Matemática e educação continuada. Quadrante, Lisboa, v. 8, n. 1/2, p. 33-60, 1999. _______ et al. Formação de professores que ensinam Mate- mática: um balanço de 25 anos da pesquisa brasileira. Educação em Revista, Belo Horizonte, n. 36, p. 137-160, 2002. FREIRE, P. A importância do ato de ler em três artigos que se completam. 23. ed. São Paulo: Cortez, 1989. GARCIA, J. A interdisciplinaridade segundo os PCN. Revista de Educação Pública, Cuiabá, v. 17, n. 35, set.-dez. 2008. GRANDO, R. C. O jogo e a Matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Paulus, 2004. HADJI, C. Avaliação desmistificada. Trad. Patrícia C. Ramos. Porto Alegre: Artmed, 2001. HOFFMANN, J. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 18. ed. Porto Alegre: Mediação, 2000. ITACARAMBI, R. A resolução de problemas de Geometria na sala de aula, numa visão construtivista. 1993. Disser- tação (Mestrado) – FEUSP, São Paulo. JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na Mate- mática escolar. São Paulo: Atual, 1997. LIMA, E. L. Medida e forma em Geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1991. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Orgs.). Aprendendo e ensinando Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. LOPES, A.; BERNARDES, A. et al. Actividades Matemáticas na sala de aula. Lisboa: Editora Texto, 1999. LOPES, M. L. M. L. Tratamento da informação: explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir de séries iniciais. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/ UFRJ – Projeto Fundão, 2005. LORENZATO, S. Para aprender Matemática. 2. ed. rev. Cam- pinas: Autores Associados, 2008a. (Coleção Formação de Professores). LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. São Paulo: Cortez, 2001. _______. Avaliação da aprendizagem: componente do ato pedagógico. São Paulo: Cortez, 2011. MACEDO, L. Aprender com jogos e com situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000. _______. Os jogos e o lúdico na aprendizagem escolar. Porto Alegre: Artmed, 2005. _______; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. 4 cores, senha e domi- nó: oficinas de jogos em uma perspectiva construtivista e psicopedagógica. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1997. MACHADO, S. D. A. Educação matemática: uma (nova) introdução. São Paulo: Educ, 2012. MAINGAIN, A.; DUFOUR, B. Abordagens didáticas da inter- disciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002. MARKHAM, T; LARMER, J.; RAVITZ, J. (Orgs.). Aprendizagem baseada em projetos: guia para professores de Ensino Fundamental e Médio. Porto Alegre: Artmed, 2008. XXV
- 28. XXVI XXVI MEDEIROS, K. M. de. A influência da calculadora na reso- lução de problemas matemáticos abertos. Educação Matemática em Revista, Brasília, n. 14, p. 19-28, 2003. MONTEIRO, A.; JUNIOR, G. P. A Matemática e os temas transversais. São Paulo: Moderna, 2001. MOREIRA, P. C.; DAVID, M. M. M. S. Matemática escolar, Mate- mática científica, saber docente e formação de profes- sores. Zetetiké, Campinas, v. 11, n. 19, p. 57-80, 2003. NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) Standards. Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar. Trad. Associação dos Professores de Matemática de Lisboa (APM). Lisboa, 1994. NETO, E. R. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1998. NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997. _______. ; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educa- ção matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005. PAIS, L. C. Didática da Matemática: uma análise de influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. PARRA, C.; SAIZ, I. (Orgs.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. PAVANELLO, R. M.; NOGUEIRA, C. M. I. Avaliação em Mate- mática: algumas considerações. Estudos em Avaliação Educacional, São Paulo, v. 17, n. 33, jan./abr. 2006. PERRENOUD, P. Construir competências desde a escola. Porto Alegre: Artmed, 1999. _______.10 novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000. _______ et al. As competências para ensinar no século XXI: a formação dos professores e o desafio da avaliação. Porto Alegre: Artmed, 2002. PIRES, C. M. C. Educação matemática: conversas com pro- fessores dos anos iniciais. São Paulo: Zapt Editora, 2012. POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. PONTE, J. P. da. O ensino da Matemática em Portugal: uma prioridade educativa? Conferência plenária apresenta- da no seminário “O Ensino da Matemática: situação e perspectivas”. Lisboa: CNE, 2002. ROMANATTO, M. C. O livro didático: alcances e limites. Anais. VII Encontro Paulista de Educação Matemática, 2004, São Paulo. SANTOS, V. M. P. dos. Avaliação de aprendizagem e raciocí- nio em Matemática: métodos alternativos. Rio de Janei- ro: Instituto de Matemática da UFRJ, 1997. v. 1. 224 p. SÃO PAULO (SP). Secretaria Municipal de Educação. Coor- denadoria Pedagógica. Currículo da Cidade: Ensino Fun- damental – Matemática. São Paulo: SME/Coped, 2017. SILVA, J. F. da; HOFFMANN, J.; ESTEBAN, M. T. (Orgs.). Prá- ticas avaliativas e aprendizagens significativas: em diferentes áreas do currículo. 10. ed. Porto Alegre: Mediação, 2013. SMOLE, K. S. ; DINIZ, M. I. (Orgs.). Ler, escrever e resolver pro- blemas: habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. TAILLE, Y. de la. Limites: três dimensões educacionais. São Paulo: Ática, 2002. TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática: como dois e dois: a construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997. VILELA, D. S. Matemática nos usos e jogos de linguagem: ampliando concepções na Educação matemática. 2007. Tese (Doutorado) – FE/Unicamp, Campinas/SP. ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998. Sites • Portal da base (link Material de apoio). Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov. br/>. Acesso em: 28 maio 2018. • Estudo comparativo das versões da base – Consed e Undime. Disponível em: <http://cnebncc.mec.gov.br/docs/ BNCC_Estudo_Comparativo.pdf>. Acesso em: 28 maio 2018. • Indagações sobre o currículo – Currículo e Avaliação. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/ arquivos/pdf/Ensfund/indag5.pdf>. Acesso em: 28 maio 2018. • Currículo da cidade – São Paulo (Conceitos na parte Introdutória de todos os cadernos e caderno especial para tecnologias para aprendizagem). Disponível em: <http://portal.sme.prefeitura.sp.gov. br/Portals/1/Files/47272.pdf>. Acesso em: 06 set. 2018. • Site de comunicação e mobilização social voltado para a educação brasileira (indicação do MEC em Reunião Técnica sobre materiais digitais). Disponível em: <http://porvir.org/>. Acesso em: 28 maio 2018. XXVI
- 29. XXVII ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS O livro do 6o ano é composto de doze capítulos em que se desenvolvem as cinco Unidades Temá- ticas propostas pela BNCC: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, intercaladas e, sempre que possível, integradas, exploradas no corpo do texto explicativo e nas atividades. Com o intuito de complementar, ampliar e enriquecer o conteúdo desenvolvido, aparecem ao longo do livro as seções especiais: Para saber mais, Trabalhando a informação e Diversificando. A seguir, apresentamos a distribuição dessas seções no livro do 6o ano. Para saber mais Capítulos Títulos Capítulo 1 (p. 20) Utilizando outros agrupamentos Capítulo 2 (p. 33, 36, 53) Arredondar para fazer estimativas Quadrado mágico Multiplicação hindu Capítulo 4 (p. 92, 104) Sequências numéricas mdc e mmc Capítulo 5 (p. 119) A temperatura e a Álgebra Capítulo 6 (p. 135) Ilusão de óptica Capítulo 10 (p. 260, 270) Uma propriedade importante dos triângulos Ladrilhamento Capítulo 11 (p. 292, 305) Planta baixa de uma casa Pesquisando no geoplano Capítulo 12 (p. 328) Estimativas e medidas Trabalhando a informação Capítulos Títulos Capítulo 1 (p. 26) Construindo tabelas Capítulo 2 (p. 42, 70) Interpretando um gráfico de colunas Interpretando um gráfico de barras Capítulo 3 (p. 82) Lendo embalagens Capítulo 4 (p. 106) Construindo um gráfico de barras Capítulo 5 (p. 116) Construindo um gráfico de colunas Capítulo 7 (p. 162, 169) Porcentagem nas ondas do rádio Interpretando um gráfico de setores Capítulo 8 (p. 182, 205) Operando com porcentagens Calculando probabilidades Capítulo 9 (p. 238) Trabalhando com média Capítulo 10 (p. 271) A probabilidade das cores
- 30. XXVIII Diversificando Capítulos Títulos Capítulo 1 (p. 29) Quando a base é outra Capítulo 2 (p. 72) Relações algébricas no quadrado mágico Capítulo 3 (p. 84) Ampliar e reduzir Capítulo 5 (p. 122) Desafiando a sua inteligência Capítulo 10 (p. 278) Poliedros com massinha Capítulo 11 (p. 308) Tangram Cada capítulo aborda objetos de conhecimento, entendidos como conteúdos, conceitos, processos, com a intenção de desenvolver as habilidades relacionadas a eles. Esses conhecimentos são articulados, retomados e ampliados a fim de proporcionar sua apropriação pelos alunos, considerando a aprendiza- gem um processo contínuo e integrado. Os conteúdos matemáticos são desenvolvidos de modo que as habilidades, as Unidades Temáti- cas, as competências e outras áreas do conhecimento se articulem e se relacionem e são tratados na perspectiva das aprendizagens dos anos anteriores e posteriores. Assim, no livro do 6o ano do Ensino Fundamental, levamos em conta os objetivos de aprendizagem para o 5o ano, conforme proposto na BNCC, visando preparar os alunos para se apropriarem dos conhecimentos previstos para o 7o ano. A seguir, são feitos comentários sobre cada capítulo e o se que pretende que os alunos desenvol- vam neles. Os conteúdos trabalhados são relacionados aos objetos de conhecimento e às habilidades da BNCC. Há ainda textos complementares e sugestões de atividades, que possibilitam a ampliação do co- nhecimento. CAPÍTULO A seleção brasileira foi tetracampeã no futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio, em 2016. O futebol de cinco é uma modalidade de futebol praticada por deficientes visuais, exceto os goleiros, e exige silêncio das arquibancadas. Isso porque a bola tem guizos internos, que sinalizam a posição exata dela para os jogadores. Um guia (chamador), posicionado atrás do gol adversário, orienta os jogadores de ataque de sua equipe. A quadra do futebol de cinco tem comprimento de 38 a 42 metros e largura de 18 a 22 metros. Cada partida tem dois tempos com duração de 25 minutos cada um. 1Números Capítulo Brasil vence o Irã na final do futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, no Rio de Janeiro. BOB MATIN/GETTY IMAGES 11 CAPÍTULO 1 1 Números Neste capítulo, são desenvolvidos objetos de conhecimento da Unidade Temática Números. Nos conteúdos e atividades propostos, foram consideradas as aprendizagens dos anos iniciais do Ensino Fundamental, especialmente as do 5o ano (EF05MA01), relativas aos sistemas de numeração e números naturais. Esse é o momento de ampliação dos conhecimentos desenvolvidos, na perspectiva de que a continui- dade desse processo conduza o aluno a se apropriar das características do sistema de numeração decimal e da sequência dos números naturais. Para isso, apresentam-se conceitos e atividades que conduzam os alunos a reconhecer os principais aspectos dos números naturais: leitura, escrita e comparação. Para que se perceba a supremacia do sistema de numeração indo-arábico, abordam-se outros sis- temas de numeração desenvolvidos por antigas civilizações, como o egípcio e o romano, entre outros. Nessa exploração, espera-se que os alunos mobilizem seus conhecimentos acerca das operações com números naturais, desenvolvidos nos anos anteriores, para a compreensão das características desses sistemas de numeração.
- 31. XXIX Além disso, ao ampliar os conhecimentos que os alunos já têm sobre os números naturais, espera- -se prepará-los para a apropriação de outros tipos de número e a ampliação dos conjuntos numéricos que serão estudados posteriormente, caso dos números inteiros, abordados no 7o ano do Ensino Fun- damental (EF07MA03). Para promover a articulação entre as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística, destaca-se a habilidade relacionada a interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisa apresentados em tabelas. Essa ação amplia os conhecimentos desenvolvidos no 5o ano (EF05MA24) e relaciona-os com aqueles a serem abordados no 7o ano (EF07MA36). No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógi- cas a serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. Capítulo 1 – Números Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Emprego do número e suas diferentes funções • Sistemas de numeração • Sistema de numeração indo-arábico • Leitura e escrita de números: ordem e classes • Números naturais: sequência, antecessor e sucessor • Comparação de números naturais e reta numérica Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. • Construção de tabelas Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. CAPÍTULO A delegação brasileira superou marcas relevantes e quebrou recordes históricos nos Jogos Paralímpicos Rio 2016. O destaque ficou por conta do total de medalhas conquistadas nas arenas cariocas: 72, o maior número de pódios do país em todas as edições, superando, em muito, a marca anterior de 47, que havia sido estabelecida em Pequim (2008). Já em comparação com os Jogos de Londres (2012), o crescimento no número total de medalhas é ainda mais expressivo: 67%. Fonte: BRASIL supera marcos históricos nos Jogos Paralímpicos Rio 2016. Comitê Paralímpico Brasileiro, 18 set. 2016. Disponível em: <http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera- marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016>. Acesso em: 14 set. 2017. LUCAS UEBEL/GETTY IMAGES 2Operações com números naturais Capítulo Cena da abertura dos Jogos Paralímpicos Rio 2016, no Rio de Janeiro. 30 CAPÍTULO 2 2 Operações com números naturais Neste capítulo serão aprofundados os conhecimentos acerca dos números naturais. Serão exploradas as operações entre eles, considerando a Unidade Temática Números, dando continuidade e ampliando o que foi abordado no capítulo anterior. O estudo das quatro operações fundamentais toma por base os conhecimentos consolidados até o 5o ano do Ensino Fundamental e tem como foco aqueles que serão explorados no 7o ano, entre eles a resolução de problemas envolvendo operações com números inteiros (EF07MA04).
- 32. XXX Ainda nessa Unidade Temática, são apresentadas as operações potenciação e radiciação com nú- meros naturais, conhecimentos que se articulam com aqueles a serem desenvolvidos no ano seguinte com relação aos números inteiros. A Unidade Temática Álgebra articula-se com a Unidade Temática Números na seção Diversifican- do, na qual se aplica a propriedade aditiva da igualdade, considerando o cenário das aprendizagens do 5o ano (EF05MA10). A Unidade Temática Geometria é abordada na construção de algoritmo para resolver situações passo a passo, o que ocorre na seção Para saber mais ao se apresentar o procedimento da multiplicação hindu. Interpretar gráficos de colunas e de barras é a abordagem proposta neste capítulo para a Unidade Temática Probabilidade e estatística. Cabe observar que tais conhecimentos foram tratados no 5o ano (EF05MA24), sendo agora ampliados e aprofundados na perspectiva de preparar os alunos para, no ano seguinte, utilizarem gráficos para comunicar informações obtidas na realização de pesquisa (EF07MA36). Ainda nessa Unidade Temática, destacamos a construção de árvore das possibilidades ligada ao raciocínio combinatório da multiplicação, que desenvolve a habilidade (EF06MA34). Capítulo 2 – Operações com números naturais Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Comparação de números naturais Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. • Situações de adição e suas propriedades • Situações de subtração • Arredondamento e estimativas • Procedimentos de cálculo mental envolvendo adição e subtração • Expressões numéricas com adições e subtrações • Situações de multiplicação e suas propriedades • Situações de divisão, a propriedade fundamental e procedimentos de cálculo mental • Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais • Potenciação e radiciação com números naturais Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais Divisão euclidiana (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. • Construção de algoritmo passo a passo apresentando o cálculo de multiplicação por método hindu Construção de retas paralelas e perpendiculares fazendo uso de réguas, esquadros e softwares (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
- 33. XXXI Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Interpretação de gráficos de colunas e de barras Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. • Construção de árvore de possibilidades Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.). CAPÍTULO No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas (pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria). Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e suas características. 3Estudando figuras geométricas Capítulo Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.) MIRA/ALAMY/FOTOARENA CAPÍTULO 3 73 3 Estudando figuras geométricas Os conceitos e atividades relacionados ao estudo de figuras geométricas planas e figuras geométri- cas não planas são o foco neste capítulo, desenvolvendo a Unidade Temática Geometria, envolvendo também os tópicos de características de sólidos e elementos de um poliedro. Vale ressaltar que ativi- dades relacionadas a figuras geométricas foram desenvolvidas no 5o ano (EF05MA16 e EF05MA17) e sua retomada e ampliação pretendem consolidar esse conhecimento. Ainda na Unidade Temática Geometria, este capítulo traz também a construção de figuras planas semelhantes em situações de ampliação e redução, aprofundando os conhecimentos abordados sobre esse tema no 5o ano (EF05MA18). Os conhecimentos desenvolvidos sobre leitura de dados expressos em tabela, realizados no capítulo anterior, serão suporte para a articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística neste capítulo, em que os alunos procurarão informações em embalagens. Capítulo 3 – Estudando figuras geométricas Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Origem da Geometria • Figuras geométricas planas e figuras geométricas não planas • Sólidos geométricos: corpos redondos e poliedros • Elementos de um poliedro • Prismas e pirâmides Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas) (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
- 34. XXXII Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Ampliação e redução de figuras Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas (EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais. • Leitura de informações contidas em embalagens e seus rótulos Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. CAPÍTULO Terremotos, maremotos, tsunamis, tempestades solares... O calendário maia de conta longa previa o fim do mundo para 21/12/2012? Essa é uma história quase tão longa quanto os 1.872.000 dias do seu grande ciclo. Contaremos apenas horas, dias e outros múltiplos períodos desse calendário. O Haab, calendário civil maia (11/8/3114 a.C.-21/12/2012 d.C.), é organizado em 18 períodos (uinal) de 20 dias (kin), que formam o tun (18 8 20 5 360). Ao tun é adicionado um período (uayeb) de 5 dias de sacrifício em preparação ao novo ano (360 1 5 5 365). A contagem das seis horas que sobram no movimento de translação do Planeta, o que nos permite ter um ano bissexto de 4 em 4 anos, é corrigida a partir de um ciclo chamado “1.508 haab”, que é equivalente a 1.507 anos solares. Dados obtidos em: SANTANA, Ana Lucia. Calendário Maia. Infoescola, s/d. Disponível em: <https://www.infoescola. com/civilizacoes-antigas/calendario-maia/>. Acesso em: 13 nov. 2017. 4Divisibilidade Capítulo Representação do Haab, calendário civil maia. (Sem data.) ZIMMYTWS/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES Terremotos, maremotos, tsunamis, tempestades solares... O calendário maia de conta 4 4 Representação do Haab, calendário civil maia. (Sem data.) 85 CAPÍTULO 4 4 Divisibilidade Neste capítulo, articulam-se todos os conhecimentos trabalhados nos capítulos anteriores que dizem respeito a Números. Assim, retomam-se atividades que envolvem as operações com números naturais na resolução de problemas, que compreendem as noções de múltiplos, divisores e critérios de divisibilidade. Além desses conteúdos, são abordados também números primos, números compostos e decompo- sição de um número natural em fatores primos. Todos esses conhecimentos articulados constituem-se como subsídios para os estudos sobre a Unidade Temática Números a serem desenvolvidos no 7o ano do Ensino Fundamental, entre os quais destacamos múltiplos e divisores de um número natural (EF07MA01). As Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística articulam-se nas atividades apre- sentadas na seção Trabalhando a informação, com o objetivo de reconhecer elementos e interpretar informações expressas em tabelas e em gráficos de barras. Esse trabalho foi iniciado nos capítulos anteriores e é ampliado agora com a construção de gráficos de barras. No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. Capítulo 4 – Divisibilidade Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Resolução de problemas que envolvam cálculos mentais ou escritos com números naturais Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais Divisão euclidiana (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
- 35. XXXIII Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Múltiplo e divisor de um número natural • Sequências numéricas • Critérios de divisibilidade • Números primos e números compostos • Decomposição de um número natural em fatores primos • mdc e mmc Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. • Construção de gráficos de barras Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. CAPÍTULO As palavras algarismo e algoritmo, comuns nos livros de Matemática, têm origem no nome de Al-Khwarizm , o maior matemático da época de ouro do islamismo, no século IX, em Bagdá. Um dos mais importantes livros árabes da Idade Média, escrito por Al-Khwarizm , cujo título é Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr al-muqabala (“Pequena obra sobre o cálculo da redução e da confrontação”), deu origem à palavra álgebra. Trata-se de um livro sobre a resolução de equações (a ser estudada no próximo ano) com o auxílio de duas operações: al-jabr, que seria a “restauração” ou a “transposição de termos”, e al-muqabala, que seria a “redução de termos semelhantes”. 5Um pouco de Álgebra Capítulo Estátua de Al-Khwarizm na cidade de Khiva, Uzbequistão. (Foto de 2014.) RAIMUND FRANKEN/GETTY IMAGES 109 CAPÍTULO 5 5 Um pouco de Álgebra Situações que desenvolvem o pensamento algébrico são o foco deste capítulo, que trata da Uni- dade Temática Álgebra. Essas situações tomam por base tópicos tratados nos anos iniciais do Ensino Fundamental, em especial no 5o ano (EF05MA10 e EF05MA11), aprofundando o conceito de variável e as propriedades da igualdade, levando em conta os conhecimentos abordados no capítulo anterior sobre múltiplos e divisores. As Unidades Temáticas Álgebra e Números articulam-se com a presença das operações com números naturais no processo de investigação de propriedades algébricas e em algumas demonstrações. Além disso, esses conteúdos associam-se com a Unidade Temática Geometria na construção de algoritmos para resolver situações de generalização do padrão de sequências geométricas. Por fim, a Unidade Temática Álgebra se articula com as Unidades Temáticas Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística nas atividades das seções Para saber mais (“A temperatura e a Álgebra”) e Trabalhando a informação (“Construindo um gráfico de colunas”), respectivamente. Os conhecimentos tratados neste capítulo constituem-se como subsídios para a compreensão dos estudos sobre a Unidade Temática Álgebra a serem desenvolvidos no 7o ano do Ensino Fundamental (EF07MA13 e EF07MA15).
- 36. XXXIV Capítulo 5 – Um pouco de Álgebra Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Resolução de problemas que envolvam cálculos com números naturais Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais Divisão euclidiana (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. • Variável e generalizações • Demonstrações de alguns critérios de divisibilidade Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. • Propriedades da igualdade Propriedades da igualdade (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. • Construção de algoritmo para resolver situações de generalização do padrão de sequências geométricas Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). • Construção de gráficos de colunas Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. CAPÍTULO 6Um pouco de Geometria plana Capítulo Kumi Yamashita. Constellation. 2011. Painel de madeira, tachinhas e linha. 40 cm 3 30 cm. Uma obra de arte que surge de pregos e de linhas – pontos e segmentos de reta – sobre a madeira – plano. A Geometria está no mundo e na imaginação, basta saber olhar para fora e... para dentro de si. ACERVO DA ARTISTA – NEW YORK 123 CAPÍTULO 6 6 Um pouco de Geometria plana Este capítulo amplia e aprofunda os conhecimentos acerca das figuras geométricas planas explo- rados no 5o ano do Ensino Fundamental (EF05MA17), integrantes da Unidade Temática Geometria, e também auxilia na apropriação de conhecimentos que serão abordados no 7o ano, cujos conteúdos relacionam-se a transformações geométricas (EF07MA19).
- 37. XXXV As atividades desenvolvidas consideram tópicos básicos de Geometria plana, apresentando a ideia dos entes primitivos (ponto, reta e plano), alguns subconjuntos (semirreta e segmento de reta) e algumas relações entre eles (posições relativas de duas retas no plano). Exploram ainda o conceito, a medida e tipos de ângulos, e a construção de retas paralelas e de retas perpendiculares, traçadas com o uso de régua e esquadro e também com o uso de software. Capítulo 6 – Um pouco de Geometria plana Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares (EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). • Entes primitivos: ponto, reta e plano e suas relações • Posições relativas de duas retas em um plano • Semirreta e segmento de reta • Ângulos e suas medidas • Tipos de ângulos Ângulos: noção, usos e medida (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais. CAPÍTULO Desprendeu-se na Antártica um dos maiores icebergs já identificados pela ciência, informou o relatório divulgado nesta quarta-feira por pesquisadores do Project Midas. O bloco gigante de gelo tem 5,8 mil quilômetros quadrados, 200 metros de espessura e pesa mais de um trilhão de toneladas — equivalente à área do Distrito Federal, no Brasil. O satélite Aqua, dos Estados Unidos, captou o iceberg ao passar próximo à plataforma Larsen C e identificou água limpa entre o bloco e o continente. Fonte: ICEBERG do tamanho de Brasília se desprende na Antártica. Gazeta Online, 12 jul. 2017. Disponível em: <http://www.gazetaonline.com.br/noticias/mundo/2017/07/iceberg-do-tamanho-de-brasilia-se-desprende-na- antartica-1014076632.html>. Acesso em: 04 out. 2017. Você sabia que a parte visível de um iceberg corresponde a apenas 10 1 do seu volume e a 7 1 da sua altura? 7Números racionais na forma de fração Capítulo Plataforma Larsen C, na Antártica, monitorada por satélite. (Foto de 2017.) BRITISH ANTARTIC SURVEY/AFP 148 CAPÍTULO 7 7 Números racionais na forma de fração Este capítulo trata de objetos de conhecimento da Unidade Temática Números, amplifica e detalha os conhecimentos tratados no 5o ano do Ensino Fundamental sobre números racionais na forma de fração (EF05MA03, EF05MA04 e EF05MA05), visando preparar o aluno para a continuidade desse estudo no 7o ano (EF07MA08 e EF07MA010). Os conteúdos e atividades propostos exploram, inicialmente, o conceito de número racional na forma de fração por meio da ideia de medida e abordam situações diversas que apresentam o uso de frações em variados contextos, de modo a consolidar e ampliar os conhecimentos construídos anteriormente. Nas situações que apresentam a fração como razão, retoma-se a forma porcentual, aprofundando o cálculo com porcentagens e estimativas em diferentes circunstâncias. Essas situações também abordam de forma mais aguda os conceitos de equivalência e comparação de frações. As Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística articulam-se em situações que en- volvem análise de informações e interpretação de gráficos de colunas simples e de setores, com dados expressos em porcentagens.
- 38. XXXVI Capítulo 7 – Números racionais na forma de fração Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Resolução de problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor no contexto de frações equivalentes e simplificação de frações Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. • Noção de fração: parte/ todo • Número racional na forma de fração • Leitura e registro de frações • Fração como quociente • Forma mista • Frações equivalentes • Simplificação de frações • Comparações de frações Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. • Fração como razão • Forma porcentual • Cálculo de porcentagens • Resolução de problemas envolvendo frações e porcentagem Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três” (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. • Resolução de problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. • Interpretação de gráficos de colunas e de setores Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. • Coleta de dados de pesquisa Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
- 39. XXXVII CAPÍTULO 176 CAPÍTULO 8 Bioma Caatinga Bioma Pampa Bioma Mata Atlântica Bioma Amazônia Bioma Cerrado Bioma Ambientes Marinhos Bioma Pantanal OCEANO ATLÂNTICO OCEANO PACÍFICO 50º O EQUADOR 0º TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO Nos estudos sobre o meio ambiente, chama-se bioma o conjunto de sistemas que formam uma comunidade (todos os organismos, animais e vegetais, que habitam um mesmo ambiente) estável e desenvolvida, adaptada às condições naturais de uma região, e geralmente caracterizada por um tipo principal de vegetação. Este mapa representa os biomas brasileiros de modo simplificado, reunindo-os em sete grandes biomas. 8 Capítulo Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Moderno Atlas Geográfico. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2016. BRASIL — DIVISÃO POR BIOMAS SONIA VAZ SOBRE IMAGEM DE NATIONAL OCEANIC AND ATMOSPHERIC ADMINISTRATION/SCIENCE SOURCE/ FOTOARENA Operações com números racionais na forma de fração NE L O SE S N NO SO 390 km 8 Operações com números racionais na forma de fração Este capítulo dá continuidade ao estudo de frações, iniciado no capítulo anterior, ao abordar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, com base nas operações com números naturais e as noções de múltiplos e divisores, vinculadas à Unidade Temática Números. As Unidades Temáticas Números e Geometria articulam-se na apresentação da potenciação de frações, na qual se destaca o passo a passo para a obtenção da potência 2 1 3 c m . Vinculam-se, ainda, as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística por meio do cál- culo de probabilidades expressas na forma de fração e na forma porcentual. Além disso, apresentam-se situações que envolvem dados de pesquisa com gráficos de setores e de barras para serem interpre- tadas e resolvidas. No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. Capítulo 8 – Operações com números racionais na forma de fração Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Resolução de problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor no contexto de frações equivalentes e simplificação de frações nas operações com frações Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. • Adição e subtração com frações de mesmo denominador e com denominadores diferentes • Multiplicação e divisão envolvendo frações • Potenciação envolvendo frações com expoente natural • Expressões numéricas envolvendo frações Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. • Situações que envolvem operações na forma porcentual • Cálculo de porcentagens Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três” (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
- 40. XXXVIII Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Situações que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. • Construção de algoritmo na resolução de situações passo a passo (como na construção de dobraduras) Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). • Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) (EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos. • Interpretação e resolução de situações com informações apresentadas em gráficos de setores e de barras Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. CAPÍTULO Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica, nem sempre tem a sua importância reconhecida. 9 Capítulo Fonte: ABI – 100 anos lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. Disponível em: <http://www. abi.org.br/poeta-cria-cordel-inspirado-na-campanha-de-cem-anos-da-abi/>. Acesso em: 31 jul. 2017. Números racionais na forma decimal e operações A vírgula A vírgula pode ser uma pausa… ou não. Não, espere. Não espere. Ela pode sumir com seu dinheiro. 23,4. 2,34. [...] MARTIN KONOPKA/EYEEM/GETTY IMAGES 207 CAPÍTULO 9 9 Números racionais na forma decimal e operações Os números racionais na forma decimal foram estudados no 4o e 5o anos do Ensino Fundamental. Neste momento, esses conhecimentos serão expandidos e aprofundados na perspectiva da cons- trução de novos conhecimentos, o que favorece a sua apropriação pelos alunos e os prepara para o detalhamento do estudo desse tema no 7o ano do Ensino Fundamental (EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA012). Assim, as atividades abordam conhecimentos relativos à notação decimal dos números racionais positivos, à ampliação do sistema de numeração decimal para as ordens decimais, à ordenação de nú- meros racionais na forma decimal e sua relação com pontos da reta numérica, às operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação com números racionais na forma decimal, ao cálculo de porcentagens na forma decimal e ao uso da calculadora. Nesse caso, as Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística associam-se em ativi- dades de cálculo de média aritmética e de interpretação de gráfico de duplas colunas.
- 41. XXXIX Capítulo 9 – Números racionais na forma decimal e operações Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Números racionais na forma decimal: leitura, escrita, comparação e ordenação • Ampliação do sistema de numeração decimal para as ordens decimais Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. • Frações decimais e a representação na forma decimal dos números racionais • Representações decimais equivalentes Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. • Adição e subtração envolvendo números racionais na forma decimal • Multiplicação e divisão envolvendo números racionais na forma decimal • Potenciação envolvendo números racionais na forma decimal com expoente natural • Expressões numéricas envolvendo números racionais na forma decimal • Representação decimal de frações não decimais Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. • Cálculos aproximados Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. • Cálculo de porcentagens envolvendo números racionais na forma decimal Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três” (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
- 42. XL Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Interpretação e resolução de situações que envolvam dados de pesquisas apresentados em tabelas e gráficos Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Texto complementar Frações decimais Embora o sistema de numeração posicional hindu já estivesse assentado no século V ou VI, sua extensão às frações decimais só ocorreu um milênio mais tarde. A ideia das frações decimais apareceu primeiro em raízes aproximadas de números irracionais. Por volta do século XII, João de Sevilha acrescentou 2n zeros ao número dado, calculou a raiz quadrada, e tomou esta raiz como o numerador de uma fração cujo denominador era 1 seguido de n zeros. O alemão Adam Riese (1522) deu uma tábua de raízes quadradas, afirmando que, como os números tinham sido multiplicados por 1.000.000, as raízes eram 1.000 vezes maiores. A raiz quadrada de 2 aparece assim como 1.414, embora as partes inteiras e fracionárias figurassem em colunas separadas. Outro alemão, Christoff Rudolff, ao construir uma tábua de juros compostos para um livro em 1530, usou uma barra vertical exatamente como usamos hoje a vírgula decimal. É possível, pelo menos, que a ideia de fração decimal na Europa tenha surgido através dos contatos com o Oriente. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi (cerca de 1430) multiplicou 25,07 por 14,3 obtendo 358,501, embora não tivesse usado uma vírgula decimal como tal. Al-Kashi, por sua vez, pode ter sido influenciado pelos chineses e indianos, entre os quais se encontrou um certo emprego sistemático de frações decimais. Em 1579, o francês François Viète (também conhecido como Vieta) publicou um trabalho que incluía o uso sistemático de frações decimais (usando tanto a vírgula como uma barra vertical como separatriz) e uma defesa intensa de sua adoção por todos os matemáticos. Apesardessassugestõespreliminares,ainvençãodasfraçõesdecimaiséatribuída,namaioriadasvezes,aocientista holandês Simon Stevin. Em 1585 Stevin publicou La Disme, um livreto de sete páginas em que explicava as frações decimais e dava regras para sua aplicação às operações aritméticas. A ideia de Stevin foi transmitida à Inglaterra atravésdeumatradução,em1608,deLaDisme;nocontinenteeuropeu,osuíçoJobstBürgi(1592)eoalemãoJohann Hartmann Beyer (1603) publicaram tratados sobre decimais. Beyer, inclusive, reivindicou para si a sua invenção. O único aprimoramento significativo introduzido na formulação de Stevin das frações decimais foi quanto à notação. Stevin escrevia 5,912 como 0 1 2 3 5 9 1 2 Ou 5 0 9 1 1 2 2 3 Várias sugestões foram feitas para se separarem as partes inteira e fracionária de um numeral. Alguns autores escreviam 75/321, outros 75321 , e outros ainda 75,321. O maior impulso ao uso de frações decimais resultou da invenção dos logaritmos. Embora os primeiros loga- ritmos (publicados por John Napier em 1614) não contivessem frações decimais, elas apareceram na versão inglesa de 1616 com um ponto como separatriz decimal. Em sua Rabdologia, de 1617, em latim, Napier propôs a notação 1993,273 (com a sugestão de um ponto ou uma vírgula), embora ele também usasse 821,2’5” para o atual 821,25. Mesmo hoje, apesar do amplo uso da notação decimal, não há uma forma universalmente aceita para a “separatriz decimal”. Para 3.25 (notação americana) os ingleses escrevem 3 ∙ 25 e os alemães e franceses 3,25. MILLER, Leland; FEY, James. “Frações decimais”. In: DAVIS, Harold T. (Org.). Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: computação.Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992.
- 43. XLI CAPÍTULO 248 CAPÍTULO 10 Wassily Kandinsky (1866-1936) estudou Direito e Economia, mas foi como pintor que se realizou. Em 1895, em visita a uma exposição em Moscou sobre o Impressionismo francês, vê um quadro de Monet que o desperta para a Arte. A sua primeira influência foi a escola impressionista, que o levou a perceber, segundo suas palavras, que a obra de arte não precisava se resumir a imitar a natureza. 10Polígonos e poliedros Capítulo Wassily Kandinsky. Curva dominante. 1936. Óleo sobre tela. 129,3 cm 3 194,3 cm. COLEÇÃO SOLOMOM R/MUSEU GUGGENHEIM, NOVA YORK 10 Polígonos e poliedros Os conhecimentos desenvolvidos ao longo do 5o ano do Ensino Fundamental acerca de polígonos, plano cartesiano e figuras geométricas não planas são, neste momento, retomados, ampliados e aprofundados. A perspectiva é de que o estudo das características de triângulos e quadriláteros e sua representação no plano cartesiano constitua embasamento necessário a fim de que, durante o 7o ano, os alunos estudem e realizem transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano (EF07MA19), entre outros assuntos. Os conceitos e atividades ligados à Unidade Temática Geometria, foco deste capítulo, são abordados em dois momentos. A primeira abordagem trata de tópicos de Geometria plana, situação na qual se desenvolve a ideia de linha poligonal, de modo que os alunos possam ampliar e consolidar a noção de polígono e de seus elementos, promove o reconhecimento, a nomeação, a comparação e a classificação de triângulos e quadriláteros e trata da representação de vértices de polígonos no plano cartesiano. Algumas atividades exploram também a construção de triângulos com o uso de régua, compasso e transferidor e a análise de algumas de suas propriedades. A segunda abordagem insere-se nos estudos de figuras geométricas não planas. Nesse momento, espera-se que os alunos quantifiquem e relacionem o número de vértices, de faces e de arestas de prismas e pirâmides ao polígono que determina suas bases. Algumas das atividades vinculam-se também a outras Unidades Temáticas, caso da seção Para saber mais, que apresenta o tema “Ladrilhamento” e trabalha a noção de área, relativa à Unidade Temática Grandezas e medidas. Já a seção Trabalhando a informação explora o tema “A probabilidade das cores”, situação na qual se trabalha o cálculo de probabilidades, relativo à Unidade Temática Probabilidade e estatística. No Manual do Professor – Digital encontram-se sugestões de Planos de desenvolvimento para este bimestre. Neles há uma seleção de objetos de conhecimento, habilidades e práticas pedagógicas a serem utilizados ou adaptados de acordo com a sua realidade ou necessidade para o período. Capítulo 10 – Polígonos e poliedros Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Conceito de par ordenado e sua representação geométrica no plano cartesiano • Localização de vértices de polígonos no plano cartesiano Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados (EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono. • Classificação de poliedros e planificação de sua superfície • Quantificação de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides • Desenvolvimento da percepção espacial Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas) (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
- 44. XLII Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Conceito e reconhecimento de linhas poligonais e de polígonos • Nomeação e comparação de polígonos considerando seus lados, vértices e ângulos internos • Classificação de polígonos em regulares ou não • Identificação das características de um triângulo e de um quadrilátero • Classificação de triângulos quanto às medidas de seus lados e quanto às medidas de seus ângulos internos • Classificação de quadriláteros quanto ao paralelismo de seus lados Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados (EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles. • Construção de triângulos com o uso de régua, compasso e transferidor e discussão de algumas propriedades Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares (EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). • Ladrilhamento de superfície poligonal explorando a noção de área Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. • Cálculo da probabilidade de um evento em um experimento aleatório Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) (EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos. • Identificação de variáveis e suas frequências Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. Texto complementar A Matemática do origami O papel aceita tudo. Isso vale também no contexto do estudo da Matemática do origami? O ditado, aplicado ao ato de escrever, parece ser verdade também quando o computador nos dá os passos de dobradura para che- garmos a uma determinada figura com um pedaço de papel.
- 45. XLIII Praticado por séculos como atividade lúdica e artística, só recentemente o origami passou a ser atração aca- dêmica como objeto de estudos científicos. “Os pesquisadores foram atraídos provavelmente porque o origami instigou seus talentos matemáticos e científicos”, afirma o matemático Thomas Hull, do Merrimack College, de North Andover, nos Estados Unidos, e editor do “Imagiro”, publicação bimensal sobre origami que tem entre seus autores os mais renomados estudiosos no assunto. “Tudo começou como um hobby para alguns pesquisadores”, continua Hull. Ele conta que começou a prati- car origami aos oito anos de idade. Na pós-graduação, percebeu que poderia estudar a Matemática dessa arte e encontrou vários trabalhos sobre o assunto. De hobby, o origami passou então a ser objeto de estudos matemáticos dos acadêmicos. Eles perceberam que a dobradura poderia ser usada para descrever movimentos e processos na natureza e na ciência, como o batimento das asas de um pássaro ou a deformação da capota de metal de automóveis em colisões. Os estudiosos passaram, então, a desenvolver teoremas para descrever os padrões matemáticos que viam nas dobraduras. Na Matemática, o origami pode ser tratado pela topologia e pela Geometria combinatória. Diferentemente da Geometria, na topologia as figuras podem ser esticadas ou deformadas de seu estado original sem passarem a ser consideradas objetos diferentes, desde que não se faça nenhum buraco ou qualquer remendo nelas. Os especialistas em origami trabalham na construção de algoritmos, que são sequências de passos definidos na solução de um problema, como, por exemplo, o algoritmo da divisão. Para desenvolver esse trabalho, eles recorrem àGeometriacombinatória,quepermiteobterfórmulascomputacionaisparaaconstrução,pormeiodedobraduras, dasformascomplexasesofisticadasdeorigami.Comessastécnicas,elesprocuramtambémobteramelhorsequência dedobraduraeoaproveitamentomáximodafolhadepapelparaumadeterminadafiguraquepretendamconstruir. Ao que tudo indica, qualquer procedimento que o computador fornecer pode ser feito no papel manualmente. O desafio está em fazer o caminho inverso matematicamente. A partir de um origami aberto, com as marcas das dobras, os matemáticos recaem em complicados problemas com polinômios para descobrir, sem dobrar, em que figura um certo padrão de dobradura resultará. Desse modo, o origami tornou-se nas últimas duas décadas inspiração para a busca de soluções de sofisticados problemas matemáticos e tecnológicos. Os especialistas obtiveram bons resultados e esperam aplicar seus estu- dos, por exemplo, a projetos de painéis solares, microcircuitos e até telescópios, que, se pudessem ser dobrados, poderiam ser usados em dispositivos menores que os existentes hoje. Para alguns, o ato de dobrar papel para obter formas conhecidas pode perder seu charme criativo e artístico. Mas os amantes do origami tradicional não precisam recorrer aos passos matemáticos de dobradura para dar a forma que querem a um simples pedaço de papel. KAWANO, Carmen. A Matemática do origami. Disponível em: <http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT516776-2680,00.html>. Acesso em: 07 ago. 2018. CAPÍTULO Veja acima informações sobre algumas espécies do maior mamífero do mundo: a baleia. Expressões como 150 toneladas, 50 toneladas, 40 toneladas, 9 toneladas, 1,3 tonelada, 30 metros, 18 metros, 10 metros, 6 metros representam medidas no Sistema Internacional de Unidades (SI), que estudaremos adiante. 11Comprimentos e áreas Capítulo Comparação entre baleias de diferentes espécies. 0 m 5 m 10 m 15 m 20 m 25 m 30 m ILUSTRAÇÕES: ÉBER EVANGELISTA Baleia jubarte Baleia orca Baleia beluga Cachalote Baleia-azul 18 metros 18 metros 10 metros 6 metros 30 metros 150 toneladas 50 toneladas 40 toneladas 9 toneladas 1,3 tonelada 279 CAPÍTULO 11 11 Comprimentos e áreas Neste capítulo, serão aprofundados os estudos relativos à Unidade temática Grandezas e medidas envolvendo as grandezas comprimento e área. Levam-se em conta os conhecimentos desenvolvidos no 5o ano do Ensino Fundamental (EF05MA19 e EF05MA20), aportes para a compreensão dos temas aqui tratados, que, por sua vez, visam preparar o aluno para o conhecimento acerca de equivalência de áreas de figuras planas e cálculo de áreas por decomposição (EF07MA31 e EF07MA32), a ser de- senvolvido no 7o ano. Em relação aos conhecimentos que envolvem medidas de comprimento, destacam-se algumas unidades de medida não padronizadas (braçada, cúbito, jarda e polegada), unidades de medida de comprimento do sistema métrico decimal (o metro, seus múltiplos e submúltiplos) e suas relações e cálculo de perímetro de um polígono. Já em relação aos conhecimentos que abrangem medidas de área, destacam-se: a noção de medida de superfície com unidades não padronizadas, o cálculo de áreas de figuras em malhas quadriculadas, a noção de planta baixa, unidades de medida de área do sistema métrico decimal (o metro quadrado,
- 46. XLIV seus múltiplos e submúltiplos) e suas relações, medidas agrárias, o cálculo da área de superfícies re- tangulares e, em particular, de superfícies quadradas por meio de uma relação envolvendo medidas de seus lados. Faz-se ainda análise e descrição de mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao ampliar ou reduzir igualmente as medidas de seus lados, buscando o entendimento de que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área. A Unidade Temática Números também está presente neste capítulo, com atividades que abordam estimativas de áreas e cálculo de porcentagens. A conexão com a Unidade Temática Geometria se concretiza por meio de atividades que promovem o reconhecimento de que perímetro e área são grandezas associadas a figuras geométricas planas, em particular, a polígonos. A leitura e a interpretação de dados apresentados em tabela, em gráfico de colunas e em gráfico de setores estão presentes nas atividades que tratam sobre a Unidade Temática Probabilidade e esta- tística. Ressaltamos que tais conhecimentos representam a ampliação daqueles abordados no 5o ano do Ensino Fundamental, relativos à análise de dados apresentados em tabela e gráfico, e que serão necessários para a construção de futuros conhecimentos relacionados ao planejamento e à realização de pesquisa, interpretação de dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, além de interpretação e análise de dados apresentados em gráficos de setores, conhecimentos a serem tratados no 7o ano (EF07MA36 e EF07MA37). Capítulo 11 – Comprimentos e áreas Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Estimativas de áreas Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. • Resolução de problemas envolvendo porcentagens e áreas Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três” (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. • Resolução e elaboração de problemas que envolvam medidas de comprimento e medidas de superfície • Reconhecimento das relações entre unidades de medida de comprimento e de área Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. • Interpretação, descrição e desenho de plantas baixas Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas. • Análise e descrição da variação de perímetro e área em relação às medidas dos lados de um quadrado ou com base nele Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado (EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área. • Interpretação e resolução de situações que envolvam dados de pesquisa expressos por tabelas e gráficos Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
- 47. XLV Texto complementar Medidas na carta de Caminha Muitas passagens da carta de Pero Vaz de Caminha citam distâncias medidas em léguas ou em braças, uni- dades que hoje não se usam mais, a não ser em um sentido bastante impreciso. Vamos tentar entender o que representam essas medidas. O sistema de pesos e medidas usado em Portugal à época do descobrimento, e posteriormente no Brasil, no tempo colonial, apresentava sérios inconvenientes: não era uniforme de região para região, mudava segundo o tempo e as circunstâncias e, além disso, as subdivisões eram numerosas e irregulares, tornando os cálculos trabalhosos e imprecisos. A tabela seguinte dá uma ideia da variedade de unidades de medida usadas antigamente para distâncias (as igualdades devem ser entendidas sempre como aproximações): 1 polegada 2,54 cm 1 pé 12 polegadas 30,48 cm 1 passo 5 pés 1,52 m 1 palmo 8 polegadas 20,32 cm 1 estádio 125 passos 190 m 1 toesa 9 palmos 1,83 m 1 vara 5 palmos 1,02 m 1 jarda 4 palmos 81 cm 1 côvado 3 palmos 61 cm 1 corda 15 palmos 3,05 m 1 braça brasileira 2,2 m 1 milha brasileira 1.000 braças 2.200 m 1 légua brasileira 3.000 braças 6.600 m Qual era a légua mencionada na carta de Caminha? A braça brasileira é citada no dicionário Aurélio e equi- vale a 2,2 m, enquanto no sistema inglês a braça equivale a 1,8 m. Uma légua é definida no mesmo dicionário como sendo uma medida itinerária igual a 6.000 m. Entretanto, uma légua de sesmaria corresponde a 3.000 braças, o que significa 6.600 m. Essas são medidas comumente empregadas para medir distâncias terrestres. Provavelmente, a légua citada na carta de Caminha era a légua marítima, que ainda diferia da légua terrestre. Considerando a necessidade de uma uniformização, o rei da França, Luís XVI, em maio de 1790, decretou a criação de uma comissão para estabelecer um sistema padronizado de pesos e medidas. A comissão, formada por membros da Academia de Ciências de Paris, decidiu tomar como referência para as medidas de distância o comprimento de um meridiano terrestre. Assim, foi definido o metro como sendo o comprimento do meridiano terrestre, dividido por 40.000.000. O comprimento do meridiano foi estabelecido a partir de medições feitas em arcos do meridiano de Paris, entre a torre de Dunquerque e a cidade de Barcelona, comparadas com medições feitas anteriormente no Peru. Foi então construído um padrão para o metro, feito de platina e cuidadosamente guardado, em 1799, no prédio dos Arquivos do Estado, em Paris. Assim nasceu o atual sistema métrico decimal, no qual as subdivisões e os múltiplos do metro são feitos de 10 em 10: temos portanto o centímetro, o decímetro, o milímetro, bem como os múltiplos do metro, como o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro. Atualmente as crescentes necessidades tecnológicas exigem um padrão mais preciso e facilmente reprodu- tível. O metro é hoje definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1 299.792.456 de segundo. Mas voltemos ao tempo do descobrimento do Brasil. Como já mencionamos, a légua a que se refere Caminha em sua carta é, provavelmente, a légua marítima, cuja definição também variava de lugar para lugar e de navegador para navegador. No século XVI, considerava-se que um grau do meridiano terrestre
- 48. XLVI correspondia a um certo número de léguas, que alguns navegadores diziam ser 16,7; enquanto outros diziam que era 18 ou mesmo 17,5. Seomeridianoterrestremede40.000.000m,dividindoestaquantiapor360teremosqueumgraudomeridiano equivale a aproximadamente 111.111 m. Admitindo que um grau corresponde a 18 léguas, isso nos dá a medida 1 légua marítima 5 6.173 m No entanto, os registros desses padrões são tão imprecisos, que é possível encontrar documentos atribuindo para a légua marítima o equivalente a 5.555 m. A milha marítima é talvez a única dessas unidades extravagantes que deverá permanecer sendo usada. Ela é hoje definida como valendo 1.852 m, o que a torna igual ao comprimento de um arco de 1 minuto do meri- diano terrestre, ou seja, 1 21.600 do comprimento do meridiano. Em navegação, posições são determinadas por ângulos (latitude e longitude), o que torna extremamente cômodo adotar como unidade de distância o comprimento de um arco de ângulo central unitário. Aliás, foi algo parecido com isso que os matemáticos fizeram ao adotar o radiano. Felizmente, na atualidade, quase todos os países do mundo adotam o sistema métrico decimal. No Brasil, a lei de 26 de junho de 1862 e o decreto número 5.089 de 18 de setembro de 1872 tornaram o sistema métrico decimal obrigatório a partir de 1o de janeiro de 1874. Observações 1. As definições das unidades legais de medidas no Brasil são feitas pelo Conselho Nacional de Metrologia, Norma- lização e Qualidade Industrial – Conmetro. 2. O autor pede para citar seus colegas Nilton Lapa (SP) e Maria Inês V. Faria (MG), com os quais desenvolveu a ativi- dade que deu origem a este trabalho. COELHO, Mozart Cavazza P. “Medidas na carta de Caminha”. Revista do professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, no 36. 1998. CAPÍTULO Podemos dizer que uma das coisas que diferencia o ser humano de outros animais é a sua habilidade para medir. Medir implica comparar objetos da mesma grandeza. Na verdade, estamos o tempo todo medindo. E, por falar em tempo, podemos obter as horas do dia por meio do comprimento da sombra na superfície de um relógio de sol. 12Outras unidades de medida Capítulo Relógio de sol na Nova Zelândia. (Foto de 2012.) EASYFOTOSTOCK/EASYPIX BRASIL 309 CAPÍTULO 12 12 Outras unidades de medida Os conhecimentos abordados neste capítulo também se referem à Unidade Temática Grandezas e medidas, oportunidade para desenvolver as ideias que envolvem medidas de tempo, de volume, de capacidade e de massa. As conexões com outras Unidades Temáticas, no entanto, estão presentes nas diversas atividades propostas que compreendem medidas. A relação com a Unidade Temática Números se dá ao observar que os conhecimentos construídos sobre números racionais (seja na forma de fração ou decimal) permitem a resolução e a elaboração de problemas envolvendo grandezas e medidas como volume, capacidade e massa, com recurso a trans- formações entre unidades de medida. A conexão com a Unidade Temática Álgebra aparece quando aplicamos as propriedades da igual- dade em atividades que envolvem medidas de massa, por meio da análise de balança de dois pratos. O vínculo com a Unidade Temática Geometria ocorre por meio de atividades que promovem o reco- nhecimento do volume como grandeza associada a figuras geométricas não planas. A conexão com a Unidade Temática Probabilidade e estatística se efetiva por meio de atividades de resolução de situações que apresentam dados de pesquisa e organização dos dados coletados em tabela e interpretação de gráfico de colunas. Além disso, conhecimentos apreendidos pelos alunos ao longo do 5o ano do Ensino Fundamental relativos a grandezas e medidas favorecem a construção de novos conhecimentos, como os deste capí-
- 49. XLVII tulo. Da mesma maneira, esses novos conhecimentos serão alicerces para outros, relativos à resolução e à elaboração de problemas envolvendo as mesmas grandezas, inseridos em variados contextos, a serem construídos durante o 7o ano. Capítulo 12 – Outras unidades de medida Conteúdos do capítulo Objetos de conhecimento da BNCC Habilidades • Resolução de problemas envolvendo medidas e frações Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. • Resolução de problemas envolvendo medidas e números racionais na forma decimal Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. • Resolução de situações que envolvem estimativas e medidas Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima. • Reconhecimento das propriedades de uma igualdade Propriedades da igualdade (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. • Resolução e elaboração de problemas que envolvam as grandezas tempo, volume, capacidade e massa • Reconhecimento das relações entre unidades de medidas para cada grandeza estudada Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume (EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento. • Interpretação de gráficos de colunas Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. • Organização de dados coletados por meio de pesquisa em uma tabela Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
- 50. XLVIII Capítulo 1 Sistemas de numeração 1. O ábaco Segundo os historiadores, os ábacos surgiram milhares de anos antes da era cristã. Esses instrumentos foram inventa- dos para ajudar as pessoas a resolver alguns de seus proble- mas de contagem e realizar operações. Os mais antigos ábacos eram formados por sulcos feitos na areia, nos quais eram colocadas pedrinhas conforme a figura abaixo. De acordo com a quantidade de pedrinhas nos sulcos, tinha-se a representação de um número. Representação de um número por meio de pedras colocadas em sulcos na areia. Com o tempo, surgiram outros tipos de ábaco. Veja alguns deles: Ábaco russo Suan pan, ábaco chinês Soroban, ábaco japonês ÉBER EVANGELISTA ILUSTRAÇÕES: PAULO MANZI Observe agora como efetuar contagens com o auxílio de um ábaco constituído de cinco fios de arame verticais. A cada uni- dade a ser contada, coloca-se uma conta no 1o fio (o da direita). Ao completar dez contas nesse fio, estas são substituídas por uma única conta, que é colocada no 2o fio. Então, cada conta do 2o fio vale 10 vezes mais do que uma conta do 1o fio. Esse procedimento se repete até que o 2o fio tenha dez contas, que são, então, substituídas por uma única conta, colocada no 3o fio. Assim, cada conta do 3o fio vale 10 vezes mais do que uma conta do 2o fio, e assim por diante. No ábaco, cada fio representa uma ordem. O 1o fio representa a ordem das unidades simples (U), o 2o , a ordem das dezenas (D), o 3o , a ordem das centenas (C), o 4o , a ordem das unidades de milhar (UM) etc. Por exemplo, neste ábaco está representado o número 52.423: Solicite aos alunos que construam um ábaco seguindo as instruções e, depois, respondam às questões. Material necessário • 6 copos descartáveis • um pedaço de cartolina • 60 palitos de sorvete (podem ser substituídos por palitos de churrasco de tamanhos iguais) ILUSTRAÇÕES: PAULO MANZI SUGESTÕES DE ATIVIDADES
- 51. XLIX Instruções Após colar os 6 copos na cartolina, como mostrado na figura abaixo, coloquem os palitos de sorvete dentro dos copos para representar o número desejado. Com o ábaco pronto, resolvam as questões a seguir e regis- trem as respostas no caderno. a) Como representar os números 521 e 125? De que modo as representações desses números se diferenciam? b) Qual é o maior número com algarismos diferentes que vocês podem representar em seu ábaco? c) Qual é o maior número que vocês podem representar nesse ábaco? d) Como representar o número 101? Respostas: a) Espera-se que os alunos expliquem que, apesar de usarem a mesma quantidade de palitos nas duas repre- sentações, estas se diferenciam porque, para representar o número 521, usaram 5 palitos no copo das centenas, 2 no das dezenas e 1 no das unidades simples e, na representação do número 125, usaram 1 palito no copo das centenas, 2 no das dezenas e 5 no das unidades simples; b) 987.654; c) 999.999; d) 1 palito no copo das centenas e 1 no copo das unidades simples. O copo vazio, o das dezenas, representa o zero. 2. Um extraterrestre chega à Terra vindo de uma galáxia próxima. Sua missão é obter informações sobre nossos conhecimentos matemáticos. Superando as dificuldades da língua, o extra- terrestre está interessado, entre outras coisas, no nosso sistema de numeração. Após a explicação de como funciona o nosso sistema de numeração, o extraterrestre exclama: “Ah! O sistema de numeração que vocês usam na Terra tem muitas características iguais às do nosso sistema, a única diferença é que usamos apenas quatro símbolos: o zero (♠), o um (♣), o dois (♥) e o três (♦)”. a) Comoos extraterrestres escrevem os números de 1 a 10? b) Quais são as características comuns a esses sistemas? Respostas: a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b) São sistemas posicionais e possuem um símbolo para representar o zero. 3. Uma comunidade científica de um país, depois de muita pes- quisa, decidiu alterar a quantidade de símbolos do sistema de numeração que utilizam. As novas propostas incluem o uso de apenas sete algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) ou a utilização de doze algarismos, com a introdução de dois novos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b). Como poderíamos escrever os números de 1 a 16 nesses novos sistemas de numeração? JOSÉ LUÍS JUHAS NELSON MATSUDA Resposta: Base 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Base 7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 Base 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b 10 11 12 13 14 4. Reúna-se com um colega e criem um novo sistema de nume- ração. a) Quais são as características que vocês precisam definir para esse novo sistema? b) Escrevam os números de 1 a 20 com o sistema de numera- ção criado por vocês e troquem com os de outros colegas. Tentem descobrir quais são as características dos sistemas de numeração criados pelos colegas. Respostas: a) Espera-se que os alunos percebam que pre- cisarão definir a quantidade de símbolos do seu sistema, os respectivos símbolos, se terá um símbolo para o zero ou não e se será posicional ou aditivo; b) Respostas pessoais. Números naturais 1. Complete os quadros corretamente. a) 100 antecessor par: sucessor par: b) antecessor ímpar: 499 sucessor ímpar: Respostas: a) O antecessor par de 100 é 98, e o sucessor é 102; b) Respostas possíveis: 501 é um número cujo ante- cessor ímpar é 499; o sucessor ímpar de 501 é 503. O 500 é um número cujo antecessor ímpar é 499; o sucessor ímpar de 500 é 501. Pode-se pedir aos alunos que apresentem a sequência dos números naturais pares (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...) e a dos números naturais ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...). 2. Quebra-cabeça numérico Coloque dentro dos círculos números de 1 a 10, de modo que dois números consecutivos não sejam vizinhos. FERNANDO JOSÉ FERREIRA
- 52. L L Respostas possíveis: 9 4 6 1 7 8 2 3 5 10 2 7 5 9 4 3 10 6 1 8 Estimule os alunos a registrarem a estratégia utilizada para a realização da atividade. Capítulo 2 Adição, subtração e expressões numéricas 1. A prefeitura de uma cidade decidiu fazer um processo de arborização e plantou 45 mudas de ipê-amarelo e 38 mudas de pau-brasil. a) Para saber quantas mudas de árvores foram plantadas nessa cidade, o que devemos fazer? b) Quantas mudas foram plantadas? Respostas: a) Devemos juntar as duas quantidades de mudas, efetuando uma adição: 45 1 38 5 83; b) 83 mudas. 2. Uma grande indústria possuía 846 funcionários. Houve uma ampliação de suas instalações e foram contratados outros 328 funcionários. a) Para saber quantos funcionários essa indústria passou a ter após as novas contratações, o que devemos fazer? b) Quantos funcionários a indústria passou a ter? Respostas: a) Devemos acrescentar a quantidade de funcionários contratados ao número de funcionários que a indústria já tinha, efetuando uma adição: 846 1 328 5 5 1.174; b) 1.174 funcionários. ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA 3. Uma prova de atletismo entre escolas foi disputada por alunos de 11 a 13 anos. Cada escola inscreveu uma equipe com quatro alunos. O primeiro atleta correu 400 metros e entregou um bastão ao segundo atleta. Este correu 200 metros mais que o primeiro e entregou o bastão ao terceiro. Este correu 100 metros mais que o segundo e entregou o bastão ao quarto, que correu 50 metros mais que o terceiro. a) Quantos metros correu o quarto atleta? b) Quantos metros tinha toda a prova? Respostas: a) 750 metros; b) 2.450 metros. 4. Uma tartaruga percorreu 3 quilômetros em um dia. Em cada um dos dias seguintes, em seu percurso acrescentou 2 quilômetros ao que havia andado no dia anterior. Assim, ela levou 4 dias para chegar a seu destino. Descubra a distância, em quilômetro, que a tartaruga percorreu para chegar ao seu destino. Podem-se explorar asdiferentes formas de registro de quanti- dades que seinter-relacionam.Asituação apresentada exige que os alunos percebam a existência de uma relação entre quanto a tartaruga se movimenta por dia e quanto se mo- vimentou no dia anterior. Na busca da solução, é importante que o aluno faça algum registro que possibilite visualizar e calcular essa relação organizando as informações contidas no enunciado. Entre os tipos de registro, destacamos, a seguir, dois. Esquema: 1o dia 2o dia 3o dia 3 3 1 2 3 1 2 1 2 4o dia 3 1 2 1 2 1 2 Tabela: Percurso da tartaruga Distância (em km) 1o dia 3 2o dia 3 1 2 5 5 3o dia 5 1 2 5 7 4o dia 7 1 2 5 9 Total 3 1 5 1 7 1 9 5 24 Logo, o total percorrido pela tartaruga é: 3 13 12 13 12 12 13 12 12 12 524 (24 quilômetros). 5. Uma calculadora está com algumas teclas quebradas, conforme mostra a figura abaixo. DANILLO SOUZA NELSON MATSUDA L
- 53. Com apenas os recursos disponíveis, descubra quais teclas você deve usar para que apareçam no visor os números pedidos: a) 11 b) 70 c) 60 d) 67 e) 143 Exemplos de respostas: 3 1 2 7 7 5 3 3 7 2 5 7 3 7 3 1 2 2 7 7 5 3 3 7 2 2 3 5 7 3 7 1 3 2 3 5 A atividade supõe uma calculadora quebrada, em que só funcionam algumas teclas. Os alunos podem chegar aos resultados por diferentes caminhos. Por exemplo, para chegar a 11, eles podem fazer 7 1 7 2 3 ou 77 2 33 2 33, dentre inúmeras outras possibilidades. É importante incen- tivar o diálogo entre os alunos para troca de experiências e descoberta de outras estratégias de resolução. Também é possível utilizar calculadoras, orientando os alunos a usar somente as teclas citadas. 6. Somente oitos Usando apenas 8 oitos, encontre as parcelas de uma adição que resulte no número 1.000. Exemplo de resposta: 888 1 88 1 8 1 8 1 8 5 1.000 7. No quadro a seguir, estão os resultados que Laura e Guilherme obtiveram para as três expressões abaixo. 1a ) 108 1 32 2 50 1 26 2a ) 1.725 2 762 1 506 2 1.469 3a ) 170 2 34 2 34 2 34 2 34 1a 2a 3a Laura 116 0 0 Guilherme 126 0 34 Quais expressões Laura acertou? E quais expressões Guilher- me errou? Respostas: Laura acertou a 1a e a 2a expressão. Guilherme errou apenas a 1a . Antes de os alunos efetuarem os cálculos escritos para veri- ficar se Laura e Guilherme chegaram às respostas corretas, eles devem ser incentivados a estimar resultados, especial- mente nas expressões em que os personagens encontraram resultados distintos. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Explorando gráficos e tabelas 1. Solicite aos alunos que realizem a atividade em grupos de 3 ou 4. O objetivo é organizar dados numéricos por meio de gráficos. Material necessário Recortes de jornais e revistas ou páginas de internet pre- viamente selecionados pelo professor. Devem conter dados numéricos interessantes, que podem estar em tabelas, textos ou gráficos. Desenvolvimento 1a etapa Organize a turma em grupos de 3 ou 4 alunos e exponha o objetivo do trabalho: cada grupo receberá uma diversidade de recortes com dados numéricos que não podem ser vistos pelos outros grupos, pois a ideia é fazer uma apresentação desses dados sem que os outros alunos conheçam as “fontes originais”. Com esses recortes, o grupo deverá selecionar os temas que mais interessam. 2a etapa A partir da seleção dos recortes, os alunos devem ler com cuidado todas as informações ali contidas e conversar com os colegas de grupo sobre o que entenderam e o que acha- ram daqueles números, lembrando sempre que são números associados a situações reais. Alguém do grupo deve fazer as anotações dessas explicações, que serão inseridas na “apresentação” final. 3a etapa Chegou o momento de escolher como aqueles dados serão apresentados aos outros colegas, destacando que não se pode usar apenas uma cópia daquilo que receberam. Por exemplo, se eles selecionaram uma tabela de dados, poderão fazer um gráfico que tenha aqueles dados; se selecionaram um gráfico de colunas, podem transformá-lo em um gráfico de barras e assim por diante. 4a etapa Neste momento, faça uma primeira avaliação questionando os alunos se as representações construídas estão completas. Eles devem estar atentos especialmente a: • títulos; • legendas; • valores e escalas. 5a etapa Retoques e ajustes finais antes de apresentar aos demais colegas. É o momento de verificar também a estética do trabalho. Final Apresentação de cartazes com os dados e as conclusões. No verso de cada cartaz devem estar colados os recortes que deram origem às representações. LI
- 54. LII LII Multiplicação e divisão 1. Em um tanque havia 2.400 litros de água. Dele foram retirados 12 baldes com 18 litros cada um. Abriu-se, então, uma torneira que derrama 32 litros de água por minuto até que o tanque ficasse totalmente cheio, isto é, com 5.000 litros. a) Durante quantos minutos a torneira ficou aberta? b) Sabendo que 1 hora é igual a 60 minutos, determine quan- tas horas e quantos minutos essa torneira ficou aberta. Respostas: a) 88 minutos; b) 1 hora e 28 minutos. A resolução desta questão exige muito mais que a realização de simples multiplicações e divisões, pois os alunos terão de lidar com diferentes grandezas (capacidade e tempo), esta- belecendo relações de proporcionalidade. Além disso, no caso da grandeza tempo, farão relações entre duas unidades de tempo muito usuais: hora e minuto. Por isso, é interessante reservar um tempo maior para discutir coletivamente a re- solução, buscando sanar todas as dúvidas a esse respeito. 2. Veja como Ana fez para dividir 46 por 8: 46 9 8 5 8 8 5 40 6 8 8 5 48 46 é maior que 40 e menor que 48. Logo, 46 dividido por 8 dá 5 com resto 6. Utilize o procedimento de Ana e calcule mentalmente: a) 29 9 3 b) 41 9 7 c) 66 9 8 d) 83 9 9 Respostas: a) quociente 9 e resto 2; b) quociente 5 e resto 6; c) quociente 8 e resto 2; d) quociente 9 e resto 2. Expressões numéricas 1. Brigite lançou o seguinte desafio a Bruno: Escreva uma ex- pressão numérica que tenha como resultado 32, utilizando apenas os números 3 e 7 e as operações: adição, subtração e multiplicação. Bruno pensou um pouco e apresentou esta expressão: (7 2 3) 8 [(7 2 3) 1 (7 2 3)] a) Bruno acertou? b) Usando os números 3 e 7, invente uma expressão que tenha como resultado 24. Respostas: a) sim; b) Exemplo de resposta: 3 1 3 8 7. Essa questão dá a oportunidade aos alunos de desenvolve- rem a escrita matemática. Proponha a tarefa em pequenos grupos e socialize as soluções obtidas para o item b. 2. Calcule o valor destas expressões: a) 7 8 23 2 22 8 5 b) 16 8 32 2 62 8 9 c) 112 2 (68 1 72 ) d) 8 25 ( 196 2 ) 2 3 Respostas: a) 36; b) 24; c) 4; d) 30. O cálculo do valor das expressões exige dos alunos a mobi- lização de diversos conhecimentos a respeito dos números e das operações. Sabemos que, nesses cálculos, um peque- no deslize levará a um resultado incorreto. Na correção do exercício, pode-se pedir aos alunos que, após a resolução individual, formem duplas e comparem os resultados; no caso de eles não coincidirem, tendo em vista que só há uma resposta possível, devem detectar o erro. Em seguida, revele a resposta final, e as duplas devem empreender nova conferência; em caso de discordância com suas respostas, devem retomar cada passo da resolução, para encontrar o “erro” cometido. Para finalizar, um aluno pode resolver uma expressão na lousa, fazendo os registros de cada passo. Capítulo 3 Ampliação 1. Apresente a figura abaixo para os alunos e peça a eles que determinem o comprimento do lado do quadradinho da nova malha para que a figura seja ampliada em 4 vezes. Resposta: Como o quadradinho que compõe a malha da figu- ra original tem comprimento de meio centímetro, espera-se que os alunos percebam que, para fazer uma ampliação de 4 vezes, cada lado do quadradinho da nova malha deverá ter 2 centímetros de comprimento (4 vezes o comprimento do lado do quadradinho da malha da figura original). Capítulo 4 Múltiplos e divisores 1. Jogo produto secreto Número de participantes: 2 jogadores (o desafiante e o descobridor) NELSON MATSUDA LII
- 55. Regras • Chame um amigo e decidam no par ou ímpar quem começa o jogo. • O 1o jogador (o desafiante) escolhe um número natural de 1 a 100 e o decompõe em dois fatores, para o outro joga- dor descobrir a multiplicação formada; escreve num papel e guarda. • O descobridor tenta encontrar esse produto e os dois fato- res, registrando no caderno suas tentativas. • Para cada palpite, o desafiante indica os acertos e dá dicas sobre os demais valores: diz se o produto e cada fator são maiores ou menores que os escolhidos. • Utilizando as dicas, o descobridor vai fazendo as tentativas até encontrar a multiplicação escolhida. • Depois, invertem-se as posições. • Vence o jogo quem descobre o produto no menor número de tentativas. Questões para que os alunos respondam pensando na es- trutura do jogo: a) O descobridor sabe que o 2 não é um dos fatores. Ele pode afirmar que o produto escolhido pelo desafiante não é um número par? Por quê? b) O descobridor já acertou um dos fatores. O que ele pode afirmar sobre o produto procurado? Respostas: a) Não, pois existem números pares que podem ser escritos como produto de dois fatores diferentes do número 2; b) O produto procurado é um múltiplo do fator já conhecido. Divisibilidade 1. Observando o esquema, responda às questões a seguir. JOSÉ LUIS JUHAS a) Depois de caminhar pela trajetória correta, em que lugar deve ficar cada número de 1 a 20: A, B, C, ou D? b) Os números que ficam em A, além de serem pares e divisí- veis por 3, são divisíveis por quais números? Respostas: a) A " 6, 12 e 18; B " 2, 4, 8, 10, 14, 16 e 20; C " 3, 9 e 15; D " 1, 5, 7, 11, 13, 17 e 19; b) Por 2 e 6. Esse exercício oferece aos alunos mais uma oportunidade de refletirem a respeito dos critérios de divisibilidade por 2, 3 e 6, buscando a relação entre eles. A experimentação que farão com os números de 1 a 20 será significativa para a generali- zação de suas observações. Máximo divisor comum 1. Em uma classe há 28 meninos e 21 meninas. A professora quer formar grupos só de meninas ou só de meninos, com a mesma quantidade de alunos e com a maior quantidade possível. a) Quantos alunos terá cada um desses grupos? b) Quantos grupos de meninas podem ser formados? c) E quantos grupos de meninos? Respostas: a) 7 alunos; b) 3 grupos; c) 4 grupos. Em situações-problema que podem ser resolvidas pelo cál- culo do máximo divisor comum, como a apresentada nessa questão, é preciso ficar atento às respostas dos alunos, pois, mesmo quando realizam o cálculo adequadamente, nem sempre conseguem responder às questões propostas. Os itens b e c, por exemplo, só poderão ser respondidos corre- tamente se os alunos interpretarem de maneira adequada o mdc encontrado em a. Mínimo múltiplo comum 1. Em certo país, as eleições para presidente ocorrem a cada 4 anos, e para senador, a cada 8 anos. Em 2014, essas eleições coincidiram. Determine os anos das quatro próximas vezes em que elas voltarão a coincidir. Resposta: 2022, 2030, 2038, 2046 Espera-se que os alunos percebam que a quantidade de anos que se passa entre um dado ano e o próximo em que essas eleições coincidem é o menor múltiplo comum (não nulo) entre 4 e 8, ou seja, a partir de um ano em que houve essa coincidência (2014), ela ocorrerá de 8 em 8 anos. Capítulo 5 Variáveis, generalizações e sequências 1. Descubra o segredo da tabela e complete-a. X 27 59 74 92 44 87 35 Y 9 14 8 Resolução: Os números da linha do Y são obtidos adicionando- -se os algarismos dos números da linha do X, na coluna cor- respondente. Assim, da esquerda para a direita, os números que completam a tabela são 11, 11, 8 e 15, pois: 11 5 7 1 4 11 5 9 1 2 8 5 4 1 4 15 5 8 1 7 LIII
- 56. LIV LIV 2. Os números colocados nas figuras a seguir estão em uma sequência. Reproduza a figura no seu caderno e complete os espaços vazios com o número correto. a) 8 256 64 32 4 16 128 b) 5 12 2 8 3 Resoluções: a) Dividindo por 2 cada número a partir do 256, no sentido horário, obtemos que o número que ocupa o espaço vazio é 2. Multiplicando por 2 cada número, no sentido anti-horário, obtemos que o número que ocupa o espaço vazio é 512; b) Sentido horário: Observando que a diferença entre dois nú- merosvizinhosvai aumentandosempre1 unidade,começando de 3 2 2, concluímos que a diferença entre o número que falta e 12 deve ser 5. Assim, o número que ocupa o espaço vazio é 17 (12 1 5). Sentido anti-horário: Usando o mesmo raciocínio, mas no sentido contrário, descobrimos que o número que falta terá diferença 0 em relação ao número 2. Assim, obtemos que o número que ocupa o espaço vazio é o próprio 2. Propriedades da igualdade 1. Utilizando o princípio aditivo da igualdade, determine o valor de x em x 1 9 5 14, obtendo uma igualdade do tipo: x 5 ... Resolução: x 1 9 5 14 x 1 9 2 9 5 14 2 9 x 1 0 5 5 x 5 5 Os alunos não necessariamente iniciarão subtraindo 9, mas todas as estratégias utilizadas são válidas, desde que se aplique o princípio corretamente para isolar o x no primeiro membro e se obtenha o valor 5 para x. Socialize e valide as diferentes estratégias com os alunos. ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA 2. Utilizando os princípios da igualdade convenientemente, par- tindo da igualdade x 5 8, obtenha a igualdade 2x 1 34 5 50 equivalente à primeira. Resolução: x 5 8 2 8 x 5 2 8 8 2x 5 16 2x 1 34 5 16 1 34 2x 1 34 5 50 Os alunos podem utilizar outros caminhos desde que apli- quem corretamente os princípios da igualdade e que, ao final, obtenham a igualdade 2x 1 34 5 50. Discuta os diferentes procedimentos com os alunos. 3. O esquema abaixo representa uma balança de dois pratos nivelados (ou seja, os dois pratos estão na mesma altura). Os três ovos de Páscoa têm massas iguais. 250 g 2.500 g Escreva uma igualdade que traduza a situação da balança, indicando por x a massa de cada ovo. Resolução: Considerando as massas em gramas, temos: massa de cada ovo " x massa dos 3 ovos " 3 8 x ou 3x nivelamento da balança " 3x 1 250 5 2.500 4. Determine o número natural x considerando a igualdade abaixo. 2x 1 7 5 x 1 25 Resolução: 2x 1 7 5 x 1 25 2x 1 7 2 7 5 x 1 25 2 7 2x 1 0 5 x 1 18 2x 5 x 1 18 2x 2 x 5 x 1 18 2 x x 5 18 Capítulo 6 Posições relativas de duas retas no plano 1. Na figura a seguir, a distância do ponto P à reta r é a mesma do ponto S à reta r: NELSON MATSUDA LIV
- 57. Q S P r a) Qual a posição relativa das retas PS e r? b) Qual a posição relativa das retas Q P e r? Resolução: a) S P PS Q r Portanto, as retas são paralelas. b) S P PQ Q r Portanto, as retas são concorrentes. Capítulo 7 Fração como razão 1. Em uma urna há bolas verdes e azuis. Sabe-se que para cada 2 bolas azuis há 4 bolas verdes. a) Qual é a razão entre a quantidade de bolas azuis e a quan- tidade de bolas verdes dessa urna? b) Sabendo que há 20 bolas azuis, quantas bolas verdes existem nessa urna? c) Quantas bolas há ao todo nessa urna? Respostas: a) Se para cada 2 bolas azuis há 4 verdes, podemos dizer que a razão entre essas quantidades (azuis para verdes) é de 2 para 4, ou seja, 4 2 , o que significa que a quantidade de bolas azuis é 4 2 da quantidade de bolas verdes; b) Pelo item a, concluímos que: 4 2 da quantidade de bolas verdes corresponde a 20 bolas; 4 1 da quantidade de bolas verdes corresponde a 10 bolas (20 9 2); 4 4 da quantidade ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA de bolas verdes corresponde a 40 bolas (4 8 10). Logo, há 40 bolas verdes nessa urna; c) Se há 20 bolas azuis e 40 bolas verdes, há 60 bolas ao todo nessa urna. Comparação de números racionais na forma de fração 1. Observe as duas figuras abaixo. Note que elas são formadas apenas por quadrados. Figura A Figura B a) Que fração pode representar a parte pintada em cada figura? b) Compare essas duas frações e justifique sua resposta. c) O que se pode concluir sobre essas duas frações? Respostas: a) A: 4 1 ; B: 16 4 ; b) Podemos dizer que essas frações representam números racionais iguais, pois representam a mesma parte de um mesmo inteiro; c) Podemos concluir que essas frações são equivalentes. 2. Observe a figura a seguir. a) Qual é a fração que corresponde à parte pintada da figura? E a que corresponde à parte branca? b) Qual dessas duas frações é maior? Por quê? ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA LV
- 58. LVI LVI Respostas: a) parte pintada: 48 30 ; parte branca: 48 18 ; b) A maior fração é a que representa a parte colorida (que tem mais quadradinhos em relação ao todo), ou seja, é a fração 48 30 . 3. Muitas situações da vida ficam mais fáceis de resolver quando temos uma referência, isto é, uma informação que serve de termo de comparação, para analisarmos melhor o problema a ser resolvido. Isso vale também para a Matemática. Por exemplo, para comparar dois ou mais números racionais escritos na forma de fração, você pode usar o número 1 como referência, pois é fácil perceber se um número é maior, menor ou igual a 1. Para resolver as questões, considere as frações. 5 2 5 4 3 2 4 8 2 3 4 1 3 7 8 8 10 5 a) Descubra qual das frações acima representa o número 1. Depois, complete o quadro com as outras frações compa- rando-as com o número 1, que será sua referência. Menor que 1 Igual a 1 Maior que 1 5 2 5 4 3 2 4 1 10 5 8 8 3 7 4 8 2 3 Incentive os alunos a observarem que uma fração representa um número maior que 1 quando seu numerador é maior que seu denominador. b) Descubra qual das frações acima representa o número 1 2 . Depois, complete o quadro com as outras frações comparando-as com o número 1 2 , que será sua referência. Menor que 2 1 Igual a 2 1 Maior que 2 1 4 1 5 2 10 5 3 2 5 4 8 8 3 7 8 4 2 3 Os alunos devem observar que uma fração representa um número maior que 1 2 quando seu numerador é menor que a metade de seu denominador. c) Consultando os quadros completados nos itens anteriores, analise as comparações a seguir e classifique cada uma como verdadeira ou falsa. falsa 4 1 3 2 . verdadeira 5 2 3 7 , falsa 10 5 2 3 . falsa 3 7 8 8 , Neste item, os alunos não precisam efetuar cálculos 2 basta usar as relações de comparação já feitas nos itens a e b. Capítulo 8 Operações com números racionais na forma de fração 1. Um pouco de história As frações aparecem nos mais antigos documentos mate- máticos e, em geral, foram resultado dos vários modos de se efetuar a divisão. Os babilônios já empregavam as frações por volta do ano 2000 a.C., os egípcios usaram frações no Papiro de Rhind – um texto matemático muito rico, escrito por volta de 1650 a.C., contendo 85 problemas copiados de trabalhos mais antigos – e os gregos passaram a usá-las em períodos posteriores. Os antigos não desenvolveram uma maneira geral para lidar com frações. Eles tinham métodos especiais de trabalhar com elas, que serviam para casos particulares, ou seja, para cada caso havia um método adequado. Nas tradi- ções aritméticas da Grécia e do Egito antigos, por exemplo, os cálculos com frações recorriam em geral às frações unitárias, que são aquelas com numerador igual a 1. Observe como podemos decompor a fração 3 4 . 5 5 4 3 4 4 4 1 1 1 2 1 2 1 Decomponha as frações 8 7 e 6 5 em adição de frações unitá- rias diferentes. Respostas: 5 1 5 1 5 1 8 7 8 1 8 6 8 1 4 3 8 1 4 1 2 1 1 5 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 6 5 6 1 6 4 6 1 3 2 6 1 2 1 6 1 6 2 2 1 3 1 2 1 2. A divisão de moedas Ao sair de casa, dona Lídia deixou para seus dois filhos, Rômulo e Rêmulo, uma certa quantia de moedas de 1 real e um bilhete que dizia: “Metade destas moedas para cada um”. Quando Rômulo chegou em casa, leu o bilhete, pegou metade das moedas e saiu. Ao chegar, Rêmulo leu o bilhete e, pensando ser o primeiro, pegou metade das moedas e saiu. Mais tarde, ao voltar, dona Lídia encontrou ainda 3 moedas. Quantas foram as moedas que ela havia deixado para seus dois filhos? Resposta: 12 moedas. 3. Jogo dos resultados alinhados Número de participantes: 2 jogadores LVI
- 59. Material necessário • 2 canetas de cores diferentes • papel sulfite Regras • Os jogadores devem fazer dois tabuleiros numa folha de papel sulfite. Cada tabuleiro é formado por um quadrado dividido em 9 quadrados menores (casas). • Um dos tabuleiros deve ser preenchido conforme este modelo: subtraia adicione multiplique por divida por multiplique por 1 subtraia some multiplique por divida por • Os dois jogadores devem escolher juntos um único número para colocar em cada operação, assim como foi feito com o número 1, no quadrado do meio (que é valor fixo). Esses números devem ser todos diferentes e escolhidos de 0 a 100 do seguinte modo: " 2 frações unitárias (numerador igual a 1) " 1 número primo " 1 número par " 1 número natural divisível por 5 " 3 números naturais quaisquer diferentes dos demais • Após escolher quem começa por meio da disputa de par ou ímpar, cada jogador pega uma das canetas coloridas, escolhe outro número de 0 a 100 e escreve no papel sulfite. • Depois, um de cada vez escolhe uma casa do tabuleiro das operações (ainda não selecionada) e efetua o cálculo, na folha de sulfite, com o seu número. Em seguida, escreve o resultado no outro tabuleiro, na casa correspondente à da operação realizada. • A partir da segunda jogada de cada um, as operações são efetuadas com o resultado da operação anterior do próprio jogador. • O jogador que errar a operação perde a vez e não pode marcar nada na casa. • Vence o jogo quem primeiro conseguir alinhar três resulta- dos na horizontal, na vertical ou na diagonal. • Caso nenhum jogador consiga alinhar três resultados numa rodada, outros números devem ser escolhidos e o jogo rei- nicia com o mesmo tabuleiro das operações. Proponha as questões a seguir para os alunos responderem: a) Pensando na estrutura do jogo, analisem a seguinte situa- ção: Paulo e Patrícia montaram o tabuleiro a seguir para jogar. Esse tabuleiro está dentro das especificações do jogo? Justifique. subtraia 20 adicione 5 multiplique por 0 divida por 10 multiplique por 1 subtraia 18 adicione 15 multiplique por 1/4 divida por 1/2 b) Patrícia escolhe o número 25 e Paulo, o 10. Ele joga na 1a vez. Existe alguma casa que Paulo não pode escolher? c) Depois de algumas jogadas, veja como está o jogo: Paulo (cor vermelha) Patrícia (cor azul) início 10 25 1a jogada 10 9 10 5 1 250 9 1 2 5 50 2a jogada 1 1 15 5 16 50 2 20 5 30 3a jogada 16 8 1 5 16 ainda vai jogar 30 1 16 16 50 É a vez de Patrícia jogar. O que ela deve fazer? Na situação apresentada, Paulo já ganhou o jogo? Justifique. Respostas: a) Sim, pois ele segue o modelo dado. Além disso, os oito nú- meros colocados foram escolhidos conforme as regras: duas frações unitárias 4 1 e 2 1 c m, um número primo (5), um número par, um número natural divisível por 5 e outros três números diferentes dos demais; b) Sim. Ele não pode escolher “subtraia 20” nem “subtraia 18”; c) Para impedir Paulo de ganhar o jogo, Patrícia deve escolher a casa “multiplique por 0”, pois Paulo não poderá escolher a casa “subtraia 18”. LVII
- 60. LVIII LVIII 4. Em cada caso, determine qual é o número cujo quadrado é: a) 4 6 1 b) 9 4 25 c) 36 9 Respostas: a) 8 1 ; b) 7 5 ; c) 3 6 5 2. Capítulo 9 Comparação e representação de números racionais na forma decimal 1. Reproduza o esquema abaixo no caderno. Depois, começando pelo menor, ligue os números na forma decimal em ordem crescente. Em seguida, responda às questões. 2,8 1,9 1,279 3,91 2,745 1,49 3,75 4,1 0,0834 a) Por qual número você começou? b) Em que número você terminou? Respostas: a) Pelo número 0,0834 (menor valor observado); b) No número 4,1. 2,8 1,9 1,279 3,91 2,745 1,49 3,75 4,1 0,0834 2. Lembrando que uma das ideias de fração é representar o quociente entre o numerador e o denominador, faça o que se pede. a) Use a tecla 4 de uma calculadora e obtenha a forma decimal de: ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA NELSON MATSUDA 10 5 , 100 5 , 100 23 , 1.000 4 , 10 48 , 10.000 607 , 1.000 2.901 , 1.000.000 5 , 10 23 , 10.000 23 (Atenção: Na maioria das calculadoras, a vírgula é indicada por um ponto.) b) Compare a quantidade de zeros dos denominadores das frações decimais do item a com a quantidade de casas decimais dos resultados escritos na forma decimal. Em se- guida, descreva um procedimento prático para representar uma fração decimal como um número na forma decimal. Respostas: a) 0,5; 0,05; 0,23; 0,004; 4,8; 0,0607; 2,901; 0,000005; 2,3; 0,0023; b) Espera-se que os alunos concluam que, para representar uma fração decimal como um número decimal, basta escrever o número com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador da fração. 3. Agora, sem usar a calculadora e sem efetuar cálculos, faça o que se pede. a) Escreva cada fração na forma decimal: 10 127 100 123 1.000 254 1.000 3.254 100 2.045 10.000 814 b) Represente na forma de fração decimal: 0,5 0,035 4,45 0,04 13,2 0,5424 Respostas: a) 12,7; 1,23; 0,254; 3,254; 20,45; 0,0814 b) 10 5 , 1.000 5 , 100 445 , 100 4 , 10 132 , 10.000 5.424 3 Operações com números racionais na forma decimal 1. Veja abaixo a sequência de teclas que Dário e Maísa digitaram na calculadora. Dário: 5 1 0 0 0 0 0 6 $ Maísa: 5 1 0 0 0 0 0 0 6 $ a) Que número apareceu no visor de cada um? b) Entre esses números, qual é o maior? Respostas: a) Dário: 0,6; Maísa: 0,06; b) 0,6 é maior que 0,06. NELSON MATSUDA LVIII
- 61. 2. Reproduza a figura no caderno e complete corretamente. 2,94 1 5 2 1 , 2 5 6 1 , 1 9 6 3 3 , 4 8 4 4 12 5 5 5 Resposta: 2,94 1 1,256 5 4,196 2 1,196 5 3 8 3,484 5 10,452 9 12 5 5 0,871 3. Que valor você deve atribuir ao para que se tenha: a) 3,2 3 5 16 b) 11,16 9 5 3,1 c) 5,3 3 5 18,55 d) 9 2,7 5 13,5 Respostas: a) 5; b) 3,6; c) 3,5; d) 36,45. Capítulo 10 Classificação de linhas poligonais 1. Em duplas, tracem linhas coloridas em um cartaz, conforme o que se pede abaixo, de modo que componham um único desenho: • uma linha não poligonal aberta; • uma linha poligonal fechada; • uma linha não poligonal fechada não simples; • uma linha poligonal aberta simples; • uma linha poligonal não simples. Em seguida, exponham aos colegas e expliquem como pen- saram, identificando as linhas solicitadas. Resposta pessoal. Polígonos 1. Utilize canudinhos de refresco, papel e cola para construir polígonos, de acordo com as considerações a seguir: • um polígono convexo formado por 3 canudinhos de mesmo comprimento; FERNANDO JOSÉ FERREIRA • um polígono não convexo formado por 5 canudinhos quais- quer; • um polígono não convexo formado por 3 canudinhos quais- quer; • um polígono convexo formado por 4 canudinhos, dois a dois de mesmo comprimento. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que não existe um polígono não convexo formado por 3 canudinhos (não existe triângulo não convexo), ou seja, essa construção é impossível. 2. A professora de Rubens pediu aos alunos que desenhassem figuras delimitadas por polígonos em cartolinas coloridas, recortassem essas figuras obedecendo ao contorno dos polí- gonos e depois montassem uma nova figura usando somente os “pedaços” obtidos. Veja o que Rubens fez: Escreva o nome do polígono que Rubens desenhou para for- mar cada uma das partes desse boneco indicadas a seguir e responda: Quantos polígonos ele desenhou no total? a) boca b) tronco c) pés d) mãos e) olhos f) nariz Respostas: a) trapézio; b) pentágono; c) trapézios; d) hexágonos; e) retângulo; f) triângulo. Ao todo, Rubens desenhou 15 polígonos. 3. Pegue alguns palitos de sorvete de mesmo comprimento e com eles construa: a) a representação de 1 triângulo com 3 palitos; b) a representação de 2 triângulos com 5 palitos; c) a representação de 3 triângulos com 7 palitos; d) a representação de 4 triângulos com 9 palitos. Agora, responda às questões: FERNANDO JOSÉ FERREIRA LIX
- 62. LX LX • Com 31 palitos, quantas representações de triângulos você pode construir sem que sobre nenhum palito? • Que tipo de triângulo aparece nas figuras formadas? Exemplos de figuras: a) 3 palitos representação de 1 triângulo (3 5 2 3 1 1 1) b) 5 palitos representação de 2 triângulos (5 5 2 3 2 1 1) c) 7 palitos representação de 3 triângulos (7 5 2 3 3 1 1) d) 9 palitos representação de 4 triângulos (9 5 2 3 4 1 1) • Observando o padrão para a construção dos triângulos, notamos que devemos ter: 31 5 2 3 ? 1 1 quantidade de triângulos formados • A quantidade procurada é um número cujo dobro é o ante- cessor de 31. Como 30 é o antecessor de 31, temos que 30 é o dobro da quantidade procurada. Isso significa que é possível construir 15 triângulos. • Todos os triângulos serão equiláteros se os palitos forem todos de mesmo comprimento. 4. Desenhe um polígono que tenha dois ângulos retos, um ângulo agudo e dois ângulos obtusos e trace pelo vértice de um dos ângulos retos todas as diagonais possíveis. a) Dê o nome desse polígono. b) Em quantos triângulos o polígono ficou dividido? c) Algum desses triângulos é retângulo? Exemplo de resposta: E B D C A Respostas de acordo com a figura anterior: a) Pentágono; b) Ficou dividido em três triângulos; c) Sim, o triângulo EDC. 5. Construa com palitos de fósforo usados a seguinte figura: Transforme a construção que você fez em outra que lembre 3 quadrados, movendo apenas 3 palitos. Exemplo de resposta: Diagonais de paralelogramos 1. Quando dois segmentos são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos, dizemos que eles são segmentos perpendiculares. A B C D AC t BD A seguir estão desenhados quadriláteros. Reproduza-os em seu caderno e trace as duas diagonais de cada um deles. ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI LX
- 63. retângulo losango trapézio quadrado a) Verifique com um esquadro quais deles têm suas diagonais perpendiculares entre si. b) Verifique, usando uma régua, quais têm suas diagonais congruentes. Respostas: retângulo trapézio losango quadrado a) Losango e quadrado; b) Retângulo e quadrado. Planificação da superfície de poliedros 1. Reproduza o molde a seguir em uma folha de cartolina e, com um colega, construam o poliedro. ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI NELSON MATSUDA Observando a planificação da superfície desse poliedro, res- pondam às perguntas. a) Quantas faces, arestas e vértices tem esse poliedro? b) Quantas e quais são as regiões poligonais que formam esse poliedro? c) O que você observa de especial nessas regiões poligonais? Você sabe nomeá-las? Respostas: a) 26 faces, 48 arestas e 24 vértices; b) 26 regiões poligonais, 18 quadrangulares e 8 triangulares; c) Resposta possível: As regiões quadrangulares são todas idênticas e têm os 4 lados de mesma medida (ou seja, são delimitadas por quadrados). As regiões triangulares também são todas idênticas e têm os 3 lados de mesma medida (ou seja, são delimitadas por triângulos equiláteros). Para responder às questões desta atividade, os alunos devem observar atentamente todas as faces do poliedro planificado, em relação tanto à forma quanto às medidas. Incentive-os a usar a reprodução da planificação para fazer registros e tentar identificar e quantificar os elementos do poliedro. Pode-se enriquecer a discussão com alguns questionamentos que seguem. • Um aluno marcou na planificação os pontos a seguir e con- cluiu que o poliedro tinha um total de 26 vértices. Por que essa conclusão está errada? (Porque há vértices repetidos marcados e há vértices faltantes não marcados.) Essa estratégia não é válida para contar os vértices? (Não, pois nem todos os vértices das regiões poligonais presentes na planificação serão vértices do poliedro montado.) Qual seria a estratégia válida? (Montar o poliedro e, depois, contar os vértices.) Ladrilhamento 1. É comum vermos nas ruas de certas cidades calçadas forma- das com ladrilhos do tipo , ou . Veja um exemplo: Em uma malha quadriculada, reproduza o modelo acima e continue o ladrilhamento. NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA LXI
- 64. LXII LXII Exemplo de desenho: 2. De acordo com o padrão de montagem, quantos faltam para completar a região quadrada abaixo? Resposta: 10 Capítulo 11 Construção do metro quadrado Medida de comprimento 1. Dagoberto quer fazer um galinheiro em seu sítio. Para isso, pretende aproveitar uma parede já existente e fazer um cer- cado em forma de quadrado, como o da figura a seguir. 6 m 6 m Para fazer o cercado, ele precisa fincar no chão estacas de madeira com 2,20 m de altura cada uma e distantes 1,5 m umas das outras. a) Marque no desenho onde ficarão essas estacas de madeira, sabendo que a primeira e a última serão colocadas junto à parede. b) Quantas estacas Dagoberto precisará usar? c) Quantos metros de madeira, no total, serão necessários para fazer essas estacas? ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA Respostas: a) 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m b) 13 estacas c) 28,6 metros de madeira 2. Uma senhora encomendou um quadro a uma artista. O com- primento do quadro poderia ser qualquer medida entre 1 m e 1,20 m, mas a altura deveria ter 3 4 do comprimento. A pintora realizou a obra com 1,04 m de comprimento. a) Qual é a altura da tela? b) Quantos metros de moldura foram utilizados nesse quadro? c) Se o metro de moldura custa R$ 98,00, a tela custa R$ 200,00, e o trabalho artístico, R$ 960,00, qual é o preço desse quadro? Respostas: a) 0,78 m; b) 3,64 m; c) R$ 1.436,72 3. Para fazer um lanche comunitário, alunos de uma escola junta- ram várias mesas, cujos tampos formaram uma região retan- gular de 3 m de comprimento por 0,8 m de largura. Sabendo que o tampo de cada mesa mede 60 cm de comprimento por 40 cm de largura, quantas mesas foram usadas para esse fim? Resposta: 10 mesas Medida de área 1. (Saresp) Veja o desenho que alguém fez no papel quadriculado. uma unidade Qual é a área que essa figura ocupa no papel quadriculado? a) 26 unidades. b) 28 unidades. c) 30 unidades. d) 32 unidades. Resposta: Alternativa b ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS NELSON MATSUDA LXII
- 65. Unidades de medida de superfície 1. Construção do metro quadrado Traga jornal e fita adesiva, tesoura sem ponta e uma trena. Em seguida, emende as folhas de jornal de modo que possa construir uma região quadrada de lado medindo 1 metro. De- pois, recorte as sobras, de modo que fique apenas a região quadrada construída. Essa construção representa a área de 1 metro quadrado. Convide alguns colegas e verifiquem quantos de vocês cabem sobre essa região. Medidas agrárias 1. A área de uma fazenda é 3 alqueires goianos. Quantos metros quadrados tem essa fazenda? E quantos hectares ela tem? Resposta: 145.200 m2 ; 14,52 ha 2. Que fazenda é maior: uma que tem 1 alqueire baiano de área ou outra que tem 3 alqueires paulistas de área? Resposta: A fazenda cuja área é de 1 alqueire baiano é a maior. Área da superfície retangular 1. Uma casa ocupa uma parte quadrada de um terreno, como mostra o esquema abaixo. Qual é a área do jardim? 2 m 2 m casa jardim 144 m2 Resposta: 52 m2 Capítulo 12 Medida de tempo 1. Durante a semana, Flávia acorda às 7 h 15 min para ir à escola. Neste domingo, às 20 h 56 min, ela começou a assistir a um filme com duração de 1 h 48 min. a) A que horas terminou o filme? b) Considerando que Flávia demora cerca de 20 minutos para adormecer, ela conseguiu dormir as 8 horas necessárias para seu descanso noturno? Respostas: a) 22 h 44 min; b) Sim. Discuta com os alunos a diferença em se adicionar (ou subtrair) intervalos de tempo e horários demarcados. Por exemplo, se uma viagem durou 22 horas e 44 minutos de avião, 20 minutos de espera e outras 8 horas de trem, ao todo foram gastas 31 horas e 4 minutos nesse trajeto. No entanto, se pensarmos na situação de Flávia, essa medida não tem sentido, pois ultrapassa 24 h. Nesse caso, devemos fazer 22 h 44 min 1 20 min, obtendo 23 h 4 min; depois 23 h 4 min 1 1 h 5 24 h 4 min (ou 0 h 4 min); e por fim acrescentar as 7 h restantes, obtendo 7 h 4 min (horário em que Flávia completa 8 horas de sono). ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL Medidas de volume 1. Considere um cubo modelado em isopor em que fizeram alguns cortes, conforme mostra a figura a seguir. Depois, desenhe em seu caderno cada um dos quatro paralelepípe- dos de faces retangulares em que esse cubo ficou dividido. 5 cm 1,5 cm 1,2 cm 5 cm 5 cm Respostas: 3,5 3,8 5 3,8 1,5 5 1,5 5 1,2 1,2 3,5 5 1 4 2 3 2. (Enem) Um pedreiro necessita comprar tijolos para construir uma mureta de 2 metros de comprimento. As dimensões de um tijolo e a forma da mureta estão descritas nas figuras a seguir. Dimensões do tijolo 20 cm 10 cm 8 cm 2 m Forma e extensão da mureta A espessura da massa é considerada para compensar as perdas que normalmente ocorrem. O total de tijolos que o pedreiro deverá adquirir para realizar o serviço é: ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA FERNANDO JOSÉ FERREIRA LXIII
- 66. LXIV LXIV a) 40. b) 60. c) 80. d) 100. e) 70. Resposta: Alternativa c Medida de capacidade 1. (Enem) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cℓ). Sabe- -se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mℓ. Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mℓ, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de: a) 0,83. b) 1,20. c) 12,03. d) 104,73. e) 120,34. Resolução: Como 1 onça fluida equivale a cerca de 2,95 centilitros e 1 cℓ 5 10 mℓ, temos que 1 onça fluida é cerca de 29,5 mililitros, pois: 2,95 cℓ 5 10 8 2,95 mℓ 5 29,5 mℓ. Como a lata de refrigerante comercializada no Brasil tem 355 mℓ de capacidade, para saber quanto é isso em onças fluidas devemos verificar quantos 29,5 mℓ cabem em 355 mℓ, ou seja, devemos efetuar a divisão de 355 por 29,5, cujo quociente aproximado é 12,03. Assim, 355 mℓ são cerca de 12,03 onças fluidas. Logo, a alternativa correta é c. Medidas de massa 1. Um caminhão entregou meia tonelada de pedras em uma construção. Quantos gramas de pedra foram entregues? Resposta: 500.000 gramas 2. Indique qual é a unidade de medida mais apropriada para medir a massa de: a) um saco de arroz; b) um anel de ouro; c) a carga de um caminhão carregado de feijão; d) um componente de produto químico em um comprimido. Exemplos de respostas: a) quilograma; b) grama; c) tonelada; d) miligrama Esse exercício é interessante para trabalhar o pensamento crítico dos alunos e promover uma discussão perguntando qual é a melhor unidade de medida para cada objeto e por quê. 3. No quadro a seguir, os sólidos iguais representam objetos de mesma medida de massa. As setas indicam a soma das medidas da massa dos objetos representados em cada linha ou coluna. Descubra a massa, em gramas, de cada um dos objetos re- presentados. 36,9 g 33,7 g 38,5 g 36,5 g 38 g Resolução: Na resolução abaixo vamos representar a medida da massa de cada objeto por sua representação. Como 3 5 36,9 g, então: 5 12,3 g. Sabemos que 5 12,3 g, então: 1 2 5 5 12,3 g 1 2 5 33,7 g. Ou seja: 2 5 21,4 g. Logo, 5 10,7 g. Sabemos que 5 12,3 g, então: 2 1 5 5 36,5 g 5 24,6 g 1 5 36,5 g. Ou seja: 5 11,9 g. Sabemos que 5 12,3 g e 5 10,7 g, então: 1 1 5 12,3 g 1 10,7 g 1 5 38 g. Ou seja: 5 15 g. Sabemos que 5 11,9 g e 5 15 g, então: 1 1 5 11,9 g 1 15 g 1 5 38,5 g. Ou seja: 5 11,6 g. ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI LXIV
- 67. 1 Componente curricular: MATEMÁTICA Edwaldo Bianchini Licenciado em Ciências pela Faculdade de Educação de Ribeirão Preto, da Associação de Ensino de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP). Professor de Matemática da rede pública de ensino do estado de São Paulo, no ensino fundamental e médio, por 25 anos. MATEMÁTICA BIANCHINI 9a edição São Paulo, 2018 6 o ano LIVRO DO ESTUDANTE — ORIENTAÇÕES PÁGINA A PÁGINA
- 68. 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Coordenação geral: Maria do Carmo Fernandes Branco Edição: Glaucia Teixeira Edição de conteúdo: Dário Martins de Oliveira Revisão técnica: Kauan Pastini Paula Leite Assistência editorial: Francisco Mariani Casadore Suporte administrativo editorial: Alaíde dos Santos Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Andreza Moreira Capa: Bruno Tonel, Mariza de Souza Porto Foto: Pessoas em barco a remo em Buchelay, França, 2017 . Crédito: Julien Brochard/EyeEm/Getty Images Coordenação de arte: Aderson Assis Editoração eletrônica: Grapho Editoração, Marcel Hideki Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Coordenação de revisão: Camila Christi Gazzani Revisão: Ana Maria Marson, Clara Altenfelder, Daniela Uemura, Erika Nakahata, Kátia Godoi, Lilian Xavier Coordenação de pesquisa iconográfica: Sônia Oddi Pesquisa iconográfica: Angelita Cardoso, Leticia Palaria Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento: “Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada. ” 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP , Brasil) Bianchini, Edwaldo Matemática - Bianchini / Edwaldo Bianchini. – 9. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. Obra em 4 v. para alunos de 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-16603 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Iolanda Rodrigues Biode – Bibliotecária – CRB-8/10014
- 69. 3 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. APRESENTAÇÃO Caro estudante, Este livro foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar sua aprendizagem. Para tornar mais simples o entendimento, a teoria é apresentada por meio de situações cotidianas. Assim, você vai notar o quanto a Matemática faz parte do nosso dia a dia e nos permite compreender melhor o mundo que nos rodeia. Por isso, aproveite ao máximo todo o conhecimento que este livro pode lhe oferecer. Afinal, ele foi feito especialmente para você! Faça dele um parceiro em sua vida escolar! O autor
- 70. 4 CONHEÇA SEU LIVRO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 47 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Situação 1 FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO 39 Um alpinista, depois de subir 455 metros de uma montanha, subiu mais 325 metros, porém escorregou e desceu 18 metros. Depois, ele tornou a subir 406 metros. a) Determine a expressão correspondente a essa situação. b) Qual é o valor dessa expressão? c) A que altura se encontra esse alpinista? 40 Hora de criar – Pense em um número de três algarismos e escreva esse número por meio de uma soma de quatro números. Substitua dois desses quatro números por diferenças de outros números. Troque com um colega essas expressões numéricas criadas por vocês. Depois de cada um calcular o valor da expressão do outro, destroquem para corrigi-las. Bruna comprou um sofá, que pretende pagar em 10 parcelas de 230 reais cada uma. Qual será o valor total que Bruna pagará pelo sofá? Podemos resolver esse problema usando uma adição de 10 parcelas iguais. Observe: 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 5 2.300 10 parcelas 4 Multiplicação Acompanhe as situações a seguir. Pense mais um pouco... Giovana achou um velho caderno com exercícios numa caixa guardada por seu pai. Mas veja o que as traças fizeram! Descubra as contas que havia no ca- derno do pai de Giovana e escreva-as em seu caderno. 36 Calcule o valor das expressões numéricas. a) 36 2 5 1 12 1 10 b) 36 2 (5 1 12) 2 10 c) 36 2 (12 1 10 2 15) d) (36 2 5) 2 (12 1 10) 37 Se Carlos tivesse mais 8 reais, poderia com- prar um sorvete por 1 real, um sanduíche por 8 reais e ainda lhe sobraria 1 real. Quantos reais Carlos tem? 38 Na caixa de entrada de seu e-mail, Pedro acu- mulou 650 mensagens e deletou 288 delas. Dias depois, recebeu 740 novas mensagens, e ele apagou 1.000 mensagens. a) Determine a expressão que corresponde a essa situação. b) Quantas mensagens ficaram na caixa de entrada de Pedro? ALAN CARVALHO JOSÉ LUÍS JUHAS Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 1 Usando os algarismos indo-arábicos, escreva os números que aparecem por extenso nas informações. a) O rio Amazonas tem seis mil, novecentos e trinta e sete quilômetros de comprimento. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CARLOS FABAL/GETTY IMAGES Vista aérea do rio Amazonas (Amazonas). (Foto de 2017.) b) Segundo estimativa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a popu- lação da cidade de Belo Horizonte (MG), em 2017, seria de dois milhões, quinhentos e vinte e três mil, setecentos e noventa e quatro habitantes. 2 Considere os seguintes cartões: 1 6 7 Colocando os três cartões um ao lado do outro, de todos os modos possíveis, obtemos a repre- sentação de seis números naturais. Determine: a) o maior número encontrado; b) o menor número encontrado; c) o menor número que começa com o alga- rismo 7; d) o maior número que começa com o alga- rismo 6. 3 Um número tem dois algarismos. O algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das uni- dades. a) Qual será o número se ele for menor que 40? b) Qual será o número se ele for maior que 70? 4 Ao formar números com os algarismos 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, responda: a) Qual é o menor número que pode ser for- mado? b) Qual é o maior número que pode ser for- mado? a) Nesse salário, qual é o valor posicional do algarismo 7 antes da medida provisória? E depois? b) Nesse salário, qual é o valor posicional do algarismo 4 depois da medida provisória? E antes? c) Pesquise com algum adulto da família (pais, tios, avós), com base na carteira profis- sional deles, e registre em seu caderno as alterações de salário ocorridas com planos econômicos que mudaram o dinheiro no Brasil. 5 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Nu- merou as páginas começando pelo 1. a) Quantos algarismos ela escreveu? b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2? 6 Lúcia escreveu todos os números de dois algarismos; Paula escreveu todos os núme- ros de dois algarismos distintos (diferentes); Rogério escreveu todos os números pares de dois algarismos; e Renato escreveu todos os números pares de dois algarismos distintos. Entre os cartões coloridos abaixo, aparecem as quantidades de números que cada um escreveu. 90 81 45 41 85 95 Descubra qual é o cartão de cada um. 7 No Brasil, o dinheiro já teve outros nomes. Em julho de 1993, chamava-se cruzeiro. Nesse mês, o presidente Itamar Franco editou uma medida provisória criando o cruzeiro real: a quantia de 1.000 cruzeiros passou a valer 1 cruzeiro real. Assim, um salário de 4.750.000 cruzeiros, que era pouco mais de um salário mínimo, passou para 4.750 cruzeiros reais, ou seja, foram tira- dos três zeros do número anterior. Nota de 500.000 cruzeiros. ACERVO DO BANCO CENTRAL DO BRASIL Seu livro está organizado em 12 capítulos. A estrutura de cada capítulo é muito simples e permite localizar com facilidade os assuntos estudados, os exercícios e as seções enrique- cedoras. Veja a seguir. Página de abertura O tema do capítulo é introduzido por meio de uma imagem motivadora e um breve texto. Exercícios O livro traz exercícios variados, organizados após os conteúdos na seção Exercícios Propostos e, ao final de cada capítulo, na seção Exercícios Complementares. Hora de criar – Atividades em que você elabora um problema com base no assunto estudado. Apresentação dos conteúdos Os conteúdos são apresentados em linguagem clara e objetiva e acompanhados de exemplos e ilustrações cuidadosamente elaborados. No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas (pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria). Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e suas características. 3Estudando figuras geométricas Capítulo Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.) MIRA/ALAMY/FOTOARENA CAPÍTULO 3 73 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 38 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Os oceanos abrigam a maior diversidade da Terra. O Registro Mundial de Espécies Marinhas é um banco de dados com a listagem dos seres conhecidos nos oceanos. Por enquanto, a lista soma 224.804 espécies catalogadas, de um total de 240.867 conhecidas. (Dados obtidos em: Marine Species. Disponível em: <http://www. marinespecies.org>. Acesso em: 20 jul. 2017.) FABIO COLOMBINI JOE QUINN/ALAMY/FOTOARENA 0 2 2 0 1 0 5 NELSON MATSUDA 2 Subtração Acompanhe estas situações. Em apenas 20 anos, a população de onças-pintadas caiu 90% no Parque Nacional do Iguaçu (ParNa), em Foz do Iguaçu (PR), área que protege uma ri- quíssima biodiversidade da fauna e flora brasileiras. Segundo o Instituto para a Conservação dos Carnívoros Neotropicais (Pró-carnívoros), que trabalha com o monitoramento da espécie no Parque, as onças-pintadas foram reduzidas de 100 indivíduos para 20 indivíduos. [...] Entre as ameaças para garantir a espécie viva na reserva, o Instituto aponta a falta de investimentos em estrutura e fiscalização, a caça predatória e de retaliação e a possibilidade de reabertura da Estrada do Colono. Na Mata Atlântica, a estimativa é de que existam apenas 250 onças-pintadas, maior felino do continente americano e maior predador terrestre do Brasil. A perda do hábitat natural da espécie em razão do desmatamento para dar lugar a atividades agropecuárias ou pastagens nativas é crítica para o animal. Fonte: WWF-BRASIL APOIA monitoramento de onças-pintadas no Parque Nacional de Iguaçu. WWF-Brasil. Disponível em: <http://www.wwf.org.br/ wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque- nacional-de-iguau>. Acesso em: 06 jul. 2017. Com os dados obtidos no texto acima, é possível descobrir quanto diminuiu a população de onças-pintadas do Parque Nacional do Iguaçu em 20 anos. Para isso, devemos tirar do total de indivíduos que existiam há 20 anos o total de indivíduos que existem hoje. Logo, foram reduzidas 80 onças-pintadas. Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira: Colônia de corais em um recife de Aruba (Caribe). Onças-pintadas, Manaus (Amazonas). Situação 1 Situação 2 Total de indivíduos há 20 anos minuendo 100 Total de indivíduos atualmente subtraendo 20 Redução do total de indivíduos diferença ou resto 80 2 5 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 124 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA 1 Ponto, reta e plano O ponto, a reta e o plano são noções aceitas sem definição na Geometria, por isso são chamadas noções primitivas. Elas podem ser associadas, de maneira intuitiva, a diferentes coisas que nos rodeiam. PROCY/SHUTTERSTOCK ZHYKOVA/SHUTTERSTOCK EDUARDO TAVARES Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho de água do lago dão a ideia das noções primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, respectivamente. Cada estrela que vemos no céu dá a ideia de um ponto. Um raio de luz dá a ideia de uma reta. O espelho de água dá a ideia de plano. Parque Farroupilha, Porto Alegre (Rio Grande do Sul). (Foto de 2017.) Determine a expressão correspondente a Qual é o valor dessa expressão? A que altura se encontra esse alpinista? Hora de criar – Pense em um número de três algarismos e escreva esse número por meio de uma soma de quatro números. Substitua dois desses quatro números por diferenças de outros números. Troque com um colega essas expressões numéricas criadas por vocês. Depois de cada um calcular o valor da expressão do outro, destroquem para corrigi-las. c) A que altura se encontra esse alpinista? 40 Hora de criar – Pense em um número de três algarismos e escreva esse número por meio de uma soma de quatro números. Substitua dois desses quatro números por diferenças de outros números. Troque com um colega essas expressões numéricas criadas por vocês. Depois de cada um calcular o valor da expressão do outro, destroquem para c) A que altura se encontra esse alpinista? 40 Hora de criar – Pense em um número de três algarismos e escreva esse número por meio de uma soma de quatro números. Substitua dois desses quatro números por diferenças de outros números. Troque com um colega essas expressões numéricas criadas por vocês. Depois de cada um calcular o valor da expressão do outro, destroquem para
- 71. 5 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. DIVERSIFICANDO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 308 CAPÍTULO 11 COMPRIMENTOS E ÁREAS 1 No tangram, são necessários quatro triângulos pequenos para compor um triângulo grande. Já para compor o quadrado, o paralelogramo ou o triângulo médio, são necessários dois triângulos pequenos. Sabendo disso e tomando como unidade de medida de área o triângulo menor, qual é a área do qua- drado formado pelas sete peças? E das figuras ao lado do quadrado? 2 Se a unidade de medida de área fosse o quadrado menor, qual seria a área de uma figura construída com as sete peças do tangram? 3 Forme um grupo com três colegas. Em uma cartolina, desenhem as peças do tangram e recortem-nas para formar uma das figuras abaixo. Utilizem todas as peças sem sobrepor nenhuma. 4 Ainda em grupo, usem a imaginação, inventem uma figura e troquem com outro grupo. Não se es- queçam de fazer um esquema da composição da figura que vocês inventaram. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Tangram O tangram é um antigo quebra-cabeça de ori- gem chinesa composto de sete peças: cinco triângulos retângulos isósceles (dois triângulos pequenos, um médio e dois grandes), um qua- drado e um paralelogramo. Com esse quebra-cabeça, é possível formar milhares de figuras diferentes. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora é com você! Diversificando Esta seção oferece a você a oportunidade de entrar em contato com temas variados, em diferentes contextos e áreas do saber. Para saber mais É uma seção que traz textos sobre Geometria e História da Matemática para enriquecer e explorar diversos conteúdos matemáticos estudados. Ícones da coleção Atividade em dupla ou em grupo Cálculo mental Calculadora Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 194 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Pense mais um pouco... Junte-se a um colega e façam o que se pede. 1. Efetuem as multiplicações das fichas e comparem os resultados. a) 8 8 8 8 4 3 3 5 3 3 4 5 1 1 4 5 4 1 1 5 b) 8 8 8 8 3 8 4 5 4 8 3 5 1 2 3 5 3 2 1 5 c) 8 8 8 8 8 8 8 8 3 5 5 2 2 7 5 5 2 2 3 7 1 1 1 1 3 7 3 1 1 1 1 7 2. A professora pediu aos alunos que calculassem o valor da expressão 8 8 3 55 5 13 26 7 . ƒ Fábio multiplicou todos os numeradores e, depois, todos os denominadores. Em seguida, simplificou o resultado dividindo o numerador e o denominador por 5 e então por 13. . . 8 8 8 8 8 8 3 55 5 13 26 7 3 5 26 55 13 7 390 5 005 78 1 001 6 77 5 5 5 5 ƒ Débora, antes de multiplicar, dividiu por 5 o numerador 55 e o denominador 5, dividiu por 13 o numerador 13 e o denominador 26 (ela registrou esse procedimento com traços sobre os números divididos). Em seguida, multiplicou todos os novos numeradores e todos os novos denominadores: 8 8 8 8 8 8 3 55 5 13 26 7 3 55 5 13 26 7 3 11 1 1 2 7 6 77 5 5 5 11 1 1 2 Discutam e respondam: qual é o procedimento mais prático, o de Fábio ou o de Débora? 3. Calculem, pelo procedimento de Débora, o valor da expressão: 8 8 9 4 15 21 16 10 4. Calculem, da maneira que acharem mais prática, os produtos a seguir. a) 8 8 3 3 8 b) 8 9 1 9 c) 8 6 7 7 6 d) 8 12 12 1 Quando os números racionais são inversos Observe as frações a seguir. ƒ 5 2 2 5 e ƒ 3 1 3 e ƒ 7 4 4 7 e ƒ 8 8 1 e Uma fração tem como numerador o denominador da outra e como denominador o nume- rador da outra. Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que um desses números é o inverso do outro. Esses números são chamados de números inversos. DANIEL ZEPPO Pense mais um pouco... Propõe atividades desafiadoras que permitem aprofundar conteúdos ao longo do capítulo. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 26 27 CAPÍTULO 1 NÚMEROS CAPÍTULO 1 NÚMEROS Construindo tabelas Artur Ávila foi o primeiro matemático brasileiro a ganhar a Me- dalha Fields, o prêmio mais importante dessa área, geralmente comparado ao Prêmio Nobel. A Medalha Internacional de Descobrimentos Proe- minentes em Matemática, conhecida popularmente como Medalha Fields, é concedida a dois, três ou quatro matemáticos com idade máxima de 40 anos. Desde que foi instituída pelo matemático canadense John Charles Fields, em 1936, essa medalha tem sido entregue a cada quatro anos a jovens matemáticos que tenham grandes destaques em suas pesquisas. Em 2014, três outros matemáticos também foram premiados: a iraniana Maryam Mirzakhani, a primeira mulher condecorada, o canandense Manjul Bhargava e o austríaco Martin Hairer. De maneira aleatória, as Medalhas Fields distribuídas até 2014 estão listadas abaixo, de acordo com os países de naturalidade dos condecorados. Artur Ávila, primeiro brasileiro a ser condecorado com a Medalha Fields. (Foto de 2011.) A iraniana Maryam Mirzakhani foi a primeira mulher a ganhar uma Medalha Fields. (Foto de 2014.) Frente e verso da Medalha Fields. (Foto de 2007.) Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática para sabermos quantas Medalhas Fields foram concedidas a cada país. Organizando as informações em uma tabela, a análise dos dados será mais fácil. Para isso, inicialmente, podemos percorrer a lista e atribuir um traço para cada vez que cada país aparece. LIGIA DUQUE ANDRE VALENTIM/ABRIL COMUNICAÇÕES S/A LEE YOUNG HO/AP/GLOW IMAGES STEFAN ZACHOW – INTERNATIONAL MATHEMATICAL UNION, BERLIM EUA Bélgica Noruega França EUA Reino Unido EUA Ucrânia Finlândia EUA Rússia Itália França Rússia Japão Reino Unido Suécia Japão EUA Reino Unido Irã Rússia França Rússia EUA França Alemanha Nova Zelândia França Rússia EUA França Áustria Austrália EUA Canadá EUA Japão África do Sul Rússia França Israel EUA França Brasil EUA EUA Bélgica China Reino Unido Vietnã França Rússia Reino Unido Rússia França Essa tabela tem como título Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos matemáticos premiados até 2014, além de duas colunas (divisões na vertical) e oito linhas (divi- sões na horizontal). Na 1a linha, são apresentados: • na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, o país de naturalidade dos ganhadores das Medalhas Fields); • na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de Medalhas Fields conquistadas por país). Da 2a à 8a linha são especificados: • na coluna da esquerda, alguns países de naturalidade dos ganhadores e a categoria “Outros”; • na coluna da direita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada país e à categoria “Outros”. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA Observe que na categoria “Outros” agrupamos os países que ganharam apenas uma Medalha Fields. Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos matemáticos premiados até 2014 País de naturalidade Quantidade de Medalhas Fields conquistadas EUA 12 Bélgica 2 França 10 Japão 3 Reino Unido 5 Rússia 8 Outros (16 países) 16 1 Cada aluno da classe de Enrico escreveu no quadro sua fruta preferida. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! Com base nas informações do quadro, construa uma tabela. Não se esqueça de dar um título à tabela e de identificar a categoria dos dados e os dados obtidos. Agora, responda: a) Quantos alunos têm seriguela como fruta preferida? b) Qual fruta é apontada como a preferida dos alunos da classe de Enrico? c) Quantos alunos preferem caju a outras frutas? d) Qual fruta tem a maior preferência: jabuticaba ou morango? 2 Faça uma pesquisa com os alunos da classe sobre o animal de estimação preferido e organize os dados obtidos em uma tabela. Compare a tabela construída por você com a de outros colegas. Há diferenças entre as tabelas construídas? Justifique. LIGIA DUQUE Dados obtidos em: IMU. Disponível em: <https://www. mathunion.org/ imu-awards/fields- medal>. Acesso em: 27 mar. 2018. Trabalhando a informação Esta seção permite que você trabalhe com informações apresentadas em diferentes linguagens. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Agora é com você! “Tique-taque, tique-taque. Relógios de pa- rede, de pulso, de bolso, de pilha etc. Nos dias de hoje, somando os modelos novos e os anti- gos, caros e baratos, simples e complexos, são produzidos cerca de um bilhão de relógios por ano, em todo o mundo! [...] Olhando para um modelo tradicional, vemos que o movimento dos ponteiros tem uma direção (sempre para direita) e que esse movimento obedece a ritmos bem definidos (os segundos, os minutos e as horas). Você já deve ter estudado que precisamos de 60 segundos para formar um minuto (o ritmo do ponteiro maior), da mesma forma como precisamos de 60 minutos para formar uma hora (o ritmo do ponteiro menor). Para completar um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o ponteiro menor percorra duas vezes (12 1 12) a sequência das horas. Utilizando outros agrupamentos Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10 em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamen- tos, como é o caso dos minutos e dos segundos. Como os ponteiros de um relógio, todos os fe- nômenos que começam num ponto e a eles retor- nam, repetindo o seu movimento, formam o que chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova), as estações do ano (primavera, verão, outono, in- verno). [...] esses ciclos, observados na natureza, ajudaramoshomensacontaraduraçãodotempo, criandomedidascomoodiade24 horas,omêsde 30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram com que muitas pessoas, em diferentes épocas e lugares, acreditassem que os acontecimentos de suas vidas e os acontecimentos da história dos povos também pudessem se repetir, exatamente como os fenômenos observados na natureza.” Fonte: TURAZZI, Maria Inez; GABRIEL, Carmen Teresa. Tempo e história. São Paulo: Moderna, 2000. Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou. Ao acordar, Lucas lembrou que seu relógio de pulso estava atrasado em relação ao relógio digital do des- pertador. Veja abaixo o que marcava cada relógio e descubra em quantos minutos o relógio de pulso de Lucas estava atrasado. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA PARA SABER MAIS
- 72. 6 SUMÁRIO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. CAPÍTULO 1 Números 11 1. Para que servem os números?.................................................................................. 12 2. Sistemas de numeração .............................................................................................. 12 Sistema egípcio de numeração ................................................................................. 13 Sistema babilônico de numeração........................................................................... 13 Sistema romano de numeração ................................................................................ 14 Sistema de numeração indo-arábico....................................................................... 16 Para saber mais – Utilizando outros agrupamentos............................................. 20 3. Números naturais........................................................................................................... 22 Comparando números naturais ................................................................................. 23 Reta numérica................................................................................................................... 24 Trabalhando a informação – Construindo tabelas................................................. 26 Diversificando – Quando a base é outra...................................................................... 29 CAPÍTULO 2 Operações com números naturais 30 1. Adição.................................................................................................................................. 31 Para saber mais – Arredondar para fazer estimativas......................................... 33 Propriedades da adição................................................................................................. 34 Para saber mais – Quadrado mágico............................................................................. 36 2. Subtração........................................................................................................................... 38 3. Adição e subtração........................................................................................................ 40 Trabalhando a informação – Interpretando um gráfico de colunas .............. 42 Adicionando e subtraindo mentalmente ............................................................... 44 Expressões numéricas com adições e subtrações ........................................... 45 4. Multiplicação.................................................................................................................... 47 Outra ideia associada à multiplicação .................................................................... 50 Para saber mais – Multiplicação hindu......................................................................... 53 Propriedades da multiplicação................................................................................... 54 5. Divisão................................................................................................................................. 58 Propriedade fundamental da divisão ...................................................................... 60 Dividindo mentalmente................................................................................................. 62 6. Expressões numéricas envolvendo as quatro operações............................. 63 7. Potenciação ...................................................................................................................... 64 Quadrado de um número.............................................................................................. 65 Cubo de um número ....................................................................................................... 65 Potências de expoente zero, de expoente 1 e de base 10............................ 65 Números quadrados perfeitos................................................................................... 67 8. Radiciação.......................................................................................................................... 68 Trabalhando a informação – Interpretando um gráfico de barras ................. 70 Diversificando – Relações algébricas no quadrado mágico............................... 72 CAPÍTULO 3 Estudando figuras geométricas 73 1. Um pouco de história.................................................................................................... 74 2. Figuras planas e não planas....................................................................................... 75 3. Os sólidos geométricos................................................................................................ 76 Corpos redondos e poliedros...................................................................................... 77 4. Conhecendo um pouco mais os poliedros............................................................ 79 Elementos de um poliedro........................................................................................... 79 Nomeando poliedros...................................................................................................... 79 Trabalhando a informação – Lendo embalagens.................................................... 82 Diversificando – Ampliar e reduzir.................................................................................. 84 BOB MATIN/GETTY IMAGES LUCAS UEBEL/GETTY IMAGES MIRA/ALAMY/FOTOARENA
- 73. 7 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. CAPÍTULO 4 Divisibilidade 85 1. Múltiplos e divisores ..................................................................................................... 86 Os múltiplos de um número ........................................................................................ 88 Os divisores de um número......................................................................................... 90 Para saber mais – Sequências numéricas.................................................................. 92 2. Critérios de divisibilidade ........................................................................................... 94 Divisibilidade por 2.......................................................................................................... 94 Divisibilidade por 5.......................................................................................................... 94 Divisibilidade por 10 ....................................................................................................... 95 Divisibilidade por 3.......................................................................................................... 96 Divisibilidade por 6.......................................................................................................... 97 Divisibilidade por 9.......................................................................................................... 98 Divisibilidade por 4.......................................................................................................... 99 3. Números primos.............................................................................................................. 101 Decomposição em fatores primos............................................................................ 102 Para saber mais – mdc e mmc.......................................................................................... 104 Trabalhando a informação – Construindo um gráfico de barras..................... 106 CAPÍTULO 5 Um pouco de Álgebra 109 1. Apresentando a variável ............................................................................................. 110 2. Generalizando conclusões.......................................................................................... 112 3. Critérios de divisibilidade ........................................................................................... 113 Trabalhando a informação – Construindo um gráfico de colunas.................. 116 4. Propriedades da igualdade......................................................................................... 118 Para saber mais – A temperatura e a Álgebra.......................................................... 119 Diversificando – Desafiando a sua inteligência ....................................................... 122 CAPÍTULO 6 Um pouco de Geometria plana 123 1. Ponto, reta e plano ........................................................................................................ 124 O ponto e a reta............................................................................................................... 125 O plano................................................................................................................................. 126 2. Posições relativas de duas retas em um plano ................................................. 127 3. Semirreta e segmento de reta.................................................................................. 129 Semirreta............................................................................................................................ 129 Segmento de reta........................................................................................................... 130 Medida de um segmento de reta.............................................................................. 132 Para saber mais – Ilusão de óptica................................................................................. 135 4. Ângulos............................................................................................................................... 135 Ângulo e giro ..................................................................................................................... 137 Medida de um ângulo..................................................................................................... 138 Construção de um ângulo com o transferidor..................................................... 141 Tipos de ângulo................................................................................................................ 142 Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas........................... 144 Para saber mais – Retas perpendiculares e retas paralelas traçadas com o uso de software.................................................................................... 145 ZIMMYTWS/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES ZIMMYTWS/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES RAIMUND FRANKEN/ GETTY IMAGES KUMI YAMASHITA. ACERVO DA ARTISTA – NEW YORK
- 74. 8 CAPÍTULO 7 Números racionais na forma de fração 148 1. Os números com os quais convivemos.................................................................. 149 2. Número racional e a fração que o representa.................................................... 150 Como se leem as frações............................................................................................. 151 Algumas situações que envolvem números racionais na forma de fração ......................................................................................................... 152 A forma percentual ........................................................................................................ 155 3. A fração também pode representar um quociente......................................... 156 Como trabalhar com a divisão e a forma mista................................................... 158 4. A fração como razão...................................................................................................... 160 Trabalhando a informação – Porcentagem nas ondas do rádio...................... 162 5. Frações equivalentes.................................................................................................... 165 Como obter frações equivalentes............................................................................ 165 6. Simplificação de frações............................................................................................. 167 Trabalhando a informação – Interpretando um gráfico de setores............... 169 7. Comparação de números escritos na forma de fração.................................. 171 Operações com números racionais na forma de fração 176 CAPÍTULO 8 1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador .......................... 177 Trabalhando a informação – Operando com porcentagens.............................. 182 2. Adição e subtração com frações de denominadores diferentes............... 183 3. Multiplicação.................................................................................................................... 188 Quando um dos fatores é um número natural..................................................... 188 Quando os dois fatores são escritos na forma de fração............................... 191 Quando os números racionais são inversos.......................................................... 194 4. Divisão................................................................................................................................. 195 Quando o divisor é um número natural................................................................... 195 Quando o dividendo é um número natural ............................................................ 197 Quando a divisão envolve números racionais na forma de fração.............. 198 5. Potenciação ...................................................................................................................... 200 6. Expressões numéricas ................................................................................................. 202 Trabalhando a informação – Calculando probabilidades .................................... 205 Números racionais na forma decimal e operações 207 CAPÍTULO 9 1. Números com vírgula.................................................................................................... 208 2. As frações decimais e a representação na forma decimal .......................... 209 3. Números na forma decimal ........................................................................................ 211 Como se leem os números escritos na forma decimal .................................... 212 4. Representações decimais equivalentes............................................................... 215 5. Comparação de números racionais na forma decimal ................................... 216 6. Reta numérica.................................................................................................................. 218 BRITISH ANTARTIC SURVEY/AFP MARTIN KONOPKA/EYEEM/ GETTY IMAGES SONIA VAZ SOBRE IMAGEM DE NATIONAL OCEANIC AND ATMOSPHERIC ADMINISTRATION/ SCIENCE SOURCE/FOTOARENA Bioma Caatinga Bioma Pampa Bioma Mata Atlântica Bioma Amazônia Bioma Cerrado Bioma Ambientes Marinhos Bioma Pantanal OCEANO ATLÂNTICO OCEANO PACÍFICO 50º O EQUADOR 0º TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO BRASIL — DIVISÃO POR BIOMAS
- 75. 9 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 7. Adição e subtração........................................................................................................ 219 8. Multiplicação por potências de 10 ......................................................................... 223 9. Multiplicação.................................................................................................................... 225 10. Divisão por uma potência de 10............................................................................... 228 11. Divisão................................................................................................................................. 230 Divisão de números naturais com quociente na forma decimal .................. 230 Divisão de números naturais com quociente aproximado.............................. 232 Divisão de dois números na forma decimal .......................................................... 234 Trabalhando a informação – Trabalhando com média ......................................... 238 12. Potenciação ...................................................................................................................... 239 13. Expressões numéricas e problemas....................................................................... 240 14. Representação decimal de frações........................................................................ 242 15. Porcentagem.................................................................................................................... 244 CAPÍTULO 10 Polígonos e poliedros 248 1. Linhas poligonais ............................................................................................................ 249 Interior, exterior e convexidade................................................................................. 250 2. Polígonos............................................................................................................................ 252 Elementos de um polígono.......................................................................................... 254 Classificação dos polígonos........................................................................................ 256 3. Triângulos .......................................................................................................................... 257 Elementos de um triângulo......................................................................................... 257 Classificação dos triângulos....................................................................................... 257 Construção de triângulos............................................................................................. 258 Para saber mais – Uma propriedade importante dos triângulos .................... 260 4. Quadriláteros.................................................................................................................... 262 Classificação dos quadriláteros ................................................................................ 262 5. O conceito de par ordenado....................................................................................... 264 Representação geométrica de pares ordenados............................................... 266 6. Planificação da superfície dos poliedros.............................................................. 268 Classificação dos poliedros......................................................................................... 268 Planificações..................................................................................................................... 268 Para saber mais – Ladrilhamento.................................................................................... 270 Trabalhando a informação – A probabilidade das cores ..................................... 271 7. Prismas................................................................................................................................ 272 Classificação dos prismas ........................................................................................... 272 Paralelepípedo reto-retângulo: um sólido especial ........................................... 274 8. Pirâmides............................................................................................................................ 276 Classificação das pirâmides........................................................................................ 276 Diversificando – Poliedros com massinha .................................................................. 278 CAPÍTULO 11 Comprimentos e áreas 279 1. Conhecendo algumas unidades de medida de comprimento ..................... 280 2. Metro, seus múltiplos e submúltiplos................................................................... 283 Transformação de unidades de medida................................................................. 285 3. Perímetro ........................................................................................................................... 288 4. Medindo superfícies ...................................................................................................... 290 Para saber mais – Planta baixa de uma casa............................................................ 292 WASSILY KANDINSKY. COLEÇÃO SOLOMOM R/ MUSEU GUGGENHEIM, NOVA YORK ÉBER EVANGELISTA Baleia jubarte Baleia orca Baleia beluga Cachalote 50 toneladas 40 toneladas 9 toneladas 1,3 tonelada
- 76. 10 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 5. Metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos.............................................. 293 Transformação de unidades de medida................................................................. 296 6. Medidas agrárias............................................................................................................. 300 7. Área da superfície retangular................................................................................... 302 Área de um quadrado .................................................................................................... 304 Para saber mais – Pesquisando no geoplano............................................................ 305 Diversificando – Tangram ................................................................................................... 308 CAPÍTULO 12 Outras unidades de medida 309 1. Unidades de medida de tempo................................................................................. 310 2. Volume................................................................................................................................. 313 3. Unidades de medida de capacidade....................................................................... 315 Transformação de unidades de medida................................................................. 317 4. Medindo a massa de um corpo ................................................................................. 320 Unidades de medida de massa.................................................................................. 320 Transformação de unidades de medida................................................................. 323 Unidades de medida de massa usadas no comércio atacadista................. 325 Para saber mais – Estimativas e medidas.................................................................. 328 Respostas................................................................................................................................... 330 Lista de siglas.......................................................................................................................... 335 Sugestões de leitura para o aluno................................................................................ 335 Bibliografia................................................................................................................................ 336 EASYFOTOSTOCK/EASYPIX BRASIL
- 77. 11 BIMESTRE 1 Material Digital Audiovisual • Vídeo: A contagem do rebanho Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual A seleção brasileira foi tetracampeã no futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio, em 2016. O futebol de cinco é uma modalidade de futebol praticada por deficientes visuais, exceto os goleiros, e exige silêncio das arquibancadas. Isso porque a bola tem guizos internos, que sinalizam a posição exata dela para os jogadores. Um guia (chamador), posicionado atrás do gol adversário, orienta os jogadores de ataque de sua equipe. A quadra do futebol de cinco tem comprimento de 38 a 42 metros e largura de 18 a 22 metros. Cada partida tem dois tempos com duração de 25 minutos cada um. 1Números Capítulo Brasil vence o Irã na final do futebol de cinco nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, no Rio de Janeiro. BOB MATIN/GETTY IMAGES 11 CAPÍTULO 1 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Reconhecer os significados dos números naturais em diferentes contextos. •Conhecer outros sistemas de numeração (egípcio, babilônico e romano). •Conhecer a origem do sis- tema de numeração indo- -arábico. •Compreender o sistema de numeração decimal, iden- tificando o conjunto de regras e símbolos que o ca- racterizam. •Praticar a leitura e a escrita dos números naturais. •Comparar números natu- rais, assim como reconhe- cer sucessor e antecessor de qualquer um deles. •Iniciar a construção de ta- belas como maneira de organizar, representar e interpretar dados. Orientações gerais Nesse primeiro contato mais formal com o mundo nu- mérico, é importante que o professor trabalhe com os alunos a ideia da grande presença e importância dos números em nosso dia a dia. Os alunos deverão ter uma noção clara dos diferentes empregos da numeração, nas situações de quantifica- ção (contagem), medição, codificação e ordenação. O texto da abertura suge- re alguns elementos para iniciar uma discussão sobre esse tema. Destaque com os alunos os números do tex- to, registrando-os na lousa, e converse com eles sobre o uso desses números. Por exemplo: •2016 – refere-se a determi- nado ano, ou seja, indica uma medida de tempo; •futebol de cinco – nesse caso, o 5 faz parte do nome da modalidade, tem o papel de um código, embora tam- bém faça alusão ao total de jogadores de cada time e, desse modo, indica uma quantidade (contagem); •38 a 42 metros, 18 a 22 me- tros, 25 minutos – referem- -se a medidas de compri- mento e de tempo.
- 78. 12 Para que servem os números? É importante recorrer ao máximo às situações cotidia- nas em que os números este- jam presentes. Uma maneira simples e eficiente de discu- tir isso com a classe é suge- rir aos alunos que relatem a rotina de um dia comum, tentando detectar todas as ações em que os números, de maneira direta ou indire- ta, são relevantes: o horário de acordar; o cálculo auto- mático (e quase inconscien- te) para as ações de levantar da cama e caminhar até o banheiro, por exemplo; a quantidade de creme dental que se coloca na escova de dentes ou a quantidade de água que se usa na higiene pessoal; o cálculo do tempo de que dispomos para nos vestir, tomar café da manhã e nos preparar para as ações fora de casa etc. Outro recurso de fácil acesso é a pesquisa de números em mídias diversas, como livros, jornais, revistas, televisão ou internet. Na própria sala de aula, certamente é possível explorar a presença de nú- meros variados. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas prin- cipais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 12 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 1 Para que servem os números? Ao observar o mundo que nos cerca, percebemos que é difícil encontrar uma situação que não esteja direta ou indiretamente relacionada com números. Na situação apresentada na página anterior, os números são empregados para: ƒ contar, por exemplo, quantos atletas participaram da prova, qual foi o placar ou quantas pessoas assistiram à partida; ƒ medir, por exemplo, o tamanho da quadra ou o tempo total da partida; ƒ codificar, por exemplo, o número do uniforme dos atletas; ƒ ordenar, por exemplo, qual equipe ficou em primeiro, em segundo ou em quarto lugar. Hoje, contamos e registramos quaisquer quantidades com símbolos e regras estabelecidos, mas isso nem sempre foi assim. Na Antiguidade, os seres humanos utilizavam muitas formas para contar e registrar quantidades. Com a ajuda da Arqueologia, ciência que estuda os costumes e a cultura de povos antigos por meio dos vestígios (artefatos, monumentos, fósseis) foram encontradas, em muitas es- cavações, marcas em paredes de cavernas, em ossos de animais e em gravetos que sugerem formas primitivas de contagem. Sem dúvida, podemos dizer que a ideia de número acompanha a humanidade desde a An- tiguidade. O osso de Ishango é uma ferramenta que data do Paleolítico Superior, aproximadamente entre 20000 e 18000 a.C. Esse objeto consiste em um longo osso castanho (a fíbula de um babuíno) que tem um pedaço pontiagudo de quartzo incrustado em uma de suas extremidades, possivelmente utilizado para gravar ou escrever. ROYAL BELGIAN INSTITUTE OF NATURAL SCIENCES, BRUSSELS 2 Sistemas de numeração Demorou muito para chegarmos à escrita numérica empregada atualmente. Os povos substituíram as antigas formas de registro por símbolos e regras que pudessem representar os números. Esse conjunto de símbolos e regras é chamado de sistema de numeração. Algumas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. No quadro a seguir, é possível comparar a escrita de 1 a 10, em alguns desses sistemas, com a escrita que você conhece.
- 79. 13 BIMESTRE 1 Sistemas de numeração Na apresentação dos mais conhecidos sistemas de nu- meração elaborados pelo ser humano, pode-se aproveitar a oportunidade para discutir a importância do conheci- mento dos fatos históricos es- senciais que nortearam o de- senvolvimento das ciências e das civilizações, introdu- zindo as primeiras reflexões sobre os percursos que con- duziram ao atual estágio do conhecimento e incentivan- do os alunos a comparações significativas. Reúna os alunos em gru- pos de 3 e peça a eles que destaquem as principais di- ferenças entre os sistemas de numeração egípcio e babilônico. Depois, os gru- pos podem apresentar suas conclusões para os outros grupos. Pode-se fazer um fechamento registrando na lousa a conclusão da turma. Espera-se que os alunos percebam diferenças entre os sistemas, como o tipo de agrupamento utilizado (egípcio: decimal, babilôni- co: sexagesimal) e a posição dos símbolos (egípcio: não posicional, babilônico: posi- cional “rudimentar”). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 13 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Sistema egípcio Sistema babilônico Sistema romano Sistema chinês Sistema maia Nosso sistema 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vamos conhecer um pouco mais sobre alguns desses sistemas de numeração. Sistema egípcio de numeração Observe mais alguns símbolos do sistema egípcio e os valores que eles representam. haste calcanhar corda enrolada flor de lótus dedo indicador peixe ou girino homem ajoelhado 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 23 110 432 1.666 3.210 ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO Segundo esse sistema, deviam ser obedecidas as seguintes regras: ƒ cada símbolo podia ser repetido até nove vezes; ƒ a ordem de escrita dos símbolos não era importante, pois seus valores eram somados. Veja alguns exemplos. Sistema babilônico de numeração Ossímbolosusadosnosistemababilônico,conhecidosporsím- boloscuneiformes,graçasàformadecunha,eramimpressoscom estilete em placas de barro que, após a impressão, eram cozidas. Nesse sistema, também existiam algumas regras a serem seguidas: ƒ o cravo ( ) podia ser repetido até nove vezes para repre- sentar números de 1 a 9; ƒ a asna ( ) representava o número dez e podia ser repetida até cinco vezes. Tábua (1800 a.C. a 1600 a.C.) com escrita cuneiforme da antiga Mesopotâmia. G. DAGLI ORTI/ALBUM/FOTOARENA – MUSEU DO LOUVRE, PARIS
- 80. 14 Sistema romano de numeração Inicialmente, explore o sis- tema romano de numeração com indagações para veri- ficar o que os alunos já co- nhecem dele, por exemplo: •Vocês sabem quais são os símbolos usados na nume- ração romana? •Quais são as letras princi- pais para a composição de um número na numeração romana? •Há símbolos que podem se repetir? Quais? •Vocês sabem como escre- ver os números 4, 6, 9, 40, 60, 90, 400, 600 e 900 na numeração romana? Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 14 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Veja alguns exemplos de escrita no sistema babilônico de numeração. 1 # 10 1 # 60 70 24 1 # 60 1 1 1 1 84 2 # 60 42 162 1 # 60 1 # 1 61 Com esses dois símbolos ( e ), os babilônios representavam até o número 59. Para quan- tidades maiores que 59, contava-se em grupos de 60, com os símbolos separados por um espaço, pois nessa escrita a posição dos símbolos era importante. Veja. 24 2 # 10 1 4 # 1 42 4 # 10 1 2 # 1 59 5 # 10 1 9 # 1 Muitas escritas numéricas babilônicas deixaram dúvidas, pois podia representar 1 ou 60. Hoje, em casos assim, os estudiosos da história da Matemática levam em consideração o contexto dos documentos para decifrar a quantidade representada. Sistema romano de numeração A representação de números adotada pelos romanos foi, durante muitos séculos, a mais utilizada na Europa. Essa representação era feita por meio de letras maiúsculas do próprio alfabeto romano. O quadro abaixo mostra os símbolos empregados no sistema romano e seus respectivos valores no nosso sistema de numeração. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1.000 ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO Para representar um número, uma letra é escrita ao lado da outra, obedecendo às regras: ƒ Quando uma letra é escrita à direita de outra, de valor igual ou maior, adicionam-se os valores. Veja alguns exemplos. a) VII 5 5 1 2 5 7 b) XV 5 10 1 5 5 15 c) XX 5 10 1 10 5 20 d) CLXXI 5 100 1 50 1 10 1 10 1 1 5 171 ƒ Somente as letras I, X, C e M podem ser repetidas, seguidamente, até três vezes. Veja. a) III 5 3 c) XXI 5 21 e) CCCXXIII 5 323 b) XXX 5 30 d) CC 5 200 f) MM 5 2.000 A repetição das letras V, L e D não ocorre, pois VV, LL, DD e VVV, por exemplo, têm como representação X, C, M e XV, respectivamente.
- 81. 15 BIMESTRE 1 Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora os sistemas de nume- ração estudados de maneira contextualizada e criativa. No exercício 2, pode-se es- timular a discussão sobre a presença da Matemática em diversos contextos cul- turais e históricos, como na construção de monumentos arquitetônicos. A leitura dos símbolos egípcios permite retomar as ideias básicas do sistema de numeração decimal. Pode-se, por exem- plo, solicitar aos alunos que, em grupo, elaborem uma situação de adição ou de subtração usando os símbo- los da numeração egípcia e troquem-nas com os cole- gas. Será possível observar como os grupos efetuaram as operações. Atenção: se perceber que há na turma necessidade de discutir os fatos fundamen- tais da adição para retomar as “trocas” de unidades, de- zenas e centenas, proponha situações de jogos que en- volvam trocas para os alunos superarem tais dificuldades. Para o exercício 3, incenti- ve os alunos a realizarem a leitura dos números di- retamente dos caracteres egípcios ou babilônicos, sem fazer a conversão para o sistema indo-arábico. En- tretanto, alguns números babilônicos representados podem causar dificuldade, pois há um espaço entre os símbolos, e isso deve ser dis- cutido com os alunos. Assim, no item c, o número repre- sentado é, no sistema indo- -arábico, 1 8 60 1 5 8 10 5 5 110. No item e, o núme- ro representado é 2 8 60 1 1 2 8 1 5 122. E, no item g, está representado o número 2 8 10 8 60 1 2 8 10 5 1.220. Desse modo, os pares de fi- chas que possuem números iguais são: a e d, b e e, c e h, f e g. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 15 CAPÍTULO 1 NÚMEROS ƒ Quando uma das letras I, X ou C é escrita à esquerda de outra letra de maior valor, subtrai- -se o respectivo valor (de I, X ou C) nas seguintes condições: • I só pode aparecer antes de V ou de X. • X só pode aparecer antes de L ou de C. • C só pode aparecer antes de D ou de M. Veja alguns exemplos. a) IV 5 5 2 1 5 4 d) XC 5 100 2 10 5 90 b) IX 5 10 2 1 5 9 e) CD 5 500 2 100 5 400 c) XL 5 50 2 10 5 40 f) CM 5 1.000 2 100 5 900 ƒ Um traço colocado sobre uma letra significa que o valor dessa letra deve ser multiplica- do por 1.000; dois traços indicam que o valor dela deve ser multiplicado por 1.000.000. Exemplos: a) V 5 5 # 1.000 5 5.000 c) LX 5 60 # 1.000 5 60.000 b) IX 5 9 # 1.000 5 9.000 d) XXI 5 21 # 1.000.000 5 21.000.000 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Escreva no sistema de numeração romano: a) a data de seu nascimento (dia/mês/ano); b) a data de hoje (dia/mês/ano); c) a data da proclamação da República no Bra- sil (dia/mês/ano). XV/XI/MDCCCLXXXIX 2 Escreva no caderno os números das frases a seguir no nosso sistema de numeração. a) A altura do Coliseu é de, aproximadamente, metros. 50 Localizado no centro arqueológico da cidade de Roma, o Coliseu é um dos maiores anfiteatros do mundo. (Foto de 2017.) 1. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. DEAGOSTINI/GETTY IMAGES ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO VALERIOMEI/SHUTTERSTOCK b) Na construção da pirâmide Quéops, foram utilizados blocos de pedra. 2.311.000 A grande pirâmide Quéops é a maior e a mais antiga das pirâmides de Gizé, no Egito. (Foto de 2016.) 3 Reproduza no caderno as fichas a seguir e pinte da mesma cor aquelas que têm números iguais. a) b) c) d) 11 122 110 11 e) f) g) h) 122 1.220 1.220 110 Terão a mesma cor as fichas: a e d; c e h; e e b; g e f.
- 82. 16 Exercícios propostos Na época em que o texto do exercício 4 foi elaborado, Oscar Niemeyer era vivo e tinha 103 anos. Esse famoso arquiteto faleceu em 15 de dezembro de 2012. O exercício 5 permite propor comparações entre os aspec- tos comuns e os divergentes do cotidiano do aluno, valo- rizando a contextualização. Além disso, valoriza princi- palmente a expressão escrita ao solicitar aos alunos que “criem três situações”. A es- crita na aula de Matemática tem um papel importante na aprendizagem, pois dá a eles a oportunidade de repensar e aprofundar os textos que produziram, registrar suas reflexões, percepções e o que descobriram sobre um con- ceito ou mesmo sobre uma situação vivida. Para o pro- fessor, a produção escrita dá não apenas uma boa noção do que o grupo aprendeu sobre o que foi desenvolvido nas aulas, mas também per- mite avaliar como os alunos expressam suas ideias. Proponha novos questiona- mentos para averiguar o que os alunos já conhecem sobre o sistema de numeração in- do-arábico. Por exemplo: •Vocês sabem de qual siste- ma de numeração estamos tratando? Conhecem seus símbolos? •Citem duas características que conhecem desse sis- tema. •Na sua opinião, por que o sistema de numeração indo-arábico se destacou? Sugestões de leitura Para ampliar seu trabalho com esse tema, sugerimos: <http://www.matematica.br/historia/ indoarabico.html>; <http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/ teses/t_000369009.pdf>. Acessos em: 14 abr. 2018. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan- ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. AFEGANISTÃO PAQUISTÃO ÍNDIA OCEANO ÍNDICO TRÓPICO DE CÂNCER 70º L R io Indo Vale do Rio Indo REGIÃO DO RIO INDO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 16 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 4 No texto abaixo, o jornalista faz uma brin- cadeira. Escrevendo como se a faixa do presidente da República pudesse falar, ele cita o decreto que a instituiu, com a escrita da época. Leia o texto e escreva os números que aparecem nele usando o sistema de nu- meração romano. Com a palavra, a Faixa [...] Antes que alguém cometa a desele- gância de perguntar, vou logo dizendo: tenho 100 anos, recém-completados essa semana. Qual o problema? Sou mais jovem que o Nie- meyer. Está na minha certidão de nascimento: Decreto no 2.299, de 21 de dezembro de 1910. Faço saber que o Congresso Nacional decretou e eu sancciono a resolução seguinte: Art. 1o . Como distinctivo de seu cargo o Presidente da Republica usará, a tiracollo, da direita para a esquerda, uma faixa de seda com as cores nacionaes, ostentando o escudo da Republica bordado a ouro. A faixa, cuja largura será de 15 centimetros, terminará em franjas de ouro de Esse sistema passou a ser conhecido como sistema de numeração indo-arábico (indo, em reconhecimento ao povo que criou o sistema, e arábico, em homenagem ao povo árabe, que o aperfeiçoou e o divulgou pela Europa). Com o passar do tempo, os símbolos cria- dos pelos indianos para a escrita de números sofreram várias modificações até chegar à representação atual — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 —, composta de dez símbolos denomi- nados algarismos indo-arábicos. Observe no quadro a seguir como alguns sinais, que já foram usados para escrever os algarismos indo-arábicos, foram se mo- dificando. Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. 4. ed. rev. e ampl. São Paulo: Moderna, 2013. p. 97. ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL NE L O SE S N NO SO 400 km 10 centimetros de largo e supportará, pendente do porto de cruzamento das suas extremidades, uma medalha, de ouro, mostrando no verso o mesmo escudo de que falla o artigo anterior e no anverso o dístico – Presidencia da Re- publica do Brazil. Assina o marechal Hermes Rodrigues da Fonseca, na data do 88o ano da Independência e 21o da proclamação da Re- pública. Já que esticamos a prosa, vou falar um pouco mais de mim. A medalha que eu tenho é de ouro 18 quilates, cravejada com 21 brilhantes – o número de toques de canhão disparados em honra aos chefes de Estado. [...] Fonte: MARSIGLIA, Ivan. Com a palavra, a faixa. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 25 dez. 2010. 5 Hora de criar – Escreva três situações do dia a dia que expressem números. Depois, troque esses textos com um colega para que cada um possa escrever os números do outro usando os sistemas de numeração dos egípcios, dos babilônios e dos romanos. Resposta pessoal. C, MMCCXCIX, XXI, MCMX, I, XV, X, LXXXVIII, XXI, XVIII, XXI. Sistema de numeração indo-arábico Na região ocupada hoje pelo Paquistão, onde se encontra o vale do Rio Indo, vive, há milha- res de anos, o povo indiano. Foi esse povo que criou o sistema de numeração que adotamos atualmente. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
- 83. 17 BIMESTRE 1 Orientações Retome com os alunos a noção de “ordem” que eles devem ter de seus estudos nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Proponha no- vos números para que eles possam identificar a ordem de cada algarismo que os compõe e determinar o valor posicional desses algarismos. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 17 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Essas modificações podem ser explicadas pelo fato de, naquela época, os livros serem es- critos manualmente e, portanto, dependerem da caligrafia de seus autores. Com a invenção da imprensa moderna na Europa, por volta de 1450, os algarismos começaram a ser finalmente padronizados. O sistema de numeração indo-arábico é um sistema posicional. Isso porque um mesmo algarismo tem valores diferentes para cada posição que ocupa no número. Considere, por exemplo, os números 52 e 25. ƒ No número 52, o algarismo 5 vale 5 dezenas ou 50 unidades (5 # 10), enquanto no número 25 ele vale 5 unidades (5 # 1). ƒ No número 25, o algarismo 2 vale 2 dezenas ou 20 unidades (2 # 10), enquanto no nú- mero 52 ele vale 2 unidades (2 # 1). No número 2.378, temos: ƒ o valor posicional do algarismo 8 é 8; ƒ o valor posicional do algarismo 7 é 70; ƒ o valor posicional do algarismo 3 é 300; ƒ o valor posicional do algarismo 2 é 2.000. Lendo da direita para a esquerda, o primeiro algarismo de um número é chamado algarismo de 1a ordem; o segundo, algarismo de 2a ordem; o terceiro, algarismo de 3a ordem; e assim por diante. Isso ocorre porque: ƒ cada unidade de 2a ordem vale dez vezes uma unidade de 1a ordem; ƒ cada unidade de 3a ordem vale dez vezes uma unidade de 2a ordem; ƒ cada unidade de 4a ordem vale dez vezes uma unidade de 3a ordem; e assim por diante. No número 4.527, por exemplo, temos: Elaborado a partir de: IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Trad. Sylvia Taborda. 10. ed. São Paulo: Globo, 2001. p. 310. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Século XII Século XIII Século XIV Século XV Por volta de 1524 ILUSTRAÇÃO: ADILSON SECCO ou seja: 4.527 5 7 1 20 1 500 1 4.000 algarismo de 1a ordem p 7 algarismo de 2a ordem p 2 # 10 5 20 algarismo de 3a ordem p 5 # 10 # 10 5 500 algarismo de 4a ordem p 4 # 10 # 10 # 10 5 4.000 4.527
- 84. 18 Exercícios propostos Este bloco de exercícios explora as principais ca- racterísticas do sistema de numeração indo-arábico. Espera-se que também seja um norteador das dificul- dades que os alunos ainda possam ter sobre a identi- ficação das ordens de um número em nosso sistema de numeração e o valor po- sicional dos algarismos. No exercício 6, é importan- te notar que o brinquedo apresentado não tem por finalidade fazer o jogador observar ou compreender o valor posicional dos alga- rismos em um número. En- tretanto, com as interven- ções e os questionamentos propostos, o aluno poderá analisar o que acontece com um mesmo algarismo conforme a posição que ele ocupa em um número. Nes- se caso, como o deslocamen- to dos algarismos ocorre de maneira concreta, é possível ampliar as discussões com perguntas do tipo: •O que interfere no valor po- sicional: a linha ou a coluna que o algarismo ocupa? •Em que lugar devemos co- locar o algarismo 8 para que ele tenha o maior va- lor posicional? •Escreva números diferen- tes de modo que o alga- rismo 4 tenha valores posi- cionais diferentes. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 18 CAPÍTULO 1 NÚMEROS ƒ Tem base dez, ou seja, cada dez unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem imediatamente superior. ƒ Utiliza apenas dez símbolos, chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. ƒ É um sistema posicional, isto é, um mesmo símbolo representa quantidades diferentes, dependendo da posição em que se encontra no número. ƒ Possui um símbolo para representar o zero. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6 Reúna-se com um colega e vejam o brinquedo que Débora ganhou: Que número vocês leem em cada linha? Nesse brinquedo, as dez fichas numeradas e a ficha só podem ser deslocadas para ocu- par a casa que estiver vazia, sem pular ficha, e andar só uma posição por vez, de acordo com os comandos: direita ( ), esquerda ( ), baixo ( ) e cima ( ). Além do tabuleiro, o brinquedo tem cartelas com diferentes sequências de comandos. 123; 7.654; 89 Débora escolheu a cartela e aplicou esses comandos a partir da dispo- sição inicial, fazendo o tabuleiro ficar assim: ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS Após essas mudanças no tabuleiro, temos os números 123,76 e 8.945. a) considerando os números das linhas do tabuleiro, respondam: • Qual é o valor posicional do 5 e do 4 na disposição inicial? E na final? 50, 4; 5, 40 • Qual é o valor posicional do 7, do 6, do 8, do 9 e do 1 na disposição inicial? E na final? b) Partindo da disposição inicial, apliquem os comandos da cartela e descubram quais são os números que ficaram em cada linha. 7.012; 8.653; 9, 4 ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS Como cada dez unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem imediatamente superior, o sistema de numeração indo-arábico tem base dez. Por isso, esse sistema também é chamado de sistema de numeração decimal. Assim, o sistema de numeração usado em quase todo o mundo atual é uma combinação de quatro características fundamentais: 7.000, 600, 80, 9, 100; 70, 6, 8.000, 900, 100
- 85. 19 BIMESTRE 1 Leitura e escrita de um número no sistema de numeração indo-arábico Explore a leitura e a escrita de números grandes tendo como suporte as ordens e as classes no sistema de nume- ração indo-arábico. Espera-se que os alunos percebam a re- lação entre a decomposição do número e sua leitura. Para enriquecer, traga notí- cias ou imagens que conte- nham “números grandes” e discuta com os alunos as diferentes maneiras que aparecem. É possível pedir a eles que observem alguns números que aparecem no texto a seguir. Existem pelo menos um milhão de asteroides que po- dem atingir a Terra e destruir uma cidade – destes, menos de 10 mil foram descobertos. (Dados obtidos em: <http://revistagalileu. globo.com/blogs/Luneta/ noticia/2017/07/luneta-51- tudo-o-que-voce-precisa- saber-sobre-asteroides.html>. Acesso em: 14 abr. 2018.) Comente com os alunos que geralmente recebemos in- formações numéricas através dos meios de comunicação. Proponha que escrevam, com todos os algarismos, os números que aparecem nes- sa informação. Espera-se que identifiquem: •1 milhão 5 1.000.000 •10 mil 5 10.000 Ressalte que a forma mista (que mistura quantidades escritas em algarismos com quantidades escritas em pala- vras), além de economizar es- paço, torna a leitura mais fá- cil para a maioria das pessoas. Situações desse tipo, que ampliam o trabalho com as ordens e classes no siste- ma decimal, extrapolam o simples contato com dados numéricos, pois introduzem informações sobre a realida- de. Se considerar adequado, solicite aos alunos pesqui- sas adicionais nas quais os números naturais estejam relacionados a situações co- tidianas. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 19 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 7 No número 5.757, determine: a) o valor posicional do algarismo 7 de 1a or- dem e o valor posicional do algarismo 7 de 3a ordem; 7; 700 b) o valor posicional do algarismo 5 de 2a or- dem e o valor posicional do algarismo 5 de 4a ordem. 50; 5.000 8 Determine o valor posicional do algarismo 3 nos seguintes números: a) 3.765 3.000 b) 32.000.000 30.000.000 9 Determine o menor e o maior número de três algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 0, 5, 6, 8 e 9. 506 e 986 10 Hora de criar – Agora, cada um deve desenhar um tabuleiro igual ao do exercício 6 e inventar uma disposição para as fichas. Depois, deve criar uma cartela com seis comandos e passar para o outro descobrir que números ficaram nas linhas após aplicar todos os comandos. Resposta pessoal. Leitura e escrita de um número no sistema de numeração indo-arábico Na escrita de um número no sistema indo-arábico, os algarismos são separados em classes e cada classe é dividida em três ordens. Com isso, facilitam-se a leitura e a escrita do número. Observe as quatro primeiras classes e suas ordens: Veja, nos exemplos a seguir, como são lidos os números destacados. Observe também como é a decomposição (a separação em classes e ordens) de cada um deles. a) No ano de 2016 foram matriculados no Brasil 27.588.905 alunos em classes do Ensino Fundamental. Dados obtidos em: Inep. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_basica/censo_escolar/notas_ estatisticas/2017/notas_estatisticas_censo_escolar_da_educacao_basica_2016.pdf>. Acesso em: 13 set. 2017. 27.588.905 (Lemos: “vinte e sete milhões, quinhentos e oitenta e oito mil, novecentos e cinco”.) 27.588.905 5 2 3 10.000.000 1 7 3 1.000.000 1 5 3 100.000 1 8 3 10.000 1 1 8 3 1.000 1 9 3 100 1 5 b) A população mundial pode chegar a 11.200.000.000 de pessoas em 2100. Dados obtidos em: O Globo. Disponível em: <https://oglobo.globo.com/sociedade/populacao-mundial-deve-atingir-quase- 10-bilhoes-em-2050-21503502>. Acesso em: 13 set. 2017. 11.200.000.000 (Lemos: “onze bilhões e duzentos milhões”.) 11.200.000.000 5 1 3 10.000.000.000 1 1 3 1.000.000.000 1 2 3 100.000.000 4a classe (bilhões) 3a classe (milhões) 2a classe (milhares) 1a classe (unidades simples) 12a ordem 11a ordem 10a ordem 9a ordem 8a ordem 7a ordem 6a ordem 5a ordem 4a ordem 3a ordem 2a ordem 1a ordem centenas de bilhão dezenas de bilhão unidades de bilhão centenas de milhão dezenas de milhão unidades de milhão centenas de milhar dezenas de milhar unidades de milhar centenas dezenas unidades Bilhões Milhões Milhares Unidades simples C D U C D U C D U C D U 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Milhões Milhares Unidades simples C D U C D U C D U 2 7 5 8 8 9 0 5 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
- 86. 20 Habilidade trabalhada: (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ociden- tal, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. Para saber mais Esta seção mostra que pode- mos fazer agrupamentos de outras maneiras, além dos agrupamentos de 10 em 10 característicos do sistema de numeração decimal. Na questão do Agora é com você!, os alunos devem per- ceber que, enquanto o reló- gio de pulso de Lucas está marcando 5 h 50 min, o re- lógio digital do despertador marca 6 h 15 min. Assim, o relógio de pulso está atrasa- do em 25 min. Para enriquecer a discussão, podem-se fazer outras per- guntas aos alunos, como: “Quando o ponteiro dos minutos se desloca 10 risqui- nhos, isso equivale a quan- tos segundos?”. (Resposta: 600 segundos.) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Agora é com você! “Tique-taque, tique-taque. Relógios de pa- rede, de pulso, de bolso, de pilha etc. Nos dias de hoje, somando os modelos novos e os anti- gos, caros e baratos, simples e complexos, são produzidos cerca de um bilhão de relógios por ano, em todo o mundo! [...] Olhando para um modelo tradicional, vemos que o movimento dos ponteiros tem uma direção (sempre para direita) e que esse movimento obedece a ritmos bem definidos (os segundos, os minutos e as horas). Você já deve ter estudado que precisamos de 60 segundos para formar um minuto (o ritmo do ponteiro maior), da mesma forma como precisamos de 60 minutos para formar uma hora (o ritmo do ponteiro menor). Para completar um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o ponteiro menor percorra duas vezes (12 1 12) a sequência das horas. Utilizando outros agrupamentos Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10 em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamen- tos, como é o caso dos minutos e dos segundos. Como os ponteiros de um relógio, todos os fe- nômenos que começam num ponto e a eles retor- nam, repetindo o seu movimento, formam o que chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova), as estações do ano (primavera, verão, outono, in- verno). [...] esses ciclos, observados na natureza, ajudaramoshomensacontaraduraçãodotempo, criandomedidascomoodiade24 horas,omêsde 30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram com que muitas pessoas, em diferentes épocas e lugares, acreditassem que os acontecimentos de suas vidas e os acontecimentos da história dos povos também pudessem se repetir, exatamente como os fenômenos observados na natureza.” Fonte: TURAZZI, Maria Inez; GABRIEL, Carmen Teresa. Tempo e história. São Paulo: Moderna, 2000. Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou. Ao acordar, Lucas lembrou que seu relógio de pulso estava atrasado em relação ao relógio digital do des- pertador. Veja abaixo o que marcava cada relógio e descubra em quantos minutos o relógio de pulso de Lucas estava atrasado. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA 25 minutos PARA SABER MAIS
- 87. 21 BIMESTRE 1 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, os alunos perceberão a leitura, a escrita e a representação com algarismos de números em variados contextos. No exercício 11, destaca- mos que, em geral, os alu- nos dessa faixa etária têm fascínio e curiosidade por “números grandes”, mas dão pouca importância à sua leitura ou não gostam de escrevê-los por extenso. Esse tipo de atividade con- tribui para a ampliação do conhecimento sobre os nú- meros. Esse exercício também pode se relacionar com Geogra- fia, oferecendo a oportu- nidade para discutirem, por exemplo, noções de: população absoluta versus densidade demográfica; distribuição populacional (ou seja, a relação entre su- perfície territorial e popu- lação absoluta); diferenças regionais no Brasil quanto à ocupação do espaço, assim como o fenômeno da urba- nização e sua contraposição ao mundo rural; ou ainda as diferentes esferas admi- nistrativas (municipal, esta- dual, federal). Durante a resolução do exercício 12, pode ser discu- tida a importância da Mate- mática em aproximações e estimativas que dão supor- te a, por exemplo, ações de proteção à vida na Terra. Já a resolução do exercício 14 é uma boa oportunidade para trabalhar: •O uso de arredondamen- tos pelos meios de comu- nicação. É importante os alunos perceberem que, nesses casos, o arredon- damento não prejudica a precisão da informação, pois o que se destaca na comunicação jornalística é a ordem de grandeza, não os valores exatos dos da- dos tratados. •O emprego da escrita mista pelos meios de comunicação. Não há erro nesse tipo de registro, a intenção é facilitar a comunicação, deixando sempre em destaque a ordem de grandeza. •A organização e representação das classes numéricas. De modo si- milar ao que fazemos quando escrevemos um número por extenso, o processo inverso – escrever um número em algarismos a partir de sua escrita por extenso – exige a noção de como são organizadas as classes e de como tal organização é expressa na escrita, especial- mente quanto ao uso do ponto como um “separador de classes”. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 21 CAPÍTULO 1 NÚMEROS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12 Use as palavras mil, milhão (ou milhões) ou bilhão (ou bilhões) para escrever os números em destaque. a) Analistas das mudanças climáticas mundiais estimamque,porvoltade2080,1.000.000 de pessoas sofrerão de fome e sede no planeta. b) As praias dos rios Araguaia e Tocantins (TO) atraem todos os anos cerca de 100.000 tu- ristas de todo o país. 100 mil c) Estima-se que, até 2050, nosso planeta terá 9.000.000.000 de habitantes. 9 bilhões 1 milhão 13 Quantias em documentos (cheques, recibos de compra e venda etc.) também devem ser escritas por extenso, pois assim não podem ser alteradas. Escreva por extenso a quantia indicada no recibo abaixo. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA 11. a) quarenta e quatro milhões, setecentos e quarenta e nove mil, seiscentos e noventa e nove 11 Escreva por extenso os números destacados nas informações a seguir. (Dados obtidos em: <http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/ projecao/>. Acesso em: 18 jul. 2017.) No ano de 2016: a) o estado mais populoso do Brasil era São Paulo, com estimativa de 44.749.699 habi- tantes; b) o estado menos populoso do Brasil era Roraima, com estimativa de 514.229 habi- tantes; c) a região brasileira com maior número de municípios era a Nordeste, com 1.794. um mil, setecentos e noventa e quatro b) quinhentos e catorze mil, duzentos e vinte e nove dezessete mil, trezentos e oitenta e cinco reais 14 Represente os números em destaque escre- vendo-os apenas com algarismos. a) O diamante chamado “The Blue” foi lei- loado em Genebra por um valor entre US$ 21 milhões e US$ 25 milhões. b) Na chapada do Araripe, Ceará, foram en- contrados fósseis de répteis voadores que viveram cerca de 110 milhões de anos atrás. 21.000.000; 25.000.000 15 A figura abaixo mostra um medidor de con- sumo de energia elétrica. Quando o ponteiro está entre 0 e 9 (ou entre 9 e 0), ele indica o 9. Entre outros dois algarismos, sempre indica o de menor valor. O medidor acima mostra o número 1.739. Determine o número indicado nos medidores a seguir. milhar 1 centena 7 dezena 3 unidade 9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 0 9 8 7 6 5 4 1 0 1 2 3 4 5 6 9 ILUSTRAÇÕES: PAULO MANZI 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 0 9 8 7 6 5 4 1 0 1 2 3 4 5 6 9 a) 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 9 0 9 8 7 6 5 4 1 0 1 2 3 4 5 6 9 b) 4.175 8.921 ZULMAIR ROCHA/FOLHAPRESS – MUSEU NACIONAL/UFRJ, RIO DE JANEIRO Fóssil do réptil voador Thalassodromeus sethi, com 4,5 m de envergadura, que viveu na região do Araripe (Ceará). 110.000.000
- 88. 22 Exercícios propostos No exercício 17, destacamos que os “números astronômi- cos” não fazem parte do dia a dia dos alunos, mas apare- cem como curiosidade para aqueles dispostos a buscar in- formações em jornais, revis- tas ou livros. É possível ainda aprofundar o assunto junto aos professores de Geogra- fia e Ciências, que podem sugerir exemplos de “núme- ros grandes” usados em suas áreas de conhecimento. Pense mais um pouco… Espera-se que os alunos per- cebam que o número de fle- chas é 12 nos dois casos, as- sim distribuídos: •duas flechas no 1.000, cin- co no 100, duas no 10 e três no 1, para o 2.523; •cinco flechas no 1.000, duas no 100, duas no 10 e três no 1, para o 5.223. Após a resolução, vale solici- tar que os alunos expliquem como chegaram às respos- tas, refletindo sobre: •a necessidade da palavra “menor” no enunciado. Caso contrário, existiriam diversas possibilidades de respostas, sendo 2.523 a maior delas, no caso de todas as flechas acertarem a faixa do alvo correspon- dente ao número “1”; •por que existem duas res- postas “12”. Eles devem observar que não foi coin- cidência ser necessário um mínimo de 12 flechas para marcar 2.523 ou 5.223 pontos. O mesmo resulta- do seria válido para qual- quer número de quatro algarismos cuja soma dos algarismos fosse igual a 12; •a relação entre a pontua- ção final e a quantidade de acertos em cada área de pontuação. Espera-se que os alunos con- cluam que, quando em ne- nhuma das áreas de pontua- ção o acerto é superior a 9, a pontuação final pode ser mais facilmente calculada, pois cada algarismo ocupa uma posição no número que compõe a pontuação final. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 22 CAPÍTULO 1 NÚMEROS que a luz percorre, no vácuo, em um ano). A luz percorre, no vácuo, 300.000 quilômetros em um segundo e, em um ano, aproximadamente 9.500.000.000.000 de quilômetros. A Via Láctea é uma galáxia espiral, em cuja periferia está localizado o nosso sistema solar. A distância de uma ponta a outra dessa galáxia é de 100.000 anos-luz, ou seja, aproximadamen- te 950.000.000.000.000.000 de quilômetros. 18 Hora de criar – Pesquise um texto que tenha números. Troque-o com o texto de um colega para escreverem por extenso os números que estejam escritos com algarismos e escreverem com algarismos aqueles que estejam escritos por extenso. Depois destroquem para corrigir. 3 Números naturais Quando desejamos saber quantos objetos ou pessoas há em um grupo, estamos diante de uma situação de contagem. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA 17. trezentos mil; nove trilhões e quinhentos bilhões; cem mil; novecentos e cinquenta quatrilhões Resposta pessoal. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 16 Reproduza em seu caderno o registro do me- didor de energia elétrica de onde você mora e escreva esse número por extenso. 17 Você já conhece as quatro primeiras classes nu- méricas (unidades simples, milhares, milhões e bilhões) e suas ordens. As 5a , 6a , 7a classes e assim por diante também recebem nomes, que são, respectivamente, trilhões, quatrilhões, quintilhões etc. Escreva em seu caderno como se leem os números destacados no texto a seguir. As distâncias entre as estrelas, os planetas etc. são muito grandes. Para medir essas distâncias astronômicas, foi criado o ano-luz (distância Resposta pessoal. FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO novecentos e cinquenta quatrilhões Resposta pessoal. Pense mais um pouco... Qual é o menor número de flechas que devem ser atiradas no alvo mostrado ao lado para marcar 2.523 pontos? E para marcar 5.223 pontos? 12; 12 ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA
- 89. 23 BIMESTRE 1 Orientações Os alunos têm trabalhado com os números naturais ao longo de todos os anos ini- ciais do Ensino Fundamental, mas aqui apresenta-se uma sistematização do tema. O intuito não é tratar de con- juntos, mas apenas apresen- tar a sequência dos números naturais, já conhecida deles, nesse novo formato. Nesta etapa, esperamos res- gatar os conhecimentos que os alunos trazem acerca da sequência dos números na- turais – como saber que eles servem para indicar uma contagem – e ampliar esses conceitos – como observar que o sucessor de um núme- ro natural tem 1 unidade a mais do que o número con- siderado, assim como o ante- cessor de um número natural não nulo tem 1 unidade a menos que esse número. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 23 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Quantos jogadores formam um time titular de futebol? O número associado à resposta dessa questão é o 11. Quantos brasileiros pisaram no solo da Lua no século passado? A resposta é nenhum. O número associado a essa situação é o zero. Números como esses, que expressam o resultado de uma contagem, são chamados de números naturais. Em ordem crescente, os números naturais formam a seguinte sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Essa sequência constitui o conjunto dos números naturais, cuja indicação é: v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …} Em relação à sequência dos números naturais, podemos dizer que: ƒ Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é obtido somando-se 1 a esse número. Veja alguns exemplos. a) O sucessor de 4 é 5, pois 4 1 1 5 5. b) O sucessor de 10 é 11, pois 10 1 1 5 11. ƒ A sequência dos números naturais é infinita. Portanto, não existe o maior número natural, pois, qualquer que seja ele, sempre haverá um número sucessor. ƒ Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. O antecessor de um número natural é obtido subtraindo-se 1 desse número. Veja alguns exemplos. a) O antecessor de 8 é 7, pois 8 2 1 5 7. b) O antecessor de 1 é zero, pois 1 2 1 5 0. ƒ O zero é o menor dos números naturais. ƒ Dois ou mais números naturais em que um é sucessor ou antecessor do outro são cha- mados de números consecutivos. Veja alguns exemplos. a) 5 e 6 c) 20, 21 e 22 b) 2, 3 e 4 d) 59, 60, 61 e 62 Comparando números naturais O quadro a seguir mostra o número de alunos das quatro turmas do 6o ano da Escola Jotabê. Vamos estabelecer algumas relações entre os números de alunos de cada turma. ƒ O número de alunos da turma A é maior que o número de alunos da B. Escreve-se: 42 . 38. ƒ O número de alunos da turma D é menor que o número de alunos da C. Escreve-se: 38 , 40. ƒ O número de alunos da turma A é diferente do número de alunos da D. Escreve-se: 42 % 38. ƒ O número de alunos da turma B é igual ao número de alunos da D. Escreve-se: 38 5 38. Turma A B C D Número de alunos 42 38 40 38
- 90. 24 Habilidade trabalhada: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representa- ção decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. Reta numérica Retome com os alunos o conceito de reta numérica para averiguar o que eles já conhecem de seus estudos anteriores. Se necessário, comente com eles sobre essa representação. Peça que registrem os elementos de algumas sequências numéri- cas crescentes em uma reta numérica. Eles podem trocar ideias com os colegas para fazer essas representações. Depois valide cada uma de- las com os alunos. Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora a sequência dos núme- ros naturais e a representa- ção na reta numérica. A situação de partida para o exercício 22 dá chance para o debate de questões sobre cidadania, como o respeito às filas e aos processos que procuram agilizar o atendi- mento ao público. 0 O A B C D E F 1 4 … … 6 2 3 5 r 0 O r Mariana Dirceu Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 24 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Reta numérica Podemos representar a sequência dos números naturais associando-os a pontos de uma reta. Para isso, tomamos a reta r e, sobre ela, marcamos um ponto que chamamos de O, fazen- do-o corresponder ao número 0 (zero). ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA A partir de O e à sua direita, marcamos pontos que se distanciam um do outro sempre com a mesma medida, como, por exemplo, 1 centímetro. Ao ponto A fazemos corresponder o número 1; ao ponto B, o número 2; ao ponto C, o nú- mero 3; e assim por diante. Para cada número natural podemos associar um ponto da reta r. Essa reta é chamada de reta numérica. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19 Discuta em grupo e responda às questões a seguir. a) Que número natural não é sucessor de nenhum outro número natural? zero b) O sucessor de um número natural é maior ou menor do que esse número? E o ante- cessor de um número natural? maior; menor c) Na sequência dos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., o sucessor de um número fica à esquerda ou à direita desse número? E onde fica o antecessor de um número? 22 Na recepção de um laboratório, os pacientes preferenciais têm senha com dois algarismos; os pacientes agendados têm senha com três al- garismos; e os demais têm senha com quatro algarismos. a) Mariana acabou de pegar a senha. Qual será a senha do próximo paciente preferencial? Qual foi a senha anterior? 60; 58 b) Dirceu agendou seu exame. Qual foi a se- nha do agendamento que o antecedeu? E a senha que o sucedeu? 130; 132 c) Que senha de quatro algarismos sucederá a do painel? Qual a antecedeu? 1.211; 1.209 20 Determine: a) o antecessor e o sucessor de 49; 48, 50 b) o sucessor do sucessor de 100; 102 c) o antecessor do antecessor de 1.201. 1.199 ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA 21 Determine a sequência de números indicada em cada caso. a) Números naturais maiores que 5. 6, 7, 8, ... b) Números naturais menores ou iguais a 5. c) Números naturais maiores que 5 e menores que 10. 6, 7, 8, 9 d) Números naturais entre 5 e 10. 6, 7, 8, 9 e) Números naturais de 5 a 10. 5, 6, 7, 8, 9, 10 à direita; à esquerda b) 0, 1, 2, 3, 4, 5
- 91. 25 BIMESTRE 1 Exercícios propostos Para enriquecer o trabalho, a partir do exercício 24, po- de-se perguntar por que os alunos acham que as placas de numeração de casas são vendidas em algarismos se- parados, não em números já compostos. Espera-se que concluam que as placas com algarismos iso- lados possibilitam diferentes combinações, em relação tanto à quantidade de alga- rismos quanto à posição que eles ocupam no número. Outro ponto a destacar é que, quando a numeração das casas de uma rua não é aleatória, está relacionada com a distância da casa em relação ao início da rua, o que justifica o fato de casas vizinhas não terem números necessariamente sucessores ou antecessores. Pense mais um pouco... A atividade 3 da seção solicita a reflexão sobre os procedi- mentos de resolução das ati- vidades anteriores. No item a, os alunos são instigados a encontrar o erro de resolu- ção na situação apresentada. No item b, devem justificar os procedimentos emprega- dos para a resolução. Essa é uma maneira significativa de conhecer e compreender processos de resolução, trocar ideias com os colegas e refi- nar estratégias. Atenção: caso alguns alunos ainda estejam registrando todas as possibilidades para então contá-las, é preciso incentivá-los a observar re- gularidades e a fazer gene- ralizações. Aproveite a atividade 4 para orientar os alunos quanto à utilização da internet para pesquisas, enfatizando a necessidade de consulta- rem, preferencialmente, sites que contenham informações fidedig- nas (ou seja, que pertençam a universidades, órgãos governamentais, bibliotecas, museus etc.). Explique que os materiais selecionados por eles vão auxiliá-los na ela- boração de seus trabalhos. Ressalte, porém, que qualquer material de consulta (enciclopédias, sites, revistas etc.) não deve ser simplesmente reproduzido, pois é importante produzirem textos com suas próprias palavras, com base nas informações obtidas na pesquisa. Além disso, esclareça que o uso desses materiais geralmente é regulamentado por leis de direitos autorais, que protegem a propriedade intelectual. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 25 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 26 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre números naturais criado por vocês. Depois de cada um resolver o pro- blema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 23 Qual é o número natural que antecede o menor número de três algarismos? E qual número sucede o maior número natural de quatro algarismos? 99; 10.000 25 Em uma folha de papel comprida, desenhe uma reta numérica e escreva o nome de cada colega da sua classe junto ao respectivo número de chamada. 24 Paulo comprou as três plaquinhas que formam o número da casa onde ele mora. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA 24. a) 579, 597, 759, 795, 957, 975 b) 579 Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Pense mais um pouco... Reúna-se com um colega e considerem os problemas a seguir. 1. Em um livro de História, o capítulo sobre expansões marítimas começa na página 38 e termina na página 53. Quantas páginas tem esse capítulo? 16 páginas 2. Quantos algarismos são usados para escrever os números naturais de 1 a 150? 342 3. Analisem as resoluções de Juliana e Alberto para os problemas 1 e 2. a) Para resolver o problema 1, Juliana subtraiu 38 de 53, encontrando 15 como resposta. A resposta de Juliana está correta? Expliquem. b) Alberto resolveu o problema 2 da seguinte maneira: Não. Ao fazer esse cálculo, Juliana desconsiderou a página 38. Logo, para escrever os números de 1 a 150 utilizam-se 337 algarismos. Ao resolver o problema dessa maneira, Alberto cometeu alguns erros. Que erros foram esses? 4. Agora, resolvam o problema a seguir explicando os procedimentos empregados. Ao fazer uma pesquisa na internet, Ana precisa imprimir algumas páginas de um documento. Sabendo que o assunto de interesse de Ana começa na página 37 e termina na página 75, descubram quantas páginas ela precisa imprimir. Em seguida, calculem quantos algarismos são necessários para numerar essas páginas. 39; 78 1, 2, 3, ..., 9 números de um algarismo 10, 11, 12, ..., 99 números de dois algarismos 100, 101, 102, ..., 150 números de três algarismos De 1 a 9 são 9 números de um algarismo De 10 a 99 são 89 números de dois algarismos De 100 a 150 são 50 números de três algarismos 9 8 1 5 89 8 2 5 50 8 3 5 9 178 1 150 337 São 90 números de dois algarismos, e não 89. São 51 números de três algarismos, e não 50. a) Que número pode ter a casa de Paulo? b) Para qual desses números a casa onde Paulo mora estaria mais próxima do início da rua? c) Para qual número a casa onde Paulo mora estaria mais próxima do final da rua? 975 d) Qual é o sucessor do número da sua casa? Esse número coincide com o da casa de seu vizinho? Resposta pessoal. e) O número da casa onde você mora é su- cessor ou antecessor do número da casa de algum colega de sua classe? LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! A resposta depende dos alunos que compõem a sala de aula.
- 92. 26 Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pes- quisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Trabalhando a informação Nesta seção, a compilação em tabela dos dados levan- tados por uma contagem dos países de naturalidade dos ganhadores de Me- dalhas Fields dá início aos processos de construção de tabelas, destacando as alter- nativas para sua organiza- ção e desafiando os alunos, nas atividades subsequen- tes, a construir e interpretar novas tabelas. É sempre bom lembrar quanto a vida moderna exige em relação à correta leitura de tabelas, que dão suporte a muitas das infor- mações veiculadas pelos meios de comunicação. Nes- sa seção, pode-se chamar a atenção para a participação dos brasileiros e das mulhe- res no desenvolvimento da Matemática. No caso de Artur Ávila, foi condecorado com a meda- lha por seu trabalho em sistemas dinâmicos. Já a ira- niana Maryam Mirzakhani recebeu a medalha por des- cobrir como calcular o volu- me em espaços de superfí- cies hiperbólicas. Caso julgue necessário, ex- plique aos alunos que o Rei- no Unido é constituído por Inglaterra, País de Gales, Es- cócia e Irlanda do Norte. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 26 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Construindo tabelas Artur Ávila foi o primeiro matemático brasileiro a ganhar a Me- dalha Fields, o prêmio mais importante dessa área, geralmente comparado ao Prêmio Nobel. A Medalha Internacional de Descobrimentos Proe- minentes em Matemática, conhecida popularmente como Medalha Fields, é concedida a dois, três ou quatro matemáticos com idade máxima de 40 anos. Desde que foi instituída pelo matemático canadense John Charles Fields, em 1936, essa medalha tem sido entregue a cada quatro anos a jovens matemáticos que tenham grandes destaques em suas pesquisas. Em 2014, três outros matemáticos também foram premiados: a iraniana Maryam Mirzakhani, a primeira mulher condecorada, o canandense Manjul Bhargava e o austríaco Martin Hairer. De maneira aleatória, as Medalhas Fields distribuídas até 2014 estão listadas abaixo, de acordo com os países de naturalidade dos condecorados. Artur Ávila, primeiro brasileiro a ser condecorado com a Medalha Fields. (Foto de 2011.) A iraniana Maryam Mirzakhani foi a primeira mulher a ganhar uma Medalha Fields. (Foto de 2014.) Frente e verso da Medalha Fields. (Foto de 2007.) Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática para sabermos quantas Medalhas Fields foram concedidas a cada país. Organizando as informações em uma tabela, a análise dos dados será mais fácil. Para isso, inicialmente, podemos percorrer a lista e atribuir um traço para cada vez que cada país aparece. LIGIA DUQUE ANDRE VALENTIM/ABRIL COMUNICAÇÕES S/A LEE YOUNG HO/AP/GLOW IMAGES STEFAN ZACHOW – INTERNATIONAL MATHEMATICAL UNION, BERLIM EUA Bélgica Noruega França EUA Reino Unido EUA Ucrânia Finlândia EUA Rússia Itália França Rússia Japão Reino Unido Suécia Japão EUA Reino Unido Irã Rússia França Rússia EUA França Alemanha Nova Zelândia França Rússia EUA França Áustria Austrália EUA Canadá EUA Japão África do Sul Rússia França Israel EUA França Brasil EUA EUA Bélgica China Reino Unido Vietnã França Rússia Reino Unido Rússia França
- 93. 27 BIMESTRE 1 Agora quem trabalha é você! Ao construir a tabela pro- posta na atividade 1, po- dem-se discutir as diversas formas de apresentação dos dados. É importante res- saltar também que, nessa construção, a tabela pode aparecer na horizontal ou na vertical. Uma possível tabela para essa atividade é: Frutas preferidas dos alunos Fruta preferida Quantidade de alunos kiwi 2 manga 2 maçã 9 caju 5 morango 4 banana 2 uva 3 jabuticaba 5 laranja 3 pera 2 goiaba 1 seriguela 2 Dados obtidos na classe de Enrico (out. 2018). Ao analisar os dados da tabe- la, os alunos podem respon- der às questões propostas. Na atividade 2, espera-se que os alunos percebam que ha- verá somente dois tipos de tabelas e que elas só se dife- renciarão pela disposição dos dados (vertical e horizontal), já que os dados coletados deverão ser os mesmos para todos os alunos. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 27 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Essa tabela tem como título Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos matemáticos premiados até 2014, além de duas colunas (divisões na vertical) e oito linhas (divi- sões na horizontal). Na 1a linha, são apresentados: • na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, o país de naturalidade dos ganhadores das Medalhas Fields); • na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de Medalhas Fields conquistadas por país). Da 2a à 8a linha são especificados: • na coluna da esquerda, alguns países de naturalidade dos ganhadores e a categoria “Outros”; • na coluna da direita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada país e à categoria “Outros”. ANDRÉ LUIZ DA SILVA PEREIRA Observe que na categoria “Outros” agrupamos os países que ganharam apenas uma Medalha Fields. Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos matemáticos premiados até 2014 País de naturalidade Quantidade de Medalhas Fields conquistadas EUA 12 Bélgica 2 França 10 Japão 3 Reino Unido 5 Rússia 8 Outros (16 países) 16 1 Cada aluno da classe de Enrico escreveu no quadro sua fruta preferida. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! Com base nas informações do quadro, construa uma tabela. Não se esqueça de dar um título à tabela e de identificar a categoria dos dados e os dados obtidos. Agora, responda: a) Quantos alunos têm seriguela como fruta preferida? 2 b) Qual fruta é apontada como a preferida dos alunos da classe de Enrico? maçã c) Quantos alunos preferem caju a outras frutas? 5 d) Qual fruta tem a maior preferência: jabuticaba ou morango? jabuticaba 2 Faça uma pesquisa com os alunos da classe sobre o animal de estimação preferido e organize os dados obtidos em uma tabela. Compare a tabela construída por você com a de outros colegas. Há diferenças entre as tabelas construídas? Justifique. LIGIA DUQUE Dados obtidos em: IMU. Disponível em: <https://www. mathunion.org/ imu-awards/fields- medal>. Acesso em: 27 mar. 2018. construção de tabela
- 94. 28 Exercício complementares Nesta seção, são oferecidas novas oportunidades para os alunos retomarem e apli- carem os principais concei- tos tratados no capítulo. O exercício 3 pode ser en- riquecido solicitando a eles que formulem novas per- guntas, com mais de uma solução ou sem nenhuma solução, com base no mesmo enunciado, por exemplo: •Qual será o número se ele for par? (Poderá ser 42 ou 84.) •Qual será o número se ele for maior que 10? (Poderá ser 21, 42, 63 ou 84.) •Qual será o número se ele terminar em 5? (Impossí- vel, porque, nesse caso, o algarismo das dezenas se- ria “10”.) •Qual será o número se ele for maior que 90? (Impossí- vel, já que o algarismo das dezenas será necessaria- mente o 9, e a metade de 9 não é um número natural.) Atenção: como os alunos já foram desafiados com pro- blemas sobre numeração de páginas, o exercício 5 é um momento oportuno para verificar se ainda há difi- culdades na generalização de regularidades, isto é, se ainda há alunos que preci- sam registrar cada um dos números e contá-los para chegar à resposta final. Uma possibilidade de trabalho, nesse caso, é formar grupos misturando os que apresen- taram facilidade nas gene- ralizações com aqueles que ainda têm dificuldade nesse raciocínio. Ao trabalhar com o exercí- cio 7, você poderá discutir com a classe a razão pela qual, em 1993, houve corte de três zeros na moeda na- cional, destacando aspectos como a dificuldade na co- municação pelo uso de nú- meros muito grandes até para representar preços de produtos básicos, como café e feijão. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 28 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 1 Usando os algarismos indo-arábicos, escreva os números que aparecem por extenso nas informações. a) O rio Amazonas tem seis mil, novecentos e trinta e sete quilômetros de comprimento. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES CARLOS FABAL/GETTY IMAGES Vista aérea do rio Amazonas (Amazonas). (Foto de 2017.) b) Segundo estimativa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a popu- lação da cidade de Belo Horizonte (MG), em 2017, seria de dois milhões, quinhentos e vinte e três mil, setecentos e noventa e quatro habitantes. 2.523.794 2 Considere os seguintes cartões: 1 6 7 Colocando os três cartões um ao lado do outro, de todos os modos possíveis, obtemos a repre- sentação de seis números naturais. Determine: a) o maior número encontrado; 761 b) o menor número encontrado; 167 c) o menor número que começa com o alga- rismo 7; 716 d) o maior número que começa com o alga- rismo 6. 671 3 Um número tem dois algarismos. O algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das uni- dades. a) Qual será o número se ele for menor que 40? b) Qual será o número se ele for maior que 70? 4 Ao formar números com os algarismos 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, responda: a) Qual é o menor número que pode ser for- mado? 1.000.223 b) Qual é o maior número que pode ser for- mado? 3.221.000 a) Nesse salário, qual é o valor posicional do algarismo 7 antes da medida provisória? E depois? 700.000; 700 b) Nesse salário, qual é o valor posicional do algarismo 4 depois da medida provisória? E antes? 4.000; 4.000.000 c) Pesquise com algum adulto da família (pais, tios, avós), com base na carteira profis- sional deles, e registre em seu caderno as alterações de salário ocorridas com planos econômicos que mudaram o dinheiro no Brasil. Resposta pessoal. 5 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Nu- merou as páginas começando pelo 1. a) Quantos algarismos ela escreveu? 660 b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2? 6 Lúcia escreveu todos os números de dois algarismos; Paula escreveu todos os núme- ros de dois algarismos distintos (diferentes); Rogério escreveu todos os números pares de dois algarismos; e Renato escreveu todos os números pares de dois algarismos distintos. Entre os cartões coloridos abaixo, aparecem as quantidades de números que cada um escreveu. 90 81 45 41 85 95 Descubra qual é o cartão de cada um. 7 No Brasil, o dinheiro já teve outros nomes. Em julho de 1993, chamava-se cruzeiro. Nesse mês, o presidente Itamar Franco editou uma medida provisória criando o cruzeiro real: a quantia de 1.000 cruzeiros passou a valer 1 cruzeiro real. Assim, um salário de 4.750.000 cruzeiros, que era pouco mais de um salário mínimo, passou para 4.750 cruzeiros reais, ou seja, foram tira- dos três zeros do número anterior. Nota de 500.000 cruzeiros. ACE RVO DO BAN CO CEN TRA L DO BRA SIL 6.937 21 84 113 Lúcia – 90; Paula – 81; Rogério – 45; Renato – 41
- 95. 29 BIMESTRE 1 Diversificando A seção apresenta o sistema binário. Uma das maneiras de fazer a atividade do Ago- ra é com você! é por meio de figuras, distribuindo os agrupamentos. Veja como isso pode ser feito para o caso do número 20: 10 agrupamentos 0 5 agrupamentos 2 agrupamentos 1 agrupamento 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Nenhum agrupamento (resto) Nenhum agrupamento (resto) Nenhum agrupamento (resto) Outra maneira de fazer a atividade é por meio de di- visões sucessivas por 2, que consiste em: dividir o núme- ro escrito na base decimal e os seus quocientes por 2, até que o quociente em uma das divisões seja zero. O nú- mero binário procurado é o obtido pelos restos na or- dem inversa dessas divisões. Veja esse procedimento para os números 20 e 33: 20 2 0 10 2 0 5 2 1 2 2 0 1 2 1 0 10100 33 2 1 16 2 0 8 2 0 4 2 0 2 2 0 1 2 1 0 100001 Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan- ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA DIVERSIFICANDO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 29 CAPÍTULO 1 NÚMEROS Quando a base é outra Você já aprendeu que o sistema de numeração que usamos atualmente tem base decimal, ou seja, tem base dez. A seguir, vamos ver como funciona um sis- tema de numeração um pouco diferente do nosso, um sistema de base dois – o sistema binário. Por isso, em vez de usar dez símbo- los diferentes, esse sistema usa apenas dois símbolos: 0 e 1. O sistema binário de numeração é amplamen- te utilizado pelos hardware dos computado- res, pois operam em níveis lógicos de tensão, associados aos números zero e 1. Veja no quadro ao lado e nas ilustrações abai- xo como escrevemos alguns números nesse sistema. Números na base 10 Números na base 2 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Agora é com você! Escreva os números 20 e 33, que estão na base dez, na base binária. 20 p 10100; 33 p 100001 O número 3, na base dez, é escrito como 11 na base dois. O número 7, na base dez, é escrito como 111 na base dois. O número 25, na base dez, é escrito como 11001 na base dois. • Número 7: • Número 25: • Número 3: 1 11 1 3 11 111 1 1100 11001 12 1 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
- 96. 30 A delegação brasileira superou marcas relevantes e quebrou recordes históricos nos Jogos Paralímpicos Rio 2016. O destaque ficou por conta do total de medalhas conquistadas nas arenas cariocas: 72, o maior número de pódios do país em todas as edições, superando, em muito, a marca anterior de 47, que havia sido estabelecida em Pequim (2008). Já em comparação com os Jogos de Londres (2012), o crescimento no número total de medalhas é ainda mais expressivo: 67%. Fonte: BRASIL supera marcos históricos nos Jogos Paralímpicos Rio 2016. Comitê Paralímpico Brasileiro, 18 set. 2016. Disponível em: http://www.cpb.org.br/noticias/-/asset_publisher/lU3LNvrdeyoz/content/brasil-supera- marcos-historicos-nos-jogos-paralimpicos-rio-2016. Acesso em: 14 set. 2017. LUCAS UEBEL/GETTY IMAGES 2Operações com números naturais Capítulo Cena da abertura dos Jogos Paralímpicos Rio 2016, no Rio de Janeiro. 30 CAPÍTULO 2 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Resolver situações-pro- blema compreendendo diferentes significados das operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e ra- diciação que envolvem nú- meros naturais. •Realizar cálculos relativos a operações com núme- ros naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos nelas envolvidos. •Reconhecer e usar as pro- priedades das operações de adição e multiplicação com números naturais. •Resolver expressões nu- méricas que contenham operações com números naturais. •Relacionar a potência com expoente natural a um produto reiterado de fato- res iguais. •Compreender e calcular a raiz quadrada exata, a raiz cúbica exata (e de ou- tros índices) de um núme- ro natural. •Arredondar números natu- rais para diferentes ordens. •Perceber a utilidade dos arredondamentos para fa- zer estimativas. •Ler, identificar e interpretar dados expressos em gráficos de colunas e de barras. Orientações gerais Este capítulo amplia os conhecimentos sobre nú- meros naturais do capítu- lo anterior e aprofunda o estudo das operações feito nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Associamos as operações a situações cotidianas e mostramos seus diferentes significados. Também damos sentido às expressões numéricas vin- culando-as a situações-pro- blema. Iniciamos ainda o trabalho mais formal com a linguagem gráfica – a leitu- ra e a interpretação de grá- ficos de colunas e de barras. Aproveite para discutir com os alunos sobre a inclusão e o papel de cada pessoa na sociedade, independen- temente de suas limitações. Explore também a diferença entre o total de medalhas conquistadas no Rio (2016) e o total de medalhas obtidas em Pequim (2008), destacando a operação de subtração.
- 97. 31 Habilidade trabalhada: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 31 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 1 Adição Nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, a natação brasileira conquistou cinco medalhas a mais do que nos Jogos de Londres 2012, quando o Brasil ficou com um total de 14 medalhas, sendo nove ouros, quatro pratas e um bronze. Leia o texto abaixo, que trata de conquistas da natação nos Jogos Paralímpicos. A equipe brasileira masculina de natação paralímpica ganhou a medalha de bronze no revezamento 4 # 100 medley masculino, última competição da natação nas Paralim- píadas 2016. [...] Os brasileiros fizeram o tempo de 4:17.51. A medalha de ouro ficou com a equipe da China, que fez o tempo de 4:06.44 e a medalha de prata ficou com os ucranianos, que fizeram um tempo de 4:07.89. Com a conquista da medalha de bronze pela equipe brasileira, o na- dador Daniel Dias tornou-se o maior medalhista da natação paralímpica da história da competição. A marca de Daniel Dias foi atin- gida neste sábado com a conquista das medalhas de ouro nos 100 metros rasos S-5 e de bronze no revezamento 4 # 100 medley masculino. [...] Ele superou o australiano Matthew Cowdrey, que era o recordista [...]. Daniel Dias tem agora 14 medalhas de ouro, sete de prata e três de bronze. O australiano, que agora ocupa a segunda colocação na natação paralímpica, tem 13 medalhas de ouro, sete de prata e três de bronze. Na Rio 2016, o brasileiro subiu ao pódio nove vezes. Fonte: DANIEL Dias: o maior medalhista da história das Paralimpíadas. Veja.com, 17 set. 2016. Disponível em: http:// veja.abril.com.br/brasil/daniel-dias-o-maior-medalhista-da-historia-das-paralimpiadas/. Acesso em: 14 set. 2017. Em 2016, Daniel Dias tornou-se o maior medalhista brasileiro da história das Paralimpíadas. (Foto de 2016.) BUDA MENDES/GETTY IMAGES Com base no texto, podemos descobrir, por exemplo, o total de medalhas conquistadas pelo nadador Daniel Dias nos Jogos Paralímpicos ao longo de sua carreira. Para isso, basta juntarmos as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze: Portanto, Daniel tornou-se recordista com 24 medalhas nos Jogos Paralímpicos que dispu- tou até 2016. Na calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira: Medalhas de ouro Medalhas de prata Medalhas de bronze Total de medalhas 14 1 7 1 3 5 24 parcelas soma 4 1 3 7 1 1 5 24 NELSON MATSUDA Adição Para retomar e ampliar a operação de adição, manti- vemos o contexto da aber- tura apresentando um texto sobre o nadador brasileiro Daniel Dias, que se consa- grou no Rio, em 2016, o maior medalhista da nata- ção paralímpica da história da competição. Na adição que produz o total de me- dalhas desse nadador, os alunos retomam o signifi- cado de juntar associado a essa operação. Se possível, peça aos alunos que tragam para a sala de aula calculadoras simples a fim de explorarem um pou- co esse recurso em situações de adição. Sugestões de leitura Para enriquecer o trabalho com nú- meros naturais e suas operações, sugerimos os livros: RAMOS, Luzia Faraco. O que fazer primeiro? São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A Descoberta da Matemá- tica). ______. Uma raiz diferente. São Pau- lo: Ática, 2001. (Coleção A Desco- berta da Matemática). Complemente os estudos com a Sequência didática 1 – Operações com números naturais e a Sequência didática 2 – Interpretação de tabelas e gráficos, disponíveis no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo.
- 98. 32 Orientações Nesta página, destacamos o significado de acrescentar da adição. Proponha novas situações que envolvam os significados da adição para os alunos identificarem e resolverem, com ou sem o uso de calculadora. Em cada uma das adições efetuadas, retome com eles os elemen- tos que participam de uma adição: parcelas e soma (re- sultado da adição). Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 32 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Com os dados da página anterior, podemos obter também outras informações. Se quiser- mos saber, por exemplo, a quantidade de medalhas conquistadas pelas equipes brasileiras — masculina e feminina — de natação nos Jogos Paralímpicos do Rio, devemos acrescentar à quantidade de medalhas conquistadas nos Jogos de Londres (14) a quantidade de medalhas conquistadas a mais em 2016 (5): Em uma calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira: 5 4 1 5 1 19 NELSON MATSUDA 1 Uma piscina está com 35.750 litros de água. Colocando-se outros 12.250 litros, ela ficará cheia. Quantos litros de água cabem nessa piscina? 48.000 litros 2 Dados dois números naturais, em que um é menor que 3 e o outro é menor que 5, é possível a soma deles ser 6? Justifique sua resposta com um exemplo. sim; 2 1 4 Quantidade de medalhas conquistadas em Londres Quantidade de medalhas conquistadas a mais no Rio Total de medalhas conquistadas no Rio 14 1 5 5 19 parcelas soma FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS As ideias de juntar e acrescentar quantidades estão relacionadas à operação de adição. Quantos quilômetros percorre um automó- vel que vai de: a) A até D passando por B e C? b) A até D passando por E? 356 quilômetros c) A até D passando por B e voltando até C? d) B até E passando por D? 364 quilômetros 485 quilômetros 513 quilômetros 3 Segundo estimativa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), em 2016, o es- tado do Maranhão, sem considerar a capital, São Luís, tinha 5.871.101 habitantes. Quantos habitantes tinha todo o estado do Maranhão, se São Luís tinha 1.082.935 habitantes? 4 Na ilustração abaixo, está representada a distância rodoviária, em quilômetros, entre as cidades A, B, C, D e E. PAULO SOARES/FOTOARENA Vista aérea da Lagoa Jansen em São Luís (Maranhão). (Foto de 2017.) JOSÉ LUÍS JUHAS 6.954.036 5 É possível que a soma de dois números na- turais maiores que 3 seja 7? Justifique. Não, pois o menor número natural maior que 3 é 4 e, como 4 1 4 5 8, a soma é maior que 7.
- 99. 33 Exercícios propostos No exercício 8, o aluno pre- cisará compreender que o enunciado restringe os nú- meros que podem ser parce- las da soma, já que um de- les deverá ter um algarismo e o outro, dois algarismos. Como existem apenas dez números de um algarismo (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), para o item a, uma das pos- sibilidades é testar cada um desses números para, então, encontrar seu par, observan- do que apenas o número zero não pode ser usado, pois teríamos 0 1 100, ou seja, uma das parcelas teria três algarismos. No item b, a única possibilidade de obter soma 108 é usar o maior nú- mero de um algarismo, ou seja, o número 9, para obter a seguinte adição: 99 1 9 5 5 108. No entanto, mesmo usando o maior número de um algarismo, não é possí- vel obter a soma 109. Para saber mais A seção constitui uma opor- tunidade para discutir com a classe o uso de cálculos esti- mativos em diferentes situa- ções cotidianas. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 33 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! PARA SABER MAIS Arredondar para fazer estimativas Conhecer o valor exato de uma conta- gem nem sempre é tão importante. Em re- lação à população de um país, por exemplo, se dissermos que ela é de 169.799.170 ou de 170 milhões, não estaremos mudando a ideia da quantidade de habitantes que queremos passar. Nesse caso, dizemos que o núme- ro 169.799.170 foi arredondado para 170 milhões. É importante saber arredondar núme- ros, pois, em muitas situações do dia a dia, isso nos ajuda a fazer uma estimativa do resultado que queremos. Arredondar um número significa trocá- -lo por outro mais próximo de uma ordem escolhida. Por exemplo, ao comprar três produtos que custam 41, 28 e 19 reais, podemos arredondar esses números para 40, 30 e 20. Assim, é possível saber mais facilmente que o total a pagar é um valor próximo de 90 reais. Para arredondar um número para de- terminada ordem, deve-se observar o primeiro algarismo que está à direita do algarismo da ordem escolhida: se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se a ordem; se for 5, 6, 7, 8 ou 9, soma-se 1 ao algarismo da ordem escolhida. Veja alguns exemplos de arredonda- mentos. a) Arredondar para a dezena mais próxima: 36 40 75 80 183 180 552 550 b) Arredondar para a centena mais próxima: 236 200 657 700 5.418 5.400 7.873 7.900 c) Arredondar para o milhar mais pró- ximo: 5.982 6.000 24.157 24.000 37.539 38.000 44.499 44.000 6 Durante a decisão de um campeonato de fute- bol, foram realizadas duas partidas. Na primei- ra, o público pagante foi de 54.321 pessoas, e o público não pagante foi de 3.895 pessoas. Na segunda partida, a quantidade de pessoas aumentou: os pagantes foram 63.247 pessoas, e os não pagantes, 5.894 pessoas. Use uma cal- culadora para responder às questões a seguir. a) Quantas pessoas compareceram à primeira partida? E à segunda? 58.216; 69.141 b) Qual o total de pessoas que assistiram a esses jogos? 127.357 7 Escreva no caderno todos os números com três algarismos distintos usando os algarismos 2, 5 e 7. Use uma calculadora para determinar a soma desses números. 257, 275, 527, 572, 725 e 752; 3.108 8 Quero adicionar um número de um algarismo a um número de dois algarismos. a) Para obter a soma 100, que pares de núme- ros posso escolher? b) E para obter a soma 108? E para obter a soma 109? 9 Descubra uma forma de determinar a soma 1.893 1 5.794 usando a calculadora, sabendo que a tecla 8 está quebrada. 10 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre adição com números naturais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 8. a) 1 e 99; 2 e 98; 3 e 97; 4 e 96; 5 e 95; 6 e 94; 7 e 93; 8 e 92; 9 e 91 Para obter 108, posso escolher resposta possível: 1.493 1 400 1 5.794. apenas o par 9 e 99. Para obter 109, nenhum par é possível.
- 100. 34 Agora é com você! Na primeira questão, a en- fermeira do posto de saúde tinha a intenção de obter um número aproximado do total de vacinas. Para isso, fez arredondamento dos números para 600, 1.600 e 700, chegando ao total de 2.900. Com os arredonda- mentos, o resultado é sufi- ciente para atender a algu- mas situações, por exemplo: •saber se o total de vacinas é suficiente para atender aos usuários esperados naquele posto, tomando como base a quantidade média diária de atendi- mentos; •conferir o custo aproxi- mado de todas as vacinas, conhecendo seu preço unitário. É importante reforçar aos alunos que, apesar do gran- de uso cotidiano de cálculos exatos, muitos deles com o uso de calculadora, diversas situações do dia a dia po- dem ser resolvidas por cál- culos aproximados. Solicite a eles que deem exemplos de situações nas quais é comum fazer uso de estimativas. Propriedades da adição Iniciamos o estudo das pro- priedades da adição am- pliando as noções que os alunos já trazem dos anos anteriores. A propriedade do fechamen- to não foi considerada aqui porque não estamos reali- zando um estudo axiomático da teoria dos conjuntos. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 34 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO ALAN CARVALHO 1 Em um posto de saúde, a enfermeira pe- diu a uma auxiliar que contasse quantas vacinas contra a gripe ainda havia nas três caixas. A auxiliar contou as vacinas de cada caixa e anotou em um papel: 617 1 1.578 1 736 Para ter uma ideia do total de vacinas, a enfermeira fez um cálculo mental, ar- redondando as parcelas para a centena mais próxima. Veja como ela fez isso. 2 Emumaloja,Lúciofezumaestimativapara saber quanto pagaria por suas compras. a) O que Lúcio fez para perceber o en- gano do vendedor? b) Qual foi o valor da compra dele? c) Quando você precisa comprar mais de um item, costuma fazer estima- tiva do valor total antes de pagar? Seus pais costumam fazer isso? Você acha esse procedimento importante? Por quê? Respostas pessoais. 2. b) 121 reais JOSÉ LUÍS JUHAS Faça como a enfermeira e verifique se o cálculo dela está correto. 2. a) Estimou o total arredondando os números e fazendo um cálculo mental. 600 1 1.600 1 700 5 2.900; o cálculo dela está correto. Propriedades da adição Para ir à escola, Adara gasta, em média, 10 minutos andando e 35 minutos no ônibus. Para voltar da escola, ela gasta, em média, 35 minutos no ônibus e 10 minutos andando. Adara leva mais tempo na ida ou na volta da escola? Para saber, devemos adicionar os tempos gastos: Tempo gasto na ida: 10 1 35 5 45 Tempo gasto na volta: 35 1 10 5 45 Em média, o tempo gasto é o mesmo, 45 minutos. A ordem das parcelas não alterou a soma. Isso sempre ocorre quando adicionamos dois nú- meros naturais quaisquer. Trata-se da propriedade comutativa da adição, enunciada a seguir. Veja mais alguns exemplos. a) 20 1 400 5 400 1 20 b) 130 1 500 5 500 1 130 Agora, observe dois modos de efetuar a adição 5 1 3 1 7. 1o modo Efetua-se a adição das duas primeiras parcelas e adiciona-se ao resultado obtido a terceira parcela. 2o modo Efetua-se a adição das duas últimas par- celas e adiciona-se ao resultado obtido a primeira parcela. Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. 19 38 64 Então, há aproximadamente 2.900 vacinas. São 151 reais. 20 40 60 120 TEL COELHO 5 1 3 1 7 5 8 1 7 5 15 5 1 3 1 7 5 5 1 10 5 15 Não pode ser! Dá aproximadamente 120 reais. 617 1.578 736 Agora é com você!
- 101. 35 Orientações Mostre na lousa situações em que os alunos podem verificar o quanto as pro- priedades da adição auxi- liam no cálculo mental. Por exemplo, peça a eles que obtenham o valor da soma da seguinte adição: 345 1 0 1 99 1 5 1 21 Discuta cada passagem abai- xo com eles, de modo que percebam o que foi feito. •Pela propriedade comu- tativa, podemos trocar a ordem das parcelas, con- venientemente, já que a soma não é alterada: 345 1 0 1 99 1 5 1 21 5 5 345 1 5 1 0 1 99 1 21 •Pela propriedade associa- tiva, podemos associar as parcelas de maneira con- veniente, pois a soma tam- bém não se altera: 345 1 0 1 99 1 5 1 21 5 5 345 1 5 1 0 1 99 1 21 5 5 (345 1 5) 1 0 1 1 (99 1 21) 5 5 350 1 0 1 120 •Como o zero é o elemento neutro da adição, sabemos que 350 1 0 5 350, ou seja: 345 1 0 1 99 1 5 1 21 5 5 345 1 5 1 0 1 99 1 21 5 5 (345 1 5) 1 0 1 1 (99 1 21) 5 5 350 1 0 1 120 5 5 350 1 120 5 470 Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora a aplicação das pro- priedades da adição. Ob- serve se os alunos associam de maneira conveniente, de modo que o cálculo seja facilitado. Socialize os dife- rentes procedimentos utili- zados para que eles possam comparar o que fizeram com o modo utilizado por outro colega e, assim, refle- tir sobre suas escolhas. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 35 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Ao associar as parcelas de modos diferentes, não houve alteração na soma. Isso sempre ocorre quando adicionamos três ou mais números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade associativa da adição, enunciada a seguir. Observe mais alguns exemplos. Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modos diferentes sem alterar a soma. 2 1 37 1 8 5 5 37 1 8 1 2 5 37 1 10 5 47 a) 9 1 26 1 21 1 34 5 5 9 1 21 1 26 1 34 5 30 1 60 5 90 b) Agora, considere as seguintes adições: ƒ 5 1 0 5 0 1 5 5 5 ƒ 0 1 7 5 7 1 0 5 7 ƒ 53 1 0 5 0 1 53 5 53 ƒ 0 1 129 5 129 1 0 5 129 Note que em todas essas adições há um número (o zero) que, em qualquer posição, não influi no resultado. Esse número é o elemento neutro da adição. A adição de um número natural qualquer com zero (ou vice-versa) é o próprio número. Trata-se de mais uma propriedade da adição: a existência do elemento neutro, enunciada a seguir. O zero é o elemento neutro da adição. 11 Efetue mentalmente estas adições. Para facili- tar o cálculo, utilize as propriedades comutativa e associativa da adição. Registre no caderno como calculou. a) 73 1 15 1 5 93 b) 20 1 13 1 7 40 c) 18 1 12 1 61 91 d) 28 1 17 1 12 57 e) 15 1 0 1 5 1 9 f) 43 1 51 1 27 29 121 32 1 25 1 41 5 5 (30 1 20 1 40) 1 (2 1 5 1 1) 5 5 90 1 8 5 5 98 Refaça os cálculos da atividade anterior apli- cando a estratégia usada pela Mônica. 13 Tatiana jogou dois dados, obtendo uma soma de 9 pontos. Quais são os possíveis pares de números para que ocorra essa soma? JOSÉ LUÍS JUHAS CLÁUDIO CHIYO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12 Para calcular mentalmente, Mônica usa a de- composição dos números. Veja como ela faz: 3 e 6, 4 e 5 14 Bruno mora em Uberlândia e vai viajar para Aracaju. Ele terá de percorrer 1.837 quilô- metros de carro. No painel do carro há um instrumento chamado hodômetro, que marca quantos quilômetros o veículo já percorreu. No início da viagem o hodômetro marcava 18.540 quilômetros. a) Que número marcará o hodômetro quando Bruno chegar a Aracaju? 20.377 b) Durante a estadia em Aracaju, Bruno supõe que vai percorrer cerca de 1.400 quilôme- tros. Quanto deverá marcar o hodômetro quando ele iniciar a volta para casa? 21.777
- 102. 36 Pense mais um pouco... Na situação proposta nesta seção, o caminho pode ser descoberto por tentativa e erro. Um possível caminho deve passar pelos números 1, 5, 6, 7, 8, 4, 1, 2, 1 e 2, conforme indicado na figura abaixo. 1 5 Entrada Saída 2 3 4 1 6 7 8 2 0 1 3 4 1 5 6 7 1 2 Para saber mais O tema desta seção é um clássico dos jogos matemá- ticos: o quadrado mágico e o quadrado hipermágico. Além da aplicação do conhe- cimento matemático e da agilidade de raciocínio, os alunos experimentam aqui o sabor do desafio em uma ati- vidade lúdica que costuma ser muito proveitosa. A seção pode ser trabalhada em duplas, desde a leitura do texto, que explora um pouco da história do quadra- do mágico, até a realização das atividades propostas. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 36 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS NELSON MATSUDA Quadrado mágico Quadrado mágico é um quadrado dividido em 4, 9, 16, 25, ... quadra- dinhos ocupados por números dife- rentes cuja soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal possui um mesmo valor, que se chama soma mágica. Tem-se notícia desses quadrados desde a Antiguidade. Os orientais acreditavam que os quadrados má- gicos eram amuletos e que os prote- giam de certas moléstias. Os chineses chamavam o quadrado de lo-shu, e o que aparece acima é datado de 2850 a.C. Ao lado dele, você encontra a transcrição para algarismos indo-arábicos. Esse é um quadrado mágico de ordem 3 (três linhas e três colunas), em que aparecem os números naturais de 1 a 9, cuja soma mágica é 15. Quadrado mágico de origem chinesa. Nele, as bolinhas brancas representam os números ímpares, e as bolinhas pretas, os números pares. PARA SABER MAIS Entrada 1 5 0 5 2 6 1 6 3 7 3 7 4 8 4 1 1 2 1 2 Saída 15 Patrícia foi com seu pai comprar material es- colar. Durante as compras, ela foi conferindo e anotando os preços dos produtos. Veja a lista de Patrícia: O pai de Patrícia disse que não podia gastar mais que 60 reais. Ao ouvir isso, ela fez as con- tas mentalmente e disse que poderia comprar o apontador, que custava 3 reais, pois ainda restariam 7 reais. O cálculo que Patrícia fez está correto? Ex- plique por que ela pode fazer o cálculo dessa maneira. 9 1 14 1 21 1 6 60250510 30 1 20 5 50 NELSON MATSUDA ALAN CARVALHO resposta possível: 1, 5, 6, 7, 8, 4, 1, 2, 1 e 2 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Estude os vários caminhos possíveis para que, ao entrar pelo lugar indicado, você consiga chegar até a saída. Você deve seguir pelas linhas azuis e pode andar em todas as direções, exceto voltar por onde veio. Ao passar por um número, você deve adicioná-lo ao total que já tem. Você só pode sair pelo lugar indicado quando a soma obtida for 37. Descubra um caminho possível e indique-o pelos números que serão colocados na ordem de percurso. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Sim; ela usou a propriedade associativa da adição. FERNANDO JOSÉ FERREIRA
- 103. 37 Orientações Antes das atividades propos- tas no Agora é com você!, peça a cada dupla que ex- ponha os pontos do texto que acharam mais interes- santes. Em seguida, os alu- nos resolvem as questões e comparam os resultados ob- tidos com outra dupla, pro- movendo uma autocorre- ção entre eles. Fique atento para fazer as intervenções que achar necessárias no sentido de auxiliá-los nessa tarefa. Agora é com você! Na atividade 4, espera-se que os alunos percebam que 18 é 3 a mais do que 15, soma mágica do quadrado da atividade 2; logo, o qua- drado mágico procurado pode ser obtido adicionan- do-se 1 a cada elemento do quadrado da atividade 2. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 37 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO 71 64 69 8 1 6 53 46 51 66 68 70 3 5 7 48 50 52 67 72 65 4 9 2 49 54 47 26 19 24 44 37 42 62 55 60 21 23 25 39 41 43 57 59 61 22 27 20 40 45 38 58 63 56 35 28 33 80 73 78 17 10 15 30 32 34 75 77 79 12 14 16 31 36 29 76 81 74 13 18 11 NELSON MATSUDA 1 Determine a soma mágica de cada um dos quadrados mágicos de ordem 3 obtidos a partir do quadrado hipermágico citado. 2 Adicione 12 a cada número do quadrado mágico ao lado e verifique se o quadrado obtido ainda é mágico. Quanto aumentou a soma mágica? 3 Sabendo que, ao adicionar um mesmo número x a cada número de um quadrado mágico, fazemos a soma mágica aumentar 3 unidades, qual é o número x adicionado? 1 4 Usando os números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, construa um quadrado mágico de soma 18. 4 3 8 9 5 1 2 7 6 MUSEU BRITÂNICO, LONDRES No destaque, o quadrado mágico de ordem 4 e soma mágica 34. Albrecht Dürer, o autor, usou-o como estratagema para datar a obra. Na última linha, vê-se o ano: 1514. Com o passar do tempo, os quadrados mágicos ficaram conhecidos no Ocidente, tor- nando-se muito populares no século XVI. A presença do quadrado mágico nesse período mostrou-se tão significativa que o pintor alemão Albrecht Dürer (1471-1528) o relatou em Melancolia, uma gravura de 1514. Alguns quadrados mágicos apresentam propriedades diferenciadas. O quadrado hipermágico é aquele que pode ser decomposto em vários quadrados mágicos. O quadrado abaixo é hipermágico de ordem 9 e soma mágica 369. Ele pode ser decom- posto em 9 quadrados mágicos de ordem 3. ALAN CARVALHO 204; 15; 150; 69; 123; 177; 96; 231; 42 É. A soma mágica aumentou 36 unidades. 4. resposta possível: 5 4 9 10 6 2 3 8 7 Agora é com você!
- 104. 38 Subtração Aproveite a situação 1, que inicia o estudo da operação subtração, para chamar a atenção dos alunos para a necessidade de preservação do meio ambiente, tanto da fauna quanto da flora. Mui- tos animais foram extintos, ou estão em processo de ex- tinção, como é o caso da on- ça-pintada. É uma oportuni- dade para discutir as causas da extinção dos animais, principalmente em função da destruição dos seus hábi- tats naturais. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 38 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Os oceanos abrigam a maior diversidade da Terra. O Registro Mundial de Espécies Marinhas é um banco de dados com a listagem dos seres conhecidos nos oceanos. Por enquanto, a lista soma 224.804 espécies catalogadas, de um total de 240.867 conhecidas. (Dados obtidos em: Marine Species. Disponível em: http://www. marinespecies.org. Acesso em: 20 jul. 2017.) FABIO COLOMBINI JOE QUINN/ALAMY/FOTOARENA 0 2 2 0 1 0 5 NELSON MATSUDA 2 Subtração Acompanhe estas situações. Em apenas 20 anos, a população de onças-pintadas caiu 90% no Parque Nacional do Iguaçu (ParNa), em Foz do Iguaçu (PR), área que protege uma ri- quíssima biodiversidade da fauna e flora brasileiras. Segundo o Instituto para a Conservação dos Carnívoros Neotropicais (Pró-carnívoros), que trabalha com o monitoramento da espécie no Parque, as onças-pintadas foram reduzidas de 100 indivíduos para 20 indivíduos. [...] Entre as ameaças para garantir a espécie viva na reserva, o Instituto aponta a falta de investimentos em estrutura e fiscalização, a caça predatória e de retaliação e a possibilidade de reabertura da Estrada do Colono. Na Mata Atlântica, a estimativa é de que existam apenas 250 onças-pintadas, maior felino do continente americano e maior predador terrestre do Brasil. A perda do hábitat natural da espécie em razão do desmatamento para dar lugar a atividades agropecuárias ou pastagens nativas é crítica para o animal. Fonte: WWF-BRASIL APOIA monitoramento de onças-pintadas no Parque Nacional de Iguaçu. WWF-Brasil. Disponível em: http://www.wwf.org.br/ wwf_brasil/?43042/wwf-brasil-apoia-monitoramento-de-onas-pintadas-no-parque- nacional-de-iguau. Acesso em: 06 jul. 2017. Com os dados obtidos no texto acima, é possível descobrir quanto diminuiu a população de onças-pintadas do Parque Nacional do Iguaçu em 20 anos. Para isso, devemos tirar do total de indivíduos que existiam há 20 anos o total de indivíduos que existem hoje. Logo, foram reduzidas 80 onças-pintadas. Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira: Colônia de corais em um recife de Aruba (Caribe). Onças-pintadas, Manaus (Amazonas). Situação 1 Situação 2 Total de indivíduos há 20 anos minuendo 100 Total de indivíduos atualmente subtraendo 20 Redução do total de indivíduos diferença ou resto 80 2 5
- 105. 39 Orientações A retomada e a ampliação da subtração são feitas de modo similar ao da adição, com situações de contex- tos variados que destacam os significados associados a essa operação: tirar uma quantidade de outra, com- pletar uma quantidade para atingir outra e comparar duas quantidades para ob- ter a diferença entre elas. Sugerimos que explore a subtração também com o uso de uma calculadora sim- ples, pedindo aos alunos que registrem no caderno o que fazem, nomeando os termos de cada subtração realizada: minuendo, sub- traendo e resto ou diferença (resultado da subtração). Aproveite a situação 3, que apresenta alguns dados so- bre a fome no mundo, para discutir com os alunos a questão do desperdício de alimentos, expandindo para conexões com outras áreas, como cidadania, por meio de uma discussão sobre o direito à alimentação, que é constitucional. Incentive o debate a partir de pesqui- sas sobre o tema, como na Constituição Federal, cujo Artigo 6o , após a Emenda Constitucional 064 de 2010, ficou assim redigido: “São direitos sociais [individuais e coletivos] a educação, a saúde, a alimentação, o tra- balho, a moradia, o lazer, a segurança, a previdência social, a proteção à materni- dade e à infância, a assistên- cia aos desamparados, na forma desta Constituição”. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 39 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 2 4 2 0 8 6 7 4 2 4 0 8 5 2 1 7 5 9 1 2 1 0 5 Com as informações extraídas do texto, é possível descobrir quantas espécies o Registro Mundial de Espécies Marinhas ainda tem de catalogar para completar seu banco de dados. Para isso, devemos subtrair do total de espécies conhecidas o número de espécies já catalogadas: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA Portanto, o Registro Mundial de Espécies Marinhas ainda tem de catalogar 16.063 espécies. Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira: Para calcular quanto diminuiu a quantidade, em milhões, de pessoas com fome no mundo entre 1992 e 2016, devemos comparar a quantidade relativa a 2016 com a quantidade relativa a 1992. Para isso, subtraímos a quantidade menor da maior. Portanto, entre 1992 e 2016, a quantidade de pessoas com fome no mundo diminuiu em 216 milhões. Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira: Segundo o relatório da Organização das Nações Unidas para a Alimentação e a Agri- cultura (FAO), em 1992, 1.011 milhões de pessoas passavam fome no mundo. Nos últimos anos, esse número vem diminuindo. Em 2016, 795 milhões de pessoas passavam fome. (Dados obtidos em: FAO. Disponível em: http://www.fao.org/home/en/. Acesso em: 07 jul. 2017.) SIEGFRIED MODOLA/REUTERS/LATINSTOCK Mulheres e crianças em fila de distribuição de alimentos no Sudão do Sul. (Foto de 2017.) As ideias de tirar, completar ou comparar estão relacionadas à subtração. Situação 3 Total de espécies conhecidas minuendo 240.867 Número de espécies catalogadas subtraendo 224.804 Espécies que falta catalogar diferença ou resto 16.063 2 5 Milhões de pessoas com fome em 1992 minuendo 1.011 Milhões de pessoas com fome em 2016 subtraendo 795 Redução do total de pessoas com fome (em milhões) diferença ou resto 216 2 5
- 106. 40 Adição e subtração Neste tópico, tratamos da relação existente entre a adição e a subtração como operações inversas. Exercícios propostos O bloco de exercícios que se inicia nesta página explora a subtração e suas relações com a adição. Amplie o exercício 16 explo- rando a interpretação dos dados da tabela questionan- do, por exemplo: •Em que regiões houve au- mento da população com fome de 1992 para 2016? (África.) •Em que regiões houve di- minuição da população com fome de 1992 para 2016? (Ásia e América Lati- na e Caribe.) Ainda é possível discutir com os alunos fatores que expliquem o problema da fome na África. Eles podem fazer uma pesquisa prévia e trazer elementos para essa discussão, como os do texto a seguir. É de conhecimento de todos que a África convive com o problema da fome, agora basta saber quais fatores desencadearam as diversas mazelas sociais que essa parte do mundo se sujeita. Uma das causas da fome está ligada à forma de ocu- pação do território e a ex- trema dependência econô- mica externa, herdada do período do colonialismo. Isso é agravado ainda mais com o acelerado crescimen- to populacional. [...] Disponível em: https:// mundoeducacao.bol.uol. com.br/geografia/as- principais-causas-fome-na- africa.htm. Acesso em: 20 maio 2018. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 40 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 18 Use uma calculadora para determinar a dife- rença entre 67.185 e 31.846. Em seguida, ve- rifique se você acertou, efetuando a operação inversa. 35.339 3 Adição e subtração Observe as operações a seguir. Veja mais alguns exemplos. a) 60 2 20 5 40, porque 40 1 20 5 60, e 40 1 20 5 60, porque 60 2 20 5 40 ou porque 60 2 40 5 20. b) 125 2 32 5 93, porque 93 1 32 5 125, e 93 1 32 5 125, porque 125 2 32 5 93 ou porque 125 2 93 5 32. Portanto, as sentenças 60 2 20 5 40 e 40 1 20 5 60 são equivalentes, assim como as sentenças 125 2 32 5 93 e 93 1 32 5 125. Considerando os termos de uma subtração, percebemos que ao adicionar a diferença com o subtraendo obtemos o minuendo. Podemos verificar se uma dessas operações está correta por meio da outra. Dizemos, então, que a adição e a subtração são operações inversas. 16 Considere a tabela a seguir. Dados obtidos em: FAO. Disponível em: http://www. fao.org/home/en/. Acesso em: 07 jul. 2017. Com o auxílio de uma calculadora, descubra a diferença, em milhões, entre as populações com fome de 1992 e 2016 na Ásia e na América Latina e Caribe. 230, 34 17. b) 3 notas de 10, 1 nota de 2 e 3 moedas de 1 ou 3 notas de 10, 2 notas de 2 e 1 moeda de 1 46.782; 46.782 1 25.586 5 72.368 625; 625 2 209 5 416 e 625 2 416 5 209 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 35 2 10 5 25 25 1 10 5 35 Pense em dois números e subtraia o menor do maior. Em seguida, adicione a diferença obtida ao menor deles. Deu o outro número pensado? Isso acontece sempre? minuendo subtraendo diferença 17 Cristina saiu de casa com 5 notas de 10 reais, 3 moedas de 1 real e 2 notas de 2 reais. Gastou 35 reais para pagar seu almoço. a) Quanto dinheiro sobrou? 22 reais b) De que maneira Cristina pôde pagar a conta sem que tenha recebido troco? População com fome (em milhões) Ano Regiões em desenvolvimento 1992 2016 África 182 233 Ásia 742 512 América Latina e Caribe 68 34 Oceania 1 1 20 Efetue a adição 416 1 209 e associe a ela as duas subtrações correspondentes. 19 Efetue as subtrações e associe a cada uma delas a adição correspondente. a) 5.812 2 4.815 997; 997 1 4.815 5 5.812 b) 72.368 2 25.586 SIDNEY MEIRELES
- 107. 41 Exercícios propostos No exercício 24, espera-se que os alunos percebam que, ao adicionar (7 2 7), Bruna usou a propriedade do elemento neutro. No exercício 25, a compreen- são de certas propriedades das operações (no caso, da subtração) é um grande au- xílio à ampliação do reper- tório para o cálculo e ao de- senvolvimento da habilidade de resolver problemas. Após alguns testes, em que se au- mentam o minuendo e o sub- traendo da mesma maneira, os alunos devem concluir que o resultado da subtração “ori- ginal” vai permanecer. Essa ideia poderá ser emprega- da na realização de cálculos mentais quando modifica- mos/manipulamos os núme- ros dados no intuito de obter valores mais simples para a execução desses cálculos. No exercício 26, como no item a os alunos encontra- ram o total de açúcar utili- zado, talvez alguns pensem em utilizar esse resultado (400 gramas) para chegar à resposta do item b: •100 1 50 1 150 5 300 (to- tal de açúcar, em grama, caso tivesse colocado a quantidade correta) •400 2 300 5 100 (diferen- ça entre a quantidade de açúcar colocada e a quan- tidade ideal, em grama) É interessante discutir que es- ses cálculos poderiam ser re- duzidos, com alteração ape- nas na terceira vez em que o açúcar foi colocado, ou seja, só seria calculada a diferen- ça nessa vez: 250 – 150 5 100 (100 gramas). Esta é uma boa oportunidade para integrar a Matemática com o cotidiano e fazer re- lações entre conhecimentos relativos tanto aos números e às operações quanto associa- dos a grandezas e medidas. Pense mais um pouco... Este é um bom momento para trabalhar a habilidade de lidar com sis- temas simbólicos e suas generalizações. No item a, as três figuras re- presentam números consecutivos na sequência apresentada. Olhando a primeira coluna da adição, é possível perceber que o único caso em que a 1 b 5 c é a 5 1, b 5 2 e c 5 3. Logo, 5 1, 5 2 e 5 3. Ao fazer o item b por tentativa e erro, podem depreender da 1a li- nha que os símbolos e representam números consecutivos, com 5 1 1. Logo, as únicas possibilidades para a escrita de e são: 10, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87 e 89. Efetuando todas as subtrações corres- pondentes, a única que satisfaz a condição é 5 7, 5 8 e 5 9. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 41 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Discuta com um colega como Bruna resolveu o problema. Você conhece outra maneira de calcular o número de figurinhas? Explique como você resolveria. Resposta pessoal. 28 De um número natural x de três algarismos quero subtrair um número de dois algarismos e obter outro número natural de um algarismo. a) Se x for 100, que números posso escolher? b) E se x for 108? c) E se x for 109? 27 Lembrando que a adição e a subtração são operações inversas, descubra que número natural cada etiqueta ( ) esconde. a) 2 12 5 20 32 b) 1 36 5 75 39 c) 2 15 5 25 40 d) 1 98 5 231 133 29 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre adição e subtração com núme- ros naturais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 26 Ao fazer uma jarra de limonada, coloquei 100 gramas de açúcar. Experimentei e não gostei. Coloquei, então, mais 50 gramas. Ex- perimentei novamente e ainda não estava boa. Resolvi acrescentar 250 gramas de açúcar. A limonada ficou gostosa, mas muito doce. Che- guei à conclusão de que o último acréscimo de açúcar deveria ter sido de apenas 150 gramas. a) Quantos gramas de açúcar coloquei no total? 400 gramas b) Quantos gramas coloquei a mais que o ideal para meu paladar? 100 gramas 25 Em uma subtração, a diferença é 26. Se au- mentarmos 10 unidades no subtraendo, qual será o valor da nova diferença? O que aconte- ce se o minuendo aumentar em 4 unidades? E se o minuendo e o subtraendo aumentarem em9 unidades? 16; 30; a diferença não se altera 23 Podemos dizer que para a subtração vale a propriedade comutativa? Dê um exemplo que justifique sua resposta. Não, pois 10 2 5 i 5 2 10. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ALAN CARVALHO 22 Quando é possível efetuar uma subtração de dois números naturais? impossível a) 99, 98, 97 , 96, 95, 94, 93, 92, 91 b) apenas 99 c) Não é possível. 5 8 5 7 5 9 5 1 5 2 5 3 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 21 Nem sempre é possível efetuar uma subtração de dois números naturais. Nas subtrações indicadas abaixo, anote em seu caderno o resultado daquelas que podem ser realizadas. a) 206 2 48 158 d) 91 2 91 0 b) 116 2 116 0 e) 13 2 23 c) 54 2 75 impossível f) 67 2 49 18 Pense mais um pouco... Descubra, em cada item, o valor de , e , sabendo que representam, nessa ordem, números consecutivos formados por um algarismo. 24 Bruna conseguiu 27 figurinhas com um amigo. Ela já tinha 173 figurinhas em seu álbum e queria saber com quantas ficou. Para isso, ela fez a seguinte adição: a) 1 b) 2 Só é possível quando o minuendo for maior ou igual ao subtraendo. 173 1 (7 2 7) 1 27 … Desse modo, posso adicionar 173 a 7, que dá 180, e subtrair 7 de 27, resultando em 20. Agora, eu preciso adicionar 180 1 20. A resposta é 200.
- 108. 42 Trabalhando a informação Esta seção introduz um con- teúdo matemático muito importante para a compre- ensão do mundo atual: a interpretação de gráficos. A proposta aqui é estudar grá- ficos de colunas, recurso no- tadamente usual nas mídias contemporâneas. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 42 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Interpretando um gráfico de colunas Os planetas e suas luas Luas ou satélites naturais são corpos celestiais que giram em torno de um planeta. A traje- tória descrita pelos satélites, assim como a trajetória do nosso planeta Terra em torno do Sol, é chamada de órbita. Dos planetas do Sistema Solar, apenas dois não possuem satélites naturais: Vênus e Mercúrio. Luas de Júpiter, obtidas pelo telescópio Hubble. (Foto de 2015.) A Lua é o único satélite natural da Terra. (Foto de 2016.) Essa figura é um exemplo de gráfico de colunas. A primeira coluna, da esquerda para a direita, de altura 1, representa a quantidade de luas do planeta Terra: 1 lua. A segunda coluna, de altura 2, representa a quantidade de luas do planeta Marte: 2 luas. E assim por diante. Observe que as colunas referentes a Saturno e Urano possuem alturas 62 e 27, respectivamente. Isso significa que esses planetas possuem essas quantidades de luas. Os asteriscos (*) chamam a atenção para uma informação. Nesse caso, assinalam que a quantidade de luas desses planetas ainda não é totalmente conhecida, uma vez que esses números representam o mínimo de luas que eles possuem – é possível que haja mais! * Número mínimo de luas. Dados obtidos em: Scientifc American. Edição Especial, 2013. p. 2-3. ADILSON SECCO QUAOAR/SHUTTERSTOCK HUBBLE HERITAGE TEAM/NASA Veja no gráfico abaixo a quantidade de satélites naturais, conhecida atualmente, dos demais planetas do Sistema Solar. P l aneta Q uantidade de l uas M art e T erra J ú p it er S at urn o* U ran o* N et un o 27 62 67 14 2 1 0 N ú mero de l uas por pl aneta Este gráfico tem como título “Número de luas por planeta”, além de dois eixos: “Quantidade de luas” (vertical) e “Planeta” (horizontal). SIDNEY MEIRELES Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
- 109. 43 Orientações Esta seção oferece uma opor- tunidade de discutir com os alunos que interpretar dados não é simplesmente trans- crever o que está no gráfico, mas comparar as informa- ções, efetuar cálculos, enfim, dar tratamento aos dados. Os temas escolhidos para este estudo abrem caminho para discussões relacionadas ao Sistema Solar e à preser- vação florestal, o que pode resultar em um trabalho interdisciplinar envolvendo professores de áreas como Geografia e Ciências. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 43 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Vista aérea de uma queimada ocorrida na Floresta Amazônica. (Foto de 2017.) 1 Com base no gráfico de colunas da página anterior, faça mais algumas interpretações. a) Quantas luas o planeta Netuno tem a mais que Marte? 12 b) Quantas luas os planetas do Sistema Solar, excluindo Vênus e Mercúrio, têm no total? 173 2 Observe o gráfico abaixo e responda às questões. O gráfico apresenta a quantidade de focos ativos detectados por um satélite de referência, ou seja, os dados coletados diariamente por um mesmo satélite ao longo dos anos. a) Em qual desses anos o número de focos ativos foi maior? Quantos focos? b) Em qual ano o número de focos ativos de queimadas foi menor? Quantos focos? c) Qual foi a redução na quantidade de focos ativos de queimadas entre os anos de 2010 e 2016? 61.154 d) Em qual ano ocorreu o maior aumento na quantidade de focos ativos de queimada em relação ao ano anterior? Arredonde para o milhar mais próximo e calcule mentalmente esse aumento. Dados obtidos em: Inpe – Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. Disponível em: http://www.inpe.br/queimadas/portal/estatistica_paises. Acesso em: 26 abr. 2018. ADILSON SECCO JACQUES JANGOUX/PHOTORESEARCHERS/LATINSTOCK Então, em um gráfico desse tipo, a altura de cada coluna corresponde à quantidade de vezes que a informação pesquisada foi observada naquele evento (acontecimento). Em um gráfico de colunas, pode-se perceber rapidamente as colunas mais altas e as mais baixas, ou seja, as que representam maior ou menor número de observações segundo os dados em estudo. Para fazer uma boa interpretação de um gráfico, precisamos estabelecer comparações entre os dados apresentados e, às vezes, realizar alguns cálculos. 2010; 249.198 2013; 115.048 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! 2010; houve aumento de 126 mil focos ativos em relação a 2009. Ano Q uantidade de focos ativ os de q ueimadas e incê ndios 2008 123.201 2009 123.120 2010 249.198 2011 132.893 2012 193.600 2013 115.048 2014 183.424 2015 236.066 2016 188.044 280.000 210.000 140.000 70.000 M onitoramento de focos ativ os de q ueimadas e incê ndios no B rasil – 2 0 0 8 a 2 0 1 6
- 110. 44 Exercícios propostos Para a resolução do exercí- cio 30, vale destacar que o “registro do pensamento” nem sempre é algo simples, especialmente para essa faixa etária. É provável que muitos alunos argumentem “não saber explicar como fizeram”. Isso acontece pelo fato de os mecanismos de cálculo usados no registro escrito e no cálculo men- tal não serem coincidentes, apesar de, em geral, serem complementares. Espera-se aqui que os alunos troquem opiniões e discutam modos de cálculos mentais sem, no entanto, a intenção de pa- dronizar os registros, uma vez que podem adotar di- ferentes pontos de partida ou estratégias de desenvol- vimento. Usar “saltos” na reta nu- mérica pode se tornar um bom recurso para o cálculo mental na medida em que o aluno precisa escolher o valor do “salto” que o conduza à solução, tanto na adição quanto na sub- tração, sendo esse valor de escolha individual. Assim, nos exercícios 33 e 34 (na página seguinte), os alunos poderão apresentar dife- rentes procedimentos para solução, de acordo com os “saltos” escolhidos. Pode-se pedir a eles que apresentem seus procedimentos na lousa para os colegas perceberem outros caminhos para solu- ção e, assim, ampliarem seu repertório. Nesses exercícios, diga aos alunos que as ilustrações dos “saltos” imaginados na reta numérica não estão em escala. Na primeira reta, por exemplo, os saltos mos- tram que 30 é maior que 5 e que 5 é maior que 2, mas sem escala. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. 45 2 28 45 2 20 2 8 25 2 8 5 17 56 1 37 56 1 30 1 7 86 1 7 93 56 1 37 50 1 6 1 30 1 7 80 1 13 5 93 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 44 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS c) Cálculo de 45 2 28, fazendo 45 2 20 5 25 e 25 2 8 5 17. b) Para calcular 56 1 37, podemos também decompor os dois números em dezenas e unidades. d) Para calcular 45 2 28, também podemos usar a ideia de completar quantidades. • 28 para 30 faltam 2. • 30 para 45 faltam 15. • 2 1 15 5 17 Assim, 45 2 28 5 17. a) Cálculo de 56 1 37, decompondo 37 em dezenas e unidades. 31 Calcule: 12 1 25 1 18 1 15. 70 Agora, calcule: (12 1 18) 1 (25 1 15). Para você, qual das duas formas utilizadas é a mais simples? Por quê? Resposta pessoal. 32 Resolva mentalmente as adições a seguir da maneira mais simples. a) 11 1 37 1 9 c) 54 1 23 1 7 b) 20 1 10 1 76 d) 43 1 21 1 7 1 56 1 4 Logo, 65 1 37 5 102. 65 95 + 30 + 5 + 2 100 102 Adicionando e subtraindo mentalmente Considere o número 25. Ele pode ser decomposto em parcelas de várias formas. Veja al- gumas delas: Outra maneira de decompor o número 25 é separando o maior número de dezenas das unidades. Observe. Essa forma de decompor um número ajuda no cálculo mental de algumas operações. Veja algumas estratégias para fazer o cálculo mentalmente. 25 5 12 1 13 25 5 10 1 15 25 5 8 1 7 1 10 33 Podemos imaginar “saltos” em uma reta numé- rica para calcular mentalmente o resultado de adições. Observe. • Para calcular 65 1 37: 25 5 2 dezenas 1 5 unidades 5 20 1 5 57 106 84 131 135 205 + 70 + 20 + 5 + 3 225 230 233 • Para calcular 135 1 98: Logo, 135 1 98 5 233. 30 Calcule mentalmente as operações e depois registre como você fez o cálculo. Em seguida, junte-se a um colega e comparem os procedi- mentos usados. a) 14 1 67 d) 77 1 23 g) 85 2 26 b) 74 1 28 e) 42 2 14 h) 95 2 36 c) 39 1 42 f) 72 2 56 81 102 81 100 28 16 59 59 ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES/ALAN CARVALHO
- 111. 45 Pense mais um pouco... Nesta seção, espera-se que os alunos percebam que o quadro numérico para cal- cular 9 1 8 (na questão 1) pode ser assim: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Ou seja, deve ter pelo menos 9 linhas e 10 colunas. Como a adição é comutativa, sabe- mos que 9 1 8 5 8 1 9, e as- sim o quadro também pode ter pelo menos 10 linhas e 9 colunas, obtendo-se 8 1 9. Ao aumentar 5 linhas e 5 colunas no quadro apresen- tado (questão 2), espera-se que os alunos percebam que o maior número da primeira linha e da primeira coluna será o 10, ou seja, a maior soma será 20. Logo, não é possível aparecer soma 23. ADILSON SECCO BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 45 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Segunda-feira eu tinha 200 pães de hambúrguer e vendi 85 sanduíches. Hoje, terça-feira, vendi outros 98 hambúrgueres. Resposta pessoal. Expressões numéricas com adições e subtrações Enquanto serve os últimos fregueses, Alberto pensa em como administrar o estoque de pães de hambúrguer da lanchonete. 34 Também podemos subtrair mentalmente imaginando “saltos” em uma reta numérica. Observe. • Para calcular 84 2 46: 38 40 44 – 40 – 4 – 2 84 78 80 83 – 20 – 20 – 3 – 2 123 103 Agora, calcule mentalmente o resultado das subtrações imaginando “saltos” em uma reta numérica. Os “saltos” podem ser de 10 em 10, de 20 em 20, de 100 em 100 etc. e também apenas com as unidades. Em seguida, faça o registro em seu caderno e verifique o resultado. a) 57 2 18 39 d) 196 2 103 93 b) 65 2 37 28 e) 346 2 150 196 c) 74 2 68 6 f ) 550 2 206 344 • Para calcular 123 2 45 35 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre adição e subtração com núme- ros naturais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. ADILSON SECCO Não, pois a soma dos dois maiores números do novo quadro seria 20. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! Então, 84 2 46 5 38. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Pense mais um pouco... Para adicionar dois números usando o quadro ao lado, basta fixar um número na primeira linha e um segundo na primeira coluna: na intersecção da linha com a coluna, obtemos a soma desses números. Como exemplo, se adicionarmos o número 4, que está na primeira linha (hori- zontal), e o número 5, que está na primeira coluna (vertical), vamos obter soma 9, que está no cruzamento das duas. Agora, faça o que se pede. 1. Com base no quadro, construa um novo, em que seja possível calcular 9 1 8. Quantas linhas e colunas o novo quadro terá? 2. Se colocarmos mais 5 linhas e 5 colunas no quadro anterior, continuando a sequência, seria possível encontrar o número 23 como resultado da soma de dois números? Explique. 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 Agora, calcule mentalmente o resultado das adições imaginando “saltos” em uma reta numérica. Os “saltos” podem ser de 10 em 10, de 20 em 20, de 100 em 100 etc. e também apenas com as unidades. Em seguida, registre em seu caderno e verifi- que o resultado. a) 49 1 27 76 c) 125 1 148 273 b) 86 1 76 162 d) 225 1 143 368 Então, 84 2 46 5 38. Então, 123 2 45 5 78. BRUNO MOTA ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES/ALAN CARVALHO Vou comprar 120 pães. Assim, amanhã inicio o trabalho com...? construção de quadro; pelo menos 9 linhas e 10 colunas ou pelo menos 10 linhas e 9 colunas
- 112. 46 Os sinais de associação em uma expressão numérica No estudo das expressões numéricas, é importante os alunos perceberem que ex- pressões numéricas como es- tas 12 2 (5 1 3) e 12 2 5 1 3 produzem resultados dife- rentes. Pode ser que alguns confundam essa situação com a propriedade associa- tiva da adição. Esclareça a eles que, no caso do uso de uma propriedade da adição, a única operação envolvida deve ser a adição, o que não é o caso dessas duas expres- sões, já que há também uma subtração. Deve-se ressaltar a impor- tância do sinal de associa- ção na primeira expressão, indicando que a primeira operação a ser efetuada é a adição. Já na segunda expressão, as operações de adição e subtração devem ser feitas na ordem em que aparecem: •12 – (5 1 3) 5 12 – 8 5 4 •12 – 5 1 3 5 7 1 3 5 10 Pode ser discutida com os alunos também a diferen- ça apresentada por uma calculadora simples e uma calculadora científica (que podem ser encontradas no computador). É importante perceberem que uma calcu- ladora simples sempre fará as operações na ordem em que forem digitadas. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 46 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 5 0 2 1 8 9 5 8 0 0 2 2 2 1 b) [2 1 (5 1 7) 2 3] 2 1 5 5 [2 1 12 2 3] 2 1 5 5 [14 2 3] 2 1 5 5 11 2 1 5 10 c) 2 1 [5 1 (7 2 3) 2 1] 5 5 2 1 [5 1 4 2 1] 5 5 2 1 [9 2 1] 5 5 2 1 8 5 10 a) 2 1 5 1 [7 2 (3 2 1)] 5 5 2 1 5 1 [7 2 2] 5 5 2 1 5 1 5 5 5 7 1 5 5 12 Repare que, por causa da posição dos parênteses, os valores das duas expressões são diferentes. Por isso, a posição dos parênteses e dos demais sinais de associação é muito importante, pois a presença desses sinais indica que devemos resolver as operações neles contidas seguindo uma ordem: primeiro, efetuam-se as operações entre parênteses; depois, as operações entre colchetes; finalmente, aquelas que estão entre chaves. Veja mais alguns exemplos. a) (12 2 5) 1 3 5 5 7 1 3 5 10 b) 12 2 (5 1 3) 5 5 12 2 8 5 4 200 2 85 2 98 1 120 5 5 115 2 98 1 120 5 5 17 1 120 5 137 Portanto, Alberto iniciará o trabalho na quarta-feira com 137 pães. Note que, para determinar o valor de uma expressão numérica que envolve adições e sub- trações, efetuamos essas operações na ordem em que aparecem. Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira: NELSON MATSUDA Alberto resolve o seu problema da seguinte maneira: 200 2 85 2 98 1 120 Essa sequência de operações é um exemplo de expressão numérica. Ela pode ser repre- sentada por um único número, obtido quando efetuamos as operações. Vamos calcular o valor da expressão numérica da situação apresentada: Os sinais de associação em uma expressão numérica Existem expressões numéricas que apresentam sinais de associação: ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves Para exemplificar, observe estas expressões: a) (12 2 5) 1 3 b) 12 2 (5 1 3) Veja que a posição dos parênteses é diferente nas duas expressões. Vamos calculá-las.
- 113. 47 Exercícios propostos No exercício 36, incentive os alunos a usarem o cálculo mental para descobrir o va- lor dessas expressões. O exercício 37 apresenta uma situação interessante para os alunos validarem as respostas após a resolução, ou seja, para conferirem se a solução encontrada está de acordo com o enunciado do problema. Lembramos que a omissão ou má interpretação da in- formação inicial, “Se Carlos tivesse mais 8 reais”, pode levar a resultados errados, o que o próprio aluno tem a oportunidade de corrigir ao fazer a conferência da resposta. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 47 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Situação 1 FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Resposta pessoal. 39 Um alpinista, depois de subir 455 metros de uma montanha, subiu mais 325 metros, porém escorregou e desceu 18 metros. Depois, ele tornou a subir 406 metros. a) Determine a expressão correspondente a essa situação. 455 1 325 2 18 1 406 b) Qual é o valor dessa expressão? 1.168 c) A que altura se encontra esse alpinista? 40 Hora de criar – Pense em um número de três algarismos e escreva esse número por meio de uma soma de quatro números. Substitua dois desses quatro números por diferenças de outros números. Troque com um colega essas expressões numéricas criadas por vocês. Depois de cada um calcular o valor da expressão do outro, destroquem para corrigi-las. Bruna comprou um sofá, que pretende pagar em 10 parcelas de 230 reais cada uma. Qual será o valor total que Bruna pagará pelo sofá? Podemos resolver esse problema usando uma adição de 10 parcelas iguais. Observe: 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 1 230 5 2.300 10 parcelas 4 Multiplicação Acompanhe as situações a seguir. 1.168 metros Pense mais um pouco... Giovana achou um velho caderno com exercícios numa caixa guardada por seu pai. Mas veja o que as traças fizeram! Descubra as contas que havia no ca- derno do pai de Giovana e escreva-as em seu caderno. 36 Calcule o valor das expressões numéricas. a) 36 2 5 1 12 1 10 53 b) 36 2 (5 1 12) 2 10 9 c) 36 2 (12 1 10 2 15) 29 d) (36 2 5) 2 (12 1 10) 9 37 Se Carlos tivesse mais 8 reais, poderia com- prar um sorvete por 1 real, um sanduíche por 8 reais e ainda lhe sobraria 1 real. Quantos reais Carlos tem? 2 reais 38 Na caixa de entrada de seu e-mail, Pedro acu- mulou 650 mensagens e deletou 288 delas. Dias depois, recebeu 740 novas mensagens, e ele apagou 1.000 mensagens. a) Determine a expressão que corresponde a essa situação. 650 2 288 1 740 2 1.000 b) Quantas mensagens ficaram na caixa de entrada de Pedro? 102 ALAN CARVALHO 6, 4 e 3 1, 6 e 5 1, 2, 5 e 4 8.164 63.676 6.716 21.770 9, 5, 3 e 6 JOSÉ LUÍS JUHAS
- 114. 48 Orientações No estudo da operação mul- tiplicação, apresentamos três situações desenvolven- do o significado de adição de parcelas iguais, com des- taque para a organização retangular e a noção de pro- porcionalidade, ampliando e aprofundando o que já vi- ram nos anos anteriores. Proponha novas situações que envolvam multiplicação com essas ideias, para os alunos resolverem com ou sem o uso de calculadora. Em cada uma das multiplica- ções efetuadas, retome com eles os elementos que parti- cipam de uma multiplicação: fatores e produto (resultado da multiplicação). Na situação 3, lembre os alunos de que ao conjunto de 12 elementos damos o nome de dúzia. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 48 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira: Situação 2 5 7 3 5 5 0 3 2 0 1 3 Ana e suas amigas estavam estudando juntas e resolveram preparar lanches naturais e suco de laranja. Sabendo que para fazer 1 copo de suco são necessárias 3 laranjas, quantas laranjas serão usadas para fazer 4 copos de suco? Se, para 1 copo, são necessárias 3 laranjas, para 4 copos temos: Portanto, para fazer 4 copos de suco de laranja, serão usadas de 12 laranjas. Nesse exemplo, está presente a ideia de proporção. Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira: 5 4 3 3 NELSON MATSUDA TEL COELHO NELSON MATSUDA Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira: NELSON MATSUDA Edna fez empadinhas para sua festa de aniversário e as distribuiu em uma bandeja, como na foto ao lado. Quantas empadinhas há nessa bandeja? Para saber quantas empadinhas há na bandeja, não é necessário contá-las uma a uma. Como elas estão dispostas em uma formação retangular, com 7 fileiras de 5 empadinhas, basta efetuar a seguinte operação: Ou usando a multiplicação de 10 por 230. Situação 3 10 8 230 5 2.300 fatores produto 7 8 5 5 35 fatores produto Logo, Bruna pagará 2.300 reais pelo sofá. BETO CELLI Logo, há 35 empadinhas na bandeja. As ideias de adição de parcelas iguais, formação retangular e proporção estão relacionadas à multiplicação. 1 4 Quantidade de copos 3 4 3 12 Quantidade de laranjas 3 4
- 115. 49 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, exploram-se a multiplicação associada à adição de parce- las iguais, a disposição retan- gular e a noção de propor- cionalidade. O exercício 49 oferece um momento para os alunos buscarem relações entre as unidades de medida de área, ainda que apareçam de forma apenas implícita na questão. Para começar, no item a, eles devem rela- cionar a quantidade total de quadradinhos com a quan- tidade de quadradinhos em cada linha e em cada coluna do retângulo apresentado. Na resolução do item b, é importante observar se há alunos fazendo a contagem dos triângulos; uma estraté- gia para lidar com o proble- ma é pedir que outro aluno tente explicar como resolver sem contar todos os triângu- los. É fundamental destacar a ideia de que, cabendo dois triângulos em cada quadra- dinho, haverá o dobro de triângulos em relação ao número original de quadra- dinhos. De maneira similar, no item c, espera-se que os alunos utilizem as relações: •em cada quadradinho ca- bem dois “triângulos dos tipos do item b”, ou qua- tro “triângulos dos tipos do item c”; •em cada “triângulo dos tipos do item b” cabem dois “triângulos dos tipos do item c”. Discutindo essas relações, os alunos observarão que não é mera coincidência ter en- contrado os números 33, 66 e 132, ou seja, sempre o do- bro do encontrado no item anterior. Ficará então mais natural verificar que, quan- do diminuímos a unidade de medida, mais vezes essa uni- dade de medida caberá em uma mesma superfície. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 49 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Podemos indicar uma multiplicação substituindo o sinal de vezes (3) por um ponto (8). Veja alguns exemplos. a) 13 3 5 ou 13 8 5 b) 4 3 5 ou 4 8 5 O resultado de 2 vezes um número é chamado de dobro. O resultado de 3 vezes um número é chamado de triplo. O resultado de 4 vezes um número é chamado de quádruplo. Assim: • O dobro de 9 é 2 8 9, isto é, 18. • O triplo de 14 é 3 8 14, isto é, 42. • O quádruplo de 18 é 72 (4 8 18). c) Quantos , , , existem? 132 b) Quantos e existem na figura? 66 49 Responda às questões. a) Quantos existem na figura abaixo? 33 NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA fatores; produto 9.912 b) 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 c) 4 8 7 ou 7 8 4 Observações 41 Em uma plantação, existem 118 fileiras com 84 pés de abacaxi em cada uma. a) Para obter o número de pés de abacaxi, po- demos fazer uma operação. Que operação é essa? multiplicação b) Que nome damos aos números 118 e 84 nessa operação? E ao resultado? c) Quantos pés de abacaxi há nessa plantação? 42 Represente cada adição com uma multiplicação. a) 5 1 5 1 5 1 5 4 8 5 c) 7 1 7 1 7 b) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 8 2 d) a 1 a 43 Observe a figura abaixo. Considerando essa figura, escreva: a) a adição de 4 parcelas iguais que fornece o número de quadradinhos; 7 1 7 1 7 1 7 b) a adição de 7 parcelas iguais que fornece o número de quadradinhos; c) a multiplicação de dois fatores que também fornece o número de quadradinhos. 44 Larissa mora no 13o andar, e os dois elevado- res do prédio quebraram. De um pavimento a outro, são 18 degraus de escada. Quantos degraus Larissa terá de subir para chegar em casa, vindo do apartamento de sua amiga, que mora no 4o andar do mesmo prédio? 162 45 Em uma multiplicação, um dos fatores é zero. Qual é o produto? zero 46 Calcule mentalmente: a) 5 8 10 50 c) 74 8 1.000 b) 32 8 100 3.200 d) 42 8 10.000 47 Continue calculando mentalmente: a) 25 8 2 50 d) 5 8 600 3.000 b) 25 8 200 5.000 e) 8 8 9 72 c) 5 8 60 300 f ) 80 8 90 7.200 48 Nosso coração bate, em média, 70 vezes por minuto. Quantas batidas nosso coração dá em 1 dia? Lembre-se de que 1 hora é o mesmo que 60 minutos. 100.800 3 8 7 2 8 a 420.000 74.000
- 116. 50 Exercícios propostos No exercício 50, além da ideia de proporcionalidade em debate, à medida que os alunos encontram as res- postas, podem ser explora- dos os aspectos relacionados com alimentação e nutrição. Para isso, é possível promo- ver um trabalho interdis- ciplinar com Ciências. As embalagens que os alunos pesquisarem serão um valio- so objeto de estudo e discus- são a esse respeito. Uma ampliação interessante desse exercício é solicitar que coletem dados dos alimentos que mais consomem, para uma autoavaliação de ali- mentação. Mesmo não sen- do especialistas em nutrição, é fundamental que todos tenham noções de alimenta- ção e saúde, pois uma dieta desequilibrada pode ser bas- tante prejudicial à saúde e, consequentemente, ao de- senvolvimento intelectual. Apresentamos a seguir a tabela solicitada no item a. A terceira coluna a ser acres- centada é equivalente a 4 vezes a quantidade presente na segunda coluna: Suco de uva enlatado ou engarrafado Quantidade 1 copo 4 copos Água (mL) 168 672 Quilocalorias 155 620 Proteína (g) 1 4 Gordura (g) – – Carboidrato (g) 38 152 Cálcio (mg) 23 92 Potássio (mg) 334 1.336 Vitamina A (UI) 20 80 Outra ideia associada à multiplicação Apresentamos uma situação que trata do significado de combinatória associado à multiplicação, outro raciocí- nio a ser desenvolvido pelos alunos. No cálculo de possibilidades, é importante eles desenvolverem estratégias de organização, como a árvore das possibilidades tratada nesse momento. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 50 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Outra ideia associada à multiplicação Considere as situações a seguir. Bia tem duas calças de agasalho e quatro ca- misetas para treinar atletismo. De quantos modos diferentes ela pode se vestir para ir aos treinos? Veja como podemos combinar essas peças: Observe que basta multiplicar 2 por 4 para encontrar o número de opções de vestimenta (2 8 4 5 8). O número 2 representa as duas possíveis escolhas de calças, e o número 4, as quatro possíveis escolhas de camisetas. Logo, existem 8 possibilidades diferentes para Bia se vestir. Esse tipo de esquema, que leva à resposta de problemas envolvendo um raciocínio multi- plicativo combinatório, é chamado de árvore das possibilidades. ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS 51 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre multiplicação com números naturais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 50 Leia as especificações que há no rótulo de uma embalagem de um suco de uva. Depois, faça o que se pede. Suco de uva enlatado ou engarrafado Quantidade 1 copo Água (mc) 168 Quilocalorias 155 Proteína (g) 1 Gordura (g) Traços* Carboidrato (g) 38 Cálcio (mg) 23 Potássio (mg) 334 Vitamina A (UI) 20 * Nesse contexto, o termo traços significa quantidade mínima, algo que não se consegue quantificar. Camisetas Modos de se vestir Calças 8 2 4 8 5 a) Sabendo que essa embalagem contém 4 copos, copie a tabela acrescentando, à di- 50. a) 672; 620; 4; traços; 152; 92; 1.336; 80 b) 12; a gosto; 16 Resposta pessoal. Situação 1 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! reita, uma coluna com os valores referentes ao total do conteúdo do recipiente. b) Consta também no rótulo a informação de que, para cada porção de suco, devem ser acrescentadas 3 porções de água e açúcar a gosto. Quantos copos de água devo usar para preparar todo o suco de uma embala- gem? Quantas colheres de açúcar? Quantos copos de suco é possível preparar? c) Pesquise embalagens de produtos alimen- tícios e verifique se há informações que possibilitem calcular o total de consumo de cada um de seus componentes. Resposta pessoal.
- 117. 51 Orientações Discuta com os alunos as duas situações e as monta- gens das árvores das pos- siblidades que mostram a multiplicação associada à contagem dessas possibi- lidades. Proponha outras situações para os alunos fazerem a organização das possibilidades dessa manei- ra. Em seguida, alguns deles podem mostrar o que fize- ram, discutindo cada monta- gem com a turma. Ressalte o fato de que a representação das possibi- lidades por esse tipo de es- quema para obter o total de possibilidades torna-se inviável para uma grande quantidade de opções. No entanto, o cálculo da multi- plicação da quantidade de cada item sempre é possível. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exem- plo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.). BIMESTRE 1 Possibilidades Opções de doce Opções de suco Opções de sanduíche SN, SL e B SN, SL e C SN, SL e BP SN, SU e B SN, SU e C SN, SU e BP SF, SL e B SF, SL e C SF, SL e BP SF, SU e B SF, SU e C SF, SU e BP SQ, SL e B SQ, SL e C SQ, SL e BP SQ, SU e B SQ, SU e C SQ, SU e BP Brigadeiro (B) Cajuzinho (C) Bicho de pé (BP) Brigadeiro (B) Cajuzinho (C) Bicho de pé (BP) Brigadeiro (B) Cajuzinho (C) Bicho de pé (BP) Brigadeiro (B) Cajuzinho (C) Bicho de pé (BP) Brigadeiro (B) Cajuzinho (C) Bicho de pé (BP) Brigadeiro (B) Cajuzinho (C) Bicho de pé (BP) Sanduíche natural (SN) Suco de laranja (SL) Suco de uva (SU) Suco de laranja (SL) Suco de uva (SU) Suco de laranja (SL) Suco de uva (SU) Sanduíche de frango (SF) Sanduíche de queijo (SQ) 3 2 3 18 8 8 5 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 51 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Situação 2 Na lanchonete da escola de Manoela, são oferecidas três opções de sanduíche (natural, frango e queijo), duas opções de suco (laranja e uva) e três opções de doce (brigadeiro, cajuzinho e bicho de pé). Quantas são as possibilidades de Manoela escolher seu lanche, sabendo que ela vai comprar um sanduíche, um suco e um doce? Vamos representar as opções no esquema a seguir. ALAN CARVALHO
- 118. 52 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, que explora a ideia combi- natória da multiplicação, a interpretação das situações envolvidas na resolução dos problemas é fundamental, já que o uso mecânico da multiplicação pode levar a um resultado correto, po- rém sem significado. Incen- tive os alunos a exporem a um colega como entende- ram cada problema e a pro- curarem juntos procedimen- tos para a resolução. No exercício 52, solicite aos alunos que façam cartões indicando o tipo de pipoca (doce ou salgada) e outros indicando separadamente o tamanho do pacote (peque- no, médio ou grande). Esses cartões podem ser usados para fazer as possíveis com- binações. Com eles, os alunos podem efetivamente verificar todas as possibilidades e re- presentar no caderno a árvo- re das possibilidades. Não é apropriado que os alunos dessa faixa etária dependam da manipulação de materiais para solucionar problemas desse tipo, mas algumas simulações podem ser necessárias para que to- dos façam as generalizações esperadas. Outra alternativa, embora não tão intuitiva, é a constru- ção de uma tabela, no caso de dupla entrada, que permi- ta visualizar as combinações possíveis. Por exemplo: Tamanho Tipo Pequeno Médio Grande Doce Salgada No exercício 56, solicite aos alunos que refaçam a pro- posta com base nos meios de transporte que eles cos- tumam usar no lugar onde moram. O exercício 58, de maneira sutil, desperta as ideias de possibilidades e de aleatorie- dade. Caso tenham chegado às respostas com facilidade, desafie-os a encontrar a res- posta para um lançamento de três moedas. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exem- plo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 52 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 52 Em um cinema, é possível comprar pipoca doce ou salgada em pacote pequeno, médio ou grande. Quantas são as possibilidades para a compra de um pacote de pipoca nesse cinema? 57 Em uma lanchonete há 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 2 tipos de sobremesa. 58 Lucas está brincando com duas moedas. Ele lança as moedas e observa a face que fica vi- rada para cima: cara ou coroa. Ao lançar duas moedas ao mesmo tempo, que faces poderá obter? EXCITING FILMS PRODUCTIONS/ GETTY IMAGES FOTOS: ACERVO DO BANCO CENTRAL DO BRASIL ALAN CARVALHO Nesse caso, basta fazer uma multiplicação para encontrar quantas possibilidades Manoela tem de escolher seu lanche. Observe. Logo, Manoela tem 18 possibilidades de escolher seu lanche. Um esquema como esse é um instrumento útil para descrever todas as possibilidades de um evento, porém é inadequado quando a quantidade de opções e de itens é grande. cara e cara, cara e coroa, coroa e cara, coroa e coroa 6 6: trem e ônibus, trem e metrô, trem e carona, ônibus e metrô, ônibus e carona, ônibus e ônibus. O mesmo vale para o trajeto de volta. 59 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre multiplicação com raciocínio combinatório criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS opções de sanduíche opções de suco opções de doce número de possibilidades 3 8 8 5 2 3 18 53 Rafael lança um dado e uma moeda ao mesmo tempo e observa as faces voltadas para cima. De quantos modos diferentes essas faces po- dem aparecer? 12 54 Tenho três lápis de cor nas cores azul, amarelo e verde. Desejo pintar três faixas numa figura com essas três cores, usando uma cor para cada faixa, conforme mostra a figura abaixo. De quantas maneiras poderei fazê-lo? Desenhe todas as possibilidades. 6 55 De quantas maneiras posso calçar meus pés tendo três pares de tênis e cinco pares de meias diferentes? 15 56 Para fazer o trajeto de sua casa até a escola, Luciana tem de tomar duas conduções. Nem sempre ela usa os mesmos meios de trans- porte. Na primeira parte do percurso, Luciana toma trem ou ônibus; na segunda parte, metrô, carona no carro de uma amiga ou ônibus. De quantos modos diferentes Luciana pode fazer o trajeto de sua casa até a escola? E, supondo dispor dos mesmos meios para a volta da esco- la, de quantos modos diferentes poderá fazê-la? NELSON MATSUDA a) De quantas maneiras diferentes pode-se fazer uma refeição nessa lanchonete esco- lhendo 1 sanduíche, 1 suco e 1 doce? 12 b) Qual é a possibilidade de refeição mais barata que tenha um item de cada categoria? cachorro-quente, suco de limão e sorvete
- 119. 53 Pense mais um pouco... Apresentamos uma resolução possível para o desafio pro- posto nesta seção. Usando a cor verde na pri- meira faixa, podemos com- binar as outras cores de seis modos diferentes, como mostra o quadro abaixo. 1a faixa 2a faixa 3a faixa 4a faixa Verde Azul Vermelho Amarelo Verde Azul Amarelo Vermelho Verde Vermelho Azul Amarelo Verde Vermelho Amarelo Azul Verde Amarelo Vermelho Azul Verde Amarelo Azul Vermelho O mesmo raciocínio pode ser usado com as outras cores na primeira faixa. Como são 4 cores, podemos pintar de 24 modos diferentes (6 8 4). Para saber mais Conhecer um pouco da his- tória da Matemática é um dos meios mais convincen- tes para sua assimilação no corpo geral de conhecimen- tos. Mesmo que os alunos já saibam fazer essas mul- tiplicações, podem conhe- cer e aplicar algumas ideias surgidas ao longo da histó- ria. Nesta seção, eles têm a oportunidade de aprender a multiplicação em gelosia. Nos dois últimos exemplos, observe que as somas nas diagonais podem ocasionar o acréscimo de valores na casa decimal superior seguinte. No caso do produto entre 125 e 9.046 proposto na questão 1 do Agora é com você!, a configuração fica assim: 1 2 5 9 4 0 6 0 0 1 3 1 2 = 5 0 1 2 1 8 1 1 1 6 = 1 7 5 1 0 1 0 1 0 1 4 1 0 1 1 = 1 0 4 1 8 1 0 1 0 1 0 1 1 = 1 3 1 1 9 1 0 1 1 = 1 1 0 1 1 = 1 0 9 0 0 0 4 0 6 1 8 0 0 0 8 1 2 4 5 0 0 2 0 3 0 ADILSON SECCO Habilidade trabalhada: (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de do- braduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). BIMESTRE 1 4 5 1 6 0 7 2 0 4 0 5 2 4 3 0 0 7 6 3 1 7 2 4 0 9 2 1 1 8 0 7 0 6 4 9 4 2 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 53 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO 1 Aplicando o método hindu de multiplicação, calcule: a) 37 8 43 1.591 b) 18 8 532 9.576 c) 125 8 9.046 1.130.750 2 Escreva dois números e faça a multiplicação entre eles, usando o método hindu e o algoritmo tradicional. Agora, responda: qual deles você acha mais fácil? Explique. Resposta pessoal. ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO JOSÉ LUÍS JUHAS Produtos parciais: 9 8 3 5 27 9 8 2 5 18 FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... De quantas maneiras diferentes posso pintar as faixas de uma bandeira de 4 listras, usando as cores verde, azul, vermelha e amarela, sem repeti-las? Veja uma das possibilidades na bandeira ao lado. 24 PARA SABER MAIS Os hindus desenvolveram vários méto- dos práticos para resolver seus problemas. Para multiplicar dois números, pos- suíam um método conhecido por vários nomes: “multiplicação em gelosia”, “em célula”, “em grade” ou “quadrilateral”. Vamos efetuar algumas multiplicações aplicando esse método. • 9 8 23 Observe que o fator 9 está localizado à esquerda e o fator 23, abaixo, com os produtos parciais 27 e 18 ocupando as células interiores. Os dígitos das fileiras diagonais são adicionados da direita para a esquerda (7 + 0 = 7; 8 + 2 = 10; 1 + 1 = 2). O pro- duto 207, acima, deve ser lido indo da esquerda para a direita. Assim: 9 8 23 5 207 Multiplicação hindu 9 2 3 2 0 7 1 8 2 7 • 45 8 16 Procedendo da mesma forma que o exemplo anterior, obtemos: Assim: 45 8 16 5 720 O método utilizado pelos hindus funcio- na com multiplicações entre números com qualquer quantidade de algarismos. Observe: 76 8 317 5 24.092 Agora é com você!
- 120. 54 Propriedades da multiplicação Nesta página, iniciamos o estudo das propriedades da multiplicação ampliando as noções que os alunos já tra- zem de anos anteriores. Proponha na lousa situações em que eles podem verificar como as propriedades da multiplicação, assim como as da adição, auxiliam no cál- culo mental. Por exemplo, peça a eles que obtenham o valor do produto da seguin- te multiplicação, identifi- cando em cada passagem a propriedade utilizada. 15 8 1 8 7 8 5 8 2 5 5 (15 8 1) 8 7 8 5 8 2 5 5 15 8 7 8 5 8 2 5 5 15 8 2 8 7 8 5 5 5 (15 8 2) 8 (7 8 5) 5 5 30 8 35 5 5 (3 8 10) 8 35 5 5 3 8 (10 8 35) 5 5 3 8 350 5 5 1.050 (propriedade associativa da multiplicação) (existência do elemento neutro da multiplicação) (propriedade comutativa da multiplicação) (propriedade associativa da multiplicação) (propriedade associativa da multiplicação) (propriedade associativa da multiplicação) A propriedade do fecha- mento não foi considerada aqui porque não estamos re- alizando um estudo axiomá- tico da teoria dos conjuntos. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 54 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Propriedades da multiplicação Ana e Lúcio compraram o mesmo tipo de chocolate. Ela comprou 2 caixas com 18 bombons em cada caixa, ele comprou 18 caixinhas com 2 bombons em cada uma. Quem comprou mais bombons? Para saber, devemos multiplicar número de caixas e número de bombons em cada caixa: A ordem dos fatores não alterou o produto. Isso sempre ocorre quando multiplicamos dois números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade comutativa da multiplicação. Em uma multiplicação de dois números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Em uma multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto. Veja outros exemplos. a) 24 8 2 5 2 8 24 5 48 b) 20 8 98 5 98 8 20 5 1.960 Agora, observe dois modos de efetuar o produto 2 8 5 8 3. Ao associar os fatores de modos diferentes, o produto não se alterou. Esse fato sempre ocorre quando multiplicamos três ou mais números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade associativa da multiplicação. 1o modo Efetua-se a multiplicação dos dois primeiros fatores e depois multiplica-se esse resultado pelo terceiro fator. 2o modo Efetua-se a multiplicação dos dois últimos fatores e multiplica-se o primeiro fator pelo resultado obtido. (2 8 5) 8 3 5 5 10 8 3 5 5 30 2 8 (5 8 3) 5 5 2 8 15 5 5 30 Observe mais alguns exemplos. Agora, considere as seguintes multiplicações: ƒ 1 8 18 5 18 8 1 5 18 ƒ 22 8 1 5 1 8 22 5 22 ƒ 1 8 327 5 327 8 1 5 327 Note que em todas essas multiplicações há um número (o 1) que, em qualquer posição, não influi no resultado. Esse número é o elemento neutro da multiplicação. A multiplicação de um número natural qualquer por 1 (ou vice-versa) é o próprio número. Trata-se de mais uma propriedade da multiplicação: a existência do elemento neutro. a) 2 8 18 8 5 5 5 2 8 5 8 18 5 5 10 8 18 5 5 180 Ana: 2 8 18 5 36 Lúcio: 18 8 2 5 36 2 8 18 5 18 8 2 Eles compraram a mesma quantidade de bombons. TEL COELHO b) 25 8 34 8 4 5 5 25 8 4 8 34 5 5 100 8 34 5 5 3.400
- 121. 55 Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora a aplicação das pro- priedades já estudadas da multiplicação. Observe se os alunos associam de maneira conveniente, de modo que o cálculo seja facilitado. So- cialize os diferentes procedi- mentos utilizados para que eles possam comparar o que fizeram com o modo de ou- tro colega e, assim, reflitam sobre suas escolhas. Ao resolver o exercício 64, os alunos podem se con- fundir se não fizerem os registros das informações do enunciado. Para evitar equívocos, é importante que passem para o caderno as informações principais e que, chegando às respostas, voltem ao enunciado para conferi-las. Apresentamos a seguir uma sugestão para esse registro. •Fábio tem 32 bolinhas de gude 32 •Fernando tem o dobro de bolinhas de gude de Fábio 2 8 32 5 64 •Joaquim tem o triplo de bolinhas de gude de Fer- nando 3 8 64 5 192 •Francisco tem o quádruplo de bolinhas de gude de Jo- aquim 4 8 192 5 768 Lembramos que, se errarem o primeiro cálculo, mesmo com a interpretação ade- quada da situação, encon- trarão todos os demais valo- res errados. BIMESTRE 1 3 8 4 5 12 3 8 5 5 15 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 55 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 64 Fábio tem 32 bolinhas de gude, Fernando tem o dobro das bolinhas de gude de Fábio, Joaquim tem o tri- plo das bolinhas de gude de Fernando e Francisco tem o quádruplo das bo- linhas de gude de Joaquim. Quantas bolinhas de gude tem cada um? FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Quantos vasos de girassol foram vendidos nessa encomenda? 2 2 3 4 2 3 3 2 4 0 1 3 5 60 O produto 12 8 15 8 2 fica mais fácil de ser resolvido assim: 12 8 (15 8 2) 5 12 8 30 5 360 Em seu caderno, mostre o modo mais fácil de calcular os seguintes produtos: a) 36 8 25 8 4 3.600 b) 5 8 45 8 2 450 c) 9 8 8 8 5 360 NELSON MATSUDA Mário é florista. Ele prepara suas mudas de girassol em pequenos vasos. Para atender a uma encomenda, Mário organizou os vasos sobre duas placas retangulares, conforme mostra a figura. a) O cálculo de Fernando está correto? sim b) Redija uma explicação de como Fernando pensou para resolver esse problema. c) Existe uma forma de calcular o resultado dessa operação apertando-se um número menor de teclas? Justifique sua resposta. d) Há uma maneira de fazer esse cálculo trocando-se uma operação de multiplicação por uma adição? Dê um exemplo. ALAN CARVALHO ALAN CARVALHO 65 A calculadora de Fernando está com as teclas 6 e 8 quebradas. Para calcular o resultado da operação 16 8 4.802, ele apertou a seguinte sequência de teclas: Fábio: 32; Fernando: 64; Joaquim: 192; Francisco: 768 A propriedade distributiva Para entender a propriedade distributiva da multiplicação, vamos considerar as situações a seguir. 65.b) Ele substituiu 16 por 2 8 2 8 4 e 4.802 por 2 8 2.401. c) sim, por exemplo, 4 3 4 3 2 3 2 4 0 1 5 5 1 1 1 3 2 3 2 4 0 1 5 5 d) sim; resposta possível: Situação 1 61 Efetue os produtos aplicando as propriedades da multiplicação. a) 2 8 17 8 5 170 f) 12 8 0 8 1 0 b) 2 8 15 8 36 1.080 g) 14 8 20 8 10 c) 18 8 5 8 4 360 h) 12 8 1 8 10 120 d) 2 8 38 8 5 380 i) 8 8 21 8 5 840 e) 25 8 137 8 4 13.700 j) 75 8 1 8 4 300 2.800 62 Uma impressora faz 12 cópias por minuto. Uma outra imprime o triplo de cópias dos mesmos impressos em um minuto. Quantas cópias a segunda impressora faz em 15 minutos? 540 63 A loja de Bruna vendeu 84 peças de roupas em outubro. Em novembro, vendeu o dobro de peças e, em dezembro, o triplo das vendas de novembro. Quantas peças de roupa foram vendidas nesse trimestre? 756
- 122. 56 Orientações Analise com os alunos as situações propostas no li- vro, que dão significado à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. É fundamental que eles percebam a diferença entre a propriedade distri- butiva e a propriedade asso- ciativa. Ressalte que a propriedade associativa envolve sempre a mesma operação (adição ou multiplicação), enquan- to a propriedade distributi- va envolve duas operações diferentes: multiplicação e adição (ou multiplicação e subtração). Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 56 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Sala 1 8 10 Sala 2 18 3 8 4 1 3 8 5 5 12 1 15 5 27 Calculando o número de vasos sobre cada placa e adicionando os resultados, temos: Contando como se fosse uma placa única, podemos escrever: 3 8 (4 1 5) 5 3 8 9 5 27 Logo, 3 8 (4 1 5) é o mesmo que 3 8 4 1 3 8 5. Portanto, foram vendidos 27 vasos de girassol. A figura a seguir representa o piso de duas salas. Quantas lajotas foram usadas nesses pisos? 6 8 18 5 6 8 (8 1 10) 5 6 8 8 1 6 8 10 5 48 1 60 5 108 O número de lajotas da sala 1 é obtido calculando-se 6 8 8. O número de lajotas da sala 2, calculando-se 6 8 10. Como o número total de lajotas é igual ao número de lajotas da sala 1 mais o número de lajotas da sala 2, temos: Logo, foram usadas 108 lajotas. Assim, a multiplicação foi distribuída pelas parcelas de uma adição e, depois, os resultados fo- ramsomados,istoé,foiaplicadaapropriedadedistributivadamultiplicaçãoemrelaçãoàadição. Essa propriedade também pode ser aplicada em relação à subtração, como nos exemplos a seguir. Observe nos exemplos abaixo como a propriedade distributiva pode ajudar a realizar cálculos mais rápidos ou mentalmente. ADILSON SECCO a) 5 8 154 5 5 8 (100 1 50 1 4) 5 500 1 250 1 20 5 770 b) 998 8 8 5 (1.000 2 2) 8 8 5 8.000 2 16 5 7.984 a) 5 8 (8 2 6) 5 5 8 8 2 5 8 6 c) (8 2 6) 8 3 5 8 8 3 2 6 8 3 d) (25 2 13) 8 19 5 25 8 19 2 13 8 19 b) 3 8 (5 2 3) 5 3 8 5 2 3 8 3 Situação 2
- 123. 57 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, os alunos podem aplicar os conhecimentos construídos sobre a propriedade dis- tributiva. As comparações entre massas, similares às propostas no exercício 67, são muito comuns no coti- diano e significativas para a compreensão de ordem de grandeza. Espera-se que os alunos façam algumas esti- mativas, tendo em vista que a massa dessa baleia equiva- le à massa de 26 elefantes e que 1 elefante tem 5.000 quilogramas. O recurso à decomposição para o cálculo mental é mui- to comum. Assim, na resolu- ção do exercício 69, incentive os alunos a fazerem de acor- do com o modo de Maria ou usando as suas estratégias pessoais. No exercício 71, espera-se que os alunos percebam que o quociente é o outro nú- mero dado. Pense mais um pouco... Esta seção explora alguns padrões numéricos presen- tes em algumas multiplica- ções. Como o que se deseja é o que os alunos observem os produtos obtidos e os re- lacionem, essa é uma situa- ção propícia para efetuarem os cálculos com o auxílio de uma calculadora. As ativida- des podem ser discutidas em duplas, o que enriquecerá o aprendizado. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 57 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Observe. 69 Maria usa a decomposição para calcular mentalmente o resultado da multiplicação 6 8 35. 66 Calcule aplicando em cada caso a propriedade distributiva da multiplicação. a) 8 8 (9 1 4) 104 b) 10 8 (7 2 2) 50 c) (4 1 6) 8 3 30 d) 4 8 (6 2 2) 16 e) (8 2 3) 8 8 40 f) (10 2 4) 8 8 48 ALAN CARVALHO Calcule mentalmente o resultado das multiplica- ções a seguir, imaginando que um dos fatores é decomposto em dezenas e unidades. a) 5 8 15 75 b) 7 8 42 c) 3 8 25 75 d) 4 8 13 52 e) 7 8 93 651 f) 6 8 58 348 294 6 8 30 5 180 6 8 5 5 30 6 8 35 5 210 1 6 8 35 30 1 5 68 Descubra e corrija as sentenças falsas, tornando-as verdadeiras. a) 6 8 1 5 6 verdadeira b) Se a é um número natural, então 5 8 a 5 a 8 5. c) 6 8 (7 1 4) 5 6 8 4 1 6 8 7 verdadeira d) 10 8 (x 1 1) 5 10 8 x e) 5 8 0 5 5 falsa; 5 8 0 5 0 verdadeira falsa; 10 8 (x 1 1) 5 10 8 x 1 10 8 1 70 Hora de criar – Troque com um colega um problema criado por vocês em que se empregue(m) propriedade(s) de multiplicação. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 67 Uma baleia-azul adulta pode pesar tanto quanto 26 elefantes africanos adultos, que têm apro- ximadamente 5.000 quilogramas cada um. Calcule quantos quilogramas tem uma baleia-azul aproximadamente. 130.000 quilogramas 71 Hora de criar – Escreva um número que seja o produto de três outros números naturais. Escreva esses três números multiplicados. Escreva-os novamente, agora substuindo-os por somas ou diferenças de três outros números. Troque com um colega essa última expressão numérica. Depois de cada um resolver a expressão elaborada pelo outro, destroquem para verificar se o colega chegou ao número inicialmente pensado. O aluno deve obter o número pensado pelo colega. Junte-se a um colega e façam o que se pede. 1. Pensem em números de dois algarismos. Usando uma calculadora, multipliquem esses números por 101. Registrem cada multiplicação com o resultado obtido. Agora, observando o que aconteceu com os produtos, calculem mentalmente: a) 98 8 101 9.898 b) 89 8 101 8.989 2. Pensem em números de três algarismos. Usando uma calculadora, multipliquem esses números por 1.001. Registrem cada multiplicação com o resultado obtido. Agora, observando o que aconteceu com os produtos, calculem mentalmente: a) 356 8 1.001 356.356 b) 499 8 1.001 499.499 3. Escrevam o produto de: a) um número ab por 101; a.bab b) um número abc por 1.001. abc.abc FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Pense mais um pouco...
- 124. 58 Divisão No estudo da operação divi- são, ampliamos e aprofun- damos o que os alunos já vi- ram nos anos anteriores. As duas situações desenvolvem os significados da divisão: distribuição equitativa e me- dida (quantas vezes cabe). Analise cada situação com os alunos. Se julgar necessário, retome alguns procedimen- tos de cálculo de divisão com os quais eles já devem ter tido contato (decomposição, algoritmo usual, por exem- plo) e incentive-os a utili- zarem estratégias pessoais também. Proponha novas situações que envolvam divisão, para serem resolvidas com ou sem o uso de calculadora. É importante destacar que o uso da calculadora para efetuar divisões entre nú- meros naturais pode gerar dificuldade nas divisões não exatas. Nesse caso, discuta o signifi- cado do número que apare- ce no visor e a necessidade de se usar outros meios para descobrir todos os elemen- tos de tais divisões. Nessas situações, a relação funda- mental da divisão, apresen- tada mais adiante, poderá ser um recurso muito útil. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. 28 0 3 0 4 8 5 4 30 vezes seu tamanho Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 58 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 5 Divisão Acompanhe as situações a seguir. NELSON MATSUDA Em uma gincana promovida pelo Colégio Aprender, os alunos arrecadaram 840 latas de leite em pó, que foram doadas a instituições assistenciais. Para a doação, as latas de leite foram embaladas em caixas contendo 30 latas cada uma. Nesse problema, ao dividir o total de latas de leite pela quantidade que cabe em cada caixa, estamos fazendo uma repartição em partes iguais, uma distribuição equitativa do total de latas de leite. JOSÉ LUÍS JUHAS Os grilos são grandes saltadores. Um grilo chega a saltar uma distância de 90 centímetros, o que corresponde a 30 vezes seu tamanho. ALAN CARVALHO Para saber quantas caixas foram necessárias para embalar todas as latas, devemos procurar o número que multiplicado por 30 resulte em 840. Ao fazer isso, estamos realizando uma operação chamada divisão. O número procurado é 28, pois: 28 8 30 5 840. Vamos montar a divisão que nos dá esse resultado: 840 9 30 5 28 Logo, foram necessárias 28 caixas. Em uma calculadora, fazemos essa divisão da seguinte maneira: Situação 1 Situação 2
- 125. 59 Exercícios propostos Os alunos podem se reunir em trios para responder ao exercício 73. Devem ser de- safiados a resolver fazendo o menor número possível de cálculos. Espera-se que, pela troca de ideias, os alu- nos concluam que apenas a primeira operação de cada item precisa ser feita, pois as demais podem ser concluídas a partir dela, uma vez que existem relações entre as operações de multiplicação e divisão. BIMESTRE 1 3 0 3 0 9 5 4 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 59 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS NELSON MATSUDA De acordo com as informações apresentadas, qual seria o comprimento do grilo? Para saber o comprimento do grilo, devemos fazer a seguinte divisão: 90 9 30 5 3 Ao efetuar essa divisão, estamos calculando quantas vezes o número 30 cabe em 90. Essa é a ideia de medida, também associada a uma divisão. Logo, de acordo com as informações apresentadas, o comprimento do grilo é 3 cm. Em uma calculadora, fazemos essa divisão da seguinte maneira: 72 Uma granja tem 1.944 ovos de codorna que devem ser acondicionados em caixas conten- do 36 ovos cada uma. Quantas caixas serão necessárias para acondicionar todos os ovos? 77 Aoentraremum elevador, Pedro leu uma placa que informava a capacidade do elevador. Quantos quilogramas, em média, o engenheiro que projetou esse elevador estimou para cada uma das 13 pessoas? 70 quilogramas ALAN CARVALHO ALAN CARVALHO 76 Para percorrer 352 quilômetros, um carro consumiu 32 litros de gasolina. Viajando nas mesmas condições, quantos litros esse carro vai gastar para percorrer 451 quilômetros? As ideias de distribuição equitativa (repartição em partes iguais) ou de medida (quantas vezes uma quantidade cabe em outra) estão relacionadas à divisão. b) 312; 12; 26 c) 682; 31; 22 1.845; 123; 15 54 41 litros 79 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisão com números naturais criado por vocês. Depois que cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 73 Qual é o valor de: a) 7 8 39? E de 273 9 7? E de 273 9 39? b) 12 8 26? E de 312 9 26? E de 312 9 12? c) 22 8 31? E de 682 9 22? E de 682 9 31? d) 15 8 123? E de 1.845 9 15? E de 1.845 9 123? 74 Na produção de 800 carros iguais, foram usa- dos 1.003.200 parafusos. Quantos parafusos tem cada carro desse modelo? 1.254 75 Um atleta percorreu 10.000 metros dando voltas em uma pista circular de 400 metros de comprimento. Quantas voltas o atleta deu nessa pista? 25 78 Em uma festa de aniversário, foram prepara- dos 3 saquinhos de doce para cada uma das 45 crianças convidadas. Entretanto, 5 delas não compareceram. a) Quantos saquinhos de doce haviam sido preparados? 135 b) Tendo em vista que 5 crianças não com- pareceram, quantos saquinhos de doce sobraram? 15 c) É possível dar um saquinho de doce a mais para cada uma das crianças presentes? Se não, quantos saquinhos a mais deveriam ter sido preparados para que fosse possível dar 4 saquinhos para cada criança? 273; 39; 7 não; 25
- 126. 60 Propriedade fundamental da divisão Nas situações apresentadas nesta página, os alunos po- dem verificar a relação fun- damental da divisão, que re- laciona todos os elementos envolvidos nesta operação. Proponha na lousa outras divisões para eles monta- rem a relação fundamen- tal associada. Em cada uma das divisões efetuadas, incentive-os a identificar os elementos que participam de uma divisão: dividendo, divisor, quociente (resultado da divisão) e resto. Retome as noções de divisão exata e divisão não exata estuda- das anteriormente. Ressalte que o resto sempre é me- nor que o divisor. A relação fundamental da divisão é um recurso para os alunos comprovarem se efetuaram a operação corretamente. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 60 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Propriedade fundamental da divisão Considere as seguintes situações. 225 5 8 8 27 1 9 dividendo quociente divisor resto Veja a igualdade que podemos escrever com os termos da divisão. 225 27 9 8 dividendo resto divisor quociente TEL COELHO Entre outros alimentos, uma creche recebeu 13 dúzias de maçãs para distribuir na merenda de suas 35 crianças. É possível oferecer 1 maçã para cada criança nos 5 dias da semana em que a creche funciona? Se não for possível, quantas maçãs faltarão? Para responder a essa dúvida devemos dividir o total de maçãs recebidas pelo total de crianças e verificar se dá 5, o número de dias úteis da semana. Total de maçãs recebidas, 13 dúzias: 13 3 12 5 156 a serem divididas entre 35 crianças. 156 35 16 4 A relação entre esses números é: 175 = 5 8 35 + 0, o que significa 5 grupos de 35 e resto 0. Observe outros exemplos. É possível dar uma maçã para cada aluno em apenas 4 dias e sobram 16 maçãs. Observe que a relação entre esses números é: 156 5 4 3 35 1 16. Isso significa que temos 4 grupos de 35 maçãs e 1 grupo de 16 maçãs, que é o que restou da divisão. Porém, deveríamos ter 5 grupos de 35 maçãs, isto é, 5 3 35 5 175. Para as 35 crianças receberem maçã no quinto dia, será necessário completar o que falta para o grupo de 16 chegar em 35, ou seja, 19 (35 2 16). A divisão ficaria: 175 35 0 5 ou 175 9 35 5 5 457 5 38 8 12 1 1 457 12 97 38 1 a) 126 3 06 42 0 126 5 42 8 3 1 0 b) Situação 1 Situação 2 Um centro esportivo municipal tinha 225 bolas de basquete para distribuir igualmente entre as 27 escolas de basquete mantidas pela prefeitura. Feita a distribuição, o responsável percebeu que foram dadas 8 bolas a cada escola e ainda sobraram 9 bolas:
- 127. 61 Orientações Ressalte as observações, acerca da divisão, apresenta- das nesta página. Ao longo do estudo da divisão, retome tais conclusões sempre que possível para que sejam assi- miladas pelos alunos. Exercícios propostos No exercício 80, espera-se que os alunos percebam que o quociente é o outro nú- mero dado. É provável que resolvam o exercício 82 fazendo as divi- sões por 6 (de 43 até 48), o que não representa proble- ma. Entretanto, após che- gar à solução, eles podem experimentar o mesmo com outros números (como 35 dividido por 7) e verificar quanto podem adicionar a 35 para encontrar o mesmo quociente. É desejável que concluam que o máximo a adicionar é uma unidade a menos que o divisor. BIMESTRE 1 11 5 5 5 5 5 5 2 1 3 8 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 61 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Essa é a propriedade fundamental da divisão, que podemos escrever assim: dividendo 5 quociente 8 divisor 1 resto Não existe divisão por zero. Por exemplo, é impossível dividir 3 por zero, pois não existe um número que multiplicado por zero dê 3. Dizemos que uma divisão entre dois núme- ros naturais é exata quando o resto é zero. Exemplo: 28 2 08 14 0 Dizemos que uma divisão é não exata quan- do o resto é diferente de zero. Exemplo: 247 4 07 61 3 O resto de uma divisão entre dois números naturais sempre é menor que o divisor. Veja. Em uma divisão exata, temos: dividendo 5 quociente 8 divisor. Assim, dizemos que a divisão exata e a multiplicação são operações inversas. 29 3 2 9 2 , 3 70 14 0 5 0 , 14 13 15 13 0 13 , 15 Observações FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 82 Determine o número que falta em cada sen- tença a seguir. a) 52 8 43 1 5 2.257 21 b) 8 32 1 4 5 580 18 c) 75 8 28 1 15 5 2.115 d) 26 8 1 3 5 341 13 80 Multiplique 34 por 56. Agora divida o produto obtido por 34. O que aconteceu? 81 Pense em um número natural diferente de zero. Dê, se existir, o quociente e o resto na divisão: a) de 0 por esse número; 0; 0 b) desse número por zero; Não existe. c) desse número por 1; o número pensado; 0 d) desse número por ele mesmo. 1; 0 83 Dividindo 42 por 6, o quociente é 7 e o resto é zero. Somando 1 ao dividendo e tornando a dividir por 6, o quociente continua sendo 7 e o resto passa a ser 1. Qual é o maior número que podemos somar a 42 para que a divisão por 6 continue tendo quociente 7? 5 84 Qual é o número que dividido por 32 tem por quociente 21 e o resto é o maior possível? 703 86 A tecla 9 da calculadora de Ivo quebrou. Para saber quantas dúzias há em uma caixa com 83 laranjas, ele teclou: NELSON MATSUDA 85 O resto de uma divisão é 8 e é o maior resto possível; o quociente é igual ao divisor. Deter- mine o dividendo. 89 Ele contou 6 toques na tecla = até aparecer no visor um número menor que 12. Concluiu que na caixa havia 6 dúzias e ainda restavam 11 laranjas. Com o auxílio de uma calculadora, faça o mesmo para efetuar as divisões e regis- tre os resultados parciais (após cada toque da tecla = ), o quociente e o resto. a) 43 9 12 c) 720 9 94 b) 270 9 49 d) 161 9 23 86. a) 31; 19; 7; quociente 3; resto 7 b) 221; 172; 123; 74; 25; quociente 5; resto 25 c) 626; 532; 438; 344; 250; 156; 62; quociente 7; resto 62 d) 138; 115; 92; 69; 46; 23; 0; quociente 7; resto 0 O quociente é 56.
- 128. 62 Dividindo mentalmente Nesta página, destacamos estratégias de cálculo men- tal para uma divisão. Exercícios propostos No exercício 88, espera- -se que os alunos concluam que, para dividir esses nú- meros por 10, basta excluir do dividendo o zero da casa das unidades. Para a resolução do exercí- cio 89, é interessante reunir os alunos em duplas, circu- lar entre eles e ouvir suas interpretações. A técnica de “multiplicar por 2 e divi- dir por 10” é muito prática quando precisamos fazer uma divisão por 5; entretan- to, é importante que os alu- nos a compreendam, não a decorem simplesmente. Por isso, eles devem ficar livres para testar números e com- parar resultados. A escrita da regra pode ser socializada e, no final, toda a classe esco- lhe a regra (ou formula mais uma) que ficou mais clara e fácil de compreender. No item c, espera-se que os alunos concluam que a divisão de números natu- rais, múltiplos de 5, por 5 é equivalente à multiplica- ção desses números por 2, seguida da divisão do re- sultado por 10. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 62 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS b) Multipliquem os números escolhidos por 2 e dividam os resultados por 10. c) Comparem as respostas do item a com as do item b e escrevam uma regra para efetuar mentalmente a divisão por 5 de um número natural terminado em 0 ou 5. 90 Hora de criar – Invente as operações solici- tadas a seguir e registre o que você pensou. Depois, junte-se a um colega e, com uma calculadora, cada um confere o que o outro fez. a) Uma adição cujo resultado seja 3.240. b) Uma multiplicação cujo resultado seja 5.730. c) Uma subtração cujo resultado seja 14.270. d) Uma divisão exata cujo resultado seja 450. Respostas pessoais. 87 Calcule mentalmente estas divisões e registre como você fez os cálculos. a) 108 9 4 27 e) 530 9 5 106 b) 309 9 3 103 f) 981 9 9 109 c) 312 9 6 52 g) 530 9 5 106 d) 448 9 8 56 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 88 Reúna-se com um colega e escolham ao acaso seis números naturais que terminem em 0, 00 ou 000. Depois, dividam esses números por 10 e es- crevam uma regra para efetuar mentalmente a divisão de números naturais, que terminem em zero, por 10. Resposta pessoal. 89 Reúna-se com um colega e escolham ao acaso seis números naturais que terminem em 0 ou 5. a) Dividam esses números por 5. Respostas pessoais. Dividindo mentalmente Decompor um número separando no dividendo as centenas das dezenas ajuda no cálculo mental de divisões. Como exemplo, vamos efetuar 236 9 4. ƒ Para facilitar, separamos 236 em duas parcelas: 236 5 200 1 36 ƒ Dividimos as parcelas por 4 e somamos os resultados: 200 9 4 5 50 e 36 9 4 5 9 50 1 9 5 59 ƒ Portanto: 236 9 4 5 59 Podemos indicar esses cálculos da seguinte forma: Outro modo de calcular mentalmente o quociente é decompondo o divisor em fatores. Por exemplo, para efetuar a divisão de 90 por 6, o número 6 pode ser decomposto da se- guinte maneira: 6 5 2 8 3. Para dividir 90 por 6, dividimos 90 por um desses fatores e, depois, dividimos o resultado obtido pelo outro fator: 90 9 2 5 45 e 45 9 3 5 15 Então: 90 9 6 5 90 9 (2 8 3) 5 (90 9 2) 9 3 5 45 9 3 5 15 236 9 4 5 (200 1 36) 9 4 5 (200 9 4) 1 (36 9 4) 5 50 1 9 5 59
- 129. 63 Expressões numéricas envolvendo as quatro operações Nesta página, apresentamos expressões numéricas que envolvem as quatro opera- ções estudadas até o mo- mento: adição, subtração, multiplicação e divisão, e re- tomamos o uso de sinais de associação. Exercícios propostos O exercício 91 representa mais uma oportunidade para a realização de estima- tivas, pois, a cada teste com o lugar dos parênteses, os alunos podem observar se o resultado é maior ou menor que o esperado. A ideia é notarem que, quando que- remos um resultado maior, devemos fazer o dividendo ser o maior possível e o divi- sor, o menor possível, e vice- -versa quando desejamos um resultado menor. Após a resolução do item b do exercício 93, pode-se dar início a um debate sobre as vantagens e consequências de realizar compras a prazo. É interessante lembrar aos alunos que, na maioria das vezes, as taxas adicionais co- bradas a prazo são tão altas que tornam mais vantajosa a compra à vista. Citar casos de produtos de maior custo, que, parcelados em muitas vezes, acabam tendo o cus- to final equivalente a dois desses produtos. Entretan- to, nessa discussão devem ser consideradas também a situação do comprador e as circunstâncias da compra, que muitas vezes precisa ser realizada a prazo, ainda que matematicamente seja des- favorável para o comprador. Atenção: observe se, ao resolver os exercícios, os alunos empregam corretamente as propriedades, se utili- zam parênteses desnecessários, enfim, se estão conseguindo se expressar matematicamente. A construção da linguagem matemática inicia-se por situações simples como as de construir expressões numéricas, uma vez que elas oferecem oportunidade aos alunos de mostrar a interpretação que estão dando aos símbolos e às propriedades. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 63 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 6 Expressões numéricas envolvendo as quatro operações Em expressões numéricas que envolvem as quatro operações (adição, subtração, multipli- cação e divisão), devemos efetuar essas operações na seguinte ordem: ƒ primeiro, efetuamos as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem; ƒ depois, efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. Nas expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), resolvemos primeiro as operações neles contidas. Veja alguns exemplos. 93 Daniel deseja comprar um carro que custa à vista 35.000 reais. No pagamento a prazo, seu preço passa a ser 43.850 reais, sendo 6.000 reais de entrada mais 50 prestações iguais. Sabendo que Daniel vai comprar a prazo, determine: a) uma expressão numérica que dê o valor de cada prestação; (43.850 2 6.000) 9 50 b) o valor de cada prestação; 757 reais c) a diferença entre o preço à vista e o total a prazo. 8.850 reais 91 A expressão 64 9 8 9 4 9 2 pode ter diferentes re- sultados, dependendo do lugar onde forem co- locados os parênteses. Coloque os parênteses para que a expressão tenha estes resultados: a) 4 64 9 8 9 (4 9 2) b) 16 64 9 (8 9 4) 9 2 Associando o valor de cada expressão a seguir à letra correspondente no quadro, você vai descobrir uma palavra. Qual é essa palavra? a) 21 2 (32 2 25) 14 (N) b) 44 2 (4 8 9 2 25) 2 12 21 (U) c) 61 2 (54 2 24 9 4) 13 (M) d) 25 2 {20 1 [18 2 (13 1 10 9 2)]} 5 (E) e) 69 2 [26 1 (67 2 42)] 18 (R) f) 4 1 [(55 2 2 8 9) 2 (40 9 2 1 6)] 15 (O) A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 c) 48 2 {28 2 4 8 [3 8 (40 9 5 2 3) 9 (17 2 3 8 4)]} 5 5 48 2 {28 2 4 8 [3 8 (8 2 3) 9 (17 2 12)]} 5 5 48 2 {28 2 4 8 [3 8 5 9 5]} 5 5 48 2 {28 2 4 8 [15 9 5]} 5 5 48 2 {28 2 4 8 3} 5 5 48 2 {28 2 12} 5 5 48 2 16 5 32 a) 12 1 15 9 35 5 12 1 5 5 17 b) 20 9 4 1 3 8 2 2 15 9 5 5 5 5 1 6 2 3 5 5 11 2 3 5 8 número FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 92 O quadro mostra uma correspondência entre letras e números.
- 130. 64 Potenciação Explore com os alunos a situação proposta para in- troduzir a potenciação. Se possível, traga calcula- doras simples para a sala, oferecendo aos alunos a oportunidade de explorar procedimentos de uso de calculadora no cálculo de potências. Ressalte que, para evitar equívocos no cál- culo, devem interpretar cor- retamente cada potência. Por exemplo: •34 não deve ser interpreta- do como “4 vezes o núme- ro 3”, que acarretaria obter 12. A interpretação correta é “4 fatores 3”, o que de- monstra que o cálculo é 3 8 3 8 3 8 3, resultando 81. Enfatize também a leitura das potências, como “três elevado a quarta”. •73 não deve ser interpre- tado como “3 vezes o nú- mero 7”, que acarretaria obter 21. A interpretação correta é “3 fatores 7”, o que demonstra que o cál- culo é 7 8 7 8 7, resultando 343. Enfatize também a leitura, como “sete a ter- ceira” ou, como será visto na página seguinte, “sete ao cubo”. Destaque também os ter- mos que compõem uma potenciação, para os alunos se acostumarem com seus nomes e significados: base, expoente e potência (resul- tado da potenciação). Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. 16 2 5 5 5 3 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 64 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS CLÁUDIO CHIYO 94 Hora de criar – A professora foi anotando no quadro de giz o que cada aluno da fileira da janela falava. Todos falavam o mesmo número, mas, à medi- da que cada um o substituía por uma expres- são, aumentavam as operações. Copie a expressão de Dea, substituindo os números 36 e 15 por expressões numéricas com valores 36 e 15, respectivamente. Depois, troque sua nova expressão com um colega para que cada um efetue todas as operações indicadas e chegue ao número que Ana falou. 7 Potenciação Acompanhe a situação a seguir. Um grupo de amigos participará de um passeio ecológico. Cada um deverá usar um crachá no qual consta seu nome. Caio se en- carregou de preparar os crachás. Para isso, elaborou estas etapas: cortou uma folha de papel sulfite ao meio; cortou cada uma das duas partes ao meio; cortou novamente cada uma das partes ao meio e, mais uma vez, cortou cada uma das partes ao meio. Com isso, obteve exatamente o número necessário de crachás. Quantos crachás Caio fez? Para calcular o número de crachás, podemos efetuar a multiplicação 2 8 2 8 2 8 2, na qual os quatro fatores são iguais a 2. Logo, são 16 crachás. Ao efetuar uma multiplicação de fatores iguais, estamos realizando uma operação chamada potenciação. Observe. NELSON MATSUDA (Lemos 24 assim: “dois elevado à quarta potência” ou “dois elevado à quarta”.) Em uma calculadora, efetuamos essa potência da seguinte maneira: Veja outros exemplos. a) 34 5 3 8 3 8 3 8 3 5 81 4 fatores b) 103 5 10 8 10 8 10 5 1.000 3 fatores d) 16 5 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 5 1 6 fatores c) 05 5 0 8 0 8 0 8 0 8 0 5 0 5 fatores ALAN CARVALHO Considerando o exemplo dado, temos: Resposta pessoal. 2 8 2 8 2 8 2 5 24 5 16 número de vezes que o fator se repete fator que se repete 24 5 16 expoente potência base LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
- 131. 65 Orientações Nesta página, tratamos das potências de expoen- tes especiais. Proponha aos alunos que determinem os quadrados e os cubos de todos os números naturais de 0 a 10. Eles podem fazer quadros com tais potências para consultar em outros momentos. Verifique se entenderam o cálculo de potências de ex- poentes 1 e zero (para bases naturais diferentes de zero). Proponha algumas potên- cias oralmente para respon- derem o valor também oral- mente. BIMESTRE 1 4 4 3 3 2 2 1 1 1 3 1 2 3 2 3 3 3 4 3 4 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 3 1 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3 4 3 4 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 65 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Quadrado de um número As potências de expoente 2 podem ser representadas geometricamente. Veja. Pela associação com essas figuras, as potências de expoente 2 recebem nomes especiais: ƒ 12 : “um ao quadrado” ou “quadrado de um”. ƒ 22 : “dois ao quadrado” ou “quadrado de dois”. ƒ 32 : “três ao quadrado” ou “quadrado de três”. ƒ 42 : “quatro ao quadrado” ou “quadrado de quatro”. Da mesma forma, essas potências recebem nomes especiais: ƒ 13 : “um ao cubo” ou “cubo de um”. ƒ 23 : “dois ao cubo” ou “cubo de dois”. ƒ 33 : “três ao cubo” ou “cubo de três”. ƒ 43 : “quatro ao cubo” ou “cubo de quatro”. Quando o expoente é 4, 5, 6, …, lemos: “quarta potência”, “quinta potência”, “sexta potên- cia” e assim por diante. Por exemplo: ƒ 94 : “nove elevado à quarta potência” ou “nove à quarta”. ƒ 65 : “seis elevado à quinta potência” ou “seis à quinta”. NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA Potências de expoente zero, de expoente 1 e de base 10 Observe os esquemas a seguir. Cubo de um número As potências de expoente 3 também podem ser representadas geometricamente. Veja. Nas potências de base 2, quando o ex- poente diminui uma unidade, a potência fica dividida por 2. Note que: 21 5 2 e 20 5 1. 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 25 24 23 22 21 20 32 16 8 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Nas potências de base 3, quando o ex- poente diminui uma unidade, a potência fica dividida por 3. Note que: 31 5 3 e 30 5 1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 35 34 33 32 31 30 243 81 27 9 3 1
- 132. 66 Orientações Para complementar o tra- balho com potências espe- ciais, tratamos de potências de base 10. Como forma de ampliação, pode-se fazer um ditado com resultados de potências desse tipo para os alunos registrarem no ca- derno a potência de base 10 que originou tal resultado. Certifique-se de que todos entenderam o formato des- se ditado. Por exemplo, po- dem ser ditados os seguin- tes números: 100.000, 1, 10, 1.000.000, 1.000, 10.000 e 100. Desse modo, espera-se que registrem, respectiva- mente, as seguintes potên- cias: 105 , 100 , 101 , 106 , 103 , 104 e 102 . Exercícios propostos Para resolver o exercício 103, deve-se observar que não é necessário fazer todos os cál- culos, já que, em alguns dos itens, basta parte dos cálcu- los para verificar qual das duas potências é a maior. Pense mais um pouco... Esta seção pode ser reali- zada em duplas, propondo aos alunos discutirem os padrões numéricos associa- dos a cálculos de potências. Circule pela sala e verifique se eles conseguem explicar o padrão observado. Uti- lizando uma calculadora, percebe-se que: 992 5 9.801, 9992 5 998.001 e 9.9992 5 5 99.980.001. Então: 99.9992 5 5 9.999.800.001, pois: 992 5 9.801 1 zero 9992 5 998.001 2 zeros 9.9992 5 99.980.001 3 zeros Seguindo o mesmo padrão, temos: 99.9992 5 9.999.800.001 4 zeros Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 66 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Agora, observe estas potências de base 10: ƒ Toda potência de expoente 1 é igual à base. ƒ Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a 1. Toda potência de base 10 é igual ao número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Isso acontece sempre que a base for diferente de zero. De modo geral, convencionamos que: 102 Sabendo que x é um número natural, calcule o valor de x. a) 6x 5 36 2 b) 6x 5 6 1 c) 6x 5 1 0 95 Escreva no caderno as sentenças a seguir na forma de potência. a) 3 8 3 32 b) 7 8 7 8 7 73 c) 9 8 9 8 9 8 9 94 d) 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 16 97. a) quatro elevado à oitava potência b) treze elevado ao cubo c) duzentos e vinte elevado à sétima potência FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS ƒ 101 5 10 um zero ƒ 102 5 100 dois zeros ƒ 103 5 1.000 três zeros 96 Indique as potências na forma de produto. a) 103 10 8 10 8 10 c) 84 8 8 8 8 8 8 8 b) 92 9 8 9 d) 65 6 8 6 8 6 8 6 8 6 98 Calcule o valor das potências abaixo. a) 53 125 d) 45 1.024 b) 25 32 e) 102 100 c) 35 243 f) 106 1.000.000 99 Qual é o sexto termo da sequência 3, 9, 27, 81, ...? 729 100 Porumaestrada,viajavaavandeumaveterinária comsetegaiolas;emcadagaiolahaviasetecom- partimentos; e cada compartimento tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos havia nas gaiolas? 343 101 Calcule cada uma das potências a seguir. a) 14 1 f) 1001 100 b) 121 12 g) 1000 1 c) 201 20 h) 110 1 d) 1.9960 1 i) 108 100.000.000 e) 150 1 j) 09 0 103 Qual é o número maior: a) 23 ou 32 ? 32 d) 16 ou 18 ? são iguais b) 100 ou 110 ? e) 34 ou 43 ? 34 c) 52 ou 25 ? 25 f) 102 ou 210 ? 210 são iguais Com o auxílio de uma calculadora, determine as potências a seguir. a) 992 9.801 b) 9992 998.001 c) 9.9992 99.980.001 Observando esses resultados, calcule mentalmente 99.9992 . 9.999.800.001 FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... 97 Como se lê cada potência? a) 48 b) 133 c) 2207
- 133. 67 Números quadrados perfeitos Tratamos aqui do conceito de quadrado perfeito, pre- parando os alunos para o cálculo de raízes quadradas, que verão mais adiante. Se julgar conveniente, após o bloco de Exercícios pro- postos, apresente os cubos perfeitos e desenvolva de maneira similar ao que foi feito com os quadrados per- feitos. Exercícios propostos No exercício 104, caso te- nham dificuldade para en- contrar os números que são quadrados perfeitos (e não estamos falando em extrair a raiz quadrada), pode-se sugerir que façam um qua- dro de quadrados perfeitos (ou complementem o qua- dro que já fizeram), usando para isso a potenciação de base com um número na- tural qualquer e expoente sempre 2 (que determina o cálculo de quadrados). O mesmo quadro será im- portante em estudos poste- riores, especialmente no tra- balho com radiciação. BIMESTRE 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 67 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Veja que, conforme o número de quadradinhos, é possível construir quadrados, como no caso das figuras que possuem 1, 4 e 9 quadradinhos. Nos demais casos, isso não é possível. Quando a quantidade de quadradinhos permite formar um quadrado, o número associado a ele é chamado de número quadrado perfeito. Números quadrados perfeitos Observe esta sequência de figuras. ALAN CARVALHO NELSON MATSUDA 104 Descubra os números naturais quadrados perfeitos de 100 a 200. 121, 144, 169 e 196 107 Hora de criar – Pense em um número natural e calcule o seu quadrado. A esse quadrado adicione o número pensado e mais o seu sucessor. Verifique se o número obtido é um quadrado perfeito. Em caso afirmativo, esse número obtido é quadrado de qual número? Verifique se um colega chegou à mesma conclusão. 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 02 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 Observe os números naturais que são quadrados perfeitos de 0 a 100: Sim, é quadrado do sucessor do número pensado. 169, 196, 619, 691, 916, 961; números quadrados perfeitos: 169, 196 e 961 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Um número natural é quadrado perfeito quando ele é quadrado de outro número natural. 105 Considere as centenas: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 e 900. Quais dessas centenas são quadrados perfeitos? 100, 400 e 900 106 Escreva todos os números de três algarismos distintos formados por 1, 6 e 9. Em seguida, descubra quais desses números são quadrados perfeitos.
- 134. 68 Radiciação Antes da introdução da ope- ração radiciação, proponha aos alunos que determinem, em duplas, os seguintes nú- meros: •Qual é o número natural cujo quadrado é 400? (20) •Qual é o número natural cuja quarta potência é 1? (1) •Qual é o número natural cujo cubo é 27? (3) Espera-se que eles percebam que na primeira situação devem buscar um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte como produto o 400 e que se tra- ta de um quadrado perfeito. Assim, podem verificar no quadro que fizeram (ou por tentativas) e obter o núme- ro 20. No entanto, para o cálculo por tentativas, é in- teressante terem uma pista para iniciar o processo, al- guma estratégia para redu- zir um pouco as opções. Por exemplo, no caso do 400, pode-se tomar algum qua- drado perfeito conhecido como o 100 5 102 e, assim, iniciar as tentativas com po- tências de bases maiores do que 10. De maneira similar, é possí- vel resolver as demais ques- tões. Desse modo, os alunos podem dar mais significado ao cálculo de raízes. Ressalte os termos que com- põem uma radiciação: índi- ce, radicando e raiz (resulta- do da radiciação). Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. 5 5 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 68 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 8 Radiciação Considere as questões propostas por Carla e Rodrigo. (Lemos: “a raiz quadrada de 25 é igual a 5”.) Em uma calculadora, podemos calcular essa raiz quadrada da seguinte maneira: Para responder a essas questões, usamos a operação inversa da potenciação, chamada radiciação, que indicamos pelo símbolo . Na questão proposta por Carla, devemos encontrar a raiz quadrada de 25, ou seja, encontrar o número natural que elevado ao quadrado resulte em 25. A resposta para essa questão é o número 5, porque 52 = 25. Indicamos que a raiz quadrada de 25 é 5 escrevendo: NELSON MATSUDA ALAN CARVALHO Na indicação da raiz quadrada, não é preciso escrever o índice 2. Assim: • 25 2 5 5 pode ser indicada por 25 5 5; • 36 2 5 6 pode ser indicada por 36 5 6. Apenas os números quadrados perfeitos possuem como raiz quadrada um número natural. Observações Qual é o número natural que elevado ao quadrado dá 25? Qual é o número natural que elevado ao cubo dá 216? radicando índice (indica que a raiz é quadrada) raiz (resultado da operação) 5 2 5 5 Na questão proposta por Rodrigo, devemos encontrar a raiz cúbica de 216, ou seja, encon- trar o número que elevado ao cubo resulte em 216. A resposta para essa questão é o número 6, porque 63 5 216. Indicamos a raiz cúbica de 216 por: (Lemos: “a raiz cúbica de 216 é igual a 6”.) índice raiz radicando 216 3 5 6
- 135. 69 Orientações Antes dos Exercícios propos- tos, que exploram a radicia- ção, discuta com os alunos o cálculo de raízes quadradas com uma calculadora simples. Peça a eles que efetuem na calculadora (se possível, tra- ga calculadoras para a sala) algumas raízes quadradas (exatas ou não). Converse com eles sobre o significa- do dos resultados que apa- recem no visor que não são números naturais, como o caso da 2 , na qual aparece 1,4142135. Espera-se que per- cebam que 2 não é um qua- drado perfeito, isto é, não existe número natural que, elevado ao quadrado, dê 2; por isso, a raiz quadrada de 2 não é exata. Comente que neste momento estudaremos apenas os cálculos de radicia- ções que sejam exatas. Exercícios propostos Certamente os alunos não utilizarão uma calculadora científica para resolver os itens do exercício 112, por isso, é importante verificar se não estão fazendo todos os cálculos de uma vez, o que os levará a resultados errados. Em uma calculadora comum, primeiro devem fa- zer registros parciais de cada potência, depois adicionar seus resultados e, só então, encontrar a raiz quadrada. Os alunos devem observar que, nesse exercício, a adição de dois números quadrados perfeitos resulta em um qua- drado perfeito. Entretanto, também de forma experi- mental, devem perceber que nem sempre isso ocorre, ou seja, há adições de dois nú- meros quadrados perfeitos que não resultam em um quadrado perfeito. Para mos- trar isso, sugira pelo menos uma adição, como 22 1 32 . Se julgar conveniente, aborde expressões numéricas envolvendo potenciação e radiciação, além das demais operações. Para isso, esclareça aos alunos que devem primeiro calcular as potências e as raízes (na ordem em que aparecem) e, depois, seguir a ordem das demais operações (obedecendo aos sinais de associações, se houver). Pense mais um pouco... A seção pode ser feita em duplas. Incentive os alunos a compararem com outras duplas o que fizeram. BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 69 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Nas calculadoras simples, não há teclas que permitam calcular raízes cúbicas, quartas, quintas e assim por diante. 108 Na operação 64 5 8, pede-se: a) o radicando; 64 b) a raiz; 8 c) o índice. 2 112 Reúna-se com um colega e, com o auxílio de uma calculadora, descubram primeiro a soma dos quadrados e depois a raiz quadrada da soma de cada item abaixo. a) 32 1 42 25; 5 d) 122 1 162 400; 20 b) 62 1 82 100; 10 e) 52 1 122 169; 13 c) 92 1 122 225; 15 f) 102 1 242 676; 26 JOSÉ LUÍS JUHAS Observação FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS x2 1 y2 109 Justifique as igualdades. a) 100 5 10 c) 32 5 5 2 b) 343 3 5 7 d) 1 4 5 1 110 Encontre a raiz quadrada dos seguintes núme- ros quadrados perfeitos: a) 49 7 c) 121 11 b) 81 9 d) 225 15 111 Para cada valor atribuído à letra a, calcule 2 8 a, a2 e a . a) a 5 9 c) a 5 36 b) a 5 25 d) a 5 100 109. a) 100 5 10, porque 102 5 100. b) 343 3 5 7, porque 73 5 343. c) 32 5 5 2, porque 25 5 32. d) 1 4 5 1, porque 14 51. 200, 10.000 e 10, respectivamente 72, 1.296 e 6, respectivamente 50, 625 e 5, respectivamente Veja outros exemplos. a) 625 4 5 5, porque 54 5 625 (Lemos: “a raiz quarta de 625 é igual a 5”.) b) 243 5 5 3, porque 35 5 243 (Lemos: “a raiz quinta de 243 é igual a 3”.) c) 64 6 5 2, porque 26 5 64 (Lemos: “a raiz sexta de 64 é igual a 2”.) Observe o que acontece: Agora, sem efetuar a operação, determine qual é a raiz quadrada de: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 6 Depois, confira sua resposta com uma calculadora. FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... 1 1 5 1 2 1 2 1 1 5 1 2 3 2 1 3 1 1 1 1 5 1 2 3 4 3 2 1 4 1 1 1 1 1 1 5 18, 81 e 3, respectivamente
- 136. 70 Trabalhando a informação A interpretação de dados representados em forma de gráfico (de barras ou de qualquer outro tipo) envol- ve compreender cada ele- mento de tal gráfico. Nesse caso, uma questão simples, mas de extrema importân- cia, é os alunos compreen- derem que a extensão de cada barra (seu comprimen- to) está relacionada ao nú- mero (no caso, a quantidade de usuários de internet no Brasil) que queremos repre- sentar. Na segunda questão do Agora quem trabalha é você!, aproveite o contex- to para conversar com os alunos a respeito do uso da internet no Brasil e no mun- do. Incentive-os a contarem experiências que tiveram com essa mídia, se conhe- cem pessoas que sempre se conectam e quais as princi- pais utilidades da rede para crianças, jovens e adultos. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 70 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Interpretando um gráfico de barras Para saber o número de pessoas que usam internet no Brasil, pesquisas são rea- lizadas anualmente. A figura ao lado é um exemplo de gráfico de barras e mostra os resultados obtidos em uma dessas pesquisas. Observe que nesse gráfico o compri- mento das barras corresponde à quantidade de usuários em cada ano. A primeira barra, de baixo para cima, representa o número de usuários em 2012 e registra o valor 83. Isso significa que, em 2012, 83 milhões de pessoas residentes no Brasil tinham acesso à internet. A segunda barra representa o número de usuários em 2013 e registra o valor 86; isso significa que, naquele ano, 86 milhões de pessoas foram usuários de internet; e assim por diante. Des- se modo fazemos a leitura de um gráfico de barras. O comprimento da barra representa a quantidade de vezes que cada informação foi observada na pesquisa. Por exemplo, o comprimento da barra referente ao ano de 2015 representa 102 milhões de pessoas (informação observada). Podemos ainda fazer algumas interpretações analisando os dados desse gráfico. • 2012 foi o ano que apresentou o menor número de usuários de internet. • O período de 2013 a 2014 apresentou um aumento de 9 milhões de usuários de internet (95 milhões 2 86 milhões 5 9 milhões). • Há uma diferença de 7 milhões de usuários entre a quantidade de usuários apresentada em 2014 e a apresentada em 2015: (102 milhões 2 95 milhões 5 7 milhões). 95 U suá rios de internet no B rasil (em milh õ es )* 2012 2015 2014 2013 Ano Q uantidade 83 102 86 * Números aproximados. Dados obtidos em: GOMES, Helton Simões. Brasil supera marca de 100 milhões de internautas, diz IBGE. G1, 25 nov. 2016. Disponível em: http://g1.globo.com/tecnologia/ noticia/2016/11/brasil-supera-marca-de-100-milhoes-de- internautas-diz-ibge.html. Acesso em: 24 jul. 2017. ADILSON SECCO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! 1 Com base no gráfico apresentado anteriormente, responda às questões a seguir. a) Quantos milhões de pessoas eram usuários de internet em 2015 ? 102 milhões de pessoas b) Considerando o aumento de usuários de internet que ocorre de um ano para o ano seguinte, qual é o período que apresenta o menor crescimento absoluto? de 2012 a 2013 c) De quanto foi esse crescimento? 3 milhões de pessoas d) Em que ano houve maior número de usuários de internet? 2015 2 Suponha que em 2016 o número de usuários de internet no Brasil tenha chegado a 110 milhões. Para representar essa informação no gráfico dado, devemos construir uma barra mais larga ou mais comprida do que as outras? mais comprida
- 137. 71 Exercícios complementares O bloco de exercícios é mais uma oportunidade de os alu- nos revisitarem os principais conceitos tratados no capítu- lo e mobilizarem os conheci- mentos construídos, identifi- cando possíveis dúvidas. Uma estratégia comum para obter a solução do exercício 6 é a de tentativa e erro, destacando-se que, a cada tentativa malsucedida, os alunos reflitam antes de fa- zer outra, pois o erro sem- pre dá uma pista em direção à solução. Uma “pista” é que, se tentarem colocar no algarismo das dezenas do primeiro número um alga- rismo menor que do segun- do número, não será possí- vel resolver a subtração. Na resolução do exercício 7, pode-se conversar com a turma sobre a questão, co- mum em situações cotidia- nas, de facilitar o troco em compras que envolvam di- nheiro em espécie. Explique aos alunos que esse proce- dimento precisa ser com- preendido tanto pelo res- ponsável pelo caixa quanto pelo comprador. Sem essa compreensão, o comprador pode ficar intrigado por en- tregar mais dinheiro embo- ra já tenha dado o suficiente para pagar a compra. Pode- -se também conversar sobre a vantagem de haver cédu- las de 2 reais para facilitar trocos. Por exemplo, uma compra de 27 reais pode ser paga com três cédulas de 10 reais e uma cédula de 2 reais; nesse caso, apenas as três cédulas de 10 reais se- riam suficientes, mas o caixa pode solicitar 2 reais para devolver uma só cédula de 5 reais como troco. No exercício 10, espera-se que os alunos percebam que a compra de 11 meses é sufi- ciente para o gasto do ano. No exercício 12, é interes- sante discutir qual a maneira mais fácil de chegar aos nú- meros. Os alunos podem con- sultar exercícios anteriores ou construir quadros como este: 122 5 132 5 142 5 … 202 5 BIMESTRE 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 71 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 4 Qual será a sua idade no final de 2027? Em que ano você terá 33 anos? Respostas pessoais. RICARDO OLIVEIRA/TYBA 1 Arredonde mentalmente os números e estime o valor das expressões a seguir. a) 19 1 36 1 21 80 b) 26 1 38 1 84 150 c) 45 1 38 2 15 1 22 90 d) 37 1 91 2 63 2 49 20 e) 55 2 17 1 95 2 33 100 6 Substitua as figuras pelos algarismos 2, 3, 5 e 7 e en- contre a diferença. (Dica: figuras iguais correspondem a algarismos iguais.) 2 No caixa do supermercado, dei uma nota de 50 reais para pagar uma compra de 37 reais. O caixa pediu 2 reais para facilitar o troco. Dando a ele os 2 reais, quanto recebo de troco? O Teatro Amazonas foi inaugurado em 1896 e está localizado no centro de Manaus. (Foto de 2015.) ao adicionar 1 ao minuendo e ao subtraendo, a diferença fica mantida. 75 23 52 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 3 De acordo com a estimativa do IBGE (dados obtidos em: https://cidades.ibge.gov.br/ v4; acesso em: 27 set. 2017), em 2017 o es- tado do Amazonas tinha 4.063.614 habitantes, dos quais 1.933.350 não moravam na capital, Manaus. Com o auxílio de uma calculadora, descubra qual era a população de Manaus. 15 reais 5 A diferença entre dois números é 53. Determi- ne a diferença entre seus sucessores. Justifique. 7 Para pagar um livro de 32 reais e 50 centavos, Paulo usou uma nota de 50 reais. A atendente, porém, só tinha notas de 10 reais. Não tendo troco, ela pediu a Paulo que facilitasse o troco com moedas. Como ele pode ter feito isso? Paulo pode ter dado a ela 2 reais e 50 centavos para que devolvesse 20 reais de troco. 2.130.264 habitantes 5. 53, pois, N ú mero de matrí cul as M atrí cul as na E ducaç ã o P rofissional no B rasil Ano 2014 2013 2015 2016 1.859.004 1.666.138 1.500.000 1.916.112 1.943.747 2.000.000 *O símbolo no eixo vertical significa que há um salto entre o zero e o 1.500.000. * 8 O gráfico a seguir mostra a quantidade de matrí- culas feitas na Educação Profissional no Brasil. Dados obtidos em: Censo Escolar da Educação Básica 2016 (Inep). Disponível em: http://download.inep.gov.br/ educacao_basica/censo_escolar/notas_estatisticas/2017/ notas_estatisticas_censo_escolar_da_educacao_ basica_2016.pdf. Acesso em: 09 jul. 2017. 10 Em um restaurante, são gastos mensalmente 43 litros de óleo. Sabendo que o dono do res- taurante quer comprar esse óleo em latas de 6 litros, quantas dessas latas ele deve comprar por mês? E quantas por ano? 8; 88. 12 Quais números naturais compreendidos entre 200 e 500 são quadrados perfeitos? 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441 e 484 ADILSON SECCO Com base no gráfico, use uma calculadora para responder a estas questões. a) Em que ano houve mais alunos matricu- lados? 2014 b) De quanto foi a diminuição no número de matrículas de 2015 para 2016? 57.108 c) Arredonde o número de matrículas para unidade de milhar e calcule a diminuição pedida no item b. 57 milhares 9 Um número natural é expresso por: 9 1 (21 2 15) 8 2 Qual é o valor do sucessor desse número? 22 11 Isabel adquiriu um televisor, pagando uma entrada de 180 reais e mais três parcelas de 160 reais. À vista, ela teria pago 595 reais. Qual é a diferença entre o preço a prazo e à vista? 65 reais NELSON MATSUDA
- 138. 72 Diversificando A seção traz outros desafios envolvendo o quadrado má- gico e padrões numéricos, com base no princípio aditi- vo da igualdade. Discuta o texto com os alunos, antes de propor as questões, certi- ficando-se de que entende- ram todos os passos. Sugerimos que as questões propostas sejam feitas em grupo. Ao final, cada grupo pode apresentar a solução de pelo menos uma questão. Habilidade trabalhada: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. DIVERSIFICANDO CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 72 ALAN CARVALHO Relações algébricas no quadrado mágico Vamos considerar o quadrado mágico que vimos no início deste capítulo. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Podemos observar que: • 4 é uma parcela comum às adições da 1a linha e da 1a coluna. 4 1 9 1 2 5 4 1 3 1 8 Cancelando a parcela comum, isto é, aplicando o P.A.I., temos: 9 1 2 5 3 1 8 Vamos pintar de amarelo as quadrículas dos números do 1o membro da igualdade e de vermelho as do 2o membro. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 • 7 é uma parcela comum às adições da 2a linha e da 3a coluna. 3 1 5 1 7 5 2 1 7 1 6 Aplicando o P.A.I., cancelamos a parcela comum: 3 1 5 5 2 1 6 Vamos pintar de amarelo as quadrículas dos números do 1o membro da igualdade e de vermelho as do 2o membro. 1 Qual é a parcela comum às adições das diago- nais desse quadrado mágico? Usando o mesmo critério das cores, faça o quadrado mágico acima e pinte as quadrículas das diagonais. A B C D E F G H I J K L M N O P NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA 4 9 2 3 5 7 8 1 6 5; 4 9 2 3 5 7 8 1 6 sim; 9 1 5 1 1 5 3 1 5 1 7 De acordo com o Princípio Aditivo da Igualdade (P.A.I.): Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, os novos membros continuarão sendo iguais. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora é com você! 2 A parcela comum às adições das diagonais também é comum a outras duas adições? Quais? Usando o mesmo critério das cores, faça o quadrado mágico acima e pinte as qua- drículas referentes a essas adições. 3 Cada quadrícula tem um número que é par- cela comum a duas adições que têm a mesma soma? Aplicando o mesmo critério das cores, faça o quadrado mágico acima e pinte um quadrado mágico para cada quadrícula com número diferente de 4, 7 e 5. 4 Considere que o quadrado 4 3 4, abaixo, seja um quadrado mágico com números repre- sentados por letras. Qual das igualdades é verdadeira? alternativa b a) E 1 F 1 G 5 C 1 K 1 O b) A 1 F 1 P 5 I 1 J 1 L c) N 1 O 1 P 5 M 1 I 1 E d) A 1 F 1 K 5 H 1 K 1 N 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 3. sim
- 139. 73 BIMESTRE 1 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Distinguir figuras planas de não planas, descreven- do algumas de suas carac- terísticas e estabelecendo relações entre elas. •Classificar figuras não pla- nas como corpos redondos e poliedros. •Identificar e quantificar elementos de um poliedro: faces, vértices e arestas. •Reconhecer prismas e pi- râmides como poliedros e identificar suas bases. •Associar o estudo de Geo- metria à arquitetura e à história. •Trabalhar com informações de embalagens. •Explorar ampliação e redu- ção de figuras com o uso de malhas quadriculadas. Orientações gerais Ao abordar o assunto deste capítulo, é importante tra- balhar com a manipulação de objetos, modelos dos sólidos tratados, para que as características das figu- ras geométricas não planas trabalhadas sejam percebi- das e verificadas. Também se faz necessário promover discussões sobre os modelos de figuras geométricas utili- zados. A abordagem leva em conta que a Geometria talvez seja um dos campos da Matemá- tica em que a interação da imaginação com o real mais se faça presente. O texto e a imagem da aber- tura propiciam uma discussão inicial sobre esse tema. Per- gunte: “Que sólidos geomé- tricos vocês podem observar nessa edificação?”. Sugestão de leitura Para enriquecimento do trabalho, indicamos o livro: MACHADO, Nilson José. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática). Material Digital Audiovisual • Vídeo: Estudando figuras geométricas Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual No projeto arquitetônico do Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, nos Estados Unidos, é possível identificar formas que lembram diferentes figuras geométricas. O uso de formas que lembram figuras geométricas também é comum nas artes plásticas (pintura, escultura, arquitetura etc.), que trabalham, explícita ou implicitamente, com conceitos matemáticos (sobretudo da Geometria). Neste capítulo, estudaremos algumas figuras geométricas (planas e não planas) e suas características. 3Estudando figuras geométricas Capítulo Salão da Fama e Museu do Rock and Roll, localizado em Cleveland, Ohio (Estados Unidos). (Foto de 2016.) MIRA/ALAMY/FOTOARENA CAPÍTULO 3 73
- 140. 74 Um pouco de história Neste início de capítulo, acreditamos que o trata- mento da história da Ma- temática promova uma re- flexão entre os alunos para que percebam que os co- nhecimentos matemáticos não estão desvinculados da realidade. Sugestões de leitura Para enriquecimento e ampliação desse trabalho, sugerimos: texto de Irineu Bicudo, professor de Matemática da Universidade de São Paulo, sobre o desenvolvimento da Geometria, disponível em: http:// redeglobo.globo.com/globociencia/ noticia/2011/12/historia-da- geometria-euclidiana-do-antigo- egito-salas-de-aula.html; textos sobre Euclides, disponíveis em: http://matematicaonline. pt/matematicos/index_htm_files/ euclides.pdf e http://www. notapositiva.com/old/pt/trbestbs/ matematica/10_euclides.htm. Acessos em: 12 maio 2018. Complemente os estudos com a Sequência didática 3 – Elementos de prismas e pirâmides, disponível no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 74 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS 1 Um pouco de história Originalmente, Geometria foi o nome que os gregos deram à parte da Matemática que estu- dava a medida (metria) da terra (geo). Trata-se do ramo da Matemática em que são estudadas as figuras e suas características. Fazer afirmações quanto à origem da Geometria é bastante arriscado, porque não há regis- tros escritos de épocas anteriores a 6000 anos antes de Cristo. O historiador grego Heródoto (século V a.C.) atribuiu aos egípcios a origem da Geometria, pois acreditava que ela tinha surgido da necessidade de fazer novas medições de terras depois de cada inundação provocada pelas cheias do rio Nilo. DANIEL ZEPPO BETTMANN/GETTY IMAGES – BIBLIOTECA BRITÂNICA, LONDRES Quando o rio Nilo transbordava, as demarcações de algumas propriedades desapareciam; assim que o rio voltava a seu leito normal, era preciso demarcar novamente os limites dessas terras. Esse trabalho era realizado pelos “estiradores de cordas” (agrimen- sores), que utilizavam os registros feitos antes das inundações e os conhecimentos que tinham de Geometria. Alguns historiadores, porém, acham mais provável que os es- tudos geométricos tenham surgido na classe sacerdotal egípcia, que, como classe privilegiada, dispunha de tempo para reflexões como essas. A ideia mais aceita atualmente é a de que a Geometria tenha nas- cido tanto da necessidade de resolver problemas práticos quanto da observação e da reflexão sobre números, grandezas e formas. Por volta de 300 a.C., o estudioso grego Euclides organizou todo o conhecimento geométrico desenvolvido até então em um texto didático chamado Os elementos. Por mais de dois milênios, foi o texto que orientou o ensino desse importante campo de estudo. Capa da primeira tradução inglesa da obra Os elementos, de Euclides, de 1570.
- 141. 75 BIMESTRE 1 Figuras planas e não planas A planicidade é um dos atributos de figuras geomé- tricas que nos permite clas- sificá-las em dois grandes grupos: figuras geométricas planas e figuras geométricas não planas. Fundamentando-se nos co- nhecimentos que os alunos trazem de seu estudo nos anos iniciais do Ensino Fun- damental, acerca de figuras geométricas, pretendemos ampliar e solidificar esses co- nhecimentos neste capítulo. Sugerimos que sejam pro- videnciados modelos de figuras de cada um desses dois grupos, de modo que os alunos possam manipular tais modelos e verificar esse atributo (planicidade) con- cretamente, por exemplo co- locando os modelos sobre o tampo da mesa do professor. Espera-se que percebam que os modelos de figuras geo- métricas planas (folha de papel, régua fina, CD, entre outros) não apresentam par- tes fora do tampo da mesa, enquanto com os modelos de figuras geométricas não planas isso ocorre (como é o caso do apagador, do giz, da borracha, entre outros). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 75 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS 2 Figuras planas e não planas Aoobservarosobjetosànossavolta,percebemosqueelesapresentamasmaisvariadasformas. Os brinquedos mostrados abaixo são exemplos de objetos que têm características diferentes. A cada um desses objetos, podemos associar diferentes figuras geométricas. Nos objetos representados acima, a superfície do tabuleiro do jogo de damas dá a ideia de figura geométrica plana, enquanto as peças do jogo, o taco e a bola de beisebol lembram figuras geométricas não planas. Veja esta explicação sobre esses tipos de figura. GMATSUNO/ISTOCK/GETTY IMAGES CLOVER/DIOMEDIA À superfície do tabuleiro do jogo de damas podemos associar esta figura: Às peças desse jogo podemos associar esta figura: ILUSTRAÇÕES: IZAAC BRITO ADILSON SECCO NELSON MATSUDA Estes objetos são muito finos! Podemos até imaginar que eles não têm altura, isto é, que são bidimensionais e que estão totalmente em contato com o tampo da mesa. Eles dão a ideia de figuras geométricas planas. Estes objetos são tridimensionais: têm comprimento, largura e altura. Eles não estão totalmente em contato com o tampo da mesa e, por isso, dão a ideia de figuras geométricas não planas. Ao taco e à bola de beisebol podemos associar as seguintes figuras:
- 142. 76 Os sólidos geométricos A associação entre elemen- tos geométricos e projetos arquitetônicos é uma das maneiras de os alunos veri- ficarem a presença da Geo- metria ao seu redor. Antes desta aula, pode-se propor aos alunos uma ati- vidade em que devem ob- servar e anotar as figuras encontradas nas construções por onde passam no cami- nho de casa para a escola. Esses elementos serão a base para uma discussão em sala sobre os sólidos geométricos e servem também para um levantamento dos conheci- mentos prévios dos alunos acerca deles: que sólidos já conhecem, quais nomea- ram, como fizeram o regis- tro etc. Discuta com os alunos cada estrutura apresentada nas fotos e os sólidos que elas lembram. Peça a eles que citem outras edificações de que tenham conhecimento, por exemplo, as pirâmides do Egito, a torre de Pisa, en- tre outras. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 76 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS 3 Os sólidos geométricos Algumas figuras geométricas não planas são chamadas de sólidos geométricos. As diferentes formas presentes nas obras de arte dão a ideia de sólidos geométricos, como podemos observar nestas fotos: HENNIN G KAISER /DPA/AF P TYRO NE TURN ER/T HE NEW YORK TIME S/FO TOAR ENA – HIRS HHOR N MUSE UM, WASH INGT ON NIN O MAR CUT TI/A LAM Y/FO TOA REN A ROG ÉRIO REIS /PULS AR IMAG ENS Três arranha-céus cônicos em Bonn, Alemanha. (Foto de 2015.) Parte do conjunto arquitetônico do Centro Cultural Oscar Niemeyer, em Goiânia (Goiás). (Foto de 2017.) Instalação da artista plástica Yayoi Kusama na exposição Obsessão infinita, Hirshhorn Museum, Washington, D.C. (Estados Unidos). (Foto de 2017.) Escultura Cubo vermelho, de Isamu Noguchi, em Nova York (Estados Unidos). (Foto de 2017.)
- 143. 77 BIMESTRE 1 Corpos redondos e poliedros Se possível, traga modelos que representem os dois grupos de sólidos (polie- dros e corpos redondos) para os alunos vivenciarem essa classificação, de modo que consigam compor esses dois grupos com tais mode- los. Pode ser uma atividade coletiva na sala de aula. O importante é ressaltar a ca- racterística principal que di- ferencia os sólidos de cada grupo: ter ou não a forma arredondada. Espera-se que os alunos percebam que sólidos que não têm partes arredonda- das em sua superfície são os chamados poliedros, en- quanto os que apresentam superfície arredondada são os corpos redondos. Peça a eles que exemplifiquem com objetos de seu cotidiano: por exemplo, podem identi- ficar e associar o dado, o ti- jolo e uma vela ornamental em forma de pirâmide como exemplos de poliedros; uma bola, uma vela cilíndrica e a forma de um chapéu de ani- versário como exemplos de corpos redondos. Se julgar necessário, antes de propor o exercício 1, peça a eles que escolham alguns dos modelos de poliedros que têm em mãos e apoiem esses objetos sobre o tampo da carteira (ou mesa) para desenhar a figura que ob- servam quando olham de cima para cada modelo. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Exercícios propostos As figuras desenhadas no exercício 1 devem ser: Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 77 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS Objetos com a forma de corpos redondos Objetos com a forma de poliedros BALONCICI/ ISTOCK PHOTOS/ GETTY IMAGES Os corpos redondos são sólidos geométricos que têm pelo menos uma parte com forma arredondada. Veja alguns exemplos. Corpos redondos e poliedros Os sólidos podem ser divididos em grupos, entre eles: corpos redondos e poliedros. Essa divisão considera a presença ou não de formas arredondadas. Os poliedros são sólidos geométricos que não têm forma arredondada. Veja alguns exemplos. RUSGRI/SHUTTERSTOCK RANGIZZZ/SHUTTERSTOCK YURIY BOYKO/SHUTTERSTOCK FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Para cada poliedro, desenhe uma figura plana que represente a parte da sua superfície vista de cima. a) c) b) d) ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: RICARDO YORIO S-TS/SHUTTERSTOCK STUDIOMODE/ALAMY/ FOTOARENA construção de figuras
- 144. 78 Exercícios propostos No exercício 2, peça aos alunos que justifiquem por que cada figura lembra ou não um sólido e, depois, lembra ou não um poliedro. Observe se eles percebem que, para ser um poliedro, já deve ter sido classificado como sólido, ou seja, se eles já descartam as figuras que não consideraram modelos de sólidos, como a bandei- rinha, ao procurar mode- los de poliedros. Ressalte esse aspecto na correção do exercício. Exemplo de tabela para o exercício 3: Corpo redondo ou poliedro Classificação Sólidos corpos redondos (2), (6) e (7) poliedros (1), (3), (4), (5) e (8) O exercício 4 traz um exem- plo de incentivo ao estudo prático no qual o uso de ma- teriais muito comuns no co- tidiano (papel, lápis e copo descartável) leva os alunos a perceberem, de imediato, relações importantes entre o que estão estudando e o que fazem no dia a dia. Os itens a e b podem ser com- plementados com a explica- ção de qual figura plana foi construída e a justificativa de por que o copo descartá- vel não constitui um polie- dro, respectivamente. Discuta também com os alu- nos o fato de o copo des- cartável não ser um modelo adequado para sólido geo- métrico, embora seja uma figura não plana, pois ele não é uma figura maciça, como é o caso dos sólidos geométricos. Se julgar conveniente, apro- veite o exercício 5 para in- troduzir noções de projeção ortogonal de uma figura. A projeção ortogonal das figuras geométricas sobre um plano pode ser comparada à sombra desse mesmo objeto no horário em que o sol está mais alto no dia. Nesse horário, a sombra possui dimensões iguais às do objeto, mas não possui profundidade alguma. Disponível em: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/projecoes-ortogonais.htm. Acesso em: 12 maio 2018. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 78 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Paulo contornou com lápis a boca do copo sobre uma folha de papel. Pedro pintou toda a parte externa do copo com tinta guache. a) Qual deles representou uma figura plana? b) Pedro pintou a superfície de um poliedro? NELSON MATSUDA ADILSON SECCO ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NINJAUDOM/SHUTTERSTOCK 2 Quais dos objetos a seguir dão ideia de um sólido? E quais dão ideia de um poliedro? 3 Cada sólido representado a seguir é identifica- do por um número. Use essa identificação para classificar esses sólidos como corpo redondo ou poliedro. Organize essas informações em uma tabela. 4 Veja o que Paulo e Pedro fizeram com copos descartáveis: 2. Objetos que dão ideia de sólido: vela, dado, bolas de gude e caixa de presente. Objetos que dão ideia de poliedro: dado e caixa de presente. construção de tabela poliedro poliedro poliedro poliedro poliedro corpo redondo corpo redondo corpo redondo a) Paulo b) não 5 Veja as imagens de um caranguejo e de sua sombra. Qual delas representa uma figu- ra plana? a sombra V ela D ad o Ban d eirin h a d e f es t a j un in a Bolas d e gud e C aix a d e p res en t e LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
- 145. 79 BIMESTRE 1 Conhecendo um pouco mais os poliedros Neste item, abordamos os principais elementos de um poliedro (faces, arestas e vérti- ces) e sua nomeação de acor- do com o número de faces. Nesse momento também é importante o manuseio de modelos de poliedros pelos alunos, para que percebam cada um dos seus elementos com as próprias mãos, iden- tificando assim as faces (que formam sua superfície), os vértices (“bicos”) e as ares- tas (“quinas”). Também na contagem des- ses elementos é preferível que iniciem por meio da manipulação de modelos: manuseando um dado cú- bico, é possível verificar que ele é um poliedro (pois é um sólido que não tem partes arredondadas) com 6 faces (hexaedro), 8 vértices e 12 arestas; já uma pirâmide com uma das faces quadra- das (que é a sua base) tem 5 faces, 5 vértices e 8 arestas (como pode ser verificado também pela figura repre- sentada no livro do aluno). Considerando os poliedros apresentados ao final da página, peça aos alunos que comprovem a quantidade de faces indicada e determi- nem o número de vértices e de arestas que cada um deles tem: o tetraedro tem 4 vérti- ces e 6 arestas; o pentaedro, 6 vértices e 9 arestas; o he- xaedro, 6 vértices e 10 ares- tas; o heptaedro, 10 vértices e 15 arestas; e o octaedro, 6 vértices e 12 arestas. Habilidade trabalhada: (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. Tetraedro faces 4 Pentaedro faces 5 Hexaedro faces 6 Heptaedro faces 7 Octaedro faces 8 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 79 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS 4 Conhecendo um pouco mais os poliedros A palavra poliedro é uma composição de poli (muitas) com edro (faces). Portanto, poliedro significa “muitas faces”. Elementos de um poliedro Mariana usou um objeto com a forma de um poliedro e carimbou todos os lados desse obje- to em uma folha de papel esticada sobre a mesa, como mostra a figura abaixo. Nessa folha, ficaram impressas figuras planas que representam as cinco faces do poliedro. No objeto é possível observar uma linha comum entre duas faces. Essa linha recebe o nome de aresta. O ponto de encontro de três ou mais arestas chama-se vértice. No poliedro representado a seguir, as faces estão destacadas em azul; as arestas, em verde; e os vértices, em vermelho. Esse poliedro tem: ƒ 5 faces; ƒ 8 arestas; ƒ 5 vértices. vértice face aresta Nomeando poliedros Os poliedros podem ser nomeados de acordo com seu número de faces. Veja alguns exemplos. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA SIDNEY MEIRELES ILUSTRAÇÕES: DANIEL ZEPPO Manuseie alguns objetos com forma de poliedro. Deslize os dedos por sua superfície, quinas e bicos, respectivamente suas faces, arestas e vértices.
- 146. 80 Orientações Dentre os poliedros, dois grupos têm interesse espe- cial por suas características e propriedades: os prismas e as pirâmides. Também é importante os alunos iden- tificarem poliedros que não são nem prismas nem pirâ- mides, o que contribui na aprendizagem das caracte- rísticas próprias de um pris- ma e de uma pirâmide, con- solidando seu conhecimento acerca dessas figuras. Espera-se que os alunos re- conheçam como prismas os poliedros que possam ser apoiados por uma de suas faces em uma mesa de modo que exatamente metade dos vértices fique contida no tampo da mesa (e metade fique fora dele). Nesse caso, essa face de apoio é uma de suas bases. Já as pirâmides são aqueles poliedros que podem ficar apoiados sobre uma de suas faces em uma mesa, de modo que apenas um de seus vértices fique fora do tampo da mesa, que será a base da pirâmide. Se possível, leve para a sala de aula diferentes modelos de poliedros (entre eles di- ferentes prismas e pirâmi- des), possibilitando que os alunos façam essas experi- mentações, o que contribui- rá sobremaneira para seu aprendizado. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. (I) (II) (III) base base base base Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 80 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS Pirâmides Observe agora os poliedros abaixo, denominados pirâmides. Muitos poliedros apresentam o mesmo número de faces, mas não possuem a mesma forma. Os poliedros representados abaixo, por exemplo, apresentam o mesmo número de faces, porém têm formas diferentes. Observe que todos eles têm 6 faces, portanto são hexaedros, mas cada um possui uma forma diferente. Alguns deles recebem nomes especiais: ƒ o poliedro I é uma pirâmide; ƒ o poliedro II é um prisma; ƒ o poliedro III não é nem pirâmide nem prisma. Prismas Os poliedros representados a seguir são denominados prismas. Nesses prismas, destacamos as faces que são chamadas de base; as demais são as faces laterais (que sempre são paralelogramos). No segundo prisma da esquerda para a direita, quais- quer duas faces opostas podem ser consideradas bases, e as demais são as faces laterais. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Nas pirâmides, as faces pintadas de laranja são chamadas de base e as pintadas de azul são as faces laterais. As bases das pirâmides podem ter formas variadas, já as faces laterais são sempre triangulares.
- 147. 81 BIMESTRE 1 Exercícios propostos O exercício 6 poderá ser rea- lizado em duplas ou trios. Pode-se sugerir aos alunos que recortem, em cartolina, figuras iguais às que for- mam as faces dos sólidos e, usando fita adesiva, tentem montar um poliedro para identificá-lo entre os que são dados na primeira colu- na do quadro. Essa constru- ção permitirá associarem as faces do poliedro a figuras planas, além de possibilitar que eles desenvolvam a vi- são espacial, pois terão de orientar sua montagem pe- los sólidos dados, buscando identificar suas faces. Para a resolução do exercí- cio 7, vale destacar que a or- ganização das respostas em um quadro facilita a obser- vação da regularidade (ou relação) verificada entre os números ali registrados. Cer- tamente os alunos não con- seguirão, apenas com essa atividade, desenvolver todo um raciocínio de generaliza- ções, até porque há dados de prismas e pirâmides no mesmo quadro. Porém, eles poderão recorrer à tabela em um momento futuro, quando for necessário le- vantar hipóteses do tipo: •há poliedros em que o número de faces coincide com o número de vértices (caso das pirâmides); •há poliedros em que o nú- mero de vértices é maior que o número de faces (caso dos prismas). Combine previamente a execução da pesquisa para que os alunos tragam as embalagens aos poucos e isso possibilite a resolução do exercício 8 em sala de aula. Avalie a conveniência e a possibilidade de realizar uma exposição das maque- tes construídas por eles. (I) (II) (III) (IV) (V) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 81 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6 Em cada linha do quadro a seguir, descubra qual dos poliedros teve suas faces desenhadas. Poliedros Faces Poliedro Número de faces Número de vértices Número de arestas 7 Construa um quadro como o modelo abaixo e complete-o contando o número de faces, de vértices e de arestas dos poliedros I, II, III, IV e V. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO 8 faces 6 vértices 12 arestas 6 faces 8 vértices 12 arestas 7 faces 10 vértices 15 arestas 8 faces 8 vértices 14 arestas (2) (6) 12 faces 8 vértices 18 arestas (3) (5) (2) (6) (1) (4) 8 Hora de criar – Pesquise e recolha embalagens de produtos do mercado (caixinhas poliédricas ou piramidais, tubos, cones, esferas etc.). Com elas construa uma maquete (prédio, trem, escada, pirâ- mide etc.). Em cada embalagem usada identifique um sólido geométrico. Para os poliedros usados, registre quantos vértices, arestas e faces eles têm. Resposta pessoal.
- 148. 82 Trabalhando a informação Esta seção tem por objetivo levar os alunos a observa- rem informações encontra- das em embalagens e seus rótulos, de modo que con- tribua também para a for- mação de um consumidor consciente e atento, além de identificar o formato da embalagem. Pode-se propor, antecipada- mente, uma pesquisa para que os alunos procurem embalagens de diferentes formatos. Junto à indicação do formato e do produto, devem registrar, no cader- no, as informações contidas nelas que julgarem impor- tantes. Na realização da proposta dessa seção na sala, os alu- nos podem se reunir em pe- quenos grupos e avaliar as informações e os tipos de embalagens que cada um encontrou. Ao final, cada grupo pode apresentar suas conclusões à turma. Habilidade trabalhada: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos am- bientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO MODO DE PREPARO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 82 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS Lendo embalagens Você já reparou que quase todos os produtos industrializados que usamos no dia a dia estão em uma embalagem que contém informa- ções ou um rótulo? Veja quantas informações importantes e necessárias esta embalagem em forma de prisma traz! Nela, você pode identificar o produto e o código de barras dele. Pode saber a data de validade, o lote, o tipo de embalagem, o peso etc. Pode também ter orientações de uso ou de preparo e ainda sobre o destino a ser dado à em- balagem, quando ela é reciclável. 2 Camila gosta de chá de camomila. Veja abaixo o rótulo da caixinha desse chá. Nos rótulos dos produtos há muitas informa- ções dadas por números. a) Quantos saquinhos há nessa caixa? 10 b) Esse produto já está vencido? Por quê? c) “Peso líquido” quer dizer o peso do líquido? d) Qual é o número do código de barras? e) SAC significa Serviço de Atendimento ao Consumidor. Se alguém precisar falar com o fabricante, para qual número de telefone deve ligar? 080017270079 f) O que significa o desenho ao lado do código de barras? Reproduza-o em seu caderno. 7894098123463 1 Escreva no seu caderno todas as informações da embalagem reproduzida acima. Há alguma infor- mação que você acha importante e que esteja faltando? Qual? FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! ALEX ARGOZINO ALEX ARGOZINO Significa que a caixinha pode ser reciclada. preparo: 4 colheres (sopa) com o pó de café para 1 litro de água quente; a embalagem é reciclável. Resposta pessoal. 2. b) Depende da data em que o exercício for realizado. c) Não. Significa o peso (massa) apenas do produto, sem a embalagem. Nome: Café Confete; Café torrado e moído; embalado a vácuo; peso 500 g; Lote 43 7H;Validade 20/10/22; código de barras 7891234567895; Modo de
- 149. 83 BIMESTRE 1 Exercícios complementares Este bloco de exercícios re- toma e amplia as principais características dos sólidos es- tudadas no capítulo. A resposta ao exercício 3 pode ser testada pelos alu- nos com uma simples folha retangular de papel. Esse tipo de observação é bas- tante valioso, pois adiante os alunos compreenderão melhor o cálculo da área da superfície de um cilindro qualquer. Para a realização do exer- cício 7, deixe à disposição dos alunos alguns mate- riais como: conjunto de sólidos geométricos, lápis, papel sulfite, tesoura, cola, barbante, palitos de chur- rasco, canudinhos de suco. Incentive-os a buscarem uma verificação para as hi- póteses levantadas sobre as questões. É possível que eles tentem fazer desenhos planos buscando identificar o sólido pedido. Observe e intervenha quando per- ceber que podem desistir da investigação. Algumas “dicas” podem ser úteis à investigação, como: “Se a figura é um prisma, quan- tas bases ela tem? Qual é a posição dessas bases? O que acontece com o número de vértices que cada uma tem? E as arestas? E se for uma pi- râmide, quantas bases tem? Na pirâmide, o que fica no plano oposto ao da base?”. Possível construção obtida no exercício 8: Possível construção obtida no exercício 9: ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Habilidade trabalhada: (EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 83 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1 Desenhe algumas figuras geométricas planas que você conhece e coloque o nome das que você souber. Converse com um colega para confrontar as respostas. Completem os nomes que faltarem. Se for necessário, peçam ajuda ao professor. Resposta pessoal. 7 Junte-se a um colega e respondam às seguintes questões: a) Se as bases de um prisma têm 7 vértices cada uma, quantas arestas tem esse prisma? E quantas faces laterais? b) Se uma pirâmide tem 12 vértices, quantos lados tem sua base? Quantas faces laterais tem essa pirâmide? E quantas arestas? c) Se uma pirâmide de 20 faces e um prisma têm o mesmo número de vértices, quantas faces tem o prisma? 12 faces 8 Em papel-cartão, copie e recorte o hexágono verde abaixo e tantos triângulos rosa quantos forem necessários para montar uma pirâmide. Usando fita adesiva para colar as partes, cons- trua essa pirâmide. construção de figura 9 Em papel-cartão, copie e recorte tantos pen- tágonos azuis e paralelogramos amarelos quantos forem necessários para montar um prisma. Usando fita adesiva para colar as par- tes, construa esse prisma. construção de figura Esse recipiente tem a forma de um corpo re- dondo ou de um poliedro? corpo redondo 6 Determine o número de faces (F), de vértices (V) e de arestas (A) destes poliedros: a) b) ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA F 5 6; V 5 6; A 5 10 F 5 9; V 5 9; A 5 16 a) 21 arestas e 7 faces laterais b) 11 lados, 11 faces laterais e 22 arestas Resposta pessoal. 2 Com massa de modelar, construa algumas figuras geométricas não planas. Junte-se a um colega e conversem sobre as características dessas figuras. Registrem suas conclusões. 3 A figura abaixo mostra uma folha de zinco que, depois de ser curvada, soldada e fe- chada com tampa e fundo, deu origem a um recipiente. 5 É possível uma pirâmide ter apenas 3 vértices? Por quê? Converse com um colega e compa- rem suas respostas. 4 Com massa de modelar, construa alguns mo- delos de poliedros, separando-os em três gru- pos: só prismas, só pirâmides e nem prismas nem pirâmides. Caso algum grupo fique sem elementos, construa o que faltar. Resposta pessoal. NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA Não. Como um dos vértices fica fora da face considerada base, sobram 2 vértices para o polígono da base. Isso é impossível, pois não existe polígono com 2 vértices.
- 150. 84 Diversificando Esta seção propõe uma ativi- dade envolvendo ampliação e redução de figuras com o auxílio de malhas quadricu- ladas. Espera-se que os alu- nos compreendam que, por meio de ampliação ou por meio de redução, a figura obtida não pode ficar defor- mada; deve ser uma réplica da figura original ampliada ou reduzida, ou seja, man- tendo as proporções, desen- volvendo assim a noção de figuras semelhantes. Apresenta-se a figura origi- nal desenhada em uma ma- lha quadriculada na qual os alunos deverão reproduzir a figura ampliada (ou reduzi- da), aumentando (ou dimi- nuindo) o comprimento do lado do quadradinho da ma- lha, mantendo-se a quan- tidade de quadradinhos. Desse modo, os elementos das duas figuras (original e ampliação ou original e redução) encontram-se na mesma posição da malha, como foi exemplificado com os olhos da tartaruga. Antes de os alunos resolve- rem as questões do Agora é com você!, providencie malhas quadriculadas con- venientes para que eles pos- sam desenhar uma figura (simples) e, depois, repro- duzi-la por meio de uma re- dução e de uma ampliação. Verifique se eles percebem quais malhas devem utilizar em cada caso. No Manual do Professor – Digital poderão ser acessadas Propostas de Acompanhamento da Aprendizagem dos alunos com sugestões de questões, abertas e de múltipla escolha, e fichas para registro do desempenho deles neste bimestre. Habilidade trabalhada: (EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais. DIVERSIFICANDO 20 c m 20 c m Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 84 CAPÍTULO 3 ESTUDANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS Ampliar e reduzir Existem algumas técnicas para ampliar e reduzir proporcionalmente um desenho ou uma figura. Um modo simples é dividir o desenho em quadradinhos, como se o tivéssemos colo- cado em uma malha quadriculada. Depois, basta copiar em outra folha o mesmo número de quadradinhos – em tamanho maior, no caso de ampliação, e em tamanho menor, no caso de redução. Veja um exemplo. 1 Mariana quer fazer os enfeites de sua própria festa com o tema folclore brasileiro. Ela pretende ampliar um de- senho do curupira, depois colá-lo atrás da mesa do bolo em uma parede que mede 3 m por 2 m. Sabendo que o desenho tem as medidas indicadas ao lado, qual será o tamanho máximo que a pintura de Mariana deverá ter? 2 Mariana também quer reduzir o desenho para colocar nos pratinhos de doces, que medem 10 cm por 10 cm. No mínimo, quantas vezes ela deverá reduzi-lo? 3 Se Mariana usar a técnica de ampliação/redução des- crita acima, qual poderá ser a medida, em centímetro (com número natural), do lado dos quadradinhos que ficarão sobre o desenho original? Duas vezes. Observe que, para ampliar o desenho em duas vezes, o quadradinho cujo lado media 1 cm passou a ter lado medindo 2 cm no desenho novo. Para reduzir o desenho em duas vezes, o quadradinho passou a ter lado medindo meio cm no desenho novo. O número de quadradinhos é o mesmo, o que muda é o tamanho deles. Por isso, os olhos da tartaruga, que no desenho original estavam na linha 2, coluna D, continuam nessa posição nos novos desenhos. 1. A pintura de Mariana pode ser ampliada em até 10 vezes. Desse modo, ela teria as seguintes medidas: 2 m por 2 m. 3.resposta possível: Os quadradinhos podem ter lados com as seguintes medidas: 1 cm, 2 cm, 4 cm, 5 cm ou 10 cm, pois são divisores de 20. LEONARDO DA CONCEIÇÃO LEONARDO DA CONCEIÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora é com você! desenho sem malha quadriculada desenho com malha quadriculada desenho ampliado em duas vezes A B C D 1 2 3 4 1 c m 1 c m A B C D 1 2 3 4 meio c m d es en h o red uz id o em d uas v ez es meio c m A B C D 1 2 3 4 2 c m 2 c m
- 151. 85 BIMESTRE 2 Material Digital Audiovisual • Áudio: Eratóstenes e os números primos Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual Terremotos, maremotos, tsunamis, tempestades solares... O calendário maia de conta longa previa o fim do mundo para 21/12/2012? Essa é uma história quase tão longa quanto os 1.872.000 dias do seu grande ciclo. Contaremos apenas horas, dias e outros múltiplos períodos desse calendário. O Haab, calendário civil maia (11/8/3114 a.C.-21/12/2012 d.C.), é organizado em 18 períodos (uinal) de 20 dias (kin), que formam o tun (18 8 20 5 360). Ao tun é adicionado um período (uayeb) de 5 dias de sacrifício em preparação ao novo ano (360 1 5 5 365). A contagem das seis horas que sobram no movimento de translação do Planeta, o que nos permite ter um ano bissexto de 4 em 4 anos, é corrigida a partir de um ciclo chamado “1.508 haab”, que é equivalente a 1.507 anos solares. Dados obtidos em: SANTANA, Ana Lucia. Calendário Maia. Infoescola, s/d. Disponível em: https://www.infoescola. com/civilizacoes-antigas/calendario-maia/. Acesso em: 13 nov. 2017. 4Divisibilidade Capítulo Representação do Haab, calendário civil maia. (Sem data.) ZIMMYTWS/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES Terremotos, maremotos, tsunamis, tempestades solares... O calendário maia de conta 4 4 Representação do Haab, calendário civil maia. (Sem data.) 85 CAPÍTULO 4 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Estabelecer entre os núme- ros naturais relações como “ser múltiplo de” e “ser di- visor de”. •Explorar sequências nu- méricas. •Compreender e aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10. •Compreender fluxogramas. •Reconhecer e distinguir números primos de núme- ros compostos. •Expressar números com- postos por meio de sua decomposição de fatores primos. •Interpretar e resolver pro- blemas que envolvam as ideias de múltiplo e divisor. •Desenvolver a noção de máximo divisor comum (mdc) e de mínimo múlti- plo comum (mmc). •Construir gráficos de barras. Orientações gerais Neste capítulo, trabalhamos múltiplos e divisores de um número natural utilizando sequências numéricas. Os conceitos sobre divisibili- dade desenvolvidos servem de ferramenta para a reso- lução de uma grande varie- dade de problemas. Apre- sentamos ainda exemplos de fluxogramas representa- tivos de alguns critérios de divisibilidade, visando pro- piciar aos alunos mais um tipo de linguagem. Além disso, ampliamos o trabalho com a construção e a interpretação de gráficos de barras, iniciado no capí- tulo anterior. Na abertura, apresentam-se curiosidades do calendário maia, exemplificando ciclos com a noção de múltiplos, e referência ao ano bissexto, de modo que os alunos per- cebam a articulação desse conceito com o mundo real.
- 152. 86 Múltiplos e divisores Analise com os alunos a si- tuação apresentada. Eles devem perceber a relação da noção de múltiplo com a multiplicação (associada ao significado de adição de parcelas iguais). Verifique se eles percebem que o re- sultado da multiplicação é múltiplo de todos os fatores envolvidos nessa multiplica- ção. Por exemplo, 50 é múl- tiplo de 5, pois 10 8 5 5 50. No entanto, 50 também é múltiplo de 10, já que 5 8 10 5 50. Outra relação importante a ser evidenciada na noção de múltiplo está ligada à divisão exata, isto é, se 50 é múltiplo de 5, então 50 di- vidido por 5 é uma divisão exata (tem resto zero). Note que a divisão de 50 por 10 também é exata, já que 50 também é múltiplo de 10. Essa relação associa a noção de múltiplo aos conceitos de ser divisível por e de divisor de um número natural. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Complemente os estudos com a Sequência didática 4 – Ideias de múltiplo e divisor, disponível no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 86 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 5 5 0 1 10 5 0 2 15 5 0 3 20 5 0 4 25 5 0 5 etc. Quando dividimos esses múltiplos por 5, obtemos resto zero, ou seja, a divisão é exata. Observe. 1 Múltiplos e divisores Ana é artesã e o que mais gosta de fazer são pulseiras. Duas vezes por semana, Roberta vai ao ateliê da mãe para organizar as pulseiras em embalagens e colocá-las no mostruário. Para fazer essa organização, Roberta coloca 5 pulseiras em cada embalagem. Para cada 5 pulseiras que arruma, ela anota no caderno a quantidade de embalagens. TEL COELHO LIGIA DUQUE O número de pulseiras que Roberta anota no caderno é o resultado da multiplicação do número de embalagens que ela já arrumou por 5 (quantidade de pulseiras em cada embala- gem). Veja. 1 embalagem 1 8 5 5 5 2 embalagens 2 8 5 5 10 3 embalagens 3 8 5 5 15 4 embalagens 4 8 5 5 20 5 embalagens 5 8 5 5 25 e assim por diante. Ao fazer essas multiplicações, Roberta verifica a quantidade de pulseiras que já colocou no mostruário. Os números obtidos — 5, 10, 15, 20, 25, … — são denominados múltiplos de 5. Um número natural é múltiplo de outro se for o resultado da multiplicação desse número por algum número natural.
- 153. 87 BIMESTRE 2 Exercícios propostos No bloco de exercícios des- ta página, exploram-se os três conceitos apresentados: múltiplo, divisor e ser divisí- vel por. Incentive os alunos a, sempre que possível, utili- zarem o cálculo mental, por meio de multiplicações já in- corporadas por eles. Tão importante quanto res- ponder se os números envol- vidos são ou não múltiplos ou divisores de certo núme- ro considerado é justificar as respostas obtidas. Vale lembrar que efetuar a divi- são proposta não é a única estratégia válida, já que os alunos também podem, en- tre outras possibilidades, fazer multiplicações e de- pois algumas adições (ou subtrações, se for o caso). Por exemplo, no exercício 1, para verificar se 510 é divi- sível por 34, podemos fazer: •2 8 34 5 68 •4 8 34 5 68 1 68 5 136 •8 8 34 5 136 1 136 5 272 •16 8 34 5 272 1 272 5 544 (já ultrapassou 510, então devemos ter menos de 16 parcelas) •15 8 34 5 544 – 34 5 510 Logo, pode-se concluir que 510 é múltiplo de 34 e, por- tanto, 510 é divisível por 34. No exercício 4, espera-se que os alunos percebam que a fatia inicial foi corta- da em 9 pedacinhos. Como 9 é múltiplo de 9 e de seus fatores, que são 3 e 1 (pois 9 5 3 8 3 e 9 5 9 8 1), respon- de ao item a. Para o item b, os alunos devem considerar que as 12 fatias foram cor- tadas em 9 pedacinhos cada uma, ou seja, estão buscan- do um múltiplo de 9 dado por 12 grupos de 9, que são 108 pedaços (12 8 9 5 108). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 87 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Considerando, por exemplo, a divisão 15 9 5 5 3, dizemos que 15 é divisível por 5. Também podemos dizer que 5 é divisor ou fator de 15, pois a divisão de 15 por 5 é exata (tem resto zero). Em determinado dia, depois de organizar todo o material, Ana perguntou a Roberta quantas pulseiras havia no mostruário. Ana tinha razão. Veja: 34 5 4 6 2 Dê pelo menos quatro exemplos de um número natural em cada item. respostas possíveis. a) Múltiplo de 18. 18, 36, 54 e 72 b) Divisor de 18. 1, 2, 3 e 6 1 Copie as sentenças verdadeiras, justificando sua resposta. a) 35 é múltiplo de 7. b) 180 é divisível por 40. falsa c) 7 é divisor de 42. d) 24 é múltiplo de 144. falsa e) 252 é divisível por 12. f) 10 é divisor de 5. falsa g) 69 é múltiplo de 31. falsa h) 510 é divisível por 34. i) 17 é divisor de 34. Verdadeira, pois 5 8 7 5 35. Verdadeira, pois 42 9 7 5 6. Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro número pelo segundo é exata. De fato, a divisão não é exata. Tem resto 4. Nesse caso, dizemos que 34 não é divisível por 5 ou, ainda, que 5 não é divisor de 34. Por isso, 34 não é múltiplo de 5. a) O número de pedacinhos de cada fatia é múltiplo de quais números? 1, 3, 9 b) Quantos pedacinhos têm 12 fatias? 108 Verdadeira, pois 510 9 34 5 15. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 34! Não pode ser; 34 não é múltiplo de 5, pois não existe número natural que multiplicado por 5 dê 34! RICARDO YORIO 3 O número 724 é divisível por 8? Por quê? Verdadeira, pois 252 9 12 5 21. 724 não é divisível por 8, pois a divisão de 724 por 8 não é exata. 4 Todo dia Cauê corta uma cenoura para seu cãozinho. Começa com cortes do talo à ponta e finaliza cortando-a em fatias. Veja os cortes. TEL COELHO Verdadeira, pois 34 9 17 5 2.
- 154. 88 Os múltiplos de um número Abordamos agora a sequên- cia dos múltiplos de um nú- mero natural, destacando propriedades importantes que devem ser ressaltadas para que os alunos ampliem seu conhecimento acerca da sequência dos números na- turais: •O zero é múltiplo de qual- quer número natural, já que 0 8 0 5 0, 0 8 1 5 0, 0 8 2 5 0, 0 8 3 5 0, e assim por diante. •Todo número natural dife- rente de zero tem infinitos múltiplos, pois a sequência dos números naturais é in- finita. •Todo número natural é múltiplo de si mesmo, pois 1 8 0 5 0, 1 8 1 5 1, 1 8 2 5 2, 1 8 3 5 3, e assim por diante. Desse modo, esses conceitos são explorados no bloco de Exercícios propostos. Exercícios propostos Na resolução do exercício 8, se alguns alunos encontra- rem as respostas 40 e 80 no lugar de 36 e 76, é im- portante perceberem que o primeiro aluno não dis- se 4 (que corresponderia a 1 8 4 5 4), mas zero. Portan- to, para encontrar o número dito pelo décimo aluno, não se deve fazer 10 8 4, mas 9 8 4 (ou fazer 10 8 4 – 4); de ma- neira similar, para encontrar o número dito pelo vigésimo aluno, deve-se fazer 19 8 4, e não 20 8 4. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 88 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 5 Quais são os números naturais múltiplos do número 1? 8 A professora Mara pediu a um aluno que dis- sesse o menor múltiplo de 4 e que cada aluno seguinte dissesse um múltiplo de 4 em ordem crescente. Assim, sem pular nenhum número, cada um dos 35 alunos da classe teve sua vez de falar. Qual foi a resposta do décimo aluno? E a do vigésimo? E a do último? 36; 76; 136 MARCIO GUERRA Os múltiplos de um número Para encontrar um múltiplo de um número, basta multiplicar esse número por um número natural qualquer. Por exemplo, calculando 5 vezes 7, obtemos 35, que é múltiplo de 7. Com a sequência dos números naturais, podemos obter tantos múltiplos de 7 quantos quisermos: Veja mais alguns exemplos. a) Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, … b) Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, … c) Múltiplos de 22: 0, 22, 44, 66, 88, … 0 8 7 5 0 1 8 7 5 7 2 8 7 5 14 3 8 7 5 21 4 8 7 5 28 5 8 7 5 35 e assim por diante. todos os números naturais FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Os múltiplos de 7 são todos os produtos de 7 por qualquer número natural. zero oito quatro Observações Se n é um número natural diferente de zero, então: • esse número tem infinitos múltiplos; • zero é múltiplo desse número; • esse número é múltiplo de si mesmo. O número zero constitui um caso especial. O zero é o único múltiplo de zero, pois qualquer número natural multiplicado por zero resulta em zero. No entanto, não podemos dizer que um número é divisível por zero, porque não existe divisão por zero. 6 Determine os cinco primeiros múltiplos de: a) 3; 0, 3, 6, 9, 12 b) 6; 0, 6, 12, 18, 24 c) 21; d) sua idade. 0, 21, 42, 63, 84 7 Determine: a) os múltiplos de 9 menores que 50; b) os múltiplos de 6 maiores que 20 e menores que 50; 24, 30, 36, 42, 48 c) os múltiplos de 14 entre 40 e 90; d) os múltiplos de 10 entre 12 e 50; e) os múltiplos de 11 maiores que 66 e meno- res que 111. 77, 88, 99, 110 Resposta pessoal. 0, 9, 18, 27, 36, 45 42, 56, 70, 84 TEL COELHO 20, 30, 40
- 155. 89 BIMESTRE 2 Exercícios propostos O exercício 9 estimula os alu- nos a levantarem hipóteses com base nas afirmações e chegarem ao resultado final: •A afirmação do primeiro balão revela que se trata de um número da sequência: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 (pois 56 1 7 5 63 . 60). •A afirmação do segundo balão revela que o número não é múltiplo de 6, mas é de 3. Considerando as duas afir- mações, deve-se encontrar na sequência montada o número que é múltiplo de 3 (temos 21 e 42), mas não é de 6 (42 é múltiplo de 6). O único número que reúne as duas características é 21. Após encontrar um valor, estimule os alunos a conferi- rem a resposta retomando o enunciado e, se necessário, fazerem correções. O exercício 14 permite fa- lar sobre maneiras de usar a calculadora, especialmen- te em cálculos que podem aproveitar resultados an- teriores. Na maioria das calculadoras, apertamos a tecla para repetir a úl- tima operação. Na busca por múltiplos consecutivos de um número natural, talvez alguns alunos tentem fazer (para os múltiplos de 2): 2 3 2 5 5 5 5 (o que resul- tará em 4, 8, 16, 32, …) É importante perceberem que, nesse caso, o que se re- pete é a multiplicação por 2 do número anterior, ou seja, do resultado anterior, o que não representa a se- quência de múltiplos conse- cutivos de 2. De outro modo, pode-se usar a adição pressionando repetidamente a tecla para obter os múltiplos con- secutivos de um número: 0 1 2 5 5 5 5 5 5 (obte- mos: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …) Espera-se ainda que os alunos, por meio de experimentações, observações e busca de regularidades, con- cluam algumas regras de divisibilidade. No entanto, é preciso que organizem os resultados obtidos com o auxílio da calculadora para estabelecerem as comparações necessárias às conclusões. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 89 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 14 Para obter múltiplos consecutivos de um número natural, precisamos multiplicar esse número por números naturais consecutivos. Reúna-se com um colega e, usando uma calculadora, respondam às questões a seguir. Não se esqueçam de registrar os cálculos e as conclusões no caderno. a) Obtenham dez múltiplos consecutivos de 2. Algum desses múltiplos termina em 1, 3, 5, 7 ou 9? Com quais algarismos esses múltiplos terminam? não; 0, 2, 4, 6 ou 8 b) Qualquer número natural que termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 é múltiplo de 2? É divisível por 2? sim; sim c) Obtenham oito múltiplos consecutivos de 5. Com quais algarismos eles terminam? d) Qualquer número natural que termina em 0 ou 5 é múltiplo de 5? É divisível por 5? e) Obtenham seis múltiplos consecutivos de 10. Com que algarismo eles terminam? f) Qualquer número natural que termina em 0 é múltiplo de 10? É divisível por 10? 12 Qual é o menor número que devemos subtrair de 90 para obter um múltiplo de 35? 20 9 Duas amigas estão disputando um jogo de desafios matemáticos. Para avançar as casas, é necessário acertar o enigma que está na carta sorteada. Veja como Beatriz foi desafiada por Sofia. 10 Em uma sala de aula, o número de alunos pre- sentes é múltiplo de 8. Esse número é maior que 30 e menor que 40. Quantos alunos estão na sala? 32 ILUSTRAÇÕES: MARCIO GUERRA Edmond Halley, astrônomo inglês em pintura de cerca de 1720. Cometa Halley. JERRY LODRIGUSS/SCIENCE SOURCE/FOTOARENA NATIONAL PORTRAIT GALLERY, LONDON 0 0 ou 5 sim; sim sim; sim LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! Beatriz, ouça com atenção. O número de bolinhas coloridas que está dentro de uma urna é múltiplo de 7 e menor que 60. Se você separar as bolinhas de 6 em 6, sobram 3. Quantas bolinhas coloridas tem na urna? Já sei a resposta, Sofia! Nossa, que enigma! Descubra você também quantas são as boli- nhas da urna. 21 11 Descubra o menor número que devemos somar a 90 para obter um múltiplo de 35. 15 13 Em 1705, Edmond Halley (1656-1742) previu que o cometa visto em 1531, 1607 e 1683 po- deria ser visto novamente em 1759. Esse fato se comprovou e, anos depois, o cometa ganhou o nome do cientista. Admitindo que o período da órbita do cometa Halley é de 76 anos, qual será o primeiro ano do século XXI em que esse cometa voltará a ser visto? 2063 15 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre múltiplos e divisores criado por vocês. Depois de cada um resolver o pro- blema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal.
- 156. 90 Os divisores de um número Nesta página abordamos a sequência dos divisores de um número natural, desta- cando propriedades impor- tantes que também devem ser ressaltadas, como no caso dos múltiplos, ampliando ainda mais o aprendizado dos alunos sobre a sequência dos números naturais: •O zero não é divisor de ne- nhum número natural não nulo. •O 1 é divisor de qualquer número natural. •Todo número natural dife- rente de zero tem o 1 e ele próprio como divisores. •O maior divisor de um nú- mero natural não nulo é ele próprio, ou seja, a se- quência dos divisores de um número natural dife- rente de zero é finita. Desse modo, destaque que a sequência dos divisores naturais de um número na- tural não nulo sempre inicia no 1 e termina no próprio número, os demais divisores é que devem ser determina- dos, caso existam. Por exem- plo: os divisores de 4 são 1, 2 e 4; os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10; os divisores de 11 são 1 e 11 apenas (nesse caso não há outros números naturais entre 1 e 11 que se- jam divisores de 11). Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 90 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE SIDNEY MEIRELES Já sei que 1 e 12 são divisores de 12. Para encontrar os outros divisores, faço as seguintes operações: 12 2 12 3 12 4 12 5 12 6 0 6 0 4 0 3 2 2 0 2 12 7 12 8 12 9 12 10 12 11 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 Logo, os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. ResoluçãodeNatália: ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS De acordo com as duas resoluções, concluímos que os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Como os divisores de um número também são chamados de fatores, vou escrever todas as multiplicações entre números naturais que resultam em 12: 1 8 12 5 12 2 8 6 5 12 3 8 4 5 12 Como não há mais nenhuma multiplicação entre números naturais que resulta em 12, os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. O zero não é divisor de nenhum número natural n, não nulo, pois não há número natural que multiplicado por zero resulte em n. O maior divisor de um número natural diferente de zero é o próprio número. Como as divisões de 12 por 1 e de 12 por 12 são exatas, você deve ter concluído que 1 e 12 são divisores de 12. Isso ocorre com todos os números naturais diferentes de zero, ou seja: 12 1 0 12 12 12 0 1 Todo número natural diferente de zero tem como divisores o número 1 e ele mesmo. Observe agora como Ivan e Natália fizeram para encontrar os outros divisores de 12. Resolução de Ivan: Os divisores de um número Se você pensou no 12, por exemplo, já sabe que 12 é múltiplo de 12, porque 1 8 12 5 12. E deve ter obtido as divisões: Observações Pense em um número diferente de zero. Divida esse número por 1. Depois, divida esse número por ele mesmo. O que você conclui?
- 157. 91 BIMESTRE 2 Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora as propriedades estu- dadas sobre os divisores de um número natural. Para a resolução do exercí- cio 20, a partir das informa- ções do enunciado é preciso que os alunos organizem os possíveis números: •dez primeiros múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135; •todos os divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Portanto, no item a foram confeccionadas, ao todo, 26 fichas (10 1 16 5 26). No item b, como os núme- ros 15, 30, 60 e 120 são, si- multaneamente, múltiplos de 15 e divisores de 120, há duas fichas de cada um deles. Como entre as fichas que Beatriz pegou estão as fichas com os números 30, 30, 60 e 120, dentre as fichas que sobraram na mesa há uma ficha com número 60 e uma ficha com número 120. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 91 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE a) 42 é um número divisível por 7 porque 42 5 6 8 7. E o número 28, é divisível por 7? Por quê? Sim, porque 28 5 4 8 7. b) Copiem a sentença a seguir substituindo o pelo número que torna as igualdades verdadeiras. (42 1 28) 5 (6 8 7 1 8 7) 5 (6 1 ) 8 7 c) (42 1 28) é divisível por 7? Por quê? d) Que propriedade da multiplicação foi usada na última igualdade do item b? distributiva e) Escolham dois números divisíveis por 13. A soma desses números é divisível por 13? Por quê? a) Quantas fichas foram confeccionadas? 26 b) Alguma ficha que ficou em cima da mesa contém o mesmo número de alguma ficha que Beatriz pegou? 16 Responda às questões a seguir. a) Qual número é divisor de qualquer número natural? 1 b) Qual número nunca é divisor de um número natural não nulo? zero 21 Míriam tem 90 fotos para colar em seu álbum. Sabendo que cada página deve conter a mes- ma quantidade de fotos, responda às questões abaixo. a) Se o álbum tiver 15 páginas, quantas fotos ela poderá colar em cada página? 6 b) Ela poderá colar 4 fotos em cada página? Justifique sua resposta. c) Quais serão as possíveis quantidades de fotos de cada página se o álbum tiver mais de 10 e menos de 50 páginas? 2, 3, 5 e 6 22 Reúna-se com um colega, acompanhem o raciocínio e não se esqueçam de registrar as respostas e as conclusões. MARCIO GUERRA 20 Lucas e Francisco confeccionaram fichas de cartolina contendo números naturais. Enquan- to Lucas fez fichas usando os dez primeiros múltiplos de 15, Francisco escreveu todos os divisores de 120. As fichas foram embaralhadas com os números voltados para baixo. Beatriz pegou aleatoriamente nove fichas com os nú- meros 8, 24, 30, 30, 40, 60, 75, 90 e 120. 23 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre múltiplos e divisores criado por vocês. Depois de cada um resolver o pro- blema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. Porque, para os horários de tomada serem os mesmos todos os dias, o período deve ser um divisor de 24, e 5 não é divisor de 24 (1 dia tem 24 horas). Note que 6, 8 e 12 são divisores de 24. Sim, as fichas com números 60 e 120. b) Não, porque a divisão de 90 por 4 não é exata. Sim, efetuando a divisão da soma dos números escolhidos, o resto será zero. c) Sim, porque (42 1 28) 5 10 8 7 . 4 4 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17 Determine os divisores de: a) 11; 1, 11 b) 18; c) 25; 1, 5, 25 d) 90. 1, 2, 3, 6, 9, 18 18 Quais são os divisores de 36 que também são divisores de 42? E qual é o maior dos divisores comuns a 36 e 42? 1, 2, 3, 6; 6 19 Você já reparou que os remédios são pre- parados para serem tomados a cada 6, 8 ou 12 horas? Por que não são sugeridas doses de 5 em 5 horas, por exemplo? 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 MARCIO GUERRA MARCIO GUERRA MARCIO GUERRA
- 158. 92 Pense mais um pouco... Nesta seção, apresentamos o conceito de número per- feito, que designa os nú- meros obtidos pela soma de seus divisores, exceto o pró- prio número. Os divisores de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. A soma desses divisores, exceto o próprio 28, é: 1 1 2 1 4 1 7 1 14 5 28 Logo, 28 é um número per- feito. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. 92 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Agora é sua vez! Verifique se o número 28 também é perfeito. Justifique sua resposta. DANIEL ZEPPO Sequências numéricas Mariana adora publicar suas fotos nas redes sociais. As últimas que postou recebe- ram muitas curtidas. Observe como Mariana anotou em seu diário o número de curtidas. Podemos escrever a quantidade de fotos curtidas de Mariana em determinada ordem, obtendo a sequência: 839, 754, 669, 584, 499, 414, 329 Essa sequência de números é um exem- plo de sequência numérica. Veja outro exemplo. Matheus organizou sua coleção de latas de alumínio. Observe como ele fez. FABIO EUGÊNIO IZAAC BRITO FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... PARA SABER MAIS Um número é chamado de perfeito quando a soma de seus divisores, excluindo ele mesmo, é igual ao próprio número. Já entendi! O número 6, por exemplo, é perfeito, pois seus divisores são 1, 2, 3 e 6 e, excluindo o 6, temos: 1 1 2 1 3 5 6. Foto no jardim zoológico: 839 Foto com meu gatinho: 754 Foto com minha melhor amiga: 669 Foto no parque: 584 Foto na sala de aula: 499 Foto na piscina: 414 Foto com meus pais: 329 Sim, pois 1 1 2 1 4 1 7 1 14 5 28.
- 159. 93 BIMESTRE 2 Agora é com você! Para trabalhar com a ques- tão 3, solicite aos alunos a complementação das res- postas com a “regra” de cada uma das sequências, in- clusive por se tratar de uma questão em que eles podem apresentar diversas possibili- dades de sequências. Essa descrição é bastante interessante para os alunos desenvolverem a linguagem matemática, além de escla- recerem as possíveis dúvidas ou hipóteses incorretas. Na atividade 4, incentive a observação de regularida- des, a análise dos resultados obtidos, a verificação das conclusões. Isso pode ser fei- to também com os critérios de divisibilidade, permitindo aos alunos investigarem an- tes de concluir cada critério. Na questão 5, espera-se que os alunos percebam que as duas sequências são iguais. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO 1 1 1 3 1 5 1 7 5 42 1 1 3 1 5 5 32 1 1 3 5 22 Agora é com você! Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 93 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Contando de cima para baixo, podemos obter, a partir da quantidade de latas de cada fileira, a seguinte sequência numérica: 1, 3, 5, 7, 9, 11 Cada termo dessa sequência, a partir do segundo, é o anterior mais 2, ou seja: 3 5 1 1 2, 5 5 3 1 2, 7 5 5 1 2, 9 5 7 1 2, 11 5 9 1 2 Veja mais alguns exemplos de sequên- cias numéricas. • 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … Essa é a sequência dos números pares. Ela é infinita. Como 0 5 0 8 2, 2 5 1 8 2, 4 5 2 8 2, 6 5 3 8 2 e assim por diante, dizemos que cada termo dessa sequência é múltiplo de 2. Dessa forma, essa sequência tam- bém é conhecida como sequência dos múltiplos de 2. Essa sequência é crescente, pois cada número, a partir do segundo, é maior que o anterior. • 9, 7, 5, 3, 1 Essa sequência é decrescente e é finita. • 1, 24, 2, 12, 3, 8, 4, 6 Essa é a sequência dos divisores de 24. Ela é finita e, nessa ordem, não é crescente nem decrescente. Então, podemos notar que: JOSÉ LUÍS JUHAS 1 Determine a sequência: a) dos números pares menores que 10; 0, 2, 4, 6, 8 b) dos divisores de 36; 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 c) dos múltiplos de 4. 0, 4, 8, 12, 16, 20, … 2 Qual é a sequência dos números ímpares? Nessa sequência, qual é o termo anterior ao 91? E o posterior? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …; o 89; o 93 3 Os termos de cada uma das sequências a seguir obedecem a uma certa ordem. Considerando essa ordem, determine o próximo termo. a) 6, 11, 16, 21 26 b) 26, 22, 18, 14, 10 6 c) 3, 6, 12, 24, 48 96 4 Uma das atividades do famoso matemático Pitágoras era fazer cálculos usando pedrinhas. Um deles consistia em formar sequências numéricas como estas: ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA • Aoescrevernúmeroscolocando- -os em certa ordem, temos uma sequência numérica. • Cada número de uma sequência numérica é um termo dessa se- quência. • Sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas. Como ele formava o 72 com as pedrinhas? E com a adição de números naturais? 5 Como você relaciona a sequência das latinhas de Matheus com a sequência das pedrinhas de Pitágoras para formar o 62 ? 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 1 13 5 72
- 160. 94 Critérios de divisibilidade Na abordagem dos critérios de divisibilidade, os alunos entram em contato com a construção de algoritmos expressos em linguagem natural. Esse é um bom mo- mento para apresentar e discutir a representação de alguns desses algoritmos por meio de fluxogramas que indiquem a resolução de problemas simples. Nesta página, iniciamos com os critérios de divisibilidade por 2 e por 5, que são os mais simples. Esse assunto será retomado no capítulo 5 deste livro, no qual discu- timos a demonstração de alguns dos critérios de di- visibilidade tratados neste capítulo. Comente com os alunos que a verificação de alguns exemplos não é suficiente para provar o critério de divisibilidade. Esclareça que para cada um desses crité- rios há uma demonstração. Se considerar conveniente, peça a eles que revejam a resolução do exercício 14 deste capítulo. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxo- grama que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um nú- mero natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 94 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 2 Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 5 Considere as divisões. Divisibilidade por 2 Considere as divisões. 79 2 19 39 1 18 2 0 9 30 2 10 15 0 45 2 05 22 1 86 2 06 43 0 Um número natural é divisível por 2 somente quando é par. 130 5 30 26 0 134 5 34 26 4 75 5 25 15 0 4.015 5 01 803 15 0 560 5 06 112 10 0 5.107 5 01 1.021 10 07 2 ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES NELSON MATSUDA Podemos descobrir alguns desses critérios pesquisando casos particulares, dando asas à intuição, elaborando hipóteses e depois demonstrando-as. Para saber se um número natural é divisível por outro, basta efetuar a divisão entre eles e verificar se ela é exata. Essa é a regra geral, como vimos. Mas, em alguns casos, podemos descobrir se um número é divisível por outro sem ter de efetuar a divisão. Vamos ver como isso é possível estudando os critérios de divisibilidade. Observe que, quando dividimos números pares por 2, o resto é zero; quando dividimos números ímpares por 2, o resto é 1. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas isso acon- tece sempre que dividimos um número natural por 2. Veja outros exemplos. a) 1.798 é divisível por 2 e, portanto, é par. b) 2.005 não é divisível por 2 e, portanto, não é par. c) 147 não é divisível por 2 e, portanto, não é par. Fluxograma da divisibilidade por 2 O número é divisível por 2. NELSON MATSUDA O número não é divisível por 2. não sim Uma forma prática de representar um procedimento que apresenta etapas é por meio de um esquema chamado de fluxograma. O fluxograma acima representa a divisibilidade por 2. por 2 não sim O número natural termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, ele é par?
- 161. 95 BIMESTRE 2 Divisibilidade por 10 Nesta página, tratamos do critério de divisibilidade por 10. É importante incentivar os alunos a observarem que todo número divisível por 10 também é divisível por 5, já que, nesse caso, o número termina em zero e, por ser par, também é divisível por 2. Exercícios propostos O bloco de exercícios que se inicia nesta página explora os três critérios de divisibili- dade vistos até agora: por 2, por 5 e por 10. O exercício 24 trata justa- mente do fato de um núme- ro natural que é divisível por 10 também ser divisível por 2 e por 5. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 95 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Observe que 820, 4.800 e 1.230 são divisíveis por 10, mas os números 504 e 145 não são. Nessas divisões, somente os números que terminam em zero são divisíveis por 10. Apresen- tamos apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre. Veja mais alguns exemplos. a) 250 é divisível por 10, pois termina em zero. b) 1.370 é divisível por 10, pois termina em zero. c) 827 não é divisível por 10, pois não termina em zero. O fluxograma ao lado representa a divisibilidade por 10. Divisibilidade por 10 Considere as divisões. 504 10 004 50 4 820 10 020 82 00 145 10 045 14 05 4.800 10 080 480 000 1.230 10 023 123 030 00 Junte-se a um colega e respondam a essa questão. 24 A escola de Gustavo realizou uma feira cultural. Em um estande de Matemática, um dos alunos pro- punha aos visitantes o seguinte desafio: MARCIO GUERRA Um número natural é divisível por 10 somente quando termina em zero. Sim, pois como esse número é divisível por 10, termina em zero; então, ele é par (divisível por 2) e é divisível por 5. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Um número natural é divisível por 5 somente quando termina em zero ou em 5. Observe que 130, 75, 560 e 4.015 são divisíveis por 5, mas os números 134 e 5.107 não são. Note ainda que esses números divisíveis por 5 terminam em 5 ou em zero, enquan- to na divisão não exata isso não ocorre. Esses são apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre. Veja mais exemplos. a) 210 é divisível por 5, pois termina em 0. b) 1.345 é divisível por 5, pois termina em 5. c) 148 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. O fluxograma ao lado representa a divisibilidade por 5. Fluxograma da divisibilidade por 5 O número é divisível por 5. O número não é divisível por 5. não sim Fluxograma da divisibilidade por 10 O número é divisível por 10. O número não é divisível por 10. não sim por 5 não sim por 10 não sim O número natural termina em 0 ou 5? O número natural termina em 0? NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA
- 162. 96 Exercícios propostos No exercício 26, os alunos podem concluir que os nú- meros pares divisíveis por 5 (ou os números divisíveis por 5 que são pares) são, necessariamente, divisíveis por 10, pois são aqueles que têm o zero como algarismo das unidades. Também de- vem perceber que nenhum número ímpar pode ser di- visível por 10, pois nenhum número ímpar termina em zero. No exercício 27, lembramos ser bastante comum a exis- tência, sobretudo nos gran- des edifícios comerciais, de elevadores que atendem somente a determinados andares, facilitando a orga- nização do acesso e evitan- do o desperdício de energia. Essa pode ser uma ponte para uma discussão sobre maneiras de evitar gastos desnecessários de energia, preocupação cada vez mais premente no mundo atual. Divisibilidade por 3 Ainda nesta página, intro- duzimos o critério de divi- sibilidade por 3. Antes de trabalhar a página seguinte, sugira aos alunos que tentem montar um fluxograma para representar esse critério. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxo- grama que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um nú- mero natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 96 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 29 Qual é a resposta correta da pergunta feita por Daniela? 995; 998; 990 26 Um número par pode ser divisível por 5? E um número ímpar pode ser divisível por 10? Justifique sua resposta. MARCIO GUERRA Qual é o maior número de três algarismos que é divisível por 5? E qual é o maior deles divisível por 2? E por 10? 27 Em um edifício de 20 andares, há vários ele- vadores. Um deles, com defeito, só para nos andares cujo número é múltiplo de 2; outro, também avariado, só para nos andares cujo número é múltiplo de 5. Considerando o térreo o andar zero, em quais andares se pode pegar qualquer um desses dois elevadores? Sim, quando ele termina em zero. Não, pois um número ímpar nunca termina em zero. no térreo, no 10o e no 20o andar 28 Reúna-se com um colega, acompanhem o raciocínio e registrem as resoluções e as res- postas no caderno. a) 130 é divisível por 2 porque 130 5 65 8 2. E 130 é divisível por 5? Por quê? b) Substituam os pelos números que tornam as igualdades verdadeiras. 2; 5; 10 130 5 13 8 (5 8 ) 5 13 8 ( 8 2) 5 13 8 c) 130 é divisível por (5 8 2)? Por quê? d) Todo número divisível por 2 também é divisível por 5? Explique. 28. e) Sim, porque, se um número é divisível por 2, ele termina em 0, 2, 4, 6 ou 8; se é divisível por 5, termina em 0 ou 5. Logo, esse número termina em 0, ou seja, é divisível por 10. a) Sim, porque 130 5 26 8 5. c) Sim, porque 130 5 13 8 10. 30 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisibilidade por 2, 5 ou 10 criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! d) Não; isso só ocorre com os números divisíveis por 2 que terminam em zero. Divisibilidade por 3 Agora, considere as divisões. 258 3 18 86 0 5.322 3 23 1.774 22 12 0 625 3 02 208 25 1 ƒ 258 é divisível por 3; ƒ a soma dos valores absolutos dos algarismos do número 258 é 2 1 5 1 8 515, que é divisível por 3. ƒ 5.322 é divisível por 3; ƒ a soma dos valores absolutos dos algaris- mos do número 5.322 é 5 1 3 1 2 1 2 5 12, que é divisível por 3. ƒ 625 não é divisível por 3; ƒ a soma dos valores absolutos dos algaris- mos do número 625 é 6 1 2 1 5 5 13, que não é divisível por 3. Vamos pesquisar. Na calculadora, escreva alguns números cuja soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3. Depois escreva outros números cuja soma dos valores absolutos dos algarismos não é divisível por 3. Divida todos esses números por 3. Verifique em qual dos grupos as divisões são exatas. Compare sua conclusão com a de alguns colegas. 25 Qual é o resto da divisão do número 98.543 por 2? E por 5? E por 10? 1; 3; 3 e) Escolham um número que seja divisível por 2 e por 5. Esse número é divisível por 10? Por quê? SIDNEY MEIRELES
- 163. 97 BIMESTRE 2 Orientações Analise com os alunos o flu- xograma apresentado sobre o critério de divisibilidade por 3. Depois, se necessário, relembre o critério de divisi- bilidade por 2. Em seguida, apresente o critério de di- visibilidade por 6 e analise o fluxograma que o repre- senta. Eles devem perceber que, nesse caso, o fluxogra- ma tem uma etapa a mais do que os anteriores. Incen- tive-os a dizer por que isso ocorre. Espera-se que eles percebam que há a necessi- dade de verificar dois crité- rios: o da divisibilidade por 2 e o da divisibilidade por 3. A divisibilidade por 6 será retomada no capítulo 5. Exercícios propostos O bloco de exercícios explo- ra todos os critérios de divi- sibilidade estudados até o momento. Explique aos alu- nos o papel de um contrae- xemplo, que é um exemplo que pode ser usado para justificar a falsidade de uma afirmação. No caso de uma afirmação verdadeira, mos- trar um exemplo não com- prova esse fato (nesse caso, não há contraexemplos). No exercício 35, por exem- plo, para responder à per- gunta do item a, pode-se apresentar o contraexem- plo: 4 é múltiplo de 2, mas não é múltiplo de 6, o que justifica a resposta “não”. Já na pergunta do item b, como ela é verdadeira, não basta mostrar um exemplo (como 12 é múltiplo de 6 e também é de 2) para justi- ficar sua veracidade. A jus- tificativa deve conter uma argumentação válida para todos os números nessa con- dição, por exemplo: todo número natural que é múl- tiplo de 6 tem o fator 2 (pois 6 5 2 8 3) e, portanto, é tam- bém múltiplo de 2. Descubra o maior número de três algarismos divisível por 3 que pode ser formado com os algarismos 2, 3, 6 ou 7, sem repetir nenhum deles. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 97 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Divisibilidade por 6 Observe os exemplos a seguir. a) Já sabemos que o número 42 é divisível por 2 e por 3. Ele também é divisível por 6, pois 7 8 6 5 42. b) O número 64 é divisível por 2, mas não é divisí- vel por 3. Além disso, ele também não é divisível por 6, pois a divisão de 64 por 6 não é exata. c) O número 75 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Ele também não é divisível por 6. O fluxograma ao lado representa a divisibilidade por 6. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas sempre é verdade que: 31 Dado o número 43 ? , determine quais algaris- mos podem ser colocados no lugar de ? para que o número formado seja divisível: a) por 2; d) por 2 e não por 3; 0, 4 e 6 b) por 3; 2, 5 e 8 e) por 3 e não por 6. 5 c) por 6; 2 e 8 0, 2, 4, 6 e 8 MARCIO GUERRA 34 Em um show de prêmios foi apresentado a um dos candidatos o seguinte desafio: Que resposta dá o prêmio à candidata? 762 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Um número natural é divisível por 6 somente quando é divisível por 2 e por 3. 32 Determine para que valores de ? o número 30.6 ? 8 é: a) divisível por 5; b) divisível por 3. Justifique suas respostas. 33 Um número é divisível por 15 quando ele é divisível por 3 e por 5. Quais dos números a seguir são divisíveis por 15? 135, 510 e 480 a) 135 b) 320 c) 363 d) 510 e) 480 35 Responda e justifique. a) Se um número é múltiplo de 2, então ele é múltiplo de 6? b) Se um número é múltiplo de 6, então ele é múltiplo de 2? 35. a) Não, pois um múltiplo de 2 não necessariamente possui o 3 como fator. O próprio número 2 é um exempo disso. b) Sim, pois todo múltiplo de 6 tem o fator 2 e, portanto, também é múltiplo de 2. Veja outros exemplos. a) 156 é divisível por 3 (1 1 5 1 6 5 12, que é divisível por 3). b) 1.370 não é divisível por 3 (1 1 3 1 7 1 0 5 11, que não é divisível por 3). O fluxograma ao lado representa a divisibilidade por 3. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas sempre é verdade que: Um número natural é divisível por 3 somente quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 3. Fluxograma da divisibilidade por 3 Fluxograma da divisibilidade por 6 O número é divisível por 3. O número não é divisível por 3. não sim Fluxograma da divisibilidade por 3 não sim A soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3? O número é divisível por 6. O número não é divisível por 6. não sim O número não é divisível por 6. não sim Fluxograma da divisibilidade por 6 não sim não sim sim O número natural termina em 0, 2, 4, 6 ou 8? A soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3? 32. a) Para nenhum, pois o número não termina em zero nem em 5. b) 1, 4 e 7, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3. NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA
- 164. 98 Divisibilidade por 9 Para tratar do critério de di- visibilidade por 9, pode-se apresentar o critério na lou- sa, que é similar ao da divisi- bilidade por 3, e propor aos alunos que façam um fluxo- grama para representá-lo. Essa proposta exigirá que mobilizem os conhecimen- tos construídos até agora e pode revelar possíveis difi- culdades que ainda tenham. A divisibilidade por 9 será retomada no capítulo 5. Exercícios propostos A divisibilidade por 9 será explorada neste bloco de exercícios desta página, ar- ticulando-se com os conheci- mentos que os alunos cons- truíram sobre os números naturais e as propriedades da adição. Para ampliar o exercício 36, reúna os alunos em grupos e proponha situações simi- lares à questão, variando a quantidade de algarismos dos números ou variando o critério de divisibilidade, usando as divisibilidades por 2, 3, 5, 6 e 10. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxo- grama que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um nú- mero natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 98 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 846 9 36 94 0 2.511 9 71 279 81 0 83.625 9 26 9.291 82 15 6 Divisibilidade por 9 Considere as divisões. ƒ 846 é divisível por 9; ƒ a soma dos valores ab- solutos dos algarismos do número 846 é 8 1 1 4 1 6 5 18, que é di- visível por 9. ƒ 2.511 é divisível por 9; ƒ a soma dos valores abso- lutos dos algarismos do número 2.511 é 2 1 5 1 1 1 1 1 5 9, que é divisível por 9. ƒ 83.625 não é divisível por 9; ƒ a soma dos valores absolu- tos dos algarismos do nú- mero 83.625 é 8 1 3 1 6 1 1 2 1 5 5 24, que não é divi- sível por 9. MARCIO GUERRA Um número natural é divisível por 9 somente quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 9. 37 Discuta as questões com um colega e respon- dam às perguntas a seguir. O número 567 é divisível por 9, pois 5 1 6 1 7 5 18, que é divisível por 9. a) De quantas maneiras podemos escrever (5 1 6 1 7) apenas mudando a ordem dos algarismos? A soma continua sendo 18? Que propriedade da adição garante que a soma seja a mesma? 6; sim; comutativa b) Quantos e quais números naturais de três algarismos diferentes, múltiplos de 9, pode- mos escrever com os algarismos 5, 6 e 7? Eles também são múltiplos de 3? c) O número 3.456 é divisível por 9? Quantos e quais são os números naturais de quatro algarismos diferentes, múltiplos de 9, for- mados por 3, 4, 5 e 6? Eles também são múltiplos de 3? d) Se um número natural é divisível por 9, então também é divisível por 3? sim 36 Em uma gincana, a equipe vencedora seria aquela que apresentasse primeiro cinco núme- ros de três algarismos divisíveis por 9. A equipe amarela saiu na frente com o número 135, mas foi a azul que ganhou. Veja como a equipe azul aproveitou a pista da equipe amarela. Descubra a estratégia da equipe azul e escreva os dois números que faltam. 36. O número 1, o 3 e o 5 somam 9; logo, formam números divisíveis por 9. Assim, a equipe azul apenas alterou a ordem dos algarismos para obter os outros números divisíveis por 9; 513 e 531. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Veja outros exemplos. a) 1.566 é divisível por 9 (1 1 5 1 6 1 6 5 18, que é divi- sível por 9). b) 2.002 não é divisível por 9 (2 1 0 1 0 1 2 5 4, que não é divisível por 9). O fluxograma ao lado representa a divisibilidade por 9. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas sempre é verdade que: Fluxograma da divisibilidade por 9 37 . c) sim; 24; 3.456, 3.465, 3.546, 3.564, 3.645, 3.654, 4.356, 4.365, 4.536, 4.563, 4.635, 4.653, 5.346, 5.364, 5.436, 5.463, 5.634, 5.643, 6.345, 6.354, 6.456, 6.465, 6.534, 6.543; sim O número é divisível por 9. O número não é divisível por 9. não sim por 9 não sim A soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 9? b) 6; 567 , 576, 657 , 675, 756 e 765; sim NELSON MATSUDA
- 165. 99 BIMESTRE 2 Pense mais um pouco... Esta seção apresenta curiosi- dades acerca da divisibilida- de por 9 e pode ser resolvi- da com os alunos reunidos em duplas. Dê um tempo para as duplas discutirem a situação proposta no item a. Depois, peça a uma dupla que explique aos colegas o que entendeu e um aluno venha montar um exemplo na lousa. Discuta com a tur- ma a proposta, garantindo que todas as duplas tenham entendido. Então, peça a cada aluno que registre suas conclusões e, em seguida, compare-as com as anota- ções do colega da dupla. Divisibilidade por 4 No estudo do critério de di- visibilidade por 4, se julgar conveniente, apresente esta outra forma de enunciar esse critério: Se um número pode ser decomposto em múltiplos de 4, então o nú- mero inicial é divisível por 4. Veja os exemplos. •Considere o número 536. É múltiplo de 4 É múltiplo de 4 536 5 500 1 36 Logo, como 536 é a soma de dois múltiplos de 4, en- tão 536 é múltiplo de 4. •Considere agora o número 7.622. Observe a seguinte decomposição: 7.622 5 7.000 1 600 1 22 Como 22 não é múltiplo de 4, então 7.622 não é múlti- plo de 4. A divisibilidade por 4 será retomada no capítulo 5. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 99 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Vamos pesquisar curiosidades sobre a divisibilidade por 9. a) Atribua a x e a y três pares de números com um algarismo, sendo x . y. Para cada par de números, calcule a diferença dos números formados por xy e yx. A seguir, divida essa diferença por 9 e compare o resultado com x 2 y. O que você pode concluir? Compare a sua conclusão com a de um colega. b) Atribua a x, a y e a z três ternos de números com um algarismo, sendo x z. Para cada terno de números, calcule a diferença dos números formados por xyz e zyx. A seguir, divida essa diferença por 9 e compare o resultado com o número formado por algarismos dados por (x – z). O que você pode concluir? Compare a sua conclusão com a de um colega. Pense mais um pouco... (72 2 27) 9 9 5 ? 7 2 2 5 ? (782 2 287) 9 9 5 ? 7 2 2 5 ? 216 4 16 54 0 7.416 4 34 1.854 21 16 0 200 4 00 50 7.689 4 36 1.922 08 09 1 4.524 4 05 1.131 12 04 0 45.200 4 05 11.300 12 000 Divisibilidade por 4 Considere as divisões. As divisões anteriores nos levam a concluir que: ƒ 7.416, 4.524 e 216 são divisíveis por 4. Verifique que 16 e 24 também são. ƒ 7.689nãoédivisívelpor4.Verifiqueque89tambémnãoé. ƒ 200 e 45.200 são divisíveis por 4 e terminam em 00. O fluxograma ao lado representa a divisibilidade por 4. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas sempre é verdade que: Um número natural é divisível por 4 somente quando termina em 00 ou quando o número formado por seus dois últimos algarismos à direita é divisível por 4. (xyz 2 zyx) 9 9 é o número de dois algarismos iguais a (x 2 y). SIDNEY MEIRELES Fluxograma da divisibilidade por 4 O aluno deve concluir que (xy 2 yx) 9 9 5 x 2 y. O número é divisível por 4. O número não é divisível por 4. não sim por 4 O número é O número não é não sim O número natural termina em 00 ou seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4? NELSON MATSUDA
- 166. 100 Exercícios propostos As atividades propostas nes- ta página exploram a divisi- bilidade por 4 e retomam as demais. Para expandir o trabalho com o exercício 40, solicite aos alunos a explicação da resolução de cada item. Veja- mos algumas possibilidades. a) Como o número 5.314 é par, basta adicioná-lo a zero. b) A soma dos algarismos do número 5.314 é igual a 13. Como depois do 13 o próxi- mo múltiplo de 3 é o número 15, essa deve ser a soma dos algarismos do número divisí- vel por 3, o que significa adi- cionar 2 ao número original. c) 14 não é divisível por 4, mas o múltiplo seguinte mais próximo é 16, ou seja, basta adicionar 2 a 5.314. d) 5.314 termina em 4, en- tão basta adicionar 1 para que termine em 5. e) Considerando as respos- tas de a e b, concluímos que basta adicionar 2 a 5.314. f ) Já vimos que a soma dos algarismos do número 5.314 é igual a 13, ou seja, o pró- ximo múltiplo de 9 é 18, o que significa adicionar 5 ao número original. Pense mais um pouco… Esta seção desafia os alu- nos a organizarem as con- clusões extraídas de cada informação e, principal- mente, as conclusões esta- belecidas pela combinação dessas informações. Eles po- dem se reunir em duplas a fim de buscar uma maneira mais adequada de organi- zar os dados para levantar hipóteses e tirar conclusões. É de extrema importância que retomem as informações iniciais para verificar se as respostas obtidas estão real- mente de acordo, uma vez que conclusões erradas leva- rão a respostas erradas. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. 57 56 8 134 54 7 8 9392 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 100 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO MARCIO GUERRA ILUSTRAÇÕES: FABIO EUGÊNIO 38 Verifique mentalmente quais dos números a seguir são divisíveis por 4. 932, 1.040 a) 932 b) 1.040 c) 842 40 Determine o menor número que somado a 5.314 resulta em um número: a) divisível por 2; zero b) divisível por 3; 2 c) divisível por 4; 2 d) divisível por 5; 1 e) divisível por 6; 2 f) divisível por 9. 5 Os rapazes 1, 2, 3 e 4 namoram uma das garotas A, B, C e D. Observe atentamente os textos e as placas com o final dos números dos telefones e diga qual é o nome das quatro garotas e quem são seus respectivos namorados. 1 A B C D 2 3 4 Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Pense mais um pouco... 39 Em um restaurante, todas as mesas têm 4 lugares. É possível que a capacidade desse restaurante seja de 314 lugares? E de 308? Justifique suas respostas. 41 Qual é o menor número natural diferente de 1 que dividido por 3, 4 ou 5 dá resto 1? 61 42 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisibilidade criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elabo- rado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 4 e A (Marilda) 2 e B (Joana) 3 e C (Sofia) 1 e D (Cristina) Eu não me chamo Cristina. Cristina e Joana têm um encontro marcado. O final do número do telefone do meu namorado é divisível por 4. Namoro a Marilda. Ela é loira. Não, pois 314 não é divisível por 4; sim, pois 308 é divisível por 4. Sofia é minha namorada.
- 167. 101 BIMESTRE 2 Números primos Depois de apresentar os conceitos de números pri- mos e números compostos, peça aos alunos que descu- bram todos os números pri- mos de 1 a 50. Isso pode ser feito em uma roda de con- versa na qual todos, organi- zadamente, podem colocar suas opiniões e justificativas. Quando algum aluno in- dicar um desses números como composto, peça a ele que mostre na lousa uma maneira de registrar tal nú- mero por meio de uma mul- tiplicação não envolvendo o número 1 como fator. Isso contribuirá para a apreen- são do conceito de número composto pelos alunos. Exercícios propostos Usando o mesmo contexto do exercício 44, é possível fazer outras perguntas aos alunos e solicitar que rela- tem situações cotidianas em que o uso do calendário é significativo. É comum, por exemplo, sem ter todos os meses no calendário, dese- jar saber em que dia de uma semana posterior será deter- minada data. No exercício 50, veja a se- guir uma possível tabela para o item b e um possível gráfico para o item c. b) Número Quantidade de divisores 7 2 10 4 35 4 41 2 75 6 77 4 Dados obtidos pela determina- ção dos divisores. c) Divisores por números Quantidade de divisores 2 4 6 10 7 35 41 75 77 Números Dados obtidos pela determinação dos divisores. REINALDO VIGNATI Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 101 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 50 Considere os números 7, 10, 35, 41, 75 e 77. a) Determine todos os divisores de cada número. b) Construa uma tabela com duas colunas e sete linhas, registrando os números e a quan- tidade de divisores. construção da tabela c) Construa um gráfico de colunas correspon- dente a essa tabela. construção do gráfico d) Qual desses números apresenta maior quantidade de divisores? 75 e) Entre os números apresentados, existem números primos? Quais? Justifique. MARCIO GUERRA 45 Existe um número que é par e é primo ao mesmo tempo. Que número é esse? Existem outros números nessas condições? o 2; não 43 Classifique os números a seguir em primo ou composto. a) 14 composto c) 17 primo e) 296 b) 11 primo d) 21 composto f) 37 primo a) Há algum domingo representado por um número primo? Qual? sim; dia 11 b) Quantos fins de semana (sábado e domin- go) existem nesse mês cujos dois dias são representados por números primos? c) Qual dia da semana desse mês é represen- tado por uma quantidade maior de números primos? sábado (dias 3, 17 e 31) Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, … são números primos. Existem também números naturais que têm mais de dois divisores distintos. O número 12 é um deles. Seus divisores são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 3 Números primos Existem números que têm somente dois divisores distintos (diferentes). O número 5 é um deles. Seus divisores são apenas o 1 e o 5. Número primo é todo número que tem apenas dois divisores naturais distintos: o número 1 e o próprio número. Todo número natural que tem mais de dois divisores distintos é chamado de número composto. Por exemplo, os números 4, 9, 10, 15, 94 e 105 são números compostos. O número 1 não é primo nem composto, pois tem um único divisor natural, que é ele mesmo. 50. a) divisores de 7: 1, 7; divisores de 10: 1, 2, 5, 10; divisores de 35: 1, 5, 7, 35; divisores de 41: 1, 41; divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75; divisores de 77: 1, 7, 11, 77 Sim; o 7 e o 41; ambos têm apenas dois divisores distintos. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 44 Observe o calendário do mês de março de determinado ano. 46 Existe algum múltiplo de 3 que seja primo? Qual? sim; o 3 47 Existe algum múltiplo de 3, diferente de 3, que seja primo? Justifique sua resposta. 48 A soma dos algarismos de um número é 27. Esse número é primo? Por quê? 49 Qual é o menor número de dois algarismos que é primo? E qual é o maior? 11; 97 Não, pois ele tem mais de dois divisores (por exemplo, o 3). Não, pois todo múltiplo de 3, diferente de 3, é divisível por 3. composto nenhum
- 168. 102 Exercícios propostos Introduzindo um fato da história da Matemática, o exercício 51 oferece uma oportunidade prática para a compreensão do termo “conjectura”, sem exigir de- monstrações formais. Isso não diminui o mérito das experimentações solicitadas, que, ao contrário, incitam a curiosidade dos alunos em comprovar a validade da conjectura. Caso questionem a eficácia do método experi- mental, pode-se argumentar que não é possível fazer ex- perimentações com todos os números naturais, pois são infinitos. Vale lembrar que algumas demonstrações exi- gem apenas encontrar um contraexemplo – recurso mais natural para a faixa etária. Pense mais um pouco... Nesta seção, os alunos po- dem trabalhar em duplas ou trios para testarem dife- rentes hipóteses e refinarem suas estratégias. Tão impor- tante quanto chegar à res- posta, é explicar o caminho de resolução. Então, sorteie algumas duplas para expor sua resolução aos colegas. Decomposição em fatores primos Antes de iniciar o estudo da decomposição em fatores primos, apresente alguns números naturais na lousa para os alunos expressarem por meio de multiplicações, registrando-as no caderno. Espera-se que percebam que, se o número é com- posto, há maneiras diferen- tes de decompô-lo usando multiplicação; se o número for primo, haverá só uma maneira: o produto de 1 pelo próprio número. Em seguida, proponha a de- composição dos números compostos apresentados na lousa usando apenas fatores que são números primos e proceda do mesmo modo. Neste caso, espera-se que percebam que todos encon- traram a mesma decompo- sição. Essa discussão inicial promoverá uma compreen- são maior do assunto. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 102 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE P ed ro M aria ILUSTRAÇÕES: DANIEL ZEPPO Sabendo que Pedro tem menos de 50 anos, descubra a sua idade hoje. 31 anos Decomposição em fatores primos Todo número natural composto pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores diferentes de 1. Veja, por exemplo, 36 decomposto em um produto de dois fatores diferentes de 1: Vamos prosseguir, decompondo os fatores que são números compostos também em um produto de dois fatores, até que fiquem somente fatores primos: ou ou 36 2 8 18 36 4 8 9 36 6 8 6 36 4 8 9 2 8 2 8 3 8 3 22 8 32 36 2 8 18 2 8 2 8 9 2 8 2 8 3 8 3 22 8 32 ou ou 36 6 8 6 2 8 3 8 2 8 3 22 8 32 FABIO EUGÊNIO 51.a) resposta possível: afirmação provavelmente verdadeira b) respostas possíveis: sim; 4 5 2 1 2, 6 5 3 1 3, 8 5 3 1 5, 10 5 3 1 7, 12 5 5 1 7, 14 5 3 1 11, 16 5 5 1 11, 18 5 7 1 11, 20 5 3 1 17, 22 5 3 1 19 c) respostas possíveis: 200 5 103 1 97, 200 5 127 1 73; sim 51 Reúna-se com um colega, leiam o texto a seguir e façam, no caderno, o que se pede. número par, maior que dois, é a soma de dois primos”. Vejam alguns exemplos: 138 5 37 1 101; 974 5 313 1 661 a) Pesquisem em um dicionário e escrevam o significado da palavra conjectura. b) Essa conjectura vale para os dez primeiros números pares maiores do que 2? c) Mostrem que essa conjectura vale para 200. Agora respondam: Há mais de uma resposta possível? d) Cada um escolhe um número par de três algarismos para o outro verificar essa conjectura. Resposta pessoal. Em 1742, da troca de cartas entre dois ma- temáticos, Christian Goldbach e Leonard Euler, surgiu a conjectura de Goldbach: “Todo LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Há seis anos, a idade de Pedro era um número ímpar e um quadrado perfeito. Hoje, minha idade é um número primo e há dois anos também era.
- 169. 103 BIMESTRE 2 Orientações A apresentação do processo da decomposição em fatores primos pode ser feita em um trabalho em duplas, em que cada dupla acompanhará o procedimento mostrado no livro e analisará os exemplos da página. Depois, propo- nha um novo número para a dupla decompor em fatores primos, aplicando o proces- so que estudaram. Percorra a sala para perceber as di- ficuldades e fazer interven- ções que auxiliem os alunos a resolvê-las. Em seguida, um aluno de alguma dupla vai à lousa mostrar a decom- posição que fizeram, expli- cando aos demais colegas como pensaram. Se julgar conveniente, pro- ponha novos números para serem decompostos e pro- ceda de maneira similar com cada um deles. Ao final, dis- cuta com os alunos as dúvi- das que surgiram para per- ceberem se há ainda alguma dificuldade na compreensão do processo. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 103 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Quando um número está decomposto em um produto em que todos os fatores são números primos, dizemos que esse número está decomposto em fatores primos. Portanto, o produto 22 8 32 é a decomposição em fatores primos do número 36. Observe que pode haver diferentes maneiras de decompor um número natural em um pro- duto de dois ou mais fatores, mas a decomposição em fatores primos é única. Para efetuar a decomposição, pode-se dividir o número dado pelo seu menor divisor primo. Depois, procede-se da mesma maneira com o quociente obtido, até encontrar o quociente 1. Vamos ver alguns exemplos de como decompor o número 60 em fatores primos: Podemos escrever: 60 5 2 8 2 8 3 8 5 ou 60 5 22 8 3 8 5 Também podemos efetuar a decomposição do número 60 dos seguintes modos. Veja que o resultado é o mesmo: 60 5 22 8 3 8 5 Agora, observe a decomposição em fatores primos dos números 180, 98 e 540. DANIEL ZEPPO 60 30 15 5 1 2 2 3 5 O menor divisor primo de 60 é 2; divide-se 60 por 2. O menor divisor primo de 30 é 2; divide-se 30 por 2. O menor divisor primo de 15 é 3; divide-se 15 por 3. O menor divisor primo de 5 é 5; divide-se 5 por 5. Encontramos o quociente 1. 540 5 2 8 2 8 3 8 3 8 3 8 5 540 5 22 8 33 8 5 180 5 2 8 2 8 3 8 3 8 5 180 5 22 8 32 8 5 98 5 2 8 7 8 7 98 5 2 8 72 180 90 45 15 5 1 2 2 3 3 5 98 49 7 1 2 7 7 540 270 135 45 15 5 1 2 2 3 3 3 5 60 20 10 2 1 2 2 5 2 60 12 6 3 1 5 2 2 3 60 30 10 5 1 2 3 2 5
- 170. 104 Exercícios propostos Para ampliar o trabalho com o exercício 55 proponha aos alunos questões como: •Que base e que expoente você precisa mudar em B para que A 1 B resulte em 291? (É preciso mudar a base 2 para 1 e o expoente do fator 5 deve mudar de 1 para 2, ou seja, B 5 12 8 8 32 8 52 .) •Qual expoente você deve mudar em A para que A 1 1 B resulte em 378? (É pre- ciso mudar o expoente do fator 3 de 1 para 2, ou seja, A 5 2 8 32 8 11.) Para saber mais A seção introduz os concei- tos de máximo divisor co- mum (mdc) e mínimo múl- tiplo comum (mmc), que serão tratados também no ano seguinte mais profun- damente. Se julgar conve- niente, proponha alguns problemas que envolvam esses conceitos. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 104 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE mdc e mmc Em uma escola, as turmas de 6o ano planejaram um evento que contou com a partici- pação de todos os alunos. O 6o ano A tem 48 alunos, o 6o ano B, 36 alunos, e o 6o ano C tem 30 alunos. Cada turma formou suas equipes com o seguinte critério: todas as equipes tinham o mesmo número de alunos e o maior número possível deles. Para descobrir o número n de alunos de cada equipe, os organizadores pensaram assim: n tem de ser um divisor de 48, de 36 e de 30. • divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48; • divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36; • divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Os divisores comuns a 48, 36 e 30 são 1, 2, 3 e 6. Assim, para terem o mesmo número de participantes, as equipes deveriam ter 1, 2, 3 ou 6 alunos. Como o critério era o maior número possível, cada equipe deveria ter 6 alunos, que é o maior divisor comum (mdc) de 48, de 36 e de 30. PARA SABER MAIS Precisamos calcular o mdc de 48, de 36 e de 30. 52 Determine o menor divisor primo de: a) 64; 2 b) 75; 3 c) 85; 5 d) 49. 7 54 Um número natural decomposto em fatores primos é representado assim: 23 8 32 8 7. Que número é esse? 504 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 53 Decomponha os números a seguir em fatores primos. a) 120 c) 168 e) 117 b) 144 d) 225 f) 125 55 A 5 2 8 3 8 11 e B 5 22 8 32 8 5 são as decom- posições de dois números naturais. Calcule A 1 B. 246 a) 120 5 23 8 3 8 5 b) 144 5 24 8 32 c) 168 5 23 8 3 8 7 d) 225 5 32 8 52 e) 117 5 32 8 13 f) 125 5 53 IZAAC BRITO
- 171. 105 BIMESTRE 2 Agora é com você! Discuta cada questão com os alunos para se certificar de que compreenderam os enunciados. Na questão 1, espera-se que eles percebam que a medida do ângulo procurado deve ser expressa por um número que é o maior divisor de 60° e 90°, simultaneamente (o mdc entre eles). Já na questão 2, os alunos deverão perceber que a dis- tância procurada, que de- termina o próximo “ploc” juntos, é dada pelo menor múltiplo comum não nulo das distâncias a que cada roda faz “ploc” (o mmc en- tre essas distâncias). Socialize com a turma os di- ferentes procedimentos que surgirem, validando-os com os alunos. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 105 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO As irmãs Edi, Eni e Eti programaram os seus celulares para despertar às 7 horas, com repetição a cada 4, 6 e 8 minutos, respectivamente. Depois das 7 horas, quanto tempo se passou para os celulares voltarem a tocar juntos novamente? Para resolver essa questão, vamos considerar os múltiplos das repetições de cada uma delas. ƒ Edi: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, ... ƒ Eni: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ... ƒ Eti: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ... Os tempos de repetição comuns aos três celulares são: 24, 48, 72, ... Depois das 7 horas, os três celulares despertarão primeiro após 24 minutos, o menor múltiplo comum (mmc) com exceção do zero. mmc 1 Liz comprou duas pizzas, uma cortada em seis pedaços iguais que lembram ângulos de 60º, a outra em pedaços iguais que lembram ângulos de 90º. Liz quer repartir as duas pizzas em pedaços de igual tamanho, o maior possível. Quantos graus deverá ter o ângulo que cada novo pedaço de pizza lembra? 30° 2 As rodas A e B fazem um “ploc” e partem em trilhos paralelos. A roda A faz um “ploc” a cada 6 cm e a roda B, a cada 10 cm. Depois da partida, quantos centímetros elas andam até fazerem um “ploc” juntas novamente? 30 cm rod a B rod a A TEL COELHO ILUSTRAÇÕES: MÁRIO MATSUDA Agora é com você!
- 172. 106 Trabalhando a informação O objetivo principal desta seção é a construção de grá- ficos de barras a partir de uma tabela. Essa atividade permite explorar: •duas formas de represen- tação: tabela e gráfico de barras; •o conceito de escala, pois podem ser construídos grá- ficos em diferentes escalas e discutir a escolha da es- cala; •a construção das barras do gráfico – podem-se apre- sentar alguns gráficos de barras nos quais a distân- cia entre as barras varie e promover uma discussão a fim de que os alunos per- cebam que, para garantir a clareza na interpretação das informações, é conve- niente que a distância en- tre as barras seja igual; •a leitura e a interpretação de tabelas e gráficos de barras. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 106 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE Construindo um gráfico de barras De acordo com o Sistema Nacional de Bibliotecas Públicas (SNBP), no ano 2015 em todo o Brasil havia 6.102 bibliotecas. Veja na tabela abaixo os seis estados que possuem o maior número de bibliotecas fundadas até 2015. Número de bibliotecas públicas em 2015 Estado Bibliotecas Minas Gerais 888 São Paulo 842 Rio Grande do Sul 523 Paraná 474 Bahia 442 Santa Catarina 296 Dados obtidos em: Sistema Nacional de Bibliotecas Públicas (SNBP). Disponível em: http://snbp.culturadigital.br. Acesso em: 18 jul. 2017. Dados obtidos em: Sistema Nacional de Bibliotecas Públicas (SNBP). Disponível em: http://snbp.culturadigital.br. Acesso em: 18 jul. 2017. ADILSON SECCO N ú mero de bibl iotecas E stado N ú mero de bibl iotecas pú bl icas em 2015 0 200 400 600 800 1. 000 S C BA P R R S S P M G 442 474 523 842 888 296 Também é possível organizar e apresentar essas informações em um gráfico de barras. Veja. Para construir esse gráfico, com o auxílio de uma régua, adotamos os seguintes procedimentos: • Traçamos uma linha horizontal, onde será registrada a quantidade de bibliotecas, e uma linha vertical, na qual serão indicados os estados. • Escolhemos uma unidade de medida adequada de modo que caibam, na linha horizontal, os valores indicados na tabela, e outra unidade de medida de modo que caibam, na linha vertical, as larguras das barras. Para facilitar a leitura, convém que essas larguras sejam iguais.
- 173. 107 BIMESTRE 2 Agora quem trabalha é você! A seguir, apresentamos um possível gráfico para o item c, da questão 2. Número de livros emprestados Dias da semana Quinta-feira Sexta-feira 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Quarta-feira Terça-feira Segunda-feira Quantidade Dados obtidos das anotações do bibliotecário. Se julgar oportuno, oriente os alunos a coletarem dados sobre empréstimos de livros na biblioteca da escola para fazer um gráfico com dados reais de sua escola. REINALDO VIGNATI 107 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 1 Faça mais algumas interpretações do gráfico de barras apresentado anteriormente. a) Quantas bibliotecas existiam no estado de São Paulo em 2015? 842 b) Em 2015, quantas bibliotecas os estados de Santa Catarina e do Rio Grande do Sul possuíam juntos? c) E hoje, quantas bibliotecas existem em seu estado e em sua cidade? Faça uma pesquisa na internet para responder. Resposta pessoal. 2 O bibliotecário é o profissional que mantém organizados os dados relativos a empréstimos de livros. Veja na tabela abaixo quantos livros foram emprestados nessa biblioteca ao longo da semana. a) Em um gráfico de barras que represente os dados dessa tabela, qual dia da semana deve ter a barra de maior comprimento? E qual dia deve ter a barra de menor comprimento? sexta-feira; quarta-feira b) Há alguma barra desse gráfico que deva ter o dobro do comprimento de outra barra? Quais barras? Por quê? c) Construa um gráfico de barras para representar os dados dessa tabela. construção do gráfico Dados obtidos das anotações do bibliotecário. Número de livros emprestados (semana de 6 a 10 de março de 2017) Dia da semana Quantidade Segunda-feira 12 Terça-feira 15 Quarta-feira 9 Quinta-feira 18 Sexta-feira 20 b) Sim; a barra da quinta-feira deve ter o dobro do comprimento da barra da quarta- -feira, pois na quinta-feira houve o dobro de empréstimos da quarta-feira. 819 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! • Traçamos as barras. A barra relativa a Minas Gerais deve ter comprimento 888, pois esse estado possuía 888 bibliotecas em 2015. Da mesma forma, a barra relativa ao estado de São Paulo deve ter comprimento 842, pois em 2015 havia 842 bibliotecas em São Paulo. Assim, as barras relativas aos estados do Rio Grande do Sul, Paraná, Bahia e Santa Catarina devem ser construídas com 523, 474, 442 e 296 de comprimento, respectivamente. • Completamos o gráfico nomeando as linhas vertical e horizontal, chamadas de eixos, dando um título ao gráfico e indicando a fonte dos dados. Há gráficos de barras em que o eixo hori- zontal é omitido. Nesses casos, necessariamente, os valores são colocados à direita ou acima das respectivas barras. Algumas interpretações podem ser feitas pela análise do gráfico: • Em 2015, Minas Gerais possuía praticamente o dobro da quantidade de bibliotecas da Bahia. Podemos afirmar isso porque o comprimento da barra referente ao estado de Minas Gerais (888) tem quase o dobro do comprimento da barra da Bahia (442). • Entre os estados apresentados, o que possuía a menor quantidade de bibliotecas em 2015 era Santa Catarina. • O Rio Grande do Sul em 2015 possuía 49 bibliotecas a mais que o Paraná.
- 174. 108 Exercícios complementares Este bloco de exercícios am- plia as oportunidades de retomada e aplicação dos conceitos do capítulo. Após a resolução do exercício 1, pode-se apresentar aos alu- nos esta resolução. Primeiro, faça um quadro com os nú- meros possíveis (consideran- do a informação “há menos de 50 pessoas”). Depois, marque os números de acordo com as informa- ções do enunciado: •de 6 em 6 sobram 3 1o eliminam-se todos os múlti- plos de 6 (com negrito cin- za), 2o marcam-se os núme- ros que têm 3 unidades a mais que cada múltiplo de 6 (com negrito preto); •de 7 em 7 sobram 3 1o eliminam-se todos os múl- tiplos de 7 (com negrito itálico), 2o marcam-se os números que têm 3 unida- des a mais que cada múlti- plo de 7 (sublinhado). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Como resposta, só são vá- lidos os números marcados em negrito preto e sublinha- dos (simultaneamente), mas que não foram eliminados. Nessas condições, apenas o número 45: é menor que 50; quando a contagem se dá de 6 em 6, sobram 3 (45 divi- dido por 6 resulta 7 com res- to 3); quando a contagem se dá de 7 em 7, sobram 3 (45 dividido por 7 resulta 6 com resto 3). É interessante que os alunos comparem essa resolução com a deles, buscando se- melhanças e diferenças. No exercício 9, é importan- te organizarem os números possíveis para eliminarem com confiança os que não têm as características descri- tas. Fique atento aos alunos que fazem tentativas aleató- rias, pois as dicas dadas são fundamentais para levantar hipóteses e elaborar conjec- turas. Habilidades trabalhadas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 108 CAPÍTULO 4 DIVISIBILIDADE 121 3. O número 34.524 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3. 5. a) O número 260 é divisível por 2 e por 5, mas não por 3. b) Sim, pois ele termina em 5. a) Não, pois ele não é par. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1 Na fila da bilheteria de um teatro, há menos de 50 pessoas. Contando essas pessoas de 6 em 6, sobram 3. Contando-as de 7 em 7, também sobram 3. Quantas pessoas estão na fila nesse momento? 45 2 Ana possui de 100 a 150 DVDs. Agrupando- -os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta um. Quantos DVDs Ana tem? 3 Verifique mentalmente se o número 34.524 é divisível por 6. Justifique sua resposta. 4 Determine o menor número de três algarismos distintos que seja: a) divisível por 2; 102 b) divisível por 3; 102 c) divisível por 5; 105 d) divisível por 6. 102 5 Das sentenças abaixo, descubra as que são falsas e corrija-as. sentenças a e b a) O número 260 é divisível por 2, por 3 e por 5. b) O número 2.040 é divisível por 2, mas não por 3. c) O número 3.065 é divisível por 5, mas não é divisível por 3. d) O número 18.756 é divisível por 4 e por 9. O número 2.040 é divisível por 2 e por 3. 6 Uma pessoa deseja efetuar, com o auxílio de uma calculadora, a divisão de um número por 36, mas a tecla 6 está com defeito. Como ela poderia fazer essa divisão? 7 Dividindo-se um número por 10, restou 5. a) Esse número é divisível por 2? Por quê? b) Esse número é divisível por 5? Por quê? 8 Ari lê o número de quatro placas de auto- móveis. RIA-8000, IRA-5670, AIR-4004 e RAI-2600. Em qual dessas placas o número é divisível por: a) 1.000 1a b) 100 c) 10 1a e 4a 1a , 2a e 4a 9 Joaquim possui menos de 100 bolinhas de gude. Quando ele conta de 7 em 7, sobra 1 bolinha; quando conta de 6 em 6, sobram 3; e quando conta de 5 em 5, sobram 2. Quantas bolinhas de gude Joaquim possui? 57 10 Usando uma calculadora em que a tecla 1 não funciona, como é possível, efetuar a multipli- cação de um número por 12? 11 Que algarismo deve ser colocado à esquerda de 283 para que se obtenha um número divisível por 9? 5 Multiplicando o número por 3 e, depois, por 4; ou por 2 e, depois, por 6. sim 13 Uma florista tem 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas. Ela pretende montar o maior nú- mero de ramalhetes que contenha, cada um, o mesmo número de rosas brancas e o mesmo número de rosas vermelhas. a) Dessa forma, qual o maior número de ra- malhetes que a florista poderá montar? 20 b) Quantas rosas brancas e quantas rosas ver- melhas terá cada um desses ramalhetes? 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas 12 Alfredo pensou no número 518, trocou a or- dem dos algarismos e obteve 815. Subtraindo o menor do maior, obteve 297. Esse número é múltiplo de 9? sim, 297 é múltiplo de 9. Agora, pense em um número e realize os mes- mos passos do cálculo de Alfredo. O resultado da subtração em seu cálculo é divisível por 9? 15 (Unifacs-BA) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 5. Nessas condições, se forem formadas equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobra é: alternativa a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 14 Quando um número termina em 5, ele: a) é divisível apenas por 5. b) pode ser divisível por 2. c) pode ser divisível por 3. d) pode ser divisível por 10. alternativa c 16 (UFMG) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9, 11 é: a) 330. c) 676. e) 996. b) 66. d) 990. 17 O mdc de três números primos é: a) o menor deles. c) o número 1. b) o maior deles. d) o produto deles. 182 18 Determine o menor número que dividido por 12, por 15 e por 36 tem sempre resto igual a 2. alternativa c alternativa d Dividiria por 2 e, depois, por 18; ou por 3 e, depois, por 12; ou por 4 e, depois, por 9.
- 175. BIMESTRE 2 109 Material Digital Audiovisual • Áudio: Teorema e conjectura Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual As palavras algarismo e algoritmo, comuns nos livros de Matemática, têm origem no nome de Al-Khwarizm , o maior matemático da época de ouro do islamismo, no século IX, em Bagdá. Um dos mais importantes livros árabes da Idade Média, escrito por Al-Khwarizm , cujo título é Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr al-muqabala (“Pequena obra sobre o cálculo da redução e da confrontação”), deu origem à palavra álgebra. Trata-se de um livro sobre a resolução de equações (a ser estudada no próximo ano) com o auxílio de duas operações: al-jabr, que seria a “restauração” ou a “transposição de termos”, e al-muqabala, que seria a “redução de termos semelhantes”. 5Um pouco de Álgebra Capítulo Estátua de Al-Khwarizm na cidade de Khiva, Uzbequistão. (Foto de 2014.) RAIMUND FRANKEN/GETTY IMAGES 109 CAPÍTULO 5 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Compreender o que é uma variável e saber reconhecê- -la em expressões ou sen- tenças matemáticas. •Reconhecer a linguagem algébrica. •Justificar alguns critérios de divisibilidade de núme- ros naturais. •Conhecer e aplicar as pro- priedades de uma igualda- de: princípio aditivo e prin- cípio multiplicativo. •Explorar sequências numé- ricas e figurais e observar seus padrões. •Interpretar e construir grá- ficos de colunas. Orientações gerais Neste capítulo, cujo foco é a Unidade Temática Álgebra, tratamos do conceito de va- riável, da utilização de letras para representar números naturais quaisquer e da no- tação algébrica em diversas situações, como na demons- tração de algoritmos de alguns critérios de divisibili- dade de números naturais. Além disso, amplia-se o tra- balho com gráficos, abor- dando a construção de um gráfico de colunas. A abertura apresenta a ori- gem das palavras algaris- mo, algoritmo e álgebra, destacando o matemático Al-Khwarizm . Cabe, nesse momento, salientar a impor- tância dos árabes no desen- volvimento da Matemática e na sua divulgação. Sugestão de leitura Para enriquecer essa discussão, su- gerimos o site: http://iqaraislam.com/conheca- a-obra-de-al-khwarizmi-o-pai-da- algebra/. Acesso em: 24 maio 2018.
- 176. 110 Apresentando a variável Analise com os alunos a situa- ção apresentada na ques- tão do Enem e proponha a construção da sequência de figuras, ampliando com eta- pas além das apresentadas. Eles devem perceber que existe uma relação entre a quantidade de canudos e a de quadrados que compõem cada figura da sequência. Para isso, os alunos podem montar um quadro como o mostrado a seguir (uma coluna com a quantidade de canudos e a outra com a quantidade de quadrados construídos). Quantidade de canudos Quantidade de quadrados 4 1 7 2 10 3 13 4 16 5 Após a observação do qua- dro, os alunos podem pro- curar o padrão entre essas duas quantidades (das duas colunas) ou testar as alter- nativas que são apresenta- das no problema. Complemente os estudos com a Sequência didática 5 – Propriedades da igualdade, disponível no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 110 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA 1 Apresentando a variável Para começar a entender o que é a Álgebra, vamos considerar e resolver um problema do Enem (2010). Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade (C) de canudos depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados? a) C 5 4Q b) C 5 3Q 1 1 c) C 5 4Q 2 1 d) C 5 Q 1 3 ƒ Compreendendo o problema Descobrir qual das igualdades relaciona C com Q corretamente em todas as figuras. ƒ Estabelecendo um plano de resolução Uma maneira de resolver é testar as alternativas. ƒ Executando o plano Na figura I, temos Q 5 1 e C 5 4. Substituindo esses valores nas alternativas, observamos que: a) 4 5 4 8 1 (verdadeira); b) 4 5 3 8 1 1 1 (verdadeira); c) 4 5 4 8 1 2 1 (falsa); d) 4 5 1 1 3 (verdadeira) Descartamos a alternativa c pois ela é falsa para a figura I. Na figura II, temos Q 5 2 e C 5 7. Substituindo esses valores nas alternativas, observamos que: a) 7 5 4 8 2 (falsa); b) 7 5 3 8 2 1 1 (verdadeira); d) 7 5 2 1 3 (falsa) Descartamos as alternativas a e d. Basta testar a alternativa b na figura III, com Q 5 3 e C 5 10: b) 10 5 3 8 3 1 1 (verdadeira) ƒ Refletindo sobre o que foi feito Verificamos que a expressão da alternativa b satisfaz todas as figuras. Portanto, C 5 3Q 1 1. F igura I F igura I I F igura I I I
- 177. BIMESTRE 2 111 Orientações O quadro apresentado mos- tra a relação entre as quan- tidades de quadrados e de canudos utilizados para cada figura da sequência. Essa relação será dada por uma expressão algébrica em que as grandezas envolvidas são representadas por letras. Exercícios propostos Para o exercício 1, apre- sentamos abaixo as figuras IV e V: Figura IV Figura V Para ampliar o exercício 2, que apresenta a sequência de números triangulares, pode-se explorar a sequên- cia de números quadrados. Figura 1 Figura 2 Figura 4 Figura 3 Na sequência de quadrados, os alunos podem observar que o número de bolinhas que cada figura tem é: 1, 4, 9, ... (que são os números naturais quadrados perfei- tos, com exceção do zero). Proponha alguns questiona- mentos acerca dessa sequên- cia, por exemplo: •Quantas bolinhas terá a fi- gura 6? (36 bolinhas.) •Que figura é formada por 100 bolinhas? (A figura 10.) ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 111 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Outra maneira de resolver esse problema é observar, nas figuras, que variação tem a quan- tidade C quando variamos a quantidade Q. Para facilitar, vamos montar um quadro. Figura Quadrado (Q) Canudo (C) Observação I 1 4 4 5 3 8 1 1 1 II 2 7 7 5 3 8 2 1 1 III 3 10 10 5 3 8 3 1 1 Comparando as expressões numéricas da última coluna com as expressões algébricas das alternativas, percebemos que a alternativa b responde à questão. Observe que nesse problema temos duas grandezas (quantidade de Quadrados e quanti- dade de Canudos) e que usamos símbolos (Q e C) para representá-las. Note que os valores de Q e C variam, por isso chamamos cada uma delas de variável. Os números 4, 7 e 10 são os valores numéricos da expressão algébrica C 5 3Q 1 1 quando Q assume os valores 1, 2 e 3, respectivamente. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Observe o padrão que existe na variação das figuras I a III da questão do Enem apresentada na pá- gina anterior e desenhe no caderno como seriam as figuras IV e V. Depois verifique se a expressão algébrica da alternativa b continua sendo verdadeira para essas novas figuras. construção de figuras; b continua verdadeira 3 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre sequência de números criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los. a) Quantas bolinhas tem cada uma das figuras acima? 1, 3, 6, 10 e 15 b) Seguindo o padrão de formação das figuras, quantas bolinhas deve ter a figura 6? E a figura 10? c) Calcule a soma das bolinhas das figuras: 1 e 2; 2 e 3; 3 e 4; 4 e 5. A sequência dessas somas apre- senta um padrão? O que você pode dizer dessas somas? d) Qual é a soma das bolinhas das figuras 9 e 10 da sequência? E das figuras 19 e 20? 100; 400 e) Representando por n o número de uma figura qualquer de número triangular, o número da figura seguinte é (n 1 1). Escreva a soma das bolinhas das figuras n e (n 1 1). (n 1 1)2 2 As figuras a seguir representam o início de uma sequência infinita do que chamamos de números triangulares. Veja. ILUSTRAÇÕES: MÁRIO MATSUDA F igura 1 F igura 2 F igura 3 F igura 4 F igura 5 21, 55 A Álgebra é a parte da Matemática que trabalha com grandezas cujos valores variam ou que são desconhecidos e são representados por símbolos (em geral, por letras). 4, 9, 16 e 25; sim; são quadrados perfeitos
- 178. 112 Generalizando conclusões Neste item, desenvolve-se a noção de generalização. Analise com os alunos a situa- ção apresentada e retome a propriedade comutativa da adição, já estudada no capí- tulo 2. Ressalte aos alunos que, as- sim como foram usados a e b para indicar os dois nú- meros naturais quaisquer, poderia ter sido usado qual- quer outro par de letras, ou seja, todas as sentenças abaixo traduzem a proprie- dade comutativa da adição: •a 1 b 5 b 1 a •x 1 y 5 y 1 x •a 1 z 5 z 1 a Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 112 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA 2 Generalizando conclusões Em uma viagem, a família de Lizandra pagou duas tarifas de pedágio na ida, a primeira de 13 reais e a outra de 19 reais. Na volta, o primeiro pedágio custou 19 reais e o segundo, 13 reais. Eles gastaram mais de pedágio na ida ou na volta? Lembre-se da propriedade comutativa da adição: em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. MARLON COSTA/FUTURA PRESS ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES a 1 b 5 b 1 a, sendo a e b dois números naturais quaisquer. Outra maneira de dizer o mesmo é com o uso da linguagem algébrica. Para responder à pergunta, adicionamos os valores: ƒ Na ida: 13 1 19 5 32. ƒ Na volta: 19 1 13 5 32. Concluímos que o gasto foi igual, na ida e na volta, pois apenas a ordem dos valores é que mudou. Poderíamos pensar em infinitos pares de números naturais para verificar essa proprie- dade, mas não teríamos tempo para mais nada. Por isso é melhor generalizar. Pedágio na rodovia BR-101, no litoral sul de Pernambuco. (Foto de 2016.)
- 179. BIMESTRE 2 113 Orientações Ao explorar o quadro, se ne- cessário, recorde as proprie- dades da adição e da multi- plicação de números naturais. Ressalte a diferenciação entre expressões do tipo: •o dobro de um número menos 5 2 8 x 2 5; o do- bro da diferença entre um número e 5 2 8 (x 2 5) •o triplo do quadrado de um número 3 8 x2 ; o qua- drado do triplo de um nú- mero (3 8 x)2 Exercícios propostos Nestes exercícios, alguns alunos podem colocar suas respostas na lousa e compa- rar o que há de diferente e de similar entre elas. Critérios de divisibilidade Ainda nesta página, promo- va investigações antes de cada demonstração. É im- portante os alunos constata- rem que “se as duas parcelas de uma adição forem divisí- veis por um número natural, então essa soma também será divisível por esse nú- mero”. Proponha adições como: 99 5 9 1 90 e 108 5 5 81 1 27, de modo que re- conheçam que 9, 90, 81 e 27 são divisíveis por 9, pois são múltiplos de 9. Caso haja dúvidas, sugira que escre- vam cada um desses núme- ros como produto de dois fatores, sendo um deles o 9: 9 5 1 8 9; 90 5 10 8 9; 81 5 5 9 8 9; 27 5 3 8 9 As parcelas dessas adições são múltiplos de 9 e, portan- to, divisíveis por 9. Em seguida, devem verificar se 99 e 108 também são divi- síveis por 9. São estratégias: efetuar a divisão desses nú- meros por 9, decompor cada número em um produto com fator 9 ou outra. Para qualquer estratégia, devem concluir que 99 e 108 são divisíveis por 9. Ressalte que 99 é a soma de dois núme- ros naturais divisíveis por 9 e ele próprio é divisível por 9; o mesmo ocorre com 108. Comente que isso é sempre válido para qualquer soma desse tipo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 113 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA 4 Escreva cada sentença dada a seguir em linguagem algébrica, para números naturais quaisquer. a) O número zero é o elemento neutro da adição. b) Em uma multiplicação de três ou mais números, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto. c) Toda potência de expoente 1 é igual à base. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS a 1 0 5 0 1 a 5 a, sendo a um número natural. a1 5 a, sendo a um número natural qualquer. 5 Nas expressões algébricas a seguir, substitua as letras por números naturais quaisquer e, após 3 Critérios de divisibilidade Além de generalizar sentenças matemáticas, usamos a Álgebra para demonstrar se as afirmações são verdadeiras ou não. O critério diz que, quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de um número é divisível por 9, esse número é divisível por 9. Por quê? Vamos demonstrar esse critério de divisibilidade para um número de quatro algarismos, representando-o por abcd, e escrevendo-o como a soma de dois números múltiplos de 9. Convém lembrar que 3.762, por exemplo, pode ser escrito como 1.000 3 3 1 100 3 7 1 10 3 6 1 2. Veja a seguir. Veja mais algumas sentenças com números naturais escritas na linguagem corrente e na linguagem algébrica. Linguagem verbal Linguagem algébrica Em uma adição de três ou mais números, podemos associar as parcelas de modos diferentes sem alterar a soma. (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c) Em uma multiplicação de dois números, a ordem dos fatores não altera o produto. a 8 b 5 b 8 a O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. a 8 1 5 1 8 a 5 a Na multiplicação de um número pela soma de dois outros, podemos distribuir a multiplicação pelas parcelas. a 8 (b 1 c) 5 a 8 b 1 a 8 c Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a 1. a0 5 1, sendo a 0 O dobro de um número, mais 4. 2 8 a 1 4 ou 2a 1 4 O dobro da soma de um número com 4. 2 8 (a 1 4) ou 2(a 1 4) A diferença dos quadrados de dois números. a2 2 b2 O quadrado da diferença de dois números. (a 2 b)2 6 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre sentença algébrica criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. efetuar as operações indicadas, compare os valores obtidos. O que você conclui? a) (a 1 b)2 e a2 1 2 8 a 8 b 1 b2 b) (a 2 b)2 e a2 2 2 8 a 8 b 1 b2 Idem a. c) (a 1 b) 8 (a 2 b) e a2 2 b2 Idem a. Agora, verifique com um colega se a conclu- são dele é a mesma que a sua. ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES 4. b) (a 8 b) 8 c 5 a 8 (b 8 c), sendo a, b e c números naturais.
- 180. 114 Orientações Para discutir a divisibilidade por 9, tomando um número de 4 algarismos, relembre também: •a decomposição desse nú- mero segundo suas ordens: abcd 5 a 8 1.000 1 b 8 100 1 1 c 8 10 1 d •a propriedade distributiva da multiplicação em rela- ção à adição e sua aplica- ção em alguns exemplos: a) 5 8 (40 1 2) 5 5 5 8 40 1 5 8 2 b) 10 8 2 1 5 8 3 1 1 15 8 7 5 5 (5 8 2) 8 2 1 5 8 3 1 1 (5 8 3) 8 7 5 5 5 8 (2 8 2) 1 5 8 3 1 1 5 8 (3 8 7) 5 5 5 8 4 1 5 8 3 1 5 8 21 5 5 5 8 (4 1 3 1 21) Discuta com os alunos os passos da demonstração referente à divisibilidade por 9 apresentada no livro do aluno. Informe que esse procedimento é válido para qualquer número natural (não só para os que têm 4 algarismos), já que essa de- composição é possível para todo número natural. Sobre o critério de divisibi- lidade por 4, comente que, embora também partamos da decomposição do nú- mero segundo suas ordens, não adianta escrever 10, 100, 1.000, ... da maneira feita para o 9 como (9 1 1), (99 1 1), (999 1 1). Ressalte que é necessário obter ou- tras maneiras de fazer apa- recer o fator 4. Em seguida, discuta os pas- sos da demonstração do cri- tério de divisibilidade por 4 para números de 5 algaris- mos, informando também que ele é válido para qual- quer número natural. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e ela- borar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxima- dos) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer re- lações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. Um número abcde é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos dele for divisível por 4. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 114 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Lembre-se: se as duas parcelas de uma soma forem divisíveis por um número, então essa soma também será divisível por esse número. abcd 5 1.000 8 a 1 100 8 b 1 10 8 c 1 d abcd 5 (999 1 1) 8 a 1 (99 1 1) 8 b 1 (9 1 1) 8 c 1 d abcd 5 999 8 a 1 1 8 a 1 99 8 b 1 1 8 b 1 9 8 c 1 1 8 c 1 d abcd 5 999 8 a 1 99 8 b 1 9 8 c 1 (a 1 b 1 c 1 d) abcd 5 9 8 (111 8 a 1 11 8 b 1 c) 1 (a 1 b 1 c 1 d) parcela divisível por 9 outra parcela Para quaisquer valores de a, b, c e d, a primeira parcela é divisível por 9 porque ela é um número múltiplo de 9. Se a outra parcela (a 1 b 1 c 1 d), que é a soma dos valores absolutos dos algarismos, também for, então a soma delas, isto é, o número abcd, será divisível por 9. Assim, fica demonstrado que: abcde 5 10.000 8 a 1 1.000 8 b 1 100 8 c 1 10 8 d 1 e abcde 5 4 8 2.500 8 a 1 4 8 250 8 b 1 4 8 25 8 c 1 10 8 d 1 e abcde 5 4 8 (2.500 8 a 1 250 8 b 1 25 8 c) 1 (10 8 d 1 e) parcela divisível por 4 outra parcela De maneira semelhante, podemos demonstrar o critério de divisibilidade por 4. Acompanhe o procedimento para o número abcde. Para quaisquer valores de a, b e c, a primeira parcela é divisível por 4 porque ela é um número múltiplo de 4. Se a segunda parcela (10 8 d 1 e), que é o número formado pelos dois últimos al- garismos de abcde, for divisível por 4, então a soma delas, isto é, o número abcde, também será. Assim, fica demonstrado que: O critério diz que um número natural qualquer é divisível por 6 somente quando ele é divisível por 2 e por 3. Mas não sei o porquê disso. SIDNEY MEIRELES ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES Quando a soma dos valores absolutos dos algarismos de um número de quatro algarismos é divisível por 9, esse número é divisível por 9. Para um número com mais ou com menos algarismos, o procedimento é o mesmo. Por exemplo, 42.507 é divisível por 9 porque 4 1 2 1 5 1 0 1 7 5 18, que é divisível por 9. Verifique fazendo a divisão de 42.507 por 9. Para um número com mais ou com menos algarismos, o procedimento é o mesmo.
- 181. BIMESTRE 2 115 Orientações Antes da justificativa do cri- tério de divisibilidade por 6, sugerimos retomar os crité- rios de divisibilidade por 2 e por 3. •Um número é divisível por 2 quando ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. São divisíveis por 2, por exemplo: 126, 396, 798, 1.354 (todos números pares). •Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. São divisíveis por 3, por exemplo: 396 (3 1 9 1 6 5 5 18 é divisível por 3), 5.349 (5 1 3 1 4 1 9 5 21 é divisível por 3). Ressalte que há números naturais divisíveis por 2 e por 3, como é o caso do 396. Em seguida, discuta o processo apresentado que justifica o critério de divisi- bilidade por 6. Exercícios propostos No exercício 7, discuta com os alunos o fato de que, para justificar a falsidade de uma afirmação, basta mostrar um contraexemplo (como para o item c), mas, para mostrar a veracidade, é necessário um argumento geral (como para os itens a e b). A seguir, a demonstração solicitada no exercício 8. Um número natural qualquer abc de 3 algarismos pode ser escrito como: abc 5 100 8 a 1 10 8 b 1 c 5 5 (1 1 99) 8 a 1 (1 1 9) 8 8 b 1 c 5 5 a 1 99 8 a 1 b 1 9 8 b 1 1 c 5 99 8 a 1 9 8 b 1 (a 1 1 b 1 c) 5 5 3 8 33 8 a 1 3 8 3 8 b 1 1 (a 1 b 1 c) 5 5 3 8 (33 8 a 1 3 8 b) 1 (a 1 1 b 1 c) Para quaisquer valores de a, b e c, a primeira parcela é divisível por 3, pois é um número múltiplo de 3. Se a outra parcela (a 1 b 1 c), que é a soma dos algarismos do número abc, também for divisível por 3, ou seja, se a soma dos algarismos do número abc for divisível por 3, então o número abc será divisível por 3. Para o exercício 9, um exemplo de resposta é que um número da forma abc6 termina em 6; logo, ele é par, garantindo que esse número é divisível por 2, para quaisquer valores de a, b e c. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 115 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Antes de pensar em um número natural genérico representado por uma letra, vamos pensar, por exemplo, no número 114. Verificamos que 114 é divisível por 2 porque termina em 4. Então, existe um número (57) que multiplicado por 2 dá 114, isto é, 114 5 2 8 57. Por sua vez, o 57 é divisível por 3 porque 5 1 7 5 12 e 12 é divisível por 3. Então, existe um número (19) que multiplicado por 3 dá 57, isto é, 57 5 3 8 19. Na igualdade 114 5 2 8 57, podemos substituir 57 por 3 8 19 e ficamos com 114 5 2 8 57 5 2 8 (3 8 19) 5 (2 8 3) 8 19 5 6 8 19. Como 114 5 6 8 19, concluímos que 114 é divisível por 6. De onde vieram o 57 e o 19? Ora, basta dividir 114 por 2, e 57 por 3. Agora, considerando um número natural qualquer, vamos generalizar. Para isso, representamos esse número por uma letra, por exemplo, x. Vamos supor que o número x seja divisível por 2 e por 3 e vamos proceder como fizemos com o número 114 para provar que x é divisível por 6. Se x é divisível por 2, então existe um número natural y de modo que x 5 2 8 y. Se o número x, ou seja, (2 8 y) é divisível por 3, então o número y também é divisível por 3, logo, existe um número natural z de modo que y 5 3 8 z. Na igualdade x 5 2 8 y, podemos substituir y por (3 8 z). Assim, temos x 5 2 8 y 5 2 8 (3 8 z) ou x 5 (2 8 3) 8 z, ou ainda x 5 6 8 z. Como o número x é igual a 6 8 z, ou seja, é múltiplo de 6, concluímos que x é divisível por 6. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 10 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisibilidade criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema do outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 7 Responda às questões no caderno. a) Todo número x divisível por 9 também é divisível por 3? Por quê? Sim, porque x 5 9 8 y 5 3 8 (3 8 y). b) Todo número x divisível por 8 também é divisível por 4? Por quê? Sim, porque x 5 8 8 y 5 4 8 (2 8 y). c) Todo número x divisível por 2 também é divisível por 4? Por quê? 8 Junte-se a um colega e demonstrem que um número de três algarismos abc é divisível por 3 quando a soma (a 1 b 1 c) é divisível por 3. demonstração ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES 9 Junte-se a um colega e demonstrem que um número do tipo abc6 é divisível por 2. demonstração Não, por exemplo, 6 é divisível por 2 e não é divisível por 4.
- 182. 116 Trabalhando a informação Esta seção amplia a aborda- gem da Unidade Temática Probabilidade e estatística neste volume, aprofundan- do os conhecimentos que os alunos já construíram acerca desse tipo de gráfico. O ob- jetivo é levá-los a construir um gráfico de colunas com base em dados já tabulados em uma lista ou que eles mesmos possam tabular. Essa atividade permite ex- plorar: •Duas formas de represen- tação: tabela e gráfico de colunas. •O conceito de escala – po- dem-se construir gráficos em diferentes escalas e dis- cutir a escolha da escala. •A construção das colunas – podem-se apresentar al- guns gráficos de colunas nos quais a distância entre as colunas varie e promo- ver uma discussão a fim de que os alunos percebam que, para garantir a cla- reza na interpretação das informações, é convenien- te que a distância entre as colunas e as barras seja sempre a mesma. •A leitura e a interpretação de tabelas e gráficos de co- lunas. •A identificação dos ele- mentos constitutivos de um gráfico. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 116 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Construindo um gráfico de colunas Na escola de música onde Cláudio é professor foi feita uma pesquisa de interesse para a forma- ção de novas turmas, que contou com 50 votos. Nessa pesquisa, os interessados podiam escolher entre os seguintes instrumentos: violão, acordeão, teclado ou flauta doce. Com o resultado da pesquisa, Cláudio formará duas turmas com os dois instrumentos mais escolhidos. Os votos foram registrados em uma folha de caderno, conforme mostrado a seguir. LIGIA DUQUE KEELLLA/SHUTTERSTOCK APERTURESOUND/SHUTTERSTOCK RA3RN/SHUTTERSTOCK YURIY KULIK/SHUTTERSTOCK Com essas informações, Cláudio organizou a tabela ao lado. Elas também podem ser apre- sentadas em um gráfico de colunas. Para construir esse gráfico, com o auxílio de uma régua, fazemos o seguinte: • Traçamos uma linha vertical, na qual regis- tramos a quantidade de interessados, e uma linha horizontal, na qual registramos os instrumentos. • Escolhemos uma unidade de medida adequada para que os valores indicados na tabela caibam na linha vertical, e outra para que as larguras das colunas caibam na linha horizontal. Para facilitar a leitura, convém que essas larguras sejam iguais. • Traçamos as colunas. A coluna do violão deve ter 17 unidades de altura, pois havia 17 interessados. A coluna do acordeão deve ser construída com 9 unidades de altura e, da mesma forma, as colunas do teclado e da flauta doce devem ter 19 e 5 unidades de altura, respectivamente, correspondentes às escolhas dos inte- ressados. • Completamos o gráfico nomeando as linhas vertical e horizontal, chamadas eixos, dando um título ao gráfico e indi- cando a fonte dos dados. Resultado da votação Instrumentos Quantidade de interessados Violão 17 Acordeão 9 Teclado 19 Flauta doce 5 Dados obtidos pelo professor Cláudio. Dados obtidos pelo professor Cláudio. I nstrumentos Q uantidade de interessados violão acordeão teclado flauta doce 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 R esul tado da v otaç ã o ADILSON SECCO
- 183. BIMESTRE 2 117 Agora quem trabalha é você! Na atividade 1, inicialmente proponha alguns questio- namentos acerca da tabela apresentada: •Quais são as variáveis en- volvidas na tabela orga- nizada pela professora Célia? (Resposta esperada: Tipo de voz e quantidade de alunos.) •O que indica a quantidade de alunos nessa situação? (Resposta esperada: Deter- mina a frequência (núme- ro de vezes) com que cada tipo de voz aparece nos participantes do coral.) •Qual é a frequência dos sopranos? (Resposta espe- rada: 9.) •Que tipo de voz teve fre- quência 6? O que isso signi- fica? (Respostas esperadas: Barítono; isso significa que há 6 barítonos no grupo de participantes desse coral.) •Ao adicionar todas as fre- quências, o que se obtém? (Resposta esperada: O total de participantes do coral.) •Quantas pessoas partici- pam desse coral? (Resposta esperada: 36 pessoas.) Para o item b, questione: •Que título você dará para seu gráfico? Por quê? (Espera-se que os alunos coloquem o mesmo título da tabela, já que o gráfico será feito com base nela, mas isso não é obrigatório. O importante é analisar as justificativas para verificar como os alunos pensaram.) •Qual a fonte das informa- ções que você colocará no seu gráfico? Por quê? (Es- pera-se que os alunos con- siderem também a fonte da tabela.) A seguir, um exemplo de gráfico para o item b da ati- vidade 1. Participantes do coral Quantidade de alunos 4 2 0 6 8 10 12 Barítono Tenor Baixo Soprano Contralto Tipo de voz Dados obtidos pela professora Célia. Na atividade 2, é importante os alunos terem a oportunidade de realizar uma pesquisa simples, como a sugerida, relativa à localidade onde moram. Também pode ter outra temática, como time de futebol para o qual torcem, lanche ou merenda favorita, desenho animado favorito ou uma pesquisa de interesse da turma. REINALDO VIGNATI Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 117 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA 1 A professora Célia precisou classificar os participantes do coral segundo o tipo de voz e organizou os dados na tabela abaixo. Dados obtidos pela professora Célia. Participantes do coral Tipo de voz Quantidade de alunos Tenor 4 Barítono 6 Baixo 12 Soprano 9 Contralto 5 a) Tenor: voz masculina mais aguda; barítono: voz masculina mais grave que a do tenor; baixo: voz masculina mais grave que a do barítono; soprano: voz feminina mais aguda; contralto: voz feminina mais grave. LIGIA DUQUE FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! d) Sim, o número de baixos é o dobro do número de barítonos. e) Sim, o número de baixos é o triplo do número de tenores. a) Pesquise o significado de cada tipo de voz que aparece na tabela. b) Construa, em papel quadriculado, um gráfico de colunas para representar os tipos de voz dos alunos do coral. construção de gráfico c) Que tipo de voz masculina mais aparece nessa pesquisa? E feminina? baixo; soprano d) Entre os tipos de voz, há algum que tem o dobro de alunos de outra voz? Qual? e) Entre os tipos de voz, há algum que tem o triplo de alunos de outra voz? Qual? 2 Seguindo as orientações do professor, os alunos devem anotar no quadro de giz a localidade onde moram, ou seja, o bairro, sítio ou a comunidade, fazendo uma lista como no exemplo abaixo. Quando todos os alunos já tiverem anotado, faça o que se pede. a) Organize os dados em uma tabela e, com eles, construa um gráfico de colunas. b) Compare o seu gráfico com o de um colega da classe para verificar se há diferenças. Se houver, explique por que você acha que isso ocorreu. Resposta pessoal. c) Há alguma localidade que se destaca na pesquisa pela quantidade de alunos que lá vivem? Se houver, qual? Resposta pessoal. d) Apenas com os dados observados no gráfico, é possível descobrir quantos alunos responderam à pesquisa? Como? Sim; basta somar os valores correspondentes a cada coluna. Resposta pessoal.
- 184. 118 Propriedades da igualdade Nesta página trabalhamos o princípio aditivo de uma igualdade. Espera-se que os alunos compreendam que a aplicação desse princípio garante a obtenção de no- vas igualdades equivalentes à original, adicionando ou subtraindo um mesmo nú- mero nos dois membros da igualdade. Discuta a situa- ção apresentada com os alu- nos e amplie com outras. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de pro- blemas. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 118 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA 4 Propriedades da igualdade Adriana e Adriano são gêmeos que têm a mesma altura. Em um parque de diversões, ao tentar entrar em um brinquedo, foram barrados pela altura. Não tiveram dúvida, tiraram os tênis e puderam entrar. Ela passou, mas será que eu passo? Mesmo desconhecendo a altura dos gêmeos, sabemos que, calçados com tênis iguais, eles têm a mesma altura. Portanto, ao retirar esses tênis, as alturas deles descalços continuam iguais! Representando a altura de Adriana por x e a de Adriano por y, ambos calçados, e supondo que os tênis de ambos têm solado de 2 cm, podemos escrever: Se x 5 y, então x 2 2 5 y 2 2. E vice-versa: se x 2 2 5 y 2 2, então x 5 y. Usamos aqui uma propriedade da igualdade que os matemáticos chamam de princípio aditivo. Veja alguns exemplos. a) 3x 2 15 5 x 1 4 2 15 equivale a 3x 2 15 1 15 5 x 1 4 2 15 1 15, ou seja, a 3x 5 x 1 4. b) 8 1 2y 5 y 1 13 equivale a 8 1 2y 2 y 5 y 1 13 2 y, ou seja, a 8 1 y 5 13. Veja agora esta outra situação. Precisamos duplicar o número de pratos, talheres etc. TEL COELHO ILUSTRAÇÕES: TEL COELHO Adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade.
- 185. BIMESTRE 2 119 Orientações Também apresentamos o princípio multiplicativo de uma igualdade (iniciado na página anterior), em que multiplicam-se ou dividem- -se os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero para obter novas igualdades equivalen- tes entre si. Discuta a situação apresen- tada com os alunos e amplie com outras. Retome a nota- ção simplificada da multi- plicação, por exemplo: 2 8 x pode ser indicado apenas por 2x, x 8 2 por 2x também, a 8 b por ab, 2 8 (5 1 x) por 2(5 1 x). Exercícios propostos No bloco de exercícios, pro- ponha aos alunos que reali- zem as atividades em duplas e discuta as situações com cada dupla, sempre que per- ceber a necessidade de sua intervenção. Para saber mais Nesta seção, explore a situa- ção apresentada e verifique os conhecimentos que os alunos já construíram acer- ca dessa nova grandeza – a temperatura –, se sabem como medi-la e qual ins- trumento é adequado para essa medição. Pode-se pro- por um trabalho interdisci- plinar com Ciências. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 119 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA 11 A garagem da casa de meu vizinho tem 492 centímetros de comprimento. Quando estaciona o seu carro, ele sabe que sobram 77 centímetros. Qual é o comprimento des- se carro? 415 centímetros FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 Para pagar a conta do supermercado, Marcela deu uma nota de cinquenta reais. A funcionária do caixa pediu mais sete reais e disse que assim lhe devolveria vinte reais de troco. Quanto Marcela gastou nessa compra? 37 reais Cena do filme Fahrenheit 451, de 1966. PARA SABER MAIS Multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, ou dividindo-os por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma nova igualdade. 12 O total pago por Norma, na compra de uma mesa e quatro cadeiras, foi de 1.220 reais. Ela lembra que o preço da mesa foi 580 reais, mas esqueceu quanto custou cada cadeira. Ajude Norma a calcular o preço de uma cadeira. 160 reais A temperatura e a Álgebra Você já imaginou viver em um lu- gar onde o trabalho dos bombeiros é incendiar, e não apagar? Viver em um mundo onde todo livro é considerado prejudicial ao ser humano e, por isso, deve ser queimado? Esse mundo acontece no romance Fahrenheit 451, de Ray Bradbury, de 1953, que depois foi transformado em filme. O nome faz referência à tempe- ratura 451, na escala Fahrenheit, em que os livros são queimados. EVERETT COLLECTION/AGB PHOTO LIBRARY ACERVO DO BANCO CENTR AL DO BRASIL Se, para um grupo x de pessoas, havia quantidades adequadas de pratos, de talheres, de cadeiras, ao duplicar o número de pessoas deve-se duplicar também o número de pratos, de talheres, de cadeiras. Na situação anterior, temos outra propriedade da igualdade, chamada de princípio multi- plicativo.
- 186. 120 Agora é com você! Discuta as questões propos- tas, ressaltando a importân- cia da linguagem algébrica para estabelecer relações e fórmulas que são usadas em muitas outras áreas do conhecimento, como Física, Química, Biologia, entre outras. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (men- tais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 120 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo, que indica o quanto as suas moléculas estão mais ou estão menos agitadas, isto é, o quanto ele está mais “quente” ou mais “frio”. Quando dois corpos em contato atingem a mesma temperatura, dizemos que estes corpos estão em equilíbrio térmico. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO 1 Um cão pequeno sente-se bem a uma temperatura de 38 a 39 graus Celsius. E na escala Kelvin, qual seria o intervalo saudávelparaessecão? de 311 K a 312 K 2 O manual de determinado computador informa que o processador trabalha bem a uma temperatura de 333 Kelvin. Isso corresponde a quantos graus Celsius? 3 Sabe-se que o peixe acará-bandeira (Pterophyllum scalare) vive em águas com temperatura entre 24 e 27 graus Celsius. Cauê mora em um local muito frio e precisa controlar a temperatura da água do aquário de seus peixinhos acarás- -bandeiras. Para isso, ele comprou um Há outras escalas de medida de tempe- ratura, como a Celsius e a Kelvin. Quando imaginamos estar com febre, medimos a temperatura de nosso corpo com um termômetro que, no Brasil e na maioria dos países, é graduado na escala Celsius. Colocamos o termômetro em contato com o corpo durante cerca de dois minutos até que corpo e termômetro entrem em equilíbrio térmico, então lemos a temperatura no termômetro. A escala Celsius lembra uma régua em que 0 °C (lemos: “zero grau Celsius”) cor- responde à temperatura em que a água congela (ponto de fusão da água) e 100 °C (lemos: “cem graus Celsius”) correspon- dem à temperatura em que a água ferve (ponto de ebulição da água). Na escala Kelvin, a água congela a 273 K (lemos: “duzentos e setenta e três Considera-se que uma pessoa inicia um estado febril quando está com cerca de 37 °C. Qual é o valor de TK que corresponde a 37 °C? Para fazer esse cálculo basta substituir na expressão acima TC por 37 °C. Assim, temos: TK 5 TC 1 273 TK 5 37 1 273 5 310 (Valor numérico da expressão TC 1 273 quando TC é 37.) Portanto, uma pessoa com 310 K já está em estado febril. TORONTONIAN/ALAMY/FOTOARENA Acará-bandeira (Pterophyllum scalare). Kelvin”) e ferve a 373 K (lemos: “trezentos e setenta e três Kelvin”). Observe que nas duas escalas a dife- rença entre o ponto de ebulição e o ponto de fusão é igual a 100. Podemos escrever uma expressão algébrica que relaciona as temperaturas medidas nessas duas escalas. Adotando TK e TC como as variáveis de temperatura, respectivamente, em Kelvin e Celsius, temos: TK 5 TC 1 273 60 °C termômetro importado que usa a escala Kelvin. Que temperatura esse termô- metro deve registrar para os peixes ficarem bem? de 297 K a 300 K ILUSTRAÇÕES: SIDNEY MEIRELES Agora é com você!
- 187. BIMESTRE 2 121 Pense mais um pouco... Esta seção explora um pou- co mais sobre a temperatu- ra. Ressalte para os alunos que, nas relações entre duas grandezas expressas alge- bricamente por uma igual- dade, substituindo o valor de uma das grandezas nessa igualdade, é possível obter o valor correspondente da outra. No entanto, nem sempre é possível isolar em um dos membros a grandeza que se quer determinar apenas aplicando os princípios aditi- vo e multiplicativo da igual- dade. Isso acontece quando há outras operações envol- vidas, além das quatro ope- rações fundamentais, como é o caso do desafio propos- to aqui, em que aparece o cálculo de uma raiz quadra- da. Por esse motivo, nesse momento, tratamos apenas da substituição de valores para a temperatura (t) para determinar a velocidade (v) correspondente, que já está isolada no primeiro membro da igualdade, efetuando cálculos com raízes quadra- das exatas de números na- turais. Exercícios complementares Neste bloco de exercícios, os alunos têm a oportunida- de de retomar os principais conceitos tratados no capí- tulo e verificar possíveis difi- culdades que ainda tenham. Sugerimos que as ativida- des sejam desenvolvidas em duplas, o que ampliará e enriquecerá o repertório de estratégias que os alunos já têm e consolidará os conhe- cimentos já construídos. 5 – : : R 13 80 16 + + 4 8 3 2 E B A A x 3 L 3 G 5 3 16 96 8 100 °C 373 k 273 k 0 k 0 °C °C Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 121 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Nessa relação, v representa a velocidade, em metro por segundo, e t representa a temperatura, em grau Celsius. O número 273, que aparece na fórmula, representa, na escala Kelvin, a temperatura correspondente a 0 na escala Celsius. A medida 0 K, segundo Lord Kelvin, seria a temperatura que deveria ser considerada a mais baixa possível e chamou-a de zero absoluto. Um gás, na temperatura de zero absoluto, teoricamente tem suas molé- culasemrepouso,istoé,semmovimentoalgum.Vejaoesquemaaolado. FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 16 °C? E a 51 °C? b) O som se propaga mais rapidamente nas regiões polares ou na região equatoriana? c) Na escala Celsius do esquema não aparece a temperatura relativa ao zero absoluto. Ela é igual a 273 graus “abaixo de 0 °C”. Discuta com um colega como essa medida poderia ser escrita de modo a não ser confundida com 273 °C “acima de 0 °C”. na região equatoriana FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1 As figuras a seguir representam o início de uma sequência infinita do que chamamos de números quadrados. Cada um deles é igual à soma de dois números triangulares. a) Qual é o número triangular (bolinha azul) da figura 5? E da figura 7? E da figura 9? b) Qual é o número triangular (bolinha ama- rela) da figura 5? E da figura 7? 21 e 36 c) Qual é o número quadrado da figura 5? E da figura 7? E da figura n? 36, 64 e (n 1 1)2 d) Qual é o número da figura que tem 100 bo- linhas? Quantas bolinhas azuis ela tem? E quantas bolinhas amarelas? 9, 45 e 55 15, 28 e 45 3 Determine o valor de cada letra no esquema a seguir. A 5 16, L 5 96, G 5 8, E 5 13, B 5 80, R 5 5 2 Nas figuras a seguir, as balanças estão equili- bradas. Sabendo que a massa de cada sabiá é igual a 90 gramas e que os vasos têm massas iguais entre si, qual é a massa em grama de cada vaso com flor? E qual é a massa da jarra? cada vaso com flor: 225 g; jarra: 675 g NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA Figura 1 4 5 1 1 3 Figura 2 9 5 3 1 6 Figura 3 16 5 6 1 10 Figura 4 25 5 10 1 15 Lord Kelvin foi um matemático e físico britânico (1824-1907). Nasceu em Belfast, capital da Ir- landa do Norte, com o nome de William Thomson. O estudo das propriedades do calor foi um dos seus preferidos. A relação v V t 20 273 5 3 1 determina a velocidade do som no ar em função da temperatura. 340 m/s; 360 m/s TEL COELHO ALEX ARGOZINO
- 188. 122 Diversificando Nesta seção, os alunos po- dem ter dificuldade para en- tender o uso dos colchetes. Comente que continuare- mos a chamar de “parcelas” os elementos que estão sen- do operados e de “soma” o resultado. Note que: •[1 1 4] 5 5 [2 1 5] 5 12 12 corresponde a 5 1 2 1 5. •[3 1 6] 5 21 21 corresponde a 12 1 3 1 16. •[8 1 11] 5 ? Não se pode obter direta- mente esse resultado, pois houve um “pulo” na sequên- cia das operações, cujas parcelas aumentavam de 1 em 1, ou seja, é preciso obter antes os valores de [4 1 7], [5 1 8], [6 1 9] e [7 1 10], cujos valores, se- guindo esse padrão, devem ser, respectivamente, 32 (21 1 4 1 7), 45 (32 1 5 1 1 8), 60 (45 1 6 1 9) e 77 (60 1 7 1 10). Assim, o va- lor de [8 1 11] deve ser 77 1 1 8 1 11, ou seja, 96. No raciocínio de Nilza não se depende da soma ante- rior, uma relação que pode ser aplicada em cada ope- ração independentemente das demais, o que é vanta- joso. Sugira que os alunos obtenham a próxima soma, depois de [8 1 11], pelo pro- cesso de Nilza. A próxima soma é [9 1 12], que pelo processo dela é dada por: 9 1 9 8 12 5 9 1 1 108 5 117. Esse exemplo auxiliará na compreensão da questão 1 do Agora é com você!. Na questão 2, sugira que ob- servem as sequências das pri- meiras parcelas (1, 2, ...) e das segundas parcelas (4, 5, ...). O primeiro elemento da se- quência das segundas parce- las (4) é 3 unidades maior do que o primeiro elemento das primeiras parcelas (1). Sendo assim, se indicarmos por x um elemento da sequência das primeiras parcelas, de- veremos indicar por x 1 3 o elemento na posição corres- pondente na sequência das segundas parcelas. Desse modo, podem concluir a relação: [x 1 (x 1 3)] 5 5 x 1 x 8 (x 1 3). Habilidade trabalhada: (EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. DIVERSIFICANDO [1 1 4] 5 5 [2 1 5] 5 12 [3 1 6] 5 21 [8 1 11] 5 ? Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 122 CAPÍTULO 5 UM POUCO DE ÁLGEBRA Desafiando a sua inteligência Nas redes sociais, circula um desafio que pede às pes- soas, com base em três igualdades consideradas válidas, que completem a quarta igualdade. Nilza e Carlos enfrentaram o desafio. Carlos respondeu: 8 1 11 5 40 Você acha que ele acertou? Antes de prosseguir, tente. Qual seria o padrão dessa sequência de igualdades, a sua lei de formação? Vamos descobrir como Carlos chegou ao número 40. Para explicar o resultado 12, por exemplo, ele pensou assim: “O resultado (12) é igual ao resultado anterior (5) mais a soma das parcelas (2 e 5)”. 12 5 [1 1 4] 1 (2 1 5) 5 5 1 7, veja que [1 1 4] foi subs- tituído por 5. Então, Carlos pensou: 21 5 [2 1 5] 1 (3 1 6) 5 12 1 9, aqui [2 1 5] foi substituído pelo resultado anterior (12). ? 5 [3 1 6] 1 (8 1 11) 5 21 1 19 5 40, aqui [3 1 6] foi substituído pelo resultado anterior 21. Generalizando essa maneira de pensar, o padrão usado pode ser descrito pela lei: [(x 1 1) 1 (y 1 1)] 5 [x 1 y] 1 (x 1 1) 1 (y 1 1), onde x inicia com 1 e y inicia com 4. Observamos que Carlos usou um raciocínio por recorrência, pois para cada igualdade ele recorre à igualdade imediatamente anterior. Com isso, Carlos também obteria o valor correto, mas teria de calcular as etapas [4 1 7], [5 1 8], [6 1 9], [7 1 10] até chegar a [8 1 11]. A lei criada por Carlos, porém, só poderia ser aplicada em [1 1 4] 5 5 se ele soubesse quanto é [0 1 3], cujo resultado não é dado. Logo, essa lei não é válida para todas as igualdades dadas. Mas, então, qual é a lei de formação válida? Com um pouco mais de atenção, Nilza percebeu o seguinte padrão de cálculo: [1 1 4] 5 1 1 1 8 4 5 5 [2 1 5] 5 2 1 2 8 5 5 12 [3 1 6] 5 3 1 3 8 6 5 21 Pensando assim, ela calculou: [8 1 11] 5 8 1 8 8 11 5 8 1 88 5 96, que é o valor correto. O padrão percebido por Nilza pode ser descrito pela lei: [x 1 y] 5 x 1 x 8 y 1 Considerando a sequência dada no celular, calcule o valor de [13 1 16]. 221 2 Há alguma lei de formação da sequência dada no celular em que pode ser usada apenas uma letra? 3 Com alguns colegas, criem desafios parecidos com o de Nilza e Carlos e tentem resolvê-los. Depois apresentem aos demais colegas da sala para que eles resolvam. Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora é com você! sim, [x 1 x 1 3] 5 x 1 x 8 (x 1 3) TEL COELHO
- 189. BIMESTRE 2 123 6Um pouco de Geometria plana Capítulo Kumi Yamashita. Constellation. 2011. Painel de madeira, tachinhas e linha. 40 cm 3 30 cm. Uma obra de arte que surge de pregos e de linhas – pontos e segmentos de reta – sobre a madeira – plano. A Geometria está no mundo e na imaginação, basta saber olhar para fora e... para dentro de si. ACERVO DA ARTISTA – NEW YORK 123 CAPÍTULO 6 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Reconhecer as noções primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, e suas relações. •Identificar posições relativas de duas retas em um plano (paralelas ou concorrentes). •Distinguir, identificar e re- presentar semirretas e seg- mentos de reta. •Identificar segmentos de reta consecutivos, seg- mento de reta colineares e segmentos de reta con- gruentes. •Associar ângulo à ideia de mudança de direção e de giro. •Reconhecer ângulos em fi- guras planas. •Medir e construir ângulos usando transferidor. •Classificar um ângulo de acordo com sua medida como reto, agudo ou ob- tuso. •Identificar retas perpendi- culares. •Construir retas paralelas e retas perpendiculares usando régua e esquadro e com o uso de softwares. Orientações gerais Ao introduzir elementos da Geometria plana e tra- tar de retas e ângulos, este capítulo reforça o trabalho com as capacidades de abs- tração e generalização dos estudantes. Sabemos que, pela BNCC, é desejável a permanente associação entre o conheci- mento disciplinar e os fatos da realidade. No caso da Geometria, essa abordagem é quase natural, pois, desde cedo, a criança tem em seu convívio inúmeros exem- plos das aplicações desse conhecimento. Aproveitando a imagem e o texto da abertura, discuta com os alunos sobre a pre- sença de elementos geomé- tricos em obras de arte. Pro- ponha uma pesquisa sobre artistas, em especial brasilei- ros, que utilizam represen- tações de figuras planas em suas obras. Sugestão de leitura Para enriquecer essa discussão, sugerimos o site: https://www.cartacapital.com.br/cultura/o-modernismo-via-tarsila-2.Acesso em: 20 maio 2018.
- 190. 124 Ponto, reta e plano As noções primitivas da Geo- metria plana são os elemen- tos que não têm definição (ponto, reta, plano), mas que dão base para a defini- ção de outros entes geomé- tricos. Espera-se aqui que os alunos compreendam a no- ção de ponto, reta e plano. Como enriquecimento, su- gerimos as imagens do site abaixo, em que as obras são feitas com linhas, que podem sugerir a noção de retas. http://criatividadegeral. com.br/decor/17-incriveis- obras-de-arte-feitas-com- linha/. Acesso em: 20 maio 2018. Sugestão de leitura Para ampliar seus conhecimentos, sugerimos a leitura do artigo “Jo- gos como recursos pedagógicos no ensino de Geometria: uma experiên- cia com alunos do 6O ano do Ensino Fundamental”, de Izilda Baraviera Gomes e Valdeni Soliani Franco. Disponível em: http://www. diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/ cadernospde/pdebusca/producoes_ pde/2013/2013_uem_mat_artigo_ izilda_baraviera.pdf. Acesso em: 20 maio 2018. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 124 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA 1 Ponto, reta e plano O ponto, a reta e o plano são noções aceitas sem definição na Geometria, por isso são chamadas noções primitivas. Elas podem ser associadas, de maneira intuitiva, a diferentes coisas que nos rodeiam. PROCY/SHUTTERSTOCK ZHYKOVA/SHUTTERSTOCK EDUARDO TAVARES Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho de água do lago dão a ideia das noções primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, respectivamente. Cada estrela que vemos no céu dá a ideia de um ponto. Um raio de luz dá a ideia de uma reta. O espelho de água dá a ideia de plano. Parque Farroupilha, Porto Alegre (Rio Grande do Sul). (Foto de 2017.)
- 191. BIMESTRE 2 125 O ponto e a reta Nesta página, apresenta- mos as relações entre ponto e reta e a noção de pontos colineares. O recurso de apresentar representações dessas figuras em conjunto com alguns sólidos visa pro- piciar aos alunos fazerem a correlação dessas figuras e ampliar a sua visão acerca dos conceitos estudados. Além disso, verificar a rela- ção entre elementos geomé- tricos (como pontos e retas), tomando como alicerce um sólido (figura não plana), facilita o entendimento dos alunos sobre essas re- lações, como é o caso da última figura desta página. Os alunos também podem vivenciar tais representações concretamente, usando mo- delos manipuláveis dessas figuras. Ponto A A Ponto D D Ponto L L Figura com 1 ponto Figura com 4 pontos Figuras com infinitos pontos Reta u Reta s u s E G C M Z H t B A C r Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 125 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA O ponto e a reta Graficamente, um ponto pode ser representado como e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto: Quando há um ou mais pontos, temos uma figura. Por exemplo: Uma reta também é uma figura com infinitos pontos. Graficamente, uma reta pode ser representada da seguinte maneira: A reta é indicada por letras minúsculas do nosso alfabeto: Uma reta não tem começo, nem fim nem espessura. Veja uma reta e alguns de seus pontos. Os pontos E, G, C, M, Z e H pertencem à reta t. Nesse caso, dizemos que esses pontos são colineares. Agora, observe os pontos A, B e C representados na figura a seguir. Esses pontos não são colineares, pois não existe uma reta que contenha todos eles. Três ou mais pontos são colineares quando pertencem a uma mesma reta. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA
- 192. 126 O plano Peça aos alunos que elen- quem elementos da sala de aula que possam dar a ideia de um plano e, portanto, representá-lo. Possíveis res- postas que podem surgir são: a superfície da lousa ou da parede, o tampo da mesa do professor ou da carteira, a capa do caderno. Pode-se propor também que os alunos colem uma folha de papel sulfite em faces opostas de uma caixa (ou considerem as duas capas de um caderno). Em segui- da, eles devem marcar com canetinhas coloridas pontos em cada uma dessas folhas (usando uma mesma cor para cada folha). Conside- rando cada folha como um plano, pergunte aos alunos que pontos pertencem a cada plano. Depois, peça a eles que tracem retas pas- sando por alguns desses pontos e pergunte se há alguma reta que passa por um ponto de cada plano. Espera-se que eles percebam que tal reta existe, mas ela deverá furar a caixa e passar de um lado para o outro. Exercícios propostos O bloco de exercícios que se inicia nesta página explo- ra as noções e os conceitos tratados sobre ponto, reta e plano, visando solidificar o conhecimento dos alunos. Plano a a Plano b b J g S P B r t u v x s ß Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 126 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA O plano Graficamente, um plano pode ser representado da seguinte maneira: Um plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego: a (alfa), b (beta), g (gama), ß (delta), entre outras. Além disso, um plano tem infinitos pontos. Veja um plano e alguns de seus pontos. Os pontos J, S, P e B pertencem ao plano g. Por pertencerem ao mesmo plano, dizemos que esses pontos são coplanares. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Em um plano existem infinitas retas. Na figura ao lado, representamos um plano e algumas das retas que estão nele. Por estarem no mesmo plano, essas retas também são chamadas de coplanares. Três ou mais pontos são coplanares quando pertencem a um mesmo plano. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Que noção primitiva da Geometria poderia ser associada a cada item? a) Um fio de linha bem esticado. reta b) A marca deixada por uma ponta de lápis num papel. ponto c) O tampo de uma mesa. plano d) Uma corda de violão esticada. reta e) Uma folha de papel sulfite grudada na parede. plano 2 Observe a seu redor e anote o que pode dar a ideia de um ponto, de uma reta e de um plano. Resposta pessoal.
- 193. BIMESTRE 2 127 Exercícios propostos Antes de propor os exercí- cios 5 e 6, peça aos alunos que manuseiem modelos de poliedros, coletados previa- mente, e reconheçam neles pontos, retas e planos, res- pectivamente, associados a vértices, arestas e faces dos poliedros representados. Ressalte que cada aresta está contida em uma reta (que passa por ela) e cada face está contida em um plano, que passa por ela. Esse trabalho facilitará a análise da figura desenhada no livro. Amplie essas rela- ções reproduzindo figuras como estas ou construindo seus modelos: P t r s β M Para o exercício 7, uma pos- sibilidade de construção é a representada abaixo, em que A, B, C e D são pontos distintos, três a três não co- lineares: A D C B s m r u n t Assim, 6 retas podem ser tra- çadas. Se julgar conveniente, comente com os alunos que os pontos construídos corres- pondem aos vértices de um quadrilátero e que as retas que podem ser traçadas, pas- sando por dois desses pon- tos, são as retas suporte dos lados e das diagonais desse quadrilátero. ILUSTRAÇÕES: CLAUDIO CHIYO REINALDO VIGNATI Posições relativas de duas retas em um plano Ainda nesta página iniciamos o estudo de retas paralelas e de retas concorrentes, posições relativas de duas retas em um plano. Proponha que os alunos sugiram outros exemplos de situações que dão a ideia ou usam a noção de retas paralelas ou de retas concorrentes. Eles podem lembrar das faixas de segurança, do cruza- mento de duas ruas, entre outros. B A a r D C s A C P B N D M g A B C E D A D E F G B C Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 127 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA 3 Considerando as retas e os pontos assinalados na figura abaixo, identifique os pontos que: a) pertencem à reta r; A e B b) não pertencem à reta r; C e D c) pertencem à reta s; A e C d) não pertencem à reta s; B e D e) pertencem às retas r e s. apenas o ponto A 6 Considerando a figura, copie no caderno as afirmações verdadeiras. 4 Considere as retas e os pontos assinalados na figura. Quais pontos são colineares com: a) A e B? C e P b) M e N ? D e P 5 Observe a pirâmide abaixo e responda: o ponto E está no mesmo plano de A, B e C? E o ponto A está no mesmo plano de D, C e E? a) Os pontos A, B, C e D são coplanares. b) Os pontos A, B, C e F não são coplanares. c) Os pontos D, C, F e G são coplanares. d) Os pontos B, C, F e G são coplanares. 7 Desenhe no caderno quatro pontos distintos e três a três não colineares. Quantas retas pode- mos traçar de forma que cada uma passe por dois desses pontos? 6 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA a) verdadeira b) verdadeira c) falsa d) verdadeira 2 Posições relativas de duas retas em um plano Veja as fotos a seguir. Harpa, um instrumento musical muito antigo. Mirante Ponte Estaiada, Teresina (Piauí). (Foto de 2015.) Na foto da esquerda, observe que as retas que passam pelas cordas da harpa não se cruzam. Já na foto da direita, é possível perceber que as retas que passam pelos cabos que sustentam a ponte se cruzam. No primeiro caso, dizemos que as cordas lembram linhas paralelas; no segundo caso, os cabos lembram linhas concorrentes. Agora, vamos ver como essas ideias das posições relativas de duas retas são estudadas em Geometria. DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS ARTUR WIDAK/GETTY IMAGES LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! não; não
- 194. 128 Exercícios propostos Na resolução do exercício 10, é de extrema importân- cia que, após identificar os pares de retas paralelas e os pares de retas concorrentes, os alunos façam a verifica- ção dos conceitos matemá- ticos por meio da manipu- lação do material sugerido (caixa de sapatos vazia e ca- nudinhos de refresco). Essa é uma maneira prática de relacionar o estudo com o mundo real. Se julgar oportuno, amplie o assunto tratando de re- tas coincidentes. Quando duas retas contidas em um mesmo plano têm todos os pontos em comum, elas são denominadas retas coin- cidentes. Por exemplo, as retas m e t da figura abai- xo são retas coincidentes (m m t). g m z t Outro conceito interessan- te que auxilia os alunos a ampliarem a construção de seus conhecimentos sobre retas paralelas é o de retas reversas. Conhecer duas re- tas que não têm pontos em comum e não são paralelas reforçará a importância da coplanaridade no caso das retas paralelas. Assim, discuta com eles o fato de que duas retas po- dem não estar em um mes- mo plano. Comente que, nesse caso, elas são chama- das de retas reversas. Exem- plifique com figuras como a mostrada abaixo ou cons- truindo modelos desse tipo. Nesta figura, as retas a e b são reversas, pois estão em planos diferentes (e não são paralelas, já que não estão no mesmo plano). b retas reversas a FERNANDO JOSÉ FERREIRA FERNANDO JOSÉ FERREIRA É importante reforçar que só faz sentido falar de retas paralelas e de retas concorrentes quando as retas estão contidas em um mesmo plano. r r / / s b s u u 3 v a v P s t r u rua M aran h ã o rua P aran á rua Amaz on as r u a S e r g i p e Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 128 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA As retas r e s, contidas no plano b, representadas na figura ao lado, são paralelas, pois elas não têm pontos em comum. Indicamos: r //s. As retas u e v, contidas no plano a, representadas na figura ao lado, são concorrentes, pois o ponto P é o único ponto em comum entre elas. Indicamos: u 3 v. Veja o exemplo. Veja o exemplo. Quando duas retas contidas em um mesmo plano não têm pontos em comum, elas são denominadas retas paralelas. Quando duas retas têm um único ponto em comum, elas são denominadas retas concorrentes. 8 Na figura abaixo, as ruas estão representadas por linhas que nos dão a ideia de retas. 9 Observe a figura. a) Das ruas indicadas nessa figura, qual é paralela à rua Maranhão? rua Paraná b) E quais são concorrentes com a rua Sergipe? c) Se você seguisse pela rua Maranhão e um colega fosse pela rua Paraná, vocês se encontrariam? Por quê? FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11 Discuta com um colega e registrem no caderno suas conclusões sobre as questões a seguir. a) Se as cordas de uma harpa se cruzassem, o instrumento funcionaria? não b) Se os fios de uma rede de tênis não se cru- zassem, a rede funcionaria? não a) Quais retas são paralelas? r e u b) Dê dois pares de retas concorrentes. 10 Identifique dois pares de retas paralelas e dois pares de retas concorrentes na figura abaixo. Para confirmar sua resposta, pegue uma cai- xa de sapatos vazia e alguns canudinhos de refresco para representar as retas. ALEX ARGOZINO b) rua Amazonas, rua Maranhão e rua Paraná Não, porque essas ruas são paralelas. 10. resposta possível: paralelas: r e u, r e v, u e v concorrentes: r e s, u e t, s e v, v e t resposta possível: s e t, u e t s r v t u
- 195. BIMESTRE 2 129 Semirreta e segmento de reta Se julgar conveniente, co- mente com os alunos que, na Matemática, há algumas proposições que são aceitas sem demonstrações, cha- madas de axiomas. Esse é o caso da proposição: dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os con- tém. Por isso dizemos que dois pontos distintos são sempre colineares. A partir dessa ideia, apre- sentamos a noção de se- mirreta como cada uma das partes de uma reta deter- minada por um ponto dessa reta, que será chamado de origem de cada uma dessas partes. Cada parte obtida dessa maneira é uma semir- reta. Verifique se os alunos com- preendem que, mesmo sendo uma parte da reta e tendo um ponto de origem, toda semirreta tem infinitos pon- tos e é ilimitada a partir de sua origem. A s B C s A A B A C Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 129 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA 3 Semirreta e segmento de reta Semirreta A explicação da professora pode ser confirmada na reta que ela desenhou no quadro de giz. A reta r também pode ser indicada por QP ou PQ (lemos: “reta QP” ou “reta PQ”). Agora, considere uma reta s e um ponto A pertencente a ela. Professora, quantas retas passam por dois pontos? Na Matemática, consideramos, sem demonstrar, que por dois pontos distintos passa uma única reta. LEONARDO DA CONCEIÇÃO Em relação ao ponto A, a reta s fica dividida em duas partes que têm o ponto A em comum. Cada uma dessas partes da reta (incluindo o ponto A) é chamada de semirreta, e o ponto A é chamado de origem de cada semirreta. Observe a reta s abaixo. Nela estão assinalados os pontos A, B e C. Vamos destacar a semirreta de origem A que passa pelo ponto B: Essa semirreta é indicada por AB. Vamos destacar agora a semirreta de origem A que passa pelo ponto C: Essa semirreta é indicada por AC. As semirretas AB e AC são chamadas de semirretas opostas. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
- 196. 130 Segmento de reta Ao apresentar o conceito de segmento de reta, compare- -o com o de semirreta para que os alunos possam am- pliar a construção do concei- to dessas duas figuras geo- métricas: tanto a semirreta quanto o segmento de reta são partes de uma reta e têm infinitos pontos. No en- tanto, o segmento de reta é limitado por suas extremida- des (“tem começo e fim”), o que não ocorre na semir- reta, pois ela é ilimitada a partir de sua origem (“tem começo e não tem fim”). Enfatize o fato de que dois segmentos consecutivos devem ter um extremo co- mum, o que não é necessá- rio para o caso de dois seg- mentos colineares. M t H M t H A C B D Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 130 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA Segmento de reta Você já viu um eletrocardiograma? Eletrocardiograma é um exame, feito por um médico cardiologista, capaz de registrar a atividade elétrica do coração com a pessoa em repouso. Observe a figura abaixo, que lembra um eletrocardiograma. Destacamos em azul a parte da reta que contém os pontos M, H e todos os pontos entre eles. Chamamos de segmento de reta a parte destacada. Esse segmento é indicado por MH ou HM. (Lemos: “segmento MH” ou “segmento HM”.) A linha verde dessa figura é formada por vários segmentos de reta. Considere uma reta t e dois pontos distintos pertencentes a ela: M e H. Na reta t dada, os pontos M e H são os extremos do segmento MH. Vamos conhecer agora o que são segmentos de reta consecutivos e segmentos de reta colineares. Veja o exemplo. Os segmentos AB e BC têm um extremo comum, que é o ponto B; logo, são segmentos consecutivos. Os segmentos BC e CD têm um extremo comum, o ponto C. Eles também são segmentos consecutivos. Note que os segmentos AB e CD não são consecu- tivos, pois não têm extremo comum. Um segmento de reta é uma parte da reta limitada por dois pontos distintos, chamados de extremos. Dois segmentos de reta são consecutivos quando têm um extremo comum. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA TEL COELHO
- 197. BIMESTRE 2 131 Exercícios propostos O exercício 14 pode ser com- plementado com a discussão sobre outros segmentos que poderiam ser traçados em cada item se considerásse- mos os pontos existentes. Espera-se que os alunos con- cluam que: a) Além dos segmentos já mostrados, podem-se tra- çar AC, AD, BD, BE e CE, que correspondem às dia- gonais do pentágono. b) Segmentos que ainda po- dem ser traçados com os pontos existentes: BF, BY, BE, DE e FE. c) Com os pontos V, X, Y e Z, todos os segmentos possí- veis já foram traçados. A B E F A C r B B D F Y E X Y Z V D E A B C Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 131 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA Veja os exemplos. Os segmentos AB e CD estão sobre a mesma reta; logo, são segmentos colineares. Os segmentos MN e MP também são coli- neares, porque estão sobre a mesma reta. Já os segmentos AB e PQ não são colineares, pois não estão sobre a mesma reta. Dois segmentos de reta são colineares quando estão sobre a mesma reta. Observação Os segmentos MP e PN são segmentos consecutivos e colineares. M B N P Q A C D FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA 12 Identifique as semirretas abaixo e indique sua origem. 14 Quais são os segmentos mostrados em cada uma das figuras a seguir? Identifique, se hou- ver, três pares de segmentos consecutivos e três pares de segmentos colineares. 13 Observe a reta r abaixo. a) Quais são as semirretas de origem no pon- to B? BC e BA b) Quantas semirretas com origem em A, B ou C podemos obter? 6 semirretas ADILSON SECCO a) a) b) c) b) a) respostas possíveis: BC e CD; CD e DE ; EA e AB. Não há segmentos colineares. b) respostas possíveis: Consecutivos: BD e DF ; DY e FY ; EY e FY . Colineares: DF e FY ; DY e FY ; DY e DF . c) respostas possíveis: Consecutivos: VX e VY ; VY e VZ ; XZ e VZ . Não há segmentos colineares. AB, A EF , E , , , , AB BC CD DE EA , , , , D DF F B Y DY YE , , , , , V V VX Y Z XY YZ XZ
- 198. 132 Exercícios propostos Após a resolução do exer- cício 15, solicite aos alunos que, em duplas, tracem ou- tros exemplos de pares de segmentos de reta que sejam simultaneamente consecu- tivos e colineares. Em segui- da, eles podem elaborar, por escrito, uma explicação de como devem ser os segmen- tos para formarem um par com essa característica. A elaboração da explicação faz os alunos desenvolverem a habilidade da comunica- ção matemática, buscando generalizar observações e experiências. Há aqui es- treita relação da linguagem matemática com a língua materna. No exercício 19, é importan- te acompanhar o processo de construção do desenho para verificar se os alunos interpretaram corretamen- te a informação de que os pontos A, B, C, D e E devem ser feitos sobre o contorno da moeda. No momento de responder ao item a, alguns alunos talvez encontrem apenas cinco segmentos, deixando de traçar todas as possibilidades. Nesse caso, é interessante a troca de ideias e resoluções com os colegas, para observarem a necessidade de complemen- tar sua resposta. No final da resolução do item c, incen- tive um debate com as se- guintes questões: •Por que não há pares de segmentos colineares? •Esses pares têm relação com a figura traçada ini- cialmente? •Se a figura traçada fosse um triângulo, aconteceria o mesmo? •E se fosse um quadrado? E G D F A B C D C G E F A B X Y C D P u Q ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 132 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA 16 Indique, com base na figura do exercício ante- rior, outros dois pares de segmentos que sejam consecutivos e colineares. Classifique em consecutivos, colineares ou consecutivos e colineares os pares de segmen- tos indicados nos itens a seguir. a) AB EB e d) BF FG e b) AB CD e e) EF FG e c) EB BC e f) FC FG e 15 Observe a figura. 17 Mariana fez o esboço de uma casa. Quantos segmentos de reta ela utilizou? 10 20 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre semirretas ou segmentos de reta criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 18 Na figura geométrica não plana abaixo, iden- tifique três pares de segmentos consecutivos, dois segmentos colineares e dois segmentos que estejam em um mesmo plano. 19 Reúna-se com um colega e façam o que se pede. Desenhem no caderno o contorno de uma moeda e marquem nesse contorno cinco pontos: A, B, C, D e E. a) Quantos segmentos com extremos nesses pontos vocês podem traçar? Quais são esses segmentos? b) Desses segmentos, indiquem cinco pares que sejam consecutivos. c) Quais pares desses segmentos são coli- neares? a) consecutivos b) colineares c) consecutivos d)consecutivos e)consecutivos f) consecutivos e colineares resposta possível: , AB B B BC E F e e . resposta possível: consecutivos: AF e FE ; DC e CG; AB e BC; não há segmentos colineares; coplanares: FE e AB; BE e CG. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! a) 10 segmentos: AB A A A C D E , , , , , , BC BD , , , CD E BE CE D , , , Medida de um segmento de reta Determinar a medida de um segmento de reta significa comparar seu comprimento com o comprimento de outro segmento, que foi tomado como unidade de medida. Considere os segmentos: ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ACERVO DO BANCO CENTRAL DO BRASIL 19. b) Marcando os pontos A, B, C, D e E em seguida, temos a seguinte resposta possível: AB BC e ; AB BD e ; AB BE e ; CD BC e ; CD DE e . Não há pares de segmentos colineares.
- 199. BIMESTRE 2 133 Orientações Ressalte para os alunos que o fato de um segmento de reta ser limitado é o que possibilita estudar sua medi- da, ou seja, seu comprimen- to. No caso de reta ou de se- mirreta, não há sentido em falar de suas medidas, pois são ilimitadas (pelo menos em uma das partes). Discuta com os alunos cada etapa do desenvolvimento exposto no livro. Peça a eles que desenhem em seus ca- dernos segmentos de reta de determinadas medidas e verifique como procederam. Após a apresentação do conceito de segmentos con- gruentes, proponha que desenhem no caderno pares de segmentos congruentes em diferentes posições. X Y P Q u P C D Q u A B C D E F E F u u u u A B C D E F u Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 133 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Tomando como unidade de medida o comprimento do segmento PQ, vamos determinar a medida dos segmentos XY e CD. Chamamos de u a unidade de medida utilizada. Observe que o segmento PQ “cabe” 5 vezes no segmento XY . Por isso, a medida de XY na unidade u é 5 ou 5u. Indicamos: m( XY ) 5 5u ou, simplesmente, XY 5 5u. A medida do segmento CD é 3u, pois o segmento PQ “cabe” 3 vezes no segmento CD. Indicamos: m(CD ) 5 3u ou CD 5 3u. Considere agora os segmentos AB, CD, EF . Vamos tomar como unidade de medida u o segmento EF : Observe que os segmentos AB e CD têm medidas iguais a 2u; por esse motivo, chamamos os segmentos AB e CD de segmentos congruentes. Vamos calcular as medidas dos segmentos AB e CD. Dois segmentos são congruentes quando têm medidas iguais segundo uma mesma unidade de medida.
- 200. 134 Exercícios propostos O bloco de exercícios desta página propicia que os alu- nos mobilizem os conheci- mentos construídos sobre medida de um segmento de reta. Antes de usarem a régua para estabelecer os pares entre os segmentos apresen- tados no exercício 22, sugi- ra que procurem identificar as congruências sem o uso da régua e que, em segui- da, confiram essas medidas com a régua. A estimativa e a comparação de medidas de comprimento são proce- dimentos muito usuais em situações nas quais não dis- pomos de instrumentos de medida adequados. Para o encaminhamento do exercício 23, é essencial que se preparem antecipada- mente os materiais neces- sários, de modo que todos os alunos participem da ati- vidade. É interessante tam- bém executar a atividade recortando os canudos e res- pondendo às questões com antecedência, a fim de pre- ver possíveis dúvidas e ques- tionamentos que surjam em sala de aula. Essa atividade é uma boa oportunidade de interação entre os alunos, tanto na construção do material soli- citado quanto na obtenção das respostas. Vale destacar que eles lidarão com dois aspectos muito importantes no estudo de grandezas e medidas: as estimativas e as unidades não padronizadas de medida de comprimento (no caso, a unidade corres- pondente à medida do ca- nudinho, ou seja, seu com- primento). A B E F P M N Q T U I J Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 134 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 22 Podemos separar os segmentos abaixo em pares de segmentos congruentes. Com o auxílio de uma régua, descubra quais são eles. São congruentes entre si: ; ; AB MN EF PQ TU IJ e e e . m( AB) 5 3u, m( AB) 5 2v m( AB) 5 6u, m( AB) 5 4v 21 Vamos tomar como unidade de medida o segmento u e depois o segmento v . Determine a medida do segmento AB. a) A B b) A B 23 Para esta atividade, junte-se a um colega. Vocês vão precisar dos seguintes materiais: • tesoura com pontas arredondadas; • cinco canudinhos feitos de plástico mole, de mesmo tamanho, nas cores branco, amarelo, vermelho, verde e azul. Façam o que se pede. • Dobrem ao meio e cortem os canudinhos, exceto o branco. • Separem uma metade de cada cor e descartem a outra metade. • Peguem a metade do canudinho vermelho, dobrem-na pela metade e descartem a outra parte. • Repitam esse procedimento com a metade restante: duas vezes para o verde e três vezes para o azul. Considerando o pedaço que sobrou de cada cor, registrem no caderno: a) as medidas do canudinho branco, usando como unidade de medida o pedaço amarelo, depois o pedaço vermelho, depois o verde; 2, 4, 8 b) as medidas do canudinho amarelo, usando como unidade de medida o pedaço vermelho, depois o verde; 2, 4 c) a medida estimada do canudinho branco na unidade de medida azul, sem manipular (pegar com a mão) o pedaço azul; 16 d) a medida estimada do canudinho branco na unidade azul, agora manipulando o pedaço azul. 16 Depois, respondam à pergunta no caderno: juntando dois pedaços de cores diferentes, é possível obter um pedaço do tamanho de outro de outra cor? não ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA
- 201. BIMESTRE 2 135 Sugestão de leitura Para ampliar a discussão do tema proposto nesta seção Para saber mais, sugerimos o site: https://exame.abril.com.br/estilo- de-vida/12-incriveis-obras-de-arte- que-criam-ilusao-de-otica/. Acesso em: 20 maio 2018. Ângulos Os alunos já trazem dos anos iniciais do Ensino Fun- damental a noção de ân- gulo, que será ampliada e aprofundada neste capítulo e em outros momentos ao longo deste ciclo. Pergunte a eles se conhecem algum dos ângulos formados pelos ponteiros dos relógios. Espe- ra-se que eles reconheçam pelo menos o ângulo reto. B A D C A B C D F igura 1 F igura 2 F igura 3 A C D B A N B D C M AB CD e AM MB e AB CD e Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 135 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA Ilusão de óptica A mera observação de uma figura pode levar a conclusões erradas, pois muitas vezes as aparências enganam. Veja, por exemplo, os segmentos AB e CD ao lado. Ao observá-los, tem- -se a impressão de que o segmento AB é menor que o segmento CD, mas, com o auxílio de uma régua, verifica-se que ambos têm a mesma medida. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO PARA SABER MAIS 1 Por meio de observação, procure estabelecer em cada figura abaixo uma comparação entre os segmentos indicados. Depois, usando uma régua, verifique se sua comparação se comprova. 2 Observe as linhas de cada figura abaixo e discuta com um colega se elas são ou não paralelas. b) linhas inclinadas c) linhas verticais a) linhas horizontais ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA ALAMY/FOTOARENA SCIENCE PHOTO LIBRARY/ LATINSTOCK ISTOCK PHOTOS/ GETTY IMAGES 4 Ângulos Observe um relógio analógico. Ao meio-dia, o ponteiro dos minutos e o das horas estão sobrepostos. Conforme o tempo passa, esses ponteiros se movimentam, formando-se certa abertura entre eles. Veja os exemplos. A figura formada pelos dois ponteiros de um relógio sugere a ideia de ângulo. As linhas são paralelas. As linhas são paralelas; as linhas verticais são paralelas entre si e as pequenas linhas inclinadas em cada linha vertical também são paralelas entre si. As linhas são paralelas. FOTOS: SERDAR BAYRAKTAR/SHUTTERSTOCK m( AB) 5 m(CD) m( AB) 5 m(CD) m( AM) % m( B M ) Agora é com você! Habilidades trabalhadas: (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.
- 202. 136 Orientações Discuta com os alunos sobre a presença e a utilização do ângulo em diversas situa- ções do cotidiano, em obje- tos feitos pelo ser humano, na natureza, entre outras. Se possível, proponha uma atividade de exploração pela escola em que eles de- vem observar diferentes espaços à procura de “ân- gulos”. Conforme fizerem as observações, devem re- gistrar no caderno onde e como verificaram a presença de ângulos, com textos des- critivos ou com desenhos, reproduzindo o que viram. Ao voltar para a sala de aula, promova uma roda de conversa de modo que os alunos possam expor o que viram e registraram. Habilidades trabalhadas: (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 136 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA Os ângulos a seguir são representações de alguns dos ângulos formados pelos ponteiros do relógio das fotos anteriores. A cada ponteiro foi associada uma semirreta. NELSON MATSUDA Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem. Agora, vamos ver as coisas por este ângulo: um ângulo pode ser observado na natureza e em diversos objetos produzidos pelo ser humano. No ângulo representado abaixo: ƒ o ponto O é chamado de vértice do ângulo; ƒ as semirretas OA OB e são chamadas de lados do ângulo; ƒ indicamos o ângulo por O A B W (lemos: “ângulo AOB”); ƒ o arco que liga os lados indica qual é a abertura do ângulo que estamos considerando. O B A NELSON MATSUDA TEL COELHO SIDNEY MEIRELES HORIYAN/SHUTTERSTOCK FREUDENTHAL VERHAGEN/GETTY IMAGES BYAKKAYA/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES D A R R E N M O W E R /I S T O C K P H O T O S /G E T T Y IM A G E S
- 203. BIMESTRE 2 137 Exercícios propostos O exercício 25 pode ser re- solvido em duplas, o que aumentará o repertório dos alunos na busca dos ângulos presentes nas figuras. Ângulo e giro A associação da noção de ângulo a giros amplia a construção dos conhecimen- tos acerca desse importante conceito. Construir o con- ceito de ângulo como giro apresenta esse conceito de forma dinâmica, articulado à ideia de ângulo como mu- dança de direção. Proponha aos alunos que trabalhem em duplas: en- quanto um deles realiza alguns giros, o outro repre- senta esses giros no cader- no. Depois, trocam de papel e refazem a atividade. Desse modo, têm a oportunidade de representar, interpretar, descrever e verbalizar o que pensaram e fizeram, habi- lidades importantes para o desenvolvimento de ideias e formação de conceitos. Informe aos alunos, nesse momento, que o giro de um quarto de volta é associado a um ângulo denominado ângulo reto. Eles podem re- presentar em papel quadri- culado esse giro em diferen- tes posições. Habilidades trabalhadas: (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais. D E A C B F G H I J K L M B C giro de — de volta 1 4 giro de — de volta 3 4 giro de — de volta 1 2 giro de uma volta completa Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 137 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS O D C P N M V E F Q P R 25 Em cada figura a seguir, imagine dois ângulos e os pares de semirretas correspondentes a eles. Dê a indicação desses ângulos. a) Qual é o vértice desse ângulo? M b) Quais são seus lados? c) Como indicamos esse ângulo? 24 Observe o ângulo e responda às questões. 26 Dê a indicação de cada ângulo e dos lados que o formam. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA a) a) c) b) d) b) Visão estroboscópica, feita com a sobreposição de sequência de fotos tiradas do mesmo ponto, de um atleta na barra horizontal. Ângulo e giro Em algumas modalidades do atletismo, o giro é um movimento fundamental. O giro dá ideia de ângulo. Veja nos esquemas ao lado da foto algumas posições no giro do atleta. GUSTOIMAGES/SCIENCE PHOTO LIBRARY/LATINSTOCK ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO resposta possível: GHI W e K J L W . resposta possível: BED W e ADC W . MB MC e BMC X COD OC OD , e W MNP NM NP , e W EVF VE VF , e W RQP QR QP , e W
- 204. 138 Exercícios propostos Para realizar a tarefa pro- posta no exercício 27, faça em sala de aula uma simu- lação com a turma. Escolha um aluno para assumir o papel de Júlia, dê os coman- dos e vá questionando sobre o ângulo de giro. Escolha outro aluno e indique ou- tros ângulos de giro, usan- do como referência pontos marcados na sala de aula. Por exemplo, com o alu- no de frente para a lousa, oriente-o a girar para a es- querda na direção do colega que estiver a aproximada- mente 45°. Repita a ativida- de algumas vezes, usando ângulos de 45°, 90°, 180°, 360°. Depois, proponha que os alunos desenhem no cader- no esses ângulos de giros. Se possível, entregue a eles folhas de papel quadricu- lado. Questione-os sobre a possibilidade de girar se- guindo outras medidas, por exemplo, 30° ou 60°. Caso se interessem pela tarefa, pro- cure fazê-la desenhando um “transferidor” no chão. Para resolver o exercício 28, os alunos precisam observar que, embora o ponto O pos- sa ser marcado em qualquer local do papel quadricula- do, é mais conveniente que ele seja um ponto de inter- secção de dois segmentos do quadriculado, pois, pela orientação do quadriculado, será mais simples realizar o movimento. Atenção: caso perceba que os alunos estão com dificul- dade para realizar o item c, no qual cada aluno cria um roteiro para o colega, sugira que façam um desenho e de- pois tentem explicar o pro- cesso de construção (é como se fizessem de trás para a frente o que foi pedido, a fim de descrever como se faz para chegar ao desenho). B C u A unidade de medida u G u u u u u F H A medida de FGH é 5u. abertura abertura Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 138 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 28 Hora de criar – Junte-se a um colega e usem papel quadriculado para desenhar um percur- so. O lado do quadradinho deve ser conside- rado a unidade de comprimento. a) Marquem no papel um ponto “convenien- te”. A partir de O, sobre qualquer linha do quadriculado, tracem um segmento com 6 unidades. A seguir, repitam três vezes os comandos: • gire 4 1 de volta para a direita; • trace um segmento com 6 unidades. Que figura vocês desenharam? b) Repitam a atividade do item a, mudando apenas o giro para a esquerda. c) Criem um roteiro cada um, troquem o roteiro com o cole- ga e tracem o rotei- ro do outro. um quadrado Resposta pessoal. 27 Observe o giro que Júlia fez da 1a para a 2a posição. Ela fez um giro para a direita dela. Represente o ângulo associado ao giro de Júlia. Júlia fica de lado para o vendedor de sucos. ILUSTRAÇÕES: LEONARDO DA CONCEIÇÃO LEONARDO DA CONCEIÇÃO Júlia está de frente para o vendedor de sucos. Medida de um ângulo Para determinar a medida de um ângulo, devemos verificar a abertura que está sendo considerada entre seus lados. Por favor, abra mais a porta. Observação Dado um ângulo, sempre podemos assinalar duas aberturas. Quando não houver indicação, consideraremos sempre a menor delas. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA Para obter a medida de um ângulo, escolhemos um ângulo cuja abertura será a unidade de medida e verifi- camos quantas vezes ela “cabe” na abertura do ângulo que se deseja medir. Veja o exemplo ao lado. TEL COELHO um quadrado Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
- 205. BIMESTRE 2 139 Orientações É importante os alunos perce- berem que medir um ângulo é medir a sua abertura (a que está sendo considerada). Com base no que já viram com a medida de um segmento de reta, podem compreender a comparação com a abertura de um ângulo tomado como unidade de medida. O uso do transferidor é mais complexo do que o da régua. Por isso, proponha aos alunos que meçam alguns ângulos com o transferidor e acompa- nhe-os no uso do instrumen- to, fazendo as intervenções necessárias para auxiliá-los. Faça construções na lousa, mostrando que não impor- ta o quanto prolongamos os lados de um ângulo, pois sua medida não se modifica. A medição com o transfe- ridor de um ângulo dado pode ser uma tarefa desa- fiadora. Apresente aos alu- nos alguns ângulos em uma folha de papel para deter- minarem a medida de cada um deles com o transferidor. Ao final, eles podem compa- rar com a medida encontra- da por um colega e discutir como fizeram caso surjam medidas diferentes. Para desenvolver essa tarefa, incentive os alunos a usarem o ângulo reto (o giro de um quarto de volta que já de- senharam) como referência (apenas mental, sem neces- sariamente manipular algum material). Eles podem, antes de usar o transferidor, esti- mar quais dos ângulos da- dos têm medidas menores que um ângulo reto. Depois, com o transferidor, devem fazer as medições necessá- rias e conferir as estimativas iniciais. Esse movimento é interessante, pois, além de desenvolver a habilidade de estimar medidas de ângulos, diminui os erros no momen- to de fazer a leitura da medi- da no transferidor. Muitas vezes, os alunos ficam em dúvida entre duas medidas (dois números) que aparecem no transferidor; a comparação inicial com o ângulo reto permite selecionarem a medida com mais segurança. A B O A F O A B C D E O A B O Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 139 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FOTOS: EDUARDO SANTALIESTRA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA FOTOS: EDUARDO SANTALIESTRA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Uma das unidades de medida de ângulos é o grau (°). O transferidor é o instrumento usado para medir ângulos em grau. O transferidor da foto imediatamente abaixo é dividido em 180 partes iguais. Cada uma dessas partes determina um ângulo de 1 grau, representado como 1°. Para ângulos com medida maior que 180°, usamos um transferidor de 360°. Observe na foto ao lado a medida do ângulo assinalado. Medida de AOF W 5 230° Indicamos: m(AOF W ) 5 230° Veja agora como devemos proceder para medir um ângulo usando o transferidor. Considere como exemplo o ângulo AÔB representado abaixo. Colocamos o centro do trans- feridor sobre o vértice O do ângulo, de modo que o 0 (zero) fique situado em um dos lados do ângulo (por exemplo: OA). O outro lado (OB) passa pela marcação 20 do transferidor. Então, o ângulo AOB W mede 20 graus, isto é, m(AOB W ) 5 20°. De acordo com a figura, temos: ƒ Medida de AOB W 5 20° Indicamos: m(AOB W ) 5 20° ƒ Medida de AOC W 5 70° Indicamos: m(AOC W ) 5 70° ƒ Medida de AOD W 5 90° Indicamos: m(AOD W ) 5 90° ƒ Medida de AOE W 5 140° Indicamos: m(AOE W ) 5 140°
- 206. 140 Exercícios propostos No exercício 30, Hora de criar, dê um tempo para os alunos lerem as informações do enunciado. Em seguida, antes que façam as tarefas propostas, discuta com a turma sobre o que entende- ram da leitura que fizeram. Expor esse entendimento propicia revisitarem as ideias principais do texto e fazerem a releitura, caso percebam que há alguma parte ainda não assimilada. Ao realiza- rem as questões propostas, percorra a sala e verifique a necessidade de fazer in- tervenções para auxiliar as duplas. Pense mais um pouco... Nesta seção, pode-se repro- duzir na lousa o desenho do trajeto do carrinho em ta- manho maior para discutir a situação com a classe. Após os alunos (de preferência em duplas ou trios) descre- verem o trajeto, peça a um aluno de cada vez que vá à lousa e explique um “pe- daço” do trajeto, primeiro oralmente, mostrando a movimentação sobre a ilus- tração e, em seguida, escre- vendo na lousa a descrição. Em seguida, peça a outro aluno (de outra dupla ou trio) que faça o mesmo com o próximo trecho do trajeto. Quando o trajeto estiver fi- nalizado, solicite aos alunos que não foram à lousa que comparem as respostas obti- das por eles com as expostas na lousa e identifiquem se há diferenças. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais. P S T M E A D F C B C A a) b) c) d) 1 m 3 m 2 m 2 m 45° 105° 90° Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 140 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 29 Usando um transferidor, determine a medida de cada um dos ângulos a seguir. 30 Hora de criar – Com um colega, leiam o texto abaixo e façam o que se pede, reproduzindo os desenhos em um papel quadriculado. Cada passo corresponde ao lado de um quadradinho. O Logo é uma linguagem antiga de programação que possibilita fazer desenhos na tela do computador. O cursor aparece em forma de tartaruga, que realiza movimentos conforme o comando. Por exemplo: • pf 5 (para a frente 5 passos) • pd 90 (para a direita 90°) • pe 45 (para a esquerda 45°) Vamos considerar que a tartaruga está posicionada para cima no início do movimento. a) Cristina executou os seguintes comandos para a tartaruga: pf 5 — pd 90 — pf 2 — pd 90 — pf 5 — pd 90 — pf 2 Desenhem no papel quadriculado a figura que ela obteve. construção de figura b) Leonardo quis desenhar a letra L, inicial de seu nome, com um quadradinho de espessura. Descreva os comandos que ele pode ter dado. c) Cada um de vocês deve criar um conjunto de comandos e trocar com o colega, para que um desenhe a figura do outro. Resposta pessoal. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA LEONARDO DA CONCEIÇÃO NELSON MATSUDA FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Descreva o trajeto feito pelo carrinho para chegar até a garagem. TEL COELHO 30° 120° 75° 90° b) resposta possível: pf 5 — pd 90 — pf 1 — pd 90 — pf 4 — pe 90 — pf 2 — pd 90 — pf 1 — pd 90 — pf 3 O carrinho andou 1 m para a frente, girou 45° para a direita, andou 2 m para a frente, girou 105° para a esquerda, andou 3 m para a frente, girou 90° para a esquerda e andou 2 m para a frente.
- 207. BIMESTRE 2 141 Construção de um ângulo com o transferidor Mostre cada passo dessa construção na lousa, mais de uma vez, mudando a medida do ângulo a ser construído. Na primeira vez, peça aos alunos que observem com atenção. Nas outras vezes, peça que reproduzam cada passo no caderno. Exercício proposto No exercício 31, os alunos devem usar régua e transfe- ridor, seguindo as orientações apresentadas na página. Es- sas construções contribuem para o desenvolvimento de habilidades referentes ao de- senho geométrico. Promova uma discussão sobre acuida- de visual e uso dos artefatos para medida e construção, o que leva à reflexão sobre estimativas e aproximações, auxiliando nas leituras de ân- gulos e utilização de régua e transferidor. Apresentamos a resolução de alguns itens. No item a, traçamos uma semirreta OA qualquer. Colocamos o centro do transferidor sobre a origem O da semirreta, com o número 0 (zero) so- bre OA . Onde o transferi- dor indica 35 assinalamos o ponto B. 0 180 180 180 180 180 A B O 0 0 0 0 17 0 10 1 6 0 2 0 1 5 0 3 0 1 4 0 4 0 130 50 120 60 110 70 100 80 90 80 100 70 110 60 120 50 130 4 0 1 4 0 3 0 1 5 0 2 0 1 6 0 10 17 0 Traçando a semirreta OA , construímos um ângulo de 35º. No item g, os alunos podem utilizar um transferidor de 360º ou, caso possuam o transferidor de 180º, devem traçar uma reta e, nela, mar- car os pontos O e A. No sentido anti-horário a partir da semirreta OA , com o transferidor alinhado nela e centro em O, marca- mos o ângulo corresponden- te à diferença entre a medi- da do ângulo pedido e 180º (220º – 180º 5 40º): 0 0 0 18 18 180 180 A B O 180o 40o 0 17 0 10 1 6 0 2 0 1 5 0 3 0 1 4 0 1 4 0 4 0 4 0 1 3 0 5 0 1 2 0 6 0 1 1 0 7 0 10 0 80 90 80 10 0 7 0 1 1 0 6 0 1 2 0 5 0 1 3 0 4 0 1 4 0 3 0 1 5 0 2 0 1 6 0 10 17 0 ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI B O 40° A O A A O B Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 141 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO EXERCÍCIO PROPOSTO Construção de um ângulo com o transferidor Para construir um ângulo de 40°, por exemplo, traçamos uma semirreta (OA) qualquer: A seguir, colocamos o centro do transferidor sobre a origem O da semirreta e colocamos o número 0 (zero) do transferidor sobre OA. Verificamos, então, onde o transferidor indica a marca 40 e assinalamos o ponto B. Traçando a semirreta OB, construímos um ângulo de 40°. FOTO: EDUARDO SANTALIESTRA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA 31 Construa em seu caderno: construção de figuras a) um ângulo de 35°; b) um ângulo de 90°; c) um ângulo de 45°; d) um ângulo de 72°; e) um ângulo de 150°; f) um ângulo de 139°; g) um ângulo de 220°; h) um ângulo de 310°.
- 208. 142 Tipos de ângulo Nesta página, iniciamos o estudo dos tipos de ângulos. Ressalte a importância do ângulo reto, cuja medida é 90°, e retome o giro corres- pondente a um quarto de volta, que corresponde a esse tipo de ângulo. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). O A B Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 142 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA Tipos de ângulo Ângulo reto Observe na foto a posição dos ponteiros do relógio quando ele marca exatamente 3 horas. A figura formada pelos ponteiros sugere a ideia de um ângulo reto. O ângulo cuja medida é 90° é denominado ângulo reto. Na representação de um ângulo reto, usamos a notação . O ângulo AOB W abaixo é reto. Nestas imagens, os ângulos assinalados são retos. Elevador Lacerda, em Salvador (Bahia). (Foto de 2015.) FOTO: EDUARDO SANTALIESTRA MISCHA KEIJSER/GETTY IMAGES LUIS CARLOS TORRES/SHUTTERSTOCK ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA DUDU MACEDO/FOTOARENA IOAN PANAITE/SHUTTERSTOCK
- 209. BIMESTRE 2 143 Orientações Com o estudo do ângulo reto, é possível definir retas perpendiculares. Retome a situação de retas concorren- tes na lousa e demarque os quatro ângulos formados por essas retas, destacando o ponto em que elas se in- terceptam, vértice comum desses quatro ângulos. Entregue a cada aluno uma folha com representações de retas concorrentes em posições variadas, colocan- do dentre elas retas que formam entre si ângulos de 90°. Peça a eles que meçam os ângulos entre as retas, identificando suas medidas. Verifique se percebem que dois a dois eles têm mesma medida (nesse caso, os ân- gulos opostos têm mesma medida). Em seguida, co- mente que as retas concor- rentes que se interceptam formando quatro ângulos de 90° (ângulos retos) são denominadas retas perpen- diculares. As demais retas concorrentes (que não for- mam ângulos retos entre si) são retas oblíquas. Na sequência, apresente o conceito de ângulos agudos e de ângulos obtusos, to- mando como base a compa- ração com o ângulo reto. s r u v O D C O F E Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 143 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA O ângulo cuja medida é menor que a de um ângulo reto (ou seja, está entre 0° e 90°) é chamado de ângulo agudo. Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando ângulos retos. O ângulo cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que 180° é chamado de ângulo obtuso. Na figura ao lado, as retas r e s são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos. Nesse caso, dizemos que r e s são retas perpendiculares. Indicamos: r ª s (lemos: “r é perpendicular a s”). Na figura ao lado, as retas u e v também são concorren- tes, porém não formam ângulos retos entre si. Nesse caso, dizemos que u e v são retas oblíquas. Indicamos: u N v (lemos: “u é oblíqua a v”). O ângulo COD W abaixo é um exemplo de ângulo agudo. Ângulos agudo e obtuso A Torre de Pisa, na cidade de mesmo nome, na Itália, é famosa por sua inclinação. (Foto de 2014.) Os ângulos EOF W abaixo e O M P W desenhado na foto da Torre de Pisa são exemplos de ângulos obtusos. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ROLAND BARAT/ALAMY/FOTOARENA M O P
- 210. 144 Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas Avise previamente os alu- nos que deverão trazer o material necessário para as construções de retas perpen- diculares e de retas parale- las propostas nesta página: lápis, régua e esquadro. É importante que cada aluno tenha o seu próprio material para que participe efetiva- mente e realize cada cons- trução. Se possível, traga algumas réguas e esquadros para distribuir a alunos que porventura não tenham o material, recolhendo ao final da aula, para outros momen- tos de uso. Proceda de maneira similar ao que foi feito na constru- ção de ângulos com o trans- feridor. Mostre na lousa os passos de cada construção, mais de uma vez, mudando a posição da reta com que se inicia. Na primeira vez, peça aos alunos que apenas ob- servem com atenção o que é feito. Nas outras vezes, peça a eles que reproduzam no caderno cada passo que for feito na lousa. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwa- res para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). P r P r P r P s r Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 144 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas Por um ponto fora de uma reta r, podemos traçar uma reta s, perpendicular a r. E também podemos traçar uma reta s paralela a r. Acompanhe. Retas perpendiculares traçadas com régua e esquadro Posicionamos o esquadro na reta r e no ponto P. Traçamos uma reta r e um ponto P fora dela. 1o passo 2o passo ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO 3o passo 4o passo Com a régua, terminamos de traçar a reta s, perpendicular à reta r pelo ponto P. Verifique usando um transferidor. Iniciamos o traçado da reta s junto ao esquadro. 1o passo 3o passo 2o passo 4o passo Retas paralelas traçadas com régua e esquadro Com a régua, terminamos de traçar a reta s, paralela à reta r pelo ponto P. Traçamos uma reta r e um ponto P fora dela. P r P r P r P r s Posicionamos o esquadro na reta r e encostamos a régua no esquadro. Escorregamos o esquadro na régua até o ponto P e traçamos a reta s.
- 211. BIMESTRE 2 145 Para saber mais Nas construções de retas perpendiculares e de retas paralelas com o uso de um software, se possível, leve os alunos ao laboratório de in- formática para eles observa- rem a utilização do software e efetivamente construírem por meio dele retas perpen- diculares e retas paralelas, seguindo o procedimento mostrado nesta página. Outra possibilidade é mon- tar uma apresentação para os alunos assistirem e obser- varem o uso desse software nessas construções. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 145 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA 1o passo 3o passo 2o passo Selecione a ferramenta “Reta Perpendicular” e clique no ponto C criado por você no passo anterior e, em seguida, na reta AB . Selecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar os pontos A, B e C e manter as retas criadas perpendiculares entre si. Agora, veja como utilizar o software novamente para a construção de retas paralelas. 1o e 2o passos Repita os procedimentos feitos nos dois primeiros passos da construção anterior. Selecione a ferramenta “Reta Paralela” e clique no ponto C criado por você e, em seguida, na reta AB . Selecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar os pontos A, B e C e manter as retas criadas paralelas entre si. Retas perpendiculares e retas paralelas traçadas com o uso de software Podemos utilizar softwares matemáticos em uma série de situações. Veja como é possível criar retas perpendiculares com o uso de software. PARA SABER MAIS Normalmente, as ferramentas ficam na parte superior da tela. Selecione a ferramenta “Reta” e clique em dois pontos quaisquer da tela para criar uma reta AB . Selecione a ferramenta “Ponto” e clique em qualquer lugar do plano fora da reta para criar um novo ponto C. A B f A B C f 3o passo A B C f g A B C f g ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
- 212. 146 Exercícios propostos Aproveite o exercício 35 para mostrar aos alunos que não importa o tamanho do papel, mas a maneira como ele foi dobrado. Não há in- dicação da medida do papel pois, desde que todos façam a dobradura corretamente, chegarão ao ângulo reto. É interessante que cada aluno conserve seu “ângulo reto” para ser usado em outros exercícios como auxiliar tan- to de construção como de medição de ângulos. No exercício 36, é preciso que todos tenham lápis, ré- gua e compasso. É funda- mental ter em sala de aula os materiais apropriados para desenhar na lousa, pois são ferramentas indispensá- veis para os alunos acompa- nharem e compreenderem os passos das construções geométricas solicitadas. Para essa construção, os alu- nos devem seguir as orienta- ções apresentadas na pági- na 144. A distância do ponto A ao ponto B é igual à distância do ponto A ao ponto C, que é 4 cm. A C B 4 cm 4 cm r s A C B r t u s Observando o desenho e seu processo de construção, os alunos devem concluir que as retas r, t e u são paralelas. Se for possível, essa constru- ção também pode ser feita no computador com o uso de um software. ILUSTRAÇÕES: REINALDO VIGNATI Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. 1 3 2 4 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 146 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 33 Classifique como reto, agudo ou obtuso o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio quando ele passa das 9 h 5 min para as: a) 9 h 25 min obtuso b) 9 h 15 min agudo c) 9 h 20 min reto 32 Observando as figuras, classifique cada ângulo assinalado como reto, agudo ou obtuso. ILUSTRAÇÕES: LEONARDO DA CONCEIÇÃO ILUSTRAÇÕES: LEONARDO DA CONCEIÇÃO IZAAC BRITO Ângulo formado entre duas cartas de baralho. Ângulo formado pelas laterais do porta-retrato. Ângulo formado pelas hastes do leque. 35 Utilizando os passos abaixo, construa um molde de ângulo reto sem utilizar transferidor. Pegue um pedaço de papel de qualquer for- mato e faça uma dobra. Dobre novamente, unindo as duas pontas da primeira dobra. Ao abrir a folha, você perceberá que as dobras formam 4 ângulos retos. Agora, faça as duas dobras novamente e uti- lize seu molde de ângulo reto para identificar os ângulos assinalados na ilustração a seguir como reto, agudo ou obtuso. 36 Com régua e esquadro, faça o que se pede: • trace uma reta r e, nela, um ponto A; • trace por A uma reta s, perpendicular a r; • marque em s dois pontos, B e C, distantes 4 cm de A; • trace duas retas t e u perpendiculares a s, uma por B e outra por C. Responda: qual é a posição relativa das retas r, t e u? paralelas 34 Usando um transferidor, descubra retas per- pendiculares e, usando régua e esquadro, descubra retas paralelas na figura abaixo. a) b) c) u v z x y Ângulo formado pelas hastes do leque. c) tampo da mesa: reto; livro: agudo; haste da luminária: obtuso perpendiculares: y e u, y e v; paralelas: u e v agudo reto obtuso construção geométrica NELSON MATSUDA
- 213. BIMESTRE 2 147 Exercícios complementares Este bloco de exercícios re- toma os principais conceitos tratados no capítulo, dando oportunidade para os alu- nos aplicarem e fortalece- rem os conhecimentos cons- truídos. A seguir, apresentamos um exemplo de resposta para o exercício 3: A B C 3 cm 3 cm Utilizando um transferidor, constatamos que a medida do ângulo formado por es- ses segmentos é de 120°. É importante os alunos justi- ficarem seus desenhos. Nes- te caso, por exemplo, temos que os segmentos AB e BC não estão em uma mesma reta, por isso não são colinea- res. Eles têm um extremo em comum, o ponto B; logo, são consecutivos. Também têm a mesma medida; portanto, são congruentes. Após a resolução do exercí- cio 4, peça aos alunos que retomem o exercício 15, da página 132, e comparem o que concluíram anterior- mente com o desenho deste exercício, para entenderem por que, no último, não en- contraram nenhum par de segmentos consecutivos e colineares. É possível também pedir a eles que, usando os pontos já existentes, tracem um novo segmento de reta de modo que passe a existir ao menos um par de segmentos consecutivos e colineares. Aproveitando o contexto e a ilustração do exercício 8, pro- ponha aos alunos que pes- quisem outras ilustrações ou fotos (de revistas ou jornais) em que consigam identificar e medir diferentes ângulos. FERNANDO JOSÉ FERREIRA A D B C H F E G E M A Z X Y Z V D A C B Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 147 CAPÍTULO 6 UM POUCO DE GEOMETRIA PLANA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 10 Determine qual das sentenças a seguir é falsa. Em seguida, corrija-a em seu caderno. a) O ângulo reto mede 90°. b) Os lados de um ângulo são segmentos de reta. c) Determinar a medida de um ângulo é medir a abertura entre seus lados. d) A medida de um ângulo obtuso é sempre maior que a medida de um ângulo agudo. 9 Considere quatro pontos de um plano, sabendo que três desses pontos nunca estão na mes- ma reta. Qual é o número de semirretas que podemos traçar, com origem em um deles e que passa por outro deles? 12 6 Desenhe três semirretas de mesma origem, sendo duas semirretas opostas e a terceira formando um ângulo de 45° com uma delas. a) Você obteve um ângulo de meia-volta? E um ângulo reto? E um ângulo obtuso? b) Quais são as medidas dos ângulos obtidos? 1 Em seu caderno, copie as sentenças verdadei- ras e corrija as falsas. a) Duas retas de um mesmo plano sempre têm um ponto em comum. falsa b) Duas retas perpendiculares têm apenas um ponto em comum. verdadeira c) Duas retas oblíquas podem formar um ân- gulo reto. falsa 2 Observe as indicações e classifique-as em reta, semirreta ou segmento de reta. a) AB e) CD b) PQ f) JK c) RS g) MN d) FG h) OP 5 Considere a reta abaixo. 7 Determine, com o auxílio de uma régua, a me- dida de cada segmento da figura e identifique os segmentos congruentes. 3 Desenhe dois segmentos não colineares, con- secutivos e congruentes. Em seguida, meça o ângulo formado por eles. Resposta pessoal. 4 Na figura abaixo, identifique os segmentos colineares, os segmentos consecutivos e os segmentos consecutivos e colineares. MÁRIO MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA 4. colineares: AC e HF ; EG e DB; consecutivos: AC e CE ; CE e EG; EG e GH; GH e HF ; HF e FD; FD e DB; consecutivos e colineares: nenhum segmento de reta semirreta semirreta segmento de reta reta reta segmento de reta semirreta 1. resposta possível: a) Duas retas de um mesmo plano nem sempre têm um ponto em comum. c) resposta possível: duas retas oblíquas não podem formar um ângulo reto. 6. a) sim; não; sim 6. b) 45°, 135° e 180° Falsa. Os lados de um ângulo são semirretas. Responda às questões. a) Quantas semirretas ficam determinadas pelos pontos assinalados na reta? 8 b) Quantas semirretas de origem E ficam de- terminadas? 2 c) Quantas semirretas de origem M e que passam pelo ponto Z ficam determinadas?1 8 Classifique cada ângulo destacado na figura abaixo em reto, agudo ou obtuso, identifican- do-os pela cor. NELSON MATSUDA agudo: verde reto: rosa obtusos: azul e laranja AB 5 CD 5 6 cm; BC 5 AD 5 3 cm; XY 5 YZ 5 ZV 5 VX 5 2,5 cm; VY5 4,5 cm e XZ 5 2 cm São congruentes: AB CD e ; D BC A e ; XY, XY YZ , ZV VX e .
- 214. 148 Desprendeu-se na Antártica um dos maiores icebergs já identificados pela ciência, informou o relatório divulgado nesta quarta-feira por pesquisadores do Project Midas. O bloco gigante de gelo tem 5,8 mil quilômetros quadrados, 200 metros de espessura e pesa mais de um trilhão de toneladas — equivalente à área do Distrito Federal, no Brasil. O satélite Aqua, dos Estados Unidos, captou o iceberg ao passar próximo à plataforma Larsen C e identificou água limpa entre o bloco e o continente. Fonte: ICEBERG do tamanho de Brasília se desprende na Antártica. Gazeta Online, 12 jul. 2017. Disponível em: http://www.gazetaonline.com.br/noticias/mundo/2017/07/iceberg-do-tamanho-de-brasilia-se-desprende-na- antartica-1014076632.html. Acesso em: 04 out. 2017. Você sabia que a parte visível de um iceberg corresponde a apenas 10 1 do seu volume e a 7 1 da sua altura? 7Números racionais na forma de fração Capítulo Plataforma Larsen C, na Antártica, monitorada por satélite. (Foto de 2017.) BRITISH ANTARTIC SURVEY/AFP 148 CAPÍTULO 7 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Reconhecer números racio- nais em diferentes contex- tos: cotidianos e históricos. •Ler, escrever e representar números racionais na for- ma de fração. •Resolver problemas envol- vendo números racionais na forma de fração com seus diferentes significados: como operadores, relação entre parte e todo, quocien- te e razão. •Identificar frações equiva- lentes. •Simplificar e comparar nú- meros racionais escritos na forma de fração. •Resolver e elaborar proble- mas que envolvam porcen- tagem com base na ideia de proporcionalidade. •Interpretar dados repre- sentados em tabelas, grá- ficos de colunas e gráficos de setores. Orientações gerais Este capítulo trata dos nú- meros racionais não negati- vos em forma de fração, seus significados, equivalência, simplificação, comparação de frações e a forma percen- tual. Tratamos também da interpretação e organização de informações coletadas por meio de tabelas e gráfi- cos de colunas e de setores. Na abertura do capítulo, temos a oportunidade de trabalhar com uma visão interdisciplinar, associan- do Matemática a Ciências e Geografia. Os números em foco, os racionais, são apre- sentados ao aluno em um conjunto de informações sobre icebergs na Antárti- ca, possibilitando variadas comparações de medidas e proporcionalidade. É interes- sante discutir com os alunos que, a exemplo desse con- texto, a compreensão geral dos números, em suas múlti- plas representações e aplica- ções, é fundamental para co- nhecer e melhor entender o mundo em que vivemos. Os números na forma de fração aparecem em uma compara- ção de volume e altura. Sugestões de leitura Para enriquecer a discussão sobre a Antártica, sugerimos os sites: https://www.infoescola.com/geografia/antartida-antartica/; https://exame.abril.com.br/noticias-sobre/antartica/; https://oglobo. globo.com/sociedade/ciencia/estacao-antartica-22536905. Acessos em: 22 maio 2018.
- 215. BIMESTRE 2 149 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 149 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 1 Os números com os quais convivemos Até aqui, estudamos os números naturais. Mas repare que no cotidiano costumamos en- contrar outros números que não são naturais. Para exemplificar, observe o infográfico a seguir, que trata do desmatamento do Cerrado. ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL Somente 8,21% do Cerrado está protegido em reservas ambientais. O Cerrado tinha 2,036 milhões de quilômetros quadrados de vegetação original. Hoje, apenas 20% ainda não foram desmatados. Pantanal Amazônia Caatinga Mata Atlântica Pampas Área de vegetação original Área desmatada Espécies ameaçadas de extinção A extinção de espécies animais e vegetais se deve, em parte, ao desmatamento. Confira o número de espécies ameaçadas em cada bioma. 1 2 Dados obtidos em: MMA (Ministério do Meio Ambiente). Disponível em: http://www.mma.gov.br. Conservação Internacional. Disponível em: https://www.conservation.org/global/brasil/pages/default.aspx. Acessos em: 20 jul. 2017. Mapa elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. 4. ed. rev. e ampl. São Paulo: Moderna, 2013. O CERRADO PODE DESAPARECER EM POUCAS DÉCADAS O Cerrado é um dos biomas mais ricos em biodiversidade do mundo. No entanto, assim como vem ocorrendo com os demais biomas brasileiros, as queimadas e a agropecuária, principalmente a relacionada à soja, ao gado bovino e ao carvão, reduzem ano a ano a vegetação nativa e comprometem a vida animal. O mapa ao lado ilustra sua situação atual. Áreas costeiras Amazônia Amazônia Mata Atlântica Mata Atlântica Caatinga Caatinga Cerrado Cerrado Pampas Pampas Pantanal ANIMAIS VEGETAIS 99 42 269 118 44 30 46 17 275 131 24 2 Em 2014, a cada minuto, uma área equivalente a 2,6 campos de futebol era desmatada. Nesse ritmo, o Cerrado pode estar extinto até 2030. NE L O SE S N NO SO 490 km Note que, além dos números naturais, como 42, 24 e 2, por exemplo, o infográfico traz números não naturais, como: 2,6; 2,036; 8,21%; 20%; 44%; 7 3 e 2 1 . Todos esses números, inclusive os números naturais, são chamados de números racionais. Como podemos ver, eles podem ser representados de formas diferentes. Neste capítulo, vamos estudar os números racionais representados na forma de fração, como 7 3 e 2 1 . 44% das espécies vegetais brasileiras só existem no Cerrado 3 7 das espécies animais e vegetais já extintas no Brasil são do Cerrado. das aves brasileiras está no Cerrado 1 2 Os números com os quais convivemos Analise o infográfico com os alunos, destacando os nú- meros racionais em forma de fração que aparecem. Verifique quais registros os alunos já conhecem. Podem ser exploradas a forma de fração, a forma percentual e a forma decimal, o que pro- picia um levantamento dos conhecimentos que eles já têm construídos acerca dos números racionais. Complemente os estudos com a Sequência didática 6 – Números racionais forma fracionária, disponível no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo. Habilidade trabalhada: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracio- nária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 216. 150 Número racional e a fração que o representa Situações que tratam da no- ção de medida são muito interessantes para desenvol- ver a noção de números ra- cionais na forma de fração, pois existe uma articulação natural entre esses dois te- mas das Unidades Temáticas Números e Grandezas e me- didas. O intuito aqui é ampliar, aprofundar e consolidar os conhecimentos dos alunos sobre os números racionais na forma de fração para que possam aplicá-los na resolu- ção de problemas. Se julgar conveniente, pro- ponha atividades nas quais os alunos vivenciem situa- ções similares envolvendo medidas de comprimento e frações, na sala de aula ou na quadra da escola. comprimento do passo comprimento do pé Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 150 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 2 Número racional e a fração que o representa Em muitas situações é comum utilizarmos partes do corpo para fazer uma medição. Observe como Renata usou a medida de seu passo para determinar o comprimento de uma calçada (figura 1). Ao perceber que não obteve um número exato de passos, ela usou o comprimento do pé para medir o “pedaço” que faltava (figura 2). Note que Renata obteve 63 passos e 2 pés como medida para o comprimento da calçada. Acompanhe a relação que podemos estabelecer entre o comprimento do passo e o do pé de Renata. Isso significa que o comprimento do pé de Renata é a terça parte do comprimento de seu passo. Ou seja, é como se dividíssemos o passo dela em 3 partes iguais e o pé representasse uma dessas partes. Cada uma dessas partes pode ser representada pela fração 3 1 . Nesse exemplo, o passo de Renata representa o todo ou 1 inteiro, e cada pé representa uma parte do inteiro: cada pé mede 3 1 do passo; 2 pés equivalem a 3 2 do passo. Conhecendo essa relação entre o comprimento do pé e o do passo de Renata, podemos dizer, então, que o comprimento da calçada é de 63 passos e 3 2 do passo de Renata. Essa medida não é um número natural, mas é um exemplo de número racional. 63 passos e um pedaço... ... isto é, 63 passos e 2 pés! Meu pé “cabe” três vezes em cada passo que dou. Figura 1 Figura 2 ILUSTRAÇÕES: IZAAC BRITO Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
- 217. BIMESTRE 2 151 Como se leem as frações Para ampliar o trabalho com a identificação e a leitura das frações, monte um jogo da memória em que os pa- res de cartas sejam forma- dos por uma fração e seu modo de leitura. Os alunos podem ajudar na elabora- ção das cartas. Esse jogo pode ser utilizado em momentos variados no estudo deste capítulo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 151 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Para indicar uma fração, usamos um traço horizontal e dois números, chamados de termos da fração. O termo que fica abaixo do traço é o denominador. Ele indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. O termo localizado acima do traço é o numerador. Ele indica quantas partes do inteiro foram tomadas. Veja um exemplo. Os números 2 e 3 são os termos da fração 3 2 . Como se leem as frações A leitura das frações é feita assim: primeiro, lemos o numerador; depois, o denominador. Para o denominador, são adotados alguns nomes especiais. Observe. Todo número que pode ser representado na forma de fração b a , em que a e b são números naturais, com b % 0, é um número racional. numerador denominador Indica o número de partes iguais em que o inteiro foi dividido. Indica o número de partes consideradas do inteiro. Se o denominador for: 2 3 4 5 6 7 8 9 Lemos: meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono Veja alguns exemplos. a) 2 1 um meio d) 4 3 três quartos b) 3 2 dois terços e) 9 4 quatro nonos c) 6 5 cinco sextos f) 8 1 um oitavo O numerador numera, isto é, dá a quantidade de partes. O denominador denomina, isto é, dá o nome da parte. Se o denominador for: 10 100 1.000 ... Lemos: décimo centésimo milésimo ... Observe alguns exemplos. a) 10 3 três décimos b) 100 8 oito centésimos Quando o denominador não for nenhum dos números indicados aqui, lemos o denominador acompanhado da palavra avos. Veja alguns exemplos. a) 12 1 um doze avos b) 20 3 três vinte avos SIDNEY MEIRELES 2 3
- 218. 152 Algumas situações que envolvem números racionais na forma de fração Analise as situações propos- tas nesta página, que tratam da noção de fração envol- vendo inteiros contínuos (situação 1) e inteiros discre- tos (situação 2). Esse tipo de nomenclatura não precisa ser tratada com os alunos, o importante é terem contato com esses dois tipos de situa- ções para que o significado de fração seja completo. Desenhe na lousa outras fi- guras planas, tomadas como inteiro, e peça aos alunos que as representem no ca- derno, pintando as partes correspondentes a frações como metade da figura, dois quartos, cinco oitavos, entre outras. É importante verificar se eles percebem em quantas partes precisam repartir cada inteiro para pintar a parte solicitada. Por exemplo, para representar metade, devem perceber que o inteiro está repartido em duas partes iguais; para representar dois quartos, o inteiro deve estar repartido em quatro partes iguais; e no caso de cinco oi- tavos, em oito partes iguais. Em seguida, reúna os alunos em grupos e entregue a cada grupo certa quantidade de botões coloridos, de modo que possam identificar que parte do total de botões cor- responde a cada cor. Entre- gue quantidades diferentes e convenientes a cada grupo para que possam expor suas conclusões aos demais gru- pos. Proponha ainda outras questões, como: •Quantos botões correspon- dem à metade de botões que vocês têm? •Um terço do total de bo- tões são quantos botões? •Dez botões correspondem a que fração do total de botões? Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 152 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Considere a coleção de Vítor um inteiro. Observe que é possível separar os carrinhos da coleção em quatro grupos, cada um com 6 carrinhos. Os carrinhos vermelhos formam um desses quatro grupos. Por isso, eles repre- sentam 4 1 (lemos: “um quarto”) de todos os carrinhos dessa coleção. Algumas situações que envolvem números racionais na forma de fração A medição de Renata mostra que os números naturais não são suficientes para resolver a situação, por isso foram empregados os números racionais na forma de fração. A seguir, apresentamos outras situações em que usamos frações. Cada figura representada a seguir foi dividida em 6 partes iguais. A cada parte das figuras pintada de azul podemos associar uma fração. Veja: Vítor tem uma coleção de 24 carrinhos. Desses 24, uma parte é vermelha, e os demais são de outras cores. Observe que a cada figura foi associada uma fração na qual o denominador indica a quan- tidade de partes iguais em que as figuras foram divididas, e o numerador indica a quantidade de partes pintadas de azul. Situação 1 Situação 2 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: IZAAC BRITO 6 1 (lemos: “um sexto”) 6 2 (lemos: “dois sextos”) 6 3 (lemos: “três sextos”) 6 4 (lemos: “quatro sextos”) 6 5 (lemos: “cinco sextos”) 6 6 (lemos: “seis sextos”) Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
- 219. BIMESTRE 2 153 Orientações A situação 4 apresenta a ne- cessidade de se ter mais de um inteiro para representar a fração pedida (sempre to- mada em relação ao mesmo tipo de inteiro). Proceda de maneira similar ao trabalho com as situa- ções anteriores. Se possível, forneça aos alunos círculos idênticos feitos de papel, previamente preparados, para vivenciarem essas re- presentações concretamen- te, o que os levará a per- ceber que, por exemplo, a representação de 3 2 de um círculo corresponde a 1 círculo e meio; a represen- tação de 6 2 de um círculo corresponde a 3 círculos (in- teiros), entre outras. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 153 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Situação 3 Situação 4 Observe que a receita pede 4 3 (lemos: “três quartos”) de uma xícara de chá de leite. Isso significa que, ao fazer a vitamina, Amanda deverá dividir a quantidade de leite que cabe em uma xícara em 4 partes iguais e usar 3 dessas partes. Amanda queria fazer uma vitamina de morango e encontrou na internet esta receita: Dalva encomendou 2 pizzas para sua família, que vêm divididas em 8 pedaços iguais cada uma. Das 6 pessoas da família, cada uma comeu 2 pedaços. As figuras ao lado representam as pizzas que Dalva pediu, e a parte pintada de cinza representa a quanti- dade de pizza que as pessoas comeram. Nesse caso, cada pizza é 1 inteiro, e cada pedaço representa 8 1 de pizza. Assim, a parte pintada de cinza nas figuras corresponde a 8 12 de pizza. A fração 8 12 representa uma quantidade maior que 1 inteiro, isto é, o número 8 12 é maior do que o número 1. No entanto, se cada pessoa da família de Dalva quiser comer 4 pedaços de pizza, ela pre- cisará encomendar 3 pizzas. Veja a seguir as figuras que representam as 3 pizzas. A parte pintada de amarelo representa a quantidade da pizza que eles comeriam: IZAAC BRITO ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS Note que uma fração pode representar um número natural. 8 24 5 3 inteiros ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS SIDNEY MEIRELES
- 220. 154 Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora a noção de fração e sua representação em varia- das situações. Para o exercício 2, são possí- veis figuras: a) d) b) e) c) f) O exercício 6 requer que os alunos primeiro interpretem corretamente a afirmação de que 180 mililitros corres- pondem a 3 5 do recipiente, pois ela será a base para a resolução. Para estimular a turma, questione: •No recipiente cabe mais ou menos de 180 mililitros? (Espera-se que respondam, sem cálculos, que cabe mais, já que 180 mililitros ocuparam 3 5 do recipiente.) •Após ocupar 180 milili- tros desse copo, é possível adicionar 180 mililitros? (Espera-se que respondam, sem cálculos, que não, pois 3 5 correspondem a mais da metade do copo.) Esse exercício articula con- teúdos das Unidades Temá- ticas Números e Grandezas e medidas, essencial para mostrar o intenso uso dos números racionais em con- textos de medição. No exercício 7, discuta com os alunos por que a parte colorida nesse caso não cor- responde a um quarto da figura. Espera-se que reco- nheçam que a figura não foi repartida em partes iguais, o que contribui para conso- lidar o significado de fração como relação parte/todo. Para o exercício 8, são exem- plos de desenhos das figuras inteiras: a) b) Chapa Jacaré Chapa Caracol Chapa Cobra 1 3 d a f igura 3 5 d a f igura Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 154 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7 A figura abaixo foi dividida em 4 partes. A parte colorida representa 4 1 da figura? Por quê? 5 Uma escola possui 900 alunos no total. O re- sultado das eleições do grêmio dessa escola foi apresentado conforme a figura abaixo. 1 Determine a fração que representa a parte pintada de cada figura. 2 Reproduza as figuras a seguir sem o fundo cinza, pintando a parte que se pede em cada uma delas. construção de figura 4 Em relação à fração 9 5 , responda: a) O que indica o denominador 9? b) O que indica o numerador 5? 3 Escreva como se leem as frações que aparecem nas informações a seguir. d) e) a) b) a) c) b) d) f) c) ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA P in t e 2 4 — . P in t e 4 6 — . P in t e 4 5 — . P in t e 1 2 — . P in t e 2 5 — . P in t e 7 10 — . a) Qual é a fração que corresponde aos votos de cada chapa? b) Quem ganhou a eleição? a chapa Cobra c) Supondo que todos os alunos votaram, quantos votos obteve a chapa Caracol? E a chapa Jacaré? E a chapa Cobra? 6 A figura ao lado representa um recipiente no qual foram colo- cados 180 mililitros de líquido. Essa quantidade de líquido ocu- pou 5 3 do recipiente. a) Quantos mililitros de líquido cabem em 5 1 desse recipiente? b) Quantos mililitros cabem nesse recipiente? ADILSON SECCO 4. a) Indica que o inteiro foi dividido em 9 partes iguais. Indica que foram consideradas 5 partes do inteiro. Caracol: 150; Jacaré: 300; Cobra: 450 60 mililitros 300 mililitros Não, pois a figura não foi dividida em partes iguais. S ec a p rov oc a rac ion amen t o d e á gua. O rac ion amen t o é n ec es s á rio p orque a rep res a que ab as t ec e a c id ad e es t á c om ap en as 1 5 d e s ua c ap ac id ad e n ormal. um quinto O í n d ic e d e an alf ab et is mo d e uma regiã o é 45 100 . quarenta e cinco centésimos 4 3 9 7 8 2 10 3 5. a) Cobra: 6 3 , Jacaré: 6 2 e Caracol: 6 1 8 Em cada item, você vê apenas uma parte da figura. Conforme a fração indicada, desenhe a figura inteira em seu caderno. 9 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre frações criado por vocês. De- pois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. b) a) construção de figuras ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Habilidade trabalhada: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
- 221. BIMESTRE 2 155 A forma percentual Lidar com a forma percentual é uma das habilidades neces- sárias para a formação cida- dã consciente e atuante na sociedade. Ela está presente no dia a dia das pessoas, nas mais variadas situações: rela- ções comerciais, cálculo do valor líquido do salário, pa- gamento de impostos, parti- lha de bens, entre outras. Além disso, é uma lingua- gem muito frequente em muitas outras áreas do co- nhecimento, como na Bio- logia, na Geografia, por exemplo. Pretendemos ampliar e apro- fundar os conhecimentos que os alunos já construíram em estudos anteriores sobre porcentagem, para que eles apliquem na própria vida e na continuidade de seus es- tudos. Exercícios propostos Para enriquecer o trabalho com o bloco de exercícios, utilize materiais manipulá- veis como as peças do Ma- terial Dourado, malhas qua- driculadas a serem pintadas ou já pintadas, círculos de papel, entre outros, de modo que os alunos viven- ciem situações similares às propostas dos exercícios. F igura A F igura B Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 155 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO A forma percentual As frações de denominador 100 podem ser representadas somente pelo numerador acom- panhado do símbolo % (lemos: “por cento”), que representa o denominador 100. Por exemplo: ƒ 100 8 ou 8% da figura foi pintada de laranja. ƒ 100 20 ou 20% da figura foi pintada de azul. Os números 8% e 20% estão registrados na forma percentual. Os números racionais que, na forma de fração, têm denominador 100 podem ser representados na forma percentual: grafamos o numerador da fração acompanhado do símbolo %, que representa o denominador 100. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 10 Represente cada número na forma de fração. a) 31% b) 78% c) 95% Em cada figura: a) Que porcentagem do círculo está pintada de verde? b) Que fração do círculo está pintada de verde? 12 Observe as figuras a seguir e responda às perguntas. 11 Uma mesma figura foi dividida de dois modos diferentes; porém, em cada caso, uma mesma parte foi pintada. a) Represente a parte pintada na figura A em forma de fração. b) Represente a parte pintada na figura B em forma de fração e em forma percentual. (I) 25%, (II) 50%, (III) 75%, (IV) 20% (I) 4 1 , (II) 2 1 , (III) 4 3 , (IV) 5 1 NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ILUSTRAÇÕES: RICARDO YORIO 100 10 e 10% 100 31 100 78 100 95 10 1 (I I ) (I I I ) (I ) (I V ) Habilidades trabalhadas: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracio- nária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
- 222. 156 Pense mais um pouco... Nesta seção, os alunos de- vem mobilizar seus conheci- mentos sobre porcentagem usando o fato de que ela está associada a uma fra- ção de denominador 100 e que o uso dessas diferentes representações e a compre- ensão de suas relações serão essenciais para a interpre- tação e a resolução de inú- meros problemas que envol- vem porcentagens e cálculos afins. Nesse caso, o quadri- culado é um valioso aliado para tornar essa relação mais concreta e significativa. Em relação ao item b, deve ficar claro que nem todos precisam pintar da mesma maneira os quadradinhos para responder às questões, mas que devem pintar 30 quadradinhos de vermelho e 20 quadradinhos de azul. A fração também pode representar um quociente Ainda nesta página, ini- ciamos o estudo da fração como um quociente, am- pliando e aprofundando o que os alunos já estudaram. Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 — 1 3 — 1 3 — 1 3 — 1 3 — 1 3 — 1 3 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 156 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Reúna-se com alguns colegas, e façam o que se pede. Cada um de vocês vai reproduzir a figura ao lado em uma folha de papel quadriculado sem o fundo cinza. Em seguida, pintem de vermelho 30% dessa figura e, de azul, 20%. Comparem as figuras obtidas e respondam: a) A parte azul tem a mesma quantidade de quadradinhos nas figuras de todos? E a parte vermelha? Por quê? b) A parte pintada de vermelho tem, necessariamente, a mesma forma nas figuras de todos? E a parte azul? Por quê? c) Quantos por cento da figura inicial não foram pintados? Por quê? ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA 3 A fração também pode representar um quociente Acompanhe as situações a seguir. Uma professora deu 5 folhas de papel sulfite a um grupo de 3 alunos para que construís- sem pequenos blocos de anotações. Qual foi a quantidade de papel que cada aluno recebeu, sabendo que o papel foi distribuído igualmente entre eles? Para resolver esse problema, primeiro distribuiremos uma folha inteira para cada aluno. Entretanto, sobrarão 2 folhas, que poderão ser distribuídas para os 3 alunos, dividindo-as em 3 partes iguais, como mostram as figuras a seguir. Cada aluno ficará, então, com 1 folha inteira e mais 3 2 de folha, que pode ser escrito como 1 3 2 de folha (lemos: “um inteiro e dois terços de folha”). Situação 1 a) Tanto a parte azul quanto a parte vermelha devem apresentar a mesma quantidade de quadradinhos em todas as figuras: 20 quadradinhos azuis e 30 vermelhos, determinados pelos percentuais 20% e 30%, que são os mesmos para todos. b) As partes vermelha e azul não terão necessariamente a mesma forma, já que cada um escolhe a posição de cada quadradinho a ser pintado de acordo com seu gosto pessoal. c) Não foram pintados 50% da figura inicial, já que, dos 100 quadradinhos, 50 ficaram em branco (100 2 30 2 20). Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 223. BIMESTRE 2 157 Orientações Analise com os alunos as si- tuações 1 e 2 apresentadas. Reproduza na lousa os pas- sos na montagem das figu- ras e a distribuição equita- tiva que foi feita, de modo que os alunos compreen- dam o quanto cada um re- cebeu. Se julgar adequado, reúna os alunos em trios e repro- duza a repartição das 5 fo- lhas de papel sulfite, como introdução do tema ou como verificação do que foi feito. Ressalte a forma mista que surge dessas situações. Dê outras frações maiores que 1 inteiro para os alunos representarem na forma mista. Se necessário, sugira que inicialmente façam re- presentações com figuras. — 1 3 — 1 3 1 — 2 3 — 5 3 Quantidade de papel que cada aluno recebeu 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 1 4 1 4 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 157 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO O resultado 1 3 2 representa a quantidade de papel que cada aluno recebeu. Dizemos que esse número está escrito na forma mista, pois é composto de um número natural (1) e de um número na forma de fração 3 2 e o. Essa ação também pode ser indicada pela divisão 5 9 3. Agora, observe a figura abaixo. Ela nos mostra que 1 3 2 5 3 5 . Portanto, podemos escrever 5 9 3 5 1 3 2 5 3 5 , isto é, 5 9 3 5 3 5 . Observe que 3 5 é um número maior que 1. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Situação 2 Caso fossem distribuídas 20 dessas barras de chocolate igualmente para 4 pessoas, cada uma receberia 5 barras: 20 9 4 5 4 20 5 5 Observando as situações 1 e 2, podemos concluir que: Então, podemos escrever: Se distribuirmos 3 barras de chocolate igualmente para 4 pessoas, cada pessoa receberá 4 3 de uma barra. Uma fração pode representar o quociente de seu numerador pelo seu denominador. 3 9 4 5 4 3 Número de pessoas Total de barras de chocolate Quantidade de barras de chocolate por pessoa
- 224. 158 Exercícios propostos No exercício 14, uma manei- ra interessante de ampliar a reflexão é solicitar aos alunos, após a resolução e a correção, que formem du- plas e respondam às ques- tões seguintes, sem fazer cálculos escritos, mas escre- vendo (ou descrevendo oral- mente) uma justificativa: •Se João tivesse comprado um automóvel de 17.000 reais, o valor de cada prestação seria maior ou menor que 1.500 reais? (Espera-se que percebam que seria menor, porque o valor a ser repartido nas mesmas 12 prestações é menor.) •Se ele tivesse comprado o automóvel de 18.000 reais, mas pagasse em 10 pres- tações, cada prestação seria maior ou menor que 1.500 reais? (Espera- -se que reconheçam que o valor das prestações seria maior, já que estão dividin- do a mesma quantia em menos partes.) •Como usar os dados des- se problema para explicar que 18.000 12 é maior que 17.000 10 ? E que 18.000 12 é menor que 18.000 10 ? (As justificativas anteriores po- dem mostrar esses fatos.) F igura F igura Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 158 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 Determine, em seu caderno, a fração que representa cada divisão. a) 12 9 3 b) 20 9 4 c) 5 9 2 d) 7 9 3 e) 35 9 10 14 João comprou uma motocicleta por 18.000 reais e pagou em 12 prestações iguais. a) Encontre a fração que representa o valor de cada prestação. b) Qual é o valor de cada prestação? 15 Expresse na forma mista o número que representa a parte da figura pintada de laranja. 16 Na figura, cada inteiro é composto de 4 quadradinhos. Represente a parte pintada de verde: a) como uma fração; b) na forma mista. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA 1.500 reais . 12 18 000 2 9 4 Como trabalhar com a divisão e a forma mista Dada uma fração, nem sempre é conveniente empregar figuras para obter um número escrito na forma mista. Imagine quantos inteiros teríamos de desenhar para obter a forma mista de 5 43 ! Na prática, dividimos o numerador pelo denominador. Por exemplo, vimos que 5 43 representa 43 9 5; por isso, aplicamos o seguinte procedimento: 43 5 3 8 O quociente (8) corresponde à parte inteira, pois 5 cabe 8 “vezes inteiras” no 43. O resto (3) deve ser dividido em 5 partes iguais, ou seja, 3 9 5, que pode ser representado pela fração 5 3 . Então, podemos escrever: 5 43 8 5 3 5 . Veja como identificar nesse procedimento os termos do número expresso na forma mista: 43 5 3 8 denominador parte inteira numerador a) 4 11 b) 2 4 3 3 12 4 20 2 5 3 7 10 35 Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 225. BIMESTRE 2 159 Orientações Entender a fração como um quociente, ou seja, como o resultado de uma divi- são entre o numerador e o denominador, relaciona o algoritmo usual da divisão com a forma mista. Verifi- que se os alunos identifi- cam os elementos da forma mista (parte inteira e parte fracionária) na situação de divisão. Exercícios propostos Para o exercício 19, vejamos uma das possibilidades de resolução: •30 meses 5 12 meses 1 12 meses 1 6 meses 5 1 ano 1 1 1 ano 1 6 12 ano 5 2 6 12 anos •40 meses 5 12 meses 1 12 meses 1 12 meses 1 4 me- ses 5 1 ano 1 1 ano 1 1 ano 1 4 12 ano 5 3 4 12 anos •50 meses 5 12 meses 1 1 12 meses 1 12 meses 1 1 12 meses 1 2 meses 5 5 1 ano 1 1 ano 1 1 ano 1 1 1 ano 1 2 12 ano 5 4 2 12 anos Depois de os alunos terem resolvido o exercício, mas antes da correção, peça a eles que avaliem suas res- postas, comparando as três respostas obtidas e verifi- cando se estão dentro do esperado: como 30 meses correspondem a um tempo menor que 40 meses, as fra- ções obtidas devem manter essa relação. O mesmo vale para 40 meses e 50 meses. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 159 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO a) Para transformar 3 4 2 em fração, verifi- camos quantos quartos temos em 3 4 2 . Também podemos fazer o caminho inverso: passar da forma mista para a forma de fração. Veja dois exemplos. b) Para transformar 5 3 2 em fração, verifi- camos quantos terços temos em 5 3 2 . 3 inteiros 1 2 quartos 5 inteiros 1 2 terços 3 8 4 quartos 1 2 quartos 5 8 3 terços 1 2 terços 12 quartos 1 2 quartos 15 terços 1 2 terços Assim, 3 4 2 4 14 5 . Assim, 5 2 3 5 17 3 . 14 quartos 5 4 14 17 terços 5 3 17 4 2 3 5 3 2 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 20 Em uma receita de bolo de chocolate, são necessários 3 4 3 copos de leite. Sabendo que em um copo cabem 200 mililitros, determine quantos mililitros de leite serão necessários para essa receita. 750 mililitros 21 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre frações criado por vocês. De- pois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. 17 Represente os números na forma de fração. a) 4 5 3 d) 3 4 1 b) 2 7 3 e) 5 3 2 c) 1 2 1 18 Represente os números na forma mista. a) 3 10 d) 9 10 b) 7 18 e) 5 16 c) 2 3 19 Uma revendedora de carros oferece financia- mentos com até três opções de prazos para pagamento: 30 meses, 40 meses ou 50 meses. Letícia quer saber como esses prazos podem ser escritos, considerando o ano como unidade de medida de tempo. Ajude-a a escrever esses prazos na forma mista. Resposta pessoal. 2 12 6 anos, 3 12 4 anos, 4 12 2 anos 5 23 7 17 2 3 4 13 3 17 3 3 1 2 7 4 1 2 1 1 9 1 3 5 1 CLÁUDIO CHIYO
- 226. 160 A fração como razão O tratamento da fração como razão possibilita o entendimento de situações de partilha de uma quanti- dade em duas partes desi- guais, envolvendo a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. A no- ção de razão não se esgota neste ano, ela será amplia- da e aprofundada nos anos seguintes do Ensino Funda- mental. Analise a situação 1 com os alunos. Peça a eles que expliquem o significado de “para cada 3 desodorantes de embalagem azul encon- tramos 10 desodorantes de embalagem vermelha”. Essa relação é mais elabora- da que as demais (vistas até agora), mas acompanhando a ilustração e observando cada prateleira os alunos podem verificar o que ocor- re: 3 para 10 equivale a 6 para 20 ou 9 para 30 ou ain- da 12 para 40 ou 15 para 50. Nesse caso, há uma compa- ração entre as partes (em- balagem azul e embalagem vermelha) do todo de deso- dorantes, dada pela fração 3 10 , ou qualquer uma das outras relações escritas aci- ma. Desse modo, os alunos podem compreender a con- clusão de que a quantidade de desodorantes de emba- lagem azul é 3 10 da quan- tidade de desodorantes de embalagem vermelha. Situação 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 160 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 4 A fração como razão Até agora estudamos frações que representam o resultado de uma comparação entre o inteiro e suas partes e frações que podem representar o resultado de uma divisão. Além disso, podemos empregar frações para descrever o resultado de comparações entre diferentes elementos. Nesses casos, a fração representa a razão entre as quantidades desses elementos. Vamos considerar duas situações. Na perfumaria de Paula, há vários expositores com produtos de higiene. Em um dos expositores, representado ao lado, há deso- dorantes de embalagem azul e de embalagem vermelha. Nas prateleiras desse expositor, para cada 3 desodo- rantes de embalagem azul encontramos 10 desodorantes de embalagem vermelha; isto é, a quantidade de desodo- rantes de embalagem azul representa 10 3 da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha. Outra fração que pode representar o resultado dessa comparação é 50 15 , já que, nesse expositor, há 15 deso- dorantes de embalagem azul e 50 desodorantes de embalagem vermelha. Considerando dois expositores iguais a esse, 10 3 ou 50 15 ainda representam o resultado da comparação entre a quantidade de desodorantes de embalagem azul e a quantidade de desodorantes de embalagem vermelha, pois nos dois expositores ainda temos 3 desodoran- tes de embalagem azul para cada 10 desodorantes de embalagem vermelha (ou 15 para 50). ILUSTRAÇÕES: IZAAC BRITO Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária.
- 227. BIMESTRE 2 161 Orientações Na situação 2, os alunos podem verificar que a rela- ção estabelecida entre duas partes de um todo, ou cada parte e o todo, possibilita obter dados de um desses elementos, conhecendo-se valores ligados ao outro ele- mento. Nessa situação, como os comprimentos das duas es- tradas estão relacionados, sabendo-se o comprimento de uma dessas estradas, por meio da relação estabeleci- da determina-se o compri- mento da outra estrada. A montagem de esquemas e a noção de proporciona- lidade formam uma boa es- tratégia de resolução para situações desse tipo. Situação 2 estrada da Fazenda estrada do Mar do comprimento da estrada do Mar 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 3 8 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 161 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO O comprimento da estrada da Fazenda é 8 3 do comprimento da estrada do Mar. Sabendo que a estrada da Fazenda tem 72 quilômetros, qual é o comprimento da estrada do Mar? Você pode fazer esquemas e operações para resolver esse problema. Observe abaixo. Na calculadora, fazemos: 2 7 8 3 4 3 5 192 Portanto, a estrada do Mar tem 192 quilômetros. Assim, para saber quantos quilômetros representam 8 1 do comprimento da estrada do Mar, basta dividir o valor que representa 8 3 desse mesmo comprimento por 3. E depois, para obter o comprimento total da estrada do Mar, basta multiplicar o valor que representa 8 1 por 8. Veja: Note também que é possível comparar o total de 30 desodorantes de embalagem azul com os 100 desodorantes de embalagem vermelha dos expositores e registrar o resultado dessa comparação como 100 30 . Isso significa que 30 desodorantes de embalagem azul repre- sentam 100 30 dos 100 desodorantes de embalagem vermelha. Sabemos que 100 30 também pode ser registrado como 30% (lemos: “trinta por cento”). O número 30 é o numerador da fração, e % é o símbolo que representa o denominador 100. Assim, nessa situação, podemos dizer que a quantidade de desodorantes de embalagem azul nos dois expositores é 30% da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha. Se tivéssemos 4 expositores, teríamos 60 desodorantes de embalagem azul e 200 de- sodorantes de embalagem vermelha. Ou seja, para cada grupo de 100 desodorantes de embalagem vermelha teríamos 30 desodorantes de embalagem azul, isto é, a quantidade de desodorantes de embalagem azul permaneceria sendo 30% da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha. 9 3 3 8 9 3 3 8 8 3 do comprimento da estrada do Mar 72 quilômetros 8 1 do comprimento da estrada do Mar 24 quilômetros 8 8 do comprimento da estrada do Mar 192 quilômetros ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
- 228. 162 Trabalhando a informação Nesta seção, exploramos a interpretação e a construção de gráficos de colunas com os dados em porcentagens. No primeiro gráfico, são destacadas algumas infor- mações e seus significados em relação à forma percen- tual. Peça aos alunos que descrevam mais algumas informações que podem ser obtidas a partir desse grá- fico, por exemplo, 8% das pessoas entrevistadas ou- vem rádio 2 dias por sema- na, o que significa que, a cada 100 pessoas entrevista- das, 8 ouvem rádio 2 dias na semana. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 162 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Dados obtidos em: BRASIL. Presidência da República. Secretaria de Comunicação Social. Pesquisa brasileira de mídia 2016: hábitos de consumo de mídia pela população brasileira. Brasília: Secom, 2016. Disponível em: http://www.secom.gov. br/atuacao/pesquisa/lista-de-pesquisas-quantitativas-e-qualitativas-de-contratos-atuais/pesquisa-brasileira-de-midia- pbm-2016-1.pdf/. Acesso em: 1o ago. 2017. Esse gráfico apresenta alguns dados na forma percentual. Por exemplo: • 4% das pessoas entrevistadas declararam ouvir rádio 5 dias por semana. Isso equivale a 100 4 , o que significa que a cada 100 brasileiros, nessa pesquisa, 4 ouvem rádio 5 vezes por semana; • a coluna referente às pessoas que responderam ouvir rádio 7 vezes por semana (todos os dias) registra 35%, que equivalem a 100 35 , o que significa que a cada 100 brasileiros, nessa pesquisa, 35 ouvem rádio todos os dias da semana. Porcentagem nas ondas do rádio O rádio continua a despertar a imaginação de quem o está ouvindo. Leia o texto. [...] O rádio se transformou e se adaptou à medida que as tecnologias surgiram e avançaram, tornou-se portátil e alcançou o ambiente virtual. Entretanto, a sua expansão não se deve somente aos avanços tecnológicos. Seu sinal chega aonde nenhum outro veículo de comunicação chega, daí o alto alcance geográfico. A abrangência de caráter social se deve à própria linguagem do rádio, muito mais direta, coloquial, persuasiva e intimista. Em comparação com os outros meios de comunicação, o rádio é o mais acessível economicamente e com isso ele atinge de forma mais direta as populações de baixa renda. [...] Fonte: SILVA, Raíssa Araújo do Rosário. Papel e importância do rádio através da História. Observatório da Imprensa, n. 718, 30 out. 2012. Disponível em: http://observatoriodaimprensa.com.br/interesse-publico/ed718-papel-e- importancia-do-radio-atraves-da-historia/. Acesso em: 04 out. 2017. Foi realizada uma pesquisa para saber com que frequência os brasileiros ouvem rádio. Para a coleta de dados, perguntou-se: “Quantos dias da semana, de segunda a domingo, você ouve rádio?”. Veja o resultado dessa pesquisa no gráfico a seguir. ADILSON SECCO N ú mero de dias (p or s eman a) P orcentag em de pessoas entrev istadas 2 3 7% 1 8% 8% 4 5 3% 4% 6 7 1% 0% 35% 0 33% N ã o s ab e/ n ã o res p on d eu 35 33 8 0 4 3 7 1 Audiê ncia de prog ramas de rá dio no B rasil Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de propor- cionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constituti- vos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, en- tre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
- 229. BIMESTRE 2 163 Agora quem trabalha é você! Discuta com os alunos as questões, verificando se en- tenderam os enunciados. Peça a eles que justifiquem suas respostas. No item a da questão 2, a construção do gráfico de colunas pode ser discutida em duplas e realizada in- dividualmente. Os alunos devem representar o nú- mero de dias (por semana) de 1 a 7 no eixo horizontal, construindo também uma coluna para as respostas “Nunca” e outra coluna para “Não sabe”. A porcen- tagem de pessoas deve ser representada no eixo verti- cal, com base nos dados for- necidos pela tabela. Reforce com os alunos a importância de incluírem no gráfico os nomes dos eixos, o título e a fonte dos dados. Exercícios propostos O bloco de exercícios que se inicia nesta página explora a fração como razão e a for- ma percentual. Sugerimos que esses exercí- cios sejam feitos em duplas, o que permite aos alunos perceberem possíveis equí- vocos nas interpretações das situações ao expor o que pensaram para o colega. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 163 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! 2 A pesquisa brasileira de mídia 2016 também apurou a frequência com que os brasileiros assistem à televisão. Para a coleta de dados, perguntou-se: “Quantos dias da semana, de segunda a domingo, você assiste à TV?”. Veja o resultado na tabela a seguir. Dados obtidos em: BRASIL. Presidência da República. Secretaria de Comunicação Social. Pesquisa brasileira de mídia 2016: hábitos de consumo de mídia pela população brasileira. Brasília: Secom, 2016. Disponível em: http://www. secom.gov.br/atuacao/pesquisa/lista-de-pesquisas-quantitativas-e-qualitativas-de-contratos-atuais/pesquisa- brasileira-de-midia-pbm-2016-1.pdf/. Acesso em: 1o ago. 2017. Com base nessa tabela, faça o que se pede. a) Construa um gráfico de colunas para representar a situação. construção de gráfico b) Qual é o dado que se distancia dos demais? c) Expresse em forma de fração cada dado registrado na tabela. d) Dê o significado de 5% registrado na tabela. 77% das pessoas assistem à TV todos os dias da semana 1 Com base no gráfico da página anterior, responda: a) Que percentual dos entrevistados disse não ter o costume de ouvir rádio? 33% b) Qual é a frequência de audiência de rádios que corresponde a 8% dos entrevistados? c) E você, costuma ouvir rádio? Quantos dias por semana? Respostas pessoais. Audiência de TV em número de dias da semana Número de dias 1 2 3 4 5 6 7 Nunca Não sabe Porcentagem 3% 4% 5% 3% 4% 2% 77% 3% 0% d) de cada 100 pessoas entrevistadas, 5 assistem à TV 3 dias por semana c) , , , , , , , , 100 3 100 4 100 5 100 3 100 4 100 2 100 77 100 3 100 0 1 ou 2 dias por semana FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 22 Algumas vezes encontramos no supermercado ofertas como esta: IZAAC BRITO VANESSA VOLK 23 Uma classe tem 18 meninos e 24 meninas: todos vão ensaiar uma dança folclórica. Para isso, esses alunos devem formar rodas mistas de modo que todas tenham a mesma a) De quantos modos essas rodas podem ser formadas? b) Determine quatro frações que podem repre- sentar o resultado da comparação entre o número de meninos e de meninas dessa sala. Dança do Pau de Fita em Pirenópolis, Goiás. (Foto de 2014.) 23. a) 4 modos: rodas com 3 meninos e 4 meninas, ou 6 meninos e 8 meninas, ou 9 meninos e 12 meninas, ou 18 meninos e 24 meninas a) Qual é a fração que corresponde à parte grátis em relação ao pacote sem a oferta? b) Represente, na forma percentual, a resposta do item a. 20% 200 40 , , 4 3 8 6 12 9 24 18 e quantidade de meninos e a mesma quantidade de meninas.
- 230. 164 Exercícios propostos No exercício 25, a discussão pode ser ampliada sobre o movimento modernista no Brasil, em conjunto com Arte. O exercício 26 permite avaliar como os alunos identificam e interpretam dados represen- tados em um gráfico. Uma alternativa é formar duplas e pedir que procurem, se possí- vel, justificar suas respostas. a) O erro está em não se con- siderar que a quantidade de parafusos está em milhares. Sem fazer cálculos, a altera- ção para “200 mil parafusos” corrige a afirmação. b) A produção da segunda- -feira foi de 10.000 parafu- sos e a da sexta-feira foi de 100.000: 10.000 100.000 5 1 10 . c) Na terça-feira, a produ- ção foi de 20.000 parafusos, na sexta-feira, de 100.000. Como 20% de 100 é igual a 20 (usando o conceito de porcentagem), 20% de 100.000 é igual a 20.000. d) A produção foi de 30.000 parafusos, e 3 4 de 30.000 é igual a 22.500. Corrigimos a afirmação trocando 3 4 por 2 3 , já que 2 3 de 30.000 é igual a 20.000. e) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi de 100.000 parafusos, que corresponde à produção da sexta-feira. A afirmação pode ser: “A produção dos dois primeiros dias foi me- nor que a metade da produ- ção de sexta-feira”. f) Verdadeira, com base nos cálculos do item e. g) A produção total da sema- na foi de 200.000 parafusos, e 20% de 200.000 é igual a 40.000, o que corresponde à produção da quinta-feira. Pense mais um pouco... Devemos considerar que: 2 5 do preço total 54 reais (en- trada); preço do skate 5 en- trada 1 3 prestações iguais. Determinamos que 1 5 do preço total é 27 reais; assim, 5 5 do preço total é 135 reais. Como a entrada foi de 54 reais, o valor das 3 prestações juntas é 81 reais (135 2 54). Logo, cada prestação é de 27 reais (81 9 3). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 164 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 24 Uma pesquisa mostrou que, a cada 5 alunos da escola Cata-vento que estudam espanhol, apenas 2 alunos estudam italiano. a) Que fração pode representar o resultado da comparação entre a quantidade de alunos que estudam italiano e a quantidade dos que estudam espanhol? b) É possível que nessa escola 60 alunos estudem italiano enquanto 200 estudem espanhol? Por quê? 25 A tela Abaporu, da artista Tarsila do Amaral, foi vendida por 1 milhão e meio de dólares em novembro de 1995. Tarsila do Amaral. Abaporu. 1928. Óleo sobre tela. 85 cm 3 73 cm. Supondo que, passados vinte anos da venda, o valor da tela tenha atingido 2 5 do valor pago em 1995, quanto a tela passou a custar no ano de 2015? 3.750.000 dólares 26 Veja no gráfico a produção da empresa Só Parafusos em uma semana. Leia as afirmações abaixo e corrija as falsas. a) A produção total nessa semana foi de 200 parafusos. b) A produção de segunda-feira foi de 10 1 da produção de sexta-feira. c) Na terça-feira, a produção foi 20% da pro- dução de sexta-feira. d) A produção de terça-feira foi 4 3 da produção de quarta-feira. e) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi menor do que a metade da pro- dução de sexta-feira. f) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi 50% da produção de toda a semana. g) Na quinta-feira, a Só Parafusos produziu 20% da produção total da semana. TARSILA DO AMARAL EMPREENDIMENTOS – MUSEO DE ARTE LATINOAMERICANO DE BUENOS AIRES Q uantidade de parafusos S egun d a- - f eira 10 T erç a- - f eira Q uart a- - f eira 20 100 30 Q uin t a- - f eira 40 S ex t a- - f eira 100 (em milh ares ) 40 30 0 10 20 Q uantidade de parafusos produz idos D ias da semana ADILSON SECCO Dados obtidos pela Só Parafusos. 24. b) Não, pois, separando os 200 em 5 partes iguais, cada parte terá 40 alunos e, tomando duas dessas partes, obtêm-se 80, que não é a quantidade de alunos que estudam italiano: 60. 26. a) A produção total nessa semana foi de 200.000 parafusos. e) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi igual à produção de sexta-feira. d) A produção de terça-feira foi 3 2 da produção de quarta-feira. 5 2 FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Mara comprou um skate para Marcos com as seguintes condições de pagamento: entrada de 54 reais, correspondente a 40%, ou seja, 5 2 do preço total do skate, e mais 3 prestações mensais iguais. Quanto Mara pagará em cada prestação? Re- gistre todos os procedimentos que você usar. 27 reais LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! BRUNO MOTA Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um nú- mero natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
- 231. BIMESTRE 2 165 Frações equivalentes O conceito de equivalência de frações já deve ser co- nhecido dos alunos. Neste momento, buscamos am- pliar e aprofundar os conhe- cimentos que eles já cons- truíram sobre esse assunto. As situações desta página tratam de inteiros contí- nuos, nos quais a equivalên- cia se revela ao comparar as regiões obtidas na figura correspondentes às frações consideradas e verificar se representam a mesma parte de um mesmo inteiro. Se julgar conveniente, provi- dencie material manipulável necessário para que os alu- nos concretizem os exem- plos do livro e comprovem a equivalência dessas frações. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 165 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO — – 12 16 — 6 8 — 3 4 5 Frações equivalentes Considere esta figura. Vamos construir quatro figuras iguais a ela e pintar a parte correspondente às frações 2 1 , 4 2 , 6 3 e 8 4 . Para isso, a primeira figura será dividida igualmente em 2 partes; a segunda figura, em 4 partes; a terceira figura, em 6; e a última, em 8. As frações 2 1 , 4 2 , 6 3 e 8 4 , embora escritas de modo diferente, representam a mesma parte da figura. Elas são chamadas de frações equivalentes. Como obter frações equivalentes Para indicar que duas ou mais frações são equivalentes, colocamos entre elas o sinal de igualdade (5). Como as frações 2 1 , 4 2 , 6 3 e 8 4 são equivalentes, podemos escrever: 2 1 4 2 6 3 8 4 5 5 5 Para obter frações equivalentes a determinada fração podemos multiplicar seus dois ter- mos por um mesmo número natural diferente de zero. 8 8 2 1 2 1 4 2 2 2 5 5 ou 8 8 2 1 2 1 6 3 3 3 5 5 ou 8 8 2 1 2 1 8 4 4 4 5 5 Observe, agora, algumas frações que representam uma mesma parte pintada de um mes- mo inteiro. O radical latino equi significa igual. SIDNEY MEIRELES — 1 2 — 2 4 — 3 6 — 4 8 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Continuação das habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
- 232. 166 Orientações Nesta página, exploramos o conceito de frações equiva- lentes considerando inteiros discretos, como é o caso da quantidade de alunos com sombrinhas usadas na co- reografia. De acordo com a disposição das sombrinhas, é possível verificar que, no 1o grupo, o inteiro (36 alu- nos) foi repartido em 3 par- tes iguais (cada uma com 12 alunos), em que apenas uma dessas partes é composta de alunos com sombrinha vermelha e amarela. Des- se modo, um terço do total corresponde a 12 alunos. No 2o grupo, pela disposição mostrada, verifica-se que o inteiro (36 alunos) foi re- partido em 6 partes iguais (cada uma com 6 alunos), em que duas dessas partes (2 8 6 5 12) correspondem aos alunos com sombrinha vermelha e amarela, ou seja, dois sextos do total corres- pondem a 12 alunos. Como o inteiro é o mesmo (36 alunos), essas frações são equivalentes, pois repre- sentam a mesma parte (12 alunos) do inteiro. De modo análogo, analisamos o 3o grupo. — 4 6 — 2 3 (A) (B) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 166 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO As frações 16 12 , 8 6 e 4 3 são equivalentes. Então, podemos escrever: Isso significa que também podemos obter frações equivalentes a determinada fração dividindo seus termos por um mesmo número natural diferente de zero. 9 9 8 6 8 6 4 3 2 2 5 5 Veja mais um exemplo. A coreografia da abertura dos jogos esportivos da escola onde Vítor estuda é feita por um grupo com 36 alunos, dos quais 12 utilizam uma sombrinha vermelha e amarela. Em determinados momentos dessa coreografia, os alunos com sombrinha vermelha e ama- rela se movimentam, formando grupos diferentes em cada caso. Veja os grupos formados: ƒ 1o grupo: 3 1 dos 36 alu- nos está com sombrinha vermelha e amarela. 16 12 8 6 5 , pois 6 5 12 9 2 8 5 16 9 2 16 12 4 3 5 , pois 3 5 12 9 4 4 5 16 9 4 6 8 4 3 5 , pois 3 5 6 9 2 4 5 8 9 2 ƒ 2o grupo: 6 2 dos 36 alu- nos estão com sombri- nha vermelha e amarela. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 28 Se de um rolo de barbante com 45 metros de fio eu cortar 5 2 ou 15 6 desse barbante, obterei um fio de mesmo comprimento? Por quê? 27 Observe as figuras, que representam o mesmo inteiro, e verifique se as frações são equivalen- tes. Justifique sua resposta. 29 Nas duas figuras abaixo (A e B), considere o “quadradão” como um mesmo inteiro. a) Que fração representa a parte pintada de verde em cada figura? b) As frações obtidas em A e em B são equi- valentes? Por quê? 27. As frações 3 2 6 4 e são equivalentes, pois representam a mesma parte do inteiro. Sim, pois 5 2 15 6 e são frações equivalentes. A: 16 4 e B: 4 1 Sim, pois representam a mesma parte do inteiro, embora com formas diferentes. As frações 3 1 , 6 2 e 9 3 são frações equivalentes, pois representam a mesma parte (12 alu- nos) do inteiro (36 alunos). ƒ 3o grupo: 9 3 dos 36 alu- nos estão com sombri- nha vermelha e amarela. ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
- 233. BIMESTRE 2 167 Exercícios propostos No item d do exercício 31, espera-se que os alunos per- cebam que o produto des- conhecido deve ser igual a 5 8 48 (pelas conclusões dos itens anteriores), ou seja, é igual a 240. Desse modo, é preciso obter o número na- tural que multiplicado por 8 resulta 240, ou seja, esse nú- mero natural é o quociente da divisão de 240 por 8, que é 30. Discuta com os alunos o procedimento indicado no exercício 32. Eles devem perceber que podem obter diferentes frações equiva- lentes à fração dada, mas apenas uma com denomina- dor 15: • 2 5 5 2 8 2 5 8 2 5 4 10 2 5 e 4 10 são equivalentes, mas o denominador não é 15. • 2 5 5 2 8 3 5 8 3 5 6 15 2 5 e 6 15 são equivalentes e a segunda fração tem deno- minador 15. Logo, a fração 6 15 é a fração procurada. Incentive os alunos a obser- varem a fração dada para perceberem que o número pelo qual se deve multipli- car ambos os termos para obter denominador 15 é 3. Simplificação de frações Ainda nesta página, trata- mos da simplificação de fra- ções, pela determinação de frações equivalentes mais simples ao se dividir nume- rador e denominador por um mesmo número natural não nulo e diferente de 1. Ressalte o fato de que, se esse número não existir, ou seja, se a fração não puder ser simplificada, diz-se que ela é uma fração irredutível. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 167 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 31. a) 4 8 27 5 9 8 12; 4 8 36 5 9 8 16; 4 8 63 5 9 8 28; 12 8 36 5 27 8 16; 12 8 63 5 27 8 28; 16 8 63 5 36 8 28 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 33 Determine uma fração de numerador 42 equi- valente à fração 10 7 . 60 42 30 Quais das seguintes frações são equivalentes à fração 8 5 ? a) 16 10 b) 24 15 c) 16 20 d) 40 25 e) 56 30 31 Reúna-se com um colega, e façam o que se pede. a) Dadas as frações equivalentes 9 4 , 27 12 , 36 16 e 63 28 , para cada par calculem os produtos do numerador de uma com o denominador da outra. Em seguida, comparem esses dois produtos. b) Escrevam duas frações equivalentes, dife- rentes das do item a. Calculem os produtos do numerador de uma com o denominador da outra e, em seguida, comparem esses produtos. Os produtos são iguais. c) Dadas duas frações equivalentes, o que se pode concluir sobre os produtos do nume- rador de uma com o denominador da outra? d) Sabendo que as frações 8 5 e ? 48 são frações equivalentes, calculem o produto de 8 por “?” e, em seguida, o valor de “?”. 240; 30 32 Encontre a fração equivalente a 5 2 que tenha denominador 15. Você pode encontrar essa fração multiplicando seus dois termos por um mesmo número. 15 6 Esses produtos são iguais. , , 16 10 24 15 40 25 34 Nas seguintes equivalências falta um termo de uma das frações, representado por “?”. Calcule quanto vale “?” em cada caso. a) ? 4 3 15 5 20 c) ? 5 21 35 5 3 b) ? 9 6 15 5 10 d) ? 18 2 3 5 27 36 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre frações equivalentes criado por vocês. Depois de cada um resolver o pro- blema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 12 8 12 9 e 35 Determine as frações equivalentes a 3 2 e a 4 3 com denominador 12. Note que a fração 3 2 é irredutível e é equiva- lente a 36 24 . Podemos escrever, então, que: 6 Simplificação de frações Quando a divisão dos termos de uma fração por um número natural diferente de 0 e de 1 é exata, obtemos uma fração equivalente cujos termos são números menores que os da outra fração. Chamamos isso de simplificação de fração. Veja, por exemplo, como podemos simplificar a fração 36 24 . Se dividimos 24 e 36 por 4, obtemos uma fração equivalente: 9 9 36 24 36 24 9 6 4 4 5 5 Como 6 e 9 são números menores que 24 e 36, respectivamente, dizemos que simplifica- mos a fração 36 24 . Se quisermos, podemos continuar a simplificar a fração até obtermos uma fração em que não é mais possível encontrar um mesmo número, diferente de 0 e de 1, que divida o nume- rador e também o denominador. Dizemos, nesse caso, que a fração é irredutível. Observe. 9 9 9 9 36 24 36 24 9 6 3 2 4 4 3 3 5 5 5 É mais simples calcular 2 7 de 189 do que 18 63 de 189. Quanto a isso, sou irredutível! SIDNEY MEIRELES 36 24 3 2 5 Habilidade trabalhada: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
- 234. 168 Exercícios propostos Aproveite a oportunidade e o contexto do exercício 41 para discutir com os alunos as relações entre duas uni- dades de medida de compri- mento extremamente úteis no dia a dia: o metro e o centímetro. Sabemos que apenas memo- rizar procedimentos opera- cionais, como “multiplica- mos por 100 para converter de metro para centímetro” ou “dividimos por 100 para converter de centímetro para metro”, não dá aos alunos a noção real das rela- ções entre unidades (quanto uma “cabe” em outra), o que certamente prejudica o desenvolvimento de muitas resoluções. Pense mais um pouco... Nesta seção, a figura auxilia o desenvolvimento de habili- dades de percepção espacial. Nesse momento, pode-se ainda retomar a relação de parte/todo e verificar que um triângulo pequeno é 1 16 do maior triângulo. A repartição do triângulo mé- dio central em 4 triângulos pequenos auxilia nessa per- cepção. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 168 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Também é possível simplificar a fração 36 24 escolhendo outros números para dividir e utili- zando o esquema abaixo, por exemplo: 36 24 9 2 9 2 9 3 2 6 12 18 9 3 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39 As frações de numeradores iguais a 1 são cha- madas de frações unitárias. Determine, quan- do possível, as frações unitárias equivalentes às seguintes frações. a) 20 5 b) 18 6 c) 12 3 d) 30 4 40 Represente cada número a seguir por uma fração e, depois, encontre a fração equivalente irredutível. a) 36% c) 50% b) 3 8 2 d) 1 6 3 37 Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis. a) 10 4 b) 24 18 c) 50 25 d) 15 14 38 Simplifique, quando possível, as frações para obter denominadores iguais a 6. a) 48 72 b) 42 14 c) 38 12 d) 30 20 41 Sabendo que 1 centímetro corresponde à cen- tésima parte de 1 metro, faça o que se pede. a) Que parte do metro 50 centímetros repre- sentam? Expresse essa parte como fração irredutível. b) Faça o mesmo para 25 centímetros e para 125 centímetros. FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Observe a figura ao lado e responda às questões em seu caderno. a) Quantos triângulos há na figura? 9 b) Quantos preciso ter para cobrir o triângulo grande? 16 c) O menor triângulo corresponde a que fração do maior triângulo? 16 1 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA já é irredutível impossível impossível 5 2 4 3 2 1 6 9 6 2 6 4 4 1 3 1 4 1 , 100 36 25 9 , 8 26 4 13 , 100 50 2 1 , 6 9 2 3 ; 100 50 2 1 , , 100 25 4 1 100 125 1 4 1 4 5 e 5 Observe que quanto maior for o número escolhido para dividir o numerador e o denominador, mais curto será o processo de simplificação. Veja: Nesse caso, com apenas uma simplificação encontramos a fração irredutível, pois 12 é o maior divisor comum de 24 e 36. 36 24 2 3 9 12 Habilidades trabalhadas: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identi- ficando frações equivalentes.
- 235. BIMESTRE 2 169 Trabalhando a informação Esta seção apresenta ao alu- no o gráfico de setores em um contexto muito relevan- te: o reúso global da água. Essa temática propicia a dis- cussão de questões impor- tantes relacionadas ao con- sumo consciente de água, assunto em destaque nos fóruns da sociedade atual. Para obter maior base de dados, os alunos podem vi- sitar os sites das companhias de saneamento que aten- dem à cidade onde se loca- liza a escola. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 169 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Interpretando um gráfico de setores Leia o texto sobre o uso doméstico da água. O uso doméstico da água é uma das formas mais evidentes de consumo. Quando as pessoas ganham mais dinheiro e elevam o padrão de vida, seu uso doméstico de água aumenta. O volume de água utilizada nas casas, ou pelas autoridades municipais para abastecer as áreas residenciais, varia de mais de 800 litros diários, no Canadá, a apenas 1 litro, na Etiópia. Boa parte da água distribuída para propósitos domésticos nunca chega ao consumidor, pois se perde nos vazamentos das tubulações. As cidades de países em desenvolvimento costumam perder 40% de sua água nes- ses vazamentos. Parte dessa água volta aos depósitos subterrâneos, rios e lagos; mas a maior parcela se evapora. Nas casas, as torneiras que pingam podem desperdiçar mais água do que a utilizada para cozinhar ou beber. E quase 30% das águas domésticas simplesmente se perdem nas descargas dos vasos sanitários. Em alguns países em desenvolvimento, 20 litros de água por pessoa, diariamente, são considerados um luxo. Alguns habitantes de países desenvolvidos usam mais do que isso só para regar seus jardins. Fonte: CLARKE, Robin; KING, Jannet. O atlas da água: o mapeamento completo do recurso mais precioso do planeta. Trad. Anna Maria Quirino. São Paulo: Publifolha, 2005. p. 30. O gráfico a seguir, feito com base no Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvol- vimento dos Recursos Hídricos 2017, representa uma aproximação do reúso de água, em âmbito global, após tratamento com técnicas avançadas. Dados obtidos em: UNESCO. Águas residuais: o recurso inexplorado. In: . Relatório das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2017. Disponível em: http://unesdoc.unesco.org/images/0024/002475/247553por.pdf. Acesso em: 04 ago. 2017. RICARDO YORIO U s o rec reat iv o U s o in d us t rial O ut ros I rrigaç ã o 50% 5% 20% 25% R eú so g l obal de á g ua apó s tratamento av anç ado Habilidades trabalhadas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estraté- gias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.
- 236. 170 Agora quem trabalha é você! Uma alternativa de encami- nhamento para o item a é solicitar aos alunos que, em um primeiro momento, não façam cálculos escritos para chegar às soluções e procu- rem estimar as respostas. Em seguida, devem realizar os cálculos necessários e tes- tar os valores encontrados mentalmente. O processo de estimativa permite esta- belecer relações e cultivar a habilidade com outras ma- neiras de calcular. É importante ressaltar para os alunos que, em um grá- fico de setores, cuja base é um círculo, a soma de todos os valores associados a cada setor deve resultar no todo, ou seja, 100%, se os dados estiverem em porcentagem, ou 1, se os dados estiverem na forma de fração. Peça aos alunos que verifiquem esse aspecto nos três gráfi- cos de setores apresentados. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 170 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Esse é um exemplo de gráfico de setores. Nesse tipo de gráfico, a divisão da figura é feita de acordo com a fração do todo correspondente a cada um dos dados representados. Note, por exem- plo, que a parte azul do gráfico é a menor e, por isso, corresponde à menor porcentagem (5%), e que a parte vermelha é maior por corresponder à maior porcentagem (50%). Os dados apresentados em um gráfico de setores também podem ser escritos na forma de fração. Veja. Dados obtidos em: UNESCO. Águas residuais: o recurso inexplorado. In: . Relatóriodas NaçõesUnidassobreoDesenvolvimentodosRecursosHídricos2017. Disponível em: http:// unesdoc.unesco.org/images/0024/002475/247553por.pdf. Acesso em: 04 ago. 2017. FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Agora quem trabalha é você! Leia e responda às questões. No mundo todo, cada pessoa consome em média 170 litros de água por dia. Observe no gráfico ao lado a distribuição do uso mundial de água doce em 2014. a) Em qual setor o consumo de água foi maior? b) Pesquise qual é a população de sua cidade. Supondo que a média de consumo diário do- méstico de água por pessoa, em sua cidade, seja igual à média mundial em 2014, calcule quantos litros são consumidos por essa popu- lação diariamente. c) Já estudamos que um giro de uma volta com- pleta corresponde a 360°. Arredondando os percentuais do gráfico ao lado para 10% e 20%, calcule a quantos graus corresponde cada um dos setores. d) Com o auxílio de um transferidor, copie o gráfico acima em seu caderno, aplicando as respostas do item c e indicando os consumos com frações. construção de gráfico U s o in d us t rial O ut ros U s o rec reat iv o 1 — 20 I rrigaç ã o 1 — 5 1 — 4 1 — 2 R eú so g l obal de á g ua apó s tratamento av anç ado U so mundial de á g ua doce 2 2 % 7 0 % 8 % Consumo de á g ua I n d us t rial Agrí c ola D omé s t ic o RICARDO YORIO RICARDO YORIO b) A resposta depende da população da cidade. setor doméstico: 36°, setor industrial: 72°, setor agrícola: 252° Dados obtidos em: Organização das Nações Unidas para a Agricultura e Alimentação. Disponível em: http://www.mma. gov.br/estruturas/secex_consumo/_arquivos/3%20-%20mcs_ agua.pdf. Acesso em: 12 set. 2018. agrícola Habilidades trabalhadas: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envol- vam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, con- sumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais esco- lhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
- 237. BIMESTRE 2 171 Comparação de números escritos na forma de fração A comparação de números racionais na forma de fração é tratada nesta página e nas duas seguintes, ampliando e aprofundando os conhe- cimentos que os alunos já construíram sobre esse as- sunto. As duas situações desta pá- gina exploram a compara- ção por meio de figuras, o que facilita a compreensão do conceito. Habilidade trabalhada: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Situação 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 171 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 7 Comparação de números escritos na forma de fração Considere as situações a seguir. Vanessa e Adriano compraram duas bicicletas de mesmo preço no mesmo dia. Vanessa financiou 5 2 do valor total a ser pago, e Adriano financiou 5 4 . Quem financiou o maior valor? Vamos utilizar algumas figuras para representar a situação. Cada figura a seguir representa o valor total de cada bicicleta, e as partes pintadas repre- sentam o que cada comprador financiou. Paulo pintou de azul 8 3 de um painel, e Carla pintou de laranja 16 5 de outro painel igual ao de Paulo. Quem pintou mais? Note que 5 4 do preço total é maior do que 5 2 do preço total. Logo, Adriano financiou mais do que Vanessa. Observe que os painéis foram divididos e pintados (azul e laranja) de modos diferentes. Para comparar 8 3 com 16 5 utilizando os painéis, é preciso dividi-los em uma mesma quan- tidade de partes iguais. Para fazer essa divisão, usaremos os triângulos menores: Situação 2 IZAAC BRITO — 5 16 — 6 16 — 3 8 ou — 4 5 Adriano Vanessa — 2 5 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA A parte azul equivale a 8 3 da figura toda. A parte laranja equivale a 16 5 da figura toda.
- 238. 172 Orientações Discuta com os alunos os pro- cedimentos indicados para comparar duas (ou mais) fra- ções de denominadores dife- rentes. Eles devem perceber que a equivalência é a base do processo. — 3 4 — 2 5 — 3 4 — 2 5 , Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 172 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Cada triângulo pequeno representa 16 1 de um painel inteiro. Note que a parte azul tem 16 1 a mais do que a parte laranja. Assim: 16 6 16 5 . ou 8 3 16 5 . Portanto, Paulo pintou mais do que Carla. Podemos perceber também que, na situação 1, foi muito simples comparar os números 5 2 e 5 4 , porque, como as frações que representam os valores financiados por Vanessa e Adriano têm o mesmo denominador, basta comparar os numeradores. Como 4 . 2, temos 5 4 5 2 . . Já na situação 2, inicialmente foi necessário dividir o painel em 16 triângulos menores e iguais para encontrar uma fração equivalente a 8 3 com o mesmo denominador de 16 5 e só depois comparar os numeradores. Como 8 3 16 6 5 e 16 6 16 5 . , temos 8 3 16 5 . . Entretanto, podemos comparar números escritos na forma de fração usando uma proprie- dade das frações e a noção de equivalência. Por exemplo: Qual destes números é menor: 6 4 ou 5 3 ? Vamos encontrar frações equivalentes a 6 4 e 5 3 usando a propriedade que permite mul- tiplicar (ou dividir) o numerador e o denominador das frações por um mesmo número, até encontrarmos frações com mesmo denominador. Acompanhe mais um exemplo. Qual destes números é maior: 5 2 ou 4 3 ? Nesse caso, podemos utilizar as figuras a seguir para obter a resposta. Como 18 , 20, temos: 30 18 30 20 , Então: 5 3 6 4 , 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 2 3 3 3 4 3 5 6 4 12 8 18 12 24 16 5 5 5 5 30 20 5 3 10 6 15 9 20 12 25 15 5 5 5 5 5 30 18 NELSON MATSUDA Note que 30 é múltiplo comum dos denominadores 6 e 5. SIDNEY MEIRELES Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
- 239. BIMESTRE 2 173 Orientações Se julgar necessário, retome com os alunos os conceitos de múltiplo e de mínimo múltiplo comum (mmc). A redução ao mesmo deno- minador pode ser feita in- dependentemente do mmc, apenas com a noção de equi- valência. Promova atividades nas quais os alunos utilizem variados procedimentos e, ao longo de seus estudos, propicie que desenvolvam aquele que lhe parecer melhor. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 173 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Ou, então, podemos escrever frações equivalentes a 5 2 e 4 3 e procurar entre elas as que têm mesmo denominador. 5 2 10 4 15 6 20 8 5 5 5 e 1 20 15 4 3 8 6 2 9 16 12 5 5 5 5 Observe que o denominador 20 das frações 20 8 e 20 15 é múltiplo dos denominadores 5 e 4 das frações 5 2 e 4 3 . Ele pode ser obtido pela multiplicação dos denominadores: 4 8 5 5 20 Para obter os novos numeradores, multiplicamos os numeradores pelos mesmos números que mul- tiplicamos os denominadores. Assim, encontramos 20 8 e 20 15 , frações de mesmo denominador e equivalentes a 5 2 e 4 3 , respectivamente. Esse processo é chamado de redução de frações a um mesmo denominador (ou a um denominador comum). Como 20 8 , 20 15 , temos: 5 2 , 4 3 3 4 3 5 5 2 4 3 ? 20 ? 20 3 5 3 4 5 2 4 3 20 8 20 15 Observações Podemos encontrar um denominador comum entre duas ou mais frações, considerando um múltiplo qualquer não nulo de todos os denominadores. Por exemplo: Para obter frações equivalentes mais simples, podemos utilizar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores das frações dadas. Assim, temos: mmc(10, 15, 6) 5 30 10 3 15 4 6 5 300 90 300 80 300 250 10 3 15 4 6 5 30 9 30 8 30 25 3 30 3 20 3 50
- 240. 174 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, incentive os alunos a utiliza- rem estratégias diversas, re- visitando os conhecimentos já construídos. No exercício 44, dê atenção às diferentes justificativas, pois, com o confronto das diversas explicações, os alu- nos chegarão à conclusão de que 3 5 é menor que 5 8 . Apresentamos, a seguir, uma possível resolução para o exercício 45. Na prova de Matemática, o rendimen- to de Felipe foi 12 20 ; na pro- va de História, foi 6 10 e na prova de Inglês, 4 7 . Como 12 20 5 6 10 5 3 5 , podemos concluir que Felipe teve o mesmo rendimento nas provas de Matemática e His- tória. Para comparar com o rendimento da prova de Inglês, vamos tomar frações equivalentes que tenham o mesmo denominador. As frações 4 7 e 3 5 são, res- pectivamente, equivalentes a 20 35 e 21 35 . Como 20 35 , 21 35 , concluímos que 4 7 , 3 5 , ou seja, Felipe se saiu melhor nas provas de Matemática e História. Exercícios complementares Os alunos revisitarão os principais conceitos estuda- dos no capítulo. É um bom momento para verificar se ainda há alguma dificuldade e fazer as intervenções ne- cessárias. Para o exercício 2, uma pos- sível ampliação é solicitar aos alunos que: •representem graficamente os dados da pesquisa; •façam afirmações a res- peito do gráfico de modo similar ao apresentado no exercício 26 (página 164). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 174 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 42 Em uma classe, 9 4 dos alunos são meninos e 9 5 são meninas. Nessa classe há mais meninos ou meninas? meninas 43 Compare os números e escreva, em seu cader- no, sentenças usando os sinais ,, 5 ou .. a) 6 2 6 4 e 6 2 6 4 , b) 7 1 7 5 e 7 1 7 5 , c) 9 5 9 2 e 9 5 9 2 . d) 2 1 4 3 e 1 2 4 3 , e) 10 3 15 4 e f) 6 7 18 21 e 10 3 15 4 . 16 7 18 21 5 45 Em uma mesma semana, Felipe fez provas de Matemática, História e Inglês. Ele acertou 12 das 20 questões de Matemática, 6 das 10 questões de História e 4 das 7 questões de Inglês. Em qual das provas ele se saiu melhor? 47 Umpaineldecorativofoimontadocomlajotasde mesmo tamanho. Do total de lajotas, 6 2 têm cor azul, 4 2 têmcoramarelae 12 2 têmcorvermelha. a) Qual é a cor de lajota mais usada nesse painel? amarela b) Qual é a cor de lajota menos usada nesse painel? vermelha 46 Se Lúcia caminhou 12 7 de uma trilha para pedestres, ela percorreu mais ou menos da metade dessa trilha? mais da metade 44 Na pintura de uma parede foram misturados 5 3 de um galão de tinta azul com 8 5 de um galão de tinta branca. Qual é a cor da tinta mais usada nessa mistura? branca 49 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre comparação de frações criado por vocês. Depois de cada um resolver o pro- blema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 45. Felipe se saiu melhor nas provas de Matemática e História, porque 20 12 5 10 6 , 20 12 . 7 4 e 10 6 . 7 4 . , , 15 45 15 6 15 5 48 Reduza as frações a seguir a um mesmo deno- minador. a) , 5 3 4 5 , 20 12 20 25 d) , 3 2 1 1 6 5 , 6 21 6 11 b) , 6 2 4 7 , 12 4 12 21 e) , , 3 5 1 2 4 3 2 1 c) , , 3 5 2 3 1 f) , , , 1 1 4 1 8 1 2 , , 20 64 20 55 20 10 , , , 8 8 8 4 8 2 8 1 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1 Uma agência de turismo vende pacotes de viagens em 12 prestações iguais. Janaína comprou um desses pacotes. Ela já pagou 4 3 das prestações. a) A fração 4 4 representa quantas prestações? b) A fração 4 1 representa quantas prestações? c) Quantas prestações foram pagas? 9 12 3 a) Qual é o total de alunos pesquisados? 50 b) Qual é a fração que representa o número de alunos que preferem vôlei em relação ao total de alunos pesquisados? c) Na forma percentual, quantos alunos pre- ferem futebol? 60% 50 10 2 A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa realizada com os alunos do 6o ano. Dados obtidos pela escola Cata-vento. Esportes preferidos pelo 6o ano Esporte Quantidade de alunos Futebol 30 Vôlei 10 Basquete 10 3 Na figura abaixo, cada bloco representa um inteiro e é formado por pequenos cubos iguais. a) Quantos inteiros há na figura? 3 b) Que parte de um inteiro (bloco) cada cubi- nho representa? c) Quantos sextos de bloco há na figura? 18 6 1 NELSON MATSUDA Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
- 241. BIMESTRE 2 175 Exercícios complementares No exercício 11, podemos ressaltar que a interpreta- ção incorreta do enunciado pode levar o aluno a pensar que 1 10 do comprimento do tecido é igual a 36 metros, induzindo-o a concluir que a peça original tinha 360 me- tros de comprimento. Entre- tanto, ao observar cada uma das alternativas, é possível verificar que esse valor é ab- surdo, o que deverá levar os alunos a retomarem sua lei- tura e interpretação. Atenção: no desenvolvimen- to do exercício 16, com a in- tenção de conhecer o modo de resolução dos alunos e detectar dúvidas persisten- tes, pode-se circular entre eles e fazer observações em seus registros, como: •o aluno faz todos os cálcu- los, mesmo quando uma das frações da alternativa já não é equivalente; •o aluno não percebe que só precisa encontrar fra- ções cujo numerador seja metade do denominador. No Manual do Professor – Digital poderão ser acessadas Propostas de Acompanhamento da Aprendizagem dos alunos com sugestões de questões, abertas e de múltipla escolha, e fichas para registro do desempenho deles neste bimestre. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 175 CAPÍTULO 7 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 7 Represente duas barras de chocolate: uma branca e outra escura, de mesmo tamanho. Divida a barra branca em 4 pedaços iguais e a barra escura em 8. Se você pegar uma das partes da barra branca, quantos pedaços da barra escura serão necessários para obter a mesma quantidade? E se você pegar duas partes da barra branca? 2 pedaços; 4 pedaços 8 A professora de Arte distribuiu igualmente 7 cartolinas para 3 grupos de alunos. Determi- ne a quantidade de cartolina que cada grupo recebeu na forma de fração e na forma mista. , 3 7 2 3 1 a) Qual é a fração que representa o valor de cada prestação em relação ao preço da moto? b) Qual é o valor de cada prestação? c) Qual é o valor de 5 2 do preço da moto? 5 1 1.800 reais 5 Renato pagou 5 3 de uma dívida e ainda ficou devendo 70 reais. Qual era o valor da dívida? 175 reais 4 Ao passar por uma loja de motos, Cristiano aproveitou a promoção e comprou uma moto igual à representada abaixo. 6 Na figura há 2 inteiros. Represente a parte pintada com um número escrito: a) na forma de fração; b) na forma mista. 6 9 1 6 3 F igura ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA CLÁUDIO CHIYO IZAAC BRITO 3.600 reais LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 13 Acompanhe as afirmações feitas por quatro amigos. Paulo: O numerador e o denominador da fração são números pares. Mariana: A fração é equivalente à fração 9 3 . Ricardo: A fração é irredutível. Camila: O numerador da fração é 1. Sabendo que Ricardo disse a verdade e que um deles mentiu, descubra qual é a fração. 3 1 12 Quando multiplicamos ou dividimos os dois termos de uma fração por um número natural diferente de zero, obtemos uma fração equiva- lente ou não equivalente à fração dada? Obtemos uma fração equivalente à fração dada. 11 (Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 10 1 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o com- primento, em metros, da peça antes da lavagem era igual a: alternativa c a) 44. b) 42. c) 40. d) 38. extremidades. Se uma delas pavimentar 5 2 da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, a extensão dessa estrada será de: alternativa b a) 125 quilômetros. b) 135 quilômetros. c) 142 quilômetros. d) 145 quilômetros. e) 160 quilômetros. 14 Uma fração equivalente a 5 3 tem 32 como soma de seus termos. Determine essa fração. 20 12 16 (Saresp) Quais são as três frações equivalentes a 2 1 ? alternativa c a) , , 4 2 5 3 6 4 b) , , 4 2 10 5 12 8 c) , , 6 3 10 5 12 6 d) , , 7 3 8 5 4 2 9 Alfredo tem 35 bolas de gude. Dessas 35, para cada 2 bolas verdes há 5 vermelhas. Determine um número na forma de fração que represente o resultado da comparação da quantidade de bolas verdes com a de bolas vermelhas. 5 2 15 Os alunos de uma escola estão distribuídos da seguinte maneira: • Educação Infantil 9 2 • Ensino Fundamental 18 8 • Ensino Médio 3 1 Representando essa distribuição em um gráfico de setores (como na figura acima), qual é a cor que corresponde ao Ensino Fundamental? E ao Ensino Médio? verde; vermelho NELSON MATSUDA 10 (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjun- tamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das Habilidade trabalhada: (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de pro- porcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
- 242. 176 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Resolver problemas com- preendendo os diferentes significados das operações que envolvem números ra- cionais na forma de fração. •Realizar cálculos que en- volvam operações com números racionais na for- ma de fração por meio de estratégias variadas, com compreensão dos proces- sos nelas envolvidos. •Interpretar e resolver si- tuações com informações apresentadas em gráficos de setores e de barras. •Compreender e calcular probabilidade, usando nú- meros racionais na forma de fração e na forma per- centual. Orientações gerais Este capítulo trata das opera- ções com números racionais na forma de fração, comple- mentando o trabalho com tais números iniciado no ca- pítulo anterior, ampliando e aprofundando estudos ante- riores dos alunos. A abertura apresenta os bio- mas brasileiros no mapa do Brasil, oferecendo um con- texto para possível interli- gação com outras áreas do saber, como Biologia e Geo- grafia. É conveniente lem- brar que estamos formando os futuros atores da história e, portanto, temos respon- sabilidade direta em sua conscientização acerca das questões ambientais, entre outras. Também nesse sentido, e não só no âmbito estrita- mente matemático, a inter- pretação de dados numé- ricos envolvendo números racionais na forma de fra- ção e percentual, contidos em gráficos, também é ex- plorada neste capítulo. Sugestões de leitura Para ampliar o assunto sobre biomas brasileiros terrestres, sugerimos: http://www.mma.gov.br/biomas.Acesso em: 22 maio 2018. Para enriquecer o trabalho do tema deste capítulo, sugerimos: RAMOS, Luzia Faraco. Frações sem mistério. São Paulo:Ática, 2008. (Coleção A Descoberta da Matemática). Material Digital Audiovisual • Áudio: Abastecimento do tanque de combustível Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual 176 CAPÍTULO 8 Bioma Caatinga Bioma Pampa Bioma Mata Atlântica Bioma Amazônia Bioma Cerrado Bioma Ambientes Marinhos Bioma Pantanal OCEANO ATLÂNTICO OCEANO PACÍFICO 50º O EQUADOR 0º TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO Nos estudos sobre o meio ambiente, chama-se bioma o conjunto de sistemas que formam uma comunidade (todos os organismos, animais e vegetais, que habitam um mesmo ambiente) estável e desenvolvida, adaptada às condições naturais de uma região, e geralmente caracterizada por um tipo principal de vegetação. Este mapa representa os biomas brasileiros de modo simplificado, reunindo-os em sete grandes biomas. 8 Capítulo Elaborado a partir de: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Moderno Atlas Geográfico. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2016. BRASIL — DIVISÃO POR BIOMAS SONIA VAZ SOBRE IMAGEM DE NATIONAL OCEANIC AND ATMOSPHERIC ADMINISTRATION/SCIENCE SOURCE/ FOTOARENA Operações com números racionais na forma de fração NE L O SE S N NO SO 390 km
- 243. 177 BIMESTRE 3 Adição e subtração com frações de mesmo denominador Ampliando o tema da aber- tura do capítulo – biomas brasileiros –, analise o info- gráfico com os alunos, que apresenta números racio- nais na forma de fração e gráfico de setores relativo aos biomas e à distribuição por bioma e por grupos bio- lógicos das espécies da fau- na ameaçadas de extinção. Para retomar alguns concei- tos tratados no capítulo an- terior, proponha questiona- mentos com base nos dados do infográfico: •Há mais espécies da fauna ameaçadas de extinção na Caatinga ou na Amazônia? •Há menos espécies da fau- na ameaçadas de extinção no Cerrado ou em Am- bientes marinhos? •Em qual bioma há mais es- pécies da fauna ameaçadas de extinção? •Qual é o bioma com menor número de espécies da fau- na ameaçadas de extinção? Habilidades trabalhadas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando fra- ções equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta nu- mérica. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas so- bre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redi- gir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Tamanduá-bandeira. Peixe-boi-da-Amazônia. Tartaruga-de-pente. Papagaio-da- -cara-roxa. Ariranha. Toninha. Onça-parda. M at a At lâ n t ic a 8 — 21 Amb ien t es marin h os 1 — 4 C errad o 1 — 7 C aat in ga 8 — 85 Amaz ô n ia 6 — 85 P an t an al* * 1 — 42 P amp a 1 — 425 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 177 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 1 Adição e subtração com frações de mesmo denominador Para preservar o patrimônio biológico existente no território brasileiro, foi criado, pela Lei 9.985, de 18 de julho de 2000, o Sistema Nacional das Unidades de Conservação da Natureza. Unidade de Conservação (ou UC) é a denominação dada a espaços territoriais que passam a ter seus recursos ambientais protegidos por lei. Leia o infográfico a seguir. Depois de ver as espécies ameaçadas de extinção em UCs, veja no gráfico ao lado como elas se dividem em grupos. * Registros em UCs Federais. Dados obtidos em: Atlas da Fauna Brasileira Ameaçada de Extinção em Unidades de Conservação Federais. Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade (Icmbio), 2011. Disponível em: http:// www.icmbio.gov.br/portal/images/stories/ documentos/Atlas-ICMBio-web.pdf. Acesso em: 07 ago. 2017. Dados obtidos em: Atlas da Fauna Brasileira Ameaçada de Extinção em Unidades de Conservação Federais. Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade (Icmbio), 2011. Disponível em: http://www.icmbio.gov.br/portal/images/ stories/documentos/Atlas-ICMBio-web.pdf. Acesso em: 07 ago. 2017. RICARDO YORIO INFOGRÁFICO: RICARDO YORIO FOTOS: TAMANDUÁ-BANDEIRA: ARTUR KEUNECKE/PULSAR IMAGENS; TARTARUGA-DE-PENTE: ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS; ONÇA-PARDA: RICARDO TELES/PULSAR IMAGENS; PEIXE-BOI-DA-AMAZÔNIA: FABIO COLOMBINI; ARIRANHA: INÁCIO TEIXEIRA/ PULSAR IMAGENS; TONINHA: PROJETO TONINHAS/UNIVILLE; PAPAGAIO-DA-CARA-ROXA: FABIO COLOMBINI M amí f eros 17 — 100 P eix es 7 — 50 R é p t eis 1 — 25 An f í b ios 3 — 100 Av es 21 — 50 I n v ert eb rad os (aquá t ic os e t erres t res ) 1 — 5 D istribuiç ã o por g rupos biol ó g icos das espécies da fauna ameaç adas de ex tinç ã o* ( 2 0 1 1 ) D istribuiç ã o por bioma das espécies da fauna ameaç adas de ex tinç ã o* ( 2 0 1 1 ) *Registros em UCs Federais. ** 11 425 q 10 420 5 1 42 Complemente os estudos com a Sequência didática 7 – Adição e subtração com frações, disponível no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo.
- 244. 178 Orientações Ainda com base nas infor- mações do infográfico da página anterior, analise com os alunos as comparações apresentadas. Verifique se eles compreendem a repre- sentação feita pela figura, na qual podemos verificar a fração que corresponde ao total que as espécies da fauna ameaçadas de extin- ção na Caatinga e na Mata Atlântica representam jun- tas. Ou seja, efetuamos a adição das duas frações in- dicadas. Nesse contexto, determina- mos também a diferença desse total obtido em rela- ção ao que representam os demais biomas, efetuando, assim, uma subtração de duas frações. Nos dois casos, trabalhamos com frações de mesmo de- nominador. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 178 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO No primeiro gráfico, para cada bioma há um setor com a indicação das respectivas espécies animais ameaçadas de extinção. Podemos obter muitas informações por meio da leitura do texto e dos gráficos. Por exemplo: ƒ No Pantanal, havia 11 espécies animais ameaçadas de extinção. ƒ Mais de 5 2 das espécies animais ameaçadas de extinção eram constituídos de aves. ƒ Somente no Pampa havia menos de 1% de espécies de animais ameaçadas de extinção. ƒ 4 1 é a fração que representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção em ambientes marinhos, em 2011. No entanto, para obter outras informações, é necessário fazer uma análise mais aprofun- dada dos gráficos, por exemplo: ƒ Que fração representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção na Mata Atlântica e na Caatinga em 2011? ADRIANO GAMBARINI ERIC PASQUALLI/ALAMY/FOTOARENA Mico-leão-dourado (Leontopithecus rosalia) nativo da Mata Atlântica. (Foto de 2017.) Espécimes da ararinha-azul (Cyanopsitta spixii) originárias da Caatinga. (Foto de 2015.) Mata Atlântica Caatinga ƒ Do total de espécies animais ameaçadas de extinção em 2011, que fração representa os répteis e os invertebrados nessa situação? Antes de responder à primeira questão, para facilitar o cálculo e a representação, vamos considerar a seguinte aproximação: 85 8 q 84 8 5 21 2 . Sabemos que as espécies de animais ameaçadas de extinção na Mata Atlântica represen- tam 8 21 , e as da Caatinga, 21 2 . Veja como podemos representar essa situação por meio de uma figura: Observe que, de acordo com a figura, a fração procurada é 21 10 . Nesse caso, podemos também fazer a seguinte adição: 21 8 21 2 21 10 1 5 NELSON MATSUDA
- 245. 179 BIMESTRE 3 Orientações Analise com os alunos a si- tuação de venda de pedaços de bolo (partes do bolo). Se julgar adequado, prepare previamente círculos de pa- pel para os alunos manipu- larem e representarem essa situação e outras similares, representando adições e subtrações de frações de mesmo denominador. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 179 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO A parte pintada de amarelo representa a quantidade de bolo vendida nessa semana. Retomaremos a segunda pergunta mais adiante. Veja outro exemplo. Na cantina em que Marina trabalha, um mesmo tipo de bolo é vendido a cada semana (de segunda a sexta-feira). Marina anotou a quantidade de bolo vendida em determinada semana. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA ƒ Juntando todas as partes de bolo vendidas em cada dia, podemos descobrir a quantidade de bolo que foi vendida nessa semana. Isso pode ser registrado por meio de uma adição. 8 1 8 3 8 1 8 2 8 4 8 11 1 1 1 1 5 Nessa semana, a cantina vendeu 8 11 de bolo, o que significa mais de uma unidade: 1 bolo e 8 3 de bolo, ou seja, 1 8 3 de bolo. ƒ Subtraindo o total vendido do total fabricado desse tipo de bolo na semana, temos a quantidade que sobrou. 8 16 8 11 8 5 2 5 Dia da semana Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Parte de bolo vendida 8 1 8 3 8 1 8 2 8 4 Verifique os cálculos a seguir. Quantas partes desse tipo de bolo foram vendidas nessa semana? Quantas partes sobraram? Para adicionar ou subtrair números representados por frações de mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum. 1 1 11 a) 16 1 16 11 16 12 1 5 1 1 3 1 1 1 2 1 4 b) 8 1 8 3 8 1 8 2 8 4 8 11 1 1 1 1 5 4 2 3 c) 4 4 4 3 4 1 2 5 16 2 11 d) 8 16 8 11 8 5 2 5 Mata Atlântica e Caatinga Demais biomas NELSON MATSUDA Veja na figura a seguir que 21 11 é a fração que representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção nos demais biomas. Para obter esse dado, podemos efetuar uma subtração. 21 21 21 10 21 11 2 5
- 246. 180 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, exploramos procedimentos de adição e subtração de frações de mesmo denomi- nador. Uma possível figura para o item a do exercício 2 segue abaixo. Observando essa fi- gura, pode-se verificar a res- posta do item b. Depois que os alunos resol- verem esse exercício, per- gunte como eles poderiam proceder sem o recurso da figura. Espera-se que identi- fiquem a sequência de ope- rações: • 1 6 1 4 6 5 5 6 • 6 6 2 5 6 5 1 6 (fração do restan- te do terreno) Aproveite o exercício 5 e re- tome a adição e a subtração com o recurso da reta nu- mérica, envolvendo agora números racionais na forma de fração. NELSON MATSUDA Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 180 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Observe a figura abaixo. a) Determine as frações de denominador 8 que representam a parte pintada de amare- lo, a parte pintada de verde e a figura toda. b) Represente por meio de uma adição de frações a parte da figura pintada de verde ou de amarelo. c) Represente por meio de uma subtração a parte da figura que não está pintada nem de verde nem de amarelo. 8 8 8 6 8 2 2 5 8 2 8 4 8 6 1 5 2 Um terreno foi dividido em três canteiros da seguinte maneira: • um canteiro de margaridas ocupando 6 1 do terreno; • um canteiro de rosas ocupando 6 4 do ter- reno; • um canteiro de violetas ocupando o restante do terreno. a) Represente essa situação por meio de uma figura. construção de figura b) Determine a parte do terreno que o canteiro de violetas ocupa. 6 1 5 Carlos imagina “saltos” em uma reta numéri- ca para calcular mentalmente o resultado de adições e de subtrações de frações. Observe: 3 Efetue, em seu caderno, simplificando o resul- tado quando possível. a) 9 2 9 5 1 9 7 d) 12 5 12 3 12 1 1 1 4 3 b) 10 4 10 2 1 5 3 e) 4 5 4 3 1 2 c) 15 2 15 3 1 3 1 f) 6 1 6 2 6 3 1 1 1 ILUSTRAÇÕES: DANIEL ZEPPO Então, 7 2 7 3 7 5 1 5 . Penso em uma unidade da reta numérica dividida em sete partes iguais. Na reta, localizo 2 7 . Em seguida, dou um salto de 3 7 na reta no sentido crescente, chegando a 5 7 . 0 1 5 7 — 3 7 + — 2 7 — • Para calcular 5 4 5 3 2 : ADILSON SECCO ADILSON SECCO Penso em uma unidade da reta numérica dividida em cinco partes iguais. Na reta, localizo 4 5 . Em seguida, dou um salto de 3 5 na reta no sentido decrescente, chegando a 1 5 . 0 1 4 5 — 3 5 – — 1 5 — Então, 5 4 5 3 5 1 2 5 . • Para calcular 7 2 7 3 1 : , 8 4 8 2 8 8 e , respectivamente NELSON MATSUDA 4 Efetue, simplificando o resultado quando possível. a) 9 8 9 2 2 3 2 d) 5 9 5 4 2 1 b) 5 7 5 1 2 5 6 e) 7 3 7 3 2 0 c) 8 15 8 9 2 4 3 f) 12 11 12 3 2 3 2
- 247. 181 BIMESTRE 3 Exercícios propostos No exercício 7, são dadas noções acerca das esferas de poder no Brasil e da composi- ção partidária que vigora no país. Saliente a importância de conhecer os aspectos ad- ministrativos e políticos do país para melhor garantir sua participação como cidadãos. Atividades assim também contribuem para o desenvol- vimento da capacidade de interpretação e de pesquisa. Depois de uma breve discus- são sobre o tema, em grupos, eles podem encontrar as fra- ções correspondentes a cada item. Se julgar conveniente, forneça estas informações: •Poder Executivo: sua fun- ção principal é executar leis e programas e definir a forma de distribuição dos gastos públicos. É composto de: presidente e ministérios (federal); governador e se- cretarias (estadual); prefei- to e secretarias (municipal). •Poder Legislativo: elabora as leis, fiscaliza e controla os atos do Poder Executivo. Na esfera federal, é repre- sentado pelo Congresso Nacional, dividido entre Câ- mara (deputados federais) e Senado (senadores). No âmbito estadual, é exercido pelas assembleias legislati- vas (deputados estaduais); nos municípios, pelas câma- ras municipais (vereadores). •Poder Judiciário: aplica a Constituição e as leis, é di- vidido em vários tribunais e classes hierárquicas. Uma ampliação possível do exercício 8 é pedir aos alu- nos que exprimam os dados na forma percentual. Pense mais um pouco... Esta seção pode ser feita em duplas. Ao final, solicite que cada dupla exponha a estra- tégia utilizada, que deve ser validada com os alunos. Res- salte que a resposta do avô equivale a dizer “as horas que faltam para a meia-noite é o triplo das horas que pas- saram do meio-dia”. Talvez assim os alunos percebam que isso ocorre às 15 horas: meia-noite meio-dia 15 h NELSON MATSUDA Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 181 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 6 Fernanda gosta de criar suas próprias bijuterias. Para fazer um colar, ela comprou 2 pacotes de miçangas, um de cada cor. Cada pacote tinha 120 miçangas. Ela usou 4 3 das miçangas de um dos pacotes e 5 3 das miçangas do outro. Quantas miçangas sobraram de cada cor? Sobraram 30 miçangas de uma cor e 48 da outra. 7 O Brasil é uma República Federativa presiden- cialista. A federação brasileira é composta de 26 estados e do Distrito Federal. O sistema político – atuando nas esferas federal, estadual e municipal – é dividido em três poderes: Exe- cutivo, Legislativo e Judiciário. Efetue mentalmente as operações com as frações abaixo, imaginando saltos crescentes e decrescentes em uma reta numérica. Depois, registre por escrito e verifique o resultado. a) 7 4 7 2 1 7 6 b) 5 3 5 1 1 5 4 c) 8 1 8 5 1 4 3 d) 6 5 6 2 2 2 1 e) 7 6 7 4 2 7 2 f) 9 4 9 1 2 3 1 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Bernardo perguntou a seu avô: — Que horas são? O avô respondeu: — As horas que passaram do meio-dia correspondem a 3 1 das que faltam para a meia-noite. Determine que horas são. 3 horas da tarde ou 15 horas DANIEL ZEPPO 8 Reúna-se com um colega para analisar a se- guinte situação com respostas únicas: Uma pesquisa feita com 100 pessoas a respeito de lazer cultural trouxe estes dados: • museu: 12 100 • show de música: 100 38 • cinema: 100 34 • teatro: 100 26 Agora, respondam: há algum erro nos dados dessa pesquisa? Justifiquem a resposta. 9 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre adição e subtração com fra- ções criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 7. a) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 81 22 11 81 7 81 81 81 81 81 81 1 81 81 1 81 1 81 81 1 81 1 81 9 1 27 2 5 81 4 4 2 2 2 1 1 8. Sim, há erro, pois 100 12 100 38 100 34 100 26 100 110 110 100 1 e 1 1 1 5 . . Partidos são grupos de pessoas com as mesmas propostas políticas. Veja a seguir o número de senadores de cada partido (em julho de 2017) que fazem parte do Poder Le- gislativo em sua esfera federal. No total, são 81 senadores. MDB (Movimento Democrático Brasileiro): 22 PSDB (Partido da Social Democracia Brasileira): 11 PT (Partido dos Trabalhadores): 9 PP (Partido Progressista): 7 PSB (Partido Socialista Brasileiro): 6 PSD (Partido Social Democrata): 5 DEM (Democratas): 4 PR (Partido da República): 4 PTB (Partido Trabalhista Brasileiro): 2 PDT (Partido Democrático Trabalhista): 2 PODE (Podemos): 2 PCdoB (Partido Comunista do Brasil): 1 PSC (Partido Social Cristão): 1 PRB (Partido Republicano Brasileiro): 1 REDE (Rede Sustentabilidade): 1 PPS (Partido Popular Socialista): 1 PTC (Partido Trabalhista Cristão): 1 Sem partido: 1 Dados obtidos em: https://www12.senado.leg.br/noticias/ tablet/senadoresporpartido. Acesso em: 25 jul. 2017. Agora, responda às questões a seguir. a) Escreva a fração do Senado que represen- tava cada um desses partidos em julho de 2017. b) Sabendo que cada estado possui três sena- dores, descubra qual é o partido de cada um deles em seu estado natal. c) Qual era o partido majoritário na sua região geográfica? d) Qual é a fração do Senado que representava os estados da sua região geográfica? A resposta depende da região do aluno. A resposta depende da região do aluno. A resposta depende do estado natal do aluno.
- 248. 182 Trabalhando a informação Esta seção permite traba- lhar porcentagem a partir de fração decimal, discutir o significado de porcentagem e explorá-la na malha qua- driculada. Sugerimos a atividade a se- guir para ampliar o trabalho desenvolvido. Ela pode ser feita em grupos de quatro alunos e tem como objeti- vo explorar a construção e a interpretação de tabelas e gráficos a partir de dados significativos para os alunos. •Entrevistar 10 homens e 10 mulheres quanto ao espor- te preferido, entre futebol, basquete, vôlei e natação. •Organizar os dados em uma tabela, representan- do a quantidade de pesso- as que preferem cada um dos esportes citados. •Construir um gráfico de barras para representar a situação pesquisada. •Representar com uma fra- ção a parte dos homens que preferem futebol em rela- ção ao total de homens. •Representar com uma fração a parte das mulheres que preferem futebol em relação ao total de mulheres. •Representar com uma fra- ção a parte das mulheres que preferem futebol em relação ao total de entre- vistados. •Representar por meio de porcentagem a relação en- tre o número de mulheres que preferem vôlei e o nú- mero total de mulheres. •Representar por meio de porcentagem a relação en- tre o número de homens que preferem natação e o número total de homens. •Representar por meio de porcentagem a relação en- tre o número de homens que preferem basquete e o número total de pessoas entrevistadas. •Representar por meio de porcentagem a relação en- tre o número de mulheres que preferem basquete e o número total de pessoas entrevistadas. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou sub- tração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 182 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Malha Fração Porcentagem Parte azul 10 100 10% Parte vermelha 100 25 25% Parte verde 100 35 35% Parte laranja 100 30 30% Inteiro 100 100 100% Operando com porcentagens O fotógrafo Luciano vai fazer uma exposição de suas 100 melhores fotografias. Para isso, organi- zou as fotografias por temas e marcou em uma malha quadriculada quantas há em cada categoria. F l ores P aisag ens Animais P essoas Luciano pintou: • 10 quadradinhos de azul, que representam as fotografias de pessoas. Essas fotografias representam 100 10 do total. • 25 quadradinhos de vermelho, que representam as fotografias de animais. Elas representam 100 25 do total. • 35 quadradinhos de verde, que representam as fotografias de paisagens. Elas representam 100 35 do total. • 30 quadradinhos de laranja, que representam as fotografias de flores. Elas representam 100 30 do total. A malha toda representa 100 100 ou 1 inteiro. Já vimos que uma fração de denominador 100 pode ser escrita na forma percentual. Então, podemos montar um quadro com essas informações. Observe. ADILSON SECCO
- 249. 183 BIMESTRE 3 Agora quem trabalha é você! Apresentamos a seguir um exemplo de quadro para o item b da questão 1. Parte do inteiro Fração do vitral Forma percentual parte vermelha 40 100 40% parte azul 60 100 60% vitral todo 100 100 100% Segue um exemplo de qua- dro para o item b da ques- tão 2. Parte do inteiro Fração do vitral Forma percentual parte amarela 10 100 10% parte azul 20 100 20% parte vermelha 25 100 25% vitral todo 100 100 100% Habilidades trabalhadas: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 183 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO ADILSON SECCO 1. c) resposta possível: 100 100 2 100 40 = 100 60 ou 100% 2 40% = 60% 1 Marília desenhou um vitral quadrado com 100 quadradinhos. Em seguida, pintou de azul a letra inicial do nome dela e de vermelho os quadradinhos restantes. a) Represente na forma de fração e na forma percentual a parte vermelha, a parte azul e o vitral todo. b) Construa um quadro com os resultados obtidos no item anterior. c) Represente na forma de fração e na forma percentual, com a operação que considerar conveniente, as afirmações: • Juntando a parte vermelha do vitral com a parte azul, temos o vitral todo. • Se recortarmos o fundo do vitral, ficaremos apenas com a letra M. 2 Recorte de uma folha quadriculada uma região com 100 quadradinhos para fazer um vitral com três cores: amarelo, vermelho e azul. Use a sua criatividade para dar a forma que quiser ao seu vitral. a) Represente na forma de fração e na forma percentual as partes amarela, vermelha, azul e o vitral todo. Resposta pessoal. b) Construa um quadro com os resultados obtidos no item anterior. construção do quadro resposta possível: 100 0 4 1 100 60 = 100 100 ou 40% 1 60% = 100% FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO 2 Adição e subtração com frações de denominadores diferentes Considere as situações a seguir. Situação 1 Para fazer uma vitamina, Hugo encheu 2 1 copo com suco e 3 1 de outro copo, igual ao primeiro, com iogurte. Em um terceiro copo, igual aos demais, ele despejou o suco e o iogurte dos outros dois copos. Qual é a fração que representa o total de mistura que coube no terceiro copo? A parte do terceiro copo que foi preenchida com a mistura pode ser representada por 2 1 3 1 1 . 1 2 — 1 3 — 1 3 — 1 2 — b) construção do quadro 1. a) parte vermelha: 100 40 , 40%; parte azul: 100 60 , 60%; vitral todo: 100 100 , 100%
- 250. 184 Orientações Explore cada situação com os alunos. Na situação 1, pode-se utilizar círculos de papel idênticos divididos em sextos e meios. Recortando pedaços representando um sexto, por sobreposição, os alunos podem verificar que 3 pedaços de um sexto co- brem uma metade, ou seja, 3 6 5 1 2 . Do mesmo modo, po- dem verificar que 2 pedaços de um sexto cobrem um ter- ço, ou seja, 2 6 5 1 3 . Já na situação 2, os alunos devem mobilizar conheci- mentos construídos no capí- tulo anterior e determinar frações equivalentes às fra- ções do 13o salário de Mônica com mesmo denominador. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. (EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 184 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO TEL COELHO Situação 2 Observe o que acontece se dividirmos o copo em 6 partes iguais, em que cada uma delas representará 6 1 do copo: ƒ 6 1 cabe 3 vezes em 2 1 ; então, 2 1 6 3 5 ; ƒ 6 1 cabe 2 vezes em 3 1 ; então, 3 1 6 2 5 . Repare que 2 1 e 6 3 são frações equivalentes, assim como 3 1 e 6 2 . Já sabemos que 6 3 6 2 6 5 1 5 . Logo: 2 1 3 1 6 3 6 2 6 5 1 5 1 5 Assim, 6 5 do terceiro copo foram preenchidos com a mistura. Mônica resolveu usar seu 13o salário para comprar alguns presentes de Natal. Com 5 2 do 13o salário ela comprou uma televisão, com 4 1 dele comprou um celular e com 5 1 comprou roupas. Verificou, então, que ainda lhe restavam 450 reais. Nessas condições, qual é o valor do 13o salário de Mônica? 1 3 — 1 2 — 1 6 — Inicialmente, vamos calcular a fração do 13o salário que representa o total gasto por Mônica. gasto com a televisão gasto com o celular gasto com roupas gasto total 5 2 4 1 5 1 20 8 20 5 20 4 20 17 1 1 5 1 1 5 ADILSON SECCO
- 251. 185 BIMESTRE 3 Orientações Retome os gráficos de se- tores da página 177 e peça aos alunos que criem outros questionamentos acerca des- ses gráficos envolvendo adi- ção de frações. Habilidade trabalhada: (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos am- bientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 185 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Os 450 reais que sobraram podem ser representados pela fração 20 3 , que foi obtida pela subtração 20 20 20 17 2 . Então: ƒ 20 3 do 13o salário 450 reais ƒ 20 1 do 13o salário 150 reais (450 9 3) ƒ 20 20 do 13o salário 3.000 reais (150 8 20) Portanto, Mônica recebeu 3.000 reais de 13o salário. Portanto, as espécies de répteis e de invertebrados ameaçadas de extinção representam 25 6 do total de espécies ameaçadas de extinção em 2011. 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 1 20 — 13o salário gasto com a televisão gasto com o celular gasto com roupas Agora, observe esta figura, que representa o 13o salário de Mônica. RICARDO YORIO Agora que já vimos como efetuar a adição com frações de denominadores diferentes, vamos voltar à segunda pergunta proposta na situaçãodoiníciodestecapítulo,napágina178. ƒ Do total de espécies animais ameaçadas de extinção em 2011, que fração repre- senta os répteis e os invertebrados nessa situação? Ao analisar novamente o gráfico, obtemos as seguintes informações: ƒ As espécies de répteis representam 25 1 . ƒ As espécies de invertebrados repre- sentam 5 1 . Então, para responder à questão, efetua- mos a adição: 25 1 5 1 25 1 25 5 25 6 1 5 1 5 Para adicionar ou subtrair números representados por frações de denominadores diferentes, primeiro devemos substituí-las por frações equivalentes com denominadores iguais (múltiplo dos denominadores das frações dadas). Em seguida, adicionamos ou subtraímos essas frações equivalentes. * Registros em UCs Federais. Dados obtidos em: Atlas da Fauna Brasileira Ameaçada de Extinção em Unidades de Conservação Federais. Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade (Icmbio), 2011. Disponível em: http://www.icmbio.gov.br/portal/ images/stories/documentos/Atlas-ICMBio-web.pdf. Acesso em: 07 ago. 2017. I n v ert eb rad os (aquá t ic os e t erres t res ) 1 — 5 R é p t eis 1 — 25 D istribuiç ã o por g rupos biol ó g icos das espécies da fauna ameaç adas de ex tinç ã o* ( 2 0 1 1 )
- 252. 186 Exercícios propostos No bloco de exercícios que se inicia nesta página, são trabalhadas situações va- riadas envolvendo adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 186 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO NELSON MATSUDA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 10 Considere a figura a seguir e faça o que se pede. 13 Calcule o valor das expressões. a) 4 3 3 1 6 1 1 2 12 11 c) 2 1 1 3 1 1 4 1 1 2 12 7 b) 3 2 2 1 4 1 2 1 4 3 d) 12 11 6 5 9 2 2 1 36 11 a) Determine a fração de denominador 2 que representa a parte pintada de azul. b) Determine a fração de denominador 3 que representa a parte pintada de amarelo. c) Qual é a fração que representa a parte co- lorida de azul e amarelo da figura? d) Determine a fração que representa a parte branca da figura. e) É possível responder aos itens c e d por meio de operações com frações? Justifique. 11 Reduza as frações ao mesmo denominador, faça os cálculos e dê o resultado com a fração mais simples. a) 5 2 10 3 1 10 7 c) 9 2 4 3 1 36 35 b) 3 2 6 7 1 6 11 d) 3 2 1 5 4 1 10 43 12 Determine as diferenças. a) 3 1 5 1 2 15 2 c) 3 5 2 2 5 13 b) 4 5 5 4 2 20 9 d) 3 2 1 2 4 3 2 4 3 14 Um ciclista saiu da cidade A em direção à cidade B. No primeiro dia, percorreu 2 1 da distância que separa as duas cidades e, no segundo dia, 1 3 dessa mesma distância. Agora, responda: a) Qual é a fração que representa a distância percorrida após os dois dias de viagem? b) Qual é a fração que representa a distância que falta para chegar à cidade B? 6 1 c) Sabendo que a distância que falta para che- gar à cidade B é de 60 quilômetros, qual é a distância entre essas duas cidades? 6 5 360 quilômetros 10. e) sim; resposta possível: ; 2 1 3 1 6 6 6 5 1 2 15 Em um sítio, 8 3 das terras são destinados ao plantio de milho, 5 2 , a um pasto para criação de carneiros, e a parte restante é arrendada para o plantio de cana-de-açúcar. Qual é a fração que corresponde à parte arrendada desse sítio? 40 9 TEL COELHO 2 1 3 1 6 5 6 1 Veja outros exemplos. a) 5 1 2 1 10 2 10 5 10 7 1 5 1 5 b) 9 9 8 1 2 3 16 2 16 24 16 26 16 2 26 2 8 13 1 5 1 5 5 5 c) 2 5 4 1 2 5 4 5 10 5 4 5 6 2 5 2 5 2 5 d) 9 9 1 3 2 2 1 4 3 3 5 2 1 4 3 24 40 24 12 24 18 24 46 24 2 46 2 12 23 2 1 5 2 1 5 2 1 5 5 5
- 253. 187 BIMESTRE 3 Exercícios propostos O exercício 18 também abor- da o tema das esferas gover- namentais no Brasil, agora com foco na divisão de res- ponsabilidades financeiras sobre investimentos públicos, inclusive com a possibilidade de participação do setor pri- vado. Antes de efetuar os cálculos necessários à resolução, os alunos devem ser incentiva- dos a estimar as respostas para as seguintes questões: •Quem participou com o maior financiamento da obra: ✔ o estado ou o município? ✔ o estado ou os empre- sários? ✔ o município ou os em- presários? •Faça os cálculos que consi- derar adequados para con- ferir suas estimativas. Com essa discussão inicial, eles terão mais condições de responder às questões propostas. É também um momento interessante para terem conhecimento de que muitas obras no país – concluídas, em andamento ou em planejamento – são realizadas graças às parce- rias estabelecidas entre o setor público e o setor pri- vado. Em muitos casos, a co- munidade também constitui um parceiro, tendo como responsabilidade o monito- ramento da obra e sua pos- terior manutenção e preser- vação. Nesse sentido, pode-se pro- por aos alunos uma pesquisa a respeito de obras que já foram (ou poderiam ser) rea- lizadas na comunidade local e sobre quais parceiros esti- veram (ou estariam) compro- metidos com o projeto. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 187 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DANIEL ZEPPO DANIEL ZEPPO ADILSON SECCO ADILSON SECCO DANIEL ZEPPO 16 Para calcular mentalmente 3 2 6 1 1 e 1 2 3 2 , Paula imagina “saltos” em uma reta numérica. • Para calcular 3 2 + 6 1 : 17 Daniel pensou em frações equivalentes para calcular mentalmente 1 3 2 6 1 1 e 2 3 2 6 1 2 . Veja como ele pensou. Sei que 2 3 e 4 6 são frações equivalentes. Assim, penso em uma unidade da reta numérica dividida em seis partes iguais. Na reta, localizo 4 6 . Em seguida, dou um salto de 1 6 na reta no sentido crescente, chegando a 5 6 . Sei que 1 2 3 e 1 4 6 são frações equivalentes. Então, faço 1 4 6 1 1 6 e obtenho 1 5 6 . Penso em uma unidade da reta numérica dividida em três partes iguais e observo que 1 é equivalente a 3 3 . Na reta, localizo 3 3 . Em seguida, dou um salto de 2 3 na reta no sentido decrescente, chegando a 1 3 . 0 1 1 6 + — 1 + — 1 4 6 — 5 6 — Então: 3 2 6 1 6 4 1 5 1 6 1 = 6 5 • Para calcular 1 2 3 2 : 0 1 3 3 — 2 3 – — 1 3 — Então:12 3 2 3 1 5 mais conveniente. Em seguida, faça o cálculo como Paula fez. a) 1 1 3 2 3 5 c) 5 4 10 3 2 2 1 b) 5 2 10 3 1 10 7 d) 7 2 14 3 2 14 1 Calcule mentalmente as operações com as frações abaixo. Primeiro, pense em uma fração equivalente para a fração que você considerar mais conveniente. Em seguida, faça o cálculo como Daniel fez. a) 1 3 1 6 1 1 1 2 1 c) 3 4 3 2 1 2 3 4 1 b) 2 2 1 6 2 1 2 6 5 d) 3 5 3 2 10 1 2 1 2 1 18 Leia esta notícia de jornal. 19 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre adição e subtração com fra- ções criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. Acordo entre governos e empresários Com o acordo, estrada de 36 quilômetros é asfaltada. Os governos do estado e do município arcam, respectivamente, com e 8 3 12 7 do valor da obra, enquanto empresários arcam com o restante, 60 mil reais. Agora, responda: a) Quanto custou toda a obra? 1.440.000 reais b) Qual é o preço do quilômetro asfaltado? 40.000 reais Calcule mentalmente as operações com as frações a seguir. Primeiro, pense em uma fração equivalente para a fração que você considerar Sei que 2 2 3 e 2 4 6 são frações equivalentes. Então, faço 2 4 6 2 1 6 e obtenho 2 3 6 ou 2 1 2 . LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
- 254. 188 Multiplicação Nesta página, iniciamos o estudo da multiplicação en- volvendo frações, que será feito em dois casos: •quando um dos fatores é um número natural; •quando os dois fatores são escritos na forma de fração. Analise com os alunos a si- tuação 1, em que aparece a multiplicação de um núme- ro natural por uma fração. Nesse caso, tratamos como uma adição de parcelas iguais. Por exemplo: 3 8 1 5 5 1 5 1 1 5 1 1 5 5 3 5 Assim, é possível verificar que: 3 8 1 5 5 3 1 8 1 5 5 5 3 8 1 1 8 5 5 3 5 Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um nú- mero natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 188 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO CARLA NICHIATA/SHUTTERSTOCK Dados obtidos por Denise. 3 Multiplicação Vamos estudar a multiplicação que envolve números racionais na forma de fração anali- sando situações distintas. Quando um dos fatores é um número natural Situação 1 Denise faz brigadeiros para vender. Ela anotou, em uma tabela, a produção de brigadeiros encomendados na última semana. Observe como ficou. Produção Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Total Número de brigadeiros 150 150 150 150 150 750 Fração da produção 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 5 De acordo com a tabela, em cada dia, Denise produziu 5 1 do total de brigadeiros. Vamos representar a produção dos três primeiros dias da semana de dois modos: ƒ pelo número de brigadeiros: 150 1 150 1 150 ou 3 8 150 ou 450 ƒ pela fração que representa a parte do total de brigadeiros: 5 1 de 750 1 5 1 de 750 1 5 1 de 750 ou 3 8 5 1 de 750 ou 5 3 de 750 Como podemos representar 3 pela fração 1 3 , então: 3 8 1 1 8 5 8 8 3 5 1 1 3 5 1 5 3 5 5
- 255. 189 BIMESTRE 3 Orientações Agora, analise com os alunos a situação 2. Ressalte que o cálculo de 2 5 de 4 envolve a mesma ideia de o dobro de 4, que é dado por 2 8 4, ou o triplo de 4, que é 3 8 4. Assim, 2 5 de 4 é igual a 2 5 8 4. Consi- derando que 4 5 4 1 , fazemos: 2 5 8 4 1 5 2 8 4 5 8 1 5 8 5 Nesse caso, verificamos que essa fração corresponde a um número racional maior do que 1, ou seja, pode-se expressá-la na forma mista: 8 5 5 5 5 1 3 5 5 1 1 3 5 5 13 5 Daí, temos: 2 5 de 4 5 2 5 8 4 5 5 8 5 5 13 5 , cujo significado na situação dada é 1 bandeja e 3 5 de bandeja (de beijinhos). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 189 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Da mesma maneira, podemos calcular que fração da produção total foi obtida por Denise na quinta-feira e na sexta-feira: 1 8 5 2 8 1 Situação 2 Para sua festa de aniversário, Paula encomendou 4 bandejas de doces. Ela arrumou os doces de modo que 5 2 dos doces de cada bandeja fossem beijinhos, e o restante, de brigadeiros. 5 2 dos doces de cada bandeja eram beijinhos. Se Paula resolvesse agrupar todos os beijinhos, ela usaria mais de uma bandeja, pois 5 8 1 5 3 5 . Usamos os sinais de multiplicação (3 ou 8), por exemplo, para representar expressões como o dobro de cinco (2 8 5) ou o triplo de um quinto 3 5 1 3 e o. Da mesma maneira, podemos representar por uma multiplicação uma expressão como esta: dois quintos de quatro: 2 5 8 4 Veja como efetuar esse cálculo, acompanhando a situação a seguir. DANIEL ZEPPO Observe que, de acordo com a ilustração, apenas 5 8 dos doces são beijinhos. Assim, 5 2 de 4 bandejas de doces equivalem a 5 8 de uma bandeja. Como 4 pode ser representado pela fração 1 4 , então: 5 8 1 2 8 4 8 8 5 1 5 1 2 5 1 1 2 5 1 5 2 1 5 5 5 8 8 5 2 4 5 2 1 4 5 8 5 5
- 256. 190 Exercícios propostos No exercício 23, os alunos podem, em duplas ou trios, comparar suas respostas. A ideia é identificarem os erros, fazendo comparações com o referencial 1 2 (ou metade). Su- pondo que, no item a, surjam as respostas 1 15 ou 5 3 ; os ques- tionamentos podem ser: • 1 3 de 5 deve ser maior ou menor que 1 2 de 5? (Espe- ra-se que recordem que 1 3 é menor que 1 2 ; portanto 1 3 de 5 é menor que 1 2 de 5.) •Quanto é a metade de 5? (Espera-se que respondam ser um número entre 2 e 3.) •Diante dessas relações, qual resposta é mais ade- quada: 1 15 ou 5 3 ? (Espera- -se que percebam que a fração 1 15 é absurda, pois é um número menor que 1, quando o previsto é encon- trar um valor entre 2 e 3.) Usando 1 2 como referencial, poderão descartar algumas respostas e compreender outra maneira de relacionar frações. No exercício 25, incentive os alunos a interpretarem todos os dados do gráfico para res- ponder às questões. No item d, devem criar uma tabela que comunique os dados so- licitados, com base no gráfi- co. Ela deve conter todas as informações necessárias ao entendimento, mesmo sem o contato com o gráfico que a originou. A seguir, apresentamos uma possível tabela. Comente que, adicionando os números re- ferentes a cada gênero lite- rário, devemos obter o total de adolescentes entrevistados (500), e adicionando as por- centagens referentes a cada barra devemos obter 100%. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, en- tre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 190 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DANIEL ZEPPO NELSON MATSUDA Dados obtidos pela biblioteca municipal. 22 Diariamente Mariana consome 3 1 de suco contido em uma garrafa de 1 litro. Represente por meio de uma adição e uma multiplicação a quantidade de suco que Mariana consome em uma semana. 26 Ano terrestre, em Astronomia, é o intervalo de tempo que corresponde a uma revolução completa da Terra em torno do Sol. O ano corresponde aproximadamente a 365 dias e seis horas. No comércio, para facilitar cálculos contábeis, considera-se que o ano tenha 360 dias, ou 12 meses de 30 dias cada. Construa uma tabela com três colunas. Na pri- meira, escreva os períodos: bimestre, trimestre, quadrimestre e semestre; na segunda coluna, as respectivas frações do ano comercial, em meses, relativas a esses períodos; e, na terceira, as respectivas quantidades de dias. 27 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre multiplicação com frações criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 23 Calcule. a) 3 1 de 5 3 5 d) 8 6 de 4 ( ) 8 24 3 ou b) 2 5 de 9 5 18 e) 2 1 de 90 45 c) 7 4 de 8 7 32 f) 4 1 de 100 25 24 Paulo fez uma pesquisa com 90 pessoas de seu bairro sobre a prática da coleta seletiva de lixo. Ele constatou que 3 2 dos entrevistados prati- cam esse tipo de coleta e 10 1 dos entrevistados não sabe o que isso significa. Calcule quantas dessas pessoas praticam a coleta seletiva de lixo e quantas a desconhecem. 60 pessoas praticam, e 9 a desconhecem. 25 A biblioteca municipal realizou uma pesquisa com 500 adolescentes sobre a preferência por alguns gêneros literários. A opinião dos adolescentes foi registrada no gráfico abaixo. a) De qual gênero literário os adolescentes mais gostam? de romance b) Qual é a fração que indica a preferência dos adolescentes por peça teatral? 100 23 c) Quantos adolescentes preferem peça teatral? 115 d) Construa uma tabela para indicar a prefe- rência de gênero literário e a quantidade de adolescentes correspondente. construção de tabela 21 Efetue, em seu caderno. a) 3 8 4 1 4 3 c) 5 8 10 1 10 5 2 1 ou e o b) 4 8 8 1 8 4 2 1 ou e o d) 8 8 0 1 2 20 8 5 2 ou e o FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 20 Escreva as adições na forma de multiplicação e, em seguida, dê o resultado. a) 5 3 5 3 1 ; 8 2 5 3 5 6 b) 7 2 7 2 7 2 1 1 ; 8 3 7 2 7 6 c) 5 4 5 4 5 4 5 4 1 1 1 ; 8 4 5 4 5 16 G ê neros l iterár ios preferidos P oes ia 17 P eç a t eat ral 20 40 P orcentag em (% ) G ê neros l iterá rios C on t o 25 23 R oman c e 35 22. resposta possível: 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 7 1 1 1 1 1 1 5 ; 8 7 3 1 3 7 2 3 1 ou 5 d n construção de tabela
- 257. 191 BIMESTRE 3 Exercícios propostos Gêneros literários preferidos Gênero literário Quantidade de adolescentes Poesia 85 Peça teatral 115 Conto 125 Romance 175 Dados obtidos pela biblioteca municipal. O exercício 26 pretende fa- zer os alunos identificarem as relações entre diferentes uni- dades de medida de tempo (ano, dia, mês, hora), assim como observarem que, em algumas situações, é conve- niente o uso de unidades não exatas, aproximadas. Esse trabalho leva à compre- ensão e aplicação das rela- ções entre essas unidades de tempo em situações contex- tualizadas. Por exemplo: Ano comercial Período Fração do ano Dias bimestre 1 6 60 trimestre 1 4 90 quadrimestre 1 3 120 Dados obtidos por relações entre unidades de tempo. Quando os dois fatores são escritos na forma de fração Analise a situação 1 com os alunos, reproduzindo na lousa a construção da figu- ra, passo a passo. Espera-se que eles percebam que neste caso também multiplicamos os numeradores para obter o numerador da fração que representa o produto, assim como multiplicamos os de- nominadores para obter o denominador dessa fração. Para consolidar, proponha outra multiplicação para ser representada por meio de uma figura. Por exemplo: 3 5 8 2 3 . Espera-se que obte- nham 6 15 e observem que é o mesmo produto obtido antes (a multiplicação pro- posta apenas inverteu a or- dem dos fatores). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 191 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO ROBERT BIRD/ALAMY/FOTOARENA do jardim 6 15 — ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA (canteiro das rosas) 3 5 — do jardim Jardim de Mariana (canteiro das rosas brancas) do jardim 3 5 — 2 3 — de Nesta situação, vamos aprender o que significa, por exemplo, 8 3 2 5 3 e como efetuar essa multiplicação. Mariana reservou 5 3 do jardim para plantar rosas. Quando os dois fatores são escritos na forma de fração Ela resolveu que em 3 2 desse canteiro as rosas plantadas seriam brancas. Observe que a parte do jardim ocupada pelo canteiro de rosas brancas 3 2 5 3 de e o corres- ponde a 15 6 do jardim. Então: 3 8 5 2 8 3 Situação 2 Situação 1 Rita gastou 4 1 do dinheiro que tinha e, em seguida, 3 2 do que lhe restou, ficando com 350 reais. Quanto Rita tinha inicialmente? Como ela gastou 4 1 do que tinha, restaram-lhe 4 4 4 1 2 , ou seja, 4 3 . DANIEL ZEPPO 8 3 2 5 3 3 2 5 3 15 6 de 5 5
- 258. 192 Orientações Na situação 2, além de efe- tuar a multiplicação (ainda com base em uma imagem), percebe-se que estão envol- vidas outras operações de frações, no caso adição e subtração, além do cálculo de fração de um valor. Se julgar necessário, pro- ponha outras situações que envolvam esse tipo de mul- tiplicação para os alunos representarem o cálculo por meio de imagens. Ao propor os outros exem- plos apresentados nesta pá- gina, verifique se os alunos compreendem que o pro- cesso é o mesmo para mul- tiplicações de mais de dois fatores. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um nú- mero natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 192 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DANIEL ZEPPO Em seguida, Rita gastou 3 2 do que lhe restou, ou seja, 3 2 4 3 de , que podemos calcular da seguinte forma: Agora, observe os gastos de Rita: 4 1 2 1 e do que tinha no início Então, ela gastou 4 1 2 1 1 e o do que tinha inicialmente, ou seja, 4 3 do que tinha. Dessa forma, podemos concluir que os 350 reais que sobraram correspondem a 4 1 do dinheiro que Rita tinha inicialmente 4 4 4 3 4 1 2 5 e o. Assim: 4 1 do que tinha 350 reais 4 4 do que tinha 1.400 reais (350 8 4) Portanto, Rita tinha inicialmente 1.400 reais. de 2 3 — 3 4 — MÁRIO MATSUDA O produto de números racionais escritos na forma de fração pode ser representado por uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores. Veja mais alguns exemplos. 8 3 2 4 3 3 2 4 3 12 6 2 1 de 5 5 5 produto dos denominadores produto dos numeradores a) 8 8 6 3 2 1 6 3 2 3 12 4 5 5 5 produto dos denominadores produto dos numeradores b) 8 4 3 9 5 36 15 12 5 5 5 produto dos denominadores produto dos numeradores c) 8 8 7 3 5 2 3 1 105 6 35 2 5 5
- 259. 193 BIMESTRE 3 Exercícios propostos Neste bloco de exercícios, os alunos podem aplicar e ampliar seus conhecimentos sobre multiplicação de nú- meros racionais na forma de fração. No exercício 28, verifique como eles procedem, em especial no item d, que en- volve números na forma mista. Espera-se que os alu- nos percebam que devem expressar cada número na forma de fração para depois efetuar o produto. Se neces- sário, intervenha com ques- tionamentos que os levem a refletir sobre suas escolhas e possam modificá-las, op- tando por estratégias mais adequadas. Se considerar apropriado, ao longo da resolução do exercício 31, proponha ou- tras questões como: •A quem cabia a maior par- te do chocolate? •Quem comeu mais do cho- colate? •Sobrou mais ou menos da metade do chocolate? Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 193 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 28 Em seu caderno, calcule cada produto abaixo, simplificando quando possível. a) 8 20 9 6 5 8 3 b) 8 8 3 3 5 8 5 c) 8 8 3 5 2 3 1 5 2 d) 8 2 3 1 3 5 2 15 119 e) 8 8 2 1 11 2 7 3 77 3 f) 8 8 5 4 0 4 5 0 g) 8 15 6 2 5 1 h) 8 3 7 7 3 1 29 Para a festa de aniversário de seu filho, Cauê estimou que 60 copos de refrigerante seriam suficientes. Ele sabe que em cada copo cabe 5 1 do refrigerante de um litro. Quantos litros Cauê deve comprar? 12 litros 30 Sabendo que, com um trator, Lúcio ara 20 3 de um terreno em um dia, responda: a) De segunda-feira a sábado, que parte do terreno Lúcio consegue arar? 10 9 b) Considerando que no domingo ele descan- se, quanto faltará arar na semana seguinte? c) Ele conseguirá terminar na segunda-feira? Justifique sua resposta. 10 1 31 Em casa, a regra é dividir tudo em partes iguais para as 6 pessoas da família. De uma barra de chocolate, comi metade do que cabia a mim, e meus pais comeram cada um a sua parte. 32 Reúna-se com um colega e façam o que se pede. a) Calculem 3 2 de 5 4 e 5 2 de 3 4 . Entre os dois produtos, qual é o maior? b) Calculem 7 3 de 11 2 e 7 2 de 11 3 . Entre os dois produtos, qual é o menor? c) Escolham dois números racionais escritos na forma de fração e multipliquem esses nú- meros. Em seguida, troquem entre si apenas os numeradores dessas frações e multipli- quem os novos números racionais. Qual dos produtos obtidos é maior? São iguais. d) Dos números escolhidos no item c, troquem entre si apenas os denominadores das frações e multipliquem os novos números racionais. O produto destes é igual ao pro- duto daqueles? sim e) Escrevam uma conclusão a respeito dos resultados obtidos nos itens anteriores. 33 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre multiplicação com frações criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. JOSÉ LUÍS JUHAS ENÁGIO COELHO ENÁGIO COELHO 32. e) Espera-se que os alunos concluam que, na multiplicação de dois números racionais escritos na forma de fração, o produto se mantém quando trocamos entre si os numeradores ou os denominadores. 30. c) Sim, pois: 10 1 20 2 20 2 20 3 e 5 , . Responda às perguntas com uma fração. a) Quanto meus pais comeram juntos? 3 1 b) Quanto eu comi? 12 1 c) Quanto sobrou? 12 7 São iguais. ; . 15 8 15 8 São iguais. ; . 77 6 77 6
- 260. 194 Pense mais um pouco... Nesta seção, é adequado recomendar que os alunos usem uma calculadora, que pode auxiliar nas tentativas. Ou seja, dessa forma, eles poderão investigar outras possibilidades de simplifica- ção das frações. Proponha que, em duplas, criem outras expressões en- volvendo frações que pos- sam ser simplificadas, tro- quem as expressões entre si e, usando a calculadora, efe- tuem a simplificação. Atenção: esse tipo de tarefa é importante pois, ao criar uma expressão passível de simplificação, os alunos de- monstram ter compreendido a ideia. Mesmo se não rea- lizarem a tarefa com êxito, ainda assim será um exercí- cio importante, que permite verificar o ponto em que a construção está sendo falha, oferecendo indícios da in- tervenção necessária. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um nú- mero natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representa- ção fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 194 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Pense mais um pouco... Junte-se a um colega e façam o que se pede. 1. Efetuem as multiplicações das fichas e comparem os resultados. a) 8 8 8 8 4 3 3 5 3 3 4 5 1 1 4 5 4 1 1 5 São iguais a 4 5 . b) 8 8 8 8 3 8 4 5 4 8 3 5 1 2 3 5 3 2 1 5 São iguais a 3 10 . c) 8 8 8 8 8 8 8 8 3 5 5 2 2 7 5 5 2 2 3 7 1 1 1 1 3 7 3 1 1 1 1 7 2. A professora pediu aos alunos que calculassem o valor da expressão 8 8 3 55 5 13 26 7 . ƒ Fábio multiplicou todos os numeradores e, depois, todos os denominadores. Em seguida, simplificou o resultado dividindo o numerador e o denominador por 5 e então por 13. . . 8 8 8 8 8 8 3 55 5 13 26 7 3 5 26 55 13 7 390 5 005 78 1 001 6 77 5 5 5 5 ƒ Débora, antes de multiplicar, dividiu por 5 o numerador 55 e o denominador 5, dividiu por 13 o numerador 13 e o denominador 26 (ela registrou esse procedimento com traços sobre os números divididos). Em seguida, multiplicou todos os novos numeradores e todos os novos denominadores: 8 8 8 8 8 8 3 55 5 13 26 7 3 55 5 13 26 7 3 11 1 1 2 7 6 77 5 5 5 11 1 1 2 Discutam e respondam: qual é o procedimento mais prático, o de Fábio ou o de Débora? 3. Calculem, pelo procedimento de Débora, o valor da expressão: 8 8 9 4 15 21 16 10 4. Calculem, da maneira que acharem mais prática, os produtos a seguir. a) 8 8 3 3 8 1 b) 8 9 1 9 1 c) 8 6 7 7 6 1 d) 8 12 12 1 1 São iguais a 3 7 . 18 7 Espera-se que os alunos respondam que o mais prático é o procedimento de Débora. Quando os números racionais são inversos Observe as frações a seguir. ƒ 5 2 2 5 e ƒ 3 1 3 e ƒ 7 4 4 7 e ƒ 8 8 1 e Uma fração tem como numerador o denominador da outra e como denominador o nume- rador da outra. Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, dizemos que um desses números é o inverso do outro. Esses números são chamados de números inversos. DANIEL ZEPPO
- 261. 195 BIMESTRE 3 Orientações O trabalho com números racionais inversos, iniciado na página anterior, prepara os alunos para compreende- rem cálculos de divisão en- volvendo números racionais na forma de fração. Proponha um ditado de in- versos, no qual os alunos devem registrar o inverso do número falado, ou um jogo da memória, em que os pa- res de cartas são feitos com números inversos. Trabalhe também com a no- ção de “inverso do inverso”. Uma atividade que pode ser feita nesse sentido é pedir a um aluno que diga um nú- mero racional (natural não nulo ou expresso na forma de fração) e, em seguida, o próximo aluno diz o inver- so do número que o colega falou, e assim por diante, cada aluno diz o inverso do que o anterior falou. Desse modo, os alunos perceberão que ficaram repetindo os dois números falados pelos dois primeiros alunos, alter- nadamente. Por exemplo, se o primeiro diz 1 2 , o próximo diz 2 (inverso de meio), o terceiro aluno diz 1 2 (inverso de 2), o quarto diz 2 (inverso de meio), e assim por dian- te, alternadamente. Divisão Ainda nesta página, inicia- mos o estudo da divisão en- volvendo números expressos na forma de fração, que será feito em três casos: •quando o divisor é um nú- mero natural (não nulo); •quando o dividendo é um número natural; •quando a divisão envolve números racionais na for- ma de fração. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 195 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Exemplos: ƒ o inverso de 5 2 é 2 5 , pois o produto deles é 1; ƒ o inverso de 3 1 é 3 , pois o produto deles é 1; ƒ o inverso de 7 4 é 4 7 , pois o produto deles é 1; ƒ o inverso de 8 é 8 1 , pois o produto deles é 1. Veja mais um exemplo. Vamos encontrar o inverso de 2 3 1 . Para isso, representaremos esse número na forma de fração: 2 3 1 2 3 1 3 6 3 1 3 7 5 1 5 1 5 Como 2 3 1 3 7 e são representações do mesmo número, o inverso de 2 3 1 é igual ao inverso de 3 7 , que é 7 3 . Portanto, o número 7 3 é o inverso de 2 3 1 . Veja que o produto entre eles é 1. 8 8 2 3 1 7 3 3 7 7 3 21 21 1 5 5 5 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 34 Determine o inverso de: a) 5 3 3 5 b) 4 1 4 c) 5 6 6 5 d) 5 5 1 e) 3 5 1 16 5 f) 5 3 1 16 3 35 Responda às questões. a) Qual é o inverso do número 1? 1 b) Que número se obtém quando se escreve o inverso do inverso de um número racional não nulo? Obtém-se o próprio número. 4 Divisão Assim como na multiplicação, vamos estudar a divisão envolvendo números racionais na forma de fração e analisando diferentes situações. Quando o divisor é um número natural Pedro preparou uma forma de doce de goiaba caseiro e o dividiu em 8 partes iguais. Ele deu a seu filho Artur uma dessas partes, isto é, 1 8 do doce. Artur, por sua vez, dividiu o que recebeu em 2 pedaços iguais e os embrulhou em papel-alumínio. Vamos determinar a fração que representa cada pedaço do doce embrulhado por Artur. Observação O número zero não tem inverso.
- 262. 196 Orientações Analise com os alunos a si- tuação do doce de goiaba. Espera-se que compreendam o significado de “obter uma parte de outra” e o uso do número inverso. Exercícios propostos Proponha as questões des- te bloco de exercícios, que podem ser realizadas em duplas para que os alunos exponham como pensam e comparem procedimentos, o que ampliará seu grau de entendimento do assunto e os auxiliará na correção e adequação das estratégias utilizadas. Para o exercício 37, apre- sentamos uma possível re- solução. a) 1 4 9 3 5 1 12 1 4 b) 2 5 9 5 5 2 25 2 5 c) 1 2 9 4 5 1 8 1 2 d) 3 8 9 2 5 3 16 3 8 O exercício 38 é uma opor- tunidade para os alunos elaborarem e validarem hi- póteses a respeito de divi- são de uma fração por um número natural (não nulo). O desenho pode ser comple- mentado pelo cálculo escri- to e vice-versa. ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fra- ção de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. 1 8 — do doce de goiaba pedaços iguais Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 196 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO A parte clara da figura ao lado indica a quantidade do doce que Artur recebeu, isto é, 8 1 . A figura ao lado mostra cada uma das oito partes do doce de Pe- dro divididas em 2 pedaços iguais. Cada pedaço representa 16 1 do doce e foi obtido pela seguinte operação: 9 8 1 2 16 1 5 Vamos considerar a expressão 1 2 8 e, em seguida, proceder como se ela fosse uma fração e considerar válidas estas igualdades: 8 8 9 9 2 8 1 2 2 1 8 1 2 1 2 2 16 1 16 1 2 2 16 1 1 16 1 5 5 5 5 5 Dividir um número na forma de fração por um número natural é equivalente a obter uma parte de outra parte: 9 8 8 1 2 2 1 8 1 2 1 8 1 16 1 de 5 5 5 Note que esse quociente também pode ser obtido multiplicando-se 8 1 pelo inverso de 2: 9 8 8 1 2 8 1 2 1 16 1 5 5 Nesse exemplo, usamos a divisão para repartir 8 1 de um inteiro (o doce todo) em duas partes iguais. NELSON MATSUDA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 36 Qual é a divisão que a figura ao lado nos sugere? Qual é o resultado dessa divisão? 37 Efetue cada divisão, fazendo uma figura cor- respondente. construção de figura a) 9 4 1 3 c) 9 2 1 4 b) 9 5 2 5 d) 9 8 3 2 38 Isabel dividiu sua horta retangular em 3 can- teiros iguais. Em um desses canteiros, plantou couve em uma metade e, na outra, espinafre. Agora, responda: a) Que fração pode representar a parte da horta onde foram plantadas as verduras? b) Represente por meio de uma figura e com uma fração a parte da horta onde foi plan- tado espinafre. c) Represente por meio de uma divisão a parte da horta onde foi plantada couve. ; 9 3 2 4 12 2 6 1 ou e o 12 1 25 2 8 1 16 3 3 1 9 3 1 2 6 1 5 6 1
- 263. 197 BIMESTRE 3 Quando o dividendo é um número natural A situação proposta envol- ve a divisão de um número natural por um número ra- cional (não nulo) na forma de fração. A ideia aqui é determinar quantas vezes o divisor cabe no dividendo (significado de medida da di- visão). Verifique se os alunos compreendem a afirmação: “cada representa o con- teúdo de 1 2 garrafa”. Se julgar necessário, desta- que isso na figura que re- laciona as quantidades de litros: correspondem a 1 garrafa, então cor- responde a meia garrafa. Exercícios propostos Uma possível resolução para o exercício 40 é apresentada abaixo. a) 3 9 3 4 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 b) 4 9 4 5 5 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 c) 1 9 1 9 5 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 d) 1 9 1 3 5 3 1 3 1 3 1 3 e) 6 9 3 4 5 8 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 f) 8 9 4 5 5 10 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 ILUSTRAÇÕES: FERNANDO JOSÉ FERREIRA Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 197 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Quando o dividendo é um número natural André precisa encher com suco 4 vasilhames, de 1 litro cada um, usando garrafas em que cabem 3 2 de litro. Para isso, quantas garrafas ele usará? Nesta situação vamos calcular quantas vezes uma parte cabe em mais de um inteiro. Para resolver o problema de André, vamos representar cada recipiente por uma figura retangular. 2 3 — 1 litro 1 litro 1 litro 1 litro 2 3 — 2 3 — 2 3 — 2 3 — 2 3 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — DANIEL ZEPPO ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA Cada 3 2 de litro representa o conteúdo de uma garrafa de suco, e cada representa o conteúdo de 2 1 garrafa. Logo, 4 litros equivalem a 2 12 de garrafa, isto é, a 6 garrafas. Vemos nas figuras que 3 2 de litro cabem 6 vezes em 4 recipientes, ou seja, 9 4 3 2 6 5 . Logo, André precisa despejar 6 garrafas cheias de suco para encher 4 recipientes vazios. Como no exemplo da divisão do doce de goiaba de Pedro, esse quociente pode ser obtido multiplicando 4 pelo inverso de 3 2 : 9 8 8 4 3 2 4 2 3 1 4 2 3 2 12 6 5 5 5 5 Note que em 3 litros cabem 2 9 de garrafa, isto é, 9 3 3 2 2 9 5 . Esse quociente também pode ser obtido por: 9 8 8 3 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 9 5 5 5 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39 A figura abaixo sugere uma divisão. 40 Efetue cada divisão, fazendo uma figura cor- respondente. construção de figura a) 3 4 3 9 4 d) 9 1 3 1 3 b) 9 4 5 4 5 e) 9 6 4 3 8 c) 9 1 9 1 9 f) 9 8 5 4 10 a) Qual das seguintes divisões a figura pode representar: , 9 9 9 3 4 4 3 1 3 4 1 ou ? 9 3 4 1 b) Qual é o resultado dessa divisão? 12
- 264. 198 Quando a divisão envolve números racionais na forma de fração Analise com os alunos a si- tuação desta página, que apresenta uma divisão en- volvendo dois números ra- cionais na forma de fração. O uso de figuras represen- tando o processo dá signi- ficado para a operação que está sendo realizada. Repro- duza os desenhos na lousa, mostrando as frações envol- vidas em cada etapa. A ideia é a de quantas vezes cabe uma fração na outra. Se julgar necessário, pro- ponha outros exemplos na lousa para os alunos repre- sentarem com imagem ou já efetuarem diretamente a divisão. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fra- ção de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 198 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO As figuras mostram que 6 1 cabe 4 vezes em 3 2 , ou seja, 9 3 2 6 1 4 5 . Assim como nos exemplos anteriores, obtemos esse quociente multiplicando 3 2 pelo in- verso de 6 1 : 9 8 3 2 6 1 3 2 1 6 3 12 4 5 5 5 Veja outro exemplo. Vamos dividir 2 3 por 4 3 , isto é, vamos calcular quantas vezes 4 3 cabem em 2 3 . Veja mais alguns exemplos. a) 9 8 3 4 1 2 3 4 2 1 6 4 3 2 5 5 5 c) 9 8 4 3 5 2 4 3 2 5 8 15 5 5 b) 9 8 1 10 9 3 1 10 3 9 3 90 30 5 5 5 d) 9 8 1 3 2 3 5 3 5 5 3 1 5 5 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA A parte hachurada representa a fração 1 6 . A parte verde representa a fração 2 3 . Quando a divisão envolve números racionais na forma de fração Nos exemplos anteriores, estudamos a divisão envolvendo números racionais na forma de fração e números naturais. Agora, vamos estudar a divisão entre dois números escritos na forma de fração. Vamos dividir 3 2 por 6 1 com o auxílio de figuras. Para isso, verificamos quantas vezes 6 1 cabe em 3 2 . A parte hachurada representa a fração 3 4 . A parte laranja representa a fração 3 2 . 4 3 4 3 As figuras mostram que 4 3 cabem 2 vezes em 2 3 , ou seja, 9 2 3 4 3 2 5 . Também obtemos esse quociente multiplicando 2 3 pelo inverso de 4 3 : 9 8 2 3 4 3 2 3 3 4 6 12 2 5 5 5 O quociente de um número escrito na forma de fração por outro diferente de zero é obtido multiplicando-se o primeiro pelo inverso do segundo.
- 265. 199 BIMESTRE 3 Exercícios propostos No exercício 42, é possível investigar ainda mais o nível de conhecimento dos alu- nos. Uma alternativa para isso é alterar alguns dados numéricos e solicitar que analisem e comparem com a resposta encontrada para o problema original. No exercício 45, segue uma possível resolução. Como a entrada foi de 2 5 do valor do tablet, falta pagar 3 5 desse valor. Esse restante será repartido em 6 presta- ções iguais. Desse modo, o valor de cada prestação é dado pela divisão 3 5 9 6. Efe- tuando essa divisão, temos: 3 5 9 6 5 3 5 8 1 6 5 1 5 8 1 2 5 1 10 Logo, a fração correspon- dente ao valor de cada pres- tação é 1 10 . O exercício 47 pode ser feito em duplas, de modo que os alunos discutam os procedi- mentos apresentados para efetuar as operações com o uso da reta numérica. Acom- panhe as discussões das du- plas e faça as intervenções necessárias para facilitar a compreensão do procedi- mento. Antes de os alunos efetuarem os itens propostos nessa questão, peça a alguns deles, de duplas diferentes, que expliquem cada proce- dimento mostrado por Tom, certificando-se de que houve compreensão da turma. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 199 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DANIEL ZEPPO DANIEL ZEPPO Calcule mentalmente as operações abaixo. a) 3 8 5 2 5 6 c) 5 8 8 1 8 5 e) 2 9 3 1 6 b) 2 8 7 2 7 4 d) 3 9 5 1 15 f) 3 2 9 4 6 1 ADILSON SECCO ADILSON SECCO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 41 Efetue as divisões indicadas, simplificando quando possível. a) 9 8 5 6 7 28 15 d) 9 3 2 1 7 2 1 b) 9 5 9 2 3 5 6 e) 9 2 3 2 1 7 4 c) 9 8 1 2 1 4 1 f) 9 0 3 9 1 0 42 Para fazer um trabalho, dividiu-se um fio de cobre em 3 partes iguais. Cada uma dessas partes foi dividida ao meio e, depois, cada uma dessas partes foi dividida em 4 partes iguais. Qual é a fração do fio que cada uma das partes menores representa? 24 1 44 Osvaldo resolveu repartir um sítio. Ele ficou com 3 1 das terras e dividiu igualmente a outra parte entre seus quatro filhos. Represente com uma fração a parte do sítio que cada filho de Osvaldo recebeu. 6 1 45 Para comprar um tablet, dei de entrada 5 2 do valor e dividi o restante em 6 prestações iguais. Represente com uma fração a parte do valor do tablet que deverei pagar em cada prestação. 46 No preparo de um creme de baunilha para 4 pessoas, são necessários os seguintes ingre- dientes: • 4 3 de litro de leite; 8 3 • 2 colheres das de sopa de açúcar; 1 • 2 3 colheres das de sopa de amido de milho; • 2 gemas; 1 • 3 1 de colher das de sopa de baunilha. 6 1 Faça a adaptação dessa receita para 2 pessoas. 43 Qual é o número que multiplicado por 3 7 dá 5 2 ? 47 Para calcular mentalmente 8 2 4 3 e 9 2 4 1 , Tom imagina “saltos” em uma reta numérica. 35 6 10 1 4 3 Sei que 2 8 3 4 é o mesmo que 3 4 1 3 4 . Então, penso em duas unidades da reta numérica dividida em oito partes iguais. Na reta, localizo 3 4 e dou um salto de 3 4 no sentido crescente, chegando a 6 4 , que também pode ser escrito como 1 2 4 . Penso em duas unidades da reta numérica dividida em quartos. Na reta, dou saltos de 1 4 no sentido crescente, até chegar ao 2. Verifico que 1 4 cabe 8 vezes em 2. Portanto, 2 9 1 4 = 8. 0 2 1 2 4 1 — 3 4 — 3 4 — • Para 2 9 4 1 . 48 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisão com frações criado por vocês. Depois de cada um resolver o pro- blema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. • Para calcular 8 2 4 3 . 0 2 1 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 — 1 4 —
- 266. 200 Potenciação Providencie antecipada- mente o material necessário para os alunos realizarem a experiência proposta na introdução do estudo da potenciação, em que a base é um número racional na forma de fração e o expoen- te é um número natural. A cada etapa da experiência, reproduza na lousa a figura representativa. Atenção: peça aos alunos que façam a experiência in- dividualmente, mas acom- panhando um colega. Desse modo, se um deles se per- der, o outro pode ajudar. Quando necessário, no caso de dificuldade dos dois alu- nos da dupla, retome eta- pas anteriores que já com- preenderam. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 200 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA 5 Potenciação Já aprendemos a calcular potências de números naturais. Agora, vamos calcular potências de números racionais escritos na forma de fração. Acompanhe a experiência a seguir. ƒ Dobramos uma folha de papel sulfite, como mostra a figura abaixo. Desdobramos e pin- tamos de amarelo a metade da folha 2 1 e o. 2 1 ƒ Dobramos novamente e, sobre a 1a dobra, dobramos outra vez, na metade. Desdobramos toda a folha e hachuramos de verde metade da metade da folha. ƒ Dobramos tudo novamente e, sobre a 2a dobra, dobramos outra vez, na metade. Desdo- bramos e hachuramos de vermelho a metade da metade da metade da folha. 2 1 de 2 1 4 1 2 1 de 2 1 de 2 1 8 1 Sabemos que: ƒ 2 1 de 2 1 da folha é 8 2 1 2 1 e o da folha 4 1 5 da folha (hachurado de verde). ƒ 2 1 de 2 1 de 2 1 da folha é 8 8 2 1 2 1 2 1 e o da folha 5 8 1 da folha (hachurado de vermelho). Quando dobramos a folha 5 vezes, a parte pintada de roxo corresponde a: 8 8 8 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 e o da folha, que é igual a 32 1 da folha. 32 1
- 267. 201 BIMESTRE 3 Orientações Procedendo de maneira si- milar ao que foi feito para as potências de base natu- ral, identifique os termos envolvidos na potenciação e faça a leitura de modo a evitar confusões. Solicite aos alunos que também leiam dessa maneira, por exemplo: • 1 10 2 indica 2 fatores iguais a 1 10 (não 2 vezes um décimo); • 1 10 5 indica 5 fatores iguais a 1 10 (não 5 vezes um dé- cimo). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 201 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 2 1 32 1 5 5 e o expoente potência base Na prática, para obter o resultado de 2 1 5 e o , elevamos os dois termos da fração ao expoente 5. 8 8 8 8 8 8 8 8 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 32 1 5 5 5 5 5 5 e o Veja outros exemplos. a) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 81 16 5 5 5 5 4 4 4 e o b) 5 4 5 4 125 64 5 5 3 3 3 d n Podemos abreviar a escrita dessas multiplicações indicando o número de fatores por meio de um expoente (de modo semelhante ao que estudamos com números naturais). ƒ 8 2 1 2 1 2 1 4 1 5 5 2 e o indica o número de fatores 2 fatores ƒ 8 8 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 5 5 3 e o indica o número de fatores 3 fatores ƒ 8 8 8 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 32 1 5 5 5 e o indica o número de fatores 5 fatores Ao efetuar uma multiplicação de fatores iguais, estamos realizando uma potenciação. Observação As definições adotadas para as potências de números naturais com expoente 1 e expoente 0 são válidas também para os números racionais representados na forma de fração, ou seja: • toda potência de expoente 1 é igual à própria base; • toda potência de expoente 0 e base diferente de 0 é igual a 1. Exemplos: a) 9 2 9 2 5 1 e o b) 7 3 7 3 5 1 e o c) 9 2 1 5 0 e o d) 7 3 1 5 0 e o
- 268. 202 Exercícios propostos Para facilitar a resolução do exercício 50, sugira a cons- trução de um quadro com os vinte primeiros quadrados perfeitos, escritos em forma de potência e com o respec- tivo resultado, para consul- tarem sempre que necessá- rio. O quadro seria similar a este: 22 5 4 52 5 25 … 152 5 225 32 5 9 62 5 36 … 162 5 256 Pense mais um pouco... Nesta seção, verifique se, para avaliar o item c, os alu- nos utilizam os resultados anteriores ou se efetuam o cálculo novamente. Ressalte esse fato na correção. Discuta com os alunos sobre a afirmação falsa do item d, um erro muito comum que pode ser cometido por eles. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou sub- tração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 202 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 49 Calcule no caderno. a) 3 5 2 e o 9 25 c) 5 1 2 e o 25 1 e) 2 5 0 e o 1 b) 5 7 3 e o 125 343 d) 4 3 3 e o 64 27 f) 3 2 1 1 e o 3 2 1 50 Escreva os números racionais como potência de número na forma de fração. a) 9 4 3 2 2 e o c) 36 25 6 5 2 e o e) 16 81 b) 25 1 5 1 2 e o d) 100 49 10 7 2 e o f) 121 64 11 8 2 e o ENAGIO COELHO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... Efetue os cálculos indicados e classifique cada sentença em verdadeira ou falsa. a) 8 8 8 8 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 64 1 5 5 5 2 3 2 2 2 e e e e o o o o H verdadeira b) 8 8 2 1 2 1 2 1 8 1 8 1 64 1 5 5 5 3 2 3 3 e e e o o o H verdadeira c) 2 1 2 1 5 2 3 3 2 e e o o H H verdadeira d) 2 1 2 1 2 1 5 1 2 3 2 3 1 e e e o o o falsa e) 2 1 2 1 5 8 2 3 2 3 e e o o H verdadeira 6 Expressões numéricas Acompanhe a situação a seguir. JOSÉ LUÍS JUHAS Márcia é costureira e fará 3 vesti- dos iguais para uma apresentação. Em cada traje, Márcia utiliza 4 1 de um corte de seda para fazer a saia e 8 1 de um corte de veludo para fazer o corpete. Esses cortes têm todos o mesmo comprimento e o mesmo preço. Para saber quantos cortes de tecido vai usar para fazer os 3 trajes, Márcia escreveu: e) 4 9 2 3 ou 2 4 e e o o quantos cortes vou gastar 3 8 4 1 8 1 1 e o cortes
- 269. 203 BIMESTRE 3 Orientações A ampliação de expressões numéricas envolvendo nú- meros racionais na forma de fração promove que os alunos revisitem os conhe- cimentos já construídos com as operações de números naturais. Atenção: este é um bom momento para verificar se eles incorporaram a ordem na qual as operações devem ser realizadas e o uso dos si- nais de associação. Analise com eles a situação propos- ta. Ressalte que as potências devem ser feitas em primeiro lugar, em relação às demais operações, e relembre-os da simplificação possível na multiplicação de números racionais na forma de fração. Exercícios propostos Discuta os exemplos e pro- ponha os exercícios deste bloco, que retomam as ope- rações estudadas envolven- do números racionais na forma de fração em situa- ções variadas. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 203 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Veja quantos cortes Márcia vai gastar. 8 8 8 3 4 1 8 1 3 8 2 8 1 3 8 3 8 9 1 8 1 1 5 1 5 5 5 e e o o Ou seja, 1 corte e mais 8 1 de corte entre veludo e seda. A expressão 8 3 4 1 8 1 1 e o serve para descrever a quantidade de cortes, entre os de velu- do e os de seda, que Márcia utilizará em seu trabalho. Cada termo dessa expressão tem um significado, veja: Já vimos que as operações em uma expressão numérica são resolvidas na seguinte ordem: ƒ as potenciações e as radiciações na ordem em que aparecem; ƒ as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem; ƒ as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. Quando a expressão numérica tiver sinais de associação (parênteses, colchetes e cha- ves), eles devem ser eliminados na seguinte ordem: resolvem-se primeiro as operações entre parênteses, depois as operações entre colchetes e, finalmente, as operações entre chaves. Acompanhe o cálculo de algumas expressões. número de trajes Os parênteses indicam que, inicialmente, Márcia vai adicionar as partes dos cortes de tecido. parte de um corte de seda utilizada na saia de um traje parte de um corte de veludo utilizada no corpete de um traje 8 3 4 1 8 1 1 e o a) 8 9 8 8 6 5 3 2 2 1 3 1 3 4 6 5 3 2 2 1 3 1 4 3 2 1 5 2 1 5 1 1 1 1 6 5 3 1 4 1 12 10 12 4 1 3 12 9 4 3 2 5 1 5 2 1 5 5 2 c) 8 9 8 9 5 2 2 4 3 2 1 5 2 4 8 4 3 4 1 2 5 2 5 2 e e e e o o o o H H b) 9 9 9 8 4 3 2 1 2 4 1 4 3 4 2 4 8 4 1 4 5 4 7 4 5 7 4 7 5 1 2 5 1 2 5 5 5 e e e e o o o o 1 1 8 9 9 8 5 2 4 5 4 1 2 1 4 1 2 1 1 4 1 2 2 5 5 5 5 5 = G 1 1 1 1 2 2 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 51 Calcule o valor de cada expressão. a) 8 2 2 1 1 5 2 2 2 2 e e o o 20 27 c) 8 1 7 3 80 49 1 2 e o 4 5 b) 9 4 3 2 1 1 2 1 4 3 2 1 e e o o 3 5 d) 8 9 5 2 2 1 9 2 3 1 5 7 1 1 2 e e o o H 9 2
- 270. 204 Exercícios propostos No exercício 52, os alunos deverão empregar as ope- rações aritméticas e as pro- priedades já desenvolvidas ao longo do capítulo. Dessa forma, perceberão quais operações e em que ordem resolverão o problema. O exercício 53 é uma opor- tunidade interessante para discutir o uso de esquemas e a necessidade de sua correta interpretação para chegar a resultados. Nessa atividade, os alunos não chegarão à resposta correta se não ti- verem clareza do percurso a seguir ou da ordem em que os comandos deverão ser cumpridos. Caso obser- ve que muitos alunos estão encontrando resultados in- corretos, peça a eles que se juntem a um colega e tro- quem ideias para identificar o ponto de divergência. Veja a seguir uma possível re- solução para o exercício 55. Ficha 1 5 8 2 11 2 8 1 5 5 5 8 2 3 2 8 1 5 5 5 5 8 2 3 10 5 25 40 2 12 40 5 13 40 Ficha 2 2 3 1 1 8 3 4 1 2 8 5 6 5 5 12 Ficha 3 1 2 8 4 5 5 4 10 5 2 5 Ficha 4 5 6 9 2 5 5 6 8 1 2 5 5 12 As fichas 2 e 4 podem for- mar um par. Habilidade trabalhada: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racio- nais positivos na representação fracionária. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 204 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 56 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre expressões com frações cria- do por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 54 Determine quanto vale x em cada caso. a) 6 1 1 6 5 x e o 1 b) x 3 216 27 5 3 e o 6 c) 5 7 1 5 x e o 0 d) x 5 25 9 5 2 e o 3 Quantos litros de laranjada posso obter se despejar 3 copos cheios de suco de laranja, com 4 1 de litro cada um, em uma jarra que já contém 2 1 litro de água? 8 3 4 1 2 1 1 55 A professora de Matemática distribuiu a cada aluno de sua classe uma ficha contendo uma expressão ou um problema com números ra- cionais representados na forma de fração. De- pois de resolver a questão, cada aluno deveria procurar seu par, ou seja, encontrar um colega que tivesse uma resposta idêntica à dele. Veja a seguir alguns modelos de ficha que a professora distribuiu. Resolva as questões e descubra quais fichas poderiam formar pares. Ficha 4 Se a parte pintada da figura for dividida por 2, que fração representará o resultado dessa divisão? Ficha 1 Resolva a expressão 8 8 5 1 2 1 5 1 2 . Ficha 3 Adriana depositou metade dos 5 4 de seu salário em uma caderneta de poupança. Que fração de seu salário ela depositou? DANIEL ZEPPO Ficha 2 Calcule 3 2 4 3 6 5 de de . ILUSTRAÇÕES: DANIEL ZEPPO 53 Determine o valor de A no esquema abaixo. 52 Escreva uma expressão numérica que repre- sente o número de litros procurado na situação a seguir. Formaram um par as fichas 2 e 4. 1 5 7 7 4 2 3 elev e ao ex p oen t e z ero mult ip lique c alc ule o c ub o ad ic ion e A 4 5 4 9 A 64 729 5 40 13 12 5 5 2 12 5 LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
- 271. 205 BIMESTRE 3 Trabalhando a informação O tema desta seção ficou, por muito tempo, restrito ao Ensino Médio. Estudos atuais na área de Educa- ção Matemática e a BNCC possibilitaram trazer esse conhecimento para o Ensi- no Fundamental, cuidando para que a abordagem seja integrada ao corpo de estu- do e significativa aos alunos dessa faixa etária. A questão 3 do Agora quem trabalha é você! permite avaliar a compreensão dos alunos em relação ao tema, solicitando a eles que, antes de realizar o cálculo, res- pondam: •Essa probabilidade está mais próxima de qual das seguintes porcentagens: 30%, 40%, 50% ou 60%? Espera-se que eles excluam as porcentagens 50% e 60%, pois é possível saber, pelo enunciado, que menos da metade do total das bolinhas é verde. Habilidades trabalhadas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. (EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 205 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO ILUSTRAÇÕES: DANIEL ZEPPO Calculando probabilidades Gabriela colocou em uma caixa toda a sua coleção com 100 bolinhas pula-pula de borracha: 30 amarelas, 25 azuis e 45 vermelhas. Ela vai retirar dessa caixa uma única bolinha por vez, sem olhar as que estão dentro da caixa. Sabendo que todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de ser retiradas, qual cor tem maior chance de sair na primeira retirada: amarela, azul ou vermelha? Veja como podemos proceder para responder a essa questão. Se a caixa contém 100 bolinhas, então há 100 possibilidades de uma bolinha de qualquer cor sair na primeira retirada. Desse modo, dizemos que a probabilidade de cada bolinha ser retirada é de 1 em 100, ou seja, de 100 1 ou de 1%. Assim, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de ser retiradas. • Como há 30 bolinhas amarelas na caixa, a probabilidade de sair uma amarela é de 100 30 ou de 30%. • Como há 25 bolinhas azuis, a probabilidade de sair uma azul é de 100 25 ou de 25%. • Da mesma forma, a probabilidade de sair uma bolinha ver- melha é de 100 45 ou de 45%, pois há 45 bolinhas vermelhas na caixa. Desse modo, dizemos que há maior chance de sair uma bolinha vermelha do que uma amarela, uma vez que 100 45 100 30 . . A probabilidade geralmente é indicada por uma fração irredutível ou por um número na forma percentual. 1 Com base nos dados acima, responda: a bolinha de qual cor tem menor chance de ser sorteada: azul ou amarela? Por quê? Represente isso na forma de fração e na forma percentual. 2 A direção da escola Felicidade vai sortear um aluno entre os cem que possuem as melhores avalia- ções em História para representar a escola em um evento estadual. Sabendo que Hugo é um desses alunos e que todos os outros têm a mesma chance de ser sorteados, qual é a probabilidade de ele ser o escolhido? 100 1 ou 1% 3 Em uma caixa há três bolas brancas e duas bolas verdes. Qual é a probabilidade de tirarmos, sem olhar, uma bola verde dessa caixa? 5 2 ou 40% FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! Probabilidade é a medida da chance de ocorrer determinado resultado. 1. Azul, pois: 100 25 100 30 , ; 25% , 30%.
- 272. 206 Exercícios complementares O bloco de exercícios propicia que os alunos mobilizem os conhecimentos construídos e percebam possíveis dúvidas que ainda tenham. No exercício 3, uma possível resolução: a) 1a parada: significa o consumo de metade da me- tade do combustível total. Assim, restaram no tanque metade e mais metade da metade do combustível to- tal, o que pode ser repre- sentado por: 1 2 1 1 4 5 2 4 1 1 1 4 5 3 4 . b) 2a parada: gastou metade de 3 4 . Assim, 1 2 de 3 4 5 3 8 . c) O gasto entre a saída e a 2a parada foi de 1 4 1 3 8 5 5 2 8 1 3 8 5 5 8 . d) Se o gasto foi de 5 8 , o que restou após a 2a parada pode ser calculado por: 1 2 5 8 5 5 8 8 2 5 8 5 3 8 . e) Com apenas 3 8 de sua ca- pacidade, Hélio colocou 30 litros de gasolina, e o tan- que ficou completamente cheio: 5 8 do tanque corres- pondem a 30 litros. Esque- matizando, temos que to- das as partes de cor cinza totalizam 30 litros. Como todas elas são iguais, cada uma das cinco partes em cin- za corresponderá a 6 litros (30 9 5 5 6): 6 6 6 6 6 Então, o tanque completo é equivalente a 8 partes des- sas: 48 litros (8 8 6 5 48). Para o exercício 10, uma possível resolução é calcular inicialmente o valor de cada expressão: 13 36 e 25 36 . Para encontrar a parcela que resulte em 25 36 , deve- mos fazer: 25 36 2 13 36 5 12 36 5 5 1 3 . Logo, é preciso adicio- nar 1 3 a 1 2 2 1 1 3 2 para obter 1 2 1 1 3 2 . ESTOURO Habilidades trabalhadas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 206 CAPÍTULO 8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DANIEL ZEPPO 3 Cássio iniciou uma viagem com o tanque do carro cheio. Na 1a parada, havia gastado 4 1 do combustível. Ao parar pela segunda vez, verificou que, entre a 1a e a 2a parada, o carro havia gasta- do metade do com- bustível que tinha sobrado na 1a para- da. Colocou, então, 30 litros de combus- tível, e o tanque ficou cheio novamente. 6 A figura abaixo nos mostra a divisão de 4 3 por 2. Qual é o resultado dessa divisão? 8 3 7 Calcule mentalmente. a) 9 2 1 2 4 1 c) 9 4 3 1 12 b) 9 2 2 1 4 d) 9 3 1 4 12 1 10 Quanto é preciso somar a 2 1 3 1 1 2 2 e e o o para obter 2 1 3 1 1 2 e o ? 3 1 9 A capacidade do tanque do meu carro é de 50 litros. O combustível que uso é composto de 5 4 de gasolina e 5 1 de álcool. Vou abastecer o carro com 30 litros de combustível. Quantos litros de gasolina colocarei? 24 litros 8 Uma merendeira serviu 18 litros de suco aos alunos da escola. Cada aluno recebeu 5 1 de litro. Quantos alunos foram servidos? 90 5 (Unifor-CE) Se o triplo de um número é 5 18 , então: alternativa c a) sua terça parte é 5 1 . b) sua metade é 5 2 . c) seu dobro é 5 12 . d) seu quádruplo é 4. e) seu quíntuplo é 18. 4 Determine: a) 3 1 do inverso de 7; 21 1 b) 2 1 do inverso de 2 1 ; 1 c) o inverso de 3 7 1 . 22 7 2 Efetue as expressões indicadas, simplificando o resultado quando possível. a) 8 8 2 4 3 2 1 4 3 e) 9 5 2 3 4 10 3 b) 8 8 7 5 4 5 7 4 f) 9 9 2 5 6 27 5 c) 8 8 8 3 2 5 6 8 35 7 2 1 g) 5 9 4 4 5 d) 8 1 4 1 5 3 4 3 h) 9 1 2 1 3 2 4 9 1 Efetue as expressões abaixo, simplificando o resultado quando possível. a) 2 7 2 1 1 4 e) 3 5 3 1 2 3 4 b) 16 5 3 5 6 5 1 1 5 f) 5 18 5 3 2 3 c) 3 5 5 2 5 3 1 1 3 8 g) 5 2 7 1 2 35 9 d) 3 2 3 4 1 1 1 12 47 h) 12 9 5 2 9 103 NELSON MATSUDA FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES a) Qual é a fração que corresponde à quan- tidade de litros que restou no tanque na 1a parada? Represente por meio de um desenho. b) Qual fração corresponde ao combustível gasto no percurso da 1a até a 2a parada? Represente por meio de um desenho. c) Qual fração corresponde ao combustível gasto da saída até a 2a parada? Represente por meio de um desenho. d) Qual fração corresponde ao combustível que havia no tanque na 2a parada? e) Quantos litros cabem no tanque do carro de Cássio? 48 litros 4 3 8 3 8 5 8 3
- 273. BIMESTRE 3 207 Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica, nem sempre tem a sua importância reconhecida. 9 Capítulo Fonte: ABI – 100 anos lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. Disponível em: http://www. abi.org.br/poeta-cria-cordel-inspirado-na-campanha-de-cem-anos-da-abi/. Acesso em: 31 jul. 2017. Números racionais na forma decimal e operações A vírgula A vírgula pode ser uma pausa… ou não. Não, espere. Não espere. Ela pode sumir com seu dinheiro. 23,4. 2,34. [...] MARTIN KONOPKA/EYEEM/GETTY IMAGES 207 CAPÍTULO 9 Objetivos do capítulo Levar o aluno a: •Ler, escrever e representar números racionais na for- ma decimal. •Reconhecer números ra- cionais em diferentes con- textos. •Localizar números racio- nais na forma decimal na reta numérica. •Reconhecer que os núme- ros racionais podem ser ex- pressos na forma de fração e na forma decimal, esta- belecendo relações entre essas representações. •Resolver e elaborar proble- mas que envolvam números racionais na forma decimal, compreendendo os diferen- tes significados das opera- ções entre esses números. •Realizar cálculos que en- volvam operações com nú- meros racionais na forma decimal por meio de estra- tégias variadas. •Resolver problemas que envolvam a ideia de por- centagem. •Compreender o significa- do de média aritmética e aprender a calculá-la. Orientações gerais Este capítulo é uma amplia- ção dos anteriores, ainda com foco no estudo dos nú- meros racionais, agora repre- sentados sob a forma deci- mal. É importante ficar claro aos alunos o caráter de ex- tensão e continuidade do as- sunto já em estudo, ou seja, o fato de não estarem vendo algo completamente novo e sem conexão com aquilo que já conhecem a respeito de números e operações. Na abertura, chamamos a atenção para o sinal gráfi- co de pontuação – a vírgula – que é utilizado na escrita de textos e, também, nos números racionais. Explora- -se o fato de a mudança da vírgula para a esquerda, nos números racionais, repre- sentar um número menor. Material Digital Audiovisual • Videoaula: Minha altura em decimal Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual
- 274. 208 Números com vírgula O capítulo tem início com o contexto do desperdício de comida no mundo. Aprovei- te e trabalhe com os alunos o problema da fome mundial e como evitar o desperdício: aproveitar cascas de fruta, não colocar no prato mais do que se consegue comer, entre outros. Peça a eles que procurem receitas nas quais são utilizadas essas partes de frutas e legumes, que em ge- ral são descartadas. Os alunos devem estar aten- tos às informações organiza- das em um infográfico com diferentes recursos gráficos. Neste caso, destacamos a re- flexão sobre a situação atual e o risco de fome nos países em desenvolvimento por conta do aumento da popu- lação mundial. Destaque no infográfico as notações com vírgula e seus significados. Nesses casos, esse tipo de notação é usa- da para “abreviar” números naturais muito grandes, por exemplo 26,3 mi, que signi- fica 26,3 milhões, ou seja, 26.300.000. Outro exemplo do uso de números com vírgula cita o Sistema Cantareira, respon- sável pelo abastecimento de água de grande parte da população da Região Metro- politana de São Paulo. Esse é um momento propício para discutir o desperdício de água e o risco para a vida do planeta caso nada seja feito para preservar a água e garantir o acesso demo- crático a ela. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 208 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 1 Números com vírgula Neste capítulo, continuaremos estudando os números racionais, mas agora representados com vírgula. Você certamente já deve ter notado como os números escritos com vírgula são comuns no dia a dia. Observe alguns exemplos no infográfico a seguir. Veja outros exemplos em que usamos números escritos com vírgula. ƒ Em julho de 2016, Fabiana Murer bateu o recorde sul-americano e liderou o ranking mun- dial, saltando 4,87 metros no Troféu Brasil de Atletismo, em São Bernardo do Campo (SP). ƒ O Sistema Cantareira é responsável pelo abastecimento de água de 6,5 milhões de pes- soas na Grande São Paulo. No dia 7 de agosto de 2017, o nível do Sistema Cantareira desceu pelo quinto dia consecutivo e passou de 91,57% para 90,97%. Os números 3,9; 1,3; 26,3; 4,87; 6,5; 91,57; 90,97 são exemplos de números racionais es- critos na forma decimal. Fonte: Quanta comida é desperdiçada no mundo? Mundo Estranho, São Paulo, n. 154, jul. 2014. p. 48. BRUNO MACHADO/THALES MOLINA/ABRIL COMUNICAÇÕES S/A Q uanta comida é desperdiç ada no mundo? * Referente à produção de frutas e hortaliças. ** Referente ao desperdício de frutas e hortaliças. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan- ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
- 275. BIMESTRE 3 209 As frações decimais e a representação na forma decimal Nesta página, retomamos as frações decimais e mostra- mos relações entre 1 inteiro, décimos, centésimos e milé- simos. Se julgar necessário, retome também as potên- cias de base 10 (com expo- ente natural). Analise com os alunos a fi- gura fornecida e destaque as frações decimais e sua ligação com os números ra- cionais na forma decimal. Complemente os estudos com a Sequência didática 8 – Operações com números racionais e a Sequência didática 9 – Multiplicação e divisão com números racionais, disponíveis no Manual do Professor – Digital. As atividades propostas permitem desenvolver de forma gradual e articulada objetos de conhecimento e habilidades da BNCC selecionados para este capítulo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 209 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Na figura acima, ainda podemos observar que: ƒ 10 partes lilases formam 1 inteiro; então: 8 10 10 1 1 5 (10 décimos 5 1 inteiro); ƒ 10 partes verdes formam 1 parte lilás; então: 8 10 100 1 10 1 5 (10 centésimos 5 1 décimo); ƒ 10 partes azuis formam 1 parte verde; então: 8 . 10 1 000 1 100 1 5 (10 milésimos 5 1 centésimo). 2 As frações decimais e a representação na forma decimal Em cada uma dessas frações, o denominador é uma potência de 10: 101 102 103 NELSON MATSUDA Observe a figura ao lado. Note que: ƒ a parte pintada de lilás repre- senta 10 1 (1 décimo) dessa figura; ƒ a parte pintada de verde re- presenta 100 1 (1 centésimo) dessa figura; ƒ a parte pintada de azul re- presenta . 1 000 1 (1 milésimo) dessa figura. 10 1 100 1 . 1 000 1 Toda fração cujo denominador é uma potência de 10 é chamada de fração decimal. Habilidades trabalhadas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 276. 210 Orientações As frações decimais geram representações de números racionais na forma decimal. Se julgar conveniente, am- plie esse assunto com outros exemplos. Explore o quadro de ordens, que foi expandido para a parte decimal, ressaltando que a relação decimal per- manece. Exercícios propostos Na resolução dos exercícios 1 e 2, os alunos comprovam seu entendimento sobre o con- ceito das frações decimais. No exercício 3, a relação estabelecida entre as repre- sentações de um número racional na forma de fração e na forma decimal pode ser ampliada, fornecendo outras frações decimais. Ve- rifique se os alunos conse- guem ler a fração decimal apresentada nessa questão. Ressalte que 0,000001 é a expressão decimal de 1 mi- lionésimo. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 210 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Para separar a parte inteira da parte decimal, usamos a vírgula. Nesse quadro, a relação entre as ordens estudadas para os números naturais continua valendo: 10 unidades de uma ordem formam 1 unidade de ordem imediatamente superior. ƒ 10 8 1 centena 5 1 milhar ƒ 10 8 1 dezena 5 1 centena ƒ 10 8 1 unidade 5 1 dezena ƒ 10 8 1 décimo 5 1 unidade ƒ 10 8 1 centésimo 5 1 décimo ƒ 10 8 1 milésimo 5 1 centésimo Parte inteira Parte decimal ... Unidade de milhar Centena Dezena Unidade Décimo Centésimo Milésimo Décimo de milésimo ... UM C D U d c m dm 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 , 1 0 , 0 1 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 Esses números, representados por frações decimais, podem ser escritos na forma decimal: ƒ 10 1 pode ser representado por 0,1 (lemos: “um décimo”); ƒ 100 1 pode ser representado por 0,01 (lemos: “um centésimo”); ƒ . 1 000 1 pode ser representado por 0,001 (lemos: “um milésimo”); ƒ . 10 000 1 pode ser representado por 0,0001 (lemos: “um décimo de milésimo”); e assim por diante. Assim como fazemos com os números naturais, podemos dispor esses números em um quadro de ordens. Veja. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Copie apenas as frações decimais. a) 3 2 d) . 1 000 3 g) 9 100 b) 10 35 e) . 10 000 18 h) . 18 10 000 c) 100 8 f) . 3 1 000 i) . 1 000 104 3 Represente . . 1 000 000 1 na forma decimal. 2 Represente com uma fração decimal a par- te pintada de azul da figura ao lado. 10 2 NELSON MATSUDA alternativas b, c, d, e, i 0,000001 Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
- 277. BIMESTRE 3 211 Números na forma decimal Para explorar e ampliar a representação de números racionais na forma decimal, pode-se utilizar o Material Dourado. Combine com os alunos que o cubo grande é o inteiro e peça a eles que identifiquem o número ra- cional na forma decimal que as demais peças represen- tam nesse caso. Espera-se que os alunos reconheçam 1 placa como 1 décimo (a décima parte do inteiro), 1 barra como 1 centésimo (a centésima par- te do inteiro) e 1 cubinho como 1 milésimo (a milési- ma parte do inteiro). Assim: 1 inteiro 0,1 0,01 0,001 Em seguida, represente com o Material Dourado alguns números na forma decimal (coloque em destaque so- bre uma mesa) e proponha que os alunos identifiquem a quantidade representada em cada vez. Discuta e vali- de as respostas com toda a turma. Depois, reúna-os em pequenos grupos, escreva na lousa alguns números racionais na forma decimal e peça que os representem com o Material Dourado, que deve estar disponível. 1,45 0,35 0,2 0,8 3,2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 211 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 3 Números na forma decimal Já vimos que: , 10 1 0 1 5 , 100 1 0 01 5 . , 1 000 1 0 001 5 Vejamos outros exemplos. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Podemos representar graficamente esses números pela parte pintada de uma região retangular. Considerando como 1 inteiro, temos: ƒ , 10 2 0 2 5 ƒ , 10 8 0 8 5 ƒ , 10 32 10 30 10 2 3 10 2 3 2 1 5 1 5 5 Agora, para representar graficamente esses números, consideramos uma região qua- drada como 1 inteiro: b) Denominador 100 ƒ , 100 35 0 35 5 ƒ , , 100 145 100 100 100 45 1 0 45 1 45 5 1 5 1 5 c) Denominador 1.000 ƒ . , 1 000 451 0 451 5 ƒ . . . . . , , 1 000 1 934 1 000 1 000 1 000 934 1 0 934 1 934 5 1 5 1 5 a) Denominador 10 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 278. 212 Como se leem os números escritos na forma decimal Verifique se os alunos per- cebem que a leitura de nú- meros racionais na forma decimal está intimamente ligada à leitura das frações decimais associadas a eles. Se julgar necessário, reto- me como se leem as frações. Promova ditados de núme- ros racionais na forma de- cimal, explorando todas as maneiras apresentadas de se fazer a leitura desses nú- meros, para que os alunos se acostumem com elas. Em seguida, apresente alguns números na forma decimal na lousa para que registrem no caderno duas maneiras de se ler tais números. Sugestões de leitura Para o trabalho com o tema deste capítulo, sugerimos os livros: JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo Cestari; IMENES, Luiz Márcio. Fra- ções e números decimais. São Paulo: Atual, 2002. (Coleção Pra Que Serve Matemática?). RAMOS, Luzia Faraco. Aventura de- cimal. São Paulo: Ática: 2001. (Co- leção A Descoberta da Matemática). Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 212 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Observação Como , 0 5 10 5 2 1 5 5 (um meio), é comum lermos 0,5 (cinco décimos) como meio. Dessa forma, também lemos 1,5 como um e meio, 2,5 como dois e meio, e assim por diante. Como se leem os números escritos na forma decimal 0,451 1,934 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Veja uma representação gráfica desses números, considerando um cubo como 1 inteiro: A leitura de um número na forma decimal é feita assim: primeiro, lemos a parte inteira; depois, a parte decimal acompanhada das palavras: • décimo(s) – se houver uma casa decimal; • centésimo(s) – se houver duas casas decimais; • milésimo(s) – se houver três casas decimais; e assim por diante. O bebê está com cinquenta e um vírgula seis centímetros. Dois vírgula nove quilogramas. SIDNEY MEIRELES TEL COELHO Veja alguns exemplos. a) 2,3 dois inteiros e três décimos b) 3,20 três inteiros e vinte centésimos c) 20,001 vinte inteiros e um milésimo d) 1,003 um inteiro e três milésimos Quando a parte inteira é zero, podemos ler apenas a parte decimal. Observe. a) 0,5 cinco décimos b) 0,15 quinze centésimos c) 0,008 oito milésimos d) 0,621 seiscentos e vinte e um milésimos Em várias situações, como a apresentada na ilustração ao lado,nãolemososnúmerosnaformadecimalressaltandosuas ordens, mas simplesmente informamos onde fica a vírgula. Veja. a) 3,2 três vírgula dois b) 0,35 zero vírgula trinta e cinco c) 1,032 um vírgula zero trinta e dois Em geral, esse tipo de leitura é utilizado na linguagem oral e nos meios de comunicação. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan- ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
- 279. BIMESTRE 3 213 Exercícios propostos Este bloco de exercícios ex- plora a representação, a es- crita e a leitura de números racionais na forma decimal. Atenção: verifique se os alu- nos ainda têm dificuldades nos exercícios de 4 a 8, que abordam representações com figuras, fazendo as in- tervenções necessárias para auxiliá-los. Se possível, man- tenha o Material Dourado à disposição deles e sugira que façam a representação apresentada com as peças desse material. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 213 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 4 Registre, na forma decimal, o número que representa a parte pintada de laranja em cada uma das figuras. 7 Qual é o valor numérico que representa as pilhas de moedas de cada item? ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA FOTOS: SÉRGIO DOTTA JR./THE NEXT E ANGELITA CARDOSO b) 5 Imagine uma barra de chocolate dividida em 10 partes iguais. Registre, na forma decimal, o número que corresponde a 3 das 10 partes dessa barra. 0,3 b) 8 Responda às questões a seguir, considerando a malha abaixo como 1 inteiro. a) Quantos quadradinhos há nessa malha? 1.000 b) Que número, na forma decimal, corresponde à parte pintada de azul? 0,415 c) E à parte não pintada de azul? 0,585 6 Considerando a figura ao lado como 1 inteiro, escreva, na forma decimal, o número que representa a parte pintada de azul do grupo de figuras abaixo. 0,5 1,8 3,45 1,25 3,25 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS a) a) 1 inteiro 9 Registre cada fração na forma decimal. a) 10 7 0,7 b) 10 3 0,3 c) 100 18 0,18 d) 100 4 0,04 e) . 1 000 13 f) . 1 000 325 0,013 0,325
- 280. 214 Pense mais um pouco... Nesta seção, caso nem todos os alunos disponham de cal- culadora, é possível formar duplas, desde que todos te- nham oportunidade de ma- nusear o instrumento. O contato com a calculadora em atividades cujo foco não seja simplesmente chegar a resultados de cálculos já es- tabelecidos é essencial para os alunos lidarem com uma ferramenta tão presente no cotidiano e desenvolverem a habilidade de utilizá-la com competência. Vale destacar que todos os cálculos necessários nessa atividade envolvem compa- rações, observações e busca de generalizações, ou seja, os alunos precisam refletir sobre esses resultados, não bastando apertar as teclas mecanicamente. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 214 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Segundo o site da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis, em julho de 2017 , o preço médio do litro da gasolina em Rio Branco, AC, era R$ 4,266. (Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 30 jul. 2017 .) Etiene Medeiros leva medalha de ouro no nado de costas em Budapeste com o tempo de 27,14 segundos. Fonte: Folha de S.Paulo, São Paulo, 28 jul. 2017, Esporte. p. B7. JOSÉ LUÍS JUHAS 11 Escreva como lemos os números destacados nas informações. 12 Escreva cada um dos números a seguir. a) Dez vírgula quarenta e cinco. 10,45 b) Setenta e cinco centésimos. 0,75 c) Dois inteiros e vinte e cinco milésimos. 2,025 d) Setenta e dois décimos de milésimos. 0,0072 13 Hora de criar – Pesquise um texto que tenha números racionais e troque-o com o de um colega. Escre- vam como se leem os números que estiverem na forma de fração ou decimal. Escrevam na forma de fração ou na forma decimal os que estiverem por extenso. Depois destroquem os textos para corrigi-los. NELSON MATSUDA KAREN ROACH/SHUTTERSTOCK resposta possível: vinte e sete vírgula catorze 10 Escreva como lemos cada número e represente-o por uma fração decimal. a) 30,06 b) 3,006 c) 0,036 d) 0,306 e) 300,6 f) 0,36 resposta possível: quatro vírgula duzentos e sessenta e seis Resposta pessoal. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Pense mais um pouco... Junte-se a um colega para fazer estas atividades. (Nas calculadoras, a vírgula é indicada por um ponto.) 1. Em uma calculadora, foram digitados os números: respostas possíveis: • 4 1 . • 0 4 . • 3 2 0 . • 4 1 3 . Escrevam como lemos cada um desses números. 2. Registrem as teclas a serem digitadas em uma calculadora para que apareça no visor cada número abaixo. a) cem inteiros e quatro centésimos c) cento e um centésimos b) vinte e um milésimos d) dois mil e três milésimos 3. Lembrando que uma das ideias de fração é representar o quociente entre o numerador e o denominador, façam o que se pede. a) Usem a tecla 4 de uma calculadora e obtenham a forma decimal de: , , , , , , , , , . . . . . . . 10 5 100 5 100 23 1 000 4 10 48 10 000 607 1 000 2 901 1 000 000 5 10 23 10 000 23 b) Comparem a quantidade de zeros dos denominadores das frações decimais do item a com a quantidade de casas decimais dos resultados escritos na forma decimal. Em seguida, des- crevam um procedimento prático para representar uma fração decimal como um número na forma decimal. 4. Agora, sem usar a calculadora e sem efetuar a divisão ou a multiplicação, façam o que se pede. a) Escrevam cada fração na forma decimal. 10 127 12,7 100 123 1,23 . 1 000 254 0,254 . . 1 000 3 254 3,254 . 100 2 045 20,45 . 10 000 814 0,0814 b) Representem na forma de fração decimal. 0,5 10 5 0,035 . 1 000 35 4,45 100 445 0,04 100 4 13,2 10 132 0,5424 . . 10 000 5 424 2. a) 0 0 0 1 4 • 0,5; 0,05; 0,23; 0,004; 4,8; 0,0607; 2,901; 0,000005; 2,3; 0,0023 Espera-se que os alunos concluam que, para representar uma fração decimal como um número na forma decimal, escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. quatro vírgula um zero vírgula quatro trinta e dois milésimos três inteiros e catorze centésimos LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 10. respostas possíveis: a) trinta inteiros e seis centésimos, . 100 3 006 b) três inteiros e seis milésimos, . . 1 000 3 006 10. e) trezentos inteiros e seis décimos, . 10 3 006 f) trinta e seis centésimos, 100 36 10. d) trezentos e seis milésimos, . 1 000 306 b) 0 2 1 • 0 0 2 1 • ou c) 0 1 1 • d) 0 2 0 3 • 10. c) trinta e seis milésimos, . 1 000 36 Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, orde- nar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação deci- mal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta nu- mérica.
- 281. BIMESTRE 3 215 Representações decimais equivalentes Antes de trabalhar este item, é importante verificar se os alunos apreenderam o con- ceito de frações equivalen- tes. Se houver necessidade, cabe uma recordação desse conhecimento, uma vez que eles precisarão revisitá-lo para compreender as repre- sentações decimais equiva- lentes. Outro recurso que os alunos podem utilizar, envolvendo quantidades pequenas, é a representação de números com o Material Dourado. Figura 2 Figura 1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 215 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Na figura 1, o interior do quadrado foi dividido em 10 partes iguais. A parte pintada de azul pode ser representada por , . 10 6 0 6 ou Na figura 2, o interior do quadrado foi dividido em 100 partes iguais. A parte pintada de azul pode ser representada por , . 100 60 0 60 ou As frações 10 6 100 60 e são equivalentes, pois correspondem à mesma parte do inteiro. Da mesma maneira, os registros 0,6 e 0,60 são equivalentes. Quando dividimos o inteiro de cada quadradinho da figura 2 em 10 pedacinhos iguais, en- contramos outra fração decimal, . 1 000 600 ou o número 0,600, correspondente à mesma parte pintada de azul. Continuando com esse processo, encontramos: ƒ frações decimais equivalentes: . . . ... 10 6 100 60 1 000 600 10 000 6 000 e 5 5 5 5 ƒ representações decimais equivalentes: 0,6 5 0,60 5 0,600 5 0,6000 5 ... Os zeros colocados à direita de 0,6 não alteraram o número. De modo geral, um número não se altera quando, em sua representação decimal, acrescenta-se ou suprime-se um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. Veja outros exemplos. a) 0,5 5 0,50 5 0,500, pois: . 10 5 100 50 1 000 500 5 5 b) 2,8 5 2,80 5 2,800, pois: . . 10 28 100 280 1 000 2 800 5 5 c) 0,6300 5 0,630 5 0,63, pois: . . . 10 000 6 300 1 000 630 100 63 5 5 4 Representações decimais equivalentes Considere as figuras ao lado, em que os quadrados vermelhos têm medidas iguais, e acompanhem o texto abaixo. SIDNEY MEIRELES Habilidade trabalhada: (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
- 282. 216 Exercícios propostos O exercício 14 apresenta dois garrafões de formatos diferentes, porém com a mesma capacidade. Apro- veite e retome esse conceito com os alunos, discutindo o significado dos rótulos. A comparação de números racionais na forma decimal também é muito usada em supermercados, por exem- plo, ao verificar qual produ- to tem preço menor. Uma atividade interessan- te é pedir aos alunos que busquem informações em locais onde aparecem núme- ros racionais na forma deci- mal. Depois, em grupos de dois ou três alunos, façam a comparação e montem um quadro colocando esses nú- meros em ordem crescente e em ordem decrescente. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 216 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES A cama Box de casal tem 1,38 por 1,88 por 0,64 e essa cama King Size tem 1,93 por 2,03 por 0,47. A cama Box tem profundidade menor do que a cama King Size: 1,88 , 2,03. A cama Box é menos larga: 1,38 , 1,93, mas é mais alta: 0,64 . 0,47. 14 Verifique em cada caso quais são as representações decimais equivalentes. a) 4,2; 4,02; 4,20 4,2 e 4,20 b) 6,12; 6,120; 6,012 6,12 e 6,120 c) 2,03; 2,030; 2,003 2,03 e 2,030 Nome Daniel Laura Marcos Carlos Luana Altura 1,80 1,08 1,8 1,080 1,008 Quais dessas pessoas têm a mesma altura? Daniel e Marcos; Laura e Carlos CLÁUDIO CHIYO 5 Comparação de números racionais na forma decimal Uma vantagem dos números racionais representados na forma decimal sobre os represen- tados na forma de fração é a facilidade com que podemos comparar esses números. Sim, pois: 2,5 = 2,50. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 16 O quadro contém a altura, em metro, de algumas pessoas. 15 Observe os rótulos dos dois garrafões cheios de água repre- sentados ao lado. É correto afirmar que a quantidade de água é a mesma nos dois garrafões? Justifique sua resposta. Dados dois números na forma decimal, será maior aquele que tiver a maior parte inteira; será menor o que tiver a menor parte inteira. Veja os exemplos. a) 5,2 . 2,75, pois: 5 . 2 b) 7,354 , 12,56, pois: 7 , 12 TEL COELHO Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhan- ças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
- 283. BIMESTRE 3 217 Exercícios propostos No exercício 20, os alunos deverão identificar os nú- meros naturais que estão de acordo com as compa- rações do enunciado. Para ampliá-lo, proponha que reescrevam o enunciado de maneira que as respostas se mantenham inalteradas. Assim, os alunos precisam encontrar outros números racionais escritos na forma decimal que estejam próxi- mos a 98, mas sejam meno- res, e também buscar núme- ros que estejam próximos a zero, mas sejam maiores. Vejamos algumas possibili- dades de novos enunciados: •Qual é o menor número natural maior que 97,1? E o menor número natural menor que 0,9? •Qual é o menor número natural maior que 97,08? E o menor número natural menor que 0,00004? Outra proposta é de rees- creverem o enunciado de modo que as respostas se alterem, mas continuem a ser únicas. Vejamos algumas possibilidades: •Qual é o menor número na- tural maior que 100,1? E o menor número natural me- nor que 15,03? (101 e 15) •Qual é o menor número natural maior que 0,7? E o menor número natural menor que 22,9? (1 e 22) No exercício 21, a intenção é fazer os alunos reconhe- cerem como as comparações entre números racionais na forma decimal são comuns em situações cotidianas. É importante perceberem que, na situação do exercí- cio, não ocorre a compara- ção apenas da quantidade de suco de cada embalagem, mas também dos preços, uma vez que a informação “são vendidas pelo mesmo preço” já é uma compara- ção entre as diferentes em- balagens e um dado funda- mental para concluir qual a embalagem mais vantajosa. 0,6 0,2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 217 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 17 A caçamba do caminhão A leva em torno de 7,2 toneladas, e a caçamba do caminhão B leva 7,5 toneladas. Em qual dos dois caminhões a massa transportada pode ser maior? 21 Os dois recipientes a seguir estão completa- mente cheios de suco de abacaxi. 24 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre comparação de números racionais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. MARCIO GUERRA Qual dessas embalagens é mais vantajosa para o comprador, sabendo que elas estão sendo vendidas pelo mesmo preço? Por quê? As figuras mostram que 0,6 . 0,2. Sempre que as partes inteiras forem iguais, devemos comparar as partes decimais. Veja alguns exemplos. a) 3,5 . 3,4, pois: 5 décimos . 4 décimos b) 2,54 . 2,51, pois: 54 centésimos . 51 centésimos c) 45,764 . 45,762, pois: 764 milésimos . 762 milésimos d) 3,18 . 3,174, pois: 180 milésimos . 174 milésimos Igualamos as casas decimais. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Se dois números tiverem a mesma parte inteira, para saber qual deles é maior, devemos observar as casas decimais. Veja um exemplo. Vamos considerar os retângulos de medidas iguais a seguir. As regiões interiores estão divididas em 10 partes iguais. Também podemos dizer que 2,51 , 2,54, pois: 51 centésimos , 54 centésimos. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 18 Quem pesa mais: Maria, que tem 58,6 quilogra- mas, ou Isabela, que tem 58,570 quilogramas? 19 Escreva todos os números naturais compreen- didos entre 12,3 e 17,1. 13, 14, 15, 16 e 17 20 Qual é o menor número natural maior que 97,25? E o maior número natural me- nor que 0,01? 98; 0 23 Mário digitou em sua calculadora: 5 1 0 0 0 0 0 0 6 4 . e Maísa apertou a sequência de teclas: 5 1 0 0 0 0 0 0 6 4 a) Que número apareceu no visor de cada um? b) Entre esses números, qual é o maior? NELSON MATSUDA 22 (Saresp) Das comparações abaixo, qual é a verdadeira? alternativa d a) , 0 4 10 4 . c) 0,40 , 0,31 b) 1 2 1 , d) 2 . 1,9 no caminhão B Maria A garrafa é mais vantajosa, pois contém mais suco pelo mesmo preço da outra embalagem. a) Mário: 0,6; Maísa: 0,06 b) 0,6 SIDNEY MEIRELES Habilidade trabalhada: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracio- nária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 284. 218 Reta numérica Verifique o quanto os alu- nos se recordam da repre- sentação dos números na- turais na reta numérica. Ressalte que não é possível esgotar os pontos da reta apenas com a associação de pontos da reta numérica a números naturais. Destaque também que, mesmo com a associação de pontos da reta numérica aos números racionais (na forma de fra- ção ou na forma decimal), a reta não se completa, pois ainda existem outros tipos de números para serem re- presentados, que serão estu- dados nos anos seguintes do Ensino Fundamental. Para ajudar na compreensão desse fato, comente com os alunos que a raiz quadrada não exata 2 é um desses números. Considerando que todo nú- mero natural é, também, um número racional, pode- -se observar que os núme- ros racionais 2 10 e 1 2 , por exemplo, devem ser associa- dos a pontos da reta que se encontram entre 0 e 1, ou seja, 0,2 e 0,5 estão na reta numérica entre 0 e 1. Reproduza na lousa os pro- cedimentos descritos no li- vro do aluno, ressaltando cada passo. 0 O 1 A M 1 2 — 0 O 1 A M 1 2 — N 1 4 — P 1 3 — Q 2 3 — 0 O R A B C 3 1 2 0,3 0 3 1 2 0,3 2,6 O R A B S C Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 218 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 6 Reta numérica Já vimos como representar os números naturais em uma reta, que chamamos de reta numérica. Agora, vamos associar aos pontos dessa reta outros números racionais. Acompanhe o texto a seguir. SIDNEY MEIRELES ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA Observe como procedemos para representar 2 1 na reta numérica. Como 2 1 é maior que zero e menor que 1, dizemos que ele está entre 0 e 1. Para localizar o ponto que o representa na reta numérica, marcamos sobre ela os pontos O e A, correspon- dentes aos números naturais 0 e 1, respectivamente. Em seguida, dividimos o segmento de reta OA em duas partes iguais, determinando o ponto M, que representa o número 2 1 . De modo análogo, podemos representar os números , . 4 1 3 1 3 2 e Para obter o ponto N, correspondente a , 4 1 dividimos o segmento OA em quatro partes iguais e, a partir de O, tomamos uma parte. Se quisermos, podemos utilizar a reta anterior, em que já determinamos o ponto M, e dividimos o segmento OM em duas partes iguais. Para obter os pontos P e Q, correspondentes a 3 1 3 2 e respectivamente, dividimos o segmento OA em três partes iguais e, a partir de O, tomamos uma parte para 3 1 e duas partes para . 3 2 Também podemos representar números racionais que estão na forma decimal na reta nu- mérica. Por exemplo, vamos determinar os pontos R e S, correspondentes a 0,3 e 2,6, respecti- vamente. Como 0,3 está entre 0 e 1 e 2,6 está entre 2 e 3, marcamos sobre a reta os pontos O, A, B e C correspondentes aos números naturais 0, 1, 2 e 3, respectivamente. Dividimos o segmento OA em dez partes iguais. Cada uma dessas partes corresponde a 0,1. Assim, para representar o número 0,3, tomamos três dessas partes a partir do zero. Para obter a representação de 2,6, dividimos o segmento BC em dez partes iguais e, a partir de 2, tomamos seis dessas partes. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e núme- ros racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 285. BIMESTRE 3 219 Exercícios propostos O exercício 27 é um bom momento para comentar com os alunos que entre dois números racionais (na forma de fração ou na for- ma decimal) é sempre possí- vel encontrar outro número racional (há infinitos núme- ros racionais entre dois nú- meros racionais). Para ampliar essa noção, forneça intervalos para es- creverem números racionais na forma decimal entre eles, por exemplo: •entre 0 e 1 (0,5 e 0,9); •entre 0,5 e 0,6 (0,51 e 0,57); •entre 0,51 e 0,52 (0,512 e 0,517). 0 0,1 R 0,01 Q 0,05 10 10,05 10,1 10,5 I G H 10,12 J K 10,33 10,475 0 2 Z 0,5 1 X 1,2 5 6 5,2 5,34 5,56 5,8 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 219 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Agora veja a representação dos números 5,2; 5,34; 5,56 e 5,8. Note que todos estão entre 5 e 6. Como precisamos representar centésimos, dividimos o intervalo entre 5 e 6 em cem par- tes iguais, e cada uma corresponde a 0,01. 25 Determine o número correspondente a cada um dos pontos indicados nas retas numéricas abaixo. ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA 7 Adição e subtração O problema a seguir foi proposto a Ana, Luiz e Carlos. resposta possível: NELSON MATSUDA GOIR/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES JOSÉ LUÍS JUHAS FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26 Estime o número correspondente a cada um dos pontos indicados na reta numérica abaixo. 27 Observe a sua régua de traçar segmentos de reta. Ela lembra uma reta numerada. A régua é graduada em centímetros (indicados pelos números) e em milímetros. Por exemplo, entre os números 11 e 16, pode-se ler as medidas 12, 13, 14 e 15 centímetros. Entre os números 13 e 14, pode-se ler as medidas 13,1; 13,2; 13,3..., 13,9 centímetros. b) a) Usando uma régua, dê as medidas em centímetros: Respostas pessoais. a) de seu palmo; b) do comprimento de sua caneta; c) da largura e da espessura de seu caderno. SIDNEY MEIRELES casa 1,365 km 6,5 km 0,75 km sítio Laércio fez um esquema do percurso entre a casa onde mora e o sítio dele. Observe esse esquema. Nele, as distâncias são indicadas em quilômetro. Calcule, em quilômetro, a distância da casa de Laércio até a entrada do sítio dele. Habilidades trabalhadas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racio- nais positivos na representação fracionária. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
- 286. 220 Orientações É interessante mostrar aos alunos que existem manei- ras diferentes de abordar e resolver um problema, assim como no caso do que foi pro- posto para Ana, Luiz e Car- los. Discuta com eles as três resoluções apresentadas. •Ana fez a representação de cada número em frações decimais, efetuou a adição e expressou o resultado com a representação deci- mal para indicar a resposta. Se julgar necessário, retome a adição e a subtração de números racionais na forma de fração. •Luiz efetuou a adição di- retamente, com os nú- meros racionais na forma decimal. Reproduza o cálculo de Luiz na lousa, destacando cada passo do procedimento. •Carlos usou a calculadora. Se possível, proponha ou- tros cálculos para os alunos fazerem na calculadora, para se ambientarem com o registro de números com vírgula nela. Proponha que estimem o valor da soma antecipadamente e então avaliem o resultado obtido na calculadora, caso tenham cometido algum equívoco nas digitações. Todos os procedimentos são válidos, não existe um corre- to. É importante estar aten- to às diversas estratégias que podem surgir. 8.615 5 . 6 3 6 5 5 5 . 1 1 1 7 . 0 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 220 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES LIGIA DUQUE LIGIA DUQUE LIGIA DUQUE Acompanhe, a seguir, a resolução de cada um. ƒ Ana NELSON MATSUDA Vou transformar esses números em frações decimais e, então, calculo a soma. Igualo o número de casas decimais, acrescentando zeros. Assim, as vírgulas ficam alinhadas. Vou usar a calculadora para resolver esse problema. Não posso esquecer que, na calculadora, a vírgula é representada pelo ponto. Assim, devo apertar esta sequência de teclas. Depois, adiciono milésimos, centésimos, décimos e unidades e coloco a vírgula alinhada com as demais. ƒ Carlos ILUSTRAÇÕES: MARCIO GUERRA ƒ Luiz Logo, tenho 1,365 + 6,5 + 0,75 = 8,615. Portanto, a distância procurada é 8,615 quilômetros. Então, a distância da casa de Laércio até a entrada do sítio dele é de 8,615 quilômetros. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou sub- tração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
- 287. BIMESTRE 3 221 Orientações Discuta com os alunos os pro- cedimentos de cada operação exemplificada. Pode-se suge- rir a alunos diferentes que ex- pliquem o procedimento de cada uma das operações. Situações envolvendo o uso de dinheiro para abordar nú- meros racionais na forma de- cimal, como o exemplo apre- sentado nesta página, são significativas para os alunos, já que são próximas deles. Pode-se verificar quantos alunos da sala compram lan- ches, se alguns deles vão ao mercado etc. Proponha que contem um pouco dessas experiências e comentem como lidam com o dinheiro nessas situações. Uma sugestão de atividade a ser explorada é a simula- ção de uma feira ou merca- do, na qual os alunos usam dinheiro fictício para lidar com situações de compra e venda. Aproveite para ex- plorar o registro de centa- vos e fazer operações com quantias que os envolvam, por exemplo: cada lápis cus- ta R$ 1,50, um caderno custa R$ 13,35, entre outros. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 221 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Veja outros exemplos de adição com números na forma decimal. a) 3,28 1 2,1 1 0,023 3,280 1 2,100 0,023 5,403 b) 5 1 0,5 1 24,365 5,000 1 0,500 24,365 29,865 c) 0,04 1 7 0,04 1 7,00 7,04 Observe agora algumas subtrações. a) 12,5 2 4,825 12,500 2 4,825 7,675 b) 422,351 4,000 2 2,351 1,649 c) 8,42152 3 8,4215 2 3,0000 5,4215 20,50 1 (20,00 2 18,75) 5 5 20,50 1 1,25 5 5 21,75 Quantia com que Marcos ficou. Cálculos 20,00 2 18,75 1,25 20,50 1 1,25 21,75 Por meio de uma expressão numérica, é possível representar com quantos reais Marcos ficou após ganhar o troco da mãe. Sabemos que os parênteses indicam a operação a ser feita em primeiro lugar. Então, calculamos o valor dessa expressão da seguinte maneira: Efetuar operações com números na forma decimal nos auxilia a resolver problemas que enfrentamos no dia a dia. A situação a seguir é um exemplo. DANILLO SOUZA Vou pagar com uma nota de R$ 20,00. Marcos, pegue o troco pra você. Oba! Vou juntar esse troco com os 20 reais e 50 centavos que já tenho. 20,50 1 (20,00 2 18,75) Quantia que Marcos tinha. Troco que Marcos vai juntar ao que tinha.
- 288. 222 Exercícios propostos No exercício 28, uma boa prática é incentivar os alu- nos a responderem sem fa- zer nenhum cálculo escrito, pois essa é uma situação muito comum no cotidia- no deles, na qual o cálculo mental prestará grande au- xílio. No exercício 32, é importan- te destacar que a resolução, em um primeiro momento, pode ser feita sem cálculos. Isso porque muitos jovens já vivenciaram situações de compra e venda nas quais são comuns pagamentos em dinheiro com a devolução de troco. Não é incomum encontrar na turma alunos com maior facilidade para realizar cálculos mentais (especialmente aqueles rela- cionados com um problema contextualizado) que cálcu- los escritos. Esse tipo de cálculo (chama- do de mental exato) deve ser valorizado em sala de aula, pois é um valioso ins- trumento para aprimorar o cálculo escrito exato. O mes- mo vale para os alunos que fazem com mais facilidade os cálculos escritos. 0,6 2,2 0,8 1,4 1,2 1 1,6 0,2 1,8 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 222 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 30 Calcule: a) 0,075 1 0,325 0,4 e) 0,4 2 0,075 0,325 b) 0,725 1 0,275 1 f) 1 2 0,725 0,275 c) 1,6 1 4 5,6 g) 5,6 2 1,6 4 d) 3,726 1 8,634 h) 12,36 2 3,726 28 (Saresp) A temperatura normal de Carlos é 37 graus. Ele ficou com gripe e observou que estava com 37,8 graus de temperatura. To- mando um analgésico, sua temperatura baixou 0,5 grau, chegando ao valor de: alternativa a a) 37,3 graus. c) 37,5 graus. b) 37,4 graus. d) 37,6 graus. CLÁUDIO CHIYO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 35 Entre as expressões a seguir, qual tem o maior valor? E o menor? a) 2,4 2 (1,3 1 0,2) b) 2,4 2 1,3 1 0,2 c) 2,4 1 (1,3 2 0,2) d) 2,4 1 1,3 1 0,2 a) menor valor; d) maior valor 29 Determine as diferenças. a) 0,4 2 0,325 0,075 c) 5,6 2 4 1,6 b) 1 2 0,275 0,725 d) 12,36 2 8,634 NELSON MATSUDA JOSÉ LUÍS JUHAS 34 Ana comprou o conjunto de malas do anúncio abaixo. Quanto ela pagou? R$ 451,25 IGORXIII/SHUTTERSTOCK A soma dos números de cada diagonal, de cada linha e de cada coluna dá sempre 3,6. 100,00 2 (37,50 1 36,25 1 7,75) Espera-se que o aluno perceba 3,726 36 Débora quer calcular mentalmente o valor aproximado de 42,13 1 17,89. Para isso, ela arredondou cada parcela para a casa das uni- dades mais próxima e, em seguida, efetuou o cálculo. Veja. MARCIO GUERRA Calcule mentalmente o resultado aproximado de cada item abaixo. Faça o registro e, com uma calculadora, verifique se os resultados arredondados são próximos aos exatos. a) 2,86 1 4,95 8; 7,81 b) 11,24 1 5,67 17; 16,91 c) 9,11 1 31,74 41; 40,85 d) 12,12 2 6,43 6; 5,69 e) 32,77 2 9,64 23; 23,13 f) 53,42 2 10,38 43; 43,04 31 Compare os quatro primeiros itens do exer- cício 30 com os quatro itens do 29, depois com os quatro últimos itens do 30. Escreva uma conclusão. 32 Ganhei da minha avó R$ 100,00 na sexta-feira. No sábado, comprei uma camiseta de R$ 37,50 e uma bermuda de R$ 36,25. Além disso, tomei um lanche de R$ 7,75. a) Quanto sobrou da quantia que ganhei? b) Como seria uma expressão numérica que representasse essa situação? R$ 18,50 33 Verifique se as somas em cada linha, cada coluna e cada diagonal são iguais. Malas Boa Viagem pequena R$ 110,30 média R$ 155,90 grande R$ 185,05 42,13 1 17,89 42 1 18 5 60 12,36 8,634 a relação fundamental entre a adição e a subtração. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou sub- tração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
- 289. BIMESTRE 3 223 Exercícios propostos No exercício 37, com a in- tenção de aprofundar a interpretação dos dados re- presentados em um gráfico, uma atividade de amplia- ção é reunir os alunos em duplas e propor que escre- vam duas afirmações a res- peito do gráfico de barras apresentado – uma verda- deira e outra falsa. Os alunos devem escrever e entregar as afirmações ao professor. Em seguida, distri- bua duas afirmações a cada dupla (tendo o cuidado de não terem sido criadas pela própria dupla) e solicite a eles que identifiquem a afir- mação verdadeira e corrijam a falsa. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 223 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Dados obtidos em: Anatel. Disponível em: http://www.anatel.gov.br. Acesso em: 29 jul. 2017. ADILSON SECCO 37 Com o avanço da tecnologia no setor de telecomunicação, o número de linhas ativas de telefones celulares no Brasil aumentou bastante no início da década representada. Observe o gráfico ao lado. Responda: a) Em 2010, existiam quantos milhões de linhas ativas de telefones celulares? b) De 2014 a 2016 houve diminuição de quantos milhões de linhas ativas de telefones celulares? 36,6 milhões c) De acordo com o gráfico, em que ano o número de linhas ativas de telefones celulares foi maior? 2014 38 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre adição ou subtração de números racionais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 2010 100 2011 2012 2013 2014 2015 202,9 242,2 261,8 271,9 280,7 257,8 2016 244,1 T otal de l inhas ativ as de tel efones cel ul ares no B rasil Ano 200 300 L inhas ativ as (em milh õ es ) 8 Multiplicação por potências de 10 Ao observar este anúncio, Plínio e Marta imediatamente calcularam o total a ser pago pela bicicleta. Veja como cada um fez. ƒ Plínio 44,51144,51144,51144,51144,51144,51144,51144,51144,51144,515445,10 ƒ Marta 10 8 44,51 5 10 8 . . , 100 4 451 100 44 510 445 10 5 5 Note que, embora os dois modos sejam equivalentes, Marta realizou menos cálculos para encontrar esse valor fazendo uma multiplicação. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! 202,9 milhões TEL COELHO
- 290. 224 Orientações Neste momento, uma ati- vidade de ampliação e en- riquecimento é utilizar a calculadora para efetuar multiplicações por 10, 100, 1.000, e assim por diante. Após cada cálculo, os alunos podem verificar o que acon- tece com a vírgula no núme- ro que aparece no visor da calculadora. Essa atividade pode ser usada como moti- vação para iniciar o assunto ou para validar o que já foi estudado. Exercícios propostos Se julgar conveniente, pro- ponha aos alunos que reali- zem esse bloco de exercícios em duplas. Depois, um re- presentante de cada dupla pode apresentar a resolução de algum exercício na lousa. 445.1 5 4 4 1 0 1 3 5 . Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 224 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES SIDNEY MEIRELES NELSON MATSUDA Observe outros exemplos, nos quais multiplicamos um número na forma decimal por 10, 100 ou 1.000. a) 8 8 , . , 5 32 10 100 532 10 100 5 320 53 20 5 5 5 b) 8 8 , . , 4 3 100 10 43 100 10 4 300 430 430 0 ou 5 5 5 c) 8 8 , . . . . . . . . , 10 5912 1 000 10 000 105 912 1 000 10 000 105 912 000 10 591 2 5 5 5 d) 8 8 , . . . 0 0451 100 10 000 451 100 10 000 45 100 5 5 5 4,5100 ou 4,51 e) 8 8 , . . . . , . 9 06 1 000 100 906 1 000 100 906 000 9 060 00 9 060 ou 5 5 5 Em cada item, compare o número que está multiplicando 10, 100 ou 1.000 com o resultado e verifique quantas casas decimais a vírgula “andou” para a direita. Na prática, para multiplicar um número na forma decimal por 10, 100, 1.000, 10.000, e assim por diante, deslocamos a vírgula para a direita, respectivamente uma, duas, três, quatro, … casas decimais. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39 Resolva mentalmente. a) 3,18 8 10 31,8 d) 10 8 9,5 95 b) 3,18 8 100 318 e) 100 8 0,0075 0,75 c) 3,18 8 1.000 3.180 f) 10.000 8 0,0456 Que quantia ela recebeu de troco? R$ 0,30 c) Um comerciante comprou 1.000 dessas garrafas de água. Quanto ele gastou? AC ERV O DO BAN CO CE NTR AL DO BR ASI L 41 Em um supermercado, cada garrafa com 0,5 li- tro de água custa R$ 1,97. a) Miranda comprou 10 dessas garrafas de água. Quantos litros de água ela comprou? b) Para pagar as garrafas de água, Miranda usou esta cédula: CLÁUDIO CHIYO 456 5 litros R$ 1.970,00 125,6 gramas 40 Resolva. Fabriquei 10 brincos, cada um com 12,56 gramas de ouro. Quantos gramas de ouro usei nesses brincos? Usando uma calculadora, esse cálculo poderia ser feito da seguinte maneira: Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou sub- tração com números racionais positivos na representação fracionária. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
- 291. BIMESTRE 3 225 Multiplicação Retome com os alunos a multiplicação de números racionais em forma de fra- ção. Proponha outras mul- tiplicações de dois números na forma decimal para resol- verem com base na multipli- cação de frações. Sugira que efetuem essas multiplica- ções considerando os núme- ros naturais que se obtêm ao eliminar as vírgulas dos fatores de cada multiplica- ção. Em seguida, peça a eles que comparem o resultado obtido por meio do produto de frações e os feitos com números naturais, como é o caso de 8,250 e 8.250. Espera-se que os alunos per- cebam que a única diferen- ça entre os resultados é a posição da vírgula (lembran- do que podemos entender o número natural 8.250 como 8.250,0, ou seja, a vírgula está no final do número). Peça a eles que observem também a quantidade de casas decimais de cada fator e o total de casas. No caso, 2,2 tem uma casa decimal e 3,75 tem duas, ao todo são três casas decimais, a mes- ma quantidade do produto 8,250 obtido pela multipli- cação das frações. Reproduza na lousa a multi- plicação envolvendo os dois números racionais na forma decimal e discuta com os alunos cada passo, para que compreendam a colocação da vírgula no produto. 8.25 5 5 7 2 3 3 2 . . Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 225 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 9 Multiplicação Laura quer comprar uma fita para fazer um laço para seu vestido. Laura tinha de saber o preço a ser pago por essa fita. Para isso, multiplicou 2,2 por 3,75. Veja como ela fez. 8 8 , , . . , , 2 2 3 75 10 22 100 375 1 000 8 250 8 250 8 25 5 5 5 5 Então, o valor a ser pago por Laura em 2,2 metros de fita é de R$ 8,25. Repare que transformamos os números dados em frações. Com isso, o cálculo da multipli- cação foi feito apenas entre números naturais (22 8 375 e 10 8 100). Entretanto, o produto dos denominadores (1.000) indica que no resultado devem ser consideradas as casas decimais até milésimos. duas casas decimais (2) uma casa decimal (1) três casas decimais (2 1 1 5 3) 375 3 22 750 1 750 8.250 3,75 3 2,2 750 1 750 8,250 Com o auxílio de uma calculadora, fazemos esse cálculo do seguinte modo: DANILLO SOUZA NELSON MATSUDA Bom dia! Em que posso ajudar? Quero 2,2 metros de fita, por favor. Na prática, você não precisa recorrer às frações. Observe. Para multiplicar números na forma decimal, procedemos como se eles fossem números naturais e damos ao produto um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. SIDNEY MEIRELES Habilidade trabalhada: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracio- nária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
- 292. 226 Orientações Se julgar necessário, escreva na lousa outras multiplica- ções de números racionais na forma decimal para al- guns alunos efetuarem, dis- cutindo com a turma cada procedimento. Outra atividade de amplia- ção que pode ser feita é organizar os alunos em du- plas, propor que montem algumas multiplicações com números na forma decimal e entreguem a outras du- plas. Depois das resoluções, as duplas destrocam para a correção, que será feita com o uso de calculadora. Ao fi- nal, promova uma discussão sobre as multiplicações cujo resultado na calculadora não bateu com o que foi fei- to no papel, já que o equí- voco também pode estar no uso da calculadora. Comente com os alunos que há calculadoras em que a se- quência de teclas apertadas difere da sequência apre- sentada. Essa observação deve ser feita sempre que houver uso de calculadora. 1.75 . . 0 1 2 2 5 3 7 3 M R C M 2 5 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 226 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Veja mais alguns exemplos. duas casas decimais duas casas decimais 0,75 3 4 3,00 4,5 3 7,6 270 1 315 34,20 uma casa decimal uma casa decimal duas casas decimais c) 7,32 8 0,23 7,32 3 0,23 2196 1 1464 1,6836 duas casas decimais duas casas decimais quatro casas decimais d) 0,3 8 0,02 uma casa decimal três casas decimais 0,3 3 0,02 0,006 duas casas decimais b) 4,5 8 7,6 a) 0,75 8 4 10 2 3,75 8 2,2 5 5 10 2 8,25 5 5 1,75 Na situação da página anterior, sabendo que Laura pagou a fita com uma nota de R$ 10,00, quanto de troco a vendedora Ana lhe devolverá? Para saber, Ana deverá calcular o valor da expressão 10 2 3,75 8 2,2. SAGEL KRANEFELD/GETTY IMAGES Portanto, Laura receberá R$ 1,75 de troco. Observe agora outros exemplos de expressões numéricas. NELSON MATSUDA NELSON MATSUDA a) 10,5 2 7,3 8 0,5 5 5 10,5 2 3,65 5 5 6,85 b) 4,3 8 (6 2 4,75) 5 5 4,3 8 1,25 5 5 5,375 Ana também poderá calcular o troco de Laura usando teclas de memória de uma calculadora. Veja as teclas que ela apertou após “limpar” a memória da calculadora. Usando a calculadora para esses exemplos, temos: a) 6.85 . 3 . . 5 0 1 3 7 M R C M M 5 b) 5.375 5 . 5 7 6 3 3 4 . 4 M R C M 2 memória aditiva memória subtrativa tecla para “chamar” a memória tecla para “limpar” a memória Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
- 293. BIMESTRE 3 227 Exercícios propostos No exercício 44, os alunos devem ter claro o signifi- cado de “o triplo de um número”, assim como da existência de mais de uma possibilidade para seu cál- culo. Caso seja necessário, proponha que primeiro es- timem o resultado final, em cada item, para depois faze- rem os cálculos propriamen- te ditos. No exercício 51, se achar conveniente, discorra sobre a necessidade de todos os cidadãos contribuírem para a circulação de moedas e so- bre o quanto é prejudicial o hábito de deixar as moedas guardadas, atrapalhando a circulação do dinheiro e di- ficultando a devolução de troco pelos comerciantes. O estudo dos diferentes mo- dos de compor 1 real utili- zando moedas é uma ação bem interessante, pois leva os alunos a registrarem rela- ções numéricas que já utili- zavam em situações cotidia- nas sem ter consciência. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 227 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 46 Determine o valor das expressões abaixo. a) 6,9 8 8,7 2 0,03 60 b) 14 2 15,6 8 0,84 0,896 c) 2,4 8 (5 2 3,75) 3 d) 4,6 8 5 2 12,36 10,64 e) 3,4 8 0,5 2 0,8 8 1,6 0,42 f) 12,78 2 4,3 8 2,6 1,6 43 Calcule o dobro de: a) 7,5; 15 b) 1,25; 2,5 c) 0,5. 1 42 Efetue cada uma das multiplicações abaixo. a) 2,7 8 3,9 10,53 b) 5,75 8 7 40,25 c) 0,45 8 0,82 0,369 d) 24 8 3,14 75,36 e) 4,5 8 7,6 34,2 f) 0,125 8 48 6 Calcule mentalmente o resultado aproximado de cada item abaixo. Faça o registro e, com uma calculadora, verifique se os resultados arredondados são próximos aos exatos. a) 6,89 8 7,10 49; 48,919 b) 2,12 8 8,09 16; 17,1508 c) 4,67 8 9,89 50; 46,1863 d) 6,79 8 12,12 84; 82,2948 e) 32,77 8 6,32 198; 207,1064 f) 42,78 8 8,21 344; 351,2238 SIDNEY MEIRELES FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 44 Calcule, em seu caderno, o triplo de: a) 15,20; 45,6 b) 17,8; 53,4 c) 10,5. 31,5 45 Pedro quer calcular mentalmente o valor apro- ximado de 5,32 8 4,74. Para isso, ele arredon- dou cada fator para a casa das unidades mais próxima e, em seguida, efetuou o cálculo. 47 Confira os resultados do exercício 46 refazendo os cálculos com uma calculadora. 5,32 8 4,74 5 8 5 5 25 respostas iguais às do exercício 46 ACERVO DO BANCO CENTRAL DO BRASIL 51 Os valores das moedas que circulam hoje no Brasil são: a) Quantas moedas de 5 centavos são neces- sárias para obter 1 real? E de 10 centavos? 48 De acordo com o site http://www.anp.gov.br (acesso em: 30 jul. 2017), o preço médio do eta- nol em São Luís, no Maranhão, era de R$ 3,246. a) Que quantia em real seria necessária para encher o tanque de um carro que comporta 45 litros? R$ 146,07 b) Calcule mentalmente. João colocou 10 litros de etanol no tanque do carro. Que quantia em real ele gastou? R$ 32,46 20 moedas de 5 centavos; 10 moedas de 10 centavos 50 No comércio, muitas vezes enfrentamos o problema da falta de troco. Veja as situações a seguir e responda às questões. a) Mário comprou três livros que custaram R$ 20,10 cada um. Para pagar, deu uma nota de R$ 100,00. Quanto a mais ele poderia dar para facilitar o troco? Com isso, quanto receberia de troco? b) No mercado, Maria gastou R$ 169,30. Deu quatro notas de 50 reais para o caixa. Qual é a menor quantia que ela poderia dar a mais para facilitar o troco, uma vez que o caixa só tinha notas de 10 e de 5 reais? E qual seria seu troco? R$ 4,30; R$ 35,00 49 Calcule mentalmente. Sandra comprou em uma loja 10 metros de fita dourada e pagou R$ 0,85 cada metro. Em outra loja, ela comprou 8 metros de fita prateada por R$ 0,90 cada metro. Estime em qual dessas compras Sandra gastou menos de 8 reais. na compra da fita prateada 50. a) Poderia dar mais 30 centavos e receberia R$ 40,00 de troco. As moedas de 1 centavo de real não são mais produzidas desde 2004. Habilidade trabalhada: (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
- 294. 228 Pense mais um pouco... Nesta seção, os alunos po- dem ser agrupados em du- plas ou trios para realizar os cálculos solicitados e compa- rar suas respostas. Primeiro, deverão encontrar a rela- ção entre as multiplicações apresentadas no início da atividade e aquelas apresen- tadas na questão 1. No caso, as relações são de- cimais, ou seja, basta fazer multiplicações por 10, 100 etc. para encontrar os resul- tados. Em seguida, precisam relacionar as multiplicações da questão 2 com as multi- plicações iniciais, aprovei- tando a dica de que devem fazer alguma adição ou sub- tração, sempre utilizando os resultados anteriores. Um dos caminhos possíveis para a resolução é: a) 38,2 8 11 5 5 38,2 8 4 1 38,2 8 7 b) 38,2 8 3 5 38,2 8 4 – 38,2 c) 38,2 8 14 5 5 38,2 8 7 1 38,2 8 7 d) 38,2 8 8 5 5 38,2 8 7 1 38,2 e) 38,2 8 47 5 5 38,2 8 40 1 38,2 8 7 f) 38,2 8 74 5 5 38,2 8 70 1 38,2 8 4 Espera-se que os alunos per- cebam que os produtos de- vem ser multiplicados por potências de 10 (10, 100 e 1.000) e notem uma aplica- ção intuitiva da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e em re- lação à subtração: 38,2 8 11 5 5 38,2 8 4 1 38,2 8 7 e 38,2 8 3 5 38,2 8 7 2 38,2 8 4. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 228 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO! Pense mais um pouco... Junte-se a um colega e considerem os resultados destas multiplicações: 38,2 8 4 5 152,8 e 38,2 8 7 5 267,4 1. Calculem mentalmente os produtos de: a) 38,2 8 40 e 38,2 8 70 1.528 e 2.674 b) 38,2 8 400 e 38,2 8 700 15.280 e 26.740 c) 38,2 8 4.000 e 38,2 8 7.000 152.800 e 267.400 2. Calculem os produtos a seguir efetuando uma adição ou uma subtração. a) 38,2 8 11 420,2 c) 38,2 8 14 534,8 e) 38,2 8 47 1.795,4 b) 38,2 8 3 114,6 d) 38,2 8 8 305,6 f) 38,2 8 74 2.826,8 10 Divisão por uma potência de 10 Uma mesa de pingue-pongue é vendida em 10 prestações iguais. O preço total a prazo é de R$ 456,50. ALAN CARVALHO 52 No final de um mês, Jonas tinha 50 moedas. a) Calcule quanto Jonas possuía sabendo que ele tinha 4 moedas de 25 centavos, 12 moe- das de 5 centavos, 9 moedas de 50 centa- 53 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre multiplicação de números racionais criado por vocês. Depois que cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. vos, 22 moedas de 1 real e 11 moedas de 10 centavos. R$ 29,20 b) Com esse dinheiro, Jonas foi ao cinema e comprou um pacote de pipoca por R$ 5,50. Quanto sobrou se o ingresso do cinema foi R$ 22,00? R$ 1,70 b) Usando apenas três moedas, de quantos modos diferentes posso ter R$ 1,50? c) De quantas moedas de 25 centavos preciso para ter 1 real? 4 d) Descreva pelo menos seis modos diferentes pelos quais, reunindo moedas, conseguimos obter R$ 1,00. 51. d) resposta possível: 1 moeda de 1 real; 2 moedas de 50 centavos; 1 moeda de 50 centavos e 2 de 25 centavos; 4 moedas de 25 centavos; 1 moeda de 50, 1 de 25, 2 de 10 e 1 de 5 centavos; 1 moeda de 50 e 5 de 10 centavos 3 moedas de 50 centavos 51. b) 2 modos 1 moeda de 1 real e 2 de 25 centavos
- 295. BIMESTRE 3 229 Divisão por uma potência de 10 Do mesmo modo que foi feito nas multiplicações por 10, 100, 1.000, podemos proceder aqui utilizando a calculadora para efetuar as divisões por 10, 100, 1.000 e assim por diante. Após cada cálculo, os alunos podem ve- rificar o que acontece com a vírgula no número que apa- rece no visor da calculadora. Essa atividade pode ser usa- da como motivação para ini- ciar o assunto ou para vali- dar o que foi estudado. Exercícios propostos Se julgar conveniente, este bloco de exercícios também pode ser feito em duplas e, depois, um representante de cada dupla pode apre- sentar a resolução de algum exercício na lousa. No exercício 55, aproveite a oportunidade para verificar se os alunos ampliaram suas observações e encontraram regularidades nas divisões de números racionais escri- tos na forma decimal por números naturais que são potências de 10. 45.65 5 6 5 4 . 1 5 0 4 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 229 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES NELSON MATSUDA Acompanhe estas outras divisões: a) 12,5 9 10 5 9 10 125 1 10 5 8 , 10 125 10 1 100 125 1 25 5 5 5 b) 54,62 9 100 5 9 . 100 5 462 1 100 5 5 8 . . . 100 5 462 100 1 10 000 5 462 5 5 0,5462 c) 6.354 9 1.000 5 6.354 8 . . . 1 000 1 1 000 6 354 5 5 6,354 d) 8 9 9 , . . . . , 419 2 100 10 4 192 1 100 10 4 192 100 1 1 000 4 192 4 192 5 5 5 5 e) 8 9 9 , . . . . . . . , 809 05 1 000 100 80 905 1 1 000 100 80 905 1 000 1 100 000 80 905 0 80905 5 5 5 5 SIDNEY MEIRELES Lembre-se de que 6.354 é igual a 6.354,0. Em cada item, compare o número que está sendo dividido por 10, 100 ou 1.000 com o resultado e verifique quantas casas decimais a vírgula “andou” para a esquerda. Na prática, para dividir um número na forma decimal por 10, 100, 1.000, 10.000, e assim por diante, deslocamos a vírgula para a esquerda, respectivamente uma, duas, três, quatro, … casas decimais. 54 Em uma confeitaria, o quilograma do bolo de chocolate custa R$ 30,00. Comprei um bolo com 2 qui- logramas e o dividi em 10 partes iguais. Quanto custa cada pedaço desse bolo? R$ 6,00 55 Efetue mentalmente as divisões a seguir. a) 54,6 9 10 5,46 c) 214,3 9 100 2,143 e) 35 9 10 3,5 b) 54,6 9 100 0,546 d) 214,3 9 1.000 0,2143 f) 35 9 100 0,35 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 56 Sabendo que 1.000 quilogramas equivalem a 1 tonelada, quantas toneladas correspondem a 12.560 qui- logramas? 12,560 toneladas Para saber o valor de cada prestação, podemos efetuar: 9 8 9 , . . . . , , 456 50 10 100 45 650 10 100 45 650 10 1 1 000 45 650 45 650 45 65 5 5 5 5 5 Então, o valor de cada prestação é de R$ 45,65. Usando a calculadora, podemos fazer esses cálculos da seguinte maneira:
- 296. 230 Divisão O uso do Material Dourado também pode auxiliar a dar significado para as divisões de dois números naturais (com divisor não nulo) com quociente na forma deci- mal, considerando como in- teiro o cubo grande. Por exemplo, pode-se pro- por que os alunos efetuem a divisão de maneira exa- ta (com resto zero) de 3 inteiros por 2. Eles devem representar os 3 inteiros com 3 cubos grandes e per- ceber que, para reparti-los em duas partes iguais, pre- cisam “quebrar” um dos cubos grandes. Como isso não pode ser feito, devem distribuir um cubo grande em cada parte e trocar o cubo grande que restou por 10 placas, que distribuídas igualmente resultam em 5 placas para cada parte. Ou seja, obtém-se 1 cubo gran- de e 5 placas em cada parte. Assim, podem concluir que 3 inteiros dividido por 2 resul- ta em 1 inteiro e 5 décimos, isto é, 1,5. Em seguida, apresente a si- tuação 1 para discussão com os alunos. Reproduza a di- visão na lousa, destacando todos os passos. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 230 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 3.25 5 6 2 8 4 NELSON MATSUDA 26 8 20 3,25 40 0 Para fazer esse cálculo usando a calculadora, apertamos as seguintes teclas: Na prática, procedemos assim: HOMESTUDIO/SHUTTERSTOCK 11 Divisão Agora, vamos estudar em várias etapas a divisão que envolve números na forma decimal. Divisão de números naturais com quociente na forma decimal Considere as seguintes situações. 26 8 2 3 quociente: 3 inteiros ou 3 unidades resto: 2 unidades ou 20 décimos 20 décimos 8 4 décimos 2 décimos quociente: 2 décimos resto: 4 décimos ou 40 centésimos 40 centésimos 8 0 5 centésimos quociente: 5 centésimos resto: 0 Dividimos 26 por 8 para encontrar sua parte inteira: Dividimos 20 décimos por 8 para encontrar os décimos do quociente: Dividimos 40 centésimos por 8 para encontrar os centésimos do quociente: Desse modo, obtemos o quociente de 26 por 8 na forma decimal: 3,25. Portanto, o preço de cada caneta é de R$ 3,25. As três etapas da divisão anterior podem ser reunidas em uma só. Veja como. Situação 1 Bárbara pagou 26 reais pela compra de 8 canetas coloridas. Para saber o preço de cada caneta, devemos dividir 26 por 8. Sabemos que o quociente dessa divisão é 8 26 . Veja como podemos encontrar a forma decimal desse quociente. 8 3 reais 2 décimos 5 centésimos de real de real R$ 3,25 26 reais 2 24 reais 2 reais 20 décimos de real 2 16 décimos de real 4 décimos de real 40 centésimos de real 2 40 centésimos de real 0 ou ou
- 297. BIMESTRE 3 231 Orientações Ainda com o uso do Mate- rial Dourado, pode-se pro- por a divisão 1 por 5. Nesse caso, desejamos repartir igualmente 1 cubo grande em 5 partes. Já de início, é necessário fazer trocas, concluindo que não haverá inteiros no resultado dessa divisão (por isso aparece no quociente o “zero vírgula”). Trocando-se 1 cubo grande por 10 placas e dividindo-se por 5, obtém-se 2 placas em cada parte, ou seja, 2 déci- mos, ou ainda, 0,2. Se julgar necessário, propo- nha outras divisões para se- rem feitas com o uso do Ma- terial Dourado como apoio. Em seguida, apresente a si- tuação 2 para discussão com os alunos. Reproduza a di- visão na lousa, destacando todos os passos. Proponha algumas divisões para os alunos trabalharem um pouco com a calculado- ra, sugerindo sempre que estimem o quociente (se ha- verá inteiros, décimos etc.) para poderem avaliar o re- sultado obtido no visor da calculadora. Eles podem re- gistrar o quociente estima- do no caderno para compro- var também se fizeram uma boa estimativa. Comente com os alunos que há calculadoras em que a se- quência de teclas apertadas difere da sequência apre- sentada. Essa observação deve ser feita sempre que houver uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 231 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Situação 2 9 inteiros 16 9 inteiros 0 quociente: 0 inteiro resto: 9 inteiros 90 décimos 16 10 décimos 0,5 quociente: 5 décimos resto: 10 décimos Vamos calcular o quociente decimal da divisão de 9 por 16. Ao dividir 9 inteiros em 16 partes iguais, não obtemos nenhum inteiro em cada parte; dessa forma, a parte inteira no quociente é zero. Depois, transformamos os 9 inteiros em 90 décimos e dividimos por 16. Sobram 10 décimos. Transformamos os 10 décimos em 100 centésimos e dividimos por 16. Sobram 4 centésimos. 90 16 100 centésimos 0,56 4 centésimos quociente: 56 centésimos resto: 4 centésimos Transformamos os 4 centésimos em 40 milésimos e dividimos por 16. Sobram 8 milésimos. 90 16 100 0,562 40 milésimos 8 milésimos quociente: 562 milésimos resto: 8 milésimos Transformamos os 8 milésimos em 80 décimos de milésimos e dividimos por 16. Não so- bra nada. quociente: 5.625 milésimos resto: 0 90 100 40 80 décimos de milésimos 0 16 0,5625 Logo, o quociente da divisão de 9 por 16 na sua forma decimal é 0,5625. Agora, observe alguns exemplos de expressões numéricas que envolvem divisões de nú- meros naturais com quociente na forma decimal. a) 10 9 25 1 125 9 100 5 0,4 1 1,25 5 1,65 b) 4 1 5 9 2 2 8 9 10 5 4 1 2,5 2 0,8 5 5,7 Para o cálculo do valor numérico dessas expressões na calculadora, apertamos as seguin- tes teclas: NELSON MATSUDA a) 0 0 1 0 1 5 2 5 2 1 M R C M 4 4 M b) 4 2 8 M M 5.7 M R C M 5 0 1 4 4
- 298. 232 Exercícios propostos No exercício 60, como suges- tão de ampliação, os alunos podem pedir a um adulto de seu convívio que use carro com frequência para fazer a mesma experiência de Pau- la, coletando dados reais em diferentes momentos de abastecimento. No exercício 62, discuta com a turma que um caminho para a resolução é verificar que o produto de 8 por 25 cm (2,0 m) é menor que 2,15 m. Aproveitando o contexto do exercício 62, proponha aos alunos uma pesquisa (em casa, na escola, nos merca- dos e em lugares públicos) de diferentes medidas que encontrarem para a altura de um degrau. Então, façam uma tabela comparando a altura total de 8 degraus. Exemplo da tabela montada: Altura de degraus de uma escada Altura de 1 degrau (em m) Altura de 8 degraus (em m) Degrau da escola 0,45 3,6 Degrau do mercado 0,5 4 Degrau da minha casa 0,38 3,04 Dados obtidos na pesquisa efetuada. Divisão de números naturais com quociente aproximado Discuta com os alunos a situa- ção da conta da sorveteria, que propõe arredondamen- to do quociente. Proponha outros números racionais na forma decimal para fazerem arredondamentos, indican- do qual número se pretende obter ou deixando que eles escolham. Habilidade trabalhada nesta dupla de páginas: (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. Plano 1 1 + 3 Plano 2 1 + 5 de R$ 219,30 sem acréscimo Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 232 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Divisão de números naturais com quociente aproximado Juliana e cinco amigas foram a uma sorveteria e gastaram R$ 53,00. No momento de pagar a conta, fizeram os cálculos para dividi-la em partes iguais. MARCIO GUERRA 53 6 5 8 58 Resolva. R$ 0,75 MARCIO GUERRA JOSÉ LUÍS JUHAS 61 Para a compra de uma TV com preço à vista de R$ 1.196,40, uma loja oferece dois planos de pagamento: 60 Paula encheu o tanque de combustível do carro e anotou o número 12.349, que correspondia, no hodômetro (marcador de quilometragem) do painel do carro, aos quilômetros rodados. Após alguns dias, ela retornou ao posto e vol- tou a encher o tanque do carro. Verificou que a bomba de etanol indicava 48 litros e que o número mostrado no hodômetro de seu carro era 12.805. Usando uma calculadora, responda: a) Se uma pessoa optar pelo plano 1, qual será o valor de cada prestação? R$ 299,10 b) Se optar pelo plano 2, quanto ela pagará a mais em relação ao preço à vista? MARCIO GUERRA Espera-se que o aluno estime que a altura de cada degrau é maior que 25 cm. FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 57 Qual é o número que, multiplicado por 4, re- sulta 25? E o número que, multiplicado por 25, resulta 4? 6,25; 0,16 Hum! A caixa com 20 chicletes custou 15 reais. Quanto custou cada chiclete? 59 Usando uma calculadora, encontre o valor de cada expressão. a) 10 9 16 1 16 9 10 2,225 b) 100 9 125 1 25 9 10 3,3 c) 10 9 8 2 2 9 5 1 4 4,85 62 Faça uma estimativa. Subi os 8 degraus iguais de uma escada. Quando pisei no último degrau, estava a 2,15 metros do chão. A altura de cada degrau é maior ou menor que 25 centímetros? a) Quanto Paula pagou pelos 48 litros de com- bustível, sabendo que, nesse dia, o litro do etanol custava R$ 2,395 naquele posto? b) Quantos quilômetros o carro de Paula roda com 1 litro de etanol? 9,5 quilômetros R$ 114,96 R$ 119,40 53 6 50 8,8 2 Elas perceberam que cada uma deveria pagar mais que R$ 8,00 e menos que R$ 9,00. Prosseguiram, então, com a divisão:
- 299. BIMESTRE 3 233 Exercícios propostos Se achar adequado, aprovei- te o exercício 66 para con- versar com os alunos sobre hábitos de consumo e algu- mas práticas comuns no co- mércio que acabam lesando os consumidores. Vejamos dois exemplos comuns. •Como a atenção do con- sumidor geralmente não se concentra nos centavos, muitos preços são exibidos com o máximo de centavos possível (como R$ 13,99 e R$ 149,99), pois assim o consumidor tem a falsa sensação de estar com- prando mais barato do que se estivessem registrados os valores redondos (como R$ 14,00 e R$ 150,00). •Há situações em que os mesmos valores são ar- redondados por falta de troco, levando o consumi- dor a perder centavos em diversos estabelecimentos. No item b do exercício 66, ao fazer 200 dividido por 3, notamos que não é possí- vel conseguir um quociente exato, obtendo o quociente 66,66666... Um exemplo de resposta pode ser: 200,00 134 2 2 66,00 14 67 134,00 0 Uma parcela de R$ 66,00 e duas de R$ 67,00. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 233 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 53 6 50 8,83 20 2 Cada uma deveria pagar mais que R$ 8,80 e menos que R$ 8,90. Isso ocorre porque o quo- ciente dessa divisão é maior que 8,8 e menor que 8,9. Continuando a divisão, Juliana e suas amigas notaram que deveriam pagar mais que R$ 8,83 e menos que R$ 8,84. Então, resolveram arredondar o valor para R$ 9,00. Assim, pagariam a despesa de R$ 53,00 e sobraria R$ 1,00, que deixariam para o garçom. Para fazer arredondamentos com números representados na forma decimal, usamos as mesmas regras válidas para os números naturais: Arredondamos “para cima” se o algarismo à direita do da ordem que vai ser arredondada é 5, 6, 7, 8 ou 9. 8,8 8,86 15,785 9,0 ou 9 8,90 ou 8,9 15,790 ou 15,79 Arredondamos “para baixo” se o algarismo à direita do da ordem que vai ser arredondada é 0, 1, 2, 3 ou 4. 8,83 8,833 23,4 8,80 ou 8,8 8,830 ou 8,83 23,0 ou 23 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS 63 Pelos critérios matemáticos de arredonda- mento já estudados, Juliana e suas amigas deveriam arrendondar o resultado 8,83 para 8,80. Em uma situação real como a delas, isso seria possível? 65 Calcule, com duas casas decimais, o quociente de cada divisão a seguir. a) 76 9 3 25,33 b) 58 9 6 9,66 c) 45 9 8 5,62 d) 243 9 17 14,29 64 Calcule, com uma casa decimal, o quociente de cada divisão. a) 8 9 3 2,6 b) 142 9 21 6,7 c) 158 9 6 26,3 d) 53 9 9 5,8 66 Duas clientes entraram em uma loja. A primeira fez uma compra no valor de R$ 135,00, e a segunda, no valor de R$ 200,00. Sabendo que as duas clientes optaram pelo pagamento parcelado, responda: a) Qual foi o valor de cada parcela paga pela primeira cliente? R$ 45,00 b) Calcule o valor de cada parcela paga pela segunda cliente, sabendo que nenhum deles apresentava centavos. 67 Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisão com números racionais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los. Resposta pessoal. 63. resposta possível: Normalmente não, pois o valor da conta é de R$ 53,00 e não de R$ 52,80. Só seria possível se o proprietário do estabelecimento aceitasse receber R$ 0,20 a menos. um pagamento de R$ 66,00 e dois de R$ 67,00 ALAN CARVALHO resposta possível:
- 300. 234 Pense mais um pouco... Nesta seção, o uso da cal- culadora tem papel funda- mental nas atividades de investigação. É importante ressaltar o uso da calcula- dora como instrumento de pesquisa, que libera os alu- nos da preocupação com a operação e permite que en- foquem a conclusão sobre a conservação do quociente mediante a multiplicação do dividendo e do divisor por um mesmo número não nulo. Divisão de dois números na forma decimal Retome com os alunos a di- visão de números racionais na forma de fração. Se jul- gar necessário, proponha outras divisões desse tipo para efetuarem. Proponha também outras divisões de números na for- ma decimal para os alunos resolverem com base na divisão de frações e com- provarem o resultado efe- tuando a divisão dada na calculadora. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. 50 5 . . 5 2 5 2 0 1 4 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 234 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO DANIEL ZEPPO NELSON MATSUDA Divisão de dois números na forma decimal Para encher um aquário, Eduardo está usando um copo com capacidade de 0,25 litro. Nesse aquário cabem 12,5 litros. Para determinar quantos copos cheios de água Eduardo precisará despejar no aquário, vamos dividir 12,5 por 0,25. Então, 12,5 9 0,25 5 1.250 9 25 5 50. Portanto, Eduardo precisará despejar 50 copos de água no aquário para enchê-lo. Usando uma calculadora, fazemos esse cálculo assim: Pense mais um pouco... Reúna-se com um colega, usem uma calculadora e façam o que se pede. 1. Efetuem as divisões: a) 85 9 4 21,25 d) 170 9 8 21,25 g) (5 8 85) 9 (5 8 4) 21,25 b) 850 9 40 21,25 e) 255 9 12 21,25 h) (11 8 85) 9 (11 8 4) 21,25 c) 8.500 9 400 21,25 f) 340 9 16 21,25 i) (19 8 85) 9 (19 8 4) 2. Escolham dois números racionais, a e b, não nulos, isto é, diferentes de zero, na forma decimal, e dividam a por b. Em seguida, efetuem as divisões entre: a) o dobro de a e o dobro de b; c) o quíntuplo de a e o quíntuplo de b; b) o triplo de a e o triplo de b; d) o sêxtuplo de a e o sêxtuplo de b. 3. Discutam e escrevam uma conclusão sobre esta questão: “Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o quo- ciente se altera?” não Os alunos devem obter o mesmo quociente de a por b. 21,25 9 8 9 9 , , . . . 12 5 0 25 10 125 100 25 10 125 25 100 250 12 500 25 1 250 1 250 25 5 5 5 5 5
- 301. BIMESTRE 3 235 Orientações Proponha outras divisões de números na forma decimal para que os alunos decidam por qual potência de 10 de- vem multiplicar o dividendo e o divisor a fim de obter uma divisão entre dois nú- meros naturais, obtendo os quocientes naturais dessas divisões. Em seguida, peça a eles que efetuem as divisões originais (entre dois números na for- ma decimal) com a calcula- dora e, depois, comparem o resultado obtido no visor com os quocientes naturais das divisões corresponden- tes efetuadas entre dois números naturais. Espera- -se que percebam que esses quocientes são iguais. Reproduza na lousa as di- visões apresentadas nesta página, ressaltando as duas conclusões sobre o quocien- te e sobre o resto dessas di- visões, que são a base para a divisão envolvendo nú- meros racionais na forma decimal: multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número não nulo, o quociente não se altera e o resto também fica multipli- cado por esse número. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 235 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES No cálculo da divisão de números na forma decimal, vamos aplicar o seguinte: Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o quociente não se altera. Acompanhe o cálculo de 15,2 9 0,38. Multiplicando 15,2 e 0,38 por 100, obtemos os números naturais 1.520 e 38. O quociente de 15,2 por 0,38 é igual ao quociente de 1.520 por 38. Observe. 1520 38 000 40 15,2 9 0,38 5 1.520 9 38 5 40 Portanto, o quociente de 15,2 por 0,38 é 40. Veja outros exemplos. Vimos que, em uma divisão, o quociente não se altera quando o dividendo e o divisor são multiplicados por um mesmo número diferente de zero. Observe mais um exemplo. 3 2 1 1 30 20 10 1 300 200 100 1 Multiplicamos o dividendo e o divisor por 100. Multiplicamos o dividendo e o divisor por 10. 540 12 060 45 00 a) 5,4 9 0,12 5 45 2201600 4300 051600 5,12 8600 0000 c) 22,016 9 4,3 5 5,12 120 3 00 40 b) 12 9 0,3 5 40 Nessas divisões o quociente se mantém igual, mas o resto não permanece o mesmo. 3 10 3 10 3 10 3 2 1 1 30 20 10 1 3 100 3 100 3 100 3 2 1 1 300 200 100 1 Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o resto também fica multiplicado por esse número.
- 302. 236 Orientações Como atividade de amplia- ção, é possível organizar os alunos em duplas, propor que montem algumas divi- sões exatas envolvendo nú- meros na forma decimal no dividendo, no divisor ou em ambos (isso pode ser feito com o auxílio da calculado- ra) e entreguem-nas a ou- tras duplas. Depois de efetuar as reso- luções, as duplas destrocam as divisões para a correção, que será feita com o uso de calculadora. Ao final, promova uma dis- cussão sobre as divisões cujo quociente na calculadora não bateu com o que foi fei- to no papel, já que o equí- voco também pode estar no uso da calculadora. Exercícios propostos No exercício 68, ao dividir 50 metros por 2,75 metros, é possível que os alunos multi- pliquem esses dois números por 100, tornando-os intei- ros, o que não vai alterar o quociente. Entretanto, o resto não será dado em me- tro, mas em centímetro, já que 50 m e 2,75 m passaram a ser 5.000 cm e 275 cm, res- pectivamente, quando fo- ram igualadas as casas para efetuar a divisão. Se houver necessidade, re- tome a equivalência 1 m 5 5 100 cm. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para veri- ficar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 236 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Considere agora a situação a seguir, que mostra uma aplicação dessa importante proprie- dade da divisão. Uma peça de tecido com 12,2 metros de comprimento é dividida em retalhos iguais de 1,3 metro de comprimento. Quantos retalhos são obtidos e quanto tecido sobra nessa divisão? Para resolver esse problema, basta dividir 12,2 por 1,3 e verificar o quociente e o res- to obtidos. Veja outro exemplo. Para saber o resto, em metro, basta dividir o resto 5 por 10, ou seja, 5 9 10 5 0,5. Assim, obtêm-se 9 retalhos e ainda sobra 0,5 metro de tecido. 69 Calcule os quocientes. a) 25,46 9 6,7 3,8 d) 0,09 9 0,36 0,25 b) 1,6632 9 0,924 1,8 e) 203,82 9 15,8 12,9 c) 124,976 9 8,56 14,6 f) 93,4656 9 9,736 9,6 68 Uma costureira usou 2 metros e 75 centímetros de cetim em cada túnica dos participantes de um coral. Quantos participantes há nesse coral? Quanto sobrou de tecido? 18; 50 cm TEL COELHO FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO EXERCÍCIOS PROPOSTOS Ainda bem que comprei 50 metros de tecido. Um participante a mais, e faltaria tecido! 72 Calcule: a) 10 8 0,1 1 d) 20 9 0,5 40 b) 10 9 0,1 100 e) 0,2 8 0,001 0,0002 c) 20 8 0,5 10 f) 0,2 9 0,001 200 71 Calcule os quocientes aproximados com duas casas decimais. a) 0,58 9 7 0,08 c) 0,25 9 0,7 0,36 b) 10 9 0,9 11,11 d) 45,6 9 9,2 4,96 70 Determine os quocientes aproximados com uma casa decimal. a) 7,4 9 6 1,2 c) 9,4 9 2,1 4,5 b) 12,5 9 0,3 41,7 d) 85,6 9 9,6 8,9 5,2 2 4,8 0,4 5 4 décimos 1,2 4 unidades 12 4 unidades 52 2 48 4 5 4 unidades 3 10 3 10 3 10 12,2 metros 1,3 metro por retalho resto ? retalhos 122 13 05 9 quantidade de retalhos 3 10 3 10 3 10 5.000 cm 275 cm 4.950 18 túnicas 050 cm (18 participantes) 50 m 2,75 m
- 303. BIMESTRE 3 237 Exercícios propostos O exercício 73 exige que os alunos comparem as três di- visões, tendo em vista não apenas o quociente encon- trado em cada uma, mas o resto obtido. Após algumas discussões e trocas de ideias, é importante incentivar os alunos a relatarem o que perceberam, a fim de se apropriarem das conclusões. Vejamos algumas obser- vações interessantes nesse caso: •Todas as divisões têm o mesmo resultado, apesar de os números envolvidos (dividendo e divisor) serem distintos nas três divisões. •De uma divisão para ou- tra, multiplicamos por 10 o dividendo e o divisor (43 8 10 5 430, assim como 9 8 10 5 90 e também 430 8 10 5 4.300 e 90 8 10 5 5 900), mas o quociente continua o mesmo. O que muda de uma divisão para outra é o resto, que tam- bém fica multiplicado por 10 e vai aumentando (7 na primeira, 7 8 10 na segunda e 70 8 10 na terceira). No exercício 76, cujo con- texto é o turismo no Brasil, outras informações interes- santes sobre o assunto po- dem ser consultadas no site do Ministério do Turismo http://www.turismo.gov. br, no qual há dados atu- ais sobre destinos e roteiros nacionais, apontando dife- rentes opções para jovens, adultos e crianças conhece- rem melhor o país. Se julgar conveniente, discu- ta com os alunos o fato de o turismo representar um campo de forte potencial econômico no Brasil, embo- ra careça ainda de desenvol- vimento mais consistente. Pense mais um pouco... Esta seção traz um desafio que pode ser feito em duplas. A discussão de opiniões e a verbalização de ideias contribuem para um aprendizado mais significativo e enriquecedor. 6,8 9,7 8,4 5,6 13,7 2,8 4 6,9 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 237 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES 76 Uma agência de turismo está oferecendo um plano de hospedagem em um hotel do Panta- nal mato-grossense ao preço de R$ 1.021,00 à vista ou em 3 prestações de R$ 346,00. Paula e Renata vão fazer essa viagem. Paula pagou à vista, e Renata, a prazo. Responda: a) Quanto Renata pagou a mais que Paula? b) Como Renata ficará hospedada durante 7 dias, qual é o valor aproximado que ela pagará por dia? R$ 148,29 73 Observe as divisões abaixo e faça o que se pede. 43 9 7 4 430 90 70 4 4.300 900 700 4 74 Sabendo que 43 9 8 = 5,375 e que 25 9 4 5 6,25, calcule mentalmente e escreva os quocientes na forma decimal. a) 430 9 80 5,375 e) 250 9 40 6,25 b) 4,3 9 0,8 5,375 f) 2,5 9 0,4 6,25 c) 4.300 9 800 5,375 g) 2.500 9 400 6,25 d) 0,43 9 0,08 5,375 h) 0,25 9 0,04 6,25 BETO CELLI Paisagem do Pantanal mato-grossense. (Foto de 2017.) ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS 73. a) resposta possível: o divisor, o dividendo e o resto da 1a divisão foram multiplicados por 10 e por 100 nas divisões seguintes. O resto da 1a divisão fica multiplicado por 10 e depois por 100. O quociente não muda. R$ 17,00 quociente: 4; resto: 7.000 a) Identifique o que muda e o que não muda de uma divisão para a outra. b) Calcule mentalmente o quociente e o resto da divisão de 43.000 por 9.000. 75 Um garrafão tem 30 litros de água mineral. Quantas garrafas de 0,5 litro pode- rão ser enchidas com a água desse garrafão? 60 ILUSTRAÇÕES: NELSON MATSUDA FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO Pense mais um pouco... No quadro abaixo, as figuras iguais representam o mesmo número. As flechas apontam para a soma dos números de cada linha ou coluna. Descubra o valor que cada figura representa. LEMBRE-SE: NÃO ESCREVA NO LIVRO!
- 304. 238 Trabalhando a informação Esta seção introduz o con- ceito de média aritmética. É provável que alguns alunos já tenham vivenciado situações em que houve necessidade de calcular a média aritméti- ca de uma amostra de dados. Além dos cálculos envolvidos nessa discussão, eles devem compreender o significado de média e saber avaliar se as respostas obtidas estão den- tro do esperado. Uma atividade que pode ser proposta aos alunos é que obtenham dados pessoais dos colegas, como altura, e determinem o valor médio da turma referente à gran- deza tratada, como a altura média. Habilidades trabalhadas nesta dupla de páginas: (EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positi- vos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. TRABALHANDO A INFORMAÇÃO Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 238 CAPÍTULO 9 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES Trabalhando com média Antônio resolveu premiar os vendedores de sua loja de calçados pagando um adicional de R$ 500,00 àqueles que vendessem acima da média no mês de julho. Ele organizou uma tabela que mostra as vendas de cada um dos vendedores. Observe ao lado. Para saber quais vendedores têm direito ao prêmio, Antônio precisa calcular a média de vendas de todos eles. Para isso, ele adicionou o valor das vendas de cada vendedor e, em seguida, dividiu o total obtido por 6, pois foram considerados 6 vendedores: (23.000 1 33.500 1 13.500 1 21.000 1 18.810 1 28.400) 9 6 5 138.210 9 6 5 23.035 Ao adicionar o valor das vendas de cada vendedor e dividir o total obtido pela quantidade de vendedores, Antônio obteve o valor médio de vendas do mês de julho, ou seja, ele calculou a média aritmética dos valores de vendas do mês. Observe que, nesse caso, o valor médio de vendas obtido (R$ 23.035,00) é diferente dos valores das vendas de todos os vendedores. Assim, Antônio percebeu que deve pagar um adicional de R$ 500,00 aos vendedores Fernanda e Pedro. Reúna-se em grupo de 4 a 6 alunos e façam o que se pede. 1 Com relação aos dados acima, se Carlos tivesse vendido um total de R$ 23.040,00, e os outros ven- dedores permanecessem com os mesmos valores de vendas, ele passaria a receber o adicional de R$ 500,00 em seu salário? LIGIA DUQUE Gasto médio de Tiago: R$ 46,75; gasto médio de Clara: R$ 48,75. Faturamento do vendedor Vendedor Valor total de vendas Carlos R$ 23.000,00 Fernanda R$ 33.500,00 Fábia R$ 13.500,00 Geraldo R$ 21.000,00 Marcela R$ 18.810,00 Pedro R$ 28.400,00 FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO Agora quem trabalha é você! Dados obtidos por Antônio. Não, pois a média das vendas no mês passaria a ser R$ 23.041,70; logo, ele estaria abaixo da média. 3 Em determinado jogo de basquete entre as equipes A e B, os jogadores que estavam na quadra tinham as alturas registradas no quadro ao lado, em metro. a) Qual é a altura média dos jogadores de cada equipe? b) Na equipe A, quantos jogadores têm altura acima da altura média? 3 c) Na equipe B, quantos jogadores têm altura abaixo da altura média? 2 Equipe A 2,04; 2,01; 2,08; 1,90 e 1,82 Equipe B 2,02; 2,01; 1,98; 1,96 e 1,93 4 Elaborem uma tabela com a altura (em metro), a massa (em quilograma) e a idade (em mês) de cada aluno do grupo que formaram e, em seguida, calculem a média do grupo para cada um desses itens. 2 Joana, mãe de Tiago e de Clara, ficou assustada ao ver a conta de celular do filho referente ao mês de abril. Ele gastou o dobro da conta de Clara. Muito esperto, Tiago provou à mãe que Clara havia gasto, em média, mais do que ele, considerando as contas desde o início do ano. Calculem o gasto médio das contas de Tiago e de Clara, referentes aos 4 meses considerados, para verificar se ele tinha razão. Resposta pessoal. a) equipe A: 1,97 m; equipe B: 1,98 m
- 305. BIMESTRE 3 239 Potenciação Com base na potenciação de números naturais e de frações, desenvolva a poten- ciação de base com números racionais na forma decimal e expoente natural. Conforme abordamos nesta página, explore o cálculo de potências em uma calculado- ra simples. No entanto, esse estudo pode ser ampliado para calculadoras científi- cas, contidas em celulares ou computadores, de modo que os alunos percebam a existência de teclas especiais para o cálculo de algumas potências, como a tecla