Módulo 01 - 8 ano / Ens.Fundamental

1
Expressões Algébricas
Expressões algébricas são expressões Matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são
também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas
podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de
números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e
contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas.
Veja alguns exemplos de expressões algébricas:
2x – 5
3a + 2y
x² + 7x
5 + x – (5x – 2)
10y – 10x
a² – 2ab + b²
Definição de Monômio
Denominamos monômio ou termo algébrico quaisquer expressões algébricas representadas por um
número, por uma incógnita, ou pelo produto de números e incógnitas, assim 2, x, 2x e -3xy2
são exemplos
de termos algébricos ou monômios.
Identificando as Partes de um Monômio
No monômio -3xy2
o número -3 representa o seu coeficiente numérico e a sua parte literal é representada
por xy2
.
Por convenção omitimos o coeficiente numérico quando ele é igual a 1, escrevemos x em vez de
escrevermos 1x, por exemplo, ou então -x no lugar de -1x.
Temos um monômio nulo quando o coeficiente numérico é igual a 0, assim o termo algébrico 0x2
é igual
a 0.
Acima utilizamos o número 2 como um exemplo de monômio. De fato todo número real é um monômio,
só que sem a parte literal.
Observe:

2
Exercícios:
1 - Dê o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes monômios:
a) 8 x
b) 4xy
c) -5ax
d) – x2
y3
e) xyz
f) 1,5 xy
g) 4/7 x6
2 – Complete a tabela:
Termo Coeficiente Parte literal
-4x -4 x
15 Am2
-x
Grau de um Monômio
O grau de um monômio é obtido através da soma dos expoentes de todas as variáveis. O coeficiente
numérico deve ser diferente de zero, caso contrário o monômio será nulo.
7xy2
é um monômio de grau 3, já que o expoente de x subentende-se que seja igual a 1 e o de y é igual a
2.
O monômio -5x4
é de grau 4, pois só possui a variável x com expoente igual a 4.
182
é de grau 0, pois é um monômio sem a parte literal.
Exercícios:
1 – Dê o grau de cada uma dos seguintes monômios:
a) 5x2
=
b) 4x5
y2
=
c ) – 2 xy2
=
d) a3
b4
=
e) 8xyz=

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Monômios Semelhantes
Observe os três termos algébricos abaixo:
-5x4
y
2x4
y
7xy2
Note que os dois primeiros possuem a mesma parte literal, já o terceiro embora partilhe das mesmas
variáveis, possui uma parte literal distinta, pois os expoentes das respectivas variáveis são diferentes.
Obs.: Não são semelhantes:
6x²y e 4xy²
10x³ e 10 x²
Exercícios:
1 – Marque corretamente com X somente os pares de monômios que forem semelhantes:
a) 7 a e 4 a
b) 2x2
e – 6x2
c) 4y e 5y2
d) 8xy e 5yx
Redução de Termos Semelhantes
Por possuírem a mesma parte literal os dois primeiros termos algébricos são denominados monômios
semelhantes. Este conceito é muito importante, pois podemos reduzir uma expressão algébrica, contendo
vários termos semelhantes, através da soma algébrica destes termos.
Operações com monômios:
Adição de Monômios
Se você tiver 3 bananas e 2 maçãs, ao ganhar mais 2 bananas e 2 maçãs, você ficará com 5 bananas e 4
maçãs. Note que somamos bananas com bananas e maçãs com maçãs. O mesmo raciocínio é aplicado à
soma algébrica de monômios em relação aos termos semelhantes.

4
Observe a seguinte expressão formada pela soma algébrica de três monômios semelhantes:
Como os três termos algébricos são semelhantes podemos reduzi-los a um único monômio somando os
coeficientes numéricos e mantendo a parte literal:
Veja outros exemplos:
Você deve ter percebido que no quarto exemplo somamos os dois primeiros termos, mas não o último,
pois este não é semelhante a eles.
Subtração de Monômios
Em sendo a subtração a operação inversa da adição, o que explicamos acima para a soma, vale também de
forma análoga para a diferença de monômios.
Vejamos alguns exemplos:
Exercícios:
1 – Reduza os termos semelhantes:
a) 8 a + 2ª
b) 7x – 5x
c) 2y2
– 9 y2
d) 4x2
– x2
e) 4y – 6y

5
f) -3m2
+ 8m2
g) 5a – 5a =
2 - Reduza os termos semelhantes:
a) 7x – 5x + 3x =
b) 2y – y – 10y =
c) 4a – a – 7a =
d) x2
+ x2
– 2x2
=
e) ab – ab + 5ab=
Multiplicação de Monômios
A multiplicação de monômios é realizada simplesmente se multiplicando os coeficientes numéricos entre
si, assim como a parte literal.
Então como regra geral para multiplicarmos monômios é multiplicarmos os coeficientes e para cada
variável somarmos os seus expoentes.
Exemplos:
Exercícios:
1 – Calcule:
1) Calcule:
a) (+5x) . (-4x²) =
b) (-2x) . (+3x) =
c) (+5x) . (+4x) =
d) (-n) . (+ 6n) =
e) (-6x²) . (+3x²) =
f) (-2y) . (5y) =
g) (+4x²) . (+5x³) =
h) (2y) . (-7x) =
i) (-2x) . (-3y) =
j) (+3x) . (-5y) =
k) (-3xy) . (-2x) =

6
2) Determine:
a) (2xb) . (4x) =
b) (-5x²) . (+5xy²) =
c) (-5) . (+15x²y) =
d) (-9X²Y) . (-5XY²) =
e) (+3X²Y) . (-XY) =
f) (X²Y³) . (5X³Y²) =
g) (-3x) . (+2xy) . ( -x³) =
h) (-x³) . (5yx²) . (2y³) =
i) (-xy) . (-xy) . (-xy) =
j) (-xm) . ( x²m) . (3m) =
3) Efetue:
a) (1/2x) . (3/5x³) =
b) (-2/3x) . (+3/4y) =
c) (-1/3x²) . (4/2x³) =
d) (-x²/3) . (-x/2) =
e) (-2x/3) . (6x/5) =
f) (-10xy) . ( xy²/3) =
Divisão de Monômios
Agora vamos tratar a operação inversa da multiplicação, a divisão de monômios.
Os procedimentos serão semelhantes ao do caso anterior, iremos dividir os coeficientes numéricos e
subtrair os expoentes das incógnitas da parte literal.
Observe este exemplo:
O exemplo é autoexplicativo, mas para que não fique qualquer dúvida, vamos comentá-lo.
O coeficiente numérico foi obtido pela divisão dos dois coeficientes originais.
A variável x possui respectivamente os expoentes 7 e 3, então subtraindo o segundo do primeiro obtemos
o expoente 4.
Por fim a incógnita y que tem expoente 4 no primeiro monômio e 2 no segundo, fica com o expoente 2,
resultante de 4 - 2.
Veja mais estes outros exemplos:

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Repare que no último exemplo a variável y terminou com um expoente negativo. Conforme estudado no
tópico sobre potenciação, podemos escrever esta expressão na forma de uma fração:
Exercícios:
1) Calcule os quocientes:
a) (15x⁶) : (3x²) =
b) (16x⁴) : (8x) =
c) (-30x⁵) : (+3x³) =
d) (+8x⁶) : (-2x⁴) =
e) (-10y⁵) : (-2y) =
f) (-35x⁷) : ( +5x³) =
g) (+15x⁸) : (-3x²) =
h) (-8x) : (-8x ) =
i) (-14x³) : (+2x²) =
j) (-10x³y) : (+5x²) =
k) (+6x²y) : (-2xy) =
l) (-7abc) : (-ab) =
m) (15x⁷) : ( 6x⁵) =
n) (20a³b²) : ( 15ab²) =
o) (+1/3x³) : (-1/5x²) =
p) (-4/5x⁵y) : ( -4/3x³y) =
q) (-2xy²) : ( xy/4) =
2) Determine:
a) (10xy) : (5x) =
b) (x³y²) : (2xy) =
c) (-3xz²) : (-3xz) =
d) (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) =
e) (1/2a³b²) : (-a³b²) =
f) (a⁴b³) : (5a³b) =
g) (-3x⁵y³) : (-4x²y) =
h) (-2/3 x⁴z⁴) : 5/3 z⁴ =
Exponenciação de Monômios
Vejamos este exemplo:

8
Note que transformamos a potência de produtos, nos produtos de potências. Assim elevamos o coeficiente
numérico e cada uma das potências das variáveis ao expoente 3.
-53
resulta em -125.
(x2
)3
como sabemos é igual a x2 . 3
que é igual a x6
.
Assim como (y4
)3
sabemos que é igual a y4 . 3
que é igual a y12
.
E para terminar este tópico vamos a mais alguns exemplos:
Exercícios:
1) Calcule:
a) ( + 3x²)² =
b) (-8x⁴)² =
c) (2x⁵)³ =
d) (3y²)³ =
e) (-y²)⁴ =
f) (-mn)⁴ =
g) (2xy²)⁴ =
h) (-4x²b)² =
i) (-3y²)³ =
j) (-6m³)² =
k) (-3x³y⁴)⁴ =
l) (-2x²m³)³ =
2) Efetue:
a) (x²/2)³ =
b) (-x²/4)² =
c) (-1/2y)² =
d) (+2/3x)³ =
e) (-3/4m)² =
f) (-5/6m³)² =
3- O polinômio que corresponde a situação ilustrada é:
a) 2x + 25 b) x + 50 c) 4x + 50 d) 4x +25

9
4 – Observe o retângulo e responda as questões I ,II ,III e IV abaixo:
I – A expressão que representa o perímetro é:
a) 2(x + 3 ) + 2( x + 4 ) b) (x + 3 ) + ( x + 4 ) c) (x + 3 ) + 2( x + 4 ) d) 2(x + 3 ) + ( x + 4 )
II – A área da figura dada é dada por ( x + 3) . ( x + 4 ) , ao multiplicar esse polinômio encontraremos:
a) b) x2
+ 7x + 10 b) x2
+ 7x +12 c) b) x2
+ 4x +12 d) b) x2
+ 3x +12
5 - Veja o preço de custo de cada produto: Tambor ( x reais)
Violino ( y reais)
Valdir comprou para a sua loja 2 tambores e 5 violinos, enquanto Roberto comprou 3 tambores e 2
violinos. Nessas condições, responda: Qual o polinômio
que representa:
a) A quantia que Valdir gastou? E Roberto?
b)A quantia que os dois gastaram juntos?
c)Supondo que x vale R$ 60,00 e que y vale R$ 300,00 reais, quanto os dois gastaram juntos?
Situações problemas
1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:
( Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono ).
2 – O dobro de um número adicionado a 20: 2x + 20
3 – A diferença entre x e y: x – y
4 – O triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo do número: 3x – 4x
4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x =
12x + 2
2x + 6 + 3x – 2 + x + 8 =
6x + 12

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5 – Represente algebricamente a área do retângulo :
2x . (3x+5)
Polinômio:
Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se POLINÔMIO. Sendo assim, monômios, binômios
e trinômios são polinômios.
- Formadas com 2 termos são chamadas de BINÔMIOS : ax + 7y
- E as formadas por 3 termos são chamadas de TRINÔMIOS : -5y + 3b + 5
 Obs.: Os polinômios com mais de três termos não têm nomes especiais.
Exercícios:
1 - Um polinômio de dois termos e três termos é nesta ordem :
a) binômio e trinômio b) polinômio e binômio c) trinômio e polinômio d) n.d.a.
2 – Identifique como monômio, binômio ou trinômio:
a) abc
b) a + b + c
c) 7x2
– 4x + 1
d) -3xyz
e) -10y2
Grau de um polinômio a uma variável
Exemplos:
a) Na expressão 5x -1 o grau é 1 porque o termo de maior grau é 5x e o expoente do x é 1.
b) Na expressão 2m2
– m+ 1 o grau é 2 porque o termo de maior grau é 2m
c) Na expressão 3 y3
+ 4y – 2y + 5, o grau é 3 porque o termo de maior grau é 3y
Obs.: P(x) = 5x0
= 5 → grau zero.
Exercícios:
1 – Dê o grau de cada uma dos polinômios:
a) 3x5
– 1 =
b) 7x + 4 =
c ) 6x5
+ x =
d) x4
+ x6
+ 2 =
e) 8 + x + 3x2
– 4x3
=
f) 5x0
+ 2x + 7
g) 8x0
+ 1 =

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2 - O polinômio 7 x 4
- 3x2
+ 1 é do grau:
a) 4º grau b) 7º grau c) 5º grau d) 6º grau
3 - O polinômio 0x4
+ 5x3
– 4x2
+ x – 1 é do:
a) 4º grau b) 3º grau c) trinômio d) n.d.a
4 – A expressão – 10xy é um:
a) monômio b) binômio c) trinômio d) n.d.a
3 - Organize os polinômios usando a ordem decrescente e dê o grau do polinômio.
a) 7 + x 3
+ 4x
b) x 2
- 6 + 3/5x 6
- 2x
c) 5x 2
+ 4x 3
- 8x 4
+ 0,1
d) - 9x 3
y + 3x y + x 2
y 2
+ 2x 4
e) 5x y 8
- 3a x 5
+ 4a x 3
- 12a + 5x 6
Reduzindo Termos Semelhantes a um Polinômio
Se dois ou mais termos de um polinômio têm variáveis iguais com potências iguais, os termos são
chamados de termos semelhantes. Considere o polinômio seguinte contendo termos semelhantes.
- 7x + 4x 2
+ 4x + 1 - 3x 2
Identifique os termos semelhantes
4x 2
e - 3x 2
; - 7x e 4x ( Como você vê, são semelhantes pois as variáveis iguais têm potências
iguais )
Procedimento para reduzir os termos semelhantes:
(1º) passo: Agrupamos os termos semelhantes. É claro que iniciamos sempre com os que possuem maior
expoente: 4x 2
- 3x 2
- 7x + 4x + 1
(2º) passo: simplificamos os termos semelhantes:
1x2
- 3x + 1  x2
- 3x + 1
Exercícios:
1 - Reduza os termos semelhantes e simplifique cada um dos polinômios.
a) x 2
- 3 + x - 3x 2
+ 2x 4
b) 4x 2
y 2
- 1 - 3x 2
y 2
- 8
c) 5x + 7 - 4 + 2x - 6x + 3
Não se esqueça : Se + antes do parênteses  prevalece o sinal
Se – antes do parênteses  Altera o sinal

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2) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:
a) 6x + (2x – 4) – 2 =
b) 7y -8 – (5y – 3) =
c) 4x – ( -3X + 9 – 2X) =
d) 3x – (-2x + 5) – 8x + 9 =
e) 4x – 3 + (2x + 1) =
f) (x + y) – (x + 2y) =
g) ( 3x – 2y) + (7x + y) =
h) –(8a + 4 – ( 3a + 2) =
3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas
a) 5a + (3a -2) – (10a – 8) =
b) 6x + (5x -7) – (20 + 3x ) =
c) (x + y + z) + x – (3y + z) =
d) (m + 2n ) – ( r – 2n) – ( n+ r) =
e) – (6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – (-2x + 3y) =
Valor numérico
O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e
efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio.
Exemplo:
Se P(x)=x3
+2x2
+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
P(x)= x3
+2x2
+x-4
P(2)= 23
+2.22
+2-4
P(2)= 14
Exercícios:
1 -Calcular o valor numérica de 2x + 3a
para x = 5 e a = -4
2 - Calcular o valor numérico de x² - 7x +y
para x = 5 e y = -1
3 - Calcule o valor numérico das expressões:
a) x – y (para x =5 e y = -4)=
b) 3x + a (para x =2 e a=6)=
c) 2x + m ( para x = -1 e m = -3)=
d) m – 2 a ( para m =3 e a = -5)=
4 - Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas. O primeiro com preço de R$ 45,00 por unidade e
o segundo com preço de R$ 67,00 por unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo
e de y a quantidade vendida do segundo tipo, qual será a expressão algébrica da venda desses dois
artigos?
Qual será o valor se forem vendidas 200 e 300 unidades, respectivamente?

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Operações envolvendo polinômios:
Multiplicação de Polinômios
Temos tanto o caso da multiplicação de um monômio por um polinômio, quanto o caso da multiplicação
de um polinômio por um polinômio.
Multiplicação de um Polinômio por um Monômio
No primeiro caso a multiplicação é realizada multiplicando-se o monômio por cada um dos termos do
polinômio.
Vejamos a multiplicação abaixo:
Repare que multiplicamos 7xy2
por ambos os termos do polinômio, aplicamos a propriedade distributiva
da multiplicação.
Veja mais alguns exemplos:
Exercícios:
1 – Determine:
a) 3(x+y)
b) 7(x-2y)
c) 2x(x+y)
d) 4x (a+b)
e) 2x(x²-2x+5)
f) 2.(a – b)
g)x.(y – 2 )
h) a(a – 1 )
i)x2
( x – 1 )
j) -2ª ( x2
– 2x + 5 )
k)4x ( x – 2 )
Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio
No caso da multiplicação de polinômio por polinômio efetuamos a multiplicação de cada um dos termos
do primeiro polinômio, por cada um dos termos do segundo polinômio e depois realizamos a redução do
polinômio resultante.

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Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual separamos em três linhas para podermos observá-la mais
facilmente:
Exercícios:
a) (x+5).(x+2)
b) (3x+2).(2x+1)
c) (x+7).(x-4)
d) (3x+4).(2x-1)
e) (x-4y).(x-y)
f) (5x-2).(2x-1)
g) (3x+1).(3x-1)
h) (2x+5).(2x-5)
i) (6x²-4).(6x²+4)
j) (3x²-4x-3).(x+1)
k) (x²-x-1).(x-3)
l) (x-1).(x-2).(x-3)
m) (x+2).(x-1).(x+3)
n) (x³-2).(x³+8)
o) (x²+2).(x²+6)

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Atividade de contextualização:
Exercícios resolvidos:
Divisão de Polinômios
Como no caso da multiplicação, temos tanto a divisão de um polinômio por um monômio, quanto a
divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos tratar cada um dos casos individualmente.
Divisão de um Polinômio por um Monômio
Este é o caso mais simples, pois podemos fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam o
polinômio, pelo monômio em questão.
2 – A figura abaixo é um polígono cujos lados são
todos horizontais ou verticais. Qual é o perímetro
desse polígono?
3 – No topo de um edifício de 15 x + 7 m (altura) se
encontra uma bandeira que mede 4x m( altura). A
expressão da distância D que há do solo à
extremidade da bandeira é:
a) 11x + 7
b) 19x + 7
c)19x +11
d)15x + 11
1 – Escreva o polinômio que representa:
a) o volume do sólido A;
b) o volume do sólido B;
c) a soma dos volumes de A e de B;
1 – Observe o retângulo:
a) O que significa para essa figura a
expressão 2.( x + 3 )+ 2.(x + 4 )?
b) E a expressão ( x+3).(x + 4 )?
c) Escreva um polinômio que represente o
perímetro e outro que represente a área desse
retângulo.
2 – A figura representa um quadrado de lado x cm.
( um dos lados aumentou 2cm)
Escreva a expressão simplificada que representa:
a) o perímetro do quadrado.
b) a área do quadrado.
c) o perímetro do retângulo.
d) a área do retângulo.

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Vamos analisar a divisão do polinômio abaixo:
Note que desmembramos o polinômio em duas partes, dividindo tanto 14x3
y2
por 7xy2
, quanto 7xy3
.
Observe mais estes exemplos:
Exercícios:
1 – Determine:
a) ( 12x² – 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ – 9x) : (+3x) =
Atividade de contextualização:
Divisão de um Polinômio por um Polinômio
Para realizarmos a divisão de polinômios é preciso que eles estejam reduzidos e ordenados.
O conceito da redução de termos semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação de polinômios, dizemos
que um polinômio está ordenado em relação à determinada variável, quando o grau de todos os monômios
que os compõe, em relação a esta variável, estão ordenados de forma crescente ou decrescente.
O polinômio -5x4
+ 6x5
- 7x3
, não está ordenado em relação a variável x, já o polinômio 6x5
- 5x4
- 7x3
está ordenado de forma decrescente em relação a esta variável. Observe que os expoentes desta incógnita
decrescem de 5 a 3.
1 - (FCC- SP) Nas figuras abaixo estão representadas pilhas de caixas iguais, cada uma
contendo um mesma quantidade de envelopes.
As expressões matemáticas 3x/ 2 e 3x/4 indicam os totais de envelopes das duas primeiras
pilhas. A expressão correspondente à terceira pilha é:
a) 3x b) 5x c) 5x/2 d) 5x/4

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Para explicar o procedimento da divisão de polinômios pelo método das chaves: vamos dividir 8a2
- 2ab -
15b2
por 2a - 3b.
Repare que ambos os polinômios estão ordenados de forma decrescente em relação à incógnita a:
Por fim executamos a soma que resultará em zero, indicando uma divisão exata:
Exemplo 1:
Vamos aplicar o mesmo algoritmo para fazer uma divisão com polinômios. Dividindo o polinômio
x3
+ 2x2
+ x + 1 pelo polinômio x + 1 .

Podemos escrever: x3
+ 2x2
+ x +1 = ( x + 1 ) .( x2
+ x ) + 1
 A divisão acima não é exata, portanto o polinômio x3
+ 2x2
+ x +1 não é divisível pelo polinômio
x + 1 .
Obs.: Faça a divisão como uma conta normal.
( lembre-se das operações feitas com monômios)
Lembre-se:
( se  conserva o sinal).
( se  altera o sinal).

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