Mat exercicios resolvidos

Solução Comentada da Prova de Matemática

45. O conjunto formado pelos números naturais cuja divisão por 5 deixa resto 2 forma uma progressão
aritmética de razão igual a:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Questão 45 – Alternativa D
Solução: O conjunto descrito no enunciado acima é dado por:
{ a n ∈ N : a n = 5n + 2, n ∈ N } = { 7, 12, 17, ... }
Portanto, trata-se de uma progressão aritmética de razão igual a 5. Então, a resposta correta é a da
alternativa D.

46. Uma fábrica de confecções produziu, sob encomenda, 70 peças de roupas entre camisas, batas e calças,
sendo a quantidade de camisas igual ao dobro da quantidade de calças. Se o número de bolsos em cada
camisa, bata e calça é dois, três e quatro, respectivamente, e o número total de bolsos nas peças é 200,
então podemos afirmar que a quantidade de batas é:
A) 36
B) 38
C) 40
D) 42
E) 44

Questão 46 – Alternativa C
Solução: Vamos designar por x, y e z a quantidade de camisas, batas e calças respectivamente. Por
hipótese, sabemos que x + y + z = 70 e x = 2z. Por outro lado, a quantidade de bolsos satisfaz a
relação 2x + 3y + 4z = 200 . Sendo x = 2z., obtemos o sistema y + 3z = 70 e 3y + 8z = 200. Resolvendo
o sistema, encontramos y = 40 e z = 10. Então, a resposta correta é a da alternativa C.

47. Os números naturais p = 2 31 – 1 e q = 2 61 – 1 são primos. Então, o número de divisores de 2pq é igual
a:
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8

Questão 47 – Alternativa E
Solução: De acordo com a definição de divisibilidade entre os naturais, podemos concluir que os
divisores do número natural 2pq são: 1, 2, p, q, 2p, 2q, pq, 2pq. Então, a resposta correta é a da
alternativa E.

48. Dadas as funções f : R →R e g : R →R definidas por f ( x ) = 1 - x 2 e g(x ) = x , o
número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1

Vestibular 2008.- 1ª Etapa Matemática Pág. 1 de 3

Questão 48 – Alternativa B
Solução: Para que haja interseção entre os gráficos de f e g é necessário e suficiente que se tenha a
igualdade f(x) = g(x), ou seja, que 1 - x 2 = x . Isso equivale a resolver a equação
biquadrática x4 – 3x2 + 1 = 0, que possui quatro soluções. Logo, o número de pontos na interseção
do gráfico de f com o de g é 4. Portanto, a resposta correta é a da alternativa B.

20
 1+i9 
49. O valor do número complexo 
 1 + i 27

 é:
 
A) 1
B)
C) –
D) –1
E) 220
Questão 49 – Alternativa A
× 4 +1 × 13 + 1
Solução: Sabemos que i 2 =- 1 . Assim, i 9 =i 2 =i enquanto que i 27 =i 2 =- i
.
20 20 20
 1+i9  1+i   (1 + i ) 2 
Logo,   =    =  = i 20 = 1 .
 1 + i 27   1 −i 
 2 
   
Portanto, a resposta correta é a da alternativa A.

50. Um triângulo eqüilátero, um quadrado e um círculo têm o mesmo perímetro. Se AT , A Q e A C
denotam respectivamente as áreas do triângulo, do quadrado e do círculo, podemos afirmar que:
A) AT > AQ > AC
B) AC > AQ > AT
C) AQ > AT > AC
D) AQ > AC > AT
E) AC > AT > AQ

Questão 50 – Alternativa B
Solução: Seja p o número que representa o perímetro comum às figuras planas indicadas no
enunciado. Então, os números p/3, p/4 e p/2π representam respectivamente as medidas dos lados do
p2 p2
triângulo eqüilátero, dos lados do quadrado e do raio do círculo. Portanto, AT = , AQ = ,
12 3 16
p2
e AC = . Por outro lado, como 4π < 16 < 12 3 conclui-se que AT < AQ < AC . Portanto, a
4π
resposta correta é a da alternativa B.

51. Duas esferas de raios iguais a são colocadas no interior de um tubo de ensaio sob a forma de um
cilindro circular reto de raio da base e altura . No espaço vazio compreendido entre as esferas, a
superfície lateral e as bases, superior e inferior, do tubo de ensaio, coloca-se um líquido. Então, o volume
desse líquido é:
2 3
A) πr
3
3 3
B) πr
4
4 3
C) πr
3
D) 2πr3


E) 4πr3

Questão 51 – Alternativa C
Solução: O volume do referido líquido, digamos V, é igual ao volume do cilindro menos os volumes
4πr 3 4πr 3
das esferas nele contidas. Então, V = 4πr3 – 2 = . Portanto, a resposta correta é a da
3 3
alternativa C.

52. O número de faces de um poliedro convexo com 20 vértices e com todas as faces triangulares é igual a:
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36

Questão 52 – Alternativa E
Solução: Denotemos por V, A e F, respectivamente, o número de vértices, arestas e faces do poliedro.
Sabemos da relação de Euler que V – A + F = 2. Por outro lado, num poliedro convexo com faces
triangulares temos a relação 3F = 2A. Assim, F = 2V – 4.
Portanto, a resposta correta é a da alternativa E.


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