하스켈 성능 튜닝 2

목 차
1. 상황 요약
2. 성능 개선
3. 새로운 방법
4. 결론

예시로 들었던 문제
온라인 저지 사이트 ALGOSPOT
문제 ID: WEIRD (https://www.algospot.com/judge/problem/read/WEIRD)
In mathematics, weird numbers are natural numbers that are abundant but not semiperfect. In other words, a
natural number N is a weird number if and only if:
• Sum of its proper divisors (i.e. less than N ) is greater than the number.
• No subset of its divisors sum to N.
For example, the set of proper divisors of 12 is { 1, 2, 3, 4, 6 } . The sum of these numbers exceed 12, however,
12 is not a weird number since 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
However, 70 is a weird number since its proper divisors are {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35} and no subset sums to 70 .
Write a program to determine if the given numbers are weird or not.

이전에 썼던 알고리즘
• S(N)을 알면 abundant 검사는 단순하다
• semiperfect 검사는 0-1 knapsack 문제
• 약수들은 정수이므로 다이나믹 프로그래밍으로 해결 가능
• 𝑆 𝑁 = 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑘 (𝑠1 ≤ 𝑠2 ≤ … )
• 𝑇 𝑖, 𝑗 = 𝑆 𝑁 의 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑖 까지 써서 만들 수 있는, j 이하의 최대 합
• 𝑇 𝑖, 𝑗 =
0 𝑖 = 0
𝑇 𝑖 − 1, 𝑗 𝑠𝑖 > 𝑗
max 𝑇 𝑖 − 1, 𝑗 , 𝑇 𝑖 − 1, 𝑗 − 𝑠𝑖 + 𝑠𝑖 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
• 𝑇 𝑘, 𝑁 = 𝑁 이면 N은 semiperfect

불리언 문제로 변환
• S(N)을 알면 abundant 검사는 단순하다
• semiperfect 검사는 0-1 knapsack 문제
• 약수들은 정수이므로 다이나믹 프로그래밍으로 해결 가능
• 𝑆 𝑁 = 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑘 (𝑠1 ≤ 𝑠2 ≤ … )
• 𝑇 𝑖, 𝑗 = 𝑆 𝑁 의 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑖 까지 써서 만들 수 있는 최대 합이 j인가?
• 𝑇 𝑖, 𝑗 =
𝑇𝑟𝑢𝑒 𝑖 = 1, 𝑗 = 1
𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒 𝑖 = 1, 𝑗 ≠ 1
𝑇 𝑖 − 1, 𝑗 𝑠𝑖 > 𝑗
𝑇 𝑖 − 1, 𝑗 𝐴𝑁𝐷 𝑇 𝑖 − 1, 𝑗 − 𝑠𝑖 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
• 𝑇 𝑘, 𝑁 = 𝑇𝑟𝑢𝑒 이면 N은 semiperfect

이전 0-1 KNAPSACK 코드
Knapsack :: Int -> Uarray Int Int -> Int -> UArray Int Int
knapsack n divs len = a 0 (runSTUArray $ newArray (0,n) (0::Int)) where
a prevRow prevA
| prevRow == len = prevA
| True = currA `seq` a (prevRow+1) currA where
currA = runSTUArray $ newListArray (0,n) [w `seq` (v `seq` v) | w <- [0..n],
let ith = divs ! prevRow, let v = maximum [at w, ith + at (w-ith)]]
at w = if w < 0 then -n else prevA ! w
필요없는 배열이 바로 가비지 컬렉션되지만, 매 호출마다 새 배열을 생성한다

수정된 0-1 KNAPSACK 코드
knapsack :: Int -> [Int] -> Bool
knapsack n divs =
let ary = runSTUArray $ do
ary <- newArray (1,n) False
writeArray ary 1 True
forM_ divs i -> do
forM_ [n,n-1..i+1] $ j -> do
x <- readArray ary j
y <- readArray ary (j-i)
writeArray ary j (x || y)
writeArray ary i True
return ary
in ary ! n
• 약수들의 배열에서 1은 제외
(base case로 직접 처리)
• 단 하나의 배열 ary 사용
• C 코드처럼 보인다
• IO 모나드 안도 아닌데 ary가 변경 가능?
• knapsack은 순수 함수가 맞다
• Rank-2 type 덕에 가능
• 자세한 설명은 다음 기회에…

knapsack n divs =
forM_ divs i -> do
forM_ [n,n-1..i+1] $ j -> do
만약 (ary ! n = True) 이면 여기서
종료
return ary
in ary ! n
• forM, forM_은 무조건 모든 액션을 수행한다
• 일부 약수만으로 N을 완성할 수 있으면
더 계산할 필요가 없다
• C의 break 같은 구문은 없나?
• MonadPlus의 guard가 그런 역할
• 하지만 forM은 Monad에 대해 정의됨
• forM_ :: Monad m => [a] -> (a -> m b) -> m ()
• class (Monad m) => MonadPlus m
• guard 적용 불가

for :: Monad m => [a] -> (b -> Bool) -> (a -> m b) -> m [b]
for [] _ _ = return []
for (x:xs) test f = f x >>= y ->
if test y
then for xs test f >>= ys -> return (y:ys)
else return []
knapsack n divs =
for divs not i -> do
form_ [n,n-1..i+1] $ j -> do
fin <- readArray ary n
return False
return ary
in ary ! n
• 중간에 멈출 수 있는 for를 직접 구현
• 액션을 실행할 때마다 모나드 내부의 값을 추출한다
• 추출한 값에 test 함수 적용한 결과가 False면 정지
• 루프 조기 탈출을 구현

성능을 측정해보자
• 또다시 N = 500000에 대해 테스트
• 메모리 사용 18MB -> 1MB
• 실행 8.94초 -> 0.19초

이건 통과를 안 할 수가 없다
응 아냐

모든 수단을 활용했다
• 철저한 평가(Strict Evaluation)
• 초고속 계산을 위한 불리언 원시 타입
• 불필요한 값 생성 방지
• 탐색 공간 줄이기

계산 테이블 재고
N = 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s2 = 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
s3 = 3 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6
s4 = 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10
s5 = 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
• N = 12인 경우 총 계산: 6 * 12 = 72칸 / 실제 필요한 계산: 23칸
• N = 18인 경우 총 계산: 5 * 18 = 90칸 / 실제 필요한 계산: 25칸

알고리즘 대격변
knapsack2 n divs = f [n] divs where
f xs [] = any (== 0) xs
f xs (d:ds) =
let ys = filter (>= 0) (map (x -> x - d) xs)
in f (ys ++ xs) ds
• 약수 리스트에 다시 1 포함
• 약수는 큰 것부터 계산 (knapsack2를 호출할 때 약수 리스트를 뒤집어서 전달)
• 그런데 중복 원소가 있으면?
• 그냥 중복 계산 – 걸러내는 게 더 오래 걸린다

knapsack2 n divs = f [n] divs where
f xs [] = any (== 0) xs
f xs (d:ds) =
let ys = filter (>= 0) (map (x -> x - d) xs)
in if (any (== 0) ys) then True else f (ys ++ xs) ds
• 역시 조기 탈출 구현

knapsack2 n divs = f [n] divs (sum divs) where
f xs [] _ = any (== 0) xs
f xs (d:ds) lim =
let ys = filter (y -> 0 <= y && y <= lim) (map (x -> x - d) xs)
in if (any (== 0) ys) then True else f (ys ++ xs) ds (lim-d)
• 분기 한정(Branch and Bound)
• 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑘 의 부분합으로 M을 만들어야 하는데 sum 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑘 < M 이면 애초에 만들 수가 없다

SUPER FAST
main = do
forM_ [2..500000] $ i -> do
when (weird i) (print i)
• 2에서 50만까지 전수 검사해도 6.68초
• 메모리 사용량은 14MB

그런데
• 철저한 평가(Strict Evaluation)
• 표현식이 너무 길어지기 전에 계산을 강제로 수행
• 원시 타입(Unboxed type)
• 정수 표현에 C와 같은 바이트 사용
• 테이블의 두 행만 메모리에 유지
• 필요없는 행은 바로 가비지 컬렉션이 되도록
다 안씀

결론
그냥 알고리즘을 잘 짜자

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