4-Optimization.pdf

Bài toán tối ưu
Ngô Xuân Bách
Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Khoa Công nghệ thông tin 1
Toán rời rạc 1

Nội dung
http://www.ptit.edu.vn
2
 Giới thiệu bài toán
 Thuật toán duyệt toàn bộ
 Thuật toán nhánh cận
 Bài tập

Giới thiệu bài toán tối ưu
3
 Bài toán đếm: Đếm tất cả các cấu hình tổ hợp thỏa
mãn các ràng buộc của bài toán. Phương pháp giải mong
muốn là xây dựng được một công thức tính nghiệm của
bài toán.
 Bài toán liệt kê: Xem xét tất cả các cấu hình tổ hợp
thỏa mãn các ràng buộc của bài toán. Phương pháp giải
thường đưa về một thuật toán vét cạn (thuật toán sinh,
thuật toán quay lui,…).
 Bài toán tối ưu: Trong số cấu hình tổ hợp thỏa mãn
yêu cầu của bài toán, hãy lựa chọn nghiệm có giá trị sử
dụng tốt nhất (tối ưu hàm mục tiêu).

Phát biểu bài toán tối ưu
4
 Tìm cực đại (hoặc cực tiểu) của 𝑓(𝑥) → 𝑀𝑎𝑥(𝑀𝑖𝑛) với
điều kiện 𝑥 ∈ 𝐷, trong đó 𝐷 là tập hợp hữu hạn
o Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là hàm mục tiêu của bài toán
o Mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝐷 được gọi là một phương án, 𝐷 là tập phương
án của bài toán
o Phương án 𝑥∗ ∈ 𝐷 làm cho hàm mục tiêu có giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất) được gọi là phương án tối ưu của bài toán
o 𝑓∗
= 𝑓(𝑥∗
) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán

Ví dụ 1 (1/4)
5
 Bài toán cái túi: Một nhà thám hiểm cần đem theo một
cái túi trọng lượng không quá 𝐵. Có 𝑁 đồ vật cần đem
theo. Đồ vật thứ 𝑖 có trọng lượng 𝑎𝑖, có giá trị sử dụng
𝑐𝑖 (𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁; 𝑎𝑖, 𝑐𝑖 ∈ 𝑍
+
). Hãy tìm cách đưa đồ vật
vào túi cho nhà thám hiểm sao cho tổng giá trị sử dụng
các đồ vật trong túi là lớn nhất.

Ví dụ 1 (2/4)
6
 Tập phương án của bài toán: Mỗi phương án của bài
toán là một xâu nhị phân có độ dài 𝑁. Trong đó, 𝑥𝑖 = 1
tương ứng với đồ vật 𝑖 được đưa vào túi, 𝑥𝑖 = 0 tương
ứng với đồ vật 𝑖 không được đưa vào túi. Tập các xâu
nhị phân 𝑋 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑁) còn phải thỏa mãn điều kiện
tổng trọng lượng không vượt quá 𝐵. Nói cách khác, tập
phương án 𝐷 của bài toán được xác định như công thức
dưới đây.
( )






=

=
=
= 
=
N
i
i
i
i
N x
B
x
a
X
g
x
x
x
X
D
1
2
1 1
,
0
;
)
(
:
,..,
,

Ví dụ 1 (3/4)
7
 Hàm mục tiêu của bài toán: Ứng với mỗi phương án
𝑋 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑁) ∈ 𝐷, ta cần tìm phương án
𝑋∗ = (𝑥1
∗
, . . . , 𝑥𝑁
∗
) sao cho tổng giá trị sử dụng các đồ vật
trong túi là lớn nhất. Tổng giá trị sử dụng các đồ vật được
xác định theo công thức sau:
( ) max
1
→
= 
=
N
i
i
i x
c
X
f

Ví dụ 1 (4/4)
8
 Bài toán có thể phát biểu lại như sau: Trong số các xâu nhị phân 𝑋 =
(𝑥1, . . . , 𝑥𝑁) thỏa mãn điều kiện 𝑔(𝑋) ≤ 𝐵, hãy tìm vector 𝑋∗ để hàm 𝑓(𝑋) có
giá trị lớn nhất.
 Đầu vào (Input):
o Số lượng đồ vật: 𝑁
o Vector trọng lượng: 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑁)
o Vector giá trị sử dụng: 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑁)
 Đầu ra (Output):
o Phương án tối ưu của bài toán: 𝑋∗ = (𝑥1
∗
, . . . , 𝑥𝑁
∗
) ∈ 𝐷 để f(𝑋∗) lớn nhất
o Giá trị tối ưu của bài toán: f(𝑋∗
)
( ) ( )






=

=
=
= 
=
N
i
i
i
i
N x
B
x
a
X
g
x
x
x
X
D
1
2
1 1
,
0
;
:
,..,
,
( ) max
1
→
= 
=
N
i
i
i x
c
X
f với 𝑋 ∈ 𝐷

Ví dụ 2 (1/4)
9
 Bài toán người du lịch: Một người du lịch muốn đi
tham quan 𝑁 thành phố 𝑇1, 𝑇2, . . . , 𝑇𝑁. Xuất phát tại một
thành phố nào đó, người du lịch muốn qua tất cả các
thành phố còn lại mỗi thành phố đúng một lần rồi trở lại
thành phố ban đầu. Biết 𝑐𝑖𝑗 là chi phí đi lại từ thành phố
𝑇𝑖 đến thành phố 𝑇𝑗. Hãy tìm một hành trình cho người
đi du lịch có tổng chi phí là nhỏ nhất.

Ví dụ 2 (2/4)
10
 Tập phương án của bài toán: Không hạn chế tính
tổng quát của bài toán, ta cố định xuất phát là thành phố
𝑇1 = 1 . Khi đó, mỗi hành trình của người du lịch
𝑇1→𝑇2→. . . →𝑇𝑁 →𝑇1 được xem như một hoán vị của
1,2, … , 𝑁 là 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑁), trong đó 𝑥1 = 1. Như vậy,
tập phương án 𝐷 của bài toán là tập các hoán vị 𝑋 =
(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑁) với 𝑥1 = 1.
( ) ( )
 
N
j
i
x
x
j
i
x
x
x
x
X
D j
i
N ,...,
2
,
1
,
;
:
1
|
,...,
, 1
2
1 =




=
=
=

Ví dụ 2 (3/4)
11
𝑋 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑁) ∈ 𝐷, chi phí đi lại từ thành phố thứ 𝑖 đến
thành phố 𝑖 + 1 là 𝐶[𝑋[𝑖]][𝑋 𝑖 + 1 ] (𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁 − 1).
Sau đó ta quay lại thành phố ban đầu với chi phí là
𝐶 𝑋 𝑁 𝑋 1 . Như vậy, tổng chi phí của toàn bộ hành
trình được xác định theo công thức:
( ) min
1
1
1
1
→
+
= 
−
=
+ x
x
N
i
x
x N
i
i
c
c
X
f

Ví dụ 2 (4/4)
12
 Bài toán có thể mô tả lại như sau
o Số lượng thành phố: 𝑁
o Ma trận chi phí cấp 𝑁:{𝑐𝑖𝑗}
o Phương án tối ưu của bài toán: 𝑋∗ = (𝑥1
∗
, . . . , 𝑥𝑁
∗
) ∈ 𝐷 để f(𝑋∗) nhỏ
nhất
o Giá trị tối ưu của bài toán: f(𝑋∗)
( ) ( )
 
N
j
i
x
x
j
i
x
x
x
x
X
D j
i
N ,...,
2
,
1
,
;
:
1
|
,...,
, 1
2
1 =




=
=
=
( ) min
1
1
1
1
→
+
= 
−
=
+ x
x
N
i
x
x N
i
i
c
c
X

Ví dụ 3 (1/3)
13
 Bài toán cho thuê máy: Một ông chủ có một chiếc máy
cho thuê. Đầu tháng ông nhận được yêu cầu của 𝑀
khách hàng thuê máy cho 𝑁 ngày kế tiếp. Mỗi khách
hàng 𝑖 cho biết tập 𝑁𝑖 ngày họ cần thuê máy. Ông chủ có
quyền hoặc từ chối yêu cầu của khách hàng, hoặc nếu
chấp nhận yêu cầu của khách ông phải bố trí máy theo
đúng những ngày mà khách yêu cầu. Hãy tìm phương án
thuê máy giúp ông chủ sao cho tổng số ngày thuê máy là
nhiều nhất.

Ví dụ 3 (2/3)
14
 Tập phương án của bài toán: Gọi 𝐼 = { 1, 2, . . . , 𝑀} là
tập chỉ số khách hàng, 𝑆 là tập của tất các tập con của 𝐼.
Khi đó, tập các phương án cho thuê máy là:
 Xây dựng hàm mục tiêu: Ứng với mỗi phương án 𝐽 ∈
𝐷, tổng số ngày cho thuê máy là:
 
J
p
k
N
N
S
J
D p
k 

=

= ,
,
| 

( ) max
|
| →
= 
J
j
j
N
J
f

Ví dụ 3 (3/3)
15
 Bài toán có thể mô tả lại như sau
o Số lượng khách hàng: 𝑀
o Số ngày thuê máy: 𝑁
o Ma trận [0,1] mô tả số ngày thuê máy mỗi khách: 𝐴[𝑀][𝑁]
o Phương án tối ưu của bài toán: 𝐽∗ ∈ 𝑆
o Giá trị tối ưu: 𝑓(𝐽∗
)
 Trong đó:
 
J
p
k
N
N
S
J
D p
k 

=

= ,
,
: 

( ) max
|
| →
= 
J
j
j
N
J

Ví dụ 4 (1/3)
16
 Bài toán phân công công việc: Một hệ gồm có 𝑁 quá
trình thực hiện 𝑁 việc song hành. Biết mỗi quá trình đều
có thể thực hiện được 𝑁 việc kể trên nhưng với chi phí
thời gian khác nhau. Biết 𝑐𝑖𝑗 là thời gian quá trình 𝑖 thực
hiện việc 𝑗. Hãy tìm phương án giao việc cho mỗi quá
trình sao cho tổng thời gian thực hiện 𝑁 việc kể trên là ít
nhất.

Ví dụ 4 (2/3)
17
 Tập phương án của bài toán: Gọi 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑁) là
một hoán vị của 1, 2, . . . , 𝑁. Nếu 𝑥𝑖 = 𝑗 thì ta xem quá
trình thứ 𝑖 được thực hiện việc 𝑗. Như vậy, tập phương
án của bài toán chính là tập các hoán vị của 1, 2, . . . , 𝑁.
𝑋 ∈ 𝐷, thời gian thực hiện của mỗi phương án là:
( )
 
N
j
i
x
x
j
i
x
x
x
X
D j
i
N ,...,
2
,
1
,
,
|
:
,...,
,
( 2
1 =



=
=
( ) 
=
→
=
N
i
i
x
i
c
X
f
1
min
]]
[
,
[

Ví dụ 4 (3/3)
18
 Bài toán có thể mô tả lại như sau:
o Số lượng quá trình: 𝑁
o Ma trận chi phí thời gian: 𝐶[𝑁][𝑁]
o Phương án tối ưu của bài toán: 𝑋∗
∈ 𝐷
o Giá trị tối ưu: 𝑓(𝑋∗)
 Trong đó:
( ) 
=
→
=
N
i
i
x
i
c
X
f
1
min
]]
[
,
[
( )
 
N
j
i
x
x
j
i
x
x
x
X
D j
i
N ,...,
2
,
1
,
,
|
:
)
,...,
,
( 2
1 =



=
=
với 𝑋 ∈ 𝐷

Nội dung
19
 Bài tập

Thuật toán duyệt toàn bộ
20
 Giả sử 𝐷 là tập phương án. Ta cần tìm 𝑋∗ ∈ 𝐷 sao cho
𝑓(𝑋∗
)→max(min). Phương pháp duyệt toàn bộ được tiến
hành như sau:
Bước 1 (Khởi tạo):
𝑋𝑂𝑃𝑇 = ∅; //Phương án tối ưu
𝐹𝑂𝑃𝑇 = −  (+ );//Giá trị tối ưu
Bước 2( Lặp):
for (𝑋 ∈ 𝐷){ //lấy mỗi phần tử trên tập phương án
𝑆 = 𝑓(𝑋);// tính giá trị hàm mục tiêu cho phương án X
if ( 𝐹𝑂𝑃𝑇 < 𝑆 ) { //Cập nhật phương án tối ưu
𝐹𝑂𝑃𝑇 = 𝑆; //Giá trị tối ưu mới được xác lập
𝑋𝑂𝑃𝑇 = 𝑋;// Phương án tối ưu mới
}
}
Bước 3 (Trả lại kết quả):
Return(𝑋𝑂𝑃𝑇, 𝐹𝑂𝑃𝑇);

Đặc điểm thuật toán duyệt toàn bộ
21
 Ưu điểm:
o Đơn giản dễ cài đặt
o Có thể thực hiện trên mọi bài toán tối ưu
 Nhược điểm:
o Chi phí tính toán lớn

Bài tập
22
 Viết chương trình giải các bài toán dưới đây trên máy
tính sử dụng thuật toán duyệt toàn bộ:
1) Bài toán cái túi
2) Bài toán người du lịch
3) Bài toán cho thuê máy
4) Bài toán phân công công công việc

Nội dung
23
 Bài tập

Thuật toán nhánh cận
24
 Bài toán tối ưu tổ hợp được phát biểu lại dưới dạng sau:
Tìm min{𝑓(𝑋) ∶ 𝑋 ∈ 𝐷 }
 Trong đó, 𝐷 là tập hữu hạn các phần tử. Tập 𝐷 có thể được mô tả như sau:
𝐷 = {𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ∈ 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛: 𝑋 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑃 }
 Xây dựng hàm xác định cận dưới của hàm mục tiêu:
 Thuật toán nhánh cận có thể giải được bài toán đặt ra nếu ta tìm được một
hàm 𝑔 xác định trên tất cả phương án bộ phận của bài toán thỏa mãn bất
đẳng thức 𝑔(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘) ≤ min{𝑓(𝑋): 𝑋 ∈ 𝐷, 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘}
 Nói cách khác, giá trị của hàm 𝑔 tại phương án bộ phận
cấp 𝑘 (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) không vượt quá giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu trên
tập con các phương án
𝐷(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) = {𝑋 ∈ 𝐷: 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘}
 Giá trị của hàm 𝑔(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) là cận dưới của hàm mục tiêu trên tập
𝐷(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘). Hàm 𝑔 được gọi là hàm cận dưới, 𝑔(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) gọi là cận
dưới của tập 𝐷(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘).

Hạn chế các phương án duyệt
25
 Giả sử ta đã có hàm 𝑔. Để giảm bớt khối lượng duyệt trên tập
phương án trong quá trình liệt kê bằng thuật toán quay lui ta xác
định được 𝑋∗
là phương án làm cho hàm mục tiêu có giá trị nhỏ nhất
trong số các phương án tìm được 𝑓∗ = 𝑓(𝑋∗). Ta gọi 𝑋∗ là phương
án tốt nhất hiện có, 𝑓∗
là kỷ lục hiện tại.
Nếu
𝑓∗ < 𝑔(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘)
thì
𝑓∗ < 𝑔(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) ≤ min{𝑓(𝑋): 𝑋 ∈ 𝐷, 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘}
 Điều này có nghĩa tập 𝐷(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) chắc chắn không chứa phương
án tối ưu. Trong trường hợp này ta không cần phải triển khai
phương án bộ phận (𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘). Tập 𝐷(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘) cũng bị loại
bỏ khỏi quá trình duyệt. Nhờ đó, số các tập cần duyệt nhỏ đi trong
quá trình tìm kiếm.

Thuật toán nhánh cận (giả mã)
26
Thuật toán Branch_And_Bound (𝑘) {
for (𝑎𝑘 ∈ 𝐴𝑘){
if(<chấp nhận 𝑎𝑘>){
𝑥𝑘 = 𝑎𝑘;
if ( 𝑘 == 𝑛 )
<Cập nhật kỷ lục>;
else if ( 𝑔 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘 < 𝑓∗)
Branch_And_Bound (𝑘 + 1) ;
}
}
}

Xây dựng hàm 𝑔
27
 Việc xây dựng hàm 𝑔 phụ thuộc vào từng bài toán tối ưu
tổ hợp cụ thể. Ta cố gắng xây dựng 𝑔 sao cho:
o Việc tính giá trị của g phải đơn giản hơn việc giải bài toán tối ưu
tổ hợp
min 𝑓 𝑋 : 𝑋 ∈ 𝐷, 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘
o Giá trị của 𝑔(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑘) phải sát với giá trị
min 𝑓 𝑋 : 𝑋 ∈ 𝐷, 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘
Hai yêu cầu này thường đối lập nhau
và khó thỏa mãn đồng thời trong thực tế

Giải bài toán cái túi bằng
thuật toán nhánh cận (1/4)
28
 Một dạng khác của bài toán cái túi: Giả sử có 𝑛 loại
đồ vật và số lượng đồ vật mỗi loại không hạn chế. Đồ vật
loại 𝑗 có trọng lượng 𝑎𝑗 và giá trị sử dụng là 𝑐𝑗 (𝑗 =
1,2, … , 𝑛). Cần chất các đồ vật này vào một cái túi có
trọng lượng 𝑏 sao cho tổng giá trị sử dụng của các đồ
vật trong túi là lớn nhất (mỗi loại đồ vật có thể lấy nhiều
lần).

29
 Bài toán cái túi có thể được phát biểu tổng quát dưới
dạng sau: Tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu 𝑓(𝑋) với
𝑋 ∈ 𝐷. Trong đó, 𝑓(𝑋) được xác định như dưới đây:
 Ví dụ về một bài toán cái túi:
( )






=


=
=  
= =
+
n
i
n
i
i
i
i
i
i n
i
Z
x
b
x
a
x
c
X
f
f
1 1
,...,
2
,
1
,
,
:
max
*
( )






=
+


=
= 
=
n
i
i
i
i
n n
i
Z
x
b
x
a
x
x
x
X
D
1
2
1 ,...,
2
,
1
,
,
:
,...,
,
( )
.
4
,
3
,
2
,
1
,
,
8
4
2
3
5
max,
6
3
5
10
4
3
2
1
4
3
2
1
=


+
+
+
→
+
+
+
=
+ j
Z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
f
j

30
 Bước 1: Sắp xếp các đồ vật thỏa mãn
 Bước 2 (Lặp): Lặp trên các bài toán bộ phận cấp 𝑘 =
1, 2, . . . , 𝑛:
o Giá trị sử dụng của 𝑘 đồ vật trong túi:
o Trọng lượng còn lại của túi:
o Cận trên của phương án bộ phận cấp 𝑘:
 Bước 3 (Trả lại kết quả): Phương án tối ưu và giá trị tối ưu
tìm được
n
n
a
c
a
c
a
c


 ...
2
2
1
1

=
−
=
k
i
i
i
k x
a
b
b
1
𝛿𝑘 = ෍
𝑖=1
𝑘
𝑐𝑖𝑥𝑖
𝑔 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 = 𝛿𝑘 + 𝑏𝑘
𝑐𝑘+1
𝑎𝑘+1

31
Thuật toán Branch_And_Bound (k) {
for (j = 𝑏𝑘/𝑎𝑘 ; j>=0; j--){
x[k] = j;
if (k==n) <Ghi nhận kỷ lục>;
else if (k + (ck+1*bk)/ak+1 >FOPT)
Branch_And_Bound(k+1);
}
}
;
k
k
k
k x
a
b
b −
=
;
k
k
k
k x
a
b
b +
=
𝛿𝑘 = 𝛿𝑘 + 𝑐𝑘𝑥𝑘;
𝛿𝑘 = 𝛿𝑘 − 𝑐𝑘𝑥𝑘;

Ví dụ 5 (1/2)
32
( )
.
4
,
3
,
2
,
1
,
,
8
4
2
3
5
max,
6
3
5
10
4
3
2
1
4
3
2
1
=


+
+
+
→
+
+
+
=
+ j
Z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
f
j

Ví dụ 5 (2/2)
33
X1=0
X1=1
FOPT=-
(1) 1=10;
b1=3;g1=15
(1,1);2=15;
b2=0;g2=15;
(0);1=0;
b1=8;g1=40/3
(1,0);2=10;
b2=3;g2=14.5;
(1,1,0);3=15;
b3=0;g3=15;
(1,1,0,0);4=15;
b4=0;f*=15;
X2=1 X2=0
X3=0
X4=0
-Thu được phương án tối ưu
-Giá trị tối ưu
Loại vì g<15

Bài tập 1
34
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới
đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
𝑓 𝑋 = 7𝑥1 + 4𝑥2 + 2𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ∈ {0,1}.

Bài tập 2
35
Áp dụng thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi dưới
đây, chỉ rõ kết quả theo mỗi bước.
𝑓 𝑋 = 5𝑥1 + 𝑥2 + 8𝑥3 + 𝑥4 → max,
4𝑥1 + 2𝑥2 + 7𝑥3 + 𝑥4 ≤ 9,
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ∈ {0,1}.

Giải bài toán người du lịch bằng
36
 Bài toán người du lịch có thể được phát biểu tổng quát
dưới dạng sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu
𝑓(𝑋) với 𝑋 ∈ 𝐷. Trong đó, 𝑓(𝑋) được xác định như dưới
đây:
 Ví dụ về ma trận chi phí
( )







+
=
= 
−
=
+
1
1
1
1 :
]
,
[
]
,
[
min
*
n
i
n
i
i D
X
x
x
c
x
x
c
X
f
f
( )
 
n
j
i
x
x
x
x
x
x
X
D j
i
n ,..,
2
,
1
,
,
1
:
,...,
, 1
2
1 =


=
=
=
0 3 14 18 15
3 0 4 22 20
17 9 0 16 4
6 3 7 0 12
9 15 11 5 0

37
Gọi 𝑐𝑚𝑖𝑛 = min{𝑐[𝑖, 𝑗], 𝑖 , 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛, 𝑖𝑗 } là giá trị nhỏ nhất của
ma trận chi phí. Phương pháp đánh giá cận dưới của mỗi bài
toán bộ phận cấp 𝑘 được tiến hành như sau. Giả sử ta đang có
hành trình bộ phận qua 𝑘 thành phố:
𝑇1→𝑇𝑢2
→. . . →𝑇𝑢𝑘
(𝑇1 = 1).
Khi đó, chi phí của phương án bộ phận cấp 𝑘 là:
 = 𝑐[1, 𝑢2] + 𝑐[𝑢2, 𝑢3] + ⋯ + 𝑐[𝑢𝑘−1, 𝑢𝑘].
Để phát triển hành trình bộ phận này thành hành trình đầy đủ,
ta cần phải qua 𝑛 − 𝑘 thành phố nữa rồi quay trở về thành phố
số 1. Như vậy, ta cần phải qua 𝑛 − 𝑘 + 1 đoạn đường nữa. Vì
mỗi đoạn đường đều có chi phí không nhỏ hơn 𝑐𝑚𝑖𝑛, nên cận
dưới của phương án bộ phận có thể được xác định:
𝑔(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑘) =  + (𝑛 − 𝑘 + 1). 𝑐𝑚𝑖𝑛.

38
Thuật toán Branch_And_Bound (k) {
for (j = 2; j<=n; j++){
if ( 𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡[𝑗] ) {
𝑥[𝑘] = 𝑗; 𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡[𝑗] = 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒;
 =  + 𝑐[ 𝑥[𝑘 − 1], 𝑥[𝑘]];
if ( k==n) Ghi_Nhan();
else if (  + (𝑛 − 𝑘 + 1) ∗ 𝑐𝑚𝑖𝑛 < 𝐹𝑂𝑃𝑇)
Branch_And_Bound (k+1);
𝑐ℎ𝑢𝑎𝑥𝑒𝑡[𝑗] = 𝑇𝑟𝑢𝑒;  =  − 𝑐[ 𝑥[𝑘 − 1], 𝑥[𝑘]];
}
}
}

39
FOPT= +
(1,2), =3, g=15 (1,3), =14, g=26 (1,4), =18, g=30 (1,5), =15, g=27
(1,2,3), =7, g=16 (1,2,4), =25, g=34 (1,2,5), =23, g=32
(1,2,3,4), =23, g=29
(1,2,3,5), =11, g=17
(1,2,3,4,5), =35, g=38
(1,2,3,5,4), =16, g=19
Loại vì có cận
dưới lớn hơn 22
Hành trình:1,2,3,5,4,1
Chi phí: 22
Hành trình:1,2,3,4,5,1
Chi phí: 44

4-Optimization.pdf

More Related Content

What's hot (20)

Similar to 4-Optimization.pdf (20)

Recently uploaded (20)

4-Optimization.pdf