![peso
proprio
.M
empuxo empuxo
de agua de terra
Figura 2.14: Barragem
• Existem for¸as tentando deslizar mol´culas no entorno de M, nas trˆs dire¸oes or-
c e e c˜
togonais, gerando tens˜es tangenciais ou cisalhantes nestas trˆs dire¸˜es.
o e co
Estas observa¸˜es evidenciam que a tens˜o num dado ponto da estrutura depende do
co a
plano no qual se calcula a tens˜o. Admitindo-se um plano passando por M e que possui
a
uma normal definida pelo vetor N , pode-se dizer que a tens˜o ρN , no ponto M no plano
a
considerado, ´ a soma vetorial da tens˜o normal σN com tens˜o tangencial τN , conforme
e a a
figura 2.15. Sua defini¸ao matem´tica ´ escrita como:
c˜ a e
dF
ρN = lim (2.2)
∆A→0 ∆A
onde dF ´ a for¸a de intera¸˜o atuante na ´rea ∆A.
e c ca a
N
σN
o
90
ρ
Mo . N
τN
Figura 2.15: Tens˜es no ponto M num plano de normal N
o
Tomando-se ent˜o cada um dos trˆs planos ortogonais yz (vetor normal paralelo ao
a e
eixo x), xz (vetor normal paralelo ao eixo y) e xy (vetor normal paralelo ao eixo z) ´ e
poss´ definir trˆs vetores tens˜es, respectivamente, ρx , ρy e ρz (ver figuras 2.16) que
ıvel e o
ser˜o fundamentais no estudo da grandeza tens˜o. As equa¸oes 2.3 a 2.5 mostram estes
a a c˜
vetores e suas componentes no referencial xyz. Observa-se que as tens˜o tangenciais totais
a
foram decompostas em duas componentes.
ρx = [σxx , τxy , τxz ] (2.3)
ρy = [τyx , σyy , τyz ] (2.4)
ρz = [τzx , τzy , σzz ] (2.5)
A nomenclatura usada ´ a seguinte:
e
17](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-18-320.jpg)
![N M
M o
N
o
τ yx x τ zx x
N σ zz τ zy
M σxx ρz
o
x τ yz σ
τ xz z yy ρy
τ xy
ρx
z
z y y y
(a) Vetor ρx (b) Vetor ρy (c) Vetor ρz
Figura 2.16: tens˜es nos trˆs planos ortogonais
o e
• As tens˜es normais s˜o indicadas pela letra σ e as tangenciais pela letra τ ;
o a
• O primeiro ´
ındice identifica o plano considerado, pois indica a dire¸˜o de sua normal.
ca
Exemplo: τxy primeiro ´ ındice x → plano: yz;
• O segundo identifica a dire¸ao da componente do vetor tens˜o. Exemplo: τxy se-
c˜ a
gundo ´
ındice y → dire¸˜o da tens˜o: y;
ca a
Normalmente, para ´
ındice idˆnticos, apresenta-se apenas um ´
e ındice. Assim as equa¸˜es
co
2.3 a 2.5 ficam:
ρx = [σx , τxy , τxz ] (2.6)
ρy = [τyx , σy , τyz ] (2.7)
ρz = [τzx , τzy , σz ] (2.8)
A maneira cl´ssica de se apresentar os vetores ρx , ρy e ρz ´ o tensor de tens˜es3 que
a e o
usualmente ´ representado pela letra grega σ conforme mostrado na equa¸˜o 2.9:
e ca
ρx σx τxy τxz
σ = ρy = τyx σy τyz (2.9)
ρz τzx τzy σz
Alguns dos nove elementos da matriz que compoem o tensor de tens˜es s˜o relacionados
o a
entre si. Tomando-se um cubo formando um s´lido infinitesimal em torno do ponto M,
o
conforme figura 2.17, tem-se o chamado s´lido de tens˜es.
o o
Em cada uma das faces foram representadas as tens˜es de contato entre o s´lido e o
o o
restante da estrutura. Numa estrutura em equil´ ıbrio, todas as partes da mesma tamb´m
e
dever˜o estar em equil´
a ıbrio. Assim sendo, aplicando-se as trˆs equa¸˜es de equil´
e co ıbrio de
for¸as ao s´lido da figura 2.17, tomando-se o limite quando dx → 0, dy → 0 e dz → 0,
c o
alternadamente, pode-se facilmente concluir que:
3
Uma grandeza tensorial necessita de v´rios vetores e/ou escalares para sua defini¸˜o
a ca
18](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-19-320.jpg)
![final deformada, conforme figura 2.25.
z
r
r
z .
P(x,y,z)
.
P(x,y,z) x r’ d
x y .’
P(x+u,y+v,z+w)
y
(a) Configura¸˜o indeformada
ca (b) Configura¸˜o deformada
ca
Figura 2.25: Campo de Deslocamentos
Em sua configura¸ao inicial qualquer ponto P , de coordenadas (x, y, z), pode ser
c˜
localizado utilizando-se um vetor posi¸ao r correspondente a esse ponto P (ver figura
c˜
2.25(a)). Ap´s a aplica¸ao das cargas o corpo se deforma para uma nova configura¸ao,
o c˜ c˜
indicada em linha cheia na figura 2.25(b) e o ponto P desloca-se para o ponto P . A linha
tracejada indica a configura¸˜o indeformada.
ca
Designando-se por u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z) as componentes, segundo dire¸oes
c˜
de eixos ortogonais, do deslocamento d sofrido por P , as coordenadas de P ser˜o dadas
a
por:
P = [x + u(x, y, z), y + v(x, y, z), z + w(x, y, z)] (2.24)
O campo de deslocamentos d para um ponto P gen´rico no interior do s´lido fornece
e o
ent˜o toda e qualquer informa¸ao relacionada ` mudan¸a de geometria do s´lido, resultado
a c˜ a c o
de um carregamento. Ou seja, tendo-se as fun¸˜es das componentes de deslocamento, que
co
´ v´lida para todo corpo:
e a
u(x, y, z)
d = v(x, y, z) (2.25)
w(x, y, z)
basta que se saiba as coordenadas (x, y, z) de um ponto qualquer deste corpo para se
obter a nova posi¸ao desse ponto ap´s o carregamento. Logo a posi¸ao final do ponto P ,
c˜ o c˜
definida pelo vetor r ´ a soma do vetor r com o vetor d (vide figura 2.25(b)). Considera-se
e
ainda que as componente u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) s˜o fun¸˜es cont´
a co ınuas, tendo em
vista a preserva¸˜o da continuidade do s´lido no processo de deforma¸ao.
ca o c˜
Exemplo: O seguinte campo de deslocamento representa as deforma¸˜es de um corpo
co
em um dado dom´ ınio:
d = x2 ı + (x + 3z) + 10k × 3 × 10−3 m (2.26)
Qual ´ o deslocamento do ponto originalmente situado na posi¸˜o definida pelo vetor
e ca
r = + k na conforma¸˜o geom´trica indeformada?
ca e
24](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-25-320.jpg)
![y
A’ B’
d(x, y, z) x
d(x+ ∆ x, y, z)
A ∆x B
z
Figura 2.29: Deforma¸oes longitudinais em fun¸˜o do campo de deslocamentos
c˜ ca
−−
−→
A Bx = ∆x + [u(x + ∆x, y z) − u(x, y z)] (2.34)
Substituindo a equa¸˜o 2.34 na equa¸ao 2.33 tem-se:
ca c˜
u(x + ∆x, y z) − u(x, y z)
x = lim (2.35)
∆x→0 ∆x
O segundo membro da equa¸ao 2.35 ´ identificado como a derivada parcial de u(x, y, z)
c˜ e
com rela¸˜o a x, ou seja:
ca
∂u
x = (2.36)
∂x
De forma an´loga pode-se obter:
a
∂v
y = (2.37)
∂y
∂w
z = (2.38)
∂z
De maneira semelhante, ´ poss´
e ıvel, a partir da equa¸˜o 2.29, definir-se as deforma¸˜es
ca co
transversais em fun¸ao do campo de deslocamentos d.
c˜
Partindo-se da figura 2.30 pode-se escrever:
DB
α = lim (2.39)
∆x→0 A D
Mas DB pode ser escrito como:
DB = v(x + ∆x, y, z) − v(x, y, z) (2.40)
e para pequenas deforma¸˜es lineares, pode-de dizer que:
co
A D = ∆x (2.41)
resultando para a equa¸˜o 2.39:
ca
28](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-29-320.jpg)
![calcular os volumes de dois blocos triangulares. Como mostrado, a se¸ao transversal
c˜
superior do elemento est´ submetida ` compress˜o, enquanto a se¸˜o transversal inferior
a a a ca
est´ submetida ` tra¸˜o.
a a ca
Temos:
1 h 1
T =C= σE b = bhσE (3.85)
2 2 4
Como T ´ igual mas oposta a C, a equa¸˜o 3.83 ´ satisfeita e, de fato, o eixo neutro
e ca e
passa atrav´s do centr´ide da ´rea da se¸ao transversal.
e o a c˜
O momento el´stico m´ximo ME ´ determinado pela equa¸˜o 3.84, que o declara
a a e ca
equivalente ao momento da tens˜o de distribui¸˜o em torno de um eixo neutro. Para
a ca
aplicar essa equa¸ao geometricamente, temos de determinar os momentos criados por T
c˜
e C em torno do eixo neutro (figura 3.82). Como cada for¸a atua atrav´s do centr´ide do
c e o
volume do seu bloco de tens˜o triangular associado, temos:
a
2 h 2 h
ME = C +T
3 2 3 2
1 2 h
ME = 2 bhσE
4 3 2
1 2
ME = bh σE (3.86)
6
Naturalmente, esse mesmo resultado pode ser obtido de maneira mais direta pela
f´rmula da flex˜o, ou seja, σE = ME (h/2)/[bh3 /12], ou ME = bh2 σE /6
o a
σE
h σ2
y2 σ1
2 y1
y1 σ1
h y2
σ2
2 σE
Figura 3.81: Diagrama de tens˜o
a
b
σE
A
h
2
C
N
h
2
ME
T
σE
Figura 3.82:
88](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-89-320.jpg)
![σE
σE
Figura 3.92:
Momento El´stico M´ximo. A distribui¸˜o de tens˜o normal do momento el´stico
a a ca a a
m´ximo ´ mostrada na figura 3.92.
a e
O momento de in´rcia em torno do eixo neutro ´:
e e
1 1
Iz = (12, 7) (228, 6) 3 + 2 (203, 2) (12, 7) 3 + (203, 2) (12, 7) (114, 3) 2
12 12
Iz = 87, 84 × 106 mm4
Aplicando a f´rmula da flex˜o, temos:
o a
ME y
σE =
Iz
ME (127)
248, 2 =
87, 84 × 106
ME = 171, 67 kN
Momento Pl´stico. O momento pl´stico provoca escoamento do a¸o em toda a
a a c
se¸ao transversal da viga, de modo que a distribui¸ao de tens˜o normal fica com a
c˜ c˜ a
aparˆncia mostrada na figura 3.93. Devido ` simetria da ´rea da se¸˜o transversal
e a a ca
e como os diagramas tens˜o-deforma¸ao de tra¸ao e compress˜o s˜o os mesmos, o
a c˜ c˜ a a
eixo neutro passa pelo centr´ide da se¸˜o transversal. Para determinar o momento
o ca
pl´stico, dividimos a distribui¸ao de tens˜o em quatro s´lidos retangulares com-
a c˜ a o
postos, sendo o volume de cada s´lido igual ` for¸a por ele produzida. Portanto,
o a c
temos:
C1 = T1 = 248, 2 × 12, 7 × 114, 3 = 360 kN
C2 = T2 = 248, 2 × 12, 7 × 203, 2 = 641 kN
Essas for¸as atuam atrav´s do centr´ide do volume de cada s´lido. Calculando os
c e o o
momentos dessas for¸as em torno do eixo neutro, obtemos o momento pl´stico:
c a
MP = 2 [(57, 2) (360)] + 2 [(120, 7) (641)] = 195, 92 kNm
Fator Forma Aplicando a equa¸˜o 3.93, temos:
ca
94](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-95-320.jpg)
![b
t
h
t
Figura 3.143: Figura do exemplo com viga U
aba
fmax
alma
fmax
aba
fmax
Figura 3.144:
P=Q
e
A Faba
A
h =
Q
Faba
Figura 3.145:
2
1 h th2 h
I = th3 + 2 bt = +b (3.117)
12 2 2 6
Pela Figura 3.146, q em uma posi¸ao arbitr´ria x ´:
c˜ a e
QMs Q(h/2)[b − x]t Q(b − x)
f= = = (3.118)
I (th2 /2[(h/6) + b] h[(h/6) + b]
Ent˜o, a for¸a Faba ´:
a c e
b Q b Qb2
Faba = qdx = (b − x)dx = (3.119)
0 h[(h/6) + b] 0 2h[(h/6) + b]
aba
Obviamente este resultado poderia ser obtido encontrado primeiro fmax (Figura
117](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-118-320.jpg)
![N A
h/2
q
x dx
b
Figura 3.146:
aba
3.144) e depois calculando a ´rea triangular Faba = b/2fmax .
a
• Centro de Cisalhamento.
Somando os momentos em torno do ponto A (Figura 3.145), requer-se que:
Qb2 h
Qe = Faba h = (3.120)
2h[(h/6) + b]
Assim:
b2
e= (3.121)
[(h/3) + 2b]
Como mencionamos anteriormente, e depende apenas da geometria da se¸ao transver-
c˜
sal.
3.4.8 Exerc´
ıcios
1. O conjunto da figura 3.147 est´ submetido a um cisalhamento vertical Q=31,14mm.
a
Determinar o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B e o seu valor m´
ınimo na se¸ao
c˜
transversal.
(Resp.: fa = 34, 31 N/mm; fb = 79, 26 N/mm; fmax = 112, 47 N/mm)
2. Determinar a localiza¸ao e do centro de cisalhamento, ponto O, do elemento de
c˜
paredes finas com a se¸˜o transversal mostrada na figura 3.148. Os segmentos do
ca
elemento tˆm a mesma espessura t.
e
(Resp.: e = 27, 19 mm)
3. Determinar a localiza¸ao e do centro de cisalhamento, ponto O, do membro de
c˜
paredes finas com uma fenda ao longo de sua lateral mostrado na figura 3.149.
Cada elemento tem espessura constante t.
(Resp.: e = 7a/10)
118](https://image.slidesharecdn.com/resmat2007a-120318221139-phpapp02/85/Resmat2007a-119-320.jpg)
Resmat2007a
- 1. Apostila de Resistˆncia dos Materiais e prof. Fl´vio de Souza Barbosa (flavio.barbosa@ufjf.edu.br) a 5 de agosto de 2008
- 2. Sum´rio a 1 Introdu¸˜o ca 3 1.1 Aspectos gerais do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Programa e distribui¸˜o das aulas . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . 3 1.1.4 Bibliografia b´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . 4 1.2 Sistema de Avalia¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . 4 1.3 Vis˜o geral do conte´do do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a u . . . 5 1.3.1 Um conceito de c´lculo estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . 8 1.3.2 Pressupostos e hip´teses b´sicas da Resistˆncia dos Materiais . o a e . . . 9 1.3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Introdu¸˜o ` An´lise de Tens˜es e Deforma¸oes ca a a o c˜ 11 2.1 Estudo das tens˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 O Tensor de tens˜es . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Estudo das deforma¸˜es: . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Campo de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Componentes de Deforma¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4 Rela¸ao Deforma¸˜o-Deslocamento . . . . c˜ ca . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Rela¸˜es entre tens˜es e deforma¸˜es . . . . . . . co o co . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 O Teste ou Ensaio de Tra¸˜o: . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Ensaio de Compress˜o . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 O ensaio de tor¸ao . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.4 Lei de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Tens˜es e Deforma¸˜es em Barras de Eixo Reto o co 40 3.1 Solicita¸˜o por esfor¸o normal . . . . . . . . . . . . . . . . . ca c . . . . . . . . 44 3.1.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Solicita¸˜o por momento torsor . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . 55 3.2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . 55 3.2.2 An´lise de Tens˜es e deforma¸oes na tor¸ao . . . . . a o c˜ c˜ . . . . . . . . 56 3.2.3 C´lculo do ˆngulo de tor¸˜o . . . . . . . . . . . . . . a a ca . . . . . . . . 58 3.2.4 Torque Aplicado ao eixo na Transmiss˜o de Potˆncia a e . . . . . . . . 58 1
- 3. 3.2.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.6 Tor¸˜o em tubos de paredes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 62 3.2.7 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3 Solicita¸˜o por momento fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 68 3.3.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 68 3.3.2 C´lculo das Tens˜es Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 69 3.3.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.4 V´rias formas da se¸˜o transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ca 76 3.3.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.6 Vigas de dois materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.7 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.8 Flex˜o Inel´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 86 3.4 Solicita¸˜o por Esfor¸o Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca c 100 3.4.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 100 3.4.2 Tens˜es de Cisalhamento em Vigas de Se¸ao Retangular Constante o c˜ 101 3.4.3 Tens˜es de Cisalhamento em Vigas de Se¸ao de Diferentes Formas . o c˜ 104 3.4.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4.5 Fluxo de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.4.6 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4.7 Centro de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.8 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4 T´picos complementares o 120 4.1 Linha el´stica de vigas sujeitas ` flex˜o . a a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.1.1 Defini¸ao . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 ˆ 4.1.2 Angulo de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.1.3 Equa¸ao diferencial da LE . . . . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1.4 M´todo da integra¸ao direta . . . e c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2 Problemas estaticamente indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2
- 4. Cap´ ıtulo 1 Introdu¸˜o ca Esta apostila possui diversas partes extra´ ıdas da apostila de Resistˆncia dos Materiais do e Prof. Jo˜o Chafi Hallack. a 1.1 Aspectos gerais do curso 1.1.1 Objetivos Gerais Fornecer ao aluno conhecimentos b´sicos das propriedades mecˆnicas dos s´lidos reais, a a o com vistas ` sua utiliza¸ao no projeto e c´lculo de estruturas. Capacitar o aluno ao c´lculo a c˜ a a de tens˜es e deforma¸oes causadas pelos esfor¸os simples, no regime da elasticidade, bem o c˜ c como ` resolu¸˜o de problemas simples de dimensionamento, avalia¸ao e verifica¸ao. a ca c˜ c˜ 1.1.2 Ementa Princ´ ıpios e Objetivos da Resistˆncia dos Materiais. M´todos de An´lise. Tens˜es e e e a o Deforma¸˜es. Tra¸ao e Compress˜o Simples. Cisalhamento Simples. Tor¸ao. Flex˜o co c˜ a c˜ a Pura em Vigas. Tens˜es de Cisalhamento em Vigas. Deforma¸˜es em Vigas. o co 1.1.3 Programa e distribui¸˜o das aulas ca 1. Introdu¸ao (2 aulas) c˜ 2. Tens˜es (4 aulas) o 3. Deforma¸oes (2 aulas) c˜ 4. Rela¸oes entre tens˜es e deforma¸oes (2 aulas) c˜ o c˜ 5. Tens˜es e deforma¸˜es em barras o co (a) Solicita¸˜o por esfor¸o normal (6 aulas) ca c (b) Solicita¸˜o por momento torsor ( 6 aulas) ca (c) Solicita¸˜o por momento fletor (10 aulas) ca (d) Solicita¸˜o por esfor¸o cortante (6 aulas) ca c 6. Linha el´stica em vigas sujeitas ` flex˜o (6 aulas) a a a 3
- 5. 7. Problemas estaticamente indeterminados (4 aulas) 8. Provas, atividades extras (12 aulas) 1.1.4 Bibliografia b´sica a 1. HIBBELER, R.C. Resistˆncia dos Materiais. Ed. Pearson e 2. BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell. Resistˆncia dos Materiais. Mc Graw e Hill. 3. GERE, James M. Mecˆnica dos Materiais. Editora Thomson. a 4. TIMOSHENKO, Stephen, GERE, James. Mecˆnica dos S´lidos; vol. 1. LTC a o editora. 5. POPOV, Egor Paul. Resistˆncia dos Materiais. PHB editora. e 6. SHAMES. Mecˆnica dos S´lidos. a o 1.2 Sistema de Avalia¸˜o ca • 1o TVC - at´ item 5 (a) - valor 100 pontos - data: 26/08/08 , 8h. e • 2o TVC - at´ item 5 (c) - valor 100 pontos - data: 30/09/2008, 8h. e • 3o TVC - at´ item 7 - valor 100 pontos - data: 04/11/2008, 8h. e • 2a chamada - mat´ria toda - data 11/11/2008, 8h. e Nota Final = (Nota 1o TVC + Nota 2o TVC + Nota 3o TVC)/3 O aluno ser´ aprovado se obtiver Nota Final maior ou igual 60. a 4
- 6. 1.3 Vis˜o geral do conte´ do do curso a u Este cap´ ıtulo visa dar uma vis˜o geral sobre o estudo da resistˆncia dos materiais e suas a e hip´teses b´sicas, da organiza¸˜o deste texto e da forma com que cada cap´ o a ca ıtulo abrange o conte´do da disciplina. u O estudo da Resistˆncia dos Materiais tem por objetivo fornecer conhecimentos b´sicos e a das propriedades mecˆnicas de s´lidos reais, visando utiliz´-los no projeto, modelagem e a o a c´lculo de estruturas. a Por esta raz˜o, em muitos cursos de Engenharia (Civil, Mecˆnica, Naval, El´trica, etc) a a e esta disciplina ´ intitulada Introdu¸˜o ` Mecˆnica dos S´lidos ou simplesmente Mecˆnica e ca a a o a dos S´lidos. o A boa compreens˜o dos conceitos que envolvem a mecˆnicas de s´lidos est´ intima- a a o a mente ligada ao estudo de duas grandezas f´ ısicas: A tens˜o e a deforma¸ao, que ser˜o a c˜ a abordadas durante todo o tempo neste curso. Estas duas grandezas f´ ısicas s˜o fundamentais nos procedimentos que envolvem o a c´lculo de uma estrutura. Mas o que ´ uma estrutura? Estrutura ´ a parte resistente de a e e uma constru¸ao e ´ constitu´ de diversos elementos estruturais que podem ser classifi- c˜ e ıda cados como: • blocos - os blocos s˜o elementos estruturais nos quais tem-se as trˆs dimens˜es a e o (imaginando-se um retˆngulo envolvente) com valores significativos numa mesma a ordem de grandeza. Alguns exemplos s˜o mostrados nas figuras 1.1. a (a) Sapata de funda¸˜o ca (b) Bloco de coroamento de estaca Figura 1.1: Exemplos de elementos estruturais do tipo bloco • placas - s˜o elementos estruturais para os quais uma das dimens˜es (espessura) ´ a o e bastante inferior `s demais. Alguns exemplos s˜o mostrados nas figuras 1.2. As a a “placas ” curvas s˜o denominadas de cascas. Exemplos nas figuras 1.3. a • barras - s˜o elementos estruturais para os quais duas das dimens˜es (largura e altura) a o s˜o bastante inferiores ` terceira (comprimento). Podem ser retas (vigas, pilares, a a tirantes e escoras) ou curvas (arcos). Alguns exemplos s˜o mostrados nas figuras a 1.4 • elementos de forma geom´trica de dif´ defini¸ao - estes elementos estruturais apre- e ıcil c˜ sentam dificuldades na descri¸ao de seu comportamento f´ c˜ ısico mas n˜o s˜o menos a a 5
- 7. (a) Laje de uma edifica¸˜o ca (b) Museu de Arte Moderna de S˜o a Paulo (MASP) Figura 1.2: Exemplos de elementos estruturais do tipo placa (a) Avi˜o Embraer 190 a (b) Lata de refrigerante (c) Navio Figura 1.3: Exemplos de elementos estruturais do tipo casca 6
- 8. (a) Barras curvas - ponte JK sobre o (b) Ponte com viga de se¸˜o vari´vel - ca a lago Parano´ - Bras´ a ılia Rouen, Fran¸a c Figura 1.4: Exemplos de elementos estruturais do tipo barra numerosos que os demais. Num conceito amplo de estrutura estes elementos podem fazer parte da estrutura de um motor, um esqueleto humano ou uma pe¸a mecˆnica c a ou mesmo uma estrutura civil mais rebuscada. Ver exemplos nas figuras 1.5. (a) Mand´ ıbula humana (b) Motor de autom´vel o Figura 1.5: Exemplos de elementos estruturais complexos O curso de Resistˆncia dos Materiais I procura dar ˆnfase ao estudo do elemento e e estrutural barra conforme se observa no cap´ ıtulo3. 7
- 9. 1.3.1 Um conceito de c´lculo estrutural a A id´ia de c´lculo estrutural pode ser dividida em trˆs frentes de trabalho n˜o indepen- e a e a dentes: • Fase 1 - Ante-projeto da estrutura: Nesta fase uma concep¸˜o inicial do projeto ca ´ criada. A estrutura pode ser um edif´ e ıcio, um navio, um avi˜o, uma pr´tese ´ssea, a o o uma ponte, etc. As dimens˜es das pe¸as estruturais s˜o arbitradas segundo crit´rios o c a e t´cnicos e emp´ e ıricos. • Fase 2 - Modelagem. Modelar um fenomeno f´ ısico ´ descrever seu comportamento e atrav´s de equa¸oes matem´ticas. Neste processo parte-se normalmente de um mod- e c˜ a elo que re´ne as principais propriedades do fenˆmeno que se deseja modelar. No u o caso de estruturas, os modelos estruturais s˜o cosntitu´ a ıdos de elementos estruturais. A partir do conhecimento do comportamento dos elementos estruturais e do carrega- mento envolvido s˜o determinadas as deforma¸oes e tens˜es a que a estrutura est´ a c˜ o a submetida. No caso de barras, uma boa parte desta tarefa pode ser realizada com o aux´ dos conhecimentos a serem obtidos nesta disciplina (Resistˆncia dos Materi- ılio e ais) e na disciplina An´lise Estrutural. Para outros tipos de elementos estruturais, a devido ` complexidade dos c´lculos, ser˜o necess´rios estudos mais aprofundados a a a a em mecˆnica dos s´lidos e m´todos num´ricos que viabilizem a solu¸˜o do prob- a o e e ca lema. O m´todo num´rico mais conhecido na modelagem estrutural ´ o M´todo dos e e e e Elementos Finitos (MEF). Em alguns casos, por se tratarem de elementos estruturais complexos mas que ocor- rem com bastante freq¨ˆncia nas estruturas, v´rios estudos j´ foram realizados e ue a a apontam aproxima¸˜es de boa qualidade. Estas aproxima¸oes normalmente s˜o co c˜ a apresentados em forma de tabelas ou ´bacos, mas s˜o restritas a uma s´rie de a a e hip´teses simplificadoras e atendem somente alguns casos espec´ o ıficos, como por ex- emplo as tabelas para c´lculo de esfor¸os em lajes retangulares. a c • Fase 3 - Dimensionamento das pe¸as. Nesta fase ´ necess´rio o conhecimento c e a de quest˜es espec´ o ıficas de cada material que constitu´ a estrutura (a¸o, madeira, ı c alum´ınio, comp´sito, concreto, etc). Este conhecimento ser´ adquirido em cursos o a espec´ıficos como: Concreto I e II e Estruturas Met´licas. Nesta fase ´ poss´ que a e ıvel se tenha necessidade de retornar ` Fase 1 pois os elementos estruturais podem ter a sido sub ou super avaliados. Neste caso parte-se para um processo recursivo at´ que e o grau de refinamento requerido para o projeto seja alcan¸ado. c O c´lculo de uma estrutura depende de trˆs crit´rios: a e e • Estabilidade: Toda estrutura dever´ atender `s equa¸oes universais de equil´ a a c˜ ıbrio est´tico. a • Resistˆncia: Toda estrutura dever´ resistir `s tens˜es internas geradas pelas a¸˜es e a a o co solicitantes. • Rigidez: Al´m de resistir `s tens˜es internas geradas pelas a¸˜es solicitantes, as e a o co estruturas n˜o podem se deformar excessivamente. a 8
- 10. 1.3.2 Pressupostos e hip´teses b´sicas da Resistˆncia dos Ma- o a e teriais A Resistˆncia dos Materiais ´ uma ciˆncia desenvolvida a partir de ensaios experimentais e e e e de an´lises te´ricas. a o Os ensaios ou testes experimentais, em laborat´rios, visam determinar as caracter´ o ısticas f´ ısicas dos materiais, tais como as propriedades de resistˆncia e rigidez, usando corpos de e prova de dimens˜es adequadas. o As an´lises te´ricas determinam o comportamento mecˆnico das pe¸as em modelos a o a c matem´ticos idealizados, que devem ter razo´vel correla¸˜o com a realidade. Algumas a a ca hip´teses e pressupostos s˜o admitidos nestas dedu¸˜es e s˜o eles: o a co a 1. Continuidade F´ ısica: A mat´ria apresenta uma estrutura continua, ou seja, s˜o desconsiderados todos os e a vazios e porosidades. 2. Homogeneidade: O material apresenta as mesmas caracter´ ısticas mecˆnicas, elasticidade e de re- a sistˆncia em todos os pontos. e 3. Isotropia: O material apresenta as mesmas caracter´ ısticas mecˆnicas el´sticas em todas as a a dire¸oes. Ex: As madeiras apresentam, nas dire¸oes das fibras, caracter´ c˜ c˜ ısticas mecˆnicas e resistentes distintas daquelas em dire¸ao perpendicular e portanto n˜o a c˜ a ´ considerada um material is´tropo. e o 4. Equil´ ıbrio: Se uma estrutura est´ em equil´ a ıbrio, cada uma de suas partes tamb´m est´ em e a equil´ ıbrio. 5. Pequenas Deforma¸oes: c˜ As deforma¸oes s˜o muito pequenas quando comparadas com as dimens˜es da es- c˜ a o trutura. 6. Saint-Venant: Sistemas de for¸as estaticamente equivalentes causam efeitos idˆnticos em pontos c e suficientemente afastados da regi˜o de aplica¸ao das cargas. a c˜ 7. Se¸oes planas: c˜ A se¸˜o transversal, ap´s a deforma¸ao, permanece plana e normal ` linha m´dia ca o c˜ a e (eixo deformado). 8. Conserva¸˜o das ´reas: ca a A se¸ao transversal, ap´s a deforma¸ao, conserva as suas dimens˜es primitivas. c˜ o c˜ o 9. Lei de Hooke: A for¸a aplicada ´ proporcional ao deslocamento. c e F = kd (1.1) 9
- 11. onde: F ´ a for¸a aplicada; k ´ a constante el´stica de rigidez e d ´ o deslocamento; e c e a e 10. Princ´ ıpio da Superposi¸˜o de efeitos: ca Os efeitos causados por um sistema de for¸as externas s˜o a soma dos efeitos pro- c a duzidos por cada for¸a considerada agindo isoladamente e independente das outras. c A fim de compensar as incertezas na avalia¸˜o das cargas, na determina¸ao das pro- ca c˜ priedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplifica¸oes, ´ previsto nas Normas c˜ e T´cnicas a ado¸˜o de coeficientes de seguran¸a. Consiste em se majorar as cargas e se e ca c reduzir a resistˆncia dos materiais. Os diversos crit´rios adotados para escolha dos coe- e e ficientes de seguran¸a adequados s˜o estudados ao longo do curso de Engenharia Civil. c a Adota-se neste texto um coeficiente de seguran¸a unico que reduz a capacidade de carga c ´ da estrutura. 1.3.3 Exerc´ ıcios 1. Dˆ um conceito para estrutura. e 2. Descreva os tipos de elementos estruturais. 3. Conceitue c´lculo estrutural. a 4. Quais s˜o as hip´teses b´sicas e/ou pressupostos da Resistˆncia dos Materiais? a o a e 10
- 12. Cap´ ıtulo 2 Introdu¸˜o ` An´lise de Tens˜es e ca a a o Deforma¸˜es co 2.1 Estudo das tens˜es o 2.1.1 Introdu¸˜o ca Um conceito da grandeza tens˜o pode ser encarado como uma extens˜o do conceito da a a grandeza press˜o. a Imaginemos o sistema de ˆmbolos apresentado abaixo: e F2 2 F1 1 Figura 2.1: Sistema de ˆmbolos e Utilizando-se os conceitos de f´ ısica do ensino m´dio, pode-se dizer que a press˜o P no e a interior do duto ´ constante e tem valor: e F1 F2 P = = (2.1) A1 A2 onde F1 e F2 s˜o as for¸as aplicadas nas extremidades e A1 e A2 s˜o as ´reas da se¸ao a c a a c˜ transversal do duto onde s˜o aplicadas F1 e F2 , respectivamente. a Os macacos hidr´ulicos s˜o aplica¸oes diretas da equa¸˜o 2.1, pois com uma pequena a a c˜ ca for¸a aplicada na extremidade 2 do sistema de ˆmbolos pode-se produzir uma for¸a de c e c magnitude consider´vel na extremidade 1, dependendo da raz˜o entre as ´reas A1 e A2 . a a a Algumas conclus˜es j´ podem ser obtidas analisando a grandeza press˜o: o a a • Sua unidade de medida ser´: unidade de for¸a dividido por unidade de ´rea. No a c a 2 Sistema Internacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m . Como 1 Pa representa uma press˜o relativamente pequena1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo a (103 ) ou mega (106 ). Exemplos: 10 MPa, 45 kPa, etc. 1 imagine uma for¸a de 1N atuando em 1 m2 . c 11
- 13. • O m´dulo da press˜o ´ o mesmo no interior do duto, mas a dire¸˜o e sentido n˜o. o a e ca a Pode-se dizer ent˜o que a press˜o ´ uma grandeza vetorial. a a e • A dire¸˜o da for¸a F2 gerada no sistema de ˆmbolo ´ sempre a mesma da press˜o ca c e e a atuante na se¸˜o 2, e esta dire¸ao ´ sempre normal ` superf´ do ˆmbolo. ca c˜ e a ıcie e Porque surgiu press˜o no interior do duto? a A resposta ´ simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem e restri¸˜es ao deslocamento, surgem as press˜es. Assim sendo, no caso do ˆmbolo da co o e figura 2.1, se n˜o existir resistˆncia na se¸ao 2, o fluido entraria em movimento acelerado a e c˜ e escoaria sem o surgimento de press˜es internas. Em outras palavras, ´ preciso que haja o e confinamento (press˜o positiva) ou aumento do volume dos dutos (press˜o negativa). a a Um racioc´ an´logo pode ser aplicado aos s´lidos. Supondo que se exer¸a uma for¸a ınio a o c c F sobre um s´lido qualquer conforme figura 2.2. o F Figura 2.2: S´lido sujeito a carregamento o Da mesma maneira que nos fluidos, tem-se duas possibilidades: ou o s´lido entra em o movimento ou, no caso onde existam restri¸oes ao deslocamento (como no exemplo da c˜ figura 2.2), surgem o que nos s´lidos se denominam tens˜es. o o A grande diferen¸a entre s´lidos e fluidos pode ser observada na figura 2.3: c o F1 F1 F2 F2 fluido solido Figura 2.3: Fluido e s´lido sujeitos a carregamentos o Em ambos os casos na figura surgir˜o press˜es (para o fluido) e tens˜es (para o s´lido) a o o o quando se aplica a carga F1 (dire¸ao axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga c˜ F2 (transversal ao tubo) pode-se verificar que o fluido n˜o oferece a menor resistˆncia a e ao corte ou cisalhamento, por´m no s´lido isso n˜o acontece. Esta diferen¸a motivou os e o a c 12
- 14. pesquisadores a estudarem os s´lidos e os fluidos em duas grandes ´reas do conhecimento: o a Mecˆnica dos S´lidos e Mecˆnica dos Fluidos. a o a Ent˜o, diferentemente dos l´ a ıquidos, as tens˜es em um s´lido podem ocorrer de duas o o formas: • Tens˜es normais: Estas tens˜es s˜o resultado de um carregamento2 que provoca o o a ca e o ´ a aproxima¸˜o ou o afastamento de mol´culas que constituem o s´lido. E o caso do carregamento F1 da figura 2.3. • Tens˜es cisalhantes ou tangenciais: Estas tens˜es s˜o resultado de um carrega- o o a mento que provoca um deslizamento relativo de mol´culas que constituem o s´lido. e o ´ E o caso do carregamento F2 da figura 2.3. 2.1.2 Exerc´ ıcios 1. Uma placa ´ fixada a uma base de madeira por meio de trˆs parafusos de diˆmetro e e a 22mm. Calcular a tens˜o m´dia de cisalhamento nos parafusos para uma carga a e P =120 kN, conforme mostra a figura 2.4 Resp.:105,2 MPa P Figura 2.4: Figura do exerc´ 1 ıcio 2. Duas pe¸as de madeira de se¸˜o retangular 80mm x 140mm s˜o coladas uma ` outra c ca a a em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura 2.5. Calcular as tens˜es na cola o para P = 16 kN e para: a) θ = 30o ; b) θ = 45o ; c) θ = 60o Resp.: a) σN =357,1 kPa, τN =618,6 kPa ; b) σN = τN =714,3 kPa ; c) σN =1071,0 kPa, τN =618,6 kPa P P θ Figura 2.5: Figura do exerc´ 2 ıcio 3. Determinar a tens˜o normal de compress˜o m´tua (ou tens˜es de “contato”ou tens˜o a a u o a de “esmagamento”) da figura 2.6 entre: 2 carregamento neste caso pode ser entendido como: sistema de vor¸as aplicado, varia¸˜o de temper- c ca atura, modifica¸˜o nas condi¸˜es de apoio ou deslocamento imposto ca co 13
- 15. a) o bloco de madeira de se¸˜o 100mm x 120mm e a base de concreto 500mm x ca 500mm x 60mm. b) a base de concreto e o solo. Resp.: a) 3333 kPa ; b) 160 kPa 40 kN Madeira Concreto Figura 2.6: Figura do exerc´ 3 ıcio 4. Calcular as tens˜es de “contato”em A, B e C, na estrutura representada na figura o 2.7. (dimens˜es em metros) o Resp.: 777,8 kPa, 888,9 kPa e 1111 kPa 25 kN 0,15 x 0,15 0,15 x 0,30 C A B 0,10 0,10 1,6 1,4 Figura 2.7: Figura do exerc´ 4 ıcio 5. Calcular o comprimento total 2L da liga¸˜o de duas pe¸as de madeira, conforme ca c a figura 2.8, e a altura h necess´ria, dados P =50 kN, b= 250mm e as tens˜es a o admiss´ıveis na madeira s˜o: 0,8MPa ao corte e 6,5 MPa ` compress˜o. a a a Resp.: 2L = 500mm ; h= 31mm. 6. Duas pe¸as de madeira de se¸˜o 5cm x 5cm s˜o coladas na se¸˜o inclinada AB (ver c ca a ca figura 2.9). Calcular o valor m´ximo admiss´ da carga P , axial de compress˜o, a ıvel a dadas as tens˜es admiss´ o ıveis na cola: 9,0 MPa ` compress˜o e 1,8 MPa ao cisal- a a hamento. Resp.: P = 18,0 kN. 7. Um parafuso de 20mm de diˆmetro ´ apertado contra uma pe¸a de madeira exercendo- a e c se uma tens˜o de tra¸˜o de 120 MPa (ver figura 2.10). Calcular a espessura e da a ca 14
- 16. b P P h L L Figura 2.8: Figura do exerc´ 5 ıcio B P 15° P A Figura 2.9: Figura do exerc´ 6 ıcio cabe¸a do parafuso e o diˆmetro externo d da arruela, dadas as tens˜es admiss´ c a o ıveis 50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, ` compress˜o na madeira a a Resp.: e = 12 mm ; d = 72,11 mm d e Figura 2.10: Figura do exerc´ 7 ıcio 8. Um eixo vertical ´ suportado por um colar de escora sobre uma placa de apoio (ver e figura 2.11). Determinar a carga axial m´xima que pode ser aplicada ao eixo se a a tens˜o m´dia de corte no colar e a tens˜o m´dia entre o colar e a placa s˜o limitadas a e a e a respectivamente por 40 MPa e 65 MPa. Resp.: 314,16 kN 9. Uma articula¸ao de pino deve resistir a uma for¸a de tra¸˜o P = 60 kN (ver figura c˜ c ca 2.12). Calcular o diˆmetro do pino e a espessura m´ a ınima da chapa para as tens˜es o admiss´ıveis de 50 MPa ao corte e 120 MPa ` tra¸ao. a c˜ Resp.: d = 19,55 mm ; e = 6,25 mm 10. Uma chapa deve ser furada por pun¸ao, exercendo-se no perfurador uma tens˜o de c˜ a compress˜o de 420 MPa. Na chapa, a tens˜o de rutura ao corte ´ de 315 MPa 2.13. a a e a) Calcular a espessura m´xima da chapa para fazer um furo de 75 mm de diˆmetro; a a 15
- 17. 10cm 15cm 2,5 cm P Figura 2.11: Figura do exerc´ 8 ıcio 5 x 4 cm P P e P P d Figura 2.12: Figura do exerc´ 9 ıcio b) Calcular o menor diˆmetro que pode ter o furo, se a espessura da chapa ´ de 6 a e mm. Resp.: a) 25 mm ; b) 18 mm Figura 2.13: Figura do exerc´ 10 ıcio 2.1.3 O Tensor de tens˜es o Uma vez compreendida as caracter´ ısticas fundamentais da grandeza tens˜o, e de sua a liga¸˜o com a j´ conhecida grandeza press˜o, passa-se agora ao seu estudo detalhado. ca a a Partindo-se do exemplo apresentado na figura 2.14 duas observa¸oes podem ser feitas: c˜ • Existem for¸as tentando aproximar ou afastar mol´culas no entorno de M, nas trˆs c e e dire¸oes ortogonais, gerando tens˜es normais nestas trˆs dire¸˜es. c˜ o e co 16
- 18. peso proprio .M empuxo empuxo de agua de terra Figura 2.14: Barragem • Existem for¸as tentando deslizar mol´culas no entorno de M, nas trˆs dire¸oes or- c e e c˜ togonais, gerando tens˜es tangenciais ou cisalhantes nestas trˆs dire¸˜es. o e co Estas observa¸˜es evidenciam que a tens˜o num dado ponto da estrutura depende do co a plano no qual se calcula a tens˜o. Admitindo-se um plano passando por M e que possui a uma normal definida pelo vetor N , pode-se dizer que a tens˜o ρN , no ponto M no plano a considerado, ´ a soma vetorial da tens˜o normal σN com tens˜o tangencial τN , conforme e a a figura 2.15. Sua defini¸ao matem´tica ´ escrita como: c˜ a e dF ρN = lim (2.2) ∆A→0 ∆A onde dF ´ a for¸a de intera¸˜o atuante na ´rea ∆A. e c ca a N σN o 90 ρ Mo . N τN Figura 2.15: Tens˜es no ponto M num plano de normal N o Tomando-se ent˜o cada um dos trˆs planos ortogonais yz (vetor normal paralelo ao a e eixo x), xz (vetor normal paralelo ao eixo y) e xy (vetor normal paralelo ao eixo z) ´ e poss´ definir trˆs vetores tens˜es, respectivamente, ρx , ρy e ρz (ver figuras 2.16) que ıvel e o ser˜o fundamentais no estudo da grandeza tens˜o. As equa¸oes 2.3 a 2.5 mostram estes a a c˜ vetores e suas componentes no referencial xyz. Observa-se que as tens˜o tangenciais totais a foram decompostas em duas componentes. ρx = [σxx , τxy , τxz ] (2.3) ρy = [τyx , σyy , τyz ] (2.4) ρz = [τzx , τzy , σzz ] (2.5) A nomenclatura usada ´ a seguinte: e 17
- 19. N M M o N o τ yx x τ zx x N σ zz τ zy M σxx ρz o x τ yz σ τ xz z yy ρy τ xy ρx z z y y y (a) Vetor ρx (b) Vetor ρy (c) Vetor ρz Figura 2.16: tens˜es nos trˆs planos ortogonais o e • As tens˜es normais s˜o indicadas pela letra σ e as tangenciais pela letra τ ; o a • O primeiro ´ ındice identifica o plano considerado, pois indica a dire¸˜o de sua normal. ca Exemplo: τxy primeiro ´ ındice x → plano: yz; • O segundo identifica a dire¸ao da componente do vetor tens˜o. Exemplo: τxy se- c˜ a gundo ´ ındice y → dire¸˜o da tens˜o: y; ca a Normalmente, para ´ ındice idˆnticos, apresenta-se apenas um ´ e ındice. Assim as equa¸˜es co 2.3 a 2.5 ficam: ρx = [σx , τxy , τxz ] (2.6) ρy = [τyx , σy , τyz ] (2.7) ρz = [τzx , τzy , σz ] (2.8) A maneira cl´ssica de se apresentar os vetores ρx , ρy e ρz ´ o tensor de tens˜es3 que a e o usualmente ´ representado pela letra grega σ conforme mostrado na equa¸˜o 2.9: e ca ρx σx τxy τxz σ = ρy = τyx σy τyz (2.9) ρz τzx τzy σz Alguns dos nove elementos da matriz que compoem o tensor de tens˜es s˜o relacionados o a entre si. Tomando-se um cubo formando um s´lido infinitesimal em torno do ponto M, o conforme figura 2.17, tem-se o chamado s´lido de tens˜es. o o Em cada uma das faces foram representadas as tens˜es de contato entre o s´lido e o o o restante da estrutura. Numa estrutura em equil´ ıbrio, todas as partes da mesma tamb´m e dever˜o estar em equil´ a ıbrio. Assim sendo, aplicando-se as trˆs equa¸˜es de equil´ e co ıbrio de for¸as ao s´lido da figura 2.17, tomando-se o limite quando dx → 0, dy → 0 e dz → 0, c o alternadamente, pode-se facilmente concluir que: 3 Uma grandeza tensorial necessita de v´rios vetores e/ou escalares para sua defini¸˜o a ca 18
- 20. σy ’ x dx z τyx ’ τ yz ’ σ z’ τ xy ’ τ zy ’ τ zx y ’ τ xz ’ dy σx ’ M σx τ zx τ xz τ xy σz τ zy τ yx dz τ yz σy Figura 2.17: S´lido de tens˜es o o σx = σx = σx (2.10) σy = σy = σy (2.11) σz = σz = σz (2.12) τxy = τxy = τxy (2.13) τyx = τyx = τyx (2.14) τxz = τxz = τxz (2.15) τzx = τzx = τzx (2.16) τyz = τxy = τyz (2.17) τzy = τxy = τzy (2.18) Aplicando agora as equa¸˜es de equil´ co ıbrio de momento com rela¸˜o ao eixo y, ad- ca mitindo que as tens˜es s˜o constantes em cada face, tem-se: o a M dx dx My = 0 ⇒ +τxz dydz + τxz dydz 2 2 dz dz −τzx dxdy − τzx dxdy =0 (2.19) 2 2 Logo: τxz = τzx (2.20) Aplicando-se as equa¸oes de equil´ c˜ ıbrio de momento com rela¸ao aos eixo y e x, chega-se c˜ de forma an´loga a: a τxy = τyx (2.21) τyz = τzy (2.22) 19
- 21. Conclui-se ent˜o que o tensor de tens˜es ´ sim´trico: a o e e σx τxy τxz σ = τxy σy τyz (2.23) τxz τyz σz A conven¸ao de sinais para as tens˜es deve ser de tal maneira que n˜o permita que c˜ o a uma mesma tens˜o tenha valores alg´bricos de sinais opostos quando se analisa uma face a e ou outra do s´lido de tens˜es. Por esta raz˜o, adota-se referenciais opostos para cada uma o o a das faces opostas do s´lido em torno do M, conforme mostra figura 2.17. Nesta figura o todas as tens˜es representadas s˜o positivas. As regras para a conven¸ao de sinais s˜o: o a c˜ a • Para as tens˜es normais: S˜o positivas quando est˜o associadas ` tra¸ao e neg- o a a a c˜ ativas quando est˜o associadas ` compress˜o. a a a • Para as tens˜es tangenciais: Quando a normal externa do s´lido de tens˜es o o o apontar na mesma dire¸˜o do eixo coordenado, as tens˜es tangenciais s˜o positi- ca o a vas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado. Quando a normal externa do s´lido de tens˜es apontar na dire¸ao contr´ria do eixo o o c˜ a coordenado, as tens˜es tangenciais s˜o positivas quando apontarem para o sentido o a contr´rio do seu respectivo eixo coordenado. a 2.1.4 Exerc´ ıcios 1. Para o elemento de tens˜o representado na figura 2.18 (tens˜es expressas em MPa) a o complete o s´lido de tens˜es com as tens˜es que faltam, considerando o s´lido em o o o o equil´ ıbrio. 150 x 80 70 200 y 50 z 100 Figura 2.18: Figura do exerc´ 1 ıcio 2. Uma press˜o uniforme de 3,5 MPa ´ exercida sobre as faces EGHF e ABCD do bloco a e s´lido representado na figura 2.19. Simultaneamente, uma distribui¸˜o uniforme de o ca tra¸ao ´ mantida sobre as faces GHCB e EFDA, tendo valor de 0,7 MPa. Quais c˜ e s˜o as tens˜es normal e tangencial sobre cada uma das faces do bloco representado? a o Monte o tensor de tens˜es para os pontos no interior do bloco. o 3. Um cilindro de parede delgada est´ submetido a uma for¸a de 4,5 kN. O diˆmetro a c a do cilindro ´ 7,5 cm e a espessura da parede ´ de 0,3 cm. Calcular as tens˜es normal e e o e de cisalhamento num plano que corta o cilindro formando um ˆngulo de α = 40o , a conforme figura 2.20. Resposta: σN = 3,89 MPa e τN = 3,26 MPa. 20
- 22. H C G B 3m F D 3m E 6m A Figura 2.19: Figura do exerc´ 2 ıcio 4,5 kN 4,5 kN α Figura 2.20: Figura do exerc´ 3 ıcio 4. Admitindo que o cilindro do exerc´ ıcio anterior esteja submetido a uma for¸a de c tra¸ao P e que sua se¸ao transversal tenha ´rea A, demonstre que: c˜ c˜ a P P σα = cos2 α e τα = sin 2α A 2A Em seguida trace os gr´ficos de σα em fun¸ao de α e de τα em fun¸ao de α, para a c˜ c˜ o 0 ≤ α ≤ 90 . 5. Demonstre, para o problema, anterior que a tens˜o normal m´xima ocorre para a a o o α = 0 e que a tens˜o cisalhante m´xima ocorre para α = 45 a a 6. Uma placa de espessura 2,5 cm ´ uniformemente carregada por for¸as F1 = 2,25 kN e c e F2 = 9,00 kN conforme figura 2.21. Monte o tensor de tens˜es para um ponto o contido na placa. F2 30 cm F1 F1 60 cm F2 Figura 2.21: Figura do exerc´ 6 ıcio 7. O tensor de tens˜es apresentado para este exerc´ o ıcio foi obtido aplicando a teoria da resistˆncia dos materiais a ser detalhada no cap´ e ıtulo 3 a uma viga com o car- regamento mostrado na figura 2.22. Esboce os gr´ficos projetados no plano xy que a relacionam as tens˜es σx e τxy com a posi¸ao no ponto e comente-os. Resposta no o c˜ 21
- 23. final. Dado x e y em (m) → σ em (MPa). −120x (x − 1) y 0, 15 (2x − 1) (400y 2 − 1) 0 2 σ = 0, 15 (2x − 1) (400y − 1) 0 0 0 0 0 2 kN/m 0,10 m x 0,10 m z 1m y Figura 2.22: Figura do exerc´ 7 ıcio 8. Uma barra tracionada ´ composta de dois peda¸os de material que s˜o colados ao e c a longo da linha mn conforme figura 8. Por raz˜es pr´ticas, o ˆngulo θ ´ limitado ` o a a e a o faixa entre 0 e 60 . A m´xima tens˜o de cisalhamento que suporta a junta colada a a ´ 3/4 da m´xima tens˜o normal. Assim sendo, qual deve ser o valor de θ para que e a a a barra suporte o m´ximo de carga P ? (Admitir que a junta colada seja o unico a ´ o ponto a ser verificado no projeto). Resposta: θ = 36.87 m o 90 P . θ P n Figura 2.23: Figura do exerc´ 8 ıcio 9. Resolver o problema anterior no caso das tens˜es tangencial e normal m´ximas o a permitidas sejam, respectivamente, 70 MPa e 140 MPa. Determinar tamb´m a e carga P m´xima permiss´ a ıvel se a ´rea da se¸ao transversal da barra for de 1000 a c˜ mm2 . Resposta: θ = 26.56o e P = 175 kN. 2.2 Estudo das deforma¸˜es: co 2.2.1 Introdu¸˜o ca Paralelamente ao estudo estabelecido no item anterior relativo ` an´lise de tens˜es, pode- a a o se desenvolver tamb´m, o estudo das deforma¸oes sofridas por um corpo sob solicita¸oes e c˜ c˜ externas. Destaca-se que a an´lise de deforma¸oes em um corpo s´lido iguala-se em a c˜ o importˆncia ` an´lise de tens˜es. a a a o Sabe-se, da ´lgebra vetorial, que o campo vetorial de deslocamentos permite quantificar a a mudan¸a de geometria de um corpo, sujeito ` a¸ao de cargas aplicadas. Esta mudan¸a c a c˜ c de geometria implica na considera¸ao de duas parcelas: c˜ 22
- 24. (a) Resposta para σx (b) Resposta para τxy Figura 2.24: Resposta do exerc´ 7 ıcio • Movimento de corpo r´ ıgido • Mudan¸a de forma e dimens˜es do corpo c o Como a Resistˆncia dos Materiais desenvolve o estudo dos corpos deform´veis, ser´ e a a de interesse maior o estudo da segunda parcela. Al´m disso, num contexto de estruturas e civis, o movimento de corpo r´ıgido pode ser eliminado mediante a introdu¸ao adequada c˜ de v´ınculos. Neste texto, somente ser˜o consideradas as pequenas deforma¸oes, como a c˜ aquelas que geralmente ocorrem na engenharia estrutural. 2.2.2 Campo de deslocamento Quando solicita¸˜es externas atuam sobre um corpo deform´vel, este sofre mudan¸a de co a c forma e dimens˜es, passando de uma configura¸˜o inicial indeformada a uma configura¸ao o ca c˜ 23
- 25. final deformada, conforme figura 2.25. z r r z . P(x,y,z) . P(x,y,z) x r’ d x y .’ P(x+u,y+v,z+w) y (a) Configura¸˜o indeformada ca (b) Configura¸˜o deformada ca Figura 2.25: Campo de Deslocamentos Em sua configura¸ao inicial qualquer ponto P , de coordenadas (x, y, z), pode ser c˜ localizado utilizando-se um vetor posi¸ao r correspondente a esse ponto P (ver figura c˜ 2.25(a)). Ap´s a aplica¸ao das cargas o corpo se deforma para uma nova configura¸ao, o c˜ c˜ indicada em linha cheia na figura 2.25(b) e o ponto P desloca-se para o ponto P . A linha tracejada indica a configura¸˜o indeformada. ca Designando-se por u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z) as componentes, segundo dire¸oes c˜ de eixos ortogonais, do deslocamento d sofrido por P , as coordenadas de P ser˜o dadas a por: P = [x + u(x, y, z), y + v(x, y, z), z + w(x, y, z)] (2.24) O campo de deslocamentos d para um ponto P gen´rico no interior do s´lido fornece e o ent˜o toda e qualquer informa¸ao relacionada ` mudan¸a de geometria do s´lido, resultado a c˜ a c o de um carregamento. Ou seja, tendo-se as fun¸˜es das componentes de deslocamento, que co ´ v´lida para todo corpo: e a u(x, y, z) d = v(x, y, z) (2.25) w(x, y, z) basta que se saiba as coordenadas (x, y, z) de um ponto qualquer deste corpo para se obter a nova posi¸ao desse ponto ap´s o carregamento. Logo a posi¸ao final do ponto P , c˜ o c˜ definida pelo vetor r ´ a soma do vetor r com o vetor d (vide figura 2.25(b)). Considera-se e ainda que as componente u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) s˜o fun¸˜es cont´ a co ınuas, tendo em vista a preserva¸˜o da continuidade do s´lido no processo de deforma¸ao. ca o c˜ Exemplo: O seguinte campo de deslocamento representa as deforma¸˜es de um corpo co em um dado dom´ ınio: d = x2 ı + (x + 3z) + 10k × 3 × 10−3 m (2.26) Qual ´ o deslocamento do ponto originalmente situado na posi¸˜o definida pelo vetor e ca r = + k na conforma¸˜o geom´trica indeformada? ca e 24
- 26. Para determinar-se o deslocamento deste ponto, substitui-se x = 0, y = 1 e z = 1 no campo de deslocamento d do ponto em quest˜o. Em seguida, pode-se obter a nova a posi¸˜o definida pelo vetor r somando-se o vetor d ao vetor r: ca r = r+d = + k + 3 + 10k × 3 × 10−3 = (1, 009 + 1, 030k) m (2.27) ´ E o que mostra a figura 2.25(b). 2.2.3 Componentes de Deforma¸˜o ca Embora o campo de deslocamentos seja suficiente para descrever todas as caracter´ ısticas de mudan¸a de geometria de um corpo, ´ necess´rio que se estabele¸a uma rela¸ao direta c e a c c˜ entre estas mudan¸as geom´tricas e as cargas aplicadas, ou de forma mais conveniente, com c e a distribui¸˜o de tens˜es. Essa afirma¸˜o ser´ melhor compreendida no item 2.3, onde ca o ca a buscar-se-´ relacionar diretamente as tens˜es com as deforma¸oes. Entretanto pode-se a o c˜ adiantar que n˜o ´ a posi¸ao de um ponto que o relaciona com seu estado de tens˜o, a e c˜ a mas o movimento relativo entre pontos adjacentes. Tendo em vista esta ultima afirma¸˜o ´ ca considerem-se os segmentos infinitesimais, dx ,dy e dz, ligando pontos adjacentes em seus v´rtices formando um paralelep´ e ıpedo retangular infinitesimal conforme figura 2.26. z x dy dx y dz Figura 2.26: Paralelep´ ıpedo Retangular Infinitesimal Pode-se, “medir” o movimento relativo dos pontos adjacentes (v´rtices) considerando e as deforma¸˜es desse paralelep´ co ıpedo retangular. Agora ´ necess´rio introduzir um conceito e a de intensidade de deforma¸ao caracter´ c˜ ıstica, a saber, deforma¸˜o linear espec´ ca ıfica (ou alongamento/encurtamento relativo) e deforma¸˜o angular (ou distor¸˜o angular), que ca ca s˜o formas de se quantificar o movimento relativo entre pontos adjacentes de um corpo. a Deforma¸˜o Linear Espec´ ca ıfica Seja o paralelep´ ıpedo retangular infinitesimal da figura 2.27 na configura¸ao geom´trica c˜ e indeformada em cujas faces agem apenas tens˜es normais como resultado do carrega- o mento. Designa-se por dx, dy e dz os comprimentos iniciais das arestas do paralelep´ıpedo retangular. Na configura¸˜o deformada, os comprimentos dessas arestas tornam-se dx + ca ∆dx, dy + ∆dy e dz + ∆dz respectivamente. H´, ent˜o, a possibilidade de uma varia¸˜o a a ca de volume do elemento. Define-se, como medida de deforma¸˜o caracter´ ca ıstica do material, tal varia¸˜o segundo trˆs deforma¸oes unit´rias, como segue: ca e c˜ a 25
- 27. y dy dz dy+ ∆ y dx dz+ ∆z dx+ ∆ x z ´ solido x Figura 2.27: Paralelep´ ıpedo Retangular sob Deforma¸˜o Linear ca ∆dx x = dx ∆dy y = dy ∆dz z = (2.28) dz ´ E interessante observar que a utiliza¸ao da deforma¸ao linear permite a compara¸ao c˜ c˜ c˜ entre deforma¸oes deste mesmo tipo obtidas em diferentes estruturas e/ou amostras en- c˜ saiadas j´ que esta quantidade ´ admensional. Usualmente refere-se a ela em cm / cm a e ou mm / mm. A quantidade ´ bastante pequena e algumas vezes pode ser dada em e porcentagem. Deforma¸˜o Cisalhante ou Distor¸˜o ca ca Um s´lido deform´vel pode ainda, estar sujeito a um outro tipo de deforma¸˜o: aquela o a ca causada pelas tens˜es cisalhantes. Como conseq¨ˆncia de tal solicita¸ao surgem mu- o ue c˜ dan¸as na orienta¸ao relativa entre as faces do elemento envolvendo varia¸oes desprez´ c c˜ c˜ ıveis de volume. A figura 2.28 representa o s´lido infinitesimal sujeito somente ` a¸ao de tens˜es o a c˜ o cisalhantes τxy Em outras palavras, pressup˜e-se que as tens˜es cisalhantes causem varia¸ao de forma, o o c˜ isto ´, uma distor¸ao, mas n˜o uma dilata¸˜o apreci´vel. Essa medida de varia¸ao relativa e c˜ a ca a c˜ entre as faces do elemento pode ser dada pela varia¸˜o do ˆngulo inicialmente reto e ´ ca a e definida como deforma¸ao de cisalhamento ou distor¸˜o, representado por γxy : c˜ ca γxy = α + β (2.29) onde α e β est˜o representados na figura 2.28. a Ser´ conveniente considerar uma rota¸˜o de corpo r´ a ca ıgido do elemento em torno do eixo x, de forma a se ter sempre α igual a β. Assim, designa-se por yz , zy , as deforma¸˜es co transversais. 26
- 28. y dy dz dx β α x z ´ solido Figura 2.28: Paralelep´ ıpedo Retangular sob Deforma¸˜o Cisalhante ca 1 xy = = γxy yx (2.30) 2 De forma an´loga ao estado de tens˜o, o estado de deforma¸ao fica completamente a a c˜ determinado se forem conhecidas as componentes de deforma¸˜o (deforma¸˜es lineares ca co e distor¸oes angulares) segundo eixos tri-ortogonais. O efeito de dilata¸˜o ou retra¸ao c˜ ca c˜ do paralelep´ ıpedo retangular infinitesimal deve-se `s trˆs deforma¸˜es lineares, enquanto, a e co independentemente, seis deforma¸oes transversais fornecem uma varia¸˜o da configura¸ao c˜ ca c˜ de ˆngulo reto entre as faces do paralelep´ a ıpedo. Usa-se apresentar estas nove quantidades em um tensor de deforma¸oes, como feito para tens˜es. c˜ o x xy xz = xy y yz (2.31) xz yz z 2.2.4 Rela¸˜o Deforma¸˜o-Deslocamento ca ca ´ E poss´ ıvel, a partir das equa¸˜es 2.28, definir-se as deforma¸˜o longitudinais em fun¸ao co ca c˜ do campo de deslocamentos d. Observando a figura 2.29 e aplicando a primeira equa¸˜o 2.28 tem-se: ca A B − ∆x x = lim (2.32) ∆x→0 ∆x Se as deforma¸oes transversais que ocorrem s˜o pequenas, o ˆngulo entre A B e AB c˜ a a −− −→ tamb´m ser´ pequeno e pode-se ent˜o utilizar a proje¸˜o de A B na dire¸ao x (A Bx ) em e a a ca c˜ lugar do pr´prio segmento A B , isto ´: o e − → − A B x − ∆x x = lim (2.33) ∆x→0 ∆x −− −→ Pode-se expressar A Bx como sendo: 27
- 29. y A’ B’ d(x, y, z) x d(x+ ∆ x, y, z) A ∆x B z Figura 2.29: Deforma¸oes longitudinais em fun¸˜o do campo de deslocamentos c˜ ca −− −→ A Bx = ∆x + [u(x + ∆x, y z) − u(x, y z)] (2.34) Substituindo a equa¸˜o 2.34 na equa¸ao 2.33 tem-se: ca c˜ u(x + ∆x, y z) − u(x, y z) x = lim (2.35) ∆x→0 ∆x O segundo membro da equa¸ao 2.35 ´ identificado como a derivada parcial de u(x, y, z) c˜ e com rela¸˜o a x, ou seja: ca ∂u x = (2.36) ∂x De forma an´loga pode-se obter: a ∂v y = (2.37) ∂y ∂w z = (2.38) ∂z De maneira semelhante, ´ poss´ e ıvel, a partir da equa¸˜o 2.29, definir-se as deforma¸˜es ca co transversais em fun¸ao do campo de deslocamentos d. c˜ Partindo-se da figura 2.30 pode-se escrever: DB α = lim (2.39) ∆x→0 A D Mas DB pode ser escrito como: DB = v(x + ∆x, y, z) − v(x, y, z) (2.40) e para pequenas deforma¸˜es lineares, pode-de dizer que: co A D = ∆x (2.41) resultando para a equa¸˜o 2.39: ca 28
- 30. y C’ β B’ C (x, y+ ∆ y, z) α A’ D ∆y x B (x+ ∆ x, y, z) A (x, y, z) ∆x z Figura 2.30: Deforma¸oes transversais em fun¸˜o do campo de deslocamentos c˜ ca v(x + ∆x, y, z) − v(x, y, z) α = lim (2.42) ∆x→0 ∆x O segundo membro da equa¸˜o 2.42 ´ identificado como a derivada parcial de v(x, y, z) ca e com rela¸˜o a x, ou seja ca ∂v α= (2.43) ∂x De maneira similar pode-se obter: ∂u β= (2.44) ∂y Voltando ` equa¸ao 2.29, chega-se a: a c˜ ∂v ∂u γxy = α + β = + (2.45) ∂x ∂y ou, utilizando equa¸ao 2.30: c˜ 1 ∂v ∂u xy = + (2.46) 2 ∂x ∂y Analogamente: 1 ∂w ∂u xz = + (2.47) 2 ∂x ∂z 1 ∂w ∂v yz = + (2.48) 2 ∂y ∂z Assim conhecendo-se o campo de deslocamentos d(u, v, w) pode-se obter o campo de deforma¸˜es como segue: co 29
- 31. ∂u 1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂w ∂x 2 ∂y + ∂x 2 ∂z + ∂x = 2 1 ∂u ∂y + ∂v ∂x ∂v ∂y 1 2 ∂v ∂z + ∂w ∂y (2.49) 1 ∂u ∂w 1 ∂v ∂w ∂w 2 ∂z + ∂x 2 ∂z + ∂y ∂z 2.2.5 Exerc´ ıcios 1. Dado o seguinte campo de deslocamentos: d = x2 + y ı + (3 + z) + x2 + 2y k (2.50) Qual a posi¸ao, ap´s deforma¸ao, de um ponto originalmente em (3, 1, -2)? c˜ o c˜ Resposta: P=(13;2;9) 2. Um campo de deslocamento ´ dado por: e x d = 0, 16x2 + sin y ı + 0, 1x + + 0, 004k (2.51) y3 Como resultado da deforma¸˜o, qual ´ o acr´scimo de distˆncia entre dois ponto, os ca e e a quais, na configura¸˜o geom´trica indeformada, s˜o dados pelos vetores de posi¸˜o? ca e a ca r1 = 10ı + 3 r2 = 4ı + 3 Resposta: d = 13,46 3. Dado o seguinte campo de deslocamentos: d = xyı + (3 + y) + (x + z) k 3 × 10−1 m (2.52) Qual a perda em perpendicularidade entre dois segmentos de comprimento unit´rio,a inicialmente situados sobre os eixos x (1,0,0) e y (0,1,0) a partir da origem, como resultado do citado campo de deslocamento? Resposta: β = 40, 69o 4. Dado o seguinte campo de deslocamentos: d = x2 ı + 3y + 10k 3 × 10−3 m (2.53) Quais s˜o as componentes de deforma¸ao no ponto (1, 2, 0)? a c˜ 2 0 0 Resposta: = 0 3 0 3 × 10−3 0 0 0 30
- 32. 2.3 Rela¸˜es entre tens˜es e deforma¸˜es co o co As rela¸oes entre tens˜es e deforma¸˜es s˜o estabelecidas a partir de ensaios experimentais c˜ o co a simples que envolvem apenas uma componente do tensor de tens˜es. Ensaios complexos o com tens˜es significativas nas 3 dire¸˜es ortogonais tornam dif´ o co ıceis as correla¸oes entre as c˜ tens˜es e suas correspondentes deforma¸oes. o c˜ Assim sendo, destacam-se aqui os ensaios de tra¸˜o, de compress˜o e de tor¸ao. ca a c˜ 2.3.1 O Teste ou Ensaio de Tra¸˜o: ca Objetivos: • Relacionar tens˜es normais e deforma¸oes lineares; o c˜ • Determinar as propriedades dos materiais; • Verificar a qualidade dos mesmos. O corpo de prova (CP) ´ uma amostra de material a ser testado, constitu´ de uma e ıda barra reta de se¸ao constante (comprimento L, diˆmetro D e ´rea A, na configura¸ao c˜ a a c˜ inicial), semelhante ´ barra ilustrada na figura 2.31 a P D L P Figura 2.31: Corpo de prova de um ensaio de tra¸˜o ca O ensaio consiste em aplicar ao CP uma carga P axial de tra¸ao que aumenta lenta e c˜ gradualmente (carga “est´tica”), medindo-se a carga P , a varia¸ao do comprimento L e a c˜ do diˆmetro D do CP at´ a rutura do CP. a e O tensor de tens˜es associado a este problema, com o referencial mostrado na figura o 2.32 ´ apresentado na equa¸ao 2.54. e c˜ P x z y Figura 2.32: Referencial adotado 31
- 33. σx 0 0 P/A 0 0 σ= 0 0 0 = 0 0 0 (2.54) 0 0 0 0 0 0 Quais s˜o as deforma¸˜es causadas pela tra¸˜o aplicada ao CP? a co ca depois do carregamento b c x a d antes do carregamento y Figura 2.33: Deforma¸oes no ensaio de tra¸˜o c˜ ca Observando o retˆngulo abcd contido no plano xy antes e depois da aplica¸ao da a c˜ carga, conforme mostrado na figura 2.33, ´ poss´ identificar que sua configura¸˜o ap´s e ıvel ca o o tracionamento n˜o sofre distor¸oes angulares. O que ocorre ´ um alongamento dos a c˜ e lados bc e ad e um encurtamento dos lados ab e cd, caracterizando o surgimento das deforma¸˜es x e y . Obviamente, caso tivesse sido escolhido o plano xz para an´lise, co a seria verificado o surgimento das deforma¸oes x e z . Generalizando, caso o referencial c˜ adotado tivesse como eixo longitudinal do CP a dire¸ao y ou z pode-se concluir que: c˜ • σx causa x, y e z; • σy causa x, y e z; • σz causa x, y e z; O pr´ximo passo ´ relacionar matematicamente estas tens˜es e suas correspondentes o e o deforma¸˜es. co Numa m´quina capaz de tracionar continuamente o CP medindo a carga P de tra¸ao, a c˜ o alongamento ∆L da parte do CP contida entre as extremidades de um extensˆmetro4 o (L) e a varia¸˜o do diˆmetro do CP ∆D conforme mostrado na figura 2.31. ca a Com os dados do ensaio, ´ poss´ inicialmente se tra¸ar um gr´fico contendo no eixo e ıvel c a vertical a carga P e no eixo horizontal o alongamento ∆L, conforme mostrado na figura 2.34(a). Atrav´s de uma mudan¸a de vari´veis pode-se facilmente chegar a uma rela¸ao e c a c˜ entre a tens˜o σx = P/A e a deforma¸˜o x = ∆L/L, conforme mostrado no gr´fico a ca a da figura 2.34(b). Este gr´fico que relaciona x e σx ´ chamado diagrama tens˜o- a e a deforma¸˜o. ca A forma do diagrama tens˜o deforma¸ao depende do tipo de material. Existem ma- a c˜ teriais de comportamento linear, ou pelo menos com uma regi˜o linear (a¸o, alum´ a c ınio), e de comportamento n˜o-linear (maioria das borrachas). Conforme j´ destacado na se¸ao a a c˜ 1.3.2, os materiais a serem tratados neste curso tˆm comportamento linear. O n´ de e ıvel 4 Aparelho usado para medir a varia¸˜o do comprimento ca 32
- 34. P σx ∆L εx (a) Diagrama P × ∆L (b) Diagrama σx × x - Tens˜o- a deforma¸˜o ca Figura 2.34: Exemplos de diagramas do ensaio de tra¸ao c˜ tens˜o a partir do qual o material deixa de ter comportamento linear ´ chamado de limite a e de proporcionalidade (ponto 1 - figuras 2.35). Dentre os materias de comportamento linear, identifica-se 3 tipos mais comuns de diagramas tens˜o-deforma¸ao conforme os mostrados na figura 2.35. a c˜ σx R R σx σx R 2 3 2 4 3 1 2 1 1 α α α 5% εx 0,2 % 5% εx 5% εx (a) Material Fr´gil a (b) Material d´til sem pata- u (c) Material d´til com pata- u mar de escoamento mar de escoamento Figura 2.35: Exemplos de diagramas do ensaio de tra¸˜o em materiais de comportamento ca linear As caracter´ ısticas principais observadas nos diagramas da figura 2.35 s˜o as seguintes: a • (a) Material fr´gil (concreto, vidro): A ruptura (ponto R) se d´ para valores a a x < 5 %; • (b) Material d´ til sem patamar de escoamento definido (a¸os especiais com u c alto teor de carbono). A ruptura (ponto R) se d´ para valores x >> 5 % e o a material n˜o apresenta patamar de escoamento, onde h´ aumento de deforma¸ao a a c˜ com a tens˜o aproximadamente constante. a 33
- 35. • (c) Material d´ til com escoamento definido (a¸os comuns, com baixo teor u c de carbono). A ruptura (ponto R) se d´ para valores x >> 5 % e o material a apresenta patamar de escoamento (trecho entre os pontos 3 e 4), onde h´ aumento a de deforma¸ao com a tens˜o aproximadamente constante. c˜ a Para um CP em a¸o pode-se verificar experimentalmente no diagrama tens˜o-deforma¸˜o c a ca obtido num ensaio de tra¸˜o, que existe um n´ de tens˜o pr´ximo ao limite de propor- ca ıvel a o cionalidade, tal que, quando o CP ´ carregado acima deste n´ e ıvel, o mesmo n˜o retorna a a sua configura¸ao original. Este ponto ´ chamado de limite de elasticidade (ponto 2 - c˜ e figuras 2.35). Ap´s este ponto passam a existir deforma¸˜es permanentes ou pl´sticas. o co a No a¸o os limites de elasticidade e proporcionalidade s˜o muito pr´ximos, tanto que c a o normalmente n˜o se faz muita diferen¸a entre esses dois n´ a c ıveis de tens˜o. Materiais a que possuem estes dois limites muito pr´ximos s˜o chamados de materiais el´sticos o a a lineares. Estes materiais, como ´ o caso do a¸o, ser˜o os objetos de estudo deste curso. e c a O limite de elasticidade e o limite de proporcionalidade s˜o dif´ a ıceis de se determinar com precis˜o. Em raz˜o disso, os engenheiros utilizam para uma defini¸ao mais utiliz´vel a a c˜ a do in´ do comportamento n˜o-el´stico a tens˜o de escoamento ou ponto de escoamento. ıcio a a a Em a¸os com baixo teor de carbono, este ponto ´ obtido diretamente da curva tens˜o- c e a deforma¸˜o (ver ponto 3 da figura 2.35(c)). J´ para a¸os especiais com alto teor de ca a c carbono, este ponto ´ arbitrado como sendo a tens˜o que provoca uma pequena deforma¸ao e a c˜ residual de 0,2 % ap´s o descarregamento. o Durante a fase el´stica, ou seja, para n´ a ıveis de tens˜es at´ o limite de elasticidade (ou o e tens˜o de escoamento para efeitos pr´ticos) a rela¸˜o entre a tens˜o σx e a deforma¸˜o x a a ca a ca pode ser escrita na forma: σx = tan α x = E x (2.55) onde E = tan α ´ o coeficiente angular da reta conhecido como M´dulo de Elasticidade e o Longitudinal ou M´dulo de Young. o A equa¸ao 2.55 mostra que para materiais trabalhando em regime el´stico linear tem- c˜ a se que a tens˜o ´ diretamente proporcional ` deforma¸˜o. Esta rela¸ao ´ conhecida como a e a ca c˜ e lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke que obteve esta proporcionalidade h´ mais a de 300 anos. Al´m de gerar deforma¸oes x , a tens˜o σx aplicada ao CP, conforme j´ destacado neste e c˜ a a texto, gera deforma¸oes lineares nas dire¸˜es transversais ( y e z ). Tomando-se ent˜o a c˜ co a raz˜o entre a medida obtida para a varia¸˜o do diˆmetro (∆D) e o diˆmetro inicial (D) a ca a a do CP pode-se escrever: ∆D y = (2.56) D ∆D z = (2.57) D Conhecidos os valores de x , y e z (obtidos experimentalmente com as medidas dos extensˆmetros) ´ poss´ estabelecer as rela¸˜es: o e ıvel co y = constante = −ν x z = constante = −ν (2.58) x 34
- 36. onde ν ´ denominado de Coeficiente de Poisson e ´ uma caracter´ e e ıstica f´ ısica do material. Alternativamente as equa¸oes 2.58 podem ser escritas na forma: c˜ y = −ν x (2.59) z = −ν x (2.60) Substituindo a equa¸˜o 2.55 na equa¸ao 2.60 chega-se `s rela¸˜es entre tens˜es normais ca c˜ a co o e deforma¸˜es transversais: co σx y = −ν (2.61) E σx z = −ν (2.62) E Resumindo, caso estivessem atuando simultaneamente σx , σy e σz , ter-se-ia: σx σy σz x = + −ν −ν (2.63) E E E σx σy σz y = −ν + −ν (2.64) E E E σx σy σz z = −ν −ν + (2.65) E E E Fica claro que caracter´ıstica de isotropia do material reduz sensivelmente o n´mero u de constantes el´sticas que relacionam tens˜o com deforma¸˜o. a a ca O estudo detalhado de cada fase do ensaio de tra¸ao ´ feito no curso de Laborat´rio c˜ e o de Resistˆncia dos Materiais, cadeira do pr´ximo per´ e o ıodo. 2.3.2 Ensaio de Compress˜o a ´ E semelhante ao ensaio de tra¸˜o, mas o CP deve ter dimens˜es adequadas para se evitar ca o a flambagem. Para materiais met´licos os CPs devem ser de tal forma que a raz˜o L/D a a deve se situar entre 2 e 4 (ou entre 3 e 8 segundo alguns autores ). O ensaio de compress˜o do a¸o apresenta um diagrama semelhante ao ensaio de tra¸ao a c c˜ na fase el´stica. Admite-se que as constantes el´sticas E e ν obtidas experimentalmente a a s˜o os mesmos para tra¸ao ou compress˜o. a c˜ a O estudo detalhado de cada fase do ensaio de compress˜o ´ feito no curso de Labo- a e rat´rio de Resistˆncia dos Materiais, cadeira do pr´ximo per´ o e o ıodo. 2.3.3 O ensaio de tor¸˜o ca O ensaio de tor¸ao ´ uma alternativa ao ensaio de cisalhamento face as dificuldades que c˜ e apresentam este ultimo na aplica¸ao de cisalhamento puro num CP. ´ c˜ O ensaio de tor¸˜o consiste em se aplicar um torque num CP analisando as distor¸˜es ca co angulares, conforme figura 2.36 Verifica-se experimentalmente que para pequenas deforma¸oes, a varia¸˜o da dimens˜o c˜ ca a do segmento ab da figura 2.36 pode ser desprezado. Conseq¨entemente, as deforma¸˜es u co medidas no ensaio de tor¸ao s˜o distor¸oes angulares. c˜ a c˜ De forma an´loga ao ensaio de tra¸˜o, ´ poss´ a ca e ıvel se obter um diagrama tens˜o- a deforma¸˜o, por´m neste caso relacionando tens˜es cisalhantes com distor¸oes angulares. ca e o c˜ 35
- 37. α a b Figura 2.36: Ensaio de tor¸˜o ca Este diagrama, para materiais el´sticos lineares, tamb´m segue a lei Hooke conforme a e equa¸˜o que segue: ca τxy = tan α γxy = Gγxy (2.66) onde G ´ o M´dulo de Elasticidade Transversal e ´ uma outra caracter´ e o e ıstica do material. Finalmente, uma vez observado experimentalmente que tens˜es tangenciais τxy causam o apenas distor¸oes angulares γxy , completa-se as rela¸˜es entre tens˜es cisalhantes e dis- c˜ co o tor¸˜es angulares: co τxz = Gγxz (2.67) τyz = Gγyz (2.68) Mais uma vez, a caracter´ ıstica de isotropia reduziu o n´mero de constantes el´sticas u a do problema. 2.3.4 Lei de Hooke generalizada Ap´s se analisar os ensaios de tra¸˜o e tor¸ao, verifica-se que foram introduzidas trˆs o ca c˜ e constantes el´sticas, que s˜o caracter´ a a ısticas do material: E, G e ν. Pode-se demonstrar (Mecˆnica dos S´lidos I) que apenas duas destas constantes el´sticas s˜o independentes, a o a a conforme indica equa¸ao 2.69: c˜ E G= (2.69) 2(1 + ν) A tabela que segue mostra alguns valores pr´ticos destas constantes el´sticas, bem a a como alguns limites el´sticos (considerados como tens˜es de escoamento) e massas es- a o pec´ ıficas. Assim sendo, resume-se as rela¸˜es tens˜es deforma¸˜es na equa¸˜o 2.70, conhecida co o co ca como Lei de Hooke Generalizada. x 1/E −ν/E −ν/E 0 0 0 σx y −ν/E 1/E −ν/E 0 0 0 σy −ν/E −ν/E 1/E 0 0 0 σy y = (2.70) γxy 0 0 0 1/G 0 0 τxy γxz 0 0 0 0 1/G 0 τxz γyz 0 0 0 0 0 1/G τyz Pode-se escrever a equa¸˜o matricial 2.70 na forma compacta: ca = D−1 σ (2.71) 36
- 38. Tabela 2.1: Constantes el´sticas de alguns materiais a Material E (GPa) G (GPa) ν Tens˜o de escoamento a Massa espec´ıfica (MPa) (kg/m3 ) A¸o CA-25 c 210 79 0,33 250 7860 A¸o CA-50 c 210 79 0,33 500 7860 A¸o CA-60 c 210 79 0,33 600 7860 A¸o CP-150 c 210 79 0,33 1500 7860 A¸o ASTM A-36 c 253 7860 Concreto 22 a 30 ∼ 0,1 = 15 a 40 na compress˜o a 2400 Alum´ ınio 69 26 0,33 290 2710 Titˆnio a 114 825 4460 ou σ=D (2.72) onde D ´ chamada de matriz constitutiva do material. e 2.3.5 Exerc´ ıcios 1. Deduza a Matriz D da equa¸ao 2.72. Resposta: c˜ E(ν−1) 2 ν 2 +ν−1 − 2 ν 2Eν +ν−1 − 2 ν 2Eν +ν−1 0 0 0 E(ν−1) − 2Eν − 2 ν 2Eν 0 0 0 2 ν +ν−1 2 ν 2 +ν−1 +ν−1 E(ν−1) − 2Eν − 2 ν 2Eν 0 0 0 D = 2 ν +ν−1 +ν−1 2 ν 2 +ν−1 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 2. Para o estado de tens˜es num certo ponto de uma estrutura de a¸o definido pelo o c tensor de tens˜es o que segue, pede-se calcular as componentes de deforma¸ao neste c˜ ponto. Considere E = 210 GPa e ν = 0,3. 21 0 0 80 0 0 Dado: σ = 0 14 −3, 5 . Resposta: = 0 36, 7 −21, 6 × 10−6 . 0 −3, 5 0 0 −21, 6 −50 3. Para um coeficiente de Poisson de 0,30 m´dulo de e um m´dulo de Young de 210000 o o MPa, determinar o tensor de deforma¸˜espara o seguinte estado de tens˜es: co o −15.0 43.34 −86.65 0 7 −14 σ= 7 3, 5 −21 . Resposta: = 43.34 6.667 −130.0 × 10−6 −14 −21 7 −86.65 −130.0 28.33 37
- 39. −10 0 −3 4. idem exerc´ 3 para σ = ıcio 0 5 −10 . −3 −10 0 −54.76 0 −18.57 Resposta = 0 38.10 −61.90 −18.57 −61.90 7.143 5. Para o estado de deforma¸˜es num ponto de uma estrutura dado pelo tensor de co deforma¸oes que segue, calcular o estado de tens˜es atuante neste ponto, sendo E c˜ o = 175 GPae G = 70 GPa. 0, 55 −2, 5 0 Dado: = −2, 5 0, 30 0, 25 × 10−4 0 0, 25 −0, 95 7 −35 0 Resposta σ = −35 3, 5 3, 5 MPa 0 3, 5 −14 2.856 7.143 7.143 6. idem exerc´ 5 sendo: ıcio = 7.143 2.856 7.143 × 10−6 . 7.143 7.143 2.856 1 1 1 Resposta: σ = 1 1 1 MPa 1 1 1 7. Numa an´lise experimental foram determinados os deslocamentos dos pontos 1, 2, a 3 e 4 de uma estrutura de a¸o. Tais pontos s˜o mostrados na figura 2.37 e seus c a respectivos deslocamentos s˜o:a ponto 1: u1 = 0, 10 × 10 m, v1 = 0, 20 × 10−3 m e w1 = 0 −3 ponto 2: u2 = 0, 15 × 10−3 m e v2 = 0, 15 × 10−3 m e w2 = 0 ponto 3: u3 = 0, 20 × 10−3 m e v3 = −0, 20 × 10−3 m e w3 = 0 ponto 4: u4 = −0, 10 × 10−3 m e v4 = 0, 10 × 10−3 m e w4 = 0 Calcule o valor aproximado das tens˜es σx , σy e τxy no ponto P em fun¸˜o dos o ca dados experimentais obtidos. Considere as constantes el´sticas apresentadas nesta a apostila e z = 0. Reposta admitindo uma fun¸ao de interpola¸ao de deslocamentos do tipo c˜ c˜ u = α1 x + α2 y + α3 xy + α4 e v = β1 x + β2 y + β3 xy + β4 : σx = -19,97 MPa˙ Resposta: σx = −19, 97 MPa; σy = 43, 19 MPa;τxy = 19, 75 MPa; 38
- 40. y,v 2 1 (1,0; 1,0) P(0,5;0,5) 3 (0,0; 0,0) 4 x,u Figura 2.37: Figura do exerc´ 7 ıcio 39
- 41. Cap´ ıtulo 3 Tens˜es e Deforma¸˜es em Barras de o co Eixo Reto At´ aqui foram estudadas as tens˜es, as deforma¸oes e suas rela¸oes em casos gerais (Lei e o c˜ c˜ de Hooke generalizada). Neste cap´ ıtulo estas grandezas ser˜o abordadas em estruturas a do tipo barra de eixo reto. O c´lculo das tens˜es em barras fica simplificado quando comparado com casos gerais a o de estruturas pois, tomando como eixo x o de dire¸˜o longitudinal da barra, considera- ca se nestas estruturas as tens˜es σy e σz iguais a zero. Assim sendo, fica claro que as o componentes de tens˜o no plano yz (ρx ) ser˜o fundamentais no estudo das barras conforme a a se destaca na figura 3.1. x .. z σ x τ τ ρ xz xy x y Figura 3.1: Tens˜o ρx a Normalmente, o c´lculo de tens˜es em barras ´ feito a partir de seus esfor¸os internos a o e c solicitantes, que podem ser obtidos atrav´s de princ´ e ıpios b´sicos da An´lise Estrutural. a a Faz-se a seguir uma r´pida abordagem destes princ´ a ıpios, definindo-se os esfor¸os simples c numa barra atrav´s do m´todo das se¸oes (ver notas de aula de An´lise Estrutural). e e c˜ a A rela¸ao entre esfor¸os e tens˜es em uma barra ´ o principal ponto de liga¸ao entre c˜ c o e c˜ as disciplinas Resitˆncia dos Materiais e An´lise Estrutural. e a Seja um ponto P (y, z) gen´rico de uma se¸˜o transversal conforme figura 3.2. e ca Sendo dF a for¸a elementar na ´rea elementar dA, em torno de P , reescrevendo c a equa¸˜o 2.2 tem-se: ca dF ρx = (3.1) dA Analisando-se as componentes de for¸a e tens˜o e equa¸ao, observando figuras 3.1 e c a c˜ 3.2 tem-se: dF = dFx i + dFy j + dFz k (3.2) 40
- 42. x .. z y z dFx P dFz dFy dF y Figura 3.2: Rela¸ao entre esfor¸os e tens˜es c˜ c o ρx = σx i + τxy j + τxz k (3.3) logo, utilizando equa¸ao 3.1, tem-se: c˜ dFx = σx dA (3.4) dFy = τxy dA (3.5) dFz = τxz dA (3.6) Da Mecˆnica Geral e An´lise Estrutural, obtem-se: a a N = Fx = dFx = σx dA (3.7) A A Qy = Fy = dFy = τxy dA (3.8) A A Qz = Fz = dFz = τxz dA (3.9) A A T = Mx = (dFy z − dFz y) = (τxy z − τxz y)dA (3.10) A A My = (−dFx z) = − σx zdA (3.11) A A Mz = (dFx y) = σx ydA (3.12) A A Portanto: N= σx dA (3.13) A Qy = τxy dA (3.14) A Qz = τxz dA (3.15) A T = (τxy z − τxz y)dA (3.16) A My = − zσx dA (3.17) A Mz = yσx dA (3.18) A Estas rela¸oes deixam claro que: c˜ 41
- 43. • Esfor¸o normal e momentos fletores causam tens˜es normais. c o • Esfor¸os cortantes e momento de tor¸˜o causam tens˜es tangenciais. c ca o Exemplo 1: Calcular as tens˜es em uma barra submetida a esfor¸o normal constante. o c Verifica-se, experimentalmente, que a as tens˜es normais (σx ) neste caso se distribuem de o maneira uniforme na se¸˜o, isto ´, todos os pontos da se¸ao est˜o sujeitos a uma mesma ca e c˜ a tens˜o normal (constante), e que as tens˜es cisalhantes (τx y e τx z) s˜o nulas. a o a As figuras 3.3 e 3.4 representam a tens˜o normal constante em uma se¸ao retangular a c˜ ABCD, em perspectiva isom´trica e em vista lateral, respectivamente. O diagrama espa- e cial ´ chamado “s´lido de tens˜es” e o plano A’B’C’D’, que contem as extremidades dos e o o vetores, ´ a “superf´ de tens˜es”. e ıcie o B A B’ A’ C C’ D D’ Figura 3.3: S´lidos de Tens˜es o o A=B A’ = B’ C =D C’ = D’ Figura 3.4: Vista lateral do S´lido de Tens˜es o o Desta maneira, pode-se afirmar, observando equa¸˜es 3.16 a 3.18, que Qy = 0, Qz = 0 co e T = 0 Ent˜o, utilizando-se equa¸ao 3.13 tem-se: a c˜ N = σx dA A N = σx A N σx = A sendo A a ´rea da se¸˜o transversal da barra. a ca Outra maneira de se obter a rela¸˜o entre a tens˜o normal e esfor¸o normal ´ identificando ca a c e que A σx dA ´ o volume do s´lido de tens˜es. Assim sendo tem-se: e o o N = σx dA = volume do s´lido de tens˜es = σx A o o A 42
- 44. N σx = A De forma an´loga, pode-se calcular os momentos fletores My e Mz multiplicando-se a a resultande de for¸as (volume do s´lido de tens˜es) pela respectiva distˆncia at´ o centro c o o a e da se¸ao. Isso equivale a se resolver as equa¸˜es 3.17 e 3.18. Como em ambos os casos a c˜ co distˆncia ´ nula, tem-se que os esfor¸os My e Mz tamb´m os s˜o. a e c e a Exemplo 2: Na se¸ao quadrada de uma barra de lado a n˜o existem tens˜es tangenciais e c˜ a o as tens˜es normais variam de acordo com o diagrama espacial dado na figura 3.5. Calcular o os esfor¸os simples na se¸˜o. c ca Resposta: N = σo a /2 e Mz = σo a3 /12. Demais esfor¸oes nulos. 2 c −a/2 . .. σo 0 σx z x a/2 y y Figura 3.5: Figura do exemplo 2 Exemplo 3: Em uma se¸ao retˆngular b × h n˜o existem tens˜es tangenciais e as tens˜es c˜ a a o o normais variam de acordo com o s´lido de tens˜es dado nas figuras 3.6. Calcule os esfor¸os o o c simples nestas se¸oes. c˜ Respostas: primeiro caso: Mz = σo bh2 /6 e demais esfor¸os nulos; segundo caso: N = c 2 σo bh/3, Mz = σo bh /9 e demais esfor¸os nulos. c σo σo /3 σo σo Figura 3.6: Figura do exemplo 3 43
- 45. 3.1 Solicita¸˜o por esfor¸o normal ca c Barras submetidas a esfor¸os normais sofrem deforma¸˜es lineares longitudinais e transver- c co sais ( x , y e z ) e, conforme observado no exemplo 1 deste cap´ ıtulo, a distribui¸˜o de ca tens˜es σx numa determinada se¸˜o transversal ´ constante e n˜o h´ tens˜es cisalhantes o ca e a a o nas se¸˜es transversais ( τxy = 0 e τxz = 0). co Pode-se dizer que o c´lculo das tens˜es normais e dos alongamentos (ou encurtamentos) a o totais s˜o fundamentais para o dimensionamento de barras sujeitas a esfor¸o normal. a c Partindo da equa¸˜o 3.13 e admitindo-se que σx (x), A(x), e N (x) podem variar ao longo ca do comprimento da barra (eixo x), tem-se: N (x) = σx (x) dA (3.19) A Como A(x), σ(x) s˜o caracter´ a ısticas da se¸ao transversal da barra com esfor¸o normal c˜ c N (x), a equa¸ao 3.19 pode ser reescrita como: c˜ N (x) σx (x) = (3.20) A(x) Assim sendo, a equa¸ao 3.20 permite que se calcule a tens˜o normal uma vez conhecido c˜ a o diagrama de esfor¸os normais e a ´rea da se¸ao transversal onde se deseja calcular a c a c˜ tens˜o σx . a Para o c´lculo des alongamentos (ou encurtamentos) ´ dada ˆnfase maior para dire¸˜o a e e ca longitudinal. Mudan¸as na geometria nas dire¸oes transversais podem ser obtidas pelas c c˜ equa¸˜es 2.62. co O alongamento/encurtamento total de uma barra sujeita a esfor¸os normais (∆L) c pode ser calculado pela equa¸˜o: ca L ∆L = x dx (3.21) 0 Da lei de Hooke para o estado uniaxial de tens˜es (somente σx atuando) σx = E x , ou o seja: σx L ∆L = dx (3.22) 0 E mas, considerando equa¸ao 3.20 tem-se finalmente: c˜ L N (x) ∆L = dx (3.23) 0 EA(x) Exemplo 4: Calcular o alongamento total e a tens˜o normal para a barra da figura 3.7. a Desconsidere o peso pr´prio. Dados: ´rea da se¸˜o transversal A, comprimento L e o a ca m´dulo de elasticidade longitudinal E. o C´lculo da tens˜o normal σx . Neste caso a tens˜o normal σx ´ constante na se¸ao a a a e c˜ e n˜o varia ao longo do eixo da barra pois a ´rea A ´ constante e o esfor¸o normal N a a e c tamb´m: e N P σx = = (3.24) A A C´lculo do alongamento total ∆L. Neste caso a integral da equa¸˜o 3.23 resulta em: a ca 44
- 46. P Figura 3.7: Figura dos exemplos 4, 5 e 6 L N NL PL ∆L = dx = = (3.25) 0 EA EA EA Exemplo 5: Calcular o alongamento total e a tens˜o normal para a barra da figura 3.7 a para P = 0. Considere o peso pr´prio. Dados: ´rea da se¸ao transversal A, comprimento o a c˜ L, m´dulo de elasticidade longitudinal E e peso espec´ o ıfico γ. C´lculo da tens˜o normal σx . Neste caso a tens˜o normal σx ´ constante na se¸ao e a a a e c˜ varia ao longo do eixo da barra pois apesar ´rea A ser constante, o esfor¸o normal N varia a c ao longo do comprimento. Definindo um referencial com origem no centro de gravidade da se¸˜o transversal na extremidade da barra tem-se: ca N (x) γAx σx (x) = = = γx (3.26) A A C´lculo do alongamento total ∆L. Neste caso a integral da equa¸˜o 3.23 resulta em: a ca L N (x) L σx (x) L γx γL2 ∆L = dx = dx = dx = (3.27) 0 EA 0 E 0 E 2E Exemplo 6: Calcular o alongamento total e a tens˜o normal para a barra da figura 3.7. a Considere o peso pr´prio. Dados: ´rea da se¸ao transversal A, comprimento L, m´dulo o a c˜ o de elasticidade longitudinal E e peso espec´ıfico γ. Utilizando-se o princ´ıpio da superposi¸ao de efeitos: c˜ P σx (x) = + γx (3.28) A P L γL2 ∆L = + (3.29) EA 2E Exemplo 7: Calcular o alongamento total e a tens˜o normal para a barra da figura a 3.8. Desconsidere o peso pr´prio. Dados: ´rea da se¸˜o transversal A, comprimento L, o a ca m´dulo de elasticidade longitudinal E e q a carga axial distribu´ o ıda. 45
- 47. q(x) = ax (a − constante) x Figura 3.8: Figura do exemplo 7 C´lculo da tens˜o normal σx . Neste caso a tens˜o normal σx ´ constante na se¸ao e a a a e c˜ varia ao longo do eixo da barra: x x N (x) 0 q(x) dx 0 ax dx ax2 σx (x) = = = = (3.30) A A A 2A C´lculo do alongamento total ∆L. Neste caso a integral da equa¸˜o 3.23 resulta em: a ca L N (x) L σ(x) L ax2 aL3 ∆L = dx = dx = = (3.31) 0 EA 0 E 0 2AE 6AE Exemplo 8: Calcular o encurtamento total e a tens˜o normal para o obelisco da figura a 3.9.Considere somente o peso pr´prio. Dados: obelisco de base quadrada de lado a e o altura L, m´dulo de elasticidade longitudinal E e γ o peso espec´ o ıfico. x y x = L a L y = ax y L a Figura 3.9: Figura do exemplo 8 C´lculo da tens˜o normal σx . Neste caso a tens˜o normal σx ´ constante na se¸ao e a a a e c˜ varia ao longo do eixo da barra: N (x) 1 1 1 σx (x) = = y 2 xγ 2 = γx (3.32) A(x) 3 y 3 C´lculo do alongamento total ∆L. Neste caso a integral da equa¸˜o 3.23 resulta em: a ca 46
- 48. L N (x) L σ(x) L 1 γx γL2 ∆L = dx = dx = = (3.33) 0 EA(x) 0 E 0 3E 6E 3.1.1 Exerc´ ıcios Aten¸ao: Considere a acelera¸ao da gravidade g = 10 m/s2 e lembre-se que F = ma (a c˜ c˜ for¸a igual ao produto da massa pela acelera¸ao). c c˜ 1. Calcular o diˆmetro de uma barra sujeita a a¸ao de uma carga axial de tra¸˜o a c˜ ca P = 50 kN e calcular o valor correspondente alongamento total , para uma tens˜o a admiss´ de σ x = 150 MPa e uma varia¸˜o de comprimento m´xima de ∆L = 4 ıvel ca a mm. S˜o dados o comprimento da barra L = 4,5 m e o m´dulo de elasticidade do a o a¸o E = 210 GPa. c Resposta. (φ = 21 mm; ∆L= 3,093 mm ) 2. Calcular o valor m´ximo admiss´ da carga P na treli¸a deste problema (ver figura a ıvel c 3.10) e o correspondente deslocamento vertical da articula¸ao onde est´ aplicada a c˜ a carga P . As barra de a¸o (E = 210 GPa), tem dˆmetro d = 15 mm e a tens˜o c a a admiss´ ´ σ x = 150 MPa . ıvel e Resposta: Padm = 20,38 kN; ∆L= 6,02 mm 1,25 m P 3m 3m Figura 3.10: Figura do exerc´ 2 ıcio 3. Verificar a estabilidade da treli¸a da figura 3.11. Dados: Barra AC em a¸o , se¸ao c c c˜ circular, diˆmetro 28 mm. Barra BC em madeira, se¸˜o quadrada, lado 65 mm; P a ca = 60 kN, σ x (a¸o) = 140 MPa, σ x (madeira, compress˜o) = 12 MPa, Ea = 210 GPa c a e Em =12 GPa. Resposta: Est´vel a 4. Um corpo de prova padronizado, de a¸o , com 13 mm de diˆmetro , sujeito a uma c a for¸a de tra¸ao de 29,5 kN teve um alongamento de 0,216 mm para um comprimento c c˜ de 200 mm. Admitindo-se que n˜o foi superado o limite de proporcionalidade, a estimar o valor do m´dulo de elasticidade longitudinal do a¸o. o c Resposta: E = 206 GPa 5. Uma barra de a¸o (E = 210 GPa) de comprimento 4,0 m e se¸˜o circular est´ c ca a sujeita a uma tra¸˜o de 80 kN. Calcular o diˆmetro (n´mero inteiro de mm) para ca a u uma tens˜o normal admiss´ de 120 MPa. Calcular o valor correspondentes da a ıvel 47
- 49. A 2m C B 1,5 m P Figura 3.11: Figura do exerc´ 3 ıcio deforma¸ao espec´ c˜ ıfiica e o alongamento total. Resposta: 30 mm; 0,0005389 e 2,156 mm. 6. Calcular o raio interno de uma se¸ao cirular vazada (coroa circular) de ferro fundido c˜ sujeita a uma compress˜o de 1.500 kN. O raio externo ´ de 120 mm e a tens˜o a e a admiss´ 75 MPa. ıvel Resposta: 89 mm. 7. Calcular o valor m´ximo admiss´ do esfor¸o normal em uma barra cuja a se¸˜o a ıvel c ca transversal est´ representada na figura 3.12 (dimens˜es em cm). Dados: E = 10 a o GPa e σ x = 12 MPa e a deforma¸˜o espec´ ca ıfica admiss´ ıvel x = 0, 001. Resposta. 208 kN. 8 4 8 4 12 4 20 Figura 3.12: Figura do exerc´ 7 ıcio 8. Calcular o alongamento total da barra de a¸o representada na figura 3.13, cuja ´rea c a 2 de se¸ao transversal ´ 500 mm . Dados: F = 4,5 kN, P = 2,0 kN e E = 210 GPa. c˜ e Resposta: ∆L = 0, 0286 mm. F PP F 250mm 300mm 250mm Figura 3.13: Figura do exerc´ 8 ıcio 9. Calcular o alongamento total da barra representada na figura 3.14, sujeita a uma carga axial da tra¸ao F = 5,5 kN, sendo o segmento AB em a¸o (Ea = 210 GPa) c˜ c com se¸˜o circular de diˆmetro 6,3 mm e o segmento BC em lat˜o (El = 95 GPa) ca a a com se¸ao quadrada de lado 25 mm. c˜ Resposta. ∆L = 0,3639 mm. 48
- 50. B C A F F 40 cm 30 cm Figura 3.14: Figura do exerc´ 9 ıcio 10. Uma coluna curta ´ constitu´ por dois tubos de a¸o , colocados um sobre o outro e ıda c (veja figura 3.15). Desprezando o peso pr´prio dos tubos, calcular a carga axial o P1 admiss´ıvel, se a carga axial P2 = 200 kN, dada a tens˜o normal admiss´ a ıvel a compress˜o de 100 MPa. a Resposta (P1 = 60 kN). P1 TUBO DE 1500mm 2 2 P2 TUBO DE 2600mm 2 2 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 Figura 3.15: Figura do exerc´ 10 ıcio 11. Uma barra AB de comprimento L est´ suspensa horizontalmente por dois fios verti- a cais presos `s suas extremidades (veja figura). Os fios tˆm o mesmo comprimento e a e mesma ´rea de se¸ao transversal mas diferentes m´dulos de elasticidade (E1 e E2 ). a c˜ o Desprezando o peso pr´prio da barra , calcular a distˆncia d , do ponto de aplica¸˜o o a ca da carga P at´ a extremidade A , para que a barra permane¸a horizontal. e c Resposta (d = (LE2 )/(E1 + E2 )) 1111 0000 11111 00000 1111 0000 1111 0000 11111 00000 1111 0000 11111 00000 E1 E2 L A B P d Figura 3.16: Figura do exerc´ 11 ıcio 12. Um dispositivo de trˆs barras ´ utilizado para suspender uma massa W de 5000 Kg e e (veja figura 3.17). Os diˆmetros das barras s˜o de 20 mm (AB e BD) e 13 mm a a (BC). Calcular as tens˜es normais nas barras. o Resposta (150,8 MPa em AB, 119 MPa em BC e 159 MPa em BD). 49
- 51. 1 0 1 0 1 0 1 0 C 1 0 1 0 1 0 1 0 11 00 11 00 A 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 1,20m 0,90m B β α 0,30m 3,60m D W Figura 3.17: Figura do exerc´ 12 ıcio 13. As barras AB e AC da treli¸a representada na figura 3.18 s˜o pe¸as de madeira 6 c a c cm × 6 cm e 6 cm × 12 cm, respectivamente. Sendo as tens˜es normais admiss´ o ıveis de 12 MPa a tra¸˜o e 8 MPa a compress˜o, calcular o valor admiss´ da carga P . ca a ıvel Resposta (P = 60, 8KN ). 000B 111 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 111 000 111 00045 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 A 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 P 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 111 00045 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 000 C 111 Figura 3.18: Figura do exerc´ 13 ıcio 14. As barras da treli¸a representada na figura 3.19 s˜o de madeira com se¸oes retan- c a c˜ gulares 60 mm × L (BC) e 60 mm × 1,4L (AC). Calcular L para tens˜es normais o admiss´ıveis de 12 MPa a tra¸ao e 8,5 MPa a compress˜o. c˜ a Resposta (L = 73 mm). 111 000B 111 000 111 000 111 000 111 000 0 111 000 111 000 111 00030 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 C 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 60 KN 111 000 111 000 0 111 000 111 000 111 00060 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 A 111 000 Figura 3.19: Figura do exerc´ 14. ıcio 15. As barras AB e BC da treli¸a da figura 3.20 comprimento de 3,0 m e ´rea de c a se¸ao A. Especificados σ x = 220 MPa e E = 210 GPa, calcular o valor de A e o c˜ 50
- 52. correspondente valor do deslocamento vertical da articula¸˜o C. ca 2 Resposta (A = 170,45 mm e ∆L = 5,23 mm). A B 1.80m C 45KN Figura 3.20: Figura do exerc´ 15 ıcio 16. Na treli¸a da figura 3.21, as barras s˜o de a¸o (E = 210 GPa) com tens˜es admiss´ c a c o ıveis de 210 MPa (tra¸˜o) e 166 MPa (compreess˜o). As ´reas das se¸˜es transversais ca a a co s˜o 400 mm 2 (BC) e 525 mm 2 (AC). Calcular o valor admiss´ de P e os valores a ıvel correspondentes das tens˜es normais e deforma¸oes nas barras. o c˜ Respostas: • P = 52,19 kN. • Barra AC: σx = 166 MPa e ∆L = 3,95mm. • Barra BC: σx = 174,8 MPa e ∆L = 3,33mm. 111 000B C 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 P 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 3,00m 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 A 111 000 4,00m Figura 3.21: Figura do exerc´ 16 ıcio 17. Uma haste de a¸o (E = 210 GPa) de 100 m de comprimento, suspensa verticalmente, c suporta uma carga de 55 kN concentrada na sua extremidade livre, al´m de seu e peso pr´prio (a massa espec´ o ıfica do a¸o ´ 7.850 Kg/m). Para uma tens˜o normal c e a admiss´ de 120 MPa, dimensionar a haste (se¸ao circular, diˆmetro em n´mero ıvel c˜ a u inteiro de mm) e calcular o alongamento previsto. Resposta (D = 25 mm ; ∆L = 55,22 mm) 18. Calcular a ´rea da se¸˜o transversal em cada trecho da barra da figura 3.22 , sujeita a ca ` carga P = 45 kN, al´m do seu peso pr´prio. S˜o dados os valores da tens˜o a e o a a admiss´ e da massa espec´ ıvel ıfica em cada trecho. 51
- 53. • AB (a¸o) 120 MPa; 7.800 kg/m; c • BC (lat˜o) 80 MPa; 8.300 kg/m; a Resposta (AB = 382 mm e BC = 570 mm) ; 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 A 10m B 12m C F Figura 3.22: Figura do exerc´ 18 ıcio 19. A haste de a¸o da figura 3.23 suporta uma carga axial F , al´m de seu pr´prio peso. c e o Os diˆmetros s˜o d1 = 18 mm em AB e d2 = 22 mm em BC. Dados a massa a a espec´ıfica 7.850 Kg/m3 , o m´dulo de elasticidade longitudinal 210 GPa e a tens˜o o a normal admiss´ ıvel 150 MPa, calcular o valor m´ximo admiss´ a ıvel da carga F e o correspondente alongamento total. Representar os correspondentes diagramas de esfor¸os normais e de tens˜es normais. c o Resposta (F = 30,18 kN, ∆L= 477 mm) 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 C 400m B 400m A F Figura 3.23: Figura do exerc´ 19 ıcio 20. A haste de a¸o suspensa verticalmente suporta uma carga axial F = 15 kN na sua c extremidade, al´m de seu pr´prio peso. H´ uma redu¸ao do diˆmetro no trecho AB, e o a c˜ a conforme indicado na figura 3.24. Dados σ x = 120 MPa, E = 210 GPa e massa espec´ıfica = 8 t/m, pede-se dimensionar a haste (calcular os diˆmetros em n´mero a u inteiro de mm) e calcular o alongamento total. Representar a varia¸ao da tens˜o c˜ a normal ao longo do comprimento (σx (x)). Resposta (DAB = 15 mm, DBC = 18 mm, ∆L = 366 mm); 21. Uma haste de a¸o suspensa verticalmente tem 1.200 m de comprimento e suporta c uma carga P em sua extremidade. Calcular o valor admiss´ de P e o correspon- ıvel dente alongamento total da haste, se : 52
- 54. 1111111111 0000000000 x 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 C 500m B 300m A σ F Figura 3.24: Figura do exerc´ 20 ıcio • O diˆmetro ´ constante e igual a 25mm. a e • S˜o quatro segmentos de 300 m, com diˆmetros 16mm, 19 mm, 22 mm e 25 a a mm. • Considere σ x = 100 MPa, E = 210 GPa e γ = 7850 kg/m Resposta: • P = 2, 847 kN e ∆L = 302, 3 mm; • P = 15, 371 kN e ∆L = 482, 5 mm; 22. Calcular o deslocamento vertical do v´rtice de um cone apoiado na base e sujeito e somente a a¸o de seu pr´prio peso, sendo a altura igual a L, o peso espec´ c o ıfico γ e o m´dulo de elasticidade E. o Resposta (∆L = γ L2 /6E); 23. Uma estaca uniforme de madeira, cravada a uma profundidade L na argila, suporta uma carga F em seu topo. Esta carga ´ internamente resistida pelo atrito f ao e longo da estaca, o qual varia de forma parab´lica , conforme a figura 3.25. Calcular o o encurtamento total da estaca, em fun¸ao de L, F , A (´rea da se¸ao transversal) e c˜ a c˜ E (m´dulo de elasticidade). o F 1111111111 0000000000 x 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 f= kx 2 f L F Figura 3.25: Figura do exerc´ 23 ıcio Resposta (∆L = −F L/4AE); 53
- 55. 24. Uma estaca de madeira ´ cravada no solo, como mostra a figura, ficando solicitada e por uma carga F = 450 kN, axial, no seu topo. Uma for¸a de atrito f (kN/m) c equil´ ıbra a carga F . A intensidade da for¸a de atrito varia com o quadrado da c distˆncia z, sendo zero no topo. Dados E = 1, 4 × 104 MPa , L = 9 m e D = 30 a cm, determinar o encurtamento da estaca e representar os diagramas (f × z , N × z e σz × z). F 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 f z L f D Figura 3.26: Figura do exerc´ 24 ıcio Resposta: ∆L=-3,069 mm 54
- 56. 3.2 Solicita¸˜o por momento torsor ca 3.2.1 Introdu¸˜o ca Neste item ser˜o estudas das tens˜es e deforma¸oes em barras sujeitas ` tor¸˜o. O estudo a o c˜ a ca a realizado envolve: • Barras sujeitas ` Tor¸˜o Pura: Somente o efeito do momento torsor (torque), a ca sendo os demais esfor¸os simples nulos. c • Barras de eixo reto e se¸ao transversal circular (cheia) ou anular (coroa circular) c˜ conforme figura 3.27. Barras com estas caracter´ısticas s˜o comumente denominadas a de eixos 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 D = 2R 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 d = 2r D = 2R 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 Figura 3.27: Se¸ao circular e anular c˜ • Eixos sujeitos ` momento torsor constante conforme figura 3.28. a T T T T DMT = + A A B B A B Figura 3.28: Eixo sujeito ` torsor constante a • Pequenas deforma¸oes: as se¸oes permanecem planas e perpendiculares ao eixo, c˜ c˜ com forma e dimens˜es conservadas. As deforma¸˜es s˜o deslocamentos angulares o co a (ˆngulos de tor¸ao), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma se¸˜o em rela¸˜o a a c˜ ca ca outra. O momento torsor, conforme estudado no item 3, est´ associado `s tens˜es cisalhantes a a o τxy e τxz . A equa¸ao 3.16, que confirma esta afirma¸ao, ´ reescrita abaixo para facilitar o c˜ c˜ e trabalho do leitor. T = (zτxy − yτxz ) dA (3.34) A Analisando um ponto P (z, y) gen´rico e contido numa se¸˜o transversal de um eixo e ca conforme figura 3.29, ´ poss´ transformar a equa¸˜o 3.34 numa forma mais compacta. e ıvel ca Chamando de τ a soma vetorial entre τxy e τxz e observando figura 3.29 tem-se: τ = τxy + τxz (3.35) z = ρ cos φ (3.36) y = ρ sin φ (3.37) τxy = τ cos φ (3.38) τxz = −τ sin φ (3.39) 55
- 57. z z φ ρ y τxz τxy φ τ y Figura 3.29: Tens˜es cisalhantes na tor¸ao o c˜ Substituindo as equa¸˜es 3.35 a 3.39 na equa¸˜o 3.34 tem-se: co ca T = (ρ cos φτ cos φ + ρ sin φτ sin φ) dA A T = ρτ (cos2 φ + sin2 φ) dA A T = ρτ dA (3.40) A A equa¸˜o 3.40 pode ser compreendida como a equa¸˜o 3.34 em coordenadas polares. ca ca Assim, as coordenadas que definem a posi¸ao do ponto gen´rico P podem ser escritas c˜ e como ρ e φ. O pr´ximo passo desta an´lise ´ definir uma rela¸ao entre τ e a coordenada o a e c˜ (ρ, φ) do ponto gen´rico P , ou simplesmente: τ = τ (ρ, φ). e 3.2.2 An´lise de Tens˜es e deforma¸oes na tor¸˜o a o c˜ ca Sejam: • γ a distor¸˜o angular do “retˆngulo” abcd, contido em uma superf´ cil´ ca a ıcie ındrica de raio ρ e comprimento dx conforme figura 3.30. • dθ o deslocamento angular (ˆngulo de tor¸ao) elementar da se¸˜o Sd em rela¸ao ` a c˜ ca c˜ a se¸ao Se conforme figura 3.30. c˜ Da figura 3.30 pode-se escrever: bb = ρdθ (3.41) bb = γdx (3.42) Igualando as equa¸˜es 3.41 e 3.42 tem-se: co dθ γ=ρ (3.43) dx Da Lei de Hooke tem-se: 56
- 58. Se Sd Se Sd a b γ dθ 2ρ 11111 00000 b 2ρ a 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 d c b’ 11111 00000 γ c dθ x A B d c’ dx L dx Figura 3.30: An´lise das deforma¸˜es na tor¸˜o a co ca τ = Gγ (3.44) lembrando que G ´ o m´dulo de elasticidade transversal. e o Substituindo o valor de γ da equa¸ao 3.43 na equa¸˜o 3.44 tem-se: c˜ ca dθ τ =ρG (3.45) dx Como θ varia linearmente com x (ver figura 3.30), sua derivada com rela¸˜o a x ´ ca e constante e pode-se dizer que: dθ G = constante = K (3.46) dx Pode-se concluir ent˜o que τ ´ fun¸ao somente de ρ, n˜o ´ fun¸ao de φ (τ = Kρ), a e c˜ a e c˜ portanto constante em pontos de mesmo ρ ( 0 ≤ ρ ≤ R ), para qualquer φ ( 0 ≤ φ ≤ 2π ) . A varia¸ao de τ com ρ ´ linear, conforme mostra a figura 3.31. c˜ e τ max ρ T T o Figura 3.31: Varia¸ao da tens˜o cisalhante em fun¸ao de ρ c˜ a c˜ Para calcular a constante K basta substituir τ = Kρ na equa¸ao 3.40: c˜ T = ρτ dA = ρKρ dA = (K ρ2 dA ) = K.I0 (3.47) A A A Momento de in´rcia polar: Io e Logo: T K= (3.48) Io e: T τ= ρ (3.49) Io 57
- 59. A tens˜o cisalhante τmax m´xima se d´ ρ = R: a a a T τmax = R (3.50) Io A raz˜o entre Io e R (Wo ) ´ chamada de m´dulo de resistˆncia ` tor¸ao. Ent˜o: a e o e a c˜ a T τmax = (3.51) Wo Da Mecˆnica Geral, o valor de Io para uma se¸˜o circular ´: a ca e π 4 Io = D (secao circular) ,˜ (3.52) 32 e para se¸ao anular, sendo D o diˆmetro de eixo temos: c˜ a π π 4 Io = (De − Di ) = De (1 − n4 )(secao anular) 4 4 ,˜ (3.53) 32 32 para anular sendo De o diˆmetro externo, Di o diˆmetro interno do eixo e n = Di /De a a Substituindo os valores de R = D/2 (se¸ao circular), R = De /2(se¸˜o anular) e de Io c˜ ca das equa¸˜es 3.52 e 3.53, pode-se chegar facilmente a: co 16T τmax = (secao circular) ,˜ (3.54) πD3 16T 1 τmax = ( 3 1 − n4 ) (secao anular) ,˜ (3.55) πD 3.2.3 C´lculo do ˆngulo de tor¸˜o a a ca O ˆngulo de tor¸ao (rota¸˜o relativa) entre duas se¸˜es distantes de L unidades de com- a c˜ ca co primento ´: e Lei de Hooke L L γ L τ 1 θ= dθ = dx = dx (3.56) 0 0 ρ 0 G ρ ver eq. 3.43 Substituindo o valor de τ (equa¸˜o 3.49) a equa¸ao 3.56 pode ser reescrita como: ca c˜ L T 1 θ = ρ dx 0 Io G ρ eq.3.49 T L θ = (3.57) G Io 3.2.4 Torque Aplicado ao eixo na Transmiss˜o de Potˆncia a e Se um eixo transmite uma potˆncia P a uma velocidade angular ω, ent˜o ele est´ sujeito e a a a um torque (momento de tor¸ao): T = P/ω. c˜ Justificativa: O trabalho executado pelo momento torsor T , constante, ´: e 58
- 60. W = Tφ (3.58) dW = T dφ (3.59) (3.60) onde φ ´ o deslocamento angular, em radianos. Como potˆncia ´ trabalho por unidade e e e de tempo: dW dφ P = =T = Tω (3.61) dt dt Unidades no SI: • Potˆncia (P ): watt (1W = 1 Nm/s). e • Velocidade angular ω = 2πf : rad/s. • Freq¨ˆncia f : hertz = Hz ue • Torque (T): Nm. Se a potˆncia for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power (hp), ent˜o os fatores e a de convers˜o para W s˜o, respectivamente: a a 1 CV = 736 W e 1 hp = 746 W (3.62) 3.2.5 Exerc´ ıcios 1. Dimensionar o eixo de uma m´quina, de 9 m de comprimento, que transmite 200 a CV de potˆncia, dados τ = 21 MPa e G = 85 GPa a uma freq¨ˆncia de 120 rpm, e e ue calcular o correspondente deslocamento angular, adotando: • Se¸˜o circular cheia. Resposta: (D = 142 mm, θ = 0, 03107 rad); ca • Se¸˜o anular com d/D = 0,5. ca Resposta: (D = 145 mm, θ = 0, 03048 rad); 2. Calcular o momento de torque m´ximo admiss´ a ıvel e o correspondente ˆngulo de a tor¸ao em um eixo de comprimento de 2 m dados τadm = 80 MPa e G = 85 GPa e c˜ se¸ao: c˜ • Circular, D = 250 mm; Resposta: (T = 245,4 KNm e θ = 0,01506 rad); • Anular, com d = 150 mm e D = 250 mm; Resposta: (T = 213,4 KNm e θ = 0,01504 rad); 3. Um eixo de a¸o, se¸ao circular com D = 60 mm, gira a uma freq¨ˆncia de 250 c c˜ ue rpm. Determine a potˆncia (em CV) que ele pode transmitir, dado τ = 80 MPa. e Resposta: (P =120,7 CV) 4. Dimensionar um eixo de se¸ao circular que transmite a potˆncia de 1800 CV a uma c˜ e rota¸ao de 250 rpm, para uma tens˜o admiss´ ao cisalhamento de 85 MPa e para c˜ a ıvel um ˆngulo de rota¸ao de 1 grau para um comprimento igual a 20 vezes o diˆmetro. a c˜ a Dado o m´dulo de elasticidade transversal de 80 GPa. Resposta: (D = 195 mm) o 59
- 61. 5. Determine a raz˜o entre os pesos P1 e P2 (por unidade de comprimento) de dois a eixos de mesmo material e sujeitos a um mesmo torque, sendo o eixo-1 de se¸˜o ca circular cheia e o eixo-2 de se¸ao anular com d/D = 0,75. Resposta: (P 1/P 2 = c˜ 1,7737) 6. Calcular os diˆmetros externo e interno de um eixo de a¸o sujeito a um torque de a c 25 KNm, de modo que a tens˜o m´xima de cisalhamento seja 84 MPa e o ˆngulo a a a de tor¸ao seja de 2, 5 graus para um comprimento de 3 m. Dado G = 84 GPa. c˜ Resposta: (D = 137,5 mm e d = 110,5 mm); 7. No eixo representado na figura 3.32, calcular a tens˜o m´xima em cada trecho e o a a ˆngulo de tor¸ao C x A, dados: T1 = 6 KNm, T2 = 8 KNm. a c˜ • AB alum´ ınio, D1 = 100 mm, G1 = 28 GPa; • BC lat˜o, D2 = 60 mm, G2 = 35 GPa; a Resposta: (τAB = 71,3 MPa, τBC = 141,5 MPa e θ = 0,1318 rad) 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 A B C 11 00 11 00 11 00 11 00 T2 T1 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 1,0m 0,60m 11 00 Figura 3.32: Figura do exerc´ 7 ıcio 8. No eixo representado na figura 3.33, calcular a tens˜o m´xima em cada trecho e o a a ˆngulo de tor¸ao CxA. T1 = 6 KNm, T2 = 9 KNm, G = 84 GPa, D = 100 mm em a c˜ AB e D = 76 mm em BC. Resposta: (τAB = 15,3 MPa, τBC = 69,6 MPa e θ = 0,01163 rad) T2 T1 A B C 1,0m 0,7m Figura 3.33: Figura do exerc´ 8 ıcio 9. O eixo da figura 3.34 tem se¸ao circular com 50 mm de diˆmetro, ´ movimentado c˜ a e pela polia em C a uma rota¸˜o de 200 rpm e movimenta duas m´quinas em A (40 ca a CV) e B (25 CV). Calcular a tens˜o m´xima em cada trecho e o ˆngulo de tor¸˜o a a a ca BxA, dado G = 80 GPa. Resposta: (τAC = 57,3 MPa, τCB = 35,8 MPa e θ = 0,01611 rad) 10. No exerc´ 9, qual deveria ser a raz˜o entre os diˆmetros D1 em AC e D2 em CB ıcio a a de modo que a tens˜o m´xima nos dois trechos seja a mesma. Resposta: (R = 1,17) a a 60
- 62. A C B 1,5m 1,5m Figura 3.34: Figura do exerc´ 9 ıcio 11. Um eixo de a¸o (veja figura 3.35), diˆmetros D1 = 80 mm em AB e D2 = 60 mm c a em BC, est´ sujeito a dois torques iguais a T nas se¸˜es B e C. Dado o m´dulo de a co o elasticidade transversal de 82 GPa, a tens˜o tangencial admiss´ de 102 MPa e o a ıvel ˆngulo de tor¸ao CxA admiss´ 0, 08 rad, calcular o valor m´ximo admiss´ de a c˜ ıvel a ıvel T. Resposta. (T = 3, 913 KNm) T T A B C 1,0m 1,5m Figura 3.35: Figura do exerc´ 11 ıcio 12. Calcular o valor m´ximo admiss´ do torque T e os valores correspondentes das a ıvel tens˜es m´ximas e do ˆngulo de tor¸˜o CxA, dados D = 50 mm em AB e D = o a a ca 50mm e d = 30 mm em BC, a tens˜o admiss´ τ = 80 MPa e o valor de G = 80 a ıvel GPa. Resposta: (T = 1,709 KNm, τAB = 55,7 MPa, τBC = 80MPa e θ = 0,001065 rad) 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 11 00 1,8 T T 111111111 000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 A B C 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 90 cm 60cm 11 00 11 00 Figura 3.36: Figura do exerc´ 12 ıcio 61
- 63. 3.2.6 Tor¸˜o em tubos de paredes delgadas ca Supondo-se uma barra sujeita ` tor¸ao tenha se¸˜o vazada de forma qualquer, com espes- a c˜ ca sura e (constante ou vari´vel. De forma semalhante ao abordado na se¸ao 3.28, pode-se a c˜ mostrar que as tens˜es cisalhantes s˜o diretamante proporcionais ` distˆncia ao centro da o a a a se¸˜o. Sendo a espessura pequena com rela¸ao `s dimens˜es da se¸˜o, considera-se nestes ca c˜ a o ca casos a tens˜o τ constante na espessura (podendo variar ao redor da se¸˜o) conforme a ca mostra figura 3.37 T T τ T Figura 3.37: Tor¸ao em tubo de paredes delgadas c˜ Seja um elemento de volume de espessura e1 e e2 e dimens˜es elementares dx (longi- o tudinal) e ds transversal conforme figura 3.38 a b F1 e1 F4 F3 a b d c d c ds T T A e2 F2 dx dx Figura 3.38: Elemento infinitezimal Sejam τ1 e τ2 as tens˜es nas faces longitudinais do elemento infinitesimal. Considerando- o se constante estas tens˜es, as correspndentes for¸as s˜o dadas por: o c a F1 = τ1 e1 dx (3.63) F2 = τ2 e2 dx (3.64) Obviamente, da condi¸ao equil´ c˜ ıbrio escreve-se F1 = F2 ⇒ τ1 e1 = τ2 e2 (3.65) Como o elemento de volume ´ gen´rico, conclui-se que: e e f = τ e (constante ao redor da secao) ,˜ (3.66) onde f ´ chamado de fluxo de cisalhamento. e Pode-se concluir tamb´m que: e • e constante → τ constante • e m´ximo → τ m´ a ınimo 62
- 64. • e m´ ınimo → τ m´ximo a Fazendo-se o equil´ ıbrio de momento com rela¸˜o ao ponto A indicado na figura 3.38 ca tem-se, admitindo uma varia¸ao linear da espessura: c˜ (e1 + e2 ) τ3 ds dx = τ1 e1 dx ds 2 (e1 + e2 ) τ3 = f (3.67) 2 Tomando-se a resultante de for¸as na face 3 do volume infinitesimal obtem-se c f (e1 + e2 ) F3 = τ 3 ds = f ds (3.68) 2 A equa¸ao de equil´ c˜ ıbrio entre for¸as externas e internas numa se¸ao de tubo de paredes c c˜ finas, equivalente ` equa¸˜o 3.34 em tubos de se¸˜o cheia, pode ser obtida fazendo-se o a ca ca somat´rio ao longo da linha m´dia da espessura (Lm ) dos torques elementar resultantes o e (dT = F3 ) num comprimento ds do s´lido infinitesimal (ver figura 3.39): o T O r f ds ds Figura 3.39: Equil´ ııbrio entre for¸as internas e externas c Lm T = dT 0 Lm T = F3 0 Lm T = r f ds (3.69) 0 A equa¸˜o pode ser reescrita de forma mais simplificada observando a ´rea m´dia Am ca a e (ver figura 3.39), limitada pela linha m´dia Lm e que o fluxo de cisalhamanto (f ) ´ uma e e constante na se¸ao: c˜ 2Am Lm T =f r ds = 2 Am f (3.70) 0 e observando equa¸˜o 3.66: ca T τ= (3.71) 2 e Am 63
- 65. A equa¸ao 3.71 ´ conhecida como primeira f´rmula de Bredt. c˜ e o Demonstra-se igualando a energia de deforma¸ao com o trabalho efetuado pelo torque c˜ T que o angulo de tor¸˜o θ para um comprimento L de tubo ´: ca e T L θ= (3.72) GI sendo: 4 A2 m I= Lm ds (3.73) o e Para tubos de espessura constante tem-se: 4 A2 e m I= (3.74) Lm e a equa¸ao 3.72 fica: c˜ τ T L Lm τ L Lm θ= = (3.75) 2 e Am 2 Am G 2 G Am A equa¸ao 3.75 ´ conhecida como segunda f´rmula de Bredt. c˜ e o 3.2.7 Exerc´ ıcios 1. Um tubo de alum´ (G = 28 GPa) de 1, 0 m de comprimento e se¸ao retˆngular 60 ınio c˜ a mm x 100 mm (dimens˜es externas) est´ sujeito a um torque T = 3 kNm.Determinar o a a tens˜o de cisalhamento em cada uma das paredes do tubo e o ˆngulo de tor¸ao, a a c˜ se: • a) a espessura ´ constante, igual a 4 mm e • b)devido a um defeito de fabrica¸ao duas paredes adjacenetes tˆmespessura 3 c˜ e mm, e as outras duas tˆm espessura de 5 mm. e Resposta: a) 69, 75 MPa e 0,07044 rad b)93, 0 MPa e 0,07513rad 2. Um tubo circular vazado de espessura 25 mm e diˆmetro interno 225 mm est´ sujeito a a a um torque T = 170, 25 kNm. Calcular as tens˜es m´xima de cisalhamento no tubo o a usando a teoria aproximada da tubos de paredes finas e a teoria exata de tor¸ao c˜ Resposta 69, 4 MPa e 76, 08 MPa 3. Um tubo fino de se¸ao eliptica Est´ sujeito a um torque T = 5, 67 kNm. Dados c˜ a espessura 5 mm, eixo maior = 150 mm, eixo menor = 100 mm e G = 80,5 GPa, calcular a tens˜o de cisalhamento e o ˆngulo de tor¸˜o para um comprimento de 1,0 a a ca m. Admitindo que o per´ ımetro da el´ ıpse pode ser aproximado por: √ P = 1, 5 π (a + b) − π a b (3.76) Resposta 52,41 MPa e 0,01147rad 64
- 66. 4. Calcular o torque m´ximo admissivel em um tubo de paredes finas de espessura a constante de 1, 5 mm e se¸ao representada na figura 3.40 (dimens˜es externas dadas c˜ o em mm) para uma tens˜o admissivel ao cisalhamento de 2, 5 MPa. a Resposta 10, 89 Nm 50 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 20 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 50 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 20 Figura 3.40: Figura do exerc´ 4 ıcio 5. Um eixo de comprimento 1, 6 m e se¸ao vazada representada na figura 3.41 (di- c˜ mens˜es em mm) est´ sujeito a um torque de 90 Nm. Dado o m´dulo de eslas- o a o ticaidade transversal 80 GPa, calcular as tens˜es nos pontos a e b e o ˆngulo de o a tro¸ao. c˜ Resposta 4, 732 MPa e 0, 005543 rad 2 4 b 40 R=38 a o 4 15 40 15 Figura 3.41: Figura do exerc´ 5 ıcio 6. A figura 3.42 representa a se¸ao transversal de um tubo de paredes finas, de alum´ c˜ ınio com τ = 85 MPa e G = 27000 MPa. o trecho CD tem forma semi-circular. As dimens˜es externas est˜o indicadas em mm. As espessuras s˜o e1 = 4 mm em AB o a a e e2 = 3 mm em ACDB. calcular o momento de tor¸ao m´ximo admiss´ e os c˜ a ıvel valores correspondentes do fluxo de cisalhamento, das tens˜es nos pontos P e M, e o do ˆngulo de tor¸˜o por metro de comprimento. a ca Resposta 192, 56 kN; 255 N/mm; 85 MPa e 63, 75 MPa; 0, 009095 rad 7. Um eixo tubular de parede fina, com diˆmetro interno de 100mm est´ sujeito a um a a torque de 5675Nm. Calcular a espessura da parede para uma tens˜o admissivel ao a cisalhamento de 91Mpa, usando a teoria aproximada de tubos de paredes finas e usando a teoria exata de tor¸ao. c˜ Resposta 3, 7mm e 3, 8mm. 8. Deduzir as propriedades para c´lculo de τ e θ em um tubo circular de parede fina a (raio ”m´dio”r e espessura e), sujeito a um torque T. comparar com as propriedades e deduzidas para se¸˜o anular. ca 65
- 67. M 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 300 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 C 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 D 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 400 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 A B 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 P 600 Figura 3.42: Figura do exerc´ 6 ıcio 9. Comparar as tens˜es de cisalhamento e os ˆngulos de tor¸˜o em dois tubos de paredes o a ca delgadas, um de parede delgadas,um de se¸˜o cirular e outro de se¸ao quadrada, mas ca c˜ de mesmo comprimento, mesma ´rea de se¸˜o e mesma espessura, sujeitos ao mesmo a ca torque. τcircular θcircular Resposta τquadrada = 0, 7854 e θquadrada = 0, 617 10. Uma chapa de a¸o de 500mm de largura e 3mm de espessura´ usada para fazer um c e 0 tubo, curvando-se a chapa em 360 e soltando-se as bordas juntas longitudinalmente (topo a topo). As formas a considerar s˜o a (a) circular, (b) quadrada (c) retˆngular 150 × 100mm a .Admita um comprimento m´dio de 500mm (nenhum esfor¸o na placa devido ao e c encurvamento e cantos retos para se¸oes, n˜o circulares). calcular o momento torque c˜ a m´ximo admissivel e o correspondente ˆngulo de tor¸ao para 2m de comprimento, a a c˜ em cada caso, dados G = 80Gpa e τ = 70Mpa. Resposta 8, 04kNm e 0, 0224rd; 6, 25kNm e 0, 0287rd; 5, 99kNm e 0, 0299rd 11. A figura 3.43 representa a se¸˜o tansversal da fuselagem de um avi˜o feito de liga ca a de alum´ınio (G = 27 GPa). As espessuras das placas s˜o 1,5 mm em AB e CD; a 1,2 mm em BC e 1,0 mm em DA. Dados τ = 85 MPa, calcular o momento torsor admiss´ e o correspondente ˆngulo de tor¸ao. ıvel a c˜ Resposta 124,59 kN e 0,00575 rad. 66
- 68. 700 mm 350 mm B C 500 mm A D 350 mm Figura 3.43: Figura do exerc´ 11 ıcio 67
- 69. 3.3 Solicita¸˜o por momento fletor ca 3.3.1 Introdu¸˜o ca Uma barra de eixo reto e cargas transversais est´ sujeita a momentos fletores e esfor¸os a c cortantes, geralmente. A barra ´ designada por viga e o efeito do momento fletor ´ a e e flex˜o. a 1. Tipos de Flex˜o ( de acordo com os esfor¸os simples atuantes) a c PURA : somente momento fletor, constante (esfor¸o cortante nulo); c SIMPLES : momento fletor e esfor¸o cortante; c COMPOSTA : momento fletor e esfor¸o normal. c ~ Ex. 1) Flexao Pura ~ ~ Ex. 2) Flexao pura no vao AB DMF constante ~ Flexao simples nos balancos ~ DEC nulo P P A B 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 A B 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 a L a 11111 00000 11111 00000 P.a A B DMF DMF + C A B D M 0 P C A B D P DEC Figura 3.44: Tipos de Flex˜o a 2. Tipos de Flex˜o (de acordo com os mom. fletores atuantes) a Os eixos locais y e z s˜o os eixos principais de in´rcia da se¸ao. a e c˜ O eixo de solicita¸˜o (ES) ´ a interse¸ao do plano de solicita¸ao (que cont´m as ca e c˜ c˜ e cargas e rea¸˜es) com a se¸ao transversal. co c˜ 1. Flex˜o Normal ou Reta: a • ES ≡ eixo -y → My = 0 e Mf = Mz (ex.3 e 4) • ES ≡ eixo -z → Mz = 0 e Mf = My 2. Flex˜o obl´ a ıqua: ES n˜o coincide com nenhum dos eixos principais de in´rcia: a e − → − → − → M f = M y + M z (ex. 5 e 6) 68
- 70. Observa¸˜es: co 1. Mf = M ´ normal ao plano de solicita¸ao, portanto M ⊥ ES e c˜ 2. Res Mat.I → Flex˜o Reta, Pura e Simples a Res Mat.II → Flex˜o obl´ a ıqua e flex˜o composta a Ex.3) Ex. 4) Ex. 5) Ex. 6) 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 00000000000000000000 z 0000000000000000000 1111111111111111111 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 Mz 1111111111111111111 0000000000000000000 z 00000000000000000000000 11111111111111111111111 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 Mz 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 G 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 z 00000000000000000000 M 0000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 G G 11111111111111 00000000000000 M=Mz 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 My z 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 M=Mz 11111111111111111111 00000000000000000000 M 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 y 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 y = E.S. y E.S. E.S. y = E.S. y Figura 3.45: Dire¸oes de Momentos Fletores e de eixos de solicita¸oes c˜ c˜ 3.3.2 C´lculo das Tens˜es Normais a o 1. Flex˜o Pura e Reta a Para vigas horizontais ou com pequena inclina¸ao, admitindo-se pequenas deforma¸oes c˜ c˜ el´sticas e proporcionais, sendo v´lida portanto a Lei de Hooke: σx = E x a a Seja a viga AB do ex.1 anterior, fazendo M0 = M (M > 0) A B L A B comp < L M M comp > L Figura 3.46: Configura¸˜es inicial e deformada de uma viga bi-apoias sob flex˜o pura. co a - Linhas longitudinais (fibras longitudinais ao eixo) assumem o aspecto curvo. O eixo deformado ` flex˜o ´ a linha el´stica . a a e a - Linhas transversais (se¸oes transversais) permanecem retas (planas) e ⊥s ao eixo c˜ deformado. Sofrem um rota¸ao em torno do eixo-z local. c˜ - Uma camada de fibras situadas em um plano horizontal na configura¸ao inicial c˜ e ´ mant´m o comprimento L ( x = 0 → σx = 0). E designada por superf´ neutra e ıcie sua interse¸ao com a se¸˜o transversal ´ a linha neutra (LN). c˜ ca e Fibras superiores ` LN s˜o comprimidas / encurtadas a a M >0 Fibras inferiores ` LN s˜o tracionadas / alongadas a a 69
- 71. 11111 00000 o 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 Se Sd 11111 00000 11111 00000 11111 00000 ~ 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111111111111111 00000000000000000 Compressao 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111111111111111 00000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 dθ 11111111111111111 00000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111111111111111 00000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111111111111111 00000000000000000 11111 00000 Superficie 11111 00000 11111 00000 11111111111111111 00000000000000000 11111 00000 11111 00000 neutra 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111111111111111 00000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 LN 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 ~ Tracao 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 11111 00000 ~ 111111111111111111 000000000000000000 11111 00000 M>0 11111 00000 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 y = E.S. 11111 00000 1111111111 0000000000 M 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 N 11111 00000 11111 00000 11111 00000 dx 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 Superficie 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 neutra 11111 00000 1111111111 0000000000 Se 0000000000 1111111111 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 1111111111 0000000000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 Sd ~ ds = dx Figura 3.47: Elemento de volume sob flex˜o a Seja o elemento de volume gen´rico, limitado pelas se¸˜es Se e Sd , de comprimento e co elementar dx. Na configura¸˜o deformada, dθ ´ o ˆngulo entre Se e Sd , o ponto O ´ o centro de ca e a e curvatura e OM = ON = ρ ´ o raio de curvatura da linha el´stica na superf´ e a ıcie neutra. A curvatura ´: e 1 dθ dθ κ= = ρ ds dx Considerando ds dx para vigas horizontais ou de pequena inclina¸ao e para c˜ pequenas deforma¸˜es. co Uma paralela a ”Se ” pelo ponto N mostra (sombreado) os encurtamento das fibras superiores e os alongamentos das fibras inferiores ` superf´ neutra. Estas de- a ıcie forma¸oes longitudinais du s˜o mostradas na fig(3.48b) . As figs3.48(c) e 3.48(d) c˜ a mostram as correspondentes deforma¸oes espec´ c˜ ıficas x e tens˜es normais σx . o Seja uma camada de fibras gen´rica, paralela ` superf´ neutra, de ordenada y em e a ıcie rela¸ao ` LN (−ds ≤ y ≤ di). c˜ a a) b) c) d) σs 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11111111111111111 00000000000000000 s 11111111111111111 00000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11111111111111111 00000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 ds 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11111111111111111 00000000000000000 o 11111111111111111 00000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 111111111111111111 000000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 LN 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 y 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 εx 11 00 σx 11 00 11 00 11 00 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 di 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 111111111111111111 000000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 111111111111111111 000000000000000000 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 σi i dθ y = E.S. Figura 3.48: Diagramas de deforma¸ao longitudinal, especif´ e tens˜es c˜ ıca o 70
- 72. du = dθ y du dθ x = = y dx dx dθ σx = E x = E y dx Fun¸oes Diretamente proporcionais a y (varia¸ao linear), sendo σx = K y, e K = c˜ c˜ dθ E dx = K . E para calcular a constante K e determinar a posi¸ao da LN, lembramos c˜ da se¸ao 3: c˜ Esfor¸o normal c N= σx dA = KydA = K ydA = 0 A A A para valores arbitr´rios de K, temos a ydA = 0 A A ordenada do baricentro em rela¸˜o ` LN: ca a A ydA y= =0 A Conclu´ ımos que a LN passa pelo baricentro da se¸˜o. ca Momento fletor Mz = A y σx dA = A y K y dA = K A y 2 dA = M , onde: A y 2 dA = I (momento de in´rcia da se¸˜o em rela¸˜o ` LN) e ca ca a ent˜o: K I = M → K = M/I → a M σx = y (3.77) I (I = Iz = J = Jz → dimensional L4 , unidade mm4 ou cm4 ) 71
- 73. Observa¸˜o: ca • O diagrama de tens˜es da fig3.48(d) ´ a vista longitudinal do s´lido de tens˜es o e o o (fig3.49 para um se¸˜o retangular). Nas aplica¸oes, o diagrama de tens˜es ´ ca c˜ o e suficiente para representar a varia¸˜o das tens˜es normais na se¸ao transversal. ca o c˜ B’ o A’ B A’ LN C D C’ D’ Figura 3.49: S´lido de tens˜es o o • C´lculo das Tens˜es Extremas (M´ximas) a o a M M y = −ds → σs = (−ds) = − I I/ds M M y = di → σi = (di) = I I/di Fazendo I/ds = W s, I/di = W i - M´dulos de resistˆncia ` flex˜o (dimensional L3 ), o e a a Obtemos σs = −M/W s e σ = M/W i → σmax = M/W em valor absoluto. σs = Max. Tens˜o de compress˜o a a M >0 σi = Max. Tens˜o de tra¸˜o a ca σs = Max. Tens˜o de tra¸˜o a ca M <0 σi = Max. Tens˜o de compress˜o a a 2. Tens˜es Normais na Flex˜o Simples e Reta o a S˜o v´lidas as mesmas propriedades da flex˜o pura e reta. Como o momento fletor ´ a a a e vari´vel, nas aplica¸oes ´ necess´rio analisar 2 se¸˜es cr´ a c˜ e a co ıticas: momentos fletor maximo positivo(+) e negativo(-). Caso particular: se¸ao sim´trica em rela¸˜o ` LN →basta c˜ e ca a analisar uma se¸ao cr´ c˜ ıtica (momento fletor m´ximo absoluto). a 72
- 74. 3.3.3 Exerc´ ıcios 1. A viga representada na fig3.50 tem se¸˜o constante, circular com diˆmetro 0,25 m. ca a Dados L = 1,5 m; a = 0,35m e P = 120 kN, calcular σmax . Resposta: 27,38 MPa. P P A B 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 a L a Figura 3.50: Exerc´ 1 ıcio 2. A viga representada na fig3.51 tem se¸ao constante, retangular com h = 2b. Cal- c˜ cular as dimens˜es h e b para as tens˜es admiss´ o o ıveis 12 MPa ` tra¸ao e 10 MPa ` a c˜ a compress˜o, de um certa qualidade de madeira. Resposta: m´ a ınimo 132 x 264 mm. 10 kN 25 kN 10 kN A B 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1m 2m 2m 1m Figura 3.51: Exerc´ 2 ıcio 3. Calcular o valor m´ximo admiss´ de q na viga da fig3.52 , para tens˜es admiss´ a ıvel o ıveis 140 MPa ` tra¸ao e 84 MPa ` compress˜o, sendo a se¸˜o transversal constante a c˜ a a ca mostrada (dimens˜es em cm). Resposta: 21,3 kN/m o 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 2,54 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 C 0000A 1111 E B D 1111111111111111111 0000000000000000000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 10,16 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1,2m 1,2m 2m 2m 1111111111111111111 0000000000000000000 2,54 25,4 2,54 Figura 3.52: Exerc´ 3 ıcio 4. A viga da fig3.53 tem se¸˜o constante em duplo T assim´trico (mom. de in´rcia em ca e e 4 rela¸ao ` LN 7570 cm ), que pode ser colocado na posi¸ao 1 ( T ) ou 2 ( L ). Dados c˜ a c˜ σ t =150 MPa e σ c = 120 MPa, calcular qadm na posi¸˜o mais eficiente (aquela que ca suporta maior carga). Resposta: 18,55 kN/m na posi¸ao 2. c˜ 5. Dimensionar um eixo de a¸o (σ =120 MPa, E=210 GPa ) de se¸ao circular cheia para c c˜ suportar um momento flex˜o de 60 kNm. Calcular o ˆngulo de rota¸ao espec´ a a c˜ ıfica da se¸ao. Resposta: Diˆmetro 172 mm; Rota¸˜o 0,00665 rd/m. c˜ a ca 73
- 75. 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 7,65cm 111111111111111 000000000000000 . 111111111111111 000000000000000 G 111111111111111 000000000000000 q 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 1 0 1 0 1 0 1 0 A B 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 13,60cm 1 0 1 0 111111111111111 000000000000000 1 0 1 0 1 0 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 3m 111111111111111 000000000000000 Figura 3.53: Exerc´ 4 ıcio 6. Em uma se¸ao anular (coroa circular) a raz˜o entre os diˆmetros externo interno ´ c˜ a a e D/d = 1,5. Pede-se dimensiona-la para suportar um momento fletor de 32 kNm, para uma tens˜o admiss´ de 80 MPa. Resposta: D = 172 mm. a ıvel 7. Uma viga tem momento fletor m´ximo 18 kNm. Para ama se¸ao transversal con- a c˜ stante e retangular a x 2a, vazada por um retangulo 0,6 a x a (conservada a simetria), dimension´-la para uma tens˜o admiss´ 10MPa. Resposta: a = 143 a a ıvel mm 8. Calcular as tens˜es normais extremas da viga abaixo, dado P = 7 kN, representada o a se¸˜o transversal constante. Resposta: comp. 153,2 MPa nas fibras sup; tra¸ao ca c˜ 88,7 nas fibras inf. P P 4cm A B 2cm 50cm 100cm 50cm 3cm 3cm 3cm Figura 3.54: Exerc´ 8 ıcio 9. Calcular o valor m´ ınimo de a na se¸ao transversal da viga da fig3.55/ para σt =100MPa c˜ e σc =60 MPa. Resposta: a = 41 mm. 40 kN 100 kN 100 kN 40 kN 111111111111111 000000000000000a 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 3,6a 3,6a 111111111111111 000000000000000 1111 0000 1111 0000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 9a 1111 0000 1111 0000 1111 0000 111111111111111 000000000000000 1111 0000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 2m 111111111111111 000000000000000 0,8a 2m 2m 4m 2m Figura 3.55: Exerc´ 9 ıcio 74
- 76. 10. A viga abaixo ´ constitu´ por duas pe¸as de madeira de se¸˜o 300 mm x 100 mm, e ıda c ca conforme mostra a figura. Dadas as tens˜es admiss´ o ıveis 12 MPa ` compress˜o e a a 18 MPa ` tra¸˜o, calcular Padm e representar o diagrama de tens˜es da se¸ao E. a ca o c˜ Resposta: P = 102 kN. P P C A E B D 60cm 60cm 60cm 60cm Figura 3.56: Exerc´ 10 ıcio 11. Dimensionar a viga abaixo ` flex˜o (a=?) e representar o diagrama de tens˜es da a a o se¸ao C. A viga tem se¸˜o constante de ferro fundido com tens˜es admiss´ c˜ ca o ıvel 35 MPa ` tra¸˜o e 140 MPa ` compress˜o. Escolher a mais favor´vel entre as posi¸oes a ca a a a c˜ 1 (T ) e ( L ) da se¸˜o. Resposta: a = 4,2 cm, posi¸ao 2 ca c˜ 30 kN 30 kN 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 a 111111111111111 000000000000000 A B 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 C D 1111 0000 1111 0000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 7a 1111 0000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 2,2m 2,2m 2,2m 2a a 2a Figura 3.57: Exerc´ 11 ıcio 75
- 77. 3.3.4 V´rias formas da se¸˜o transversal a ca Se¸˜es sim´tricas ou assim´tricas em rela¸˜o ` LN co e e ca a Com o objetivo de obter maior eficiˆncia (na avalia¸ao) ou maior economia (no dimen- e c˜ sionamento) devemos projetar com σmax = σ, onde σmax ´ a tens˜o maxima na se¸ao e σ e a c˜ ´ a tens˜o maxima admissivel(propriedade do material). e a Levando-se em conta que σs ds = σi di h´ dois casos a considerar: a 1. Se o material ´ tal que σ s = σ i ent˜o ´ indicada a forma assim´trica em rela¸˜o ` e a e e ca a LN, ficando esta mais pr´xima da fibra de menor σ, sendo ideal ds = σs , pois neste o di σi caso podemos projetar σs = σs e σi = σi por exemplo, para M > 0 e σc = 0, 5, o σt ideal ´ ds = 0, 5 e di σs = σc ds=h/3 di=2h/3 σi = σt Figura 3.58: 2. Se o material ´ tal que σ c = σ t , ent˜o ´ indicada a se¸ao sim´trica em rela¸ao a LN: e a e c˜ e c˜ ds = di = h/2. O projeto pode contemplar a situa¸ao ideal: σmax = σ (tra¸˜o ou c˜ ca compress˜o). a σs = σ h/2 M>0 h/2 σi = σ Figura 3.59: Se¸˜es sim´tricas ` LN - Se¸oes I co e a c˜ Maior ´rea A da se¸˜o transversal n˜o significa maior m´dulo de resistˆncia a flex˜o W , a ca a o e a pois este depende da forma da se¸ao. c˜ 1. Entre duas se¸˜es de mesma W, a mais econˆmica ´ a de menor A co o e 2. Entre duas se¸˜es de mesma A, a mais eficiente ´ a de maior W co e Sejam v´rias se¸˜es sim´tricas ` LN, com a mesma ´rea A. a co e a a • Retˆngular b × h: W = bh2 /6 e A = bh → W = Ah/6 = 0, 167Ah. (se¸oes a c˜ retˆngulares de mesma ´rea → maior eficiˆncia = maior h) a a e 76
- 78. • Circular, diˆmetro D: W = πD3 /32 e A = πD2 /4 → W = AD/8 = 0, 125AD. a • Quadrada,lado L (mesma ´rea L2 = πD2 /4 → L = 0, 886D): a W = 0, 167AL = 0, 167 A 0, 886D → W = 0, 148 A D 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 ^ Eficiencia crescente 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 A 111111111 000000000 A 111111111 000000000 11111111 00000000 A A 11111111 00000000 11111111 00000000 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 111111111 000000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 Figura 3.60: Concluimos que, para obter maior eficiencia, devemos dispor a maior massa do material (´rea de se¸˜o) o mais afastado poss´ da LN. a ca ıvel A situa¸ao ideal ´ mostrada na figura 3.61 c˜ e 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11 00 11 00 δ /2 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 δ /2 11 00 11 00 11 00 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11 00 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11 00 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 Figura 3.61: • Perfis I ou S tˆm altura bem maior que a largura. e • Perfis H ou WF (abas largas) tˆm largura mais pr´xima da altura. e o Os produtores de perfis fornecem tabelas com as caracteristicas geom´tricas (dimenss˜es, e o ´rea, momento de in´rcia...) necess´rias ao projeto. Na Resistˆncia dos Materiais I va- a e a e mos usar as tabelas do livro “Resistˆncia dos Materiais” de Beer e Johnston, que est˜o e a reproduzidas em anexo. Os perfis s˜o designados pela letra S(perfil I) ou W(perfil H) seguida da altura nominal a (mm) e da sua massa em kg por metro (kg/m). Encontram-se em ordem decrescente de altura e, em cada grupo de mesma altura, em ordem decrescente de peso. 3.3.5 Exerc´ ıcios 1. Calcular o valor m´ximo admissivel da carga P, na viga na figura 3.62 para uma a σ = 140Mpa, se a viga ´ um perfil W 150 × 37, 1. N˜o desprezar o peso pr´prio do e a o perfil. Resposta: 14, 88 kN 2. Escolher o perfil I mais econˆmico para a viga da figura 3.63, para σ = 140Mpa o Resposta: S 510 × 97, 3 77
- 79. P 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2,5m Figura 3.62: Exerc´ 1 ıcio 27kN/m 1111 0000 1111 0000 A B 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 8m Figura 3.63: Exerc´ 2 ıcio 3. Duplicando a carga da viga do exerc´ 2 (q = 54 kN/m) e conservando o perfil ıcio adotado, para se obter resistˆncia s˜o soldados duas chapas (mesma σ = 140 MPa) e a sobre as mesas, de espessura do refor¸o igual a espessura da mesa. Determine a c largura das chapas e o trecho da viga em que ´ necess´rio us´-las. Desprezar os e a a pesos pr´prios. o Resposta: largura 121 mm, refor¸o nos 5,0 m centrais da viga c 4. A viga da figura 3.64 ´ contituida de um perfil W 200 × 86, de a¸o com σ = 130 e c MPa). Calcular o valor m´ximo admissivel de P desprezando o peso pr´prio. a o Resposta: 59, 57 kN/m 1111 0000 A B 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 5,4m Figura 3.64: Exerc´ 4 ıcio 5. Calcular as tens˜es extremas na viga da figura 3.65, indicando a se¸ao onde ocorrem. o c˜ A viga ´ constitu´ por um perfil W130×28, 1. Considerar o efeito do peso pr´prio, e ıda o al´m da sobrecarga. e Resposta: ±66, 1 MPa 1,5kN 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5,0m Figura 3.65: Exerc´ 5 ıcio 78
- 80. 6. Idem para a viga da figura 3.66 constitu´ por um perfil W 150x37, 1 ıda Resposta: ±10, 77 MPa 1,5kN 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5,0m Figura 3.66: Exerc´ 6 ıcio 7. Escolher o perfil mais econˆmico (I ou W, conforme indicado) para cada uma da o figura 3.67, desconsiderando o efeito do peso pr´prio,al´m da sobrecarga represen- o e tada. A tens˜o admissivel ´ dada. a e a) Perfil I, b) Perfil I, σ= 140Mpa σ = 120Mpa 30kN 12kN 10kN/m 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 0,8m 2,0m 2,0m (S 130 x 15 ) (S 310 x 47,3) c) Perfil W, σ = 120Mpa d) Perfil W, σ = 140Mpa 65kN 65kN 25kN/m 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1 0 3,0m 0,6m 1,0m 0,6m (W 460 x 52) (W 250 x 32,7 ou W 310 x 32,7) Figura 3.67: Exerc´ 7 ıcio 8. Para uma tens˜o admiss´ de 150 MPa, calcular o valor m´ximo admissivel de q a ıvel a na viga da figura 3.68, constitudida por duas chapas de a¸o, 200 mm de largura e 12 c mm de espessura, soldadas a dois perfis I (S 180 × 30), conforme indicado na figura 3.68.Resposta: q = 27,05 kN/m 3.3.6 Vigas de dois materiais S˜o vigas de madeira refor¸adas por cintas met´licas, vigas de concreto refor¸adas com a c a c barras de a¸o (concreto armado), vigas-sanduiche, etc, genericamente designadas por vigas c armadas. Estas vigas s˜o constituidas por elementos longitudinais (camadas) de materiais difer- a entes, seguramente aderentes de modo a ter necess´ria resistˆncia `s tens˜es tangenciais a e a o longitudinais S˜o admitidas as mesmas hip´teses da flex˜o em vigas de um s´ material. Portanto, a o a o para um momento fletor Mz = M , as se¸oes permanecem planas e normais ao eixo e a c˜ 79
- 81. q(kN/m) 11111 00000 11111 00000 1111 0000 11111 00000 1111 0000 1111 0000 0,6m 6,0m 0,6m 11111111111111111111111111 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111 00000000000000000000000000 Figura 3.68: Exerc´ 8 ıcio deforma¸ ao especifica em uma camada de ordenada y em rela¸ao a LN (linha neutra) ´ c c˜ e x = ky (k constante) A figura 3.69 representam a se¸ao transversal, o diagrama de deforma¸oes espec´ c˜ c˜ ıficas e o diagrama de tens˜es de uma viga constituida de dois materiais com ´reas de se¸˜o A1 e o a ca A2 e m´dulos de elasticidade E1 e E2 , respectivamente. Nestas figuras adimitimos E1 < E2 o e a LN situada acima da superf´ de contato entre os materiais, mas as conclus˜es s˜o ıcie o a gen´ricas. e 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 A , E 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111111111 0000000000000000 1 1 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 L.N. 1111111111111111 0000000000000000 M 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111111111 0000000000000000 111111 000000 11111111 00000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 M 11111111 00000000 M 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 σx =E ε x 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111111111 0000000000000000 111 000 111 000 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 000000001 11111111 1 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 σx =E2 εx 1111111111 0000000000 111 000 111 000 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 111 000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 A2 , E2 111 000 111 000 11111111 00000000 11111111 00000000 2 1111111111 0000000000 111 000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 11111111 00000000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 111 000 11111111 00000000 1111111111 0000000000 111 000 11111111 00000000 E εx =ky y Figura 3.69: Viga de dois materiais Na camada de contato entre os dois materiais h´ uma descontinuidade no diagrama a de tens˜es, com valores σx1 = E1 x para o material 1 e σx2 = E2 x para o material 2. o A posi¸ao da LN e o valor da constante k ser˜o determinados pelas mesmas equa¸˜es c˜ a co do item 3.3.4 isto ´: e • esfor¸o normal c N= σx dA = 0 A • momento fletor Mz = yσx dA = M A Sejam I1 e I2 os momentos de in´rcia en rela¸ao ` LN das ´reas A1 e A2 , respectiva- e c˜ a a mente. Seja a raz˜o entre os m´dulos de eslasticidade n = E2 /E1 . Obt´m-se: a o e N= σx1 dA1 + σx2 dA2 = E1 x dA1 + E2 x2 dA2 =0 (3.78) A1 A2 A1 A2 80
- 82. Como E2 = nE1 e x = ky tem-se N = kE1 ydA1 + nydA2 = 0 A1 A2 e a equa¸ao 3.78 fornece a express˜o que define a posi¸ao da LN: c˜ a c˜ ydA1 + y(ndA2 ) = 0 (3.79) A1 A2 define a posic˜o da LN a Desenvolvendo a equa¸ao de M : c˜ Mz = M = yσx1 dA1 + yσx2 dA2 = yE1 x dA1 + yE2 x dA2 (3.80) A1 A2 A1 A2 Como E2 = nE1 e x = ky tem-se ent˜o: a M = kE1 y 2 dA1 +n y 2 dA2 A1 A2 I1 I2 M M = kE1 (I1 + nI2 ) −→ k = E1 (I1 + nI2 ) A maneira mais pr´tica de usar estas equa¸˜es ´ o chamado “m´todo da se¸˜o a co e e ca equivalente” (ou se¸ao homogeneizada): uma se¸˜o constituida somente de material 1, c˜ ca obtida multiplicando-se por n as dimens˜es paralelas ` LN de cada elemento da ´rea A2 , o a a conservando-se as ordenadas destes elementos (ver figura 3.70). 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 A1 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 LN 1111111 0000000 111111111111 000000000000 1111111 0000000 nA 2 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 Figura 3.70: M´todo da se¸˜o equivalente e ca A LN, passando pelo baricentro da se¸ao equivalente, ´ a mesma da se¸ao real, uma c˜ e c˜ vez que: ydA = ydA1 + y(ndA2 ) = 0 A A1 A2 O momento de in´rcia da se¸˜o equivalente em rela¸ao ` LN ´ I = I1 + nI2 . Ent˜o o e ca c˜ a e a valor da constante k ´: e M k= E1 I e as tens˜es na se¸ao real s˜o: o c˜ a 81
- 83. • No material 1: M σx1 = E1 ky = y (3.81) I • No material 2: M M σx1 = E2 ky = E2 y=n y (3.82) E1 I I Observa¸˜es co 1. Nas aplica¸oes, pode ser adotada a alternativa de um se¸ao equivalente constitu´ c˜ c˜ ıda E2 somente do material 2, de maior m´dulo de elasticidade (n = E1 → n > 1) o Neste caso, a se¸ao equivalente ´ obtida dividindo-se por n as dimens˜es da ´rea A1 c˜ e o a paralelas ` LN. a M A LN da se¸ao real ´ a mesma da se¸˜o equivalente sendo as tens˜es: σx = c˜ e ca o I y na σx se¸ao equivalente e σx1 = n , σx2 = σx na se¸˜o real. c˜ ca 2. Nas aplica¸oes, al´m de resolver cada problema, represente o diagrama de tens˜es c˜ e o em cada um deles. 3. Para as aplica¸˜es 7 a 10 (se¸oes de concreto armado), vamos admitir que o concreto co c˜ n˜o resiste ` tra¸˜o (somente tens˜es de compress˜o no concreto) e que o esfor¸o a a ca o a c normal de tra¸˜o em cada barra de a¸o ´ uma for¸a centrada no seu baricentro. ca c e c O diagrama de tens˜es ser´ bem diferente do usual (figura 3.71). Veja orienta¸ao o a c˜ na aula ou nos livros indicados. σmax c x Na Figura 3.71: Diagrama de tens˜es para o concreto o 82
- 84. 3.3.7 Exerc´ ıcios 1. A figura 3.72 representa a se¸˜o transversal (dimens˜es em mm) de uma viga de ca o madeira refor¸ada com uma lamina de a¸o. Os m´dulos de elasticidade s˜o Em = 10 c c o a GPa e Ea = 200 GPa. Se esta viga for submetida a um momento fletor de 30 kNm em rela¸ao ao eixo horizontal, quais as tens˜es m´ximas no a¸o e na madeira? c˜ o a c (Resposta: 97, 09 MPa e 11, 5 MPa) 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 250 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 10 1111111111 0000000000 150 Figura 3.72: Figura do exerc´ 1 ıcio 2. Uma Viga de madeira de 100 mm de largura por 200 mm de altura tem uma placa de liga de alum´ de 90 mm por 15 mm de altura presa a sua face inferior. Determine ınio o momento resistente m´ximo admiss´ para a viga, sendo as tens˜es admiss´ a ıvel o ıveis 8 MPa e 100MPa e os m´dulos de elasticidades 8, 75MPa e 70 GPa, respectivamente o da madeira e do alum´ınio. (Resposta: 8, 59 kNm) 3. Calcular as tens˜es m´ximas na madeira (n´cleo) e no alum´ o a u ınio (chapas laterais) da viga da figura 3.73, dado P = 10 kN, dimens˜es da se¸ao em mm, m´dulos de o c˜ o elasticidades. Em = 7 GPa e Ea = 70 GPa. (Resposta: 8, 82 MPa e 88, 2MPa) P 1 0 1 0 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 180 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 2.0m 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 111111111111 000000000000 11 00 15 120 15 Figura 3.73: Figura do Exerc´ 3 ıcio 4. Uma viga de madeira de 100 mm de largura por 300 mm de altura e 5,0 m de comprimento ´ armada com placas de a¸o de 75 mm de largura por 15 mm de e c altura nas faces superior e inferior. A viga ´ simplesmente apoiada (bi-apoiada) e e suporta uma carga uniformente distribu´ de 20 kN/m em todo o seu comprimento. ıda Determinar a tens˜o longitudinal m´xima na madeira e no a¸o, sendo seus m´dulos a a c o de elasticidade iguais a 10 GPa e 210 GPa, respectivamente. (Resposta: 6, 71 MPa e 154, 9 MPa) 83
- 85. 5. Duas chapas de lat˜o s˜o firmemente coladas a uma barra de alum´ a a ınio, como indica a figura 3.74 (dimens˜es em mm). Dados Eal = 70 GPa, Ela = 105 GPa, σ al = 100 o MPa e σ la = 150 MPa, calcular o momento m´ximo quando a pe¸a composta ´ a c e flexionada em torno de um eixo (a) horizontal (b) vertical (Resposta: 1, 162 kNm e 720 Nm) 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 6 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 30 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 6 1111111111 0000000000 30 Figura 3.74: Figura do Exerc´ 5 ıcio 6. Calcular o momento fletor admiss´ em rela¸˜o ao eixo neutro horizontal para uma ıvel ca viga composta de madeira de a¸o, com se¸˜o transversal: c ca (a) de madeira 200 mm de largura por 300 mm de altura, refor¸ada por uma chapa c de a¸o superior de 50 mm de largura por 10 mm de altura e outra inferior de c 150 mm de largura por 10 mm de altura (b) de madeira 200 mm de largura por 300 mm de altura, refor¸ada por chapas de c a¸o laterais de 10 mm de largura por 300 mm de altura. c Dados Em = 8.3 GPa, Ea = 200 GPa, σm = 8.3 MPa, σa = 140 MPa Resposta: (a) M = 44,18 kNm; (b) M = 59,43 kNm 7. Determinar as tens˜es m´ximas no a¸o e no concreto em uma viga de concreto ar- o a c mado sujeita a um momento fletor positivo de 70 kNm. A figura 3.75 que representa a se¸˜o transversal, as dimens˜es est˜o indicadas em mm. Cada uma das barras de ca o a 2 a¸o tem 700mm de ´rea. Admitir Ea /Ec = n = 15. c a Resposta: σa = 117 MPa e σc = 6.02 MPa 8. Uma viga bi-apoiada de concreto armado suporta uma carga uniformemente dis- tribu´ de 25kN/m em um v˜o de 5m. A viga tem se¸ao circular de 300mm de ıda a c˜ largura por 550mm de altura e a armadura de a¸o tem ´rea total de 1250mm2 , com c a os centros das barras colocados a 70mm da face inferior da viga. Calcular as tens˜es o m´ximas no concreto e m´dia no a¸o, dados Ec = 20Gpa e Ea = 210Gpa. a e c Admitir que o concreto n˜o resiste ` tra¸˜o a a ca (Resposta: 7, 4Mpa e 147, 2Mpa) 84
- 86. 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 500 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 60 1111111111 0000000000 250 Figura 3.75: Figura do Exerc´ 7 ıcio 9. Uma viga de concreto armado tem se¸˜o retangular 200 mm × 400 mm. A armadura ca ´ constitu´ por trˆs barras de a¸o de 22mm de diˆmetro, cujos centros est˜o a e ıda e c a a 50mm da face inferior da viga. Calcular o momento fletor positivo m´ximo que a a viga pode suportar, dados: Ec = 21Gpa, Ea = 210Gpa, σc = 9.3Mpa, σa = 138Mpa (Resposta: 42, 03kNm) 10. A figura 3.76representa um trecho de uma laje de concreto armado, com armadura longitudinal de barras de a¸o de 16 mm de diˆmetro a cada 150 mm. Calcular a c a tens˜o m´xima no concreto e a tens˜o m´dia no a¸o para um momento fletor positivo a a a e c de 4 kNm a cada 300mm de largura da laje. Dados: Ec = 21 GPa, Ea = 210 GPa, (Resposta: 7,65 MPa e 114, 8 MPa) 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 100mm 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 120mm 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 Figura 3.76: Figura do Exerc´ 10 ıcio 11. Uma laje de concreto com 150mm de espessura ´ refor¸ada longitudinalmente com e c barras de a¸o de 25mm de diˆmetro a cada 80mm de largura, cujos centros est˜o c a a a 10mm da face inferior da laje. Determinar o momento fletor m´ximo admiss´ a ıvel por metro da laje. Adotar n = 12 e tens˜es admiss´ o ıveis 150 MPa para o a¸o e 8Mpa para o concreto. c (Resposta: 37,1 kNm/m) 85
- 87. 3.3.8 Flex˜o Inel´stica a a Referˆncia a R.C. HIBBELER. Resistˆncia dos Materias. 5o Edi¸ao e e c˜ As equa¸oes para determinar a tens˜o normal provocada pela flex˜o, desenvolvidas c˜ a a anteriormente, s˜o v´lidas apenas se o material comporta-se de maneira linear-el´stica. a a a Se o momento aplicado provocar escoamento do material, deve-se ent˜o usar uma an´lise a a pl´stica para determinar a distribui¸ao de tens˜o. No entanto, as trˆs condi¸oes para a c˜ a e c˜ flex˜o de elementos retos, (exemplo: vigas, colunas), tanto no caso el´stico como no a a pl´stico, devem ser satisfeitas. a 1. Distribui¸˜o da Deforma¸˜o Normal Linear - x . Com base em condi¸oes geom´tricas, ca ca c˜ e mostramos na se¸˜o anterior que as deforma¸˜es normais que se desenvolvem no ma- ca co terial variam sempre linearmente, de zero, no eixo neutro da se¸ao transversal, at´ c˜ e o m´ximo no ponto mais afastado deste eixo neutro. a 2. O Esfor¸o Normal ´ Nulo. Como somente o momento interno resultante atua sobre c e a se¸˜o transversal, a for¸a resultante provocada pela distribui¸˜o de tens˜o deve ca c ca a ser nula. E, uma vez que σx cria uma for¸a sobre a ´rea dA de dF = σx dA (figura c a 3.77), para toda ´rea da se¸˜o transversal A temos: a ca x .. M z y Figura 3.77: N= σx dA = 0 (3.83) A A equa¸ao 3.83 nos permite obter a localiza¸ao do eixo neutro. c˜ c˜ 3. Momento Resultante. O momento resultante na se¸ao deve equivaler ao momento c˜ provocado pela distribui¸ao de tens˜o em torno do eixo neutro. Como o momento c˜ a da for¸a dFx = σx dA em torno do eixo neutro ´ dMz = y(σx dA) o somat´rio dos c e o resultados em toda a se¸˜o transversal ser´: ca a Mz = yσdA (3.84) A Essas condi¸oes de geometria e carregamento ser˜o usadas agora para mostrar como c˜ a determinar a distribui¸˜o de tens˜o em uma viga submetida a um momento interno ca a resultante que provoca escoamento do material. Suporemos, ao longo da discurss˜o,a que o material tem o mesmo diagrama tens˜o-deforma¸ao tanto sob tra¸ao como a c˜ c˜ sob compress˜o. Para simplificar, come¸aremos considerando que a viga tenha ´rea a c a de se¸ao transversal com dois eixos de simetria; nesse caso, um retˆngulo de altura c˜ a h e largura b, como o mostrado na figura3.78. Ser˜o considerados trˆs casos de a e carregamento que tˆm interesse especial. S˜o eles: Momento El´stico M´ximo; e a a a Momento Pl´stico e Momento Resistente. a 86
- 88. M E Figura 3.78: εE h ε2 2 y2 y1 ε1 y1 h y2 ε1 ε2 2 εE Figura 3.79: Diagrama de deforma¸ao c˜ Momento El´stico M´ximo. a a Suponhamos que o momento aplicado Mz = ME seja suficiente apenas para produzir deforma¸˜es de escoamento nas fibras superiores e inferiores da viga, conforme mostra co a figura 3.79. Como a distribui¸˜o de deforma¸˜o ´ linear, podemos determinar a dis- ca ca e tribui¸˜o de tens˜o correspondente usando o diagrma tens˜o-deforma¸˜o (figura 3.80). ca a a ca Vemos aqui que a deforma¸˜o de escoamento E causa o limite de escoamento σE , en- ca quanto as deforma¸oes intermediarias 1 e 2 provocam as tens˜es σ1 e σ2 , respectiva- c˜ o mente. Quando essas tens˜es, e outras como elas, tˆm seus gr´ficos montados nos pontos o e a y = h/2, y = y1 , y = y2 , etc., tem-se a distribui¸˜o de tens˜o da figura 3.81 ou 3.82. ca a Evidentemente, a linearidade de tens˜o ´ consequˆncia da Lei de Hooke. a e e σ σE σ2 σ1 ε ε1 ε 2 ε E Figura 3.80: Diagrama tens˜o-deforma¸˜o a ca Agora que a distribui¸˜o de tens˜o foi estabelecida, podemos verificar se a equa¸ao ca a c˜ 3.83 foi satisfeita. Para isso, calculemos primeiro a for¸a resultante de cada uma das c duas partes da distribui¸ao de tens˜o (figura 3.82). Geometricamente, isso equivale a c˜ a 87
- 89. calcular os volumes de dois blocos triangulares. Como mostrado, a se¸ao transversal c˜ superior do elemento est´ submetida ` compress˜o, enquanto a se¸˜o transversal inferior a a a ca est´ submetida ` tra¸˜o. a a ca Temos: 1 h 1 T =C= σE b = bhσE (3.85) 2 2 4 Como T ´ igual mas oposta a C, a equa¸˜o 3.83 ´ satisfeita e, de fato, o eixo neutro e ca e passa atrav´s do centr´ide da ´rea da se¸ao transversal. e o a c˜ O momento el´stico m´ximo ME ´ determinado pela equa¸˜o 3.84, que o declara a a e ca equivalente ao momento da tens˜o de distribui¸˜o em torno de um eixo neutro. Para a ca aplicar essa equa¸ao geometricamente, temos de determinar os momentos criados por T c˜ e C em torno do eixo neutro (figura 3.82). Como cada for¸a atua atrav´s do centr´ide do c e o volume do seu bloco de tens˜o triangular associado, temos: a 2 h 2 h ME = C +T 3 2 3 2 1 2 h ME = 2 bhσE 4 3 2 1 2 ME = bh σE (3.86) 6 Naturalmente, esse mesmo resultado pode ser obtido de maneira mais direta pela f´rmula da flex˜o, ou seja, σE = ME (h/2)/[bh3 /12], ou ME = bh2 σE /6 o a σE h σ2 y2 σ1 2 y1 y1 σ1 h y2 σ2 2 σE Figura 3.81: Diagrama de tens˜o a b σE A h 2 C N h 2 ME T σE Figura 3.82: 88
- 90. Momento Pl´stico a Alguns materiais, tais como a¸o, tendem a exibir comportamento el´stico perfeita- c a mente pl´stico quando a tens˜o no material exceder σE . Considereremos, por exemplo, o a a elemento da figura 3.83. Se o momento interno M > ME , o material come¸a a escoar nas c partes superior e inferior da viga, o que causa uma redistribui¸˜o de tens˜o sobre a se¸ao ca a c˜ transversal at´ que o momento interno M de equilibrio seja desenvolvido. Se a distribui¸ao e c˜ da deforma¸˜o normal assim produzida for como a mostrada na figura 3.79, a distribui¸ao ca c˜ de tens˜o normal correspondente ser´ determinada pelo diagrama tens˜o-deforma¸ao da a a a c˜ mesma maneira que no caso el´stico. Usando esse diagrama para material mostrado na a figura 3.84, temos que as deforma¸˜es 1 , 2 = E , 2 correspondem, respectivamente, `s co a tens˜es σ1 , σ2 = σE , σE (essas e outras tens˜es s˜o mostradas na figura 3.85 ou na 3.86). o o a Nesse caso, os s´lido de tens˜es de esfor¸os de compress˜o e tra¸ao s˜o parte retangulares o o c a c˜ a e parte triangulares, observa-se na figura 3.86: M > ME Figura 3.83: σ σE σ1 ε ε1 εE ε 2 Figura 3.84: σE h σ2 2 yE σ1 yE σ1 h σ2 2 σE Figura 3.85: Diagrama de tens˜o a 89
- 91. 1 T1 = C 1 = yE σE b (3.87) 2 h T2 = C2 = − yE σE b (3.88) 2 Devido ` simetria, a equa¸ao 3.83 ´ satisfeita e o eixo neutro passa atrav´s do centr´ide a c˜ e e o da se¸˜o transversal como mostrado. O momento aplicado M pode ser relacionado ao ca limite de escoamento σE por meio da equa¸˜o 3.84. Pela figura 3.86, requer-se que: ca 2 2 1 h 1 h M = T1 yE + C1 y E + T2 y E + − yE + C2 yE + − yE 3 3 2 2 2 2 1 2 h 1 h M = 2 yE σE b yE + 2 − yE σE b + yE 2 3 2 2 2 1 2 4 yE 2 M = b.h σE 1 − (3.89) 4 3 h2 Ou, usando a equa¸ao 3.86: c˜ 3 4 yE 2 M = ME 1 − (3.90) 2 3 h2 Escoamento plastico Nucleo A elastico N C2 Escoamento C1 plastico T1 T2 M Figura 3.86: A an´lise da figura 3.86 revela que M produz duas zonas de escoamento pl´stico e a a um n´cleo el´stico no elemento. A fronteira entre eles est´ a uma distˆncia ± yE do eixo u a a a ` neutro. A medida que M cresce em intensidade, yE tende a zero. Isso tornaria o material inteiramente pl´stico, caso em que a distribui¸ao de tens˜o teria a aparˆncia mostrada na a c˜ a e figura 3.87. Pela equa¸˜o 3.90 com yE = 0, ou determinando os momentos dos s´lidos de ca o tens˜o em torno do eixo neutro, podemos escrever o valor limitante como: a 1 MP = .b.h2 σE (3.91) 4 Usando a equa¸ao 3.86, temos: c˜ 90
- 92. σE C σE T Figura 3.87: Momento pl´stico a 3 MP = ME (3.92) 2 Esse momento ´ denominado momento pl´stico. Seu valor ´ unico apenas para a se¸ao e a e´ c˜ retangular mostrada na figura 3.87, visto que a an´lise depende da geometria da se¸˜o a ca transversal. As vigas usadas em estruturas met´licas `s vezes s˜o projetadas para resistir a um a a a momento pl´stico. Nesse caso, os c´digos em geral relacionam uma propriedade de projeto a o da viga chamada fator forma. O fator forma ´ definido como a rela¸ao e c˜ MP k= (3.93) ME Esse valor especifica a quantidade adicional de momento que uma viga pode suportar al´m de seu momento el´stico m´ximo. Por exemplo: pela equa¸˜o 3.92, uma viga de e a a ca se¸˜o transversal retangular tem fator k = 1,5. Podemos, portanto, concluir que a se¸ao ca c˜ suportar´ 50% mais momento fletor al´m de seu momento el´stico m´ximo quando se a e a a tornar´ totalmente pl´stica. a a Momento Resistente. Consideremos o caso mais geral de uma viga com se¸˜o transversal sim´trica apenas ca e em rela¸˜o ao eixo vertical, na qual o momento ´ aplicado em torno do eixo horizontal. ca e Supondo-se que o material apresenta endurecimento por deforma¸ao (encruamento) e que c˜ seus diagramas tens˜o-deforma¸ao de tra¸ao e compress˜o sejam diferentes (figura 3.88). a c˜ c˜ a Se o momento M produz escoamento da viga, o dif´ ser´ determinar a localiza¸˜o do ıcil a ca eixo neutro e a deforma¸ao m´xima produzida na viga. Isso porque a se¸ao transversal ´ c˜ a c˜ e assim´trica em torno do eixo horizontal e o comportamento tens˜o-deforma¸ao do material e a c˜ ´ assim´trico na tra¸ao e na compress˜o. Para resolver o problema, usa-se um m´todo de e e c˜ a e tentativa e erro que requer os seguintes passos: 1. Para um dado momento M , supor a localiza¸˜o do eixo neutro e o declive da dis- ca tribui¸ao de deforma¸ao ‘linear’ (figura 3.89 - se¸oes planas). c˜ c˜ c˜ 2. Estabelecer graficamente a distribui¸˜o de tens˜o na se¸ao transversal do elemento, ca a c˜ usando a curva σ- para representar os valores da tens˜o correspondente aos valores a 91
- 93. σ1 ε2 ε1 σ2 Figura 3.88: Momento pl´stico a ε2 eixo neutro ε1 Figura 3.89: Diagrama deforma¸˜o ca da deforma¸ao. A distribui¸ao de tens˜o resultante (figura 3.90) ter´ a mesma forma c˜ c˜ a a da curva σ- . σ2 C y’’ eixo neutro y’ T σ1 Figura 3.90: Diagrama de tens˜o a 3. Determinar os volumes compreendidos pelos s´lidos de tens˜o de tra¸˜o e com- o a ca press˜o (Como aproxima¸ao, isso pode exigir a divis˜o de cada s´lido em regi˜es a c˜ a o o compostas). A equa¸ao 3.83 exige que os volumes dos s´lidos sejam iguais, uma vez c˜ o que representam a for¸a de tra¸ao resultante T e a for¸a de compress˜o resultante c c˜ c a C na se¸ao (figura 3.87). Se tais for¸as forem desiguais deve ser feito um ajuste da c˜ c localiza¸ao do eixo neutro (ponto de deforma¸ao nula) e o processo repetido at´ que c˜ c˜ e a equa¸ao 3.83 seja satisfeita (T = C). c˜ 4. Uma vez que T = C, os momentos produzidos por T e C podem ser calculados em 92
- 94. torno do eixo neutro. Nesse caso os bra¸os de momento de T e C s˜o medidos do c a eixo neutro para os centr´ides dos volumes definidos pelas distribui¸oes de tens˜o o c˜ a (figura 3.87). A equa¸˜o 3.84 exige que M = T y + Cy . Se ela n˜o for satisfeita, o ca a declive da distribui¸ao de deforma¸ao deve ser ajustado e os c´lculos de T e C e do c˜ c˜ a momento repetidos at´ que se obtenha concordˆncia aproximada. e a Como era de esperar, esse processo de c´lculo ´ cansativo. Felizmente n˜o acontece a e a com muita frequˆncia na pr´tica da engenharia pois a maioria das vigas ´ sim´trica em e a e e rela¸˜o a dois eixos e feita de materiais que, sup˜e-se, tˆm diagramas de tens˜o-deforma¸˜o ca o e a ca de tra¸ao e compress˜o similares. Quando isso ocorre, o eixo neutro passa atrav´s do c˜ a e centr´ide da se¸˜o transversal e o processo para relacionar a distribui¸ao de tens˜o ao o ca c˜ a momento resultante ´, portanto, simplificado. e Pontos Importantes • A distribui¸˜o de deforma¸˜o normal ( x ) na se¸ao transversal de uma viga baseia-se ca ca c˜ somente em considera¸˜es geom´tricas e sabe-se que ´ sempre linear, independentemente co e e da carga aplicada. A distribui¸ao de tens˜o normal, no entanto, deve ser determinada pelo c˜ a comportamento do material ou pelo diagrama tens˜o-deforma¸ao, uma vez estabelecida a c˜ a distribui¸˜o de deforma¸˜o. ca ca • A localiza¸˜o do eixo neutro ´ determinada pela condi¸ao de que a for¸a resultante ca e c˜ c normal na se¸ao transversal seja nula. c˜ • O momento interno resultante sobre a se¸˜o transversal deve ser igual ao momento ca da distribui¸˜o de tens˜o em torno do eixo neutro. ca a • O comportamento perfeitamente pl´stico sup˜e que a distribui¸˜o de tens˜o normal a o ca a ´ constante sobre a se¸˜o transversal e, assim, a viga continua a fletir-se mesmo que o e ca momento n˜o aumente. Esse momento ´ chamado de momento pl´stico. a e a Exemplos 1. A viga em duplo T tem as dimens˜es mostradas na figura 3.91 Supondo que seja o feita de material el´stico perfeitamente pl´stico com limite de escoamento de tra¸ao a a c˜ e compress˜o σE = 248, 2 MPa, determine o fator forma da viga. a 12,7 mm 12,7 228,6 mm 12,7 mm 203,2 mm Figura 3.91: Solu¸˜o: ca A fim de determinar o fator forma, primeiro ´ necess´rio calcular o momento el´stico e a a m´ximo ME e o momento pl´stico MP . a a 93
- 95. σE σE Figura 3.92: Momento El´stico M´ximo. A distribui¸˜o de tens˜o normal do momento el´stico a a ca a a m´ximo ´ mostrada na figura 3.92. a e O momento de in´rcia em torno do eixo neutro ´: e e 1 1 Iz = (12, 7) (228, 6) 3 + 2 (203, 2) (12, 7) 3 + (203, 2) (12, 7) (114, 3) 2 12 12 Iz = 87, 84 × 106 mm4 Aplicando a f´rmula da flex˜o, temos: o a ME y σE = Iz ME (127) 248, 2 = 87, 84 × 106 ME = 171, 67 kN Momento Pl´stico. O momento pl´stico provoca escoamento do a¸o em toda a a a c se¸ao transversal da viga, de modo que a distribui¸ao de tens˜o normal fica com a c˜ c˜ a aparˆncia mostrada na figura 3.93. Devido ` simetria da ´rea da se¸˜o transversal e a a ca e como os diagramas tens˜o-deforma¸ao de tra¸ao e compress˜o s˜o os mesmos, o a c˜ c˜ a a eixo neutro passa pelo centr´ide da se¸˜o transversal. Para determinar o momento o ca pl´stico, dividimos a distribui¸ao de tens˜o em quatro s´lidos retangulares com- a c˜ a o postos, sendo o volume de cada s´lido igual ` for¸a por ele produzida. Portanto, o a c temos: C1 = T1 = 248, 2 × 12, 7 × 114, 3 = 360 kN C2 = T2 = 248, 2 × 12, 7 × 203, 2 = 641 kN Essas for¸as atuam atrav´s do centr´ide do volume de cada s´lido. Calculando os c e o o momentos dessas for¸as em torno do eixo neutro, obtemos o momento pl´stico: c a MP = 2 [(57, 2) (360)] + 2 [(120, 7) (641)] = 195, 92 kNm Fator Forma Aplicando a equa¸˜o 3.93, temos: ca 94
- 96. 248,2 MPa C2 A N C1 T1 MP T2 248,2 MPa Figura 3.93: MP 195, 92 k= = = 1, 14 ME 171, 67 Esse valor indica que a viga em duplo T oferece uma se¸˜o eficiente para resistir a ca um momento el´stico. A maior parte do momento ´ desenvolvida nas abas da viga, a e isto ´, nos seguimentos superior e inferior, enquanto a alma ou seguimento vertical e contribui muito pouco. Nesse caso particular, apenas 14% de momento adicional pode ser suportado pela viga al´m do que pode ser suportado el´sticamente. e a 2. Uma viga em T tem as dimens˜es mostradas na figura 3.94. Supondo que seja feita o de material el´stico perfeitamente pl´stico com limites de escoamento de tra¸˜o e a a ca compress˜o σE = 250 MPa, determinar o momento pl´stico a que ela pode resistir. a a 100 mm 15 mm 120 mm 15 mm Figura 3.94: Solu¸˜o ca A distribui¸˜o de tens˜o pl´stica que atua sobre a ´rea da se¸˜o transversal ´ ca a a a ca e mostrada na figura 3.95. Nesse caso, a se¸˜o transversal n˜o ´ sim´trica em rela¸˜o ca a e e ca a um eixo horizontal e, consequentemente, o eixo neutro n˜o passa pelo centr´ide a o 95
- 97. 100 mm 15 mm ( 120 mm − d) A 250 MPa N d C2 C1 T MP 15 mm Figura 3.95: dela. Para que possamos determinar a localiza¸ao do eixo neutro d, ´ preciso que c˜ e a distribui¸ao de tens˜o produza uma for¸a resultante nula na se¸˜o transversal. c˜ a c ca Supondo que d 120 mm, temos: σx dA = 0 A T − C1 − C2 = 0 250 × (0, 015) × (d) − 250 × (0, 015) × (0, 120 − d) −250 × (0, 015) × (0, 100) = 0 d = 0, 110m < 0, 120m OK De acordo com esse resultado, as for¸as que atuam em cada seguimento s˜o positivas, c a assim: T = 250 × (0, 015) × (0, 110) = 412, 5 kN C1 = 250 × (0, 015) × (0, 010) = 37, 5 kN C2 = 250 × (0, 015) × (0, 100) = 375 kN Ent˜o, o momento pl´stico em torno do eixo neutro ´: a a e 0, 110 0, 001 0, 015 Mp = 412, 5 × + 37, 5 × + 375 × 0, 01 + 2 2 2 Mp = 29, 4 kN.m Exerc´ ıcios 1. A viga em U ´ feito de um material el´stico perfeitamente pl´stico para o qual e a a σE = 250M P a. Determinar o momento el´stico m´ximo e o momento pl´stico que a a a podem ser aplicados ` se¸ao transversal. Ver figura 3.96. a c˜ Resp. ME = 13,8 kNm; MP = 25,6 kNm 96
- 98. 120 mm 10 mm Mz 10 mm Figura 3.96: 2. Uma barra da a¸o A-36 retangular tem largura de 25,4 mm e altura de 76,2 mm. c Determine o momento aplicado em torno do eixo horizontal que provoca escoamento de metade da barra. Resp. M = 8,55 kNm 3. Determinar o fator forma da se¸ao transversal da viga.(figura 3.97). c˜ Resp. k = 1,27 25 mm 150 mm 25 mm 150 mm 25 mm 25 mm Figura 3.97: 4. A viga em T ´ feita de um material el´stico perfeitamente pl´stico. Determinar o e a a momento el´stico m´ximo que pode ser aplicado ` se¸ao transversal. σE = 248,2 a a a c˜ MPa (figura 3.99) Resp. ME = 443,3 kNm 5. Determinar o fator forma da se¸ao transversal da viga em H. (figura 3.98). c˜ Resp. k = 1,57 6. Determinar o fator forma de sua se¸ao transversal. (figura 3.99) c˜ Resp. k = 1,77 7. Determinar o fator forma do elemento, que tem se¸˜o transversal caix˜o. (figura ca a 3.100) Resp. k = 1,4 97
- 99. 20 mm MP 200 mm 200 mm 20 mm 20 mm Figura 3.98: 254 mm 76,2 mm 254 mm 76,2 mm Figura 3.99: a 2 a a 2 a a a 2 2 Figura 3.100: 8. A viga-caix˜o ´ feita de material el´stico perfeitamente pl´stico. Determinar o a e a a momento el´stico m´ximo e o momento pl´stico que podem ser aplicados ` se¸ao a a a a c˜ transversal. Adotar a =100 mm e σE = 250 MPa (figura 3.100). Resp. ME = 312,5 kN.m e MP = 437,5 kNm 9. Determinar o fator forma da se¸ao transversal. (figura 3.101). c˜ Resp. k = 1,71 10. A viga ´ feita de material el´stico perfeitamente pl´stico. Determine o momento e a a pl´stico m´ximo e o momento pl´stico que podem ser aplicados ` se¸ao transversal. a a a a c˜ Adotar a = 50,8 mm e σE = 248,2 MPa (figura 3.101). 98
- 100. a a a a a a Figura 3.101: Resp. ME = 52,47 kN.m e MP = 89,48 kNm 11. Determinar o fator forma do elemento, que tem se¸˜o transversal tubular. (figura ca 3.102) Resp. k = 1,61 2d d Figura 3.102: 99
- 101. 3.4 Solicita¸˜o por Esfor¸o Cortante ca c 3.4.1 Introdu¸˜o ca Exerc´ ıcio preliminar: seja uma se¸ao retˆngular b × h (veja figura 3.103). Seja uma c˜ a camada de fibras AB // LN, de ordenada y1 em rela¸ao a LN. Sejam as ´reas Ai e As , c˜ a respectivamente inferior e superior a AB. Sejam MAi e MAs seus respectivos momentos est´ticos (momento de 10 ordem) em rela¸˜o ` LN. Demonstre que: a ca a b h2 |MAs | = MAi = 2 y1 2 − 2 b/2 b/2 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 As 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 h/2 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 z = LN 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 y A 00000000000000000000 B 11111111111111111111 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 1 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 h/2 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 A i 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 y = ES Figura 3.103: figura do exer´ preliminar ıcio Demonstra¸˜o: Seja dA = b.dy (veja figura 3.104) ca 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 z = LN 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 dy 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 y = ES Figura 3.104: Demostra¸ao c˜ 2 h/2 y2 h/2 b h MAi = ydA = ybdy = b y1 = − y1 2 (3.94) Ai y1 2 2 2 2 y1 y2 y1 b 2 h MAs = ydA = ybdy = b −h/2 = y1 − = −MAi (3.95) Ai −h/2 2 2 2 Coment´rio: MAi > 0 e MAs < 0 tais que MAs = −MAi ent˜o MAs + MAi = MA = 0 (o a a momento est´tico da ´rea total em rela¸ao a um eixo baricˆntrico ´ igual a zero) a a c˜ e e Observa¸oes: c˜ 100
- 102. 1. A partir deste ponto do texto, o valor absoluto do momento est´tico de Ai ou de As a em rela¸ao ` LN passa a ser indicado por: c˜ a b h 2 Ms = MAi = |MAs | = ( ) − y1 2 (3.96) 2 2 2. Quando y1 varia (− h ≤ y1 ≤ h ) ent˜o Ms = f (y1 ) ´ uma par´bola de 20 grau (veja 2 2 a e a figura 3.105), sendo: max bh2 Ms = 8 −h/2 2 bh/8 Ms h/2 y Figura 3.105: Varia¸˜o do Momento Est´tico ca a 3.4.2 Tens˜es de Cisalhamento em Vigas de Se¸˜o Retangular o ca Constante Sejam conhecidos o DMF e o DEC da viga. Na figura 3.106 representamos uma viga bi-apoiada, mas o sistema de apoios poderia ser qualquer. O elemento de volume de comprimento elementar dx, limitado pelas se¸˜es de abscissas co x e x + dx e o elemento de ´rea dy × dz em torno de um ponto P(y, z) gen´rico da se¸˜o a e ca determinam um elemento de volume dx × dy × dz. 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 x dx dA z 11111111 00000000 y 11111111 00000000 11111111 00000000 6 11111111 00000000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 11111111 00000000 P 1111 0000 1111 0000z 11111111 00000000 11111111 00000000 dy 1111 0000 11111111 00000000 11111111 00000000 6 11111111 00000000 dA 6 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 y 6 11111111 00000000 11111111 00000000 dz 11111111 00000000 11111111 00000000 dx Figura 3.106: Viga bi-apoiada Nas faces direita e esquerda, τxy = τ ´ a tens˜o tangencial na se¸ao transversal. e a c˜ Nas faces superior e inferior, τyx = τ ´ a tens˜o tangencial nos planos longitudinais. e a A existˆncia de tens˜es de cisalhamento em planos longitudinais ´ verificada em vigas e o e constituidas de elementos longitudinais, conforme a figura 3.107. Para o c´lculo das tens˜es de cisalhamento, al´m das hip´teses admitidas na an´lise a o e o a das tens˜es normais de flex˜o, admitimos a seguinte hip´tese b´sica o a o a 101
- 103. 1111111111 111 0000000000 000 111 000 1111111111 111 0000000000 000 111 000 1111111111 000 0000000000 000 111 1111111111 000 0000000000 111 1111111111 111 0000000000 000 1111111111 000 0000000000 111 111 000 1111111111 000 0000000000 111 111 1111111111 000 0000000000 000 111 111 111 000 111 000 111 000 Figura 3.107: Viga constitu´ de elementos longitudinais ıda • A tens˜o de cisalhamento τ ´ constante na largura da se¸ao. a e c˜ Portanto τ = τ (y) somente, isto ´, τ n˜o depende de z. e a Seja uma camada de fibras AB//LN, de ordenada y, isto ´,uma camada de fibras e longitudinais // ` superf´ neutra conforme destaca figura 3.108. a ıcie B τ 11 00 11 00 11 00 LN y A A Figura 3.108: Tens˜o tangencial constante na largura da viga a Nas figuras 3.109 e 3.110 destacamos a por¸˜o da viga, superior a esta camada, para ca mostrar a tens˜o tangencial (transversal e longitudinal) em uma se¸˜o S, sendo τ constante a ca de A at´ B. e A resultante na dire¸˜o longitudinal nas duas faces da figura 3.109 fornece: ca F = σx dA ⇒ ´ a resultante das tens˜es normais na face esquerda. e o Ai F + dF = (σx + dσx )dA ⇒ ´ a resultante das tens˜es normais na face direita. e o Ai (3.97) 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 M 11111 00000 M +dM 11111 00000 11111 00000 σ σx + dx Q 00000 Q +dQ 11111 11111 00000 x 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 Figura 3.109: Tens˜es normais na flex˜o o a A condi¸ao de equil´ c˜ ıbrio ´ a existˆncia da for¸a dF no plano longitudinal superior, de e e c ´rea bdx. Portanto: a dM dF = τxy bdx = dσx dA = ydA (3.98) Ai Ai I 102
- 104. σx+ d x dF 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 σx dF F F+dF dx dx Figura 3.110: Equil´ ıbrio de for¸as c obt´m -se: e 1 dM τxy = τ = ydA (3.99) Iz b dx Ai Ms dM lembrando que dx = Q (esfor¸o cortante Q = Qy ) tem-se ent˜o: c a QMs τ = τxy = (3.100) Iz b Do exerc´ preliminar: Ms = f (y) = 2 ( h )2 − y 2 par´bola de 20 , ent˜o a varia¸˜o ıcio b 2 a a ca 0 de τ = τ (y) ´ tamb´m uma par´bola do 2 grau. e e a Numa se¸ao retangular ent˜o tem-se c˜ a max bh2 Qbh2 /8 3Q y=0⇒ Ms = ⇒ τmax = 3 /12 = (3.101) 8 bbh 2 bh Isto ´: e Q τmax = 1, 5 A onde A = bh ´ a ´rea da se¸ao. e a c˜ Q Observe que τmax = 1, 5τmed (50% maior que τmed = A ) τ max Superficie ’ 111 000 111 000 ~ de tensoes τ 111 000 ’ parabolica Vista de perfil do ~ solido de tensoes Diagrama de tensoes~ ’ ~ Solido de tensoes Figura 3.111: S´lido de tens˜es o o Exerc´ ıcio Verificar a propriedade: Q = A τ dA, que n˜o foi usada para calcular a tens˜o a a de cisalhamento τ . Fa¸a c 2 Q b h τ= − y2 Iz b 2 2 e dA = bdy para calcular a integral, ou calcule o volume do s´lido de tens˜es usando a f´rmula da o o o ´rea do segmento de par´bola. a a 103
- 105. Observa¸˜es co 1. Demonstra-se da Teoria da Elasticidade (Mecˆnica dos s´lidos I) que a tens˜o de a o a cisalhamento n˜o ´ exatamente constante na largura da se¸ao, conforme a hip´tese a e c˜ o b´sica. Ent˜o a tens˜o calculada ´ a tens˜o m´dia na largura, enquanto que a tens˜o a a a e a e a m´xima ´ calculada na teoria da elasticidade. τmed = QMs a e Iz b LN y A B τmax τ med Figura 3.112: Tens˜es cisalhante m´dia o e A tabela abaixo (Beer-Johnstom, p´g 276) ,mostra que o erro cometido varia com a b a raz˜o h a b/h 1/4 1/2 1 2 4 τmax /τmed 1,008 1,033 1,126 1,396 1,988 diferen¸a percentual c 0,8% 3,3% 12,6% 39,6% 98,8% 2. Na realidade as se¸oes permanecem planas, mas “empenadas”, pois a deforma¸˜o c˜ ca τ espec´ ıfica no cisalhamento ´ a distor¸˜o angular γ = G . e ca Nos bordos livres (superior e inferior): τ = 0 → γ = 0 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 Figura 3.113: Deforma¸ao cisalhante especifica nas bordas c˜ Na Linha Neutra: τmax → γmax Esta deforma¸ao, em um c´lculo mais rigoroso, altera a an´lise de tens˜es e de- c˜ a a o forma¸oes na flex˜o simples. No entanto, este efeito ´ desprezado, pois o erro c˜ a e cometido ´ muito pequeno, exceto na regi˜o de aplica¸ao de cargas concentradas. e a c˜ 3.4.3 Tens˜es de Cisalhamento em Vigas de Se¸˜o de Diferentes o ca Formas Admite-se a mesma hip´tese b´sica da se¸˜o retangular, isto ´, τ constante na largura da o a ca e se¸˜o. Obt´m-se as propriedades: ca e Tens˜o de cisalhamento: a QMs τ= Iz t sendo t = t(y) ´ a largura (espessura) da camada considerada. e 104
- 106. Se¸˜es T, I, caix˜o, etc... (lados paralelos ou perpendiculares ` LN co a a Figura 3.114: Tipos de se¸˜es co 1. Exemplos de se¸˜o T e I. ca b2 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 τmax 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 LN 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 e 1111111111111 0000000000000 τ b1 Figura 3.115: Se¸ao T c˜ b τ 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 τmax LN 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 e 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 Figura 3.116: Se¸˜o I ca b • Na mesa: O c´lculo de τ est´ sujeito a erro consider´vel ( h grande), mas de a a a qualquer forma s˜o tens˜es pequenas. a o • Na alma: O c´lculo de τ produz resultados confi´veis, τmax na LN. a a • Na transi¸ao mesa-alma: descontinuidade no diagrama de tens˜es. c˜ o 2. Exemplo da figura 3.117. Se¸˜o retangular vazada (se¸ao caix˜o), an´lise semelhante ca c˜ a a QMs a se¸oes I, mas com τ = Iz (2e) nas “almas”. c˜ 3.4.4 Exerc´ ıcios 1. Uma viga simplesmente apoiada em seus extremos tem 200 mm de largura por 400 mm de altura e 4 m de comprimento e suporta uma carga uniformemente distribu´ ıda sobre todo seu comprimento. A tens˜o longitudinal admiss´ ´ 12 MPa (tra¸˜o e a ıvel e ca compress˜o) e a tens˜o tangencial horizontal admiss´ ´ de 0,8 MPa. Determine o a a ıvel e valor m´ximo admiss´ da carga por unidade de comprimento. a ıvel Resposta: q = 21,4 kN/m 105
- 107. 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 e e 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 b Figura 3.117: Exemplo 2 2. Calcular o valor m´ximo admiss´ de P na viga da figura 3.118 (dimens˜es em m), a ıvel o de se¸ao retangular 100 mm × 150 mm, de madeira com σ trac˜o e comp. =10 MPa e τ c˜ a =1,4 MPa Resposta: P = 8,333kN P P 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 0.45 2.10 0.45 Figura 3.118: Figura do exerc´ 2 ıcio 3. Calcular o valor m´ximo admiss´ de uma carga P na extremidade livre de uma a ıvel viga em balan¸o (figura 3.119) de 0,9 m, constitu´ por trˆs t´buas de madeira de c ıda e a se¸ao 100 mm × 50 mm, se a τ uniao =350 kPa, e calcular o valor de σ. c˜ Resposta: P = 3937,5 N e σ = 9,45 MPa 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 Figura 3.119: Figura do exerc´ 3 ıcio 4. Calcular os valores m´ximos da tens˜o normal e da tens˜o tangencial na viga da a a a figura 3.120 conhecida sua se¸˜o transversal (dimens˜es em mm). ca o Resposta: σ = 7,872 MPa e τ = 929,6 kPa 6kN 2kN/m 50 111 000 111 000 50 111 000 111 000 100 111 000 5,36kN 2m 1m 50 100 Figura 3.120: Figura do exerc´ 4 ıcio 5. A figura 3.121 (dimens˜es em mm) mostra a se¸ao transversal de uma viga de 4 o c˜ m de comprimento, simplesmente apoiada nos extremos, que suporta uma carga 106
- 108. uniformemente distribu´ de 4 kNm sobre todo seu comprimento. Em uma se¸˜o ıda ca a 0,5 m da extremidade esquerda e em um ponto desta se¸ao a 40 mm abaixo da c˜ superf´ ıcies neutras, calcular a tens˜o normal e a tens˜o tangencial. a a Resposta: σ = 1,402 MPa,tra¸˜o; τ = 925,5 kPa ca 40 120 40 70 40 70 Figura 3.121: Figura do exerc´ 5 ıcio 6. A figura 3.122 (dimens˜es em mm) mostra a se¸˜o transversal de um trecho de uma o ca viga. Na se¸ao A o momento fletor ´ - 4 kNm e o esfor¸o cortante ´ 5 kN. Calcular c˜ e c e a tens˜o normal e a tens˜o de cisalhamento na camada situada 40 mm da LN, na a a se¸ao B. c˜ Resposta: σ = -3,505 MPa e τ = 1,084 MPa 40 6kN/m 120 A B 2m 40 40 40 40 Figura 3.122: Figura do exerc´ 6 ıcio 7. Calcular os tens˜es m´ximas de tra¸˜o, compres˜o e cisalhamento em uma viga en- o a ca a gastada e livre de comprimento 0,38 m que suporta uma carga concentrada transver- sal de 6,7 kN na extremidade livre. A figura 3.123 mostra a se¸ao transversal da c˜ viga (dimens˜es em mm). o Resposta: σt = 92,58 MPa; σc = 277,75 MPa e τ = 16,45 MPa 100 10 45 45 50 10 Figura 3.123: Figura do exerc´ 7 ıcio 8. Uma viga de se¸ao “ T ” (dimens˜es em mm). Suporta cargas indicadas. Calcular c˜ o a tens˜o: a (a) tangencial m´xima. a 107
- 109. (b) normal de flex˜o m´xima de compress˜o. a a a (c) tangencial vertical a 3,4 m da extremidade esquerda e 60 mm acima da base. (d) normal de flex˜o a 1,5 m da extremidade direita e 50 mm acima da base. a Resposta: 8a) 694 kPa; 8b) 11,73 MPa de compress˜o; 8c) 148,1 kPa e 8d) 6,17MPa a de tra¸ao c˜ 200 2kN/m 15 kN 1111111111111 0000000000000 50 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 R2 1111111111111 0000000000000 200 1111111111111 0000000000000 R1 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 3m 2m 2m 2m 75 Figura 3.124: Figura do exerc´ 8 ıcio 9. Verificar a estabilidade da viga 3.125 (dimens˜es em mm na se¸˜o transversal). Para o ca σ trac˜o = 160MPa, σ compress˜o = 110MPa e τ = 14MPa. a a Resposta: As tens˜es m´ximas s˜o 15,35 MPa; 9,43 MPa e 1,27 MPa o a a 100 2kN/m 1111111111111 0000000000000 25 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 175 1111111111111 0000000000000 11111 00000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1.3 m 4.5 m 1.3 m 25 Figura 3.125: Figura do exerc´ 9 ıcio 10. Calcular os valores m´ximo admiss´ da carga q na viga da figura 3.126, se¸ao “ a ıvel c˜ T ” constitu´ por suas pe¸as de madeira 40 mm × 120 mm, para σ = 9 MPa (de ıda c flex˜o, tra¸˜o ou compress˜o) e τ = 0,7 MPa (tangencial horizontal). a ca a Resposta: q = 1,741 kN/m; τmax = 0,6 MPa; σ T max = 9,0 MPa e σ c max = 5,4 MPa. q 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 111111 1111111111111 000000 0000000000000 111111 1111111111111 000000 0000000000000 11111 00000 11111 00000 111111 1111111111111 000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 2 m 2 m Figura 3.126: Figura do exerc´ 10 ıcio 11. Calcular os valores m´ximo admiss´ da carga P na viga da figura 3.127, de modo a ıvel que a se¸ao longitudinal de tra¸˜o n˜o exceda 12 MPa e a tens˜o tangencial hori- c˜ ca a a zontal n˜o ultrapasse 0,7 MPa. Na figura as dimens˜es s˜o dadas em mm. a o a Resposta: 14,58 kN 108
- 110. 75 P 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 200 1111111111111 0000000000000 111111 000000 111111 000000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 111111 000000 1111111111111 0000000000000 50 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 2 m 3 m 200 Figura 3.127: Figura do exerc´ 11 ıcio 12. Uma viga bi-apoiada nos extremos, de 6 m de comprimento, suporta uma carga uni- formemente distribu´ de 5 kN/m em todo o seu comprimento. A se¸ao transversal ıda c˜ ´ mostrada na figura 3.128 (dimens˜es em mm) e o (a) a tens˜o tangencial horizontal m´xima, indicando onde ela ocorre na se¸˜o a a ca transversal. (b) a tens˜o tangencial vertical a 0,5 m da extremidade direita e a 100 mm abaixo a do topo. Resposta: 931 kPa e 751 kPa 60 160 60 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 140 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 60 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 Figura 3.128: Figura do exerc´ 12 ıcio 3.4.5 Fluxo de cisalhamento Seja a figura 3.129 uma pe¸a constitu´ de dois v´rios elementos (viga em madeira no c ıda a caso). M F dx dF A’ e F + dF t M + dM τ zx z x y τ xz dx Figura 3.129: Viga de madeira composta por v´rios elementos a Analisando-se o equil´ ıbrio do elemento destacado na figura tem-se uma situa¸ao an´loga c˜ a ` estudada no item anterior, considerando τzx = τxz constante na espessura e: a 109
- 111. Portanto: dM dF = τxz edx = dσx dA = ydA (3.102) Ai Ai I obt´m -se: e 1 dM τxz = τ = ydA (3.103) Iz e dx A Ms dM lembrando que dx = Q (esfor¸o cortante Q = Qy ) tem-se ent˜o: c a QMs τxz = (3.104) Iz e A equa¸ao 3.104 mostra que ´ poss´ se calcular tens˜es longitudinais (dire¸˜o x ) c˜ e ıvel o ca num plano paralelo ao plano xz em vigas sujeitas a flex˜o (τxz ) com a mesma equa¸ao que a c˜ vem sendo usada at´ o momento no c´lculo das tens˜es longitudinais no plano xy (τxy ), e a o calculando-se o momento est´tico para a ´rea A e substituindo-se a espessura “t” por a a “e”. Definindo o fluxo de cisalhamento“f ” como sendo o valor da for¸a dF por unidade de c comprimento, ou seja: dF τxz edx QMs f= = = (3.105) dx dx Iz Conseq¨entemente, u f τxy = (3.106) t e f τxz = (3.107) e A for¸a F a ser transmitida de um elemento para outro fica ent˜o: c a QMs F = fL = L (3.108) Iz onde L ´ o comprimento da viga da dire¸˜o longitudinal. e ca A aplica¸ao destas ultimas equa¸oes segue ent˜o um procedimento bastante parecido c˜ ´ c˜ a com o exposto no item anterior. Deve-se ter bastante aten¸ao no c´lculo do momento c˜ a est´tico, identificando corretamente qual a ´rea a ser considerada no seu c´lculo. Obvia- a a a mente a aplica¸ao destas equa¸oes podem ser extendidas a vigas de um s´ elemento. c˜ c˜ o Observa-se que das equa¸oes 3.106 e 3.107 que o fluxo de cisalhamento ´ uma grandeza c˜ e vetorial e define a dire¸˜o das tens˜es as tens˜es ca o o Observa-se tamb´m que na aba do perfil o fluxo de cisalhamento na dire¸˜o vertical e ca provoca tens˜es τxy de baixa magnitude pois a espessura t ´ relativamente grande. Por um o e outro lado o fluxo de cisalhamento na dire¸ao horizontal provoca tens˜es de cisalhamento c˜ o τxz de altas magnitudes pois a espessura e ´ relativamente pequena. Assim sendo, ´ e e comum analisarmos o fluxo de cisalhamento somente nas dire¸oes paralelas aos lados da c˜ se¸˜o: dire¸ao horizontal na(s) aba(s) e dire¸˜o vertical na alma. ca c˜ ca O sentido do fluxo de cisalhamento e, conseq¨entemente das tens˜es cisalhantes, nas u o abas s˜o mostrados na figura 3.130 e s˜o obtidos pela simetria do tensor de tens˜es a a o (equa¸˜es de equil´ co ıbrio). J´ na alma a dire¸ao do fluxo ´ a mesma dire¸˜o do cortante a c˜ e ca atuante na se¸ao. c˜ 110
- 112. F F dx dx dF dF F + dF F + dF M τ zx τ zx τ xz e τ xz t F F dx dx dF z x M + dM y dF F + dF F + dF dx τ zx τ zx τ xz τ xz Figura 3.130: Fluxo de cisalhamento num perfil I A figura 3.131 resume as dire¸˜es de fluxo de cisalhamento considerados na an´lise de co a uma viga I, bem como suas intensidades. Estas ultimas ser˜o discutidas logo a seguir. ´ a aba fmax 2f aba max alma fmax aba fmax Figura 3.131: Fluxo de cisalhamento num perfil I No que se refere ` intensidade do fluxo de cisalhamento tem-se para uma viga I, tem-se: a • Para as abas do perfil: (ver figura 3.132) b/2 e d/2 dz x Q z y Figura 3.132: Fluxo de cisalhamento nas abas de um perfil I 111
- 113. QMs Q d ( b − z)e Qed b f= = 2 2 = −z (3.109) I I 2I 2 Verifica-se que o fluxo de cisalhamento varia linearmente com z conforme mostra figura 3.131. A for¸a total desenvolvida em cada trecho das abas pode ser obtida pela integra¸ao c c˜ que segue e as resultantes s˜o mostradas na figura 3.133 a Qed b Qedb2 Faba = dF = f dz = b/2 − z dz = (3.110) 0 2I 2 16I F aba F aba F alma = Q F aba F aba Figura 3.133: Resultantes do fluxo de cisalhamento num perfil I Observa-se facilmente que a resultante de for¸as na horizontal ´ nula, como era de c e se esperar j´ que para o caso analisado s´ existe cortante na dire¸˜o y. a o ca • Para a alma do perfil: (ver figura 3.134) Similarmente, observando figura 3.134 faz-se a an´lise da alma. a b e t Q z y d/2 dy e y Figura 3.134: Fluxo de cisalhamento na alma de um perfil I Pode-se escrever para o c´lculo do momento est´tico na alma: a a Ms = bed/2 + t(d/2 − e/2 − y)(d/2 − e/2 − y)1/2 (3.111) Considerando que d/2 e/2 (paredes finas), pode-se simplificar a equa¸ao 3.111 c˜ por: Ms bed/2 + t(d/2 − y)(d/2 − y)1/2 = bed/2 + t/2(d2 /4 − y 2 ) (3.112) Resultando para o fluxo de cisalhamento, para o caso de t = e: 112
- 114. QMs Qt db 1 d2 f= = + − y2 (3.113) I I 2 2 4 Neste caso, conforme mostrado na figura 3.131 o fluxo de cisalhamento varia de aba modo parab´lico, de f = 2fmax = Qtdb/(2I) em y = d/2 ao m´ximo de f = o a alma fmax = (Qtd/I)(b/2 + d/8) em y = 0. A for¸a total desenvolvida na alma pode ser obtida pela integra¸˜o que segue e a c ca resultante ´ mostrada na figura 3.133 e Falma = dF = f dy (3.114) Desenvolvendo a integral da equa¸ao 3.114, sendo o valor do fluxo de cisalhamento c˜ dado por 3.113, pode-se mostrar que: d/2 Falma = dF = f dy = Q (3.115) −d/2 ou seja, que a resultante vertical ´ igual ao cortante que atua na se¸˜o, conforme e ca era esperado. (ver figura 3.133) 3.4.6 Exerc´ ıcios 1. Um esfor¸o cortante vertical de 18 kN atua na se¸ao transversal de uma viga con- c c˜ stitu´ de quatro pe¸as de madeira 50 mm × 200 mm (veja figura 3.135 Determinar: ıda c (a) a tens˜o tangencial horizontal m´xima, indicando onde ela ocorre na se¸˜o a a ca transversal. (b) a tens˜o tangencial vertical a 80 mm abaixo do topo. a Resposta: 821,7 kPa e 706,7 kPa 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 Figura 3.135: Figura do exerc´ 1 ıcio 2. Uma viga caixa ´ formada por quatro t´buas de madeira 25 mm × 150 mm, unidas e a com parafusos. O esfor¸o cortante de 4 kN ´ constante ao longo do comprimento. c e Calcular o espa¸amento entre os parafusos, no comprimento, se cada um suporta c uma for¸a de cisalhamento de 1 kN. c Resposta: 110 mm, no m´ximo. a 113
- 115. 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 Figura 3.136: Figura do exerc´ 2 ıcio 3. Uma viga caix˜o de madeira se¸ao quadrada 250mm × 250 mm externamente, a c˜ espessura de 50 mm, ´ formada por quatro pe¸as de madeira pregadas de uma das e c trˆs formas indicadas. O esfor¸o cortante de 3,02 kN ao longo do comprimento e e c cada prego resiste a uma for¸a cortante de 240 N. escolher a solu¸ao que exige menor c c˜ n´mero de pregos e calcular o espa¸amento entre os pregos para esta solu¸˜o. u c ca Resposta: (b) 60 mm (para (a) 36 mm e para (c) 45 mm) 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 111 000 11111111 00000000 111 000 111 000 11111111 00000000 111 000 111 000 111111111 000000000 111 000 111 000 111111111 000000000 111 000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 111 000 11111111 00000000 111 000 111 000 111111111 000000000 111 000 1111111111 0000000000 111 000 111 000 111 000 11111111 00000000 111 000 111 000 111111111 000000000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 1111111111 0000000000 11111111 00000000 111 000 111 000 111111111111 000000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 11111111 00000000 111 000 111 000 11111111 00000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 (a) (b) (c) Figura 3.137: Figura do exerc´ 3 ıcio 4. A se¸˜o transversal AB da viga da figura 3.138, ´ constitu´ por v´rias pe¸as de ca e ıda a c madeira (dimens˜es em mm), conforme a figura 3.138. O momento de in´rcia em o e rela¸ao ` LN ´ igual a 2360×106 mm4 . Cada parafuso representado ´ capaz de c˜ a e e resistir a uma for¸a de cisalhamento longitudinal de 2 kN. Pede-se o espa¸amento, c c ao longo do comprimento, dos parafusos necess´rios ` liga¸˜o: a a ca (a) nos trechos AC e DB. (b) no trecho CD. Resposta: 120 mm e 240mm 3.4.7 Centro de cisalhamento Seja uma se¸ao com perfil U como a mostrada na figura 3.139. que est´ em balan¸o em c˜ a c um apoio fixo e submetida ` for¸a P. Se a for¸a for aplicada ao longo do eixo vertical a c c assim´trico que passa pelo centr´ide C da ´rea da se¸ao transversal, o perfil U n˜o s´ se e o a c˜ a o fletir´ para baixo como tamb´m torcer´ no sentido hor´rio como mostrado. a e a a Para entender porque o elemento torce, ´ preciso estudar a distribui¸˜o do fluxo de e ca cisalhamento ao longo das abas e da alma do perfil em U (Figura 3.140). Quando a distribui¸˜o ´ integrada nas ´reas das abas e da alma, fornece for¸as resultantes de Faba ca e a c 114
- 116. 100 3kN/m 50 B 100 A C D 000000 111111 111111 000000 400 11111 00000 111111 000000 11111 00000 100 50 1,5 m 3m 1,5 m 50 200 50 Figura 3.138: Figura do exerc´ 4 ıcio P C Figura 3.139: Flex˜o e Tor¸ao a c˜ f max aba alma f max aba fmax Figura 3.140: Distribui¸ao do fluxo de cisalhamento c˜ Faba P e A CG d = A O Q=P Faba Figura 3.141: Momento para combater o bin´rio resultante do fluxo de cisalhamento nas a abas em cada aba e uma for¸a Q = P na alma (Figuras 3.141). Se somarmos os momen- c tos dessas for¸as em torno no ponto A, veremos que o bin´rio criado pelas for¸as das c a c abas ´ respons´vel pela tor¸ao do elemento. O sentido real da tor¸˜o ´ hor´rio quando e a c˜ ca e a visto a partir da frente da viga, como mostra a Figura 3.139, uma vez que as for¸asc de “equil´ ıbrio”interno de rea¸˜o Faba provocam a tor¸˜o. A fim de impedir a tor¸ao ´ ca ca c˜ e 115
- 117. P Figura 3.142: Flex˜o sem tor¸˜o a ca necess´rio aplicar P em um ponto O localizado a uma distˆncia e da alma do perfil em a a ´ preciso que MA = Faba d = P e ou: U (Figuras 3.141 ). E Faba d e= (3.116) P Usando a teoria discutida no t´pico Fluxo de Cisalhamento, avalia-se Faba em termos o de P = (Q) e das dimens˜es das abas e da alma. Uma vez feito isso, P ser´ cancelada ap´s o a o a substitui¸˜o na equa¸˜o 3.116 e ser´ poss´ ca ca a ıvel, ent˜o, expressar e simplesmente em fun¸˜o a ca da geometria da se¸ao transversal e n˜o em fun¸ao de P ou de sua localiza¸ao ao longo c˜ a c˜ c˜ do comprimento da viga. O ponto O localizado ´ chamado centro de cisalhamento e ou centro de flex˜o. Quando P ´ aplicada nesse centro de cisalhamento, a viga flete a e sem tor¸˜o, como mostra a figura 3.142. Os manuais de projeto relacionam a localiza¸˜o ca ca desse ponto para uma variedade de se¸˜es transversais de vigas de paredes finas, usadas co comumente na pr´tica. a Ao proceder ` an´lise, deve-se observar que o centro de cisalhamento localiza-se a a sempre em um eixo de simetria da ´rea da se¸ao transversal do elemento. Por exem- a c˜ o plo: se o perfil em U da Figura 3.139 for girado 90 e P for aplicada em A (Figura 3.139), n˜o ocorrer´ tor¸ao, uma vez que o fluxo de cisalhamento na alma e nas abas ´ sim´trico a a c˜ e e nesse caso e, portanto, as for¸as resultantes nesses elementos criam momentos nulos em c torno de A (Figura 3.140). Obviamente, se um elemento tiver uma se¸ao transversal com c˜ dois eixos de simetria, como no caso de uma viga em duplo T, o centro de cisalhamento coincidir´ com a interse¸˜o desses eixos (o centr´ide). a ca o Exemplo: Determinar a localiza¸ao do centro de cisalhamento da se¸ao do perfil em U, que tem c˜ c˜ paredes finas e as dimens˜es mostradas na Figura 3.143. o • Resultantes do Fluxo de Cisalhamento O cortante vertical para baixo Q aplicado ` se¸˜o faz o cisalhamento fluir atrav´s a ca e das abas e da alma como mostra a Figura 3.144. Isso provoca as for¸as resultantes Faba e Q nas abas e na alma como mostra a Figura c 3.145. Calcularemos os momentos em torno do ponto A, de modo que somente a for¸a Faba tenha de ser determinada. c A ´rea da se¸˜o transversal pode ser dividida em trˆs retˆngulos componentes - uma a ca e a alma e duas abas. Como se admite que cada componente seja fino, o momento de in´rcia da ´rea em torno do eixo neutro ´: e a e 116
- 118. b t h t Figura 3.143: Figura do exemplo com viga U aba fmax alma fmax aba fmax Figura 3.144: P=Q e A Faba A h = Q Faba Figura 3.145: 2 1 h th2 h I = th3 + 2 bt = +b (3.117) 12 2 2 6 Pela Figura 3.146, q em uma posi¸ao arbitr´ria x ´: c˜ a e QMs Q(h/2)[b − x]t Q(b − x) f= = = (3.118) I (th2 /2[(h/6) + b] h[(h/6) + b] Ent˜o, a for¸a Faba ´: a c e b Q b Qb2 Faba = qdx = (b − x)dx = (3.119) 0 h[(h/6) + b] 0 2h[(h/6) + b] aba Obviamente este resultado poderia ser obtido encontrado primeiro fmax (Figura 117
- 119. N A h/2 q x dx b Figura 3.146: aba 3.144) e depois calculando a ´rea triangular Faba = b/2fmax . a • Centro de Cisalhamento. Somando os momentos em torno do ponto A (Figura 3.145), requer-se que: Qb2 h Qe = Faba h = (3.120) 2h[(h/6) + b] Assim: b2 e= (3.121) [(h/3) + 2b] Como mencionamos anteriormente, e depende apenas da geometria da se¸ao transver- c˜ sal. 3.4.8 Exerc´ ıcios 1. O conjunto da figura 3.147 est´ submetido a um cisalhamento vertical Q=31,14mm. a Determinar o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B e o seu valor m´ ınimo na se¸ao c˜ transversal. (Resp.: fa = 34, 31 N/mm; fb = 79, 26 N/mm; fmax = 112, 47 N/mm) 2. Determinar a localiza¸ao e do centro de cisalhamento, ponto O, do elemento de c˜ paredes finas com a se¸˜o transversal mostrada na figura 3.148. Os segmentos do ca elemento tˆm a mesma espessura t. e (Resp.: e = 27, 19 mm) 3. Determinar a localiza¸ao e do centro de cisalhamento, ponto O, do membro de c˜ paredes finas com uma fenda ao longo de sua lateral mostrado na figura 3.149. Cada elemento tem espessura constante t. (Resp.: e = 7a/10) 118
- 120. 12,7mm A 152,4mm Q 12,7mm B 50,8mm 152,4mm 50,8mm 12,7mm 12,7mm Figura 3.147: Figura do exerc´ 1 ıcio 45,82mm 25,4mm 25,4mm O e 25,4mm 25,4mm Figura 3.148: Figura do exerc´ 2 ıcio a e O a t a Figura 3.149: Figura do exerc´ 3 ıcio 119
- 121. Cap´ ıtulo 4 T´picos complementares o 4.1 Linha el´stica de vigas sujeitas ` flex˜o a a a 4.1.1 Defini¸˜o ca A linha el´stica (LE) na flex˜o ´ a curva que representa o eixo de uma viga deformada ` a a e a flex˜o pura ou simples (desprezando o efeito do cortante). a 4.1.2 ˆ Angulo de curvatura Para a determina¸˜o da equa¸ao da LE de vigas sujeitas ` flex˜o, considere a barra de ca c˜ a a eixo originalmente reto que, mediante a atua¸˜o de um momento fletor M, se torna curvo, ca de acordo com a figura 4.1. dθ ρ M A B M y eixo A´ B´ Figura 4.1: Trecho de uma barra sujeita ` flex˜o pura a a Na figura 4.1 tem-se: • se¸oes A e B: duas se¸oes adjacentes da viga. Antes da aplica¸˜o do carregamento c˜ c˜ ca estas se¸oes estavam paralelas e distantes entre si dx. c˜ • ds = AB: o comprimento do trecho do eixo compreendido entre A e B • A B : um segmento de reta paralelo ao eixo e de comprimento ds+ds εx = ds(1+εx ) 120
- 122. • y: A distˆncia entre A e A , BeB a • ρ: o raio de curvatura do trecho AB do eixo da barra ap´s a atua¸ao de M ; o c˜ • dθ: o ˆngulo de curvatura do trecho do eixo entre AB que, por conseq¨ˆncia, tamb´m a ue e ´ o ˆngulo de curvatura de A B e a De acordo com o que foi apresentado na se¸˜o de solicita¸˜o por momento fletor (3.3) ca ca vista anteriormente, as tens˜es normais na flex˜o se relacionam com o momento fletor o a atuante nela da seguinte forma: Mz σx = y (4.1) Iz e a deforma¸ao correspondente ´ c˜ e σx Mz x = = y (4.2) E EIz O comprimento de AB ap´s atua¸ao do carregamento ´ ds pode ser relacionado com o c˜ e R e dθ da seguinte forma: dθ 1 ds = ρ dθ ⇒ = (4.3) ds ρ Como visto na se¸ao 3.3, a curvatura κ da barra ´ expressa como: c˜ e 1 dθ x κ= = = (4.4) ρ ds y Para pequenas deforma¸˜es, podemos fazer a seguinte simplifica¸ao: co c˜ ds ≈ dx (4.5) Logo, o ˆngulo de curvatura pode ser obtido atrav´s da seguinte equa¸˜o: a e ca dθ dθ Mz ≈ = (4.6) ds dx EIz A equa¸ao 4.6 ´ aplic´vel a barras retas com pequena curvatura. c˜ e a 4.1.3 Equa¸˜o diferencial da LE ca Seja a barra de eixo originalmente reto submetida ao carregamento q(x) da figura 4.2. Nesta figura tem-se o eixo na configura¸ao indeformada representado pela linha cheia, a c˜ LE representada pela linha tracejada, S e T se¸oes adjacentes originalmente verticais na c˜ configura¸˜o indeformada e S’ e T’ suas correspondentes na configura¸ao deformada. ca c˜ A figura 4.3 representa o trecho da barra nas proximidades de S e T com maior n´ ıvel de detalhes. Nesta figura dφ ´ o incremento de inclina¸ao correspondente ` diferen¸a entre e c˜ a c as tangentes em T e S, respectivamente e, graficamente, verificamos que ´ equivalente ` e a dθ: dφ = dθ ⇒ φ = θ (4.7) Sendo tan φ o coeficiente angular da reta tangente ` LE y numa posi¸ao x e con- a c˜ siderando a hip´tese de pequenos deslocamentis e deforma¸˜es tem-se: o co 121
- 123. q(x) S T x y S´ T´ Figura 4.2: Viga sujeita a carregamento q(x) dθ Ρ S T T´ S´ d φ Figura 4.3: Detalhe da regi˜o que cont´m as se¸˜es S e T a e co dy dφ d2 y tanφ ≈ φ(x) = e = 2 (4.8) dx dx dx Com isso, cosiderando equa¸oes 4.6, 4.7 e 4.8, tem-se que: c˜ d2 y Mz 2 = (4.9) dx EIz A equa¸ao 4.9 ´ a equa¸ao diferencial da LE partindo-se dos momentos fletores, que c˜ e c˜ resolvida resultar´ em uma fun¸ao y(x) que representar´ a configura¸ao deformada do a c˜ a c˜ eixo da barra sujeita ao momento Mz (x). Para adequar a equa¸˜o 4.9 com o referencial de sinais que adota flecha positiva para ca baixo e rota¸oes positivas no sentido hor´rio e considerando a conven¸ao de momento c˜ a c˜ fletor positivo tracionado as fibras situadas abaixo da linha neutra, faz-e necess´rio a a inclus˜o do sinal negativo na equa¸˜o do momento fletor: a ca d2 y Mz 2 =− (4.10) dx EIz Observa¸oes: c˜ Derivando-se a equa¸ao 4.10 com rela¸˜o ` x, tem-se: c˜ ca a d3 y 1 dMz Qy 3 =− =− (4.11) dx EIz dx EIz que ´ a equa¸ao diferencial da LE partindo-se dos esfor¸os cortantes Qy (x). e c˜ c Derivando-se uma vez a equa¸˜o 4.10 com rela¸ao ` x duas vezes, tem-se ca c˜ a d4 y 1 dQy q(x) 4 =− = (4.12) dx EIz dx EIz que ´ a equa¸ao diferencial da LE partindo-se do carregamento q(x) e c˜ 122
- 124. 4.1.4 M´todo da integra¸˜o direta e ca Para se determinar y(x), basta resolver uma das equa¸oes diferenciais apresentadas. As c˜ constantes de integra¸˜o s˜o determinadas a partir da considera¸˜o das condi¸oes de ca a ca c˜ contorno (apoios) do problema. A tabela anexa resume alguns casos resolvidos. 123
- 125. 4.1.5 Exerc´ ıcios 1. Demonstrar as propriedades da tabela referida anteriormente atrav´s do m´todo da e e integra¸˜o direta. ca 2. Calcular o ˆngulo de rota¸ao e a flecha na extremidade livre da viga do exerc´ a c˜ ıcio 3.3.5.7-a, adotado o perfil de a¸o S130×15, e na viga do exerc´ 3.3.5.7-d, adotado c ıcio o perfil de a¸o W 460 × 52. Dado E = 210 GPa. c Resposta: a) 0,003571 rad e 1,905 mm; d) 0,002527 rad e 5,686 mm 3. Calcular a flecha m´xima (no meio do v˜o) e os ˆngulos de rota¸ao nos apoios da a a a c˜ viga do exerc´ 3.3.5.7-b, adotado o perfil de a¸o S310×47, 3. Resolva pelo m´todo ıcio c e da integra¸ao direta ou pela tabela, fazendo-se a superposi¸˜o de efeitos. Dado E c˜ ca = 210 GPa. Resposta: 0,002975 rad e 3,85 mm 4. Dados I = 20.106 mm4 e E= 210 GPa, calcular a flecha em B na viga da figura 4.4 (por integra¸ao ou pela tabela). c˜ Resposta: 7,62 mm 5 kN/m 6 kN 4m Figura 4.4: Figura do exerc´ 4 ıcio 5. Dimensionar uma viga em balan¸o com uma carga uniformemente distribu´ de 10 c ıda kN/m ao longo de seu comprimento de 4 m. A viga tem se¸ao retangular A × 2A. c˜ ımetros. Dados E = 2.105 MPa, σ = 120 MPa Calcular A em n´mero inteiro de cent´ u e y = 12cm. Resposta: A =10 cm, σmax = 120 MPa e ymax = 11,574 mm 2 6. Demonstrar que a flecha no meio do v˜o da viga da figura 4.5 ´ 5Mo L . Calcule a e 16EI tamb´m as rota¸oes nos apoios. Resolva por integra¸˜o direta e tamb´m utilizando e c˜ ca e a tabela atrav´s de superposi¸ao de efeitos. e c˜ 2Mo 3Mo L Figura 4.5: Figura do exerc´ 6 ıcio 7. Calcular a flechas em C e D e as rota¸˜es em A, B e E na viga da figura 4.6 (EI co constante). P a3 P a2 Resposta: yC = −yD = 6EI e φA = φB = −φE = 4EI 124
- 126. P A D B C E P a a a a Figura 4.6: Figura do exerc´ 7 ıcio 8. Dimensionar a viga do exerc´ anterior para A = 2m, P = 30 kN, E = 110GPa, σ ıcio = 80 MPa e y = 10mm. Adotar uma se¸˜o I de espessura t constante, altura total ca 8t e largura de abas 5t. Resposta: t = 23mm 9. Calcular a flecha m´xima (no meio do v˜o) e os ˆngulos de rota¸ao nos apoios da a a a c˜ viga da figura 4.7 (EI constante) 11P a3 3P a2 Resposta: ymax = 6EI , φA = −φB = 2EI P P A B a 2a a Figura 4.7: Figura do exerc´ 9 ıcio 10. Pede-se um esbo¸o da LE da viga da figura 4.8 (EI constante) e calcular as rota¸˜es c co e as flechas em B, C e D. Resolver pelo m´todo da integra¸˜o. e ca 2Mo a 3Mo a Mo a2 7Mo a2 13Mo a2 Resposta: φB = EI , φC = φD = EI , yB = EI , yC = 2EI , yD = 2EI . Mo Mo A B C D a a a Figura 4.8: Figura do exerc´ 10 ıcio 11. Para a figura 4.9, fazer o mesmo que o pedido no exerc´ anterior. Resolver tamb´m ıcio e usando a tabela de flechas. P a2 P a3 P a2 Resposta: φB = φC = 2EI , yB = 3EI , yC = 2EI (L − a ). 3 P A B C a a L Figura 4.9: Figura do exerc´ 11 ıcio 125
- 127. 12. Escolher o perfil de a¸o de abas largas (tipo W) mais econˆmico para a viga da c o figura 4.10. Representar os diagramas de tens˜es das se¸˜es das se¸˜es A e C e o co co calcular yc . Dados M = 25kN m, P = 82 kN, σ=140 MPa e y = 5 mm, E = 210 GPa. A C Resposta: W 310x32, 7, σmax = 60, 24M P a, σmax = 137, 35M P a e yC = 4, 35mm. M P M A B C 2m 2m Figura 4.10: Figura do exerc´ 12 ıcio 13. Para uma viga em balan¸o de comprimento 2, 5m e carga uniformemente distribu´ c ıda q em todo o comprimento, dados E=210GPa, σ = 140M P a e y = 8mm, • Calcular qadm se a viga ´ um perfil W 200x52. e • Escolher o perfil W mais econˆmico se q = 28kN/m. o Resposta: q = 18, 2kN/m e W 410x38, 8. 14. Calcular φA , φB , yE e yC na viga da figura 4.11, dados P = 25 kN e EI = 11200 kNm2 , constante. Resposta: φA = −0, 0015625 rad, φB = 0, 003125 rad, yE = −1, 758 mm e yC = 6, 417 m P A E B 1111 0000 1111 0000 C 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1,5m 1,5m 1,4m Figura 4.11: Figura do exerc´ ıcios 14 15. A viga da figura 4.12 ´ constitu´ por um perfil W310 × 38, 7, de a¸o (E = 210 e ıda c GPa). Dados L = 3, 2 m, Mo = 28 kNm, σ = 160 MPa e y = 4, 6 mm, calcular o valor m´ximo admiss´ da taxa de carga q e os valores correspondentes da tens˜o a ıvel a m´xima e da flecha m´xima. a a Resposta: q = 33, 8 kN/m, σ = 130 MPa, y = 4, 6 mm q Mo Mo 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 L Figura 4.12: Figura do exerc´ ıcios 15 126
- 128. 16. Calcular σmax e as flechas no meio do v˜o e nas extremidades dos balan¸os da viga a c da figura 4.13, de a¸o (E = 210 GPa), com se¸ao circular de diˆmetro 100 mm. c c˜ a Resposta: σ = 101, 83 MPa,ymeio = 7, 58 mm e ybalanc = 15, 36 mm ,o 10kN 10kN 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1,0m 2,5m 1,0m Figura 4.13: Figura do exerc´ ıcios 16 17. Calcular φA , φB , yC e yD para a viga da figura 4.14, dado: EI = 105 kNm2 , constante. Resposta: yC = 3, 73 mm ↓ e yD = 1, 6 mm ↑ 10kN/m 20kN A B 1111 0000 1111 0000 C D 1111 0000 1111 0000 1111 0000 4,0m 4,0m 2,0m Figura 4.14: Figura do exerc´ ıcios 17 18. Desenhar a linha el´stica da viga da figura 4.15, indicando os valores principais, a dado: EI = 105 kNm2 Resposta: φA = φB = 0, 0012 rad; yE = 3, 2 mm; yC = yD = −3, 6 mm; 30kN C A B D E 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 3,0m 4,0m 4,0m 3,0m Figura 4.15: Figura do exerc´ ıcios 18 19. Calcular a flecha no meio do v˜o da viga da figura 4.16. a qa2 b2 Resposta: y = 16EI 20. Dado EI = 7200 kNm2 , constante, calcule φA , φB , yD e yE na viga da figura 4.17. Resposta: φA = −φB = 0, 003407 rad,yC = yD = −3, 37 mm, yE = 5, 26 mm. 127
- 129. q q 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 a b a Figura 4.16: Figura do exerc´ ıcios 19 20kN C A 1111 0000 E B D 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1,2m 2,0m 2,0m 1,2m Figura 4.17: Figura do exerc´ ıcios 20 128
- 130. 4.2 Problemas estaticamente indeterminados S˜o estruturas com as quais s˜o necess´rias outras equa¸˜es al´m das equa¸oes de equil´ a a a co e c˜ ıbrio est´tico para que se possa resolvˆ-las. Estas equa¸oes podem ser equa¸˜es de compatibil- a e c˜ co idade de deslocamentos. 4.2.1 Exemplos 1. Calcular as rea¸˜es de apoio na barra bi-engastada representada na figura 4.18, de co peso pr´prio desprez´ o ıvel, sujeita ` carga axial P. a RA P RB Material 1 Material 2 Figura 4.18: Figura do exemplos 1 2. Calcular as rea¸˜es de apoio na barra representada na figura 4.19, de peso pr´prio co o desprez´ ıvel, sujeita `s cargas axiais F1 e F2 . a F1 F2 RA RB L1 A 1 E1 L3 A 3 E3 L2 A 2 E2 Figura 4.19: Figura do exemplos 2 3. Uma barra AB, de a¸o, de se¸˜o retangular 40 mm ×50 mm e de comprimento de c ca 800, 4 mm ´ encaixada entre dois apoios fixos distantes entre si e em seguida sofre e o aumento de temperatura ∆t = 48o C . Calcular as rea¸oes de apoio e a tens˜o c˜ a −6 o −1 normal na barra. Considerar para o a¸o E = 210000 MPa e α = 12 × 10 ( C) . c ∆ t = 48 C 800 mm Figura 4.20: Figura do exemplos 3 4. Calcular os esfor¸os normais de tra¸ao nos tirantes BC e DE da estrutura da figura c c˜ 4.21. Todos os pesos pr´prios s˜o desprez´ o a ıveis e a barra AB ´ r´ e ıgida (n˜o sofre a flex˜o). Dados: BC (E1 , A1 , L1 ), DE (E2 , A2 , L2 ). a 129
- 131. C E A2 A1 L2 L1 E2 E1 A D B a b Figura 4.21: Figura do exemplos 4 5. Seja o pilar de concreto armado da figura 4.22 com armadura disposta simetrica- mente em rela¸ao ao eixo, sujeito ` carga P de compress˜o. Dados Ea , Aa , para o a¸o c˜ a a c e Ec ,Ac para o concreto. Calcular as tens˜es σa e σc nos materiais. Dados σa = 150 o MPa,σc = 9 MPa, Ea = 210 GPa, Ec = 14 GPa,Aa = 490 mm2 , Ac = 40000 mm2 . P = 400 N Figura 4.22: Figura do exemplos 5 6. Um eixo ´ formado por um n´cleo de alum´ e u ınio (G1 = 28 GPa), diˆmetro 50 mm, a envolvida por uma coroa de a¸o de (G2 = 84 GPa), diˆmetro externo 60 mm, sendo c a r´ ıgida a liga¸ao entre materias. Representar a varia¸ao das tens˜es tangenciais para c˜ c˜ o um torque solicitante de 1, 5 kNm. 1,5 KNm T Aço Aluminio 50mm 60mm A C Figura 4.23: Figura do exemplos 6 7. Dados, para o eixo da figura 4.24: o eixo AC G1 = 28 GPa, τ1 = 30 MPa, o eixo D1 CB G2 = 84 GPa, τ2 = 40 MPa; To = 3 kNm e a raz˜o entre os diametro D2 = 2, a pede-se calcular as rea¸˜es em A e B, dimensionar o eixo e calcular o ˆngulo de co a tor¸ao em C. c˜ 8. Calcular o diagrama de momentos fletores da viga da figura 4.25. 9. Calcular a flex˜o m´xima para a viga da figura 4.26. a a 130
- 132. 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 T = 3KNm 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 D1 D2 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 A C B 1,6m 0,8m Figura 4.24: Figura do exemplos 7 10kN/m 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 2,0m 4,0m Figura 4.25: Figura do exemplos 8 5kN/m 10kN 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 2,0m 3,0m 2,0m Figura 4.26: Figura do exemplos 9 4.2.2 Exerc´ ıcios 1. Calcular as rea¸oes de apoio na barra da figura 4.27, dados P1 = 5 kN e P2 = 2, 5 c˜ kN. Resposta: Ha = 4, 25 kN e Hb = 3, 25 kN. A C D B RA RB P1 P2 3a 4a 3a Figura 4.27: Figura do exerc´ ıcios 1 2. A barra ABCD da estrutura representada na figura 4.28 ´ r´ e ıgida (n˜o flexiona). a Os tirantes CE e DF s˜o de alum´ a ınio com modulo de elasticidade 7 × 104 MPa e tem se¸˜o de circular com diˆmetros de 10 mm CE e 12 mm DF. As dimens˜es ca a o s˜o dadas (em mm) e a rea¸˜o vertical no apoio B (em kN). Desprezar os pesos a ca pr´prios. P = 10kN o Resposta: σCE = 145, 5 MPa; σDF = 194, 0 MPa; ∆A = 1, 871 mm; VB = 65, 37 kN. 3. Os tirantes 1 e2 da estrutura 4.29 tˆm ´reas de se¸˜o A1 e A2 = 1, 5A1 e o mesmo e a ca comprimento L = 1, 2 m. Dados: P = 120 kN, E1 = 2 × 105 MPa, σ1 = 180 MPa, 131
- 133. 450 300 200 A B C D 1 0 1 0P 1 0 600 750 E F Figura 4.28: Figura do exerc´ ıcios 2 E2 = 1, 4 × 105 MPa, σ2 = 110 MPa. Calcular A1 , A2 , σ1 , σ2 e ∆LB . Resposta: 394 mm2 , 591 mm2 , 78, 74 MPa e 1, 8 mm 2 1 1,2m 1,2m A B C 1 0 1 0 1 0 P 1,5m 0,5m 0,4m Figura 4.29: Figura do exerc´ ıcios 3 4. Um pilar de 2, 8 m de altura, ´ constitu´ por um perfil I de a¸o, cuja ´rea de se¸ao e ıdo c a c˜ ´ 68, 5 cm2 , coberto por concreto, ver figura 4.30. o pilar esta sujeito a uma carga e P axial de compress˜o. Os pesos s˜o desprez´ a a ıveis e as deforma¸oes s˜o el´sticas c˜ a a 5 proporcionais. S˜o dados: σa = 162 MPa, σc = 15 MPa, Ea = 2, 1 × 10 MPa, a Ec = 1, 75 × 104 MPa. Calcular o valor m´ximo admiss´ a ıvel de P e os valores correspondentes das tens˜es σa , σc do encurtamento do pilar. o Resposta: P = 3177 kN, σa = 162 MPa, σc = 13 MPa, e ∆L = 2, 16 mm 5. Calcular as tens˜es no cobre e no alum´ o ınio da pe¸a 4.31 para o aumento de tem- c peratura de 20o C. Dados Ecu = 1, 2 × 105 MPa, Ea = 0, 7 × 105 MPa, αcu = 16, 7 × 106 (o C)−1 , αa = 23 × 106 (o C)−1 Resposta: σc = 14, 5 MPa e σa = 54, 5 MPa 6. A pe¸a sujeita ` cargas axiais P = 30 kN aplicadas em B e C e a um aumento de c a temperatura de 30o . Dados E = 210 GPa, α = 11, 7 × 10−6 (o C)−1 e as ´reas das a 2 2 se¸oes 500mm em AB e CD, e 750mm em BC, representar a varia¸ao do esfor¸o c˜ c˜ c normal e da tens˜o normal ao longo do comprimento. a 132
- 134. P 400mm 400mm Figura 4.30: Figura do exerc´ ıcios 4 11 00 Cobre, SCu = 75cm 2 11 00 11 00 11 00 Aluminio SAl = 20cm 00 2 11 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 60cm 40cm Figura 4.31: Figura do exerc´ ıcios 5 Resposta: Compress˜o de 81, 43 MPa em BC e de 62, 14 MPa em AB e CD. a 1 0A B C 1 0 1 0 D0 1 1 0 1 0 1 0 P P 1 0 1 0 15cm 1 0 1 0 15cm 1 0 1 0 45cm 1 0 Figura 4.32: Figura do exerc´ ıcios 6 7. O eixo engastado em A e B, de se¸ao circular constante, esta sujeito aos torques c˜ T1 = 1, 3 kNm em C e T2 = 2, 6 kNm em D, conforme a figura 4.33. Dado τ = 30 MPa, pede-se calcular as rea¸oes em A e B, dimensionar o eixo e calcular os valores c˜ correspondentes das tens˜es m´ximas em cada trecho. o a Resposta: TA = 1, 625 kNm e TB = 2, 275 kNm, τAB = 21, 3 MPa, τBC = 4, 25 MPa e τAB = 29, 8 MPa 11 00 11 00 T1 T2 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 0,5m 1m 0,5m Figura 4.33: Figura do exerc´ ıcios 7 133
- 135. 8. Calcular o ˆngulo de tor¸ao C × A e representar a varia¸ao das tens˜es de cisal- a c˜ c˜ o hamento em cada trecho do eixo. Em BC o n´cleo interno (material 1), e a luva u (material 2) s˜o rigidamente ligados entre si. Dados D1 = 100 mm, D2 = 150 mm, a G1 = 70 GPa, G2 = 105 GPa e o torque de T = 12 kNm. Resposta: θ = 0, 02115 rad, τ1 = 61, 11, τ2 = 19, 4 MPa. 11 00 C B 11 00 A 11 00 11 00 11 00 11 00 T D1 G1 11 00 11 00 D2 G2 11 00 100cm 150cm Figura 4.34: Figura do exerc´ ıcios 8 9. Calcular a flecha m´xima para a viga da figura 4.35. a 2kN/m 3kNm 10kN 1,0m 1,0m 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 2,0m 2,0m 2,0m Figura 4.35: Figura do exerc´ ıcios 9 10. Desenhe o diagrama de momento fletor para a viga da figura 4.36. 3kN/m 15kN 2kNm 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1,5m 2,0m Figura 4.36: Figura do exerc´ ıcios 10 134