![dlmによるLocal Level Model
Petris and Petrone (2011)より
## build functionの定義!
BuildLLM <- function(theta) {!
dlmModPoly(order = 1,!
dV = theta[1],!
dW = theta[2])!
}
このような関数を定義しておく。](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-10-320.jpg)
![dlmによる回帰モデル
## モデル定義!
model.reg <- dlmModReg(x, dW = c(1, 0))!
BuildReg <- function(theta) {!
V(model.reg) <- exp(theta[1])!
diag(W(model.reg))[1] <- exp(theta[2])!
return(model.reg)!
}](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-15-320.jpg)
![BUGSモデル
var!
N, # 観察回数!
y[N], # 観察された個体数!
y_hat[N], # 「真の個体数」の推定値!
lambda[N], # log(y_hat)!
p, # 発見確率!
tau, sigma;](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-31-320.jpg)
![BUGSモデル
model {!
## データモデル!
for (t in 1:N) {!
y[t] ~ dbin(p, y_hat[t]);!
y_hat[t] <- trunc(exp(lambda[t]));!
}!
## プロセスモデル!
for (t in 2:N) {!
lambda[t] ~ dnorm(lambda[t - 1], tau);!
}!
## 事前分布!
lambda[1] ~ dnorm(0, 1.0E-4);!
p ~ dbeta(2, 2);!
sigma ~ dunif(0, 100);!
tau <- 1 / (sigma * sigma);!
}](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-32-320.jpg)
![JAGSによる実行
inits <- list()!
inits[[1]] <- list(p = 0.9, sigma = 1,!
lambda = rep(log(max(N.obs) + 1), n.t))!
inits[[2]] <- list(p = 0.7, sigma = 3,!
lambda = rep(log(max(N.obs) + 1), n.t))!
inits[[3]] <- list(p = 0.8, sigma = 5,!
lambda = rep(log(max(N.obs) + 1), n.t))!
!
model <- jags.model("ks51.bug.txt",!
data = list(N = n.t, y = N.obs),!
inits = inits, n.chains = 3,!
n.adapt = 100000)!
samp <- coda.samples(model,!
variable.names = c("y_hat", “sigma",!
"p"),!
n.iter = 3000000, thin = 3000)!](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-33-320.jpg)
![StanによるDLM
data {!
int<lower=0> N;!
matrix[1, N] y;!
}!
transformed data {!
matrix[1, 1] F;!
matrix[1, 1] G;!
vector[1] m0;!
cov_matrix[1] C0;!
!
F[1, 1] <- 1;!
G[1, 1] <- 1;!
m0[1] <- 0;!
C0[1, 1] <- 1.0e+6;!
}
データ
dlmと同様の
データを用意](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-40-320.jpg)
![StanによるDLM
parameters {!
real<lower=0> sigma[2];!
}!
transformed parameters {!
vector[1] V;!
cov_matrix[1] W;!
!
V[1] <- sigma[1] * sigma[1];!
W[1, 1] <- sigma[2] * sigma[2];!
}!
パラメータ
dlmと同様の
パラメータを
用意](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-41-320.jpg)
![StanによるDLM
> print(fit)!
Inference for Stan model: kalman.!
3 chains, each with iter=1500; warmup=500; thin=1; !
post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=3000.!
!
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat!
sigma[1] 121.2 0.5 13.8 92.6 112.7 121.5 130.3 148.4 889 1!
sigma[2] 45.5 0.6 17.6 18.3 32.7 43.2 55.7 85.2 833 1!
lp__ -541.6 0.0 1.1 -544.6 -542.0 -541.3 -540.9 -540.6 904 1!
!
Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sun Feb 9 06:06:42 2014.!
For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,!
and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at !
convergence, Rhat=1).!](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-45-320.jpg)
![StanによるDLM
sigma <- apply(extract(fit, "sigma")$sigma, 2, mean)!
!
library(dlm)!
!
buildNile <- function(theta) {!
dlmModPoly(order = 1, dV = theta[1], dW = theta[2])!
}!
modNile <- buildNile(sigma^2)!
smoothNile <- dlmSmooth(Nile, modNile)
ベイズ推定されたパラメータをdlmで使用](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-46-320.jpg)
![Stanによる状態空間モデルの解析
data {!
int<lower=0> N;!
real y[N];!
}!
parameters {!
real theta[N];!
real<lower=0> sigma[2];!
}!](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-49-320.jpg)
![Stanによる状態空間モデルの解析
model {!
// データモデル!
for (t in 1:N) {!
y[t] ~ normal(theta[t], sigma[1]);!
}!
!
// プロセスモデル!
for (t in 2:N) {!
theta[t] ~ normal(theta[t - 1], sigma[2]);!
}!
!
// 事前分布!
theta[1] ~ normal(0, 1.0e+4);!
sigma ~ uniform(0, 1.0e+6);!
}](https://image.slidesharecdn.com/2014esj-140318154914-phpapp02/85/-50-320.jpg)
状態空間モデルの実行方法と実行環境の比較
- 2. 本日とりあつかうソフトウェア • Rパッケージ • dlm • KFAS • MCMC • BUGS言語 • Stan
- 4. Statistical Software for State Space Models Commandeur et al. (2011) Journal of Statistical Software 41(1)
- 5. State Space Models in R Petris & Petrone (2011) Journal of Statistical Software 41(4)
- 6. dlm
- 7. dlm • Dynamic Linear Model （動的線形モデル） • 線形+正規分布 • カルマンフィルタ • パラメータ推定 • 最尤推定／ベイズ推定
- 8. dlmの記法 ✓0 ⇠ N(m0, C0) ✓t = Gt✓t 1 + wt, wt ⇠ N(0, Wt) t = 1, ... , n データモデル プロセスモデル yt = Ft✓t + vt, vt ⇠ N(0, Vt)
- 10. dlmによるLocal Level Model Petris and Petrone (2011)より ## build functionの定義! BuildLLM <- function(theta) {! dlmModPoly(order = 1,! dV = theta[1],! dW = theta[2])! } このような関数を定義しておく。
- 11. dlmによるLocal Level Model ## パラメーターの最尤推定! fit.llm <- dlmMLE(Nile, parm = c(100, 2),! build = BuildLLM,! lower = rep(1e-4, 2))! ! ## 推定したパラメーターをbuild functionで使用! model.llm <- BuildLLM(fit.llm$par)! ! ## 平滑化! smooth.llm <- dlmSmooth(Nile, model.llm)
- 12. 平滑化 dlmSmooth()
- 14. dlmによる回帰モデル # アスワンダム着工の前後を変数に! x <- matrix(c(rep(0, 27),! rep(1, length(Nile) - 27)),! ncol = 1)
- 15. dlmによる回帰モデル ## モデル定義! model.reg <- dlmModReg(x, dW = c(1, 0))! BuildReg <- function(theta) {! V(model.reg) <- exp(theta[1])! diag(W(model.reg))[1] <- exp(theta[2])! return(model.reg)! }
- 16. dlmによる回帰モデル ## 最尤推定! fit.reg <- dlmMLE(Nile,! parm = rep(0, 2),! build = BuildReg)! model.reg <- BuildReg(fit.reg$par)! smooth.reg <- dlmSmooth(Nile,! mod = model.reg)
- 18. dlmの文献 • Petris G, Petrone S, Campagnoli (2009) Dynamic Linear Models with R Springer • 和合肇（監訳）・萩原淳一郎（訳）(2013)「R によるベイジアン動的線形モデル」朝倉書店 • Petris G (2010) An R package for dynamic linear models. Journal of Statistical Software 36(12)
- 19. KFAS
- 20. KFAS • Kalman Filter and Smoother for Exponential Family State Space Models • 正規分布以外の分布（ポアソン分布など）を扱 える • 最尤推定
- 21. KFASの記法 t = 1, ..., n ↵1 ⇠ N(a1, P1) プロセスモデル データモデル yt = Zt↵t + ✏t, ✏t ⇠ N(0, Ht) ↵t+1 = Tt↵t + Rt⌘t, ⌘t ⇠ N(0, Qt)
- 23. KFASによるポアソン分布の状態空間モデル help(KFAS)より model.van <- SSModel(VanKilled ~ law +! SSMtrend(degree = 1,! Q = list(matrix(NA))) +! SSMseasonal(period = 12,! sea.type = “dummy",! Q = matrix(NA)),! data = Seatbelts,! distribution = "poisson")
- 24. KFASによるポアソン分布の 状態空間モデル fit.van <- fitSSM(inits = c(-4, -7, 2),! model = model.van,! method = “BFGS")! ! pred.van <- predict(fit.van$model,! states = 1:2) lawとSSMtrend()のみをつかう
- 27. BUGS • MCMCによるベイズ推定 • 柔軟なモデリング • Rパッケージでは対応できないモデル
- 28. 例題 • ある生物の個体数を推定する。 • 一定の発見確率にしたがって発見される。 Kéry & Schaub (2011) Bayesian Population Analysis using WinBUGS: A hierarchical perspective Chapter 5を参考にした。
- 29. データ生成 set.seed(1234)! n.t <- 50 # 観察回数! N.lat <- rep(50, n.t) # 真の個体数! p <- 0.7 # 発見確率! N.obs <- rbinom(n.t, N.lat, p) # 観察個体数!
- 31. BUGSモデル var! N, # 観察回数! y[N], # 観察された個体数! y_hat[N], # 「真の個体数」の推定値! lambda[N], # log(y_hat)! p, # 発見確率! tau, sigma;
- 32. BUGSモデル model {! ## データモデル! for (t in 1:N) {! y[t] ~ dbin(p, y_hat[t]);! y_hat[t] <- trunc(exp(lambda[t]));! }! ## プロセスモデル! for (t in 2:N) {! lambda[t] ~ dnorm(lambda[t - 1], tau);! }! ## 事前分布! lambda[1] ~ dnorm(0, 1.0E-4);! p ~ dbeta(2, 2);! sigma ~ dunif(0, 100);! tau <- 1 / (sigma * sigma);! }
- 33. JAGSによる実行 inits <- list()! inits[[1]] <- list(p = 0.9, sigma = 1,! lambda = rep(log(max(N.obs) + 1), n.t))! inits[[2]] <- list(p = 0.7, sigma = 3,! lambda = rep(log(max(N.obs) + 1), n.t))! inits[[3]] <- list(p = 0.8, sigma = 5,! lambda = rep(log(max(N.obs) + 1), n.t))! ! model <- jags.model("ks51.bug.txt",! data = list(N = n.t, y = N.obs),! inits = inits, n.chains = 3,! n.adapt = 100000)! samp <- coda.samples(model,! variable.names = c("y_hat", “sigma",! "p"),! n.iter = 3000000, thin = 3000)!
- 35. Stan
- 37. Stan • MCMCによるベイズ推定 • Hamiltonian Monte Carlo (HMC) • No U-Turn Sampling (NUTS) • Stan → C++ → ネイティブバイナリ
- 38. Stan • CmdStan • コマンドラインから • RStan • Rから • PyStan • Pythonから
- 40. StanによるDLM data {! int<lower=0> N;! matrix[1, N] y;! }! transformed data {! matrix[1, 1] F;! matrix[1, 1] G;! vector[1] m0;! cov_matrix[1] C0;! ! F[1, 1] <- 1;! G[1, 1] <- 1;! m0[1] <- 0;! C0[1, 1] <- 1.0e+6;! } データ dlmと同様の データを用意
- 41. StanによるDLM parameters {! real<lower=0> sigma[2];! }! transformed parameters {! vector[1] V;! cov_matrix[1] W;! ! V[1] <- sigma[1] * sigma[1];! W[1, 1] <- sigma[2] * sigma[2];! }! パラメータ dlmと同様の パラメータを 用意
- 42. StanによるDLM model {! y ~ gaussian_dlm_obs(F, G, V, W, m0, C0);! sigma ~ uniform(0, 1.0e+6);! } モデル
- 43. StanによるDLM library(rstan)! ! model <- stan("kalman.stan",! data = list(y = matrix(c(Nile),! nrow = 1),! N = length(Nile)),! pars = c("sigma"),! chains = 3,! iter = 1500, warmup = 500,! thin = 1)
- 44. MCMCの軌跡 traceplot(fit, pars = "sigma", inc_warmup = FALSE)
- 45. StanによるDLM > print(fit)! Inference for Stan model: kalman.! 3 chains, each with iter=1500; warmup=500; thin=1; ! post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=3000.! ! mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat! sigma[1] 121.2 0.5 13.8 92.6 112.7 121.5 130.3 148.4 889 1! sigma[2] 45.5 0.6 17.6 18.3 32.7 43.2 55.7 85.2 833 1! lp__ -541.6 0.0 1.1 -544.6 -542.0 -541.3 -540.9 -540.6 904 1! ! Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Sun Feb 9 06:06:42 2014.! For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,! and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at ! convergence, Rhat=1).!
- 46. StanによるDLM sigma <- apply(extract(fit, "sigma")$sigma, 2, mean)! ! library(dlm)! ! buildNile <- function(theta) {! dlmModPoly(order = 1, dV = theta[1], dW = theta[2])! }! modNile <- buildNile(sigma^2)! smoothNile <- dlmSmooth(Nile, modNile) ベイズ推定されたパラメータをdlmで使用
- 49. Stanによる状態空間モデルの解析 data {! int<lower=0> N;! real y[N];! }! parameters {! real theta[N];! real<lower=0> sigma[2];! }!
- 50. Stanによる状態空間モデルの解析 model {! // データモデル! for (t in 1:N) {! y[t] ~ normal(theta[t], sigma[1]);! }! ! // プロセスモデル! for (t in 2:N) {! theta[t] ~ normal(theta[t - 1], sigma[2]);! }! ! // 事前分布! theta[1] ~ normal(0, 1.0e+4);! sigma ~ uniform(0, 1.0e+6);! }
- 51. まとめ 状態空間モデルをあつかえるソフトウェア • Rパッケージ: dlm, KFAS • 関数に与える引数の意味を理解する。 • ベイズ推定: BUGS, Stan • 柔軟なモデリングが可能。 • 計算時間はかかる。 • 上記以外のソフトウェアもある。