218320994-Perubahan-Basis.ppt

Perubahan Basis
suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa
basis
Dari sifat inilah tentunya jika terdapat
sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor
V yang memiliki himpunan vektor A dan B
sebagai basisnya maka x tentunya merupakan
kombinasi linier dari vektor – vektor di A dan B.
Kajian yang dilakukan sekarang ini adalah
melihat hubungan antar kombinasi linier
tersebut

Jika B dan B’ adalah basis untuk ruang
vektor V dan v1 dalam V, maka akan dicari
hubungan [ v ]B dengan ( v )B’
Misalkan B = { u1 , u2} adalah basis ruang
vektor yang berdimensi 2
(u1)B’ = , (u2)B’ = , ( v ) B =
a
b
 
 
 
c
d
 
 
 
1
2
k
k
 
 
 

Diubah kedalam persamaan
• u1= a u1’ + b u2’
• u2 = c u1’ + d u2’
• v1 = k1 u1 + k2 u2
• Disubstitusikan nilai u1 dan u2 pada persamaan v1
= k1 u1 + k2 u2 sehingga didapat :
v1 = k1(a u1’ + b u2’) + k2 (c u1’ + d u2’)
= (k1a + k2c) u1’ + (k1b + k2d) u2’

( v )B’ =
= [ v ] B
( v )B’ = P [V]B
P =
1 1
2 2
k a k b
k c k d

 
 

 
1
2
k
k
 
 
 
a b
c d
 
 
 
a b
c d
 
 
 

P = adalah matriks yang kolom2nya
diambil dari vektor koordinat u1 dan u2 terhadap basisB’.
Umumnya jika B = {u1, u2,…, un} dan B’= {u’1, u’2, …, u’n}
Adalah basis untuk ruang vektor V yang berdimensi –n dan v
dalam V maka hubungan antara [ v ]B dengan [ v ]B’ adalah
[ v ]B’= P[ v ]B
Dimana P =[[ u1]B’, [ u2]B’,…, [ un]B’] adalah matriks
yang kolom-kolomnya diambil dari matriks koordinat
dari u1, u2,…, un terhadap basis B’. Matriks P disebut
matriks transisi dari B ke B.
a b
c d
 
 
 

Contoh 1 :
B = { u1, u2} dan B’ = { u1 , u2} adalah basis untuk R2 u1=(1, 0); u2=(0,1);
u1=(1, 1); u2=(2,1)
a. Carilah matriks transisi dari B ke B’
b. Tentukan [ v ]B’ ; jika [ v ]B =
Penyelesaian
U1 = c1 u‘1 + c2 u‘2
= c1 + c2
c1 + 2c2 = 1
c1 + c2 = 0
sehingga c1= -1 dan c2 = 1
u2 = k1u1’ + k2u2’
k1 + 2k2 = 0
k1 + k2 = 1
k1 = 2 dan k2 = -1
P = jadi P =
P merupakan matriks transisi dari B ke B’
7
2
 
 
 
1 1
2 2
c k
c k
 
 
 
1 2
1 1

 
 

 

[ v ]B’= P [ v ]B karena [ v ]B = (7,2) maka
v = 7 u1 + 2 u2
v = 7 + 2
[ v ]B =
Jadi [ v ]B’ =
=
1
0
 
 
 
0
1
 
 
 
7
2
 
 
 
1 2
1 1

 
 

 
7
2
 
 
 
3
5

 
 
 

cos
sin


 
 

 
sin
cos


 
 
 
cos sin
sin cos
 
 
 
 

 

Matriks koordinat v =(x, y) terhadap B adalah :
( v )B =
x
y
 
 
 
Dan matriks koordinat v =(x’, y’) terhadap B’ adalah :
(v )B’ =
'
'
x
y
 
 
 
Jadi hubungan antara ( v )B dengan (v )B’ aadalah :
(v )B = P( v )B’
=
'
'
x
y
 
 
 
cos sin
sin cos
 
 
 
 

 
x
y
 
 
 

Teorema 1 :
Jika P adalah matriks transisi dari B ke B’ maka :
P mempunyai invers
P-1 adalah matriks transisi dari B’ ke B.
Bukti :
Misalkan Q matriks transisi dari B’ ke B, B = { u1, u2,…, un} dan
QP =
Untuk setiap vektor x dalam V selalu berlaku :
(x)B’ = P (x)B
(x)B = P (x)B’
Sehingga : (x)B = QP (x)B
(u1)B =
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
c c c
c c c
c c c
 
 
 
 
 
1
0
...
0
 
 
 
 
 
 

Sehingga :
=
=
Jika x = u2, u3,…., un maka dengan cara yang sama akan didapat :
= , …., =
Sehingga c11= 1,c22, …, cnn= 1
Jadi QP = 1 atau Q = P-1
1
0
...
0
 
 
 
 
 
 
11 12 1
2
21 22
1 2
...
...
.... ..... .....
....
n
n
n n mn
c c c
c
c c
c c c
 
 
 
 
 
 
1
0
...
0
 
 
 
 
 
 
11
21
1
....
n
c
c
c
 
 
 
 
 
 
1
0
...
0
 
 
 
 
 
 
11
21
1
....
n
c
c
c
 
 
 
 
 
 
0
0
...
1
 
 
 
 
 
 
11
21
....
mn
c
c
c
 
 
 
 
 
 

Teorema 2 :
Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis
orthogonal ke basis orthonormal yang lain
untuk sebuah ruang inner product maka P-1= Pt.

Contoh 3:
Misalkan B = {u1, u2} adalah basis orthonormal untuk ruang product yang
berdimensi dua.
u1 = au’1 + bu’2
u1 = cu’1 + du’2
(u1, u2) = a2 (u’1 , u’2) + 2ab (u’1 , u’2) + b2(u’1 , u’2)
= a2 + b2
= 1
(u2, u2) = c2 (u’1 , u’2) + 2cd (u’1 , u’2) + d2(u’1 , u’2)
= c2 + d2
= 1
(u1, u2) = ac(u’1 ,u’1) + ad(u’1 ,u’2) + bc(u’2 ,u’2) + bd(u’2 , u’2)
= ac + bd
= 1
Karena P = maka Pt =
Pt . P =
=
Pt . P = 1 Sehingga Pt = P-1
a c
b d
 
 
 
a b
c d
 
 
 
a c
b d
 
 
 
a b
c d
 
 
 
1 0
0 1
 
 
 

Definisi 2 :
Sebuah matriks bujursangkar A yang bersifat A-1 = At disebut matriks
orthogonal.
Teorema 3 :
Yang berikut ekivalen satu sama lain :
a. A orthogonal
b. Vektor-vektor dari baris A membentuk sebuah himpunan orthogonal di dalam
Rn dengan Euclidean Inner Product.
c. Vektor-vektor kolom dari A membentuk sebuah himpunan orthonormal di
dalam Rn dengan Euclidean Inner Product.

218320994-Perubahan-Basis.ppt

More Related Content

Similar to 218320994-Perubahan-Basis.ppt (20)

218320994-Perubahan-Basis.ppt