Introduce shortest path algorithms(Korean)

Shortest Path
HI-ARC Wonjae Kim (First Author)
1

Purpose
• 주어진 그래프에서 최단 경로를 찾자!
2

Table of Content
• Bellman-Ford
• Dijkstra
• Floyd-Warshall
• A*(extra)
3

Bellman-Ford
• Bellman Ford가 설계
• 시작점에서 모든 점과의 거리 계산
• Vertex(정점)이 N개 그래프
• 시작점에서 도착점까지 간선의 수 최대 N-1
• 모든 간선들을 N-1번 시도해본다.
• 음수 가중치가 있어도 Ok!
• 방향・무방향 Ok! •∙・
• O(V*E)
• V: Vertex
E: Edge
4

Proof Bellman-Ford
• Vertex가 N개 그래프
• V1에서최소N번을이동해야도달할수있는 VX가있다고가정.
• V1 을 제외하고 방문하는 정점의 수는 N개
• V1 포함하면 정점의 수 N+1 (모순!)
5

How it works? Bellman-Ford(1)
6
∞
∞
∞
∞
∞
∞

7
1
∞
∞
∞
∞
∞

8
1
4
2
∞
3
∞

9
1
4
2
∞
3
5

Negative Cycle Bellman-Ford
• 그래프에 존재하는 음수 사이클 파악 가능!
• 어떻게?
• 모든 간선들을 N-1번 시도해보고, 한 번 더 시도!
• 한 정점이라도 값이 감소하면 음수사이클!
10

How it works? Bellman-Ford_Negative-Cycle(1)
11
∞
∞
∞ ∞

12
-1
-3
1 4
N-1 번 후…

13
-1
-3
0 4
N 번 째! C가 바뀜!

Dijkstra
• Dijkstra가 설계
• 시작점에서 모든 점과의 거리 계산
• 현재까지 도달한 정점 중 가장 값이 낮은 것을 선택!
• Greedy Algorithm
• 음수 간선이 존재하면 불가능(하나라도!)
• 방향・무방향 Ok!
• O(V2)
• Priority Queue(우선순위 큐) 사용 시 O(V log E) 15

Dijkstra
• Dijkstra가 설계
• 현재까지 도달한 정점 중 가장 값이 낮은 것을 선택
• 선택된 노드가 도착점이면 끝!
• Greedy Algorithm
• 음수 간선이 존재하면 불가능(하나라도)
• 방향・무방향 Ok!
• O(V2)
• Priority Queue(우선순위 큐) 사용 시 O(V log E)
16

How it works? Dijkstra(1)
18
1
∞
∞
∞
∞
∞

19
1
3
2
∞
3
∞

20
1
3
2
∞
3
5

21
1
3
2
∞
3
5

22
1
3
2
∞
3
5

23
1
3
2
∞
3
5

Why it doesn’t works? Dijkstra-NegativeEdge(1)
24
2
∞
∞ ∞

25
2
4
3
∞

26
2
0
3 6
D가 B, C보다도 작아짐!

Floyd-Warshall
• 여러 사람이 설계(위키 참고)
• 모든 점에서 모든 점과의 거리 계산
• Dynamic Programming
• 음수 간선 존재해도 무방
• 음수 사이클 판별 가능
• 방향 ・무방향 Ok!
• O(V3)
28

Recursion formula Floyd-Warshall
• 최단 경로의 중간 정점들을 고려
• d(k)
ij = wij if k = 0
• d(k)
ij = min (d(k-1)
ij, d(k-1)
ik + d(k-1)
kj) if k >= 1
• i, j 는 k를 제외한 모든 수
• 구현에서는 고려할 필요 X
• Distance, Sequence Table을 관리
• Distance: 각 정점 간의 거리
• Sequence: 갱신된 k를 저장
29

How it works? Floyd-Warshall(1)
30
A B
C D
5
8 3
12
- 2 3 4
1 - 3 4
1 2 - 4
1 2 3 -
0 5 8 1
5 0 2 3
8 2 0 ∞
1 3 ∞ 0
Init

31
A B
C D
5
8 3
12
- 2 3 4
1 - 3 4
1 2 - 1
1 2 1 -
0 5 8 1
5 0 2 3
8 2 0 9
1 3 9 0
K = 1

32
A B
C D
5
8 3
12
- 2 2 4
1 - 3 4
2 2 - 2
1 2 2 -
0 5 7 1
5 0 2 3
7 2 0 5
1 3 5 0
K = 2

33
A B
C D
5
8 3
12
- 2 2 4
1 - 3 4
2 2 - 2
1 2 2 -
0 5 7 1
5 0 2 3
7 2 0 5
1 3 5 0
K = 3

34
A B
C D
5
8 3
12
- 4 4 4
4 - 3 4
4 2 - 2
1 2 2 -
0 4 6 1
4 0 2 3
6 2 0 5
1 3 5 0
K = 4

Backtraking Floyd-Warshall
• Sequence[3][1] = 4
• 3 -> 2 -> 4 -> 1
• C -> B -> D -> A
35
- 4 4 4
4 - 3 4
4 2 - 2
1 2 2 -
A B
C D
5
8 3
12

Negative Cycle Floyd-Warshall
• Bellman Ford 처럼 음수 사이클 파악 가능!
• 어떻게?
• 자기 자신과의 거리가 0 이하면 있다!
• 과정은 생략
36

A* A-star
• 요청을 받아서 간단하게 설명 (굳굳!)
• 그래프/트리 탐색 알고리즘
• BFS / DFS 처럼
• BFS / DFS 처럼 다 탐색하지 않음
• Heuristic (휴리스틱) 함수를 이용하여 개선!
• 함수를 잘 정의 / 성능 ↑
• f(n) = g(n) + h(n)
• f(n) – Evaluation Function
• g(n) – Cost Function
• h(n) – Heuristic Function
• 인공지능 수업에서 등장 
38

Example-DFS
40
15 18 19 20 E(21)
14 17
13 16 8
12 11 10 9 6 7
5
S(0) 1 2 3 4

Example-BFS
41
21 16 18 20 E(22)
19 14
17 12 10 9
15 13 11 8 6 7
5
S(0) 1 2 3 4

Example-A* DefineFunction
• Cost Function / g(n)
• 출발점(S)로부터 이동한 거리
• Heuristic Function / h(n)
• 현재 위치와 도착점간의 Manhattan Distance(맨해턴 거리)
• Manhanttan Distance = ( ∣x1-x2∣ + ∣y1-y2∣ )
• Evaluation Function / f(n)
• g(n) + h(n)
42

Example-A*
43
13 14 15 E(16)
12
11 10 8
9 6 7
5
S(0) 1 2 3 4

Summary
• Bellman Ford
• O(VE)
• 한 정점에서 모든 정점 간의 거리
• 음수 사이클 판정 가능
• Dijkstra
• O(V2) – O(VlogE)
• 한 정점에서 모든 정점 간의 거리
• 음수 간선 있으면 최적거리 못 구함
• Floyd-Warshall
• O(V3)
• 모든 정점에서 모든 정점 간의 거리
• 음수 사이클 판정 가능 44

45
추천 문제는 카페에 

Reference
• Graph Image 1
• http://cs.stackexchange.com/questions/18138/dijkstra-
algorithm-vs-breadth-first-search-for-shortest-path-in-graph
• Graph Image 2
• http://cs.stackexchange.com/questions/14248/what-is-the-
significance-of-negative-weight-edges-in-a-graph
46

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