Modulo 6
- 1. Módulo 6 – Página 1/15 MÓDULO 6 MODELO PARA COMPONENTES REPARÁVEIS 6.1 – Introdução De acordo com os desenvolvimentos apresentados no Módulo 5, o modelo mostrado na figura abaixo torna possível calcular as probabilidades de funcionamento e falha dos componentes não reparáveis em função do tempo, desde que sua taxa de falha λ seja conhecida e permane- ça constante durante o período de tempo em que se deseja fazer a análise. 1 2 λ F F Observou-se àquela altura, que as probabilidades de funcionamento e falha tendiam, respecti- vamente, para 0 e 1 quando o tempo tendia para infinito. Esse comportamento reflete o fato de que, após a falha o componente não mais poderá voltar a funcionar. Contudo, como já mencionado, a maioria dos componentes de um sistema de potência é repa- rável. Assim, depois de uma falha, um componente pode sofrer um reparo e transitar do esta- do de falha para o estado de funcionamento, como mostra o modelo da figura abaixo, onde λ é a taxa de falha e μ é a taxa de reparo do componente. λ 1 2 F F μ Neste caso, ao longo de sua vida operativa, o componente ocupará sempre um dos 2 possíveis estados, resultando em um histórico como: Estado r1 r2 r3 r4 F m1 m2 m3 m4 F Tempo Podem-se identificar agora duas variáveis aleatórias, TF – tempo de funcionamento e TR – tempo de reparo. Como a taxa de falha λ e a taxa de reparo μ são admitidas constantes, tem-se que, tanto o tempo de funcionamento quanto o tempo de reparo podem ser modelados pela distribuição exponencial. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 2. Módulo 6 – Página 2/15 Esta premissa é particularmente verdadeira para eventos de falha em componentes que ope- ram sem entrar na região de envelhecimento. Embora em muitas situações os tempos de repa- ro possam ser representados pela distribuição exponencial, existem casos em que as taxas de reparo não são constantes e, então, outros modelos devem ser avaliados. Neste texto, tratare- mos apenas os casos em que as taxas de falha e reparo são constantes. Na determinação das taxas (constantes), tem-se: 1 Número de vezes que o componente já falhou λ= = . (1) E (TF ) Tempo total de funcionamento do componente 1 Número de vezes que o componente já foi reparado μ= = . (2) E (TR ) Tempo total de reparo do componente O objetivo inicial consiste no cálculo das probabilidades dos estados de funcionamento e falha do componente ao longo do tempo. Por simplicidade, o estado de funcionamento será, a partir de agora, chamado de Estado 1 e o estado de falha (componente em reparo) será chamado de Estado 2, como na figura abaixo: λ 1 2 F F μ A seguir, será desenvolvido o modelo para a determinação de p1(t) e p2(t), i.e. as probabilida- des de funcionamento e falha a cada instante t. A base matemática para o desenvolvimento é a teoria dos processos estocásticos (Cadeias e Processos de Markov). 6.2 – Formulação Matemática Representação em Tempo Discreto Em um primeiro momento, considere que o problema será resolvido de forma discreta, i.e. em intervalos regulares de tempo Δt, que pode ser tomado tão pequeno quanto o necessário. Dos conceitos apresentados no Módulo 5 (veja o Exercício 2), foi possível concluir que o pro- duto da taxa de falha λ por Δt corresponde à probabilidade do componente falhar durante o intervalo Δt, dado que o mesmo estava em funcionamento no início do intervalo. Com isso, foi esquematizado o processo de falha em tempo discreto: 1 P 12(Δt) 2 P 11(Δt) F F Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 3. Módulo 6 – Página 3/15 Onde: P11 (Δt ) = 1 − λΔt (3) P12 (Δt ) = λΔt . (4) De maneira análoga, o produto da taxa de reparo μ pelo intervalo de tempo Δt pode ser inter- pretada como a probabilidade do componente ser reparado durante o tempo Δt, sabendo que ele se encontrava falhado (sendo reparado) no início do intervalo. Do exposto anteriormente, pode-se conceber o seguinte modelo de 2 estados em tempo discre- to para a análise de um componente reparável. Deve-se atentar para o fato de que Δt deve ser pequeno o suficiente para que não ocorra mais que uma transição no mesmo intervalo. P 12(Δt) 1 2 P 11(Δt) F P 22(Δt) F P 21(Δt) Onde, além das equações (3) e (4), tem-se: P21 (Δt ) = μΔt (5) P22 (Δt ) = 1 − μΔt . (6) As probabilidades dos estados 1 e 2 em cada instante de tempo discreto podem ser calculadas exclusivamente em função das probabilidades no instante imediatamente anterior1. Observe: P1 ( t + Δt ) = P11 (Δt ) × P1 ( t ) + P21 (Δt ) × P2 ( t ) (7) P2 ( t + Δt ) = P12 (Δt ) × P1 ( t ) + P22 (Δt ) × P2 ( t ) . (8) Reunindo (7) e (8) em forma matricial: P1 ( t + Δt ) P2 ( t + Δt ) = P1 ( t ) P2 ( t ) × P11 (Δt ) P12 (Δt ) P21 (Δt ) P22 (Δt ) (9) Logo, em forma compacta: P ( t + Δt ) = P ( t ) × P (10) 1 Essa hipótese caracteriza um processo Markoviano. O conhecimento do resultado do último estágio define completamente o comportamento futuro do processo. Por esta razão, os processos de Markov são chamados de processos sem memória. Neste caso, tem-se um processo Markoviano com espaço de estados discreto e espaço paramétrico (tempo) também discreto, denominado Cadeia de Markov. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 4. Módulo 6 – Página 4/15 onde P( t ) é o vetor linha das probabilidades no instante t, e P é a matriz estocástica das pro- babilidades de transição (que permanece inalterada durante todo o processo). Com esta equação podemos calcular numericamente, de Δt em Δt, as probabilidades dos esta- dos 1 e 2 ao longo do tempo, a partir de um instante t qualquer onde as probabilidades são conhecidas. Exemplo Considere, para efeito de realização de um exemplo numérico, um componente com taxa de falha igual a 8,76 f/ano e tempo médio de reparo de 100 horas. Assim: λ = 8,76 f/ano → λ = 8,76/8760 = 0,001 f/hora. μ = 1/100 → μ = 0,01 r/hora. Escolhendo, por exemplo, um Δt de 1 hora, têm-se as seguintes probabilidades de transição: P11 (Δt ) = 1 − λΔt = 0,999 P12 (Δt ) = λΔt = 0,001 P21 (Δt ) = μΔt = 0,01 P22 (Δt ) = 1 − μΔt = 0,99 . Logo: P1(t+Δt) P2(t+Δt) = P1(t) P2(t) × 0,9990 0,0010 0,0100 0,9900 Ao fim da primeira hora, tem-se P(1) = P(0) × P , i.e. P1(1) P2(1) = P1(0) P2(0) × 0,9990 0,0010 0,0100 0,9900 Se no início do processo é sabido que o componente está em funcionamento, então: P1(1) P2(1) = 1 0 × 0,9990 0,0010 = 0,9990 0,0010 0,0100 0,9900 Ao fim da segunda hora, tem-se P(2) = P(1) × P , i.e. P1(2) P2(2) = 0,9990 0,0010 × 0,9990 0,0010 = 0,9980 0,0020 0,0100 0,9900 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 5. Módulo 6 – Página 5/15 Repetindo este processo um grande número de vezes, tem-se: t P1(t) P2(t) 0 1 0 1 0,9990 0,0010 2 0,9980 0,0020 3 0,9970 0,0030 : : : : : : 20 0,9820 0,0180 21 0,9812 0,0188 : : : : : : 1024 0,9091 0,0909 1025 0,9091 0,0909 : : : : : : ∞ 0,9091 0,0909 Observe que com o passar do tempo, a probabilidade do estado 1 diminui e a do estado 2 au- menta até se estabilizarem nos patamares de 0,9091 e 0,0909, respectivamente. Dessa forma, pode-se notar que após um período de tempo suficientemente grande, as probabilidades de encontrar o componente em funcionamento ou em reparo tornam-se independentes do tempo. A figura abaixo ilustra o comportamento das probabilidades dos estados 1 e 2. 1,0 0,9 P1(t) 0,8 0,7 Probabilidade 0,6 0,5 Fase Transitória Fase Estacionária 0,4 0,3 0,2 P2(t) 0,1 0,0 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 Tempo (h) P1(t) P2(t) Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 6. Módulo 6 – Página 6/15 Admitindo agora que o componente estava sendo reparado no instante inicial, têm-se ao fim da primeira hora, as seguintes probabilidades: P1(1) P2(1) = 0 1 × 0,9990 0,0010 = 0,0100 0,9900 0,0100 0,9900 Ao fim da segunda hora, tem-se P(2) = P(1) × P , i.e. P1(2) P2(2) = 0,0100 0,9900 × 0,9990 0,0010 = 0,0199 0,9801 0,0100 0,9900 Repetindo este processo mais vezes, pode-se montar a tabela abaixo e o gráfico da próxima página. t P1(t) P2(t) 0 0 1 1 0,01 0,99 2 0,0199 0,9801 3 0,0297 0,9703 : : : : : : 20 0,1804 0,8196 21 0,1884 0,8116 : : : : : : 1024 0,9091 0,0909 1025 0,9091 0,0909 : : : : : : ∞ 0,9091 0,0909 Note que ao contrário do caso anterior, a probabilidade de funcionamento aumenta com o tempo, enquanto a de falha diminui. Contudo, as probabilidades de encontrar o componente em funcionamento ou em reparo se estabilizam nos mesmos patamares anteriores, i.e. 0,9091 e 0,0909. Comparando-se as tabelas e gráficos obtidos nas duas situações, i.e. com as condições inici- ais: “componente em funcionamento” e “componente em reparo”, pode-se observar que: • As probabilidades dos estados apresentam uma fase transitória e uma fase estacionária. • Na fase transitória, as probabilidades dependem fortemente do tempo e das condições ini- ciais do componente. Por exemplo, se o componente estiver funcionando em t = 0, a probabilidade de estar fun- cionando ao fim de t = 1 hora vale P1(1) = 0,9990. Se o componente estiver em reparo em t = 0, a probabilidade dele estar em funcionamento em t = 1 hora vale P1(1) = 0,0100. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 7. Módulo 6 – Página 7/15 • Na fase estacionária, as probabilidades param de variar com o tempo e são independentes das condições iniciais. Para exemplificar, note que a probabilidade do componente ser encontrado em funciona- mento ao fim de t = 1024 horas vale 0,9091, quer o componente estivesse funcionando, quer estivesse em reparo em t = 0. Isso acontece pois o instante t = 1024 horas já pertence à fase estacionária. 1,0 0,9 P1(t) 0,8 0,7 Probabilidade 0,6 0,5 Fase Transitória Fase Estacionária 0,4 0,3 0,2 P2(t) 0,1 0,0 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 Tempo (h) P1(t) P2(t) Representação em Tempo Contínuo O comportamento das probabilidades dos estados de um componente reparável pode ser mais bem compreendido ao se analisar a representação em tempo contínuo. Neste caso, a formula- ção matemática é baseada na teoria de processos contínuos de Markov, onde o espaço de es- tados é discreto, mas o espaço paramétrico (tempo) é contínuo. Pode-se tomar como suporte, toda a formulação desenvolvida no item anterior, bastando eli- minar a discretização do tempo. Isto pode ser feito tomando o limite (com Δt → 0) das equa- ções disponíveis. Do modelo em tempo discreto (equações 7 e 8): P1 ( t + Δt ) = P11 (Δt ) × P1 ( t ) + P21 (Δt ) × P2 ( t ) P2 ( t + Δt ) = P12 (Δt ) × P1 ( t ) + P22 (Δt ) × P2 ( t ) onde: Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 8. Módulo 6 – Página 8/15 P11 (Δt ) = 1 − λΔt P12 (Δt ) = λΔt P21 (Δt ) = μΔt P22 (Δt ) = 1 − μΔt . Assim, pode-se escrever: P1 ( t + Δt ) = (1 − λΔt ) × P1 ( t ) + μΔt × P2 ( t ) (11) P2 ( t + Δt ) = λΔt × P1 ( t ) + (1 − μΔt ) × P2 ( t ) (12) De (11): P1 ( t + Δt ) − P1 ( t ) = −λΔt × P1 ( t ) + μΔt × P2 ( t ) . Dividindo por Δt: P1 ( t + Δt ) − P1 ( t ) = −λP1 ( t ) + μP2 ( t ) . Δt Tomando o limite com Δt → 0: & P1 ( t ) = −λP1 ( t ) + μP2 ( t ) . (13) Procedendo de forma análoga para (12) chega-se a: & P2 ( t ) = λP1 ( t ) − μP2 ( t ) . (14) Observe que as equações (13) e (14) formam o seguinte sistema de equações diferenciais: & P1 ( t ) & P2 ( t ) = P1 ( t ) P2 ( t ) × −λ λ (15) μ −μ Assim, para se conhecerem as expressões analíticas que permitem o cálculo das probabilida- des dos estados do modelo ao longo do tempo, deve-se resolver o sistema (15) cuja solução é: μ P (0)λ − P2 (0)μ − (λ + μ) t P1 ( t ) = + 1 e (16) μ+λ μ+λ λ P (0)λ − P2 (0)μ − (λ + μ) t P2 ( t ) = − 1 e (17) μ+λ μ+λ onde P1(0) e P2(0) são as probabilidades dos estados 1 e 2 no instante inicial da análise. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 9. Módulo 6 – Página 9/15 As figuras a seguir mostram os gráficos das soluções P1(t) e P2(t) para duas possíveis condi- ções iniciais. Na primeira condição, o componente está em funcionamento em t = 0, e, na se- gunda, o componente se encontra em reparo em t = 0. Observe que fazendo o tempo tender ao infinito, as probabilidades dos estados 1 e 2 tendem a se estacionar nos valores: μ P1 (∞) = (18) μ+λ λ P2 (∞) = (19) μ+λ 1 Solução para P1(0) = 1 e P2(0) = 0 μ μ+λ P1(t) P2(t) λ μ+λ Fase Transitória Fase Estacionária 0 1 Solução para P1(0) = 0 e P2(0) = 1 μ μ+λ P1(t) P2(t) λ μ+λ Fase Transitória Fase Estacionária 0 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 10. Módulo 6 – Página 10/15 Para o caso do exemplo numérico anterior, onde λ = 0,001 falhas/hora e μ = 0,01 repa- ros/hora, as probabilidades estacionárias são: μ 0,01 P1 (∞) = = = 0,9091 μ + λ 0,01 + 0,001 λ 0,001 P2 (∞) = = = 0,0909 . μ + λ 0,01 + 0,001 Questão Analisar e interpretar o significado das expressões obtidas para as probabilidades estacioná- rias dos estados de funcionamento e falha de um componente reparável. Generalização para Componentes ou Sistemas com mais de 2 Estados O sistema de equações diferenciais do item anterior pode ser escrito em forma matricial: & P( t ) = P( t ) × A (20) & onde P( t ) é o vetor (1 × 2) com as derivadas das probabilidades dos estados 1 e 2 com relação ao tempo, P( t ) é o vetor (1 × 2) com as probabilidades dos estados 1 e 2 no instante t, e A é a matriz (2 × 2) montada em função das taxas de transição λ e μ (equação 15). Se um sistema ou componente possuir “n” estados como na figura abaixo, a mesma formula- ção desenvolvida para 2 estados continua válida, bastando alterar as dimensões dos vetores e matrizes do problema. λ12 1 2 λ21 λij m i j λ1k k n λkn Assim, tem-se: & P( t ) = P( t ) × A . (21) Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 11. Módulo 6 – Página 11/15 Onde & & P( t ) = P1 ( t ) & P2 ( t ) ... & Pn ( t ) P( t ) = P1 ( t ) P2 ( t ) ... Pn ( t ) e a matriz A tem dimensão (n × n), sendo montada por inspeção, de acordo com a regra: A ij = λ ij (22) n A ii = − ∑ A ij (23) j=1 j≠i O termo designado por λij representa a taxa de transição do estado i para o estado j. Trata-se de uma generalização dos conceitos de taxa de falha e taxa de reparo. Deve-se lembrar que as taxas são dados do problema e podem ser determinadas numericamente, com base na análise do histórico de operação do componente ou sistema em questão. Neste caso: Número de vezes que o componente transitou do estado i para o estado j λ ij = . (24) Tempo total em que o sistema ocupou o estado i Exemplo Obter, por inspeção, o sistema de equações diferenciais que permite o cálculo das probabili- dades dos estados do modelo abaixo: b 1 a 2 f h g c 3 e 4 d & & & O sistema tem a forma: P( t ) = P( t ) × A . Onde: P( t ) = P1 ( t ) & & & P2 ( t ) P3 ( t ) P4 ( t ) − (b + g) b g a − (a + c) c P( t ) = P1 ( t ) P2 ( t ) P3 ( t ) P4 ( t ) e A= f − (e + f ) e h d − (d + h ) Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 12. Módulo 6 – Página 12/15 6.3 – Cálculo das Probabilidades O cálculo das probabilidades dos estados de qualquer modelo representado por um processo de Markov exige a solução do sistema de equações diferenciais. Contudo, para modelos com mais de 4 estados a solução analítica torna-se inviável, sendo necessária a utilização de algum método numérico. A solução analítica obtida para o modelo de 2 estados mostrou que a evolução das probabili- dades no tempo caracteriza duas fases distintas: fase transitória (para t pequeno, onde as pro- babilidades variam no tempo) e fase estacionária (pata t suficientemente grande, onde as pro- babilidades se tornam constantes e independentes das condições iniciais). O mesmo compor- tamento é encontrado no cálculo das probabilidades de modelos com mais de 2 estados. As- sim, o cálculo das probabilidades transitórias e estacionárias pode ser feito separadamente, como mostrado a seguir. Cálculo das Probabilidades Transitórias As probabilidades transitórias podem ser calculadas numericamente de Δt em Δt unidades de tempo através da equação matricial: P( t + Δt ) = P( t ) × P (25) Onde P( t + Δt ) é o vetor (1 × n) com as probabilidades dos estados no instante (t + Δt), P( t ) é o vetor (1 × n) com as probabilidades dos estados no instante t, e P é a matriz estocástica das probabilidades de transição (em um intervalo Δt), que deve ser calculada por: Pij = λ ij × Δt (26) n Pii = 1 − ∑ λ ij × Δt (27) j=1 j≠i Note que a relação entre a matriz P (usada no cálculo das probabilidades) e a matriz A (mon- tada por inspeção do espaço de estados) é P = Δt × A + I (28) onde Δt é o intervalo de tempo2 escolhido para fazer a discretização do problema e I é a ma- triz identidade de dimensão (n × n). Uma vez calculada a matriz de probabilidades de transição, pode-se usar a equação (25) re- cursivamente para calcular as probabilidades dos estados desde o instante 0 até o instante de- sejado, usando o passo Δt escolhido. 2 A escolha do intervalo de tempo Δt deve ser feita de forma cuidadosa. Neste caso, deve-se lembrar que no processo de discretização, o produto entre uma taxa e intervalo Δt representa uma probabilidade de transição. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 13. Módulo 6 – Página 13/15 Cálculo das Probabilidades Estacionárias Na fase estacionária (t → ∞) as probabilidades dos estados tornam-se constantes (não variam com o tempo). Assim, note que: & P( t ) = P( t ) × A ⇒ 0 = Ps × A . (29) onde 0 é um vetor (1 × n) de elementos nulos e Ps um vetor (1 × n) com as probabilidades estacionárias (não dependem mais do tempo). Observe que o sistema de equações diferenciais torna-se um sistema linear de equações algé- bricas, onde as incógnitas são as probabilidades estacionárias. Contudo, este sistema não pode ser resolvido de forma única, pois suas equações são linearmente dependentes entre si (o de- terminante da matriz de coeficientes é nulo). Para resolver o problema, pode-se eliminar qualquer equação “j” do sistema (29) e adicionar: n ∑ Pis = 1 . (30) i =1 Assim, o sistema poderá (verifique!) ser reescrito como, 0m = Ps × Am (31) onde 0m é um vetor de elementos nulos, exceto na coluna “j” onde deve valer 1, Ps é o vetor de probabilidades estacionárias e Am é idêntica à matriz de taxas de transição, exceto na co- luna “j” em que todos os elementos devem valer 1. Com isso, a solução do sistema é dada por: Ps = 0m × Am −1 (32) Exemplo Determine as probabilidades estacionárias do modelo abaixo, onde as taxas estão em transi- ções por ano. 1 20 10 2 1 2 3 1 Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 14. Módulo 6 – Página 14/15 Na região estacionária, tem-se originalmente o sistema: 0 = Ps × A . Onde, neste caso: −3 2 1 A= 10 − 11 1 20 0 − 20 Assim: −3 2 1 0 0 0 = P1S P2S P3S × 10 − 11 1 20 0 − 20 As equações extraídas deste sistema são: 0 = –3 P1S + 10 P2S + 20 P3S 0 = 2 P1S – 11 P2S 0= P1S + P2S – 20 P3S Observe que o sistema é realmente LD, pois o determinante da matriz A é nulo. Então, para poder conhecer as probabilidades, deve-se eliminar qualquer equação e adicionar a seguinte: P1S + P2S + P3S = 1. Eliminando, por exemplo, a segunda equação, o sistema fica composto pelas equações, 0 = –3 P1S + 10 P2S + 20 P3S 1= P1S + P2S + P3S 0= P1S + P2S – 20 P3S que, se reorganizadas em forma matricial, tornam-se: −3 1 1 0 1 0 = P1S P2S P3S × 10 1 1 20 1 − 20 Note então que o sistema já está na forma 0m = Ps × Am . Logo a solução pode ser obtida fa- zendo-se Ps = 0m × Am −1 , que resulta em: P1S P2S P3S = 0,8059 0,1465 0,0476 . Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI
- 15. Módulo 6 – Página 15/15 6.4 – Exercícios Propostos 1) Considere o espaço de estados mostrado na figura abaixo, onde as taxas estão em transi- ções por hora. 0,002 1 0,02 2 0,015 0,001 0,003 0,01 3 0,02 4 5 0,01 0,002 Pede-se: a) Obter, por inspeção, o sistema de equações diferenciais que permite o cálculo das pro- babilidades instantâneas dos estados do modelo. b) A partir do resultado anterior, deduzir o sistema de equações que permite o cálculo das probabilidades estacionárias dos estados. Resolva o sistema. 2) Considerando o modelo do exercício anterior, pede-se: a) Obter o espaço de estados para análise em tempo discreto com intervalo de 1 hora (de- senhar os estados e calcular os parâmetros). b) A partir do resultado anterior, deduza o sistema de equações que permite calcular as probabilidades transitórias dos estados do modelo. c) Calcule as probabilidades de cada estado ao fim de cada hora para as primeiras 10 ho- ras, sabendo que o sistema inicia no estado 1. 6.5 – Trabalho Proposto Elabore um programa em linguagem de sua escolha para o cálculo de probabilidades transitó- rias e estacionárias de uma cadeia de Markov, observando as seguintes condições: • O programa deverá ser genérico para qualquer número de estados; • Dados de entrada: número de estados, taxas de transição entre estados (matriz A). • Tipo de cálculo desejado, i.e. probabilidades transitórias, estacionárias ou ambas. • No caso de se desejar probabilidades transitórias, ainda devem ser lidos o instante tempo desejado, o intervalo de discretização Δt e as condições iniciais. • Feitos os cálculos, o programa deverá apresentar os resultados e gráficos mostrando a evo- lução das probabilidades ao longo do tempo. Para a entrega do trabalho, deverá ser montado um relatório contendo um resumo teórico so- bre o assunto, o programa fonte (que será lido e estará sujeito a defesa) e resultados de aplica- ções com espaços de estados criados pelos próprios alunos do grupo. Prof. João Guilherme de Carvalho Costa Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI