ТФРВС - весна 2014 - лекция 8
Download as PPTX, PDF0 likes436 views
Документ содержит лекцию о расчете функции потенциальной живучести вычислительных систем, включая математические модели и дифференциальные уравнения для оценки исправных и занятых машин. Рассматриваются различные сценарии производительности систем, а также условия успешной работы восстановительных процессов. Результаты показывают, что высокопроизводительные системы могут поддерживать высокую надежность и живучесть, благодаря чему достигается эффективная обработка информации.
ТФРВС - весна 2014 - лекция 8
- 1. Лекция 8 Расчет функции потенциальной живучести вычислительных систем http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching/index.php?n=Site.DCSFT-spring2014 Пазников Алексей Александрович к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных систем Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
- 2. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 2 𝒩 𝑖, 𝑡 = 𝓃 𝑖, 𝑡 /𝑁 и ℳ 𝑖, 𝑡 = 𝓂(𝑖, 𝑡)/𝑚 ⇒ расчёт функций 𝒩(𝑖, 𝑡) и ℳ(𝑖, 𝑡) сводится к выявлению мат. ожиданий числа 𝓃(𝑖, 𝑡) исправных ЭМ и числа 𝓂(𝑖, 𝑡) занятых ВУ в момент времени 𝑡 ≥ 0 при условии, что в начальный момент 𝑡 = 0 было 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁 работоспособных машин. Прежде чем вывести дифференциальные уравнения для 𝓃(𝑖, 𝑡) и 𝓂(𝑖, 𝑡) , получим вспомогательные оценки. Учитывая формулы для вероятности отказов в ЭВМ, найдём вероятность того, что в ЭМ произойдёт не менее одного отказа за время ∆𝑡: 1 − 𝑟 ∆𝑡 = 𝑟1 ∆𝑡 + 𝑘=2 ∞ 𝑟𝑘 ∆𝑡 = 𝜆∆𝑡𝑒−𝜆∙∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 = = 𝜆∆𝑡 1 − 𝜆∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 = 𝜆 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡 = = 𝑟1 ∆𝑡 + 𝑜 ∆𝑡
- 3. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 3 Следовательно, в машине за время ∆𝑡 может произойти только один отказ с вероятностью 𝜆∆𝑡 ; вероятность появления за ∆𝑡 более одного отказа есть величина порядка 𝑜(∆𝑡). 𝜆 – среднее число отказов, появляющихся в машине за единицу времени, следовательно, 𝓃(𝑖, 𝑡)𝜆∆𝑡 является средним числом отказов, возникающих в системе на промежутке времени [𝑡, 𝑡 + ∆𝑡). За ∆𝑡 в машине может произойти не более одного отказа, то 𝓃(𝑖, 𝑡)𝜆∆𝑡 будет средним числом ЭМ, вышедших из строя на промежутке времени [𝑡, 𝑡 + ∆𝑡). Аналогично, 𝓂(𝑖, 𝑡)𝜇∆𝑡 – среднее число восстановленных ЭМ на промежутке времени 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 , 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁 .
- 4. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 4 Легко заметить, что мат. ожидание числа исправных ЭМ в ВС в момент (𝑡 + ∆𝑡) равно числу исправных ЭМ в момент 𝑡, уменьшенному на среднее число отказавших ЭМ и увеличенному на среднее число восстановленных ЭМ в последующие ∆𝑡 единиц времени 𝓃 𝑖, 𝑖 + ∆𝑡 = 𝓃 𝑖, 𝑡 − 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜆∆𝑡 + 𝓂 𝑖, 𝑡 𝜇∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡) Перенеся 𝓃 𝑖, 𝑡 в левую часть (22), разделив на ∆𝑡 и перейдя к пределу при ∆𝑡 → 0, получим уравнение 𝑑 𝑑𝑡 𝓃 𝑖, 𝑡 = −𝜆𝓃 𝑖, 𝑡 + 𝜇𝓂 𝑖, 𝑡 причём 𝓂 𝑖, 𝑡 = 𝑚 при 𝑁 − 𝓃 𝑖, 𝑡 > 𝑚; 𝑁 − 𝓃 𝑖, 𝑡 в противном случае. (22) (23) (24)
- 5. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 5 Найдём решение уравнения (23) при начальном условии 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁 для всех практически важных случаев. Случай 1. Восстанавливающая система имеет высокую производительность, т.е. для любого 𝑡 ≥ 0 выполняется 𝑁 − 𝓃 𝑖, 0 ≤ 𝑚, где 𝑖 ∈ 𝐸 𝑁−𝑚 𝑁 = 𝑁 − 𝑚, 𝑁 − 𝑚 + 1, … , 𝑁 . Область определения устанавливается из следующего: неравенство (25) должно выполняться и при 𝑡 = 0, а в начальный момент 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, значит (25) превращается в неравенство 𝑁 − 𝑖 ≤ 𝑚. (25)
- 6. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 6 В рассматриваемом случае уравнение (23), как легко установить из (24), (25), трансформируется к виду 𝑑 𝑑𝑡 𝓃 𝑖, 𝑡 = 𝑁𝜇 − 𝜆 + 𝜇 𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸 𝑁−𝑚 𝑁 Применив преобразование Лапласа-Карсона, вместо (26) можно записать алгебраическое уравнение 𝑝 𝓃 𝑖, 𝑝 − 𝓃 𝑖, 0 = 𝑁𝜇 − 𝜆 + 𝜇 𝓃 𝑖, 𝑝 , где 𝑝 – комплексный параметр; 𝓃 𝑖, 𝑝 - изображение функции 𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝑖 ∈ 𝐸 𝑁−𝑚 𝑁 . Из последнего уравнения следует, что 𝓃 𝑖, 𝑝 = 𝑖𝑝 + 𝑁𝜇 𝑝 + 𝜆 + 𝜇 . (26) (27)
- 7. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 7 Формула обращения преобразования Лапласа-Карсона 𝛼𝑝 + 𝛽 𝑝 + 𝑎 ∼ 𝛽 𝑎 + 𝛼𝑎 − 𝛽 𝑎 𝑒−𝑎𝑡 позволяет вместо (27) записать решение уравнения (26) 𝓃 𝑖, 𝑡 = 𝑁𝜇 𝜆 + 𝜇 + 𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇 𝜆 + 𝜇 𝑒−(𝜆+𝜇)𝑡 , 𝑖 ∈ {𝑁 − 𝑚, 𝑁 − 𝑚 + 1, … , 𝑁} В результате подстановок легко убедиться, что решение (28) удовлетворяет начальному условию и уравнению (26). Учитывая (24), получаем 𝓂 𝑖, 𝑡 = 𝑁𝜆 𝜆 + 𝜇 − 𝑖𝜆 − 𝑁 − 𝑖 𝜇 𝜆 + 𝜇 𝑒− 𝜆+𝜇 𝑡 𝑖 ∈ {𝑁 − 𝑚, 𝑁 − 𝑚 + 1, … , 𝑁} (28) (29)
- 8. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 8 В стационарном режиме математические ожидания числа работоспособных ЭМ и числа занятых ВУ не зависят от начального состояния ВС 𝑖 ∈ 𝐸 𝑁−𝑚 𝑁 и соответственно равны: 𝓃 = lim 𝑡→∞ 𝓃(𝑖, 𝑡) = 𝑁𝜇 𝜆 + 𝜇 𝓂 = lim 𝑡→∞ 𝓂(𝑖, 𝑡) = 𝑁𝜆 𝜆 + 𝜇 Введём условие, при котором (25) выполняется на всём промежутке времени [0, ∞). Очевидно, что функция (28) – монотонная. Если функция 𝓃(𝑖, 𝑡) убывающая, то выполнение (25) на всём промежутке времени обеспечивается заданием начального состояния 𝑖 ∈ 𝐸 𝑁−𝑚 𝑁 . Если же функция 𝓃(𝑖, 𝑡) возрастающая, то (25) должно выполняться и при 𝑡 → ∞. Тогда из (25) и (30) следует, что 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇 (30) (31) (32)
- 9. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 9 Таким образом, при заданных параметрах ВС 𝑁 и 𝜆 неравенство (32) является условием высокой производительности восстанавливающей системы. Для средств ВТ практически всегда выполняется неравенство 𝜆 ≪ 𝜇, поэтому вместо (32) можно записать 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇 Из (33) видно, что восстанавливающая система может быть отнесена к высокопроизводительным, если среднее число отказов, появляющихся в единицу времени, не превышает среднего числа восстановлений. Величина 𝑚𝜇 является количественной характеристикой производительности восстанавливающей системы. (33)
- 10. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 10 Условия (32) или (33), как правило, удовлетворяются, поэтому для расчёта функций потенциальной живучести ВС (3) и занятости ВУ (4) можно пользоваться формулами: 𝒩 𝑖, 𝑡 = 𝜇 𝜆 + 𝜇 + 𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇 𝑁(𝜆 + 𝜇) 𝑒− 𝜆+𝜇 𝑡 ; ℳ 𝑖, 𝑡 = 𝑁𝜆 𝑚(𝜆 + 𝜇) − 𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇 𝑚(𝜆 + 𝜇) 𝑒− 𝜆+𝜇 𝑡 а для вычисления коэффициентов потенциальной живучести ВС (13) и занятости ВУ (14) – формулами: 𝒩 = 𝜇 𝜆 + 𝜇 ; ℳ = 𝑁𝜆 𝑚 𝜆 + 𝜇 (34) (35) (36)
- 11. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 11 Случай 2. Восстанавливающая система имеет невысокую производительность, т.е. при любом 𝑡 ≥ 0 𝑁 − 𝓃 𝑖, 𝑡 > 𝑚, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁−𝑚−1 = {0,1, … , 𝑁 − 𝑚 − 1} Очевидно, что в этом случае 𝓂 𝑖, 𝑡 = 𝑚, а уравнение (23) принимает вид 𝑑 𝑑𝑡 𝓃 𝑖, 𝑡 = 𝑚𝓂 − 𝜆𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁−𝑚−1 Решением (38) является 𝓃 𝑖, 𝑡 = 𝑚𝜇 𝜆 + 𝑖𝜆 − 𝑚𝜇 𝜆 𝑒−𝜆𝑡, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁−𝑚−1 а условия малой производительности восстанавливающей системы (37) будут неравенства, обратные (32), (33) (37) (38) (39)
- 12. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 12 Функция и коэффициент потенциальной живучести ВС соответственно равны: 𝒩 𝑖, 𝑡 = 𝑚𝜇 𝑁𝜆 + 𝑖𝜆 − 𝑚𝜇 𝑁𝜆 𝑒−𝜆𝑡, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁−𝑚−1 ; 𝒩 = 𝑚𝜇 𝑁𝜆 Функция занятости восстанавливающей системы равны константе: ℳ 𝑡 = ℳ = 1 (40)
- 13. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 13 Случай 3. Восстанавливающая система имеет невысокую производительность, но 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸 𝑁−𝑚 𝑁 . В этом случае до момента времени 𝑡∗, когда впервые нарушится условие (25), будут справедливы формулы (34), (35). С момента 𝑡∗ будет справедлива формула (40), в которой следует положить 𝑖 = 𝑁 − 𝑚 − 1.
- 14. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 14 Случай 4. Восстанавливающая система имеет высокую производительность, однако 𝓃 𝑖, 0 = 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁−𝑚−1 . В этом случае будет справедлива формула (40); с момента 𝑡∗ , когда впервые нарушится условие (37), справедливыми станут уже формулы (34), (35), в которых 𝑖 = 𝑁 − 𝑚.
- 15. Расчёт функции потенциальной живучести ВС 15 Вероятность ситуации, соответствующей случаю 1, существенно выше вероятности случая 2. Случаи 3 и 4 практически маловероятны. Полученные результаты свидетельствует о диалектическом единстве ЭВМ и ВС, позволяют глубже понять физический смысл 𝒩 𝑖, 𝑡 потенциальной живучести ВС. Формулы для функции готовности ЭВМ являются частными результатами по отношению к формуле (34). (Достаточно подставить в (34) 𝑖 = 𝑁 или 𝑖 = 0) Следовательно, всё семейство кривых 𝒩 𝑖, 𝑡 (34) для 𝑖 = 0,1, … , 𝑁 заключено между 𝑠(0, 𝑡) и 𝑠(1, 𝑡), т.е. имеет место неравенство 𝑠 0, 𝑡 ≤ 𝒩 𝑖, 𝑡 ≤ 𝑠 1, 𝑡 , ∀𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁
- 16. Связь с функцией готовности ЭВМ 16 Далее, коэффициент (26) готовности является среднему времени пребывания ЭВМ в работоспособном состоянии. Коэффициент готовности ЭВМ полностью совпадает с коэффициентом (13) потенциальной живучести ВС. Значит, коэффициент потенциальной живучести ВС даёт информацию о средней доле времени функционирования каждой ЭМ с потенциально возможной производительностью. Из вышесказанного и из (2), (28)-(31), (39) следует, что мат. ожидания производительности ВС и производительности восстанавливающей системы к моменту 𝑡 равны: Ω 𝑖, 𝑡 = 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜔, 𝓂 𝑖, 𝑡 𝜇, 𝑖 ∈ 𝐸0 𝑁 а в стационарном режиме при выполнении (33) – Ω = 𝓃𝜔 = 𝑁𝜇 𝜆 + 𝜇 𝜔, 𝑁𝜆𝜇 𝜆 + 𝜇 где 𝜔 – производительность (ёмкость памяти) одной ЭМ.
- 17. Анализ 17 1. Живучие ВС являются обобщением ВС со структурной избыточностью. 2. Предложенные показатели качества функционирования живучих ВС и методы их расчёта вполне приемлемы в инженерной практике. 3. Численный анализ живучести большемасштабных ВС показывает, что они входят в стационарный режим работы за время, не превышающее 10 ч. 4. Установлено, что организация работы ВС как живучих ВС позволяет достичь живучести, близкой к готовности одной ЭМ. 5. В условиях современной элементной базы большемасштабные ВС являются производительными, высоконадёжными и живучими средствами обработки информации.
- 18. П.Пикассо«Студент,изучающийТФРВСпоучебникуВ.Г.Хорошевского» Больше – на http://vk.com/public58918349