Power point limit fungsi
- 1. materi evaluasi MATERI LIMIT FUNGSI KD, KI, & Indikator keluar Profil Motivasi & apersepsi
- 2. KOMPETENSI DASAR Setelah mengikuti pembelajaran limit fungsi , siswa mampu ; 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis , bertanggung jawab , konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. 2. Mengayati kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi terhadap berbagai perbedaan didalam masyarakat sebagai gambaran menerapkan nilai-nilai matematis 3. Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya 4. Merumuskan aturan dan sifat fungsi aljabar melalui pengamatan contoh- contoh 5. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar.
- 3. INDIKATOR Siswa diharapkan mampu: 1. Menentukan konsep limit fungsi. 2. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit fungsi 3. Mengetahui bentuk-bentuk limit 4. Menentukan nilai limit fungsi
- 4. MOTIVASI Setelah mempelajari limit fungsi diharapkan siswa dapat menentukan konsep limit dan menyelesaikan permasalahan limit dengan menggunakan sifat-sifat limit
- 5. Apersepsi Sebelum kita mempelajari materi limit fungsi sebaiknya kita mengingat kembali materi yang berkaitan dengan limit fungsi yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers
- 6. LIMIT FUNGSI Bentuk-bentuk limit Menentukan nilai- nilai limit Sifat-sifat limit Konsep limit
- 7. KONSEP LIMIT Konsep limit merupakan dasar untuk mencari kekontinuan, turunan, integral dari suatu fungsi. Maksudnya adalah untuk nilai x yang mendekati a maka f(x) akan mendekati L.
- 8. Sifat-sifat limit fungsi Sifat -1 Misalkan 𝒇 suatu fungsi dengan 𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝐝𝐚𝐧 𝑳, 𝒄 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝑳 𝐣𝐢𝐤𝐚 𝐝𝐚𝐧 𝐡𝐚𝐧𝐲𝐚 𝐣𝐢𝐤𝐚 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄− 𝒇 𝒙 = 𝑳 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄+ 𝒇(𝒙) Sifat-2 Misalkan 𝒇 𝐝𝐚𝐧 𝒈 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝒙 mendekati 𝒄, dengan 𝒌 𝐝𝐚𝐧 𝒄 adalah bilangan real 𝒏 adalah bilangan bulat positif.
- 9. 1. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒌 = 𝒌 2. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒙 = 𝒄 3. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒌𝒇(𝒙) = 𝒌 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 4. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) 5. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) 6. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 . 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) . 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) 7. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎 8. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) 𝒏 9. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙)𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇(𝒙)𝒏 , 𝐚𝐬𝐚𝐥𝐤𝐚𝐧 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 > 0 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐠𝐞𝐧𝐚𝐩
- 10. Bentuk Limit Bentuk limit dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Bentuk Tertentu Merupakan bentuk limit yang nilainya sudah bisa diperoleh secara langsung. Contoh Soal : a. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( x2 + 1 ) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 5 𝑥−2 𝑥3− 3𝑥−1 = 5.4−2 43− 3.4−1 = 18 51
- 11. 2. Bentuk Tak Tentu Merupakan bentuk limit yang nilainya belum dapat diperoleh secara langsung. Adapun yang termasuk ke dalam bentuk tak tentu adalah limit yang berbentuk : Dibawah ini akan kita bahas masing-masing bentuk tersebut. a. Bentuk Untuk menyelesaikan bentuk tersebut menggunakan pemfaktoran. Contoh: Nilai dari 0 0 , ∞ ∞ ,∞ − ∞,dan 0.∞ 0 0 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥3 − 4𝑥 𝑥 − 2
- 12. Penyelesaian: Dengan menggunakan pemfaktoran, diperoleh: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑥3−4𝑥 𝑥−2 = lim 𝑥→2 𝑥 𝑥2−4 𝑥−2 = lim 𝑥→2 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 𝑥−2 = lim 𝑥→2 𝑥 𝑥 + 2 = 2. 2 + 2 = 8
- 13. b. Bentuk ∞ ∞ lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(∞) 𝑔(∞) = ∞ ∞ Sifat khusus: Misal: 𝑓 𝑥 = 𝑎0 𝑥 𝑚 + 𝑎1 𝑥 𝑚−1 + 𝑎2 𝑥 𝑚−2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑔 𝑥 = 𝑏0 𝑥 𝑛 + 𝑏1 𝑥 𝑛−1 + 𝑏2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 Maka berlaku: lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = ∞, jika 𝑚 > 𝑛 𝑎0 𝑏0 , jika 𝑚 = 𝑛 0, jika 𝑚 < 𝑛
- 14. Contoh: Penyelesaian: Nilai dari lim𝑥→∞ 4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+7 2𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8 = lim 𝑥→∞ 4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+7 2𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8 = ∞ ∞ Karena diperoleh ∞ ∞ (bentuk tak tentu), maka dengan mengeluarkan pangkat tertingginya baik dari sisi pembilang maupun sisi penyebut, diperoleh: lim 𝑥→∞ 4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+7 2𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8 = lim 𝑥→∞ 𝑥3 4+ 5 𝑥 + 2 𝑥2+ 7 𝑥3 𝑥3 2− 6 𝑥 + 4 𝑥2− 8 𝑥3 = lim 𝑥→∞ 4+ 5 𝑥 + 2 𝑥2+ 7 𝑥3 2− 6 𝑥 + 4 𝑥2− 8 𝑥3 = 4+0+0+0 2−0+0−0 = 2
- 15. c. bentuk ∞ − ∞ Cara menyelesikannya adalah dengan mengalikannya dengan bentuk sekawannya. Selanjutnya akan diperoleh bentuk ∞ ∞ , maka dengan mengeluarkan pangkat tertingginya baik dari sisi pembilang maupun sisi penyebut akan diperoleh hasilnya. Perhatikan bentuk berikut: 𝑥 − 𝑦 memiliki sekawan 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 memiliki sekawan 𝑥 − 𝑦 𝑥 3 − 𝑦3 memiliki sekawan 𝑥23 + 𝑥. 𝑦3 + 𝑦23 𝑥3 + 𝑦3 memiliki sekawan 𝑥23 − 𝑥. 𝑦3 + 𝑦23
- 16. Bentuk khusus 1. lim 𝑥→∞ 𝑎 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = ∞, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑝 𝑏−𝑞 2 𝑎 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑝 −∞ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑝 2. lim 𝑥→∞ 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 3 − 𝑝𝑥3 + 𝑞𝑥2 + 𝑟𝑥 + 𝑠 3 = ∞, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑝 𝑏−𝑞 3 𝑎 3 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑝 −∞ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑝
- 17. Contoh soal lim 𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 = Penyelesaian: lim 𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 = ∞ − ∞ Karena diperoleh ∞ − ∞ (bentuk tak tentu) maka dengan menggunakan perkalian terhadap sekawannya dimana sekawan dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 + 𝑏 , diperoleh: lim 𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 = lim 𝑥→∞ 4𝑥2 + 6𝑥 − 3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 8 . 4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8 4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8
- 18. = lim 𝑥→∞ 4𝑥2+6𝑥−3− 4𝑥2−2𝑥+8 4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8 = lim 𝑥→∞ 8𝑥−11 4𝑥2+6𝑥−3+ 4𝑥2−2𝑥+8 = lim 𝑥→∞ 𝑥 8− 11 𝑥 𝑥2 4+ 6 𝑥 − 3 𝑥2 + 𝑥2 4− 2 𝑥 + 8 𝑥2 = lim 𝑥→∞ 𝑥 8− 11 𝑥 𝑥. 4+ 6 𝑥 − 3 𝑥2 +𝑥. 4− 2 𝑥 + 8 𝑥2 = lim 𝑥→∞ 𝑥 8− 11 𝑥 4+ 6 𝑥 − 3 𝑥2 + 4− 2 𝑥 + 8 𝑥2 = 8−0 4−0+0+ 4−0+0 = 2
- 19. 4. Menentukan Limit Fungsi Cara menentukan limit fungsi adalah dengan mencari bentuk tentu dari limit fungsi, dengan pengamatan sebagai berikut : 1. Substitusikan x = c ke fungsi sehingga diperoleh f (c) = L 2. Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi : Mencari beberapa titik pendekatan ( numerik ) , memfaktorkan , perkalian sekawan , dlll Ingat : - a sekawan dengan + a
- 20. Contoh soal dengan pemfaktoran 1. Perhatikan bahwa 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 3𝑥+2 𝑥2− 4 Dapat kita ubah menjadi 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 𝑥−1 𝑥−2 𝑥+2 Sehingga lim 𝑥 →2 𝑥2− 3𝑥+2 𝑥2− 4 = 𝑥−2 𝑥+1 𝑥−2 𝑥+2 = lim 𝑥 →2 𝑥−1 𝑥+2 karena x 2 = 1 4
- 21. Contoh soal dengan cara Perkalian Sekawan : Perhatikan bahwa y = 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙+𝟐 dapat kita ubah dengan mengalikan bentuk sekawan dari ( 𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟓 ) sehingga : 𝑳𝒊𝒎 𝒙→ −𝟐 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙+𝟐 = 𝑳𝒊𝒎 𝒙→ −𝟐 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 − 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙+𝟐 . 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓
- 22. = 𝑳𝒊𝒎 𝒙→ −𝟐 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 –( 𝟐𝒙+ 𝟓 ) 𝒙+𝟐 ( 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 ) = 𝑳𝒊𝒎 𝒙→ −𝟐 𝒙 𝟐− 𝒙−𝟔 𝒙+𝟐 ( 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 ) = 𝑳𝒊𝒎 𝒙→ −𝟐 𝒙−𝟑 ( 𝒙+𝟐 ) 𝒙+𝟐 ( 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 ) = 𝑳𝒊𝒎 𝒙→ −𝟐 𝒙−𝟑 𝒙 𝟐+ 𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+ 𝟓 Karena x ≠ 2 = − 𝟓 𝟐
- 23. Evaluasi Soal 1 Soal 2 Soal 3 Soal 4 Soal 5
- 24. 1. Tentukannilaidari lim𝑥→3 𝑥4 −3𝑥 =…? a. 72 b. 62 c. 52 d. 42 a b c d
- 25. 2. Nilai dari lim 𝑥 → −2 𝑥2+ 5𝑥+6 𝑥2− 4 = ⋯ ? a. − 1 2 b. − 1 4 c. 1 2 d. 1 4 a b c d
- 26. 3. Nilai dari lim 𝑥 → ∞ 4+5𝑥 2−𝑥 2+𝑥 1−𝑥 = ⋯ ? a. – 5 b. 5 c. 4 d. -4 a b c d
- 27. 4. Nilai dari lim 𝑥 → ∞ 9𝑥2+ 𝑥+3 + 162−2𝑥+4 7𝑥+12 = ⋯ ? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 a b c d
- 28. 5. Nilai dari limx → ∞ 9x + 1 − 9x 36x + 1 =…? a. 3 b. 2 c. 1 d. 1 2 a b c d
- 29. BENAR
- 30. OH… SALAH
- 31. BENAR
- 32. OH… SALAH
- 33. BENAR
- 34. OH… SALAH
- 35. BENAR
- 36. OH… SALAH
- 37. BENAR
- 38. OH… SALAH
- 39. Kelompok 1 Ismiratin 2012 121 113 Ana shintia 2012 121 100 Edi suryanto 2012 121 178 Dedek oktaviani 2012 121 116 Mira 2012 121 126