Moderna02

Radiação de Corpo Negro

Uma amostra metálica como, por exemplo, um prego, em qualquer
temperatura, emite radiação eletromagnética de todos os comprimentos de onda. Por
isso, dizemos que o seu espectro é contínuo.

Se a amostra está na temperatura ambiente, as radiações eletromagnéticas
emitidas na faixa do visível transportam tão pouca energia que não sensibilizam os
olhos humanos. Se a temperatura da amostra é elevada até aproximadamente 850 K,
apenas as radiações eletromagnéticas emitidas na faixa que corresponde à cor
vermelha têm energias suficientes para sensibilizar os olhos humanos e a amostra
parece ter uma cor vermelha escura. À medida que a temperatura da amostra
aumenta, aumenta também, gradativamente, a quantidade de energia das radiações
eletromagnéticas de todos os comprimentos de onda. A amostra apresenta, então, aos
olhos humanos, depois da cor vermelha escura, em seqüência, as cores vermelha
viva, laranja, amarela, azul e, finalmente, branca.

Espectros contínuos podem ser produzidos por sólidos, líquidos ou gases
incandescentes, estes últimos mantidos a pressões muito altas. A temperatura da
fonte pode ser determinada pela análise do espectro.

A Mecânica Quântica nasceu em 1900, com um trabalho de Planck que
procurava descrever o espectro contínuo de um corpo negro.

Espectro Eletromagnético

As equações clássicas de Maxwell, que governam o campo eletromagnético,
aplicadas a uma região do espaço em que não existem cargas livres nem correntes
elétricas, admitem uma solução ondulatória, com o campo elétrico E e o campo
magnético B variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e, ambos,
perpendiculares à direção de propagação, definida pelo vetor c, que representa a
velocidade da onda (Fig.1).

O módulo da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo
é tomado, por definição, como sendo exatamente:

c = 299 792 458 m/s

Radiação é o processo de transferência de energia por intermédio de ondas
eletromagnéticas.

Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

A palavra radiação, como definida acima, significa o processo de transferência
de energia por ondas eletromagnéticas. Essa palavra também é usada, na literatura
científica e no cotidiano, como sinônimo de onda eletromagnética. É usual dizer, por
exemplo, que o Sol emite radiações eletromagnéticas. Assim, com a mesma palavra,
podemos indicar o processo de transferência de energia por ondas eletromagnéticas
ou as próprias ondas eletromagnéticas. Nesse texto, vamos usar a palavra radiação
nestes dois sentidos. O contexto deve indicar qual significado estaremos considerando
na frase correspondente.

As ondas eletromagnéticas podem se propagar num meio material e também
no vácuo. O espectro das ondas eletromagnéticas é contínuo, isto é, existem ondas
eletromagnéticas de todos os comprimentos de onda.

É usual dividir o espectro em faixas com limites mais ou menos precisos e, a
cada faixa, atribuir um nome especial (Fig.2).

Por exemplo, como a retina do olho humano é sensível às ondas
eletromagnéticas com comprimentos de onda no intervalo aproximado de 0,4 x 10−6 m
a 0,8 x 10−6 m, essas ondas eletromagnéticas recebem, coletivamente, o nome de luz.
Esses números não são absolutos porque diferentes pessoas têm retinas com
diferentes sensibilidades e a mesma pessoa tem sensibilidade diferente conforme a
idade e o estado de saúde de modo geral.

As principais faixas (ou regiões) do espectro eletromagnético são: raios gama,
raios x, ultravioleta, luz, infravermelho, microondas, TV e ondas de rádio FM, ondas
curtas, AM e ondas longas. Todas as ondas eletromagnéticas transportam energia e é
tanto maior essa energia quanto menor for o comprimento de onda.


Como já dissemos, radiação é o processo de transferência de energia por
ondas eletromagnéticas. Assim, esse processo pode ocorrer também no vácuo. O
aumento de temperatura da superfície da Terra, por exemplo, é um efeito das ondas
eletromagnéticas recebidas do Sol.

Um meio material pode ser opaco para ondas eletromagnéticas numa faixa do
espectro e transparente para ondas eletromagnéticas em outra faixa. O vidro comum,
por exemplo, é transparente à luz (radiação eletromagnética visível) e opaco às ondas
da faixa do infravermelho.

Lei de Radiação de Planck

Não apenas o Sol, mas qualquer corpo cuja temperatura Kelvin é diferente de
zero, emite ondas eletromagnéticas.

Para discutir o espectro da radiação emitida por um corpo, isto é, a energia
emitida por unidade de área, por unidade de tempo e por unidade de comprimento de
onda, vamos supor que temos um bloco a certa temperatura e que, no interior desse
bloco, existe uma cavidade. A substância que forma o bloco não é transparente à
radiação eletromagnética.

Os átomos das paredes da cavidade emitem radiação eletromagnética para o
seu interior e, ao mesmo tempo, absorvem radiação eletromagnética proveniente dos
outros átomos das paredes. Quando a radiação eletromagnética no interior da
cavidade atinge o equilíbrio térmico com os átomos das paredes, o conteúdo
energético da radiação emitida pelos átomos num dado intervalo de tempo é igual ao
conteúdo energético da radiação absorvida no mesmo intervalo de tempo. Então, a
densidade de energia, que é a quantidade de energia da radiação no interior da
cavidade por unidade de volume, é constante. Isto significa que a densidade de
energia associada à radiação de cada comprimento de onda, ou seja, a distribuição de
energia dentro da cavidade é bem definida.

A distribuição de energia não depende da substância de que é feito o bloco. Na
verdade, a distribuição de energia depende apenas da temperatura Kelvin do bloco.

Abrindo um pequeno orifício numa das paredes da cavidade, podemos analisar
a radiação que escapa por ele. A radiação que escapa é uma amostra da radiação no
interior da cavidade e, portanto, tem a mesma distribuição de energia. A radiação que
escapa do orifício é chamada radiação de corpo negro. O orifício é o corpo negro.

Usualmente, definimos corpo negro como o corpo que absorve toda radiação
que nele incide. Como nada reflete, ele aparece, os nossos olhos, de cor negra e daí
vem o seu nome. Assim como é um absorvedor perfeito, um corpo negro é também
um emissor perfeito. Toda radiação que incide no orifício vinda de dentro da cavidade
atravessa-o e chega ao exterior. Como absorve toda radiação que vem de dentro da
cavidade e emite essa mesma radiação para fora, o orifício é um corpo negro.

A energia emitida por um corpo negro por unidade de área, por unidade de
tempo e por unidade de comprimento de onda, φ(λ,T), é dada por:

−1
a1   a2  
φ(λ, T ) =  exp   − 1
λ5   λT  


com:

a1 = 2πhc2 ≈ 3,75 x 10−16 Jm2/s
e
a2 = hc / kB ≈ 1,44 x 10−2 mK

A expressão acima representa matematicamente a lei de radiação de Planck.
Nas expressões para a1 e a2, h representa a constante de Planck, c, o módulo da
velocidade da luz no vácuo e kB, a constante de Boltzmann:

h = 6,63 x 10−34 Js

c = 3,00 x 108 m/s

kB = 1,38 x 10−23 J/K

A Fig.3 mostra os gráficos de φ(λ,T) em função do comprimento de onda para
quatro temperaturas diferentes.

Nota Histórica

O espectro da radiação da cavidade, isto é, o espectro de corpo negro, não
depende da substância de que é feito o bloco no qual existe tal cavidade. Por isso, em
um modelo construído para explicar a produção desse espectro, os irradiadores
elementares, isto é, os átomos do bloco, podem ser representados por osciladores
harmônicos simples.

Em 1900, Planck mostrou que, para ajustar apropriadamente os dados
experimentais, ou seja, para obter a expressão que representa o que hoje chamamos
de lei de radiação de Planck, a energia de cada oscilador harmônico não poderia ter
um valor qualquer, mas deveria ter, sim, um valor que fosse múltiplo inteiro da
respectiva freqüência de oscilação multiplicada por uma constante universal h (agora
conhecida como constante de Planck):

E = nhν (n = 1, 2, 3, ... ∞)


Em outras palavras, Planck mostrou que a energia dos osciladores deveria ser
quantizada.

Desse modo, um oscilador, vibrando com freqüência ν, poderia absorver ou
emitir radiação eletromagnética desde que a energia dessa radiação eletromagnética
fosse algum múltiplo inteiros de hν. Como essa radiação se propaga com velocidade
de módulo c no vácuo, devemos ter c = νλ e, então, é possível escrever a expressão
da distribuição de energia em termos da freqüência ou do comprimento de onda.

Não vamos aqui demonstrar a expressão matemática da lei de radiação de
Planck. O que nos importa é enfatizar o aspecto mais importante do trabalho de
Planck, que é a quantização da energia dos osciladores harmônicos em múltiplos
inteiros de hν e o que isso implica, que certos conceitos da Física Clássica não são
adequados para descrever os fenômenos em escala atômica.

Quando um oscilador passa de um estado a outro, a menor variação de
energia deve ser hν e, por isso, dizemos que hν é o quantum de energia.

No modelo de Planck, a quantização da energia era atribuída apenas aos
osciladores harmônicos que representavam os irradiadores elementares, isto é, os
átomos de que era feito o bloco no qual a cavidade estava inserida, e não à radiação
eletromagnética que preenchia a cavidade. Em 1905, para explicar o efeito
fotoelétrico, Einstein estendeu o conceito de quantização à própria radiação
eletromagnética. Vamos ver mais adiante como isso foi feito.

Exemplo 1

Uma lâmpada incandescente é formada por um filamento metálico e um bulbo
de vidro. A passagem de corrente elétrica pelo filamento provoca um aumento na sua
temperatura.

A temperatura de operação de uma lâmpada de 100 W com filamento de
tungstênio, por exemplo, é de cerca de 2800 K. Vamos supor que, nesta temperatura,
o espectro da radiação emitida pelo filamento pode ser aproximado pelo espectro de
um corpo negro (Fig.4).

Desta forma, podemos ver que, da faixa visível do espectro eletromagnético, as
radiações que nos parecem verde, azul e violeta transportam uma quantidade de
energia bem menor do que as radiações que nos parecem amarela, laranja e


vermelha. Isso faz com que o filamento de tungstênio apresente cor amarela nessa
temperatura que estamos considerando.

Por outro lado, podemos ver também que as radiações emitidas na faixa visível
transportam menos de 5% da energia total e que as radiações emitidas na faixa
infravermelha transportam a maior parte da energia. Por isso, as lâmpadas
incandescentes são muito pouco eficientes na produção e emissão de luz.

Exemplo 2

O Sol é uma esfera gigantesca de plasma incandescente. O que chamamos de
plasma, na Física, é um gás ionizado, isto é, um gás formado por íons de carga
positiva e os elétrons liberados, de carga negativa. A carga elétrica total é
praticamente nula.

O raio solar equivale a aproximadamente 109 vezes o raio terrestre e vale:

R = 6,96 x 108 m

A Fig.5 representa esquematicamente a estrutura do Sol. Nesta figura, as
espessuras das camadas, principalmente da fotosfera, da cromosfera e da coroa, não
estão desenhadas em escala.

O núcleo tem raio de 2 x 108 m (cerca de 29% do raio solar), densidade
máxima de 150 g/cm3 e temperatura de 1,5 x 107 K. Nestas condições, desenvolvem-
se reações termonucleares que produzem principalmente neutrinos e radiações
eletromagnéticas. As radiações eletromagnéticas transportam a maior parte da energia
liberada pelas reações termonucleares.

A camada radiativa tem espessura de 3 x 108 m (cerca de 43% do raio solar),
densidade que varia de 20 g/cm3 para 0,2 g/cm3 e temperatura que varia de 7 x 106 K
para 2 x 106 K. Nessa camada, a energia proveniente do núcleo flui por radiação. As
radiações eletromagnéticas produzidas no núcleo interagem com as partículas dessa


região de modo intermitente e aleatório. De qualquer modo, as radiações passam
aleatório.
através da zona radiativa, sem movimento de matéria.

A camada convectiva tem espessura de 108 m (cerca de 14% do raio solar) e
temperatura que varia de 2 x 106 K para 5800K. Nesta camada, a energia proveniente
da camada radiativa flui por correntes de convecção.
a

De nenhuma das camadas mencionadas até agora sai radiação diretamente
para o exterior do Sol em quantidade apreciável. Por isso, elas não podem ser
observadas diretamente.

A fotosfera tem espessura de 5 x 105 m (cerca de 0,07% do raio solar) e
temperatura de 5800 K. Praticamente toda radiação eletromagnética que sai do Sol
provém dessa camada e, por isso, ela é considerada como sendo a superfície solar.
Devido às correntes de convecção que ocorrem na camada inferior, a fotosfera se
camada
apresenta com aparência granulada.

A cromosfera tem espessura de 2 x 106 m (cerca de 0,3% do raio solar) e
temperatura que varia de 5800 K até 25 000 K. Por efeito de sua densidade
extremamente baixa, a quantidade de energia da radiação emitida pela cromosfera é
muito pequena e, por isso, ela é invisível a olho nu, exceto durante os eclipses solares
totais, quando mostra uma cor avermelhada.

A coroa solar é a camada mais externa do Sol, tem espessura variável de
alguns raios solares e temperatura de 106 K. Apesar da temperatura muito alta, esta
camada é invisível a olho nu porque tem densidade ainda menor do que a densidade
da cromosfera. Contudo, também pode ser vista durante os eclipses solares totais.

Como dissemos, a temperatura da fotosfera é de 5800 K e praticamente toda
temperatura
radiação eletromagnética que sai do Sol provém dessa camada. Portanto, a radiação
solar que chega à Terra é uma amostra da radiação emitida pela fotosfera solar.

A Fig.6 mostra o espectro dessa radiação no topo da atmosfera e ao nível do
mar (linhas contínuas) e, para comparação, mostra também o espectro da radiação de
um corpo negro com a mesma temperatura (linha pontilhada). Podemos ver que uma
parte importante da energia solar que alcança a superfície da Terra é transportada


pelas radiações na faixa visível. Além disso, a distribuição da energia nesta faixa é
quase uniforme, exceto no caso das radiações que nos parecem azul e violeta, cujo
conteúdo energético é bem menor. Por isso, o Sol parece amarelo claro brilhante,
quase branco.

Lei do Deslocamento de Wien

Podemos ver, na Fig.3, que, para cada temperatura, existe um comprimento de
onda para o qual a energia emitida pelo corpo negro é máxima. O comprimento de
onda para o qual a energia emitida é máxima aumenta com a diminuição da
temperatura segundo a lei do deslocamento de Wien:

b
λm =
T

em que b, a constante de deslocamento de Wien, tem o valor:

b = 2,90 x 10−3 mK

Exemplo

Como dissemos acima, não apenas o Sol, mas qualquer corpo cuja
temperatura Kelvin é diferente de zero, emite radiações eletromagnéticas em todo o
espectro. Contudo, a retina dos nossos olhos é sensível apenas às radiações na faixa
visível, que compreende comprimentos de onda no intervalo aproximado que vai de
0,4 x 10−6 m a 0,8 x 10−6 m. Quando uma parte importante das radiações emitidas por
um corpo está na faixa visível do espectro, dizemos que ele está incandescente.

A energia emitida por unidade de área, por unidade de tempo e por unidade de
comprimento de onda é menor para um corpo real do que para um corpo negro. No
entanto, para o objetivo de entender a cor dos corpos incandescentes, podemos supor
que o espectro da radiação emitida pelos corpos reais é como o espectro da radiação
emitida por um corpo negro, sem que as conclusões sejam invalidadas.

Um corpo negro com temperatura de 850 K emite radiação eletromagnética
visível apenas na faixa que corresponde à cor vermelha (Fig.7). Portanto, se um corpo
real tem um espectro como o de um corpo negro, ele emite radiação visível com
intensidade suficiente para que possamos perceber com nossos olhos quando sua
temperatura alcança cerca de 850 K. Nesse caso, ele parece ter uma cor vermelha
escura.


Para esse corpo negro, o comprimento de onda para o qual a energia emitida é
máxima, segundo a lei do deslocamento de Wien, é:

b 2,90 × 10 −3 mK
λm = = = 3,41 × 10 −6 m
T 850 K

que corresponde à radiação infravermelha. A quase totalidade da energia emitida é
transportada pelas radiações infravermelhas.

Se a temperatura desse corpo aumenta, aumenta também, gradativamente, a
quantidade de energia das radiações eletromagnéticas de todos os comprimentos de
onda. O corpo, depois da cor vermelha escura, apresenta, em seqüência, as cores
vermelha viva, laranja, amarela, azul e, finalmente, branca.

Lei de Stefan-Boltzmann

A energia emitida por um corpo negro por unidade de área e por unidade de
tempo em todos os comprimentos de onda, isto é, o fluxo da energia total emitida, é
proporcional à quarta potência da temperatura Kelvin (lei de Stefan-Boltzmann):

φ(T) = σT4

em que σ, a constante de Stefan-Boltzmann, tem o valor:

σ = 5,66 x 10−8 W / m2 K4

O fluxo da energia total emitida por um corpo negro com temperatura T é dado
pela área entre o gráfico da função φ(λ,T) e o eixo dos comprimentos de onda.

Exemplo

Vamos calcular a temperatura média da Terra. Para isso, vamos supor que os
espectros das radiações eletromagnéticas emitidas pelo Sol e pela Terra são
espectros de corpo negro.

Usando a lei de Stefan-Boltzmann podemos escrever a quantidade de energia
transportada pelas radiações solares num intervalo de tempo pequeno ∆τ como:

E = σT4 ( 4πR2 ) ∆τ

em que T é a temperatura Kelvin da superfície do Sol e R, o seu raio.

Podemos pensar que estas radiações estão contidas numa casca esférica de
espessura dada por s = c∆τ, onde c representa o módulo da velocidade da luz no
vácuo.

As radiações são emitidas em todas as direções e se propagam com a
velocidade da luz. Por isso, com o tempo, a casca esférica vai se expandindo, mas
sempre com a mesma espessura. Quando a casca esférica alcança a Terra, a uma
distância d do Sol, ela tem um volume:

v = 4πd2s

Então, a densidade da energia dentro da casca esférica deve ser:


E σT 4 R 2
ρE = =
v cd2

A Terra oferece, à radiação solar, uma superfície efetiva de área A = πr2, em
que r é o seu raio. Se a Terra se comporta como um corpo negro, absorvendo toda
radiação que sobre ela incide, a quantidade de energia que absorve no intervalo ∆τ é:

σT 4R 2 πr 2 ∆τ
E abs = ρ E A s =
d2

Por outro lado, se a Terra se comporta como um corpo negro, com temperatura
T*, no mesmo intervalo de tempo ∆τ, pela lei de Stefan-Boltzmann, ela emite a
quantidade de energia:

Eemit = σT*4 ( 4πr2 ) ∆τ

No equilíbrio, a quantidade de energia emitida é igual à quantidade de energia
absorvida. Então, igualando as duas últimas expressões, temos:

1/ 2
R
T* =   T
 2d 

Com os valores numéricos:

R = 6,96 x 108 m

d = 1,49 x 1011 m
e
T = 5800 K

obtemos:

T* ≈ 280 K

Assim, a Terra tem uma temperatura média de cerca de 280 K.


Esse valor foi obtido com a hipótese de que o espectro da radiação emitida
pela Terra é como o espectro de um corpo negro. A Fig.8 mostra esse espectro.
Podemos ver que praticamente todas as radiações com energia significativa estão na
faixa do infravermelho.

Exercício 1

Uma pessoa veste roupas escuras e outra, roupas claras. Discuta qual delas
veste roupas mais apropriadas para um dia em que a temperatura ambiente está bem
abaixo da temperatura média do corpo humano.

Exercício 2

A temperatura no centro da explosão de uma bomba H chega a 107 K. Calcule
o comprimento de onda da radiação eletromagnética associada à máxima energia
emitida por unidade de área, por unidade de tempo e por unidade de comprimento de
onda. Identifique a faixa do espectro eletromagnético à qual pertence essa radiação.

Exercício 3

Para um corpo negro mantido a certa temperatura, o comprimento de onda da
radiação eletromagnética associada à máxima energia emitida por unidade de área,
por unidade de tempo e por unidade de comprimento de onda é λm = 6,5 x 10−7 m.
Calcule o valor de λm se for duplicada a energia emitida por esse corpo negro por
unidade de área e por unidade de tempo em todos os comprimentos de onda.

Exercício 4

Deduza a expressão matemática da lei de radiação de Rayleigh-Jeans a partir
da expressão matemática da lei de radiação de Planck. Para isso, tome o limite λ → ∞.

Exercício 5

Deduza a expressão matemática da lei de radiação de Wien a partir da
expressão matemática da lei de radiação de Planck. Para isso, tome o limite λ → 0.


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