Permutações

TEORIA DOS GRUPOS
Elton Ribeiro da Cruz
Licenciando em Matemática
Prof. Osnel Broche Cristo
UFLA – Lavras – MG

PERMUTAÇÕES
Ciclos e Notação Cíclica

O grupo Sn
• É o grupo das permutações sobre o conjunto
In = {1, 2, ..., n}, n ≥ 2.
• Possui uma importância em vários campos!
• Além das aplicações em equações algébricas, os
grupos de permutações aparecem na Teoria dos
Determinantes.
• Vamos introduzir um novo tipo de permutação e uma
notação.

Definição: Sejam os números inteiros distintos
Se é uma permutação tal que
Então σ chama-se ciclo de comprimento r e que
{a1, a2,..., ar} é o conjunto suporte de σ.
Notação: (a1, a2,... , ar)
.,...,, 21 nr Iaaa
nS
,)(
,)()(
,)()(
,)(
11
1
1
1
31
2
2
21
aa
aaa
aaa
aa
r
r
r
r

},,...,,{,)( 21 rn aaaIxxx

Exemplo: Seja em grupo S5 a permutação
σ(1) = 4, σ(4) = 2, σ(2) = 1; σ(3) = 3 e σ(5) = 5
Logo σ é um ciclo de comprimento 3, cujo conjunto
suporte é {1, 2, 4}.
Pode-se denotar por:
(1 4 2)
5
5
2
4
3
3
1
2
4
1

Observações e Proposições
• Se r = 2, então σ é chamado de transposição.
• A notação cíclica não indica em que grupo Sn se está.
A permutação vai depender do contexto.
• O mesmo ciclo pode ser escrito de mais de uma
maneira, desde que não mude a sequência em que
cada elemento aparece. Por exemplo, em S5:
(1 4 2) = (4 2 1) = (2 1 4)
São a mesma permutação!
Nesse ciclo, 1 → 4, 4 → 2, 2 → 1, 3 → 3 e 5 → 5.

Proposição 1: Se σ = (a1 a2 ... ar) é um ciclo de
comprimento r > 1, então o(σ) = r e portanto, se ε indicar a
permutação idêntica de Sn, [σ] = {ε, σ, σ2,..., σr − 1}.
Demonstração: Da definição de ciclo:
σi − 1(a1) = ai (i = 1, 2,... , r) e σr(a1) = a1
Então σi ≠ ε sempre que 1 ≤ i < r, e portanto, r ≤ o(σ).
Por outro lado, se o i é um índice tal que 1 ≤ i ≤ r, então:
σr(ai) = σr(σi − 1(a1)) = σi − 1(σr(a1)) = σi − 1(a1) = a1
Considerando-se que σ(x) = x sempre que x ≠ ai (i = 1, 2,... , r),
então σr = ε e, por conseguinte, o(σ) ≤ r.
De onde, o(σ) = r. ■
nS

Dois ciclos cujos suportes são conjuntos disjuntos, são chamados
ciclos disjuntos.
Proposição 2: Dois ciclos disjuntos se comutam.
Demonstração: Sejam φ e σ ciclos de Sn disjuntos, com suportes
iguais respectivamente a A e B. Se x é um elemento de In, há três
possibilidades:
• x pertence a A.
Então, (φ○σ)(x) = φ(σ(x)) = φ(x), ao passo que (σ○φ)(x) = σ(φ(x)) =
φ(x). Portanto, φ○σ e σ○φ coincidem em A.
• x pertence a B (raciocínio análogo).
• x não pertence a A e x não pertence a B.
Neste caso, (φ○σ)(x) = φ(σ(x)) = φ(x) = x, ao passo que (σ○φ)(x) =
σ (φ(x)) = φ(x) = x. Portanto, φ○σ e σ○φ coincidem fora de A e
B.■

Proposição 3: Toda permutação , exceto à permutação
idêntica, pode ser escrita univocamente (salvo quanto à ordem
dos fatores) como um produto de ciclos disjuntos.
Demonstração: Supondo, para facilitar, que σ(1) ≠ 1,
consideremos as sequências de imagens de 1 pelas potências
sucessivas de σ:
σ0(1) = 1, σ(1), σ2(1) = (σ σ)(1), σ3(1),...
Como In é finito, os elementos dessa sequência não podem ser
todos distintos. Isso nos permite fazer a seguinte escolha:
nS

Seja r o menor expoente estritamente positivo tal que σ0(1) = 1,
σ(1), σ2(1), σ3(1),..., σr − 1(1) sejam distintos mas σr(1) = σj(1),
para algum inteiro j tal que 0 ≤ j < r. Daí segue que σr − j(1) = 1
= σ0(1), o que só é possível, dada nossa escolha de r, se j = 0.
Portanto σr(1) = 1. Obtém-se assim o ciclo:
σ1 = (1, σ(1), σ2(1),..., σr − 1(1))
Que coincide com a restrição de σ a seu conjunto suporte.

Indiquemos por a o menor inteiro de In que não aparece no suporte
de σ1 e tal que σ(a) ≠ a. Repetindo o argumento anterior com a
sequência:
σ0(a) = a, σ(a), σ2(a) = (σ σ)(a), σ3(a),...
Chega-se a um ciclo σ2, que também coincide com a restrição de σ
a seu conjunto suporte.
Mostremos que σ1 e σ2 são disjuntos.

De fato, suponhamos que b fosse um elemento comum ao suporte
desses dois ciclos.
Então b = σt(1) = σs(1), com, digamos, 0 ≤ s ≤ t. Daí, σt − s(1) = a,
o que coloca a no suporte de σ1, contrariamente a nossa escolha.
Esse processo termina num número finito m de passos. E como
σ1 σ2 ... σm tem sobre elementos de In o mesmo efeito que σ,
então:
σ = σ1 σ2 ... σm.

Exemplo: Vamos decompor em ciclos disjuntos a
seguinte permutação de S8:
σ(1) = 1. Então vamos proceder como na demonstração
com o comprimento 2:
2, σ(2) = 6, σ2(2) = σ(σ(2)) = σ(6) = 5, σ(5) = 7, σ(7) = 2
Portanto:
σ1 = (2 6 5 7)
4
8
2
7
5
6
7
5
3
4
8
3
6
2
1
1

Repetindo-se o processo a partir do 3:
3, σ(3) = 8, σ(8) = 4, σ(4) = 3
Então:
σ2 = (3 8 4)
Portanto:
σ = (2 6 5 7)○(3 8 4)

Proposição 3: Se n > 1, então toda permutação de Sn pode ser
escrita como um produto de transposições.
Demonstração: Uma verificação simples mostra que para todo
ciclo de comprimento r em Sn vale a identidade:
(a1 a2 a3 ... ar – 1 ar) = (a1 ar) (a1 ar – 1) ... (a1 a2)
Portanto, dada uma permutação de Sn, é só decompô-la em
ciclos de acordo com a proposição anterior, e depois aplicar a
identidade acima para cada um dos ciclos.

Exemplo: Justificar, com detalhes, a seguinte igualdade
em S4:
(1 2 3 4) = (1 4) (1 3) (1 2)
Mostraremos que o efeito do produto de transposições do
segundo membro sobre I4 é igual ao ciclo do primeiro
membro.
Para isso, façamos (1 2) = σ, (1 3) = φ e (1 4) = µ.

Então:
σ φ µ
1 → 2 → 2 → 2
2 → 1 → 3 → 3
3 → 3 → 1 → 4
4 → 4 → 4 → 1
O que mostra que (µ○φ○σ)(1) = 2, (µ○φ○σ)(2) = 3,
(µ○φ○σ)(3) = 4 e (µ○φ○σ)(4) = 1, e portanto, que
µ○φ○σ = (1 2 3 4).

Referências Bibliográficas
DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed.
reform. São Paulo: Atual, 2003.

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