Prova 01 de Autômatos e Computabilidade
- 1. Autˆomatos e Computabilidade: Prova 1 1. Indique se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira ou falsa, e justifique sua resposta. Aten¸c˜ao: respostas corretas sem uma justificativa adequada n˜ao receber˜ao pontos. N˜ao ´e necess´ario fazer provas formais. (a) Se um AFD M tem k estados, ent˜ao M deve aceitar alguma cadeia de comprimento pelo menos k − 1. Resposta: Falso. O conjunto de estados de aceita¸c˜ao de um autˆomato pode ser vazio, em cujo caso o autˆomato n˜ao aceita nenhuma cadeia. (b) O conjunto de todas as linguagens regulares sobre o alfabeto Σ = {a} ´e finito. Resposta: Falso. Os conjuntos {a}, {aa}, {aaa},...s˜ao linguagens regulares, e o conjunto delas, {{a},{aa},{aaa,. . . } ´e infinito. (c) A linguagem gerada pela express˜ao regular ∅∗ a∗ ´e vazia. Resposta: Falso. ∅∗ = {ε}; portanto, ∅∗ a∗ =a∗ . (d) Se L = L1 ∪ L2 e L e L1 s˜ao linguagens regulares, ent˜ao L2 tamb´em ´e regular. Resposta: Falso. Se L1 ´e a linguagem regular Σ∗ e L2 ´e qualquer linguagem n˜ao regular sobre Σ, ent˜ao L = L1 ∪ L2 = Σ∗ , que ´e regular. (e) Se L ´e uma linguagem regular sobre um alfabeto Σ, ent˜ao L′ = {aw| w ∈ L}, onde a ∈ Σ, tamb´em ´e regular. Resposta: Verdadeiro. Considere a linguagem regular L′′ = {a}. Ent˜ao, L′ = L′′ ◦ L, que ´e regular, pois a classe das linguagens regulares ´e fechada sobre a concatena¸c˜ao. (f) O conjunto de todas as palavras que est˜ao em todos os livros da Biblioteca Central da UnB, nas quais a quantidade de vogais ´e a mesma que a de consoantes, ´e uma linguagem regular. Resposta: Verdadeiro. O conjunto de todas essas palavras ´e finito, e todo con- junto finito ´e uma linguagem regular. Cada uma das palavras constitui uma lin- guagem regular com uma ´unica cadeia, pois podemos construir um AFD que aceite unicamente essa cadeia e rejeite qualquer outra. A uni˜ao de todas essas lingua- gens tamb´em ´e regular, pois a classe das linguagens regulares ´e fechada sobre essa opera¸c˜ao.
- 2. (g) Se um AFN M aceita a cadeia vazia (ε), ent˜ao o estado inicial de M necessariamente deve ser um estado de aceita¸c˜ao. Resposta: Falso. O seguinte AFN aceita (ε). q1 q2 ε (h) Toda linguagem finita ´e regular. Resposta: Verdadeiro. Cada uma das cadeias da linguagem constitui uma lin- guagem regular com uma ´unica cadeia, pois podemos construir um AFD que aceite unicamente essa cadeia e rejeite qualquer outra. A uni˜ao de todas essas lingua- gens tamb´em ´e regular, pois a classe das linguagens regulares ´e fechada sobre essa opera¸c˜ao. (i) Para cada linguagem regular L, ´e poss´ıvel construir um AFN que reconhe¸ca L e que tenha um ´unico estado de aceita¸c˜ao. Resposta: Verdadeiro. Se L ´e regular, ´e reconhecida por algum AFD, que pode ser transformado em um AFN M1. Para ter um ´unico estado de aceita¸c˜ao, cons- tru´ımos um novo AFN M, equivalente ao anterior, adicionando setas ε dos estados de aceita¸c˜ao de M1 a um novo estado de aceita¸c˜ao ´unico, como mostra o seguinte diagrama. M1 ε ε M (j) A linguagem gerada pela express˜ao regular ∅a∗ (a ∪ b) ´e vazia. Resposta: Verdadeiro. Concatenar ∅ a qualquer linguagem produz a linguagem vazia. (k) Se L ´e uma linguagem regular e L′ ⊆ L, ent˜ao L′ tamb´em ´e regular. Resposta: Falso. Por exemplo, suponha que L ´e a linguagem regular Σ∗ , e L′ ´e qualquer linguagem n˜ao regular sobre Σ. Ent˜ao, L′ ⊆ L. (l) Para cada AFN com n estados, existe um AFD com um m´aximo de 2n estados que reconhece a mesma linguagem que o AFN. Resposta: Verdadeiro. O m´etodo para transformar um AFN em um AFD equi- valente, visto em aula, produz um AFD cujos estados s˜ao subconjuntos do AFN. A quantidade de subconjuntos de estados do AFN ´e 2n .
- 3. 2. Considere o seguinte AFN sobre o alfabeto Σ = {a,b}. 1 2 3 4 5 ε,a b ε,b b ε a a ε,b (a) Transforme o AFN em um AFD que reconhe¸ca a mesma linguagem. Nomeie cada estado do AFD apropriadamente para indicar a quais estados do AFN corresponde. Aten¸c˜ao: N˜ao ´e necess´ario mostrar os estados inalcan¸c´aveis desde o estado inicial. Resposta: {1,2,3,4} {2,3,4,5} {2,3,4} a b b a a b (b) Qual a linguagem reconhecida pelo AFD? Forne¸ca uma express˜ao regular simples. Resposta: O AFD reconhece a linguagem (a ∪ b)∗ . Note que todos os estados s˜ao estados de aceita¸c˜ao. 3. Considere o seguinte AFN sobre o alfabeto Σ = {a,b}. 1 2 3 4 5 a b ε,b b ε,b a ε a
- 4. (a) Transforme o AFN em um AFD que reconhe¸ca a mesma linguagem. Nomeie cada estado do AFD apropriadamente para indicar a quais estados do AFN corresponde. Aten¸c˜ao: N˜ao ´e necess´ario mostrar os estados inalcan¸c´aveis desde o estado inicial. Resposta: {1} {2,3,4} {2,3,4,5} a,b a b b a (b) Qual a linguagem reconhecida pelo AFD? Forne¸ca uma express˜ao regular simples. Resposta: O AFD reconhece a linguagem (a ∪ b)(a ∪ b)∗ . Note que aceita qualquer cadeia, exceto a cadeia vazia. 4. Seja um AFN M que reconhece a linguagem L sobre o alfabeto {a,b}. Construa um novo AFN que reconhece a linguagem L′ = {xwx| w ∈ L, x ∈ Σ}. Por exemplo, se aab ∈ L, ent˜ao aaaba ∈ L′ e baabb ∈ L′ . Resposta: Verdadeiro. A partir do AFN M, constru´ımos o novo AFN, M′ , como mostra o seguinte diagrama. M b b a a a b M′ 5. Escreva uma express˜ao regular para a linguagem L que cont´em todas as cadeias em a∗ b∗ cujo comprimento ´e um m´ultiplo de 3. Por exemplo, L cont´em aaaabb, mas n˜ao cont´em ababab ou aaabb. Resposta: (aaa)∗ (bbb)∗ ∪ (aaa)∗ aab(bbb)∗ ∪ (aaa)∗ abb(bbb)∗ . 6. Utilize o lema do bombeamento para provar que a linguagem L1 = {ai bj ak | k > i + j} n˜ao ´e regular.
- 5. Resposta: Suponha que L1 ´e regular, e que p ´e o comprimento de bombeamento. Con- sidere a cadeia s =ap bap+2 ∈ L1, cujo comprimento ´e |s| > p. Fazemos s = xyz, onde |xy| ≤ p e |y| > 0. Ent˜ao, y deve conter somente as; assim, y =an , onde 0 < n ≤ p0. Segundo o lema, xyyz ∈ L1. No entanto, xyyz =ap+n bap+2 . Como p+2 n˜ao ´e maior que p + n + 1, ent˜ao xyyz /∈ L1. A contradi¸c˜ao indica que L1 n˜ao pode ser regular. 7. Utilize o lema do bombeamento para provar que a linguagem L1 = {ci bj ai+j | i,j > 0} n˜ao ´e regular. Resposta: Suponha que L1 ´e regular, e que p ´e o comprimento de bombeamento. Con- sidere a cadeia s =cp bp a2p ∈ L1, cujo comprimento ´e |s| > p. Fazemos s = xyz, onde |xy| ≤ p e |y| > 0. Ent˜ao, y deve conter somente cs; assim, y =cn , onde 0 < n ≤ p. Segundo o lema, xyyz ∈ L1. No entanto, xyyz =cn+p bp a2p . Como n + p + p = 2p, ent˜ao xyyz /∈ L1. A contradi¸c˜ao indica que L1 n˜ao pode ser regular.