Modulo matematica

Ilhéus . 2012
Irene Mauricio Cazorla (Org.)
Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3
METODOLOGIA DO
ENSINO DA MATEMÁTICA

Universidade Estadual de
Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena Freire
Pró-reitor de Graduação
Prof. Elias Lins Guimarães
Diretora do Departamento de Ciências da Educação
Profª. Emilia Peixoto Vieira
Ministério da
Educação

Ficha Catalográfica
1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
Projeto Gráfico e Diagramação
Jamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké
João Luiz Cardeal Craveiro
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Capa
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Impressão e acabamento
JM Gráfica e Editora
Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC
Obra desenvolvida para os cursos de Educação a
Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz -
UESC (Ilhéus-BA)
Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus-
Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia.
www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458
Pedagogia | Módulo 5 | Volume 3 - Metodologia do Ensino da Matemática
Metodologia do ensino da matemática / Elaboração de
conteúdo: Aida Carvalho Vita ... [et al.]. – Ilhéus,
BA: Editus, 2012.
175 p. : il. (Pedagogia – módulo 5 – volume 3 – EAD)
ISBN: 978-85-7455-295-8
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática –
Metodologia. I. Vita, Aida Carvalho. II. Série.
CDD 510.7
593

Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles
Coordenação do Curso de Pedagogia (EAD)
Profª. Drª. Maria Elizabete Souza Couto
Elaboração de Conteúdo
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla
Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto
Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Instrucional Design
Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira
Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa Costa
Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes
Revisão
Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho
Coordenação Fluxo Editorial
Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
EAD . UAB|UESC

DISCIPLINA
METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁTICA
EMENTA
OBJETIVO
Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática. Estudo de
conteúdos matemáticos direcionados para a aquisição de competências básicas
necessárias à vivência no cotidiano: conteúdos, percursos metodológicos, uso das
tecnologias e avaliação. O raciocínio lógico-matemático e situações problemas
- geometria, cálculo mental e operações fundamentais. A Matemática: estudos,
pesquisas e diferentes usos sociais e o significado matemático.
Carga horária: 75 horas, sendo 60 h para estudos e discussão teórico-práticos,
e mais 15 h para elaboração e apresentação de oficinas. Em seguida, as refle-
xões e aprendizagens das oficinas serão socializadas entre os colegas.
A partir do estudo sobre os conteúdos deste módulo, você poderá ser capaz
de:
• explicar e utilizar conceitos e métodos matemáticos para propor e
resolver situações-problema junto com seus estudantes;
• planejar atividades de ensino favoráveis ao desenvolvimento de
competências do raciocínio lógico-matemático;
• aperfeiçoar sua habilidade de registro escrito e domínio de estratégias
de cálculo mental para resolução de problemas envolvendo aritmética;
• aperfeiçoar sua habilidade de registro e uso de estratégias para
modelagem e resolução de problemas geométricos;
• analisar e discutir de maneira crítica os diferentes usos sociais e
significados do conhecimento matemático;
• contribuir para a compreensão da Matemática como uma linguagem
que ajuda a compreender o mundo em que o estudante está inserido;
• criar condições para que seus estudantes compreendam a importância
da Matemática na formação para a cidadania.

OS AUTORES
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática
Inclusiva.
E-mail: aida2009vita@gmail.com
Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora
Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.
E-mail: eurivalda@hotmail.com
Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Mestre em Educação pela UFBA. Professora Assistente da UESC.
Pesquisa na área de Educação Inclusiva.
E-mail: gshora@terra.com.br
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla
Doutora em Educação Matemática pela UNICAMP. Professora
Titular da UESC. Pesquisa na área de Educação Estatística.
E-mail: icazorla@uol.com.br
Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto
Doutoranda em Difusão do Conhecimento pela Universidade
Federal da Bahia (UFBA). Mestre em Matemática pela UFBA.
Professora Assistente da UESC. Realiza pesquisa na área de
Educação Inclusiva e Divulgação e Popularização da Ciência.
E-mail: jurema@uesc.br
Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Doutor em Educação Matemática pela UFSCar. Professor Adjunto
da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.
E-mail: marcos_neves2001@yahoo.com.br

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos
anos iniciais do Ensino Fundamental, recorremos às recomendações dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
Assim, estruturamos a disciplina em três blocos de conteúdos conceituais
e procedimentais da Matemática, a saber: Números e Operações, Espaço e
Forma (Geometria) e Tratamento da Informação (Estatística), apresentados
em quatro unidades, com atividades que integram os conteúdos na solução
de problemas situados no contexto escolar, nos quais os estudantes tenham
uma participação ativa na construção de seus conhecimentos.

NÚMERO
E OPERAÇÕES
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
• elaborar situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento
aritmético, bem como utilizar esquemas para a resolução de situa-
ções pertencentes aos campos conceituais das estruturas aditivas;
• explorar ideias sobre os campos conceituais das estruturas aditivas,
bem como os aspectos históricos sobre os números naturais e formas
de calcular para fins de planejamento de aulas;
• discutir sobre a importância pedagógica da análise dos erros dos
estudantes ao resolverem situações-problema;
• explorar a análise de erros como estratégia pedagógica para au-
xiliar o planejamento, ação e avaliação de aulas e atividades que
promovam o desenvolvimento do pensamento aritmético.
1ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS
Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é
Matemática e isso acontece, entre tantos motivos, por lembrarem-se de
certas aprendizagens escolares, em situações nas quais, via de regra, não
conseguiram perceber as aplicações possíveis desses conhecimentos
e sua utilidade para a vida, ligando tudo isso a uma percepção de
complexidade dessa ciência.
Esta primeira percepção da complexidade da Matemática muitas
vezes nos faz perder de vista o fato de que suas ideias e formas de
pensamento mais elementares surgiram da reflexão sobre as atividades
humanas comuns do dia a dia que envolvem contagem, medição e
cálculo.
Enquanto ciência, a Matemática acumulou conhecimentos
bastante sofisticados que são estudados por cientistas; mas, se
observamos o dia a dia das pessoas a nossa volta, perceberemos que este
está repleto de ideias e formas de raciocínio que compõem a base desta
ciência. O pedreiro, a cozinheira, o vendedor, a costureira e outros
profissionais necessitam interpretar e utilizar quantidades, valores
e medidas, mesmo sem dominar os registros escritos associados aos
números.
Nesse sentido, podemos observar que, quando crianças,
nascemos em um meio onde já se elaboraram ideias sobre números
e suas funções. As residências das pessoas costumam ser numeradas;
calçados e vestimentas também; telefones e correspondências utilizam
números; as coisas têm preço; os relógios e calendários controlam
o tempo; em brincadeiras infantis são feitas contagens; enfim, antes
mesmo de alcançarmos a idade escolar, vivemos em um mundo repleto
de números e o mesmo ocorre com as ideias matemáticas sobre espaço
e forma, que são a base da geometria.
A reflexão sobre estas experiências é fundamental para uma boa
aproximação do estudante com os conteúdos da matemática escolar, de
Módulo 5 I Volume 3 15UESC
Número e Operações
1Unidade

maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode
favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação
desses saberes cotidianos relacionados à Matemática. O ato de lidar
com a noção de quantidade exige do sujeito certas competências e
habilidades, formas de raciocínio lógico, as quais são interconectadas
com o desenvolvimento do conceito de número, das relações entre os
números e suas operações.
2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
A aprendizagem do conceito de número natural começa a
ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa
a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas
que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em
coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a
mesma cor ou mesmo formato.
Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão
se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação,
classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e
se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que
as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem.
Assim, aquelas atividades de classificação e seriação que
realizamos com as crianças desde a educação infantil são fundamentais
para estimular as condições necessárias à construção do conceito de
número nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Vejamos alguns exemplos de atividades baseadas em imagens
do software livre Sistema Tutorial Inteligente (ITS), desenvolvido pela
equipe do Prof. Lorenzo Moreno Ruiz, da Universidad de La Laguna,
Espanha (PEIXOTO; CAZORLA; VITA, 2011).
a) Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos,
segundo uma determinada relação. Por exemplo, na Figura 1, a
criança deve analisar qual é a constituição da série e escolher
qual será o próximo elemento:
16 EADPedagogia
Metodologia do Ensino da Matemática

Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.
b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade
que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos
em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de
inclusão de classes. Na Figura 2 solicita-se que as crianças formem
dois grupos, um composto por pássaros e outro por comida.
Figura 2 - Exemplo de atividade de classificação com o software ITS.
1Unidade

c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos,
identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos
e os representam com seus indicadores. Por exemplo, na Figura
3, solicitar à criança que assinale em qual dos dois conjuntos há
menos borboletas.
Figura 3 - Exemplo de atividade com quantificadores com o software ITS.
Outra forma de quantificação faz referência à aplicação de
quantificadores básicos de uma coleção de objetos (todos, nenhum,
alguns, nada, pouco, [...]), como no exemplo da Figura 4.
Figura 4 - Exemplo de atividade de quantificação com o software ITS
18 EADPedagogia

d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico
e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, como no
exemplo da Figura 5.
Figura 5 - Exemplo de atividade com contagem com o software ITS.
e) Correspondência termo a termo: é o processo no qual são
relacionados os objetos com o que lhes é correspondente, como
no exemplo da Figura 6.
Figura 6 - Exemplo de uma atividade de correspondência com o software ITS.
1Unidade

f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações
associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reconhecer a
escrita numérica e a escrita na língua materna, neste caso, em
português.
Figura 7 - Exemplo de atividade de reconhecimento com o software ITS.
g) Ordinalidade: é a capacidade de definir um conjunto de valores
no qual cada valor, exceto o primeiro, tem um único antecessor,
e cada valor, exceto o último, tem um único sucessor, conforme
Figura 8.
Figura 8 - Exemplo de atividade com ordenação com o software ITS.
20 EADPedagogia

h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que
compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade.
Figura 9 - Exemplo de atividade com cardinalidade com o software ITS.
Quando a criança, espontaneamente ou estimulada pelo professor,
brinca de contar, de agrupar objetos pelas semelhanças, elaborando um
sistema de classificação, de comparar tamanho, largura ou altura dos
objetos, ela está construindo o conceito de número, bem como de suas
representações.
Daí, o professor dos anos (séries) iniciais deve proporcionar
situações diversificadas com materiais variados para trabalhar as relações
matemáticas, fazendo com que os alunos progridam em seu conhecimento
matemático.
Assim, a criança interage com o meio ambiente através da sua
inteligência, da sua noção de quantidade e da sua representação dos
sistemas de numeração. Inicialmente explora o local, manipulando
objetos, materiais e brinquedos, depois passa a organizá-los e, finalmente,
consegue trabalhar mentalmente com as ideias numéricas, elaborando
seu conhecimento.
É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória
do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio:
classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção
dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração
1Unidade

Decimal e constituição do conceito de número natural.
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese
coordenada e reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam
a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único
(PIAGET, 1978).
Figura 10 – Ordem e inclusão de classe.
Fonte: Elaborado pelos autores.
A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente
agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente
esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os
constituem.
A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos
dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado
sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos
procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela
criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os
números cardinais e os números ordinais.
Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a
uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as
22 EADPedagogia

coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a
partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam
e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de
todos os anos iniciais. A Figura 11 organiza alguns elementos importantes
neste processo.
Figura 11 – Mapa conceitual da formação do conceito de número. Fonte: Elaborado pelos autores com base nas
ideias de Kamii (1995) e Zunino (1995).

Para a construção do conceito de número nos anos iniciais,
com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de
1Unidade

dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.
Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual
forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas
de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem,
agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela
pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência
um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificar
grandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume,
tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão
hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente.
Portanto é importante explicitar as nuances da formação do
conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas
não enumeráveis. Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre
o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo
que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997).
A Figura 12 ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo
que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que
resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área,
massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem
ao homem tratar essas quantidades da mesma forma.
Figura 12 – Tensões entre quantidade/qualidade, contínuo/discreto. Fonte: Elaborado pelos autores.
24 EADPedagogia

Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN
(BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento
de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações
em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas
e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam
suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi
historicamente construído.
Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações
de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve
que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números
racionais e irracionais. Também quando se deparar com situações–
problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá
ampliar seu conceito de número.
O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão
dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes
entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes
tipos: exato e aproximado, mental e escrito.
Napróximaseção,apresentaremosumavisãohistóricadainvenção
do número pelo homem e do surgimento dos sistemas de numeração, em
especial do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais.
3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE
NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
A necessidade de contar, possivelmente, começou com o
desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou
de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o
pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano
e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações
de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de
calendário etc.
No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que
nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito
grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00
1Unidade

0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton
(0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de
um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o
sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado
indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século
III a.C. e é utilizado até hoje.
Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um
deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da
contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas
características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo
mental.
3.1 O homem aprendeu a contar
Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a
correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos,
como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos
de marcação.
Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência
um a um com a história de pastores contando o seu
rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser
contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é deriva-
da da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do
atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão (Figura
13), através do estabelecimento de uma relação de correspondência um
a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada (Figura
14).
26 EADPedagogia

Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC
Figura 14 – Correspondência um a um ou biunívoca
Fonte: Ideia elaborada pelos autores baseado em Imenes (1988) / UAB-UESC.
Além dos dedos, o homem também utilizou as falanges e
articulações para contar. Segundo Ifrah (2000), uma técnica comum
praticada na China, Índia e Indochina era contar usando cada falange
como uma unidade, começando numa das mãos pela falange inferior do
dedo mindinho e terminando na falange superior do polegar (pode-se
também começar pela falange superior do anular e terminar na falange
do polegar). É possível contar de 1 a 28 com as duas mãos (Figura 15).
1Unidade

Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando,
sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte e oito falanges
de suas mãos.
Figura 15 – Técnica de contagem utilizando as falanges das duas mãos.
Fonte: modelo Ifrah (2000) - UAB/UESC.
Uma prática também muito antiga (o mais antigo método para
memorizar quantidades) e utilizada em diversas partes do mundo foi a
do entalhe. Tratava-se de pegar pedaços de madeira ou ossos, e nesses
eram feitos riscos para representar quantidades.
Figura 16 – Modelos de entalhe utilizados para registrar quantidades.Fonte: Ifrah (2000).
28 EADPedagogia

Outras práticas de contagem e registro utilizavam
cordas.
A civilização Inca nasceu aproximadamente no
início do século XII e surpreendeu a muitos por seu alto
grau de conhecimento e prosperidade, pois embora não
tivesse conhecimento da roda, nem da tração animal e nem
mesmo da escrita como é conhecida hoje, desenvolveu um
método muito prático e eficiente para contar: o cordão com
nós, denominado quipu (palavra inca que significava nó).
Este dispositivo consistia numa corda principal onde eram
atados vários cordões de diferentes cores e mais finos do
que a corda e, dessa forma, eram feitos nós nesses cordões
de diferentes tipos e a intervalos regulares para representar
os números. Os homens que cuidavam desses registros eram
chamados de quipucamayocs, que quer dizer “guardiães de
nós” (Figura 17).
Figura 17 – Quipus e quipucamayocs da civilização Inca.Fonte: Ifrah (2000).
Por exemplo, para representar o número 3.643,
faziam-se três nós na parte superior do cordão, dava-se um
intervalo e faziam-se seis nós, dava-se então outro intervalo
e faziam-se quatro nós e, finalmente, três nós na parte
inferior da corda. Era dessa forma que os incas registravam
as quantidades.
1Unidade

Os quipus também serviam de representações de calendários,
fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagens. A cor de
uma cordinha podia significar uma ideia abstrata, por exemplo, o branco
expressava a pureza, a paz ou o dinheiro; o amarelo, o ouro, o sol ou
a eternidade; o vermelho, o sangue, o fogo e a guerra. Mas a utilidade
principal era a contagem e os incas usavam a base decimal nesse processo.
O uso de cordões com nós não foi exclusivo dos incas. Em
diferentes regiões, outros povos utilizavam sistemas análogos desde a
Antiguidade.
3.2 Aperfeiçoando a contagem e o
cálculo
À medida que os cálculos foram se tornando
cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualquer
outro recurso não era tarefa prática e possível, em
algumas regiões. A saída para este problema, ao que
tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax,
tabuleiro de areia).
Sua forma variou durante o tempo e com os
povos. Os primeiros ábacos eram pequenas bandejas
cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou
desenhos de figura. Antes e durante o Império
Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros.
Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas
por um painel de madeira, pedra ou metal contendo
sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que
representavam números. As mais antigas tábuas de
contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis
usados na sua construção. Assim, os antigos foram
observando a necessidade de se criar tábuas portáteis
e mais duráveis do que as mais antigas. A Figura 18
apresenta alguns exemplos de ábacos utilizados por
romanos, chineses e japoneses. Mais detalhes podem
Figura 18 - Ábaco de bolso romano,
ábaco chinês (suan-pan) e ábaco japonês
(soroban).
Fontes:
1: http://andria-unisc-abaco.blogspot.
com/2009_09_01_archive.html;
2: http://www.topolewski.de/pascal/
jufo2003/image/chinesischer-abakus.gif;
3: http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/
ComputerXHistory/EarlyHistory/1956-
Soroban1170.htm
30 EADPedagogia

ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em
Nunes, Soledade e Reis (1998).
3.3 Do ábaco aos algoritmos
O surgimento do ábaco constituiu uma etapa
intermediária antes do sistema de numeração decimal
utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus
cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam
apenas como forma de registro e não eram utilizados para
realização de cálculos.
Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano
ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas,
mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de
qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de
especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio
do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma
multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade
podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho
delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o
montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer
aos serviços de um destes especialistas do cálculo.
Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado
pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas
registrar quantidades como os sistemas dos romanos e
dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo.
Além disso, uma característica fundamental deste sistema é
a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco,
pois apenas com dez algarismos podem-se representar
infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo
para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que
gerou o que hoje se conhece como zero.
Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos
algarismos, podemos escrever diferentes números com um
Em 1949, Joaquim Lima de
Moraes, deficiente visual,
adaptou o Soroban para
uso de cegos, após apren-
der a técnica ensinada
por imigrantes japoneses,
abrasileirando o termo para
Sorobã. O soroban adap-
tado é composto por uma
moldura dividida por uma
linha horizontal e vinte e
um eixos verticais. É re-
vestido internamente por
uma borracha compresso-
ra, cuja função é deixar as
contas fixas; além disso,
foram adicionados pontos e
traços com a função de se-
parar as ordens, classes e
facilitar a leitura tátil.
você sabia?
Figura 19 – Soroban adaptado
comercializado pela Bengala
Branca Importação e Comér-
cio Ltda.
Fonte: Peixoto, Santana e Ca-
zorla (2006).
1Unidade

algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos
algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387.
Este sistema proporcionou um grande avanço no
desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem
o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje
descende dele.
Mas deixar de lado o ábaco e operar com os
algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o
dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência
na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos
como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores
ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas)
e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de
origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos
novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado
no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos
feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só
após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os
algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente
o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental.
3.4 Consolidação do Sistema de Numeração
Decimal (SND)
O grande avanço dado com a criação do sistema
decimal com algarismos arábicos foi a transposição de um
contexto concreto, e necessariamente finito, representado
pelo ábaco, para uma representação com símbolos escritos.
Foi, sem dúvida, um passo importante que possibilitou
representar e operar com quantidades quaisquer, mas que
só foi possível depois de séculos de emprego difundido do
ábaco pelos homens (CARDOSO, 1992).
Assim, podemos observar que o sistema de
numeração que hoje utilizamos surgiu por meio de um
Al Khawarizmi, matemático
muçulmano do século IX,
foi um dos responsáveis
pela divulgação do sistema
de numeração indo-arábico
na Europa. Seus trabalhos
de aritmética, álgebra e
geometria influenciaram o
Ocidente e deles surgiram
termos como algoritmo e
algarismo. Leonardo de
Pisa, matemático italiano
conhecido como Fibonac-
ci, também exerceu forte
influência para a aceitação
destes novos métodos de
cálculo quando escreveu,
em 1202, um tratado cha-
mado Líber Abaci (Tratado
do ábaco), que contradito-
riamente ao título ensinava
métodos e processos de
cálculo através dos nume-
rais indo-arábicos.
Fonte: Ifrah (2000).
Maiores detalhes recomen-
damos a leitura de Ifrah
(2000) e Boyer (1996).
você sabia?
leitura recomendada
32 EADPedagogia

longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio
onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco constituiu uma etapa
intermediária antes de surgir o SND utilizado hoje, pois, por muitos anos,
o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos
serviam apenas como forma de registro, mas esses não eram utilizados
para a realização de cálculos.
4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL (SND)
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras
utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas
permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados
consistentes. O SND usado atualmente tem características peculiares:
• é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições,
assume diferentes valores: 123 é diferente de 321;
• as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso
dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena,
dez dezenas formam uma centena e assim por diante;
• o símbolo zero representa a ausência de quantidade;
• é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em
564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100, 6 x 10 e 4 x 1;
• é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4;
usa dez símbolos para representar qualquer quantidade.
4.1 O valor posicional, ordens e classes
No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também
agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional
permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos.
Para compreender melhor o conceito de número e facilitar
sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo
1Unidade

corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7
ordens e 3 classes.
1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e
cinquenta e seis unidades).
1 2 2 3 4 5 6
1ª ordem: 6 unidades
2ª ordem: 5 dezenas
3ª ordem: 4 centenas
4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades
5ª ordem: 2 dezenas de milhar = 20 000 unidades
6ª ordem: 2 centenas de milhar = 200 000 unidades
7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades
O quadro a seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456
e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe.
3ª classe: milhões 2ª classe: milhares 1ª classe: unidades simples
9ª
ordem:
8ª
ordem:
7ª ordem:
6ª
ordem:
5ª
ordem
4ª
ordem:
3ª
ordem:
2ª
ordem:
1ª
ordem:
centena
de
milhão
dezena
de
milhão
unidade
de milhão
centena
de
milhar
dezena
de
milhar
unidade
de
milhar
centena
simples
dezena
simples
unidade
simples
1 2 2 3 4 5 6
1.000.000 200.000 20.000 3.000 400 50 6
4.2 Valor relativo e valor absoluto
A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração
está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto
dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo
7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e
700.
34 EADPedagogia

Centena Dezena Unidade
Número 7 7 7
Valor relativo do 7 700 70 7
7 7 unidades 7 unidades
7 0 7 dezenas 70 unidades
7 0 0 7 centenas 700 unidades
7 7 7
O quadro a seguir é conheci-
do pelos professores das séries
iniciais do Ensino Fundamen-
tal como QVL (Quadro Valor de
Lugar). Geralmente, utilizam as
quatro primeiras ordens: unida-
de, dezena, centena e unidade
de milhar, o que possibilita ex-
plorar os agrupamentos e trocas
de uma ordem para outra.
4.3 Por que ensinar o sistema de numeração às crianças?
Para Nunes et al. (2005), a resposta está no fato de que sem
um sistema de numeração é impossível trabalhar com quantidades.
Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de maneira
mais exata do que a percepção, bem como permite lembrar quantidades
quando necessário. Os sistemas de numeração ampliam a capacidade de
raciocinar sobre quantidades, logo são necessários para que os alunos
venham desenvolver sua inteligência no âmbito da matemática, usando
instrumentos que a sociedade lhes oferece.
Entretanto as autoras enfatizam que ensinar os sistemas de
numeração tem apresentado vários obstáculos, principalmente na relação
entre o desenvolvimento da criança e a complexidade da representação
numérica usando um sistema de numeração, pois há uma ideia
Figura 20 – Quadro Valor de Lugar (QVL).
Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_7HGlxI3gfRk/SMUj1sdtysI/
AAAAAAAAAdk/-e1VfhoX_Ic/s1600-h/1.JPG
você sabia?
1Unidade

especialmente complexa, a da composição aditiva, que a
criança precisa compreender.
As atividades de contagem mais comuns entre
crianças consistem em contar objetos, estabelecendo uma
correspondência um a um entre um objeto e um rótulo
numérico que o designa. A compreensão do sistema
numérico decimal requer mais do que a simples contagem
de elementos; requer lidar simultaneamente com o valor
absoluto e o valor relativo dos números. Essa habilidade está
ausente na contagem de objetos (SPINILLO, 1994).
Ou seja, os números não são apenas uma sequência
de palavras, como uma lista de compras, na qual um item
não tem relação com o outro. Na sequência de números,
cada item é igual ao anterior mais 1; 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1,
4 = 3 + 1 etc. E cada número pode ser composto através
da soma de dois números que o precedem: 7 = 6 + 1 ou
5 + 2 ou 4 + 3. Portanto a sequência numérica supõe uma
organização, denominada composição aditiva.
Além disso, este sistema tem uma organização de
natureza multiplicativa: 20 indica 2 dezenas ou 2 x 10; 30 =
3 x 10; 40 = 4 x 10. Essa organização multiplicativa significa
que as unidades contadas podem ter valores diferentes:
podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades
de milhar etc. Assim, para que uma criança compreenda
o SND, ela precisa compreender a ideia de que existem
unidades de valores diferentes no sistema e que as unidades
podem ser somadas formando uma quantia única (NUNES
et al, 2005).
5 COMO OPERAMOS COM ALGORITMOS?
Algoritmo, segundo Pais (2006), é um dispositivo
utilizado para a resolução de situações-problema com
a intenção de simplificar o cálculo. Ou, simplesmente,
Embora crianças menores
sejam capazes de contar
objetos usando a sequên-
cia numérica, é a partir dos
6 anos que a maioria das
crianças resolve problemas
de contagem de dinheiro
no mercadinho; porém,
mesmo em crianças de 7
anos, podem-se observar
dificuldades na compreen-
são da composição aditiva
(NUNES et al, 2005).
Neste contexto, o papel
do professor é promover
a aprendizagem das ideias
matemáticas envolvidas
no SND, propondo ativida-
des diversas (com material
concreto, fichas, gudes,
com dinheiro em situações
de compras etc.)
Exemplo: a contagem de
dinheiro com notas de di-
ferentes valores promove a
compreensão da composi-
ção aditiva.
atenção
36 EADPedagogia

um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de
instruções, para obter uma solução para certo tipo de
problema.
Por exemplo, quando queremos fazer um bolo,
seguimos uma receita com uma série de etapas, tais como:
primeiro bata bem o açúcar, a manteiga e os ovos, em seguida
acrescente a farinha, o leite e o fermento e coloque no forno
por 30 minutos. Esta sequência de etapas, que faz parte de
uma instrução a ser seguida, é um algoritmo.
Na aritmética, você conhece os algoritmos (contas)
usuais das quatro operações fundamentais.
5.1 Cálculo mental e algoritmos
Muitas vezes nos deparamos com pessoas que fazem
conta de cabeça, sendo que algumas delas não foram sequer
escolarizadas. Essas pessoas aprenderam na vida prática,
como por exemplo, no comércio, nas transações bancárias
etc., propriedades e estratégias matemáticas, devido às
necessidades impostas pelas atividades que desempenham.
Assim, devem realizar cálculos rapidamente e tomar
decisões.
Estas experiências são importantes e devem ser
levadas em consideração na sala de aula; pois, quando isto
acontece, aproveita-se a oportunidade para fazer a interação
entre o conhecimento matemático informal e o formal
organizado, explicitar conhecimentos implícitos, desvelar
propriedades e relações.
Alguns alunos fazem cálculos de cabeça porque
foram estimulados de alguma forma para isso, outros têm
mais dificuldade. Mas o professor deve prover os meios
para que seu aluno utilize o cálculo mental, utilizando as
propriedades das operações.
Algoritmo
é o processo de cálculo, ou
de resolução de um grupo
de problemas semelhan-
tes, em que se estipulam,
com generalidades e sem
restrições, regras formais
para obtenção do resulta-
do ou da solução de um
problema (Novo dicionário
Aurélio, 1ª edição, Editora
Nova Fronteira).
1Unidade

Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:
1) Comutativa:
Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma
3 + 9 = 9 + 3 = 12
Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto:
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Genericamente: se a e b representam números naturais, então:
a + b = b + a e a x b = b x a
2) Associativa:
Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a
soma não se altera
(1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10
1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10,
logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6)
Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os
fatores, o produto não se altera
(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60
Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números
naturais, então
(a + b) + c = a + (b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
3) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
e à subtração
3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3
3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3
Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale:
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b – c) = a x b – a x c
4) Distributiva da adição em relação à divisão
(70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25
Genericamente: se a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale:
(a+b) : c = a:c + b:c
38 EADPedagogia

5.2 Algumas estratégias de cálculo mental
Na soma, podemos:
Resolver uma soma: 34 + 25:
a) Primeiro decompomos o 34 = 30 + 4
e o 25 = 20 + 5;
b) Depois comutamos;
c) Em seguida associamos;
d) Por fim somamos, obtendo o resultado 59.
34 + 25=
(30 + 4) + (20 + 5) =
(30 + 20) + (4 + 5) =
50 + 9 =
59
Na subtração, podemos:
a) Resolver uma subtração fazendo uma adição.
Por exemplo: 34 – 25
25 para 30 = 5
30 para 34 = 4
5 + 4 = 9
b) Arredondar e fazer a compensação. Por
exemplo: 62-38
62 – 38 =
(62 – 40) + 2 =
2 + 2 = 24
c) Decompor o subtraendo (valor que será
subtraído). Por exemplo: 23 – 18
23 – 18=
(23–10) – 8=
13 – 8 = 5
d) Alterar o minuendo para evitar o “empresta
um”. Por exemplo: 500 - 365
500 – 365
(499 – 365) + 1 =
134 + 1 = 135
e) Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e
centenas. Por exemplo: 29 - 15
29 – 15 =
(20 – 10) + (9 – 5) =
10 + 4 = 14
1Unidade

Na multiplicação, podemos:
a) Decompor um dos fatores e usar a
propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15
7 x 15 =
(7 x 10) + (7 x 5) =
70 + 35 = 105
b) Utilizar a propriedade distributiva da
multiplicação em relação a soma. Por
exemplo: 32 x 5
(30 + 2) x 5 =
30 x 5 + 2 x 5 =
150 + 10 = 160
Na divisão, podemos:
a) Fazer simplificações sucessivas. Por exemplo:
512 : 32
512 : 32 =
256 : 16 =
128 : 8 =
64 : 4 =
32 : 2 =
16
b) Decompor e utilizar a propriedade distributiva.
Por exemplo: 75 : 5
75 : 5 = (70 + 5) : 5 =
70 : 5 + 5 : 5 =
24 + 1 = 25
As habilidades para fazer estimativas e cálculo mental dão
autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que
avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo
exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre
números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da
[...] utilização da decomposição das escritas numéricas
para a realização do cálculo mental exato e aproxima-
do. Cálculos de adição e subtração por meio de estra-
tégias pessoais e algumas técnicas convencionais. Cál-
: 2
: 2
: 2
: 2
40 EADPedagogia

culos de multiplicação e divisão por meio
de estratégias pessoais. Utilização de es-
timativas para avaliar a adequação de um
resultado e uso de calculadora para desen-
volvimento de estratégias de verificação e
controle de cálculos (BRASIL, 2000, p. 72,
grifo nosso).
E, no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo
mental, acrescentando operações com racionais na forma
decimal.
5.3 Algoritmos e operações: um olhar
diferenciado
Nosso objetivo, nesta etapa, é o de mostrar maneiras
diferentes de realizar as operações, sempre que possível,
relacionando os algoritmos com o sistema de numeração
decimal.
a) Adição
A técnica operatória ou algoritmo da adição sugere
que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se
adicione da direita para a esquerda. Vocês já pensaram por
que se faz isto? Será que poderíamos começar da esquerda
para a direita?
A técnica do “vai um” (Adição com reserva)
Esta técnica é utilizada com o objetivo de facilitar a
Recomendamos ler
os livros de Carraher;
Carraher; Schliemann
(2003) e Kamii; Declark
(1995), constantes nas
referências.
Algoritmo Operações Realizadas
2 5 3 1 = 2000 + 500 + 30 + 1
+ 4 2 6 7 = 4000 + 200 + 60 + 7
6 7 9 8 2000 + 500 + 30 + 1
leitura recomendada
1Unidade

interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos
exemplificar esta técnica utilizando a soma das parcelas 3.456 e 1.795.
A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a
compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que
significa os símbolos 3456 e 1795 é impossível entender o processo do “vai
um”. Ele se apoia na ideia de agrupamento.
É comum na adição com reserva (ou transporte) dizermos “vai
um”. Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena etc. Para
compreender melhor a técnica do “vai um”, vamos efetuar a adição de 1.345
+ 1.487 (CENTURION, 1994, p. 157).
3 4 5 6
+ 7 9 5
1
5 2 5 1
6 + 5 = 11 = 10 + 1,fica uma unidade, vai uma dezena
1 + 5 + 9 = 15 dezenas = 1 centena e 5 dezenas, vai uma centena
1 + 4 + 7 = 12 centenas = 1 milhar e 2 centenas, vai um milhar
1 + 3 + 1 = 5 milhares
1 1
1 3 4 5
+ 1 4 8 7
8 2 3 2
Algoritmo Operações realizadas
2000 + 700 + 100 + 20 + 10 + 2
2000 + 800 + 30 + 2
2832
1000 + 300 + 40 + 5
1000 + 400 + 80 + 7
2000 + 700 + 120 + 12
10 + 2
100 + 20
800 30
Agrupamos uma dezena
e uma centena
Aplicamos a proprie-
dade associativa da
adição.
Escrevemos o número
no sistema posicional de
numeração, onde valem
os princípios aditivo e
multiplicativo.
42 EADPedagogia

b) Subtração
Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com
a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Vamos
compreender o processo da subtração utilizando o ábaco. Começamos por
um exemplo simples, subtraindo 142 de 563:
Representamos o número 563 no ábaco. A seguir, das três unidades
subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1. É
importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e
o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração.
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso
sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725:
a) Representamos o 725 no ábaco: b) A seguir, das 5 unidades subtraímos 1:
c) Na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3 por
isso desagrupamos uma centena, convertendo-a em dez dezenas:
5 6 3 5 6 3
1 4 2
5 6 3
-1 4 2
4 2 1
No algoritmo
7 2 5
4 3 1
-
7 2 5
4 3 1
-
4
7 2 5
4 3 1
1
-
4
6
1Unidade

d) Agora, na casa das dezenas, temos
12 bolinhas e podemos retirar 3;
e) Finalmente, das 6 centenas
retiramos 4 e obtemos 294.
6 O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO
Geralmente, trabalhamos na escola com as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão sem fazer maiores relações com os
problemas matemáticos que envolvem tais operações. O pesquisador
francês Gérard Vergnaud estudou essas operações de modo a trabalhar os
conceitos envolvidos nos problemas matemáticos e relacionados com tais
operações.
Esse pesquisador desenvolveu a Teoria dos Campos Conceituais
(TCC) que é uma “teoria cognitivista que [...] tem uma forte herança
da teoria de Piaget e, também, alguns pontos da teoria de Vygotsky”
(SANTANA, 2010, p. 24).
Para Vergnaud (1982, 1996), o Campo Conceitual das Estruturas
Aditivas, ou de maneira mais simples, o Campo Aditivo é, ao mesmo tempo,
o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou
subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permite analisar essas
situações como tarefas matemáticas. O Campo Conceitual das Estruturas
Multiplicativas ou o Campo Multiplicativo é definido no mesmo sentido do
aditivo sendo que as operações são as de multiplicação e divisão.
Antes de estudar sobre a classificação das situações-problema de aditivas, elabore seis situa-
ções-problema de adição e/ou subtração. Siga o estilo dos que geralmente você trabalha em
sua sala de aula. Essa atividade deverá ser postada.
A atividade tem por objetivo mapear as categorias que você utiliza na sua prática pedagógi-
ca. Ao final desta unidade, retome as situações-problema que você elaborou e verifique se
trabalha com todas as categorias.
sugestão de atividade
7 2 5
4 3 1
1
-
9 4
6
7 2 5
4 3 1
1
-
6
2 9 4
44 EADPedagogia

Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de
subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade, elas
fazem parte de um mesmo Campo Conceitual, o das Estruturas Aditivas,
ou seja, essas operações apresentam relações, propriedades, dificuldades
e contextos que as fazem pertencer a um mesmo universo de estudo.
Nós, enquanto pesquisadores, procuramos caracterizar esse
Campo Conceitual, tecendo considerações a respeito dos diferentes
tipos de situações-problema que envolvem, especificamente, a adição
e a subtração. Neste texto, adotamos os termos situação-problema e
situação como sinônimos. Usamos as duas formas para nos referirmos
aos problemas matemáticos em questão.
Como colocamos anteriormente, para a Teoria dos Campos
Conceituais (TCC), o Campo Aditivo é compreendido como o conjunto
das situações-problema cujo tratamento implica uma ou várias adições
ou subtrações, bem como o conjunto dos conceitos e teoremas que
permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Além disso,
as situações são classificadas em seis categorias. De acordo com Magina
(2001), tal classificação foi feita baseada em relações matemáticas e
nas relações psicológicas que a criança precisa fazer para compreender
as situações. Colocamos a seguir seis categorias de situação-problema
aditiva, que foram inicialmente definidas por Vergnaud (1982), e que
foram redefinidas por Santana (2010). Tal classificação consiste nas
seguintes categorias:
a) composição;
b) transformação;
c) comparação;
d) composição de várias transformações;
e) transformação de uma relação; e
f) composição de relações.
Para que você possa entender a que estamos nos referindo,
na sequência apresentamos as definições e exemplos de cada uma das
categorias.
1Unidade

a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo.
Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem bombons
de chocolate e na segunda tem bombons de morango. Veja, abaixo, um
desenho das caixas de bombons de Lia.
Quantos bombons Lia tem ao todo?
Segundo a TCC, podemos trabalhar com diagramas que facilitam
a compreensão da situação. Observe como fica o diagrama para o exemplo
1:
O diagrama indica as partes que se juntam para determinar o todo.
Neste exemplo, as partes são os seis bombons de chocolate e quatro de
morango, que vão compor ao todo dez bombons.
b) Transformação: nessa categoria são classificadas as situações que têm
um estado inicial, uma transformação e um estado final.
Primeira caixa
Bombons de chocolate
Segunda caixa
Bombons de morango
Composição
Parte 6
+ ? Todo
Parte 4
46 EADPedagogia

Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00.
Com quantos reais Maria ficou?
Para a categoria transformação, o diagrama tem o formato que
aparece a seguir, colocado no contexto do exemplo 2:
Observe que o diagrama evidencia um estado inicial que passa por
uma transformação para chegar a outro estado que chamamos de final. Na
categoria transformação, sempre ocorre uma mudança num determinado
tempo. No exemplo 2, o estado inicial é R$ 12,00, e a transformação
negativa é R$ 4,00, e o estado final (quantidade de reais que Maria ficou)
será R$ 8,00.
c) Comparação: nessa categoria, são classificadas as situações nas quais
é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada
de referente e a outra de referido.
Exemplo 3: Observe o desenho abaixo e responda: Quantos anos tem
Carlos?
Transformação
Estado inicial
12
-4
?
Estado final
1Unidade

Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no
contexto do exemplo 3:
Observe que o diagrama da comparação indica uma relação entre
referente e referido. Na categoria comparação, sempre é feita uma relação
entre duas quantidades. Neste exemplo, a idade de Taís é de 5 anos
(referente), Carlos tem 7 anos a mais que Tais (relação), dessa forma,
Carlos tem 12 anos (referido).
d) Composição de várias transformações: são situações nas quais são
dadas transformações e se busca uma nova transformação a partir da
composição das transformações dadas.
Exemplo 4: Marta saiu de casa, gastou R$ 7,00 para almoçar e depois
gastou R$ 5,00 para jantar. Quanto Marta gastou ao todo?
Para a categoria composição de várias transformações, o diagrama
fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama, usamos o
exemplo 4:
Comparação
Referente 6
Relação+7
?Referido
Composição de várias transformações
Transformação -7
+
-5Transformação
? Transformação
48 EADPedagogia

Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para
dar lugar a uma única transformação, sendo que a transformação é o gasto
de R$ 7,00, a outra transformação é o gasto de R$ 5,00 e a transformação
resultante ou única é de R$ 12,00.
e) Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma
relação, e se busca uma nova, que é gerada a partir da transformação
da relação dada.
Exemplo 5: Saulo devia R$ 8,00 a Glebson, pagou R$ 5,00. Quanto ele
deve agora?
Para a categoria transformação de uma relação, o diagrama fica no
formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama usamos o exemplo
5:
Neste exemplo, é dada uma relação e uma transformação que
ocorreu nessa relação gerando uma nova relação. A primeira relação
estabelecida entre Saulo e Glebson é um débito de R$ 8,00, ocorrendo
uma transformação com o pagamento de R$ 5,00, ficando a nova relação
de débito no valor de R$ 3,00.
f) Composição de relações: duas ou mais relações se compõem para dar
lugar a outra relação.
Exemplo 6: Observe a imagem a seguir e responda: Quantas figurinhas
Ana deve ao todo?
Transformação de uma relação
Relação
-8
+5
?
Relação
1Unidade

Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no
formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos o exemplo
6:
Neste exemplo, são dadas três relações que se compõem para dar
lugar a uma outra relação. A primeira relação é um débito de 4 figurinhas,
a segunda relação é um débito de 3 figurinhas e a terceira, um débito de
6 figurinhas. Ao compor essas relações tem-se no total um débito de 12
figurinhas.
É possível observar que, nessas seis categorias, podem ser
trabalhadas as operações de adição e/ou subtração, bem como conceitos
Composição de relações
Relação -4
+
? Relação
+
-3Relação
-6Relação
50 EADPedagogia

inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles
em cada tipo de situação.
Quadro 1 - Alguns conceitos envolvidos nas categorias de situações-problema
Categorias de situações Conceitos
Composição Compor, juntar, parcela, total
Transformação
Transformação de medida,
transformação temporal
Comparação Comparar, relação entre medidas
Composição de várias
transformações
Composição de medidas,
transformação total
Transformação de uma relação Transformação de relação
Composição de relações Composição de relações
Fonte: construção dos autores.
Fique por dentro.
Análise da qualidade das aprendizagens relacionadas ao campo aditivo
No ano de 2009, realizamos, no estado da Bahia, um estudo diagnóstico com 5807
estudantes do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Pesquisamos sobre o Campo
Aditivo, com a finalidade de repensar as condições de ensino, de maneira que se
torne mais acessível à compreensão da criança. Assim, desenvolvemos uma pesquisa
que denominamos de PEA (Pesquisa das Estruturas Aditivas) e trabalhamos em oito
regiões distintas do Estado. Os resultados gerais revelam um quadro preocupante,
em relação ao domínio desse Campo Conceitual pelos estudantes. Vejam os gráficos
a seguir que indicam o desempenho geral dos estudantes de cada ano escolar em
cinco categorias.
Observe, na Figura 21, que os estudantes de todos os anos escolares apresentam
melhores desempenhos nas situações de composição (C) e transformação de uma
relação (TR), seguida pela transformação (T). Uma possível explicação para esse de-
sempenho pode ser encontrado em Santos (2006). Essa autora realizou uma análise
de livros didáticos utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas pú-
blicas de municípios do Sul da Bahia. Dentre seus principais resultados concluiu que
as situações-problema mais abordadas pelos livros didáticos são as de composição,
sendo que a maior parte dos livros adotados nem chegam a abordar as situações
de transformação e de comparação. Acreditamos que o livro seja o maior apoio do
professor e dessa forma tem influência direta em seu trabalho, o que justificaria o
melhor desempenho dos estudantes na categoria composição. Contudo, outros es-
tudos podem ser realizados para se identificar os reais fatores que influenciam esse
desempenho dos estudantes.
1Unidade

Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.
Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = transformação de uma relação; CT
= composição de várias transformações.
Na Região Sul da Bahia, coletamos dados em nove municípios envolvendo 969 es-
tudantes, sendo 212 do 2º ano; 233 do 3º ano; 263 do 4º ano e 261 do 5º ano. A
Figura 22 mostra o desempenho geral por ano escolar. Observa-se que nenhum dos
anos escolares alcançou a média 50% de acerto.
52 EADPedagogia

Figura 22 - Desempenho geral por ano escolar dos estudantes do Sul da Bahia.
Esses resultados se referem às respostas dadas pelos estudantes num teste compos-
to por 18 situações-problemas de adição e de subtração que envolvem as categorias
apresentadas acima, e essas situações são similares às que colocamos como exemplo
para cada uma das categorias.
Diante desse contexto é possível afirmar que os resultados trazem indícios de que
se faz necessário planejar ações que visem sanar possíveis dificuldades que estejam
ocorrendo no ensino e também na aprendizagem do Campo Aditivo. Baseados nesses
e em outros estudos, bem como no trabalho que estamos desenvolvendo com profes-
sores dos anos iniciais da Região Sul da Bahia, colocamos a seguir algumas sugestões
para o trabalho com essas operações.
Fonte: Santana (2010).
7 OS ERROS COMO PONTO DE PARTIDA PARA A
APRENDIZAGEM
7.1 O papel do erro no processo de aprendizagem
Muitasvezes,abordamosoerrodoestudante,numacertaatividade,
como um fator de punição, ou seja, se o estudante erra, apontamos como
aquele que não aprende, não tem atenção, tem dificuldades, não tem
base. Contudo precisamos analisar os erros e usá-los como ferramenta de
aprendizagem. Cury (2007) defende a ideia de que a análise de erros pode
ser uma metodologia de ensino. Para a autora isso pode acontecer quando
essa análise leva os estudantes a questionarem as suas próprias soluções
1Unidade

e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a
mesma ideia da autora.
Santana (2010) aponta erros cometidos pelos estudantes dos anos
iniciais ao resolver situações-problema aditivas. A autora coloca que
dentre os possíveis erros cometidos por esses estudantes, podemos ter:
alguns ligados ao cálculo numérico que são os relacionados às operações
a serem realizadas; e os erros ligados ao cálculo relacional que são aqueles
atrelados às relações de pensamento que os estudantes precisam fazer
para a compreensão da situação-problema. Vejamos alguns exemplos.
7.2 Erro no cálculo numérico
A Figura 23 a seguir traz um exemplo de erro ao armar a operação.
Figura 23 - Exemplo de erro ao armar a operação. Fonte: acervo de pesquisa dos autores.
Observe que o estudante escolheu a operação correta, o que nos
leva a pensar que ele compreende as relações que compõem a estrutura
da situação apresentada. Contudo ele ainda não compreende as regras
do sistema de numeração decimal e as do algoritmo da subtração. O
professor, enquanto mediador, poderá conduzir o estudante a refletir
sobre a maneira como ele registrou a operação e sobre as impossibilidades
de retirar 13 de 9, ou seja, o valor maior (13) ser retirado do menor (9),
além de a unidade ter sido colocada como dezena.
A Figura 24 a seguir apresenta a resolução feita por outro estudante
para a mesma situação (mudança apenas nos nomes).
Problema 13. Roger tem R$ 9,00. Everton tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a
menos?
Ele tem 8 reais
RespostaResolução
- 9
13

8
54 EADPedagogia

Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.
Observe que o estudante parece compreender as relações que
compõem o problema, mas ele erra ao efetuar a operação. O professor
pode trabalhar o erro com esse estudante, levando-o a refletir sobre o
resultado apresentado. Uma maneira de levar o estudante a uma reflexão
é pedir a ele que adicione R$5,00 a R$9,00. Fazendo isso, o estudante
poderá encontrar o valor que Cláudio possui. Contudo, se o estudante
faz tal operação, pode perceber que a sua subtração está incorreta.
7.3 Erro no cálculo relacional
A Figura 25 traz um exemplo de erro no cálculo relacional. O
estudante trocou a operação, isto é, ao invés de adicionar ele subtraiu.
Figura 25 – Exemplo de erro no cálculo relacional.
Observe que o estudante não compreende que Igor tem mais
Igor tem 4 balões a mais que ela. Quantos balões tem Igor?
Igor tem 5 baloes
RespostaResolução
9
-4
5
Problema 5. Bruna e Igor têm balões. Veja o desenho abaixo.
Os balões de Bruna.
Problema 13. Leila tem R$ 9,00. Cláudio tem R$ 13,00. Quem tem menos reais? Quantos reais a menos?
Leila tem menos
que Claudio 5 reais
RespostaResolução
13
- 9
05
1
3
1Unidade

balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o
estudante à reflexão através da interpretação da situação-problema. Se o
estudante compreende que Igor tem mais balões, ele poderá compreender
que 5 balões são menos que 9, e assim poderá verificar que a operação
correta é a adição.
Outro procedimento com o uso da operação inversa, que ocorre
com frequência, é quando esse uso vem atrelado ao uso de palavras-dica
que fazem parte do enunciado da situação. Os estudantes costumam
fazer associações como: se tem “ganhar” é de mais; se tem “perder” é de
menos.
A Figura 26 a seguir apresenta um exemplo do possível uso da
palavra-dica. Observe que o estudante adicionou ao invés de subtrair.
Acreditamos que o estudante possa ter escolhido a operação inversa
influenciado pela presença da palavra “mais”. Essa nossa afirmativa é
decorrente das entrevistas realizadas com os estudantes.
Figura 26 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
A Figura 27, a seguir, apresenta outro procedimento com erro
no cálculo relacional. Observe que o estudante não registrou nenhuma
Mário tem 5 carrinhos a mais que Pedro.
Quantos carrinhos tem Pedro?
Pedro tem
13 carrinhos.
RespostaResolução
8
+5
13
3º) Mário e Pedro têm carrinhos de brinquedo.
Veja na ilustração os carrinhos de Mário.
Carrinhos de Mário
56 EADPedagogia

operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo
de procedimento inviabiliza uma análise mais profunda das relações que
o estudante possa ter feito para colocar essa resposta. Diante desse tipo
de procedimento, o professor precisa questionar o estudante para que ele
possa expor a compreensão que teve da situação e só assim o professor
poderá intervir de maneira a alcançar a aprendizagem do estudante.
Figura 27 - Erro no cálculo relacional com repetição do enunciado.
Por fim, deixamos para o professor alguns pontos para a sua
reflexão:
• precisamos analisar o ensino dos conceitos aditivos, pois eles
ultrapassam o algoritmo da adição e da subtração e chegam
a conceitos como compor, transformar, comparar, dentre
outros;
• o ensino de resolução de situações-problema precisa ser
iniciado com a interpretação das mesmas. O papel do
professor tangencia a mediação entre a situação colocada e a
interpretação que o estudante deve fazer. Com a compreensão
da situação fica mais fácil escolher a operação a ser realizada;
• o uso de situações desafiadoras e que sejam ligadas ao cotidiano
do estudante o faz ter maior interesse em interpretar e resolver,
isto é, o estudante se envolve e se concentra mais quando a
situação desperta o seu interesse.
Sabendo que Artur tem 6 gudes a mais que Everton. Com quantas gudes ficou Everton?
14
RespostaResolução
Problema 8. Artur e Everton participaram de um jogo de gudes. No final do jogo, Artur ficou com as
gudes que estão desenhadas abaixo.
As gudes que ficaram com Artur
1Unidade

7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração
• Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação
a ser realizada. Evite responder ou incentivar a colocação de
perguntas como: “é de mais ou de menos?”; “é para somar ou para
diminuir?”. Ao fazer essa pergunta, o estudante busca apenas fazer
uma “conta” sem entender o contexto da situação apresentada.
• Incentive o estudante a responder a situação e compreender se a
resposta dada é coerente com o que foi solicitado na situação.
• Diversifique as situações apresentadas para os estudantes, usando
situações que tenham, por exemplo: opções de escolha; contextos
diferentes; figuras, e que as informações que essas figuras trazem
precisem ser utilizadas dentro da resolução; e que as situações
sejam próximas da realidade do estudante.
• Busque trabalhar com as seis categorias de situações-problema
aditivas. Esse tipo de trabalho favorece o desenvolvimento das
habilidades do estudante no que se refere às operações de adição
e subtração.
Finalmente, disponibilizamos os nossos endereços eletrônicos
para que o professor possa entrar em contato com nossa equipe, seja
para esclarecer suas dúvidas, nos apresentar sugestões, discutirmos sobre
pontos apresentados aqui, ou ainda para se integrar a equipe do PEA.
Também, nos colocamos à disposição para discutirmos pontos sobre o
ensino e a aprendizagem de outros conteúdos matemáticos.
58 EADPedagogia

ATIVIDADES
1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2
(quilômetros
quadrados).
a) Quantos algarismos tem esse número? ________________
b) Quantas classes tem esse número? ____________________
c) Qual o algarismo da centena simples? ____________________
d) Qual o algarismo da unidade de milhar? ___________________
e) Qual o algarismo da centena de milhar?___________________
f) Qual o valor posicional do algarismo da dezena de milhar?
_________________________
g) Qual o valor absoluto do algarismo de dezena simples?
_________________________
h) Escreva este número por extenso: ______________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
2) Pesquise os sistemas de numeração das civilizações egípcia, romana
e mesopotâmica. Depois, descreva suas características, comparando
suas semelhanças e diferenças.
3) Quais dos aspectos históricos abordados sobre os números naturais
vocêlevariaparaasaladeauladosanosiniciaisdoEnsinoFundamental?
Que abordagem metodológica você utilizaria para trabalhá-los com
os alunos?
4) Observe as figuras a seguir que corresponde a resposta dada por um
estudante do 3º ano do Ensino Fundamental ao resolver uma situação
aditiva que envolve conceitos de transformação.
ATIVIDADES
1Unidade

Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
a) Como você trabalharia esse erro com seu aluno?
b) Você diria que o estudante respondeu corretamente a situação
abaixo? Como você trabalharia com o estudante as diferenças
entre o algoritmo e a resposta dada?
Figura 29 - Exemplo de erro lógico.
5) Classifique as situações a seguir conforme a Teoria dos Campos
Conceituais e resolva-as, utilizando os diagramas de Vergnaud.
a) Geovana recebeu, na 1ª quinzena de janeiro, 478 mensagens no
Orkut e na 2ª quinzena, 699. Qual o total de mensagens recebidas
por Geovana durante todo o mês de janeiro?
b) Josivan tinha 118 cadernos. Ganhou alguns e agora tem 205.
Quantos cadernos ele ganhou?
Problema 10. No final do jogo de gude, Paulo ficou com 14 gudes. Sabendo que Paulo tem 6 gudes
a mais que Jonas. Com quantas gudes ficou Jonas?
8 gudes Jonas ficou.
RespostaResolução
3
+5
8
Problema 3. Carine tinha sorvetes em seu isopor. Sua prima tomou alguns dos sorvetes de Carine.
Veja o desenho.
Sorvetes que Carine tinha. Sorvetes que Carine tem agora.
Carine quer saber quantos sorvetes dela sua prima tomou.
Carine tinha
13 sorvetes
RespostaResolução
8
+5
13
60 EADPedagogia

c) Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela.
Quantos reais tem Cláudio?
d) Telma e Marilene arrecadaram uma quantia de dinheiro para
comprar bandeirolas para enfeitarem suas ruas. Cada quilo de
bandeirolas custa R$ 20,00. Veja os valores que elas já têm:
Telma: R$ 160,00 Marilene: R$ 80,00
i. Quem pode comprar mais bandeirolas?
ii. Quantos quilos de bandeirolas a mais ela pode comprar?
e) Ana e Bete têm dinheiro para comprar sorvete. Bete tem R$ 4,00
a menos que Ana. Sabendo-se que Bete tem R$ 8,00, quantos
reais tem Ana?
f) Bianca guardou uma certa quantia do seu salário na caderneta
de poupança. No mês seguinte, quando recebeu o salário de R$
510,00, ela ficou com R$ 830,00. Quantos reais ela conseguiu
guardar no mês anterior?
g) Silvana devia R$150,00 a Alda. Pagou R$ 70,00. Quanto Silvana
ficou devendo a Alda?
h) Vivian saiu de casa com certa quantia, gastou R$ 6,00 em lanches,
depois gastou R$ 3,00 em refrigerante. Quanto Vivian gastou ao
todo?
RESUMINDO
Nesta unidade, abordamos a construção do conceito de número
pela criança, alguns aspectos históricos relacionados com o surgimento
do nosso sistema de numeração decimal e suas operações. Entendendo
a Aritmética como a parte da Matemática que lida com números e suas
propriedades, encontramos nas situações-problema uma forma acessível
para a construção dos fatos básicos das operações, para a constituição
de um repertório a ser utilizado no cálculo como bem explicita os PCN
(BRASIL, 2000, p.72).
Vimos também que as situações-problema aditivas podem ser
classificadas segundo o seu grau de complexidade e os conceitos nelas
RESUMINDO
1Unidade

envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos
ter situações de: composição, transformação, comparação, composição
de várias transformações, transformação de uma relação e composição
de relações.
Em geral trabalhamos com as situações-problema aditivas sem
nos atentar que os conceitos e grau de complexidade nelas envolvidos
vão além da resolução do algoritmo da adição ou da subtração. Faz-se
necessário trabalhar os algoritmos, mas precisamos conduzir o aluno
para a compreensão da situação e depois de compreender é que será
definida qual operação será utilizada para a resolução. Além disso, o
professor precisar auxiliar no desenvolvimento do senso crítico do aluno
e, ao se tratar de resolução de situações-problema não é interessante
apenas resolver, mas refletir sobre os resultados encontrados: o valor
que estou colocando como resposta é coerente com o contexto e o que
foi solicitado na situação? Questões como esta devem fazer parte das
reflexões finais de resolução.
REFERÊNCIAS
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher,
1996.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1a
a 4a
série): Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação
Fundamental, 2. ed. Brasília, 2000.
BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História
da Matemática e no Ensino de Matemática. Tese de Doutorado. São
Paulo: FEUSP, 1997.
CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São
Paulo: CAEM-IME/USP, 1992.
CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na Vida
Dez, na Escola Zero. 13. ed. São Paulo: Cortez, 2003.
REFERÊNCIAS
62 EADPedagogia

CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com a resposta
dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
CENTURION, M. Número e operações. São Paulo: Cortez, 1994.
DUARTE, N. O ensino de matemática na educação de adultos. 8. ed.
São Paulo: Cortez, 2001.
IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo:
Globo, 2000.
IMENES, L. M. A numeração indo-arábica. Coleção Vivendo a
Matemática. São Paulo: Scipione, 1988.
KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da
teoria de Piaget. São Paulo: Papirus, 1995.
KAMII,C.;LIVINGSTON,S.J.Desvendandoaaritmética:implicações
da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da
Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001.
NUNES et al. Educação Matemática: números e operações numéricas.
São Paulo: Cortez, 2005.
NUNES, A. F. V. B.; SOLEDADE C. B.; REIS, S. M. B. dos. Sorobã
para deficientes visuais, cálculo direto para operações matemáticas.
Salvador-BA: SUD/SEC, 1998.
PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica,
2006.
PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M.
Soroban uma ferramenta para a compreensão das quatro operações.
Itabuna: Via Litterarum, 2006.
PEIXOTO, J. L. B.; CAZORLA, I. M.; VITA, A. C. Inclusão na
Escola: um bate-papo com os professores. Ilhéus: Editus; Itabuna: Via
Litterarum, 2011.
PIAGET, J. Introdução a la Epistemologia Genética. Volumen I: El
Pensamiento Matemático. Buenos Aires: Paidos, 1978.
SANTANA, E. R. S. Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a
1Unidade

aprendizagem do estudante? Tese (doutorado em Educação Matemática).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010.
SANTOS, M. S. Estruturas Aditivas: um olhar em livros didáticos do 2º
ciclo do ensino fundamental. Monografia na Universidade Estadual de
Santa Cruz. Ilhéus: UESC, 2006.
SPINILLO, A. G. “O conhecimento matemático antes do ensino da
matemática na escola”. In: A Educação Matemática em revista. Santa
Catarina: SBEM, V. II, n. 3, p. 41-50, 1994.
VERGNAUD, G. A Classification of Cognitive Tasks and Operations of
Thought Involved in Addition and Subtraction Problems. In. Addition
and Subtraction: a cognitive Perspective. New Jersey: Lawrense
Erlbaun, 1982. p. 39-59.
______. A Teoria dos Campos conceituais. In. BRUN, J. Didáctica das
matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p. 155-191.
ZUNINO, D. L. de. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1995.
64 EADPedagogia

Suas anotações
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1Unidade

ESPAÇO E
FORMA
OBJETIVOS
yy analisar e discutir situações nas quais seus estudantes utilizem o
pensamento geométrico, explicando e resolvendo situações-
problema;
yy elaborar e reelaborar estratégias baseadas em aprendizagens
sobre a forma e a posição dos objetos no espaço (e no plano), bem
como suas transformações;
yy explorar os conceitos de intuição e representação, para fins de
desenhar caminhos metodológicos;
yy planejar, implementar e avaliar atividades e aulas que estimulem o
desenvolvimento do pensamento geométrico.
2ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS
Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas
no dia a dia encontramos vários desafios que exigem raciocínios sobre
as formas dos objetos e coisas. Até mesmo tarefas simples como decidir
o melhor trajeto a ser percorrido com o carro, dispor os móveis em um
cômodo, dispor roupas ou objetos em uma gaveta, ou mesmo escolher
um recipiente adequado para acomodar um determinado volume, podem
exigir escolhas que definirão o melhor aproveitamento do espaço em
questão. Da mesma maneira, as atividades profissionais do pedreiro, da
confeiteira, da costureira e muitas profissões necessitam interpretação e
transformação das formas dos objetos para produzir formas novas, como
por exemplo: projetar e executar as ações necessárias sobre os materiais
disponíveis e construir uma casa, um bolo de aniversário decorado, um
vestido.
Cada campo da Matemática possui conhecimentos cujo estudo
pode contribuir para desenvolvermos ainda mais modalidades específicas
do nosso raciocínio que aprendemos com as tarefas do dia a dia. O
raciocínio sobre o espaço, a forma e a posição das coisas é necessário
para a maioria de nossas ações e na Matemática a organização desses
conhecimentos corresponde ao campo das Geometrias.
Quando falamos em pensamento geométrico (ou raciocínio
geométrico) nos referimos aos modos e estratégias de pensar que têm
como características essenciais as competências/capacidades de analisar
objetos no espaço (e no plano) de modo a:
• reconhecer e detalhar as características gerais (tipos) e
específicas das formas (composição), bem como descrever
os procedimentos/processos para construção/obtenção
destas;
• realizar e reconhecer os resultados de transformações na
forma e na posição de objetos, bem como descrever os
Espaço e forma
2Unidade

procedimentos/processos para efetuá-las e
revertê-las;
• comparar as formas e posições dos objetos,
a fim de estabelecer as relações necessárias
para compreensão/explicação de fenômenos
e resolução de problemas.
Outros aspectos do pensamento geométrico estão
relacionados ao bloco de conteúdos ‘Grandezas e Medidas’,
mas é necessário que o professor compreenda muito bem as
características essenciais deste tipo de pensamento para não
incorrer no erro comum de trabalhar apenas com números
e medidas e deixar de lado as dimensões mais importantes
do raciocínio sobre o espaço e a forma. Na prática, estas
habilidades são estimuladas com mais vigor quando o
professor constrói e analisa com seus estudantes situações-
problema sobre a forma e a posição dos objetos, sem recorrer
a medidas e cálculos numéricos.
A capacidade de transformar o espaço
intencionalmente começa a ser desenvolvida desde o
nascimento e se potencializa nas atividades culturais das
quais as crianças participam. Nas brincadeiras infantis como
amarelinha, pula-corda e jogos de roda, por exemplo, são
estimuladas percepções fundamentais sobre o espaço como
as noções de lateralidade, direção, sentido, distância, trajeto,
contorno, superfície, volume etc.
A maneira como a cultura contribui para o
desenvolvimento do raciocínio a partir das nossas
experiências de exploração do mundo nos leva a perceber
que a geometria da exploração do espaço é mais familiar
para as crianças no início da escolaridade do que a geometria
das formas geométricas planas. Desta maneira, mesmo não
sendo formas idealmente planas, a fôrma usada para assar
pizzas e a roda da bicicleta tornam-se modelos para a criança
compreender o círculo, desenhado com o compasso, porque
Atividades envolvendo
cálculos e medidas nem
sempre estimulam o
desenvolvimento das
habilidades essenciais do
pensamento geométrico!
atenção
70 EADPedagogia

são mais conhecidas, experimentadas.
Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser
exploradas intencionalmente pelo professor, com auxílio de
várias formas de registro como desenhos, esquemas, mapas,
maquetes com o objetivo de ampliar a capacidade das crianças
identificarem as características dos objetos e do espaço que
estão relacionadas a situações-problema do dia a dia e projetar
as transformações na forma e na posição que forem necessárias
para encontrar soluções.
Assim, num primeiro momento, a cultura escolar pode
interagir com as culturas dos estudantes e contribuir para
prepará-los para suas atividades cotidianas. Num segundo
momento,oprofessorpodeapoiar-senasformasdopensamento
geométrico desenvolvidas para avançar nos estudos, rumo ao
estudo da geometria mais sistemática e dedutiva – formação
que se intensifica nos anos finais do Ensino Fundamental.
2 CONCEITOS BÁSICOS PARA CONSTRUÇÃO
METODOLÓGICA
Muitos pesquisadores conhecidos, como Jean Piaget,
criaram modelos para explicar como nosso raciocínio se
Nos Parâmetros Cur-
riculares Nacionais os
conteúdos essenciais
da aprendizagem
da Geometria estão
organizados no bloco
“Espaço e forma”. Vale
a pena conhecer!
Brasil (1997, 1998,
2002).
Figura 30 - Crianças em brincadeira de roda.
Fonte: http://0.tqn.com/d/houston/1/0/g/H/-/-/friendship-
circle-clip-art.jpg
Espaço e forma
2Unidade

desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas
que habitam o espaço e transformá-las de modo intencional. Estas
teorias organizam conhecimentos muito úteis para o professor, uma
vez que ajudam a compreender as características dos conhecimentos
matemáticos e a planejar atividades que potencializem as aprendizagens
mais significativas.
Neste curso, a título de introdução, estudaremos a forma, a
partir do pressuposto de que a mente lida com o espaço utilizando dois
conceitos centrais: representação e intuição. Estes conceitos constituem
uma síntese de ideias presentes nos modelos piagetiano, vygotskyano
e na Teoria dos Registros de Representação Semiótica e serão aqui
introduzidos para nos permitir uma primeira aproximação didática com
os fenômenos ligados a aprendizagem da geometria.
O objetivo de discutirmos esses conceitos é nos preparar para uma
ação mais imediata em nossas aulas, criando esquemas metodológicos
que nos auxiliem a problematizar situações de exploração do espaço e
da forma. A partir dos conceitos de intuição e representação também
podemos situar melhor algumas questões relativas ao significado e ao
sentido e às noções de concreto e abstrato em Matemática.
2.1 Representação e intuição
Definimos representação como a capacidade de produzir
registros sobre coisas que percebemos através de nossos sentidos. Esses
registros podem ser imagens formadas apenas nas nossas mentes ou
serem concretizadas em registros feitos de várias formas, utilizando
nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas
tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas
(desenhos, esquemas, mapas etc.).
Utilizamos as representações para nos referirmos aos conceitos
e ideias matemáticas, de modo a registrar as características que
consideramos importante para poder manipular o objeto ou lidar com
ele em nossa mente, raciocinar sobre ele, tirar conclusões. Por isso, é uma
aprendizagem escolar importante saber selecionar a representação mais
72 EADPedagogia

adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber
quantas pirâmides podem ser construídas com uma folha de cartolina
pode ser mais interessante utilizar sua planificação do que a figura sólida.
Nossa intuição é uma mistura de percepção e entendimento,
formada por um conjunto de conhecimentos que ajuda a dar significado
às nossas percepções de modo mais ou menos imediato e consciente.
Exemplos:
• Quando cai um objeto no chão, longe da nossa vista,
ouvimosobarulhoe,àsvezes,identificamosimediatamente
o que caiu. O que ouvimos evoca em nossa mente algum
conhecimento que temos e que está ligado à audição.
• Quando tentamos adivinhar (sem olhar) qual objeto está
escondido dentro de uma sacola, nossas mãos tocam o
objeto e nossas mentes evocam imagens e conhecimentos
ligados ao nosso tato.
Nos dois casos é fácil perceber que nossa intuição mobiliza
rapidamente conhecimentos ligados às nossas experiências sensoriais e,
quando não encontra conhecimentos que ajudam a compreender o que
estamos percebendo, fica difícil até formar alguma imagem ou entender o
que está acontecendo. Então, num segundo momento, conscientemente,
nos esforçamos para procurar em nossas mentes algo que ajude na
compreensão.
Quanto mais ricas (em variedade e detalhes) são as nossas
experiências sensoriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo
consciente, mais se desenvolve nossa intuição. Intuição e representação
são competências que devem ser estimuladas no trabalho com todos os
conteúdos de Matemática em qualquer nível de ensino.
No início deste capítulo, falamos em “pensamento geométrico”
e com estes novos conceitos que estamos abordando podemos falar em
“intuição geométrica” e em “representação do espaço”. Agora também
podemos destrinchar as competências gerais do pensamento geométrico
em habilidades (mais específicas). Desta forma, o pensamento é
caracterizado em vários níveis, pelas habilidades de intuir e representar
Espaço e forma
2Unidade

as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las
de modo consciente para:
• posicionar e localizar objetos;
• analisar movimentos de pessoas e objetos;
• orientar-se, utilizando como referência as
posições dos objetos;
• planejar e realizar transformações na forma e
na posição dos objetos;
• para dimensionar (mensurar) o espaço e
objetos;
• perceber e utilizar com criatividade as
regularidades da forma e posição;
• criar modelos para interpretar fenômenos e
resolver situações-problema;
• comunicar suas ideias geométricas, utilizando
diversas linguagens.
Da mesma forma em que falamos em “intuição e
representação geométrica”, podemos falar em “intuição
e representação numérica” ou “intuição e representação
aritmética” como competências que caracterizam o
raciocínio numérico/aritmético. Discutiremos melhor a
extensão dos conceitos básicos de intuição e representação
para outras áreas da Matemática nos encontros presenciais.
Por ora, vamos nos concentrar em entender como os
conhecimentos matemáticos adquirem significado e sentido
para nós e porque temos dificuldades em aprender certas
coisas.
2.2 Significado e sentido
Quando mostramos o significado de uma operação
para a criança, fazemos como o dicionário faz com palavras.
Significado:
1) Expressão ou palavra
conhecida que é equiva-
lente ou substitui o ter-
mo; 2) Sinônimo conheci-
do; 3) Noção ou conceito.
74 EADPedagogia

Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde
está situado seu coração.
Exemplo 2: também dizemos que a corda dá a volta
em torno da criança.
Exemplo 3: Dizemos: Três vezes um é a mesma coisa
que somar um mais um, mais um.
Representamos: 3 x 1 = 1 + 1 + 1
Para um conhecimento fazer sentido, além do
indivíduo compreender seu significado é preciso que ele
aceite que sua lógica é válida (não é absurda) e reconheça
os contextos de validade e aplicação dos conhecimentos.
Inicialmente, tudo que contraria a intuição não faz muito
sentido. Isto é, tudo que nossa percepção capta, mas que não
conseguimos compreender, dificilmente vai fazer sentido
para nós. Para dar sentido as coisas, fazemos uso de nossas
capacidades de intuir e representar.
2.3 Concreto e abstrato
Essa definição de concreto nos indica que a
característica fundamental do que é concreto é apresentar-
se tal como na realidade, ou seja, para ser concreto não é
preciso ser palpável, mas sim evocar ou representar o objeto
Sentido
Valor pessoal que o indi-
víduo atribui a um conhe-
cimento. Se é pessoal, as
motivações e todas as vi-
vências e aprendizagens
influenciam esse processo
de valoração.
saiba mais
Quanto mais ricas (em va-
riedade e detalhes) são as
nossas experiências sen-
soriais e quanto mais as
evocamos e utilizamos de
modo consciente, mais se
desenvolve nossa intuição
e, a partir dela amplia-se
nossa capacidade de atri-
buir sentido ao que apren-
demos.
Concreto
Diz-se de coisa ou de re-
presentação que se apre-
senta de modo comple-
to, tal como lhe é próprio
apresentar-se na sua rea-
lidade existencial.
Figura 31 - Crianças em brincadeira de corda.
Fonte: http://blogs.elpais.com/.a/6a00d8341bfb1653ef0162f
e4b3314970d-800wi
Espaço e forma
2Unidade

sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos
de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à
lembrança experiências positivas pode ser bastante concreta,
mesmo que este lugar já nem exista mais. Podemos lembrar
propriedades como cheiro, cor, temperatura, textura e até
sabores.
Estamos mais acostumados a traduzir a palavra
“concreto” como sendo sempre algo em sua forma material,
palpável, o que, aliás, não está errado porque é um dos
significados que a palavra possui e que está presente nos
dicionários. Contudo, para o ensino de Matemática, esta
definição é limitada porque não deixa clara a relação com o
processo de abstrair, que em muitos dicionários é descrito
como o processo de separar mentalmente para tomar em
consideração uma propriedade que não pode ter existência
fora do todo concreto ou intuitivo em que aparece (por
exemplo, abstrair a cor ou a forma de um objeto).
A operação de abstrair implica lidar mentalmente
com as propriedades do objeto sem a necessidade de que
ele esteja presente. A imagem do lugar da infância que
demos como exemplo pode ser examinada mentalmente e
podemos realizar várias tarefas cognitivas sobre ela, sem a
necessidade de ir até o lugar. Podemos nos concentrar, por
exemplo, em tentar comparar as dimensões daquele lugar
com as da nossa sala de aula ou podemos tentar focalizar a
forma como nos movíamos naquele espaço. Essas operações
constituem abstrações e estão muito ligadas às imagens que
somos capazes de formar e ao grau de concretude que elas
assumem para nós.
Estes conceitos nos ajudam a avançar em relação a
um mito muito comum na educação hoje em dia: o mito
de que no ensino de matemática sempre deve estar presente
o “concreto” material. A partir dos conceitos de intuição
e representação, podemos ampliar essa ideia do concreto
de modo a abranger as representações do espaço que são
Abstrato
Que designa ideias, quali-
dades, estados, ações, que
isolamos do que é concre-
to e utilizamos para operar
mentalmente ou através de
registros e linguagens.
76 EADPedagogia

intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação
de propriedades do espaço e forma que permitem ao estudante construir
ideias matemáticas e conceitos mais abstratos.
Assim, na contextualização das ideias exploradas em sala de aula,
é fundamental o apelo às vivências dos alunos e ao uso de representações
que sejam intuitivas para eles. Podemos utilizar vários materiais
“concretos”, mas nosso objetivo é ampliar a capacidade de abstração do
aluno para que ele lide com o concreto como referência, dentro da sua
mente.
Lembrar de uma brincadeira como amarelinha e desenhá-la pode
ser tão concreto para a criança quanto estar pulando sobre o desenho
riscado no chão. Podemos perceber que algumas crianças em situações
espontâneas de resolução de problemas aritméticos representam as
operações da forma que é para elas mais intuitiva, porque faz mais sentido.
A mesma criança que fez o desenho anterior, mais tarde representa
a operação da seguinte forma:
Figura 32 - Criança e os montinhos de gude.
Figura 33 - Criança e os montinhos de gude.
Espaço e forma
2Unidade

Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela
sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai ser capaz de
usar o sinal “+” de modo significativo.
Em vários momentos da aprendizagem da Matemática, os
estudantes vão recorrer às representações que tornam o problema mais
fácil de compreender. Observando as representações mais intuitivas
para eles e o uso que fazem, podemos ter indícios da qualidade das
aprendizagens e oferecer meios para que eles avancem e sejam capazes
de construir e utilizar representações diversas com qualidade cada vez
maior.
2.4 A importância da experimentação e da
problematização
Com base nos conceitos que vimos, o professor pode perceber a
importância de promovermos na escola a reflexão sobre o espaço vivido/
experimentado pelo estudante. Quando estimulamos a exploração
consciente sobre o espaço e a experimentação de movimentos, disposição
de objetos e transformações da forma, favorecemos a ligação entre
experiência e os conhecimentos sistematizados, desenvolvendo melhor a
intuição e o pensamento geométrico.
Para dar suporte às reflexões, o professor pode questionar as
característicasdoespaçoedaforma.Aesseprocessodeelaborarperguntas
que motivem o estudante a explorar seus conhecimentos chamamos
de problematização. Ela pode ser feita mesmo antes de o estudante
experimentar o espaço, serve para atiçar sua intuição e verificar como
ela antecipa a experiência. Também pode ser feita após a exploração do
espaço, de modo a provocar a reflexão sobre aspectos tanto percebidos,
quanto os pouco evidentes.
Ainda como suporte ao processo de aprendizagem, o professor
pode recorrer às várias formas de representação possíveis em nossa língua
materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais
(esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos,
esquemas, mapas etc.).
78 EADPedagogia

Para discutirmos um pouco mais, tomemos como
exemplo duas situações:
• Situação 1: uma turma de 2º ano acaba de
voltar da aula de Educação Física, na qual
os estudantes fizeram atividades com corda
(pulando, passando por baixo);
• Situação 2: uma turma do 4º ano é convidada
a sugerir locais adequados, dentro dos limites
da escola, para dispor as atividades da Feira de
Ciências das turmas do Ensino Fundamental
I.
Na situação 1, após o retorno dos estudantes à sala
de aula, o professor pode problematizar com a turma o lugar
onde ocorreram as atividades, o espaço que foi ocupado, a
disposição das crianças, o movimento delas no espaço em
cada situação da brincadeira. Ele pode também solicitar
aos estudantes que desenhem suas percepções para que
depois sejam discutidas e a partir delas provocar as crianças
a lembrarem/recriarem elementos ausentes nos desenhos
ou redimensionarem elementos que elas posteriormente
avaliem que poderiam estar de outra forma.
Na situação 2, o professor pode começar explorando
as experiências que os estudantes já possuem sobre a escola,
provocando-os a utilizar representações do espaço escolar
e fazer análise com base no que já souber. Os estudantes
podem utilizar inicialmente, por exemplo, um desenho
do tipo planta baixa, sem precisão nas proporções, para
permitir uma primeira discussão sobre o espaço. Nesse
processo estarão evocando os conhecimentos que possuem
e reorganizando-os. Num segundo momento, o professor
pode permitir a visita organizada aos espaços que foram
analisados para permitir ajustes na planta baixa (medidas),
o registro de detalhes (como posição das janelas, portas,
tomadas, torneiras) e também a percepção das informações
Nesse jogo de provocar a
antecipação da experiên-
cia e depois sua reavalia-
ção após o vivido, o pro-
fessor estimula as duas
dimensões que compõem
a intuição (percepção
mais entendimento).
saiba mais
Espaço e forma
2Unidade

espaciaisquenãoforamevidenciadasporestetipoderepresentação,como,
por exemplo, luminosidade, ventilação e acústica dos ambientes. Observe
que em ambas as situações é sempre possível revisitar o espaço e trabalhar
melhor as representações a partir das necessidades problematizadas.
2.5 Síntese dos conceitos e da metodologia
As ideias de concreto e abstrato apresentadas têm uma relação
muito íntima com os conceitos de representação e intuição, com a
questão do significado e sentido e, consequentemente, com a maioria
das aprendizagens em Matemática. Ao trabalhar, por exemplo, com os
conhecimentos sobre espaço e forma na sala de aula, podemos desenhar
estratégias que visem ao uso de representações para desenvolver a
intuição de nossos alunos. Como sugestões, sistematizamos aqui alguns
caminhos. Nos exemplos apresentados, tratamos como exemplo de
experimentação a exploração do espaço da escola, estando nele ou
recorrendo à memória.
Combinando os três momentos: exploração (Figura 34),
problematização (Figura 35) e representação (Figura 36), o professor
pode desenhar caminhos para estimular o pensamento geométrico do
estudante.
Figura 34 – Partindo da problematização do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
Direciona a percepção
para uma determinada
forma de exploração
do espaço
Re-significa
o problema
Permite o confronto
entre o real e o que a
percepção apreendeu,
ampliando a intuição
Provoca o exercício da
intuição, recuperando,
significando e dando
sentido às percepções
já construídas
PROBLEMATIZAÇÃO
SOBRE O ESPAÇO
REPRESENTAÇÃO
DO ESPAÇO
EXPLORAÇÃO
DO ESPAÇO
80 EADPedagogia

Figura 35 – Partindo da exploração do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
Figura 36 – Partindo da representação do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
do espaço
do espaço
já construídas
PROBLEMATIZAÇÃO
SOBRE O ESPAÇO
REPRESENTAÇÃO
DO ESPAÇO
Permite o reconhecimento
livre do espaço
através da percepção
EXPLORAÇÃO
DO ESPAÇO
do espaço
Re-significa
Permite o confronto
entre o real e o que a
percepção apreendeu,
ampliando a intuição
PROBLEMATIZAÇÃO
SOBRE O ESPAÇO
EXPLORAÇÃO
DO ESPAÇO
já construídas
REPRESENTAÇÃO
DO ESPAÇO
Espaço e forma
2Unidade

ATIVIDADES
Vamos explorar algumas situações em sala de aula.
Exploração do espaço (localização, orientação, posição) a partir da
representação
Atividade 1: um cliente descreve a casa dos seus sonhos para um arquiteto
que a representa conforme a planta a seguir:
Figura 37 – Planta baixa da casa.
Essa planta representa a casa a ser construída. Problematize e
proponha aos alunos que explorem:
a) a casa desenhada pelo arquiteto pode ser diferente da casa
sonhada pelo cliente?
b) descreva a casa desenhada;
c) quantos quartos há na casa?
d) qual o maior e o menor cômodo da casa? Explique como
encontrou sua resposta;
e) Quantas portas e janelas há na casa?
ATIVIDADES
82 EADPedagogia

Com esse exemplo, podemos levar o aluno a uma
experimentação pelo caminho da representação, partindo
da planta, ou seja, representação da casa, passando pela
problematização, chegando à exploração do espaço. A
exploração do espaço permite que o aluno tenha, cada vez
mais, compreensão sobre ele.
Atividade 2: podemos pedir ao aluno que descreva e
desenhe a planta da sua sala de aula. Esse exemplo parte da
percepção que o aluno tem da realidade conhecida. Acontece
uma problematização em sua mente, buscando as formas
geométricas planas conhecidas para construir o desenho, ou
seja, a representação da sala.
Trabalho com formas ideais: montando e desmontando
caixas
Atividade 1: observe a figura a seguir. Professor, peça
a seus alunos que construam uma redação que trate das
figuras geométricas utilizadas pelos amigos na brincadeira.
Socialize os textos e as informações. Discuta sobre os sólidos
geométricos (sólidos de revolução, pirâmides e prismas),
detalhando suas características.
Figura 38 – Formas geométricas.
Professor, o contexto his-
tórico pode ser uma im-
portante fonte de inspira-
ção, resgate informações
sobre os Sólidos Platôni-
cos.
para lembrar!
Espaço e forma
2Unidade

Atividade 2: distribua a seus alunos a planificação de 2
sólidos geométricos. Peça-lhes que os dobrem, determinem
quais são os sólidos, desenhando-os em folhas de ofício,
utilizando os instrumentos do desenho geométrico
e escrevam um pequeno texto, descrevendo sobre as
características, a planificação e detalhes geométricos dos
sólidos recebidos. Cole as folhas em um painel e exponha na
sala de aula. Crie um momento de socialização e discussão
dos resultados com todos.
Atividade 3: distribua a seus alunos do 1o
ou 2o
ano,
organizados em grupo ou individualmente, vários sólidos
diferentes ou repetidos. Deixe que manuseiem, montem
cenários, animais ou coisas e criem histórias. Em folha de
ofício, peça que escrevam a história e ilustrem, desenhando,
o que montaram. Socialize as histórias, expondo em um
varal ou em um painel e peça que contem sua história ou
falem de sua criação. Em um segundo momento, com toda
a turma, discuta sobre os sólidos geométricos presentes nas
composições.
Atividade 4: em uma turma do 1o
ao 4o
ano, o professor
propõe o Jogo “Descubra quem sou eu?” Sobre a mesa estão
expostos diversos sólidos geométricos (conforme a figura).
Uma caixa contendo fichas com os comandos para serem
sorteados. O professor chama um aluno para sortear uma
ficha, faz a leitura em voz alta da ficha sorteada e, com o
auxílio de todos os coleguinhas, descobre qual sólido satisfaz
as exigências contidas na ficha. (Procure utilizar o maior
número de sólidos possíveis independentemente da série;
no entanto, suas exigências quanto ao conhecimento dos
estudantes devem ser adaptadas à cada série). Essa atividade
também poderá ser feita com figuras planas.
Jogos e recreações são
estratégias para o desen-
volvimento de ambientes
de aprendizagem que pro-
piciam a criatividade. Para
saber mais consulte Flem-
ming, Luz e Coelho (2012).
Não esqueça! Essas estra-
tégias sozinhas não garan-
tem a aprendizagem! Após
a brincadeira proponha ati-
vidades que aproveitem as
aprendizagens e estimule
as duas dimensões da in-
tuição, a percepção e o en-
tendimento.
84 EADPedagogia

Formas planas: investigando seus contornos
Atividade 1: professor, com o auxílio de um Geoplano
ou papel pontilhado represente os contornos das figuras
geométricas conforme figura a seguir. Inicialmente, discuta
com seus alunos sobre as formas e contornos apresentados.
Investigue em quais dessas formas a simetria está presente.
Trate sobre a relação da simetria e o equilíbrio nos corpos
e nas coisas. Fale de pipas, aviões, pássaros, da estrutura
humana e etc. Peça ao seu estudante que escolha uma
das formas expostas no Geoplano e construa uma pipa,
explicando sua construção.
Caro professor, faça essa
brincadeira anterior ape-
nas utilizando o sorteio
das cartas sem a presença
dos sólidos. Não esqueça
que esta nova forma mo-
difica a atividade por exi-
gir dos alunos um maior
domínio mental das infor-
mações sobre os sólidos.
Utilize essa modalidade
quando eles já apresenta-
rem uma boa relação com
os sólidos.
um conselho
Professor!
O Geoplano é um recurso
que pode auxiliar o traba-
lho de Geometria desen-
volvendo atividades com
figuras e formas geomé-
tricas planas, investigando
suas características e pro-
priedades (vértices, ares-
tas, lados), ampliação e
redução de figuras, sime-
tria, área e perímetro.
Figura 39 - Sólidos geométricos.
Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-7IEyWlbS0Pw/TkxoZ9JU5HI/AAAAAAAABd8/
zOzOxRGkKjY/s1600/s%C3%B3lidos+geom%C3%A9tricos+3.jpg
Figura 40 - Geoplano.
Fonte: elaborado pelos autores.
Espaço e forma
2Unidade

Atividades envolvendo arte e a questão estética
Atividade 1: professor, apresente a seus alunos a gravura
da borboleta. Discuta sobre a importância da simetria
no equilíbrio, harmonia e no belo presente nas formas da
natureza, como flores e animais. Peça aos estudantes que
pesquisem uma outra forma que também contenha simetria,
distribua folha de papel pontilhado e contas plásticas
em cores variadas para que eles possam construir suas
representações. Exponha em um painel as produções e crie
um momento de socialização.
Atividade 2: professor, apresente aos alunos obras artísticas.
Peça a eles que discutam em duplas sobre as formas
geométricas planas presentes nelas. Que façam anotações
e descrevam suas características. Discuta com eles sobre as
formas geométricas encontradas. Por fim, proponha que,
individualmente, desenvolvam uma composição com as
formas geométricas discutidas. Exponha em um painel as
obras artísticas dos alunos.
Professor! Investigando
obras artísticas ou suas
representações incenti-
ve seu aluno perceber a
presença de princípios
geométricos em suas
construções ou conhecer
ideias matemáticas que
estão por trás da pintura,
escultura, tapetes, mosai-
cos etc.
Figura 41 - Gravura de Borboleta.
Fonte: elaborado pelos autores.
86 EADPedagogia

Figura 42 - Obras artísticas.
Espaço e forma
2Unidade

RESUMINDO
Nesta unidade analisamos e discutimos situações-problema que
envolvem a utilização do pensamento geométrico. Desenhamos caminhos
metodológicos, visando estimular o desenvolvimento deste pensamento
a partir dos conceitos de intuição e representação e combinando os
três momentos de exploração do espaço vivido e experimentado pelo
estudante: exploração, problematização e representação.
Partimos a nossa discussão examinando o mundo de formas em
que vivemos e, assim, sugerimos ao professor que explore situações-
problema envolvendo a forma e a posição dos objetos, trabalhando com
números e medidas, bem como com as dimensões do raciocínio sobre o
espaço e a forma.
REFERÊNCIAS
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: Ministério da
Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1997.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: Ministério da
Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1998.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média
e Tecnológica. (PCN Ensino Médio: Orientações Educacionais
complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ciências
da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da
Educação, 2002.
CARVALHO, D. L. de. Metodologia do Ensino de Matemática. São
Paulo: Cortez, 2009.
FLEMMING, D. M.; LUZ, F. E.; COELHO, C. Desenvolvimento de
RESUMINDO
REFERÊNCIAS
88 EADPedagogia

material didático para educação a distância no contexto da educação
matemática. Disponível nos textos da Biblioteca da Associação
Brasileira de Educação a Distância (ABED): www.abed.org.br/
congresso2000/texto12.doc, acesso em 12 fev. 2012.
FONSECA, M. da C. F. R.; et al. O ensino de Geometria na Escola
Fundamental: três questões para a formação do professor dos ciclos
iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
NACARATO, A. M.; MENGALI, B. L. S.; PASSOS, C. L. B. A
Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do
ensinar e do aprender. 1. ed., Belo Horizonte: Autêntica, 2009.
NACARATO, A. M.; PASSOS, C. L. B. A Geometria nas séries iniciais:
Uma análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de
professores. São Carlos: EdUFSCar, 2003.
PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A matemática na formação
de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São
Carlos: EdUFSCar, 2010.
PIAGET, J. ; INHELDER, B. A representação do espaço pela criança.
Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. T. Figuras e formas.
Porto Alegre: ArtMed, 2003.
SMOLE, K. C. S; DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para aprender Matemática. Porto Alegre: Artes
Médicas, 2001.
SMOLE, Kátia C. S. (Org.). Brincadeiras infantis nas aulas de
Matemática. Coleção Matemática de 0 a 6. Porto Alegre: Artes Médicas,
2000.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. O brincar e a
Matemática (vídeo/DVD). São Paulo, ATTA Mídia e Educação, 2000.
Espaço e forma
2Unidade

Suas anotações
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TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO -
TABELAS E GRÁFICOS
OBJETIVOS
yy reconhecer a importância da Estatística no desenvolvimento do
pensamento científico do estudante;
yy conhecer as fases da investigação científica e o papel da
Estatística na observação e sistematização de fenômenos em
estudo;
yy construir procedimentos para coletar, organizar e comunicar
dados;
yy construir tabelas e gráficos de acordo com a natureza dos
dados.
3ªunidade

1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE
INFORMAÇÃO
A inserção do ensino de conceitos básicos de Estatística desde
os anos iniciais da Educação Básica, por meio do bloco Tratamento
da Informação, merece um destaque especial, uma vez que por sua
própria natureza, a Estatística possibilita trabalhar a Matemática com
as outras áreas do conhecimento (interdisciplinaridade) e com os Temas
Transversais (BRASIL, 1997), como sintetiza o Quadro 2.
Quadro 2 – Conteúdos conceituais e procedimentais de Probabilidade e Estatística (Tratamen-
to da Informação) para os primeiros anos do Ensino Fundamental
1º ciclo (1ª e 2ª série) /
(2º e 3º ano)
2º ciclo (3ª e 4ª série) /
(4º e 5º ano)
Estatística
Leitura e interpretação de informa-
ções contidas em imagens.
Leitura e interpretação de dados
apresentados de maneira organi-
zada (por meio de listas, tabelas,
diagramas e gráficos), construção
dessas representações.
Coleta e organização de informa-
ções.
Coleta, organização e descrição de
dados.
Exploração da função do número
como código na organização de
informações (linhas de ônibus, te-
lefones, placas de carros, registros
de identidades, roupas, calçados).
Interpretação e elaboração de lis-
tas, tabelas simples, de dupla en-
trada e gráficos de barra para co-
municar a informação obtida.
Interpretação de dados apresenta-
dos por meio de tabelas e gráficos,
para identificação de caracterís-
ticas previsíveis ou aleatórias de
acontecimentos.
Criação de registros pessoais para
comunicação das informações cole-
tadas. Produção de textos escritos
a partir da interpretação de gráfi-
cos e tabelas.
Produção de textos escritos, a par-
tir da interpretação de gráficos e
tabelas, construção de gráficos e
tabelas com base em informações
contidas em textos jornalísticos,
científicos ou outros.
Obtenção e interpretação da média
aritmética.
Tratamento da Informação - tabelas e gráficos
3Unidade

Probabilidade
• Exploração da ideia de probabi-
lidade em situações-problema
simples, identificando sucessos
possíveis, sucessos seguros e
as situações de “sorte”. Utiliza-
ção de informações dadas para
avaliar probabilidades. Identi-
ficação das possíveis maneiras
de combinar elementos de uma
coleção e de contabilizá-las,
usando estratégias pessoais.
O pensamento estatístico amplia as formas de pensar, valorizando
o mundo das incertezas. Muitas vezes, o aluno, acostumado a um
pensamento determinístico, tende a aceitar como certa a previsão de um
resultado a partir da maior frequência de um evento. Por exemplo, ao
perceber que todos os seus colegas têm medo do escuro, conclue como
certeza que um novo colega terá também medo do escuro. O trabalho
com o pensamento estatístico auxiliará o aluno a perceber que sua previsão
não ocorrerá necessariamente.
Como a Estatística é parte do método científico, é natural
que o trabalho com a mesma parta de problemas de outras áreas do
conhecimento e das práticas sociais, viabilizando a interdisciplinaridade e
a inserção de temas transversais. Ao se trabalhar com projetos em sala de
aula, o professor pode partir do levantamento de temas vivenciados pelos
alunos, como, por exemplo, a observação do número de dias ensolarados,
o número de alunos que faltam as aulas durante um mês, o maior medo das
crianças, a germinação das sementes, dentre outros.
Nessesentido,sugerimosquequandorealizaremprojetosescolares,
coletando dados, não se limitem a coletá-los, mas os realizem nos moldes
da pesquisa científica.
2 AS FASES DA INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA
Na sala de aula, podemos ter duas situações em pequena escala:
reprodução do conhecimento científico (experimento da refração da luz, a
94 EADPedagogia

germinação das sementes etc.) ou da tomada de decisões (investigar o medo
das crianças com fins pedagógicos).
Em ambos os casos, o arcabouço metodológico é o mesmo.
Conforme Cazorla e Santana (2010), as fases de uma investigação científica
podem ser descritas como segue:
2.1 Problematização da pesquisa
Nesta fase, a escolha do tema é crucial para contextualizar o problema
a ser investigado, possibilitar que este faça sentido para o aluno e propiciar
o desenvolvimento de uma postura investigativa, incentivando os alunos
à observação sistemática dos fenômenos que ocorrem ao seu redor, sejam
sociais, culturais ou da natureza, formulando perguntas de pesquisa.
A escolha do tema deve possibilitar um trabalho interdisciplinar,
envolvendo aspectos e conteúdos escolares de outras áreas de conhecimento
e da Estatística, utilizando seus conceitos e procedimentos que ajudam no
planejamento e execução da pesquisa.
Esse tema também deve possibilitar a participação ativa dos alunos,
a postura ética, o respeito à opinião do outro, o uso racional dos recursos
ambientais etc.
2.2 Planejamento da pesquisa
Escolhido o tema e as perguntas de pesquisa, colocamos em pauta
a importância da definição da população a ser investigada, que pode ser
por censo (quando se investiga todos os elementos da população, ou por
amostragem (quando se investiga uma parte dela).
As perguntas de pesquisa, por sua vez, precisam da escolha
adequada das variáveis (características da população) que permitirão
sua operacionalização, sendo crucial uma definição clara e precisa dessas
variáveis, bem como sua caracterização, o que determina o tipo de tratamento
estatístico a ser utilizado.
Após essa etapa, podemos elaborar os instrumentos de coleta de
dados, já pensando em responder as perguntas de pesquisa que norteiam o
3Unidade

levantamento de dados.
2.3 Execução da pesquisa
Uma vez definida a população a ser investigada e o instrumento para
coleta dos dados, o próximo passo é coletar os dados. Nesta etapa, é preciso
uniformizar os procedimentos a fim de que todos os alunos façam a coleta
da mesma forma.
Uma vez coletados os dados, iniciamos o seu tratamento. Nesta fase,
aproveitamos para apresentar os diversos conceitos e procedimentos que
nos ajudam a organizar os dados e extrair as informações mais relevantes.
Isto implica discutir como escolher o procedimento mais adequado para
analisar as variáveis envolvidas.
A interpretação e a comunicação de resultados não se restringem a
repetir as informações já contidas nas próprias medidas, mas busca incentivar
a retomada das perguntas de pesquisa que nortearam o levantamento de
dados, fechando, assim, o ciclo da investigação científica, como descrevemos
na Figura 43.
Figura 43 - As fases da pesquisa científica. Fonte: Cazorla e Santana (2010, p. 15).
Contextualização da
situação problema
Formulação de
questões de pesquisa
Identificação e caracte-
rização das variáveis
Definição da popula-
ção a ser investigada
Amostra Censo
Elaboração dos
instrumentos
Planejamento da
coleta dos dados
Coleta dos dados
Planejamento do
tratamento dos dados
Tratamento dos dados
Análise e interpreta-
ção dos resultados
Comunicação
dos resultados
Planejamento amostral
Problematização
dapesquisa
Execução
dapesquisa
Planejamento
dapesquisa
96 EADPedagogia

Cazorla e Utsumi (2010) defendem que os alunos devam ter uma
participação ativa no processo de construção de seus conhecimentos,
ajudandoescolherotema,asperguntasdepesquisaeasvariáveisenvolvidas;
coletando dados, que podem ser dos próprios alunos, de suas famílias,
ou que eles “tomaram conta”; assumindo vários papéis: informando ou
indagando dados, “medindo” ou “sendo medidos”; semeando e regando
as sementes; tratando e analisando os dados, ora de forma individual, ora
em grupos ou com a turma; interpretando e comunicando resultados,
defendendo suas ideias perante a classe, desenvolvendo a capacidade de
arguição, aprendendo a ouvir as críticas de seus colegas e, o que é mais
importante, aprendendo a respeitar a opinião do outro, dentre outros
papéis.
3 PROBLEMATIZAÇÃO DA PESQUISA
Todo o trabalho parte da identificação do problema e, então,
são levantadas questões a serem respondidas para solução do mesmo,
identificando os fatores envolvidos. Aqui vamos nos inspirar no trabalho
de Cazorla et al (2011).
Devemos lembrar que as crianças, por meio de suas observações,
buscam entender o mundo que as rodeia, levantando perguntas do tipo:
por que o céu é azul? Quando vai ser amanhã? Rosa é cor de menina?
Menino é mais forte que menina? As meninas sentem medos diferentes
dos meninos? O Brasil vai ser campeão da Copa do Mundo de 2014?
Por meio de sua curiosidade, a criança é levada a questionar,
investigar e descobrir coisas novas. A criança age de forma similar à
investigação científica ao levantar questionamentos a partir de suas
observações. Cabe a nós, professores da escola, aproveitar a curiosidade
infantil como um primeiro elemento na condução de uma pesquisa
estatística, a qual pode ajudar na compreensão de aspectos do mundo
que a cerca. Aguçar a identificação das dúvidas tem, portanto, um papel
fundamental no desenvolvimento do pensamento estatístico das crianças.
Uma investigação estatística parte da observação dos fenômenos
3Unidade

e a identificação de um problema. Portanto este é o primeiro
elemento a ser construído numa pesquisa. É a partir dele que
identificamos as perguntas que queremos responder. Assim,
o problema, também chamado de questão de pesquisa, é o
motivo pelo qual resolvemos fazer uma investigação, é o
ponto inicial e motivador.
O problema, do ponto de vista formal, é um
enunciado e, do ponto de vista semântico, uma dificuldade
ainda não resolvida, uma pergunta ainda não respondida.
Ser ou não respondida precisa ser considerada em relação
ao contexto da investigação. O fato de uma questão já ter
resposta científica não implica em sua inviabilidade de uso
em sala de aula. Essas investigações são feitas para que o
aluno observe ou reconstrua o conhecimento, ou parte dele,
a partir de experimentos ou de observação dos fenômenos.
Por exemplo, o fenômeno da refração da luz, o arco-
íris, é um fenômeno natural que pode ser observado na
natureza, num dia de sol, após uma chuva ou reproduzido
(de forma experimental), utilizando o prisma de Newton
ou, ainda, direcionando um jato de água contra o Sol.
Fenômenos
Entendemos por fenô-
menos todos os aconteci-
mentos observáveis, algo
que pode ser visto. Estes
podem ser observados
em condições naturais ou
experimentais. Os expe-
rimentos são réplicas dos
fenômenos naturais, em
condições controladas pelo
experimentador.
98 EADPedagogia

Um outro exemplo, bastante intuitivo, é a queda dos
corpos, como conta a lenda da maçã que caiu na cabeça de
Isaac Newton. Observar a queda das maçãs (cocos, jenipapo
ou qualquer outra fruta da região) diretamente na natureza
levaria muito tempo e poderia ser inviável. Contudo isso não
é um problema, pois podemos reproduzir este fenômeno
em condições experimentais, controlando os fatores que
interferem na queda dos corpos, como, por exemplo,
tamanho, formato, peso (massa) etc.
Estes são dois exemplos de fenômenos
determinísticos, pois há uma garantia de certeza do arco-
íris ter sempre sete cores numa mesma ordem, assim como
podemos afirmar que todos os corpos ao serem soltos cairão.
Esses fenômenos são denominados de determinísticos, pois
conhecemos os resultados a priori.
Contudo existem fenômenos que não são
determinísticos, pois não sabemos qual será o resultado
de sua realização. Um exemplo é a germinação de uma
semente, que pode ou não germinar e só saberemos após
plantá-la. Outro exemplo é o clima de nossa cidade no dia
seguinte, esse pode ser ensolarado, nublado ou chuvoso.
Dependendo da região e da estação do ano, a chance de haver
uma mudança de clima de um dia para o outro pode ser alta
ou muito pequena. Por exemplo, no verão, no período do
fenômeno “El niño”, a chance de chuva em São Paulo será
altíssima; já no sertão nordestino, será pequeníssima. Aliás,
este é um tema interessante para ser trabalhado na sala de
aula, pois desenvolve a capacidade de prever o resultado de
eventos aleatórios.
Esses fenômenos são denominados de aleatórios
e alguns deles podem ser replicados via experimentação.
No caso da germinação das sementes, ao invés de esperar
as sementes caírem na natureza, podemos reproduzir o
fenômenoemsaladeaula.Nestecaso,plantamosassementes
em vasos e, se quisermos ainda, podemos controlar fatores
Chance
é a possibilidade de ocor-
rer um evento, probabi-
lidade é a medida dessa
possibilidade.
3Unidade

que interferem no resultado, tais com: luz (com ou sem luz),
a adubação (com ou sem adubo), a irrigação (controlando a
quantidade de água por dia), dentre outras possibilidades.
Em geral, utilizamos os experimentos para conhecer
melhor os fenômenos e, muitas vezes, para controlá-los,
otimizando os seus resultados. Por exemplo, em condições
naturais, a chance de uma semente germinar pode ser muito
baixa, pois pode cair em um terreno infértil, os animais
podem comê-la, pode não chover e morrer por falta de água
etc. Já em uma situação experimental essa chance poderá ser
bastante alta.
No caso do clima, será impossível recriá-lo de forma
experimental. O máximo que podemos fazer é estudar seu
comportamento ao longo do tempo, bem como utilizar
aparelhos cada vez mais sofisticados para a compreensão
deste fenômeno. No Quadro 3, apresentamos exemplos
de fenômenos determinísticos e aleatórios e formas de
investigações naturais e experimentais.
Professor, aproveite este
momento para realizar
pesquisas com as crian-
ças de projetos como o
TAMAR que visa salvar as
tartarugas marinhas, cui-
dando e controlando os
locais de reprodução, vi-
sando o aumento da taxa
de sobrevida das tartaru-
gas.
um conselho
Quadro 3 - Os tipos de fenômenos e as formas de investigá-los
TIPO
FENÔMENO/
QUESTÃO
FORMA DE INVESTIGAÇÃO
OBSERVAÇÃO
NATURAL
EXPERIMENTAÇÃO
Determi-
nístico
Refração da
luz: o arco-íris
tem sempre as
mesmas cores
na mesma
ordem?
Observar o
arco-íris em
diferentes dias,
locais etc.
Observar a formação
do arco-íris utilizando
diferentes instrumentos
como o prisma de
Newton e um jato
de água em um dia
ensolarado.
Aleatório
Germinação de
sementes: todas
as sementes
germinam?
Observar
se todas as
sementes
que caem de
uma árvore
germinam.
Plantar sementes em
diferentes vasos e
verificar se todas elas
germinam.
100 EADPedagogia

Outroaspectoligadoaosfenômenosésuaqualidadedeobservável.
Os fenômenos provenientes das ciências exatas, naturais e biológicas, em
geral, são de natureza observável e envolvem grandezas que podem ser
medidas sem muitas controvérsias.
Por exemplo, a quantidade de sementes que germinam pode ser
contada. A altura de uma criança, o espectro da luz, a intensidade de um
terremoto podem ser medidos, mas precisam de instrumentos. Em geral,
os instrumentos de medida e as unidade são padronizados e respeitam
convenções internacionais.
Ao contrário, os fenômenos ligados às ciências humanas não são
diretamente observáveis, são inferidos pela manifestação das pessoas
envolvidas, como por exemplo, o medo que uma pessoa sente, a capacidade
de memória, o conhecimento aprendido, o gosto pela Matemática, dentre
outros. Alguns pesquisadores denominam essas situações de pseudo
fenômenos, no entanto, para os autores deste material, essas situações
serão também chamadas de fenômenos.
Nestes casos, enfrentamos dois problemas cruciais: como definir
e como medir o fenômeno em estudo. Por exemplo: o que é “medo” e
como medi-lo? Para os adultos pode ser uma coisa, já para as crianças,
outra. Para saber do que as crianças têm mais medo é preciso decidir
a partir do quê será inferido os medos delas. Não podemos criar
situações experimentais, por exemplo, situações que levassem as mesmas
a sentirem medos, pois seríamos antiéticos. Neste caso, podemos
perguntar diretamente à criança do que ela tem mais medo ou mostrar
um rol de situações e pedir que ela marque de qual tem mais medo; ou,
ainda, perguntar ao pai do que seu filho(a) tem mais medo.
Já para investigar quem tem mais memória, as crianças ou os
adultos, podemos criar uma situação experimental, a partir de uma
investigação interessante e fácil de ser realizada pelas próprias crianças.
Esse é o caso, por exemplo, de “medir” a memória das pessoas por meio
do “Jogo da Memória”.
No momento, interessa-nos apenas levantar problemas possíveis
de serem investigados na sala de aula. Esses problemas poderiam ser:
• Qual é a fruta favorita das crianças?
• Do que as crianças têm mais medo?
3Unidade

• Será que os adultos têm melhor memória do que
as crianças?
• Todas as sementes germinam quando plantadas?
• Os meninos são sempre mais altos do que as
meninas?
É natural que toda criança tenha uma resposta para
cada um dos problemas que foram levantados. Umas acham
que os meninos sempre são mais altos enquanto outros
acham o contrário. Essas respostas das crianças podem ser
aproveitadas pelos professores para estimular a explicitação
de suas afirmações. Essas, acompanhadas de uma explicação,
são denominadas de hipóteses.
As hipóteses, quando testadas, transformam-se
nas conclusões da pesquisa. Nesse sentido, a geração de
hipóteses com os alunos é uma etapa fundamental para a
Educação Estatística. A criança pode afirmar que os meninos
são mais altos que as meninas, por observar que os homens
adultos são mais altos do que as mulheres adultas. Isso é
uma hipótese, porque ela afirma e justifica a afirmação.
Entretanto, a hipótese pode não ser verdadeira e é por isso
que se realiza a pesquisa.
Observamos que existem pesquisas de cunho
descritivo ou exploratório, as quais não partem de hipóteses.
O mesmo exemplo dos medos das crianças pode ser um
estudo exploratório se o objetivo for fazer um mapeamento
dos principais medos dos alunos. Neste caso, não faz
sentido levantar que certos medos são mais frequentes do
que outros, pois é justamente isso que ele quer saber.
A hipótese, em geral, relaciona pelo menos duas
variáveis. No exemplo da altura dos meninos, relacionamos
gênero, altura e idade. A altura é chamada de variável
dependente, pois é ela que sofre a interferência das
variáveis gênero e idade, sendo que estas duas últimas são
denominadas de variáveis independentes por serem os
Hipótese
é uma afirmativa elaborada
e que será colocada à pro-
va, de maneira que poderá
ser rejeitada ou não. Nas
pesquisas exploratórias, as
hipóteses podem tornar-
se perguntas de pesquisa.
Essas questões, pela sua
especificidade, devem dar
testemunho do trabalho
conceitual efetuado pelo
pesquisador e, pela sua
clareza, permitir uma res-
posta interpretável.
102 EADPedagogia

fatores que modificam a variável dependente.
O diagrama a seguir apresenta uma síntese das variáveis envolvidas
nessa hipótese:
Variáveis independentes Variável dependente
3.1 Questões didáticas da escolha do problema
A escolha do problema ou da questão a ser investigada pode ser
uma proposição do professor, de um aluno ou de um grupo de alunos.
O que importa é que todos estejam motivados em pesquisar sobre o
mesmo. Um trabalho de pesquisa em sala de aula pode ser realizado em
uma aula ou em várias, perpassando todo um bimestre letivo. Para que os
alunos não desistam da pesquisa no meio do caminho é fundamental que
o problema seja, de fato, interessante e desafiador para todos.
Quando falamos “desafiador”, estamos enfatizando que o
professor precisa refletir se a pesquisa que será realizada permitirá a
produção de um conhecimento novo para esses alunos, para o qual eles
devem estar efetivamente interessados em saber.
Uma pesquisa científica requer a produção de um conhecimento
novo; mas, na escola, também é realizada a replicação de uma pesquisa, a
qual vai permitir que os alunos compreendam um determinado fenômeno
e suas variações. Na construção do conhecimento é preciso que a criança,
por meio de suas ações, construa, mesmo que apenas em parte, esse
conhecimento. Só dessa maneira ela se apropria dele.
É importante ressaltar que, algumas vezes, confunde-se pesquisa
com estudo. Entretanto, a diferença entre os dois está exatamente na
produção de um conhecimento e não na apropriação por alguém de
um conhecimento já produzido. Uma pessoa que não conheça a teoria
de Piaget poderá estudá-la por meio de seus livros ou de autores que
escrevem sobre ela para aprender sobre a teoria. Entretanto, para saber
Gênero
Idade
Altura
3Unidade

se um aspecto da teoria de Piaget é válido, essa pessoa terá
que elaborar uma pesquisa para confirmar ou não o que
Piaget está argumentando. Da mesma forma, um aluno
pode não saber sobre o comportamento da germinação de
uma semente e estudar nos livros sobre isso, ou planejar um
experimento que lhe permita compreender esse fenômeno.
Ao escolhermos o problema, precisamos, também,
considerar o tempo que temos para solucioná-lo. Se um
professor, por exemplo, quiser implementar o experimento
da germinação das sementes, bastará organizar a classe de tal
forma que todos os alunos plantem as sementes e, após um
dia ou dois, proceder à contagem daquelas que germinaram.
Mas se esse professor quiser, também, acompanhar o
crescimento das plantinhas, então isso levará mais tempo e
envolverá outros procedimentos.
Dessa forma, desde o início, é preciso saber quanto
tempo se tem para a realização da pesquisa, bem como a
adequação das tarefas à idade e aos conhecimentos prévios
das crianças sobre o tema a ser investigado.
4 DE ONDE SE OBTÊM OS DADOS?
Na seção anterior, refletimos sobre a definição do
problema de uma pesquisa, o levantamento de hipóteses
e as questões de pesquisa. Agora é preciso determinar a
população que será investigada.
Ao se questionar do que as crianças têm mais medo,
primeiro devemos definir o que entendemos por “crianças”.
Podemos definir “crianças” pelo critério idade, por exemplo,
“todas as pessoas de 6 a 11 anos” (ou qualquer outra faixa
etária similar). Também podemos definir “crianças” como
“todos os alunos matriculados do 1º ao 5º ano do Ensino
Fundamental”.
Analisemos cada uma dessas definições. A primeira
Questionar sobre a ade-
quação de uma pesqui-
sa à faixa etária dos
nossos alunos é um fator
determinante para o inte-
resse e sucesso da mes-
ma.
atenção
104 EADPedagogia

leva em consideração um critério bastante claro, a idade,
contudo, sua operacionalização será muito trabalhosa, pois
implica investigar as crianças nos diversos ambientes em que
elas se encontram (residências, escolas etc.). Já a segunda
definição é muito mais simples de ser investigada, pois as
crianças estão nas escolas. Todavia, devemos lembrar que
esta definição se refere a um subconjunto da população de
crianças; pois, a depender do local ou país, muitas crianças,
em geral, as mais pobres, ainda se encontram fora da escola,
portanto o estudo poderá estar refletindo apenas os medos
das crianças que frequentam as escolas e não o medo
das crianças. Além disso, esta definição inclui os alunos
matriculados na Educação de Jovens e Adultos (EJA), cuja
faixa etária envolve pessoas com 16 anos ou mais. Assim,
precisaríamos explicitar melhor esta definição, por exemplo,
“todos os alunos matriculados do 1º ao 5º ano do Ensino
Fundamental Regular”.
Além disso, podemos pensar em todas as crianças do
mundo, nas crianças brasileiras, nas crianças de nossa cidade,
nas crianças de nossa escola ou, ainda, nas crianças de nossa
sala de aula. Isto é, precisamos definir a abrangência em
termos espaciais de nossa investigação. Também devemos
ter em mente o tempo, pois as crianças de 2010 podem
não ser as mesmas de 2011, por exemplo. Assim, é preciso
definir também a abrangência temporal.
Cada um desses grupos se constitui em um tipo
de população. Assim, temos diferentes populações para
responder a uma mesma questão de pesquisa, o que muda é
a abrangência espacial e temporal da investigação.
Além de definir a população, devemos definir
também como vamos obter a informação, isto é, quem
serão os sujeitos de pesquisa: podem ser as próprias crianças
falando de seus medos ou o responsável pela criança falando
dos medos dela. Tudo vai depender do objetivo da pesquisa.
Se investigarmos os medos a partir do depoimento
População
em Estatística, é o conjun-
to de elementos (unidades
populacionais), objetos da
pesquisa, que tem pelo
menos uma característica
em comum, que define,
claramente, se um ele-
mento pertence ou não a
população.
Unidade populacional:
é de onde obtemos os da-
dos. Pode ser uma pessoa,
animal ou coisa, pode ser
individual ou coletivo (pes-
soa, família, a classe).
3Unidade

dasprópriascriançasentãoestaremosrespondendoaquestão
“quais são os maiores medos das crianças?”. Se investigarmos
esses medos a partir do depoimento do responsável pela
criança, então estaremos respondendo a questão “quais são
os maiores medos das crianças a partir da opinião de seus
responsáveis?”. Obviamente, são duas pesquisas diferentes,
pois os adultos sentem outros medos que as crianças ainda
podem nem conhecer, portanto esses resultados poderão
nos dar uma visão não fidedigna do medo das crianças.
Da mesma forma, no caso da pesquisa sobre a
germinação de sementes, não é possível que cada aluno traga
um tipo de semente; pois, nesse caso, a germinação também
dependerá do tipo de semente utilizado. Assim, a semente
precisa ser de uma variedade de planta e de preferência de
uma mesma procedência, a fim de evitar que fatores alheios
interfiram na germinação delas.
Uma outra questão que devemos chamar a atenção
é que a Estatística é a ciência do significado e uso dos dados.
Sua grande missão é a compreensão dos fenômenos a partir
da análise dos dados, desvendando os padrões subjacentes
deles. Portanto, precisa-se de uma quantidade de dados
que possa representar o comportamento do fenômeno em
estudo.
Por exemplo, não podemos inferir o comportamento
da germinação das sementes a partir da observação de apenas
uma ou duas sementes. É preciso ter uma quantidade maior.
Entretanto, é preciso cuidado para que uma quantidade
muito grande não deixe as crianças perdidas entre os dados.
Em geral, sugere-se que, para conduzir uma pesquisa em
sala de aula, cada aluno seja responsável por uma quantidade
pequena e fixa de sementes e que os dados de todos os
alunos formem o conjunto necessário à pesquisa estatística.
Assim, a definição dos
sujeitos da pesquisa é
fundamental para que a
investigação atinja o ob-
jetivo desejado.
atenção
106 EADPedagogia

4.1 Censo ou amostra
Além da delimitação da população, é preciso definir
se coletamos os dados com todos os sujeitos que compõem a
população (censo) ou escolhemos uma parte representativa
da população (amostra).
No caso da pesquisa sobre o medo das crianças,
podemos escolher pesquisar o medo das crianças de nossa
sala de aula. Neste caso, a realização do censo é viável, mas
a abrangência dos resultados é limitada àquela turma, pois
trata-se de um estudo de caso.
No entanto, podemos querer investigar o medo
de todas as crianças da escola. Se a escola for de pequeno
porte, ainda podemos pensar em realizar um censo; mas, se
a escola for maior, o censo pode se tornar inviável ou muito
trabalhoso. Neste caso, é mais viável utilizar uma amostra
dos alunos da escola.
Contudo, definir a amostra não é tão simples, ela
precisa levar em consideração as hipóteses. Se o gênero, por
exemplo, for importante, não adianta ter uma amostra só de
meninas. Da mesma forma, se a idade for importante, não
adianta selecionar só crianças de seis anos ou só as de onze
anos. Por essa razão, a seleção da amostra deverá levar em
consideração as características essenciais da população.
Agora devemos responder as seguintes perguntas:
• Quantos alunos devemos entrevistar? Isto é,
definir o tamanho da amostra.
• Como vamos selecionar a amostra?
• Como levar em consideração as duas variáveis:
gênero e idade?
Por uma questão de viabilidade, decidimos que cada
aluno deve entrevistar dois colegas. Como temos 30 alunos,
então o tamanho da amostra será de 60.
Professor, observe que a ideia é apenas discutir as
Censo: quando investiga-
mos todos os elementos
da população.
Amostra: quando investi-
gamos uma parte da po-
pulação.
Amostragem: métodos e
processos para coletar a
amostra.
Sugerimos ler a disserta-
ção de mestrado de Sou-
za (2007), que organizou
uma pesquisa com seus 17
alunos da Educação Infan-
til, de 5 e 6 anos. As crian-
ças entrevistaram todos os
colegas da escola e o pes-
quisador, além de relatar
todas as fases da pesqui-
sa, relata, também, as di-
ficuldades encontradas no
processo.
leitura recomendada
3Unidade

diversas formas de selecionar a amostra, refletindo junto com as crianças
o que pode acontecer com um ou outro procedimento; ou, pelo menos,
fazer ver a elas que há diferentes formas de selecionar as amostras. Essa
discussão é fundamental; pois, de um lado, não podemos deixar que
os alunos acreditem que qualquer amostra serve para generalizar os
resultados para toda a população e, de outro, é esse tipo de indagação
que ajuda a desenvolver o pensamento estatístico.
4.2 A fonte de dados
A fonte dos dados é composta pelos sujeitos da pesquisa ou
elementos da população que fornecem os dados, que pode ser uma
pessoa, como no caso da pesquisa sobre o medo; a semente, no caso da
pesquisa da germinação etc.
Observamos que, dependendo da pesquisa, a fonte de dados pode
ser o próprio aluno, seus colegas, os professores, a semente, os livros da
biblioteca, as pedras do pátio, a conta de água etc.
• Fonte primária. Quando coletamos os dados diretamente da fonte
são denominados de dados primários. Por exemplo, na pesquisa
sobre o medo, os dados obtidos a partir das respostas dos alunos ou
de seus responsáveis são dados primários, o mesmo ocorre quando
registramos os dados da observação da germinação das sementes.
• Fonte secundária. Quando os dados foram coletados por outras
pessoas e nós trabalhamos em cima deles, são denominados de dados
secundários. Por exemplo, se quisermos investigar o padrão do
consumo de água ou energia elétrica das famílias de nossos alunos, a
fonte de dados será a conta de água ou de energia.
Vejamos um exemplo. Suponhamos que queremos investigar qual
é o desempenho de um estudante em Matemática. Podemos aplicar uma
prova e dar uma nota. Essa prova é uma fonte primária. Mas também
108 EADPedagogia

podemos recorrer ao boletim, às atas finais da escola e fazer esse
levantamento a partir desses dados. Assim, o aluno é a fonte primária,
o boletim e a ata são fontes secundárias. Observe que o boletim ou a
caderneta de notas da sala contém as notas de todos os alunos nos quatro
bimestres em todas as disciplinas, estas fontes de dados são secundárias.
Aluno
Prova
Fonte primária
Boletim do aluno
(individual)
Nota do aluno
Fonte secundária
Ata das notas
(da classe)
Nota do aluno
Fonte secundária
4.3 O que é coletar os dados?
Após a definição dos sujeitos e a definição da fonte de dados,
é preciso decidir como os dados serão coletados, ou seja, buscar as
informações que respondam à questão da pesquisa, que são denominadas
de variáveis. Essa é uma oportunidade de solicitar que a turma levante
ideias de como a coleta pode ser realizada.
No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, como dissemos
anteriormente, precisamos definir a partir do que será inferido que a
criança tem mais medo. Partindo do pressuposto que vamos coletar os
dados das próprias crianças, a pergunta agora é: como vamos coletar esses
dados? Isto é, qual será o procedimento para coletar os dados:
Analisemos alguns procedimentos, elencando suas vantagens e
desvantagens:
a) Realizar uma entrevista, os alunos da nossa turma fazem as
perguntas e anotam os dados.
b) Aplicar um questionário de autopreenchimento, isto é, o
próprio aluno registra sua opinião.
c) Solicitaràcriançaquefaçaumdesenho,comofez,porexemplo,
a professora Roberta Buehring (2006) com seus alunos de 2º
ano. Esta pesquisadora optou por este procedimento, pois
seus alunos ainda não estavam completamente alfabetizados
3Unidade

para registrar de forma escrita seus sentimentos.
d) Chamar aluno por aluno, solicitar que eles digam
em voz alta qual é seu maior medo e vamos
anotando no quadro. Este procedimento pode
induzir as crianças a imitar os colegas, ou algumas,
por constrangimento, não manifestarem sua
opinião.
e) Fazer uma lista dos medos no quadro, perguntar
aosalunosseexistealgumoutrotipodemedopara
ser listado e depois solicitar a eles que levantem
a mão à medida que vamos fazendo a leitura
dos tipos de medos. Este tipo de procedimento
também pode induzir as crianças a optarem por
um tipo de medo que a maioria opta.
Esses questionários, desenhos, áudio, filmes ou
outras formas de registro dos dados são denominados de
instrumentos, que coletam os dados das variáveis que vamos
estudar.
4.4 Variáveis, seus tipos e sua
operacionalização
A todo momento, estamos falando de variáveis
e esse é um conceito chave na Estatística. Por essa razão,
vamos nos deter um pouco na sua definição, características
e a forma como vamos coletá-las.
Vejamos alguns exemplos. Na pesquisa sobre o
medo, a população é formada pelos alunos de nossa classe.
Então, nossos sujeitos da pesquisa são os nossos alunos.
Que características importantes dos sujeitos vamos coletar
para poder responder nossa questão de pesquisa? Neste
exemplo, a idade, o gênero e o medo.
Mas,seestivéssemosinvestigandoodesenvolvimento
físico dessas crianças, as variáveis seriam: idade, sexo, altura,
Variável, em Estatística,
é uma característica da
população que assume
diferentes valores ou ca-
tegorias.
110 EADPedagogia

peso etc. Ou, se estivéssemos investigando o desempenho escolar, as
variáveis seriam: notas nas disciplinas, disciplina favorita etc. Ainda
podemos ter outras variáveis a depender do tema de investigação.
Sujeito
(pessoa)
Gênero: Feminino, Masculino.
Idade: 9, 10, 11, 12 (anos completos).
Medo: barata, mula sem cabeça, ...
...
Altura (em centímetros, de 120 a 160, por exemplo).
Peso (em quilogramas, de 30 a 60, por exemplo).
Perímetro cefálico (em centímetros, de 30 a 45, por
exemplo)...
...
Nota em Matemática (escala de zero a dez).
Nota em Português, Nota em Matemática, ...
Disciplina favorita (Matemática, Português, ...).
...
Número de irmãos (0, 1, 2,...).
Número de letras de seu nome (2, 3, ...).
...
Vejamos outros exemplos:
objeto
(semente)
Germina: sim ou não.
O tempo é uma variável que não é da semente, mas que
interfere na ocorrência da germinação, pois algumas
sementes demoram mais do que outras para germinar,
assim esta variável deve ser coletada.
Coleção de
objetos
(várias
sementes)
7 sementes germinaram das 10 plantadas.
Nº de sementes que germinaram (0, 1, 2, ...).
3Unidade

Coleção de
objetos
(família do
aluno)
Número de pessoas da família que moram com o aluno.
Quantidade de metros cúbicos de água que consomem
por mês.
Renda familiar (em reais R$).
Classe social (Baixa, Média, Alta).
Religião predominante (Católica, Evangélica, ...).
...
a) Tipos de variáveis
As variáveis se classificam em qualitativas e quantitativas (Figura
32). Uma variável qualitativa é aquela cujos resultados se enquadram
em categorias. Se as categorias assumem algum tipo de ordenação, elas
são denominadas de ordinais, por exemplo, classe social (Baixa, Média
e Alta), gosto pela Matemática (Pouco, Regular e Muito) e, assim por
diante. Caso contrário, são denominadas de nominais, como, por
exemplo, gênero, tipos de medo, entre outros.
Uma variável quantitativa (também denominada de numérica) é
aquela cujos resultados assumem valores numéricos. Se essa for passível
de contagem, é chamada de discreta, como, por exemplo, número de
irmãos ou número de sementes que germinam. Se a variável é resultante de
mensuração, tomando qualquer valor, então são chamadas de contínuas,
como, por exemplo: peso (kg), altura dos alunos (cm), renda familiar
(R$), entre outras.
Gênero (F, M)
Germina (Sim, Não)
Cor favorita (Azul,
Verde, Amarelo,..)
Tipo de medo
(Barata, Mula sem
cabeça,...)
Classe social (Baixa,
Média, Alta)
Gosto pela
Matemática (Pouco,
Regular, Muito)
Intensidade do
medo (Pouco, Mais
ou menos, Muito)
Nº de irmãos
Nº de letras do
nome
Nº de sementes
que germinam
Nº de alunos que
faltaram à aula
durante o mês de
abril
Tempo que gasta
para completar o
jogo da memória
Altura
Peso (massa)
Renda familiar
Figura 44. Classificação das variáveis estatísticas de acordo com sua natureza.
Nominal (não
existe ordem nas
categorias)
Discreta (resulta-
do de contagem)
Ordinal (existe
ordem nas cate-
gorias)
Contínua (resul-
tado de mensu-
ração)
Variáveis
Qualitativa (categorias) Quantitativa (números)
112 EADPedagogia

b) Operacionalização das variáveis
Além de aprendermos a reconhecer os tipos de variáveis, é
importante saber que elas podem ser coletadas (operacionalizadas) de
diferentes maneiras.
Como coletar uma variável qualitativa?
Quando as categorias das variáveis já estão definidas a priori,
como por exemplo, gênero (masculino, feminino), classe social (Baixa,
Média, Alta), a coleta de dados é simples.
Já, quando a variável não possui naturalmente as categorias
predefinidas, sua coleta se torna mais complexa e é preciso trabalhar a
“classificação” da variável, que pode ser a priori ou a posteriori. Vejamos
um exemplo com a pesquisa sobre o medo.
a) Pergunta aberta. Neste caso, formulamos a pergunta de tal
maneira que damos completa liberdade ao respondente para
expressar seu sentimento:
“Do que você tem mais medo?” ________________________
Consequentemente, podemos ter qualquer tipo de resposta,
inclusive respostas que não têm nada a ver com a pergunta, ou,
o que é pior, vir em branco. Contudo, podemos ter respostas
mais fidedignas, isto é, mais próximas do sentimento dos
alunos.
Este tipo de coleta de dado vai implicar em criar categorias
a posteriori, isto é, a partir das respostas dos alunos, criamos
as categorias. Observamos que, quando estamos fazendo
pesquisa científica, a categorização, em geral, é realizada a
partir do arcabouço teórico que dá suporte à investigação.
b) Pergunta fechada. Neste caso, formulamos a pergunta e
damos opções para o aluno responder, isto é, o respondente
não tem tanta liberdade, mas podemos deixar a opção para ele
ampliar o leque de opções. Entretanto, como somos nós os que
criamos as categorias, podemos estar induzindo as respostas
ou distorcendo completamente a natureza da pesquisa:
3Unidade

i) Exemplo de pergunta com uma única escolha (categorias
mutuamente excludentes):
Marque com X a alternativa que você considera lhe dá mais
medo:
( ) animais (cachorros, jacarés, insetos,...)
( ) fantasmas, espíritos, alma penada, ...
( ) altura, escuro, não saber as respostas, falar em público,..
( ) pessoas más, bandido, o homem do saco, ...
( ) outro, explique: _______________________________
ii) Exemplo de pergunta com múltipla escolha (categorias
complementares). Por exemplo, suponhamos que estamos
fazendo uma pesquisa com os professores da escola para
identificar os seus principais problemas:
Na sua opinião, quais são os maiores problemas que impedem
sua escola de atingir as metas traçadas pelo governo em relação
ao IDEB?
( ) baixos salários dos professores
( ) professores com formação inadequada para o ensino
( ) a omissão dos pais dos alunos no processo educativo
( ) a política educacional
( ) a infraestrutura da escola
( ) outro, explicite: _______________________________
Neste caso, o respondente pode marcar com X todas aquelas
alternativas que ele acredita serem os maiores problemas,
que pode ser uma, duas, até todas. Com este tipo de opção,
corremos o risco de não podermos discriminar quais são os
maiores problemas.
Uma forma de evitar isso é solicitar ao respondente que, de
todas as alternativas, escolha apenas três e que coloque 1º
(ao maior problema), 2º (ao segundo maior) e 3º (ao terceiro
maior).
Ainda,háumaterceiraopção.Podemossolicitaraorespondente
que coloque V (Verdadeiro) ou F (Falso) a cada uma das
alternativas. Neste caso, teremos a indicação da gravidade do
problema, resultante da frequência das alternativas.
114 EADPedagogia

Como coletar uma variável quantitativa?
Vejamos um exemplo de uma variável quantitativa contínua: idade
a) Data de nascimento ___/____/____
b) Quantos anos você tem? ____________
c) Idade ____________ em anos completos
d) Faixa etária (marque com x)
( ) de 16 a 17 anos
( ) de 18 a 30 anos
( ) de 31 a 50 anos
( ) de 51 a 70 anos
( ) de 71 anos ou mais
Cada forma de coletar o dado nos fornecerá informações
diferentes para a mesma variável. Analisemos os prós e contras de cada
forma de coleta:
a) A data de nascimento nos permite calcular com exatidão
a idade da pessoa, que poderá ser crucial se a pesquisa for
sobre desnutrição infantil. Mas será uma informação inútil
e complexa no caso de uma pesquisa eleitoral, por exemplo,
pois neste caso só interessa a faixa etária.
b) Quando perguntamos “quantos anos você tem?”, estamos
dando liberdade ao respondente para fornecer dados
arredondados ou mais detalhados, assim poderemos ter
respostas tais como: 9 anos, ou 9 anos e 6 meses, ou 9 anos e
8 meses. Neste caso, não sabemos se o aluno que respondeu
9 anos é porque ele tem exatamente nove anos ou se ele
arredondou para anos completos.
c) Quando forçamos a idade para anos completos, estamos
correndo o risco de ter numa mesma idade crianças com 8
anos, 8 anos e 1 mês, 8 anos e 2 meses e assim por diante. Mas,
a depender do tipo de investigação, essa precisão é irrelevante
e assim os dados são mais fáceis de serem tratados.
d) Em alguns estudos, não temos interesse na idade específica,
apenas em faixas etárias. Por exemplo, nas pesquisas eleitorais,
3Unidade

podemos querer saber se os mais jovens pensam e votam de
uma forma diferenciada dos mais velhos. Podemos pensar que
as pessoas mais velhas tendem a ser mais conservadoras.
Observe, ainda, que a variável idade pode ser trabalhada não como
os anos vividos por uma pessoa, mas pela percepção que esta tem em
relação a algum empreendimento na sua vida. Por exemplo, podemos
investigar como adultos analfabetos se sentem em relação a sua idade
para aprender a ler e escrever, ou seja, serem alfabetizados.
Com relação a sua idade, como o senhor(a) se sente diante da
possibilidade de aprender a ler e escrever:
( ) Muito jovem
( ) Jovem
( ) Velho
( ) Muito velho
Neste caso, podemos até coletar o dado real da idade e podemos
estudar se a idade cronológica é determinante na percepção de idade
para ser alfabetizado. Consequentemente, estamos trabalhando com
uma variável conceitual, que não há como medi-la, a não ser pelo
depoimento do respondente, diferente da idade cronológica que é uma
variável empírica, pois podemos “observá-la”. Mais detalhes podem ser
encontrados em Cazorla e Oliveira (2010).
4.5 Os instrumentos de coleta de dados
Como já mencionamos, há várias formas de coletar os dados.
Podemos realizar entrevistas, criar questionários e fichas de observação.
Podemos utilizar materiais concretos, fotografias, adesivos, desenhos etc.
Podemos ainda utilizar instrumentos de medida como réguas e balanças.
Exemplo de um questionário
No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, podemos elaborar
116 EADPedagogia

umquestionário,quedevecontemplarasvariáveisemestudo,jádiscutidas
anteriormente, que são a idade, o gênero e o tipo de medo (Figura 33).
Ficha da pesquisa: “Do que você tem mais medo?”
Nome do aluno: _______________________________________________
Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino
Idade: ______________ anos completos
Do que é que você tem mais medo? ________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Figura 45 - Exemplo de uma ficha de coleta de dados com categorização a posteriori.
Caso a pesquisa seja feita na escola, isto é, incluindo os alunos do
1º ao 5º ano, será preciso incluir essa variável. Observamos que, como
a pergunta é aberta, a criança tratará de exprimir seu sentimento com
palavras que ela conhece e, certamente, vamos precisar criar categorias (a
posteriori) a partir do registro delas.
Também poderíamos deixar as opções prontas (Figura 34), por
exemplo:
Ficha da pesquisa: “Do que você tem mais medo?”
Nome do aluno: ________________________________________________
Idade: ______________ anos completos
Do que é que você tem mais medo? Marque com X a opção que expresse seu
sentimento:
( ) Bandido, ladrão, homem do saco
( ) Fantasmas, espíritos, mula sem cabeça, lobisomem
( ) Animais (jacaré, hipopótamo, leão, cachorro, barata, aranha etc.)
( ) Altura, escuro, ficar de castigo, reprovar de ano
( ) Outro, qual?________________________________________________
Figura 46 - Exemplo de uma ficha de coleta de dados com categorização a priori.
3Unidade

Na pesquisa que utiliza o jogo da memória com os alunos da
classe e seus responsáveis (dados emparelhados, Figura 47), as variáveis
envolvidas são: gênero, idade, autopercepção de capacidade de memória,
bem como o tempo gasto no jogo.
Ficha da pesquisa: “Quem tem mais memória?”
Nome da criança: _______________ Nome do responsável: ___________
Idade: ____________ anos completos Idade: ____________ anos completos
Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino
Você acha que a sua memória é:
( ) Muito Boa
( ) Boa
( ) Regular
( ) Fraca
( ) Muito Fraca
Você acha que a sua memória é:
( ) Muito Boa
( ) Boa
( ) Regular
( ) Fraca
( ) Muito Fraca
Tempo que gastou no jogo:
minutos: _______________
segundos: ______________
Tempo que gastou no jogo:
minutos: ________________
segundos: _______________
Conversão em segundos: _________ Conversão em segundos: __________
Figura 47 - Exemplo de ficha para coletar dados emparelhados.
Chamamos de dados emparelhados, quando eles se referem a
uma mesma unidade de dados. Assim, o dado se refere a uma criança e a
seu pai (responsável), os dois formam uma única unidade. Se quisermos
fazer os instrumentos separados, teríamos que adicionar o nome do pai
(responsável) na ficha da criança, e o nome da criança, na ficha do pai
(responsável).
Exemplo de fichas de observação
No caso da germinação de sementes, o dado será coletado pela
observação direta na natureza ou no experimento, portanto precisaremos
de uma ficha de observação. Notamos que a observação na natureza é
muito mais complexa. Nesse tipo de observação, muitas variáveis podem
interferir sem termos como controlá-las, como umidade do ar e da
terra, fertilidade do solo, época de germinação etc. Já, em uma situação
118 EADPedagogia

experimental, podemos controlar vários desses fatores e escolher os que
deixaremos variar.
Para registrar a germinação em uma situação experimental, em que
esteja garantida a mesma quantidade de água, o mesmo tipo de terra, a
mesmasementeeamesmaexposiçãoaosol,entreoutros,podemoselaborar
uma ficha (Figura 48) na qual cada criança irá registrar a germinação das
sementes sob sua responsabilidade do 1º ao 5º dia.
Ficha da pesquisa: “A germinação das sementes”
Nome do aluno:
Dia Número de sementes que germinaram
1 (24 h após plantadas)
Figura 48 - Exemplo de uma ficha de observação do fenômeno “a germinação das sementes”.
Observamos que, a depender da idade das crianças, podemos
coletar o dado em um único dia, simplificando a coleta de dados. Contudo,
o acompanhamento ao longo dos dias possibilitará à criança perceber que
existe uma variação natural no tempo de germinação, pois nem todas as
sementes germinam ao mesmo tempo. Essa constatação levará a criança a
pensar em termos média, mediana ou moda, do tipo? Quantos dias demora
a semente de alpiste para germinar? E a semente de girassol? As crianças
perceberão que não dá para descrever todos os dados e que terão que
buscar um valor ou categoria que represente o maior volume dos dados.
4.6 A necessidade de trabalhar com a classificação
Classificar objetos “padronizados” que apenas têm duas
características é relativamente simples e, de alguma maneira, a escola já
3Unidade

trabalha esse tipo de classificação. O problema aparece
quando os objetos não são padronizados. Portanto, o
trabalho com classificação precisa de uma atenção especial.
Infelizmente, o que se tem observado é que o ensino tem
se preocupado muito mais com que os alunos memorizem
formas de classificar do que no desenvolvimento do
pensamento lógico que o permite classificar.
Éimportantequetenhamosclarezaqueotrabalhocom
representações de dados implica também o conhecimento
da simbologia específica desse tipo de representação.
Obviamente, a tarefa de classificação se torna mais
complexa quando trabalhamos com variáveis conceituais,
isto é, aquelas que estão relacionadas aos sentimentos ou ao
comportamento das pessoas.
Como vimos no caso da variável “tipo de medo”,
qualitativa nominal, podemos deixá-la em aberto e
provavelmente teremos respostas muito variadas, ou
podemos criar categorias a priori para assim coletar os
dados. De qualquer forma, teremos a tarefa de classificação
a partir das respostas dadas pelos alunos.
Suponhamos que deixamos a pergunta em aberto “De
que você tem mais medo?” e que as respostas foram: barata,
mula sem cabeça, bandido, altura, rato, escuro, lobisomem.
Percebe-se que as respostas apresentam diferentes
tipos de medo. Podemos dizer que esses alunos têm medo
de coisas reais (barata, rato, altura e escuro) e coisas
imaginárias (mula sem cabeça e lobisomem). Podemos,
também, dizer que esses alunos têm medo de bichos (barata
e rato), de assombrações (mula sem cabeça e lobisomem) e
de situações (escuro e altura). Assim, os mesmos elementos
podem ser classificados de diferentes formas, que dependem
do objetivo de quem classifica.
Além disso, é importante que determinemos como
vamos registrar. Por exemplo, se classificarmos os medos
em duas classes, podemos registrar, apenas, sim e não, ou
Classificar significa veri-
ficar em um conjunto de
elementos os que têm a
mesma propriedade. As
categorias devem apre-
sentar duas propriedades:
exaustividade (representa
todos os fatos e ocorrên-
cias possíveis) e exclu-
sividade (coerência para
que qualquer resultado só
possa ser representado de
uma única maneira), ou
seja, as categorias devem
ser capazes de exaurir to-
das as possibilidades e, ao
mesmo tempo, ser mutua-
mente excludentes.
para conhecer
120 EADPedagogia

podemos registrar real e imaginário (Figura 49).
Medo Ser real Medo Tipo
Barata sim Barata real
Mula sem cabeça não Mula sem cabeça imaginário
Lobisomem não Lobisomem imaginário
Rato sim Rato real
Escuro sim Escuro real
Altura sim Altura real
Figura 49 - Diversas formas de registrar uma classificação.
Não há, de fato, uma maneira melhor que a outra. Apenas é
preciso evitar a mistura das duas numa mesma anotação, como seria caso
se anotasse em uma mesma tabela para designar medo real, ora sim ora
real.
5 O TRATAMENTO DOS DADOS
Lembramos que a Estatística tem como objetivo organizar
e resumir os dados brutos em poucas medidas ou representações que
mostrem de forma sintética o perfil dos dados, as tendências e as relações
entre as variáveis.
Para realizar essas tarefas, podemos contar com representações
em tabelas e gráficos e com as medidas estatísticas tais como: frequências
(absoluta e relativa), as medidas de tendência central (média, mediana e
moda), medidas de dispersão (amplitude, desvio padrão), entre outras.
5.1 A importância do reconhecimento da natureza da
variável para seu tratamento
Segundo Cazorla e Utsumi (2010), é importante aprender a
reconhecer quando uma variável é qualitativa e quando é quantitativa.
Aparentemente isto é óbvio, mas não é.
Trabalhos mostram que muitas crianças confundem a variável com
3Unidade

sua frequência e acreditam que uma variável qualitativa é quantitativa
porque há números envolvidos em sua contagem. Por exemplo, suponha
que estamos trabalhando com a preferência dos alunos pelo “sabor de
balas”, logo trata-se de uma variável qualitativa nominal (sabor). Assim,
para saber o sabor preferido, contamos quantos alunos gostam daquele
sabor, como mostra a Figura 50.
Observe que o “número de alunos que gostam desses sabores” é a
frequência com que cada sabor é escolhido e não é a variável. Não existe
“sabor médio”. Este equívoco não é raro e alguns alunos chegam até a
calcular a média da frequência, somam: 8 + 10 + 2 + 0 + 5, que resulta
25 e dividem por 5, encontrando uma média de 5 alunos por sabor. Qual é
o significado deste número? Este número é a média de alunos por sabor.
Logo a variável não seria mais o sabor, e sim o “número de alunos por
sabor”, muito diferente da variável “sabor preferido”.
Preferência dos aluno
Sabor nº de alunos
Menta 8
Morango 10
Maçã 2
Pêssego 0
Hortelã 5
Total 25
Figura 50 - Exemplo de erro conceitual ao confundir a variável com sua frequência. Fonte: elaborado pelos autores.
122 EADPedagogia

Outro erro conceitual, encontrado inclusive em
livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD), é colar as barras quando se trata de uma
variável qualitativa, como mostra a Figura 51.
Figura 51 - Exemplo de um erro conceitual ao colar as barras em uma variável qualitativa.
Cazorla e Utsumi (2010) apresentam dois
fluxogramas para o tratamento de variáveis qualitativas
(Figura 52) e quantitativas (Figura 53), que reproduzimos
a seguir.
Figura 52 - Tratamento univariado de variáveis qualitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 16.
TDF em
categorias
Gráfico de
setores
Pictogramas
Gráfico de
barras/colunas
Nominais
Moda
Ordinais
Variáveis qualitativas
Gráficos MedidasTabelas
3Unidade

Figura 53 – Tratamento univariado de variáveis quantitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 17.
Assumem
poucos valores
Assumem
muitos valores
Discretas Contínuas
Variáveis quantitativas
TDF em valores
pontuais
Absoluta:
amplitude,
desvio médio,
variância,
desvio padrão.
Relativa:
coeficiente de
variação (CV)
Média, mediana
e moda
Percentis,
quartis
Assimetria
e curtose
TDF em
faixas
Gráfico de
bastão
Diagrama de
pontos (dotplot)
Diagrama de
pontos (dotplot)
Diagrama de
caixa (boxplot)
Diagrama de
caixa (boxplot)
Histograma
(correção por
continuidade)
Histograma
(correção por
continuidade)
Gráficos GráficosTabelas
Medidas de
tendência
central
Medidas de
dispersão
Medidas de
posição
Outras
medidas
Tabelas
124 EADPedagogia

5.2 Tabela versus tabela estatística
Antes de iniciar o tratamento, torna-se necessário
esclarecer o que é uma tabela desde o ponto de vista
estatístico. Atualmente, utilizamos o termo “tabela” para
nomear várias coisas, tais como, uma lista de compras, um
rol de dados, um quadro, uma planilha, um banco de dados.
Tabela: é qualquer orga-
nização matricial composta
por linhas, colunas, cujas
interseções são denomi-
nadas de células, onde se
encontram os dados, que
podem ser números, ca-
tegorias, palavras, frases
etc.
a) Lista, rol de dados, planilhas de dados, banco de dados
Suponha que estamos investigando a quantidade de
produtos que as famílias de nossos alunos compram para um
mês, a partir da lista de compras mensal. Essa lista de compras
é uma tabela, porém ela não é uma tabela estatística, pois os
dados são brutos, não receberam nenhum tratamento, como
podemos observar na Figura 54.
Lista de compras do mês da
Família de Ana
Lista de compras do mês da
Família de Bruna
Item Unidade Quant. Item Unidade Quant.
Açúcar
Sacos de
1 kg
2 Açúcar
Sacos de
1 kg
3
Arroz
Sacos de
1 kg
3 Arroz
Sacos de
1 kg
4
Óleo
Garrafas de
1 litro
1 Óleo
Garrafas de
1 litro
2
Pasta de
dente
Unidade de
300 g
1
Pasta de
dente
Unidade de
300 g
1
Figura 54 - Exemplos de listas de compras das famílias de dois alunos. Fonte: elaborado pelos autores.
Se sistematizássemos os dados dessas listas em uma
“tabela”, fazendo apenas a listagem da quantidade dos itens
consumidos pelas famílias dos alunos (Figura 55), essa
tabela também não seria estatística, pois ela é composta
apenas pelos dados brutos das famílias de nossos alunos.
saiba mais
3Unidade

Alguns livros chamam este arranjo de tabela, rol de dados,
planilha de dados, banco de dados. Neste módulo, optamos
por chamar este tipo de tabela de planilha de dados, como
veremos logo a seguir, pois apenas transcrevemos os dados
brutos para uma lista conjunta, que não receberam nenhum
tratamento estatístico.
Família
de
Açúcar
(Sacos de
1 kg)
Arroz
(Sacos de
1 kg)
Óleo
(Garrafas
de 1 litro)
Pasta de dente
(Unidade
de 300 g)
Ana 2 3 1 1
Bruna 3 4 2 1
...
Vitor 1 2 1 1
Figura 55 - Exemplo de uma planilha de dados. Fonte: elaborado pelos autores.
b) Tabelas estatísticas
Uma tabela é estatística quando ela apresenta os
dados de forma resumida, isto é, após tratamento estatístico
dos mesmos. Basicamente existem duas classes de tabelas
estatísticas: as Tabelas de Distribuição de Frequência (TDF)
e as tabelas resultantes do resumo de dados mais gerais.
i) Tabela de Distribuição de Frequência (TDF)
A Tabela de Distribuição de Frequência – TDF
(Figura 56) é utilizada para verificar como se distribuem os
dados nas categorias das variáveis qualitativas (a), nos valores
pontuais da variável discreta, que toma poucos valores (b)
ou nas faixas ou classes, para o caso de variáveis contínuas e
discretas que tomam muitos valores (c).
Planilha de dados é uma
tabela contendo dados bru-
tos ou originais, isto sem
nenhum tratamento dos
mesmos. Em geral, as li-
nhas são utilizadas para os
elementos de onde foram
extraídos os dados (unida-
des populacionais ou sujei-
tos da pesquisa) e as colu-
nas para as características
observadas (variáveis).
saiba mais
Tabela de Distribuição
de Frequência (TDF) é
um tipo de tabela estatís-
tica formada pelas catego-
rias (variável qualitativa),
valores pontuais (variá-
vel discreta) ou intervalos
(variável contínua) e sua
frequência absoluta ou re-
lativa.
Frequência absoluta,
chamada apenas de frequ-
ência, é o número de vezes
que ocorre cada uma das
categorias, valores ou fai-
xas da variável.
Frequência relativa é a
distribuição dos dados das
categorias (valores ou fai-
xas) em relação ao todo,
expresso em números deci-
mais ou em porcentagem.
saiba mais
126 EADPedagogia

Distribuição de frequência
por categorias (a)
Distribuição de
frequência por pontos (b)
Distribuição de frequência
por intervalos (c)
Mascote
em casa
Nº de
alunos
Nº de
filhos
Nº de
famílias
Altura
(em cm)
Nº de
alunos
Cachorro 3 0 40 125 – 129 2
Pássaro 2 1 100 130 – 134 3
Gato 2 2 60 135 – 139 11
Outro 3 3 40 140 – 144 8
Nenhum 15 4 10 145 - 149 1
Total 25 Total 250 Total 24
Fonte: dados hipotéticos Fonte: dados hipotéticos Fonte: dados hipotéticos
Figura 56 - Exemplo de tabelas de distribuição de frequência. Fonte: elaborado pelos autores.
ii) Outras tabelas estatísticas
Existemoutrastabelasestatísticas(Figura57),como,porexemplo,
as séries temporais, cronológicas ou históricas (a), geográficas, espaciais
ou territoriais (b) e séries específicas ou qualitativas (c). Observem que
os números são resultantes da contagem ou da soma de quantidades, em
valores absolutos ou em distribuição percentual.
Figura 57. Exemplo de tabelas estatísticas.
Nesta unidade, vamos trabalhar com as TDF, pois elas nos ajudam
a sistematizar os dados que coletamos com nossos alunos. Quando
Série temporal (a) Série geográfica (b) Série específica (c)
Ano
Nº de
alunos
Região
Água do
Brasil (%)
Cereal
(em grão)
Produção
(em mil t)
2005 950 Norte 70,0 Soja 51,2
2006 1000
Centro
Oeste
15,0 Milho 35,1
2007 1050 Sudeste 6,0 Arroz 13,2
2008 1100 Sul 6,0 Trigo 4,7
2009 1150 Nordeste 3,0 Feijão 3,0
2010 1200 Total 100,0 Total 107,2
Fonte: dados fictícios Fonte: http://www.cpt.org.br Fonte: IBGE / t: toneladas
3Unidade

usarmos a palavra tabela, estaremos fazendo como sinônimo
de tabela estatística.
5.3 Do caos à organização de dados
Uma vez que coletamos os dados, precisamos
sistematizá-los. Para isso, contamos com várias estratégias
que devem ser avaliadas para verificar qual delas se adéqua
à natureza dos dados e à faixa etária dos alunos. A seguir,
vamos apresentar três formas de sistematização e que
desenvolveremos, nas seções 5.5 (construção de tabelas)
e 5.7 (construção de gráficos): a primeira, a partir da
organização espacial e movimentação dos próprios alunos
(dotplot humano); a segunda, a partir da contagem direta dos
dados; a terceira, a contagem a partir da planilha construída
com base nos instrumentos de coleta de dados.
a) A organização espacial e movimentação dos
alunos
Este tipo de configuração só é possível para
dados coletados do próprio aluno, na sala de aula,
que, em geral, é menor do que 50 alunos. Isto se
deve ao fato de que trabalharemos com a escala
unitária. A ideia é focar a relação biunívoca entre
o dado do aluno e sua representação.
b) A partir da contagem direta
Podemos sistematizar os dados em uma tabela,
fazendo uma contagem direta. Suponhamos
que estamos investigando o time de futebol
favorito dos alunos de nossa classe. Neste caso,
podemos solicitar às crianças para levantar a mão
à medida que vamos enunciando o time favorito.
Apenas a título de ilus-
tração, observamos que,
quando escrevemos um
trabalho científico, deve-
mos respeitar as normas
estipuladas pela Associa-
ção Brasileira de Normas
Técnicas (ABNT) que nor-
matizam a apresentação
das tabelas. Por essas nor-
mas, a tabela só poderá ter
linhas no cabeçalho e no
fechamento. Já os quadros
podem utilizar livremente
linhas.
Em trabalhos científicos
distinguimos quadros de
tabelas. Em geral as tabe-
las são utilizadas para co-
municar dados estatísticos
e os quadros para orga-
nizar a informação, qua-
litativa e/ou quantitativa.
Lembrar que toda tabela é
um quadro, mas nem todo
quadro é uma tabela.
atenção
128 EADPedagogia

Por exemplo: “Levantem a mão todos os alunos cujo time
favorito é o Palmeiras”, fazemos a contagem e anotamos em
uma tabela, no quadro.
c) A partir da planilha de dados
Asplanilhasdedados,comovimosnaseção5.2,nosauxiliamna
organização dos dados brutos, a partir das variáveis observadas
em cada um dos sujeitos da pesquisa. Recomendamos seu uso
quando coletamos duas ou mais variáveis e quando precisamos
“cruzar” as variáveis, isto é, resumir uma variável em função
de outra, como veremos a seguir.
5.4 Construindo a planilha de dados
Devemos utilizar planilhas de dados quando levantamos duas ou
mais variáveis, pois o registro dos dados brutos nos garante a fidelidade
dos dados, sua organização em tabelas e gráficos, bem como a revisão dos
mesmos, caso haja alguma dúvida.
A planilha de dados deverá ser construída em um cartaz grande,
pode ser em papel madeira ou cartolina. Sua construção deve estar de
acordo com o instrumento de pesquisa. Vejamos com o exemplo da
pesquisa sobre o maior medo das crianças.
Neste exemplo, nossa planilha terá 34 linhas. A primeira para o
cabeçalho e uma linha para cada um dos 33 alunos. Essa planilha terá
quatro colunas, a primeira para o nome do aluno, a segunda para o gênero,
a terceira para a idade e a quarta para o tipo de medo. A Figura 58 mostra
a passagem da ficha da pesquisa para a planilha e o Quadro 4 apresenta a
planilha de dados totalmente preenchida.
Lembramos que, quando construímos a planilha de dados,
utilizamos códigos que nos ajudam a simplificar o trabalho. Por exemplo,
ao invés de escrever por extenso “Feminino”, escrevemos apenas a letra
“F” maiúscula e, “M” maiúscula para “Masculino”.
3Unidade

Figura 58 - Exemplo de ficha de coleta de dados e arcabouço da planilha de dados em branco e preenchida. Fonte:
elaborado pelos autores.
A partir dessa planilha com os dados primários ou brutos,
podemos iniciar o tratamento dos mesmos categorizando os tipos
de medo em classes. Neste exemplo, utilizamos duas classes: real e
imaginário. Podemos, ainda, criar subclasses. Para a classe real, podemos
ter: “real-pessoa”, “real-bicho” e “real-situação” e para imaginários é
possível ter: “imaginário-folclore” e “imaginário-personagem”. Assim,
os tipos de medo: ladrão, bandido e marginal são dados primários e foram
classificados como “real-pessoa”. Dessa forma, os tipos de medo são
dados primários, ou seja, dados brutos, enquanto a classe “real-pessoa” é
um dado secundário, deriva-se da junção de três tipos de medo.
Da mesma forma, a variável “número de letras do nome” é um
dado secundário, pois as crianças apenas escreveram seus nomes (dado
bruto) e, a partir do nome, contamos e registramos a quantidade de
letras do nome na coluna correspondente. Ressaltamos que os dados
são fictícios. Aproveitamos e colocamos os dado secundários na mesma
planilha, como pode ser observado no Quadro 4.
Ficha da pesquisa:
“Do que você tem mais medo?”
Nome do aluno: ______________________
Idade: __________ anos completos
Do que é que você tem mais medo? ______
Ficha da pesquisa:
“Do que você tem mais medo?”
Nome do aluno: Ana
Gênero: ( ) Masculino (X) Feminino
Idade: 8 anos completos
Do que é que você tem mais medo? Ladrão
Arcabouço da planilha de dados
Nome G I
Tipo de
medo
Ana
Artur
Bianca
Bruna
Beto
Planilha de dados preenchida
Nome G I
Tipo de
medo
Ana F 8 Ladrão
Artur
Bianca
Bruna
Beto
130 EADPedagogia

Quadro 4 - Planilha de dados da pesquisa: “do que você tem mais medo?”
Dados primários (brutos) Dados secundários
Nome G I Tipo de medo
Classe de
medo
Subclasse de medo
Nº de
letras
do
nome
Ana F 8 Ladrão Real Real Pessoa 3
Artur M 8 Rato Real Real Bicho 5
Bianca F 8 Altura Real Real Situação 6
Bruna F 9 Leão Real Real Bicho 5
Beto M 9
Mula sem
cabeça
Imaginário Imaginário Folclore 4
Breno M 8 Bandido Real Real Pessoa 5
Carla F 7
Mula sem
cabeça
Imaginário Imaginário Folclore 5
Camila F 8 Bicho papão Imaginário Imaginário Folclore 6
Daniel M 9 Tiranossauro Imaginário Imaginário Personagem 6
Denise F 9 Lugar alto Real Real Situação 6
Deise F 8 Escuro Real Real Situação 5
Emilio M 8 Escuro Real Real Situação 6
Fabio M 7 Cobra Real Real Bicho 5
Felipe M 9 Marginal Real Real Pessoa 6
Gilda F 8 Rato Real Real Bicho 5
Gabriela F 8 Coringa Imaginário Imaginário Personagem 8
Irene F 8 Altura Real Real Situação 5
José M 9
Homem
mascarado
Real Real Pessoa 4
Juliana F 9 Palhaço Real Real Pessoa 7
Luiz M 8 Dinossauro Imaginário Imaginário Personagem 4
Luciana F 7 Bandido Real Real Pessoa 7
Mariana F 8 Bruxa Imaginário Imaginário Personagem 7
Marcelo M 8 Saci Imaginário Imaginário Folclore 7
Milton M 8 Bicho papão Imaginário Imaginário Folclore 6
Paulo M 8 Tubarão Real Real Bicho 5
Pâmela F 9 Fantasma Imaginário Imaginário Personagem 6
Pedro M 7 Feiticeira Imaginário Imaginário Personagem 5
Rui M 7 Barata Real Real Bicho 3
Renata F 8 Rato Real Real Bicho 6
Sandra F 8 Tiranossauro Imaginário Imaginário Personagem 6
Saulo M 8 Ladrão Real Real Pessoa 5
Vera F 8 Cachorro Real Real Bicho 4
Vanessa F 9 Fantasma Imaginário Imaginário Personagem 7
Fonte: Dados fictícios de uma turma do 3º ano.
3Unidade

Observe que nem todo mundo pode concordar com
que Tiranossauro ou Dinossauro sejam categorizados como
“imaginário personagem”, talvez alguém queira sugerir a
criação de uma nova categoria “imaginário bicho”. Já com
a resposta “fantasma”, não sabemos se a criança se referiu
ao personagem fantasma do filme ou ao fantasma de
assombração, neste caso, seria mais adequado classificá-lo
em “imaginário folclore”.
5.5 Construindo a Tabela de Distribuição de
Frequências (TDF) simples
a) Construindo TDF a partir da contagem direta
Como já mencionamos, esta estratégia é simples
e recomendamos utilizá-la quando estamos
interessados em analisar variáveis de forma isolada,
sem cruzá-las com outras variáveis. Basta solicitar
às crianças para levantar a mão à medida que vamos
enunciando a categoria (time favorito, Figura 59)
ou o número (número de irmãos, Figura 60). Por
exemplo: “Levantem a mão todos os alunos que não
têm irmãos”, fazemos a contagem e registramos no
quadro negro ou no cartaz.
Professor, reforce a ob-
servação da natureza das
variáveis. A idade é uma
variável quantitativa, já o
gênero e os tipos de medo
são variáveis qualitativas
nominais; bem como, o
que é um dado primário
(bruto) e o que é um dado
secundário.
atenção
sugestão
Se sua escola tem labora-
tório de Informática, apro-
veite esta oportunidade
para utilizar uma planilha
eletrônica, como o CALC
do Open Office, a planilha
compartilhada como a do
Google, ou do AVALE.
para conhecer
O Ambiente Virtual de
Apoio ao Letramento Es-
tatístico – AVALE (http://
www.iat.educacao.ba.gov.br/
avaleeb) pode ser utilizado,
de forma gratuita e on-
line, para tratar dados de
pesquisa.
Time de futebol
favorito
Nº de
alunos
Palmeiras 6
Flamengo 10
Cruzeiro 5
Vasco 4
Total 25
Figura 59 - A TDF a partir da contagem
direta de uma variável qualitativa.
Número de
irmãos
Nº de
alunos
0 4
1 10
2 5
3 4
4 0
5 2
Total 25
Figura 60 - TDF construída a partir da
contagem direta de uma variável discreta.
132 EADPedagogia

Contudo, nesse tipo de sistematização, podemos esquecer de
contar um aluno ou algum aluno distraído pode levantar a mão
duas vezes. Nesse caso, a quantidade de alunos da sala não será
igual à soma das frequências representadas na tabela. Perderemos,
assim, o controle da sistematização.
Para evitar essa confusão, podemos pegar a lista de chamada,
chamar aluno por aluno e solicitar que cada um diga o seu time
favorito ou número de irmãos e, a cada indicação, vamos fazendo
um risco na tabela. Ao final, realizamos a contagem e estamos
prontos para gerar a TDF, como mostramos na Figura 61.
Time de futebol favorito Contagem Time de futebol favorito Nº de alunos
Palmeiras ||||| | Palmeiras 6
Flamengo ||||| ||||| Flamengo 10
Cruzeiro ||||| Cruzeiro 5
Vasco |||| Vasco 4
Total Total 25
Figura 61 - Forma de registro utilizando a lista de chamada e gerando a TDF.
b) Construindo TDF a partir da planilha de dados
Para construir a TDF, a partir da planilha de dados, basta contar o
número de vezes que se repete uma categoria (variável qualitativa)
ou o valor da variável em estudo (discreta).
Na Figura 62, apresentamos as fases da construção da TDF
para a variável qualitativa “gênero”. Este tipo de tabela contém
a frequência absoluta com que aparece cada categoria e sua
frequência relativa (expressa em porcentagem).
Gênero Contagem Gênero
Nº de
alunos
%
Feminino
||||| |||||
||||| |||
Feminino 18 54,5
Masculino
||||| |||||
|||||
Masculino 15 45,5
Total Total 33 100,0
Figura 62 - Fases da construção da TDF. Fonte: elaborado pelos autores.
Nome Gênero
Ana F
Artur M
Bianca F
Bruna F
Beto M
...
3Unidade

Note que 18 do total de 33 alunos são meninas, portanto, teríamos uma fração de 18/33
do total de alunos. Precisamos, transformar para uma fração de base 100. A pergunta
seria então: se o total fosse 100 crianças, quantas seriam meninas? Logo, estamos
diante de um problema multiplicativo de proporcionalidade simples.
Meninas Alunos Meninas Alunos
?
18
100
33
?
18
100
33
São várias as formas de calcular o valor desejado. Uma delas é calcular a fração 18/33
da quantidade 100. Portanto, basta calcular 18/33 x 100 = 54,5. Então teríamos que
54,5% dos alunos são meninas. Outra maneira é calcular a razão entre 33 e 100. Essa
razão deve ser a mesma entre 18 meninas e a quantidade de meninas procurada. Por-
tanto: ?/18 = 100/33, nesse caso também temos que: ? = 18 x 100 ÷ 33 = 54,5.
Professor, é importante salientar que você precisa estar atento para verificar se seus
alunos já são capazes de trabalhar com porcentagem.
Buscando compreender uma TDF, você, professor, pode
perguntar para a classe: o que significa o número 18 na coluna “número
de alunos”? Tal pergunta permite que o aluno estabeleça a relação entre
a coluna do número de alunos (frequência absoluta) com a categoria da
variável “gênero”. Assim, o número 18 significa que 18 alunos são do
gênero feminino. Podemos dizer, ainda, que 54,5% dos alunos são do
gênero feminino. Na Tabela 2, apresentamos a distribuição do medo por
subclasses e na Tabela 2 por classes de medo.
Neste módulo, optamos por apresentar as tabelas no formato
final, de uma tabela estatística, seguindo as recomendações da ABNT.
Nos outros casos, as colocamos como figuras ou quadros.
Como se obtem a porcentagem?
Subclasse de medo
Nº de
alunos
%
Imaginário folclore 5 15,2
Imaginário
personagem
8 24,2
Real bicho 8 24,2
Real pessoa 7 21,2
Real situação 5 15,2
Total 33 100,0
Classe de
medo
Nº de
alunos
%
Imaginário 13 39,4
Real 20 60,6
Total 33 100,0
Tabela 1
Distribuição das subclasses medo dos alunos
Tabela 2
Distribuição das classes de medo dos alunos
134 EADPedagogia

Acreditamos que para trabalhar neste nível escolar não podemos
ser rigorosos com a construção das tabelas, até porque as grades (linhas
internas) nas tabelas ajudam na leitura e no acompanhamento da leitura
de dados, tanto por linha, quanto por coluna.
5.6 Construindo tabelas de dupla entrada
Apresentamos a seguir as fases da construção de uma tabela de
dupla entrada, a qual relaciona a variável gênero com a variável classe de
medo (Figura 63) e, na Tabela 3, apresentamos a variável classe de medo
por gênero.
Figura 63 - Fases da construção de uma tabela de dupla entrada.
Tabela 3 - Distribuição das classes de medos segundo o gênero
Observe que aqui estamos interessados em saber se as meninas
têm medos diferentes dos meninos e, para isso, só podemos realizar uma
comparação a partir do percentual, uma vez que temos mais meninas do
que meninos. A Tabela 3 mostra que a maioria dos meninos e das meninas
Contagem para uma tabela dupla
Medo Feminino Masculino
Imaginário ||||| || ||||| |
Real |||| ||||| | ||||| ||||
Total
||||| |||||
||||| |||
||||| |||||
|||||
Nome G I
Tipo de
medo
Classe de
medo
Ana F 8 Ladrão Real
Artur M 8 Rato Real
Bianca F 8 Altura Real
Bruna F 9 Leão Real
Beto M 9
Mula sem
cabeça
Imaginário
Breno M 8 Bandido Real
Classe de
medos
Feminino Masculino Total
Nº % Nº % Nº %
Imaginário 7 38,9 6 40,0 13 39,4
Real 11 61,1 9 60,0 20 60,6
Total 18 100,0 15 100,0 33 100,0
3Unidade

tem mais medo de coisas reais, do que imaginárias. A tabela também
mostra que a diferença entre as classes de medos de meninas e meninos
é tão pequena (1,1%), que nos permite dizer que não há diferença. Isto
ficará mais evidente com o gráfico de barras duplas.
Como vimos até agora, uma análise realizada através da tabela
exige uma habilidade de leitura deste tipo de representação a qual nem
sempre é tão simples e intuitiva para a criança. Assim, é preciso um
trabalho sistematizado em sala de aula.
Além das tabelas, a Estatística disponibiliza diferentes formas
gráficas para representar as mesmas informações a qual é visualmente
mais fácil de ser compreendida.
5.7 Construindo gráficos
Os gráficos são representações poderosas, pois em um golpe de
vista podem propiciar a compreensão dos padrões subjacente aos dados.
Recomendamos que os alunos sejam solicitados a construir gráficos com
lápis e papel quadriculado ou milimetrado para que os mesmos possam se
apropriar melhor dos conceitos e representações envolvidos.
Se a escola tiver laboratório de informática, recomendamos utilizar
planilhas eletrônicas e o AVALE para construir as tabelas e os gráficos.
Estes recursos tecnológicos ajudam a aula ser mais lúdica e potencializa
a aprendizagem dos alunos.
a) Construindo o pictograma
Quando trabalhamos com variáveis qualitativas, podemos utilizar
o próprio corpo da criança para fazer a primeira representação dos dados,
depois podemos utilizar material concreto que represente o dado da
criança e, finalmente, chegamos aos pictogramas, onde utilizamos ícones
para representar os dados e, de forma mais geral, podemos utilizar o
gráfico de barras ou de setores, onde os dados se misturam desaparecendo
a relação biunívoca entre o dado e sua representação. Vejamos isso com
exemplos.
Para representar a variável “Time de futebol favorito”, solicitamos
136 EADPedagogia

aos alunos que formem filas de acordo com o time de sua preferência,
como podemos observar no esquema da Figura 64.
Time de
futebol
favorito
Formação de filas de crianças
Nº de
alunos
Palmeiras 6
Flamengo 10
Cruzeiro 5
Vasco 4
Total 25
Figura 64. Representação com o corpo do time de futebol favorito. Fonte: elaborado pelos autores.
Também podemos utilizar materiais concretos para representar o
dado da criança. Por exemplo, podemos solicitar que cada criança pegue
uma caixa de fósforo, escreva seu nome nela e a coloque na pilha de seu
time. Este recurso foi utilizado por Buehring (2006) para representar a
distribuição por gênero dos seus alunos, Figuras 65 e 66.
Figura 66 - As caixinhas foram coladas desta maneira.Figura 65 - Os alunos organizaram e contaram as caixinhas.
3Unidade

Também podemos utilizar ícones, escudos ou
camisetas dos times, confeccionados com cartolina,
emborrachadosoucomadesivos,detamanhospadronizados.
Na Figura 67, apresentamos um pictograma, construído
no quadro, utilizando camisetas dos times, confeccionadas
com emborrachado, medindo 5 cm x 5 cm.
Neste caso, cada aluno pega a camiseta de seu time,
colando-a no quadro ou na cartolina. Nesse movimento, o
aluno percebe que aquela camiseta representa sua opinião e
isso é possível porque a construção é coletiva.
Quando os alunos constroem os pictogramas no
papel, em geral, se perde o movimento que faz com que
o aluno perceba a relação biunívoca entre o dado e sua
representação.
Observe que essa correspondência biunívoca entre
aluno e a caixa de fósforo, ou com o material emborrachado
ou com o desenho no papel é permitida pelo movimento do
aluno “vivenciar” a representação.
Como veremos mais adiante, quando tratamos os
dados diretamente da planilha esse movimento se perde e
é mais difícil a criança perceber como os dados gerados por
ela geram as tabelas e os gráficos.
b) Construindo o dotplot
O diagrama de pontos ou “dotplot” é um gráfico
estatístico, resultado de utilizarmos um ponto na escala
numérica para representar um dado. Portanto, é adequado
apenas para variáveis quantitativas.
Aparentemente, este gráfico é complexo, mas não
se iniciarmos seu ensino utilizando a distribuição espacial
da variável, utilizando o corpo do próprio aluno, que Silva,
Magina e Silva (2010) denominam de “dotplot humano”.
Recomendamos o uso do “dotplot humano” para
variáveis discretas que tomam poucos valores (número do
calçado, número de irmãos etc.) ou contínuas, como por
Pictograma
é uma representação grá-
fica em que utiliza ícones
para representar os da-
dos.
Figura 67 - Pictograma construído
com material emborrachado para
o time favorito no quadro. Fonte:
Figura 12 de Cazorla e Santana
(2010), p. 30.
138 EADPedagogia

exemplo a altura, pois são variáveis visíveis e fáceis de trabalhar. Outras
variáveis podem atrapalhar ao invés de ajudar. Também, deve-se observar
a quantidade de dados (essa não pode ser muito grande, no máximo 50),
adequada para trabalhar com os alunos da sala.
Na Figura 68, mostramos uma fotografia com a configuração
do dotplot humano para a altura (esquerda) e do número de calçado de
alunos (direita) de duas escolas públicas da Bahia. Para isso, basta solicitar
aos alunos que formem fila segundo a altura ou segundo o número do
calçado. Observe que as meninas estão à esquerda, nos números menores
e os meninos, à direita, nos números maiores. Na Figura 69, mostramos
o dotplot no papel e na parte inferior o gráfico de barras, construídos com
uma planilha eletrônica. Professor, observe como no gráfico de barras se
perdeu a relação biunívoca entre o dado e sua representação.
Figura 68 – Dotplot humano da altura (esquerda) e do número do calçado (direita).
Fonte: Figura 2 e Figura 3 de Cazorla e Kataoka (2011), p. 43.
Figura 69 - Dotplot no papel e gráfico de barras do número do calçado. Fonte: elaborado pelos autores.
3Unidade

c) Construindo o gráfico de barras / colunas
O gráfico de barras é apropriado para representar as variáveis
qualitativas.Assimparacadacategoriaélevantadaumabarravertical(coluna)
ou barra horizontal. No gráfico de barras construído no papel quadriculado,
cada quadradinho equivale a um sujeito ou ícone do pictograma.
Essa relação um quadrado para cada dado (aluno) precisa ser bem
compreendida pelos alunos. Veja na Figura 70 o que um menino de 9 anos,
que cursava o 4º ano, fez para representar 28 pastores alemães e 22 dálmatas.
No gráfico de barras, a altura da barra indica o número de alunos.
Neste caso, para saber a frequência devemos contar quantos quadradinhos
tem cada barra, o que é fácil se tivermos uma malha por trás do gráfico (a),
ou se tivermos o número (rótulo) em cima da barra (b). A rigor, o gráfico
de barras é formado por barras contínuas (Figura 71).
Figura 71 - Exemplo de construção de gráfico de barras com escala unitária. Fonte: elaborado pelos autores.
Observamos que o menino estabe-
leceu a relação um quadrado para
cada unidade, mas achou que se
os quadrados estivessem pintados,
estava construindo um gráfico de
barras, independente de se consti-
tuírem como uma coluna.
Figura 70 - Tentativa de representação em
gráfico de barras. Fonte: Guimarães (2002).
a) Na malha quadriculada: Time de futebol
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Palmeiras Flamengo Cruzeiro Vasco
b) Numa planilha eletrônica: Time de futebol
10
10
9
8
7 6
6 5
5 4
4
3
2
1
Palmeiras Flamengo Cruzeiro Vasco
140 EADPedagogia

Na construção do gráfico no papel e lápis, lembramos ao professor
a necessidade das barras terem a mesma largura, o mesmo vale para o
espaçamento entre as barras. Por outro lado, as barras não podem ser
coladas umas às outras. Neste caso, o gráfico deixaria de ser gráfico de
barras e passaria a ser um histograma, próprio de variáveis contínuas ou
discretas que tomam muitos valores.
Assim como na tabela, aqui também é possível trabalhar com a
porcentagem. Nesse caso, estaríamos saindo da escala unitária para uma
escala proporcional, que precisará ser calibrada; sendo que, para isso, o aluno
precisaria conhecer proporcionalidade (por exemplo, um quadradinho
poderia representar 5 unidades, 10 unidades, ou qualquer outro número).
Todavia, precisamos ter muita atenção com esse ponto. Muitas
vezes os gráficos que nos são mostrados apresentam distorções. Cavalcanti,
Natrielli e Guimarães (2010) descobriram que 39% dos gráficos na mídia
impressa, por elas analisados, apresentavam erros de proporcionalidade na
escala. Assim, é fundamental que os alunos compreendam uma escala para
serem leitores críticos das informações, como é o desejado.
Observe que esse trabalho não é trivial, pois exige o domínio de
proporcionalidade. Neste caso, avalie a possibilidade de seus alunos
compreenderem essa discussão. Por outro lado, o trabalho com a
proporcionalidade é fundamental desde os primeiros anos. A literatura
infantil apresenta algumas histórias que podem ser utilizadas para deflagrar
a discussão como a história dos ursos e a menina de cachinhos de ouro.
Neste ponto, é importante mostrar a relação entre os valores da
variável e sua frequência. Via de regra, os valores da variável vão no eixo
horizontal (abscissa) e sua frequência (número de alunos) no eixo vertical
(ordenada). Porém podemos apresentar os dados em um gráfico de barras
horizontal. Para isso basta trocar os eixos (Figura 72).
Figura 72 - Exemplo de gráfico de barras horizontal com escala proporcional
3Unidade

A rigor o gráfico de barras de uma variável deve utilizar
apenas uma cor, não deveríamos utilizar duas cores ou mais.
Contudo, se representarmos esses dados em um gráfico
circular, cada setor teria cores diferentes para distingui-las.
Portanto, poderíamos seguir este raciocínio e colorir as barras.
Porém, devemos ter cuidado, pois o gráfico circular,
como veremos, mais adiante, é recomendado para representar
situações parte-todo, o que dá sentido colorir cada setor ou
cada barra.
Isso não será mais válido quando construímos um
gráfico de barras para uma série temporal, por exemplo, o
IDEB dos estados do Nordeste; ou quando comparamos duas
variáveis, como veremos a seguir.
a) Construindo o gráfico de barras duplas
A Tabela 3 mostra que a maioria dos meninos e das
meninas tem mais medo de coisas reais, do que imaginárias.
A tabela também mostra que a diferença entre os medos de
meninas e meninos é pequena (menos de 2%), o que nos
permite afirmar que não há diferença. Observe como isto fica
mais evidente com o gráfico de barras duplas, como podemos
ver na Figura 73.
Professor, observe que
quando os tamanhos
dos grupos forem mui-
to diferentes, o valor
absoluto pode nos in-
duzir ao erro. Por essa
razão, nesses casos,
aconselhamos traba-
lhar com a estrutura
percentual que elimina
esse problema.
atenção
Figura 73 - Exemplo de gráfico
de barras duplas. Fonte:
elaborado pelos autores.
142 EADPedagogia

b) Construindo o gráfico de setores
Esse tipo de gráfico é utilizado para representar variáveis
qualitativas, quando estamos interessados em observar a relação parte-
todo, em especial, as variáveis nominais; pois no caso das variáveis
ordinais, pode ser que exista algum padrão relacionado a ordem das
classes e, nesses casos, é melhor o gráficos de barras.
A interpretação desse tipo de gráfico pode ser trabalhada com
crianças pequenas, entretanto sua construção não é muito simples. Para
construirmos um gráfico de setor é preciso compreender a relação parte-
todo expressa nas frações, a divisão dos ângulos de uma circunferência e
a proporcionalidade entre frequência e ângulo das partes (categorias) em
relação ao todo.
Por outro lado, temos outras opções para abordarmos essa
representação. A primeira opção é iniciar um trabalho com frequência ou
percentuais mais facilmente desenhados como ½ e ¼ (Figura 74). Assim,
metade equivale a 50% do círculo, um quarto a 25% e assim por diante.
Figura 74 - Exemplo de equivalência entre frações, porcentagem e setores do círculo. Fonte: elaborado pelos autores.
A segunda opção é disponibilizar uma malha circular, como mostra
a Figura 75, onde cada setor (fatia) corresponde a 5%. Outra opção é
construirmos o gráfico em uma planilha eletrônica como o do Excel da
Microsoft ou do CALC do Open Office, que é gratuito. Essas planilhas
realizam todos os cálculos e calibram as escalas automaticamente, como
mostra a Figura 76.
Categoria
Nº de
alunos
Frações %
Não 5 1/8 12,5
Pouco 5 1/8 12,5
Regular 10 1/4 25,0
Muito 20 1/2 50,0
Total 40 1 100,0
muito
50,0%
não
12,5%
não
12,5%
regular
25,5%
3Unidade

c) Construindo o gráfico de linhas
O gráfico de linhas normalmente é utilizado quando queremos
mostrar uma tendência nos nossos dados. Se quisermos, por exemplo,
o ritmo de crescimento das crianças, podemos pedir que tragam seu
“Cartão de Vacina”. Nesse cartão, além do controle das vacinas, existem
dois gráficos de linhas. Um para acompanhar o peso (massa) e o outro a
altura.
Os livros didáticos, os jornais e revistas têm muitos exemplos.
Peça às crianças para trazerem recortes de jornais e revistas com diversos
tipos de gráficos e aproveite para mostrar a elas a variedade de gráficos
que permeia os noticiários.
Flamengo
40,0%
Vasco
12,5%
Cruzeiro
12,5%
Palmeiras
25,5%
Figura 75 - Malha circular Figura 76 - Gráfico construído no Excel.
144 EADPedagogia

ATIVIDADES
Só se aprende Estatística fazendo Estatística. Por essa razão
sugerimos que a cada aula se aplique o conhecimento aprendido com o
banco de dados da pesquisa da altura das crianças.
Nesse caso, havia sido questionado se os meninos são mais altos
do que as meninas, e levantou-se a hipótese que sim, pois em geral os
homens são mais altos que as mulheres. Como nessa faixa etária a altura
das crianças depende fortemente da idade e do gênero, estas serão as
variáveis a ser coletadas, conforme Ficha da Figura 77.
Ficha de pesquisa: “Os meninos são
mais altos do que as meninas?”
Ficha de pesquisa: “Os meninos são
mais altos do que as meninas?”
Nome do aluno: ________________
Turma: ______ Ano: ___________
Gênero: ( ) M ( ) F
Idade: _______________________
Altura: _______________________
Nome do aluno: Alberto
Turma: A Ano: 1º
Gênero: ( X ) M ( ) F
Idade: 5 anos e 7 meses
Altura: 1,10 m
Figura 77 - Exemplo de ficha de coleta de dados em branco e preenchida.
Observar que os dados foram coletados em anos e meses e se
quisermos trabalhar essa variável, vamos ter que transformar esses dados,
ou para anos completos, ou transformar para a base 10. Lembrar que a idade
está em base 12, logo 8 anos e 6 meses, é igual a 8,5 no sistema decimal.
Assim, aproveite este tema para trabalhar a equivalência dos meses do ano
com o sistema de numeração decimal. Chamar a atenção dos alunos que 3
meses equivale a um quarto do ano (¼), 6 meses a metade do ano (½) etc.
Quadro 5 - Planilha de dados da pesquisa sobre a altura dos alunos
Dados originais Idade
em anos
completosNome Turma Gênero Idade
Altura
(m)
Alberto 1º ano A M 5 anos e 7 meses 1,10 5
João 1º ano A M 6 anos 1,00 6
Tereza 1º ano A F 5 anos e 10 meses 1,15 5
ATIVIDADES
3Unidade

Pedro 1º ano B M 6 anos e 1 mês 1,04 6
Ana 1º ano B F 5 anos e 2 meses 1,20 5
Telma 1º ano B F 6 anos e 5 meses 1,08 6
Valter 2º ano A M 6 anos 1,01 6
Marcos 2º ano A M 7 anos e 3 meses 1,10 7
Telma 2º ano A F 8 anos 1,20 8
Geisa 2º ano B F 6 anos e 11 meses 1,08 6
Gertrudes 2º ano B F 7 anos e 5 meses 1,35 7
Maurício 2º ano B M 8 anos e 6 meses 1,30 8
Manoel 3º ano A M 8 anos 1,10 8
José 3º ano A M 8 anos e 10 meses 1,20 8
Maria 3º ano A F 8 anos e 5 meses 1,30 8
Marta 3º ano B F 7 anos e 5 meses 1,10 7
Maria de Fátima 3º ano B F 7 anos e 10 meses 1,20 7
Miguel 3º ano B M 8 anos e 2 meses 1,13 8
Aída 4º ano A F 8 anos e 11 meses 1,36 8
Michelle 4º ano A F 9 anos e 10 meses 1,40 9
Severina 4º ano A F 10 anos 1,45 10
Severo 4º ano B M 10 anos e 2 meses 1,35 10
Michael 4º ano B M 9 anos e 2 meses 1,35 9
Arquimedes 4º ano B M 9 anos e 4 meses 1,43 9
João 5º ano A M 10 anos 1,15 10
Josué 5º ano A M 10 anos e 3 meses 1,34 10
Maria 5º ano A F 10 anos e 7 meses 1,46 10
Miriam 5º ano B F 11 anos 1,35 11
Tereza 5º ano B F 10 anos e 9 meses 1,48 10
Norberto 5º ano B M 11 anos e 3 meses 1,52 11
Soma 37,28
Fonte: dados fictícios.
Tomando com referência a planilha de dados:
a) Construa a TDF para as variáveis gênero e idade (anos completos).
b) Construa a tabela de dupla entrada do ano escolar (linha) e idade
em anos completos (coluna).
c) Construa a tabela de dupla entrada do gênero (linha) e idade em
anos completos (coluna).
d) Construa um gráfico de barras para a altura por idade.
e) Construa um gráfico de barras duplas para a altura por idade e
gênero.
f) Interprete os resultados. Há evidências de que os meninos são
mais altos do que as meninas?
146 EADPedagogia

RESUMINDO
Caroprofessor,comovocêdeveterpercebido,aEstatísticapermeia
o nosso mundo, logo precisamos aprender seus conceitos básicos, pois
eles são extremamente úteis no nosso cotidiano. Não apenas para ler e
compreender as notícias veiculadas pelos meios de comunicação e tomar
decisões conscientes; mas para analisar nossas hipóteses, conjeturar a
partir das evidências de dados.
Para isso é preciso escolher um tema de pesquisa de interesse dos
alunos, algo que seja fácil de levantar os dados e trabalhar ao longo das
aulas. Lembre-se da importância de se ter questões de investigação e que
as mesmas deverão ser respondidas ao final do tratamento dos dados.
Umavezescolhidootema,discutacomseusestudantesasvariáveis
a serem levantadas, como elas se relacionam e como elas respondem as
perguntas da investigação. Não levante dados desnecessários, a menos
que queira aproveitar a oportunidade, mas deixe isso muito claro.
A seguir construa o instrumento de coleta de dados, discutindo a
natureza das variáveis, sua operacionalização e tratamento. Esta fase de
planejamento é crucial para o entendimento global da pesquisa. Colete
os dados.
Antes de iniciar o tratamento dos dados, analise qual é a melhor
maneira de apresentar os dados: tabelas, gráficos ou medidas resumidas
(que serão apresentadas na próxima unidade). Como um exercício de
aprimoramento e fixação, podemos calcular e construir tudo, mas para
fazer o relatório escolhemos as estatísticas que melhor respondem as
perguntas de pesquisa.
Na próxima unidade, vamos apresentar as estatísticas (medidas
resumo) que completam a análise de dados nesta etapa escolar; um
exemplo de como podemos apresentar os resultados em um relatório e
as referências, pois estas duas unidades tratam de Estatística.
RESUMINDO
3Unidade

TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO -
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
OBJETIVOS
yy calcular as medidas de tendência central: média,
mediana e moda;
yy interpretar o fenômeno em estudo a partir da leitura de
tabelas, gráficos e medidas de tendência central.
4ªunidade

1 VIVEMOS NUM MUNDO PERMEADO DE ESTATÍSTICAS
Quem não conhece a média aritmética, ou simplesmente média? A
maioria das pessoas lida com este conceito de forma bastante familiar e
intuitiva, mesmo aquelas que nunca tiveram acesso à escola. As pessoas
estão acostumadas a estimar o tempo médio que demoram para chegar ao
trabalho, que ficam na fila de banco, dentre outras estimativas.
Esseprocessofazpartedocotidianoeestátãoarraigadoque,àsvezes,
as pessoas nem percebem o grau apurado de suas estimativas. Para chegar
a essas estimativas, ninguém anotou sistematicamente o tempo gasto em
cada viagem, somou e dividiu pelo número de viagens; aliás, muitas dessas
pessoas nem conhecem o algoritmo da média, mas continuam a utilizar seu
conhecimento intuitivo no planejamento de suas atividades rotineiras.
Na escola, a média faz parte da vida escolar dos alunos. A maioria vive
calculando-a para analisar as chances de passar direto, de ir para recuperação
ou de reprovar de ano. Os aflitos ficam contando quantos pontos faltam
para aprovar, ou seja, sabem que a média é a relação entre o todo (soma de
pontos nas provas/unidades) e o número de provas/unidades constantes da
avaliação.
Além desse conhecimento intuitivo, a média também faz parte do
cotidiano dos cidadãos, pois, cada vez mais, a mídia a utiliza junto com
outras informações estatísticas. É comum ler nos jornais ou ouvir nas
reportagens frases do tipo: “a renda per capita do Nordeste é inferior à
do Sudeste”, “a expectativa de vida da mulher é maior que a do homem”,
ou informações referentes à chuva média mensal, à escolaridade média, ao
número médio de filhos por casal etc.
Assim, constatamos que a média é amplamente conhecida, mesmo
que de forma intuitiva, e que esse bom conhecimento pode levar a ideia de
que essa medida é a única ou é a melhor.
Nesta unidade apresentaremos outras medidas, igualmente
importantes, principalmente, quando a natureza da variável traz consigo
diferenças entre grupos, como, por exemplo, a distribuição de renda no
nosso país. Intuitivamente sabemos que a maioria da população tem uma
Tratamento da Informação - medidas estatísticas
4Unidade

renda em torno de um a cinco salários mínimos e que poucas pessoas têm
renda muito alta. Neste caso a renda média sofrerá o impacto das rendas altas
e concluiremos que a renda per capita (por pessoa) é muito boa, quando na
realidade não é.
Assim, precisamos conhecer outras medidas, como a Mediana e a
Moda que podem representar de forma mais fidedigna o conjunto de dados.
2 CALCULANDO AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Assim como organizamos as variáveis em tabelas e gráficos, também
podemos sintetizar os dados em um único valor.
As medidas resumo, medidas estatísticas ou, simplesmente,
estatísticas, são medidas que resumem uma massa de dados em um único
dado. As tabelas e os gráficos resumem os dados; porém, às vezes, é preciso
ter um ou apenas dois dados que representem uma massa de dados, que nos
permita comparar grupos.
Por exemplo, a renda per capita é um único número que resume como
um país é desenvolvido ou não. Esse valor é calculado a partir da riqueza
gerada por todas as pessoas daquele país e dividido de forma “igualitária”
entre essas pessoas. Esse único número nos permite comparar quão rico ou
pobre é um país.
É claro que esse único número é incompleto e pode não representar
o grau de desenvolvimento desse país, mas o poder de resumir é necessário,
pois é a forma como podemos compreender os fenômenos.
Neste nível escolar, trabalhamos as medidas de tendência central,
sendo as mais conhecidas a moda, a média, a mediana. Essas medidas são
chamadas assim, pois indicam em que lugar a massa de dados tende a se
concentrar.
2.1 Calculando (encontrando) a moda
A moda é a medida mais intuitiva de todas as medidas de tendência
central, pois se refere à categoria da variável qualitativa ou ao valor da variável
152 EADPedagogia

quantitativa que se repete com maior frequência.
No caso do exemplo do medo, a moda é a classe de medo real, pois 20
alunos têm medo de coisas reais. Já, se quisermos saber qual é a idade mais
frequente, basta organizarmos os dados em uma TDF e depois examinar a
idade que se repete mais vezes. Neste caso a idade mais frequente foi 8 anos.
A moda também é o ponto máximo de um gráfico de barras, de uma
variável qualitativa ou discreta que toma poucos valores, resultantes de uma
TDF, como por exemplo, a mascote que as crianças têm em casa ou o número
de filhos por família (Figura 78).
Figura 78 - Extraindo a moda de um gráfico de barras. Fonte: elaborado pelos autores.
Assim, lendo o gráfico, podemos concluir em relação às mascotes que
o que está na moda é não ter nenhuma mascote. Já, em relação ao número de
filhos, o que está na moda para essas famílias é ter um único filho.
Aqui devemos alertar os alunos que não podemos generalizar de
que o ponto máximo de um gráfico representa a moda. Por exemplo, nos
gráficos de barras que representam uma série temporal (que estão em função
do tempo), o ponto máximo do gráfico raramente poderá ser a moda. Na
Figura 79, apresentamos a evolução do consumo anual de açúcar per capita
(por pessoa), no Brasil. O ponto máximo é atingido em 1990, mas 1990 não
é a moda, nem é a variável em estudo. Alias, podemos observar que a moda
neste exemplo não existe, pois nenhum valor de consumo per capita se repete
ao longo do tempo.
4Unidade

Figura 79 - Consumo anual per capita de açúcar no Brasil. * valor interpolado.
Fonte: Elaborado pelos autores a partir dos dados da Embrapa (http://www.agencia.cnptia.embrapa.br/gestor/cana-de-
acucar/arvore/CONTAG01_109_22122006154841.html)
2.2 Calculando a média aritmética
Como já mencionamos, aparentemente, as pessoas têm um bom
conhecimento desse conceito. Contudo, o que observamos é que esse
conhecimento refere-se, em geral, ao domínio do algoritmo: “soma dos
valores da variável dividida pelo número de dados envolvidos na soma”:
Média = Soma dos valores da variável = Soma
Número de elementos que compõem a soma n
Onde “n” é o número de elementos
Podemos observar que a média é a razão entre duas variáveis.
No numerador, temos a soma dos valores da variável em estudo e, no
denominador, o número de elementos que compõem essa soma.
Também podemos pensar a média desta forma: a reunião de todos
os valores em um único valor (somatório) e depois a distribuição em
partes iguais, dentre os elementos que compõem esse todo. Portanto, a
compreensão da média implica na compreensão da divisão, dos números
decimais e das propriedades da média.
Vejamos alguns exemplos. Suponha que as notas em Matemática
154 EADPedagogia

de Ana foram: 8 no primeiro bimestre; 6 no segundo; 7 no terceiro e 7
no quarto. Para calcular a nota média, primeiro temos que saber qual foi
o total de pontos obtidos nos quatro semestres, para isso basta somar as
quatro notas, o que resulta em 28 pontos (8 + 6 + 7 + 7) e, depois dividir
por quatro, resultando em 7 (28/4 = 7):
Nota média = Soma de pontos = 8 + 6 + 7 + 7 = 28 = 7 pontos por bimestre
Nº de bimestres 4 4
Assim, a nota média de Ana ao longo do ano escolar foi de 7 pontos
por bimestre. Mas o que teria acontecido se, ao invés de 8, tivesse obtido 6
no primeiro bimestre. Nesse caso, o total de pontos seria de 26 (6 + 6 + 7
+ 7), que dividido por 4 resulta 6,5 (26/4 = 6,5) ou seis e meio.
Nota média = Soma de pontos = 6 + 6 + 7 + 7 = 26 = 6,5 pontos por bimestre
Nº de bimestres 4 4
Neste caso, as crianças precisam conhecer os números decimais.
Voltaremos a este ponto logo mais. Se, ao invés de nota, esses números se
referissem à idade de 4 crianças; então, no numerador, teríamos a soma das
idades das quatro crianças e, no denominador, o número de crianças:
Idade média = Soma das idades = 6 + 6 + 7 + 7 = 26 = 6,5 anos por criança
Nº de crianças 4 4
Logo, a média das idades das quatro crianças seria seis anos e meio.
Nestes dois exemplos, não há problema do resultado ser um número
decimal, pois esses valores existem por se tratar de variáveis contínuas
(podem tomar qualquer valor).
Vejamos um exemplo envolvendo dinheiro. Suponhamos que temos
quatro alunos, com a seguinte distribuição de dinheiro no bolso: Ana tem
10 reais, Maria tem 7, João tem 3 e Pedro tem 4 reais. Solicitamos aos
4Unidade

quatro alunos que coloquem o dinheiro em cima da mesa e juntamos
tudo, a soma dará 24 reais (10 + 7 + 3 + 4). A seguir distribuímos esse
montante em quatro partes iguais (24/4 = 6) resultando seis reais. Esse
valor representa o valor médio de dinheiro por aluno.
Agora vamos devolver o dinheiro aos alunos, mas ao invés
de devolver o valor original, vamos devolver o valor da média. Nesse
caso, Ana perderá 4 reais e Maria 1 real, juntos perderão 5 reais. Em
compensação, João ganhará 3 reais e Pedro 2 reais, juntos ganharão 5
reais. Observe que o ganho recompensa a perda, zerando a diferença.
Esta é uma propriedade da média. A Figura 80 ilustra a distribuição:
Aluno
Dinheiro que tem
no bolso (R$)
Devolução
pela média
Diferença Diferença
Ana 10 6 Perde 4 reais - 4
Maria 7 6 Perde 1 real -1
João 3 6 Ganha 3 reais +3
Pedro 4 6 Ganha 2 reais +2
Total 24 24 Zero 0
Figura 80. Exemplo de perdas e ganhos devido à devolução do dinheiro pela média.
Observamos que, neste nível de ensino, ainda não se trabalha com
os números negativos, mas as crianças compreendem o conceito como
“estar devendo”. Logo, sua inserção no 5º ano já é possível.
Agora analisemos o que acontece quando trabalhamos com
variáveis discretas, resultante de contagens, isto é, seus valores tomam
números inteiros.
Suponha que temos quatro alunos: Alex, Ana, João e Tais. Alex
tem três (3) irmãos, Ana nenhum (0), João um (1) e Tais dois irmãos (2).
Para encontrar o número médio de irmãos por aluno somamos o número
de irmãos dos quatro alunos, o que resulta seis (3 + 0 + 1 + 2 = 6). A
seguir, dividimos por quatro, que é o número de alunos, resultando 1,5
(6/4 = 1,5), ver Figura 81. Assim, em média, esses quatro alunos têm 1,5
irmãos. Logo a média é a razão entre o número de irmãos e o número de
alunos.
156 EADPedagogia

Figura 81 - A média como a razão entre duas variáveis.
Média = Total de irmãos = 6 irmãos = 1,5 irmãos por aluno
Nº de alunos 4 alunos
Muitas crianças não conseguem compreender que a média pode
ter como resultado um valor não inteiro, em um caso como este que se
refere a pessoas. Muitos tendem a arredondar o número, ou para um
(1), ou para dois (2). Vejamos o que acontece em cada um desses casos.
Se cada aluno tem em média um irmão, então os quatro alunos terão 4
irmãos, dois a menos que o verdadeiro número. Se arredondarmos para
dois, então os quatro alunos terão oito irmãos, dois a mais do que o
verdadeiro número.
Por essa razão é importante que as crianças compreendam a
relação inversa que estabelece entre o todo (soma dos valores), a média
e o número de elementos que compõem a média. Isto é, se conhecemos
a média e o número de elementos que a compõem, podemos conhecer a
soma de todos os valores da variável:
Média * Nº de elementos = soma dos valores
Assim,nãoépossívelarredondarosdadosdeformaindiscriminada,
pois em alguns casos comprometemos os mesmos.
Neste nível escolar, as crianças já estão familiarizadas com a
4Unidade

divisão exata e elas têm várias estratégias de distribuição, como mostra o
trabalho de Selva e Borba (2005). O problema aparece quando a divisão é
inexata ou quando o resultado não tem um referente na vida real.
Para melhor compreender a média, analisemos algumas situações.
Suponhamos que nossos quatro alunos: Alex, Ana, João e Tais têm ao
todo quatro balas. Mantendo fixo o todo (número de balas) e o número de
elementos (número de crianças), analisemos algumas situações:
a) Cada criança tem uma bala, logo, em média, uma criança tem uma
bala:
Alex Ana João Tais Soma Média
4 balas
1 bala por
criança4 crianças
b) Alex e João têm duas balas cada um e as meninas não têm balas.
Neste caso, a média continua a ser uma bala por criança:
4 balas 1 bala por
criança
4 crianças
c) Alex tem quatro balas e as outras três crianças não têm balas. Neste
caso, a média continua a ser uma bala por criança:
4 balas
1 bala por
criança
4 crianças
158 EADPedagogia

Discuta com os alunos esta situação. Pergunte a eles o que achariam,
se essa situação fosse verdadeira, se tomássemos todas as balas das quatro
crianças e as redistribuíssemos entre elas pela média.
No primeiro caso, todas as crianças concordarão que está tudo bem,
pois cada uma tinha uma bala e receberá uma bala. No segundo caso, algumas
crianças acharão a distribuição pela média mais justa, pois as meninas que
não tinham balas ganharão uma, sendo que todos terão balas de forma
igualitária. Mas outras crianças poderão achar essa distribuição injusta, pois
os meninos que tinham duas balas vão perder uma. Essa situação ficará mais
tensa no terceiro caso, pois apenas o Alex tem 4 balas e as outras crianças
não têm balas, logo Alex seria fortemente prejudicado.
Perde 3
- 3
Ganha 1
+1
Ganha 1
+1
Ganha 1
+1
Observe que a composição do todo é a mesma, o que varia é a
distribuição dos dados entre os elementos que o compõem. Esta é uma
característica importante da média. Quanto mais homogênea for a
distribuição dos dados (caso a), a média representará melhor esse conjunto
de dados, porém quanto mais dispersa for a distribuição, a média não será
uma medida adequada para representar os dados (caso c).
Outra característica da média é que os desvios (diferença entre o
valor da variável e a média) se anulam. Alex perdeu 3 balas, mas Ana, João
e Tais ganharam uma bala cada, isto é, a perda de um foi compensada pelo
ganho dos outros.
Analisemos outra situação, mantendo fixa a soma de quatro (4)
mascotes, variando agora o número de elementos (crianças):
4Unidade

a) Quatro crianças, cada uma tem uma mascote, logo o número médio
de mascotes por criança é um.
4 mascotes
1 mascote por
criança
4 crianças
b) Alex tem três mascotes e Ana tem uma. Neste caso, a média é duas
mascotes por criança:
Alex Ana Soma Média
4 mascotes
2 mascotes
por criança
2 crianças
c) Alex tem três mascotes, Ana tem uma e João não tem mascote. Neste
caso, o número médio de mascotes por criança é 1,33 mascotes por
criança:
Alex Ana João Soma Média
4 mascotes 1,33
mascotes por
criança3 crianças
Veja que terrível seria pensar em distribuir as quatro mascotes
pelas 3 crianças. Isso implicaria em cortar uma mascote em três pedaços
iguais. Isto é um dos obstáculos que enfrentamos quando vamos ensinar
a média para crianças que ainda não compreendem que a média é um
número que representa um conjunto de dados.
Essa dificuldade foi investigada por Watson (1996), numa pesquisa
que envolveu estudantes da 3ª a 8ª séries do ensino fundamental e 1ª série
do ensino médio. A pesquisadora solicitou a interpretação da seguinte
afirmação: “Em média, os casais jovens têm 2,3 filhos”. Respostas típicas
160 EADPedagogia

incluíam as seguintes: “existem duas crianças mais velhas e uma mais
jovem”, “vírgula três significa que, mais tarde, a criança menor contará
como três”, “a mãe tem dois filhos e está grávida do terceiro”, dentre
outras do gênero.
Paraaautora,essesestudantesestavamsofrendoconflitocognitivo,
pois para eles (0,3) estaria indicando que o filho ainda não nasceu ou
que é pequeno para ser contado como um número inteiro. Outro tipo
de resposta também apareceu: “a maioria das famílias tem dois filhos
(conceito de moda), “poucas famílias têm três filhos”, “mais famílias
têm dois filhos do que três”, “a maioria têm dois filhos, mas algumas
têm três ou cinco”, “somar todas as crianças e dividir pelo número de
famílias, porém o resultado não dá um número inteiro”. Essas expressões
denotam uma aproximação do conceito de média, mas, segundo a autora,
esse tipo de resposta não foi da maioria. Finalmente, poucos estudantes
se referiram ao resultado como um resultado estatístico: “2,3 é apenas
uma estatística, uma forma resumida dos dados”.
Outra dificuldade encontrada é que muitos alunos acreditam que
pelo fato de um elemento não apresentar a característica, esse não deve
fazer parte da média. Voltemos ao exemplo do número de irmãos. Nessa
lógica, Ana, por não ter irmãos, não deve fazer parte do cálculo da média
e, assim, somam os valores e dividem por três ao invés de dividir por
quatro, resultando uma média de dois (6/3 = 2).
Uma forma de evitar esse conflito é colocar os dados em uma lista,
como a que segue. Assim, os alunos podem ver que existem 4 alunos e
que esses quatro alunos têm ao todo 6 irmãos. Portanto, a média será o
resultado de dividir 6 (irmãos) por 4 (alunos), que resulta 1,5 irmãos por
aluno.
Aluno Nº de irmãos
Alex 3
Ana 0
João 1
Tais 2
Total 6
A pesquisadora Watson (1996) também relata que após observar
4Unidade

o número de pessoas em carros de passeio que passaram por uma ponte,
num período determinado, solicitou às crianças que calculassem a média
e que representassem com desenhos (a média foi 1,5 pessoas por carro).
A pesquisadora observou que crianças pequenas desenharam a ponte
com carros e em cima dos carros um boneco e metade de outro (Figura
82), apenas as crianças maiores conseguiram desenhar de forma adequada
(Figura 83).
Figura 82 - Exemplo fictício de representação inadequada baseado na pesquisa de Watson (1996).
Figura 83 - Exemplo fictício de representação adequada baseado na pesquisa de Watson (1996).
No Brasil, encontramos os trabalhos das pesquisadoras Selva
e Borba (2005) que apresentam resultados relevantes relativos à
compreensãodadivisãoinexata.Elasobservaramcomocriançascomparam
os resultados de um mesmo problema de divisão com resto resolvido por
meio de diferentes representações (papel e lápis, calculadora versus papel
e material manipulativo). Essa análise nos permite compreender melhor
as razões pelas quais as crianças apresentam dificuldades no cálculo da
média.
162 EADPedagogia

2.3 Calculando (encontrando) a Mediana
Para apresentar a mediana, vamos nos reportar ao trabalho de Cazorla
e Oliveira (2010, p. 131-134). Esses autores apresentam e discutem este
conceito de forma mais detalhada. Aqui vamos nos concentrar apenas na ideia
intuitiva de mediana.
A mediana divide em duas partes iguais um conjunto ordenado de
dados. Para encontrar seu valor, primeiro devemos ordenar os dados, a seguir
localizamos o lugar que ela ocupa, para assim encontrar seu valor.
Um exemplo fácil e prático é encontrar a altura mediana dos alunos
de nossa sala, mas antes vamos fazer um exercício com um número pequeno
de dados. Para isso solicite aos alunos que anotem em um papel de tamanho
padronizado sua altura. Em seguida, solicite que cinco alunos da classe se
coloquem em pé na frente da sala, mostrando numa folha de papel sua estatura
(Figura 84):
Luiz (152) Ana (148) João (155) Bia (145) Caio (150)
Figura 84 - Exemplo utilizado para calcular a mediana da estatura de cinco alunos. Fonte: Figura 114 de Cazorla e Oliveira
(2010), p. 132.
Para encontrar a mediana, o primeiro passo é ordenar os dados. Para
isso, solicite aos cinco alunos que se posicionem em ordem crescente de
estatura (Figura 85): do mais baixo ao mais alto (pode ser de forma decrescente
também).
Bia (145) Ana (148) Caio (150) Luiz (152) João (155)
1º lugar 2º lugar 3º lugar 4º lugar 5º lugar
Abaixo da mediana: dois dados Mediana Acima da mediana: dois dados
Figura 85 - Exemplo do cálculo da mediana da estatura de cinco alunos. Fonte: Figura 115 de Cazorla e Oliveira (2010), p. 132.
4Unidade

Como existem cinco dados (n é ímpar), a posição que a mediana
ocupa será o terceiro lugar (3º), pois abaixo do terceiro lugar temos dois
dados e acima também temos dois dados; consequentemente, a estatura
mediana será a estatura de Caio, que é 150 cm.
Logo, o valor da mediana será a estatura do aluno que ocupa o 3º
lugar:
Mediana = 150
A interpretação da mediana é bastante intuitiva: no mínimo 50% dos
alunos têm estatura menores ou igual a 150 cm; e os outros 50% assumem
valores maiores ou igual a 150 cm.
Se o número de aluno for par, então precisaremos calcular a média
dos valores que ocupam as posições centrais. Suponhamos que Francisco,
que mede 180 cm, se unisse ao grupo. Agora, o número de alunos seria seis,
um número par. Logo, a mediana deveria estar entre o terceiro e o quarto
lugar, pois teríamos três dados abaixo e três acima desse valor.
Bia Ana Caio Luiz João Francisco
145 cm 148 cm 150 cm 152 cm 155 cm 180 cm
1º lugar 2º lugar 3º lugar 4º lugar 5º lugar 6º lugar
Abaixo da mediana: três alturas Acima da mediana: três alturas
Logo, o valor da mediana seria o ponto médio desses valores centrais:
Mediana = 150 + 152 = 151 cm
2
A tarefa de ordenar é bastante trabalhada nos anos iniciais, então
podemos aproveitar para ensinar o conceito de mediana, quando estivermos
trabalhando a ordenação. Assim, só precisaremos aprender a encontrar a
posição da mediana:
a. Se o número de dados for ímpar, adicionar um e dividir por
dois. Por exemplo 33. Nesse caso 33+ 1 = 34, que dividido
por 2 resulta 17. Logo a mediana de um conjunto que tiver 33
elementos será o décimo sétimo lugar.
164 EADPedagogia

b. Se o número de dados for par, dividir por dois e calcular a média
desse valor e de seu sucessor (dados ordenados). Por exemplo, se
o número de dados for 34, então 34/2 = 17, assim a mediana será
a média dos valores que ocupam o 17º e 18º lugares.
Neste ponto, quando os alunos já aprendem a trabalhar com a reta
numérica é importante utilizá-la, pois a ordenação nos tráz problemas
conceituais, uma vez que todos os alunos estão um ao lado do outro, dando
a falsa ideia de que a diferença entre dois alunos é a mesma, o que não é
verdade. Vejamos no nosso exemplo, colocando os dados na reta numérica:
+ 3 +2 +2 +3
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155
Bia Ana Caio Luiz João
Média = 150
Mediana = 150
Como podemos ver, a distância entre os alunos não é a mesma e isso
piora quando colocamos a altura de Francisco no conjunto. Aproveitamos
esta representação para sinalizar onde se localiza a média e a mediana. Ambas
tomam o valor de 150:
Média = 145 + 148 + 150 + 152 + 155 = 750 = 150
5 5
A diferença da mediana em relação à média é que a mediana não é
afetada pelos valores fora do padrão (outliers ou discrepantes). No exemplo
com os cinco alunos, a mediana e a média coincidem; logo, qualquer uma
delas representa bem o conjunto de dados, pois as estaturas não são muito
diferentes.
Todavia, quando Francisco, com 30 cm acima da média, junta-se ao
grupo, eleva o valor da média em cinco centímetros, pois aos 750 cm dos
cinco alunos, devemos adicionar 180 cm da altura de Francisco, totalizando
4Unidade

930 cm, que dividido por seis resulta 155 cm. Isto é, cinco cm a mais,
enquanto que o impacto na mediana foi de apenas um centímetro.
Bia Ana Caio Luiz João Francisco
140 145 150 155 160 165 170 175 180
Mediana = 151 Média = 155
Neste exemplo, vemos como um valor “fora do padrão” eleva a média
e já a mediana não sofre tanto. Assim, a pergunta é qual das duas medidas
devemos usar? É o que discutiremos logo mais.
Agora, calculemos a mediana das idades dos 33 alunos. Neste caso,
a mediana ocupará a 17ª posição (33+1)/2, que será 8 anos, como podemos
ver no esquema a seguir:
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
17º
18º
19º
20º
21º
22º
23º
24º
25º
26º
27º
28º
29º
30º
31º
32º
33º7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9
16 dados abaixo 16 dados acima
A mediana também pode ser encontrada a partir dos dados agrupados
numa TDF. Para isso, basta utilizar a frequência absoluta acumulada, para
isso basta perguntar quantos alunos temos até aquela idade e somar as
frequências das idades anteriores, incluindo o valor da frequência da idade
em questão. Para encontrar a mediana basta examinar esses dados e encontrar
o número que contenha pela primeira vez 17. Assim, constatamos que o
número 24 contém o número 17 pela primeira vez, logo a idade mediana
será 8 anos.
166 EADPedagogia

Calculando a frequência absoluta
acumulada:
• Quantos alunos temos com
idades até 7 anos? 5 alunos.
idades até 8 anos? 5 + 19 =
24 alunos.
idades até 9 anos? 5 + 19 + 9
= 33 alunos.
Sendo que o último valor deve
coincidir com o número total de
alunos.
Variável Frequência Frequência
Idade Nº de Nº de
7 5 5
8 19 24
9 9 33
Total 33
3 INTEGRANDO A LEITURA DE TABELAS, GRÁFICOS E
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
A compreensão das propriedades das medidas de tendência central
(média, mediana, moda), assim como a configuração em tabelas e gráficos,
permite ao aluno aprimorar seu conhecimento sobre a natureza dos dados.
Vejamos, a média foi 8,1, a mediana e a moda igual a 8. Aparentemente
estamos diante de um conjunto de dados bastante homogêneo (Figura 86).
Porém temos um número significativo de crianças com 9 anos (27,2%), que
possuem uma defasagem de um ano. Lembramos que se trata de uma turma
do 3º ano, cuja idade recomendada é de 8 anos.
Idade Nº de %
7 5 15,2
8 19 57,6
9 9 27,3
Total 33 100,0
Figura 86 - Distribuição das idades dos alunos da pesquisa sobre o medo.
4Unidade

Muitas vezes, podemos intuir o valor da média analisando visualmente os dados. Por
exemplo, suponha que desejamos, sem fazer cálculos, apenas analisar a tabela ou o grá-
fico, conhecer o valor da média de idade dos alunos.
O nosso primeiro palpite, neste exemplo, deveria ser a moda, 8 anos, pois a maioria dos
alunos tem essa idade. Agora, analisemos a idade 7 anos, que tem cinco alunos e, na
idade de 9 anos, temos 9 alunos, isto é, 4 alunos a mais, assim a média será um pouco
maior do que 8 anos. Porém, não poderá ser maior do que 8,5, pois para isso precisaría-
mos de mais alunos com 9 anos. Logo a média estará mais próxima a 8.
Assim, aconselhamos a fazer isso de forma rotineira. Esse exercício aguça a intuição e dá
sentido as medidas encontradas.
4 INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
Uma pesquisa não termina com a organização e tratamento dos
dados, ao final precisamos voltar às questões que deram origem à pesquisa
e buscar responder essas questões, e ainda, no caso de haver sido geradas
hipóteses, verificar a validade ou não delas.
Até aqui, aprendemos a traduzir em números nossas questões de
pesquisa. Escolhemos um tema para investigar, formulamos questões de
investigação, aprendemos a construir instrumentos para coletar os dados,
coletamos e tratamos os dados.
Agora já temos em mãos tabelas, gráficos e estatísticas resumos.
Chegou a hora de responder as questões de pesquisa e socialização dos
resultados, isto é, a construção da argumentação sobre os resultados,
o que implica na escolha da representação que melhor comunica os
argumentos, bem como a elaboração de um relatório.
A pesquisa sobre o medo das crianças
Na pesquisa sobre o maior medo das crianças, queríamos saber
quais eram os maiores medos das crianças de nossa sala e conjecturamos
que a idade e o gênero são dois fatores importantes. Então, agora
retomemos os dados e, a partir da leitura conjunta, vamos tentar
responder as perguntas.
um conselho
168 EADPedagogia

Exemplo de relatório final de pesquisa
Foi realizada uma pesquisa com 33 alunos do 3º ano A, do Colégio
ABC, da cidade de Recife, dos quais 18 eram meninas (54,5%) e 15 eram
meninos (45,5%), conforme Tabela 1. Suas idades variaram de 7 a 9 anos
(Figura 86), sendo que a maioria tinha 8 anos e a idade média foi de 8,12
anos.
Embora a idade média estivesse próxima da idade recomendada
para este ano escolar, 27,3% dos alunos tinha 9 anos, isto é, estavam
defasados em um ano relativamente ao esperado.
A leitura geral da planilha de dados (Quadro 4) indica que o medo
mais frequente foi rato (3 alunos) e altura (3 alunos, considerando “lugar
alto” como altura), os outros medos só se repetiram duas vezes ou apenas
uma única vez.
Quando agrupamos os medos por classe de medo, observamos que
60,6% dos alunos têm medo de coisas reais e 39,4% de coisas imaginárias
(Tabela 2) e que isso não difere por gênero, pois a diferença entre gêneros
é de apenas 1,1% (Tabela 3).
Em relação à idade, também não parece haver interferência dessa
variável em relação à classe de medo, como podemos observar na Tabela 4.
Tabela 4 - Distribuição dos tipos de medo em relação à idade dos alunos
Contudo, quando analisamos dentro das subclasses de medo,
percebemos sutis diferenças. Por exemplo, as meninas tendem a ter mais
medo de personagens imaginários e os meninos de bichos e pessoas reais.
Quanto à idade, parece que quanto mais velho, vai diminuindo
o medo de bichos, mas aumenta o medo em relação aos personagens
imaginários e pessoas, como pode ser visto na Tabela 5. Essas diferenças
são mais visíveis na Figura 87.
Classe de
medo
7 anos 8 anos 9 anos Total
Nº % Nº % Nº % Nº %
Imaginário 2 40,0 7 36,8 4 44,4 13 39,4
Real 3 60,0 12 63,2 5 55,6 20 60,6
Total 5 100,0 19 100,0 9 100,0 33 100,0
4Unidade

Tabela 5 - Distribuição dos tipos de medo por subclasse em relação ao gênero e idade (em
porcentagem)
Figura 87 - Distribuição do medo por subclasses segundo gênero e idade.
Subclasses de
medo
Gênero Idade (em anos)
Total
Feminino Masculino 7 8 9
Imaginário Folclore 11,1 20,0 20,0 15,8 11,1 15,2
Imaginário
Personagem
27,8 20,0 20,0 21,1 33,3 24,2
Real Bicho 22,2 26,7 40,0 26,3 11,1 24,2
Real Pessoa 16,7 26,7 20,0 15,8 33,3 21,2
Real Situação 22,2 6,7 0,0 21,1 11,1 15,2
Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0
170 EADPedagogia

ATIVIDADES
Dando continuidade à análise de dados da pesquisa da altura das
crianças, iniciada na unidade III, e tomando com referência a planilha de
dados:
a) Calcule a média, mediana e moda das variáveis idade e altura de
todos os alunos.
b) Calcule a média da altura por ano escolar.
c) Calcule a média da altura por idade.
d) Calcule a média da altura por gênero.
e) Calcule a média da altura por gênero e idade.
f) Construa uma tabela de dupla entrada contendo a média por
gênero (linha) e idade (coluna).
g) Interprete os resultados. Há evidências de que os meninos são
mais altos do que as meninas?
RESUMINDO
Professor, novamente, enfatizamos a importância de que antes
de iniciar o tratamento dos dados, analise qual é a melhor maneira de
apresentá-los: tabelas, gráficos ou medidas resumidas.
Vimosaimportânciadasmedidasdetendênciacentraleoscuidados
que devemos ter para que nossos estudantes possam compreender suas
características e adequação aos dados trabalhados e, assim, escolher os
gráficos, as tabelas e as estatísticas que melhor respondem as perguntas
de pesquisa.
Esperamos tê-los ajudado e os encorajamos a que nos enviem suas
impressões e sugestões sobre este material, pois queremos aprimorá-
lo para, assim, chegarmos cada vez mais e melhor junto aos nossos
professores.
ATIVIDADES
RESUMINDO
4Unidade

REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: Ministério
da Educação/Secretaria de Educação Fundamental, 1997.
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semiótica. Dissertação de mestrado da UFSC, 2006. disponível em
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CAVALCANTI, M.; NATRIELLI, R.; GUIMARÃES, G. Gráficos na
mídia impressa. Bolema. Boletim de Educação Matemática, vol. 23 -
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CAZORLA, I. M.; OLIVEIRA, M. S. Para saber mais. In Cazorla, I.
M. e Santana, E. R. dos S. (Org.). Do Tratamento da Informação ao
Letramento Estatístico. Itabuna-BA: Via Litterarum, 2010, p. 113-144.
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da Informação ao Letramento Estatístico. Itabuna-BA: Via Litterarum,
2010.
CAZORLA, I. M.; UTSUMI, M. C. Reflexões sobre o ensino de
Estatística na Educação Básica. In Cazorla, I. M. e Santana, E. R. dos
S. (Org.). Do Tratamento da Informação ao Letramento Estatístico.
Itabuna-BA: Via Litterarum, 2010, p. 9-18.
CAZORLA, I. M.; MAGINA, S.; GITIRANA, V.; GUIMARÃES, G. L.
Estatística nos anos iniciais do ensino fundamental. Itabuna-BA: Via
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SUJESTÕES DE LEITURA
4Unidade

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174 EADPedagogia

Suas anotações
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