Volume2006a

Notas de aula
GA033 – Levantamentos Topográficos II
Prof. Luís Augusto Koenig Veiga
2007
Setembro 2007

2
Sumário
1 – Introdução..................................................................................................................................................... 3
2 – Cálculo de volume de prismas e sólidos....................................................................................................... 3
2.1. Volume de Prismas.................................................................................................................................. 3
2.2. Princípio de Cavalieri .............................................................................................................................. 4
2.3. Volume de Sólidos .................................................................................................................................. 5
3 – Cálculo de volume em topografia............................................................................................................... 11
3.1. Método das Alturas Ponderadas ............................................................................................................ 11
3.2. Método das Seções Transversais ........................................................................................................... 30
3.3. Superfícies Eqüidistantes....................................................................................................................... 35
3.4. Terraplenagem para Plataformas ........................................................................................................... 39
4 - Bibliografia ................................................................................................................................................. 52
Lista de Figuras
Figura 1 – Prisma. .............................................................................................................................................. 3
Figura 2 – Primas retos....................................................................................................................................... 4
Figura 3 – Princípio de Cavalieri........................................................................................................................ 4
Figura 4 – Bonaventura Cavalieri....................................................................................................................... 5
Figura 5 – Volume de uma pirâmide de base regular. ........................................................................................ 5
Figura 6 – Volume de diferentes sólidos. ........................................................................................................... 6
Figura 7 – Equipamentos.................................................................................................................................. 10
Figura 8 – Sólido regular de base quadrada...................................................................................................... 11
Figura 9 – Volume pelo método das alturas ponderadas. ................................................................................. 12
Figura 10 – Pesos atribuídos a cada um dos vértices da malha. ....................................................................... 13
Figura 11 – Determinação da malha no terreno................................................................................................ 14
Figura 12 – Cota de passagem.......................................................................................................................... 17
Figura 13 – Malha Triangular regular. ............................................................................................................. 20
Figura 14 – Sólido triangular............................................................................................................................ 20
Figura 15 – malha triangular irregular.............................................................................................................. 21
Figura 16 – Cálculo da área de um triângulo qualquer..................................................................................... 21
Figura 17 – Determinação da cota de escavação. ............................................................................................. 27
Figura 18 – Seções paralelas. ........................................................................................................................... 30
Figura 19 – Seções de corte e aterro................................................................................................................. 30
Figura 20 – Nomenclatura das seções transversais........................................................................................... 31
Figura 21 – Perfis transversais. ........................................................................................................................ 33
Figura 22 – Malha de pontos ............................................................................................................................ 39
Figura 23 – Vista em perspectiva da malha...................................................................................................... 40
Figura 24 – Perfil “A” do terreno. .................................................................................................................... 41
Figura 25 – Interpolação................................................................................................................................... 41
Figura 26 – Perfil seção A. ............................................................................................................................... 42
Figura 27 – Perfil seção B. ............................................................................................................................... 43
Figura 28 – Perfil seção C. ............................................................................................................................... 43
Figura 29 – Perfil seção D. ............................................................................................................................... 44
Figura 30 – Representação esquemática da hipótese 1..................................................................................... 45
Figura 31 – Representação esquemática da hipótese 2..................................................................................... 46
Figura 32 – Posicionamento do plano na hipótese 03. ..................................................................................... 47
Figura 33 – Representação em perspectiva do plano da hipótese 03................................................................ 48
Figura 34 – Perfil transversal do plano inclinado. ............................................................................................ 48
Figura 35 – Interpolação do ponto P para o plano inclinado. ........................................................................... 49
Figura 36 – Esquema do plano inclinado de 1%. ............................................................................................. 50

3
1 – Introdução
Em muitos trabalhos de engenharia é necessário calcular volumes, como por exemplo, em uma
estrada, calcular os volumes de corte e aterro para a construção da mesma, calcular o volume de água
armazenado em um reservatório, e assim por diante. Normalmente estes volumes são determinados a partir de
dados de levantamentos topográficos, como as curvas de nível, seções transversais ou malha de pontos com
cotas conhecidas. Segundo IRVINE (1990, p. 183), os trabalhos de movimentação de terra podem ser
divididos em duas categorias:
- faixas longas e estreitas, como é o caso de rodovias e ferrovias.
- grandes áreas, como reservatórios.
No caso do cálculo de volumes, para o primeiro caso normalmente são utilizados os métodos
baseados em seções transversais, no segundo caso trabalha-se com malhas de pontos ou contorno (volumes
calculados através das curvas de nível). Neste trabalho será visto como fazer os cálculos para ambos os casos.
Inicialmente são feitas considerações gerais sobre o cálculo de volume de prismas e sólidos e alguns
exemplos de aplicação na engenharia e depois alguns métodos empregados para cálculo de volumes em
topografia.
Este é um trabalho introdutório, desta forma pedimos aos leitores que nos encaminhem sugestões e
correções ao texto para que futuramente possamos melhorar o mesmo.
2 – Cálculo de volume de prismas e sólidos
2.1. Volume de Prismas
Alguns dos cálculos que serão vistos estarão baseados no conceito de volumes de prisma.
Considerando dois planos a e b paralelos, um polígono P contido num deles e uma reta r concorrente com os
dois. Chamamos de prisma à reunião de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no polígono P e
no outro plano (FERNANDEZ; YOUSSEF, 1991, p.280). A distância entre as bases é denominada altura ( h )
do prisma.
Figura 1 – Prisma.
r
a
b
A
E P
D
C
B
A
E P
D
C
B
A’
E’ P’
D’
B’ b
C’
a
h

4
Os primas podem ser retos, quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, ou caso
contrário, oblíquos. O volume de um prisma será igual ao produto da área da base pela sua altura.
V = Sb . h
h
c
Figura 2 – Primas retos
l
Exercício 01 – Qual é o volume de um cubo de lado 5m?
2.2. Princípio de Cavalieri
V = Sb . h
V = a2. a
V = a3
V = 5 3
a
V = 125 m3 a
a
Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas com
áreas iguais, então o volume de A é igual ao de B (figura 3) (LIMA, 1975, p. 50).
A B
p
pÇA pÇB
Figura 3 – Princípio de Cavalieri (Adaptada de LIMA, 1975, p.50).
h
r
Volume Paralelepípedo = l . c . h Volume do Cilindro = p . r2. h

5
Bonaventura
Cavalieri (1598-
1647), Matemático
italiano que
formulou os
princípios para o
cálculo de volumes
de sólidos.
Adaptada de IMSS
(2002).
Figura 4 – Bonaventura Cavalieri.
2.3. Volume de Sólidos
Até aqui foi visto como calcular o volume de prismas. Vejamos como calcular o volume de outros
sólidos. Cabe aqui uma consideração: em diversos trabalhos é comum denominarem os sólidos de prismas,
porém pela definição apresentada anteriormente, um sólido será classificado como prisma se suas bases forem
paralelas e iguais e seus lados forem paralelogramos.
Somente como ilustração será apresentado como calcular o volume de alguns sólidos, iniciando com
uma pirâmide. Seu volume é a terça parte do volume de um prisma regular de mesma base que a pirâmide
dada.
h
1
V = × ×
Figura 5 – Volume de uma pirâmide de base regular.
h
h
h
h
Sb
Sb
Sb
d d
d d
d
Sb h
3

6
h1
Volume de um tronco de prisma triangular
Ap = área da base projetada
Ap
= ×
3
V
Volume de um tronco de prisma triangular
h2
Ap = área da base projetada
h3
Volume de um tronco de cone
(R2 r 2 Rr)
R
r
p×
=
V × + +
3
h
h
Volume de um tronco de pirâmide
A1
A2
Volume de um tronco de
cilindro de revolução
V= p r2 he
V = × + + ×

h1 h 2 h3 V Ap
Figura 6 – Volume de diferentes sólidos1.
h3
h2

+ +

h1 h2 h3
3
+ +

= ×
Volume de um cone
H
h
h
he
(A1 A2 A1 A2) 3
3
h1
h
R
R2 h
p × ×
=
3
V
1 As duas primeiras fórmulas foram retiradas de CHURCH (1981) e as demais de BEZERRA (1970).

7
Exercício 02 – Calcular o volume de concreto necessário para a construção de uma marco para fins de
monumentação. As dimensões são dadas na figura.
20 cm Os marcos e
60 cm
determinando a altura do marco
h = 40 cm
20
x
20 cm
60 cm
60
x 40
=
+
60x = 20x + 800
40x = 800
x = 20 cm
Volume do marco = VA – VB
VA – volume da pirâmide maior
VB – volume da pirâmide menor
1
x
40 cm
0,602 0,60 0,072 m3
3
1
VA = × × = × × =
SbA hA 3
1
0,202 0,20 0,00266 m3
3
1
VB = × × = × × =
SbB hB 3
Volume do marco = VA – VB
Volume do marco = 0,072 –0,00266
Volume do marco = 0,0693 m3
pilares são
protegidos por lei,
sua destruição,
além de ser um
grande prejuízo
para a nação,
constitui crime
punível por lei.
Aplicando diretamente a fórmula para cálculo de volume de tronco de pirâmides mostrada anteriormente,
chega-se a um volume de 0,00693 m3.

8
Exercício 03 - Uma vala foi aberta para a passagem de uma tubulação, conforme mostra a figura abaixo.
Pede-se para calcular o volume de escavação efetuado. Para efeitos de cálculo, tanto o terreno quanto a base
da escavação são planos.
1,5 m
2
3
1,0 m
3,0 m

9
Exercício 04 – Deseja-se construir uma rampa com inclinação de 10%, conforme o exemplo dado. Sabendo
que a cota de início da rampa é de 34,55m (ponto mais baixo), que o terreno está nivelado na cota 36,73m e
que a rampa deverá ter largura de 7m, calcular o volume de material a ser retirado do terreno.
34,55m
36,73m
7,00 m

10
Para termos noção dos volumes calculados, vamos ver alguns exemplos de capacidade de carga de
equipamentos empregados em trabalhos de movimentação de terra. Logicamente que a capacidade
volumétrica de cada equipamento é variável de acordo com o tipo e estado do material a ser transportado.
Figura 7 – Equipamentos.
Caminhão Caçamba,
com dois eixos:
capacidade de 9 m3
Caminhão Caçamba,
com um eixo:
capacidade de 6 m3
Pá Carregadeira:
capacidade coroada de
1,91 m3
Caminhão articulado:
22 m3

11
3 – Cálculo de volume em topografia
3.1. Método das alturas ponderadas
Este método baseia-se na decomposição de um sólido cujo volume deseja-se calcular em sólidos
menores, mais fáceis de calcular o volume. Estes sólidos são normalmente de base quadrada ou triangular.
Sua utilização típica é em escavações, podendo no entanto também ser aplicado a volume de barragens e
outras obras de engenharia.
Para realizar o cálculo do volume vamos fazer a seguinte consideração: imaginemos um sólido de
base quadrada e área igual a Q e arestas verticais com alturas Z1, Z2, Z3 e Z4. O volume deste sólido será dado
pelo produto da área da base pela média das alturas das arestas, conforme mostra a equação abaixo.
V = Q . (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)/4
Z2
Área Q
Z1
Z3
Z4
Figura 8 – Sólido regular de base quadrada
Na prática o terreno é dividido em uma malha regular e cada ponto desta malha tem a sua cota
calculada por algum método de nivelamento. Então é definida a cota de escavação, ou seja a cota em que o
terreno deverá ficar após a retirada do material. A partir destas informações é possível calcular as alturas dos
sólidos para o cálculo do volume. O exemplo a seguir ilustra esta questão.
Vamos imaginar que queremos calcular o volume de corte de um terreno hipotético de 10x10m,
cujas cotas dos cantos são dadas (figura 9-a). Num primeiro momento queremos calcular o volume de corte
necessário para deixar o terreno plano na cota 85m e depois 84m.
No primeiro caso vamos ter que calcular o volume de um sólido, conforme mostra a figura 9-b.
Observe que para o ponto A o sólido terá uma aresta igual a 2m, resultado da diferença entre a cota do ponto
A no terreno (87m) e a cota do plano em que vai ficar o terreno (85m). Para os demais pontos o raciocínio é o
mesmo para a determinação das alturas das arestas do sólido. Para o primeiro caso (figura 9-b) o volume de
escavação será de 225m3 e para o segundo (figura 9-c) de 325m3.

12
87,0 m
86,0 m
C D
A B
C D
87,0 m
88,0 m
Figura 9 – Volume pelo método das alturas ponderadas.
A B
86,0 m
Para uma malha de pontos podemos calcular o volume de cada célula da malha e depois somar todos
os volumes, conforme mostra o próximo exercício. A partir deste vamos deduzir uma fórmula geral para o
cálculo pelo métodos das alturas ponderadas.
Exercício 05 – Para a malha quadrada abaixo, de lado igual a L, calcular o volume de corte. São dadas as
alturas de cada um dos sólidos..
A B C
P1 P2
D E F
G H
Q = L.L
P3
3m
3m
1m
2m
Plano de Cota
85m
88,0
m
88,0 m
b)
4m
4 m
2m
3m
Plano de
Cota 84m
88,0 m
A
B
C
D
c)
88,0 m
88,0 m
87,0 m
86,0 m 10,0 m
a)
10,0 m

13
VP1= Q. (A + B + D + E)/4
VP2= Q. (B + C + E + F)/4
VP3= Q. (E + F + G + H)/4
Volume Total = VP1 + VP2 + VP3
Volume Total = [Q. (A + B + D + E)/4] + [Q. (B + C + E + F)/4] + [Q. (E + F + G + H)/4]
Volume Total = Q/4 . (A + B + D + E + B + C + E + F + E + F + G + H)
Volume Total = Q/4 . (A + 2B + C + D + 3E + 2F + G + H)
Volume Total = Q/4 . (A + C + D + G + H + 2B + 2F + 3E)
Esta última equação seria o resultado do exercício. Notar que os pontos que entram somente no
cálculo de um sólido recebem peso 1 (ponto A por exemplo), pontos que entram no cálculo do volume de dois
sólidos peso 2 (pontos B e F) e finalmente, para pontos utilizados no cálculo do volume de 3 sólidos peso 3
(ponto E). A partir desta dedução é possível chegar a uma fórmula geral para o cálculo do volume através do
método das alturas ponderadas:
V = × S + S + S + S
Onde os pesos 1, 2, 3 e 4 correspondem:
Q
( D1 2 D2 3 D3 4 D4) 4
1 – pontos localizados nos cantos da malha
2 – pontos localizados nas bordas da malha
3 – pontos localizados em cantos reversos da malha
4 – pontos localizados no interior da malha
A figura abaixo mostra os pesos que cada tipo de vértice recebe, conforme visto anteriormente.
1 2 2
1 3 4
1 2
1
2
1
Figura 10 – Pesos atribuídos a cada um dos vértices da malha.

14
Para a determinação da malha no terreno procederemos da seguinte forma: a primeira etapa é a
quadriculação do terreno (figura 11-a). Esta etapa pode ser realizada somente a trena ou com auxílio de um
instrumento como um teodolito ou estação total. No exemplo da figura 11 os pontos da malha foram
materializados por piquetes. Depois faz-se a determinação das cotas ou altitudes dos pontos, através de algum
método de nivelamento (figura 11-b). Finalmente após a escavação teremos o terreno na forma requerida pelo
projeto (figura 11-c).
a)
b)
c)
Figura 11 – Determinação da malha no terreno.

15
Exercício 06 – Calcular o volume de corte para a malha dada abaixo. A cota de escavação é 100m e o lado da
malha quadrada mede 20 m. São dadas as cotas, em metros, de cada um dos vértices da malha.
109,2 107,1 105,0
107,0 105,0 103,3
103,2 101,4
Q = 20 . 20 = 400 m2
Somatória dos pontos com peso 1 :
109,2 – 100 = 9,2
107,0 – 100 = 7,0
105,0 – 100 = 5,0
103,2 – 100 = 3,2
101,4 – 100 = 1.4
S1 = 9,2 + 7,0 + 5,0 + 3,2 + 1,4 = 25,8
107,1 – 100 = 7,1
103,3 – 100 = 3,3
S2 = 7,1 + 3,3 = 10,4
105,0 – 100 = 5,0
S3 = 5,0
Volume = 400/4 . ( 25,8 + 2. 10,4 + 3. 5)
Volume = 6160,0 m3

16
Exercício 07 – Calcular o volume de corte para a malha dada abaixo. A cota de escavação é 47 m e o lado da
malha quadrada mede 20 m. São dadas as cotas, em metros, de cada um dos vértices da malha.
Resposta : Volume = 2500 m3
46,1 47,4 48,4
47,8 50,1 47,7
50,1 47,3
47,2
46,1
49,5 44,8

17
Em alguns casos pode ser necessário que o volume de corte seja igual ao volume de aterro. Imaginemos que
calculamos para o sólido formado pelas cotas A, B, C e D (figura 12) o volume de corte para uma
determinada cota de escavação. Agora queremos calcular qual seria a cota para a qual o volume de corte seja
igual ao volume de aterro (esta cota tem um nome específico: cota de passagem – Cp). Neste caso o volume
do sólido ABCD tem que ser igual ao volume final do paralelogramo formado. Assim, como a área da base e
o volume são os mesmos para ambos os casos, o que vai mudar é cota de escavação.
B
Corte
h
Figura 12 – Cota de passagem
A
C
D
Aterro
Plano da cota
de escavação
Então para uma cota de escavação Co encontramos um volume Vo. Agora queremos calcular um
valor de cota de passagem (Cp) para qual o volume de corte compensaria o volume de aterro.
Vo = S . h
onde S = área da base
h = Vo / S
Este valor de h está referenciado ao plano de cota Co, então o valor final da cota de passagem será:
Cp = Co + h
Cp = Co + Vo/S
Vamos então verificar esta fórmula. Para o exercício 06, utilizando uma cota de escavação de 100 m
o volume final de escavação seria 6160 m3. Lembrando que o espaçamento da malha é de 20 m e que área
total da mesma é de 1200 m2 (20m . 20m . 3 ), vamos calcular a cota de passagem para este caso.
Cp = 100 + (6160 / 1200)
Cp = 105,13 m
Isto significa que realizando o cálculo do volume para esta cota de escavação, o volume final deverá
ser igual a zero. Fazendo os cálculos chegamos a um volume de 4 m3. A diferença em relação a zero é
proveniente da questão do arredondamento no cálculo do valor da cota de passagem
Outra forma de calcular a cota de passagem é fazendo uma média ponderada dos valores das cotas
dos pontos da malha, onde o peso de cada cota segue o mesmo raciocínio dos pesos mostrados anteriormente,

18
ou seja, pontos do canto da malha, peso 1, pontos das bordas da malha peso 2 e assim por diante. Vejamos o
cálculo para o mesmo exercício 06.
Cota Peso Cota x Peso
109,2 1 109,2
107,1 2 214,2
105,0 1 105,0
107,0 1 107,0
105,0 3 315,0
103,3 2 206,6
103,2 1 103,2
101,4 1 101,4
S 12 1261,6
Cota de passagem = S Cota. Peso / S Pesos
Cota de Passagem = 105,13 m
que é o mesmo valor calculado pela fórmula anteriormente.
Exercício 08 – Calcular a cota de passagem para o exemplo dado no exercício 07.
Resposta : Cota de passagem = 48,04 m

19
Exercício 09 – Calcular a cota final para a plataforma horizontal com volume de corte e aterro iguais.
Calcular também o número de viagens de caminhão com 8m3 por viagem, necessários caso seja imposta a
cota final igual a 3,5 m. As cotas dos pontos estão em metros. (Adaptado de Borges, 1995, p. 83)
2,2 3,8 5,4
20,0 m
0,8 2,0 4,0
1,0 2,2
Cota Peso Cota x Peso
2,2 1 2,2
5,4 1 5,4
0,8 1 0,8
6,2 1 6,2
1,0 1 1,0
4,4 1 4,4
3,8 2 7,6
2,2 2 4,4
2,0 3 6,0
4,0 3 12,0
S 16 50
Cota de passagem = S Cota. Peso / S Pesos
Cota de Passagem = 3,125 m
Então a altura final do plano horizontal para o qual o volume de corte e aterro são iguais é de
3,125m. Para deixarmos o terreno na cota 3,5m teremos que acrescentar material ao mesmo. O volume de
aterro a ser feito será dado pela diferença entre a cota imposta de menos a cota de passagem, vezes a área do
terreno.
Volume de aterro = (3,5 – 3,125). (4. 20. 20) = 600m3
Uma vez calculado o volume de aterro vamos ver o número de viagens de caminhão para transportar
este material.
Número de viagens = 600m3/ 8m3 = 75 viagens
6,2
4,4
20,0 m

20
Podemos também, ao invés de utilizar uma malha quadrada, utilizar uma malha triangular para
efetuar o cálculo do volume, conforme mostra a figura abaixo, aonde a área total foi dividida em 8 triângulos.
Como todos os triângulos possuem a mesma área vamos chamar esta malha de malha triangular regular.
Posteriormente veremos o porque desta classificação.
1 2 3
P1 P3
P2 P4
4 5 6
P5
P6
P7
P8
7 8 9
Figura 13 – Malha Triangular regular.
O princípio de cálculo será o mesmo utilizado anteriormente, somente que agora vamos trabalhar
com sólidos triangulares (figura 14).
Z2
Z3 Z1
Figura 14 – Sólido triangular.
O volume será dado por:
Plano de
referência
( )
Z1 + V A Z2 +
Z3
3
= ×
No exemplo da figura 13 podemos notar que o ponto 4 é utilizado no cálculo do volume de três
sólidos (P1, P2 e P5), o ponto 1 em um sólido (P1), o ponto 5 em seis sólidos (P2, P3, P4, P5, P6 e P7), etc.
Então podemos definir uma equação geral para o cálculo de volumes em malhas triangulares regulares:

21
Onde:
A
( D1 2 D2 3 D3 ... n Dn) 3
V = × S + S + S + + S
A – área plana do triângulo
1 – pontos que são vértices de apenas um triângulo
2 – pontos que são vértices de dois triângulos
...
n – pontos que são vértices de “n” triângulos
Poderemos também trabalhar com malhas triangulares irregulares. Porém neste caso teremos que
calcular o volume de cada um dos sólidos triangulares independentemente, pois as áreas dos sólidos serão
diferentes.
1
2
Figura 15 – malha triangular irregular
A área de cada triângulo poderá ser calculada pela fórmula apresentada a seguir, entre outras.
B Area p (p a) (p b) (p c) = × − × − × −
C A
a b c
p + +
=
Figura 16 – Cálculo da área de um triângulo qualquer.
3
4
5
6
7
8
9
a
c
b
( )
2

22
Exercício 10 – Para a malha triangular regular dada, calcular o volume de corte para a cota 100m e a cota de
passagem.
1 2
4 5
Área do triângulo = (20m . 20m)/2 = 200 m2
Área total da malha (S) = 200m2 . 6 = 1200m2
7
Ponto Cota (m) he = Cota – Cota de
Escavação
20,0 m
Peso Peso. he
3
6
8
20,0 m
1 109,2 9,2 1 9,2
2 107,1 7,1 3 21,3
3 105,0 5,0 2 10,0
4 107,0 7,0 2 14,0
5 105,0 5,0 4 20,0
6 103,3 3,3 3 9,9
7 103,2 3,2 2 6,4
8 101,4 1,4 1 1,4
Somatório = 92,2
A
( D1 2 D2 3 D3 ... n Dn) 3
V = × S + S + S + + S
.92,2
200
3
V =
V = 6146,67 m3
Cota de passagem:
Vo
S
Cp = Co +
6146,67
1200
Cp = 100 +
Cp = 105,12 m
Também podemos calcular a cota de passagem pela média ponderada das cotas dos prismas
triangulares. A ponderação é uma função do número de sólidos triangulares que cada ponto entra no cálculo.
Cabe ressaltar que somente podemos utilizar esta forma de cálculo porque todos os triângulos possuem a
mesma área.

23
Ponto Cota (m) Peso Peso. Cota
1 109,2 1 109,2
2 107,1 3 321,3
3 105,0 2 210,0
4 107,0 2 214,0
5 105,0 4 420,0
6 103,3 3 309,9
7 103,2 2 206,4
8 101,4 1 101,4
S 18 1892,2
Cota Peso
×
=
1892,2
Cp = 105,12 m
Exercício 11 – Para a malha triangular regular dada, calcular o volume de corte para a cota 40 m e a cota de
passagem. As hipotenusas dos triângulos medem 14,14m.
P1 P3
P2 P4
P5
P6
Área do triângulo = m2
Área total da malha (S) = m2
Escavação
Peso Peso. he
1 41,3
2 42,5
3 43,2
4 42,7
5 43,0
6 44,2
7 43,9
8 44,7
9 45,0
Somatório =

Pesos
Cp
18
Cp =
1 2 3
4 5 6
P7
P8
7 8 9

24
Exercício 12 – Para a malha triangular irregular dada, calcular o volume de corte para a cota 30 m e a cota de
passagem. São dadas as áreas de cada triângulo.
Área total da malha (S) = 10 + 11 + 13 + 15 + 17 = 66 m2
Escavação
1 32,7 2,7
2 31,3 1,3
3 33,0 3,0
4 32,5 2,5
5 34,2 4,2
6 32,5 2,5
Z1 + V A Z2 +
Z3
10
10
V124 = × + + = × =
11
11
V234 = × + + = × =
15
15
V345 = × + + = × =
17
17
V456 = × + + = × =
13
13
V146 = × + + = × =
Volume = 21,67 + 24,93 + 48,5 + 52,13 + 33,37 = 180,6 m3
Cota de passagem:
1
2
3
4
5
6
10 m2
13 m2
15 m2
17 m2
11 m2
( )
3
= ×
( ) 6,5 21,67m3
3
2,7 1,3 2,5
3
( ) 6,8 24,93m3
3
1,3 3,0 2,5
3
( ) 9,7 48,5m3
3
3,0 2,5 4,2
3
( ) 9,2 52,13m3
3
2,5 4,2 2,5
3
( ) 7,7 33,37m3
3
2,7 2,5 2,5
3
Vo
S
Cp = Co +

25
180,6
66
Cp = 30 +
Cp = 32,736 m
Vamos refazer o cálculo do volume utilizando a cota de passagem como cota de escavação. O
volume tem que ser igual a zero ou bem próximo de zero, neste último caso por problemas de
arredondamento.
Escavação
1 32,7 -0.036
2 31,3 -1.436
3 33,0 0.264
4 32,5 -0.236
5 34,2 1.464
6 32,5 -0.236
V124 = -5,693 m3
V234 = -5,162 m3
V345 = 7,46 m3
V456 = 5,621 m3
V146 = -2,201 m3
Volume = 0,03 m3, ou seja, bem próximo a zero!
Neste caso, quando formos calcular a cota de passagem pelo processo da média ponderada, não
podemos utilizar como peso a quantidade de vezes que um mesmo ponto é utilizado no cálculo de diferentes
sólidos, isto porque a área de cada triângulo é diferente e isto interferiria nos cálculos. Somente como
curiosidade, utilizando este processo a cota de passagem calculada para este exemplo seria 32,66m. Desta
forma vamos utilizar como peso para o ponto a somatória das áreas dos sólidos nos quais o mesmo é utilizado
para o cálculo do volume.
Ponto Cota (m) Peso Peso. Cota
1 32,7 10 + 13 = 23 752,1
2 31,3 10 + 11 = 21 657,3
3 33,0 11 + 15 = 26 858,0
4 32,5 10 + 11 + 15 + 17 + 13 = 66 2145,0
5 34,2 15 + 17 = 32 1094,4
6 32,5 17 + 13 = 30 975,0
S 198 6481,8
Cota Peso
×
=

Pesos
Cp
6481,8
198
Cp =
Cp = 32,736 m, conferindo com o cálculo anterior!

26
Exercício 13. Duas estações (A e B) foram tomadas como base para a determinação das cotas de um conjunto
de pontos que definem uma malha triangular. Os desníveis obtidos a partir de cada uma destas estações são
dados, bem como as áreas de cada um dos triângulos. Calcular qual seria o volume acima do plano com cota
5,8 m abaixo da estação A. (Adaptado de BANNISTER; BAKER, 1994, p. 172).
Desníveis em relação ao ponto A
Ponto Desnível (m)
1 -5,24
2 -4,93
3 -4,72
4 -5,03
5 -5,35
6 +0,24
Desníveis em relação ao ponto B
Ponto Desnível (m)
6 +0,62
7 -5,25
8 -5,31
Áreas dos triângulos
Triângulo Área (m2)
A12 815,79
A23 513,43
A34 759,21
A45 1097,35
A56 478,02
A16 367,55
B16 548,00
B56 697,70
B57 1304,63
B78 770,86
B18 672,30
A primeira etapa deste exercício é determinar as cotas dos pontos, para posterior cálculo do volume.
Porém vamos diretamente calcular a cota de escavação de cada um dos pontos. Sabemos que o plano de
referência encontra-se a 5,8 m abaixo do ponto A, então, para os desníveis obtidos a partir do ponto A, a cota
de escavação será dada por:
hei = DhAi + 5,8 m
1
2
3 4
5
6
7
8
A
B

27
Esta fórmula pode ser facilmente deduzida a partir da figura abaixo.
Ponto A
Ponto 6
+ 0,24 m
Figura 17 – Determinação da cota de escavação.
Conhecendo he para o ponto 6 podemos então calcular as cotas de escavação para o ponto B e em
conseqüência para os pontos 7 e 8.
Ponto he - Cota de
Escavação (m)
1 0,56
2 0,87
3 1,08
4 0,77
5 0,45
6 6,04
7 0,17
8 0,11
Prisma Área (m2) Z1 (m) Z2 (m) Z3 (m) média (m)
(Z1+Z2+Z3)/3
Volume (m3)
A12 815,79 0,56 0,87 5,80 2,41 1966,05
A23 513,43 0,87 1,08 5,80 2,58 1326,36
A34 759,21 1,08 0,77 5,80 2,55 1935,99
A45 1097,35 0,77 0,45 5,80 2,34 2567,80
A56 478,02 0,45 6,04 5,80 4,10 1958,29
A16 367,55 6,04 0,56 5,80 4,13 1519,21
B16 548,00 0,56 6,04 5,42 4,01 2195,65
B56 697,70 6,04 0,45 5,42 3,97 2769,87
B57 1304,63 0,45 0,17 5,42 2,01 2626,66
B78 770,86 0,17 0,11 5,42 1,90 1464,63
B18 672,30 0,11 0,56 5,42 2,03 1364,77
Volume Total = 21695,27 m3
Plano de cota
5,8m abaixo
do ponto A
5,8 m
he para
o ponto 6

28
Exercício 14 - Calcular o volume de corte para a cota 32,0m para a malha irregular dada.
7 m
15 m
A
10 m 10 m 8 m
10 m
C
Ponto Cota (m) Cota – he (m)
A 33,7 1,7
B 34,2 2,2
C 35,1 3,1
D 33,9 1,9
E 34,5 2,5
F 36,0 4,0
G 34,3 2,3
H 35,2 3,2
I 36,1 4,1
J 36,7 4,7
Inicialmente devem ser calculadas as áreas das figuras para depois calcular os volumes. Neste ponto
cabe fazer uma observação. Existe um trapézio formado pelos pontos EFIJ. Podemos calcular o volume de
uma sólido trapezoidal, ou dividir a figura em dois sólidos triangulares. Porém os volumes que
encontraremos não serão iguais nos dois casos, como pode ser visto nos cálculos abaixo. Se o terreno não
apresentar uma declividade constante, a divisão do trapézio em dois triângulos nos dará um valor mais
condizente com a realidade. Desta forma, neste exercício vamos fazer esta divisão.
E F 10 m
15 m
Área do trapézio EFIJ = 135 m2
Área do triângulo EIJ = 60 m2
Área do triângulo EFJ = 75 m2
Volume do prisma trapezoidal = 135. 3,825 = 516,375 m3
Volume do prisma triangular T1 = 60 . 3,767 = 226,02 m3
F
D E
B
G H I J
Ponto Cota (m)
A 33,7
B 34,2
C 35,1
D 33,9
E 34,5
F 36,0
G 34,3
H 35,2
I 36,1
J 36,7
10 m
8 m
I J
E F
T1
8 m
15 m
T2
I J

29
Volume do prisma triangular T2 = 75 . 3,733 = 279,975 m3
T1 + T2 = 505,995 m3
Figura Área (m2) Cota média (m) Volume (m3)
ABDE 70 2,075 145,25
ACEF 70 2,950 206,5
GHD 75 2,467 185,025
DEHI 150 2,925 438,75
EIJ 60 3,767 226,02
EFJ 75 3,733 279,975
Volume Total = 1481,52

30
3.2. Método das Seções Transversais
A aplicação desta fórmula supõe seções planas paralelas entre si, espaçadas de uma distância “d”
(figura 18). O volume será dado por:

+
A1 A2 Volume d

= ×
2
A2
A1
d
Figura 18 – Seções paralelas.
Esta fórmula é largamente empregada em estradas e ferrovias, nos cálculos de corte e aterro. Para
uma mesma seção poderemos ter áreas de corte e aterro, que posteriormente significarão volumes de corte e
aterro. A figura 19 ilustra esta questão.
+
Ac1 Ac2 Vcorte d
+
Aa1 Aa 2 Vaterro d
Figura 19 – Seções de corte e aterro.
Perfil
projetado
Perfil do
terreno
Corte

Aterro
Ac2
Ac1
Aa2
Aa1

= ×
2

= ×
2
d = distância entre
as seções

31
O mais complicado e demorado deste método é o cálculo das áreas das seções transversais. A
aplicação da fórmula em si é muito simples. Antes de partirmos para um exemplo de cálculo, vejamos a
nomenclatura utilizada nas seções transversais a serem calculadas no próximo exercício, as quais são
apresentadas na figura 20.
Corte
eixo
terreno: cota
greide: cota
plataforma
off-set
variável
off-set
variável
Aterro
bordo: distância/cota greide: cota
Figura 20 – Nomenclatura das seções transversais.
off-set: distância/cota
bordo: distância/cota
eixo
terreno: cota
off-set: distância/cota
plataforma
off-set
variável
off-set
variável

32
Exercício 15 – Dada a nota de serviço de terraplanagem, calcular o volume de corte e aterro. Este exercício
esta baseado em dados retirados de um projeto verdadeiro de uma rodovia no interior o Estado do Paraná.
Para fins práticos, vamos trabalhar somente com algumas estacas do projeto. A distância entre as estacas é de
20m.
NOTA DE SERVIÇO DE TERRAPLENAGEM
ESQUERDA EIXO DIREITA
OFF-SET BORDO COTA BORDO OFF-SET
VERMELHA
EST. COTA DIST. COTA DIST TERRENO GREIDE
ATERRO CORTE
DIST. COTA DIST. COTA
647 627.98 5.50 627.98 5.50 627.81 628.14 0.33 5.50 627.98 5.50 627.98
648 627.99 5.60 627.89 5.50 627.78 628.05 0.32 5.50 627.59 5.70 627.76
649 622.99 5.60 627.81 5.50 627.90 627.97 0.28 5.50 627.81 5.70 628.01
650 627.74 5.50 627.74 5.50 627.75 627.90 0.15 5.50 627.74 5.90 628.14
651 628.19 6.00 627.49 5.50 627.96 627.85 0.11 5.50 627.79 6.10 628.29
652 627.53 5.70 627.66 5.50 627.84 627.82 0.02 5.50 627.66 6.10 628.26
653 628.74 6.60 627.64 5.50 627.81 627.80 0.01 5.50 627.64 6.10 628.24
A primeira etapa é o desenho (figura 21) e cálculo das áreas das seções transversais. Originalmente
no projeto as plataformas apresentam uma inclinação de 3%. Com estes dados é possível desenhar, utilizando
um programa como o AutoCAD por exemplo, cada uma das seções. Neste caso podemos também obter
facilmente via CAD as áreas das seções transversais. Este foi o processo utilizado para a obtenção dos valores
a serem empregados neste exercício. Cabe salientar que para os perfis elaborados, a escala vertical é 10 vezes
maior que a horizontal para enfatizar os desníveis.
A partir dos perfis mostrados na figura 21, calculou-se para cada estaca, a área de corte e de aterro, as
quais são resumidas na tabela abaixo.
Estaca Corte (m2) Aterro (m2)
647 - 2.7500
648 - 2.2275
649 1.4573 0.014
650 0.8947 0.5527
651 4.1085 -
652 2.3660 -
653 5.2650 -
Uma estrada nem sempre é uma linha reta e na maioria das vezes existem curvas no seu traçado.
Quando vamos calcular o volume de corte e aterro, no caso específico de curvas, iremos trabalhar com seções
transversais que não são paralelas. Existe uma forma de correção a ser aplicada nestes casos. Ao leitor que
interessar, o assunto é detalhado em BORGES (1994).

33
Cota Cota
2 2
Figura 21 – Perfis transversais.
Cota
Cota
2 2 2 2
Cota Cota
Cota
2 2
2

34
Vamos utilizar a planilha para cálculo de volumes por seções transversais para determinar os volumes de
corte e de aterro. Uma cópia desta planilha é fornecida no anexo 1.
Cálculo do volume de Corte
Áreas (m2)
Seções
Área
Área Total
Média da Área
Distância entre as
seções (m)
Volume (m3)
647 0
0 0 20 0
648 0
1.4573 0.7286 20 14.572
649 1.4573
2.3520 1.176 20 23.52
650 0.8947
5.0032 2.5016 20 50.032
651 4.1085
6.4745 3.2372 20 64.744
652 2.3660
7.6310 3.8155 20 76.31
653 5.2650
Volume Total
229.178
Cálculo do volume de Aterro
Áreas (m2)
Seções
Área
Área Total
Média da Área
Distância entre as
seções (m)
Volume (m3)
647 2.75
4.9775 2.4887 20 49.774
648 2.2275
2.2415 1.1207 20 22.414
649 0.014
0.5667 0.2833 20 5.667
650 0.5527
0.5527 0.2763 20 5.527
651 0
0 0 20 0
652 0
0 0 20 0
653 0
Volume Total
83,114

35
3.3. Superfícies Eqüidistantes
Alguns autores ainda apresentam uma metodologia de cálculo chamada de Superfícies Eqüidistantes,
que na realidade segue o mesmo princípio do cálculo do método das seções transversais, porém agora ao
invés de trabalharmos com seções verticais, utilizaremos seções horizontais. A fórmula para cálculo é a
seguinte:
onde n é o número de seções.

A1 Volume d
= × + + + + − +
An
Um exemplo de aplicação é o cálculo de volume d’água em reservatórios de barragens, onde as
superfícies paralelas são representadas pelas curvas de nível. Vamos verificar a fórmula com o exercício
abaixo.
Exercício 16 – Calcular para as curvas de nível dadas abaixo, o volume definido entre as curvas 5 e 15m.
O valor de “d” será a eqüidistância entre as curvas de nível.
confirmando a fórmula apresentada!

2
A2 A3 ... An 1 2

+
S1 S2 V5 /10 d

= ×
2

+
S2 S3 V10 /15 d

= ×
2
Vt = V5 /10 + V10 /15

+
S1 S2 Vt d

+
+
= ×
S2 S3
2
2

+ +
S1 2S2 S3 Vt d

= ×
2

S1 Vt d

= × + +

S3
2
S2 2
5
10
15
S3
S2
S1

36
Exercício 17 -Foi projetada uma represa entre os pontos A e B, indicados no mapa abaixo. Sabendo que a cota
de inundação será 112m, calcular o volume de água a ser represada pela barragem. As unidades do mapa
estão em metros.
A B
400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00 1600.00 1800.00 2000.00
2600.00
2400.00
2200.00
2000.00
1800.00
Rio a ser represado
A primeira etapa é marcar a posição da barragen sobre o mapa. Sabendo-se que a cota de inundação é
112m, então tudo que estiver compreendido entre a curva de nível de cota 112m e abaixo desta cota será
inundado. Para calcular o volume de inundação temos que determinar qual é a área que cada curva de nível
define em relação a barragem.
Barragem
Área
Curva de nível
(112m)

37
Esta área pode ser determinada com planímetro ou utilizando-se algum programa CAD. A figura a
seguir mostra a posição da barragem e a área a ser inundada.
400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00 1400.00 1600.00 1800.00 2000.00
Os valores das áreas, determinados via programa CAD, são mostrados na tabela abaixo.
Áreas
Curva Área (m2)
112 243808,7
110 174185,7
108 117934,1
106 76370,9
104 42836,1
102 16650,9
100 1697,0
Aplicando-se o método das seções transversais, onde o espaçamento entre cada seção neste caso é a
2600.00
2400.00
2200.00
2000.00
1800.00
eqüidistância entre as curvas de nível (2 m), teremos:

A112 V e.

= + + + + + +

A100
2
A110 A108 A106 A104 A102 2

243808,7
= + + + + + +
1697,0
2
174185,7 117934,1 76370,9 42836,1 16650,9
2
V 2.

38
V = 1101461,1 m3
A figura a seguir representa em 3D a área a ser represada.

39
3.4. Terraplenagem para plataformas
Esta será uma aplicação do método das seções transversais na área de terraplenagem. RICARDO;
CATALANI (1977) definem a terraplenagem ou movimentos de terra, como o conjunto de operações
necessárias para remover a terra, dos locais em que se encontra em excesso para aqueles em que há falta,
tendo em vista um determinado projeto a ser executado. Diversos trabalhos de engenharia necessitam da
utilização da terraplenagem, como a construção de rodovias, aeroportos, fábricas, ou mesmo a construção de
uma residência. Como esta operação envolve a movimentação de terra, é necessário que conheçamos o
volume de terra a ser trabalhado.
Neste item estaremos abordando uma forma de cálculo do volume de material a ser movimentado
para a construção de plataformas horizontais e inclinadas. Logicamente que para calcular este volume teremos
que conhecer previamente o terreno, ou seja, ter um levantamento topográfico do mesmo. Nos exemplos que
se seguem o terreno foi quadriculado e as cotas dos pontos da malha foram determinadas por um método de
nivelamento qualquer, cuja precisão deve ser compatível com as necessidades do usuário. O espaçamento
entre os pontos da malha dependerá das características do terreno. Terrenos acidentados requerem uma malha
com espaçamento menor.
De acordo com BORGES (1994, p.66), o projeto de terraplenagem poderá solicitar da topografia o
planejamento para uma das quatro hipóteses:
1 – plano horizontal, sem a imposição de uma cota final
2 – plano final horizontal com a imposição de uma cota final
3 – plano inclinado sem a imposição da altura em que este plano deva estar.
4 – plano inclinado impondo uma determinada altura para o mesmo, através da escolha da cota de
um determinado ponto.
Vamos mostrar um exemplo de cálculo. Este exemplo estará baseado nos dados apresentados por
BORGES (1994 – p.67). Inicialmente é dada uma malha de pontos com as suas respectivas cotas. O
espaçamento da malha é de 20 m.
Figura 22 – Malha de pontos
36,3
36,4
34,8
34,9
33,5
33,6
36,6 35,5 34,4
37,2 36,3 35,8
30,8
32,1
32,9
33,9
32,2
32,3
33,5
35,1
A
B
C
D
1 2 3 4 5

40
A1
A2
A3
Figura 23 – Vista em perspectiva da malha.
Hipótese 01
Neste caso a topografia poderá escolher uma altura do plano final. Assim vamos escolher uma altura
em que o volume de corte seja igual ao volume de aterro, compensando a movimentação de terra. A primeira
coisa a fazer é determinar a cota de passagem para a malha dada, que pode ser determinada conforme visto
anteriormente, através do cálculo da média ponderada das cotas da malha. Os cálculos são apresentados a
seguir.
Ponto Cota Peso Peso x Cota
A1 36.3 1 36.3
A2 34.8 2 69.6
A3 33.5 2 67.0
A4 32.2 2 64.4
A5 30.8 1 30.8
B1 36.4 2 72.8
B2 34.9 4 139.6
B3 33.6 4 134.4
B4 32.3 4 129.2
B5 32.1 2 64.2
C1 36.6 2 73.2
C2 35.5 4 142.0
C3 34.4 4 137.6
C4 33.5 4 134.0
C5 32.9 2 65.8
D1 37.2 1 37.2
D2 36.3 2 72.6
D3 35.8 2 71.6
D4 35.1 2 70.2
D5 33.9 1 33.9
S 48 1646.4
A4
A5
B1
B2
B3
B4
B5
C1
C2
C3
C4
C5
D1
D2
D3
D4
D5
Cota Peso
×
=

Pesos
Cp

41
1646,40
48
Cp =
Cp = 34,3 m
Então se utilizarmos um plano de referência com cota 34,3 m, o volume de corte será igual ao
volume de aterro. Passamos então para o cálculo do volume de corte e aterro. Utilizaremos o método das
seções transversais. Serão trabalhadas as seções A, B, C e D. O primeiro passo é construir o perfil da seção
que iremos trabalhar. Neste perfil devem constar o perfil do terreno e a indicação do plano final em que o
terreno ficará após a terraplenagem. Todas as medidas estarão representadas em metros.
Perfil do terreno
P
0,8
0,5
Figura 24 – Perfil “A” do terreno.
2,1
3,5
2,0
Teremos então que calcular as áreas de corte e aterro para a seção acima. Por exemplo, para
calcularmos a área de aterro total para a seção apresentada basta somarmos as áreas do triângulo PMS,
trapézio MNRS e trapézio NOQR. Não nos esqueçamos que a abertura da malha é de 20 m, ou seja, a
distância entre os pontos MN é de 20m e assim por diante. Porém teremos que calcular por interpolação a
distância PM, para podermos calcular a área do triângulo PMS.
0,5 m P M
Figura 25 – Interpolação.
Se em vinte metros (distância TM) o terreno sobe 1,3 m (desnível SU), em “X” metros (distância
MP) o terreno sobre 0,8 m (desnível MS). Basta resolver por regra de três.
Plano horizontal
de cota 34,3 m
36.3 34.3 34.8 34.3 33.5 34.3 32.2 34.3 30.8 34.3
Cota do
terreno
Cota do
plano
Diferença entre a
cota do plano e
do perfil
M N O
Q
R
S
U
T
0,8 m
S
U
T
X
20 m
20m 1,3m
®
Xm 0,8m
®

42
20 0,8
×
1,3
X
=
X = 12,31 m
A representação final do perfil da seção A é mostrada a seguir.
Perfil do terreno
0,8
7,69 12,31
2,0 P
Figura 26 – Perfil seção A.
0,5
Cálculo da área de aterro da seção A ( SAA ):
20 2,1 0,8
12,31 0,8
SAA = 89,9240 m2
Cálculo da área de corte da seção A ( SCA ):
7,69 0,5
20 2,0 0,5
SCA = 26,9225 m2
2,1
3,5
20 3,5 2,1
Para todas as outras seções vamos fazer o mesmo procedimento. Não vamos apresentar os cálculos,
os quais podem ser facilmente verificados pelos alunos, mas tão somente as seções e os resultados.
Plano horizontal
de cota 34,3 m
36.3 34.3 34.8 34.3 33.5 34.3 32.2 34.3 30.8 34.3
( ) ( )
2
2
2
SAA
× +
+
× +
+
×
=
( )
2
2
SCA
×
+
× +
=

43
0,7
Figura 27 – Perfil seção B.
Área de aterro da seção B ( SAB ):
SAB = 72,7695 m2
Área de corte da seção B ( SCB ):
SCB = 29,769 m2
Figura 28 – Perfil seção C.
Área de aterro da seção C ( SAC ):
SAC = 29,1120 m2
Área de corte da seção C ( SCC ):
SCC = 48,1110 m2
2,0
0,6
2,1
P
2,2
9,23 10,77
36.4 34.3 34.9 34.3 33.6 34.3 32.3 34.3 32.1 34.3
0,1 0,8
2,3 1,2
P
1,4
2,22 17,78
36.6 34.3 35.5 34.3 34.4 34.3 33.5 34.3 32.9 34.3

44
1,5 0,8
Figura 29 – Perfil seção D.
2,9 2,0
Área de aterro da seção D ( SAD ):
SAD = 1,3340 m2
Área de corte da seção D ( SCD ):
SCD = 112,332 m2
P
Tendo todas as áreas de corte e aterro calculadas podemos então calcular o volume final de corte e
aterro. Começaremos pelo volume de aterro. O valor de “d” na fórmula é a distância entre duas seções
consecutivas.
VAterro = 2950,210 m3
O volume de corte será dado por:
Vcorte = 2950,145 m3
Como era de se esperar o volume de corte e de aterro foram praticamente iguais. A diferença de
0,065 m3 encontrada deve-se a questões de arredondamento e na prática seria insignificante.
0,4
13,33 6,67
37.2 34.3 36.3 34.3 35.8 34.3 35.1 34.3 33.9 34.3

45
A figura seguir representa graficamente o que foi feito. Primeiro tínhamos o terreno natural (figura 30-a).
Foi então calculada a cota de passagem. Na figura 30-b está representada a curva com valor da cota de
passagem. Calculamos então um volume de corte (figura 30-c) e um de aterro (figura 30-d) para esta cota.
Após realizados os trabalhos de terraplenagem o terreno ficaria plano (figura 30-e), estando na cota 34,3m.
(a)
Figura 30 – Representação esquemática da hipótese 1.
(b)
(c) (d)
(e)

46
Hipótese 02
O projeto de terraplenagem define um plano horizontal com uma cota dada qualquer. Os cálculos são
feitos da mesma forma que no exemplo anterior, somente que agora o plano vai estar numa cota pré
determinada. Supondo que para o terreno do exemplo anterior o projeto solicite um plano horizontal na cota
34,0 m. De antemão, em função dos dados do exemplo anterior, podemos calcular a diferença entre o volume
de corte e aterro para este caso. Temos nosso terreno plano na cota 34,3 m. Se queremos então deixá-lo na
cota 34,0 m significa que teremos que rebaixar o terreno 0,30m. Como a área do terreno é conhecida (60 x
80m), podemos então calcular o volume de material que deverá ser retirado. Basta multiplicar a área do
terreno pela altura de rebaixamento.
Volume = 0.30m . 4800 m2
Volume = 1440 m3
Então quando fizermos os cálculo para este exemplo veremos que a diferença entre os volumes de
corte e aterro será de 1440 m3. Fazendo os cálculos encontramos um volume de corte igual a 3730,265 m3 e
um volume de aterro de 2290,210 m3. A diferença entre os dois é de 1440,055 m3, bem próxima do calculado.
A figura a seguir ilustra este raciocínio.
A = 4800 m2
V = 1140 m 0,30 m 3
Figura 31 – Representação esquemática da hipótese 2.
Plano de cota
34,3 m
Plano de cota
34,0 m
Terreno na cota
34,0 m

47
Hipótese 03
O projeto solicita um plano inclinado na direção 1-5, com inclinação de 1%, sem determinar a altura
do plano. Vamos então posicionar o plano inclinado de forma que a altura do mesmo, na linha média do
terreno, seja igual à altura do plano que foi calculado para a hipótese 01. Desta forma teremos também para o
plano inclinado, volumes de corte e aterro iguais.
Corte
1 2 3 4 5
A
B
C
D
34,30 m
inclinação de 1%
1 2 3 4 5
Nesta linha o plano terá
cota igual à cota de
passagem calculada para o
terreno = 34,30m
Figura 32 – Posicionamento do plano na hipótese 03.
Aterro

48
A
1%
D
1
2
Linha de cota
34,30m
C
B
3
4
5
Figura 33 – Representação em perspectiva do plano da hipótese 03.
Determinada a posição do plano necessitamos calcular as demais cotas dos pontos do plano
inclinado, para depois podermos desenhar os perfis transversais e calcular as áreas de corte e aterro. O plano
terá uma inclinação de 1%, ou seja, para cada 100m o terreno “sobe” ou “desce” 1m. Em 20 m (tamanho da
abertura da malha) o terreno então vai variar a sua cota em 0,20m. Como conhecemos a cota da linha 3
(34,30m), para calcular a cota das demais linhas basta somar ou diminuir 0,20m, conforme o sentido de
inclinação do plano. Uma vez que a inclinação se dá no sentido X da malha, todos os pontos localizados na
linha 1 terão a mesma cota, sendo o mesmo válido para as linhas 2, 3, 4 e 5.
34,30 m
34,70 m
1 2
3
34,50 m
4
Figura 34 – Perfil transversal do plano inclinado.
34,10 m
33,90 m
5
Calculadas as cotas dos pontos do plano inclinado podemos esquematizar os perfis, conforme visto
na hipótese 01 e calcular as áreas de corte e aterro. Será apresentado a seguir como realizar a interpolação do
ponto P (interseção entre o plano inclinado e o terreno).

49
hp
Figura 35 – Interpolação do ponto P para o plano inclinado.
Nesta interpolação não podermos obter o valor de x1 e x2 diretamente. Teremos que efetuar os
cálculos por partes. Iniciaremos determinando o valor de x1. Sabemos que em 100m o terreno sobe 1m, então
em x1 metros o terreno subirá “hp” metros. Como não conhecemos este valor teremos uma primeira equação
em função de x1 e hp.
100m 1m
®
x1 hp
®
x1 = hp . 100 (1)
Podemos escrever uma outra equação em função de x1. Sabe-se que do ponto S até o ponto U
(distantes 20m) o terreno sobe 1,3 m, então em x1 metros o terreno subirá 0,8m + hp.
(2)
20m 1,3m
®
x1 0,8m hp
® +
( )
1,3
20 0,8 hp
x1
× +
=
16 20.hp
+
1,3
x1
=
Agora podemos igualar as equações (1) e (2) e obteremos o valor de hp:
16 20.hp
+
1,3
hp.100
=
130.hp = 16 + 20.hp
hp = 0,145454
hp =0,145 m
1,3 m
0,8 m
P
M
S
U
T
x1
20 m
x2
0,8 m
0,5 m

50
Uma vez obtido o valor de hp, podemos substituí-lo tanto na equação (1) como na (2) para obter o
valor de x1. O valor de x2 será igual ao valor da abertura da malha (20 m) menos o valor de x1.
x1 = hp.100
x1 = 14,55 m
x2 = 20 – x1
x2 = 5,45 m
Não vamos detalhar o procedimento de cálculo, o qual pode ser encontrado em BORGES (1994),
uma vez que segue o mesmo princípio exposto na hipótese 01. A figura seguir representa graficamente o que
foi feito.
Corte
Aterro
Figura 36 – Esquema do plano inclinado de 1%.
Linha de interseção entre o
plano e o terreno. Não tem
cota constante
Plano Inclinado
de 1%
A hipótese 04 também segue a mesma linha de raciocínio apresentada, somente que agora será
imposta uma cota de um ponto para o plano inclinado. BORGES (1994) apresenta um exemplo para este caso,
com uma plano tendo uma inclinação de 2% em uma direção e 1% na outra.
Adicionalmente a estas seções poderiam ser introduzidos taludes de corte e aterro. O procedimento
de cálculo do volume transcorreria da mesma forma, somente que agora teríamos que levar em consideração
estes elementos.

51
Empolamento: pode ser definido como o aumento do volume sofrido por um material ao ser removido do seu
estado natural. É geralmente expresso como a percentagem do aumento de volume sofrido em relação ao
volume original (aumento do índice de vazios) (GARCIA; PIEDADE 1984). O coeficiente de empolamento
da terra comum seca é de 25%, ou seja, um metro cúbico de terra seca no estado natural, ocupará após
escavada um espaço de 1,25 m3 no estado solto. A tabela abaixo apresenta alguns valores de coeficiente de
empolamento.
Tabela 1 – Coeficientes de empolamento*
Material Empolamento (%)
argila 40
terra comum – seca 25
terra comum – molhada 25
calcário 67
areia, molhada, compacta 12
areia, seca, solta 12
* adaptada de GARCIA; PIEDADE (1984).

52
4 - Bibliografia
BANNISTER, A.; BAKER, R. Solving problems in Surveying. 2 ed. Longman Scientific Technical,
London, 1994.
BEZERRA, M. J. Curso de Matemática. 25 ed. Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1970. 629 p.
BORGES, A. C. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 2. Editora Edgard Blucher. São Paulo, 1994.
232p.
BORGES, A. C. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 1. Editora Edgard Blucher. São Paulo, 1977.
187p.
BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. 3 ed. Editora Edgard Blucher. São Paulo, 1975. 192p.
CARVALHO, M. P. Curso de estradas: estudos, projetos e locação de ferrovias e rodovias. v.1.
Científica, Rio de Janeiro, 1973. 510 p.
CHURCH, H. K. Excavation Handbook. McGraw-Hill, New York, 1981.
FERNANDEZ, V. P.; Youssef, A. N. Matemática para o 2º grau. Scipione, São Paulo, 1991. 424p.
GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias. 5 ed. Nobil, São Paulo,
1984.
IMSS. IMSS Catalogo Multimediale – Biografia Bonaventura Cavalieri. Disponível em:
http://galileo.imss.firenze.it/museo/b/icavali.html Acesso em: 01 mar. 2002.
IRVINE, W. Surveying for construction. 2 ed. McGraw-Hill, London, s.d.
KAVANAGH, B. F.; BIRD, S. J. G. Surveying: Principles and applications. 4 ed. Prentice Hall, 1996.
700p.
LIMA, E. L. Fundamentos da Matemática elementar: Áreas e volumes. Ao Livro Técnico, 1975. 75p.
RICARDO, H. S; CATALANI, G. Manual prático de escavação. McGraw-Hill, São Paulo, s.d.
MCCORMAC, J. Surveying. 4 ed. Prentice Hall, Columbus, 1999.

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