sumando 1 2 3

Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
.
Alberto Luiz Serpa
2007
Esta apostila foi escrita com base nas notas de aulas utilizadas na dis-
ciplina de Controle de Sistemas Mecânicos que ministrei para os cursos de
gradua¸cão em Engenharia de Controle e Automa¸cão e Engenharia Mecânica
da UNICAMP nos últimos anos. Este material representa um guia de estudos
e não tem o objetivo de substituir os bons livros adotados como bibliografia
da disciplina.
Com o surgimento da ferramenta de Internet para ensino aberto da UNI-
CAMP, o meu interesse em ter material didático digitado passou a ser maior
pela facilidade de poder disponibilizar este material aos alunos. Além disso,
acredito que será mais fácil atualizar e melhorar continuamente este material.
Esta versão foi atualizada em fevereiro de 2009.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2009 1

Sumário
1 Introdu¸cão 6
2 Entradas Padronizadas 8
2.1 Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Rampa unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Parábola unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Fun¸cão Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Fun¸cão impulso unitário (Delta de Dirac) . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Fun¸cão porta ou pulso unitário (Gate) . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Fun¸cão série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Transformada de Laplace 11
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Diferencia¸cão real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Integra¸cão real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.4 Teorema do valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.5 Teorema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.6 Transla¸cão real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.7 Fun¸cões periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.8 Diferencia¸cão Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.9 Integra¸cão Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.10 Transla¸cão Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.11 Convolu¸cão Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Transformada inversa de Laplace - método da expansão em
fra¸cões parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Diagrama de blocos 30
4.1 Montagem direta de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Montagem em série de digramas de blocos . . . . . . . . . . . 32
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos . . . . . . . . . 33
5 Modelagem de alguns sistemas lineares 34
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . 34
5.2 Sistema mecânico torcional de um grau de liberdade . . . . . . 35
5.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade . . 40
6 Lineariza¸cão 42

7 Formas padronizadas de sistemas com parâmetros concen-
trados 44
7.1 Sistema de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Fun¸cão de Transferência 50
8.1 Resposta ao impulso e convolu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Matriz de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Critérios de Desempenho 55
9.1 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Estabilidade de sistemas lineares 63
10.1 Estabilidade para entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11 Resposta em frequência 68
11.1 Rela¸cão de amplitude e ângulo de fase . . . . . . . . . . . . . 68
11.2 Resposta em freqüência de um sistema de primeira ordem . . . 70
11.3 Resposta em freqüência de um sistema de segunda ordem . . . 70
11.4 Resposta em freqüência de um integrador puro . . . . . . . . . 71
11.5 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro . . . . . . . 71
11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem . . . . 72
11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem
em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem . . . 75
11.6 Banda de passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.7 Algumas caracter´ısticas em freqüência de sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.8 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem . 80
11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem 81
12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introdu¸cão à malha fechada 84
12.1 Sistema de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque . . . . . . . . . . 86
12.3 Sistema de dois tanques independentes . . . . . . . . . . . . . 90
12.4 Sistema de dois tanques interligados . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.5 Inclusão do controlador automático . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.6 Análise do sistema controlado sujeito à distúrbios . . . . . . . 95
13 Malha fechada e malha aberta 98
14 Análise de erro estacionário 99
14.1 Erro estacionário em realimenta¸cão unitária . . . . . . . . . . 99
14.2 Erro estacionário em realimenta¸cão não unitária . . . . . . . . 104
15 Lugar das ra´ızes 105
16 Critério de estabilidade de Nyquist 110
16.1 Princ´ıpio do argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 111
17 Análise de estabilidade relativa 117
17.1 Margens de ganho e de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist . . . . . . . . 123
18 Aproxima¸cões para sistemas de segunda ordem 125
19 Controladores clássicos 126
19.1 A¸cão de controle de duas posi¸cões (liga ou desliga) . . . . . . . 127
19.2 A¸cão de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19.3 A¸cão de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19.4 A¸cão de controle proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 133
19.5 A¸cão proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
19.6 A¸cão de controle proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . 139
19.7 Efeito f´ısico das constantes kp e kd em sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.8 Controle PID - Método Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 145
19.9 Projeto PID anal´ıtico na freqüência . . . . . . . . . . . . . . . 148
19.10Projeto PID com base no lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . 152
19.11Controlador em avan¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19.12Compensa¸cão em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
19.13Projeto avan¸co-atraso anal´ıtico na freqüência . . . . . . . . . . 174
19.14Projeto avan¸co-atraso com base no lugar das ra´ızes . . . . . . 179
20 Modelo de estados 183
20.1 Representa¸cão no espa¸co de estados de equa¸cões diferenciais
sem derivadas na excita¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20.2 Representa¸cão de sistemas com derivadas na excita¸cão . . . . 187
20.3 Representa¸cões canônicas no espa¸co de estados . . . . . . . . . 189

20.3.1 Forma canônica controlável . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.3.2 Forma canônica observável . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.4 Autovalores da matriz An×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
20.5 Rela¸cão entre fun¸cões de transferência e modelo de estado . . 191
20.6 Solu¸cão das equa¸cões de estado - sistemas invariantes no tempo193
20.6.1 Solu¸cão da equa¸cão homogênea . . . . . . . . . . . . . 193
20.7 Matriz de transi¸cão de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
20.8 Solu¸cão das equa¸cões de estado não homogêneas . . . . . . . . 195
21 Realimenta¸cão de estados 197
21.1 Caso de regulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.2 Fórmula de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.3 Caso de rastreador - entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . 205
22 Realimenta¸cão da sa´ıda e observadores de estado 216
22.1 Malha fechada com observador - regulador . . . . . . . . . . . 218
22.2 Aloca¸cão de pólos do observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
22.3 Fun¸cão de transferência equivalente para regulador . . . . . . 220
22.4 Malha fechada com observador - rastreador . . . . . . . . . . . 221
23 Bibliografia 231
A Variáveis-fun¸cões complexas 232
B Equa¸cões diferenciais 234
B.1 Solu¸cão da equa¸cão homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
B.2 Determina¸cão da solu¸cão homogênea da equa¸cão diferencial . . 235
B.3 Solu¸cão particular da equa¸cão diferencial . . . . . . . . . . . . 236
B.4 Solu¸cão completa da equa¸cão diferencial . . . . . . . . . . . . 237
C Exerc´ıcios - em prepara¸cão 238
C.1 Exerc´ıcios relacionados à se¸cão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 238

1 Introdu¸cão
Apresentam-se a seguir algumas defini¸cões básicas.
Um sistema associa uma fun¸cão de entrada x(t) a uma fun¸cão de sa´ıda
y(t). Se o sistema recebe uma a¸cão, apresentará uma resposta associada,
conforme ilustrado na Figura 1.
x(t) y(t)
Sistema
(Excita¸cão-Entrada) (Resposta-Sa´ıda)
Figura 1: Representa¸cão de um sistema na forma de diagrama de blocos.
Um modelo caracteriza uma representa¸cão dos aspectos essenciais de um
sistema de forma utilizável.
Controlar significa atuar sobre um dado sistema de modo a atingir resul-
tados de acordo com um objetivo previamente estabelecido. Usualmente o
sistema a ser controlado é chamado de planta, ou ainda, de processo.
O controlador, ou também chamado de compensador, é um sub-sistema
que tem a fun¸cão de controlar a planta.
Em um sistema em malha aberta a sa´ıda do sistema não tem efeito na
a¸cão do controle, ou seja, não existe medi¸cão da sa´ıda nem realimenta¸cão,
Figura 2. O desempenho de um sistema de malha aberta depende de uma
boa calibra¸cão.
Entrada
Controlador
Atua¸cão Sa´ıda
Planta
Figura 2: Sistema em malha aberta.
Um exemplo de sistema em malha aberta é o disparo de um projétil
(problema de bal´ıstica convencional). Após o tiro, o resultado esperado não
poderá ser corrigido.
Em um sistema em malha fechada o sinal de sa´ıda possui um efeito direto
na a¸cão de controle (sistemas de controle realimentados), Figura 3. A malha
fechada implica no uso de realimenta¸cão com o objetivo de reduzir o erro do
sistema.
Os elementos básicos de um sistema de controle em malha fechada são: a
planta, o controlador, o atuador e o elemento de medida (sensor).

Entrada Erro Atua¸cão
−
Controlador
Sa´ıda
Planta
Elemento de medida
Figura 3: Sistema em malha fechada.
Alguns exemplos de sistemas em malha fechada são:
• Ato de dirigir um carro. A pista representa o objetivo a ser seguido, o
carro representa a planta, a sa´ıda é a posi¸cão do carro, o elemento de
medida é a visão do motorista, a a¸cão de controle é feita de acordo com
a habilidade do motorista em fun¸cão do erro entre a posi¸cão do carro
e a posi¸cão determinada pela pista, e a atua¸cão é feita pelos bra¸cos do
motorista sobre a planta através do volante do carro.
• Sucessivos disparos de projéteis. A cada tiro, o resultado pode ser veri-
ficado pelo atirador e uma compensa¸cão pode ser feita para o próximo
tiro visando acertar o alvo. Neste caso, nota-se o uso da resposta para
fins de reduzir o erro do sistema, caracterizando a realimenta¸cão.
• Sistema de ar-condicionado ou refrigerador. A temperatura especifi-
cada é verificada pelo sensor do equipamento, que liga ou desliga con-
forme o erro encontrado, buscando manter a temperatura constante
conforme a especifica¸cão desejada.
Verifica-se que a realimenta¸cão negativa é caracterizada pela determina¸cão
do erro entre a entrada desejada e a sa´ıda do sistema. A atua¸cão é feita com
base nesta diferen¸ca.
A realimenta¸cão positiva é indesejável nos sistemas de controle pois adi-
ciona “energia” ao sistema levando à instabilidade.
Um regulador tem como objetivo manter a sa´ıda do sistema em um valor
constante. Por exemplo, um sistema de refrigera¸cão que mantém constante
a temperatura de um ambiente.
Um rastreador tem como objetivo seguir uma entrada variável. Por exem-
plo, um sistema robotizado que segue uma certa trajetória em um processo
de soldagem.

2 Entradas Padronizadas
As entradas padronizadas são utilizadas na análise de desempenho dos sis-
temas. Em geral, a entrada real é desconhecida e são definidos alguns
parâmetros para avaliar o desempenho dos sistemas de forma objetiva e ho-
mogênea.
As entradas padronizadas constituem uma boa maneira de prever o de-
sempenho do sistema e permitem realizar compara¸cões de sistemas.
As principais entradas padronizadas são apresentadas a seguir.
2.1 Degrau Unitário
A entrada degrau unitário, usualmente denotada por u(t), é definida como
u(t) =
1 se t > 0
0 se t ≤ 0
,
e está representada graficamente na Figura 4.
1
t
u(t)
Figura 4: Degrau unitário.
Um degrau unitário com transla¸cão é dado por:
u(t − T) =
1 se t > T,
0 se t ≤ T,
e está representado na Figura 5.
2.2 Rampa unitária
A rampa unitária, usualmente denotada por r(t), é definida como:
r(t) = tu(t) =
t se t > 0,
0 se t ≤ 0,
e está ilustrada na Figura 6.

tT
u(t − T)
Figura 5: Degrau unitário com transla¸cão.
t
r(t)
45o
Figura 6: Rampa unitária.

2.3 Parábola unitária
A parábola unitária é definida como:
x(t) =
1
2
t2
u(t) =
1
2
t2
se t > 0,
0 se t ≤ 0,
e está ilustrada na Figura 7.
t
x(t)
Figura 7: Parábola unitária.
2.4 Fun¸cão Senoidal
A fun¸cão senoidal de amplitude A, freqüência w e ângulo de fase ϕ, é dada
por:
x(t) = Asen(wt + ϕ).
2.5 Fun¸cão impulso unitário (Delta de Dirac)
O impulso unitário δ(t) é definido como:
δ(t) = 0 para t = 0, e
+∞
−∞
δ(t)dt = 1,
ou seja, possui dura¸cão nula, amplitude infinita e área unitária, e sua repre-
senta¸cão gráfica usual é a da Figura 8.
2.6 Fun¸cão porta ou pulso unitário (Gate)
O pulso unitário é definido como a diferen¸ca entre um degrau unitário e outro
degrau unitário transladado, ou seja,
g(t) = u(t) − u(t − T),

t
δ(t)
Figura 8: Impulso unitário.
cujo resultado é mostrado na Figura 9.
t
g(t)
T
1
Figura 9: Pulso unitário.
2.7 Fun¸cão série de potências
A série de potências é definida como:
x(t) =
a0 + a1t + a2t2
+ ... se t > 0,
0 se t ≤ 0.
3 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é um método para resolver equa¸cões diferenciais
lineares no qual as opera¸cões como diferencia¸cão e integra¸cão são substitu´ıdas

por opera¸cões algébricas no plano complexo. A componente transitória e a
de regime permanente podem ser obtidas simultaneamente. Além disso, a
transformada de Laplace é fundamental para a análise de sistemas via fun¸cões
de transferência.
A transformada de Laplace de uma fun¸cão f(t) é definida por
F(s) = L [f(t)] =
∞
0
f(t)e−st
dt, com s = σ + jw.
A transformada inversa de Laplace é dada por
f(t) = L−1
F(s) =
1
2πj
σ+j∞
σ−j∞
F(s)est
ds, t > 0.
A integral de Laplace existirá/convergirá se σ0 é escolhido de forma que
lim
t→∞
e−σ0t
f(t) = 0, (1)
onde σ0 é chamado de abscissa de convergência.
Para a maioria das fun¸cões é poss´ıvel adotar um valor de σ0 positivo
e suficientemente grande tal que a equa¸cão (1) é satisfeita. Isso sempre
será verdadeiro para exponenciais positivas ou para fun¸cões que crescem a
uma taxa menor que uma exponencial. Existem fun¸cões onde isso não será
satisfeito para nenhum valor de σ0, por exemplo, et2
, que por sorte aparecem
raramente nos problemas de engenharia.
Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = e−at
, a = b + jc.
F(s) = L e−at
=
∞
0
e−at
e−st
dt =
=
∞
0
e−(s+a)t
dt =
−1
s + a
e−(s+a)t
∞
0
=
−1
s + a
[0 − 1] =
1
s + a
.
A abscissa de convergência é determinada por
lim
t→∞
e−σ0t
e−at
= lim
t→∞
e−(σ0+b+jc)t
= lim
t→∞
e−(σ0+b)t
e−jct
,
e para que este limite convirja a zero, então σ0 + b > 0, ou σ0 > −b.
Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = cos(wt).
É poss´ıvel escrever que
cos(wt) =
1
2
ejwt
+ e−jwt
.

Logo,
L[f(t)] =
1
2
L[ejwt
] + L[e−jwt
] =
1
2
1
s − jw
+
1
s + jw
=
s
s2 + w2
.
lim
t→∞
e−σ0t 1
2
e−jwt
+ e−jwt
= 0, se σ0 > 0.
Exemplo: Calcular L[u(t)] para o degrau unitário u(t).
u(t) =
0 se t ≤ 0,
1 = e0t
se t > 0.
Logo,
U(s) = L[u(t)] =
1
s + 0
=
1
s
, σ0 > 0.
Exemplo: Calcular L[δ(t)] para o impulso unitário δ(t).
Seja a fun¸cão f(t) mostrada na Figura 10 e definida por
f(t) =



0 se t < 0,
1
t0
se 0 ≤ t ≤ t0,
0 se t0 < t.
f(t)
t
1
t0
t0
Figura 10: Representa¸cão do impulso unitário, t0 → 0.
O impulso unitário pode ser representado como:
δ(t) = lim
t0→0
f(t).

Assim,
L[δ(t)] = L lim
t0→0
f(t) =
∞
0
lim
t0→0
f(t)e−st
dt =
= lim
t0→0
∞
0
f(t)e−st
dt = lim
t0→0
t0
0
1
t0
e−st
dt =
= lim
t0→0
1
t0
−1
s
e−st
t0
0
= lim
t0→0
1 − e−st0
st0
.
Aplicando a regra de L’Hopital tem-se que
lim
t0→0
1 − e−st0
st0
= lim
t0→0
s e−st0
s
= 1.
Portanto,
L[δ(t)] = 1.
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace
3.1.1 Linearidade
A transformada de Laplace é um operador linear, ou seja,
L[α1f1 + α2f2] = α1L(f1) + α2L(f2).
Prova:
L[α1f1 + α2f2] =
∞
0
(α1f1 + α2f2)e−st
dt =
∞
0
α1f1e−st
dt +
∞
0
α2f2e−st
dt = α1L[f1] + α2L[f2].
3.1.2 Diferencia¸cão real
Se
L[f(t)] = F(s),
então,
L
df
dt
= sF(s) − f(0).
Prova:
L
df
dt
=
∞
0
df
dt
e−st
dt =
∞
0
e−st
df.

Integrando por partes, udv = uv − vdu, com u = e−st
, dv = df,
du = −se−st
dt e v = f(t), tem-se,
∞
0
udv = e−st
f(t)|∞
0 −
∞
0
f(t)(−s)e−st
dt =
= e−st
f(t)|∞
0 +
∞
0
f(t)s e−st
dt = 0 − f(0) + sF(s).
Portanto,
L
df
dt
= sF(s) − f(0).
Generalizando, tem-se:
L
dn
f(t)
dtn
= sn
F(s) −
n−1
i=0
sn−i−1 di
f
dti
t=0
.
Prova:
Seja g = df
dt
. Logo,
L
dg
dt
= sG(s) − g(0) = sL[g(t)] − g(0) =
= sL
df
dt
− g(0) = s(sF(s) − f(0)) −
df
dt t=0
=
= s2
F(s) − sf(0) −
df
dt t=0
.
Seja h = dg
dt
. Logo,
L
dh
dt
= sH(s) − h(0) = sL[h(t)] − h(0) =
= sL
dg
dt
− h(0) = s(sG(s) − g(0)) − h(0) =
= s2
G(s) − sg(0) − h(0) = s2
L[g(t)] − sg(0) − h(0) =
= s2
L
df
dt
− s
df
dt t=0
−
d2
f
dt2
t=0
=
= s2
(sF(s) − f(0)) − s
df
dt t=0
−
d2
f
dt2
t=0
=

= s3
F(s) − s2
f(0) − s
df
dt t=0
−
d2
f
dt2
t=0
.
Pode-se continuar assim por diante para derivadas de ordem n.
Se todas as condi¸cões iniciais são nulas tem-se que:
L
dn
f(t)
dtn
= sn
F(s).
Note que derivar no tempo corresponde a multiplicar por s no dom´ınio
de Laplace quando as condi¸cões iniciais são nulas.
3.1.3 Integra¸cão real
Se L[f(t)] = F(s), então,
L f(t)dt =
1
s
F(s) +
1
s
f(t)dt
t=0
Quando todas as condi¸cões iniciais são nulas tem-se que:
L f(t)dt =
F(s)
s
.
Prova:
L f(t)dt =
∞
0
f(t)dt
u
e−st
dt
dv
Definindo-se u = f(t)dt e dv = e−st
dt tem-se que v = e−st
−s
, o que permite
fazer uma integra¸cão por partes ( udv = uv − vdu). Logo,
∞
0
f(t)dt e−st
dt =
e−st
−s
f(t)dt
∞
0
−
∞
0
e−st
−s
f(t)dt =
=
1
s
f(t)dt
t=0
+
1
s
∞
0
f(t)e−st
dt =
=
1
s
F(s) +
1
s
f(t)dt
t=0
= L f(t)dt .
Note que integrar no tempo corresponde a dividir por s no dom´ınio de
Laplace quando as condi¸cões iniciais são nulas.

3.1.4 Teorema do valor final
Se L[f(t)] = F(s) e existirem
L
df
dt
, lim
t→∞
f(t) e lim
s→0
sF(s),
então,
lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF(s).
Prova:
L
df
dt
= sF(s) − f(0) ⇒ L
df
dt
+ f(0) = sF(s),
lim
s→0
sF(s) = lim
s→0
L
df
dt
+ f(0) = lim
s→0
L
df
dt
+ f(0) =
= lim
s→0
∞
0
df
dt
e−st
dt + f(0) =
∞
0
lim
s→0
e−st
df + f(0) =
∞
0
df + f(0) = f(∞) − f(0) + f(0) = f(∞) = lim
t→∞
f(t).
3.1.5 Teorema do valor inicial
Se L[f(t)] = F(s) e existirem
L
df
dt
e lim
s→∞
sF(s),
então,
lim
t→0+
f(t) = lim
s→∞
sF(s).
Prova:
lim
s→∞
sF(s) = lim
s→∞
L
df
dt
+ f(0) = lim
s→∞
L
df
dt
+ f(0) =
= lim
s→∞
∞
0
df
dt
e−st
dt + f(0) =
∞
0
lim
s→∞
e−st
df + f(0) = f(0) = lim
t→0+
f(t).

f(t) f(t − T)u(t − T)
tT
Figura 11: Representa¸cão da transla¸cão de f(t).
3.1.6 Transla¸cão real
Seja F(s) = L[f(t)], então,
L[f(t − T)u(t − T)] = e−sT
F(s).
Prova:
L [f(t − T)u(t − T)] =
∞
0
f(t − T)u(t − T)e−st
dt =
=
∞
T
f(t − T)u(t − T)e−st
dt =
∞
0
f(τ)u(τ)e−s(τ+T)
dτ =
= e−sT
∞
0
f(τ)u(τ)e−sτ
dτ = e−sT
F(s),
onde τ = t − T e dτ = dt.
t
T
τ
Figura 12: Representa¸cão dos eixos t e τ.
3.1.7 Fun¸cões periódicas
Para f(t) uma fun¸cão periódica de per´ıodo T tem-se que
L[f(t)] =
1
1 − e−sT
F1(s),

onde F1(s) = L[f1(t)] e f1(t) é o primeiro per´ıodo de f(t).
Prova:
f(t) = f1(t)u(t) + f1(t − T)u(t − T) + f1(t − 2T)u(t − 2T) + . . . ,
F(s) = L[f(t)] = L[f1(t)u(t)]+L[f1(t−T)u(t−T)]+L[f1(t−2T)u(t−2T)]+. . .
Mas
L[f1(t)u(t)] = F1(s),
L[f1(t − T)u(t − T)] = e−sT
F1(s),
L[f1(t − 2T)u(t − 2T)] = e−s2T
F1(s),
e conseqüentemente,
F(s) = F1(s) + e−sT
F1(s) + e−2sT
F1(s) + . . . = (1 + e−sT
+ e−2sT
+ . . .)F1(s).
Como T > 0 tem-se que e−sT
= 1
esT < 1. A seqüência 1, 1
esT , 1
e2sT , ..., é
uma PG de razão 1
esT , cuja soma é 1
1−e−sT . Logo,
F(s) =
1
1 − e−sT
F1(s).
Verifica-se que o fato de s ser complexo não altera o resultado da PG, ou
seja,
1
esT
=
1
e(a+jb)T
=
1
eaT ejbT
,
onde eaT
> 1 e ejbT
é periódico e limitado.
3.1.8 Diferencia¸cão Complexa
Se L[f(t)] = F(s) então
−
dF(s)
ds
= L[tf(t)].
Prova:
−
dF(s)
ds
= −
d
ds
∞
0
f(t)e−st
dt = −
∞
0
d
ds
f(t)e−st
dt =
= −
∞
0
f(t) −te−st
dt =
∞
0
tf(t)e−st
dt = L[tf(t)].

3.1.9 Integra¸cão Complexa
Se L[f(t)] = F(s), e existe ∞
s F(s)ds, então,
L
f(t)
t
=
∞
s
F(s)ds.
Prova:
∞
s
F(s)ds =
∞
s
∞
0
f(t)e−st
dtds =
∞
0
f(t)
∞
s
e−st
ds dt =
=
∞
0
f(t)
−e−st
t
∞
s
dt =
∞
0
f(t)
t
e−st
dt = L
f(t)
t
.
3.1.10 Transla¸cão Complexa
Se L[f(t)] = F(s), então,
F(s + a) = L[e−at
f(t)].
Prova:
L[e−at
f(t)] =
∞
0
e−at
f(t)e−st
dt =
=
∞
0
f(t)e−(a+s)t
dt =
∞
0
f(t)e−¯st
dt = F(¯s) = F(s + a).
3.1.11 Convolu¸cão Real
Define-se a convolu¸cão entre f(t) e g(t) como
h(t) = f(t) ∗ g(t) =
t
0
f(τ)g(t − τ)dτ.
Se L[f(t)] = F(s) e L[g(t)] = G(s), então,
L[f(t) ∗ g(t)] = F(s)G(s).
Prova:
t
0
f(τ)g(t − τ)dτ =
∞
0
f(τ)g(t − τ)u(t − τ)dτ,
pois
u(t − τ) = u(−(τ − t)) =
1 se −(τ − t) > 0 ou τ < t,
0 se −(τ − t) ≤ 0 ou τ ≥ t.

t τ
Figura 13: Representa¸cão de u(t − τ).
Seja H(s) = L[h(t)]. Logo, escreve-se:
H(s) = L[h(t)] =
∞
0
∞
0
f(τ)g(t − τ)u(t − τ)dτ e−st
dt =
=
∞
0
f(τ)
∞
0
g(t − τ)u(t − τ)e−st
dt dτ =
=
∞
0
f(τ) e−sτ
G(s) dτ = G(s)
∞
0
f(τ)e−sτ
dτ = G(s)F(s).
No caso de sistemas antecipativos e entradas para t < 0, deve-se estender
os limites de integra¸cão, ou seja, h(t) = f(t) ∗ g(t) = ∞
−∞ f(τ)g(t − τ)dτ.
Contudo, esta situa¸cão não é coberta neste material.
Exemplo: Calcular a transformada de Laplace da fun¸cão dente de serra,
como ilustrada na Figura 14.
O primeiro per´ıdo desta fun¸cão pode ser constru´ıdo através da soma de
três termos conforme mostrado na Figura 14, ou ainda,
f1(t) =
A
T
[tu(t) − (t − T)u(t − T) − Tu(t − T)] .
Aplicando a transformada de Laplace a cada um destes termos tem-se:
L[tu(t)] = L u(t)dt =
1
s
U(s) + 0 =
1
s
1
s
=
1
s2
,
L[(t − T)u(t − T)] = e−sT 1
s2
,
L[Tu(t − T)] = Te−sT 1
s
.
Portanto, a transformada de Laplace do primeiro per´ıodo da fun¸cão é:
F1(s) =
A
T
1
s2
−
e−sT
s2
−
Te−sT
s
.

t
ttt
T
TTT
A
A A
f1(t)
f1(t)
−−
A
T
tu(t) A
T
(t − T)u(t − T) Au(t − T)
Figura 14: Dente de serra.
Aplicando a propriedade de fun¸cões periódicas tem-se para o dente de
serra:
F(s) =
1
1 − e−sT
F1(s) =
A
Ts2
1 − (1 − Ts)e−sT
1 − e−sT
.
3.2 Transformada inversa de Laplace - método da ex-
pansão em fra¸cões parciais
Este método aplica-se quando X(s) é uma fun¸cão racional (quociente de dois
polinômios em s), ou seja,
X(s) =
Q(s)
P(s)
,
onde Q(s) possui ordem m e P(s) possui ordem n, com m < n.
As principais etapas do método são:
1. Desenvolver Q(s)
P (s)
em fra¸cões parciais na forma
X(s) =
Q(s)
P(s)
=
c1
r1(s)
+
c2
r2(s)
+ . . . +
cn
rn(s)
,
onde ri(s) são polinômios de grau 1 ou 2. Deve-se encontrar as ra´ızes
de P(s) (polinômio na forma fatorada).

2. Calcular as constantes ci, i = 1, . . ., n.
3. Obter a transformada inversa de cada fra¸cão parcial, que são fun¸cões
mais simples.
Exemplo: Caso de ra´ızes simples. Seja
X(s) =
a + bs
(s − µ1)(s − µ2)
; µ1 = µ2.
Pode-se escrever X(s) da seguinte forma:
X(s) =
a + bs
(s − µ1)(s − µ2)
=
c1
s − µ1
+
c2
s − µ2
onde c1 e c2 são constantes que devem ser determinadas.
Multiplicando-se por s − µ1 tem-se:
(s − µ1)X(s) =
a + bs
s − µ2
= c1 + (s − µ1)
c2
s − µ2
.
Fazendo s = µ1, pois s pode assumir qualquer valor, tem-se
(s − µ1)X(s)|s=µ1
= c1 =
a + bµ1
µ1 − µ2
.
De forma análoga
c2 = (s − µ2)X(s)|s=µ2
=
a + bµ2
µ2 − µ1
.
Logo,
X(s) =
a + bµ1
µ1 − µ2
1
s − µ1
+
a + bµ2
µ2 − µ1
1
s − µ2
.
A anti-transformada de cada fra¸cão parcial pode ser calculada, ou seja,
f(t) = L−1
[X(s)] =
a + bµ1
µ1 − µ2
eµ1t
+
a + bµ2
µ2 − µ1
eµ2t
.
Portanto, para n ra´ızes simples tem-se que:
ci = (s − µi)X(s)|s=µi
, i = 1, 2, . . ., n.

Exemplo: Ra´ızes Múltiplas. Seja
X(s) =
a + bs
(s − µ1)2(s − µ2)
,
com µ1 de multiplicidade 2.
A expansão em fra¸cões parciais torna-se
X(s) =
a + bs
(s − µ1)2(s − µ2)
=
c1
(s − µ1)2
+
c2
(s − µ1)
+
c3
(s − µ2)
. (2)
Multiplicando por (s − µ1)2
obtém-se
(s − µ1)2
X(s) =
a + bs
s − µ2
= c1 + (s − µ1)c2 +
(s − µ1)2
s − µ2
c3, (3)
e fazendo s = µ1, tem-se que
c1 =
a + bµ1
µ1 − µ2
.
Derivando a equa¸cão (3) com rela¸cão a s e fazendo s = µ1 obtém-se c2,
ou seja,
c2 =
d
ds
(s − µ1)2
X(s)
s=µ1
=
d
ds
a + bs
s − µ2 s=µ1
=
−µ2b − a
(µ1 − µ2)2
.
Portanto, para q ra´ızes reais e iguais, s = µi, tem-se
cp =
1
(p − 1)!
dp−1
dsp−1
[(s − µi)q
X(s)]
s=µi
, p = 1, . . . , q.
Multiplicando a equa¸cão (2) por s − µ2 e fazendo s = µ2 tem-se
a + bs
(s − µ1)2
s=µ2
= c3 ⇒ c3 =
a + bµ2
(µ2 − µ1)2
.
A anti-transformada de cada fra¸cão parcial pode ser calculada como
L−1 1
(s − µi)q
=
1
(q − 1)!
tq−1
eµit
.
Exemplo: Determinar a transformada de Laplace de uma equa¸cão de se-
gunda ordem
ÿ + 2ξwn ˙y + w2
ny(t) = γw2
nf(t),

com as seguintes condi¸cões iniciais y(0) = y0 e ˙y(0) = v0.
Pode-se escrever
L[y(t)] = Y (s), L[ ˙y(t)] = sY (s) − y0 e L[ÿ(t)] = s2
Y (s) − sy0 − v0.
Consequentemente
(s2
+ 2ξwns + w2
n)Y (s) − (s + 2ξwn)y0 − v0 = γw2
nF(s),
ou ainda
Y (s) =
1
s2 + 2ξwns + w2
n
γw2
nF(s) + v0 + (s + 2ξwn)y0 ,
onde cada termo desta equa¸cão pode ser analizado de forma independente
devido ao sistema ser linear.
Com condi¸cões iniciais nulas, y0 = 0 e v0 = 0, tem-se
Y (s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
F(s) = G(s)F(s),
onde
G(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
é a fun¸cão de transferência que relaciona a entrada à sa´ıda do sistema e que
pressupõe condi¸cões iniciais nulas, ou seja,
Y (s) = G(s)F(s).
Exemplo: Seja um sistema de primeira ordem descrito por
a1
dy
dt
+ a0y = b0x ⇒ τ
dy
dt
+ y = γx(t).
onde
τ =
a1
a0
e γ =
b0
a0
com a condi¸cão inicial y(0) = 0.
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se que
L τ
dy
dt
+ y = L[γx(t)] ⇒ τsY (s) + Y (s) = γX(s)
onde L[y(t)] = Y (s) e L[x(t)] = X(s).

Y (s) =
γ
τs + 1
X(s),
com a seguinte fun¸cão de transferência:
G(s) =
γ
τs + 1
.
Considere os casos das entradas apresentadas a seguir.
1. Seja x(t) = u(t) uma entrada do tipo de degrau unitário. Logo tem-se
que
X(s) = L[u(t)] =
1
s
e a transformada de Laplace da equa¸cão do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
γ
τs + 1
1
s
.
Deseja-se determinar a resposta temporal y(t) através da expansão em
fra¸cões parciais, ou seja,
Y (s) =
γ
τ
s + 1
τ
1
s
=
c1
s + 1
τ
+
c2
s
. (4)
Multiplicando (4) por s + 1
τ
tem-se
γ
τs
= c1 + (s +
1
τ
)
c2
s
,
e fazendo s = −1
τ
, pois a equa¸cão deve ser válida para qualquer s,
tem-se
γ
τ(−1
τ
)
= c1 + 0 ⇒ c1 = −γ.
Multiplicando (4) por s e calculando-se para s = 0 tem-se,
γ
τ
s + 1
τ
=
c1
s + 1
τ
s + c2 ⇒ c2 = γ.
Logo,
Y (s) =
γ
s
−
γ
s + 1
τ
.
Fazendo a anti-transformada de Laplace tem-se:
L−1
γ
1
s
−
1
s + 1
τ
= γ(1 − e− 1
τ
t
) = y(t), t ≥ 0.

2. Seja x(t) = δ(t) um impulso unitário. A transformada de Laplace do
impulso unitário é
X(s) = L[δ(t)] = 1.
e a transformada de Laplace da equa¸cão do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) = G(s) =
γ
τ
s + 1
τ
.
A resposta ao impulso pode ser encontrada através da transformada
inversa, ou seja,
y(t) = L−1
γ
τ
s + 1
τ
=
γ
τ
e− t
τ , t ≥ 0,
cuja representa¸cão gráfica está na Figura 15.
t
y(t)γ
τ
Figura 15: Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem.
3. Seja x(t) = tu(t) uma rampa unitária. A transformada de Laplace da
rampa unitária é
X(s) = L[tu(t)] =
1
s2
,
e a transformada da equa¸cão da resposta do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
γ
τ
s + 1
τ
1
s2
=
c1
s2
+
c2
s
+
c3
s + 1
τ
. (5)
As constantes da expansão em fra¸cões parciais podem então ser calcu-
ladas. Multiplicando (5) por s + 1
τ
e fazendo s = −1
τ
tem-se
c3 =
γ
τ
s2
s=− 1
τ
=
γ
τ
−
τ
1
2
= γτ.

Multiplicando (5) por s2
tem-se
γ
τ
s + 1
τ
= c1 + sc2 + s2 c3
s + 1
τ
, (6)
e fazendo s = 0, tem-se
c1 =
γ
τ
s + 1
τ s=0
= γ.
Derivando (6) com rela¸cão a s obtém-se
−γ
τ
(s + 1
τ
)2
= c2 +
d
ds
s2 c3
s + 1
τ
,
e fazendo s = 0 obtém-se
c2 =
−γ
τ
(1
τ
)2
= −γτ.
Logo, a transformada de Laplace na forma de fra¸cões parciais é
Y (s) =
γτ
s + 1
τ
+
γ
s2
−
γτ
s
,
cuja anti-transformada será dada por
y(t) = L−1
[Y (s)] ⇒ y(t) = γ τe− t
τ + t − τ , t ≥ 0.
A resposta temporal é ilustrada na Figura 16.
τ t
y(t)
γ
resposta
entrada
Figura 16: Resposta à rampa unitária de sistema de primeira ordem.

4. Seja uma entrada senoidal na forma x(t) = senwt. A transformada de
Laplace de x(t) é
X(s) = L[senwt] =
w
s2 + w2
,
e a transformada da equa¸cão da resposta do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
γ
τ
s + 1
τ
w
s2 + w2
.
Como s2
+ w2
= (s + jw)(s − jw) é poss´ıvel escrever que
γ
τ
s + 1
τ
w
s2 + w2
=
c1
s + 1
τ
+
c2
s + jw
+
c3
s − jw
. (7)
As constantes das fra¸cões parciais podem ser calculadas, ou seja,
c1 =
γ
τ
w
s2 + w2
s=− 1
τ
=
γ
τ
w
(−1
τ
)2 + w2
=
γwτ
1 + w2τ2
,
c2 =
γ
τ
s + 1
τ
w
s − jw s=−jw
=
γ w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
,
c3 =
γ w
τ
(s + 1
τ
)(s + jw) s=jw
=
γ w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
.
A transformada de Laplace na forma de fra¸cões parciais torna-se:
Y (s) = γ wτ
1+w2τ2
1
s+ 1
τ
+
+
w
τ
(−jw+ 1
τ
)(−2jw)
1
s+jw
+
w
τ
(jw+ 1
τ
)(2jw)
1
(s−jw)
.
A anti-transformada de Laplace pode ser agora determinada,
y(t) = L−1
[Y (s)].
Para cada um dos termos tem-se:
L−1
γ
wτ
1 + w2τ2
1
s + 1
τ
= γ
wτ
1 + w2τ2
e− t
τ ,
L−1
γ
w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
1
s + jw
= γ
w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
e−jwt
,

L−1
γ
w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
1
s − jw
= γ
w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
ejwt
.
As fórmulas de Euler, ejt
= cost + jsent e e−jt
= cost − jsent, podem
ser empregadas de forma que
y(t) = γ wτ
1+w2τ2 e− t
τ +
+
w
τ
(−jw+ 1
τ
)(−2jw)
(coswt − jsenwt)+
+
w
τ
(jw+ 1
τ
)(2jw)
(coswt + jsenwt) ,
ou ainda,
y(t) = γ
wτ
1 + w2τ2
e− t
τ − coswt +
1
τw
senwt , t ≥ 0.
4 Diagrama de blocos
É poss´ıvel representar sistemas através de diagramas de blocos. Os s´ımbolos
básicos são o integrador, o somador e o multiplicador e estão mostrados na
Figura 17.
x(t)x(t)
y(0)
y(t)y(t)y(t)
k
x1(t)
x2(t)
xn(t)
Integrador
Somador
Multiplicador
Figura 17: Simbologia para diagramas de blocos.
O integrador executa a seguinte opera¸cão:
y(t) =
t
0
x(τ)dτ + y(0).
O somador executa:
y(t) = x1(t) + x2(t) + . . . + xn(t).
O multiplicador executa:
y(t) = kx(t).

4.1 Montagem direta de diagramas de blocos
As equa¸cões diferencias que representam sistemas lineares usuais podem ser
representadas com o uso dos diagramas de blocos.
Exemplo: Considere a equa¸cão diferencial
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y = u(t).
Esta equa¸cão pode ser reescrita na forma
d3
y
dt3
= −8
d2
y
dt2
− 37
dy
dt
− 50y + u(t), (8)
que permite a montagem direta do diagrama de blocos da Figura 18.
u(t) y(t)
−50
−37
−8
˙yÿd3y
dt3
Figura 18: Diagrama de blocos correspondente à equa¸cão (8).
Exemplo: Seja uma outra equa¸cão diferencial que se deseja representar
na forma de diagrama de blocos:
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y = 3
du
dt
+ 5u(t). (9)
Esta equa¸cão pode ser escrita no dom´ınio de Laplace como
(s3
+ 8s2
+ 37s + 50)
D(s)
Y = (3s + 5)
N(s)
U,
ou também,
D(s)X = U, X =
Y
N(s)
.

O diagrama de blocos de D(s)X = U já foi constru´ıdo anteriormente,
bastando substituir y por x na Figura 18.
Como Y = N(s)X, ou seja,
Y = (3s + 5)X ⇒ y(t) = 3
dx
dt
+ 5x,
e os valores de x estão dispon´ıveis no diagrama de blocos, é poss´ıvel incluir
os termos relacionados a N(s) conforme na Figura 19.
u(t) y(t)
−50
−37
−8
3
5
x(t)˙x¨xd3x
dt3
Figura 19: Diagrama de blocos correspondente à equa¸cão (9).
4.2 Montagem em série de digramas de blocos
Uma fun¸cão G(s) representativa de um sistema pode ser fatorada na forma
G(s) = G1(s)G2(s) . . .Gm(s).
Neste caso, o sistema pode ser visto com uma série de subsistemas. Para
evitar a necessidade de um “diferenciador”, os subsistemas devem ser esco-
lhidos adequadamente, de forma que o grau do numerador não exceda o grau
do denominador em cada subsistema.

Exemplo: Seja o sistema
G(s) =
3s + 5
s3 + 8s2 + 37s + 50
=
1
s + 2
G1(s)
3s + 5
s2 + 6s + 25
G2(s)
,
que permite a constru¸cão do diagrama de blocos da Figura 20, onde os sub-
sistemas G1(s) e G2(s) foram colocados em série.
u(t) y(t)
−2 −6
−25
5
3
Figura 20: Diagrama de blocos de dois sistemas concatenados em série.
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos
Neste caso a fun¸cão G(s) do sistema é expandida em fra¸cões parciais na forma
G(s) = G1(s) + G2(s) + . . . + Gm(s),
onde Gi(s) representa usualmente sistemas de primeira ordem ou sistemas
de segunda ordem.
Exemplo: Seja
G(s) =
3s + 5
s3 + 8s2 + 37s + 50
=
−1
17
s + 2
G1(s)
+
s
17
+ 55
17
s2 + 6s + 25
G2(s)
,
cujo diagrama de blocos na forma paralela está representado agora na Figura
21. Nota-se que
Y = G(s)U = (G1(s) + G2(s)) U = G1(s)U + G2(s)U.

u(t)
y(t)
−2
−6
−25
55
17
1
17
−1
17
Figura 21: Diagrama de blocos com subsistemas em paralelo.
5 Modelagem de alguns sistemas lineares
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade
A Figura 22 apresenta um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade para o qual é aplicada uma for¸ca u(t) e considerada como resposta
o deslocamento y(t). Os parâmetros do sistema são: massa m, rigidez da
mola k e constante de amortecimento viscoso c.
Aplicando a segunda Lei de Newton, obtém-se a equa¸cão diferencial do
movimento, ou seja,
u − ky − c ˙y = mÿ ⇒ mÿ + c ˙y + ky = u(t).
Dividindo-se pela massa m e levando para o dom´ınio de Laplace, a equa¸cão
torna-se
s2
+
c
m
s +
k
m
Y =
1
m
U.
Portanto, o polinômio caracter´ıstico é
s2
+
c
m
s +
k
m
= 0,

k c
m
uu
ky c ˙y
y, ˙y, ÿ
Figura 22: Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo livre.
que possui duas ra´ızes, que podem ser reais simples, reais duplas ou um par
complexo conjugado.
A equa¸cão diferencial do sistema pode ser escrita como
ÿ =
1
m
u −
c
m
˙y −
k
m
y,
que permite a constru¸cão direta do diagrama de blocos da Figura 23.
y1
m
u
k
m
c
m
ÿ ˙y
− −
Figura 23: Diagrama de blocos do sistema massa-mola-amortecedor de um
grau de liberdade.
5.2 Sistema mecânico torcional de um grau de liber-
dade
O sistema torcional de um grau de liberdade da Figura 24 é formado por
uma inércia J, uma mola torcional de rigidez k e um amortecimento viscoso

c. O torque aplicado é m(t) e o deslocamento angular θ(t).
k
c
J
θ
θ
m(t)m(t)
c ˙θ kθ
Figura 24: Sistema torcional de um grau de liberdade.
A equa¸cão diferencial que descreve o movimento do sistema pode ser
obtida pela aplica¸cão da Lei de Newton, ou seja,
m(t) − kθ − c ˙θ = J ¨θ ⇒ J ¨θ + c ˙θ + kθ = m(t).
No dom´ınio de Laplace escreve-se que
s2
+
c
J
s +
k
J
Θ =
1
J
M,
cuja equa¸cão caracter´ıstica é
s2
+
c
J
s +
k
J
= 0.
O diagrama de blocos correspondente a este sistema é apresentado na
Figura 25.
5.3 Circuito RC
Seja um circuito RC (resistor R e capacitor C em série) ilustrado na Figura
26, tendo como entrada uma tensão v(t) e como sa´ıda a tensão no capacitor
vC(t).
Os comportamentos do resistor e do capacitor são descritos por:
vR = RiR, iC = C
dvC
dt
,

θ1
J
m
k
J
c
J
¨θ ˙θ
− −
Figura 25: Diagrama de blocos do sistema torcional de um grau de liberdade.
v(t)
vC(t)
++
−
−
i(t)
R
C
∼
Figura 26: Circuito RC.

ou ainda no dom´ınio de Laplace:
VR = RIR, IC = CsVC.
Neste caso iR = iC pois os componentes estão em série.
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, obtém-se a equa¸cão
v = vR + vC ⇒ V = RCsVC + VC,
ou ainda,
s +
1
RC
VC =
1
RC
V.
Pode-se representar este sistema na forma de uma fun¸cão de transferência
como:
VC = G(s)V =
1
RC
s + 1
RC
V.
Verifica-se que este sistema é de primeira ordem e que
˙vC =
1
RC
v −
1
RC
vC,
o que permite a constru¸cão direta do diagrama de blocos da Figura 27.
vCv ˙vC
−
1
RC
1
RC
Figura 27: Diagrama de blocos do circuito RC.
5.4 Circuito RLC
Seja um circuito formado por um resistor R, um indutor L e um capacitor
C em série com uma tensão v(t) de entrada e tendo como sa´ıda a tensão no
capacitor vC(t), conforme esquematizado na Figura 28.
As leis que governam os componentes do circuito são:
vR = RiR, iC = C
dvC
dt
, vL = L
diL
dt
.

v(t)
vC(t)
+
+
−
−
i(t)
R
C
∼
L
Figura 28: Circuito RLC.
ou no dom´ınio de Laplace:
VR = RIR, IC = CsVC VL = LsIL.
Como os componentes estão em série, todos apresentam a mesma cor-
rente, ou seja, iR = iL = iC = i.
Deseja-se escrever a rela¸cão entre a entrada v(t) e a sa´ıda vC(t). Con-
seqüentemente,
VR = RI = RCsVC,
VL = LsI = Ls(CsVC) = LCs2
VC.
Aplicando-se a lei de malhas escreve-se
v = vR + vL + vC,
e substituindo as tensões calculadas para cada componente tem-se
V = RCsVC + LCs2
VC + VC,
s2
+
R
L
s +
1
LC
VC =
1
LC
V.
A fun¸cão de transferência neste caso é
G(s) =
1
LC
s2 + R
L
s + 1
LC
.
A equa¸cão diferencial correspondente ao sistema VC(t) = G(s)V (t) pode
ser escrita como
¨vC =
1
LC
v −
R
L
˙vC −
1
LC
vC
que permite diretamente a representa¸cão na forma de diagrama de blocos da
Figura 29.

vC1
LC
v
1
LC
R
L
¨vC ˙vC
− −
Figura 29: Diagrama de blocos para um circuito RLC.
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de
liberdade
Seja o sistema massa-mola-amoretecedor de dois graus de liberdade repre-
sentado na Figura 30.
Aplicando a lei de Newton escreve-se para cada massa:
k2(y2 − y1) + c2( ˙y2 − ˙y1) − k1y1 − c1 ˙y1 + u1(t) = m1 ÿ1,
−k2(y2 − y1) − c2( ˙y2 − ˙y1) + u2(t) = m2 ÿ2.
Estas equa¸cões podem ser escritas na forma matricial como:
m1 0
0 m2
M
ÿ1
ÿ2
ÿ
+
(c1 + c2) −c2
−c2 c2
C
˙y1
˙y2
˙y
+
+
(k1 + k2) −k2
−k2 k2
K
y1
y2
y
=
u1(t)
u2(t)
u
,
ou também
Mÿ + C ˙y + Ky = u(t),
onde M é a matriz de massa, C é a matriz de amortecimento, K é a matriz de
rigidez, y é vetor deslocamento, ˙y é o vetor velocidade, ÿ é o vetor acelera¸cão
e u(t) é o vetor de excita¸cão (for¸cas externas aplicadas).

k1
k2
c1
c2
m1
m1
m2
m2
y1
y2
u1(t)
u1(t)
u2(t)
u2(t)
k1y1 c1 ˙y1
k2(y2 − y1) c2( ˙y2 − ˙y1)
y2 > y1
Figura 30: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade e
diagramas de corpo livre.

6 Lineariza¸cão
Muitos problemas possuem termos não lineares e que dificultam a análise.
Uma forma de simplificar estes problemas é empregar uma lineariza¸cão, que
embora seja uma aproxima¸cão, normalmente permite a análise do problema.
O aspecto central da lineariza¸cão é a aplica¸cão da série de Taylor, tomando-
se até o termo linear. Seja a Figura 31 em que f(x) é uma fun¸cão não linear
e se deseja determinar uma aproxima¸cão y(x) para f(x) em torno do ponto
x0.
f, y
f(x)
y(x)
xxo
Figura 31: Lineariza¸cão.
A fun¸cão f(x) pode ser expandida em série de Taylor como
f(x) = f(x0) +
df
dx x0
(x − x0)
1!
+
d2
f
dx2
x0
(x − x0)2
2!
+ ...
Tomando apenas o primeiro e o segundo termos tem-se
f(x) ≈ y(x) = f(x0) +
df
dx x0
(x − x0),
em torno do ponto x0, que é uma aproxima¸cão linearizada para f(x).
Exemplo: Seja um tanque conforme a mostrado na Figura 32 no qual a
vazão de sa´ıda depende de forma não linear do n´ıvel de l´ıquido no tanque.
Neste problema tem-se que: Fi é a vazão que entra no tanque, F é a
vazão que sai do tanque, h é a altura do n´ıvel de l´ıquido no tanque, e A é a
área da se¸cão transversal do tanque.

F
h
Fi
Figura 32: Esquema do tanque.
A vazão de sa´ıda depende da altura do n´ıvel de l´ıquido do tanque por
F = β
√
h.
A equa¸cão diferencial (não linear) para a varia¸cão da altura h no tanque
é
A
dh
dt
= Fi − F ⇒ A
dh
dt
+ β
√
h = Fi.
A lineariza¸cão deve ser conduzida para o termo não linear correspondente
à fun¸cão f(h) =
√
h. Assim,
f(h) ≈ f(h0) +
d(
√
h)
dh h0
(h − h0) = h0 +
1
2
h
−1
2
0 (h − h0).
Substituindo o resultado da lineariza¸cão na equa¸cão diferencial tem-se
A
dh
dt
+ β h0 +
1
2
√
h0
(h − h0) = Fi,
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
,
que agora é uma equa¸cão direfencial linear.
Os erros envolvidos na lineariza¸cão aumentam à medida em que se distância
do ponto em torno do qual a fun¸cão foi linearizada. No caso deste exemplo,
a aproxima¸cão será válida em torno do n´ıvel h0.

7 Formas padronizadas de sistemas com parâmetros
concentrados
7.1 Sistema de ordem zero
Um sistema de ordem zero é descrito por uma equa¸cão diferencial de ordem
zero, ou seja, por uma equa¸cão algébrica do tipo
a0y = b0x,
ou também
y = γx, γ =
b0
a0
,
onde γ é a sensibilidade estática.
Um sistema de ordem zero é instantâneo, sem atraso ou distor¸cão. Um
sistema que pode ser considerado sistema de ordem zero é o termopar (trans-
duz temperatura em voltagem instantâneamente, e pode ser linearizado num
dado intervalo).
7.2 Sistema de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem é descrito por uma equa¸cão diferencial de
primeira ordem como
a1
dy
dt
+ a0y = b0x,
ou no dom´ınio de Laplace,
(a1s + a0)Y = b0X.
Define-se τ = a1
a0
como a constante de tempo e γ = b0
a0
o ganho ou sensi-
bilidade estática. Logo,
(τs + 1)Y = γX.
A equa¸cão homogênea é
τ ˙y + y = 0
e a equa¸cão caracter´ıstica é τs + 1 = 0 cuja raiz é s = −1
τ
.
A solu¸cão homogênea da equa¸cão diferencial é do tipo
yh(t) = Ae
−t
τ .
Seja a condi¸cão inicial y(0) = y0. Logo,
yh(t) = y0e
−t
τ .

Para y0 = 0 e t = τ, tem-se
y(τ) = y0e−1
= 0.3678y0 ⇒
y(τ)
y0
= 0.3678.
Observa-se que a constante de tempo τ fornece uma medida da velocidade
que a resposta do sistema tende a zero. Nota-se que decorrido o tempo τ,
a redu¸cão percentual da resposta natural é aproximadamente 37% do valor
inicial y0, como ilustrado na Figura 33.
yh(t)
tτ
y0
0.3678y0
Figura 33: Resposta homogênea de um sistema de primeira ordem, τ > 0.
Seja o caso em que a entrada é um degrau unitário u(t). Neste caso, a
equa¸cão diferencial do sistema é
τ ˙y + y = γu(t).
A solu¸cão particular é do tipo:
yp(t) = C,
pois o degrau é uma constante para t > 0.
A solu¸cão completa será a soma da solu¸cão homogênea e da solu¸cão par-
ticular:
y(t) = Ae
−t
τ + C.
Seja o caso particular da condi¸cão inicial y(0) = 0. Logo,
y(0) = 0 = Ae0
+ C = A + C ⇒ A = −C,
y(t) = C(1 − e
−t
τ )
É poss´ıvel calcular a seguinte derivada
˙y(t) = C
1
τ
e
−t
τ .

Substituindo y(t) e ˙y(t) na equa¸cão diferencial tem-se:
τC
1
τ
e
−t
τ + C(1 − e
−t
τ ) = γ ⇒ C = γ,
e portanto a solu¸cão da equa¸cão diferencial é
y(t) = γ(1 − e
−t
τ ),
cuja representa¸cão gráfica está na Figura 34.
y(t)
tτ
0.6321γ
γ
Figura 34: Solu¸cão completa de sistema de primeira ordem.
Verifica-se que para t = τ tem-se
y(τ)
γ
= 1 − e−1
= 0.6321,
ou seja, para um tempo igual a τ o sistema atingiu aproximadamente 63%
da resposta de regime.
Um exemplo de sistema de primeira ordem é o modelo linearizado do
enchimento do tanque dado por
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
.
Um outro exemplo é o circuito RC descrito por
RC ˙y + y = u(t),
com τ = RC e γ = 1.

7.3 Sistema de segunda ordem
Um sistema de segunda ordem é descrito por uma equa¸cão diferencial de
segunda ordem como
a2 ÿ + a1 ˙y + a0y(t) = b0x(t) ou ÿ +
a1
a2
˙y +
a0
a2
y =
b0
a2
x(t).
Esta equa¸cão de segunda ordem pode ser escrita no dom´ınio de Laplace
em uma forma padronizada como
(s2
+ 2ξwns + w2
n)Y = γw2
nX,
onde
wn =
a0
a2
,
é a freqüência natural,
ξ =
a1
2
√
a0a2
,
é o fator de amortecimento, e
γ =
b0
a0
é o ganho estático. Note que o ganho estático é o fator que multiplicado
pela amplitude da entrada resulta no valor de regime (desconsiderando-se os
efeitos dinâmicos de ˙y e ÿ).
A resposta natural do sistema é baseada na equa¸cão homogênea, cuja
equa¸cão caracter´ıstica é:
s2
+ 2ξwns + w2
n = 0.
As ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica são s1,2 = −ξwn ± wn
√
ξ2 − 1, cuja
natureza depende do valor de ξ. Os casos poss´ıveis são analisados a seguir.
Amortecimento subcr´ıtico/sistema sub-amortecido, ξ < 1
No caso de sistema sub-amortecido, ξ < 1, as ra´ızes são complexas conjugadas
e podem ser escritas como
s1,2 = −ξwn ± jwn 1 − ξ2 = σ ± jwd,
onde σ = −ξwn é a parte real e wd = wn
√
1 − ξ2 é a parte imaginária
(caracterizando a freqüência natural amortecida). Estas ra´ızes podem ser
representadas no plano complexo como na Figura 35.

wn = cte
ξ = cte
s1
s2
φ
wn
−ξwn
wn
√
1 − ξ2
−wn
√
1 − ξ2
σ (real)
jw (imaginário)
Figura 35: Representa¸cão de um par complexo conjugado no plano complexo.
Nesta representa¸cão verifica-se que wn é o raio do c´ırculo e cosφ = ξ.
Observa-se que as ra´ızes s1 e s2 caminham sobre o c´ırculo em fun¸cão do valor
de ξ.
A solu¸cão homogênea de um sistema de segunda ordem é do tipo
yh(t) = A1es1t
+ A2es2t
= e−ξwnt
(A1ejwdt
+ A2e−jwdt
) = Ae−ξwnt
sen(wdt + φ),
que caracteriza uma resposta oscilatória com freqüência wd.
Considere uma entrada do tipo degrau unitário, u(t). A solu¸cão particular
será do tipo
yp = C para t ≥ 0.
Logo, ˙yp = 0 e ÿp = 0. Substituindo-se na equa¸cão do sistema, tem-se,
w2
nC = γw2
n ⇒ C = γ.
A solu¸cão completa do sistema é a soma da solu¸cão particular e da solu¸cão
homogênea:
y(t) = γ + Ae−ξwnt
sen(wdt + φ),
onde A e φ são determinados através das condi¸cões iniciais.
Verifica-se da Figura 35 que:
senφ = 1 − ξ2, cos φ = ξ e tan φ =
√
1 − ξ2
ξ
.
No caso em que y(0) = 0 e ˙y(0) = 0 (condi¸cões iniciais nulas) tem-se
y(0) = γ + Asenφ = 0 ⇒ A =
−γ
√
1 − ξ2
,

˙y(0) = A(−ξwn)senφ + Awdcosφ = 0 ⇒ tan φ =
wd
ξwn
=
√
1 − ξ2
ξ
.
Sistema criticamente amortecido, ξ = 1
No caso criticamente amortecido, ξ = 1, as ra´ızes são reais e iguais e estão
sobre o eixo real no plano complexo, ou seja,
s1 = s2 = −ξwn = −wn.
A solu¸cão transitória (homogênea) é
yh(t) = A1e−wnt
+ A2te−wnt
,
que representa um movimento que não oscila.
Considerando a entrada um degrau unitário, a solu¸cão completa é da
forma
y(t) = γ + A1e−wnt
+ A2te−wnt
.
Com as condi¸cões iniciais nulas, y(0) = 0 e ˙y(0) = 0, tem-se
y(0) = 0 = γ + A1 ⇒ A1 = −γ,
˙y(0) = 0 = A1(−wn) + A2 ⇒ A2 = −γwn.
Sistema super-amortecido, ξ > 1
No caso de um sistema super-amortecido, ξ > 1, as ra´ızes são reais e distintas,
ou seja,
s1 = wn −ξ + ξ2 − 1 =
−1
τ1
,
s2 = wn −ξ − ξ2 − 1 =
−1
τ2
.
A resposta transitória (solu¸cão da equa¸cão homogênea) é
y(t) = A1e
−t
τ1 + A2e
−t
τ2 ,
e a solu¸cão completa, considerando a entrada degrau unitário, é
y(t) = γ + A1e
−t
τ1 + A2e
−t
τ2 .
Quando as condi¸cões iniciais são nulas, y(0) = 0 e ˙y(0) = 0, tem-se
A1 =
−γτ1
τ1 − τ2
e A2 =
γτ2
τ1 − τ2
.
Verifica-se que o caso super-amortecido apresenta uma resposta sem caráter
oscilatório como esperado.

Movimento harmônico simples, sistema não amortecido, ξ = 0
No caso sem amortecimento, as ra´ızes são complexas conjugadas com parte
real nula, ou seja, estão sobre o eixo imaginário. Neste caso, o sistema
apresentará uma resposta transitória sem decaimento, caracterizando o mo-
vimento harmônico simples, ou seja, wd = wn, φ = 0 e yh(t) = Asen(wnt).
8 Fun¸cão de Transferência
Seja um sistema que estabelece uma rela¸cão entre entrada e sa´ıda esquema-
tizada na Figura 36.
f(t) y(t)
(entrada) (sa´ıda)
sistema
Figura 36: Rela¸cão entre entrada e sa´ıda.
Este sistema pode ser descrito por uma equa¸cão diferencial do tipo
an
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y(t) = b0f(t).
Se as condi¸cões iniciais são nulas, y(0) = ˙y(0) = . . . = yn−1
(0) = 0, tem-se
através da transformada de Laplace, que
Y (s)
F(s)
= G(s) =
b0
ansn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0
,
ou ainda
Y (s) = G(s)F(s)
onde G(s) é uma fun¸cão de transferência e o sistema pode ser representado
conforme esquematizado na Figura 37.
F(s) Y (s)
G(s)
Figura 37: Rela¸cão entrada-sa´ıda no dom´ınio de Laplace.

Caso o sistema possua duas entradas tem-se que
an
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y(t) = b1f1(t) + b2f2(t),
cuja representa¸cão está na Figura 38.
f1(t)
f2(t)
y(t)
sistema
Figura 38: Representa¸cão de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda.
Considerando condi¸cões iniciais nulas e aplicando a transformada de La-
place tem-se que
(ansn
+ an−1sn−1
+ . . . + a1s + a0)Y (s) = b1F1(s) + b2F2(s),
Y (s) =
b1
ansn
+ an−1sn−1
+ . . . + a1s + a0
G1(s)
F1(s)+
b2
ansn
+ an−1sn−1
+ . . . + a1s + a0
G2(s)
F2(s),
ou ainda
Y (s) = G1(s)F1(s) + G2(s)F2(s),
onde G1(s) e G2(s) são as fun¸cões de transferância que relacionam cada
entrada à sa´ıda, conforme esquematizado na Figura 39.
F1(s)
F2(s)
G1(s)
G2(s)
Y (s)
Figura 39: Representa¸cão de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda.
Para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas sa´ıdas, define-se a ma-
triz de transferência como a matriz formada pelas rela¸cões entre cada entrada
e cada sa´ıda, considerando-se nulas todas as entradas exceto a entrada em
questão, e com todas as condi¸cões iniciais nulas.

8.1 Resposta ao impulso e convolu¸cão
Seja um sistema representado por
Y (s) = G(s)X(s),
onde G(s) é a fun¸cão de transferência.
Sabe-se que a multiplica¸cão no dom´ınio de Laplace é equivalente à con-
volu¸cão no dom´ınio do tempo. Portanto,
y(t) =
t
0
x(τ)g(t − τ)dτ =
t
0
g(τ)x(t − τ)dτ,
com g(t) = 0 e x(t) = 0 para t < 0.
Seja uma entrada do tipo impulso unitário, x(t) = δ(t), com condi¸cões
iniciais nulas. Logo, X(s) = L[δ(t)] = 1, e então
Y (s) = G(s).
Logo,
y(t) = L−1
[G(s)] = g(t),
é a resposta ao impulso, ou seja, a transformada de Laplace da resposta ao
impulso de um sistema fornece a respectiva fun¸cão de transferência.
Na prática, é poss´ıvel aproximar uma fun¸cão impulso por uma fun¸cão
pulso de amplitude grande e de dura¸cão pequena cuja área seja unitária
conforme mostrado na Figura 10. Nota-se que quando t0 → 0 o pulso tende ao
impulso. Portanto, a resposta de um sistema a um pulso de grande amplitude
e de pequena dura¸cão (área unitária) tende à resposta do impulso do sistema.
8.2 Matriz de transferência
O conceito de matriz de transferência é aplicável ao caso de sistemas com
múltiplas entradas e múltiplas sa´ıdas.
Considere um sistema com m entradas e n sa´ıdas. As m entradas carac-
terizam o vetor de entrada. As n sa´ıdas caracterizam o vetor de sa´ıda.
Seja, por exemplo, um sistema com duas entradas e duas sa´ıdas conforme
esquematizado na Figura 40.
A rela¸cão entre as sa´ıdas e as entradas é dada por
Y1(s) = G11(s)X1(s) + G12(s)X2(s),
Y2(s) = G21(s)X1(s) + G22(s)X2(s).

X1(s)
X2(s)
Y1(s)
Y2(s)
G11
G12
G21
G22
Figura 40: Representa¸cão de sistema com duas entradas e duas sa´ıdas.
Escrevendo na forma matricial tem-se que
Y1(s)
Y2(s)
=
G11(s) G12(s)
G21(s) G22(s)
X1(s)
X2(s)
,
sendo que Gij(s) é a fun¸cão de transferência relacionando a i-ésima sa´ıda
com a j-ésima entrada.
Generalizando, para m entradas e n sa´ıdas, tem-se
Y(s)n×1 = G(s)n×mX(s)m×1
onde Y(s)n×1 é a transformada de Laplace do vetor de sa´ıda, G(s)n×m é a
matriz de transferência e X(s)m×1 é a transformada de Laplace do vetor de
entrada.
Exemplo: Considere o sistema da Figura 41 inicialmente em repouso.
Sejam as for¸cas u1(t) e u2(t) as entradas e sejam as posi¸cões y1(t) e y2(t)
as sa´ıdas.
As equa¸cões do movimento podem ser escritas, ou seja, para a massa m1
tem-se
m1 ÿ1 = c( ˙y2 − ˙y1) − k1y1 + u1(t),
m1 ÿ1 + c( ˙y1 − ˙y2) + k1y1 = u1(t),
e para a massa m2 tem-se
m2 ÿ2 = −c( ˙y2 − ˙y1) − k2y2 + u2(t),

k1
k2
c
m1
m1
m2
m2
y1
y2
u1(t)
u1(t)
u2(t)
u2(t)
k1x1
k2x2c( ˙x2 − ˙x1)
c( ˙x2 − ˙x1)
Figura 41: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade.
m2 ÿ2 + c( ˙y2 − ˙y1) + k2y2 = u2(t).
Aplicando a transformada de Laplace às duas equa¸cões do movimento e
considerando condi¸cões iniciais nulas tem-se
(m1s2
+ cs + k1)Y1(s) − csY2(s) = U1(s),
(m2s2
+ cs + k2)Y2(s) − csY1(s) = U2(s).
Matricialmente pode-se escrever que
m1s2
+ cs + k1 −cs
−cs m2s2
+ cs + k2
G−1
Y1(s)
Y2(s)
=
U1(s)
U2(s)
.
Portanto,
Y1(s)
Y2(s)
= G(s)
U1(s)
U2(s)
,
onde
G(s) =
1
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) − c2s2
m2s2
+ cs + k2 cs
cs m1s2
+ cs + k1
,
é a matriz de transferência, neste caso 2 × 2.

Conseqüentemente,
y1(t) = L−1 (m2s2
+ cs + k2)U1(s) + csU2(s)
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) − c2s2
,
y2(t) = L−1 csU1(s) + (m1s2
+ cs + k1)U2(s)
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) − c2s2
.
9 Critérios de Desempenho
Esta se¸cão apresenta os principais parâmetros de desempenho no tempo de
sistemas de primeira e de segunda ordem.
9.1 Sistemas de Primeira Ordem
Seja um sistema de primeira ordem dado por
a1
dy
dt
+ a0y(t) = b0f(t) ou τ
dy
dt
+ y = γf(t),
onde τ = a1
a0
é a constante de tempo e γ = b0
a0
é a sensibilidade estática.
A transformada de Laplace correspondente é
τsY (s) + Y (s) = γF(s),
e a respectiva fun¸cão de transferência é
Y (s)
F(s)
=
γ
τs + 1
.
1. A resposta ao impulso deste sistema é
g(t) =
γ
τ
e− t
τ ,
que se encontra ilustrada na Figura 42.
2. A resposta ao degrau, ou resposta indicial, de um sistema de primeira
ordem é
y(t) = γ(1 − e− t
τ ),
que se encontra ilustrada na Figura 43 para dois valores de constante
de tempo (τ1 > τ2) e na Figura 44 para dois valores da sensibilidade
estática γ1 > γ2.

t
γ
τ
(sistema est´avel)
Figura 42: Resposta ao impulso de sistema de primeira ordem, τ > 0.
t
τ1τ2
Figura 43: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - τ1 > τ2.
tτ
γ1
γ2
0, 63γ1
0, 63γ2
y(t)
Figura 44: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - γ1 > γ2.

tτ
y(t)
∆(t)
Figura 45: Sistema de primeira ordem - resposta à rampa unitária.
3. A resposta à rampa unitária é dada por
y(t) = γ(τe− t
τ + t − τ),
e está representada na Figura 45.
A diferen¸ca entre a rampa e a resposta do sistema é dada por
∆(t) = γt − y(t) = γτ(1 − e− t
τ ),
e o erro estacionário é
lim
t→∞
∆(t) = γτ.
9.2 Sistema de segunda ordem
Seja um sistema de segunda ordem na forma padronizada
d2
y
dt2
+ 2ξwn
dy
dt
+ w2
ny = γw2
nf(t),
onde wn é a freqüência natural, ξ é o fator de amortecimento e γ é o ganho
estático.
A fun¸cão de transferência correspondente é
Y (s)
F(s)
= G(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
.
As ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica são
s1,2 = −ξwn ± wn ξ2 − 1
wd
,
e os três casos importantes de resposta natural podem ser analisados em
fun¸cão do valor de ξ, i.e.,

• ξ > 1: sistema superamortecido, comportamento não oscilatório, cuja
resposta ao impulso é
y(t) = C1es1t
+ C2es2t
.
• 0 < ξ < 1: sistema sub-amortecido, comportamento oscilatório durante
o transitório, cuja resposta ao impulso é
y(t) = C1e−ξwnt
(senwdt + φ).
• ξ = 1: sistema criticamente amortecido, não oscilatório, cuja resposta
ao impulso é
y(t) = (C1 + C2t)e−ξwnt
.
O comportamento de um sistema de segunda ordem sub-amortecido é
normalmente analisado em termos da resposta ao degrau através de alguns
parâmetros que permitem uma adequada compara¸cão. Estes parâmetros são
brevemente descritos a seguir e ilustrados na Figura 46.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Resposta ao degrau unitário
Amplitude
Tempo (s)
tp te
ts
yp
γ
eest
Figura 46: Sistema de segunda ordem - principais parâmetros de desempenho
na resposta ao degrau.

1. O valor de regime, γ, é o valor da resposta do sistema para um tempo
grande, ou seja,
γ = lim
t→∞
y(t).
Note que o valor de regime corresponde ao ganho estático do sistema
se a entrada for um degrau unitário.
2. O erro estacionário, eest, é a diferen¸ca entre o valor da entrada e o valor
de regime. No caso da entrada degrau, tem-se que:
eest = 1 − γ.
3. O tempo de subida, ts, é o tempo para a resposta passar, por exemplo,
de 10% do valor de regime para 90% do valor de regime.
4. O tempo para o pico máximo, tp, é o tempo para a resposta atingir o
primeiro pico da sobre-eleva¸cão (overshoot).
5. O percentual de sobre-sinal, pss, representa o valor do pico em rela¸cão
ao valor de regime de forma percentual, ou seja,
pss = 100
yp − γ
γ
.
A resposta ao degrau é
y(t) = γ 1 −
e−ξwnt
√
1 − ξ2
sen(wdt + φ) ,
O pico da curva de resposta pode ser determinado por
dy
dt
= 0 ⇒ ξwnsen(wdt + φ) = wdcos(wdt + φ),
ou ainda
tan(wdt + φ) =
wd
ξwn
=
√
1 − ξ2
ξ
= tanφ,
para wdt = kπ, k = 0, 1, 2, . . .. O primeiro pico ocorre para wdtp = π,
e então, tp = π
wd
e cosφ = ξ.
Substituindo este resultado na equa¸cão da resposta ao degrau tem-se
que
yp = y(tp) = γ

1 −
e
−ξwn
π
wd
√
1 − ξ2
sen wd
π
wd
+ φ

 =

= γ


1 −
e
−ξπ
√
1−ξ2
√
1 − ξ2
sen(π + φ)


 =
= γ


1 −
e
−ξπ
√
1−ξ2
√
1 − ξ2
(senπ
0
cosφ + senφ cosπ
−1
)


 =
= γ


1 −
e
−ξπ
√
1−ξ2
√
1 − ξ2
(−senφ)


 = γ 1 + e
−ξπ
√
1−ξ2
.
Logo, o pss será dado por:
pss = 100
γ 1 + e
−ξ π√
1−ξ2
− γ
γ
= 100e
−ξπ
√
1−ξ2
.
Conseqüentemente pode-se escrever que
ξ =
ln100
pss
π2 + ln100
pss
2
.
Nota-se que o pss é uma medida do fator de amortecimento, ou seja,
dado ξ tem-se o pss e vice-versa. Verifica-se que pss|ξ=0 = 100% e
pss|ξ=1 = 0%.
6. Constante de tempo de um sistema de segunda ordem
As curvas que limitam a resposta de um sistema são chamadas de en-
voltórias e estão ilustradas na Figura 47.
As equa¸cões das envoltórias são determinadas em fun¸cão dos pontos
cr´ıticos de y(t) e são dadas por:
ev(t) = γ 1 ±
e−ξwnt
√
1 − ξ2
.
Considerando a envoltória superior, nota-se que:
ev(t)|t=0 = γ 1 +
1
√
1 − ξ2
,
ev(t)|t= 1
ξwn
= γ 1 +
e−1
√
1 − ξ2
.

envoltória
valor de regime (γ)
y(t)
τ t
Figura 47: Curvas envoltórias.
Define-se a constante de tempo, τ, do sistema de segunda ordem como
τ =
1
ξwn
,
pois
ev(τ) − γ
ev(0) − γ
=
e−1
1
= 0.3678,
que corresponde ao decaimento da envoltória com rela¸cão ao valor de
regime γ de forma semelhante ao caso de um sistema de primeira ordem.
7. O tempo de estabiliza¸cão é o tempo para o sistema apresentar x% de
erro com rela¸cão ao valor de regime.
O tempo de estabiliza¸cão a 5% é dado por:
γ 1 + e− t
τ
√
1−ξ2
− γ
γ
≤ 0.05 ⇒
e− t
τ
√
1 − ξ2
≤ 0.05 ⇒ e− t
τ ≤ 0.05 1 − ξ2.
É poss´ıvel calcular o tempo de estabiliza¸cão para alguns valores de ξ.
• para ξ = 0.1:
e− t
τ ≤ 0.05 × 0.995 ⇒
t
τ
= 3.00.
• para ξ = 0.5:
e− t
τ ≤ 0.05 × 0.866 ⇒
t
τ
= 3.14.

• para ξ = 0.7:
e− t
τ ≤ 0.05 × 0.714 ⇒
t
τ
= 3.33.
Portanto, uma aproxima¸cão usual é que
te5% ≈ 3.2τ =
3.2
ξwn
.
Da mesma forma que foi feito para 5% pode-se fazer para 2% e obter
que
te2% ≈ 4τ =
4
ξwn
.
8. Decremento logar´ıtmico.
Seja uma senóide amortecida correspondente à resposta do sistema,
y(t) = Ae−ξwnt
(senwdt + φ),
como mostrada na Figura 48.
t2
y1
y2
t1
y(t)
t
Figura 48: Senóide amortecida.
O per´ıodo é dado por T = t2 − t1 e é sabido que sen(wdt1 + φ) =
sen(wdt2 + φ).
A rela¸cão entre duas amplitudes consecutivas é
y1
y2
=
Ae−ξwnt1
Ae−ξwnt2
= eξwnT
= e
ξwn( 2π
wd
)
= e
2πξ
√
1−ξ2
.
O decremento logaritmico, δl, é definido como
δl = ln
y1
y2
=
2πξ
√
1 − ξ2
.
Nota-se que δl é uma medida do amortecimento do sistema. Para ξ <<
1 tem-se a aproxima¸cão que δl ≈ 2πξ.

10 Estabilidade de sistemas lineares
Um sistema é considerado estável se sua resposta não cresce de forma ili-
mitada para qualquer condi¸cão inicial (resposta natural) ou para qualquer
entrada limitada. A análise baseada na resposta natural caracteriza o que se
chama de estabilidade de entrada nula e a análise baseada em uma entrada
limitada caracteriza a estabilidade BIBO (bounded input - bounded output).
10.1 Estabilidade para entrada nula
Seja uma fun¸cão de transferência dada por
Y (s)
F(s)
= G(s) =
Q(s)
P(s)
,
onde Q(s) e P(s) são polinômios que representam o numerador e o denomi-
nador respectivamente.
Estes polinômios são tais que o grau de Q(s) é menor ou igual ao grau de
P(s), caracterizando os sistemas não antecipativos.
Considerando que não existam cancelamentos entre fatores do numerador
e do denominador, as ra´ızes de Q(s) são denominadas de zeros de G(s), e as
ra´ızes de P(s) são os pólos G(s). Os pólos de G(s) são os pontos singulares
de G(s).
Caso existam fatores comuns no numerador e denominar, aten¸cão é re-
querida como no exemplo de
G(s) =
(s − 1)
(s − 1)(s + 2)
,
em que se tem apenas apenas um pólo que é −2. Note que não há singulari-
dade para s = 1.
Seja uma fun¸cão de transferência, sem cancelamentos entre o numerador
e o denominador, escrita na forma
G(s) =
Q(s)
(s − p1)(s − p2)(s − p3)m(s − p4)(s − p∗
4)(s − p5)(s − p6)(s − p∗
6)
,
cujos pólos estão representados na Figura 49.
Os pólos deste sistema podem ser classificados como a seguir.
1. Pólos reais e distintos de multiplicidade 1 e não nulos (p1 e p2).

imaginário
real
pólos estáveis pólos instáveis
p1 p2p3
p4
p∗
4
p5
p6
p∗
6
Figura 49: Localiza¸cão t´ıpica dos pólos no plano complexo.
A contribui¸cão destes pólos na anti-transformada de Laplace gera os
termos ilustrados na Figura 50, que podem ser verificados via expansão
em fra¸cões parciais, ou seja,
C1ep1t
+ C2ep2t
.
O pólo p2 > 0 contribui para uma situa¸cão de instabilidade.
tt
y(t)y(t)
C1ep1t
C2ep2t
Figura 50: Contribui¸cão na resposta de pólos reais e distintos e não nulos.
2. Pólos reais múltiplos (p3).
A anti-transformada de Laplace gera termos do seguinte tipo:
C1 + C2t +
C3
2!
t2
+ . . . +
Cm
(m − 1)!
tm−1
a(t)
ep3t
= a(t)ep3t
.

Três situa¸cões podem ocorrer em fun¸cão da posi¸cão do pólo p3:
• se p3 > 0, então a(t)ep3t
→ ±∞, quando t → ∞.
• Se p3 = 0, então a(t)ep3t
= a(t) → ±∞, quando t → ∞.
• Se p3 < 0, então a(t)ep3t
→ 0, quando t → ∞.
Nota-se que se p3 ≥ 0 tem-se uma situa¸cão de instabilidade.
3. Pólo simples na origem (p5).
A anti-transformada, neste caso, é uma constante como ilustrado na
Figura 51, que caracteriza uma resposta marginalmente estável (não
decresce).
t
y(t)
Figura 51: Anti-transformada correspondente a um pólo simples na origem.
4. Pólos complexos conjugados (pares (p4,p∗
4) e (p6,p∗
6)).
Neste caso, é poss´ıvel escrever que
C
(s − p4)(s − p∗
4)
=
D
(s2 + b2)
.
A anti-transformada de Laplace é do tipo:
eat
sen(bt + φ)
onde a é a parte real dos pólos. Nota-se que se a > 0 tem-se uma
situa¸cão instável.
Para o caso particular em que a = 0, ou seja, pólos complexos conjuga-
dos sobre o eixo imaginário, tem-se resposta senoidal sem decaimento,
Figura 53, que caracteriza uma resposta marginalmente estável.

tt
y(t)y(t)
a < 0 a > 0
Figura 52: Efeito de p´olos compolexos conjugados.
t
y(t)
Figura 53: Efeito de p´olo com parte real nula.

Da análise anterior, é poss´ıvel concluir que:
• Pólos com parte real negativa, isto é, localizados no semi-plano es-
querdo do plano complexo, contribuem com resposta estável.
• Pólos com parte real positiva, isto é, localizados no semi-plano direito
do plano complexo, contribuem com resposta crescente com o tempo
ou instável.
• Pólos simples com parte real nula, isto é, sobre o eixo imaginário, con-
tribuem com resposta constante ou senoidal.
• Pólos múltiplos na origem ou sobre o eixo imaginário acarretam insta-
bilidade.
Uma avalia¸cão da estabilidade natural pode ser feita também através da
resposta ao impulso. Lembrando que Y (s) = G(s)F(s) e que se F(s) = 1,
ou seja, f(t) = δ(t) um impulso unitário, então,
L−1
[Y (s)] = L−1
[G(s)] = y(t),
onde y(t) é a resposta ao impulso do sistema, e que permite verificar a ins-
tabilidade se esta crescer de forma ilimitada.
Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G1(s) = 1
s
.
Este sistema possui um pólo simples na origem, caracterizando uma res-
posta natural marginalmente estável. A resposta ao impulso deste sistema é
um degrau u(t), que é limitada.
s2+100
.
Este sistema possui pólos complexos conjugados sobre o eixo imaginário,
caracterizando uma resposta senoidal marginalmente estável. A resposta ao
impulso deste sistema é 100sen(10t)u(t), que é limitada.
s2 .
Este sistema possui pólos múltiplos na origem, e é portanto instável. A
resposta ao impulso deste sistema é tu(t), que cresce de forma ilimitada.
10.2 Estabilidade BIBO
O conceito de estabilidade BIBO (bounded input - bounded output) estabe-
lece que o sistema é estável se a resposta permanece limitada para qualquer
entrada limitada.

A rela¸cão entre a resposta Y (s) e a entrada F(s) de um sistema pode ser
escrita como
Y (s) = G(s)F(s),
e usando a propriedade de convolu¸cão pode-se escrever que
y(t) = L−1
[G(s)F(s)] = g(t) ∗ f(t) =
t
0
g(τ)f(t − τ)dτ.
Se a entrada é limitada, então pode-se escrever que
|f(t)| ≤ M < ∞.
Para que a resposta seja limitada deseja-se que
|y(t)| =
t
0
g(τ)f(t − τ)dτ ≤
t
0
|g(τ)||f(t − τ)|dτ,
e conseqüentemente é poss´ıvel escrever que
|y(t)| ≤ M
t
0
|g(τ)|dτ.
Para que a resposta |y(t)| seja limitada, deve-se ter que
t
0
|g(τ)|dτ < ∞,
que significa que a resposta ao impulso do sistema deve ser limitada.
11 Resposta em frequência
11.1 Rela¸cão de amplitude e ângulo de fase
A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo a uma en-
trada senoidal é também de forma senoidal, com amplitude e fase distin-
tos da entrada e dependentes das caracter´ısticas dinâmicas do sistema e da
frequência de entrada.
Seja um sistema descrito por
Y (s)
F(s)
= G(s) =
Q(s)
P(s)
,
com Q(s) e P(s) polinômios s.

Seja uma entrada f(t) senoidal. Logo,
f(t) = Asenwt ⇒ F(s) = L[f(t)] =
Aw
s2 + w2
,
e consequentemente,
Y (s) = G(s)
Aw
s2 + w2
.
Uma expansão em fra¸cões parciais pode ser escrita como
Y (s) =
C1
(s − p1)
+
C2
(s − p2)
+ . . . +
Cn
s − pn
termos transitórios
+
K1
s + jw
+
K2
s − jw
termos de regime
.
Realizando a anti-transformada de Laplace tem-se
y(t) =
n
i=1
Ciepit
+ K1e−jwt
+ K2ejwt
onde a somatória pode ser desconsiderada pois representa os termos tran-
sitórios. Pressupõe-se que G(s) é estável.
Logo, a resposta de regime é
y(t) = K1e−jwt
+ K2ejwt
.
As constantes correspondentes são:
K1 = (s + jw)G(s)
Aw
(s + jw)(s − jw) s=−jw
= G(−jw)
Aw
−2jw
= G(−jw)
A
−2j
,
K2 = (s − jw)G(s)
Aw
(s + jw)(s − jw) s=jw
= G(jw)
A
2j
,
Pode-se escrever
G(jw) = |G(jw)|ejφ
, G(−jw) = |G(jw)|e−jφ
,
e
φ = G(jw) = tan−1 Im(G(jw))
Re(G(jw))
.
Consequentemente,
y(t) = −A
2j
|G(jw)|e−jφ
e−jwt
+ A
2j
|G(jw)|ejφ
ejwt
=
= A|G(jw)| ej(wt+φ)−e−j(wt+φ)
2j
=
= A|G(jw)|sen(wt + φ).

Nota: senα = ejα−e−jα
2j
e |a + jb| =
√
a2 + b2.
Portanto, se a entrada é
f(t) = Asenwt,
a sa´ıda será
y(t) = A|G(jw)|sen(wt + φ),
que representa uma resposta senoidal com outra amplitude e com uma defa-
sagem em rela¸cão à entrada.
A rela¸cão de amplitudes RA entre a resposta e a entrada é dada por
RA =
max y(t)
max f(t)
= |G(jw)|.
Alguns exemplos são apresentados a seguir.
11.2 Resposta em freqüência de um sistema de pri-
meira ordem
Seja
G(s) =
γ
τs + 1
.
Logo,
G(jw) =
γ
1 + jwτ
=
|γ|
√
1 + w2τ2
ejφ
,
φ = tan−1 −wτ
1
= −tan−1
(wτ).
A rela¸cão de amplitudes será dada por
RA =
|γ|
√
1 + w2τ2
.
11.3 Resposta em freqüência de um sistema de se-
gunda ordem
Seja
G(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
.
Logo,
G(jw) =
γw2
n
−w2 + j(2ξwnw) + w2
n
,

|G(jw)| =
|γ|w2
n
[(w2
n − w2)2 + 4ξ2w2
nw2]
1
2
= RA,
φ = −tan−1 2ξwnw
(w2
n − w2)
.
11.4 Resposta em freqüência de um integrador puro
Seja
G(s) =
γ
s
,
então,
G(jw) =
γ
jw
= −j
γ
w
=
γ
w
e−jφ
,
e se verifica que
|G(jw)| =
γ
w
= RA, φ = tan−1
−γ
w
0
= −
π
2
.
11.5 Diagramas de Bode
Existem dois gráficos usuais para representar as caracter´ısticas de resposta
em freqüência de sistemas.
• Diagrama de amplitudes: plota as RA (em decibéis, dB) em fun¸cão de
w (escala log).
• Digrama de fases: plota as fases φ em fun¸cão de w em escala log.
Para isso define-se a rela¸cão de amplitudes em dB como
RAdB = 20 log RA.
São apresentados a seguir os diagramas de Bode de alguns sistemas t´ıpicos.
11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro
A rela¸cão de amplitudes para o integrador puro permite escrever que
RAdB = 20 log
γ
w
= 20 log γ − 20 log w,
que é uma reta na escala dB-log do tipo
y = C − 20x,

cuja inclina¸cão é −20. Note que o para log w = 0 o cruzamento com o eixo
da rela¸cão de amplitude se dá para 20 log γ.
A fase é φ = −π
2
constante.
Os diagramas de Bode do integrador puro, G(s) = 1
s
, são mostrados na
Figura 54.
−20
−15
−10
−5
0
5
Magnitude(dB)
10
0
10
1
−91
−90.5
−90
−89.5
−89
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 54: Diagramas de Bode para G(s) = 1
s
.
11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem
Seja um sistema de primeira ordem dado por
G(s) =
γ
τs + 1
com γ > 0.
A rela¸cão de amplitudes e o ângulo de fase são:
RA =
γ
√
1 + w2τ2
, φ = −tan−1
(wτ).
A rela¸cão de amplitudes em dB é
RAdB = 20 log
γ
√
1 + w2τ2
= 20 log γ − 10 log(1 + w2
τ2
).
É poss´ıvel conduzir a análise para dois casos.

1. “Baixas” freqüências: wτ << 1 ⇒ w << 1
τ
⇒ 1 + w2
τ2
≈ 1, então,
RAdB ≈ 20 log γ,
que representa uma constante de valor 20 log γ. Note que este é o valor
de partida do gráfico quando w = 0.
2. “Altas” freqüências: wτ >> 1 ⇒ w >> 1
τ
⇒ 1 + w2
τ2
≈ w2
τ2
, então,
RAdB ≈ 20 log γ − 10 log(wτ)2
= 20 log γ − 20 log(wτ),
RAdB ≈ 20 log γ − 20 log w − 20 log τ,
RAdB ≈ 20 log
γ
τ
− 20 log w,
que representa uma reta de inclina¸cão −20.
Em termos de fase, tem-se:
• para w = 0 ⇒ φ = −tan−1
(0) = 0,
• para w = 1
τ
⇒ φ = −tan(1
τ
τ) = −π
4
,
• para w → ∞ ⇒ φ = −tan(∞) = −π
2
,
como mostrado na Figura 55.
Como exemplo, os diagramas de Bode para G(s) = 1
s+1
estão mostrados
na Figura 55.
11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem em
série
Seja o sistema G(s) formado por vários sistemas de primeira ordem em série,
G(s) =
γ1
τ1s + 1
γ2
τ2s + 1
. . .
γn
τns + 1
.
A rela¸cão de amplitudes e a fase podem ser escritas como
RA = |G(jw)| =
γ1γ2 . . . γn
(1 + τ2
1 w2)(1 + τ2
2 w2) . . .(1 + τ2
nw2)
,
φ =
n
i=1
φi =
n
i=1
−tan−1
(wτi).

−40
−30
−20
−10
0
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 55: Diagramas de amplitudes e fases - sistema de primeira ordem.
A rela¸cão de amplitudes em dB é dada por
RAdB =
n
i=1
20 log γi −
1
2
n
i=1
20 log(1 + τ2
i w2
) = RAi
dB,
que corresponde ao somatório da rela¸cão de amplitudes de cada sistema.
Exemplo: Sejam os sistemas de primeira ordem
G1(s) =
5
s + 1
e G2(s) =
2000
s + 100
,
e o sistema resultante do produto destes, G(s) = G1(s)G2(s).
As rela¸cões de amplitudes e as fases de dois sistemas de primeira ordem
podem ser somadas diretamente nos gráficos conforme na Figura 56.
Observa-se ainda que
lim
s→0
G(s) = lim
s→0
G1(s)G2(s) =
5
1
2000
100
= 100 = 40dB,
que corresponde ao valor para w → 0 no diagrama de bode. Note ainda que
o valor da resposta em freqüência para w → 0 coresponde ao ganho estático
do sistema.

−100
−50
0
50
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
G1(s)
G2(s)
G(s)
Figura 56: Diagramas de Bode de dois sistemas de primeira ordem em série.
Observa-se cada pólo simples contribui com uma queda de -20dB/década
no diagrama de Bode. Note que um zero irá alterar o sinal da inclina¸cão
da reta, contribuindo com um efeito de +20dB/década, assim como uma
contrinui¸cão positiva na fase, como ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo: Sejam os sistemas de primeira ordem
G1(s) =
5
s + 1
e G2(s) =
s + 100
2000
,
e o sistema resultante do produto destes, G(s) = G1(s)G2(s).
As rela¸cões de amplitudes e as fases de dois sistemas de primeira ordem
podem ser somadas diretamente nos gráficos conforme na Figura 57.
11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem
A rela¸cão de amplitudes para um sistema de segunda ordem é
RA =
γ
[1 − ( w
wn
)2]2 + 4ξ2( w
wn
)2
,

−80
−60
−40
−20
0
20
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−90
−45
0
45
90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
G1(s)
G2(s)
G(s)
Figura 57: Diagramas de Bode de dois sistemas de primeira ordem em série.
e em dB tem-se
RAdB = 20 log γ − 10 log



1 −
w
wn
2 2
+ 4ξ2 w
wn
2



.
Dois casos em termos de faixas de freqüências podem ser analisados.
1. Ass´ıntota para baixas frequências (w << wn):
RAdB ≈ 20 log γ,
que representa um valor constante.
2. Ass´ıntota para altas frequências (w >> wn):
RAdB ≈ 20 log γ − 10 log
w
wn
4
= 20 log γ − 40 log
w
wn
=
= 20 log γ + 40 log wn − 40 log w = 20 log(γw2
n) − 40 log w,
que representa uma inclina¸cão de −40dB/década.

O ângulo de fase é dado por
φ = −tan−1 2ξwnw
w2
n − w2
,
e verifica-se que:
• para w = 0 ⇒ φ = 0,
• para w = wn ⇒ φ = −π
2
,
• para w → ∞ ⇒ φ = −π.
O diagrama de Bode do sistema de segunda ordem está representado na
Figura 58 para alguns valores de ξ.
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ξ1 = 0.01
ξ2 = 0.2
ξ3 = 0.4
ξ4 = 0.7
Figura 58: Diagramas de Bode para vários valores de fator de amortecimento
de sistemas de segunda ordem.
Um caso particular de interesse é o de ξ = 0, ou seja, sistema sem amor-
tecimento. Neste caso, os diagramas de Bode são caracterizados por uma
singularidade na amplitude e uma mudan¸ca brusca de fase de 0◦
para −180◦
,
como já se observa a tendência para o caso de menor fator de amortecimento
ilustrado na Figura 58.

11.6 Banda de passagem
A banda de passagem, wb, é o valor de freqüência tal que a amplitude cai 3dB
em rela¸cão ao valor de correspondente ao ganho estático, conforme ilustrado
na Figura 59.
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
−1
10
0
10
1
0
5
10
15
20
25
30
Magnitude(dB)
3dB
wb
Figura 59: Banda de passagem.
11.7 Algumas caracter´ısticas em freqüência de siste-
mas de segunda ordem
A freqüência de ressonância, wr, em sistemas de segunda ordem corresponde
ao valor de freqüência em que ocorre a maior amplitude da resposta em
freqüência, e é dada por
wr = wn 1 − 2ξ2 para ξ <
√
2
2
.
Para esta freqüência tem-se o valor do pico da resposta, adicionado ao
valor do ganho estático, dado por
Mp =
1
2ξ
√
1 − ξ2
para ξ <
√
2
2
.

Exemplo: Dada a resposta em freqüência do sistema de segunda conforme
na Figura 60, determine a freqüência natural, fator de amortecimento e o
ganho estático.
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
−60
−40
−20
0
20
40
System: ps
Peak gain (dB): 24.8
At frequency (rad/sec): 1.81
Magnitude(dB)
Figura 60: Resposta em freqüência de sistema de segunda ordem.
A forma padrão do sistema de segunda ordem é
P(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
.
O ganho estático pode ser determinado fazendo-se
lim
s→0
P(s) = γ = 20dB = 10.
O pico da resposta é 24.8 dB. Logo, o valor adicional ao valor do ganho
estático é Mp = 4.8 dB = 1.7378, que permite calcular:
Mp =
1
2ξ
√
1 − ξ2
= 1.7378 ⇒ ξ = 0.30.
Da freqüência de ressonância, wr = 1.81rad/s, e do valor de ξ, tem-se
que
wr = wn
√
1 − 2 × 0.32 = 1.81rad/s ⇒ wn = 2rad/s.

Uma outra forma de obter a freqüência natural é verificar a freqüência
que corresponde à fase de −90◦
, ou seja, wn = 2rad/s.
11.8 Diagrama de Nyquist
O diagrama de Nyquist é uma outra forma de representa¸cão da resposta em
frequência. É um gráfico do módulo de G(jw) pelo ângulo de fase de G(jw)
em coordenadas polares quando w varia, por exemplo, de zero a infinito.
11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem
Para um sistema de primeira ordem tem-se que
|G(jw)| =
|γ|
√
1 + w2τ2
, φ = −tan−1
(wτ).
Seja o caso particular em que γ = 1. Logo,
|G(jw)| =
1
√
1 + w2τ2
, φ = −tan−1
(wτ).
Calculando alguns valores tem-se:
• w = 0 ⇒ |G(0)| = 1, φ = −tan−1
(0) = 0,
• w = 1
τ
⇒ |G(j
τ
)| = 1√
1+1
= 1√
2
, φ = −tan−1
(1) = −45◦
,
• w → ∞ ⇒ |G(∞)| = 0, φ = −tan−1
(∞) = −90◦
,
que podem ser visualizados na Figura 61.
Nota-se que a curva do diagrama de Nyquist para este sistema é uma
circunferência, como pode ser verificado a seguir.
G(jw) =
1
1 + jwτ
=
1 − jwτ
12 + w2τ2
=
1
1 + w2τ2
parte real
−
wτ
1 + w2τ2
parte imaginária
j.
Definindo x e y como as partes real e imaginária, tem-se:
x =
1
1 + w2τ2
=
1
1 + a2
,
y =
−wτ
1 + w2τ2
=
−a
1 + a2
.
Verifica-se que
x −
1
2
2
+ y2
=
1
1 + a2
−
1
2
2
+
−a
1 + a2
2
=
1
2
2
,
ou seja, a equa¸cão de um c´ırculo com origem no ponto 1
2
, 0 e raio 1
2
.

a
b
c
Imaginário
Real
1
2
−45o
1√
2
Figura 61: Diagrama de Nyquist - sistema de primeira ordem.
11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem
A forma padrão de um sistema de segunda ordem permite escrever que
G(jw) =
γw2
n
(jw)2 + 2ξwn(jw) + w2
n
=
γ
1 + 2ξ(j w
wn
) + (j w
wn
)2
.
Seja o caso particular em que γ = 1. Logo,
lim
w→0
G(jw) = 1 0◦
, lim
w→∞
G(jw) = 0 − 180◦
.
Para w = wn, então,
G(jw) =
1
1 + 2ξj − 1
=
1
2ξj
,
que corresponde a um valor imaginário puro, e que permite determinar o
valor de ξ.
A situa¸cão de ressonância corresponde ao ponto onde ocorre o máximo
valor de |G(jw)|, ou seja máxima amplitute, e é o ponto cuja distância até a
origem é máxima no diagrama de Nyquist.
Para ξ > 1 grandes, o diagrama aproxima-se de uma circunferência, pois
o sistema tende a um sistema de primeira ordem, e uma das ra´ızes reais
predomina sobre a outra.
Exemplo: Seja o sistema dado por
G(s) =
1
s2 + 2s + 1
.
O diagrama de Nyquist correspondente está mostrado na Figura 62.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
wrwn
Figura 62: Diagrama de Nyquist para G(s) = 1
s2+2s+1
.

O ponto de cruzamento com o eixo imaginário corresponde à w = wn =
1rad/s e é −2.5j. Logo,
1
2ξj
= −2.5j ⇒ ξ = 0.2.
A máxima amplitude é 8.14dB e corresponde a uma freqüência de res-
sonância w = wr = 0.959rad/s.
Exemplo: Determinar o diagrama de Nyquist para
G(s) =
1
s(Ts + 1)
.
Calcula-se:
G(jw) =
1
jw(Tjw + 1)
=
−T
1 + w2T2
− j
1
(1 + w2T2)w
.
Logo,
lim
w→0
G(jw) = −T − j∞ = ∞ − 90◦
,
lim
w→∞
G(jw) = 0 − j × 0 = 0 − 180◦
.
O diagrama correspondente é apresentado na Figura 63.
Im
Re
w
w
0
0∞
−T
Figura 63: Diagrama de Nyquist.

12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introdu¸cão
à malha fechada
12.1 Sistema de um tanque
Considere o tanque esquematizado na Figura 64, onde qe é a vazão de entrada,
qs é a vazão de sa´ıda, h é a altura do n´ıvel de l´ıquido e u é a variável que regula
a posi¸cão da válvula de entrada. O tanque possui área da se¸cão tranversal
A, de forma que o volume de l´ıquido é V = Ah. O problema de interesse é
manter o n´ıvel de l´ıquido em valores desejados.
qe
u
h
qs
Figura 64: Sistema de n´ıvel de tanque.
Este sistema pode ser representado na forma de diagrama de blocos con-
forme na Figura 65.
qe
qs
entradas
sa´ıda
processo
h
Figura 65: Problema do tanque na forma de diagrama de blocos.
Um modelo matemático deste sistema pode ser obtido através do princ´ıpio
da conserva¸cão da massa. A varia¸cão de volume no tanque é dada por
˙V (t) = qe(t) − qs(t).

Se a área do tanque é constante, tem-se que
˙V (t) = A˙h(t).
Dependendo to tipo de escoamento, laminar ou turbulento, é poss´ıvel
estabelecer uma rela¸cão entre a vazão na válvula de sa´ıda e o n´ıvel de l´ıquido
h(t). No caso de escoamento laminar, pode-se escrever que
qs(t) =
1
R
h(t),
onde R é uma constante restritiva, também chamada de “restri¸cão”. Nota-se
a analogia com a lei de Ohm para circuitos elétricos (potencial=resistência
× corrente).
Estas equa¸cões podem ser agrupadas, levando à:
A˙h(t) = qe(t) −
1
R
h(t) ⇒ RA˙h(t) + h(t) = Rqe(t),
que caracteriza uma equa¸cão diferencial de primeira ordem (sistema de pri-
meira ordem) que pode ser escrita na sua forma padrão como
τ ˙h(t) + h(t) = γqe(t),
onde τ = RA é a constante de tempo e γ = R é o ganho estático.
Aplicando a transformada de Laplace (condi¸cões iniciais nulas) chega-se
à fun¸cão de transferência:
(τs + 1)H(s) = γQe(s) ⇒ H(s) =
γ
τs + 1
Qe(s).
Este modelo do tanque permite estudar dois comportamentos f´ısicos de
interesse: o esvaziamento e o enchimento.
• Esvaziamento do tanque. Seja a condi¸cão homogênea em que a vazão
de entrada é nula, qe(t) = 0. A solu¸cão homogênea para este sistema
de primeira ordem é
hh(t) = C1e
−t
τ ,
com C1 = h(0) o n´ıvel inicial do tanque.
• Solu¸cão particular. Seja uma vazão de entrada constante qe(t) = η. A
solu¸cão particular é também uma constante, ou seja,
hp(t) = C2.

• Solu¸cão completa. A solu¸cão completa, que corresponde ao enchimento
do tanque, será dada por
h(t) = hh(t) + hp(t) = C1e
−t
τ + C2.
Considere como condi¸cão inicial que o tanque está vazio, h(0) = 0.
Logo,
h(0) = C1e
−0
τ + C2 = 0 ⇒ C1 = −C2 = C,
e portanto,
h(t) = C(1 − e
−t
τ ).
Substituindo este resultado na equa¸cão diferencial, determina-se que
C = γη, e consequentemente escreve-se a solu¸cão completa como
h(t) = γη(1 − e
−t
τ ).
12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque
O modelo desenvolvido anteriormente para o tanque precisa incorporar a
instrumenta¸cão necessária para permitir o posterior controle de n´ıvel.
Sejam alguns dados numéricos de interesse:
• área da se¸cão transversal do tanque: A = 4π m2
;
• curso máximo das válvulas: 25 mm;
• constante de restri¸cão: R = 140 s/m2
;
• máxima altura do tanque: 4 m.
Com base nestes valores, a equa¸cão diferencial do sistema é
1759˙h(t) + h(t) = 140qe(t).
Seja u(t) a posi¸cão da válvula de entrada que determina a vazão de en-
trada qe(t). Deseja-se controlar o n´ıvel do tanque através da vazão de entrada.
Um esquema do problema é mostrado na Figura 66. Verifica-se que uma
posi¸cão da válvula define uma vazão de entrada, que atuará no processo,
mudando o n´ıvel de l´ıquido, e este será medido através de um sensor. Desta,
forma fica estabelecida uma rela¸cão entre posi¸cão da válvula u(t) e a altura
h(t).
A estrutura do sensor está esquematizada na Figura 67. Dada uma altura
h(t) tem-se uma pressão p(t), que se relaciona a um valor de resistência

u(t) h(t)
atuador processo sensor
Figura 66: Rela¸cão entre deslocamento da válvula e n´ıvel do tanque.
h(t) Is(t)p(t) r(t)
primário transdutor condicionador
Figura 67: Estrutura do sensor - rela¸cão entre altura e corrente.
elétrica r(t), que por sua vez determina uma corrente de sa´ıda do sensor
Is(t).
A rela¸cão entre altura e pressão é dada por
p(t) = ρgh(t) =
1000 × 9.81
105
h(t) [bar],
onde se considerou que o l´ıquido é água.
Tendo em mente que a altura máxima do tanque é de 4m, verifica-se que
a pressão máxima a ser medida é de 0.3924 bar, valor este que permite a
escolha de um sensor adequado.
Os elementos de transdu¸cão e de condicionamento geralmente têm uma
faixa de opera¸cão até 20mA. Neste caso, calcula-se o respectivo ganho asso-
ciado, ou seja,
0.3924 bar ←→ 20mA ⇒
20mA
0.3924 bar
= 50.968,
de forma que se escreve a rela¸cão
Is(t) = 50.968p(t) = 50.968
9810
105
h(t) ⇒ Is(t) ∼= 5h(t).
A estrutura do atuador pode ser esquematizada conforme na Figura 68.
Uma válvula eletro-pneumática é adequada neste caso e transforma cor-
rente em pressão. Para uma faixa de opera¸cão de 0 até 20mA tem-se a sa´ıda
de 0 até 6 bar, caracterizando um ganho dado por
6 bar
20mA
= 0.3 bar/mA,
ou seja,
p(t) = 0.3Ie(t).

Ie(t) qe(t)p(t) u(t)
válvula conversor posi¸cão-vazão
Figura 68: Estrutura do atuador - rela¸cão entre corrente e vazão.
O conversor pressão-deslocamento está esquematizado na Figura 69. Verifica-
se, da condi¸cão de equil´ıbrio, que
p × Adiafragma = Kmola × u ⇒ u =
Adiafragma
Kmola
p,
ou em termos numéricos
u =
0.052
π
200000
p = 3.93 × 10−8
p.
Para uma pressão em bar e curso em mm escreve-se que
u(t) = 3.93p(t).
deslocamento u(t)
pressão p(t)
mola (200000N/m)
diafragma (φ100mm)
Figura 69: Esquema do conversor pressão-deslocamento.
O deslocamento da válvula está diretamente relacionado à vazão de en-
trada como ilustrado na Figura 70. O curso da válvula é de 25mm para uma

vazão de 10m3
/h. Portanto, pode-se escrever que
qe(t) =
10m3
/h
25mm
u(t) ⇒ qe(t) = 0.000111u(t),
para vazão em m3
/s e deslocamento em mm.
deslocamento u(t)
vazão qe(t)
Figura 70: Esquema da válvula deslocamento-vazão.
Conseqüentemente, é poss´ıvel relacionar a vazão de entrada à corrente,
ou seja,
qe(t) = 0.000111u(t) = 0.000111×3.93×p(t) = 0.000111×3.93×0.3×Ie(t),
qe(t) = 0.0001309Ie(t).
Com as rela¸cões desenvolvidas é poss´ıvel escrever a equa¸cão diferencial
do tanque em termos das correntes de entrada e de sa´ıda, ou seja,
τ
˙Is
5
+
Is
5
= γ × 0.0001309Ie(t),
1759
˙Is
5
+
Is
5
= 140 × 0.0001309Ie(t),
1759 ˙Is + Is = 0.09163Ie(t),
que corresponde ao modelo instrumentado do tanque. Note que as seguintes
rela¸cões são empregadas:
Is(t) ←→ h(t) e Ie(t) ←→ qe(t).

u(t)
qe1
qe1
qs2
h2
h2
h1
h1
planta 1 planta 2
qs1 = qe2
Figura 71: Esquema de dois tanques independentes.
12.3 Sistema de dois tanques independentes
Seja um sistema composto por dois tanques independentes conforme na Fi-
gura 71, cujo objetivo é controlar o n´ıvel h2.
Para o primeiro tanque é poss´ıvel escrever:
τ1
˙h1 + h1 = γ1qe1 ⇒ (τ1s + 1)H1 = γ1Qe1 ⇒ H1 =
γ1
τ1s + 1
Qe1.
Para o segundo tanque tem-se:
τ2
˙h2 + h2 = γ2qe2 ⇒ (τ2s + 1)H2 = γ2Qe2 ⇒ H2 =
γ2
τ2s + 1
Qe2.
A vazão de sa´ıda do primeiro tanque, que é a vazão de entrada do segundo
tanque, é:
qs1 =
1
R1
h1(t) = qe2 ⇒ Qe2 =
1
R
H1.
Substituindo este resultado na equa¸cão do n´ıvel do segundo tanque tem-
se:
H2 =
γ2
τ2s + 1
1
R1
H1 ,

e substituindo a equa¸c˜ao do n´ıvel do primeiro tanque tem-se
H2 =
γ2
τ2s + 1
1
R1
γ1
τ1s + 1
Qe1.
Como R1 = γ1, escreve-se para o sistema de tanques independentes:
H2 =
γ2
(τ2s + 1)(τ1s + 1)
Qe1 =
γ2
τ1τ2s2 + (τ1 + τ2)s + 1
Qe1,
ou ainda,
[τ1τ2s2
+ (τ1 + τ2)s + 1]H2 = γ2Qe1 ⇒ τ1τ2
¨h2 + (τ1 + τ2)˙h2 + h2 = γ2qe1,
que corresponde a uma equa¸c˜ao diferencial de um sistema de segunda ordem.
Este sistema pode ser representado em termos de diagrama de blocos
como na Figura 72.
qe1 h1 h2γ1
τ1
γ2
τ2
1
γ1
1
τ1
1
τ2
−−
Figura 72: Diagrama de blocos do sistema de tanques independentes.
12.4 Sistema de dois tanques interligados
Seja um sistema composto por dois tanques interligados como mostrado na
Figura 73.
Para o primeiro tanque pode-se escrever:
A1
˙h1 = qe1 − ¯q, ¯q =
1
R1
(h1 − h2),
ou ainda,
˙h1 =
1
A1
qe1 −
1
A1R1
(h1 − h2) =
1
A1
qe1 −
1
A1R1
h1 +
1
A1R1
h2.
Para o segundo tanque tem-se que
A2
˙h2 = ¯q − qs2, qs2 =
1
R2
h2,

qe1
qs2
h2h1 ¯q
Figura 73: Sistema de dois tanques interligados.
ou ainda,
˙h2 =
1
A2R1
(h1 − h2) −
1
A2R2
h2 =
1
A2R1
h1 −
1
A2R1
+
1
A2R2
h2.
Este sistema pode ser representado atrav´es do diagrama de blocos da
Figura 74. Observa-se o acoplamento entre os dois tanques.
qe1 h1 h21
A1
1
A2R1
˙h2
˙h1
1
A1R1
1
A1R1
1
A2R1
+ 1
A2R2
−−
Figura 74: Diagrama de blocos do sistema de tanques interligados.
Usando a transformada de Laplace ´e poss´ıvel reescrever para o primeiro
tanque que
s +
1
A1R1
H1 =
1
A1
Qe1 +
1
A1R1
H2,
e para o segundo tanque escreve-se
s +
1
A2R1
+
1
A2R2
H2 =
1
A2R1
H1.

Substituindo a equa¸cão do n´ıvel do primeiro tanque na equa¸cão do se-
gundo tanque tem-se:
s +
1
A2R1
+
1
A2R2
H2 =
1
A2R1
1
s + 1
A1R1
1
A1
Qe1 +
1
A1R1
H2 ,
A1A2R1R2s2
+ (A1R2 + A2R2 + A1R1)s + 1 H2 = R2Qe1.
ou ainda,
H2 =
R2
A1A2R1R2s2 + (A1R2 + A2R2 + A1R1)s + 1
Qe1.
Definindo-se τ1 = A1R1 e τ2 = A2R2, tem-se:
H2(t) =
R2
τ1τ2s2 + (τ1 + τ2 + A1R2)s + 1
Qe1(t),
que caracteriza um sistema de segunda ordem.
12.5 Inclusão do controlador automático
A instrumenta¸cão utilizada no sistema de controle, caracterizada pelos sen-
sores e atuadores, pode ser incorporada à planta. Seja o esquema da planta
instrumentada mostrado na Figura 75.
u(t) y(t)
P
entrada
entrada sa´ıda
sa´ıda
planta instrumentada
sensorplantaatuador
Figura 75: Esquema de uma planta instrumentada.
O sistema de controle é caracterizado pela inclusão do controlador au-
tomático, denotado por K, conforme esquematizado na Figura 76, na qual
r(t) é a referência, e(t) é o erro, u(t) é o sinal de controle e y(t) é a sa´ıda
medida.

PSfrag
u(t) y(t)
P
r(t) e(t)
K−
plantacontrolador
Figura 76: Sistema com a inclusão do controlador.
As seguintes rela¸cões no dom´ınio de Laplace podem ser escritas:
E = R − Y, U = KE, Y = PU,
ou ainda
R = E + Y = E + PU = E + PKE = (1 + PK)E,
R = (1 + PK)(R − Y ) = (1 + PK)R − (1 + PK)Y,
e conseqüentemente
Y =
PK
1 + PK
R,
que representa a fun¸cão de malha fechada e relaciona a sa´ıda Y com a entrada
R, ou no dom´ınio do tempo, y(t) com r(t).
Seja K = kp um controlador proporcional, e seja a planta P = γ
τs+1
um
sistema de primeira ordem. Portanto, a malha fechada será:
Y =
γ
τs+1
kp
1 + γ
τs+1
kp
r = TrR,
na qual
Tr =
γ
τs+1
kp
1 + γ
τs+1
kp
=
γkp
τs + 1 + γkp
=
γkp
1+γkp
τ
1+γkp
s + 1
.
que representa um novo sistema, malha fechada, com os seguintes parâmetros:
• nova constante de tempo: τf = τ
1+γkp
,
• novo ganho estático: γf = γkp
1+γkp
.
Conclui-se que através da escolha de kp (ou seja, do controlador pro-
porcional) é poss´ıvel obter um novo sistema e ajustar o ganho estático e a
constante de tempo.

Exemplo: Seja a planta P = 3
4s+1
, para a qual se verifica γ = 3 e τ = 4.
A malha fechada usando um controlador proporcional é
Tr =
γf
τf s + 1
,
com
γf =
3kp
1 + 3kp
e τf =
4
1 + 3kp
.
Se o ganho proporcional é kp = 1, tem-se:
γf =
3
1 + 3 × 1
= 0.75 e τf =
4
1 + 3 × 1
= 1.
Portanto, a nova fun¸cão de transferência será:
Tr =
0.75
s + 1
,
e a equa¸cão do sistema em malha fechada é:
Y =
0.75
s + 1
R.
12.6 Análise do sistema controlado sujeito à distúrbios
Define-se distúrbio como uma entrada indesejada no sistema. Por exemplo,
vento em uma aeronave, vazamentos em sistemas de tanques, oscila¸cões da
rede elétrica etc. Um dos interesses dos sistemas de controle é assegurar a
opera¸cão do sistema com um desempenho adequado mesmo quando o sistema
é submetido a distúrbios.
Considere novamente o problema do n´ıvel de um tanque conforme esque-
matizado na Figura 64.
A equa¸cão de primeira ordem que governa o n´ıvel do tanque é
τ ˙h + h = γqe ⇒ H =
γ
τs + 1
Qe.
Seja um vazamento na válvula de entrada, caracterizando um distúrbio.
É poss´ıvel escrever:
qe(t) = αu − qv, qv = βd,
onde qv é a vazão devido ao vazamento, u é a posi¸cão que regula a abertura
da válvula de entrada, d é o deslocamento associado ao distúrbio, e α e β

são os ganhos correspondentes entre vazão e posi¸cão da válvula. No dom´ınio
de Laplace tem-se:
Qe = αU − Qv, Qv = βD.
Considerando o distúrbio, a equa¸cão do sistema torna-se
H =
γ
τs + 1
(αU − βD) =
γ
τs + 1
α
Pu
U −
γ
τs + 1
β
Pd
D = PuU + PdD,
onde Pu é a fun¸cão de transferência de U para H, e Pd é a fun¸cão de trans-
ferência de D para H.
Em termos de diagrama de blocos tem-se o esquema da Figura 77.
h
u
d
Pu
Pd
Figura 77: Representa¸cão do efeito da entrada de distúrbio.
Seja um sistema representado na Figura 78 para o qual se deseja acompa-
nhar o sinal de referência r considerando, contudo, uma entrada de distúrbio
d.
u y
d
Pd
Pu
r e
K−
controlador
Figura 78: Esquema de um sistema de controle com entrada de distúrbio.

Se não existir o distúrbio, D = 0, então
Y =
PuK
1 + PuK
R = TrR,
que representa a malha fechada considerando a entrada de referência.
Considere agora que o problema é do tipo regulador, r = 0, então
Y = PdD + PuU = PdD + PuK(−Y ).
Seja um controlador proporcional, ou seja, K = kp. Neste caso é poss´ıvel
escrever
Y = PdD − PukpY ⇒ (1 + Pukp)Y = PdD,
ou ainda,
Y =
Pd
1 + Pukp
D = TdD,
que representa a fun¸cão de malha fechada associada ao distúrbio.
Considerando a superposi¸cão dos efeitos das duas entradas (r e d) tem-
se a representa¸cão da Figura 79 para o sistema em termos das respectivas
fun¸cões de malha fechada Td e Tr.
y
r
d
Tr
Td
Figura 79: Representa¸cão do sistema em termos das fun¸cões de transferência
associadas aos sinais de referência e de distúrbio.
Exemplo: Seja o problema do n´ıvel do tanque. Pode-se escrever para a
malha aberta que
H =
γ
τs + 1
(αU − βD) = PuU + PdD.
Os seguintes valores são adotados: γ = 1, τ = 4, α = 3 e β = 1.
Consequentemente,
h =
3
4s + 1
Pu
U −
1
4s + 1
Pd
D.

A fun¸cão de transferência de D para Y é dada por:
Td =
Pd
1 + Pukp
=
−1
4s+1
1 + 3
4s+1
× kp
=
−1
4s + 1 + 3kp
.
A fun¸cão de transferência Tr já havia sido calculada anteriormente.
Observa-se que a inclusão do ganho proporcional causa varia¸cões nas
ra´ızes do denominador e normalmente também no numerador da fun¸cão de
transferência de malha fechada.
13 Malha fechada e malha aberta
Em um sistema de malha fechada a sa´ıda é realimentada ao ponto de soma,
onde é comparada com a entrada de referência. Para esta compara¸cão é
necessário converter a forma do sinal de sa´ıda para a mesma forma do sinal
de entrada, ou seja, os sinais devem ter as mesmas unidades para que o erro
tenha significado.
Considere o esquema genérico da Figura 80, onde P(s) é a planta a ser
controlada, K(s) é o controlador e H(s) é a fun¸cão de transferência do ele-
mento de medida.
R(s)
P(s)
Y (s)
B(s)
H(s)
¯E(s)
K(s)
−
Figura 80: Esquema genérico de malha fechada.
A fun¸cão de transferência H(s) tem o papel de assegurar a compatibildade
de unidades entre o sinal de referência r(t) e o sinal medido y(t). Note que
uma configura¸cão de realimenta¸cão unitária, H(s) = 1, pode ser conseguida
incluindo-se a instrumenta¸cão do problema na planta a ser controlada.
As seguintes fun¸cões de transferência podem ser definidas.
• Fun¸cão de transferência do ramo direto:
G(s) =
Y (s)
¯E(s)
= K(s)P(s),
que é a rela¸cão entre a sa´ıda Y (s) e o sinal do “erro” ¯E(s).

• Fun¸cão de transferência de malha aberta:
L(s) =
B(s)
¯E(s)
= G(s)H(s),
que é a rela¸cão entre o sinal realimentado e o sinal do “erro” ¯E(s).
Note que se H(s) = 1, então as fun¸cões de transferência de malha
aberta e do ramo direto são iguais, L(s) = G(s).
• Fun¸cão de transferência de malha fechada, que representa a rela¸cão
entre Y (s) e R(s) é dada por:
Y (s) = G(s) ¯E(s),
¯E(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)Y (s),
Y (s) = G(s)(R(s) − H(s)Y (s)),
e finalmente,
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 + G(s)H(s)
= T(s).
Portanto,
Y (s) =
G(s)
1 + G(s)H(s)
R(s) = T(s)R(s).
14 Análise de erro estacionário
14.1 Erro estacionário em realimenta¸cão unitária
Seja um sistema em realimenta¸cão unitária como representado como na Fi-
gura 81.
R(s) E(s)
G(s)
Y (s)
−
Figura 81: Esquema de malha fechada em relimenta¸cão unitária.
O sistema G(s) pode ser representado genericamente por
G(s) =
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
sn(1 + p1s)(1 + p2s) . . .(1 + pls)
.

Define-se o tipo do sistema em fun¸cão do número de pólos localizados no
valor zero, ou seja, valor de n. Se n = 0, o sistema é do tipo 0, se n = 1 o
sistema é do tipo 1, e assim por diante.
A fun¸cão de transferência de malha fechada para realimenta¸cão unitária,
Figura 81, é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 + G(s)
.
O erro E(s), diferen¸ca entre a entrada e a sa´ıda, é dado por
E(s) = R(s) − Y (s) = R(s) − G(s)E(s),
de forma que se escreve
(1 + G(s))E(s) = R(s) ⇒ E(s) =
R(s)
1 + G(s)
.
O erro estacionário eest pode ser escrito como
eest = lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sE(s) = lim
s→0
sR(s)
1 + G(s)
, (10)
onde foi empregado o teorema do valor final. Isso é aplicável se o limite na
equa¸cão (10) existir, caracterizando uma situa¸cão de resposta estável.
Considere as três entradas t´ıpicas degrau, rampa e parábola unitárias, ou
seja,
• Para o degrau unitário, R(s) = 1
s
, e
eest = lim
s→0
s1
s
1 + G(s)
= lim
s→0
1
1 + G(s)
=
1
1 + lims→0 G(s)
=
1
1 + kpos
,
onde kpos = lims→0 G(s) é a constante de erro de posi¸cão.
• Para a rampa unitária, R(s) = 1
s2 , e
eest = lim
s→0
s 1
s2
1 + G(s)
= lim
s→0
1
s + sG(s)
=
1
lims→0 sG(s)
=
1
kvel
,
onde kvel = lims→0 sG(s) é a constante de erro de velocidade.
• Para a parábola unitária, R(s) = 1
s3 , e
eest = lim
s→0
s 1
s3
1 + G(s)
= lim
s→0
1
s2 + s2G(s)
=
1
lims→0 s2G(s)
=
1
kace
,
onde kace = lims→0 s2
G(s) é a constante de erro de acelera¸cão.

Estas constantes e o erro estacionário podem ser determinados para os
tipos usuais de sistemas, ou seja,
• Para sistema tipo 0:
kpos = lim
s→0
G(s) = lim
s→0
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . .(1 + zms)
(1 + p1s)(1 + p2s) . . .(1 + pls)
= k,
e o erro estacionário ao degrau será contante,
eest =
1
1 + kpos
=
1
1 + k
.
kvel = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
sk(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
(1 + p1s)(1 + p2s) . . . (1 + pls)
= 0,
e o erro estacionário à rampa será ∞,
eest =
1
kvel
=
1
0
= ∞.
kace = lim
s→0
s2
G(s) = lim
s→0
s2
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
(1 + p1s)(1 + p2s) . . . (1 + pls)
= 0,
e o erro estacionário à parábola será ∞,
eest =
1
kace
=
1
0
= ∞.
kpos = lim
s→0
G(s) = lim
s→0
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
s(1 + p1s)(1 + p2s) . . . (1 + pls)
= ∞,
e o erro estacionário ao degrau será nulo,
eest =
1
1 + kpos
=
1
1 + ∞
= 0.
kvel = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
sk(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
s(1 + p1s)(1 + p2s) . . . (1 + pls)
= k,

e o erro estacionário à rampa será constante,
eest =
1
kvel
=
1
k
.
kace = lim
s→0
s2
G(s) = lim
s→0
s2
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
s(1 + p1s)(1 + p2s) . . . (1 + pls)
= 0,
e o erro estacionário à parábola será ∞,
eest =
1
kace
=
1
0
= ∞.
kpos = lim
s→0
G(s) = lim
s→0
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
s2(1 + p1s)(1 + p2s) . . .(1 + pls)
= ∞,
e o erro estacionário ao degrau será nulo,
eest =
1
1 + kpos
=
1
1 + ∞
= 0.
kvel = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
sk(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
s2(1 + p1s)(1 + p2s) . . . (1 + pls)
= ∞,
e o erro estacionário à rampa será nulo,
eest =
1
kvel
=
1
∞
= 0.
kace = lim
s→0
s2
G(s) = lim
s→0
s2
k(1 + z1s)(1 + z2s) . . . (1 + zms)
s2(1 + p1s)(1 + p2s) . . .(1 + pls)
= k,
e o erro estacionário à parábola será constante,
eest =
1
kace
=
1
k
.

Tabela 1: Erro estacionário da malha fechada.
Tipo de G(s) Degrau Rampa Parábola
0 1
1+kpos
∞ ∞
1 0 1
kvel
∞
2 0 0 1
kacel
Em resumo tem-se a Tabela 14.1 com o erro estacionário em fun¸cão do
ganho k da planta colocada na forma padrão. Note que o erro estacionário
refere-se à malha fechada com realimenta¸cão unitária, mas o resultado apre-
sentado na tabela é fun¸cão do tipo do sistema em malha aberta.
Exemplo: Para o sistema
G(s) =
0.1
(0.2s + 1)(0.25s + 0.5)
,
determinar o erro estacionário ao degrau, à rampa e à parábola unitária da
respectiva malha fechada com realimenta¸cão unitária.
A fun¸cão G(s) pode ser colocada na forma padrão como:
G(s) =
0.2
(0.2s + 1)(0.5s + 1)
.
Os erros estacionários podem ser determinados empregando-se os resul-
tados da Tabela 14.1. A malha aberta é do tipo 0. Neste caso, tem-se,
• para degrau unitário,
eest =
1
1 + 0.2
= 0.833;
• para rampa e parábola unitárias tem-se que eest = ∞.
O erro estacionário pode ser determinado diretamente pela defini¸cão da
equa¸cão (10), ou seja, para entrada ao degrau unitário tem-se,
eest = lim
s→0


s1
s
1 + 0.1
(0.2s+1)(0.25s+0.5)

 =
1
1 + 0.1
(1)(0.5)
= 0.833.
Exemplo: Para o sistema
P(s) =
2
s2 + 2s + 2
,

determinar o ganho proporcional que assegure um erro estacionário de 0.1 ao
degrau unitário, quando em malha fechada e com realimenta¸cão unitária.
A fun¸cão G(s) de malha aberta pode ser escrita como
G(s) = k
2
s2 + 2s + 2
.
A constante de erro de posi¸cão pode ser calculada como
kpos = lim
s→0
G(s) = lim
s→0
k
2
s2 + 2s + 2
= k.
O erro estacionário ao degrau é dado por
eest =
1
1 + k
= 0.1 ⇒ k = 9.
14.2 Erro estacionário em realimenta¸cão não unitária
Seja o esquema genérico de realimenta¸cão não unitária da Figura 80. O erro,
diferen¸ca entre a entrada e sa´ıda, é dado por:
E(s) = R(s) − Y (s),
mas Y (s) = T(s)R(s). Logo,
E(s) = R(s) − T(s)R(s) = (1 − T(s))R(s),
e o erro estacionário será dado por
eest = lim
t→∞
(r(t) − y(t)) = lim
s→0
s(1 − T(s))R(s).
Exemplo: Seja o esquema da Figura 80 em que a planta é P(s) = 1
s+2
, a
fun¸cão do ramo de realimenta¸cão é H(s) = 2
s+4
, e o controlador é proporcional
(K(s) = k). Determine o valor de k para que o erro estacionário ao degrau
unitário seja nulo.
Trata-se de um caso de realimenta¸cão não unitária em que a tabela de
erros estacionários não se aplica. Neste caso, calcula-se através da defini¸cão,
ou seja,
T(s) =
kP(s)
1 + kH(s)P(s)
=
k(s + 4)
(s + 4)(s + 2) + 2k
,
eest = lim
s→0
s 1 −
k(s + 4)
(s + 4)(s + 2) + 2k
1
s
= 1 −
4k
8 + 2k
= 0,
e conseqüentemente k = 4.

15 Lugar das ra´ızes
Sejam as fun¸cões de transferência
G(s) =
N1(s)
D1(s)
e H(s) =
N2(s)
D2(s)
,
e o esquema em malha fechada da Figura 82 onde foi inclu´ıdo o ganho pro-
porcional k.
H(s)
G(s)k
−
Figura 82: Esquema de malha fechada.
A fun¸cão de transferência de malha fechada é
T(s) =
kG(s)
1 + kG(s)H(s)
=
kN1(s)
D1(s)
1 + k N1(s)
D1(s)
N2(s)
D2(s)
=
kN1(s)D2(s)
D1(s)D2(s) + kN1(s)N2(s)
.
Os pólos do sistema em malha fechada são obtidos através da equa¸cão
caracter´ıstica
1 + kG(s)H(s) = D1(s)D2(s) + kN1(s)N2(s) = 0.
O lugar das ra´ızes (root locus) é um gráfico dos pólos da fun¸cão de trans-
ferência de malha fechada, T(s), quando k varia de 0 a ∞.
O valor dos pólos pode ser encontrado para cada valor de k calculando-se
as ra´ızes do denominador.
É poss´ıvel analisar duas situa¸cões:
• para k pequeno, pode-se escrever que
D1(s)D2(s) + kN1(s)N2(s) ≈ D1(s)D2(s) ⇒ D1(s)D2(s) = 0,
que representa a equa¸cão para os pólos de L(s) = G(s)H(s).
• para k grande, pode-se escrever que
D1(s)D2(s) + kN1(s)N2(s) ≈ kN1(s)N2(s) ⇒ kN1(s)N2(s) = 0,
que representa a equa¸cão para os zeros de L(s) = G(s)H(s).

Conclui-se, portanto, que o gráfico do lugar das ra´ızes come¸ca nos pólos
de L(s) = G(s)H(s) e termina nos zeros de L(s) = G(s)H(s).
O lugar das ra´ızes é caracterizado pela equa¸cão caracter´ıstica
kG(s)H(s) = −1,
o que implica em
|kG(s)H(s)| = 1 e G(s)H(s) = ±(2n + 1)π, n = 0, 1, 2 . . ..
Exemplo: Determinar o diagrama dos lugar das ra´ızes para o sistema em
malha fechada com realimenta¸cão unitária, cuja malha aberta é dada por
G(s) =
1
s(s + 1)(s + 2)
,
e o respectivo valor do máximo ganho para o limite da estabilidade.
Este diagrama pode ser tra¸cado com os seguintes comandos no MATLAB
s=tf(’s’);
gs=1/(s*(s+1)*(s+2));
rlocus(gs)
e o gráfico correspondente está apresentado na Figura 83.
Verifca-se que o valor limite para a estabilidade (ponto sobre o eixo ima-
ginário) é dado por kmax ≈ 6. Logo, para k > 6 tem-se os pólos no semi-plano
direito, o que leva à instabilidade do sistema em malha fechada. Note que
o tra¸cado do gráfico é feito com base na fun¸cão de transferência da malha
aberta, mas os pólos são os da malha fechada.
Exemplo: Determinar o diagrama do lugar das ra´ızes para o sistema em
malha fechada com realimenta¸cão unitária cuja malha aberta é dada por
G(s) =
s2
+ 2s + 4
s(s + 4)(s + 6)(s2 + 1.4s + 1)
.
O gráfico do lugar das ra´ızes pode ser tra¸cado com o aux´ılio do MATLAB
com os seguintes comandos:
s=tf(’s’);
gs=(s^2+2*s+4)/(s*(s+4)*(s+6)*(s^2+1.4*s+1));
rlocus(gs)

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
kmax
Figura 83: Diagrama do lugar das ra´ızes.

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Figura 84: Gr´aﬁco do lugar das ra´ızes.

e está mostrado na Figura 84.
Verifica-se que os zeros da malha aberta são (−1+1.7321j, −1−1.7321j)
e os pólos da malha aberta são (−0.7 ± 0.7141j, 0, −4, −6). Percorrendo o
gráfico verifica-se que kmax = 17.5 é o limite para a estabilidade.
Exemplo: Seja o esquema da Figura 82, em que G(s) = 1
s(s+1)(s+2)
e
existe um ganho de valor 2 no ramo de realimenta¸cão, ou seja, H(s) = 2.
Determinar o valor cr´ıtico do ganho proporcional k que multiplica a planta
de forma que o sistema de malha fechada esteja no limiar da estabilidade.
A equa¸cão da malha fechada neste caso é
T(s) =
kP(s)
1 + kP(s)H(s)
,
e o gráfico do lugar das ra´ızes pode ser determinado com o aux´ılio do MA-
TLAB com os seguintes comandos:
s=tf(’s’);
ps=1/(s*(s+1)*(s+2))
hs=2;
rlocus(ps*hs)
e está mostrado na Figura 85. Do gráfico do lugar da ra´ızes verifica-se que o
ponto sobre o eixo imaginário, limiar da estabilidade, corresponde ao ganho
de k ≈ 3.
Para k = 3 a malha fechada é
T(s) =
3
s3 + 3s2 + 2s + 6
,
cujos pólos são (−3.0, −0.0 ± 1.4142j), que permitem confimar o limiar da
estabilidade (existem pólos sobre o eixo imaginário). O código MATLAB,
adicionado ao código anterior e que permite a verifica¸cão, é:
k=3
ts=feedback(k*ps,hs) %fechar a malha com realimenta¸c~ao hs
[pts,gts]=pzmap(ts) %determinar os polos e zeros

Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
System: untitled1
Gain: 3
Pole: 0.00163 + 1.41i
Damping: −0.00115
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 1.41
16 Critério de estabilidade de Nyquist
Seja um sistema G(s) = N(s)
D(s)
em realimenta¸cão unitária. A malha fechada
correspondente é
T(s) =
G(s)
1 + G(s)
=
N(s)
D(s)
1 + N(s)
D(s)
=
N(s)
D(s) + N(s)
.
A equa¸cão caracter´ıstica é
1 + G(s) = 1 +
N(s)
D(s)
=
D(s) + N(s)
D(s)
= 0.
Verifica-se, então, que:
• os pólos de 1+G(s), solu¸cão de D(s) = 0, são iguais aos pólos de G(s);
• os zeros de 1 + G(s), solu¸cão de D(s) + N(s) = 0, são iguais aos pólos
de T(s).
Para a estabilidade da malha fechada deseja-se que os pólos de T(s) es-
tejam no semi-plano esquerdo, ou seja, os zeros de 1 + G(s) devem estar no
semi-plano esquerdo, ou ainda, o número de zeros de 1 + G(s) no semi-plano
direito deve ser nulo.

16.1 Princ´ıpio do argumento de Cauchy
Considere um contorno fechado no plano complexo. Ao se percorrer este
contorno e substituir os pontos em uma fun¸cão, tem-se um mapeamento
correspondente.
Seja inicialmente a fun¸cão complexa F1(s) = s − s0. Considerando a
Figura 86, ao se percorrer o contorno circular C, será gerado o contorno Γ,
também circular, através do mapeamento correspondente a F1(s).
RealReal
ImaginárioImaginário
C
s
so
s − so
−so
ΓF1(s)
Figura 86: Mapeamento através de F1(s).
Seja agora F2(s) = 1
s−s0
= F−1
1 (s). Neste caso, ao se percorrer o mesmo
contorno C, tem-se o inverso da amplitude e ângulo oposto, mas o mapea-
mento continua sendo um c´ırculo com sentido inverso, conforme ilustrado na
Figura 87.
RealReal
C
s
so
s − so
−so
ΓF2(s)
Seja um terceiro caso de F3(s) = (s − s0)(s − s1). Ao se percorrer o
contorno fechado C da Figura 88, obtém-se o contorno Γ através do respectivo
mapeamento feito por F3(s).
Quando s percorre uma volta da curva C verifica-se que:

s
F3(s)
C
θo θ1
s − so
s − s1
so s1
Γ
RealReal
Imaginário
Imaginário
• os ângulos dos vetores s − s0 e s − s1 variam em −360◦
, e o ângulo da
fun¸cão varia em −720◦
;
• a amplitude dos vetores é limitada, caracterizando um contorno fe-
chado.
Teorema: O princ´ıpio do argumento de Cauchy estabelece que n = z − p,
onde,
• p é o número de pólos de F(s) dentro de um contorno fechado,
• z é o número de zeros de F(s) dentro de um contorno fechado,
• n é o número de envolvimentos da origem no mapeamento à medida que
o contorno é percorrido no sentido horário. Se o envolvimento ocorre
no sentido anti-horário, n deve ser negativo.
• e F(s) é a razão de dois polinômios em s.
Este teorema é útil na análise de estabilidade, pois permite determinar
se existem pólos da malha fechada no semi-plano direito.
Seja F(s) a equa¸cão caracter´ıstica da malha fechada, e seja o contorno
de interesse, curva C, composto pelo eixo jw e um arco de raio r → ∞
envolvendo completamente o semi-plano direito do plano s, que corresponde
à região da instabilidade, Figura 89. Desta forma, o mapeamento de F(s)
corresponderá ao seu diagrama de Nyquist.
O número de envolvimentos da origem, n, pode ser obtido graficamente.
O número de pólos p da fun¸cão F(s) no semi-plano direito pode ser obtido
verificando-se o denominador de F(s). Finalmente, o número z de zeros na

RealReal
s
C Γ
r = ∞ F(s)
percurso de Nyquist
Figura 89: Contorno fechado representando o semi-plano direito.
metade direita do plano s deve ser zero para que a malha fechada seja estável.
Notar que os zeros de F(s) são os pólos da malha fechada.
Para a análise de estabilidade, a fun¸cão de interesse é F(s) = 1 + G(s).
É conveniente trabalhar apenas com G(s). Neste caso, o teorema pode ser
adaptado para envolvimentos em torno do ponto (−1, 0j), pois F(s) e G(s)
se relacionam por uma transla¸cão de uma unidade para a esquerda, Figura
90.
RealReal
s
C Γ
r = ∞ F(s)
percurso de Nyquist
-1
Figura 90: Contorno fechado representando o semi-plano direito.
Exemplo: Verifique a estabilidade do sistema em malha fechada em rea-

limenta¸cão unitária, cuja malha aberta é
G(s) =
5
(s + 1)3
.
A região de interesse é o semi-plano direito. Os pólos da malha aberta
são (−1, −1, −1), e portanto p = 0, ou seja, não existem pólos de G(s) no
semi-plano direito.
O diagrama de Nyquist pode ser desenhado através de
G(jw) =
5
(1 + jw)3
,
fazendo-se w variar de −∞ até +∞ para corresponder a todo o eixo ima-
ginário, e está mostrado na Figura 91.
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Verifica-se que não há envolvimentos do ponto (−1, 0j), e portanto, n = 0.
Aplicando o teorema do princ´ıpio do argumento de Cauchy, tem-se
z = n + p = 0 + 0 = 0,

e conseqüentemente não há zeros de G(s) no semi plano-direito, ou ainda, não
há pólos de T(s) no semi-plano direito, e então, a malha fechada é estável.
Nota-se que a resposta em frequência pode obtida experimentalmente, e
conseqüentemente o respectivo diagrama de Nyquist para a malha aberta, e
assim analisar a estabilidade do sistema em malha fechada.
G(s) =
1.6
(s + 1)(s + 2)(s − 0.5)
.
Os pólos de G(s) são (−1, −2, 0.5). Portanto, p = 1, pois existe um pólo
no semi-plano direito.
O diagrama de Nyquist correspondente está apresentado na Figura 92.
−1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Nota-se que há um envolvimento do ponto (−1, 0j) no sentido anti-horário,
e portanto, n = −1.
Aplicando o teorema, tem-se:
z = n + p = −1 + 1 = 0,

e conseqüentemente a malha fechada é estável.
Isso pode ser verificado fechando-se a malha e obtendo os pólos, ou seja,
T(s) =
1.6
s3 + 2.5s2 + 0.5s + 0.6
,
cujos pólos são (−2.3958, −0.0521 ± 0.4977j), e que estão no semi-plano es-
querdo (sistema estável).
G(s) =
200
(s + 1)(s + 2)(s + 5)
.
Os pólos de G(s) são (−1, −2, −5). Portanto, p = 0, pois não existem
pólos no semi-plano direito.
O diagrama de Nyquist correspondente está apresentado na Figura 93.
−5 0 5 10 15 20
−15
−10
−5
0
5
10
15
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Nota-se que há dois envolvimentos do ponto (−1, 0j) no sentido horário,
e portanto, n = 2.

Aplicando o teorema, tem-se:
z = n + p = 2 + 0 = 2,
e conseqüentemente a malha fechada é instável.
Isso pode ser verificado fechando-se a malha, ou seja,
T(s) =
200
s3 + 8s2 + 17s + 210
,
cujos pólos são (−8.7857, 0.3928 ± 4.8732j).
17 Análise de estabilidade relativa
17.1 Margens de ganho e de fase
Um sistema de controle, mesmo nominalmente estável, poderá não ser estável
quando for implementado na prática, pois o modelo da planta possui incer-
tezas não consideradas na modelagem. Neste caso, é desejável assegurar
margens de seguran¸ca para a estabilidade.
Seja uma planta P(s) que poderá ser afetada por uma varia¸cão de ganho
proporcional e por um atraso T. Neste caso, pode-se escrever a malha aberta
como
G(s) = ke−sT
P(s),
e a malha fechada com realimenta¸cão unitária será
T(s) =
ke−sT
P(s)
1 + ke−sT P(s)
.
A equa¸cão caracter´ıstica neste caso é
1 + ke−sT
P(s) = 0 ⇒ ke−sT
P(s) = −1.
É poss´ıvel escrever P(s) em termos de módulo e ângulo,
P(s) = |P(s)|ejφ
.
A equa¸cão caracter´ıstica também pode ser escrita em termos de módulo
e ângulo. Neste caso, tem-se que
|kP(s)| = 1, e−sT
ejφ
= −180◦
.

Considerando o caso de resposta em freqüência, s = jw, tem-se
|kP(jw)| = 1, e−jwT
ejφ
= −180◦
.
Um ponto que satisfaz a equa¸cão caracter´ıstica é um ponto singular da
equa¸cão da malha fechada, ou seja, uma situa¸cão de instabilidade.
A freqüência de cruzamento de ganho, wcg, é definida como a aquela em
que a equa¸cão da amplitude é satisfeita, ou seja,
|kP(jwcg)| = 1,
e neste caso, a diferen¸ca angular para satisfazer a segunda equa¸cão é a mar-
gem de fase. A margem de fase corresponde ao menor atraso que o sistema
pode ser submetido sem que se torne instável. Seja θ = wcgT e então
−θ + φ = −180◦
⇒ θ = 180◦
+ φ = Pm.
A freqüência de cruzamento de fase, wcf , é definida como aquela em que
a equa¸cão da fase é satisfeita, ou seja,
e−jwcf T
ejφ
= −180◦
,
e o ganho necessário para satisfazer a equa¸cão da amplitude, em dB, é a
margem de ganho e corresponde ao maior ganho que pode ser embutido ao
sistema antes da situa¸cão limite da instabilidade, ou seja,
20 log(kP(jwcf )) = 20 log k + 20 log(P(jwcf ) = 20 log(1) = 0,
20 log(k) = −20 log(P(jwcf) = Gm,
onde Gm é a margem de ganho em dB.
Note que as margens de ganho e de fase de um sistema em malha fechada
podem ser obtidas através do respectivo diagrama de Bode da fun¸cão de
malha aberta.
Para assegurar boa robustez do sistema é desejável que a margem de
ganho seja de pelo menos 6dB e a margem de fase seja de pelo menos 30◦
(normalmente busca-se margem de fase na faixa de 30◦
a 60◦
).
Exemplo: Determinar a margem de ganho e de fase o sistema em malha
fechada com realimenta¸cão unitária cuja malha aberta é dada por
G(s) =
1
s(s + 5)(s + 8)
.

10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)
−200
−150
−100
−50
0
50
Magnitude(dB)
Bode Diagram
Gm = 54.3 dB (at 6.32 rad/sec) , Pm = 89.5 deg (at 0.025 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Figura 94: Diagramas de Bode e indica¸cão das margens de ganho e de fase.
Os respectivos diagramas de Bode são apresentados na Figura 94, onde
podem ser verificadas as margens de ganho (Gm) e de fase (Pm).
O diagrama do lugar das ra´ızes é mostrado na Figura 95.
O valor de limite para a estabilidade é kmax ≈ 519 e conseqüentemente
a margem de ganho é Gm = 20 log 519 = 54.3dB. Note que a margem de
ganho fornece a informa¸cão sobre o maior ganho que instabiliza a malha
fechada, mas usa como arqumento de cálculo a fun¸cão de transferência de
malha aberta. Note que este valor é o mesmo que aparece no respectivo
diagrama de Bode.
Em alguns casos o ganho deve ser reduzido para encontrar o limiar da
estabilidade, caracterizando o que se conhece por margem de redu¸cão de
ganho.
Exemplo: Determinar a margem de ganho para a malha fechada em rea-
limenta¸cão unitária cuja malha aberta é
G(s) =
3s2
+ 6s + 4
s3 + 1
.

−15 −10 −5 0 5 10
−15
−10
−5
0
5
10
15
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
kmax

O diagrama de Bode correspondente é mostrado na Figura 96.
−30
−20
−10
0
10
20
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−360
−270
−180
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Gm = −8.59 dB (at 1.49 rad/sec) , Pm = 52.7 deg (at 3.21 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Figura 96: Diagramas de Bode e indica¸cão das margens de ganho e de fase.
O diagrama do lugar das ra´ızes é mostrado na Figura 97.
O valor cr´ıtico para o limiar da estabilidade é de kmax ≈ 0.371 (redu¸cão
de ganho) e a margem de redu¸cão de ganho é de Gm = 20 log 0.371 = −8.61.
Observe que neste caso, o ganho proporcional pode ser aumentado livremente
sem que haja instabilidade, o que representa uma margem de ganho infinita.
Exemplo: Seja o esquema da Figura 82, em que G(s) = 1
s(s+1)(s+2)
e
existe um ganho de valor 2 no ramo de realimenta¸cão, ou seja, H(s) =
2. Determinar as magens de estabilidade do sistema em malha fechada.
Determinar também o valor do ganho proporcional de forma que o sistema
de malha fechada esteja no limiar da estabilidade.
A equa¸cão da malha fechada neste caso é
T(s) =
kP(s)
1 + kP(s)H(s)
,

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis

e as margens de estabilidade devem ser calculadas tomando como base a
equa¸cão caracter´ıstica kP(s)H(s) = −1. Os diagramas de Bode correspon-
dentes estão apresentados na Figura 98 e foram obtidos com os seguintes
comandos no aplicativo MATLAB:
s=tf(’s’);
ps=1/(s*(s+1)*(s+2))
hs=2;
margin(ps*hs)
−150
−100
−50
0
50
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
10
2
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 98: Diagramas de Bode.
Nota-se que a margem de ganho é Gm = 9.54dB, o que corresponde a
um ganho proporcional k ≈ 3, valor este que já havia sido obtido através do
respectivo gráfico do lugar das ra´ızes, 85, para este exemplo.
17.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist
As margens de estabilidade podem ser visualizadas no diagrama de Nyquist.
Verifica-se que o n´ıvel 0dB corresponde a um raio unitário, e que o ângulo
de 1800
corresponde ao cruzamento com o eixo real negativo, conforme ilus-
trado na Figura 99.

Real
Imaginário
a b
A
1
Pm
Figura 99: Margens no diagrama de Nyquist.
Para o ponto A tem-se que |G(s)| = b e G(s) = 1800
.
Verifica-se também que a + b = 1 e deseja-se que log(kG) = 0. Logo,
log k + log G = 0 ⇒ log k + log b = 0 ⇒ log b = − log k = log
1
k
.
Portanto,
b =
1
k
⇒ k =
1
b
.
20 log k = 20 log
1
b
= Gm.
Exemplo: Determinar as margens de ganho e de fase a malha fechada em
realimenta¸cão unitária de
G(s) =
3s2
+ 6s + 4
s3 + 1
,
através do respectivo diagrama de Nyquist.
O diagrama de Nyquist de G(s) está mostrado na Figura 100.
Do gráfico verifica-se visualmente que b ≈ 2.7, e conseqüentemente
Gm ≈ 20log
1
2.7
= −8.6dB.
Verifica-se também visualmente do gráfico que o ângulo entre o ponto
de cruzamento com o c´ırculo de raio unitário e o eixo real determina que
Pm ≈ 50◦
.

Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 100: Diagrama de Nyquist para G(s).
18 Aproxima¸cões para sistemas de segunda
ordem
Um sistema de segunda ordem na forma padrão pode ser escrito como
T(s) =
w2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
,
onde se considerou γ = 1 pára simplificar e por não alterar as conclusões.
Uma malha aberta correspondente a este sistema é
G(s) =
w2
n
s(s + 2ξwn)
.
No caso de resposta em freqüência, s = jw, e pode-se escrever que:
G(jw) =
w2
n
jw(jw + 2ξwn)
,
cujo módulo é
|G(jw)| =
w2
n
w4 + 4ξ2w2
nw2
.

Na freqüência de cruzamento de ganho, w = wcg, tem-se que
|G(jwcg)| =
w2
n
w4
cg + 4ξ2w2
nw2
cg
= 1,
que ao ser resolvida para wcg permite escrever que
wcg = wn 4ξ4 + 1 − 2ξ2.
Uma aproxima¸cão usual é wcg ≈ wn válida para fatores de amortecimento
não grandes.
A fase de G(s) pode ser escrita como para wcg
G(jwcg) =
1
jwcg
+
wn
jwcg + 2ξwn
=
= −
π
2
+ tan−1

−
√
1 + 4ξ4 − 2ξ2
2ξ

 .
Como este ângulo foi calculado para a freqüencia de cruzamento de ganho,
pode-se escrever que a margem de fase é
Pm = π + G(jwcg) =
π
2
− tan−1


√
1 + 4ξ4 − 2ξ2
2ξ


ou ainda,
Pm = tan−1


2ξ
√
1 + 4ξ4 − 2ξ2

 .
Verifica-se que a margem de fase é uma fun¸cão do fator de amortecimento.
Uma aproxima¸cão para a margem de fase em graus é
Pm = 100ξ,
como pode ser visto na Figura 101. Nota-se que a aproxima¸cão é razoável
para valores de fator de amortecimento até 0.7.
19 Controladores clássicos
O controlador realiza as seguintes tarefas: compara o valor da sa´ıda com
o valor desejado, determina o desvio, e produz um sinal de controle para
reduzir o valor do erro.
A a¸cão de controle é a maneira pela qual o controlador produz o sinal de
controle.
Os controladores clássicos mais comuns podem ser classificados como:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
20
40
60
80
100
120
fator de amortecimento
margemdefase(graus)
Figura 101: Margem de fase em fun¸cão do fator de amortecimento.
• controlador do tipo liga-desliga (duas posi¸cões),
• controlador proporcional,
• controlador integral,
• controlador proporcional-integral,
• controlador proporcional-derivativo,
• controlador proporcional-derivativo-integral,
• controlador em avan¸co ou em atraso.
Um esquema básico envolvendo um controlador está mostrado na Figura
102.
O atuador é o elemento que altera a entrada do sistema de acordo com o
sinal de controle. O elemento de medida converte a variável de sa´ıda em outra
variável conveniente, permitindo a compara¸cão com a entrada de referência.
19.1 A¸cão de controle de duas posi¸cões (liga ou des-
liga)
O elemento atuante possui apenas duas posi¸cões fixas (ligado ou desligado).
Geralmente são solenóides.

replacemen
−
referência
entrada de
detector
de erro
erro
atuante
amplificador
sa´ıda para o atuador
sa´ıda do sistemaelemento de
medida
Figura 102: Esquema com controlador.
Sejam u(t) o sinal de sa´ıda do controlador e e(t) o sinal erro atuante.
m(t) será igual a u1 (ligado) para e(t) > 0, e será igual a u2 (desligado) para
e(t) < 0.
O intervalo de tempo para a mudan¸ca entre ligado ou desligado é chamado
de histerese diferencial. Um esquema é mostrado na Figura 103.
e u
u1
u2
histerese diferencial
−
Figura 103: Controle liga-desliga.
A histerese diferencial faz com que a sa´ıda do controlador m(t) mantenha
seu valor atual até que o sinal erro atuante tenha atingido um certo valor.
Considere como exemplo o sistema de controle de n´ıvel de l´ıquido con-
forme ilustrado na Figura 104.
A curva de enchimento e de esvaziamento do tanque é mostrada na Figura
105.
Nota-se que quanto menor for a histerese diferencial, maior é a frequência
de chaveamentos liga-desliga.
Um outro exemplo de sistema onde é usual o controle do tipo liga-desliga é
no controle da temperatura de refrigeradores e aparelhos de ar condicionado.

b´oia
h
qi
115V
Figura 104: Esquema do controle de n´ıvel de tanque por liga-desliga.
t
h(t)
esvaziamento
enchimento
efeito da histerese diferencial
Figura 105: Processo de enchimento e esvaziamento do tanque.

19.2 A¸cão de controle proporcional
Na a¸cão de controle proporcional, a rela¸cão entre a sa´ıda do controlador u(t)
e o sinal erro atuante e(t) é dada por
u(t) = kpe(t).
Em termos de transformada de Laplace tem-se que:
U(s)
E(s)
= kp,
onde kp é o ganho proporcional.
O controlador proporcional é essencialmente um amplificador com um
ganho ajustável e é representado como na Figura 106.
E(s) U(s)
kp
−
Figura 106: Representa¸cão de controlador proporcional.
Um circuito que representa um controlador proporcional é apresentado
na Figura 107.
R1
R2
R3
R4
ei
e0
++
−−
Figura 107: Circuito de um controlador propocional, E0(s)
Ei(s)
= R4R2
R3R1
.
Exemplo: Seja a planta descrita por:
P(s) =
Y (s)
U(s)
=
γ
1 + τs
.

Determinar a resposta ao degrau unitário quando esta planta estiver con-
trolada por um controlador proporcional e com uma realimenta¸cão unitária.
Um diagrama de blocos deste problema é mostrado na Figura 108.
E(s) U(s)R(s) Y (s)
γ
1+τskp
−
Figura 108: Malha fechada com controlador proporcional.
A fun¸cão de transferência de malha fechada, neste caso de realimenta¸cão
unitária, é dada por
Y (s)
R(s)
=
kpγ
1+τs
1 + kpγ
1+τs
1
=
kpγ
1 + τs + kpγ
.
A transformada de Laplace do degrau unitário é 1
s
. Logo,
Y (s) =
kpγ
1 + τs + kpγ
1
s
.
Fazendo a expansão em fra¸cões parciais chega-se a
Y (s) =
kpγ
1 + kpγ
1
s
−
kpγτ
1 + kpγ
1
τs + 1 + kpγ
.
Calculando a anti-transformada de Laplace, tem-se
y(t) =
kpγ
1 + kpγ
1 −
kpγ
1 + kpγ
e−
(1+kpγ)t
τ
ou
y(t) =
kpγ
1 + kpγ
1 − e−
(1+kpγ)t
τ , t ≥ 0.
Sejam alguns casos numéricos.
1. γ = 1, τ = 1 e kp = 10:
y1(t) =
10
1 + 10
1 − e−(1+10)t
=
10
11
1 − e−11t
.

2. γ = 1, τ = 1 e kp = 100:
y2(t) =
100
1 + 100
1 − e−(1+100)t
=
100
101
1 − e−101t
.
Estas respostas podem ser visualizadas graficamente na Figura 109.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
kp = 10
kp = 100
Figura 109: Efeito do ganho proporcional.
Nota-se que a ass´ıntota da resposta encontra-se deslocada em rela¸cão ao
degrau unitário. Aumentando-se o ganho proporcional o sistema tem uma
resposta mais rápida e com uma ass´ıntota mais próxima daquela correspon-
dente ao degrau unitário, ou seja, apresenta um erro estacionário menor.

19.3 A¸cão de controle integral
A sa´ıda do controlador u(t) é variada a uma taxa proporcional à integral do
sinal erro atuante e(t), ou seja,
du(t)
dt
= kie(t) ⇒ u(t) = ki
t
0
e(t)dt,
onde ki é uma constante ajustável.
A fun¸cão de transferência do controlador integral é
U(s)
E(s)
=
ki
s
.
Uma representa¸cão do controlador integral é mostrada na Figura 110.
E(s) U(s)ki
s
−
Figura 110: Representa¸cão do controlador integral.
19.4 A¸cão de controle proporcional-integral
A a¸cão de controle proporcional-integral, PI, é definida pela equa¸cão:
u(t) = kpe(t) + ki
t
0
e(t)dt.
A fun¸cão de transferência do controlador é neste caso
U(s)
E(s)
= kp +
ki
s
,
e a representa¸cão esquemática está na Figura 111.
Um circuito que corresponde a um controlador proporcional-integral é
mostrado na Figura 112.
Exemplo: Deseja-se calcular a resposta ao degrau unitário de um sistema
em malha fechada com realimenta¸cão unitária e controlador PI para a planta
dada por:
G(s) =
γ
1 + τs
.

E(s) U(s)
kp + ki
s
−
Figura 111: Representa¸c˜ao da a¸c˜ao de controle PI.
R1
C2R2
R3
R4
ei
e0
++
−−
Figura 112: Circuito de controlador proporcional-integral, E0(s)
Ei(s)
=
R4R2
R3R1
(R2C2s+1)
R2C2s
.
ki
s
R(s) Y (s)γ
1+τs
kp
−
Figura 113: Sistema de primeira ordem com controlador PI.

O diagrama de blocos é mostrado na Figura 113.
A fun¸cão de transferência de malha fechada, com realimenta¸cão unitária,
é dada por
Y (s)
R(s)
=
(kp + ki
s
)( γ
1+τs
)
1 + (kp + ki
s
)( γ
1+τs
)
=
γkps + γki
τs2 + (1 + γkp)s + γki
.
Para uma entrada degrau unitário tem-se que R(s) = 1
s
. Logo,
Y (s) =
γkps + γki
s [τs2 + (1 + γkp)s + γki]
.
É poss´ıvel verificar que a malha fechada pode apresentar respostas com
caracter´ısticas distintas em fun¸cão das ra´ızes do denominador (trata-se de
um sistema de segunda ordem).
Para γ = 1, τ = 1, kp = 5 e ki = 2 tem-se
Y (s) =
5s + 2
s(s2 + 6s + 2)
,
cuja resposta ao degrau está ilustrada na Figura 114.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 114: Sistema de primeira ordem com controlador PI - resposta ao
degrau.
Nota-se que o erro estacionário tende a zero.

19.5 A¸cão proporcional-derivativa
A a¸cão de um controlador proporcional-derivativo, PD, é definida pela equa¸cão:
u(t) = kpe(t) + kd
de(t)
dt
.
A fun¸cão de transferência do controlador é
U(s)
E(s)
= kp + kds,
cuja representa¸cão na forma de diagrama de blocos está na Figura 115.
E(s) U(s)
kp + kds
−
Figura 115: Representa¸cão de controlador PD.
Um circuito correspondente a um controladore PD é mostrado na Figura
116.
R1
C1
R2
R3
R4
ei
e0
++
−−
Figura 116: Circuito de controlador PD, E0(s)
Ei(s)
= R4R2
R3R1
(R1C1s + 1).
Exemplo: Determinar a resposta ao degrau unitário de um sistema em
malha fechada com realimenta¸cão unitária e controlador PD para a planta:
P(s) =
γ
1 + τs
.
O diagrama de blocos correspondente é mostrado na Figura 117.

kds
R(s) Y (s)γ
1+τs
kp
−
E(s) U(s)
Figura 117: Resposta de sistema de primeira ordem com controlador PD.
A fun¸cão de transferência de malha fechada, com realimenta¸cão unitária,
é
Y (s)
R(s)
=
(kp + kds)( γ
1+τs
)
1 + (kp + kds)( γ
1+τs
)
=
γ(kp + kds)
(τ + kdγ)s + 1 + kpγ
.
Se a entrada é um degrau unitário, R(s) = 1
s
, e se γ = 1, τ = 1, kp = 2 e
kd = 1 tem-se que:
Y (s) =
s + 2
2s + 3
1
s
=
−0.1667
s + 1.5
+
0.6667
s
,
cuja anti-transformada de Laplace é
y(t) = −0.1667e−1.5t
+ 0.6667.
Esta resposta está ilustrada na Figura 118.
Verifica-se que o sistema com controlador PD apresentou erro estacionário.
É recomendado o uso de controlador derivativo junto com os outros gerando
o PID.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 118: Resposta ao degrau de sistema de primeira ordem com contro-
lador PD.

19.6 A¸cão de controle proporcional-integral-derivativo
O controlador PID é uma combina¸cão das a¸cões de controle proporcional,
integral e derivativa, e possui as vantagens de cada um dos tipos individuais.
A equa¸cão do controlador PID é
u(t) = kpe(t) + kd
de(t)
dt
+ ki
t
0
e(t)dt,
e a fun¸cão de transferência correspondente é
U(s)
E(s)
= kp + kds + ki
1
s
.
Um circuito de controlador PID é mostrado na Figura 119.
R1
C1
C2R2
R3
R4
ei
e0
++
−−
Figura 119: Circuito de controlador PID, E0(s)
Ei(s)
= R4R2
R3R1
(R1C1s+1)(R2C2s+1)
R2C2s
.
Exemplo: Seja a planta descrita por
P(s) =
1
s2 + s
.
Deseja-se determinar a resposta ao degrau verificando os efeitos propor-
cional, derivativo e integral.
Um esquema do problema está na Figura 120.
Os seguintes casos serão analisados.
1. Apenas a¸cão proporcional com kp = 10. Neste caso,
G(s) = kp
1
s2 + s
.
A fun¸cão de transferência de malha fechada com realimenta¸cão unitária
é
Y (s)
R(s)
=
kp
s2+s
1 + kp
s2+s
=
kp
s2 + s + kp
.

R(s) E(s) U(s) Y (s)
s kd
kp
ki
1
s
1
s
1
s
controlador (PID)
P(s) (planta)
−−
Figura 120: Exemplo de controle PID.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 121: Resposta ao degrau com controlador proporcional.

A resposta ao degrau deste caso é mostrada na Figura 121.
2. A¸cão proporcional-integral com kp = 10 e ki = 2. A malha aberta é
G(s) = kp +
ki
s
1
s2 + s
,
e a fun¸cão de transferência de malha fechada é
Y (s)
R(s)
=
kp + ki
s
1
s2+s
1 + kp + ki
s
1
s2+s
,
ou ainda,
Y (s)
R(s)
=
kps + ki
kps + s2 + s + s3 + ki
=
10s + 2
s3 + s2 + 10s + 2
,
cuja resposta ao degrau pode ser visualizada na Figura 122.
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 122: Resposta ao degrau com controlador PI.
3. A¸cão proporcional-derivativa com kd = 1 e kp = 10. A fun¸cão de
transferência de malha aberta é
G(s) = (kp + kds)
1
s2 + s
,

e a fun¸cão de transferência de malha fechada com realimenta¸cão unitária
é
Y (s)
R(s)
=
kp+kds
s2+s
1 + kp+kds
s2+s
,
ou ainda,
Y (s)
R(s)
=
kds + kp
(kd + 1)s + s2 + kp
=
s + 10
s2 + 2s + 10
,
cuja resposta está ilustrada na Figura 123.
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 123: Resposta ao degrau com controlador PD.
4. A¸cão proporcional-integral-derivativa com kp = 10, ki = 2 e kd = 1.
Seja a malha aberta:
G(s) = kp + kds +
ki
s
1
s2 + s
.
A fun¸cão de transferência de malha fechada com realimenta¸cão unitária
é
Y (s)
R(s)
=
kp + kds + ki
s
1
s2+s
1 + kp + kds + ki
s
1
s2+s
,

ou tamb´em,
Y (s)
R(s)
=
kds2
+ kps + ki
s3 + (kd + 1)s2 + kps + ki
=
s2
+ 10s + 2
s3 + 2s2 + 10s + 2
.
A resposta do sistema ´e mostrada na Figura 124.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 124: Resposta con controlador PID.

19.7 Efeito f´ısico das constantes kp e kd em sistemas de
segunda ordem
Considere um bloco de massa m, apoiado em uma base sem atrito, e cujo
movimento y(t) deve ser controlado pela for¸ca u(t). O modelo deste sistema
é:
mÿ = u(t) ⇒
Y (s)
U(s)
=
1
ms2
.
que representa o movimento de um corpo r´ıgido.
1. Seja a inclusão, em realimenta¸cão unitária, de um controlador propor-
cional kp. A malha fechada, neste caso, é
T(s) =
kp
1
ms2
1 + kp
1
ms2
=
kp
ms2 + kp
.
Nota-se que ocorreu uma mudan¸ca no ganho estático,
T(s) |s=0 = 1 ,
e o pólo passou para ±j kp
m
.
Verifica-se que o controlador proporcional tem o significado f´ısico de
uma mola de rigidez kp adicionada ao bloco.
2. Seja a inclusão de um controlador proporcional-derivativo em reali-
menta¸cão unitária. A malha fechada é
T(s) =
(kp + kds) 1
ms2
1 + (kp + kds) 1
ms2
=
kds + kp
ms2 + kds + kp
.
Nota-se que ocorreu uma mudan¸ca no ganho estático,
T(s) |s=0 = 1 ,
A equa¸cão caracter´ıstica é a de um sistema se segunda ordem para o
qual se escreve que
wn =
kp
m
e 2ξwn =
kd
m
,
e verifica-se que a inclusão do termo derivativo corresponde à inclusão
de um amortecedor ao sistema.

No caso de um sistema de segunda ordem na forma padrão, i.e.,
P(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
,
a inclusão do controlador PD em realimenta¸cão unitária leva à malha fechada
T(s) =
γw2
n(kds + kp)
s2 + (2ξwn + kdw2
n)s + (w2
n + kpw2
n)
,
na qual é evidente que kd afeta o termo do amortecimento e kp o termo da
rigidez.
19.8 Controle PID - Método Ziegler-Nichols
O método de Ziegler-Nichols é usado para determinar as constantes do con-
trolador PID baseando-se exclusivamente no lugar das ra´ızes.
É sabido que:
• o efeito integral aumenta o tipo do sistema, o que reduz o erro esta-
cionário;
• o efeito derivativo aumenta o amortecimento, e conseqüentemente a
estabilidade do sistema.
O controlador PID tem a seguinte fun¸cão de transferência
K(s) = kp + kds +
ki
s
.
Os principais passos do método são:
• Fazer kd = ki = 0 e determinar o ganho proporcional km tal que o sis-
tema comece a oscilar (pólos de malha fechada sobre o eixo imaginário)
e a respectiva freqüência wm. Estes valores podem ser determinados
através de um diagrama do lugar das ra´ızes.
• Calcular as constantes
kp = 0.6km, kd =
kp π
4wm
, ki =
kp wm
π
.
Nota-se que o método de Ziegler-Nichols não usa nenhum requisito de
projeto, mas apesar disso, apresenta resultados que podem ser considerados
adequados em muitas situa¸cões de controle de processos.

Exemplo: Projetar um controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols
para controlar a planta
P(s) =
400
s(s2 + 30s + 200)
.
O lugar das ra´ızes de P(s) é mostrado na Figura 125, e determina-se, de
forma aproximada, o ponto da estabilidade marginal sobre o eixo imaginário,
de forma que o ganho correspondente e a freqüência são adotados como
km = 15, wm = 14rad/s.
−60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Figura 125: Gráfico do lugar da ra´ızes, projeto PID por Ziegler-Nichols.
Os valores das constantes do controlador são, portanto,
kp = 9, kd = 0.5049, ki = 40.1070.
A malha aberta é
G(s) = K(s)P(s) =
202s2
+ 3600s + 1.604e004
s4 + 30s3 + 200s2
,

e a malha fechada ´e
T(s) =
202s2
+ 3600s + 1.604e004
s4 + 30s3 + 402s2 + 3600s + 1.604e004
.
A resposta ao degrau da malha fechada ´e mostrada na Figura 126.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 126: Resposta ao degrau da malha fechada, projeto PID por Ziegler-
Nichols.

19.9 Projeto PID anal´ıtico na freqüência
Seja um controlador PID K(s):
K(s) = kp + kds +
ki
s
,
e a planta a P(s) do tipo n a ser controlada em realimenta¸cão unitária
negativa.
A malha aberta será K(s)P(s).
Para uma dada freqüência, s = jw, tem-se que
P(jw) = |P|ejθP
e K(jw) = |K|ejθK
.
Para w = wcg, freqüência de cruzamento de ganho, sabe-se que a ampli-
tude da malha aberta é unitária,
K(jwcg)P(jwcg) = 1 θ,
e a margem de fase φ é
φ = π + θ ⇒ θ = −π + φ.
Portanto, pode-se escrever que:
|K|ejθK
|P|ejθP
= |K||P|ej(θK+θP )
= 1 (−π + φ),
que permite determinar a amplitude do controlador,
|K||P| = 1 ⇒ |K| =
1
|P|
,
e a fase do controlador
θK + θP = −π + φ ⇒ θK = −π + φ − θP .
É poss´ıvel escrever, para uma margem de fase φ especificada, a equa¸cão
do controlador:
kp + kd(jwcg) +
ki
jwcg
= |K|(cosθK + jsenθK).
Igualando as partes real e imaginária tem-se que
kp = |K|cosθK,

kd(jwcg) +
ki
jwcg
= j|K|senθK ⇒ kdwcg −
ki
wcg
= |K|senθK,
caracterizando duas equa¸cões para as incógnitas kp, kd e ki, que podem ser
resolvidas iterativamente.
Note que apenas a margem de fase foi especificada até o momento.
Seja uma especifica¸cão adicional em termos de erro estacionário desejado.
Sabe-se que
E(s) =
R(s)
1 + K(s)P(s)
,
e do teorema do valor final
eest = lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
s
R(s)
1 + K(s)P(s)
,
o que permitirá a determina¸cão de ki.
Exemplo: Projetar um controlador PID pelo método anal´ıtico na freqüência
para controlar a planta
P(s) =
400
s(s2 + 30s + 200)
e atender aos requisitos de erro estacionário à parábola unitária de 0.1, per-
centual de sobre sinal de 10%, e tempo de estabiliza¸cão a 2% de 1.7s.
Da especifica¸cão de erro estacionário é poss´ıvel obter o valor de ki, ou
seja,
eest = lim
s→0
s
1
s3
1 + kps+kds2+ki
s
400
s(s2+30s+200)
=
200
400ki
= 0.1,
e conseqüentemente, ki = 5.
Do percentual de sobre sinal, pss = 10%, obtém-se o fator de amorteci-
mento,
ξ =
ln 100
10
π2 + ln2 100
10
= 0.5912.
A constante de tempo pode ser obtida de
τ =
Te2%
4
=
1.7
4
= 0.4250.
A freqüencia natural pode ser obtida através de
wn =
1
ξτ
= 3.9802rad/s.

Sabendo que a freqüência de cruzamento de ganho é próxima da freqüência
natural, escreve-se que wcg = wn = 3.9802rad/s.
A margem de fase, em graus, pode ser estimada como
Pm = 100ξ = 59.12◦
= 1.0318rad.
Calcula-se agora
P(jwcg) = P(3.9802j) = −0.2491 − 0.3842j ⇒ |P| = 0.4579,
P(3.9802j) = θP = tan−1 −0.3842
−0.2491
= −2.1460rad.
O ângulo do controlador é dado por
θK = −π + 1.0318 + 2.1460 = 0.0362,
e a amplitude do controlador é K(s)
|K| =
1
|P|
=
1
0.4579
= 2.1840.
A constante proporcional é dada por
kp = |K|cosθk = 2.1840cos(0.0362) = 2.1825,
e a constante derivativa é dada por
3.9802kd −
5
3.9802
= 2.1840sen(0.0362) ⇒ kd = 0.3355.
Com as constantes kp, kd e ki tem-se o controlador PID determinado. A
malha aberta correspondente é dada por
K(s)G(s) =
134.2s2
+ 873s + 2000
s4 + 30s3 + 200s2
,
cujo diagrama de Bode é apresentado na Figura 127 e verifica-se que a mar-
gem de fase desejada foi obtida.
A resposta ao degrau da malha fechada é mostrada na Figura 128 onde
se verifica que foram obtidos um pss = 26.2% e um Te2% = 2.62s, ou seja,
os requisitos não foram satisfeitos, e um refinamento do projeto é necessário.
Neste caso, é usual aumentar a margem de fase desejada, introduzindo-se
uma fator de seguran¸ca.
Um código MATLAB para este projeto é apresentado a seguir:

−100
−50
0
50
100
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−180
−150
−120
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 59.1 deg (at 3.98 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Figura 127: Diagrama de Bode obtido com o projeto.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 128: Resposta ao degrau obtida com o projeto.

clear all; close all; clc;
s=tf(’s’);
ps=400/(s*(s^2+30*s+200))
ki=5;
pss=10;
te=1.7;
qsi=log(100/pss)/sqrt(pi^2+(log(100/pss)^2))
tau=te/4;
wn=1/(qsi*tau)
wcg=wn;
phi=100*qsi
phi=phi*pi/180
pwcg=freqresp(ps,j*wcg)
ampp=abs(pwcg)
tetap=angle(pwcg)
tetak=-pi+phi-tetap
ampk=1/ampp
kp=ampk*cos(tetak)
kd=(ampk*sin(tetak)+ki/wcg)/wcg
ks=kp+kd*s+ki/s
gs=ks*ps %malha aberta
ts=feedback(gs,1)
step(ts,’k’)
figure
margin(gs)
19.10 Projeto PID com base no lugar das ra´ızes
Esta técnica de projeto tem como objetivo assegurar um pólo em uma posi¸cão
desejada para a malha fechada.
Seja uma planta P(s), um controlador PID K(s) e uma configura¸cão de
realimenta¸cão unitária negativa. A respectiva malha aberta G(s) é dada por
G(s) = P(s)K(s) = P(s) kp + kds +
ki
s
.
A equa¸cão caracter´ıstica é, neste caso,
1 + G(s) = 0.

Seja um pólo espec´ıfico sD = σD + jwD desejado para a malha fechada.
Logo,
1 + G(sD) = 0 ⇒ G(sD) = −1 = 1 − π.
O controlador e a planta podem ser calculados em fun¸cão do pólo dese-
jado:
K(sD) = kp + kd(σD + jwD) +
ki
σD + jwD
= |K(sD)|ejθK
,
P(sD) = |P(sD)|ejθP
.
Logo,
|K(sD)|ejθK
|P(sD)|ejθP
= |K(sD)||P(sD)|ej(θK+θP )
= 1 − π,
que permite escrever as seguintes equa¸cões para a amplitude e fase do con-
trolador,
|K(sD)||P(sD)| = 1 ⇒ |K(sD)| =
1
|P(sD)|
,
θK + θP = −π ⇒ θK = −π − θP .
Conhecendo-se a amplitude e fase do controlador é poss´ıvel a deter-
mina¸cão de seus parâmetros, ou seja,
K(sD) = kp+kd(σD+jwD)+
ki
σD + jwD
= |K(sD)|ejθK
= |K(sD)|(cosθK+jsenθK),
kp(σD + jwD) + kd(σD + jwD)2
+ ki = |K(sD)|(cosθK + jsenθK)(σD + jwD),
kpσD + jkpwD + kd(σ2
D + 2jσDwD − w2
D) + ki =
= σD|K(sD)|cosθK−wD|K(sD)|senθK+j(wD|K(sD)|cosθK+σD|K(sD)|senθK).
Separando as partes real e imaginária tem-se as equa¸cões
kpσD + kd(σ2
D − w2
D) + ki = σD|K(sD)|cosθK − wD|K(sD)|senθK,
2kdσDwD + kpwD = wD|K(sD)|cosθK + σD|K(sD)|senθK,
que podem ser resolvidas de forma iterativa para as incógnitas kp, kd e ki.
Caso se tenha uma especifica¸cão do erro estacionário é poss´ıvel determi-
nar ki diretamente da mesma forma como feito no projeto PID anal´ıtico na
freqüência.
Sejam
a = σ2
D − w2
D,
b = σD,

α = σD|K(sD)|cosθK − wD|K(sD)|senθK,
c = 2σDwD,
d = wD,
β = wD|K(sD)|cosθK + σD|K(sD)|senθK.
Logo,
akd + bkp + ki = α,
ckd + dkp = β.
Resolvendo estas equa¸cões tem-se
kd =
β − dkp
c
,
a
β − dkp
c
+ bkp = α − ki,
aβ
c
−
ad
c
kp + bkp = α − ki,
b −
ad
c
kp = α − ki −
aβ
c
,
e então,
kp =
α − ki − aβ
c
b − ad
c
=
αc − cki − aβ
bc − ad
,
Exemplo: Projetar um controlador PD pelo método anal´ıtico com base
no lugar das ra´ızes para controlar a planta
P(s) =
1
s(s + 1)(s + 5)
,
e atender aos requisitos de percentual de sobre sinal de 10% e tempo de
estabiliza¸cão a 2% de 1.7s.
Através do pss = 10% tem-se que o fator de amortecimento é ξ = 0.5912,
e através do tempo de estabiliza¸cão tem-se que wn = 3.9802rad/s.
O pólo desejado é, portanto,
sD = −ξwn + jwn 1 − ξ2 = −2.3529 + 3.2103j = σD + wDj.
e então,
P(−2.3529 + 3.2103j) = 0.0058 + 0.0163j,
|P(−2.3529 + 3.2103j)| = 0.0173 e θP = 1.2290rad/s.

Pode-se calcular o módulo e a amplitude do controlador, i.e.,
θK = −π − θP = −π − 1.2290 = −4.3706,
|K| =
1
|P|
=
1
0.0173
= 57.6954.
As variáveis auxiliares são calculadas e fornecem como resultado:
a = −4.7697, b = −2.3529, c = −15.1073, d = 3.2103,
α = −129.0013 e β = −189.9841.
Com estes parâmetros as constantes do controlador podem ser calculadas:
kp = 20.5019 e kd = 16.9323.
A malha aberta é, portanto,
G(s) = K(s)P(s) =
16.93s + 20.5
s3 + 6s2 + 5s
.
A malha fechada em realimenta¸cão unitária é
T(s) =
16.93s + 20.5
s3 + 6s2 + 21.93s + 20.5
,
cujos pólos são −2.3529 ± 3.2103j e −1.2941.
A resposta ao degrau pode ser visualizada na Figura 129.
É poss´ıvel verificar que o pólo especificado foi obtido para a malha fe-
chada. Esta metodologia é limitada no sentido de que apenas um pólo é
especificado e os demais pólos podem caracterizar um desempenho indese-
jado caso sejam dominantes.
Um código MATLAB para este projeto é apresentado a seguir.
s=tf(’s’);
ps=1/(s*(s+1)*(s+5))
pss=10;
te=1.7;
qsi=log(100/pss)/sqrt(pi^2+(log(100/pss)^2))
tau=te/4;
wn=1/(qsi*tau)
sD=-qsi*wn+j*wn*sqrt(1-qsi^2) %polo desejado
psD=freqresp(ps,sD)
ampp=abs(psD)

0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 129: Resposta ao degrau da malha fechada.
tetap=angle(psD)
tetak=-pi-tetap
ampk=1/ampp
sigmaD=real(sD);
wD=imag(sD);
a=sigmaD^2-wD^2
b=sigmaD
alpha=sigmaD*ampk*cos(tetak)-wD*ampk*sin(tetak)
c=2*sigmaD*wD
d=wD
beta=wD*ampk*cos(tetak)+sigmaD*ampk*sin(tetak)
kp=(alpha*c-a*beta)/(b*c-a*d) %apenas PD
kd=(beta-d*kp)/c
ks=kp+kd*s
ts=feedback(gs,1)
step(ts)
figure
margin(gs)
[p,z]=pzmap(ts)

19.11 Controlador em avan¸co
O controlador em avan¸co possui um pólo e um zero com o objetivo de traba-
lhar a resposta em freqüência conformando-a, e garantindo assim as margens
de estabilidade.
Normalmente ao se aumentar o ganho proporcional, o erro estacionário
diminiu. Contudo, ocorre a redu¸cão das margens de estabilidade. Isso pode
ser verificado através do seguinte exemplo.
Seja a planta
P(s) =
2
s(s + 1)(s + 2)
,
inicialmente controlada com um controlador proporcional kp = 1. Neste caso,
o sistema é do tipo 1, e os erros estacionários são:
• para o degrau unitário, eest = 0;
• para a rampa unitária,
kvel = lim
s→0
s
2
s(s + 1)(s + 2)
= 1, eest =
1
kvel
= 1.
As margens de estabilidade, neste caso, são Gm = 9.5dB e Pm = 32.6◦
.
Considere agora kp = 2. Neste caso,
• para o degrau unitário, eest = 0;
• para a rampa unitária,
kvel = lim
s→0
s
4
s(s + 1)(s + 2)
= 2, eest =
1
kvel
= 0.5;
e as margens de estabilidade são são Gm = 3.5dB e Pm = 11.4◦
.
Verifica-se que ao se aumentar o ganho proporcional tem-se uma resposta
estacionária melhor, contudo com uma redu¸cão nas margens de estabilidade
relativa. Isso pode ser verificado com aux´ılio dos diagramas de Bode, como
mostrado nas Figuras 130 e 131.
A fun¸cão de transferência do controlador em avan¸co é
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
, α > 1.
Um circuito t´ıpico para um controlador em avan¸co (ou atraso, como será
discutido futuramente) é apresentado na Figura 132.

−60
−40
−20
0
20
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 130: Margens de estabilidade para kp = 1.
−60
−40
−20
0
20
40
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 131: Margens de estabilidade para kp = 2.

R1
C1
C2
R2
R3
R4
ei
e0
++
−−
Figura 132: Circuito de controlador em avan¸co, E0(s)
Ei(s)
= R4R2
R3R1
(R1C1s+1)
(R2C2s+1)
.
0
5
10
15
20
Magnitude(dB)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50
60
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 133: Diagrama de Bode do controlador em avan¸co, kc = 1, T = 1,
α = 10.

Um diagrama de Bode t´ıpico de um controlador em avan¸co é mostrado
na Figura 133. Verifica-se o comportamento de um passa-alta.
Na compensa¸cão em avan¸co, deseja-se obter a maior compensa¸cão de fase
poss´ıvel, aumentando assim a margem de fase.
Seja s = jw. Logo,
K(jw) = kc
αT(jw) + 1
T(jw) + 1
= kc
1 + αT2
w2
+ (αTw − Tw)j
1 + T2w2
,
cujo ângulo é
θK = tan−1 (α − 1)Tw
1 + αT2w2
.
O ponto de máximo de θK pode ser encontrado através de
dθK
dw
=
1
1 + (α−1)Tw
1+αT2w2
2
d
dw
(α − 1)Tw
1 + αT2w2
= 0,
e então,
d
dw
(α − 1)Tw
1 + αT2w2
= 0
o que implica que o ponto de máximo, ¯w, corresponde a
¯w =
1
√
αT
.
Substituindo este valor obtém-se o valor máximo da fase do controlador
¯θK,
tan¯θK =
α − 1
2
√
α
. (11)
A equa¸cão (11) pode ser interpretada conforme ilustrado na Figura 134.
l α − 1
2
√
α
¯θK
Figura 134: Interpreta¸cão para ¯θK.

Da Figura 134 escreve-se que
l2
= (2
√
α)2
+ (α − 1)2
= (α + 1)2
⇒ l = α + 1,
e então,
sen¯θK =
α − 1
α + 1
⇒ α =
1 + sen¯θK
1 − sen¯θK
.
O módulo do controlador também pode ser calculado para ¯w, ou seja,
|K( ¯w)| =
(1 + αT2 ¯w2)2 + (αT ¯w − T ¯w)2
1 + T2 ¯w2
=
√
α,
e, como o controlador está em série com a planta, a compensa¸cão em dB
devido ao controlador será dada por
¯A = 20 log
√
α = 10 log α.
O seguinte roteiro pode ser usado no projeto de controladores em avan¸co.
1. Determinar kc através da especifica¸cão de erro estacionário desejada.
2. Considerar o novo sistema kcP(s) (já compensado em termos da cons-
tante proporcional).
3. Tra¸car os diagramas de Bode do sistema kcP(s) e determinar a margem
de fase (Pm).
4. Sabendo a margem de fase desejada φesp, obtida através dos requisitos
de projeto, determinar o acréscimo de fase necessário pelo controlador,
explorando o ponto de máximo deste, ou seja,
¯θK = φesp − Pm.
É usual adicionar uma margem de seguran¸ca, φseg para este ângulo de
10% ou pelo menos 5◦
para este ângulo, ou seja,
¯θK = φesp − Pm + φseg,
que compensa imprecisões.
5. Calcular α:
α =
1 + sen¯θK
1 − sen¯θK
.

6. Calcular a compensa¸cão de amplitude relacionada ao ponto de máxima
fase do controlador, ¯A:
¯A = 20 log
√
α = 10 log α.
7. Usando o diagrama de Bode e com o valor de ¯A, determinar a freqüência
de cruzamento de ganho futura, wcgf .
8. Calcular T:
T =
1
√
αwcgf
.
9. Determinar o controlador K(s):
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
.
10. Verificar as margens obtidas com a malha aberta K(s)P(s) e os requi-
sitos de desempenho com a respectiva malha fechada.
Exemplo: Determinar o controlador em avan¸co (configura¸cão de reali-
menta¸cão unitária negativa) para controlar a planta
P(s) =
2
s(s + 2)
,
e obter uma margem de fase de 45◦
e um erro estacionário à rampa de 0.05.
A malha aberta é
G(s) = K(s)P(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
2
s(s + 2)
,
que é do tipo 1.
A constante de erro de velocidade é
kvel = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
skc
αTs + 1
Ts + 1
2
s(s + 2)
= kc,
e do erro estacionário tem-se que
eest =
1
kvel
=
1
kc
= 0.05 ⇒ kc = 20.
O diagrama de Bode de kcP(s) é mostrado na Figura 135.
Verifica-se que a margem de fase é Pm = 18◦
.

−50
0
50
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Figura 135: Diagrama de Bode de kcP(s).
O acréscimo de fase necessário será de
¯θK = φesp − Pm + φseg = (45 − 18 + 5)
π
180
= 0.5585rad
Determina-se α:
α =
1 + sen¯θK
1 − sen¯θK
= 3.2546,
e a respectiva compensa¸cão em amplitude:
¯A = 10 log α = 5.1250
Verificando o respectivo diagrama de Bode, nota-se que para uma com-
pensa¸cão de 5.1250dB, a freqüência de cruzamento de ganho futura será de
wcgf ≈ 8.3rad/s, como mostrado na Figura 136.
Calcula-se
T =
1
√
αwcgf
= 0.0668,
e tem-se o controlador desejado
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
=
4.347s + 20
0.06678s + 1
.

10
1
−180
−150
−120
Phase(deg)
−20
−10
0
10
20
Magnitude(dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
wcgf
¯A
Figura 136: Diagrama de Bode de kcP(s) e ilustra¸cão de ¯A e de wcgf .
A Figura 137 mostra os diagramas de Bode da planta P(s), do controlador
K(s) e da malha aberta K(s)G(s) com as respectivas margens obtidas. Nota-
se que a nova freqüência de cruzamento de ganho corresponde ao ponto de
máximo da fase de K(s). Nota-se ainda que a margem de fase desejada foi
obtida.
A malha fechada correspondente é
T(s) =
K(s)P(s)
1 + K(s)P(s)
=
8.694s + 40
0.06678s3 + 1.134s2 + 10.69s + 40
,
e a resposta à rampa está mostrada na Figura 138 juntamente com a rampa
unitária. Verica-se o erro estacionário de 0.05 como desejado.

10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
−45
0
45
Phase(deg)
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
Magnitude(dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
K(s)
K(s)
P(s)
P(s)
K(s)P(s)
K(s)P(s)
Figura 137: Diagramas de Bode mostrando a compensa¸cão em avan¸co.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo
resposta
Figura 138: Resposta à rampa unitária e rampa unitária.

Um código MATLAB para com esta metodologia de projeto é apresentado
a seguir:
%projeto em avanco
%requisitos: margem de fase de 45 graus, erro
%estacionário à rampa de 0.05, planta 2/(s(s+2)).
%
s=tf(’s’);
ps=2/(s*(s+2));
phiesp=45;
kc=20; %calculado através do erro estacionário
margin(kc*ps)
mf=18; %obtido do gráfico de bode (margens)
phiseg=5; %margem de seguran¸ca (em graus)
phi=(phiesp-mf+phiseg)*pi/180;
alpha=(1+sin(phi))/(1-sin(phi));
am=10*log10(alpha)
wcgf=8.3; %obtido do gráfico devido ao valor de am
T=1/(sqrt(alpha)*wcgf)
ks=kc*(alpha*T*s+1)/(T*s+1) %controlador
figure, margin(ps)
hold on, margin(ks)
hold on, margin(gs)
ts=feedback(gs,1) %malha fechada
figure, step(ts) %degrau
t=0:0.01:1;
tss=ts/s;
y=step(tss,t); %resposta à rampa
figure, plot(t,t,t,y)
19.12 Compensa¸cão em atraso
O controlador em atraso tem a mesma estrutura do controlador em avan¸co,
contudo o pólo vem antes do zero, ou seja,
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
,
com o pólo s = − 1
T
e o zero s = − 1
αT
, mas 0 < α < 1.
O diagrama de Bode de um controlador em atraso t´ıpico é mostrado na
Figura 139.

−20
−15
−10
−5
0Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 139: Diagrama de Bode para controlador em atraso: kc = 1, α = 0.1,
T = 1.
O objetivo da compensa¸cão em atraso é posicionar a freqüência de cruza-
mento de ganho para uma margem de fase desejada, sem mudar muito a fase
e atenuar o ganho. Neste caso, como a freqüência de cruzamento de ganho
fica menor, o sistema torna-se mais lento.
Verifica-se que para s grande
lim
s→∞
αTs + 1
Ts + 1
= α,
e a compensa¸cão em dB neste caso é
¯A = 20 log α ⇒ α = 10
¯A
20 .
Considerando, como regra prática, que a freqüência de cruzamento de
ganho futura será 10 vezes maior que o zero do controlador para que nesta
região o efeito na fase seja pequeno, tem-se que,
wcgf = 10
1
αT
⇒ T =
10
αwcgf
.
O seguinte roteiro pode ser usado no projeto de controladores em atraso.
1. Determinar kc através da especifica¸cão de erro estacionário desejada.

2. Considerar o novo sistema kcP(s) (já compensado em termos da cons-
tante proporcional).
3. Tra¸car os diagramas de Bode do sistema kcP(s) e determinar a margem
de fase (Pm).
4. Sabendo a margem de fase desejada φesp, obtida através dos requisitos
de projeto, determinar a freqüência de cruzamento de ganho futura,
wcgf .
5. Determinar o valor de ¯A que representa a compensa¸cão em amplitude
desejada através do diagrama de Bode.
6. Calcular α:
α = 10
¯A
20 .
7. Calcular T:
T =
10
αwfcg
.
8. Determinar o controlador K(s):
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
.
9. Verificar as margens obtidas com a malha aberta K(s)P(s) e os requi-
sitos de desempenho com a respectiva malha fechada.
Exemplo: Determinar o controlador em atraso para controlar a planta
P(s) =
10
s(s + 5)
,
em realimenta¸cão unitária, e obter um fator de amortecimento de 0.7 e um
erro estacionário à rampa de 0.05.
A malha aberta é
αTs + 1
Ts + 1
10
s(s + 5)
,
que é do tipo 1.
kvel = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
skc
αTs + 1
Ts + 1
10
s(s + 5)
= 2kc,

e do erro estacionário tem-se que
eest =
1
kvel
=
1
2kc
= 0.05 ⇒ kc = 10.
A margem de fase desejada pode ser obtida através do fator de amorte-
cimento, i.e.,
φesp = 100ξ = 70◦
,
e é usual considerar uma margem de seguran¸ca de 10% ou pelo menos 5◦
.
Neste caso, a margem de fase desejada passa a ser
Pm = 70 + 7 = 77◦
,
e o ângulo desejado deve ser de
φ = −180 + Pm = −180 + 77 = −103.
Para o ângulo φ, encontra-se a freqüência de cruzamento de ganho futura
e o valor para compensa¸cão da amplitude, ou seja,
wcgf = 1.15rad/s e ¯A = −24.6dB,
como ilustrado no diagrama de Bode da Figura 140.
Calcula-se então
α = 10
¯A
20 = 0.0589,
T =
10
αwcgf
= 147.6734,
e determina-se o controlador
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
=
86.96s + 10
147.7s + 1
.
O diagrama de Bode de K(s), P(s) e da malha aberta K(s)P(s) é mos-
trado na Figura 141. Note que a compensa¸cão foi feita em uma região em
que a fase do controlador não contribui significativamente para alterar a fase
da malha aberta. Nota-se também que a margem de fase obtida foi de 71.7◦
.
A fun¸cão de malha fechada é
T(s) =
869.6s + 100
147.7s3 + 739.4s2 + 874.6s + 100
,
e a resposta à rampa unitária juntamente com a rampa está mostrada na
Figura 142.
Este sistema é lento no que se refere à estabiliza¸cão, como pode ser visto
através do erro estacionário na Figura 143.

10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
Phase(deg)
−40
−20
0
20
40
60
Magnitude(dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
wcgf
¯A
φ
Figura 140: Diagrama de Bode para kcP(s).

−40
−20
0
20
40
60
80
Magnitude(dB)
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
K(s)
K(s)
P(s)
P(s)
K(s)P(s)
K(s)P(s)
Figura 141: Diagramas de Bode mostrando a compensa¸cão em atraso.
0 2 4 6 8 10 12
0
2
4
6
8
10
12
tempo
resposta
Figura 142: Rampa unitária e resposta à rampa da malha fechada.

0 10 20 30 40 50 60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo
erroentrearampaearesposta
Figura 143: Erro entre a rampa unit´aria e resposta `a rampa da malha fechada.

Um código MATLAB para o projeto em atraso é apresentado a seguir:
%projeto em atraso
%requisitos: fator de amortecimento de 0.7, erro
%estacionário à rampa de 0.05, planta 10/(s(s+5)).
%
s=tf(’s’);
ps=10/(s*(s+5));
qsi=0.7;
phiesp=100*qsi;
kc=10; %calculdado do erro estacionário
margin(kc*ps)
mf=28; %obtido do digrama de Bode (margens)
phiseg=0.1*phiesp; %margem de seguran¸ca
phi=phiesp+phiseg;
angulo=-180+phi
wcgf=1.15 %lido do digrama de Bode em fun¸c~ao de angulo
am=-24.6 %lido do digrama de Bode em fun¸c~ao de wfcg
alpha=10^(am/20)
T=10/(alpha*wcgf)
ks=kc*(alpha*T*s+1)/(T*s+1) %controlador
figure,margin(ps)
hold on, margin(ks)
hold on, margin(gs)
figure, step(ts) %resposta ao degrau
tss=ts/s;
figure, step(tss) %resposta à rampa
t=0:0.01:12;
y=step(tss,t);
%verificacao do erro estacionario
t=0:0.1:60;
y=step(tss,t);
e=t-y’;
figure, plot(t,e)

19.13 Projeto avan¸co-atraso anal´ıtico na freqüência
O projeto avan¸co-atraso anal´ıtico é semelhante ao projeto PID anal´ıtico na
freqüência. O nome avan¸co-atraso é devido ao fato que o controlador obtido
poderá ser ou em avan¸co ou em atraso.
Pode-se escrever a malha aberta como:
τzs + 1
τps + 1
P(s),
com τz = αT e τp = T que corresponde à forma usual.
Seja w = wcg uma freqüência de cruzamento de ganho desejada. Logo,
P(jwcg) = |P|ejθP
e K(jwcg) = |K|ejθK
,
e da mesma forma que já mostrado no caso do PID, tem-se o módulo do
controlador e fase do controlador como
|K| =
1
|P|
e θK = −π + Pm − θP ,
onde Pm é a margem de fase desejada.
kc
τz(jwcg) + 1
τp(jwcg) + 1
= |K|ejθK
= |K|(cosθK + jsenθK),
que ao se resolver para a parte real e parte imaginária leva à
τz =
1 + kc|P|cos(Pm − θP )
−wcgkc|P|sen(Pm − θP )
,
e
τp =
cos(Pm − θP ) + kc|P|
wcgsen(Pm − θP )
.
Caso o controlador esteja escrito na forma
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
tem-se que
kc
αT(jwcg) + 1
T(jwcg) + 1
= |K|(cosθK + jsenθk)
cujo resultado para α e T são:
α =
|K|(kccosθK − |K|)
kc(kc − |K|cosθK)

e
T =
|K|cosθK − kc
|K|wcgsenθK
.
Exemplo: Obter o controlador em avan¸co-atraso para controlar a planta
P(s) =
400
s(s2 + 30s + 200)
,
em realimenta¸cão unitária, e assegurar uma margem de fase 45◦
, um erro
estacionário à rampa de 0.10 e uma freqüência de cruzamento de ganho de
14rad/s.
A malha aberta é
αTs + 1
Ts + 1
400
s(s2 + 30s + 200)
,
que é do tipo 1.
kvel = lim
s→0
sG(s) = 2kc,
e assim
eest =
1
kvel
=
1
2kc
= 0.1 ⇒ kc = 5.
Verifica-se que
P(14j) = −0.0680 − 0.0006j, |P(14j)| = 0.0680 e θP = −3.1321.
A amplitude do controlador é dada por
|K| =
1
|P|
=
1
0.0680
= 14.7007,
e a fase do controlador é dada por
θK = −π + Pm − θP = −π + 45
π
180
+ 3.1321 = 0.7759.
Os parâmetros do controlador podem ser calculados, ou seja,
α =
|K|(kccosθK − |K|)
kc(kc − |K|cosθK)
= 5.9577,
que caracteriza um controlador em atraso, e
T =
|K|cosθK − kc
|K|wcgsenθK
= 0.0381.

O controlador é, portanto,
K(s) =
1.135s + 5
0.03811s + 1
.
O diagrama de Bode da malha aberta é apresentado na Figura 144, onde
se verifica que a margem de fase e a freqüência de cruzamento de ganho
desejadas foram obtidas.
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
Magnitude(dB)
10
0
10
1
10
2
10
3
−270
−225
−180
−135
−90
−45
Phase(deg)
Bode Diagram
Gm = 10.1 dB (at 27.7 rad/sec) , Pm = 45 deg (at 14 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Figura 144: Diagrama de Bode de K(s)P(s).
A malha fechada é
T(s) =
454.1s + 2000
0.03811s4 + 2.143s3 + 37.62s2 + 654.1s + 2000
,
e a resposta à rampa unitária está mostrada na Figura 145, onde se verifica
que a especifica¸cão de erro estacionário foi atendida.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo
rampaeresposta
Figura 145: Rampa unit´aria e resposta do sistema em malha fechada.

Um código MATLAB para este projeto de controlador avan¸co-atraso
anal´ıtico na freqüência é apresentado a seguir:
% Projeto avanco-atraso anal´ıtico na freqüência
% Margem de fase desejada de 45 graus, freqüencia
% de cruzamento de ganho futura de 14 rad/s, para a
% planta ps=400/(s(s^2+30*s+200))
s=tf(’s’);
ps=400/(s*(s^2+30*s+200))
kc=5; %calculado do erro estacionário
wcg=14;
phi=45*pi/180;
pwcg=freqresp(ps,j*wcg)
ampp=abs(pwcg)
tetap=angle(pwcg)
tetak=-pi+phi-tetap
ampk=1/ampp
tauz=(1+kc*ampp*cos(phi-tetap))/...
(-wcg*kc*ampp*sin(phi-tetap))
taup=(cos(phi-tetap)+kc*ampp)/...
(wcg*sin(phi-tetap))
ks=kc*(tauz*s+1)/(taup*s+1)
% controlador em funcao de T e alpha
T=(ampk*cos(tetak)-kc)/(ampk*wcg*sin(tetak))
alpha=ampk*(kc*cos(tetak)-ampk)/(kc*(kc-ampk*cos(tetak)))
ks1=kc*(alpha*T*s+1)/(T*s+1)
margin(gs)
tss=ts/s; %rampa
t=0:0.01:1;
y=step(tss,t);

19.14 Projeto avan¸co-atraso com base no lugar das
ra´ızes
Seja uma planta P(s) que se deseja controlar através de um controlador K(s)
na forma
K(s) = kc
αTs + 1
Ts + 1
.
A malha aberta é dada por G(s) = K(s)P(s).
Seja um pólo especificado sD = σD + jwD através dos requisitos de de-
sempenho. Logo, escreve-se que:
P(sD) = |P(sD)|ejθP
,
K(sD) = kc
αT(σD + jwD) + 1
T(σD + jwD) + 1
= |K(sD)|ejθK
.
Da equa¸cão caracter´ıstica, K(s)P(s) = −1, tem-se que
|K(sD)|ejθK
|P(sD)|ejθP
= 1 − π,
que permite escrever a amplitude e a fase do controlador:
|K(sD)| =
1
|P(sD)|
e θK = −π − θP .
É poss´ıvel escrever para o controlador
K(sD) = kc
αT(σD + jwD) + 1
T(σD + jwD) + 1
= |K(sD)|(cosθK + jsenθK),
que permite separar duas equa¸cões (uma para a parte real e outra para a
parte imaginária) e que permite determinar
T =
−(σD|K|senθk + kcwD − wD|K|cosθK)
|K|senθK(σ2
D + w2
D)
,
α =
|K|(kcwDcosθK − wD|K| + kcσDsenθK)
kc(σD|K|senθK + kcwD − wD|K|cosθK)
.
Exemplo: Determinar o controlador avan¸co-atraso em realimeta¸cão unitária
pelo método anal´ıtico com base no lugar das ra´ızes de forma que a freqüência
natural seja de 1.5rad/s, o fator de amortecimento seja de 0.707 e o erro es-
tacionário à rampa unitária seja de 0.05, para a planta
P(s) =
10
s(s + 5)
.

Através da especifica¸cão de erro estacionário obtém-se kc = 10.
O pólo desejado é
sD = −ξwn + jwn 1 − ξ2 = −1.0605 + 1.0608j,
ou seja
σD = −1.0605 e wD = 1.0608.
Verifica-se que
P(sD) = −1.4160 − 0.8155j,
e que
|P| = 1.6341 e θP = −2.6191.
Logo, tem-se que
|K| =
1
|P|
= 0.6120 e θK = −π − θP = −0.5225,
que permite determinar os parâmetros do controlador T e α do controlador,
ou seja,
T = 15.0901 e α = 0.0817.
O controlador é, portanto,
K(s) =
12.32s + 10
15.09s + 1
.
A fun¸cão de transferência de malha fechada é
T(s) =
123.2s + 100
15.09s3 + 76.45s2 + 128.2s + 100
,
cujos pólos são −2.9453 e −1.0605 ± 1.0608j. Note que o pólo especificado
foi obtido.
A resposta à rampa unitária está ilustrada na Figura 146.
O erro entre a rampa e a resposta é ilustrado na Figura 147 onde se
verifica que a especifica¸cão de erro estacionário foi atendida.

0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
tempo
rampaeresposta
Figura 146: Rampa unit´aria e resposta `a rampa da malha fechada.
0 1 2 3 4 5 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
tempo
erro
Figura 147: Erro entre a rampa e a resposta da malha fechada.

Um código MATLAB para o projeto avan¸co-atraso anal´ıtico com base no
lugar das ra´ızes é apresentado a seguir:
% Projeto avanco-atraso anal´ıtico (lugar ra´ızes)
% Erro estacionário à rampa de 0.05,
% fator de amortecimento de 0.707,
% freq. natural de 1.5 rad/s,
% planta ps=10/(s(s+5)).
%
s=tf(’s’);
ps=10/(s*(s+5));
kc=10 %calculado atraves do erro estacionario
qsi=0.707;
wn=1.5;
sD=-qsi*wn+j*wn*sqrt(1-qsi^2)
sigmaD=real(sD)
wD=imag(sD)
psD=freqresp(ps,sD)
ampp=abs(psD)
tetap=angle(psD)
ampk=1/ampp
tetak=-pi-tetap
T=-(sigmaD*ampk*sin(tetak)+kc*wD-wD*ampk*cos(tetak))/...
(ampk*sin(tetak)*(sigmaD^2+wD^2))
alpha=ampk*(kc*wD*cos(tetak)-wD*ampk+kc*sigmaD*sin(tetak))/...
(kc*(sigmaD*ampk*sin(tetak)+kc*wD-wD*ampk*cos(tetak)))
ks=kc*(alpha*T*s+1)/(T*s+1)
margin(gs)
[p,z]=pzmap(ts)
tss=ts/s; %rampa
step(ts)
t=0:0.01:6;
figure, y=step(tss,t);

e=t’-y;
figure, plot(t,e)
20 Modelo de estados
Um modelo de estado envolve três tipos de variáveis: variáveis de entrada,
variáveis de sa´ıda e as variáveis de estado.
O objetivo principal da modelagem de estado é permitir que um sistema
representado por uma equa¸cão diferencial de ordem n possa ser representado
por n equa¸cões de primeira ordem.
Seja um sistema genérico de ordem n com p entradas e q sa´ıdas conforme
ilustrado na Figura 148.
sistema
u1
u2
up
y1
y2
yq
...
...
Figura 148: Representa¸cão de sistema com várias entradas e várias sa´ıdas.
Este sistema pode ser descrito pelo conjunto de n equa¸cões diferenciais de
primeira ordem para o estado e q equa¸cões algébricas para a sa´ıda, ou seja,
˙x(t) = f(x, u, t) e y(t) = g(x, u, t).
Estas equa¸cões podem ser linearizadas em torno do estado de opera¸cão.
Logo,
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t),
onde A(t) é a matriz de estado, B(t) é a matriz de entrada, C(t) é a matriz
de sa´ıda e D(t) é a matriz de transmissão direta.
Para sistemas invariantes no tempo é poss´ıvel escrever:
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),
y(t) = Cx(t) + Du(t).
A matriz A armazena as caracter´ısticas internas do sistema. A matriz
B relaciona as entradas aos estados. A matriz C relaciona os estado e as
sa´ıdas, e a matriz D relaciona diretamente as entradas e as sa´ıdas.

É poss´ıvel listar as seguintes vantagens da formula¸cão através de modelo
de estados:
• as equa¸cões são mais adaptadas à solu¸cão computacional (dom´ınio do
tempo),
• todas as equa¸cões são de primeira ordem, e a solu¸cão é conceitualmente
simples,
• sistemas MIMO são tratados sem altera¸cões significativas,
• e maior facilidade no tratamento de sistemas não lineares e variantes
no tempo (tema não abordado nesta apostila).
Exemplo: Modelo de estados do sistema de segunda ordem massa-mola-
amortecedor mostrado na Figura 149.
c
y(t)
u(t)
k
m
Figura 149: Sistema massa-mola-amortecedor.
A equa¸cão do movimento deste sistema é
mÿ + c ˙y + ky = u(t).
Sejam as variáveis de estado a posi¸cão, x1(t) = y(t), e a velocidade,
x2(t) = ˙y(t). Logo, é poss´ıvel escrever
˙x1 = x2 e m ˙x2 + cx2 + kx1 = u,
e,
˙x2 =
1
m
(−cx2 − kx1) +
1
m
u.

Na forma matricial tem-se a seguinte equa¸cão de estado
˙x1
˙x2
=
0 1
−k
m
−c
m
x1
x2
+
0
1
m
u,
e a seguinte equa¸cão de sa´ıda para a posi¸cão:
y = 1 0
x1
x2
.
As matrizes neste caso são:
A =
0 1
−k
m
−c
m
, B =
0
1
m
, C = 1 0 e D = 0.
O diagrama de blocos mostrado na Figura 150 deste sistema pode ser
constru´ıdo tendo como base que
ÿ =
u
m
−
c
m
˙y −
k
m
y.
u
−k
m
−c
m
y = x1˙y = x2ÿ = ˙x2
1
m
Figura 150: Diagrama de blocos do sistema massa-mola-amortecedor.
Nota-se que as sa´ıdas dos integradores no diagrama de blocos são as
variáveis de estado. O modelo de estado em que as variáveis de estado são
grandezas f´ısicas, como neste exemplo, é chamado de modelo de estados f´ısico.
20.1 Representa¸cão no espa¸co de estados de equa¸cões
diferenciais sem derivadas na excita¸cão
Seja a seguinte equa¸cão diferencial linear de ordem n
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y = u(t).

As variáveis de estado podem ser definidas como
y = x1,
dy
dt
= x2,
d2
y
dt2
= x3, . . . ,
dn−1
y
dtn−1
= xn.
Logo,
dx1
dt
= x2,
dx2
dt
= x3,
dx3
dt
= x4, . . . ,
dxn−1
dt
= xn,
e a equa¸cão diferencial pode ser reescrita como
dxn
dt
= u(t) − a0x1 − a1x2 − a2x3 − . . . − an−1xn,
ou matricialmente
˙x = Ax + Bu,
onde
x =



x1
x2
...
xn



, A =









0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−a0 −a1 −a2 . . . −an−1









, B =









0
0
...
0
1









.
A sa´ıda é dada por
y = [1 0 . . . 0]



x1
x2
...
xn



ou
y = Cx,
com C = [1 0 . . . 0], quando se considerou como resposta apenas a variável
y(t).
A fun¸cão de transferência neste caso é
Y (s)
U(s)
=
1
sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0
,
e um diagrama de blocos genérico é mostrado na Figura 151.
Esta forma de representa¸cão de estado é conhecida como modelo canônico
de fase, devido ao vetor de estado ser formado por variáveis que são derivadas
sucessivas da anterior, portanto com uma diferen¸ca de fase de 90◦
entre elas.

. . .
. . .
u xn xn−1
an−1 an−2
x2 x1 = y
a1 ao
−
Figura 151: Diagrama genérico de sistema sem derivadas na excita¸cão.
20.2 Representa¸cão de sistemas com derivadas na ex-
cita¸cão
Seja um sistema genérico de ordem n descrito por
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y = bn
dn
u
dtn
+ . . . + b1
du
dt
+ b0u.
Esta equa¸cão diferencial pode ser representada no dom´ınio de Laplace
como
D(s)Y (s) = N(s)U(s) ⇒ Y (s) =
1
D(s)
N(s)U(s),
que permite a subdivisão do sistema na forma
V (s) =
1
D(s)
U(s) e Y (s) = N(s)V (s).
Do primeiro subsistema tem-se que
D(s)V (s) = U(s),
ou
dn
v
dtn
+ an−1
dn−1
v
dtn−1
+ . . . + a1
dv
dt
+ a0v = u(t),
cujo modelo de estado é igual ao já contru´ıdo anteriormente (sem derivadas
na excita¸cão), ou seja,
˙x =









0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−a0 −a1 −a2 . . . −an−1









A
x +









0
0
...
0
1









B
u,

v = [1 0 0 . . . 0]



x1
x2
...
xn



,
com x1 = v, x2 = ˙v, x3 = ¨v, . . ., xn = dn−1v
dtn−1 .
Do segundo subsistema tem-se que
Y (s) = N(s)V (s),
ou ainda
y(t) = bn
dn
v
dtn
+ bn−1
dn−1
v
dtn−1
. . . + b1
dv
dt
+ b0v(t).
Substituindo os estados nesta equa¸cão tem-se que
y(t) = bn ˙xn + bn−1xn + . . . + b1x2 + b0x1 =
= bn(−a0 − a1x2 − . . . − an−1xn + u) + bn−1xn + . . . + b1x2 + b0x1 =
(bn−1 − bnan−1)xn + . . . + (b1 − bna1)x2 + (b0 − bna0)x1 + bnu,
e matricialmente,
y =









b0 − bna0
b1 − bna1
...
bn−2 − bnan−2
bn−1 − bnan−1









t
C
x + bn
D
u.
Exemplo: Seja o sistema de ordem 3 descrito por
d3
y
dt3
+ a2 ÿ + a1 ˙y + a0y = b3
d3
u
dt3
+ b2 ü + b1 ˙u + b0u.
Aplicando a fórmula deduzida anteriormente, escreve-se que



˙x1
˙x2
˙x3



=



0 1 0
0 0 1
−a0 −a1 −a2






x1
x2
x3



+



0
0
1


 u,
y =



b0 − b3a0
b1 − b3a1
b2 − b3a2



t 


x1
x2
x3



+ b3u.

20.3 Representa¸cões canônicas no espa¸co de estados
Seja um sistema definido por
dn
y
dtn
+an−1
dn−1
y
dtn−1
+. . .+a1
dy
dt
+a0y(t) = bn
dn
u
dtn
+bn−1
dn−1
u
dtn−1
+. . .+b1
du
dt
+b0u(t),
onde u(t) é a excita¸cão e y(t) é a resposta. Logo, no dom´ınio de Laplace
tem-se que
Y (s)
U(s)
=
bnsn
+ bn−1sn−1
+ . . . + b1s + b0
sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0
.
20.3.1 Forma canônica controlável
A forma canônica controlável já foi apresentada anteriormente, ou seja,
˙x =









0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−a0 −a1 −a2 . . . −an−1









x +









0
0
...
0
1









u,
y =






b0 − bna0
b1 − bna1
...
bn−1 − bnan−1






t
x + bnu.
A forma canônica controlável é usualmente utilizada na discussão de pro-
jetos de sistemas de controle por meio da aloca¸cão de pólos.
20.3.2 Forma canônica observável
A equa¸cão diferencial do sistema pode ser reescrita da seguinte forma
dn
y
dtn
− bn
dn
u
dtn
dnxn
dtn
= −an−1
dn−1
y
dtn−1
+ bn−1
dn−1
u
dtn−1
+ . . . −a1
dy
dt
+ b1
du
dt
−a0y(t) + b0u(t)
˙x1
¨x2
dnxn
dtn
,
e da defini¸cão anterior escreve-se que
dn
xn
dtn
=
dn
y
dtn
− bn
dn
u
dtn
,

que pode ser integrada sucessivamante permitindo obter
dn−1
xn
dtn−1
=
dn−1
y
dtn−1
− bn
dn−1
u
dtn−1
,
¨xn = ÿ − bn ü,
˙xn = ˙y − bn ˙u,
x(t) = y(t) − bnu(t) ⇒ y(t) = x(t) + bnu(t).
De
˙x1 = −a0y + b0u e y = xn + bnu,
tem-se que
˙x1 = −a0(xn + bnu) + b0u = −a0xn + (b0 − bna0)u.
De
¨x2 = −a1 ˙y + b1 ˙u + ˙x1 ⇒ ˙x2 = −a1y + b1u + x1,
e usando novamente y = xn + bnu tem-se que
˙x2 = −a1xn + (b1 − bna1)u + x1.
Generalizando é poss´ıvel escrever que
˙xn = −an−1xn + (bn−1 − bnan−1)u + xn−1,
que permite escrever a forma canônica observável como



˙x1
˙x2
...
˙xn



=






0 0 . . . 0 −a0
1 0 0 −a1
...
...
...
...
0 0 1 −an−1









x1
x2
...
xn



+






b0 − bna0
b1 − bna1
...
bn−1 − bnan−1






u,
y = [0 0 . . . 0 1]



x1
x2
...
xn



+ bnu.
Nota-se que a matriz de estado n × n da forma observável é a transposta
da matriz de estado da forma controlável.
Exemplo: Para o sistema massa-mola-amortecedor regido por
ÿ +
c
m
˙y +
k
m
y(t) =
1
m
u(t),
o modelo de estados na forma observável é dado pelas matrizes:
A =
0 − k
m
1 − c
m
; B =
1
m
0
; C = [0 1] ; D = 0.

20.4 Autovalores da matriz An×n
Os autovalores da matriz An×n são as ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica
det(λI − A) = 0,
onde I é a matriz identidade.
O determinante de (λI − A) é o denominador da fun¸cão de transferência.
Logo, os autovalores de A são os pólos da fun¸cão de transferência do sistema.
20.5 Rela¸cão entre fun¸cões de transferência e modelo
de estado
Seja
G(s) =
Y (s)
U(s)
a fun¸cão de transferência de um sistema. Este sistema, considerado inicial-
mente SISO, pode ser representado no espa¸co de estados por
˙x = Ax + Bu,
y = Cx + Du
onde x é o vetor de estado, u é entrada e y é a sa´ıda.
A transformada de Laplace das equa¸cões no espa¸co de estados é
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s),
Y (s) = CX(s) + DU(s). (12)
Como a fun¸cão de transferência é a rela¸cão entre a transformada de La-
place da sa´ıda pela transformada de Laplace da entrada com condi¸cões iniciais
nulas tem-se,
sX(s) − AX(s) = BU(s),
(sI − A)X(s) = BU(s),
X(s) = (sI − A)−1
BU(s). (13)
Substituindo (13) em (12) obtém-se
Y (s) = C(sI − A)−1
BU(s) + DU(s),
Y (s) = (C(sI − A)−1
B + D)
G(s)
U(s).

Portanto, pode-se escrever que
G(s) = C(sI − A)−1
B + D.
É poss´ıvel imaginar G(s) como
G(s) =
Q(s)
det(sI − A)
onde Q(s) é o numerador e det(sI − A) é o denominador (aparece devido à
inversão do termo sI − A).
Consequentemente, det(sI −A) = 0 é o polinômio caracter´ıstico de G(s),
e verifica-se que os autovalores de A são os pólos de G(s).
Exemplo: Partindo das matrizes de estado do sistema massa-mola-amortecedor,
obter a fun¸cão de transferência.
As matrizes de estado são
A =
0 1
−k
m
−c
m
, B =
0
1
m
, C = 1 0 e D = 0.
A fun¸cão de transferência será dada por
G(s) = C(sI − A)−1
B + D =
= 1 0
s 0
0 s
−
0 1
−k
m
−c
m
−1
0
1
m
+ 0 =
= 1 0
s −1
k
m
s + c
m
−1
0
1
m
.
Sabe-se que
s −1
k
m
s + c
m
−1
=
1
s2 + c
m
s + k
m
s + c
m
1
−k
m
s
.
Logo,
G(s) = 1 0
1
s2 + c
m
s + k
m
s + c
m
1
−k
m
s
0
1
m
=
1
ms2 + cs + k
.

20.6 Solu¸cão das equa¸cões de estado - sistemas invari-
antes no tempo
20.6.1 Solu¸cão da equa¸cão homogênea
• Seja a equa¸cão escalar
˙x = ax ⇒ ˙x − ax = 0,
cuja solu¸cão é do tipo x = ceat
. Se x(0) = x0 então x = x0eat
.
A exponencial pode ser expandida em série como
eat
= 1 + at +
1
2!
a2
t2
+ . . . +
1
k!
ak
tk
+ . . . =
∞
k=0
ak
tk
k!
.
• Seja o caso matricial
˙x = Ax ⇒ ˙x − Ax = 0.
Por analogia ao caso escalar, a solu¸cão é do tipo
x = x0eAt
,
com
eAt
= I + At +
1
2!
A2
t2
+ . . . +
1
k!
Ak
tk
+ . . . .
A exponencial matricial é definida como
eAt
=
∞
k=0
Ak
tk
k!
,
que é uma série que converge, de forma absoluta, para todos os valores
de t → 0, o que permite o cálculo de eAt
através da expansão em série.
A derivada da exponencial matricial é
d
dt
eAt
= A + A2
t +
A3
t2
2!
+ . . . +
Ak
tk−1
(k − 1)!
+ . . . =
= A I + At +
A2
t2
2!
+ . . . +
Ak−1
tk−1
(k − 1)!
+ . . . = AeAt
.
A solu¸cão da equa¸cão de estado pode ser obtida também através do en-
foque da transformada de Laplace.

• Para o caso escalar tem-se:
˙x = ax
L
→ sx(s) − x(0) = ax(s),
x(s) =
x(0)
s − a
= (s − a)−1
x(0)
L−1
→ x(t) = eat
x(0).
• Para o caso matricial tem-se:
˙x = Ax
L
→ sx(s) − x(0) = Ax(s),
(sI − A)x(s) = x(0),
x(s) = (sI − A)−1
x(0)
L−1
→ x(t) = eAt
x(0).
20.7 Matriz de transi¸cão de estados
A solu¸cão da equa¸cão homogênea ˙x = Ax pode ser escrita como
x(t) = φ(t)x(0), (14)
onde φ(t) é uma matriz n × n e é solu¸cão de
˙φ(t) = Aφ(t), φ(0) = I.
Note que
x(0) = φ(0)x(0),
˙x(t) = ˙φ(t)x(0) = Aφ(t)x(0) = Ax(t).
A solu¸cão de ˙φ(t) = Aφ(t) é
φ(t) = eAt
φ(0) = eAt
= L−1
[(sI − A)−1
].
É poss´ıvel verificar que φ(t)−1
= e−At
= φ(−t).
Com base na equa¸cão (14) nota-se que a matriz φ(t) representa uma
transforma¸cão da condi¸cão inicial. Esta matriz é conhecida como matriz de
transi¸cão de estados e contém toda a informa¸cão sobre o comportamento
natural do sistema.
Se os autovalores λ1, λ2, . . ., λn da matriz A forem distintos, φ(t) conterá
n exponenciais eλ1t
, eλ2t
, . . ., eλnt
.
Se houver multiplicidade dos autovalores de A então φ(t) conterá além
dos termos do tipo eλt
, termos do tipo teλt
.

Exemplo: Obter a matriz de transi¸cão de estados e sua inversa para o
seguinte sistema
˙x1
˙x2
˙x
=
0 1
−2 −3
A
x1
x2
x
.
A matriz de transi¸cão de estados é dada por
φ(t) = eAt
= L−1
[(sI − A)−1
].
Calculando
sI − A =
s 0
0 s
−
0 1
−2 −3
=
s −1
2 s + 3
,
(sI − A)−1
=
1
(s + 1)(s + 2)
s + 3 1
−2 s
=
s+3
(s+1)(s+2)
1
(s+1)(s+2)
−2
(s+1)(s+2)
s
(s+1)(s+2)
.
Logo,
φ(t) = L−1
(sI − A)−1
=
2e−t
− e−2t
e−t
− e−2t
−2e−t
+ 2e−2t
−e−t
+ 2e−2t = eAt
,
e a inversa pode ser calculada como
φ(t)−1
= φ(−t) =
2et
− e2t
et
− e2t
−2et
+ 2e2t
−et
+ 2e2t .
Um código MATLAB para o cálculo da exponencial matricial para este
exemplo é:
A=[0 1; -2 -3];
syms t
phi=expm(A*t)
20.8 Solu¸cão das equa¸cões de estado não homogêneas
• Seja o caso escalar:
˙x = ax + bu ⇒ ˙x − ax = bu,

então
e−at
( ˙x − ax) = e−at
bu,
ou ainda,
d
dt
(e−at
x(t)) = e−at
bu(t).
Integrando entre 0 e t obtém-se
e−at
x(t) = x(0) +
t
0
e−aτ
bu(τ)dτ,
x(t) = eat
x(0) + eat
t
0
e−aτ
bu(τ)dτ,
que é a solu¸cão da equa¸cão diferencial de primeira ordem do caso esca-
lar.
• Seja o caso matricial
˙x = Ax + Bu.
Da mesma forma que foi feito no caso escalar tem-se que
x(t) = eAt
x(0) +
t
0
eA(t−τ)
Bu(τ)dτ,
x(t) = φ(t)x(0) +
t
0
φ(t − τ)Bu(τ)dτ,
que representa a solu¸cão do sistema de equa¸cões diferenciais de primeira
dado pela equa¸cão de estado.
As equa¸cões de estado podem ser resolvidas pelo enfoque da transformada
de Laplace, ou seja,
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s),
(sI − A)X(s) = x(0) + BU(s),
X(s) = (sI − A)−1
x(0) + (sI − A)−1
BU(s),
X(s) = L[eAt
]x(0) + L[eAt
]BU(s),
ou aplicando a anti-transformada de Laplace,
x(t) = eAt
x(0) +
t
0
eA(t−τ)
Bu(τ)dτ,
onde se utilizou a propriedade de que o produto no dom´ınio s representa a
convolu¸cão do dom´ınio t.

Exemplo: Obter a resposta no tempo do sistema
˙x1
˙x2
=
0 1
−2 −3
x1
x2
+
0
1
u,
onde u(t) é um degrau unitário aplicado em t = 0.
A matriz de transi¸cão de estados, já obtida anteriormente, é
φ(t) = eAt
=
2e−t
− e−2t
e−t
− e−2t
−2e−t
+ 2e−2t
−e−t
+ 2e−2t .
A resposta a um degrau unitário é, portanto,
x(t) = eAt
x(0)+
t
0
2e−(t−τ)
− e−2(t−τ)
e−(t−τ)
− e−2(t−τ)
−2e−(t−τ)
+ 2e−2(t−τ)
−e−(t−τ)
+ 2e−2(t−τ)
0
1
1dτ,
ou
x1(t)
x2(t)
=
2e−t
− e−2t
e−t
− e−2t
−2e−t
+ 2e−2t
−e−t
+ 2e−2t
x1(0)
x2(0)
+
1
2
− e−t
+ 1
2
e−2t
e−t
− e−2t =
=
1
2
− e−t
+ 1
2
e−2t
e−t
− e−2t ,
onde foi considerado que
x1(0)
x2(0)
=
0
0
.
21 Realimenta¸cão de estados
A realimenta¸cão de estados caracteriza um controle que consiste basicamente
na medi¸cão, e conseqüente multiplica¸cão por um fator espec´ıfico, de cada
variável de estado as quais são realimentadas. A matriz formada pelos fatores
de multiplica¸cão é chamada de matriz de ganhos ou matriz de realimenta¸cão
de estado. Isto corresponde a uma altera¸cão dos pólos do sistema para novas
posi¸cões no plano complexo caracterizando o que se conhece por aloca¸cão de
pólos.

21.1 Caso de regulador
Seja o sistema
˙x = Ax + Bu, y = Cx,
onde D = 0 sem perda de generalidade.
Seja um sistema regulador (entrada nula) e a lei de controle correspon-
dente à realimenta¸cão de estados
u = −Kx,
onde K é a matrix de ganhos.
Substituindo este resultado na equa¸cão de estados tem-se
˙x = Ax + B(−Kx),
˙x = (A − BK)x,
que permite definir a nova matriz de malha fechada
Ak = A − BK,
que caracteriza um sistema homogêneo na forma
˙x = Akx, y = Cx.
O principal objetivo da metodologia de controle por realimenta¸cão de
estado é a sele¸cão do vetor de realimenta¸cão da matriz K para obter pólos
pré-determinados no sistema de malha fechada.
A realimenta¸cão de estados pode ser representada em termos de fun¸cões
de transferência como mostrado na Figura 152.
Heq(s)
G(s)
Y (s)
−
Figura 152: Fun¸cões de transferência na realimenta¸cão de estados.
Para o ponto de entrada no comparador é poss´ıvel escrever que
Kx = Heq(s)Y (s),

ou ainda
Heq(s) =
Kx(s)
Y (s)
=
Kx(s)
Cx(s)
.
Contudo,
x(s) = (sI − A)−1
BU(s).
Logo,
Heq(s) =
K(sI − A)−1
B
C(sI − A)−1B
,
que é uma fun¸cão de transferência de uma entrada e uma sa´ıda neste caso.
Observando que a planta a ser controlada é dada por P(s) = C(sI −
A)−1
B, verifica-se que a fun¸cão de malha de malha aberta (“loop”) é dada
por
L(s) = P(s)Heq(s) = K(sI − A)−1
B,
o que permite os cálculos das margens de estabilidade relativa através do
sistema determinado pelas matrizes de estado (A, B, K, 0).
Neste caso de regulador, o sinal de controle devido a uma perturba¸cão
em termos de condi¸cões iniciais pode ser determinado através do seguinte
sistema na forma de estados
˙x = Akx, u = −Kx,
ou seja, pelo modelo de estado determinado pelas matrizes (Ak, 0, −K, 0).
Uma outra forma de determinar o sinal de controle é calcular os estados, e
então calcular diretamente u(t) = −Kx(t).
21.2 Fórmula de Ackermann
Seja o sistema
˙x = Ax + Bu,
e a realimenta¸cão de estados u = −Kx. Consequentemente, a malha fechada
correspondente é
˙x = (A − BK)x = AKx,
onde AK = A − BK.
A equa¸cão caracter´ıtica correspondente
det[sI − (A + BK)] = det[sI − AK] = (s − µ1)(s − µ2) . . . (s − µn) =
= sn
+ α1sn−1
+ . . . + αn−1s + αn = 0,
onde µ1, µ2, . . ., µn são os pólos da malha fechada.

O teorema de Cayley-Hamilton diz que AK satisfaz sua equa¸cão carac-
ter´ıstica, ou seja,
ψ(AK) = An
K + α1An−1
K + . . . + αn−1Ak + αnI = 0.
Para facilitar a apresenta¸cão da fórmula de Ackermann considere n = 3.
Pode-se escrever que
A2
K = (A − BK)2
= (A − BK)(A − BK) = A2
− ABK − BKA + (BK)2
=
= A2
− ABK − BK(A − BK) = A2
− ABK − BKAK.
A3
K = (A − BK)(A2
− ABK − BKAK) =
= A3
− A2
BK − ABKAK − BK(A2
− ABK − BKAK) =
= A3
− A2
BK − ABKAK − BKA2
K.
Agora é poss´ıvel calcular ψ(AK), ou seja,
ψ(AK) = A3
− A2
BK − ABKAK − BKA2
K+
+α1(A2
− ABK − BKAK) + α2(A − BK) + α3I = 0,
ou ainda,
ψ(AK) = A3
+ α1A2
+ α2A + α3I+
−α2BK − α1BKAK − BKA2
K − α1ABK − ABKAK − A2
BK,
que pode ser reescrita como
A3
+ α1A2
+ α2A + α3I =
= B(α2K + α1KAK + KA2
K) + AB(α1K + KAK) + A2
BK,
ou também,
ψ(A) = B AB A2
B
controlabilidade



α2K + α1KAK + KA2
K
α1K + KAK
K


 .
Logo,
B AB A2
B
−1
ψ(A) =



α2K + α1KAK + KA2
K
α1K + KAK
K


 ,

ou também
[0 0 1] B AB A2
B
−1
ψ(A) = [0 0 1]



α2K + α1KAK + KA2
K
α1K + KAK
K


 ,
que permite isolar K, i.e.,
K = [0 0 1] B AB A2
B
−1
ψ(A).
Pode-se escrever para n qualquer que
K = [0 0 . . . 0 1] B AB . . . An−1
B
−1
ψ(A)
que é conhecida como a fórmula de Ackerman, que requer que a matriz de
controlabilidade seja invers´ıvel, ou seja,
det B AB . . . An−1
B = 0.
Exemplo: Um bloco de massa unitária deve permanecer na sua posi¸cão
inicial. Ao ser perturbado com uma condi¸cão inicial ele deve retornar à esta
posi¸cão de forma criticamente amortecida e com um tempo de estabiliza¸cão
a 2% de 2s. Determine os ganhos de realimenta¸cão de estados para esta
situa¸cão e verifique a resposta em termos da posi¸cão e da velocidade quando
o bloco é submetido à uma condi¸cão inicial y(0) = 0.1.
A equa¸cão diferencial correspondente é
ÿ = u(t).
Sejam os estados x1 = y e x2 = ˙y. Logo escreve-se que
˙x1
˙x2
=
0 1
0 0
x1
x2
+
0
1
u,
y = [1 0]
x1
x2
.
A matriz de controlabilidade neste caso é
M = [B AB] =
0 1
1 0
,
cujo determinante é
detM = −1,

e conseqüentemente tem-se um sistema controlável.
Os requisitos de projeto são ξ = 1 e Te2% = 2. Logo,
Te2% =
4
ξwn
⇒ wn =
4
ξTe2%
= 2rad/s.
Portanto, os pólos desejados são
µ1,2 = −ξwn ± jwn 1 − ξ2 = −2 ± 0j.
Logo,
φ(s) = (s + 2)(s + 2) = s2
+ 4s + 4.
Aplicando a fórmula de Ackermann obtém-se os ganhos da realimenta¸cão
de estados, ou seja,
K = [0 1]M−1
ψ(A) =
= [0 1]
0 1
1 0
−1

 0 1
0 0
2
+ 4
0 1
0 0
+ 4
1 0
0 1

 = [4 4].
A matriz de estado de malha fechada é
AK = A − BK =
0 1
0 0
−
0
1
[4 4] =
0 1
−4 −4
.
É poss´ıvel verificar a posi¸cão e a velocidade deste sistema quando sub-
metido à uma condi¸cão inicial. Note que o sistema em malha fechada é
homogêneo (regulador) e o papel do controlador é assegurar que o sistema
retorne ao seu estado de equil´ıbrio quando for submetido à um perturba¸cão
na forma de uma condi¸cão inicial. A matriz de transi¸cão de estados pode ser
utilizada neste caso para o cálculo da resposta em fun¸cão do tempo.
Um código MATLAB para este exemplo é apresentado a seguir, que gera
os gráficos da resposta da malha fechada para a posi¸cão e para a veloci-
dade mostrados nas Figura 153 e 154 respectivamente. O sinal de controle é
mostrado na Figura 155.
%realimenta¸c~ao de estados - regulador
A=[0 1; 0 0];
B=[0; 1];
C=[1 0];
D=0;
M=ctrb(A,B) %matriz de controlabilidade
detM=det(M)

qsi=1; te2=2;
wn=4/(qsi*te2)
polosd=[-qsi*wn+wn*sqrt(1-qsi^2) -qsi*wn-wn*sqrt(1-qsi^2)] %polos desejados
K=acker(A,B,polosd)
Ak=A-B*K
Bk=[0; 0];
Ck=[1 0] %sa´ıda em posi¸c~ao
Dk=0
CI=[0.1 0] %condi¸c~oes iniciais
initial(Ak,Bk,Ck,Dk,CI) %resposta da posi¸c~ao à condi¸c~ao inicial
[y,x,t]=initial(Ak,Bk,Ck,Dk,CI); %sa´ıda y e estados x, para o tempo t
Ck=[0 1] %sa´ıda em velocidade
figure, initial(Ak,Bk,Ck,Dk,CI) %resposta da velocidade à condi¸c~ao inicial
figure, initial(Ak,Bk,-K,Dk,CI) %sinal de controle
%forma alternativa de calculo do sinal de controle
u=-K*x’;
figure, plot(t,u)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Response to Initial Conditions
Time (sec)
Amplitude
Figura 153: Resposta em termos de posi¸cão para a malha fechada.

0 1 2 3 4 5 6
−0.08
−0.07
−0.06
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
Time (sec)
Amplitude
Figura 154: Resposta em termos da velocidade para a malha fechada.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−0.4
−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Time (sec)
Amplitude
Figura 155: Sinal de controle.

21.3 Caso de rastreador - entrada degrau
Considere um problema de rastreamento com entrada do tipo degrau. Este
problema pode ser resolvido adequadamente pela realimenta¸cão de estados,
compensando inclusive o erro estacionário no caso da resposta ao degrau.
Seja o sistema
˙x = Ax + Bu, y = Cx,
onde D = 0 sem perda de generalidade.
Seja a matriz de realimenta¸cão K e por conveniência um ganho kp no
ramo de malha aberta conforme mostrado na Figura 156.
r(t) u(t) x(t) y(t)
kp ˙x = Ax + Bu C
K
−
Figura 156: Esquema de realimenta¸cão de estados.
Observando o diagrama de blocos pode-se escrever que
u = kp(r − Kx).
Substituindo este resultado na equa¸cão de estados tem-se
˙x = Ax + B[kp(r − Kx)],
˙x = (A − kpBK)x + kpBr(t).
Definindo as novas matrizes
Ak = A − kpBK,
Bk = kpB,
tem-se para o sistema em malha fechada
˙x = Ak ˙x + Bkr,
y = Cx.

R(s)
Heq(s)
G(s)
Y (s)
kp
−
Figura 157: Fun¸cões de transferência na realimenta¸cão de estados.
A fun¸cão de transferência de malha fechada, neste caso, é
Y (s)
R(s)
= C(sI − Ak)−1
Bk.
A realimenta¸cão de estados pode ser representada em termos de fun¸cões
de transferência como mostrado na Figura 157.
Para o ponto de entrada no comparador é poss´ıvel escrever que
Kx = Heq(s)Y (s),
ou ainda
Heq(s) =
Kx(s)
Y (s)
=
Kx(s)
Cx(s)
.
Contudo,
x(s) = (sI − A)−1
BU(s).
Logo,
Heq(s) =
K(sI − A)−1
B
C(sI − A)−1B
.
A fun¸cão de transferência de malha fechada neste caso é dada por
Y (s)
R(s)
=
kpP(s)
1 + kpP(s)Heq(s)
com P(s) = C(sI − A)−1
B.
Substituindo P(s) e Heq(s) na fun¸cão de transferência de malha fechada
tem-se
Y (s)
R(s)
=
kpC(sI − A)−1
B
1 + kpK(sI − A)−1B
.
O sinal de controle para este caso de rastreador pode ser determinado
considerando o seguinte sistema na forma de estados:
˙x = Akx + Bkr,

u = kp(r − Kx) = −kpKx + kpr,
e que corresponde à resposta do modelo de estados definido por (Ak, Bk, −kpK, kp).
Este sinal de controle pode ser também calculado através dos estados utili-
zando diretamente a lei de controle.
Exemplo: Para G(s) = 2s+5
s2+1
deseja-se que o sistema em malha fechada
tenha pólos −1 e −2 utilizando a realimenta¸cão das variáveis de estado.
Determinar a matriz de realimenta¸cão de estados.
A nova fun¸cão de transferência para os pólos especificados, mantendo-se
os zeros será
Y (s)
R(s)
=
2s + 5
(s + 1)(s + 2)
=
2s + 5
s2 + 3s + 2
.
O diagrama de blocos do sistema original acrescentando-se o vetor de
controle é mostrado na Figura 158.
Y (s)R(s)
kp 1
s
1
s
x1x2
2
5
k1
k2
1
−−−
Figura 158: Diagrama de blocos do exemplo.
Analisando o diagrama escreve-se que
˙x1 = x2,
˙x2 = −x1 + kp(−k2x2 − k1x1 + r(t)),
˙x2 = −(1 + kpk1)x1 − kpk2x2 + kpr(t), (15)

y = 2x2 + 5x1.
Para o sistema desejado tem-se que
(s2
+ 3s + 2)Y (s) = (2s + 5)R(s) ⇒ ÿ + 3 ˙y + 2y = 2 ˙r + 5r.
Uma equa¸cão de estado para este sistema é
˙x1
˙x2
=
0 1
−2 −3
x1
x2
+
0
1
r.
Logo,
˙x1 = x2 e ˙x2 = −2x1 − 3x2 + r. (16)
Comparando (15) e (16) conclui-se que
1 + kpk1 = 2, −kpk2 = −3, kp = 1,
e então
k1 = 1 e k2 = 3.
Uma segunda abordagem para a determina¸cão de k1 e k2 é através da
fun¸cão de transferência. Do diagrama de blocos tem-se que
Y (s) = 5X1(s) + 2X2(s) = 5X1(s) + 2sX1(s) = (5 + 2s)X1(s),
KX(s) = k1X1(s) + k2X2(s) = (k1 + k2s)X1(s),
Heq(s) =
KX(s)
Y (s)
=
(k1 + k2s)X1(s)
(5 + 2s)X1(s)
=
k1 + k2s
5 + 2s
.
Pode-se representar este sistema através do diagrama de blocos da Figura
159.
R(s)
k1+k2s
5+2s
G(s)
Y (s)
kp
−
Figura 159: Diagrama de blocos em termos de fun¸cões de transferência.
Verifica-se que a fun¸cão de transferência de malha fechada é
Y (s)
R(s)
=
kp(2s+5
s2+1
)
1 + kp(2s+5
s2+1
)(k1+k2s
5+2s
)
=
kp(2s + 5)
s2 + kpk2s + (1 + kpk1)
,

e comparando com o polinômio caracter´ıstico desejado tem-se
kp = 1, k2 = 3 e k1 = 1.
Verifica-se que a realimenta¸cão de estados corresponde a uma aloca¸cão
dos pólos de malha fechada para posi¸cões espec´ıficas.
O erro estacionário ao degrau pode ser compensado através da inclusão
de um ganho proporcional. Este ganho proporcional pode ser inclu´ıdo na
entrada, na sa´ıda ou dentro da malha:
• Ganho proporcional na sa´ıda. Como o sistema é linear, a matriz de
sa´ıda da malha fechada pode ser multiplicada pelo ganho proporcional
kp adequado para adequar a sa´ıda, ou seja, a nova matriz de sa´ıda ¯C
será:
¯C = kpC.
• Ganho proporcional na entrada. A matriz de entrada da malha fechada
pode ser compensada, ou seja,
¯BK = kpBK.
• Ganho proporcional dentro da malha. Esta forma de compensa¸cão
tem a vantagem de multiplicar o sinal erro, evitando assim problemas
de amplifica¸cão/satura¸cão de sinais. Neste caso, a matriz B original é
compensada e o vetor de realimenta¸cão de estados deve ser recalculado,
ou seja,
u = kpr − Kx = kp(r −
K
kp
x) = kp(r − ¯Kx),
com ¯K = K/kp e ¯B = kpB, que equivale a corrigir a matrix B e fazer
uma nova aloca¸cão de pólos.
O uso da fórmula de Ackermann no MATLAB é
K=acker(A,B,polos_desejados)
A aloca¸cão de pólos pode ser feita também através do seguinte comando
MATLAB:
K=place(A,B,polos_desejados)

Exemplo: Seja um duplo integrador dado por
P(s) =
1
s2
.
Deseja-se que a malha fechada com realimenta¸cão de estados seja critica-
mente amortecida com um tempo de estabiliza¸cão a 2% de 2s, e que o erro
estacionário ao degrau seja nulo.
A equa¸cão diferencial correspondente é
Y (s) =
1
s2
U(s) ⇒ s2
Y (s) = U(s) ⇒ ÿ = u(t).
Sejam os estados x1 = y e x2 = ˙y. Logo escreve-se que
˙x1
˙x2
=
0 1
0 0
x1
x2
+
0
1
u,
y = [1 0]
x1
x2
.
A matriz de controlabilidade neste caso é
M = [B AB] =
0 1
1 0
,
cujo determinante é
detM = −1,
e conseqüentemente tem-se um sistema controlável.
Os requisitos de projeto são ξ = 1 e Te2% = 2. Logo,
Te2% =
4
ξwn
⇒ wn =
4
ξTe2%
= 2rad/s.
Portanto, os pólos desejados são
µ1,2 = −ξwn ± jwn 1 − ξ2 = −2 ± 0j.
Logo,
φ(s) = (s + 2)(s + 2) = s2
+ 4s + 4.
Aplicando a fórmula de Ackermann obtém-se os ganhos da realimenta¸cão
de estados, ou seja,
K = [0 1]M−1
φ(A) =

= [0 1]
0 1
1 0
−1

 0 1
0 0
2
+ 4
0 1
0 0
+ 4
1 0
0 1

 = [4 4].
Considerando inicialmente kp = 1, a matriz de estado de malha fechada
é
AK = A − BK =
0 1
0 0
−
0
1
[4 4] =
0 1
−4 −4
,
e a matriz de entrada BK é
BK = B =
0
1
.
A resposta ao degrau deste sistema em malha fechada é mostrada na
Figura 160, onde se verifica que o valor da resposta de regime é 0.25.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 160: Resposta ao degrau unitário para a malha fechada com kp = 1.
Neste caso, é necessário fazer uma compensa¸cão através da constante
kp = 4. Inserindo esta constante dentro da malha de controle, a matriz de
entrada passa a ser
B = kp
0
1
=
0
4
.
A matriz de ganhos de realimenta¸cão de estados passa a ser
K =
1
kp
[4 4] = [1 1].

A matriz de estado da malha fechada é dada por
AK = A − BK =
0 1
0 0
−
0
4
[1 1] =
0 1
−4 −4
,
e a matriz de entrada BK é
BK = B =
0
4
.
A resposta ao degrau da malha fechada é apresentada na Figura 161 onde
se verifica a adequada compensa¸cão do erro estacionário.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 161: Resposta ao degrau unitário para a malha fechada com kp = 4.
A fun¸cão de transferência da malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
= C(sI − AK)−1
BK + D =
= [1 0] s
1 0
0 1
−
0 1
−4 −4
−1
0
4
=
= [1 0]
s −1
4 s + 4
−1
0
4
=
4
s2 + 4s + 4
,
que possui o polinômio caracter´ıstico desejado.

As margens de estabilidade do sistema controlado podem ser calculadas
empregando-se a fun¸cão de transferência de malha aberta, que é relacionada
às matrizes (A, B, K, D), resultando em margem de ganho infinita e margem
de fase de 76◦
.
A fun¸cão de tranferência equivalente do controlador é dada por
Heq(s) =
L(s)
P(s)
= 4s + 4.
O sinal de controle para este exemplo é apresentado na Figura 162 e foi
determinado através da resposta do sistema (Ak, Bk, −K, kp). Note que o
ganho kp foi incorporado à matriz K neste caso.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 162: Sinal de controle.
Um código MATLAB para este exemplo é apresentado a seguir.
%realimenta¸c~ao de estados - rastreador
A=[0 1; 0 0];
B=[0; 1];
C=[1 0];
D=0;
p=ss(A,B,C,D); ps=tf(p); %planta
M=ctrb(A,B) %matriz de controlabilidade

detM=det(M)
qsi=1; te2=2;
wn=4/(qsi*te2)
polosd=[-qsi*wn+wn*sqrt(1-qsi^2) -qsi*wn-wn*sqrt(1-qsi^2)] %polos desejados
K=acker(A,B,polosd) %ganhos da realimenta¸c~ao
%malha fechada
Ak=A-B*K;
Bk=B; Ck=C; Dk=0;
step(Ak,Bk,Ck,Dk)
kp=1/dcgain(Ak,Bk,Ck,Dk)
%compensando o erro estacionário na sa´ıda da malha fechada
Ck1=kp*Ck;
figure; step(Ak,Bk,Ck1,Dk)
%compensando o erro estacionário na entrada da malha fechada
Bk1=kp*Bk;
figure; step(Ak,Bk1,Ck,Dk)
%compensando o erro dentro da malha
B1=kp*B;
K1=acker(A,B1,polosd) %ou K1=K/kp
Ak=A-B1*K1
Bk=B1; Ck=C; Dk=0;
figure; step(Ak,Bk,Ck,Dk)
[y,x,tempo]=step(Ak,Bk,Ck,Dk); %sa´ıda y e estados x no tempo
t=ss(Ak,Bk,Ck,Dk);
ts=tf(t) %fun¸c~ao de transferência de malha fechada
%margens de estabilidade do sistema controlado
% ls é a fun¸c~ao de malha aberta
l=ss(A,B1,K1,D); ls=tf(l);
figure, margin(l)
figure, rlocus(l)
ks=ls/ps; %controlador equivalente
ks=minreal(ks)
figure, step(Ak,Bk,-K1,kp) %sinal de controle
u=-K1*x’+kp*1; %calculo através da lei de controle

figure, plot(tempo,u)

22 Realimenta¸cão da sa´ıda e observadores de
estado
Na abordagem por aloca¸cão de pólos considerou-se que todas as variáveis
de estado estavam dispon´ıveis para realimenta¸cão. Contudo, isso pode não
ocorrer sendo necessário estimar as variáveis de estado não dispon´ıveis ou
que sejam inviáveis de se medir.
A estima¸cão de variáveis de estado pode ser feita usando um observador
ou estimador. O observador é um módulo matemático que estima as variáveis
de estado. O observador pode ser de ordem completa quando estima todas
as variáveis de estado ou pode ser de ordem reduzida quando estima uma
parte das variáveis de estado.
O observador utiliza a sa´ıda y(t) e o sinal de controle u(t) para gerar uma
estimativa ˆx(t) para os estados conforme ilustrado na Figura 163.
r e yu
kp
K Observador
Planta
ˆx
−
Figura 163: Esquema de sistema com observador.
Seja o sistema
˙x = Ax + Bu, y = Cx,
com D = 0 sem perda de generalidade, e seja ˆx(t) uma estimativa para x da
seguinte forma
˙ˆx = Aˆx + Bu + L(y − Cˆx).
Verifica-se que a equa¸cão do observador tem como entrada y e u, e como
sa´ıda o estado estimado ˆx. Note que o termo y − Cˆx representa a diferen¸ca
entre a sa´ıda real e a sa´ıda estimada (para o caso D = 0).
A equa¸cão apresentada para o observador não é única, mas esta é a mais
conhecida chamada de observador de Luenberger.
A matriz L é a matriz de ganhos de realimenta¸cão do observador.
Um esquema de planta controlada através da realimenta¸cão de estados
estimados é mostrado na Figura 164.

r
B
B
yu
A
A
K
C
C
ˆx
x
L
−
−
Figura 164: Planta e realimenta¸c˜ao de estados estimados com observador de
Luenberger.

O erro e(t) entre os estados reais e os estimados é dado por
e = x − ˆx.
Logo, pode-se escrever
˙e = ˙x − ˙ˆx = Ax + Bu − [Aˆx + Bu + L(y − Cˆx)] =
= A(x − ˆx) − LC(x − ˆx),
ou ainda
˙e = (A − LC)e. (17)
Conseqüentemente o comportamento dinâmico do vetor erro é determi-
nado pelos autovalores da matriz A − LC. Se os autovalores representarem
uma condi¸cão de estabilidade, então o vetor erro sempre convergirá para zero.
Isso implica que ˆx → x para quaisquer ˆx(0) e x(0). É conveniente que os
autovalores de A−LC estejam mais à esquerda no plano complexo para que
esta convergência seja mais rápida.
22.1 Malha fechada com observador - regulador
Considere uma realimenta¸cão de estados feita com base no vetor estimado ˆx.
Este problema pode ser resolvido em duas etapas:
• determina¸cão dos ganhos K da realimenta¸cão de estados que aloquem
os pólos nas posi¸cões desejadas, e
• determina¸cão dos ganhos do observador L para que este seja suficien-
temente rápido na tarefa de estimar os estados.
Considere a lei de realimenta¸cão de estados do problema de regula¸cão,
u = −Kˆx, com base nos estados estimados.
Malha fechada com base nos estados e no erro
A malha fechada com observador será dada por
˙x = Ax + B(−Kˆx) = Ax − BKˆx = Ax − BKˆx − BKx + BKx,
ou ainda
˙x = (A − BK)x + BKe. (18)
Combinando esta equa¸cão com a equa¸cão do erros tem-se a equa¸cão de
estados com a inclusão do observador
˙x
˙e
=
A − BK BK
0 A − LC
x
e
.

A equa¸cão da sa´ıda é dada por
y = Cx + Du = Cx + D(−Kˆx) = Cx − DKˆx + DKx − DKx =
= (C − DK)x + DKe,
ou ainda
y = [C − DK DK]
x
e
.
Os pólos do sistema com observador podem ser determinados através da
equa¸cão caracter´ıstica dada por
det
sI − A + BK −BK
0 sI − A + LC
= 0,
det[sI − A + BK]
real. estados
det[sI − A + LC]
observador
= 0.
Verifica-se que os termos associados à realimenta¸cão de estados e referen-
tes ao onservador são independentes, caracterizando o princ´ıpio da separa¸cão,
que permite alocar os pólos da realimenta¸cão de estados de forma indepen-
dente da aloca¸cão de pólos do observador.
Os pólos devido à realimenta¸cão de estados devem ser alocados para aten-
der aos requisitos de desempenho. Os pólos do observador devem assegurar
que o erro convirja rapidamente a zero, para se ter uma boa estimativa dos
estados que serão realimentados.
Malha fechada com base nos estados e estados estimados
A malha também pode ser fechada em termos dos estados x e dos estados
estimados ˆx, ou seja,
˙x = Ax + B(−Kˆx) = Ax − BKˆx.
Substituindo a lei de controle na equa¸cão do observador tem-se que
˙ˆx = Aˆx + B(−Kˆx) + L(Cx + Du − Cˆx − Du),
˙ˆx = Aˆx − BKˆx + LCx − LCˆx,
˙ˆx = (A − BK − LC)ˆx + LCx,
que pode ser colocada na forma matricial como
˙x
˙ˆx
=
A −BK
LC A − BK − LC
x
ˆx
,

e a equa¸cão de sa´ıda é
y = Cx + D(−Kˆx) = Cx − DKˆx
ou ainda
y = [C − DK]
x
ˆx
.
22.2 Aloca¸cão de pólos do observador
A equa¸cão do erro pode ser interpretada como uma aloca¸cão de pólos da
matriz At
− Ct
Lt
.
A fórmula de Ackermann neste caso torna-se
Lt
= [0 0 . . . 0 1] Ct
At
Ct
. . . A(n−1)t
Ct −1
ψ(At
)
que requer que a matriz de observabilidade seja invers´ıvel, ou seja,
det Ct
At
Ct
. . . A(n−1)t
Ct
= 0.
Um sistema é dito observável se for poss´ıvel determinar o seu estado a
partir da observa¸cão da sa´ıda durante um intervalo de tempo finito.
22.3 Fun¸cão de transferência equivalente para regula-
dor
No caso de um problema de regulador a lei de controle é u = −Kˆx. Neste
caso, pode-se escrever a equa¸cão do observador
˙ˆx = Aˆx + Bu + L(y − Cˆx − Du),
˙ˆx = Aˆx − BKˆx + L(y − Cˆx + DKˆx),
ou ainda
˙ˆx = (A − BK − LC + LDK)ˆx + Ly
z = Kˆx
É poss´ıvel escrever a seguinte fun¸cão de transferência equivalente para o
controlador com observador
Z(s)
Y (s)
= K[sI − (A − BK − LC + LDK)]−1
L,
que pode ser usada juntamente com a fun¸cão de transferência da planta para
definir a malha aberta e analisar as margens de estabilidade.

22.4 Malha fechada com observador - rastreador
Seja a lei de realimenta¸cão de estados u = kp(r − Kˆx) com base nos estados
estimados. A malha fechada com observador será dada por
˙x = Ax + Bkp(r − Kˆx) =
= Ax + kpBr − kpBKˆx = Ax + kpBr − kpBKˆx − kpBKx + kpBKx,
ou ainda
˙x = (A − kpBK)x + kpBKe + kpBr.
Combinando esta equa¸cão com a equa¸cão do erro tem-se na forma matri-
cial
˙x
˙e
=
A − kpBK kpBK
0 A − LC
x
e
+
kpB
0
r
A equa¸cão da sa´ıda é dada por
y = Cx + Du = Cx + D[kp(r − Kˆx)] =
= Cx + kpDr − kpDKˆx + kpDKx − kpDKx =
= (C − kpDK)x + kpDKe + kpDr,
ou ainda
y = [C − kpDK kpDK]
x
e
+ kpDr.
A malha também pode ser fechada em termos dos estados x e dos estados
estimados ˆx, ou seja,
˙x = Ax + B[kp(r − Kˆx)] = Ax − kpBKˆx + kpBr.
Substituindo a lei de controle na equa¸cão do observador tem-se
˙ˆx = Aˆx + B[kp(r − Kˆx) + L(Cx + Du − Cˆx − Du),
˙ˆx = Aˆx + kpBr − kpBKˆx + LCx − LCˆx,
˙ˆx = (A − kpBK − LC)ˆx + kpBr + LCˆx,
que pode ser colocada na forma matricial como
˙x
˙ˆx
=
A −kpBK
LC A − kpBK − LC
x
ˆx
+
kpB
kpB
r
e a equa¸cão de sa´ıda é
y = Cx + D[kp(r − Kˆx)] = Cx + kpDr − kpDKˆx

ou ainda
y = [C − kpDK]
x
ˆx
+ kpDr.
Exemplo: Analisar o problema da realimenta¸cão de estados para o se-
guinte modelo:
˙x =



−0.4 0 −0.01
1 0 0
−1.4 9.8 −0.02


 x +



6.3
0
9.8


 u,
y = [0 0 1]x.
Os pólos da malha fechada devem ser −1 ± j e −2.
A matriz de realimenta¸cão de estados pode ser obtida com a fórmula de
Ackermann, ou seja,
K = [0.4706 1.0000 0.0627].
Este sistema em malha fechada apresenta uma resposta de regime de
15.4350. Para que o erro estacionário seja nulo, o ganho proporcional e a
matriz de realimenta¸cão de estados devem ser recalculados como
kp =
1
15.4350
e K =
1
kp
[0.4706 1.0000 0.0627] = [7.2644 15.4357 0.9685].
A matriz B deve ser corrigida para
B = kp



6.3
0
9.8


 =



0.4082
0
0.6349


 .
As margens de estabilidade e o lugar das ra´ızes , Figuras 165 e 166, podem
ser obtidos através da fun¸cão de transferência de malha aberta que é dada
por
G(s) = K(sI − A)−1
B + D,
ou seja,
G(s) =
3.58s2
+ 6.006s + 3.902
s3 + 0.42s2 − 0.006s + 0.098
.
A análise do diagrama de Bode e do gráfico do lugar das ra´ızes mostra
uma margem de redu¸cão de ganho de −19.3dB, e verifica-se através do gráfico
do lugar das ra´ızes que a margem de ganho é infinita. A margem de fase é
de 69.9◦
.

−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−360
−270
−180
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 165: Diagrama de Bode.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Figura 166: Gr´aﬁco do lugar da ra´ızes.

A fun¸cão de transferência equivalente do controlador pode ser obtida
através da divisão da fun¸cão de transferência da malha aberta G(s) pela
fun¸cão de transferência da planta P(s), ou seja,
K(s) =
G(s)
P(s)
=
0.3653s2
+ 0.6129s + 0.3982
s2 − 0.5s + 6.3
.
O efeito da inclusão de um observador com pólos −3 ± −3j e −4 é ana-
lisado a seguir. A matriz de realimenta¸cão do observador é
L = [5.4664 4.6762 9.5800]′
.
Para o caso de regulador, as margens de estabilidade e o gráfico do lugar
das ra´ızes são apresentados nas Figuras 167 e 168.
−60
−40
−20
0
20
40
60
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
−360
−315
−270
−225
−180
−135
−90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 167: Diagrama de Bode com observador.
A malha fechada considerando o observador pode ser fechada em termos
dos estados estimados e dos erros das estimativas. Em ambos os casos os pólos
de malha fechada são: −2.0, −1.0 ± 1.0j, −4.0 e −3.0 ± 3.0j verificando-se
as especifica¸cões desejadas.
As respostas ao degrau do sistema com e sem observador para condi¸cões
iniciais nulas são identicas, já que o observador acompanha de forma exata

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
Figura 168: Gr´aﬁco do lugar das ra´ızes com observador.
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 169: Respostas ao degrau com e sem observador.

os estados pois não há qualquer erro inicial. Este resposta é mostrada na
Figura 169.
Para o caso de regulador com uma condi¸cão inicial não nula é poss´ıvel
verificar o desempenho do observador. As Figuras 170, 171 e 172 mostram
os estados e suas estimativas feitas pelo observador considerando a seguinte
condi¸cão inicial: x0 = [1 2 3] e ˆx0 = [−1 − 2 − 3].
0 0.5 1 1.5 2
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Figura 170: x1 e ˆx1.
Um código MATLAB para este exemplo é apresentado a seguir.
%modelo de estados
a=[-0.4 0 -0.01; 1 0 0; -1.4 9.8 -0.02];
b=[6.3 0 9.8]’;
c=[0 0 1];
d=0;
p=ss(a,b,c,d);
%funcao de transferencia da planta
ps=tf(p)

0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2
−4
−2
0
2
4
6
8
10

%polos e zeros
[pp,zp]=pzmap(p)
%verificacao da controlabilidade
mc=ctrb(a,b);
detc=det(mc)
%polos desejados
pd=[-1+j -1-j -2];
%ganhos da realimentacao de estados
k=place(a,b,pd)
%funcao de transferencia da malha aberta sem observador
g=ss(a,b,k,d);
gs=tf(g)
%funcao de transferencia do compensador sem observador
ks=gs/ps;
ks=minreal(ks)
%polos e zeros do compensador sem observador
[pk,zk]=pzmap(ks)
%malha fechada sem observador e sem compensar
%o erro estacionario
ak=a-b*k;
bk=b;
ck=c;
dk=d;
t=ss(ak,bk,ck,dk);
ts=tf(t)
dct=dcgain(t)
%resposta ao degrau sem observador e
%sem compensar o erro estacionario
step(t,’k’)
%compensando o erro estacionario sem obervador
kp=1/dct
b=kp*b; %kp incorporado em b

k=k/kp; %ou k=place(a,b,pd)
ak=a-b*k;
bk=b;
figure
t1=ss(ak,bk,ck,dk);
ts1=tf(t1);
step(t1,’k’)
%lugar das raizes
figure
rlocus(g,’k’)
%margens de estabilidade sem observador
figure
margin(g)
%verificacao da observabilidade
mo=obsv(a,c);
deto=det(mo)
%polos e zeros de malha fechada sem observador
[pt,zt]=pzmap(t)
%polos do observador
po=[-3+3*j -3-3*j -4];
%ganhos do observador
l=place(a’,c’,po);
l=l’
%funcao de tranferencia do compensador com observador
%pressupoe regulador (util apenas para calcular
%as margens de estabilidade).
ac=a-b*k-l*c+l*d*k;
bc=l;
cc=k;
dc=0;
ko=ss(ac,bc,cc,dc);
kos=tf(ko);
kos=minreal(kos)
[pkos,zkos]=pzmap(ko)

%comando direto para obter o modelo
%de estado do compensador (regulador)
[ac1,bc1,cc1,dc1]=reg(a,b,c,d,k,l)
ko1=ss(ac1,bc1,cc1,dc1);
kos1=tf(ko1)
%malha aberta com observador (regulador)
gco=p*ko;
figure
rlocus(gco,’k’)
figure
margin(gco)
%malha fechada em termos do erro do observador
ae=[a-b*k b*k; zeros(size(a)) a-l*c];
be=[b; zeros(size(b))];
ce=[c-d*k d*k];
de=d;
te=ss(ae,be,ce,de);
tes=tf(te)
[pte,zte]=pzmap(te)
dcte=dcgain(te)
%malha fechada em termos dos estados estimados pelo observador
ax=[a -b*k; l*c a-b*k-l*c];
bx=[b; b];
cx=[c -d*k];
dx=d;
tx=ss(ax,bx,cx,dx);
txs=tf(tx)
[ptx,ztx]=pzmap(tx)
dctx=dcgain(tx)
%comparacao das respostas ao degrau
figure
step(t1,’k’,te,’k’,tx,’k’)
%verificacao sob condicoes iniciais distintas
%aumentando o modelo de estados com os estados
x0=[1 2 3];

xx0=[-1 -2 -3];
[axa,bxa,cxa,dxa]=augstate(ax,bx,cx,dx);
txa=ss(axa,bxa,cxa,dxa);
time=0:0.01:2;
resp=initial(txa,[x0 xx0],time);
figure
plot(time,resp(:,2),’k’,time,resp(:,5),’k’)
figure
figure
23 Bibliograﬁa
1. Shahian B., Hassul M., Control System Design Using Matlab, Prentice-
Hall, 1993.
2. Ogata K., Engenharia de Controle Moderno, Pearson / Prentice-Hall,
2003.
3. Wilkie J., Johnson M., Katebi R., Control Engineering - An introduc-
tory course, Palgrave, 2002.
4. Sinha N. K., Linear Systems, John Wiley & Sons, 1991.
5. Bottura C. P., An´alise Linear de Sistemas, Guanabara Dois, 1982.

A Variáveis-fun¸cões complexas
Define-se a variável complexa s como:
s = σ + jω,
para a qual σ denota a parte real, ω denota a parte imaginária, e j =
√
−1.
O conjugado de s, denotado por s∗
, é dado por:
s∗
= σ − jω.
É usual representar uma variável complexa no chamado plano complexo
como mostrado na figura 173.
σ (real)
jw (imaginário)
s1
θ
s1 = σ1 + jw1
jw1
σ1
Figura 173: Representa¸cão no plano complexo.
O módulo da variável complexa s é dado por:
|s| =
√
σ2 + ω2 =
√
s∗s.
O ângulo θ de uma variável complexa é definido como:
tanθ =
ω
σ
⇒ θ = tan−1 ω
σ
Uma fun¸cão complexa g(s) é uma fun¸cão de uma variável complexa e
apresenta uma parte real e uma parte imaginária.

A fórmula de Euler estabelece que:
ejθ
= cosθ + jsenθ.
A fórmula de Euler pode ser provada através da expansão em série de Tay-
lor da exponencial comparada com as expansões das fun¸cões seno e cosseno,
ou seja,
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ...
ejθ
= 1 + jθ −
θ2
2!
− j
θ3
3!
+
θ4
4!
+ ...
senθ = θ −
θ3
3!
+ ...
cosθ = 1 −
θ2
2!
+
θ4
4!
+ ...

B Equa¸cões diferenciais
Para um sistema linear, com parâmetros concentrados, invariantes no tempo
e em tempo cont´ınuo, o modelo matemático é descrito na forma de uma
equa¸cão diferencial linear ordinária do tipo:
an
dn
y
dtn
+an−1
dn−1
y
dtn−1
+. . .+a1
dy
dt
+a0y(t) = bm
dm
x
dtm
+bm−1
dm−1
x
dtm−1
+. . .+b0x(t).
A solu¸cão de uma equa¸cão diferencial envolve a soma da solu¸cão da
equa¸cão homogênea e da solu¸cão particular.
A equa¸cão homogênea corresponde ao caso de entrada/excita¸cão nula, ou
seja,
an
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y(t) = 0,
e corresponde à resposta natural do sistema.
A solu¸cão que inclui a excita¸cão é a resposta for¸cada do sistema.
B.1 Solu¸cão da equa¸cão homogênea
A equa¸cão diferencial homogênea é satisfeita por
y(t) = Aert
.
Logo, pode-se escrever:
˙y(t) = Arert
, ÿ(t) = Ar2
ert
,
dn
y
dtn
= Arn
ert
.
Substituindo estas derivadas na equa¸cão diferencial homogênea tem-se:
anArn
ert
+ an−1Arn−1
ert
+ . . . + a0Aert
= 0,
anrn
+ an−1rn−1
+ . . . + a0 = 0,
que representa o polinômio caracter´ıstico do sistema.
Como o polinômio caracter´ıstico possui n ra´ızes, é esperado que a solu¸cão
homogênea seja do tipo:
y(t) = A1er1t
+ A2er2t
+ . . . + Anernt
= 0,
na qual r1, r2, . . ., rn são as ra´ızes do polinômio caracter´ıstico. Estas ra´ızes
podem ser ra´ızes simples e reais, reais e repetidas, complexas conjugadas
simples ou complexas conjugadas repetidas.

B.2 Determina¸cão da solu¸cão homogênea da equa¸cão
diferencial
O seguinte procedimento pode ser utilizado para a determina¸cão da solu¸cão
homogênea de uma equa¸cão diferencial:
1. Calcular as n ra´ızes do polinômio caracter´ıstico, ri, i = 1, . . .n;
2. Para cada raiz distinta ri, um termo Aierit
aparece na solu¸cão;
3. Para cada par de ra´ızes complexas conjugadas α±βj, os termos eαt
cosβt
e eαt
senβt aparecem na solu¸cão multiplicados por coeficientes constan-
tes;
4. Para cada raiz real r de multiplicidade m os termos ert
, tert
, t2
ert
, . . .,
tm−1
ert
aparecem na solu¸cão multiplicados por coeficientes constantes;
5. Para cada par de ra´ızes complexas conjugadas α ± βj de multiplici-
dade m, os termos eαt
cosβt, eαt
senβt, teαt
cosβt, teαt
senβt, t2
eαt
cosβt,
t2
eαt
senβt, . . ., tm−1
eαt
cosβt, tm−1
eαt
senβt, aparecem na solu¸cão mul-
tiplicados por coeficientes constantes.
Exemplo: Determinar a resposta natural do sistema cuja equa¸cão diferen-
cial homogênea é:
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y(t) = 0.
O polinômio caracter´ıstico é r3
+ 8r2
+ 37r + 50 = 0, cujas ra´ızes são −2
e −3 ± 4j.
A solu¸cão da equa¸cão homogênea é:
y(t) = A1e−2t
+ A2e−3t
cos4t + A3e−3t
sen4t.
Exemplo: Determinar a solu¸cão homogênea da equa¸cão diferencial:
d3
y
dt3
+ 7
d2
y
dt2
+ 16
dy
dt
+ 12y(t) = 0.
O polinômio caracter´ıstico é r3
+ 7r2
+ 16r + 12 = 0, cujas ra´ızes são −2,
−2 e −3.
A solu¸cão da equa¸cão homogênea é, portanto,
y(t) = A1e−2t
+ A2te−2t
+ A3e−3t
.

B.3 Solu¸cão particular da equa¸cão diferencial
A solu¸cão particular de uma equa¸cão diferencial corresponde à resposta re-
sultante da entrada ou excita¸cão do sistema. É também chamada de resposta
for¸cada do sistema. Pode-se dizer que a solu¸cão particular apresenta a mesma
“forma” da fun¸cão de excita¸cão.
Exemplo: Determinar a solu¸cão particular da equa¸cão diferencial:
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y(t) = 4e−3t
.
A solu¸cão é do mesmo tipo da entrada, ou seja, y(t) = Ae−3t
.
As derivadas são:
˙y = −3Ae−3t
, ÿ = 9Ae−3t
,
d3
y
dt3
= −27Ae−3t
.
Substituindo estas derivadas na equa¸cão diferencial tem-se
−27Ae−3t
+ 8 9Ae−3t
+ 37 −3Ae−3t
+ 50Ae−3t
= 4e−3t
,
−27A + 72A − 111A + 50A = 4 ⇒ A = −0.25
Logo, a solu¸cão particular é
y(t) = −0.25e−3t
.
Exemplo: Determinar a solu¸cão particular da equa¸cão diferencial:
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y(t) = 4cos(3t).
A solu¸cão particular é dada por y(t) = Acos(3t) + Bsen(3t), cujas deri-
vadas são:
˙y = −3Asen(3t) + 3Bcos(3t),
ÿ = −9Acos(3t) + 9Bsen(3t),
d3
y
dt3
= 27Asen(3t) − 27Bcos(3t).
Substituindo estas derivadas na equa¸cão diferencial tem-se
(27Asen(3t) − 27Bcos(3t)) + 8 (−9Acos(3t) + 9Bsen(3t)) +

+37 (−3Asen(3t) + 3Bcos(3t)) + 50 (Acos(3t) + Bsen(3t)) = 4cos(3t),
e então,
sen(3t)(27A − 72B − 111A + 50B) = 0,
cos(3t)(−27B − 72A + 111B + 50A) = 4cos(3t).
Resolvendo o sistema de equa¸cões
27A − 72B − 111A + 50B = 0 e − 27B − 72A + 111B + 50A = 4,
obtém-se A = −22
1885
e B = 84
1885
(coeficientes da solu¸cão particular).
B.4 Solu¸cão completa da equa¸cão diferencial
A solu¸cão completa de uma equa¸cão diferencial consiste na soma da solu¸cão
homogênea com a solu¸cão particular e na determina¸cão das constantes através
da substitui¸cão das condi¸cões iniciais.
Exemplo: Determinar a solu¸cão completa da seguinte equa¸cão diferencial
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y(t) = 4e−3t
,
com as seguintes condi¸cões iniciais: y(0) = 1, dy
dt
(0) = 2; d2y
dt2 (0) = 1.
A solu¸cão completa é dada por:
y(t) = A1e−2t
+ A2e−3t
cos(4t) + A3e−3t
sen(4t)
homogênea
−0.25e−3t
particular
.
Substituindo as condi¸cões iniciais na equa¸cão diferencial, tem-se:
y(0) = A1 + A2 − 0.25 = 1,
˙y(0) = −2A1 − 3A2 + 4A3 + 0.75 = 2,
ÿ(0) = −4A1 − 7A2 − 24A3 − 2.25 = 1,
e resolvendo este sistema de equa¸cões tem-se os coeficientes procurados:
A1 =
42
17
; A2 =
−83
68
; A3 =
43
68
.

C Exerc´ıcios - em prepara¸cão
C.1 Exerc´ıcios relacionados à se¸cão 1
1. Um padre pára todos os dias diante a uma joalheria às 9 horas, compara
e acerta seu relógio de acordo com o cronômetro na vitrine. Certo dia
o padre entra na loja e pergunta ao dono da joalheria: este relógio
está de acordo com o horário oficial de Bras´ılia? O dono da joalheria
responde: não, eu acerto este relógio todos os dias de acordo com as
badaladas das 5 da manhã do sino da igreja. O padre diz: mas quem
realiza as badaladas sou eu. Baseado nesta situa¸cão responda:
(a) A realimenta¸cão neste caso é positiva ou negativa?
(b) O cronômetro da joalheria atrasa 1 minuto a cada 24 horas e o
relógio do padre atrasa 1 minuto a cada 8 horas. Qual é o erro
total da badaladas do sino da igreja após 15 dias?
2. Representar na forma de diagrama de blocos o sistema de controle de
posi¸cão de um automóvel com um motorista humano, explicando os
pápeis do sensor, atuador, erro e sistema de controle.
3. Um ambiente está a 30◦
C e o aparelho de ar condicionado é ligado com
o objetivo de baixar a temperatura para 24◦
C e mantê-la neste valor.
Discuta este problema em termos de ser um rastreador ou regularor em
fun¸cão das fases de opera¸cão do aparelho de ar condicionado.

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