Exercises28
0 likes443 views
Ασκήσεις από Βιβλίο: Πανεπιστημιακή φυσική (τόμος 1 και τόμος 2), D. Young Hugh, εκδόσεις Παπαζήση.
![800 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 28 ΜΑΓΝΗτΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗτΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________________
28-31 Διασταυρωμένα πεδία Ε και Β. Ένα σωματίδιο
με αρχική ταχύτητα υ0 = (4,00 χ 103 m/s)i εισέρχεται σε μια πε
ριοχή ομογενούς ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Το μαγνητι
κό πεδίο στην περιοχή αυτή είναιΒ = - (0,600τ)j. Υπολογίστε το
μέτρο και την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου που απαιτείται
στην περιοχή, ώστε το σωματίδιο να περάσει χωρίς απόκλιση, αν
το φορτίο είναι: a) +0,400 χ 10-8 C· b) - 0,400 χ 10 - 8 C.
Αγνοήστετο βάρος του σωματιδίου.
28-32 Επίδραση του μαγνητικού πεδίου της Γης
πάνω σε έναν καθοδικό σωλήνα τηλεόρασης. Υποθέ
στε ότι το δυναμικό επιτάχυνσης σε ένανκαθοδικό σωλήνατηλεό
ρασης είναι 8000 V. Υπολογίστε προσεγγιστικάτην απόκλιση μιας
δέσμης ηλεκτρονίων κατά μήκος μιας απόστασης 0,40 m από την
πηγή ηλεκτρονίων προς την οθόνη, που οφείλεται σε εγκάρσιο μα
γνητικό πεδίο μεγέθους 5,0 χ 10-5 τ (συγκρίσιμου με το μαγνητι
κό πεδίο της Γης), υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν άλλα πεδία. Εί
ναι σημαντική αυτή η απόκλιση;
28-33 Ένα σωμάτιο έχει φορτίο 6,00 nC. Όταν κινείται με τα
χύτητα υ1 που έχει μέτρο 3,00 χ 104 m/s και σχηματίζει γωνία
45,ο• με τον άξονα +χ στο επίπεδοχy, ένα ομογενές μαγνητικό
πεδίο ασκεί πάνωστοσωμάτιο δύναμη F1 κατά μήκοςτου άξονα -
z (Σχ. 28-42). Όταν το σωμάτιο κινείται με ταχύτητα υ2 που έχει
μέτρο 2,00 χ 104 m/s και φορά κατά μήκοςτου άξονα + z, η δύνα
μη F2 που ασκείται πάνω στο σωμάτιο έχει μέτρο 4,00 χ 10-5 Ν
και φορά κατά μήκος του άξονα + χ. Ποιο είναι το μέτρο και ποια
η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου;
z ..--
ΣΧΗΜΑ 28-42
28-34 Η δύναμη που ασκείται πάνω σε έναφορτισμένο σωμά
τιο που κινείται μέσα σε ένα μαγνητικόπεδίο, μπορείνα υπολογι
στεί ως το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται
ξεχωριστά σε καθεμιά από τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου.
Ένα σωμάτιο με φορτίο 3,50 χ 10-8 C έχει ταχύτητα υ = 6,00 χ
105 m/s στην κατεύθυνση -χ και κινείται μέσα σε μαγνητικό πεδίο
με συνιστώσεςΒ, = + 0,200 Τ, Br = - 0,500 Τ καιΒ, = + 0,300 Τ.
Ποιες είναι οι συνιστώσες της δύναμης που ασκεί το μαγνητικό
πεδίοπάνω στο σωμάτιο;
28-35 Ένα ηλεκτρόνιο και ένα σωματίδιο α (διπλά ιονισμένο
άτομο ηλίου) κινούνται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, σε κυκλικές
τροχιές με την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα. Υπολογίστε τον λόγο
του αριθμού περιφορών που διαγράφει το ηλεκτρόνιο ανά μονάδα
χρόνου, προς αυτόν του σωματιδίου α. Η μάζα του σωματιδίου α
είναι 6,65 χ 10-27 kg.
28-36 Ένα σωμάτιο που έχει φορτίο q = 2,00 μC κινείται με
ταχύτητα υ = (1,50 χ 103 m/s)j. Το σωμάτιο υφίσταται δύναμη F =
(2,00 χ 10-4 Ν) (3i - 4k) από ένα μαγνητικό πεδίο Β. a) Υπολο
γίστε το μέτρο Fτης δύναμηςF. b) Προσδιορίστε ταΒ.,ByκαιΒ,,
ή τουλάχιστον όσο το δυνατόν περισσότερες από τις συνιστώσες,
από τις πληροφορίες που δίνονται (βλ. Πρόβλημα 28-34). c) Αν
το μέτρο του μαγνητικού πεδίου είναι 0,500 Τ, προσδιορίστε τις υ
πόλοιπες συνιστώσες του Β.
28-37 Υποθέστε ότιτο ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των πλακών Ρ
και Ρ' του Σχ. 28-19 είναι 1,50 χ 104 V/m και το μαγνητικό πεδίο
και στις δύο περιοχές είναι 0,600 τ. Αν η πηγή περιέχει τα τρία ι
σότοπα του μαγνησίου, 24Mg, 25Mg και 26Mg, και τα ιόντα έχουν
φορτίο + e, βρείτε την απόσταση ανάμεσα στις γραμμές που τα
τρία ισότοπα σχηματίζουν πάνω στη φωτογραφική πλάκα. Υποθέ
στε ότι οι ατομικές μάζες των ισοτόπων (σε μονάδες ατομικής μά
ζας) είναι ίσες με τους μαζικούς τους αριθμούς. (Μία μονάδα ατο
μικής μάζας = 1 amu = 1 u = 1,66 χ 10-27 kg).
28-38 Η δύναμηπάνω σε φορτισμένο σωμάτιοπου κινείται μέ
σα σε μαγνητικό πεδίο μπορεί να υπολογιστεί ως το διανυσματικό
άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται σε κάθε ξεχωριστή συνι
στώσατηςταχύτηταςτου σωματίου. (Βλ. Πρόβλημα 28-34). Σωμά
τιο με φορτίο 7,60 χ 10-8 C κινείται σε μια περιοχή όπου υπάρχει
ομογενές μαγνητικό πεδίο με μέτρο 0,300 Τ και κατεύθυνση την
+ χ. Σε μια συγκεκριμένη στιγμή, η ταχύτητα του σωματίου έχει
συνιστώσες υ, = 2,50 χ 104 m/s,υΥ = 9,00 χ 104 m/sκαι υ, = - 5,00
χ 104m/s. Ποιες είναι οι συνιστώσες της δύναμης πάνω στο σωμά
τιο τη στιγμή αυτή;
28-39 Σωμάτιο με θετικό φορτίο q και μάζα m = 1,50 χ 10-15
kg κινείται μέσα σε μια περιοχή όπου υπάρχει ομογενές μαγνητι
κό πεδίο Β = - (0,220 τ)k. Σε κάποια στιγμή η ταχύτητα του σω
ματίου είναι
υ = (1,00 χ 106 m/s) (4i - 3j + 12k)
και η δύναμη Fπου ασκείται πάνω στο σωμάτιο έχει μέτρο 2,00 Ν.
(Βλ. Πρόβλημα 28-38). a) Προσδιορίστε το φορτίοq. b) Υπολο
γίστε την επιτάχυνση α του σωματίου. c) Εξηγήστε γιατί η τροχιά
του σωματίου είναι ελικοειδής και βρείτε την ακτίνα καμπυλότη
τας R της κυκλικής συνιστώσαςτης ελικοειδούς τροχιάς. d) Υπο
λογίστε την κυκλοτρονική συχνότητα του σωματιδίου. e) Παρ' ό
λον ότι η ελικοειδής κίνηση δεν είναι περιοδική με την αυστηρή
σημασία του όρου, οι συνιστώσες χ καιy μεταβάλλονται περιοδι
κά. Αν οι συντεταγμένες του σωματίου τη στιγμή ι = Ο είναι (χ,y,
z) = (R, Ο, 0), προσδιορίστε τις συντεταγμένες του τη στιγμή ι =
2τ, όπου Τ είναι η περίοδος της κίνησης στο επίπεδοxy.
28-40 Ένα ηλεκτρόνιο κινείται σε κυκλική τροχιά με ακτίνα
r = 4,00 cm στο χώρο ανάμεσα σε δύο ομοαξονικούς κυλίν
δρους. Ο εσωτερικός κύλινδρος είναι ένα θετικά φορτισμένο
σύρμα ακτίνας α = 1,00 mm, ενώ ο εξωτερικός είναι αρνητικά
φορτισμένος και έχει ακτίναb = 5,00 cm. Η διαφορά δυναμικού
ανάμεσα στον εσωτερικό και τον εξωτερικό κύλινδρο είναι Vab
= 120 V, με το σύρμα στο υψηλότερο δυναμικό. (Βλ. Σχ. 28-43).
Το ηλεκτρικό πεδίο Ε στην περιοχή ανάμεσα στους κυλίνδρους
είναι ακτινικό και προς τα έξω και, όπως δείξαμε στο Πρόβλη
μα 24-43, έχει μέτρο Ε = V.bl[r ln (b/a)]. a) Υπολογίστε την τα
χύτητα που έχει το ηλεκτρόνιο όταν κινείται στην κυκλική του
τροχιά. Αγνοήστε το βαρυτικό και το μαγνητικό πεδίο της Γης.
b) Τώρα συμπεριλάβετε και το μαγνητικό πεδίο της Γης. Αν ο ά
ξοναςτων κυλίνδρων είναι παράλληλος προς το μαγνητικό πε
δίο της Γης, με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται το ηλεκτρόνιο
για να διατηρηθεί στην ίδια κυκλική τροχιά; Υποθέστε ότι το
μαγνητικό πεδίο της Γης έχει μέτρο 1,00 χ 10-4 Τ και ότι η κα
τεύθυνσή του είναι κάθετη στο Σχ. 28-43 και προς τα έξω. c)
Επαναλάβετε τον υπολογισμό του μέρους (b) για την περίπτωση
που το μαγνητικό πεδίο έχει την αντίθετη κατεύθυνση από αυ
τήν που έχει στο (b).](https://image.slidesharecdn.com/exercises28-151018204738-lva1-app6891/85/Exercises28-4-320.jpg)
Exercises28
- 1. Ένας βρόχος ρεύματος με εμβαδόνΑ και ρεύμα /, μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β, δεν υφίσταται ολική δύναμη, αλλά ροπή τ που δίνεται από τη σχέση τ = !ΒΑ sin φ. (28-22) Συναρτήσει της μαγνητικής ροπήςμ = !Α του βρόχου, το διάνυσμα της ροπής είναι τ = μ χ Β. (28-25) Η δυναμική ενέργεια υ μιας μαγνητικής ροπής μ μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο Β εί ναι υ = -μ · Β = -μΒ cos φ. (28-26) Ημαγνητική ροπή ενός (επίπεδου) βρόχου εξαρτάται μόνο από το ρεύμα και το εμβα δόν· είναι ανεξάρτητη του σχήματος του βρόχου. • Σε έναν ηλεκτροκινητήρα συνεχούς ρεύματος, το μαγνητικό πεδίο από τα πηνία πε δίου ασκούν εφαπτομενικές δυνάμεις και ροπές πάνω στα ρεύματα του ρώτορα. Σε έ ναν κινητήρα με σειριακή σύνδεση, τα πηνίατου ρώτορα και τα πηνία του πεδίου εί ναι συνδεδεμένα σε σειρά· σε κινητήρα με παράλληλη σύνδεση είναι συνδεδεμένα παράλληλα. Ηκίνηση του ρώτορα μέσα στο μαγνητικό πεδίο προκαλεί μια επαγόμενη ΗΕΔ,την αντηλεκτρεγερτική δύναμη. Για έναν κινητήρα με σειριακή σύνδεση, η τάση στους ακροδέκτες ισούται με το άθροισμα της αντηλεκτρεγερτικής δύναμης και της πτώσης δυναμικού Irστην εσωτερική του αντίσταση. • Το φαινόμενο Hall συνίσταται στην εμφάνιση μιας διαφοράς δυναμικού κάθετα στην κατεύθυνση του ρεύματος σε έναν αγωγό, όταν αυτός βρίσκεται μέσα σε μαγνη τικό πεδίο. Η διαφορά δυναμικού Hall προσδιορίζεται από την ανάγκη εξισορρόπη σης της μαγνητικής δύναμης πάνω στο κινούμενο φορτίο, από το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται. Μετρήσεις που βασίζονται στο φαινόμενο Hall μπορούν να χρησιμο ποιηθούν για τον προσδιορισμό της πυκνότητας n των φορέων φορτίου καθώς και του προσήμου των, από τη σχέση (28-29) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 797 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ _______________________ Εδάφιο 28-2 Μαγνητικό πεδίο 28-1 Μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίοπου έχει κατακόρυφη κα τεύθυνση προς τα πάνω, ένα σωμάτιο που αρχικά κινείται προς βορράν, αποκλίνει προς ανατολάς. Ποιο είναι το πρόσημο του φορτίου του σωματίου; 28-2 Ένα σωμάτιο με μάζα 2,00 χ 10-3 kg και φορτίο 1,20 χ 10-8 C έχει σε μια δεδομένη στιγμή ταχύτητα υ = (3,00 χ 105 m/s)j. Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης του σωματίου που προκαλείται από ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β = - (0,800 τ)ί; 28-3 Ένα σωμάτιο με φορτίο - 2,50 χ 10-8 C κινείται με στιγ μιαίαταχύτητα υ = - (3,00 χ 104 m/s)i + (5,00 χ 104 m/s)j. Ποια δύναμη ασκείται πάνω στο σωμάτιο αυτό από ένα μαγνητικό πεδίο a) Β = (1,40 τ)ί; b) Β = (1,40 τ)k; 28-4 Ένα σωμάτιο μάζας 0,500 g έχει φορτίο 2,50 χ ιο-8 C. Στο σωμάτιο δίνεται μια αρχική οριζόντια ταχύτητα προς ανατο λάς, ίση με 4,00 χ 104 m/s. Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση του ελάχιστου μαγνητικού πεδίου που θα διατηρήσει το σωμάτιο στην ίδια οριζόντια κίνησή του προς ανατολάς μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης; 28-5 Σε καθεμιά από τις κορυφές του κύβου στο Σχ. 28-36 που σημειώνονται με ένα γράμμα, υπάρχει ένα θετικό φορτίο q που κι νείται με ταχύτητα της οποίας το μέτρο είναι υ και η κατεύθυνση όπως φαίνεται στο σχήμα. Στην περιοχή του σχήματος υπάρχει ο μογενές μαγνητικό πεδίο Β, παράλληλο προς τον άξοναχκαι προς τα δεξιά. Αντιγράψtε το σχήμα, βρείτε το μέτρο και την κατεύθυν ση της δύναμης πάνω σε κάθε φορτίο και σχεδιάστε τις δυνάμεις αυτές στο διάγραμμάσας. Υ b χ z e ΣΧΗΜΑ 28-36
- 2. z Εδάφιο 28-3 d 50,0 cm Γραμμές του μαγνητικού πεδίου και μαγνητική ροή χ ΣΧΗΜΑ 28-37 28-6 Το μαγνητικό πεδίο Β σε μια περιοχή είναι 0,600Τ και έ χει την ίδια κατεύθυνση με τον άξονα + χ στο Σχ. 28-37. a) Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα απότην επιφάνεια abcdτου σχήματος; b) Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια befc; c) Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα από την επιφάνεια aefd; d) Ποια είναι η ολική μαγνητική ροή μέσα απότις πέντε επιφάνειες που περικλείουντον σκιασμένοόγκοστο σχήμα; 28-7 Μια κυκλική επιφάνεια με ακτίνα 0,400m βρίσκεται στο επίπεδοxy. Ποια είναι η μαγνητική ροή μέσα από αυτόν τον κύ κλο, που οφείλεται σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β = 1,60Τ: a) στην κατεύθυνση + z; b) σε κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία 3ο,ο· με τον άξονα + z; c) στηνκατεύθυνση + y; Εδάφιο 28-4 Κίνηση φορτισμένων σωματίων μέσα σε μαγνητικό πεδίο 28-8 Ένα κύκλοτρο προορίζεται για την επιτάχυνση πρωτο νίων σε ενέργεια 3,00Μeν. Ο υπεραγώγιμος ηλεκτρομαγνήτης του παράγει ένα μαγνητικό πεδίο μεγέθους 3,20τ. a) Ποια είναι η ακτίνα της κυκλικήςτροχιάςτων πρωτονίων και ποια η γωνιακή τους ταχύτητα όταν έχουν φτάσει σε κινητική ενέργεια 1,50Meν; b) Επαναλάβετε το (a) όταν τα πρωτόνια έχουν αποκτήσει την τε λική τους κινητική ενέργειατων 3,00Meν. 28-9 Έναηλεκτρόνιο στο σημείοΑ του Σχ. 28-38έχειταχύτη τα υ0 = 4,00 χ 106m/s. Βρείτε, a) το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου που θα αναγκάσει το ηλεκτρόνιο να ακο λουθήσει την ημικυκλική τροχιά από τοΑ στο Β· b) το χρόνο που απαιτείται για να μεταβείτο ηλεκτρόνιο από τοΑ στο Β. '" Α - • Β �-- 10,00 cm )I ΣΧΗΜΑ 28-38 28-10 Υποθέστε ότι το σωματίδιο στην Άσκηση 28-9είναι πρωτόνιο και όχι ηλεκτρόνιο. Βρείτε τα ίδια μεγέθη. 28-11 Ένα δευτερόνιο �ο πυρήνας ενός ισοτόπουτου υδρογό νου) έχει μάζα 3,34 χ 10-2 kg και φορτίο + e. Το δευτερόνιο κι νείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας 0,0400m μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο μέτρου 1,50Τ. a) Βρείτε την ταχύτητατου δευτερονίου. b) 798 Βρείτε τον χρόνο που απαιτείται για να διανύσει μισόκύκλο. c) Μέσα από ποια διαφορά δυναμικού θα πρέπει να επιταχυνθεί το δευτερόνιο για να αποκτήσει την ταχύτητα αυτή; 28-12 Ένα ιόν 7Li με φορτίο + e έχει μάζα 1,16 χ 10-26kg. Επιταχύνεται από διαφορά δυναμικού 500ν και μετά εισέρχεται σε μια περιοχή όπου το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο 0,300Τ και εί ναι κάθετο στηνκατεύθυνση κίνησης του ιόντος. Ποια είναι η α κτίνατηςτροχιάςτου ιόντος μέσα στο μαγνητικό πεδίο; 28-13 Καθοδικός σωλήνας τηλεόρασης. Ένα ηλε κτρόνιο της δέσμης ενός καθοδικού σωλήνα τηλεόρασης επιταχύ νεται από διαφορά δυναμικού 20000V. Στη συνέχεια περνά μέσα από μια περιοχή όπου υπάρχει ένα εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο, ό που διαγράφει τόξο κυκλικής τροχιάς ακτίνας 0,150m. Ποιο είναι το μέτρο του μαγνητικού πεδίου; Εδάφιο 28-5 Εφαρμογές της κίνησης φορτισμένων σωματιδίων 28-14 a) Ποια είναι η ταχύτητα των ηλεκτρονίων μιας δέσμης όταν αυτά δεν αποκλίνουν κάτω από την ταυτόχρονη επίδραση ε νός ηλεκτρικού πεδίου 3,40χ 105νιm και ενός μαγνητικού πεδίου 5,00 χ 10-2τ, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους και στη δέσμη; b) Δείξτε σε ένα διάγραμμα τους σχετικούς προσανατολισμούς των διανυσμάτων υ, Ε και Β. c) Ποια είναι η ακτίνατης τροχιάς των ηλεκτρονίων όταν αφαιρεθείτο ηλεκτρικό πεδίο; 28-15 Μετρώντας τη μάζα ενός ισοτόπου. Το ηλε κτρικό πεδίο ανάμεσα στις πλάκες ενός επιλογέα ταχυτήτων σε έ να φασματόμετρο μάζας του Bainbridge (Σχ. 28-19)είναι 1,20 χ 106ν/m και το μαγνητικό πεδίο και στις δύο περιοχές είναι 0,600 Τ. Μια δέσμη ιόντων νέου με φορτίο + e κινείται σε κυκλική τρο χιά ακτίνας 0,728m μέσα στο μαγνητικό πεδίο. Προσδιορίστε τη μάζα ενός ιόντος νέου και τον μαζικό αριθμό αυτού του ισοτόπου. 28-16 Στο φασματόμετρο μάζας του Bainbridge (Σχ. 28-19),υ ποθέστε ότι το μαγνητικό πεδίο Β στον επιλογέα ταχυτήτων είναι 1,20Τ και ότι ιόντα με ταχύτητα 4,00 χ 106m/s περνούν μέσα από αυτόν χωρίς απόκλιση. a) Ποιο είναι το ηλεκτρικό πεδίο ανάμε σα στις πλάκες Ρ και Ρ'; b) Αν η απόσταση των πλακών είναι 0,500cm, ποια είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ τους; Εδάφιο 28-6 Μαγνητική δύναμη πάνω σε αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα 28-17 Μια οριζόντιαράβδος μήκους 0,200m είναι στερεωμένη πάνω σε ζυγό και διαρρέεται από ρεύμα. Στη θέση της ράβδου υ πάρχει ένα ομογενές οριζόντιο μαγνητικό πεδίο με μέτρο 0,0700τ και κατεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Η μαγνητική δύναμη πάνω στη ράβδο μετριέται από τον ζυγό και βρίσκεται ίση με 0,240Ν. Πόσο είναι το ρεύμα που τη διαρρέει; 28-18 Ένας ηλεκτρομαγνήτης παράγει μαγνητικό πεδίο 1,20 Τ σε μια κυλινδρική περιοχή ακτίνας 5,00cm ανάμεσα στους πόλους του. Ένα ευθύγραμμο σύρμα που διαρρέεται από ρεύμα έντασης 14,0Α περνά από το κέντρο της περιοχής και είναι κάθετο στο πε δίο. Πόση δύναμη ασκείταιπάνωστο σύρμα; 28-19 Ένα σύρμα κατά μήκος του άξονα χ διαρρέεται από ρεύμα έντασης 7,00Α προς τη θετική κατεύθυνση. Υπολογίστε τη δύναμη (εκφρασμένη συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων) που ασκείται πάνω σε ένατμήμα του σύρματος, μήκους 1,00cm, α πό τα ακόλουθα μαγνητικά πεδία: a) Β = - (0,600T)j· b) Β = + (0,500τ)k· c) Β = - (0,300τ)i· d) Β = + (0,200τ)ί (0,300τ)k· e) Β = + (0,900τ)j - (0,400T)k.
- 3. 28-20 Ένα ευθύγραμμο κατακόρυφο σύρμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης 8,00 Α με φορά προς τα πάνω, σε μια περιοχή ανά μεσαστους πόλους ενός μεγάλου υπεραγώγιμου ηλεκτρομαγνήτη, στον οποίο το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο Β = 2,75 Τ και είναι ο ριζόντιο. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύeυνση της μαγνητι κής δύναμης πάνω σε ένα τμήμα του σύρματος μήκους 1,00 cm αν η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου είναι: a) προς ανατολάς b) προς δυσμάς c) προς την κατεύθυνση 30,0ο νότια της δύσης; Εδάφιο 28-7 Δύναμη και ροπή πάνω σε βρόχο ρεύματος 28-21 Ένα κυκλικό πηνίο διαμέτρου 8,00 cm έχει 12 σπείρες και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 3,00 Α. Το πηνίο βρίσκεται σε μιαπεριοχή όπουτο μαγνητικόπεδίο είναι0,600Τ. a) Ποια είναι η μέγιστη ροπή πάνω στο πηνίο; b) Σε ποια θέση η ροπή είναι η μισή της μέγιστης; 28-22 Ποια είναι η μέγιστη ροπή πάνω σε ένα ορθογώνιο πη νίο διαστάσεων 5,00 cm χ 12,0 cm που έχει 600 σπείρες, όταν αυ τό διαρρέεται από ρεύμα έντασης 0,0700 Α, και βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου 0,300 Τ; 28-23 Ένα πηνίο που έχει μαγνητική ροπή μ = 1,30 Α · m2 προσανατολίζεται αρχικά με τη μαγνητική του ροπή παράλληλη προς ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο με Β = 0,750 τ. Ποια είναι η μεταβολή στη δυναμική ενέργεια του πηνίου όταν αυτό περιστρα φεί κατά 180° έτσι ώστε η μαγνητική του ροπή να είναι παράλλη λη και αντίρροπη προς το πεδίο; 28-24 Το επίπεδο ενός συρμάτινου ορθογώνιου βρόχου 5,00 cm χ 8,00 cm είναι παράλληλο προς ένα μαγνητικό πεδίο με μέ τρο 0,150 τ. Ο βρόχος διαρρέεται από ρεύμα έντασης 4,00 Α. a) Ποια είναι η ροπή που ασκείται πάνω στον βρόχο; b) Ποια είναι η μαγνητική ροπή του βρόχου; c) Ποια είναι η μέγιστη ροπή που μπορείνα επιτευχθεί με το ίδιο μήκοςσύρματος που διαρρέεται α πότο ίδιο ρεύμα και βρίσκεται μέσα στο ίδιο μαγνητικό πεδίο; 28-25 Ένακυκλικόπηνίο με εμβαδόνΑ και Νσπείρες είναι ε λεύθερο να περιστραφεί γύρω από μια διάμετρό του που συμπί πτει με τον άξονατωνχ. Ρεύμα Ι διαρρέει το πηνίο. Υπάρχει ομο γενές μαγνητικό πεδίο Β στην κατεύθυνση + y. Υπολογίστε το μέ τρο και την κατεύθυνση της ροπής τ που ασκείταιπάνω στο πηνίο, καθώς και τη δυναμική ενέργεια U, όπως δίνεται από την Εξ. (28-26), όταν ο προσανατολισμός τουπηνίου είναι αυτόςπου φαί νεταιστο Σχ. 28-39, (a) έως (d). (a) ΣΧΗΜΑ 28-39 Εδάφιο 28-8 (b) (c) (d) Ο ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος * 28-26 Ένας ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος με τον ρώ τορά του και τα πηνία πεδίου συνδεδεμένα σε σειρά, έχει εσωτε ρική αντίσταση 5,00 Ω. Όταν λειτουργεί με πλήρες φορτίο συνδε δεμένος σε μια γραμμή 12,0 ν, η ΗΕΔ στον ρώτορα είναι 105 V. a) Ποιο είναιτορεύμαπου παρέχεταιαπότη γραμμή στον κινητή- ΑΣΚΗΣΕΙΣ 799 ρα; b) Με πόση ισχύ τροφοδοτείται οκινητήρας; c) Ποια είναι η μηχανική ισχύς που αναπτύσσει ο κινητήρας; * 28-27 Σε ένανηλεκτροκινητήρα συνεχούς ρεύματος με παράλ ληλη σύνδεση (Σχ. 28-40), η αντίσταση R1των πηνίων πεδίου είναι 140 Ω και η αντίσταση R,του ρώτορα είναι 5,00 Ω. Όταν στις ψή κτρες τσυ εφαρμόζεται μια διαφορά δυναμικού 120 ν και ο κινητή ρας δουλεύει με τη μέγιστή του ταχύτητα παράγοντας μηχανική ι σχύ, το παρεχόμενο σε αυτόν ρεύμα έχει ένταση 4,50 Α. a) Πόσο είναιτο ρεύμα σταπηνία πεδίου; b) Πόσο είναιτο ρεύμα στον ρώ τορα; c) Ποια είναι η επαγόμενη ΗΕΔ που αναπτύσσεται απότον κινητήρα; d) Πόση μηχανική ισχύςπαρέχεται απότον κινητήρα; + e-----------�-----------1 120 V ΣΧΗΜΑ 28-40 * 28-28 Ένας ηλεκτροκινητήρας συνεχούς ρεύματος με παράλ ληλη σύνδεση (Σχ. 28-40) τροφοδοτείται από γραμμή 120 ν συνε χούς. Η αντίσταση των πηνίων πεδίου, R1, είναι 240 Ω. Η αντίστα ση του ρώτορα, R,, είναι 4,00 Ω. Όταν ο κινητήρας λειτουργεί, ο ρώτορας αναπτύσσει μια ΗΕΔ ε. Ο κινητήραςτραβάει ρεύμα 4,50 Α από τη γραμμή. Οι απώλειες λόγω τριβής είναι συνολικά 50,0 W.Υπολογίστε: a) το ρεύμα στα πηνία πεδίου· b) τορεύμα στον ρώτορα· c) την ΗΕΔ ε· d) τον ρυθμό παραγωγής θερμότητας στα πηνία πεδίου· e) τον ρυθμό παραγωγής θερμότητας στον ρώ τορα· f) την ισχύ εισόδου τουκινητήρα· g) την απόδοση του κι νητήρα. Εδάφιο 28-9 Το φαινόμενο Hall * 28-29 ΤοΣχ. 28-41 δείχνει ένα τμήμα μιας aσημένιας ταινίας με z1 = 2,00 cm καιy1 = 1,00 mm, που διαρρέεται από ρεύμα 140 Α με φορά στην κατεύθυνση +χ. Η ταινία βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση την + y και μέτρο 1,50 Τ. Αν υπάρχουν 5,85 χ 1028 ελεύθερα ηλεκτρόνια ανά κυβικό μέ τρο, βρείτε: a) το μέγεθοςτηςταχύτητας ολίσθησης των ηλεκτρο νίων στην κατεύθυνσηχ· b) το μέτρο και τη φορά του ηλεκτρικού πεδίου στην κατεύθυνση z λόγω του φαινομένου Hall· c) την HEΔ Hall. Υ χ ΣΧΗΜΑ 28-41 * 28-30 Το Σχ. 28-41 δείχνει μια ταινία καλίου των ιδίων δια στάσεων με την ασημένια ταινία της Άσκησης 28-29. Όταν το μα γνητικό πεδίο είναι 5,00 Τ καιτο ρεύμα 100 Α, η ΗΕΔ Hall μετριέ ται και βρίσκεταιίση με 223 μν. Ποια είναι η πυκνότητατων ελεύ θερων ηλεκτρονίων στο κάλιο;
- 4. 800 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 28 ΜΑΓΝΗτΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗτΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Α ______________________ 28-31 Διασταυρωμένα πεδία Ε και Β. Ένα σωματίδιο με αρχική ταχύτητα υ0 = (4,00 χ 103 m/s)i εισέρχεται σε μια πε ριοχή ομογενούς ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Το μαγνητι κό πεδίο στην περιοχή αυτή είναιΒ = - (0,600τ)j. Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου που απαιτείται στην περιοχή, ώστε το σωματίδιο να περάσει χωρίς απόκλιση, αν το φορτίο είναι: a) +0,400 χ 10-8 C· b) - 0,400 χ 10 - 8 C. Αγνοήστετο βάρος του σωματιδίου. 28-32 Επίδραση του μαγνητικού πεδίου της Γης πάνω σε έναν καθοδικό σωλήνα τηλεόρασης. Υποθέ στε ότι το δυναμικό επιτάχυνσης σε ένανκαθοδικό σωλήνατηλεό ρασης είναι 8000 V. Υπολογίστε προσεγγιστικάτην απόκλιση μιας δέσμης ηλεκτρονίων κατά μήκος μιας απόστασης 0,40 m από την πηγή ηλεκτρονίων προς την οθόνη, που οφείλεται σε εγκάρσιο μα γνητικό πεδίο μεγέθους 5,0 χ 10-5 τ (συγκρίσιμου με το μαγνητι κό πεδίο της Γης), υποθέτοντας ότι δεν υπάρχουν άλλα πεδία. Εί ναι σημαντική αυτή η απόκλιση; 28-33 Ένα σωμάτιο έχει φορτίο 6,00 nC. Όταν κινείται με τα χύτητα υ1 που έχει μέτρο 3,00 χ 104 m/s και σχηματίζει γωνία 45,ο• με τον άξονα +χ στο επίπεδοχy, ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο ασκεί πάνωστοσωμάτιο δύναμη F1 κατά μήκοςτου άξονα - z (Σχ. 28-42). Όταν το σωμάτιο κινείται με ταχύτητα υ2 που έχει μέτρο 2,00 χ 104 m/s και φορά κατά μήκοςτου άξονα + z, η δύνα μη F2 που ασκείται πάνω στο σωμάτιο έχει μέτρο 4,00 χ 10-5 Ν και φορά κατά μήκος του άξονα + χ. Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου; z ..-- ΣΧΗΜΑ 28-42 28-34 Η δύναμη που ασκείται πάνω σε έναφορτισμένο σωμά τιο που κινείται μέσα σε ένα μαγνητικόπεδίο, μπορείνα υπολογι στεί ως το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται ξεχωριστά σε καθεμιά από τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου. Ένα σωμάτιο με φορτίο 3,50 χ 10-8 C έχει ταχύτητα υ = 6,00 χ 105 m/s στην κατεύθυνση -χ και κινείται μέσα σε μαγνητικό πεδίο με συνιστώσεςΒ, = + 0,200 Τ, Br = - 0,500 Τ καιΒ, = + 0,300 Τ. Ποιες είναι οι συνιστώσες της δύναμης που ασκεί το μαγνητικό πεδίοπάνω στο σωμάτιο; 28-35 Ένα ηλεκτρόνιο και ένα σωματίδιο α (διπλά ιονισμένο άτομο ηλίου) κινούνται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο, σε κυκλικές τροχιές με την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα. Υπολογίστε τον λόγο του αριθμού περιφορών που διαγράφει το ηλεκτρόνιο ανά μονάδα χρόνου, προς αυτόν του σωματιδίου α. Η μάζα του σωματιδίου α είναι 6,65 χ 10-27 kg. 28-36 Ένα σωμάτιο που έχει φορτίο q = 2,00 μC κινείται με ταχύτητα υ = (1,50 χ 103 m/s)j. Το σωμάτιο υφίσταται δύναμη F = (2,00 χ 10-4 Ν) (3i - 4k) από ένα μαγνητικό πεδίο Β. a) Υπολο γίστε το μέτρο Fτης δύναμηςF. b) Προσδιορίστε ταΒ.,ByκαιΒ,, ή τουλάχιστον όσο το δυνατόν περισσότερες από τις συνιστώσες, από τις πληροφορίες που δίνονται (βλ. Πρόβλημα 28-34). c) Αν το μέτρο του μαγνητικού πεδίου είναι 0,500 Τ, προσδιορίστε τις υ πόλοιπες συνιστώσες του Β. 28-37 Υποθέστε ότιτο ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των πλακών Ρ και Ρ' του Σχ. 28-19 είναι 1,50 χ 104 V/m και το μαγνητικό πεδίο και στις δύο περιοχές είναι 0,600 τ. Αν η πηγή περιέχει τα τρία ι σότοπα του μαγνησίου, 24Mg, 25Mg και 26Mg, και τα ιόντα έχουν φορτίο + e, βρείτε την απόσταση ανάμεσα στις γραμμές που τα τρία ισότοπα σχηματίζουν πάνω στη φωτογραφική πλάκα. Υποθέ στε ότι οι ατομικές μάζες των ισοτόπων (σε μονάδες ατομικής μά ζας) είναι ίσες με τους μαζικούς τους αριθμούς. (Μία μονάδα ατο μικής μάζας = 1 amu = 1 u = 1,66 χ 10-27 kg). 28-38 Η δύναμηπάνω σε φορτισμένο σωμάτιοπου κινείται μέ σα σε μαγνητικό πεδίο μπορεί να υπολογιστεί ως το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται σε κάθε ξεχωριστή συνι στώσατηςταχύτηταςτου σωματίου. (Βλ. Πρόβλημα 28-34). Σωμά τιο με φορτίο 7,60 χ 10-8 C κινείται σε μια περιοχή όπου υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με μέτρο 0,300 Τ και κατεύθυνση την + χ. Σε μια συγκεκριμένη στιγμή, η ταχύτητα του σωματίου έχει συνιστώσες υ, = 2,50 χ 104 m/s,υΥ = 9,00 χ 104 m/sκαι υ, = - 5,00 χ 104m/s. Ποιες είναι οι συνιστώσες της δύναμης πάνω στο σωμά τιο τη στιγμή αυτή; 28-39 Σωμάτιο με θετικό φορτίο q και μάζα m = 1,50 χ 10-15 kg κινείται μέσα σε μια περιοχή όπου υπάρχει ομογενές μαγνητι κό πεδίο Β = - (0,220 τ)k. Σε κάποια στιγμή η ταχύτητα του σω ματίου είναι υ = (1,00 χ 106 m/s) (4i - 3j + 12k) και η δύναμη Fπου ασκείται πάνω στο σωμάτιο έχει μέτρο 2,00 Ν. (Βλ. Πρόβλημα 28-38). a) Προσδιορίστε το φορτίοq. b) Υπολο γίστε την επιτάχυνση α του σωματίου. c) Εξηγήστε γιατί η τροχιά του σωματίου είναι ελικοειδής και βρείτε την ακτίνα καμπυλότη τας R της κυκλικής συνιστώσαςτης ελικοειδούς τροχιάς. d) Υπο λογίστε την κυκλοτρονική συχνότητα του σωματιδίου. e) Παρ' ό λον ότι η ελικοειδής κίνηση δεν είναι περιοδική με την αυστηρή σημασία του όρου, οι συνιστώσες χ καιy μεταβάλλονται περιοδι κά. Αν οι συντεταγμένες του σωματίου τη στιγμή ι = Ο είναι (χ,y, z) = (R, Ο, 0), προσδιορίστε τις συντεταγμένες του τη στιγμή ι = 2τ, όπου Τ είναι η περίοδος της κίνησης στο επίπεδοxy. 28-40 Ένα ηλεκτρόνιο κινείται σε κυκλική τροχιά με ακτίνα r = 4,00 cm στο χώρο ανάμεσα σε δύο ομοαξονικούς κυλίν δρους. Ο εσωτερικός κύλινδρος είναι ένα θετικά φορτισμένο σύρμα ακτίνας α = 1,00 mm, ενώ ο εξωτερικός είναι αρνητικά φορτισμένος και έχει ακτίναb = 5,00 cm. Η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στον εσωτερικό και τον εξωτερικό κύλινδρο είναι Vab = 120 V, με το σύρμα στο υψηλότερο δυναμικό. (Βλ. Σχ. 28-43). Το ηλεκτρικό πεδίο Ε στην περιοχή ανάμεσα στους κυλίνδρους είναι ακτινικό και προς τα έξω και, όπως δείξαμε στο Πρόβλη μα 24-43, έχει μέτρο Ε = V.bl[r ln (b/a)]. a) Υπολογίστε την τα χύτητα που έχει το ηλεκτρόνιο όταν κινείται στην κυκλική του τροχιά. Αγνοήστε το βαρυτικό και το μαγνητικό πεδίο της Γης. b) Τώρα συμπεριλάβετε και το μαγνητικό πεδίο της Γης. Αν ο ά ξοναςτων κυλίνδρων είναι παράλληλος προς το μαγνητικό πε δίο της Γης, με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται το ηλεκτρόνιο για να διατηρηθεί στην ίδια κυκλική τροχιά; Υποθέστε ότι το μαγνητικό πεδίο της Γης έχει μέτρο 1,00 χ 10-4 Τ και ότι η κα τεύθυνσή του είναι κάθετη στο Σχ. 28-43 και προς τα έξω. c) Επαναλάβετε τον υπολογισμό του μέρους (b) για την περίπτωση που το μαγνητικό πεδίο έχει την αντίθετη κατεύθυνση από αυ τήν που έχει στο (b).
- 5. ΣΧΗΜΑ 2�3 28-41 Ο κύβος του Σχ. 28-44έχει ακμές μήκους 0,500m και βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με μέτρο0,200Τ και κατεύθυνση αυτήν του ημιάξονα + χ. Το σύρμα abcdefδιαρρέεται από ρεύμα έντασης 4,00Α,στη φορά που φαίνεται στοσχήμα. a) Υπολογίστε τα μέτρα και τις κατευθύνσεις των δυνάμεων που α σκούνται πάνω στα τμήματαab,bc,cd,de και ef. b) Ποιο είναιτο μέτρο και ποια η κατεύθυνση της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω στο σύρμα; Υ z d ΣΧΗΜΑ 2�4 28-42 Ένα σύρμα έχει μήκος 0,150m, βρίσκεται πάνω στον ά ξονα τωνy και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 8,00Αμε φορά προςτα θετικάy. Στην περιοχή υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο με συνιστώσες Βχ = 0,300Τ, Br = -1,20Τ και Bz = 0,500Τ. a) Βρείτε τις συνιστώσες της δύναμης που ασκείται πάνω στο σύρμα. (Όπωςστο Πρόβλημα 28-34,η συνισταμένη δύναμη είναι το δια νυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που οφείλονται σε κάθε συνι στώσα του Β). b) Ποιο είναι το μέτρο της ολικής δύναμης που α σκείται πάνω στο σύρμα; 28-43 Ροπή πάνω σε βρόχο ρεύματος. Ο ορθογώνιος βρόχος του σύρματος στο Σχ. 28-45έχει μάζα 0,100g ανά εκατο στόμετρο μήκους και μπορεί να περιστραφείχωρίς τριβές γύρω α πό άξονα που συμπίπτει με την πλευρά του ab. Το ρεύμα στο σύρ μα είναι 8,00Α,με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε το μέ τρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου που είναι παράλ ληλο προς τον άξονα τωνy, το οποίο θα προκαλούσε περιστροφή του βρόχου ώστε να ισορροπήσει στη θέση όπου το επίπεδό του σχηματίζει γωνία 30,0' με το επίπεδοyz. 28-44 Ο ορθογώνιος βρόχος του Σχ. 28-46μπορεί να περι στραφείγύρω απότον άξοναy και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 15,0Αστη φορά που φαίνεται στο σχήμα. a) Αν ο βρόχος βρίσκε ται μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου 0,200Τ που εί ναι παράλληλο και ομόρροπο με τον άξοναχ, βρείτε το μέτρο της ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 801 Υ χ z ΣΧΗΜΑ 2�5 Υ χ ΣΧΗΜΑ 2�6 z ροπής που απαιτείται για να κρατηθεί ο βρόχος στη θέση που φαί νεται στο σχήμα. b) Επαναλάβετε το (a) για την περίπτωση που το πεδίο είναι παράλληλο και ομόρροπο με τον άξονα z. c) Για καθεμιά από τις προηγούμενες περιπτώσεις, ποιο θα ήταν το μέ τρο της απαιτούμενης ροπής αν ο βρόχος είχε ως άξονα περιστρο φής την ευθεία που περνά από το κέντρο του και είναι παράλληλη προς τον άξονα τωνy; 28-45 Ένα πηνίο ήχου. Στο Εδάφιο 28-7,δείξαμε ότι η ολική δύναμη πάνω σε ένα βρόχο ρεύματος μέσα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι ίση με μηδέν. Η μαγνητική δύναμη πάνω σε ένα πηνίο ήχου ενός μεγαφώνου (Σχ. 28-32) διαφέρει από το μη δένγιατίτο μαγνητικόπεδίο στη θέση του πηνίου δεν είναιομογε νές. Έν�κυκλικό πηνίο ήχου σε ένα μεγάφωνο αποτελείται από 40σπείρες σύρματος, έχει διάμετρο 1,80cm και διαρρέεται από ρεύμα έντασης0,800Α.Υποθέστε ότι το μαγνητικό πεδίο σε κάθε σημείο του σύρματοςτου πηνίου έχει σταθερό μέτρο ίσο με 0,200 Τ και κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία 60,0' με την κάθετη στο επίπεδο του πηνίου, προς τα έξω (Σχ. 28-47). Έστω ότι ο άξονας του πηνίου είναι παράλληλος προς τον άξονα τωνy. Το ρεύμα στο πηνίο έχει τη φορά που φαίνεται στο σχήμα (αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού όταν το βλέπουμε από πάνω, από ένα σημείο πάνωστονάξονατωνy). Υπολογίστε το μέτρο και την κα τεύθυνση της συνισταμένης μαγνητικής δύναμηςπου ασκείται πά νω στο πηνίο. ΣΧΗΜΑ 2�7 I I � ----- χ
- 6. 802 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 28 ΜΑΓΝΗΠΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΠΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 28-46 Το πρότυπο των κουάρκ για το νετρόνιο. Το νετρόνιο είναι ένα σωματίδιο με μηδενικό φορτίο αλλά μη μηδενι κή μαγνητική ροπή, η οποία έχει μέγεθοςμ = 9,66 χ 10-27Α · m2.Αν το νετρόνιο θεωρηθεί ότι είναι μια στοιχειώδης οντότητα χω ρίς εσωτερική δομή, οι δύο ιδιότητες που αναφέρ9ηκαν φαίνονται αντικρουόμενες. Σύμφωνα με τη σημερινή θεωρία της φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων, ένα νετρόνιο συντίθεται από τρία πιο στοιχειώδη σωματίδια που ονομάζοναι κουάρκ. Στο πρότυπο αυτό, το νετρόνιο αποτελείται από ένα «πάνω κουάρκ» (up) που έχει φορτίο +2e/3 και δύο <<Κάτω κουάρκ» (down) με φορτίο -e/3 το καθένα. Ο συνδυασμόςτωντριών κουάρκ οδηγεί σε ολικό φορτίο ίσο με 2e/3 -e/3 - e/3 = Ο, όπως απαιτείται, και αν τα κου άρκ κινούνται, θα μπορούσαν να δημιουργήσουν μη μηδενική μα γνητική ροπή. Ως ένα πολύ απλό μοντέλο, υποθέστε ότι το <<Πάνω» κουάρκ κινείται σε κυκλική τροχιά προς τη μια κατεύ9υνση και τα δύο <<Κάτω» κουάρκ κινούνται κατά την αντίθετη φορά πάνω στον ίδιο κύκλο, ακτίνας r, και ότι και τα τρία κουάρκ έχουν την ίδια ταχύτητα υ (Σχ. 28-48). a) Εκφράστε συναρτήσει των μεγεθών αυτών το ρεύμα που οφείλεται στην κίνηση του <<πάνω» κουάρκ. b) Βρείτε τη μαγνητική ροπή μ" που οφείλεται στην κίνηση του <<πάνω» κουάρκ. c)Βρείτε μια παράσταση για το μέτρο της μα γνητικής ροπήςτουσυστήματοςτωντριών κουάρκ. (Προσέχετε να χρησιμοποιήσετε τις ορθές κατευ9ύνσεις των μαγνητικών ροπών). d) Με ποια ταχύτητα υ πρέπει να κινούνται τα κουάρκ ώστε το μο ντέλο αυτό να δώσει τη σωστή τιμή της μαγνητικής ροπής του νε τρονίου; Για ακτίνα της τροχιάς χρησιμοποιήστε την τιμή r = 1,20χ 10-15m,που είναι η ακτίνα του νετρονίου. u / r / d d ΣΧΒΜΑ 28-48 28-47 Ένα μονωμένο σύρμα μήκους 35,0cmκαι μάζας m = 9,79χ 10-5kgλυγίζεται σε σχήμα Π, έτσιώστε το οριζόντιο μέρος να έχει μήκος I = 25,0cm.Τα λυγισμένα άκρα του σύρματος, που έχουν μήκος 5,0cmτο καθένα, βυθίζονται τελείως μέσα σε υδράρ γυρο που βρίσκεται σε δύο δοχεία. Το όλο σύστημα βρίσκεται σε μια περιοχή όπου υπάρχει μαγνητικό πεδίο, του οποίου το μέτρο είναι 0,0180Τ και η κατεύ9υνση κάθετη στη σελίδα και προς τα μέσα, όπως φαίνεται στο Σχ. 28-49.Ηλεκτρική επαφή ανάμεσα στο σύρμα και τον υδράργυρο γίνεται από τα δύο άκρα του σύρ ματος. Τα δοχείαυδραργύρου συνδέονται μεταξύ τους και σε σει ρά με μια μπαταρία τάσης 1,50ν και ένα διακόπτη s. ο διακόπτης χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ i'.. +Is Υδράργυρος Υδράργυρος ΣΧΗΜΑ 28-49 κλείνει και το σύρμα αναπηδά στον αέρα κατά κατακόρυφη από σταση 0,700mπάνω από την αρχική του θέση. a) Υπολογίστε την ταχύτητα υ του σύρματος τη στιγμή που αυτό χάνει την επαφή του με τον υδράργυρο. b) Υποθέτοντας ότι το ρεύμα Ι μέσα από το σύρμα ήταν σταθερό από τη στιγμή που έκλεισε ο διακόπτης μέχρι την απώλεια επαφής σύρματος - υδραργύρου, υπολογίστε το Ι. c)Αγνοώντας την αντίσταση του υδραργύρου και των συρμάτων του κυκλώματος, υπολογίστε την αντίσταση του κινούμενου σύρματος. 28-48 Είναι σχετικά απλό να εξαγάγουμε αναλυτικά την Εξ. (28-25) για έναν κυκλικό βρόχο ρεύματος. Θεωρήστε ένα δακτύλιο από σύρμα, στο επίπεδοxyκαι με το κέντρο του στην αρχή των αξό νων. Ο δακτύλιος διαρρέεται από ρεύμα I με φορά αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού, όπως φαίνεται στο Σχ. 28-50.Έστω ότι το μαγνητικό πεδίο Β είναι στην κατεύ9υνση + χ, δηλαδή Β = Β, i.(το αποτέλεσμα γενικεύεται εύκολα για Β σε μια γενική κατεύθυν ση). a) Στο Σχ. 28-50δείξετε ότι το στοιχείο dlείναι dl= R dθ( sinθi+cosθj),και υπολογίστε την dF= Ιdlχ Β. b) Ολοκληρώ στε την dFκατά μήκος του δακτυλίου για να δείξετε ότι η ολική δύ ναμη είναι μηδέν. c)Από το μέρος (a), βρείτε την dτ= r χ dF,όπου r = R (cosθi+sinθj).(Σημειώστε ότι το dlείναι κάθετο στο r.) d) Ολοκληρώστε το dτ κατά μήκος όλου του βρόχου για να βρείτε την ολική ροπή τπου ασκείται πάνω του. Δείξετε ότι το αποτέλεσμα μπορείναγραψτείωςτ = μ χΒ, όπουμ = /Α. (Δίνονται: Icos2χdx= -!χ + ± sin2χ, J sin2xdx= -!χ- ±sin2χ και Isinxcosxdx= �sin2χ.) ΣΧΗΜΑ 28-50 28-49 Ένας κυκλικός βρόχος από σύρμα έχει εμβαδόν 8,00cm2και διαρρέεται από ρεύμα έντασης 15,0Α. Ο βρόχος βρίσκε ται στο επίπεδοxy.Όπως φαίνεται από ένα σημείοτου άξονα των z, κοιτώντας προς την αρχή των αξόνων, το ρεύμα έχει φορά αντί θετη των δεικτών του ρολογιού. Η ροπή που ασκείται πάνω στον βρόχο από ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο Β δίνεται από τη σχέση τ = (1,00χ ω-3Ν · m) (-6ί+8j),και γι' αυτόν τον προσανατολι σμό του βρόχου η μαγνητική δυναμική ενέργεια U = -μ · Β είναι αρνητικ1j. Το μέτρο του μαγνητικού πεδίου είναι 2,60τ. a) Υπο λογίστε τη μαγνητική ροπή του βρόχου ρεύματος. b) Βρείτε τις συνιστώσες Β., ΒΥ και Bz του Β. 28-50 Ένας κυκλικός δακτύλιος με εμβαδόν 8,00cm2 και αμε λητέα μάζα, διαρρέεται από ρεύμα έντασης 50,0Α και είναι ελεύ θερος να περιστρέφεταιγύρω από μια διάμετρότου. Ο δακτύλιος, που είναι αρχικά ακίνητος, τοποθετείται σε μια περιοχή ομογε νούς μαγνητικού πεδίου Β που δίνεται απότη σχέση Β = (1,00χ 10-2η (3ί-4j-12k). ο αρχικός προσανατολισμός του δακτυλίου είναι τέτοιος ώστε η μαγνητική του ροπή να είναιμί = μ ( -0,600ί+0,800j),όπου μ είναι το (θετικό) μέτρο της μαγνητικής ροπής του δακτυλίου. Ο δακτύλιος αφήνεται ελεύθερος και περιστρέφε ται κατά 90,0ο, στη θέση όπου η μαγνητική του ροπή είναι μr = -μk. a) Υπολογίστε τη μείωση στη δυναμική ενέργεια του δακτυ-
- 7. λίου. b) Αν η ροπή αδρανείας του δακτυλίου ως προς μια του διά μετρο είναι 1,70 χ ιο-6 kg . m2, υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του δακτυλίου τη στιγμή που περνά από τη δεύτερη θέση. 28-51 Δύο θετικά ιόντα που έχουντο ίδιο φορτίο q αλλά δια φορετικές μάζες, m1 και m 2 , είναι αρχικά ακίνητα και επιταχύνο νται οριζοντίως από διαφορά δυναμικού V. Στη συνέχεια, εισέρ χονται σε μια περιοχή όπου υπάρχειομογενές μαγνητικό πεδίο Β κατά μήκος του άξονα των z. a)Δείξετε ότι, αν τα ιόντα μπήκαν Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α 28-52 Μια κυκλοειδής τροχιά. Ένα σωματίδιο με μάζα m και φορτίο + q είναι αρχικά ακίνητο στην αρχή των αξόνων, Σχ. 28-51.Στην περιοχή υπάρχουν ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε στην κατεύθυνση + yκαι ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο Β με κα τεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του σχήματος και προς τα ε'ξω. Απο δεικνύεται σε πιο προχωρημένα συγγράμματα ότι η τροχιάτου φορ τίου είναι μια κυκλοειδής καμπύλη,της οποίας η ακτίνα καμπυλότη ταςσταυψηλότερα σημείατηςτροχιάς είναι διπλάσιατης συντεταγ μένηςyστα σημεία αυτά. a)Εξηγήστε γιατί η τροχιά έχει γενικά αυτό το σχήμα και γιατί αποτελείται από επαναλαμβανόμενα τμή ματα. b) Αποδείξετε ότι η ταχύτητα σε κάθε σημείο είναι ίση με �- (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη διατήρηση της ενέργει ας). c)Εφαρμόζονταςτονδεύτερο νόμοτου Νεύτωνα στα κορυ φαία σημεία και παίρνοντας ως δεδομένο ότι η ακτίνα καμπυλότη τας εκεί είναι 2y,αποδείξετε ότι ηταχύτηταστα σημεία αυτά είναι ΊΕ/Β. Υ ΣΧΗΜΑ 28-51 28-53 Ένα σωμάτιο με φορτίο q =4,00μC και μάζαm = 1,00χ ιο-ιι kg κινείται αρχικά στην κατεύθυνση + yμε ταχύτητα υ0 = 3,00χ 105m/sκαι μπαίνει σε μια περιοχή όπου υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο που έχει κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του Σχ. 28-52και προς τα μέσα. Το μέτρο του πεδίου είναι 0,500τ. Η πε ριοχή του πεδίου εκτείνεται σε απόσταση 25,0cmκατά μήκος της αρχικής κατεύθυνσης κίνησης του σωματίου· 75,0cmαπό το ση μείο εισόδου στομαγνητικό πεδίο υπάρχει ένας τοίχος. Το πλάτος της περιοχής όπου δεν υπάρχει πεδίο είναι επομένως ίσο με 50,0cm.Όταν το φορτισμένο σωμάτιο εισέλθει στο μαγνητικό πεδίο, θα ακολουθήσει μια καμπύλη τροχιάτης οποίας η ακτίνα καμπυ λότητας είναι R. Μετά από χρόνο ι, το σωμάτιο εγκαταλείπει το μαγνητικό πεδίο, έχοντας υποστεί εγκάρσια απόκλιση Δχ1• Το σω μάτιο κινείται τότε στην περιοχή όπου δεν υπάρχει πεδίο και κτυ πά στον τοίχο έχοντας υποστεί ολική απόκλιση Δχ. a)Βρείτε την ακτίνα R του καμπύλου μέρους της τροχιάς. b) Βρείτε για πόσο χρόνο ι, τοσωμάτιοβρίσκεται μέσαστο μαγνητικό πεδίο. c)Βρεί τε την οριζόντια απόκλιση Δχ1 του σωματίου τη στιγμή εξόδου του από το πεδίο. d) Βρείτε την ολική οριζόντια απόκλιση Δχ. 28-54 Η ηλεκτρομαγνητική αντλία. Οι μαγνητικές δυ νάμεις που ασκούνται πάνω σε αγώγιμα ρευστά παρέχουν ένα πρόσφορο μέσο άντλησης αυτών των ρευστών. Για παράδειγμα, illO ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 803 στο μαγνητικό πεδίο κατά μήκος του άξονα τωνχ, οι συντεταγμέ νεςyτων δύο ιόντων οποιαδήποτε χρονική στιγμή ι δίνονται προ σεγγιστικάαπότη σχέση 2 ( q )"2y=Bx 8mV ' όπου m είναι η μάζατου ιόντος και με την προϋπόθεση ότι τοyεί ναι πολύ μικρότερο τουχ. b) Μπορείαυτή η διάταξη να χρησιμο ποιηθείγιατον διαχωρισμό ισοτόπων; χ ------��-----------------------Γ--L---�- �0 ΣΧΗΜΑ 28-52 μια τέτοια ηλεκτρομαγνητική αντλία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην άντληση αίματος χωρίς να προκαλείται βλάβη στα κύτταρα, όπως συμβαίνει με μια μηχανική αντλία. Ένας οριζόντιος σωλήνας με ορθογώνια διατομή (ύψος h, πλάτος w) τοποθετείται κάθετα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο μέτρου Β, ώστε ένα μήκος l του σω λήνα να βρίσκεται μέσα στο πεδίο (Σχ. 28-53).Ο σωλήνας είναι γεμάτος με υγρό νάτριο (που χρησιμοποιείται για τη μεταφορά θερμότητας στους πυρηνικούς aντιδραστήρες) και ένα ηλεκτρικό ρεύμα πυκνότητας J διατηρείται κατά μήκος της τρίτης κατεύθυν σης, που είναι κάθετη στις άλλες δύο. a)Δείξετε ότι, όταν η ρ01j τουυγρού εμποδίζεται, η διαφορά πίεσης ανάμεσα σε ένα σημείο μέσα στο υγρό πάνω στο κατακόρυφο επίπεδο που περνά από την ευθεία ab και σε ένα σημείο μέσα στουγρό πάνω σε ένα άλλο κα τακόρυφο επίπεδο που περνά από την ευθεία cd, και απέχει από στασηl απότοπρώτο επίπεδο, είναι Δp = JlB. b) Ποια πυκνότητα ρεύματος απαιτείται για να παράσχει μια διαφορά πίεσης ίση με 1,00atm ανάμεσα στα δύο αυτά σημεία αν Β = 1,50Τ και l = 0,0200m; ΣΧΗΜΑ 28-53