Wp100

Modelos Dinâmicos com Dados em Painel: revisão de literatura
Outubro, 2000
Luís David Marques
lbmarq@fep.up.pt
CEMPRE*
, FACULDADE DE ECONOMIA DO PORTO
RUA DR. ROBERTO FRIAS, 4200 PORTO, PORTUGAL
ABSTRACT
Since Hsiao [1986]’s work, many surveys have appeared, providing the researcher with
the necessary tools for fully enjoying the advantages of panel data in terms of both
microeconometric and macroeconometric studies. This survey has this very aim and, in a
sense, offers no novel contribution, beyond the fact of bringing together some new
developments in estimation and specification testing in a selective manner. The estimation
of dynamic models either with fixed effects or random effects in the intercept using LSDV,
GLS,MLE, IV and GMM is presented, as well as binary choice models. A short review on
specification tests and unit roots testing is also presented.
RESUMO
Desde o trabalho fundamental de Hsiao [1986], várias revisões de literatura têm aparecido
para dotar o investigador das ferramentas necessárias a um completo aproveitamento das
vantagens dos dados em painel, quer na microeconometria, quer na macroeconometria. A
presente revisão de literatura tem este mesmo objectivo e, nesse sentido, não traz qualquer
contributo novo, para além do facto de juntar alguns dos últimos desenvolvimentos na
estimação e nos testes de especificação, de uma forma selectiva, transcrevendo-os para
português. A estimação de modelos dinâmicos com efeitos fixos ou aleatórios, no termo
independente, por intermédio dos estimadores LSDV, GLS, MLE, IV e GMM é
apresentada, tal como a questão da estimação de modelos de escolha binária. Apresenta-se,
também, um resumo de alguns testes de especificação e de testes de raízes unitárias.
Keywords: panel data, dynamic models estimation, LSDV, GLS, MLE, IV, GMM, unit
root tests
Palavras-Chave: dados em painel, estimação de modelos dinâmicos, LSDV, GLS, MLE,
IV, GMM e testes de raiz unitária.
*
Centro de Estudos Macroeconómicos e Previsão

ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO........................................................................................................................................... 1
2. MODELOS ESTÁTICOS: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ................................................................... 4
2.1 MODELOS DE EFEITOS FIXOS........................................................................................................................ 9
2.2 MODELOS DE EFEITOS ALEATÓRIOS ........................................................................................................... 13
2.3 EFEITOS FIXOS OU ALEATÓRIOS?................................................................................................................ 19
3. MODELOS DINÂMICOS AUTORREGRESSIVOS............................................................................... 20
3.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................................. 20
3.2 ESTIMAÇÃO DE MODELOS COM EFEITOS FIXOS ........................................................................................... 22
3.3 ESTIMAÇÃO DE MODELOS COM EFEITOS ALEATÓRIOS................................................................................. 25
3.4 ESTRUTURAS ALTERNATIVAS PARA A HETEROGENEIDADE .......................................................................... 32
4. ESTIMAÇÃO DE MODELOS COM DESFASAMENTOS DISTRIBUÍDOS........................................ 35
5. ESTIMAÇÃO GMM DE MODELOS DINÂMICOS COM DADOS EM PAINEL................................ 41
5.1 ESTIMAÇÃO GMM COM REGRESSORES EXÓGENOS .................................................................................... 41
5.2 ESTIMAÇÃO GMM E MODELOS DINÂMICOS................................................................................................ 46
5.3 CONCLUSÕES............................................................................................................................................. 51
6. RAÍZES UNITÁRIAS E DADOS EM PAINEL....................................................................................... 53
7. DADOS DISCRETOS.............................................................................................................................. 61
7.1 MODELOS ESTÁTICOS DE ESCOLHA BINÁRIA: UMA INTRODUÇÃO................................................................. 61
7.2 MODELOS DINÂMICOS DE ESCOLHA BINÁRIA.............................................................................................. 64
8. MISCELÂNEA DE TEMAS..................................................................................................................... 68
8.1 ALGUNS ARTIGOS FUNDAMENTAIS............................................................................................................. 68
8.2 TEMAS RECENTES SOBRE ESTIMAÇÃO COM DADOS EM PAINEL.................................................................... 69
8.3 ALGUNS TESTES DE ESPECIFICAÇÃO ........................................................................................................... 72
9. CONCLUSÃO........................................................................................................................................... 78
10. REFERÊNCIAS...................................................................................................................................... 80

1
1. INTRODUÇÃO
O objectivo do presente texto consiste em reunir, de forma integrada, um conjunto
de referências e de resultados úteis a quem está a desenvolver trabalho empírico na área
dos modelos dinâmicos com dados em painel. Apesar de existirem diversos exemplos deste
tipo de revisão de literatura, principalmente sob a forma de working papers em língua
inglesa, não se encontrou exemplo algum em português. Assim, tal como foi feito por Urga
[1992], pretende-se fornecer pistas de investigação, referências úteis e alguns resultados
prontos a usar para quem não pode despender muito tempo, nem esforço, neste tipo de
recolha. Para quem tem a estimação com dados em painel como objecto central da
respectiva pesquisa, esta survey não substitui de forma alguma a leitura dos originais
citados.
Uma das vantagens da estimação com dados em painel é a relevação da
heterogeneidade individual. Assim, os dados em painel sugerem a existência de
características diferenciadoras dos indivíduos, entendidos como “unidade estatística de
base”. Essas características podem ou não ser constantes ao longo do tempo, de tal forma
que estudos temporais ou seccionais que não tenham em conta tal heterogeneidade
produzirão, quase sempre, resultados fortemente enviesados.
Por outro lado, os dados em painel providenciam uma maior quantidade de
informação, maior variabilidade dos dados, menor colinearidade entre as variáveis, maior
número de graus de liberdade e maior eficiência na estimação. A inclusão da dimensão
seccional, num estudo temporal agregado, confere uma maior variabilidade aos dados, na
medida em que a utilização de dados agregados resulta em séries mais suaves do que as
séries individuais que lhes servem de base. Esse aumento na variabilidade dos dados
contribui para a redução da eventual colinearidade existente entre variáveis,
particularmente em modelos com desfasamentos distribuídos.
Adicionalmente, os estudos com amostras longitudinais facilitam uma análise mais
eficiente das dinâmicas de ajustamento: os estudos seccionais, ao não contemplarem a
possibilidade de a realidade de suporte ser dinâmica, transmitem uma falsa ideia de
estabilidade. Assim, a utilização de dados em painel permite conjugar a diversidade de
comportamentos individuais, com a existência de dinâmicas de ajustamento, ainda que

2
potencialmente distintas. Ou seja, permite tipificar as respostas de diferentes indivíduos a
determinados acontecimentos, em diferentes momentos.
Por outro lado, a maior quantidade de informação disponível aumenta a eficiência
da estimação. Ou seja, os dados em painel permitem identificar e medir efeitos que não
serão pura e simplesmente detectáveis em estudos exclusivamente seccionais ou temporais,
bem como construir e testar modelos comportamentais complexos, nomeadamente
recorrendo a modelos com desfasamentos distribuídos com poucas restrições.
No entanto, a análise econométrica com dados em painel não está isenta de
problemas, nomeadamente porque:
– aumenta o risco de se ter amostras incompletas ou com graves problemas de recolha
de dados, bem como a importância dos erros de medida;
– se virmos uma população como um conjunto de decisões que se reflectem em
diferentes histórias individuais (segundo uma definição de Haavelmo), estas terão que
ser representadas como variáveis aleatórias idiossincráticas (i.e., específicas a cada
indivíduo) e que certamente estarão correlacionadas não apenas com a variável
dependente, mas também com o conjunto das variáveis explicativas, o que causa
diversos problemas ao nível da identificação e estimação dos modelos;
– ocorre o chamado enviesamento de heterogeneidade, i.e., o enviesamento resultante
de uma má especificação pela não consideração de uma eventual diferenciação dos
coeficientes ao longo das unidades seccionais e/ou ao longo do tempo;
– surgem problemas relacionados com o enviesamento de selecção (selectivity bias), ou
seja, erros resultantes da recolha dos dados que levam a que estes não constituam uma
amostra aleatória. Inclui questões como a auto-selectividade (amostras truncadas) e
ausência de resposta ou atrito (exclusão de indivíduos em sucessivas rondas devido a
morte ou alteração de residência, por exemplo). Uma forma particular de
enviesamento de selecção, comum nos estudos macroeconométricos, relaciona-se com
a selecção das unidades individuais a utilizar no estudo. Uma selecção de acordo com
um critério sistemático, como é usualmente efectuado em macroeconomia, do tipo,
“países da OCDE” ou “países que aderiram a um dado regime de política económica”,
não garantirá a constituição de uma amostra aleatória e, dessa forma, levará a que a
estimação seja genericamente inconsistente.
Na próxima secção, apresenta-se o tema da estimação de modelos uniequacionais
com dados em painel, através de uma abordagem genérica dos modelos estáticos de efeitos

3
fixos e de efeitos aleatórios, limitados ao termo independente, o que é usualmente
conhecido como modelo de componentes de erro. Omitiram-se propositadamente os
modelos de coeficientes variáveis (fixos ou aleatórios) mais gerais, para limitar o espectro
de análise.
No terceiro capítulo, abordam-se especificamente os modelos dinâmicos, quer de
efeitos fixos, quer de efeitos aleatórios e os problemas que se colocam na sua estimação,
por terem variáveis dependentes desfasadas como variáveis explicativas. É ainda feita uma
breve referência a uma abordagem à heterogeneidade individual alternativa aos modelos de
componentes de erro e que recorre a especificações diversas para as matrizes de variâncias
e covariâncias dos termos de perturbação.
Na quarta secção, resumem-se as questões relacionadas com a estimação e
identificação de modelos com desfasamentos distribuídos, seguindo-se de perto a
exposição que consta da secção 8.1 de Hsiao [1986].
No quinto capítulo, introduz-se a estimação de modelos dinâmicos com dados em
painel através de técnicas GMM, recorrendo-se extensivamente a Mátyás [1999] e Baltagi
[1995].
No sexto capítulo, apresentam-se as principais referências sobre testes de detecção
da existência de raízes unitárias, com amostras em painel, questão particularmente
relevante para os modelos dinâmicos.
O capítulo sete apresenta o tema da estimação de modelos dinâmicos com dados
discretos, nomeadamente a estimação de modelos de escolha binária.
O capítulo oitavo resume os objectivos e conclusões de um conjunto restrito de
artigos merecedores de destaque, por serem textos fundadores ou por, sendo recentes,
poderem dar indicações quanto a eventuais evoluções da discussão em torno da estimação
de modelos econométricos dinâmicos com dados em painel. São também apresentados
diversos testes de especificação adaptados a modelos com dados em painel.
O último capítulo apresenta as principais conclusões da recolha.

4
2. MODELOS ESTÁTICOS: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Considere-se a seguinte especificação genérica para um modelo de dados em
painel:
y x x x u y u i N t Tit it it it it kit kit it it it it it= + + + + ⇔ = ′ + = =β β β1 1 2 2 1 1K K Kx ββ ; e, , , , (2.1)
em que ββit corresponde ao vector (k×1) de parâmetros desconhecidos relativos ao indivíduo
i no momento t e xit a matriz (k×1) de variáveis explicativas, cuja primeira coluna, no caso
do modelo ter termo independente, será integralmente constituída por 1’s.
O modelo é tão só descritivo, na medida em que diz apenas que o indivíduo i tem
uma dada função de reacção específica a cada momento no tempo. Além do mais, o
modelo não é estimável pois tem mais coeficientes que observações, pelo que será
necessário conferir-lhe uma estrutura. Nesse sentido, pode-se recorrer aos tradicionais três
tipos de pressupostos - quanto às variáveis explicativas, os termos de perturbação e a
relação estatística destes com aquelas - e ao pressuposto específico aos estudos com dados
em painel, quanto à “variabilidade” dos coeficientes.
Desde logo, num modelo estático, assumimos que as variáveis explicativas são
independentes dos termos de perturbação. Já no que toca à questão da heterogeneidade,
podemos assumir que esta reside nos coeficientes de regressão (que podem variar no tempo
ou de indivíduo para indivíduo) ou na estrutura dos termos de perturbação. A escolha de
uma especificação de validade universal é impossível, restando-nos escolher aquela que,
face aos dados em concreto e ao tipo de problema em causa, melhor se adeque.
Podemos, então, conceber sete especificações simples, com grau crescente de
heterogeneidade (entre indivíduos pois, omitiu-se a heterogeneidade temporal para não
complicar a exposição), recorrendo aos seguintes pressupostos suplementares:
I. Modelo de Regressão Simples
Esta especificação mais simples (e também mais irrealista) assume que o
comportamento é uniforme para todos os indivíduos e ao longo do tempo e que todas as
observações são homogéneas (i.e., da mesma população), pelo que poderá ser especificado
da seguinte forma:

5
a(I): ββit = ββ, ∀i,t, em que ββ é (k×1);
b(I): uit ~ i.i.d.(0,σ2
).
O modelo poderá ser estimado pela aplicação de OLS à amostra longitudinal visto
cumprirem-se as hipóteses clássicas do modelo de regressão linear, no que é conhecido
como pooled OLS. No entanto, ao não dar conta de uma heterogeneidade eventualmente
existente, o modelo padecerá de um grave erro de especificação e os enviesamentos serão
grandes. Além disso, por ignorar a existência de heterogeneidade nos dados, a aplicação de
OLS em pool não é verdadeiramente um método de estimação em painel.
II. Modelo de Regressão Individual
Uma forma simples de se dar conta da heterogeneidade existente é assumir que os
coeficientes são constantes no tempo, mas específicos a cada indivíduo, ou seja:
a(II): ββit = ββi, ∀t, em que ββi é (k×1);
b(II): uit ~ i.i.d.(0,σi
2
).
A estimação do modelo reduz-se à aplicação de OLS indivíduo a indivíduo, com as
vantagens de ser fácil de calcular, tratar as diferenças individuais explicitamente e permitir
que se testem diferenças comportamentais. No entanto, tem como principais defeitos o
facto de produzir um número muito elevado de coeficientes (não é parcimonioso, um dos
mais importantes atributos de uma boa especificação), ter pouca fiabilidade quando N→∞
mas T é fixo e não contemplar a existência de interdependência entre as decisões
individuais (o que o afasta do próprio espírito dos estudos com amostras longitudinais).
III. Modelo Seemingly Unrelated Regression (SUR)
A hipótese de inexistência de interdependência individual é bastante irrealista uma
vez que é natural que alguns factores não observáveis (incluídos nos termos de
perturbação) possam afectar todos ou alguns dos indivíduos ao mesmo tempo, originando

6
correlação contemporânea entre as perturbações de dois indivíduos, que pode ser traduzida
através de uma dada estrutura não nula de covariâncias das perturbações, nomeadamente:
a(III): ββit = ββi, ∀t, em que ββi é (k×1);
b(III): E(uit) = 0, ∀i,t
E(uit ujs) = σij ⇐ t = s
E(uit ujs) = 0 ⇐ t ≠ s
o que não é mais que o modelo SUR de Zellner. Quando T→∞, o modelo revela-se muito
abrangente ao dar conta da heterogeneidade individual, ao mesmo tempo que explicita uma
interdependência relativamente livre. No entanto, na maior parte dos estudos em painel, em
que N é grande e T relativamente pequeno, o modelo consome demasiados graus de
liberdade, tornando a sua estimação pouco eficiente, se não mesmo impossível (o número
de parâmetros a estimar ascenderá a Nk+N(N+1)/2).
IV. Modelo de Efeitos Fixos (Análise de Covariância)
Uma forma de conjugar a parcimónia com a heterogeneidade e a interdependência é
admitir que os coeficientes β são idênticos para todos os indivíduos, com excepção do
termo independente β1i, que é específico a cada indivíduo, mantendo-se a hipótese da
homogeneidade das observações. Formalmente:
a(IV): βkit = βk , ∀i,t , excepto para k=1, caso em que β1it = β1i
b(IV): uit ~ i.i.d.(0,σ2
).
Uma forma mais simples de enunciar a especificação é fazer β1it = β1 + αi, pelo que
o modelo base passa a ser:
y uit i it it= + ′ +α x ββ (2.2)

7
Este modelo é chamado de Análise de Covariância, um caso específico da família
de Modelos de Efeitos Fixos1
, ou modelo de variáveis dummy individuais. O modelo é
relativamente fácil de estimar, trata as diferenças individuais de forma sistemática e
permite que as mesmas sejam testadas.
V. Modelo de Efeitos Aleatórios (Componentes de Variância)
Os efeitos individuais da especificação anterior resultam de uma série de factores
individuais, constantes no tempo (embora esta restrição possa ser relaxada, como veremos)
e não observáveis. Desta forma, talvez seja mais razoável tratá-los como se de termos de
perturbação se tratassem, i.e., especificar os efeitos individuais, não de forma
determinística, mas aleatória. A escolha de uma ou outra especificação pode e deve ser
procurada nos pressupostos comportamentais de base. Assim, se se crê que os efeitos
individuais resultam de um grande número de factores não aleatórios, a especificação com
efeitos fixos é mais lógica. Para amostras de grande dimensão, o número de parâmetros a
estimar, com efeitos fixos, pode ser relativamente elevado, pelo que uma especificação que
relega as diferenças individuais para uma componente não sistemática, logo, não estimável,
parece ser mais apropriada.
Este modelo de componentes de erro introduz a heterogeneidade individual no
termo de perturbação que poderá ser dividido em duas partes: uma comum, com média
nula e variância σ2
u e uma individual, também com média zero, mas com variância σ2
α e
que se assumem independentes. Formalmente:
a(V): ββit = ββ, ∀i,t, em que ββ é (k×1);
b(V): vit = αi + uit
Se se preferir, o modelo pode ser visto como um modelo em que o termo
independente é aleatório, com β1i = β1 + αi e E(αi) = 0.
1
A notação “Efeitos Fixos” é frequentemente usada exclusivamente para este tipo de modelo, ainda que deva
ser aplicada a todos os modelos em que os parâmetros (termo independente e coeficientes associados a
variáveis explicativas) são “variáveis” de indivíduo para indivíduo, mas de forma não aleatória.

8
VI. Modelo de Coeficientes Aleatórios
Podemos ainda generalizar a especificação anterior estendendo a aleatoriedade a
todos os coeficientes através da inclusão de uma heteroscedasticidade individual das
perturbações. De forma mais clara:
a(VI): βkit = βk + αki, ∀t,k com βk fixo e αki aleatório.
b(VI): uit ~ i.i.d.(0,σi
2
).
A estimação do modelo acaba por conduzir a apenas k parâmetros de interesse,
ainda que a estimação da matriz de covariâncias dos componentes aleatórios consuma
bastantes graus de liberdade. Ao contrário do modelo de componentes de erro, que
necessita da estimação do modelo de covariância (possível quando T≥2), este modelo de
efeitos aleatórios mais geral necessita da estimação do modelo individual (II), o que só será
possível se T≥k.
VII. Modelo Time Series Cross Section (TSCS) de Kmenta
Uma forma radicalmente diferente de representar a heterogeneidade latente nos
dados em painel é proposta por Kmenta [1986] e defendida em Greene [1997], Capítulo 16
e consiste na consideração de estruturas alternativas para a matriz de variâncias e
covariâncias dos termos de perturbação. Partindo de um modelo standard, temos:
ititit uy +′= βx
em que uit será um termo de perturbação com média nula e matriz de variâncias V. Será
precisamente a concepção de diferentes configurações para V que dará origem a diferentes
justificações para a heterogeneidade dos dados. No caso de V=σ2
INT, temos a versão
pooled OLS do modelo em painel que será, de todas, a menos interessante. A versão mais
complexa será a de admitir que
uit = ρi ui,t-1 + εit
E(uit)=0
( ) 2
2
1 i
ii
ituE
ρ
σ
−
=

9
para a qual haverá um estimador GLS eficiente, desde que os regressores sejam ortogonais
face aos termos de perturbação. Atendendo a que o número de parâmetros a estimar cresce
com N, trata-se de uma especificação particularmente adequada para painéis relativamente
longos e estreitos (N pequeno e T grande). Para os painéis típicos, com uma dimensão
seccional relativamente grande face à temporal, as especificações com componentes de
erro serão mais parcimoniosas, para além de serem mais robustas face a erros de
especificação.
Das várias especificações de modelos de dados em painel, duas sobressaem: efeitos
fixos e efeitos aleatórios. A primeira é mais apropriada para os casos em que se retiram
amostras exaustivas de uma população ou quando se pretende prever o comportamento
individual. A segunda é mais coincidente com a visão de Haavelmo da econometria e das
populações que são objecto do seu estudo - não um conjunto de indivíduos, mas um
conjunto de decisões.
Quanto à terminologia, é comum entender-se que os modelos com efeitos fixos e os
com efeitos aleatórios se podem englobar numa mesma classe de modelos de componentes
de erro, em que o primeiro será o caso geral (por não se assumir qualquer distribuição para
os efeitos) e o segundo um caso particular, em que se admite uma dada distribuição para a
heterogeneidade. De seguida proceder-se-á a uma análise mais detalhada destes dois tipos
de modelos, ainda que apenas a um nível introdutório.
2.1 Modelos de Efeitos Fixos
Quando falamos em modelos de efeitos fixos, temos em mente modelos cujos
coeficientes podem variar de indivíduo para indivíduo ou no tempo, ainda que
permaneçam como constantes fixas, logo, não aleatórias. Se a heterogeneidade seccional
e/ou temporal se evidencia apenas no termo independente, dizemos estar perante um
modelo de covariância.
Uma especificação simples para um modelo linear de efeitos fixos com uma fonte
de erro (i.e., que considera apenas uma heterogeneidade seccional) será a seguinte:
υυ++ββ++αα==
⇔⇔υυ++ββ++==
⇔⇔++ββ′′++==
XDY
xiy
x
N
iiiTi
ititiit uy
α
α
, i=1,...,N e t=1,...,T
(2.3)
(2.4)
(2.5)

10
em que ββ é o vector de (k-1) coeficientes associados às variáveis explicativas (exclui-se,
pois, o termo independente), x′′it a linha de (k-1) colunas relativas aos valores assumidos
pelas variáveis explicativas, para o i-ésimo indivíduo, no momento t e uit o termo de
perturbação genérico, que se assume respeitar E(uit) = 0 (∀i,t), E(uit .ujs) = σ2
, se i=j e t=s e
E(uit .ujs) = 0, caso contrário. A segunda representação corresponde a uma agregação do
modelo para os T períodos da amostra, em que yi é o vector (T×1) de yit, iT é um vector
unitário2
coluna (T×1) e xi a matriz T×(k-1), cujas linhas correspondem a T observações de
cada uma das variáveis explicativas (excluindo termo independente). Finalmente, a última
linha corresponde à notação matricial mais condensada, em que Y corresponde ao vector
coluna (NT×1) formado a partir da agregação vertical de yi, a matriz DN é (NT×N) e resulta
de DN = IN ⊗ iT, αα é o vector (N×1) dos termos independentes e u é o vector-coluna (NT×1)
dos termos de perturbação.
Admite-se, ainda, que X é não aleatória, independente de u e que [DN X] tem
característica (N + k – 1) < NT (o que é sempre possível desde que T ≥ 2)3
.
A estimação de αα e ββ por OLS é BLUE, se se verificarem todos os pressupostos
enunciados. Os estimadores são:
)ˆ(
1
)ˆ()(ˆ
)(ˆ
1
1
ββββαα
ββ
XYDXYDDD
YWXXWX
−′=−′′=
′′=
−
−
NNNN
NN
T
12
2
)()ˆ(
1
)ˆ(ˆ
ˆ
−−
′′==ββ
++−−−−
ββ−−′′ββ′′−−′′
==
XWX
XYWXYWY
N
NN
Var
KNNT
σ
σ
em que WN = INT - DN (D′′N DN)-1
D′′N = INT - 1/T DN D′′N = INT - 1/T(IN ⊗ JT) é uma matriz
simétrica idempotente de ordem NT e característica (NT-N) e JT uma matriz unitária de
ordem T. A matriz Wn é um operador de desvio em relação à média, pelo que, WNu tem
elemento genérico (uit - ûi), por exemplo.
Note-se que esta forma de estimação do modelo não é mais que a estimação por
OLS do modelo (2.5) transformado mediante a pré-multiplicação por Wn, ou seja, da sua
2
Ou seja, cujos elementos são todos iguais a 1.
3
Isto implica também que todas as colunas de X sejam linearmente independentes de DN.
(2.6)
(2.7)
(2.8)

11
estimação na forma de desvios em relação à média (pelo Teorema de Frisch-Waugh4
e
atendendo a que WnDN = 0):
uWXWYW nnn ++ββ== (2.10)
a que também se chama estimação por LSDV (Least Square Dummy Variable)5
, sendo que
o estimador de αα mais não é que:
xy ββ−−==αα⇔⇔−−== ∑∑∑∑ ====
ˆˆˆˆ
21
K
k
kik
T
t
iti xy βα (2.11)
O método LSDV, na prática, elimina todos os efeitos que não variam com o tempo
(como o sexo, religião, ...) e obriga a uma grande perda de graus de liberdade. Apesar de
tudo, os estimadores LSDV (ou intra-grupo) são BLUE, como dissemos, desde que as
perturbações sigam as hipóteses clássicas e, com N→∞ e T→∞, consistentes. No entanto,
se N→∞ e T fixo, apenas o estimador LSDV de ββ permanece consistente pois o número de
parâmetros αi aumenta indefinidamente.
Sob a hipótese de normalidade das perturbações, a usual inferência estatística em
amostras finitas permanece válida. Assim, um teste t passará a ter NT - N - K + 1 graus de
liberdade e um teste à existência de efeitos individuais pode ser efectuado através de um
simples teste de Chow com o RSS a ser retirado de uma regressão OLS sobre o modelo
homogéneo (I) descrito atrás e o USS a vir da estimação do modelo (1) por LSDV. A
estatística (retirada de Baltagi[1995],12) é a seguinte:
),1(~
)(
)1()(
0 KNNTNF
KNNTUSS
NUSSRSS
F −−−−−−
−−−−
−−−−
==
A estimação do modelo de efeitos fixos com heterogeneidade temporal é em tudo
análoga à apresentada para os efeitos seccionais, sendo a matriz de transformação para o
LSDV, agora, Wt = INT – 1/N (JN ⊗ IT). As propriedades dos estimadores LSDV mantêm-
se, com a variante de o estimador de αα ser consistente desde que N→∞.
Finalmente, a estimação de um modelo com efeitos fixos individuais e temporais
simultaneamente não constitui uma generalização excessivamente difícil: uma abordagem
4
Greene[1997],246.
5
De facto, pode-se distinguir esta estimação por LSDV de uma estimação OLS sobre o modelo não
transformado, com inclusão de N dummies e que aqui se omitiu porque esta é, na maior parte dos casos,
impraticável atendendo à grande dimensão da matriz a ser invertida (NT×[N+K]).

12
sintética, mas bastante clara pode ser encontrada em Mátyás e Sevestre [1992],34-43 ou
em Baltagi[1995], cap.3). O estimador LSDV ou within na presença de efeitos fixos
seccionais e temporais opera também na base da diferenciação dos dados relativamente a
médias. Considere-se um modelo tipo
υυββλλαα
υυββλλ
ββ
+++=
⇔+++=
⇔+′++=
XDDY
xiy
x
TN
iiiTi
itittiit uy
α
λα
em que se torna necessário admitir duas restrições de normalização dos efeitos específicos,
a saber:
0
1
==∑∑==
N
i
iα e 0
1
==∑∑==
T
t
tλ
por forma a que se evitem situações de multicolinearidade (vulgo “armadilha das
dummies”). A transformação within será
( ) ( ) ( )uuuuyyyy tiittiittiit +−−+′+′−′−′=+−− ββxxxx
e a estimação prosseguirá por OLS sobre o modelo transformado, pelo que, o estimador
LSDV de ββ é dado por
WYXWXX ′′= −1
)(ˆββ
12
2
)()ˆ(
1
)ˆ(ˆ
ˆ
−
′=
+−−−
−′′−′
=
WXX
XYWXWYY
σ
σ
ββ
ββββ
Var
KTNNT
em que W = INT – 1/T DN D′′N – 1/N DTD′′T + 1/NT DN D′′N DTD′′T = INT – 1/T(IN ⊗ JT) –
1/N(IT ⊗ JN) + 1/NT JN ⊗ JT. Obviamente, a transformação within, ao eliminar os efeitos
seccionais e temporais, não permite a estimação de variáveis que não variem no tempo ou
de indivíduo para indivíduo.
A consideração de perturbações não esféricas leva a que os estimadores LSDV não
sejam já BLUE – os estimadores eficientes serão os GLS ou os MLE. O método GLS
merece, no entanto, algumas considerações.
Podemos considerar três casos especiais de perturbações não esféricas:
1. Perturbações serialmente independentes: só há correlação contemporânea entre as
perturbações, i.e., não há autocorrelação temporal mas os erros estão
correlacionados seccionalmente (ou seja, há interdependência entre os indivíduos,
tal como se admite no modelo SUR, já referido). Neste caso, com Aij a representar a
matriz de covariâncias entre os termos de perturbação do indivíduo i e do indivíduo

13
j, temos: Aij = σij IT e Var(u) = σ2
⋅ΩΩ = Aij ⊗IT , com Aii = ΣΣi a serem matrizes
diagonais eventualmente iguais (não escalares, no caso de heteroscedasticidade);
2. Independência Individual: cobre todos os casos de heteroscedasticidade e
autocorrelação ao nível individual, sendo de particular interesse o caso de
homoscedasticidade em bloco dado por Aij = 0 se i≠j e Aii = A ⇒ Var(u) = IN ⊗ A;
3. Equi-correlação em bloco: Aii = A e Aij = B, com A positiva definida, B semi-
definida positiva e (A – B) positiva definida, de tal forma que Var(u) = IN ⊗ (A – B)
+ JN ⊗ B.
Pode ser demonstrado que a aplicação de um GLS habitual (i.e., recorrendo a ΩΩ-1
)
sobre o modelo transformado por W só será equivalente (para ββ) à aplicação de um método
GLS sobre o modelo original nos casos 1 e 3. Para uma prova e clarificação do argumento,
veja-se Mátyás e Sevestre [1992], 44-5.
2.2 Modelos de Efeitos Aleatórios
Esta especificação pressupõe que o comportamento específico dos indivíduos e
períodos de tempo é desconhecido, não podendo ser observado, nem medido: é parte da
nossa “ignorância geral”. Assim, em amostras longitudinais de grande dimensão, podemos
sempre representar estes efeitos individuais ou temporais específicos sob a forma de uma
variável aleatória normal.
Das vantagens dos modelos de efeitos aleatórios e para o caso específico dos
modelos de componentes de erro, destacam-se:
• a sua capacidade para trabalhar com bases de dados de qualquer dimensão;
• o facto de a inferência estatística aplicável ser uma mera derivação dos testes de
hipóteses usuais;
• a possibilidade de a maior parte dos problemas e dificuldades poderem ser
resolvidos dentro do quadro econométrico tradicional;
• o facto de ser o modelo de dados em painel estudado com maior profundidade;
• a facilidade com que são interpretados os resultados de estimação;
• o facto de ser pouco exigente em termos de software econométrico.

14
Ao contrário do que foi visto para o modelo de efeitos fixos, a heterogeneidade não
é induzida através do termo independente, logo, através de E(yit), mas sim através da
variância da variável endógena. Uma especificação geral poderá ser:
itiitititit
TNTNT
vuuy ++==++ββ′′++==
⇔⇔++⊗⊗µµ++ββ++==++ββ++==
µα
αα
ex
viXiuXiY
(2.12)
em que µi (elemento genérico do vector coluna (N×1), µµ) será a variável aleatória dos
efeitos individuais e vit o termo de perturbação geral.
Assume-se, ainda, que:
(a) µi é ortogonal em relação a vit;
(b) E(µi) = E(vit) = 0;
(c) E(vit vjs) = σv
2
se i=j e t=s
E(vit vjs) = 0, caso contrário;
(d) E(µiµj) = σµ
2
se i=j
E(µiµj) = 0, caso contrário;
(e) vit ~ N(0, σv
2
) e µ it ~ N(0, σµ
2
);
(f) X é independente de µµ e v.
A matriz de variâncias e covariâncias será ΩΩ = Dn × E(µµµµ′′)D′′n + E(vv′′) = σµ
2
(IN ⊗
JT) + σv
2
INT = (Tσµ
2
+ σv
2
)P + σv
2
Wn
6
, em que P = 1/T ×Bn =1/T × (IN × JT) e Wn retém o
significado atribuído em 2.1. A estrutura assumida para as perturbações equivale a que ΩΩ
seja uma matriz de covariâncias equi-correlacionadas em bloco que exibe correlação
temporal entre as perturbações do mesmo indivíduo, pois cov(uit ujs) = σµ
2
+ σv
2
se i = j e
t=s, cov(uit ujs) = σµ
2
se i=j e t≠s e cov(uit ujs) = 0, nos restantes casos.
A estimação por OLS do modelo com efeitos aleatórios, ainda que permaneça
cêntrica, consistente (com as restrições já referidas7
) e assimptoticamente normal, não é já
eficiente, atendendo à configuração de ΩΩ. O mesmo pode ser afirmado em relação ao
LSDV: permanece cêntrico, consistente, mas já não será eficiente. O candidato óbvio é o
6
Esta é a decomposição espectral de ΩΩ, sendo (Tσµ
2
+ σv
2
) e σv
2
as primeiras e segundas (únicas) raízes
características de multiplicidade N e N(T-1), logo, |ΩΩ| = (Tσµ
2
+ σv
2
) N
×(σv
2
) N(T-1)
.
7
Mas já não será consistente se tivernos efeitos seccionais e temporais (Mátyás e Sevestre[1992], 51)

15
(2.15)
(2.16)
estimador GLS, para o que precisamos de ΩΩ-1
e ΩΩ-1/2
dadas pela decomposição de
Wansbeek e Kapteyn:
n
vv
n
vv
T
T
WP
WP
σσσ
σσσ
µ
µ
1
)(
1
1
)(
1
22
21
222
1
++
++
==ΩΩ
++
++
==ΩΩ
−−
−−
(2.13)8
O estimador GLS de ββ*
=[α ββ], que mais não é que a aplicação de OLS ao modelo
(2.5) pré-multiplicado por σvΩΩ-1/2
, é:
)()(ˆ
)(ˆ
22
2
1
22
2
111
PYXYWXPXXXWX
YXXX
′′
++
++′′′′
++
++′′==ββ
⇔⇔ΩΩ′′ΩΩ′′==ββ
−−∗∗
−−−−−−∗∗
µµ σσ
σ
σσ
σ
TT V
V
n
V
V
nGLS
GLS
(2.14)
sendo a última fórmula9
uma média ponderada de dois estimadores: o estimador LSDV ou
Intra-Grupo (Within) e o estimador Inter-Grupo (Between) que mais não é que a aplicação
de OLS ao modelo (2.12) expresso em termos de médias temporais para cada indivíduo (ou
pré-multiplicado por P). Este último argumento é mais visível se pretendermos estimar
apenas ββ, para o que recorremos à fórmula proposta por Baltagi [1995]:
BWBWGLS
BNT
V
V
NT
V
V
n
WnNT
V
V
nGLS
NT
V
V
nNT
V
V
nGLS
NTTNTT
NTT
NTTNTT
ββ))−−++ββ==ββ++ββ==ββ
ββ








−−′′
++







−−′′
++
++′′++
++ββ′′








−−′′
++
++′′==ββ








−−′′
++
++′′








−−′′
++
++′′==ββ
−−
−−
−−
ˆ1(ˆˆˆˆ
ˆ)
1
()
1
(
ˆ)
1
(ˆ
)
1
()
1
(ˆ
1121
22
2
1
22
2
1
22
2
22
2
1
22
2
WWWW
XJPXXJPXXWX
XWXXJPXXWX
YJPXYWXXJPXXWX
µµ
µ
µµ
σσ
σ
σσ
σ
σσ
σ
σσ
σ
σσ
σ
Note-se que se σµ
2
= 0, o estimador GLS é equivalente ao OLS aplicado ao modelo
em nível, o que é compreensível pois estaríamos a dar idênticos pesos às variações intra-
grupo e inter-grupos; no caso de σv
2
= 0, o GLS equivale ao LSDV, ou seja, estaríamos a
considerar apenas o estimador Intra-Grupo porque seria impossível distinguir os efeitos
aleatórios dos fixos. Ou seja, podemos ver o OLS e o LSDV como dois casos extremos: o
8
Considera-se que ΩΩ½
é toda a matriz que verifica ΩΩ=(ΩΩ½
)(ΩΩ½
)′.
9
De acordo com Mátyás e Sevestre[1992], 52.

16
OLS dá um peso excessivo à variação entre as unidades, em vez de relegar parte destas
para variações aleatórias atribuíveis ao termo de perturbação µi variável seccionalmente; o
LSDV assume que vit = 0, logo, a única variação entre os indivíduos deve-se a um efeito
constante no tempo, pelo que, a questão de saber se este é fixo ou aleatório torna-se
irrelevante. Finalmente, repare-se que se T→∞, o GLS é equivalente ao LSDV. Ou seja, o
GLS pode ser visto como uma combinação óptima do estimadores Within e Between.
O estimador GLS será cêntrico e, pelo Teorema de Aitken, eficiente10
, com matriz
de covariâncias
1
22
2
2
)
1
()ˆ(
−−








−−′′
++
++′′==ββ XJPXXWX NT
v
v
nvGLS
NTT
Var
µσσ
σ
σ (2.18)
Sob algumas condições de regularidade (ver Mátyás e Sevestre[1992], 49), o
estimador GLS é consistente desde que N→∞.
Nos casos em que desconhecemos ΩΩ, temos que recorrer a um método FGLS,
sendo sugeridas várias formas de estimar as componentes de variância. Os estimadores
BQU (Best Quadratic Unbiased) são, de acordo com Baltagi [1995]:
)1(
ˆ
ˆ
2
2
−−
′′
==
′′
==
TN
N
n
v
uWu
Puu
µσ
σ
(2.19)
podendo-se substituir u pelos resíduos de estimação LSDV (Amemiya [1985] sugere estes
uma vez que retêm a mesma distribuição assimptótica dos estimadores BQU), ainda que
nada garanta que as estimativas sejam todas não-negativas. Para não estender a exposição,
não se mencionam outros estimadores, embora se possa encontrar um resumo em Baltagi
[1995]. Desde que os estimadores das componentes de variância sejam consistentes, os
estimadores FGLS retêm as mesmas propriedades que o GLS (ainda que apenas
assimptoticamente).
10
Note-se que se com T→∞, o GLS é equivalente ao LSDV, em amostras com séries temporais longas (o que
é, infelizmente, raro acontecer nos dados em painel), a perda de eficiência motivada pela utilização do
estimador LSDV não deverá ser significativa, o que permite contornar as dificuldades calculatórias do GLS,
nomeadamente nos casos em que ΩΩ é desconhecida.

17
Um outro método de estimação utilizado é o MLE, que pode ser obtido através da
maximização da função de verosimilhança condensada em relação a α e σv
2
dada por
( ) ( )[ ]( )
NTNT
v
v
MLENTnMLEC
NTT
NNT
kL
JJ
XYJPWXY
1
e
;ln
2
âˆâˆln
2
ln
22
2
2
22
=
+
=
+






′−−+
′
′−−=
µσσ
σ
φ
φφ
(2.20)
A maximização de lnLC dá os estimadores de máxima verosimilhança,
concretamente:
(( )) (( ))
(( ))(( ))(( ))(( ))
[[ ]] [[ ]]YPWXXPWX
XYJPXY
XYWXY
nn
n
212
2
)(ˆ
ˆˆ1
ˆˆ
ˆ
φφ
φ
++′′++′′==ββ
ββ′′−−−−
′′
ββ′′−−−−
ββ′′−−
′′
ββ′′−−
==
−−
MLE
MLENTMLE
MLEMLE
T (2.21)
sendo que a solução terá que ser procurada iterativamente. Os estimadores dos restantes
parâmetros são baseados nas sucessivas estimativas de ββ e φ 2
, nomeadamente
(( ))[[ ]](( ))MLENTMLEMLEv
i
MLEMLE
t
it
i t
itMLE
NT
yy
NT
ββ′′−−−−++
′′
ββ′′−−==
ββ−−==ββ′′−−== ∑∑∑∑∑∑∑∑
ˆ)(ˆ1
ˆ
ˆˆ1
ˆ
22
, XYJPWXY
XX
n φσ
α
(2.22)
e cuja derivação pode ser encontrada em Baltagi [1995],18-9. Num estudo realizado por
Breusch, verificou-se que, quando muito, havia dois máximos na função de
verosimilhança, pelo que só temos que nos precaver contra um máximo local, que
possivelmente será uma solução de canto (para φ 2
=1, i.e., quando começamos com o
estimador OLS, caso na segunda iteração se obtenha uma estimativa para φ 2
superior). Um
método sugerido11
(e que se deve a Breusch) é que se comece com, por um lado o
estimador Between e, pelo outro, com o estimador Within e se verifique se as duas
sequências (que são monótonas) convergem para o mesmo máximo, caso em que este será
global. Os estimadores MLE assim obtidos são geralmente consistentes, ainda que para σµ
2
tal só seja verdade no plano semi-assimptótico (i.e., com T fixo e N→∞).
Quanto à inferência estatística, em particular quanto aos testes à existência de
efeitos individuais e/ou temporais, é sugerida a utilização dos habituais testes
assimptóticos, mencionando-se o teste LM por ser menos exigente em termos de cálculos.

18
A estimação de modelos com efeitos temporais ou com efeitos seccionais e
temporais não é muito distinta da que foi apresentada apenas para os efeitos individuais,
ainda que, no segundo caso, se torne notacional e computacionalmente mais pesada,
motivo pelo qual foi aqui omitida. Ressalve-se apenas o caso da estimação por MLE nos
modelos com efeitos duplos, em que a maximização da função de verosimilhança é de tal
forma não-linear e complicada que ainda se lhe não conhecem expressões analíticas. De
qualquer forma, Baltagi[1995] sugere um método iterativo semelhante ao apresentado
acima. Podem ser encontrados excelentes resumos do tema, tanto em Mátyás et al. [1992],
como em Baltagi[1995].
Finalmente, nas formulações mais simples, assume-se uma dada estrutura para a
matriz de variâncias e covariâncias dos termos de perturbação (i.e., admite-se a existência
de variáveis omissas que não variam temporal ou seccionalmente), o que nos permite
explorar a estrutura do processo de erro, quando T é fixo (e não muito grande) e N→∞. É,
no entanto, possível estimar consistentemente os parâmetros sem impor restrições sobre ΩΩ
(permitindo autocorrelação ou heteroscedasticidade) através de um método proposto por
Chamberlain [1984] e que consiste em tratar-se cada período t como uma equação e
estimar o modelo como um sistema de T equações com dados seccionais, dado por
iiTiT
T
i uxIiy ++ββ′′⊗⊗++==
××
)(
)1(
α (2.23)
e que será transformado ao assumir-se que αi e xi possam estar correlacionados, fazendo-se
E*(αi|xi)=µ + a′xi ⇒ E*(yi| xi) = iµ + ΠΠ xi, com ΠΠ=IT⊗ββ′+ia′=f(θθ),θθ=[ββ′,αα′] e vi= yi-
E*(yi| xi) e E*(y|x) representa a projecção de y no espaço definido por x12
, para
iiTT
T
i vðxIiy ++′′⊗⊗++==
××
)(
)1(
µ (2.24)
e ππ é um vector coluna (KT2
-1) que contém todas as linhas de ΠΠ (onde não se impõe
qualquer restrição) e que será estimada por recurso a OLS, de forma consistente (e
assimptoticamente normal) quando T fixo. Quando a matriz ΠΠ é sujeita a restrições, que se
especificam por ΠΠ=f(θθ), a estimação dos parâmetros ββ e αα é realizada através de um
estimador de distância mínima, i.e., escolhe-se a estimativa de θθ que minimize
11
Baltagi [1995],19.
12
Ou seja, o previsor de erro quadrático médio mínimo ou de mínimos quadrados de y definido como função
de x.

19
[[ ]] [[ ]])f(ˆˆ)f(ˆ èðÙèð −−′′′′
−− , em que Ùˆ é um estimador consistente da matriz de variâncias de
ðˆ 13
. Este estimador de distância mínima é consistente (no caso semi-assimptótico N→∞) e
assimptoticamente normal, não impondo qualquer restrição sobre os termos de perturbação
do modelo, mas apenas que as características individuais (para cada um dos T períodos) se
encontrem idêntica e independentemente distribuídas em i. Mais, o estimador de distância
mínima será eficiente relativamente a todos os outros estimadores que não impõem
restrições na matriz de variâncias dos termos de perturbação, mas já não o será, por
exemplo, quando sabemos estar perante um modelo de efeitos aleatórios (caso em que o
estimador eficiente será o GLS), ainda que permaneça consistente.
2.3 Efeitos Fixos ou Aleatórios?
Parece haver desde logo uma vantagem computacional em pressupor-se efeitos
fixos e não aleatórios, ainda que tal não possa ou não deva ser aduzido como justificação.
Esta deve antes ser procurada na resposta a duas questões (Hsiao in Mátyás e Sevestre
[1992], pág. 88): (1) os objectivos do estudo em questão e (2) o contexto dos dados, a
forma como foram recolhidos e a envolvente onde foram gerados.
Assim, se o que se pretende é efectuar inferência relativamente a uma população, a
partir de uma amostra aleatória da mesma, os efeitos aleatórios serão a escolha apropriada.
Se se pretende estudar o comportamento de uma unidade individual em concreto, então os
efeitos fixos são a escolha óbvia na medida em que é indiferente considerar-se a amostra
como aleatória ou não. Em particular, no caso de se estar a estudar um grupo de N países,
toda a inferência terá que ser condicional em ordem ao grupo específico sob observação.
Ou seja, na generalidade dos estudos macroeconométricos, por ser impossível ver
uma amostra de N países como uma selecção aleatória de uma população com dimensão
tendencialmente infinita, tanto mais que representará com grande probabilidade a quase
totalidade da população em estudo, torna-se evidente que a escolha acertada é a
especificação com efeitos fixos, como é defendido em Judson e Owen [1996].
13
As fórmulas podem ser encontradas em Hsiao [1986],59-60.

20
3. MODELOS DINÂMICOS AUTORREGRESSIVOS
3.1 Introdução
A natureza mais comum das relações económicas é dinâmica e uma das vantagens
dos dados em painel, como já foi visto, é facultar uma melhor compreensão das dinâmicas
de ajustamento. Estas relações dinâmicas podem ser representadas por uma variável
dependente desfasada como regressor, i.e., por um modelo da forma
itiit
itittiit
vu
TtNiuyy
++==
==;;==;;++ββ′′++== −−
α
δ ,,1,,11, KKx
(3.1)
em que, δ14
é um escalar, xit o vector-coluna (K×1) de variáveis exógenas e uit o termo de
perturbação com apenas uma fonte de erro (individual), verificando-se que αi e vit são i.i.d.
e não mutuamente correlacionadas, com média nula e variâncias σα
2
e σv
2
,
respectivamente.
Antes de mais, uma vez que as propriedades dos estimadores com amostras finitas
são, em grande medida desconhecidas, a escolha de um método de estimação, em
detrimento de outro, deverá ser feita com base nas suas propriedades assimptóticas.
A escolha entre a especificação de efeitos fixos e aleatórios acaba por ter
implicações radicalmente diferentes das verificadas nos modelos estáticos, nomeadamente
quanto à consistência, centricidade e eficiência dos estimadores. Assim, quando todas as
variáveis explicativas são exógenas, o LSDV é BLUE, na especificação de efeitos fixos e
cêntrico e consistente, na de efeitos aleatórios, ainda que não eficiente, quando T fixo.
Adicionalmente, se algumas ou todas as variáveis independentes se encontram
correlacionadas com os termos de perturbação, o LSDV permanece cêntrico no caso de
efeitos fixos (ainda que erradique esses efeitos não observáveis da estimação), mas um
GLS que não seja corrigido por essa correlação será enviesado, o que contribuiu para que
se privilegiasse a primeira especificação, nestes modelos.
No entanto, quando uma dessas variáveis explicativas é endógena desfasada, o
estimador LSDV (que, recorde-se, é MLE, sob o pressuposto de normalidade dos termos
de perturbação) não será consistente, no caso de efeitos fixos, com T fixo e a eventual
14
Não é necessário impor a restrição de estacionaridade |δ |<1 desde que T seja finito, pois podemos analisar
sempre as propriedades dos estimadores no plano semi-assimptótico N→∞.

21
consistência dos estimadores MLE e GLS (e, mesmo, a interpretação do modelo), na
especificação de efeitos aleatórios, dependerá crucialmente dos pressupostos assumidos
quanto à primeira observação e da forma como T e N tendem para o infinito.
Um dos problemas com a estimação de modelos dinâmicos com dados em painel,
comum aos estudos convencionais15
, é a correlação existente entre um dos regressores, yi,t-
1, e o termo de perturbação, uit, via αi. Esta situação torna os estimadores OLS enviesados e
não consistentes, mesmo que vit não exiba autocorrelação, podendo o “enviesamento”
assimptótico ser significativo. A mesma situação se verifica para os estimadores LSDV, no
caso do modelo de efeitos fixos, e GLS, para o modelo de efeitos aleatórios, uma vez que
as transformações operadas para eliminar αi não eliminam a correlação entre yi,t-1 e o termo
de perturbação resultante. Assim, torna-se de crucial importância a escolha de variáveis
instrumentais que assegurem a consistência e eficiência da estimação.
Uma questão fundamental para analisar as propriedades assimptóticas dos
estimadores é a clarificação do processo gerador da primeira observação, o que pode ser
evidenciado através da representação do modelo (3.1) da seguinte forma
iti
tt
j
jit
j
i
j
it
t
j
jti
j
i
tt
j
jit
j
i
j
it
yy
vyy
γα
δ
δ
δδ
δα
δ
δ
δδ
++
−−
−−
++ββ′′++==
⇔⇔++
−−
−−
++ββ′′++==
∑∑
∑∑∑∑
−−
==
−−
−−
==
−−
−−
==
−−
1
1
1
1
1
0
0,
1
0
,
1
0
0,
x
x
(3.2)
Ou seja, cada observação da variável endógena pode ser expressa como a soma de
quatro componentes: a primeira depende do valor inicial ou ponto de partida; a segunda
dos valores actuais e passados das variáveis exógenas; a terceira do valor dos efeitos
individuais αi e a quarta não é mais que um processo autorregressivo, com valores iniciais
fixos



==
++== −−
00
1,
i
ittiit v
γ
δγγ
(3.2′)
o que torna, desde logo, claro que as observações iniciais vão influenciar decisivamente as
propriedades semi-assimptóticas dos estimadores (com T fixo), levantando-se a questão da
sua eventual exogeneidade.
No entanto, como esta questão só assume relevância para a estimação com efeitos
aleatórios, só será abordada no ponto 3.3.
15
Aplicamos aqui a palavra convencional como sinónimo de estudos que recorram a amostras temporais ou

22
3.2 Estimação de Modelos com Efeitos Fixos
Como já foi visto, a escolha de uma especificação de efeitos fixos é mais
apropriada quando a amostra é relativamente agregada (i.e., ao nível de sectores, regiões,
países,…) e o objectivo do estudo não é a previsão do comportamento individual , bem
como quando os efeitos individuais (não observáveis) não são independentes de alguma
das variáveis explicativas.
Ao modelo (3.1) teremos apenas que acrescentar:
• E(vit|yi,t-1,xit) = 0;
• Var(vit|yi,t-1,xit) = σv
2
, ∀it;
• Cov(vit,vjs| yi,t-1,xit) = 0, i≠j e t≠s
ou seja, os termos de perturbação são independentes das variáveis explicativas, não
autocorrelacionados e homoscedásticos. Uma agregação seccional e temporal resulta no
seguinte modelo condensado, análogo a (2.14):
vXDYY ++ββ++αα++== −− N1δ (3.3)
em que Dn permanece IN ⊗ iT e onde se acrescenta o vector-coluna (NT×1) Y-1 das
observações desfasadas em um período de yit (logo, inclui yi0).
O estimador LSDV de θθ′ = [δ ββ′], dado por






′′
′′






′′′′
′′′′
==





ββ
−−
−−
−−
−−−−−−
YWX
YWY
XWXYWX
XWYYWY
n
n
nn
nn 1
1
1
111
ˆ
ˆδ
(3.4)16
é ainda equivalente ao MLE admitindo a normalidade de vit, com yi0 dados e WnY ≠ 0
(caso em que não existiria) e será consistente se N→∞ e T→∞, mas não quando T é fixo. A
prova do argumento é relativamente simples, pois, invocando o Teorema de Slutsky,
temos:
seccionais.
16
A fórmula, retirada de Mátyás e Sevestre[1992],99, resulta da estimação por OLS do modelo (3.3) pré-
multiplicado por Wn. O estimador OLS de αα, de menor interesse, é
ββ−−−−==⇔⇔ββ−−−−==αα −−−−
ˆˆˆˆˆˆ 1,1 iiii yy xXYY δαδ .

23










′′
′′










′′′′
′′′′
++





ββ
==





ββ
∞∞→→
−−
∞∞→→
−−
∞∞→→
−−
∞∞→→
−−
∞∞→→
−−−−
∞∞→→
∞∞→→
vWX
vWY
XWXYWX
XWYYWY
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
N
NT
NT
NTNT
NTNT
1
plim
1
plim
1
plim
1
plim
1
plim
1
plim
ˆ
ˆ
plim
1
1
1
111δδ
e como, pela ortogonalidade das perturbações face a X, temos 0
1
plim ==′′
∞∞→→
vWX n
N NT
, mas
como
(( ))53
1
111
11
2
221111
1111
.
)(
))((
)()(plimplim
,,,,
,,,,
v
T
t
itiiti
iti
i t
iti
N
n
N
TT
T
vvyy
T
E
vvyy
NTNT
σ
δ
δδ
−−
++−−−−
−−==





−−−−==
==−−−−==′′
∑∑
∑∑∑∑
−−−−−−−−
−−−−−−−−
∞∞→→∞∞→→
vWY
temos que (3.5) ≠ 0, quando T fixo e quando T→∞ será zero apenas se |δ|<1, como já
havíamos notado. Assim, a semi-inconsistência do LSDV fica a dever-se à correlação (de
ordem O(1/T)) entre (yi,t-1 - yi.-1) e (vi,t - vi.), quando N→∞, mesmo que yi,t-1 e vi,t sejam
independentes, criada pela eliminação dos efeitos individuais (não observáveis) αi do
modelo transformado.
Ainda que, quando se dispõe de um painel com uma dimensão temporal grande, se
espere um “enviesamento” assimptótico pequeno17
, como não é esse o caso mais frequente
nas amostras longitudinais, torna-se essencial que se encontre um estimador consistente
para θθ, quando T é finito. Esse método é o das variáveis instrumentais (IV).
Um método IV sugerido por Balestra e Nerlove [1966] para o modelo de efeitos
aleatórios (que veremos na secção seguinte) e que pode ser usado no modelo de efeitos
fixos, sujeito a algumas alterações, consiste em considerar uma matriz Z de m≥ K+1
variáveis instrumentais (p.ex., xit, xi,t-1, …) e estimar o modelo (3.3) por OLS pré-
multiplicado pelo projector de Y em Z*
, PZ*=Z*
(Z*
′Z*
)-1
Z*18
, com Z*
=(DN, Z). Atendendo
a que PZ*X=X (assumindo que X está contido em Z), PZ*DN=DN e que Wn e DN são
ortogonais, tal equivale à aplicação de OLS ao modelo
17
Num modelo sem variáveis exógenas, o enviesamento assimptótico é, de acordo com Hsiao[1986], 74:
1
)1(
1
1
)1)(1(
2
1
1
11
1
1
1
)ˆ(plim
−−
∞∞→→














−−
−−
−−
−−−−
−−





−−
−−
−−
−−
++
−−==−−
δ
δ
δ
δ
δ
δδ
δδ
TTTT
T
N
.

24
vPWXWYPWYPW ∗∗∗∗∗∗ ++ββ++== −− ZnnZnZn 1δ (3.6)
que, pelo Teorema de Frisch-Waugh, nos permite obter as estimativas de δ e ββ. O resultado
pode tornar-se mais eloquente se repararmos que WnPZ*=Wn(WnZ(Z′WnZ)-1
Z′Wn=PWZ e
que o mesmo resultado pode ser obtido que em (3.6) se transformarmos o modelo (3.3) por
pré-multiplicação pela matriz idempotente PWZ, que mais não é que estimar o modelo
usando as variáveis instrumentos na forma centrada (i.e., como desvios em relação às suas
médias), pelo que, para que estas sejam válidas, têm que ser estritamente exógenas.
Atendendo a que P′WZPWZ = PWZ, os estimadores IV são, então:






′′
′′






′′′′
′′′′
==





ββ
−−
−−
−−
−−−−−−
YPX
YPY
XPXYPX
XPYYPY
zw
zw
zwzw
zwzw
N
N
NN
NN
IV
1
1
1
111
ˆ
ˆδ
(3.7.)
Um outro estimador IV que se deve a Anderson e Hsiao [1981] poderá ser obtido se
reescrevermos o modelo (3.3) nas primeiras diferenças (o que elimina αα)
vXYY ∆∆∆∆ ++ββ++== −−1δ (3.8)
e usar como instrumento para ∆Y-1, alternativamente, ∆yi,t-2=(yi,t-2 – yt-3) ou yt-2, sendo
ambos os estimadores daí resultantes consistentes, ainda que o IV baseado em yt-2 seja mais
eficiente e menos exigente (basta que T≥2), segundo os mesmos autores.
De qualquer forma, os estimadores não serão completamente eficientes pois os
termos de perturbação transformados são MA(1). Mas, se se tentar ultrapassar este
problema através da pré-multiplicação do modelo nas primeiras diferenças por ψ -1/2
, em
que ψ é a matriz de variâncias e covariâncias dos termos de perturbação ∆v, obtém-se um
modelo com termos de perturbação que serão combinações lineares de vit, logo,
correlacionados com quaisquer instrumentos não estritamente exógenos (i.e., ∆yt-p e ∆yt-p).
Pode-se, no entanto, usar os valores desfasados de ∆X ou ψ -1/2
∆X como instrumentos.
Urga [1992] propõe que se use, em vez das primeiras diferenças, as “diferenças
ortogonais” de Arellano e que consistem na transformação do modelo para desvios em
relação à média dos valores futuros (em cada momento), como forma de remover os efeitos
individuais sem comprometer a ortogonalidade dos termos de perturbação transformados.
Um estimador mais eficiente foi ainda proposto por Arellano e Bond [1991], sob a
forma de um estimador IV generalizado (GIV) e que consiste na estimação por GLS de um
modelo na forma (3.8) transformado pela pré-multiplicação por uma matriz Z
(
. Esta, é uma
18
A sua multiplicação por Y dará a projecção deste no espaço definido por Z*
, i.e., Z*
b e b=*
(Z*
′Z*
)-1
Z*
Y.

25
matriz que reúne todos os instrumentos para cada valor desfasado de yit ortogonais em
relação a vit, ou seja, Z
(
=[ Z
(
′1 ,…, Z
(
′N ], que cumpre E( Z
(
′i∆vi)=019
,∀i, com v′i=(vi3-
vi2,…, viT- vi,T-1). O estimador GIV de θθ = [δ,ββ] é
(( )) (( ))YPXXPX ∆∆∆∆ ZZGIV
((
∗∗
−−
∗∗∗∗
′′′′==θθ
1ˆ (3.9)
em que Z
P( = Z
(
( Z
(
′ψ-1
Z
(
) Z
(
′ e ∆X*
=[∆Y-1,∆X]. Este estimador será o mais eficiente desde
que vit não sejam autocorrelacionados.
Caso se não tenha qualquer informação quanto à natureza de yi0 e à distribuição de
vit, podemos recorrer a um estimador obtido pelo Método dos Momentos Generalizado
(GMM) e que é idêntico a (3.9), com a diferença de Z
P( ser agora Z
P( = Z
(
ΓΓ Z
(
′ e, sendo ωi o
termo de perturbação do modelo nas primeiras diferenças, ou seja, o elemento genérico de
∆v, temos ainda ∑∑==
−−
′′′′==ΓΓ
N
i
iiii
N 1
1
)
1
( ZZ
((
ωω .
Em conclusão, ainda que nem sempre se possa comparar um estimador com outro,
parece ser de recomendar o estimador IV de Balestra e Nerlove, desde que as variáveis X
sejam estritamente exógenas e os termos de perturbação vit não exibam autocorrelação. Já
se X não for estritamente exógeno, ainda que os termos de perturbação permaneçam não
autocorrelacionados, os estimadores de Arellano e Bond [1991] afiguram-se como os
melhores candidatos. Se X não for estritamente exógeno e houver autocorrelação, Mátyás e
Sevestre [1992] aconselham que se use como instrumento os valores desfasados de ∆X no
modelo (3.8).
O estimador sugerido em Arellano e Bond [1991], tal como a questão da filtragem
com a matriz de variâncias, voltará a ser discutido no capítulo 5 relativo à estimação de
modelos com dados em painel pelo método GMM.
3.3 Estimação de Modelos com Efeitos Aleatórios
Tal como no caso dos modelos estáticos, a consideração de efeitos individuais
aleatórios em vez de fixos tem implicações distintas ao nível da estimação e propriedades
dos estimadores. No entanto, no enquadramento específico dos modelos dinâmicos, a
19
Por exemplo, para t=3, teríamos como instrumentos válidos yi0, yi1, yi2 e ∆x′i, podendo a lista ser expandida
com valores desfasados de ∆x′i. A este propósito veja-se Mátyás e Sevestre[1992],100-5 e Baltagi[1995]128-

26
questão dos efeitos aleatórios (autocorrelacionados), ao implicar correlação entre os termos
de perturbação e a variável autorregressiva tem consequências mais sérias do que nos casos
precedentes.
Considere-se, então, o seguinte modelo de componentes de erro (unicamente
individuais)
vu
uXYY
+=
++= −
αα
ββ1δ
(3.10)
em que E(u)=0, Var(u) = ΩΩ = σv
2
Wn+(σv
2
+Tσα
2
)P = σv
2
(Wn+1/φ 2
P) e X contém K
variáveis exógenas.
É fácil ver que o estimador OLS (sem dar conta dos efeitos individuais), ao
contrário do que sucedia nos modelos estáticos, não é cêntrico nem consistente, devido à
correlação entre yi,t-1 e αi, podendo o enviesamento ser bastante significativo.
Uma abordagem bastante poderosa, proposta por Maddala, consiste em recorrer à
classe geral de estimadores λ e que mais não são que a estimação do modelo (3.10) pré-
multiplicado por (Wn + λ P), o que resulta na seguinte formulação genérica20
(( )) (( ))
(( )) (( ))
(( ))
(( )) 





++′′
++′′






++′′++′′
++′′++′′
==





ββ
−−
−−
−−
−−−−−−
YPWX
YPWY
XPWXYPWX
XPWYYPWY
λ
λ
λλ
λλδ
λ
n
n
nn
nn 1
1
1
111
ˆ
ˆ
(3.11)
Assim, para λ ∈ [0;∞[ temos vários estimadores de θθ, nomeadamente: o LSDV se
λ=0; o OLS, quando λ=1; o GLS, para λ=φ 2
e o estimador Between se λ→∞. Note-se que,
quando δ = 0, todos estes estimadores são consistentes, mas quase todos eles deixam de o
ser, quando δ ≠0.
Para ilustrar este argumento, recorra-se, novamente, ao modelo autorregressivo
(3.2), mas agora sem variáveis exógenas e com a inovação de os efeitos serem aleatórios.
∑∑
−−
==
−−
−−
++
−−
−−
++==
++++==
1
0
,0,
1,
1
1 t
j
jti
j
i
t
i
t
it
ititiit
vyy
vyy
δα
δ
δ
δ
αδ
(3.12)
Uma estimação por OLS do modelo (3.12) leva ao seguinte estimador:
32.
20
Atendendo a que (Wn + λ P)′(Wn + λ P)=(Wn + λ P).

27
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
== ==
−−
== ==
−−
== ==
−−
== ==
−− ++
++==== N
i
T
t
ti
N
i
T
t
tiiti
N
i
T
t
ti
N
i
T
t
tiit
OLS
y
yv
y
yy
1 1
2
1,
1 1
1,
1 1
2
1,
1 1
1, )(
ˆ
α
δδ
verificando-se, de acordo com resultado apresentado em Hsiao [1986], 77
0
)(
plim)ˆ(plim
1 1
2
1,
1 1
1,
>>
++
==−−
∑∑∑∑
∑∑∑∑
== ==
−−
== ==
−−
∞∞→→∞∞→→
N
i
T
t
ti
N
i
T
t
tiiti
N
OLS
N
y
yvα
δδ
sendo que a inclusão de variáveis exógenas reduz, mas não elimina o enviesamento, pois o
estimador OLS de δ continua a sobrestimar o seu verdadeiro valor e o de ββ encontra-se
enviesado para zero. Uma forma de determinar um estimador consistente para δ foi
desenvolvida por Sevestre e Trognon, em Mátyás et al. [1992] e resulta num valor para λ
dado por
22
2
2
2
22
22
0
2
)1(
)1(
1(
)(
1
1
)1(
v
T
v
ii
T
T
TT
K
TK
yE
K
σσ
σ
φ
δ
δδ
φφ
σσ
α
δ
δ
φ
λ
α
α
α
++
==
−−
++−−−−
==






++−−++
++−−
−−
−−
==∗∗
Ou seja, se substituirmos λ por λ* em (3.11), temos estimadores de δ e ββ que serão
consistentes. Regra geral, λ*≠φ 2
, o que prova a semi-inconsistência do GLS22
, excepto no
caso de E(yi0αi) = 0, pois então, λ*=φ 2
e os estimadores serão consistentes. Infelizmente, o
método não é exequível pois λ* é função de parâmetros desconhecidos. Sugere-se um
método bi-etápico em que se estimaria, numa primeira fase, λ* de forma consistente e
utilizar-se-ia essa estimativa em (3.11), mas verificou-se que as distribuições assimptótica
e finita deste estimador bi-etápico dependem crucialmente da do estimador de λ*, o que
leva a que a estimação seja, geralmente, pouco robusta. Finalmente, este princípio não é
aplicável a modelos autorregressivos de ordem superior a um.
21
Ver Mátyás e Sevestre [1992].

28
Quando o vector de perturbações é normal, a solução natural para o problema de
estimação é o recurso ao MLE que, desde que nada seja assumido quanto à primeira
observação, será regra geral equivalente ao OLS e, como este, não consistente.
A consistência do MLE (e também do GLS, como vimos) vai depender de forma
determinante dos pressupostos admitidos quanto a yi0, pelo que podemos considerar quatro
casos23
para o modelo
itiiittiit vzxyy ++++++++== −− αγβδ 1, (3.13)
em que z é um atributo que não varia no tempo (como o sexo) e x varia seccional e
temporal. Temos, de acordo com Hsiao [1986]:
I. yi0 fixo: um indivíduo começa num dado ponto arbitrário e fixo e gradualmente
aproxima-se do nível de equilíbrio dado por (αi+γzi)/(1-δ)+β⋅∑jγ j
xi,t-j. Ainda que
pareça razoável, o pressuposto da não aleatoriedade de yi0 choca com a correlação
entre αi e yit: se αi está incorporado em yit, porque não há de estar em yi0? Se o
processo já tem alguma história, nada justifica que yi0 tenha sido gerado de forma
diferente da de yit;
II. yi0 aleatório e yi0 = αy0 + εi, em que os ε i representam os efeitos das dotações
individuais iniciais, podendo-se verificar que yio seja
a) uma variável aleatória pura, em que os impactos das dotações iniciais
se vão esbatendo ao longo do tempo, logo, cov(αi,ε i)= 0;
b) correlacionado com αi, com cov(yi0,αi)= ϕσ2
y0, de tal forma que as
diferenças entre os indivíduos ficam a dever-se unicamente às
diferentes dotações iniciais, sendo o seu efeito de longo prazo ϕεi/(1-
δ);
III. yi0 = ωi0 + ηi, com ωi0 fixo e yit = ωit + ηi e ωit=ρωit-1 + uit. Ou seja, ωit e ηi não
estão correlacionados e ωit é uma variável latente não observável que representa um
dado processo dinâmico. Os indivíduos seguem um mesmo processo estocástico
{ωit} (condicionado pelas variáveis exógenas z e x) não observável e são sujeitos a
choques individuais independentes (uma medida das dotações iniciais ou dos erros
de medida no i-ésimo processo) ηi. Aqui, yi0 = ωi0 + ηi (i.e., também é afectado por
22
Quando T→∞ e N→∞, o GLS é consistente pois converge para o LSDV (Hsiao[1986],88).
23
Para uma abordagem mais completa, veja-se Hsiao[1986],78-81.

29
ηi, pelo que não é forçoso que yi0 seja o início do processo) será um ponto de
partida arbitrário e yit tenderá para ηi+γzi/(1-δ)+β⋅∑jγ j
xi,t-j.
IV. yi0 = ωi0 + ηi, com ωi0 aleatório e cov(yi0,ηi) ≠ 0, com as seguintes variações:
a) ωi0 tem as mesmas média e variância que os estados finais;
b) ωi0 tem a mesma média, mas variância arbitrária (não estacionário);
c) ωi0 tem a mesma variância, mas média diferente (i.e., é de outra
população);
d) ωi0 tem média e variância arbitrárias.
Para os casos III e IV.d os estimadores MLE não se encontram definidos e, quando
T→∞ e N fixo, os estimadores de γ e σα
2
não são consistentes devido à insuficiente
variabilidade seccional. Os restantes estimadores MLE são, regra geral, consistentes, em
qualquer dos casos semi-assimptóticos24
e a utilização de um método MLE justifica-se
quando se pretende testar hipóteses quanto ao estado inicial yi0.
A estimação por MLE, maximizando a função de verosimilhança, é relativamente
complicada e pode ser efectuada através de um qualquer algoritmo iterativo, como o de
Newton-Raphson ou, alternativamente, através de um sistema de equações












==;;












==;;












==
′′==++′′++′′
NNTNN
T
T
NTNN
T
T
z
z
z
xxx
xxx
xxx
yyy
yyy
yyy
1
1
1
2
1
21
22221
11211
10
22120
11110
MM
L
MOMM
K
K
L
MOMM
K
K
ZXY
UZXY ΦΒΓ
(3.14)
em que U é a matriz N×T de termos de perturbação, com matriz de variâncias ΩΩ. A matriz
A=[ΓΓ ΒΒ ΦΦ], tal como ΩΩ, poderá ser objecto de determinadas restrições, dependentes do
caso que se escolher quanto a yi0. A utilização de um método de mínimos quadrados tri-
etápico (3SLS) deverá ser equivalente à utilização de um método MLE sujeito às referidas
restrições, mas será menos eficiente que a maximização da função de verosimilhança
irrestrita de (3.14).
Uma especificação proposta em Mátyás et al [1992] para a primeira observação
consiste em acrescentar a (3.13) o seguinte:
24
Para um ponto de situação, consulte-se Hsiao[1986],84.

30
yi0 = ϕ.zi + ui0 (3.15.1)
αi = ψ.ui0 + εi (3.15.2)
As perturbações (ui0,εi,vi1,…,viT) são i.i.d. normais, com média nula e variâncias σu
2
σε
2
σv
2
e a função logarítmica de verosimilhança é
∑∑ −Ω′−−−= −
i
i
u
iiuvuNT u
NN
CL 2
02
12222
2
1
2
1
ln
2
ln
2
),,,,,,,(ln
σ
σσσσψϕγβδ ε ττττΩΩ (3.16)
com ΩΩ= σv
2
Wn+(σv
2
+ Tσε
2
)P e ττi um vector coluna (T×1) de elemento genérico (yit - δyi,t-1
- βxit - γzi - ϕui0). A maximização de (3.16) com respeito aos parâmetros desconhecidos
dará os estimadores MLE25
, com a particularidade de os estimadores de ϕ e σu
2
serem os
estimadores OLS de (3.15.1) e de ui0 ser substituído pelos resíduos desta última regressão
em ττi. Os estimadores assim obtidos serão consistentes e, no caso de as perturbações serem
normais, assimptoticamente eficientes, exibindo ainda um bom comportamento em
amostras finitas.
Atendendo a que uma má escolha da especificação das condições iniciais poderá
levar a estimadores MLE que não sejam consistentes, por não serem os mais adequados
(não sendo assimptoticamente equivalentes aos verdadeiros MLE, por estarem em causa
funções de verosimilhança diferentes) e porque a regra geral dos estudos é que se disponha
de séries temporais relativamente curtas, torna-se imperioso que se encontre um estimador
que não dependa de yi0.
Os diversos métodos IV, já analisados na secção anterior, valem pelo facto de
serem geralmente consistentes (desde que N→∞), independentemente de yi0 (ainda que
pouco se possa afirmar quanto às suas eficiências relativas) e pela sua grande
aplicabilidade, não havendo grandes diferenças relativamente ao modelo com efeitos fixos.
Por isso, acabam por ser os mais utilizados. Para excelentes resumos de vários estimadores
podem consultar-se Baltagi [1995], 126-145, Mátyás e Sevestre [1992] e Mátyás [1999].
Quando se não impõe qualquer restrição quanto à estrutura de correlações entre os
termos de perturbação, um método eficiente e consistente (com T fixo) consiste em separar
o modelo (3.13) nas primeiras diferenças em T-1 equações
25
Ver Mátyás e Sevestre[1992], 111 para as equações normais da condição de primeira ordem.

31
Ni
uuxxyyyy
uuxxyyyy
uuxxyyyy
TiiTTiiTTiTiTiiT
iiiiiiii
iiiiiiii
,,1;
)()()()(
)()()()(
)()()()(
1,1,2,1,1,
23231223
12120112
K
M
==







−−++−−++−−==−−
−−++−−++−−==−−
−−++−−++−−==−−
−−−−−−−−−− βδ
βδ
βδ
e estimar o sistema por 3SLS. Como os efeitos individuais desaparecem do modelo, é
indiferente estarmos perante efeitos fixos ou aleatórios. No entanto, o método exige que
existam variáveis exógenas não correlacionadas com o termo de perturbação vit.
Também o método de Chamberlain [1984], com recurso a um estimador de
distância mínima, que vimos que era eficiente nos modelos sem restrições quanto à
estrutura da matriz de variâncias e covariâncias dos termos de perturbação, pode ser
aplicado no contexto dos modelos dinâmicos. O método consiste em restringir ΠΠ, para o
modelo (3.2) com apenas uma variável exógena, da seguinte forma:
)(
)(
)(
1
1
,,1;0
,,1;
)(
)(
1
1
))((
)(
)(
1
1
),,,|(
0
0
0
,1
,
,
0
0
,0
00
0
0
1
0
,010
i
i
ii
t
tT
tj
jt
tj
i
ii
t
t
T
ii
i
ii
tt
j
jti
j
i
t
iTiiit
yE
yVar
yE
Ttj
Tj
yVar
yE
yEy
yVar
yE
xyxxyyE
α
δ
δ
π
π
βδπ
α
δ
δ
δπ
α
δ
δ
δβδ
−−
−−
−−==
++====
====
−−
−−
++==
⇒⇒−−
−−
−−
++++==
++
−−
−−
==
−−
∗∗
∑∑
K
K
K
(3.17)
em que E*(yit|yi0,x′i) é a projecção de yit. Tal como na secção 2.3, procede-se à estimação
de ππ (coluna com todas as linhas de ΠΠ) na sua forma irrestrita através de uma regressão
OLS de yit sobre yi0,x′i. O segundo passo do método consiste em estimar através de um
estimador de distância mínima os parâmetros π sujeitos às restrições expostas em (3.17)26
e
que se representam na forma matricial por ππ=ΓΓ(ππ)θθ. Assim, substituir-se-á ππ pela
estimativa OLS irrestrita, pelo que se tem
(( )) OLSOLSOLSOLSALSOLSOLS ππ))′′ππΓ(Γ())ππΓ(Γ())′′ππΓ(Γ(==θθ⇒⇒εε++)θ)θππΓ(Γ(==ππ
−−
ˆˆˆˆˆˆˆ 1
em que o estimador de θθ assim obtido corresponde a um estimador de mínimos quadrados
assimptóticos (ALS) e é consistente, ainda que não eficiente. Um estimador
assimptoticamente eficiente teria que considerar a matriz de covariâncias de εε, ΣΣ(S,θθ),
26
As restrições poderão e deverão ser simplificadas, de acordo com Mátyás e Sevestre [1992],113, por forma

32
função da matriz de covariâncias de OLSππˆ , S, e de θθ. Assim, teremos um estimador FGLS
mais eficiente se usarmos as estimativas OLS de S e ALS de θθ para estimar ΣΣ, com a
seguinte formulação:
(( )) OLSOLSOLSOLSFGLS ππΣΣ))′′ππΓ(Γ())ππΓ(Γ(ΣΣ))′′ππΓ(Γ(==θθ −−−−−−
ˆˆˆˆˆˆˆ 111
.
As vantagens deste método de Chamberlain [1984] prendem-se com o facto de
necessitar de poucas restrições, nomeadamente quanto à dinâmica das perturbações, de
poder ser aplicado a modelos com variáveis autorregressivas de ordem p>1 e de facilitar a
realização de numerosos testes de especificação. No entanto, ao deixar a matriz de
covariâncias de v irrestrita, o método leva a uma perda de eficiência, quando esta tiver uma
estrutura conhecida. Por outro lado, trata-se de um método computacionalmente muito
exigente, pelo que, pouco usado, ainda que esta questão seja cada vez menos relevante.
3.4 Estruturas Alternativas para a Heterogeneidade
Uma especificação alternativa aos modelos com componentes de erro é a proposta
por Kmenta27
(Mátyás e Sevestre [1992], 198-201 e Greene [1997], cap. 15) em que a
heterogeneidade individual deriva, não do termo independente ou de coeficientes
aleatórios, mas sim de uma particular estrutura de covariâncias para um conjunto de
amostras temporais, naquilo que usualmente se considera ser um modelo da classe time-
series of cross section data (TSCS). Este tipo de especificação é, segundo Greene [1997],
particularmente indicada para estudos com painéis relativamente longos e estreitos, como é
habitual surgir na macroeconometria. Admita-se, a título de exemplo e para facilitar a
exposição, um estudo sobre a dinâmica da inflação para um conjunto de N países, durante
T períodos e que pode ser representado da seguinte forma:
( )












ΩΩΩ
ΩΩΩ
ΩΩΩ
=′=
++= ∑=
−
nnnnnnnn
nn
nn
it
p
j
jtijti
EV
σσσ
σσσ
σσσ
εε
επββπ
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1112121111
1
,0,
(3.18).
a que se tornem lineares.
27
Kmenta, Jan [1986], Elements of Econometrics, New York, MacMillan, citado em Baltagi in Mátyás e

33
A estrutura de covariâncias pode ser condicionada de forma a representar diversos
casos de interesse, sendo o mais simples obtido para termos de perturbação
homoscedásticos e não correlacionados:














==
I00
0I0
00I
2
2
2
σ
σ
σ
L
MOMM
L
L
V ⇔ E(εit
2
)=σ2
, ∀ i,t e E(εitεjs)=0, ∀ i≠j ou t≠s
e que equivale à estimação de (3.18) admitindo a inexistência de efeitos específicos (em
que os estimadores OLS serão BLUE). Este caso é, no entanto, de longe o menos
interessante de analisar na medida em que exclui toda heterogeneidade dos dados e a única
vantagem de se trabalhar com um painel será a de reunir mais observações, aumentando os
graus de liberdade ao dispor da inferência estatística (na prática faz-se o pooling dos dados
e ignora-se a dimensão temporal ou seccional da heterogeneidade).
Um caso bem mais interessante será o de incluir heteroscedasticidade seccional ou
em grupo no modelo, i.e., admitir homoscedasticidade dos termos de perturbação para um
dado indivíduo ao longo do tempo mas que a cada indivíduo corresponde uma variância
diferente. Ou seja, admite-se que:














==
I00
0I0
00I
2
2
2
2
1
n
V
σ
σ
σ
L
MOMM
L
L
o que se pode ficar a dever a uma grande variação nos níveis médios de inflação entre os
diversos países, em que alguns deles registaram episódios de hiperinflação mesmo. Esta
hipótese pode ser introduzida no modelo como fonte adicional de heterogeneidade, para
além dos efeitos fixos. Nesta situação, torna-se necessária a estimação da matriz de
variâncias e covariâncias, pelo estimador de White com correcção por grupo, para uma
estimação robusta, ainda que não eficiente, por OLS. Uma alternativa mais eficiente será a
estimação do modelo através de um estimador GLS se V for conhecida ou FGLS, caso V
seja desconhecida.
Finalmente, uma outra hipótese de heterogeneidade será a resultante de uma
estrutura de correlações entre as séries individuais (mas não dentro de cada uma das
séries), a que se chama de correlação seccional (Greene [1997], pág. 658) e que, neste
Sevestre [1992].

34
caso, pode representar a existência de relações económicas estreitas entre dois ou mais
países da amostra que originam alguma simetria na resposta a certos choques aleatórios
sobre as respectivas dinâmicas inflacionárias. Neste caso, a matriz de covariâncias será
(( ))












==′′==
III
III
III
V
nnnn
n
n
E
σσσ
σσσ
σσσ
εε
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
em que se admite a ausência de autocorrelação entre os termos de perturbação28
. O
pressuposto de ausência de autocorrelação torna-se essencial para garantir a consistência
dos estimadores de mínimos quadrados (ordinários ou generalizados) pelo que a sua não
verificação levaria a uma estimação por IV ou GMM por os regressores deixarem de ser
ortogonais, face aos termos de perturbação. Em Davidson e Mackinnon [1993] e Greene
[1997] sugere-se o método mais eficiente de Hatanaka que avança como instrumento para
a variável dependente desfasada, os valores desfasados das restantes variáveis exógenas
para a obtenção de estimadores consistentes para ββ e ρ e a implementação de um
procedimento FGLS. Para os modelos puramente autorregressivos, tal torna-se
impraticável na medida em que não existirão variáveis verdadeiramente exógenas, o que,
segundo Hamilton [1994], faz com que um método FGLS iterado não corresponda já a
MLE29
.
Tal como no caso dos modelos com componentes de erro, os modelos de Kmenta
têm a vantagem de trabalharem com amostras relativamente grandes e com bastante
heterogeneidade e ao permitirem uma correlação serial, encontram uma fundamentação
macroeconómica pertinente. No entanto, Baltagi em Mátyás e Sevestre [1992] alerta para o
facto de este tipo de especificação ser menos robusto face a eventuais erros de
especificação que a usual abordagem dos componentes de erro.
28
Por uma questão de constância na terminologia, estabelece-se que um termo de perturbação se diz
autocorrelacionado quando E(uit.ui,t-s) ≠ 0, s≠0 e serialmente correlacionada quando E(uit.ujt) ≠ 0, i≠j.
29
Uma alternativa apontada por Hamilton [1994] seria a estimação por MLE o que exigiria um
conhecimento, que se poderá não ter, sobre as distribuições dos termos de perturbação e sobre a especificação
do processo estocástico gerador da autocorrelação. Mesmo se se conhecer a estrutura ARMA dos termos de
perturbação, caso esta não seja suficientemente simples, a aplicação de um método MLE ou FGLS tornar-se-
á impraticável do ponto de vista computacional.

35
4. Estimação de Modelos com Desfasamentos Distribuídos30
Devido à existência de rigidez de ordem técnica, institucional ou psicológica, é
frequente o comportamento não se adaptar imediatamente a alterações nas variáveis
explicativas, sendo tal adaptação, na maior parte dos casos, progressiva. Assim, essa
adaptação pode ser racionalizada através de diversos mecanismos teóricos de ajustamento,
havendo a alternativa de estimarmos y através de variáveis dependentes desfasadas,
juntamente com variáveis exógenas, ou através de um modelo de desfasamentos
distribuídos, em que o valor actual de y será uma função de uma cadeia de valores
contemporâneos e passados de um vector de variáveis independentes. Ainda que estes dois
modelos possam ser reciprocamente transformados um no outro, é sempre necessário
determinar com algum rigor, não apenas o momento a partir do qual se começam a sentir
os efeitos na variável dependente de uma inovação no vector de variáveis independentes,
mas também determinar a partir de que momento se encontram completamente
repercutidos em y os referidos efeitos.
A determinação da dimensão da estrutura de desfasamento, ainda que um tema
merecedor de atenção, não é propriamente uma idiossincrasia do estudo de dados em
painel, aplicando-se os usuais critérios utilizados nas séries temporais ou nos estudos
cross-section: critérios de Schwarz ou Akaike, testes LR, ...
Já a questão da estimação de um modelo com uma dada dimensão de desfasamento
sem impor restrições de identificação, como os desfasamentos geométricos de Koyck ou os
polinomiais de Almon, que dificilmente poderá ser evitada nos estudos temporais com
desfasamentos importantes, devido ao excessivo número de parâmetros a estimar (e que
inviabiliza um qualquer estimador consistente, mesmo com T→ ∞, pois o número de
parâmetros a estimar tende também para infinito) justifica uma referência detalhada nos
estudos com dados em painel.
Assim, uma vez que as amostras temporais são frequentemente de reduzida
dimensão e dizem respeito a variáveis provavelmente bastante correlacionadas umas com
as outras, é geralmente impossível obter estimativas, com qualidade, para os parâmetros
dos diversos desfasamentos sem impor as referidas restrições. Mas, se dispusermos de N
30
Esta secção foi quase exclusivamente baseada em Hsiao[1986], Secção 8.1, sujeita a algumas
simplificações e adaptações.

36
séries temporais, em princípio será mais fácil estimar pelo menos alguns dos parâmetros,
uma vez que passamos a dispor de N vezes mais informação. Por outro lado, ao juntarmos
a dimensão seccional, permitindo diferenças nas características individuais, estamos muito
provavelmente a reduzir a importância do mais que provável problema de
multicolinearidade entre xt, xt-1 ... xt-p ..., sempre presente neste tipo de especificação.
Assim, Hsiao [1986] sugere que para a estimação do seguinte modelo
y x u t Tt t t= + +−
=
∞
∑µ βτ τ
τ 0
1, = ,..., (4.1)
se recorra ao modelo transformado
y x b u t T i Nit i t it it
t
= + + + =−
=
−
∑µ βτ τ
τ
l , ; ,...,
0
1
1 1, = ,..., (4.2)
onde b xit t i= + −
=
∞
∑β τ τ
τ
,
0
será a contribuição dos valores pré-amostrais não observados de x.
Para a estimação do modelo são necessários alguns pressupostos, nomeadamente:
0. o modelo é dado por
y x u t T i Nit i i t it= + + =−
=
∞
∑α βτ τ
τ
*
, ; ,...,
0
1 1, = ,..., ,
com uit independente de xis e i.i.d., com valor esperado nulo e variância σα;
1. E(βτi) = βτ ;
2.
~ ~
( ) ( | ),
*
, . . . ,β β β ξ β ξ ξτ τ τ τ τ
τ
ξ ξi i it i i t i i ix Ei iT
= − = ⇒ =−
=
∞
′
∑, = e
0
1
0x ;
3. E*
(αi
*
|xi) = µ + a´xi.
em que E*
representa o previsor de erro quadrático mínimo da primeira variável na
segunda (ou projector) e xi o vector de todas as observações de xit. Admite-se ainda que
existem p + 1 observações para antes da primeira observação disponível para y e que
E(xi´xi) = Σxx positiva definida, com xi =[xi,-p,...,xi,T] a ser um vector aleatório de dimensão
1 x (p + 1 + T). O segundo pressuposto pode ser aproximado pela hipótese de as diferenças
entre os coeficientes individuais βτI serem independentes de xi, ainda que os efeitos
individuais αi
*
possam ser correlacionadas com este. De acordo com Hsiao [1986], os

37
pressupostos 1-3 garantem a identificação de E({βτ}) quando N→∞ e T→∞. Se T é fixo, o
modelo deverá ser reescrito da seguinte forma:
y x b u t T i Nit i i t it it
t p
= + + + =−
=
+
∑α βτ τ
τ
*
,
$ ; ,...,
0
1 1, = ,..., (4.3)
com o termo de perturbação agregado ûit = ξit + uit satisfazendo E(ûi|xi) = 0 e o termo dos
coeficientes individuais residuais (i.e., truncados) a ser dado por b xit t i
p
= + −
= +
∞
∑ β τ τ
τ
,
1
.
Na generalidade dos casos, bit estará correlacionado com as variáveis explicativas, pelo
que não será possível obter estimadores consistentes, a menos que se introduzam restrições
adicionais sobre os coeficientes de desfasamento ou sobre o processo estocástico gerador
dos valores de x, válido não apenas para os valores amostrais, mas também para os pré-
amostrais.
Podemos, então, distinguir duas estratégias de identificação que podem ser resumidas da
seguinte forma:
i. usando a estrutura do processo gerador da variável exógena
Como pretendemos estimar pelo menos alguns dos parâmetros βτ, com τ = 1, ... e
de forma irrestrita (i.e., sem necessitarmos de racionalizarmos {βτ} através de um qualquer
método de Koyck ou de Almon), vamos considerar que um coeficiente de desfasamento βτ
se encontra identificado se for possível calculá-lo através da matriz de coeficientes ΠΠ (de
dimensão T x (T + p + 1)) obtida através do previsor de erro quadrático médio mínimo ou
projecção de yi em xi: E*
( yi| xi) = Iµ + ΠΠxi, em que yi é o vector das T observações de y
para o i-ésimo indivíduo. Esta matriz ΠΠ contém informação sobre a combinação dos
coeficientes de desfasamento relevantes B e sobre as projecções de αi
*
e bit em xi, que terá
que ser separada para se proceder à identificação dos referidos coeficientes.
Uma forma simples de o fazer será reescrever a projecção de yi em xi e αi
*
da
seguinte forma:
[ ] [ ]E i i i i i
∗ ∗ ∗
= + + +( | , )y x B W x i cα α (4.4)
em que ΒΒ será a matriz T x (T + p + 1) que conterá T + p coeficientes β e W e c serão
definidos através de
E i i i i i
∗ ∗ ∗
= +( | , )b x Wx cα α (4.5)

38
Ora, ΠΠ será então definida por ΠΠ = B + [W + (I + c)a´]31
, com a´ obtida através de
E i i i
∗ ∗
= + ′( | )α µx a x . Hsiao[1986] demonstra que para se identificar B bastam apenas
algumas restrições sobre W, sugerindo, para αi
*
independente de xi, que se admita um
processo autorregressivo de ordem q para x, na medida em que é possível obterem-se
estimadores consistentes para os (T + p - q + 1) primeiros parâmetros de desfasamento,
com expressão genérica
E y x xit i t t j p i j p
j
qt p q
∗
− − − − −
==
+ −
= + + ∑∑( | ) , ,x µ β φτ τ
τ
1 1
10
(4.6)
com φt, j-p-1 = βt+p+1-j + wt, j-p-1, t = 1, ..., T e j = 1, ..., q e q = p + 2 (por simplificação). Os
coeficientes β de cada uma das equações são estimativas dos primeiros (t + p - q + 1)
coeficientes de desfasamento do modelo, desde que t seja suficientemente grande, i.e.,
desde que (t + p - q + 1) > 0.
Ou seja, desde que se assuma 1., 2. e 3., juntamente com um dado comportamento
para os valores pré-amostrais de x, neste caso, que tenham sido gerados por um processo
AR(q)32
e que se disponha de um número suficiente de observações (i.e., que T + p seja
grande face a q), será sempre possível estimar os primeiros coeficientes de desfasamento.
É evidente que, dada a pequena dimensão temporal dos estudos em painel, não será
possível obter muita informação (irrestrita) sobre os coeficientes mais afastados, mas será
sempre possível obter estimativas para os primeiros e, a partir daí, desenhar uma dada
estrutura de desfasamento que restrinja o número de parâmetros a estimar.
ii. usando restrições sobre a estrutura dos coeficientes de desfasamento
Sempre que se disponha de alguma informação teórica sobre que valores os
parâmetros βτ podem ou não assumir, ou sobre as suas ordens de grandeza, etc..., pode-se
reduzir o número de parâmetros a estimar, numa generalização e extensão das técnicas
utilizadas nos modelos de desfasamentos distribuídos convencionais, recorrendo-se às
potencialidades dos estudos em painel. Assim, em vez de assumir um dado processo
gerador para x (como o AR(q) usado na secção anterior) vamos assumir que os parâmetros
βτ se comportam de uma dada forma conhecida a priori.
31
Para mais pormenores, consultar Hsiao[1986], 185.
32
Hsiao[1986] fornece uma fórmula mais geral (p.186), que contempla o caso de αi
*
e xi serem
correlacionados, mas que por ser notacionalmente bastante complexa, foi aqui omitida.

39
Uma forma sugerida por Hsiao [1986] é considerar-se que há k parâmetros β
iniciais irrestritos e que os restantes seguem um comportamento de natureza
autorregressiva, nomeadamente:
β τ
δ β τ
τ
τ
⇐ ≤
⇐ >




 −
=
∑
k
kj j
j
J
1
em que se assegura que βτ decline geometricamente após os primeiros k desfasamentos33
.
A solução geral da equação às diferenças
β δ β δ βτ τ− − − =− −1 1 0K J J
é dada por β λτ
τ
=
=
∑Aj j
j
J
1
, em que Aj são constantes dadas pelas condições iniciais da
equação e {λj} as suas raízes características, e permite-nos escrever o termo residual bit da
seguinte forma:
b A x bit j j
t
i j
t
ij
j
J
j
J
p
= =+
−
=== +
∞
∑∑∑ ( ) ,λ λτ
τ
τ 111
.
Ou seja, podemos representar o termo residual bit como uma combinação linear das
condições iniciais não observáveis (bi1, ..., biJ), pelo que, se juntarmos este pressuposto aos
três já estabelecidos, o modelo de desfasamentos distribuídos reduz-se a um sistema de T
regressões com J+1 coeficientes não observados (αi
*
; bi1, ..., biJ) e em que os últimos
decaem geometricamente. No caso particular de J=1, temos o modelo de Koyck, em que bit
= δ bi,t-1 que, após algumas transformações (que aqui se omitem para não tornar a
exposição demasiado pesada, mas que podem ser consultados em Hsiao[1986], 190-1),
pode ser identificado a partir de ΠΠ = B* + δδ*w* + ia', em que B* é a matriz (T×(T+k)) que
contém os k +1 parâmetros β (de β0 a βk) irrestritos e os restantes T – 1 parâmetros obtidos
a partir de βk×δτ
, τ = 1, ..., T-1. A matriz δδ* é [1,δ,...,δT-1
] e w* o vector de coeficientes
obtido da projecção de bi em xi e exige-se que T ≥ 3 por forma a que ΠΠ identifique os
parâmetros βτ e δ34
.
33
Nomeadamente, impondo que as raízes, reais e distintas, da equação característica 1 01
− ==∑ δ j
j
j
J
L
caiam fora do círculo unitário. Ver Hsiao[1986], 189.
34
De facto, o que se verifica é que o jacobiano de ΠΠ (relativamente aos parâmetros desconhecidos) respeita a
condição de característica, desde que T ≥ 3. É possível verificar-se, ainda, que para J>1 a condição de

40
A estimação de um modelo de desfasamentos distribuídos com base em amostras de
dados em painel de curta duração pode ser feita através da decomposição do modelo base
(4.2) no seguinte sistema de T equações reduzidas:
[ ]y i x vi i i i N
(T 1)
T ,
×
= + ⊗ ′ + =µ Ι ππ 1, ,K (4.7)
em que ππ´ = [ππ´1, ... , ππ´T] e ππ´j é a j-ésima linha da matriz ΠΠ (o que torna ππ uma matriz de
dimensão (T2
×1)) e vi não está correlacionado com xi. Sob as usuais condições de
regularidade, o estimador LS de ππ é consistente e assimptoticamente normal, sendo
aplicáveis os usuais testes assimptóticos.
característica se verifica para T ≥ J+2, de acordo com Hsiao [1986].

41
5. ESTIMAÇÃO GMM DE MODELOS DINÂMICOS COM DADOS EM PAINEL
Como se viu, um problema que ocorre frequentemente na estimação de modelos
dinâmicos com dados em painel é o da perda da consistência dos estimadores
convencionais, pelo menos quando N→∞. O estimador within, por exemplo, torna-se
inconsistente, com T fixo, porque a transformação within origina uma correlação de ordem
1/T entre a variável dependente desfasada e o termo de perturbação, como se viu no
capítulo 3. Também notada nesse capítulo foi a solução popular proposta por Anderson e
Hsiao [1981] de transformar o modelo para as primeiras diferenças (removendo os efeitos
individuais) e usar a variável dependente desfasada em dois períodos como instrumento
para o termo autorregressivo. Arellano e Bond [1991] propõem um conjunto mais alargado
de instrumentos, que incluiriam recursivamente todos os valores passados de yit
(disponíveis para cada momento). No entanto, como nota Mátyás [1999], a viabilidade dos
valores passados da variável dependente como instrumentos exigirá um conjunto de
restrições sobre as covariâncias entre o termo de perturbação aleatório, o efeito individual e
a observação inicial da variável dependente.
O objectivo do GMM será, então, o de encontrar um estimador consistente com um
mínimo de restrições sobre os momentos. A organização deste capítulo será então a
seguinte: numa primeira parte discute-se a aplicação do GMM aos dados em painel de
forma genérica e, numa segunda parte, especificamente o GMM com modelos dinâmicos.
5.1 Estimação GMM com Regressores Exógenos
Considere-se o modelo genérico com efeitos seccionais, apenas:
iiiiii
itiitititit uuy
εα
εα
+⊗=+=
⇔+=+=
T,
,
iuuâXy
âx
(5.1)
O objectivo do método GMM será, então, a estimação dos parâmetros de um
modelo especificando um mínimo de condições de momentos, não necessitando, pois, da
especificação completa das distribuições das variáveis aleatórias usadas. A lógica do GMM
é a idêntica à do mais prosaico método dos momentos (MM): fazer equivaler os momentos
populacionais às suas contrapartes amostrais, resolvendo as equações que daí resultarem,
desde que identificadas. O MM exige, para ser exequível, que as equações resultantes das

42
condições de momentos sejam exactamente identificadas, i.e., que o número de parâmetros
as estimar (dimensão do vector ββ) seja igual ao número de restrições impostas sobre os
momentos.
Nos casos em que os parâmetros do modelo estão sobre-identificados pelas
condições de momentos pode, então, recorrer-se ao método GMM para se obter
estimadores genericamente consistentes. Assim, as q condições de momentos
gi=E(f(Xiββ))=0 representam q equações com k>p incógnitas, de tal forma que as equações
com os momentos amostrais
(( )) 0==NNf βˆ
não terão uma solução. O melhor que se poderá fazer é encontrar uma estimativa para ββN
que aproximará f(.) o mais possível de zero, ou seja, um estimador (GMM) que respeite
(( )) (( )) (( )) 0==
′′
==== NNNNNNN ffQmin ββββ β
ˆˆargˆ V
em que VN é uma matriz de ponderação estocástica definida positiva e QN é estritamente
positiva no caso sobre-identificado. Sob certas condições de regularidade relativamente
gerais, os estimadores assim obtidos serão consistentes35
e assimptoticamente normais36
.
Para que os estimadores GMM sejam assimptoticamente eficientes, haverá que escolher
apropriadamente a matriz de ponderação VN, no que poderá ser empregue um processo bi-
etápico, partindo-se de um estimador consistente de ββ. Infelizmente, como o estimador
obtido dependerá do ponto de partida (ainda que assimptoticamente equivalente), há que
encontrar uma forma de garantir estimadores com bons comportamentos em amostras
finitas, para o que se poderá usar, por exemplo, processos iterativos. Para se encontrar um
estimador GMM mais eficiente assimptoticamente, ter-se-á que considerar, de igual forma,
o conjunto das condições de momentos, não sendo verdadeiro que a um maior conjunto de
condições de ortogonalidade (ou seja, um maior conjunto de informação) corresponda um
estimador GMM mais eficiente, como nota Mátyás [1999]. Assim, apenas na medida em
que uma condição adicional contribua com nova informação, para além da já contida nas
35
Para que os estimadores GMM sejam fracamente consistentes (i.e., que convirjam em probabilidade para
β) é necessário que gi exista, seja finita e uma aplicação bijectiva; que os q momentos amostrais convirjam
uniformemente em probabilidade para os seus contrapartes populacionais e que VN convirja em probabilidade
para uma matriz não aleatória definida positiva. Ver Mátyás [1999], por exemplo.
36
Para o que será necessário impor, para além da consistência: que f(XN, β) seja continuamente diferenciável
em ordem a β, num espaço compacto B; que o Jacobiano (em ordem a β, logo, uma matriz q× p) das
condições de momentos convirja em probabilidade (para uma qualquer sequência βN
*
que convirja em
probabilidade para o verdadeiro vector β) para uma sequência de matrizes de igual dimensão e que não

43
condições anteriores é que a sua inclusão aumentará a eficiência do estimador GMM. Esta
condição é particularmente importante para modelos dinâmicos com dados em painel
(Mátyás [1999]).
Sobre este tema, devem-se consultar, entre outros, Amemiya [1985], Davidson e
MacKinnon [1993], Greene [1997] e Mátyás [1999].
Relativamente ao modelos (5.1), uma estimação por GMM começará por impor
uma condição de ortogonalidade entre um conjunto de (T×p) instrumentos Zi e os termos
de perturbação ui, dada por E(Ziúi) = 0 e uma condição de identificação, dada por
car[E(Ziúi)] = k. Existindo esses instrumentos, pode-se obter um estimador GMM de β
pela minimização da função objectivo N(Y-Xββ)´Z(VN)-1
Z´(Y-Xββ) e em que VN pode ser
qualquer estimador consistente de V= E(Ziúi ui´Zi). O estimador GMM será:
(( ))(( )) (( )) YZVZXXZVZX
111
′′′′′′′′==
−−−−−−
NNGMMβˆ (5.2)
e em que, como sugere Mátyás [1999], se pode obter VN a partir de um estimador inicial
consistente de ββ, como um estimador 2SLS. Assim, sendo ei os resíduos dessa estimação:
∑∑==
′′′′==
N
i
iiiiN
N
V
1
1
ZeeZ
Se se impuser que E(ui ui´|Zi) = ΣΣ, com ΩΩ=σµ
2
(IN ⊗ JT) + σv
2
INT = IN ⊗⊗ ΣΣ, como se
vem fazendo desde a secção 2.2, o estimador GMM será equivalente ao estimador 3SLS
dado por (5.2), mas com VN = Z´ΩΩZ. Aliás, segundo Mátyás [1999], para que essa
equivalência entre 3SLS e GMM se verifique, basta que seja válido o pressuposto de
inexistência de heteroscedasticidade condicional (NCH – No Conditional
Heteroskedasticity) relativamente aos instrumentos, i.e., que E(Ziúi ui´Zi) = E(Zi´ΣΣ Zi), o
que é menos restritivo que E(ui ui´|Zi) = ΣΣ. Esta condição NCH permite igualmente a
utilização do estimador GIV (referido na secção 3.2 a propósito do estimador de Arellano e
Bond [1991]) como um estimador GMM que e de forma análoga a (3.9), pode ser definido
como
(( ))(( )) (( )) YZZZZXXZZZZX
111 111111 −−−−−−−−
−−
−−−−−−−−
′′′′′′′′′′′′== ΩΩΩΩΩΩGIVβˆ
o que mais não é que aplicar o método das variáveis instrumentais ao modelo (5.1) pré-
multiplicado por ΣΣ-½
, tendo como instrumentos ΣΣ-½
Zi (ou seja, depois de filtrar modelo e
instrumentos por ΣΣ-½
). Um método regra geral equivalente, segundo Mátyás [1999] é o das
dependam de β.

44
variáveis instrumentais filtradas (FIV) em que o processo de filtragem por ΣΣ-½
se aplica
apenas a (5.1) e que consiste em:
(( ))(( )) (( )) YZZZZXXZZZZX
111 21212121 −−−−−−
−−
−−−−−−
′′′′′′′′′′′′== ΩΩΩΩFIVβˆ
e que, mais uma vez, é GMM, desde que vigore a condição NCH. Mas Mátyás [1999]
mostra que, regra geral, a filtragem (que é o equivalente à aplicação de GLS no contexto
do OLS) não melhora a eficiência assimptótica do GMM e, assim, deve ser considerada
como irrelevante, no contexto da estimação, quer com efeitos fixos, quer com efeitos
aleatórios, desde que se explorem todas as condições de momentos. O mesmo acaba por
ser válido para outro tipo de instrumentos com filtragem, como o estimador FF (Forward
Filtering) de Keane e Runkle [1992] e que aqui se omite para não alongar em demasia a
exposição.
De qualquer forma, pode ser demonstrado que, regra geral, os estimadores 3SLS,
FIV e FF não são superiores a um qualquer estimador GMM que faça uso de todas as
condições de momentos, que tem contra si “apenas” a questão de uma eventual
inexequibilidade. Um estimador GMM, que use todas as condições de momentos (lineares)
e uma matriz de ponderação irrestrita, com p instrumentos fracamente exógenos e uma
amostra de dimensão T, conta com p×(1+2+…+T)=p×(T+1)T/2 instrumentos (Mátyás
[1999]).
Questão interessante, referida em Mátyás [1999], é a da determinação de uma
fronteira de eficiência para os estimadores GMM, i.e., se existirá ou não um número
máximo de condições de momentos a partir do qual não será possível aumentar a eficiência
do estimador. A questão é, por exemplo, analisada por Koenker e Machado [1997] que,
para modelos GMM lineares com heteroscedasticidade genérica, demonstram que basta
que o número de condições de momentos ou instrumentos cresça a um ritmo inferior a N1/3
,
relacionando dessa forma a dimensão da amostra com o número de instrumentos.
De entre os estimadores GMM utilizados para regressores estritamente exógenos,
merecem destaque em termos de eficiência os apresentados em Hausman e Taylor [1981]
Breusch, Myzon e Schmidt [1989] e em Amemiya e Macurdy [1986] e que passarão a ser
notados por H-T, BMS e A-M, respectivamente. Considere-se, para esse efeito, o seguinte
modelo:
itiititiitit uuy εα +=++= ,Zx λλββ (5.3)
em que Zi é uma matriz de g variáveis explicativas constantes no tempo.

45
Hausman e Taylor [1981] sugerem um estimador 2SLS eficiente para a estimação
dos vectores de parâmetros ββ e λλ associados às matrizes de variáveis explicativas Xit e Zi,
em que as duas matrizes podem incluir variáveis ortogonais (X1it e Z1i) e outras
correlacionadas com os efeitos específicos αi (X2it e Z2i). Em (5-3), as matrizes Xit, Zi, X1it,
X2it, Z1i e Z2i têm dimensão (k×1), (g×1), (k1×1), (k2×1), (g1×1) e (g2×1), respectivamente.
Neste contexto, de eventual correlação entre uma ou várias variáveis explicativas e
os efeitos específicos, sabe-se que os estimadores OLS, assim como os GLS, não são
consistentes e que os estimadores within serão consistentes, mesmo que ineficientes e não
permitirão a estimação dos parâmetros contidos em λλ.
Uma solução proposta por H-T será a estimação por OLS do modelo (5-3) pré-
multiplicado por ΩΩ-1/2
, ou seja, aplicando um operador das primeiras diferenças
generalizadas (1-(1-φ)L), com φ dado por (2.9)37
e transformando as variáveis X e Z
através da respectiva projecção ortogonal num espaço A de variáveis instrumentais X1it, Z1i
e respectivos vectores de médias. Na prática, tal significa, num primeiro passo, regredir Z2i
em X1it e Z1i (com N observações) e X2i. (ou seja, as médias amostrais para cada indivíduo)
em X1i. e Z1i. (mais uma vez, as médias amostrais), obtendo-se i2
ˆZ e .2
ˆ
iX . Num segundo
passo, substitui-se em (5.3), X2it e Z2i por, respectivamente, i2
ˆZ e .2.222
ˆˆ
iiitit XXXX +−= e
estima-se por OLS a equação daí resultante, previamente transformada por (1-(1-φ)L), em
que L é usual operador de desfasamento. H-T chegam ainda a um resultado importante
quanto à identificação dos parâmetros ββ e λλ: há uma condição necessária de ordem,
segundo a qual os dois vectores serão identificados se o número de variáveis exógenas X1
for igual ou superior ao número de variáveis pré-determinadas Z2
38
(k1 ≥ g2).
Usando pressupostos mais restritivos quanto à exogeneidade face aos efeitos
seccionais das variáveis X1it e Z1i do que H-T (que apenas admite ausência de correlação
entre as médias destas variáveis e os efeitos ααi), Amemiya e MaCurdy [1986] chegam a um
estimador IV mais eficiente. Assim, assumem que estas variáveis não são correlacionadas
com ααi para todo o t, o que aumenta o leque de variáveis instrumentais a incluir: não usam
37
Ou seja, ( )222
µσσσφ Tvv += .
38
Haverá uma condição de necessária e suficiente de característica, que consta de Hausman e Taylor [1981],
1385.

46
apenas as médias de X1 e X2, mas também todos os valores desfasados do primeiro vector
de variáveis, recursivamente.
Assumindo um pressuposto de exogeneidade ainda mais restritivo, Breusch, Myzon
e Schmidt [1989] deduzem um estimador IV com maior eficiência assimptótica. Para tal,
impõem que os efeitos seccionais, para além de respeitarem as condições impostas por H-T
e A-M, não exibirão correlação com os desvios em relação às médias seccionais das
variáveis X2, i.e., ainda que ααi e X2 possam estar correlacionadas, a sua covariância é
constante (ou seja, impõem uma condição de estacionaridade). Assim, BMZ acrescentam
os desvios em relação às respectivas médias de X2 ao lote de instrumentos propostos por
A-M, também de forma recursiva (ou seja, em T, teremos mais T-1 instrumentos, i.e., os
desvios até T-1). De acordo com Mátyás [1999], qualquer um destes estimadores, H-T, A-
M e BMZ, faz parte da classe dos estimadores FIV (variáveis instrumentais filtrados) e
será equivalente ao estimador within, no caso exactamente identificado pela definição de
H-T (k1 = g2), ou mais eficiente no caso sobre-identificado (k1 > g2).
Mátyás [1999] refere alguns estimadores que poderão ser mais eficientes que os
estimadores H-T, A-M e BMZ, ao reconhecerem mais condições de momentos que as
utilizadas por estes autores, citando para o efeito os estimadores de Ahn e Schmidt (AS) e
Arellano e Bover (AB)39
e que na prática significarão a estimação do modelo (5.3) usando
como instrumentos, para além dos propostos H-T, A-M ou BMZ, as primeiras diferenças
disponíveis até ao momento das variáveis explicativas não correlacionadas com os efeitos
individuais, garantindo mais (T-1)(Tk1+g1)-k1 instrumentos. Apesar disso, Mátyás [1999]
sustenta que, do ponto de vista prático, os estimadores anteriores constituem boas
alternativas ao GMM.
5.2 Estimação GMM e Modelos Dinâmicos
Os primeiros estimadores que podem ser referenciados como estimadores GMM
para modelos dinâmicos com dados em painel são os já referidos AB e AS e que são
sumariamente expostos em Mátyás [1999] e, com maior detalhe, em Baltagi [1995].
Considere-se uma especificação mais simples que a do modelo (3-13):
39
Ver Ahn e Schmidt [1995], “Efficient Estimation of Dynamic Panel Data”, Journal of Econometrics, 68, 5-
27 e Arellano e Bover [1995], “Another Look at Instrumental Variables Estimation of Error-Components
Models”, Journal of Econometrics, 68, 29-51, citados em Mátyás [1999] e também em Baltagi [1995], sob a

47
yit = δyi,t-1 + uit, com uit = αi + vit (5.4)
em que os termos de perturbação α e v têm ambos médias nulas e em que se considera que
1. E(yi0)=0;
2. E(yi0 ⋅ vit)=0, ∀ t;
3. E(αi ⋅ vit)=0, ∀ t;
4. os termos de perturbação vit não estão autocorrelacionados, para todo o i.
Destas condições, relativamente comuns na literatura dos modelos dinâmicos em
painel, como nota Mátyás [1999], pode-se retirar as T(T-1)/2 condições de momentos
E(yis∆uit)=0, para t=2,...,T e s=0,1,...,T-2 (5.5)
em que ∆uit = vit – vi,t-1 e que foram usadas em diversos textos relativos à estimação por IV,
como Anderson e Hsiao [1981], Holtz-Eakin, Newey e Rosen [1988] e Arellano e Bond
[1991]. Ahn e Schmidt [1997], retomando o trabalho desenvolvido no seu artigo de 1995,
verificam que as hipóteses 2-4 impõem mais T-2 condições de momentos que as usadas
pelos outros autores e que a hipótese 1., relativa a yi0, é desnecessariamente restritiva. As
condições de momentos adicionais são:
E(uiT∆uit) = 0, t=2,…,T-1 (5.6)
As condições (5.5) e (5.6) vêm directamente dos pressupostos de os vit não serem
correlacionados entre si, nem com os efeitos específicos, nem tão pouco com yi0, não
necessitando da hipótese de homoscedasticidade. Para além disso, os autores demonstram
que estas seriam a totalidade das condições de momentos relevantes mesmo para os casos
em que essas correlações não são nulas, desde que sejam constantes (no que é um
pressuposto de estacionaridade). As condições podem e devem ainda ser vistas sob a forma
de restrições lineares sobre os elementos da matriz Λ de covariâncias de uit, t=0,1,…,T:
















=
















=Λ
0002010
0021
2022221
1011211
0
2
1
λλλλ
λλλλ
λλλλ
λλλλ
T
TTTT
T
T
i
iT
i
i
u
u
u
u
L
L
MMOMM
L
L
M
de tal forma que todos os elementos das últimas linha e coluna (λi0) são iguais entre si (T-1
restrições) e que todos os restantes elementos fora da diagonal principal são também todos
forma de working papers.

48
iguais entre si (T(T-1)/2-1 condições)40
. No entanto, como as condições emergentes de
(5.6) são não lineares em u, a utilização deste método GMM terá que levar a uma
ponderação entre os ganhos de eficiência permitidos e o acréscimo exigido na
complexidade computacional pela sua implementação.
No caso dos termos v serem homoscedásticos, como consta de Ahn e Schmidt
[1997], há que considerar um novo grupo de (T-1) novas condições de momentos dadas
genericamente por:
( ) TtuuE iti ,...,2,0 == (5.7)
Para além disso, como notam Ahn e Schmidt [1997], as condições (5.6) podem ser
substituídas por um idêntico número de condições lineares dadas por
E(yi,t-2∆ui,t-1 – yi,t-1∆uit ) = 0, t = 3,…,T (5.8)
Como refere Mátyás [1999], os ganhos de eficiência permitidos pelo pressuposto de
homoscedasticidade acabam por ser reduzidos, pelo que a condição pode ser dispensada,
tendo como contrapartida uma especificação mais robusta.
Várias outros pressupostos podem ser acrescentados ou combinados, como é
efectuado em Ahn e Schmidt [1997], dando origem a diferentes conjuntos de condições de
momentos. Uma condição que vale a pena analisar é a de estacionaridade, como proposta
em Breusch, Mizon e Schmidt [1989], já aqui discutida e cujas consequências em termos
de uma estrutura GMM são analisadas em Ahn e Schmidt [1997]. Na linha do que foi feito
por Arellano e Bover, Ahn e Schmidt41
impõem que cov(αi,yit ) seja constante, o que leva a
uma nova restrição:
(( ))δσσ ααα −−== 10 ou de forma equivalente, (( ))δλλ −−== 10 tst , para t,s=1…,T; t ≠ s
e que resulta num conjunto T(T-1)/2 + (2T-2) de condições de momentos lineares em δ
dadas por (5.5) e, ainda,
E(uiT∆yit) = 0, t =1,…,T-1
E(uityit – ui,t-1yt-1) = 0, t=2,…T
Ahn e Schmidt [1997] analisam ainda o caso do pressuposto de estacionaridade em
covariância da série yi0,…,yiT e que leva a que as condições de momentos necessárias à
estimação GMM sejam as contidas em (5.5) e ainda um única condição não linear
adicional:
40
Isto é, iguais a, respectivamente, σ0α e σα
2
.
41
Artigos citados em Baltagi [1995] e Mátyás [1999].

49
E[yit
2
+ yi1∆ui2/(1-δ2
)– ui,2ui1/(1-δ2
)] = 0
A partir do modelo (5.4), pode-se definir um estimador GMM eficiente da seguinte
forma:
- usam-se as condições de momentos (5.5), escrevendo-as na forma matricial
como E(Aiúi(δ)) = 0, com
(( ))
(( )) (( ))
(( ))
(( )) 



















−−
−−
−−
==
−−
−−
210
210
21010
100
0
000
000
00
00
000
iTii
iTii
iiiii
iii
i
i
yyy
yyy
yyyyy
yyy
y
,...,,
,...,,
,,,
,
L
L
MOMMM
L
L
L
A
- as condições (5.8) podem ser escritas também da mesma forma, i.e., como
E(Biúi(δ)) = 0, em que
(( ))
(( ))
(( ))




















−−
++
−−++−−
−−++
−−
==
−−
−−−−
1
12
3322
221
1
000
000
0
00
000
Ti
TiTi
iiii
iii
i
i
y
yy
yyyy
yyy
y
,
,,
L
L
MOMMM
L
L
L
B
- as l condições de momentos (5.6), (5.7) (quadráticas em δ) e (5.8) podem ser
divididas em l1 condições lineares42
e l2 condições não lineares em δ;
- as l1 condições lineares podem ser representadas recorrendo a Si, uma matriz
T×l1 com todas as colunas de Ai e Bi, que reúne todos os instrumentos lineares
disponíveis, da seguinte forma
E(fi(δ)) = 0, com fi(δ) = Siúi(δ) = f1i + f2iδ, em que f1i =Siýi e f2i= - Siyi,-1
- as restantes l2 condições não lineares poderão ser representadas como uma
função quadrática, tal que E(gi(δ))=0, com
gi(δ) = g1i + g2iδ, + (Il2 ⊗ δ´)g3iδ
- um estimador eficiente pode ser obtido através de um método GMM baseado
em todas as condições de momentos definidas por
42
O número de condições lineares, l1, terá que ser pelo menos igual ao número de parâmetros a estimar (neste
caso, 1) para que estes sejam identificados.

50
(( ))[[ ]]
(( ))
(( ))
0==





==
δ
δ
δ
i
i
i
g
f
EmE
- defina-se mN = N-1
∑imi(δ)43
e MN = ∂mN /∂δ = [∂fN /∂δ, ∂gN /∂δ] = [FN, GN] =
[f2N , g2i + 2(Il2 ⊗ δ´)g3i] e, ainda, M=plim MN = [plimFN , plimGN] e,
finalmente, como matriz de ponderação óptima






==





== ∑∑∞∞→→
i
i
N
gggf
fgff
mNcovlim
ΩΩ
ΩΩ
Ω
e que é estimada de forma consistente por (( )) (( ))∑∑
′′
== −−
i ii mmN δδ ˆˆˆ 1
Ω ,
nomeadamente a partir das condições lineares fi;
- o estimador GMM, dGMM, resultará da minimização de NmN(δ)´ 1−−
Ωˆ mN(δ) e terá
como matriz de covariâncias assimptótica N1/2
(dGMM – δ) = [M´Ω -1
M]-1
;
- a validade das condições de momentos E[mi(δ)] = 0 pode ser testada através de
um teste convencional de sobre-identificação, recorrendo à estatística JN =
NmN(dGMM)´mN(dGMM), com distribuição χ2
(l – 1)44
, sob a hipótese nula de todas
as condições serem simultaneamente válidas;
- no caso de todas as condições de momentos serem lineares, o estimador GMM
eficiente (quando comparado com IV, por exemplo) tem uma solução algébrica
fechada dada por df = -[f2N´ 2
ffΩˆ f2N]-1
f2N´ 2
ffΩˆ f1N .
- para o caso de o modelo a estimar conter também variáveis exógenas, Xi (como
um termo independente), haveria que considerar um conjunto de condições de
momentos E[Xi´ui(ξξ)] = 0, em que ξξ = [δ ββ´]´ reúne o conjunto dos parâmetros
a estimar. A matriz Si incluiria também as colunas de Xi e a estimação
prosseguiria de igual forma, com ξξ a ser usado em vez de δ e Wi = [yi,-1 Xi] (que
inclui todas as variáveis explicativas do modelo, endógenas desfasadas ou
exógenas) em vez de yi,-1.
De um modo geral, Ahn e Schmidt [1997] mostram que há ganhos significativos a
alcançar pela introdução de condições de momentos não lineares (que conduzem
inevitavelmente a métodos de estimação iterativos) e desenvolvem um conjunto de testes
43
Com fN, gN, f1N, f2N, g1N, g2N e g3N definidos de igual forma.
44
χ2
(l-k) no caso de haver k regressores, exógenos ou pré-determinados.

51
para aferir a validade das referidas condições pela comparação entre os estimadores GMM
completos e estimadores GMM linearizados, de mais simples implementação.
Note-se, ainda, que o primeiro dos pressupostos, relativo a E(yi0), faz com que as
condições de momentos de primeira ordem (E(uit=0), com uit=αi+vit) cessem de ser
informativas, na medida em que deixam de identificar univocamente δ, pelo que sempre
seria possível obter estimadores GMM mais eficientes se se não restringisse yi0.
Nesse sentido, temos Crépon, Kramarz e Trognon [1997] que, admitindo condições
iniciais irrestritas para y, mostram como a eliminação de parâmetros redundantes (nuisance
parameters)45
pode não ter qualquer efeito em termos de perda de eficiência. Para tal, basta
que se substituam os parâmetros redundantes pelas respectivas contrapartes empíricas, nas
condições de ortogonalidade.
Admita-se que o vector de parâmetros a estimar, num modelo autorregressivo com
regressores exógenos, dado por θθ, pode ser dividido num vector de parâmetros relevantes,
γγ e num vector de parâmetros redundantes, ζζ. Crépon et al. [1997] mostram que os cálculos
exigidos pela estimação GMM, baseada na totalidade das condições de ortogonalidade,
podem ser grandemente simplificados. Ao contrário do GMM completo (em que os
parâmetros redundantes, ζζ, têm que ser expressos em função dos parâmetros relevantes, γγ),
no GMM abreviado, as condições de momentos só necessitam de ser expressas com
relação aos parâmetros γγ, na medida em que os parâmetros ζζ são substituídos por
estimativas obtidas por um estimador etápico consistente. O procedimento acaba por ser
análogo ao usado na estimação por MLE, quando se opta pela concentração da função de
verosimilhança, ainda que a equivalência assimptótica entre o procedimento GMM
completo e este abreviado só seja verdadeira caso se verifiquem certas condições e que
constam de Crepon et al. [1997] (proposição 2).
5.3 Conclusões
Uma primeira conclusão que se pode retirar da questão da estimação IV ou GMM
(que, como se viu, não é exactamente coincidente, nomeadamente quando as condições de
momentos não são todas lineares) é a de que ela tem, de facto, interesse quando se está a
45
O conjunto de parâmetros a estimar pode ser dividido em duas categorias: uma de parâmetros com
interesse económico, como o coeficiente associado ao termo AR(1) do modelo (5.4); outra de parâmetros

52
estimar modelos dinâmicos com amostras em painel com uma dimensão temporal pequena.
Isto porque, com um grande número de observações ao longo do tempo para um número
comparativamente pequeno de indivíduos (ou unidades seccionais), os estimadores within
são consistentes, mesmo que não completamente eficientes. Depois, como é mostrado em
Arellano e Bond [1991], entre outros, a quantidade de condições de momentos disponíveis
aumenta quadraticamente em T, o que torna o peso computacional do GMM, para um T
elevado, demasiado oneroso.
Para a estimação de modelos lineares, o estimador GMM frequentemente assume a
forma de um estimador IV, o que é particularmente verdadeiro se for válido o pressuposto
de inexistência de heteroscedasticidade condicional (NCH). A diferença entre o GMM e a
forma convencional de aplicação das variáveis instrumentais tem que ver com a completa
identificação das condições de momentos impostas pelos pressupostos do modelo
subjacente que o GMM implica, em que algumas dessas condições de momentos poderão
ser redundantes, logo, não contribuindo para a eficiência do estimador.
No caso concreto dos modelos dinâmicos, a condição NCH é necessariamente
insustentável, caso se opte pela consideração da totalidade das condições de momentos
suscitadas pelos pressupostos de exogeneidade. Assim, na estimação de modelos
dinâmicos com dados em painel, o estimador GMM eficiente não corresponderá a um
estimador IV, tanto mais que muitas das condições em que se baseia são não lineares,
dando lugar a procedimentos de estimação iterativos.
A literatura GMM relativa à estimação de modelos com dados em painel está a
atravessar um período de rápida expansão, pelo que esta revisão estará necessariamente
incompleta. Para além disso, todos os tópicos relacionados com a estimação de modelos
não-lineares (dinâmicos) com GMM foi propositadamente deixada de fora, sob pena de se
alongar indefinidamente a discussão. Uma boa revisão sobre o tema pode ser encontrada
em Mátyás [1999], (capítulo 9).
sem significado económico relevante e cuja estimação dispensamos.

53
6. RAÍZES UNITÁRIAS E DADOS EM PAINEL
Desde o trabalho fundamental de Balestra e Nerlove [1966] que os modelos
dinâmicos com dados em painel têm revelado uma crescente importância na análise
econométrica, na medida em que permitem uma abordagem mais abrangente de fenómenos
de ajustamento que não podem ser vistos de forma isolada. No entanto, devido à pequena
dimensão temporal da maioria dos estudos com dados em painel (essencialmente na área
da microeconometria), a maior parte dos modelos contem dinâmicas homogéneas e pouca
atenção foi dada, até ao momento, a modelos com dinâmicas de ajustamento heterogéneas
do ponto de vista individual e temporal. Com o avanço da macroeconometria para a área
das aplicações com painéis, a dimensão temporal destes tende a aumentar e novos
problemas se colocam, nomeadamente os relacionados com temas até então típicos das
séries temporais, como as raízes unitárias e a cointegração. A disponibilidade de painéis46
com dimensões temporais alargadas põe em causa o pressuposto tradicional da
homogeneidade dinâmica e suscitam também novas abordagens à estimação (por exemplo,
devido à inconsistência dos estimadores por agregação (pooled estimators) em modelos
dinâmicos heterogéneos).
A literatura relativa às questões da estacionariedade das séries económicas é muito
extensa para estudos com amostras temporais mas ainda é relativamente incipiente no que
toca à sua relevância em amostras em painel. Adicionalmente, muita da ênfase tem sido
dada à possibilidade de os dados em painel poderem ser usados como uma alternativa,
mais poderosa, aos habituais testes de raízes unitárias47
. Estes, regra geral, padecem de
reduzida potência ou são apenas válidos em circunstâncias excessivamente restritivas para
serem de utilidade prática. Uma forma de aumentar a potência desses testes será o aumento
da dimensão da amostra temporal, o que causa problemas como o aumento da
possibilidade de ocorrerem quebras de estruturas que sugiram, erradamente, raízes
unitárias. A inclusão de uma dimensão seccional à amostra, em paralelo com a temporal, é
uma forma de aumentar a sua dimensão sem o risco de quebras de estrutura, desde que se
modelize de forma conveniente a heterogeneidade individual.
46
Em boa verdade, os painéis usados em estudos macroeconométricos são aquilo a que a literatura chama de
“pseudo” painéis (Im, Pesaran e Shin [1997]) ou “cohorts” (bandos) na medida em que resultam da
agregação de N séries temporais individuais e não da recolha simultânea de T observações para N indivíduos.
47
Heimonen [1999] é um exemplo, com uma aplicação à hipótese das paridades de poder de compra.

54
Diversos artigos exploram a utilização de painéis para testar a integração de
variáveis económicas, como alternativa à simples extensão de amostras temporais
(Maddala e Kim [1998]), de que se destacam os artigos de Levin e Lin [1992] e [1993] e o
de Im, Pesaran e Shin [1997].
Levin e Lin [1993] usam como hipótese nula a existência de resíduos integrados
para cada indivíduo, contra a hipótese alternativa de todos os indivíduos terem resíduos
estacionários. Assim, a hipótese nula impõe uma restrição transversal entre as diversas
equações individuais48
(cross-equation), sobre os coeficientes de autocorrelação parcial de
primeira ordem. Levin e Lin [1993] desenvolvem um teste de raiz unitária que pode
incorporar efeitos individuais e temporais específicos no termo independente e nos
restantes coeficientes e com uma estrutura de variâncias e covariâncias dos termos de
perturbação sem restrições seccionais: a única restrição será a existência ou não de uma
raiz unitária. A revelação deste trabalho acaba por ser a normalidade assimptótica das
estatísticas dos testes de raiz unitária e a sua super-consistência na dimensão temporal, i.e.,
que a convergência das estatísticas é mais rápida para T→∞ do que para N→∞. Mais, no
mesmo artigo, os autores recomendam os testes de estacionariedade específicos a dados em
painel para amostras de média dimensão, i.e., com 10<N<250 e 25<T<250, enquanto que
para amostras de grande dimensão temporal se recomendam os testes Augmented Dickey-
Fuller (ADF) tradicionais separadamente para cada série individual. Para painéis com
grande dimensão seccional, quando comparada com a temporal, os autores recomendam os
testes tradicionais da literatura de painéis, como o de Holtz-Eakin, Newey e Rosen [1988],
que se verá adiante. Assim, de acordo com Levin e Lin [1993], desde que se utilizem
estimadores apropriados para a média e variância, os valores críticos da distribuição
normal reduzida poderão servir como boas aproximações para os testes de raiz unitária
convencionais, com melhores resultados que os obtidos para cada série temporal
isoladamente.
Maddala e Kim [1998] criticam, no entanto, os testes de Levin e Lin [1992] por
admitirem que o coeficiente associado ao termo autorregressivo não apresenta
heterogeneidade individual, ou seja, por terem como hipótese nula a não estacionariedade
simultânea de todos os processos geradores de dados individuais e, por isso, consideram
preferível o procedimento proposto por Im, Pesaran e Shin [1997]. O teste proposto em
48
Intui-se que Levin e Lin [1993] adoptam a versão de Chamberlain [1984] da estimação com dados em

55
Levin e Lin [1993], no entanto, já admite que ocorra heterogeneidade no coeficiente
associado à variável dependente desfasada, sendo o caso com maior interesse o que recorre
ao seguinte modelo:
∑
∞
=
−
+=
+++=∆
0
110
j
itititit
ittiiiiit
uu
uyty
ερ
γαα ,
em que se admite que o termo de perturbação u segue um processo ARMA invertível e que
os processo geradores de dados individuais são mutuamente independentes ou apenas
dependentes através de um efeito temporal específico agregado (δt). O modelo admite,
então, heterogeneidade individual ao nível do termo independente e do trend temporal. O
teste consiste nos seguintes passos:
(i) remover os efeitos temporais agregados através da transformação do modelo para a
forma de diferenças em relação à média seccional (y*
it=yit – y.t);
(ii) estimar N regressões separadamente do tipo it
p
l
tiiliiit uyty
i
1
1
111110 +∆++= ∑=
−,γαα e
it
p
l
tiiliiit uyty
i
2
1
122120 +∆++=∆ ∑=
−,γαα , obter os respectivos resíduos, eit e vit e, de
seguida, estimar ittiiit ve εγ += −1, ;
(iii) estimar o rácio dos desvios padrão de curto prazo relativamente aos de longo prazo
para cada indivíduo e calcular o rácio médio para o painel dados por
∑=
==
N
i
i
e
y
i s
N
Ss
i
i
1
1
e ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
σ
σ
, em que ∑ ∑∑ = +=
−
=






∆∆
−+
+∆
−
=
k
l
T
lt
ltiit
T
t
ity yy
Tk
L
y
Ti
1 22
22
1
1
1
2
1
1
,
ˆσ 49
e ( )∑+=
−−
−−
=
T
pt
tiiit
i
e
i
i
ve
pT 2
2
1
2
1
1
,
ˆˆ γσ ;
(iv) calcular a estatística do teste:
( )10
2
,~
ˆ)ˆ(ˆ~
)ˆ(ˆ
~
~
N
RSESTNRSE
t
a
Tm
Tm
∗
∗
∗
⋅⋅−
=
σ
σµγγγ ε
γ (6.1)
onde,
painel mediante um sistema de n equações individuais.
49
A dimensão óptima do truncation lag k é dada em anexo por Levin e Lin [1993].

56
∑ ∑
∑ ∑
= +=
−
= +=
−
= N
i
T
pt
ti
N
i
T
pt
tiit
i
i
v
ve
1 2
2
1
1 2
1
,
,
~~
ˆγ , ( )∑ ∑= +=
−−=
N
i
T
pt
tiite
i
i
ve
TN 1 2
2
1
2 1
,
~ˆ~
~ˆ γσ , ∑ ∑= +=
−=
N
i
T
pt
ti
i
vRSE
1 2
2
1,
~ˆ)ˆ( εσγ ,
ie
it
ti
e
e
σˆ
~
, = ,
ie
it
ti
v
v
σˆ
~
, = , 1
1
1
−−= ∑=
N
i
ip
N
TT
~
e em que os valores para os parâmetros com * em sobrescrito, obtidos por simulações de
Monte Carlo, podem ser encontrados em anexo ao artigo referido. A convergência em
distribuição da estatística (6.1) é entendida para T→∞ apenas devido ao já referido
resultado de super-consistência.
A principal deficiência que se pode encontrar neste teste de Levin e Lin [1993]
acaba por ser, não como dizem Maddala e Kim [1998], o de não considerarem
heterogeneidade individual ao nível dos coeficientes associados aos termos
autorregressivos, que se viu ter em conta nesta versão revista50
, mas sim o de restringirem
de forma excessiva a estrutura de correlações ao nível seccional, renegando a própria
natureza dos dados em painel. Nesse sentido, o teste de Levin e Lin não pode ser
considerado como um verdadeiro teste de raízes unitárias com dados em painel.
O teste de Im, Pesaran e Shin [1997], IPS, tem como hipótese nula a não
estacionariedade das séries temporais individuais e recorre a um procedimento assente na
média das estatísticas LM (multiplicador de Lagrange) para cada grupo presente no painel.
O teste é menos restritivo que o de Levin e Lin [1993] em termos de heterogeneidade das
dinâmicas e das estrutura de variâncias inter-grupos e em termos de velocidade de
convergência das dimensões temporal e seccional (exige apenas que N/T→k≥0 e não
N/T→0, como em Levin e Lin [1993]). Adicionalmente, o teste IPS permanece consistente
mesmo que a hipótese alternativa admita que uma parcela das séries individuais exibe
raízes unitárias. Segundo os seus autores, o teste IPS é relativamente robusto perante
diferentes configurações em termos de trends e de estruturas de variâncias e covariâncias
dos termos de perturbação.
O teste IPS, na sua versão base, parte de um modelo típico de um teste Dickey-
Fuller (DF):
titiiiit yy ,, εβα ++=∆ −1
50
Maddala e Kim [1998] provavelmente referiam-se à primeira versão do teste em Levin e Lin [1992].

57
e tem como hipóteses nula e alternativa, respectivamente:
H0:βi=0 , ∀i
H1:βi<0 , i=1,…N1
βi=0 , i=N1+1, …,N
ou seja, em que se admite como alternativa que nem todas os processos geradores de dados
individuais sejam estacionários.
A estatística do teste é construída com base nas estatísticas LM para os testes
individuais de βi=0 e que são:
iTi
iii
iT
T
LM
yMy
yPy
∆∆
∆∆
′′
′′
==
em que se tem como matrizes idempotentes ( ) TTTTTT iiiiIM ′′−=
−1
e
( ) TiiTiiT MyyMyyMP 1
1
111 −
−
−−−
′′= ,,,, .
A média das estatísticas, dada por ∑=
=
N
i
iTLM
N
LM
1
1
servirá de base à estatística
normalizada
( )( )
( )
( )10,~ N
Var
ELMN a
T
TNT
LM
η
η−
=Γ (6.2)51
em que (ηT) e Var(ηT) são parâmetros fornecidos em Im, Pesaran e Shin [1997] e obtidos
mediante simulações de Monte Carlo.
Para painéis com dinâmicas heterogéneas e erros autocorrelacionados, de longe o
caso mais interessante, o teste IPS é apenas ligeiramente mais elaborado, partindo um
modelo AR(pi+1), o que leva a que as N equações ADF52
possam ser escritas da seguinte
forma:
TtNiyyy it
p
j
jtiijtiiiit
i
,,;,,;,, KK 11
1
1 ==+∆++=∆ ∑=
−− ερβα
ou na forma matricial equivalente:
[[ ]] [[ ]]′′
==
′′
==ΓΓ
εε++ΓΓ++==
−−−−−− ii piiiTiipiii
iiiiii
e ,,,
;
yyyiQ
Qyy
∆∆∆
∆
KK 2121 ρρρα
β
51
A convergência em distribuição é suficiente para N→∞, com T≥3.
52
O teste ADF deverá ser usado quando os termos de perturbação da regressão DF exibem autocorrelação.

58
Sob a hipótese da independência dos termos de perturbação idiossincráticos, εit, que
terão que ser estacionários na variância (ainda que possam ser seccionalmente
heteroscedásticos) e conhecidos os pontos de partida yi0 (estocásticos ou determinísticos),
tem-se que a estatística definida em (6.2) converge fracamente53
para uma distribuição
normal reduzida (Teorema 4-1 em Im, Pesaran e Shin [1997]). Para calcular (6.2) deve
agora usar-se:
iQi
iii
iT
i
T
LM
yMy
yPy
∆∆
∆∆
′′
′′
==
∗∗
em que se tem como matrizes idempotentes de ordem (T×T) e característica (T-pi-1)
(( )) iiiiTQi
QQQQIM ′′′′−−==
−−1
e (( )) iii QiiQiiQi MyyMyyMP 1
1
111 −−
−−
−−−−−−
∗∗
′′′′== ,,,, .
Os mesmos procedimentos (DF e ADF) podem ser aplicados a um modelo com
efeitos temporais específicos, denunciando um certo grau de dependência entre os grupos,
desde que sejam aplicados às respectivas equações expressas em desvios face às médias
seccionais54
(o que cria uma correlação cruzada entre os erros). Os testes passam, no
entanto, a ser estritamente válidos apenas assimptoticamente (independentemente do
pressuposto da normalidade). A estatística ΓLM mantém-se, mas LM é dado por:




 ′′




 ′′




 ′′
==
−−−−
−−
11
2
1
,,
,
~~~~
~~
iTiiTi
iTi
iT
T
LM
yMyyMy
yMy
∆∆
∆
onde as variáveis estão expressas na forma de desvios face às T médias seccionais e MT
mantém a mesma composição.
Segundo Im, Pesaran e Shin [1997], o teste revela-se relativamente robusto face a
potenciais más especificações das componentes temporais, comparando com os testes
correntes em estudos de séries temporais e a estruturas alternativas para as correlações
entre os termos de perturbação, não sendo apenas válidos para modelos de efeitos
temporais com heterogeneidade seccional (tipo λi×θt).
Um outro teste que é sugerido por Maddala e Kim [1998] é o teste de Fisher55
e que
consiste numa combinação da evidência fornecida por diversos testes independentes. O
53
Convergência fraca é sinónimo de convergência em probabilidade (Amemiya [1985]).
54
Ter-se-ia que trabalhar com ∑∑==
−−==
N
j
jtitit y
N
yy
1
1
∆∆∆~ , etc.…
55
O teste deve-se a Fisher, R.A. [1932]. Statiscal Methods for Research Workers, 2nd
Edition, Wiley: New

59
teste consiste na realização de N testes de raiz unitária para cada um dos indivíduos no
painel e obter o respectivo p-value, sendo a estatística Pλ= -2Σln(pi) com distribuição
exacta χ2
(2N) usada para efeitos de teste da hipótese nula de raízes unitárias. Este teste,
também conhecido por teste Pλ de Pearson e que é detalhado em Maddala [1977] (pág. 47-
8)56
tem a vantagem de ser relativamente simples na sua implementação, ainda que exija a
determinação dos p-values por simulações de Monte Carlo.
Finalmente, para painéis curtos é de usar o teste de Holtz-Eakin, Newey e Rosen
[1988], H-ENR, que consiste na estimação de um modelo autorregressivo (com ou sem
variáveis exógenas) através de um método GMM. Holzt-Eakin et al. [1988] sugerem que
se estime, por 2SLS, um modelo autorregressivo como (5-4) nas primeiras diferenças,
usando como instrumentos para ∆yi,t-1, o vector Zt = [1,yi,t-2,yi,t-3,…,yi,1]. Se os efeitos
específicos variarem no tempo, i.e., se forem do tipo λtαi, haverá que proceder a uma
quasi-diferenciação do modelo, usando em vez das primeiras diferenças: yi,t – (λt/λt-1)yi,t-1.
Holtz-Eakin et al. [1988] defendem que se use uma versão 3SLS, onde se efectua uma
correcção GLS. O teste H-ENR pode ser usado para testar a estacionaridade dos
parâmetros, a existência de raízes unitárias ou explosivas na equação autorregressiva, a
dimensão do truncation lag ou o sentido da causalidade à Granger, num contexto VAR.
Qualquer um destes testes pode ser visto como um teste a restrições lineares sobre os
parâmetros do modelo, reunidos num vector θθ (k×1). A hipótese nula do teste é
H0: θθ = Hγγ + G
em que H e G são matrizes de restrições lineares e γγ o vector de parâmetros (g×1) com
restrições (de dimensão necessariamente inferior à de θθ). O teste necessita que se estime o
modelo sem restrições e com as restrições dadas por H0, retendo-se as somas dos
quadrados dos resíduos para ambos os caso, ou seja, Q e Qr. Sob H0 e com N→∞:
L = Qr – Q ~ χ2
(J) e J = (k-g) – (z-k)
em que z é o número de instrumentos usados para estimar θθ (Holtz-Eakin et al. [1988],
1381).
Um problema comum a qualquer teste de estacionariedade é o da selecção da
dimensão do desfasamento, i.e., da escolha do truncation lag, questão já amplamente
York, citado em Maddala e Kim [1998]. Este mesmo teste poderá ser usado em contextos totalmente
diferentes, como se propõe, na secção 8.3, para testar uma estrutura particular de heteroscedasticidade.
56
C.f. Maddala [1977], 48,n.

60
explorada no âmbito das séries temporais e que, para já, suscita as seguintes linhas de
orientação:
- o número de termos desfasados no teste ADF, por exemplo, deve ser o
suficiente para garantir a ausência de autocorrelação nos resíduos da regressão
de suporte do referido teste;
- a existência de termos MA negativos e de dimensão assinalável tende a exigir
um aumento do número de termos autorregressivos;
- ao invés de se adoptar uma regra determinística comum para a selecção do
número de desfasamentos, deve-se fazer recair a escolha em critérios assentes
nos próprios dados (Maddala e Kim [1998]).
De qualquer forma, segundo Heimonen [1999], a escolha da dimensão do
desfasamento a utilizar em teste de raízes unitárias com dados em painel será de menor
importância, na medida em que a inferência parece largamente independente do número de
termos autorregressivos. Este autor e Maddala e Kim [1998], por exemplo, sugerem o
seguinte critério, dito de Schwert, para dados trimestrais e mensais, respectivamente57
:














==














==
121
12
41
4
100
12
100
4
T
l
T
l
int
int
No entanto, Im, Pesaran e Shin [1997] previnem contra os efeitos prejudiciais de
uma subestimação da dimensão do desfasamento a usar no seu teste IPS, pelo que
aconselham a utilização de um número considerável de termos autorregressivos, para o que
conviria uma regra do tipo general-to-specific de Hendry.
Como resumo, pode-se prescrever a seguinte linha de acção:
- para painéis curtos, deve-se usar o teste de Holtz-Eakin, Newey e Rosen [1988];
- para painéis de dimensão intermédia, pode-se escolher entre o teste de Levin e
Lin [1993] e o teste de Im, Pesaran e Shin [1997], dando preferência ao
primeiro, quando a dimensão temporal domina e ao segundo, no caso inverso;
- para painéis longos (T>250), não é de excluir a utilização dos testes ADF, DF
ou Phillips-Perron, num enquadramento típico de time series.
57
O critério deve-se a Schwert, G.W. [1989], “Tests for unit roots: a Monte Carlo investigation”, Journal of
Business and Economic Statistics, 7, 147-59.

61
7. DADOS DISCRETOS
7.1 Modelos Estáticos de Escolha Binária: uma introdução
Como se viu, os modelos desenvolvidos para analisar dados seccionais cometem
invariavelmente o pecado original de ignorar as diferenças individuais, tratando os efeitos
individuais de forma agregada, apenas, relegando os efeitos provenientes de variáveis
omitidas para acontecimentos puramente aleatórios. Os dados em painel, pelo seu conteúdo
relativo às dinâmicas individuais intertemporais, permitem separar um modelo de
comportamentos individuais de um modelo do comportamento médio de um grupo de
indivíduos. Assim, podemos considerar as usuais fontes de heterogeneidade – seccional e
temporal, ou ambas – com distintas naturezas, fixa e aleatória. A maior parte dos
resultados apresentados neste capítulo vêm de Hsiao [1986], secção 7.4.
Considere-se, então, o seguinte modelo genérico:




≤≤⇐⇐
>>⇐⇐
==
++ββ′′==
∗∗
∗∗
∗∗
00
01
it
it
it
ititit
y
y
y
uy x
(7.1)
Para não complicar a exposição, opta-se por abordar apenas os modelos com efeitos
individuais, quer fixos, quer aleatórios, que será capturada pelo termo de perturbação uit =
αi + vit. No caso dos efeitos fixos, temos Var(uit|αi) = Var(vit) = σv
2
e, no caso de efeitos
aleatórios, temos E(αi) = E(vit) = 0 e αi e vit independentes. Admite-se, ainda, que uit terá
uma distribuição F, que pode ser a logística (Λ) ou a normal reduzida (Φ).
Assim, a existência destes componentes não observáveis permite que indivíduos
homogéneos, i.e., com as mesmas características observáveis (expressas pela sua função de
reacção), sejam heterogéneos nas suas respostas.
i. Modelo de Efeitos Fixos
Tal como para os modelos convencionais, admite-se que os efeitos individuais αi
são não aleatórios, pelo que temos Var(uit|αi) = Var(vit) = σv
2
= 1 (por normalização). A
estimação de θθ = [αi ; ββ] a partir de Prob(yit = 1) = F(ββ′′xit + αi) é efectuada por MLE, que
será consistente quando T→∞. No entanto, não é este o caso mais comum nos estudos com

62
dados em painel, em que T é usualmente pequeno e, no caso de T fixo, o estimador MLE
de αi não é consistente, mesmo que N→∞: é o recorrente problema do parâmetro acidental
(por oposição aos parâmetros estruturais ββ que não variam de indivíduo), cuja estimação
não terá significado se for apenas avaliada pelas suas propriedades assimptóticas.
Resta, pois, estimar ββ: o problema que se coloca neste enquadramento é que a
estimação deste não é independente da estimação de αi, ou seja, a inconsistência de âi,MLE é
transmitida para MLEββˆ , mesmo que N→∞, mas T fixo.58
Cumpre então encontrar condições para a existência de um estimador consistente de
ββ. Um princípio geral será o de Neyman-Scott, segundo o qual é preciso encontrar funções
ΨΨ(y1,…,yN |ββ) independentes de αα e que convirjam em probabilidade para zero (com
N→∞), quando ββ é avaliado no seu valor real. Assim, ββˆ é obtido resolvendo ΨΨ(y1,…,yN
|ββ) = 0, sendo consistente, sob determinadas condições de regularidade. Uma forma
expedita de encontrar tal função para os modelos probit e logit é determinar
0),|g(com
),|g(
),|f(y
),|f( >>ααββττ,,
ααββττ
ααββ
==ττββ ii
ii
ii
iiy (7.2)
que não depende de αi e, a partir daí, construir a função de densidade conjunta
),|f(),,,|,,(
1
11 ii
N
i
NN ττββ==ττττββΨΨ ∏∏==
yyy KK (7.3)
cuja maximização resultará num estimador consistente de ββ. A demonstração da existência
de um estimador consistente de ββ pode ser encontrada em Hsiao [1986],162-3 para uma
especificação logit. No entanto, o mesmo autor alerta para o facto de não parecer existir
um estimador consistente para o modelo probit. Assim, atendendo ao facto de ser possível
encontrar diversos estimadores consistentes de ββ no caso logit, através de algumas simples
transformações (que passam pela maximização de uma função de verosimilhança
condicionada por uma qualquer estatística suficiente mínima de yit, como Σyit) e de, nos
modelos univariados, os resultados do logit não diferirem muito dos do probit59
, tudo
aponta para que se favoreça a especificação logit em detrimento da probit.
58
Veja-se uma prova em Hsiao[1986],160.
59
Podendo ser convertidos pela relação de Amemiya: PL ββ≅≅ββ ˆ6.1ˆ

63
Já no que toca aos modelos de regressão múltipla, os resultados podem variar
muito, consoante sejam obtidos por logit ou probit, daí que não seja despicienda a questão
da escolha da especificação. Ainda que a evidência não seja muito sólida, os estudos de
Monte Carlo realizados para o modelo probit apontam para um enviesamento
relativamente pequeno (sempre inferior a 10%) e que será tanto menor, quanto menor a
escala de variação dos efeitos fixos (Hsiao [1986]).
ii. Modelo de Efeitos Aleatórios
Assume-se um modelo em que os efeitos individuais αi são aleatórios, mas
independentes de xi, tendo uma distribuição H, condicionada por um conjunto finito de
parâmetros δδ. A função logarítmica de verosimilhança será:
[[ ]] )|H(d)F(1)F(lnln
1
1
δδ++ββ′′−−++ββ′′== ∑∑ ∫∫∏∏==
−−
ααα
N
i
y
it
y
it
it
it
L xx (7.4)
em que F(.) é a distribuição marginal de y em α. Como lnL é uma função de um conjunto
[ββ′, δδ′] finito de parâmetros, sob algumas condições de regularidade, a sua maximização
resultará em estimadores consistentes de ββ e δδ, quando N→∞.
Um modelo mais geral considerará uma eventual correlação entre αi e xi (pelo que
o procedimento anterior, ao omitir αi, não será consistente), fazendo αi = αα′xi + ηi, com
αα′=(αα′1,…, αα′T) e x′i=( x′i1,…, x′iT), sendo E(αi|xi) linear e ηi independente de xi e com
função de distribuição H*
. A função de verosimilhança é
[[ ]] )(Hd)F(1)F(lnln
1
1
ηηη∑∑ ∫∫∏∏==
∗∗
−−
++αα′′++ββ′′−−++αα′′++ββ′′==
N
i
y
iit
y
iit
it
it
L xxxx (7.5)
e, caso se pressuponha que F é a normal reduzida e H*
uma distribuição normal de média
zero e variância σ2
η, resultará numa especificação probit multivariada: yit = 1 ⇐ ββ′xit +
αα′xi + ηi + uit > 0 e (ui + iηi) ~ N(0, IT + σ2
ηii′). Os estimadores resultantes serão
consistentes.

64
7.2 Modelos Dinâmicos de Escolha Binária
Admite-se, agora, que a probabilidade de um indivíduo alterar ou manter um dado
estado não é independente da sua experiência passada. Um modelo de análise das relações
intertemporais entre variáveis discretas pode ser especificado da seguinte forma:




≤≤⇐⇐==
>>⇐⇐==
++++++ββ′′==
∗∗
∗∗
−−
== ==
−−
−−
==
−−
∗∗
∑∑∏∏∑∑
00
01
1
1 1
,
1
1
,
itit
itit
t
s
it
s
p
pti
t
p
ptipitit
yy
yy
uyyy φγx
(7.6)
em que uit é independente de xit e independentemente distribuído sobre i, com matriz de
variâncias e covariâncias intertemporal E(uiu′i) = ΩΩ e γp o coeficiente de resposta de y*
it à
experiência ocorrida p períodos atrás. A potencial heterogeneidade dos indivíduos é
permitida através de uit = αi + vit.
Os modelos de escolha binária dinâmicos suscitam, de imediato, duas questões:
• como tratar as observações iniciais yi0;
• como distinguir uma real dependência intertemporal das decisões de
uma dependência meramente espúria.
A primeira questão importa para a derivação de estimadores consistentes e a
segunda vai retirar a sua importância do facto de um dado acontecimento observado poder
ter ocorrido devido a uma dada experiência passada que alterou um comportamento
individual ou devido a uma sucessão de perturbações não observáveis e correlacionadas ao
longo do tempo (i.e., a um puro acaso) ou, ainda, devido a uma combinação das duas.
i. Condições iniciais (ou história pré-amostral):
Para simplificar a exposição, considere-se um modelo AR(1) com termo
independente, i.e., que ββ′xit = β0, p = 1 e φ = 0, sobre o qual se assume, alternativamente:
(1) yi0 é exógeno; (2) o processo está em equilíbrio.
(1) implica que a função de probabilidade conjunta de y′i = {yi1,…,yiT}, condicionada
por αi, seja
)12()(),|F(
1
1,0
1
1, −−++++ΦΦ==∏∏∏∏ ==
−−
==
−− it
T
t
iti
T
t
itiit yyyy αγβα (7.7)
em que ΦΦ é a função de distribuição de probabilidade normal.

65
(2) implica que a probabilidade marginal limite de yit = 1 e a função de
probabilidade conjunta de y′i, condicionadas por αi, sejam, respectivamente
{{ }} 00 1
1
1,0
1
1,
00
0
)1()12)((),|F(
e
)()(1
)(
ii y
i
y
i
T
t
ititi
T
t
itiit
ii
i
i
PPyyyy
P
−−
==
−−
==
−− −−−−++++ΦΦ==
++ΦΦ++++++ΦΦ−−
++ΦΦ
==
∏∏∏∏ αγβα
αβαγβ
αβ
(7.8)
Caso αi seja aleatório com distribuição G(α), as funções de verosimilhança sob as
hipóteses (1) e (2) são, respectivamente, segundo Hsiao [1986]:
{{ }}
{{ }} )G()1()12)((
e)G()12)((
00 1
1 1
1,0
1 1
1,0
ααγβ
ααγβ
dPPyyL
dyyL
ii y
i
y
i
N
i
T
t
itti
N
i
T
t
itti
−−
== ==
−−
== ==
−−
−−−−++++ΦΦ==
−−++++ΦΦ==
∏∏∫∫∏∏
∏∏∫∫∏∏
(7.9)
Quando αi é aleatório, os estimadores MLE de β0, γ e σα
2
são consistentes, desde
que N→∞. Na especificação com efeitos fixos, os estimadores MLE só serão consistentes
no caso semi-assimptótico T→∞, sendo o enviesamento grande, quando T é fixo, de acordo
com a evidência empírica existente60
.
No entanto, o pressuposto de que yi0 seja exógeno não é válido se as perturbações
forem autocorrelacionadas e/ou o processo em curso se tiver iniciado antes do início da
amostra. Também o pressuposto do estado de equilíbrio é inaceitável quando o processo
estocástico é influenciado por variáveis exógenas temporais.
Com yi0 endógeno, as funções de verosimilhança para os modelos de efeitos fixos e
aleatórios são, respectivamente:
{{ }}
{{ }} )G()|f()12)((
e)|f()12)((
0
1 1
1,0
1
0
1
1,0
αααγβ
ααγβ
dyyyL
yyyL
i
N
i
T
t
itti
N
i
ii
T
t
ititi
∏∏∫∫∏∏
∏∏∏∏
== ==
−−
== ==
−−
−−++++ΦΦ==
−−++++ΦΦ==
(7.10)
em que f(yi0|αi) é a probabilidade marginal de yi0 condicionada por αi. O problema é que a
maximização de qualquer uma das referidas funções de verosimilhança é relativamente
complexa, pelo que foi proposta uma aproximação (que Hsiao[1986] atribui a Heckman),
com resultados bastantes aceitáveis e que consiste em:
60
Hsiao [1986], pág. 170

66
1. aproximar a probabilidade de yi0 através de um modelo probit y*
i0 = Q(xit) + εit,
com yi0 = 1 se y*
i0 >0, yi0 = 0 se y*
i0 ≤ 0 e εit ~N(0,1);
2. permitir que εit seja livremente correlacionado com uit, t =1,…,T;
estimar o modelo (7.6) sem restrições entre os parâmetros do modelo, na forma
yi0
ii. Dependência intertemporal:
A segunda questão, da dependência intertemporal com sentido causal vs. uma
que as experiências passadas afectam de forma determinante as experiências futuras
porque exercem um efeito comportamental: um indivíduo que tenha experimentado uma
desempregado no futuro do que um indivíduo idêntico em tudo o resto, mas que não tenha
estado desempregado. A segunda diz-nos que tal relação é apenas aparente porque a
proxy para uma heterogeneidade que radica em
situação de dependência temporal, uma vez que um indivíduo experimentou um dado
acontecimento, as suas preferências alteram-se de tal forma que se comportará de forma
mesmo acontecimento no passado. No caso de dependência espúria, a experiência não tem
qualquer efeito na probabilidade de um indivíduo experimentar um acontecimento no
futuro, mas, na medida em que os indivíduos revelam uma heterogeneidade que não pode
ser representa através de variáveis observáveis, a inclusão da variável dependente
desfasada como variável explicativa (i.e., a experiência passada) será uma proxy para essas
variáveis seccionais não observáveis.
A importância prática desta questão é maior do que pode parecer à primeira vista e
pode ser exemplificada da seguinte forma: perante um problema de política de emprego, se
considerarmos válida a dependência intertemporal, estamos a sancionar uma política activa
de diminuição do desemprego no curto prazo pois, as políticas conjunturais de estímulo da
procura agregada provocarão uma redução da taxa de desemprego de longo prazo; já se
considerarmos que a dependência é espúria, as políticas de curto prazo não terão qualquer
efeito sobre a taxa de desemprego estrutural. Assim, torna-se crucial testar a hipótese de

67
dependência intertemporal real vs. espúria, o que será apesar de tudo complicado, quando
existe heterogeneidade (efeitos individuais). De facto, se o modelo contiver efeitos
individuais aleatórios, mesmo que não haja dependência intertemporal, teremos P(yit | xit,
yi,t-1) ≠ P(yit | xit). Só no caso de não existir heterogeneidade é que a inexistência de
dependência será equivalente a P(yit | it, i,t-1) = P( it | it).
[1995],187, consiste em adoptar o modelo P( it = 1 |
xit, yi,t-1) = F(x′itββ+ γyi,t-1) e testar H0: γ = 0 usando os habituais testes LM. Se não
rejeitarmos H0, ignora-se a questão da heterogeneidade e prossegue-se com a estimação
pelos métodos convencionalmente utilizados com amostras seccionais. Se rejeitarmos Ho,
temos que apurar se estamos perante dependência intertemporal real ou heterogeneidade:
uma forma de o fazer é prosseguir com o teste, mas condicionado pelos efeitos individuais.
Ou seja, desde que os termos de perturbação vit não estejam autocorrelacionados (no
modelo condicionado por αi), pode-se testar γ = 0, no modelo P(yit = 1 | xit, yi,t-1,αi) =
F(x′itββ+ γyi,t-1+αi). Quando subsiste autocorrelação no modelo condicionado pelos efeitos
individuais, sugere-se um método avançado por Chamberlain [1984] e que consiste em
testar, para o modelo condicionado pelos efeitos individuais αi:
H0: P(yit = 1 | xit, yi,t-1,αi) = F(x′itββ+Σpx′t-pδδp + γyi,t-1+αi) ⇒ ausência de dependência
intertemporal;
H1: P(yit = 1 | xit, yi,t-1,αi) ≠ F(x′itββ+Σpx′t-pδδp + γyi,t-1+αi) ⇒ existência de dependência
intertemporal.
Ainda que seja uma forma eficiente de distinguir a existência de dependência
intertemporal da heterogeneidade e autocorrelação, o teste não permite avançar quanto às
diferentes formas dos referidos fenómenos, o que exigiria especificações mais
pormenorizadas.

68
8. Miscelânea de Temas
O objectivo da presente secção é apresentar uma pequena revisão, não apenas de
alguns dos artigos mais importantes, mesmo fundadores, da análise econométrica de dados
em painel, mas também de alguns artigos mais recentes e que poderão fornecer pistas
quanto à evolução futura do tema. O capítulo termina com um apanhado breve de alguns
testes de especificação existentes para modelos que usem dados em painel.
8.1 ALGUNS ARTIGOS FUNDAMENTAIS
Em Balestra e Nerlove [1966], artigo já citado acima, é desenvolvido um modelo
dinâmico para a procura de gás natural, discutida a sua especificação e avançados alguns
métodos de estimação. Trata-se de um artigo fundamental e, de certa forma, pioneiro na
sua abordagem dos métodos de estimação IV em modelos com efeitos aleatórios. Os
autores começam por justificar a utilização de um modelo dinâmico para a especificação
de uma equação de procura de gás natural pois, esta depende do stock de equipamento
consumidor de gás. Assim sendo, propõem uma função de procura de gás em que o
consumo total de gás é a variável dependente e usam como variáveis explicativas: o preço
relativo do gás, a variável dependente desfasada, a população e o rendimento per capita.
Confrontados com resultados de estimação OLS não conformes com a teoria
económica, nomeadamente quanto ao parâmetro associado ao termo autorregressivo
(aproximadamente 1), os autores levantam a questão de tal ser resultado de uma má
especificação pela omissão de uma eventual heterogeneidade seccional, cujo efeito seria
captado pela variável dependente desfasada. Adoptando uma especificação com efeitos
aleatórios, Balestra e Nerlove [1966] notaram que os estimadores GLS ou FGLS
convencionais não eram aplicáveis na presença da variável autorregressiva.
Assim, os autores sugerem um método IV que use como variáveis instrumentais as
variáveis exógenas desfasadas, uma vez que estas cumprem o princípio de Theil para as
variáveis instrumentais, segundo o qual devem ser escolhidas as combinações lineares de
variáveis exógenas mais fortemente correlacionadas com a variável pré-determinada que
vão substituir.

69
Nerlove [1971], constatando por um lado a importância de tirar partido das
vantagens dos dados em painel no estudo das dinâmicas comportamentais e, por outro, o
problema colocado à estimação pela pouca profundidade seccional da maior parte das
amostras temporais, estuda o enviesamento dos métodos OLS, LSDV, GLS, FGLS, IV e
MLE (que evidencia uma tendência para fornecer soluções de canto, levando a um
estimador inconsistente da matriz de covariâncias dos termos de perturbação). Apesar de
tudo e com base em estudos de Monte Carlo, o autor dá preferência ao método FGLS (com
δ estimado por OLS) pelo seu pequeno enviesamento e menor erro quadrático médio e
chama a atenção para os problemas do MLE.
Nickell [1981] deriva a expressão analítica do enviesamento assimptótico do
estimador LSDV no modelo dinâmico de efeitos fixos, quando T é fixo e conclui que este
pode ser muito significativo, ainda que a introdução de variáveis exógenas o diminua, sem
nunca o eliminar. No entanto, o enviesamento diminui e tende para zero, quando T
aumenta, mas será tanto maior quanto mais próximo da unidade estiver o parâmetro
associado à variável dependente desfasada.
Bhargava e Sargan [1983] advogam a utilização de métodos de estimação de
equações simultâneas nos modelos dinâmicos com efeitos aleatórios, especialmente os
métodos de máxima verosimilhança com informação limitada (LIML), comparando as
diversas hipóteses para a primeira observação (exógena ou endógena).
Anderson e Hsiao [1982] exploram a importância das hipóteses relativas às
primeiras observações, não apenas para as propriedades assimptóticas dos estimadores,
mas também para a própria interpretação das estimativas. Outra questão abordada é da
dependência intertemporal vs. autocorrelação e avançam com um método de estimação
MLE de modelos dinâmicos com autocorrelação. Como os métodos MLE são
relativamente difíceis de implementar, os autores sugerem um método GLS (ou FGLS),
que lhe é assimptoticamente equivalente.
8.2 TEMAS RECENTES SOBRE ESTIMAÇÃO COM DADOS EM PAINEL
Em termos de literatura mais recente, citam-se desde logo quatro artigos (working
papers) que, admite-se, possam indiciar futuros desenvolvimentos.
Assim, Judson e Owen [1996] exploram os problemas específicos à estimação de
modelos macroeconómicos com dados em painel, tipicamente com N pequeno e T grande e

70
numa especificação com efeitos fixos, concluindo que o melhor método de estimação varia
muito consoante a dimensão do painel. De acordo com as simulações realizadas, as autoras
avançam que o enviesamento do LSDV não é de forma alguma irrelevante quando N é
fixo: o aumento da dimensão temporal parece reduzir pouco o enviesamento.
O estudo justifica ainda a escolha de uma especificação com efeitos fixos por duas
ordens de razões: (1) porque se os efeitos individuais representam variáveis omitidas, é
muito provável que estas se encontrem correlacionadas com os restantes regressores; (2)
como os painéis na macroeconomia, apesar da pequena dimensão seccional, incluem muito
provavelmente a maior parte dos indivíduos da população, a hipótese de serem uma
amostra aleatória de uma população de países muito maior não tem cabimento. O objectivo
acaba por ser a comparação de diversos estimadores disponíveis para esta especificação –
LSDV, Anderson-Hsiao, Arellano-Bond e OLS – concluindo-se que:
• o estimador OLS apresenta-se fortemente enviesado, particularmente para o parâmetro
associado à variável dependente desfasada (ainda que, ao contrário dos restantes
estimadores, apresente um enviesamento significativo para ββ), mesmo quando T
aumenta;
• o LSDV comporta-se exactamente da maneira prevista por Nickell [1981], ainda que
não aumente de eficiência à medida que T aumenta. Assim, as autoras defendem a
utilização de estimadores com melhor relação enviesamento-eficiência;
• é sugerido um método LSDV corrigido pelo enviesamento (através de uma fórmula
análoga à apresentada por Nickell [1981]) e que se apresenta como o mais eficiente;
• O estimador Anderson-Hsiao é considerado o melhor, do ponto de vista do
enviesamento médio, ainda que seja pouco eficiente para amostras com T pequeno.
Como a eficiência do estimador Anderson-Hsiao aumenta sensivelmente com T e
devido à sua simplicidade, o estudo sugere que este seja aplicado para amostras grandes
(T>10), preferindo-se o LSDV corrigido para amostras pequenas. Os estimadores GMM,
por serem relativamente exigentes e não darem provas de grande eficiência, são preteridos.
Granger e Huang [1997] discutem a avaliação e comparação da qualidade das
diversas especificações de modelos com amostras longitudinais através de técnicas usadas
em séries temporais. A metodologia consiste em comparar as previsões (tanto no sentido
temporal – forecasting – como no seccional – prediction) com os dados reais: um método
simples consiste num teste de hipóteses H0: β0=0;β1=1 sobre a regressão de

71
yit=β0+β1E*(yit)+ωit, em que E*(yit) é a previsão de yit (prediction e forecast) e deve ser ωit
white noise.
Finalmente, Kao e Chiang [1997] investigam as questões relacionadas com a não-
estacionaridade de séries temporais usadas em estudos com dados em painel,
nomeadamente as formas de analisar as propriedades das séries com raízes unitárias, os
problemas de regressões espúrias e a cointegração em amostras longitudinais. Os autores
sublinham que existe pouco trabalho teórico sobre o tema da não-estacionaridade, em geral
e sobre a questão da cointegração, em particular. Numa análise das propriedades de três
estimadores num modelo com cointegração – OLS, OLS modificado (pelo enviesamento,
de forma análoga a Judson e Owen[1996]) e OLS dinâmico (i.e., estimação por OLS do
modelo base aumentado com as primeiras diferenças passadas e futuras da variável
exógena) – os autores concluem pela superioridade deste último em termos de
centricidade.
Kao [1999] estuda a questão das regressões espúrias com dados em painel e analisa
as propriedades assimptóticas do estimador within, bem como de outras estatísticas
convencionais. Assim, Kao [1999] conclui que a distribuição assimptótica do estimador
LSDV é diferente da de estimadores equivalentes no contexto das time series com
regressões espúrias, pelo que os testes de cointegração convencionais terão que ser
adaptados ao contexto dos dados em painel. Outra referência a consultar, dentro do tema da
cointegração com dados em painel, é Larsson e Lyhagen [1999].
Um tema que também tem suscitado numerosos artigos é o da estimação de
modelos dinâmicos recorrendo aos estimadores between e à chamada técnica da pooled
mean regression proposta por Pesaran e Smith61
e que de certa forma se relaciona com a
questão da cointegração. Já Baltagi e Griffin [1984] haviam discutido a questão da
estimação de multiplicadores de curto e de longo prazo, segundo a noção de que o recurso
a amostras temporais tenderia a captar os primeiros e as seccionais os segundos. Baltagi e
Griffin [1984] sugeriram que se usasse o estimador within ou o GLS (consoante se
assumissem efeitos fixos ou aleatórios) para estimar os efeitos de curto prazo e os
estimadores OLS ou between para os efeitos de longo prazo, caso os resultados produzidos
61
Pesaran, M. Hashem e Ron Smith [1993]. “Alternative Approaches to Estimating Long-Run Energy
Demand Elasticities: An Application to Asian Developing Countries”, University of Cambridge Department
of Applied Economics Working Paper: 9308.

72
pelos primeiros se afastem consideravelmente dos fornecidos pelos estimador between.
Para uma actualização desta discussão, veja-se Pirotte [1999].
Baltagi e Griffin [1997] efectuam uma comparação entre estimadores que assumem
a homogeneidade dos parâmetros (i.e., a poolability dos dados) e outros que consideram
que os parâmetros são heterogéneos, pelo que estimam cada indivíduo separadamente e
depois recorrem a médias, eventualmente ponderadas pelas respectivas matrizes de
variâncias (shrinkage estimators). Os resultados tendem a confirmar a superioridade dos
estimadores convencionais, em que se contavam os LSDV, GLS e 2SLS. Além disso,
Baltagi e Griffin [1997] notam que, para uma dimensão temporal considerável, a
implementação dos estimadores LSDV ou GLS pode ser preferível à utilização de
estimadores IV, sobretudo quando o conteúdo informativo dos instrumentos é pequeno.
Pesaran, Shin e Smith [1998] propõem uma variante do estimador de Grupos de
Médias (MG), para painéis de dimensões consideráveis, quer em N, quer em T. Em vez de
estimar N regressões e calcular as médias dos coeficientes, sugerem um meio termo entre
esta metodologia e os estimadores com o pressuposto de homogeneidade. Assim, Pesaran
et al. [1998] restringem os parâmetros de longo prazo a serem idênticos, enquanto que os
de curto prazo podem variar de indivíduo para indivíduo. A estimação, por MLE, requer
que se usem algoritmos iterativos, nomeadamente do tipo Newton-Raphson, podendo ser
aplicado o mesmo procedimento, independentemente da ordem de integração dos
regressores. Estes estimadores Pooled Mean Group (PMG) são promissores, tanto mais
que podem ser justificados de ponto de vista económico, sobretudo na macroeconometria,
ainda que a sua utilização (tal como a do estimador LSDV) requeira uma dimensão
temporal da amostra considerável. O estimador PMG permite que as dinâmicas de
ajustamento individuais sejam diferenciadas (tal como as estruturas de variâncias e
covariâncias), mantendo uma coesão no sistema para o longo prazo, ainda que nem sempre
as estimativas de curto prazo sejam plausíveis.
8.3 ALGUNS TESTES DE ESPECIFICAÇÃO
Para aferir a robustez dos resultados de qualquer trabalho empírico, devem ser
efectuados testes à existência de autocorrelação e heteroscedasticidade dos termos de
perturbação aleatórios, para o que se sugerem alguns procedimentos. Para o efeito,
considere-se o seguinte modelo:

73
itittiiit uyy +′++= − xββ1,γα , com uit ~ N(0,σ2
it). (8.1)
em que uit tem média nula, variância σ2
it, não necessariamente constante e covariâncias não
necessariamente nulas. Para simplificar a apresentação, admite-se que os efeitos
específicos são apenas de dimensão seccional (ainda que a inclusão de efeitos temporais
não constitua uma complicação intransponível) e são tratados como fixos.
– testes à autocorrelação:
Para testar a ausência de autocorrelação dos termos de perturbação recomendam-se
alguns testes:
i) teste LM de Breusch-Godfrey sobre os resíduos de estimação por LSDV ou Within
(quando consistentes) com um truncation lag p a ser definido pelo critério de
Schwert e que consiste na estimação de uma equação auxiliar com os resíduos da
equação principal como variável dependente e com as variáveis explicativas do
modelo original e os resíduos do mesmo modelo desfasados, seguida de um teste à
significância destes últimos mediante estatística nR2
~ χ2
(p). O teste tem a vantagem
de ser relativamente robusto face a especificações alternativas para o processo de
correlação, testando processos estocásticos AR(p) e MA(p), sendo o seu principal
inconveniente o facto de a sua potência depender crucialmente da escolha do
truncation lag. Para mais pormenores do teste consulte-se, por exemplo, Davidson e
MacKinnon [1993], 357-360. Ainda assim e por o teste não ter sido concebido para
dados em painel, aconselha prudência na sua utilização, complementando-o com
testes alternativos.
ii) teste LM5 de Baltagi [1995] (pág. 93) que testa a hipótese nula de ausência de
autocorrelação AR(1) ou MA(1) num modelo com efeitos fixos através de um teste
de multiplicador de Lagrange com estatística
(( )) (( ))1015 2
,~
ˆˆ
ˆˆ
NTNTLM
uu
uu 1
′′
′′
⋅⋅−−==
−−
para T→∞.
em que û representa um vector de resíduos de estimação within, admitindo efeitos
fixos (pelo que o teste não será apropriado para testar, por exemplo, a existência de
autocorrelação em modelos pooled OLS). O teste tem a vantagem de se comportar
relativamente bem para outras especificações ARMA para as perturbações e por ser
aplicável para modelos dinâmicos ou outros modelos com regressores não
estritamente exógenos.

74
Adicionalmente, como a transformação within elimina os efeitos individuais (ou
temporais), sejam estes tidos como fixos ou aleatórios, o teste também pode ser
usado para testar a existência de autocorrelação da primeira ordem em modelos com
efeitos aleatórios (Baltagi [1995], pág. 94), ainda que não seja possível efectuar esta
extensão no caso de modelos dinâmicos62
(por a transformação within não gerar
estimadores consistentes, nessa situação).
iii) Teste de Durbin-Watson com dados em painel: para um modelo com efeitos fixos
e com regressores não aleatórios, é possível usar-se o teste de Durbin-Watson para
testar-se a existência de autocorrelação gerada por um termo AR(1). A estatística é
idêntica à usada para séries temporais, com a diferença de os resíduos usados serem
os within e não os OLS, ou seja
( )
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
−−
= N
i
T
t
it
N
i
T
t
tiit
p
û
ûû
DW
1 1
2
1 1
2
1,
(8.2)
Bhargava, Franzini e Narendranathan [1982] apresentam os limites superiores e
inferiores para o valor crítico da estatística.
iv) Teste m2 de Arellano e Bond [1991] para processos MA(2): o teste parte de um
estimador GMM para um modelo autorregressivo com efeitos aleatórios (com N
grande e T pequeno) equivalente a (3-9) e genericamente dado por
(( )) (( ))YZZAXXZZAX NN ∆∆∆∆ ′′′′′′′′==θθ
−−1ˆ (8.3)
em que Z é uma matriz de instrumentos, ∆X a matriz de variáveis explicativas nas
primeiras diferenças ou nas diferenças ortogonais e AN = 1/N∑i(zi´üi üi´zi) uma matriz
de ponderação obtida a partir dos resíduos de estimação (ü) resultantes de um
estimador inicial consistente. Com os resíduos de estimação GMM, ûi, calcula-se a
estatística do teste, para a hipótese nula de ausência de autocorrelação da segunda
ordem:
(( ))1021
2
2 ,~
ˆ
ˆˆ
Nm
a
/
u
uu *−−
==
em que û* é um vector dos resíduos “aparado” para que a sua dimensão coincida com
a de û-2. Para pormenores sobre o teste, consulte-se Arellano e Bond [1991], 282.
62
Para modelos estáticos, com efeitos aleatórios, Baltagi aconselha uma outra estatística, dita LM4 (pág. 91-
2) ou o uso do teste de Durbin-Watson.

75
Baltagi [1995], Capítulo 5, constitui uma boa fonte para exemplos adicionais de
testes à existência da autocorrelação em circunstâncias diversas, nomeadamente quando se
pretende testar simultaneamente a hipótese de autocorrelação e da existência de efeitos
aleatórios ou quando se pretende escolher entre um processo AR(1) ou MA(1).
– testes à heteroscedasticidade:
O teste de White com termos cruzados será uma proposta óbvia para testar a
existência de heteroscedasticidade genérica, segunda a qual, a cada observação
corresponde uma variância distinta. Assim, testa-se a hipótese nula de homoscedasticidade
contra a alternativa de heteroscedasticidade genérica, incidindo o teste sobre os resíduos de
estimação Within. Mais uma vez, um dos problemas do teste é o de ter uma reduzida
potência, a que se soma o facto de não ter sido concebido especificamente para dados em
painel.
Pode ainda testar-se a hipótese nula de homoscedasticidade com hipótese
alternativa de heteroscedasticidade em bloco, i.e., em que podemos ter termos de
perturbação homoscedásticos para cada i, mas com variâncias diferentes de grupo para
grupo. Formalmente, a hipótese nula será
H0: σ2
i,t=σ2
i , ∀ t=1,…T, i=1,…,N
com hipótese alternativa de heteroscedasticidade ao nível das observações individuais:
H1:∃ σ2
i,t=σ2
i ; i=1…,N;t=1,…,T
Uma sugestão para o teste será o de estimar o modelo com efeitos fixos e recolher
os resíduos para cada um dos indivíduos, correndo N regressões auxiliares do teste de
White. Em concreto, estima-se o modelo (8.1), por exemplo e adicionalmente as seguintes
N regressões auxiliares:
Niyye itititittitiit ,,1,
2
1,21,10
2
K=+′++= −− ζθλγγγ xxx
em que a barra significa a variável expressa na forma de diferença face à respectiva média
seccional e λλ e θθ são (1×k), omitindo-se os termos cruzados, para simplificar. Para cada
uma das regressões calcula-se a estatística do teste e o respectivo p-value, dados por:
TR2
~ χ2
(J-1)

76
em que J é o número de parâmetros em cada regressão. Com os N p-values dos referidos
testes individuais, procede-se a um teste de Maddala-Fisher para testes independentes
(Maddala [1977], pág. 47-8 e Maddala e Kim [1998]) que se baseia na estatística
( ) ( )NpP
N
i
i 2~ln2 2
1
χλ ∑=
−=
e que, segundo Maddala [1977] se trata de uma distribuição exacta para um teste de
hipóteses independentes. Maddala e Kim [1998] sugerem este teste para testar a hipótese
nula de estacionariedade das séries com dados em painel como alternativa aos testes de
Levin e Lin [1993] e Im, Pesaran e Shin [1996]63
. A sua aplicação a este contexto de
heteroscedasticidade foi implementada em Marques [2000]. Ainda assim, a potência do
teste, segundo Maddala [1977] dependerá da potência dos teste individuais subjacentes,
que para o teste geral de White não será particularmente elevada, ainda que a consistência
esteja assegurada, desde que N fixo e T→∞.
Caso se rejeite a hipótese nula de homoscedasticidade, justifica-se a correcção da
matriz de covariâncias dos estimadores (within, por exemplo) pelo método consistente de
White, com ou sem correcção de grupo, dependendo da hipótese alternativa prever
homoscedasticidade intra-grupo, ou não, respectivamente.
Um outro teste proposto por Baltagi [1995] é o já conhecido teste de Bartlett em
que se verifica sob a hipótese nula de homoscedasticidade
( )
( )
( )1~
11
1
2
2/
1
1
2
1
2
1
−






















−
−
= ∑
∑ ∑
∑
=
= =
=
N
yy
TNT
yy
T
u
T
N
i
N
i
T
t
iit
T
t
iit
χ (8.4)
contra a hipótese alternativa de heteroscedasticidade em bloco. Pode e deve-se usar a
estatística de Bartlett modificada, dada por:
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )
( ) ( ) 22
2
1
2
1
22
ˆ
1
ˆ
1
1
ˆ
1~
1113/11
ˆln1ˆln
i
T
t
iiti
N
i
i
NT
TN
eyy
T
N
NTTNN
TNT
M
σσσ
χ
σσ
−
−
=−
−
=
−
−−−−+
−−−
=
∑
∑
=
=
(8.5)
63
Cuja aplicação vem dificultada pela indisponibilidade de valores exactos para os p-values dos testes ADF
convencionais, como já se referiu no capítulo 6.

77
e que, tal como a anterior, pode ser alterada para acomodar painéis não balanceados (isto é,
com dimensão temporal variável). Para mais pormenores sobre o teste consulte-se Judge et
al. [1985], pág. 447-8 ou Gujarati [1996].
A escolha de uma dada especificação para um modelo, tema não abordado ao longo
deste trabalho, mas que constitui matéria para futuras actualizações, irá depender da
resposta prévia (ao trabalho de estimação) a uma séria de pressupostos de índole teórica e
não empírica. Assim, há que ter em conta: a existência ou não heterogeneidade; o estarmos
perante modelos de efeitos fixos ou aleatórios; as perturbações não-específicas (vit) serem
ou não esféricas e as variáveis exógenas (X) serem ou não estritamente exógenas.
A escolha pode ser assistida, nalguns casos, pelo recurso ao teste de especificação
de Hausman (ou outro nele baseado), por exemplo: para testarmos a hipótese de
autocorrelação dos termos de perturbação genéricos, podemos testar H0 comparando os
resultados de uma estimação MLE (consistente sob H0, mas não sob H1) com os obtidos
com um estimador IV, p.ex., o Balestra-Nerlove (consistente sob ambas as hipóteses).
Sobre isto, veja-se, entre outros, Baltagi [1995] ou Mátyás e Sevestre [1992].
Em Metcalf [1997] podem encontrar-se mais alguns testes de especificação para a
estimação de modelos com dados em painel usando variáveis instrumentais.

78
9. CONCLUSÃO
Um dos primeiros passos na escolha do método de estimação com dados em painel
é a definição da forma como é introduzida a heterogeneidade no modelos. Regra geral esta
é apresentada através de termos independentes variáveis de indivíduo para indivíduo ou ao
longo do tempo (ou em ambas as dimensões), sob a forma de componentes de erro e que
poderá ser dividida em dois grandes tipos: efeitos fixos e efeitos aleatórios.
O primeiro tipo admite que os efeitos específicos αi e λt se encontram
correlacionados com as variáveis explicativas e que, dessa forma, podem ser entendidos
como N e T constantes separadas. Assim, a estimação e inferência estatística terão que ser
feitas condicionadas por αi e λt.64
Admitindo-se que esses efeitos individuais e temporais
representam variáveis omissas, torna-se altamente provável que tais efeitos se encontrem
correlacionados com os regressores (Judson e Owen [1996]).
Já os efeitos aleatórios admitem que os efeitos específicos são apropriadamente
descritos por variáveis aleatórias não correlacionadas com os regressores (o que será uma
dificuldade, particularmente para modelos autorregressivos) e com distribuições
possivelmente do tipo αi ~ N(0,σα
2
) e λt ~ N(0,σλ
2
). Ou seja, os modelos com efeitos
aleatórios podem ser vistos como um caso particular dos modelos com efeitos fixos, na
medida em que assumem determinadas distribuições para os efeitos, permitindo a
inferência incondicional.
Se se admitirem efeitos fixos, no caso genérico de regressores não estocásticos, os
estimadores LSDV serão BLUE, desde que uit ~ N(0,σ2
) e assimptoticamente eficientes se
os mesmo termos de perturbação forem i.i.d. e de qualquer forma cêntricos e consistentes
para estruturas de covariâncias mais complexas. No caso concreto dos modelos dinâmicos,
em que entre os regressores se encontram termos desfasados da variável endógena, os
estimadores Within permanecerão consistentes para T→ ∞ desde que, obviamente, os
termos de perturbação uit não se apresentem autocorrelacionados na dimensão temporal.
Já com efeitos aleatórios, existem estimadores GLS eficientes face aos estimadores
within no caso de regressores não estocásticos, mas não serão sequer consistentes com
64
Ou seja, os efeitos fixos são na verdade resultado de variáveis aleatórias mas que, dado estarmos a
condicionar a estimação por αi e λt, podem ser tratadas como constantes (Judge et al. [1985], pág. 527).

79
variáveis endógenas desfasadas, pelo que a única saída será a estimação dos modelos
através de variáveis instrumentais.
Para evitar o problema da perda de consistência, em ambas as situações, tem-se
como alternativa genericamente consistente, após a diferenciação do modelo, a utilização
de estimadores de variáveis instrumentais, IV. A eficiência destes estimadores é
questionável, dependendo do conteúdo informativo dos instrumentos, que poderá não ser
muito, em particular se o número de regressores exógenos for diminuto ou nulo.
Uma alternativa plausível, quer ao LSDV, quer ao IV, é a estimação por GMM,
conforme foi discutido no capítulo 5. No entanto, haverá aqui que efectuar um balanço
crítico relativamente ao trade-off existente entre aos ganhos de eficiência que estes
estimadores permitem (preservando a consistência) e o acréscimo de complexidade e de
carga computacional que exigem.
Como regra geral, para modelos dinâmicos com efeitos fixos, com painéis longos,
pode optar-se pelo estimador within, enquanto que para painéis curtos se deve preferir a
estimação GMM.
Os modelos podem ser generalizados por forma a que heterogeneidade se revele
não apenas no termo independente, mas também nos próprios parâmetros associados às
variáveis explicativas. No entanto, por economia de espaço, optou-se por não abordar essa
possibilidade nesta revisão de literatura. Para além deste tópico, muitos outros foram
preteridos ou abordados apenas superficialmente, como as questões da estimação por
recurso a especificações alternativas para as estruturas de variâncias, os estimadores PMG
ou MG, a existência de relações de cointegração em modelos em painel e, acima de tudo, a
estimação GMM, que poderia e deveria ter merecido um maior desenvolvimento.
Para quem necessitar de um maior aprofundamento das matérias aqui expostas,
referências fundamentais serão Hsiao [1986], Baltagi [1995] e Mátyás e Sevestre [1992]
(existe uma edição mais recente, de 1995, com melhorias substanciais). Para temas como o
GMM ou as raízes unitárias, sugerem-se Mátyás [1999] e Maddala e Kim [1998],
respectivamente. Finalmente, para quem desejar uma referência rápida à estimação de
modelos dinâmicos com dados em painel, propõe-se Urga [1992], ainda que
complementado com referências mais recentes.

80
10. REFERÊNCIAS
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