![УДК [373.5 : 372.85Щ512.1 + 517.1]
ББК 22.141я721.6
М52
Рекомендова но
Міністерством освіти і науки України
(лист від 09.08.2010 № 1/11-7525)
Мерзляк А. Г.
М52 Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. з поглибле-
ним вивченням математики / А. Г. Мерзляк, Д. А. Поміров-
ський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — X . : Гімназія, 2010. —
415 е.: іл.
ISBN 978-966-474-103-0.
УДК [373.5 : 372.851Ц512.1 + 517.1]
ББК 22.141я721.6
© А. Г, Мерзляк, Д. А. Номіровський,
В. Б. Полонський. М, С. Якір. 2010
© С. Е. Кулигшч, художнє оформлення, 2010
ISBN 978-966-474-103-0 © TOB TO «Гімназія», оригінал-макет, 2010](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-2-320.jpg)
![1. Задачі на повторення курсу алгебри 8~9 класів
п, 2х-1 , Нх-1 х - 1о) — + — = - + 4;
х+1 х+2 х - 1
.. xz
+2x + 2 , хг
+8х + 20 х2
+4х + & , х2
+6х+124 І 1 — }- *
х + 1 х + 4 х + 2 х + 3 *
Ь )
І х~2 | - 1 А
'
6 ) | | 8 - ж | - * + 1 | + * = 6.
1.46. Розв'яжіть рівняння:
11 4 а 2х а - 2 4а - 2а2
_ п
' х-3 2 ' ' 2х + а 2х-а 4х2
-а2
1.47. Розв'яжіть рівняння —- = .
х2
-16 х-4 4 + х
1.48. Розв'яжіть нерівність:
1) (х2
- 6х + 5) (3* - І)2
> 0;
2) (X2
- 6х + 5) (Зх - І)2
< 0;
3) (де2
— X ~~ 2) (х2
- 4х + 3) > 0;
(х + Щх-2)4
(х+3) „}
(х-7)(1-3х) >{Г
'
Сч х3
+ х2
+3х + 3 ^ п
— р — і
хг
-6х + 7
І «І(х-2)3
6 )
х + 3 ( х - 4 ) > 0
'
7) (д; + 7) л/jc + л:2
-20 > 0;
9)
х + 1 х - 4
Ю)
Х + 1 1 — JC-
11) (X2
+ Зх + 1) (х2
+ Зх - 3) > 5;
2х + 3
х2
+3х
12) (хг
+ 3х)(2х + 3)-16. 2
f +
„3
> 0 ;
13) a g +
' v 1 |
> n
14) (1±4<2±ї)>-3х;
х X J — 2
15) 1 х2
- Зх | + х - 2 < 0;
16) ] х2
+ Зх ] > 2 - X 2
.
9](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-9-320.jpg)
![§ 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів
Властивості функцій
1.68. Знайдіть область визначення функції:
1) У =
V l 7 - l 5 x - 2 x ^
х + 3
2) у = УІ12х2
-4х3
-9х-у]2-х.
1.69. Знайдіть область визначення функції:
Г 7 - , .
І4х2
-19х + 12 '
2) у = ij X -11 (Зх—6) + -х2
+4х-2і'-
1.70. Знайдіть область значень функції:
1) у = ~~і 3) у = УІх2
+ 2х + 2;
X Т ^
2) у = х + - 4) и = 5-л/жг
-6ж + 10.
1.71. Знайдіть область значень функції:
1 } 3 )
2) = х + 4) y = 3-Vxa
-2x + 2.
1.72. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
1
У •
X -4х + 10
1.73. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
2
JX — 6х +11
1.74. Знайдіть:
1 X2
1) max 2) min , де М = (-«; -1) U (1; +«).
к х2
+ 2 м , / х 2
- 1
1.75. Знайдіть:
11) min-
и -х'Чгх-з
2) max {yf2—x + л/х+ї), де М = [ - 1 ; 2].
м
1.76. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше
і найменше значення функції f на множині М :
1) f (х) = X2
+ 4х + 5 а , М = [-1; 1];
2) f (х) = X2
- 4х, М = [-1; а], де а > -1.
12](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-12-320.jpg)
![1. Задачі на повторення курсу алгебри 8~9 класів
1.77. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше
і найменше значення функції f на множині М:
1) f (х) = -ж2
+ 6* - 2 а , М = [0; 4];
2) f (х) = 2X - X2
, М = [а; 2], де а < 2.
1.78. Розв'яжіть рівняння -fx +2лІх + 3 +Jx + S =8.
1.79. Розв'яжіть рівняння Злг2
+ Vx-1 + 2 -Jx + 2 =17.
1.80. Розв'яжіть рівняння | х | + j х-2 + У!Х-1=2.
1.81. Розв'яжіть рівняння 2х^Ах-х2
=хг
+ 4.
1.82. Дослідіть на парність функцію:
І 2 Х - 1 Н | Ї ± 1 ] ! , | , М Г
* -4 л/1-jc-Vl + jf
1.83. Дослідіть на парність функцію:
14 X5
1) y~-f==—
V2-je - л/2 + дг
2) у = ^ + і—j-;
(4л:-2)5
(4x + 2)s
2л:+ 1 2х-1
3) у = —; j .
х -Зх + 1 х +3х + 1
1.84. Відомо, що D (f) = 3L Доведіть, що функції у = f (лс) + f (-лг)
і у = f (х) • f (-х) є парними, а функція у - f (х) - f (-х) —
непарною.
1.85. Побудуйте графік функції:
1)г/ = (|*|-1)2
; 4) У=уІх+2-1;
2) y = Jl-x j; 5) у= VI* 1-2-11;
3) 6) і,=|>/аГТ-2|.
1.86. Побудуйте графік функції:
1 } V =
W T 2 ;
4)у = ( | х - 2 | + І)2
;
2) И
1
Х — 4
5) 1
- 2
1
з) У=ІХ+|_2; 6) Ї/=|72^П-2|Я
13](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-13-320.jpg)
![§ 2. Елементи математичної логіки
З іншими тавтологіями ви ознайомитесь, розв'язуючи впра-
ву 2.14.
Наголосимо, що тавтології дозволяють нам будувати істинні
висловлення, тому вони найбільш цікаві для логіки.
Вправи
2.1.° Які з даних речень є висловленнями:
1) 5 > 5;
2) X < 5;
3) що більше, sin 30° або cos 45°?
4) якщо чотирикутник ABCD є паралелограмом, то AB = CD;
5) число 1 не є простим і не є складеним;
6) неправильно, що 5 є дійсним числом;
7) усі кішки сірі;
8) функція g є парною?
2.2." Нехай f — функція істинності. Знайдіть f (А), якщо:
1) А = {число 2 — просте};
2) А а {рівняння X2
+ X - 1 = 0 не має коренів};
3) А = {Нью-Йорк — столиця США};
4) A = {V5€Q};
5) A s {Q с К};
6) А є {функція у = [л;] є парною};
7) А Е {функція у = А є спадною}.
2.3.° Дано два висловлення:
А = {5 < 6}, В е {6 — просте число}.
Визначте, істинним чи хибним є висловлення:
1) А Л В; З ) А = > В ; 5) Ä;
2) А V В; 4) А «=> В; 6) В.
2.4.° Дано два висловлення:
A s {2 = 3}, В = {2 — просте число}.
Визначте, істинним чи хибним є висловлення:
1) А Л В; 3) А => В; 5) А;
2) А V В; 4) А <=> В; 6) В.
24](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-24-320.jpg)
![§ 2. Елементи математичної логіки
ці твердження перетворюються на істинні висловлення, при
інших — на хибні.
Говорять, що такі твердження залежать від змінних. їх на-
зивають предикатами.
Позначимо предикати, що розглядаються, відповідно так:
А (о) = [п — просте число};
В (а) = {число а ділиться націло на 5};
С (у) = {| у І < 2 };
D (х; у) Е {* + у = 1}.
У круглих дужках вказано змінні, від яких залежить предикат.
Якщо в предикат замість змінної підставити яке-небудь її зна-
чення, то буде отримано висловлення. Наприклад:
• А (2) — істинне висловлення;
• В (4) — хибне висловлення;
• С (5) — хибне висловлення;
• D (0; І) — істинне висловлення.
Розглянемо множину М і деякий предикат Р (ж), де X є М.
У цьому разі говорять, що предикат Р (я) задано на множині М
або множина М є областю визначення предиката Р (х).
Повертаючись до розглянутих вище прикладів, можна сказати,
що областю визначення предиката А (тг) є множина предика-
та В (а) — множина Z, предиката С (у) — множина Ж, предика-
та D (х; у) — множина всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
У множині М , на якій задано предикат Р (х), виділимо таку
підмножину, яка містить всі ті і тільки ті елементи, для яких
предикат Р (х) перетворюється на істинне висловлення. Цю мно-
жину називають областю істинності предиката Р (х) і позначають
відповідно буквою Р.
Наприклад, областю істинності предиката А (п) є множина А,
яка складається з усіх простих чисел. Для предиката С (у) маємо:
С = [-2; 2].
Якщо область істинності предиката збігається з його областю
визначення, то такий предикат називають тотожно істинним, а
якщо область істинності — порожня множина, то предикат нази-
вають тотожно хибним. Наприклад, Р (х) з {х - х = 0} — тотожно
істинний, a Q (х) = {х2
+ 1 ='0} — тотожно хибний предикати, які
визначено на множині R.
Предикати існують не тільки в математиці. Наприклад, речен-
ня «футболіст X команди «Динамо» (Київ) у сезоні 2009—2010 pp.
забив 17 голів» є предикатом, заданим на множині футболістів
команди «Динамо» (Київ), які грали в зазначеному сезоні. Облас-
30](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-30-320.jpg)
![3. Предикати. Операції над предикатами
тю істинності цього предиката є одноелементна множина {Артем
Мілевський}.
Нехай предикати A (ж) і В (х) задані на множині М і їх області
істинності дорівнюють відповідно А і В.
О з н а ч е н н я . Предикати А (х) і В (х) називають рівноснльии-
м и, якщо їх області істинності збігаються, тобто А - В.
Пишуть А {х) н В (х).
Наприклад, якщо А (х) з {%/х >о І В (ж) = {| х | = х}, то А (je) s
s В (х). Справді, тут А = В = [0;
Логічні операції над висловленнями природним чином поши-
рюються на предикати. Розглянемо деякі логічні операції над
предикатами.
О з н а ч е н н я . К о н ' ю н к ц і є ю предикатів А (х) і В (х) називають
предикат, область істинності якого дорівнює А П В.
Кон'юнкцію предикатів А (х) і В (х) позначають так:
А (х) Л В (ж).
Наприклад, якщо А (ж) = {ж > 5}, В (х) = {х < 7}, то кон'юнкція
цих предикатів являє собою систему
І* >5,
множина розв'язків якої, проміжок (5; 7], є областю істинності пре-
диката А (х) Л В (je). Також можна записати А (х) Л В (х) = {5 < JC < 7}.
О з н а ч е н н я . Д и з ' ю н к ц і є ю предикатів А (*) і В (х) називають
предикат, область істинності якого дорівнює A U В.
Диз'юнкцію предикатів А (х) і В (х) позначають так:
А (х) V В (ж).
Наприклад, якщо А (х) а {х < -5}, В (х) = {х > 5}, то диз'юнкція
цих предикатів являє собою сукупність
х<~5,
ж >5,
множина розв'язків якої, (-»; -5) U (5; +<»), є областю істинності
предиката А (ж) V В (je). Також можна записати А (х) V В (х) ^
= {| X і > 5}.
О з н а ч е н н я . І м п л і к а ц і є ю предикатів А (ж) і В (х) називають
предикат, який перетворюється в хибне висловлення для тих
і тільки тих елементів множини М, для яких предикат А (х) стає
істинним висловленням, а предикат В (х) — хибним.
31](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-31-320.jpg)
![3. Предикати. Операції над предикатами
3.5." Укажіть область істинності предиката
А (х) а {[X] > х},
заданого на множині К.
"3.6.0
Зобразіть на координатній площині ху область істинності
предиката
B(x;y) = {jx2
y2
=ху,
заданого на множині всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
3.7.* На множині Е задано предикати Р (х) = {х - 5 = 0},
Q (де) = {х + 2 = 0}. Знайдіть рівняння, що задає предикат:
1) Р (X) A Q (X); 2) Р (X) V Q (х).
3.8." На множині К задано предикати
Р (х) s{x* 5}, Q (х) = {х* -2}.
Укажіть область істинності предиката:
1) P(x)AQ (X); 2) Р (х) V Q (х).
3.9.* Предикати А (л) = {ге і 10}, В (ге) = {ге : 5} задано на множині N,
Укажіть область істинності предиката А (ге) => В (ге).
3.10.* Предикати Р (х) = {| х | = -1}, S (х) = {х + 3 = 0} зада-
но на множині R. Укажіть область істинності предиката
Р (х) =» S (х).
3.11." На множині К задано предикати Р (х) з {х > 2}, Q (х) =
s {х > 5}. Укажіть область істинності предиката:
1) р (х) => Q (х); 2) Q (х) => Р(х).
3.12.* На множині К задано предикати Р (х) = {х > 2}, Q (х) =
я {х < 5}. Укажіть область істинності предиката:
1) Р (X) => Q (X); 2) Q (X) => Р (х).
3.13." Множини А і Б — області істинності предикатів А (х)
І В (х), заданих на множині М (рис. 3.2). Заштрихуйте область
істинності предиката:
1) А (х) Л В (х); 2) А (х) V В (х); 3) А (х) => В (х).
М
0 ®
а)
Рис. 3.2
37](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-37-320.jpg)
![§ 2. Елементи математичної логіки
3.14/ Серед предикатів, заданих на множині R, укажіть рівно-
сильні:
А (ж) = (-хг
= 2); С (X) = {[ж] > ж};
В (ж) = {(ж - З)2
> 0}; D (ж) — {sgn (ж2
- 6ж + 9) = 1}.
3.15." Серед предикатів, заданих на множині всіх упорядкованих
пар дійсних чисел, укажіть рівносильні:
А (о; =ab}; С (а; b) = {| ab = ab);
В (а; b) = [ab > 0}; D (а; V) = {ab > 0}.
3.16.* Предикати А (ж), В (ж) і С (ж) задано на множині М. До-
ведіть, що:
1) (А (ж) Л В (ж)) А С (ж) s А (ж) А (В (ж) А С (ж));
2) (А (ж) V В (ж)) V С (ж) а А (ж) V (В (ж) V С (ж));
3) А (ж) V (В (ж) А С (ж)) = (А (ж) V В (ж)) А (А (ж) V С (ж));
4) А (ж) л В (ж) = А (ж) V Б (ж);
5) А (ж) V В (ж) = А(х)лВ (ж).
3.17.* Укажіть істинні висловлення:
1) (Уж є R) І ж І > ж; 4) (Vn є N) (п3
- п) і 6;
2) (Зж є R) І ж j < 0; 5) (Зж є R) sin 2ж = 2 sin ж.
3) (Vn є N) п < п2
;
3.18." Предикат А (р) н {р — непарне число} задано на множині
простих чисел Р. Укажіть істинне висловлення:
1) (Vp є Р) А (р); 2) (УрєР)А(р); 3) (Зр є Р)
3.19.* При яких значеннях ж є істинним висловлення:
же N А ж > 1 А (Уу є N) ((ж : у) => (у = 1 V у = ж))?
3.20.* Для теореми «якщо деяке натуральне число ділиться наці-
ло на 5, то його квадрат ділиться націло на 25» сформулюйте
обернену теорему, протилежну теорему, обернену до проти-
лежної.
3.21." Для теореми «якщо в довільному опуклому чотирикутнику
суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати
коло» сформулюйте обернену теорему, протилежну теорему,
обернену до протилежної.
38](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-38-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
Функція у - хп
, де п — парне натуральне число, є парною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність (-ж)2
* - X2
".
Розглянемо довільні числа Xj і х2 такі, що хх є ( — 0 ] ,
х2 є (-<»; 0] і xt < х2. Тоді ~х > ~х > 0. Скориставшись власти-
вістю ЧИСЛОВИХ нерівностей, отримуємо (—Xj)2
* > (—Х2)2
Звідси
x f > x f .
Отже, функція у - х", де п — парне натуральне число, спа-
дає на проміжку (-»; 0]. Аналогічно можна показати, що ця
функція зростає на проміжку [0; +«=).
У = х",
п — парне
натуральне
число
1
Рис. 4.1
Уі
1 1
1
J
— if X
Рис. 4.2
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік
функції у = х", де п — парне натуральне число (рис. 4.1). Зокрема,
графік функції у = Xі
зображено на рисунку 4.2.
• Другий випадок: п — непарне натуральне число.
Зазначимо, що при п = 1 отримуємо функцію у = х, властивості
і графік якої були розглянуті в 7 класі.
Тепер нехай п = 2k + 1, k є N.
Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення
Ob 4 І
аргументу X, що х = а.
Ч> Сказане означає, що областю значень функції у = х", де п —
непарне натуральне число, є множина R.
Якщо X < 0, то х2к+ 1
< 0; якщо х > 0, то х2к + 1
> 0.
Отже, проміжки 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталос-
ті функції у = х", де п — непарне натуральне число.
4j> Функція у = х",де п — непарне натуральне число, є непарною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність (-х)2
*+1
= ~x2k+
40](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-40-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
відносно осі ординат, отримаємо рисунок 4,6. Для непарних m i n
застосуємо симетрію відносно початку координат (рис. 4.7).
т і п — парні натуральні числа, m i n — непарні
т > п натуральні числа, т > п > 1
Рис. 4.6 Рис. 4.7
У таблиці наведено властивості функції у = х", п є N, уста-
новлені в цьому пункті.
п — парне
натуральне число
п — непарне
натуральне число
Область
визначення
К R
Область
значень
[0; +«) Ж
Нулі функції ж = 0 X = 0
Проміжки
знакосталості
У > 0
на кожному
з проміжків
(-оо; 0) і (0; +«)
У < 0
на проміжку {-»; 0),
у > о
на проміжку (0; -Н»)
Парність Парна Непарна
Зростання /
спадання
Спадає на проміжку
(-«>; 0], зростає на
проміжку [0; +»)
Зростаюча
42](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-42-320.jpg)
![4. Степенева функція з натуральним показником
Ї
х3
, якщох<0,
-л/х, якщо х > 0 .
• [користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зрос-
тання і проміжки спадання даної функції.1.26.* Побудуйте графік функції:
1) У = 1 * І *4
; 2) у = I X I X4
+ я5
.
1.27.*Побудуйте графік функції:
1) у = І X І X а
; 2) у = I X I X 4
- X 5
.
4.28." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) — Xs
на проміжку:
1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (-«; -2]; 5) (-2; 1).
4.29.* Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) - х6
на проміжку:
1) [-13; -1]; 2) [-2; 1]; 3) [1; 4) (1; +-).
4.30.* Парним чи непарним натуральним числом є показник сте-
пеня п функції f (х) = хл
, якщо:
1) f ( - 4 ) > f ( - 2 ) ; 4 ) f ( 4 ) > f ( 2 ) ;
2) f (-4) < f (2); 5) f (-4) > f (2);
3) / (-4) < f (-2); 6) f (4) > f (-2)?
4.31." Знайдіть усі функції f такі, що рівність f (х3
) = х21
вико-
нується для всіх X є R.
4.32." Знайдіть усі непарні функції f такі, що рівність f (х6
) = х24
виконується для всіх X є R.
4.33." Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f (х4
) = х20
виконується для ВСІХ X є М.
4.34." Розв'яжіть рівняння:
1) X 1 1
+ X 3
= 2; 2) 2х4
+ х10
= 3.
4.35." Розв'яжіть рівняння:
1) 4х3
+ X 7
= -5; 2) X 6
+ Зх8
= 4.
4.36." Знайдіть найбільше і найменше значення функції
f (ж) = X8
на проміжку (-1; а], де а > —1,
4.37." Знайдіть найбільше і найменше значення функції
f (х) = X6
на проміжку [а; 2], де а < 2.
4.38.* Розв'яжіть рівняння 5х17
- Зх8
= 2.
45](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-45-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
5.14.° Знайдіть точки перетину графіків функцій:
1) У = X і у ~ X ;
о -2 • 12) у = X і у = -ж.
5.15," Знайдіть точки перетину графіків функцій у = ж 7
і і/ = х 4
.
5.16." Побудуйте графік функції:
1)у = х 2
+ 2 ; 4> ^ = jc 3
- 1;
2) у = (* - З)"2
; 5) і/ = (х ~~ І)"3
;
6) у = З* 3
;з) »
7) у = І ж"3
1;
8 ) у = І ж - 1 Г 3
;
9 ) У = - | Ц .
5.17." Побудуйте графік функції:
1)У = Х
2 ) у = 4 * 5
;
3; 3) у = <х + 1)-
4) у =
5) у = І ж"5
6) ї/= 1
X2
І де І
5.18." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = х
на проміжку:
1)
М 2) [-4} 3) [1; 4) [—1; 0).
5.19." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = х 3
на проміжку:
1)
[И 2 ) [ - 2 ; - 1 ] ; 3 ) - 3 ] ; 4 ) ( 0 ; 2].
5.20." Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь
1)
у = х
у = 4-х2
;
5.21. Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь:
2) Г * Л
1)
У = х ,
1 2 , 2)
І У = х ,
{.У = х2
~2.
5.22." Побудуйте графік функції f (х) =
X , якщо X
X2
, якщох>-1.
Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки
зростання і проміжки спадання даної функції.
х-3
, якщо X < -1,
5.23." Побудуйте графік функції f (х) = < -х2
, якщо -1 < х < 1,
х-3
, якщох>1.
Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки
зростання і проміжки спадання даної функції.
54](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-54-320.jpg)
![6. Означення кореня л-го степеня
« І .
1
. 2
11.5.
1
0.0.
1
0.7."
1
2
З
0.8."
1
2
6.9.
1
2
0.10
1
0.11
1
2
З
0.12
1
2
З
Ї7- 4) -8 5 г и .
V 1024'
5) ^27*;
6)
5) l ^ t f ;
6)
Чому дорівнює значення виразу:
/343; 3) 0,5 л/—64;
58
8 1 '
Обчисліть:
(л/її)И
; 3) М / т Т ; 5) -іІТ*; 7)(-3*/lÖ)4
; 9 ) ^ ^ 4 8 ^ .
ЇЙ
т 3
; 6)(5^з)3
; S ) ^ ) 6
;
Знайдіть значення виразу:
№ ) 8
; 3) Ш Г ;
Ш і 4) (|^45)%
Обчисліть:
0,3 ?/і000-5^/256 + 6 - Р ^ б Г ;
+ (-2 л/їо)2
- V—128;
V 256 У 32 16 2 /
Обчисліть:
200 ф,001 - ^/-0,00032 - (-4 V ä f ;
v/8000 - 4/7^ - (-^8 f + </Ї7
V 81
При яких значеннях змінної має зміст вираз:
^Тб; 3) і]у (у-1); 5)
/а-10; 4) ^ ї ; 6) ^х2
+2х-8?
Знайдіть область визначення функції:
y = 2) у = Ч4-х; 3) у = 2х~х"; 4) у =
Розв'яжіть рівняння:
ж3
= 27; 4) ж4
= 16;
ж3
= 9; 5) ж® = 5;
ж7
= -2; 6) X* = -81;
Розв'яжіть рівняння:
ж9
= 1; 4) хІв
= 0;
t
хв
= 12;
х10
=1;
5) X5
= -32;
6) X6
= -64;
X -4л;+ 4
7) 27*3
- 1 = 0 ;
8) (ж - 2)3
= 125;
9) (ж + 5)4
= 10 000.
7) 64л:5
+ 2 = 0;
8) (2х + І)3
= 8;
9) (х - З)6
= 729.
59
2](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-59-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
Т е о р е м а 7.4 (степінь кореня). Якщо а > 0, п є N, k в N,
п > 1, то
Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є оче-
видною.
Нехай k > 1. Маємо: = ^ • ^ . . . . • Vö= qfo • а •... • а = tfcf. •
^ — • „ — • — - — ' j
* МНОЖНИКІВ h множників
Т е о р е м а 7,5 (корінь з кореня). Якщо а > 0, п є N, k є N,
п > 1, k > 1, то
Доведення. Маємо: ф / а >0.
Крім того, =(Vö)*=o. •
Т е о р е м а 7.6. Якщо а > 0, п є N, k є N, п > 1, то
Доведення. Якщо k - 1, то рівність, що доводиться, є оче-
видною.
Нехай k > 1. Маємо: = ф]а* = А
з І —
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу: 1) ^/16 • л/2; 2)
3J375
Розв'язання
1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо:
^ . ^ 2 = ^16-2=^32=2.
2) Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), ма-
тимемо:
л/І4 . Г 2 Г = 3 П Г _ 2
. V375 і25 5' *
ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз: 1) l
fä*; 2) 3) 4) « / я V ,
якщо д; > 0 і у < 0.
Розв'язання. Застосуємо теореми 7.5 і 7.1.
1) 3 умови випливає, що а > 0. Тоді
62](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-62-320.jpg)
![7. Властивості кореня гс-го степеня
7.12.' При яких значеннях о виконується рівність:
1) $fä*=a;
2) tfa*=-a;
3) Ja* = а;
4) № =
5) fa-5)3
)';
6) yj(a - 5)4
= (л/ö^ö)4
;
7) 2)4
8) ^/а (а -1) = л/а - ^(1 - а);
9) = а—4;
Ю) =
7.13.' При яких значеннях а виконується рівність:
1 2 ) ^ = -а5
; З = 4) =
7.14.* При яких значеннях а і Ь виконується рівність:
1) 3) = 5) =
2) ifäb = $Pä-iPb; 4) =
7.15." При яких значеннях ж виконується рівність:
1) $Іхг
-4 = і]х~2-ІІх + 2;
2) %](х-3)(7-х) = Ух-3-$І7-х;
3) «/(*-бНх-ІО^^х^б-л/х-Ю;
4) ^(х + 1)(х + 2)(х + 3 ) = ^ л Г ^ - ^ х + 2-^/х + 3?
7.16." Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить
знака кореня:
1) 3) V«18
; 5) yjm16
;
2 ) 4 ) , 4 ^ ° ; 4 ) ^ " ; 6) ^(х-5)'2
.
7.17." Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить
знака кореня:
2) 3) 4) і
т - у ) и
.1) 1 , 2 ^ ; уу
7.18.* Спростіть вираз:
1) л/т® якщо т > 0;
2) якщо п < 0;
3) ^16р якщо р > 0;
4) /256fe8
, якщо ft < 0;
5)
6) jo,25bu
, якщо і> < 0;
7) - Я К І
Ч0
f > 0;
8) 70,01a V якщо a < 0, > 0;
9) -1,2х л/б4хм
, якщо х < 0;
10)
4/ ЇВ, 28 32
у/а Ь с
а о с
, якщо о > 0, b < 0.
65](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-65-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
7.19.' Спростіть вираз:
1) ^625а24
; 5) -0,1 000 000г42
, якщо г > 0;
2) </0,0001&20
, якщо Ь > 0; 6) 1
$т36
п60
, якщо т < 0, п < О;
3) -5 yfÄx*, якщо ж < О; 7) ab2
^ ^ V V 4
, якщо Ь > 0, с < О;
gm3 4 І 40
4) ^p30
q40
, якщо р > 0; 8) ]}25бтм' якщо т < 0, k > 0.
7.20.* При яких значеннях а виконується нерівність:
1) 2)
7.21.' Спростіть вираз:
1) [а* + а, якщо а > О; 3) s/o^ + Vö4
;
2) якщо а < 0; 4) -Уа2
- л/а7
.
7.22.* Розв'яжіть рівняння:
1) фх + 4? = х + 4; 3) $J(x2
-2x-3f = 3 + 2х-х2
.
2) t](l-3x)8
=(1-3х)2
-,
7.23.* Спростіть вираз:
1) ^/(Тб-2)3
; 2) 3) ^ Ш - S f i 4)
7.24.' Спростіть вираз:
1) 2) І Ш - J E f ; 3) І Ш - З ) 3
; 4) ^ / 7 - з )
7.25.* Побудуйте графік функції:
1) у = ЇІ7-х; 4) y = !](x-2)s
; б) у = - і + 2 ;
2) у = 2х + № і 5) у = 7) у = № .
3) у =
7.26." Побудуйте графік функції:
1) у=№-2х; 2) y = 3) у =
де
7.27.* Розв'яжіть рівняння:
1) № = х-4; 2) 3) 2Ї& = х+3.
7.28.' Розв'яжіть рівняння:
1) ^/ж8
=ж + 8; 2) 1
^сІ2
=6д:-10.
7.29.* Розв'яжіть рівняння </(*-З)4
+%](5-х)6
=2.
7.30.* Побудуйте графік функції у = ^/(л +1)8
+ - З)2
.
66](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-66-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
3) 3 умови випливає, що с > 0. Тоді с 1
^ / = = Щfc
4) 3 умови випливає, що b < 0. Тоді
3bfl= -Vsib1
. f l =^81 b4
. (_|) = •
ПРИКЛАД В Спростіть вираз: 1) ^54о + 3/Ї60-її2000а; 2) ^ 4 ^ 4 ;
3) і/4->/7 -^23+8>/7.
Розв'язання
1) Маємо:
+ Щба - ?/2000а = ^27 • 2а + *}8 • 2а - ^/іООО • 2а =
= 3 $І2а + 2 і/2а -10 л/2а = - 5 ^ .
2) Внесемо множник 4 під знак кубічного кореня, а потім
скористаємося теоремою про корінь з кореня:
і3
".
Далі, використовуючи теорему 7.6, остаточно отримуємо:
3) У]4~уі7 -^23+8л/7 =Щ4-І7)2
-^23+8^7 =
= ^16-8^7+7-^23 + 8УІ7 = ф з - 8 У7)(23 + 8 л/7) =
= ^232
-(8V7 )2
= ^/529-448 = ^/81=3. •
ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб: 1) 2) 3) ^ ^ ^ г-.
/і>+1 і[2 Ja-2Vab + yJb
Розв'язання
1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отри-
муємо:
+ 1 л/fc+l
оч 2-ЗІІ2 -ЗІІ2 jifeitä-З) Q
2 )
" w
3) Розклавши чисельник і знаменник даного дробу на множ-
ники, маємо:
Ja-2 ifeb+yfb (^-Vb)2
V^-Vb' *
68](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-68-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
8.37." Доведіть, що е ірраціональним число:
1) i ß + Щ ; 2) $B + yf2.
8.38." Доведіть, що є ірраціональним число:
1) Ф - І З ; 2) +
8.39." Спростіть вираз (3
^2 +1) (#2 +1) $ 2 +1) Ш +1) Ш +1).
8.40." Спростіть вираз {6
$а + І){3
$а + ї)'...-{yfä+ і).
8.41." Спростіть вираз Ч'з" + ф 1 3
• 2 + • 22
+... + '^Ії11
.
8.42." Спростіть вираз - ^ 31Б
• 2 + ф " - 22
-... + Ч б " .
8.43." Доведіть рівність
J 2 + УІ2+І.. + ЛІ2 + Ш = + & + W
i2-S.
10 радикалів
8.44," Доведіть рівність
]12 + ^2 + УІ2+^2 + У/2 + 4І4 +в
</б-л/35.
8.45.* Доведіть тотожність Рамануджана1 +
— л/v/2—1.
І Обернена функція
На рисунках 9.1, 9.2 зображено графіки функцій / i g .
Будь-яка горизонтальна пряма перетинае графік функції f не
більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу є £ {/)
відповідає єдине число JCq є Z) (/) таке, що у0 = f (ж0). Функція g
такої властивості не має. Справді, з рисунка 9.2 видно, що зна-
ченню г/ц відповідають два значення аргументу і х2 такі, що
У0 = ё (*t) iy0 = g (х2).
Означення Функцію у = f(x) називають о б о р о т н о ю , якщо для
будь-якого У0 є Е (f) існує єдине Х0 є D (f) таке, що y0 = f (*0).
Функція f (рис. 9.1) є оборотною. Функція g (рис. 9.2) не є
оборотною.
1
Рамануджан Срініваса Айєнґар (1887-1920) — індійський матема-
тик, член Лондонського королівського товариства.
76](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-76-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
9.2/ Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 9.8,
є оборотними?
V
1
у
0 X
у.
L
0
0
а) б) в) г)
Рис. 9.8
9.3/ Доведіть, що дана функція не є оборотною:
l)j/ = |*|; 2) у = - 3) у = 5; 4) У = [ас].
9.4/ Доведіть, що функції / і g є взаємно оберненими:
1) f (*) = § + § , £ ( * ) = 3 * - 1;
2) = ^
3 ) = g ( X ) = X2
- 2, D {g) = [0; +»).
9.5/ Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими:
1 ) / ( * ) = 4* + 2, =
4 2
2) f (X) =
*+1' ' 1-х'
3) f (X) = (X - З)2
, D ( f ) = [3; +°=), g(x) = ^ + 3.
9.6/ Знайдіть функцію, обернену до даної:
1
1) у = 3х- 1;
2) у = -
3) у =
2х + 1
4) у = |х + 4.
9.7" Знайдіть функцію, обернену до даної:
4
1) у = 0,2* + 3;
1
2) у =
х-Ґ
3) У-у
х + 2
4) у = 4х - 5.
9.8/ Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) У-
х-Ґ
2) у = л/2х-1;
3) у = 2yßc-l;
4)у = х D(y) = (-°o-, 0];
82](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-82-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
9.15.* Доведіть, що функція, обернена до лінійної функції
у = kx + Ъ при fe * 0, теж є лінійною.
9.16." При яких значеннях параметрів fei b функція у = kx + b,
де fe * 0, буде збігатися з оберненою до неї функцією?
9.17." При яких значеннях параметрів а і Ь функція у = —-—,
ax + t>
де а * о, буде збігатися з оберненою до неї функцією?
О—* 9.18." Доведіть, що функція, обернена до непарної функції,
теж є непарною.
9.19." Нехай g — функція, обернена до функції f (х) = х5
+ 6хй
.
1) Знайдіть g (7).
2) Розв'яжіть рівняння g (х) = —1.
3) Скільки коренів має рівняння g (х) = с залежно від зна-
чення параметра сі
9.20." Нехай g — функція, обернена до функції f (я) = хя
+ -Jx-2.
1) Знайдіть g (28).
2) Розв'яжіть рівняння g (х) = 1.
3) Чи існує таке значення с, що рівняння g (х) = с має два
корені?
9.21." Функція g є оберненою до функції f (х) = х3
+ х - 3.
Розв'яжіть рівняння g (х) = Xs
+ х + 3.
9.22." Функція g є оберненою до функції f (х) = х3
+ х + 12.
Розв'яжіть рівняння g (х) = X3
+ X - 12.
9.23." Функція g є оберненою до функції f (х) = х5
+ х - 1.
Розв'яжіть рівняння f (х) = g{x).
9.24." Функція f є оберненою до функції g (х) = х3
+ х - 8.
Розв'яжіть рівняння f (х) = g (х).
9.25." Розв'яжіть рівняння J x - - =х2
+-.
8 8
9.26." Розв'яжіть рівняння Л/І + Л/Х =Х-1.
9.27." Знайдіть функцію g, обернену до функції f (х) = х2
,
D(f) = (-1; 0] U [3; 4).
9.28." Знайдіть функцію g, обернену до функції f (х) = -х2
,
D{f) = [-3; -2) U [0; 1).
9.29." Функція f є такою, що для всіх х є М виконується рівність
f (f (х)) = X. Доведіть, що f — оборотна функція.
84](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-84-320.jpg)
![9. Обернена функція
9.30." Функція f і оборотна функція g такі, що для всіх х € Е
виконується рівність f (/ (дг)) = g (X). Доведіть, що f — обо-
ротна функція.
9.31." Чи існує оборотна функція f така, що D ( / ) = N U {0},
Е ( f ) = N?
9.32." Чи існує оборотна функція f така, що D {/) = Z, Е (Я = N?
9.33.* Чи існує оборотна функція / така, що D ( f ) Q, Е ( f ) = W
9.34.* Чи існує оборотна функція / така, що D ( f ) = [0; 1],
E ( f ) ~ [0; 1)?
9.35.* Чи існує оборотна функція / така, що D ( f ) - [0; 1],
Е (Я = N?
9.36.* Чи існують такі взаємно обернені функції f i g , що при
всіх х е 1 виконується рівність f (х) = 2g (де)?
9.37.* Наведіть приклад таких взаємно обернених функцій f i g ,
що при всіх і е R виконується рівність f (х) - g (х) = X.
9.38.* Функція f має обернену функцію g. Відомо, що нерівність
ІАГ-ІС/ГДОС-ЛТ + І виконується для всіх X є Ж, а рівняння
2 2
g (я) = 10 - 2х2
має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь
наближено з абсолютною похибкою1
0,25.
9.39.* Функція f має обернену функцію g. Відомо, що нерівність
2х - 8 < f(x) < 2х - 6 виконується для всіх де є R, а рівняння
g (х) = 2х2
- 3 має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь
наближено з абсолютною похибкою 0,1.
9.40.* Функція g є оберненою до зростаючої функції f такої,
що D (Я = [0; 1], Е <Я = [0; 1], f (0) = 0, f (1) = 1. Доведіть
нерівність
9.41.* Функція g є оберненою до зростаючої функції f такої, що
D (Л = [0; 11, Е <Я = [0; 1], f (0) = 0, f (1) = 1. Для довільного
п є N доведіть нерівність
1
Абсолютною похибкою називають модуль різниці між наближеним
і точним значенням величини,
85](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-85-320.jpg)
![10. Функція У = у[х
ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність: 1) $х<2; 2) Улг-2 <1;
3) у]хг
-4 >
. Розв'язання
1) Дана нерівність рівносильна такій: і[х < $8. Оскільки функ-
ція у = $х є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8.
Відповідь: ( - » ; 8).
2) Маємо: Ух-2 <Уї. Оскільки функція у = є зростаючою
з областю визначення [0; +«), то дана нерівність рівносильна
системі:
х-2<,
х-2>0.
Звідси 2 < X < 3.
Відповідь: [2; 3).
jV-4>3jc,
3) Дана нерівність рівносильна системі
Тоді
[з*>о.
ж2
- З х - 4 > 0 ,
х>0;
х<-1,
х>4, Звідси отримуємо, що х > 4.
[х>0.
Відповідь: (4;
ПРИКЛАД 2 Порівняйте $2 і $2.
Розв'язання. Маємо: = tfl^&F =
Оскільки функція у = 1
4х є зростаючою, то >
Відповідь: $2 > І2.
І Вправи
10.1/ Через які з даних точок проходить графік функції у = the:
А(2; 16); В (16; 2);С(-1;1); D ( і ; з); Е (81; 3); F(0,001; 0,1);
G (10 000; 10)?
10.2/ Через які з даних точок проходить графік функції у-[х:
А (-8; -2); В С (3; 27); D (0,64; 0,4); Е (-216; 6);
F (-1000; -10)?
91](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-91-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
10.3.° Знайдіть область визначення функції:
3) У-Щ:1} у =
2) у = Ух + 1; 4) у = ЇІх2
-х-2;
10.4.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = ^ 2 ; 3) * =
2) f/ = VTr
2; . 4) у-ліх2
-4х + 3;
10.5. Знайдіть область значень функції:
1) у = 1; 3) у = у[х-3
5) » =
6) (ж-3).
5) у =
6) у =
2) у - Jx — і
5) y=tfx + 2.
5) у — I [x +11.
4) y = fx-l |;
10.6.° Знайдіть область значень функції:
1) у = yfx + 2; 3) у~у[х-2
2) у^^-4; 4) Ї/=) %/х-2);
10.7. Знайдіть область значень функції:
1) f (х) = D (f) = [-27; 8]; 3) f (х) = yfx, D(f) = За].
2) f(x) = tfc, 10 000 ;
10.8.° Оцініть значення виразу yfx, якщо:
1) 1 < * < 216; 2) -729 < х < 8.
10.9 ° Оцініть значення виразу [х, якщо:
1) 0 < ж < 256;
10.10. Порівняйте:
1) ^ і Щ ;
2) ^23 і Z-26;
3) 2 і </І7;
10.11.° Порівняйте:
1) S і Ä 3) Зл/Ї і 4л/2;
2) t/2 і 2
</Ї8; 4) 5</02 і 10^/0,012.
10.12.' Між якими двома послідовними цілими числами знахо-
диться на координатній прямій число:
1) S ; 2) ІЗ 3) </2Ї; 4) t/lÖÖ; 5) -</30; 6) Ч / в ї ?
2) 16 < ж < 10 000.
4) ^ і л/28;
5) '^60 і V4;
6) 2^/3 і 3^/2;
7) і
92](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-92-320.jpg)
![10. Функція y = tfx
10.13.° Між якими двома послідовними цілими числами знахо-
диться на координатній прямій число:
1) 7Ї8; 2) 7Ї39; 3) -7212?
16.14/ Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній
прямій між числами:
1) 4 і 7Ї40; 2) 7^35 і 7б40.
10.15/ Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній
прямій між числами -Vi300 і 7Ї0.
10.16/ Порівняйте:
1) 7б і 73; 3) 7з і tfljf; 5) 7з і 7) 72 і 72;
2) 7Ї2 і 7б; 4) І 7Ї; 6) і 78; 8) і
10.17/ Порівняйте:
1) 75 і 7Ї0; 3) і
2) 7Ї6 і ^/ТІЗ; 4) у/Ш і ^/7з.
10.18/ Розташуйте в порядку зростання числа:
1) у / 2 , 7з і 74; 3) 73, 75 і 77;
2) 7з, 72 і 'Тзїї; 4) ^125, 7б і ^ 7 4 .
10.19/ Розташуйте в порядку спадання числа:
1) 75, 74 і 73; 2) 7б, 7зо і 7Ї0.
10.20/ Побудуйте графік функції:
1) у = -у[х; 4) у =
2) у = у[х-2 5) у = %[х-2 -2;
3) у = 7 * - 2 ; 6) у =
10.21/ Побудуйте графік функції:
1) у--і[х; 4) у = ТЇТЗ;
2) у = 7 ^ ; 5) 0 = 7 ^ + 3 + 1;
3) г/ = 7х +3; 6) у =
7) у =
8) =
9) г/ = | Тх+1-2 |.
7) у =
8) у = ф х + і;
9) у=
J tfx + 2 — 2 |.
10.22/Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (*) - х
на проміжку:
і) [1; 2];
2) [-3; -1];
3) [-1; 1];
4) [-1; 2];
5) [-3; +»);
6) (-«; -1].
93](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-93-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
5) [-1; +»>;
6) (-»; 2).
5) $х2
+ 2х>$х2
-х-6.
10.23. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/Ч*) = >/М на проміжку:
1) [2; 3]; 3) [-2; 2];
2) [-1; 0]; 4) [-2; 1];
10.24." Розв'яжіть нерівність:
1) 3) +
2) $3х+1<4; 4) /хг
- 8 > $2х;
10.25." Розв'яжіть нерівність:
1) 1
Іх + 2 > 1; 3) </бх + 1<3;
2) $Зх + 2<2; 4) ?Jx2
- х |+1 >*]b- х ].
10.26." Скільки коренів має рівняння залежно від значення па-
раметра а:
1) у[х - а-х; 2) і[х = а-х1
10.27." Скільки коренів має рівняння |t/x-l| = a залежно від
значення параметра а?
10.30." Розв'яжіть систему рівнянь
10.31." Розв'яжіть систему рівнянь
10.28." Розв'яжіть рівняння Jx-26 + [x =4.
10.29." Розв'яжіть рівняння $ Х - 9 + %/х + 6 = 3.
х+$х = у + $у,
X2
+ху+у2
=27.
[х2
+ у2
=2.
10.32." Знайдіть усі функції / такі, що рівність
виконується для всіх X є R.
10.33." Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f (ж30
) = х3
виконується для всіх X є [0; +«>).
10.34." Знайдіть усі непарні функції f такі, що рівність
виконується для всіх X є [0;
10.35." Знайдіть усі визначені на М функції f такі, що рівність
f ( x i
) — $x виконується для всіх X є 1R.
10.36.* Знайдіть усі визначені на К функції f такі, що рівність
f (х8
) = X2
виконується для всіх Х€ R.
94](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-94-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
Покажемо, що властивості степеня з цілим показником зали-
шаються справедливими і для степеня з довільним раціональним
показником.
Т е о р е м а 11.1 (добуток степенів). Для будь-якого а > 0
і будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність
•а9
= ар + ч
Доведення. Запишемо раціональні числар і q у вигляді дро-
бів з однаковими знаменниками: р , q = —, де т є Z, А є Z,
п п
п є N, п > 1. Маємо:
т k і і і і w+ft fft. h
а".а" = а " . о " = Ц]ат
-ак
= Цат+к
=а » = а " •
Н а с л і д о к . Для будь-якого а > 0 І будь-якого раціонального
числа р виконується рівність
Доведення. Застосовуючи теорему 11.1, запишемо: а р
>ар
=
= а'р + р
= а° = 1. Звідси а " А
ар
Т е о р е м а 11.2 (частка степенів). Для будь-якого а > 0
і будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність
а" :
Доведення. Застосовуючи теорему 11.1, запишемо: а4
•ар 4
-
= ач +р
" = а". Звідси ap
'q
= а" : а". А
Т е о р е м а 11.3 (степінь степеня). Для будь-якого а > 0
і будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність
(ар
)я
= ам
Доведення. Нехай р~ —, т є Z, п є N, п > 1, та q = 4, s є Z,
я k
А є N, А > 1. Маємо:
{ар
У - (о»)* = 1(а») - VfVö")" = = = a^ = А
Т е о р е м а 11.4 (степігіь добутку і степінь дробу). Для
будь-яких а > 0 і b > 0 та будь-якого раціонального числа р
виконуються рівності
(аЬУ - a"W
( ! )
р „р
- ь
Доведіть цю теорему самостійно.
98](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-98-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
13.10." Розв'яжіть рівняння:
1) ^jl + x 4x^24= х+1;
13.11." Розв'яжіть рівняння:
1) л/22-х-л/Ю-ж=2;
2) $х + 2-$2х-3 = 1;
13.12." Розв'яжіть рівняння:
1) л/2л: + 5 — л/Здг-5 = 2;
13.13." Розв'яжіть рівняння:
1) N/X-5 + V10-jc =3;
2) УІХ-7 +$х-1=4;
13.14." Розв'яжіть рівняння:
1) j4-x + VJC + 5 =3;
2) VSjc+I + V ? - ^ = 6;
13.15." Розв'яжіть рівняння:
1) $2x + l + yjx-3 = 2jx;
2) У1ЬХ-1~У13Х-2 = 4Х:
Л;
13.16." Розв'яжіть рівняння:
1) Jx+2 + y/3x + 7 = s/8-x;
13.17." Розв'яжіть рівняння:
1) yjx- 1-24Х^2+^Х+7-6у!Х-2 =6;
2 ) YJX+3-4YJXPL +У}Х+8-6УІХ-1=1;
3) ^]Х+Ь+24ХІЛ-уіх+Ь-44Х + Ї = 4.
2) <Jl + xy!x2
-24 =х-1.
3) $2х + 3-$х + 1 = 1;
4) 2$2-х-$7-х=1.
2) $Зх + 1-уІх + 1 = 2.
3) 4ї^х + 4ї+х=1;
4) Jl3-4x + yJx + 3=5.
3) $2х + 3 + [х+5 = 3.
3) 2$3x-l-yfx^l=yjx-9.
2) yj6x-ll~yJx~2 = yJx + 3.
13.18." Розв'яжіть рівняння:
yJx + 247^l+yjx-2<Jx~l =6;
yjx + 6 + 2-Jx+b-yjx+ß-2$х + 5=2,
13.19." Для кожного значення параметра а розв'яжіть рівняння
^ 1
. / J
Ж + - + . ЛГ + - =а-х.
2 V 4
13.20." Для кожного значення параметра а розв'яжіть рівняння
2 Jx+2 + 2lx + l = а-х-
112](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-112-320.jpg)
![14. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь
Скориставшись ідеєю доведення теореми 14.1, доведіть цю
теорему самостійно.
ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння >І2х-3 + -J4x + 1 = 4.
. Розв'язання. Областю визначення цього рівняння є множи-
на М На цій множині обидві частини даного рівняння
набувають невід'ємних значень. Тому дане рівняння на множи-
ні М рівносильне рівнянню
(j2x-3 + l4x + lf = 42
.
Звідси 2*-3 + 2 л/2ж-Зл/4ж + 1 + 4*+1 = 16; yj2x-3 лІ4х + і = 9-3*.
Ліва частина останнього рівняння на множині М
- [1-І
набуває невід'ємних значень. Тому права частина, тобто 9 - Зж,
має також бути невід'ємною. Звідси 9 - Зж > 0; х < 3. Тоді на
'•-[Iі*]множині М, обидві частини рівняння j2x - 3 [4х +1 = 9 — Зх
набувають невід'ємних значень. Отже, за теоремою 14.3 це рів-
няння рівносильне системі
f(2ж - 3) (4ж +1) = (9 - Зж)а
,
ІЗ.
ж2
-44*+ 84-0,
З
12
<ж<3;
ж = 2,
X = 42,
5<ж<3;
X = 2.
Рівняння sj2x-3 + sj4x + l =4 можна розв'язувати й інакше.
Розглянемо функції f(x) = і g(x) = -Jix + l. Легко пере-
конатися (зробіть це самостійно), що ці функції є зростаючими.
Тоді функція у = yJ2x - 3 + -*/4ж-+• 1 є зростаючою на множині
М +co
j- Отже, дане рівняння має не більше ніж один корінь.
Нескладно помітити, що х = 2 є коренем розглядуваного рівняння.
Відповідь: 2.
ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння уі2Х-5 + ^Х+2 = уі2Х + 1.
Розв'язання. Областю визначення даного рівняння є множи-
на М = Г|;+»|. Обидві частини даного рівняння на цій множині
набувають невід'ємних значень. Тому дане рівняння на множи-
115](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-115-320.jpg)
г
-$](х + 3)(6-ж) = 3.
15.14." Розв'яжіть рівняння
%](х+4)2
+yJ(x-5)2
+%](х + 4)(х-5) = 3.
15.15." Розв'яжіть рівняння Ух + 8-yJx-S -2.
15.16." Розв'яжіть рівняння >/18 + 5jc +/б4-5д: =4.
15.17." Розв'яжіть рівняння у/х-2 + л/х-1 ~5.
15.18." Розв'яжіть рівняння І2-х -l-Jx-l,
15.19." Розв'яжіть рівняння J 2 - J 2 - X -х.
15.20." Розв'яжіть рівняння JG-I6-x =
15.21." Розв'яжіть рівняння:
1) УІ2Х2
+ ЗХ+5 + уі2Х2
-ЗХ + 5 = ЗХ-,
2) (Vx+I + l)(Vx+IÖ-4) = x.
15.22." Розв'яжіть рівняння:
1) Jx2
+3x-2 + yIx2
-x + l=4x-3;
2) {У/^+Ї + І)(УІХ + Ї + Х2
+ Х--7) = Х.
123](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-123-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
Нерівність прикладу 4 можна розв'язати інакше, викори-
стовуючи метод інтервалів. Справді, розв'язавши рівняння
(х - 3) (л/х2
+ 4 - х - з) = 0, отримуємо
й
два корені X = З, X = ——. Розв'язування
б
Рис 16 2 даної нерівності проілюстровано на
рисунку 16.2,
При розв'язуванні ірраціональних нерівностей можна корис-
туватися більш загальною теоремою.
Т е о р е м а 16.4. Якщо для будь-якого х є М виконуються не-
рівності f(x)>Oig(x)> 0, то нерівності f(x)>g (ж) і (/ (ж))2
* >
> (g (ж))3
*, k є N, рівносильні на множині М.
ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть нерівність $2х + Х + $х-3 <2/ї.
Розв'язання. Обидві частини даної нерівності набувають
невід'ємних значень на множині М = [3; яка є областю ви-
значення цієї нерівності. Тому дана нерівність на множині М
рівносильна нерівності
{УІ2Х + 1 + yjx-zf < (2 yfxf.
Звідси 2$2х + 1 <je + 2.
На множині М = [3; обидві частини останньої нерівності
набувають невід'ємних значень. Тому за теоремою 16.4 отримуємо:
[4(2ж + 1)(х-3)<(ж+2)2
,
[.х>3,
[7жг
-24ж~16<0,
х>3;
- | < * < 4 ,
х>3;
З < x < 4.
Відповідь: [3; 4].
Г Вправи
16.1.° Розв'яжіть нерівність:
1) ч/дП>4; 2) Т ^ ї < 4 ; 3) УдГЇ>-4; 4) ^ І < - 4 .
126](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-126-320.jpg)
![§ 3. Степенева функція
16.11." Розв'яжіть нерівність:
1) (x+l)Jx2
+ l>x2
-l; 3)
2х-1 Х-5
2) & К 0 ;
.. У/Х2
+X-6 + 3X + 13
4) <1,
х + 5
3) yJx + 3<yJx-l+yJx-2.
16.12." Розв'яжіть нерівність
1) 3yfx-Jx + 3 >1;
2 ) у і і - Х 2
+ J 4 - X 2
<2;
16.13." Розв'яжіть нерівність:
1) Jx-6-Jx + 10 <1; 2) 2yfx+Jb-x>yJx + 21.
16.14." Розв'яжіть нерівність !Х + 3 + У]Х3
+ Х + 6>4..
16.15." Розв'яжіть нерівність yJx-2+Jx3
+8 < 4.
16.16." При яких значеннях параметра а множиною розв'язків
нерівності Jl-(x + 2ä)2
> ~х є проміжок завдовжки
З 5
16.17." При яких значеннях параметра а множиною розв'язків
нерівності уіі-х2
>—(х-а) є проміжок завдовжки
З 5
2](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-128-320.jpg)
![18. Тригонометричні функції числового аргументу
Функції f (а) = sin а, g (а) = cos а, h (а) = tg а, р (сс) = ctg а,
які відповідають цим функціональним залежностям, називають
тригонометричними функціями кута повороту а.
* Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут
а рад. Це дозволяє розглядати тригонометричні функції число-
вого аргументу.
Наприклад, запис sin 2 означає синус кута 2 радіана.
З означення синуса і косинуса випливає, що областю визна-
чення функцій у = sin X і у = cos X є множина R.
Оскільки абсциси і ординати точок одиничного кола набувають
усіх значень від -1 до 1 включно, то областю значень функцій
у = sin X і у - cos X є проміжок [-1; 1].
Кутам повороту а і а + 2лп, де п є Z, відповідає одна й та
сама точка одиничного кола. Тому
sin а = sin (а + 2пп), п є Z
cos а = cos (а + 2лп), п є Z
Областю визначення функції у = tg х є множина
{х є 1 I + k є Z).
Областю визначення функції у = ctg х є множина
{х є М I X * nk, k є Z}.
Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої
геометричної інтерпретації.
Проведемо пряму X = 1. Вона прохо-
дить через точку Р0 (1; 0) і дотикається
до одиничного кола (рис. 18.3).
Нехай точка Р отримана з точки
Р0 (1; 0) у результаті повороту на кут а
і розміщена так, як показано на рисун-
ку 18.3. Пряма ОР перетинає пряму х = 1
у точці М. Проведемо PN J. OPQ.
З подібності трикутників OPN і ОМР0
уі
tga
уі
tga
/
Аа "ІЗ
0 N j 1 X
випливає, що
PN
ON
_МР0
ОРп
Рис. 18.3
Оскільки PN - sin a, ON = cos а, OP. = 1, то M R = а ш а
= tg а.0
° сов а
Отже, ордината точки М дорівнює tg а.
Можна показати, що і при будь-якому іншому положенні
точки Р на одиничному колі виконується таке: якщо пряма ОР
перетинає пряму х = 1, то ордината точки перетину дорівнює tg а.
Тому пряму X = 1 називають віссю тангенсів.
139](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-139-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
18.10.° Укажіть найбільше І найменше значення виразу:
1) -5cos а; 2} cos а - 2; 3) 5 + sin2
а; 4) 7 - 3sin а.
18.11." Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:
1) sin X = 1; 2) sin X = -1.
18.12.* Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:
1) cos X = 1; 2) cos х = -1.
18.13.* Чи існує таке значення х є IR, при якому обидві функції
у - tg X і у = ctg X не визначені?
18.14.* При яких значеннях а можлива рівність:
1) cos X - а + 3; 3) cos х = а2
- 1; 5) cos х = а2
- 5а + 5;
2 ) s i n X = а2
+ 1 ; 4 ) s i n х = а2
- а - 1; 6 ) t g x = ? ~ ?
а —
18.15.* При яких значеннях а можлива рівність:
1) sin X = а - 2; 3) cos х = а2
- 3;
2) cos ж = а2
+ 2; 4) sin х = 2а - а2
- 2?
18.16/ Порівняйте значення виразів 2 sin а і sin2
а, якщо 0 < а <
а
18.17." Порівняйте:
1) cos 10° і cos 10°cos 20°; 2) sin 40° і sin2
40°.
18.18." Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1 j sin а (1 +cos а)
1) ; о) ; ;
1 + sina sin а
Я „ 2
cos а 0 . о • 2cos а
2) ; 4) 2cosa + 3 s m a .
cos а cos а
18.19." Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1 sin a cos а л. . sin а cos а
1) -; 2) ; 3) sin а + cos ос .
cos а - 2 sin a cos а
18.20." Знайдіть область значень виразу:
1) - ; 2) - ; 3) - .
2 + sin X 1 - cos X 4 sin Х - З
18.21.' Знайдіть область значень функції:
2 * 1 1
1 ] 2 ) 3 ) y =
l-2cos*-
18.22." Доведіть, що sin a = -cos|^ + aJ.
18.23." Доведіть, що cos a=-cos (я + a).
144](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-144-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
На рисунку 20.1 зображено графік деякої періодичної функ-
ції f з періодом Т, D (f) = R.
Ч А А І А А У
~2Т -Т 0 2Т X
Рис. 20.1
Очевидно, що фрагменти графіка цієї функції на проміжках
[0; Г], [Г; 2Г], [2Т ЗГ] і т. д., а також на проміжках [-Г; 0],
[-2Т; -Т], [-377
; -2Т] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яка
з цих фігур може бути отримана з будь-якої іншої паралельним
перенесенням на вектор з координатами (пТ; 0), де п — деяке
ціле число.
Узагалі, якщо проміжки [а; Ь і [с; d є такими, що с = а + Тп,
d = b + Tri, п е TL, то частини графіка функції f на цих проміжках
є рівними фігурами (рис. 20.2).
УП
2ч d X
Рис. 20.2
ПРИКЛАД J На рисунку 20.3 зображено фрагмент графіка пері-
одичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї
Г ST ьт 1
функції на проміжку І—--; —-І.
іг О 3 в Я З d Л Л Яm Побудуємо образи зображеної фігури при
паралельних перенесеннях на вектори з координатами (Т; 0),
(2Т; 0) і (-Г; 0). Об'єднання даної фігури та отриманих образів —
шуканий графік (рис. 20,4). •
У
j
зт т / г кТ tт
2/ 2 Ii 2
fl X
1
Рис. 20.3 Рис. 20.4
154](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-154-320.jpg)
![20. Періодичні функції
на будь-яку скінченну кількість функцій fx, f2, ..., fk, періоди
яких можна відповідно подати у вигляді
т, , т- ^ т.
~-t, — *t, де mv т2 тк, пх, п2, ..., пк — на-
• "і п
2 п
к
туральні числа, t * 0.
/ Вправи
20.1.° Знайдіть значення виразу:
Ччг
1) sin 390°; 5) cos (-750°); 9) cos 300°; 13) s i n ~ ;
О
2) cos 420°; 6) sin (-390°); 10) tg 150°; 14) cos
3) tg 780°; 7) tg (-210°); 11) cos 15) t g ( - ^ j .
4) ctg 405°; 8) ctg 225°; 12) sin
20.2.° Знайдіть значення виразу:
1) sin 420°; 4) sin 1110°; 7) c t g ^ ;
2) cos 405°; 5) tg 765°; 8) sin
3) tg (-315°); 6) c o s ^ ; 9 ) c t g ( - ^ ) .
20.3.° На рисунку 20.5 зображено частину графіка періодичної
функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції
на проміжку [-2Т; ЗУ].
157](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-157-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
20.4/ На рисунку 20.6 зображено частину графіка періодичної
функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції
на проміжку [-25"; 27і
].
У і
0 1ч ж
т 0 Z ж
а) б)
Рис. 20.6
20.5/ Доведіть, що число Т є періодом функції' /:
1) /(JC) = C O S | , Т = 8тг; 3 ) f (Ж) = ctg их, Т = 3 ;
2) 1 (X) = tg Зж, T = 4) f (X) - sin <5* - 2), T =
2к
20.6.' Доведіть, що числа — і -4я є періодами функції / (ж) = cos Зж.
О
ф 20.7/ Знайдіть головний період функції:
1) / (ж) = cos (Зх + 1); 4) f (ж) = sin 2лх; 7) /"(*) = { 6ж + | };
2) f(x) = tg (2ж + 1); 5) /(ж) = сов >/Зж; 8) f(x)= { -Лх };
3) / (ж) = ctg (-7ж + 2); 6) / (ж) = tg (4пх - 3); 9) / (ж) = { пх + ~ }.
20.8/ Знайдіть головний період функції:
1) / (ж) - sin (Зж - 1); 4) f (ж) = cos кх;
2) f (ж)=cos (|+2); 5) f (ж) = ctg (І+4);
3 ) / M = tg(-x + l); , 6) /(ж) = { | - 2 } .
20.9.° Функція / така, що D (f) П [-1; 1] Ф 0. Доведіть, що є пе-
ріодичною функція:
1) у = f (cos ж); 2) у = f (sin ж).
20.10/ Для довільної функції / доведіть періодичність функції:
1) V = f (tg ж); 2) у = f (ctg ж).
158](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-158-320.jpg)
![Коли зроблено уроки
20.35.* Функція / є такою, що при всіх х є R виконується рівність
f (X + l) + f (х-1) = 42 f(x). Доведіть, що f — періодична функ-
ція.
20.36.* Періодична функція f є такою, що при всіх х є М вико-
нується рівність f (2х) = 2f (х). Доведіть, що функція f не має
головного періоду.
20.37.* Періодична функція f є такою, що при всіх х є К вико-
нується рівність / |-|xj = і f (х). Доведіть, що функція f не має
головного періоду.
20.38* Доведіть:
1) періодичність функції
/(ж)=М+[*+|]+[ж+|]*[* + |]+[*+|]-[5ж];
2) рівність + + 1 j + ^ + l j + ^ + l j + ^ + lj^fSj;:] для всіх
X Є Е .
Про суму періодичних функцій
Функції /(x) = c o s ^ і g (х) = tg ~ є періодичними. У при-
5 7
кладі 5 п. 20 ми з'ясували, що функція у = f (х) •+- g (х) також
є періодичною.
Виникає природне запитання: «Чи завжди сума двох періо-
дичних функцій є періодичною функцією?»
Розглянемо функції / (х) = V- sinz
x і g (х) = V-cos2
x. Ці функ-
ції є періодичними (див. приклад 3 і задачу 20.11 п. 20). При
цьому D(f) = {х є E l X = nk, k є Z}, D(g) = | x e R | x = | + n/e, Äezj.
Очевидно, що D (f) П D (g) = 0 . Отже, функція у = f (x) + g (x)
не визначена при жодному значенні х.
Спробуємо підкорегувати запитання. Нехай періодичні функ-
ції f і g такі, що D (/) П D (g) / 0 . Чи завжди функція
у = f (X) + g (х) є періодичною?
Якщо існують сумірні періоди Tf і Tg функцій f i g відповід-
но, то в силу теореми 20.6 функції f i g мають спільний період,
а отже, функція у - f (х) + g (х) є періодичною.
161](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-161-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
г Вправи
20.39. Доведіть, що коли функція f(x) = sin х + cos bx періодична,
то ft — раціональне число.
20.40. Доведіть, що коли функція f (х) = cos X + cos bx періодична,
то b — раціональне число.
20.41. Доведіть, що функція f (х) = {ж} + sin2
х не е періодичною.
20.42. Доведіть, що функція f (х) = З? (х) + cos х не є періодичною.
20.43. При яких значеннях параметра а рівняння 2 cos ах -
- З tg2
X - 2 = 0 має єдиний розв'язок?
20.44. При яких значеннях параметра а рівняння 1 + sin2
ах =
= cos X має єдиний розв'язок?
20.45. Чи можна функцію у = х2
подати у вигляді суми двох пе-
ріодичних функцій?
цВластивості і графіки функцій у = sin х
і у - cos X
Періодичність тригонометричних функцій дозволяє досліджу-
вати їх властивості та будувати графіки за такою схемою.
1) Розглянути проміжок виду [а; а + Т], тобто довільний про-
міжок завдовжки в період Т найчастіше обирають проміжок
[0; Т] або проміжок L.Z.
' 2 ' 2 ІІ
2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.
3) Побудувати графік функції на цьому проміжку.
4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на век-
тори з координатами (пТ; 0), п є Z.
Розглянемо функцію у — sin X на
проміжку [0; 2п], тобто на проміжку
завдовжки в період цієї функції.
При повороті точки PQ (1; 0) навколо
п Япочатку координат на кути від 0 до —
tu
ордината точки одиничного кола збіль-
шується від 0 до 1 (рис. 21.1). Це озна-
чає, що функція у = sin X зростає на
проміжку О,Рис. 21.1
164](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-164-320.jpg)
![21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х
it Зтг
При повороті точки Р0 (1; 0) на кути від — до — ордината
и Z
точки одиничного кола зменшується від 1 до (рис. 21.1). Отже,
функція у = sin X спадає на проміжку
Гк.ЗкІ
І2' 2 J
При повороті точки Pa (1; 0) на кути від — до 2я ордината
Сі
точки одиничного кола збільшується від -1 до 0 (рис. 21.1). Отже,
функція у = sin X зростає на проміжку 2rtJ.
Функція у = sin X на проміжку [0; 2я] має три нулі: х = 0,
X - я, X = 2л.
Якщо X є (0; я), то sin х > 0; якщо х є (я; 2я), то sin х < 0.
Функція у = sin X на проміжку [0; 2я] досягає свого найбіль-
шого значення, яке дорівнює 1, при х = ^ і найменшого значен-dt
, Зя
ня, яке дорівнює -1, при х=—.
Отримані властивості функції у - sin х дозволяють побудувати
її графік на проміжку [0; 2я] (рис. 21.2). Графік можна побудува-
ти точніше, якщо скористатися даними таблиці значень функції
у = sin X, наведеної на форзаці 3.
Рис. 21.2
На всій області визначення графік функції у = sin х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (2яп; 0), п є Z (рис. 21.3).
У'
sr-Зтс
« 1
/ 2 0 f ' 2
/
у X
і 2% Зл.. 2 No- 4л
Рис. 21.3
165](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-165-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
Графік функції у = sin х називають синусоїдою.
У таблиці наведено основні властивості функції у = sin х.
Область
Ж
визначення
Ж
Область значень [-і; і]
Періодичність
Періодична з головним періодом, який
дорівнює 2я
Нулі функції Числа виду яп, п є Z
sin X > 0 на кожному з проміжків виду
Проміжки (2пп; я + 2ял), п є Z
знакосталості sin X < 0 на кожному з проміжків виду
(я + 2ял; 2я + 2яп), п є Z
Парність Непарна
Зростає на кожному з проміжків виду
Зростання/
+ | + 2яп^ п є Z
спадання Спадає на кожному з проміжків виду
[ | + 2яп; у+2ял], п є Z
Найбільшого значення, яке дорівнює 1,
Найбільше набуває в точках виду ~+2пп, п є Z
і найменше
значення
Найменшого значення, яке дорівнює -1,
набуває в точках виду - ^ + 2кп, п є Z
СІ
Розглянемо функцію у = cos je на проміжку [0; 2я].
Розглядаючи повороти точки Р0 (1; 0) навколо початку коор-
динат, можна дійти такого висновку: функція у = cos х спадає
на проміжку [0*, я] і зростає на проміжку (я; 2я].
Функція у - cos X на проміжку [0; 2я] має два нулі: * = х —
Z Сі
Якщо jeej^O; U то cos х > 0; якщо то
cos X < 0.
Функція У = cos X на проміжку [0; 2я] досягає свого найбіль-
шого значення, яке дорівнює 1, при х — 0 або х = 2я і найменшого
значення, яке дорівнює -1, при х = я.
166](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-166-320.jpg)
![21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х
Графік функції у = cos х на проміжку [0; 2л] зображено на
рисунку 21.4.
На всій області визначення графік функції у = cos х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (2тщ; 0), п є Z (рис. 21.5).
У<
5л
2 /
^ Зп - f 1
т ч 2-я / Ь
3-
К 2 / і Зл / Т ч ас
ч / - 2 л ц / _ 1 . п
• 2 s i / 2л 4п
Рис. 21.5
Графік функції у = cos х називають косинусоїдото.
Якщо скористатися формулою cos х = sin (ж + (див. приклад 2
п. 18), то зрозуміло, що графік функції у = cos х можна отримати
як результат паралельного перенесення графіка функції у = sin х
на вектор з координатами oj (рис. 21.6). Це означає,-що
графіки функцій у = sin X і у = cos X — рівні фігури.
167](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-167-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
У таблиці наведено основні властивості функції у = cos х.
Область
визначення R
Область
значень [-1; і]
Періодичність
Періодична з головним періодом, який
дорівнює 2я
Нулі функції Числа виду ^ + лп, п є Z
Сі
Проміжки
знакосталості
cos X > 0 на кожному з проміжків виду
(-|+2лл; |+2ял), п є Z
cos X < 0 на кожному з проміжків виду
( | + 2лп; ^ + 27Ш
)> " є z
Парність Парна
Зростання/
спадання
Зростає на кожному з проміжків виду
(я + 2лп; 2я + 2яп], п є Z
Спадає на кожному з проміжків виду
[2лга; я + 2пп], п є Ъ
Найбільше
і найменше
значення
Найбільшого значення, яке дорівнює 1,
набуває в точках виду 2яп, п є Ъ
Найменшого значення, яке дорівнює -1,
набуває в точках виду я + 2лп, п є Z
міжку
ПРИКЛАД 1 Порівняйте: 1) sin 0,7я і sin 0,71я; 2) cos 324° і
cos 340°.
Розв'язання. 1) Оскільки числа 0,7я і 0,71я належать про-
І, на якому функція у - sin х спадає, і 0,7л < 0,71л,. Z & J
то sin 0,7я > sin 0,71я.
2) Оскільки 324° і 340° належать проміжку (180°; 360°], на
якому функція у - cos X зростає, і 324° < 340°, то cos 324° <
< cos 340°. •
ПРИКЛАД 2 Порівняйте sin 40° і cos 40°.
Розв'язання. Оскільки sin40°<sin45° = ^ , cos 40° > cos 4 5 ° = ^ ,
с. СІ
то cos 40° > sin 40°. •
168](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-168-320.jpg)
![§ 4. Тригонометричні функції
2) у - sin. І ж І —» у ~ sin І 2х І — стиск до осі ординат
у 2 рази;
3) y = sin] 2*j -^y = sin| J — паралельне перенесен-
ня вздовж осі абсцис у додатному напрямі на ^ одиниць
6
^риі*. 21.9). •
Рис. 21.9
ПРИКЛАД ї] Побудуйте графік функції у = sin 1 х
Розв'язання. Проведемо такі перетворення:
1) у - sin X —» у = sin 2х — стиск до осі ординат у 2 рази;
2) y-sk»2r —>у = sin — паралельне перенесення
вздовж осі абсцис у додатному напрямі на £ одиниць;
3) у — sin ^2* - — = 8ІП 1 # І - ^ j — симетрія відносно осі
ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0. Шуканий
графік складається з двох симетричних частин (рис. 21.10). •,=sin
Ki) у = sin 2г](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-170-320.jpg)
![21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х
сильне системі
ПРИКЛАД S Побудуйте графік рівнян-
ня cos X + cos у = 2.
Розв'язання. Оскільки I COS X І < 1
і I'cos у І < 1, то дане рівняння рівно-
{COS Х = 1,
COS ї/ = 1.
: = 2лп, пе Z,
-2лт, meZ.
Шуканий графік — це множина то-
чок, зображених на рисунку 21.11. •
Звідси
у='<
У' 4л1 1
)
Р -
• •— і
2я .,
—.„ а
, .. ф
-4л -2 л 2л 4к
*
0
-2л
• - - •
У ф
• *
Ь І
-4л
• - - •
У ф
Рис. 21.11
Г Вправи
21.1.° Серед чисел -Зл, - f , -2л, -Ц-, -л, - J , 0, f , 2л,
6л, 7л укажіть:
1) нулі функції у = sin х;
2) значення аргументу, при яких функція у = sin х набуває
найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у - sin х набуває
найменшого значення.
21.2.- Серед чисел - f . - § , 0, § , «, f . f , £ , 5к. 8я
укажіть:
1) нулі функції у - cos х;
2) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває
найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває
найменшого значення.
21.3.° На яких з наведених проміжків функція у = sin х зрос-
тає:
4 - Й } 2
> [ - i ;
f ) 8
> [ - Т ;
- | ) " > [ - ? = - ? >
21.4.° На яких з наведених проміжків функція у = sin д; спадає:
l ) [ - f ; - f } 2)І-л;0]; 3) [ - f ; f ] ; 4) [ f ; Ц ] l
21.5.° Серед наведених проміжків укажіть проміжки спадання
функції у - cos х:
1) [ - f ; - у ] ; 2) [-2л; -я]; 3) §]; 4) [6л; 7л].
171
X](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-171-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
21.6.' Серед наведених проміжків укажіть проміжки зростання
функції у - cos X:
1) [-Зл; -2л];
21.7.° Порівняйте:
1) cos 1,6л і cos 1,68л;
2) sin 20° і sin 21°;
3) cos 20е
і cos 21°;
.. . 10л . . 25л
4) sin-— і s i n — ;
21.8.* Порівняйте:
л . 4л
1) cos - і c o s ~ ;
о ї . 5л . . 1 7 л
2) s i n - і s i n — ;
2) [0; л]; 3) [-л; л]; 4) [Зл; 4л].
с ч Юл ; 25л
5) cos — і c o s — ;
6) cos 5,1 і cos 5;
7) sin 2 і sin 2,1.
3) s i n ( - g ) і sin(-f^);
і . Юл . 11л
4) cos ——— і cos——.
' 7 9
21.9/ Розташуйте числа в порядку зростання:
1) sin 3,2, sin 4, sin 3,6, sin 2,4, sin 1,8;
2) cos 3,5, cos 4,8, cos 6,1, cos 5,6, cos 4,2.
21.10.° Розташуйте числа в порядку спадання:
1) sin (-0,2), sin 0,2, sin 1,5, sin 1, sin 0,9;
2) cos 0,1, cos 1,4, cos 2,4, cos 3,1, cos 1,8.
21.11.' Порівняйте:
1) sin 58° і cos 58°; 2) sin 18° і cos 18°; 3) cos 80° і sin 70°.
21.12.' Чи можлива рівність:
1) cos cx — 2 sin 25°; 2) sin a = 72 cos 35°?
21.13." Побудуйте графік функції:
1) E/ = 2sin(* + j ) - 2 ; 2) i/ = -|cos(x-|)+l.
21.14.* Побудуйте графік функції:
1) I/ = - 3 s i n ( X - | ) + | ; 2) L, = 2COS(X+|)~1.
21.15." Побудуйте графік функції:
1) у — sin х + - 2) у = 2 cos X -
21.16.* Побудуйте графік функції:
1) у = 2 sin . п
* +
бі
2) у = ~cos
172](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-172-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
21.28." Побудуйте графік функції:
. . І І 2
_ Ч [COSJCI
1) У = {УІcosxj ; 5) У ^ 1
- ^ - ;
2) у = s i n X - !sin2
x; 6 ) у = c t g х s i n JE;
3) у = V-cos2
x; 7) у = ctgx j sinx |;
r~. 7 ол sin I x
4) y = jsmx-1; 8) y = . ' .
I sin je
21.29." Скільки коренів має рівняння sin х = j ^ ?
х
21.30." Скільки коренів має рівняння cosx =J
—1
?
4іс
21.31." Побудуйте графік рівняння:
1) sin п (х2
+ у2
) = 0; 2) sin х + sin у = 2.
21.32." Побудуйте графік рівняння:
1) cos п {X2
+ уг
) - 1; 2) cos х + cos у = -2.
21.33." Побудуйте графік рівняння:
1) sin X - 0; 3) Xі
+ sin2
х = 0;
2) у sin X = 0; 4) | у | = sin я.
21.34." Побудуйте графік рівняння:
1) sin у = 0; 3)у 2
+ cos2
х = 0;
2) X sin у - 0; 4) | у | = cos х.
21.35." Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння
сойа2
- X2
=1 має рівно вісім коренів.
21.36.* Чи існує визначена на проміжку [-1; 1] функція / така, що
для всіх X е Е виконується нерівність І f (cos х) + sin X I < 1?
ШЯШ
Властивості і графіки функцій у = tg *
і у = ctg ж
^ Розглянемо функцію у = tg X на проміжку (— тобто на
проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що
функція у = tg X в точках —— і — не визначена).
Z СІ
174](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-174-320.jpg)
![22. Властивості і графіки функцій у = tg х і у - ctg х
Функція у = ctg X на проміжку (О; ті) має один нуль: х = ^ .
Якщо X є (о; то ctg аг > 0; якщо х є [т^71
)» т о c
^g х < 0.
Графік функції у = ctg х на проміжку (0; л) зображено на
рисунку 22.5.
На всій області визначення графік функції у = ctg х можна
отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере-
несень на вектори з координатами (лп; 0), п є Z (рис. 22.6).
-2л Ч ~ я
І У
V 2тґ V Зтіkkз Л
2
_ Д о ЗтГ
І
5ігN
2
п! X
Рис. 22.6
У таблиці наведено основні властивості функції у = ctg х.
Область визначення {ж є Ж ] X ї ял, п є Z)
Область значень Ш
Періодичність
Періодична з головним періодом,
який дорівнює л
Нулі функції Числа виду ^+кп, п є Z
Сі
Проміжки
знакосталості
ctg X > 0 на кожному з проміжків
виду (лл; ^ + ял|т п є Ъ
ctg Ї < 0 на кожному з проміжків
виду nnj, п є Z
Парність Непарна
Зростання /спадання
Спадає на кожному з проміжків
виду (лп; л + лп), п є Z
Найбільше і найменше
значення
Найбільшого і найменшого значень
не набуває
177](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-177-320.jpg)
![§ 4.Триїономегричні функції
22.16.* Побудуйте графік функції:
1) y = 5) y^tgx + Jtg2
x;
2) у = ctg ж - ctg I X I; 6) у = I ctg X |;
3) у = y]-ctg2
x; 7) у = tg X ctg x.
I tg* І
4) » = 4®—
tg *
22.17." Побудуйте графік рівняння:
1 ) i / t g x - 0 ; 3) tg n (хг
- y) = 0; 5)tg(Ji(2|x| + |j/l)) = 0.
2) tg X tg у = 0; 4) tg2
X + tg2
у = 0;
22.18.* Побудуйте графік рівняння:
1 ) x t g i / = 0; 3) tg я (х - у) = 1; 5) ctg <| у - х |) = 0.
2 ) ^ = 0; 4) X2
+ tg2
у = 0;
tg у
Основні співвідношення
між тригонометричними функціями
одного й того самого аргументу
У цьому пункті встановимо тотожності, які пов'язують зна-
чення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу.
Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задо-
вольняють рівняння хг
+ у2
= 1. Оскільки X = cos а, у = sin а,
де а — кут повороту, у результаті якого з точки Р0 (1; 0) було
отримано точку Р, то
sina
а + cos2
а = 1 (1)
Звернемо увагу на те, що точку Р обрано довільно. Тому то-
тожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною
тригонометричною тотожністю.
Використовуючи основну тригонометричну тотожність, зна-
- йдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між ко-
тангенсом і синусом.
Припустивши, що cos 0, поділимо обидві частини рівно-
сті (1) на cos2
ct. Отримаємо:
1• 2 2
sin к cos а
2 2cos a cos а 2 7
cos а
1+tg а = —
cos а
180](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-180-320.jpg)
![23. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких cos а Ф 0,
тобто при а Ф — + nk, k є Z.
с*
• Припустивши, що sin а Ф 0, поділимо обидві частини рівно-
сті (1) на sin2
а. Отримаємо:
sin а . cos а 1
2 < 2 2 '
sin а sin а sin а
l+ctga
a =—-я—
sin а
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а Ф 0,
тобто при а Ф nk, k є Z.
Зв'язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за
. „ , , . sin a . cos a
допомогою означень цих функцій. Маємо: tg a , ctg а = — — .
cos a sin a
Звідси
tg a ctg a = 1 (2)
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а Ф 0
і cos а Ф 0, тобто при а Ф nk і а Ф ~ + nk, k є Z.
Зазначимо, що
{aeR|a = nft,A6Z}u|aeE|a =:
| + nA,ÄesJ = |aGK|a = Y ' Ä e Z
] -
Ttk
Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, що ос Ф — ,
£к
k є Z.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
1) sin2
1 + cos2
1 + tg2
ж; 2) t g a
9 - s i n V 3) .
cos ф 1 + cosa
Розв'язання. 1) sin I-t-cos f + tg X = l + tg JC
1
2 •COS X
2) — ~ — tg2
ф - sin2
ф = 1+tg2
ф - tg2
ф - sin2
ф = 1 - sin2
ф = cos2
ф;2
COS Ф
„v sin2
a l-eos2
a (1 - cos a) (1 + cos a) - _
3) = = —— cos a.
1 + cosa 1 + cosa 1 + cosa
ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність:
2) cos2
a + sin2
a sinz
ß + sin2
a cos2
ß = 1;
181](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-181-320.jpg)
![§ 4. Тригонометричні функції
Тоді кут між векторами ОРх і ОР2
дорівнює а - ß (рис. 24.1). Координа-
ти точок Р і Р2 відповідно дорівню-
ють (cos a; sin а) і (cos ß; sin ß). Тоді
вектор ОР1 має координати (cos а;
sin et), а вектор ОР2 — (cos ß; sin ß).
Виразимо скалярний добуток век-
торів ОР1 і ОР2 через їх координати:
OPj • ОР2 = cos а cos ß + sin а sin ß.
Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна
записати
Звідси отримуємо формулу, яку називають косинус різниці:
Рис. 24.1
cos (а - ß) = cos а cos ß + sin а sin ß (1)
Покажемо, що доведення не зміниться при будь-якому виборі
кутів а і ß, зокрема, коли (а - ß) g [0; л].
Кути поворотів а і ß для точок Р1 і Р2 відповідно можна по-
дати в такому вигляді:
а = otj + 2лА, k є Z, о^ є [0; 2л];
ß = ß1 + 2лл, п є Z, ßj є [0; 2л].
Тоді кут між векторами ОР1 і ОР2 набуває одного з чоти-
рьох значень: с^ - ßt (рис. 24.2); ß1 - сс^ (рис. 24.3); 2л - (с^ - ßx)
(рис. 24.4); 2л - (ßt - eg (рис. 24.5).
Тоді косинус кута між векторами ОР1 і ОР2 дорівнює cos (а - ß).
Далі залишається лише повторити наведені вище міркування для
випадку,хколи (а - ß) є [0; л].
Доведемо формулу косинуса суми;
cos (а + ß) = cos а cos ß - sin a sin ß
Маємо: cos (а + ß) = cos (а - (-ß)) ~
= cos а cos (-ß) + sin а sin (™ß) = cos а cos ß — sin а sin ß.
Доведемо формули синуса суми і синуса різниці:
sin (а + ß) = sin а cos ß + cos а sin ß
sin (а - ß) = sin а cos ß - cos а sin ß
188](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-188-320.jpg)
![§ 4. Тригонометричні функції
24.43." Доведіть, що коли а, ß, у — кути непрямокутного три-
кутника, то tg а + tg ß + tg у = tg а tg ß tg y.
24.44." Доведіть, що коли а, ß, у — кути трикутника, то
^ f t g f + t g f t g | + t g | t g | = l .
24.45." Обчисліть (1 + tg а)(1 + tg ß), якщо (X + ß = -|, а > 0,
ß > 0.
Чіг
24.46." Обчисліть (1 + ctg а)(1 + ctg ß), якщо a+ß = ^ , а > О,
ß > 0.
24.47." Доведіть нерівність sin (а + ß) < cos а + cos ß, де 0 < а <
0 < ß < § .
24.48." Доведіть нерівність cos (а - ß) < cos а + sin ß, де 0 < а <
Сі
0 < ß < f .
24.49.* Відомо, що sina + sinß + sin7> Vö. Доведіть, що
cos а + cos ß + cos у < 2.
24.50.* Доведіть нерівність tg2
^ + tg2
1 + tg2
^ > 1, де а, ß, у — кути
СІ СІ СІ
трикутника.
24.61.* Доведіть нерівність tg ^ + tg ^ + tg ^ > -Уз, де а, ß, у — кути
СІ Сі Сі
трикутника.
24.52.* Знайдіть усі функції f, визначені на R, такі, що для всіх
X є М, у е R виконується рівність
f ( x + y) = f (ж) cos у + f (у) COS X.
24.53.* Знайдіть усі функції f, визначені на проміжку [-1; 1],
такі, що для всіх х є К, у є R виконується рівність
f (cos де) f (cos у) + і (sin x) f (sin y) = cos (x - y).
24.54.* Знайдіть усі функції f, визначені на проміжку [-1; 1],
такі, що для всіх х є R, у є R виконується рівність
f (sin je) f (cos у) + f (sin y) f (cos ж) = sin (x + y).
196](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-196-320.jpg)
![25. Формули введення
Формули зведення
Періодичність тригонометричних функцій дозволяє зводити
обчислення значень синуса і косинуса до випадку, коли значення
аргументу належить проміжку [0; 2я], а значень тангенса і котан-
генса — до випадку, коли значення аргументу належить проміж-
ку [0; я]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дозволяють
у таких обчисленнях обмежитись лише кутами від 0 до —,
2
Кожний кут у межах від 0 до 2я можна подати у вигляді ~ ± а,
або я ± а, або ~-±а~, де 0 < а < ^ . Наприклад, ~ =
ь О О
5тс _ Зл ТЕ
З ~ 2 6' 77 ЗТС
Обчислення синусів і косинусів кутів виду —±а, я ± а , -~±а
Сі a
можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. Напри-
клад:
cos
2 I 2 2
sin (я - a) = sin я cos a - cos я sin a = sin a.
Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отри-
мати:
sin
( І - !
( ї " ,
= cos a sin (я - a) = sin a sin (
1
= cos a sin (я + a) = -sin a sin (
f - )
¥ 4
= -cosa
= -cosa
Ці шість формул називають формулами зведення для синуса.
Наступні шість формул називають формулами зведення для
косинуса:
cosj
COS
1~а
)
( И
= sina cos (я — a) = —cos a cos
= -sin a cos (я + a) = —cos a cos
= -sina
tj = sin a
Ці тотожності теж легко отримати, застосувавши формули
додавання.
197](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-197-320.jpg)
![26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
26.40.* Спростіть вираз:
cos 2а
. 1) -
2)
sin2
2а (ctg2
а - tg2
а)'
sin2
За cos2
За.
„2
3)
sin а cos а
cos а
4)
5)
6)
sin2
(a-я)i-4cos3
1
(Зя a]
і 2 г)1
cos2
1'
sin
( H
-4 + 4cos2
I sin (-J + a)
( и )
sin За cos а - cos За sin а '
t g ( f - 4 a ) 3 i n 2
( f - + 4a)
l-2cos2
4a
26.41." Доведіть, що:
1) sin 18° cos 36° = і ;
4
2) 8cos—cos—cos— = 1;
' 9 9 9
«і я 47t 5я 1
3) cosycos—cosy =
4) sin 6° sin 42° cos 12° cos 24° =
5) cos а cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a cos 32a -
sin 64a
64 sin а'
26.42." Доведіть, що:
1) sin 54° cos 72°--;
4
3) cos 3a cos 6a cos 12a =
sin 24a _
8 sin 3a'
о я 2л 4я і п 2я Зя
2) 8 cos—cos—cos— = -1; 4) cos—cos — cos—
7 7 7 15 15 15
26.43." Виразіть через cos 4a:
1) sin4
a + cos4
a; 2) sin8
a + cos8
a.
26.44." Обчисліть sin® a + cos® a, якщо a = —-.
24
26.45.** Доведіть тотожність:
1) З -I- 4 cos 4a + cos 8a = 8 cos4
2a;
nv cos2
(4a~3jt)-4cos2
(2a-я) + 3 , 4 „
7л 1
•cos — = —-.
15 128
cos2
(4a + 3n) + 4 cos2
(2a + л) -1
3)
4 sin4
1[2a
?)1
sin4
j|2a-~J + cos4
|
( I • — 2aJ1 - 1
= -2 ctg2
2a.
217](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-217-320.jpg)
![§ 4. Тригонометричні функції
26.46." Спростіть вираз:
3 + 4cosa + cos2a сов4
a-sin4
a-cos2
aU T T W O W T U J B Ö U Л^
1) „—. — 3 )
2)
3-4 cos a + cos 2a' 2(cosa-l)
cos4
(a — я)
І І
cos
і/ Зи . Л 3jt '
І ~ Т / m
Г + Т Г 1
26.4%." Спростіть вираз:
1) ^/(ctg2
a-tg2
a)cos2a • tg2a, якщо ~ < a < ^ ;
„. / s i n 4a і , 3it
2) J + 1, якщо — <a<7r.
]j ctg a - tg a sin 2a 4
26.48." Спростіть вираз:
1) y/(ctg a - tg a) 2 ctg 2a • tg 2a + 2, якщо
I cos 2a n Зя2
) J — І якщо -<a<-—.
у ctg ot — tg a 2 4
26.49." Доведіть тотожність:О - » і ) 4s in a sin (60° - a) sin (60° + a) = sin 3a;
2) 16 sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3;
4 sin 20" sin 50° sin 70° _ 1
6 )
sin 80°
26.90." Доведіть тотожність:
O-m і ) tg a tg (60° - a) tg (60° + a) = tg 3a;
2) tg20° tg40°tg80° = л/3.
26.51." Доведіть тотожність
sin 3a sin3
a + cos 3a cos3
a - cos3
2a.
26.52."* Доведіть тотожність
sin3
2a cos
26.53." Спростіть вираз:
З
sin3
2a cos 6a + cos3
2a sin 6a = - sin 8a.
1) yjo, 5 + 0,5 $0,5+0,5cos a , якщо 0 < a < л;
... cos a sin a n o „ ^ n n o
2) r = - . = , якщо 0° < a < 90°;
$ I-cos 2a y]l + cos 2a
sin (45° + ^] sin (45°-^ I
3) / 2 1
,v 2 /
, якщо 0° < a < 90°
$ 1-sina ^ l + sina
218](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-218-320.jpg)
![27. Формулидля перетворення суми і рівницітригонометричних функцій удобуток
ПРИКЛАД 1 Перетворіть у добуток: 1) 1 + tg а; 2) ІЗ - 2 sin а.
Розв'язання
sin Ij + а| $2 sin + aj
cos a
cos—cos a
4
*1) l + t g a = tg-+tga = -
4
і
2) л/з-2 sin a = 2 sin a j = 2 |sin-|-sm aj -
я _ я
= 2-2 sin——— cos = 4 sin - cos (— + —].
2 2 - 6 2/ 6 212 2 • 6 2j
ПРИКЛАД 2 Перетворіть у добуток вираз sin 3a + sin 5a + sin 7a.
Розв'язання. Перетворимо суму sin 3a + sin 7a у добуток.
Маємо:
sin 3a + sin 7a + sin 5a = 2 sin 5a cos 2a + sin 5a = 2 sin 5a|cos2a + ^j.
1 я
Подамо - як cos—. Маємо:
2 З
2 sin 5a cos 2a + -1 = 2 sin 5a [ cos 2a + cos--1 = 2 sin 5a cos 2a + cos-1 =
2) I ЗI
= 2 sin 5a • 2 cos |a+^J cos |a- ^J = 4 sin 5a cos |a+^J cos |a- ~J. •
ПРИКЛАД Э Доведіть тотожність sin2
(a + ß) ~ sin2
(a - ß) =
= sin 2a sin 2ß.
Розв'язання. Застосуємо формули пониження степеня, потім
перетворимо отриману різницю косинусів:
. 2 / , Q1l . 2, Q. 1-cos(2a + 2ß) l-cos(2a-2ß)
sin2
(a + ß) - sm2
(a - ß) = ^ — =
_ 1 - cos (2« + 2ß) -1 + cos (2a - 2ß) cos (2a - 2ß) - cos (2a + 2ß) _
2 2
. 2a-28 + 2a + 2ß . 2a-2ß-2a-2ß . _ . 0 0
= — sm — sin - = sin 2a sin 2ß. •
2 2
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що коли a + ß + у = я, то:
sin2
a + sin2
ß + sin2
у = 2 + 2 cos a cos ß cos y.
„ , , 2 • 2n • 2 1-cos 2a 1-cos 28 . 2
Розеязання. sin a + sin ß + sm y = + — — ^ s i n y =
О Л
, cos2a + cos2ß . я , , щ / n і г
-1 1 + у - 1 _c o s (a + ß)c o s ( a _ ß)+1 - cos у =
221](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-221-320.jpg)
![§ 4. Тригонометричні функції
Оскільки тригонометричні функції у = A sin (kx + а),
у -A cos (kx + а), де А — додатне число, набувають значень з про-
міжку [-А; А], то амплітуда гармонічного коливання показує
найбільше значення функції гармонічного коливання.
Оскільки головний період функцій у = A sin (kx + а), у =
2%
-А cos (/ех + а), де k — додатне число, дорівнює — , що в k разів
k
відрізняється від головного періоду функцій у = sin X і у = COS X,
то циклічна частота k показує кількість головних періодів функ-
ції гармонічного коливання в одному періоді функції у - sin х
або у = cos X.
Гармонічні коливання грають значну роль при вивченні бага-
тьох процесів. При цьому намагаються подати функцію складно-
го періодичного процесу як суму кількох функцій гармонічних
коливань, які вважаються простішими. Наприклад, функцію,
що описує складний музичний акорд, можна подати як суму
функцій гармонічних коливань окремих нот, що складають цей
акорд. На цьому принципі працюють багато технічних пристроїв.
Так, деякі типи радіопередавачів кодують інформацію у вигляді
окремих гармонічних коливань, випромінюючи у простір хвилю,
що є їх сумою. В іншому місці радіоприймач виконує зворотний
процес — подає отриманий сигнал як суму окремих гармонічних
коливань, що дозволяє відтворити передану інформацію.
Розділ математики, який вивчає гармонічні коливання, нази-
вають «Гармонічний аналіз». Якщо ви пов'яжете своє майбутнє
з математикою, фізикою, технікою, то зможете ознайомитися
з цим розділом у вищому навчальному закладі.
ПРИКЛАД 1 Укажіть амплітуду Л і циклічну частоту k гармоніч-
ного коливання, яке задається функцією: 1) у = —3 sin — 4JC);
2) y - _ e o o . ( f - f ) .
Розв'язання
1) Можна записати:
у— —3 s i n j l - 4х) - 3 sin (4* -
Отже, А = 3, k = 4.
2) Маємо:
Отже, А = 6, k = . •
Л
232](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-232-320.jpg)
![§5 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ
РІВНЯННЯ
І НЕРІВНОСТІ
ш РІВНЯННЯ COS Х~Ь
Оскільки областю значень функції у = cos х є проміжок [—1; 1],
то при I b І > 1 рівняння cos X = b не має розв'язків. Разом з тим
при будь-якому b такому, що | b | < 1, це рівняння має корені,
більш того, їх безліч.
Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпре-
тації: графіки функцій у = cos х і у = Ь, де | b | < 1, мають безліч
спільних точок (рис. 30.1).
Р и с . 3 0 . 1
Зрозуміти, як розв'язувати рівняння cos х = b у загальному
випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, роз-
в'яжемо рівняння cos де =
На рисунку 30.2 зображено графіки функцій у = cos х і у = - .
р
II
tijh-
V?
у = c o s X
А о /
—п X к
У з
-1
я V я
з N.
Рис. 30.2
239](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-239-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Розглянемо функцію у - cos X на проміжку [-я; я], тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
крива на рисунку 30.2). Пряма у = — перетинає графік функції
2
у - cos X на проміжку [-я; я] у двох точках Мг і М2, абсциси яких
є протилежними числами. Отже, рівняння cos х = на проміжку
£
[-я; я] має два корені. Оскільки cos І = cos — = то цими
З / 3 2
ко-
ренями є числа і
З з
Функція у = COS X є періодичною з періодом 2я. Тоді кожен
з інших коренів рівняння COS ж = — відрізняється від одного із
2
знайдених коренів або — на число виду 2яп, п є Z.
з з
Отже, корені розглядуваного рівняння задаються формулами
х = ~ + 2пп і х = -~ + 2пп, п є Z.
З З
Як правило, ці дві формули замінюють одним записом:
х = ±~+2пп, п є Z.
Повернемося до рівняння cos JC = Ъ, де I b I < 1 (рис. 30.3). На
проміжку [-я; я] це рівняння має два корені а і -а, де а є [0; я]
(при b = 1 ці корені збігаються).
Рис. 30.3
Зрозуміло, що всі корейі рівняння cos X — b мають вигляд
JC = ±а + 2ял, п є Z.
Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль;
знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння cos JC - B.
Корінь а має спеціальну назву — арккосинус.
Означення. Арккосинусом числа Ь, де | Ь < 1, називають
таке число а з проміжку [0; я], косинус якого дорівнює Ь.
240](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-240-320.jpg)
![ЗО. Рівняння cos а: = Ь
Для арккосинуса числа b використовують позначення arccos b.
Наприклад,
1 7t , Я Г Л . її 1
arccos —= —, оскільки — є [U; 71J і cos —= —:
2 3 3 3 2
arccos
42
2
Зя • Зя ГЛ , . Зя V2
оскільки у є [ 0 ; п ] і c o s y = — — ;
arccos 0 = у оскільки ^є[0;л] і cos^-O;
arccos (-1) = 7і, оскільки ті є [0; ті] і cos ті = -1.
Узагалі, arccos Ь = а, якщо а є [0; я] і cos а = Ь,
Зазначимо, що, наприклад, cos)-—) = -. Проте arccos
3/ 2 2 3
оскільки -— Є [0;я].
З
Тепер формулу коренів рівняння cos X = b, j b I < 1, можна
записати так:
X = ±arccos b + 27m, n є (1)
Зазначимо, що окремі випадки рівняння cos х = b (для b = 1,
b ^ O , b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 18). Нагадаємо
отримані результати:
COS X = 1 cos X = 0 COS X = -1
X = 2лп, п є Z
7С
X = — + кп, п є Ъ
2
X = я + 2 я п , п є Z
Такі самі відповіді можна отримати, використовуючи фор-
мулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто. Тому радимо
запам'ятати отримані результати.
ПРИКЛАД І Розв'яжіть рівняння: 1) cos 4х = 2) cos йг+т)=
Z о 4 / Z
3) cos [ f - T , ) - *; 4) cos пх = 1.
Розе' ЯЗСІНН Я* 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати:
&4x = ±arccos^- — + 2пп, п є Z.
Далі отримуємо:
4 16 2
Відповідь: ±— + — п є Z.
16 2
241](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-241-320.jpg)
![31. Рівняння sinjc = b
COS X CI
30.18." При яких значеннях параметра а рівняння — — = 0
cos де + —
має розв'язки?
30.19." При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а]
містить не менше ніж 3 корені рівняння cos де =
30.20." При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а]
містить не менше ніж 3 корені рівняння cos де =
КУ залежно від значень параметра а.
30.21." Визначте кількість коренів рівняння cos де = а на проміж-
Ш "
6 .
30.22." Скільки коренів залежно від значення параметра а має
рівняння cos X = а на проміжку ^-я; ^ j?
30.23." Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміж-
залежно від значень параметра о.[ к Зп
ГҐ'Т.
30.24." При яких значеннях параметра а рівняння (де-а)( cos дг + ^ j - O
Г Зл ~Lмає єдинии корінь на проміжку І л; •— IV
( уі2)
30.25." При яких значеннях параметра а рівняння(де+a) cos де —— = 0
має єдинии корінь на проміжку
2
Р і в н я н н я s i n x - b
Оскільки областю значень функції у = sin JC Є проміжок [-1; 1],
то при I b j > 1 рівняння sin де = b не має розв'язків. Разом з тим
при будь-якому b такому, що | b | < 1, це рівняння має корені,
більш того, їх безліч.
Зазначимо, що окремі випадки рівняння sin де = b (для b = 1,
b = 0, b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 18). Нагадаємо
отримані результати:
sin X = 1 sin д: = 0 sin X = -1
де — — + 2тш, П є Z
2
де = пп, п є % х = -~+2пп, пе Z
2
245](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-245-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Для того щоб отримати загальну формулу коренів рівняння
sin X = Ь, де j B І < 1, звернемося до графічної інтерпретації.
На рисунку 31.1 зображено графіки функцій у = sin х і у = Ь,
І Ь < 1.
Розглянемо функцію у ~ sin X на проміжку [_ІІ Зя
2 ~' 2 .
тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
лінія на рисунку 31.1). На цьому проміжку рівняння sin х = b
має два корені. Позначимо корінь, який належить проміжку
[ 2 ' г ] *
через а. Оскільки sin (я - а) = sin а, то другий корінь
дорівнює я - а. Зауважимо, що при b = 1 корені а і я - а збіга-
ються.
а)
б)
Рис. 31.1
Оскільки функція у — sin X є періодичною з періодом 2п, то
кожен з інших коренів рівняння sin X = B відрізняється від одного
із знайдених коренів на число виду 2пп, « е Z.
Тоді корені розглядуваного рівняння задаються формулами
X = а + 2кп і X = л - а + 2яп, п є Z.
Ці дві формули можна замінити одним записом:
ж = (~l)*ct + n k , k e X. (1)
246](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-246-320.jpg)
![31. Рівняння sinjc = b
Справді, якщо k — парне число, тобто k — 2п, п є Z, то отри-
муємо X = а + 2пп; якщо k — непарне число, тобто k - 2п + 1,
п є Z, то отримуємо X = -а 4- п + 2пп = ті - а + 2пп.
• Формула (1) показує, що корінь а відіграє особливу роль:
знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння sin х - Ь.
Корінь а має спеціальну назву — арксинус.
Означення. А р к с и н у с о м числа Ь, де | Ь | < 1, називають таке
число а з проміжку ^ j, синус якого дорівнює Ь.
Для арксинуса числа b використовують позначення: arcsin b.
Наприклад,
. 1 я
arcsin - = —, оскільки
2 6
arcsin
Я Г Я ІГ~| . . п 1
i n ( - f ) = - f , ОСКІЛЬКИ - f . [ - f , f ] і - ( - f ) - f
arcsin 0 = 0, оскільки і sin 0 = 0;
arcsin(-1) = —I, оскільки | ; | j 1 s i n
( _
2 ) = _ 1
"
Узагалі, arcsin b = а, якщо а є *s
*n
a = b.
5тс 1 1 5л
Зазначимо, що, наприклад, sin — = -. Проте arcsin
6 2 2 6
_к я]
. 2* 2 J
5л „
оскільки — g
6
Тепер формулу коренів рівняння sin X = b, I b I < 1, можна за-
писати або у вигляді сукупності:
х = arcsin b + 2пп,
_х = п-arcsin b + 2пп, nt=Z,
або одним записом:
(2)де = (-1) arcsin b + nk, k є
Узагалі, при розв'язуванні тригонометричних рівнянь одна
й та сама правильна відповідь може бути подана в різних формах
запису.
Зрозуміло, що формула (2) застосовна і для окремих випадків:
b = 1, b = 0, b = —1. Проте рівняння sin х = 1, sin х = 0, sin х = -1
зустрічатимуться часто. Тому радимо запам'ятати формули їх
коренів, які записано на початку пункту.
247](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-247-320.jpg)
![31. Рівняння sin л" = b
31.6.° Розв'яжіть рівняння:
1) sin = 2) 2 sin -4)+1 = 0.
31.7.° Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin |лг + ^J = — у .
31.8/ Знайдіть найбільший від'ємний корінь рівняння sin |з* - ^ J = -1.
31.9.° Знайдіть усі корені рівняння = які належать
проміжку
h f l
уі2
31.10.° Скільки коренів рівняння sin За: = належать проміжку
3ji.jt"L
L 2' 2]
31.11/ Розв'яжіть рівняння:
1) л/з sin X + cos х = 2; 3) 3sin |+V3cos | = 3.
2) $2 sin X - V2 cos X = 1;
31.12/ Розв'яжіть рівняння:
1) sin X - V3 cos X = 1; 2) sin x + cos x = $2.
31.13/ Розв'яжіть рівняння:
1) sin —= 0; 2) sin л Vx =-1; 3) sin (cos x) - 0,5.
31.14/ Розв'яжіть рівняння:
1) sin-^L = - — ; 2) cos (jt sin je) - 0.
V* 2
31.15/* При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння
(а2
- 1) sin X = а + 1?
31.16." При яких значеннях параметра о має розв'язки рівняння
(а + 4) sin2
2х = а2
- 16?
„ . . s i n х - а .
31.17. При яких значеннях параметра а рівняння -. - = 0
має розв'язки?
і
ІSin X
2
31.18." При яких значеннях параметра а рівняння — — х +а
— = 0
sin х-2а+1
має розв'язки?
251](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-251-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
31.19." При яких додатних значеннях параметра а проміжок
Г ї "
містить не менше ніж 4 корені рівняння sin X = і?
31.20." При яких від'ємних значеннях параметра а проміжок
[а; 0] містить не менше ніж 3 корені рівняння зіпл: = ——?
31.21." Визначте кількість коренів рівняння на даному проміжку
залежно від значень параметра а:
1) sin X = а, 2) sin х = а, у .
31.22." Визначте кількість коренів рівняння sin ж = а на проміж-
ку залежно від значень параметра а.
31.23." Визначте кількість коренів рівняння sin х - а на проміж-
ку
Н
залежно від значень параметра а.
31.24." Визначте кількість коренів рівняння sin х = а на проміж-
ку
5л Злі
. 6 ;
2 J
залежно від значень параметра а.
31.25." Скільки коренів залежно від значень параметра а має
рівняння ^cos jf-y-j(sin j:-a) = 0 на проміжку [0; 2л)?
31.26." Скільки коренів залежно від значень параметра а має
рівняння (cosjc-a)(sinx+^j = 0 на проміжку (0; 2я]?
РІВНЯННЯ t g X ~ Ь і c t g Х — Ь
Оскільки областю значень функції у = tg х є множина К, то
рівняння tg X = Ь має розв'язки при будь-якому значенні Ь.
Для того щоб отримати формулу коренів рівняння tg X ~ b,
звернемося до графічної інтерпретації.
На рисунку 32.1 зображено графіки функцій у = tg х і у = Ь.
Розглянемо функцію у = tg X на проміжку ^j, тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
крива на рис. 32.1). На цьому проміжку рівняння tg х = b при
будь-якому b має один корінь а.
252](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-252-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
6_
11'
32.2.* Розв'яжіть рівняння:
1) tg JC = 1; 3) tg JC = —V3; 5) ctgx = S; 7) tg x = 0.
2 ) t g x = & 4)tgx = -2; 6) ctg* = - ^ ;
32.3.° Розв'яжіть рівняння:
1) tg 2x = l; 3) t g ( - ^ ) = V3; 5) ctg6x =
2) t g | = |; 4) c t g | = 6) ctg (-9*) = ^ .
32.4.* Розв'яжіть рівняння:
1) t g f * = 0; 2) c t g f = -л/3; 3) c t g f * = 5.
Э z і
32.5.° Розв'яжіть рівняння:
1) = 3 )
V3ctg(öx + |) + 3 = 0;
Яг/я_£_ VЗ
' 4 З Г з •
2) tg (3 - 2x) = 2; 4) ctg)
32.6.° Розв'яжіть рівняння:
1) tg(*+j) = l; 2) ctg (4 - 3JC) = 2; 3) 3 tg <3* +1) - л/з = 0.
32.7.° Скільки коренів рівняння tg 4х = 1 належать проміжку
10; я]?
X л/з
32.8.° Скільки коренів рівняння ctg — - —— належать проміжку
І
32.9.° Знайдіть суму коренів рівняння ctg 2х = -л/8. які належать
проміжку
L
" * * Г
32.10.° Знайдіть суму коренів рівняння tg — = V3, які належать
Зл
-—;2я
2
проміжку
h i
іть су
[-2л;
2
32.11.° Розв'яжіть рівняння:
1) tg — = 0; 2) ctg•—= = 1; 3) tg(явіпх) = >/з.
л/X
32.12.* Розв'яжіть рівняння:
1) ctg = 2) tg-f==-l; 3) ctg (я cos X) = 1.
эх л/х
256](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-256-320.jpg)
![33. Функції у = arccos х І у = aresin х
32,13."При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння:
1) =
ctg JC + З З tg де -1
32.14." При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння:
1) c t g
* +
% 0 ; 2 ) =
tgje-2 ctg X - З
32.15." При яких значеннях параметра а рівняння (х + a) (tg х - л/з) = 0
на проміжку має єдиний корінь?
32.16." При яких значеннях параметра а рівняння (jc-a)(tg х +1) = 0
на проміжку м а є
єдиний корінь?
Функції у = arccos х і у - aresin х
Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння cos х = а на проміжку
[0; я] має єдиний корінь, який дорівнює arccos а (рис. 33.1).
Тому кожному числу X з проміжку [-1; 1] можна поставити
у відповідність єдине число у з проміжку [0; я] таке, що
у = arccos X.
Рис. 33.1
Тим самим задано функцію / (х) = arccos х з областю визна-
чення D (f) - [-1; 1] і областю значень Е (f) = [0; я].
Функція f є оберненою до функції g (je) = cos X а областю ви-
значення D (g) = [0; я].
Дійсно, D(f)-E(g) = [-1; 1];
Е (f) = D О?) = [0; я].
З означення арккосинуса випливає, що для всіх х з проміжку
[—1; 1] виконується рівність
cos(arccos х) = X
257](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-257-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Іншими словами, g (J (я)) = х для всіх х є D (f).
Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.
Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 9, до-
зволяють визначити деякі властивості функції f (х) = arccos х.
Оскільки функція g (х) = cos X, D (g) = [0; я], є спадною, то
з теореми 9.3 випливає, що функція f (х) = arccos х також є
спадною.
Для будь-якого X є D (g) маємо f (g (х)) = х. Це означає, що
для будь-якого X є [0; я] виконується рівність
arccos (cos х) = X
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно пря-
мої у = X. Це дозволяє побудувати графік функції f (х) = arccos х
(рис. 33.2),
Відзначимо ще одну властивість функції у = arccos х:
для будь-якого X є [-1; 1] виконується рівність
arccos (—ж) ~ тг — arccos х
Наприклад, arccos = я - arccos ^ = я - ^ = ^ .
(1)
-1
f (х) = arccos X
g (х) = cos X
Рис. 33.2 Рис. 33.3
Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисун-
ку 33.3 AB = MN = arccos х0, NP = arccos (-х0), a MN + NP = л.
Доведемо рівність (1). Нехай arccos (-х) = al t я - arccos х - а2.
Зауважимо, що а} є [0; я], а2 є [0; я]. Функція у = cos х є спад-
ною на проміжку [0; я], отже, на цьому проміжку кожного свого
значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що
cos cij = cos а2, тим самим доведемо рівність ад - а2.
258](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-258-320.jpg)
![33. Функції у = arccos х і у = aresin х
Маємо: cos ах = cos (arccos (-де)) = -х;
cos а2 = cos (л — arccos ж) = -cos (arccos x) - ~x.
Ь Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння sin де = а на проміжку
ЯІ
. 2' 2 J
має єдиний корінь, який дорівнює aresin а (рис. 33.4).
У
1 У = 1
0 / 1
_ л
arcsin a де2
Рис. 33.4
Тому кожному числу X з проміжку [—1; 1] можна поставити
у відповідність єдине число у з проміжку і 5:1
* 2 * 2 І
таке, що
у = arcsin X.
Тим самим задано функцію f (де) = arcsin х з областю визна-
_п я]
. 2* 2 J*
чення D (f) = [-1; 1] і областю значень E(f) =
Функція f є оберненою до функції g (де) = sin де з областю ви-
значення =
Справді, D {f) = Е (g) = [-1; 1];
E(f)-Digi.[-f;f .
З означення арксинуса випливає, що для всіх де є [-1; 1] ви-
конується рівність
sin (arcsin де) = де
Іншими словами, g (f (де)) = х для всіх де є D (/).
Сказане означає, що f і g — взаємно обернені функції.
Визначимо деякі властивості функції f (де) = arcsin х.
Оскільки функція g (де) = sin X, D (g) [_п п
2 ' 2 .
є непарною, то
функція f (де) = arcsin де також є непарною (див. ключову задачу
№ 9.18). Іншими словами, для будь-якого де є [-1; 1] виконуєть-
ся рівність
arcsin (—де) = —arcsin де
259](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-259-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Наприклад, aresin [ - -aresin f —
_ » . «1
. 2' 2J
є зростаючою. Отже,Функція g (х) = sin х, D (g) =
функція / (х) = aresin х також є зростаючою (див. теорему 9.3).
Для будь-якого X є D (g) маємо f (g (х)) = х. Це означає, що
я. я
2 * 2 .
для будь-якого X є виконується рівність
aresin (sin х) = X
2 - 1
ш
f (х) = aresin X
1 А х
2
£•(*) = аІП X
2
Рис. 33.5
Знову скористаємося тим, що
графіки взаємно обернених функцій
симетричні відносно прямої У ~ X.
На рисунку 33.5 показано, як
за допомогою графіка функції
я я
g (х) - sin X, D (g) =
2 2
, побуду-
вати графік функції f (х) = aresin х.
Доведемо, що для будь-якого
X є [-1; 1] виконується рівність
arcsin X + arccos х - -
Для цього покажемо, що
arcsin X = — arccos х.
2
Маємо: arcsin х < ^ . Крім того, 0 < arccos х < я. Тому
2 2
п Л ^ Я ^ Я-arccos X < 0; — < — arccosх<—.
2 2 2
Отже, значення виразів' arcsin х і — - arccos х належать
проміжку зростання функції у - sin х. Тому достатньо показати,
що sin (arcsin х) = sin (—-arccos xj. Маємо: sin (arcsin x) = x,
sin (^ - arccos Xj - cos (arccos x) = x.
260](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-260-320.jpg)
![33. Функції у = arccos х і у = aresin х
У таблиці наведено властивості функцій у = arccos х і у = aresin х.
у = arccos X у - aresin X
Область визначення 1 - І ; І ] Н І 1]
Область значень [0; я]
[-Н]
Нулі функції х = 1 X = 0
Проміжки
знакосталості
Якщо X є [-1; 1),
то arccos X > 0
Якщо X є [-1; 0),
то aresin X < 0;
якщо X є (0; 1],
то aresin X > 0
Парність
Не є ні парною,
ні непарною
Непарна
Зростання / спадання Спадна Зростаюча
ПРИКЛАД І Знайдіть область визначення функції
у = arccos (х2
- 3).
Розв'язання. Областю визначення D (у) даної функції є мно-
жина розв'язків нерівності —1 < X2
- 3 < 1.
-2<х<2,
-2 ^ x < - j 2 ,
Маємо:
fx2
<4,
їх2
>2; лІ2<х<2.
х<-у[2,
х>4ї;
Отже, D (у) = [-2; -V2] U [V2; 2]. •
ПРИКЛАД 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
f (х) = 4 - arccos Зх.
Розв'язання. Оскільки 0 < arccos Зх < я, то -я < -arccos Зх < 0
і 4 - тс < 4 - arccos Зх < 4.
Зазначимо, що = /||) = 4.
Відповідь: найменше значення дорівнює 4 - я, найбільше зна-
чення дорівнює 4.
ПРИКЛАД 3: Обчисліть arccos |cos|).
Розв'язання. Використовуючи формулу arccos (cos х) = х, де
X є [0; я], маємо arccos|cos =
Відповідь: —.
З
261](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-261-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
ПРИКЛАД 4 Обчисліть arcsin (sin 6).
Розв'язання. Здавалося б, відповідь можна отримати одразу,
зважаючи на рівність arcsin (sin х) = х. Проте число х = 6 не на-
Г Я я]
лежить проміжку -—; — І, а отже, не може дорівнювати значен-
ню арксинуса.Правильне міркування має бути таким:
я я
arcsin (sin 6) = arcsin (sin (6 - 2я)). Оскільки 6-2яє
то arcsin (sin 6) = 6 - 2л.
Відповідь: 6 - 2л.
ПРИКЛАД 5 Обчисліть arccos (sin 10).
2' 2
•(H)Розв'язання. Маємо: arccos (sin 10) = arccos^cos
Зауважимо, що число —-10 не належить проміжку [0; я].
2
Тому слід виконати такі перетворення:
arccos ^cos(|-10)J = arccos(cos(l0-|-2n)) = 1 0 - y .
Відповідь: 10-—.
2
ПРИКЛАД б Обчисліть sin arccos
Розе' Ä3 €L H ИЛ* Нехай arccos —= а , тоді а є [0; я] і cosoc = ^.
5 5
Задача звелася до пошуку значення sin а.
Урахуємо, що коли ос є [0; я], то sin а > 0. Тоді отримуємо:
sin а — %/l-cos2
а =. 1 —— = —.v
V 25 5
4
Відповідь: —.
5
ПРИКЛАД 7 Розв'яжіть рівняння arcsin^—- = —.
2 З
Розв язан ця, Перепишемо дане рівняння у вигляді
. х-1 . ч/з
arcsin - — • arcsin — .
2 2
Оскільки функція у = arcsin х є зростаючою, отже, кожного
свого значення набуває один раз, то рівність arcsin xt = arcsin х2
виконується тоді і тільки тоді, коли JCj = х2, х1 є [-1; 1] і х2 є [-1; 1].
гг • • Х-1 ч/з
Тому дане рівняння рівносильне такому: —— = — .
Відповідь: л/3+1.
262](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-262-320.jpg)
![33. Функції у = arccos х і у = aresin х
33.30." Розв'яжіть нерівність:
1) aresin (х2
- х) > агсаіп (Зх - 4); 2) arccos (1 - 2х) < arccos 1
.
х-1
33.31.* Побудуйте графік функції:
1) у = aresin |х - 11; 2) у = arccos |2х + 11.
33.32." Побудуйте графік функції:
1) у = arccos (I X [ + 1); 2) y-aresin^] х |-1
„_ „_ _ „ „ . . . ... I aresin XІ33.33. Побудуйте графік функції у = - —J.
arcsin І де І
33.34." Побудуйте графік функції:
1) у = sin (arcsin х); 3) у - cos (2 arcsin х);
2) у = cos (arcsin х); 4) у - sin (arcsin х + arccos х).
33.35." Побудуйте графік функції:
1) у = cos (arccos х); 3) у = cos (2 arccos х);
2) у = sin (arccos х); 4) у = cos (arcsin х + arccos х).
33.36." Побудуйте графік функції у - arccos (cos х).
33.37." Обчисліть:
1) arcsin |sin^); 3) arcsin (sin 3);
2) arcsin |sin^j; 4) arcsin (cos 8).
33.38." Обчисліть:
1) arccos f c o s ^ j; 3) arccos (cos 6,28); 5) arccos (sin 12).
2) arccos |cos^j^|; 4) arcsin ^cos^j;
33.39.** Розв'яжіть рівняння (arcsin x)2
+(arccos x)2
= -^-.
33.40." Розв'яжіть рівняння:
1) (arcsinx)2
-(arccosх)г
= — ; 2) arcsinx• arccosx-——-.
J.dt 1D
X і і
33.41." Доведіть, що tg (arcsin x) = - = = при | x | < 1.
V i - * 2
33.42." Доведіть, що tg (arccos x) = при ) x | < 1 і x * 0.
267](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-267-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
36.12.' Знайдіть найменший додатний корінь рівняння
sin X cos X + cos2
X - 0.
35.13." Розв'яжіть рівняння:
1) 4 cos X sin X = tg X + ctg x;
2) 3 cos X + 2 tg JC = 0;
3) 8 sin2
x + 4 sin2
2x + 8 cos 2JC = 5;
4) 3 + 5 cos JC = sin4
JC - cos4
x;
5) cos2x-9cosjc + 6 = 4sin2
—.
2
35.14." Розв'яжіть рівняння:
1) 4 ctg JC - 5 sin JC = 0;
2) 4 sin2
2JC + 7 cos 2x - 2 sin2
JC = 6;
3) 7 + 2 sin 2:t + 1,5 (tg X + ctg JC) = 0;
л • 2 4 X 4 X
4) sin JC-cos — s i n —;
2 2
5) 2 cos 4JC - 2 cos2
JC = 3 cos 2JC.
35.15." Розв'яжіть рівняння:
1) sinz
2jc-- = cos2xcos6jc;
4
2) sin 2JC sin X + cos2
JC = sin 5JC sin 4x + cos2
4jc,
35.16.* Розв'яжіть рівняння:
1) sin — sin —JC -t- cos2
—• — —; 2) 2 sin x cos 3JC = cos2
4JC - sin 2JC + 1.
2 2 2 4
35.17." Розв'яжіть рівняння:
1) 3 sin лс - 8 cos JC - 3; 2) 2 sin JC - 5 cos x = 3.
35.18." Розв'яжіть рівняння:
1)3 sin JC + 5 cos X = -3; 2) 3 л/3 sin JC - 5 cos JC = 7.
35.19." Скільки коренів рівняння cos 2JC + sin JC = cos2
x належать
проміжку [-я; я]?
35.20." Знайдіть суму коренів рівняння 2 sin2
х + 7 cos х + 2 = 0,
л.Зя
2' 2 .
які належать проміжку
35.21." Знайдіть усі корені рівняння 2 cos2
JC = sin х, які задо-
к
вольняють нерівність — < X < я.
3 5 . 2 2 . ' Знайдіть усі корені рівняння sin JC + cos JC = 1 , які задо-
вольняють нерівність 0 < JC < я.
284](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-284-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
35.34." Розв'яжіть рівняння:
1) 7*0-18 cos ж =6COSJC-2; 3) ^3 + 4coa 2x = j 2 cos JE.
2) J3 cos 2x -1 = лІ2 sin x;
35.35." При яких додатних значеннях параметра о проміжок
[0; а] містить рівно 3 корені рівняння:
1) 2 sin2
X - sin х = 0; 2) 2со82
л:-7з cosx^O?
35.36." Визначте, при яких додатних значеннях параметра а про-
міжок [0; а] містить рівно п коренів рівняння:
1) 2 sin2
X + sin X = 0, п = 4; 2) 2 cos2
х + cos де = 0, п = 3.
35.37." Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння
cos2
де- —+ a|cosx + — = 0 має на проміжку
10 / 1 0
Гл lire]
І У б j-
1) один корінь; 2) два корені.
35.38." Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння
• а ( . 7г 1 . , а-Я . Г 4л 1
sin дг—I a -t—— J sin X н—— = 0 має на проміжку 0;—І:
1) два корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені.
35.39." Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння
г I l а л . Гл 5яcos x-la--lcosjt- —= 0 має на проміжку
1) два корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені.
35.40.* При яких значеннях параметра а рівняння
cos2
X + (2а + 3) sin х - а2
= 0 має:
1) один корінь на проміжку [0; тг];
2) один корінь на проміжку
3) один корінь на проміжку ^0; ^J;
^ • • K 5 j t
l .4) два корені на проміжку І ^; —І;
5) три корені на проміжку [0; 2я);
І_п 4лр
в' З Г
6) чотири корені на проміжку
35.41.* При яких значеннях параметра о рівняння
cos 2х + (4a - 1) cos х + 2а2
+ 1 = 0 має:
1) два корені на проміжку
2) три корені на проміжку
_л ЛІ
2* 2 J'
_л 2кЪ
. З' З J'
286](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-286-320.jpg)
![37. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь
37.17." Розв'яжіть рівняння:
1) cos7
JC + sin4
X = 1; 2) Vs i n х +
Vc o s х =
37.18." Розв'яжіть рівняння:
1) sin3
X + cos® х = І; 2) cos4
X - sin7
JC = 1.
37.19." Розв'яжіть рівняння:
1) sin5
JC + cos5
JC = 2 - sin4
JC; 2) si2 + cosz
2.r -sin3jc-cos3jc.
37.20." Розв'яжіть рівняння:
1) sin 5JC + sin X = 2 + cos2
JC; 2) ^/s+sin2
3JC = sin JC + 2 COS JC.
37.21.* Розв'яжіть рівняння - tg2
sin ITJC - cos =
37.22.* Розв'яжіть рівняння - ctg2
2NJC cosROC+ sin TU: =
37.23.* Розв'яжіть рівняння:
1) FÖ H %—) (2 - sin® JC) = 7 + cos 2y;
V sin X!
2) (sin2
X + —V-) +(cos2
Jc+ =12 + ^ sin y.
sm2
xl cos XI 2
37.24.* Розв'яжіть рівняння:
1) (sin (JC - y) + 1) (2 cos (2JC - y ) + 1) = 6;
2) tg4
JC + tg4
у + 2 ctg2
JC ctg2
у = 3 + sin2
(JC + y).
37.25.* При яких значеннях параметра а рівняння
6 a c o s ^ - A 2
( l + 6| JC])+7 = 0
z
має єдиний корінь?
37.26.* При яких значеннях параметра а рівняння а2
cos пх -
- а (1 + 8JC2
) = 6 має єдиний корінь?
37.27.* При яких значеннях параметра а рівняння х2
- 2а sin (cos JC) +
+ 2 = 0 має єдиний корінь?
37.28.* При яких значеннях параметра а рівняння 2JCz
- atg (cos JC) +
+ а2
= 0 має єдиний корінь?
37.29.* Знайдіть множину пар чисел (а; Ь), для кожної з яких
рівність а (cos х - 1) + b2
= cos (ajc + b2
) - 1 виконується для
всіх X.
37.30.* При яких значеннях параметра а рівняння
(а -1) sin ^ + sin JC = 1 і (а - а2
) cos 2х + sin JC - а
о
мають рівні непорожні множини розв'язків?
295](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-295-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Про рівносильні переходи при
розв'язуванні тригонометричних рівнянь
У попередніх пунктах ви ознайоми-
лися з основними прийомами розв'я-
зування тригонометричних рівнянь.
Проте при застосуванні кожного методу
є свої тонкощі, нюанси, «підводні рифи».
Очевидно, що поза областю визна-
чення рівняння коренів бути не може
(рис. 38.1). Якщо під час перетворень
рівняння відбувається розширення об-
ласті його визначення, то зрозуміло, що
де може привести до появи сторонніх
коренів. Цю небезпеку слід брати до уваги при розв'язуванні
тригонометричних рівнянь.
Рис. 38.1
ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння
2 - 2 sin2
де-cos X
6дс2
+ 5кх + л2 = 0.
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі
(2 - 2 sin2
х-cos а: = 0,
]бх2
+ 5пх+п2
Маємо:
2 COS2
JC-COS X = 0 ,
лХФ-
2'
Звідси
JC = ^ + 7tft, k e Z ,
х = ±^+2пп, пє'і
л
XФ
2'
» - і -
Зауважимо, що при At = -1 корінь першого рівняння, а при
п = 0 один із коренів другого рівняння сукупності не задоволь-
няють систему.
Відповідь: ~ + 2пп, - £ + 2лт, £ + п є Z, т є Z, k є Z,
З 3 2
т Ф 0, k Ф - 1 .
296](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-296-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
/ л Väcos (х-{/) = — ;
x-y = ±~+2nk, k є Ъ.
4
Тепер отримуємо:
я
x-y = - + 2nk,
4
it
x + y ^ ,
X - у = + 2nk.
4
Звідси
І ж = 7 + 7tfc,
4
31
і
4
Відповідь: f^+nfe; -яй|, (пА; ^-яй), fee Z.
_ , (sin xcos г/= 0,25,
ПРИКЛАД 4 Розв яжіть систему рівнянь ]
[cos X sin у = 0,75.
Розв'язання. Запишемо систему, рівносильну даній:
sin X cos у+cos X sin у=1,
sin X cos у-cos x sin у = -0,5.
sin (x+y) = l ,
sin(x-i/) = -0,5;
x+y = - + 2nk, feeZ,
2
x-y=(-l)n + 1
-5 + яп, n є Z ;
Звідси (1)
(2)
x+y = - + 2яА,
Й
jt-y = -- + 2ли,у 6
x + y = -| + 2nk,
x-y-
5jc
+ 2nn;
х = -+я(А+п),
6
у = | +
6
304](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-304-320.jpg)
![40. Найпростіші тригонометричні нерівності
На проміжку, що розглядається, графік функції у = sin .г
розміщений нижче від графіка функції у = ^ при хе[Щ-
2 о о і
(рис. 40.3).
У'
1
' У =sinx
It
Зі
/ Н
0 К
3
2it
3
f 7т.
3
X
Рис. 40.3
Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх
(2ІЕ 7 Я
™ + 27Ш; — + 2лп|, п є Z.
Відповідь-. — + 2тіп<х< — + 2пп, п є І .
З З
У прикладах 1 і 2, розв'язуючи нерівності виду sin х > а
і sin X < а, ми розглядали проміжок виду [arcsin a; arcsin а + 2л].
Зрозуміло, що розв'язування можна провести, розглядаючи будь-
який інший проміжок, довжина якого дорівнює 2л, наприклад
проміжок [—2л + arcsin a; arcsin о].
•J2
ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність cosx>——.
Z
Розв'язання. Маємо: a r c c o s Р о з в ' я ж е м о дану
нерівність на проміжку
5л 371
4 * 4 .
-2п +
Зк
4 ' 4
тобто на проміжку
4
3rc
4
У
1
Зл
4
y= COS X —
/ X
i ! / о j j f ^
y -
42
2
Рис. 40.4
309](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-309-320.jpg)
![41. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей
Звідси — + 2nn<t< — + 2лп, п є Z (рис. 41.2).
З з
У '
2к
X " з /
I f -
Ч 2п 4it
X 3 3 /
cos t
t
[ / о X У 2п ^
* X VУ=-2
Рис. 41.2
Тоді — + 2лп<4х< — + 2лп;
З З
6 2 3 2
п • а - з Я . ЛП _ Л , ЛПВідповідь: - + — < х < ~ + п €
6 2 3 2
ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть нерівність -5 sin х + cos 2х < 3.
Розв ЯЗ d W ня» Маємо: -5sinx + 1 - 2sin х < 3;
2sin2
x + 5 sin X + 2 > 0.
Зробимо заміну sin х = t. Маємо:
2t2
+ 5f + 2 > 0; t < -2 або t >
СІ
Оскільки I t ] < 1, TO sinx>-^. Звідси
Сі
-~ + 2лп<х< —+ 2лп, n є Z.
6 6
Відповідь: - * + 2тт<х< — + 2лп, n є Z.
6 6
У 9 класі ви ознайомились із методом інтервалів для розв'язу-
вання раціональних нерівностей. Цей метод можна використову-
вати і при розв'язуванні тригонометричних нерівностей.
Для розв'язування нерівності виду f (х) > 0 (або f (х) < 0),
де f — періодична функція, достатньо, користуючись методом
інтервалів, знайти розв'язки на проміжку, довжина якого дорів-
нює періоду функції /. Потім записати відповідь з урахуванням
періодичності. В аналогічний спосіб розв'язуються нестрогі не-
рівності f (х) > 0 і f (х) < 0.
ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть нерівність sin 2х + sin х > 0.
Розв'язання. Розглянемо функцію f (х) = sin 2х + sin х,
£>(/) = R, яка є періодичною з періодом 2л.
315](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-315-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Знайдемо нулі функції / на проміжку [-я; я].
Маємо: sin 2х + sin х = 0;
2 sin X cos X + sin X = 0; 2 sin x (cos + ~J = 0;
s i n x = 0,
cos X — —-
X = Я П ,
x = ±—+ 2яп, neZ.
3
2л
2n
На проміжку [-я; я] функція / має п'ять нулів: -я, ——, 0,
и
, я. Ці числа розбивають указаний проміжок на проміжки
знакосталості (рис. 41.3).
Рис. 41.3
Функція / набуває додатних значень на проміжках (-я; -
' ( * ? ) •
З урахуванням періодичності функції f запишемо відповідь.
2л 2л
Відповідь: ~л + 2яп < х < н 2кп або 2я/і < х < — + 2лп, п є Z.
З З
ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть нерівність ( s i n x - | j t g x > 0 .
Розв'язання. Розглянемо функцію f (х) = (sin х - tg х. Вона
є періодичною з періодом 2я (доведіть це самостійно).
Знайдемо нулі функції f на проміжку
(sin X - ~J tg X = 0;
я . Зл
2 ' 2
. Маемо:
sin x = —,
2
tg X = 0 ;
6
х = яп, n e Z .
На проміжку
_к Зл
L 2 ' 2 .
функція f має чотири нулі: 0, п.
6 6
316](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-316-320.jpg)
![42. Тригонометрична підстановка
Маємо: тр + nq~ cos а cos ß + sin a sin ß = cos (a - ß). 3a
умовою mp + nq = 0. Тоді cos {a - ß) = 0.
Можна записати mn + pq = cos a sin a + cos ß sin ß =
- і (sin 2a + sin 2ß) = sin (a + ß) cos (a-ß).
Оскільки cos (a - ß) = 0, то mn + pq = 0.
Відповідь: 0.
ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть систему рівнянь
х2
+ У*= 1,
{4ху(2у2
-1) = 1.
Розв'язання. Рівняння х2
+ у2
= 1 дає змогу зробити таку за-
міну: X = sin а, у = cos а, де а є [0; 2я). Тоді з другого рівняння
системи маємо:
4 sin a cos a (2 cos2
a - 1) = 1; sin 4a = 1; a = ft є Z.
о Z
Із знайденої множини коренів проміжку [0; 2к) належать
л 5я 9л . 13л
числа —, — , — і ——.
8 8 ' 8 8
Якщо а = то
Аналогічно можна знайти й інші три розв'язки.
Відповідь:
(-
У2-У2. УІ2+42 j [ Уг+Уі.Уг-л/г
2 2 Г І 2 ' 2
Зауважимо, що відповідь до прикладу 2 можна подати
І . п / . 5л 5тс
в тригонометричному вигляді: Ism-; cos—j, ^sin—;cos~l,
I . 9л 9л / . 13л 13л
ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння
Розв'язання. Оскільки має виконуватись умова 1 - х2
> 0, то
I X < 1. Тоді можна зробити заміну х = cos a, а є [0; п].
Тепер дане рівняння можна записати так:
Vl-cos2
a = 4 cos3
a.-3cos а. Звідси | sin a | = cos 3a.
319](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-319-320.jpg)
![§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
При а є [0; я] sin а > 0, Маємо: sin а = cos За. Розв'язуючи
це рівняння, отримуємо
а = ~ + я п , п є 2 ,
4
8 2
З розв'язків сукупності оберемо ті, які задовольняють умову
0 < а < я. Це числа —, ~ і —.
Відповідь: cos^; cos^?; cos^.
8 8 4
ПРИКЛАД 4 Числа x v х2, ..., хп належать проміжку [-1; 1], при-
чому сума їх кубів дорівнює 0. Доведіть, що х1+хг+...+ хп
Розв'язання. Нехай ху = cos а,, х2 = cos а2 , ..., хп = cos ап, де
а. є [0; я], і = 1, 2, ..., п.
За умовою cos"' üj + cos3
а2 + ... + cos3
ап = 0.2
Скориставшись рівністю cos а - " маємо:
4 cos3
а - cos За
_ 4 cos öj - cos Зсц 4cos а2-совЗа2 4cos a„-cos3an _
3 +
3 3 ~
= (cos3
at + cos3
a2 +... + cos3
а n ) - (cos За, + cos 3a2 +...+cos Зал) =
о о
= -^(cos3a1 + cos3a2 + ... + cos3an )<^. •
З з
ПРИКЛАД 5 Доведіть, що при будь-яких х, у виконується нерів-
н і с т ь _ 1 < (х+у)(Х-ху) ^ і
2 (1 + *г
)<1+<,2
) 2
Розв'язання. Зробимо заміну:
JC = tg а, у = tg ß, де а є ( - Ь Маємо:
(1 + *2
)(1 + / ) (1 + tg а) (1 + tg р)
= |sin2(a+ß).
Звідси випливає справедливість нерівності, що доводиться. •
320](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-320-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
Індукційний перехід. Нехай при деякому п = k має місце
нерівність 5* - 4к
> k. Доведемо, що при п = k + 1 виконується
нерівність 5*+1
- 4 й + >
> k + 1. Маємо:
"5і 4 1
- 4* +1
= 5 • 5s
- 4 * 4" = 5і
+ 4(5" - 4") > 5* + 4k > k + 1.
За методом математичної індукції нерівність 5П
- 4" > п вста-
новлено для всіх л є N.
Доведена нерівність означає, що послідовність {xj необмежена
зверху, тобто для будь-якої сталої С нерівність 5" - 4" < С не ви-
конується для всіх п є N. •
Г Вправи
43.1/ Доведіть, що послідовність (ап) є зростаючою, якщо:
1) а = 5л - 12; 3) а = 3" - 2П
; 5) а
" '
л
'
п
п+1
2) ап = пг
+ п - 1; 4)а„ = ^ ; 6) а ^ .
43.2.* Доведіть, що послідовність (ап) є спадною, якщо:
1) а. = 1 1 - 8 « ; 5) = ±
2)ап = -п2
+ п + 1; 4)
43.3/ Доведіть, що послідовність (оп) не є монотонною, якщо:
1) ап = (-1)"; 3) ап = sin f ; 5)an = n + (-1)";
2) ап = (п - 4)2
; 4) ап =п(
-1)Л
; 6) an = sin п°.
43.4.* Доведіть, що послідовність (ая) не є монотонною, якщо:
1) ая = I п - З І; 3) ап = п - (-1)п
;
2 ) a „ = c o s ^ ; 4) ая = (1 + (-1)") п.
43.5/ Наведіть приклад послідовності ( a j з найменшим чле-
ном а15.
43.6/ Наведіть приклад послідовності (а ) з найбільшим чле-
ном а2А.
43.7/ Дослідіть на монотонність послідовність, задану форму-
лою:
1) ап = [л/п]; 2)а„ = ^ ; 3)
327](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-327-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
43.29.* Чи є обмеженою послідовність, задана формулою
-4J'
Як вивести формулу Біне
У підручнику 9-го класу1
ви читали розповідь про числа Фібо-
наччі. Нагадаємо, що так називають послідовність цілих чисел,
задану рекурентним способом:
"П + 2 =
"Л + ] +"„> " Є
N, = 1. (1)
Перші члени цієї послідовності такі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,
тобто кожний наступний член, починаючи з третього, дорівнює
сумі двох попередніх.
Важко повірити, але л-й член послідовності чисел Фібоначчі
можна обчислити за формулою
и
Цю формулу отримав французький учений Жак Біне (1786-
1856).
Довести формулу Біне (2) неважко, якщо її вже записано. Для
цього потрібно лише переконатися, що послідовність (2) задоволь-
няє означення чисел Фібоначчі, тобто перевірити виконання умов
(1). Питання в тому, як Жак Біне знайшов таку дивну формулу.
Виявляється, що для цілого ряду послідовностей, заданих реку-
рентним способом, існує метод знаходження таких формул.
Розглянемо цей метод на прикладі послідовності чисел Фібо-
наччі.
Спочатку зосередимо увагу лише на рекурентному рівнянні
(без початкових умов = и2 = 1):
U
n+ 2 = U
n+ l + U
n> ПЄ N
- (3)
Спробуємо знайти формули для бодай якихось послідовностей,
що задовольняють співвідношення (3) при всіх значеннях п є N
(такі послідовності називають розв'язками рекурентного рівняння
" ^ о = U
, + И )•п + 2 п+1 п'
1
А. Г. Мерзляк, В, В. Полонський, М. С, Якір. Алгебра: підручн. для
9 кл, з поглибл. вивченням математики.— X.: Гімназія, 2009. — 384 с.
330](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-330-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
Можна помітити, що зі збільшенням номера п члени послі-
довності прямують до числа 1.
Якщо члени цієї послідовності зображати точками на коор-
динатній прямій, то ці точки будуть розміщуватися все ближче
і ближче до точки з координатою 1 (рис. 44.1).
а, а2 а3 а4
1 • • * I I I І І І І И ^
0 1 2 3 4 567.8 1
2 3 4 5 6 7 8 9
Рис. 44.1
Інакше кажучи, значення виразу | о - 1 [ зі збільшенням но-
мера п стає все меншим і меншим. Маємо:
І а.-11 =
п . п-п-1 ~1 1
п + 1 п + 1 п + 1 п + 1*
Тоді, наприклад, розв'язавши нерівність —^—<0,1, установ-
ці + 1
люємо, що І а — 1 І < 0,1 при п > 10, а розв'язавши нерівність
^ у < 0,0001, установлюємо, що | ап - 1 ] < 0,0001 при п > 10 000
тощо. Узагалі, починаючи з деякого номера значення виразу
І а — 1 І стає меншим від будь-якого наперед заданого додатного
числа є (читають «епсілон»). Знайти п0 можна, розв'язавши не-
рівність — < є .
я + 1
У цьому разі говорять, що число 1 є границею послідовно-
сті а .п
Розглянемо послідовність (Ьл), задану формулою п-го члена
п
Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:
і 2— 2—
Х
* 2' V 4' 5* V 7
Зі збільшенням номера п члени послідовності прямують до
числа 2 (рис. 44.2).
ь
} £>з b5 b7 bs Ьв Ьі Ьг .
І • •—> н у м « •—» •
1
ц Ч Ц
2
Ч
3
Рис. 44.2
Це означає, що для будь-якого додатного числа є можнр вка-
зати такий номер п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність
334](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-334-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
Маемо:
j Зл-1 3 -5 5
і 2л + 1 2 2 (2и +1) 2 (2п +1)
З'ясуємо, при яких п є N виконується нерівність
Переходимо до рівносильних нерівностей:
5 < 4пг + 2є;
4ПЕ > 5 - 2є;
5 1
2 (2л +1)
-<Е.
П >-
4е 2
В якості номера п0 візьмемо, наприклад, число j^-^j+1. Тоді,
ЯКЩО п > п0, ТО І' переходячи до рівносильної нерівно-
сті 4пе > 5 - 2є, а потім 5 < 4пе + 2є, отримаємо врешті, що
2(2«+1)
<£ 1
Зп-1 З
2п + 1 2
<є. Тому lim
Зп-1 __ З
2 л + 1 2 '
Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність (aj, яку задано формулою
ап = (-1)", є розбіжною.
Розв'язання. Припустимо, що послідовність (ал) є збіжною
і lim а - а.
Тоді для £ = - існує номер п0 такий, що для всіх п > пд ви-
конується нерівність j ап - а | <
Отже, при л = 2л0 і п = 2п0 + 1 одночасно мають виконуватися
дві нерівності:
|а2 П о -а|<| і ] ааЛо+1-а|<|, тобто
| l - a | < ! і |-1-а|<|.
Легко показати (зробіть це самостійно), що система
і - « і 4
і + в і < 1
не має розв'язків. Отримали суперечність. •
336](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-336-320.jpg)
![44. Границя числової послідовності
Г Вправи
44.1.° Укажіть (без обґрунтування), яке число е границею по-
слідовності (хп):
1
п.
5
1 ^ ^ Sill ТІ
1) * я = 3 + і ї 2) 3) дгп = 4) *„=—Г-.
П УІП + 1 ' 1 п
44.2.° Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею по-
слідовності (х ):
1) =
2 ) =
у/2
3) хп = cos п - COS ТІ]
4) 1
+Vn+1' " 4п~
44.3. Відомо, що деяка послідовність, членами якої є тільки цілі
числа, є збіжною. Що можна сказати про цю послідовність
(обґрунтовувати відповідь необов'язково)?
44.4." Наведіть приклади трьох послідовностей, що збігаються до
числа: 1) 3; 2)-ч/2.
44.5. Чи для кожного числа а існує послідовність, що збігається до at
44.6.* Знайдіть принаймні одне число п0 таке, що для всіх n Р nQ
виконується нерівність:
1) ü - l о 1
2) <0,01.
n І 20
44.7.* Знайдіть принаймні одне число п0 таке, що для всіх п > п0
виконується нерівність:
1)
п-1
-1 <0,3; 2)
2
yjn + l 1 0 0 0 '
44.8.* Доведіть, що:
1) lim "±1 = 1;
л->— П
3) lim
2п + 5 _ 2.
Зл З'
5) lim
2) lim
n
2«-]
І.
2' 4) lim [3 + ^ ^ ] = 3;
n t
44.9.' Доведіть, що:
1) lim — = 0;
n-i— П
2) lim ilLt2
- 2;
3) lim
4n + l 4
3л + 5 3
4) l i m t i ^ - 0 ;
5) lim
3n +2 _ 3
5n2
-1 5"
<Jn+1
2>/n+2 2
337](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-337-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
Звідси для всіх л є N виконується подвійна нерівність:
0 < — .
1,21" п
Оскільки lim = 0, то за теоремою про двох конвоїрів
л-»~ П
lim — = •
1,21"
О—» ПРИКЛАД 5 Доведіть, що І і т ^ л =1.'
Л —'
Розв'язання. Доведемо, що для довільного е > 0 знайдеться
номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується подвійна нерів-
ність 1-є<%/л<1 + є.
Зазначимо, що 1 - є < ^ л для всіх л є N.
Розглянемо нерівність 4п< 1+є. Маємо: п < (1 + є)я
, -—-—<1.
(1 + є)"
Оскільки lim — = 0 для всіх а > 1, то lim — - — = 0. За тео-
а 1+ £)П
ремою 45.3 існує такий номер лп, що для всіх п > п0 має місце
нерівність —-—<1.
(1 + Є)"
Таким чином, для довільного е > 0 доведено існування такого
л0, що для всіх л > л0 виконується подвійна нерівність
1 — £ < < 1+є. Це означає, що 1ітл/л = 1. •
ПРИКЛАД 6 Знайдіть границю lim
л - ? « ,
Розв'язання. Скористаємося теоремою про двох конвоїрів.
Маємо
Водночас для всіх ті є N, п ^ 2 виконуються нерівності
/зп
+ 1 <л/3"+3" -у]2-Зп
Оскільки lim fn = 1, то неважко довести (зробіть це самостій-
на«
но), що 1іт3-^л = 3.
Тому за теоремою про двох конвоїрів lim /3" + 1 =3. •
1
При п = 1 під записом фїп тут і далі будемо розуміти а ( .
344](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-344-320.jpg)
![46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями
У силу теорем 45.7 і 46.1 послідовність (£>ал — aßn) є нескін-
ченно малого. Послідовність j є обмеженою. Отже, послідов-
ність (уп) є нескінченно малою.
Тоді за теоремою 45.6 можна записати liiri А
П -» ~ Рп Ь
5л + З
ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю lim ——
11 — 4л
Розв'язання. Послідовності із загальними членами а = 5п + ЗR
і Ьп = 11 - 4п є необмеженими, а отже, розбіжними. Тому одразу
застосовувати теорему 46.4 не можна. Поділимо чисельник і зна-
, 5л + 3
менник дробу ——— на п:
11-4/1 3
л-»">11 — in 11^ ^
п
У чисельнику і знаменнику отриманого дробу записано загаль-
ні члени збіжних послідовностей. Тому можна записати:
5 + 3
lim (5 + j lim 5 + l i m - _ _
Jim n — nj_ _ n->°» n _ 5 + и _
- - 4 lim ( — -4] lim ** - lim 4
Л л-»»' ТІ / п—ТІ п —І°°
5
0-4 4'
1
— +
л
2
л
1
«ап
lim І
П->оо
'1+ _2_
п2
3 +
1
л2
2
п3 lim 1
П—»ööи - 5 )
ПРИКЛАД 3 Обчисліть границю lim п
' +2,г
—-.
«-»»Зл +л~2
Розв'язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на л3
.
Маємо:
ц n2
+2/1-1 _
«-»- Зп3
+ л-2
ПРИКЛАД 4 Обчисліть границю lim [УІ4П2
+ Л -2Л).
Розв'язання. Послідовності із загальними членами ая =
- І4п2
+ л і Ьп = 2 л є розбіжними. Тому одразу застосовувати
теорему 46.2 не можна. Проведемо тотожні перетворення:
гг~ї о {yjln2
+ п + 2л) (74л2
+ п - 2п)л/4п + л - 2л = , =
"V 4л2
+ л + 2л
351](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-351-320.jpg)
![46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями
46.9.* Вчитель запропонував обчислити границю l i m l . Учень
Василь Заплутайко розв'язав задачу так: l i m l = l i m n - i =
П—п—ft
= 1іш (— + — + ...+—)= lim — + lim — + ... +lim —= 0+0+ ... + 0 = 0.
n-t- n n 711 n-»=» n n-i" n n > V '
' —•— ' 4
V ' n доданків
n доданків n доданків
Чи погоджуєтесь Ви з розв'язанням Василя?
46.10.' Розповідаючи розв'язання домашнього завдання,
Василь Заплутайко написав на дошці: lim 2 = limЛ—»«• n->*о
= 1іт /2-л/2 ^2 = Ит уІ2 • lim - ...*1іт ^2 = 1*1*...-1 = 1.
П—* v , П — * v '
П МНОЖНИКІВ 1 1 1
Y...... п множників
п множників
У чому помилився Василь?
46.11.* Обчисліть границю:
,. лІ2п + 3 0, і- 2п1) lim , — т = = ; 2) Urn , — ] = ; •
у/4п+1 + лІп + 3 "^"у/п +1+V2+/1
46.12.* Обчисліть границю:
і) lim ' - J ^ — ; 2) l i m ^ L
Vn + t+Vrä+3 ' уІ4пг
+1
46.13.* Доведіть рівність lim /а =1, де 0 < а < 1.
ft-tw
46.14.* Відомо, що 1ітая =а. Доведіть, що:
1) lima2
=а2
;
п—
2) lim а* = 4*, де k є N;
3) limrfä* = yfä1
', де ft є N, ш є N, m > 1, а, > 0.
П —¥ оо
46.15.* Відомо, що 1італ =2, Знайдіть границю:
2
гс a„ + a„
1) lima„an i l ; 2) lim ,
46.16.* Послідовність ( a j прямує до числа 3. Знайдіть границю:
1) lim (a +a (){a -2); 2) l i m ^ - ^ .
n->™ n-»« a +5л
46.17.* Послідовність (a ) така, що існує границя lim (a„tl + a„).п
п—»»
Чи можна стверджувати, що послідовність ( a j є збіжною?
353](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-353-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
46.18." З послідовності (хп) утворили послідовність із загальним
членом у„=х2
- 5хл + 6. Відомо, що (уп) — збіжна послідовність.
Чи завжди збіжна послідовність (хп)?
46.19." За послідовністю (хд) побудували послідовність (ул) таку,
що уп~ хп - хп + 3. Виявилося, що послідовність (уп) має гра-
ницю. Чи обов'язково збіжна послідовність (хв)?
46.20." Члени послідовності (хп) для всіх п є N задовольняють
умову хл+1 = х2
+ 4хп + 3. Чи існує таке х , що (хл) — збіжна
послідовність?
46.21." Доведіть, що послідовність (ап), члени якої для всіх п є N
задовольняють рівність Зал +2 (ап + j - 1) = 2ап - 5, є розбіжною.
46.22." З послідовності (хп) утворили нову послідовність (SJ за
формулою: Sn = + х2 + ... + xn, п є N. Виявилося, що (Sn) —
збіжна послідовність. Чи обов'язково limx =0?
Л-»™
46.23." Обчисліть границю lim (Vn2
- n -n).
46.24." Обчисліть границю lim
Л-»™
л100
46.25." Знайдіть границю lim ——.
2
46.26." Знайдіть границю послідовності (хл), заданої формулою:
1 . 1 . 1
1> Х„ = ^ + + +
' Я 1.0 О. Q1-2 2-3 л-(п + 1)'
І2
+ 2Z
+... + п2
2) = і ;
п
_1-1І + 2-2! + 3-ЗІ + ... + п-пі
3 )
* » " (л + 1)І
46.27." Знайдіть границю послідовності (хл), заданої формулою:
i w - І Л • " • х —13
"+23
+ ... + п3
1} X
"~21 +
3l +
- +
(n+ l)- Ä) Х
"~ п4
2| ^ _ 23
-1 З8
-] ті3
— 1.
23
+ 1 З3
+ 1 " " • п 3
+ Г
ь . і
46.28.* Побудуйте графік функції f (х) = lim
1 + х2п
"
46.29.* Дослідіть на збіжність послідовність ( x j , якщо:
1) хл = sin 6п; 2) xn = sin 1 + sin 2 + ... + sin п.
46.30.* Чи існує границя послідовності із загальним членом
X = cos 7 піп
354](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-354-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
кою умовою, оскільки раціональні числа також задовольняють
аксіоми 1)-4).
Чим же принципово відрізняються у своїй будові множини
дійсних і раціональних чисел? Говорячи неформально, сукупність
раціональних чисел містить «прогалини»; множина ж дійсних чи-
сел є повною, тобто не містить «дірок». Справді, якщо зобразити
на прямій множину раціональних чисел, то отримаємо фігуру,
яка складається з «окремих точок», в той час як дійсні числа
«неперервно» заповнюють усю пряму.
Точного змісту ці глибокі і складні поняття набули лише
у другій половині XIX сторіччя у роботах Карла Вейєрштрасса,
Ріхарда Дедекінда, Едуарда Гейне, Георга Кантора, Огюстена
Коші, Шарля Мере. Ці науковці знайшли кілька різних способів
опису відмінностей між раціональними і дійсними числами.
Сформулюємо одну з можливих умов, що відрізняє множину
дійсних чисел від раціональних.
Принцип вкладених відрізків1
. Будь-яка послідовність вкла-
дених відрізків [а ; £>,] D [а2; f>2] D [ag; bg] э ... має непорожній
перетин, тобто існує число х(), яке належить усім відрізкам [ак] fcj.
Наприклад, послідовність вкладених відрізків
[-і; і] з
має непорожній перетин — відрізок [-1; 0], тобто існує число дт0,
наприклад лс0 = 0, яке належить усім названим відрізкам.
Розглянемо інший приклад. Як відомо, >/2 = 1,414.... Тоді по-
слідовність вкладених відрізків
[1; 2] з [1,4; 1,5] э [1,41; 1,42] з [1,414; 1,415] з ... (1)
має непорожній перетин — одноелементну множину
(рис. 47.2).
Г ГгЛ,-Г1 "І
—
LL l l ^ J J
, 1.4 1,41 1,
J42 1,
. .
Г
• Рис. 47.2
Зауважимо, що для множини раціональних чисел принцип
вкладених відрізків не виконується. Наприклад, якщо на мно-
жині раціональних чисел розглянути послідовність вкладених
відрізків (1), то не знайдеться жодного раціонального числа, яке
належить усім цих відрізкам.
1
Проміжки виду [а; ft] називають також відрізками.
356](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-356-320.jpg)
![47. Теорема Вейєрштрасса
/
Німецький математик, член Бер-
лінської академії наук, Паризької
академії наук, почесний член Петер-
бурзької академії наук. Його основні
роботи присвячені математичному
аналізу. Одним з найважливіших
його здобутків є система логічного
обґрунтування математичного ана-
лізу, заснована на побудованій ним
теорії дійсних чисел. Вейєрштрасс
приділяв значну увагу застосуванню
математики до механіки та фізики
і заохочував до цього своїх учнів. Карл Теодор Вільгельм
Вейєрштрасс
(1815-1897)
Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести
важливі властивості множини дійсних чисел.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що не існує такої послідовності (хп), серед
членів якої є кожне число відрізка [0; 1].
Роз в язання» Розглянемо довільну послідовність (JC ). Обере-
мо на [0; 1] такий відрізок [о ; fcj, який не містить xt (зрозуміло,
що такий відрізок існує). Далі на відрізку [а^ оберемо такий
відрізок [а2; Ь2, який не містить х2. Продовжуючи цей процес,
побудуємо послідовність вкладених відрізків
[0; 1] з [at; b j з [а2; f>2) з [а3; з ...,
в якій відрізок [ак; bj не містить хк, тобто хк« [ак; Ьк]. Тому жоден
член послідовності ( x j не може належати перетину побудованих
відрізків. Але цей перетин непорожній і містить деяке число
X є [0; 1]. Таким чином, доведено, що число х не представлене
в послідовності (хд), тобто доведено, що відрізок [0; 1] — незлі-
ченна множина1
. •
Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести
теорему Вейєрштрасса.
Доведення. Розглянемо випадок, коли (хл) — зростаюча і об-
межена зверху послідовність (випадок спадної і обмеженої знизу
послідовності розглядається аналогічно). Тоді існує таке число
С, що X < С.
1
Інше доведення цього твердження можна отримати, спираючись на
ідею, викладену на с. 46-47 підручника Мерзляк А. Г., Полонський В. Б.,
Якір М. С. Алгебра: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики.
357](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-357-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
Побудуємо послідовність вкладених відрізків
К ; ь,] =5 [а2; ь2] э [а3; Ь3] z> ... .
Нехай а = ж і = С. Тоді всі члени послідовності ( x j нале-
жать відрізку [at; fej.
Розіб'ємо відрізок [a ; b j точкою dt навпіл. Можливі два ви-
падки.
1) Нерівність xn < dx виконується для всіх л є N, тобто всі
члени послідовності ( x j не більші за число dl (рис. 47.3). У цьому
випадку другий відрізок [a2; Ь2] оберемо так: а2 ~ b2~ dx.
f 1 1x
z x
s---d1 -lb,
Рис. 47.3
2) Нерівність хп < dx виконується не для всіх п є N, тобто
існують члени послідовності (х ), більші за число df (рис. 47.4).
У цьому випадку відрізок [а2; Ь2] оберемо так: а2 = d , b2 = & .
1 • •—|—•—•—
Ojl^i ^z -^з^!*4
*5
" * -'''і
Рис. 47.4
В обох розглянутих випадках відрізок [a2; b j є частиною від-
різка [at; ftj] і містить деякі члени послідовності (хп)т причому
для всіх л є N виконується нерівність Хп < Ь2. Оскільки (хп) —
зростаюча послідовність, то поза відрізком [og; b2] знаходиться
лише скінченна кількість членів послідовності (хл).
Для побудови третього відрізка [a3; Ь3] повторимо описану про-
цедуру. Розіб'ємо відрізок [а2; bg] точкою d2 навпіл. Тоді, якщо
нерівність хл < d2 виконується для всіх п є N, то покладемо
а8 = а2, b3 = dz; в іншому випадку —- а3 = d2, b3 = b2.
Зрозуміло, що відрізок [a3; Ь3] є частиною відрізка [a2; Ь2]
і містить деякі члени послідовності (хя), причому для всіх л є N
виконується нерівність х < b r Оскільки (хп) — зростаюча послі-
довність, то поза відрізком [as; b3] знаходиться лише скінченна
кількість членів послідовності (хп).
Міркуючи аналогічно, побудуємо послідовність вкладених
відрізків [о ; £>J з [a2; b2j з [а3; b3J з ... . Зауважимо, що поза
кожним з цих відрізків знаходиться лише скінченна кількість
членів послідовності (хп). Крім цього, оскільки довжина відрізка
358](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-358-320.jpg)
![47.Теорема Вейєрштрасса
6J дорівнює ^ . , то послідовність довжин відрізків [ак; bk]
du
прямує до нуля.
. Використовуючи принцип вкладених відрізків, доходимо висно-
вку, що існує число ж, яке належить усім побудованим відрізкам.
Доведемо, що lim хп -х. Справді, для будь-якого є > 0 інтер-
вал (х - є; JC + є) міститиме деякий відрізок [ак; 6J. Оскільки поза
відрізком [ak; frj знаходиться лише скінченна кількість членів
послідовності (jcn), то і поза інтервалом (JC - є; JC + є) також зна-
ходиться лише скінченна кількість членів послідовності
Отже, доведено, ЩО X — границя послідовності (jeJ.
Теорему Вейєрштрасса доведено. А
Зазначимо, що твердження теореми Вейєрштрасса можна уза-
гальнити для довільних монотонних послідовностей, тобто кожна
монотонна і обмежена послідовність мас границю (доведіть
це самостійно).
Зробимо ще одне зауваження. Теорема Вейєрштрасса є при-
кладом так званої теореми існування. Ця теорема вказує умови,
за яких існує границя послідовності. Проте ні формулювання, ні
доведення теореми не задає скінченний алгоритм, який дозволив
би знайти цю границю.
ПРИКЛАД 2 Послідовність ( a j задано формулою аП =
=
(1 -
2)(1
~з)(1
~б)*''*'"(1 -
'р")' Д Є
^ ~~ П 0 С Л І
Д°В Н І С Т Ь
простих
чисел. Чи Існує границя lima ?Л—У«
Розв
яз сіп ля* Оскільки для всіх л е й мають місце нерівно-
сті 0 < ап < 1, то (ал) — обмежена послідовність. З співвідношень
1 — ]< ап випливає, що (ал) — спадна послідовність.
Pfi+1J
За теоремою Вейєрштрасса існує границя lim ап. •
ПРИКЛАД З Послідовність (ап) задано рекурентним способом:
а, aB+1 — y]2+an, п є N. Дослідіть послідовність (ол) на збіж-
ність і у випадку збіжності знайдіть границю.
Розв'язання. Зазначимо, що ап > 0.
З а п и ш е м о = 2+а„, а2
+2 = 2+ап+1.Звідсиa2
n+2-a2
n+l = а„+1 -ал.
Очевидно, що а2 - а1 > 0. Водночас з припущення ап - ап > 0
випливає, що а2
+2~а
п+і>
®> тобто а
л + 2 ~ а
л + 1 > 0. За методом
359](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-359-320.jpg)
![§ 6. Числові послідовності
математичної індукції отримуємо, що (ал) — зростаюча послідов-
ність.
Маємо al<a2
n+l = 2+an. Звідси а2
п <2 + ая, -1 < ап < 2. Тому
( a j — обмежена зверху послідовність.
За теоремою Вейєрштрасса існує границя liman = о . Знайдемо
п о -
значення границі а. Скористаємося рівністю ал+1 = j2+an . Оскіль-
ки lim аП+1 = a, a lim J2+an = 2 +а, то маємо рівняння а = уІ2+а.П-t» Л-*«
Звідси а - 2.
Відповідь: 1італ = 2.
Л—І«
й Вправи
47.1.* Послідовність (ап) є збіжною. Чи можна стверджувати, що
послідовність (ап) є: 1) монотонною; 2) обмеженою?
47.2.* Послідовність (а ) задано формулою
Чи існує границя lim ап ?
47.3.' Послідовність (ол) задано формулою ап= 2 4 6
Чи існує границя lim ап?
З • 5 - 7 •...•(2п +1)
47.4.* Чи існує така послідовність вкладених відрізків [а ; b j D
^ [ea; D [а3; Ь3] з ..., що їх перетин складається рівно з двох
точок?
47.5." Чи обов'язково послідовність вкладених інтервалів (а,; Ь,) з
з (а2; Ь2) з (а3; і>3) з ... має непорожній перетин?
47.6.* Послідовність вкладених відрізків (а^ fcj D [а2; і>2] D
з [а„; £>„] з ... задовольняє умову Hm (bn-ап) = 0. Доведіть, щоЗА П
відрізки [ап; b j , п є N, містять лише одну спільну точку.
47.7." Послідовність (ап) складається з додатних чисел. Дове-
діть, що коли послідовність (Ьп) із загальним членом bn = аг +
+ аг + ... + ап є обмеженою, то вона є збіжною.
47.8." Доведіть збіжність послідовності (ал), яку задано формулою:
2
> a
H+
h+
h+
-+
h-> 4
>
360](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-360-320.jpg)
![47. Теорема Вейєрштрасса
47.9." Доведіть збіжність послідовності (ап), яку задано форму-
лою:
1) я„ = —+ — + ~ +... + —-—; 3) а„ + + + —у;
/ " 1 7 25 3" - 2 1 3 5 (2л-1)
2) + + 4
> + + +7
" 1 2й
3s
п" п
п п + 1 п + 2 5л
47.10." Послідовність (х) задано рекурентним способом: хх = 5,
х
п+і=
у]&+хя, п є N. Дослідіть на збіжність послідовність (хп)
і в разі збіжності знайдіть її границю.
47.11." Послідовність (xj задано рекурентним способом: = 1,
х
п ті п є N. Дослідіть на збіжність послідовність (хп)
і в разі збіжності знайдіть її границю.
47.12." Для а > 1 розглянемо послідовність (х) із загальним
членом х
п=~г- Знайдіть рекурентну формулу, що зв'язує X .
а " 1
і хп. Використовуючи знайдену формулу і теорему Вейєр-
штрасса, доведіть, що 1іт^- = 0.
а„
47.13." Розглянемо послідовність (лсл) із загальним членом хп = —,
де a > 0. Знайдіть рекурентну формулу, що зв'язує xn + і хп.
Використовуючи знайдену формулу і теорему Вейєрштрасса,
доведіть, що lim — = 0.
л!
47.14." Послідовність задано рекурентним способом: ах = 1,
ап+і = ап+—2, п є N. Чи є обмеженою послідовність (а )?
ü п
я
47.15." Послідовність задано рекурентним способом: at = 0,
2а2
+ 2па +3
а п + 1 - — " п +
1
' — > " Є И. Чи є обмеженою послідовність
47.16." Послідовність задано рекурентним способом: a, - 1,
а [а*—"
art+l = ~+J-f-+l, п є N. Чи є обмеженою послідовність (ап)?
а 1 4
47.17." Послідовність (xj є обмеженою. Доведіть існування такого
числа X, що при кожному є > 0 проміжок (х - є; х + є) містить
нескінченну кількість членів послідовності (xj.
361](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-361-320.jpg)
![Число Ейлера
Покладемо ах~аг~ ... =ап = 1+ —, оп +1 = 1. Тоді при k = п + 1
маемо:
«доданків
И + И ) * - 4 + п! .. д+ціі . 1
1 і
7ГТТ * Vi nJ •
Звідси .
Ъ Послідовність {уп) є спадною.
Доведіть це твердження самостійно, скориставшись нерівністю
Коші для k = п + 2 і чисел а1 =а2 ~ ... =ап+1 = ^ у > а
„ + 2 ~ ^•
Чі> Послідовності (xj і (yj є обмеженими.
Цей факт випливає з нерівностей х < < уп < у , п є N.
Отже, доведено, що ( х j і ( y j — монотонні і обмежені послі-
довності. Тому за теоремою Вейєрштрасса існують границі
lim (l +—) =а, lim (l+—) =Ь.
п! п->~ пі
Якщо в рівності уп = |l+—J* хП перейти до границі, то отримаємо
Ь = lim yn = lim (і + — J = lim (l+—)• lim xn =1« a.
n —э 71/ n-*<» V 71/ n->™
Таким чином, доведено, що (жл) і {уп) — збіжні послідовності,
причому lim yn = lim хп.П—»»
Границю lim|l+i| або границю lim (і+—]
л->~ ті/ І Л-»™ 71/
числом Ейлера і позначають буквою е. Рівність
і
називають
lim (і + —) — е
І>->- пі
називають другою чудовою границею.1
Можна довести, що е — число ірраціональне. Зазначимо, що
при цьому всі члени послідовності (хп) — числа раціональні.
Оскільки (хп) — зростаюча, (yj — спадна послідовності, що
мають спільну границю, то для всіх п є N виконуються нерівності:
X < Є < V .п & п
1
Про першу чудову границю ви дізнаєтесь в 11 класі.
363](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-363-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
Відповіді та вказівки до вправ
1.1. (-) . 1.2. 1. 1.3. 1. 1.4. -b2+
.fc+1
- 1.8. 1. 1.9. +
1.10. 1.
ЬІ Ь х8
+х*+1
2"+l
1
1.12. -г. 1.13. Вказівка. З умови випливає, що а — = 1, По-
і-г>2 а
множте ліву частину даної рівності на вираз 1-14. Вказівка.
З умови випливає, що ab + be + ас - 0. Далі (а + b + с)2
= а2
+ b2
+ с2
+
+ 2 (ab + be + ас) = a2
+ b2
+ с2
. 1.16. (x - у) (г - у) (z - JC). Вказівка.
Розглянемо даний вираз як многочлен зі змінною х і параметрами у
і 2. Покажіть, що цей многочлен має корені у і г. 1.17. (jc - у) (г -- х) х
X (у ~ г). 1.18. Вказівка. З умови випливають рівності а-Ь = -—
be
b-c = -——, с - а — -——. Перемноживши почленно ліві і праві частини
са ab
цих рівностеи, отримуємо (о-о)(о-с)(с-а) = m • 1-І"-
а Ь с
1.20. -115. 1.21. 4. 1.22. 1. 1.23. л/з+1. 1.24. 3+72. 1.25. 3. 1.26. 0.
1.31. Л/ЇО + Л/2. 1.32. 1. 1.33. 0. 1.34. Якщо а > 1, то а + 1; якщо
0 < а < 1, то -а - 1. 1.35. %/l-jt2
. 1.36. -1. 1.37. Якщо 0<а<-І2, то
6 - 4а; якщо а>-І2, то 2(а - І)2
. 1.38. 1.39. Якщо 0 < Ь < а,
•Jb
то 0; якщо 0 < а < Ь, то 4ä--Jb.
1.40. 2{ab + J a 2
- l y l b z
- l ) . Вказів
ка. Помножте чисельник і знаменник даного дробу на вираз
{a-Vaa
-l){&-Vt>2
-l). 1.41. 1.42. Якщо а > 2, то 2; якщо 1 С
1 + 0
< а < 2, то -2. 1.43. Якщо 4 < х < 8, то ^ - г ; якщо х > 8, то 2 х
, ЛІици Л С »-»j 1 V I .
*-4 Vx-4
1 4 4 U 7• 2Ї Л . -S->/A4S. -Є+ЛЙІ5. „ FT. -5 + У З . - 5 - ^ / 5 .1.44. L) I, i) 3 , A) 10 , 10 , 4) U, 2 , 2 ,
5) [-2; 3]; 6) -7; -1; 7) {5} U [1; 2]. 1.45. 1) -1; 2) 3) 5;
4) - £ ; 0; 5) (3; -и»); 6) -2; 4. 1.46. 1) Якщо а * -4, то ; якщо
2 4 + А
о = -4, то коренів немає; 2) якщо а * 1, то х = якщо а = 1, то
коренів немає. 1.47. Якщо і аФ-—, то якщо а = —~
З 4 За +1 З
або а =
~• т 0 к
° Р е н і в
немає. 1.48. 1) i j и U (5;+°°);
2) [1;5] U {і}; 3) (-со; -1] и [1; 2] и [3; +»); 4) (-3;-1) и ( і ; 2) U (2; 7);
365](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-365-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
5) (-»;-!] и (3-л/2;3+V2); 6) -3) U (-3; 2] и (4; 4®); 7) (-7; -5) U
U (4; •+«); 8) (-1; 4«); 9) (-1; 1) и (4; 6); 10) -1) U (1; 4«); 11) (—; -4] и
U [-2; -1] U [1; 4«); 12) [~4;-3) U [ - | ; o j U [1;+»); 13) -3) U (2; +«);
14) [ | ; l ] U (2:4-«); 15) (l-л/3;2->/2); 16) U 1.49.
1) и (-1-і) и (9;4~); 2) [1;9] и 3) ( — ; -2] U [4; 4«) и {2};
4) (-«; -2) и (-2; 3); 5) [-2; ^ ^ и (0; 2) U + » ) ; 6) ( 2 ; -1) и
U (2; 3); 7) (-»; -1] U (О; 1] и (2; 3]; 8) (2; 4«); 9) [-3-л/5;-4) U (-2;0];
Ю ) U 11) (2; 5); 12) (-»; -3) и (-3; ~2) U
U (0; 4°°). 1.50. а < -4 або а > 8. 1.51. а = 1 або а = ~2. 1.52. а= 1.
1.53. о = 3 або а = -. 1.54. а = 2. 1.55. а < -6. 1.56. а < -3 або а > 1.
2
1.57. а > 6. 1.58. а > О. 1.59. а < -1 або а > О. 1.60. О < а < 4.
1.61. а > 1. 1.62. а>. 1.63, 1 < а < 2. 1.64. -5 < а < 1. 1.65. q < 0.
5
1.66. 1) —4; 2; 3) 1; -1; 4) -Л; -V2; -1; 2; 5) 3; 6)
а о
7 ) 1+^21. l-JÜ 1 6 7 2 ; 3. 2 ) 1 ; 3 ) _6 ; _2 ;
-4-лЯЗ; 4) 5) 1 4 ^ 7 ; l - J l . 1.68. 1) (-3; 1];
2) [-2; 0] U {§}. 1.69. 1) |) U (4; 7]; 2) [2; 3) U (3; 4«) U {1}.
1.70. 2) ( — ; -2] U [2; 4«); 3) [1; 4«); 4) 4]. 1.71. 3) [О; 2]; 4) (-«; 2].
1.72. Найбільше значення дорівнює і , найменшого значення не іс-
6
нує. 1.73. Найбільше значення дорівнює 1, найменшого значення не
існує. 1.74. 2) 2. 1.75. 1) 2) 1.76. 1) m i n / ( x ) = 5a-3;
* [1:1J
m a x f ( х ) - 5 а 4 5 ; 2)якщо-1 < a < 2,то maxf(x)=:5, minf (де) = а2
-4a;
I-TLJ F-LIFL] 1-1; AT
якщо 2 < а < 5, то max f ( x ) -5, m i n / ( x ) = -4; якщо а > 5, то
1-1; »1 1-1:о]
max f (х) = а2
-4а, min/:
(x)=:-4. 1.77. 2) Якщо а < 0, то maxf(x) = l,
I - l ä o ) 1-1;«] ! о ; 3 1
min f (х) = 2а-аг
; якщо 0 < я < 1, то max/(x) = l, min/(x) = 0; якщо
Іа:21 [<ц2) la;2]
1 < а < 2, то т а х / ( х ) = 2а-а2
, m i n f ( x ) = 0. 1.78. 1. Вказівка. Ско-
fe 2] їв; 2]
ристайтеся тим, що функція і/ = Vx + 2Vx-Гз4Vx48 є зростаючою.
366](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-366-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
1.79. 2.1.80.1. Вказівка. Доведіть, що | х + х
1.81. 2. Вказівка. Перепишіть дане рівняння у вигляді
2 І > 2, а 2 - Л - К 2 .
2
1.$2. 3) Парна; 4) непарна. 1.83. 3) Парна. 1.85. Див. рисунки.
1.87. а) а < 0, b < 0, с < 0. 1.88. а) а > 0, b < О, с > 0. 1.89. Якщо
а < 0, то коренів немає; якщо а = 0 або 1 < а < 8, то 4 корені; якщо
0 < а < 1, то 8 коренів; якщо а = 1, то 6 коренів; якщо а = 8, то
З корені; якщо а > 8, то 2 корені. 1.90. Якщо а < 0, то коренів немає;
якщо а = 0 або а > 1, то 2 корені; якщо 0 < о < 1, то 4 корені; якщо
а = 1, то 3 корені. 1.91. Ні. 1.92. max у = 1, min у = -10. Вказівка.
Зробіть заміну
2хг
1 + ж*
,2
-t і покажіть, що 0 < ( < 1. Далі розгляньте
функцію f (і) = Є - 12f + 1, D (f) = [0; 1]. 1.93. 1) (|; |); 2) (0; 0).
1.94. 1) (|;|j. 1.95. Див. рисунки.
У-•
1)
у І
Л хі * -і 1 X
2) 3)
У і vk1
1
1
. л .11
-3 -1 X -5 -2 1
1
4)
Рис. до задачі 1.85
5)
yk
4!
yk
о !
/ W
- ( - - І 8 - - r - r - b
5) 6)
Рис. до задачі 1.95
367
-1
7)](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-367-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
Рис.
до задачі 1.96 (7)
Рис.
до задачі 1.97 (4)
Рис.
до задачі 1.98 (4)
Рис. до задачі 1.99 (2) Рис. до задачі 1.101 (1)
1.96. 7) Див. рисунок. 1.97. 4) Див, рисунок. 1.98. 4) Див. рисунок.
1.99. 2) Див. рисунок. 1.101. 1) Див. рисунок. 2.5. 1) Визначити не-
можливо; 2) 1; 3) визначити неможливо; 4) визначити неможливо;
5) 0. 2.6. 1) 0; 2) визначити неможливо; 3) 1; 4) визначити неможли-
во. 2.7. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1. 2.8. 1) 1; 2) 0; 3) 1; 4) 1. 2.11. 1) Так;
2) визначити неможливо; 3) ні; 4) так; 5) так. 2.12. 1) Ні; 2) ні;
3) так. 2.15. 1) AVB^AAB; 2) А=*В=АлВ. 2.16. AAB=^ÄVB.
2.17. Наприклад, А * В = AV(AAB). 2.18. Наприклад, =
V(ÄAB). 2.19. А = А і A, AVB = (aIB)1(aIB), АЛВ=(АІАШвІБ).
3.1. Предикатами є твердження з номерами 1), 3), 4), 7). 3.5. Z.
3.7. І) (х - 5)г
+ (х + 2f = 0; 2) (х + 2) (х - 5) = 0. 3.8. 1) М {-2; 5};
2) К. 3.9. N. 3.10. К. 3.11. 1) Н » ; 2] U (5; 2) R. 3.12. 1) (-«; 5);
2) [2; +<»). 3.14. Л (х) <=> С (ж), В (х) « D (*). 3.15. В (а; і>) <=> С (a; b).
3.19. X — просте число. 4.1. 1) 2) 4.2. 1) 2) -8. 4.11.
1) (0; 0), (л/2;8), (-л/2;в); 2) (0; 0), (-3; 81). 4.12. (0; 0), (1; 1), (»1; -1).
4.13. 4) 1. 4.14. 2) 1. 4.18. 1) Якщо а = 6, то один корінь; якщо а > 6,
то 2 корені; якщо а < 6, то коренів немає; 2) якщо а = 1 або а = -8,
то один корінь; якщо а < -8 або а > 1, то 2 корені; якщо -8 < а < 1,
то коренів немає. 4.19. Якщо о = 0, або а = 3, або а = -3, то один ко-
рінь; якщо а < -3 або 0 < а < 3, то 2 корені; якщо -3 < а < 0 або
а > 3, то коренів немає. 4,20. Так. Наприклад, / (JC) = х10
. 4.21. Так.
368](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-368-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
Наприклад, f (х) = х . 4.28. 4) min f(x)~ 256, найбільшого значення
(—1-2]
не існує; 5) т т / ( х ) = 0, найбільшого значення не існує. 4.30. 1) Пар-
•ним; 2) непарним; 3) непарним; 4) установити неможливо; 5) парним;
6) установити неможливо. 4.31. f (х) = х7
. Вказівка. Зробимо заміну
у = х3
. Оскільки область значень функції у = х3
дорівнює Ж, то для
всіх у є К виконується рівність f (у) = у7
. 4.32. f (х) = х3
х |. Вказівка.
Зробимо заміну у ~ Xе
. Оскільки область значень функції у = х6
—
проміжок [0; -к»), то для всіх у > 0 виконується рівність / (у) = у4
.
Оскільки f — непарна функція, що визначена на [0; то D (/) = К.
І у4
, якщо и >0, ,
Крім цього, f(y) = 4.33./(x) = j * |5
. 4.34. 1) 1; 2) ~1;
|~і/ якщо у <0.
1. Вказівка. Розгляньте функцію f (х) = 2хі
+ х10
. Вона є парною.
Тому досить знайти невід'ємні корені даного рівняння. На проміжку
[0; +«>) функція / є зростаючою, отже, рівняння f (х) = 3 на цьому
проміжку має не більше одного кореня. 4.35. 1) -1; 2) -1; 1.
4.36. Якщо -1 < а < 0, то min/(x) = /(a) = a8
, max f (х) = /{-1) = 1;
якщо 0 < а < 1, то min f (je) = / (0) = 0, max/(x) = /(-~l)=l; я к щ о в > 1,
(-l;a] [-bn]
TO min f(x) = f (0) = 0, max f(x) = f (a) = as
. 4.37. Якщо а < -2, то
1-і;«! 1-і;а]
min f (л) = f (0) = 0, max/(x) = /(a) = ae
; якщо -2 < а < 0, то min f(x)~
[о:2] [«21 [а;21
= f (0) = 0, max/ (x) = / (2) = 64; якщо 0 < a < 2, то minf(x) = f(а) = а6
,
(к 2) [<к 2)
max f(x) = f (2) = 64. 4.38. 1. Вказівка. Перепишіть рівняння у вигля-
lf.2]
2 3 1ді —гт + —=- = 5 і виконайте заміну — = t. 4.39. -1. 4.40. f . (х) = х".
X X X
4.41. f n (х) = х". 4.42. f (х) = де. Вказівка. Підставте у = 0, 4.43. Таких
функцій не існує. Вказівка. Підставте у = 0. 4.44. / (де) = 0. Вказівка.
Підставте X = 1 і зробіть заміну г = у + { (1). 4.45. Так. Наприклад,
{X s
, ї > 0 , 2
4.46. f (х) = X2
. Вказівка. Підставте у = -х і зробіть
0, х < 0 . Ззаміну t = 2х. 5.3. 1) -2500; 2) 5.4. 1) -243; 2) 8. 5.11. 1) (-«; 0) U
о
и (0; +»); 2) 2) U (2; +«). 5.14. 1) (1; 1), (-1; -1); 2) (2;±).
5.15. (1; 1). 5.18. 1) ii}aj/•(*) = 64, рш|/(х) = 1; 2) p a x / ( х ) = 64,
min /(х) = 1; 3) max f (х) -1, найменшого значення не існує; 4) най-
М
більшого значення не існує, min f (х) = 1. 5.19. 1) max f (х)=27.max
Т И
369](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-369-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
jmi|/(.r) = -^; 2) max/(je) = - i , min f (x) = -1; 3) найбільшого значен-
ня не існує, m i n / ( * ) - — Л ; 4) найбільшого значення не існує,
тіп/(яг) = ^-. 5.20. 1) 4 розв'язки; 2) 2 розв'язки. 5.21. 1) 3 розв'язки;
2) 2 розв'язки. 5.24. 1) Непарним; 2) установити неможливо; 3) пар-
ним; 4) установити неможливо. 5.25. f (де) = jc~8
. 5.26. f(x) = ——г.
* 1*1
5.27. f (г) = I X Г5
. 5.28. f (*) = j * ' X >
° ' де g (x) - будь-яка функ-
ція, що визначена на 0]. 6.3. 9) 3; 10) 2. 6.4. 5) 3; 6) 7. 6.7. 1) 29;
2) 56; 3) - f . 6.8. 1) -11,8; 2) 58^. 6.9. 3) (-«; 0] и [1; +«); 5) {0}.
О О
6.16. 1) -1; 1; -3; 3; 2) -2; W ; 3) -АІЗ; Уз. 6.17. 1 ) - t f t ; 3; 2) -ІІЗ;
t/3. 6.18. 1) (-«; -3) U [-1; 1] U (3; +<»); 2) [-6; 3). 6.19. 1) (-»; -6) U
U [-4; 4] U (6; -н»); 2) (-4; -3] U [3; +»). 6.20. 1) -1; 2; 2) -1; 3.
6.21. 1) -3; 2; 2) -3; 1. 6.24. 1) Вказівка. З припущення %І2=—, де
п
т є Z, п є N, — — нескоротний дріб, маємо рівність 2п3
= т3
. Звід-
п
ки т І 2, тобто т = 2m,, гп, є Z. Тоді па
= 4mf. Отже, п : 2. Отримали
суперечність з тим, що — — нескоротний дріб. 6.26. 1) Якщо a < -1,
п
то один корінь; якщо a > -1, то 2 корені; 2) якщо a < 0, то коренів
немає; якщо а > 0, то один корінь; 3) якщо а < 0 або а = 1, то один
корінь; якщо 0 < а < 1 або a > 1, то 2 корені. 6.27. 1) Якщо о > —1,
то один корінь; якщо a < -1, то 2 корені; 2) якщо a < 0 або a = 1, то
один корінь; якщо а > 0 і а ^ І, то 2 корені. 7.14. 1) a > 0, b > 0;
2) a < 0, b < 0; 3) a > 0, b < 0; 4) a і b — довільні числа; 5) а і b —
довільні числа. 7.15. 2) [3; 7]; 3) К. 7.16. 4) | a3
|; 5) m2
. 7.18. 2) -n;
5) c4
; 8) -0,1 a3
b5
. 7.19. 3) 10*; 7) - a l
W . 7.22. 1) [-4; +«); 2) R;
3) [-1; 3]. 7.23. 2) s f j i ^ l . 7.27. 1) Коренів немає; 2) 3; 3) -1; З,
7.28. 1) -4; 2) 2. 7.29. [3; 5]. 8.6. 1) 0; 2) зУЬп. 8.7. 1) 271І2;
2) 29y/ä. 8.8. 4) W ; 5) tiS; 6) 8.9. 5) 6)
8.12. 5) 6) tfa3
; 7) ї/3; 8) Ö 1
; 9) 8.13. 5) ^ ; 6) tfäV.
8.14. 1) 3; 2) 1; 3) 14; 4) -1; 5) 1. 8.15. 1) 25; 2) 7; 3) -1. 8.22.
Вказівка. Скористайтеся формулою а" - b" = (а - b) (a""1
+ a" 2
b +
+ ... + b"'*). 8.24. 1) ab > 0; 2) b = 0, a — будь-яке число або b > 0,
a > 0; 3) b = 0, a — будь-яке число або b > 0, a < 0. 8.25. 1) m2
ii-m;
370](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-370-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
2) аг
Ь3
УЬі 3) х-у$уі 4) 2mV tßbrtn; 5) -ЗаЬ2
ся
ІІ2; 6) а3
Ь3
;
7) -а3
Ьв
У-ab2
. 8.26. 1) -2а ІІ2о1
; 2) -5а ^Са; 3) ab 5/аЬ; 4) a3
b3
tföFb.
8.27. 1) 2) -АІ6аV ; 3) Vinn; 4) З/бб®, якщо b > 0, -л/Sft®,
якщо Ь < О; 5) - ^ ö 7
; 6) -VÖV. 8.28. 1) -l/зё5
"; 2) Va7
; 3) VSaV;
4) -Alsa*ba
; 5) 8.29. 1} 1; 2) 4; 3) 1; 4) 2; 5) -^3. 8.30. 1) 1;
4 Г 1
2) n/23. 8.31. 1} 2) tfx; 3) -ifä; 4) 5) tfb-Slc', 6) tfeb;
а
7) л/а2
-1. 8,35. ж3
- 9x - 12. Вказівка. Піднесіть обидві частини рів-
ності je = /3 + /9 до кубу. 8.36. (х - З)3
- 2. 8.37. 1) Вказівка. Якщо
^2 + ^5=х, де х є Q, то х3
={^2+^/5) х3
=7+3-УЇ0 х. Оскільки х * О,
то маємо, що %/ЇО = є Q; 2) Вказівка. Якщо У!З + УІ2 = Х, дехє О,
Зх
то Ш3
={х-*ЛТ; 3 = Xs
- Зх2
І2 + 6Х-2УІ2] -Л = х
*+
f*~3
eQ. 8.39.
З*2
+ 2
1
-. 8.40. Якщо а = 1, то 2е
; якщо а * 1, то 8.41. -з:
к
8.42. ...,- .„у-. 8.43. Вказівка. Використовуючи метод математичної
Ч/з + v2
індукції, доведіть рівність
8.45. Вказівка. Помноживши обидві частини рівності на ^2 + 1 і ско-
риставшись формулою суми кубів, маємо: —-yj^J2-1 *(л/2+l).
V9
Далі піднесіть обидві частини останньої рівності до кубу.
9.6. 3) 9.7. 1) у = 5 (X - 3). 9.8. 2) = D (у) = [0; +•»).
9.9. 4) у = я к щ о ж < 1
> 9.16. k = 1, Ь = 0 або k = -1, Ь - будь-
[2-х, якщох>1.
яке число. Вказівка. Обернена функція задається формулою
у = ~х-~. Звідси —=k і Ь=~—. 9.17, При довільному а, відмінному
к k k k
від 0, і b = 0. Вказівка. Обернена функція задається формулою
у = -——. Тоді для всіх X таких, що х * 0 і х м а є виконуватися
ах а
рівність —-— = - , яку можна переписати так: b {ах2
+ Ьх - 1) = 0.
ах + Ь ах
Тепер зрозуміло, що підходить тільки b = 0. 9.18. Вказівка. Нехай
функція f — непарна, функція g — до неї обернена. Маємо: f (х0) = у0,
g (і/0) = Xq. Тоді g (-i/o) = g H (xo)) = g (f ( Xq)) = -x0 = -g (y0). 9.19. 1) 1;
371](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-371-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
2) -7; 3) один корінь при будь-якому с. 9.20. 2) Коренів немає.
9.21. —1. Вказівка. Дане рівняння рівносильне такому: f (g (JE)) =
= f (x3
+ X + 3). 9.22. 2. 9.23. 1. Вказівка. Скористайтеся наслідком з
теореми 9,4. 9.24. 2. 9.25. —, -; 2
~—2
. Вказівка. Функція
4 4
/(*) = а:г
+ і , D (Л = [0; є оберненою до функції g(x) = Jx-і.о V о
Крім того, функції f і g є зростаючими. 9.26. . Вказівка. Зро-
біть заміну Jx = t. Далі розгляньте функції f (£) = Jl + t, D(f) = [0; +«),
I i w - M , D Ш - t l : 9.27. g ( x ) J - f ' « w o x m i ) .
[VJC, якщо x e[9; 16).
„ „ „ „ F—S/—JC. я к щ о XЄ ( - 9 ; - 4 ) , л
9.28. g{x) = < 9.29. Вказівка. Скористайтеся
[уЬ-х, якщо X є (-1; 0].
методом від супротивного. 9.31. Так. Вказівка. Наприклад, f (ті) =
= п + 1, Де£)(Л = N U {0}. 9.32. Так. Вказівка. Наприклад, /(п) = 1-2 п
при п < 0, f (л) = 2п при п > 0, D (f) = Z. 9.33. Так. Вказівка. Існу-
вання шуканої функції випливає з того, що Q — зліченна множина
(див. п. 7 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. В., Якір М. С. Алге-
бра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. :
Гімназія, 2008). 9.34. Так. Вказівка. = при п є N, f(x) = х
пІ п + 1
в інших випадках. 9.35. Ні. Вказівка. Відповідь випливає з того, що
проміжок [0; 1] — незліченна множина (ідею доведення викладено на
с. 46-47 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алге-
бра : підруч, для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. :
Гімназія, 2008). 9.36. Існують. Наведемо два приклади: 1) f(x) = yj2x,
V2 Г~
g(x) = — x; 2) f (ж) = -V2 X, g(x) = ——аг. Вказівка. Розгляньте
функцію / (я) = kx, k Ф 0. Тоді g(x)~^-x. 9.37. Наведемо два прикла-
k
Ди: 1) f(x) = ^ x , g(x) = ^ x ; 2) ftх)=1
-фх, g(x)=-^x.
vi7+3Див. вказівку до задачі 9.36. 9.38. — - — . Вказівка. Графік функції f4
належить «смузі», обмеженій прямими у-^JC — 1 і х+1 (див.
рисунок). Оскільки графіки функцій f і g є симетричними відносно
прямої у = х, то графік функції g належить «смузі», обмеженій пря-
мими у - 2х + 2 і у — 2х - 2. Нехай xt і х2 (ач > 0, ж2 > 0) — абсциси
точок перетину параболи у - 10 - 2х2
з цими прямими відповідно.
Оскільки корінь рівняння g (JC) - 10 - 2х2
належить проміжку (xt; х2)
372](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-372-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
_L
10
0
Л
— ш
—
J
Ж і1 X
10
Рис. до задачі 9.38 Рис. до задачі 9.40
і х2 - xt < 0,5, то за відповідь до задачі можна обрати середину
17 + л/193
проміжку (хх х2). 9.39. — . 9.40. Вказівка. Перепишемо дану
16
нерівність у вигляді + + + +
1 І 2 1 / я 99
4 — g j — 1+... 4-й- "[у,-) • На рисунку схематично зображено гра-
фік функції f. Тоді сума ^ + ^ f + —+
^ Д°РІВНЮ€ п л 0
"
щі «блакитної» фігури, а сума ^ g + ^ g j + • - - + ^ g —
4
площі «жовтої» фігури. 9.42. f (х) = Зх. Вказівка, При у - 0 і х * 0
отримуємо / (f (X)) - 9х. Звідси випливає, що f — оборотна функція
(див. задачу 9.30). При у = х і х * 0 маємо f (f (х) - 2 х) = / (х).
9.43. f (X) = -X. 10.3. 1) К; 2) (-1; 3) (-«>; -2) U (-2; +«);
4) (-«; -1] и [2; +«); 5) (-«; -1] и [1; +»); 6) [3; +«) и {0}. 10.4. 1) R;
2) [2; 4o=>; 3) (-о*; 3) U (3; -н»); 4) (-»; 1] и [3; +-); 5) [-3; 3]; 6) [6; +») и {0}.
10.5. 1) [1; +«); 2) [-2; -и»); 3) К; 4) [0; +~>); 5) [0; +»). 10.6. 1) [2; -н»);
2) [-4; 3) R; 4) [0; +»); 5) [0; 10.7. 1) [-3; 2]; 2) [|;10 ;
3) [~|:2]. 10.10. 4) 1/5<^/28; 8) = 10.12. 4) 4 і 5;
6) -5 і -4. 10.16. 2) УЇ2>ї/5; 5) 10.17. 3)
10.22. 1) шах f (х) = л/2, min/{x) = l; 2) тах/(х) = */з, min/(x) = l;
[1;2| [142] [ Я;1 J I 3:-L|
373](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-373-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
3) тах/(х) = 1, min/(x)~0; 4) тах/(х) = /2, min^(x) = 0; 5) най-
І - М І 1-1:1] [-1;2] (-1:2)
більшого значення не існує, min f(x) = 0; 6) найбільшого значення не
існує, min / (х) = 1. 10.23.3) тах/(х) = ^/2, тіп/(х) = 0; 5) найбіль-
і-а aj [-2;г]
шого значення не існує, min f(x)-0; 6) найбільшого значення не
існує, min / (х) = 0. 10.24. 1) (65; 2) (-«; 21); 3) [ - j ; o l ; 4) (4; +«);
<-»;2) L 4 J
5) [3; +-) и {-2}. 10.25.1) (-1; +»); 2) (-»; 10); 3) [-|;1б]; 4) [-5; -2) U
U (2; 5]. 10.26. 1) Один корінь при будь-якому значенні а; 2) якщо
а < 0, то коренів немає; якщо а > 0, то один корінь. 10.27. Якщо
а > 1 або а = 0, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то 2 корені; якщо
а < 0, то коренів немає. 10.28, 27. Вказівка. Функція y = iJx-26 + 4x
є зростаючою. 10.29. 10. 10.30. (3; 3). Вказівка. Скористайтеся
тим, що функція f(t) = t + yft зростає на D (f). 10.31. (1; 1), (—1; -1).
10.32. /(х) = ^ 10.33. f(x)=4$T. 10.34. /(х) = ^х|х|7
. 10.35. Та-
ких функцій f не існує. Вказівка. При х = 1 маємо, що
f0) = f(l*)=$i = l, а при X = —1 миємо, що /(l) = f ((-1)*)=^1=-1.
{Vx х>0
" ' де g (х) — будь-яка функція, що визначена
g(x), х<0,
на (—«>; 0). 10.37. 2. Вказівка. Скористайтеся нерівністю л/24<|/27.
10.38. 1. 10.39. 1; ^ ——. Вказівка. Скористайтеся тим, що
функції f(x)= • і g(x)-=yj2х-1 є взаємно оберненими та зросте-jS
ючими. 10.40. 1; -2. 10.41. а — а5
. Вказівка. Розгляньте зростаючі та
взаємно обернені функції f(a) = а1
+ х і g (а) = v а - х. Інше розв'язання
можна отримати, якщо врахувати зростання функції <р (х) = а5
+ х
і спадання функції f(x)-yja-x. 10.42. 2. Вказівка. {(f(х))-
=
, Т
° Д І f ( f V ( X ) ) ) =
f - ^ = X
- 1 0 А
' % В к а з і
™ а
-
Розглявьте графік функції у = Vx, D (у) = [0; п" (на рисунку зобра-
жено випадок, коли п = 4, k - 2). Нехай Sc, S3 та SK — відповідно
площі синьої, зеленої та жовтої фігур. Тоді X = Sc + S„ Y = Sx + S3.
Далі врахуйте, що площа прямокутника ОАВС дорівнює Sc +
+ Sx 4 Sj.10.44. Вказівка. Позначимо А = ^а+%ІЬ+у/с. Тоді, очевидно,
виконуються нерівності A>yja, А > yßfb = yjb, Звідси
374](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-374-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
2) 4; 3) 0; 4) -1; 5) 5. 13.8. 1) 4; 2) 2; 3; 3) -7; 8; 4) -1; 1; 4. 13.9. 1) і ;
О
2) 7; -4. 13.10. 1) 0; 5; 2) 7. 13.11. 1) 6; 2) 2; 3) -1; 3; 4) -2. 13.12. 1) 2;
2) 8. 13.13. 1) 6; 9; 2) 3) коренів немає; 4) 1; -3. 13.14. 1) -5; 4;
16
2) 3; 7; 3) -1. 13.15. 1) 4; 2) 2; 3) коренів немає. 13.16. 1) -1; 2) 6.
13.17. 1) 27; 2) [5; 10]; 3) коренів немає. 13.18. 1) 10; 2) [-4; +=°).
13.19. При а< — коренів немає, при Вказівка.
4 4
х + ~ + = + j + . 13.20. При а<1 коренів немає, при а > 1
і— ї ї g
x = a~2-Ja. 13.21. - < а < - або а-—. Вказівка. Розгляньте графіки
5 3 15
функцій у = ах - 1 та y = <J$x-x2
-15. 13.22. 1 < а < 3 або а = 2-n/2.
14.1. 3) ; 4) 0; 5) 8; 6) 25; 7) -5; б|. 14.2. 3) 5; 4) -1. 14.3. 3) 1;А в «
4) 1; 5) 6 ) 6_^Уб 1 4 4 1} 2 ; 6 . 2 ) _1 ; 3 ) 3 ^ 3 1 4 g 3 ) 14W7 .
2 3 2 2
4) 10; 5) 4; -4; 6) 7) 5. 14.6. 1) 20; 2) 22-n/464; 3) 0; 5.
14.7. 2) 7; 8. 14.8. 2) 1. 14.9. 1) 2; 2 ) -2; 1; 13. 14.10. 1) 0; 2;
ö
2) -2; +
1 5 Л . 1} 1 ; 2) 16; 3) 25; 4) І; 5) 8; 6) 0; 1; 7) 1
О О
29; 8) 0; 16; 9) 10) 8. 15.2. 1) 16; 2) 1; 512; 3) 4; 4) -4; 11; 5} -8
О
1; 6) -61; 7) 0; 1; 8) 2,8; -1,1. 15.3. 1) 1; 4; 2) -n/її; -ч/б; 7б; n/П
3) -1; 4; 4) -2; 5; 5) -4; 1; 6) 1024. 15.4. 1) -1; 5
2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) -6; 4. 15.5. 1) (9; 4), (4; 9); 2) (64; 1); 3) (8; 1), (1; 8)
4) (41; 40); 5) (6; 3), (3; 1,5); 6) (-2; 3), (12; 24). 15.6. 1) (27; 1), (-1; -27)
2) (4; 1), (1; 4); 3) (2; 3), ( у ; 15.7. 1. Вказівка. Скористайтеся
заміною yJx-l + 4x+3 = t або властивостями зростаючих і спадних
функцій. 15.8. 3. Вказівка. Заміна lx+6 + *Jx-2 =у. 15.9. 3.
/— • X 81-9n/97
15.10. I + n/6. Вказівка. Заміна , • =t. 15.11. 3; . Вка-
у]2х + Ь 8
зівка. Поділіть обидві частини рівняння на х2
. 15.12. 1;
Іо
15.13. -2; 5. Вказівка. Нехай Ух+З = а, Уб-х -Ь. Тоді а3
+ Ь3
= 9.
15.14. -3; 4. 15.15. 8. 15.16. 15.17. 10. Вказівка. Заміна
5 5
376](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-376-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
jx-2 =а, fx-l -b. Тоді а3
- Ь2
= —1. Інше розв'язання можна
отримати, якщо врахувати зростання функції f (х) = Чх~2 +4х-І.
15.18. 1; 2; 10. 15.19. 1. Вказівка. Нехай Л~х = у. Тоді можна отри-
J2-x = y,
мати систему і 15.20, 2. 15.21. 1) 4. Вказівка. Помножив-
У2-у=х.
ши обидві частини рівняння на вираз J2x2
+ Зх+5 - УІ2Х2
- Зх + 5,
отримаємо 6х = Зх Зазначимо, що х = 0
не є коренем початкового рівняння. Далі додамо почленно початкове
рівняння і рівняння І2х2
+ ЗХ + &-УІ2Х2
-Зх+5 = 2; 2) -1. Вказівка.
І 7 + л/ІЗ
Помножте обидві частини рівняння на вираз vx + 1 -1.15.22. 1) -—-—;
6
2) 2. 16.2. 1) [3; 5]; 2) [0; +»); 3) (-«; -1] и [0; 1); 4) (4; 4«); 5) [-8; -4];
6) ; -1) U [2; +•»). 16.3. 1) [|;4); 2) (—; -4] и [1; +-); 3) 0.
16.4. 1) (з;^]; 2) [1; 3) {0; 3]; 4) [-1; 0) U (0,6; 1]; 5) (§;+~);
6) [1; 6]. 16.5. 1) Гг|;4) U (5;+-); 2) (3; 3) [-2; -1,6] и [0; 2]; 4) 0.
16.6. 1) 1); 2) [-7; 2]; 3) (-«; -1]; 4) [§!+«); 5) <—; "2] и (2;
6) (3; 5]. 16.7. 1) [-2; 2); 2) [-7; 1); 3) -3]; 4) (-«; -5] U [1; +«).
16,8.1) 4; 2) 1-2; 4] U [5; +«); 3) -2; 2.16.9. 1) [3; 12]; 2) {-2, 1} и [3; ю»
3) [-4; -3] U [3; 4]. 16.10. 1) [±;г) U (5;+-); 2) [-|;о) U (о;|
3) [-4; 1] U {2}; 4) (--; -1] U [4; 6) U (8; -к»). 16.11. 1) (-1; •+«);
2) (-20; 0) U (5; +-); 3) [-4} U [2; 3]; 4) [-7; -5). 16.12. 1) (1; +«);
2 ) и 3) 16.13. 1) [6; 4-); 2) ( f ;4 ).
16.14. [1; +»). Вказівка. Скористайтеся тим, що функція у = six+3 +
+ ІXа
+ X + 6 є зростаючою. 16.15. [-2; 2). 16.16. а = Вказівка.
Скористайтеся тим, що графіком функції у - -Jl-- (х + 2а)г
є півколо
7
радіуса 1 з центром у точці А(-2а;0). 16.17. а = 17.4. 3) 10л.
Orr
17.5. 2) у . 17.10. 5) У II чверті; 10) у І чверті; 15) у II чверті.
17.11. 4) У III чверті; 8) у II чверті; 15) у IV чверті. 17.12. 3) (0; -1);
5) (0; 1); 8) (1; 0). 17.13. 2) (-1; 0); 6) (-1; 0). 17.14. Ц ;
17.15. % 17.16. 15 сторін. 17.18. 3) 4)2я; -2л.
10 О ІО 15 £ і
377](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-377-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
17.19. б) ~f + 2nк, А є г. 17.20. б) ||+2яА, k є 2. 17.23. 1)
4 ЇЙ V. £» Й/
2) (0; -1); 3) (0; 1), (0; -1); 4) (1; 0), (-1; 0); 5) (1; 0); 6) (1; 0), (0; 1),
(-1; 0), (0; -1). 17.25. 1) |+2пк, k є 2; 2) я + 2пк, k є 2; 3) - | + 2яй,
k є 2; 4) ^ + k є 2. 17.26. 1) + к є 2; 2) | + 2д&, А є 2;
3) ~^+2nk, k e Z . 17.27. 1) {ял п є 2}; 2) 0; 3) | лє2І;
4 120 J
4){™ I fiezj; 5) { у + 3яп|лє2}. 17.28.1){тот|пє2};
2) {2яп І п є 2}; 3) {|+ял|лє2}; 4) || + ял|пє2}; 5) {ял j п є 2};
6) {(6л - 1)я|пє Z}. 18.1. 1) 5; 3) V2; 5) 7) -3; 9) 18.2. 2) 1;
4 4
R
4) 0; 6) 8) 9. 18.5. 2) Так; 4) ні; 6) ні; 8) так. 18.6. 1) Ні; 3) так.
6
18.7. 3) V2. 18.8. 2) ^ / з . 18.9. 1) 3; -3; 3) 3; 1; 5) 1; 0.18.10. 2) -1; -3;
4
4) 10; 4. 18.14. 1) -4 < а < -2; 2) а = 0; 3) -j2<a<j2; 4) -1 < а < 0
або 1 < а < 2; 5) 1 < а < 2 або 3 < а < 4; 6) а * 2. 18.15. 1) 1 < а < 3;
2) таких значень а не існує; 3) -2<а^->/2 або л/2<а<2; 4) а = 1.
18.18. 1) Найбільшого значення не існує; ~ — найменше; 2) най-
більше значення 1; найменшого не існує; 3) найбільшого і найменшо-
го значень не існує; 4) найбільшого і найменшого значень не існує.
18.19.1) —і; -1; 2) найбільшого і найменшого значень не існує; 3) 1; -1.
о
18.20. 1) і ; і ] ; 2) [0,5; +«>); 3) ( - » ; U [ 2 ; + « ) . 18.21. 1) [|;і];
2) [|;+-)і 3)(-»;-1]и[і;+с»).19.4. 1)~±; 4) ^f. 19.5.1)-|; 2 ) ^ .
19.6. 1) —*ф- 2) 2; 3) 4; 4) 19.7. 1) 2-72; 2) 1,5; 3) 4%/3-3.
А їй
19.14. 1) 2 sin а; 2) -2 cos а; 3) 0. 19.15. 1) 0; 2) 0; 3) -2 ctg ß.
19.16. 1) II; 3) І або II. 19.17. 2) IV; 4) І або III. 19.18. 2) Парна; 5) не
є ні парною, ні непарною; 8) непарна. 19.19. 2) Парна; 4) не є ні пар-
ною, ні непарною; 6) непарна. 20.1. 3) л/З; 6) - і ; 9) 12)
й £І
15) 20.2. 1) 3) 1; 6) 8) 20.7. 4) 1; 5) 6)
7) 8) 9) -. 20.8. 2) 4я; 3) я; 6) 4. 20.12. я. 20.13. я.
6 л/2 я
378](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-378-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
23.1. 6) 2cos2
а; 7) -sin2
а; 8) 1; 9) cos2
^; 10) 2. 23.2. 4) — і - ; 5) 1;
2 зіп а
6) 1; 7) 1; 8) 4. 23.5. 1) 2) 1; 3) — ; 4 ) _ } _ . 5 ) 0 ; 6) — .
соя а sin а sm х sin а
7) tg а tg ß; 8) 1; 9) cos2
а; 10) -ctg у; 11) sin4
а; 12) 1; 13) — ;
1 4 ) _1 23.6. 1) 2) 1; 3) 4) 5 ) _ J L ; 6 ) tg2
«;
cosß sin fi cosp cos* cosß
7) tga; 8) -1; 9) 1; 10) -cos2
a. 23.7. 2) cosa = -^, tga = -§, ctga = -|;
5 4 О
3) cosa = — s i n a = — c t g a = i . 23.8. 1) sina = -^, tga = ~~,
V5 V5 ' ' '
12 1 7 1
ctga = —; 4) sina = -p=, cosa = — t g a = — . 23.11. 2) Вказівка.
5 V50 V50 7
Подайте доданок 2 sin2
a у вигляді суми sin2
a + sin2
a; 4) Вказівка.
Розгляньте різницю лівої і правої частин даної рівності і доведіть, що
вона дорівнює нулю. 23.15.1) - і . Вказівка. Поділіть чисельник і зна-
менник даного дробу на cos a; 2) і ; 3) -27. Вказівка. Помножте чи-4
сельник даного дробу на sin2
a + cos2
a. 23.16. 1) —7^; 2) 3)
11 7 357
23.17. 1) -sin ß - cos ß; 2) -sin a cos ß; 3) ~2 tg a; 4) 1. 23.18.1) -Л-;
sin oc
2tc 2K
2) 2 ctg a; 3) -1. Вказівка. Оскільки — <a<Jt, то сов —> cos a.
о о
Ь2
-1
23.19. 1) ———. Вказівка. Ъг
= (sin a + cos a)2
= 1 + 2 sin a cos a;
й
и з ^ 1 + 2 ^ i+бь2
-^ вц+а'-ь«) 2 _
2 2 4 (і> -1)
2) & (Ь2
— 3); 3)fr4
— 4і»2
+ 2; 4) Вказівка. З умови випливає, що
ь
1 2 1
= Ь. Звідси 2sinacosa = -. 23.21. 1) 3-, -3. Вказівка.
sin a cos a ft 8
2 cos2
a - 3 sin a = 2 (1 - sin2
a) - 3 sin a = -2 sin2
a - 3 sin a + 2.
Позначимо sin a = f і розглянемо функцію f (() - -2t2
- 3f + 2, визна-
чену на проміжку [-1; 1]» Це квадратична функція зі старшим
від'ємним коефіцієнтом а = -2. Вона набуває найбільшого значення
—З З
в точці / 9~~л' я к а н а л е ж и т ь
проміжку [-1; 1]. Отже,
2• (-2) 4
наи-ш а х f ( t ) ~ f ^ J = -2 - =
Для з н а х о
Д ж е н н я
меншого значення обчислимо значення функції f (<) на кінцях про-
міжку [-1; 1]: / (-1) = -2 + 3 + 2 = 3, f (1) = -2 - 3 + 2 = -3. Отже,
3 8 2](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-382-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
X tg ß). Тоді {1 + tg а) (l + tg ß) = 1 + tg а + tg ß + tg а tg ß = 1 +
+ tg (a + ß) (1 - tg а tg ß)+ tg а tg ß = l + t g ^ ( l - t g a t g ß ) + t g a t g ß =
= l + l - t g a tgß + t g a t g ß = 2. 24.46. 2. 24.49. Вказівка. Припустимо,
що cos а + cos ß + cos у > 2. Тоді (cos а + cos ß + cos y)2
> 4 і (sin а +
+ sin ß + sin y)z
> 5. Почленно додавши дві останні нерівності, отри-
маємо 3 + 2 (cos (а - ß)+ cos (ß - у) + cos (у - а)) > 9. 24.50. Вказів
ка. Скористаємося тотожністю для кутів трикутника (див. задачу
24.44): t 6 | t B | + t g | t g | + t g | l g J - l . Маемо: t g ' | + t g « | + t g ' I -
^ ф . ф . ф ф ^ Ц ) . ( „ і ,
i f k n ^ o ^ ^ L ^ L-tg^l >0. Звідси t g 2
^ + t g 2
^ + t g 2
^ - l > 0 . 24.51. Вказівка. Роз-
й/ / і* Л С
гляньте вираз Jtg ^ + tg ~ + tg | J і скористайтесь результатами задачі
24.50. 24.52. f (де) = a sin х, де а — довільне дійсне число. Вказівка.
Підставляючи у= x=t-~, отримуємо f(t) = /|^jsint. Перевір-
кою встановлюємо, що всі функції виду f (х) = a sin х задовольняють
умову задачі. 24.53. f (де) = х або f (де) = -х. Вказівка. Підставляючи
X= —, у = 0, отримуємо f (1)/ (0) = 0, Якщо f (1) = 0, то, підставля-
ючи в дану рівність у — ^г, отримуємо f (cos х) f (0) = sin де. Остання
рівність неможлива, оскільки функція gL (де) = /(со.чх)/(0) є парною,
а 8г (х) = sin X — непарною. Якщо / (0) = 0 і f (1) * 0, то, підставляючи
в дану рівність у = 0, отримуємо f (cos х) f (1) = cos х, тобто f (cos де) =
= a cos X. Тоді / (0 = at для всіх і є [-1; 1]. Перевіркою встановлюємо,
що а = 1 або а = -1. 24.54. / ( * ) = * або f (x) = -де. 25.3. 3) -cos 38°;
4) — s i n 2 5 . 4 . 3) t g ^ ; 4) s i n ^ . 25.7. 2) -1; 6) 2cosa. 25.8. 3) 0;
18 5 15
5
4) 1. 25.9. 1) -4; 2) -; 3) — ; 4) 1. Вказівка. Зведіть кожну функцію
З 4
до найменшого додатного аргументу; 5) 1. 25.10. 1) 3-2/2; 2) 3;
3) — ; 4) -1. 25.11. 1) -cofe а; 2) 1; 3) 1; 4) -1; 5) 2; 6) 2; 7) 1; 8) 1;
4
9) -tg2
а; 10) 1; 11) tg а. 25.13. 1) 1; 2) 0; 3) 0. 25.14. 1) -1; 2) 1;
3) 0. 25.16. 2. Вказівка. Оскільки = £ і т о
' 8 8 2 11 22 2
„2 ЗЯ _ . 2 П , 2 5я ;„2 37t оеі>7 11 2,c o s 2
^ = sin2
^ і c o s 2
^ = s i n 2
^ . 25.17. 1) cos2
a; 2) — ^ .
8 8 22 11 ' ' cos2
( а + 10°)
25.18. 1) Не існує. Вказівка, у = f (cos де) — парна функція,
3 8 4](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-384-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
1) —-—, ke Z;2) — — — й е N; 3) + arccos - + 2nk, ±arccos(--|+2jift,
20fe + 5 (4?ife-n) 4 V 4/
k є Z. 32.13. 1) a < - ~ , або - | < a < 0 , або a > 0; 2) - 1 < а < - | , або
щ о о А
- i < a < - , або і < а < 1 . 32.14. 1) або - і < а < 0 , або а > 0;
2 2 2 2 2
2) -1 <а<-~, або або ~<а< 1. 32.15. а = - - , або
2 2 2 2 З
в < - | , або а > 0. 32.16. або або а > 0. 33.5. 1) [0; 2];
2) [0; 1]; 3) (-•»; -п - 4] U £п - 4; -н»). 33.6. 1) [ - | - 1 ; 1 - | ] ; 2) [2; 3];
3) и
[І;+»)• 33.7. 1) я; 0; 2) 2 + п; 2. 33.8. 1) 2п; я; 2)
-|+1. 33.9. 1) 2) J . 33.10. 1) 2) J . 33.11. 1) 2) cos|;
3) коренів немає. 33.12. 1) 2) коренів немає; 3) |. 33.13. 1) (-1; 1];
2) {-1}; 3) [-І; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв'язків немає; 6) {1}; 7) [-1; 1);
8) (-1; 1]. 33.14. 1) {-1}; 2) [-1; 1); 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв'язків
немає. 33.15. 1) [-1;Ц; 2) {-1}; 3) {1}; 4) {0}; 5) (0}. 33.16. 1) [-1; 1];
2) {1}; 3) 1-1; 1]; 4) {1}; 5) {-1; 1}. Вказівка. Якщо х > 0, то
х2
+ і
причому рівність досягається тільки при х = 1; якщох < 0,то — — < -1,
шГ
причому рівність досягається тільки при X = -1. 33.17. 1) 1^4; ^ + 4 ;
2) {0}. Вказівка. Оскільки -arccos х < 0, то область визначення даної
функції складається з однієї точки х = 1; 3) » ; —
4) [ £ ; + - ) . 33.18. 1) [ 2 ; | + 2 ] ; 2) [ о ; | ] ; 3) [!;+-); 4)
33,21.1) |; 2)|~. Вказівка, sin arcsin |J = 2 sin |arcsin |jcos|arcsin|J;
3) |§; 4) f . 33.22. 1) 2) 3) 4 ) - J L . 33.23.1) x = 2.
Вказівка, cos (arccos (4x - 9)) = 4x - 9 тільки за умови | 4x - 9 | < 1;
2) [-3; -1]. Вказівка. Множиною коренів цього рівняння є його об-
ласть визначення. 33.24. 1) —. Вказівка. Дане рівняння рівносильне
о
4х-1І<1, і
2) [0; 2]. 33.25. 1) 1; 2) 5. 33.26. 1) 2) -2.
4х-1 = 3х ; 2
391](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-391-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
1
!
-1 0 1 *
Рис.
до задачі 33.33
33.27. 1) [ot|)S 2) ( І : І ] , 3)
33.28. 1) 2) 3) [ f ^ j .
33.29. 1) 2) розв'язків немає. 33.30.
l + v/sl.
2 J'
1) 2) {0}. 33.33. Див. рисунок. Вказів-
ка. Якщо -1 < л: < 0, то arcsin х < 0 і arcsin х | =
= -arcsin X, arcsin | х = arcsin (-а:) = -arcsin х. Тоді у = 1. Якщо
0 < X < 1, то arcsin X > 0 і j arcsin х | = arcsin х, arcsin J х = arcsin х.
Тоді у = 1. 33.34. 3) Див.. рисунок. Вказівка. Зауважимо, що
D (у) = [-1; 1]. Запишемо: cos (2 arcsin х) = 1 - 2 sin2
(arcsin х) = 1 - 2хг
.
Отже, шуканим графіком є частина параболи у ~ - 2хг
+ 1; 4) Вказів-
ка. Оскільки arcsin jt+ arccos дг = у то у = 1. Проте шуканий гра-
фік — це не пряма у = 1, а лише її відрізок, оскільки D(y) = [-1; 1].
У.
1
411/ 0 іх
І "І
ІІІ •і ;і) іt і
У -
л11! і
; V• і! 1
~2х2
+ 1
Рис. до задачі 33.34 (3) Рис. до задачі 33.36
33.35. 2) Вказівка, sin (arccos л;) = Vl-зс2
; 3) Вказівка, cos (2 arccos x) =
= 2x^-1 за умови | x ] < 1. 33.36. Див. рисунок. 33.37. 1) 2) у ;
3) Л - 3; 4) ^ - 8 . 33.38.1) 2) Вказівка. C O S ^ = COS(2JI-^);
Л У У У У /
3) 2к - 6,28; 4) 5) ~-12'. 33.39. * = і а б
° х =
Вказівка.
о й 2 2
Тотожність arcsin х + arccos х = ^ дає змогу перейти до системи
(arcsin д-)2
+ (arccos x)2
- 5 n
arcsin X + arccos x = -
г
36 ' Після очевидної заміни arcsin х = t,
392](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-392-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
arccos X = г отримуємо: 33.40. 1) 2)
* г
36'
2
2 2
0 < г < п .
З 56
33.43. Вказівка. Вигідно довести таку рівність: arcsin - = arcsin
5 65
-arcsin-^-. Значення виразів, записаних у лівій і правій частинах
1 о
цієї рівності, належать проміжку L тобто проміжку, на якому
& £ Л
функція у = sinx зростає, тому достатньо довести, що sin |arcsin ^J =
( 56 5
arcsin —-arcsin — . 33-45. Вказівка. Нехай arcsin х = а. Якщо
о5 1а!
0 < х < 1,то 0 < а < —; sin а = х; cos а = Vi-sin2
а - Vi-я2
. Оскільки
2
то а-arccos Vl-x2
. Якщо-1 < х < 0 , т о - ^ < а < 0 ; зіпа = х;
cos а = Vi-sin2
а = V l - x 2
. Оскільки 0 < - а < ^ і cos (-а) = Vl-x2
, то
-а = arccos Vl-x2
; а = -arccos Vl-x2
. 33.47. .-• . Вказівка. S p i e -
lt 28
няння перепишемо так: arcsin 2х = ^ - arcsin х . Його наслідком буде
d
рівняння sin (arcsin 2х) = sin arcsin Звідси 2x = ^-*y/l-x2
о / а а
гг - , „ . Г25хг
=3~3*2
,
5x = V3-3x , Це рівняння рівносильне системі j ^
- < - . Тому
28 2 *
0 < arcsin 2 .Ш- < — і 0 < — - arcsin.Р^ < ^ . 33.48. 34.1. 3) - ф .
28 2 З V 28 2 Vi З
34.2. 1) 3) 34.3. 2) -2я. 34.4. 1) R; 2) [1; +«). 34.5. R.
З 6
34.6. 1) (2-|;2+|); 2) 0 ; ^ ] . 34.7. 1) (4; л + 4); 2) [o;J|).
34.8. 1) 4; 2) 5; 3) 4) it. 34.9. 1) 2) f . 34.10. 1) 1; 2) tg 1; 3) ко-
2 2 a
27 + yfs
ренів немає; 4) — — . 34.11. 1) -1; 2) коренів немає; 3) коренів не-
розв'язуючи яку отримуємо X = J — , Крім того,
/ іо
3 9 3](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-393-320.jpg)
![ВІДПОВІДІ та вказівки до вправ
±(я-arccos ||+2ял, пе Z; 5) (-1)п+1
• |+лл, ^+2пп, п є Z; 6) ±2п + бпп,
п є Z; 7) ял, п є Z; 8) 2л + 4ял, п є Z; 9) ~-+яп, л є Z;
3 4
1 TZ „ 7Ш _ /77 -, v ТІ , ЇСП 1 . _ З КП _ ™ , rt. л ,
10) +
п є Z; 11) ^ + — arctg—+—, л є Z; 12) —j+nn,
arcctg 2 + nn, n є Z; 13) ±£ + ял, л є Z; 14) ±- + 2яп, л є Z.
• 3 4
35.6. 1) ± ~ + 2ren, n є Z; 2) (-1)п
.£+лл, л є Z;
З " 6 2
3) (-1)"-arcsin(2-%/§)+ли, л є Z; 4) f+лп, 2пп, л є Z; 5) ( 1)"+ 1
я +
СІ
+ бяп, п є Z; 6) (-1)"11
+ 2лп; л +- 4лл, л є Z; 7) + л е ї ;
о 6 2
8) - + тш, arctg 2: + лл, л є Z; 9) 5 + i n , л є S; 10) ±-+лл, л є Z.
4 6 3
35.7. 1) - + яп, -arctg 2 + лп, л є Z; 2) -5- + HL, i a r c t g I + 5 Ü , л є Z;
4 20 5 5 7 5
TT ЗГИ ]Г_
8 +
2 ~ ' H є
arctg 3 + nn, arctg 4 + лп, n є Z; 5) --+лл,
arctg- + ял, л є Z; 6) — + nn, -~ + nn, n є Z; 7) лп, arctg 3 + пп, n є Z;
5 2 4
8) —+ лп, л є Z. 35.8. 1) —+ ял, arctg 3 + nn, n e Z. Лказіека.
4 4
sin2x = 2sinxcosx; 2) —+лл, arctgi+ял, n є Z; 3) --+itra,
4 4 4
-arctg і+яп, л є 2;4)лл, —+ял, л є Z; 5) —+ ял, л є Z; 6) - — + ял,
З 4 3 4
п є Z. 35.9. -я. 35.10. 35.11. 35.12. 35.13. 1) j + y . п є Z;
2) (-1)"-arcsin ^ ^ ^ л л , л є Z; 3) ±£+ял, л є Z; 4) ± ^ + 2лл, л є Z;
О И И
5) ±£ + 2лл, п є Z. 35.14. 1) ±arccos л <= Z; 2) ±£ + ял,
З 5 6
пе Z;3) + л є Z; 4) ± arccos + 2лп, пє Z; 5) ± | + ял,
1СІ СІ СІ о
л є Z. 35.15. 1) , л є Z; 2) я є Z. 35.16.
1) ± ^ + 2яп, пє Z; 2) £ + п є Z. 35.17. 1) ^ + 2ял, -2 arctg^+2nn,
З 8 2 2 5
neZ;2) 2 arctg (-1 ±і/б) + 2лл, лє Z. 35.18.1) + 2 arctg 4 + 2лп,
п є Z; 2) — + 2ял, 2 arctg 2 >/3 + 2ял, л є Z. 35.19. 4 корені. 35.20. 2л.
З
35.21. п - arcsin 35.22. 35.23. 1) ял, л є Z; 2) лл,
4 2 4
396](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-396-320.jpg)
![Відповіді тз вказівки до вправ
п є Z. 35.24. 1) ±^+лл, п є Z; 2) £ + п є Z.
З 6 3 12 З
35.25. 1) [-1; 2]; 2) 3. 35.26. 1) [-1; 2]; 2) таких значень а не існує.
35.27. 1) + п<=2; 2) ±~ + 2пп, ±(п-arccos|)+2лп, п є Z.
4 о u /
Вказівка. 5j3cosx+—-—| + + 2|9COS2
JC +——1+5 = 0. Зробіть заміну
^ СОМ X J COS XІ
Зсоях+—^— = у, тоді 9cos2
x + — і — = ц 2
- 6 . 35.28. 1) -+кп, п є 2.
cos я; cos д: 4
Вказівка. (tgs
х + ctg8
л:) + (tg2
х + ctg2
х) - 4 = 0. Зробіть заміну
tg JC + ctg JC = у; 2) £ + 2nk, (-1)* +nk, (-1)* arcsin 5
+ nk, k є Z.
2 6 4
35.29. 1) -v+яп, ±5+яп, пп, n є Z; 2) %+nk, k є 2. Вказівка.
4 6 2
2 cos2
x + 5 sin2
X cos2
x + sin4
jc + cos2
де - sin2
* = 0; sin2
* — 3cos2
x =
= 5sin2
Xcos2
X + sin4
*. Помножте ліву частину на вираз sin2
х + cos2
х;
3) - + nk, k є Z. 35.30. 1) - + пп, -+КП, -+пп, п є Z; 2) ,
' 2 ' 3 6 2 4 2
п є 2. 35.31. 1)5+пп, +Ї + ЛП, п є Z; 2) ~, (-1)"1
+
8 2 2 3 2 12 2
п є 2. 35.32. 1) Зяп, п є 2; 2) - + лп, +arccos 1
~у
^ + 2лп, п є 2.
2 4
35.33. 1) (-1)" - ™+яп, пє Z; 2) ±—+ 2лгс, л є 2; 3) (-1)" -~+nn, я є 2.
6 3 6
35.34. 1) ±^ + 2яи, п є 2; 2) (-1)"-~ + 7іп, п є 2; 3) ±£+2лп, п є 2.
З 6 3
35.35.1) f <а<л; 2) 35.36.1) ! ^ < а < 2 л ; 2) £ < ї а < ^ .
6 2 6 6 3 2
35.37. 1) а < -1, або а = ~, або 2) — < а < — , або і < а < — ,
10 2 10 2 2 10
або я = —1. 35.38. 1) або а =
або а > 1; 2) а = 1 або
- ^ U a < 0 ; 3) ^§-<а< 1 або 35.39. 1) а > ~ , або
2 2 2 2 2
а = - і або а < -1; 2) або а = -1; 3) або
о с, с, о А
-1<«<-і. 35.40. 1) 3; 2) ( i z ^ . i i ^ j u j - g } . 3) [l;3]u{-l|};
4) * l ^ Ö . - l ) ü [ l ± ^ ; a ) 5) -1; 6) (-i|;-l). 35.41. 1) ( - 1 - f ;
. 35.42. а < 0, або а = 2, або а = 3, або
397](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-397-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
= 37.4. 2тіп, —+2пп, п є Z. 37.5. 1) - - + я и , п є Z; 2) пп,
sin л: - cos JC 2 4
.Д ГО» И Т , - л 1+C0s6* J In o i
± ^—, n є Z. Вказівка. cos4jc = ; 4cos 2x - 2 = 1 +
12 2 2
+ 4cosa
2x - 3cos2:c; 4COS3
2JC - 4 cos2
2x ~ 3 cos 2x F 3 = 0; 4 cos2
2JC X
X (cos 2x - 1) - 3 (cos 2x - 1) - 0; (4 cos2
2x - 3)(cos 2JC ~ 1) = 0; 3)
3
fte Z. 37.6. 1) — , ±- + 2тш, л є Z; 2) ял, ±^ + лл, n e Z . 37.7. 1) — ,
2 6 6 15
k e Z , k * 1 5 p , p e Z, + " Є Z , л # 1 7 m + 8, m e Z; 2) ft є Z ,
A # 9p, p є Z, Вказівка. Помножте обидві частини рівності на 2 sin —;
3) fee %, ft * Qp, р є TL. Вказівка. Скористайтеся формулою по-
ниження степеня. 37.8. 1) ft є Z, ft * 14р, р є Z; 2) ft є Z,
k * Зр, р є Z, 1 + п є Z; 3) ft є Z, k * 9р, р є 2. 37.9. 1) -2;
о ^ 9
2) коренів немає. 37.10. 1) 2; 2) коренів немає. 37.11. Коренів немає.
Вказівка. Якщо х > 0 або х < -1, то х2
+ х + 1 > 1. При JC Є [-1; 0]
sin JC < 0, а де2
+ х + 1 > 0. 37.12. Коренів немає. 37.13. 1) JC = 2nk,
1 * о 1 , „ ОЛ -5+^25-8ft -5-V25-8Ä
y = ~ або де = я + 2nk, у = - k e Z; 2) x = , y = - ,
, _-5-V25-8fe _ -5 + V25-8fe я _ 5 + V 2 1 - 8 n _5->/21-8n
aoo X - - , y - - , aoo x— - , y - - ,
a 6 o 5-V2l"-8n 5+^21-вп k є Z, n є Z, k <, 3, n < 2. 37.14.
2 2
1)дс = -4, j/ = ~ + Y або де = 4, „ є Z ; 2) * = ^+2ял, у = ~3
або дс = -—+2ял, и = 3, п є Z. 37.15. 1) 4ял, п є Z; 2) „ є 2.
4 4 3
37.16. 1) бяп, я є Z; 2) ^р+Зяп, п є Z. 37.17. 1) | + 2яА, ft є Z.
Вказівка. Запишемо дві очевидні нерівності: COS7
JC < cos2
ДЕ; віп"де <
< sin2
де. Додаючи почленно ці нерівності, отримуємо cos7
х + sin4
де <
< 1. Тепер очевидно, що вихідне рівняння рівносильне системі
(cosT
де = cos2
де, п
< 2) ~+2кк, 2nk, ft є Z. Вказівка. Покажіть, що при
[sin де = sin де; 2
всіх допустимих значеннях х виконуються нерівності Jcos де > cos2
де
І Jsin х>sin2
JC. 37.18. І) | + 2яА, 2nk, А є S; 2) -f+2яА, яА, ft є Z.
37.19. 1) ^+2яА, ft є Z. Вказівка. Запишемо очевидні нерівності:
400](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-400-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
2) X ф n k , k є Z. 41.6. 1) + nk<x<nk, kB Z; 2) + +
6 12 12
k є Z. 41.7. 1} | + 2 я А < х < - ^ + 2л;А, А є Z; 2) -arctg2+nk<x<~ + nk,
ö О ö
fe є Z; 3) ~ + 2nk<x<^ + 2nk, k є Z; 4) arctgї/2+ яА<х<-+лА,
-arctgл/2 + л/г < X <JIA, k є Z. 41.8. 1) l + 2nk<x<^ + 2nk, k є Z
3 3
2) nk<x<- + nk, — + nk<x<n+nk, k є Z; 3)^ + nk<x< — + nk, k є Z;
2 4 4 4
4)-- + nk<x<--+Kk, nk<x<- + nk, fceZ.41.9.1) ~ + 2nk<x< — + 2nk,
2 4 4 5 5
T[ + 2itA<X< — + 2nft, — + 2лА<Х<2л + 2лА, k є Z; 2) ~ < J C < - + ^ ,
5 5 2 4 2
k є Z: 3) 2яА<х<*+2яА, — + 2nk<x<л + 2nk, — + 2лА<x< — + 2nk,
4 4 4 4
k є Z; 4)-* + 2nk<x<2nk, ~ + 2nk<x<— + 2nk, k є Z; 5) 2rcA<x<
2 4 4
<-+2rtA, — + 2тіА<х<я + 2лА, + 2nk < x < Щ- + 2nk, k є Z. 41.10.
2 3 3 2
1) 2яА < X < n + 2яА, k є % 2) +2nk<x<2nk, у + 2 л А < х < | + 2 л А ,
~ + 2nk<x<n+2nk, + 2nk<x<~ + 2nk, k є Z; 3) ^ + лА<х<£+лА,
5 5 2 о 2
я , . у5я , L i , ® i i i . i r t ^ » , rt я . кА _ _ Зя , яА . _ ™
- + nk<x<—- + nk, А є Z; 4) - + -—- <x< — + -—, - + —<x<-~-+— , fte Z.
2 о 8 2 4 J 4 А 8 2
„ л л ло о Зл л п л І2 л/б->/2 л п - 2л
42.2. cos-, -cos-. 42.3. cos—. 42.4. — — ; — . 42.5. cos — ,
5 5 10 2 4 9
4л 6л 8л л Зл „5л „ „„ . тг
cos у , cos у , cos—, cos-, cos у , cos у . Вказівко. Доведіть, що
всі корені даного рівняння належать проміжку (-1; 1). Зробіть замі-
ну X = cos а , а є (0; я). 42.6.
Вказівка. Зробіть заміну
X — I а I cos а , у = | а | sin а, де а є [0; 2я). 42.7. 7 розв'язків. Вказівка.
Я к щ о покласти х = tg а , < а < то отримаємо у - tg 2а, г = tg 4а,
£ А
X — tg 8а. Тоді tg а = tg 8 а і а = у . 42.8. |; Вказівка. Зробіть
заміну X - r cos а , у - r sin а, де г > 0. 42.9. Існує. Прикладом такої
множини можуть бути числа cos а, cos 2а, ..., cos 2S9
a, де а = -]ій>—.42.10. Існує. Наприклад, a = t g - ^ — . 42.11.1; c o s ^ ; c o s ^ ; c o s ^ ;
і üUU f I I
cos у ; cos у ; cos у ; cos у . Вказівка. Легко перевірити, щ о при
405](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-405-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
I X І > 1 f (f (f (х))) > f (f (де)) > f (x) > I X I > X. Отже, розв'язків, які
задовольняють умову | х > 1, рівняння не має. Якщо j х | < 1, то мож-
на зробити заміну х - cos t, де t є [0; я]. Отримуємо cos 8t = cos t,
42.12. Наприклад, cos 42.13. Вказівка. Існує а таке, що
2
sin а - a, cos a = Ь. Покажіть, що ап = sin (я - 1) а. 43.7. 1) Неспадна;
2) не є монотонною; 3) не є монотонною. Вказівка. Розгляньте від-
н о ш е н н я 43.8. 2) Вказівка. ап = - 3 - (п - І)2
; 3) Вказівка.а
п
4) Вказівка. = 6) Вказівка.
п+1 2 Vi? п + 2 п + 2
43.14. 1) Так; 4) ні. 43.15. 1) a2 = ~ ; 2)ae = l ;
Vn2
+1 Vn2
+1 Vn2 9
3) а3 = 7; 4) а2 = 1. 43.16. 1) аг = -3; 2) а2 = 4; 3) аг = -1; 4) а3 = -2;
5) а1 = ~2; 6) ае= 27. Вказівка. ап = ——— = лн 1-15; 7) а2~-~.
п ґі 2
43.17. Так. Наприклад, 1, 2, 2, З, З, 3, 4, 4, 4, 4, ... . 43.18. Так. На-
приклад, а„ = пі. 43.19. 1) Ні; 2) ні. 43.21. 1) Вказівка.
(Vn + 1 -Vrä)(Vn + l +
an= j===—-,- ; 2) Вказівка. Доведіть, що a„ = l -.
Vn + 1+л/л n + 1
43.23. Ні. Вказівка. Роагляньте т„ для чисел п - 2k
, k є N.
43.24. Вказівка. Число л є дільником числа п. Тому а„ > л і > Vn.
yjn
43.25. Так. Вказівка. Оскільки множина раціональних чисел злічен-
на (див., наприклад, п. 7 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. В.,
Якір М. С. Алгебра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням матема-
тики), то існує послідовність (г„), яка містить усі раціональні числа.
43.26. Так. 43.27. 1) Вказівка. а„ < 1 + - і — , п > 1;
1-2 2-3 (п-1) п
2) Вказівка. Доведіть методом математичної індукції, що ап < 3 для
2012
будь-якого п Є N. 43.28. дг01 = ^ д^гві • Вказівка. Розв'язавши нерів-
ність a „ f l > t t „ , дел є N, отримаємо л < 200. 43.29. Ні. Вказівка.
Використовуючи нерівність Бернуллі1
(1 + х)" > 1 + пх, де п є N,
вонаX > - І , маємо (1 + -т= І > l + n - i > V n . 44.3. З деякого номера
V *Jn) 'Vb
стає стаціонарною. 44.5. Так. 44.11. Вказівка. Знайдіть п з нерівно-
Д= < Е. 44.12. Ні. Наприклад, у будь-якому інтервалі
1
Див с. 224 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. В., Якір М. С.
Алгебра : підруч. для 9 кл. з поглибл. вивченням математики.— X. :
Гімназія, 2009.— 384 с.
4 0 6](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-406-320.jpg)
![ВІДПОВІДІ та вказівки до вправ
(0 - є; 0 + Е) МІСТИТЬСЯ безліч членів послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1
44.13. Так. 44.14. 1) Так; 2) так; 3) ві. 44.15. Так. 44.16. Послідов-
ність залишиться збіжною; границя не зміниться. 44.18. Вказівка.
Розгляньте нерівність | а„ - а [ < е для є<0. 44.19. Ті послідовності,
які, починаючи з деякого місця, стають стаціонарними. 44.20. Так.
44.21. Ні. 44.22. Вказівка. Скористайтеся означенням границі послі-
довності. 44.23. Так. 44.24. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, по-
слідовність, задану формулою а„ = пп. 44.25. Так. 44.28. Ні. Вказів-
ка. Розгляньте, наприклад, х„ = (-1)". 44.29. Ні. Вказівка. Розглянь-
те, наприклад, х„ = (-1)". 44.30. Ні. Вказівка. Розгляньте, напри-
клад, х„ = -п. 44.31. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, хп = п.
44.32. Ні. Вказівка. Розгляньте послідовність, у якої xPk = 1, де
(р*) — послідовність простих чисел, а решта членів Хп = 0.
45.1. 2) Вказівка. Скористайтеся теоремою про двох конвоїрів і не-
рівностями 0<-т=2= 2=г = -І=; 5) скористайтеся нерівностями
п3
+4 уіп3
Vre
0 < 2
+2 п
~1
< £* + g < ^-tgg2
- < і*. 45.2. 2) Вказівка. Скористайте-
Зге + it-2 Зп3
+п-2 п3
п
ся нерівностями г ~1
/ <0. 45.3. 1) 1; 2) 3; 5) 1. 45.4. 3) 2.
!п v n +2V/J-1
45.5. 1) h 2) 3) 4) 45.6. 1) 2
>
п п + 1 9« +З п+1 Vn л
3) 4 ) - - — . 45.7. 1) Т а к ; 2) ні. 45.8. 2) Н і . Вказівка. П р и
п+1 п+З
п > 64 мають місце нерівності: j хй = і/п -(4п-і)> Jn. Тому (хп) —
необмежена послідовність. 45.9. 3) Ні. Вказівка. При парних значен-
нях п маємо, що х„ = п. 45.10. 0. Вказівка. Скористайтеся рівністю
— г (Vrt+T-Vn).(Vn+i+Vn) %% л і а „
Vn+1-Vn=- — р -. 45.11. 0. 45.12. Вказівка.
Vn+1+vn
Скористайтеся рівністю nq" - де — J> 1, q * 0. 45.13. Вказівка.
(JПочинаючи з деякого номера п0, виконуються нерівності
45.14. 1) 0. Вказівка. Скористайтеся теоремою про двох конвоїрів і
нерівностями 0 < < — . Інший спосіб розв'язування може спирати-
5 5
ся на теорему 45.8 і рівність хП = 2) 0; 3) 0; 4) 0. 45.15. 3) Вка-
V 25
зівка. Маємо хя =—-—. 45.16. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад,
' /І"]"
407](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-407-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
46.15. 1) 4; 2) 1. 46.16. 1) 6; 2) 46.17. Ні. Вказівка. Розгляньте,
наприклад, послідовність (а„) із загальним членом а„ = (-1)".
46.18. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, послідовність (х„), за-
дану формулами: xSi = 2, х2і., = 3, і є N. 46.19. Ні. Вказівка. Роз-
гляньте, наприклад, послідовність (х„), задану формулою хн - п.
46.20. Ні. Вказівка. Якщо 1ітх я =х, то 1ітхя+1 = х і
ft К. п—» ™
lira х2
+ 4х„ + 3 = х2
+ 4х + 3. Маємо рівняння х — х2
+ 4х + 3, яке не
має розв'язків. 46.22. Так. Вказівка. xn = Sn ~ S„ ,,1. 46.23. .
З пш
ґ n Y00
46.24. ——. 46.25.0. Вказівка. Скористайтеся рівністю
2 2" )
1 1 1
46.26. 1) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю
fc-(fc + I) k № + 1)'
2) і . Вказівка. Скористайтеся рівністю 1г
+ 2а
+...+л2
- +
- ;
З 6
3) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю k'h = (k + 1)! - kl. 46.27. 1) 1.
Вказівка. Скористайтеся рівністю + ^ |' Вказівка.
Скористайтеся різностями kz
- 1 = (k — l)(ft2
4*ft+ l)t (ft + 1)" -f- 1 =
= (k + 2) ((A + l)2
- (ft + 1) + 1) = (k + 2) (ft3
+ ft + 1); 3) Вказівка.
4
Скористайтеся рівністю І3
+2'+,.. + ля
= ----'^ÜÜL. 46.28. Вказівка.
4
2л+ 1 х
При|х|>1 /(x)=lim -—5~ = lim * *
n->"l + X »->- ^ - + 1 lim І І- + 11 !im --+liml
Тому / (x) = X при I X I > 1. Розглядаючи інші випадки, маємо
f ( x ) = 0 при I X I < 1, f(1)=|, f (-1)=-|. 46,29. 1) Розбіжна. Вказів
ка. Якщо limsin6n = a, то lim sin 6 (л+1) = a і lim sin 6(л-1) = a. Тоді
Я —> ео П ") 71 —>00
ліва частина рівності sin 6 (л + 1) sin 6 (л - 1) = 2 sin 6л • cos 6 пря-
мує до 2а, а права — до 2a cos 6. Отже, а = 0. З рівності sin 6(л + 1) -
- sin 6 (л - I) =2 sin 6 • cos 6л знаходимо, що lim cos6л = 0. Але тоді
л —,
lim (cos2
6л+sin2
6л) = lim cos2
6л + lim sin2
6л = 0; 2) розбіжна. Вказів
Л-*« Л — Л - * м
ка. Якщо lim X.-а, то lim sin n = lim (x„-x ,) = a-a = 0. 46.30. Iii.
rl-»« И
47.1. 1) Ні; 2) так. 47.2. Так. 47.3. Так. 47.4. Ні, Вказівки. Якщо
кожний з відрізків [ай; містить точки х і у (х ц), то коткішії
з відрізків [а6; ftj містить відрізок [х; у]. 47,5. Iii. Нка.ііпкп.
4 0 9](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-409-320.jpg)
![Відповіді та вказівки до вправ
Розгляньте, наприклад, послідовність (0;1) з |о; ^J z> |0; з
47.8. 1) Вказівка. Для доведення обмеженості послідовності (а„) ско-
ристайтеся нерівністю gn^ і <
j r ; Вказівка. Доведіть, що 1 <
при п > 4; 4) Вказівка. Доведіть, щ о а„ > о„ т , . 47.9. 1) Вказівка. Ско-
ристайтеся нерівністю — < — 3 ) Вказівка. Скористайтеся нерів-
3 — 2 З
ніс™ А+А+А+...+—-—-4-+A-+A-+А-+...+ 1
І2
З2
52
" ' (2л-І)2
І2
22
З2
42
" " (2л -2)2
(2п І)2
47.10. ^ Ф - . 47.11. 47.12. 47.13. * „ t l =
2 2 ла " n t l
л + 1 "
47.14. Ні. Вказівка. Послідовність (а„) є зростаючою. Якщо (а„) — об-
межена послідовність, то за теоремою Вейєрштрасса існує границя
Ііш а„ =а. Переходячи в рекурентній формулі до границі, маємо рів-
няння а = а+ яке ве має розв'язків. 47.15. Ні. Вказівка. Маємо
а
З
ал+] - 2ап -і , а„ > 0. Тому послідовність (а„) є зростаючою. Якщо
(а„) — обмежена послідовність, то за теоремою Вейєрштрасса існує
границя ltma„=a. Переходячи в рекурентній формулі до границі,
П -*оо
маємо рівняння а = 2а, звідки а = 0. Але границя зростаючої послі-
довності невід'ємних чисел не може дорівнювати нулю. 47.16. Ні.
47.17. Вказівка. Нехай хп є [a; t>] для всіх н е N. Послідовно розби-
ваючи побудовані відрізки навпіл, отримайте послідовність вкладе-
них відрізків [а; Ь э [at; ft,] з [а2; 62] z> ..,, кожний з яких містить
нескінченну кількість членів послідовності (х„). 47.18. Вказівка.
Використовуючи метод математичної індукції, неважко показати, що
а„ є (0; 1) для всіх л є N. Послідовність (Ь„) — зростаюча. Оскільки
о;=в»-а„ г » т о
К = а
ї + а
% +
—+а
п =(о1 -а2 )+(аг -а8 )+... + (ав-оя+1) =
= а,-а„+ 1 <а,. Отже, (Ь„) — обмежена послідовність. За теоремою
Вейєрштрасса існує границя Ііш Ь„<а1< 1. 47.19. Вказівка. Викорис-
товуючи нерівність Коші, покажіть, що 0 < а„ < Ь„ для всіх л є N.
Далі доведіть, що а„ < а„+ 1, bn +l ^ Ьп. Звідси а, < ап< b„< bt. Отже,
(а„), (Ьп) — монотонні і обмежені послідовності. За теоремою Вейєр-
штрасса існують границі lira а = а, Ііш Ь, = Ь. Переходячи в обох
J7-+» її—»»
- І. а
п+к • ь а + Ьчастинах рівності Ьп+1 = -*- Д° границі при п —» маємо Ь=- .
Тому а = Ь. 47.20. Вказівка. Доведіть нерівності "'Уп < 2,
і скористайтеся ними. 47.22. 1) yfe; 2) е5
; 3) -. 47.23. 1. Вказівка.
є
410](https://image.slidesharecdn.com/10ampogl-161102120228/85/10-a-m_pogl-410-320.jpg)
10 a m_pogl
- 1. А. Г Мерзляк Д. А. Номіровський В. Б. Полонський М. С. Якір АЛГЕБРА I ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Підручник для 10 класу з поглибленим вивченням математики Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Харків «Гімназія» 2010
- 2. УДК [373.5 : 372.85Щ512.1 + 517.1] ББК 22.141я721.6 М52 Рекомендова но Міністерством освіти і науки України (лист від 09.08.2010 № 1/11-7525) Мерзляк А. Г. М52 Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. з поглибле- ним вивченням математики / А. Г. Мерзляк, Д. А. Поміров- ський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — X . : Гімназія, 2010. — 415 е.: іл. ISBN 978-966-474-103-0. УДК [373.5 : 372.851Ц512.1 + 517.1] ББК 22.141я721.6 © А. Г, Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський. М, С. Якір. 2010 © С. Е. Кулигшч, художнє оформлення, 2010 ISBN 978-966-474-103-0 © TOB TO «Гімназія», оригінал-макет, 2010
- 3. І Від авторів ЛЮБІ ДЕСЯТИКЛАСНИКИ! Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет — алгебру Г початки аналізу. Цей предмет надзвичайно важливий. Мабуть, немає сьогодні такої галузі науки, де б не застосовувалися досягнення цього розділу математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи, географи та економісти, навіть мовознавці та історики викорис- товують «математичний інструмент». Алгебра і початки аналізу — корисний і дуже цікавий пред- мет, який розвиває аналітичне і логічне мислення, дослідницькі навички, математичну культуру, кмітливість. Ми маємо надію, що ви не розчарувалися, обравши нелегкий шлях навчатися в математичному класі. У цьому навчальному році ви продовжите вивчати математику за поглибленою програ- мою. Це не просто. Потрібно бути наполегливим і завзятим, уваж- ним і акуратним, при цьому найголовніше — не бути байдужим до математики, а любити цю красиву науку. Сподіваємося, що ви з інтересом будете засвоювати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Підручник розділено на шість параграфів, кожний з яких скла- дається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом. Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикла- дами розв'язування задач. Ці записи можна розглядати як один з можливих зразків оформлення розв'язання. До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв'язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особливо ті, які позначено зірочкою (*)). Якщо після виконання домашніх завдань залишається віль- ний час і ви хочете знати більше, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там, є непростим. Але тим цікавіше випробувати свої силиі Крім того, у підручнику ви зможете прочитати оповідання з іс- торії математики, зокрема про діяльність видатних українських математиків. Назви цих оповідань надруковано синім кольором. Дерзайте! Бажаємо успіху! З
- 4. Від авторів ШАНОВНІ КОЛЕГИ! Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з поглибленим вивченням математики — робота нелегка. Організація такого навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який фор- мує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається. У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний ма- теріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв'язати не- можливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зруч- ніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні. Червоним кольором позначено номери задач, що рекоменду- ються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв'язувати усно. Бажаємо творчого натхнення й терпіння. І Умовні позначення завдання, що відповідають початковому і середньому рівням навчальних досягнень; п завдання, що відповідають достатньому рівню на- вчальних досягнень; ті" завдання, що відповідають високому рівню навчаль- них досягнень; п* задачі для математичних гуртків і факультативів; О—иг задачі, у яких отримано результат, що може бути використаний при розв'язуванні інших задач; Д, закінчення доведення теореми; • закінчення розв'язування прикладу; рубрика «Коли зроблено уроки».
- 5. ПОВТОРЕННЯ Й СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ З КУРСУ АЛГЕБРИ 8-9 КЛАСІВ Задачі на повторення курсу алгебри 8-9 класів Вправи Перетворення раціональних виразів 1.1. Спростіть вираз , п „ ( a + 5 а + 7 Va-9 7 + а 1.2. Спростіть вираз - — — — — + ? — - + ——. ^ ґ Ца-9)(а + 9) (a~9)2 JW + 3/ 9 +а 1.3. Спростіть вираз * У f — — 2 •f-+-l * {(х + у)2 U у2 J (x + yf U У J ) 1.4. Спростіть вираз і і (а -1 b2 + b 1 : - і 1 + b-bs -b4 1-а 1.5. Доведіть тотожність х~ + У +( x - y f + x y f х6 +уь + х У + х 2 у 3 у 1 ^ ^ (X + у)2 - ху {(X3 - у*)(х* + у3 +хг у + ху2 )) 1.6. Доведіть тотожність •ІЬЇЇ-ЇЬ-йГ-«-*а + Ъ 5
- 6. § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів 1-х 1-у 1-г 1.7. Доведіть тотожність — — — — + — ^ — = 1. xy + yz + zx 1 1 х у г 1.8. Спростіть вираз —, „ — + —ъ— r — +—; r- (x2 +lf-x2 х*(х + 1?-1 Xі -(х + 1)2 х2 -х+1 , 2х(х-1)2 2х2 (лт3 -1)2 1.9. Спростіть вираз — +—; 5— + —5 - . х + х + 1 х + х +1 х8 +ж4 +1 1.10. Спростіть вираз Ьс , са , ab 2abc (a + ö)(a + c) (b + c)(b + а) (с + а) (с + ft) (b + c)(c + a)(a + b) 1.11. Доведіть тотожність b-c . с-а . a-b 2 + _ 2 _ + 2 (а -ft)(а - с) (ft - с) (b - о) (с - а) (с - Ь) а-b Ь-с с-а 1 1 2 4 2" 1.12. Спростіть вираз —!— + —=— + — — + —-—. 1-6 1 + 6 1 + Ьг 1 + ft4 i +b2n 1.13. Відомо, що а2 - а - 1 = 0. Доведіть, що 1.14. Доведіть, що коли а + b + с = 1, —+ ^ + - = 0, то a b с а2 + Ьг + с2 = 1. 1.15. Доведіть, що коли — +Ц- + - = 1 і - + — + - = 0, то a b с х у г а2 Ъ2 с2 1.16. Розкладіть на множники вираз je2 (у~г) + у2 (г - X) + z2 (х - у). 1.17. Розкладіть на множники вираз я (уг - Z2 ) + у (г2 - X2 ) + г {х2 - у2 ). 1.18. Попарно різні числа а, Ь, с такі, що а + ^ = & + - = с . b с а Доведіть, що I abc j = 1. Перетворення виразів, які містять квадратні корені 1.19. Знайдіть значення виразу (>/28 - Vl2) • л/lO+-s/84. 1.20. Знайдіть значення виразу * » U / S 11). W 6 + 1 n/6-2 З-л/бУ б
- 7. 1. Задачі на повторення курсу алгебри 8'9 класів , О - - Ä1.21. Знайдіть значення виразу ,— - ••••—-—j . V2V2 + 3 272-3 1.22. Знайдіть значення виразу t .23. Знайдіть значення виразу 1.24. Знайдіть значення виразу 1.25. Знайдіть значення виразу +^/l3-4>/3. 1.26. Знайдіть значення виразу (2-л/б)/з + 4ь + ^/7-3 л/б. 1.27. Доведіть, що (4 + л/Гб) = 1.28. Доведіть, що х / з ^ Ж ( з + л^)(х/Ї0-72) = 8. 1.29. Доведіть, що + . / 9 , 4 ^ 4 + V5 1.30. Доведіть, що f p j ^ ^ H ^ S ^ . V27 -3vl8 + 3vl2-v8 1.31. Знайдіть значення виразу Js + 2 ^10 + 2 ^ + ^ 8 - 2 ^ 1 0 + 2 Ж . „ „_ r) „ . aJä + byfb , 2>/& 1.32. Знайдіть значення виразу 7-j»—j=r +—в—j= -. We+VfeJ(a-ft) л/a + Vö 1.33. Знайдіть значення виразу VWa + Vi»/ У a-Ja-b-Ja 1.34. Спростіть вираз [Va8 -2a2 + a + j. , , , „ . ( 1 + Vl-* , 1-УІ1 + Х Y дсг -1 . -, 1.35. Спростіть вираз ; = + : т — —-— + 1. U - * + Vl-JC 1 +де-vl + ж / 2 1.36. Знайдіть значення виразу "ІЇ** • І-ґ-Л^ТЇ-і), якщо 0 < X < 1, ,л/і + JC —Jl-x УІЇ 1.37. Спростіть вираз -X2 +X-IJ a + V2a+2 J
- 8. § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів 1.38. Знайдіть значення виразу ^ ^ — .. ^ г~2+ і якщо 0 < Ь < 1. 1.39. Спростіть вираз а + Ь а + Ь Ь а ^ yja + b-2 yfab yfä + yfba ~b b-yfäb yfäb+a) 2 l + [a + Ja2 -lf ib + ylb2 -lf1.40. Спростіть вираз (a + Vaz -l)(t> + Vf>2 -l) 1.41. Спростіть вираз b 2 - B b - ( b - l ) ^ l + 2 Е ? п р и > 2 f»2 + 3&-(Ь +1)Vb2 -4+2 Vfc-2 1.42. Знайдіть значення виразу Iа + 2 fa~l а + 2 yja-l a-2yja~l Va2 -4a+ 4 і ло n . Jx + 4lx-4 + Jx-4.yJx-4 1.4d. Спростіть вираз — v f MX Раціональні рівняння і нерівності 1.44. Розв'яжіть рівняння: 1) _J> 4 1 х2 -4х + 4 Х2 -4 Х + 2 2 ) 1 + - ^ - + 2 7 Є х + 4 2xz + 7х - 4 2х-1' х + 1 , х-2 , х-3 , х + 4 . 1 1 1 = 4; х-1 х + 2 х + 3 х-4 X 2 + 4х + 4 2х + 6 х2 + * + 1 2х + 9 4) х+4 х+2 х+1 х + 3 ' 5)|х + 2| + | х - 3 | = 5; 6) j 2* + 5 І = І je І + 2; 7 ) | * - 1 | - 2 | * - 2 | + 3 | * - 3 | = 4. 1.45. Розв'яжіть рівняння: Зх 5 1 1) *3 -1 4хг +4х + 4 2 (1 - х)' X | Зх + 1 X + 34 _Q. 2х2 +12х + 10 4х2 +16Х-20 х3 +5х2 -х-5~ ' 8
- 9. 1. Задачі на повторення курсу алгебри 8~9 класів п, 2х-1 , Нх-1 х - 1о) — + — = - + 4; х+1 х+2 х - 1 .. xz +2x + 2 , хг +8х + 20 х2 +4х + & , х2 +6х+124 І 1 — }- * х + 1 х + 4 х + 2 х + 3 * Ь ) І х~2 | - 1 А ' 6 ) | | 8 - ж | - * + 1 | + * = 6. 1.46. Розв'яжіть рівняння: 11 4 а 2х а - 2 4а - 2а2 _ п ' х-3 2 ' ' 2х + а 2х-а 4х2 -а2 1.47. Розв'яжіть рівняння —- = . х2 -16 х-4 4 + х 1.48. Розв'яжіть нерівність: 1) (х2 - 6х + 5) (3* - І)2 > 0; 2) (X2 - 6х + 5) (Зх - І)2 < 0; 3) (де2 — X ~~ 2) (х2 - 4х + 3) > 0; (х + Щх-2)4 (х+3) „} (х-7)(1-3х) >{Г ' Сч х3 + х2 +3х + 3 ^ п — р — і хг -6х + 7 І «І(х-2)3 6 ) х + 3 ( х - 4 ) > 0 ' 7) (д; + 7) л/jc + л:2 -20 > 0; 9) х + 1 х - 4 Ю) Х + 1 1 — JC- 11) (X2 + Зх + 1) (х2 + Зх - 3) > 5; 2х + 3 х2 +3х 12) (хг + 3х)(2х + 3)-16. 2 f + „3 > 0 ; 13) a g + ' v 1 | > n 14) (1±4<2±ї)>-3х; х X J — 2 15) 1 х2 - Зх | + х - 2 < 0; 16) ] х2 + Зх ] > 2 - X 2 . 9
- 10. § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів 1.49. Розв'яжіть нерівність: 1) (Xі - 10* + 9) (Ах + І)2 > 0; 2) (х2 - IOjc + 9) (4* + І)2 < 0; 3) (х2 - 6* + 8) (X2 - 4) > 0; 4) * ! + 2 x 2 + 5* +10 ,.. 0 . х2 -х~6 5) х-2 X х+2 6) (х2 - X - 1) (X2 - X - 7) < -5; 7) (x2 -2x){2x-9)-9-^f^ <0; X -ЇХ 8) ^ ± І І > 1 ; 10) « Ц ^ Ш ^ - Я * 11) х2 - 2х - 3< Зх ~ 3; 12) I X2 + Ах + З І > а; + 3. 1.50. При яких значеннях параметра а рівняння (а + 4) X2 + (а + 4) ж + 3 = 0 має корені? 1.51. При яких значеннях параметра а рівняння (а + 3) ж2 + (а2 + За) х + 1 - 0 має один корінь? 1.52. Знайдіть значення параметра а, при яких сума коренів рів- няння X2 ~ (а2 - 4а + 3) X + а - 2 = 0 дорівнює нулю. 1.53. При яких значеннях параметра а різниця коренів рівняння (а - 2) X2 - (а - 4) * - 2 = 0 дорівнює З? 1.54. При яких значеннях параметра а різниця коренів рівняння 2*2 - ( a + l)jc + o — 1 = 0 дорівнює їх добутку? 1.55. При яких значеннях параметра а нерівність (а + 4) х2 - - 2ах + 2а — 6 < 0 виконується при всіх значеннях х? 1.56. При яких значеннях параметра а нерівність (а2 - 1) х2 + + 2 ( а - 1 ) л ; + 2 > 0 виконується для будь-якого значення х? 1.57. При яких значеннях параметра а нерівність (а - 3) х2 - - 2аX + За - в > 0 виконується при всіх значеннях ж? 10
- 11. 1. Задачі на повторення курсу алгебри 8~9 класів 1.58. При яких значеннях параметра а один з коренів рівняння Зах2 - 2х - За - 2 = 0 більший за 1, а другий менший від 1? 1.59. При яких значеннях параметра а корені і х2 рівнян- ня 2х2 - 2 (2а + 1) X + а (а + 1) = 0 задовольняють умову Xv < а < х21 1.60. При яких значеннях параметра а корені рівняння х2 - 2ах + + а2 - а = 0 належать проміжку [-2; 6}? 1.61. При яких значеннях параметра а нерівність ах2 - 4х + 4а > 0 виконується для всіх додатних значень х? 1.62. При яких значеннях параметра а нерівність х2 + ах - 7а < 0 виконується для всіх X з проміжку (1; 2)? 1.63. При яких значеннях параметра а всі розв'язки нерівності ах2 - 2х - а (а2 + 2) < 0 задовольняють нерівність х2 < 9? хг -ах + 1 х2 + х + 1 <31.64. При яких значеннях параметра а нерівність виконується для будь-якого значення X? 1.65. Знайдіть усі значення параметра q такі, що для будь- якого значення параметра р рівняння х2 + рх + д = 0 має розв'язок. 1.66. Розв'яжіть рівняння: 1) (х2 + 2xf - (je + І)2 = 55; 2) (X2 + х + 4)2 + 8х (х2 + X + 4) + 15х2 = 0; 3) (ж - 2)4 + (X + 2)4 - 82; X2 X 5х __ 3. х2 + х + 3 х2 — 5х +З 2' 7) х2 + - ^ - , = 11. (х + 5)2 1.67. Розв'яжіть рівняння: 1) (х2 - 5х + 7f - (х - 2) (X - 3) = 1; 2) 5 (X2 + 2х)2 - 11 (хг + 2х) (X2 + X + 1) + 6 (х2 + ж + І)2 = 0; 3) я (X + 3) (х + 5) (х + 8) + 36 = 0; 4) (х2 + X + І)2 = X2 (Зх2 + * + 1); Q 2 5) X2 + г =16. (х + 3)2 11
- 12. § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів Властивості функцій 1.68. Знайдіть область визначення функції: 1) У = V l 7 - l 5 x - 2 x ^ х + 3 2) у = УІ12х2 -4х3 -9х-у]2-х. 1.69. Знайдіть область визначення функції: Г 7 - , . І4х2 -19х + 12 ' 2) у = ij X -11 (Зх—6) + -х2 +4х-2і'- 1.70. Знайдіть область значень функції: 1) у = ~~і 3) у = УІх2 + 2х + 2; X Т ^ 2) у = х + - 4) и = 5-л/жг -6ж + 10. 1.71. Знайдіть область значень функції: 1 } 3 ) 2) = х + 4) y = 3-Vxa -2x + 2. 1.72. Знайдіть найбільше і найменше значення функції 1 У • X -4х + 10 1.73. Знайдіть найбільше і найменше значення функції 2 JX — 6х +11 1.74. Знайдіть: 1 X2 1) max 2) min , де М = (-«; -1) U (1; +«). к х2 + 2 м , / х 2 - 1 1.75. Знайдіть: 11) min- и -х'Чгх-з 2) max {yf2—x + л/х+ї), де М = [ - 1 ; 2]. м 1.76. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше і найменше значення функції f на множині М : 1) f (х) = X2 + 4х + 5 а , М = [-1; 1]; 2) f (х) = X2 - 4х, М = [-1; а], де а > -1. 12
- 13. 1. Задачі на повторення курсу алгебри 8~9 класів 1.77. Для кожного значення параметра а знайдіть найбільше і найменше значення функції f на множині М: 1) f (х) = -ж2 + 6* - 2 а , М = [0; 4]; 2) f (х) = 2X - X2 , М = [а; 2], де а < 2. 1.78. Розв'яжіть рівняння -fx +2лІх + 3 +Jx + S =8. 1.79. Розв'яжіть рівняння Злг2 + Vx-1 + 2 -Jx + 2 =17. 1.80. Розв'яжіть рівняння | х | + j х-2 + У!Х-1=2. 1.81. Розв'яжіть рівняння 2х^Ах-х2 =хг + 4. 1.82. Дослідіть на парність функцію: І 2 Х - 1 Н | Ї ± 1 ] ! , | , М Г * -4 л/1-jc-Vl + jf 1.83. Дослідіть на парність функцію: 14 X5 1) y~-f==— V2-je - л/2 + дг 2) у = ^ + і—j-; (4л:-2)5 (4x + 2)s 2л:+ 1 2х-1 3) у = —; j . х -Зх + 1 х +3х + 1 1.84. Відомо, що D (f) = 3L Доведіть, що функції у = f (лс) + f (-лг) і у = f (х) • f (-х) є парними, а функція у - f (х) - f (-х) — непарною. 1.85. Побудуйте графік функції: 1)г/ = (|*|-1)2 ; 4) У=уІх+2-1; 2) y = Jl-x j; 5) у= VI* 1-2-11; 3) 6) і,=|>/аГТ-2|. 1.86. Побудуйте графік функції: 1 } V = W T 2 ; 4)у = ( | х - 2 | + І)2 ; 2) И 1 Х — 4 5) 1 - 2 1 з) У=ІХ+|_2; 6) Ї/=|72^П-2|Я 13
- 14. § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів 1.87. На рисунку 1.1 зображено графік квадратичної функції у = ах2 + Ьх + с. Визначте знаки коефіцієнтів a, Ь і с. % а) б) Рис 1.1 1.88. На рисунку 1.2 зображено графік квадратичної функції у = ах2 + Ьх + с. Визначте знаки коефіцієнтів а, Ь і с. 1.89. Установіть, скільки коренів залежно від значення параме- тра о має рівняння j х2 - 6 | х + 8 | = а. 1.90. Установіть, скільки коренів залежно від значення параме- тра а має рівняння |jc2 + 2 | j c - 2 j - 4 | = a. 1.91. Чи є правильним твердження, що на рисунку 1.3 зображено параболу у = ах2 + Ьх + с і пряму у = Ьх + с? І ' У1 1[СУа) б) Рис 1.2 Рис 1.3 1.92. Знайдіть найбільше і найменше значення функції 4х 24х (х* + 1)2 х4 + + 1. Рівняння і нерівності з двома змінними 1.93. Розв'яжіть рівняння: 1) ІЗх2 - 12ху + 4у2 -4х+1^0; 2) | у + 2 = УІ4-Х2 . 14
- 15. 1. Задачі на повторення курсу алгебри 8'9 класів 1.94. Розв'яжіть рівняння: 1) ж2 + 2Ьу2 - 6ху - 24і/ + 9 = 0; 2) 9-х2 = V3 + I У І- 1.95. Побудуйте графік рівняння: 1) (X - 3)г = (у + 5)2 ; 5) І у - З І + I X | = 1; 2)х2 у = у-, 6)х-3 = уІ9-у2 ; і г 3) x + 2 = Jy-l; 7) = 1-х 4) І {/-І [ = л/х; 1.96. Побудуйте графік рівняння: 1) (X - І)2 = (X + 2у)2 ; 5)|у + 11 + | ж - 2 | = 2; 2)ху = х2 -, 6) (I X І - І)2 + (і ^ І - З)2 = 4; 3) x+a-JfFH: = 4) |jr|-l = >£; г / 2 - 1 1.97. Побудуйте графік нерівності: 1) X > І у + 2 І - 2; 3) (X + у) | у > 0; 2) I X [ < І у2 - 2у І; 4) (х2 + у2 - 1) у2 < 0. 1.98. Побудуйте графік нерівності: 1) у < I X - З І + 1; 3) (X - у) [ X І < 0; 2 ) | х - 2 | - | і / + і | > 2 ; 4) х * + у ' ~ 1 > 0 . У 1.99. Зобразіть на координатній площині ху множину розв'язків системи нерівностей: х + 2у>1, „ч |х2 + у2 <1, 1) і 2 ) , 1.100. Зобразіть на координатній площині ху множину розв'язків системи нерівностей: f * 2 + y 2 < 4 ,[ц + х-2 >0, 1) Г 2) [x-3j/<l; 1.101. Побудуйте графік нерівності: У>х +1. х < 6 1.102. Побудуйте графік нерівності: 1) Jx-2y>Jx+y; 2) X< —. у 1) 42х-у<4^у-, 2) у>~—. 15
- 16. § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8~9 класів Метод математичної індукції 1.103. Доведіть, що 1.2.3 + 2-3-4+ 3-4.5+ ...+ П ( П + 1 ) ( П + 2 ) = Д ( л + 1 ) ( " + 2 ) ( П + 3> -4 1.104. Доведіть, що - + — + - + ...+ г + —:— = 3 . ^ 2 4 8 2 2" 2" 1.105. Доведіть, що 1.106. Доведіть, що 5"+ 2 + 62л + 1 І 31, п є N. 1.107. Доведіть, що 7 • 52 " + 12 • 6" і 19, п є N. 1.108. Доведіть, що 14-3" + 9 - 7гп : 23, п є N. 1.109. Доведіть нерівність 2" > 2п, п є N, п > 3. 1.110. Доведіть нерівність 2"+ 4 > (п + 4)2 , п є N. 1.111. Доведіть нерівність 3" > п3 , п є N, п > 4. 16
- 17. 2. Висловлення та операції над ними ш ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ Висловлення та операції над ними У фізиці, хімії, біології, економіці, соціології тощо про істин- ність висновків можна судити, ґрунтуючись на результатах спо- стережень та експериментів. У цьому аспекті математика — наука іншого роду. Наприклад, те, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, неможливо встановити лабораторним шляхом. Істинність математичних тверджень може бути доведена лише в результаті логічно бездоганних міркувань. Науку, яка вивчає такі математичні доведення (логічно без- доганні міркування), називають математичною логікою. Отже, математична логіка вчить, як треба міркувати, щоб отримувати правильні висновки. Міркуючи, ми формулюємо свої думки у вигляді тверджень. Розглянемо приклади. 1. Якщо трикутник рівносторонній, то центри його вписаного і описаного кіл збігаються. 2. Новела М. Коцюбинського *Intermezzo» надто складна для сприйняття. 3. Число я є раціональним. 4. Леонід Каденюк — перший космонавт незалежної України. 5. Число п є простим. Твердження 1 і 4 є істинними, твердження 3 — хибним. Твер- дження 2 і 5 не можна віднести ні до істинних, ні до хибних. Будь-яке твердження, відносно якого має сенс говорити, що воно істинне або хибне, називають висловленням. Отже, твердження 1, 3, 4 є висловленнями, а твердження 2 і 5 висловленнями не є. Висловлення позначають великими літерами латинського ал- фавіту: А, В, С, D тощо. 17
- 18. § 2. Елементи математичної логіки Наприклад, пишуть: А = {Київ — столиця України}; В s {5 > 7}; С = {число 2 просте}. Будь-яке висловлення є або істинним, або хибним. Якщо ви- словлення А є істинним, то говоритимемо, що йому поставлено у відповідність число 1, якщо висловлення А хибне — то число 0. Таким чином, якщо задано деяку множину висловлень, то можна розглядати функцію f, областю визначення якої є ця мно- жина, а областю значень — двоелементна множина {0, 1}. Таку функцію f будемо називати функцією істинності. Наприклад, якщо А = {10 і 5}, то f (А) = 1. За допомогою логічних зв'язок, а саме слів «і», «або», «якщо ..., то», «тоді і тільки тоді, коли...» тощо з наявних висловлень можна будувати більш складні висловлення. Наприклад, якщо задано два висловлення А • {5 >3}, В з {5 = 3}, то висловлення С = {5 > 3} утворено з висловлень А і Л за допо- могою сполучника * або». Ще один приклад. М ж {У Галини Василівни у городі росте бузина}, N = {У Галини Василівни в Києві живе дядько}. Утворимо висловлення виду «якщо М, то N*. Маємо: {якщо у Галини Василівни у городі росте бузина, то у неї в Києві живе дядько}. Цей приклад показує, що нові висловлення можна утворювати з таких висловлень, які не зв'язані між собою за змістом. Розглянемо висловлення С = {10 і 5 і 10 і 2). Воно складене з двох висловлень: А = {10 : 5} і В = {10 : 2} за допомогою спо- лучника «і». Висловлення С називають кон'юнкцією висловлень А і В. О з н а ч е н н я . Кон'юнкцією (або логічним добутком) двох висловлень А і В називають висловлення, яке є істинним, коли кожне з висловлень А і В істинне, і є хибним, коли хоча б одне з них хибне. Кон'юнкцію висловлень А'і В позначають так: А А В (читають: «А і В» або «А кон'юнкція В»). Повертаючись до прикладу, розглянутого вище, можна сказа- ти, що висловлення С є висловленням А А В. Також говорять, що висловлення С отримано з висловлень А і В у результаті логічної операції кон'юнкції. 18
- 19. 2. Висловлення та операції над ними Зрозуміло, що істинність або хибність висловлення А Л В належить від істинності або хибності висловлень А і В. Цю за- іісжність зручно представити у вигляді таблиці, яку називають таблицею істинності. Так, таблиця істинності для логічної опе- рації кон'юнкції має такий вигляд: А в А Л В 1 X X X 0 0 0 X 0 0 0 0 Функцію, яка впорядкованим на- борам з чисел 0 і 1 ставить у відповід- ність число множини {О, X}, називають булевою функцією. Таблиця істинності задає булеву функцію. Кон'юнкція відповідає логічній зв'язці «і». Визначимо низку інших логічних операцій, які відповідають найбільш вживаним способам утворен- ня висловлень у звичайній мові. О з н а ч е н н я . Диз'юнкцією (або ло- г і ч н о ю с у м о ю ) двох висловлень А і В називають висловлення, яке є іс- тинним, коли хоча б одне з висловлень А або В істинне, і є хибним, коли вони обидва хибні. Диз'юнкцію висловлень Аі В позна- чають так: Л V В (читають: «А або В* або «А диз'юнкція В»). Нехай А = {у понеділок першим уроком в розкладі є фізика}, В з {у понеділок першим уроком в розкладі є математика}. Тоді А V В = {у понеділок першим уроком в розкладі є фізика або математика}. Наведемо таблицю істинності для диз'юнкції: Джордж Буль (1815-1864)— англійський математик, засновник математичної логіки А в А V В X X 1 1 0 X 0 X X 0 0 0 19
- 20. § 2.Елементиматематичної логіки Більшість теорем мають таку логічну структуру: якщо виконуються деякі умови, то можна зробити певний висновок. Логічну зв'язку «якщо..., то» вживають і в інших науках, а також у повсякденному житті. Визначимо відповідну логічну операцію. О з н а ч е н н я І м п л і к а ц і є ю (або логічним с л і д у в а н н я м ) двох висловлень А і В називають таке висловлення А => В (чи- тають: «якщо А, то В»), яке є хибним за умови, що висловлен- ня А істинне, а висловлення В хибне, а в усіх інших випадках воно істинне. В імплікації А В висловлення А називають умовою, а ви- словлення В — висновком. Наведемо таблицю істинності для імплікації: А В А =» В 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Зауважимо, що перші два рядки цієї таблиці повністю від- повідають нашому побутовому розумінню слова «слідує» («ви- пливає»): якщо з істини слідує істина, то це правильно (перший рядок таблиці); якщо з Істини слідує хибність, то це неправильно (другий рядок таблиці). Третій і четвертий рядки показують, що імплікація не повніс- тю відповідає логіці, якої ми дотримуємось у побутовій розмовній мові. Навряд чи у повсякденному житті ми керуємося таким: «якщо з брехні випливає істина або з брехні випливає брехня, то такі висловлення істинні». Наприклад, у силу означення імплікації кожне з висловлень {якщо 2 X 2 - 5, то Дніпро впадає в Чорне море} і {якщо 2 x 2 = 5, то "Дніпро впадає в Біле море} є істинним. Разом з тим зрозуміти доцільність прийнятого означення імплікації допомагає такий приклад. Твердження «Якщо X : 10, то х : 5» безумовно істинне в усіх випадках. 20
- 21. 2. Висловлення та операції над ними Якщо підставити х = 1, то отримаємо істинне висловлення: «Якщо 1 : 10, то 1 і 5», яке ілюструє четвертий рядок таб- .1(11 ці. • Якщо підставити х ~ 5, то отримаємо істинне висловлення: «Якщо 5 і 10, то 5 : 5», яке ілюструє третій рядок таблиці. п т а ч е н в я . Е к в і в а л е н т н і с т ю (або подвійною імпліка- цією) двох висловлень А і В називають висловлення, яке є іс- тинним, коли обидва висловлення А і В істинні або обидва хибні, і є хибним, коли одне з них істинне, а інше хибне. Еквівалентність висловлень А і В позначають так: А <=> В (чи- тають: «А еквівалентне В» або «А тоді і тільки тоді, коли В»). Наведемо таблицю істинності для еквівалентності: А В А « В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Розглянемо два висловлення: А = {2 = 5} і В = {2 > 5}. Еквівалентність А <=> В = {2 - 5 тоді і тільки тоді, коли 2 > 5} є істинним висловленням, оскільки обидва висловлення А і В є хибними. Розглянемо логічну операцію, яка відповідає частці «ні» у звичайній мові. Означення. Запереченням висловлення Л називають вислов- лення, яке є істинним, коли висловлення А хибне, і є хибним, коли висловлення А істинне. Заперечення висловлення Л позначають так: А (читають: «не А>> або «неправильно, що А»). Наведемо таблицю істинності для заперечення: А А 1 0 0 1 Комбінуючи між собою логічні операції, можна отримати логічні вирази. 21
- 22. § 2. Елементи математичної логіки Записи А А В, (А V В) Л С, А => В, А <=> В є прикладами логіч- них виразів. ПРИКЛАД. Складіть таблицю істинності для виразу (А Л В) V С. Розв'язання. Маємо: А в с А Л В (А лВ) V С 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 І 0 0 0 0 0 О з н а ч е н н я . Висловлення А і В називають логічно еквіва- лентними* якщо вони або обидва істинні, або обидва хибні. Пишуть А = В. Іншими словами: А = В тоді і тільки тоді, коли А «=> В є іс- тинним висловленням. Покажемо, наприклад, що A=>B = A v ß для будь-яких вислов- лень А і В. Для цього складемо таблицю істинності для виразу А V В і порівняємо її з таблицею істинності для імплікації А В: А в А => В А А V В 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 І 1 1 0 0 1 1 1 Стовпці, які відповідають логічним виразам А В і A v i i , збігаються. Це означає, що ці висловлення логічно еквівалентні. Ви знаєте, що деякі властивості операцій над множинами багато в чому аналогічні властивостям арифметичних дій. На- приклад, А U В = В U А а + Ь^Ь + а 22
- 23. 2. Висловлення та операції над ними АГ В = В С А аЬ^Ьа А n (В U С) = (А П В) U (А П С) а (b + с) = ab + ас Також можна помітити певну аналогію при вивченні влас- тивостей логічних операцій. Наприклад, висловлення А V В і В V А є логічно еквівалентними, тобто А V В = В V А. У цьому легко переконатися, порівнявши таблиці істинності для виразів А V В і В V А. Також нескладно встановити, що, наприклад, АЛВ = В А А, (А AB) А С = А А(В АС). З іншими властивостями логічних операцій ви ознайомитесь, розв'язуючи вправу 2.13. Властивості логічних операцій дають змогу одне істинне висловлення замінити іншим висловленням, йому логічно ек- вівалентним. Це дозволяє будувати загальні схеми правильних логічних міркувань, що, власне, і складає предмет математичної логіки. Зазначимо, що математична логіка, як правило, не займається з'ясуванням істинності одного окремо взятого висловлення (на- приклад, визначити, чи впадає Дніпро в Чорне море — справа географії, а не логіки). Водночас питання про істинність різно- манітних логічних виразів посідає важливе місце в цій науці. Тому в математичній логіці особливу роль відіграють ті логічні вирази, які завжди є істинними, незалежно від істинності ви- словлень, з яких вони утворені. Такі логічні вирази називають тотожно істинними або тавтологіями. Розглянемо вираз A v А і складемо для нього таблицю істин- ності: А А А V А 1 0 1 0 1 1 Третій стовпець таблиці показує, що коли f — функція істин- ності, то при будь-якому А має місце рівність / ( A v A ) = 1. Отже, вираз A v A є тавтологією, яку називають законом ви- ключення третього. Цей закон є цілком зрозумілим з точки зору повсякденного досвіду. Він стверджує те, що одне з двох вислов- лень, А або А, є істинним. 2В
- 24. § 2. Елементи математичної логіки З іншими тавтологіями ви ознайомитесь, розв'язуючи впра- ву 2.14. Наголосимо, що тавтології дозволяють нам будувати істинні висловлення, тому вони найбільш цікаві для логіки. Вправи 2.1.° Які з даних речень є висловленнями: 1) 5 > 5; 2) X < 5; 3) що більше, sin 30° або cos 45°? 4) якщо чотирикутник ABCD є паралелограмом, то AB = CD; 5) число 1 не є простим і не є складеним; 6) неправильно, що 5 є дійсним числом; 7) усі кішки сірі; 8) функція g є парною? 2.2." Нехай f — функція істинності. Знайдіть f (А), якщо: 1) А = {число 2 — просте}; 2) А а {рівняння X2 + X - 1 = 0 не має коренів}; 3) А = {Нью-Йорк — столиця США}; 4) A = {V5€Q}; 5) A s {Q с К}; 6) А є {функція у = [л;] є парною}; 7) А Е {функція у = А є спадною}. 2.3.° Дано два висловлення: А = {5 < 6}, В е {6 — просте число}. Визначте, істинним чи хибним є висловлення: 1) А Л В; З ) А = > В ; 5) Ä; 2) А V В; 4) А «=> В; 6) В. 2.4.° Дано два висловлення: A s {2 = 3}, В = {2 — просте число}. Визначте, істинним чи хибним є висловлення: 1) А Л В; 3) А => В; 5) А; 2) А V В; 4) А <=> В; 6) В. 24
- 25. 2. Висловлення та операції над ними 2.5.* Нехай f — функція істинності, А і В — деякі висловлення, причому / (А) = 1. Знайдіть, де це можливо, значення функції f: 1 ) / < А А В ) ; 3) f ( A = > B ) ; 5 ) / ® . • Z ) / ( A V B ) ; A) f {А В); 2.6.* Нехай / —функція істинності, А і В — деякі висловлення, причому f(Ä)=1 . Знайдіть, де це можливо, значення функції f: 1) / (А А В); 2) f (А V В); 3) f (А => В); 4) / (А В). 2.Y.* Нехай f — функція істинності, А і В — деякі висловлення. Знайдіть f (В), якщо: 1) f (А А В) = 1; 3) f (А => В) = 1 і f (А) = 1; 2) / (А V В) = 1 і f (А) = 0; 4) / (А <=> В) = 0 і / (А) = 0. 2.8." Нехай / — функція істинності, А і В — деякі висловлення, причому /(А А В) = 1. Знайдіть: 1) f ( Ä v b ) ; 2) ^ ( А => в ) ; 3) / ( І « в ) ; 4) К в = > А ) . 2.9.* Складіть таблицю істинності для логічного виразу: 1) А=>В; 3) (А А ß) => С; 5)(АЛС)=>В. 2) (А V В) Л С; 4) (А В) Л (В V С); 2.10.* Складіть таблицю істинності для логічного виразу: 1) А V В; 3) (ВлС)=> А; 2) В=>А; 4) (ÄVB)a(BVC). 2.11.* Електричний ланцюг між точками М і N складений за схемою, зображеною на рисунку 2.1. Розглянемо висловлення: А = {елемент т ланцюга функціонує нормально}; В = {елемент п ланцюга функціонує нормально}. Визначте, чи є ланцюг замкненим, якщо відомо значення функції істинності f: 1) / (А А В) = 1; 3) / (А V В) = 0; 5)/? (ÄVB) = 0. 2) f (А Л В) = 0; 4) / ( а А ß) = 1; ЛГ0 Рис 2.1 25
- 26. § 2. Елементи математичної логіки 2.12." Електричний ланцюг між точками М і N складений за схе- мою, зображеною на рисунку 2.2. Розглянемо висловлення: А — {елемент т ланцюга функціонує нормально}; В = {елемент п ланцюга функціонує нормально}. Визначте, чи є ланцюг замкненим, якщо відомо значення функції істинності /: 1) /{Äab)=1; 2) /(Ävb) = 0; 3) f (А А В) = 1. М0 0 (пу -0N Рис 2.2 2.13.* Доведіть, що: 1) А = А; 2) А Л А = А; 3) A V A = A ; 4) А V В = В V А; 5 ) А V (В V С) = ( А V В) V С; 6 ) А Л (В V С ) = ( А Л В) V (А Л С); 2.14.' Доведіть, що логічний вираз є тавтологією: 1) А => А; 5) (А => В) V (В 7) А V (В Л С ) = ( А V В) Л ( А V С ) ; 8 ) А V В = А Л В; 9) А Л В = А V В; 10) А=>В = В=>А; 11) A « B = ( A A B ) V ( Ä A B ) . А); 2) А Л А ; 6) А А (А=їВ) =>В; 3) А Л А => В; 7) В л {А => В) => Ä; 4) А => (В => А); 8) ({А => В) л (В => С)) (А => С). 2.15.** Через операції кон'юнкції та заперечення виразіть операцію: 1) диз'юнкції; 2) імплікації. 2.16." Виразіть операцію кон'юнкції через операції диз'юнкції та заперечення. 2.17.* Деяка логічна операція * має таку таблицю істинності: А В А* В 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Виразіть операцію * через операції V, А та операцію запере- чення. 26
- 27. Коли зроблено уроки 2,18.* Деяка логічна операція * має таку таблицю істинності: А В А * В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Виразіть операцію * через операції V, Л та операцію заперечення. 2.19.* Деяка логічна операція І має таку таблицю істинності: А В А і В 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Покажіть, що'через операцію J- можна виразити диз'юнкцію, кон'юнкцію та заперечення. 2.20.* Деяка логічна операція Т має таку таблицю істинності. А в А Т В 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Покажіть, що через операцію Т можна виразити диз'юнкцію, кон'юнкцію та заперечення. Про комп'ютери, електричні схеми та теорему Поста Цікаво відзначити, що математична логіка зіграла істотну роль у створенні комп'ютерів. Напевно ви чули, що сучасні комп'ютери у своїй роботі спи- раються не на десяткову систему числення, до якої ми звикли, а на так звану двійкову систему числення, коли кожне число кодується послідовністю нулів та одиниць1 . Керування робо- 1 Технічно реалізувати таке кодування досить просто: подана на дріт напруга означає одиницю, а відсутність напруги — нуль. 27
- 28. § 2. Елементи математичної логіки тою комп'ютера здійснюється за допомогою команд, що також кодуються нулями та одиницями. Апарат математичної логіки виявився надзвичайно зручним, бо кожне логічне висловлення також характеризується нулем або одиницею. Для реалізації операцій над висловленнями у перших ком- п'ютерах використовувалися електричні схеми. Наприклад, для операцій диз'юнкції та кон'юнкції можна використовувати електричні схеми, описані в задачах 2,11 та 2.12 (у сучасних комп'ютерах електричні схеми замінені на напівпровідникові мі- кросхеми). Які ж електричні схеми відповідають іншим логічним виразам, наприклад імплікації? Чи існують такі схеми взагалі? І якщо існують, то як їх віднайти? Виявляється, для побудови електричних аналогів будь-яких (навіть найскладніших) логічних виразів можна обійтися лише схемами для диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення. Для обґрунтування цього твердження перекладемо його ма- тематичною мовою. Кожний логічний вираз має свою таблицю істинності, яка й описує його логічний зміст. Покажемо, що для довільної таблиці істинності можна віднайти логічний вираз, що використовує лише операції диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення. Розглянемо, наприклад, деякий логічний вираз F, що залежить від трьох висловлень А, Б, С і має таку таблицю істинності: А в с F 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 Бачимо, що серед значень логічного виразу F є дві одиниці (синій та червоний рядки таблиці), а решта нулі. Побудуємо логіч- ний вираз, рівний F, використовуючи лише операції диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення. 28
- 29. 3. Предикати. Операції над предикатами Для отримання одиниці при комбінації аргументів 1 , 1 , 0 (синій рядок) запишемо вираз: А AB АС. Цей вираз набуває істин- ного значення лише тоді, коли А і В — іс- тинні висловлення, а С — хибне, тобто якраз при комбінації аргументів 1,1, 0. Ана- логічно для отримання другої одиниці (чер- воний рядок) запишемо вираз: А A B АС. Тепер зрозуміло, що F можна подати як диз'юнкцію цих двох виразів: F = (А А В А С) V (Ä А В А С). Міркуючи таким самим способом, мож- на відшукати потрібні формули для най- складніших таблиць істинності. Комбінуючи відповідним чином електричні схеми для диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення, можна побудувати схему, яка відповідає довільному логічному виразу. Наприклад, для виразу F маємо: Єміль Леон Пост (1897-1954) 0 - - 0 На завершення цієї розповіді зазначимо, що математик Еміль Леон Пост знайшов прості загальні умови, які дозволяють дати відповідь на питання, чи можна довільну таблицю істинності виразити через набір даних логічних виразів. З цією чудовою теоремою ви ознайомитесь, якщо продовжите вивчати математику в університеті. Предикати. Операції над предикатами Розглянемо кілька тверджень: • ті — просте число; • число а ділиться націло на 5; • І У N 2; • X + у = 1. Кожне з них не є висловленням, оскільки неможливо сказа- ти, є воно істинним чи хибним. При одних значеннях змінних 29
- 30. § 2. Елементи математичної логіки ці твердження перетворюються на істинні висловлення, при інших — на хибні. Говорять, що такі твердження залежать від змінних. їх на- зивають предикатами. Позначимо предикати, що розглядаються, відповідно так: А (о) = [п — просте число}; В (а) = {число а ділиться націло на 5}; С (у) = {| у І < 2 }; D (х; у) Е {* + у = 1}. У круглих дужках вказано змінні, від яких залежить предикат. Якщо в предикат замість змінної підставити яке-небудь її зна- чення, то буде отримано висловлення. Наприклад: • А (2) — істинне висловлення; • В (4) — хибне висловлення; • С (5) — хибне висловлення; • D (0; І) — істинне висловлення. Розглянемо множину М і деякий предикат Р (ж), де X є М. У цьому разі говорять, що предикат Р (я) задано на множині М або множина М є областю визначення предиката Р (х). Повертаючись до розглянутих вище прикладів, можна сказати, що областю визначення предиката А (тг) є множина предика- та В (а) — множина Z, предиката С (у) — множина Ж, предика- та D (х; у) — множина всіх упорядкованих пар дійсних чисел. У множині М , на якій задано предикат Р (х), виділимо таку підмножину, яка містить всі ті і тільки ті елементи, для яких предикат Р (х) перетворюється на істинне висловлення. Цю мно- жину називають областю істинності предиката Р (х) і позначають відповідно буквою Р. Наприклад, областю істинності предиката А (п) є множина А, яка складається з усіх простих чисел. Для предиката С (у) маємо: С = [-2; 2]. Якщо область істинності предиката збігається з його областю визначення, то такий предикат називають тотожно істинним, а якщо область істинності — порожня множина, то предикат нази- вають тотожно хибним. Наприклад, Р (х) з {х - х = 0} — тотожно істинний, a Q (х) = {х2 + 1 ='0} — тотожно хибний предикати, які визначено на множині R. Предикати існують не тільки в математиці. Наприклад, речен- ня «футболіст X команди «Динамо» (Київ) у сезоні 2009—2010 pp. забив 17 голів» є предикатом, заданим на множині футболістів команди «Динамо» (Київ), які грали в зазначеному сезоні. Облас- 30
- 31. 3. Предикати. Операції над предикатами тю істинності цього предиката є одноелементна множина {Артем Мілевський}. Нехай предикати A (ж) і В (х) задані на множині М і їх області істинності дорівнюють відповідно А і В. О з н а ч е н н я . Предикати А (х) і В (х) називають рівноснльии- м и, якщо їх області істинності збігаються, тобто А - В. Пишуть А {х) н В (х). Наприклад, якщо А (х) з {%/х >о І В (ж) = {| х | = х}, то А (je) s s В (х). Справді, тут А = В = [0; Логічні операції над висловленнями природним чином поши- рюються на предикати. Розглянемо деякі логічні операції над предикатами. О з н а ч е н н я . К о н ' ю н к ц і є ю предикатів А (х) і В (х) називають предикат, область істинності якого дорівнює А П В. Кон'юнкцію предикатів А (х) і В (х) позначають так: А (х) Л В (ж). Наприклад, якщо А (ж) = {ж > 5}, В (х) = {х < 7}, то кон'юнкція цих предикатів являє собою систему І* >5, множина розв'язків якої, проміжок (5; 7], є областю істинності пре- диката А (х) Л В (je). Також можна записати А (х) Л В (х) = {5 < JC < 7}. О з н а ч е н н я . Д и з ' ю н к ц і є ю предикатів А (*) і В (х) називають предикат, область істинності якого дорівнює A U В. Диз'юнкцію предикатів А (х) і В (х) позначають так: А (х) V В (ж). Наприклад, якщо А (х) а {х < -5}, В (х) = {х > 5}, то диз'юнкція цих предикатів являє собою сукупність х<~5, ж >5, множина розв'язків якої, (-»; -5) U (5; +<»), є областю істинності предиката А (ж) V В (je). Також можна записати А (х) V В (х) ^ = {| X і > 5}. О з н а ч е н н я . І м п л і к а ц і є ю предикатів А (ж) і В (х) називають предикат, який перетворюється в хибне висловлення для тих і тільки тих елементів множини М, для яких предикат А (х) стає істинним висловленням, а предикат В (х) — хибним. 31
- 32. § 2. Елементи математичної логіки Імплікацію предикатів А (х) і В (х) позна- чають так: А (х) => В (ж). Наприклад, якщо А (х) = {х > 5}, В (ж) - = {х > 3}, то областю істинності предиката А (х) В (ж) е множина М. Узагалі, якщо А с В, то областю істинності предиката A (jcJ => В (х) є множина М. Справді, у множині М немає елементів, які належать множині А, але не належать мно- жині В (рис. 3.1). О з н а ч е н н я . Е к в і в а л е н т н і с т ю предикатів А (ж) і В (х) на- зивають предикат, який перетворюється в істинне висловлення для тих і тільки тих елементів множини М, для яких обидва предикати А (х) і В (х) стають істинними висловленнями або обидва стають хибними висловленнями. Еквівалентність предикатів А (я) і В (х) позначають так: А (я) <=> В (ж). Наприклад, якщо А {Х) = {Х* - X - 2 = 0), В (х) = {(х + 1) (х - 2) (х2 + 1) = 0}, то областю істинності предиката А (х) <=> В (х) є множина К. Означення. З а п е р е ч е н н я м предиката А (х) називають преди- кат, областю істинності якого є множина МА. Заперечення предиката А (х) позначають так: Мх). ____ Наприклад, якщо А (х) = {х > 5}, то А(х) = {х<5}. Логічні операції над предикатами мають властивості, анало- гічні властивостям логічних операцій над висловленнями. Наприклад, А ( X ) А В (х) ™ В (х) А А ( X ) , А (х) V В (х) = В (х) V А (х). Справедливість цих властивостей випливає з рівностей А П В = = В П А і A U В = В U А. Зокрема, ці властивості дозволяють стверджувати, що коли в системі або сукупності рівнянь (нерівностей), визначених на R, поміняти порядок їх слідування, то отримаємо систему або су- купність, рівносильну даній. Оскільки для множин А, В і С справедлива рівність А Л (В U С) = = (А П В) U (А П С), то для відповідних предикатів виконується властивість 32
- 33. 3. Предикати. Операції над предикатами A (je) Л (В (х) V С (ж)) s (А (лг) л В (ж)) V (А (ж) А С (ж)). •I (»приклад, система ж > 5 , X < 7, рівносильна сукупності х>11 Тле >5, |ж<7, х >5, 1 ж > 1 1 . Нехай предикат А (ж) задано на множині М. Розглянемо два твердження, які часто зустрічаються. • Предикат A (ж) перетворюється на істинне висловлення для всіх елементів X множини М. • Предикат А (ж) перетворюється на істинне висловлення хоча б для одного елемента х множини М. Перше твердження прийнято коротко записувати так: (Vx Є М) А (ЛС). Друге твердження коротко записують так: (Зж є М) А (ж). Символ V (перегорнута перша буква англійського слова All — кожний) називають квантором загальності. Він заміняє у сло- весних формулюваннях словосполучення: для довільного, для будь якого, для кожного. Символ 3 (перегорнута перша буква англійського слова Exist — існувати) називають квантором Існування. Він заміняє у словесних формулюваннях слова: існує, знайдеться, хоча б для одного. Наприклад, якщо на предикат А (ж) = {| х > 0}, який задано на множині R, «навісити» квантори, то отримаємо: (Ух є Ш) А (х) = {для всіх дійсних чисел | х І > 0} — хибне ви- словлення; (Зле є К) А (х) = {існує дійсне число, ДЛЯ ЯКОГО І X І > 0} — іс- тинне висловлення. Отже, поява кванторів загальності або існування перед преди- катом перетворює його на висловлення. За допомогою введених в цьому пункті понять цілу низку ма- тематичних тверджень можна сформулювати компактно. Покажемо, як можна сформулювати принцип математичної індукції. Нехай предикат А (п) задано на множині N. Тоді ви- словлення (Vn є N) А (п) логічно еквівалентне висловленню А (1) A ((VA є N) A (k) => A (k + 1)), тобто принцип математичної індукції можна сформулювати так: (Vn є (л) s А (1) A ((VA є N) A (k) A (k + 1)). 33
- 34. § 2. Елементи математичної логіки Більшість теорем, які вивчають у школі, можуть бути сфор- мульовані так: •для будь-якого елемента х множини М з твердження А (ж) випливає твердження В (ж). Іншими словами, теорема являє собою істинне висловлення виду (Vx є М) А (х) => В (х). Наприклад, розглянемо таку теорему. Якщо натуральне число п ділиться націло на б, то воно ді- литься націло на 3. У цій теоремі розглядаються два предикати, задані на мно- жині N: А (п) = {п і 6}; В (п) = {п ': 3}. Цю теорему можна подати у вигляді такого висловлення: (Vn є N) А (п) => В (п). У формулюванні теореми, яке має структуру (Vx є М) А (х) => В (X), предикат А (х) називають умовою теореми, предикат В (х) — висновком теореми. Опис елементів множини М — це роз'яс- нювальна частина теореми. Часто заради стислості формулювання роз'яснювальну частину теореми опускають. Наприклад, теорему Піфагора формулюють так: якщо в трикутнику ABC Z С = 90°, то AB2 = AC2 + СВ2 . Покажемо, як теорему Піфагора можна сформулювати у фор- мі, описаній вище. Нехай Т — множина всіх трикутників. Розглянемо два преди- кати, задані на множині Т: Р (Д ABC) s { Z C = 90°}; Q (Д ABC) ш {AB2 = AC2 + СВ2 }. Тоді найбільш повне формулювання теореми Піфагора — це висловлення (VA ABC є Т)Р(A ABC) Q (Д ABC), яке можна прочитати так: для будь-якого трикутника ABC, у яко- му Z С = 90°, виконується рівність AB2 - АС2 + С В2 . Нехай предикати А (х) і В (х), задані на множині М , мають області істинності А і В відповідно. Ми знаємо, що з умови А с В випливає, що областю істинності імплікації А (х) => В (х) є множина М. Отже, умова А с В забезпечує істинність теореми (Vx є М) А (х) => В (х). 34
- 35. 3. Предикати. Операції над предикатами Наприклад, множина чисел, які кратні 6, є підмножиною множини чисел, кратних 3. Тому е правильною розглянута вище теорема (Vn є N) А (п) => В (п). О з н а ч е н н я 1. Теореми (V* є М) А (х) => В (яг) і (Vx Є М) В (ж) => А (ж) називають в з а є м н о о б е р н е н и м и . Інколи одну з цих теорем називають прямою, тоді іншу на- зивають оберненою. З взаємно оберненими теоремами ви нерідко зустрічалися в курсі планіметрії 7-9 класів. У теоремі (Vx є М) А (х) В (х) предикат А (х) називають достатньою умовою для В (х), а предикат В (х) — необхідною умовою для А (х). У взаємно обернених теоремах кожний з предикатів А (х) і В (х) є необхідною і достатньою умовою для іншого. У цьому разі висловлення (Vx є М) А (х) « В (х) є істинним. Цю теорему читають: «для всіх елементів множини М умова А (х) є необхідною і достатньою для умови В (х)» або «для всіх елементів множини М умова А (х) виконується тоді і тільки тоді, коли виконується умова В (х)». Теореми такого виду на- зивають критеріями. Наприклад: • для того щоб довільний чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл; • будь-яке натуральне число п кратне трьом тоді і тільки тоді, коли сума його цифр кратна трьом. О з н а ч е н н я 2. Теорему (Vx е М ) А (х) => В(х) називають про- т и л е ж н о ю теоремі (Vx є М ) А (х) => В (х). Розглянемо теорему, яку вважатимемо прямою: у будь-якому трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути. Побудуємо за допомогою цієї теореми ще три нові теореми. Обернена теорема: у будь-якому трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони. П р о т и л е ж н а теорема: у будь-якому трикутнику проти нерівних сторін лежать нерівні кути. 35
- 36. § 2. Елементи математичної логіки Теорема, обернена до протилежної: у будь-якому три- кутнику проти нерівних кутів лежать нерівні сторони. З попереднього пункту ви знаете, що висловлення А => В і В=>А є логічно еквівалентними (див. вправу 2.13 (10)), тобто {А => В) = (в => а). Звідси логічно еквівалентними є висловлення, які являють собою пряму теорему і обернену до протилежної, тобто (Vx є М) А (х) =t> В (ж) = (Vx є М) В(х) А (ж). Цим фактом ми нерідко користувалися. Відомий метод дове- дення від супротивного саме і полягає в тому, що замість вихідної теореми доводять обернену до протилежної. Вправи 3.1. Серед даних тверджень укажіть предикати: 1) число (п + 1)" - 1 — складене, п є N; 2) для будь-якого X є R виконується рівність X2 + X + 1 = 0 ; 3) модуль дійсного числа х більший за нуль; 4) неправильно, що п і 5, п є N; 5) квадрат будь-якого натурального числа п при діленні на З дає в остачі 0 або 1; 6) існує таке ціле число х, що одиниця є його дільником; 7) ціла частина дійсного числа х дорівнює числу х. 3.2. На множині [-2; 3) задано предикат A (JC) = {ж — ціле число}. Укажіть область істинності цього предиката. 3.3.° На множині [0; задано предикат Р (х) s{x3 - х = 0}. Укажіть область істинності цього предиката. 3.4.° На множині всіх упорядкованих пар дійсних чисел задано предикат R (Ж; У ) ^ (Ж2 + у2 = 1}. Зобразіть на координатній площині ху множину точок, коорди- нати яких складають область істинності даного предиката. 36 Г
- 37. 3. Предикати. Операції над предикатами 3.5." Укажіть область істинності предиката А (х) а {[X] > х}, заданого на множині К. "3.6.0 Зобразіть на координатній площині ху область істинності предиката B(x;y) = {jx2 y2 =ху, заданого на множині всіх упорядкованих пар дійсних чисел. 3.7.* На множині Е задано предикати Р (х) = {х - 5 = 0}, Q (де) = {х + 2 = 0}. Знайдіть рівняння, що задає предикат: 1) Р (X) A Q (X); 2) Р (X) V Q (х). 3.8." На множині К задано предикати Р (х) s{x* 5}, Q (х) = {х* -2}. Укажіть область істинності предиката: 1) P(x)AQ (X); 2) Р (х) V Q (х). 3.9.* Предикати А (л) = {ге і 10}, В (ге) = {ге : 5} задано на множині N, Укажіть область істинності предиката А (ге) => В (ге). 3.10.* Предикати Р (х) = {| х | = -1}, S (х) = {х + 3 = 0} зада- но на множині R. Укажіть область істинності предиката Р (х) =» S (х). 3.11." На множині К задано предикати Р (х) з {х > 2}, Q (х) = s {х > 5}. Укажіть область істинності предиката: 1) р (х) => Q (х); 2) Q (х) => Р(х). 3.12.* На множині К задано предикати Р (х) = {х > 2}, Q (х) = я {х < 5}. Укажіть область істинності предиката: 1) Р (X) => Q (X); 2) Q (X) => Р (х). 3.13." Множини А і Б — області істинності предикатів А (х) І В (х), заданих на множині М (рис. 3.2). Заштрихуйте область істинності предиката: 1) А (х) Л В (х); 2) А (х) V В (х); 3) А (х) => В (х). М 0 ® а) Рис. 3.2 37
- 38. § 2. Елементи математичної логіки 3.14/ Серед предикатів, заданих на множині R, укажіть рівно- сильні: А (ж) = (-хг = 2); С (X) = {[ж] > ж}; В (ж) = {(ж - З)2 > 0}; D (ж) — {sgn (ж2 - 6ж + 9) = 1}. 3.15." Серед предикатів, заданих на множині всіх упорядкованих пар дійсних чисел, укажіть рівносильні: А (о; =ab}; С (а; b) = {| ab = ab); В (а; b) = [ab > 0}; D (а; V) = {ab > 0}. 3.16.* Предикати А (ж), В (ж) і С (ж) задано на множині М. До- ведіть, що: 1) (А (ж) Л В (ж)) А С (ж) s А (ж) А (В (ж) А С (ж)); 2) (А (ж) V В (ж)) V С (ж) а А (ж) V (В (ж) V С (ж)); 3) А (ж) V (В (ж) А С (ж)) = (А (ж) V В (ж)) А (А (ж) V С (ж)); 4) А (ж) л В (ж) = А (ж) V Б (ж); 5) А (ж) V В (ж) = А(х)лВ (ж). 3.17.* Укажіть істинні висловлення: 1) (Уж є R) І ж І > ж; 4) (Vn є N) (п3 - п) і 6; 2) (Зж є R) І ж j < 0; 5) (Зж є R) sin 2ж = 2 sin ж. 3) (Vn є N) п < п2 ; 3.18." Предикат А (р) н {р — непарне число} задано на множині простих чисел Р. Укажіть істинне висловлення: 1) (Vp є Р) А (р); 2) (УрєР)А(р); 3) (Зр є Р) 3.19.* При яких значеннях ж є істинним висловлення: же N А ж > 1 А (Уу є N) ((ж : у) => (у = 1 V у = ж))? 3.20.* Для теореми «якщо деяке натуральне число ділиться наці- ло на 5, то його квадрат ділиться націло на 25» сформулюйте обернену теорему, протилежну теорему, обернену до проти- лежної. 3.21." Для теореми «якщо в довільному опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло» сформулюйте обернену теорему, протилежну теорему, обернену до протилежної. 38
- 39. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ І Степенева функція з натуральним І показником Властивості і графіки функцій у = х і у = х2 добре знайомі вам з попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції у = х", п є N, яку називають степеневою функцією з натуральним показником. Оскільки вираз хті є N, має зміст при будь-якому х, то об- ластю визначення степеневої функції з натуральним показни- ком є множина EL Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль х = 0. Подальше дослідження властивостей функції у - х", п є N, про- ведемо для двох випадків: п — парне натуральне число і п — не- парне натуральне число. • Перший випадок: п = 2k, к є Pi, Зазначимо, що при k = 1 отримуємо функцію у = х2 , власти- вості і графік якої були розглянуті у 8 класі. Оскільки при будь-якому X вираз х2к набуває тільки невід'єм- них значень, то область значень розглядуваної функції не містить жодного від'ємного числа. Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення 2kаргументу X, що х = а. Сказане означає, що областю значень функції у = хп , де п — парне натуральне число, є множина [0; +<»). Якщо X * 0, то x2k > 0. 'Ъ Отже, проміжки (-«>; 0) і (0; +») є проміжками знакосталості функції' у = хп , де п — парне натуральне число. 39
- 40. § 3. Степенева функція Функція у - хп , де п — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-ж)2 * - X2 ". Розглянемо довільні числа Xj і х2 такі, що хх є ( — 0 ] , х2 є (-<»; 0] і xt < х2. Тоді ~х > ~х > 0. Скориставшись власти- вістю ЧИСЛОВИХ нерівностей, отримуємо (—Xj)2 * > (—Х2)2 Звідси x f > x f . Отже, функція у - х", де п — парне натуральне число, спа- дає на проміжку (-»; 0]. Аналогічно можна показати, що ця функція зростає на проміжку [0; +«=). У = х", п — парне натуральне число 1 Рис. 4.1 Уі 1 1 1 J — if X Рис. 4.2 Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = х", де п — парне натуральне число (рис. 4.1). Зокрема, графік функції у = Xі зображено на рисунку 4.2. • Другий випадок: п — непарне натуральне число. Зазначимо, що при п = 1 отримуємо функцію у = х, властивості і графік якої були розглянуті в 7 класі. Тепер нехай п = 2k + 1, k є N. Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення Ob 4 І аргументу X, що х = а. Ч> Сказане означає, що областю значень функції у = х", де п — непарне натуральне число, є множина R. Якщо X < 0, то х2к+ 1 < 0; якщо х > 0, то х2к + 1 > 0. Отже, проміжки 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталос- ті функції у = х", де п — непарне натуральне число. 4j> Функція у = х",де п — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-х)2 *+1 = ~x2k+ 40
- 41. 4. Степенева функція з натуральним показником Розглянемо довільні числа хх і х2 такі, що хх < х2. Ско- риставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо л( ^ л2 Ь Отже, функція у = хп , де п — непарне натуральне число, є зростаючою. Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = xf, де п — непарне натуральне число, п > 1 (рис. 4.3). Зокрема, графіки функцій у = х* ку 4.4. і у = X зображено на рисун- У = х> п— непарне натуральне число, п > 1 У_ ш і 7 — т / шш 1 П 3 и J Т Т L X І / / Г І і г VI -і и )і L 1 X Рис. 4.3 Рис. 4.4 Дослідимо взаємне розміщення графіків функцій у ~ хт і у = х", де т є N, п є N, т > п, на проміжку [0; +<»). Очевидно, що ці графіки мають дві спільні точки: (0; 0) і (1; 1). Розглянемо різницю хт - х" = = х" (х т " - 1). Оскільки т > п, то (т - п) € N. Якщо0 < * < 1,тоX? > 0 і х т " < 1. Звідси х" (хт -' - 1) < 0. Якщо X > 1, то хп > 0 і х т > 1. Звідси х" (хт п - 1) > 0. Отже, на проміжку (0; 1) графік функції у = хт знаходиться нижче від графіка функції у - хп , а на про- міжку (1; -f«) — вище (рис. 4.5). Якщо m i n — парні натуральні числа, то, відобразивши графік, зо- бражений на рисунку 4.5,симетрично т > п > 1, х>0 Рис. 4.5 41
- 42. § 3. Степенева функція відносно осі ординат, отримаємо рисунок 4,6. Для непарних m i n застосуємо симетрію відносно початку координат (рис. 4.7). т і п — парні натуральні числа, m i n — непарні т > п натуральні числа, т > п > 1 Рис. 4.6 Рис. 4.7 У таблиці наведено властивості функції у = х", п є N, уста- новлені в цьому пункті. п — парне натуральне число п — непарне натуральне число Область визначення К R Область значень [0; +«) Ж Нулі функції ж = 0 X = 0 Проміжки знакосталості У > 0 на кожному з проміжків (-оо; 0) і (0; +«) У < 0 на проміжку {-»; 0), у > о на проміжку (0; -Н») Парність Парна Непарна Зростання / спадання Спадає на проміжку (-«>; 0], зростає на проміжку [0; +») Зростаюча 42
- 43. 4. Степенева функція з натуральним показником Вправи 1.1. При яких значеннях а графік функції у = ах* проходить • через точку: 1)Л (2; -12); 2) В (-3; -3)? 4.2.° При яких значеннях а графік функції у = ах3 проходить через точку: 1) С (3; -18); 2) D (-2; 64)? 1.3. Функцію задано формулою f (х) = х19 . Порівняйте: 1) f (1.4) і f (1,8); 3) / (-6,9) і f (6,9); 2) f (-7,6) і f (-8,5); 4) f (0,2) і f (-12). 4.4.° Функцію задано формулою f (х) = х21 . Порівняйте: 1) / (20) і f (17); 2) / (-44) і / (1,5); 3) f (-52) і / (-45). 4.5. Функцію задано формулою f (х) = х20 . Порівняйте: 1) f (3,6) і f (4,2); 3) / (-2,4) і f (2,4); 2) f (-6,7) і / (-5,8); 4) f (-15) і f (2). 4.6." Функцію задано формулою f (х) = х50 . Порівняйте: 1)/(9,2) і/(8,5); 3) f (19) і f (-19); 2) / (-1Д) і f (-1,2); 4) f (-7) і f (9). 4.7.° Скільки коренів має рівняння х" = 1600, якщо: 1) п — парне натуральне число; 2) п — непарне натуральне число? 4.8.° Чи має дане рівняння від'ємний корінь: 1) X 6 = 2; 2) хь = -3; 3) х7 - 9; 4) х6 = -10? 4.9.° Розв'яжіть рівняння: 1) X5 = 32; 2) хА = ~~- 3) Xі = 81; 4) х" =-16. Сі І 4.10.° Розв'яжіть рівняння: 1) Xа = -27; 2) хБ = 0,00032; 3) хв = 64; 4) х8 = -1. 4.11." Знайдіть точки перетину графіків функцій: 1) У = хь і у = 2х4 ; 2)у = х*1у = -27х. 4.12.° Знайдіть точки перетину графіків функцій у = х5 і у = х3 . 4.13.° Установіть графічно кількість коренів рівняння: 1) X8 = X + 1; 3) X4 = 0,5х - 2; 2) X5 = 3 - 2х; 4) х3 = х2 - 3. 43
- 44. § 3. Степенева функція 4.14.* Установіть графічно кількість розв'язків системи рів- нянь: 1) 2) У = х% у = 2-0,5 X2 . І у = х , [2х-у-3 = 0; 4.15.° Чи випливає з рівності х," =х£, що xt = х2, коли: 1) л — пар- не; 2) п — непарне? 4.16.* Чи випливає з нерівності х? >х£, що xt > хя, коли: 1) п — парне; 2) п — непарне? 4.17. Чи випливає з нерівності х1 > х2, що х">х£, коли: 1) п — парне; 2) п — непарне? 4.18.' Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння: 1) х12 = а - 6; 2) ж24 = а2 + 7а - 8? 4.19. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рів- няння X6 = 9а — а3 ? 4.20. Чи існує парна функція /, визначена на R, яка задовольняє умовам: f (0) = 0, f (-1) = 1, f (2) = 1024? 4.21. Чи існує непарна функція /, визначена на R, яка задоволь- няє умовам: f (0) = 0, f (-1) = -1, f (3) = 243? 4.22.* Побудуйте графік функції: 1) у = х3 - 1; 4) у = (X - І)4 ; 2) у = (X + 2)3 ; 5) у = (х + І)4 - 1; 3) у = X4 ~ 4; 6) у = -X3 ; 4.23/ Побудуйте графік функції: 1) у = X3 + 3; 4) у = (X + І)4 ; 2) у = (X - З)3 ; 5) у = (X - І)3 + 2; _L О. Я* ., _ І ^.З. 7)у = -|х4 ; 8) у = j X3 1; 9)y = (|xj + І)4 . 7) у = - X 4 ; 8) у = (I X j - 2)3 ; 6) у = ^х" 9) у = I X + 13 ) У = X 4 + 2; 4.24/ Побудуйте графік функції: [х4 , якщох<р, [-Jx, якщо х>0; |xJ , якщох<-1, [-Х-2, якщо х>-1. Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зрос- тання і проміжки спадання даної функції. 44
- 45. 4. Степенева функція з натуральним показником Ї х3 , якщох<0, -л/х, якщо х > 0 . • [користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зрос- тання і проміжки спадання даної функції.1.26.* Побудуйте графік функції: 1) У = 1 * І *4 ; 2) у = I X I X4 + я5 . 1.27.*Побудуйте графік функції: 1) у = І X І X а ; 2) у = I X I X 4 - X 5 . 4.28." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) — Xs на проміжку: 1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (-«; -2]; 5) (-2; 1). 4.29.* Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) - х6 на проміжку: 1) [-13; -1]; 2) [-2; 1]; 3) [1; 4) (1; +-). 4.30.* Парним чи непарним натуральним числом є показник сте- пеня п функції f (х) = хл , якщо: 1) f ( - 4 ) > f ( - 2 ) ; 4 ) f ( 4 ) > f ( 2 ) ; 2) f (-4) < f (2); 5) f (-4) > f (2); 3) / (-4) < f (-2); 6) f (4) > f (-2)? 4.31." Знайдіть усі функції f такі, що рівність f (х3 ) = х21 вико- нується для всіх X є R. 4.32." Знайдіть усі непарні функції f такі, що рівність f (х6 ) = х24 виконується для всіх X є R. 4.33." Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f (х4 ) = х20 виконується для ВСІХ X є М. 4.34." Розв'яжіть рівняння: 1) X 1 1 + X 3 = 2; 2) 2х4 + х10 = 3. 4.35." Розв'яжіть рівняння: 1) 4х3 + X 7 = -5; 2) X 6 + Зх8 = 4. 4.36." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (ж) = X8 на проміжку (-1; а], де а > —1, 4.37." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = X6 на проміжку [а; 2], де а < 2. 4.38.* Розв'яжіть рівняння 5х17 - Зх8 = 2. 45
- 46. § 3. Степенева функція 4.39.* Розв'яжіть рівняння Іідг15 + 2Х4 = -9. 4.40.* Наведіть приклад такої послідовності визначених на К різних функцій / , f2, ..., що для всіх /гєМ, п є й , ж є К ви- конується рівність f (fn (я)) = fkn (х). 4.41.* Наведіть приклад такої послідовності визначених на R різних функцій fv f2, .... що для всіх Ä € N , n e N , і є К ви- конується рівність f (.т) • fa (х) — fk + n (ж). Функціональний підхід Коші Вам часто доводиться розв'язувати рівняння, тобто шукати такі значення змінної, при підстановці яких у рівняння отри- муємо правильну рівність. Такі рівняння можна було б назвати числовими, оскільки їх розв'язками є числа. У математиці ви- вчають й інші рівняння, розв'язками яких є не числа, а функції. Природно, що їх називають функціональними рівняннями. З функціональними рівняннями ви зустрічалися раніше. На- приклад, рівність f(x) = f (-X), хе D{f), яка задає парні функції, можна розглядати як функціональне рів- няння. Розв'язком цього рівняння є будь-яка парна функція. Ось ще два приклади функціональних рівнянь: / (х +• у) - / (у) + X, X є R, у є Ш; (1) f (je + у) = 2 f {у) + X - у, X є R, у є R. (2) Розв'яжемо функціональне рівняння (1). Якщо в рівність f (х + у) = f (у) + X підставити значення змін- ної у = 0, то отримаємо таке: / ( * ) = / (0) + Оскільки f (0) — деяка стала, то тим самим доведено, що розв'язками рівняння (1) можуть бути лише лінійні функції виду f (х) = X +- с, де с — стала. Водночас зауважимо, іЦо наведені міркування не гарантують того, що кожна лінійна функція виду f (х) = х + с задовольняє функціональне рівняння (1). Тому треба зробити перевірку. Підставивши функцію f (х) = х + с у функціональне рівнян- ня (1), отримаємо очевидну тотожність: (х + у) + с - {у + с) + ж. Відповідь: f (х) = х + с, де с — будь-яка стала. т 46
- 47. Коли зроблено уроки Зауважимо, що останній етап розв'язування задачі — пере- нірка — є важливою частиною розв'язування, оскільки на ньому можуть бути «відсіяні» сторонні розв'язки. . Проілюструємо це на прикладі розв'язування функціонального рінняння (2). Міркуючи аналогічно попередній задачі, підставимо у = 0. Тоді f (х) = 2/ (0) + ж. Отже, розв'язками функціонального рівняння (2) знову можуть бути лише лінійні функції виду f (х) — х + с, де с — стала. Проведемо перевірку отриманих функцій. Підставляючи функ- цію f (JC) = X + с у рівняння (2), отримаємо х + у + с = 2 (у + с) + х - у; с = 0. Бачимо, що серед всіх лінійних функцій f (ж) = х + с функці- ональне рівняння (2) задовольняє лише одна: f (,х) = х. Відповідь: f (JC) = JE. Функціональні рівняння грають в математиці важливу роль. Оскільки кожне функціональне рівняння задає певну властивість функцій, то за допомогою функціональних рівнянь можна визна- чати конкретні класи функцій. Такий спосіб визначення функцій через опис їх характерних властивостей у вигляді функціональних рівнянь запровадив відомий французький математик О. Коші. Його ім'я носять такі функціональні рівняння: f (х + у) = f(x) + f (у), / (ху) = / ( * ) + / (у), f (х +у) = f(x)f (у), f (ху) -/<*)/ (у). Огюстен Луї Коші (1789-1857) Огюстен Луї Коші — французький математик. Опублікував понад 800 ро- біт з арифметики, теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціаль- них рівнянь, теоретичної і небесної ме- ханіки, математичної фізики; займався також дослідженнями з тригонометрії, теорії пружності, оптики, астрономії. Був членом Паризької академії наук, Лондонського королівського товариства і майже всіх академій наук світу. 47
- 48. § 3. Степенева функція Використовуючи рівняння Коші, можна, наприклад, визна- чити степеневу функцію f (х) = х5 . Розглянемо задачу: знайти всі функції f, визначені на IR, які одночасно задовольняють такі умови: 1) f — непарна зростаюча функція; 2) f (2) = 32; 3) f (ху) = f (х) f (у) для всіх значень х > 0, у > 0. На заняттях математичного гуртка ви зможете розглянути до- ведення того, що даний перелік умов задовольняє лише степенева функція f (х) = X5 . Вправи 4.42. Знайдіть усі функції /, які для всіх х є R, у є К задоволь- няють умову f (х) + f (у) = X + у. 4.43. Знайдіть усі функції f, які для всіх х Є Ж, у є R задоволь- няють умову f (ху + 1) = f (х) + 1. 4.44. Знайдіть усі функції f, які для всіх х є К, у є Е задоволь- няють умову / (у + f (х)) = (х - 1) / (у). 4.45. Чи існує функція f, визначена на R і відмінна від f (х) = х5 , яка одночасно задовольняє такі умови: 1)А (2) = 32; 2) f (ху) = f (х) f (у) для всіх X > 0, у > 0? 4.46. Знайдіть усі функції /", які для всіх х є R, у є R задоволь- няють умову f (2х - 3у) + 12ху = f (2х) + f (Зу). І Степенева функція з цілим показником Функцію, яку можна задати формулою у = х", де п є Z, на- зивають степеневою функцією з цілим показником. Властивості цієї функції для натурального показника було розглянуто в попередньому пункті. Тут ми розглянемо випадки, коли показник п є цілим від'ємним числом або нулем. Областю визначення функції у = х° є множина (-«=; 0) U (0; областю значень — одноелементна множина {1}. Графік цієї функ- ції зображено на рисунку 5.1. 48
- 49. 4. Степенева функція знатуральнимпоказником У 1 1, У = *° 0 X Розглянемо функцію у = X де II < N . З окремим випадком цієї функції, коли п = 1, тобто з функцією у-—, виX .підйомі з курсу алгебри 8 класу. Запишемо функцію у = х~п у вигля- ді у - —. Зрозуміло, що областю ви- Рис - 5-1 х" .танення функції у = х~п , п є N, є множина (-»; 0) U (0; +«>). Очевидно, що ця функція нулів не має. Подальші дослідження властивостей функції у = х", де п є N, проведемо для двох випадків: п — парне натуральне число і п — непарне натуральне число. • Перший випадок: п = 2k, k є N. Маємо: х'2 " -~ к- Оскільки вираз набуває тільки додатних значень, то до області значень розглядуваної функції не входять від'ємні числа, а також число 0. Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення -2kаргументу X, що х = а. Сказане означає, що областю значень функції у = х~", де п — парне натуральне число, є множина (0; ^ Очевидно, що проміжки 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталості функції у = х", де п — парне натуральне число. Функція у = X де п — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-Х)-2 * = = 4 г = • ( - ж ) * Розглянемо довільні числа і х2 такі, що х^ є (-«>; 0), х2 є (-•»; 0) і Xj < хг. Тоді -хг > -хг > 0. Скориставшись власти- вістю числових нерівностей, отримуємо 0<—— <——. Звідсиг у 1 ! 1 2 > 2к 2Ь ' *ї ^ л 2 • Ґ ( J 1 1< 1 *х) 1 49
- 50. § 3. Степенева функція ^ Отже, функція у = х", де п — парне натуральне число, зрос тає на проміжку (-»; О), ^ Аналогічно можна показати, що функція у = х~п , де п — парне натуральне число, спадає на проміжку (О; Зауважимо, що зі збільшенням модуля х значення виразу X k є N, стає все меншим і меншим. Тому відстань від точки гра- фіка функції у = - k є N, до осі абсцис зменшується і може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю. Аналогічно можна встановити, що зі збільшенням модуля ординати відстань від точки графіка до осі ординат зменшується і може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю. Отримані властивості дозволяють схематично зобразити гра- фік функції у = X ", де п — парне натуральне число (рис. 5.2). Зокрема, графік функції y = ~ j зображено на рисунку 5.3. У і у = х'Л , п —- парне натуральне число - 1 0 1 * Рис. 5.2 ТГ / и — / Xі L 1 / mmі-1 X-(1 0 1 X Рис. 5.3 • Другий випадок: n. = 2k - 1, k є N. Можна показати, що для будь-якого а * 0 існує таке значення аргументу X, що х<2к 11 = а. Сказане означає, що областю значень функції у = х ", де п — непарне натуральне число, є множина ( — 0 ) U U (0; +«). Якщо X < 0, то * , <0; якщо х > 0, то }. , >0. X X2 " 1 ^ Отже, проміжки (-«>; 0) і (0; +») є проміжками знакосталості функції у = X де п — непарне натуральне число. Функція у = X де п — непарне натуральне число, є непарною. 50
- 51. 4. Степенева функція знатуральнимпоказником Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-ж)-'2 *-" = = (-де) - * 2 * 1 Розглянемо довільні числа і хг такі, що х1 є 0), х2 є 0) і < х2. Тоді -х1 > -х2 > 0. Скориставшись вла- . 1 ^ 1 стивостями числових нерівностей, отримуємо < ; Xj х2 НГ-НГ' ФФ Ф^Ф глядувана функція спадає на проміжку (-«>; 0). Аналогічно мож- на показати, що ця функція спадає і на проміжку (0; ^ Отже, функція у — х", де п — непарне натуральне число, спадає на кожному з проміжків 0) і (0; +«>). Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = х", де п — непарне натуральне число (рис. 5.4). Зо- крема, графік функції у-~К зображено на рисунку 5.5. У попередньому пункті було проведено дослідження взаємного розміщення графіків функцій у = хт і у = лс", де т є N, п є N, т > п. Міркуючи аналогічно, можна показати, що схематичне 51
- 52. § 3. Степенева функція розміщення графіків функцій у = хт іу = х", де m є N, (і€ N, т > п, є таким, як показано на рисунках 5.6, 5.7. т і п — непарні, т > п Рис. 5.6 m i n — парні, т > п Рис. 5.7 У таблиці наведено властивості функції у = х п є N, вивчені в цьому пункті. п — парне натуральне число п — непарне натуральне число Область визначення 0) и (0; +«) 0) U (0; Область значень (0; (-со; 0) Ü (0; +°=) Нулі функції _ - Проміжки зна- косталості У > 0 на кожному з проміжків (-»;' 0) і (0; +-) У< 0 на проміжку 0), У > о на проміжку (0; Парність Парна Непарна Зростання / спадання Зростає на проміжку (-»; 0), спадає на проміжку (0; Спадає на кожному з проміжків (-оо; 0) і (0; +«) 52
- 53. 5. Степенева функцій з цілим показником Вправи 5.1." Чи проходить графік функції у = х 4 через точку: 1 > А ( * £ ) ; 2) В|-2; 3) с ( | ; 8і); 4) - і ) 7 5.2." Чи проходить графік функції у = х 5 через точку: 1) А (0; 0); 2) В (-1; -1); 3) С Зг); 4) D (-3; 5.3.° При яких значеннях а графік функції у = ах 3 проходить через точку: 1) А (-5; 20); 2) в|2; 5.4.° При яких значеннях а графік функції у = ах 4 проходить через точку: 1) А (3; -3); 2) В (-2; |)? 5.5.° Дано функцію f (я:) = х~19 , Порівняйте: 1) f (1,6) і f (2); 3) f (-9,6) і f (9,6); 2) f (-5,6) і f (-6,5); 4) f (ОД) і f (-10). 5.6." Дано функцію f (х) = х~25 . Порівняйте: 1) / (18) і f (16); 2) f (-42) і f (2,5); 3) f (-32) і f (-28). 5.7.° Функцію задано формулою f (х) = ж"16 . Порівняйте: 1) f (1,6) і f (2,2); 3) f (-3,4) і f (3,4); 2) f (-4,5) і f (-3,6); 4) f (-18) і f (3). 5.8.° Функцію задано формулою f (х) - х 40 . Порівняйте: 1) f (6,2) і f (5,5); 3) f (24) і f (-24); 2) f (—1,6) і f (-1,7); 4) f (-8) і f (6). 5.9.° Скільки коренів мае рівняння х " = 2500, якщо: 1) п — парне натуральне число; 2) п — непарне натуральне число? 5.10.° Чи має дане рівняння від'ємний корінь: 1) лГ6 = 2; 2) X 5 = 0,3; 3) х~7 = -3; 4) х~8 = -2? 5.11.° Знайдіть область визначення функції: 1) У = Ос"1 )1 ; 2) у = ({X - 2 ) 2 ) Л 5.12.° Побудуйте графік функції: 1) </ = (*-2)°; 2) у = (Xі - 4* + 3)°; 3) • 5.13." Побудуйте графік рівняння: 1) (у + 2)° = X - 2; 2) (у - 2)° = (X + 1)°. 53
- 54. § 3. Степенева функція 5.14.° Знайдіть точки перетину графіків функцій: 1) У = X і у ~ X ; о -2 • 12) у = X і у = -ж. 5.15," Знайдіть точки перетину графіків функцій у = ж 7 і і/ = х 4 . 5.16." Побудуйте графік функції: 1)у = х 2 + 2 ; 4> ^ = jc 3 - 1; 2) у = (* - З)"2 ; 5) і/ = (х ~~ І)"3 ; 6) у = З* 3 ;з) » 7) у = І ж"3 1; 8 ) у = І ж - 1 Г 3 ; 9 ) У = - | Ц . 5.17." Побудуйте графік функції: 1)У = Х 2 ) у = 4 * 5 ; 3; 3) у = <х + 1)- 4) у = 5) у = І ж"5 6) ї/= 1 X2 І де І 5.18." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = х на проміжку: 1) М 2) [-4} 3) [1; 4) [—1; 0). 5.19." Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = х 3 на проміжку: 1) [И 2 ) [ - 2 ; - 1 ] ; 3 ) - 3 ] ; 4 ) ( 0 ; 2]. 5.20." Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь 1) у = х у = 4-х2 ; 5.21. Установіть графічно кількість розв'язків системи рівнянь: 2) Г * Л 1) У = х , 1 2 , 2) І У = х , {.У = х2 ~2. 5.22." Побудуйте графік функції f (х) = X , якщо X X2 , якщох>-1. Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції. х-3 , якщо X < -1, 5.23." Побудуйте графік функції f (х) = < -х2 , якщо -1 < х < 1, х-3 , якщох>1. Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції. 54
- 55. 6. Означення кореня л-го степеня Г».24.' Парним чи непарним е натуральне число п у показнику степеня функції f (JC) = JC якщо: 1) f (-2) > f (-1); 3) / (-2) < f (-1); • 2) / (-2) < f (1); 4) f (2) < f (1)? 5.25." Знайдіть усі визначені на R{0} функції f такі, що рівність = виконується ДЛЯ ВСІХ X є Ж{0}. 5.26." Знайдіть усі непарні та визначені на К{0} функції f такі, що рівність / (дг4 ) = ж lß виконується для всіх JC є R{0}. 5.27." Знайдіть усі парні та визначені на К{0} функції f такі, що рівність = JC30 виконується для всіх JC є R{0}. 5.28.* Знайдіть усі визначені на 1R функції f такі, що рівність f (X і ) = jc28 виконується для всіх X є К{0}. Означення кореня л-го степеня Ви знаєте, що квадратним коренем (коренем другого степе- ня) з числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно дають означення кореня л-го степеня з числа а, де л є N, л > 1. Означення. Коренем л.-го степеня з числа а, де п є N, п > 1, називають таке число, л-й степінь якого дорівнює а. Наприклад, коренем п'ятого степеня з числа 32 є число 2, оскільки 25 = 32; коренем третього степеня з числа -64 є число -4, оскільки (-4)3 = -64; коренями четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, оскільки З4 = 81 і (-3)" = 81. З означення випливає, що будь-який корінь рівняння х" = а, де л є N, л > 1, є коренем л-го степеня з числа а і навпаки, корінь л-го степеня з числа а є коренем розглядуваного рівняння. Якщо п — непарне натуральне число, то функція у = х" є зрос- таючою і, оскільки її областю значень є множина їй, то рівняння х" = а має єдиний корінь при будь-якому а. Рисунок 6.1 ілюструє останнє твердження: при будь-якому значенні а графіки функцій у = х" і у = а мають одну спільну точку. 55
- 56. § 3. Степенева функція Тоді можна зробити такий висновок: якщо п — непарне натуральне число, більше за 1, то корінь п-го степеня з будь-якого числа існує, причому тільки один. Корінь непарного степеня п, п > 1, з числа а позначають так: фї (читають: «корінь п-го степеня з а»). Знак Г називають знаком кореня п-го степеня або радикалом. Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом. Наприклад, ^32=2, ^ 6 4 =-4, VÖ = 0. Корінь третього степеня також прийнято називати кубічним коренем. Наприклад, запис л/2 читають: «корінь кубічний з чис- ла 2». Наголосимо, що вираз 2 "*Уа, k є N, існує при будь-якому о, З означення кореня п-го степеня випливає, що при будь-якому а виконується рівність і <1а) =а Наприклад, {FÄF =2, ( ^ 0 д ) ? =-0,1. Розглянемо рівняння хп = а, де п — парне натуральне число. Оскільки областю значень функції у - х", де п — парне на- туральне число, є множина [0; то при а < 0 дане рівняння не має розв'язків. Очевидно, що при а = 0 рівняння має єдиний корінь х = 0. Функція у = х", де п — парне натуральне число, зростає на проміжку {0; і набуває всіх додатних значень. Отже, при а > 0 рівняння хп - а, де п — парне натуральне число, на про- міжку [0; +м) має єдиний корінь. Оскільки розглядувана функція є парною, то при а > 0 дане рівняння має два корені, які є протилежними числами. Наведені твердження мають просту геометричну інтерпретацію (рис. 6.2). Якщо а < 0, то графіки функцій у = хп і у = а не мають спільних точок; якщо а - 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку; якщо а > 0, то спільних точок дві, причому їх абсциси — протилежні числа. Тепер можна зробити такий висновок: якщо п — парне натуральне число, то при а < 0 корінь п-го степеня з числа а не існує; при а = 0 корінь п-го степеня з числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежні числа, які є коренями п-го степеня з числа а. 56
- 57. 6. Означення кореня л-го степеня УІ у~а.а> 0 у = хп J . t X у= а, а < 0 1 1 У ' у=а,а> 0 1 н 11 2L VУ-fo 0 у = о, а < 0 X п — непарне п _ парне натуральне число, п > 1 натуральне число Рис. 6.1 р и с . е.2 В и щ е було встановлено, щ о р і в н я н н я х" = а при а > 0 обов'язково має один невід'ємний корінь. Його називають ариф- метичним коренем га-го степеня з числа а. О з н а ч е н н я . А р и ф м е т н ч н н м к о р е н е м п-го (ітепеня з невід'ємного числа а, де п є N, п > 1, називають таке невід'ємне число,га-йстепінь якого дорівнює о. Арифметичний корінь п-го степеня з невід'ємного числа а по- значають так: Наприклад, ч/вГ = 3, оскільки 3 > 0 і З4 = 81; л/б4 =2, оскільки 2 > 0 і 2е = 64; '3/0 = 0, оскільки 0 > 0 і О10 = 0. Узагалі, якщо Ъ > 0 і Ьп = а, де п є N, п > 1, то trfä = Ь. Звернемо увагу на те, що для позначення арифметичного ко- реня п-го степеня з невід'ємного числа о і кореня непарного степеня п з числа а використовують один і той самий запис: [а. Запис 2 i[ä, k є N, використовують тільки для позначення ариф- метичного кореня. Зазначимо, що корінь парного степеня з чис- ла а не має позначення. За допомогою знака кореня л-го степеня можна записувати розв'язки рівняння х" - а, де п є N, п > 1. ^ Якщо п — непарне натуральне число, то при будь-якому зна- ченні а розглядуване рівняння має єдиний корінь x = fa. ^ Якщо п — парне натуральне число і а > 0, то рівняння має два корені: ху = rfä, х2 = -yfa. 57
- 58. § 3. Степенева функція Якщо а = 0, то X = 0. Наприклад, коренем рівняння х = 7 є число коренями рівняння X = 5 є два числа: З означення арифметичного кореня п-го степеня випливає, що для будь-якого невід'ємного числа а має місце таке: yfä>0 і виконується рівність (%/а) =а. Наприклад, (л/7) =7. Покажемо, що при будь-якому а і А є N 2k + XI 2* + 1/— v - a = - va Для того щоб довести рівність 2 "*і[х = у, потрібно показати. що = Маємо: vaj =-1, va; =-a. Доведена властивість дозволяє корінь непарного степеня з від'ємного числа виразити через арифметичний корінь. Наприклад, = ^ Ї 2 = ->/Ї2. Вправи 6.1. Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте): 1 ) І27 = 3 ; 3 ) V - 2 7 = - 3 ; 5 ) 2 ) = 4 ) V L 6 = 2 ; 6 ) ^ 3 2 = 2 ? 6.2. Доведіть, що: 1) число 2 є арифметичним кубічним коренем з числа 8; 2) число 3 є арифметичним коренем четвертого степеня з чис- ла 81; 3) число -3 не є арифметичним коренем четвертого степеня з числа 81; 4) число 10 не є арифметичним коренем п'ятого степеня з чис- ла 10 000. 6.3. Знайдіть значення виразу: 1 ) V Ö 2 5 ; 3 ) ^ 0 , 0 0 1 6 ; 5 ) ^ З Ц ; 7 ) 4 < / 0 , 1 2 5 ; 9 ) 2 ) Л / 2 1 6 ; 4 ) V - 0 , 0 0 0 0 1 ; 6 ) 8 ) | ^ - 2 4 3 ; 1 0 ) № . 58
- 59. 6. Означення кореня л-го степеня « І . 1 . 2 11.5. 1 0.0. 1 0.7." 1 2 З 0.8." 1 2 6.9. 1 2 0.10 1 0.11 1 2 З 0.12 1 2 З Ї7- 4) -8 5 г и . V 1024' 5) ^27*; 6) 5) l ^ t f ; 6) Чому дорівнює значення виразу: /343; 3) 0,5 л/—64; 58 8 1 ' Обчисліть: (л/її)И ; 3) М / т Т ; 5) -іІТ*; 7)(-3*/lÖ)4 ; 9 ) ^ ^ 4 8 ^ . ЇЙ т 3 ; 6)(5^з)3 ; S ) ^ ) 6 ; Знайдіть значення виразу: № ) 8 ; 3) Ш Г ; Ш і 4) (|^45)% Обчисліть: 0,3 ?/і000-5^/256 + 6 - Р ^ б Г ; + (-2 л/їо)2 - V—128; V 256 У 32 16 2 / Обчисліть: 200 ф,001 - ^/-0,00032 - (-4 V ä f ; v/8000 - 4/7^ - (-^8 f + </Ї7 V 81 При яких значеннях змінної має зміст вираз: ^Тб; 3) і]у (у-1); 5) /а-10; 4) ^ ї ; 6) ^х2 +2х-8? Знайдіть область визначення функції: y = 2) у = Ч4-х; 3) у = 2х~х"; 4) у = Розв'яжіть рівняння: ж3 = 27; 4) ж4 = 16; ж3 = 9; 5) ж® = 5; ж7 = -2; 6) X* = -81; Розв'яжіть рівняння: ж9 = 1; 4) хІв = 0; t хв = 12; х10 =1; 5) X5 = -32; 6) X6 = -64; X -4л;+ 4 7) 27*3 - 1 = 0 ; 8) (ж - 2)3 = 125; 9) (ж + 5)4 = 10 000. 7) 64л:5 + 2 = 0; 8) (2х + І)3 = 8; 9) (х - З)6 = 729. 59 2
- 60. § 3. Степенева функція 6,13." Розв'яжіть рівняння: 1) л[х - 9; 4) [х = -6; 7) %І2х + 7= 0; 2, 5) у[х = —2; 8) л/2дг + 7= 0; 3) 3; 6) [х =0; 9) ^/2* + 7= 7. 6.14.' Розв'яжіть рівняння: 1) л/* =-2; 3) 2; 5) ІІЗх-2 = 0; 2) tfx =-2; 4) л/з* - 2 = 0; 6) УЗх-2 = 2. 6.15/ Побудуйте графік функції: і) 2) у - ш . 6.16/ Розв'яжіть рівняння: 1) - 82х4 + 81 = 0; 2) *6 + *3 - 56 = 0; 3) х12 + х6 - 12 = 0. 6.17.* Розв'яжіть рівняння: 1} хп - 25х3 - 54 = О; 2) *8 + ІЗ*4 - 48 = О. 6.18." Знайдіть область визначення виразу: і) 6.19." Знайдіть область визначення виразу: і ) ß ^ s 2) І ^ Ь І - і . x2 -S6 v ІІх +4 6.20." Розв'яжіть рівняння: 1) (х2 -4)і[х + ї = 0; 2) (Х-1)1 $Х2 -2Х-3=0. 6.21." Розв'яжіть рівняння: 1) = 2) (де + 2) /*2 + 2* - 3 = 0. 6.22." Побудуйте графік функції: 1) у = 2) у = 6.23.* Побудуйте графік функції: 1) у~х (л/*)4 ; 2) y = {^2 + ^f 6.24." Доведіть, що є ірраціональним число: 1) І2; 2) ^/б. 6.2 V Доведіть, що е ірраціональним число: 1) : ї[і 2) л/Ї2. 6.26." Залежно від значення параметра а визначте кількість ко- ренів рівняння: 1) (х-а)і[х + 1 = 0; 2) (х~а){і[х +1) = 0; 3) ( * - а ) ( ^ - і ) = 0. 60
- 61. 7. Властивості кореня п-го степеня Н.27." Залежно від значення параметра а визначте кількість ко- ренів рівняння: 1) (х + 1)у/х-а -0; 2) (х-1)({/х-а) = 0. І Властивості кореня п-го степеня Розглянемо теореми, які виражають властивості кореня п-го степеня. Т е о р е м а 7.1 (корінь із степеня). Для будь-якого а є К і k є N виконуються рівності: <1а = а "I Доведення. Для того щоб довести рівність 2к+ [х=у, достат- ньо показати, що у2 " +1 = х. Тоді перша з рівностей, що доводять- ся, є очевидною. Для того щоб довести рівність 2 і[х = у, достатньо показати, що у > 0 і у2 " = X. Маємо: а>0 і ( j o |)2 * = а2 ". • Теорема 7.2 (корінь з добутку). Якщо а>0іЬ>0,пєП, п > 1, то Доведення. Для того щоб довести рівність ІХ=у, де X > 0, достатньо показати, що у > 0 і у" = х. Маємо: 0 і Ф>>0. Тоді yfä-yfb> 0. Крім того, (у/а • л/ь)" = (л/а)" • {tfb)" = ab. А Зауважимо, що коли а < 0 і Ь < 0, п є N, п > 1, то 'ifab = yj—ä. • yj—b. Т е о р е м а 7.3 (корінь з дробу). Якщо а > 0 і Ь > 0, п є N, п > 1, то Vb ч/ъ Доведіть цю теорему самостійно. Зауважимо, що коли а < 0 і b < 0 61 , л є N, и > 1 , то V& ~ sf^b'
- 62. § 3. Степенева функція Т е о р е м а 7.4 (степінь кореня). Якщо а > 0, п є N, k в N, п > 1, то Доведення. Якщо k = 1, то рівність, що доводиться, є оче- видною. Нехай k > 1. Маємо: = ^ • ^ . . . . • Vö= qfo • а •... • а = tfcf. • ^ — • „ — • — - — ' j * МНОЖНИКІВ h множників Т е о р е м а 7,5 (корінь з кореня). Якщо а > 0, п є N, k є N, п > 1, k > 1, то Доведення. Маємо: ф / а >0. Крім того, =(Vö)*=o. • Т е о р е м а 7.6. Якщо а > 0, п є N, k є N, п > 1, то Доведення. Якщо k - 1, то рівність, що доводиться, є оче- видною. Нехай k > 1. Маємо: = ф]а* = А з І — ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу: 1) ^/16 • л/2; 2) 3J375 Розв'язання 1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо: ^ . ^ 2 = ^16-2=^32=2. 2) Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), ма- тимемо: л/І4 . Г 2 Г = 3 П Г _ 2 . V375 і25 5' * ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз: 1) l fä*; 2) 3) 4) « / я V , якщо д; > 0 і у < 0. Розв'язання. Застосуємо теореми 7.5 і 7.1. 1) 3 умови випливає, що а > 0. Тоді 62
- 63. 7. Властивості коренягс-гостепеня 2) = |. 3) * Л) Ураховуючи, що х > 0 і у < 0, можна записати: фсУ=ЇІ(ху)в = ху = ху = х(-у) = -ху. • ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік функції у = Цхв +х. Роз в я з Сі н нл» Оскільки IJC |, то у - І X І + X. Якщо X > 0, то у = X + X = 2х. Якщо X < 0, то у = -X + X - 0. 2х, якщо х>0, [О, якщо ж <0. Графік функції зображено на рисун- ку 7.1. • Отже, у - ю ; ! 1 0 рсі Рис. 7.1 І Вправи 7.1. Знайдіть: 1 ) 3 / 6 4 - 1 2 5 ; 3 ) ^ 2 1 0 * 7 5 ; 2 ) 0 6 2 5 . 8 1 ; 4 ) « / з , й - 1 0 2 4 ; 7.2.* Обчисліть: 5) З12 «її4 58 • 216 ' 1 ) ^ 0 , 0 6 4 - 3 4 3 ; 2 ) < / о , 0 0 8 1 - 1 1 4 ; 3 ) 4 ) в 2м . 3ій 7.3.° Знайдіть: 1) V2-V8; 2) ф , 0 5 4 • л/ї; /і35 6) / * ?/2в • 74 7) Vll-VSÖ-^/ll + ViÖ; 3) 4) j / L . •4Я28' 5) ^/з4 • 52 • ^/З8 • 54 ; 8) ^/б -ч/з +10 - ^/б л/з —10; 9 ) < / 3 - ^ / 3 . ^ / 2 7 - ^ 9 ; ^28-^20 10) 4/35 63
- 64. § 3. Степенева функція 7.4.° Чому дорівнює значення виразу: 1) >/25 • ч/б; т 2) W 3) ^ 2 1 5 - 5 3 . # - 5 4 ; 4) • 102 5) 6) ^2л/Ї7+10.^2л/Ї7-10; 8) Vl25-Vl8-V2.</8Ö? /10 • З 7.5. Чому дорівнює значення виразу: 1) ІЗ)4 ; 2) yj(-9f; 3) ^/(-8)в ? 7.6. Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо а > 0 і b > 0: 1) N/25а2 ; 2) V m ® ; 3) ^ 6 2 5 a ' V ; 4) І729а5і Ь1в . 7.7.° Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо m > 0 і л > 0: 1) І49тг ; 2) І125п15 ; 7.8. Спростіть вираз: 3) V0,000064m3 V 4) ^ V 7 . 1) 3) 2 /ft®; 5) ' ^ V 7 ; 7) ^81; 9) VTTIV' 2) 4) 6) 8) 7.9.° Спростіть вираз: 1) 3) ^ 2) 4) 5) 7) /б4; 6) /27; 8) № 7.10." Подайте вираз %/a у вигляді кореня: 1) четвертого степеня; 3) десятого степеня; 2) шостого степеня; 4) вісімнадцятого степеня. 7.11.° Подайте вираз sfb , b > 0, у вигляді кореня: 1) шостого степеня; 3) п'ятнадцятого степеня; 2) дев'ятого степеня; 4) тридцятого степеня. 64
- 65. 7. Властивості кореня гс-го степеня 7.12.' При яких значеннях о виконується рівність: 1) $fä*=a; 2) tfa*=-a; 3) Ja* = а; 4) № = 5) fa-5)3 )'; 6) yj(a - 5)4 = (л/ö^ö)4 ; 7) 2)4 8) ^/а (а -1) = л/а - ^(1 - а); 9) = а—4; Ю) = 7.13.' При яких значеннях а виконується рівність: 1 2 ) ^ = -а5 ; З = 4) = 7.14.* При яких значеннях а і Ь виконується рівність: 1) 3) = 5) = 2) ifäb = $Pä-iPb; 4) = 7.15." При яких значеннях ж виконується рівність: 1) $Іхг -4 = і]х~2-ІІх + 2; 2) %](х-3)(7-х) = Ух-3-$І7-х; 3) «/(*-бНх-ІО^^х^б-л/х-Ю; 4) ^(х + 1)(х + 2)(х + 3 ) = ^ л Г ^ - ^ х + 2-^/х + 3? 7.16." Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить знака кореня: 1) 3) V«18 ; 5) yjm16 ; 2 ) 4 ) , 4 ^ ° ; 4 ) ^ " ; 6) ^(х-5)'2 . 7.17." Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить знака кореня: 2) 3) 4) і т - у ) и .1) 1 , 2 ^ ; уу 7.18.* Спростіть вираз: 1) л/т® якщо т > 0; 2) якщо п < 0; 3) ^16р якщо р > 0; 4) /256fe8 , якщо ft < 0; 5) 6) jo,25bu , якщо і> < 0; 7) - Я К І Ч0 f > 0; 8) 70,01a V якщо a < 0, > 0; 9) -1,2х л/б4хм , якщо х < 0; 10) 4/ ЇВ, 28 32 у/а Ь с а о с , якщо о > 0, b < 0. 65
- 66. § 3. Степенева функція 7.19.' Спростіть вираз: 1) ^625а24 ; 5) -0,1 000 000г42 , якщо г > 0; 2) </0,0001&20 , якщо Ь > 0; 6) 1 $т36 п60 , якщо т < 0, п < О; 3) -5 yfÄx*, якщо ж < О; 7) ab2 ^ ^ V V 4 , якщо Ь > 0, с < О; gm3 4 І 40 4) ^p30 q40 , якщо р > 0; 8) ]}25бтм' якщо т < 0, k > 0. 7.20.* При яких значеннях а виконується нерівність: 1) 2) 7.21.' Спростіть вираз: 1) [а* + а, якщо а > О; 3) s/o^ + Vö4 ; 2) якщо а < 0; 4) -Уа2 - л/а7 . 7.22.* Розв'яжіть рівняння: 1) фх + 4? = х + 4; 3) $J(x2 -2x-3f = 3 + 2х-х2 . 2) t](l-3x)8 =(1-3х)2 -, 7.23.* Спростіть вираз: 1) ^/(Тб-2)3 ; 2) 3) ^ Ш - S f i 4) 7.24.' Спростіть вираз: 1) 2) І Ш - J E f ; 3) І Ш - З ) 3 ; 4) ^ / 7 - з ) 7.25.* Побудуйте графік функції: 1) у = ЇІ7-х; 4) y = !](x-2)s ; б) у = - і + 2 ; 2) у = 2х + № і 5) у = 7) у = № . 3) у = 7.26." Побудуйте графік функції: 1) у=№-2х; 2) y = 3) у = де 7.27.* Розв'яжіть рівняння: 1) № = х-4; 2) 3) 2Ї& = х+3. 7.28.' Розв'яжіть рівняння: 1) ^/ж8 =ж + 8; 2) 1 ^сІ2 =6д:-10. 7.29.* Розв'яжіть рівняння </(*-З)4 +%](5-х)6 =2. 7.30.* Побудуйте графік функції у = ^/(л +1)8 + - З)2 . 66
- 67. 8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені /г-гостепеня І Тотожні перетворення виразів, які містять 9 корені it-го степеня Користуючись теоремою про корінь з добутку, перетворимо вираз V48: */Ї8 = 4/16.3 = ^16.^/3 = 2^3. Отже, вираз л/48 подано у вигляді добутку раціонального числа 2 та ірраціонального числа л/з. Таке перетворення назива- ють винесенням множника з-під знака кореня. У даному ви- падку було винесено з-під кореня множник 2. Розглянемо виконане перетворення у зворотному порядку: 2 ^ 3 = ^ 1 6 . ^ 3 = ^16.3 = ^48. Таке перетворення називають внесенням множника під знак кореня. ПРИКЛАД 1 Винесіть множник з-під знака кореня: 1) І250; 2) І162аЙ ; 3) ; 4) tf-b"; 5) ^/ÖV, якщо а < 0. Розв'язання 1) Подамо число, яке стоїть під знаком кореня, у вигляді до- бутку двох чисел, одне з яких є кубом раціонального числа: ^/250 =$/125.2 = 5^/2. 2) /і62а8 = ^/81а8 • 2 = Заг • ^2. 3) 3 умови випливає, що & > 0. Тоді 4) 3 умови випливає, що b < 0. Тоді їРь" = ffi^bf = І б5 І ^ = -Ьь . 5) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді ПРИКЛАД 2 Внесіть множник під знак кореня: 1) -2 2) а уі7 і3) в 4f7i 4) зг>^|. Розв'язання 1) -2 /з = —/б4 • л/з = —/і92. 2) Якщо а ^ 0, то а W = № • № = ІІТа*; якщо а < 0, то atff -tff = -УІ7а*. 67
- 68. § 3. Степенева функція 3) 3 умови випливає, що с > 0. Тоді с 1 ^ / = = Щfc 4) 3 умови випливає, що b < 0. Тоді 3bfl= -Vsib1 . f l =^81 b4 . (_|) = • ПРИКЛАД В Спростіть вираз: 1) ^54о + 3/Ї60-її2000а; 2) ^ 4 ^ 4 ; 3) і/4->/7 -^23+8>/7. Розв'язання 1) Маємо: + Щба - ?/2000а = ^27 • 2а + *}8 • 2а - ^/іООО • 2а = = 3 $І2а + 2 і/2а -10 л/2а = - 5 ^ . 2) Внесемо множник 4 під знак кубічного кореня, а потім скористаємося теоремою про корінь з кореня: і3 ". Далі, використовуючи теорему 7.6, остаточно отримуємо: 3) У]4~уі7 -^23+8л/7 =Щ4-І7)2 -^23+8^7 = = ^16-8^7+7-^23 + 8УІ7 = ф з - 8 У7)(23 + 8 л/7) = = ^232 -(8V7 )2 = ^/529-448 = ^/81=3. • ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб: 1) 2) 3) ^ ^ ^ г-. /і>+1 і[2 Ja-2Vab + yJb Розв'язання 1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отри- муємо: + 1 л/fc+l оч 2-ЗІІ2 -ЗІІ2 jifeitä-З) Q 2 ) " w 3) Розклавши чисельник і знаменник даного дробу на множ- ники, маємо: Ja-2 ifeb+yfb (^-Vb)2 V^-Vb' * 68
- 69. 8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені /г-гостепеня ПРИКЛАД 5 Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) 2) — 2?/з 2-v3 Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу озна- чає перетворити дріб так, щоб його знаменник не містив знака кореня л-го степеня. Розв'язання. 1) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на /з% отримуємо: 15 _ _ 1 5 _ 1 5 _ 5 Ш 3 ~ 2-3 ~ 2 * 2) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на не- повний квадрат суми чисел 2 і /3, отримуємо: 5 _ 5(4 + 2^/3 + ^/9) _ 5(4 + 2^/3 + ^9) _ 2-*/3 (2 - %/з) (4 + 2 л/з + /э) 23 - (л/з)3 8-3 ПРИКЛАД 6 Доведіть тотожність 2 klа, tfn-ЇІь їк-Уь ІІЬ-ІЇї •Ja ab + Розв'язання. г + - £ 2 yfäb 4 HZ-Уъ ijb-ifc v r Уа — tfi+ЇІЬ = Щ Щ Щ Ж ) W f l _ V b J = - - ®/а + = m ПРИКЛАД 7 Скоротіть дріб MJab Розв'язання. З умови випливає, що числа а і Ь однакового знака. Розглянемо два випадки. Перший випадок: а > 0 і Ь > 0. Маємо: Vfa + Sfb ^ •^ +^ . ^ _ ^ +^ ) _ ^ + ^ 69
- 70. § 3. Степенева функція Другий випадок: а < 0, b < О. Маємо: Vjab ^-а • Випадок, коли а < 0 і b < 0, можна розглянути інакше. Нехай а = -X, b - -у, де X > 0, у > 0. Маємо: ПРИКЛАД 8 Доведіть,що 3->/2 • • ^49-20ч/б = л/з->/2. Розв'язання. Маємо: ^ / з ~л/2 • ^5-2 >/б • ^49-20V6 = = ^(•>13-^2)' -^5-2л/б-^49-20х/б = = ^5-2Тб -^5—2 V6 -^49-20 >/б = = ^(5-2л/б)2 -^49-207б =^/49-20л/б-^49-20N/6 = = ^(49 - 20 7б )2 . ^49 - 20 л/б = ^(49- 20 VfS)3 = </49 - 20 ч/б - = ^(5-2л/б)2 =Л/3-%/2. • ПРИКЛАД 9 Доведіть, що ^9 + УІВО + </9-780 = 3. Розв'язання. Нехай Скористаємося тим, що (а + Ь)3 = а3 + Ь3 + За6(а + Ь). Маємо: ж3 =9+л/80 + 9-%/80 + 3^9 + л/80.^9-л/80 .(fc + JsÖ + Звідси ж3 = 18 + Зж; ж3 - Зж - 18 = 0. Розглянувши дільники.числа 18, нескладно установити, що ж = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен ж3 - Зж - 18 на двочлен ж - 3, отримуємо ж2 + Зж + 6. Маємо: (ж - 3) (ж2 + Зж + 6) = 0. Це рівняння має єдиний корінь ж = 3. • 70
- 71. 8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені /г-гостепеня Г 8.1.° 1 2 8.2." 1 8.3.° 1 2 8.4.° 1 2 8.5.° 1 8.6. 1 2 8.7.° 1 2 8.8. 1 2 8.9.° 1 2 8.10 1 Вправи Винесіть множник з-під знака кореня: ?/ї6; 3) уі2Ь0; 5) ^40аг '; ч/їб2; 4) >/7290; 6) ^ V ; Спростіть вираз: - | ^ 4 ; 2) ±{/б40; 3) |^686; о о 7 Винесіть множник з-під знака кореня: 4/Ї86; 7) ЇІ-54а%9 ; 8) л/-108а7 Ь10 . 4) -1,2^/96. 5) 3) ^432; 4) ^30 000000; 6) V243fcV8 . Внесіть множник під знак кореня: 2л/3; 3) -10^/0,271; 5) 5</0,04лг; 7) Ь^/ЗЬ7 ; 4^/5; 4) | ^ 4 ; 6) Внесіть множник під знак кореня: І^/320; 2) 2^7; 3) 5^4а; 4) 0,3^100са ; 4 Замініть вираз на тотожно рівний йому: >/б25->/320-лЯзб+ /40; 8) с * " ї2 ' 5) 2*3 (fi-. ІІ5Ст + /-189т - ^/-8In -1,5 ^24^ + ^/448m. Спростіть вираз: ^4-3^/16+5^/128 + ^/2000; >/б25а +ЗлЯба—2л^1а+4 л/і296а. Спростіть вираз: ffi3; 3) t / ö W ; 5) ^ W ; 3/3W; 4) ^/bW; 6) ^2 f2~j2. Спростіть вираз: 3) 5) ф ї І Ї ; 4) tf Спростіть вираз: (і + у/а + fcf) (l — /a); 6) Ца V« . 2) (l + >/^)(l + ^ ) ( l - V e ) . 71
- 72. § 3. Степенева функція 8.11. Спростіть вираз: 1 2 8.12 1 2 Ja-Sfb; 3 yfm-l yfn; 8.13 Подайте 1 ifx-ІЇс; 2 8.14 1 2 З 8.15 1 2 8.16 1 2 Подайте у вигляді кореня вираз: '-V 4) 1 Г 71 5) 8) ifä*b-lfäi?-l №b; 6) jäÄfa -yfa; 9) а V Sab2 [ab 3) а • VÖ • л/а; 5) fy* ^yfy*', 4) £ 6) V Обчисліть значення виразу: + 4) ^ / 0 2 5 Ш + З Ї І 3 2 5 ) Ш + Щ . 4 + 3 v2 (2 $/2 - 2 V5 + $/lÖÖ) № + V4); Обчисліть значення виразу: з, f f . Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: к' 3) 1 5) ю . V i ' 7) 9) X2 № і . ' 4) 12 6) 18 . 8) 12 . 10) a + b a + bf 72
- 73. 8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня 8.17.° Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: Гз' 2) 20 3) 4) Va' 15 ч/25 </27 * 8.18. Скоротіть дріб: 4а-yfb. 5) 6) 10 № 24 7) Уа 1) 2) 3) 4) л/m-tfn т [т — *Jn yfx -9. 4т + m-yjm3 8.19/ Скоротіть дріб: 6 4Z +11) 2) fm -ijmn. /ти ~4n 5) 6) 7) 8) 3) 4) $ab2 a2 b 1 4äb+4b' atfi? ьЩа2 J~jc2 + 4 ч/х + 16 х-64 а — i> а 4ь~ь4а 4äb 9) 10) U ) 12) 5) 6) т5 8 ) ^ 4ä + 4b 2-$2. $2 ' </П +УІ. ч/і2+л/2' а--у/а ч/аЬ + ч/а 2 Л а 2 ' З + ІІЗ 4~з ' 8.20.* Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1 „ , 1 5 5 1) 2) $2+1 2 3) 4) 7 5) 2 + $І' $5-$з' 4/25 - 4/20 + ' 8.21,' Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1 .v. 271) 2) 2 3) 4) 11 $81+$63 + $49' 3-</5 8.22." Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 1 ^ + ^4+^8+^16 + ^32 ' 8.23.' Доведіть, що значення виразу є цілим числом: 1 1 1 : + - Г+...+ " ч + фГз+$д? л/9992 + $999 • 1000 + ч/іООО2 73
- 74. § 3. Степенева функція 8.24/ При яких значеннях а і & є правильною рівність: 1) ifc№=abtlab-, 2) $fä*b = al!b; 3) $[а*Ь = -а$1ь? 8.25/ Винесіть множник з-під знака кореня: 1) tf^rf; 5) ^/l62aW * , якщо а > 0, с < 0; 2) ilab b13 , якщо а > О; 6) ^/а15 Ь15 ; 3) ^ У , якщо * Ф 0; 7) Ц-а'^Ь™. 4) л/з2ті ,18„17.im п 8.26." Винесіть множник з-під знака кореня: 1) ІІ32а3 , якщо а < 0; 3) якщо а < 0, Ь < 0; 2) і1-62Ьа5 ; 4) !ах 'Ь19 , якщо а > 0. 8.27/ Внесіть множник під знак кореня: 1) а ІІ2, якщо а > 0; 4) Ь^б; 2) ab в якщо а > 0, b < 0; 5) аЗ їїa b 3) тп: 6) abSlrtf, якщо b < О. V т п 8.28/ Внесіть множник під знак кореня: 1) суіЗ, якщо с < 0; 4) a b f - ^ j , якщо а < 0; V a b 2) a $fa; 5) а ї Р а * . 3) -ab /б, якщо а < 0, b > 0; 8.29/ Знайдіть значення виразу: 1) %/л/ІО-З *^/і9+6 лЯО; 4) ^4 + 2>/2-^/б-4ч/2; 2) Я Г Т Я . & П 5, v 2 — 1 3) ^/>/15 + 4-'^31-8 >/l5; 8.30, Знайдіть значення виразу: 1) ^7-4 л/з '^2+л/З; 2) ^2Уб-1-^25+4 8.31/ Спростіть вираз: ^ | 1 yfä + l І. Vä л/а-1 л/ä J 1' 74
- 75. 8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені /г-гостепеня •Ja + 27 ( Ja-3 tftä-9 /а-3%/а+9 -Ja +27la-* 2) 3) 4) 5) 6) 7) IJa + 1 Ja-1 8.32.* Доведіть тотожність: 6 - е «zi! - f - L + J L > {l'za + zja* 1) ^ж+1 л/* J"$/x+2$/*+l * а + ö ЩаЬ2 -ЩаЧ 2) + 3) л/а + л/аЬ -Jä-4b sfä + ifb •Jä+ifäb yfa+^fb + 4^lm-4: •yjjm.^4 +2 m-4 %/m-4 4) і =—,• * = 1. ^/m-4>/m-4 •^•Jtn-4-2 m_8 8.33." Доведіть, що значення виразу є числом раціональним: 1) ^7 + 5>/2+^7-5V2; 2) ^/б^3+10-^/бл/З-10. 8.34." Доведіть, що ^20 + 14 >/2 + ^20-14 V2 = 4. 8.35." Наведіть приклад такого многочлена з цілими коефіцієн- тами, що число ч/З + л/9 є його коренем. 8.36. Наведіть приклад такого многочлена з цілими коефіцієн- тами, що число л/2+3 є його коренем. 75
- 76. § 3. Степенева функція 8.37." Доведіть, що е ірраціональним число: 1) i ß + Щ ; 2) $B + yf2. 8.38." Доведіть, що є ірраціональним число: 1) Ф - І З ; 2) + 8.39." Спростіть вираз (3 ^2 +1) (#2 +1) $ 2 +1) Ш +1) Ш +1). 8.40." Спростіть вираз {6 $а + І){3 $а + ї)'...-{yfä+ і). 8.41." Спростіть вираз Ч'з" + ф 1 3 • 2 + • 22 +... + '^Ії11 . 8.42." Спростіть вираз - ^ 31Б • 2 + ф " - 22 -... + Ч б " . 8.43." Доведіть рівність J 2 + УІ2+І.. + ЛІ2 + Ш = + & + W i2-S. 10 радикалів 8.44," Доведіть рівність ]12 + ^2 + УІ2+^2 + У/2 + 4І4 +в </б-л/35. 8.45.* Доведіть тотожність Рамануджана1 + — л/v/2—1. І Обернена функція На рисунках 9.1, 9.2 зображено графіки функцій / i g . Будь-яка горизонтальна пряма перетинае графік функції f не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу є £ {/) відповідає єдине число JCq є Z) (/) таке, що у0 = f (ж0). Функція g такої властивості не має. Справді, з рисунка 9.2 видно, що зна- ченню г/ц відповідають два значення аргументу і х2 такі, що У0 = ё (*t) iy0 = g (х2). Означення Функцію у = f(x) називають о б о р о т н о ю , якщо для будь-якого У0 є Е (f) існує єдине Х0 є D (f) таке, що y0 = f (*0). Функція f (рис. 9.1) є оборотною. Функція g (рис. 9.2) не є оборотною. 1 Рамануджан Срініваса Айєнґар (1887-1920) — індійський матема- тик, член Лондонського королівського товариства. 76
- 77. 9. Обернена функція У 1 У0 1 у = Пх) / 0 Рис. 9.1 Рис. 9.2 Функції у ~ X, у =—, у = є прикладами оборотних функцій X (рис. 9.3). Функція у = X2 не є оборотною. Наприклад, значенню функ- ції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу х( = -2 і *2 = 2. Т е о р е м а 9.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною. Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція f, яка не є оборотною. Тоді знайдеться у 0 є Е (/), для якого існують JC, і х2 (JCJ < JC2) такі, що f (JCJ) = f (;с2) = y0. Разом з тим функція f — зростаюча, і з нерівності х1 < х2 випливає, що f (jct) < f (ж2). Отримали суперечність. Аналогічно розглядається випадок, коли функція f є спад- ною. А Зазначимо, що обернена теорема не є правильною, тобто не будь-яка оборотна функція є зростаючою (спадною). у > У У 1 и "Гх А0 * — ^ ^ X X Рис. 9.3 77
- 78. § 3. Степенева функція Наприклад, на рисунку 9.4 зображено графік оборотної функ- ції, яка не є ні зростаючою, ні спадною. Розглянемо функцію у = f (х), задану таблично: У' 1 / > » 0 X Рис. 9.4 х 5 6 7 У 7б Я Функція f є оборотною. Поміняємо рядки таблиці місцями і розглянемо функцію у = g (х), задану отриманою таблицею: X У 5 6 7 Функції f і g зв'язані такими властивостями: 1) D (/) = Е (В) і Е (Л = D <g); 2) /<5) = >/5, g{&) = 5; f(6)=&, вШ=ь f(7) = V7, шШ = 1. ЦІ рівності означають, що коли f (х0) = у0, то g (у0) - xQ. У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Такі функції f i g називають взаємно оберненими. О з н а ч е н н я . Функції f і g називають в з а є м н о оберненими, якщо: 1) D ф = Е (g) і Е (f) = D Of); 2) для будь-якого xQ є D {f) з рівності f (XQ) = у0 випливає, що ё (уof = *о' то6то 8 У (ж 0)) = Не- можна показати, що другу умову в означенні можна замінити на таке: для будь-якого х0 є D (g) з рівності g (х0) = у0 випливає, що f (у0) = х0, тобто f (g (хс-)) = х0. Коли функція / не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену. ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція f (х) = 2х - 1 є оборотною. Знайдіть обернену функцію. Ро 36 ЯЗ О.НИ.Я. Функція f(x) = 2х - 1 є зростаючою. Отже, вона є оборотною. 78
- 79. 9. Обернена функція Щоб задати обернену функцію, потрібно вказати правило, яке дає змогу за кожним значенням змінної у знайти відповідне значення змінної х таке, що у = 2х — 1. • Маємо: 2х - у + 1; х =V 2 Отримана рівність задає функцію з аргументом у і залежною змінною X. Традиційно незалежну змінну позначають буквою х, а залеж- ну — буквою у. Дотримуючись таких позначень, можна сказати, де+1 що ми отримали функцію, яка задається формулою у = : 2 Покажемо, що функції g (де) = ^ ^ і f (JC) = 2дс - 1 є взаємно оберненими. Маємо: D (f) = Е (g) = R, Е (f) = D (g) = R. Нехай f (х0) = у0, тобто у0 ~ 2хд - 1. Доведемо, що g (у0) = xQ. , Уо+І 2д:„ -1 + 1 Маємо: g (у0) = -ü^—= — = х0. т Функція у = X2 не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає на проміжку [0; +«•). Отже, функція f (ДЕ) = JC2 , £>(/) = [0; +«=), є оборотною. Також прийнято говорити, що функція у = хг є оборотною на множині [0; Знайдемо обернену функцію. Маємо: у - х2 , де х є [0; +«>). Звідси ^y=yfx2 - х = х. Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функ- цію y = Jx. Покажемо, що функції f (je) = де2 , D (/) = [0; і g(x)=yfx є взаємно оберненими. Маємо: D (f) = Е (g) = [0; +<~), Е (f) = D (g) = [0; +<»). Нехай f (де0) = у0, тобто у0 = х2 , де х0 > 0. Запишемо g(y0) = = -Jyö= ~І -"-о І ~ х о- Т е о р е м а 9.2. Графіки взаємно обернених функцій симе- тричні відносно прямої у = X. Доведення. Нехай точка М (а; Ь) належить графіку функції У - f (*)• Тоді Ь = f (а). Якщо функція g обернена до функції f, то g (ft) = о, тобто точка N (ft; а) належить графіку функції у = g (де). Покажемо, що точки М і N є симетричними відносно прямої у = X. Якщо а = ft, то точки М і N збігаються і належать прямій у = де. 79
- 80. § 3. Степенева функція При а * b маємо (рис. 9.5): ON = -Ja2 +b2 , ОМ ~ Ja2 +b2 , тобто точка О рівиовіддалена від кінців відрізка MN, а отже, належить серединному перпендикуляру відрізка MN. Середина К відрізка MN має коорди- нати la + b g + b 2 ' 2 }' тобто належить прямій Рис. 9.5 у = х. Отже, пряма у = х і є серединним перпендикуляром відрізка MN. А Доведену теорему ілюструють графіки взаємно обернених функцій, що розгляда- лися вище (рис. 9.6). У' 1 * / / ч ^ ^ / І х / 's/ / V /у / а) б) Рис. 9.6 Т е о р е м а 9.3. Якщо функція f є зростаючою (спадною), то обернена функція g є також зростаючою (спадною). Доведення. Припустимо, що функція f — зростаюча і при цьому обернена до неї функція g не є зростаючою. Тоді знайдуться такі ух є D (g) і у2 є D (£), що з нерівності < у2 випливатиме нерівність g (у,) > g (У2). Нехай g (уг) = xv g (у2) = х2. Отримуємо, що Xj ^ х2. Оскільки функція f — зростаюча, то f (JCj) > f (х2), тобто і/, > у2. Отримали суперечність. Для спадної функції міркуємо аналогічно. *> Т е о р е м а 9.4. Спільні точки графіків зростаючих взаємно обернених функцій лежать на прямій у = х. Доведення. Нехай М (а; Ь) — спільна точка графіків взаємно обернених зростаючих функцій f i g . Доведемо, що а = Ь. Будемо міркувати від супротивного. Припустимо, напри- клад, що а < Ь. Оскільки графіки взаємно обернених функцій 80
- 81. 9. Обернена функція f і g симетричні відносно прямої у = ж, то точка N (Ь; а) є для них спільною. У силу зростання функції f можна записати: f (а) < f (b). Але f (а) = b, f (Ь) = а. Отримали b < а, що суперечить припущенню а < Ь. Аналогічно розглядається випадок, коли а > b. Таким чином, а = b. А З а у в а ж е н н я . Звернемо увагу на те, що умова зростання у формулюванні теореми 9.4 є обов'язковою. Наприклад, функції F (Х) = -X Ї G (ж) = -X є взаємно оберненими, проте їх спільні точ- ки, наприклад А {—1; 1) і В (1; -1), не належать прямій у = х. Наслідок. Якщо функції f i g — взаємно обернені і зроста- ючі, то рівняння f (ж) = g (ж) рівносильне кожному з рівнянь [ (ж) -- ж або g (ж) = ж. Доведіть цю теорему самостійно. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння yJ*Jx+5= ж-5. Розв'язання. Зробимо заміну — t. Отримуємо lt + 5 = t2 -5. Розглянемо функції f (t) = Vf+5 і g (f) = t2 - 5, D (g) = [0; Ці функції є взаємно оберненими і зростаючими. Тоді з наслідку теореми 9.4 випливає, що рівняння Jt + 5 = t2 -5 рівносильне системі 5 = t, . 1 + У2Ї Звідси t . t> 0. 2 Тепер можна записати >[х - 1+V21 ж = - Відповідь: 22 + 2 УІТ 11 +Угї 4 ~ 2 I I + V2T Г Вправи 9.1.* Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 9.7, є оборотними? У і ґ J у У' 1 У ' У > X ( 0 * / о ж а) Б) Рис. 9.7 81 є) У[ і 0 ж г)
- 82. § 3. Степенева функція 9.2/ Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 9.8, є оборотними? V 1 у 0 X у. L 0 0 а) б) в) г) Рис. 9.8 9.3/ Доведіть, що дана функція не є оборотною: l)j/ = |*|; 2) у = - 3) у = 5; 4) У = [ас]. 9.4/ Доведіть, що функції / і g є взаємно оберненими: 1) f (*) = § + § , £ ( * ) = 3 * - 1; 2) = ^ 3 ) = g ( X ) = X2 - 2, D {g) = [0; +»). 9.5/ Доведіть, що функції f і g є взаємно оберненими: 1 ) / ( * ) = 4* + 2, = 4 2 2) f (X) = *+1' ' 1-х' 3) f (X) = (X - З)2 , D ( f ) = [3; +°=), g(x) = ^ + 3. 9.6/ Знайдіть функцію, обернену до даної: 1 1) у = 3х- 1; 2) у = - 3) у = 2х + 1 4) у = |х + 4. 9.7" Знайдіть функцію, обернену до даної: 4 1) у = 0,2* + 3; 1 2) у = х-Ґ 3) У-у х + 2 4) у = 4х - 5. 9.8/ Знайдіть функцію, обернену до даної: 1) У- х-Ґ 2) у = л/2х-1; 3) у = 2yßc-l; 4)у = х D(y) = (-°o-, 0]; 82
- 83. 9. Обернена функція 5) у = 1 - х 6) у = yJx-2, якщо X>З, 1+ж' ' [2х-5, я к щ о х < 3 . 0.9.* Знайдіть функцію, обернену до даної: 1) У = х + 2 3) у = $хг -4, D (у) = [2; +«); І2-х2 , якщо х>1, 2) у = 4) у = yjx [2-х, якщох<1. 9.10.* Побудуйте в одній системі координат графік даної функції і графік функції, оберненої до неї: , ГX, ЯКЩО X > 0, 1) у = -0,5х + 2; 2) у = [х + 1; 3) у = [2х, я к щ о х < 0 . 9.11.* Побудуйте в одній системі координат графік даної функції і графік функції, оберненої до неї: у[х, ЯКЩО X > 0, 1) у = Зх - 1; 3) У = < 2) у = X2 - 4, якщо X > 0; -X, якщо х<0. 9.12.* Користуючись графіком функції у = f(x), зображеним на ри- сунку 9.9, побудуйте графік функції, оберненої до функції f . У>1 / / j /1 0 1 г і" • • 1 5 — --s / і - h і - JІ yt t і V 0 X а) б) Рис. 9.9 Рис. 9.10 9.13." Користуючись графіком функції у = f (х), зображеним на ри- сунку 9.10, побудуйте графік функції, оберненої до функції f . [xz +l, якщо 0 < х < 1 , 9.14.* Доведіть, що функція у [Vx-1, якщо К ї < 2 з оберненою до неї функцією. 83 збігається
- 84. § 3. Степенева функція 9.15.* Доведіть, що функція, обернена до лінійної функції у = kx + Ъ при fe * 0, теж є лінійною. 9.16." При яких значеннях параметрів fei b функція у = kx + b, де fe * 0, буде збігатися з оберненою до неї функцією? 9.17." При яких значеннях параметрів а і Ь функція у = —-—, ax + t> де а * о, буде збігатися з оберненою до неї функцією? О—* 9.18." Доведіть, що функція, обернена до непарної функції, теж є непарною. 9.19." Нехай g — функція, обернена до функції f (х) = х5 + 6хй . 1) Знайдіть g (7). 2) Розв'яжіть рівняння g (х) = —1. 3) Скільки коренів має рівняння g (х) = с залежно від зна- чення параметра сі 9.20." Нехай g — функція, обернена до функції f (я) = хя + -Jx-2. 1) Знайдіть g (28). 2) Розв'яжіть рівняння g (х) = 1. 3) Чи існує таке значення с, що рівняння g (х) = с має два корені? 9.21." Функція g є оберненою до функції f (х) = х3 + х - 3. Розв'яжіть рівняння g (х) = Xs + х + 3. 9.22." Функція g є оберненою до функції f (х) = х3 + х + 12. Розв'яжіть рівняння g (х) = X3 + X - 12. 9.23." Функція g є оберненою до функції f (х) = х5 + х - 1. Розв'яжіть рівняння f (х) = g{x). 9.24." Функція f є оберненою до функції g (х) = х3 + х - 8. Розв'яжіть рівняння f (х) = g (х). 9.25." Розв'яжіть рівняння J x - - =х2 +-. 8 8 9.26." Розв'яжіть рівняння Л/І + Л/Х =Х-1. 9.27." Знайдіть функцію g, обернену до функції f (х) = х2 , D(f) = (-1; 0] U [3; 4). 9.28." Знайдіть функцію g, обернену до функції f (х) = -х2 , D{f) = [-3; -2) U [0; 1). 9.29." Функція f є такою, що для всіх х є М виконується рівність f (f (х)) = X. Доведіть, що f — оборотна функція. 84
- 85. 9. Обернена функція 9.30." Функція f і оборотна функція g такі, що для всіх х € Е виконується рівність f (/ (дг)) = g (X). Доведіть, що f — обо- ротна функція. 9.31." Чи існує оборотна функція f така, що D ( / ) = N U {0}, Е ( f ) = N? 9.32." Чи існує оборотна функція f така, що D {/) = Z, Е (Я = N? 9.33.* Чи існує оборотна функція / така, що D ( f ) Q, Е ( f ) = W 9.34.* Чи існує оборотна функція / така, що D ( f ) = [0; 1], E ( f ) ~ [0; 1)? 9.35.* Чи існує оборотна функція / така, що D ( f ) - [0; 1], Е (Я = N? 9.36.* Чи існують такі взаємно обернені функції f i g , що при всіх х е 1 виконується рівність f (х) = 2g (де)? 9.37.* Наведіть приклад таких взаємно обернених функцій f i g , що при всіх і е R виконується рівність f (х) - g (х) = X. 9.38.* Функція f має обернену функцію g. Відомо, що нерівність ІАГ-ІС/ГДОС-ЛТ + І виконується для всіх X є Ж, а рівняння 2 2 g (я) = 10 - 2х2 має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь наближено з абсолютною похибкою1 0,25. 9.39.* Функція f має обернену функцію g. Відомо, що нерівність 2х - 8 < f(x) < 2х - 6 виконується для всіх де є R, а рівняння g (х) = 2х2 - 3 має один додатний корінь. Знайдіть цей корінь наближено з абсолютною похибкою 0,1. 9.40.* Функція g є оберненою до зростаючої функції f такої, що D (Я = [0; 1], Е <Я = [0; 1], f (0) = 0, f (1) = 1. Доведіть нерівність 9.41.* Функція g є оберненою до зростаючої функції f такої, що D (Л = [0; 11, Е <Я = [0; 1], f (0) = 0, f (1) = 1. Для довільного п є N доведіть нерівність 1 Абсолютною похибкою називають модуль різниці між наближеним і точним значенням величини, 85
- 86. § 3. Степенева функція 9.42.* Знайдіть усі функції f такі, що для будь-яких х є R, у є R виконується рівність xf {f (х) - 2у) = 9х (X - у) + yf (х). 9.43.* Знайдіть усі функції / такі, що для будь-яких х є R, у є R виконується рівність yf (f (у) - 2х) = у (X + у) - xf (у). Львівська математична школа Ви тримаєте в руках підручник «Алгебра і початки аналізу». У назві з'явилося нове словосполучення — «початки аналізу». Щ о ж приховано за цією назвою? Відповідь дуже про- ста — математичний аналіз вивчає функції. З цього року ви починаєте знайомство з елементами аналізу; вам доведеться розглядати все нові й нові класи функцій, вивчати їх властивості, опановувати методи до- слідження функцій. У першій половині X X ст. при вивченні певних класів функцій з'явилася нова математична дис- ципліна, вершина сучасної матема- тики — «функціональний аналіз». Важливу, фактично головну роль у створенні цієї дисципліни відіграли науковці Львівської математичної школи. У 20-30-х pp. X X ст. місто Львів було справжньою світовою математичною столицею. У той час у його закладах працювали такі легендарні математики, як Казимир Куратовський, Станіслав Мазур, Владислав Орліч, Вацлав Серпінський, Станіслав Улам, Юліуш Шаудер, Гуґо Щтейнгауз та ін. Кваліфікація науковців Львова була настільки високою, що всесвітньо відомий матема- тик, автор видатних теорем у математичній логіці та теорії мно- жин Альфред Тарський не пройшов за конкурсом на вакантну посаду професора Львівського університету. Математики Львова створили міцний науковий колектив, відо- мий як «львівська математична школа». Її керівником вважають геніального математика Стефана Банаха. Підручник Банаха «Курс функціонального аналізу» 86
- 87. Львівська математична школа 5Стефан Банах (1892-1945) Вручення гусака Сьогодні С. Банаха в усьому світі з цілковитою підставою вважають засновником функціонального аналізу. Один з перших у світі підручників з цієї дисципліни написано самим С. Банахом. Багато результатів С. Банаха та введених ним понять стали кла- сичними. Наприклад, досліджені ним множини одержали назву «простори Банаха» і зараз входять до необхідного мінімуму знань кожного студента-математика, фізика, кібернетика тощо. Розповідають, що багато теорем львівські математики доводи- ли... у кав'ярні. С. Банах з учнями облюбували «ІІІкотську (шот- ландську) кав'ярню», де маленькі столики мали мармурове по- криття — дуже зручне для запису математичних формул і теорем. Господар кав'ярні був незадоволений таким свавіллям науковців, але ситуацію врятувала дружина С. Банаха,,яка придбала великий зошит для записів. Так з'явилася знаменита «Шкотська книга» — збірка математичних проблем, над якими працювала група С. Ба- наха. Як винагороду за розв'язання складних задач автори з гумо- ром пропонували коли кухлі пива, коли вечерю в ресторані. Так, одна з проблем, за яку автор пообіцяв живого гусака (1936 p.), була розв'язана лише в 1972 p., тоді ж і було вручено винагороду. Проблеми, поставлені в «Шкотській книзі», є настільки важ- ливими і складними, що кожний, кому вдасться розв'язати хоча б одну з них, одразу дістає світового визнання. Сама ж «Шкотська книга» є однією з найвідоміших і найцінніших реліквій світової науки. 87
- 88. § 3. Степенева функція ГТТд Функція у = • У пункті 6 було встановлено, що корінь непарного степеня з будь-якого числа існує і набуває тільки одного значення. Тому кожному числу X є М можна поставити у відповідність єдине число у таке, що у = 2ІІ+ л[х. Тим самим для всіх k є N задано функцію f (ж) =2 " *і[х з областю визначення R. Покажемо, що функція f є оберненою до функції g (ж) = х2 *+1 , ft є N. Оскільки рівняння = а при будь-якому а має корінь ж = а2 *+ то областю значень функції / є множина R. Маємо: D (/) = Е (g) = К, Е (f) = D {g) = К. Для всіх ж є 1R виконується рівність 2к ^х2к+1 = ж. Іншими словами, f (g (ж)) = ж для всіх ж є D (g). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Використовуючи графік функції у = ж2 *+І і теорему 9.2, мож- на побудувати графік функції у = 2к+ Уж (рис. 10.1). Зокрема, на рисунку 10.2 зображено графіки функцій у - $ х і ж. 88
- 89. 10. Функція у = six У 1 — У = Vx -1 а, X Рис. 10.2 Оскільки функція g (JC) = х2к 11 є зростаючою, то за теоре- мою 9.3 функція f (JC) =2к -Уж також є зростаючою. Функція f(x) = ' має єдиний нуль х - 0, Якщо JC < 0, то f (JC) < 0; якщо JC > 0, то / (JC) > 0. Отже, проміжки (-«=; 0) і (0; є проміжками знакосталості функ- ції f. Для будь-якого X з області визначення функції f виконується рівність f (-ж) = - -2k+ ifx - —f (ж). Отже, функція / є непар- ною. • У пункті 6 було встановлено, що арифметичний корінь пар- ного степеня з будь-якого невід'ємного числа існує і набуває тільки одного значення. Тому кожному числу х з проміжку [0; +о°) можна поставити у відповідність єдине число у таке, що у = 2 yfx. Тим самим задано функцію f (х) = 2 tfx, k є N, з об- ластю визначення [0; +°о). Покажемо, що функція / є оберненою до функції g (х) = х2к , k є N, з областю визначення [0; +•»). Оскільки рівняння 2 s[x = а при будь-якому а > 0 має корінь je = а2к і при будь-якому а < 0 не має коренів, то областю значень функції f є проміжок [0; +=»). Маємо: D ( / ) = Е (g) = [0; E(f) = D(g) = [0; Для будь-якого JC є [0; виконується рівність 2 Іхгк - х . Іншими словами, / (g (JC)) = х для всіх JC є D (g). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. 89
- 90. § 3. Степенева функція На рисунку 10.3 показано, як побудувати графік функції ke N. На рисунку 10.4 зображено графік функції у-Ух. Рис. 10.3 Рис. 10.4 Оскільки функція g (х) = X2 *, А є N, D {g) = [0; +«), є зроста- ючою, то функція f(x) = 2 [x також є зростаючою. Функція f має єдиний корінь х = 0. Якщо X > 0, то / (х) > 0. Отже, проміжок (0; є проміжком знакосталості функції f. Оскільки область визначення функції f не є симетричною відносно початку координат, то функція f не є ні парною, ні непарною. У таблиці наведено властивості функції у = %/х, вивчені в цьо- му пункті. п — парне натуральне число п — непарне натуральне число, п > 1 Область визначення [0; +») К Область значень [0; +») К Нулі функції X = 0 X — 0 Проміжки знакосталості . у > 0 на проміжку (0; +») у < 0 на проміжку ( — 0 ) , У > о на проміжку (0; Парність Не є ні парною, ні непарною Непарна Зростання / спадання Зростаюча Зростаюча 90
- 91. 10. Функція У = у[х ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність: 1) $х<2; 2) Улг-2 <1; 3) у]хг -4 > . Розв'язання 1) Дана нерівність рівносильна такій: і[х < $8. Оскільки функ- ція у = $х є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8. Відповідь: ( - » ; 8). 2) Маємо: Ух-2 <Уї. Оскільки функція у = є зростаючою з областю визначення [0; +«), то дана нерівність рівносильна системі: х-2<, х-2>0. Звідси 2 < X < 3. Відповідь: [2; 3). jV-4>3jc, 3) Дана нерівність рівносильна системі Тоді [з*>о. ж2 - З х - 4 > 0 , х>0; х<-1, х>4, Звідси отримуємо, що х > 4. [х>0. Відповідь: (4; ПРИКЛАД 2 Порівняйте $2 і $2. Розв'язання. Маємо: = tfl^&F = Оскільки функція у = 1 4х є зростаючою, то > Відповідь: $2 > І2. І Вправи 10.1/ Через які з даних точок проходить графік функції у = the: А(2; 16); В (16; 2);С(-1;1); D ( і ; з); Е (81; 3); F(0,001; 0,1); G (10 000; 10)? 10.2/ Через які з даних точок проходить графік функції у-[х: А (-8; -2); В С (3; 27); D (0,64; 0,4); Е (-216; 6); F (-1000; -10)? 91
- 92. § 3. Степенева функція 10.3.° Знайдіть область визначення функції: 3) У-Щ:1} у = 2) у = Ух + 1; 4) у = ЇІх2 -х-2; 10.4.° Знайдіть область визначення функції: 1) у = ^ 2 ; 3) * = 2) f/ = VTr 2; . 4) у-ліх2 -4х + 3; 10.5. Знайдіть область значень функції: 1) у = 1; 3) у = у[х-3 5) » = 6) (ж-3). 5) у = 6) у = 2) у - Jx — і 5) y=tfx + 2. 5) у — I [x +11. 4) y = fx-l |; 10.6.° Знайдіть область значень функції: 1) у = yfx + 2; 3) у~у[х-2 2) у^^-4; 4) Ї/=) %/х-2); 10.7. Знайдіть область значень функції: 1) f (х) = D (f) = [-27; 8]; 3) f (х) = yfx, D(f) = За]. 2) f(x) = tfc, 10 000 ; 10.8.° Оцініть значення виразу yfx, якщо: 1) 1 < * < 216; 2) -729 < х < 8. 10.9 ° Оцініть значення виразу [х, якщо: 1) 0 < ж < 256; 10.10. Порівняйте: 1) ^ і Щ ; 2) ^23 і Z-26; 3) 2 і </І7; 10.11.° Порівняйте: 1) S і Ä 3) Зл/Ї і 4л/2; 2) t/2 і 2 </Ї8; 4) 5</02 і 10^/0,012. 10.12.' Між якими двома послідовними цілими числами знахо- диться на координатній прямій число: 1) S ; 2) ІЗ 3) </2Ї; 4) t/lÖÖ; 5) -</30; 6) Ч / в ї ? 2) 16 < ж < 10 000. 4) ^ і л/28; 5) '^60 і V4; 6) 2^/3 і 3^/2; 7) і 92
- 93. 10. Функція y = tfx 10.13.° Між якими двома послідовними цілими числами знахо- диться на координатній прямій число: 1) 7Ї8; 2) 7Ї39; 3) -7212? 16.14/ Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами: 1) 4 і 7Ї40; 2) 7^35 і 7б40. 10.15/ Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами -Vi300 і 7Ї0. 10.16/ Порівняйте: 1) 7б і 73; 3) 7з і tfljf; 5) 7з і 7) 72 і 72; 2) 7Ї2 і 7б; 4) І 7Ї; 6) і 78; 8) і 10.17/ Порівняйте: 1) 75 і 7Ї0; 3) і 2) 7Ї6 і ^/ТІЗ; 4) у/Ш і ^/7з. 10.18/ Розташуйте в порядку зростання числа: 1) у / 2 , 7з і 74; 3) 73, 75 і 77; 2) 7з, 72 і 'Тзїї; 4) ^125, 7б і ^ 7 4 . 10.19/ Розташуйте в порядку спадання числа: 1) 75, 74 і 73; 2) 7б, 7зо і 7Ї0. 10.20/ Побудуйте графік функції: 1) у = -у[х; 4) у = 2) у = у[х-2 5) у = %[х-2 -2; 3) у = 7 * - 2 ; 6) у = 10.21/ Побудуйте графік функції: 1) у--і[х; 4) у = ТЇТЗ; 2) у = 7 ^ ; 5) 0 = 7 ^ + 3 + 1; 3) г/ = 7х +3; 6) у = 7) у = 8) = 9) г/ = | Тх+1-2 |. 7) у = 8) у = ф х + і; 9) у= J tfx + 2 — 2 |. 10.22/Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (*) - х на проміжку: і) [1; 2]; 2) [-3; -1]; 3) [-1; 1]; 4) [-1; 2]; 5) [-3; +»); 6) (-«; -1]. 93
- 94. § 3. Степенева функція 5) [-1; +»>; 6) (-»; 2). 5) $х2 + 2х>$х2 -х-6. 10.23. Знайдіть найбільше і найменше значення функції /Ч*) = >/М на проміжку: 1) [2; 3]; 3) [-2; 2]; 2) [-1; 0]; 4) [-2; 1]; 10.24." Розв'яжіть нерівність: 1) 3) + 2) $3х+1<4; 4) /хг - 8 > $2х; 10.25." Розв'яжіть нерівність: 1) 1 Іх + 2 > 1; 3) </бх + 1<3; 2) $Зх + 2<2; 4) ?Jx2 - х |+1 >*]b- х ]. 10.26." Скільки коренів має рівняння залежно від значення па- раметра а: 1) у[х - а-х; 2) і[х = а-х1 10.27." Скільки коренів має рівняння |t/x-l| = a залежно від значення параметра а? 10.30." Розв'яжіть систему рівнянь 10.31." Розв'яжіть систему рівнянь 10.28." Розв'яжіть рівняння Jx-26 + [x =4. 10.29." Розв'яжіть рівняння $ Х - 9 + %/х + 6 = 3. х+$х = у + $у, X2 +ху+у2 =27. [х2 + у2 =2. 10.32." Знайдіть усі функції / такі, що рівність виконується для всіх X є R. 10.33." Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f (ж30 ) = х3 виконується для всіх X є [0; +«>). 10.34." Знайдіть усі непарні функції f такі, що рівність виконується для всіх X є [0; 10.35." Знайдіть усі визначені на М функції f такі, що рівність f ( x i ) — $x виконується для всіх X є 1R. 10.36.* Знайдіть усі визначені на К функції f такі, що рівність f (х8 ) = X2 виконується для всіх Х€ R. 94
- 95. 11. Означення та властивостістепеняз раціональним показником 10.37.* Знайдіть цілу частину числа 100 радикалів 10.38.* Знайдіть цілу частину числа £00 радикалів 10.39.* Розв'яжіть рівняння х3 +1 = 2 '2х -1. 10.40.* Розв'яжіть рівняння х3 + 2 = 3 'ІІЗх-2. 10.41.* Розв'яжіть рівняння a* + x = %Ja-x. 10.42.* Нехай f (ж) = . * . Обчисліть значення виразу V 1-х3 f (f U ( - / (2)))). 989 разів 10.43.* Для u e N , A e N , f t > l позначимо Х = + Y = Iа + 2* + ... + п Доведіть, що X + У = пк+ 1 + п. 10.44.* Для невід'ємних чисел а, & і с доведіть нерівність Означення та властивості степеня з раціональним показником Нагадаємо означення степеня з натуральним показником: ап =а-а'...-а, п є N, п > 1; Л МНОЖНИКІВ о1 = а. Ви знаєте, що степінь з натуральним показником має такі властивості: 1. ат -а" = ат + п ; 2. ат :ап = ага ~", а * 0, т > п; 3. (ат)п = атп ; 4. (ab)" = а"Ь"; ьп Пізніше ви ознайомилися з означеннями степеня з нульовим показником і степеня з від'ємним цілим показником: 95
- 96. § 3. Степенева функція а0 = 1, а * 0; а " = — , а Ф 0, п є N. о" Ці означення дуже вдалі: при такому підході всі п'ять влас- тивостей степеня з натуральним показником залишилися спра- ведливими і для степеня з цілим показником. Введемо поняття степеня з дробовим показником, тобто сте- пеня аг , показник якого є раціональним числом виду r = —, де п т є Z, п є N, п > 1. Бажано зробити це так, щоб степеню з дро- бовим показником залишилися притаманні всі властивості сте- пеня з цілим показником. Підказкою для такого означення може слугувати такий приклад. 2 Якщо через X позначити шукане значення степеня 2й , то, ураховуючи властивість (а т ) п = атл , можна отримати рівності Отже, X — це кубічний корінь з числа 22 , тобто х = № або 2^ = Ці міркування підказують таке означення. Означення. Степенем додатного числа а з раціональ- ним п о к а з н и к о м г, поданим у вигляді де т є п є N, п > 1, називають число [ат , тобто Наприклад, 5*= {/б*, = 3 * = ч/jF, 0,4°'3 = 0,4"> Зауважимо, що значення степеня аг , де г — раціональне чис- ло, не залежить від дробу, у вигляді якого подано число г. Це можна показати, використовуючи рівності a" =fa™ і а"* - nklmk n/_m= va = <Ja . Степінь з основою, яка дорівнює нулю, означають тільки для додатного раціонального показника, я Означення. 0" =0, де т є N, п є N. і Зазначимо, що, наприклад, запис 0 2 не має змісту. аг =ап =Уа 96
- 97. 11. Означення та властивості степеня з раціональним показником Зауважимо, що в означенні не йдеться про степінь а" для і и < 0, наприклад, вираз (-2)3 залишився невизначеним. Разом :< тим вираз 7-2 має зміст. Виникає природне запитання: чому б ие вважати, щ о t P t - i - t h Покажемо, и о , а к . домовлені™ привела б до суперечності: 7=2 = (-2)^ = (-2)^ = 7(-2)в = 74. Отримали, що від'ємне число 7-2 дорівнює додатному числу Ті. Функцію, яку можна задати формулою у = xf, г є Q, називають степеневою функцією з раціональним показником. Якщо нескоротний дріб —, т є Z, n e N, п > 1 , є числом до- га т датним, то областю визначення функції у = х" є проміжок [0; +»), а якщо цей дріб — від'ємне число, то — проміжок (0; Властивості функції у = хг для цілого показника було вивчено в п. 4 і 5. Випадок, коли показник г не є цілим числом, буде розглянуто в 11 класі. Зараз зазначимо таке. Функція У = X2 ", k є N, нічим не відрізняється від функції 1 у = 2 у[х. Функції у-xz *+1 і у ='six, k є N, мають різні області визначення. Так, на проміжку [0; +«=) обидві ці функції не відріз- няються, але на проміжку {-»; 0) визначена лише функція у - ' і і На рисунку 11.1 зображено графіки функцій у-хг , у-хъ , і у~хг4 . У' 1— * 4 <ї У = ** і і — • — — — і/ -X* і 0 *!і Рис. 11.1 97
- 98. § 3. Степенева функція Покажемо, що властивості степеня з цілим показником зали- шаються справедливими і для степеня з довільним раціональним показником. Т е о р е м а 11.1 (добуток степенів). Для будь-якого а > 0 і будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність •а9 = ар + ч Доведення. Запишемо раціональні числар і q у вигляді дро- бів з однаковими знаменниками: р , q = —, де т є Z, А є Z, п п п є N, п > 1. Маємо: т k і і і і w+ft fft. h а".а" = а " . о " = Ц]ат -ак = Цат+к =а » = а " • Н а с л і д о к . Для будь-якого а > 0 І будь-якого раціонального числа р виконується рівність Доведення. Застосовуючи теорему 11.1, запишемо: а р >ар = = а'р + р = а° = 1. Звідси а " А ар Т е о р е м а 11.2 (частка степенів). Для будь-якого а > 0 і будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність а" : Доведення. Застосовуючи теорему 11.1, запишемо: а4 •ар 4 - = ач +р " = а". Звідси ap 'q = а" : а". А Т е о р е м а 11.3 (степінь степеня). Для будь-якого а > 0 і будь-яких раціональних чисел р і q виконується рівність (ар )я = ам Доведення. Нехай р~ —, т є Z, п є N, п > 1, та q = 4, s є Z, я k А є N, А > 1. Маємо: {ар У - (о»)* = 1(а») - VfVö")" = = = a^ = А Т е о р е м а 11.4 (степігіь добутку і степінь дробу). Для будь-яких а > 0 і b > 0 та будь-якого раціонального числа р виконуються рівності (аЬУ - a"W ( ! ) р „р - ь Доведіть цю теорему самостійно. 98
- 99. 11. Означення та властивості степеня з раціональним показником ПРИКЛАД Побудуйте графік функції /(*) = (*"») . * Розв'язання. Областю визначення функції / є множина (0; +«). Дану функ- цію можна задати такими умовами: / (х) = X, D (/) = (0; Графік функції зображено на рисунку 11.2. • Рис. 11.2 Вправи 11.1." Подайте степінь з дробовим показником у вигляді кореня: 1) 3) 5) (аЬУ; 7) (т + п)53 ; а1 -, 4) 10 6) ab'; 8) (я-Зі/)'* Замініть степінь з дробовим показником коренем: 13*; 3) с0 -2 ; 5) 3от1 '«5 «0 -™; .і в і З 2.5. 4) Л 2) 11.2." і 1) 2) 11.3.* 1) 2) 11.4.° 1) 2) 11.5." 1) 2) 11.6.° Чому дорівнює значення виразу 1) 8^; 2) 10000*; 6) (а-2Ь)16 . Подайте корінь у вигляді степеня з дробовим показником: 3) V61 ; 5) ЇІГ*; 7) ^ ( a - b f ; V 7 ; 4) 6) '^49; 8) %7 ~b7 . Замініть корінь степенем з дробовим показником: л/2; 3) Ч(т*; 5) + 6) 3) 4) Знайдіть значення виразу: 4*. 25 3) 3-64 3 ; 4) -5-0,01 5) 0,216 6) № 7) 27®; 8) 32"0 2 . 3) 0,0081-0,25. 5) 0,125 3 ; 6) ("If 99
- 100. § 3. Степенева функція 11.7.° Знайдіть область визначення функції: 1) і/ = *"; 3) у = (X - З)2 6 ; 2) у - X1 '4 ; 4) у = (х2 -6х-7)~». 11.8.° Знайдіть область визначення функції: 1) У = х 2)у = Xs '2 ; 11.9.° Спростіть вираз: 3) у = (ж + І) !2 ; 4) i/ = {jez -x-3Ö)s . 1) а2 а3 ; 5) ( J ) ; 2) U)3 ; 3) а2 :а3 ; ja •а*; 7) а3 9) а8 : а 4 ; і і -1 10) а2 ай а 3 ; 13) ( і « V Iа*Ь 27 ) ; 11) (а0,4 )0 '8 а0,18 ; 15) 1 1 5 1 14) а3 а ®а^а8 ; Л L а 2 Ь12 .і1 і : а 4 б3 ,1.8 . 4) а~0,6 а1,6 ; 8) (а"2 '4 )"3 ; 11.10/ Спростіть вираз: 12) 16) (а°) (а"®) . 1) t>3 -V4 '2 ; 5) W , 5 7 3 2 1 1 1 9) ав ЬГ2 а *Ъ~ъ ; 13) b2 b3 bl -, -Я 3 2) b7 b7 ; 3) b:b3 ; 4) b:b 4 ; 7 5 р,в0,5і_—0.4. 6)fc"2 :Vb; 10) 14) (bü T'a b аГв Ь* 7 1 1 ) (oM) ; 8) 12)І b5 л4 ; 15) (b 16)(Ь4 Т0 -7 :ф-°*Г 11.11.° Знайдіть значення виразу: 1)31 8 .3 26 .32 '8 ; 4) 7 ) 4 2й 2) (5 ° Y-54 '8 ; 14.5 3) я (25^ )4 ; 5) 6) •1,24 '5 ; UOІ 700/ 8) 360,4 -61,г ; 9) (4-І) .іб0 в 100
- 101. 11. Означення та властивості степеня з раціональним показником 11.12.° Чому дорівнює значення виразу: ! , -0,2S 1) 53 -4 -5-l 'e -5 2 'e ; 2) (7 °'7 )8 : 7 7,6 ; 42 3) У)3; 4) І ш І гЛ' 5)!( 2 ? ) і 6) 81® . 6) і ' 3й 0,4 л 1,8, 2,5 7) 8' 8) (6 18 )Ä -2160 '2 ? 11.13.° Відомо, що а — додатне число. Подайте а у вигляді: 1) квадрата; 3) шостого степеня; 2) куба; 4) восьмого степеня. 11.14.° Відомо, що т — додатне число. Подайте у вигляді ква- драта вираз: 1)то4 ; 3) т3 ; 5) т 3 ; 7) т"І Л ; 1 5 2 2) то6 ; 4) то2 ; б) т°; 8) то7 . 11.15.° Відомо, що Ь — додатне число. Подайте у вигляді куба вираз: 1)&6 ; 3) Ь2 ; 5) t>3 ; 7) Ь' 2)*Г15 ; 4) (3; 6 ) ^ ; 8 ) 6 " . 11.16/ При яких значеннях а виконується рівність: 1) ((а-2)®) = а-2; 2) 11.17.* Побудуйте графік функції: ({а —2) = а - 2 ? 1) у = (*3 ) ; 2) у = ((*-2г) ; 11.18.* Обчисліть значення виразу: 1) 12* <6* <(0,5)3; 2) 25і -5 + (0,25) 0 5 - 810,75 ; 2 1 З 3) 0,008 з +0,064 3 -0,0625 4 ; і і 1 „ 3) у = х2 х3 х6 . 5) 1-68 .8 ® • 41,в ; 10 ООО04 -100 '5 6) 7) 1000 '3 «1000® 3 _L 52 • 8" і 8 і і 9і 5 1 5і -93 І 4 _1 8) 723 J -2 3 :36 101
- 102. § 3. Степенева функція 9) 10) (l2 3 • 18 3 - б3 '5 ) -5*4 -258 ; 11) ( л .5 v e З в .7 в U r ^ j 11.19." Знайдіть значення виразу: 1) 3432 2) 104 • 404 >5*; 3 1 2 3) 0,0016 4 -0,04 2+0,216"®; ( 3 і Л-і ( з в Л 12828 * 27 9 162 -81s і і * э „ 3е -168 , t 93 -4 в J 5) 32°'24 '4°'7 640,в * 160,25 ' І і 5 12® 3я *7а 6) г ї 73 -8 в 7) і ( г г V1 *® 5 3 -3 3 г їв8 ) ( І і^ 4) 625"1я5 -251,5 *125а ; 11.20." Розв'яжіть рівняння: 1) х^ =0,04; 2) (х-2)^ =32; 11.21." Розв'яжіть рівняння: 8) 813 • 8 9 ї ? { п ц ^ 29 -275 18 7Ї 3 е -128"®; 3) (х2 -2х) 4 =-1 1) ж"1,6 = 27; 2) (jc-l)~s =100; 3) (ж - 5)7 =0. НПеретворення виразів, які містять степені з раціональним показником Розглянемо приклади, у яких виконуються тотожні перетво- рення виразів, що містять степені з раціональним показником. ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз: 1) (За0 -3 + &°-2 ) (а0 -3 - 4&0,2 ) - (о0 '3 + 2Ь0 2 ) (а0 '3 - 2b02 ); 2) . 102
- 103. 12. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником Розв' ЯЗ СІ ння 1) Розкриємо дужки, використовуючи правило множення многочленів, формулу різниці квадратів, а потім зведемо подіб- ні'доданки: (За0,3 + Ь0 '2 ) (а0 '3 - 4Ь°-2 ) - (а0 3 + 2іЛ2 ) (а0 -3 - 2Ь0 -2 ) = = За0,в - 12a"'V'2 + аоя Ь°'г - 4Ьм - а0 "6 + 4Ь0А = 2а0 6 - lla0 '3 b0 '2 . 2) Маємо: (a12 -&12 ~)(а* + a12 b'~2 + Ьв ) + (а® + fts ) =(а12 ) -(б12 ) / і2 І 1 / І2 І І і I I і І і і + Ue j +2ав Ь1і +Ь*І = a* ~bl +al +2а*Ь* +Ь* = 2а4 +2а*Ь*. • ПРИКЛАД 2 Розкладіть на множники вираз а2 -Ьл , використо- вуючи формулу: 1) різниці квадратів; 2) різниці кубів. Розв'язання ш . - Ш иг.- W U І 5 11 і і ПРИКЛАД 3 Скоротіть дріб: 1) 2) »'+3 *''4 • 3 ) 3 2 * ~ X f . д2„аз Ь~3 -9с~2 4а -23 Розв'язання 1) Розкладемо знаменник дробу на множники, винісши за дужки спільний множник, і скоротимо дріб: і і 4д3 4а3 4 і і - 11 1 1 - а2 -а3 а3 vae a e - l . 2) Розклавши чисельник і знаменник дробу на множники, отримуємо: 5 І 1 Ь1 +ЗЬ2 с4 6*1У + 3с*)1 ^ і і І Ь3 -9с2 1 [б3 -Зс4 ) (b3 +3с*) і і і/ і , , З23 -163 16а І23 - і) 163 /іб3 „І - 3) Маємо: — — = ~ГГ1 Г = V = 8 3 = 2 . 43 -2® 2а і і ПРИКЛАД І Спростіть вираз + 2 ** " 2 1 6 1 1 2 х3 -2 Xі +2 Xs - 103 4
- 104. § 3. Степенева функція Розв'язання. Зробимо заміну х3 =у. Тоді даний вираз на- буває вигляду: у+ 2 у- 2 16 у-2 у + 2 у2 -4 Цей вираз легко спростити. Завершіть розв'язування само- стійно. Відповідь: 8 і ж3 +2 Вправи 12.1.° Розкрийте дужки: 1) а М Ы + Ъ2 2) 2а2 {а'л -4І+ 8а2 ; 3) (а0 5 - ЗЬ0 -3 ) (2а0 '5 + Ь0 '3 ); 4) (т~*-п*)(т* +J); З5) (з&*-с®)( 6) U + b O ; 7) (4n"e+3n«J ; 8) ( в - Ц а - S J ; «г 9) (b0 '4 + З)2 - 6b0 -4 ; 10) Ü - l ) ( J + c 3 + l ) ; 11) y + j ) U - J + a ) ; 12) a* (a® +lo)-(a^ +б) ; / 3 1 2 1 /23 ! 13) lb5 -2b 3 ) +4b6 lb30 -b2 j; 14) (a^+6®) (o® -ft®)(a^ - ); 15) (x®-l)(*®+*® + l)(*'+l). 12.2.° Розкрийте дужки: 1) (5a0 '4 + Ьи 'г ) (Заи *4 - 4Ьии ); 6) (*• +г)(х®-2*®+4); 2) (m0 '5 + nua ) (mu '& - п"У, ' 7) {ylb - 4y"*f + 8y*;-0,5 „0,5 3) (a3 -5b 0 (a3 +5b 4 ); 4) (m^-J) ; 5) (&L&-I) ; 8) У + 3c®) - З с ^ (зс* +2J); 9) (e*-l)(a* + l)(a*+l); 10) (а®+бИ(а*-аМ+Ь*)(а*-Ь®). 104
- 105. 12. Перетворення виразів, які містятьстепеніз раціональним показником 12.3." Подайте даний вираз у вигляді різниці квадратів і розкладіть його на множники (змінні набувають тільки невід'ємних значень): 1) а - Ь; 3) т}-п& ; 5) х * - і Л 2) а3 - Ь3 ; 4) х2 -3; 6) 4х0А - 9y 0 J . 12.4.° Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці квадратів (змінні набувають тільки невід'ємних значень): 1) а5 - Ь5 ; 3) 5) 5-е; 2)/п3 -л3 ; 4 ) ^ - 2 ; 6) 16jc0 '3 -2Ьу*. 12.5.° Подайте даний вираз у вигляді суми кубів і розкладіть його на множники (змінні набувають тільки невід'ємних значень): 1) а + Ь; 3) 2) а*+Ь3 ; 5) а + 2; З 2 2 4) а2 +27; 6)а8 +і>3 . 12.6.° Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці кубів (змінні набувають тільки невід'ємних значень): 1 ) а - Ь ; 2 ) a w - b 1 5 ; 3) m0 '6 - 8л18 ; 4) ж'-6. 12.7.° Винесіть за дужки спільний множник: 1) а + За2 ; 3)ab3 -a3 b-, 5)тЕ -тЕ ; 2) 4) с ^ - Л 6 ) 6 * - З П 12.8.° Винесіть за дужки спільний множник: 2 1) ж-5ха ; 2) a2 +6a3 ; 3) рї-рї; 12.9.° Скоротіть дріб: і а-5а2 4) ЗЬ-Ьо і с0 Б ; 5) з і і з 6) m ' n 4 m n + m 2 n a ; 1) 2) 3) a а2 -5 2 fl3 ,з 4) 5) ,3а" +о* з 11 Ь* +Ь2 с* і Ь* +сл а-Ab в0,5 + 2Ь0,5 ' а-Ь І 1 ' ab2 +a2 b і і 6) Іа + 2а2 (>2 +Ь і і а2 + Ь2 105 7) 8) 9) 7) 2-2*; 5 і 8) х6 +*3 . 7) 8 ^ - 4 ^ ; 5 8) 10+10"8 . ? 1 1 ? 4с3 -12c3 cf3 + 9d3 і І 2с3 - 3d3 а + Ь і і а3 +Ь8 т' -п*
- 106. § 3. Степенева функція ю ) Xе -6л-3 12.10.° Скоротіть дріб: і а + 2а3 з і . . . а4 +7а2 , J ! а- 49а2 12) і і ЗО5 - б5 і 1' 105 - 2 5 І) 2) 3) 2 а3 +2 5 1 4) і 5 -т-п 5 5 а-Ь т п 2 5) 6) а-Ь 2 11 2 ' а3 +а3 Ь3 +Ь3 „ 0 , 5 .0.5 а -Ь а-Ь х+2х°-У*+у' 7) 8) 9) а-а2 Ь 12.11.' Знайдіть значення виразу: 1} (^Ч^у1)-И'-МГ1); а-125. 2 ' а3 -25 1 ä тв -36тв , І і ' т*-6т* І І 244 -в4 і і ' б4 -24 2) f 1 і і і 52.33 +53.32 1 1 5® +3® ^ з і і з 34- 22 -32 '24 і і 24 - З4 12.12.° Спростіть вираз: 1) а-Ь 0,5 1.0,5 а -Ь „1.5 1,1,6а ~Ь а-Ь 0,5 ,0,5 0,5 2 в z£ + а а +Ь + Ь0.5 0,5 .0,6 » а —о 4) 5) 1 I i i о2 +2о4 &4 + Ь2 і 2 а~а*Ь1 1 S 5 7 а*Ь6 -а%* і ! 1' а4 і>4 +Ь2 2 1 З/а2 +Ь2 а3 (а-Ь) 2 * З З (,а-аЬ)3 а2 -Ь2 3) 12.13.° Спростіть вираз: 1) т + п і т3 +п 2) (і-а3 6 ) (1+а38 +аІВ)+і). 1 4-а6 3) 4) (а^-гЗ): ( 5 ь4 тг -тг тг +т 2-а 12 Ш —ffl щ2 + ш пг^п* 106
- 107. 12. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником 12.14." Доведіть тотожність: 1) 2) 3) / 2 2т + п т + п тг +тп2 т2 +п2 - 2 п ( а°*+ 2 V а + 2а0 '5 +1 / .і Л а'Ъ* а 1 —ft-1 а°-5 -2У gc,s _ 2 . а-1 )'а°-5 +1 а-Ґ а 3 -Ь 2 2 а~3 +і> 3 4) ^ + - „2 и2 а —о 12.15.* Спростіть вираз: і і а3 »3 ? _1 Л І 1 а 3 +а 3 b a +Ь 3 а3 -і>3 = 2а^-2&2 . 1) і /2 t і ^jty'+je2 ^ ху~х'у2, . 2х + 2уш 4*У xR +3у6 хв -3ув ' і ї ї І + і і х3 -2х6 у6 +у3 х3 -у* J 12.16." Спростіть вираз: і > і і з . а.,зX +3у3 І і XІ - У0 1) 2) ' 2 2 г 2 2 + г") -4гр ' ' 1 М2 1 + 1 я' -г") +4гр 1 1 5 2 4 а* -2а3 Ь3 +аЬ3 і 3) [х3 + 2%[ху + 4у3 ) 5 1 і 2 2 о3 —öa &3 + a3 b 12.17/Спростіть вираз: ї ї ї ї х-у D i l i X4 + je2 y4 ЛГ2 І/4 +х4 у2 Х*у * 2) 3) X' + у 4 1 т3 -27т3 п X2 -2х4 у4 +у ї ї і 2 2 т3 +3 + 1-3 •В- 'iLv,2 . х-9 ж + Зх2 +9 V-s -27 •,0,5 1 107
- 108. § 3. Степенева функція 12.18.' Обчисліть добуток ж1,2 • ж1 '3 • х1л • ж1 '5 •... • ж8 '8 , якщо х = ^2. І І І і 12.19." Обчисліть добуток х2 -х4 ~х8 •...•х6 *, якщо х = 2 12.20." Спростіть вираз (а0 '125 + t>°'75 ) (а0,25 + б1 '5 ) (а0,5 + Ь3 ) (а + ft6 ). 12.21." Спростіть вираз а0 -2 + а0,5 + а0 -8 + а і д + ... + а7 '1 . 12.22." Спростіть вираз b12J - Ь1 ™ + Ь12 's - Ь12 '4 + ... + Ь3 '3 . 12.23." Спростіть вираз 12.24." Спростіть вираз 4 • га - о а3 '8 + а3 -% + a8 '4 b2 + а3 '2 Ь3 + ... + a°'V8 + Ь19 ' g™ _х *у М + д.4,8^0,6 _ д.3.6у0,9 + х2АуІ,г _ + ^ х^+у™ Ірраціональні рівняння Розглянемо функцію у = Xя . Вона є зростаючою, а отже, обо- ротною. Тому функція у = ж3 кожного свого значення набуває тільки один раз. Іншими словами: з рівності х = х випливає, що ж, = х2. А оскільки з рівності ж, = х2 випливає, що х3 =х2 , то можна стверджувати, що коли обидві частини рівняння піднести до куба, то отримаємо рівняння, рівносильне даному, ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння л/2х + 1 = -3. Розв'язання. Підносячи обидві частини рівняння до куба, отримаємо рівняння, рівносильне даному. Маємо: ( ^ + Т ) 3 = ( - 3 ) 3 ; 2х + 1 = -27; ж = -14. Відповідь; —14, Оскільки функція у - x2k + 1 , k є N, є оборотною, то міркування, використані при розв'язуванні прикладу 1, можна узагальнити у вигляді такої теореми. Т е о р е м а 13.1. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Доведення. Покажемо, що рівняння / (X) = g (х) (1) 108
- 109. 13. Ірраціональні рівняння (И*))а *_ 1 = С*(*))м ~ * є N (2) с рівносильними. Нехай число а — корінь рівняння (1). Тоді маємо правильну числову рівність f (а) = g (а). Звідси можна записати: if (a))2k l = (g(a))2h - Це означає, що число а є коренем рівняння (2). Нехай число ß — корінь рівняння (2). Тоді отримуємо, що (/ (ß))2 * 1 = (g (ß))2 *"1 - Оскільки функція у = х2к - k є N, є обо- ротною, то f (ß) = g (ß). Отже, число ß — корінь рівняння (1). Ми показали, що кожний корінь рівняння (1) є коренем рів- няння (2) і навпаки, кожний корінь рівняння (2) є коренем рів- няння (1). Це означає, що рівняння (1) і (2) рівносильні. Ja ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння Розв'язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до сьомого степеня. Отримаємо рівносильне рівняння: (VT--2 )7 = {yfx)7 ; X2 - 2 = х; X2 - X - 2 = 0; = -1, Х2 = 2. Відповідь- . —1; 2. Рівняння, які ми розглянули в прикладах 1 і 2, містять змінну під знаком кореня. Такі рівняння називають ірраціональними. Ось ще приклади ірраціональних рівнянь: УІХ-3 = 2; Jx-2$[x + l = Q; J3-x = ^J2+x. При розв'язуванні прикладів 1 і 2 нам довелося спрощувати вирази виду (ф(х)} , де п — непарне натуральне число. Роз- глянемо випадок, коли п — парне натуральне число. ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння (УІЗХ + 4F = {4X^2F. (3) Розв'язання. Природно замінити це рівняння на таке: Зх + 4 = X - 2. (4) Звідси X — -3. Але перевірка показує, що число -3 не є коренем початкового рівняння. Отже, рівняння (3) не має коренів. Причина появи стороннього кореня полягає в тому, що застосування формули (Ja) — а призводить до розширення області визначення рівнян- ня. Тому рівняння (4) є наслідком рівняння (3). • ІЦе однією причиною появи сторонніх коренів при розв'язуванні ірраціональних рівнянь є необоротність функції у = х2к , k є N. 109
- 110. § 3. Степенева функція Це означає, що з рівності х2к = х2к не обов'язково випливає, що jCj = х2. Наприклад, (-2)4 = 24 , але -2 # 2. Водночас із рівності • » 2к 2к ж1 - х2 випливає рівність ж, = ж| . Наведені міркування підказують, що справедливою є така теорема. Т е о р е м а 13.2. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримане рівняння є наслідком даного. Доведення. Покажемо, що рівняння if U)fk = (g (ж))2 k є N, (5) є наслідком рівняння f (X) = g (ж). (6) Нехай число а — корінь рівняння (6), тобто f (а) = g (а). Тоді (/ (о,))2 * = {g (а))2 *. Отже, число а є коренем рівняння (5). Ми показали, що кожний корінь рівняння (6) є коренем рівнян- ня (5). Це означає, що рівняння (5) є наслідком рівняння (6). А Зауважимо, що коли число ß — корінь рівняння (5), то з рівно- сті {f (ß))2 * = (я (ß))2 * не обов'язково випливає, що f (ß) = g (ß). Тому в результаті переходу від рівняння f (х) = g (ж) до його наслідку (f (х))а * = (g (ж))2 * можуть з'явитися сторонні корені, які можна виявити за допомогою перевірки. ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння л/4 + Зх = х. Розв'язання. Підносячи обидві частини рівняння до квадра- та, отримаємо рівняння, яке є наслідком даного: 4 + Зж = X2- , X2 - Зж - 4 = 0; ж1 = -1, ж2 = 4. Перевірка показує, що число -1 є стороннім коренем, а число 4 задовольняє дане рівняння. Відповідь: 4. ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рівняння $2х-3 + *j4x + l = 4. Розв'яз І л, ня. Піднесемо обидві частини даного рівняння до квадрата: 2ж-3+2>/2ж-3 л/4ж+І + 4ж + 1 = 16. Звідси >/2х-3^/4х+1 = 9-Зх. Переходячи до рівняння-наслідку, отримуємо: 8ж2 - Юж - 3 = 81 - 54ж + 9ж2 ; X2 - 44ж + 84 = 0; ж, = 42, ж2 = 2. Перевірка показує, що число 42 є стороннім коренем, а число 2 задовольняє дане рівняння. Відповідь: 2. 110
- 111. 13. Ірраціональні рівняння Вправи Поясніть, чому не має коренів рівняння: л/х-2 + 1 = 0; 3) х/х-4 + л/ПГх = 5; 5) -J26+Jx + 1 =5. 4) Т х ^ б + л / б 7 * ^ ; Розв'яжіть рівняння: ІІ2х-2 = 2; 3) Vx-6=-3; 5) 7=3; 7х-4 = 2; 4) 7х3 -2х+3=х; 6) +15 = 27х+ї. Розв'яжіть рівняння: >/х-3 = 4; 2) %/Зх2 -х-15 = 3; 3) ^25+7x^43=3. Розв'яжіть рівняння: Л / 2 Х - 1 = Л / І - 2 Х ; Розв'яжіть рівняння: 7Х+3 = 72Х-3; 3) Л/2Х-1 = >/Х-3; 4) л/2х-1 = Vx2 +4х-16. 3) 7Х2 -25 = 72Х+Ю; 4) л/х2 ~36 = л/2х-1. 5) 2 -s/xTö = X + 2; 6) -/15-Зх -1=х; 7) Х~уі2Х2 + Х-21 = 3; 8) х + 2+л/8-Зх-х2 =0. V4x-5 = >/і-х; Розв'яжіть рівняння: >/2-х = х; Vx + l = x - l ; л/Зх-2 = х; л/2х2 -3х~10 = х; Розв'яжіть рівняння: Vl0-3x = -x; x = Vx+5 + l; V2x2 +5х+4 = 2х + 2; Розв'яжіть рівняння: У(2х+3)(х-4) = х-4; V(x-2){2x-5) + 2 = x; Розв'яжіть рівняння: л/(3х-1)(4х+3) = Зх-1; 2) (х-1)л/х2 -Зх-З = 5х-5. 4) 3л/х+ЇО-11 = 2х; 5) х-л/Зх2 -Их-20 = 5. 3) (х + 2)л/х2 -х-20 =6х + 12; 4) (х+1) л/х2 -5х+5 = х+1. 111
- 112. § 3. Степенева функція 13.10." Розв'яжіть рівняння: 1) ^jl + x 4x^24= х+1; 13.11." Розв'яжіть рівняння: 1) л/22-х-л/Ю-ж=2; 2) $х + 2-$2х-3 = 1; 13.12." Розв'яжіть рівняння: 1) л/2л: + 5 — л/Здг-5 = 2; 13.13." Розв'яжіть рівняння: 1) N/X-5 + V10-jc =3; 2) УІХ-7 +$х-1=4; 13.14." Розв'яжіть рівняння: 1) j4-x + VJC + 5 =3; 2) VSjc+I + V ? - ^ = 6; 13.15." Розв'яжіть рівняння: 1) $2x + l + yjx-3 = 2jx; 2) У1ЬХ-1~У13Х-2 = 4Х: Л; 13.16." Розв'яжіть рівняння: 1) Jx+2 + y/3x + 7 = s/8-x; 13.17." Розв'яжіть рівняння: 1) yjx- 1-24Х^2+^Х+7-6у!Х-2 =6; 2 ) YJX+3-4YJXPL +У}Х+8-6УІХ-1=1; 3) ^]Х+Ь+24ХІЛ-уіх+Ь-44Х + Ї = 4. 2) <Jl + xy!x2 -24 =х-1. 3) $2х + 3-$х + 1 = 1; 4) 2$2-х-$7-х=1. 2) $Зх + 1-уІх + 1 = 2. 3) 4ї^х + 4ї+х=1; 4) Jl3-4x + yJx + 3=5. 3) $2х + 3 + [х+5 = 3. 3) 2$3x-l-yfx^l=yjx-9. 2) yj6x-ll~yJx~2 = yJx + 3. 13.18." Розв'яжіть рівняння: yJx + 247^l+yjx-2<Jx~l =6; yjx + 6 + 2-Jx+b-yjx+ß-2$х + 5=2, 13.19." Для кожного значення параметра а розв'яжіть рівняння ^ 1 . / J Ж + - + . ЛГ + - =а-х. 2 V 4 13.20." Для кожного значення параметра а розв'яжіть рівняння 2 Jx+2 + 2lx + l = а-х- 112
- 113. 14. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь 13.21." При яких значеннях параметра а рівняння ах -1 = І8х~х2 -15 має єдиний розв'язок? 13.22." При яких значеннях параметра о рівняння <І4х-х2 -З =х-а має єдиний розв'язок? НМетод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь Ви знаєте, що сторонні корені рівняння можна виявити в ре- зультаті перевірки. Коли йдеться про перевірку як про етап розв'язування рівнян- ня, неможливо уникнути проблеми її технічної реалізації. На- приклад, число е коренем рівняння УІ2Х-5 + 'х + 2 - '2х+1. Щоб у цьому переконатися, потрібно провести значну обчислю- вальну роботу. Для подібних ситуацій можливий інший шлях розв'язування — метод рівносильних перетворень. Т е о р е м а 14.1. Рівняння виду уjf (де) = ^jg(х) рівносильне системі f(x) = g(x), f(*)> 0. Доведення. Нехай число а є коренем даного рівняння. Тоді yjf (а) = yjg (а). Звідси f (а) > 0. Обидві частини числової рівності піднесемо до квадрата. Отримаємо правильну числову рівність f (а) = g (а). Таким чином, число а є розв'язком системи. Нехай число ß є розв'язком системи, тобто j/(ß) = S(ß), l/(ß)>0. Звідси отримуємо, що g (ß) 5s 0. З того, що невід'ємні числа f (ß) і g (ß) рівні, випливає, що ^/(ß) = yjg (ß). Отже, число ß є коренем даного рівняння. Таким чином, кожний розв'язок даного рівняння є розв'язком системи, і навпаки, кожний розв'язок системи є розв'язком да- ного рівняння. Отже, множини розв'язків рівняння і системи рівні. А 113
- 114. § 3. Степенева функція З а у в а ж е н н я . Зрозуміло, що рівняння J f (ж) - Jg(х) також рівносильне системі [f(x) = g(x), g{x)>0. Вибір відповідної системи, як правило, пов'язаний з тим, яку з нерівностей, f (х) > 0 чи g (х) > 0, розв'язати легше. ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння —Зх -—-Jx-1. Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі Гх = 2+>/з, Звідси х = 2 + >/3. х>1; [хг -Зх = х-1, [х>1. Відповідь: 2 + Я . Т е о р е м а 14.2. Рівняння виду Jf(х)-g(х) рівносильне системі if(x) = (g(x)f, g(x)>0. Скориставшись ідеєю доведення теореми 14.1, доведіть цю теорему самостійно. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння !х + 7 = ж-3. Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі Гх + 7 = (х-3)г , {х-3 >0. 7 + V41 Звідси X2 -7х+2 = 0, X >3; Відповідь: 7 + V41 X = - X 2 ' 7-УІ41 X — 7 + х>3; Теореми 14.1 і 14.2 можна узагальнити, керуючись таким оче- видним твердженням: якщо а 3* 0 і і? > 0, то з рівності а2к = Ь2к , k є N, випливає, що а - Ь. Т е о р е м а 14.3. Якщо для будь-якого х є М виконуються не- рівності f (ж) > 0 ig (х) > 0, то рівняння f (х) = g (х) і (/ (ж))2 * = = (g (ж))2 *, k є N, рівносильні на множині М. 114
- 115. 14. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь Скориставшись ідеєю доведення теореми 14.1, доведіть цю теорему самостійно. ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння >І2х-3 + -J4x + 1 = 4. . Розв'язання. Областю визначення цього рівняння є множи- на М На цій множині обидві частини даного рівняння набувають невід'ємних значень. Тому дане рівняння на множи- ні М рівносильне рівнянню (j2x-3 + l4x + lf = 42 . Звідси 2*-3 + 2 л/2ж-Зл/4ж + 1 + 4*+1 = 16; yj2x-3 лІ4х + і = 9-3*. Ліва частина останнього рівняння на множині М - [1-І набуває невід'ємних значень. Тому права частина, тобто 9 - Зж, має також бути невід'ємною. Звідси 9 - Зж > 0; х < 3. Тоді на '•-[Iі*]множині М, обидві частини рівняння j2x - 3 [4х +1 = 9 — Зх набувають невід'ємних значень. Отже, за теоремою 14.3 це рів- няння рівносильне системі f(2ж - 3) (4ж +1) = (9 - Зж)а , ІЗ. ж2 -44*+ 84-0, З 12 <ж<3; ж = 2, X = 42, 5<ж<3; X = 2. Рівняння sj2x-3 + sj4x + l =4 можна розв'язувати й інакше. Розглянемо функції f(x) = і g(x) = -Jix + l. Легко пере- конатися (зробіть це самостійно), що ці функції є зростаючими. Тоді функція у = yJ2x - 3 + -*/4ж-+• 1 є зростаючою на множині М +co j- Отже, дане рівняння має не більше ніж один корінь. Нескладно помітити, що х = 2 є коренем розглядуваного рівняння. Відповідь: 2. ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння уі2Х-5 + ^Х+2 = уі2Х + 1. Розв'язання. Областю визначення даного рівняння є множи- на М = Г|;+»|. Обидві частини даного рівняння на цій множині набувають невід'ємних значень. Тому дане рівняння на множи- 115
- 116. § 3. Степенева функція ні М рівносильне рівнянню {j2x-5 + Jx + 2) =Ш х + 1) . Звідси 2j2x-5 Jx + 2 = 4-x. Скориставшись теоремою 14.3, отримуємо: f4(2x-5) (jc+2) = (4-ж)2 , Звідси 12 7jc + 4JC —56 = 0, 5. <x<4; Відповідь: -2 + бл/ГГ X = x- -2-6лЯІ 7 -2 + 6 л/lT -<x<4. 2 ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рівняння J4x2 +9x + b-j2x2 +x-l = Jx2 -1. Роз в язання% Вигідно розкласти квадратні тричлени, які стоять під радикалами, на множники: Л X +1) (4х + 5) - J(x+1) (2х -1) = J(x -1) (х +1). Тепер важливо не зробити поширену помилку, а саме: засто- сувати теорему про корінь з добутку в такому вигляді: Job = = Ja • Jb. Насправді записана формула справедлива лише для a > 0 i b > 0 , а якщо а < 0 і b < 0, то Jab = yf-a • Оскільки областю визначення даного рівняння є множина U [1;+°°) U {-1} (рис. 14.1), то дане рівняння рівносиль- не сукупності двох систем і одного рівняння. Рис. 14.1 1) х>1, [л/лс + 1 j4x + 5-Jx + lj2x~l = Jx-l Jx + 1; х>1,х>1, [j2x-l + Jx-l = j4x + 5; {2J2x-1 Jx-1 = x + 7 116
- 117. 14. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь (х>1, fx>l, [4(2x-1)(х-1) = х2 + 14х + 49; |7х2 -26х-45 = 0; х>1, * = ж = 5. х = 2) <- 5 4 ' л/-х -1 у/-4х - 5 - V-* -1 V-2JC + 1 = у/-х+1 УІ-х-1; л/-2х + 1 + -/-х + 1 = л/-4х-5;2 yj-2x +1 V-x+l =-х-7; х<-7, (х<~7, jx<~7, [х = 5, [4 (2* -1) (X -1) = X2 +14* + 49; [7х2 - 26* - 45 = 0; 7" Зрозуміло, що ця система розв'язків не має. 3) * + 1 = 0; X = -1. Відповідь: -1; 5. ГВправи 14.1.° Розв'яжіть рівняння: 1) V ^ T V ^ + 4 = 6; 2) л/2х + 3 у/х-2=3; 5) х-2 і т - = УІХ-4; УІ2Х-7 6) л/х-9 + >/х = 36 л/х-9' 3) + l V* + 2=4; 4) Vx >/l —JC =х; 14.2.° Розв'яжіть рівняння: 1) л/х + 2 л/х + 8 =4; 2) х-1 = уі2х-5 yjx+ї; 7) л/7-х + - Д = = 2л/5х + 37. V 7 - X 3) л/^Т 4) . 1 2 -л/2х + 3 = л/х + 10. л/х+ 10 117 7
- 118. § 3. Степенева функція 14.3.° Розв'яжіть рівняння: 1) $4 + 2х-х2 = х-2; 3) л/х2 +8 = 2х + 1; 5) 4х = х-1; 2) Ig-4X-X2 = Х + 4; 4) $2х2 -7х + 5^1-х; 6) $х2 -1=3-2х. 14.4.* Розв'яжіть рівняння: 1) УІХ2 -4х + 13 = ^х + 2; 2) $2х2 +8х + 7-2 = х; 14.5." Розв'яжіть рівняння: 1) ч/2х + 6-л/х + 1=2; 2) yjx + б - л / j c = 1 ; 3) Vx-5-V9~x = l; 4) л/2х + 5 = 8 - 7 x ^ 1 ; 14.6." Розв'яжіть рівняння: 1) >/2х-4 — л/х + 5 =1; 2) V* + l l - V 2 x + l = 2 ; 14.7." Розв'яжіть рівняння: 1) л/Зх+4 + sjx-4 = 2jx; 14.8.* Розв'яжіть рівняння: 1) $х + 3-уІ2х-1-уІдх-2 = 0; 2) Jx + 1 + Jx-l =$3х-1. 14.9." Розв'яжіть рівняння: 1) $х2 -4 + yJx2 +2х-8^$х2 -6х + 8; 2) YJIX2 +5X+2-4X2 + Х-2 = >/ЗХ+6. 14.10." Розв'яжіть рівняння: 1) $Х 2 -ЗХ + 2 + $Х2 -6Х + 8 = УІХ2 -11Х + 18; 2) Ух2 - Зх -10 + л/х2 + Зх+2 = л/х2 + 8х +12. 118 3) л/х + 2 =1-х. 5) л/х + 5 + л/5-х = 4; 6) ч/3х-і+л/дг + 3=2; 7) $х + $х + 11+$х-л[х + 11=4. 3) л/Зх + 1 + Vl6-3x = 5. 2) л/х + 1-л/9-x =л/2х-12.
- 119. 15. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем У попередніх пунктах ви ознайомилися з методами розв'я- зування ірраціональних рівнянь, заснованими на піднесенні обох частин рівняння до одного й того самого степеня. Розширимо арсенал прийомів розв'язування ірраціональних рівнянь. Насамперед звернемося до методу заміни змінної. ПРИКЛАДІ Розв'яжіть рівняння х2 + Зх -18 + 4 л/х2 + Зх - 6 = 0. Розв'язання. Нехай six2 + 3х-6 = t. Тоді х2 + Зх - 18 = t2 - 12, і дане рівняння набуває вигляду t2 - 12 + 4f = 0. Звідси ~t = -6, t = 2. Оскільки t > 0, то підходить лише t = 2. Отже, дане рівняння рівносильне такому: л/х2 + 3х-6 =2. Звідси х2 + Зх - 6 = 4; х = -5 або х = 2. Відповідь: -5; 2. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння >/х+4 + Vx-4 =2х + 2 Vx2 -16 -12. Розв'язання. Нехай Jx + 4 + Jx-4 = t. Тоді, підносячи до квадрата обидві частини останньої рівності, отримаємо 2х + 2 л/х2 -16 =t2 . Дане рівняння набуває вигляду t - t2 - 12. Звідси t- 4 або f = -3. Очевидно, що рівняння Іх+4 + >/х-4=—3 не має розв'язків. Отже, початкове рівняння рівносильне такому: Vx + 4 + ч/х-4 = 4. Далі, fx >4, jx>4, [2х+2л/хг -16 = 16; |Vx2 -16 = 8-х; f 4 < x < 8 , о х = Ь. X -16 = 64-16х+х ; Відповідь: 5. 119
- 120. § 3. Степенева функція ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння 2(х + 1)-х Jx + 1 -х2 -0. Розв'язання. Оскільки число 0 не є коренем даного рів- 2 (х +1) Jx +1 , „ няння, то рівняння — і — — — _ — 1 = 0 рівносильне даному. X sjx + l Нехай = f, тоді 2f - t - 1 = 0. Звідси t - 1 або t = —. X 2 Маємо: V H I - 11-Ї X 1х + 1 І . 2* Відповідь: 2-2 72. (х > 0, [х + 1 = х їх < О, І4ж + 4 = д;2 ; X = 1 + УІ5 х = 2-2^І2. Метод заміни змінних є ефективним і для розв'язування сис- тем ірраціональних рівнянь. Ux + y + ijxy + 22 = 5, фс+у + ф ц + 2 2 = 3. Розв'язання. Нехай tfx+y = а, фсу + 22 = b, а > 0, Ь > 0, Тоді ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть систему рівнянь дана система набуває вигляду Звідси а = 1, Ь = 2 або а2 +Ь2 =5, а + Ь = 3. (a+b)2 -2ab = 5, а + Ь = 3; ab = 2, a + b = 3. а = 2, 6=1. Далі маємо: Отже, дана система рівносильна сукупності двох систем I $jxy + 22 = 2," звідси у[х + у = 2, х + у = 1, ху = -6, х + і/ = 16, [ ^ + 2 2 = 1, Розв'язавши останні дві системи, отримуємо відповідь. Відповідь: (3; -2), (-2; 3), (8 + 785; 8-785), (8-785; 8 + 785). 120 ж
- 121. 15. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рівняння 7(2-xf + 7 ( 7 + Х ) 2 - 7 ( 7 + Х ) ( 2 - Х ) = 3- Розв'язання. Нехай 72-де = а, 77 + х = і>. Тоді [a2 + i>2 -a& = 3, І а3 + Ь3 =9; ab = 2, a + b = 3; |а = І» 1& = 2; a2 +i>2 -ai> = 3, (а + 6)(а2 +&2 -а&) = 9; Тепер можна записати [6 = [а = 2, І*=1. ßiönoeiöb: 1; -6. ПРИКЛАД • Розв'яжіть рівняння ( 7 l + x +1) (7і + х +2х - 5 ) = х . Р о з в язання. Помножимо обидві частини рівняння на вираз 7 і + х-1. Отримаємо рівняння-наслідок: X (7Г+Х + 2х - б) = дг (7ї+х -1). Це рівняння рівносильне сукупності X = 0, 7 і + х + 2Х-5 = 7 і + Х - 1 . Розв'яжемо друге рівняння сукупності. Його наслідком буде рівняння 2х - 5 = -1. Звідси х = 2. Залишилося виконати перевірку. Легко переконатися, що число 2 є коренем рівняння, а число 0 — ні. Відповідь: 2. Щ Вправи 1 5 . 1 . ° Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної: 1) 7х + 2 7 ? - 3 = 0; 2) 7х + 7 х - 6 = 0; 3) 2х-7 7х —15 = 0; 4 ) 7 Х + З 7 Х = 4 ; 5) 27х + 1 -5 = -T=ä=; V X + 1 6) X2 - х + 9+7хг -х + 9 = 12; 7) 7х2 -4х+ 4 - 2 л/х-2-3 = 0; 8j 1 і 3 _ 2. 7 х - і 7*+і х 7 х - і 7 7 - 1 7х2 -і /х + 1 121
- 122. § 3. Степенева функція 15.2.° Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін- ної: 1) ж-і/ж-12 = 0; 2) 3 J7 + 8 = 9&c; ь sfx—7==1; х 5j 1 і 2 _ Уж + 1 Уж + 3 6) У9-6ж + ж2 +2^3-ж-8 = 0; 7) ж2 -ж+%/жа -ж + 4 = 2; 4) 7 ^ 7 5 - 3 ^ ^ 7 5 + 2 = 0; 8) М М = 2 5 < 2x-3 Зх +2 15.3.' Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін- ної: 1) ж2 -5ж+16-з7*г ~5х+20=0; 4) Узж2 -9ж-26 = 12+Зж-ж2 ; 2) ж2 + 4-5л/жг -2 = 0; 5) 2жг +6ж-3л/ж2 +3ж-3 = 5; 3) 7ж2 -Зж + 5+ж2 =Зж + 7; 6) • J x k f x = 72. 15.4.* Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін- ної: 1) -4ж-3л/ж2 -4ж + 20 + 10 = 0; 3) ч/2ж2 -6ж + 40 = ж2 -Зж + 8; 2) 27жг -Зж + 11 = 4+Зж-ж2 ; 4) 5ж2 +10ж+л/ж2 + 2ж-15 = 123. 15.5.* Розв'яжіть систему рівнянь: 1) 2) [Уж+Уг/=5, (ж + у+4ч/жу = 37; [л/Ж-УУ = 7; 4) 5) 3 ) 6 ) [жу = 8; 15.6.* Розв'яжіть систему рівнянь: 1) 2) [ху=27; х + у = 5. 3) $х + у + $х-у=4, [$х + у-$х-у = 8; І 2х _2 V 2ж Зх - 2у ж2 - 8у2 = 18 - 18і/; $4~х + у+$9-2х + у=7, [2у-3х = 12. ($х + 2у + $х-у + 2 = 3, [2х + у = 7. 122
- 123. 15. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем 15.7." Розв'яжіть рівняння Jx^i + ylx + 3 + 2j(x-l)(x + 3)=4-2x. 15.8." Розв'яжіть рівняння x+J{x + 6) {x-2) = 2 + Jx+6 + Jx~2. 15.9." Розв'яжіть рівняння 42х+3 + у/х+І=3 х + 2 л/2х® + 5ж + 3 -16. 2 15.10." Розв'яжіть рівняння * ..+j2x + 5-2x. yJ2x + 5 15.11." Розв'яжіть рівняння 4х2 +12х ll + X = 27 (1 + х). 15.12." Розв'яжіть рівняння 6х2 -5xJx + 3 + x + 3 = 0. 15.13." Розв'яжіть рівняння %І(Х + З)2 +%](6-х)г -$](х + 3)(6-ж) = 3. 15.14." Розв'яжіть рівняння %](х+4)2 +yJ(x-5)2 +%](х + 4)(х-5) = 3. 15.15." Розв'яжіть рівняння Ух + 8-yJx-S -2. 15.16." Розв'яжіть рівняння >/18 + 5jc +/б4-5д: =4. 15.17." Розв'яжіть рівняння у/х-2 + л/х-1 ~5. 15.18." Розв'яжіть рівняння І2-х -l-Jx-l, 15.19." Розв'яжіть рівняння J 2 - J 2 - X -х. 15.20." Розв'яжіть рівняння JG-I6-x = 15.21." Розв'яжіть рівняння: 1) УІ2Х2 + ЗХ+5 + уі2Х2 -ЗХ + 5 = ЗХ-, 2) (Vx+I + l)(Vx+IÖ-4) = x. 15.22." Розв'яжіть рівняння: 1) Jx2 +3x-2 + yIx2 -x + l=4x-3; 2) {У/^+Ї + І)(УІХ + Ї + Х2 + Х--7) = Х. 123
- 124. § 3. Степенева функція Ірраціональні нерівності Розглянемо теореми, за допомогою яких розв'язують основні типи ірраціональних нерівностей. Доведення цих теорем анало- гічні доведенню теореми 14.1. Т е о р е м а 16.1. Нерівність виду yffjx) > ^fgjx) рівносильна системі U(x)>g(x), g(x)>0. - ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність yjx2 - Зх +1 ^ s/Зх - 4. Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі х2 -6х+5>0, X4 -Зх + 1>Зх-4, Зх-4>0; х>5, х<1, х> з- З X > 5. Відповідь: [5; Т е о р е м а 16.2. Нерівність виду yjf (х) < g (аг) рівносильна системі f(x)<(g(x))2 , g(x)> О, f(x)> О. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть нерівність ^2х2 -Зж-5 < х-1. Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі 2х2 -Зх-5<(х-1)2 , (-2се<3, < X -1 > 0, Звідси 2Х2 -Зх~5>0. х>1, ж<-1 або X >2,5. -1 2,5 3 Рис. 16.1 Розв'язування цієї системи про- ілюстровано на рисунку 16.1, Отримуємо 2,5 < X < 3. Відповідь: [2,5; 3), 124
- 125. 16, Ірраціональні нерівності Т е о р е м а 16,3. Нерівність виду yjf(x) >g(x) рівносильна сукупності двох систем ~g(x)<0, f(x)> О, gix)>Q, f(x)>{g(x)f. ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть нерівність yjx2 +7х + 12 >6-х. Розв'язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем. х>6, X < - 4 , яг > 6. х>~3; х<6, 1) [б-х<0, 2) 6-х>0, X2 +7х + 12>(6-*)2 ; Відповідьідь: (ff;*-). jc>—• 19 19 * ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть нерівність (* - Розв'язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді: (х-3){^х2 + 4-Х-з)<0. Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем. {х>3, 1) * - 3 > 0 , х>3, і і 5 * > 3. [л/ж2 + 4 < Jc+3; * 3 + 4 < * 2 + 6x + 9; 2) купності ІХ2 + 4>х + 3. х + 3<0, х + 3>0, Звідси х2 +4>(х + 3)2 . х<3, 6 Друга нерівність системи рівносильна су- х<-3, 5 х<-~. Тоді -З 6 6 маємо: — ; Ь1 6 Відповідь: U [3; +«=). 125
- 126. § 3. Степенева функція Нерівність прикладу 4 можна розв'язати інакше, викори- стовуючи метод інтервалів. Справді, розв'язавши рівняння (х - 3) (л/х2 + 4 - х - з) = 0, отримуємо й два корені X = З, X = ——. Розв'язування б Рис 16 2 даної нерівності проілюстровано на рисунку 16.2, При розв'язуванні ірраціональних нерівностей можна корис- туватися більш загальною теоремою. Т е о р е м а 16.4. Якщо для будь-якого х є М виконуються не- рівності f(x)>Oig(x)> 0, то нерівності f(x)>g (ж) і (/ (ж))2 * > > (g (ж))3 *, k є N, рівносильні на множині М. ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть нерівність $2х + Х + $х-3 <2/ї. Розв'язання. Обидві частини даної нерівності набувають невід'ємних значень на множині М = [3; яка є областю ви- значення цієї нерівності. Тому дана нерівність на множині М рівносильна нерівності {УІ2Х + 1 + yjx-zf < (2 yfxf. Звідси 2$2х + 1 <je + 2. На множині М = [3; обидві частини останньої нерівності набувають невід'ємних значень. Тому за теоремою 16.4 отримуємо: [4(2ж + 1)(х-3)<(ж+2)2 , [.х>3, [7жг -24ж~16<0, х>3; - | < * < 4 , х>3; З < x < 4. Відповідь: [3; 4]. Г Вправи 16.1.° Розв'яжіть нерівність: 1) ч/дП>4; 2) Т ^ ї < 4 ; 3) УдГЇ>-4; 4) ^ І < - 4 . 126
- 127. 16, Ірраціональні нерівності 4) sJx2 -3x + l>yj2x-3; 5) V8-5x>Vx2 -16; 6) yjx2 - Зх + 2 < 72X2 ~3X + 1. 3) 7*г + Зж-10<7х-2. 3) 274-х2 <х+4; 4) 7ж2 + 4х-5 <х-3. 16.2. Розв'яжіть нерівність: 1) 7 2 * - 4 > 7 ö - x ; 2) y[x<y}x + l ; 3) 7*2 + x < 7 x 2 + l ; 16.3.° Розв'яжіть нерівність: 1) 73х-2 <7х+6; 2) 72х2 +6ж-3>7х2 +4ж; 16.4.* Розв'яжіть нерівність: 1) X > І24-5х; 3) 73х-х2 <4~х; 5) 7ж2 +3х+3 <2х + 1; 2) -j2x + 7<x+2-, 4) 3 - х > 3 7l—ж2 ; 6) 77x-x2 -6 < 2х + 3. 16.6.* Розв'яжіть нерівність: 1) 79ж- 20 <х; 2) VxTel < ж+5; 16.6.'Розв'яжіть нерівність: 1) -J2-X >х; 3) 7х2 -1 >х 5) sjx2 +x-2>х; 2) у!Х + 7 > X +1; 4) six2 -2х >4-х; 6) 7-х2 + 6х-5 >8-2х. 16.7.* Розв'яжіть нерівність: 1) 7х+2>х; 2) 72х + 14>х + 3; 16.8.* Розв'яжіть нерівність: 1) (х + 10)-Jx~4 <0; 2) (х + 2)7(4-х)(5-х)»0; 16.9." Розв'яжіть нерівність: 1) (х-12)7*-3 < 0; 2) (х-3)7х2 + х-2>0; 16.10." Розв'яжіть нерівність: і) 3) six2 -Ьх-24>х + 2; 4) [х2 + 4х^5>х-3. 3) (х2 -1) 7х2 -4 <0. 3) (х2 -9) 7і6-х2 >0. х-2 3) 7 ^ 2х-X2 < V8-2х-х2 х + 10 2х + 9 2) 1-71-4х <3; 7х2 -Зх~4 -Зх + 16 , 4) : >1. 6-х 127
- 128. § 3. Степенева функція 16.11." Розв'яжіть нерівність: 1) (x+l)Jx2 + l>x2 -l; 3) 2х-1 Х-5 2) & К 0 ; .. У/Х2 +X-6 + 3X + 13 4) <1, х + 5 3) yJx + 3<yJx-l+yJx-2. 16.12." Розв'яжіть нерівність 1) 3yfx-Jx + 3 >1; 2 ) у і і - Х 2 + J 4 - X 2 <2; 16.13." Розв'яжіть нерівність: 1) Jx-6-Jx + 10 <1; 2) 2yfx+Jb-x>yJx + 21. 16.14." Розв'яжіть нерівність !Х + 3 + У]Х3 + Х + 6>4.. 16.15." Розв'яжіть нерівність yJx-2+Jx3 +8 < 4. 16.16." При яких значеннях параметра а множиною розв'язків нерівності Jl-(x + 2ä)2 > ~х є проміжок завдовжки З 5 16.17." При яких значеннях параметра а множиною розв'язків нерівності уіі-х2 >—(х-а) є проміжок завдовжки З 5 2
- 129. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ , J Радіанне вимірювання кутів Досі для вимірювання кутів ви використовували градуси або частини градуса — мінути і секунди. У багатьох випадках зручно користуватися іншою одиницею вимірювання Кутів. Її називають радіаном. Означення. Кутом в один р а д і а н називають центральний кут кола, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює ра- діусу кола. На рисунку 17.1 зображено центральний кут .АОВ, величина якого дорівнює одному радіану. Пишуть: Z АОВ = 1 рад. Також говорять, що радіанна міра дуги AB дорівнює одному радіану. Пишуть: и AB = 1 рад. Радіанна міра кута (дуги) не залежить від радіуса кола. Справ- ді, розглянемо два кола зі спільним центром О і радіусами R і г (R > г) (рис. 17.2). Сектор АОВ гомотетичний сектору АрВх D з центром О і коефіцієнтом —. Тоді, якщо довжина дуги AB до- г рівнює радіусу R, то довжина дуги А, В, дорівнює радіусу г. 129
- 130. § 4.Триїономегричні функції На рисунку 17.3 зображено коло радіуса R і дугу MN, довжи- р на якої дорівнює -R. Тоді радіанна міра кута MON (дуги MN) дорівнює ^ рад. Узагалі, якщо цент- Сі ральний кут кола радіуса R спира- ється на дугу кола довжини оЛ, то кажуть, що радіанна міра цього цен- трального кута дорівнює а рад. Довжина півкола дорівнює лії. Отже, радіанна міра півкола дорівнює л рад, а його градусна міра становить 180°. Це дозволяє встановити зв'язок між радіанною та градусною мірами, а саме: ь ті рад = 180°. (1) Звідси i p ^ f i f ) Поділивши 180 на 3,14 (нагадаємо, що тс ~ 3,14), можна уста- новити: 1 рад = 57°. Рівність (1) дозволяє також записати, що тс І80 рад (2) З цієї формули легко встановити, що, наприклад, 15° = 15 • рад = рад, 90° = 90 • ^ рад = | рад, 135° = 1 3 5 - щ рад = ^ рад. Зазвичай при записі радіанної міри кута позначення «рад» опускають. Наприклад, пишуть 135е = 4 У таблиці наведено градусну і радіанну міри кутів, які часто зустрічаються: Градусна міра кута 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Радіанна 0 п п к к 2п Зл 5тс Л міра кута 0 6 4 3 2 3 4 6 Л 130
- 131. 17. Радіанне вимірювання кутів Використовуючи радіанну міру кута, можна отримати зручну формулу для обчислення довжини дуги кола. Оскільки централь- ний кут в 1 рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу R, то кут в а рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює аЯ. Йкщо довжину дуги, яка містить а рад, позначити І, то можна записати і = aR На координатній площині розглянемо коло одиничного раді- уса з центром у початку координат. Таке коло називають оди- ничним. Нехай точка Р, починаючи рух від точки Р0 (1; 0), пере- міщується по одиничному колу проти годинникової стрілки. У певний момент часу вона займе положення, при якому ZP0OP = ~- = 120° (рис. 17.4). о Будемо говорити, що точку Р отримано з точки Р0 у резуль- таті повороту навколо початку координат на кут Щ- (на кут 120°).о 2п Пишуть: Р = Д0 3 (РоЬ Нехай тепер точка Р перемістилася по одиничному колу за годинниковою стрілкою і зайняла положення, при якому 2л ZPOP0 = — = 120° (рис. 17.5). Говоритимемо, що точку Р отри- О мано з точки Р0 у результаті повороту навколо початку координат на кут ~ (на кут -120°). Пишуть: Р = Я0 3 (Р0 ). о Узагалі, коли розглядають рух точки по колу проти годинни- кової стрілки, то кут повороту вважають додатним, а за годин- никовою стрілкою — від'ємним. N V > У' н Л , / J /її > Рис. 17.4 Рис. 17.5 131
- 132. § 4.Триїономегричні функції У- •Ґ >А Л NС J 11 ж Рис. 17.6 повороту на кут — (на кут 270°) або на Розглянемо ще кілька прикладів. Звернемося до рисунку 17.6. Можна говорити, що точку А отримано з точки Р0 у результаті повороту навколо початку координат на кут — (на кут 90е ) або на кут —— (на кут ^ А ї -270°), тобто А = Щ (Р0), A = R0 2 (Р0). Точ- ку В отримано з точки Р0 у результаті по- вороту на кут п (на кут 180°) або на кут -ті (на кут -180°), тобто B = Rq (Р0), В = Щ* (Р0). Точку С отримано з точки PQ у результаті Зя 2 _ 3; л кут (на кут -90°), тобто С = Л0 2 (Р0), C = (Р0). Якщо точка Р, рухаючись по одиничному колу, зробить повний оберт, то можна говорити, що кут повороту дорівнює 2п (тобто 360°) або -2л (тобто -360е ). Якщо точка Р зробить півтора оберти проти годинникової стрілки, то природно вважати, що кут повороту дорівнює Зтт (тобто 540°), якщо за годинниковою стрілкою — то -Зя (тобто -540°). Зрозуміло, що кут повороту як у радіанах, так і в градусах може виражатися будь-яким дійсним числом. Кут повороту однозначно визначає положення точки Р на одиничному колі. Проте будь-якому положенню точки Р на колі відповідає безліч кутів повороту. Наприклад, точці Р (рис. 17.7) відповідають такі кути повороту: —, — + 2п, — + 4п, — + 6я і т.д., 4 4 4 4 а також ~~2п, ~~4л, і т. д. 4 4 4 Кожному дійсному числу а по- ставимо у відповідність точку Р оди- ничного кола таку, що Р = Д£(Р0). Тим самим ми задали відображення множини дійсних чисел на множину точок одиничного кола. Зауважимо, що це відображення не є взаємно однозначним: кожній точці одинич- ного кола відповідає безліч дійсних чисел. Наприклад, точці Р (рис. 17.7) відповідають усі дійсні числа виду р и с ^ д 132
- 133. 17. Радіанне вимірювання кутів ^+2лk, k є Z. Зауважимо, що множину чисел виду ~ + 2nk, 4 4 Q t j fe є Z, можна задати й інакше. Наприклад: — + 2лп, п є Z, або 4 -— + 2жт, me 2. 4 Г Вправи 17.1.° Знайдіть радіанну міру кута, який дорівнює: 1) 25°; 2) 40°; 3) 100°; 4) 160°; 5) 210°; 6) 300°. 17.2." Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює: 1) 10' 2)f; Ч | і 4} 1,2л; 5) Зл; 6) 2,5л. 17.3.° Заповніть таблицю: Градусна міра кута 12° 36° 105° 225° 240° Радіанна міра кута 71 18 4ті 9 3п 5 4л 1,8л 17.4.° Чому дорівнює довжина дуги кола, радіус якого дорівнює 12 см, якщо радіанна міра дуги становить: 2) 2; 3) f ; 4) 2л? 17.5.° Обчисліть довжину дуги кола, якщо відомо її радіанну міру а і радіус R кола: 1)а = 3,Я=5см; 2) а = ~, Д = 6см; 3) а = 0,4л, R = 2 см. 4 17.6.° Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах: 1) f І 1,5; 2) і -2; 3) J і 1; 4) Щ 17.7.° Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах: 4) f і 4,8. 1) J і 1; 4 2) 1 к б" 17.8.° Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при повороті точки Р (1; 0) на кут: 1) 45°; 3) 150°; 5) у ; 7) -120°; 9) 450°; 11) 2) Щ • 4) 210°; 6) -45°; 8) -300°; 10) -480°; 12) и U 133
- 134. § 4.Триїономегричні функції 17.9." Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при повороті точки Р0 (1; 0) на кут: 1) 225°; 3) £ ; 5) 420°; 7) Щ-, 9) 6п; О ö 2) -60°; 4) 320°; 6) -315°; 8) 10) -720°. 6 17.10.° У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отри- мана при повороті точки Р() (1; 0) на кут: 1) 127°; 5) -240°; 9) -470°; 13) -7л 6 ' 17) 3; 2) 89°; 6) 400°; 10) я. 5' 14) -1,8л; 18) 6; 3) 276°; 7) 750°; И ) 4л з ; 15) 2,6л; 19) -2; 4) -130°; 8) -24°; 12) 5л 6 ; 16) 17 4 ; 20) 7? 17.11." У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отри- мана при повороті точки Р0 (1; 0) на кут: 1) 94°; 4) -100°; 7) -800°; 10) 13) 1; и 2)176°; 5)-380°; 8 ) ^ ; 11) 5,5п; 14)-3; 3) 200°; 6) 700°; 9) ; 12) 15) 5? 4 b 17.12.° Знайдіть координати точки одиничного кола, отриманої при повороті точки Р0 (1; 0) на кут: 1) |; 3) -90°; 5) f ; 7) 450°; 2) ті; 4) -180°; 6) 8) -2я. 17.13.° Які координати має точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р0 (1; 0) на кут: 1) 2) Зя; 3) ; 4) 180°; 5) -270°; 6) -540°? 17.14.° Кути трикутника відносяться як 2 : 3 : 5. Знайдіть раді- анні міри його кутів. 17.15." Кути чотирикутника відносяться як 1 : 3 : 4 : 7. Знайдіть радіанні міри його кутів. 17.16.° Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює 15 17.17." Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 36°. Знайдіть радіанні міри кутів цього трикутника. 134
- 135. 17. Радіанне вимірювання кутів 17.18.* Укажіть найменший додатний і найбільший від'ємний кути, при повороті на які точки Р(І (1; 0) буде отримано точку з координатами: • 1) (0; 1); 2) (-1; 0); 3) (0; -1); 4} (1; 0). 17.19.* Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р оди- ничного кола (рис. 17.8). У p (S 2тт S®" V ° К X У ' v° I ° а) б) Рис. 17.8 в) 17.20.' Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р оди- ничного кола (рис. 17.9). У* 7 < f і I N15 К К /1 і а) б) Рис. 17.9 17.21.' Серед кутів 400°, 510°, 870°, 1230°, -150°, -320°, -210°, -680°, -1040° укажіть ті, при повороті на які точка Р0 (1; 0) займе те саме положення, як при повороті на кут: 1) 40°; 2) 150°. 17.22.* Знайдіть кут а, 0° < а < 360°, при повороті на який точ- ка Р0 (1; 0) займе те саме положення, як при повороті на кут: 1) 440°; 2) -170°; 3) -315°; 4) 1000°. 17.23.* Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих при повороті точки Р0 (1; 0) на кути: 1) | + 2л/г, k є Z; 3) £ + k є Z; 5) 2nk, k є Z; z 2) ~+4nk, k є Z; 4) nk, h є Z; z 135 6) f , k є Z.
- 136. § 4.Триїономегричні функції 17.24.* Побудуйте на одиничному колі точки, яким відповідає така множина чисел: 1 ) — + 2nk, k є Z ; 3 ) ™ + k є Z ; 4 4 2) Щ- + 2 я А , k є S ; 4 ) А є Z . 2 3 17.25.* Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку Р0 (1; 0), щоб отримати точку: 2)Р2(-1;0); 17.26." Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку jP (1; 0), щоб отримати точку: т у * - « ЧР.(і4): з, ) 17.27." Спростіть: 1 ) {2пп І п є Z } U { я / г І п є Z } ; 2 ) { 2 я п | /і є Z } П { я 4- 2 п п І п є Z } ; 3) { § | Л є г } и { 2 + л п | п є 2 } ; 4 ) | ± | + Я 7 і I n e z j U { я / г і т г є Z } ; 5) |(-l)n .J + 7C7i І п є z j U { ( - ! ) - . 1 тгєzj; 6) j j + n | « E z [ n [ | | « E z ) . 17.28.* Спростіть: 1 ) { 2 я п I n є Z } U { я + 2 я / г | n є Z } ; 2 ) { 2 я п | n є Z } Л {ятг | тг є Z } ; 3 ) { ± | + я т г I n e z j ; 4 ) { f f І т г є й } п { | + 7 г д I raezj; 5 ) { ( - 1 ) " я + т т I n e Z } ; • 6) { « 1"Цп {п(2 г1}| "£ 4 17.29." Доведіть, що площу сектора, який містить дугу с(J?2 в а рад, можна обчислити за формулою S = ——, де /f — раді- А ус кола. 136
- 137. 18. Тригонометричні функції числового аргументу 1Тригонометричні функції числового аргументу Поняття «синус», «косинус» і «тангенс» кутів від 0° до 180° знайомі вам з курсу геометрії 9 класу. Узагальнимо ці поняття для довільного кута повороту а. Означаючи тригонометричні функції кутів від 0° до 180°, ми користувалися одиничним півколом. Для довільних кутів пово- роту природно звернутися до одиничного кола. Означення. Косинусом і синусом кута повороту а називають відповідно абсцису х і ординату у точки Р (JC; у) одиничного кола такої, що P = R',j(PJ (рис. 18.1). Пишуть: cos ос = х, sin а = у. У< а. Iх . f 1р ° О ' І * P V " У J У • ч ( уІ 0 ГV . с / Рис. 18.1 Рис. 18.2 Точки Р0, А, В і С (рис. 18.2) мають відповідно такі координа- ти: (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Вони отримані з точки Р0 (1; 0) 7Г ЗТГ у результаті повороту відповідно на такі кути: 0, —, п, --. Тому, користуючись даним означенням, можна скласти таблицю: X 0 П 71 37T 2 2 sin X 0 1 0 -1 COS X 1 0 ~1 0 ПРИКЛАД 1 Знайдіть усі кути повороту а, при яких: 1) sin а = 0; 2) cos а = 0. Розв'язання 1) Ординату, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки оди- ничного кола: Р0 і В (рис. 18.2). Ці точки отримано з точки Р0 у результаті поворотів на такі кути: 137
- 138. § 4.Триїономегричні функції 0, п, 2л, Зл, ... або —я, —2л, —Зтї, ... Отже, sin а = 0 при а = лк, де к є Z. 2) Абсцису, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки оди- ничного кола: А і С (рис. 18.2). Ці точки отримано з точки PQ у результаті поворотів на такі кути: або I ' | + ї + 2 л ' f + 3 7 t ' f-я, §-2тг, f-Зті, ... Отже, cos а = 0 при а - ^ + лИ, де ft є Z. • А О з н а ч е н н я . Т а н г е н с о м кута повороту а називають відношен- ня синуса цього кута до його косинуса: t g a = sin a cosa О з н а ч е н н я . К о т а н г е н с о м кута повороту а називають відно- шення косинуса цього кута до його синуса: cosa ctg a = -.— ••& sin a Наприклад, = = ctg COS TT ( - ! ) = - sin (-1). cos-Ъп Я -О, , 37t 4 X , ^ T ' - f c - l f — ^ S I N - - YJL 4 2 З означення тангенса випливає, що тангенс визначено для тих кутів повороту а, для яких cos а # 0, тобто при a * ~ + rck, А є Z. СІ З означення котангенса випливає, що котангенс визначено для тих кутів повороту а, для яких sin а Ф 0, тобто при а * nk, k є Z. Ви знаєте, що кожному куту повороту а відповідає єдина точ- ка одиничного кола. Отже, кожному значенню кута а відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для а* —+Jtfe, котангенса для a лк, k є £л кута а. Тому залежність значень синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута повороту є функціональною. 138
- 139. 18. Тригонометричні функції числового аргументу Функції f (а) = sin а, g (а) = cos а, h (а) = tg а, р (сс) = ctg а, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута повороту а. * Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут а рад. Це дозволяє розглядати тригонометричні функції число- вого аргументу. Наприклад, запис sin 2 означає синус кута 2 радіана. З означення синуса і косинуса випливає, що областю визна- чення функцій у = sin X і у = cos X є множина R. Оскільки абсциси і ординати точок одиничного кола набувають усіх значень від -1 до 1 включно, то областю значень функцій у = sin X і у - cos X є проміжок [-1; 1]. Кутам повороту а і а + 2лп, де п є Z, відповідає одна й та сама точка одиничного кола. Тому sin а = sin (а + 2пп), п є Z cos а = cos (а + 2лп), п є Z Областю визначення функції у = tg х є множина {х є 1 I + k є Z). Областю визначення функції у = ctg х є множина {х є М I X * nk, k є Z}. Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої геометричної інтерпретації. Проведемо пряму X = 1. Вона прохо- дить через точку Р0 (1; 0) і дотикається до одиничного кола (рис. 18.3). Нехай точка Р отримана з точки Р0 (1; 0) у результаті повороту на кут а і розміщена так, як показано на рисун- ку 18.3. Пряма ОР перетинає пряму х = 1 у точці М. Проведемо PN J. OPQ. З подібності трикутників OPN і ОМР0 уі tga уі tga / Аа "ІЗ 0 N j 1 X випливає, що PN ON _МР0 ОРп Рис. 18.3 Оскільки PN - sin a, ON = cos а, OP. = 1, то M R = а ш а = tg а.0 ° сов а Отже, ордината точки М дорівнює tg а. Можна показати, що і при будь-якому іншому положенні точки Р на одиничному колі виконується таке: якщо пряма ОР перетинає пряму х = 1, то ордината точки перетину дорівнює tg а. Тому пряму X = 1 називають віссю тангенсів. 139
- 140. § 4.Триїономегричні функції Зрозуміло, що при зміні положення точки Р на одиничному колі (рис. 18.4) точка М може зайняти довільне положення на прямій X = 1. Це означає, що областю значень функції у = tg х є множина 1R. Нехай точка Р отримана з точки Р_ (1; 0) у результаті повороту на кут а і розміщена так, як показано на рисунку 18.5. Можна показати, що коли пряма ОР перетинає пряму у = 1, то абсциса точки перетину дорівнює ctg а (рис. 18.5). Тому пряму у - 1 на- зивають-віссю котангенсів. У і Рис. 18.4 Рис. 18.5 Рис. 18.6 З рисунка 18.6 зрозуміло, що областю значень функції у = ctg X є множина М. Якщо точки Р , О і Р2 лежать на одній прямій, то прямі ОР1 і ОР2 перетинають вісь тангенсів (котангенсів) в одній і тій самій точці М (рис. 18.7, 18.8). Це означає, що тангенси (ко- тангенси) кутів, які відрізняються на ті, 2п, Зя і т. д., рівні. Звідси tg а = tg (а + тіп), п є Z ctg а = ctg (а + яп), п є Z У• " - Ч Л N P0f V0 V 1 X >М У> (л о V „>V J1 ж Рис. 18.7 Рис. 18.8 Рис. 18.9 140
- 141. 18. Тригонометричні функції числового аргументу ПРИКЛАД 2 Доведіть, що cosa = sin|a + ^J. Розв'язання. Нехай точки Р і Рг отримано з точки Р0 у ре- зультаті поворотів на кути а і а + т; відповідно. Опустимо пер- пендикуляри РХА і Р2В на осі X і у відповідно (рис. 18.9). Оскіль- ки ZPflP2 = ^ , то можна встановити, що ДОР,А = АОРгВ. Звідси OA = OB. Отже, абсциса точки Р{ дорівнює ординаті точ- ки Р2, тобто cosa^sin Випадки розміщення точок Р1 і Р2 в інших координатних чвертях розглядаються аналогічно. Розгляньте самостійно випадки, коли точки Р1 і Р2 лежать на координатних осях. • ПРИКЛАД 3 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: ,. , . „. (2 - sin a) cos a 1) 1 - 4 cos a; 2) і — . cos a Розв'язання. 1) Оскільки -1 < cos a < 1, то -4 < -4 cos a < 4, -З < 1 - 4 cos a < 5. Отже, найменше значення даного виразу до- рівнює -3; вираз набуває його при cos a = 1. Найбільше значення дорівнює 5; вираз набуває його при cos a = -1. Відповідь: 5; -3. г.* и г (2 - sin a) cos a _ . „ . ,,2) Маємо: = 2- sin a. Зрозуміло, що вираз 2 - sin a cosa набуває всіх значень від 1 до 3. Найменше значення виразу 2 - sin а, яке дорівнює 1, досягається лише при sin a = 1, проте » . (2 - sin a) cos a „ _ при цьому cos a = 0 і вираз не визначеним. Отже, cos a найменшого значення не існує, Аналогічно, найбільшого значення вираз 2 - sin а набуває лише при sin a = -1, проте при цьому також cos а = 0. Отже, і найбільшого значення не існує. Відповідь: не існують. ПРИКЛАД 4 Знайдіть область значень виразу: 1) - — 1 ; СІ COS І2ДГ 2) І ' 3 sin х-2 Розе' лз сі и н я* 1) Маємо: -1 < cos 2х < 1; 1 < 2 - cos 2х < 3; 1 > — - —>—. Зрозуміло, що коли значення cos 2х змінюється 2 - cos 2х З 141
- 142. § 4.Триїономегричні функції від -1 до 1 включно, то значення виразу 2 _c o s £х змінюється від — до 1 включно. и Відповідь: [gSlJ- 2) Маємо: -1 < sin X < 1; -3 < 3sin х < 3; -5 < 3sin х - 2 < І. >1, причому При 0 < 3 sin X - 2 < 1 отримуємо, що рівність досягається при sin х - 1. При -5 < 3 sin X - 2 < 0 отримуємо, що З sin X - 2 1 < — , при- 3 sin X - 2 5 чому рівність досягається при sin х - -1. Отже, область значень даного виразу — множина U [1;+°°). • .j Вправи 18.1/ Обчисліть значення виразу: 1) 2 cos 0° + 3 sin 90°; 2) 4tg 180° - 2ctg 90°; 3)|jn 45° + cos 45°; 6) sinO + t g n - s i n — ; 3jt 7) 5 cos к + 4 cos — + 2 cos 2я; с* 8) 6 s i n f - 2 c o s f + t g £ - 7 c t g £ ; О 3 4 4 4) sin2 60° + cos2 30°; 5) sin 45° cos 60° ctg 30°; 18.2.° Чому дорівнює значення виразу: 9) 2 s m ^ + cos2 ^; 4 6 •Я я. 10) s i n f t g ^ c t g f . 1) sin 270° - 3 cos 180°; 2) cos 60° + sin 30°; 3) 7tg2 45° - 3 ctg 45°; 4) sin 180° cos 120° tg 60°; 5) Л , 7C sin — + cos тс + tg — ) n • К2 sin- • К JC Я6) sin-cos-ctg-; 4 4 3 РТЧ 3n . 3N , . . 3jt7) cos у - s i n y + c t g ~2 8) 6cos0 + 4sin2л+4sin2 ^? О 142
- 143. 18. Тригонометричні функції числового аргументу 18.3.° Відомо, що а = Знайдіть і порівняйте значення вира- 6 зів: . 1) sin 2а і 2 sin а; 2) cos За і 3 cos а. 18.4/ Відомо, що ß = Знайдіть і порівняйте значення виразів: 1) sin 4ß і 4sin ß; 2) tg 4ß і 4tg ß. 18.5.° Чи можлива рівність: 4 я 1) cosa = —; 4) cosa = -; 7) tg а =-4; 7 З 2) sina = - — ; 5) c o s a ^ I 8) ctga = V26? 4 4 3) s i n a = - ^ 2 ; 6) sina = f ; 8 Vs 18.0/ Чи може дорівнювати числу ™ значення: 1) sin a; 3) tg a; 2) cos a; 4) ctg a? 18.7/ Знайдіть значення виразу: ,. sin 2a + cos 2a л 1) г , якщо а = -; sin ( a - ^ ) + 3 t g a ол sin (a + ß) Л JC 2 ) sin (a - ß) + cos (a + ß)' Я К Щ О a = 3 ' ß = 6 ! 3) (sin a + sin ß)2 - (sin a - sin ß)2 , якщо a = ß = v- о 4 18.8/ Знайдіть значення виразу: л/І sin ( a + 1 j + V i cos ( a + ^ ) 1) TZ ' X якщо a = J sin 3ß-sinßtga п г, я cos 3a-3 sin (3a+ 3ß)' я к щ о а = з ' 18.9/ Укажіть найбільше і найменше значення виразу: 1)3 sin а; 3) 2 - sin а; 5) sin2 а; 2) 4 +cos а; 4) 6 - 2cos a; 6 ) 2 c o s z a - 3 . 143
- 144. § 4.Триїономегричні функції 18.10.° Укажіть найбільше І найменше значення виразу: 1) -5cos а; 2} cos а - 2; 3) 5 + sin2 а; 4) 7 - 3sin а. 18.11." Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність: 1) sin X = 1; 2) sin X = -1. 18.12.* Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність: 1) cos X = 1; 2) cos х = -1. 18.13.* Чи існує таке значення х є IR, при якому обидві функції у - tg X і у = ctg X не визначені? 18.14.* При яких значеннях а можлива рівність: 1) cos X - а + 3; 3) cos х = а2 - 1; 5) cos х = а2 - 5а + 5; 2 ) s i n X = а2 + 1 ; 4 ) s i n х = а2 - а - 1; 6 ) t g x = ? ~ ? а — 18.15.* При яких значеннях а можлива рівність: 1) sin X = а - 2; 3) cos х = а2 - 3; 2) cos ж = а2 + 2; 4) sin х = 2а - а2 - 2? 18.16/ Порівняйте значення виразів 2 sin а і sin2 а, якщо 0 < а < а 18.17." Порівняйте: 1) cos 10° і cos 10°cos 20°; 2) sin 40° і sin2 40°. 18.18." Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: 1 j sin а (1 +cos а) 1) ; о) ; ; 1 + sina sin а Я „ 2 cos а 0 . о • 2cos а 2) ; 4) 2cosa + 3 s m a . cos а cos а 18.19." Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: 1 sin a cos а л. . sin а cos а 1) -; 2) ; 3) sin а + cos ос . cos а - 2 sin a cos а 18.20." Знайдіть область значень виразу: 1) - ; 2) - ; 3) - . 2 + sin X 1 - cos X 4 sin Х - З 18.21.' Знайдіть область значень функції: 2 * 1 1 1 ] 2 ) 3 ) y = l-2cos*- 18.22." Доведіть, що sin a = -cos|^ + aJ. 18.23." Доведіть, що cos a=-cos (я + a). 144
- 145. Коли зроблено уроки Ставай Остроградським! 1 ^ 4 Видатний український математик Михайло Васильович Остро- градський народився в селі Пашенівка на Полтавщині. У 1816- 1820 pp. він навчався в Харківському університеті, а потім удосконалював математичну освіту, навчаючись у таких великих учених, як П'єр Симон Лаплас (1749-1827), Симеон Дені Пуассон (1781- 1840), Огюстен Луї Коші (1789-1857), Жан Батіст Жозеф Фур'є (1768-1830). Серед величезної наукової спадщини, яку залишив нам Михайло Остроград- ський, значну роль відіграють роботи, пов'язані з дослідженням тригонометрич- них рядів і коливань. Багато важливих математичних теорем сьогодні носять ім'я Остроградського. Крім наукових досліджень, Остроград- ський написав низку чудових підручни- ків для молоді, зокрема «Програму і конспект тригонометрії». Сам Остроградський надавав питанню викладання тригонометрії такого значення, що це стало предметом доповіді в Академії наук. Науковий авторитет Остроградського був настільки високим, що в ті часи, відправляючи молодь на навчання, казали: «Ставай Остроградським І» Це побажання актуальне і сьогодні, тому: «Ставай Остроградським!» А* Михайло Васильович Остроградський (1801-1862) j Знаки значень тригонометричних функцій. Парність і непарність тригонометричних функцій Нехай точку Р отримано з точки PQ (1; 0) у результаті повороту навколо початку координат на кут а. Якщо точка Р належить І чверті, то говорять, що кут а є кутом І чверті. Аналогічно можна говорити про кути II, III і IV чвертей. Наприклад, у і-300° 5л кути І чверті, — і -185 II чверті, — і -96° — кути III чверті, 355° і - 145 2к З Я 8 кути кути IV чверті. о
- 146. § 4.Триїономегричні функції Кути виду — , k є Z, не відносять до жодної чверті. 2 Точки, розміщені в І чверті, мають додатні абсцису І ординату. Отже, якщо а — кут І чверті, то sin а > 0, cos а > 0. Зрозуміло, що коли ос — кут II чверті, то sin а > 0, cos а < 0. Якщо а — кут III чверті, то sin а < 0, cos а < 0. Якщо а — кут IV чверті, то sin а < 0, cos а > 0. Знаки значень синуса і косинуса схематично показано на рисунку 19.1. sin а а) б) Рис. 19.1 Рис. 19.2 Оскільки tg а = з т а ctg а = cos а то тангенси і котангенси cos a sin а кутів І і III чвертей є додатними, а кутів II і IV чвертей — від'ємними (рис. 19.2). Нехай точки Р і Рг отримано в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кути а і - а відповідно (рис. 19.3). Для будь-якого а точки Р1 і Р2 мають рівні абсциси і проти- лежні ординати. Тоді з означень синуса і косинуса випливає, що для будь-якого а є Е Рг. УІ у Х -4а Р 1 0 *-І х у Х -4а Р 1 0 *- J „ Ті X а у —л ^ cos (-а) = cos а sin (-а) = -sin а Рис. 19.3 tg(-a) = ctg (-а) = Це означає, що функція косинус є парною, а функція синус — не- парною. Області визначення функцій у = - tg X і у - ctg X симетричні віднос- . но початку координат (перевірте це самостійно). Крім того: sin {-a) -sin а cos (-а) cos (-а) cosa cosa = -tga; = -ctga. sin (-a) -sin а Отже, функції тангенс і котангенс є непарними. 146
- 147. 19. Знаки значень тригонометричних функцій ПРИКЛАД 1 Який знак має: 1) sin 280°; 2) tg (-140°); 3) tg 2? Розв'язання. 1) sin 280° < 0, оскільки кут 280° є кутом IV чверті; 2) tg (-140°) > 0, оскільки кут -140° є кутом III чверті; 3) оскільки ^ < 2 < л , то кут 2 рад є кутом II чверті. Отже, с* tg 2 < 0. • ПРИКЛАД І Визначте знак виразу cos 123° tg 231° sin 312°. Розв'язання. Оскільки 123° — кут II чверті, 231° — кут III чверті, 312° — кут IV чверті, то cos 123° < 0, tg 231° > О, sin 312° < 0 і їх добуток більший за 0. • ПРИКЛАД 3 Порівняйте sin 200° і sin (-200°). Po З в Я 3 Сі W Ы Я• Оскільки кут 200° — кут III чверті, кут -200° — кут II чверті, то sin 200° < 0, sin (-200°) > 0. Отже, sin 200° < sin (^200°). • ПРИКЛАД 4 Дослідіть на парність функцію: І) /(*)= 1 + ° ° S * ; 2) f (X) = 1 + sin ж; 3) 4> = cos X x-l Розв'язання. 1) Область визначення даної функції D(f)~ (~ео; 0) U (0; -К») є симетричною відносно початку координат. Маємо: 1 + сов (-ж) _ 1 + cos х i-xf Отже, дана функція є парною. 2) Область визначення даної функції D (f) = (-«; +») є симе- тричною відносно початку координат. Маємо: f (-ж) = 1 + sin (—ж) = 1 - sin х. Тоді f (-ж) Ф f (ж); / (-ж) * -/ (ж). Отже, дана функція не є ні парною, ні непарною. 3) Область визначення даної функції — усі дійсні числа, крім чисел виду ~+nk, k є Z, — є симетричною відносно початку А координат. Маємо: cos (-аг) cos X Отже, дана функція є непарною. 4) Область визначення даної функції D (f) - (-«; 1) U (1; +«>) не є симетричною відносно початку координат. Отже, дана функція не є ні парною, ні непарною. • 147
- 148. § 4.Триїономегричні функції Вправи 10.1.' Кутом якої чверті е кут: 1) 38°; 3) 302°; 5) -98°; 7) Зл 5 ; 9) 2л ' з ; 8) т , 10) 4 2) 119°; 4) 217°; 6) -285°; 19.2.° Додатним чи від'ємним числом є значення тригонометрич- ної функції: 1) sin 110°; 4) sin (-280°); 7) sin (-130°); 2) cos 200°; 5) cos 340е ; 3) tg 160°; 6) tg (-75°); 19.3.' Який знак має: 1) sin 186°; 3) ctg 340°; 8) cos 2; 9) sin (-3); 10)tg 1; .771 11) Ctg 4 ' 12) t g ^ ? 9л 5) ctg (-291°); 7) t g ^ ; 4) cos (-78°); 6) sin у ; e» - H S ) ,2) tg 104°; 19.4.° Знайдіть значення виразу: 1) sin (-30°); 2) tg (-60°); 3) ctg (-45°); 4) cos (-30°). 19.5." Чому дорівнює значення виразу: 1) cos (-60°) + tg (-45°); 2) ctg (-60°) sin (-45°) cos (-45D )V 19.6.° Знайдіть значення виразу: 1) sin (-30°) - 2 tg (-45°) + cos (-45°); 2) 5 tg0 + 2sin(-|)-3 ctg(-j) + 4cos(-|); 3) tg ctg (-*)+2 cos <-я)+4 sin2 4) 1,5+sin2 j 1-ї) - c o s 2 | 1 - ї ) 2 c o s І 1 • 19.7.° Знайдіть значення виразу: 1) 3sin (-45°) + cos (-45°) + 2sin (-30°) + 6 cos (-60°); 2) sin2 (-60°) + cos2 (-30°); 3)2tg(-5)ctg(-f)+ 3sin(-f)+ 4cos(-|). 148
- 149. 19. Знаки значень тригонометричних функцій 19.8.° Визначте знак виразу: 1) sin 100° sin 132°; 2) cos 210° sin 115°; * 3) cos 285° cos (-316°); 4) tg 112° sin 165°; 5) cos 318° tg (-214°); 6) ctg 300° sin 220°; 7) sin 1 cos 2; 8) sin 5 tg 5; 9) sin 3 cos 4 tg 5; 10) sin (-118°) cos 118° tg 118°. 19.9.° Порівняйте з нулем значення виразу: 1) sin 102° cos 350°; 3) З Ш Ц Ц ; 5) sin 112° cos (-128°) tg 198а ; 2) sin 134° cos 131°; 4) cos 256' cos 142° sin 72 6) sin (-245°) tg 183° ctg (-190°). 19.10.° Відомо, що ^ < a < 7t. Порівняйте з нулем значення виразу: а 1) sin a tg а; 2) . о sin а cos а 3) о sin а сова 4) sin а - cos а. .371 19.11.° Відомо, що 7Г < ß < — . Порівняйте з нулем значення виразу: Z 1) sin ß cos ß; 2) sinß cos2 ß; 3) tg3 ß, sin ß ' 4) sin ß + cos ß. 19.12.° Порівняйте: 1) tg 130° і tg (-130°); 2) tg 110° і tg 193°; 3) cos 80° і sin 330°; 19.13." Порівняйте: 1) sin 200° і sin (-250°); 2) ctg 100° і ctg 80°; 19.14." Відомо, що а — кут III чверті. Спростіть вираз: 1) sin а - ) sin а |; 3) | tg а - tg а. 2) I cos а І - cos а; 19.15.° Відомо, що ß — кут IV чверті. Спростіть вираз: 1) [ sin ß І + sin ß; 3) І ctg ß I - ctg ß. 2) cos ß - I cos ß I; 19.16.° Кутом якої чверті є кут а, якщо: 4) sin 60° і sin 5) ctg Зр і cos 280°; З 6) ctg 6 і ctg 6°. 3) cos 250° і cos 290°; 4) cos 6,2 і sin 5. 1) sin а > 0 і cos а < 0; 3) | sin а sin а і а * ^ , k є Z 2) sin а < 0 і tg а > 0; 4)ctga + |ctga| = 0 і + fee 149
- 150. § 4. Триї ономегричні функції 10.17.* Кутом якої чверті є кут а, якщо: 1) соа а > 0 і tg а > 0; 2) sin а < 0 і ctg а < 0; 3) I cos а І = -cos а і h є Z; Ск 4) I tg а І - tg а = 0 і а * nk, k є Ті 19.18.* Дослідіть на парність функцію: 1) f (х)- sin2 х; 5) / (х) = Xs + cos х; 2) = 6) /(*)= x s i n * • X ' 1 - COS X ' 3) f(x) = tg X + cos x; 7) f (x) = ~Ц_С °В X ; 1-cosx „. . , . x3 sinx 1 + cos X А 19.19.* Дослідіть на парність функцію: 1)/(x) = tgx + ctgx; 4) f(X ) = Jf!£.; X —1 2 > ' W ^ S r S f s 5 ) W = o o . r + f ;Sin X - tg X 3 3) = 6) X - 1 X - 1 J Періодичні функції Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через 27,3 доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця; якщо сьогодні субота, то через 7 діб знову настане субота. Подібні явища і процеси називають періодичними, а функ- ції, які є їх математичними моделями, — періодичними функ- ціями. Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності sin (х - 2я) = sin X = sin (х + 27t); cos (х - 2ті) = cos X = cos (х + 2л). Це означає, що значення функцій синус і косинус періодич- но повторюються при зміні аргументу на 2я. Функції у = sinx і у = cosx є прикладами періодичних функцій. 150
- 151. 20. Періодичні функції О з н а ч е н н я . Функцію / називають п е р і о д и ч н о ю , якщо існує таке число Т * 0, що для будь-якого ж з області визначення функції f виконуються рівності f (х — Т) = f (ж) = / (ж + Т). Число Т називають п е р і о д о м функції /. Виконання записаних рівностей для будь-якого ж є D (f) озна- чає, що область визначення періодичної функції f має таку влас- тивість: якщо х0€ D (Я, то (ж0 - Т) € D (f) і (ж0 + Т) є D (Я- Ви знаєте, що для будь-якого ж з області визначення функції у = tg ж виконуються рівності tg (ж - я) - tg ж = tg {ж + я). Також для будь-якого ж з області визначення функції у = ctg ж виконуються рівності: ctg (ж - я) = ctg ж = ctg (ж + я). Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс і котангенс є періодичними з періодом я. Періодичною є функція дробова частина числа у = {ж}. Її періодом є будь-яке ціле число, відмінне від нуля. Справді, для будь-яких ж є К і k є Z виконується рівність {х + ft} = {ж}. Розглянемо деякі властивості періодичних функцій. Т е о р е м а 20.1. Якщо число Т є періодом функції f, mo і чис- ло -Т також є періодом функції f. Справедливість цієї теореми випливає з означення періодичної функції. / Т е о р е м а 20.2. Якщо числа Тї і Т2 є періодами функції f, причому Т1 + 0, то число Т + Т також є періодом функ- ції f. Доведення. Для будь-якого ж є D (f) можна записати: / (ж) = f (ж + TJ = / ((ж + TJ + Т2) = f (ж + (Т1 + Тг)); fix) = f (ж - TJ = f ((ж - Tj) - Т2) = / (ж - (Т1 + Тг)). Звідси для будь-якого Ж € D ( f ) виконуються рівності: f (ж - ІТ1 + т2 » = f(x) = f(ж + (Т1 + т2)). Отже, число Ті + Т2 є періодом функції f. А Наслідок. Якщо число Т є періодом функції f, mo будь-яке число виду пТ, де п є Z, п ^ 0, також є її періодом. Доведіть цей факт самостійно. 151
- 152. § 4.Триїономегричні функції Остання властивість означає, що кожна періодична функція має безліч періодів. Наприклад, будь-яке число виду 2тin, п е Z, п ф 0, є періодом функцій у = sin ж і у = cos х; будь-яке число виду пп, пе Z, п є періодом функцій у = tg X і у = ctg X. Т е о р е м а 20.3. Якщо число Т є періодом функції у = f (де), Т то число —, де k * 0, є періодом функції у - / (kx + Ь). К Доведення. Для будь-якого х з області визначення функції у = f (kx + b) можна записати: / (kx + b) = f ((kx + b) + T) = f (ft (ж+ J)-+ б); / (kx + b) = / ((ft* + b)~ T) = f (ft ( ж б ) . Звідси для будь-якого ж з області визначення функції у= f (kx + b) виконуються рівності: Т Отже, число — є періодом функції у - f (kx + b). А. k Якщо серед усіх періодів функції f існує найменший додатний період, то його називають головним періодом функції f. Наприклад, головним періодом функції у - {ж} є число 1. Теорема 20.4. Головним періодом функцій у = sin хіу = cos ж є число 2к; головним періодом функцій у = tg х і у = ctg ж є кисло п. Доведення. Проведемо доведення для функції у = sin ж (ре- шту тверджень теореми доводять аналогічно). Якщо число Т є періодом функції у = sin ж, то рівність sin (ж + Т) - віпж виконується при будь-якому дійсному значенні ж, зокрема при х =—Тоді маємо: І т І т т т т Sin [~2+T rSin ~2)' S l n 2 = " S m 2 ; s l n i = °- Т Звідси — = 7ift, Т = 2nk, k є Z. З останньої рівності випливає, що будь-який період функції у = sin ж має вигляд 2nk, ft є Z. Найменшим додатним числом виду 2лк, ft є Z, є число 2л, яке є періодом функції у - sin ж. Отже, число 2л — головний період функції у = sin ж. А 152
- 153. 20. Періодичні функції Застосовуючи теореми 20.3 і 20.4 до функцій у = sin (kx + b) і у = cos (kx + b), де k Ф 0, отримуємо, що число ~ є періодом, k а 'число є головним періодом цих функцій. . Головним періодом функцій у = tg (kx + b) і у = ctg (kx + b), д е k * 0 , Є Ч И С Л О Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний період. Наприклад, функція у = с, де с — деяке число, є пері- одичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, є П періодом. Отже, ця функція не має головного періоду. Існують періодичні функції, відмінні від константи, які теж не мають головного періоду. Наприклад, розглянемо функцію Діріхле1 у = 5) (ж). Ця функ- ція є періодичною, причому будь-яке раціональне число, від- мінне від нуля, є її періодом. Це випливає з того, що сума двох раціональних чисел — число раціональне, а сума раціонального і ірраціонального чисел.— число ірраціональне. Отже, функція Діріхле не має головного періоду. Теорема 20.5. Якщо Т — головний період функції f, mo будь-який період функції f має вигляд пТ, де п е Z і п * 0. Доведення. Нехай Т — період виду, відмінного від указа- ного. Тоді можна підібрати таке ціле п і таке дійсне а є (0; 1), що Т1 = пТ + аТ. Маємо: f (x) = / (х + TJ = f (х + пТ + аТ) = = f(x + аТ), f(x) = f(x~ 7) = f (х - пТ - аГ) = f (ж - аТ). Отже, аТ — період. Проте 0 < а.Т < Т. Отримали суперечність (адже Т — головний період). • ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу: 1) sin 660°; 2) sin(-l|^j; 3) tg 135°. Розв'язання. 1) sin 660° = sin (720° - 60°) = sin (-60° + 360°-2) = = sin (-60°) =-sin 60° = - ^ . 2) sin ( - Ш ) = - s i n -sin (4л+|) = -sin (2 • 2л+1) = -sin | = 3) tg 135° = tg (-45° + 180°) = tg (-45°) = -1. • 1, якщо X є Q, О.якщолгйАЗ. 1 Нагадаємо, що D(JC) = 153
- 154. § 4.Триїономегричні функції На рисунку 20.1 зображено графік деякої періодичної функ- ції f з періодом Т, D (f) = R. Ч А А І А А У ~2Т -Т 0 2Т X Рис. 20.1 Очевидно, що фрагменти графіка цієї функції на проміжках [0; Г], [Г; 2Г], [2Т ЗГ] і т. д., а також на проміжках [-Г; 0], [-2Т; -Т], [-377 ; -2Т] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яка з цих фігур може бути отримана з будь-якої іншої паралельним перенесенням на вектор з координатами (пТ; 0), де п — деяке ціле число. Узагалі, якщо проміжки [а; Ь і [с; d є такими, що с = а + Тп, d = b + Tri, п е TL, то частини графіка функції f на цих проміжках є рівними фігурами (рис. 20.2). УП 2ч d X Рис. 20.2 ПРИКЛАД J На рисунку 20.3 зображено фрагмент графіка пері- одичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї Г ST ьт 1 функції на проміжку І—--; —-І. іг О 3 в Я З d Л Л Яm Побудуємо образи зображеної фігури при паралельних перенесеннях на вектори з координатами (Т; 0), (2Т; 0) і (-Г; 0). Об'єднання даної фігури та отриманих образів — шуканий графік (рис. 20,4). • У j зт т / г кТ tт 2/ 2 Ii 2 fl X 1 Рис. 20.3 Рис. 20.4 154
- 155. 20. Періодичні функції ПРИКЛАД 3 Покажіть, що число Т - п є періодом функції f ( ж ) = V - c o s 2 ж . • Розв'язання. Областю визначення функції f є множина зна- чень змінної X, при яких cos X = 0, тобто D (f) = (х є JR|х = т;+ к п ' п є Z}. Тоді якщо ж є D (Л, то (ж + л) є D (f) і (х - л) є D (f). Оскільки Е (f) = {0}, то / (х - л) = f (х) = f (ж + л) = 0. • ПРИКЛАД 4 Доведіть, що функція f(x)- - не е періодич- X dt ною. Розв'язання. Зауважимо, що D (f) - ( — 2 ) U (2; При- пустимо, що функція f є періодичною з періодом Т * 0. Очевид- но, що х0 = 2 - Т є D (/), тоді х0 + Т = 2-Т + Те D (f), тобто 2 є D (f) — отримали суперечність. • О з н а ч е н н я . Додатні числа а і b називають с у м і р н и м и ( с п і л ь н о м і р н и м и ) , якщо £ — раціональне число. Якщо b Г — ірраціональне число, то числа а і Ь с н е с у м і р н и м и . Ь Наприклад, числа в парах З і 5, V2 і Т32 є сумірними, а чис- ла 1 і ^ є несумірними. Означення. Число Т, яке є як періодом функції/, так і періодом функції g, називають спільним п е р і о д о м функцій f i g . Наприклад, число Т = 2л є спільним періодом функцій у = sin х iy = tgx. Т е о р е м а 20.6. Якщо існують період Tf функції f і період Tg функції g такі, що числа Tf і Тg є сумірними, то функції f і g мають спільний період. Т т Доведе Н К Ла Оскільки періоди Т і Т є сумірними, то ~f = —, де m є N, п є N. Звідси Tf.n = Tg-m. Тоді за наслідком з тео- реми 20.2 число Т =Tf-n = Tg-m є періодом як функції f, так і функції g. А Доведення цієї теореми показує, як можна знаходити спільний період двох функцій. 155
- 156. § 4.Триїономегричні функції ПРИКЛАД 5 Знайдіть період функції у = cos ^ + tg 5 7 Розв'язання. Якщо ми знайдемо спільний період функцій f(x) = c o s ^ і g(Jt) = t g ^ , то цим самим знайдемо період даної 5 7 функції. Скориставшись теоремою 20.3, запишемо: Т — 2тг• — - — Т 3 ' *— 7 ~ б • Tf 10 Тоді —L = —. Отже, періоди Т.іТ сумірні, а тому функції fig Те 7 " 35л мають спільний період Т. Він дорівнює ITf або 107^, тобто Т = -—. Відповідь: ПРИКЛАД б Знайдіть період функції y = s i n 2 x ~ 3 c o s ( ^ + j ) + 4 t g | . Розв'язання. Розглянемо функції f (х) = sin 2х, g(x) = = -З cos +jJ, h(x) = 4 tg Для розв'язання задачі достатньо знайти їх спільний період. Це можна зробити, наприклад, так: спочатку знайти пері- од функції ф (х) = f (ж) + g (х), а потім знайти спільний період функцій ф і ft. Проте існує більш ефективний метод. Маємо: Т = я, Tg = ^-, Th = 2я. ' О Запишемо ці періоди в такому вигляді: Tf=j-K, Tg = *-n, Th=j-n. Розглянемо число т = jj) _п _ НСД{1;3;1) Оскільки Т = 4Т„ Т = ЗТ і Т = 2Т., то число Т є спільним f g « періодом функцій f , g i h . Відповідь: 4я. Зауважимо, що алгоритм знаходження спільного періоду трьох функцій, запропонований у розв'язанні прикладу 6, поширюється 156
- 157. 20. Періодичні функції на будь-яку скінченну кількість функцій fx, f2, ..., fk, періоди яких можна відповідно подати у вигляді т, , т- ^ т. ~-t, — *t, де mv т2 тк, пх, п2, ..., пк — на- • "і п 2 п к туральні числа, t * 0. / Вправи 20.1.° Знайдіть значення виразу: Ччг 1) sin 390°; 5) cos (-750°); 9) cos 300°; 13) s i n ~ ; О 2) cos 420°; 6) sin (-390°); 10) tg 150°; 14) cos 3) tg 780°; 7) tg (-210°); 11) cos 15) t g ( - ^ j . 4) ctg 405°; 8) ctg 225°; 12) sin 20.2.° Знайдіть значення виразу: 1) sin 420°; 4) sin 1110°; 7) c t g ^ ; 2) cos 405°; 5) tg 765°; 8) sin 3) tg (-315°); 6) c o s ^ ; 9 ) c t g ( - ^ ) . 20.3.° На рисунку 20.5 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; ЗУ]. 157
- 158. § 4.Триїономегричні функції 20.4/ На рисунку 20.6 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-25"; 27і ]. У і 0 1ч ж т 0 Z ж а) б) Рис. 20.6 20.5/ Доведіть, що число Т є періодом функції' /: 1) /(JC) = C O S | , Т = 8тг; 3 ) f (Ж) = ctg их, Т = 3 ; 2) 1 (X) = tg Зж, T = 4) f (X) - sin <5* - 2), T = 2к 20.6.' Доведіть, що числа — і -4я є періодами функції / (ж) = cos Зж. О ф 20.7/ Знайдіть головний період функції: 1) / (ж) = cos (Зх + 1); 4) f (ж) = sin 2лх; 7) /"(*) = { 6ж + | }; 2) f(x) = tg (2ж + 1); 5) /(ж) = сов >/Зж; 8) f(x)= { -Лх }; 3) / (ж) = ctg (-7ж + 2); 6) / (ж) = tg (4пх - 3); 9) / (ж) = { пх + ~ }. 20.8/ Знайдіть головний період функції: 1) / (ж) - sin (Зж - 1); 4) f (ж) = cos кх; 2) f (ж)=cos (|+2); 5) f (ж) = ctg (І+4); 3 ) / M = tg(-x + l); , 6) /(ж) = { | - 2 } . 20.9.° Функція / така, що D (f) П [-1; 1] Ф 0. Доведіть, що є пе- ріодичною функція: 1) у = f (cos ж); 2) у = f (sin ж). 20.10/ Для довільної функції / доведіть періодичність функції: 1) V = f (tg ж); 2) у = f (ctg ж). 158
- 159. 20. Періодичні функції 20.11.* Доведіть, що число я є періодом функції у = J-sill2 X. 20.12.* Знайдіть головний період функції /(x) = Jl . V cos X 20.13.* Знайдіть головний період функції /(ж) = .|1 -=—. V sin X 20.14.' Доведіть, що функція /(ж) = єіп ш — неперіодична. 20.15.' Доведіть, що функція f (ж) = cos {-fx) не є періодичною. 20.16.* Доведіть, що коли функція е зростаючою (спадною), то вона є неперіодичною. 20.17.* Знайдіть період функції: 1) f (ж)=sin ^ + tg 7ж; 2) f(x) = sіпЗж + cos^+itg^; 4 і О 3) f (ж) = э т я ж - 2 с о з ^ ; о 4) /"(x) = sinrar +|зж--||. 20.18.' Знайдіть період функції: 1) f (Ж) = С О Й Ж + 2 8 І П ^ + ^|; 2) f(x) = c o s ^ + 5 t g ^ - j ) - s i n < 6 x - 3 ) ; 3) f(x) = t g ^ + ctg^; 4) f(x) = 2 sin 5яж + і {2ж} - ctg , о 7 20.19." При яких значеннях параметра а число л є періодом функції f (ж) = s m а - cos X 20.20.** При яких значеннях параметра а число ^ є періодом и функції f (ж) = „ c q s 2 x ? За + sin 2ж 20.21." Знайдіть усі раціональні значення параметра о, при яких 2х X функції f (ж) - COS -7= і § (ж)= tg 7 мають спільний V5 + a vl25-4a + l період. 159
- 160. § 4. Триї ономегричні функції 20.22." При яких значеннях параметра а, де а є Q, серед періодів 2ах 2х функцій /(x) = sin — = і g (х) - tg j= знайдуться a + л/12 1 -2о + л/і08 однакові? 20.23." При яких цілих значеннях п число 5л є періодом функції 15х f (х) = COS ПХ sin jj-? 20.24." При яких цілих значеннях ті число Зл є періодом функції f (х) = cos 8nx cos Щг? п 20.25." Функцію f задано формулою Чи має функція і додатний період, менший від 2л? 20.26." Функцію f задано формулою f ( х ) = COS X + cos ( х + + COS ( х + + ... + COS ( х + j . Чи має функція f додатний період, менший від 2л? 20.27." Чи існує функція, для якої кожне ірраціональне число є її періодом, проте не існує раціонального числа, яке було б її періодом? 20.28." Відомо, що функція у = (/ (х))3 + / (х) є періодичною. До- ведіть, що функція f також є періодичною. 20.29." Функція f є такою, що функція у = (f (x))z + f (х) є пері- одичною. Чи обов'язково функція f також є періодичною? 20.30.* Періодична функція f така, що серед чисел f (1), / (2), ... є нескінченна кількість різних. Доведіть, що кожний період функції / — число ірраціональне. 20.31.* Чи існує періодична функція f така, що f (п) = п для всіх п є N ? 20.32.* Неперіодичні функції f ig визначені на R. Чи може функ- ція у = f (g (х)) бути періодичною? J 20.33.* Функція f є такою, що f (0) = 1 і при всіх х є R викону- f (х) ється рівність f(x + 2) = - ^ Знайдіть / (100). 20.34.* Функція f є такою, що при всіх х є R виконується рівність / (х +1)=77~т~—г* Доведіть, що f — періодична функція.J (X) 1 1 160
- 161. Коли зроблено уроки 20.35.* Функція / є такою, що при всіх х є R виконується рівність f (X + l) + f (х-1) = 42 f(x). Доведіть, що f — періодична функ- ція. 20.36.* Періодична функція f є такою, що при всіх х є М вико- нується рівність f (2х) = 2f (х). Доведіть, що функція f не має головного періоду. 20.37.* Періодична функція f є такою, що при всіх х є К вико- нується рівність / |-|xj = і f (х). Доведіть, що функція f не має головного періоду. 20.38* Доведіть: 1) періодичність функції /(ж)=М+[*+|]+[ж+|]*[* + |]+[*+|]-[5ж]; 2) рівність + + 1 j + ^ + l j + ^ + l j + ^ + lj^fSj;:] для всіх X Є Е . Про суму періодичних функцій Функції /(x) = c o s ^ і g (х) = tg ~ є періодичними. У при- 5 7 кладі 5 п. 20 ми з'ясували, що функція у = f (х) •+- g (х) також є періодичною. Виникає природне запитання: «Чи завжди сума двох періо- дичних функцій є періодичною функцією?» Розглянемо функції / (х) = V- sinz x і g (х) = V-cos2 x. Ці функ- ції є періодичними (див. приклад 3 і задачу 20.11 п. 20). При цьому D(f) = {х є E l X = nk, k є Z}, D(g) = | x e R | x = | + n/e, Äezj. Очевидно, що D (f) П D (g) = 0 . Отже, функція у = f (x) + g (x) не визначена при жодному значенні х. Спробуємо підкорегувати запитання. Нехай періодичні функ- ції f і g такі, що D (/) П D (g) / 0 . Чи завжди функція у = f (X) + g (х) є періодичною? Якщо існують сумірні періоди Tf і Tg функцій f i g відповід- но, то в силу теореми 20.6 функції f i g мають спільний період, а отже, функція у - f (х) + g (х) є періодичною. 161
- 162. § 4.Триїономегричні функції Залишається розглянути випадок, коли будь-який додатний період функції f є несумірним з будь-яким додатним періодом функції g. Наприклад, розглянемо функції / (ж) = cos JC і g(x) = cos Шх). Очевидно, що функції f і g не мають сумірних періодів. Доведемо, що функція y = cosx+cos Шх) є неперіодичною. Припустимо супротивне. Нехай число Т t- 0 є періодом цієї функції. Тоді для будь-якого JC є К виконується рівність cos (х + Т) + cos {42 (JC + T ) ) = COS X + COS Ш х ) . При X = 0 ця рівність набуває такого вигляду: C O S ! T + C O S ( V 2 T ) = 2 . Оскільки COS Т < 1 І COS War) < 1, то доходимо висновку, що [cos Т = 1, [cos Шт) = І. З першого рівняння системи знаходимо, що Т = 2nm, m e Z, з другого — п є Z. V2 Це означає, що для деяких цілих m i n має виконуватись рівність 2пп 2кт — •—/=•. V2 Звідси v2 Але з огляду на ірраціональність числа 4 І остання рівність можлива лише при т - п = 0, що суперечить умові Т / 0. Після цього прикладу може скластися враження, що коли періодичні функції / і g не мають сумірних періодів і D (/) П П D (g)* 0 , то функція у = f (х) + g (х) завжди є неперіодичною. Проте це не так. Розглянемо функції b, якщо х-а+Ьу/2, . . . fa, якщо x = a + byf2, f(x) = і t f~ [0, якщо хфа+bsj2 [0, якщо 2, де а і b — довільні цілі числа. Наприклад, / ( з + 2^2) = 2, g{3+2л/2) = 3, / Ш = /(0 + 2л/2) = 2, g(V8)=g(0 + 2V2)-0, 162
- 163. Коли зроблено уроки f U з ) = 0, g ш = 0, оскільки число неможливо подати у вигляді а + Ь^І2 з цілими а і Ь. .Множину чисел виду a+b-j2, де а і ft — цілі числа, позна- чатимемо ъШ. Зауважимо, що кожне число х є гШ одно- значно задає відповідні числа а і Ь. Неважко переконатися, що Т = 1 є періодом функції f. По- кажемо, що це число є головним періодом. Припустимо, що функція f має період Т є (0; 1). Розглянемо два випадки. 1) T^eZWij), тобто Tl=a + b-j2, де а і b — деякі цілі числа. Зазначимо, що ЬФ 0, інакше Т, — ціле і Т ^ і (0; 1). Тоді рівність f (ж) = f (х + Тг) не виконується, наприклад, при х = 0. Справді, f(0) = 0, a f(T,)=f{a+byf2)=b. 2) Тг g TL (/2). Тоді рівність f (х) = f (х + Tt) не виконується, наприклад, при х Справді, = а f(-j2 + Tl)=0, оскіль- ки + e z U 2 ) . Аналогічно можна показати, що головним періодом функції g є число V2. Отже, в силу теореми 20.5 періодами функції f є лише цілі числа п, де п Ф 0, а періодами функції g — лише числа виду 4Zk, де k є Z {0}. Тоді зрозуміло, що жодні два періоди функцій f і g не є сумірними. Функція у - f (х) + g (ж) визначається так: (а+Ь, якщо х = а+Ь!2, 0, якщо х Ф а + ЬV2,де а і & — довільні цілі числа.Легко перевірити, що число T=J2-1 є періодом цієї функ- ції. Отже, ми показали, що коли будь-які додатні періоди функцій fig несумірні і D {f) П D (g) Ф 0 , то функція у = f (х) + g (ж) може бути як неперіодичною, так і періодичною. Проте можна довести такий факт: якщо неперервні на К періодичні функції f і g не мають сумірних періодів, то функція у = f (ж) + g (ж) є неперіодичною.163
- 164. § 4.Триїономегричні функції г Вправи 20.39. Доведіть, що коли функція f(x) = sin х + cos bx періодична, то ft — раціональне число. 20.40. Доведіть, що коли функція f (х) = cos X + cos bx періодична, то b — раціональне число. 20.41. Доведіть, що функція f (х) = {ж} + sin2 х не е періодичною. 20.42. Доведіть, що функція f (х) = З? (х) + cos х не є періодичною. 20.43. При яких значеннях параметра а рівняння 2 cos ах - - З tg2 X - 2 = 0 має єдиний розв'язок? 20.44. При яких значеннях параметра а рівняння 1 + sin2 ах = = cos X має єдиний розв'язок? 20.45. Чи можна функцію у = х2 подати у вигляді суми двох пе- ріодичних функцій? цВластивості і графіки функцій у = sin х і у - cos X Періодичність тригонометричних функцій дозволяє досліджу- вати їх властивості та будувати графіки за такою схемою. 1) Розглянути проміжок виду [а; а + Т], тобто довільний про- міжок завдовжки в період Т найчастіше обирають проміжок [0; Т] або проміжок L.Z. ' 2 ' 2 ІІ 2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку. 3) Побудувати графік функції на цьому проміжку. 4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на век- тори з координатами (пТ; 0), п є Z. Розглянемо функцію у — sin X на проміжку [0; 2п], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції. При повороті точки PQ (1; 0) навколо п Япочатку координат на кути від 0 до — tu ордината точки одиничного кола збіль- шується від 0 до 1 (рис. 21.1). Це озна- чає, що функція у = sin X зростає на проміжку О,Рис. 21.1 164
- 165. 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х it Зтг При повороті точки Р0 (1; 0) на кути від — до — ордината и Z точки одиничного кола зменшується від 1 до (рис. 21.1). Отже, функція у = sin X спадає на проміжку Гк.ЗкІ І2' 2 J При повороті точки Pa (1; 0) на кути від — до 2я ордината Сі точки одиничного кола збільшується від -1 до 0 (рис. 21.1). Отже, функція у = sin X зростає на проміжку 2rtJ. Функція у = sin X на проміжку [0; 2я] має три нулі: х = 0, X - я, X = 2л. Якщо X є (0; я), то sin х > 0; якщо х є (я; 2я), то sin х < 0. Функція у = sin X на проміжку [0; 2я] досягає свого найбіль- шого значення, яке дорівнює 1, при х = ^ і найменшого значен-dt , Зя ня, яке дорівнює -1, при х=—. Отримані властивості функції у - sin х дозволяють побудувати її графік на проміжку [0; 2я] (рис. 21.2). Графік можна побудува- ти точніше, якщо скористатися даними таблиці значень функції у = sin X, наведеної на форзаці 3. Рис. 21.2 На всій області визначення графік функції у = sin х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере- несень на вектори з координатами (2яп; 0), п є Z (рис. 21.3). У' sr-Зтс « 1 / 2 0 f ' 2 / у X і 2% Зл.. 2 No- 4л Рис. 21.3 165
- 166. § 4.Триїономегричні функції Графік функції у = sin х називають синусоїдою. У таблиці наведено основні властивості функції у = sin х. Область Ж визначення Ж Область значень [-і; і] Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює 2я Нулі функції Числа виду яп, п є Z sin X > 0 на кожному з проміжків виду Проміжки (2пп; я + 2ял), п є Z знакосталості sin X < 0 на кожному з проміжків виду (я + 2ял; 2я + 2яп), п є Z Парність Непарна Зростає на кожному з проміжків виду Зростання/ + | + 2яп^ п є Z спадання Спадає на кожному з проміжків виду [ | + 2яп; у+2ял], п є Z Найбільшого значення, яке дорівнює 1, Найбільше набуває в точках виду ~+2пп, п є Z і найменше значення Найменшого значення, яке дорівнює -1, набуває в точках виду - ^ + 2кп, п є Z СІ Розглянемо функцію у = cos je на проміжку [0; 2я]. Розглядаючи повороти точки Р0 (1; 0) навколо початку коор- динат, можна дійти такого висновку: функція у = cos х спадає на проміжку [0*, я] і зростає на проміжку (я; 2я]. Функція у - cos X на проміжку [0; 2я] має два нулі: * = х — Z Сі Якщо jeej^O; U то cos х > 0; якщо то cos X < 0. Функція У = cos X на проміжку [0; 2я] досягає свого найбіль- шого значення, яке дорівнює 1, при х — 0 або х = 2я і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х = я. 166
- 167. 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х Графік функції у = cos х на проміжку [0; 2л] зображено на рисунку 21.4. На всій області визначення графік функції у = cos х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере- несень на вектори з координатами (2тщ; 0), п є Z (рис. 21.5). У< 5л 2 / ^ Зп - f 1 т ч 2-я / Ь 3- К 2 / і Зл / Т ч ас ч / - 2 л ц / _ 1 . п • 2 s i / 2л 4п Рис. 21.5 Графік функції у = cos х називають косинусоїдото. Якщо скористатися формулою cos х = sin (ж + (див. приклад 2 п. 18), то зрозуміло, що графік функції у = cos х можна отримати як результат паралельного перенесення графіка функції у = sin х на вектор з координатами oj (рис. 21.6). Це означає,-що графіки функцій у = sin X і у = cos X — рівні фігури. 167
- 168. § 4.Триїономегричні функції У таблиці наведено основні властивості функції у = cos х. Область визначення R Область значень [-1; і] Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює 2я Нулі функції Числа виду ^ + лп, п є Z Сі Проміжки знакосталості cos X > 0 на кожному з проміжків виду (-|+2лл; |+2ял), п є Z cos X < 0 на кожному з проміжків виду ( | + 2лп; ^ + 27Ш )> " є z Парність Парна Зростання/ спадання Зростає на кожному з проміжків виду (я + 2лп; 2я + 2яп], п є Z Спадає на кожному з проміжків виду [2лга; я + 2пп], п є Ъ Найбільше і найменше значення Найбільшого значення, яке дорівнює 1, набуває в точках виду 2яп, п є Ъ Найменшого значення, яке дорівнює -1, набуває в точках виду я + 2лп, п є Z міжку ПРИКЛАД 1 Порівняйте: 1) sin 0,7я і sin 0,71я; 2) cos 324° і cos 340°. Розв'язання. 1) Оскільки числа 0,7я і 0,71я належать про- І, на якому функція у - sin х спадає, і 0,7л < 0,71л,. Z & J то sin 0,7я > sin 0,71я. 2) Оскільки 324° і 340° належать проміжку (180°; 360°], на якому функція у - cos X зростає, і 324° < 340°, то cos 324° < < cos 340°. • ПРИКЛАД 2 Порівняйте sin 40° і cos 40°. Розв'язання. Оскільки sin40°<sin45° = ^ , cos 40° > cos 4 5 ° = ^ , с. СІ то cos 40° > sin 40°. • 168
- 169. 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х ПРИКЛАД Э Чи можлива рівність sin а = 2 sin 31°? Розе ЯЗ СІННЯ. Оскільки sin 31° > sin 30° = —, то 2 sin 31° > 1. CT Отже, дана рівність неможлива. • ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції = + Розе я з an ft я« Шуканий графік отримуємо з графіка функції у = sin X у результаті його паралельного перенесення вздовж осі абсцис у від'ємному напрямі на ^ одиниць (рис. 21.7). • О Vі 1 У - - - - - у = sin ( * + з п 3 / * f * / ч Ч 5 л 3 271// _ / / у f •J» 0 2тЛ 3 ч V. ч ч ч ч ч X •У У / ж -1 <* sin X Рис. 21.7 ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції у = sin 2х. СІ Розв'язання. Стиснемо графік функції у = sin х до осі орди- нат у 2 рази, тобто зменшимо у 2 рази відстані від кожної точки графіка функції у = sin х до осі ординат. Отримаємо графік функ- ції у - 8ІП Потім цей графік стиснемо у 2 рази до осі абсцис. Це і буде шуканий графік (рис. 21.8). • Рис. 21.8 ПРИКЛАД 6 Побудуйте графік функції y = sin о Розв'язання. Проведемо такі перетворення: 1) у = sin X —> у = sin І X І — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0; 169
- 170. § 4. Тригонометричні функції 2) у - sin. І ж І —» у ~ sin І 2х І — стиск до осі ординат у 2 рази; 3) y = sin] 2*j -^y = sin| J — паралельне перенесен- ня вздовж осі абсцис у додатному напрямі на ^ одиниць 6 ^риі*. 21.9). • Рис. 21.9 ПРИКЛАД ї] Побудуйте графік функції у = sin 1 х Розв'язання. Проведемо такі перетворення: 1) у - sin X —» у = sin 2х — стиск до осі ординат у 2 рази; 2) y-sk»2r —>у = sin — паралельне перенесення вздовж осі абсцис у додатному напрямі на £ одиниць; 3) у — sin ^2* - — = 8ІП 1 # І - ^ j — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0. Шуканий графік складається з двох симетричних частин (рис. 21.10). •,=sin Ki) у = sin 2г
- 171. 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х сильне системі ПРИКЛАД S Побудуйте графік рівнян- ня cos X + cos у = 2. Розв'язання. Оскільки I COS X І < 1 і I'cos у І < 1, то дане рівняння рівно- {COS Х = 1, COS ї/ = 1. : = 2лп, пе Z, -2лт, meZ. Шуканий графік — це множина то- чок, зображених на рисунку 21.11. • Звідси у='< У' 4л1 1 ) Р - • •— і 2я ., —.„ а , .. ф -4л -2 л 2л 4к * 0 -2л • - - • У ф • * Ь І -4л • - - • У ф Рис. 21.11 Г Вправи 21.1.° Серед чисел -Зл, - f , -2л, -Ц-, -л, - J , 0, f , 2л, 6л, 7л укажіть: 1) нулі функції у = sin х; 2) значення аргументу, при яких функція у = sin х набуває найбільшого значення; 3) значення аргументу, при яких функція у - sin х набуває найменшого значення. 21.2.- Серед чисел - f . - § , 0, § , «, f . f , £ , 5к. 8я укажіть: 1) нулі функції у - cos х; 2) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває найбільшого значення; 3) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває найменшого значення. 21.3.° На яких з наведених проміжків функція у = sin х зрос- тає: 4 - Й } 2 > [ - i ; f ) 8 > [ - Т ; - | ) " > [ - ? = - ? > 21.4.° На яких з наведених проміжків функція у = sin д; спадає: l ) [ - f ; - f } 2)І-л;0]; 3) [ - f ; f ] ; 4) [ f ; Ц ] l 21.5.° Серед наведених проміжків укажіть проміжки спадання функції у - cos х: 1) [ - f ; - у ] ; 2) [-2л; -я]; 3) §]; 4) [6л; 7л]. 171 X
- 172. § 4.Триїономегричні функції 21.6.' Серед наведених проміжків укажіть проміжки зростання функції у - cos X: 1) [-Зл; -2л]; 21.7.° Порівняйте: 1) cos 1,6л і cos 1,68л; 2) sin 20° і sin 21°; 3) cos 20е і cos 21°; .. . 10л . . 25л 4) sin-— і s i n — ; 21.8.* Порівняйте: л . 4л 1) cos - і c o s ~ ; о ї . 5л . . 1 7 л 2) s i n - і s i n — ; 2) [0; л]; 3) [-л; л]; 4) [Зл; 4л]. с ч Юл ; 25л 5) cos — і c o s — ; 6) cos 5,1 і cos 5; 7) sin 2 і sin 2,1. 3) s i n ( - g ) і sin(-f^); і . Юл . 11л 4) cos ——— і cos——. ' 7 9 21.9/ Розташуйте числа в порядку зростання: 1) sin 3,2, sin 4, sin 3,6, sin 2,4, sin 1,8; 2) cos 3,5, cos 4,8, cos 6,1, cos 5,6, cos 4,2. 21.10.° Розташуйте числа в порядку спадання: 1) sin (-0,2), sin 0,2, sin 1,5, sin 1, sin 0,9; 2) cos 0,1, cos 1,4, cos 2,4, cos 3,1, cos 1,8. 21.11.' Порівняйте: 1) sin 58° і cos 58°; 2) sin 18° і cos 18°; 3) cos 80° і sin 70°. 21.12.' Чи можлива рівність: 1) cos cx — 2 sin 25°; 2) sin a = 72 cos 35°? 21.13." Побудуйте графік функції: 1) E/ = 2sin(* + j ) - 2 ; 2) i/ = -|cos(x-|)+l. 21.14.* Побудуйте графік функції: 1) I/ = - 3 s i n ( X - | ) + | ; 2) L, = 2COS(X+|)~1. 21.15." Побудуйте графік функції: 1) у — sin х + - 2) у = 2 cos X - 21.16.* Побудуйте графік функції: 1) у = 2 sin . п * + бі 2) у = ~cos 172
- 173. 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х 21.17." Побудуйте графік функції, укажіть область значень даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значен- # ня може набувати функція і при яких значеннях аргументу: 1) у = sin X + 1; 3) у = sin 2х; 2) у = sin (ж 4) i/ = --sinx. 21.18.* Побудуйте графік функції, укажіть область значення даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значен- ня може набувати функція і при яких значеннях аргументу: 1) у = cos X - 1; 2) i/ = cos (jc + ^J; 3) y = cos^; 4) у = 3 cos х. V 21,19." Побудуйте графік функції i/ = sin(| ж j-^J. 21.20." Побудуйте графік функції у - 2 cos (| ж /21.21." Побудуйте графік функції {/ = 2зіп(2ж+^|-1. 21.22." Побудуйте графік функції у = -3sin(-^-^J+2. J 21.23." Побудуйте графік функції: 1) у = 2 cos [ Зж + 2 І; 2) i/=-2sin(|| х |-і). 21.24/ Побудуйте графік функції: 1) у = 3 sin І 2х — 1 І; 2) у = |сов(2|л:| + |). V'21.25." Побудуйте графік функції: 1) У = sin 2 6 2) У = cos 2х- 21 .26." Побудуйте графік функції: 1) = cos (2 N-f) 2) у = sin 21.27." Побудуйте графік функції 2 1) у = ($аіпхУ; 2)^ = sinx + sin|x|; 3) y = cos x + $cos2 х; 4) j/ = V-sin2 x; 5) у = yjcos ж -1; 6) y = s i n | x | 7) у = 9) У = tg ж I cos ж І; Sin X sin ж 10) у = sin2 ж /s I sin Ж [ 8) у = tg ж cos ж; 173
- 174. § 4.Триїономегричні функції 21.28." Побудуйте графік функції: . . І І 2 _ Ч [COSJCI 1) У = {УІcosxj ; 5) У ^ 1 - ^ - ; 2) у = s i n X - !sin2 x; 6 ) у = c t g х s i n JE; 3) у = V-cos2 x; 7) у = ctgx j sinx |; r~. 7 ол sin I x 4) y = jsmx-1; 8) y = . ' . I sin je 21.29." Скільки коренів має рівняння sin х = j ^ ? х 21.30." Скільки коренів має рівняння cosx =J —1 ? 4іс 21.31." Побудуйте графік рівняння: 1) sin п (х2 + у2 ) = 0; 2) sin х + sin у = 2. 21.32." Побудуйте графік рівняння: 1) cos п {X2 + уг ) - 1; 2) cos х + cos у = -2. 21.33." Побудуйте графік рівняння: 1) sin X - 0; 3) Xі + sin2 х = 0; 2) у sin X = 0; 4) | у | = sin я. 21.34." Побудуйте графік рівняння: 1) sin у = 0; 3)у 2 + cos2 х = 0; 2) X sin у - 0; 4) | у | = cos х. 21.35." Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння сойа2 - X2 =1 має рівно вісім коренів. 21.36.* Чи існує визначена на проміжку [-1; 1] функція / така, що для всіх X е Е виконується нерівність І f (cos х) + sin X I < 1? ШЯШ Властивості і графіки функцій у = tg * і у = ctg ж ^ Розглянемо функцію у = tg X на проміжку (— тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що функція у = tg X в точках —— і — не визначена). Z СІ 174
- 175. 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х З рисунка 22.1 видно, що при зміні аргументу х від ~ до ^ Z JU значення функції у = tg х збільшується від до Це означає, що-функція у = tg X зростає на проміжку —J. Рис. 22,1 Рис, 22,2 Функція у = tg X на проміжку ( — ^ J має один нуль: JC = 0. Якщо то tg X < 0; якщо то tg х > 0. Отримані властивості функції у = tg JC дозволяють побудувати (71 ТІ і j -—; — І (рис. 22.2). Графік можна побуду- вати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень функ- ції у = tg X, наведеної на форзаці 3. На всій області визначення графік функції у - tg х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере- несень на вектори з координатами (лп; 0), ті є Ъ (рис. 22.3). Рис. 22.3 175
- 176. § 4. Триї ономегричні функції У таблиці наведено основні властивості функції у = tg х. Область визначення jje є RIX * ^ + Я П , П є Z j Область значень К Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює Я Нулі функції Числа виду яп, п є Z tg X > 0 на кожному з проміжків Проміжки знакосталості виду І пп; — + я« І, п є Z tg X < 0 на кожному з проміжків виду + яп|, п є Z Парність Непарна Зростання/спадання Зростає на кожному з проміжків виду |—•| + яп; | + n e Z Найбільше і найменше значення Найбільшого і найменшого значень не набуває ^ Розглянемо функцію у = ctg X на проміжку (0; я), тобто на про- міжку завдовжки в період (нагадаємо, що функція у = ctg х не визначена в точках 0 і я). З рисунка 22.4 видно, що при зміні аргументу х від 0 до я зна- чення функції У - ctg X зменшується від +<=° до —ВО. Це означає, що функція у = ctg X спадає на проміжку (0; я). Рис. 22.4 176
- 177. 22. Властивості і графіки функцій у = tg х і у - ctg х Функція у = ctg X на проміжку (О; ті) має один нуль: х = ^ . Якщо X є (о; то ctg аг > 0; якщо х є [т^71 )» т о c ^g х < 0. Графік функції у = ctg х на проміжку (0; л) зображено на рисунку 22.5. На всій області визначення графік функції у = ctg х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних пере- несень на вектори з координатами (лп; 0), п є Z (рис. 22.6). -2л Ч ~ я І У V 2тґ V Зтіkkз Л 2 _ Д о ЗтГ І 5ігN 2 п! X Рис. 22.6 У таблиці наведено основні властивості функції у = ctg х. Область визначення {ж є Ж ] X ї ял, п є Z) Область значень Ш Періодичність Періодична з головним періодом, який дорівнює л Нулі функції Числа виду ^+кп, п є Z Сі Проміжки знакосталості ctg X > 0 на кожному з проміжків виду (лл; ^ + ял|т п є Ъ ctg Ї < 0 на кожному з проміжків виду nnj, п є Z Парність Непарна Зростання /спадання Спадає на кожному з проміжків виду (лп; л + лп), п є Z Найбільше і найменше значення Найбільшого і найменшого значень не набуває 177
- 178. § 4.Триїономегричні функції ПРИКЛАД і Побудуйте графік функції у = ctg х tg х. Розв'язання. Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім чисел виду — , п є Z, тобто = л є 2 J. Якщо nk<x<~ + nk, k є Z, то ctg X > 0 і у = 1. Якщо ^ + nk<x<n + nk, k є Z, то ctg X < 0 і у = -1, Шуканий графік складається з окремих відрізків з «виколо- тими» кінцями (рис. 22.7). • -я -о к 7t t - 1 - Рис. 22.7 З* 2 X Вправи 22.1.° Чи проходить графік функції у = tg x через точку: і > Ч " И ; 2 > ß ( - f = - 4 3 > c ( f 4 4 ) D ( ? ; - # 22.2.* Чи проходить графік функції у - ctg х через точку: 1) 2) В ( Щ ; 3) С (я; 1); 4 ) 1 > ( ^ ; 7 з ) ? on п • а ' ІГ П її Зя _ 5тс ТС .22.3. Які з чисел —, 0, ——, — , -я, 2л, ——, —: 2 ' 2' 2 ' 2 ' 4 1) є нулями функції у = ctg х; 2) не належать області визначення функції у = ctg лг? nn i i a - 3It _ ТІ „ 71 К 5К і.22.4. Які з чисел ——, -л, --, О, —, Зя: 1) є нулями функції у = tg х; 2) не належать області визначення функції у = tg х? 178 о о о
- 179. 22. Властивості і графіки функцій у = tg х і у = ctg х 22.5/ Порівняйте: 1) tg (-38°) і tg (-42°); 4) tg 0,9л і tg 1,2л; 7) ctg ~ і ctg 371 2, і t g I f ; 5) tg 1 і tg 1,5; 7 e 7 ' 8) ctg (-40°) і ctg (-60е ); 3) tg 130° і tg 150°; 6) ctg24° і ctg28°; 9) ctg 2 і ctg 3. 22.6/ Порівняйте: 1) tg 100° і tg 92°; 3) t g f і tgf|; 4) c t g ^ і c t g f j ; 5) tg (-1) і tg (-1,2); 6) ctg (-3) і ctg (-3,1).2) ctg 100° і ctg 92' 22.7/ Розташуйте в порядку спадання: 1) tg 0,5, tg 1,2, tg (-0,4), tg 0,9; 2) ctg 3,2, ctg 4,6, ctg 6, ctg 5,3. 22.8/ Розташуйте в порядку зростання: 1) tg 1,6, tg 4,1, tg 3,6, tg 2,5; 2) ctg (-0,7), ctg (-2,4), ctg (-2,8), ctg (-1,4). 22.9/ Побудуйте графік функції: l)j/ = -tgx; 2)y = t g x + 2; 3) y = 4) у = tg 3x 22.10/ Побудуйте графік функції: 1) у = -ctg х; 2)у = ctg X - 1; 3) y = ctg(x+|); 4) у = ctg|. 22.11,' Чи можлива рівність: 1) sina = ftg80°; и 2) cos а = ctg 1 8 ' 3) cosa = t g | ? 22.12.' Порівняйте: 1) sin 78° і tg 78°; 2) sin 40° і ctg 20°. 22.13/ Побудуйте графік функції: 1) y = |ctg(jc + j ) + l ; 2) y = tg(2*-|). 22.14." Побудуйте графік функції: 1) у = 2tg(jc+^J-|; 2) i/ = c t g ( 3 * - ^ ) . 22.15.' Побудуйте графік функції: 7) у = І ctgX І' "' " tgXctgX' 2)y = tgx + tgjx|; 5) y = ctgx-yjctg2 x; 8) у = j tg x | ctg x. 3) y = J-tg2 x; 6) у = | tg * |; 179
- 180. § 4.Триїономегричні функції 22.16.* Побудуйте графік функції: 1) y = 5) y^tgx + Jtg2 x; 2) у = ctg ж - ctg I X I; 6) у = I ctg X |; 3) у = y]-ctg2 x; 7) у = tg X ctg x. I tg* І 4) » = 4®— tg * 22.17." Побудуйте графік рівняння: 1 ) i / t g x - 0 ; 3) tg n (хг - y) = 0; 5)tg(Ji(2|x| + |j/l)) = 0. 2) tg X tg у = 0; 4) tg2 X + tg2 у = 0; 22.18.* Побудуйте графік рівняння: 1 ) x t g i / = 0; 3) tg я (х - у) = 1; 5) ctg <| у - х |) = 0. 2 ) ^ = 0; 4) X2 + tg2 у = 0; tg у Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу У цьому пункті встановимо тотожності, які пов'язують зна- чення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу. Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задо- вольняють рівняння хг + у2 = 1. Оскільки X = cos а, у = sin а, де а — кут повороту, у результаті якого з точки Р0 (1; 0) було отримано точку Р, то sina а + cos2 а = 1 (1) Звернемо увагу на те, що точку Р обрано довільно. Тому то- тожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною тригонометричною тотожністю. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, зна- - йдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між ко- тангенсом і синусом. Припустивши, що cos 0, поділимо обидві частини рівно- сті (1) на cos2 ct. Отримаємо: 1• 2 2 sin к cos а 2 2cos a cos а 2 7 cos а 1+tg а = — cos а 180
- 181. 23. Основні співвідношення між тригонометричними функціями Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких cos а Ф 0, тобто при а Ф — + nk, k є Z. с* • Припустивши, що sin а Ф 0, поділимо обидві частини рівно- сті (1) на sin2 а. Отримаємо: sin а . cos а 1 2 < 2 2 ' sin а sin а sin а l+ctga a =—-я— sin а Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а Ф 0, тобто при а Ф nk, k є Z. Зв'язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за . „ , , . sin a . cos a допомогою означень цих функцій. Маємо: tg a , ctg а = — — . cos a sin a Звідси tg a ctg a = 1 (2) Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а Ф 0 і cos а Ф 0, тобто при а Ф nk і а Ф ~ + nk, k є Z. Зазначимо, що {aeR|a = nft,A6Z}u|aeE|a =: | + nA,ÄesJ = |aGK|a = Y ' Ä e Z ] - Ttk Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, що ос Ф — , £к k є Z. ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз: 1) sin2 1 + cos2 1 + tg2 ж; 2) t g a 9 - s i n V 3) . cos ф 1 + cosa Розв'язання. 1) sin I-t-cos f + tg X = l + tg JC 1 2 •COS X 2) — ~ — tg2 ф - sin2 ф = 1+tg2 ф - tg2 ф - sin2 ф = 1 - sin2 ф = cos2 ф;2 COS Ф „v sin2 a l-eos2 a (1 - cos a) (1 + cos a) - _ 3) = = —— cos a. 1 + cosa 1 + cosa 1 + cosa ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність: 2) cos2 a + sin2 a sinz ß + sin2 a cos2 ß = 1; 181
- 182. § 4.Триїономегричні функції (sina + c o s a ^ 2 а ctg а - sin a cos а Розв'язання. 1) ^ f f i S f t g a + ^ y ^ + t g p U ctg а + tgß V tgp; Vtga ) = t g a t g ß + l l + tgatgß = tga tgß tga tgß S K 2) cos2 а + sin2 a sin2 ß + sin2 a cos2 ß = cos2 а + sin2 a (sin2 ß + + cos2 ß) = cos2 а + sin2 а = 1. (sina + cosa)2 -1 sin2 a + 2sinacosa + cos2 a-l _ 3) ctg а - sin a cos a cos а sin а l + 2sin a cos a-1 cos sin a cos а 2sinacosa l-sin2 a cosa •а [ sin а І sina I 2sina-sina 2sin2 a г 1 - sin а cos2 а sin а = 2 t g V • УІ1 / 3 / / 1 / і V1 1 1 11 1 І 0 ІІ Ii X І3 / V V5 і / і / ПРИКЛАД 9 Відомо, що cosa = Обчисліть sin а. Розв'язання. Маємо: 4 _ 5 9 9 sin2 a = 1 - cos2 a = Звідси Рис. 23.1 sina =: ~ або sina = - : . О о Рисунок 23.1 ілюструє цей при- клад. • ПРИКЛАД 4 Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sina = -~- <jD і ж а < ^ . Розв'язання. Маємо: 49 = 576 625 625' cos2 a = l - s i n 2 a = l - | - ^ J = Чіт /б 76 24 Оскільки ж а с ^ г , то cos а < 0, отже, cos а = - — . 2 V625 25 , sin а 7 ( 24 7 . 1 І сскГа= _ 25 'V 25/= 24 C t g a = " ^ = - 24 7 ' 182
- 183. 23. Основні співвідношення між тригонометричними функціями ПРИКЛАД 9 Дано: ctg а = Ц , 90° < а < 270°. Знайдіть sin a, cos а, 63 tg а. Розв'язання. Маємо: t g a = 7§. іо 1 - = 1 + ctg2 а = 1 + 2 5 6 4 2 2 5• 3969 , sin а =sin "а 3969 3969 4225 Оскільки ctg а > 0 і 90° < а < 270°, то 180° < а < 270°. Отже, 63 sin а < 0. Тоді sin а = - — . 65 TVJ І • 16 / 63 16 Маємо: cos а = ctg a sin а = . 63 65/ оо ПРИКЛАД в Спростіть вираз J sin2 а (1 - ctg а)+cos2 а (1 - tg а), якщо ^ < а < 2 я . Z Розв'язання, x/sin2 а (1 - ctg а) + cos2 а (1 - tg а) = г . г cos а я 2 sin а = . sin а - sm а • ——+cos а - cos а • - sin а соза = -у/sin2 а - sin a cos а + cos2 а - cos a sin а = = -Jsin2 а - 2sin a cos а + cos2 а = ^/(sin а - cos а)2 -1 sin a-cos а |. Оскільки ~ < а < 2я, то sin а < 0, cos а > 0. Тому sin а - cos а < 0. і Отже, I sin а - cos a j = cos а - sin а. Відповідь: cos а - sin а. і Вправи 23.1." Спростіть вираз: 1) sin2 ß - 1; 6) 1 - sin2 a + ctg2 a sin2 a; 2) 1 - sin2 3a - cos2 3a; 7) cos2 a + ctg a 3) 1-sin a 1-cos a 4) cos a tg a; 5) cos2 a -li 8) r ^ - t g ' ß ; 1-sin ß 9) (l+ sinf)(l-sin|); 10) (sin a + cos a)2 + (sin a - cos a)2 . 183
- 184. § 4.Триїономегричні функції 23.2.' Спростіть вираз: 1) sin2 2а + cos2 2а + ctg2 5а; 5) (tg а cos а)2 + (ctg а sin а)2 ; „і . а , _ а 2) sin— - ctg—; 3) 1- 6) l + ctg2 a(cos2 a- 1)' - 2 1 sm у 4) f H y ^ + t g a c t g a ; cos a-1 7) + t g a ) f — t g a ) ; Vcosa y^cosa / 8) (tg ß + ctg ß)2 - (tg ß - ctg ß)2 . 23.3.° Чи можуть sin а і cos а одночасно дорівнювати нулю? 23.4.° Чи можуть tg а І ctg а за модулем бути: 1) обидва більші за 1; 2) обидва менші від 1? 23.5." Спростіть вираз: 1) (1 + tg a)2 + (1 - tg a)2 ; 2) sin4 a + 2 sin2 a coe*a + txx^a; оч sin a sin a s 1* tg3a I-ctg2 3a. tgz 3a-l ctg 3a ' 9) ctg a 1 + cosa 1-cosa' sin X 1 + COS X * 1 - sin X COS X 10) tga+ctga 1-ctg-y. 4) ctgje + 5) 1? + sin X sin a 1 + cosa 6) 7- +—: ; 1 + cos a sin a 7) tga + tgß . ctg a + ctg ß' 23.6.° Спростіть вираз: 1-tgy ' 11) cos4 a - cos2 a + sin2 a; 12) sin4 a + sin2 a cos2 a + cos2 a; 13) cos (~a) + cos a tg2 (-a); 14) i l ^ - t g ( - ß ) . cos (-JJ) 1) (1 + ctg ß)2 + (1 - ctg ß)2 ; 6) .X +c t f a ; 1 + tg a ctg a 2) sin2 a cos2 a (tg2 a + ctg2 a + 2); 7) 1 + t g a ; . 1 + ctg a cosß cosß ' 1 + sin 0 + 1 - sin ß * 4) tg X+ ß ' 1 - sin ß' COS X 1 + sin X ' QJ cos ß + 1 - sin ß _ 1 - sin ß cos ß ' 8) cos4 a + sin2 a cos2 a - cos2 a - 1; 9) sin2 a + sin2 a cos2 a + cos4 a; 10) tg (-a) ctg a + sin2 (-a). 184 sin a 1
- 185. 23. Основні співвідношення між тригонометричними функціями 23.7.° Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо: 1 Зп 1) cosa = -; 3) tg а = 2 і п<а<—; • СІ Ct 2) sin а = 0,6 і ~ < а < л; 4) ctg а = ~~ і ~ < а < 2л. •і о Z 23.8.° Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо: 1) cosa = l | і 0 < а < | ; 3) t g a = - | і ^ < а < 2 л ; V 3 3ft jT 2) sina =—— і ж а < — ; 4) ctg а = - 7 і — <а<л. 23.9.? Чи можуть одночасно виконуватися рівності: і • ~ і • VTs1) sm a = - і cos a, = —; 4 4 2) tg a - 2,5 і ctg a = 0,6; 3) cosa = ! і t g a = 7 5 23.10.° Чи можуть одночасно виконуватися рівності: 2 З 1) sin a = - - і cos a=—; 5 5 2) t g a = | і ctga = l | ; 3) sinct = -~ і ctg a = V37 ? о 23.11.' Доведіть тотожність: З ' з cos a-sm a _ „ . 1) = cos a -sin a; 1 + sm a cos a 2) cos2 a + 2sin2 a+sinz atg2 a = — ; cos a 3) tg2 a - sin2 a = tg2 a sin2 a; 2 sin a 1 + 2 cos a 2 cos a -1 2 sin a + л/з' , 2 2 5) —g 2 a —cos 2 a - -ctg6 et; sin a-tg a sin a + tg a , 6) — — tg ct; 1 + cos a 7) 1 + (ctg2 a - tg2 a) cos2 a = ctg2 a; 8) = t g ' « . ctg a-cos a 185
- 186. § 4. Тригонометричні функції 23.12.* Доведіть тотожність: 1) sin4 a cos2 а + sin2 а cos4 а = sin2 а cos2 а; 2) ctg2 а - cos2 а - ctg2 а cos2 et; 3) (tg2 а - sin2 а) • = І- sin а 23.13." Доведіть тотожність: 1, sin4 а + cos4 а - sin6 а - cos® а = sin2 а cos2 а; 2) sin6 а 4- cos6 а + 3 sin2 а cos2 а = 1. 23.14.* Доведіть тотожність 2 (sin6 а + cos6 а) - 3 (sin4 а + cos4 а) = -1. 23.15." Знайдіть значення виразу: , v sin а - cos а , і 1) , якщо t g a = i ; sin а + cos а З «і 2cos2 а - 7sin2 а . . „„2) 5 , якщо ctg а = -2; 3cos a + 4sincceosa „, 8sina-3cosct , _ 3) — з з , якщо tg а = -3. sin a + 5sin acosa-8cos а 23.16. Знайдіть значення виразу: 5cosa + 6sina і 3sina-7cosa' Я К Щ О t g a = | ; sin a cos а я 2) —5 5—, якщо ctg а = sin а-cos а 4 „V 2sin3 а + 3cos3 а , . 3) — , якщо tg а = -4. 5sin а - cos а 23.17." Спростіть вираз: 1) yjcos2 ß(1 + tgß) + sin2 ß (1 + ctgß), якщо n < ß < ^ ; б jl - sin2 а - cos2 а cos2 ß „ _ 2 > tg ß ctg а ' я к ц * ° K < a < f > 2 < P < J t ; /і + sin а /І-sin а 3 > v r ^ - v ^ ^ ' я к щ о 90 °< а < 180 °; 4) -2cos2 ß + sin2 ß-2V2sinß+1, якщо 23.18.*" Спростіть вираз: 1) sin а - -Jctg2 a - cos2 a , якщо 180° < a < 360°; + cos« ЗлIi - сова _ 1 + cos a * 1 + cos a 1 - cos a ' якщо л < а < — ; 3) >/4cos2 a + 4cosa + l-V4-4sin2 a, якщо и 186
- 187. 24. Формули додавання 23.19." Дано: sin а + cos а = b. Знайдіть: 1) sin a cos а; 3) sin4 а + cos4 а; 5) . ——У 1 л • sm а cos а 2) sin3 а + cos3 а; 4) sin6 а + cose а; 23.20." Дано: tg а + ctg а = Ь. Знайдіть: 1) tg2 а + ctg2 а; 3) tg4 а + ctg4 а; 2) tg3 а + ctg3 а; 4) (cos а + sin а)2 . 23.21." Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: 1) 2 cos2 а - 3 sin сс; 3) 1-л/сов2 а -2sin2 a; 2) tg2 q+ 1 ; 4) 3 cos2 а - tg а ctg а. cos а 23.22." Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: 1) 3 sin2 а + 2 cos а; 3) 2 sin2 а + 3 tg а ctg а. 2) l W s i n 2 a + 2cos2 a; 23.23." Побудуйте графік функції: 1) £/ = sin2 Vl-x2 +cos2 Vl-x2 ; 2) y = tg2 x cos2 X 23.24." Побудуйте графік функції: 1) У = і — > 2) у = —г etgz x.tg X ctg X sin X 23.25* Знайдіть найбільше значення функції f (я) = sin14 л: + cos14 X. 23.26.* Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) - sin10 X + cos13 X. Формули додавання Формулами додавання називають формули, які виражають cos (а ± ß), sin (а ± ß) і tg (а ± ß) через тригонометричні функції кутів а і ß. Доведемо, що cos (а - ß) = cos а cos ß + sin а sin ß. Нехай точки Pt і P2 отримано в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кути а і ß відповідно. Розглянемо випадок, коли 0 < а - ß < п. 187
- 188. § 4. Тригонометричні функції Тоді кут між векторами ОРх і ОР2 дорівнює а - ß (рис. 24.1). Координа- ти точок Р і Р2 відповідно дорівню- ють (cos a; sin а) і (cos ß; sin ß). Тоді вектор ОР1 має координати (cos а; sin et), а вектор ОР2 — (cos ß; sin ß). Виразимо скалярний добуток век- торів ОР1 і ОР2 через їх координати: OPj • ОР2 = cos а cos ß + sin а sin ß. Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна записати Звідси отримуємо формулу, яку називають косинус різниці: Рис. 24.1 cos (а - ß) = cos а cos ß + sin а sin ß (1) Покажемо, що доведення не зміниться при будь-якому виборі кутів а і ß, зокрема, коли (а - ß) g [0; л]. Кути поворотів а і ß для точок Р1 і Р2 відповідно можна по- дати в такому вигляді: а = otj + 2лА, k є Z, о^ є [0; 2л]; ß = ß1 + 2лл, п є Z, ßj є [0; 2л]. Тоді кут між векторами ОР1 і ОР2 набуває одного з чоти- рьох значень: с^ - ßt (рис. 24.2); ß1 - сс^ (рис. 24.3); 2л - (с^ - ßx) (рис. 24.4); 2л - (ßt - eg (рис. 24.5). Тоді косинус кута між векторами ОР1 і ОР2 дорівнює cos (а - ß). Далі залишається лише повторити наведені вище міркування для випадку,хколи (а - ß) є [0; л]. Доведемо формулу косинуса суми; cos (а + ß) = cos а cos ß - sin a sin ß Маємо: cos (а + ß) = cos (а - (-ß)) ~ = cos а cos (-ß) + sin а sin (™ß) = cos а cos ß — sin а sin ß. Доведемо формули синуса суми і синуса різниці: sin (а + ß) = sin а cos ß + cos а sin ß sin (а - ß) = sin а cos ß - cos а sin ß 188
- 189. 24. Формули додавання Уі 1 a [ ß ( S V .о J l • Рис. 24.4 За допомогою формули (1) доведемо, що sin а = cos a j Маємо: cos = cos-^ Тепер доведемо, що c o s a + s i n — s i n a = s m a . cos a = sin - a j Маємо: cos a = cos - - ajj = sin - aj. Тоді sin (a+ß) = cos -{a + ß)J = cos - •a)- ßJ = = c o s - a j c o s ß + s i n - a j s i n ß = s i n a c o s ß + c o s a s i n ß ; s i n ( a - ß ) = s i n ( a + ( - ß ) ) = s i n a c o s ( - ß ) + c o s a s i n ( - ß j = - s i n a c o s ß - c o s a s i n ß . Формули тангенса суми і тангенса різниці мають вигляд: tg«x + ß)= t g a + t g ß W 1 - tg a tg ß (2) 189
- 190. § 4. Тригонометричні функції tg (q - В) = ^ z Mtg(0t p) 1 + t g a t g ß (3) Доведемо формулу (2). Маємо: t ( + - s i n ( a + ß) _ sin a cos ß + cos a sin ß cos ( a + ß) cos a cos ß - sin a sin ß' Припустивши, що cos a cos ß Ф 0, отриманий дріб можна пе- реписати так: sin a cos ß cos ot sin ß cos a cos ß cos a cos ß _ tg a + tg ß cos a cos ß sin a sin ß 1 - tg a tg ß' cos a cos ß cos a cos ß Формулу тангенса різниці (3) доведіть самостійно. Тотожність (2) є правильною для всіх а і ß, при яких cos (a + ß) Ф Ф 0, cos а Ф 0, cos ß Ф 0. Тотожність (3) є правильною для всіх а і ß, при яких cos (a - ß) Ф Ф 0, cos а Ф 0, cos ß Ф 0. „ „ . V i sin a + 2 cos (60° + a ) ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз --7= -. 2 sin (60° + a) - V3cos a У І sin a + 2 cos (60° + a ) _ 2 sin (60° + a ) - V i cos a л/І sin a + 2 (cos 60° cos a — sin 60° sin a) _ 2 (sin 60° cos a + cos 60° sin a) - V i cos a Розв'язання. Маємо: Visin a +21- c o s a - y sin aJ 2 cos к + 2s i n a ) - Vi cos a Vi sin a + cos a -Visin a cos a V i cos a + sina - V i cos a s i n a = ctga. • ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність: 1) s i n a - c o s a t g ^ = t g ^ ; • 2 2 , , о cos(a + ß) 2) ctga-tgß = —— sm a cos ß . a cos a sin — Розв'язання. 1) sina-cosatg —= sina — = 2 a cos- 190
- 191. 24. Формули додавання 2 = t g ö a . a . I al . a sm a cos ~ - cos a sm — sin la - — I sm a a a " 2' cos £ cos j cos — ° , , с cosa sin ß cos a cos ß-sin a sin ß cos(a + ß) 2) ctga-tgß = — £ = : г £ = • sin a cos ß sin a cos p sin a cos ß - « о - • 1 - tg 70° tg 65° ПРИКЛАД В) Знайдіть значення виразу t g 7 0 o + t g 6 5 O • Розв'язання. Використовуючи формулу тангенса суми кутів 70° і 65°, маемо: 1 = Ш Ж . І = — L _ = ctgl35° = tg 70° + tg65° tg (70°+ 65°) tg 135° ё - ctg (180°-45°) =-ctg 45° = -1. • ПРИКЛАД 4 Знайдіть cos 15°.Розв'язання. Маємо: cos 15° = cos (60° - 45°) = = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45° = = • ПРИКЛАД (І Знайдіть найбільше і найменше значення виразу cosa + Я am а. Розв ЯЗСІННЯ* Представимо даний вираз у вигляді синуса суми. Для цього помножимо і поділимо даний вираз на 2: cos a+-v/3 sin a = 2 Q cos a + s i n a j. l Ji Ураховуючи, що - = sin30°, ---- = cos 30°, отримуємо: z Л cos a + л/з sin a = 2 (sin 30° cos a+cos 30° sin a) = 2 sin (30° + a). Отже, найбільше значення даного виразу дорівнює 2 (його ви- раз набуває при sin (30° + a) = 1), найменше значення дорівнює -2 (його вираз набуває при sin (30° + a) = -1). • ПРИКЛАДІДано: sina = -JL, cosß = -^=, 0° < a < 9 0 ° , 0°<ß <90°. Знайдіть a + ß. Розв'язання. Оскільки 0° < a < 90°, 0° < ß < 90°, то 0° < a + ß < < 180°. На проміжку (0°; 180°) косинус набуває кожного свого зна- чення з проміжку (-1; 1) один раз. Отже, знайшовши cos (a + ß), можна визначити і значення a + ß. Маємо: cos ot = Vi-sin2 a = - t , sinß -- Jl-cos2 ß - —p=. Vö VlO 191
- 192. § 4. Тригонометричні функції Тоді cos (а + ß) = cos а cos ß - sin а sin ß - = _1 І 2 3_ = 5_ 5 L л/б л/ЇО л/б л/ЇО VöÖ 5 л/2 л/2* Беручи до уваги, що 0е < а + ß < 180°, отримуємо а + ß = 135°. • Вправи 24.1/ Спростіть вираз: 1) cos (а + ß) + cos (а - ß); 2) sin (30° + ос) - cos (60° + а); 3) л/2 sin (а-45°)-sin а + cos а; 4) 2 cos (60° - а)-л/3 sin а-cos а. 24.2/ Спростіть вираз: 1) sin (а - ß) - sin (а + ß); 3) л/2 sin (™ + а|-cos а - s i n а. 2) sin (30° - а) + cos (60° - а); 24.3.° Спростіть вираз: 1) sin a cos 4а + cos а sin 4а; 2) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°; f.. 3it л . Зл . л 3) cos — cos — - sm — s m g; 4) sin а sin (а + ß) + cos а cos (а + ß); 5) sin 53° cos 7° - cos 53° sin (-7°); 6) sin (а + ß) cos (а - ß) - sin (а - ß) cos (а + ß); 7) (sin а cos ß + cos а sin ß)2 + (cos а cos ß - sin а sin ß)2 ; g4 sin 20° cos 5° - cos 20° sin 5° _ cos 10° cos5°-sin 10° sin 5°' 9) cos (а + ß) + 2 sin а sin ß. 24.4/ Спростіть вираз: 1) cos 6a cos 2a - sin 6a sin 2a; 2) sin 12° cos 18° + sin 18° cos 12°; 3) sin (-15°) cos 75° + cos 15° sin 75°; 4) cos (a + ß) cos (a - ß) + sin (a + ß) sin (a - ß); cos 6 4 ° cos 4 ° + sin 6 4 ° sin 4 ° sin 1 9 ° cos 4 1 ° + sin 4 1 ° cos 1 9 ° ' 6) cos (a - ß) - 2 sin a sin ß. 192
- 193. 24. Формули додавання 24.5." Відомо, що tg а = і , tgß = -j- Знайдіть значення виразу а 4 tg 24.6.* tg 24.7.° 1) (а + ß). Відомо, що tg а = 3, tg ß = 5. Знайдіть значення виразу (а - ß). Спростіть вираз: tg 13°+ tg 47° . 1- tg 13° tg 47°' 3) 2) 24.8.' 1) 24.9.° 1) 2) 3) 4) 5) 6) 24.10. 1) 2) 3) 24.11. 24.12. 4) 2) tgl°-tg46° . 1 + tg 1° tg 46°' Спростіть вираз: tg24°+tg 36° t 1 - tg 24° tg 36°' Доведіть тотожність: cos (а + ß) + sin а sin ß _ j. cos (а - ß) - sin а sin ß * sin(q + ß) + sin(«-ß) . sin<a + ß)-sin(a-ß) t g ö t g P > 1-tg 27° tg 33°. tg27° + tg33° ' * 9 K 36 1 - t g 2 t e ^ ' * 9 ё 36 tg5a-tg3a 1 + tg 5a tg 3a * = tga; 2 cos а - 2 cos (45° + a) 2 sin (45° + a) - V2 sin а sin (a + ß) cos (a - ß) + cos (a + ß) sin (a - ß) „ cos (a + ß) cos (a - ß) - sin (a + ß) sin (a - ß) sin (45° + a) - cos (45° + a) sin (45° + a) + cos (45° + а) ~ 8 С Ц sin а + 2 зіп (60° - a) ^ c t g a . 2 cos (30° - а) - V3 cos а ° Доведіть тотожність: sin (а + ß) - sin ß cos а sin (a - ß) +sin ß cos а cosa-2 sin (45і -а) = $2; 2 sin (60° + а) - у/з cos а 2 sin a cos ß - sin (a - ß) . . 0 , -f—-—4-^ = tg(a + ß). cos a cos ß - sin a sin ß < а < 180°. Знайдіть sin (a + 45°). ° Дано: cos a = -0,6, 180° < a < 270°. Знайдіть cos (60° - a). Дано: sin a = 90° 41 193
- 194. § 4. Тригонометричні функції З я 4 24.13.° Знайдіть cos (а + ß), якщо cosа = -, 0 < а < — і cosß=-—, О £і О f < ß < - 15 Зіс 24.14.' Знайдіть sin (а - ß), якщо sina = - — , л < а < — і Ii й у < ß < 2lt. 24.15/Дано: t g a = |, smß = |, 0 < ß < £ . Знайдіть tg (a-J-ß). A U A 224.16. Відомо, що t g a = ~. Знайдіть tg (45° + а). о 24.17.° Доведіть тотожність: , , „ sin (а-В) , . а cos(a-ß)1) t g a - t g ß = 1 — 2 ) ctg а + tg ß = — — —cos а cos ß sin а cos ß e . . . . _ . . , . „ sin(а + ß) 24.18. Доведіть тотожність ctg а + ctg ß = — ; sin а sin p 24.19.° Спростіть вираз: 1) cos — ctg — + sin —: 3) ; — - • -n—; ' 2 4 2 1 + tg a tg 2a cos 2a sin 2a 2) ctg a - c t g 2a; 4) ^ T " " — f - 24.20.' Спростіть вираз: 1) cos 2a + sin 2a tg a; 2) cos 4a - sin 4a ctg 2a. 24.21.' Користуючись формулами додавання, знайдіть: 1) sin 15°; 2) sin 105°; 3) ctg 105°. 24.22.' Користуючись формулами додавання, знайдіть: 1) cos 75°; 2) sin 75°. 24.23.* Спростіть вираз: 1) tgl0° + tg50° + ^ t g l 0 ° t g 5 0 ° ; 2) tg 70° - tg 25° - tg 70° tg 25°. 24.24.' Спростіть вираз: 1) tg 80° - tg 20° - л/3 tg 80° tg 20°; 2) tg 35° + tg 10° + tg 35° tg 10°. 24.25.' Доведіть тотожність: 1) sin {a + ß) sin (a - ß)*= sin2 a - sin2 ß; 2) (sin a - sin ß)2 + (cos a + cos ß)2 - 2 = 2cos (a + ß); 3) r * a 2~tS L =tg(H+ß)tg(a-ß); 1 - tg2 a tg2 ß 4 ) tga + tgß tgq-tgß , 2 tg(a + ß) tg(a-ß) cos a 194
- 195. 24. Формули додавання 24.26.' Доведіть тотожність: 1) cos (а + ß) cos (а - ß) = cos2 а - sin2 ß; 2) tg (а + ß) - (tg а + tg ß) - tg (а + ß) tg а tg ß = 0. 24.27." Знайдіть найбільше значення виразу: 1) sina-л/З cosa; 3) sin a + cos a; 2) 4 sin a + 5 cos a; 4) 2 sin a - cos a. 24.28." Знайдіть найбільше значення виразу: 1) л/зcosa-sina; 2) /5cosa-2 л/5 sin a; 3) 3 sin a + cos a. 24.29." Дано: cos - a) = - f , & < a < 4?. Знайдіть sin a. 3 / 5 6 3 24.30." Дано: sin (Ц - a ) = — ^ , n < a < ^ . Знайдіть sin a. 4 / 1 0 2 24.31." Дано: cos (5° + a) = 0,6, 0° < a < 55°. Знайдіть tg (35° + a). 24.32." Дано: sin (40° + a) = b, 0° < a < 45°. Знайдіть cos (70° + a). 24.33." Дано: sin 10° = b. Знайдіть sin 35°. 24.34." Дано: tg (a - 45°) = 3. Знайдіть tg a. 24.35." Дано: tg (5° + a) = A 0а < a < 40°. Знайдіть cos (50° + a). a 24.36." Дано: t g a = i tgß = |, 0 < a < £ , 0 < ß < £ . Знайдіть a - ß. 4 о Й л 24.37." Дано: sina = ^ , sinß = ^ , 0° < a < 90°, 0° < ß < 90°. Знайдіть a + ß. .38." Дано: cosa Знайдіть a + ß. 24.38." Дано: c o s a - ^ , sinß = ^ , 0° < a < 90°, 0° < ß < 90°, 24.39." Дано: tg a = 5, ctgß = |, 0 < a < £ , 0 < ß < £ . Доведіть, що О z z a + ß - ^ . 4 24.40." Дано: t g a = l tgß = l 0° < a < 90°, 0° < ß < 90°. Зна- Z о йдіть a + ß. 24.41." Побудуйте графік функції: tg2x-tgx оч -ІЗ + tgx 24.42." Побудуйте графік функції: 1) tgas-tg* у = Ч х ~ 1 . ' у 1 + tg Зх tg X ' у tgx+l 195
- 196. § 4. Тригонометричні функції 24.43." Доведіть, що коли а, ß, у — кути непрямокутного три- кутника, то tg а + tg ß + tg у = tg а tg ß tg y. 24.44." Доведіть, що коли а, ß, у — кути трикутника, то ^ f t g f + t g f t g | + t g | t g | = l . 24.45." Обчисліть (1 + tg а)(1 + tg ß), якщо (X + ß = -|, а > 0, ß > 0. Чіг 24.46." Обчисліть (1 + ctg а)(1 + ctg ß), якщо a+ß = ^ , а > О, ß > 0. 24.47." Доведіть нерівність sin (а + ß) < cos а + cos ß, де 0 < а < 0 < ß < § . 24.48." Доведіть нерівність cos (а - ß) < cos а + sin ß, де 0 < а < Сі 0 < ß < f . 24.49.* Відомо, що sina + sinß + sin7> Vö. Доведіть, що cos а + cos ß + cos у < 2. 24.50.* Доведіть нерівність tg2 ^ + tg2 1 + tg2 ^ > 1, де а, ß, у — кути СІ СІ СІ трикутника. 24.61.* Доведіть нерівність tg ^ + tg ^ + tg ^ > -Уз, де а, ß, у — кути СІ Сі Сі трикутника. 24.52.* Знайдіть усі функції f, визначені на R, такі, що для всіх X є М, у е R виконується рівність f ( x + y) = f (ж) cos у + f (у) COS X. 24.53.* Знайдіть усі функції f, визначені на проміжку [-1; 1], такі, що для всіх х є К, у є R виконується рівність f (cos де) f (cos у) + і (sin x) f (sin y) = cos (x - y). 24.54.* Знайдіть усі функції f, визначені на проміжку [-1; 1], такі, що для всіх х є R, у є R виконується рівність f (sin je) f (cos у) + f (sin y) f (cos ж) = sin (x + y). 196
- 197. 25. Формули введення Формули зведення Періодичність тригонометричних функцій дозволяє зводити обчислення значень синуса і косинуса до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; 2я], а значень тангенса і котан- генса — до випадку, коли значення аргументу належить проміж- ку [0; я]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дозволяють у таких обчисленнях обмежитись лише кутами від 0 до —, 2 Кожний кут у межах від 0 до 2я можна подати у вигляді ~ ± а, або я ± а, або ~-±а~, де 0 < а < ^ . Наприклад, ~ = ь О О 5тс _ Зл ТЕ З ~ 2 6' 77 ЗТС Обчислення синусів і косинусів кутів виду —±а, я ± а , -~±а Сі a можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. Напри- клад: cos 2 I 2 2 sin (я - a) = sin я cos a - cos я sin a = sin a. Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отри- мати: sin ( І - ! ( ї " , = cos a sin (я - a) = sin a sin ( 1 = cos a sin (я + a) = -sin a sin ( f - ) ¥ 4 = -cosa = -cosa Ці шість формул називають формулами зведення для синуса. Наступні шість формул називають формулами зведення для косинуса: cosj COS 1~а ) ( И = sina cos (я — a) = —cos a cos = -sin a cos (я + a) = —cos a cos = -sina tj = sin a Ці тотожності теж легко отримати, застосувавши формули додавання. 197
- 198. § 4. Тригонометричні функції Обчислення тангенсів і котангенсів кутів виду можна звести до обчислення тангенса або котангенса кута а. Наприклад: і sin(~+a) Аналогічно можна отримати: , . . , сова 2 / л і -sin а C0S 2 J t g ( f - a ) = ctga tg(|+a) = -ctga ctg (|-a) = t g a ctg(|+a) = - t g a Ці чотири формули називають формулами зведення для тан- генса і котангенса. Проаналізувавши записані 16 формул зведення, можна помітити закономірності, які роблять заучування цих формул не обов'язковим. Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися такими правилами. 1. У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що 0 < a < А 2. Якщо в лівій частині формули аргумент має вигляд ^ ±а А або ^±а, то синус міняють на косинус, тангенс — на котан- гене, і навпаки. Якщо аргумент має вигляд я ± а, то зміни функції не відбувається. Покажемо, як працюють ці правила для виразу sin|~-aj. Припустивши, що 0 < а < ^ , доходимо висновку: ^ - а є кутом М Ct III чверті. Тоді s i n | ~ - a j < 0 . За першим правилом у правій частині рівності має стояти знак *-*. Оскільки аргумент має вигляд Щ- - а, то за другим правилом tu слід замінити синус на косинус, Отже, s i n | y - a J = -cosa. 198
- 199. 25. Формули введення ПРИКЛАД 1, Зведіть до тригонометричної функції кута а: 1) cos2 + а); 2) ctg (а - 90°). J W « . . » . , Mae„o: c o ^ f + a ) - ( c o s ( f + « ) J - = (-sin а)2 = sin2 а. 2) ctg (а - 90°) = -ctg (90° - а) = -tg а. • ПРИКЛАД Si Замініть значення тригонометричної функції зна- ченням функції гострого кута: 1) cos — ; 2) cos 3) tg (-125°). Розв'язання, 1) cos — = cos|7t ——1 = —cos—: 10 Ю/ 10 о І , л2) COS —^j- — cos —J = —cos —j 3) tg (-125°) = -tg 125° = -tg (90° + 35°) = -(-ctg 35°) = ctg 35°. • ПРИКЛАД І Обчисліть: 1) sin 930°; 2) cos (-480°). Розв'язання. 1) sin 930° = sin (360°-2 + 210°) = sin 210° = = sin (180°+30°)=-sin 30°=-І; a 2) cos (-480°) = cos 480° = cos (360° + 120°) = cos 120° = = cos(90°+30°) = -sin 30° - -^. • ПРИКЛАД 4 Обчисліть tg 41° tg 42° tg 43° tg 44°-...-tg 49°. Розв'язання. Маємо: tg 49° = ctg 41°, tg 48° = ctg 42° і т. д. Тоді, об'єднавши попарно множники, які рівновіддалені від кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких до- рівнює 1: tg 41° tg 49° = tg 42° tg 48° = tg 43° tg 47° = tg 44° tg 46° = 1. Ще один множник даного добутку tg 45° - 1. Отже, tg 41° tg 42° tg 43° tg 44°-... tg 49° = 1. • ПРИКЛАД ff Спростіть вираз: • і А smla- —І і . і — — c t g ^а - - cos 11+a I sin (а - л). s i n k e t ) 1 4 199
- 200. § ^Тригонометричніфункції Розв'язання. Маємо: = Оскільки + + 2' т о sin(^ + aJ = cos(^-aJ. Отже, sin fa-11 ) — L — ^ ctg (« - у ) - cos +a) sin (a - л) = s i n u+ a ) -sin (л )-sin Iл cos - - a 4 I4t / = -tg - a j • ^-ctg - a Jj - sin2 a = 1 - sin2 a = cos2 a. г Вправи 25.1.° Зведіть до тригонометричної функції кута а: 1) sin -а); 4) cos (-а + 270°); 7) ctg2 (90° + а); 2) ^ ( у - а ) ; 5) cos (а - 180°); 8) cos(|+a); 3) sin (л - а); 6) cos2 (Зл - а); 9) sin ( у - « ) - 25.2.° Зведіть до тригонометричної функції кута ос: 1) cos(y+a); 3) cos (л - а); 5) sin (180° + а); 2) c t g ( M ~ a ) ; 4) ctg (а - 270°); 6) s i n 2 ( ^ + a). 25.3/ Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу: 1) cos 123°; 2) sin 216°; 3) cos (-218°); 4) c o s ^ . 25.4.* Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу: 1) tg 124°; 2) sin (-305°); 3) ctg (-0,7л); 4) s i n ^ . 15 25.5.° Обчисліть: 1) cos 225°; 2) sin 240°; 3) cos 4) cos(-^). ч 200
- 201. 25. Формули введення 25.6/ Обчисліть: 1) tg 210°; 2) ctg 315°; 25.7.° Спростіть вираз: 1) sin|~ccJ + cos(n-a); 2) tg(§ + a ) c t g ( f -а); 3) sin(jt + cc)cos|^p + aJ; 25.8." Спростіть вираз: 1) tg||+aJ-ctg(jt-a); 2) sin (270° - а) + cos {270° + а); 3) sin +aj + cos (Jt+a) + tg - aj + ctg (2л - а); 4) sin2 (л - а ) + s i n 2 а ) . 25.9.° Обчисліть: 1) 3 tg 135° - 2 sin 150° + tg 300° - 2 sin 240°; 2 sin2 315° cos 300° + tg ( -315°). ' sin (-120°) cos 150° ' 3, s i n f c c f t e ( - f ) c t E f ; sin 20° cos 10° + cos 160° cos 100° _ sin 21° cos 9° + cos 159° cos 99° ' cos 66° cos 6° + COS 84° cos 24° cos 65° cos 5° + cos 85° cos 25°' 25.10.° Знайдіть значення виразу: 1) 4 cos 225° - 6 cos 120° + 3 ctg 300° + tg 240°; 6cos2 (-240°) ctg 210°. sin (-300°) cos2 180° ' оч .7л 2л . 4л , 7л 3) sin—cos у t g — c t g y ; ... cos64°cos4°-cos86°cos 26° 4) . cos 71° cos 41° - cos 49° cos 19° 3) Cos (-150°); 4) sin Q sin(7t-a)i cos(| + a) , „ 25) cos2 (n + a)+cos2 |-|-aJ; 6) sin(|+a)-sin(y+a). 201
- 202. § 4. Тригонометричні функції 25.11.* Спростіть вираз: sin (л + a) cos (2л - a). tg (л-a) cos (л-a) 2) sin (ТЕ - ß) cos (ß -1) - sin + ß) cos (я - ß); sin (90° + a) sin (180° - a)(tg (180° + a) + tg (270° - a)); 4) sin (a - sin ( « + - sin2 ( a -»0 sin2 (a+л) - cos2 (a+л) cos2 (a - ЩJ; 5) sin2 (л - JC)+tg2 (л - де) tg2 +JCj + s i n + ж Jc °9 (x-2n); 6) ^sin^-xJ+sin(jt-x)j +^cos(^-xJ+cos(2n-x)j ; 7) tg (n-x)sin(™+xj cos (л + де) ctg ( у + X 8) 9) sin (-х) . 2(ЗК s i n т+х ) ctg (^ - aj (sin - aj + sin (л + a)J ctg (л + a) (cos (2л + a) - sin (2л - a))' 10) (ctg (6,5л - a) cos (-a) + cos (я - a))2 +2 2 sin (л - a) tg (a-rt) 11) О У < ш ' ( | — ) + . ц ( а - | ) 26,12.' Доведіть тотожність: _ sin (л-a) sin (a + 2л) 1) 1 ^ = -cosa; tgOt + a) cos|—+ aj 2) sin (л + де) cos ^ - деj + cos (2л + де) sin ( у + деj = -1; g, tg (180° - a) cos (180° - a) tg (90° - a) _ sin (90° + a) ctg (90° +a) tg (90° +a) ~ ' 4) sin(2rt-9)tg cos (tp-л)-sin (<p-rt) = sin 9; 202
- 203. 25. Формули зведення 12 _ a ) 1 cos j 1 cos (2n - u) ctg (я + a) sin j I 5) — ^ '- ^ — / г = sin а; „. sin(ji + a) , . . . л 6) jz т—T~7 7+tg(n-a) = -l;/ о - х ctg(Jt-a) -If"") i n (л - а ) ( f - a ) c t g p |+ a)C oS (|+ a) ^ sin (rc-a)cos(jt + a ) t g ( 7 i - c t ) _ ^ 8) J s i n " 2 ( a - ^ U c o s 2 ( « + ? ) = ' f. V 2! 21 I sin a cos а [ 25.13." Обчисліть: 1) ctg 5° ctg 15° ctg 25° •... - ctg 75° ctg 85°; 2) tg 20° + tg 40° + tg 60° + ... + tg 160° + tg 180°; 3) sin 0° 4- sin 1° + sin 2° + ... + sin 359° + sin 360°. 35.14." Обчисліть: 1) sin 110° + sin 130° + sin 150° +... + sin 230° + sin 250° + sin 270°; 2) tg 10° tg 20° tg° 30° •... - tg 70° tg 80°; 3) ctg 15° + ctg 30° + ctg 45° + ... + ctg 165°. 25.15." Доведіть тотожність: - I f - ) cos 1) 6 " a J 2) ™sa-n) „ J W a ; tg2 cos41 3 ) s i „ * ( f - a ) ( t e ! a - l ) c t e ( a - f ) a t a - ( f + « ) = 2 . 25.16." Знайдіть значення виразу cos2 § + cos2 Щ + cos2 Sffi + cos2 |§. 25.17." Спростіть вираз: 1) cos2 (J+«) + cos2 (J - a) + sin - a) cos ( y + a ) tg (я + a); 2) C0S !!-°° — + tg (a +10°) ctg (80°-a). 203 sin2 (70° + a)
- 204. § 4. Тригонометричні функції 25.18.* Чи існує така функція f, що для всіх і є 1 виконується рівність: 1) f (cos ж) = sin х; 2) f (sin х) = cos x1 25.19.* Чи існує така функція f, що для всіх х є R виконується рівність f (sin де) = sin ЮОдс? 25.20.* Сума додатних чисел а, ß, у дорівнює Доведіть, що Сі cos а + cos ß + cos у > sin а + sin ß + sin у. 25.21.* Сума додатних чисел а, ß, у менша від Доведіть, що ctg а + ctg ß + ctg у > tg а + tg ß + tg у. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів Формули, які виражають тригонометричні функції аргумен- ту 2а через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами подвійного аргументу. У формулах додавання cos (а + ß) = cos а cos ß - sin а sin ß, sin (а + ß) = sin а cos ß + sin ß cos а, покладемо ß = а. Отримаємо: cos 2a = cos2 a - sin2 a sin 2a - 2 sin a cos a tg 2a = 2 tga l-tg2 a Ці формули відповідно називають формулами косинуса, синуса і тангенса подвійного аргументу. Оскільки cos2 a = 1 - sin2 a і sin2 a = 1 - cos2 a, то з формули cos 2a = cos2 a - sin2 a отримуємо ще дві формули: cos 2a = 1 - 2 sin2 a cos 2a = 2 cos2 a - 1 204
- 205. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді: 1 - cos 2а - 2 sin2 а 1 + cos 2а = 2 cos2 а або в такому вигляді: s i n a ~ 1 - cos 2a ~2 , 1 + cos 2a cos a = 2 Дві останні формули називають формулами пониження сте- пеня. ПРИКЛАД 1 Виразіть дану тригонометричну функцію через функ- ції вдвічі меншого аргументу: 1) cos—; 2) tg|~+aj. Розв'язання. І) Маемо: — = 2-—. Тоді cos — = cos2 — -sin2 —; 2 4 2 4 4 2) Маємо: f + « =2 ' ( f + f)- Тоді t g ( | + a) = 2 tg (* + «)6 21 -"'(M) ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз: cosa 1) 2) a a sin - - cos — 2 2 sina 2 cos2 a 3) cos4 a - sin4 a; 5) tg a - ctg a; 4) 1 - 8 sin2 ß cos2 ß; 6) 2 cos a -1 Роз Є язан ня, 1) Застосовуючи формулу косинуса подвійного аргументу cos 2х = cos2 x-sin2 jc і формулу різниці квадратів, отримуємо: cosa га cos - . га ~S m 2 ... (cosf -sinf )(cos|+sin|) . a a sin—-cos— 2 2 . a sin- 2 a -cos-r 2 . a S m 2 a "t O S 2 ~И—§)• 2) Застосовуючи формулу синуса подвійного аргументу для кута отримуємо: Ct 205
- 206. § 4. Тригонометричні функції 0 . а а . а »4~ ~ 2 sin - cos - sin ~ sin а 2 2 2 ^ а „ г а „ г а а 2 2 cos — 2 cos - ros- - 2 2 2 3) cos4 а - sin4 а = (cos2 а - sin2 a) (cos2 а + sin2 а) = cos 2a. 4) 1 - 8 sin2 ß cos2 ß = 1 - 2-4 sin2 ßcos2 ß = 1 - 2 sin2 2ß = cos 4ß. 5) t g a - c t g a = s i n a c o s a s i n Z a _ c o s 2 o t coe2a cos a sin a cos a sin a sin a cos a 2 cos 2a 2 cos 2a 2 sin a cos a sin 2a = -2 ctg 2a. 6) Оскільки сума аргументів —-a і —+a дорівнює то 4 4 2 s i n ^ + a j - c o s j j - a j . Тоді 2cos2 a-l 2cos2 a-l 2 tg (J - a) sin2 (J+a) 2 tg ( | - a) cos2 ( f - a) cos 2a cos 2a sin 2 p cos2 1" cos < ( H ( * _ „ ) 2Bin(f-a)cos(j-a) Застосувавши формулу синуса подвійного аргументу до кута - - а , отримуємо: 4 cos 2a cos 2a cos 2a _ ^ ^ 2sin -aJcos|^-aJ sin||-2aj cos 2a 1-tg211 ПРИКЛАД 3 Обчисліть §-. tg- 8 Розв'язання. Застосовуючи формулу тангенса подвійного і 71 і +„2 71 7 g 8 g 8 2 2 аргументу, отримуємо: = 2 = —т——-г = -2. • « і * ( l . f ) « f ПРИКЛАД 4 Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 1 + cos 4a; 2) 1 - cos 6a; 3) 1 - sin a. Розе' Я 3 d И ftЯ. 1) Застосовуючи формулу 1 + cos 2х = 2 cos2 х, отримуємо: 1 + cos 4a = 2 cos2 2a. 206
- 207. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів 2) Застосовуючи формулу 1 - cos 2х = 2 sin2 х, отримуємо: 1 - cos 6а = 2 sin2 За. 3) За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус і застосуємо формулу 1 - cos 2х = 2 sin* ж: l - s i n a = l-cos(|-a) = 2sin2 (|-|). • ПРИКЛАДА Спростіть вираз 2sin2 (45° - a) + sin 2a. Розв'язання. Застосуємо формулу пониження степеня для синуса, а потім формулу зведення. Отримуємо: 2 sin2 (45° - a) + sin 2a = 1 - cos (90° - 2a) + sin 2a = - 1 - sin 2a + sin 2a = 1. • . і a . a1 +cos—-sin— ПРИКЛАД 6 Доведіть тотожність —--ctg—. . a . a 4 1-cos—sin - 2 2 , , a . a „ га „ . a a Розв'язання. Маємо: 1+ c t ) 6 2 " S l n 2" _ 2 CQS 4 ~ 2 s i n 4 c ° s 4 _ , a . a „ . 2 a „ . a a 1-cos --sin— 2sin -~-2sm , cos- 0 a I a . a 2 cos- I cos — sm — . 4 4 4/ „ . a I . a a 2 sin— sin —cos —I 4 4 4/ = -ctgZ 4 ПРИКЛАД J Доведіть тотожність _ . „ , „ sin 32a cosacos2a cos 4a cos 8a cos 16a = . 32 sin a Розв'язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної рівності на sin а та багаторазово застосуємо формулу синуса по- двійного аргументу: л . о „„ sin a cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16а cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a = sma sin 2a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a sin 4a cos 4a cos 8a cos 16a 2 sin a 4 sin a sin 8a cos 8a cos 16a sin 16a cos 16a sin 32a 8 sin a 16 sin a 32 sin a Формули, які виражають тригонометричні функції аргумен- ту За через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами потрійного аргументу. 207
- 208. § 4.Тригонометричні функції Маємо: sin За = sin (2а + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а • = 2sinacosacosa + (l - 2 sin2 a) sin а = 2 sin a cos2 а + sin а - 2 sin3 а » = 2 sin a ( l - sin2 a) + sin a - 2 sin3 a = 2 sin a - 2 sin3 a + sin a - 2 sin'4 a = = 3 sin a - 4 sin3 a. Отже, sin 3a = 3sin a - 4sin3 a Цю формулу називають формулою синуса потрійного аргу- менту. Маємо: cos За = cos (2а + а) = cos 2а cos а - sin 2а sin а = = (2 cos2 а - 1) cos а - 2 cos a sin a sin а = 2 cos3 а - cos а - 2 cos а (1 - • cos2 а) = 2 cos3 a - c o s a ~ 2 c o s « + 2 cos3 а = 4 cos3 а - 3 cos а. Отже, cos За = 4cos3 а — 3cos а Цю формулу називають формулою косинуса потрійного ар- гументу. Задача. Доведіть тотожність 4 cos a cos (60° - a) cos (60° + a) = = cos 3a. Розв'язання. Застосувавши формули косинуса різниці і ко- синуса суми, отрймуємо: 4 cos a cos (60° - a) cos (60° + a) = = 4 cos a (cos 60° cos a + sin 60° sin a) (cos 60° cos a - sin 60° sin a) = = 4 cos a (cos2 60° cos2 a - sin2 60° sin2 a) = 4 cos a cos2 a - ~ sin2 a j = = cos3 a - 3 cos a sin2 a = cos3 a - 3 cos a (1 - cos2 a) = = cos3 a - 3 cos a + 3 cos3 a = 4 cos3 a - 3 cos a = cos 3a. • ПРИКЛАД 8 Доведіть рівність 16cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1. Розв'язання. Маємо: 16cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = = 16 • і cos 20° cos 40° cos 80° = 8 cos 20° cos 40° cos 80°. 2 Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можна застосу- вати тотожність, доведену в ключовій задачі цього пункту (при а = 20°): 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos (3-20°) = 1. Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, як при розв'язуванні прикладу 7: 08
- 209. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів 1С ОПО л по ЙПо Q n o 8 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° 16 cos 20° cos 40 cos 60 cos 80° = sin 20° 4 sin 40° cos 40° cos 80° 2 sin 80° cos 80° sin 160° sin (180°-20°) = 1. sin 20° sin 20" sin 20° sin 20° Формули, які виражають тригонометричні функції аргумен- а ту — через тригонометричні функції аргументу а, називають 2 формулами половинного аргументу. Замінивши у формулах пониження степеня а на отримуємо: СІ . 2 a. 1-cosa sin -- = , 2 2 га 1 + cos а cos — = . 2 2 Почленне ділення першої рівності на другу призводить до формули 2 1 + cos а Тепер можна записати , a sin з 11 - cos a "V 2 " a cos 2 /l+ cos a "V 2 . „ a 2 11 cosa. „ a 2 ~1 + cos a Ці формули називають відповідно формулами синуса, косинуса і тангенса половинного аргументу. ПРИКЛАД 9 Дано: tg3a = 3§, 60° < a < 90°. Знайдіть s i n ^ , І СІ 3a , 3a c o s T , t g T . Розв'язання. Маємо: — - — = l+tc2 3a = 1+1— = cos 3a I 7 ) 49' -„ -«n cos 3a-- 625 209
- 210. § 4. Тригонометричні функції Оскільки 60° < а < 90°, то 180° < За < 270°. Отже, cos За < 0. Тоді cos За = - — . Z5 Оскільки 90°<~~<135°, то sin — > 0 , a c o s ^ c O . Тоді: 2 2 2 2 За ІІ + cos За [iL 7 І З c o s T Ч — Г - ' М ^ й Г - б - . За „ sin — tg — =е 2 За сов — 4 З' ПРИКЛАД ffl Знайдіть sin 22°30' і cos 22°30'. Розв'язання. Використовуючи формули половинного аргу- менту, отримуємо: sin 22 cos 22°30f = - cos 45° 1 + cos 45' i f i V2I _ /2 — >/2 V2-V2 2І1 2 T 4 ~ 2 ' ПРИКЛАД I f Спростіть вираз Г 003 а + . Г + С °8 " . l + cosa yl-cosa 1 - cos a Jl + cos a _ jl+cosa у 1-cos a Розв'язання. Маємо: t g I T t g f . 2 a 2 a sin —+ cos — 2 2 _ a, sin 2 a СОН— 2 a cos— 2 . a sin- sin a cos— • 2 a cos — 2 . a a sin —cos— 2 2 . a a sm „ cos -- 2 2 „ . a a 2 sin — cos— 2 2 . a sin — 2 j sin a I За допомогою формул- подвійного аргументу можна виразити sin а і cos а через t g ^ . „ . a a 2 sin — cos — Маємо: sina = - . г а , га sm -r + cos 2 2 210
- 211. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів Припустивши, що cos — * 0, поділимо чисельник і знаменник Сь отриманого дробу на cos2 —: о • а. а 2 sin—cos— 2 2 г а Отже, 2 tg а sm а = • . г а га , , jaaxn'-H-cos - l + tg - г аcos - 2 t g § sin а = — l + t g * f Маємо: cosa = га . г а cos --sin - 2 2 г а , . г а" cos — + В1П тг 2 2 Припустивши, що cos — * 0, поділимо чисельник і знаменник £к отриманого дробу на cos2 ^ : г а . 2 а cos — s i n — 2 2 г а 1-tg2 а cos а = - г а , . г а . , , _г а cos —+ sm - l + tg - Отже, l - t g a | cos а = — l+tg2 « ПРИКЛАД 12 Дано: tg ~ = 3. Знайдіть sin а + cos а, о * а 2і П 2-3Розв'язання. Маємо: sina = — = = 0,6; l + t g 2 | 1 + 9 211
- 212. § 4. Тригонометричні функції 1-tg 2 а cosa- - і = -0,8. Тоді sin а + cos а = 0,6 - 0,8 = -0,2. l + tg2 £ 1 + 9 ПРИКЛАД 13 Знайдіть cos 2а, якщо 2 ctg2 a + 7 c t g a + 3 = 0 і f « X < f . Розв'язання. Розглянемо дану рівність як квадратне рівнян- ня відносно ctg а. Знаходимо ctg = або ctg а = -3. 37t Ттг 7п Оскільки —- < а < -—, то ctg а > ctg— =-1 (нагадаємо, що коли 2 4 4 а і ß - кути IV чверті і а < ß, то ctg а > ctg ß). Отже, у даному випадку ctg а = --!-, tg а =-2. Тоді cos 2а = 1 t g „ a =7—7 = — • 2 1 + tg а 1+4 5 І Вправи 26.1.' Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу: 1) cos а; 2) sin За; 3) t g | ; 4) cos 8а; 5) sin(2x-|); 6)tg7a. 26.2.* Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу: ОХ « 3) cos—; 4 1) sin 10а; 2) sin ( а - ß ) ; 4) cos (|-20°); 26.3.° Спростіть вираз: 1) 2) 5) tg 3; 6) tg 12a. sin 2af sin a * sin 2a г і г ' cos a-sin a 6) cos 2a cos a - sin a 2 a. 7) і-гвіп" 4' 3) cos 2a + sin2 a; sin50° 8) 4) 5) 2cos 25°' cos 44° +sin2 22° sin 2a cos2 a tg a ' sin2 a ctg a cos 22° 9 ) sin 2a ' 10) (sin ф - cos ф)2 + sin 2(p; 212
- 213. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів U ) (s inj+cos^)(sm|-cosj); 14) (sin а + cos а) -sin 2а cos 2а+ 2 sin2 а 12) sin а cos а< 1-2 sin2 а ' 1 5 ї TG ( 4 5 ° -І- а) . ' 1-tg2 (45° +а)' 13) c o s 4 ^ - a J - s i n 4 ^ - a J ; 16) 4 sin a cos3 а - 4 sin3 a cos а. 26.4.' Спростіть вираз: 1 + sin 2a 1) sin 80°. cos 40°' 2) 2cos2 —-1; 3) cos 4ß+sin2 2ß; 4) 2 sin 20° cos 20°; 5) cos2 lCkp-sinz lCkj>; 6) cos 6a+ 2 sin2 3a; cos 70° cos 35° + sin 35°' 26.5.° Обчисліть: 1) 2 sin 75° cos 75°; 2) cos2 15° - sin2 15°; 26.6." Обчисліть: 8 ) , . (sin a + cos a) 9) sina cosa (cos2 a - sin2 a); sin 4a 10) 4 . 4 'cos a-sin a 11) sin(j-a)cos(|-a); 12) sin2 (ß - 45°) - cos2 (ß - 45°); 13) 4 sin I sin ^90°-1) sin (270°-a); 1 4 ) 2 tg 1,5a 1 + tg2 1,5a' 3) l ~ 2 s i n 2 ^ ; 5) 4) sin 22°30 cos 22°30'; 6) 2 tg 165° 1-tg2 165°' l-tg2 15° tg 15° ' 1) cos2 22°30' - sin2 22°30'; 3) 2 sin ^ cos Ö О 2) 2 tg 75° 1-tg2 75°' 4) l-2cos 2 JL 12' . Зті 26.7.° Знайдіть sin 2a, якщо sin a = -0,6 і — <а<2л. z 26.8.' Знайдіть sin 2a, якщо cos a = -тг і ^ < a < n . ІО Ci 26.9." Знайдіть cos 2a, якщо cos a = 3 26.10.° Знайдіть cos 2a, якщо sina = - i . 4 213
- 214. § 4. Тригонометричні функції 26.11.° Знайдіть tg 2а, якщо: 1) tg а = 4; 2) sina = ™^ і 0 < a < f . З 2 26.12. Знайдіть tg 2at якщо: о о _ 1) ctg a = 2; 2) cosa=-- і п < а < — .О & 26.13.° Подайте у вигляді добутку вираз: 1 ) 1 - c o s 4а; 2) 1+cosf; 3) 1 - cos 50°; 4) 1 + sin 2а. о 26.14.' Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 1 - c o s ^ ; 2) 1+cos 12a; 3) 1 + cos 40°; 4) l - s i n | . О Ct 26.15.° Понизьте степінь виразу: 1) cos2 8х; 2) sin2 3) sin2 (2л: - 15°); 4) cos2 (J+1)• 26.16. Понизьте степінь виразу: 1) sin2 5дг; 2) cos2 |; 3) cosz (4*r+10°); 4) sin2 (a:-|). 26.17/ Доведіть тотожність: » „ 1 - cos 2a _ 1) 2 sin a + cos 2a = 1; 3) 5 = 2; sin a 1 - с о я 4 a , . „ 2) ctg 3a(1-cos 6a) = sin 6a; 4) 1 + c o a 4 a = t g 2a - 26.18.° Спростіть вираз: 1) 2 sin2 (135° - a) - sin 2a; 2) 1 + с о з 8 с х ,' v ' ' ' sin 8a 26.19." Знайдіть sin a, cos a, tg a, якщо t g ^ = 5. Ct 26.20.° Знайдіть cos 2a, якщо tg a = -3. 26.21.° Дано: cos 2a = -0,6, ^<a<7t. Знайдіть sin a і cos a. Ci 26.22.° Дано: cosa = f , 0 < a < £ , Знайдіть s i n f , cosf і t g f . 4 £i Ct Ct Ci 26.23.° Знайдіть: 1) sin 15°; 3) tg 75°; 5) tg 112°30'; 2) cos 15°; 4) cos 75°; 6) tg g. 26.24.° Спростіть вираз: 1 . sin 3a cos 3a 1 1) ІГГ^Г» "і , a . a ctg--tg- 214
- 215. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів 3) (tg а + ctg а) sin 2а; 1 1 tg2atgq tg 2а - tg а ' 4) 1 - tg а 1 + tg а ' 7) . 4 4 2 sin а-cos а + соз а . 2(l-cosa) 5) 4tg a(l-tg а) (l + tg2 a)2 ' 26.25. Спростіть вираз: . cos 6a sin 6a 1) ————h 8, 2 ^ ( 1 - 1 ) ^ ( ^ 1 ) . 2) sin 2a cos 2a' 2 cos 2a ctg a - tg a ' 4) cos a cos a sin 2a; 1 + sina 1-sina,/ 5) (ctg a - ctg 2a) sin 2a; 3) t g " j tga 6) cos2a + l-cos a cos 1 + tga 1-tga' 26.26.' Доведіть тотожність: 1) cos2 - 2a) - cos2 +2a)-sin 4a; 2) 1 + 2 cos 2a + cos 4a = 4cos2 a cos 2a; 1-cos 4a 1 +cos 4a _ ö > —Г5 + — cos 2a-1 sin 2a-1 .ч 1 + sin 2a - cos 2a , 4) r— — = tg a; 1 + sin 2a + cos 2a „ sin2 2a+4 sin2 a-4 і . 4 5) -2 = — ctg a; 1-8 sin a-cos 4a <ь ( § 4 6) (1 + cos 2a) (1 + cos 4a) cos 4a +1 1 . 7) = - sm 4a; ctg a - tg a 2 2cos2a-sin4a 2 2cos2a + sin 4a 26.27/ Доведіть тотожність: 1) s i n 2 ( ^ - 4 a ) - s i n 2 ( ^ + 4 a ) = - sin8a; 2) 1 - 2cos 3a+cos 6a = -4 sin2 ^ cos 3a; 215
- 216. § 4. Тригонометричні функції sin2 ( - i ) і ctg ( f - 2 a)+tgl 3) — - = sin 8а; <sui 2sina-sin2a , »a 4) = tg —. 2sina + sin2a 2 26.28/ Доведіть, що tg 15° + ctg 15° = 4. 26.29.* Доведіть, що tg 75°-ctg 75° = 2л/з. 26.30.* Доведіть тотожність: , ч cos3 a-cos За sin3 а + sin За „ „. sin3 а + sin За 1) + : = 3; 2) — з — = ctga. cosa sina cos a-cosЗа „ „ „ , . „ . . sin3a + 4sin3 a cos За-cos3 а 26.31. Доведіть тотожність ~— = —. cos За - 4 cos а sin За + sin а Л 26.32.* Дано: sin 2a = 135° < a < 180°. Знайдіть sin a. СІ 26.33.'Дано: s i n a - - ^ , 90°<|<135°. Знайдіть cos^. Сі Ct СІ 26.34.* Дано: t g ^ = 6. Знайдіть sin a - cos a. A 26.35.* Обчисліть 2-13cos2a+———, якщо ctga = --. sin 2a 5 26.36.* Обчисліть 1+5 sin 2a — , якщо tg a = -2. cos 2a 26.37.* Знайдіть sin 2a, якщо cos a + sin a = 3 26.38.* Знайдіть sin a, якщо cos— -sin— = --, 2 2 2 26.39." Спростіть вираз: -IV 4„ о • а 2„ і • 4 j sin2 2a + 4 sin4 a - 4 sin2 a cos2 a1) cos4 a - osura cos^a + sura; 4) - ; 4 - sin 2a - 4 sin a cos 2a 2 cos2 a-1 2) ^ ^ ; 5) ctg a - sin 2a' 2 ctg(^-a) sin2 (j-a)' 2 sin 4a (1-tg2 2a) 2sin2 4a-lü a i i L i u ^ - i g g j 1 + c t g 2 + 2a) 2 ctg + 4a) cos2 - 4a) 216
- 217. 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів 26.40.* Спростіть вираз: cos 2а . 1) - 2) sin2 2а (ctg2 а - tg2 а)' sin2 За cos2 За. „2 3) sin а cos а cos а 4) 5) 6) sin2 (a-я)i-4cos3 1 (Зя a] і 2 г)1 cos2 1' sin ( H -4 + 4cos2 I sin (-J + a) ( и ) sin За cos а - cos За sin а ' t g ( f - 4 a ) 3 i n 2 ( f - + 4a) l-2cos2 4a 26.41." Доведіть, що: 1) sin 18° cos 36° = і ; 4 2) 8cos—cos—cos— = 1; ' 9 9 9 «і я 47t 5я 1 3) cosycos—cosy = 4) sin 6° sin 42° cos 12° cos 24° = 5) cos а cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a cos 32a - sin 64a 64 sin а' 26.42." Доведіть, що: 1) sin 54° cos 72°--; 4 3) cos 3a cos 6a cos 12a = sin 24a _ 8 sin 3a' о я 2л 4я і п 2я Зя 2) 8 cos—cos—cos— = -1; 4) cos—cos — cos— 7 7 7 15 15 15 26.43." Виразіть через cos 4a: 1) sin4 a + cos4 a; 2) sin8 a + cos8 a. 26.44." Обчисліть sin® a + cos® a, якщо a = —-. 24 26.45.** Доведіть тотожність: 1) З -I- 4 cos 4a + cos 8a = 8 cos4 2a; nv cos2 (4a~3jt)-4cos2 (2a-я) + 3 , 4 „ 7л 1 •cos — = —-. 15 128 cos2 (4a + 3n) + 4 cos2 (2a + л) -1 3) 4 sin4 1[2a ?)1 sin4 j|2a-~J + cos4 | ( I • — 2aJ1 - 1 = -2 ctg2 2a. 217
- 218. § 4. Тригонометричні функції 26.46." Спростіть вираз: 3 + 4cosa + cos2a сов4 a-sin4 a-cos2 aU T T W O W T U J B Ö U Л^ 1) „—. — 3 ) 2) 3-4 cos a + cos 2a' 2(cosa-l) cos4 (a — я) І І cos і/ Зи . Л 3jt ' І ~ Т / m Г + Т Г 1 26.4%." Спростіть вираз: 1) ^/(ctg2 a-tg2 a)cos2a • tg2a, якщо ~ < a < ^ ; „. / s i n 4a і , 3it 2) J + 1, якщо — <a<7r. ]j ctg a - tg a sin 2a 4 26.48." Спростіть вираз: 1) y/(ctg a - tg a) 2 ctg 2a • tg 2a + 2, якщо I cos 2a n Зя2 ) J — І якщо -<a<-—. у ctg ot — tg a 2 4 26.49." Доведіть тотожність:О - » і ) 4s in a sin (60° - a) sin (60° + a) = sin 3a; 2) 16 sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3; 4 sin 20" sin 50° sin 70° _ 1 6 ) sin 80° 26.90." Доведіть тотожність: O-m і ) tg a tg (60° - a) tg (60° + a) = tg 3a; 2) tg20° tg40°tg80° = л/3. 26.51." Доведіть тотожність sin 3a sin3 a + cos 3a cos3 a - cos3 2a. 26.52."* Доведіть тотожність sin3 2a cos 26.53." Спростіть вираз: З sin3 2a cos 6a + cos3 2a sin 6a = - sin 8a. 1) yjo, 5 + 0,5 $0,5+0,5cos a , якщо 0 < a < л; ... cos a sin a n o „ ^ n n o 2) r = - . = , якщо 0° < a < 90°; $ I-cos 2a y]l + cos 2a sin (45° + ^] sin (45°-^ I 3) / 2 1 ,v 2 / , якщо 0° < a < 90° $ 1-sina ^ l + sina 218
- 219. 27. Формулидля перетворення суми і рівниці тригонометричних функцій удобуток 26.54." Спростіть вираз: 1) ^2 + J2-+2cos4а, якщо 0 < а < | ; 2) ^0,5 + 0,5y/0,5 + 0,5j0,5+0,5cosa , якщо 0 < а < ті; 3) J l + s i n s i n ф , якщо ^ < ф < Л . СІ 26.55." Знайдіть sin 2а, якщо 2 t g 2 a - 7 t g a + 3 = 0 i Y < a < 4 f ' 1 а26.56." Дано: sina + cosa = -. Знайдіть tg—.Э СІ 26.57.* Обчисліть sin 18°. 26.58.* Доведіть, що sin 10° — ірраціональне число. 26.59.* Доведіть, що cos 20° — ірраціональне число. 26.60 * Доведіть рівність І2 +V2 + V2 + V... +^2 =2cos-£7 . iL п радикалів ИФормули для перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток Спочатку розглянемо формули, які дозволяють перетворити суму та різницю синусів (косинусів) у добуток. Запишемо формули додавання для синуса: sin (х + у) - sin X cos у + cos X sin у, (1) sin (х - у) = sin X cos у - COS X sin у. (2) Додаючи почленно ліві і праві частини цих рівностей, отри- маємо: sin (jc + у) + sin (х - у) = 2sin X cos у. (3) Введемо позначення: X + у = а, ж - У = р. Звідси X = у = •-—Зазначимо, що а і ß можуть набува- Сі Сі ти будь-яких значень. Тоді рівність (3) можна переписати так: , . ß „ . a + ß a-ß sin a+sin ß = 2 sin д cos — ~ Цю тотожність називають формулою суми синусів. 219
- 220. § 4. Тригонометричні функції Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2): sin(je + у) - sin(je - у) = 2cosx siny. Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отри- маємо рівність, яку називають формулою різниці синусів: - п о - a-ß a+ß sm a - sin ß = 2 sin cosA £t Запишемо формули додавання для косинуса: cos (х + у) = COS X cos у - sin X sin у , cos ( х - у ) = COS X cos у + sin X sin у. Додаючи І віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отри- муємо: cos (ж + у) + cos (х - у) = 2 cos X cos у; (4) cos (JC + у) - cos (Л; - у) = -2 sin х sin у. (5) Звідси, ввівши позначення і + ji = a і ї - J/ = ß» отримаємо відповідно формули суми і різниці косинусів: „ „ a + ß a - ß cos a+cos ß = 2 cos g cos—~ „ „ . a + ß . a - ß cos a - cos ß = -2 sm sin -— - Перетворимо у добуток вираз tg a + tg ß. Маємо: „ sin a sin ß sin a cos ß + cos a sin ß sin (a + ß) tga+tg ß = + - v - K cos a cos ß cos a cos ß cos a cos ß Рівність tg a + tg ß = sin ( a + ß) cos a cos ß називають формулою суми тангенсів. Аналогічно можна довести такі три рівності: t g a - t g ß = sin ( a - ß) cos a cos ß ctga+ctgß = ^ ^ ° r sin a sin ß sin ( ß - a ) ctg a - ctg ß = sin a sin ß їх називають формулами відповідно різниці тангенсів, суми котангенсів, різниці котангенсів. 220
- 221. 27. Формулидля перетворення суми і рівницітригонометричних функцій удобуток ПРИКЛАД 1 Перетворіть у добуток: 1) 1 + tg а; 2) ІЗ - 2 sin а. Розв'язання sin Ij + а| $2 sin + aj cos a cos—cos a 4 *1) l + t g a = tg-+tga = - 4 і 2) л/з-2 sin a = 2 sin a j = 2 |sin-|-sm aj - я _ я = 2-2 sin——— cos = 4 sin - cos (— + —]. 2 2 - 6 2/ 6 212 2 • 6 2j ПРИКЛАД 2 Перетворіть у добуток вираз sin 3a + sin 5a + sin 7a. Розв'язання. Перетворимо суму sin 3a + sin 7a у добуток. Маємо: sin 3a + sin 7a + sin 5a = 2 sin 5a cos 2a + sin 5a = 2 sin 5a|cos2a + ^j. 1 я Подамо - як cos—. Маємо: 2 З 2 sin 5a cos 2a + -1 = 2 sin 5a [ cos 2a + cos--1 = 2 sin 5a cos 2a + cos-1 = 2) I ЗI = 2 sin 5a • 2 cos |a+^J cos |a- ^J = 4 sin 5a cos |a+^J cos |a- ~J. • ПРИКЛАД Э Доведіть тотожність sin2 (a + ß) ~ sin2 (a - ß) = = sin 2a sin 2ß. Розв'язання. Застосуємо формули пониження степеня, потім перетворимо отриману різницю косинусів: . 2 / , Q1l . 2, Q. 1-cos(2a + 2ß) l-cos(2a-2ß) sin2 (a + ß) - sm2 (a - ß) = ^ — = _ 1 - cos (2« + 2ß) -1 + cos (2a - 2ß) cos (2a - 2ß) - cos (2a + 2ß) _ 2 2 . 2a-28 + 2a + 2ß . 2a-2ß-2a-2ß . _ . 0 0 = — sm — sin - = sin 2a sin 2ß. • 2 2 ПРИКЛАД 4 Доведіть, що коли a + ß + у = я, то: sin2 a + sin2 ß + sin2 у = 2 + 2 cos a cos ß cos y. „ , , 2 • 2n • 2 1-cos 2a 1-cos 28 . 2 Розеязання. sin a + sin ß + sm y = + — — ^ s i n y = О Л , cos2a + cos2ß . я , , щ / n і г -1 1 + у - 1 _c o s (a + ß)c o s ( a _ ß)+1 - cos у = 221
- 222. § 4.Тригонометричні функції -2 - cos (Я - У) COS (a - ß) - cos2 У = 2 + cos У cos (a - ß) - cos2 У - = 2 + cos у (cos (a - ß) - cos у) = 2 + cos у (cos (a - ß) - cos (я - (a + ß)>) = = 2 + cos у (cos (a - ß) + cos (a + ß)) = 2 + 2 cos у cos a cos ß. • ПРИКЛАД 5 Обчисліть суму: S = -1 - --+ -і—-+...+ і - , п > 1. cos 1 cos 2 cos 2 cos 3 cos (n -1) cos n Розв'язання. Використаємо тотожність tgft-tg(fc-l) = або cos (А -1) cos k 1 _-tg(A-l) + tgÄ cos (k -1) cos k sin 1 Скориставшись отриманим результатом, запишемо такі рівно- сті: 1 _ -tg 1 + tg 2 _ cos 1 cos 2 sin 1 ' 1 _ -tg 2 + tg 3 _ cos 2 cos 3 sin 1 ' 1 ^-tg3 + tg4. cos 3 cos 4 sin 1 * 1 -tg (ra-l) + tg n cos (n -1) cos n sin 1J . Додавши дані рівності, отримаємо: р _ -tg 1 + tg 2 - tg 2 + tg 3 - tg 3 + tg 4 -... - tg (w -1) + tg n _ -tg 1 + tg n Відповідь: S = sin 1 sin 1 tg n - tg 1 sin 1 I Вправи 27.1. Перетворіть у добуток: 1) cos 2a - cos 4a; 5) cos|-+aJ+cos|^-aJ; 2) sin ß + sin 4ß; 6) tg a - tg (a - 30°); 3) c o s ^ + cos-^-; 7) ctg (45° - a) - ctg (45° + a). 18 12 4) ctg 5a - ctg a; 222
- 223. 27. Формулидля перетворення суми і рівницітригонометричних функційудобуток 27.2.* Перетворіть у добуток: 1) cos 16° - cos 36°; 2) sin 28° + sin 12°; 3) cos За + cos 5а; 4) ctg 55° - ctg 15°; 27.3.° Перетворіть у добуток: 1) sin 20° + cos 20а ; 2) cos|-sin|; 27.4.* Перетворіть у добуток: 1) sin 25° + cos 55°; 2) cos 22° - sin 66°; 27.5/ Спростіть вираз: 5) sin (a + ß) - sin (a - ß); 6) sin(|+a) + sin(|-a); 7) cos(| + a)-cos(f-a). 3) sin a - cos a; 4) sin a - cos (a - 60°). 3) sin a 4- cos ß. 1) sin 8a + sin 2a cos 8a + cos 2a' 27.6/ Спростіть вираз: cos 6a + cos 4a 1) cos a + cos 9a 2) 2) sin 5a - sin a _ cos 5a-cosa' cos a - cos 1 la sin 1 la - sin a 3) 3) cos 74°-cos 14° sin 74° + sin 14°' cos 58° +cos 32° sin 58° + sin 32°' 27.7." Перетворіть у добуток: 1) 1 - 2 cos a; 2) /3+2cosa; 27.8." Перетворіть у добуток: 1) 1 - 2 sin a; 2) -s/3-2cosa; 27.9." Доведіть тотожність: 3) 1-л/2 sin а; 4) л/з + ctga. 3) >/2+2cosa; 4) ТЗ-tgа. 01 9а 1) cos За - cos 4а - cos 5а + cos 6а - - 4 sin—sin a cos—; 2 2 2) cos +4а)+sin (Зл - 8a) - sin (4л - 12a) - 4cos 2a cos 4a sin 6a; 3) cos2 a - cos2 ß = sin (a + ß) sin (ß - a); .. sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a , . 4) - = tg 4a; cosa + cos 3a + cos5a+cos 7a 223
- 224. § 4. Тригонометричні функції 2(ein 2a + 2cosz a-l) _ 1 cosa-sin a-cos3a + sin 3a sina' 1 + cos a + cos 2a + cos 3a _ b) ~2 cos a; cosa + 2cos a-1 7) (cos a - cos ß)2 + (sin a - sin ß)2 = 4 sin2 ——- • Q. (sin a - cos a)2 -1 + sin 4a o) — — — tg a; cos 2a + cos 4a nv F sina cosa ^ cos a-cos 7a . . „ 9) — ——T = -4 sin 3a; a j cos a-cos 2a ) sin asin 2a cos 2a (cos a - cos 3a) (sin a + sin 3a) . n 10) — і = sin 2a; l-cos4a sin(2a + 2jc) + 2sin(4a-7t) + sin(6a + 4n) . 4 11) — 1 - 1 4 --tg4a. cos (6n - 2a) + 2 cos (4a - 7i) + cos (6a - 4л) 27.10." Доведіть тотожність: 1) sin 5a + sin 6a + sin 7a + sin 8a = 4 cos — cos a sin 2 2 ot 3a 2) sin a+sin 3a - sin 2a = 4 sin —• cos a cos—; Jи Li 3) sin a + sin ß + sin (a - ß) = 4 sin ^ cos ~ cos J-; Сі Ci Li 4) sin2 a - sin2 ß = sin (a + ß) sin (a - ß); cos a - cos 2a-cos 4a+cos 5a . „5) ~ — — - = ctg3a;sin a - sin 2a - sin 4a + sin 5a sin a - sin 3a - sin 5a + sin 7a , „ 6) = -tg2a; j cos a - cos 3a + cos 5a-cos 7a 7) (sin a+sin ß)2 + (cos a+cos ß)2 = 4 c o s 2 ^ - ; Ct gj sin 2a cos 4a (1 +cos 2a) 1. (sin 3a+sin a) (cos 3a + cos 5a) 2' o v (sin 4a cos 4a V 1 , 1 ^ . , 9) — . _ _ _ + _ — =4ctg a. ^ sma cosa Дsin3a smuJ 27.11." Доведіть тотожність: 1) ctg 6a - ctg 4a + tg 2a = -ctg 6a ctg 4a tg 2a; 2) —T—— —— = ctg 4a; tg3a + tga ctg 3a + ctg a 3) t g a + ctga+tg3a + ctg3a = ^ 4 ^ . sin 6a 224
- 225. 27. Формулидля перетворення суми і рівницітригонометричнихфункцій удобуток 27.12." Доведіть тотожність: 1) tg За - tg 2а - tg а = tg а tg 2а tg За; 2) — — - — = sin 2а. tg За + tg а tg 5а - tg а 27.13." Доведіть тотожність: 1) l+sina + cosa = 2 ^ c o s ^ c o s l ^ - - ; 2 2 4/ 1 + cos (4а-2тс) + со8І4а- ^ 2) -4 ^ = ctg 2а; 1 + cos (4а + л) + cos 14а + — 1 оч • г/і5л 0 г/і7я 0 c o s 4 3) sm 2aJ-cos | _ - 2 в ) = — ^ /5л , . г(15л , $2 • 4а 4) cos —-+а -sin +а =-^sin2a. 2 27.14." Доведіть тотожність: 8 cos 20° 1) l-2cosa + cos2a = -4cosasin2 ^; 2) l-sina-cosa = 2>/2sin|sin(|-450 ); on • z/Эл ^ . г / і 7л sin2a 3) sin + аJ - sin (~g а j ~ " 27.15." Доведіть рівність tg30° + tg40° + tg 50° + tg60°=: n . v3 27.16." Доведіть, що коли а + ß + у - к, то має місце тотожність: А 0 У 1) sina + sinß + sinY = 4cos — cos^cos^; £ 2t 2t 2) sin 2а + sin 2ß + sin 2y = 4 sin а sin ß sin y; а & у 3) cos а + cos ß + cos у -1 + 4 sin — sin ^ sin 2 2 2 4) cos 2a + cos 2ß + cos 2y = -1 - 4 cos a cos ß cos y; 5) sin2 а + sin2 ß - sin2 у = 2 sin a sin ß cos y. 27.17." Доведіть, що коли a+ß+y = 7t, то має місце тотожність: 1) sin 4a + sin 4ß + sin 4y = -4 sin 2a sin 2ß sin 2y; „. „ л . a + ß a + y ß + y 2) cos a + cos ß + cos у = 1 + 4 cos ——— cos cos ; £t 2t Ct 3) cos2 a + cos2 ß + cos2 у = 1 - 2 cos a cos ß cos y. 225
- 226. § 4.Тригонометричні функції It 27.18." Доведіть, що коли ot+ß+Y =—, то має місце тотожність: cos2 а + cos2 ß + cos2 у = 2 + 2 sin а sin ß sin y. 27.19.* Обчисліть суму S = - L - r - + . д 1 . „ +...+•sin а sin 2а sin 2а sin За sin (n -1) а sin na 27.20.* Обчисліть суму S = - 1 sin 1 sin 3 sin 3 sin 5 sin (2n -1) sin (2n +1) 27.21.* Обчисліть суму с 1 І 1 , Ї + ' . , 1 +„ 1 1 + 1 27.22.* Доведіть існування такого многочлена Р степеня л, що для всіх X є R виконується рівність cos пх = Р (cos х). 27.23.* Доведіть існування такого многочлена Р степеня 2л - 1, п є N, що для ВСІХ X є R виконується рівність sin (2л - 1) X = Р (sin де). 27.24.* Відомо, що числа sin 2а, sin 5а і sin 7а є раціональними. Доведіть, що sin 12а — також раціональне число. ВФормули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму У п. 27 під час доведення формул суми та різниці синусів (косинусів) було отримано тотожності: sin (ж + у) + sin (х ~ у) - 2 sin X cos у; cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos X cos у; cos (х + у) — cos (х - у) = -2 sin X sin у. Перепишемо їх так: sin X cos у -І (sin (ж -y) + sin(x + y)) COS X cos у =1 (cos (х --y)+cos (x+y)) sin X sin у =і (cos (аг-y)-cos(x+p)) 226
- 227. 28. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму Ці тотожності називають формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму. ПРИКЛАД 1 Перетворіть добуток у суму: • 1) sin 15° cos 10°; 3) cos et cos За; 5) 2 sin 2а cos 5а. 2) sin sin £ ; 4) 2 sin (a+ß) cos (a-ß); 12 8 Розв'язання 1) sin 15° cos 10° = - (sin (15° -10°) + sin (15°+10°)) = | (sin 5°+sin 25°); Ct £ „і . к . я 1 ( Ik it In к Vi 2) s m — s i n - = - cos — -— -cos —+— = ' 12 8 2^ U2 8/ 12 81) 1 ( I к 5 И l | к 5я = — cos • —cos— —— cos cos—; 2 V 24/ 24) 21 24 24Г 3) cos a cos 3a = і (cos (а - 3a)+cos (a+3a)) = ^ (cos 2a+cos 4a); Lt IС 4) 2sin (a+ß) cos (a-ß) = 2-^ (sin(a+ß-a + ß)+sin(a + ß + a-ß)) = Ct - sin 2ß + sin 2a; 5) 2 sin 2a cos 5a = 2 • ^(sin (2a - 5a)+sin (2a + 5a)) - tu = sin (-3a) + sin 7a = sin 7a - sin 3a. • ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність1 : 4 cos a cos (60° - a) cos (60° + а) = cos За. Розв'язання. Двічі застосовуючи формулу перетворення добутку косинусів у суму, отримуємо: 4 cos a cos (60° - a) cos (60° 4 a) - = 2 cos a (cos (60° - a - 60° - a) + cos (60° - a + 60° + a)) = = 2 cos a (cos 2a + cos 120°) = 2 cos a |cos 2a - ~) = - 2 cos a cos 2a - cos a = cos a + cos 3a - cos a = cos 3a. • ПРИКЛАД 3 Доведіть тотожність sin2 2a - cos ~ 2a) sin | 2 a = Розв'язання. Застосуємо формули пониження степеня і пере- творення добутку в суму: sin2 2a - cos,(ї-2а)вш(2а-Д) = 1 Іншим способом ця тотожність була доведена в п. 26. 227
- 228. § 4. Тригонометричні функції 1 - cos 4а = i f l-cos4a-sin 4 a ~ 5 l ~ s i n ? l = 4a+cos4a-^j = i . 2 V 21 6 J 2 2 / 4 ПРИКЛАД 4 Доведіть рівність л Зл , 5л 7л, 9it 1 COS—7 + COS~r + COS-— + COS— + COS——" - -. 11 11 11 11 11 2 Розв'язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної рівності на 2 sin ^Ч Отримуємо: о . л я , „ . л 3л „ . л 5л „ . л 7я « , л 9л 2вт—cos— + 2sin—cos + 2sin—cos— + 2sin cos—- + 2sm •--cos— 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 „ . л ї ї Застосуємо формулу sin a cos ß = ^ (sin (a - ß) + sin (a + ß)): Ck . 2 л . 2 л . 4л . 4 л . 6 л . 6 л . 8 л . 8 л . 10л sin-•- -sin ^ - + sin — -sin-^ + sin ^ -sm — + sin —-sin— +sin—~ „ . л 11 . Юл . л s i n — s i n _ t ^ n • л ~ . л 2 2 sin— 2sin-^ ПРИКЛАД 5 Доведіть нерівність s i n ^ s i n ^ s i n ^ < ^ , 2 2 2 8 де a + ß + у = л. Розв'язання. За умовою у = я - (a + ß). Тоді . а . ß . y . a . ß . f j t a + ß^ . а . ß a + ß sm— sin—sin— — sin— sin- sin = sin— sin—cos = 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 11 a-ß a + ß a + ß l( a-ß a + ß 2 a + ß = — cos—- - cos — c o s — - = — cos——— COS ' - cos - = 2 2 2 I 2 2 2 2 2 I l f l 2a-ß f 1 „ a-ß a + ß Y l l l = — — cos — - - - cos - - cos —— К - • — cos < 2 14 2 V 2 2 2 J J 2 4 2 8 „ . а . ß . Y ^ 1 Отже, sm— sin - sin-<—. • 2 2 2 8 228
- 229. 28. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму Ц Вправи 28.1/ Перетворіть добуток у суму: ' 1) cos 15° cos 5°; 4) sin 48° sin 74°; 2) 2 cos (a + ß) cos (a - ß); 5) sin (60° + a) sin (60° - a). 3) sin 6a cos 4a; 28.2.' Перетворіть добуток у суму: 1) 2 cos ^ cos 3) sin 5a cos 3a; 2) sin 28° sin 24°; 4) sin (|+aj sin 28.3/ Спростіть вираз: 1) 2 cos 20° cos 40° - cos 20°; 2) sin a (1 + 2 cos 2a); 3) 2 cos a cos 2a - cos 3a; 4) cos 2a+2 sin (a + 30°) sin {a - 30°). 28.4.' Спростіть вираз: 1) 2 sin 2a sin a + cos 3a; n. . n • (a n la к 2) sin a - 2 sm - —J cos + — j. 28.5." Доведіть тотожність: 1) sin a sin 3a + sin 4a sin 8a = sin 7a sin 5a; 2) sin + 5aj cos +2aJ - sin +aj sin - 6aJ = sin 4a cos a. 28.6.' Доведіть тотожність: 1) cos 3a cos 6a - cos 4a cos 7a = sin 10a sin a; 2) 2 cos I sin + 15°) cos -15°)=sin ( 4 5 ° + c o s (45° - 28.7.* Спростіть вираз: 1) sin2 a+cos|^-aJcos|^+aJ; 2) cos2 a + cos2 ß - cos (a + ß) cos (a - ß); 3) cos2 (45° + a) - cos2 (30° - a) + sin 15°sin (75° - 2a). 28.8.* Спростіть вираз: 1) sin2 a + sin2 ß + cos {a + ß) cos (a - ß);2) cos2 (45° - a) - cos2 (60° + a) - sin (75° - 2a)cos 75°. 28.9.*" Доведіть рівність: ' 7 7 7 2 чіп 2) sin 10° +sin 20°+... +sin 50° = ' 2 sin 5° 229
- 230. § 4. Тригонометричні функції _ Q _ I _ -t 28.10." Доведіть рівність cos—+ cos—+ ... + cos-jy = -. 28.11.* Доведіть рівність: 2л 4л 2(п-1)л 2лп „ cos н cos — +... + cos + cos = О; п п п п 28.12.* Доведіть рівність cos — + cos +...+cos — — ' — - 0. n n n 28.13.* Обчисліть суму: 1) S = cos a + cos 2a + ... + cos na; 2) S = sin a + sin 3a + ... + sin (2n ~ 1) a; 3) S = sin2 a + sin2 2a + ... + sin2 na. 28.14.* Обчисліть суму: 1) S = cos a + cos 3a + ... + cos (2n - 1) a; 2) S = sin 2a + sin 4a + ... + sin 2na; 3) S = cos2 a + cos2 3a + ... + cos2 (2n - 1) a. 28.15.* Доведіть нерівність cos a cos ß cos у < ^ , де a, ß, у — кути трикутника. Гармонічні коливання У попередніх пунктах ви ознайомилися з тригонометричними функціями у = sin X, у = cos X та їх властивостями. Розглядаючи графіки цих функцій, можна згадати, що в повсякденному житті ви бачили схожі криві та поверхні. Наприклад, хвилі на морі мають форму, що нагадує синусоїду. І це не випадково. Багато фізичних величин періодично змінюються і можуть бути описані за допомогою тригонометричних функцій у - A sin (kx + а) або у — A cos (kx + а), де A, A, a — задані числа, А Ф 0, k * 0. У тако- му випадку говорять, що фізична величина здійснює гармонічне коливання, а відповідну тригонометричну функцію називають функцією гармонічного коливання. Розглянемо рух точки зі сталою ненульовою швидкістю У по одиничному колу (рис. 29.1). Нехай початкове положення точки задається кутом а, тобто в початковий момент часу точка має координати М0 (cos a; sin а). За час t точка пройде по дузі кола відстань vt. З означення радіанної міри кута випливає, що довжина дуги одиничного кола, по якій перемістилася точка, 230
- 231. 29. Гармонічні коливання V ^ ҐҐ( E t + a > М 0 ( с о в ( У і eint ?V)OL V _ О •• • - і / Х ; V ( c o e ( r t + a c sm(L* + a » X . Р и с . 2 9 . 1 Р и с . 2 9 . 2 дорівнює куту повороту початкової точки MQ. Тому через час t положення точки визначатиметься кутом vt + а, а отже, точка матиме координати М (cos (vt + a); sin (uf + а)). Бачимо, що кожна координата точки, яка рухається колом, визначає функцію гармонічного коливання: X = cos (vt + а), у = sin (vt + а). У 8 класі в курсі фізики ви вивчали коливальний рух, зокрема рух математичного маятника (рис. 29.2). На уроках фізики буде встановлено, що відхилення маятника від положення рівноваги визначається функцією у = A cos т де А величина від- хилення маятника від вертикалі у початко- вий момент часу, g — стала прискорення вільного падіння, І — довжина нитки маят- ника, t — час. Таким чином, коливання математичного маятника — приклад гармо- нічного коливання. Гармонічні коливання також можна спо- стерігати при коливанні гирьки з пружиною; слухаючи музику, адже при цьому в повітрі утворюються звукові хвилі; граючи на гіта- рі, бо струна набуває форми, близької до си- нусоїди; вивчаючи роботу електроприладів, оскільки змінний електричний струм також описується тригонометричними функціями, та в багатьох інших випадках. Якщо у функції гармонічного коливання у = A sin (kx + а) або у - A cos (kx + а) числа А і k є додатними, то число А називають амплітудою гармонічного коливання, а число k — циклічною частотою гармонічного коливання. 231
- 232. § 4. Тригонометричні функції Оскільки тригонометричні функції у = A sin (kx + а), у -A cos (kx + а), де А — додатне число, набувають значень з про- міжку [-А; А], то амплітуда гармонічного коливання показує найбільше значення функції гармонічного коливання. Оскільки головний період функцій у = A sin (kx + а), у = 2% -А cos (/ех + а), де k — додатне число, дорівнює — , що в k разів k відрізняється від головного періоду функцій у = sin X і у = COS X, то циклічна частота k показує кількість головних періодів функ- ції гармонічного коливання в одному періоді функції у - sin х або у = cos X. Гармонічні коливання грають значну роль при вивченні бага- тьох процесів. При цьому намагаються подати функцію складно- го періодичного процесу як суму кількох функцій гармонічних коливань, які вважаються простішими. Наприклад, функцію, що описує складний музичний акорд, можна подати як суму функцій гармонічних коливань окремих нот, що складають цей акорд. На цьому принципі працюють багато технічних пристроїв. Так, деякі типи радіопередавачів кодують інформацію у вигляді окремих гармонічних коливань, випромінюючи у простір хвилю, що є їх сумою. В іншому місці радіоприймач виконує зворотний процес — подає отриманий сигнал як суму окремих гармонічних коливань, що дозволяє відтворити передану інформацію. Розділ математики, який вивчає гармонічні коливання, нази- вають «Гармонічний аналіз». Якщо ви пов'яжете своє майбутнє з математикою, фізикою, технікою, то зможете ознайомитися з цим розділом у вищому навчальному закладі. ПРИКЛАД 1 Укажіть амплітуду Л і циклічну частоту k гармоніч- ного коливання, яке задається функцією: 1) у = —3 sin — 4JC); 2) y - _ e o o . ( f - f ) . Розв'язання 1) Можна записати: у— —3 s i n j l - 4х) - 3 sin (4* - Отже, А = 3, k = 4. 2) Маємо: Отже, А = 6, k = . • Л 232
- 233. 29. Гармонічні коливання ПРИКЛАД г Доведіть, що функція у - 3 sin 2х + 4 cos 2х е функ- цією гармонічного коливання. Розв'язання. Запишемо вираз 3 sin 2х + 4 cos 2х у вигляді '4¥742 - sin 2х + - -сов 2х ,Л/З2 +42 Л/З2 +42 Оскільки =1, то існує З . 4 такии кут а, що cosa = -, smoc = - 5 5 (рис. 29.3). Тоді маємо: у = 5 (sin 2х cos а + cos 2х sin а) = = 5 sin (2х + а). Отже, дана функція є функцією гар- монічного коливання, амплітуда якого дорівнює 5, а циклічна частота коли- вання — 2. • - є -sin 2х + —cos 2xj. У' / 5 м / 1 3 4") 5 ' 5 ) Л І V0 . ° Ті X Р и с . 2 9 . 3 Г Вправи 29.1." Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли- вання: 1) у = 2,6 sin Зпх; 2) j/ = 4cos(|-l). 29.2.' Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли- вання: 1) у = 0,6 cos (271* - 3); 2) у = 8 sin (7* + ^ J . 29.3.* Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли- вання: 1) у = -2 sin (б 2) у = -1,5 cos (-5*- 29.4.' Укажіть амплітуду і циклічну частоту гармонічного коли- ВЙ.ННЯ* 1) у = - 3 S i n ( - 7 1 * - 2 ) і,=-Icos(-7*-у). 29.5."* Доведіть, що функція у = 2 sin Зх - cos Зх є функцією гар- монічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту цього коливання. 233
- 234. § 4. Тригонометричні функції 29.6." Доведіть, що функція у = 5 sin— +12 cos— є функцією гар- 4 4 монічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту цього коливання. Полярна система координат Вивчаючи математику, ви часто стикаєтесь з декартовими координатами на площині. Проте в математиці, фізиці, геогра- фії, астрономії тощо розглядають багато інших способів задания положення точки. Один з таких способів отримав назву полярна система координат. Нехай точка А на площині має декартові координати А (я; у). У полярній системі положення точки А також визначають два числа — її полярні координати (г; ф), але числа г і ф мають інший геометричний зміст. Число г дорівнює відстані від точки А до по- чатку координат, число ф — величині найменшого невід'ємного кута повороту, при якому додатний промінь осі абсцис перейде в промінь OA (рис. 29.4). Число г називають полярним радіусом, а число ф — полярним кутом. Зрозуміло, що полярний радіус г — невід'ємне число, а по- лярний кут ф задовольняє нерівність 0 < ф < 2л. Рис. 29.4 Рис. 29.5 Наприклад, якщо точка ß має декартові координати В (-2; 2), то в полярних координатах її положення визначатимуть числа г = 2 -72, ф = — (рис. 29.5). 4 Початок координат — точку О (0; 0) — у полярній системі координат задають рівністю г = 0, полярний кут ф для неї не визначають. т 234
- 235. Коли зроблено уроки ПРИКЛАД 1 У декартовій системі координат зобразіть точки, полярні координати яких задовольняють умову: Г ґ = 2 , •1) Ф = 2) г > 3; 3) ф= 4л 4' Розв'язання. 1) Умова г- 2 означає, що шукані точки лежать на колі радіуса г = 2 з центром у початку координат. На цьому колі існує лише одна точка X з полярним кутом ф = -у 4 (рис. 29.6). 2) Умова г > 3 означає, що відстань від точки до початку координат більша за 3. Тому шуканими будуть усі ті точки пло- щини, які не належать кругу радіуса г = 3 з центром у початку координат (рис. 29.7). 3) Розглянемо промінь OA, який утворює з додатним променем осі абсцис кут ф = (рис. 29.8). Усі точки цього променя, крім о 4л початку координат, задовольняють умову ф = — . Зрозуміло, що и жодна інша точка площини не задовольняє умову ф = - 4л О , v .'Д Рис. 29.6 о: Ж Рис. 29.7 Рис. 29.8 Використовуючи тригонометричні функції, можна знайти формули, що дозволяють переходити від полярних до декартових координат. Розглянемо точку P i x ^ y J одиничного кола, яку отримано з точки Р (1; 0) у результаті повороту навколо початку координат на кут ф. Використовуючи означення тригонометрич- них функцій, маємо 'je, = cos ф; уі = sin ф. л 235
- 236. § 4. Тригонометричні функції У' / г У у) Ж ! 1 / 1 / і А Ф У о І і( О II * ~1 / ІГ X (1) Тоді декартові координати точки Q (х; у), яка лежить на колі радіуса г і промені ОР (рис. 29.9), задовольняють рівності fx = r cos <р; [у = r sin ф. Отже, формули (1) дозволяють знайти декартові координати (ж; у) точки Q, відмінной від початку коор- динат, якщо задано її полярні коорди- нати (г; ф). Обчислити полярні координати точки за її декартовими координатами допомагають формули: Рис. 29.9 r = Jx2 +yz ; ХФО. Справді, з формул (1) маємо X2 + у2 = ( r cos Ф)2 + (г sin ф)2 - г2 ; У. X r sin Ф - ^ ф . Г COS Ф ПРИКЛАД 2 Коло з центром в точці М ( 1; 0) і радіусом R - 1 у декартових координатах має рівняння (х - І)2 + у2 = 1. Задайте це коло в полярних координатах. Розв'язання. Використовуючи формули (1), маємо (г cos ф - І)2 + (r sin ф)2 = 1, (r2 cos2 ф - 2г cos ф + 1) + г2 sin2 ф = 1, (г2 COS2 ф + г2 sin2 ф) = 2r COS ф, г2 = 2г cos ф. Звідси отримуємо, що дане коло в полярних координатах задає > = 0, г = 2 cos ф. перше рівняння сукупності г = 0 задає лише одну точку кола — початок коор- динат. Усі інші точки кола визначають- ся другим рівнянням г = 2 cos ф. Також зазначимо, що рівняння г - = 2 cos ф можна було отримати геомет- рично з прямокутного трикутника ОАВ (рис. 29.10). • сукупність Зауважимо, що Рис. 29.10 236
- 237. Коли зроблено уроки З полярними координатами ви могли зустрічатися на уро- ках географії, визначаючи положення предмета за відстанню та азимутом. В астрономії для визначення положення небесних тіл використовують системи координат, близькі до полярної. Цікаво зазначити, що полярну систему фактично використову- вали ще стародавні греки (Динострат, IV ст. до н. е.) на дві тисячі років раніше, ніж Рене Декарт винайшов звичну прямокутну систему. Проте термін «полярна система координат» з'явився лише в X I X ст. Можливо, найпростіше рівняння в полярній системі координат г = (р вивчав Архімед (III ст. до н. е.). Криву, що визначається цим рівнянням, називають спіраллю Архімеда (рис. 29.11). Вправи 29.7. Знайдіть декартові координати точки за її полярними ко- ординатами: У Рис. 29.11 237
- 238. § 4. Тригонометричні функції 29.8. Знайдіть полярні координати (г; ф) точки за її декартовими координатами: 1) А (0; 1); 2) В (і;7з); 3) С (cos a; sin а), а є [0; 2л). 29.9. Задайте в полярних координатах криву, яка в декартових координатах має рівняння: 1) X2 + у2 = 5; 2) у = х; 3) у = д:г ; 4) у = cos х. 29.10. Зобразіть фігуру, що задана в полярних координатах: 1) 9ф2 - 15яф + 4л2 = 0; 4) r cos ф = 1; 2) 5) г sin ф > -2; 3) 1 < г < 3; 6) г = cos ф. 29.11. Схематично зобразіть криву, яка в полярних координатах має рівняння: 1) r = Vф; 2) г = — (гіперболічна спіраль); Ф 3) г = 1 + cos ф (кардіоїда); 4) г = sin Зф (трипелюсткова троянда). 238
- 239. §5 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ ш РІВНЯННЯ COS Х~Ь Оскільки областю значень функції у = cos х є проміжок [—1; 1], то при I b І > 1 рівняння cos X = b не має розв'язків. Разом з тим при будь-якому b такому, що | b | < 1, це рівняння має корені, більш того, їх безліч. Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпре- тації: графіки функцій у = cos х і у = Ь, де | b | < 1, мають безліч спільних точок (рис. 30.1). Р и с . 3 0 . 1 Зрозуміти, як розв'язувати рівняння cos х = b у загальному випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, роз- в'яжемо рівняння cos де = На рисунку 30.2 зображено графіки функцій у = cos х і у = - . р II tijh- V? у = c o s X А о / —п X к У з -1 я V я з N. Рис. 30.2 239
- 240. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Розглянемо функцію у - cos X на проміжку [-я; я], тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рисунку 30.2). Пряма у = — перетинає графік функції 2 у - cos X на проміжку [-я; я] у двох точках Мг і М2, абсциси яких є протилежними числами. Отже, рівняння cos х = на проміжку £ [-я; я] має два корені. Оскільки cos І = cos — = то цими З / 3 2 ко- ренями є числа і З з Функція у = COS X є періодичною з періодом 2я. Тоді кожен з інших коренів рівняння COS ж = — відрізняється від одного із 2 знайдених коренів або — на число виду 2яп, п є Z. з з Отже, корені розглядуваного рівняння задаються формулами х = ~ + 2пп і х = -~ + 2пп, п є Z. З З Як правило, ці дві формули замінюють одним записом: х = ±~+2пп, п є Z. Повернемося до рівняння cos JC = Ъ, де I b I < 1 (рис. 30.3). На проміжку [-я; я] це рівняння має два корені а і -а, де а є [0; я] (при b = 1 ці корені збігаються). Рис. 30.3 Зрозуміло, що всі корейі рівняння cos X — b мають вигляд JC = ±а + 2ял, п є Z. Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль; знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння cos JC - B. Корінь а має спеціальну назву — арккосинус. Означення. Арккосинусом числа Ь, де | Ь < 1, називають таке число а з проміжку [0; я], косинус якого дорівнює Ь. 240
- 241. ЗО. Рівняння cos а: = Ь Для арккосинуса числа b використовують позначення arccos b. Наприклад, 1 7t , Я Г Л . її 1 arccos —= —, оскільки — є [U; 71J і cos —= —: 2 3 3 3 2 arccos 42 2 Зя • Зя ГЛ , . Зя V2 оскільки у є [ 0 ; п ] і c o s y = — — ; arccos 0 = у оскільки ^є[0;л] і cos^-O; arccos (-1) = 7і, оскільки ті є [0; ті] і cos ті = -1. Узагалі, arccos Ь = а, якщо а є [0; я] і cos а = Ь, Зазначимо, що, наприклад, cos)-—) = -. Проте arccos 3/ 2 2 3 оскільки -— Є [0;я]. З Тепер формулу коренів рівняння cos X = b, j b I < 1, можна записати так: X = ±arccos b + 27m, n є (1) Зазначимо, що окремі випадки рівняння cos х = b (для b = 1, b ^ O , b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 18). Нагадаємо отримані результати: COS X = 1 cos X = 0 COS X = -1 X = 2лп, п є Z 7С X = — + кп, п є Ъ 2 X = я + 2 я п , п є Z Такі самі відповіді можна отримати, використовуючи фор- мулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто. Тому радимо запам'ятати отримані результати. ПРИКЛАД І Розв'яжіть рівняння: 1) cos 4х = 2) cos йг+т)= Z о 4 / Z 3) cos [ f - T , ) - *; 4) cos пх = 1. Розе' ЯЗСІНН Я* 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати: &4x = ±arccos^- — + 2пп, п є Z. Далі отримуємо: 4 16 2 Відповідь: ±— + — п є Z. 16 2 241
- 242. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 4 Відповідь: ±п~ — + 6jm, п є Z. 4 3) Перепишемо дане рівняння у вигляді cos -О. Маемо: Відповідь: — +—, л є Z. 10 7 4) Маємо: тис2 = 2пп, л е й ; ж2 = 2п, п є Z. Оскільки X2 > 0, то 2п > 0, тобто п є N U {0}. Тепер можна записати х = уІ2п або x = -j2n, де п € NU {0}. Відповідь; ^2п, -УІ2П, пе N U {0}. ПРИКЛАД 2 Визначте кількість коренів рівняння cos х - b на Розв'язання. Зобразимо графік функції у = cos х на проміж- ку ^ j (рис. 30.4). Кількість коренів визначається кількістю точок перетину прямої у = b з виділеною червоною частиною графіка функції у = cos х. проміжку залежно від значень параметра b Z 2 0 Рис. 30.4 242
- 243. ЗО. Рівняння cos* = b Звернемо увагу на те, що точка (0; 1) належить виділеній (їй, Т і ї кривш, а точка — н е належить. . Розглядаючи різні положення прямої у = Ь, отримуємо такі результати: якщо b < -1, то коренів немає; якщо b = —1, то один корінь; якщо - 1 < і > < - ^ , то 2 корені; Vi якщо —— < b < 1, то один корінь; CT якщо b > 1, то коренів немає. Відповідь: якщо b < -1 або b > 1, то коренів немає; якщо b = -1 або < b < 1, то один корінь; СІ Ж якщо —1 < Ь < то 2 корені. Сі ¥ Вправи 30.1/ Розв'яжіть рівняння: 1) cosx = -; сі 3) cos;c = V i . 2 ' 2) cosx = 30.2 V i . 4) cos = —; Розв'яжіть рівняння: V i1) cos я = - у ; 1 3) cos x=— Vi. cosx = -~;2) 30.3/ Розв'яжіть рівняння: 1) ^ V i 4) cos X = —; ' 2 cos3« = --; CT 5 V i cos-JC = jl —; 6 2 3) cos = 1; 2) 30.4." Розв'яжіть рівняння: .. 2кх п 4) cos —— = 0; З 1) cos 2х-~: 2 о ч , V i2) cos — = —; 5) cos 6) cos я = - 7 . 4 5) С08Ж = -. 5) cos9;e=—|; a, 3) c o s ~ = ~l. 4 243
- 244. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 30.5.° Розв'яжіть рівняння: 1) cos(x + |) = ^ ; 3) cos(|-2) = -l; 2) cos(j-x) = - ^ ; 4) 2cos(|-3x) + l = 0. 30.6/ Розв'яжіть рівняння: 1) cos(|-4x) = l; 2) V2cos(| + 3) + l = 0 . 30.7/ Знайдіть найбільший від'ємний корінь рівняння cos = гг 30.8/ Знайдіть найменший додатний корінь рівняння cos — = ——. &30.9/ Скільки коренів рівняння cos Зх = — належать проміжку 2 п ~~2* 30.10/ Знайдіть усі корені рівняння cos|x + які задо- вольняють нерівність - ^ < х < 4 л . 30.11/ Розв'яжіть рівняння: 1) cos—= 1; 2) COSTIVX=-™; 3) cos (cos x) = і . 30.12/ Розв'яжіть рівняння: 1) c o s ^ r - — ; 2) cos (cos х) = — . ^ 2 2 30.13/ При яких значеннях параметра а рівняння cos 2х = = -4а2 + 4а - 2 має розв'язки? 30.14.° При яких значеннях параметра а рівняння cos jx - = -а2 -1 має розв'язки? 30.15." При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння (а2 - 4) cos X = а + 2? 30.16." При яких значеннях параметра а рівняння За cos х = = 2а + 2 має розв'язки? 30.17." При яких значеннях параметра а рівняння —-cos Х - а - = о Jcos х-За + 1 має розв'язки? 244
- 245. 31. Рівняння sinjc = b COS X CI 30.18." При яких значеннях параметра а рівняння — — = 0 cos де + — має розв'язки? 30.19." При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж 3 корені рівняння cos де = 30.20." При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж 3 корені рівняння cos де = КУ залежно від значень параметра а. 30.21." Визначте кількість коренів рівняння cos де = а на проміж- Ш " 6 . 30.22." Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння cos X = а на проміжку ^-я; ^ j? 30.23." Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміж- залежно від значень параметра о.[ к Зп ГҐ'Т. 30.24." При яких значеннях параметра а рівняння (де-а)( cos дг + ^ j - O Г Зл ~Lмає єдинии корінь на проміжку І л; •— IV ( уі2) 30.25." При яких значеннях параметра а рівняння(де+a) cos де —— = 0 має єдинии корінь на проміжку 2 Р і в н я н н я s i n x - b Оскільки областю значень функції у = sin JC Є проміжок [-1; 1], то при I b j > 1 рівняння sin де = b не має розв'язків. Разом з тим при будь-якому b такому, що | b | < 1, це рівняння має корені, більш того, їх безліч. Зазначимо, що окремі випадки рівняння sin де = b (для b = 1, b = 0, b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 18). Нагадаємо отримані результати: sin X = 1 sin д: = 0 sin X = -1 де — — + 2тш, П є Z 2 де = пп, п є % х = -~+2пп, пе Z 2 245
- 246. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Для того щоб отримати загальну формулу коренів рівняння sin X = Ь, де j B І < 1, звернемося до графічної інтерпретації. На рисунку 31.1 зображено графіки функцій у = sin х і у = Ь, І Ь < 1. Розглянемо функцію у ~ sin X на проміжку [_ІІ Зя 2 ~' 2 . тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона лінія на рисунку 31.1). На цьому проміжку рівняння sin х = b має два корені. Позначимо корінь, який належить проміжку [ 2 ' г ] * через а. Оскільки sin (я - а) = sin а, то другий корінь дорівнює я - а. Зауважимо, що при b = 1 корені а і я - а збіга- ються. а) б) Рис. 31.1 Оскільки функція у — sin X є періодичною з періодом 2п, то кожен з інших коренів рівняння sin X = B відрізняється від одного із знайдених коренів на число виду 2пп, « е Z. Тоді корені розглядуваного рівняння задаються формулами X = а + 2кп і X = л - а + 2яп, п є Z. Ці дві формули можна замінити одним записом: ж = (~l)*ct + n k , k e X. (1) 246
- 247. 31. Рівняння sinjc = b Справді, якщо k — парне число, тобто k — 2п, п є Z, то отри- муємо X = а + 2пп; якщо k — непарне число, тобто k - 2п + 1, п є Z, то отримуємо X = -а 4- п + 2пп = ті - а + 2пп. • Формула (1) показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння sin х - Ь. Корінь а має спеціальну назву — арксинус. Означення. А р к с и н у с о м числа Ь, де | Ь | < 1, називають таке число а з проміжку ^ j, синус якого дорівнює Ь. Для арксинуса числа b використовують позначення: arcsin b. Наприклад, . 1 я arcsin - = —, оскільки 2 6 arcsin Я Г Я ІГ~| . . п 1 i n ( - f ) = - f , ОСКІЛЬКИ - f . [ - f , f ] і - ( - f ) - f arcsin 0 = 0, оскільки і sin 0 = 0; arcsin(-1) = —I, оскільки | ; | j 1 s i n ( _ 2 ) = _ 1 " Узагалі, arcsin b = а, якщо а є *s *n a = b. 5тс 1 1 5л Зазначимо, що, наприклад, sin — = -. Проте arcsin 6 2 2 6 _к я] . 2* 2 J 5л „ оскільки — g 6 Тепер формулу коренів рівняння sin X = b, I b I < 1, можна за- писати або у вигляді сукупності: х = arcsin b + 2пп, _х = п-arcsin b + 2пп, nt=Z, або одним записом: (2)де = (-1) arcsin b + nk, k є Узагалі, при розв'язуванні тригонометричних рівнянь одна й та сама правильна відповідь може бути подана в різних формах запису. Зрозуміло, що формула (2) застосовна і для окремих випадків: b = 1, b = 0, b = —1. Проте рівняння sin х = 1, sin х = 0, sin х = -1 зустрічатимуться часто. Тому радимо запам'ятати формули їх коренів, які записано на початку пункту. 247
- 248. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння: 1) sin | = 2) sin (|-3х| = 3) s i n ( ( + ^ ) = - b Розв'язання. 1) Використовуючи формулу (2), можемо записати: aresin |-|) +im, п є Z. Далі отримуємо: + 7in; (-1r - f + яп; Відповідь: (-1)"+І -^ + 2їт, я є Z. и 2) Перепишемо дане рівняння у вигляді —sin = — Тоді sin (з*-1) = 7t л/І Зх — —- — (—1)" * aresin + лп, n е Z; о Z Зх - 1 = (-1)" • І + лп; Зх = (-1)" • | +1 + лп; * = (_і)«. « + 9 9 3 Відповідь: + £ + п є Z. У У о 3) За формулою коренів рівняння sin х = -1 можемо записати: t + — = -- + 2тш, п є Z. 10 2 Далі маємо: ( = - - - — + 2лп; £ = - — + 2ял. 2 10 5 Відповідь: - — + 2лп, п є Z. 5 ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння л/3 cos x + sin х-2. Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді: 7з 1 . COS X + - sin X = 1. 2 2 Оскільки — = sin-, а - = cos-, то можна записати: 2 3 2 3 248
- 249. 31. Рівняння sin л" = b sin — COS X + cos — sin X = 1. з 3 Використовуючи формулу синуса суми sin а cos ß + cos a sin ß - ^sin (a + ß), отримаємо: Звідси ^ + JC = 5 + 27Ш, N Є u ci Відповідь: ~ + n, n e Z. sin(f + *) = l. Зауважимо, що при розв'язуванні рівняння прикладу 2 можна було скористатися і формулою косинуса різниці cos a cos ß + + sin (X sin ß = cos (a — ß). Справді, оскільки ~ = cos а | = sin то 7t . 7t . . cos — cos JC + sm - sin x = 1; 6 6 ! M )COS J C - ~ =1. Звідси отримуємо таку саму відповідь: х --~ + 2кп, п є Z. 6 ПРИКЛАД З Скільки коренів залежно від значень параметра b має рівняння (sin х - b) |cos JC - = 0 на проміжку [0; 2я)? Розв'язання. Дане рівняння рівносильне сукупності: sin x = b, 1 COS х = —. 2Друге рівняння цієї сукупності на проміжку [0; 2тт) має 2 ко- jt . 5it рені: — і — . 3 3 При I b I > 1 рівняння sin JC - b коренів не має. Тоді дане в умові рівняння має 2 корені. Якщо b -1 або b - -1, то рівняння sin JC = b на проміжку [0; 2л) має один корінь. Це відповідно числа ~ і Тому при | b [ = 1 ju сі дане в умові рівняння має 3 корені. Якщо I b І < 1, то рівняння sin JC = b на проміжку [0; 2л) має 2 корені. Тому може здатися, що задане в умові рівняння в цьо- му випадку матиме 4 корені. Насправді один з коренів рівняння sin JC = b може збігатися з числом — або з числом З З 249
- 250. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Знайдемо значення параметра Ь, при яких числа ^ і ~ є коренями рівняння sin X -Ъ. Маємо: . 1) sin ! = &; b = 2) sin — = Ь = З 2 л/3 При & = у - рівняння sin X = Ь на проміжку [0; 2л) має корені it 2л je 271 5л - і у , а дане в умові рівняння має 3 корені: —, у . При Ь = аналогічно отримуємо, що дане в умові рівняння „ • я 4л 5л має 3 корені: —, — , — - І І О и Відповідь: Якщо b < — 1 або b > 1, то 2 корені; якщо b = — 1, або & - 1, або або b = то 3 корені; якщо -1<ї><—Сі Сі Сі або <&< — , або — <Ь<1, то 4 корені. 2 2 2 І Вправи 31.1/ Розв'яжіть рівняння: 1) sinx = ~ ; 2) sinx = - y ^ ; 3) sinx = i ; 4) sin х- -v/2. 31.2.' Розв'яжіть рівняння: 1) sin д: = І ; 2) sinjc = - ^ ; 3) sinx = ^-; 4) sin x = 1,5. ^ A d 31.3.° Розв'яжіть рівняння: 1) sin f = - J ; 2) sin ^ - 3) sin 5* = 1; 4) sin (-8*) - О і о с з 31.4.* Розв'яжіть рівняння: 1) sin 2х = & 2) s i n f - 0 ; 3) s i n ^ = - ^ . Z 7 5 4 31.5/ Розв'яжіть рівняння: « - Ч ' - ї Ь т * 3 ) s i n ( f + l ) = -l; 2) sin(|-*) = ^ ; 4) = 250
- 251. 31. Рівняння sin л" = b 31.6.° Розв'яжіть рівняння: 1) sin = 2) 2 sin -4)+1 = 0. 31.7.° Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin |лг + ^J = — у . 31.8/ Знайдіть найбільший від'ємний корінь рівняння sin |з* - ^ J = -1. 31.9.° Знайдіть усі корені рівняння = які належать проміжку h f l уі2 31.10.° Скільки коренів рівняння sin За: = належать проміжку 3ji.jt"L L 2' 2] 31.11/ Розв'яжіть рівняння: 1) л/з sin X + cos х = 2; 3) 3sin |+V3cos | = 3. 2) $2 sin X - V2 cos X = 1; 31.12/ Розв'яжіть рівняння: 1) sin X - V3 cos X = 1; 2) sin x + cos x = $2. 31.13/ Розв'яжіть рівняння: 1) sin —= 0; 2) sin л Vx =-1; 3) sin (cos x) - 0,5. 31.14/ Розв'яжіть рівняння: 1) sin-^L = - — ; 2) cos (jt sin je) - 0. V* 2 31.15/* При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння (а2 - 1) sin X = а + 1? 31.16." При яких значеннях параметра о має розв'язки рівняння (а + 4) sin2 2х = а2 - 16? „ . . s i n х - а . 31.17. При яких значеннях параметра а рівняння -. - = 0 має розв'язки? і ІSin X 2 31.18." При яких значеннях параметра а рівняння — — х +а — = 0 sin х-2а+1 має розв'язки? 251
- 252. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 31.19." При яких додатних значеннях параметра а проміжок Г ї " містить не менше ніж 4 корені рівняння sin X = і? 31.20." При яких від'ємних значеннях параметра а проміжок [а; 0] містить не менше ніж 3 корені рівняння зіпл: = ——? 31.21." Визначте кількість коренів рівняння на даному проміжку залежно від значень параметра а: 1) sin X = а, 2) sin х = а, у . 31.22." Визначте кількість коренів рівняння sin ж = а на проміж- ку залежно від значень параметра а. 31.23." Визначте кількість коренів рівняння sin х - а на проміж- ку Н залежно від значень параметра а. 31.24." Визначте кількість коренів рівняння sin х = а на проміж- ку 5л Злі . 6 ; 2 J залежно від значень параметра а. 31.25." Скільки коренів залежно від значень параметра а має рівняння ^cos jf-y-j(sin j:-a) = 0 на проміжку [0; 2л)? 31.26." Скільки коренів залежно від значень параметра а має рівняння (cosjc-a)(sinx+^j = 0 на проміжку (0; 2я]? РІВНЯННЯ t g X ~ Ь і c t g Х — Ь Оскільки областю значень функції у = tg х є множина К, то рівняння tg X = Ь має розв'язки при будь-якому значенні Ь. Для того щоб отримати формулу коренів рівняння tg X ~ b, звернемося до графічної інтерпретації. На рисунку 32.1 зображено графіки функцій у = tg х і у = Ь. Розглянемо функцію у = tg X на проміжку ^j, тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рис. 32.1). На цьому проміжку рівняння tg х = b при будь-якому b має один корінь а. 252
- 253. 32. Рівняння tgx = b і ctgjc = b У1 N У=ь І J А Гї 0 а к f Зп і / Ч 2 і / ' X Рис. 32.1 Оскільки функція у = tg X є періодичною з періодом п, то ко- жен з інших коренів рівняння tg X — b відрізняється від знайде- ного кореня на число виду пп, п є Z. Тоді множина коренів рівняння tg х = b задається формулою X - а + пп, п є Z. Отримана формула показує, що корінь а відіграє особли- ву роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння tg X = b. Корінь а має спеціальну назву — арктангенс. Означення. AptttdHrettCOftf числа Ь називають таке число а з проміжку тангенс якого дорівнює Ь. Для арктангенса числа b використовують позначення arctg b. Наприклад, arctg уІЗ=~, оскільки J є(-|;|) і t g | = V3; arctg(-1) = — о с к і л ь к и * ^ ( " f ) ' - 1 ' arctg 0 = 0, оскільки ^ ^ 0 = 0. Узагалі, arctg b = а, якщо а є і tg а = Ь. Зазначимо, що, наприклад, t g j - ^ ) = l. Проте arctg Зл 7 71 я оскільки £ — ; — . 4 V 2 2/ Тепер формулу коренів рівняння tg X = b можна записати так: X - arctg b + пп, п є Z Оскільки областю значень функції у = ctg х є множина 1R, то рівняння ctg X = b має розв'язки при будь-якому значенні Ь. 253
- 254. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності На рисунку 32.2 зображено графіки функцій у = ctg х і у = Ь. 1 і 1 У=Ь 1 1 V V К V V . -я 0 л л 2я " N je Рис. 32.2 Розглянемо функцію у = ctg де на проміжку (0; п), тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рис. 32.2). На цьому проміжку рівняння ctg х = b при будь-якому Ъ має один корінь а. Оскільки функція у = ctg je є періодичною з періодом 71, то ко- жен з інших коренів рівняння ctg X — Ь відрізняється від знайде- ного кореня на число виду пп, п є Z. Тоді множина коренів рівняння ctg х ~b задається формулою X = а + пп, п є Z. Корінь а має спеціальну назву — арккотангенс. Означення, Арккотангенсом числа Ь називають таке число а з проміжку (0; я), котангенс якого дорівнює Ь. Для арккотангенса числа b використовують позначення arcctg b. Наприклад, г~ і— arcctg = оскільки ^є(0;л) і = arcctg оскільки ^ є ( 0 ; я ) і c t g ^ = S ; 6 6 6 arcctg 0 = ^ , оскільки ^є(0;л) і ctg~ = 0. Z й 2d Узагалі, arcctg b = а, якщо а є (0; я) і ctg а = b. Зазначимо, що, наприклад, ctg - -1. Проте arcctg (-1) Ф оскільки -—е(0;я). 4 Тепер формулу коренів рівняння ctg X - b можна записати так: X = arcctg Ь + пп, п е 254
- 255. 32. Рівняння tgx = b і ctg* = b ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння: 1) t g f = -V3; 2) c t g ( f - * ) = - ! . # Розв'язання. 1) Маємо: ^~ = arctg{-yjs)+nk, k є Z; о 3 3 2 2 Відповідь: ~- + -nk, k є Z. 2 2 2) Маємо: ctg Н И п_ * = arcctgl-nrfc, k € Z; о д:- — = - + x = —л + JtA. 3 4 12 11 Відповідь: —к + nk, k є Z. 12 ПРИКЛАД 2 Визначте, при яких значеннях параметра b рівнян- ня (х - b) tg X = 0 на проміжку Я. Я V 2 має єдинии корінь. Розв'язання. Множина коренів рівняння tg х - 0 визначаєть- я . 6*2/ ся формулою X = пп, п є Z. Розглядуваному проміжку належить лише один корінь X = 0. Рівняння X - Ь - 0 має єдиний корінь х = Ь. Якщо b = 0, то початкове рівняння має єдиний корінь х = 0. Якщо Ьє то початкове рівняння на заданому проміжку має два корені х = 0 і х = Ь. Зрозуміло, що умова be я, я V 2 забезпечить існування у по- чаткового рівняння тільки одного кореня. Відповідь: b = 0, або Ь<-—, або Ь>—. 6 2 Вправи 32.1.° Розв'яжіть рівняння: 1) tgx = >/3; 4) tg JC = 5; 2) t g * = - ^ ; 3) tg я = -1; 5) ctg X - s . 6) ctg ж = -1; 255 7) ctgx = -V3; 8) ctgx = yf7; 9) ctg ж = 0.
- 256. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 6_ 11' 32.2.* Розв'яжіть рівняння: 1) tg JC = 1; 3) tg JC = —V3; 5) ctgx = S; 7) tg x = 0. 2 ) t g x = & 4)tgx = -2; 6) ctg* = - ^ ; 32.3.° Розв'яжіть рівняння: 1) tg 2x = l; 3) t g ( - ^ ) = V3; 5) ctg6x = 2) t g | = |; 4) c t g | = 6) ctg (-9*) = ^ . 32.4.* Розв'яжіть рівняння: 1) t g f * = 0; 2) c t g f = -л/3; 3) c t g f * = 5. Э z і 32.5.° Розв'яжіть рівняння: 1) = 3 ) V3ctg(öx + |) + 3 = 0; Яг/я_£_ VЗ ' 4 З Г з • 2) tg (3 - 2x) = 2; 4) ctg) 32.6.° Розв'яжіть рівняння: 1) tg(*+j) = l; 2) ctg (4 - 3JC) = 2; 3) 3 tg <3* +1) - л/з = 0. 32.7.° Скільки коренів рівняння tg 4х = 1 належать проміжку 10; я]? X л/з 32.8.° Скільки коренів рівняння ctg — - —— належать проміжку І 32.9.° Знайдіть суму коренів рівняння ctg 2х = -л/8. які належать проміжку L " * * Г 32.10.° Знайдіть суму коренів рівняння tg — = V3, які належать Зл -—;2я 2 проміжку h i іть су [-2л; 2 32.11.° Розв'яжіть рівняння: 1) tg — = 0; 2) ctg•—= = 1; 3) tg(явіпх) = >/з. л/X 32.12.* Розв'яжіть рівняння: 1) ctg = 2) tg-f==-l; 3) ctg (я cos X) = 1. эх л/х 256
- 257. 33. Функції у = arccos х І у = aresin х 32,13."При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння: 1) = ctg JC + З З tg де -1 32.14." При яких значеннях параметра а має розв'язки рівняння: 1) c t g * + % 0 ; 2 ) = tgje-2 ctg X - З 32.15." При яких значеннях параметра а рівняння (х + a) (tg х - л/з) = 0 на проміжку має єдиний корінь? 32.16." При яких значеннях параметра а рівняння (jc-a)(tg х +1) = 0 на проміжку м а є єдиний корінь? Функції у = arccos х і у - aresin х Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння cos х = а на проміжку [0; я] має єдиний корінь, який дорівнює arccos а (рис. 33.1). Тому кожному числу X з проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку [0; я] таке, що у = arccos X. Рис. 33.1 Тим самим задано функцію / (х) = arccos х з областю визна- чення D (f) - [-1; 1] і областю значень Е (f) = [0; я]. Функція f є оберненою до функції g (je) = cos X а областю ви- значення D (g) = [0; я]. Дійсно, D(f)-E(g) = [-1; 1]; Е (f) = D О?) = [0; я]. З означення арккосинуса випливає, що для всіх х з проміжку [—1; 1] виконується рівність cos(arccos х) = X 257
- 258. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Іншими словами, g (J (я)) = х для всіх х є D (f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 9, до- зволяють визначити деякі властивості функції f (х) = arccos х. Оскільки функція g (х) = cos X, D (g) = [0; я], є спадною, то з теореми 9.3 випливає, що функція f (х) = arccos х також є спадною. Для будь-якого X є D (g) маємо f (g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого X є [0; я] виконується рівність arccos (cos х) = X Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно пря- мої у = X. Це дозволяє побудувати графік функції f (х) = arccos х (рис. 33.2), Відзначимо ще одну властивість функції у = arccos х: для будь-якого X є [-1; 1] виконується рівність arccos (—ж) ~ тг — arccos х Наприклад, arccos = я - arccos ^ = я - ^ = ^ . (1) -1 f (х) = arccos X g (х) = cos X Рис. 33.2 Рис. 33.3 Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисун- ку 33.3 AB = MN = arccos х0, NP = arccos (-х0), a MN + NP = л. Доведемо рівність (1). Нехай arccos (-х) = al t я - arccos х - а2. Зауважимо, що а} є [0; я], а2 є [0; я]. Функція у = cos х є спад- ною на проміжку [0; я], отже, на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що cos cij = cos а2, тим самим доведемо рівність ад - а2. 258
- 259. 33. Функції у = arccos х і у = aresin х Маємо: cos ах = cos (arccos (-де)) = -х; cos а2 = cos (л — arccos ж) = -cos (arccos x) - ~x. Ь Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння sin де = а на проміжку ЯІ . 2' 2 J має єдиний корінь, який дорівнює aresin а (рис. 33.4). У 1 У = 1 0 / 1 _ л arcsin a де2 Рис. 33.4 Тому кожному числу X з проміжку [—1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку і 5:1 * 2 * 2 І таке, що у = arcsin X. Тим самим задано функцію f (де) = arcsin х з областю визна- _п я] . 2* 2 J* чення D (f) = [-1; 1] і областю значень E(f) = Функція f є оберненою до функції g (де) = sin де з областю ви- значення = Справді, D {f) = Е (g) = [-1; 1]; E(f)-Digi.[-f;f . З означення арксинуса випливає, що для всіх де є [-1; 1] ви- конується рівність sin (arcsin де) = де Іншими словами, g (f (де)) = х для всіх де є D (/). Сказане означає, що f і g — взаємно обернені функції. Визначимо деякі властивості функції f (де) = arcsin х. Оскільки функція g (де) = sin X, D (g) [_п п 2 ' 2 . є непарною, то функція f (де) = arcsin де також є непарною (див. ключову задачу № 9.18). Іншими словами, для будь-якого де є [-1; 1] виконуєть- ся рівність arcsin (—де) = —arcsin де 259
- 260. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Наприклад, aresin [ - -aresin f — _ » . «1 . 2' 2J є зростаючою. Отже,Функція g (х) = sin х, D (g) = функція / (х) = aresin х також є зростаючою (див. теорему 9.3). Для будь-якого X є D (g) маємо f (g (х)) = х. Це означає, що я. я 2 * 2 . для будь-якого X є виконується рівність aresin (sin х) = X 2 - 1 ш f (х) = aresin X 1 А х 2 £•(*) = аІП X 2 Рис. 33.5 Знову скористаємося тим, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої У ~ X. На рисунку 33.5 показано, як за допомогою графіка функції я я g (х) - sin X, D (g) = 2 2 , побуду- вати графік функції f (х) = aresin х. Доведемо, що для будь-якого X є [-1; 1] виконується рівність arcsin X + arccos х - - Для цього покажемо, що arcsin X = — arccos х. 2 Маємо: arcsin х < ^ . Крім того, 0 < arccos х < я. Тому 2 2 п Л ^ Я ^ Я-arccos X < 0; — < — arccosх<—. 2 2 2 Отже, значення виразів' arcsin х і — - arccos х належать проміжку зростання функції у - sin х. Тому достатньо показати, що sin (arcsin х) = sin (—-arccos xj. Маємо: sin (arcsin x) = x, sin (^ - arccos Xj - cos (arccos x) = x. 260
- 261. 33. Функції у = arccos х і у = aresin х У таблиці наведено властивості функцій у = arccos х і у = aresin х. у = arccos X у - aresin X Область визначення 1 - І ; І ] Н І 1] Область значень [0; я] [-Н] Нулі функції х = 1 X = 0 Проміжки знакосталості Якщо X є [-1; 1), то arccos X > 0 Якщо X є [-1; 0), то aresin X < 0; якщо X є (0; 1], то aresin X > 0 Парність Не є ні парною, ні непарною Непарна Зростання / спадання Спадна Зростаюча ПРИКЛАД І Знайдіть область визначення функції у = arccos (х2 - 3). Розв'язання. Областю визначення D (у) даної функції є мно- жина розв'язків нерівності —1 < X2 - 3 < 1. -2<х<2, -2 ^ x < - j 2 , Маємо: fx2 <4, їх2 >2; лІ2<х<2. х<-у[2, х>4ї; Отже, D (у) = [-2; -V2] U [V2; 2]. • ПРИКЛАД 2. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = 4 - arccos Зх. Розв'язання. Оскільки 0 < arccos Зх < я, то -я < -arccos Зх < 0 і 4 - тс < 4 - arccos Зх < 4. Зазначимо, що = /||) = 4. Відповідь: найменше значення дорівнює 4 - я, найбільше зна- чення дорівнює 4. ПРИКЛАД 3: Обчисліть arccos |cos|). Розв'язання. Використовуючи формулу arccos (cos х) = х, де X є [0; я], маємо arccos|cos = Відповідь: —. З 261
- 262. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності ПРИКЛАД 4 Обчисліть arcsin (sin 6). Розв'язання. Здавалося б, відповідь можна отримати одразу, зважаючи на рівність arcsin (sin х) = х. Проте число х = 6 не на- Г Я я] лежить проміжку -—; — І, а отже, не може дорівнювати значен- ню арксинуса.Правильне міркування має бути таким: я я arcsin (sin 6) = arcsin (sin (6 - 2я)). Оскільки 6-2яє то arcsin (sin 6) = 6 - 2л. Відповідь: 6 - 2л. ПРИКЛАД 5 Обчисліть arccos (sin 10). 2' 2 •(H)Розв'язання. Маємо: arccos (sin 10) = arccos^cos Зауважимо, що число —-10 не належить проміжку [0; я]. 2 Тому слід виконати такі перетворення: arccos ^cos(|-10)J = arccos(cos(l0-|-2n)) = 1 0 - y . Відповідь: 10-—. 2 ПРИКЛАД б Обчисліть sin arccos Розе' Ä3 €L H ИЛ* Нехай arccos —= а , тоді а є [0; я] і cosoc = ^. 5 5 Задача звелася до пошуку значення sin а. Урахуємо, що коли ос є [0; я], то sin а > 0. Тоді отримуємо: sin а — %/l-cos2 а =. 1 —— = —.v V 25 5 4 Відповідь: —. 5 ПРИКЛАД 7 Розв'яжіть рівняння arcsin^—- = —. 2 З Розв язан ця, Перепишемо дане рівняння у вигляді . х-1 . ч/з arcsin - — • arcsin — . 2 2 Оскільки функція у = arcsin х є зростаючою, отже, кожного свого значення набуває один раз, то рівність arcsin xt = arcsin х2 виконується тоді і тільки тоді, коли JCj = х2, х1 є [-1; 1] і х2 є [-1; 1]. гг • • Х-1 ч/з Тому дане рівняння рівносильне такому: —— = — . Відповідь: л/3+1. 262
- 263. 33. Функції у = arccos х і у = aresin х ПРИКЛАД в| Розв'яжіть нерівність arccos (2х -1) > О Розв'язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді: 1 arccos (2х -1) > arccos 2 Відповідь: Оскільки функція арккосинус є спадною, то дана нерівність . І2х-1<± . хЛ, рівносильна системі <! 2 Звідси < 4 [2х-1>-1. [х>0. пдь: |о;| ПРИКЛАД Побудуйте графік функції у = aresin (sin де). Розв'язання. Нагадаємо, що aresin (sin я) - х лише за умови I I It X І < —. Тому думка, що шуканим графіком є пряма у = х,— по- милкова.Дана функція є періодичною з періодом Т = 2л. Тому достатньо л Зл побудувати її графік на проміжку ріод. 2 ' 2 довжиною в пе- 7Г 7Ї Якщо — , то aresin (sin х) = х. Тому на проміжку 2 2 . 2' 2J шуканий графік — це відрізок прямої у = х. Якщо — < х < — , то <л-х<—, отже, aresin (sin я) = 2 2 2 2 = aresin (sin (к - х)) = n - x, Тому на проміжку Г л Злі L 2 ' 2 J шукании графік — це відрізок прямої у ~п - х. Графік функції у - aresin (sin х) зображено на рисунку 33.6. Рис. 33.6 263
- 264. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Вправи 33.1,° Чи є правильною рівність: 1) arccos І - — І + arccos — = л; V 2 J 2 2) arccos - 3 6 .. - 1 . к 4) arcsm—і- arcsin -!! — = —; 2 2 2 1 л2 5) arcsin 1-arcsin- = —; Ct і- СІ 3) arcsin 1 + arcsin - к 2 ) 6; 33.2/ Чи є правильною рівність: 6) I arcsin = 5-? 16 і-. л/І , 1 л1) arccos 1- arccos - = —; 2 2 2 О, УІ22) arccos arccos, 2 2 71 12' л • Ґ. . 1 7JI 4) arcsin 0 + arcsin - = — : 2 6 tv -Vi . f т/з) n 5) arcsin — • arcsin —— = 7 ' 2 { 2 J 36 3) arcsin — + arcsin 2 33.3/ Обчисліть: 1) sin ^arccos І j; (4)- 3) ctg 2 arcsin 2) cos ^2 arccos 33.4/ Обчисліть: s r 4) cos ^3 arcsin + arccos (-~jj. і 1 • Vs 1) cos -arcsin — 2 2 3) sin 3 arcsin Ä 2 2) tg (2 arccos (-1)); 33.5/ Знайдіть область визначення функції: ,, - ( . Vi 0 уі2 4) sm arcsin — + 2 arccos — V 2 2 1) у - arcsin (jc - 1); 2) y = arccosyfx; 3) y~arccos K . X + 4 33.6/ Знайдіть область визначення функції: 1) у - arcsin jx + ^j; 2) • у = arccos л/З-х; 3) у-arccos—. Злг 33.7/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції: 1) у = arcsin х+—*, СІ 2) у ~ arccos х + 2. 33.8/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції: 1) у = arccos X + п; 2) у = arcsin х + 1 . 264
- 265. 33. Функції у = arccos х і у = aresin х 33.9.° Обчисліть: 1) cos|arccos^J; 2) sinjarcsin ^J. 33.10." Обчисліть: 1) sinjarcsin^j; 2) cos|arccos 33.11.° Розв'яжіть рівняння: 1) arcsin x = -—; 2) arccos x = -; 3) arcsin x = — . ' 6 2 6 33.12.° Розв'яжіть рівняння: 1) arccosx = -; 2) arccosx^--; 3) arccos (2x-3) = ^ . 6 6 2 33.13.° Розв'яжіть нерівність: 1) arcsin x > - - ; 4) arcsin 7) arccos x > 0; 2 6 2) arcsin x < - 5) arcsin x > 8) arccos x < n. 3) a r c s i n 6 ) arccos x < 0; Li 33.14. Розв'яжіть нерівність: 1) arccos X > n; 3) arccos x > 0; 5) arccos x > n. 2) arcsinx<—; 4) arccos x < n; 2 33.15/ Знайдіть область визначення функції: 1) У - yj11 '" arccos X; 3) у = arccos х; 5) у = arccos (-1 - х2 ). 2) у = ^arccos X - л; 4) у = arcsin (Vx+l); 33.16/ Знайдіть область визначення функції: 1) у - yj^ - arcsin X; 3) у = ^/arccos х; 5) і/ = arccos * + 1 2) у = ^arcsin ж - 4 ) у = arccos (х2 - 2х + 2); 33.17/ Знайдіть область значень функції: 1) у = arcsin л/х + 4; 3) у = * ; a r c s i n X 2) у — ^—arccos X; 4) у - ,—І». уarccosх 33.18/ Знайдіть область значень функції: 1) Ü = arccos л/х + 2; 3) у - — ; arccos X 2) і/- ^/arcsin X; 4) у- .—і Vі 2 х <arcsin X 265
- 266. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності О—Ш 33.19.* Доведіть, що при | ж | < 1 виконується рівність sin (arccos JC) = О—ш 33.20/ Доведіть, що при j х | < 1 виконується рівність cos (arcsin де) - V 1-х2 . 33.21/ Обчисліть: 1) cos (arcsin ^j; 3) cos (arcsin arccos ^ j ; 2) sin (2 arcsin I j; 4) cos (^ arccos^). 33.22/ Обчисліть: 1) sin (arccos 3) cos (2 arccos ^j; 2) sin (arccos ^ + arccos |j; 4) cos ( І arcsin . 33.23/ Розв'яжіть рівняння: 1) cos (arccos (Ax - 9» = x2 - 5ж + 5; 2) sin (arcsin (x + 2)) - x + 2. 33.24/Розв'яжіть рівняння: 1) cos (arccos (4ж - 1)) = Зж2 ; 2) cos (arccos (x - 1)) = JC - 1. 33.25/ Розв'яжіть рівняння: 1) arcsin (Зж - 2) = arcsin (-ж 4- 2); 2) arccos (Зж - 16) = arccos (x2 - 26). 33.26/ Розв'яжіть рівняння: 1) arccos (Зж + 2) = arccos (5ж + 3); 2) arcsin (ж2 - 4) = arcsin (2ж + 4). 33.27/ Розв'яжіть нерівність: 1) arccos (2JC-1)>£; 2) arcsin 2ж>^; 3) arcsin (5-Зж)<-^. 3 6 3 33.28/ Розв'яжіть нерівність: 1) arccos (4ж-1)>^~; ' 3) arccos (4 - 7ж) < ^ . 4 6 2) arcsin (2-Зх)<-; 4 33.29/ Розв'яжіть нерівність: 1) arcsin (Зж - 2) > arcsin (5ж - 3); 2) arccos (2ж -1) < arccos —. X 266
- 267. 33. Функції у = arccos х і у = aresin х 33.30." Розв'яжіть нерівність: 1) aresin (х2 - х) > агсаіп (Зх - 4); 2) arccos (1 - 2х) < arccos 1 . х-1 33.31.* Побудуйте графік функції: 1) у = aresin |х - 11; 2) у = arccos |2х + 11. 33.32." Побудуйте графік функції: 1) у = arccos (I X [ + 1); 2) y-aresin^] х |-1 „_ „_ _ „ „ . . . ... I aresin XІ33.33. Побудуйте графік функції у = - —J. arcsin І де І 33.34." Побудуйте графік функції: 1) у = sin (arcsin х); 3) у - cos (2 arcsin х); 2) у = cos (arcsin х); 4) у - sin (arcsin х + arccos х). 33.35." Побудуйте графік функції: 1) у = cos (arccos х); 3) у = cos (2 arccos х); 2) у = sin (arccos х); 4) у = cos (arcsin х + arccos х). 33.36." Побудуйте графік функції у - arccos (cos х). 33.37." Обчисліть: 1) arcsin |sin^); 3) arcsin (sin 3); 2) arcsin |sin^j; 4) arcsin (cos 8). 33.38." Обчисліть: 1) arccos f c o s ^ j; 3) arccos (cos 6,28); 5) arccos (sin 12). 2) arccos |cos^j^|; 4) arcsin ^cos^j; 33.39.** Розв'яжіть рівняння (arcsin x)2 +(arccos x)2 = -^-. 33.40." Розв'яжіть рівняння: 1) (arcsinx)2 -(arccosх)г = — ; 2) arcsinx• arccosx-——-. J.dt 1D X і і 33.41." Доведіть, що tg (arcsin x) = - = = при | x | < 1. V i - * 2 33.42." Доведіть, що tg (arccos x) = при ) x | < 1 і x * 0. 267
- 268. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 33.43." Доведіть, що arcsin ~ + arcsin ~ = arcsin Щ . 5 13 65 33.44," Доведіть, що arcsin + arcsin = 1о 1о Z 33.45." Доведіть, що arcsin х ~ Іarccos fl-x2 , якщо ж < 1, -arccos Vi-X2 , я к щ о - К к О . . „ . „ . „ . . arcsin v i - X2 , якщо 0 < х <1, 33.46. Доведіть, що arccos х = < [л - arcsin V1 - X2 , якщо -1 < х < 0. 33.47." Розв'яжіть рівняння arcsin 2х + arcsin х = и 33.48." Розв'яжіть рівняння arcsin JC + arcsin — - ^ . Функції у - arctg X і y = arcctgjc Для будь-якого а рівняння tg х = а на проміжку має єдиний корінь, який дорівнює arctg а (рис. 34.1). Тому будь- якому числу X можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку Зл 2 (~2* 2І таке ' що У ~ arc t£ х У Рис. 34.1 Тим самим задано функцію f (х) = arctg х з областю визначен- ня D (f) - 1 і областю значень ^ 268
- 269. 34. Функції у = arctg х і у = arcctg х Функція / є оберненою до функції g (х) = tg X з областю ви- значення л<*)=(-|;|)- Дійсно, D (f) ~ Е (g) = R; E ( f ) = DW = (- f ; f ) . З означення арктангенса випливає, що для всіх х е І вико- нується рівність tg (arctg х) = X Іншими словами, g (f (х)) = х для всіх х є D (/). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 9, дозволяють визначити деякі властивості функції f (х) = arctg х. Оскільки функція g (х) = tg X, = є зростаючою, то з теореми 9.3 випливає, що функція f (х) = arctg х також є зростаючою. Оскільки функція g (х) = tg X, = є непарною, то функція f (х) = arctg X також є непарною (див. ключову задачу № 9.18). Іншими словами, для будь-якого х є К виконується рівність arctg (-х) = -arctg х Наприклад, arctg (-/з) = -arctg л/з = о Для будь-якого X є D (g) маємо f (g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого(л виконується рівність arctg (tg ж) = ж Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні від- носно прямої у = X. На рисунку 34.2 показано, як за допомогою графіка Я Я1 функції в (X) = tg X, D (g) = побудувати графік функції f (х) = arctg X. ! у ' п —1~» "І 2: / * ! у ' п —1~» "І 2: f(x) = arctg X 0 f / і / 7! 2 Рис. 34.2 269
- 270. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Для будь-якого а рівняння ctg х - а на проміжку (0; я) має єдиний корінь, який дорівнює arcctg а (рис. 34.3). Тому будь- якому числу X можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку (0; я) таке, що у = arcctg х. Тим самим задано функцію f (яг) = arcctg х з областю визна- чення D (f) - R і областю значень Е (/) = (0; я). Функція f є оберненою до функції g (х) = ctg X з областю ви- значення D (g) - (0; я). Справді, Е (g) = К. Таким чином, D (/) = Е (g) = К; Е (f) = D (g) = (0; я). З означення арккотангенса випливає, що для всіх х є ЇЕ ви- конується рівність ctg (arcctg х) — X Іншими словами, g (f (х)) = х для всіх х є D (f). Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції. Визначимо деякі властивості функції f (х) = arcctg х. Оскільки функція g (х) = ctg X, D (g) = (0; я), є спадною, то функція f (х) = arcctg х також є спадною. Для будь-якого X є D (g) маємо f (g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого X є (0; я) виконується рівність arfcctg (ctg х) - X На рисунку 34.4 показано, як за допомогою графіка функції g (х) - ctg X, D (g) = (0; я), побудувати графік функції f (х) = arcctg х. Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для будь-якого X є R виконується рівність arcctg (-х) - я — arcctg х 270
- 271. 34. Функції у = arctg х і у = arcctg х f (ж) = arcctg X Рис. 34.4 Наприклад, arcctg (-ч/з) = л - arcctg = к-— = — . 6 6 Доведемо цю властивість. Нехай arcctg (-ж) = а, і тс - arcctg х = а2. Зауважимо, що а, є (О; л), а2 є (О; л). Функція у = ctg je спадає на проміжку (О; л), отже, на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що ctg с^ - ctg а2, тим самим доведемо рівність а і = <*,. Маємо: ctg А , = ctg (arcctg (-JE)) = -JC; ctg А2 - ctg (л - arcctg je) - -ctg (arcctg je) = -JC. Отже, ctg = ctg a r Покажемо, що для будь-якого х є R виконується рівність arctg X+arcctg х-т. Достатньо показати, що arctg JC = ^-arcctgх. СІ Маємо: < arctg je 0 < arcctg х < л; -л < -arcctg JC < 0; < arcctg Отже, значення виразів arctg JC І arcctg JC належать про- міжку зростання функції у = tg JC. Тому достатньо показати, що tg (arctg JC) = tg - arcctg JC). Маємо: tg (arctg JC) = JC, tg - arcctg JC) = ctg (arcctg JC) - JC. 271
- 272. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності У таблиці наведено властивості функцій у — arctg х і у = arcctg х. у = arctg X у = arcctg X Область визначення Ж R Область значень ("25 І ) (0; я) Нулі функції X = 0 - Проміжки знакосталості Якщо X є (-«•; 0), то arctg X < 0; якщо X є (0; +м ), то arctg X > 0 arcctg X > 0 при всіх X Парність Непарна Не є ні парною, ні непарною Зростання / спадання Зростаюча Спадна ПРИКЛАДІ Обчисліть cos(^2arctg|~|)j. Роз в'яза н ня. Нехай arctg|-ij = a, тоді t g a = -~. Запишемо: З cos2 a ™ 10 l + tg2 a = — ; cos2 a = г 9 4 Звідси cos2a = 2cos a - l = 2--—1 = -. 10 5 Відповідь: 5 ПРИКЛАД 2 Доведіть, що arctg | + arctg | = Роз в язання. Оскільки функція у - arctg х є зростаючою, то можна записати: 1 rt 0 < arctg - < arctg 1 = —, 2 4 1 7t 0 < ärctg - < arctg 1 =—. 3 4 1 I n Звідси 0<arctg- + arctg-<—* 2 3 2 Отже, значення виразів, записаних у лівій і правій частинах рівності, яка доводиться, належать проміжку На цьому проміжку функція у - tg X зростає. 272
- 273. 34. Функції у = arctg х і у = arcctg х Тоді для доведення достатньо показати, що tg Iarctg ~ + arctg |) = tg Маємо: tg —= 1; 4 l-tg|arctg2jtg(arctg3j 1- — Г Вправи 34.1.° Обчисліть: 1) cos (2 arctg 1); 3) t g j ^ 2 a r c t g ^ - ~ j ; 2) ctg (2 arcctg {--Із)); 4) sin ^arcsin 2 arctg l j 34.2." Знайдіть значення виразу: 1) arcsin 1 + arccos (-1) + arctg л/3 + arcctg (-л/з); 72 f -/з) 2) arccos 0 + arcsin — + arctg (-1) + arcctg I—— J; 3 ) 4 arccos ^ - ^ j - 3 arccos 1 + 2 arcsin - arctg ^ . 34.3.* Знайдіть значення виразу: 1) arcsin |--|J+arctg 0+arcctg 1 + arccos—; 2) 2 arccos ) ~ б arcsin ~ + 4 arcsin (-1). 34.4.° Знайдіть область визначення функції: 1) у - л/arcctg X; 2) y~Jarctg(x-^j. 34.6.* Знайдіть область визначення функції у =• Jn - arcctg х. 34.6.° Знайдіть область значень функції: 1) у - arctg X + 2; 2) у = v/arctg х . 273
- 274. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 34.7." Знайдіть область значень функції: 1) у = arcctg х + 4; 34.8.° Обчисліть: 1) tg (arctg 4); 2) ctg (arcctg 5); 34.9.° Розв'яжіть рівняння: 1) tg (arctg 2х) = 5; 34.10.° Розв'яжіть рівняння: 1) arctg ж = 4 2) arctg X = 1; 34.11.° Розв'яжіть рівняння: 1) arcctg х = Щ ; 4 2) arcctg X - -1; 2) j/ =% /- a r c t £ X. 3) tg (arctg 4) ctg (arcctg n). 2) ctg (arcctg (4 - Зж)) = 2. 3) arctg X = 4 4) arctg(4* + 9) = - £ . 6 3) arcctg x = - 4' 4) arcctg (5- 8ж) = ^ . о 34.12.° Знайдіть область значень функції у~ 34.13." Знайдіть область значень функції у = 34.14/ Обчисліть: 1) sin (arctg 2); 2) cos (arctg 2); 34.15/ Обчисліть: 1) sin (arcctg (-2)); 2) sin (arctg (-3)); 34.16/ Розв'яжіть нерівність: 1) arctg (5ж + 3)>-|; 34.17/ Розв'яжіть нерівність: 1) arcctg (Зж - 7) > Щ-; о arctg X 1 arcctg X' 3) cos (-arcctg 4) cos ( a r c t g a r c c t g з|. 3) cos (2 arctg—+arccos 2) arcctg (ж - 2) < —. 6 2) arctg(x+ll)<^. 6 274
- 275. 34. Функції у = arctg х і у = arcctg х 34.18/ Побудуйте графік функції: 1) У = tg (arctg х); 2) у = ctg (arctg ж). 14.19/ Побудуйте графік функції: 1) у = ctg (arcctg х)-, 2) у = tg (arcctg х). 2 34.20/ Розв'яжіть рівняння (arctg де)2 + (arcctg х)2 =—. о 5л2 34.21/ Розв'яжіть рівняння arctg х • arcctg х - ——. 18 34.22." Побудуйте графік функції у = arctg (tg х). 34.23." Побудуйте графік функції у = arcctg (ctg х). 34.24." Обчисліть: 1) arctg (tg I i ) ; 3) arctg (tg 5); 5) arctg (ctg 17). 2) arctg ( t g ^ ) ; 4) arctg (ctg 34.25." Обчисліть: 1) arcctg (ctg 3) arcctg (ctg 15); 5) arcctg (tg 10). 2) arcctg (ctg 4) arcctg ( t g ^ j ; 34.26." Доведіть, що arctg x = 34.27." Доведіть, що arcctg x = 34.28." Доведіть, що: 1) arccos x = arcctg —, x якщо X > 0, -л + arcctg—, якщох<0. X arctg —, X якщо X > О, arctg VT" л + arctg—, якщохсО. X якщо 0 < X < 1, Jl-x2 л+arctg , якщо-1<х<0; 2) arctg х = arccos -arccos Vl + x2 ' 1 k + x' якщох>0, , якщохсО. 275
- 276. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 34.20." Доведіть, що: 1) arcsin X = Jj arcctg , якщо 0 < X < 1, -11 + arcctg , якщо -1< X <0; 2) arcctg х = arcsin +хЛ' -2 л-arcsin—Г=1=, ЯКЩОЇ<0. + х 34.30." Числа х, у такі, що | ху ) < 1. Доведіть, що 1) —І < arctg jc+ arctg у 2) arctgjc+ arctg у-arctg^-^-.СІ СІ J. Ху 34.31." Чи існують такі числа х, у, що виконується нерівність arctg X + arctg у > arctg ^—- ? і — ху 34.32." Чи існують такі числа х, у, що виконується нерівність arctg X + arctg у < arctg ? 34.33." Доведіть рівність arctg + arctg 4 + arctg ^ + arctg і = ^ . Л 5 7 о 4 1 1 1 49 34.34." Доведіть рівність arctg - + arctg — + агctg — = arctg—. 34.35.* Обчисліть суму: 1) S = a r c t g a r c t g ^ + arctg —З 1 1+п+п 2) S = arcctg 3 + arcctg 7 + ... + arcctg (n2 + n + 1). 34.36.* Обчисліть суму S - arctg ^ + arctg +... + arctg 2 n — . 2 11 n+n +2 34.37.* Про додатні числа x, у, г відомо, що arctg х + arctg у + + arctg z < п. Доведіть, що х + у + z > хуг. 34.38.* Про додатні числа х, у, г відомо, що arctg X +. arctg у + arctg z < ^ . Доведіть, що ху + yz + zx < 1. 276
- 277. 35. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних У пунктах 30-32 було отримано формули для розв'язування рівнянь виду cos X = a, sin х = a, tg х = а, ctg х = а. Ці рівняння називають найпростішими тригонометричними рівняннями. За допомогою різних прийомів і методів багато тригонометричних рівнянь можна звести до найпростіших. У цьому пункті розглянемо рівняння, які можна звести до найпростіших, ввівши нову змінну і розв'язавши отримане алге- браїчне рівняння. ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння sin X - 3 cos 2х = 2. Роз б ЯЗСІННЯ. Використовуючи формулу cos 2х = 1 - 2 sin2 jc, перетворимо дане рівняння: sin X - 3 (1 - 2 sin2 х) - 2 = 0; 6 sin2 je + sin X — 5 = 0. Нехай sin X = t. Отримуємо квадратне рівняння 6t2 + £ - 5 = 0. 5 Звідси t. = -1, і, =і ' g Отже, дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: sin X = -1, 5 6 Маємо: х=-— + 2пп, 2 5 X - {-І)" arcsin - + пп, п е і 6 ті 5 Відповідь: —+2зin, (-1)" arcsin- + пп, п є Z. 2 v ' 6 ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння tgx + — = 3. COS X Po З в Я З CLHH Я• Оскільки — = l + tg ж, то дане рівняння cos X можна записати так: tg je + (1 + tg2 x) = 3. Звідси tg2 * + tg X - 2 = 0. Нехай tg х = f. Тоді t2 + t - 2 = 0. Звідси tl = 1, t2 = -2. Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: 277
- 278. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності ' Звідси tg х = -2. X = —+ я п, 4 Відповідь; —+яп, -arctg 2 + пп, п е 4 X = -arctg 2+яга, п є Z. є Z. ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння 2 sin2 х + cos 4х - 2 = 0. Розв'язання. Можна записати: 1 - cos 2х + 2 cos2 2х - 1 - 2 = 0. Звідси 2 cos2 2х - cos 2х - 2 = 0. Зробимо заміну cos 2х = t. Тоді останнє рівняння набуває вигляду 2tz — t — 2-0. Розв'язавши його, отримуємо f, = 1 ~ ^ ^ > f2 ~ І— І— Оскільки — > 1, а — ^ — є [-1; 11, то дане рівняння рівно- 4 4 j і? сильне рівнянню cos2x = — - — , звідси 4 х = ±- arccos 1 + я/г, k є Z. 2 4 Відповідь: ±- arccos + k є Z. 2 4 ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння 12cos2 ^ = 9-4cos^cos Розв'язання. Скориставшись формулами пониження степеня і перетворення добутку в суму, отримуємо: 6 (1 + cos х) = 9 - 2 (cos 2х + cos я). Звідси 2 cos 2х + 8 cos х - 3 = 0; 2 (2 cos2 х - 1) + 8 cos х - 3 = 0; 4 cos2 X + 8 cos X - 5 = 0. Використовуючи заміну cos х - t, отримаємо рівняння 4f2 + St - 5 =0. 1 5 1 я Звідси <, = —, t2 Далі маємо: cosx = —; х = ±— + 2nk, k є Z. 2 2 2 В Відповідь: ±- + 2nk, k є Z. 3 ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рірняння tg2 X + ctg2 X + 3 tg X + 3 ctg X + 4 = 0. Розв'язання. Маємо: tg2 х + ctg2 х + 3 (tg х + ctg х) + 4 - 0. Нехай tg X + ctg X = у. Підносячи обидві частини записа- ної рівності до квадрата, отримуємо: tg2 x + 2 + ctg2 x = у2 ; tg2 X + ctg2 X = у2 - 2. Дане в умові рівняння набуває вигляду у2 - 2 + Зу + 4 = 0, тоді у2 + Зу + 2 = 0; уг = -1, у2 = -2. 278
- 279. 35. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних Маємо сукупність tgx+ctgx = -l, Розв язуючи рівняння tgx+ctgx = -2. сукупності, знаходимо tg х = -1. Звідси х = -— + nk, k є Z. 4 Відповідь: + k є Z. 4 Означення. Рівняння виду ап sin" X + a, sin" *1 х cosx + ... + а , sinxcos" 1 х + a cos" х - 0,0 1 п -1 п 7 де а0, а,, ап — дійсні числа, які одночасно не дорівнюють нулю, п є N, називають однорідним тригонометричним рівнянням п-го степеня відносно sin X І COS X. З означення випливає, що суми показників степенів при sin х і cos X усіх доданків однорідного тригонометричного рівняння рівні. Наприклад, рівняння 2sin* - 3cosх = 0 — однорідне триго- нометричне рівняння першого степеня, а рівняння sin2 X - - 5 sin ж cosX + 2 cos2 X = 0 і 2 sin2 х - cos2 х = 0 — однорідні три- гонометричні рівняння другого степеня. Для однорідних рівнянь існує ефективний метод розв'язування. Ознайомимося з ним на прикладах. ПРИКЛАД в Розв'яжіть рівняння 7sin2 x - 8sinxcosx - 15cos2 x = 0. Розв'язання. Якщо cos х = 0, то з даного рівняння випливає, що sin X = 0. Але sin ж і cosx не можуть одночасно бути рівними нулю, оскільки має місце рівність sin2 X + cos2 X = 1. Отже, мно- жина коренів даного рівняння складається з таких чисел х, при яких cos X * 0. Поділивши обидві частини даного рівняння на cos2 х, отрима- ємо рівносильне рівняння: 7 sin'"' X 8 sin X соз х 15cos 2 x_ „ _ - _ uj cos X cos X cos X 7 tg2 x - 8 tg x - 15 = 0. tgx = -l, Звідси . 15 tgx = —; X — — — + Tin, 4 15 X = arctg —+тел, л є І л 15 Відповідь: —— + 7ш, arctg —+ ил, л є 279
- 280. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності ПРИКЛАД 7 Розв'яжіть рівняння 3 sin2 х + sin 2х = 2. Розв'язання. Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного: З sin2 * + 2 sin X cos л; = 2 {sin2 л: 4- cos2 *); sin2 * + 2sinx cosx - 2 cos2 * = 0. Отримали однорідне рівняння. Далі, діючи, як у попередньому прикладі, отримуємо рівняння, рівносильне початковому: tg2 ж + 2 tg х - 2 = 0. Завершіть розв'язування самостійно. Відповідь: arctg (-1 ± л/з) + пп, П Є ПРИКЛАД в Розв'яжіть рівняння sin х - cos х = 4 sin3 х. Розв'язання. Це рівняння не є однорідним. Перепишемо його інакше: (sin2 х + cos2 JC) (sin х - cos х) = 4 sin3 х. Після розкриття дужок і зведення подібних доданків маємо: , о . о » 2 о _ З sin X + sin X COS X - sin X COS X + COS X = 0. Поділивши обидві частини цього рівняння на cos3 х і позна- чивши tg X = t, маємо: З*3 + t2 - t + 1 = 0. Це рівняння очевидно має корінь t = -1. Тому варто зробити такі перетворення: Зі3 + і2 - / + 1 = 3t3 + Зі2 - 2t2 - 2t + t + 1 = 3t2 (t + 1) - - 2t(t + 1) + (f + 1) = (t + 1)(3(2 -2f + 1). Оскільки рівняння 3f2 - 2t + 1 = 0 не має коренів, то tg х = -1; х = ——+nk, k є Z. 4 Відповідь: -— + jtk, k є Z. 4 ПРИКЛАД 9 Розв'яжіть рівняння 2 sin X - 3 cos X = 2. Розв'язання. Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю: л • X X пі гх . г і і 2Х , . 2 лг 4sm — cos 3 cos sin — =2 cos —+ sin — ; 2 2 2 21 2 21 sin2 * + 4 sin - cos * •- 5 cos2 - = 0. 2 2 2 2 Поділимо обидві частини останнього рівняння на cos2 — і зроби- мо заміну tg — = t. Отримуємо: t2 + 4t - 5 = 0, звідси t = 1, f, = -5; 2 х = - + 2кп, 2 * = -2arctg5+2nn, n e Z . Відповідь: ^ + 2nn, ~2 arctg 5 + 2пп, n є Z.Сі 280
- 281. 35. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних З а у в а ж е н н я , Рівняння прикладу 9 є окремим випадком рів- няння виду a sin X + b cos X = с, (1) де a, b, с — деякі числа, відмінні від нуля. При розв'язуванні таких рівнянь крім методу, розглянутого в прикладі 9, можна використовувати такий прийом. Перепишемо рівняння (1) у вигляді: а . b с yla2 +b2 sin х + ліа2 +b2 COSX = yf? + bz Оскільки = 1, то точка Р *Ja2 +b2 '<Jа2 +Ь2 належить одиничному колу. Тому існує такий кут ф, що а . b совф = +ь< sm ф = 4а2 +Ь2 Тепер рівняння набуває вигляду cos ф sin X + sin ф cos X = с yla2 +b2 Звідси віп(х + ф) = yja2 +b2 Таким чином, отримали найпростіше тригонометричне рівняння. ПРИКЛАД 10 При яких значеннях параметра а рівняння рівно: 1) дваsin2 Зх - |а + і J sin Зле + ^ = 0 має на проміжку 2к корені; 2) три корені? Роз в язання* Розглянемо дане рівняння як квадратне від- носно sin3;e. Тоді отримаємо рівносильну сукупність: sin Зх = 1 2' sin Зх = а. Перше рівняння сукупності має на проміжку Г2Л LT'71 . рівно два корені. У цьому можна переконатися безпосе- редньо, знайшовши ці корені, або гра- фічно (рис. 35.і). Тому для задачі 1) треба, щоб друге рівняння сукупності не давало нових коренів на проміжку У- 1 2 0 п 12п К X 3 /3 J у - sin 3* Рис. 35.1 281
- 282. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності При а = — очевидно, що корені рівнянь сукупності збігаються. Сл При а > 1 або а < 0 рівняння sin Зх = а не має коренів на про- Г2 *.,г1 лл міжку — , п . у цьому знов-таки можна переконатися, напри- и J клад, графічно (рис. 35.1). Д ія задачі 2) друге рівняння сукупності на проміжку, що роз- глядається, повинно додавати до множини всіх коренів тільки один корінь. Зрозуміло, що це буде виконуватися тільки при а = 1. Відповідь: 1) о > 1, або а < 0, або о = 2) а = 1. Г Вправи 35.1. Розв'яжіть рівняння: 1) 2 sin2 X + sin X - 1 = 0; 2) 2 cos2 X - 5 cos X - 3 = 0; 4) tg2 je - 2 tg X - 3 = 0; 5) 3 ctg2 2x + ctg 2x - 4 = 0; 3) sinz 3JC + 2 sin Зх - 3 = 0; 6) 3cosa -+5cos--2 = 0 35.2.* Розв'яжіть рівняння: 1) 2 sin2 X - 3 sin X + 1 = 0; 3) 4 tg2 X - tg X - 3 = 0; 2) 2 cos2 2x - cos 2x - 1 = 0; 4) 3 c t g z - - c t g f - 2 = 0. 3 3 5) sin—+5 cos —= 0; 3 3 6) sin2 x - 5 s m x c o s x + 4 cos2 x = 0; 7) sin2 —-3sin —cos —+ 2cos2 —= 0; 2 2 2 2 35.3. Розв'яжіть рівняння: 1) sin x - cos д: - 0; 2) і/З sin X + cos X = 0; 3) 3 sin X — 2 cos x; 4) 4 cos 2x - sin 2x = 0; 8) 3sin2 x-2^sinxcosx+cos2 x = 0. 35.4.* Розв'яжіть рівняння: 1) sin X + cos X - 0; 4) cos 4jc - 3 sin 4x = 0; 2) sin х-уіЗ cos X = 0; • 5) sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0; 3) 2 sin X + cos X = 0; 6)4 sin2 x = 3 sin x cos x + cos2 x. 35.5.° Розв'яжіть рівняння: 1) 6 cos2 X + 5 sin X - 7 = 0; 4) 2 cos x - cos 2x - cos2 x = 0; 2) 2 sin2 X + 7 cos X + 2 = 0; 5) cos 2* + sin x = 0; 3) cos 2x= 1 + 4 cos x; 6) cos — - 5 c o s f - 2 = 0; 3 3 282
- 283. 35. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних 7) cos 2JC-COS2 JC-V2 sinjc = 0; 8) cos ~ + cos X = 0; 0 9) tg X + ctg X = -2; 10) 8 sin2 Зх + 4 sin2 6* = 5; ,45.6.* Розв'яжіть рівняння: 1) 4 sin2 Je + 8 cos X + 1 = 0; 2) 2 cos2 X = 1 + sin JC; 3) cos 2x + 8 sin x = 3; 4) cos 2x + sin2 X - cos x; 11) 4 tg 5x + 3 ctg 5x = 7; 1 12) • = ctg X + 3; sin2 X 13) 2 tg2 X + 4 cos2 X = 7; 14) COS2JC-4 V2COSJC + 4 = 0. 6) cosJC+sin —= 0; dt 7) 2 cos2 4x - 6 cos2 2x + 1 = 0; 8) tg JE + 2 ctg X = 3; 9) ^/3tgjc+3= 3-; COS JC 10) 4 sin2 JC + 9 ctg2 X = 6.5) 5sin^-cos^ + 3 = 0; 6 3 35.7." Розв'яжіть рівняння: 1) sin2 JC + 0,5 sin 2JC - 2 cos2 JC = 0; 2) cos2 5x + 7 sin2 5x = 4 sin 10x; 3) (cos X + sin JC)2 = 1 - cos 2x; 4) 3 sin2 JC - 7 sin X cos x + 14 cos2 x - 2 = 0; 5) 5 cos2 JC - 3 sin2 X - sin 2JC = 2; 6) 3 sin2 X + sin JC cos JC + 4 cos2 x = 3; 7) 3 sin X cos JC + cos2 x = 1; 2 cos JC + sin JC _ 1 ^ 7 sin X - cos X 2 35.8." Розв'яжіть рівняння: 1) sin2 X + 3 cos2 X - 2 sin 2JC = 0; 2) 5 sin2 JC - 5 sin X cos JC + 2 cos2 x = 1; 3) 6 sin2 Ж + 2 sin 2JC + 4 cos2 JC = 3; 4) 2 cos2 JC + sin 2x - 2 = O; 5) 3 sin2 jc-2/3 sinjccosjc+5cos2 x = 2; 2 sin X - cos JC _ 1 5 sin X - 4 cos X 3 35.9." Знайдіть найбільший від'ємний корінь рівняння sin2 JC + cos JC + 1 = 0. 35.10." Знайдіть найбільший від'ємний корінь рівняння sin2 JC + 0,5 sin 2JC = 1. 35.11." Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 6 sin2 JC + 2 sin2 2JC = 5. 283
- 284. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 36.12.' Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin X cos X + cos2 X - 0. 35.13." Розв'яжіть рівняння: 1) 4 cos X sin X = tg X + ctg x; 2) 3 cos X + 2 tg JC = 0; 3) 8 sin2 x + 4 sin2 2x + 8 cos 2JC = 5; 4) 3 + 5 cos JC = sin4 JC - cos4 x; 5) cos2x-9cosjc + 6 = 4sin2 —. 2 35.14." Розв'яжіть рівняння: 1) 4 ctg JC - 5 sin JC = 0; 2) 4 sin2 2JC + 7 cos 2x - 2 sin2 JC = 6; 3) 7 + 2 sin 2:t + 1,5 (tg X + ctg JC) = 0; л • 2 4 X 4 X 4) sin JC-cos — s i n —; 2 2 5) 2 cos 4JC - 2 cos2 JC = 3 cos 2JC. 35.15." Розв'яжіть рівняння: 1) sinz 2jc-- = cos2xcos6jc; 4 2) sin 2JC sin X + cos2 JC = sin 5JC sin 4x + cos2 4jc, 35.16.* Розв'яжіть рівняння: 1) sin — sin —JC -t- cos2 —• — —; 2) 2 sin x cos 3JC = cos2 4JC - sin 2JC + 1. 2 2 2 4 35.17." Розв'яжіть рівняння: 1) 3 sin лс - 8 cos JC - 3; 2) 2 sin JC - 5 cos x = 3. 35.18." Розв'яжіть рівняння: 1)3 sin JC + 5 cos X = -3; 2) 3 л/3 sin JC - 5 cos JC = 7. 35.19." Скільки коренів рівняння cos 2JC + sin JC = cos2 x належать проміжку [-я; я]? 35.20." Знайдіть суму коренів рівняння 2 sin2 х + 7 cos х + 2 = 0, л.Зя 2' 2 . які належать проміжку 35.21." Знайдіть усі корені рівняння 2 cos2 JC = sin х, які задо- к вольняють нерівність — < X < я. 3 5 . 2 2 . ' Знайдіть усі корені рівняння sin JC + cos JC = 1 , які задо- вольняють нерівність 0 < JC < я. 284
- 285. 35. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних 35.23.* Розв'яжіть рівняння: 1) sin4 x + sin4 1 . 4 , л / ПІ • . 2) sin jt+sin x + - +sin 4 (x + j ) + sin4 ( x - j ) = 0,5. 35.24.' Розв'яжіть рівняння: 1) 4 sin4 x + cos Ax = 1 + 12 cos4 x; 2) cos4 3x+ cos4 35.25." При яких значеннях параметра а мас корені рівняння: 1) sin2 X - (За - 3) sin X + а (2а - 3) = 0; 2) cos2 х + 2 cos х + а 2 - 6а + 10 = 0? 35.26." При яких значеннях параметра а має корені рівняння: 2) sin2 X - 2а sin X + 2аг - 4о + 4 = 0? 35.27." Розв'яжіть рівняння: 1) tg4 X + ctg4 X + tg2 X + ctg2 X = 4; 2) 18 cos2 X + 5 (3 cos x + cos 1 x) + 2 cos 2 x + 5 = 0. 35.28." Розв'яжіть рівняння: 1) tg3 x + tg2 x + ctg2 X + ctg3 X = 4; 1 2 2) 4sin2 x + =;—i-4sinx + —— = 11. sin X Sinx 35.29." Розв'яжіть рівняння: 1) cos3 X sin X + cos2 X sin2 X - 3 cos X sina X - 3 sin4 X = 0; Є 2) 2cos2 x + -sina 2x + sin4 x + cos2x = 0; 4 3) sin8 X = sin X + cos X. 35.30." Розв'яжіть рівняння: 1) л/3 sin2 X cos X - 4 sin X cos2 x + >/з cos3 x = 0; 2) sin3 2x + cos3 2x - sin 2x = 0. 35.31." Розв'яжіть рівняння: 1) cos Зх + 2 cos X = 0; 2) sin 6x + 2 = 2 cos 4x. 35.32." Розв'яжіть рівняння: 1) 3sin — = sinx; 2) cos Зх ~ 1 = cos 2x. 3 35.33." Розв'яжіть рівняння: 1) ^5-2 sinx = 6sinx-l; 3) $2-3 cos 2x = $ sin x. 2) $-cos 2x = -$2 cos x; 1) cos2 X - cos X + а - а2 = 0; 286
- 286. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 35.34." Розв'яжіть рівняння: 1) 7*0-18 cos ж =6COSJC-2; 3) ^3 + 4coa 2x = j 2 cos JE. 2) J3 cos 2x -1 = лІ2 sin x; 35.35." При яких додатних значеннях параметра о проміжок [0; а] містить рівно 3 корені рівняння: 1) 2 sin2 X - sin х = 0; 2) 2со82 л:-7з cosx^O? 35.36." Визначте, при яких додатних значеннях параметра а про- міжок [0; а] містить рівно п коренів рівняння: 1) 2 sin2 X + sin X = 0, п = 4; 2) 2 cos2 х + cos де = 0, п = 3. 35.37." Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння cos2 де- —+ a|cosx + — = 0 має на проміжку 10 / 1 0 Гл lire] І У б j- 1) один корінь; 2) два корені. 35.38." Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння • а ( . 7г 1 . , а-Я . Г 4л 1 sin дг—I a -t—— J sin X н—— = 0 має на проміжку 0;—І: 1) два корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені. 35.39." Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння г I l а л . Гл 5яcos x-la--lcosjt- —= 0 має на проміжку 1) два корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені. 35.40.* При яких значеннях параметра а рівняння cos2 X + (2а + 3) sin х - а2 = 0 має: 1) один корінь на проміжку [0; тг]; 2) один корінь на проміжку 3) один корінь на проміжку ^0; ^J; ^ • • K 5 j t l .4) два корені на проміжку І ^; —І; 5) три корені на проміжку [0; 2я); І_п 4лр в' З Г 6) чотири корені на проміжку 35.41.* При яких значеннях параметра о рівняння cos 2х + (4a - 1) cos х + 2а2 + 1 = 0 має: 1) два корені на проміжку 2) три корені на проміжку _л ЛІ 2* 2 J' _л 2кЪ . З' З J' 286
- 287. 36. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники 35.42.* При яких значеннях параметра а рівняння sin х = 2 sin2 х і sin Зх = (а + 1) sin X - 2 (а - 1) sin2 х рівносильні? .15.43.* При яких значеннях параметра а рівняння sin 2х + а - . = sin X + 2a cos JC і 2 cos 2х + а2 = 5a cos JC - 2 рівносильні? Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину вдалося розкласти на множники, то розв'язування цього рівняння можна звести до розв'язування кількох більш простих рівнянь. ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння sin 2JC + cos JC - 0. Розв'язання. Маємо: 2 sin JC cos JC + cos JC = 0; cos JC (2 sin X + 1) = 0; cos X = 0, 2 sin JC + 1 » 0; cos JC = 0, sin JC - - - ; dt X = — + nn, 6 Відповідь: in, (-1)л+! кп, n є Z. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння sin 3JC + sin JC = sin 2JC. Розв'язання. Маємо: sin 3JC + sin x - sin 2JC = 0; 2 sin 2JC cos X - sin 2JC = 0; sin 2JC (2 cos JC - 1) - 0; яn sin 2JC = 0, 1 2;C O S JC = JC = - 2 ' x = ±— + 2nn, nel 3 Відповідь: ±-+2nn, n є 2 3 ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння sin2 JC + sin2 2JC + sin2 3JC = 1,5. Розв'язання. Скориставшись формулами пониження степеня, запишемо: З 2 1 - cos 2JC 1 - cos 1 - cos 6х - + Г + - 2 2 2 Далі маємо: cos 4JC + (cos 2x + cos 6JC) = 0; cos 4JC + 2 cos 4x cos 2JC = 0; 2cos4jc(^+cos2jcj=:0. 287
- 288. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Отримуємо сукупність cos 4х = 0, 1 Звідси cos 2х =—. 2 к , пп * = 8 + Т ' Х = ± — + 7Ш, пє'і Відповідь: —+—, ±—+ пп, пє Z. 8 4 3 ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння sin 6х cos 2х = sin 5х cos Зх - sin 2х. Розв ЯЗ СІ Н-И. Я• Перетворивши добуток тригонометричних функ- цій у суму, отримуємо: - (sin 8х + sin 4х) = 7 (sin 8х + sin 2х) - sin 2х; 2 2 sin 4х + sin 2х 2 sin Зх cos X = Перейдемо до сукупності: г Ш. З ' = 0; 0. sin Зх = 0, cos X = 0; X = - х = -+кп, neZ. Відповідь: кп к З ' 2 + кп, п е ПРИКЛАД S Розв'яжіть рівняння sin Зх + 3 sin 2х - 3 sin х. Розв'язання. Застосувавши формули синуса подвійного та потрійного аргументів, отримуємо: З sin X - 4 sin3 X + 6 sin X cos x = 3 sin x. Звідси 2 sin X (3 cos x - 2 sin2 x) = 0; 2 sin X (3 cos X - 2 (1 - cos2 x)) = 0; 2 sin X (2 cos2 X + 3 cos x - 2) = 0. sin x = 0, 2 cos2 X + 3 cos X - 2 = 0. Переходимо до сукупності Звідси х = пп, х-±^ + 2кп, пе'і Відповідь: пп, ±- + 2пп, п є Z. З ПРИКЛАД 6 Розв'яжіть рівняння 1 -і- sin X + cos X + sin 2х + cos 2х = 0. Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді (1 + cos 2х) + sin 2х + (sin х + cos х) = 0. 288
- 289. 36. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники Тепер можна записати: 2 cos2 х + 2 sin х сов х + (sin х + cos х) - 0; 2 cos X (sin X + cos х) + (sin X + cos x) - 0; (2 cos X + 1) (sin X + cos яг) = 0. 1 2 Звідси sin x+cos* = 0. Отримуємо сукупність cos x = ~- х = ±Щ-+2пп, о X = — - + 7 Ш , П Є І 4 Й7Г Я Відповідь: ±— + 2лп, — + n n , л є З 4 Г Вправи 36.1." Розв'яжіть рівняння: 1) cos де + cos Зде = 0; 3) 2 sin де cos 2де - sin х + 2 cos 2де - 1 = 0; 2) sin Ьх - sin де = 0; 4) 2sinxtgx+2 7з s i n x - t g x - ^ = 0. 36.2.° Розв'яжіть рівняння: 1) sin 7х + sin X = 0; 3) tg3 х + tg2 х - 2 tg х - 2 = 0; 2) cos 9де - cos X = 0; 4) л/2созх^*-Зч/2 cosx+ctg де-3 = 0. 36.3.' Розв'яжіть рівняння: 1) cos(j + x)+cos(j-Jc)=l; 2) sin(f+x)-sin(f-x) = l; 36.4.* Розв'яжіть рівняння: 1) s i n ( ^ + * ) + s i n ( j - * ) = l; 36.5.° Розв'яжіть рівняння: 3) sin 5де = cos 4де; 4) sin 10* - cos 2де = 0. 2) cos 5де + sin 3* = 0. 1) sin 2де + 2 sin де = cos де + 1; 2) 1 + cos 8* = cos 4де; 3) cos де + cos З* + cos 2де = 0; 4) 2 sin 2де + cos Зде - cos де = 0; 5) cos де - cos 3* + sin * = 0; 6) sin 4де + 2 cos2 * = 1; 7) cos де - cos 3* = 3 sin2 де; 8) sin де + sin 2де + sin Зде + sin 4де = 0; 9) cos 7x + sin 8* = cos Зж - sin 2ж; 10) V3sin2x+cos5x-cos9x = 0. 289
- 290. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 36.6.* Розв'яжіть рівняння: X) sin 2х + 2 sin X = 0; 5) sin х + sin 2х + sin Зх = 0; 2) sin2jc - cos JC = 2 sin JC - 1 ; 6) C O S 9 J C - cos 7x + cos3x - cos x = 0; 3) 1 - cos 8JC = sin 4x; 7) sin x - sin 2x + sin 5JC + sin 8* = 0; 4) sin2jc + sin4;c + cos* = 0; 8) <v/2cos5je + sin3je-sin7jK = 0. 36.7." Розв'яжіть рівняння: 1) sin2 1 + sin2 ^ = 1; 2) cos2 X + cos2 2x + cos2 3x = 1,5; 3) cos 2x - cos 8x + cos 6JC = 1; 4) 1 - cos X = tg X - sin x; 5) sin JC + sin 3JC = 4 cos2 JC; 6) cos 2JC =S V2 (cos JC - sin JC); 7) sin ЗХ + УІЗ cos 3x = 2 cos 5JC; 8) sin2 X + sin2 2JC - sin2 3JC - sin2 4x = 0; 9) cos2 JC + cos2 2x + cos2 3JC 4- cos2 4JC = 2; 10) cos9jc = 2sin(y-3jc). 36.8." Розв'яжіть рівняння: 1) cos2 6JC + cos2 5x = 1; Sx 2) cos2 JC - sin2 2JC + cos2 Зх = 2' 4) sin 2x + cos 2JC = л/2 sin JC; 5) COS2 JC + C O S 2 2 X - cos2 3x + cos2 4x; 3) cos 2JC - cos 4x = sin 6x; 6) sin 6jc = 2 cos 36.9." Розв'яжіть рівняння: 1) cos 3JC + sin JC sin 2JC = 0; 2) sin 3x cos 2x = sin 5x; 36.10." Розв'яжіть рівняння: 1) 2 sin JC sin 2JC + cos 3JC = 0; (¥•4 3) 2 cos (JC + 20°) cos JC = cos 40°; 4) cos 3x C O S 6JC = cos 4x cos 7x. 3) sin(x+|)cos(x + j ) = 0,5; 2) sin (JC + 45°) sin (JC - 15°) = 0,5; 4) sin 5x cos 3* = sin 9JC cos 7x. 36.11." Розв'яжіть рівняння: 1) sin 7х-уі2 cos 5x + Л/3 cos 7JC - Л/2 sin 5x = 0; 2) 2 sin 3JC + sin x - cos 2x ~ л/з (sin 2JC - cos JC); 3) N/3(2 - cos x) + 4 sin 2JC = sin x. 290
- 291. 37. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь Л6.12." Розв'яжіть рівняння: 1) cos Зле - sin ж = -л/з (sin Зж- cos ж); 2) (sin 2ле + >/з cos2х) 2 -5 = c o s - 2 ж 36.13." Розв'яжіть рівняння: 1) sin Зж + sin ж - sin 2х = 2 cosz ж - 2 cos ж; 2) (cos ж - sin xf - 0,5 sin 4х - sin4 х - cos4 ж. 36.14." Розв'яжіть рівняння: 1) sin3 4ж + cos3 4х = 1 - 0,5 sin 8х; 2) cos 2ж + sin 2ж = >/2 (соз4 2ж-зіп4 2ж). 36.15.* Прн яких значеннях а триелементна множина {sin а, sin 2а, sin За} збігається з множиною {cos a, cos 2а, cos За}? шПриклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння cos лс + sin ж + sin х cos ж = 1. Розв'язання. Нехай cos ж + sin х = t. Тоді sin2 х + 2 sin х cos ж + + cos2 X = t2 ; sinXcosX- * Дане в умові рівняння набуває t2 -1 вигляду t + = або tr + 2t - 3 = 0. Звідси t1 = -3, t2 = 1. З урахуванням заміни отримуємо сукупність ["cos ж + sin ж =-З, |_COS X 4* sin Ж = 1. Оскільки I COS Ж І < 1 І I sin Ж І < 1, то перше рівняння сукуп- ності коренів не має. Залишається розв'язати рівняння cos ж + sin ж = 1. Маємо: ТІ уі2 . cos X + —т- sin X = "V; 2 2 2 п . 7t . УІ2 cos — cos ж + sin — sin X = -—; 4 4 2 cos Н Ь т г x-~ = ±~+2nn, n є Z; 4 4 4 4 291
- 292. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності X • 2пп, х~^ + 2пп. £ Відповідь: 2лп, ~ + 2пп, п є Z. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння COS3 X cos Зх + sin3 X sin Зх = . 4 Розв'язання. З формул синуса і косинуса потрійного аргу- менту знайдемо sin3 х і cos3 х: . а 3 sin x-sin3x а 3cosx + cos3x SIN х= , COS Ї = . 4 4 Тоді дане рівняння набуде вигляду: З cos X + cos Зх „ 3 sin X - sin Зх . „ V2 cos Зх + sin Зх = — ; 4 4 4 (cos2 Зх - sin2 Зх)+3 (cos X cos Зх + sin х sin Зх) = І2; cos 6х + 3 cos 2Х-УІ2 4 cos3 2х - 3 cos 2х+3 cos 2х = -І2; cos3 2x = — c o s 2 x = -^=; 2 V2 V2 it X = ± | + JtÄ, k Є Z. Відповідь: ±~ + nk, k є %. 8 ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння 4 cos х cos 2х cos 4х = cos 7х. Розв'язання. Помножимо обидві частини рівняння на sin х. Отримаємо рівняння-наслідок: 4 sin X cos X cos 2х cos 4х = cos Ix sin x. Звідси sin 8x = 2 cos 7x sin x; sin 8x = sin 8x - sin 6x; sin 6x = О; X = k є Z. 6 Оскільки корені рівняйня sin X = 0 не є коренями заданого в умові рівняння, то з отриманих розв'язків необхідно виключити всі числа виду х = лт, те Z. Маємо ~ Ф лт, звідси k * 6т. 6 кk Відповідь: —, k є Z, k * 6т, т є Z. 6 292
- 293. 37. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь X2 — 8х ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння cos—-— = х +1. 5 Розв'язання. Оскільки при будь-якому значенні х викону- л X2 — ються нерівності COS <1 І X + 1 > 1, то коренями даного 5 рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частин одночасно дорівнюють 1. Отже, дане рівняння f Х 2 - 8 Х і , cos — - — = 1, рівносильне системі і 5 [ X2 + 1 = 1. Друге рівняння системи має єдиний корінь х = 0. Він також задовольняє перше рівняння системи. Відповідь: 0. ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рівняння jc2 -2jtsin^ + l=0. Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне від- носно X. Оскільки дискримінант D = 4 sin2 має бути невід'- jy • 2 TtX V І ri • • 7ZX « f- • 7ЇХ t ємним, то отримуємо sin — >1. Звідси sin — = 1 або sin — = -1. & Й Ä Тепер зрозуміло, що задане в умові рівняння рівносильне сукуп- ності двох систем: [ . тис , I Sin — = 1, *2 -2х + 1 = 0, і . кх * | s i n T = -l, lx2 + 2* + l = 0. Відповідь: 1; -1. Г Вправи 37.1." Розв'яжіть рівняння 2 sin 2х = 3 (sin х + cos ж). 37.2." Розв'яжіть рівняння sin 2х + 5 (sin х + cos JC) = 0. 37.3/ Розв'яжіть рівняння: 1) sin3 X + cos3 JC = 1; 2) 1 + 8й|2ж + 2 . 1 + t g * = 3. 1 - sin 2x 1-tg X 37.4/ Розв'яжіть рівняння sin x + cos x = 1 + sin x cos X. 293
- 294. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 37.5." Розв'яжіть рівняння: 1) 3 cos X + 3 sin X + sin Зх - cos Зх = О; 2) cos 4х = cos2 Зх; 3) sin3 X sin Зх + cos3 X cos Зх = cos3 4x. 37.6." Розв'яжіть рівняння: З у/з 1) sin3 x + sin3x =—-~sin2x; 4 2) cos 6x + 8 cos 2x - 4 cos 4x - 5 = 0. 37.7." Розв'яжіть рівняння: 1) cosxcos2xcos4xcos8x = ^ ; 2) cos X + cos 2x + cos 3x + cos 4x = -0,5; о 3) cos2 X + cos2 2x+cos2 3x + cos2 4x = 1-. 4 37.8." Розв'яжіть рівняння: 1) cos X cos 2x cos 4x cos cos 15x; о 2) sin X + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x; 3) cos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = -0,5. 37.9." Розв'яжіть рівняння: 1) 2СО8^-І^ =ж2 + 4л:+ 6 ; 2) 3 cos X + 4 sin x = x2 - 6x + 14. 6 37.10." Розв'яжіть рівняння: D s i n f = x 2 - 4 x + 5; 2) B i n x l c o S x = ^ - ^ - 37.11." Розв'яжіть рівняння sin X = X2 + X + 1. 37.12." Розв'яжіть рівняння Зх2 = 1 - 2 cos х. 37.13." Розв'яжіть рівняння: 1) 4у2 - 4у cos X + 1 = 0; 2) (х + у)2 + 10 (х + у) cos (яху) + 25 = 0. 37.14." Розв'яжіть рівняння: 1) X2 + 8х sin (ху) + 16.= 0; 2) уя -3 V2(cosx-sinx)j/ + 9 = 0. 37.15." Розв'яжіть рівняння: 1) cos 2х + cos ^ = 2; 2) sin6x+cos^- = -2. СІ и 37.16." Розв'яжіть рівняння: 1) c o s ^ c o s ^ = l; 2) sin2x+cos^ = 2.7 6 6 ' З 294
- 295. 37. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь 37.17." Розв'яжіть рівняння: 1) cos7 JC + sin4 X = 1; 2) Vs i n х + Vc o s х = 37.18." Розв'яжіть рівняння: 1) sin3 X + cos® х = І; 2) cos4 X - sin7 JC = 1. 37.19." Розв'яжіть рівняння: 1) sin5 JC + cos5 JC = 2 - sin4 JC; 2) si2 + cosz 2.r -sin3jc-cos3jc. 37.20." Розв'яжіть рівняння: 1) sin 5JC + sin X = 2 + cos2 JC; 2) ^/s+sin2 3JC = sin JC + 2 COS JC. 37.21.* Розв'яжіть рівняння - tg2 sin ITJC - cos = 37.22.* Розв'яжіть рівняння - ctg2 2NJC cosROC+ sin TU: = 37.23.* Розв'яжіть рівняння: 1) FÖ H %—) (2 - sin® JC) = 7 + cos 2y; V sin X! 2) (sin2 X + —V-) +(cos2 Jc+ =12 + ^ sin y. sm2 xl cos XI 2 37.24.* Розв'яжіть рівняння: 1) (sin (JC - y) + 1) (2 cos (2JC - y ) + 1) = 6; 2) tg4 JC + tg4 у + 2 ctg2 JC ctg2 у = 3 + sin2 (JC + y). 37.25.* При яких значеннях параметра а рівняння 6 a c o s ^ - A 2 ( l + 6| JC])+7 = 0 z має єдиний корінь? 37.26.* При яких значеннях параметра а рівняння а2 cos пх - - а (1 + 8JC2 ) = 6 має єдиний корінь? 37.27.* При яких значеннях параметра а рівняння х2 - 2а sin (cos JC) + + 2 = 0 має єдиний корінь? 37.28.* При яких значеннях параметра а рівняння 2JCz - atg (cos JC) + + а2 = 0 має єдиний корінь? 37.29.* Знайдіть множину пар чисел (а; Ь), для кожної з яких рівність а (cos х - 1) + b2 = cos (ajc + b2 ) - 1 виконується для всіх X. 37.30.* При яких значеннях параметра а рівняння (а -1) sin ^ + sin JC = 1 і (а - а2 ) cos 2х + sin JC - а о мають рівні непорожні множини розв'язків? 295
- 296. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь У попередніх пунктах ви ознайоми- лися з основними прийомами розв'я- зування тригонометричних рівнянь. Проте при застосуванні кожного методу є свої тонкощі, нюанси, «підводні рифи». Очевидно, що поза областю визна- чення рівняння коренів бути не може (рис. 38.1). Якщо під час перетворень рівняння відбувається розширення об- ласті його визначення, то зрозуміло, що де може привести до появи сторонніх коренів. Цю небезпеку слід брати до уваги при розв'язуванні тригонометричних рівнянь. Рис. 38.1 ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть рівняння 2 - 2 sin2 де-cos X 6дс2 + 5кх + л2 = 0. Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі (2 - 2 sin2 х-cos а: = 0, ]бх2 + 5пх+п2 Маємо: 2 COS2 JC-COS X = 0 , лХФ- 2' Звідси JC = ^ + 7tft, k e Z , х = ±^+2пп, пє'і л XФ 2' » - і - Зауважимо, що при At = -1 корінь першого рівняння, а при п = 0 один із коренів другого рівняння сукупності не задоволь- няють систему. Відповідь: ~ + 2пп, - £ + 2лт, £ + п є Z, т є Z, k є Z, З 3 2 т Ф 0, k Ф - 1 . 296
- 297. 38. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть рівняння cos X — cos X = 0. 1 - sin X Розв'язання. Перейдемо до рівносильної системи: cos х = 0, cos X = 1, sin х * 1 ; х- — + nk, keZ, X = 2nn, neZ, x*^ + 2nl, leZ. Очевидно, що при парних значеннях k розв'язки першого рівняння сукупності не задовольняють систему. При k = 2т - 1, К 71 т є Z, отримуємо х = — + я(2т-1) = -—+ 2пт, т е 2, Z Сі Відповідь: ~^+2пт, т є Z, 2пп, п є Z. ПРИКЛАД S Розв'яжіть рівняння sin Зх - 2 sin X совЗх Розв'язання. Застосуємо формули синуса і косинуса по- 3sin x-4sin3 x-2sinx трійного аргументу. Отримаємо: 4cos х-3cosx =-Jätg2 x. і = л/З tg2 X. Звідси 3 "1 Х ^—4 sin^j) _ JQ TG2 X. Останнє рівняння рівносильне cos je (1 - 4 sin х) системі tg х = -Тз tg2 X, звідси sinx*±-, tgx = 0, £t х = яn, n e Z , x = ^ + nk, keZ, 6 8ІПХ#±І Ci Відповідь: пп, n є Z. ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть рівняння X (2 sin 2jix+5cos7ix) = 0. Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі 9-х2 = 0, 2 sin 2лх + 5 cos лх = 0, 9-х2 >0. Звідси X2 -9 = 0, 4 sin ях cos rtx + 5 cos nx = 0, X2 <9; 297
- 298. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності х2 = 9, cos пх (4 sin юс+ 5) = 0, х2 <9; х2 = 9, nx=—+nk, fee! хг = 9, cos пх ' 0, Sin пх = — 4' -3<х<3; Розв'язавши відносно k систему відповідь. х2 <9і х = 3, х = -3, x = ~ + k, keZ, -3<x<3. Äe; Відповідь: X = 3, або x ~ -З, або x = - + kt z де А є {-3, -2, -1, 0,'l, 2}. отримаємо ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть рівняння Vc o s 2x cos х = 0. Розв язання, Перейдемо до рівносильної системи: cos Jt=0, cos 2х = 0, cos 2x > 0; x = — + nk, ke.2 ü Л , КП I JC = - +—, ne, c o s 2 J C > 0 . При x =—+ nk маємо: cos 2x = cos (л + 2лА) = -1 < 0 . При 4 0>0. л , ПП Г. лс = —+ — маемо: cos2je=;cos Відповідь: ~+f> п е У деяких тригонометричних тотожностях вирази, які записано в лівих і правих частинах, мають різні області визначення. На- ведемо кілька прикладів. аV т еь sin а - - 2 tg - l + tg:г а (1) 298
- 299. 38. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь Областю визначення лівої частини цієї тотожності є множи- на К, а правої — множина {а є К | а Ф Л + 2nk, k є Z}. ' < 2 > Областю визначення лівої частини тотожності (2) є множина {(а, ß) І а + ß Ф ^ + nk, k є Z}; область визначення правої частини — множина {{а, ß)| а Ф^ + пп, п є Z, + т є %, a + ß * ^ + 7tA, u Z Z k є Z}. Застосування цих формул справа наліво призводить до розши- рення області визначення рівняння, а отже, з'являється загроза появи сторонніх коренів. ПРИКЛАД І Розв'яжіть рівняння {1 + tg2 х) sin х + tg2 х - 1 = 0. Розв'язання. Запишемо дане рівняння у вигляді (1 + tg2 д:) sin X = 1 - tg2 X. Поділимо обидві частини останнього рівняння на 1 + tg2 х. Зрозуміло, що таке перетворення не порушує рівносильності. 1 %ß х X tff^ X Маємо sin X = Оскільки має місце формула cos 2х = , l + tg2 * 1 + tg2 X то виникає бажання замінити праву частину останнього рівняння на cos 2х. Проте така заміна розширить його область визначення ТС на множину чисел виду — + nk, h є Z. Отже, дане рівняння рівно- сильне системі Jsin X = cos 2х, [СО&ХФО. sill JC = —1, Звідси 2 sin2 л; + sin X-1 = 0, cos X Ф 0; 1 sin X = cos X Ф 0, Отримуємо sin X = Відповідь: (-l)ft -£ + nn, n є Z. 6 Очевидно, що звуження області визначення рівняння — це загроза втрати коренів. Наприклад, застосування формул (1) і (2) зліва направо може призвести до втрати коренів. 299
- 300. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Х6 ПРИКЛАД 7 Розв'яжіть рівняння tg2jc+sin2* = — ctg*. 15 Розв'язання. Застосувавши формули 2tgx . п 2tgx . „ і 1 — sm2х = - — і ctg де = - — ,tg 2х =: l~tg2 x' l + tg2 x 1 tgx' дане рівняння зручно звести до алгебраїчного рівняння відносно tg X. Проте такі перетворення звужують область визначення рів- няння і призводять (у цьому нескладно переконатися) до втрати коренів виду —+пп, п є А сі відповіді. Цей факт треба врахувати при запи- , . 2 tg де 2tgx Розв язавши рівняння -— , • +- 16 l-tg2 x l + tg2 * 15tg г * отримаємо x = ±arctg~ + nn, n є Відповідь: ^ + nn, ±arctg^ + Jin, л є ПРИКЛАДІ Розв'яжіть рівняння t g ^ + j c j = - l - 5 c t g * . Розв'язання. Очевидно, що вигідно застосувати тотожність tg tgf- + tg* l - t g ^ t g * . Але при цьому область визначення рів- няння звузиться на множину + nk, k є z j . Легко переконатися, що числа виду —+nk, k є Z, є коренями даного рівняння. Тому запишемо сукупність, рівносильну даному рівнянню: x = ^ + nk, keZ, £ *T + t e x = і 5 tg де" Звідси x- — + nk, keZ, A 1 + tg X 5_ 1 - tg X tg X ' x=~+nk, ft є; tg*=f. Відповідь: ^ + nk, arctg ^ + k є 2 3 300
- 301. 38. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь Вправи 38.1/ Розв'яжіть рівняння: 38 38 3 8 3 8 3 8 3 8 38 1/ 1) .2/ 1) 2) . 3 / 1) 2) 3) 4/ 1) 2) 5 / 1) 6/ 1) .7." 1) 2) .8." 1) sin* _ 2-3 sin X - cos 2х п- „. 1~5зіпrcjc-t-2cosпх - V j «І _ 2 2 ^J п ~ — U. х + 2п "' 6х2 -пх-к2 Розв'яжіть рівняння: sin X - cos X 4JC-JC cos 2х - 2 cos X +1 0; , =0; 12х2 -Ъпх + ri* Розв'яжіть рівняння: cos 2х 1 - sin 2х sin 2х 1 - соя 2х sin2 X + sin X = 0; = 0; 6х + jc — 5 3 sin 2кх + 7 cos 2кх - 3 _ п ОІ 5 —U. 4JC -7JC + 3 ., sin 2х cos 3JC - cos 2x sin 3x „ 4) — = 0; 1 + COS JC 8 sin JC cos JC sin 2JC — 1 „ 5) t=—; ; = 0; = 0; 1 + cos JC Розв'яжіть рівняння: 6) л/І + 2 sin 4x sin 2x 1 + sin JC cos 2x 1 + sin 2JC sin 2x = 0; = 0; 2 sin2 JC + 3 sin JC ^ ") — ї — : — — 1 - COS X sin JC = -2 cos ж. sin 2х n . 5) - = 2sinjc. ' l-cos* АЛ 1 + COS2JC ' 1 + COSJC Розв'яжіть рівняння: VJC-2 sin nx = 0; Розв'яжіть рівняння: лІЗ-х cos Jtx - 0; Розв'яжіть рівняння: C 0 8 J C - 4 s i n 2 J C C 0 8 JC = l-cos JC; 2 ) лі25 - 4JC2 ( 3 s i n 2 n x + 8 s i n Я Х ) = 0 . 2 ) Л / 4 9 - 4 Х 2 (sinnx + 3cos = sin3jc + l 1 - cos JC - sin X = 0; s i n JC + C O S 4 X - 2 _ n o) —— — U. 2 cos ^ - V2 CJ, ~0; cos JC Розв'яжіть рівняння: cos2 2JC - sin2 X sin 3;c -1 2) cos JC + cos Зх + 2 . X 1 sin — - — 2 2 0. 301
- 302. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 38.9." Розв'яжіть рівняння: 1 ) Jsinx C O S Ä : = 0 ; 2 ) jctg X -~ч/з c o s X = 0 ; 38.10." Розв'яжіть рівняння: 1) sjc.os X sin лг = 0; 3) Jcos X (8 sin X + 5- 2 cos 2x)=0. 3) Jsin X {4- 5 cos X - 2 sin2 x) = 0. ~ sin x = 0; z 13л 6 5 2) Jcosx- 38.11." Розв'яжіть рівняння: 1) tg (2* + ^ ) = 2 ctg 2* + ! ctg 38.12." Розв'яжіть рівняння: g 1) tg 2je + sin 2х = — ctg x; 3 2) tg(2*-|) = c t g ^ + 3ctg2*; 3) 2 t g ( | + x ) + 5 ^ t g ( | + x ) = -7. 2) ctg 11л 2 ctg r + 3 tg Ні в Приклади розв'язування систем тригонометричних рівнянь І _ к х У sin X + sin у = 1. Розв'язання. Перепишемо дану систему у вигляді л 2 s i n £ ± £ c o s ^ = 1 .2 2 Підставимо в друге рівняння системи ^ замість х + у. Маємо: З л Х+ У = ~, 2 sin-cos ^ = 1; 6 2 я х-у , cos—~ = 1; л х-у = 4nk, keZ. 302
- 303. 37. Приклади розв'язуваннябільшскладнихтригонометричних рівнянь Далі отримуємо: * = £ + ik, У = ~ 2nk. Відповідь: ( | + 2 n h ; ~ - 2 П А ) , k є Z. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть систему рівнянь COS * Sin ü = —.у 4 Розв'язання. Ураховуючи, що х-у = —, перетворимо друге 6 рівняння системи: Iі (sin (у-х) + sin (у + х)) = | ( s i n + sin (x + у)j = і ; sin (x + у) = 1; x + y- — + 2nk, k e Тепер система набуває вигляду Звідси отримуємо: х-у = ~, x + y = - + 2nk. * 2 х = ~ + nk, и у^ + пк. Відповідь: +nk ft є Z. ПРИКЛАД Э Розв'яжіть систему рівнянь х + у = —, * 4 tgx + tgj/ = l. Розв Я 3 CLflH Я• Перетворимо друге рівняння системи: 8ІП(Х + у) , „ . Jt л/2 — = 1. Оскільки х + у = —, то маємо: cosxcosu = — cos X cos у 4 2 1 V2 - (cos (x + y) + cos (x - y ) ) = — ; I (cos ^ + cos (x - у)) = ^ ; 303
- 304. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності / л Väcos (х-{/) = — ; x-y = ±~+2nk, k є Ъ. 4 Тепер отримуємо: я x-y = - + 2nk, 4 it x + y ^ , X - у = + 2nk. 4 Звідси І ж = 7 + 7tfc, 4 31 і 4 Відповідь: f^+nfe; -яй|, (пА; ^-яй), fee Z. _ , (sin xcos г/= 0,25, ПРИКЛАД 4 Розв яжіть систему рівнянь ] [cos X sin у = 0,75. Розв'язання. Запишемо систему, рівносильну даній: sin X cos у+cos X sin у=1, sin X cos у-cos x sin у = -0,5. sin (x+y) = l , sin(x-i/) = -0,5; x+y = - + 2nk, feeZ, 2 x-y=(-l)n + 1 -5 + яп, n є Z ; Звідси (1) (2) x+y = - + 2яА, Й jt-y = -- + 2ли,у 6 x + y = -| + 2nk, x-y- 5jc + 2nn; х = -+я(А+п), 6 у = | + 6 304
- 305. 37. Приклади розв'язуваннябільшскладнихтригонометричних рівнянь Зауважимо, що, переходячи від системи (1) до системи (2), при . Ш І І И С І розв'язків першого рівняння системи ми використовували параметр к, а при записі розв'язків другого рівняння — пара- метр п. Вживання тільки одного параметра призвело б до втрати розв'язків. Справді, якщо записати систему (2), використовуючи пише параметр k, отримаємо сукупність: X + у = -+2nk, Z х-у = ~— + 2nk, 6 X + у = — + 2nk, £к звідси х-у = - 5л ' 6 + 2nk, x = - + 2nk, 6 п x = ~~+2nk, 6 У- 2п Тепер бачимо, що множина розв'язків отриманої сукупності с підмножиною множини розв'язків вихідної системи. Так, /7л 4л , наприклад, пара є Р°зв язком системи рівнянь, проте не є розв'язком отриманої сукупності. Відповідь: + + ^ + n(k-n)j, л (A+n); ^ + k є Ъ, п е Z. ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть систему рівнянь tg X + tg у = 2, 2 cos я cos г/= 1. Розв'язання. Маємо: sin (лс + у) = 2, cos X cos у cos X cos у = 0,5; sin (х + у) = 1, cos X cos у = 0,5; Jje + y = | + 2nfc, fceZ, (cos je cosy = 0,5; y = ~+2nk-x, у = — + 2nk - x, Ct cos JC cos + 2nk - xJ-0,5; [cos x sin x - 0,5; y = ^+2 nk-x, x = — + nn, 4 y = ^ + n(2k-n), fteZ, n e Z . 4[sin 2x = l; Відповідь: ij + лл; ~ + n(2k~n)j, k є Z, n є Ъ. 305
- 306. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Вправи 39.1/ Розв'яжіть систему рівнянь: 1) 2) cosx + cosi/ = ~; 2 х+у = -К, о й І cos x + cos і/ = -; 4 3) 4) я х-У = - , 2 2 З cos x-cos у = — ; 4 COS X cos у = - 1 39.2/ Розв'яжіть систему рівнянь: 1} ІУ~Х=: 60°, [cos ж + cos у= 1,5; з) х+у= -з> 2) я Х+ 1/ = —,У 4 sin2 x + sin2 y = l; 4) [sin TLX + sin ку =1; « » - f . sin X sin У = 0,25. 39.3/ Розв'яжіть систему рівнянь: 271 1) х + у = - 2) Х + У = 2 П ' sin X -2 sin у = 0; [cos2x+sin у = 2. 5TT — П — 39.4/ Розв'яжіть систему рівнянь * з sinx = 2sin у. 39.5/ Розв'яжіть систему рівнянь: 2)1) = [tgx + tgy = 2; 39.6/ Розв'яжіть систему рівнянь: 2я 1) Х - у - 3 tgx-tg і/ = -2і/3; 2) я * + !/ = -, tg X tg у — Х-У = Ъ , Ctg X ctg у = 1. 306
- 307. 40, Найпростіші тригонометричні нерівності :ш.7." Розв'яжіть систему рівнянь: л/І 1) Sin JC sin и = — ,I » 4 ' COS X cos у •s . 3) x+ у x-y n 0_ I cos — c o s - 0,25, [cos X cos у - -0,5. 2) J sin TtJC СОЗЯІ/=--, z [tgrcxctg Jti/ = -1; ;їУ.8.' Розв'яжіть систему рівнянь: 1) (sin де cos у = -0,5, [cos JC sin у — 0,5; 3) tg X—tg t/=1, л/ІCOSJCCOSLf = ; » 2 sin JC sin у = 2) 4 л/г' | tg ж tg y = -; 4) [cos X cosy = 0,25, х-і/ cos- 2 -cos - 2 = 0,5. Найпростіші тригонометричні нерівності Нерівності виду f (х) > a, f (JC) < а, де f — одна з чотирьох тригонометричних функцій, називають найпростішими тригоно- метричними нерівностями. Підґрунтям для розв'язування цих нерівностей є таке на- очне міркування: множиною розв'язків нерівності / (JC) > g (JC) Є множина тих значень змінної х, при яких точки графіка функ- ції і розміщені вище за відповідні точки графіка функції g (рис. 40.1). На цьому рисунку проміжок (а; Ь) — множина розв'язків нерівності f (х) > g (JC). Розв'язування найпростіших три- гонометричних нерівностей проводи- тимемо за такою схемою: знайдемо розв'язки на проміжку, довжина якого дорівнює періоду даної функції; усі інші розв'язки відрізняються від знайдених на Тп, де Т — період даної функції, п є Z, п Ф 0. Розглянемо приклади. 307
- 308. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність s i n j o - . 2 Розв'язання. На рисунку 40.2 зображено графіки функцій у = sin г і у-- Оскільки arcsin — = то графіки перетинають- 2 2 6 ся в точках з абсцисами ^+2пп, ~ + 2пп, п є Z. 6 6 Розв'яжемо цю нерівність на проміжку К jl 6' 6 + 2п завдовжки в період функції у - sin X. На цьому проміжку графік функції у - sin х знаходиться вище за графік функції у = — при 2 У" 1 (я 5я б; т)(рис. 40.2). у sin х 1-271 f ~2я"о о Рис. 40.2 Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх (iz *5тг — + 2пп; — + 2тin L пе Z. Таке об'єднання прийня- то позначати так: u ( f+ 2пп; — + 27ІП 6 Відповідь записують в один з трьох способів: - + 2пп < X < — + 2пп, п є Z, 6 6 або ( | + 2тт; у + 2лл), п є Z, або ( J (~ + 2пп; — + 2яп). • 6 ІreeZ JZ ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть нерівність s i n x < — . Розв'язання. Оскільки a r c s i n = то розв'яжемо цю не- 2 З рівність на проміжку Ь —+ 2я З З тобто на проміжку Я , 7я З' З 308
- 309. 40. Найпростіші тригонометричні нерівності На проміжку, що розглядається, графік функції у = sin .г розміщений нижче від графіка функції у = ^ при хе[Щ- 2 о о і (рис. 40.3). У' 1 ' У =sinx It Зі / Н 0 К 3 2it 3 f 7т. 3 X Рис. 40.3 Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх (2ІЕ 7 Я ™ + 27Ш; — + 2лп|, п є Z. Відповідь-. — + 2тіп<х< — + 2пп, п є І . З З У прикладах 1 і 2, розв'язуючи нерівності виду sin х > а і sin X < а, ми розглядали проміжок виду [arcsin a; arcsin а + 2л]. Зрозуміло, що розв'язування можна провести, розглядаючи будь- який інший проміжок, довжина якого дорівнює 2л, наприклад проміжок [—2л + arcsin a; arcsin о]. •J2 ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність cosx>——. Z Розв'язання. Маємо: a r c c o s Р о з в ' я ж е м о дану нерівність на проміжку 5л 371 4 * 4 . -2п + Зк 4 ' 4 тобто на проміжку 4 3rc 4 У 1 Зл 4 y= COS X — / X i ! / о j j f ^ y - 42 2 Рис. 40.4 309
- 310. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності На цьому проміжку графік функції у = cos х розміщений вище графік функції при хе(-~; (рис. 40.4). 2 4 4 / Отже, множиною розв'язків даної нерівності е об'єднання всіх проміжків виду ( " f + 2пп; + 2ппJ, п Відповідь: -— + 2пп< х<—+2лп, п є Z. 4 4 ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть нерівність tg х < 1. Розв'язання. Розв'яжемо дану нерівність на проміжку Оскільки arctg 1 = —, то на проміжку, що розглядається, гра- 4 фік функції у - tg х розміщений нижче від графіка функції у — 1 при (рис. 40.5). У У = 1 7 ® / Рис. 40.5 Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх (л л і —— + пп; - + кп, п є Z . Відповідь: -— + пп < X < - + пп, п є 2 4 ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть нерівність ctgx> -л/З. Розв'язання. Розв'яжемо дану нерівність на проміжку (0; п). Оскільки arcctg (--*/з) = то на проміжку, що розглядається, графік функції у = ctg х розміщений не нижче від графіка функ- ції у = при хє(о; y j (рис. 40.6). 310
- 311. 40, Найпростіші тригонометричні нерівності Рис. 40.6 Отже, множиною розв'язків даної нерівності є об'єднання всіх проміжків виду ( 5л ( л п ; - + лп , п є Z. 5л Відповідь: лп<х<^ + лп, пє 6 ПРИКЛАД-б Розв'яжіть нерівність sin х - cos х > -1. Розв' ЯЗСІНН я* Маємо: sin X - sin (^ - jcJ > -1; 2 cos ~ sin (де - ^J > -1; V2sin(x-j)>-L; s i n ( * - 5 ) > - f Нехай x~^=t. Тоді sinf>—у-. У{ X - f 1 у - sin t / X 5л 7л У* ""»v / 4 4 у г—3 1 /1 / 0 І / У~ 2 Рис. 40.7 Скориставшись рисунком 40.7, отримуємо: --+27m<t<—+2тш, п є Z. 4 4 Звідси -- + 2лл<д:- —< — + 2пга; 2лп<х<—+2лп. 4 4 4 2 Зл Відповідь: 2пп <х< — + 2лп, п є Ъ. £t 311
- 312. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей можна інтерпретувати за допомогою одиничного кола. л/3 1 ПРИКЛАД 7 Розв'яжіть нерівність —— <cosx<—. Розв'язання. Виділимо на одинич- ному колі множину точок, абсциси /з . . . 1 яких не менші від —-•- і менші від — 2 2 (рис. 40.8). Множина розв'язків даної нерівно- сті — це множина таких чисел х, що точки PX=R*(P0) належать дузі AB або дузі CD. Маємо: Тз^І 5я ' 2 ) 6 ' 1 ^ л 6 / ß І і (1 ° — і і і 2 l Ä і KO ' i 2 і / DL/ 6 з Рис. 40.8 1 я arccos - 2 З 1 arccos ^ Уявімо собі, що ми рухаємося по дугах AB і CD проти годинни- кової стрілки. Тоді можна записати: A-R-> (Р0), B = RJ (Р0), 7* 5л С = Д0ЧР0), D = RJ(P0). З урахуванням періодичності функції у = cos х переходимо до сукупності, яка рівносильна даній нерівності: - + 2nk<x< — + 2тг/е, З 6 — + 2лй<х< — + 2лА, fteZ. 6 З Відповідь: -+2nk<x*i — + 2nka6o — + 2nk<x< — + 2nk, k є Z. З 6 6 З ч Вправи 40.1.° Розв'яжіть нерівність: 1) s i n x c - ; 4 ) C O S J C < Ä. 2 ' Я . 2) sinjcS*-^; 5) tg X < -1; 3) cosx>& 6)tgx>^§-; і О 7) ctg JC < Л/3; 9) sin JC < —; 6 8) ctg JC > -1; 10) tg JC > 3. 312
- 313. 40, Найпростіші тригонометричні нерівності 40.2.° Розв'яжіть нерівність: IV - .ч Я 1) s i n x < — : 4) cos х > ——; 2 2 7) ctgx > 4 ; 9) cosx>-; 5 2) sin je > - і ; 5) tg X > -1; 8) ctg x < 1; 10) ctg x < 2. іи 3) cosx<~; 6) tgx< -ІЗ; z 40.3/ Розв'яжіть нерівність: 1) sin 2 x > 2 ) t g ) < л/3; 3) ctg 5* > 1; 4) cos(-3*) > 2 4/ 3 40.4.° Розв'яжіть нерівність: 1) s i n - < ^ ; 2) ctg(-f)>>/3; 3 ) t g 2 x < - ^ ; 4)cos4x<7. 3 2 V л / 3 4 40.5.° Розв'яжіть нерівність: 1) tg(*-|)<V3; 3) ctg(j-*)>-!=; 5) c o s ( | + 5 ) < „ ^ ; 2) cos (2* - J ) > ; 4)2 sin ( J - Зх) < л/3; 6) sin (1 - 2x) < 40.6.* Розв'яжіть нерівність: 1) ctg(* + j)»>/3; 3) 2 s i n ( ^ - J t ) < l ; 5) cos(*-|)>|; « Ч м Ь - т * 4> Ч и Ь т ' « - K f K ЛЇ 2 ' 40.7.* Розв'яжіть нерівність: n 1 . . 1 1) — < s i n x<—: ' 2 4 2) --<cosx<-;7 2 4 40.8." Розв'яжіть нерівність: 1Л Vi ^ 1 1 ) < c o s x 4 — ; 2 2 2) -<sinjc<-; ' 3 2 3) -2 < tg X < 3; 4) -l<ctgx<>/3. 3) -4 < ctg X < 1,5; 4) - ^ < t g * < l . 313
- 314. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей ПРИКЛАД 1 Розв'яжіть нерівність tg2 х < 3. Розв'язання. Маємо: ctgх<уІЗ. На рисунку 41.1 зображено графіки функцій у = tg х, У = 4з, у=-&. У' Рис. 41.1 Оскільки arctg л/з = arctg (--Із )=- о Я. л) 2' 2) З , то на проміжку (-—; 2 j графік функції у = tg х розміщений нижче від графіка функції у=$3 і вище за графік функції у = -!$ при ^j. Звідси отримуємо відповідь. Відповідь: ~^ + пп < х< ^ + пп, п є Z. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть нерівність sin4 х + cos4 х <8 Розв'язання. Маємо: (sin2 х + cos2 х)2 -2sina х cos2 х< 8' 1 5 1 3 з 1 4sin2 xcos2 -sin£ 2x>-; sin2 2jt>-; 2 8 2 8 4 1 - cos 4X 3 2 > 4 ; cos 4jc<—. 2 Нехай 4x = t. Отримуємо cos*<-~. 314
- 315. 41. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей Звідси — + 2nn<t< — + 2лп, п є Z (рис. 41.2). З з У ' 2к X " з / I f - Ч 2п 4it X 3 3 / cos t t [ / о X У 2п ^ * X VУ=-2 Рис. 41.2 Тоді — + 2лп<4х< — + 2лп; З З 6 2 3 2 п • а - з Я . ЛП _ Л , ЛПВідповідь: - + — < х < ~ + п € 6 2 3 2 ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть нерівність -5 sin х + cos 2х < 3. Розв ЯЗ d W ня» Маємо: -5sinx + 1 - 2sin х < 3; 2sin2 x + 5 sin X + 2 > 0. Зробимо заміну sin х = t. Маємо: 2t2 + 5f + 2 > 0; t < -2 або t > СІ Оскільки I t ] < 1, TO sinx>-^. Звідси Сі -~ + 2лп<х< —+ 2лп, n є Z. 6 6 Відповідь: - * + 2тт<х< — + 2лп, n є Z. 6 6 У 9 класі ви ознайомились із методом інтервалів для розв'язу- вання раціональних нерівностей. Цей метод можна використову- вати і при розв'язуванні тригонометричних нерівностей. Для розв'язування нерівності виду f (х) > 0 (або f (х) < 0), де f — періодична функція, достатньо, користуючись методом інтервалів, знайти розв'язки на проміжку, довжина якого дорів- нює періоду функції /. Потім записати відповідь з урахуванням періодичності. В аналогічний спосіб розв'язуються нестрогі не- рівності f (х) > 0 і f (х) < 0. ПРИКЛАД 4 Розв'яжіть нерівність sin 2х + sin х > 0. Розв'язання. Розглянемо функцію f (х) = sin 2х + sin х, £>(/) = R, яка є періодичною з періодом 2л. 315
- 316. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності Знайдемо нулі функції / на проміжку [-я; я]. Маємо: sin 2х + sin х = 0; 2 sin X cos X + sin X = 0; 2 sin x (cos + ~J = 0; s i n x = 0, cos X — —- X = Я П , x = ±—+ 2яп, neZ. 3 2л 2n На проміжку [-я; я] функція / має п'ять нулів: -я, ——, 0, и , я. Ці числа розбивають указаний проміжок на проміжки знакосталості (рис. 41.3). Рис. 41.3 Функція / набуває додатних значень на проміжках (-я; - ' ( * ? ) • З урахуванням періодичності функції f запишемо відповідь. 2л 2л Відповідь: ~л + 2яп < х < н 2кп або 2я/і < х < — + 2лп, п є Z. З З ПРИКЛАД 5 Розв'яжіть нерівність ( s i n x - | j t g x > 0 . Розв'язання. Розглянемо функцію f (х) = (sin х - tg х. Вона є періодичною з періодом 2я (доведіть це самостійно). Знайдемо нулі функції f на проміжку (sin X - ~J tg X = 0; я . Зл 2 ' 2 . Маемо: sin x = —, 2 tg X = 0 ; 6 х = яп, n e Z . На проміжку _к Зл L 2 ' 2 . функція f має чотири нулі: 0, п. 6 6 316
- 317. 41. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей Функція / на проміжку Г л З л і І 2' 2 Jне визначена в точках -- п — і — . Ці числа і нулі функції /"розбивають проміжок ? 2 2 п. Зл 2 * 2 . на проміжки знакосталості (рис. 41.4). Рис. 41.4 З урахуванням періодичності функції f запишемо відповідь. Відповідь: ~^-+2пп <х або — + 2пп < х < — + 2пп, або 2 6 2 5л +• 2пп <х<к + 2пп, п є І Вправи 41.1." Розв'яжіть нерівність: 1) | c o s * | > ^ ; 2) I cos 3* 41.2.* Розв'яжіть нерівність: 1) I cos2x І 2) I sin 2х j < 41.3.* Розв'яжіть нерівність: 1 V • 4 4 І) sin —-(-cos — >—; X ^ І 1) sin6 o4-cos6 Jc>—; 8 2) sin X > cos х; 3) I tgx< ; 4) I tg X І > 2. 3) I ctgx |< л/3; 4) I ctg x I > 5. 3 3 2 2) sin(|-Jc)+cos(j-Jc)>^; 41.4." Розв'яжіть нерівність: 3) - sin X + cos X ^ ^ sin X - COS X 3) cos nx + sin IKX + 317
- 318. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 41.5/ Розв'яжіть нерівність: 1) 4 cos X cos + > /3; 41.6/ Розв'яжіть нерівність: 1) 2 sin +^J cos X < л/3; 2) cos) 41.7." Розв'яжіть нерівність: 1) 2 cos2 X + 3 cos JE - 2 < 0; 3) 2cos2 |je+|j-3sin(|-x|>-l; 2) tg2 д е + ( 2 - t g лг-2 л/3 <0; 41.8." Розв'яжіть нерівність: 1) 2 sin2 jc+л/з sinJc-3>0; 2) ctg2 je + ctg X > 0; 41.9." Розв'яжіть нерівність: 1) sin 2х - sin Зх > 0; 2) cos 2х tg X > 0; 3) l-sin3x<|sin|-cos|j ; 41.10/" Розв'яжіть нерівність: 1) sin 2JC + 2 sin X > 0; 2) sin je + sin2x + sin3jc + sin4x<0; 3) sin2 X + sin2 2x - sin2 Зх > 0; 4) cos X cos 3x < cos 5x cos 7x. 2) 3 + 2 sin 3x sin X > 3 cos 2x. 2) cos(*+ j ) c o s ( * - f ) > - f . 4) tg X > 2 ctg x, 3) 4 sin4 X + 12 cos2 X - 7 < 0; 2 4) tgJC + 1 < 2 - tg X. 4) 1 - sin 2x > cos X - sin x; 5) sin X + sin 2x + sin 3x > 0. 42. Тригонометрична підстановка щ Застосування формул скороченого множення, використання відомих нерівностей, зведення тригонометричних рівнянь до алге- браїчних тощо — такі «чисто алгебраїчні» методи ви неодноразово використовували при розв'язуванні тригонометричних задач. Тут ми розглянемо певною мірою обернений прийом, який полягає в тому, що при розв'язуванні задач деякий алгебраїчний вираз замінюють тригонометричним. ПРИКЛАД 1 Відомо, що т2 + пг = 1, р2 + q2 = 1, тр + nq = 0. Обчисліть тп + pq. Роз в язання. Оскільки т 2 + л2 = 1, р2 + q2 = 1, то існують точки А (т; п) і В (р; q), які належать одиничному колу. Тоді існують такі а і ß, що т = cos а, п = sin а, р = cos ß, q = sin ß. 318
- 319. 42. Тригонометрична підстановка Маємо: тр + nq~ cos а cos ß + sin a sin ß = cos (a - ß). 3a умовою mp + nq = 0. Тоді cos {a - ß) = 0. Можна записати mn + pq = cos a sin a + cos ß sin ß = - і (sin 2a + sin 2ß) = sin (a + ß) cos (a-ß). Оскільки cos (a - ß) = 0, то mn + pq = 0. Відповідь: 0. ПРИКЛАД 2 Розв'яжіть систему рівнянь х2 + У*= 1, {4ху(2у2 -1) = 1. Розв'язання. Рівняння х2 + у2 = 1 дає змогу зробити таку за- міну: X = sin а, у = cos а, де а є [0; 2я). Тоді з другого рівняння системи маємо: 4 sin a cos a (2 cos2 a - 1) = 1; sin 4a = 1; a = ft є Z. о Z Із знайденої множини коренів проміжку [0; 2к) належать л 5я 9л . 13л числа —, — , — і ——. 8 8 ' 8 8 Якщо а = то Аналогічно можна знайти й інші три розв'язки. Відповідь: (- У2-У2. УІ2+42 j [ Уг+Уі.Уг-л/г 2 2 Г І 2 ' 2 Зауважимо, що відповідь до прикладу 2 можна подати І . п / . 5л 5тс в тригонометричному вигляді: Ism-; cos—j, ^sin—;cos~l, I . 9л 9л / . 13л 13л ПРИКЛАД 3 Розв'яжіть рівняння Розв'язання. Оскільки має виконуватись умова 1 - х2 > 0, то I X < 1. Тоді можна зробити заміну х = cos a, а є [0; п]. Тепер дане рівняння можна записати так: Vl-cos2 a = 4 cos3 a.-3cos а. Звідси | sin a | = cos 3a. 319
- 320. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності При а є [0; я] sin а > 0, Маємо: sin а = cos За. Розв'язуючи це рівняння, отримуємо а = ~ + я п , п є 2 , 4 8 2 З розв'язків сукупності оберемо ті, які задовольняють умову 0 < а < я. Це числа —, ~ і —. Відповідь: cos^; cos^?; cos^. 8 8 4 ПРИКЛАД 4 Числа x v х2, ..., хп належать проміжку [-1; 1], при- чому сума їх кубів дорівнює 0. Доведіть, що х1+хг+...+ хп Розв'язання. Нехай ху = cos а,, х2 = cos а2 , ..., хп = cos ап, де а. є [0; я], і = 1, 2, ..., п. За умовою cos"' üj + cos3 а2 + ... + cos3 ап = 0.2 Скориставшись рівністю cos а - " маємо: 4 cos3 а - cos За _ 4 cos öj - cos Зсц 4cos а2-совЗа2 4cos a„-cos3an _ 3 + 3 3 ~ = (cos3 at + cos3 a2 +... + cos3 а n ) - (cos За, + cos 3a2 +...+cos Зал) = о о = -^(cos3a1 + cos3a2 + ... + cos3an )<^. • З з ПРИКЛАД 5 Доведіть, що при будь-яких х, у виконується нерів- н і с т ь _ 1 < (х+у)(Х-ху) ^ і 2 (1 + *г )<1+<,2 ) 2 Розв'язання. Зробимо заміну: JC = tg а, у = tg ß, де а є ( - Ь Маємо: (1 + *2 )(1 + / ) (1 + tg а) (1 + tg р) = |sin2(a+ß). Звідси випливає справедливість нерівності, що доводиться. • 320
- 321. 42. Тригонометрична підстановка ПРИКЛАД 6 Доведіть, що: а-Ь Ь-с | с-а {а-Ь) (Ь-с)(с~а) 1 + ab 1 + Ьс 1 + ас (l + a&)(l +ftc)(l+ ac) Розв ЯЗ d W ия» Скористаємося заміною а = tg a, b = tg ß, с - tg у, де a, ß, у належать проміжку Тотожність, що доводиться, стає такою: tg (a - ß) + tg (ß - у) + tg (y - a) = tg (a - ß) tg (ß - y) tg (y - a). Зауважимо, що ос - ß + ß - у у — = 0. Таким чином, задача звелася до доведення тотожності tg х + tg у + tg 2 = tg JC tg у tg 2 при X + у + г = 0. Завершіть розв'язування самостійно. • ПРИКЛАД 7 Доведіть, що з будь-яких 5 різних чисел завжди можна вибрати такі два числа JC І у, що 0 < Х'У 1 + ху <1. Розв'язання. Нехай tv t2, t5 — довільні числа. Тоді в про- міжку T^j існують такі числа а,, а2 , а5 , що ty = tg с^, t2 = tg ос2, ..., t5 = tg a5. Розглянемо чотири Проміжки: , oj, (о;^ , ^j. Зрозуміло, що з 5 чисел а( , а2 , а5 знайдуться щонайменше два числа а і a (a > a ), які належать одному з цих проміжків.п у т . Я Тоді 0 < а и - « „ < - £ . Звідси 0 < t g ( a m - a j < t g f ; 0 < 1 t g a " t g a " <1. L + tgam tgan Позначивши tg a = JC, tg a = у, отримаємо 0< x-y 1 + xy <1. ПРИКЛАД 8 Відомо, що 1 < JC + ІГ < 2. Доведіть нерівність i<jc2 + ja/+i/2 <3. Сі Розв'язання. Позначимо х2 + у2 = г2 , де г > 0. З умови 1 < д:2 -ь + у2 < 2 випливає, що точка М (JC; у) належить колу JC2 + у2 = г2 , де 1 < r < V2 (рис. 42.1). Тоді можна записати, що X = r cos а, у = r sin а, де а є [0; 27t). Маємо X2 + xy + у2 — г2 cos2 a + 2 cos a sin a + r2 sin2 a = r2 (l+~ sin 2aj. M(x; y) + r Оскільки 1 < r2 < 2 і і < 1+і sin 2a < 2 2 2 то x2 + xy + y2 <3. • Li Рис. 42.1 321
- 322. § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності гВправи 42.1. Числа а, Ь, с, d задовольняють умови а2 + Ь2 = 1, с2 + d2 = 1. Доведіть, що І ас - bd | < 1. 42.2. Розв'яжіть рівняння ^ = 2хг -1. 42.3. Розв'яжіть рівняння /і-х = 2x2 -l + 2x-v/l-x2 . [хі/(2х2 -а2 ) = 1 j « її • І1+2х Jl-x2 „ г ,42.4. Розв яжіть рівняння ^ + 2х =1. 42.5. Розв'яжіть рівняння 8х (1 - 2х2 ) (8х4 - 8х2 + 1) = 1. х2 + у2 ~а2 , 42.6. При яких значеннях параметра а система має розв'язок? 2х + х2 у = у, 42.7. Скільки розв'язків має система рівнянь 2у + у2 г = z, 2г+г2 х = х? Зхи — 4х2 42.8. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу — | —. X + у' 42.9. Чи існує 100-елементна множина, яка має таку властивість: разом з кожним числом х вона містить число 2х2 - 1? 42.10. Послідовність (хв) задовольняє умови: = 1, хп+1 — — , п є N. Чи існує таке а, що х ш =-Уз? 42.11. Дано функцію f (х) = 2х2 - 1. Розв'яжіть рівняння f(f (f(x))) = x. 42.12. Послідовність (ал) задовольняє умови: а, = а, ап+1 = 2а2 -1, п е N. Укажіть хоча б одне значення а, при якому а1000 = 0. 42.13. Послідовність (ап) задовольняє умови: at = 0, а2 = а, . ч ^ С1_ _ і 2 2 Ьап , де п > 2, а і b — такі числа, що а + b = 1. а Доведіть, що для всіх п є N виконується нерівність j a | <5 1. 322
- 323. §6.Числові послідовності I s l i B ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ Числові послідовності З поняттям «числова послідовність» ви ознайомилися в 9 кла- сі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості. Розглянемо функцію у = f (х), областю визначення якої є мно- жина натуральних чисел. Тоді функція f задає нескінченну по- слідовність f (1), f ( 2 ) , f (л), ... , Або говорять так: нескінченна послідовність — це функція, областю визначення якої є множи- на N. Можна сказати, що нескінченна послідовність — це відо- браження множини N на деяку непорожню множину. Нагадаємо також, що коли областю визначення функції у - f(x) є множина перших п натуральних чисел, то кажуть, що задано скінченну послідовність. Надалі будемо розглядати тільки нескінченні послідовності. Випадки, коли розглядатимуться скінченні послідовності, будуть спеціально обумовлені. Послідовність f (1), f (2), ..., f (и), ... традиційно записують, позначаючи аргументи функції f у вигляді індексів, тобто: А» fr ^з> К Індекс указує порядковий номер члена послідовності. Для позначення самої послідовності використовують записи ( f j , (ап), (6л) тощо. Наприклад, нехай (ря) — послідовність простих чисел. Тоді рг = 2, р2 = 3, р3 = 5, р4 = 7, р5 = 11 і т. д. Послідовність вважають заданою, якщо кожний їі член можна визначити за його номером. Повторимо основні способи задания послідовностей. Розглянемо послідовність, у якої перший член дорівнює 1, а кожний наступний член на 3 більший за попередній. Такий спосіб задания послідовності називають описовим. Його можна проілюструвати за допомогою запису з трьома крапками, випи- 323
- 324. § 6. Числові послідовності савши кілька перших членів послідовності у порядку зростання номерів: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... . Цей запис доцільно застосовувати тоді, коли зрозуміло, які числа мають бути записані замість трьох крапок. Наприклад, у послідовності, яку ми розглядаємо, зрозуміло, що після числа 19 має бути записане число 22. Послідовності можна задавати за допомогою формул. Напри- клад, рівність хп = 2", де змінна п набуває всіх натуральних зна- чень, задає послідовність (хп) натуральних степенів числа 2: 2, 4, 8, 16, 32, ... . У таких випадках кажуть, що послідовність задано за допо- могою формули п-го члена, або говорять, що послідовність задано формулою загального члена. Розглянемо кілька прикладів. Формула ап = 2п - 1 задає послідовність непарних натураль- них чисел: 1, 3, 5, 7, 9 Формула уп = (-1)" задає послідовність (у ), у якій всі члени з непарними номерами дорівнюють -1, а члени з парними номе- рами дорівнюють 1: -1, 1, -1, 1, -1, ... . Формула сп = 7 задає послідовність (сп), усі члени якої дорів- нюють числу 7: 7, 7, 7, 7, 7 Послідовність, усі члени якої рівні, називають стаціонарною. Нерідко послідовність задають правилом, яке дозволяє знайти наступний член, знаючи попередній. Розглянемо послідовність (ап), перший член якої дорівнює 1, а кожний наступний член послідовності у 3 рази більший за по- передній. Маємо: 1, 3, 9, 27, 81 Цю послідовність, задану описом, також визначають такі умови: at = 1, вл + j = 3ап, ті є N. Записані рівності вказують перший член послідовності і прави- ло, користуючись яким, за кожним членом послідовності можна знайти наступний член: at = 1, а2 = 3ал = З, а3 = 3а2 = 9, а і = 3ая - 27, 324
- 325. §6.Числові послідовності Формулу, яка виражає член послідовності через один або кілька попередніх членів, називають рекурентною формулою (від латин, гесигго — повертатися). У наведеному прикладі це формула ап t 1 = Зач. Умови, які визначають перший або кілька перших членів, називають початковими умовами. У розглядува- ному прикладі початкова умова — це а = 1. Зауважимо, що знання лише однієї рекурентної формули не дозволяє задати послідовність. Ще мають бути вказані початкові умови. При рекурентному способі задания послідовності перший або кілька перших членів послідовності є заданими, а всі інші обчислюють один за одним. З цієї точки зору спосіб задания послідовності формулою я-го члена видається більш зручним: за його допомогою можна безпосередньо знайти потрібний член послідовності, знаючи лише його номер. Означення. Числову послідовність (aj називають з р о с т а ю ч о ю (спадною), якщо для будь-якого натурального числа п викону- ється нерівність ап < ап +J (ад > ап +1). Наприклад, послідовність, яка задана формулою ап = п2 , є зрос- 1 " таючою, а послідовність із загальним членом а = — — спадною. п О з н а ч е н н я . Числову послідовність (ап) називають неспад пою ( н е а р о с т а ю ч о ю ) , якщо для будь-якого натурального числа п виконується нерівність ап < ап (ап > «„+,)• Наприклад, послідовність (ап) така, що а, = а2 = ад = 1 і для всіх п є N, п > 4 виконується рівність ап = 2, є неспадною. Виходячи з означення, стаціонарну послідовність можна від- нести як до неспадних, так і до незростаючих послідовностей. Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні послідовності нази- вають монотонними послідовностями. Означення. Числову послідовність (ап) називають о б м е ж е н о ю зверху, якщо існує таке число С, що для будь-якого натурального числа п виконується нерівність ап < С. Означення. Числову послідовність ( a j називають о б м е ж е н о ю знизу, якщо існує таке число с, що для будь-якого натурального числа п виконується нерівність ал> с. Послідовність називають обмеженою, якщо вона обмежена і знизу, і зверху. 325
- 326. § 6. Числові послідовності Наприклад, послідовність, яка задається формулою ап - ^, є обмеженою. Справді, для будь-якого натурального числа п ви- конується подвійна нерівність 0 < — < 1 . п +1 Послідовності, задані формулами Ьп = п, сп = -гаї, є прикладами необмежених послідовностей. ПРИКЛАД 1 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою па " = 2"' є незростаючою. ,, , . , п п + 1 2п-п-1 п- 1 Ч Л Розвязання. Маємо а„-аи4., = —г = m — = —пт 2 2 2 2 Отже, для будь-якого натурального числа п виконується нерів- ність а > а . ,.л п + 1 Зауважимо, що коли всі члени послідовності є додатними числами, то для дослідження послідовності на монотонність мож- я„на порівняти відношення —— з одиницею.а п + 1 У нашому прикладі легко показати (зробіть це самостійно), що а ~ >1. Звідси в силу того, що > 0, отримуємо ап> ап +1. •а п + 1 ПРИКЛАД І Доведіть, що послідовність, яку задано формулою 10 V^ , а„ — , є обмеженою.п п + 25 Розв'язання. Оскільки ап > 0 для будь-якого п є N, то дана послідовність є обмеженою знизу. Покажемо, що ця послідовність обмежена зверху. Застосував- ши нерівність Коші до чисел л і 25, отримуємо: 10 Уп < 10 4п ^ n + 25 ^ 2уі2ЬП Отже, для будь-якого натурального числа п маємо а < 1. • * в П Р И К Л А Д І Доведіть, що послідовність, задана формулою X = 5" - 4", є необмеженою.п ' Розв'язання. За допомогою методу математичної індукції доведемо, що 5" - 4" > п для всіх л є N. База індукції: при п = 1 нерівність є правильною. Дійсно, 5і - 4і > 1. 326
- 327. § 6. Числові послідовності Індукційний перехід. Нехай при деякому п = k має місце нерівність 5* - 4к > k. Доведемо, що при п = k + 1 виконується нерівність 5*+1 - 4 й + > > k + 1. Маємо: "5і 4 1 - 4* +1 = 5 • 5s - 4 * 4" = 5і + 4(5" - 4") > 5* + 4k > k + 1. За методом математичної індукції нерівність 5П - 4" > п вста- новлено для всіх л є N. Доведена нерівність означає, що послідовність {xj необмежена зверху, тобто для будь-якої сталої С нерівність 5" - 4" < С не ви- конується для всіх п є N. • Г Вправи 43.1/ Доведіть, що послідовність (ап) є зростаючою, якщо: 1) а = 5л - 12; 3) а = 3" - 2П ; 5) а " ' л ' п п+1 2) ап = пг + п - 1; 4)а„ = ^ ; 6) а ^ . 43.2.* Доведіть, що послідовність (ап) є спадною, якщо: 1) а. = 1 1 - 8 « ; 5) = ± 2)ап = -п2 + п + 1; 4) 43.3/ Доведіть, що послідовність (оп) не є монотонною, якщо: 1) ап = (-1)"; 3) ап = sin f ; 5)an = n + (-1)"; 2) ап = (п - 4)2 ; 4) ап =п( -1)Л ; 6) an = sin п°. 43.4.* Доведіть, що послідовність (ая) не є монотонною, якщо: 1) ая = I п - З І; 3) ап = п - (-1)п ; 2 ) a „ = c o s ^ ; 4) ая = (1 + (-1)") п. 43.5/ Наведіть приклад послідовності ( a j з найменшим чле- ном а15. 43.6/ Наведіть приклад послідовності (а ) з найбільшим чле- ном а2А. 43.7/ Дослідіть на монотонність послідовність, задану форму- лою: 1) ап = [л/п]; 2)а„ = ^ ; 3) 327
- 328. § 6. Числові послідовності 43.8." Доведіть, що послідовність (aj обмежена зверху: -.X „ •> „ч 4п Зп2 -1 г , о„ ... .«„ 2п + 7. ^ _ п-1 2 ) а = - п ' + 2п - 4 ; 4 ) а „ = 6 ) а „ = - 43.9/ Доведіть, що послідовність (aj обмежена знизу: 1) а = л3 - 8щ 2) а' я ' ' " п 43.10/ Доведіть, що послідовність (я ) є необмеженою: 1 ) * = ( - 1 Г п ; 2) х = п n + l+t-l)" п 43.11/ Чи є обмеженою послідовність (хл), задана формулою п-го члена: 1) - п<-1)В ; 2) хп= -fi- -? " " (rt + l) +(-1)" n О—ш 43.12/ Доведіть, що послідовність (aj є обмеженою тоді і тільки тоді, коли існує таке число М > 0, що для всіх л є N виконується нерівність j an < М. 43.13/ Для членів послідовностей (ап) і (Ьл) при кожному л є N виконується нерівність a n < bn. Чи правильне твердження: 1) якщо послідовність ( a j обмежена знизу, то і послідовність (Ьи) обмежена знизу; 2) якщо послідовність фп) обмежена знизу, то і послідовність (оп) обмежена знизу; 3) якщо послідовність (ап) обмежена зверху, то і послідовність ( b j обмежена зверху; 4) якщо послідовність (bn) обмежена зверху, то і послідовність (ап) обмежена зверху? 43.14/ Послідовності (ап) і (Ьл) обмежені. Чи можна стверджувати, що обмеженою буде послідовність (св), задана формулою: 1) с = а 4- & ; 3 ) с = ab' п п п ' п п п 2) с = а - b ; 4) с = —, якщо b Ф 0?7 n n n' n h п v n s 43.15/ Знайдіть найбільший член послідовності, заданої форму- лою: о х л х „ 20 2) о = — - ; 4) о, =—j —- ' " п + 9 ' " п -4л + 24 328
- 329. §6.Числові послідовності 43.16." Знайдіть найменший член послідовності, заданої форму- лою: 1) о = п2 - 4л + 1; 5) а = п + 3 cos пп;' п ' п • 9 Я _П ч . 4 . КЛ „ , (л + 3)(п + 12)2) ап =п + —; Ь) ап = ; 3 ) а =2- 2 f - ; 7 ) а 7 п - 4 п + 5 7 " З п - 8 4) ап = (п - 1) (п - 2) (п - 4); 43.17." Чи існує необмежена послідовність, яка для кожного k є N містить k послідовних членів, рівних між собою? 43.18." Чи існує послідовність (оп) натуральних чисел така, що для кожного k є N всі члени послідовності ( a j , крім, можливо, скінченної кількості, діляться націло на ft? 43.19." Чи є обмеженою послідовність: 1) хп = п4 - 7п3 ; 2) хп = 4" - З"? 43.20." Доведіть, що дана послідовність є необмеженою: 1) ж = п - п3 ; 2) X = 2" - 7".' п * ' п 43.21." Доведіть, що послідовність (ап) є обмеженою, якщо: 1 . 1 . 1 1) an = yfn + l-4n; 2) ап = —- + -—+...+ 1-2 2-3 п(« + 1) 43.22." Доведіть, що послідовність (ап) є обмеженою, якщо: 1 1 . 11) ап = УІп2 + 1-п; 2) = ™ + + 1 - 3 3 - 5 ( 2 п ~ 1 ) ( 2 « + 1) 43.23." Чи обмежена послідовність (тл), якщо тп — кількість на- туральних дільників числа пі 43.24." Нехай ал — сума всіх натуральних дільників числа п. Доведіть, що послідовність, задана формулою п-го члена є необмеженою. Vп 43.25." Чи існує послідовність така, що кожне раціональне число є її деяким членом? 43.26." Чи існує послідовність така, що кожний проміжок (а; Ь) містить нескінченну кількість її членів? 43.27.* Доведіть, що послідовність (ап) є обмеженою, якщо: = 2) ап = ^4 + ^4 + ... + >/4. і О п ' „ ' п радикалів п2 43.28.* Нехай ап = Знайдіть найбільший член послідовнос- ті (а„). 329
- 330. § 6. Числові послідовності 43.29.* Чи є обмеженою послідовність, задана формулою -4J' Як вивести формулу Біне У підручнику 9-го класу1 ви читали розповідь про числа Фібо- наччі. Нагадаємо, що так називають послідовність цілих чисел, задану рекурентним способом: "П + 2 = "Л + ] +"„> " Є N, = 1. (1) Перші члени цієї послідовності такі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., тобто кожний наступний член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх. Важко повірити, але л-й член послідовності чисел Фібоначчі можна обчислити за формулою и Цю формулу отримав французький учений Жак Біне (1786- 1856). Довести формулу Біне (2) неважко, якщо її вже записано. Для цього потрібно лише переконатися, що послідовність (2) задоволь- няє означення чисел Фібоначчі, тобто перевірити виконання умов (1). Питання в тому, як Жак Біне знайшов таку дивну формулу. Виявляється, що для цілого ряду послідовностей, заданих реку- рентним способом, існує метод знаходження таких формул. Розглянемо цей метод на прикладі послідовності чисел Фібо- наччі. Спочатку зосередимо увагу лише на рекурентному рівнянні (без початкових умов = и2 = 1): U n+ 2 = U n+ l + U n> ПЄ N - (3) Спробуємо знайти формули для бодай якихось послідовностей, що задовольняють співвідношення (3) при всіх значеннях п є N (такі послідовності називають розв'язками рекурентного рівняння " ^ о = U , + И )•п + 2 п+1 п' 1 А. Г. Мерзляк, В, В. Полонський, М. С, Якір. Алгебра: підручн. для 9 кл, з поглибл. вивченням математики.— X.: Гімназія, 2009. — 384 с. 330
- 331. § 6. Числові послідовності Природно починати пошук розв'язків рекурентного рівнян- ня (3) серед знайомих послідовностей. Чудовим фактом е те, що розв'язки рівняння (3) можна знайти серед геометричних прогресій. Справді, якщо ип = bqn підставити в рівність (3), то отримаємо таке: bq" + 2 = bq" + 1 + bqn . У випадку, коли b = 0 або q = 0, отримаємо стаціонарну по- слідовність 0, 0, 0,..., яка, звичайно, задовольняє рівняння (3). Якщо b Ф 0, q Ф 0, то, скоротивши на bq", матимемо квадратне рівняння: q% - q - 1 = 0, (4) корені якого „ „ І-л/s Таким чином, доведено, що для довільних сталих і Ь2 по- слідовності із загальними членами ^ У „ и : - ь , { i = £ J задовольняють рівняння (3), тобто для всіх п є N мають місце рівності: и' „ = и' , + и ' ,я + 2 "п+ 11 л> и" =и" +и"п+2 п+1 п* Якщо додати ці дві рівності, то отримаємо: К+2 + <+2> = « + 1 + <+х)+ ( < + О - Це означає, що послідовність (ц) така, що ип =и'п + и", тобто « М т ' А Ч Ч - задовольняє рекурентне рівняння (3) при довільних значеннях сталих Ьг і Ь2. Знайдемо такі значення сталих bl ib2 , щоб члени послідовності (5) задовольняли початкові умови иі = и2 = 1 членів послідовності Фібоначчі. Для цього підставимо у формулу (5) значення п = 1 і п = 2. З отриманої системи Ь, м г 0, Г - Л 331
- 332. § 6. Числові послідовності знаходимо, що Підставляючи ці значення у рівність (5), одержуємо формулу Біне (2). Підведемо підсумки нашим міркуванням. Нехай послідовність (ип) задано рекурентним співвідношенням и „ = au , + ßuл + 2 п+1 ^ л і початковими умовами "і = Уі' и 2 = де а, ß, Yj, у2 — деякі числа. Для знаходження формули п-го члена послідовності (uj треба: 1) скласти і розв'язати квадратне рівняння (його називають характеристичним рівнянням): q2 - aq - ß = О, <7і і- Я2 — його різні корені1 ; 2) використовуючи два знайдені корені qx і q2, записати фор- мулу ті-то члена послідовності (гап) з невідомими коефіцієнта- ми Ьх і Ь2: 3) підставляючи в записану формулу значення п - 1 і п = 2 та використовуючи початкові умови, скласти систему для зна- ходження невідомих коефіцієнтів Ьх і Ь2: blq1 + b2q2 = yv 4) розв'язавши систему, знайти Ьх і Ьг Тоді отримана формула задає послідовність (ил): ЗАДАЧА. На клітчатому папері намальовано прямокутну смугу розміром 2 X п. Скількома способами її можна розрізати на пря- мокутники розмірами 1 x 2 (різати дозволяється лише за лініями клітин паперу)? Розв'язання. Позначимо шукану кількість способів через ип. У задачі вимагається отримати формулу для обчислення значень ип для довільного прямокутника 2 х п. Наприклад, при п = 1 маємо один спосіб розрізання, тобто и1 = 1; при ті - 2 існує два способи розрізання (рис. 43.1), тобто и2 = 2; при п = 3 — три способи (рис. 43.2), тобто и3 - 3. 1 Випадок, коли квадратне рівняння q* - aq - ß = 0 має один корінь або не має жодного, ви зможете розглянути на заняттях математичного гуртка. 332
- 333. 44. Границя числової послідовності Рис. 43.1 Рис. 43.2 Зі збільшенням п безпосередньо обчислювати значення и стає все складніше. Розглянемо прямокутник 2 X п. Зрозуміло, що при будь-якому способі розрізання права верхня клітинка смуги 2 х п буде на- лежати або вертикальному, або горизонтальному прямокутнику I X 2. У першому випадку (рис. 43.3) залишиться смуга 2 х (л - 1), яку можна розрізати ип і способом. (л - 1) клітинка (л - 2) клітинки D .1 t і • -і 1 1 1 1 1 L (_Ji 1 1 і t i l І 1 t і • • • і І І І і 1* А F п клітинок Рис. 43.3 п клітинок Рис. 43.4 У другому випадку (рис. 43.4) разом з прямокутником ABCD обов'язково має бути відрізаний і прямокутник ABEF. При цьому залишиться смуга 2 х (л - 2), для якої існує ип _ способів розрізу. Це означає, що и = и і + и п-2- Міркуючи так само, як і при виводі формули Біне, отримаємо ґ ґ Г~П + 1 " 2 Границя числової послідовності а„ = Розглянемо послідовність (aj, задану формулою л-го члена п п +1" Випишемо кілька перших членів цієї послідовності: 1 2 3 4 5 6 7 8 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9' ' 333
- 334. § 6. Числові послідовності Можна помітити, що зі збільшенням номера п члени послі- довності прямують до числа 1. Якщо члени цієї послідовності зображати точками на коор- динатній прямій, то ці точки будуть розміщуватися все ближче і ближче до точки з координатою 1 (рис. 44.1). а, а2 а3 а4 1 • • * I I I І І І І И ^ 0 1 2 3 4 567.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 44.1 Інакше кажучи, значення виразу | о - 1 [ зі збільшенням но- мера п стає все меншим і меншим. Маємо: І а.-11 = п . п-п-1 ~1 1 п + 1 п + 1 п + 1 п + 1* Тоді, наприклад, розв'язавши нерівність —^—<0,1, установ- ці + 1 люємо, що І а — 1 І < 0,1 при п > 10, а розв'язавши нерівність ^ у < 0,0001, установлюємо, що | ап - 1 ] < 0,0001 при п > 10 000 тощо. Узагалі, починаючи з деякого номера значення виразу І а — 1 І стає меншим від будь-якого наперед заданого додатного числа є (читають «епсілон»). Знайти п0 можна, розв'язавши не- рівність — < є . я + 1 У цьому разі говорять, що число 1 є границею послідовно- сті а .п Розглянемо послідовність (Ьл), задану формулою п-го члена п Випишемо кілька перших членів цієї послідовності: і 2— 2— Х * 2' V 4' 5* V 7 Зі збільшенням номера п члени послідовності прямують до числа 2 (рис. 44.2). ь } £>з b5 b7 bs Ьв Ьі Ьг . І • •—> н у м « •—» • 1 ц Ч Ц 2 Ч 3 Рис. 44.2 Це означає, що для будь-якого додатного числа є можнр вка- зати такий номер п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність 334
- 335. 44. Границя числової послідовності Ьп - 2 І < е. Оскільки j Ь„-2|= 2 + ^ — 2 (-1)" 11 —— = —, то номер п І п п0 можна знайти, розв'язавши нерівність — < £. Означення. Число а називають г р а н и ц е ю п о с л і д о в н о с т і (ап), якщо для будь-якого додатного числа є існує такий номер п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність j ап - а < е. Пишуть lim а п = а (тут lim — це початкові літери французь- л— кого слова limite — границя). Для прикладів, що розглядалися вище, можна записати: lim-Аг = 1, lim 2 + і - І ^ ) = 2. Послідовність, яка має границю, називають збіжною. Гово- рять, наприклад, що послідовність (bj збігається до числа 2. Поняття границі послідовності має просту геометричну інтер- претацію. Нерівність виду I ап - а | < £ рівносильна подвійній нерівності -є < о — а < є, тобтоп 7 а - £ < а < а + Е.п Це означає, що коли lim ап = а, то для будь-якого є > 0 зна- йдеться номер п0, починаючи з якого всі члени послідовності належать проміжку (а - є; а + Е). Іншими словами, яким би ма- лим не був проміжок (а - £; а + е), члени послідовності, яка збігається до числа а, рано чи пізно потраплять в цей проміжок1 і вже ніколи не вийдуть за його межі, тобто поза вказаним інтер- валом може знаходитися лише скінченна кількість членів по- слідовності (оп). Використовуючи матеріал пункту 3, означення границі по- слідовності можна записати в компактній формі: |lim ап = oj = {Ve > 0 Эл,, є N Vn > n01 an - а | < є). ПРИКЛАД 1 Доведіть, що lim Зл-1 З 2л + 1 2 Розв'язання, Нехай £ — довільне додатне число. Знайдемо номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується нерівність 3/1-1 з 2п + 1 2 <є. 1 Проміжки виду (а; Ь) називають також інтервалами. 335
- 336. § 6. Числові послідовності Маемо: j Зл-1 3 -5 5 і 2л + 1 2 2 (2и +1) 2 (2п +1) З'ясуємо, при яких п є N виконується нерівність Переходимо до рівносильних нерівностей: 5 < 4пг + 2є; 4ПЕ > 5 - 2є; 5 1 2 (2л +1) -<Е. П >- 4е 2 В якості номера п0 візьмемо, наприклад, число j^-^j+1. Тоді, ЯКЩО п > п0, ТО І' переходячи до рівносильної нерівно- сті 4пе > 5 - 2є, а потім 5 < 4пе + 2є, отримаємо врешті, що 2(2«+1) <£ 1 Зп-1 З 2п + 1 2 <є. Тому lim Зп-1 __ З 2 л + 1 2 ' Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною. ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність (aj, яку задано формулою ап = (-1)", є розбіжною. Розв'язання. Припустимо, що послідовність (ал) є збіжною і lim а - а. Тоді для £ = - існує номер п0 такий, що для всіх п > пд ви- конується нерівність j ап - а | < Отже, при л = 2л0 і п = 2п0 + 1 одночасно мають виконуватися дві нерівності: |а2 П о -а|<| і ] ааЛо+1-а|<|, тобто | l - a | < ! і |-1-а|<|. Легко показати (зробіть це самостійно), що система і - « і 4 і + в і < 1 не має розв'язків. Отримали суперечність. • 336
- 337. 44. Границя числової послідовності Г Вправи 44.1.° Укажіть (без обґрунтування), яке число е границею по- слідовності (хп): 1 п. 5 1 ^ ^ Sill ТІ 1) * я = 3 + і ї 2) 3) дгп = 4) *„=—Г-. П УІП + 1 ' 1 п 44.2.° Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею по- слідовності (х ): 1) = 2 ) = у/2 3) хп = cos п - COS ТІ] 4) 1 +Vn+1' " 4п~ 44.3. Відомо, що деяка послідовність, членами якої є тільки цілі числа, є збіжною. Що можна сказати про цю послідовність (обґрунтовувати відповідь необов'язково)? 44.4." Наведіть приклади трьох послідовностей, що збігаються до числа: 1) 3; 2)-ч/2. 44.5. Чи для кожного числа а існує послідовність, що збігається до at 44.6.* Знайдіть принаймні одне число п0 таке, що для всіх n Р nQ виконується нерівність: 1) ü - l о 1 2) <0,01. n І 20 44.7.* Знайдіть принаймні одне число п0 таке, що для всіх п > п0 виконується нерівність: 1) п-1 -1 <0,3; 2) 2 yjn + l 1 0 0 0 ' 44.8.* Доведіть, що: 1) lim "±1 = 1; л->— П 3) lim 2п + 5 _ 2. Зл З' 5) lim 2) lim n 2«-] І. 2' 4) lim [3 + ^ ^ ] = 3; n t 44.9.' Доведіть, що: 1) lim — = 0; n-i— П 2) lim ilLt2 - 2; 3) lim 4n + l 4 3л + 5 3 4) l i m t i ^ - 0 ; 5) lim 3n +2 _ 3 5n2 -1 5" <Jn+1 2>/n+2 2 337
- 338. § 6. Числові послідовності 44.10.* Доведіть, що стаціонарна послідовність є збіжною. Чому дорівнює границя цієї послідовності? 44.11.' Для довільних чисел с е К, m e N, І Е Fi, k > 1 до- ведіть, що lim у - =0. 44.12.* Нехай при будь-якому £ > 0 в інтервалі (а - є; а + є) міс- титься безліч членів послідовності (ап). Чи правильно, що lim а = а? 44.13.' Нехай при будь-якому є > 0 поза інтервалом (а - є; а + є) міститься скінченна кількість членів послідовності ( a j . Чи правильно, що lim ап ~а? п — 44.14." Нехай lim а = 0. Чи можуть в цій послідовності: л-*<» 1) бути члени, більші ніж 1 000 000; 2) всі члени бути від'ємними;3) всі члени бути більшими, ніж Ю~100 ? 44.15.* Зі збіжної послідовності викреслили всі члени, які сто- ять на парних місцях. Чи буде послідовність, що утворилася, збіжною? 44.16.* У збіжній послідовності змінили 100 перших членів. Чи залишиться послідовність збіжною? Чи може змінитися гра- ниця послідовності? 44.17." Відомо, що границею послідовності ( a j є число До- ведіть, що, починаючи з деякого номера, кожний член послі- довності (ая) буде більшим за 44.18." Покажіть, що коли в означенні границі замість «для будь- якого є > 0» сказати «для будь-якого є», то жодна послідовність не матиме границі. 44.19." Запропонуємо таке «означення» границі послідовності: число а називають границею послідовності (оп), якщо для будь-якого £ > 0 існує такий номер nQ, що для всіх п > nQ ви- конується нерівність І а - а І < Є. Які послідовності матимуть границю за такого «означення»? 44.20." Відомо, що lim І а 1 = 0. Чи правильно, що 1італ =0? Г И « Л — ї « 44.21." Відомо, що послідовність (| ап |) є збіжною. Чи правильно, що послідовність (а ) також є збіжною? 338
- 339. 44. Границя числової послідовності О " » 44.22." Доведіть, що lim агі = а тоді і лише тоді, коли Jl^oo lim I а п - а j = 0. Л —+00 44.23." Чи правильно, що коли послідовність (ап) є збіжною, то послідовність (І ап |) також є збіжною7 44.24." Послідовність (sin aj є збіжною. Чи правильно, що по- слідовність (aj також є збіжною? 44.25." Чи правильно, що коли послідовності (ан) і (bj мають одну й ту саму границю, то цю саму границю має й послідовність о,, bv а2, b2, о3, Ь3, ...? 44.26." Доведіть, що послідовність із загальним членом ал - (-1)" + — є розбіжною. 44.27." Доведіть, що послідовність із загальним членом ап = п є розбіжною. 44.28." Нехай (xj — розбіжна послідовність. Чи можна ствер- джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом Уп « 44.29." Нехай (дгп) — розбіжна послідовність. Чи можна ствер- джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом 44.30." Нехай (хп) — розбіжна послідовність. Чи можна ствер- джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом Уп=п»? 44.31." Нехай ( x j — розбіжна послідовність. Чи можна ствер- джувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом Уп = ~~? п " 44.32.* Нехай (xj — така послідовність, що всі послідовності виду: •у* -у* у •*2t -^І ^В* у» ^4* ^8* Х 12' є збіжними. Чи можна стверджувати, що (хп) — збіжна послі- довність? 339
- 340. § 6. Числові послідовності Властивості збіжних послідовностей У цьому пункті розглянемо деякі властивості збіжних послі- довностей. Т е о р е м а 45.1. Числова послідовність може мати тільки одну границю. Доведення. Припустимо, що існує послідовність, яка має дві границі, тобто lim ап =а і lim an =b, де а ї Ь. Оскільки а * Ь, то можна обрати таке додатне число є, щоб (а - є; а + є) л (& - є; Ъ + є) = 0 (рис. 45.1). а є є b (> а-є а+є Ь-Е Ь+Е Рис. 45.1 Число а є границею послідовності (aj , отже, починаючи з де- якого номера п0, усі члени послідовності (а. ) потраплять у про- міжок (а - є; а + є), а поза цим проміжком знаходитиметься лише скінченна кількість членів послідовності. Отже, у проміжку (Ь - є; b + є) буде знаходитися лише скінченна кількість членів послідовності (ап). Це суперечить тому, що число b — границя послідовності (ön). А Т е о р е м а 45.2. Збіжна послідовність є обмеженою. Доведення. Нехай lima =а. Тоді, починаючи з деякого но- мера п0, усі члени послідовності ( a j потраплять у проміжок (а - є; а + є), де є — деяке додатне число. Поза цим проміжком знаходитиметься лише скінченна кількість членів послідовно- сті (а ). Тому проміжок (а - є; а + є) можна розширити так, щоб новий проміжок (позначимо його (с; С)) містив усі члени послі- довності. Отже, для будь-якого натурального числа п виконува- тиметься нерівність с < ап < С. А З теореми 45.2 випливає, що обмеженість послідовності є не- обхідною умовою збіжності цієї послідовності. Проте ця умова не є достатньою для збіжності. Наприклад, послідовність із за- гальним членом an = (—1)" є обмеженою, але, як було показано в прикладі 2 п. 44, вона не є збіжною. 340
- 341. 45. Властивості збіжних послідовностей ПРИКЛАД 1 Доведіть, що послідовність (ап), яка задана формулою а. - п 3 - 6 = —5 . є розбіжною. Зп + п Розв'язання. Доведемо, що послідовність {ап) е необмеженою, а отже, не може бути збіжною. Справді, для всіх п є п > З, має місце нерівність Крім цього, для всіх л є N має місце нерівність Зп2 + п< 4пг . Таким чином, для всіх и є N, п > 3, маємо /г3 а = а *~6 = £ » Зп2 + п 4п2 8" Оскільки значення виразу де п є N, можуть бути як за- о вгодно великими, то послідовність (aj не є обмеженою зверху, що доводить розбіжність послідовності (ап). • Teopewra 45.3.Яки^о l i m ап = а і а > b (а < b), то, починаю- чи з деякого номера nQ, виконується нерівність я„ > Ь (ап <Ь). Доведення. Розглянемо випадок, коли а > Ь. У якості за- даного додатного числа е візьмемо число ^. Тоді, починаючи з деякого номера nQ, усі члени послідовності потраплять у про- міжок (а - є; а + є). Оскільки а-Ь а+Ь . а - є - а — = —— > о, 2 2 то проміжок (а - £; а + є) містить лише числа, більші за b (рис. 45.2). ^ ^ £ ^ b а-є а+Е Рис. 45.2 Випадок, коли а < Ь, розглядається аналогічно. А Н а с л і д о к . Якщо lima -а, а * 0, то починаючи з деякогол-»« номера п0 виконується нерівність ая | > г, де г — деяке до- датне число. Доведіть цей наслідок самостійно. 341
- 342. § 6. Числові ПОСЛІДОВНОСТІ Т е о р е м а 45.4, Якщо для всіх п є N виковується нерівність а > h , причому існують границі Ііт ап=а і lim Ьп = Ь, то а Ь. Доведення. Припустимо, що а < Ь. Оберемо додатне число є так, щоб (о - є; о + є) П (Ь - є; b + є) = 0 (рис, 45.1). Тоді, починаючи з деякого номера п0, усі члени послідовності (ап) потраплять у проміжок (а - є; а + є), а всі члени послідовності (&,) — У проміжок (Ь - є; b + є), що суперечить нерівності ап > £>п при будь-якому натуральному п. А Теорема 45.5 (про двох конвоїрів). Якщо для всіх п є N виконується подвійна нерівність ап < сп < Ьп, причому послі- довності (ап) і ( b j збігаються до спільної границі, тобто lim an lim bn ~ а, то послідовність (с ) також є збіжною п « п и 71 і lim сп = а. Доведення. Нехай е — деяке додатне число. Тоді, починаючи з певного номера nQ, усі члени послідовностей (aj і (bj потраплять у проміжок (а - є; а + є). Для всіх п > п0 маємо: а - е < а < с < b < а + є.п п п Це означає, що для будь-якого додатного числа е існує номер п(), починаючи з якого всі члени послідовності (cj потраплять у проміжок (а - є; а + Е). Отже, lim сп=а. А ПРИКЛАД 2 Доведіть, що lim . " + Э =0, Vn1 +Ьп-2 Розв'язання. Оскільки для всіх натуральних п має місце нерівність 5п — 2 > 0, то п + 3 ^ п + 3 < п + 3п_4п_ 4 " yjn7 +5п-2 № 4 Використовуючи ключову задачу 44.11, маємо, що lim -т =0. п6 Тому за теоремою про двох конвоїрів hm =0. • О з н а ч е н н я . Послідовність (aj називають н е с к і н ч е н н о м а л о ю , якщо lim ап ~ 0. Наприклад, послідовності, які задано формулами = , 1 2 . . 0„ = 2* С п~~Г> € нескінченно малими. п ijn 342
- 343. 45. Властивості збіжних послідовностей З означення границі послідовності випливає, що коли для будь- якого є > 0 існує номер п0 такий, що для всіх п> п0 виконується нерівність І ßn І < є, то послідовність (ß;|) є нескінченно малою. , Т е о р е м а 45.6. Число а є границею послідовності (aj тоді і тільки тоді, коли загальний член ці& послідовності можна подати у вигляді ап = а + ßn, де (ßn) — нескінченно мала послі- довність. Доведення. Нехай 1ітая =а. Розглянемо послідовність (ß ) Л-»" П таку, що ßn = ап - а. Маємо: для будь-якого є > 0 існує номер п0 такий, що для всіх п > пд виконується нерівність І ап - а < г, тобто І ß І < £. Звідси отримуємо, що послідовність (ßn) є нескін- ченно малою. Нехай тепер виконується рівність ап - а + ßn, тобто ап - а - ßn, де (ßn) — нескінченно мала послідовність. Маємо: для будь-якого є > 0 існує номер п0 такий, що для всіх п > п(і виконується не- рівність j ßn І < є, тобто І ап — a j < є. Звідси lim ап = а. Al ПРИКЛАД 3 Знайдіть границю послідовності ( a j із загальним 4л+ 1 членом а„ = . п Розв'язання. Маємо: 4 n + 1 = — + — = 4 +—. п п п п Якщо позначити т о послідовність (ал) можна подати у вигляді ап = 4 + ßn. Оскільки послідовність (ßn) є нескінченно малою, то за теоремою 45.6 маємо, що lim ——^ = 4. • л - х ~ п При розв'язанні багатьох задач буває доцільним використо- вувати таке твердження lim ~ = 0, де а > 1 Ідею доведення цього факту проілюструємо на конкретному прикладі. ПРИКЛАД 4 Доведіть, що послідовність (х ), яку задано формулою п хп = , є нескінченно малою. Розв'язання. Скористаємося нерівністю Бернуллі (1 + х)п > 1 + пх, яка має місце для всіх х > -1 і п є N. Маємо: 1,21" = (ІД)* = ((1 •+0,1)л )2 >(1 + п - 0 , 1 ) 2 > ~ . 343
- 344. § 6. Числові послідовності Звідси для всіх л є N виконується подвійна нерівність: 0 < — . 1,21" п Оскільки lim = 0, то за теоремою про двох конвоїрів л-»~ П lim — = • 1,21" О—» ПРИКЛАД 5 Доведіть, що І і т ^ л =1.' Л —' Розв'язання. Доведемо, що для довільного е > 0 знайдеться номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується подвійна нерів- ність 1-є<%/л<1 + є. Зазначимо, що 1 - є < ^ л для всіх л є N. Розглянемо нерівність 4п< 1+є. Маємо: п < (1 + є)я , -—-—<1. (1 + є)" Оскільки lim — = 0 для всіх а > 1, то lim — - — = 0. За тео- а 1+ £)П ремою 45.3 існує такий номер лп, що для всіх п > п0 має місце нерівність —-—<1. (1 + Є)" Таким чином, для довільного е > 0 доведено існування такого л0, що для всіх л > л0 виконується подвійна нерівність 1 — £ < < 1+є. Це означає, що 1ітл/л = 1. • ПРИКЛАД 6 Знайдіть границю lim л - ? « , Розв'язання. Скористаємося теоремою про двох конвоїрів. Маємо Водночас для всіх ті є N, п ^ 2 виконуються нерівності /зп + 1 <л/3"+3" -у]2-Зп Оскільки lim fn = 1, то неважко довести (зробіть це самостій- на« но), що 1іт3-^л = 3. Тому за теоремою про двох конвоїрів lim /3" + 1 =3. • 1 При п = 1 під записом фїп тут і далі будемо розуміти а ( . 344
- 345. 45. Властивості збіжних послідовностей Т е о р е м а 45.7. Добуток обмеженої послідовності і не- скінченно малої послідовності є нескінченно малою послідов- ністю. •Доведення. Нехай послідовність (ап) є обмеженою, а послі- довність (ßn) — нескінченно малою. Покажемо, що lim ü„ß„ =0. У силу ключової задачі 43.12 існує таке число С > 0, що для всіх натуральних чисел п виконується нерівність | ап | < С. U Є Нехай є — додатне число. Тоді для додатного числа — існує С номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконується нерівність ! М < § . Тоді для всіх п > п0 можна записати | e A H « » H ß J < c - § = b Це означає, що lim aßn = 0. • л-f« Наслідок. Добуток нескінченно малої та збіжної послідов- ностей є нескінченно малою послідовністю. Доведіть цей наслідок самостійно. Т е о р е м а 45.8. Якщо U m a n = a , де а > 0, то lim Ja^~Ja. п —> •> " п —> ~> Доведення. Зауважимо, що з умови ап > 0 і теореми 45.4 випливає нерівність а > 0. Тому вираз J a має зміст. Розглянемо випадок, коли а > 0. Помножимо і поділимо вираз | фї^-Jä | на двочлен + 4а. Маємо: і yfä^ + yfa а -а Jä^ + Jä З умови Ііш а п ~ а маємо, що lim І а„ - о 1 = 0 (див. ключову rt—n—»t™ задачу 44.22). Водночас з нерівностей випливає Jan + Ja Ja обмеженість послідовності із загальним членом •— —•/=. За тео- Jan + -Ja ремою 45.7 Мт J a ^ - J ä =0. Знову використовуючи задачу n-fc«1 1 44.22, маємо lim Ja^ = Jä. n - » » 346
- 346. § 6. Числові послідовності Розглянемо випадок а = 0, тобто lim ап = 0. Треба довести, що ге-»» для довільного є > 0 існує такий номер пд, що для всіх п > П0 виконується нерівність тобто ап < є2 . Обґрунту- вати останню нерівність можна, якщо в означенні границі lim а = 0: Ve, > 0 є N Уп > пп j а - 0 І < є, і о и г п ' 1 покласти Ej = Е2 . ^ Міркуючи аналогічним чином, можна довести і таку теорему. Т е о р е м а 45.9 ( г р а н и ц я кореня). Якщо 1 і т а п = а , де ап > 0, то lim tfa^ = tfa, де k є IM, k > 1. Вправи 45.1.* Доведіть, що границя послідовності (хл) дорівнює нулю, якщо: І ол 1 С1 п2 + 2п-1 Vn + l Vn+V« +1 an +n-Z 2) x — —-; 4) X = — — Vn3 + 4 п + 5га +1 45.2.* Доведіть, що границя послідовності ( x j дорівнює нулю, якщо: п -1 „ п3 + п D *П=ТП==> 2) г ; 3) *„ = - " V^ + 2 V ^ T ' " п5 + 2n + 3 ' 45.3.* Знайдіть границю: 1) lim (1+^=1; 3) lim 5 ) l i m ^ ± « . л-»<"і j л->™ n л-»™ a „ч ,. 3n-2 (Vn+l) — л 2) lim ; 4) lim ,= ; 45.4.' Знайдіть границю: 1) lim (з-Д-); 3) lim [n2 + -л4 ; л-»- n I в«-»~ n I 2 ) l i m ^ n l ; 4) ü m ^ . 346
- 347. 45. Властивості збіжних послідовностей 45.5." Для даної збіжної послідовності (ал) знайдіть таку нескін- ченно малу послідовність (ßn), що ап = а + ßn, де а — границя послідовності (ап): •л 1 ОЛ п о 4 «-2 п2 + (-1)" 1) = —; 2) а = — - ; 3) а = - ; 4) а„ = ^——. ' " п " /і + 1 ' " Зл + 1 " ^ +1 45.6." Для даної збіжної послідовності (a j знайдіть таку нескін- ченно малу послідовність (ßn), що ал = а + ßn, де а — границя послідовності (оп):и 1 „ч п +1 „ (-1)" .ч 2п 1)an=-j=; 2 ) * . « — ; 3)a„=2-^ 4) a„ = — . 45.7." Для членів послідовностей (an) і (bj при кожному ті є N ви- конуються нерівності 0 < an < bn. Чи правильне твердження: 1) якщо послідовність i b j нескінченно мала, то і послідовність (оп) нескінченно мала; 2) якщо послідовність ( a j нескінченно мала, то і послідовність (Ь ) нескінченно мала? 45.8." Чи є послідовність (jcn) збіжною, якщо: = 2) хп = 4ті-4п; 3) xn = ra2 sinn°? 45.9." Чи є послідовність (хп) збіжною, якщо: 1 ) Ж в = _ » ; 2) хп = 2" — cos п; 3) хп = л'"1 '" ? п + З 45.10." Обчисліть границю l i m w n + l Д-+оо 45.11/* Обчисліть границю lim in-Vn2 +з). 1 45.12." Доведіть рівність lim лд" = 0, де q є (-1; 1). л-» — • 45.13." Доведіть рівність lim tfa = 1, де а > 1. 45.14." Знайдіть границю послідовності (х ), заданої формулою: - У " . оі - 6 Ї . о. - І 3 " ' п • ,,4 _ п-1 1) Х п ~ gB » 2) 2п > 3) Х „ - у g„ » 4) - . 45.15." Доведіть, що Є нескінченно малою послідовність (JC ), якщо: 1) 2) 3) 45.16." Послідовність ( a j прямує до нуля. Чи можна стверджува- ти, що має границю послідовність (S ), яку задано формулою S = а, + а, + ... + А ?п 1 2 п 347
- 348. § 6. Числові послідовності 45.17." Знайдіть границю послідовності (хп), якщо: 1) хп = ч/4" + л; 4) хп = 1 +2п1 +... + пп 1 І „, sin п 5" 3) 45.18." Знайдіть границю послідовності (хп), якщо: 1) хп =У!Ъл + п-2; 3) xn^l+2n + T; = cos (ЛІ) .. „2і - 2) хп - — 4 ) хп = Wnl; УІП 45.19.* Побудуйте графік функції f (де) = lim v i + x2n . 45.20.* Знайдіть границю послідовності (jcJ, якщо zlnn +1 /rtn +2 " " УІп"+п' 45.21.* Знайдіть границю послідовності (ял), якщо _ I5 + 35 + 55 + ... + (2п-1)5 45.22.* Наведіть приклад такого л є N, що 1 + 1 + 1 + ... + — >100, 2 3 п та доведіть необмеженість послідовності (хл) із загальним чле- ном Х„ =1 + 1+1+... + —.2 3 п Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями Знаходити границі збіжних послідовностей за допомогою озна- чення границі — задача трудомістка. Полегшити процес пошуку границі дозволяють теореми про границі суми, добутку і частки двох послідовностей. Т е о р е м а 46.1. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю. Доведення. Нехай (а ) і (ßn) — нескінченно малі послідов- ності, тобто liman = limß„=0. Покажемо, що 1 і т ( а л + ß j = 0. 348
- 349. 46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями Нехай є — задане додатне число. Тоді для додатного числа ^ А існує номер п0 такий, що для всіх п > п0 виконуються нерівності l « J < f і l ß J < | - Тоді для всіх п > п0 можна записати І a„+ß„|<KMßn !<§+§=«- Це означає, що lim (а„ + ßn) = 0. А За допомогою метода математичної індукції можна показати, що сума скінченної кількості нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю. Т е о р е м а 46.2 (границя суми). Як що послідовності (aj і (Ь ) є збіжними, то послідовність (а+Ь ) також є збіжною,V п ' * п и/ причому lim (ап + b„)= lim ап + lim Ьп. п > ге—*™ Доведення. Нехай lim ап - а, lim Ьг - Ь. Тоді в силу теореми п—>« л— 45.6 можна записати а = а + а ,п п' b =Ь+ß,п Г П ' де (а ) і (ßr) — нескінченно малі послідовності. Звідси ап + bn = а + b + (an + ßn). За теоремою 46.1 послідовність (an + ßn) є нескінченно малою. Отже, в силу теореми 45.6 послідовність (an + bj є збіжною, при- чому lim (ап + Ьп) = а+Ь. м. ПРИКЛАД 1 Знайдіть lim — — . га-» оо fl 2n + 1 I 2n 1 / 1 Розв'язання. Маємо: lim = l i m — + — =lim 2 + - L л->™ n n - > ° = n n) п - > ~ П/ Послідовність із загальним членом а = + ^ подано у вигля- п ді суми двох збіжних послідовностей із загальними членами ХЛ = 2 і у„=—. Тоді можна записати: " п П/ в —) lim 12+ — | = lim 2 +lim — = 2+0 = 2. • П-»« ТІ 349
- 350. § 6. Числові послідовності Т е о р е м а 46.3 ( г р а н и ц я добутку). Якщо послідовності (ап) і (Ьп) є збіжними, то послідовність (апЬп) також є збіжною, причому lim (апЬп) = lim аП • lim Ьп. Л — I t — i n » Доведення. Нехай Um ап = а, lim bn~b. Тоді в силу теореми П—»w П— 45.6 можна записати а - а + а ,п п'Ь = Ь + ß ,П 'ч де (ап) і (ßn) — нескінченно малі послідовності. Звідси ab = (а + а ) (b + ß ) = ab + (aß + ba + a ß ).^^ n n v n' v r n' r n л nr nr За теоремою 45.7 послідовності (aßn), (ban) і (otnßn) є нескін- ченно малими. Тоді за теоремою 46.1 послідовність (aßn +- ban + ccnßn) є не- скінченно малою. Отже, за теоремою 45.6 послідовність (anbn) є збіжною, при- чому lim a b = ab. А. Теорема 46.4 ( г р а н и ц я частки). Якщо послідовності (ап) і фп) є збіжними, причому lim bn ФО,Ьп* 0, то послідовність fe)також є збіжною і lim a„ ЬП lim bn ' Доведення. Нехай liman =a, limi>n=fc. Оскільки b ї 0, то П—*™ ft—>™ в силу наслідку з теореми 45.3, починаючи з деякого номера п0, для членів послідовності (ftn) виконується нерівність І Ьп І > г, де г — деяке додатне число. Тоді для всіх n > nQ виконується не- рівність 1 < -. Отже, П О С Л І Д О В Н І С Т Ь І І є обмеженою. Ö За теоремою 45.6 можна записати a = a + a ,л л* • Ъ = b + ß ,n 'n де (an) І (ßn) — нескінченно малі ПОСЛІДОВНОСТІ. Розглянемо послідовність (YJ, яка задається формулою Уп ~К ь- Маємо: у = + + =U bn b b + ß„ b (b + ß„)b bnb 350
- 351. 46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями У силу теорем 45.7 і 46.1 послідовність (£>ал — aßn) є нескін- ченно малого. Послідовність j є обмеженою. Отже, послідов- ність (уп) є нескінченно малою. Тоді за теоремою 45.6 можна записати liiri А П -» ~ Рп Ь 5л + З ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю lim —— 11 — 4л Розв'язання. Послідовності із загальними членами а = 5п + ЗR і Ьп = 11 - 4п є необмеженими, а отже, розбіжними. Тому одразу застосовувати теорему 46.4 не можна. Поділимо чисельник і зна- , 5л + 3 менник дробу ——— на п: 11-4/1 3 л-»">11 — in 11^ ^ п У чисельнику і знаменнику отриманого дробу записано загаль- ні члени збіжних послідовностей. Тому можна записати: 5 + 3 lim (5 + j lim 5 + l i m - _ _ Jim n — nj_ _ n->°» n _ 5 + и _ - - 4 lim ( — -4] lim ** - lim 4 Л л-»»' ТІ / п—ТІ п —І°° 5 0-4 4' 1 — + л 2 л 1 «ап lim І П->оо '1+ _2_ п2 3 + 1 л2 2 п3 lim 1 П—»ööи - 5 ) ПРИКЛАД 3 Обчисліть границю lim п ' +2,г —-. «-»»Зл +л~2 Розв'язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на л3 . Маємо: ц n2 +2/1-1 _ «-»- Зп3 + л-2 ПРИКЛАД 4 Обчисліть границю lim [УІ4П2 + Л -2Л). Розв'язання. Послідовності із загальними членами ая = - І4п2 + л і Ьп = 2 л є розбіжними. Тому одразу застосовувати теорему 46.2 не можна. Проведемо тотожні перетворення: гг~ї о {yjln2 + п + 2л) (74л2 + п - 2п)л/4п + л - 2л = , = "V 4л2 + л + 2л 351
- 352. § 6. Числові послідовності (4ла + п) - 4п2 _ п І4п2 + п + 2п лІ4п2 + п + 2п Тепер отримуємо lim (/4п*"+п - 2п) = lim . 1 — = —. п-»» І 1 м + 2 Вправи 46.1.° Обчисліть границю: 2п 1) lim - • л + 1' 46.2." Обчисліть границю: п + 2 2) lim 1) lim- Зп ' 46.3/ Обчисліть границю: п2 + Зл +15 2) lim п + 5, п+4' 2д + 3, Зп-4' 3) l i m ^ . п-»~ п +1 3) lim loo v ; 1) lim- „ М- 2л -л+ 100 л - Згс + 44 2) lim — • 46.4/ Обчисліть границю: 1) lim -2гГ+7п + 1 л +1 46.5/ Обчисліть границю: 1) l i m f l ^ i . i t l ) ;7 п->»3-2п 4п + 5/ 2п (Зл -1) (л + 4) л + 5л - 7 2) Иш „ 5 п — ; "-»•• л +Зл-8 3) lim 3) lim п-»- л + 2 4п5 +5п4 +3n-2 9п5 + л3 -1 2 1п4 — л8 — л 3) lim -Зп4 +П2 + 12Л" (л +1) (л - 2) (2л + 3) ~(4л-1)(л + 3)(5л-2) 2) lim (4 + 5п) (2л + 1) (л +1) * 46.6/ Обчисліть границю: .. п (ті +1) (л + 2) ' п1 ^. (ті + 3) (п + 4) (п + 5)' 46.7/ Обчисліть границю послідовності, заданої формулою: 3) 1 і т (2л + 1)(3л-1) 2п -З 1) l + 1 + ^ + ... + i ; 2) Хп : 1 1 ' 1 + - + -^- + ... + " 5 5 5" 46.8/ Послідовність задано рекурентно: х = V2, хл+1 =——, n е N. 2 Знайдіть границю lim (JC, + Х2 +... + ХП). г»-»« 352 п
- 353. 46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями 46.9.* Вчитель запропонував обчислити границю l i m l . Учень Василь Заплутайко розв'язав задачу так: l i m l = l i m n - i = П—п—ft = 1іш (— + — + ...+—)= lim — + lim — + ... +lim —= 0+0+ ... + 0 = 0. n-t- n n 711 n-»=» n n-i" n n > V ' ' —•— ' 4 V ' n доданків n доданків n доданків Чи погоджуєтесь Ви з розв'язанням Василя? 46.10.' Розповідаючи розв'язання домашнього завдання, Василь Заплутайко написав на дошці: lim 2 = limЛ—»«• n->*о = 1іт /2-л/2 ^2 = Ит уІ2 • lim - ...*1іт ^2 = 1*1*...-1 = 1. П—* v , П — * v ' П МНОЖНИКІВ 1 1 1 Y...... п множників п множників У чому помилився Василь? 46.11.* Обчисліть границю: ,. лІ2п + 3 0, і- 2п1) lim , — т = = ; 2) Urn , — ] = ; • у/4п+1 + лІп + 3 "^"у/п +1+V2+/1 46.12.* Обчисліть границю: і) lim ' - J ^ — ; 2) l i m ^ L Vn + t+Vrä+3 ' уІ4пг +1 46.13.* Доведіть рівність lim /а =1, де 0 < а < 1. ft-tw 46.14.* Відомо, що 1ітая =а. Доведіть, що: 1) lima2 =а2 ; п— 2) lim а* = 4*, де k є N; 3) limrfä* = yfä1 ', де ft є N, ш є N, m > 1, а, > 0. П —¥ оо 46.15.* Відомо, що 1італ =2, Знайдіть границю: 2 гс a„ + a„ 1) lima„an i l ; 2) lim , 46.16.* Послідовність ( a j прямує до числа 3. Знайдіть границю: 1) lim (a +a (){a -2); 2) l i m ^ - ^ . n->™ n-»« a +5л 46.17.* Послідовність (a ) така, що існує границя lim (a„tl + a„).п п—»» Чи можна стверджувати, що послідовність ( a j є збіжною? 353
- 354. § 6. Числові послідовності 46.18." З послідовності (хп) утворили послідовність із загальним членом у„=х2 - 5хл + 6. Відомо, що (уп) — збіжна послідовність. Чи завжди збіжна послідовність (хп)? 46.19." За послідовністю (хд) побудували послідовність (ул) таку, що уп~ хп - хп + 3. Виявилося, що послідовність (уп) має гра- ницю. Чи обов'язково збіжна послідовність (хв)? 46.20." Члени послідовності (хп) для всіх п є N задовольняють умову хл+1 = х2 + 4хп + 3. Чи існує таке х , що (хл) — збіжна послідовність? 46.21." Доведіть, що послідовність (ап), члени якої для всіх п є N задовольняють рівність Зал +2 (ап + j - 1) = 2ап - 5, є розбіжною. 46.22." З послідовності (хп) утворили нову послідовність (SJ за формулою: Sn = + х2 + ... + xn, п є N. Виявилося, що (Sn) — збіжна послідовність. Чи обов'язково limx =0? Л-»™ 46.23." Обчисліть границю lim (Vn2 - n -n). 46.24." Обчисліть границю lim Л-»™ л100 46.25." Знайдіть границю lim ——. 2 46.26." Знайдіть границю послідовності (хл), заданої формулою: 1 . 1 . 1 1> Х„ = ^ + + + ' Я 1.0 О. Q1-2 2-3 л-(п + 1)' І2 + 2Z +... + п2 2) = і ; п _1-1І + 2-2! + 3-ЗІ + ... + п-пі 3 ) * » " (л + 1)І 46.27." Знайдіть границю послідовності (хл), заданої формулою: i w - І Л • " • х —13 "+23 + ... + п3 1} X "~21 + 3l + - + (n+ l)- Ä) Х "~ п4 2| ^ _ 23 -1 З8 -] ті3 — 1. 23 + 1 З3 + 1 " " • п 3 + Г ь . і 46.28.* Побудуйте графік функції f (х) = lim 1 + х2п " 46.29.* Дослідіть на збіжність послідовність ( x j , якщо: 1) хл = sin 6п; 2) xn = sin 1 + sin 2 + ... + sin п. 46.30.* Чи існує границя послідовності із загальним членом X = cos 7 піп 354
- 355. 47. Теорема Вейєрштрасса 47. Теорема Вейєрштрасса т Важливою ознакою збіжності послідовності є така теорема. Т е о р е м а 47.1 (теорема Вейєрштрасса) . Кожна зроста- юча і обмежена зверху (спадна і обмежена знизу) послідовність має границю. Твердження цієї теореми має просту геометричну інтерпре- тацію. Справді, якщо послідовність (*ч) зростає, то кожний на- ступний її член буде розташований на числовій прямій правіше всіх попередніх членів (рис 47.1). Крім цього, за рахунок обме- женості послідовності (зеп) зверху числом С її члени не можуть необмежено зростати. А отже, існує число х, до якого прямує послідовність (JC ). * • • — « т І І І М Ц — І >- Х 1 Х 2 Х 3 Х * X С Рис. 47.1 Незважаючи на наочність геометричної інтерпретації, дове- дення теореми Вейєрштрасса вимагає точного розуміння таких складних понять як «числова пряма», «дійсне число» тощо. По- яснимо сказане. Один з найпоширеніших способів побудови множини дійсних чисел пов'язаний з аксіоматичним описом її властивостей, на кшталт того, як в геометрії за допомогою аксіом було визначено основні властивості точки, прямої, площини. Серед аксіом дій- сних чисел є, наприклад, такі: 1) а + b = b + а; 2) (а + b) с = ас + be; 3) (ab) с - a (be); 4) якщо a < b і b < с, то о < с. Повний перелік зазвичай містить більше 10 різних умов1 і сформований так, щоб описати всі характерні властивості дій- сних чисел, тобто дозволити відрізняти множину дійсних чисел від інших множин. Тому серед аксіом дійсних чисел має бути і така умова, яка відрізняє множину дійсних чисел від множини раціональних чисел. Зауважимо, що жодна з аксіом 1)-4) не є та- 1 3 ним ви зможете познайомитися у вищому навчальному закладі або у підручниках з математичного аналізу. 355
- 356. § 6. Числові послідовності кою умовою, оскільки раціональні числа також задовольняють аксіоми 1)-4). Чим же принципово відрізняються у своїй будові множини дійсних і раціональних чисел? Говорячи неформально, сукупність раціональних чисел містить «прогалини»; множина ж дійсних чи- сел є повною, тобто не містить «дірок». Справді, якщо зобразити на прямій множину раціональних чисел, то отримаємо фігуру, яка складається з «окремих точок», в той час як дійсні числа «неперервно» заповнюють усю пряму. Точного змісту ці глибокі і складні поняття набули лише у другій половині XIX сторіччя у роботах Карла Вейєрштрасса, Ріхарда Дедекінда, Едуарда Гейне, Георга Кантора, Огюстена Коші, Шарля Мере. Ці науковці знайшли кілька різних способів опису відмінностей між раціональними і дійсними числами. Сформулюємо одну з можливих умов, що відрізняє множину дійсних чисел від раціональних. Принцип вкладених відрізків1 . Будь-яка послідовність вкла- дених відрізків [а ; £>,] D [а2; f>2] D [ag; bg] э ... має непорожній перетин, тобто існує число х(), яке належить усім відрізкам [ак] fcj. Наприклад, послідовність вкладених відрізків [-і; і] з має непорожній перетин — відрізок [-1; 0], тобто існує число дт0, наприклад лс0 = 0, яке належить усім названим відрізкам. Розглянемо інший приклад. Як відомо, >/2 = 1,414.... Тоді по- слідовність вкладених відрізків [1; 2] з [1,4; 1,5] э [1,41; 1,42] з [1,414; 1,415] з ... (1) має непорожній перетин — одноелементну множину (рис. 47.2). Г ГгЛ,-Г1 "І — LL l l ^ J J , 1.4 1,41 1, J42 1, . . Г • Рис. 47.2 Зауважимо, що для множини раціональних чисел принцип вкладених відрізків не виконується. Наприклад, якщо на мно- жині раціональних чисел розглянути послідовність вкладених відрізків (1), то не знайдеться жодного раціонального числа, яке належить усім цих відрізкам. 1 Проміжки виду [а; ft] називають також відрізками. 356
- 357. 47. Теорема Вейєрштрасса / Німецький математик, член Бер- лінської академії наук, Паризької академії наук, почесний член Петер- бурзької академії наук. Його основні роботи присвячені математичному аналізу. Одним з найважливіших його здобутків є система логічного обґрунтування математичного ана- лізу, заснована на побудованій ним теорії дійсних чисел. Вейєрштрасс приділяв значну увагу застосуванню математики до механіки та фізики і заохочував до цього своїх учнів. Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815-1897) Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести важливі властивості множини дійсних чисел. ПРИКЛАД 1 Доведіть, що не існує такої послідовності (хп), серед членів якої є кожне число відрізка [0; 1]. Роз в язання» Розглянемо довільну послідовність (JC ). Обере- мо на [0; 1] такий відрізок [о ; fcj, який не містить xt (зрозуміло, що такий відрізок існує). Далі на відрізку [а^ оберемо такий відрізок [а2; Ь2, який не містить х2. Продовжуючи цей процес, побудуємо послідовність вкладених відрізків [0; 1] з [at; b j з [а2; f>2) з [а3; з ..., в якій відрізок [ак; bj не містить хк, тобто хк« [ак; Ьк]. Тому жоден член послідовності ( x j не може належати перетину побудованих відрізків. Але цей перетин непорожній і містить деяке число X є [0; 1]. Таким чином, доведено, що число х не представлене в послідовності (хд), тобто доведено, що відрізок [0; 1] — незлі- ченна множина1 . • Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести теорему Вейєрштрасса. Доведення. Розглянемо випадок, коли (хл) — зростаюча і об- межена зверху послідовність (випадок спадної і обмеженої знизу послідовності розглядається аналогічно). Тоді існує таке число С, що X < С. 1 Інше доведення цього твердження можна отримати, спираючись на ідею, викладену на с. 46-47 підручника Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики. 357
- 358. § 6. Числові послідовності Побудуємо послідовність вкладених відрізків К ; ь,] =5 [а2; ь2] э [а3; Ь3] z> ... . Нехай а = ж і = С. Тоді всі члени послідовності ( x j нале- жать відрізку [at; fej. Розіб'ємо відрізок [a ; b j точкою dt навпіл. Можливі два ви- падки. 1) Нерівність xn < dx виконується для всіх л є N, тобто всі члени послідовності ( x j не більші за число dl (рис. 47.3). У цьому випадку другий відрізок [a2; Ь2] оберемо так: а2 ~ b2~ dx. f 1 1x z x s---d1 -lb, Рис. 47.3 2) Нерівність хп < dx виконується не для всіх п є N, тобто існують члени послідовності (х ), більші за число df (рис. 47.4). У цьому випадку відрізок [а2; Ь2] оберемо так: а2 = d , b2 = & . 1 • •—|—•—•— Ojl^i ^z -^з^!*4 *5 " * -'''і Рис. 47.4 В обох розглянутих випадках відрізок [a2; b j є частиною від- різка [at; ftj] і містить деякі члени послідовності (хп)т причому для всіх л є N виконується нерівність Хп < Ь2. Оскільки (хп) — зростаюча послідовність, то поза відрізком [og; b2] знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хл). Для побудови третього відрізка [a3; Ь3] повторимо описану про- цедуру. Розіб'ємо відрізок [а2; bg] точкою d2 навпіл. Тоді, якщо нерівність хл < d2 виконується для всіх п є N, то покладемо а8 = а2, b3 = dz; в іншому випадку —- а3 = d2, b3 = b2. Зрозуміло, що відрізок [a3; Ь3] є частиною відрізка [a2; Ь2] і містить деякі члени послідовності (хя), причому для всіх л є N виконується нерівність х < b r Оскільки (хп) — зростаюча послі- довність, то поза відрізком [as; b3] знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хп). Міркуючи аналогічно, побудуємо послідовність вкладених відрізків [о ; £>J з [a2; b2j з [а3; b3J з ... . Зауважимо, що поза кожним з цих відрізків знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хп). Крім цього, оскільки довжина відрізка 358
- 359. 47.Теорема Вейєрштрасса 6J дорівнює ^ . , то послідовність довжин відрізків [ак; bk] du прямує до нуля. . Використовуючи принцип вкладених відрізків, доходимо висно- вку, що існує число ж, яке належить усім побудованим відрізкам. Доведемо, що lim хп -х. Справді, для будь-якого є > 0 інтер- вал (х - є; JC + є) міститиме деякий відрізок [ак; 6J. Оскільки поза відрізком [ak; frj знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (jcn), то і поза інтервалом (JC - є; JC + є) також зна- ходиться лише скінченна кількість членів послідовності Отже, доведено, ЩО X — границя послідовності (jeJ. Теорему Вейєрштрасса доведено. А Зазначимо, що твердження теореми Вейєрштрасса можна уза- гальнити для довільних монотонних послідовностей, тобто кожна монотонна і обмежена послідовність мас границю (доведіть це самостійно). Зробимо ще одне зауваження. Теорема Вейєрштрасса є при- кладом так званої теореми існування. Ця теорема вказує умови, за яких існує границя послідовності. Проте ні формулювання, ні доведення теореми не задає скінченний алгоритм, який дозволив би знайти цю границю. ПРИКЛАД 2 Послідовність ( a j задано формулою аП = = (1 - 2)(1 ~з)(1 ~б)*''*'"(1 - 'р")' Д Є ^ ~~ П 0 С Л І Д°В Н І С Т Ь простих чисел. Чи Існує границя lima ?Л—У« Розв яз сіп ля* Оскільки для всіх л е й мають місце нерівно- сті 0 < ап < 1, то (ал) — обмежена послідовність. З співвідношень 1 — ]< ап випливає, що (ал) — спадна послідовність. Pfi+1J За теоремою Вейєрштрасса існує границя lim ап. • ПРИКЛАД З Послідовність (ап) задано рекурентним способом: а, aB+1 — y]2+an, п є N. Дослідіть послідовність (ол) на збіж- ність і у випадку збіжності знайдіть границю. Розв'язання. Зазначимо, що ап > 0. З а п и ш е м о = 2+а„, а2 +2 = 2+ап+1.Звідсиa2 n+2-a2 n+l = а„+1 -ал. Очевидно, що а2 - а1 > 0. Водночас з припущення ап - ап > 0 випливає, що а2 +2~а п+і> ®> тобто а л + 2 ~ а л + 1 > 0. За методом 359
- 360. § 6. Числові послідовності математичної індукції отримуємо, що (ал) — зростаюча послідов- ність. Маємо al<a2 n+l = 2+an. Звідси а2 п <2 + ая, -1 < ап < 2. Тому ( a j — обмежена зверху послідовність. За теоремою Вейєрштрасса існує границя liman = о . Знайдемо п о - значення границі а. Скористаємося рівністю ал+1 = j2+an . Оскіль- ки lim аП+1 = a, a lim J2+an = 2 +а, то маємо рівняння а = уІ2+а.П-t» Л-*« Звідси а - 2. Відповідь: 1італ = 2. Л—І« й Вправи 47.1.* Послідовність (ап) є збіжною. Чи можна стверджувати, що послідовність (ап) є: 1) монотонною; 2) обмеженою? 47.2.* Послідовність (а ) задано формулою Чи існує границя lim ап ? 47.3.' Послідовність (ол) задано формулою ап= 2 4 6 Чи існує границя lim ап? З • 5 - 7 •...•(2п +1) 47.4.* Чи існує така послідовність вкладених відрізків [а ; b j D ^ [ea; D [а3; Ь3] з ..., що їх перетин складається рівно з двох точок? 47.5." Чи обов'язково послідовність вкладених інтервалів (а,; Ь,) з з (а2; Ь2) з (а3; і>3) з ... має непорожній перетин? 47.6.* Послідовність вкладених відрізків (а^ fcj D [а2; і>2] D з [а„; £>„] з ... задовольняє умову Hm (bn-ап) = 0. Доведіть, щоЗА П відрізки [ап; b j , п є N, містять лише одну спільну точку. 47.7." Послідовність (ап) складається з додатних чисел. Дове- діть, що коли послідовність (Ьп) із загальним членом bn = аг + + аг + ... + ап є обмеженою, то вона є збіжною. 47.8." Доведіть збіжність послідовності (ал), яку задано формулою: 2 > a H+ h+ h+ -+ h-> 4 > 360
- 361. 47. Теорема Вейєрштрасса 47.9." Доведіть збіжність послідовності (ап), яку задано форму- лою: 1) я„ = —+ — + ~ +... + —-—; 3) а„ + + + —у; / " 1 7 25 3" - 2 1 3 5 (2л-1) 2) + + 4 > + + +7 " 1 2й 3s п" п п п + 1 п + 2 5л 47.10." Послідовність (х) задано рекурентним способом: хх = 5, х п+і= у]&+хя, п є N. Дослідіть на збіжність послідовність (хп) і в разі збіжності знайдіть її границю. 47.11." Послідовність (xj задано рекурентним способом: = 1, х п ті п є N. Дослідіть на збіжність послідовність (хп) і в разі збіжності знайдіть її границю. 47.12." Для а > 1 розглянемо послідовність (х) із загальним членом х п=~г- Знайдіть рекурентну формулу, що зв'язує X . а " 1 і хп. Використовуючи знайдену формулу і теорему Вейєр- штрасса, доведіть, що 1іт^- = 0. а„ 47.13." Розглянемо послідовність (лсл) із загальним членом хп = —, де a > 0. Знайдіть рекурентну формулу, що зв'язує xn + і хп. Використовуючи знайдену формулу і теорему Вейєрштрасса, доведіть, що lim — = 0. л! 47.14." Послідовність задано рекурентним способом: ах = 1, ап+і = ап+—2, п є N. Чи є обмеженою послідовність (а )? ü п я 47.15." Послідовність задано рекурентним способом: at = 0, 2а2 + 2па +3 а п + 1 - — " п + 1 ' — > " Є И. Чи є обмеженою послідовність 47.16." Послідовність задано рекурентним способом: a, - 1, а [а*—" art+l = ~+J-f-+l, п є N. Чи є обмеженою послідовність (ап)? а 1 4 47.17." Послідовність (xj є обмеженою. Доведіть існування такого числа X, що при кожному є > 0 проміжок (х - є; х + є) містить нескінченну кількість членів послідовності (xj. 361
- 362. § 6. Числові послідовності 47.18.* Послідовність (aj задано рекурентним способом: є (0; 1), а ,і+і=а п~а п> п є N. Покладемо Ьп = а2 +а| + ... + а2 . Доведіть, що послідовність (ft ) збіжна і lim ft < 1. 47.19.* Послідовності (aj і (ftn) задовольняють умови: а = 1, ft = 9, ' 1 - 'a rPn ' І>,,t , = , 1 є N. Доведіть, що послідовності (а ) і (ft ) збігаються і lim an = lim bn.n n in« 47.20.* Доведіть, що послідовність, задана формулою має границю. Число Ейлера У цьому пункті розглянемо послідовність із загальним членом XB=|l + i J і доведемо її збіжність. Вибір цієї послідовності не є випадковим. Число, до якого прямує послідовність ( x j , є фун- даментальною константою, що грає особливу роль не тільки в математиці, а й у фізиці, хімії, біології, економіці тощо. Дослідимо властивості послідовностей {xj і (у ), які задано формулами = , = . Для всіх п є N виконується нерівність < уп. Справді, < К ) ' " + = + Послідовність (хл) є зростаючою. Достатньо довести нерівність И Ч ^ Ґ - - Застосуємо нерівність а, + а, +... + аь > ^аЛа2... ah, а( > 0,*2 ' яку називають нерівністю Коші1 (рівність досягається при д і = а 2 = - = 1 3 доведенням цієї нерівності ви можете ознайомитися в підручни- ку Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: Підруч. для 9 кл. з поглибл. вивч. математики. С. 231-232. 362
- 363. Число Ейлера Покладемо ах~аг~ ... =ап = 1+ —, оп +1 = 1. Тоді при k = п + 1 маемо: «доданків И + И ) * - 4 + п! .. д+ціі . 1 1 і 7ГТТ * Vi nJ • Звідси . Ъ Послідовність {уп) є спадною. Доведіть це твердження самостійно, скориставшись нерівністю Коші для k = п + 2 і чисел а1 =а2 ~ ... =ап+1 = ^ у > а „ + 2 ~ ^• Чі> Послідовності (xj і (yj є обмеженими. Цей факт випливає з нерівностей х < < уп < у , п є N. Отже, доведено, що ( х j і ( y j — монотонні і обмежені послі- довності. Тому за теоремою Вейєрштрасса існують границі lim (l +—) =а, lim (l+—) =Ь. п! п->~ пі Якщо в рівності уп = |l+—J* хП перейти до границі, то отримаємо Ь = lim yn = lim (і + — J = lim (l+—)• lim xn =1« a. n —э 71/ n-*<» V 71/ n->™ Таким чином, доведено, що (жл) і {уп) — збіжні послідовності, причому lim yn = lim хп.П—»» Границю lim|l+i| або границю lim (і+—] л->~ ті/ І Л-»™ 71/ числом Ейлера і позначають буквою е. Рівність і називають lim (і + —) — е І>->- пі називають другою чудовою границею.1 Можна довести, що е — число ірраціональне. Зазначимо, що при цьому всі члени послідовності (хп) — числа раціональні. Оскільки (хп) — зростаюча, (yj — спадна послідовності, що мають спільну границю, то для всіх п є N виконуються нерівності: X < Є < V .п & п 1 Про першу чудову границю ви дізнаєтесь в 11 класі. 363
- 364. § 6. Числові послідовності Наведені оцінки дають можливість знайти наближене значення числа Ейлера, обчисливши хл та ул при «великих» значеннях п. Наприклад, лс1000 = 2,716..., а у1000 = 2,719... . Це означає, що е = 2,71... . ПРИКЛАД Знайдіть границю lim ( і + . І 1 Розв'язання. Оскільки lim 1 + — п->» 2гі/ то lim(l + -M = lim J ( l + = 2nl 2nl Відповідь: Вправи 47.21. Знаходячи lim(l +—) , Василь Заплутайко записав: «Оскіль- П->м ПІ ки Hm (і + —) = 1, то lim(l + —) = lim 1" = lim 1 = 1». Деі Л-JM Til Л/ n->» • помилив- ся Василь? 47.22. Знайдіть границю: 1) H m ( ^ ) n ; 2) l i m ( ^ ) ; 3) Шп(і-±) n-<« An / п I л —V Я/ 47.23. Знайдіть границю l i m — l). I l" 3 47.24. Доведіть, що 0<e- [1 + -- I <—. Для якого значення п тре- пі п ба обчислити (і • отримати наближене значення числа Ейлера з точністю 10 4 ? 47.25. Доведіть збіжність послідовності (xj, яку задано формулою і • X = п п~п + 1 ^ ™ т -.п+1 + 147.26. Для всіх н е К доведіть нерівності п"е'л < пК п" е Знайдіть границю lim ^ ї . п -><" П 364
- 365. Відповіді та вказівки до вправ Відповіді та вказівки до вправ 1.1. (-) . 1.2. 1. 1.3. 1. 1.4. -b2+ .fc+1 - 1.8. 1. 1.9. + 1.10. 1. ЬІ Ь х8 +х*+1 2"+l 1 1.12. -г. 1.13. Вказівка. З умови випливає, що а — = 1, По- і-г>2 а множте ліву частину даної рівності на вираз 1-14. Вказівка. З умови випливає, що ab + be + ас - 0. Далі (а + b + с)2 = а2 + b2 + с2 + + 2 (ab + be + ас) = a2 + b2 + с2 . 1.16. (x - у) (г - у) (z - JC). Вказівка. Розглянемо даний вираз як многочлен зі змінною х і параметрами у і 2. Покажіть, що цей многочлен має корені у і г. 1.17. (jc - у) (г -- х) х X (у ~ г). 1.18. Вказівка. З умови випливають рівності а-Ь = -— be b-c = -——, с - а — -——. Перемноживши почленно ліві і праві частини са ab цих рівностеи, отримуємо (о-о)(о-с)(с-а) = m • 1-І"- а Ь с 1.20. -115. 1.21. 4. 1.22. 1. 1.23. л/з+1. 1.24. 3+72. 1.25. 3. 1.26. 0. 1.31. Л/ЇО + Л/2. 1.32. 1. 1.33. 0. 1.34. Якщо а > 1, то а + 1; якщо 0 < а < 1, то -а - 1. 1.35. %/l-jt2 . 1.36. -1. 1.37. Якщо 0<а<-І2, то 6 - 4а; якщо а>-І2, то 2(а - І)2 . 1.38. 1.39. Якщо 0 < Ь < а, •Jb то 0; якщо 0 < а < Ь, то 4ä--Jb. 1.40. 2{ab + J a 2 - l y l b z - l ) . Вказів ка. Помножте чисельник і знаменник даного дробу на вираз {a-Vaa -l){&-Vt>2 -l). 1.41. 1.42. Якщо а > 2, то 2; якщо 1 С 1 + 0 < а < 2, то -2. 1.43. Якщо 4 < х < 8, то ^ - г ; якщо х > 8, то 2 х , ЛІици Л С »-»j 1 V I . *-4 Vx-4 1 4 4 U 7• 2Ї Л . -S->/A4S. -Є+ЛЙІ5. „ FT. -5 + У З . - 5 - ^ / 5 .1.44. L) I, i) 3 , A) 10 , 10 , 4) U, 2 , 2 , 5) [-2; 3]; 6) -7; -1; 7) {5} U [1; 2]. 1.45. 1) -1; 2) 3) 5; 4) - £ ; 0; 5) (3; -и»); 6) -2; 4. 1.46. 1) Якщо а * -4, то ; якщо 2 4 + А о = -4, то коренів немає; 2) якщо а * 1, то х = якщо а = 1, то коренів немає. 1.47. Якщо і аФ-—, то якщо а = —~ З 4 За +1 З або а = ~• т 0 к ° Р е н і в немає. 1.48. 1) i j и U (5;+°°); 2) [1;5] U {і}; 3) (-со; -1] и [1; 2] и [3; +»); 4) (-3;-1) и ( і ; 2) U (2; 7); 365
- 366. Відповіді та вказівки до вправ 5) (-»;-!] и (3-л/2;3+V2); 6) -3) U (-3; 2] и (4; 4®); 7) (-7; -5) U U (4; •+«); 8) (-1; 4«); 9) (-1; 1) и (4; 6); 10) -1) U (1; 4«); 11) (—; -4] и U [-2; -1] U [1; 4«); 12) [~4;-3) U [ - | ; o j U [1;+»); 13) -3) U (2; +«); 14) [ | ; l ] U (2:4-«); 15) (l-л/3;2->/2); 16) U 1.49. 1) и (-1-і) и (9;4~); 2) [1;9] и 3) ( — ; -2] U [4; 4«) и {2}; 4) (-«; -2) и (-2; 3); 5) [-2; ^ ^ и (0; 2) U + » ) ; 6) ( 2 ; -1) и U (2; 3); 7) (-»; -1] U (О; 1] и (2; 3]; 8) (2; 4«); 9) [-3-л/5;-4) U (-2;0]; Ю ) U 11) (2; 5); 12) (-»; -3) и (-3; ~2) U U (0; 4°°). 1.50. а < -4 або а > 8. 1.51. а = 1 або а = ~2. 1.52. а= 1. 1.53. о = 3 або а = -. 1.54. а = 2. 1.55. а < -6. 1.56. а < -3 або а > 1. 2 1.57. а > 6. 1.58. а > О. 1.59. а < -1 або а > О. 1.60. О < а < 4. 1.61. а > 1. 1.62. а>. 1.63, 1 < а < 2. 1.64. -5 < а < 1. 1.65. q < 0. 5 1.66. 1) —4; 2; 3) 1; -1; 4) -Л; -V2; -1; 2; 5) 3; 6) а о 7 ) 1+^21. l-JÜ 1 6 7 2 ; 3. 2 ) 1 ; 3 ) _6 ; _2 ; -4-лЯЗ; 4) 5) 1 4 ^ 7 ; l - J l . 1.68. 1) (-3; 1]; 2) [-2; 0] U {§}. 1.69. 1) |) U (4; 7]; 2) [2; 3) U (3; 4«) U {1}. 1.70. 2) ( — ; -2] U [2; 4«); 3) [1; 4«); 4) 4]. 1.71. 3) [О; 2]; 4) (-«; 2]. 1.72. Найбільше значення дорівнює і , найменшого значення не іс- 6 нує. 1.73. Найбільше значення дорівнює 1, найменшого значення не існує. 1.74. 2) 2. 1.75. 1) 2) 1.76. 1) m i n / ( x ) = 5a-3; * [1:1J m a x f ( х ) - 5 а 4 5 ; 2)якщо-1 < a < 2,то maxf(x)=:5, minf (де) = а2 -4a; I-TLJ F-LIFL] 1-1; AT якщо 2 < а < 5, то max f ( x ) -5, m i n / ( x ) = -4; якщо а > 5, то 1-1; »1 1-1:о] max f (х) = а2 -4а, min/: (x)=:-4. 1.77. 2) Якщо а < 0, то maxf(x) = l, I - l ä o ) 1-1;«] ! о ; 3 1 min f (х) = 2а-аг ; якщо 0 < я < 1, то max/(x) = l, min/(x) = 0; якщо Іа:21 [<ц2) la;2] 1 < а < 2, то т а х / ( х ) = 2а-а2 , m i n f ( x ) = 0. 1.78. 1. Вказівка. Ско- fe 2] їв; 2] ристайтеся тим, що функція і/ = Vx + 2Vx-Гз4Vx48 є зростаючою. 366
- 367. Відповіді та вказівки до вправ 1.79. 2.1.80.1. Вказівка. Доведіть, що | х + х 1.81. 2. Вказівка. Перепишіть дане рівняння у вигляді 2 І > 2, а 2 - Л - К 2 . 2 1.$2. 3) Парна; 4) непарна. 1.83. 3) Парна. 1.85. Див. рисунки. 1.87. а) а < 0, b < 0, с < 0. 1.88. а) а > 0, b < О, с > 0. 1.89. Якщо а < 0, то коренів немає; якщо а = 0 або 1 < а < 8, то 4 корені; якщо 0 < а < 1, то 8 коренів; якщо а = 1, то 6 коренів; якщо а = 8, то З корені; якщо а > 8, то 2 корені. 1.90. Якщо а < 0, то коренів немає; якщо а = 0 або а > 1, то 2 корені; якщо 0 < о < 1, то 4 корені; якщо а = 1, то 3 корені. 1.91. Ні. 1.92. max у = 1, min у = -10. Вказівка. Зробіть заміну 2хг 1 + ж* ,2 -t і покажіть, що 0 < ( < 1. Далі розгляньте функцію f (і) = Є - 12f + 1, D (f) = [0; 1]. 1.93. 1) (|; |); 2) (0; 0). 1.94. 1) (|;|j. 1.95. Див. рисунки. У-• 1) у І Л хі * -і 1 X 2) 3) У і vk1 1 1 . л .11 -3 -1 X -5 -2 1 1 4) Рис. до задачі 1.85 5) yk 4! yk о ! / W - ( - - І 8 - - r - r - b 5) 6) Рис. до задачі 1.95 367 -1 7)
- 368. Відповіді та вказівки до вправ Рис. до задачі 1.96 (7) Рис. до задачі 1.97 (4) Рис. до задачі 1.98 (4) Рис. до задачі 1.99 (2) Рис. до задачі 1.101 (1) 1.96. 7) Див. рисунок. 1.97. 4) Див, рисунок. 1.98. 4) Див. рисунок. 1.99. 2) Див. рисунок. 1.101. 1) Див. рисунок. 2.5. 1) Визначити не- можливо; 2) 1; 3) визначити неможливо; 4) визначити неможливо; 5) 0. 2.6. 1) 0; 2) визначити неможливо; 3) 1; 4) визначити неможли- во. 2.7. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1. 2.8. 1) 1; 2) 0; 3) 1; 4) 1. 2.11. 1) Так; 2) визначити неможливо; 3) ні; 4) так; 5) так. 2.12. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 2.15. 1) AVB^AAB; 2) А=*В=АлВ. 2.16. AAB=^ÄVB. 2.17. Наприклад, А * В = AV(AAB). 2.18. Наприклад, = V(ÄAB). 2.19. А = А і A, AVB = (aIB)1(aIB), АЛВ=(АІАШвІБ). 3.1. Предикатами є твердження з номерами 1), 3), 4), 7). 3.5. Z. 3.7. І) (х - 5)г + (х + 2f = 0; 2) (х + 2) (х - 5) = 0. 3.8. 1) М {-2; 5}; 2) К. 3.9. N. 3.10. К. 3.11. 1) Н » ; 2] U (5; 2) R. 3.12. 1) (-«; 5); 2) [2; +<»). 3.14. Л (х) <=> С (ж), В (х) « D (*). 3.15. В (а; і>) <=> С (a; b). 3.19. X — просте число. 4.1. 1) 2) 4.2. 1) 2) -8. 4.11. 1) (0; 0), (л/2;8), (-л/2;в); 2) (0; 0), (-3; 81). 4.12. (0; 0), (1; 1), (»1; -1). 4.13. 4) 1. 4.14. 2) 1. 4.18. 1) Якщо а = 6, то один корінь; якщо а > 6, то 2 корені; якщо а < 6, то коренів немає; 2) якщо а = 1 або а = -8, то один корінь; якщо а < -8 або а > 1, то 2 корені; якщо -8 < а < 1, то коренів немає. 4.19. Якщо о = 0, або а = 3, або а = -3, то один ко- рінь; якщо а < -3 або 0 < а < 3, то 2 корені; якщо -3 < а < 0 або а > 3, то коренів немає. 4,20. Так. Наприклад, / (JC) = х10 . 4.21. Так. 368
- 369. Відповіді та вказівки до вправ Наприклад, f (х) = х . 4.28. 4) min f(x)~ 256, найбільшого значення (—1-2] не існує; 5) т т / ( х ) = 0, найбільшого значення не існує. 4.30. 1) Пар- •ним; 2) непарним; 3) непарним; 4) установити неможливо; 5) парним; 6) установити неможливо. 4.31. f (х) = х7 . Вказівка. Зробимо заміну у = х3 . Оскільки область значень функції у = х3 дорівнює Ж, то для всіх у є К виконується рівність f (у) = у7 . 4.32. f (х) = х3 х |. Вказівка. Зробимо заміну у ~ Xе . Оскільки область значень функції у = х6 — проміжок [0; -к»), то для всіх у > 0 виконується рівність / (у) = у4 . Оскільки f — непарна функція, що визначена на [0; то D (/) = К. І у4 , якщо и >0, , Крім цього, f(y) = 4.33./(x) = j * |5 . 4.34. 1) 1; 2) ~1; |~і/ якщо у <0. 1. Вказівка. Розгляньте функцію f (х) = 2хі + х10 . Вона є парною. Тому досить знайти невід'ємні корені даного рівняння. На проміжку [0; +«>) функція / є зростаючою, отже, рівняння f (х) = 3 на цьому проміжку має не більше одного кореня. 4.35. 1) -1; 2) -1; 1. 4.36. Якщо -1 < а < 0, то min/(x) = /(a) = a8 , max f (х) = /{-1) = 1; якщо 0 < а < 1, то min f (je) = / (0) = 0, max/(x) = /(-~l)=l; я к щ о в > 1, (-l;a] [-bn] TO min f(x) = f (0) = 0, max f(x) = f (a) = as . 4.37. Якщо а < -2, то 1-і;«! 1-і;а] min f (л) = f (0) = 0, max/(x) = /(a) = ae ; якщо -2 < а < 0, то min f(x)~ [о:2] [«21 [а;21 = f (0) = 0, max/ (x) = / (2) = 64; якщо 0 < a < 2, то minf(x) = f(а) = а6 , (к 2) [<к 2) max f(x) = f (2) = 64. 4.38. 1. Вказівка. Перепишіть рівняння у вигля- lf.2] 2 3 1ді —гт + —=- = 5 і виконайте заміну — = t. 4.39. -1. 4.40. f . (х) = х". X X X 4.41. f n (х) = х". 4.42. f (х) = де. Вказівка. Підставте у = 0, 4.43. Таких функцій не існує. Вказівка. Підставте у = 0. 4.44. / (де) = 0. Вказівка. Підставте X = 1 і зробіть заміну г = у + { (1). 4.45. Так. Наприклад, {X s , ї > 0 , 2 4.46. f (х) = X2 . Вказівка. Підставте у = -х і зробіть 0, х < 0 . Ззаміну t = 2х. 5.3. 1) -2500; 2) 5.4. 1) -243; 2) 8. 5.11. 1) (-«; 0) U о и (0; +»); 2) 2) U (2; +«). 5.14. 1) (1; 1), (-1; -1); 2) (2;±). 5.15. (1; 1). 5.18. 1) ii}aj/•(*) = 64, рш|/(х) = 1; 2) p a x / ( х ) = 64, min /(х) = 1; 3) max f (х) -1, найменшого значення не існує; 4) най- М більшого значення не існує, min f (х) = 1. 5.19. 1) max f (х)=27.max Т И 369
- 370. Відповіді та вказівки до вправ jmi|/(.r) = -^; 2) max/(je) = - i , min f (x) = -1; 3) найбільшого значен- ня не існує, m i n / ( * ) - — Л ; 4) найбільшого значення не існує, тіп/(яг) = ^-. 5.20. 1) 4 розв'язки; 2) 2 розв'язки. 5.21. 1) 3 розв'язки; 2) 2 розв'язки. 5.24. 1) Непарним; 2) установити неможливо; 3) пар- ним; 4) установити неможливо. 5.25. f (де) = jc~8 . 5.26. f(x) = ——г. * 1*1 5.27. f (г) = I X Г5 . 5.28. f (*) = j * ' X > ° ' де g (x) - будь-яка функ- ція, що визначена на 0]. 6.3. 9) 3; 10) 2. 6.4. 5) 3; 6) 7. 6.7. 1) 29; 2) 56; 3) - f . 6.8. 1) -11,8; 2) 58^. 6.9. 3) (-«; 0] и [1; +«); 5) {0}. О О 6.16. 1) -1; 1; -3; 3; 2) -2; W ; 3) -АІЗ; Уз. 6.17. 1 ) - t f t ; 3; 2) -ІІЗ; t/3. 6.18. 1) (-«; -3) U [-1; 1] U (3; +<»); 2) [-6; 3). 6.19. 1) (-»; -6) U U [-4; 4] U (6; -н»); 2) (-4; -3] U [3; +»). 6.20. 1) -1; 2; 2) -1; 3. 6.21. 1) -3; 2; 2) -3; 1. 6.24. 1) Вказівка. З припущення %І2=—, де п т є Z, п є N, — — нескоротний дріб, маємо рівність 2п3 = т3 . Звід- п ки т І 2, тобто т = 2m,, гп, є Z. Тоді па = 4mf. Отже, п : 2. Отримали суперечність з тим, що — — нескоротний дріб. 6.26. 1) Якщо a < -1, п то один корінь; якщо a > -1, то 2 корені; 2) якщо a < 0, то коренів немає; якщо а > 0, то один корінь; 3) якщо а < 0 або а = 1, то один корінь; якщо 0 < а < 1 або a > 1, то 2 корені. 6.27. 1) Якщо о > —1, то один корінь; якщо a < -1, то 2 корені; 2) якщо a < 0 або a = 1, то один корінь; якщо а > 0 і а ^ І, то 2 корені. 7.14. 1) a > 0, b > 0; 2) a < 0, b < 0; 3) a > 0, b < 0; 4) a і b — довільні числа; 5) а і b — довільні числа. 7.15. 2) [3; 7]; 3) К. 7.16. 4) | a3 |; 5) m2 . 7.18. 2) -n; 5) c4 ; 8) -0,1 a3 b5 . 7.19. 3) 10*; 7) - a l W . 7.22. 1) [-4; +«); 2) R; 3) [-1; 3]. 7.23. 2) s f j i ^ l . 7.27. 1) Коренів немає; 2) 3; 3) -1; З, 7.28. 1) -4; 2) 2. 7.29. [3; 5]. 8.6. 1) 0; 2) зУЬп. 8.7. 1) 271І2; 2) 29y/ä. 8.8. 4) W ; 5) tiS; 6) 8.9. 5) 6) 8.12. 5) 6) tfa3 ; 7) ї/3; 8) Ö 1 ; 9) 8.13. 5) ^ ; 6) tfäV. 8.14. 1) 3; 2) 1; 3) 14; 4) -1; 5) 1. 8.15. 1) 25; 2) 7; 3) -1. 8.22. Вказівка. Скористайтеся формулою а" - b" = (а - b) (a""1 + a" 2 b + + ... + b"'*). 8.24. 1) ab > 0; 2) b = 0, a — будь-яке число або b > 0, a > 0; 3) b = 0, a — будь-яке число або b > 0, a < 0. 8.25. 1) m2 ii-m; 370
- 371. Відповіді та вказівки до вправ 2) аг Ь3 УЬі 3) х-у$уі 4) 2mV tßbrtn; 5) -ЗаЬ2 ся ІІ2; 6) а3 Ь3 ; 7) -а3 Ьв У-ab2 . 8.26. 1) -2а ІІ2о1 ; 2) -5а ^Са; 3) ab 5/аЬ; 4) a3 b3 tföFb. 8.27. 1) 2) -АІ6аV ; 3) Vinn; 4) З/бб®, якщо b > 0, -л/Sft®, якщо Ь < О; 5) - ^ ö 7 ; 6) -VÖV. 8.28. 1) -l/зё5 "; 2) Va7 ; 3) VSaV; 4) -Alsa*ba ; 5) 8.29. 1} 1; 2) 4; 3) 1; 4) 2; 5) -^3. 8.30. 1) 1; 4 Г 1 2) n/23. 8.31. 1} 2) tfx; 3) -ifä; 4) 5) tfb-Slc', 6) tfeb; а 7) л/а2 -1. 8,35. ж3 - 9x - 12. Вказівка. Піднесіть обидві частини рів- ності je = /3 + /9 до кубу. 8.36. (х - З)3 - 2. 8.37. 1) Вказівка. Якщо ^2 + ^5=х, де х є Q, то х3 ={^2+^/5) х3 =7+3-УЇ0 х. Оскільки х * О, то маємо, що %/ЇО = є Q; 2) Вказівка. Якщо У!З + УІ2 = Х, дехє О, Зх то Ш3 ={х-*ЛТ; 3 = Xs - Зх2 І2 + 6Х-2УІ2] -Л = х *+ f*~3 eQ. 8.39. З*2 + 2 1 -. 8.40. Якщо а = 1, то 2е ; якщо а * 1, то 8.41. -з: к 8.42. ...,- .„у-. 8.43. Вказівка. Використовуючи метод математичної Ч/з + v2 індукції, доведіть рівність 8.45. Вказівка. Помноживши обидві частини рівності на ^2 + 1 і ско- риставшись формулою суми кубів, маємо: —-yj^J2-1 *(л/2+l). V9 Далі піднесіть обидві частини останньої рівності до кубу. 9.6. 3) 9.7. 1) у = 5 (X - 3). 9.8. 2) = D (у) = [0; +•»). 9.9. 4) у = я к щ о ж < 1 > 9.16. k = 1, Ь = 0 або k = -1, Ь - будь- [2-х, якщох>1. яке число. Вказівка. Обернена функція задається формулою у = ~х-~. Звідси —=k і Ь=~—. 9.17, При довільному а, відмінному к k k k від 0, і b = 0. Вказівка. Обернена функція задається формулою у = -——. Тоді для всіх X таких, що х * 0 і х м а є виконуватися ах а рівність —-— = - , яку можна переписати так: b {ах2 + Ьх - 1) = 0. ах + Ь ах Тепер зрозуміло, що підходить тільки b = 0. 9.18. Вказівка. Нехай функція f — непарна, функція g — до неї обернена. Маємо: f (х0) = у0, g (і/0) = Xq. Тоді g (-i/o) = g H (xo)) = g (f ( Xq)) = -x0 = -g (y0). 9.19. 1) 1; 371
- 372. Відповіді та вказівки до вправ 2) -7; 3) один корінь при будь-якому с. 9.20. 2) Коренів немає. 9.21. —1. Вказівка. Дане рівняння рівносильне такому: f (g (JE)) = = f (x3 + X + 3). 9.22. 2. 9.23. 1. Вказівка. Скористайтеся наслідком з теореми 9,4. 9.24. 2. 9.25. —, -; 2 ~—2 . Вказівка. Функція 4 4 /(*) = а:г + і , D (Л = [0; є оберненою до функції g(x) = Jx-і.о V о Крім того, функції f і g є зростаючими. 9.26. . Вказівка. Зро- біть заміну Jx = t. Далі розгляньте функції f (£) = Jl + t, D(f) = [0; +«), I i w - M , D Ш - t l : 9.27. g ( x ) J - f ' « w o x m i ) . [VJC, якщо x e[9; 16). „ „ „ „ F—S/—JC. я к щ о XЄ ( - 9 ; - 4 ) , л 9.28. g{x) = < 9.29. Вказівка. Скористайтеся [уЬ-х, якщо X є (-1; 0]. методом від супротивного. 9.31. Так. Вказівка. Наприклад, f (ті) = = п + 1, Де£)(Л = N U {0}. 9.32. Так. Вказівка. Наприклад, /(п) = 1-2 п при п < 0, f (л) = 2п при п > 0, D (f) = Z. 9.33. Так. Вказівка. Існу- вання шуканої функції випливає з того, що Q — зліченна множина (див. п. 7 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. В., Якір М. С. Алге- бра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. : Гімназія, 2008). 9.34. Так. Вказівка. = при п є N, f(x) = х пІ п + 1 в інших випадках. 9.35. Ні. Вказівка. Відповідь випливає з того, що проміжок [0; 1] — незліченна множина (ідею доведення викладено на с. 46-47 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алге- бра : підруч, для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. : Гімназія, 2008). 9.36. Існують. Наведемо два приклади: 1) f(x) = yj2x, V2 Г~ g(x) = — x; 2) f (ж) = -V2 X, g(x) = ——аг. Вказівка. Розгляньте функцію / (я) = kx, k Ф 0. Тоді g(x)~^-x. 9.37. Наведемо два прикла- k Ди: 1) f(x) = ^ x , g(x) = ^ x ; 2) ftх)=1 -фх, g(x)=-^x. vi7+3Див. вказівку до задачі 9.36. 9.38. — - — . Вказівка. Графік функції f4 належить «смузі», обмеженій прямими у-^JC — 1 і х+1 (див. рисунок). Оскільки графіки функцій f і g є симетричними відносно прямої у = х, то графік функції g належить «смузі», обмеженій пря- мими у - 2х + 2 і у — 2х - 2. Нехай xt і х2 (ач > 0, ж2 > 0) — абсциси точок перетину параболи у - 10 - 2х2 з цими прямими відповідно. Оскільки корінь рівняння g (JC) - 10 - 2х2 належить проміжку (xt; х2) 372
- 373. Відповіді та вказівки до вправ _L 10 0 Л — ш — J Ж і1 X 10 Рис. до задачі 9.38 Рис. до задачі 9.40 і х2 - xt < 0,5, то за відповідь до задачі можна обрати середину 17 + л/193 проміжку (хх х2). 9.39. — . 9.40. Вказівка. Перепишемо дану 16 нерівність у вигляді + + + + 1 І 2 1 / я 99 4 — g j — 1+... 4-й- "[у,-) • На рисунку схематично зображено гра- фік функції f. Тоді сума ^ + ^ f + —+ ^ Д°РІВНЮ€ п л 0 " щі «блакитної» фігури, а сума ^ g + ^ g j + • - - + ^ g — 4 площі «жовтої» фігури. 9.42. f (х) = Зх. Вказівка, При у - 0 і х * 0 отримуємо / (f (X)) - 9х. Звідси випливає, що f — оборотна функція (див. задачу 9.30). При у = х і х * 0 маємо f (f (х) - 2 х) = / (х). 9.43. f (X) = -X. 10.3. 1) К; 2) (-1; 3) (-«>; -2) U (-2; +«); 4) (-«; -1] и [2; +«); 5) (-«; -1] и [1; +»); 6) [3; +«) и {0}. 10.4. 1) R; 2) [2; 4o=>; 3) (-о*; 3) U (3; -н»); 4) (-»; 1] и [3; +-); 5) [-3; 3]; 6) [6; +») и {0}. 10.5. 1) [1; +«); 2) [-2; -и»); 3) К; 4) [0; +~>); 5) [0; +»). 10.6. 1) [2; -н»); 2) [-4; 3) R; 4) [0; +»); 5) [0; 10.7. 1) [-3; 2]; 2) [|;10 ; 3) [~|:2]. 10.10. 4) 1/5<^/28; 8) = 10.12. 4) 4 і 5; 6) -5 і -4. 10.16. 2) УЇ2>ї/5; 5) 10.17. 3) 10.22. 1) шах f (х) = л/2, min/{x) = l; 2) тах/(х) = */з, min/(x) = l; [1;2| [142] [ Я;1 J I 3:-L| 373
- 374. Відповіді та вказівки до вправ 3) тах/(х) = 1, min/(x)~0; 4) тах/(х) = /2, min^(x) = 0; 5) най- І - М І 1-1:1] [-1;2] (-1:2) більшого значення не існує, min f(x) = 0; 6) найбільшого значення не існує, min / (х) = 1. 10.23.3) тах/(х) = ^/2, тіп/(х) = 0; 5) найбіль- і-а aj [-2;г] шого значення не існує, min f(x)-0; 6) найбільшого значення не існує, min / (х) = 0. 10.24. 1) (65; 2) (-«; 21); 3) [ - j ; o l ; 4) (4; +«); <-»;2) L 4 J 5) [3; +-) и {-2}. 10.25.1) (-1; +»); 2) (-»; 10); 3) [-|;1б]; 4) [-5; -2) U U (2; 5]. 10.26. 1) Один корінь при будь-якому значенні а; 2) якщо а < 0, то коренів немає; якщо а > 0, то один корінь. 10.27. Якщо а > 1 або а = 0, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то 2 корені; якщо а < 0, то коренів немає. 10.28, 27. Вказівка. Функція y = iJx-26 + 4x є зростаючою. 10.29. 10. 10.30. (3; 3). Вказівка. Скористайтеся тим, що функція f(t) = t + yft зростає на D (f). 10.31. (1; 1), (—1; -1). 10.32. /(х) = ^ 10.33. f(x)=4$T. 10.34. /(х) = ^х|х|7 . 10.35. Та- ких функцій f не існує. Вказівка. При х = 1 маємо, що f0) = f(l*)=$i = l, а при X = —1 миємо, що /(l) = f ((-1)*)=^1=-1. {Vx х>0 " ' де g (х) — будь-яка функція, що визначена g(x), х<0, на (—«>; 0). 10.37. 2. Вказівка. Скористайтеся нерівністю л/24<|/27. 10.38. 1. 10.39. 1; ^ ——. Вказівка. Скористайтеся тим, що функції f(x)= • і g(x)-=yj2х-1 є взаємно оберненими та зросте-jS ючими. 10.40. 1; -2. 10.41. а — а5 . Вказівка. Розгляньте зростаючі та взаємно обернені функції f(a) = а1 + х і g (а) = v а - х. Інше розв'язання можна отримати, якщо врахувати зростання функції <р (х) = а5 + х і спадання функції f(x)-yja-x. 10.42. 2. Вказівка. {(f(х))- = , Т ° Д І f ( f V ( X ) ) ) = f - ^ = X - 1 0 А ' % В к а з і ™ а - Розглявьте графік функції у = Vx, D (у) = [0; п" (на рисунку зобра- жено випадок, коли п = 4, k - 2). Нехай Sc, S3 та SK — відповідно площі синьої, зеленої та жовтої фігур. Тоді X = Sc + S„ Y = Sx + S3. Далі врахуйте, що площа прямокутника ОАВС дорівнює Sc + + Sx 4 Sj.10.44. Вказівка. Позначимо А = ^а+%ІЬ+у/с. Тоді, очевидно, виконуються нерівності A>yja, А > yßfb = yjb, Звідси 374
- 375. Відповіді та вказівки до вправ Рис. до задачі 10.43 А2 > а, А" > Ь, Л24 > с. Перемноживши почленно три останні нерівно- сті, отримуємо А32 > abc. 11.5. 3) f ; 5) |; 8) 11.6. 3) 5) 4; 4 ö і о 6) r g . 11.7. 3) [3; +°°); 4) (—; -1) U (7; +-). 11.9. 3) а*; 7) a«; 11) J ; 15) e M . 11.10. 4) ft*; 8) ft; 12) а М ; 16) Ь~6 '8 . 11.11. 3) 125; 6) 10; 9) 4. 11.12. 2) 49; 5) 32; 8) 1. 11.13. 4) ( ^ a f . 11.14. 7) (тп°У; 8) {Umf. 11.16.1) f2; +«); 2) (2; +»). 11.18.1) 6; 2) 100; 3) 19,5; 4) 12|; У 5) 2; 6) 10; 7) 8) 3; 9) 571; 10) Ц ; 11) 12. 11.19. 1) 7; 2) 10; 15 zl 3) 122|; 4) 1; 5) ±; 6) 21; 7) Щ ; 8) 11.20. 1) 125; 2) 6; 3) ко- ренів немає. 11.21. 1) 3) 5. 12.9. 4) а0 '5 - 2b0 -5 ; 8) J - J b K b h 1 h ra# „ад і . 12) 35 . 12.10.3) 1 + 4 ; 6) о» V 9) 2>. 12.11. 1) j; 2)441. a2 * 12-12. 1) дЦ,6 4 fc0,c; 2) 3) 2; 4) ^ ; 5) a2 + ab + ft2 . a2 612 і і 12.13. 1) 2m»n»; 2) 3; 3) 4) т Л 12.15. 1) — ; 2) -r^—r.ь Х ~У J . i 12.16. 1) Iz*-2" J; 2) a^ +bh 3)-1. 12.17. 1) ; 2)0; 3) 3-2л/х, якщо JC є [0; 9); -3, якщо х є (9; +«). 12.18. 277 . 12.19. 2 7 . 12.21. 24, якщо а = 1; 12.23. а"'*1 - Ь. 12.24. -, якщо а є [0; 1) U (1; +•»). 12.22. bw + і Xй2 + у™ . 13.2. 5) -1; 1; 6) 1; 7. 13.3. 3) -1; 1. 4 1 13.4. 1) —; 2) —; 3) коренів немае; 4) 3. 13.5. 2) Коренів немає; 3) -5; З 2 7; 4) 7. 13.6. 1) 1; 2) 3; 3) 1; 2; 4) 5; 5) 4; 6) 2; 7) 3; 8) -4. 13.7. 1) -5; 375
- 376. Відповіді та вказівки до вправ 2) 4; 3) 0; 4) -1; 5) 5. 13.8. 1) 4; 2) 2; 3; 3) -7; 8; 4) -1; 1; 4. 13.9. 1) і ; О 2) 7; -4. 13.10. 1) 0; 5; 2) 7. 13.11. 1) 6; 2) 2; 3) -1; 3; 4) -2. 13.12. 1) 2; 2) 8. 13.13. 1) 6; 9; 2) 3) коренів немає; 4) 1; -3. 13.14. 1) -5; 4; 16 2) 3; 7; 3) -1. 13.15. 1) 4; 2) 2; 3) коренів немає. 13.16. 1) -1; 2) 6. 13.17. 1) 27; 2) [5; 10]; 3) коренів немає. 13.18. 1) 10; 2) [-4; +=°). 13.19. При а< — коренів немає, при Вказівка. 4 4 х + ~ + = + j + . 13.20. При а<1 коренів немає, при а > 1 і— ї ї g x = a~2-Ja. 13.21. - < а < - або а-—. Вказівка. Розгляньте графіки 5 3 15 функцій у = ах - 1 та y = <J$x-x2 -15. 13.22. 1 < а < 3 або а = 2-n/2. 14.1. 3) ; 4) 0; 5) 8; 6) 25; 7) -5; б|. 14.2. 3) 5; 4) -1. 14.3. 3) 1;А в « 4) 1; 5) 6 ) 6_^Уб 1 4 4 1} 2 ; 6 . 2 ) _1 ; 3 ) 3 ^ 3 1 4 g 3 ) 14W7 . 2 3 2 2 4) 10; 5) 4; -4; 6) 7) 5. 14.6. 1) 20; 2) 22-n/464; 3) 0; 5. 14.7. 2) 7; 8. 14.8. 2) 1. 14.9. 1) 2; 2 ) -2; 1; 13. 14.10. 1) 0; 2; ö 2) -2; + 1 5 Л . 1} 1 ; 2) 16; 3) 25; 4) І; 5) 8; 6) 0; 1; 7) 1 О О 29; 8) 0; 16; 9) 10) 8. 15.2. 1) 16; 2) 1; 512; 3) 4; 4) -4; 11; 5} -8 О 1; 6) -61; 7) 0; 1; 8) 2,8; -1,1. 15.3. 1) 1; 4; 2) -n/її; -ч/б; 7б; n/П 3) -1; 4; 4) -2; 5; 5) -4; 1; 6) 1024. 15.4. 1) -1; 5 2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) -6; 4. 15.5. 1) (9; 4), (4; 9); 2) (64; 1); 3) (8; 1), (1; 8) 4) (41; 40); 5) (6; 3), (3; 1,5); 6) (-2; 3), (12; 24). 15.6. 1) (27; 1), (-1; -27) 2) (4; 1), (1; 4); 3) (2; 3), ( у ; 15.7. 1. Вказівка. Скористайтеся заміною yJx-l + 4x+3 = t або властивостями зростаючих і спадних функцій. 15.8. 3. Вказівка. Заміна lx+6 + *Jx-2 =у. 15.9. 3. /— • X 81-9n/97 15.10. I + n/6. Вказівка. Заміна , • =t. 15.11. 3; . Вка- у]2х + Ь 8 зівка. Поділіть обидві частини рівняння на х2 . 15.12. 1; Іо 15.13. -2; 5. Вказівка. Нехай Ух+З = а, Уб-х -Ь. Тоді а3 + Ь3 = 9. 15.14. -3; 4. 15.15. 8. 15.16. 15.17. 10. Вказівка. Заміна 5 5 376
- 377. Відповіді та вказівки до вправ jx-2 =а, fx-l -b. Тоді а3 - Ь2 = —1. Інше розв'язання можна отримати, якщо врахувати зростання функції f (х) = Чх~2 +4х-І. 15.18. 1; 2; 10. 15.19. 1. Вказівка. Нехай Л~х = у. Тоді можна отри- J2-x = y, мати систему і 15.20, 2. 15.21. 1) 4. Вказівка. Помножив- У2-у=х. ши обидві частини рівняння на вираз J2x2 + Зх+5 - УІ2Х2 - Зх + 5, отримаємо 6х = Зх Зазначимо, що х = 0 не є коренем початкового рівняння. Далі додамо почленно початкове рівняння і рівняння І2х2 + ЗХ + &-УІ2Х2 -Зх+5 = 2; 2) -1. Вказівка. І 7 + л/ІЗ Помножте обидві частини рівняння на вираз vx + 1 -1.15.22. 1) -—-—; 6 2) 2. 16.2. 1) [3; 5]; 2) [0; +»); 3) (-«; -1] и [0; 1); 4) (4; 4«); 5) [-8; -4]; 6) ; -1) U [2; +•»). 16.3. 1) [|;4); 2) (—; -4] и [1; +-); 3) 0. 16.4. 1) (з;^]; 2) [1; 3) {0; 3]; 4) [-1; 0) U (0,6; 1]; 5) (§;+~); 6) [1; 6]. 16.5. 1) Гг|;4) U (5;+-); 2) (3; 3) [-2; -1,6] и [0; 2]; 4) 0. 16.6. 1) 1); 2) [-7; 2]; 3) (-«; -1]; 4) [§!+«); 5) <—; "2] и (2; 6) (3; 5]. 16.7. 1) [-2; 2); 2) [-7; 1); 3) -3]; 4) (-«; -5] U [1; +«). 16,8.1) 4; 2) 1-2; 4] U [5; +«); 3) -2; 2.16.9. 1) [3; 12]; 2) {-2, 1} и [3; ю» 3) [-4; -3] U [3; 4]. 16.10. 1) [±;г) U (5;+-); 2) [-|;о) U (о;| 3) [-4; 1] U {2}; 4) (--; -1] U [4; 6) U (8; -к»). 16.11. 1) (-1; •+«); 2) (-20; 0) U (5; +-); 3) [-4} U [2; 3]; 4) [-7; -5). 16.12. 1) (1; +«); 2 ) и 3) 16.13. 1) [6; 4-); 2) ( f ;4 ). 16.14. [1; +»). Вказівка. Скористайтеся тим, що функція у = six+3 + + ІXа + X + 6 є зростаючою. 16.15. [-2; 2). 16.16. а = Вказівка. Скористайтеся тим, що графіком функції у - -Jl-- (х + 2а)г є півколо 7 радіуса 1 з центром у точці А(-2а;0). 16.17. а = 17.4. 3) 10л. Orr 17.5. 2) у . 17.10. 5) У II чверті; 10) у І чверті; 15) у II чверті. 17.11. 4) У III чверті; 8) у II чверті; 15) у IV чверті. 17.12. 3) (0; -1); 5) (0; 1); 8) (1; 0). 17.13. 2) (-1; 0); 6) (-1; 0). 17.14. Ц ; 17.15. % 17.16. 15 сторін. 17.18. 3) 4)2я; -2л. 10 О ІО 15 £ і 377
- 378. Відповіді та вказівки до вправ 17.19. б) ~f + 2nк, А є г. 17.20. б) ||+2яА, k є 2. 17.23. 1) 4 ЇЙ V. £» Й/ 2) (0; -1); 3) (0; 1), (0; -1); 4) (1; 0), (-1; 0); 5) (1; 0); 6) (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). 17.25. 1) |+2пк, k є 2; 2) я + 2пк, k є 2; 3) - | + 2яй, k є 2; 4) ^ + k є 2. 17.26. 1) + к є 2; 2) | + 2д&, А є 2; 3) ~^+2nk, k e Z . 17.27. 1) {ял п є 2}; 2) 0; 3) | лє2І; 4 120 J 4){™ I fiezj; 5) { у + 3яп|лє2}. 17.28.1){тот|пє2}; 2) {2яп І п є 2}; 3) {|+ял|лє2}; 4) || + ял|пє2}; 5) {ял j п є 2}; 6) {(6л - 1)я|пє Z}. 18.1. 1) 5; 3) V2; 5) 7) -3; 9) 18.2. 2) 1; 4 4 R 4) 0; 6) 8) 9. 18.5. 2) Так; 4) ні; 6) ні; 8) так. 18.6. 1) Ні; 3) так. 6 18.7. 3) V2. 18.8. 2) ^ / з . 18.9. 1) 3; -3; 3) 3; 1; 5) 1; 0.18.10. 2) -1; -3; 4 4) 10; 4. 18.14. 1) -4 < а < -2; 2) а = 0; 3) -j2<a<j2; 4) -1 < а < 0 або 1 < а < 2; 5) 1 < а < 2 або 3 < а < 4; 6) а * 2. 18.15. 1) 1 < а < 3; 2) таких значень а не існує; 3) -2<а^->/2 або л/2<а<2; 4) а = 1. 18.18. 1) Найбільшого значення не існує; ~ — найменше; 2) най- більше значення 1; найменшого не існує; 3) найбільшого і найменшо- го значень не існує; 4) найбільшого і найменшого значень не існує. 18.19.1) —і; -1; 2) найбільшого і найменшого значень не існує; 3) 1; -1. о 18.20. 1) і ; і ] ; 2) [0,5; +«>); 3) ( - » ; U [ 2 ; + « ) . 18.21. 1) [|;і]; 2) [|;+-)і 3)(-»;-1]и[і;+с»).19.4. 1)~±; 4) ^f. 19.5.1)-|; 2 ) ^ . 19.6. 1) —*ф- 2) 2; 3) 4; 4) 19.7. 1) 2-72; 2) 1,5; 3) 4%/3-3. А їй 19.14. 1) 2 sin а; 2) -2 cos а; 3) 0. 19.15. 1) 0; 2) 0; 3) -2 ctg ß. 19.16. 1) II; 3) І або II. 19.17. 2) IV; 4) І або III. 19.18. 2) Парна; 5) не є ні парною, ні непарною; 8) непарна. 19.19. 2) Парна; 4) не є ні пар- ною, ні непарною; 6) непарна. 20.1. 3) л/З; 6) - і ; 9) 12) й £І 15) 20.2. 1) 3) 1; 6) 8) 20.7. 4) 1; 5) 6) 7) 8) 9) -. 20.8. 2) 4я; 3) я; 6) 4. 20.12. я. 20.13. я. 6 л/2 я 378
- 379. Відповіді та вказівки до вправ 20.14. Вказівка, Якщо припустити, що дана функція є періодичною з періодом Т, то обов'язково одне з чисел 0 - Т або 0 + Т не буде на- лежати області визначення, тоді як 0 є D (f). 20.17. 1) 4л; 2) ——; З •3) 6; 4) 2. 20.18. 1) Юя; 2) 176л; 3) 36; 4) 14. 20.19. а = 0. 20.20. а = 0. 20.21. а = -1 або а=~. 20.22. а = -1; 0; -. 20.23. 1; -1; 5; -5. Вка- 5 З TV , , . 15 (дг + 5іс) . 15х зівка. Рівність cos n(x+5n)sm ; = cos пх s i n — м а є виконува- ні п тись при всіх х є R, а при х = 0 маємо cos 5тш sin—j-=0. Оскільки п 75л 75Л 75 cos 5пп * 0, то sin—£- = 0; — = — = k, де А є 2. Звідси випливає, п п п що п2 — дільник числа 75. 20.24. 1; -1; 3; -3. 20.25. Так. Наприклад, 7' = — . 20.26. Так. Наприклад, Т = — . 20.27. Не існує. Вказівка. 101 41 Сума двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом. 20.28. Вказівка. Функція g (() = t3 + ( с зростаючою, а' отже, і оборот- ною. Нехай Т — період функції у = (f (я))3 + f (х). Тоді для будь-якого х є D (ft виконується рівність (f (ж + Г))3 + f (x + T) = (f (х))3 + / (х). Звідси для будь-якого х є D (ft виконується рівність f (х + Т) = f (х). 20.29. Ні, Вказівка. Розгляньте, наприклад, функцію , „ Г0, якщо х>0, f(x)=-l 20.30. Вказівка. Припустимо, що f має додат- [-1, якщо х<0. ний раціональний період Т~—, me N, п є N. Тоді число пТ = m — п також період функції /. Далі доведіть, що серед чисел / (1), f (2), ... не більше ніж m різних. 20.31. Існує. Вказівка. Наприклад, ,. . in, якщоx = n+m42, neN, meZ, „n „ „ /(*) = •! 20.32. Може. Вказівка. Роз- [0 в інших випадках. якщо х>0, 1, якщо х<0. /(*) гляньте, наприклад, функції / (х) = X, g(x) • f c 20.33. 1. Вказівка. f(x+4)=f((x+2)+2)=-^§~= 1 =f(x). 5/(*)-1 20.34. Вказівка. Доведіть, що f (х + 4) = f (х). 20.35. Вказівка. Замі- 1 Можна довести, що функція f тотожно дорівнює нулю. Це ви- ( 2j0 ( 80л , пливає з того, що числа cosx, cosl ж + —І, ..., cosІ х + є абсциса- ми вершин правильного 41-кутника. Аналогічні міркування можливі і при розв'язуванні задачі 20.25. 379
- 380. Відповіді та вказівки до вправ нивши в даній рівності ї н а х + 1 і на х - 1, відповідно отримаємо дві рівності: 1) f(x+2)+f(x)=y/2 Дя+1); 2) /(х) + /(х-2) = -І2 f ( x - l ) . Те- пер легко встановити, що f (х + 2) + f (х - 2) = 0. Підставимо замість X до останньої рівності х + 2. Тоді ( (х + 4) = -f (х). Тепер можна за- писати f (X + 8) = f ({х + 4) + 4) = -/ (х + 4) = f(x). Отже, число 8 — період даної функції. 20.36. Вказівка. Припустимо, що Т — голов- ний період функції f. Тоді при всіх х е К виконуються рівності / (2х + T) = f (2х) = 2 f{x); f (2х + Т) = ) ) = 2 / ( * + | ) . Звідси f |x + ^ J = /(x). 20.38.1) Вказівка. Легко перевірити, що f|*+|J=/(*); 2) Вказівка. Доведіть дану рівність для xej^OjiJ. Далі скористайтеся періодичністю функції f з попереднього завдання. 20.43. К Q. Вка- зівка. Слід помітити, що X = 0 — корінь цього рівняння при будь- якому значенні а. Тоді, якщо а — раціональне число, то функція у = 2 cos ах - 3 tg2 X - 2 є періодичною і дане рівняння має безліч коренів. Далі треба показати, що коли а — ірраціональне число, то дане рівняння не має інших коренів, крім х — 0. Для цього перепи- шемо дане рівняння у вигляді 2 cos ах = 3 tg2 х + 2. Оскільки 2 cos ах < 2, 3 t g 2 x + 2 > 2, то це рівняння рівносильне системі Г2 cos ах = 2, { „ 20.44. К Q. 20.45. Ні. Вказівка. Припустимо, що іс- |3tg х + 2-2. нують такі періодичні функції f i g , що для всіх х є R виконується рівність f (х) + g (х) = X2 . Нехай Т — період функції Д Тоді можна записати f (х + Т) + g {х + 7") = (х + Т)2 . Звідси f (х) + g (х + Т) = = (X + Т)2 . Отримуємо g (х + Т) - g (х) - 2Хх + Т2 . Проте функція у - g (х + Т) - g (х) г періодичною, а функція у = 2 Т х + Т2 періодичною не є. 21.7.1) cos 1,6л < cos 1,68л; 3)cos20° > cos 21°; 5) c o s 1 - ^ < c o s ^ ; 7) sin 2 > sin 2,1. 21.8. 2) s i n y > s i n ^ ; 4) cos ^ > cos . 21.11. 1) sin 58° > cos 58°; 2) sin 18° < cos 18°; 3) cos 80° < sin 70°. 21.12. 1) Так; 2) ні. 21.29. 19. Вказівка. Побудуйте графіки функція у = sin X, у = 21.30.10. 21.31.1) Див. рисунок. Вказівка, п (х2 + у2 ) = - = пп, п є 2; X® + у2 = п, п - 0, 1, 2 21.33. 3) Графіком рівняння є пряма, яка збігається з віссю ординат; 4) Вказівка. Дане рівняння має розв'язок лише за умови sin х > 0. Тому дане рівняння рівно- s i n x > 0 , y=sin X, Шуканий графік зображено на рисунку. у = - sinx. 21.34. 3) Графіком рівняння е множина всіх точок виду nk; oj, k є сильне системі 380
- 381. ВІДПОВІДІ та вказівки до вправ Рис. до задачі 21.31 Рис. до задачі 21.33 (4) 21.35. < а < -6я або би < а < 8л. 21.36. Не існує. Вказівка. При х = І і отримуємо І / (0) + 1 І < 1 і I f (0) - 1 j < 1. Звідси . 2тс . 7it. { ' У ® ! 0 , 22.5. 2) t g ^ < t g ~ ; 5) tg 1 < tg 1,5; 8} ctg (-40°) < [0</(0)<2. о 15 < ctg (-60°). 22.6. 1) tg 100° > tg 92°; 4) c t g ^ > c t g f | ; 6) ctg ( 3) < 8 1Z < ctg (-3,1). 22.11. 1) Hi. Вказівка, tg 80° > tg 60° = >/3; 2) ні; 3) так. 22.12. 2) sin 40° < ctg 20°. 22.17. 1) Графік рівняння — об'єднання множини прямих виду X = nk, k є Ъ, і осі абсцис, з якої «виколото» точки виду ^ + 7tn;oJ, п є Z; 3) множина всіх парабол у = х2 + k, k є Z; 4) множина всіх точок перетину прямих виду х ~nk, k є Z, з прямими виду у = пп, п є Z. 22.18. 2) Множина прямих виду х - nk, пп k є Z, з яких «виколото» точки, ординати яких мають вид 2 ' п є Z. Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі t g * = 0, sin уф О, cos уф 0. 381
- 382. Відповіді та вказівки до вправ 23.1. 6) 2cos2 а; 7) -sin2 а; 8) 1; 9) cos2 ^; 10) 2. 23.2. 4) — і - ; 5) 1; 2 зіп а 6) 1; 7) 1; 8) 4. 23.5. 1) 2) 1; 3) — ; 4 ) _ } _ . 5 ) 0 ; 6) — . соя а sin а sm х sin а 7) tg а tg ß; 8) 1; 9) cos2 а; 10) -ctg у; 11) sin4 а; 12) 1; 13) — ; 1 4 ) _1 23.6. 1) 2) 1; 3) 4) 5 ) _ J L ; 6 ) tg2 «; cosß sin fi cosp cos* cosß 7) tga; 8) -1; 9) 1; 10) -cos2 a. 23.7. 2) cosa = -^, tga = -§, ctga = -|; 5 4 О 3) cosa = — s i n a = — c t g a = i . 23.8. 1) sina = -^, tga = ~~, V5 V5 ' ' ' 12 1 7 1 ctga = —; 4) sina = -p=, cosa = — t g a = — . 23.11. 2) Вказівка. 5 V50 V50 7 Подайте доданок 2 sin2 a у вигляді суми sin2 a + sin2 a; 4) Вказівка. Розгляньте різницю лівої і правої частин даної рівності і доведіть, що вона дорівнює нулю. 23.15.1) - і . Вказівка. Поділіть чисельник і зна- менник даного дробу на cos a; 2) і ; 3) -27. Вказівка. Помножте чи-4 сельник даного дробу на sin2 a + cos2 a. 23.16. 1) —7^; 2) 3) 11 7 357 23.17. 1) -sin ß - cos ß; 2) -sin a cos ß; 3) ~2 tg a; 4) 1. 23.18.1) -Л-; sin oc 2tc 2K 2) 2 ctg a; 3) -1. Вказівка. Оскільки — <a<Jt, то сов —> cos a. о о Ь2 -1 23.19. 1) ———. Вказівка. Ъг = (sin a + cos a)2 = 1 + 2 sin a cos a; й и з ^ 1 + 2 ^ i+бь2 -^ вц+а'-ь«) 2 _ 2 2 4 (і> -1) 2) & (Ь2 — 3); 3)fr4 — 4і»2 + 2; 4) Вказівка. З умови випливає, що ь 1 2 1 = Ь. Звідси 2sinacosa = -. 23.21. 1) 3-, -3. Вказівка. sin a cos a ft 8 2 cos2 a - 3 sin a = 2 (1 - sin2 a) - 3 sin a = -2 sin2 a - 3 sin a + 2. Позначимо sin a = f і розглянемо функцію f (() - -2t2 - 3f + 2, визна- чену на проміжку [-1; 1]» Це квадратична функція зі старшим від'ємним коефіцієнтом а = -2. Вона набуває найбільшого значення —З З в точці / 9~~л' я к а н а л е ж и т ь проміжку [-1; 1]. Отже, 2• (-2) 4 наи-ш а х f ( t ) ~ f ^ J = -2 - = Для з н а х о Д ж е н н я меншого значення обчислимо значення функції f (<) на кінцях про- міжку [-1; 1]: / (-1) = -2 + 3 + 2 = 3, f (1) = -2 - 3 + 2 = -3. Отже, 3 8 2
- 383. Відповіді та вказівки до вправ minf(t)=—3; 2) найбільшого значення не існує, найменше дорівнює 1 І:- —1; 3) 0; 4) найбільшого і найменшого значень не існує. о 23.22. 1) -2; 2) 3 2; 3) найбільшого і найменшого значень не З 8 існує. 23.23. 1) Див. рисунок; 2) пряма у = -1, з якої «виколото» точки виду + А є Z. 23.24. 1) Пряма у = 1, з якої «виколо- k є Z. 23.25. 1. Вказіе- и іто» точки виду (f4ка. Скористайтеся тим, що sin х < sin х і cos" ж < cos2 а:. 23.26. 1; -1. 24.1. 3) 0; 4) 0. 24.2. 3) 0. 24.3. 2) 3) 0; 4) cos ß; 5) Zj /І 6) sin 2ß; 7) 1; 8) tg 15°; 9) cos (а - ß). 24.4. 2) 3) 4) cos 2ß; 6) cos (а + ß). 24.5. |. 24.7. 2) -1; 3) 24.8. 1) -ІЗ. 24.11. 1 1111 і rt1I L _ 4 -1 1 24.12. 24.13. 24.14. 10 25 24.19. 1) c t g " ; 2) — — ; 3) cos 2a; 4) 4 sin 2a 82 297 "425" сова Рис. до задачи 23.23 (1) 24.15. 2. 24.16. 5. . 24.20. 1) 1; 2) -1. 10 48 + 25 4 З „ . _ _ J M I - B 2 ) - B 24.21. 1) 2) 3) >/3-2. 24.22. 1) 2) 4 4 4 4 24.23. 1) 41; 2) 1. 24.24. 1) v/3; 2) 1. 24.27. 1) 2; 2) v/41; 3) 42; 4) 41. 24.28. 1) 2; 2) 5; 3) v/lÖ. 24.29. 4Е-24І В к а з і в к а . sin а = sin - ( | - а)). 24.30. -0,6.24.31. 24.33. 24.34. -2. 24.35. 24.36. « A 24.37. 60°. 2 5 4 24.38. 120°. 24.40. 45°. 24.41. 1) 3 графіка функції у = tg x вилучіть точки, абсциси яких дорівнюють > і є Z. 24.43. Вказівка. З рівності tg (а + ß) = tga+tglL випливає, що tg а + tg ß = tg (а + ß) х i - t g a t g p X (1 - tg а tg ß). Тоді tg а + tg ß + tg у = tg (а + ß)(l - tg а tg ß) + tg Y = = tg (я - Y)(l - tg а tg ß) + tg Y - -tg Y (1 - tg а tg ß) + tg Y = -tg Y + + tg а tg ß tg Y + tg Y = tg а tg ß tg Y- 24.45. 2. Вказівка. З рівності tg (а + ß) = t g a + t e P випливає, що tg a + tg ß = tg (a + ß) (1 - tg a x 1-tgatgp 3 8 3
- 384. Відповіді та вказівки до вправ X tg ß). Тоді {1 + tg а) (l + tg ß) = 1 + tg а + tg ß + tg а tg ß = 1 + + tg (a + ß) (1 - tg а tg ß)+ tg а tg ß = l + t g ^ ( l - t g a t g ß ) + t g a t g ß = = l + l - t g a tgß + t g a t g ß = 2. 24.46. 2. 24.49. Вказівка. Припустимо, що cos а + cos ß + cos у > 2. Тоді (cos а + cos ß + cos y)2 > 4 і (sin а + + sin ß + sin y)z > 5. Почленно додавши дві останні нерівності, отри- маємо 3 + 2 (cos (а - ß)+ cos (ß - у) + cos (у - а)) > 9. 24.50. Вказів ка. Скористаємося тотожністю для кутів трикутника (див. задачу 24.44): t 6 | t B | + t g | t g | + t g | l g J - l . Маемо: t g ' | + t g « | + t g ' I - ^ ф . ф . ф ф ^ Ц ) . ( „ і , i f k n ^ o ^ ^ L ^ L-tg^l >0. Звідси t g 2 ^ + t g 2 ^ + t g 2 ^ - l > 0 . 24.51. Вказівка. Роз- й/ / і* Л С гляньте вираз Jtg ^ + tg ~ + tg | J і скористайтесь результатами задачі 24.50. 24.52. f (де) = a sin х, де а — довільне дійсне число. Вказівка. Підставляючи у= x=t-~, отримуємо f(t) = /|^jsint. Перевір- кою встановлюємо, що всі функції виду f (х) = a sin х задовольняють умову задачі. 24.53. f (де) = х або f (де) = -х. Вказівка. Підставляючи X= —, у = 0, отримуємо f (1)/ (0) = 0, Якщо f (1) = 0, то, підставля- ючи в дану рівність у — ^г, отримуємо f (cos х) f (0) = sin де. Остання рівність неможлива, оскільки функція gL (де) = /(со.чх)/(0) є парною, а 8г (х) = sin X — непарною. Якщо / (0) = 0 і f (1) * 0, то, підставляючи в дану рівність у = 0, отримуємо f (cos х) f (1) = cos х, тобто f (cos де) = = a cos X. Тоді / (0 = at для всіх і є [-1; 1]. Перевіркою встановлюємо, що а = 1 або а = -1. 24.54. / ( * ) = * або f (x) = -де. 25.3. 3) -cos 38°; 4) — s i n 2 5 . 4 . 3) t g ^ ; 4) s i n ^ . 25.7. 2) -1; 6) 2cosa. 25.8. 3) 0; 18 5 15 5 4) 1. 25.9. 1) -4; 2) -; 3) — ; 4) 1. Вказівка. Зведіть кожну функцію З 4 до найменшого додатного аргументу; 5) 1. 25.10. 1) 3-2/2; 2) 3; 3) — ; 4) -1. 25.11. 1) -cofe а; 2) 1; 3) 1; 4) -1; 5) 2; 6) 2; 7) 1; 8) 1; 4 9) -tg2 а; 10) 1; 11) tg а. 25.13. 1) 1; 2) 0; 3) 0. 25.14. 1) -1; 2) 1; 3) 0. 25.16. 2. Вказівка. Оскільки = £ і т о ' 8 8 2 11 22 2 „2 ЗЯ _ . 2 П , 2 5я ;„2 37t оеі>7 11 2,c o s 2 ^ = sin2 ^ і c o s 2 ^ = s i n 2 ^ . 25.17. 1) cos2 a; 2) — ^ . 8 8 22 11 ' ' cos2 ( а + 10°) 25.18. 1) Не існує. Вказівка, у = f (cos де) — парна функція, 3 8 4
- 385. Відповіді та вказівки до вправ а у = sin X — непарна функція; 2) не існує. Вказівка. Якщо така функція існує, то виконується рівність f J s i n ^ - x J J = c o s ^ - x J , тобто f (cos х) = sin X. 2S.19. Не існує. Вказівка. Якщо така функція існує, то виконується рівність /|sin -xjj = sin тобто f{cosx) - sinlOOx. Але функція у = /(cosx) є парною, а у = sinlOOx — непарною. 25.20. Вказівка. З умови випливає, що a + ß < ^ . Тоді а < і,-ßl cos а > cos - ßj = sin ß. Аналогічно доводимо, що cos ß > sin у, cos у > sin ct. 26.3. 1) 2cosa; 2) tg 2a; 3) cos2 a; 4) sin 25°; 5) 1; 6) cos a + sin a; 7) cosf; 8) 2; 9) 10) 1; 11) -cosf; 12) ^tg2a; 13) sin 2a; 14) 1; 15) -1 - ctg2a; 16) sin 4a. 26.4. 1) 2 sin 40°; 2) eoslla; 3) cos'2ß; 4) sin40°; 5) cos20cp; 6) 1; 7) cos35° - sin35°; 8) I; 9) j sin4a; 10) 2sin2a; 11) |cos2a; 12) -sin 2ß; 13) sin 2a; 14) sin 3a. 26.5. 1) 4) 5) 6) 2-М. 26.11. 2) -4-Jb. 26.12. 2) -Ц-. 26.18. 1) 1; 2) ctg 4a. 26.19. sina = ^ , cosa = -||, t g a = -—.26.20. 0,8.26.21. sina = - ^ , cosa = — 2 6 . 2 2 . = 12 JE л/б 2 4 ' c o s f = ^ , t g | = f . 26.23. 1) 2) 3) 2+ V3; 4 ) 7г-ч/з . 5)_(i + v/2); 6) V2-1. 26.24. 1) 2; 2) і t g a ; 3) 2; 4) tg2a; CT ü 5 ) sin4a; 6 ) sin2a; 7 ) cos2 |; 8 ) cosa. 2 6 . 2 5 . 1 ) 2ctg4a; 2) sin2a; 3) tg2a; 4) 4sina; 5 ) 1 ; 6 ) - ^ c t g a . 2 6 . 3 2 . і 2 6 . 3 3 . 2 6 . 3 4 . 6 СІ 2i Ol 26.35. — . 26.36. 2. 26.37. 26.38. -. 26.39. 1) cos 4a; 2) tg a; 5 9 4 3) sin 8a; 4) tg1 a; 5) 1; 6) -1. 26.40. 1) ; 2) 8 cos 2a; 3) - i s i n 2 a ; 4 4 . 4 a сл 1 .„«,„ 1 ne лі , , 3 + cos4a „. 17 + 14cos4a + cosa 4a 4) tg1 - ; 5) - ctg 2a; 6) --. 26.43.1) — - — - ; 2) — . 2 6 . 4 4 . 1 0 V ! ^ - 2 6 . 4 6 . 1 ) c t g 4 £ ; 2 ) - i C t g 2 a ; 3 ) c o s 2 £ . 2 6 . 4 7 . 1 ) - 2 ; 16 2 2 2 2)0. 26.48. 1) 4; 2) sin 2a. 26.53. 1) cos^; 2) V2ctg2a; 3) V2tga. 3 8 5
- 386. Відповіді та вказівки до вправ 26.54.1) Якщо 0 < н < ^ , то 2 cos а; якщо * < а < , то 2 sin а; 2) cos®; 3) 2cos^. 26.55. f . 26.56. 2 або 26.57. ^ Л , Вказівка. Маємо: < £ 5 3 4 sin 36° = cos 54е . Тоді: sin (2-18°) = cos (З-IS"); 2sin 18°cos 18° = = 4 cos3 18° - 3 cos 18°; 2 sin 18° cos 18° = cos 18° (4 cos2 18е - 3); 2 sin 18° = 4 cos2 18° - 3; 2 sin 18° = 4 (1 - sin2 18°) - 3; 2 sin 18° = = 4 - 4 sin2 18° - 3; 4 sin2 18° + 2 sin 18° - 1 = 0. Розгляньте останню рівність як квадратне рівняння відносно sin 18° і врахуйте, що sin 18° > 0. 26.58. Вказівка. Скористайтеся рівністю sin 30° = = 3 sin 10° - 4 sin3 10°. 26.60. Вказівка. Скористайтеся методом мате- матичної індукції. 27.5. 1) tg 5а; 2) -ctg За; 3) - — . 27.6. 1) _££££L; З сов 4а 2, tgßcc; 3, 1. 27.7. 1) 4 , Ц § . 2 , 4 c o „ ( i t f ) c „ „ ( i - f 3 , ^ » ( f - f H f 4 4 , 2 7 . 8 . „ « . ( £ - ! ) „ ( § • ! ) , „ . .„fa И . /а „ . lKj_a (к а лх 2 s i " З~ц )2) 4sin — - — sin —+— ; 3) 4eos —+— cos --— ; 4) — -. 2 12/ І2 121 S 2) 8 21 cosa „ . , „ ctg a - ctg na _ . _ „ . . sin a 27.19, . Вказівка. Скористайтеся рівністю = s i n a sinfeasin(A + l ) a = ctg ka - ctg (k +1) a . 2 7 . 2 0 . c t g l ~ c t g f n + 1 ) . 2 7 . 2 1 . -i-ctg-^-ctgl. sin 2 2 2 Вказівка. Скористайтеся співвідношенням tg ß - ctg ß = -2 ctg 2ß. 27.22. Вказівка. Скористайтеся рівністю cos (л + 1) x + cos (n - 1) x = = 2 cos nx cos x і методом математичної індукції. 27.24. Вказівка. Скористайтеся рівностями sin 7a - sin 5a = 2 sin a cos 6a, sin 7a + + sin 5a = 2 cos a sin 6a. 28.1. 1) | (cos 20° + cos 10°); 2) cos2a+cos2ß; 3) і (sin 2a + sin 10a); 4) | (cos 26°-cos 122°); 5) - C O s 2 a + 1 . 2 2 4 28.2. 1) c o s ^ + c o s ^ ; 2) I(cos4ö -cos52°); 3) ~(sin8a + sin2a); 40 40 л 2 4) 2 c o a ^ a ~ 1 . 28.3. 1) 1; 2) sin 3a; 3) cos a; 4) 0,5. 28.4. 1) cos a; 2) i . 28.7. 1) i ; 2) 1; 3) -sin 2 a . 28.8. 1) 1; 2) sin 2 a . 28.9. 1) Вказів ка. Помножте і поділіть ліву частину рівності на 2 sin у. 2 8 . 1 1 . Вка- зівка. Помножте і поділіть ліву частину рівності на 2sin—. Зауважи- п мо, що дана задача має і геометричний розв'язок. Розглянемо точки 3 8 6
- 387. Відповіді та вказівки до вправ |cos|^^J; а і п д е k набуває всіх натуральних значень від 1 до л. Ці точки є вершинами правильного л-кутника з центром у точ- ці О (0; 0). Сума векторів s = ÖAl+OA2 + ...+OAn=Ö (див., наприклад, задачу 23.10 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Гео- метрія : підруч. для 9 кл. з поглибл. вивченням математики. — X. : Гімназія, 2009). Водночас перша координата вектора s дорівнює cos—+COS —+... + со82 ( "~1 ) Я : + с о 8 — • 28.13. 1) Якщо а = 2nk, k є Z, п п п п . па (п+1) а sm cos- -- то S = п; якщо а Ф 2nk, то S = * — - — . Вказівка. При а Ф 2nk, . а sin - 2 к є Z, помножте і поділіть дану суму на 2 sin ^ ; 2) якщо а - nk, k є Z, і 2 па то S = 0; якщо а Ф nk, то S - . Вказівка. При а Ф nk sin а помножте і поділіть дану суму на 2 sin а; 3) якщо a = nk, k є Z, то „ . « п ті sin па cos (л + 1) а г, . „ S = 0; якщо а * nk, то S = — ь — . Вказівка. Скористаи- 2 2 sin а теся формулами пониження степеня. 28.14, 1) Якщо о = 2nk, he Z, то S = п; якщо а = п + 2nk, k є Z, TOS = -л; якщо а ФПК, то S = —" ~"а . 2 sin а Вказівка. Помножте і поділіть ліву частину на 2 sin а; 2) якщо , , „ с г. . ,. с sin жхsin (п+1) аа = nk, k є Ъ, то S = 0; якщо а Ф nk, то S = ; 3) якщоsm а % 7TÄJ а = nk, k є Z, то S = л; якщо a = — + nk, то S = 0; якщо аФ—, то _ п sin 4па£> = —+-—;——. 28.15. Вказівка. Перепишемо дану нерівність у ви-ü 4 sin zee гляді 8 cos а cos ß cos у - 1 < 0 . Перетворимо вираз 8 cos а cos ß cos у. Маемо: 8 cos а cos ß cos у - 1 = 4 (cos (а - ß) + cos (а + ß)) cos у - 1 = = 4 (cos (а - ß) - cos y) cos у - 1 = 4 cos (а - ß) cos у - 4 cos2 у - 1 = =(4 cos (а - ß) cosy - 4 cos2 у - cos2 (а - ß)) + cos2 (а - ß) - 1 = -(cos (а - ß) - — 2 cos y)2 - sin2 (а - ß). Тепер нерівність стає очевидною. 29.3. 2) 1,5; 5. 29.4. 2) і ; 7. 29.5. ^5; 3. 29.6. 13; 29.7. 1) (-1; 0); 2) (5; 0); З 4 3) 29.8. 1) (lif); 2) (ftf); 3)(1;а). 29.9.1) г=л/5; 2) cp = J , або <р = ^ р або г= 0; 3) 4) r sin ф = cos (r cos ф). йіпф = гсоз ф; 3 8 7
- 388. Відповіді та вказівки до вправ 29.10. Див. рисунки. 1 X 1) 29.11. Див. рисунки 4) Рис. до задачі 29.10 6) 1) '0,2 0,4 0І6 0,8 X 2) Рис. до задачі 29.11 388
- 389. Відповіді та вказівки до вправ 30.3.2) + 1 + , П є 2; 6) +3 arccos ^ + б і т , п є Z.30.4.2) ± ~ + 1 0 п п , п є Z; 3) л € Z. 30.5. 3) 12 + 6я + 12ггл, л є Z; 4) + о о Z4 U о п є Z. 30.6. 2) + л е ї . 30.7. 30.8. Зл. 30.9. 4 корені. 30.10. g ; Щ і 30.11. 2) ( § + » ) ' . t e NU {0}. (-§ + 2п) л є N; 3) розв'язків немає. 30.12. 1) 6 4 _, k є N Ü {0}, 6 4 , , п є N; (8fe +1) (8гс-1)2 2) J +arccos ~+2nfe, ±arceos(--j+27iA, k є Z. 30.13. a = i . 30.14. а = 0. 30.15. а < 1 або а > 3. 30.16. а < - - або а > 2. 30.17. - К а < - . Бказгв- 5 2 _ . fcosx = a, ка. Дане рівняння рівносильне системі < яка має розв язок [сойлг>За-1, Г-1<а<1, і і тоді,коли s 30.18. - К а с - - або - - < а < 1 . 30.19. ає а>3а-1. З З ЗО..20. 30.21. Якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає; якщо а = -1 або а = 1, то один корінь; якщо -1 <а < ^ або < а< 1, С £ то 2 корені; якщо то 3 корені. 30.22. Якщо І < а < 1 , то 2 корені; якщо - 1 < а < ^ або а = 1, то один корінь; якщо а < -1 або VI а > 1, то коренів немае. 30.23. Якщо а < — — або а>1, то коренів немає; якщо — ~ < а < 0 або а = 1, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то 2 корені. 30.24. а < п, або або 30.25. а < 0, або а>—, & О Й Ґ л л. ті 2кп ™ + І • 2 пп _ ™ або а = ~. 31.3. 3) — • п є Z; 4) 1 — — a r c s m - + —-, п є Z. 4 10 5 4 8 9 8 31.4. 3) (-1)"+1 + п є Z. 31.5. 2) <-1>"+1 -|+|+л;л, п є Z. 31.6.2) (-1)П+1 -у+20+5лп, л Е Z. 31.7. Щ-. 31.8. 31.9. Ц-. 31.10. 6 коренів. 31.11. 1) £+2пп, п є Z; 2) (-1)" 2 6 3 о 4 /г є Z; 3) ті + 4яп, ^ + 47ш, л € Z. 31.12. 1) (-1)" п є Z; З 6 3 3 8 9
- 390. Відповіді та вказівки до вправ 2) у+27in, п є Z. 31.13. 2) , k є N; 3) iarccosf+ 2nk, А є Z. 4 V 2/ 6 31.14. 1) «І k E N 2y ± H + n k k є Z. 31.15. a < 0 або a > 2. (3fc + (-l)M! )2 6 31.16. a = -4 або 4 < a < 5. 31.17. І < а < 1 . 31.18. або 2 З | < a < l . 31.19. 31.20. 31.21. 1) Якщо а < -1 або a > 1, то коренів немає; якщо a = -1, або ~-^<а<0, або а = 1, то 1 корінь; якщо - 1 < а < - і або 0 < а < 1, то 2 корені; 2) якщо а < -1 або a > 1, то коренів немає; якщо a = 1, або а = —1, або Г- у— то 1 корінь; якщо - 1 < а < - — або — <а<1, то 2 корені. 31.22.Якщо а < - і або а > 1, то коренів немає; якщо ~ < а < ~ - або а - 1, то б £ УІЗ 1 корінь; якщо —-<а<1, то 2 корені. 31.23. Якщо — ~ < а < 0 , то й С к 3 корені; якщо 0 < в < 1 або - 1 < а < — — , то 2 корені; якщо а = -1 або a = 1, то 1 корінь; якщо а < - І або а > 1, то коренів немає. 31.24. Якщо -1 < а < - і то 3 корені; якщо' - і < а < 1 або а - -1, то<5 л 2 корені; якщо а = 1, то 1 корінь; якщо а < -1 або a > 1, то коренів немає. 31.25. Якщо -1 <а<—або —2~< а < ~2~' т о J2 й V2 - , 4 корені; якщо а = ~1, або а = ——, або a = або а = 1, то 3 коре- 4Ї ні; якщо a < -1 або а > 1, то 2 корені. 31.26. Якщо - 1 < а < — — , або л/з • >/з , л/з , . . , , 7з — г - < о < — , або — <а<1, то 4 корені; якщо а = -1, або а = ——, СІ Сі Сі Сі -Уз або а = —-, або а = Z, то 3 корені; якщо а < -1 або а > 1, то 2 корені. 32.3. 3) + 'л є Z; 5) | a r c c t g £ + ^ , п є Z. 32.4. 2) 21 7 6 11 6 З п є Z. 32.5. 2) 1 - і arctg 2 + ^ , п є Z. 32.6. 3) + п є Z. 2 2 2 3 18 З 32.7. 4 корені. 32.8.1 корінь. 32.9. 32.10. 32.11. 2) _ _ 2 ,32.10. -4г• 32.11. 2) — 4 З (4А + 1) k є N U {0}; 3) (-1)* arcsin | + n k , (-1)* arcsin|-|J+JiA, k є Z. 32.12. 390
- 391. Відповіді та вказівки до вправ 1) —-—, ke Z;2) — — — й е N; 3) + arccos - + 2nk, ±arccos(--|+2jift, 20fe + 5 (4?ife-n) 4 V 4/ k є Z. 32.13. 1) a < - ~ , або - | < a < 0 , або a > 0; 2) - 1 < а < - | , або щ о о А - i < a < - , або і < а < 1 . 32.14. 1) або - і < а < 0 , або а > 0; 2 2 2 2 2 2) -1 <а<-~, або або ~<а< 1. 32.15. а = - - , або 2 2 2 2 З в < - | , або а > 0. 32.16. або або а > 0. 33.5. 1) [0; 2]; 2) [0; 1]; 3) (-•»; -п - 4] U £п - 4; -н»). 33.6. 1) [ - | - 1 ; 1 - | ] ; 2) [2; 3]; 3) и [І;+»)• 33.7. 1) я; 0; 2) 2 + п; 2. 33.8. 1) 2п; я; 2) -|+1. 33.9. 1) 2) J . 33.10. 1) 2) J . 33.11. 1) 2) cos|; 3) коренів немає. 33.12. 1) 2) коренів немає; 3) |. 33.13. 1) (-1; 1]; 2) {-1}; 3) [-І; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв'язків немає; 6) {1}; 7) [-1; 1); 8) (-1; 1]. 33.14. 1) {-1}; 2) [-1; 1); 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв'язків немає. 33.15. 1) [-1;Ц; 2) {-1}; 3) {1}; 4) {0}; 5) (0}. 33.16. 1) [-1; 1]; 2) {1}; 3) 1-1; 1]; 4) {1}; 5) {-1; 1}. Вказівка. Якщо х > 0, то х2 + і причому рівність досягається тільки при х = 1; якщох < 0,то — — < -1, шГ причому рівність досягається тільки при X = -1. 33.17. 1) 1^4; ^ + 4 ; 2) {0}. Вказівка. Оскільки -arccos х < 0, то область визначення даної функції складається з однієї точки х = 1; 3) » ; — 4) [ £ ; + - ) . 33.18. 1) [ 2 ; | + 2 ] ; 2) [ о ; | ] ; 3) [!;+-); 4) 33,21.1) |; 2)|~. Вказівка, sin arcsin |J = 2 sin |arcsin |jcos|arcsin|J; 3) |§; 4) f . 33.22. 1) 2) 3) 4 ) - J L . 33.23.1) x = 2. Вказівка, cos (arccos (4x - 9)) = 4x - 9 тільки за умови | 4x - 9 | < 1; 2) [-3; -1]. Вказівка. Множиною коренів цього рівняння є його об- ласть визначення. 33.24. 1) —. Вказівка. Дане рівняння рівносильне о 4х-1І<1, і 2) [0; 2]. 33.25. 1) 1; 2) 5. 33.26. 1) 2) -2. 4х-1 = 3х ; 2 391
- 392. Відповіді та вказівки до вправ 1 ! -1 0 1 * Рис. до задачі 33.33 33.27. 1) [ot|)S 2) ( І : І ] , 3) 33.28. 1) 2) 3) [ f ^ j . 33.29. 1) 2) розв'язків немає. 33.30. l + v/sl. 2 J' 1) 2) {0}. 33.33. Див. рисунок. Вказів- ка. Якщо -1 < л: < 0, то arcsin х < 0 і arcsin х | = = -arcsin X, arcsin | х = arcsin (-а:) = -arcsin х. Тоді у = 1. Якщо 0 < X < 1, то arcsin X > 0 і j arcsin х | = arcsin х, arcsin J х = arcsin х. Тоді у = 1. 33.34. 3) Див.. рисунок. Вказівка. Зауважимо, що D (у) = [-1; 1]. Запишемо: cos (2 arcsin х) = 1 - 2 sin2 (arcsin х) = 1 - 2хг . Отже, шуканим графіком є частина параболи у ~ - 2хг + 1; 4) Вказів- ка. Оскільки arcsin jt+ arccos дг = у то у = 1. Проте шуканий гра- фік — це не пряма у = 1, а лише її відрізок, оскільки D(y) = [-1; 1]. У. 1 411/ 0 іх І "І ІІІ •і ;і) іt і У - л11! і ; V• і! 1 ~2х2 + 1 Рис. до задачі 33.34 (3) Рис. до задачі 33.36 33.35. 2) Вказівка, sin (arccos л;) = Vl-зс2 ; 3) Вказівка, cos (2 arccos x) = = 2x^-1 за умови | x ] < 1. 33.36. Див. рисунок. 33.37. 1) 2) у ; 3) Л - 3; 4) ^ - 8 . 33.38.1) 2) Вказівка. C O S ^ = COS(2JI-^); Л У У У У / 3) 2к - 6,28; 4) 5) ~-12'. 33.39. * = і а б ° х = Вказівка. о й 2 2 Тотожність arcsin х + arccos х = ^ дає змогу перейти до системи (arcsin д-)2 + (arccos x)2 - 5 n arcsin X + arccos x = - г 36 ' Після очевидної заміни arcsin х = t, 392
- 393. Відповіді та вказівки до вправ arccos X = г отримуємо: 33.40. 1) 2) * г 36' 2 2 2 0 < г < п . З 56 33.43. Вказівка. Вигідно довести таку рівність: arcsin - = arcsin 5 65 -arcsin-^-. Значення виразів, записаних у лівій і правій частинах 1 о цієї рівності, належать проміжку L тобто проміжку, на якому & £ Л функція у = sinx зростає, тому достатньо довести, що sin |arcsin ^J = ( 56 5 arcsin —-arcsin — . 33-45. Вказівка. Нехай arcsin х = а. Якщо о5 1а! 0 < х < 1,то 0 < а < —; sin а = х; cos а = Vi-sin2 а - Vi-я2 . Оскільки 2 то а-arccos Vl-x2 . Якщо-1 < х < 0 , т о - ^ < а < 0 ; зіпа = х; cos а = Vi-sin2 а = V l - x 2 . Оскільки 0 < - а < ^ і cos (-а) = Vl-x2 , то -а = arccos Vl-x2 ; а = -arccos Vl-x2 . 33.47. .-• . Вказівка. S p i e - lt 28 няння перепишемо так: arcsin 2х = ^ - arcsin х . Його наслідком буде d рівняння sin (arcsin 2х) = sin arcsin Звідси 2x = ^-*y/l-x2 о / а а гг - , „ . Г25хг =3~3*2 , 5x = V3-3x , Це рівняння рівносильне системі j ^ - < - . Тому 28 2 * 0 < arcsin 2 .Ш- < — і 0 < — - arcsin.Р^ < ^ . 33.48. 34.1. 3) - ф . 28 2 З V 28 2 Vi З 34.2. 1) 3) 34.3. 2) -2я. 34.4. 1) R; 2) [1; +«). 34.5. R. З 6 34.6. 1) (2-|;2+|); 2) 0 ; ^ ] . 34.7. 1) (4; л + 4); 2) [o;J|). 34.8. 1) 4; 2) 5; 3) 4) it. 34.9. 1) 2) f . 34.10. 1) 1; 2) tg 1; 3) ко- 2 2 a 27 + yfs ренів немає; 4) — — . 34.11. 1) -1; 2) коренів немає; 3) коренів не- розв'язуючи яку отримуємо X = J — , Крім того, / іо 3 9 3
- 394. Відповіді та вказівки до вправ має; 4) 34.12. 34.13. (±;+~). 34.14. 1) 2) і ; 3) - - 4 ) Д - . 34.15. 1) - L ; 2) - - 3 ) i f . V5 V113 v50 V5 л/10 85 34.16. 1) 2) 34.17. 1) ^ » l ^ S j . 2) 34.18. 1) Вказівка, tg (arctg х) = x при будь-якому x. 34.19. 2) Вказівка, tg (arcctg x) = i . 3 4 . 2 0 . 1 . В к а з і в к а . Скористайте- ся тотожністю arctg x + arcctg x = 34.21. 34.24. 1) 2) - f | ; 3) 5 -2n; 4) - g ; 5) ~ - 1 7 . 34.25. 1) g ; 2) g ; 3) 15 -4л; 4 ) ^ Г І 5 ) 34.26. Вказівка. Нехай arctg JC = а. Якщо x > 0, 38 2 то 0 < a < — ; tg a = x. Маємо: ctga = — = - . Звідси a = a r c c t g i . 2 tg a X x Якщо X < 0, то - ^ < a < 0 і ctga = ^ . Маємо: ^ < j t + a < n і ctg(7i+a) = i . Тоді к - a = arcctg і ; a =-я+arcctg і . 34.28. 1) Вказів- X X X ка. Нехай arccos х = а. Якщо 0 < х < 1, то 0 < а < ^ ; cos а = х. Має- мо: l + t g 2 a = - — ; t g 2 a = 1 Ураховуючи обмеження для ї і а , ч/Г^х2 -Jlx2 запишемо t g a = . Звідси a = arctg . Якщо -1 £ х < 0, X X то £ < a < j r і tg2 (x-* f . Маємо: - £ < а - я < 0 . Тоді tg2 (a-Ti) 2 X 2 1-х2 . Vl-x2 „ _ . Jl-x2 . л/l-Jt-2 -tg(a-!i) = ; a - n = arctg ; a = Ji + arctg X X 34.30.1) Вказівка. Якщо x > 0, у > 0, то нерівність - ^ < arctg х + arctg у є очевидною, а нерівність arctg х+arctg у рівносильна нерівності arctg * < I - arctg y; tg (arctg x) < tg - arctg уj = ctg (arctg y) -- tg (arctgy)' тобто x<—; xy < 1. Інші випадки розгляньте самостійно. 34.33. Вка- У зівка. Скористайтеся задачею 34.30. 34.35. 1) S = arctg (п + 1)-—, 4 і ih +1) _ ^ Вказівка. Доведіть, що arctg — j - a r c t g = arctg(k+1)- 1 + A + fe l + (ß+l)ft 3 9 4
- 395. Відповіді та вказівки до вправ -arctg k. Тепер можна записати такі рівності: arctg - = 3 2—1 1 3-2 = arctg-——— = arctg 2 - arctg 1; arctg - - arctg -——— = arctg 3-arctg 2; .,.; m 1 + 2-1 7 1 + 3-2 arctg —r- = arctg ---' ' ^ " = arctg (n+1) - arctg n. Додавши отри- 1 + л + л 1 + (n +1) n мані рівності, маємо: S = arctg (n +1) - arctg 1 = arctg (n+1) - ^ . Інший 4 розв'язок може спиратися на формулу задачі 34.30. Обчисливши суму декількох перших доданків, можна побачити закономірність і сформулювати припущення S = a r c t g Ц ю рівність можна довес- п + 2 ти, наприклад, методом математичної індукції. 2) S = arctg(л + 1)--. 4 Вказівка. Скористайтеся задачею 34.27. 34.36. S = arctg(n2 +п + 1)~—. 4 Вказівка. . — ß^—s _ (k + ^ + 34.37. Вка- k4 +k2 + 2 l + (Jt4 +fc2 +l) l + (k2 + k + l)(kz -k + l) зівка. Нехай а - arctg x, ß = arctg у, у = arctg г. Тоді х + у + г - хуг = = tg а + tg ß + tg у - tg а tg ß tg у = (tg а + tg ß) +tg у (1-tg а tgß) = sin (er. + (4) _ cos(a + ß) sin (а + ß)cos у + sin у cos (а+ ß) sin (а + (і + у) „ — h tg у і; = > U. cos a cos ß cosracosß cosacosßcosy cosacosßcosy 35.1. 1) (-1)".£ + 7ш, ~ + 2пп, n e Z; 2) ±~+2кп, n є Z; 3) ^ + 6 2 3 6 3 n e Z ; 4) " т + лтг, arctg 3 + пп, n є Z; 5) ^ a r c c t & ( - | ) + ir» 4 о 2 2 о/ 2 ne Z; 6) ±4arccos+8тт, n є Z. 35.2. 1) (-1)n %+2кп, n € Z; 3 6 2 2) +- + 7Ш. ЯП, л є Z; 3) -+іш, -arctgy+ял, n є 2; 4) — + 3яп, 3 4 4 4 3 arcctg (-ІІ+Зяп, л е ї 35.3. 1) j + яn, n є Z; 2) + п e Z; З/ 4 6 3) arctg + ял, n e Z;4) i a r c t g 4 + ^ , n e Z; 5) -3 arctg 5 + Зяп, n є Z; о 2 2 6) ~+кп, arctg 4 + пп, n є Z; 7) 2 arctg 2 + 2лл, /г є Z; 8) 7+itn, я є Z. 35.4.1) + nn, ne Z; 2) 5 + тстг, « є 3) -arctgi+тш, о 4 3 2 п є Z; 4) І arctg І + — , n є Z; 5) arctg 2 + яп, arctg 3 + ял, n є Z; 4 3 4 6) - + ЯЛ, -arctg 7 +яп, n € Z. 35.5.1) (-1)"-^+яп, (-1)" arcsin + ял, 4 4 6 3 ne Z; 2) ± ^ + 2 я n, n є Z; 3) ± arccos ( і - ^ ) + 2 я п , n є Z; 4) 2яп, О 39Б
- 396. ВІДПОВІДІ та вказівки до вправ ±(я-arccos ||+2ял, пе Z; 5) (-1)п+1 • |+лл, ^+2пп, п є Z; 6) ±2п + бпп, п є Z; 7) ял, п є Z; 8) 2л + 4ял, п є Z; 9) ~-+яп, л є Z; 3 4 1 TZ „ 7Ш _ /77 -, v ТІ , ЇСП 1 . _ З КП _ ™ , rt. л , 10) + п є Z; 11) ^ + — arctg—+—, л є Z; 12) —j+nn, arcctg 2 + nn, n є Z; 13) ±£ + ял, л є Z; 14) ±- + 2яп, л є Z. • 3 4 35.6. 1) ± ~ + 2ren, n є Z; 2) (-1)п .£+лл, л є Z; З " 6 2 3) (-1)"-arcsin(2-%/§)+ли, л є Z; 4) f+лп, 2пп, л є Z; 5) ( 1)"+ 1 я + СІ + бяп, п є Z; 6) (-1)"11 + 2лп; л +- 4лл, л є Z; 7) + л е ї ; о 6 2 8) - + тш, arctg 2: + лл, л є Z; 9) 5 + i n , л є S; 10) ±-+лл, л є Z. 4 6 3 35.7. 1) - + яп, -arctg 2 + лп, л є Z; 2) -5- + HL, i a r c t g I + 5 Ü , л є Z; 4 20 5 5 7 5 TT ЗГИ ]Г_ 8 + 2 ~ ' H є arctg 3 + nn, arctg 4 + лп, n є Z; 5) --+лл, arctg- + ял, л є Z; 6) — + nn, -~ + nn, n є Z; 7) лп, arctg 3 + пп, n є Z; 5 2 4 8) —+ лп, л є Z. 35.8. 1) —+ ял, arctg 3 + nn, n e Z. Лказіека. 4 4 sin2x = 2sinxcosx; 2) —+лл, arctgi+ял, n є Z; 3) --+itra, 4 4 4 -arctg і+яп, л є 2;4)лл, —+ял, л є Z; 5) —+ ял, л є Z; 6) - — + ял, З 4 3 4 п є Z. 35.9. -я. 35.10. 35.11. 35.12. 35.13. 1) j + y . п є Z; 2) (-1)"-arcsin ^ ^ ^ л л , л є Z; 3) ±£+ял, л є Z; 4) ± ^ + 2лл, л є Z; О И И 5) ±£ + 2лл, п є Z. 35.14. 1) ±arccos л <= Z; 2) ±£ + ял, З 5 6 пе Z;3) + л є Z; 4) ± arccos + 2лп, пє Z; 5) ± | + ял, 1СІ СІ СІ о л є Z. 35.15. 1) , л є Z; 2) я є Z. 35.16. 1) ± ^ + 2яп, пє Z; 2) £ + п є Z. 35.17. 1) ^ + 2ял, -2 arctg^+2nn, З 8 2 2 5 neZ;2) 2 arctg (-1 ±і/б) + 2лл, лє Z. 35.18.1) + 2 arctg 4 + 2лп, п є Z; 2) — + 2ял, 2 arctg 2 >/3 + 2ял, л є Z. 35.19. 4 корені. 35.20. 2л. З 35.21. п - arcsin 35.22. 35.23. 1) ял, л є Z; 2) лл, 4 2 4 396
- 397. Відповіді тз вказівки до вправ п є Z. 35.24. 1) ±^+лл, п є Z; 2) £ + п є Z. З 6 3 12 З 35.25. 1) [-1; 2]; 2) 3. 35.26. 1) [-1; 2]; 2) таких значень а не існує. 35.27. 1) + п<=2; 2) ±~ + 2пп, ±(п-arccos|)+2лп, п є Z. 4 о u / Вказівка. 5j3cosx+—-—| + + 2|9COS2 JC +——1+5 = 0. Зробіть заміну ^ СОМ X J COS XІ Зсоях+—^— = у, тоді 9cos2 x + — і — = ц 2 - 6 . 35.28. 1) -+кп, п є 2. cos я; cos д: 4 Вказівка. (tgs х + ctg8 л:) + (tg2 х + ctg2 х) - 4 = 0. Зробіть заміну tg JC + ctg JC = у; 2) £ + 2nk, (-1)* +nk, (-1)* arcsin 5 + nk, k є Z. 2 6 4 35.29. 1) -v+яп, ±5+яп, пп, n є Z; 2) %+nk, k є 2. Вказівка. 4 6 2 2 cos2 x + 5 sin2 X cos2 x + sin4 jc + cos2 де - sin2 * = 0; sin2 * — 3cos2 x = = 5sin2 Xcos2 X + sin4 *. Помножте ліву частину на вираз sin2 х + cos2 х; 3) - + nk, k є Z. 35.30. 1) - + пп, -+КП, -+пп, п є Z; 2) , ' 2 ' 3 6 2 4 2 п є 2. 35.31. 1)5+пп, +Ї + ЛП, п є Z; 2) ~, (-1)"1 + 8 2 2 3 2 12 2 п є 2. 35.32. 1) Зяп, п є 2; 2) - + лп, +arccos 1 ~у ^ + 2лп, п є 2. 2 4 35.33. 1) (-1)" - ™+яп, пє Z; 2) ±—+ 2лгс, л є 2; 3) (-1)" -~+nn, я є 2. 6 3 6 35.34. 1) ±^ + 2яи, п є 2; 2) (-1)"-~ + 7іп, п є 2; 3) ±£+2лп, п є 2. З 6 3 35.35.1) f <а<л; 2) 35.36.1) ! ^ < а < 2 л ; 2) £ < ї а < ^ . 6 2 6 6 3 2 35.37. 1) а < -1, або а = ~, або 2) — < а < — , або і < а < — , 10 2 10 2 2 10 або я = —1. 35.38. 1) або а = або а > 1; 2) а = 1 або - ^ U a < 0 ; 3) ^§-<а< 1 або 35.39. 1) а > ~ , або 2 2 2 2 2 а = - і або а < -1; 2) або а = -1; 3) або о с, с, о А -1<«<-і. 35.40. 1) 3; 2) ( i z ^ . i i ^ j u j - g } . 3) [l;3]u{-l|}; 4) * l ^ Ö . - l ) ü [ l ± ^ ; a ) 5) -1; 6) (-i|;-l). 35.41. 1) ( - 1 - f ; . 35.42. а < 0, або а = 2, або а = 3, або 397
- 398. Відповіді та вказівки до вправ а > 4. Вказівка. Покажіть, що друге рівняння рівносильне сукупнос- sin X = 0, X 7t sinx~—, 35.43. а = 2. Вказівка. Зауважимо, що число — є 2 о а-2sm х = .2 коренем першого рівняння при всіх значеннях а. Підставляючи х=~ 3 у друге рівняння, отримуємо 2аг - 5а + 2 - 0 . Звідси а = 2 або а = Залишається перевірити знайдені значення параметра. 36.1. 1) ^ + , 4 2 £ + jm, n є Z; 2) £ + л Е й 3) -f+2jm, ±£+пп, п є Z; £ Z O O ^ О у 4п Я , Я т ол л -і Я . ~ ГР 4) (-1) • —+ ТШ, --+JTN, B E Z . 36.2. 1) - + — — , n є Z ; 2) — , 6 3 о 3 4 5 4 n є Z; 3) ±arctg /2 + пп, - - + JCH, п є Z; 4) ±^+2im, arcctg 3 + nn, 4 4 neZ. 36.3. 1) ±- + 2nn, n є Z; 2) (-1)" arcsin— + тш, л є Z; 4) ~ + 4 3 24 6 —+—, п є Z. 36.4. 1) — + 2nn, n є Z; 2) -+лл, Ц + — , n є Z. 16 4 12 4 16 4 36.5. 1) n+2nn, n € Z ; 2) + n є Z ; О ö 4 1Z Z 3) ±Щ + 2пп, ne Z;4) f , ne Z; 5) 7m, <-i)"+ 1 + д є z . 6) - + ( - 1 ) * " - — + n є S ; 7) Jin, i a r c c o s f + 2тш, и є Z ; 4 2 12 2 4 Л 2?Ш Л ^ ™ A v 7Ш 7Г , 0 ЇЇ , 2ЛЛ Г77 ц 7ГЛ 8) Т- + 7СП, -—, п + 2лп, пє Z;9) — , --+27Ш, — + — , п є Z; 10) — , 2 5 О 2 10 Э & п є Z. 36.6. 1) 7171, п є Z; 2) 2лга, (-1)" + н е Z; 3) f , п є Z; 4) f + тш, „ e Z ; ä ) Ж , + f + 2™, n є Z; 6) J + f , f , ne Z; 7) « є Z; 8) ( - l r - f + f , л є 36.7. 1) ± + 1 + 7m, « є Z; 2) ^ + ±l+ J T O j я e Z; 3) я є Z; 4) 2nn, * + nn, n є Z; 8 4 3 3 8 4 4 5) "+1Ш, n є Z; 6) - + 7W, n є Z; 7) -£г +—, - £ + ісл, n є Z; 8) 2 4 48 4 12 5 jt _ „ l - c o s 2 x l - c o s 4 x l - c o s 6 x l - c o s 8 x „ — + n n , n є Z . Вказівка. + - = 0 ; Z Ct Ci £t 398
- 399. Відповіді та вказівки до вправ 9) 4 + Ї + S , н е ї ; 10) | + + Л Е Ї . 36.8. 1) £ + 10 5 4 2 6 3 9 3 22 11 „ є Z; 2) ±£ + ял, л е Z; 3) f + S , л є Z; 8 4 3 3 8 2 4 І, ж .0 к , _ ™ еч тсп Ttre ™ лп , к пп гїї 4) + 2ял, ^ + л є Z; 5) — , — , п є Z; 6) — , п є 36.9. 1) £+ял, ~ + п є Z; 2) п є Z; 3) -60° + 180°п, 2 4 ^ 6 о Z 40° + 180°л, п є Z; 4) л є Z. 36.10.1) |+ял, лей; 2)45° + 180°л, -75° + 180°л, п є Z; 3) ±£+кл, л є Z; 4) л є Z. 6 4 24 12 36.11. 1) - £ + ял, л є Z; 2) - J U » £ ± |+ 2яп, л є Z; 144 о £ о л 3) у + я л , (-1)" arcsin + ял, л є Z. Вказівка. + - 2 ^ - у cosx+-|sinxj = 0; 2|sin ^ + sin 2xJ-cos|x-^J=0; 4sin^x + x x«»(,-f)-eo.(x-f).OM«.(»-j)(-n(«+ |)-j)-0. 36.12. 1, l + f , 5 / 2 —+ПЛ, л є Z; 2)—— + ял. л є Z. Вказівка. 4 -sin 2х +— cos2x -5 = 12 12 2 2 ) = cos(|-(|+2xjJ; 4sin2 (2x + |)-sin(2x+^)-5=0. 36.13.1) 2ял, - | + ял, ~+лп, лє Z.Вказівка.2sin2хcosх — 2sinxcosx 2cosх(cosх — 1) = 0; 2 cos X (sin 2х - sin х - cos х + 1) = 0; 2 cos х ((1 + sin 2х) - (sin х + + cos х)) = 0; 2 cos х ((sin х + cos х)2 - (sin х + cos х)) = 0; 2 cos х (sin х + + cos х) (sin X + cos X - 1) = 0; 2) —+ ял, ^+ял, л є Z. 36.14. 1) 4 & сі - + л є Z. Вказівка, (sin 4х + cos 4х) (sin2 4х + cos2 4х - sin 4х cos 4х) - 8 2 - (1 - sin 4х cos 4х) = 0; (sin 4х + cos 4х - 1) (1 - sin 4х cos 4х) - 0; 2) -- + 7Ш, , л е ї 36.15. ^ + л є Z. Вказівка. Якщо а задо- 8 24 З 8 2 вольняє умову задачі, то sina + sin2a + sin3a = cosa + cos2a + cos3a, sin 2a (1 + 2 cos a) = cos 2a (1 + 2 cosre),(1 + 2 cos a) (sin 2a - cos 2a) = 0. 37.1. (-1)"+1 arcsin -Л=--+лл, л є Z. 37.2. (-1)" arcsin 2 v2 4 2-12 4 л є Z. 37.3. 1) 2яв, —+ 2ял, л є Z. Вказівка, (sin х + cos х) (1 - 2 - sin X cos x) = 1; 2) яп, arctg 2 + ял, л є Z. Вказівка. Зробіть заміну 399
- 400. Відповіді та вказівки до вправ = 37.4. 2тіп, —+2пп, п є Z. 37.5. 1) - - + я и , п є Z; 2) пп, sin л: - cos JC 2 4 .Д ГО» И Т , - л 1+C0s6* J In o i ± ^—, n є Z. Вказівка. cos4jc = ; 4cos 2x - 2 = 1 + 12 2 2 + 4cosa 2x - 3cos2:c; 4COS3 2JC - 4 cos2 2x ~ 3 cos 2x F 3 = 0; 4 cos2 2JC X X (cos 2x - 1) - 3 (cos 2x - 1) - 0; (4 cos2 2x - 3)(cos 2JC ~ 1) = 0; 3) 3 fte Z. 37.6. 1) — , ±- + 2тш, л є Z; 2) ял, ±^ + лл, n e Z . 37.7. 1) — , 2 6 6 15 k e Z , k * 1 5 p , p e Z, + " Є Z , л # 1 7 m + 8, m e Z; 2) ft є Z , A # 9p, p є Z, Вказівка. Помножте обидві частини рівності на 2 sin —; 3) fee %, ft * Qp, р є TL. Вказівка. Скористайтеся формулою по- ниження степеня. 37.8. 1) ft є Z, ft * 14р, р є Z; 2) ft є Z, k * Зр, р є Z, 1 + п є Z; 3) ft є Z, k * 9р, р є 2. 37.9. 1) -2; о ^ 9 2) коренів немає. 37.10. 1) 2; 2) коренів немає. 37.11. Коренів немає. Вказівка. Якщо х > 0 або х < -1, то х2 + х + 1 > 1. При JC Є [-1; 0] sin JC < 0, а де2 + х + 1 > 0. 37.12. Коренів немає. 37.13. 1) JC = 2nk, 1 * о 1 , „ ОЛ -5+^25-8ft -5-V25-8Ä y = ~ або де = я + 2nk, у = - k e Z; 2) x = , y = - , , _-5-V25-8fe _ -5 + V25-8fe я _ 5 + V 2 1 - 8 n _5->/21-8n aoo X - - , y - - , aoo x— - , y - - , a 6 o 5-V2l"-8n 5+^21-вп k є Z, n є Z, k <, 3, n < 2. 37.14. 2 2 1)дс = -4, j/ = ~ + Y або де = 4, „ є Z ; 2) * = ^+2ял, у = ~3 або дс = -—+2ял, и = 3, п є Z. 37.15. 1) 4ял, п є Z; 2) „ є 2. 4 4 3 37.16. 1) бяп, я є Z; 2) ^р+Зяп, п є Z. 37.17. 1) | + 2яА, ft є Z. Вказівка. Запишемо дві очевидні нерівності: COS7 JC < cos2 ДЕ; віп"де < < sin2 де. Додаючи почленно ці нерівності, отримуємо cos7 х + sin4 де < < 1. Тепер очевидно, що вихідне рівняння рівносильне системі (cosT де = cos2 де, п < 2) ~+2кк, 2nk, ft є Z. Вказівка. Покажіть, що при [sin де = sin де; 2 всіх допустимих значеннях х виконуються нерівності Jcos де > cos2 де І Jsin х>sin2 JC. 37.18. І) | + 2яА, 2nk, А є S; 2) -f+2яА, яА, ft є Z. 37.19. 1) ^+2яА, ft є Z. Вказівка. Запишемо очевидні нерівності: 400
- 401. Відповіді та вказівки до вправ sin5 X < sin2 я; cosö X < cos2 х. Звідси sin5 х + cos8 х < sin2 х + cos2 х = 1. Разом з тим зрозуміло, що 2 - sin4 х > 1. Таким чином, вихідне рівняння рівносильне системі sin5 де = sin2 X, cos5 x = cos2 x, 2) - + 2nk, k є 4 2-sin4 x = l; 37.20. 1) I + 2nk, k є Z; 2) розв'язків немає. Вказівка. Покажіть, що sin х + 2 cos X < 37.21. — + 2k, k є Z. Вказівка. Перетворіть рів- и няння до вигляду ^4-tg 2 sin (кх~а) = 2, де sin ос = і і cosa= r- —. Тепер слід зауважити, що ліва частина отримано- г Зтиг t g 2 го рівняння не більша за 2. 37.22. +2k, k є Z. 37.23. 1) x=~+nk, 4 2 у = пп, k є Z, п є Z. Вказівка. Оцінимо кожний із множників лівої частини даного рівняння. Маємо: 5н——^—> 8 і 2 - sin6 x > 1. Тоді ( 5 + — | ( 2 - s i n 6 x ) > 8 . З іншого боку, очевидно, що 7 + cos 2у ^ 8. sin хі Отже, вихідне рівняння рівносильне системі sin2 x = l , пч Jt , Kk 5 + —^— = 8, sin X 2-sin6 x = l, звідси 7 + cos2i/ = 8, 2) X= - j у = -^+2тш, k є Z, n є Z. Вказівка. Для будь- cos2y = l; 4 2 2 яких дійсних чисел а і b правильна нерівність a2 +b2 >^(а+Ь)2 . Сі Тоді (sin2 X + —4—) + ( c o s 2 x + — > і (sin2 X + cos2 х + — 4 — + — ) = sin XI COS ЗСІ 2 sin X cos ХІ = i ( l + — — і 37.24. 1) х=-£+2rc(n-ft), у = -я + 2п(п - 2k), 2 sin 2х! 2 2 k є Z, п є Z; 2) + k є Z, п є Z. Вказівка. Скористайтеся нерівністю а2 + Ь2 > 2ab. Тоді tg4 x + tg"у > 2tg2 x tg2 y і t g ' x + tg"у + 2 ctg2 X ctg2 у > 2(tg2 xtg2 у + ctg2 X ctg2 y) > 4. 37.25. 7. Вказівка. Зауважимо, що коли число х0 — корінь даного рівняння, то і число (- хг.) — теж корінь цього рівняння. Тоді дане рівняння 401
- 402. Відповідітавказівки до вправ може мати єдиний корінь лише за умови х0 = 0. 37.26. 3. 37.27. ——. sm 1 37.28. 0; tg 1. 37.29. (0; 0), (1; 0). Вказівка. Підставивши замість х числа 0, 2п і у можна отримати необхідні умови, яким задовольня- ють числа а і Ь . 37.30. а = 1. Вказівка. Число 2я є періодом функції у = (а - а2 ) cos2x + sinде - а. Нехай х0 — корінь рівняння (а - a2 ) cos 2х + + sin X = а. Тоді числа х0 і х о + 8л — корені рівняння (а -1) sin ^ + sin х = о X X = 1. Маємо ( a - l ) s i n ^ + sinx0 = l і -(ü-l)sin-^-+sinx0 =l. Відніма- 8 8 ючи почленно від першої рівності другу, отримуємо 2(a-l)sin^- = 0. 8 Звідси а = 1 або х0 = 8лА, k є 2. Проте жодне з чисел виду Silk, ft є Z, не є коренем рівняння (а -1) sin ~ + sin х ~ 1. 38.1. 1) nk, k є Z, k* -2; 8 2) ~+2nk, ft є Z, k * 0, (-1)" • J + тш, n є Z; 3) (-1)*-~ + k, ft є Z , k * l . 2 6 6 38.2. 1) ^ + ft є Z, k * 0 ; 2) 2nft, ft є Z, |+Jtn, « є Z, n * 0; 3) A+|, ft e Z, k * 1. 38.3. 1) + k є Z; 2) |+лА, k є Z; 3) - | + 2nft, 2nft, ft є Z; 4) 2яА, k є Z; 5) ™ + y , ft є Z; 6) (-1)*'1 |+2тсА, ft є Z. 38.4. 1) - + jift, ft є Z; 2) lift, ft є Z; 3) я + 2rcft, ft є Z; 4) 2яА, ~ + 2я/г, 4 2 ft є Z; 5) n + 2nk, ±f+ 2nk, ft є Z. 38.5. 1) * = ft, ft є N, ft # 1; 2) * = 0, О X = ±1, л: = ±2, x = ±|. 38.6. l ) x = 3, x = | + ft, fee Z, ft < 2 ; 2) * = ±|, X = ±3, x = ±l. 38.7. 1) -~+2nk, (-1)* • ~+nk, ft є Z; 2) 2nk, ft є Z; 2 6 3) —^ + 4ltft, k є Z. Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі sinx = l, cos 4х — 1 е ' 38.8. 1) ~+2nk, ~^+2icft, -—+2jrft, ft є Z; 2) л + 2яЛ, X л/2 2 6 6 c o e f ' a • ft є Z. 38.9. 1) nk, l + 2nk, ft є Z; 2) £+*ft, k є Z; 3) -- + 2nk, ^ + 2 6 6 2 ft є Z. 38.10. 1) £ + я/г, 2lift, ft є Z; 2) ±£ + 2jtft, 2яА, А є Z; 3) ~ + 2nk, a 4 О лА, ft є Z. 38.11. 1) ^ + - i a r c t g — f t є Z; 2) - + nft, 4 2 2 5 2 2 -arctg ^-^L+nft, ft є Z. 38.12. 1) |+*ft, ±arctg ^ + rcft, ft e Z; 4 0 2
- 403. Відповіді та вказівки до вправ 2) - l a r c t g ^ + f , ft є Z;3) f + тгА, a r c t g + nk, ft є Z. 39.1. 1) ^+2nk-,2nkJ, ^2nk-,-^ + 2nkJ, k є Z; 2) (|+яА; ( i t f c - ^ + 4 z - 39 -2 - !) (360D A; 60° + 360°ft), (-60° + 360°ft; 360°ft), k є Z; 2) ( y + Y ^ 5 3) ( | + 2A;i-2fr), ft є Z; 4) ( j + jift; | ~ 4 * є Z. 39.3. 1) || + i c f t ; ^ - 4 beZ-,2) ^ n f c y - ^ f t ) , ft є Z. 39.4. Ate Z. 39.5.1) + nfcj, ft є Z; 2) (arctg | + +7[ft;^-arctg|-nftJ, (arctg | + arctg | - 4 k є Z. 39.6. 39.7. 1) ( f С Я + 2 f c ) ; § + f Cn-2ft)), (|+|(n+2ft); |+|(n-2fc)), л є Z, k є Z; 2) ( - y + f - ^ y + f + * ) • n є ft є Z; 3) (27tft;y+2тш|, ( 2 j c f e ; ™ + 2 4 ( у + Й л А ^ л ) , (-у+2jtft;2TtnJ, л є Z, ft є Z. 39.8. ( - f + I t ( f - f c ) : f + I t ( f + Ä ))- л є Z, ft є Z; 2) (j+|arccos^Un(n+ft); ——+- arccos^ + Jtfл- ft)|, f-—+ і arccos — + 71 (n +ft); —+ і arccos ^ + 8 2 4 V V 8 2 4 8 2 4 + л ( д - Ш , [5 - і arccos ( n + f t ) ; - § - і a r c c o s ^ + j c ( n - f t ) l / V8 2 4 8 2 4 У V 8 - ~ arccos + (л + £ - і arccos ~+n(n~k) n є Zy k є Z; 2 4 8 2 4 / 3) ^+n(ft + n);7t(ft-n)J, (jc(ft + n);-^ + jt(ft-n)|, л Є Z, ft є Z; 4) ( | + 2 я й ; | + 2ял), ( | + 2nh-|+2лл), ( - | + 2 я Л ; | + 2 я л ) , ( ™ + 2 я А ; - | + 2лл), ft є Z, п е Z. 40.1. 2) ~£+2лл<х<^+2тгл, л є Z; О / О «5 3) -—+ 2ігя<дг< —+2ют, п є Z; 6) - + ял<х<-+ял, л є Z; 4 4 6 2 8) rm < X < — + тіл, п є Z; 9) K - a r c s i n - + 2nn<x<2n + arcsm—4-2nn, 4 6 6 4 0 3
- 404. Відповіді та вказівки до вправ п є 2. 40.2. 2) ~~ + 2кп<х< — + 2пп, п є Z; 3) - + 2ллСх<—+-2лп, D D 3 3 /і є Z; 6) --£ + ли<х<-^ + кп, п є Z; 8) - + лп<х< л + лп, п є Z; 2 3 4 10) arcctg 2 + nn < X < п + nn, п є Z. 40.3. 1) ^+лп<х<^- + лл, 6 З _ ' Лп 7t КП т .Л . 7t nn К КП _ гр 1 € 2; 3) _ < * < — + _ . , " є 40 -4 - 3) п є Z; О 4U о 4 і ї й і 4) i a r c c o s i + — <x<^--І arccos 7 + ^г> п є Z. 40.5. 1) - £ + лп<х< 4 4 2 2 4 4 2 6 + п є 2; 2) - ^ + л я < х < ^ + лп, п є Z; 3) о ч lu 121 4 и є Z; 4) + - < * < - + — , п є Z; 5) я + 4ял < х < 2л + 4лп, 18 3 2 3 7 п е Z; 6) —+- + лга<х<—+- + НП, ле Z. 40.6.1) --+лл<х<лл, лє 8 2 8 2 6 2) ~ + 4 л п < х < ~ + 4 т т , п є Z; 3) * + 2пп<х<^ + 2пп, п є ' б 6 ' 2 6 4) - — + 3лп<х<--+3лп, п є Z; 5) - - + 2лп<х<- + 2лп, п є 4 4 6 2 6 ) i Z " E 2 2 7 t + ™ п z 4 0 7 - ї + 2лА *їх< arcsin і+2лА, ' 60 2 60 2 ' б 4 я - arcsin і + 2лА < х < — + 2лА, А є Z; 2) + 2лп<х<- arccos - + 2ли, 4 6 3 4 arccos і + 2лл < х < ~ + 2кп, п є Z; 3) -arctg 2 + лА < х < arctg 3 + лА, А є 2; 4) £ + — +-лп, я є Z. 40.8. 1) — + 2лА<х < - ^ + 2лА, 6 4 6 З — + 2л/г<х<—+2лА, А є Z; 2) arcsin І-+ 2лА<х<- + 2лА, ^+2лА< З 6 3 6 6 <х<л-агсзіп ^ + 2лА, k є Z; 3) arcctg 1,5 + лА < х < я - arcctg 4 + лА, О А є 2; 4) ~-+лл<х<- + яи, п є Z. 41.1. 1) -~ + лА<х<-+лА, k є Z; 6 4 4 4 2) — + — < х < —+—, Ає Z; 3) -—+яА<х<"+лА, A e Z ; 4 ) --+лА<х< 12 3 4 3 ' З 3 2 <-arctg2+лА, arctg2 + лА < х < ^ + лА, Ає Z.41.2.1) + + 2 6 2 6 2 А є Z; 2) + + А.є Z; 3) - + л А < х < ^ + лА, А є Z; 6 2 6 2 6 6 4) лА < X < arcctg5 + nk, к - arcctg5 + лА < x < я + лА, А є Z. 41.3. 1) х г — + • — , А є Z; 2) 2лА, А є Z; 3) ^ + лА<х<—+яА, А є Z. 4 2 4 12 41.4. 1) + 5 f ' k Є ^ + є 3) -—+2А<х< —+ 2А, А є Z. 41.5. 1) --+лА<х<- + лА, А є Z; 8 8 3 6 4 0 4
- 405. Відповіді та вказівки до вправ 2) X ф n k , k є Z. 41.6. 1) + nk<x<nk, kB Z; 2) + + 6 12 12 k є Z. 41.7. 1} | + 2 я А < х < - ^ + 2л;А, А є Z; 2) -arctg2+nk<x<~ + nk, ö О ö fe є Z; 3) ~ + 2nk<x<^ + 2nk, k є Z; 4) arctgї/2+ яА<х<-+лА, -arctgл/2 + л/г < X <JIA, k є Z. 41.8. 1) l + 2nk<x<^ + 2nk, k є Z 3 3 2) nk<x<- + nk, — + nk<x<n+nk, k є Z; 3)^ + nk<x< — + nk, k є Z; 2 4 4 4 4)-- + nk<x<--+Kk, nk<x<- + nk, fceZ.41.9.1) ~ + 2nk<x< — + 2nk, 2 4 4 5 5 T[ + 2itA<X< — + 2nft, — + 2лА<Х<2л + 2лА, k є Z; 2) ~ < J C < - + ^ , 5 5 2 4 2 k є Z: 3) 2яА<х<*+2яА, — + 2nk<x<л + 2nk, — + 2лА<x< — + 2nk, 4 4 4 4 k є Z; 4)-* + 2nk<x<2nk, ~ + 2nk<x<— + 2nk, k є Z; 5) 2rcA<x< 2 4 4 <-+2rtA, — + 2тіА<х<я + 2лА, + 2nk < x < Щ- + 2nk, k є Z. 41.10. 2 3 3 2 1) 2яА < X < n + 2яА, k є % 2) +2nk<x<2nk, у + 2 л А < х < | + 2 л А , ~ + 2nk<x<n+2nk, + 2nk<x<~ + 2nk, k є Z; 3) ^ + лА<х<£+лА, 5 5 2 о 2 я , . у5я , L i , ® i i i . i r t ^ » , rt я . кА _ _ Зя , яА . _ ™ - + nk<x<—- + nk, А є Z; 4) - + -—- <x< — + -—, - + —<x<-~-+— , fte Z. 2 о 8 2 4 J 4 А 8 2 „ л л ло о Зл л п л І2 л/б->/2 л п - 2л 42.2. cos-, -cos-. 42.3. cos—. 42.4. — — ; — . 42.5. cos — , 5 5 10 2 4 9 4л 6л 8л л Зл „5л „ „„ . тг cos у , cos у , cos—, cos-, cos у , cos у . Вказівко. Доведіть, що всі корені даного рівняння належать проміжку (-1; 1). Зробіть замі- ну X = cos а , а є (0; я). 42.6. Вказівка. Зробіть заміну X — I а I cos а , у = | а | sin а, де а є [0; 2я). 42.7. 7 розв'язків. Вказівка. Я к щ о покласти х = tg а , < а < то отримаємо у - tg 2а, г = tg 4а, £ А X — tg 8а. Тоді tg а = tg 8 а і а = у . 42.8. |; Вказівка. Зробіть заміну X - r cos а , у - r sin а, де г > 0. 42.9. Існує. Прикладом такої множини можуть бути числа cos а, cos 2а, ..., cos 2S9 a, де а = -]ій>—.42.10. Існує. Наприклад, a = t g - ^ — . 42.11.1; c o s ^ ; c o s ^ ; c o s ^ ; і üUU f I I cos у ; cos у ; cos у ; cos у . Вказівка. Легко перевірити, щ о при 405
- 406. Відповіді та вказівки до вправ I X І > 1 f (f (f (х))) > f (f (де)) > f (x) > I X I > X. Отже, розв'язків, які задовольняють умову | х > 1, рівняння не має. Якщо j х | < 1, то мож- на зробити заміну х - cos t, де t є [0; я]. Отримуємо cos 8t = cos t, 42.12. Наприклад, cos 42.13. Вказівка. Існує а таке, що 2 sin а - a, cos a = Ь. Покажіть, що ап = sin (я - 1) а. 43.7. 1) Неспадна; 2) не є монотонною; 3) не є монотонною. Вказівка. Розгляньте від- н о ш е н н я 43.8. 2) Вказівка. ап = - 3 - (п - І)2 ; 3) Вказівка.а п 4) Вказівка. = 6) Вказівка. п+1 2 Vi? п + 2 п + 2 43.14. 1) Так; 4) ні. 43.15. 1) a2 = ~ ; 2)ae = l ; Vn2 +1 Vn2 +1 Vn2 9 3) а3 = 7; 4) а2 = 1. 43.16. 1) аг = -3; 2) а2 = 4; 3) аг = -1; 4) а3 = -2; 5) а1 = ~2; 6) ае= 27. Вказівка. ап = ——— = лн 1-15; 7) а2~-~. п ґі 2 43.17. Так. Наприклад, 1, 2, 2, З, З, 3, 4, 4, 4, 4, ... . 43.18. Так. На- приклад, а„ = пі. 43.19. 1) Ні; 2) ні. 43.21. 1) Вказівка. (Vn + 1 -Vrä)(Vn + l + an= j===—-,- ; 2) Вказівка. Доведіть, що a„ = l -. Vn + 1+л/л n + 1 43.23. Ні. Вказівка. Роагляньте т„ для чисел п - 2k , k є N. 43.24. Вказівка. Число л є дільником числа п. Тому а„ > л і > Vn. yjn 43.25. Так. Вказівка. Оскільки множина раціональних чисел злічен- на (див., наприклад, п. 7 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. В., Якір М. С. Алгебра : підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням матема- тики), то існує послідовність (г„), яка містить усі раціональні числа. 43.26. Так. 43.27. 1) Вказівка. а„ < 1 + - і — , п > 1; 1-2 2-3 (п-1) п 2) Вказівка. Доведіть методом математичної індукції, що ап < 3 для 2012 будь-якого п Є N. 43.28. дг01 = ^ д^гві • Вказівка. Розв'язавши нерів- ність a „ f l > t t „ , дел є N, отримаємо л < 200. 43.29. Ні. Вказівка. Використовуючи нерівність Бернуллі1 (1 + х)" > 1 + пх, де п є N, вонаX > - І , маємо (1 + -т= І > l + n - i > V n . 44.3. З деякого номера V *Jn) 'Vb стає стаціонарною. 44.5. Так. 44.11. Вказівка. Знайдіть п з нерівно- Д= < Е. 44.12. Ні. Наприклад, у будь-якому інтервалі 1 Див с. 224 книги Мерзляк А. Г., Полонський В. В., Якір М. С. Алгебра : підруч. для 9 кл. з поглибл. вивченням математики.— X. : Гімназія, 2009.— 384 с. 4 0 6
- 407. ВІДПОВІДІ та вказівки до вправ (0 - є; 0 + Е) МІСТИТЬСЯ безліч членів послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1 44.13. Так. 44.14. 1) Так; 2) так; 3) ві. 44.15. Так. 44.16. Послідов- ність залишиться збіжною; границя не зміниться. 44.18. Вказівка. Розгляньте нерівність | а„ - а [ < е для є<0. 44.19. Ті послідовності, які, починаючи з деякого місця, стають стаціонарними. 44.20. Так. 44.21. Ні. 44.22. Вказівка. Скористайтеся означенням границі послі- довності. 44.23. Так. 44.24. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, по- слідовність, задану формулою а„ = пп. 44.25. Так. 44.28. Ні. Вказів- ка. Розгляньте, наприклад, х„ = (-1)". 44.29. Ні. Вказівка. Розглянь- те, наприклад, х„ = (-1)". 44.30. Ні. Вказівка. Розгляньте, напри- клад, х„ = -п. 44.31. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, хп = п. 44.32. Ні. Вказівка. Розгляньте послідовність, у якої xPk = 1, де (р*) — послідовність простих чисел, а решта членів Хп = 0. 45.1. 2) Вказівка. Скористайтеся теоремою про двох конвоїрів і не- рівностями 0<-т=2= 2=г = -І=; 5) скористайтеся нерівностями п3 +4 уіп3 Vre 0 < 2 +2 п ~1 < £* + g < ^-tgg2 - < і*. 45.2. 2) Вказівка. Скористайте- Зге + it-2 Зп3 +п-2 п3 п ся нерівностями г ~1 / <0. 45.3. 1) 1; 2) 3; 5) 1. 45.4. 3) 2. !п v n +2V/J-1 45.5. 1) h 2) 3) 4) 45.6. 1) 2 > п п + 1 9« +З п+1 Vn л 3) 4 ) - - — . 45.7. 1) Т а к ; 2) ні. 45.8. 2) Н і . Вказівка. П р и п+1 п+З п > 64 мають місце нерівності: j хй = і/п -(4п-і)> Jn. Тому (хп) — необмежена послідовність. 45.9. 3) Ні. Вказівка. При парних значен- нях п маємо, що х„ = п. 45.10. 0. Вказівка. Скористайтеся рівністю — г (Vrt+T-Vn).(Vn+i+Vn) %% л і а „ Vn+1-Vn=- — р -. 45.11. 0. 45.12. Вказівка. Vn+1+vn Скористайтеся рівністю nq" - де — J> 1, q * 0. 45.13. Вказівка. (JПочинаючи з деякого номера п0, виконуються нерівності 45.14. 1) 0. Вказівка. Скористайтеся теоремою про двох конвоїрів і нерівностями 0 < < — . Інший спосіб розв'язування може спирати- 5 5 ся на теорему 45.8 і рівність хП = 2) 0; 3) 0; 4) 0. 45.15. 3) Вка- V 25 зівка. Маємо хя =—-—. 45.16. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, ' /І"]" 407
- 408. Відповіді та вказівки до вправ послідовність 1 і і і , ^ і , ... - 45.17. 1) 4; 2) 0; 3) 1; 4) 1. Вка- 2 2 3 3 3 зівка. Скористайтеся співвідношеннями + + 1 < <„г|пл "1 +п""' + — + П"-1 = ^п-п" 1 =4п; 5)0. Вказівка. Скорис- лдоданків 5" 56 5 5 5 ^ 5 *. . d ü ü d О х О d s tтаитеся співвідношеннями - < — •„- . де n > 5. ті! 51 6 7 п 51 6У 45.18. 1) 5; 2) 0; 3) 7; 4) 1; 5) 0. Вказівка. Скористайтеся співвідно- шеннями 0 < ~ = —• — — . 45.19. Вказівка. При І х > 1 ви- п п п п п п конуються нерівності | х|< -у х'м < ^2х2 п = | х | • ^ 2 . Тому / (х) = | х при j X І > 1. Розглядаючи випадок | х | < 1, отримаємо f (х) = 1. 45.20. 1. Вказівка. Мають місце нерівності x B < - j = ^ = < l та л1ігп +1 х„ > —г=== ^~т= = Далі скористайтеся теоремою про двох •• • J K O I л D • .n-(2n-lf n-(2nf 32 0 0 „конвоїрів. 45.21. 0. Вказівка. хп <, = < =— = — . 45.22. Вка- П П л зівка. Нехай n = 2*. Згрупуємо доданки таким чином: С у м а д р о б і а к о ж " HOI д у ж к и більша за -, наприклад, 5 + g 7 8 8 8 8 8 = 8 = 2" k ,, Тому хл > —. Отже, потрібна нерівність досягається, наприклад, при і k = 200, тобто при n = 2800 . 46.1. 1) 2; 2) 1; 3) 0. 46.2. 1) 2) |; 3) 0. и о 46.3. 1) і ; 2) -3; 3) 46.4. 1) -2; 2) 0; 3) 46.5. 1) - і ; А 9 ö 4 2) 3) 0,1. 46.6. 1) 1; 2) 3. 46.7. 3) 2. 46.9. Рівність 5 lim І і + — + ... + —І = lim — + lim — + ...+ lim — помилкова, оскільки тео- п-*<*П П ТІ/ п-*» ТІ л-»» Л л-»« П п доданків п доданків рему про границю суми можна використовувати для скінченої (фік- л/І сованої) кількості послідовностей. 46.11. 1) — . Вказівка. Поділіть о чисельник і знаменник дробу на 2) 1. 46.12. 1) і ; 2) 46.13. Вказівка. Скористайтеся рівністю л/а=-Л= і задачею 45.13. £46.14. 1) Вказівка. Скористайтеся теоремою про границю добутку. 408
- 409. Відповіді та вказівки до вправ 46.15. 1) 4; 2) 1. 46.16. 1) 6; 2) 46.17. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, послідовність (а„) із загальним членом а„ = (-1)". 46.18. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, послідовність (х„), за- дану формулами: xSi = 2, х2і., = 3, і є N. 46.19. Ні. Вказівка. Роз- гляньте, наприклад, послідовність (х„), задану формулою хн - п. 46.20. Ні. Вказівка. Якщо 1ітх я =х, то 1ітхя+1 = х і ft К. п—» ™ lira х2 + 4х„ + 3 = х2 + 4х + 3. Маємо рівняння х — х2 + 4х + 3, яке не має розв'язків. 46.22. Так. Вказівка. xn = Sn ~ S„ ,,1. 46.23. . З пш ґ n Y00 46.24. ——. 46.25.0. Вказівка. Скористайтеся рівністю 2 2" ) 1 1 1 46.26. 1) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю fc-(fc + I) k № + 1)' 2) і . Вказівка. Скористайтеся рівністю 1г + 2а +...+л2 - + - ; З 6 3) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю k'h = (k + 1)! - kl. 46.27. 1) 1. Вказівка. Скористайтеся рівністю + ^ |' Вказівка. Скористайтеся різностями kz - 1 = (k — l)(ft2 4*ft+ l)t (ft + 1)" -f- 1 = = (k + 2) ((A + l)2 - (ft + 1) + 1) = (k + 2) (ft3 + ft + 1); 3) Вказівка. 4 Скористайтеся рівністю І3 +2'+,.. + ля = ----'^ÜÜL. 46.28. Вказівка. 4 2л+ 1 х При|х|>1 /(x)=lim -—5~ = lim * * n->"l + X »->- ^ - + 1 lim І І- + 11 !im --+liml Тому / (x) = X при I X I > 1. Розглядаючи інші випадки, маємо f ( x ) = 0 при I X I < 1, f(1)=|, f (-1)=-|. 46,29. 1) Розбіжна. Вказів ка. Якщо limsin6n = a, то lim sin 6 (л+1) = a і lim sin 6(л-1) = a. Тоді Я —> ео П ") 71 —>00 ліва частина рівності sin 6 (л + 1) sin 6 (л - 1) = 2 sin 6л • cos 6 пря- мує до 2а, а права — до 2a cos 6. Отже, а = 0. З рівності sin 6(л + 1) - - sin 6 (л - I) =2 sin 6 • cos 6л знаходимо, що lim cos6л = 0. Але тоді л —, lim (cos2 6л+sin2 6л) = lim cos2 6л + lim sin2 6л = 0; 2) розбіжна. Вказів Л-*« Л — Л - * м ка. Якщо lim X.-а, то lim sin n = lim (x„-x ,) = a-a = 0. 46.30. Iii. rl-»« И 47.1. 1) Ні; 2) так. 47.2. Так. 47.3. Так. 47.4. Ні, Вказівки. Якщо кожний з відрізків [ай; містить точки х і у (х ц), то коткішії з відрізків [а6; ftj містить відрізок [х; у]. 47,5. Iii. Нка.ііпкп. 4 0 9
- 410. Відповіді та вказівки до вправ Розгляньте, наприклад, послідовність (0;1) з |о; ^J z> |0; з 47.8. 1) Вказівка. Для доведення обмеженості послідовності (а„) ско- ристайтеся нерівністю gn^ і < j r ; Вказівка. Доведіть, що 1 < при п > 4; 4) Вказівка. Доведіть, щ о а„ > о„ т , . 47.9. 1) Вказівка. Ско- ристайтеся нерівністю — < — 3 ) Вказівка. Скористайтеся нерів- 3 — 2 З ніс™ А+А+А+...+—-—-4-+A-+A-+А-+...+ 1 І2 З2 52 " ' (2л-І)2 І2 22 З2 42 " " (2л -2)2 (2п І)2 47.10. ^ Ф - . 47.11. 47.12. 47.13. * „ t l = 2 2 ла " n t l л + 1 " 47.14. Ні. Вказівка. Послідовність (а„) є зростаючою. Якщо (а„) — об- межена послідовність, то за теоремою Вейєрштрасса існує границя Ііш а„ =а. Переходячи в рекурентній формулі до границі, маємо рів- няння а = а+ яке ве має розв'язків. 47.15. Ні. Вказівка. Маємо а З ал+] - 2ап -і , а„ > 0. Тому послідовність (а„) є зростаючою. Якщо (а„) — обмежена послідовність, то за теоремою Вейєрштрасса існує границя ltma„=a. Переходячи в рекурентній формулі до границі, П -*оо маємо рівняння а = 2а, звідки а = 0. Але границя зростаючої послі- довності невід'ємних чисел не може дорівнювати нулю. 47.16. Ні. 47.17. Вказівка. Нехай хп є [a; t>] для всіх н е N. Послідовно розби- ваючи побудовані відрізки навпіл, отримайте послідовність вкладе- них відрізків [а; Ь э [at; ft,] з [а2; 62] z> ..,, кожний з яких містить нескінченну кількість членів послідовності (х„). 47.18. Вказівка. Використовуючи метод математичної індукції, неважко показати, що а„ є (0; 1) для всіх л є N. Послідовність (Ь„) — зростаюча. Оскільки о;=в»-а„ г » т о К = а ї + а % + —+а п =(о1 -а2 )+(аг -а8 )+... + (ав-оя+1) = = а,-а„+ 1 <а,. Отже, (Ь„) — обмежена послідовність. За теоремою Вейєрштрасса існує границя Ііш Ь„<а1< 1. 47.19. Вказівка. Викорис- товуючи нерівність Коші, покажіть, що 0 < а„ < Ь„ для всіх л є N. Далі доведіть, що а„ < а„+ 1, bn +l ^ Ьп. Звідси а, < ап< b„< bt. Отже, (а„), (Ьп) — монотонні і обмежені послідовності. За теоремою Вейєр- штрасса існують границі lira а = а, Ііш Ь, = Ь. Переходячи в обох J7-+» її—»» - І. а п+к • ь а + Ьчастинах рівності Ьп+1 = -*- Д° границі при п —» маємо Ь=- . Тому а = Ь. 47.20. Вказівка. Доведіть нерівності "'Уп < 2, і скористайтеся ними. 47.22. 1) yfe; 2) е5 ; 3) -. 47.23. 1. Вказівка. є 410
- 411. Відповіді та вказівки до вправ З нерівностей <£<(l+—ijJ і де п > 1, випливає, що Д < п ( * Л ? - і ) < ™ . 47.24. Вказівка. + = = (l + i j + + <~<~l- 47 -25 - Вказівка. Доведіть, щ о Хп+1 JIG " + t = <1. Далі скористайтеся теоремою Вейєрштрасса. *л П + І 47.26. -1 . Вказівка. Скористайтеся методом математичної індукції.
- 412. Предметний покажчик Предметний покажчик Абсолютна похибка 85 Амплітуда гармонічного коливан- ня 231 Арккосинус 240 Арккотангенс 254 Арксинус 247 Арктангенс 253 Винесення множника з-під знака кореня 67 Висловлення 17 — логічно Еквівалентні 22 Висновок теореми 34 Відрізок 356 Вісь котангенсів 140 — тангенсів 139 Внесення множника під знак коре- ня 67 Гармонічне коливання 230 Границя послідовності 335 Котангенс 138 Кут в 1 радіан 129 — І чверті 145 — II чверті 145 — III чверті 145 — IV чверті 145 Логічна операція 18 — сума висловлень 19 Логічне слідування висловлень 20 Логічний вираз 21 , тотожно істинний 23 — добуток висловлень 18 Математична логіка 17 Метод рівносильних перетворень 113 — розкладання на множники 287 і/айпростіші тригонометричні нерівності 307 рівняння 277 Диз'юнкція висловлень 19 предикатів ЗІ Друга чудова границя 363 Еквівалентність висловлень 21 — предикатів 32 Закон виключення третього 23 Заперечення висловлення 21 — предиката 32 Звільнення від ірраціональності в зна- меннику дробу 69 Знак кореня п-го степеня 56 /імплікація висловлень 20 — подвійна висловлень 21 — предикатів 31 Квантор загальності 33 — існування 33 Кон'юнкція висловлень 18 — предикатів 31 Корінь п-го степеня 55 — арифметичний п-го степеня 37 — кубічний 56 Косинус 137 Косинусоїда 167 ' Область визначення предиката ЗО — істинності предиката ЗО Одиничне коло 131 Основна тригонометрична тотожність 180 Період функції 151 головний 152 — спільний 155 Підкореневий вираз 56 Поворот навколо початку коорди- нат 131 Полярна система координат 234 Полярний кут 234 — радіус 234 Послідовність збіжна 335 — зростаюча 325 — монотонна 325 — незростаюча 325 — нескінченна 323 — обмежена 325 —, обмежена зверху 325 знизу 325 — необмежена 326 — нескінченно мала 342 — неспадна 325 — розбіжна 336 412
- 413. Предметний покажчик — скінченна 323 — спадна 325 — стаціонарна 324 Предикат ЗО — тотожно істинний ЗО — хибний ЗО Предикати рівносильні 31 Радикал 56 Радіан 129 Радіанна міра 130 Рівняння ірраціональне 109 — найпростіше тригонометричне 277 — тригонометричне однорідне л-го степеня 279 Розв'язок рекурентного рівняння 330 Синус 137 Синусоїда 166 Спосіб задания послідовності описо- вий 323 — рекурентний 325 Степінь з раціональним показни- ком 96 Таблиця істинності 19 Тавтологія 23 Тангенс 138 Твердження 17 — істинне 17 — хибне 17 Теорема Вейерштрасса 355 критерій 35 — обернена 35 — про двох конвоїрів 342 — протилежна 35 — пряма 35 Теореми взаємно обернені 35 Тригонометрична підстановка 318 Умова достатня 35 — необхідна 35 — початкова 325 — теореми 34 Формула Біне 330 — загального члена послідовності 324 — косинуса різниці 188 — суми 188 — рекурентна 325 — синуса різниці 188 суми 188 — тангенса різниці 189 — — суми 189 — різниці косинусів 220 котангенсів 220 синусів 220 тангенсів 220 — суми косинусів 220 котангенсів 220 синусів 219 тангенсів 220 — л-го члена послідовності 324 Формули додавання 187 — зведення 197 — перетворення добутку тригономе- тричних функцій у суму 226 — перетворення суми тригонометрич- них функцій в добуток 219 — подвійного аргументу 204 — половинного аргументу 209 — пониження степеня 205 — потрійного аргументу 207 Функції взаємно обернені 78 — тригонометричні 139 Функція булева 19 — гармонічного коливання 230 — істинності 18 — обернена 78 — оборотна 76 на множині 79 — періодична 151 — степенева з натуральним показни- ком 39 раціональним показником 97 цілим показником 48 — y-tfx 88 Частота циклічна гармонічного коли- вання 231 Числа спільномірні 155 — сумірні 155 — несумірні 155 Число Ейлера 363 413
- 414. ЗМІСТ Від авторів З Умовні позначення 4 § 1. Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8-9 класів . 5 1. Задачі на повторення курсу алгебри 8-9 класів . . 5 § 2. Елементи математичної логіки 17 2. Висловлення та операції над ними. 17 • Про комп'ютери, електричні схеми та теорему Поста 27 3. Предикати. Операції над предикатами 29 § 3. Степенева функція 39 4. Степенева функція з натуральним показником 39 • Функціональний підхід Коші 46 5. Степенева функція з цілим показником 48 6. Означення кореня п-го степеня 55 7. Властивості кореня л-го степеня 61 8. Тотожні перетворення виразів, які містять корені л-го степеня 67 9. Обернена функція 76 • Львівська математична школа 86 10. Функція у = я[х 88 11. Означення та властивості степеня з раціональним показником 95 12. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником 102 13. Ірраціональні рівняння . 1 0 8 14. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь 113 15. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем 119 16. Ірраціональні нерівності 124 § 4. Тригонометричні функції 129 17. Радіанне вимірювання кутів 129 18. Тригонометричні функції числового аргументу 137 • Ставай Остроградським! 145 19. Знаки значень тригонометричних функцій. Парність і непарність тригонометричних функцій 145 20. Періодичні функції 150 • Про суму періодичних функцій 161 21. Властивості і графіки функцій у = sin х і у = cos х 164 22. Властивості і графіки функцій у = tg х і у = ctg х 174 414
- 415. Зміст 23. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу 180 24. Формули додавання .. 187 25. Формули зведення 197 26. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів 204 27. Формули для перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток 219 28. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму 226 29. Гармонічні коливання 230 • Полярна система координат 234 § 5. Тригонометричні рівняння і нерівності 239 30. Рівняння cos X ^ b 239 31. Рівняння sin X — b 245 32. Рівняння tg л: — Ъ і ctg X - Ъ 252 33. Функції у - arccos х і у = arcsin je 257 34. Функції у — arctg х і у = arcctg х 268 35. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних 277 36. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники 287 37. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь 291 38. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь 296 39. Приклади розв'язування систем тригонометричних рівнянь 302 40. Найпростіші тригонометричні нерівності 307 41. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей 314 • 42. Тригонометрична підстановка 318 § 6. Числові послідовності 323 43. Числові послідовності 323 • Як вивести формулу Біне 330 44. Границя числової послідовності 333 45. Властивості збіжних послідовностей 340 46. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями 348 • 47. Теорема Вейєрпгтрасса 355 • Число Ейлера 362 Відповіді та вказівки до вправ 365 Предметний покажчик 412 415
- 416. Навчальне видання Мерзляк Аркадій Григорович Номіровський Дмитро Анатолійович Полонський Віталій Борисович Якір Михайло Семенович АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ 10 клас Підручник для класів з поглибленим вивченням математики Редактор Г. Ф. Висоцька Художник С. Е. Кулинич Коректор Т. Є. Цента Комп'ютерне верстання О. О. Удалова Формат 60x90/16. Гарнітура шкільна. Ум. друк. арк. 26,00. Тираж 5000 прим. Замовлення NsTSS . TOB ТО «Гімназія», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93 Свідоцтво суб'єкта видавничої справи ДК № 644 від 25.10-2001 Надруковано з діапозитивів, виготовлених TOB ТО «Гімназія», у друкарні ПП «Модем», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел. (057) 758-15-80 Свідоцтво суб'єкта видавничої справи ХК № 91 від 25.12,2003