Mat triangulo 004
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O documento apresenta 10 exercícios sobre triângulos retângulos, envolvendo cálculos de medidas de lados, ângulos e distâncias usando propriedades dos triângulos. As questões abordam tópicos como: cálculo de altura de árvore usando tangente de ângulo, relação entre catetos e hipotenusas, cálculo de raio de circunferência e distâncias, relação entre ângulos em lançamento de bola, e cálculo de altura de torre com base em ângulo de visada
![Exercícios sobre triângulo retângulo
GABARITO
1. 11,5 metros
2. a) tg ‘ =1, tg ’ = (Ë2)/2 e tg – = (Ë3)/3
b) Como 0° < ‘, ’, – < 90°, temos:
tg ‘ = 1Ì tg ‘ = tg 45° ë ‘ = 45°
tg – = (Ë3)/3Ì tg – = tg 30° ë – = 30°
c) Pelo item (a) sabemos que tg – < tg ’ < tg ‘. E como estes ângulos são todos agudos, conclui-se que – < ’
< ‘ Ì 30° < ’ < 45°.
Adicionando-se 75° a todos os termos da desigualdade, obtém-se
105° < 45° + ’ + 30° < 120° Ì
105° < ‘ + ’ + – < 120°.
c.q.d.
3. a) 1 km
b) Ë2 km
4. a) ’ = 2š
b) x = 0,5 m
5. a) OA‚ = Ë2 u. c., OAƒ= Ë3 u.c., OA„= Ë4 = 2 u.c. e OA•³ = Ë10 u.c.
b) a• = (Ë2)/2, a‚= (Ë3)/3, aƒ = (Ë4)/4 = 1/2 e a‰= (Ë10)/10
6. [A]
7. [D]
8. [D]
9. [B]
10. [A]
31/3/2010 1:49 pag.6](https://image.slidesharecdn.com/mattriangulo004-111209125317-phpapp01/85/Mat-triangulo-004-6-320.jpg)
Mat triangulo 004
- 1. Exercícios sobre triângulo retângulo 1. (Ufla 2006) Um aparelho é construido para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do angulo de visada ‘, conforme o esquema da figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2. Sendo Ø• = 30 cm e Ø‚ = 20 cm, calcule a altura da árvore. 2. (Ufrn 2004) A figura abaixo é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1. Considerando os ângulos ‘, ’ e – na figura abaixo, atenda às solicitações seguintes. a) Calcule tg ‘, tg ’ e tg –. b) Calcule os valores de ‘ e –. c) Justifique por que 105° < ‘ + ’ + – < 120°. 31/3/2010 1:49 pag.1
- 2. Exercícios sobre triângulo retângulo 3. (Unicamp 2005) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir. a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB. 4. (Ufg 2005) Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, seguindo a trajetória indicada na figura a seguir. Nessas condições, calcule: a) o ângulo ’ em função do ângulo š; b) o valor de x indicado na figura. 31/3/2010 1:49 pag.2
- 3. Exercícios sobre triângulo retângulo 5. (Unifesp 2004) Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são retângulos e os catetos OA•, A•A‚, A‚Aƒ, AƒA„, A„A…,..., A‰A•³ têm comprimento igual a 1. a) Calcule os comprimentos das hipotenusas OA‚, OAƒ, OA„ e OA•³. b) Denotando por šŠ o ângulo (AŠÔAŠø•), conforme figura da direita, descreva os elementos a•, a‚, aƒ e a‰ da seqüência (a•, a‚, aƒ, ..., aˆ, a‰), sendo aŠ = sen(šŠ). 6. (Pucrs 2004) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 m por 8m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado momento de um jogo, estão posicionadas como na figura abaixo. A distância "x", percorrida pela jogadora B para se deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, éa) x = 5 tan (š)b) x = 5 sen (š)c) x = 5 cos (š)d) x = 2 tan (š)e) x = 2 cos (š) 31/3/2010 1:49 pag.3
- 4. Exercícios sobre triângulo retângulo 7. (Uel 2006) Uma cidade planejada foi construída com seu sistema de esgoto obedecendo à esquematização de uma malha linear representada no gráfico a seguir, onde cada vértice dista do outro de uma unidade. a) 1/2 b) Ë2/2 c) Ë3/2 d) (4Ë17)/17 e) (2Ë17)/17 8. (Uerj 2004) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180 m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação ao solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua velocidade se mantenha constante ao longo de todo o percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no solo, a y metros do ponto de lançamento.Os valores de x e y são, respectivamente:a) 90 e 90Ë3b) 90Ë3 e 90c) 450 e 450Ë3d) 450Ë3 e 450 9. (Unesp 2004) A figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências. Se ‘ é a medida do ângulo CÔP, o valor de sen ‘ é:a) 1/6.b) 5/11.c) 1/2.d) 8/23.e) 3/8. 31/3/2010 1:49 pag.4
- 5. Exercícios sobre triângulo retângulo 10. (Uerj 2004) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema abaixo. A altura da torre, em metros, equivale a:a) 96b) 98c) 100d) 102 31/3/2010 1:49 pag.5
- 6. Exercícios sobre triângulo retângulo GABARITO 1. 11,5 metros 2. a) tg ‘ =1, tg ’ = (Ë2)/2 e tg – = (Ë3)/3 b) Como 0° < ‘, ’, – < 90°, temos: tg ‘ = 1Ì tg ‘ = tg 45° ë ‘ = 45° tg – = (Ë3)/3Ì tg – = tg 30° ë – = 30° c) Pelo item (a) sabemos que tg – < tg ’ < tg ‘. E como estes ângulos são todos agudos, conclui-se que – < ’ < ‘ Ì 30° < ’ < 45°. Adicionando-se 75° a todos os termos da desigualdade, obtém-se 105° < 45° + ’ + 30° < 120° Ì 105° < ‘ + ’ + – < 120°. c.q.d. 3. a) 1 km b) Ë2 km 4. a) ’ = 2š b) x = 0,5 m 5. a) OA‚ = Ë2 u. c., OAƒ= Ë3 u.c., OA„= Ë4 = 2 u.c. e OA•³ = Ë10 u.c. b) a• = (Ë2)/2, a‚= (Ë3)/3, aƒ = (Ë4)/4 = 1/2 e a‰= (Ë10)/10 6. [A] 7. [D] 8. [D] 9. [B] 10. [A] 31/3/2010 1:49 pag.6
- 7. Exercícios sobre triângulo retângulo RESUMO Número das questões: documento banco fixo 1 7765 64751 2 7095 57106 3 7115 57126 4 7188 57199 5 6762 53714 6 6699 53651 7 7784 64778 8 7094 57105 9 6726 53678 10 7118 57129 31/3/2010 1:49 pag.7