Modelos gaussianos_heteroscedasticos

2020/03/27 00:37 1/8 9.1. Modelos Gaussianos Heteroscedásticos
Philodendros
Φιλοδενδρος - http://cmq.esalq.usp.br/Philodendros/
LCF-5876 Computação no Ambiente R:
Aplicações em Ecologia
e Recursos Florestais
9. MODELOS AVANÇADOS
9.1. Modelos Gaussianos Heteroscedásticos
9.1.1. Modelos Avançados
Os modelos lineares e não-lineares clássicos podem ser vistos como tendo os seguintes
componentes fundamentais:
$$ y = f(x_1,x_2,ldots,x_p) + varepsilon$$
sendo que
$y$ é a variável resposta, sempre uma variável quantitativa contínua;
$f(x_1,x_2,ldots,x_p)$ é o componente determinístico representado por uma função linear
(regressão linear) ou uma função não-linear (regressão não-linear);
$varepsilon$ é o componente estocástico, isto é, aleatório, sempre proveniente da família
Gaussiana.
Quando a relação linear se dá com uma transformação da média da variável resposta, surgem os
GLMs - Modelos Lineares Generalizados.
Mas, outros tipos de modelos são gerados quando se modiﬁcam os componentes dos modelos
clássicos. Por exemplo, o componente estocástico ($varepsilon$) é sempre tomada como sendo da
família Gaussiana, mas com média nula e variância constante. A média nula não deve ser alterada
pois o componente estocástico é adicionado ao componente determinístico. Mas, se relaxarmos a
exigência de que a variância seja constante mantendo os mesmos componentes determinísticos
(linear e não-linear) teremos um tipo de modelo que não seguem mais a teoria dos modelos clássicos.
Chamaremos esses modelos de Modelos Gaussianos Heteroscedásticos e examinaremos a sua
relevância.
Por outro lado, além de se alterar a variância do componente estocástico, pode se altear o carácter
determinístico das funções lineares e não-lineares. Se a essas funções forem adicionados elementos
estocásticos o componente determinístico deixará de ser totalmente determinístico, tendo efeitos
ﬁxos (determinísticos) e efeitos aleatórios (estocásticos) . Tais modelos são chamados de Modelos
de Efeitos Mistos e são poderosos para modelar dados com estruturas complexas.

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2020/03/06
10:14
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9.1.2. Modelos Gaussianos Heteroscedásticos
A Lei de Taylor (Taylor's Law) deﬁne que um grande número de variáveis biológicas e ecológicas
não possuem variâncias constante (não são homoscedásticas na linguagem estatística), mas pelo
contrário a variância populacional segue uma potência da média populacional (são
heteroscedásticas).
Por isso, a premissa fundamental do modelos clássicos de que a variância é homogênea
independentemente do efeito das variáveis explicativas é muito pouco realista. Uma efeito que tenda
a aumentar a média também tenderá a aumentar a variância.
Os Modelos Gaussianos Heteroscedásticos são importantes quando é necessário modelar a estrutura
heteroscedástica da variância.
1
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2 ########### 9. MODELOS AVANÇADOS
3 ########### 9.1. Modelos Gaussianos Heteroscedásticos
4
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5 # 9.1.1. Modelos Avançados
6 # 9.1.2. Modelos Gaussianos Heteroscedásticos
7 library(nlme)
8
9.1.3. A função 'gls' do pacote 'nlme'
O método utilizado para ajustar modelos com variância heteroscedástica é chamado de Quadrados
Mínimos Generalizados, em inglês “Generalized Least Squares”. O pacote nlme foi desenvolvido para
ajustar modelos avançados e para ajustar os modelos heteroscedásticos lineares ele possui a função
gls.
Vejamos os argumentos da função gls:
9 ## A função 'gls' do pactoe 'nlme'
10 args(gls)
11
> args(gls)
function (model, data = sys.frame(sys.parent()), correlation = NULL,
weights = NULL, subset, method = c("REML", "ML"), na.action = na.fail,
control = list(), verbose = FALSE)
NULL

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>
model - o primeiro argumento, embora chamado de model, é a fórmula estatística que define o
modelo linear. Esse argumento segue a mesma lógica da definição dos modelos lineares da
função lm.
data - é a tabela de dados (data.frame) que contém os dados das variáveis da fórmula
estatística.
correlation - argumento que permite definir a estrtura de correlação entre as observações.
weights - argumento que permite definir a estrutura da variância heteroscedástica.
subset - vetor lógico que subamostra da tabela de dados.
method - método de ajuste: “REML” = restricted maximum likelihood (default) e “ML” =
maximum likelihood.
na.action - o que fazer com os NAs.
control - lista de controle do processo iterativo (o mesmo argumento da nls)
verbose - mostrar os passos do processo de ajuste iterativo.
O argumento que nos interessa é o weights pois é nele que definimos a estrutura de variância dos
dados.
Para seguir a Lei de Taylor, esse argumento deve ser definido como uma função de potência da
média. Existem várias funções para definir diferentes estruturas de variância no pacote nlme. Para
função de potência, há a função varPower.
Como a varPower é uma função que trabalha como argumento de outras funções, para inspecionar
seus argumentos é necessária tratá-la como uma string (nome entre aspas duplas):
12 args("varPower")
13
> args("varPower")
function (value = numeric(0), form = ~fitted(.), fixed = NULL)
NULL
>
O segundo argumento (form) define a forma como a função deve funcionar e valor default é ser uma
função (de potência) do valor ajustado pelo modelo (fitted(.)), que é a estimativa do valor médio.
Portanto, a função varPower modela a Lei de Taylor por default.
9.1.4. Exemplo: Equação de Volume de Meyer
Para exemplificar os modelos heteroscedásticos utilizaremos os dado do arquivo egrandis-volume.csv
que traz dados do diâmetro (dap), altura total (ht) e volume total (vtotal) de árvores de Eucalyptus
grandis.
14 # 9.1.3. Exemplo: Equação de Volume de Meyer

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2020/03/06
10:14
15 egrv <- read.csv("egrandis-volume.csv",as.is=TRUE)
16 plot( vtotal ~ dap, data=egrv)
17 plot( vtotal ~ ht, data=egrv)
18
Uma equação de volume, é um modelo que nos permite predizer o volume de uma árvore a partir do
seu diâmetro e altura. Um modelo clássico de equação de volume é conhecido como Modelo de
Meyer:
Modelo de Meyer
$$ v = beta_0 +beta_1 d +beta_2 d^2 +beta_3 h
+beta_4 d,h +beta_5 d^2,h + varepsilon$$
Na regressão linear clássica (variância constante) o modelo de Meyer é ajustado utilizando a função
lm. E se pode realizar as análilses tradicionais da regressão clássica.
19 meyer.ho <- lm(vtotal ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap*ht) + I(dap^2*ht),
data=egrv)
20 class(meyer.ho)
21 summary(meyer.ho)
22 plot(meyer.ho)
23
Note que o primeiro e o terceiro gráficos produzido pela função plot indicam claramente que os
dados são heteroscedásticos. Mas, isso pode ficar mais explícito ainda se compararmos o gráfico de
dispersão dos resíduos e dos resíduos padronizados (standardized residuals).
24 par(mfrow=c(1,2))
25 scatter.smooth(fitted(meyer.ho), residuals(meyer.ho),
lpars=list(col="red"))
26 abline(h=0, lty=2)
27 scatter.smooth(fitted(meyer.ho), residuals(meyer.ho,type="pearson"),
30
Note que a padronização dos resíduos, isto é, dividí-los pelos seus respectivos desvios padrão, não
altera em nada o aumento da dispersão dos resíduos que ocorre à medida que o valor ajustado fica
maior.
Para ajustarmos o modelo de regressão linear heteroscedástico com estrutura de variância na forma
da função de potência, utilizamos a função gls:
31 meyer.he <- gls(vtotal ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap*ht) + I(dap^2*ht),
data=egrv,
32 weights = varPower(), method="ML")
33 class(meyer.he)
34 summary(meyer.he)

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35
Aparentemente, considerar a variância heterogênea não ter resultado em grande mudança. Se
compararmos os valores ajustados pelos modelos, veremos que a diferença é negligenciável.
36 plot(fitted(meyer.ho), fitted(meyer.he)); abline(0,1,col="red")
37
Contudo, se compararmos o gráﬁco de dispersão do resíduo e do resíduo padronizado, veremos que
no modelo heteroscedástico o resíduo padronizado tem variância constante.
39 scatter.smooth(fitted(meyer.he), residuals(meyer.he),
41 scatter.smooth(fitted(meyer.he), residuals(meyer.he, type="pearson"),
44
Da mesma forma, a comparação dos modelos pelo critério de Akaike (AIC) mostra que o modelo
heteroscedástico é muito mais plausível.
45 AIC(meyer.ho, meyer.he)
46
9.1.5. A função 'gnls' do pacote 'nlme'
A função gnls permite ajustar modelos não lineares como aqueles ajustados pela função nls, mas
com estrutura de variância e correlação entre as observações.
Vejamos seus argumentos.
47 # 9.1.5. A função 'gnls' do pactoe 'nlme'
48
49 args(gnls)
50
> args(gnls)
function (model, data = sys.frame(sys.parent()), params, start,
correlation = NULL, weights = NULL, subset, na.action = na.fail,
naPattern, control = list(), verbose = FALSE)
NULL

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2020/03/06
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>
Como na função gls, os argumentos correaltion e weights são utilizados para definir as
estruturas de correlação e variância das observações.
O argumento params (ausente na gls) permite transfomar os parâmetros do modelo não linear em
funções lineares de variáveis explicativas.
Os demais parâmetros seguem o que foi explicado acima.
9.1.6. Exemplo: Equação de Volume de Schumacher-Hall
O modelo Schumacher-Hall é um modelo não lineara para equações de volume e tem a seguinte
forma
Modelo Schumacher-Hall
$$ v = beta_0,d^{beta_1},h^{beta_2} +
varepsilon $$
Em se tratando de um modelo não-linear, é necessário encontrar valores iniciais para o ajuste do
modelo.
O componente determinístico do modelo pode ser facilmente linearizado aplicando-se a função
logaritmo:
Modelo Schumacher-Hall
$$ log(v) = beta_0' + beta_1,log(d)
+beta_2,log(h)$$
lembrando que $beta_0' = log(beta_0) Rightarrow beta_0 = exp(beta_0')$.
Os coeficientes da regerssão linear obtidos do modelo na escala logarítmica podem ser utilizados
como valores iniciais para o modelo não-linear.
51 # 9.1.6. Exemplo: Equação de volume de Schumacher-Hall
52
53 sh.l <- lm( log(vtotal) ~ log(dap) + log(ht), data=egrv)
54 summary(sh.l)
55
56 sh.nl <- nls( vtotal ~ b0*dap^b1*ht^b2, data=egrv,
57 start=list(b0=exp(-3.32), b1=1.80, b2=1.16) )
58 summary(sh.nl)
59
Como o volume de madeira das árvores segue a Lei de Taylor, o modelo não-linear possui o
problema da heteroscedasticidade, o que pode ser comprovado pelo gráfico de dispersão de resíduo
padronizado.

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61 scatter.smooth(fitted(sh.nl), residuals(sh.nl), lpars=list(col="red"))
62 abline(h=0,lty=2)
63 scatter.smooth(fitted(sh.nl), residuals(sh.nl,type="pearson"),
66
Com a função gnls podemos introduzir a variância crescente como função da média na estrutura do
modelo:
67 sh.nl.he <- gnls( vtotal ~ b0*dap^b1*ht^b2, data=egrv,
68 start=list(b0=0.038, b1=1.89, b2=1.07),
69 weights=varPower())
70 summary(sh.nl.he)
71
O gráfico dos resíduos padronizados atesta a importância da variância crescente no modelo.
73 scatter.smooth(fitted(sh.nl.he), residuals(sh.nl.he),
75 scatter.smooth(fitted(sh.nl.he), residuals(sh.nl.he,type="pearson"),
78
Novamente, o critério de Akaike aponta o modelo heteroscedástico como sendo muito superior ao
modelo homoscedástico, mas as diferenças de predição entre os dois modelos são negligenciáveis.
79 AIC(sh.nl, sh.nl.he)
80 plot(fitted(sh.nl), fitted(sh.nl.he)); abline(0,1,col="red")
81
Uma forma mais sofisticada de compara os modelos (e mostrar a pouca diferença entre eles) é
através dos gráficos de contorno para o volume predito.
82 range(egrv$dap)
83 range(egrv$ht)
84 d.fix <- seq(3.5,40,length=50)
85 h.fix <- seq(4.5,45,length=50)
86 v.pred.ho <- outer(d.fix, h.fix, function(x,y) predict(sh.nl,
data.frame(dap=x,ht=y)))
87 v.pred.he <- outer(d.fix, h.fix, function(x,y) predict(sh.nl.he,
data.frame(dap=x,ht=y)))

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2020/03/06
10:14
88 levs <- c(0.5,1,seq(2,18,by=2))*100
89 plot(ht ~ dap, data=egrv,
90 xlab="DAP (cm)", ylab="Altura Total (m)",
91 main="Gráfico de Contorno do Volume Total (dm3)",
92 cex=1.4, cex.axis=1.4, cex.lab=1.6, cex.main=1.7,
col="grey70",pch=16)
93 contour(d.fix, h.fix, v.pred.ho, levels=levs, col="blue", lwd=2,
labcex=1, add=TRUE)
94 contour(d.fix, h.fix, v.pred.he, levels=levs, col="red", lwd=2,
labcex=1, add=TRUE)
95 legend(15, 10, c("Homo","Hetero"), col=c("blue","red"), lwd=2, cex=1.6)
96
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Φιλοδενδρος
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