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ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう

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ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう

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ブラック ロ シ ョールズの 方程式の解法 ―フー リエ級数 と熱伝導方程式一 青 りん ごサ ワー
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
は じめに 本書を手に取 っていただいてあ りが と うございます. 今回は,こ れまで当サー クルが扱った ものとは趣向を変えて,ブ ラック ・ シ ヨールズの方程式の解法について紹介 しようと思います. ブラック ・ショールズの方程式 とは,証券市場の一つのモデルであるブ ラック・ショールズモデルか ら導出され る微分方程式の ことです.方程式 その ものは,第 1章 をご覧 ください。 本書では,こ の方程式 の金融工学的 な意味などについては解説 してい ません。とい うよ り,筆者の力不足に よ り,説明す るこ とができません。 解説 を望んでいた方がい らっしゃった ら,すみません。ただ数学的な興味 か ら,ブ ラック 。 ショール ズの方程式 を解いてみよ うとい うのが,本書の 目的です. この本を通 じて少 しで も数学に興味 を持 ってくだ さった ら幸いです. 目 1 2 準備 2.1 三角関数の積分公式 2.2 偶関数 と奇関数 .. 2.3 広義積分 ...... 3 フー リエ級数 3.1 フー リエ級数 とは ..… … ..... 3.2 ‑般 的な周期関数のフー リエ級数 … 3.3 フー リエ正弦級数 とフー リエ余弦級数 3.4 フー リエ積分 ...........… 4 熱伝導方程式 4.1 熱伝導方程式 とは ..… … ..̲.. 4.2 変数分離法 … … .。 .… … … … 4.3 熱伝導方程式の初期値境界値問題 の解法 4.4 熱伝導方程式の初期値問題の解 法 .… 5 ブラック・ シ ヨールズの方程式の解 法 次 ブラック・ シ ョールズの方程式 とは ４ ４ ４ ６ ６ 11 15 15 16 17 17 18 19 21 24
1 ブラック ロ シ ョールズの方程式とは プラック・ ショールズの方程式 とは,以 下の偏微分方程式 を指す rc(s,ι)二 等⊇ +:σ2s2盛 鰐 +rs等登 { 初期条 件 :θ (SC),T)= S(T)一 K (S(T)≧ Й 0 0 (S(T)<κ ) ここ で,t(0≦ t≦ T)は時間 変 数であり ,Tは満期日 ,Kは行使価格 を 表す定数,S=S(ι)は株価,αS,ι )は 派生証券の 価格を 表す関 数であ る.ま た,σ は価格 のボ ラ リテ ィ,7(>0)は無 リスク金利 (非 危険利子 率)を 表す定数である. 「は じめに」でも述べた ように,本書では,筆者の力不足のため,上で 述べた用語お よび この偏微分方程式 の金融工学的な意味や導出について は,説 明 しない。(興味のある方は,参考文献 131,121な どを参照 して くだ さい。) 本書の 目標は,こ の方程式を解 くこ とである.解法について大まかに 述べると,ま ずブラック ・ ショールズの方程式を,適 当な変数変換を行 う ことにより,熱伝導方程式に変換す る.次 に,フ ー リエ級数や フー リエ積 分の方法を応用することにより,こ の熱伝導方程式を解 くとい うことにな る.な ので,ま ずは これ らについて紹介 していこ う. 2 準備 本章では,フ ー リ エ級数やフー リエ積分を理解するために必要となる微 積分学の内容,と くに三角関数の積分や広義積分などについて説明する. 2.1 三角関数の積分公式 まず最初に,三角関数の積分公式を紹介する.高校数学で学んだよう に,基本的な三角関数である正弦関数 (sin κ ,サイン)と 余弦関数 (cos 2,コ サイン)は周期が 2π の関数である.すなわち sin(z * 2n) : sirL*, cos(z * 2tr) : s6"* である
また,三角 関数 の加 法公式 sin("土 ν )=dnπ cosυ ±cosπ sin鋳 COS(κ ± ν)=COS χ COS ν 〒 Sin″ Sin ν よ り,次 が成 り立つ. 補助定理 2.1 Sin Sin ν =う {― ∝ 鴻 (π +υ)+COS("一 ν )}・ COS π COS y=う {COS(π +ν )+∞ S(ω 一 ν )}, 1 Sin ω COS y=う {Sh(π +υ)+Sin(″ ― ν )}・ さらに,sin 2,∞ s の導関数 は ″ ̲:L sin =rsin α )′ =cos π . α ″ ― :L cOs"=(cOs α)′ =― sin π α ｀ ′ であるので,2を 0でない整数 とす る とき rπ sinη π 山=「̲lcos」 π =。, ノ ̲π L η 」 ― π √ π ∞ sη "山 =「l sin″ ]T=0 ノ ̲π Lη 」 ― π が成 り立つ.こ れか ら,以 下の重要な三角関数の積分公式を得る. 定理 2.2π,れ を正の整数 とす るとき,次 が成 り立つ. (2.1) (2.2) ′ π lπ Sinm"Sin%洗 = 0 (m≠ πのとき) π (m=π のとき)' 0 (m≠ 2の とき) π (m=π の とき)' ｒ ｌ ′ ヽ ⁚ ヽ ｒ ｌ ′ ヽ １ ヽ lπ lπ cosmfi.c(Bnfrd,x:: sinmuccsnrdr : O. 証明 最初の式のみ示す.後 も同様 に示せる
補助定理 2.1よ り, 1,sin πsin η 歯 =ぅ lπ {― cOs(π +η) +cosい 一 π )τ }山 .(2.3) π≠れのとき,式 (2.3)の 右辺は, 一 石 ≒ 万 卜 in(¨) ]lπ +赫両 卜 in(―)π]1,=0+0=0 となる。一方,m=れ の とき,式 (2.3)の 右辺は, 一 石 雨 ISin(¨) ]lπ +:レ]lπ =0+π =π となる 2.2 偶 関数 と奇関数 三角関数 sin",cos πは,sin(― )=一 sin 2,cos(― ω )=cos とい う 性 質を持つ.一般に,ノ (α )=ω 2ゃ ∫ (.)=cos"の ように,すべての に 対 しノ (一 ")=∫ (ω )が 成 り立つ関数を偶関数 とい う 。一方,∫( )=ω や ∫ ( )=sin κのように,すべての ″に対 し ∫ (―ω )=―∫ (2)が 成 り立つ 関数を奇関数 とい う .偶関数のグラフは υ軸について対称 とな り ,奇関 数のグラフは原点について対称 となることがわかる. 偶関数や奇関数の積分に関 しては,任意の α>0に ついて ∫ (2)が 偶関数のとき ∫ (2)が 奇関数のとき l":at l",ro) , lo" f{da*, 0 あ あ (2.4) (2.5) が成 り立つ 2.3 広義積分 半開区間 [α ,b)={」 α ≦ <♭}で連続な関 数 ノ ( )に 対し て l"u f {*) o*:,To fo-' f (n) d,r 6
と 定義し ,右辺が有限の 極限値を 持つとき,∫ (z)は 半開区間 [α ,b)で広 義積分可能であると いう .同 様に,半開区間(α ,bl=(ω lα <α ≦わ }で連 続な関 数 ノ (2)に 対し て l"o r al o* : "Wo l,uu,, {*) o, と定義し ,右辺が有限の極限値を持つとき,ノ (ω )は 半開区間 [α ,b)で広 義積分可能であると いう 。また,ノ(α )が 閉区間 [α ,blの 内側の1点 α=c で不連続であるときは, ′ b ん rC ん ノ ( )aα = ∫ (2)a″ + ∫ ( )απ =ょL101 ノ (2)d 十 』 電 阜 0ノ井 ε 2ノ (2)醗 と定義する。この場合 も,右辺のそれぞれの極限値が収東すれば,∫ (″ ) は閉区間 [α ,ろ]で 広義積分可能であるとい う . 例を見よう 。 例 2.3関 数 ∫ (α )= ″ (国 ≦1) 0(レ ￨>1) ′ b ′ Jc 1‑ε l Od + ″aκ + lim ε 2→+0 ∫ t に 対 し ,広義 積 分ノ∫ (2)a″ を 求 め よ . J‑2 √ 2∫ (2)歯 =′ ‑1∫ (.)山 +√ 1∫ (")ぁ +′ 2∫ ( )山 J‑2 ′ ‑2 ノ ーl Jl ′ = lim ′ ε l→十 U′ ‑2 「 1 。 ￢ ==0‑十 1ぅ π ̀」 ′ ノ ̲ ′ 2 ′1+ε 2 O α α ‑1 ̲ 1 1 +υ =】 ― 】=υ 次に,積分区間が無限区間となる無限積分(こ れも広義積分の一種であ る)に ついて説明しよう .無 限区間 [α ,∞ )上 で連続な関数 ∫ (a)に 対して, [* r@)d*: tim [' r@)o* Ja t)@ Ja と定義 し ,右辺が有限の極限値を持つとき,∫ (″ )は 無限区間 [α ,∞)で 無限積分可能であるという 。同様に,無限区間 (― ∞,ι ]上 で連続な関数 7
∫ (″ )に 対し て, fb∫ (")と =hm fb∫ (ω )a″ ノ ̲∞ 9→ ∞ ′ θ と定義し ,右辺が有限の極限値を持つとき,ノ (2)は無限区間 (一 ∞,司 で 無限積分可能であるという 。さらに,無限区間 (― ∞,∞ )上 で(つ まり す べての実数について)連 続な関数 ∫ (ω)に 対し て, ル (″ )醗 =ム It∫ ( )あ (26) と定義 し(tと sは無関係であることに注意),右 辺が有限の極限値を持つ とき,∫ ( )は 無限区間 (― ∞,∞)で無限積分可能であるとい う . ここで,無限積分の例をいくつか紹介 しよう 。とくに,後 半二つの例 2.7,2.8 は,後 に利用する。 例 2.4ズ ∞ 多 d を 求 め よ 。 ズ ∞ ル "=鳳 /t多 あ =鳳 [― :]￨=鳳(― :+1)=1・ ・ 例 2.5J[il測 "を 求 め よ 。 /1π ぁ =,曇 ∞Iπ ぁ =3蝿 [:ω 2]l=ム (手 ̲手 ) となるが,こ の極限値は存在 しない。従って,こ の無限積分は存在 しない. 注意 2.6こ の例からわかるように,無 限積分においては,関数 ノ (")= が奇関数であるからといって,式 (2.5)の ように rO。 ブ ̲。。 d"==0 としてはいけない。 例2.7r=f∞ e C′ あ(c>0)を求 め よ 。 ′0 よく知 られているよ うに,関数 θ ̲¨2の 原始関数は初等関数で表す こ とはできない.し か し,重積分 を利用すれば上の積分は計算できる。 8
′ ι ム =元 e̲ 2d と ぉ く と ,I=t聖乱 Itで あ る .為 2を 考 え る と , J̀2==(u(tθ ̲("2d2)(、 す (te̲(第 2a ) ==(,ブ ite̲(露 2d )(・′ 11̀θ ̲て ッ 2 dy) =元 元 θ ̲∝2θ ̲cν2醗 の =rt rte― c(メ +′ )めdυ ノ 0 ノ O υ となる. ここ で ,正方 形η=10″l× 10,tlに 内 接する 四 分円 板2={(ω,ν )￨ 2+ υ 2≦ ι 2,″ ,ν ≧0)と ,■ に 外 接する 四 分円 板2海 ={(π ,υ )レ 2+υ2≦ 2t2,2,υ ≧0}を 考えると ,c C(・ Z+〆 '>0よ り , 九c̲c(.2+y2)鋤 <為2<九 ac― c(′ +ν 2)動 (2.7) となる.ω =r cos θ ,ν =r sin θと極座標変換す ると, dttυ =器響 dγα θ =r drdθ となるから, 几θ ̲c(.2+υ2)動 =∬ ズ 'c̲∝ 2r硼 =ルθ f(̲券 ̲″2)ar =̲Fi(t← 「 び 2)″ =金 (1̲θ ̲ 2) を得る.同様に計算 して, となる。これ らの結果 と,式 (2.7)よ り, ￡ (1̲e̲a2)<It2<金 (1̲θ ‑2d2) を得 る.上式で ι → ∞ とす ると, π 九ac― c(● 2+〆 )動 =洗 (1̲e‑2ct2) ＜ f2 4c < π 4̀
よ り ,12=￡ と な る が ,I>0よ り , ̲ lF f==う Vτ (2.8) ′ 。 。 。 光 θ ∝´ めに お い て ,2=―υ と 変 数 変 換 す れ ば , !o* "-"cu)' e d,y : fo*e-"u' du を得 る I= を得 る 例 2.8 f= となることから, ノ ∞ e̲ 2α "= √ O c̲ω2dπ +√ ∞ e̲ca2 aα ′― α ) J― α ) ′ 0 原 原 4′ 一 ==1′ ― VC VC (2.9) １ 一 ２ ＋ 一 π 一 Ｃ ′ ″ Ｖ ｌ 一 ２ この無限積分はガウス積分 と呼ばれ る 光 e S‐ cos 2お as を求 め よ fo* errr-"')sin2bsds : le-"zsin2bs]i -ru lo* まず次の置換積分を用意す る そ こで, e-"' cos2bs d,s. (2.10) ∫ 0=ノ ∞ θ ‑32 cos 2bs as (2.11) ′ 0 と おき ,ノ (b)を う で 微分 する .こ の 場合,微分と 積分 の 交 換が可 能であり , 三 1==ズ ∞ (‑2→ c '2 cos 2bs as となる。 これ と式 (2.11)を 式 (2.10)に 代入す ると, 孫 =[e‑32 sin 2bs]『 ‑2げ(b) を得 る。 ところが, Ic‑32 sin 2bs]『 =μ晟 (e̲t2sin 2洸 )‑0=0
より, ″ r 沸=‑2げ(b) となる。こ れを ☆ぉ稔 =‑2ら と 変形し ,両辺をら について積分すると , 10gノ(b)=‑02+θ ′ (α は積分定数)を 得る。よつて,∫(b)=Oθ ̲b2c は積分定数)と なる。 θ を決定す るため,式 (2.11)に おいて,b=0と す ると, ノ (0)=′ ∞ e‑32 ds ′ o と なる が,こ れは 例 2.7で 見たよう に ,/72に等し い。一方,ノ(b)= θ θb2よ り∫ (0)=θ である 。よ つて,θ =ν〒 /2と なる。 従っ て, ノ (b)= 癖 /2)θ b2と なる 。 以上をまと めると , f∞ θ ‑32 cos 20開 s=fθ b2 (2.12) J0 4 を得 る. 3 フー リエ級数 本章では,フ ー リエ級数お よびフー リエ積分について紹介す る 3。 1 フー リエ級数 とは まずは,フ ーリ エ級数がどのよう なものであるかを紹介しよう 。 ∫ (2)を 実数全体で定義さ れた関数で,さ らに ∫ ( +2π)=ノ (π )を 満た すものとする.つ まり ,∫(π )は周期 2π の周期関数であると する。また, 基本的な区間として [― π ,π )={″￨― π≦π<π}を 取っておく . さらに,関数 ∫ (″ )は 次の条件を満たすものと する。 ∫ (2)お よびその導関数√ ′ (π )は ,I一 π ,π )で 区分的に連続である.(3.1) ここで,関数 ∫ (π )が 区間 [― π ,π )で 区分的に連続であるとは, 1.I― π ,π )内 の有限個(0個 も 含む)の 点 ″ 1,… ,"dを 除いて,∫ (2)は 連 続である. 2.各 不連続点 ″ 1,...,zdで ,右側極限お よび左側極限 ∫ (れ +0)=鳳 ∫ (η +ι ),∫ 毎‑0)=鳳 ノ ( た +ι) 11
が存在す る. ′ π とい うことである.こ のとき,∫( )の 一 πからπまでの積分 lπ ノ ( )dπ が存在することが知 られている。 さて,周期 2π の周期関数 としてまず思いつ くものは,定数関数 (こ れ も立派な周期関数である)と 三角関数であろう .こ こでは,周 期 2π の周 期関数 ∫ (2)を 1,cos",sin α,...,cos η ,sinη ,... たちの 1次結合,つ ま り 適当な定数係数 α れと 臨 (れ =1,2,...)を 用いて, ∫ (■ )=讐 十 涯 ](α れ COS∽ +姑 Sin m) (3.2) と表す ことができないか?と い うことを考える.厳密には,関数項級数の 収束性な どの問題 もあるが,そ こは とりあえず考えない ことにす る. α O,α l,...,01,...を 求めるために,式 (3.2)の 両辺 を 一π か ら π まで 積分す る.式 (3.2)は 無限の項 をもった級数 であるので,そ れぞれの項を 別々に積分 して加 えたもの と全体を積分 した ものは,一致す るか どうか分 か らないが,も しこれが等 しい と仮定す ると, ′ ｀ π ノ (π )dπ ==12′ ｀ π dπ ― +IΣ (α 。 ￢ ′ ・ π COS η d2‑十 ら れ ′ ｀ ア Sin 7ι d2) ′‑7 4 ′―π れ=1｀ ′ π ′―π ′ (3.3) となる.こ こで,式 (2.1),(2.2)よ り,式 (3.3)の 右辺第 1項 についての積 分だけが残 り, 二 ∫ (・ )あ =讐 二 d =讐 レ 1lπ =αOπ となるので, α O=1尤 ∫ (α )あ (3.4) を得 る. 次に,係数 α "と 為 (2=1,2,。 ..)について考えよ う。式 (3.2)の 右辺 の れを mに変 えた式 ∫ (■ )=1讐:+2]1(α れ COS π ″ +られ dn π ) 12
について,こ の式の両辺に cos η "も しくは dnπ をかけて,一 πか ら π まで積分す ると,三角関数の積分公式 (定 理 2.2)よ り, 1,ノ (")COS η 酵 =απ π ,lπ ∫ (π )sin n あ =bπ π (π =1,2,...) を得る.す なわち, α η =÷ lπ ノ (")cos η π ″ ,b.=+lπ ∫ (π )sin η ″ あ(η =1,2,̲) (3.5) となる. よって,式 (3.4),(3.5)の 積分が計算できれば,形式的にノ (π )が 1,cos″ ,sin ,...,cos π ,sin π2,... の 1次 結合で表されたことになる.条 件 (3.1)を 満たす周期 2π の関数 ∫ (2)に ついて,式 (3.4),(3.5)の のよう にし て計算さ れたα 。と姑 を ∫ (″ ) のフーリエ係数という 。またこれらを使って ノ (")を 表した 讐 +2](αη COS π ″ 十 bη sin π ″ ) (3.6) を ノ (2)の フー リエ級数 (展 開)と い う 。 と,こ こまで関数項級数の収束性や級数 と 積分の交換性 (項別積分可能 性)の 問題には目をつぶって形式的に計算 してきたが,実は次が成 り立つ ことが知 られている。 定理 3.1∫ (■ )を ,条件 (3.1)を 満たす周期 2π の周期関数 とする.こ の とき,連続な点 2においてフー リエ級数 (3.6)は 収束 し,そ の値は ノ ( ) に等 しい.一方,不連続な点 π たにおいてもフー リエ級数 (3.6)は 収束 し, 1 そ の 値 は ,{ノ ( た +0)+ノ( ん ‑0)}に 等 し い 。 連続な 点 "に おい てはノ (C)=:{∫ (″ +0)+∫ (2‑0)}で ある ので,関 数 として ぅ {ノ ("+0)十 ノ (2‑0)}=サ +ネ 」 (α o COS π 十 ら れ dn m) なのであるが,こ の書き方は面倒なので,関数 ∫ ( )と そのフーリ エ級数 の関係は ∫ (2)〜 讐 +2](απ COS m+b.Sin竃→ 13
と書かれること が多い。また,関数 ∫ (")に 不連続な点がなければ,上 の 式の 〜"は ="と なる. また,フ ーリ エ係数を計算する場合において,ノ (α )が 偶関数の場合, cos η "が 偶関数,sh π κが奇関数であることから, α η =テ 光ノ (2)cOs 山 , 硫 =0 (3.7) であり ,ノ (a)が 奇関数の場合, α π =o, 硫 =千 元∫ (2)sin n"伽 (3.8) となる. 例を見よう. 例 3.2 ル )￨:￨『宴 l) を周期 2π に拡張し た関数(こ れも∫ ( )と 表す)の フ ーリ エ級数を求めよ. 式 (3.4),(3.5)よ り , α O=‐ lr'7∫(ω )d ==̲lfr'° ld"十 /'・ Oαハ:=1, πノ ー 7 ・・ π｀ プ ー τ ノ 。 ノ α れ ==‑1ノ π ∫ (2)cos,協 α ″ ==1‐ ̀/'0 1cos,E dω 十 /奮 O cos n d"｀ πノ ̲π ・・ π｀ プ ̲π ノ 。 ノ =1「 Sinれ 1° =0. 7「 L 2 」 ̲τ わ れ ==‐ 1/1π ノ (π )Sin π α d ==￨:(プ :￨1lSinπ d ‐ +J(・ O Sinη d ) 1「 α 潟 "α l° ‑1+cos,lπ l ‐ ‑1‑‑1 ‑― =( π L n」 ̲κ tt t 0 (2が 偶数) , 一 希 (2が奇 数 ) となる.従 って ∫ ( )へ′ :一 :争 (sin″ +:sin 3″ ― 十 :sin 5"‐ 十 ・ … ) と なる 。ち な みに =π/2と おけば ,∫(π /2)=0よ り , 1=1̲1+1̲1+… 4 315 7. が得 られ る。この等式は,ラ イプニ ッツの級数 と呼ばれ る。 14
3.2 ‑般 的な周期関数のフー リエ級数 ここでは,周 期関数の周期が 2π でない場合のフー リ エ級数について紹 介する.∫ ( )を 周期 2Lの 周期関数,つまり ∫ (π +2ι)=∫ (π ) を満たすものと する。また,∫( )の 基本区間とし て 1‑L,ι)を とってお く 。さらに,ノ( )お よびその導関数 ∫ ′ ( )は ,I― ι ,L)で 区分的に連続 であると する. この とき,周 期が 2Lである三角関数たち ・ 'C° S :「 'Sm可 デ '… ・ 'C° S TE 'Sin = '・ ・ ・ の1次 結合により ,メ し)を表そう . υ=七チ と変数変換すれば,ノ (ν )=∫ け云り は周期 2π の周期関数とな るので,∫(ν )を 式 (3.4),(3.5),(3.6)の ようにフー リ エ級数展開できる。 r.̀ それ を π=ニニ と戻 してやれば,置換積分によ り,周 期 2Lの周期関 π 数 ∫ (″ )の フーリ エ級数とフーリ エ係数は, ∫ 0〜 等 +Σ い。 S写 +bη Sin7), ‐ 72=1｀ ″ ′ ι Ｌ ι 七 ′ ′ ′ み ′ ′ ′ 非 １ 一 ι ｌ 一 Ｌ α α f(x) dr, (3.9) ∫ (π )cos写三 &,硫 =:′ ι ∫ (2)sin14二 ぁ L′ L′ J̲L ■ ノ (η =1,2,̲) となる 3.3 フー リエ正弦級数とフー リエ余弦級数 関数 ノ (π )に 対し , θ (α )=う {∫ (")+∫(一 )},ん (")=う {∫ 0‑∫(‑2)} と おけば, ノ (2)=θ (α )+ん( )と ,偶関数 θ (″ )と 奇関数 ん (″ )の 和で ノ (a)を 表すこと ができる. 15
従って,∫( )が 周期 2Lの周期関数であるならば,,(■ )と ん (")の フー リ エ級数は ,(・ )〜 :α。 +Ё %cOs7,ん(″ )〜 か,sin写 η=1 れ=1 〜 となることがわかる. さて,関数 ∫ ( )は 区間 10,Llの み定義さ れているとしよう 。こ のとき, 一 L≦ <0に 対し∫ (α )=∫(一 π )と 定義すれば,ノ(ω )は 区間 [一 L,L) で定義さ れた関数に拡張できる。さらに,∫ ("+2L)=∫(2)と おけば, ∫ (2)は実数全体 (一 ∞,∞ )で定義さ れた周期 2ι の周期関数かつ堡関数 となる.従 って,ノ(a)の フーリ エ級数は ′/ 、 ■ . ▼ ｀ ′ ι′ 1ル Jt″ ノ 〜5αO+2″ れ COS r, ̀̀ ・ 16.lU〕 α O=認 L√ (2)と ,αη=観 ι ∫ OCOSTd" となる.こ れをフー リエ余弦級数 とい う. また,一 L≦ α<0に 対しノ (ω )=―ノ (一 )と 定義すれば,∫ (π )は 区 間 [一 L,L)で定義さ れた関数に拡張できる.さ らに,ノ (″ +2L)=∫ (■ ) と おけば,ノ(■ )は 実数全体 (― ∞,∞)で定義さ れた周期 2Lの 周期関数 かつ奇関数 と なる。従って,ノ (″ )の フーリ エ級数は ル)〜 Σ妬 Sin■ 里, η ==1 ″ rQ ll、 嶋 =子 ノ L∫ (・ )血 写 d ル ′ 0 ル となる。これをフー リエ正弦級数 とい う. なお,周 期 2π の周期関数 ∫ (")が 偶関数の場合には,上述の区間の拡 張とは関係なく式 (3.10)で表 され るが,こ れもフー リ エ余弦級数 と呼ば れる.同 様に,奇関数の場合も式 (3.11)で表 され,こ れ もフー リエ余弦 級数 と呼ばれる. 3.4 フー リエ積分 ここまでは,周 期関数に対するフー リ エ級数展開を見てきた。では,周 期を持たない,実数全体 (― ∞,∞ )で 定義さ れた関数に対 してはどのよう に表 されるかを紹介 しよう . 16
ノ (")を 実数全体 (― ∞,∞ )で 定義 された関数 とし, さらに (全 区間で) 絶対可積分,つ ま り 1∞ ￨∫ (″ )1山 <∞ を満た し,かつ区分的に連続であるとす る. 荒っぱく言ってしまえば,周 期を持たないことを周期が無限に長いもの と考え,フ ー リ エ級数展開 (式 (3.9))に おいて,L→ ∞ とする.こ のと き, リ ーマン積分 (定積分)の 定義のように,無 限和が無限積分に変わ り , 次の結果を得る. 定理 3.3∫ (″ )を 実数全体 (― ∞,∞ )で 定義 された関数 とし,さ らに絶対 可積分かつ区分的に連続であるとする。このとき,ノ (")は (ω )〜 ノ ∞ ｀ ・ ノ 0 {A(r) cosrr + B(r) sinru) dr, ∫ と表 され る 4 熱伝導 方程 式 本章では,熱伝導方程式の解法について紹介する.そ こで重要 となるの は,変数分離法 と解の重ねわせである. 4.1 熱伝 導 方程 式 とは 熱伝導方程式 とは,文字通 り熱伝導を記述す る偏微分方程式のことであ る.現実の問題 としては 3次元空間における熱の伝導現象を取 り 扱わなけ ればな らないが,こ こでは簡単のため,空間が 1次 元の場合を扱 う。 を空間変数,ι を時間変数 とす る。また 1次元熱伝導体の位置 ″ ・時 刻 tに おける温度 を 包=色 (2,ι )と 表す.こ の とき,偏微分方程式 l rO。 1 ′ oo ス (7)=il∞ ∫ (ξ )COS7ξ α ξ , 3(7)=赤 1∞ ∂ 飢 ∂ 2し ∂ ι =κ 5房 ' (3.12) ノ (ξ )sinTξ ξ (3.13) (4.1) を熱伝導方程式 とい う.こ こで κは熱伝導率 と呼ばれ る定数である. よく知 られているよ うに,一般に偏微分方程式は多 くの解 を持ち,実際 の現象 を記述す る解 を得るためには,い くつかの条件を付加する必要があ る.偏微分方程式に付加 され る条件 としては,あ る時刻における系の状態 17
を与える初期条件 と呼ばれるものと,考 えている空間領域がもし有限であ る場合には,そ の領域の境界での制約を与える境界条件と呼ばれるものが ある. 熱伝導方程式においても,対象の熱伝導体が無限の長さを持つ (― ∞ < πく∞)場合,ι =0における状態 (初期条件)∫ (2)を 付加 して考える。 ∂ υ ∂ 2包 ∂ t=κ ∂ ω '' (4.2) 色 (″ ,0)三 ∫ (ω ). このような問題を,熱伝導方程式の初期値問題 という . 一 方,対象の 熱伝導体が 有限の 長さ を 持 つ 場合,例え ば 長さ1(0≦ "≦ 1) の場合,初期条件 し (″ ,0)=∫(2)だけ ではなく ,″ =0お よ び τ=1の 境界での状態(境 界条件)も 付加し て考える 。 ∂ 包 ∂ 2し 扉 =κ ″ ' %(",0)=∫ (″ ), (4.3) 包 (0,ι )=包(lμ )=0・ ここでは,熱伝導体の境界では温度が 0に なるとしている.こ のような 問題 を,熱伝導方程式の初期値境界値問題 とい う. 4。 2 変数分離法 ここでは,微分方程式を解く際に有効な手法の一つである変数分離法に ついて,熱伝導方程式 (式 (4.1))を 例にとって説明 しよう . 式 (4.1)の 解を求めるために,鶴(",t)=X(π )T(ι )と おいてみると, 等 二 等 X(2),多 =T(t)等 となるので,こ れ らを式 (4.1)に代入 し,そ の両辺 を κ 包 (2,t)=κ T(ι )X(2) で割 ると, 1∂1■ 1∂2x ∂ "2 となる.と ころが,上式の左辺は変数 ιのみ の関数で表 され ,右辺は変 数 "の みの関数で表 されているので,こ れが恒等的に成 り立つためには 一 χ 一 税 一 ｒ 一 ′ 社 18
両辺が定数 の場合に限 られ る。この定数 を λ とお くと,は じめは一つで あった偏微分方程式 (式 (4.1))が ,二つの別々の常微分方程式 1[:==λ κ 2・, 弊 =λx α″ ´ に分離 され る.こ のように して解 を求める方法を変数分離法 と呼ぶ. さらに,例 えば式 (4.3)で 与えられ る熱伝導方程式の初期値境界値問題 に対 し,変数分離を行 うと,υ (0,ι )=χ (0)T(ι ),し (lμ)=X(1)T(ι )と な るので,境界条件 υ (Oμ )=し (lμ )=0は X(0)=X(1)=0と 表す こと ができる.よ って,空間変数 については, 1歩)=λX, X(0)=X(1)=0 のよ うな常微分方程式の境界値問題 に帰着 し,そ れぞれの空間変数や時間 変数のみの問題 として別 々に取 り扱 うことができる. 4.3 熱伝導方程式の初期値境界値問題の解法 まずは,有限の長 さを持つ熱伝導体に対す る,熱伝導方程式の初期値境 界値問題 を考える.具体的な問題 を例に,フ ー リエ級数を用いた解法につ いて以下説明 しよ う. 例 4.1有限の長さ1(区間 0≦ ″≦1)を持つ棒に対する熱伝導方程式 ∂ 包 ∂ 2し 房 ″ ' (0≦ ≦1/2) (1/2≦ ≦1) を解け. 変数分離法を利用 して,し (2,t)=X(2)T(ι )と お くと, dT dι ′x d″2 ′ :,″ し (π ,0)=〈 t2(1‑α ) し (0,t)=し (1 )=0 λr =λX 19 (4.4) (4.5)
が得 られ るので,こ れを λについて場合分け して考 える. (1)λ =0の場合. 式 (4.4)よ り,■ι )=ス (■ は定数)と なる.ま た,式 (4.5)よ り,X(α)= Bπ +σ (B,θ は定数)が 得 られ る.境界条件 X(0)=X(1)=0よ り, 3=θ =0と なるので,X(")=0で あるが,鶴(",0)=X(2)T(0)=0 とな り,こ れは初期条件 を満た さないので不適. (H)λ >0の場合. 式 (4.4)を解 くと,at)=五θ λ t(ス は定数)と なる.λ >0よ り,λ =ω2 とす ると,式 (4.5)よ り, X(2)=Beω ″ +θ♂ (B,θ は定数) となるが,境界条件 よ り(1)と 同様 に X(")=0と な り不適. (m)λ ><の場合. (五 )と 同様に,式 (4.4)よ りT(ι )=スε λ tい は定数)と なる.λ <0よ り ,λ =̲ω2と すると ,式 (4.5)よ り , X(2)=B cosω α+θ sin ω ″ (B,0は 定数) となる.境界条件 X(0)=0よ り B=0で あるが,こ の ときもう一方の 境界条件 X(1)=0か ら,σ =0も しくは sinω =0で ある.(1)お よび (五 )と 同様に θ =0つ ま り X( )=0で は不適 とな るので,sinω =0と なる.よ って ω=ππ(π =1,2,...)と なる. 以上か ら,λη=一 (2π )2(π =1,2,...)に 対す る (基本)解 として, %(",t)=e̲(m)2t sin η π π が得 られ る。 次に,初期条件を満たす解 を求めるわけであるが,そ れぞれの れ に対 す る %( ,0)は sin π π ωであるので,初期条件 とはな らない。そ こで, 中 )=Σ %e̲(れ π )2tsin m2 (4.6) π=:1 とお く (こ れを解の重ね合わせ とい う)と ,鶴 ( ,t)は (あ くまで項別微分 できるとい う条件付 きで)熱伝導方程式を満た していることがわかる.そ こで,こ の式 (4.6)で 表 され る解 が初期条件を満 たす ように,係数 物 を 決定 しよう。 u(r,0) : I c, sin nzro : ∫ ヽ 2α 2(1‑2) (0≦ χ ≦1/2) (1/2≦ "≦ 1) π=:1 20 (4.7)
であるので,区間 [0,11に おけるフー リエ正弦級数 (式 (3.11))を 利用 し て,式 (4.7)の すべての辺に sin π π πをかけて,0か ら 1ま で積分すれば, qι =2′ し (2,0)sin η π π d ′0 ′ ,1ノ , ハ 1 、 =2u 2 si…励十 万 22(1‑″ )sin η π ″ 歯 ) 4{[― 型 莉li十 [器]:2 1 「Sinπ7「 ]1 1 1/2 [π 万 ア ア ‐ 」 1/2∫ 1 COS η π ==4{(一 E:liニ ー 0)十 (1:;:‑0) 一 (0‑̀号111)― (0‑1;i書 )} ̲8 sinザ ￢ 写 所 ア 戸 fO (π が 偶 数 ) =( 只 r̲1、 η t戒ザ 静 (η が 奇 数 ,η =2鶴 +1) となる.以 上か ら,初期条件お よび境界条件 を満たす解 として, u@,t): +1)π " (4.8) + ,2=0 を得 る 注意 4。 2本 当ならば,式 (4.8)の 右辺が解 として意味を持つこと,つ ま り 無限和が収東することについて議論 しなければならないが,こ こでは省略 する。 4.4 熱伝導方程式の初期値問題の解法 次に,無限の長 さを持つ熱伝導体に対する,熱伝導方程式の初期値問題 を考える.こ こでも具体的な問題 を例に,フ ー リエ積分 を用いた解法につ いて以下説明 しよ う.な お この例 は,ブ ラック 。 シ ョール ズの方程式の解 法において重要な計算である. 21
例 4。 3無限の長 さを持つ棒に対す る熱伝導方程式 ∂ 包 σ 2∂2し 房 =7扇 '' 2(■ ,0)=∫ (″ ) を解け.こ こで,σ は 0で ない定数 とす る 変数分離法を利用 して,し(",ι )=X(″ )T(ι )と お くと, d71 λ σ 2̲ 面 「 = 2・ ' 奪 =λx α "̀ と なる が,λ ≠0の と きに 式(4.9)か ら 得ら れる 解 T(ι )=五〆 ナι に つい て,ェ L彗 ∞ X(ω)が 有界でなけ ればなら な いこと を考慮すると ,λ <0で ある .従 っ て,λ =̲ω2と おくと 式(4.10)か ら X( )=B∞sω "+C sin ω "(B,θ は定数) となるか ら,包(″ ,ι )は それぞれの ω に対 して (ω の関数のように表 して), 包 (2,t;ω )=C =テ ̀{B(ω )COS ω ″ +0(ω )Sinω ″ } となる.(定数 ス は B(ω ),θ (ω )の 中にそれぞれ組み込んだ。) 有限区間の場合に与えられていた境界条件は,こ の場合には与えられい ないので,具体的に ω が満たすべ き条件 を決定す ることはできない。そ こで,ω をそのまま連続変数 と見な し,重ね合せ法 を拡張 して,総和のか わ りに 0か ら ∞ までの積分で表す と, に ι )=ノ O e 生 チ ■ {B(ω )cOs ω ω+θ(ω )sin ω ω }ね (4.11) となる. 式 (4.11)の し (■ ,t)は ,(微 分 と積分が交換できるとい う条件付 きで)も との熱伝導方程式 を満たす ことがわかる. よって,与 えられた初期条件 を満たす ように係数 B(ω ),0(ω)を 決定 し よう. (4.9) (4.10) ′ 。 O ′0 {B(u) coswa + C(u) sintuo} du : l@) u(2,0) :
となるが,上式の中辺 と 右辺の関係は,ま さしくフー リエの積分公式 (式 (3.12))そ のものなので, ∫ (ξ )COSωξ 質, ω ω Ｂ ０ α ξ ∫ (ξ )Sinω ξ Ю ∞ Ю ∞ ′ ノ ． √ ノ ． １ 一 π ｌ 一 π となる.こ れ らの式を式 (4.11)に 代入す ると, u(r,t) : lo* . #'[{* /_ /({) cos,{d(} "o,,, . {+ l:/(() sino{ d(},i,,,,] a, 元 e 午 t11∞ ∫(ξ )(COSω ξCOSω ″ +Sinω ξSinω ″)(1あ √ ∞ e‑2年 t「 ノ ∞ ∫ (ξ )cos ω (ξ ̲2)dξlぁ ′ O L′ ― oo 」 lo* u#'cosc..,(( -r)d, を計算 しよう 。そのために,例 2.8で 求めた公式 (2.12) ′ ∞ e‑32鰯 2闘s=fe̲b2 ′O Z ̲′″ を利用する.こ の式の左辺で,s=琴号 ω とおくことにより 新たな積分変 数 ω を導入すると,あ =空互 あ より , V2 ノ ￨∞ θ ̲÷ω 2cos(261%『 ω )三=⊆ ω aω ==fe ′ １ 一 π ｌ 一 π を得 る.こ こで,最後 の式変形 は,三角 関数の加法公 式 cos(■ ― ν )= cos″ cos ν+sin πsin νを用いた。 さて,積分の順序が交換できると仮定 す ると, 引 ン ,t)=IД ノ (ξ )￨ズ ∞ θ 」 事 ≒ ∞ sω (ξ 一 ″ )あ ￨( (4.12) となる。そこで, 23
と な るさ ら に b=.:ラ 手 :と お け ば fe̲÷ ω 2c∝ (2鵠霧 ω )γ あ =子 (場)2 を得 る.式 を整理す ると, となり ,両辺を σ √ ψ で割 ると, 霧ェ ∞ e̲÷″ 2c¨ (ξ ̲π )ゎ =写̲:(静 )2 √ ∞ θ ̲÷ω 2c∝ ω (ξ ̲2)ぁ ==.θ ̲与 (競 )2 ノ 0 ｀ ・ σ V2ι を得る。この結果を式 (4.12)に 代入すると, 包 ( ,t)=1/∞ ∞ ∫ (ξ )湯e̲:(婦 )2( ==扇 Дノ (ξ )θ :(婦 )2質 (4.13) となる.こ れが与えられた初期条件を満たす熱伝導方程式の解である。 注意 4.4本 当ならば,こ こでも得 られた解の吟味が必要となるが,省略 する。 5 ブラック・ シ ョールズの方程式の解法 以上の準備の下に,ブ ラック・ シ ョールズの偏微分方程式 rc(s,ι )=等ユ +:σ2s2盛 絆 +rs等!旦 ,(51) ′ 初期条件 θ(S(T)T)=￨:(T) KI:￨『 liII(2) を解 こ う.ま ず, 包 =10g予 十 (r一 号 )(T― ι ), T=T一 ι (5.3) 24
と変数変換を行 う。 さらに, 0(S,t)=θ r(T t)υ (し ,7)=C― ,7υ (し ,7) とお く.こ の とき ∂ 7(il)場 (1li)Ψ (i)竪 碧 :ユ の 計 算 合成関数の微分に (1) を計算する. より, を得 る. よ り, (5.4) (5.5) ∂ 0(S,ι ) ∂ (〕 (S,ι )∂し .∂σ(S,ι)∂7 ‑―‐ 53‑― =―― 一 万 石 ― ‑55+‐一 ∂ 年 ∂ S =品(e― r7υ (げ))':十 具 (C ″ ν (し ,7))'3 Ｔ ． ∂ 一 お Ｑ 一 一 一 ﹂ Ｌ 一 あ れ 一 郎 こ る な と ― t)=0, 」 を {10g昇 +(r一 千 )(T― ι )} =畠 (10g S‑10g κ )+畠 {(r― イ )(T― め } =:(:‑0)+0=‐ : 釜 望 旦 ={￡ (C "υ (包 ,7))}:=ι rr壁 揚 二 : (11)三 鰐 の 計 算 式 (5.5)よ り, ∂ 25(s,2=島 (2号 .12)=島 (e― '7≧ :学 :) =θ ― ″ {(島 壁 .艶二 ):+≧需 二 (島 :)} 25
となる.こ こで,合成関数の微分 と(1)内 の計算により, ∂ ∂ ν (し ,7)̲r∂ ∂ 鶴 1 ∂ ∂ 7、 ∂ ν (し ,7) 房 ‐ 瓦 ヽ 瓦 房 す 房 房 ノ 筋 ∂ 2ν (2,7)∂ 包 . ∂ 2υ (し ,7)∂τ =―― 瓦 ァ ー ー ∂ s十 ‐ ― 扉 雨 一 房 ∂ 2υ (し ,7)1 = 万7 τ であるか ら, ∂ 2σ (s,ι ) ∂ s2 を得 る. １ 一 メ 一 ↓ 一 如 一 仇 一 い 一 ﹈ 一 ＋ ′ 臥 一 そ １ 一 Ｓ ∂ 一 １ 一 Ｓ 一 ｒ ＞ 一 ↓ 一 如 一 〃 れ 一 ″ ヤ 一 ︵ ︶ υ (5.6) (面)竪発 争 ユ の 計 算 合成関数の微分により, ∂ θ(S,ι )̲∂σ(S,ι) ∂ ι ∂ 色 ∂τ の 一 乱 一 ７ 颯 一 ∂ + ∂ τ 一 ａ τ υ υ 一 ∂ 一 ″ 十 九 一 ａ ｒ ｕ ν 一 となる。 ここで, ∂ π ∂ t ∂ι ∂ れ よ り, ∂ θ(S,ι) ∂ ι %=畠(T― t)=‑1, 2竺 =i勇 {10gili+(r― ̀手 )(T一 ι )} =0+‐ (r一 イ )(‑1)=:一 r―+:手 =:(e 「 22::」 立 )(― r―十 1号 ;) 十 (一 re r7υ (し ,7)十 e rτ 24単」 立 ｀ r‑1｀ 置)一 寧 +(― 「 +i;)甲}(7) を得 る 26
式 (5.4)お よび (1),(五 ),(面)の 結果 (式 (5.5),(5.6),(5,7))を ブ ラ ック ・シ ョー ル ズの偏微 分方程 式 (式 (5.1))に 代入 す る と, T(C 珈 ,7))=e rr{rυ (a,7)一 号 ― ユ +(― r+誓 )2→舅デ 立 } +:σ2s2{手 (鶏纏̲色 鼎)} +rs(θ ‑77≧ 需 1立 :) となる.上式を整理す ると, c― r7(̲21欝 メ 2̲卜 1号 ;鳥纏)=0 とな り, 色 1孵 =鰐 ;⊇ (58) を得 る。一 方 で,ブ ラ ック・ シ ョー ル ズの偏微 分 方程式 の初 期 条件 (5.2) が変数 変 換 (5.3)に よつて どの よ うに変 わ るか 見 てお こ う.式 (5.4)に お い て,ι =Tと お く こ とに よ り,C(S(r),T)=υ (し ,0)と な る.一 方 , ぐ / ″ 2、 or′ 「 、 包 =log姜 +(r一 ち り (T一 ι )に お い て ,t=Tと お く と ,し =log三 景 より S(T)=κθ 。となる.よ つて,初期条件 (5.2)は ∫ l ν (し ,0)= κCυ 一κ (υ ≧0) 0 (包 <0) (=g(2)と お く) (5.9) に変わる。 変数変換 によつて得 られた,式 (5.8),(5.9)を 見てわかるように,こ れは 熱伝導方程式の初期値問題 である.よ つて,4.4節 の例 4.3が 使 える。 従って,初期条件 (5。 9)に おける熱伝導方程式 (5.8)の 解 は, ν け )=扉 雨 Д θ (ξ )e̲:(澤 )2質 (5.10) となる. ´ ̲● 1 こ こ で ,さ ら に η =≧ガと 変 数 変 換 す る と ,ξ =包 十 σ /動 よ り (=σ、 ″ と なる. 27 ■
また,初 期条件 (5,9)は , sG) : s(" + oy'i) : Ket+σ √η ―K (η ≧ 0 (η < ∫ l 包 、 アニ リ σ Vτ し 、 ア =′ σ VT に変わる。この変数変換により ,式 (5.10)は υ (げ)=扉雨 Д J(ξ )e̲:η 2σ √ dη =揚 Д θ (ξ )e̲:η 2aη となる。ここで,θ(ξ )の 初期条件(5.11)か ら ")=芳 1 √Σ 〒 (5.11) κθ ̲:η2蒟 (5.12) 4(娩 ¨― κ )C ら η dη √ ∞ Keυ+σ √ η e― ら η P昴 ̲二 √ ∞ ノ ̲i=シ . ν2π プ ̲拳 を得 る. び =logil十 (r一 号 i)τ よ り Keυ =:S〆 7‑+で あ る こ と を 用 い る と , ̲二 =′ ∞ κ e.+σ 、 /7η θ ̲:η 2dη =̲1■ f∞ κ eteσ √ 動 θ ― :η 2dη V̀′ ￨′ 73年 V″ ′ 1′ 777 =̲̲⊥=′ ∞ ser7̲÷ eσ ttθ̲:η 2α η =ser,̲二 ̲ノ ∞ θ ― :(η ― へ ″ )2ぁ V2π ノ ̲F寺 〒 となる.こ こで,2=η 一σ √ と変数変換すると, ̲二 √ ∞ κ ̀.+σ √ η c̲:η 2蒟 =ser7 1 f∞ θ ̲4 dz v2π ノ ̲IJシ VZπ J可シー σ √ を得 る。よって,式 (5.12)よ り, υ (し ,7)=Ser7傷 4̲σ√ θ ― 毎 ̲嚇 ιε :″ 2 dz 28
となる.こ れを式 (5.4)に 代入す ることによ り,ブ ラック・ シ ョールズの 方程式の解 C(S,t): e-'"a(u,r) ==e r7 =S プ ラ 〒 「 Isc'7τ 75〒1ノ::シ F̲σ √ θ 宅生 d2 κ:フ5〒 r00 θ ̲:Zィ タ 1 v夕l′ ̲ヵ 〜」 r∞ J― ;ラテ ー σ ヽ /〒 e 2 dz一 κt rr ′ OO J― ;シ e '4 α z 1 プ ラ 〒 (5.13) が得 られた. ここで一つ記号を用意 してお く。実数 aに 対 し, Ⅳ O=止 島e― も=傷 止θ ― 句 Z とおく。ここでノ (Z)=写 扇7θ サ は標準正規分布の確率密度関数である. ノ (z)は υ軸に関して左右対称であるので, 傷fe― 勉=傷 止メdZ=N(a) となる。この記号を用いると,ブ ラック ・ シ ョールズの方程式の解 (5.13) は,次の ように表す ことができる. C(S,ι )=SN(F↓〒 十σ √ )一 κe rrN(拳 ) (5.14) こ こ で ,色 =10gチ 十 (r― も り (T一 ι ),τ =T― ι で あ る .式 (5.14)は , ブラック・ショ ールズの公式 と呼ばれる. 29
おわり に 本書は参考文献で挙げた数学書やネ ット 上にある解説な どを基に,筆者 が勉強 したものをま とめたノー トです.い ろいろ不十分な ところがあると 思いますが,そ の辺 はご容赦願 います. 「は じめに」でも述べたように,「 ブラック ・ ショールズ (BS)の 方程式」 とは,BSモデルか ら導出 され る偏微分方程式のことです。1973年 にブ ラック (F.Bl¨ k)と シ ョールズ (M.Scholes)に よつて発表 されたこのモデ ルは,数学的に記述 され るものです.後 に,マー トン (R.Merton)に よ り この理論 は完成 され,広 く知 られ るようにな りま した.1997年 ,シ ョー ルズとマー トンは この実績によ り,ノ ーベル経済学賞を受賞 しま した (ブ ラックは 1995年 に亡 くなっていたので受賞 されず). 筆者 は,BSの 方程式はおろか BSモ デル をは じめ とす る金融工学の こ とは全 く知 らなかったのですが,今年 (2018年)の 春に,あ る知 り合いか ら「BSモ デルに現れ る確率微分方程式や偏微分方程式 について,数学的 なことだけでいいので教えて くれ」 と頼まれました。 その後,こ の件 は立ち消えとなるのですが,勉強 していた内容を埋 もれ させてお くのは もったいないので,本書を書きま した。 ここまで読んで くださつた皆 さん,あ りが とうございま した.次回の内 容は未定です. 参考文献 ・数学書籍 [11畑 上到 「工学基礎 フー リエ解析 とその応用 (新訂版)」 「新・工学系の数学」シ リー ズ,数理工学社,2014 121石 村貞夫・石村園子 「増補版 金融・ 証券のためのブラック・ シ ョールズ微分方程式」 東京書籍,2008 131木 島正明 「金融工学」 「経済学入門」シ リーズ 。日経文庫, 日本経済新聞出版社,2002 。 2018年 12月 現在インターネ ッ ト 上で公開 されているもの [41「 ブラックシ ョールズモデル導出への道 じるべ」 嵐 tp://mtthemttiC」 ・ jp/blaCkSChOleS 30
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
書 名 :ブ ラ ック・シ ョールズの方程式の解法 ―フー リエ級数 と熱伝導方程式一 サークル名 :青 りん ごサワー 発 行 者 :す ず きたろう 連 絡 先 :green̲apple̲sourlCyah00.CO.jp 発 行 日 :2018年 12月 31日
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ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
The Project Gutenberg eBook of Wine-Dark Seas and Tropic Skies: Reminiscences and a Romance of the South Seas
This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. Title: Wine-Dark Seas and Tropic Skies: Reminiscences and a Romance of the South Seas Author: A. Safroni-Middleton Release date: May 17, 2019 [eBook #59530] Language: English Credits: Produced by Chris Whitehead, Linda Cantoni, Barry Abrahamsen, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by The Internet Archive) *** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK WINE-DARK SEAS AND TROPIC SKIES: REMINISCENCES AND A ROMANCE OF THE SOUTH SEAS ***
The cover image was created by the transcriber and is placed in the public domain.
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
WINE-DARK SEAS AND TROPIC SKIES
Lagoon Scene, Apia
WINE-DARK SEAS AND TROPIC SKIES REMINISCENCES AND A ROMANCE OF THE SOUTH SEAS BY A. SAFRONI-MIDDLETON ❦ NEW YORK DODD, MEAD AND COMPANY 1918
PRINTED IN GREAT BRITAIN BY THE RIVERSIDE PRESS LIMITED EDINBURGH
I dedicate this book to you, To your wild songs and laughter, And to the half-remembered light Here in my dreams years after; To you, the men who sailed with me Beyond each far sky-line, And my dead self—the boy I knew In days of auld lang syne.
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
CONTENTS PAGE Foreword 11 Chapter I 19 Chapter II 28 Chapter III 43 Chapter IV 50 Chapter V 54 Chapter VI 59 Chapter VII 74 Chapter VIII 80 Chapter IX 83 Chapter X 93 Chapter XI 104 Chapter XII 112 Chapter XIII 128 Chapter XIV 138 Chapter XV 142 Chapter XVI 150 Chapter XVII 167 Chapter XVIII 179 Chapter XIX 196 Chapter XX 201 Chapter XXI 205
Chapter XXII 223 Chapter XXIII 246 Chapter XXIV 258 Chapter XXV 271 Chapter XXVI 291 Epilogue 299
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
LIST OF ILLUSTRATIONS LAGOON SCENE, APIA Frontispiece MOUNTAIN SCENERY, NUKA HIVA 24 NATIVE TATTOOED WITH ARMORIAL BEARINGS 80 FOREST SCENE, MARQUESAS GROUP 114 PINEAPPLE PLANTATION, FIJI 198 BANANA PLANTATION, FIJI 220 BY APIA HARBOUR 268 HALF-CASTE SAMOAN CHIEF 294
ブラック ショールズの方程式の解法 フーリエ級数と熱伝導方程式一 1st Edition すずきたろう
I FOREWORD N this volume of reminiscences and impressions I have endeavoured to express some of the elements of romance that remain in my memory of wanderings in the South Seas. My characters are all taken from life, both the settlers and the natives. I have striven to give an account of native life, modes and codes, and to describe the general characteristics of certain island tribes that are now extinct. My attempt is not so much the wanderer’s usual book with its inevitable blemishes, for the reason that it is one voluminous blemish, but I’m hoping that, after a lapse of years, my mind has retained the something that’s worth the recording. Besides, I’ve smashed about so much in this grey, swashbuckling world of Grand Old Liars, knighted thieves, rogues and successful hypocrites, that the background of my life in early boyhood seems a dim fairyland, whereover I roamed at will from wonder to wonder, laden with the wealth of cheek and impudence enormous. Reaping such wonders I fail to find in pages of romance experiences that outrival those of my boyhood, which leads me to imagine that I can paint down, out of the Past, some of the sparkling atmosphere that buoyed me up in the wide travels of my youth. Wonderful and unsuspected are the unheard harmonies that guide the footsteps of romantic vagabonds. They know not that deep in the heart of their existence bubble the eternal springs of beauty, and, as they tramp on, their footsteps beat to the rhythm of the song they will not hear—until they be older! And stranger still have been my own immediate experiences. I once officiated as chief
mourner at the burial of a romantic old trader who had suddenly died through the effects of a great spree! He had a wooden leg, a limb that he had extemporised from good, green wood. We stuck that sad heritage (it was all that he could leave us) over his grave in the forest, having made a cross of it. On visiting the spot about three months afterwards I observed that the old wooden leg had burst into leaf—had blossomed forth into pretty blue flowers! Sure am I that neither our old dead pal, in his wildest and most romantic moods, nor indeed one of us, had dreamed of the hidden potentialities of that wooden leg—how one day it would once more come to the poor body’s assistance, making his very grave in the solitude beautiful. Well, in a way, I would think that my book is like unto that wooden leg; for, as that artificial member—being green—did not snap as it helped our stumbling pal along, so has the romance in these pages helped me along on my travels, buoying me up in my weakest hours. And now I feel that, like my old pal’s wooden leg, my half-remembered romance, reviving, may blossom over the long- buried light of other days. So, should anyone notice that I sometimes write in a reflective strain when describing my experiences and those of my characters, it is because it is in that way the past is now presented to my mind. All that I wish to attempt is to throw my different characters into clear relief, and bring to the surface a hint of the undercurrents that moved them on their wandering ways. Looking back, it seems like some wild dream that I arrived in that romantic world of islands when a boy; that I once stood in the presence of tawny, majestic, tattooed potentates who loved to hear me play the violin. Yet ’tis true enough. I have lingered by the side of dethroned kings and romantic queens, taken their hands in fellowship, lending a willing ear to their griefs. For I was in at the death of that tottering, barbarian dynasty of mythological splendour —the aristocratic world of force—which has now faded into the historic pages of romantic, far-off, forgotten things.
Not only those chiefs and chiefesses of the forests impressed my imagination, but also the white men, the settlers of those days. They were self-exiled men. Some belonged to the lost brigade, drifting to the security of those palmy isles. When I think of that wild crew, their manly ways, keen eyes and strong, sunburnt faces, their diversified types, their brave, strangely original characters, it almost seems that I went away ages ago to another world, where I explored the regions of wonderful minds. And now I stare across the years into the nebulous memories of far- off, bright constellations of friendly eyes and hopes. Such hopes! I now recall those rough men revealed to me the best and most interesting phases of the human mind roaming the plains of life, some staring at the stars with earnest wonder, and some searching for the lights of distant grog shanties! Much of my apparently strained philosophical reflections may appear like strange digressions and slightly unbalanced rhapsodies. My excuse for this is, that I am endowed with a strange mixture of misanthropy and misplaced humour. Humour is like poetry, it cannot be defined. The humour that I possess is something of an unrecognisable quality, and I have often spent sleepless nights laughing convulsively over my own jokes! Often have I sat in some South Sea grog shanty telling my most exquisite joke, only to look up to see all the rough men burst into tears! On one occasion I told what I thought to be the most pathetic incident I knew—lo! men smacked me on the back and were seized with paroxysms of ecstatic laughter! When I dwelt for a brief period in England I listened to many thousands of British jokes, but I cannot recall that I laughed more than twice. This fact alone convinces me that I am incorrigibly dull and devoid of recognised mirth. So, whoever takes up my book with the idea of gathering laughter will lay it down disappointed. I feel that it is better to make this confession at the outset.
Well, the men who travelled the South Seas in the days when I was a boy will vouch for the truth of what I say about the strange characters who lived in those wild parts—and they were wild in those days. I guarantee that, as I proceed with my chapters, my only artificial colouring will be introduced to enable me to touch up some of my characters so that they may be presented to polite readers in polite form. When I think of those castaways from civilised lands, how I tramped across vast plains in their company, sat by their camp-fires far away in the Australian and New Zealand bush, I feel that I once met humanity in its most blessed state. Often they would sit and sing some old English, Irish or Scots song, as the whimpering ’possums leapt across the moonlit branches of our roof. Listening to their tales of better days, it seemed incredible that there really was a civilised world thousands of miles across the seas. The memories of the great cities appeared like far-off opéra bouffe, where the actors rushed across the phantom limelight in some terrified fright from their own dreams. The thought of vigilant policemen on London’s streets, the cataclysm of running wheels, crowds of huddled women and men staring in lamp-lit, serrated shop windows, pale-faced street arabs shouting “Evening News! Star and Echo!” swearing bus- men, shrieking engines, trains pulling back to the suburbs cargoes of wretched people who thought they were intensely happy—seemed something absurd, something that I dreamed before my soul fledged its wings and flew away from the homestead surrounded by the windy poplar trees—away to the steppes of another world. Yet—and strange it is—had an English thrush, in some mysterious way, commenced to sing somewhere down the wide groves of banyans and karri-karri trees, our hearts’ blood would have pulsed to the soul of England! One may ask, in this sceptical old world, why such fine fellows as my old beachcombers and shellbacks turned out such apparent rogues. I must say that I, too, have pondered on the mystery of it all. The only conclusion that I can arrive at is, that they were, very
often, men who had been spirited, courageous, romantic-minded boys, and so had once aspired beyond the beaten track and made a bold plunge into pioneer life. All men have some besetting sin, and it is so easy to slip and fall by the wayside, to wrap one’s robe of shattered dreams about one, and tell the civilised communities to go and hang themselves. In reference to the half-caste girl and the white girl, Waylaos and Paulines exist in this grey old world by millions, and will do so as long as skies are blue and fields are green. Waylao was a half-caste Marquesan girl; and Pauline—well, she was Pauline! Neither are the leper lovers introduced for scenic effects. They, too, were terribly real. Their whitened bones still lie clasped together in the island cave in the lone Pacific. Terrible as their fate may appear, believe me, the terror, the horror of the leper dramas enacted on the desolate seas by Hawaii are only faintly touched upon in my book. Old Matafa and his wife I number amongst my dearest Samoan comrades. It was with them that I stayed during my last two sojourns in Apia. The grog shanty near Tai-o-hae has possibly vanished. Could I be convinced that it still stands beneath the plumed palms, with its little door facing the moonlit sea, the dead men, out of their graves, roaring their rollicking sea chanteys, what should I do? I would long to speed across the seas, to become some swift, silent old sea-gull. Yes, to be numbered with the dead so that I might rejoin those ghosts and find such good company again. As for Abduh Allah, the Malay Indian, I have expressed my opinion of that worthy in the book. I have no personal grudge against Mohammedanism in the South Seas, any more than I have for the Mohammedans and their white converts in the Western Seas. The islands—especially Fiji—through the immigration of men from the Indian, China, and Malay archipelagos are rapidly becoming South Sea India, the white man’s creed being converted into a kind of pot- pourri of Eastern, Southern and Western theology, doing the can- can.

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  • 3. Martin Luthers 95 Thesen Nebst dem Sermon von Ablass und Gnade 1517 1st Edition Martin Luther Kurt Aland http://ebookstep.com/product/martin-luthers-95-thesen-nebst-dem- sermon-von-ablass-und-gnade-1517-1st-edition-martin-luther-kurt- aland/ Martin Luthers 95 Thesen nebst dem Sermon von Ablaß und Gnade 1517 Sonderdruck aus der Lutherausgabe von O Clemen 3rd Edition Claus Steinle http://ebookstep.com/product/martin-luthers-95-thesen-nebst-dem- sermon-von-ablas-und-gnade-1517-sonderdruck-aus-der- lutherausgabe-von-o-clemen-3rd-edition-claus-steinle/ 95 Strategi Mengajar Multiple Intelligences Mengajar Sesuai Kerja Otak dan Gaya Belajar Siswa Alamsyah Said S Pd M Si Andi Budimanjaya S Pd http://ebookstep.com/product/95-strategi-mengajar-multiple- intelligences-mengajar-sesuai-kerja-otak-dan-gaya-belajar-siswa- alamsyah-said-s-pd-m-si-andi-budimanjaya-s-pd/ Orgia dos loucos 1st Edition Ungulani Ba Ka Khosa http://ebookstep.com/product/orgia-dos-loucos-1st-edition- ungulani-ba-ka-khosa/ Filiation du Fils unique et filiation des croyants dans le quatrième évangile À partir de l étude de Jn 1 1 18 3 19 16b 42 20 11 18 Volume 86 Études Bibliques Nouvelle Série 1st Edition A. De Lamarzelle http://ebookstep.com/product/filiation-du-fils-unique-et- filiation-des-croyants-dans-le-quatrieme-evangile-a-partir-de-l- etude-de-jn-1-1-18-3-19-16b-42-20-11-18-volume-86-etudes-
  • 4. ブラック ロ シ ョールズの 方程式の解法 ―フー リエ級数 と熱伝導方程式一 青 りん ごサ ワー
  • 6. は じめに 本書を手に取 っていただいてあ りが と うございます. 今回は,こ れまで当サー クルが扱った ものとは趣向を変えて,ブ ラック ・ シ ヨールズの方程式の解法について紹介 しようと思います. ブラック ・ショールズの方程式 とは,証券市場の一つのモデルであるブ ラック・ショールズモデルか ら導出され る微分方程式の ことです.方程式 その ものは,第 1章 をご覧 ください。 本書では,こ の方程式 の金融工学的 な意味などについては解説 してい ません。とい うよ り,筆者の力不足に よ り,説明す るこ とができません。 解説 を望んでいた方がい らっしゃった ら,すみません。ただ数学的な興味 か ら,ブ ラック 。 ショール ズの方程式 を解いてみよ うとい うのが,本書の 目的です. この本を通 じて少 しで も数学に興味 を持 ってくだ さった ら幸いです. 目 1 2 準備 2.1 三角関数の積分公式 2.2 偶関数 と奇関数 .. 2.3 広義積分 ...... 3 フー リエ級数 3.1 フー リエ級数 とは ..… … ..... 3.2 ‑般 的な周期関数のフー リエ級数 … 3.3 フー リエ正弦級数 とフー リエ余弦級数 3.4 フー リエ積分 ...........… 4 熱伝導方程式 4.1 熱伝導方程式 とは ..… … ..̲.. 4.2 変数分離法 … … .。 .… … … … 4.3 熱伝導方程式の初期値境界値問題 の解法 4.4 熱伝導方程式の初期値問題の解 法 .… 5 ブラック・ シ ヨールズの方程式の解 法 次 ブラック・ シ ョールズの方程式 とは ４ ４ ４ ６ ６ 11 15 15 16 17 17 18 19 21 24
  • 7. 1 ブラック ロ シ ョールズの方程式とは プラック・ ショールズの方程式 とは,以 下の偏微分方程式 を指す rc(s,ι)二 等⊇ +:σ2s2盛 鰐 +rs等登 { 初期条 件 :θ (SC),T)= S(T)一 K (S(T)≧ Й 0 0 (S(T)<κ ) ここ で,t(0≦ t≦ T)は時間 変 数であり ,Tは満期日 ,Kは行使価格 を 表す定数,S=S(ι)は株価,αS,ι )は 派生証券の 価格を 表す関 数であ る.ま た,σ は価格 のボ ラ リテ ィ,7(>0)は無 リスク金利 (非 危険利子 率)を 表す定数である. 「は じめに」でも述べた ように,本書では,筆者の力不足のため,上で 述べた用語お よび この偏微分方程式 の金融工学的な意味や導出について は,説 明 しない。(興味のある方は,参考文献 131,121な どを参照 して くだ さい。) 本書の 目標は,こ の方程式を解 くこ とである.解法について大まかに 述べると,ま ずブラック ・ ショールズの方程式を,適 当な変数変換を行 う ことにより,熱伝導方程式に変換す る.次 に,フ ー リエ級数や フー リエ積 分の方法を応用することにより,こ の熱伝導方程式を解 くとい うことにな る.な ので,ま ずは これ らについて紹介 していこ う. 2 準備 本章では,フ ー リ エ級数やフー リエ積分を理解するために必要となる微 積分学の内容,と くに三角関数の積分や広義積分などについて説明する. 2.1 三角関数の積分公式 まず最初に,三角関数の積分公式を紹介する.高校数学で学んだよう に,基本的な三角関数である正弦関数 (sin κ ,サイン)と 余弦関数 (cos 2,コ サイン)は周期が 2π の関数である.すなわち sin(z * 2n) : sirL*, cos(z * 2tr) : s6"* である
  • 8. また,三角 関数 の加 法公式 sin("土 ν )=dnπ cosυ ±cosπ sin鋳 COS(κ ± ν)=COS χ COS ν 〒 Sin″ Sin ν よ り,次 が成 り立つ. 補助定理 2.1 Sin Sin ν =う {― ∝ 鴻 (π +υ)+COS("一 ν )}・ COS π COS y=う {COS(π +ν )+∞ S(ω 一 ν )}, 1 Sin ω COS y=う {Sh(π +υ)+Sin(″ ― ν )}・ さらに,sin 2,∞ s の導関数 は ″ ̲:L sin =rsin α )′ =cos π . α ″ ― :L cOs"=(cOs α)′ =― sin π α ｀ ′ であるので,2を 0でない整数 とす る とき rπ sinη π 山=「̲lcos」 π =。, ノ ̲π L η 」 ― π √ π ∞ sη "山 =「l sin″ ]T=0 ノ ̲π Lη 」 ― π が成 り立つ.こ れか ら,以 下の重要な三角関数の積分公式を得る. 定理 2.2π,れ を正の整数 とす るとき,次 が成 り立つ. (2.1) (2.2) ′ π lπ Sinm"Sin%洗 = 0 (m≠ πのとき) π (m=π のとき)' 0 (m≠ 2の とき) π (m=π の とき)' ｒ ｌ ′ ヽ ⁚ ヽ ｒ ｌ ′ ヽ １ ヽ lπ lπ cosmfi.c(Bnfrd,x:: sinmuccsnrdr : O. 証明 最初の式のみ示す.後 も同様 に示せる
  • 9. 補助定理 2.1よ り, 1,sin πsin η 歯 =ぅ lπ {― cOs(π +η) +cosい 一 π )τ }山 .(2.3) π≠れのとき,式 (2.3)の 右辺は, 一 石 ≒ 万 卜 in(¨) ]lπ +赫両 卜 in(―)π]1,=0+0=0 となる。一方,m=れ の とき,式 (2.3)の 右辺は, 一 石 雨 ISin(¨) ]lπ +:レ]lπ =0+π =π となる 2.2 偶 関数 と奇関数 三角関数 sin",cos πは,sin(― )=一 sin 2,cos(― ω )=cos とい う 性 質を持つ.一般に,ノ (α )=ω 2ゃ ∫ (.)=cos"の ように,すべての に 対 しノ (一 ")=∫ (ω )が 成 り立つ関数を偶関数 とい う 。一方,∫( )=ω や ∫ ( )=sin κのように,すべての ″に対 し ∫ (―ω )=―∫ (2)が 成 り立つ 関数を奇関数 とい う .偶関数のグラフは υ軸について対称 とな り ,奇関 数のグラフは原点について対称 となることがわかる. 偶関数や奇関数の積分に関 しては,任意の α>0に ついて ∫ (2)が 偶関数のとき ∫ (2)が 奇関数のとき l":at l",ro) , lo" f{da*, 0 あ あ (2.4) (2.5) が成 り立つ 2.3 広義積分 半開区間 [α ,b)={」 α ≦ <♭}で連続な関 数 ノ ( )に 対し て l"u f {*) o*:,To fo-' f (n) d,r 6
  • 10. と 定義し ,右辺が有限の 極限値を 持つとき,∫ (z)は 半開区間 [α ,b)で広 義積分可能であると いう .同 様に,半開区間(α ,bl=(ω lα <α ≦わ }で連 続な関 数 ノ (2)に 対し て l"o r al o* : "Wo l,uu,, {*) o, と定義し ,右辺が有限の極限値を持つとき,ノ (ω )は 半開区間 [α ,b)で広 義積分可能であると いう 。また,ノ(α )が 閉区間 [α ,blの 内側の1点 α=c で不連続であるときは, ′ b ん rC ん ノ ( )aα = ∫ (2)a″ + ∫ ( )απ =ょL101 ノ (2)d 十 』 電 阜 0ノ井 ε 2ノ (2)醗 と定義する。この場合 も,右辺のそれぞれの極限値が収東すれば,∫ (″ ) は閉区間 [α ,ろ]で 広義積分可能であるとい う . 例を見よう 。 例 2.3関 数 ∫ (α )= ″ (国 ≦1) 0(レ ￨>1) ′ b ′ Jc 1‑ε l Od + ″aκ + lim ε 2→+0 ∫ t に 対 し ,広義 積 分ノ∫ (2)a″ を 求 め よ . J‑2 √ 2∫ (2)歯 =′ ‑1∫ (.)山 +√ 1∫ (")ぁ +′ 2∫ ( )山 J‑2 ′ ‑2 ノ ーl Jl ′ = lim ′ ε l→十 U′ ‑2 「 1 。 ￢ ==0‑十 1ぅ π ̀」 ′ ノ ̲ ′ 2 ′1+ε 2 O α α ‑1 ̲ 1 1 +υ =】 ― 】=υ 次に,積分区間が無限区間となる無限積分(こ れも広義積分の一種であ る)に ついて説明しよう .無 限区間 [α ,∞ )上 で連続な関数 ∫ (a)に 対して, [* r@)d*: tim [' r@)o* Ja t)@ Ja と定義 し ,右辺が有限の極限値を持つとき,∫ (″ )は 無限区間 [α ,∞)で 無限積分可能であるという 。同様に,無限区間 (― ∞,ι ]上 で連続な関数 7
  • 11. ∫ (″ )に 対し て, fb∫ (")と =hm fb∫ (ω )a″ ノ ̲∞ 9→ ∞ ′ θ と定義し ,右辺が有限の極限値を持つとき,ノ (2)は無限区間 (一 ∞,司 で 無限積分可能であるという 。さらに,無限区間 (― ∞,∞ )上 で(つ まり す べての実数について)連 続な関数 ∫ (ω)に 対し て, ル (″ )醗 =ム It∫ ( )あ (26) と定義 し(tと sは無関係であることに注意),右 辺が有限の極限値を持つ とき,∫ ( )は 無限区間 (― ∞,∞)で無限積分可能であるとい う . ここで,無限積分の例をいくつか紹介 しよう 。とくに,後 半二つの例 2.7,2.8 は,後 に利用する。 例 2.4ズ ∞ 多 d を 求 め よ 。 ズ ∞ ル "=鳳 /t多 あ =鳳 [― :]￨=鳳(― :+1)=1・ ・ 例 2.5J[il測 "を 求 め よ 。 /1π ぁ =,曇 ∞Iπ ぁ =3蝿 [:ω 2]l=ム (手 ̲手 ) となるが,こ の極限値は存在 しない。従って,こ の無限積分は存在 しない. 注意 2.6こ の例からわかるように,無 限積分においては,関数 ノ (")= が奇関数であるからといって,式 (2.5)の ように rO。 ブ ̲。。 d"==0 としてはいけない。 例2.7r=f∞ e C′ あ(c>0)を求 め よ 。 ′0 よく知 られているよ うに,関数 θ ̲¨2の 原始関数は初等関数で表す こ とはできない.し か し,重積分 を利用すれば上の積分は計算できる。 8
  • 12. ′ ι ム =元 e̲ 2d と ぉ く と ,I=t聖乱 Itで あ る .為 2を 考 え る と , J̀2==(u(tθ ̲("2d2)(、 す (te̲(第 2a ) ==(,ブ ite̲(露 2d )(・′ 11̀θ ̲て ッ 2 dy) =元 元 θ ̲∝2θ ̲cν2醗 の =rt rte― c(メ +′ )めdυ ノ 0 ノ O υ となる. ここ で ,正方 形η=10″l× 10,tlに 内 接する 四 分円 板2={(ω,ν )￨ 2+ υ 2≦ ι 2,″ ,ν ≧0)と ,■ に 外 接する 四 分円 板2海 ={(π ,υ )レ 2+υ2≦ 2t2,2,υ ≧0}を 考えると ,c C(・ Z+〆 '>0よ り , 九c̲c(.2+y2)鋤 <為2<九 ac― c(′ +ν 2)動 (2.7) となる.ω =r cos θ ,ν =r sin θと極座標変換す ると, dttυ =器響 dγα θ =r drdθ となるから, 几θ ̲c(.2+υ2)動 =∬ ズ 'c̲∝ 2r硼 =ルθ f(̲券 ̲″2)ar =̲Fi(t← 「 び 2)″ =金 (1̲θ ̲ 2) を得る.同様に計算 して, となる。これ らの結果 と,式 (2.7)よ り, ￡ (1̲e̲a2)<It2<金 (1̲θ ‑2d2) を得 る.上式で ι → ∞ とす ると, π 九ac― c(● 2+〆 )動 =洗 (1̲e‑2ct2) ＜ f2 4c < π 4̀
  • 13. よ り ,12=￡ と な る が ,I>0よ り , ̲ lF f==う Vτ (2.8) ′ 。 。 。 光 θ ∝´ めに お い て ,2=―υ と 変 数 変 換 す れ ば , !o* "-"cu)' e d,y : fo*e-"u' du を得 る I= を得 る 例 2.8 f= となることから, ノ ∞ e̲ 2α "= √ O c̲ω2dπ +√ ∞ e̲ca2 aα ′― α ) J― α ) ′ 0 原 原 4′ 一 ==1′ ― VC VC (2.9) １ 一 ２ ＋ 一 π 一 Ｃ ′ ″ Ｖ ｌ 一 ２ この無限積分はガウス積分 と呼ばれ る 光 e S‐ cos 2お as を求 め よ fo* errr-"')sin2bsds : le-"zsin2bs]i -ru lo* まず次の置換積分を用意す る そ こで, e-"' cos2bs d,s. (2.10) ∫ 0=ノ ∞ θ ‑32 cos 2bs as (2.11) ′ 0 と おき ,ノ (b)を う で 微分 する .こ の 場合,微分と 積分 の 交 換が可 能であり , 三 1==ズ ∞ (‑2→ c '2 cos 2bs as となる。 これ と式 (2.11)を 式 (2.10)に 代入す ると, 孫 =[e‑32 sin 2bs]『 ‑2げ(b) を得 る。 ところが, Ic‑32 sin 2bs]『 =μ晟 (e̲t2sin 2洸 )‑0=0
  • 14. より, ″ r 沸=‑2げ(b) となる。こ れを ☆ぉ稔 =‑2ら と 変形し ,両辺をら について積分すると , 10gノ(b)=‑02+θ ′ (α は積分定数)を 得る。よつて,∫(b)=Oθ ̲b2c は積分定数)と なる。 θ を決定す るため,式 (2.11)に おいて,b=0と す ると, ノ (0)=′ ∞ e‑32 ds ′ o と なる が,こ れは 例 2.7で 見たよう に ,/72に等し い。一方,ノ(b)= θ θb2よ り∫ (0)=θ である 。よ つて,θ =ν〒 /2と なる。 従っ て, ノ (b)= 癖 /2)θ b2と なる 。 以上をまと めると , f∞ θ ‑32 cos 20開 s=fθ b2 (2.12) J0 4 を得 る. 3 フー リエ級数 本章では,フ ー リエ級数お よびフー リエ積分について紹介す る 3。 1 フー リエ級数 とは まずは,フ ーリ エ級数がどのよう なものであるかを紹介しよう 。 ∫ (2)を 実数全体で定義さ れた関数で,さ らに ∫ ( +2π)=ノ (π )を 満た すものとする.つ まり ,∫(π )は周期 2π の周期関数であると する。また, 基本的な区間として [― π ,π )={″￨― π≦π<π}を 取っておく . さらに,関数 ∫ (″ )は 次の条件を満たすものと する。 ∫ (2)お よびその導関数√ ′ (π )は ,I一 π ,π )で 区分的に連続である.(3.1) ここで,関数 ∫ (π )が 区間 [― π ,π )で 区分的に連続であるとは, 1.I― π ,π )内 の有限個(0個 も 含む)の 点 ″ 1,… ,"dを 除いて,∫ (2)は 連 続である. 2.各 不連続点 ″ 1,...,zdで ,右側極限お よび左側極限 ∫ (れ +0)=鳳 ∫ (η +ι ),∫ 毎‑0)=鳳 ノ ( た +ι) 11
  • 15. が存在す る. ′ π とい うことである.こ のとき,∫( )の 一 πからπまでの積分 lπ ノ ( )dπ が存在することが知 られている。 さて,周期 2π の周期関数 としてまず思いつ くものは,定数関数 (こ れ も立派な周期関数である)と 三角関数であろう .こ こでは,周 期 2π の周 期関数 ∫ (2)を 1,cos",sin α,...,cos η ,sinη ,... たちの 1次結合,つ ま り 適当な定数係数 α れと 臨 (れ =1,2,...)を 用いて, ∫ (■ )=讐 十 涯 ](α れ COS∽ +姑 Sin m) (3.2) と表す ことができないか?と い うことを考える.厳密には,関数項級数の 収束性な どの問題 もあるが,そ こは とりあえず考えない ことにす る. α O,α l,...,01,...を 求めるために,式 (3.2)の 両辺 を 一π か ら π まで 積分す る.式 (3.2)は 無限の項 をもった級数 であるので,そ れぞれの項を 別々に積分 して加 えたもの と全体を積分 した ものは,一致す るか どうか分 か らないが,も しこれが等 しい と仮定す ると, ′ ｀ π ノ (π )dπ ==12′ ｀ π dπ ― +IΣ (α 。 ￢ ′ ・ π COS η d2‑十 ら れ ′ ｀ ア Sin 7ι d2) ′‑7 4 ′―π れ=1｀ ′ π ′―π ′ (3.3) となる.こ こで,式 (2.1),(2.2)よ り,式 (3.3)の 右辺第 1項 についての積 分だけが残 り, 二 ∫ (・ )あ =讐 二 d =讐 レ 1lπ =αOπ となるので, α O=1尤 ∫ (α )あ (3.4) を得 る. 次に,係数 α "と 為 (2=1,2,。 ..)について考えよ う。式 (3.2)の 右辺 の れを mに変 えた式 ∫ (■ )=1讐:+2]1(α れ COS π ″ +られ dn π ) 12
  • 16. について,こ の式の両辺に cos η "も しくは dnπ をかけて,一 πか ら π まで積分す ると,三角関数の積分公式 (定 理 2.2)よ り, 1,ノ (")COS η 酵 =απ π ,lπ ∫ (π )sin n あ =bπ π (π =1,2,...) を得る.す なわち, α η =÷ lπ ノ (")cos η π ″ ,b.=+lπ ∫ (π )sin η ″ あ(η =1,2,̲) (3.5) となる. よって,式 (3.4),(3.5)の 積分が計算できれば,形式的にノ (π )が 1,cos″ ,sin ,...,cos π ,sin π2,... の 1次 結合で表されたことになる.条 件 (3.1)を 満たす周期 2π の関数 ∫ (2)に ついて,式 (3.4),(3.5)の のよう にし て計算さ れたα 。と姑 を ∫ (″ ) のフーリエ係数という 。またこれらを使って ノ (")を 表した 讐 +2](αη COS π ″ 十 bη sin π ″ ) (3.6) を ノ (2)の フー リエ級数 (展 開)と い う 。 と,こ こまで関数項級数の収束性や級数 と 積分の交換性 (項別積分可能 性)の 問題には目をつぶって形式的に計算 してきたが,実は次が成 り立つ ことが知 られている。 定理 3.1∫ (■ )を ,条件 (3.1)を 満たす周期 2π の周期関数 とする.こ の とき,連続な点 2においてフー リエ級数 (3.6)は 収束 し,そ の値は ノ ( ) に等 しい.一方,不連続な点 π たにおいてもフー リエ級数 (3.6)は 収束 し, 1 そ の 値 は ,{ノ ( た +0)+ノ( ん ‑0)}に 等 し い 。 連続な 点 "に おい てはノ (C)=:{∫ (″ +0)+∫ (2‑0)}で ある ので,関 数 として ぅ {ノ ("+0)十 ノ (2‑0)}=サ +ネ 」 (α o COS π 十 ら れ dn m) なのであるが,こ の書き方は面倒なので,関数 ∫ ( )と そのフーリ エ級数 の関係は ∫ (2)〜 讐 +2](απ COS m+b.Sin竃→ 13
  • 17. と書かれること が多い。また,関数 ∫ (")に 不連続な点がなければ,上 の 式の 〜"は ="と なる. また,フ ーリ エ係数を計算する場合において,ノ (α )が 偶関数の場合, cos η "が 偶関数,sh π κが奇関数であることから, α η =テ 光ノ (2)cOs 山 , 硫 =0 (3.7) であり ,ノ (a)が 奇関数の場合, α π =o, 硫 =千 元∫ (2)sin n"伽 (3.8) となる. 例を見よう. 例 3.2 ル )￨:￨『宴 l) を周期 2π に拡張し た関数(こ れも∫ ( )と 表す)の フ ーリ エ級数を求めよ. 式 (3.4),(3.5)よ り , α O=‐ lr'7∫(ω )d ==̲lfr'° ld"十 /'・ Oαハ:=1, πノ ー 7 ・・ π｀ プ ー τ ノ 。 ノ α れ ==‑1ノ π ∫ (2)cos,協 α ″ ==1‐ ̀/'0 1cos,E dω 十 /奮 O cos n d"｀ πノ ̲π ・・ π｀ プ ̲π ノ 。 ノ =1「 Sinれ 1° =0. 7「 L 2 」 ̲τ わ れ ==‐ 1/1π ノ (π )Sin π α d ==￨:(プ :￨1lSinπ d ‐ +J(・ O Sinη d ) 1「 α 潟 "α l° ‑1+cos,lπ l ‐ ‑1‑‑1 ‑― =( π L n」 ̲κ tt t 0 (2が 偶数) , 一 希 (2が奇 数 ) となる.従 って ∫ ( )へ′ :一 :争 (sin″ +:sin 3″ ― 十 :sin 5"‐ 十 ・ … ) と なる 。ち な みに =π/2と おけば ,∫(π /2)=0よ り , 1=1̲1+1̲1+… 4 315 7. が得 られ る。この等式は,ラ イプニ ッツの級数 と呼ばれ る。 14
  • 18. 3.2 ‑般 的な周期関数のフー リエ級数 ここでは,周 期関数の周期が 2π でない場合のフー リ エ級数について紹 介する.∫ ( )を 周期 2Lの 周期関数,つまり ∫ (π +2ι)=∫ (π ) を満たすものと する。また,∫( )の 基本区間とし て 1‑L,ι)を とってお く 。さらに,ノ( )お よびその導関数 ∫ ′ ( )は ,I― ι ,L)で 区分的に連続 であると する. この とき,周 期が 2Lである三角関数たち ・ 'C° S :「 'Sm可 デ '… ・ 'C° S TE 'Sin = '・ ・ ・ の1次 結合により ,メ し)を表そう . υ=七チ と変数変換すれば,ノ (ν )=∫ け云り は周期 2π の周期関数とな るので,∫(ν )を 式 (3.4),(3.5),(3.6)の ようにフー リ エ級数展開できる。 r.̀ それ を π=ニニ と戻 してやれば,置換積分によ り,周 期 2Lの周期関 π 数 ∫ (″ )の フーリ エ級数とフーリ エ係数は, ∫ 0〜 等 +Σ い。 S写 +bη Sin7), ‐ 72=1｀ ″ ′ ι Ｌ ι 七 ′ ′ ′ み ′ ′ ′ 非 １ 一 ι ｌ 一 Ｌ α α f(x) dr, (3.9) ∫ (π )cos写三 &,硫 =:′ ι ∫ (2)sin14二 ぁ L′ L′ J̲L ■ ノ (η =1,2,̲) となる 3.3 フー リエ正弦級数とフー リエ余弦級数 関数 ノ (π )に 対し , θ (α )=う {∫ (")+∫(一 )},ん (")=う {∫ 0‑∫(‑2)} と おけば, ノ (2)=θ (α )+ん( )と ,偶関数 θ (″ )と 奇関数 ん (″ )の 和で ノ (a)を 表すこと ができる. 15
  • 19. 従って,∫( )が 周期 2Lの周期関数であるならば,,(■ )と ん (")の フー リ エ級数は ,(・ )〜 :α。 +Ё %cOs7,ん(″ )〜 か,sin写 η=1 れ=1 〜 となることがわかる. さて,関数 ∫ ( )は 区間 10,Llの み定義さ れているとしよう 。こ のとき, 一 L≦ <0に 対し∫ (α )=∫(一 π )と 定義すれば,ノ(ω )は 区間 [一 L,L) で定義さ れた関数に拡張できる。さらに,∫ ("+2L)=∫(2)と おけば, ∫ (2)は実数全体 (一 ∞,∞ )で定義さ れた周期 2ι の周期関数かつ堡関数 となる.従 って,ノ(a)の フーリ エ級数は ′/ 、 ■ . ▼ ｀ ′ ι′ 1ル Jt″ ノ 〜5αO+2″ れ COS r, ̀̀ ・ 16.lU〕 α O=認 L√ (2)と ,αη=観 ι ∫ OCOSTd" となる.こ れをフー リエ余弦級数 とい う. また,一 L≦ α<0に 対しノ (ω )=―ノ (一 )と 定義すれば,∫ (π )は 区 間 [一 L,L)で定義さ れた関数に拡張できる.さ らに,ノ (″ +2L)=∫ (■ ) と おけば,ノ(■ )は 実数全体 (― ∞,∞)で定義さ れた周期 2Lの 周期関数 かつ奇関数 と なる。従って,ノ (″ )の フーリ エ級数は ル)〜 Σ妬 Sin■ 里, η ==1 ″ rQ ll、 嶋 =子 ノ L∫ (・ )血 写 d ル ′ 0 ル となる。これをフー リエ正弦級数 とい う. なお,周 期 2π の周期関数 ∫ (")が 偶関数の場合には,上述の区間の拡 張とは関係なく式 (3.10)で表 され るが,こ れもフー リ エ余弦級数 と呼ば れる.同 様に,奇関数の場合も式 (3.11)で表 され,こ れ もフー リエ余弦 級数 と呼ばれる. 3.4 フー リエ積分 ここまでは,周 期関数に対するフー リ エ級数展開を見てきた。では,周 期を持たない,実数全体 (― ∞,∞ )で 定義さ れた関数に対 してはどのよう に表 されるかを紹介 しよう . 16
  • 20. ノ (")を 実数全体 (― ∞,∞ )で 定義 された関数 とし, さらに (全 区間で) 絶対可積分,つ ま り 1∞ ￨∫ (″ )1山 <∞ を満た し,かつ区分的に連続であるとす る. 荒っぱく言ってしまえば,周 期を持たないことを周期が無限に長いもの と考え,フ ー リ エ級数展開 (式 (3.9))に おいて,L→ ∞ とする.こ のと き, リ ーマン積分 (定積分)の 定義のように,無 限和が無限積分に変わ り , 次の結果を得る. 定理 3.3∫ (″ )を 実数全体 (― ∞,∞ )で 定義 された関数 とし,さ らに絶対 可積分かつ区分的に連続であるとする。このとき,ノ (")は (ω )〜 ノ ∞ ｀ ・ ノ 0 {A(r) cosrr + B(r) sinru) dr, ∫ と表 され る 4 熱伝導 方程 式 本章では,熱伝導方程式の解法について紹介する.そ こで重要 となるの は,変数分離法 と解の重ねわせである. 4.1 熱伝 導 方程 式 とは 熱伝導方程式 とは,文字通 り熱伝導を記述す る偏微分方程式のことであ る.現実の問題 としては 3次元空間における熱の伝導現象を取 り 扱わなけ ればな らないが,こ こでは簡単のため,空間が 1次 元の場合を扱 う。 を空間変数,ι を時間変数 とす る。また 1次元熱伝導体の位置 ″ ・時 刻 tに おける温度 を 包=色 (2,ι )と 表す.こ の とき,偏微分方程式 l rO。 1 ′ oo ス (7)=il∞ ∫ (ξ )COS7ξ α ξ , 3(7)=赤 1∞ ∂ 飢 ∂ 2し ∂ ι =κ 5房 ' (3.12) ノ (ξ )sinTξ ξ (3.13) (4.1) を熱伝導方程式 とい う.こ こで κは熱伝導率 と呼ばれ る定数である. よく知 られているよ うに,一般に偏微分方程式は多 くの解 を持ち,実際 の現象 を記述す る解 を得るためには,い くつかの条件を付加する必要があ る.偏微分方程式に付加 され る条件 としては,あ る時刻における系の状態 17
  • 21. を与える初期条件 と呼ばれるものと,考 えている空間領域がもし有限であ る場合には,そ の領域の境界での制約を与える境界条件と呼ばれるものが ある. 熱伝導方程式においても,対象の熱伝導体が無限の長さを持つ (― ∞ < πく∞)場合,ι =0における状態 (初期条件)∫ (2)を 付加 して考える。 ∂ υ ∂ 2包 ∂ t=κ ∂ ω '' (4.2) 色 (″ ,0)三 ∫ (ω ). このような問題を,熱伝導方程式の初期値問題 という . 一 方,対象の 熱伝導体が 有限の 長さ を 持 つ 場合,例え ば 長さ1(0≦ "≦ 1) の場合,初期条件 し (″ ,0)=∫(2)だけ ではなく ,″ =0お よ び τ=1の 境界での状態(境 界条件)も 付加し て考える 。 ∂ 包 ∂ 2し 扉 =κ ″ ' %(",0)=∫ (″ ), (4.3) 包 (0,ι )=包(lμ )=0・ ここでは,熱伝導体の境界では温度が 0に なるとしている.こ のような 問題 を,熱伝導方程式の初期値境界値問題 とい う. 4。 2 変数分離法 ここでは,微分方程式を解く際に有効な手法の一つである変数分離法に ついて,熱伝導方程式 (式 (4.1))を 例にとって説明 しよう . 式 (4.1)の 解を求めるために,鶴(",t)=X(π )T(ι )と おいてみると, 等 二 等 X(2),多 =T(t)等 となるので,こ れ らを式 (4.1)に代入 し,そ の両辺 を κ 包 (2,t)=κ T(ι )X(2) で割 ると, 1∂1■ 1∂2x ∂ "2 となる.と ころが,上式の左辺は変数 ιのみ の関数で表 され ,右辺は変 数 "の みの関数で表 されているので,こ れが恒等的に成 り立つためには 一 χ 一 税 一 ｒ 一 ′ 社 18
  • 22. 両辺が定数 の場合に限 られ る。この定数 を λ とお くと,は じめは一つで あった偏微分方程式 (式 (4.1))が ,二つの別々の常微分方程式 1[:==λ κ 2・, 弊 =λx α″ ´ に分離 され る.こ のように して解 を求める方法を変数分離法 と呼ぶ. さらに,例 えば式 (4.3)で 与えられ る熱伝導方程式の初期値境界値問題 に対 し,変数分離を行 うと,υ (0,ι )=χ (0)T(ι ),し (lμ)=X(1)T(ι )と な るので,境界条件 υ (Oμ )=し (lμ )=0は X(0)=X(1)=0と 表す こと ができる.よ って,空間変数 については, 1歩)=λX, X(0)=X(1)=0 のよ うな常微分方程式の境界値問題 に帰着 し,そ れぞれの空間変数や時間 変数のみの問題 として別 々に取 り扱 うことができる. 4.3 熱伝導方程式の初期値境界値問題の解法 まずは,有限の長 さを持つ熱伝導体に対す る,熱伝導方程式の初期値境 界値問題 を考える.具体的な問題 を例に,フ ー リエ級数を用いた解法につ いて以下説明 しよ う. 例 4.1有限の長さ1(区間 0≦ ″≦1)を持つ棒に対する熱伝導方程式 ∂ 包 ∂ 2し 房 ″ ' (0≦ ≦1/2) (1/2≦ ≦1) を解け. 変数分離法を利用 して,し (2,t)=X(2)T(ι )と お くと, dT dι ′x d″2 ′ :,″ し (π ,0)=〈 t2(1‑α ) し (0,t)=し (1 )=0 λr =λX 19 (4.4) (4.5)
  • 23. が得 られ るので,こ れを λについて場合分け して考 える. (1)λ =0の場合. 式 (4.4)よ り,■ι )=ス (■ は定数)と なる.ま た,式 (4.5)よ り,X(α)= Bπ +σ (B,θ は定数)が 得 られ る.境界条件 X(0)=X(1)=0よ り, 3=θ =0と なるので,X(")=0で あるが,鶴(",0)=X(2)T(0)=0 とな り,こ れは初期条件 を満た さないので不適. (H)λ >0の場合. 式 (4.4)を解 くと,at)=五θ λ t(ス は定数)と なる.λ >0よ り,λ =ω2 とす ると,式 (4.5)よ り, X(2)=Beω ″ +θ♂ (B,θ は定数) となるが,境界条件 よ り(1)と 同様 に X(")=0と な り不適. (m)λ ><の場合. (五 )と 同様に,式 (4.4)よ りT(ι )=スε λ tい は定数)と なる.λ <0よ り ,λ =̲ω2と すると ,式 (4.5)よ り , X(2)=B cosω α+θ sin ω ″ (B,0は 定数) となる.境界条件 X(0)=0よ り B=0で あるが,こ の ときもう一方の 境界条件 X(1)=0か ら,σ =0も しくは sinω =0で ある.(1)お よび (五 )と 同様に θ =0つ ま り X( )=0で は不適 とな るので,sinω =0と なる.よ って ω=ππ(π =1,2,...)と なる. 以上か ら,λη=一 (2π )2(π =1,2,...)に 対す る (基本)解 として, %(",t)=e̲(m)2t sin η π π が得 られ る。 次に,初期条件を満たす解 を求めるわけであるが,そ れぞれの れ に対 す る %( ,0)は sin π π ωであるので,初期条件 とはな らない。そ こで, 中 )=Σ %e̲(れ π )2tsin m2 (4.6) π=:1 とお く (こ れを解の重ね合わせ とい う)と ,鶴 ( ,t)は (あ くまで項別微分 できるとい う条件付 きで)熱伝導方程式を満た していることがわかる.そ こで,こ の式 (4.6)で 表 され る解 が初期条件を満 たす ように,係数 物 を 決定 しよう。 u(r,0) : I c, sin nzro : ∫ ヽ 2α 2(1‑2) (0≦ χ ≦1/2) (1/2≦ "≦ 1) π=:1 20 (4.7)
  • 24. であるので,区間 [0,11に おけるフー リエ正弦級数 (式 (3.11))を 利用 し て,式 (4.7)の すべての辺に sin π π πをかけて,0か ら 1ま で積分すれば, qι =2′ し (2,0)sin η π π d ′0 ′ ,1ノ , ハ 1 、 =2u 2 si…励十 万 22(1‑″ )sin η π ″ 歯 ) 4{[― 型 莉li十 [器]:2 1 「Sinπ7「 ]1 1 1/2 [π 万 ア ア ‐ 」 1/2∫ 1 COS η π ==4{(一 E:liニ ー 0)十 (1:;:‑0) 一 (0‑̀号111)― (0‑1;i書 )} ̲8 sinザ ￢ 写 所 ア 戸 fO (π が 偶 数 ) =( 只 r̲1、 η t戒ザ 静 (η が 奇 数 ,η =2鶴 +1) となる.以 上か ら,初期条件お よび境界条件 を満たす解 として, u@,t): +1)π " (4.8) + ,2=0 を得 る 注意 4。 2本 当ならば,式 (4.8)の 右辺が解 として意味を持つこと,つ ま り 無限和が収東することについて議論 しなければならないが,こ こでは省略 する。 4.4 熱伝導方程式の初期値問題の解法 次に,無限の長 さを持つ熱伝導体に対する,熱伝導方程式の初期値問題 を考える.こ こでも具体的な問題 を例に,フ ー リエ積分 を用いた解法につ いて以下説明 しよ う.な お この例 は,ブ ラック 。 シ ョール ズの方程式の解 法において重要な計算である. 21
  • 25. 例 4。 3無限の長 さを持つ棒に対す る熱伝導方程式 ∂ 包 σ 2∂2し 房 =7扇 '' 2(■ ,0)=∫ (″ ) を解け.こ こで,σ は 0で ない定数 とす る 変数分離法を利用 して,し(",ι )=X(″ )T(ι )と お くと, d71 λ σ 2̲ 面 「 = 2・ ' 奪 =λx α "̀ と なる が,λ ≠0の と きに 式(4.9)か ら 得ら れる 解 T(ι )=五〆 ナι に つい て,ェ L彗 ∞ X(ω)が 有界でなけ ればなら な いこと を考慮すると ,λ <0で ある .従 っ て,λ =̲ω2と おくと 式(4.10)か ら X( )=B∞sω "+C sin ω "(B,θ は定数) となるか ら,包(″ ,ι )は それぞれの ω に対 して (ω の関数のように表 して), 包 (2,t;ω )=C =テ ̀{B(ω )COS ω ″ +0(ω )Sinω ″ } となる.(定数 ス は B(ω ),θ (ω )の 中にそれぞれ組み込んだ。) 有限区間の場合に与えられていた境界条件は,こ の場合には与えられい ないので,具体的に ω が満たすべ き条件 を決定す ることはできない。そ こで,ω をそのまま連続変数 と見な し,重ね合せ法 を拡張 して,総和のか わ りに 0か ら ∞ までの積分で表す と, に ι )=ノ O e 生 チ ■ {B(ω )cOs ω ω+θ(ω )sin ω ω }ね (4.11) となる. 式 (4.11)の し (■ ,t)は ,(微 分 と積分が交換できるとい う条件付 きで)も との熱伝導方程式 を満たす ことがわかる. よって,与 えられた初期条件 を満たす ように係数 B(ω ),0(ω)を 決定 し よう. (4.9) (4.10) ′ 。 O ′0 {B(u) coswa + C(u) sintuo} du : l@) u(2,0) :
  • 26. となるが,上式の中辺 と 右辺の関係は,ま さしくフー リエの積分公式 (式 (3.12))そ のものなので, ∫ (ξ )COSωξ 質, ω ω Ｂ ０ α ξ ∫ (ξ )Sinω ξ Ю ∞ Ю ∞ ′ ノ ． √ ノ ． １ 一 π ｌ 一 π となる.こ れ らの式を式 (4.11)に 代入す ると, u(r,t) : lo* . #'[{* /_ /({) cos,{d(} "o,,, . {+ l:/(() sino{ d(},i,,,,] a, 元 e 午 t11∞ ∫(ξ )(COSω ξCOSω ″ +Sinω ξSinω ″)(1あ √ ∞ e‑2年 t「 ノ ∞ ∫ (ξ )cos ω (ξ ̲2)dξlぁ ′ O L′ ― oo 」 lo* u#'cosc..,(( -r)d, を計算 しよう 。そのために,例 2.8で 求めた公式 (2.12) ′ ∞ e‑32鰯 2闘s=fe̲b2 ′O Z ̲′″ を利用する.こ の式の左辺で,s=琴号 ω とおくことにより 新たな積分変 数 ω を導入すると,あ =空互 あ より , V2 ノ ￨∞ θ ̲÷ω 2cos(261%『 ω )三=⊆ ω aω ==fe ′ １ 一 π ｌ 一 π を得 る.こ こで,最後 の式変形 は,三角 関数の加法公 式 cos(■ ― ν )= cos″ cos ν+sin πsin νを用いた。 さて,積分の順序が交換できると仮定 す ると, 引 ン ,t)=IД ノ (ξ )￨ズ ∞ θ 」 事 ≒ ∞ sω (ξ 一 ″ )あ ￨( (4.12) となる。そこで, 23
  • 27. と な るさ ら に b=.:ラ 手 :と お け ば fe̲÷ ω 2c∝ (2鵠霧 ω )γ あ =子 (場)2 を得 る.式 を整理す ると, となり ,両辺を σ √ ψ で割 ると, 霧ェ ∞ e̲÷″ 2c¨ (ξ ̲π )ゎ =写̲:(静 )2 √ ∞ θ ̲÷ω 2c∝ ω (ξ ̲2)ぁ ==.θ ̲与 (競 )2 ノ 0 ｀ ・ σ V2ι を得る。この結果を式 (4.12)に 代入すると, 包 ( ,t)=1/∞ ∞ ∫ (ξ )湯e̲:(婦 )2( ==扇 Дノ (ξ )θ :(婦 )2質 (4.13) となる.こ れが与えられた初期条件を満たす熱伝導方程式の解である。 注意 4.4本 当ならば,こ こでも得 られた解の吟味が必要となるが,省略 する。 5 ブラック・ シ ョールズの方程式の解法 以上の準備の下に,ブ ラック・ シ ョールズの偏微分方程式 rc(s,ι )=等ユ +:σ2s2盛 絆 +rs等!旦 ,(51) ′ 初期条件 θ(S(T)T)=￨:(T) KI:￨『 liII(2) を解 こ う.ま ず, 包 =10g予 十 (r一 号 )(T― ι ), T=T一 ι (5.3) 24
  • 28. と変数変換を行 う。 さらに, 0(S,t)=θ r(T t)υ (し ,7)=C― ,7υ (し ,7) とお く.こ の とき ∂ 7(il)場 (1li)Ψ (i)竪 碧 :ユ の 計 算 合成関数の微分に (1) を計算する. より, を得 る. よ り, (5.4) (5.5) ∂ 0(S,ι ) ∂ (〕 (S,ι )∂し .∂σ(S,ι)∂7 ‑―‐ 53‑― =―― 一 万 石 ― ‑55+‐一 ∂ 年 ∂ S =品(e― r7υ (げ))':十 具 (C ″ ν (し ,7))'3 Ｔ ． ∂ 一 お Ｑ 一 一 一 ﹂ Ｌ 一 あ れ 一 郎 こ る な と ― t)=0, 」 を {10g昇 +(r一 千 )(T― ι )} =畠 (10g S‑10g κ )+畠 {(r― イ )(T― め } =:(:‑0)+0=‐ : 釜 望 旦 ={￡ (C "υ (包 ,7))}:=ι rr壁 揚 二 : (11)三 鰐 の 計 算 式 (5.5)よ り, ∂ 25(s,2=島 (2号 .12)=島 (e― '7≧ :学 :) =θ ― ″ {(島 壁 .艶二 ):+≧需 二 (島 :)} 25
  • 29. となる.こ こで,合成関数の微分 と(1)内 の計算により, ∂ ∂ ν (し ,7)̲r∂ ∂ 鶴 1 ∂ ∂ 7、 ∂ ν (し ,7) 房 ‐ 瓦 ヽ 瓦 房 す 房 房 ノ 筋 ∂ 2ν (2,7)∂ 包 . ∂ 2υ (し ,7)∂τ =―― 瓦 ァ ー ー ∂ s十 ‐ ― 扉 雨 一 房 ∂ 2υ (し ,7)1 = 万7 τ であるか ら, ∂ 2σ (s,ι ) ∂ s2 を得 る. １ 一 メ 一 ↓ 一 如 一 仇 一 い 一 ﹈ 一 ＋ ′ 臥 一 そ １ 一 Ｓ ∂ 一 １ 一 Ｓ 一 ｒ ＞ 一 ↓ 一 如 一 〃 れ 一 ″ ヤ 一 ︵ ︶ υ (5.6) (面)竪発 争 ユ の 計 算 合成関数の微分により, ∂ θ(S,ι )̲∂σ(S,ι) ∂ ι ∂ 色 ∂τ の 一 乱 一 ７ 颯 一 ∂ + ∂ τ 一 ａ τ υ υ 一 ∂ 一 ″ 十 九 一 ａ ｒ ｕ ν 一 となる。 ここで, ∂ π ∂ t ∂ι ∂ れ よ り, ∂ θ(S,ι) ∂ ι %=畠(T― t)=‑1, 2竺 =i勇 {10gili+(r― ̀手 )(T一 ι )} =0+‐ (r一 イ )(‑1)=:一 r―+:手 =:(e 「 22::」 立 )(― r―十 1号 ;) 十 (一 re r7υ (し ,7)十 e rτ 24単」 立 ｀ r‑1｀ 置)一 寧 +(― 「 +i;)甲}(7) を得 る 26
  • 30. 式 (5.4)お よび (1),(五 ),(面)の 結果 (式 (5.5),(5.6),(5,7))を ブ ラ ック ・シ ョー ル ズの偏微 分方程 式 (式 (5.1))に 代入 す る と, T(C 珈 ,7))=e rr{rυ (a,7)一 号 ― ユ +(― r+誓 )2→舅デ 立 } +:σ2s2{手 (鶏纏̲色 鼎)} +rs(θ ‑77≧ 需 1立 :) となる.上式を整理す ると, c― r7(̲21欝 メ 2̲卜 1号 ;鳥纏)=0 とな り, 色 1孵 =鰐 ;⊇ (58) を得 る。一 方 で,ブ ラ ック・ シ ョー ル ズの偏微 分 方程式 の初 期 条件 (5.2) が変数 変 換 (5.3)に よつて どの よ うに変 わ るか 見 てお こ う.式 (5.4)に お い て,ι =Tと お く こ とに よ り,C(S(r),T)=υ (し ,0)と な る.一 方 , ぐ / ″ 2、 or′ 「 、 包 =log姜 +(r一 ち り (T一 ι )に お い て ,t=Tと お く と ,し =log三 景 より S(T)=κθ 。となる.よ つて,初期条件 (5.2)は ∫ l ν (し ,0)= κCυ 一κ (υ ≧0) 0 (包 <0) (=g(2)と お く) (5.9) に変わる。 変数変換 によつて得 られた,式 (5.8),(5.9)を 見てわかるように,こ れは 熱伝導方程式の初期値問題 である.よ つて,4.4節 の例 4.3が 使 える。 従って,初期条件 (5。 9)に おける熱伝導方程式 (5.8)の 解 は, ν け )=扉 雨 Д θ (ξ )e̲:(澤 )2質 (5.10) となる. ´ ̲● 1 こ こ で ,さ ら に η =≧ガと 変 数 変 換 す る と ,ξ =包 十 σ /動 よ り (=σ、 ″ と なる. 27 ■
  • 31. また,初 期条件 (5,9)は , sG) : s(" + oy'i) : Ket+σ √η ―K (η ≧ 0 (η < ∫ l 包 、 アニ リ σ Vτ し 、 ア =′ σ VT に変わる。この変数変換により ,式 (5.10)は υ (げ)=扉雨 Д J(ξ )e̲:η 2σ √ dη =揚 Д θ (ξ )e̲:η 2aη となる。ここで,θ(ξ )の 初期条件(5.11)か ら ")=芳 1 √Σ 〒 (5.11) κθ ̲:η2蒟 (5.12) 4(娩 ¨― κ )C ら η dη √ ∞ Keυ+σ √ η e― ら η P昴 ̲二 √ ∞ ノ ̲i=シ . ν2π プ ̲拳 を得 る. び =logil十 (r一 号 i)τ よ り Keυ =:S〆 7‑+で あ る こ と を 用 い る と , ̲二 =′ ∞ κ e.+σ 、 /7η θ ̲:η 2dη =̲1■ f∞ κ eteσ √ 動 θ ― :η 2dη V̀′ ￨′ 73年 V″ ′ 1′ 777 =̲̲⊥=′ ∞ ser7̲÷ eσ ttθ̲:η 2α η =ser,̲二 ̲ノ ∞ θ ― :(η ― へ ″ )2ぁ V2π ノ ̲F寺 〒 となる.こ こで,2=η 一σ √ と変数変換すると, ̲二 √ ∞ κ ̀.+σ √ η c̲:η 2蒟 =ser7 1 f∞ θ ̲4 dz v2π ノ ̲IJシ VZπ J可シー σ √ を得 る。よって,式 (5.12)よ り, υ (し ,7)=Ser7傷 4̲σ√ θ ― 毎 ̲嚇 ιε :″ 2 dz 28
  • 32. となる.こ れを式 (5.4)に 代入す ることによ り,ブ ラック・ シ ョールズの 方程式の解 C(S,t): e-'"a(u,r) ==e r7 =S プ ラ 〒 「 Isc'7τ 75〒1ノ::シ F̲σ √ θ 宅生 d2 κ:フ5〒 r00 θ ̲:Zィ タ 1 v夕l′ ̲ヵ 〜」 r∞ J― ;ラテ ー σ ヽ /〒 e 2 dz一 κt rr ′ OO J― ;シ e '4 α z 1 プ ラ 〒 (5.13) が得 られた. ここで一つ記号を用意 してお く。実数 aに 対 し, Ⅳ O=止 島e― も=傷 止θ ― 句 Z とおく。ここでノ (Z)=写 扇7θ サ は標準正規分布の確率密度関数である. ノ (z)は υ軸に関して左右対称であるので, 傷fe― 勉=傷 止メdZ=N(a) となる。この記号を用いると,ブ ラック ・ シ ョールズの方程式の解 (5.13) は,次の ように表す ことができる. C(S,ι )=SN(F↓〒 十σ √ )一 κe rrN(拳 ) (5.14) こ こ で ,色 =10gチ 十 (r― も り (T一 ι ),τ =T― ι で あ る .式 (5.14)は , ブラック・ショ ールズの公式 と呼ばれる. 29
  • 33. おわり に 本書は参考文献で挙げた数学書やネ ット 上にある解説な どを基に,筆者 が勉強 したものをま とめたノー トです.い ろいろ不十分な ところがあると 思いますが,そ の辺 はご容赦願 います. 「は じめに」でも述べたように,「 ブラック ・ ショールズ (BS)の 方程式」 とは,BSモデルか ら導出 され る偏微分方程式のことです。1973年 にブ ラック (F.Bl¨ k)と シ ョールズ (M.Scholes)に よつて発表 されたこのモデ ルは,数学的に記述 され るものです.後 に,マー トン (R.Merton)に よ り この理論 は完成 され,広 く知 られ るようにな りま した.1997年 ,シ ョー ルズとマー トンは この実績によ り,ノ ーベル経済学賞を受賞 しま した (ブ ラックは 1995年 に亡 くなっていたので受賞 されず). 筆者 は,BSの 方程式はおろか BSモ デル をは じめ とす る金融工学の こ とは全 く知 らなかったのですが,今年 (2018年)の 春に,あ る知 り合いか ら「BSモ デルに現れ る確率微分方程式や偏微分方程式 について,数学的 なことだけでいいので教えて くれ」 と頼まれました。 その後,こ の件 は立ち消えとなるのですが,勉強 していた内容を埋 もれ させてお くのは もったいないので,本書を書きま した。 ここまで読んで くださつた皆 さん,あ りが とうございま した.次回の内 容は未定です. 参考文献 ・数学書籍 [11畑 上到 「工学基礎 フー リエ解析 とその応用 (新訂版)」 「新・工学系の数学」シ リー ズ,数理工学社,2014 121石 村貞夫・石村園子 「増補版 金融・ 証券のためのブラック・ シ ョールズ微分方程式」 東京書籍,2008 131木 島正明 「金融工学」 「経済学入門」シ リーズ 。日経文庫, 日本経済新聞出版社,2002 。 2018年 12月 現在インターネ ッ ト 上で公開 されているもの [41「 ブラックシ ョールズモデル導出への道 じるべ」 嵐 tp://mtthemttiC」 ・ jp/blaCkSChOleS 30
  • 35. 書 名 :ブ ラ ック・シ ョールズの方程式の解法 ―フー リエ級数 と熱伝導方程式一 サークル名 :青 りん ごサワー 発 行 者 :す ず きたろう 連 絡 先 :green̲apple̲sourlCyah00.CO.jp 発 行 日 :2018年 12月 31日
  • 36. Other documents randomly have different content
  • 40. The Project Gutenberg eBook of Wine-Dark Seas and Tropic Skies: Reminiscences and a Romance of the South Seas
  • 41. This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. Title: Wine-Dark Seas and Tropic Skies: Reminiscences and a Romance of the South Seas Author: A. Safroni-Middleton Release date: May 17, 2019 [eBook #59530] Language: English Credits: Produced by Chris Whitehead, Linda Cantoni, Barry Abrahamsen, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by The Internet Archive) *** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK WINE-DARK SEAS AND TROPIC SKIES: REMINISCENCES AND A ROMANCE OF THE SOUTH SEAS ***
  • 42. The cover image was created by the transcriber and is placed in the public domain.
  • 44. WINE-DARK SEAS AND TROPIC SKIES
  • 46. WINE-DARK SEAS AND TROPIC SKIES REMINISCENCES AND A ROMANCE OF THE SOUTH SEAS BY A. SAFRONI-MIDDLETON ❦ NEW YORK DODD, MEAD AND COMPANY 1918
  • 47. PRINTED IN GREAT BRITAIN BY THE RIVERSIDE PRESS LIMITED EDINBURGH
  • 48. I dedicate this book to you, To your wild songs and laughter, And to the half-remembered light Here in my dreams years after; To you, the men who sailed with me Beyond each far sky-line, And my dead self—the boy I knew In days of auld lang syne.
  • 50. CONTENTS PAGE Foreword 11 Chapter I 19 Chapter II 28 Chapter III 43 Chapter IV 50 Chapter V 54 Chapter VI 59 Chapter VII 74 Chapter VIII 80 Chapter IX 83 Chapter X 93 Chapter XI 104 Chapter XII 112 Chapter XIII 128 Chapter XIV 138 Chapter XV 142 Chapter XVI 150 Chapter XVII 167 Chapter XVIII 179 Chapter XIX 196 Chapter XX 201 Chapter XXI 205
  • 51. Chapter XXII 223 Chapter XXIII 246 Chapter XXIV 258 Chapter XXV 271 Chapter XXVI 291 Epilogue 299
  • 53. LIST OF ILLUSTRATIONS LAGOON SCENE, APIA Frontispiece MOUNTAIN SCENERY, NUKA HIVA 24 NATIVE TATTOOED WITH ARMORIAL BEARINGS 80 FOREST SCENE, MARQUESAS GROUP 114 PINEAPPLE PLANTATION, FIJI 198 BANANA PLANTATION, FIJI 220 BY APIA HARBOUR 268 HALF-CASTE SAMOAN CHIEF 294
  • 55. I FOREWORD N this volume of reminiscences and impressions I have endeavoured to express some of the elements of romance that remain in my memory of wanderings in the South Seas. My characters are all taken from life, both the settlers and the natives. I have striven to give an account of native life, modes and codes, and to describe the general characteristics of certain island tribes that are now extinct. My attempt is not so much the wanderer’s usual book with its inevitable blemishes, for the reason that it is one voluminous blemish, but I’m hoping that, after a lapse of years, my mind has retained the something that’s worth the recording. Besides, I’ve smashed about so much in this grey, swashbuckling world of Grand Old Liars, knighted thieves, rogues and successful hypocrites, that the background of my life in early boyhood seems a dim fairyland, whereover I roamed at will from wonder to wonder, laden with the wealth of cheek and impudence enormous. Reaping such wonders I fail to find in pages of romance experiences that outrival those of my boyhood, which leads me to imagine that I can paint down, out of the Past, some of the sparkling atmosphere that buoyed me up in the wide travels of my youth. Wonderful and unsuspected are the unheard harmonies that guide the footsteps of romantic vagabonds. They know not that deep in the heart of their existence bubble the eternal springs of beauty, and, as they tramp on, their footsteps beat to the rhythm of the song they will not hear—until they be older! And stranger still have been my own immediate experiences. I once officiated as chief
  • 56. mourner at the burial of a romantic old trader who had suddenly died through the effects of a great spree! He had a wooden leg, a limb that he had extemporised from good, green wood. We stuck that sad heritage (it was all that he could leave us) over his grave in the forest, having made a cross of it. On visiting the spot about three months afterwards I observed that the old wooden leg had burst into leaf—had blossomed forth into pretty blue flowers! Sure am I that neither our old dead pal, in his wildest and most romantic moods, nor indeed one of us, had dreamed of the hidden potentialities of that wooden leg—how one day it would once more come to the poor body’s assistance, making his very grave in the solitude beautiful. Well, in a way, I would think that my book is like unto that wooden leg; for, as that artificial member—being green—did not snap as it helped our stumbling pal along, so has the romance in these pages helped me along on my travels, buoying me up in my weakest hours. And now I feel that, like my old pal’s wooden leg, my half-remembered romance, reviving, may blossom over the long- buried light of other days. So, should anyone notice that I sometimes write in a reflective strain when describing my experiences and those of my characters, it is because it is in that way the past is now presented to my mind. All that I wish to attempt is to throw my different characters into clear relief, and bring to the surface a hint of the undercurrents that moved them on their wandering ways. Looking back, it seems like some wild dream that I arrived in that romantic world of islands when a boy; that I once stood in the presence of tawny, majestic, tattooed potentates who loved to hear me play the violin. Yet ’tis true enough. I have lingered by the side of dethroned kings and romantic queens, taken their hands in fellowship, lending a willing ear to their griefs. For I was in at the death of that tottering, barbarian dynasty of mythological splendour —the aristocratic world of force—which has now faded into the historic pages of romantic, far-off, forgotten things.
  • 57. Not only those chiefs and chiefesses of the forests impressed my imagination, but also the white men, the settlers of those days. They were self-exiled men. Some belonged to the lost brigade, drifting to the security of those palmy isles. When I think of that wild crew, their manly ways, keen eyes and strong, sunburnt faces, their diversified types, their brave, strangely original characters, it almost seems that I went away ages ago to another world, where I explored the regions of wonderful minds. And now I stare across the years into the nebulous memories of far- off, bright constellations of friendly eyes and hopes. Such hopes! I now recall those rough men revealed to me the best and most interesting phases of the human mind roaming the plains of life, some staring at the stars with earnest wonder, and some searching for the lights of distant grog shanties! Much of my apparently strained philosophical reflections may appear like strange digressions and slightly unbalanced rhapsodies. My excuse for this is, that I am endowed with a strange mixture of misanthropy and misplaced humour. Humour is like poetry, it cannot be defined. The humour that I possess is something of an unrecognisable quality, and I have often spent sleepless nights laughing convulsively over my own jokes! Often have I sat in some South Sea grog shanty telling my most exquisite joke, only to look up to see all the rough men burst into tears! On one occasion I told what I thought to be the most pathetic incident I knew—lo! men smacked me on the back and were seized with paroxysms of ecstatic laughter! When I dwelt for a brief period in England I listened to many thousands of British jokes, but I cannot recall that I laughed more than twice. This fact alone convinces me that I am incorrigibly dull and devoid of recognised mirth. So, whoever takes up my book with the idea of gathering laughter will lay it down disappointed. I feel that it is better to make this confession at the outset.
  • 58. Well, the men who travelled the South Seas in the days when I was a boy will vouch for the truth of what I say about the strange characters who lived in those wild parts—and they were wild in those days. I guarantee that, as I proceed with my chapters, my only artificial colouring will be introduced to enable me to touch up some of my characters so that they may be presented to polite readers in polite form. When I think of those castaways from civilised lands, how I tramped across vast plains in their company, sat by their camp-fires far away in the Australian and New Zealand bush, I feel that I once met humanity in its most blessed state. Often they would sit and sing some old English, Irish or Scots song, as the whimpering ’possums leapt across the moonlit branches of our roof. Listening to their tales of better days, it seemed incredible that there really was a civilised world thousands of miles across the seas. The memories of the great cities appeared like far-off opéra bouffe, where the actors rushed across the phantom limelight in some terrified fright from their own dreams. The thought of vigilant policemen on London’s streets, the cataclysm of running wheels, crowds of huddled women and men staring in lamp-lit, serrated shop windows, pale-faced street arabs shouting “Evening News! Star and Echo!” swearing bus- men, shrieking engines, trains pulling back to the suburbs cargoes of wretched people who thought they were intensely happy—seemed something absurd, something that I dreamed before my soul fledged its wings and flew away from the homestead surrounded by the windy poplar trees—away to the steppes of another world. Yet—and strange it is—had an English thrush, in some mysterious way, commenced to sing somewhere down the wide groves of banyans and karri-karri trees, our hearts’ blood would have pulsed to the soul of England! One may ask, in this sceptical old world, why such fine fellows as my old beachcombers and shellbacks turned out such apparent rogues. I must say that I, too, have pondered on the mystery of it all. The only conclusion that I can arrive at is, that they were, very
  • 59. often, men who had been spirited, courageous, romantic-minded boys, and so had once aspired beyond the beaten track and made a bold plunge into pioneer life. All men have some besetting sin, and it is so easy to slip and fall by the wayside, to wrap one’s robe of shattered dreams about one, and tell the civilised communities to go and hang themselves. In reference to the half-caste girl and the white girl, Waylaos and Paulines exist in this grey old world by millions, and will do so as long as skies are blue and fields are green. Waylao was a half-caste Marquesan girl; and Pauline—well, she was Pauline! Neither are the leper lovers introduced for scenic effects. They, too, were terribly real. Their whitened bones still lie clasped together in the island cave in the lone Pacific. Terrible as their fate may appear, believe me, the terror, the horror of the leper dramas enacted on the desolate seas by Hawaii are only faintly touched upon in my book. Old Matafa and his wife I number amongst my dearest Samoan comrades. It was with them that I stayed during my last two sojourns in Apia. The grog shanty near Tai-o-hae has possibly vanished. Could I be convinced that it still stands beneath the plumed palms, with its little door facing the moonlit sea, the dead men, out of their graves, roaring their rollicking sea chanteys, what should I do? I would long to speed across the seas, to become some swift, silent old sea-gull. Yes, to be numbered with the dead so that I might rejoin those ghosts and find such good company again. As for Abduh Allah, the Malay Indian, I have expressed my opinion of that worthy in the book. I have no personal grudge against Mohammedanism in the South Seas, any more than I have for the Mohammedans and their white converts in the Western Seas. The islands—especially Fiji—through the immigration of men from the Indian, China, and Malay archipelagos are rapidly becoming South Sea India, the white man’s creed being converted into a kind of pot- pourri of Eastern, Southern and Western theology, doing the can- can.