Projeto, execução. Desmistificando o ensino de Funções Quadráticas.
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O documento descreve um plano de aula em 6 etapas para ensinar funções quadráticas. A primeira aula inclui pesquisas dos alunos e vídeos introdutórios. Nas aulas 2-3, os alunos constroem gráficos e relacionam a concavidade à inclinação da parábola. Nas aulas 4-5, eles aprendem a completar quadrados e representar funções na forma canônica. A sexta aula é uma revisão e avaliação final.
Projeto, execução. Desmistificando o ensino de Funções Quadráticas.
- 2. Antes da primeira aula sobre a matéria solicitar uma pesquisa aos alunos, em grupo, sobre a história da função quadrática e algumas aplicações desta matéria.
- 3. Primeira aula: Visualização de vídeos e discussão sobre as pesquisas feitas pelos alunos em grupo. Apresentar os vídeos, “Esse tal de Bhaskara” e “(A Função do 2º Grau) Matemática - Novo Telecurso - Ensino Médio - Aula 31”, para os alunos com o objetivo de relembrar a equação polinomial do 2º grau e informar todos os aspectos do tema do conteúdo a ser trabalhado, função polinomial do 2º grau. Após isso, discutir os resultados das pesquisas realizadas pelos grupos e ao final descrever definição da função e alguns exemplos. Vídeos: http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw http://www.youtube.com/watch?v=83g2LhTqpjQ Obs.: Pedir aos alunos que providenciem para a próxima aula papel quadriculado ou papel milimetrado.
- 4. Segunda aula: Construção de gráficos com papel quadriculados a partir de tabela de pontos. O professor deverá fazer exemplos com os alunos no inicio da aula. Depois dividir a turma em grupos, escolher exemplos de funções quadráticas do livro, 4 para cada grupo, e deixá-lo desenvolver os gráficos ao final da aula cada grupo deverá expor seus gráficos na sala.
- 5. Terceira aula: Relacionar a concavidade da parábola e o coeficiente a; identificar o ponto (0,c) como o ponto em que a parábola intersecta o eixo y; perceber que o vértice da parábola corresponde ao ponto extremo da função quadrática, utilizando o software Geogebra, para isso a turma tem que estar no laboratório de informática.
- 6. Iniciando o Geogebra, construção de funções quadráticas
- 7. No campo “Entrada”, digite as funçôes abaixo: f(x)=x^2-2*x+2 g(x)=2*x^2-3*x+4 h(x)=x^2-2*x-3 i(x)=-3*x^2-18*x-29 j(x)=-0,3*x^2+0,6*x+2,7
- 8. Observando a concavidade e o sinal do coeficiente a, você seria capaz de relacioná-los?
- 9. Você seria capaz de escrever uma relação entre o coeficiente c e a ordenada (y) do ponto de interseção entre a parábola e o eixo y?
- 10. Peça para seus alunos responderem sobre cada função marcada no Geogebra as perguntas abaixo: Quais valores de x para os quais a função é crescente? Quais valores de x para os quais a função é decrescente ? Qual é ponto em que a função passa de crescente a decrescente (ou de decrescente a crescente)? Conjunto Imagem da Função Quadrática? Ponto mais alto/baixo da parábola? Reta x =____ que divide a parábola verticalmente em duas partes iguais? Questione o que eles observam a partir de suas respostas, e discutam o assunto.
- 11. Na função quadrática, de forma geral f(x) = ax2 + bx + c e sempre representada por uma parábola, o vértice é o ponto onde a função passa de crescente a decrescente, se ela tem concavidade voltada para baixo, ou de decrescente a crescente, se ela tem concavidade voltada para cima. O vértice então será, nas parábolas com concavidade voltada para baixo, o ponto mais alto da função – PONTO DE MÁXIMO – e a sua ordenada, yv, será o maior valor assumido pela função quadrática – VALOR MÁXIMO. Da mesma maneira, se a concavidade é voltada para cima, o vértice será o ponto mais baixo – PONTO DE MÍNIMO – e sua ordenada, yv, será o menor valor assumido pela função – VALOR MÍNIMO.
- 12. Na quarta aula o professor deverá apresentar os slides a seguir.
- 13. Uma maneira diferente de encontrar raízes das funções quadráticas Quando vimos a resolução da equação polinomial do 2º grau, calculava- se as raízes através da fórmula de Bháskara. Agora vamos achar as raízes sem recorrer a fórmula. Resolvamos, então, as equações que aparecem abaixo, nesta ordem. x2 –1 = 0 x2 + 4 = 0 Essas foram bem fáceis! Vamos agora tentar resolver essas... (x – 5)2 = 0 (x + 3)2 = 0 E essas, como você resolveu? Também não são difíceis, não?
- 14. Vamos às próximas. (x – 2)2 – 1 = 0 (x + 4)2 – 8 = 0 Descreva sua resolução! Mais algumas... (x – 2)2 – 1 = 0 (x + 7)2 + 8 = 0 (x + 2)2 + 9 = 0 (x – 5)2 – 3 = 0 Houve algo diferente com alguma destas? Como você resolveu o problema? Exemplos de resolução esperados. (x – 2)2 – 1 = 0 → (x – 2)2 = 1 → x – 2 = +- √ 1 → x = 2 +- 1 → x= 1 ou x= 3 (x + 2)2 + 9 = 0 → (x + 2)2 = -9 → x + 2 = +- √(-9) , Não existe raiz real
- 15. Tente agora essas: 2(x – 1)2 – 4 = 0 3(x + 5)2 + 1 = 0 6(x – 2)2 – 10 = 0 12(x – 12)2 + 12 = 0 Para completar, só mais algumas... –(x – 1)2 – 4 = 0 –2(x – 4)2 + 8 = 0 –3(x + 2)2 + 9 = 0 –7(x – 4)2 – 7 = 0 O que você percebeu em relação à resolução destas? O que elas apresentam de diferente das anteriores? Como você resolveu esse problema?
- 16. Agora, vamos conhecer uma técnica de resolução de equações quadráticas conhecida por “completando quadrados”. Para isso, vamos relembrar um importante produto notável: Esse produto notável é conhecido como “quadrado da soma de dois termos” ou “quadrado da diferença de dois termos”. O resultado desta potência é conhecido como “trinômio quadrado perfeito”. Seu desenvolvimento surge da multiplicação de ou
- 17. Expressões Termo a ser acrescentado Forma Fatorada x2 – 4x + 4 x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 x2 + 6x x2 – 5x x2 +3x x2 - 8x + 2 + 14 x2 - 8x + 2 + 14 = x2 - 8x + 16 = (x – 4)2 x2 - 2x + 4 -3 x2 - 2x + 4 -3 = x2 - 2x + 1 = (x – 1)2 x2 - 7x - 9 x2 + 13x -1 Sua tarefa neste momento é acrescentar termos às expressões abaixo mostradas de maneira que eles se tornem trinômios quadrados perfeitos e que possam ser escritos na forma fatorada ou .
- 18. Na quinta aula o professor deverá mostrar os slides a seguir.
- 19. Agora você já conhece uma ferramenta poderosíssima em matemática e que poderá ajuda-lo em diversas outras áreas da própria matemática. Vamos usá-la para achar raízes de funções quadráticas, ou seja, para resolver equações do 2º grau? A ideia é usar a técnica de completar quadrados para reescrever a função quadrática (ou a equação polinomial do 2º grau) da maneira como aparece escrita no primeiro item desta lista. Ao trabalho!
- 21. Generalizando esta ideia, podemos concluir que uma função quadrática pode ser apresentada na forma geral, que você já conhecia, dada por f(x) = ax2 + bx + c ou na forma canônica, dada por f(x) = a(x – m)2 +k Vamos agora observar os gráficos de algumas funções quadráticas dadas na forma geral e na forma canônica. Complete a tabela a seguir:
- 22. Função quadrática a b c m k Vértice
- 25. O que você percebeu? Debata com seus colegas e relate aqui. A seguir, responda às perguntas: Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da função quadrática a ela relacionada na forma geral? Como você pode encontrar o vértice da parábola a partir da função quadrática a ela relacionada na forma canônica? Escreva a lei algébrica na forma canônica de uma função quadrática que tem vértice (1,2) e a = 1. Escreva a lei algébrica na forma geral da função quadrática dada no item anterior. Escreva a lei algébrica da função que tem vértice em (2,4) e que intersecta o eixo y em y = 3. A seguir, determine suas raízes, esboçando seu gráfico.
- 26. Sexta aula: Revisar cada ponto da matéria através dos programas disponíveis no site citado abaixo e ver como cada coeficiente altera o gráfico da função. Site http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html
- 27. Sexta aula: Avaliação final Avaliação dos alunos Avaliação dos conhecimentos adquiridos no processo de aprendizagem e da participação de cada um nas atividades desenvolvidas durante o mesmo.
- 28. Referência Bibliográfica Disponível em, < http://www.geogebra.org/cms/download>. Acessado em 02/10/2013. Disponível em, < http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa- br.html>. Acessado em 01/10/2013. Disponível em, http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw. Acessado em 01/10/2013. Disponível em, http://www.youtube.com/watch?v=83g2LhTqpjQ. Acessado em 01/10/2013.