Oscilações
1 gostou2,142 visualizações
Este documento descreve o modelo matemático de um oscilador harmônico simples e forçado, apresentando as equações diferenciais que governam esses sistemas e discutindo o efeito de ressonância.
Oscilações
- 1. Oscilações e Ressonância
- 2. Oscilador Harmônico Simples 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 Para este modelo, iremos supor que a mola não possuí massa e a Força Restauradora é 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 diretamente proporcional à posição em relação ao ponto de equilíbrio 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
- 3. Segunda Lei de Newton 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 Força Resultante Força Restauradora
- 4. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
- 5. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
- 6. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
- 7. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Duas constatações óbvias • Esta é uma equação diferencial • A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação anterior
- 8. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante • Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
- 9. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante • Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?! • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡 • λ é alguma constante
- 10. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o que acontece • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
- 11. 𝑑 2 𝑒 λ𝑡 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
- 12. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
- 13. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
- 14. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚 2 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =− 𝑒 𝑚
- 15. 2 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 𝑚λ 𝑒 =− 𝑒 𝑚
- 16. 2 𝑒 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 𝑚λ =− 𝑒 𝑚
- 17. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚
- 18. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚
- 19. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚 • Fatorando 𝑒 λ𝑡
- 20. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚 • Fatorando 𝑒 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 2 + )𝑒 (λ =0 𝑚
- 21. 𝑘 λ𝑡 2 + )𝑒 (λ =0 𝑚
- 22. 2 𝑘 λ𝑡 (λ + )𝑒 = 0 𝑚
- 23. 𝑘 λ𝑡 2+ ) 𝑒 = 0 (λ 𝑚 =0 ≠0
- 24. 𝑘 λ𝑡 2+ ) 𝑒 = 0 (λ 𝑚 =0 ≠0
- 25. 2 𝑘 (λ + ) = 0 𝑚
- 26. 2 𝑘 (λ + ) = 0 𝑚 • Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos como raízes 𝑘 𝑘 −𝑖 t λ = −𝑖 𝑥1 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 𝑚 E 𝑘 𝑘 λ= 𝑖 𝑖 t 𝑚 𝑥2 𝑡 = 𝑐2 𝑒 𝑚
- 27. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
- 28. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚 • Usando a fórmula de Euller 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
- 29. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚 • Usando a fórmula de Euller 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 • Reorganizando tudo, chegamos em....
- 30. 𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 𝑘 𝑘 𝑚 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑡
- 31. Oscilador Forçado e Amortecido 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 𝑑𝑡 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
- 32. Efeito de Ressonância • Força externa do tipo 𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
- 33. Efeito de Ressonância • Força externa do tipo 𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
- 34. Efeito de Ressonância 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Restauradora Externa Resultante Dissipativa
- 35. Efeito de Ressonância • Não vou resolver essa equação diferencial, mas tá resolvida AQUI