8 a a_2012

Алгебра
8
класс
У чебн и к
д ля общ еобразовательны х
учреж дений
Рекомендовано
Министерством
образования и науки
Российской
Федерации
19-е и зд ани е
Москва
•Просвещение-
2 0 1 2

У Д К 373.167.1:512
Б Б К 22.14я72
А 4 5
Авторы:
Ш . А. Алимов, Ю. М . Колягин, Ю. В. Сидоров, М . В. Ткачёва,
Н. Е. Фёдорова, М . И. Шабунин
Учебник подготовлен под научным руководством академика
А. Н. Тихонова
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106-5215/488 от 03.10.2008)
и Российской академии образования (№ 01-195/5/7д от 11.10.07)
□
о У ' -
Уеловные обозначения
выделение основного материала
текст, который важно знать и полезно помнить
► <] решение задачи
обоснование утверждения или вывод формулы
обязательные задачи
дополнительные задачи
трудные задачи
занимательные задачи
Алгебра. 8 класс : учеб. для общеобразоват. учреж -
А 45 дений / [Ш . А . Алим ов, Ю . М . К олягин, Ю . В. Сидоров
и д р.] — 19-е изд. — М . : Просвещ ение, 2012. — 255 с. :
ил. — Ш ВИ 978-5-09-028790-6.
У Д К 373.167.1:512
ББК 22.14я72
ISBN 978-5-09-028790-6 © Издательство «Просвещение», 1991
© Издательство «Просвещение», 2009,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 1991
Все права защищены

Iглава
Неравенства
Положительные
и отрицательные числа
В курсе математики V I— VII классов вы познако
мились с рациональными числами. Рациональное
число может быть положительным, отрицатель
ным или равным нулю.
Положительное рациональное число — это число
вида —, где к и п — натуральные числа. Например,
п
—, - , - — положительные рациональные числа.
3 5 8
Отрицательное рациональное число — это число
вида — , где к и п — натуральные числа. Напри-
п
мер, - — — отрицательные рациональные
3 5 В
числа. Отрицательное рациональное число можно
_ ь 2 - 2
записать в виде — . Например, - —= — .
п 3 3
Рациональными числами называют числа вида — ,
п
где т — целое, п — натуральное число.
Если рациональное число можно представить в
виде дроби, у которой знаменатель является нату
ральной степенью числа 10, то это рациональное
3

число обычно записывают в виде десятичной дро
би. Например:
— =0,25; _ о 257; ^ ^ = -32,4.
100 1000 10
Положительные числа называют большими нуля,
а отрицательные — меньшими нуля. Для того что
бы коротко записать, что число больше или мень
ше нуля, используют знаки неравенства > (больше)
и < (меньше). Так, запись а > 0 означает, что число
о больше нуля, т. е. а — положительное число; за
пись Ь < 0 означает, что число Ь меньше нуля, т. е.
Ь — отрицательное число. Например:
25 > 0, - > 0 , - 21 < 0, - - < 0 .
7 3
Знаки > и < называют противоположными. Так,
5 > 0 и 7 > 0 — неравенства одинакового знака,
а 3 > 0 и - 2 < 0 — неравенства противоположных
знаков.
В дальнейшем будут использоваться следующие
свойства чисел:
Формулировка с помощью букв Словесная формулировка
1. Если а > 0 и Ь > 0, то а + Ь > 0,
аЬ> 0, “ >0.
ь
Сумма, произведение и частное
двух положительных чисел — по
ложительные числа.
4

Продолжение
Формулировка с помощью букв Словесная формулировка
2. Если а < 0 и 6 < 0, то а + 6 < 0,
аЬ> 0, - > 0 , - > 0 .
6 а
Сумма отрицательных чисел отри
цательна, а произведение и частное
двух отрицательных чисел положи
тельны.
3. Если а > 0 и 6 < 0, то аЬ < 0,
- < 0 , - < 0 .
6 а
Произведение и частное положи
тельного и отрицательного чисел
отрицательны.
4. Если аб > 0, то
или а > 0 и Ь > 0,
или а < 0 и Ь < 0.
Если —> 0, то
6
или а > 0 и 6 > 0,
или а < 0 и 6 < 0.
Если произведение или частное
двух чисел положительно, то эти
числа имеют одинаковые знаки
(т. е. оба числа положительны или
оба отрицательны).
5. Если аЬ < 0, то
или а > 0 и 6 < 0,
или а < 0 и Ь > 0.
Если —< 0, то
Ь
или а > 0 и Ь < 0,
или а < 0 и Ь > 0.
Если произведение или частное
двух чисел отрицательно, то эти
числа имеют разные знаки (т. е.
одно из них положительно, а дру
гое отрицательно).
6. Еслиа6 = 0, то
или а =0, Ь * 0,
или а * 0, 6= 0,
или а = 0, 6= 0.
Если произведение двух чисел рав
но нулю, то хотя бы одно из этих
чисел равно нулю.
7. Если —=0, то
Ь
а = 0, 6*0.
Если дробь равна нулю, то ее чис
литель равен нулю, а знаменатель
не равен нулю.
На числовой оси положительные числа изобража
ются точками, лежащими правее точки 0, а отри
цательные числа — точками, лежащими левее точ
ки 0 (рис. 1).
Для краткости вместо слов «точка, изображающая
число а » говорят просто «точка а » . Например,
можно сказать, что точка 3 лежит правее точки 0;
точка -2 лежит левее точки 0 (рис. 1).
1 1 1 1 1 ^
-2 0 3
Рис.1
5

Задача 1 Доказать, что если а < 0, то а 2> 0 и а 3< 0.
► По условию а < 0. Так как а2= а- а, а произведение
двух отрицательных чисел положительно, то а2> 0.
По свойству степени а 3= а 2-а, т. е. а3 является
произведением положительного числа а2 и отрица
тельного числа а, поэтому а 3<0 . <]
Вообще при возведении отрицательного числа в
четную степень получается положительное число.
При возведении отрицательного числа в нечетную
степень получается отрицательное число.
Например, (-2 ,8 )б>0 , (-1 ,2 )5<0.
Решить уравнение ( 2 х + 1)(3х - 9) =0.
► Данное произведение равно нулю, если хотя бы
один из множителей равен нулю, т. е. если
2 х + 1 = 0 или Зх - 9 = 0. Решая уравнение 2х + 1 = 0,
Задача 2
1
Ответ
Задача 3
находим х = ■
дим х = 3.
х ~ ~ 2 * х 2= 3.
Решить уравнение
; решая уравнение З х - 9 = 0 , нахо-
Xі + Ъх
= 0.
Ответ
Задача 4
х * + 25
► Данная дробь равна нулю, если х 2+ 5х = 0, а
х 2+ 2 5 *0 . Уравнение х 2+ 5х = 0 можно записать
так:
д:(х + 5) = 0.
Это уравнение имеет корни х х= 0, х2= -5. При х = 0
и х = -5 знаменатель не равен нулю: х 2+ 25 * 0.
х х= 0, х 2= -5. <]
Решить уравнение = 0 .
Ответ
х + 5
► Данная дробь равна нулю, если я2-2 5 = 0, а
х + 5 *0 .
Уравнение х2-2 5 = 0 можно записать в виде
(х - 5) ( х + 5) = 0,
откуда ^ = 5, х 2= -5. При х = 5 знаменатель
х + 5 * 0, а при х = -5 знаменатель х + 5 = 0. Следова
тельно, х = -5 не является корнем исходного урав
нения.
х = 5. <3
6

Упражнения
Вычислить устно (1— 4).
1 1) 1,2-6; 2) | - (-2 ); 3 ) [ - ±
2 1) 0 ,2 -6 -5 ; 2) (-2 )-4 -5 ;
3) 0,2 (-5 )-6 ; 4) 5 -(-0 ,2 ) - (-4 );
5) (-6 )-0 ,4 -(-5 ); 6) (- 6 ) •(-4 ) ■(-3 ).
3 1) 3 6 :3 ; 2) (-3 6 ): 2; 3) 655 : (-5 );
4) (-0 ,4 ): 8; 5)(-8 0 ): (-1 6 ); 6) (-0 ,9 ): (-0,3).
4 1) 2 •( —15):3; 2) (-0 ,4 ) •(-5 ): 2;
3) 6 •( - 8 ) : ( —12); 4) (-6 ) - (-1 2 ):(-8 );
5) (-4 5 ): 3- (-2 ); 6) (-5 5 ):(-1 1 ) ■(-3 ).
5 Найти числовое значение выражения:
1) а3Ь2с 2 при а = -1, Ь - -3, с = 2;
2) аЬ3с 2 при о = -2 , Ь = -1 , с = -3;
Я3/)2
3) при а = -2 , Ь = -3, с = -1;
с3
4) при а = 8, Ь = -1, с = -2 .
с2
6 Используя знак > или < , записать утверждение:
1) -11,7 — отрицательное число;
2) 98,3 — положительное число;
3) х — отрицательное число;
4) у — положительное число.
7 Пусть а > 0, Ь > 0. Доказать, что:
1) 2а(а + ЗЬ)>0; 2) (а + Ь){2а + Ь) > 0.
8 Пусть а < 0, Ь < 0. Доказать, что:
1) За + 46 < 0; 2) 2 а (а + 6 )> 0 .
9 Пусть а > 0, Ь < 0. Доказать, что:
1) а - Ь > 0; 2) Ь - а < 0;
3) а2Ь + Ь3 < 0; 4) аЬ3+ а3Ь < 0.
10 Не вычисляя, выяснить, положительно или отрицательно
значение выражения:
1) (-1 7 )• (-1.281)2; 2) (-2 ,2 3 )3•(-0 ,5 4 )5;
3) (-0 ,3 7 )3+ ( —2,7)5; 4) (-3.21)2- ( - 4 5 , 4)3.
11 Доказать, что при любом а значение выражения положи
тельно:
! ) 2 т~1’ 2) а 2 + - г 4 ;
аг +1 1+ а*
3) (За + 2)2- 6а(а + 2); 4) (2а - З)2- За(а - 4).
7

12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Доказать, что при любом а значение выражения отрица
тельно:
1) (-1 ,5 )3- а 2; 2) (- 7 )5- ( 1 - а ) 4;
3) 2а(4а - 3) - (За - I )2; 4) За(а + 4) - (2а + З)2.
Пусть а < 0, Ь > 0. Выяснить, положительно или отрицатель
но значение выражения:
1) а3Ь4; 2) ^ 1 ; 3) (2а - Ъ)(2Ъ - а); 4) 36 .
Ьл 3 а - 2 Ь
Выяснить, положительно или отрицательно число а, если:
1) - а <0 ; 2) - а >0 ; 3) а 2а 3>0;
4) а 4а 3< 0 ; 5 ) 4 > ° : 6 ) 4 < ° -
а* ал
Пусть а < 0. Выяснить, положительно или отрицательно чис
ло Ь, если:
1) аЬ > 0; 2) аЬ < 0; 3) | <0 ;
О
4) - >0 ; 5) аЬ = - 1;
а
6) £ = 2.
О
Решить уравнение (16— 21).
1) х ( х + 1) = 0; 2) х ( х - 2) = 0;
3) ( х - 2 ) ( * + 3) = 0; 4) (х + 4)(х + 5) = 0.
1) (Здг - 1)(х + 5) = 0; 2) (2 х + 3)(х + 1) = 0;
3) (1 + 2д:)(3лг - 2) = 0; 4) (5х - 3)(2 + Зх) = 0
1) х 2+ х = 0; 2) х 2- х = 0;
3)
о
н
№3
н
1
н
ю
4)
СО
кN5
+
н
II
о
1) х 2- 9 = 0; 2) 16 - х 2= 0;
3) 25- 4 х 2= 0; 4) 49х2- 16 =0 .
1) £1.1 = 0; 2) — = 0;
х - 2 х + 2
3) 2 х ~ Х - 0 ; 4)
Здг+1 :
1)
х^ —4 —1
------— = 0; 2) ----- 1 = 0; 3) " 2+ 5 Х =0; 4 ) :
: = 0.
с2
— = 0.
1) х + 2) = 0; 2) — * ~ 2) = 0;
х + 1 х - 3
3) (2лг —1)(лс —2) 0 , ( х + 3 ) ( 2 х - 4 ) 0
дг+ 3 ’ ж - 1
5) — * +2 =0; 6) , * ~ 3 =0.
* - 1 ж2 - 49
1) —= 0; 2) —— = 0;
* + 2 * - 1
3) 1 ^ = 0; 4) £ ^ * 1 = 0.
ж - 5 д:+ 3
8

3) = 0; 4)
1
х - 1 х2- 1
25 Доказать, что:
1) —^----------^— > 0, если а >0 ;
а + 2 а + 3
х - 3 ( х - 2 ) ( х - 3 )
= 0 .
2)
3)
4)
а - 2 а - 1
2 1
За + 2 о+1
1
> 0, если а < 0;
<0, если а >0 ;
<0, если а <0.
1 - а 3 - 2 а
26 Вычислить ( п — натуральное число):
(-1 )6л - ( - 1 ) :
1)
2п + 3 2п + 1
(_1)4п+1+ (_1)6«-1
27 Упростить выражение:
а - 1 . 1
1)
а + 1 а2+ 2а + 1
+ 1;
2)
2)
(-1 )*” + (-!)■
(357-2,4)®
За2+ 4а +1 а —1
(а + I)2 а + 1
9

Числовые
неравенства
§2 ■
Сравнение чисел широко применяется на практи
ке. Например, экономист сравнивает плановые по
казатели с фактическими, врач сравнивает темпе
ратуру больного с нормальной, токарь сравнивает
размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех
таких случаях сравниваются некоторые числа.
В результате сравнения чисел возникают числовые
неравенства.
4 3
Сравним, например, числа - и —. Для этого найдем
5 4
их разность:
4 3 _ 1 6 -1 5 _ 1
5 4 20 20'
Следовательно, ^ = т + ^т> т>е>т получается при-
5 4 20 5
3 1
бавлением к числу — положительного числа — . Это
4 20
означает, что число - больше — на — . Таким обра-
5 4 20
зом, ^ > -у, так как их разность положительна.
5 4
О п р е д е л е н и е . Число а больше числа Ь, если
разность а - Ь положительна. Число а меньше чис
ла Ь, если разность а - Ь отрицательна.
Если а больше Ь, то пишут: а > Ь; если а меньше Ь,
то пишут: а <Ь.
Таким образом, неравенство а >Ь означает, что
разность а - Ь положительна, т. е. а - Ь > 0 . Нера
венство а < Ь означает, что а - Ь < 0.
Задача 1 Доказать, что если а > Ь, то Ь < а.
► Неравенство а > Ь означает, что а - Ь — положи
тельное число. Тогда Ь - а - - ( а - Ь ) — отрицатель
ное число, т. е. Ь < а . <1
10

Для любых двух чисел а и & из следующих трех со
отношений а > Ь , а = Ь , а < Ь только одно является
верным.
Например, для чисел -5 и -3 неравенство -5 < -3
является верным, а соотношения —5 = -3 и - 5 > - 3
не являются верными.
Сравнить числа а и Ъ — значит выяснить, какой
из знаков >, = или < нужно поставить между эти
ми числами, чтобы получить верное соотношение.
Это можно сделать, определив знак разности а - Ь .
Задача 2 Сравнить числа 0,79 и
5
► Найдем их разность:
0 , 7 9 - - = 0 ,7 9 -0 ,8 = -0,01.
5
Так как 0,79 - - < 0, то 0,79 < - . <1
5 5
Геометрически неравенство а > Ь означает, что на
числовой оси точка а лежит правее точки Ь
(рис. 2).
Например, точка - лежит правее точки 0,79, так
5
как - > 0 , 7 9 ; точка 2,3 лежит левее точки 4,4, так
5
как 2,3 < 4,4 (рис. 3).
Задача 3 Доказать, что а2+ Ь2> 2аЬ, если аФЬ.
► Докажем, что разность а2+ Ь2- 2аЬ положительна.
В самом деле, а 2+ Ь2- 2аЬ = (а - Ь)2> 0, так как
а * Ь. <3
Задача 4 Доказать, что а + — > 2, если а > 0 и а * 1.
а
► Докажем, что разность а + —- 2 положительна.
а
тт ~ 1 г, а2 + 1 - 2 а ( а - 1 ) 2 „
Действительно, а + ----- 2= ----------------= ------------- >и,
а а а
так как а > 0 и а * 1 . <]

Задача 5 Доказать, что если — — правильная дробь, то
т
п_ п + 1
т + 1
► Напомним, что дробь — называется правиль-
т
ной, если п < т ( п и т. — натуральные числа).
п га+1 п(т + 1) - т(п + 1) _ п - т
Разность
ш т + 1 т(т + 1) т(т + 1)
меньше нуля, так как п - т < 0, т > 0, т + 1>0.
Следовательно, — < п + 1 . <]
т т + 1
28 Используя определение числового неравенства, сравнить
числа:
1 ) 0 , 3 и А; 2) 1 и 0,3; 3) И и 0,35; 4) и -0,7.
5 3 40 8
29 Сравнить числа а и Ь, если:
1) Ъ- а = -1,3; 2) Ъ- а = 0,01;
3) а - Ь = ( —5)4; 4) а - Ь = - 54.
30 Доказать, что при любых значениях а верно неравенство:
1) а 2> (а + 1)(а - 1);
2) (а + 2 ) ( а + 4 ) > ( а + 1)(а + 5).
31 Сравнить значения выражения
а2 ( _1_ + _2_ + 1 1
(1 + а )2 а3 а2 а )
1) при а = 235 и а = 785;
2) при а = -0 ,8 и а = - - .
6
32 Доказать, что при любых значениях а верно неравенство:
1) а 3< (а + 1)(а2- а + 1);
2) (а + 7)(а + 1) < (а + 2)(а + 6);
3) 1 + (За + I )2> (1 + 2а)(1 + 4а);
4) ( З а - 2 ) ( а + 2 ) < ( 1 + 2а)2.
33 Доказать, что при любых значениях а и Ь верно неравенство:
1) а(а +6 ) >аЬ - 2; 2) 2аЬ - 1< Ь(2а + ЬУ,
3) За£> - 2 < а(ЗЬ + а); 4) Ь(а + 2Ь) > аЬ - 3.
34 Два мальчика купили одинаковое число марок. Первый вы
брал все марки по 5 р. Второй половину марок купил по
3 р., а остальные — по 6 р. Какой мальчик истратил денег
больше?
12

35 Доказать, что если а, Ь, с — положительные числа и а > Ь , то:
1 ) £ ± £ < « ; 2) А ± £ > ^ .
Ь + с Ь а + с а
36 Доказать, что если а > 0, 6 > 0 , то выполняется неравенство
ал + Ь4> а 3Ъ + аЬ3.
37 Доказать, что если а > -1 и а Ф 1, то а3 + 1 > а 2+ а.
Основные свойства
числовых неравенств
В этом параграфе рассматриваются свойства число
вых неравенств, которые обычно называют основ
ными, так как они часто используются при доказа
тельстве других свойств неравенств и при решении
многих задач.
Т е о р е м а 1. Если а > Ь и Ь > с , то а > с.
• По условию а > Ь и Ь > с. Это означает, что а - Ь > 0 и
Ь - с > 0. Складывая положительные числа а - Ь и
Ь - с, получаем (а - Ь) + (6 - с ) > 0, т. е. а - с > 0. Сле
довательно, а > с.
Геометрически теорема 1 означает, что если на чис
ловой оси точка а лежит правее точки Ь и точка Ь
лежит правее точки с, то точка а лежит правее точ
ки с (рис. 4).
Т е о р е м а 2. Если к обеим частям неравенства
прибавить одно и то же число, то знак неравенства
не изменится.
Пусть а > Ъ. Требуется доказать, что
а + с >Ь + с
для любого числа с. Рассмотрим разность
( а + с ) - ( Ь + с ) = а + с - Ь - с = а - Ь.
----------
с ь а
Рис. 4
13

Эта разность положительна, так как по условию
а > Ь. Следовательно, а + с > Ь + с. О
С л е д с т в и е . Любое слагаемое можно перенести
из одной части неравенства в другую, изменив
знак этого слагаемого на противоположный.
• Пусть а >Ь + с. Прибавляя к обеим частям этого не
равенства число -с , получаем а - с > Ь + с - с , т. е.
а - с > Ь .
Т е о р е м а 3. Если обе части неравенства умно
жить на одно и то же положительное число, то
знак неравенства не изменится. Если обе части
неравенства умножить на одно и то же отрица
тельное число, то знак неравенства изменится на
противоположный.
1) Пусть а >Ь и с > 0 . Докажем, что ас > Ьс. По
условию а - Ъ > 0 и с > 0 . Поэтому ( а - й ) о О , т. е.
ас - Ь с > 0. Следовательно, ас > Ьс.
2) Пусть а > Ь и с < 0 . Докажем, что ас < Ьс. По
условию а - Ь > 0 и с < 0 . Поэтому ( а - Ь ) с < 0 , т. е.
ас - Ьс < 0. Следовательно, ас <Ьс. О
Например, умножая обе части неравенства А <0,21
5
*3
на 3, получаем —< 0,63, а умножая обе части нера-
5
венства <0,21 на -4 , получаем - - > -0,84.
5 5
Заметим, что если с * 0, то числа с и - имеют один
с
и тот же знак. Так как деление на с можно заме
нить умножением на - , то из теоремы 3 вытекает
с
следующее утверждение:
С л е д с т в и е . Если обе части неравенства разде
лить на одно и то же положительное число, то
знак неравенства не изменится. Если обе части не
равенства разделить на одно и то же отрицатель
ное число, то знак неравенства изменится на про
тивоположный.
Например, разделив обе части неравенства 0,99 < 1
на 3, получим 0,33< А , а разделив обе части нера-
О
венства 0,99 < 1 на -9 , получим -0,11 > .

Задача 1 Доказать, что если а > Ь, то - а < -Ь.
► Умножая обе части неравенства а >Ь на отрица
тельное число -1 , получаем - а < - Ь . <]
Например, из неравенства 1,9 <2,01 следует нера-
з
венство -1,9 > -2,01; из неравенства 0,63 > — следу-
5
з
ет неравенство -0,63 < — .
5
Задача 2 Доказать, что если а и Ь — положительные числа и
а > Ь , то - < - .
а Ь
► Разделив обе части неравенства Ь < а на поло
жительное число аЬ, получаем;
Отметим, что все свойства неравенств, рассмотрен
ные в этом параграфе, доказаны для неравенства со
знаком > (больше).
Точно так же они доказываются и для неравенств
со знаком < (меньше).
1) если а - 2 <Ь и £>< 0, то а - 2 — отрицательное число;
2) если а2- 5 > а и а > 1, то а 2- 5 > 1.
39 Выяснить, положительным или отрицательным является
число а, если:
1) а > Ь и Ь > 1 ; 2) а < Ь и Ь < - 2 ;
3) а - 1 < Ь и Ь < -1; 4) а + 1 > 6 и 6 > 1 .
40 Записать неравенство, которое получится, если к обеим час
тям неравенства -2 < 4 прибавить число:
1) 5; 2) -7 .
41 Записать неравенство, которое получится, если к обеим час
тям неравенства 2а + ЗЬ > а - 2Ь прибавить число:
1) 2Ь; 2) -а .
42 Записать неравенство, которое получится, если из обеих час
тей неравенства 3 > 1 вычесть число:
1) 1; 2) -5 .
43 Записать неравенство, которое получится, если из обеих час
тей неравенства а - 2Ь < За + Ь вычесть число:
1) а; 2) Ь.
15

44 Пусть а < Ь. Сравнить числа:
1) а + х и б + х; 2) а - 5 и 6 - 5 .
1) если 4а - 2Ь > За - Ь, то а > Ь;
2) если 2Ь - За < ЗЬ - 4а, то а < 6;
3) если Ь(2а + 1) < а(2Ь + 1), то а > Ь;
4) если 6(1 - За) > а (1 - ЗЬ), то а < Ь.
1) если х (х + 2) < (х - 2 ) ( х + 3), то х < -6 ;
2) если х (х + 6) > (х + 1) ( х + 4), то х > 4;
3) если (х - З)2< х (х - 5), то х > 9;
4) если х(3 + х) < (х + 2)2, то х > -4.
Умножить обе части данного неравенства на указанное число
(47— 48).
47 1) 3,35 <4,5 на 4; 2) 3,8 >2,4 на 5;
3) | > ^ на -12; 4) - < - на -16.
6 3 4 8
48 1) 2а > 1 на 0,5; 2) 4а < -1 на 0,25;
3) -4а < -3 на 0,25; 4) -2 а > -4 на -0,5.
Разделить обе части данного неравенства на указанное число
(49— 50).
49 1) -2 <5 на 2; 2) 4,5 > -1 0 на 5;
3) -25 > -3 0 на -5 ; 4) -20 < -12 на -4 .
50 1) 1,2а <4,8 на 1,2; 2) 2,3а < -4 ,6 на 2,3;
3) - ! * < - ! н а - ^ ; 4) - 1 д : > 1 н а - - .
3 4 3 4 3 4
51 Пусть а — положительное число и а < 1. Доказать, что:
1) а 2< а; 2) а3< а 2.
52 Пусть а < Ь. Сравнить числа:
1) -4,3а и -4,3Ь; 2) 0,19а и 0,196; 3) | и |;
4) ~ £ и ~ Ъ 5) -2 (а + 4) и -2(Ь + 4);
О О
6) | (а - 5 , 2 ) и | (Ь -5 ,2 ).
1) если 5а - 2Ь > 2а + Ь, то а > Ь;
2) если 4а - Ь < 2а + Ь, то а < Ь;
3) если 2а + 2Ь < 6а - 2Ь, то а > Ь.
1) если (х —1)(х + 2) > (х + 1)(х - 2), то х > 0;
2) если (х + 1)(х - 8) > (х + 2 )(х - 4), то х <0;
3) если (х - З)2< (4 + х )(х - 4), то х > — ;
б
4) если (х - 3)(3 + х) > (х + 2)2, то х < - — .
4
16

55 Может ли разность а - Ь быть:
1) больше суммы а +Ь;
3) равна сумме а + Ь;
5) больше Ь;
Привести примеры.
1) а + —< -2 , если а < 0 и а
а
2) —+ — > 2, если о 6 > 0 и а
Ь а
3) 4у + - > 4, если у > 0 и у
4) 9х + —< -6 , если х < 0 и
х
57 Пусть а > Ь. Доказать, что:
1) —< - , если аЬ > 0 ;
а Ь
58 Верно ли, что:
1) если а < Ь, то —< 1;
Ь
3) если —< 1, то —> 1;
Ь а
2) меньше суммы а +Ь;
4) больше а;
6) равна Ы
- 1;
Ь;
1.
2 ’
2) —> А, если аЬ < 0.
а Ь
2) если —> 1, то а > Ь;
ь
4) если а 2< 1, то а < 1?
Сложение и умножение
неравенств
При решении различных задач часто приходится
складывать или умножать почленно левые и пра
вые части неравенств. При этом иногда говорят,
что неравенства складываются или умножаются.
Например, если турист прошел в первый день бо
лее 20 км, а во второй — более 25 км, то можно
утверждать, что за два дня он прошел более 45 км.
Точно так же если длина прямоугольника меньше
13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверж
дать, что площадь этого прямоугольника мень
ше 65 см2.
При рассмотрении этих примеров применялись
следующие теоремы о сложении и умножении
неравенств:
17

Т е о р е м а 1. При сложении неравенств одинако
вого знака получается неравенство того же знака:
если а > Ь и о с і , то а + о Ь + й.
По условию а - Ь > 0 и с - с ? > 0 . Рассмотрим раз
ность
(а + с) - (Ь + <1) = а + с - Ь - с1 = (а - Ь) + (с - с1).
Так как сумма положительных чисел положитель
на, то (а + с ) ~ ( Ь + с1)>0,т. е. а + с > Ь + с{.
Примеры: 1) 3>2, 5 2) 1,2 < 1,3
5 > 4 * - 3 < -2
8 >6,5 -1,8 < - 0 , 7
Т е о р е м а 2. При умножении неравенств одина
кового знака, у которых левые и правые части по
ложительны, получается неравенство того же зна
ка: если а > Ь, с > (I и а, Ь, с, й — положительные
числа, то ас >Ьс1.
• Рассмотрим разность
ас - Ьй = ас - Ьс + Ьс - Ъ<1 = с(а - Ь ) + Ь(с - й).
По условию а - Ь > 0, с - с 1 > 0, Ь > 0 , с > 0. Поэто
му с(а - Ь) + Ь(с - (I) > 0, т. е. а с-Ъ с1 > 0, откуда
ас > Ьй.
Примеры: 1) 3,2 >3,1 2) 1,8 <2,1
3 > 2 Х 4 < 5
9,6 >6,2 7,2 <10,5
Задача 1 Доказать, что если а, Ь — положительные числа и
а > Ь, то а2> Ь2.
► Умножая неравенство а >Ь само на себя, получаем
а2> Ь2.
Аналогично можно доказать, что если а, Ь — поло
жительные числа и а > Ь, то а " > Ьп при любом на
туральном п.
Например, из неравенства 5 > 3 следуют неравенст
ва 55> З5, 57> З7 и т. д.
Задача 2 Доказать, что сумма расстояний от любой точки,
лежащей внутри треугольника, до его вершин
больше полупериметра этого треугольника.
► Рассмотрим рисунок 5. Пусть х, у, г — расстояния
от внутренней точки М до вершин треугольника
АВС.
18

Из треугольников А М В , А М С , В М С по тео
реме о сумме длин двух сторон треугольни
ка имеем:
х + у > с ,
х + г > Ь,
у + г > а .
Складывая эти неравенства, получаем:
2 х + 2у + 2 г > а + Ь + с ,
откуда х + у + z >
а + Ь + с
59 (Устно.) Верно ли, что:
1) если х > 7 и у >4, то х + і/> 11;
2) если х > 5 и у > 8 , т о х у < 40;
3) если х < -7 и у < 7, то х + у < 0;
4) если х < 2 и у < 5, то ху < 10?
60 Выполнить сложение неравенств:
1) 5 > -8 и 8 > 5; 2) -8 < 2 и 3 < 5;
3) Зх + у < 2х + 1 и Зу - 2 х < 14 - 2а;
4) Зх2+ 2у > 4а - 2 и Ъу - Зх2> 3 - 4а.
61 Выполнить умножение неравенств:
1) 2 —> 1— и 12 > 6; 2 ) 6 ± < 9 ^ и 4 < 6 ;
3 3 4 3
3) х - 2 > 1 и х + 2 > 4; 4) 4 < 2х + 1 и 3 < 2х - 1.
62 Доказать, что если а > 2 и b > 5, то:
1) За + 2 Ь > 16; 2) а 6 - 1 > 9 ; 3) а 2+ Ь2>29;
4) а3+ Ь3 > 133; 5 ) ( а + Ь)2>35; 6) (а + Ь ) 3> 340.
63 Стороны треугольника меньше соответственно 73 см, 1м 15 см
и 1 м 11 см. Доказать, что его периметр меньше 3 м.
64 Куплены 4 тетради и 8 блокнотов. Цена тетради меньше
7 р., а блокнота меньше 40 р. Показать, что стоимость всей
покупки меньше 350 р.
65 Пусть а < 2, b > 3. Доказать, что:
1) а + 3 < Ь + 2; 2) а - 1 < Ь - 2 ;
3) b - 3 > а - 2; 4) 2Ъ >2а + 2.
66 Пусть а > 2 , Ь > 3, с > 1 . Доказать, что:
1) а + й + с > 6 ; 2) abc > 6;
3) 2ab + ЗаЬс > 30; 4) а6с + 2ас>10;
5) a + a b + abc2> 13; 6) а 2+ 62+ с2>13.
67 Одна сторона прямоугольника больше 7 см, вторая в 3 раза
больше первой. Доказать, что периметр прямоугольника
больше 56 см.
19

68 Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины,
а ширина больше 4 м. Доказать, что площадь участка боль
ше 80 м2.
69 Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей
внутри прямоугольника, до его вершин больше полупери-
метра прямоугольника.
1) если х + у > 5 и х < 2, то у > 3;
2) если х - у < - 3 и х > 4 , то у > 7 ;
3) если а - 3 6 < 5 и а > -4, то Ь > -3;
4) если 2а + ЗЬ > 1 и а < 2, то Ь > -1.
71 Пусть а > 1. Доказать, что:
1) а3> а ; 2) а 5> а 2.
72 Пусть а < 1 и а — положительное число. Доказать, что:
1) а3< а ; 2) а 5< а 2.
73 Пусть а > Ь и числа а, Ь отрицательные. Доказать, что:
1) а" > Ь п, если п — нечетное натуральное число;
2) а п < Ь п, если п — четное натуральное число.
74 Пусть а и Ь — положительные числа и п — натуральное чис
ло. Доказать, что если а п > Ь " , то а > Ь .
Строгие и нестрогие
Неравенства со знаком > (больше) и < (меньше) на-
5 1 0
зывают строгими. Например, ^ > 2 » 4 < ^’ а > ^*
с <<1 — строгие неравенства.
Наряду со знаками строгих неравенств > и < ис
пользуются знаки > (больше или равно) и < (мень
ше или равно), которые называют знаками нестро
гих неравенств. Неравенство а < Ь означает, что
а < Ь или а = Ь, т. е. а не больше Ь. Например, если
число посадочных мест в самолете 134, то число а
пассажиров может быть меньшим или равным 134.
В этом случае можно записать: а < 134.
20

Точно так же неравенство а > Ь означает, что число
а больше или равно Ь, т. е. а не меньше Ь.
Неравенства, содержащие знак > или знак <, на
зывают нестрогими. Например, 18 >12, 11 < 12,
7 > 7 , 4 <4, а > Ь , с < ё — нестрогие неравенства.
Все свойства строгих неравенств, сформулирован
ные в § 3— 4, справедливы и для нестрогих нера
венств. При этом если для строгих неравенств про
тивоположными считались знаки > и с , то для
нестрогих неравенств противоположными счита
ются знаки > и <.
Например, теорема 2 из § 3 справедлива и для не
строгих неравенств: если а > Ь , то а + с > Ь + с для
любого числа с. В самом деле, для случая а >Ь эта
теорема доказана в § 3, а для случая а = Ь это утвер
ждение выражает известное свойство равенств.
Задача Доказать, что неравенство
а2+ Ь2> 2аЬ (1)
верно при любых а и Ь.
► В задаче 3 из § 2 доказано, что при а * Ь выполня
ется строгое неравенство а2+ Ь2> 2аЬ. При а = Ъ не
равенство (1) превращается в очевидное равенство
2а2= 2а2. Следовательно, неравенство (1) верно при
любых а и Ь, причем знак равенства имеет место
только при а = Ь. <1
75 Найти наибольшее целое число га, удовлетворяющее нера
венству:
1) п < - 2 ; 2) п <3; 3) п < 4 ;
4) га < -5 ; 5) га <0,2; 6) га< -0 ,3 .
76 Найти наименьшее целое число га, удовлетворяющее нера
венству:
1) га>-3; 2) га>6; 3) га>6;
4) га > -4 ; 5) га> -4,21; 6) га> 3,24.
77 Найти наибольшее целое число х, удовлетворяющее неравен
ству:
1) £ <1 ; 2) £ < - 2 .
о 4
78 Записать, используя знаки неравенства, утверждения:
1) сегодня в Москве 0 °С, а в Санкт-Петербурге температура
(£ °С) не выше, чем в Москве;
21

2) вода поднялась на высоту (Л м), не меньшую 5 м;
3) температура (г °С) воды в жидком состоянии при нор
мальном давлении не меньше О °С; не больше 100 °С;
4) скорость (у км/ч) движения автомобильного транспорта
в городе не больше 60 км/ч.
79 Пусть а <£>. Верно ли неравенство:
1) если а - Ь > 4а + ЪЬ, то а < - 2Ь;
2) если а - 2Ь < 5а + 4Ь, то 2а > - 3Ь;
3) если (х + 2 ) ( х - 3) < (х + 3)(х - 2), то х > 0;
4) если ( х - 5)(х + 1) > (х + 5)(х - 1), то х < 0.
82 Доказать, что при всех значениях х верно неравенство:
1) ( х - 1 ) ( х + 3 ) < ( * + 1 ) 2; 2) ( х + 2)2> ( х + 1)(х + 3).
1) 4 х 2+ 1> 4х при любом х;
2) а + - > 2 при а > 0;
1) а - 3 < 6 - 3 ; 2) 5а < ЪЬ;
3) а + 2,5< Ь + 2,5; 4) а - 4 > 6 - 4 ?
80 Пусть а > Ь. Верно ли неравенство:
1) -2 а > - 2 Ь ;
л
2) - З а < - З Ь ;
а
3) ^ + —> 2, если аЬ > 0;
Ь а
4) — < - , если а > Ь и аЬ > 0;
5) —> - , если а > Ь и аЬ < 0;
6) а2 + Ь2> | , если а + Ь = 1.
22

Неравенства
с одним неизвестным
Задача Из двух городов отправляются одновременно на
встречу друг другу два поезда с одинаковыми по
стоянными скоростями. С какой скоростью дол
жны двигаться поезда, чтобы через 2 ч после
начала движения сумма расстояний, пройденных
ими, была не менее 200 км?
► Пусть х километров в час — искомая скорость дви
жения поездов. За 2 ч каждый из поездов пройдет
путь 2х километров.
По условию задачи сумма расстояний, пройденных
поездами за 2 ч, должна быть не меньше 200 км:
2 х + 2 х > 200.
Отсюда 4х > 200, л: >50.
Ответ Скорость движения каждого поезда должна быть
не меньше 50 км/ч. <3
В неравенстве 4х > 200 буквой х обозначено неизве
стное число. Это пример линейного неравенства с
одним неизвестным. Неравенства вида
а х > Ь , а х < Ь , а х > Ь , а х < Ь ,
в которых а и Ь — заданные числа, а х — неизвест
ное, называют линейными неравенствами с одним
неизвестным.
Многие неравенства, например
4(3 - х) > 5 + 2х, 1 - | < 3 ( д г + 4),
2 3 2
сводятся к линейным неравенствам.
Выражения, стоящие слева и справа от знака нера
венства, называют соответственно левой и правой
частями неравенства. Каждое слагаемое левой и
правой частей неравенства называют членом нера
венства.
Например, в неравенстве 2 д г - 5 > 4 + Зх левая часть
2х - 5, правая часть 4 + Зх; 2х, -5 , 4 и Зх — члены
23

Если в неравенство 2х + 2 х > 200, полученное в за
даче, подставить х = 50, * = 51, х = 60, то полу
чатся верные числовые неравенства:
2 - 5 0 + 2-50 >200; 2 ■51 + 2 •51 > 200;
2 - 6 0 + 2 - 6 0 >200.
Каждое из чисел 50, 51, 60 называют решением не
равенства 2х + 2 х > 200.
Решением неравенства с одним неизвестным на
зывается то значение неизвестного, при котором
это неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
Решить неравенство — это значит найти все его
решения или установить, что их нет.
Неизвестное число в неравенстве может быть обо
значено любой буквой. Например, в неравенствах
3(1/-5) < 2(4-1/), 2< - 1> Щ + 3),
неизвестные обозначены соответственно буквами
У, г.
84 Записать в виде неравенства утверждение:
1) сумма чисел х и 17 больше 18;
2) разность чисел 13 и х меньше 2;
3) произведение чисел 17 и х не меньше 3;
4) удвоенная сумма чисел х и -3 не больше 2;
5) полусумма чисел д г и З н е больше их произведения;
6) удвоенное произведение чисел х и -4 не меньше их раз
ности.
85 Какие из чисел 10, А , 0, -1 , -2 , -5 являются решениями нера
венства:
1) Здг + 4 > 2 ; 2) Зх + 4 < х ;
3) х - Ъ > - х ; 4) 3 - х > - х Ч
2 2
86 При каких значениях у верно неравенство:
1) - 2 у > 0; 2) -З у < 0; 3) у2+ 1 > 0;
4) 2у2+ 3 > 0 ; 5) (у - I) 2< 0; 6)(г/ + 2)2>0?
87 На рисунке 6 изображен график линейной функции
у = к х + Ь. Записать, какие значения принимает у, если:
24

1) х > 0 2) х <0;
3) х > -5; 4) х < -5.
88 На рисунке 7 изображен график
линейной функции у = И х + Ь. За
писать, при каких значениях х
значения функции:
1) положительны;
2) неотрицательны;
3) отрицательны;
4) меньше -4 ;
5) не меньше -4 ;
6) больше -4 .
89 С помощью графика функции
найти, при каких значениях х
значения функции положитель
ны, отрицательны, больше 1,
меньше 1:
1) у = 2 х + 4; 2) у - З х - 9 ;
3) у = - 2 х - 8 ; 4) у = - З х + 6. Рис. 7
Решение
Решение неравенств с одним неизвестным, которые
сводятся к линейным, основано на свойствах чис
ловых неравенств, рассмотренных в § 3. Приведем
примеры решения неравенств.
Задача 1 Решить неравенство х + 1 > 7 - 2 х .
► Предположим, что число х0является решением дан
ного неравенства, т. е. неравенство х 0 + 1 > 7 - 2 х 0
является верным. Перенесем член -2 х 0 из правой
части неравенства в левую, изменив его знак на
противоположный, а число +1 перенесем в правую
часть с противоположным знаком. В результате по
лучим верное неравенство х 0 + 2 х 0 > 7 - 1.
25

Зх0 > 6.
Разделив обе части этого неравенства на 3, найдем
х 0 >2.
Итак, предположив, что х0 — решение исходного
неравенства, мы получили, что х 0 > 2 . Чтобы убе
диться в том, что любое значение х, большее 2,
является решением неравенства, достаточно прове
сти все рассуждения в обратном порядке.
Пусть х > 2 . Применяя свойства верных числовых
неравенств, последовательно получаем:
Зх > 6,
х + 2 х > 7 - 1,
х + 1 > 7 - 2 х .
Следовательно, любое число х, большее 2, является
решением данного неравенства.
Ответ х > 2 .
При записи решения неравенства можно не давать
подробных объяснений. Например, решение зада
чи 1 можно записать так:
х + 1 > 7 - 2х,
Зх >6,
х > 2.
Итак, при решении неравенств используются сле
дующие основные свойства:
С в о й с т в о 1. Любой член неравенства можно пе
ренести из одной части неравенства в другую, из
менив знак этого члена на противоположный; при
этом знак неравенства не меняется.
С в о й с т в о 2. Обе части неравенства можно умно
жить или разделить на одно и то же число, не рав
ное нулю; если это число положительно, то знак
неравенства не меняется, а если это число отрица
тельно, то знак неравенства меняется на противо
положный.
Эти свойства позволяют заменять данное неравен
ство другим, имеющим те же решения.
Для решения неравенства с одним неизвестным,
которое сводится к линейному, нужно:
1) перенести члены, содержащие неизвестное,
в левую часть, а члены, не содержащие неизвест
ное, в правую (свойство 1);
В обеих частях этого неравенства приведем подоб
ные члены:
26

2) приведя подобные члены, разделить обе части
неравенства на коэффициент при неизвестном,
если он не равен нулю (свойство 2).
Задача 2
Ответ
2
'3
Рис. 8
Решить неравенство
3 (х —2) - 4 ( х + 1) < 2 ( х - 3) - 2.
► Упростим левую и правую части неравенства. Рас
кроем скобки:
З х - 6 - 4 х - 4 < 2 х - 6 - 2 .
Перенесем члены, содержащие неизвестное, в ле
вую часть, а члены, не содержащие неизвестное,
в правую (свойство 1):
З х - 4 х - 2 х < 6 + 4 - 6 - 2 .
Приведем подобные члены: - З х < 2 и разделим обе
о
части на -3 (свойство 2): х > - —.
Это решение коротко можно записать так:
3 ( д г - 2 ) - 4 ( х + 1 ) < 2 ( х - 3 ) - 2 ,
З х - 6 - 4 х - 4 < 2 д : - 6 - 2 ,
- х - 10 < 2х - 8,
- З х < 2 ,
* > - ! •
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенству
2 — числовой оси изображается лучом
Х > 3 ’
на
Рис. 9
Задача 3
(рис. 8). Точка х = - - не принадле-
и
жит этому лучу, на рисунке 8 она
изображена светлым кружком, а луч
отмечен штриховкой. Множество чи
сел х, удовлетворяющих, например,
неравенству х > 2 , иногда называют
лучом. Точка х - 2 принадлежит это
му лучу. На рисунке 9 эта точка
изображена темным кружком.
„ х - 5 , , - ^ 5 * х - 3
Решить неравенство + 1> ----------------.
6 2 3
► Умножим обе части неравенства на 6:
х - 5
+ 6 1 > 6 — - 6
х - 3
6 2 3
( х - 5 ) + 6 > 1 5 х - 2 ( х - 3 ) .
27

Ответ
Рис. 10
х - 5 + 6 > 1 5 х - 2 х + 6,
х + 1 > 13* + 6,
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
откуда
-1 2 * > 5, х < -
12
Множество решений этого неравенства, т. е. мно-
5
жество чисел изображено на рисунке 10.
В рассмотренных примерах неравен
ства после упрощения сводились к
линейным, у которых коэффициент
при неизвестном был не равен нулю.
В некоторых случаях этот коэффи
циент может быть равен нулю.
Приведем примеры таких неравенств.
"А
Задача 4 Решить неравенство
2 ( х + 1) + 5 > 3 - ( 1 - 2х).
► Упростим обе части неравенства:
2дс + 2 + 5 > 3 - 1 + 2х,
2 х + 7 > 2 + 2х,
откуда
2 х - 2 х > 2 - 7,
0 •х > -5.
Ответ
Последнее неравенство является верным при лю
бом значении х, так как его левая часть при любом
х равна нулю, а 0 > -5. Следовательно, любое значе
ние х является решением данного неравенства.
х — любое число.
Задача 5 Решить неравенство
3 ( 2 - * ) - 2 > 5 - 3 * .
► Упростим левую часть неравенства:
откуда
6 - Зх - 2 > 5 - 3 * ,
4 - 3* > 5 - 3*,
- Зх + 3* > 5 - 4,
0 • д: > 1.
28

Последнее неравенство не имеет решений, так как
левая часть неравенства при любом значении х рав
на нулю, а неравенство 0 > 1 неверно. Следователь
но, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ Решений нет. <]
Решить неравенство (90— 91).
90 1) х + 2 > 15; 2) * - 6 < 8; 3) 3<1/ + 6;
4) - 4 > Ъ - у; 5) 2г > г - 7; 6 ) З г < 2 г + 4.
91 1) 12* > -36; 2) - 7 л: < 56; 3) ^ < 7 ;
4
4) - 5 < | ; 5) 7,2г > -2 7 ; 6) -4 ,5 * > 9 .
О
Решить неравенство и изобразить множество его решений на
числовой оси (92— 93).
92 1) 2л: - 16 > 0; 2) 1 8 - З х > 0 ; 3) З х - 1 5 < 0 ;
4) 25 - 5л: < 0; 5) 9 - З х > 0 ; 6) 2л; + 4 < 0 .
93 1) 3(л: + 1) < х + 5; 2) 4 ( л : - 1 ) > 5 + х ;
3) 2 ( х - 3) + 4 < х - 2; 4) х + 2 < 3(л: + 2) - 4;
5) 2 х ~— ; 6) З х ~ 2 > 2 х ~ .
3 5 4 3
94 Выяснить, при каких значениях х выражение принимает по
ложительные значения:
1) |л: + 4; 2) | -4 л :; 3) 2 ( х + 3) + Зх;
о 2
4) 3(л: - 5 ) - 8х; 5) ± - 2 ( х + 4); 6) | - 3 ( х - 5 ) .
95 Выяснить, при каких значениях у выражение принимает от
рицательные значения:
1 4 = 2 оч З о о У ~ 2 . I .
1} 5 ~ з у] 2) - - 2 1 /; 3) — + з ’
4) в £ ^ 1 _ 2 ; 5 ) 1 ^ - ^ ; 6 ) ± ^ - * .
5 5 2 2 6 6
96 Найти наименьшее целое число, являющееся решением не
равенства:
1) 4 ( у - 1 ) < 2 + 7у; 2) 4г/- 9 >3 (г/ -2 );
3) 3(л: - 2 ) - 2 л: < 4 л:+ 1; 4) 6л: + 1 > 2(л: - 1) - Зл:.
97 Найти наибольшее целое число, являющееся решением нера
венства:
1) 5 - 2л:>0; 2) 6л: + 5 < 0 ;
3) 3(1 - л;) > 2(2 - х); 4) 4(2 - х ) < 5(1 - л:).
29

98 » < 4* + 3; 21 | _ 5> 1! " Т !
4 - 3 9 8 9 ^ ^ 4) 8 + ^ > ^ - ^ .
2 6 4 6 3
99 1) £ ± 1 - 2 х < ^ + * ; 2) ^ ± + Зх > * - ^ ;
2 3 2 3 3 4
о Ч 2 х - 1 2 д г З л с - 2 х . . З х + 1 д: ^ 5 х - 2 , 3 *
3 ) ---------------- > ----------------; 4 ) ----------------- < ---------- + — .
2 5 5 4 4 2 3 5
100 1) При каких а значение дроби ^ больше значения дро
би
4
Ь•+■3
2) При каких Ь значение дроби —- — меньше значения
дроби
5
Зх —5
3) При каких х значение дроби больше значения раз-
б
ности дробей ~ 7 и 3 ?
15 9
о _ 5 г 7 г — 3
4) При каких х значение суммы дробей и мень-
4 6
2х "4" 5
ше значения дроби ---------?
18
101 1)3 (х - 2) + х < 4х + 1; 2) 5(х + 2) - * > 3 (х - 1) + х;
3) Зх + 6 х , х + 2 . 4) 2x^-1_ 4 < х _ Ц х ± 1 .
4 4 2 ’ 5 5 ’
5) 5х + 1 > 2 (х - 1) + Зх + 3; 6) £ ^ - х < 2 - - .
2 2
102 1) 5(х + 2) + 2(х - 3) < 3(х - 1) + 4х;
2) 3 ( 2 х - 1 ) + 3 ( х - 1 ) > 5 ( х + 2) + 2 ( 2 х - 3 ) ;
3) 5 £ ± 3 _ ! > Зх _ х - 7
2 2
4) < 2 х - ^ £ ^ .
3 3
103 1)( х - 1 ) 2+ 7 > ( х + 4)2;
2) (1 + х )2+ Зх2< ( 2 х - I )2+ 7;
3) ( х + 3)(х - 2) > (х + 2 )(х - 3);
4) ( х + 1 ) ( х - 4 ) + 4 > ( х + 2 ) ( х - 3 ) - х .
104 1) — <0; 2) — - — > 0; 3) ~1,7 >0 ;
З х + 6 2 х - 4 0 , 5 х - 2
4) - ~ 2,3 <0; 5) — — — <0 ; 6) — ~3,8 >0.
0,4х + 8 2,1 + б.Зх 3,2 - 6,4х
30

105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
При каких * значения функции у = 2,5* -4 :
1) положительны; 2) отрицательны;
3) больше 1; 4) меньше -4?
При каких х значения функции у = 3,5 -0 ,5 * :
1) положительны; 2) неотрицательны;
3) не больше 3,5; 4) не меньше 1?
Построить график функции у = 3 - 2 х . С помощью графика
найти значения *, при которых точки графика лежат:
1) выше оси абсцисс; 2) выше прямой у = 2;
3) ниже оси абсцисс; 4) ниже прямой у = 4.
Результаты проверить, составляя и решая соответствующие
Сколько железнодорожных платформ потребуется для пере
возки 183 контейнеров, если на одной платформе можно раз
местить не более 5 контейнеров?
Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько
деталей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план
более чем на 7%?
Одна сторона треугольника равна 8 см, а другая — 13 см.
1) Каким наименьшим целым числом сантиметров может
быть длина третьей стороны?
2) Каким наибольшим целым числом сантиметров может
быть длина третьей стороны?
Сумма нечетного числа с тремя последующими нечетными
числами больше 49. Найти наименьшее нечетное число,
удовлетворяющее этому условию.
Сумма четного числа с утроенным последующим четным
числом меньше 69. Найти наибольшее четное число, удов
летворяющее этому условию.
Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 60 км, от
правляются одновременно навстречу друг другу пешеход и
велосипедист с постоянными скоростями. Скорость движе
ния пешехода равна 4 км/ч. С какой скоростью должен дви
гаться велосипедист, чтобы его встреча с пешеходом про
изошла не позже чем через 3 ч после начала движения?
На соревнованиях велосипедисты должны проехать 155 км.
Велосипедисты стартуют поочередно с интервалом 5 мин,
и каждый из них едет с постоянной скоростью. Скорость
первого велосипедиста равна 30 км/ч. С какой скоростью
должен двигаться третий велосипедист, чтобы прибыть
к финишу раньше первого?
При каких значениях * точки графика функции у = 3х + 4,5
лежат выше точек графика функции у = - 2 х + 1?
При каких значениях * точки графика функции у = 5 * - 4
лежат ниже точек графика функции у = 0 ,5 *+ 5?
31

117 На какое наименьшее целое число сантиметров нужно уве
личить длину окружности, чтобы ее радиус увеличился бо
лее чем на 10 см? (Длина с окружности радиуса Я равна:
с = 2пИ, где л = 3,14... .)
Системы неравенств
с одним неизвестным.
Числовые промежутки
1. С и с т е м ы н е р а в е н с т в .
Задача В пустой бассейн вместимостью 4000 л начали на
ливать воду. Сколько литров воды в час нужно на
ливать в бассейн, чтобы через 4 ч было заполнено
более половины всего бассейна и чтобы через 5 ч
бассейн не переполнился?
► Пусть х литров — количество воды, поступающей
в бассейн за 1 ч. По условию задачи 4х>2000,
5х < 4000. Из первого неравенства получим х > 500,
а из второго х <800.
Ответ За час нужно вливать в бассейн больше 500 л воды,
но не больше 800 л воды.
В неравенствах 4х >2000 и 5х <4000 неизвестное
число х одно и то же. Поэтому эти неравенства рас
сматривают совместно и говорят, что они образуют
систему неравенств:
|4х>2000, ...*
[5 * <4000. ' '
Фигурная скобка показывает, что нужно найти та
кие значения х, при которых оба неравенства систе
мы (1) обращаются в верные числовые неравенства.
Система (1) — пример системы линейных нера
венств с одним неизвестным.
Приведем еще примеры систем неравенств с одним
неизвестным, сводящихся к системе линейных
|3(х + 1)>5, 2 х - 1 > 3 х ,
[ 4 ( х —1) > х - 2; 5(лг —1) < 8 .
32

Решением системы неравенств с одним неизвест
ным называется то значение неизвестного, при ко
тором все неравенства системы обращаются в вер
ные числовые неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти
все решения этой системы или установить, что
их нет.
Рис. 11
Например, х = 1 является решением системы
[ 2 х > - 4 , „
3 * < 9, ( )
так как при х = 1 оба неравенства системы (2)
верны:
Г2 - 1 > —4,
[3-1 < 9.
Разделив обе части первого неравенства системы
(2) на 2, а второго — на 3, получим:
х > - 2 ,
х « 3 .
Следовательно, решениями системы (2) являются
все значения х, которые не меньше -2 и не боль
ше 3.
Неравенства х > -2 и х < 3 можно записать в виде
двойного неравенства:
-2 < х < 3.
2. Ч и с л о в ы е п р о м е ж у т к и .
Решениями систем неравенств с одним неизвест
ным являются различные числовые множества.
Эти множества имеют свои названия.
Так, на числовой оси множество чи
сел х, таких, что -2 < х < 3, изобража-
~ ется отрезком с концами в точках -2
-2 ‘ 3 и 3 (рис. 11).
Поэтому множество чисел х, удовлет
воряющих неравенствам -2 < х < 3, на
зывают отрезком и обозначают [ -2 ; 3].
Если а < Ь, то множество чисел х, удовлетворяю
щих неравенствам а < х < Ь , называется отрезком
и обозначается [а; 6].
Например, отрезок [4; 7] — это множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам 4 < х < 7. Для мно-
2Алимов, 8 кл. 33

-2 3 -1 2 4 7
Рис. 12 Рис. 13
жеств чисел, удовлетворяющих неравенствам вида
2 < х < 7 , - К л: < 2 , 4 < л: < 7, также вводятся специ
альные названия.
Если а < Ь , то множество чисел х, удовлетворяю
щих неравенствам а < х < Ь , называется интерва
лом и обозначается (а; Ь).
Например, интервал (-2 ; 3) — это множество чи
сел х, удовлетворяющих неравенствам -2 < х < 3
(рис. 12).
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенст
вам вида х > а и х < а также называют интервалом.
Множества чисел х, удовлетворяющих неравенст
вам а < х < Ь или а < х <Ь, называются полуинтер
валами и обозначаются соответственно [а; Ь) и
Например, полуинтервал [-1 ; 2) — это множество
чисел х, удовлетворяющих неравенствам -1 < х < 2;
полуинтервал (4; 7] — множество чисел х, удов
летворяющих неравенствам 4 < х < 7 (рис. 13).
Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи назы
вают числовыми промежутками.
Таким образом, числовые промежутки можно зада
вать в виде неравенств.
(а; Ь].
34

118 Какие из чисел -3 ; 10; 12 являются решениями системы не
равенств:
1) Г 5 - * < 9 , 2) J—jc—2 > 1,
{ 2 - Зх > -4; | б - 2 х > -25?
119 Какие из чисел -2 ; 0; 1; 2 являются решениями системы не
равенств:
1) /12л:- 1 < 11, 2) 4 х - 1 > 4 - х ,Г 1 2 jc - 1 < 1 1 ,
j - 3 - x < 0 ; х + 6 > 2?
120 Найти все целые числа, являющиеся решениями системы
1) [ х > 2 , 2) | х < 3 , 3) < 2,7, 4) ( х > - 5 , 1 ,
[ х < 7 ; { х > - 1 ; д: > 0; [ х<5,1.
121 Множество чисел х, удовлетворяющих данному двойному
неравенству, записать с помощью обозначений числового
промежутка и изобразить его на числовой оси:
1) 1 < х < 5 ; 2) - 1 < х < 3 ; 3) - 1 < х <4;
4) 1 < х < 2 ; 5) - 3 < х < 1 ; 6) - 4 < х < - 2 .
122 Множество чисел х, принадлежащих данному числовому
промежутку, записать в виде двойного неравенства и изобра
зить его на числовой оси:
1) [-4 ; 0]; 2) [-3 ; -1 ]; 3) (-4 ; -2 );
4) (0; 3); 5) (-1 ; 4]; 6) [-2 ; 2).
123 Записать в виде двойного неравенства, а также с помощью
обозначений числового промежутка множество чисел х,
изображенное на рисунке 14.
124 Имеют ли общие точки отрезок [2; 3] и интервал (1; 4)?
125 Имеют ли общие точки отрезки [2; 4] и [3; 5]?
126 На одной координатной плоскости построить графики функ
ций у - - 2 х - 2 и у = 2 - ^ . Отметить на оси абсцисс мно
жество значений х, при которых значения обеих функций:
1) положительны; 2) отрицательны.
а)
-1 5 -4 -1
в)
- 1 2 -4 0
б) г )
Рис. 14
35

С ТО РО Н Ы П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К А В Ы Р А Ж А Ю Т С Я
Н А Т У Р А Л Ь Н Ы М И ЧИ СЛАМ И . К А К О Й Д Л И Н Ы
Д О Л Ж Н Ы ОНИ Б Ы ТЬ , ЧТОБЫ ЗН АЧ ЕН И Е
П Е Р И М Е Т Р А П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К А Б Ы Л О РАВНО
ЗН А Ч Е Н И Ю ЕГО П Л О Щ А Д И ?
127 На одной координатной плоскости изображены графики двух
линейных функций (рис. 15). Указать значения х (если они
существуют), при которых значения обеих функций одно
временно положительны; отрицательны.
128 Решить неравенство:
1) ( х - 3 ) ( 2 х - 3 ) + 6х2 < 2 ( 2 х - 3 ) 2;
2) (5 - 6х)(1 + Зх) + (1 + Зх)2< (1 + Зх)(1 - Зх);
3) (2 х + 1)(4х2- 2х + 1) - 8 х 3 > - 2(х + 3);
4) (х - 2 )(х 2+ 2х + 4) < х (х 2+ 2) + 1.
Рис. 15

Решение
систем неравенств
§ 9
(1)
Рассмотрим примеры решения систем неравенств.
Задача 1 Решить систему неравенств
[5х - 1 > 3 (х + 1),
[ 2( х + 4) > х + 5.
Решим первое неравенство:
5 х - 1 > 3 л : + 3, 2 х > 4 , х > 2 .
Итак, первое неравенство выполняется при х > 2 .
Решим второе неравенство:
2х + 8 > х + 5, х > - 3 .
Итак, второе неравенство системы (1) выполняется
при х > -3.
________________ Изобразим на числовой оси множест-
.----- ва решений первого и второго нера-
нУ///^ венств системы (1).
2 Решения первого неравенства — ин
тервал х > 2 , решения второго нера
венства — интервал х > -3 (рис. 16).
Решениями системы (1) являются такие значе
ния х, которые одновременно принадлежат обоим
интервалам. Из рисунка видно, что множество всех
общих точек этих интервалов — интервал х > 2.
Ответ л: > 2. <1
Задача 2 Решить систему неравенств
[ 3 ( х - 1 ) < 2 х + 4,
Г
-3
Рис. 16
[4 х - 3 > 13. (2)
► Решим первое неравенство:
Зх - 3 < 2х + 4, х < 7 .
Решим второе неравенство системы (2):
4х > 16, х > 4.
Изобразим на числовой оси множества решений
первого и второго неравенств системы (2). Решения
37

4
Рис. 17
7 -12
Рис. 18
-7
Ответ
Задача 3
первого неравенства — луч х < 7, решения второго
неравенства — луч х > 4 (рис. 17).
Из рисунка видно, что множество общих точек
этих лучей — отрезок [4; 7].
4 < х < 7 . <1
Решить систему неравенств
Ьх , 4 ^ х + 1
+ — Ч ------- .
12 3
2 - ^ <
3
2 -х
(3)
Ответ
14 2
► Решим первое неравенство системы (3):
5х + 16 > 4х + 4, х > - 1 2 .
Решим второе неравенство:
2 8 - 5 х < 1 4 - 7 х , 2 х < -14, х < - 7 .
Изобразим на числовой оси промежутки х > - 1 2
и х < - 7 (рис. 18).
Из рисунка видно, что множество общих точек
этих промежутков — полуинтервал [-12 ; -7 ).
-12 < х < -7 . <
Задача 4 Показать, что система неравенств
[2(1 - х) < 4 - Зх,
10 - Зх < 1
не имеет решений.
► Решим первое неравенство:
2 - 2 х < 4 - З х , х < 2.
Решим второе неравенство системы (4):
- З х < -9 , х > 3 .
(4)
Рис. 19
Изобразим на числовой оси интер
валы х < 2 и х > 3 (рис. 19).
Из рисунка видно, что эти интервалы
не имеют общих точек. Следователь
но, система (4) не имеет решений. <3
38

Записать множество решений системы неравенств одним не
равенством и изобразить его на числовой оси (129— 130).
129 1) х > 2 , 2) Гх > 0, 3) х > 2 , 4) ( х > - 2 ,
х > 5 ; 1 х > - 1 ; 1 х > - 3 ; х > ~ 4 .
{ х < 1 ,
|х < 5;
130 1) / х < 1 , 2) ( х < 0 , 3) | х < - 2 , 4) Гх < 1,
[ х < —1; 1х < —5; [ х < 0 .
Записать множество решений системы неравенств двойным
неравенством и изобразить его на числовой оси (131— 133).
131
Ч 1
[ х > 2 , 2) | х > 3 ,
[ х < 5 ; [ х < 6 ;
3) | х <0,
{ х > -2;
4) [ х > 0,
1 * 4
132
* 4
[ х < —2,
[ х > - 7,5; 2 , |
[ х <1,5,
[х >-1,5;
311
[х >0,8,
[х <2,2;
іх <7,5,
[х > -0,5.
Решить систему неравенств (133—137).
133
11і
[ З х - 18 > 0,
[ 4 х >12;
[ 7 х - 14> 0,
[2х > 8;
а, ![2х + 5>0,
[Зх + 6 > 0 ;
[2х + 7 > 0,
[5х + 15 > 0.
134
1Ч
[3 - 2х > 0,
[4х + 8 <0;
Ч ] [2х + 4 < 0,
[4 - Зх > 0;
зм
[2х + 3 < 0,
|Зх + 9 ^ 0 ;
[2х - 9 < 0,
[ 12 > Зх.
135
"і
[ 7 - 2х > 0;
[ 5 х - 2 0 <0;
[2х + 5 < 0,
[9х + 18 <0;
3> [6 - 2х > 0,
[Зх + 6 > 0; 41 1
[ 10 - 2х > 0,
[4х —8 > 0.
136
4і
2,|
[Зх + 3 < 2х + 1,
[ З х - 2 < 4 х + 2;
[4х + 2 > 5х + 3,
[2 - Зх< 7 - 2х;
1
5(х + 1) - х > 2х + 2,
[4(х + 1 ) ~ 2 < 2 ( 2 х + 1 ) - - х;
« | [ 2( х - 1) - 3 < 5(2х
[ 3 ( х + 1 ) - 2 < 6 ( 1 -
- 1 ) - 7х,
- х) + 7.
39

137
" 1
5(х + 1) < 3(х + 3) + 1,
2х - 1 , х + 1
7 < 2 *
, | 2 ( 2 х + 1 ) + х > 3 ( х - 1 ) + 4,
2 х - 1 ^ З х - 2
1 з 4 •
3)
х - 5 , , З х - 1
6 ' 4 ’
х + 2 _ х + 3
3 5 ’
4)
х + 3 ^ 2 х + 7
2 > ....5 ’
2 х - 3 , х - 2 ( 5
7 3 21'
Решить систему неравенств (138— 140).
138 1) І І - І І : < *__2 + * 2)
15 3 5
1 - З х ч , 5х - 1 7х
^ ;
12 3 4
3) - у < 4х- * 3 -0 ,6 , 4)
і £ ± і _ ^ < б £ ^ і + 0 ) і ;
2 5 5
5х + 7 Зх 11ї - 7
6 4 12 ’
1 - Зх _ 1- 4х > х _
2 3 " 6
8 х + 1 „ 4 х + 9 х —1
3 2 3 ’
5 х - 2 2х + 1 3 _ х + 2
139 1) Г2(4лг - 1) - Зх < 5(х + 2) + 7,
і х - 2 х - 3
1 3 " 2 ’
2) 3^ ^ - 1 , 3 х > | -1 ,5 ,
2 5
х - 3 х + 5
140 1) |3(х + 8) > 4(7 - х),
{ ( х + 2)(х - 5) > (х + 3)(х - 4);
2) | (х + 3 ) ( х - 6 ) < ( х + 2 ) ( х + 1 ) + 4,
} 2 ( 6 х - 1) > 7(2х - 4);
3) ГЗх + 2 > х - 2 ,
|х + 15 > 6 - 2х,
[бх + 11 < х + 23;
4 ) Г 3 х - 4 < 8 х + 6,
|2х - 1 > 5х - 4,
1 1 х - 9 < 5 х + 3.
40

141 Найти все целые числа, являющиеся решениями системы
1) [ 0 , 2 х > - 1 , 2) [ 1 - 0 , 5 х > 0,
1;
х + 5 < 1
3 5
£ т ^ < 1 * 4>
х - 1 - X
^ ,
2 3 4 5
х + 1 ^ X
..... ^ и )
х ^ х + 4
2 5 .3 7
142 Указать значения х (если они существуют), при которых
значения функций у = 0,5х + 2 и у = 3 - 3 х одновременно:
1) положительны; 2) отрицательны;
3) больше 3; 4) меньше 3.
Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных
функций, построенных на одной координатной плоскости.
143 При каких х значения функций у = х - 2 и у = 0,5х + 1
одновременно:
1) неотрицательны; 2) неположительны;
3) не меньше 4; 4) не больше 4?
144 Одна сторона треугольника равна 5 м, а другая — 8 м.
Какой может быть третья сторона, если периметр треуголь
ника: 1) меньше 22 м; 2) больше 17 м?
3 1
145 Если из — целого числа вычесть - его, то получится число,
2 4
3 1большее 29, а если из — этого же числа вычесть — его, то по-
2 3
лучится число, меньшее 29. Найти это целое число.
146 Если к удвоенному целому числу прибавить его половину, то
получится число, меньшее 92, а если из удвоенного этого же
целого числа вычесть его половину, то получится число,
большее 53. Найти это целое число.
147 В раствор объемом 8 л, содержащий 60% кислоты, начали
вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно
влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала
кислоты не больше 40%, но не меньше 30%?
148 Для получения крахмала берут рис и ячмень, причем ячме
ня берут в 4 раза больше, чем риса. Сколько килограммов
риса и ячменя нужно взять, чтобы получить больше 63 кг,
но не больше 126 кг крахмала, если рис содержит 75% крах
мала, а ячмень — 60%?
41

-2
Рис. 20
Модуль числа. Уравнения
и неравенства, содержащие модуль
1. М о д у л ь ч и с л а .
Напомним понятие модуля числа.
1) Модуль положительного числа равен самому
числу.
Например, |3|= 3, = |, |2,4| = 2,4.
2) Модуль отрицательного числа равен противопо
ложному ему числу.
Например, |-2| = - ( - 2 ) = 2,
= -(-1 ,5 ) = 1,5.
■ ! Н - и л -
3) Модуль нуля равен нулю: |0|= 0.
Итак, определение модуля числа таково:
|а|= а, если а > О,
|а| = - а , если а < 0.
Это определение коротко записывают формулой:
а =
а , если а > 0,
- а , если а < О.
Рассмотрим геометрический смысл модуля числа.
Изобразим на числовой оси, например, точки 3
и -2 (рис. 20).
Из рисунка видно, что |3|= 3 есть рас-
21 |з | стояние от точки 0 до точки 3, |-2| = 2
есть расстояние от точки 0 до точки -2.
1----- 1------1-------- ► Итак, геометрически |а| есть расстоя-
0 3 ние от точки 0 до точки, изображаю
щей число а.
42

2. У р а в н е н и я , с о д е р ж а щ и е н е и з в е с т
н о е п о д з н а к о м м о д у л я .
Задача 1 Решить уравнение |лг|= 7.
► 1) Пусть х > 0 . Тогда по определению модуля
|х |= х, и уравнение принимает вид:
х = 7,
т. е. х = 7 — корень исходного уравнения.
2) Пусть х < 0 . Тогда по определению модуля
|х |= - х , и уравнение принимает вид:
- х = 7,
откуда х = - 7 — корень исходного уравнения.
Ответ *1 = 7 , х 2= - 7. <1
Задача 2 Решить уравнение |3* + 2|= 1.
► 1) Пусть 3 * + 2 > 0. Тогда Зх + 2 = 1,3* = -1 , х -
О
2) Пусть Зх + 2 < 0. Тогда Зх + 2 = -1 ,3 х = -3, х =
Ответ X; = , х 2= -1. <
о
Ы < а
Рис. 21
3. Н е р а в е н с т в а , с о д е р ж а щ и е н е и з
в е с т н о е п о д з н а к о м м о д у л я .
Рассмотрим неравенство
|ж| < а , где а >0.
Этому неравенству удовлетворяют
все точки х, находящиеся на рассто-
► янии, не большем а, от точки 0, т. е.
точки отрезка [ - а ; а] (рис. 21).
Отрезок [ - а ; а] — это множество чи
сел х, удовлетворяющих неравенст
ву - а < х < а .
Следовательно, неравенство |х < а , где а > 0, озна
чает то же самое, что и двойное неравенство
- а < х < а .
Например, неравенство |х|<2,5 означает, что
- 2 , 5 < х < 2 , 5 ; неравенство |х|<3 означает, что
-3 < х < 3.
Задача 3 Решить неравенство |5- 3*|< 8.
► Запишем данное неравенство в виде
-8 < 5 - З х <8.
43

г
-1
-а о а
х>а
Ответ
Задача 4
Это двойное неравенство означает то же самое, что
и система неравенств:
-1 < х < 4 - . <3
3
Рассмотрим неравенство
х> а, где а > 0.
Этому неравенству удовлетворяют все ТОЧКИ X ,
находящиеся от точки 0 на расстоянии, не мень
шем а, т. е. точки двух лучей х > а и х < - а
(рис. 23).
Решить неравенство |х - 11> 2.
► 1) Пусть х - 1 > 0. Тогда х - 1> 2. Получим систему
Решая эту систему, находим х > 3.
2) Пусть х - 1 < 0. Тогда - ( х - 1) > 2, или х - 1 < - 2.
Получим систему неравенств
Решая эту систему, находим х < - 1.
Итак, во-первых, неравенство |х —11> 2 выполня
ется при х > 3, а во-вторых, при х < - 1 .
5 - З х < 8 ,
5 - Зх > - 8.
Решая эту систему, находим - 1 < х < 4 - ^ (рис. 22).
О
х - 1>0,
х - 1 > 2.
х - 1 < 0,
Ответ х < - 1 , х > 3 . <3
Решения неравенства |х - 11> 2
изображены на рисунке 24.
Рис. 24
-1 3
Отметим, что если в неравенстве
|х |< а число а равно нулю, то нера
венство имеет единственное реше-
44

149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
ние х = 0, а если а < 0, то это неравенство не имеет
решений.
Если в неравенстве |х |> а число а меньше или рав
но нулю, то любое число является его решением.
(Устно.) Найти модуль числа:
1) 23; 2) 4,7; 3) § ; 4) -47; 5) -2,1 ; 6) - | .
I О
1) |*| = 2,5;
3) | * - 1 |= 2 ;
1) |* + 4| = 0;
3) |2*-3| = 0;
2) |дс|= 1,5;
4) |* + 3|= 3.
2) |jc—2 1= 0;
4) |3-4д:| = 0.
1)
3)
3* - 5| = 5;
1 ,
3'3 6
2)
4)
4х + 3|= 2;
1) |-*| = 3,4;
4) |3-*| = 8;
2) |-*| = 2,1;
5) |4-5*| = 5;
3) |5- *|=5;
6) |3-4*| = 8.
Изобразить на числовой оси множество решений нера
венства:
1) I*| < 5; 2) 1*| <4;
3) |*| > 3; 4) |* |>2 .
Записать неравенство с модулем в виде двойного нера
венства:
1) |*| <3 ; 2) |*| < 2.
Двойное неравенство записать в виде одного неравенства с
модулем:
1) -3,1 < *< 3 ,1 ; 2) - 0 , 3 < * < 0 , 3 .
1) |1+ *| <0,3;
3) | 3 -* | < | ;
1) |3* —4 1< 5;
3) |2 - 3*| < 2;
1) |* + 11> 1,3;
3) | 1 - * 1 > | ;
2) |2 +*| <0,2 ;
4) |1 *|<|.
2) |2* + 3|<3;
4) |5- 4*| < 1.
2) |* - 2 1> 1,1;
4) | 3 -* 1 > | .
45

161
162
163
164
165
166
167
160
168
169
1) |4х- 3|>3; 2)|Зх + 2|>1;
3) |Зх-2|>4; 4) |4 -5 х|>4 .
Найти все целые значения х, при которых выполняется не
равенство:
1) |5х- 2 1<8; 2) |5х + 3|<7;
3) |5- Зх| < 1; 4) |3- 4х| < 3.
Решить неравенство:
1) |2х-3|>5; 2) |3х- 11<4;
3) |1- Зх| < 1; 4) |3- 2х| > 3;
5) |0,3 - 1,3х| < 2,3; 6) |1,2 - 0,8х| > 2,8.
Решить двойное неравенство, записав его в виде системы
двух неравенств:
1) -3 < 2х - 9 < 1; 2) 3 < Зх + 1 < 5;
3) -4 < 1—0,2х < 1,2; 4) -3 « 2 + 1,5х < - 2,5.
При каких значениях х выполняется равенство:
1) |х + 3|= х + 3; 2) |х —2 1= 2 - х?
Пусть а < 0. Выяснить, положительно или отрицательно зна
чение выражения:
1) а-|а|; 2) |-а|-а;
3) а 2|а|; 4) М .
а6
Выяснить, положительно или отрицательно число а, если:
1) а 3|а|<0; 2) а|а|2 >0 ;
3) >0 ; 4) ^ < 0 .
|а| а
Доказать, что:
1) |а •&|= |а| ■|&| при любых а и Ь;
2) |а"| = |а|я при любом а и любом натуральном п ;
3)
а
•р-т при любом а и любом Ь * 0;
| о |
4) |ап|= а п при любом а, если п — четное натуральное
число;
5) ап = - а п, если а < 0 и п — нечетное натуральное число.
Доказать, что число а —Ь равно расстоянию между точка
ми а и Ь числовой оси.
Доказать, что
||а|-|&|| <|а + Ь| <|а| + |&|
для любых чисел а и Ь.
46

к главе I
170
171
172
173
174
175
176
177
1) х ( 2 х + 5) = 0; 2) х ( З х - 4 ) = 0;
3) ( х - 5 ) ( З х + 1) = 0; 4) ( х + 4 )(2 х - 1) = 0.
1) 2х±_3=0; 2) ^ ^ - = 0;
З х - 1 2х + 5
3 ( 2 х + 1 ) ( х + 2 ) 4 ( х - 3)(2 х + 4)
х - 3 ’ х + 1
На числовой оси точка а лежит левее точки Ь. Положительно
или отрицательно число:
1) Ь - а ; 2) 2 + Ь - а ; 3) а - Ь ; 4) а - З - Ь ?
1) 9 х2+ 1 > 6х при любом х;
2) х + > - при х > 0;
16х 2
3) | + 5 < - | | при х < 0 ;
.. ( 2 х - 1 ) ( 2 х + 1) 1 „
4) ^ ^ ---------- > ------ при х > 3.
х - 3 3 - х
1) если 36 - а < а - Ь, то а > 2Ь;
2) если 2Ь + а > 2а - Ь , то а < ЗЬ;
о 2Ь а а Ь ,
3) если —-------> - + - , т о а < Ь ;
3 6 3 6
4) если 1,246 - 0,37а < 2,63а - 1,766, то а > Ь .
1) если х < 1,2 и у < 5 , то х + у < 6,2;
2) если х > ^ и у > 2 , то ху > ^ .
Доказать, что если х > -3 и у > 1, то:
1} + 2) I Х+У>"1;
3) 2,7х + 1,1г/> -7 ; 4) 1,1х + 2,1 у > -0 ,7 .
Пусть а > Ь > 0. Доказать, что:
1) а3 > Ь 3; 2) а3 > а Ь 2; 3) а4 > а 2Ь2; 4) а2Ь2 > Ь 4.
47

1) х + 9 > 8 - 4 х ;
2) 3(у + 4 ) > 4 - ( 1 - Зу);
3) 5(0,2 + у) - 1,8 > 4,3 + 5у;
4) 3 (х - 5) + 9 > 15.
179 Решить систему неравенств:
1) 10,5(х + 3) - 0,8 < 0,4(х + 2) - 0,3,
[0,7(2 - х ) + 1,3 < 0,6(1 - х ) + 2,2;
2) j 1,5(х - 2) - 2,1 < 1,3(х - 1) + 2,5,
11,3(х + 3) + 1,7 > 1,6(х + 2) + 1,8.
180 Множество чисел х, изображенное на рисунке 25, записать
в виде двойного неравенства и неравенства, содержащего
знак модуля.
181 Множество чисел х, изображенное на рисунке 26, записать
в виде неравенства, содержащего знак модуля.
-5 0
а)
5
----
-3 0
а )
■
3
А
-3 0
б)
3 -2 0
б )
2
0
в )
4 1
в )
3
МЬ
0
г)
4 2
г)
4
[/////////бУ/
-4
д )
-2 -4
д )
-2
Г ■Ш ////А -Jm
-6
Рис. 25
е)
-2 -5
Рис. 26
е)
-3
48

182 Решить уравнение:
1) |ж- 11= 3,4; 2) |1- *| = 2,4;
3) |1-2ж| = 5; 4) | 3 * - 2 1= 1.
1) |* - 11< 3,4; 2) |* - 11> 3,4; 3) |* - 11< 3,4;
4) |2* + 1| > 3; 5) |5*+1|<3; 6) |4* - 0, 8| >2.
Проверь себя!
1 Доказать, что при всех значениях * верно неравенство
1) 12 - 5* > 0; 2) 3 * - 7 < 4 (* + 2); 3) | + ^-=-^<2.
1) ГЗ* - 13 > 0, 2) J4x - 13 > 3 * - 10, 3) f5 * + 3 < 3 * - 7,
[ 2 5 - 4 * > 0; [ 1 1 - 4 * < 1 2 - 3 * ; j l - 2 * > * + 4.
184 Пусть а < 2Ь. Доказать, что:
1) 4 а - 2 Ь < а + 4Ь; 2) За - 2 Ь < а +2 Ь;
3) а + 2Ь > За - 2Ь; 4) а + Ь > 4а - 56.
185 Одна сторона треугольника больше 4 см, вторая в 1,5 раза
больше первой, третья в 1,5 раза больше второй. Доказать,
что периметр треугольника больше 19 см.
186 Указать значения * (если они существуют), при которых
значения функций у = - х + 1 и у = * + 2 одновременно: 1) по
ложительны; 2) отрицательны; 3) больше 1; 4) больше 2.
i * ( 2 * - 4 ) > ( * - 2 ) * .
а
бдг - 8 , 3 + 5х 5х
3 4 3
3) — ^ - 3<
2
5х
3 + 4х
5
- + 5 ( 4 - * ) > 2 ( 4 - * ) + 13;
3
4) [0 ,4 * + ! < | * - 1 , 2 ,
2х + 9 > э х - 3
7 4
49

188 Сумма четного числа с утроенным последующим четным
числом больше 134, а сумма этого же четного числа с удвоен
ным предыдущим четным числом меньше 104. Найти это
число.
189 Сумма нечетного числа с удвоенным последующим нечет
ным числом меньше 151, а сумма этого же нечетного числа с
утроенным предыдущим нечетным числом больше 174. Най
ти это число.
190 Бригада рабочих за 5 дней изготовила меньше 300 деталей,
а за 10 дней — больше 500 деталей. Сколько деталей в день
изготовил каждый рабочий, если в бригаде 8 человек и про
изводительность труда рабочих одинакова?
191 За 8 рейсов автобус перевез больше 185 пассажиров, а за
15 рейсов — меньше 370 пассажиров. Сколько мест в авто
бусе, если в каждом рейсе автобус перевозил ровно столько
пассажиров, сколько мест в автобусе?
1) 2Ь - а < 3 а - 2Ь тогда и только тогда,когда а > Ь;
2) а + 2Ь > 4а - Ь тогда и только тогда, когда а <Ь;
3) а - 2Ь > За + 2Ь тогда и только тогда,когда а + 2Ь <
4) b - 2 а <4а +ЗЬ тогда и только тогда,когда За + b > 0
193 Скорость течения реки равна а километрам в час. С какой
постоянной скоростью относительно воды должен двигаться
катер, чтобы путь между пристанями он прошел вниз по те
чению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же
путь вверх по течению реки?
194 В раствор объемом 5 л, содержащий 30% кислоты, начали
вливать раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько нужно
влить второго раствора в первый, чтобы их смесь содержала
не менее 60% кислоты?
195 Доказать, что если |х - а =| х - Ь |, где а < Ь, то х — середина
отрезка [а; Ь], т. е.
х =
2
1) | х - 1 = х - 2 ; 2) |х-5| = х - 8 | ;
3) |х + 1 Н * - 2 | ; 4) 1* + 8|= х —51;
5) х + 3 =|х + 7|; 6) |х + 6 1= х + 1 0 1

IIглава
Приближенные
вычисления
Приближенные значения величин.
Погрешность приближения
1 11
При решении практических задач часто приходит
ся иметь дело с приближенными значениями раз
личных величин. Приближенные значения обычно
получаются при подсчете большого количества
предметов, например числа деревьев в лесу; при
измерениях различных величин с помощью прибо
ров, например длины, массы, температуры; при
округлении чисел; при вычислениях на микро
калькуляторе и т. д.
Рассмотрим несколько примеров:
1) в классе 36 учеников;
2) в рабочем поселке 10 ООО жителей;
3) железнодорожный рельс имеет длину 25 м;
4) рабочий получил в кассе 1205 р.;
5) в самолете Як-42 имеется 120 пассажирских
мест;
6) расстояние между Москвой и Санкт-Петербур
гом 650 км;
7) в килограмме пшеницы содержится 30 000 зерен;
8) расстояние от Зем ли до Солнца 1 ,5 -10 8 км.
В примерах 1, 4, 5 значения величин точные, а в
остальных — приближенные.
Задача 1 Один из школьников на вопрос о том, сколько уча
щихся учится в школе, ответил: «приблизитель
но 1000», а другой на тот же вопрос ответил: «при
близительно 950». Чей ответ точнее, если в школе
учится 986 учащихся?
51

' Первый школьник ошибся на 14, а второй — на
36. Следовательно, более точным был ответ первого
учащегося. <3
Заметим, что разность между точным и прибли
женным значениями числа учащихся в первом слу
чае отрицательна:
986-1000 = -14,
а во втором случае положительна:
98 6 -9 5 0 = 36.
Практически важно знать отклонение приближен
ного значения от точного в ту или другую сторону,
т. е. модуль (абсолютную величину) разности меж
ду точным значением и приближенным.
Модуль разности между точным значением величи
ны и ее приближенным значением называется абсо
лютной погрешностью приближения.
Таким образом, если а — приближенное значение
величины, точное значение которой равно х, то
абсолютная погрешность приближения равна
х - а |.
Абсолютную погрешность приближения часто на
зывают просто погрешностью.
52

Задача 2 При нахождении суммы углов треугольника с по
мощью транспортира получили результат 182°.
Какова абсолютная погрешность этого прибли
жения?
► Точное значение суммы углов треугольника рав
но 180°, приближенное значение равно 182°.
Поэтому абсолютная погрешность равна 2°, так как
1180 - 1821= |—2 1= 2. <1
з
Задача 3 Найти погрешность приближения числа - деся
тичной дробью 0,43.
- и «
700
- - 0 , 4 3
= 3 43 _ 300 - 301 _ 1
7 7 100 700 700
197 Высказать предположение, какие из приведенных в приме
рах чисел являются точными значениями величин, а какие
приближенными:
1 ) в зрительном зале 660 мест;
2 ) тетрадь имеет толщину 3 мм;
3) за год автомобильным заводом было выпущено 600 тыс.
автомобилей.
198 При измерении ширины обложки книги с помощью линейки
получен результат в промежутке от 14,2 до 14,3 см.
1) Можно ли назвать точное значение ширины книги?
2) Указать несколько приближенных значений ширины
книги.
4
199 Найти абсолютную погрешность приближения числа -
числом:
Х) 2) Ь 3) 0,3; 4) °’44-
200 Найти погрешность приближения:
1) числа 0,1975 числом 0,198;
2) числа -3,254 числом -3,25;
8 1
3) чи сла чи слом ——;
22
4) числа — числом 3,14.
201 Пусть а — приближенное значение числа *. Найти погреш
ность приближения, если:
1) * = 5,346, а =5,3; 2) * = 4,82, а =4,9;
3) * = 15,9, а = 16; 4) * = 25,08, а= 25.
53

202 Известно, что сумма внутренних углов четырехугольника
равна 360°. При нахождении суммы внутренних углов четы
рехугольника с помощью транспортира получили результат
363°. Чему равна погрешность приближения?
203 С помощью графиков прямых г/=7лг + 9 и (/ = 1 получили, что
эти прямые пересекаются в точке с абсциссой, равной —1 .
Чему равна погрешность этого приближения?
204 Верно ли, что десятичная дробь 0,33 является приближен
ным значением числа с абсолютной погрешностью, мень
шей 0 ,0 1 ?
205 Приближенное значение числа х равно 2,4, абсолютная по
грешность меньше 0,1. Найти промежуток, в котором за
ключено точное значение х.
206 Пусть 7,43 — приближенное значение числа х, а абсолютная
погрешность приближения меньше 0,01. В каком промежут
ке заключено точное значение числа х ?
г
Во многих случаях точное значение величины не
известно, и тогда абсолютную погрешность прибли
жения найти нельзя. Тем не менее часто удается
дать оценку абсолютной погрешности, если изве
стны приближения с избытком и с недостатком.
Задача 1 В комнатном термометре верхний конец столбика
жидкости находится между отметками 21 и 22 °С.
В качестве приближенного значения температуры
взяли величину 21,5 °С. Оценить абсолютную по
грешность приближения указанного измерения.
► Точное значение температуры t неизвестно, однако
можно утверждать, что 2 1 < * < 2 2 .
Чтобы получить оценку разности между точным
значением температуры и приближенным, т. е.
разности £-21,5, вычтем из каждой части этого
двойного неравенства число 21,5.
54

Получим -0 ,5 < t - 21,5 < 0,5, т. е. |f - 21,5| < 0,5.
Таким образом, абсолютная погрешность не боль
ше 0,5. <]
В этом случае говорят также, что температура из
мерена с точностью до 0,5, и записывают:
t =21,5±0,5.
Вообще, если а — приближенное значение числа х
и |х - а| < Л, то говорят, что число х равно числу а
с точностью до h, и пишут:
х = а ± h. ( 1 )
При этом h называют границей абсолютной по
грешности.
Напомним, что неравенство | *-а | < h означает то
же самое, что и двойное неравенство
а - h < х < а + h. (2 )
Например, запись х = 2,43±0,01 означает, что
значение х равно 2,43 с точностью до 0,01, т. е.
2,43 - 0,01 < д: < 2,43 + 0,01, или 2,42 < х « 2,44.
Числа 2,42 и 2,44 являются приближенными зна
чениями числа х с недостатком и с избытком.
Практически при измерении, рассмотренном в за
даче 1 , в качестве приближенного значения берут
21 или 22 °С. В этом случае абсолютная погреш
ность каждого из этих приближений не превосхо
дит 1 °С. Поэтому обычно считают, что измерение
температуры с помощью термометра, на котором
деления нанесены через 1 °С, проводится с точ
ностью до 1 °С.
Аналогично и для других измерительных приборов
точность измерения обычно устанавливается по
наименьшему делению прибора. Например, микро
метром измеряют длину с точностью до 0 ,0 1 мм;
медицинским термометром измеряют температу
ру с точностью до 0,1 °С; будильник показывает
время с точностью до 1 мин; наручные часы с се
кундной стрелкой показывают время с точностью
до 1 с.
Таким образом, погрешность измерения зависит от
того, каким прибором ведется это измерение. Чем
меньше погрешность приближения, тем точнее
измерительный прибор.
Приближенными значениями часто пользуются
при замене обыкновенных дробей десятичными.
55

Задача 2 Доказать, что число 0,43 является приближенным
13
значением дроби — с точностью до 0 ,0 1 .
оО
► Требуется доказать, что
Вычислим разность
— -0 ,4 3
30
< 0,01.
I 3_о 43= — - — = 130~129= _1_
30 ’ 30 100 300 300'
-5?~0’4330
Следовательно,
Так как — < 0,01, то
300
1
300'
— - 0,43
30
<0,01. <3
207
Что означает запись:
1) х = 3,9 ± 0,2; 2) х = 0,4 ± 0,15;
2) х = 0,73 ±0,01; 5) х = -135 ± 1; 6 ) * = - 2 1 ± ± ?
208
209
3) I = 3,7 ± 0,1;
6 ) у = т ± п .
210
211
212
213
Записать в виде двойного неравенства:
1) х = 11 ± 0,5; 2) т = 142 ± 1;
4) у = 900 ±5 ; 5) х = а ± Л ;
Известно, что:
1) х = 4 ±0 ,1 ; 2) х = 2,7 ± 0,1;
3) х = -0,6 ± 0,12; 4) х = -5,9 ±0,2.
Найти приближенные значения числа х с недостатком и с
избытком.
Пусть х = 5,8 ±0,2. Может ли точное значение оказаться
равным:
1) 5,9; 2) 6,001; 3)6 ; 4) 5,81?
Пусть х = 8,7 ±0,4. Может ли число х быть равным:
1) 8,222; 2) 8,4; 3)9; 4) 9,5?
Указать приближенное значение числа х, равное среднему
арифметическому приближений с недостатком и с избыт
ком:
1) 2 0 < х < 2 2 ; 2) 5 < х < 6 ; 3) 4 ,5 < х < 4 ,8 ;
4) 3,7 < х < 4,1; 5) 2,81 < х < 2,83; 6 ) 0,55 < * < 0,6.
1) 2,7 есть приближенное значение числа 2,7356 с точно
стью до 0,5;
2) число 0,27 является приближенным значением дроби —
40
с точностью до 0 ,0 1 .
56

214
215
216
217
218
219
Является ли число 4 приближенным значением дроби 4,3
с точностью до 0,5? до 0,1?
Согласно оптическим и радиолокационным измерениям диа
метр Меркурия равен (4880 ± 2 ) км, а радиус Венеры равен
(6050 ± 5) км. Записать результат измерения в виде двойного
Для измерения диаметра цилиндра рабочий пользуется ка
либрометром, в котором имеются отверстия диаметром
10,00; 10,04; 10,08 мм и т. д. до 10,56 мм. Какова при этом
точность измерения?
В отделе технического контроля (ОТК) завода измеряется
диаметр вала с точностью до 0,1 мм. По таблице допусков
диаметр с1 вала должен быть в промежутке 167,8 <с1 < 168,2.
Забракует ли ОТК вал, если в результате измерения его диа
метр равен 168,1 мм?
Высота собора Петропавловской крепости в Санкт-Петербур-
ге 122 м. Экскурсовод сказал туристам, что высота собора
приближенно равна 120 м. Какова погрешность такого при
ближения?
При взвешивании тела на вторую чашку весов положили
4 гири, массы которых соответственно равны 100 г, 2 г,
100 мг, 10 мг, после чего весы уравновесились. Чему равна
масса тела (в мг)? Оценить точность измерения.
^ Округление
• чисел
Округление чисел используется при действиях с
приближенными значениями различных величин
во многих практических задачах математики, фи
зики, техники.
Например, ускорение свободного падения на уров
не моря и широте 45° равно 9,80665 м/с2. Обычно
это число округляют до десятых: 9,8. При этом пи
шут: g ~ 9,8 (читается « ё приближенно равно 9,8»).
Запись х ~ а означает, что число а является при
ближенным значением числа х.
57

Задача 1 Площадь земельного участка прямоугольной фор
мы равна 25 м2, его длина равна 8 м. Найти шири
ну участка.
► Пусть ширина участка равна I метров, тогда
1= 25:8 = 3,125.
Ответ 3,125 м. <1
Полученную ширину участка на практике округ
лили бы до десятых, т. е. полагали бы, что I ~ 3,1.
Рассмотрим правило округления чисел на следую
щем примере. Пусть требуется округлить число
3,647 до сотых. Для округления с недостатком
отбросим последнюю цифру 7, в результате полу
чим 3,64.
Для округления с избытком отбросим последнюю
цифру 7, а предпоследнюю увеличим на единицу.
В результате получим 3,65.
В первом случае абсолютная погрешность округле
ния равна |3,647 - 3,64| = 0,007.
Во втором случае абсолютная погрешность равна
|3,647-3,65| = 0,003.
Во втором случае погрешность приближения мень
ше, чем в первом случае. Следовательно, в рассмат
риваемом примере наилучшим является округле
ние с избытком.
Чтобы абсолютная погрешность приближения при
округлении положительных чисел была наимень
шей, пользуются следующим правилом:
Если первая отбрасываемая цифра меньше 5,
то нужно округлять с недостатком, а если эта
цифра больше или равна 5, то нужно округлять с
избытком.
Например, при округлении до десятых получаем:
3,647 ~ 3,6, 2,658 —2,7;
при округлении до сотых получаем:
0,6532-0,65, 9,0374-9,04.
о
Задача 2 Заменить число - десятичной дробью, равной это
му числу с точностью до 0 ,0 1 .
► Запишем результат деления 2 на 7 в виде деся
тичной дроби с тремя знаками после запятой:
9
у = 0,285.... Округляя это число до сотых, получа
ем ~ —0,29. <]
58

220
221
222
223
224
225
226
227
Для решения этой задачи было найдено значение -
с тремя знаками после запятой, чтобы получить
значение с точностью до 0,01. Если бы потребова
лось найти приближенное значение числа | с точ
ностью до 0 ,0 0 1 , то надо было бы найти четыре де
сятичных знака.
2
Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, деся
тых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: 3285,05384;
6377,00753; 1234,5336.
Округлить числа 15,75 и 317,25 до единиц с недостатком и с
избытком. Найти абсолютную погрешность каждого округ
ления.
Представить в виде десятичной дроби с точностью до
0 ,1 число:
1Ч 13 17. 39 лх 11. 5. 19
Т ; 2) 25 3) 129 4) Т 5) 7 6) ТГ
Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,01
число:
Х) 2) к ' 3) 4) 11 : 5) 2п : 6) 5П-
Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,001
число:
1 ) | ; 2 ) А ; 3) 2 ± ; 4) 7 ± .
1) Средняя скорость движения молекулы водорода при 0 °С
равна 1693 м/с. Один ученик округлил это число до
1690 м/с, а другой — до 1700 м/с. Найти абсолютную по
грешность каждого округления. В каком случае погреш
ность приближения меньше?
2) Скорость движения пассажирского поезда равна
81,37 км/ч. Машинист округлил это число до 81 км/ч,
а пассажир — до 82 км/ч. Найти абсолютную погрешность
каждого приближения. У кого из них погрешность прибли
жения оказалась меньше?
Олень движется со скоростью 13,8 м/с. Выразить эту ско
рость в километрах в час и округлить с точностью до 1 км/ч.
Число п ~ 3,141592654 есть отношение длины окружности к
ее диаметру. 1) Округлить это число до миллионных, тысяч
ных, сотых. 2) С какой точностью проведено округление,
если в записи оставлено 5 цифр после запятой?
59

Относительная
погрешность
Для сравнения точности некоторых приближений
одной и той же величины используется абсолютная
погрешность. Если же сравниваются точности при
ближения различных величин, то абсолютной по
грешности недостаточно.
Например, расстояние от Москвы до Санкт-Петер-
бурга равно (650 ± 1) км. Длина карандаша равна
(21,3±0,1) см. Абсолютная погрешность в первом
случае не больше 1 км, а во втором — не больше
1 мм. Означает ли это, что длина карандаша изме
рена точнее, чем расстояние от Москвы до Санкт-
Петербурга?
При измерении расстояния от Москвы до Санкт-
Петербурга абсолютная погрешность не превышает
1 км на 650 км, что составляет •100% ~ 0,15%
измеряемой величины.
При измерении длины карандаша абсолютная по
грешность не превышает 0,1 см на 21,3 см, что со
ставляет — 100% ~ 0,47% измеряемой величины.
Таким образом, расстояние между городами изме
рено точнее, чем длина карандаша.
Для оценки качества приближения вводится отно
сительная погрешность.
Относительной погрешностью называют частное
от деления абсолютной погрешности на модуль
приближенного значения величины.
Итак, если а — приближенное значение числа х,
то абсолютная погрешность равна |х - а, а относи
тельная погрешность равна . Относительную
М
погрешность обычно выражают в процентах.
Задача Приближенное значение массы Земли равно
(5,98 ± 0,01) • 1024 кг. Масса пули охотничьего
ружья равна (9 ± 1) г. Какое измерение является
более точным?
60

► Оценим относительную погрешность каждого изме
рения:
1) 0,01 1024 • 100% ~ 0,2%; 2) I • 100% « 11%.
5,98 Ю24 9
Ответ Масса Земли измерена точнее. <1
228 Округлить число до единиц и найти абсолютную и относи
тельную погрешность округления:
1) 3,45; 2) 10,59; 3) 23,263; 4) 0,892.
229 Найти относительную погрешность приближения:
1) числа числом 0,33; 2) числа | числом 0,14.
230 Какое измерение точнее:
1) а =(750 ± 1) м или Ь = (1,25± 0,01) м;
2) р = (10,6 ± 0,1) с или <7 =(1,25 ±0,01) с?
231 Одновременно различными приборами измерили температу
ру пара и получили в первом случае £= (1 0 4 ± 1) °С, во вто
ром <= (103,8 ± 0,1) °С, в третьем £= (103,86 ± 0,01) °С. Оце
нить относительную погрешность каждого измерения.
232 Двое учащихся, выполняя практическую работу на изме
рение длин отрезков, в результате получили (203 ± 1 ) мм
и (120 ± 1) см. Какой из учащихся выполнил работу качест
веннее?
233 1) Приближенное значение числа х равно а. Относительная
погрешность этого приближения равна 0,01, т. е. 1%. Найти
абсолютную погрешность, если а = 2,71.
2) Приближенное значение числа х равно Ь. Относительная
погрешность этого приближения равна 0 ,0 0 1 , т. е. 0 ,1 %.
Найти абсолютную погрешность, если 6 = 0,398.
234 Масса Солнца (2 ± 0 ,1 )-1 0 33 г. Масса детского мяча
(2 ,5 ± 0 ,1 )-102 г. Какое измерение более точное?
235 Выполняя лабораторную работу по физике, связанную
с определением удельной теплоемкости алюминия, ученик
получил 922 Дж/кг °С. Какова относительная погрешность
приближения, если за точное принять табличное значение
удельной теплоемкости, равное 920 Дж/кг °С?
236 Приближенное значение массы Останкинской телевизион
ной башни (5,5 ± 0,1) ■107 кг. Масса трактора К-700 равна
(1,1 ± 0,1) • 104 кг. Какое измерение более точное?
61

Практические приемы
приближенных вычислений
1. С т а н д а р т н ы й в ид ч и с л а .
В алгебре приняты следующие обозначения:
1 0 ° = 1 , 1 0 -! = — , ю-2= Д- =— ,
10 1 0 2 100
10-3= — = — , ...,10-" = — ,
1 0 3 1000 1 0 "
где п — натуральное число.
С помощью этих обозначений можно одну и ту же
положительную десятичную дробь представить
по-разному. Например,
0,0023 = 0,023 • = 0,023 • 1 0 1;
0,0023 = 0,23 • — = 0,23 • 10~2;
100
0,0023 = 2,3 • = 2,3 ■ 10~3.
Если с — натуральное число или положительная
конечная десятичная дробь, то представление это
го числа в виде
с = а - 1 0 *, ( 1 )
где 1 < а < 1 0 , И — целое число, называют записью
числа с в стандартном виде. При этом число к на
зывают порядком числа с.
Например, порядок числа 324 = 3,24 • 102 равен 2;
порядок числа 0,0073 = 7,3 • 10' 3 равен -3 ; поря
док числа 6 ,8 = 6 ,8 • 10° равен 0. При решении
многих теоретических и практических задач (осо
бенно при оценке, сравнении результатов вычисле
ний и измерений) важно знать порядок исполь
зуемых чисел.
2. В е р н ы е и с о м н и т е л ь н ы е ц и ф р ы .
Результаты вычислений и измерений (которые
являются приближенными значениями) обычно за
писывают в виде десятичных дробей.
62

Задача 1
Цифру какого-либо разряда в записи приближен
ного значения называют верной, если граница абсо
лютной погрешности не превосходит единицы это
го разряда. В противном случае цифру называют
сомнительной.
Если граница абсолютной погрешности не превос
ходит половины единицы разряда, следующего за
разрядом рассматриваемой цифры, то эту цифру
в записи приближенного значения числа называют
строго верной. Отсюда следует, что если цифра
в записи числа является строго верной, то она яв
ляется и верной.
Например, если х = 4,056 ± 0,0005, то все цифры
в записи приближенного значения 4,056 будут стро
го верными, так как граница абсолютной погрешно
сти (т. е. число 0,0005) не превосходит половины
единицы последнего разряда числа 4,056, т. е. не
превосходит 0,001. Так как 0,0005<0,001, то можно
записать, что х = 4,056 ±0,001. В этой записи чис
ло 0 ,0 0 1 — граница абсолютной погрешности, при
этом в приближенном значении 4,056 все цифры
верные.
Пусть х = 5,43 ±0,02. Найти верные и сомнитель
ные цифры приближенного значения 5,43.
► Так как 0,02 > 0,01, где 0,01 — единица последне
го разряда приближенного значения 5,43, то циф
ра 3 сомнительная. Но уже 0,02 < 0,1 и 0,02 < 1,
поэтому цифры 4 и 5 верные. <1
Приближенные значения принято записывать та
ким образом, чтобы в их записи все цифры были
верными. Заметим, что сформулированное в §13
правило округления чисел дает запись приближен
ных значений, все цифры которых строго вер
ные. Запись вида х ~ а после применения правил
округления говорит о том, что в приближенном
значении а числа х все цифры строго верные (а зна
чит и просто верные). Например, запись х ~ 5,6
означает, что х = 5,6 ±0,05; запись х ~ 5,60 озна
чает, что д: = 5,60 ± 0,005; запись х ~ 560 озна
чает, что х = 560 ±0 ,5 . Приближенное равенство
х ~ 560 (т. е. х = 560 ± 1) можно записать в виде
х ~ 5,60 • 102, чтобы подчеркнуть, что последняя
цифра 0 в приближенном значении верная. Если же
х = 560 ± 10, то верными являются только цифры 5
и 6 , а последняя цифра 0 сомнительная. Поэтому
в данном случае приближенное значение 560 запи
сывают в стандартном виде так: х ~ 5,6 • 102.
63

3. С л о ж е н и е и в ы ч и т а н и е
п р и б л и ж е н н ы х з н а ч е н и й .
Т е о р е м а . Границы абсолютных погрешностей
суммы и разности приближенных значений равны
сумме границ абсолютных погрешностей каждого
из приближений.
• Пусть
х = а ± Л 1( у = 6 ± Л 2, (2)
где Л1 и Л2 — границы абсолютных погрешностей
чисел а и Ь соответственно. Записи (2) означают,
что справедливы двойные неравенства:
—Лх < х - а < Л1, -Л 2 < у - Ь < Л2. (3)
Складывая эти неравенства, получаем
-(Л , + Л2) < (х + у) - (а + Ь) < Л, + Л2,
откуда
х + у = (а + Ь) ± (Лх+ Л2). (4)
Запись (4) означает, что Л, + Л2 — граница абсо
лютной погрешности суммы приближенных зна
чений.
Для оценки разности приближенных значений вто
рое из неравенств (3) умножим на - 1 и сложим
с первым из неравенств, т. е. сложим неравенства
-Л 1 < х - а < Л, и -Л 2 < Ь - у < Л2.
В результате получим неравенство
-(>4 + Л2) < (х - у ) - (а - Ь) < (Л, + Л2),
откуда
х —у = (а —Ь) ± (Л1+ Л2). (5)
Запись (5) означает, что Л1 + Л2 является также
границей абсолютной погрешности и разности при
ближенных значений чисел а и Ь. О
Задача 2 Пусть все цифры в записях приближенных значе
ний х ~ 25,3, у ~ 7,4 строго верные. Найти х + у
и х - у с точностью до верных десятичных знаков.
► По условию х = 25,3 ±0,05, у = 7,4 ±0,05. По фор
мулам (4) и (5) сложения и вычитания приближен
ных значений получаем
х + {/ = 32,7 ± 0,1 и х - у = 17,9 ± 0,1.
64

Все цифры в полученных приближенных значени
ях являются верными, поэтому можно записать
так: х + у « 32,7, х - у ~ 17,9.
Ответ 32,7; 17,9. <1
Задача 3 Пусть все цифры приближенных значений
л:~25,3, у ~ 7,418 строго верные. Найти х + у и
х - у с точностью до верных десятичных знаков.
► По условию х = 25,3 ±0,05, у = 7,418 ± 0,0005. По
формулам (4) и (5) сложения и вычитания прибли
женных значений получаем
х + у = 32,718 ± 0,0505, х - у = 17,882 ± 0,0505.
В полученных приближенных значениях суммы
и разности два последних десятичных знака — со
мнительные цифры. После округления с точностью
до верных десятичных знаков имеем х + у « 32,7,
х - у »1 7 ,9 .
Ответ 32,7; 17,9. <1
Заметим, что в задаче 3 приближенные значения
суммы и разности такие же, как и в задаче 2,
хотя приближенное значение у в задаче 3 давалось
с большей точностью.
При нахождении суммы и разности приближенных
значений пользуются следующим п р а в и л о м 1:
При сложении и вычитании приближенных значе
ний, в записи которых все цифры верные, в сумме
и в разности оставляют столько десятичных зна
ков, сколько их имеет приближенное значение
с наименьшим числом десятичных знаков.
Заметим, что во многих случаях полученные таким
образом десятичные знаки будут не только верны
ми, но и строго верными.
Задача 4
Ответ
Найти х + у, если х ~ 2,64 • 106, у = 7,37 • 105.
► Чтобы результат сложения получить в стандарт
ном виде, выполним следующие преобразования:
106
х + у = 2,64 • 106+ 7,37-105 = 2,64-10® + 7,37-^ =
= (^2 ,6 4 + М ^ • ю®= (2,64 + 0,737) • 10® =
= 3,377 • 10® = 3,38 • 10®.
х + у ~ 3,38 • 10®.
3 Алимов, 8 кл. 65

4. У м н о ж е н и е и д е л е н и е
п р и б л и ж е н н ы х з н а ч е н и й .
При умножении и делении приближенных значе
ний пользуются понятием значащей цифры.
Значащими цифрами называются все верные циф
ры в десятичной записи приближенного значения,
кроме нулей, стоящих перед первой отличной от
нуля цифрой.
Например, приближенные значения 0,00321; 120;
0,0760 имеют по три значащих цифры; а в чис
лах 36,23 и 206,30 все цифры значащие.
Если положительные целые числа или конечные
десятичные дроби с записаны в стандартном виде,
т. е. в виде с - а ■ 10*, где 1 < а < 10, то все цифры
числа а будут значащими.
Например, числа 8,03 • 10"5 и 2,70 • 106 имеют по
три значащие цифры. С помощью понятия относи
тельной погрешности можно обосновать п р а в и
л о 2, которым пользуются в практической работе:
При умножении и делении приближенных значе
ний в произведении и частном оставляют столько
цифр (не считая нулей, стоящих перед первой от
личной от нуля цифрой), сколько значащих цифр
имеет приближенное значение с меньшим числом
значащих цифр.
Руководствуясь этим правилом, в результате умно
жения или деления приближенных значений полу
чают все верные цифры (возможно, за исключени
ем последней).
При выполнении умножения или деления двух
приближений разумно округлить приближенное
значение с большим числом значащих цифр, оста
вив в нем на одну значащую цифру больше, чем их
имеется в приближенном значении с меньшим чис
лом значащих цифр.
Задача 5 Найти ху, если х ~ 0,69, у ~ 2,3857.
► Округлив второй множитель до трех значащих
цифр, получим 2,3857 ~ 2,39. Найдем произведе
ние ху и результат округлим до двух значащих
цифр: ху ~ 0,69 • 2,39 = 1,6491 ~ 1,6.
Ответ ху = 1 , 6 . <]
66

Задача 6 Найти х : у, если х ~ 3,20 • 105, а у ~ 6,17865 • 102.
► Округлив делитель до четырех значащих цифр, по
лучим 6,17865 • 102 ~ 6,179 • 102. Найдем частное
х : у и результат округлим до трех значащих цифр:
х : у = 3,20 • 105 : (6,179 • 102) =
= (3,20 : 6,179) • (105 : 102) = 0,51788 • 103 «
« 5,18 • 102.
Ответ х : у ~ 5,18 • 102. <]
237
238
239
240
241
(Устно) Определить порядок числа, выражающего значение
физической константы:
1) масса покоя электрона те = 9,1093897 • 10~31 кг;
2) постоянная Авогадро ЫА = 6,0221367 • 1023 1 •
моль
3) постоянная Планка Л = 6,6260755 ■ 10~34 Дж • с.
Записать в стандартном виде и определить порядок числа к,
выражающего физическую константу:
1) отношение массы протона к массе электрона
— = 1836,152701;
тг
2) постоянная Фарадея і*1= 96485,309 ~Кл ;
3) постоянная Лошмидта п0 = 2686763 • 1031 —
м
4) классический радиус электрона ге = 281794092 • 10“7 м.
С помощью записи вида х = а ± к найти верные и сомнитель
ные цифры приближенного значения а, если:
1) х = 2,85 ± 0,03; 2) х= 6,07 ± 0,02;
3) х = 302,48 ± 0,01; 4) х= 29,35 ± 0,01;
5) х = 72,6192 ± 0,0005; 6) х= 501,363 ± 0,0005;
7) х = 4,3401 ± 0,00005; 8) х= 2,8213 ± 0,00005.
Условие вида х ~ а (в записи а все цифры верные), записать
в виде х = а ± Л, если:
1) х я 3 ,8 ; 2) х * 2,7; 3) х « 5,90; 4) х « 4,3204;
5) х ~ 2700; 6) х ~ 350; 7) х = 5,3 • 102; 8) х ~ 2,4 • 103.
В записи приближенных значений чисел х и у все цифры
являются строго верными. Найти х + у и х - у с точностью
до верных десятичных знаков, если:
1) х ~ 2,8, у~ 3,5; 2) х ~ 7,9, у ~ 3,4;
3) х ~ 56,31, у = 17,29; 4) х ~ 39,23, у~ 26,47;
5) х * 7,25, у = 2,9; 6) х = 5,64, у ~ 3,8.
67

242 С помощью правила 1 найти приближенные значения х + у
и х - у, если:
1) х ~ 3,3, у = 2,28; 2) х ~ 5,29, у ~ 1,6;
3) х ~ 5,047, у ~ 3,1; 4) х ~ 8,8, у ~ 6,349.
243 С помощью правила 2 найти приближенные значения х ■у
и х : у, если:
1) х ~ 2,35, у ~ 1,2; 2) х ~ 3,48, у * 1,3;
3) х = 1234, у ~ 5,1; 4) х = 2,7, у ~ 3021.
244 Найти приближенные значения х + у и х - у, если:
1) х ~ 3,2 • 103, у ~ 2,345 • 103;
2) х ~ 7,407 • 102, у ~ 3,4 • 102;
3) х = 2,0 • 102, у ~ 1,62 •102;
4) х « 4,10 ■ 103, у = 1,236 •103;
5) х ~ 107, у ~ 2,3;
6) х ~ 121, у ~ 56,3.
245 Найти приближенные значения х • у и х : у, если:
1) х = 0,35, у ~ 25,01;
2) х ~ 0,021, у ~ 32,54;
3) х = 1,6 • 105, у ~ 1,402 • 105;
4) х « 2,1 • 10 у ~ 1,325 • 104;
5) х * 2,30 • 10“2, у ~ 1,123 • 10~2;
6) х « 1,820 • 10'1, у ~ 1,0362 • 10"1.
Простейшие вычисления
на микрокалькуляторе
Микрокалькулятор (сокращенно М К) — это про
стейшая электронно-вычислительная машина (ЭВМ)
небольших размеров, предназначенная для вы
полнения различных математических операций:
арифметических действий над числами, нахожде
ния степеней чисел, вычисления значений различ
ных функций и т. д. Микрокалькуляторами часто
пользуются инженеры, техники, экономисты, бух
галтеры и другие специалисты в своей повседнев
ной работе.
На рисунке 27 изображена передняя панель микро
калькулятора «Электроника МК-51». В ее верхней
68

І- іг .З Ч 5 Б 1 8
Іэлектроника
М К 5 1
части расположен индикатор (таб
ло), в нижней — клавиатура, в левом
верхнем углу клавиатуры — пере
ключатель питания. На табло име
ется разрядная сетка из девяти по
зиций для изображения чисел.
Похожие панели имеют многие ин
женерные микрокалькуляторы.
При включении МК-51 высвечива
ются: на табло число 0, слева в верх
ней части табло точка — символ
годности элемента питания, в сере
дине — буква «Г» , показывающая,
что в этом режиме работы микро
калькулятора вычисления с величи
нами углов выполняются в градус
ной мере.
Далее будут продемонстрированы
приемы вычислений с помощью
МК-51. Работа на МК других моде
лей происходит аналогично. Одна
ко, используя другую модель МК,
необходимо познакомиться с инст
рукцией по работе с этой моделью
(последовательности нажатия клавиши для достижения одного
и того же результата у разных моделей МК могут быть различ
ными).
▲ РАД гр д 3
в С(Сб]
ш
с к
т
в п :
т
РЕЖ
т
р
&
Ш
ІП » '
в
• »»»
т
ЫП
т
§1
&
т -
V *
а
ї х
к її
а а
п і
ш
ш
ш
п
[В]
и
ш
Щ
1 1 В
■ т ^
о
■ ■
Рис. 27
Задача 1
1. В в о д ч и с е л .
Ввести число 73,1932.
Последовательно нажимаем клавиши
И- И’И’Ш- И’и* и-
На табло появляется число 73.1932 — на клавиа
туре и табло МК-51 десятичная запятая изобража
ется точкой. <3
Для введения отрицательного числа применяется
клавиша изменения знака числа |/-/ |. Эта клави
ша нажимается после введения всех цифр числа.
Задача 2 Ввести число -0,02301.
Введем число 0,02301 и затем нажмем клавишу
I/ - / |. На табло высветится число -0,02301. По-
69

вторное нажатие клавиши [ /-/ |изменит знак чис
ла на противоположный, т. е. снова получится чис
ло 0,02301. <]
2. В ы п о л н е н и е а р и ф м е т и ч е с к и х
д е й с т в и й .
Чтобы выполнить арифметическую операцию над
числами а и Ь, нужно:
1) ввести число а;
2) нажать клавишу требуемой операции;
3) ввести число Ь;
4) нажать клавишу |= |.
После этого на табло высветится результат.
Например, умножение производится по программе
а0 6Н '
При а = 4,32, Ь = 9,5 получаем следующую програм
му вычислений:
Ш И И 0 0 И И Ш И -
Ответ 41,04.
Решение подобных примеров кратко будем записы
вать так:
4,32 [ Т ] 9,5 Р~| 41,04.
В такой краткой записи не приводится программа
ввода данных чисел, а появившийся на табло ре
зультат вычислений записывается справа и подчер
кивается.
Задача 3 Найти сумму 25,147 + 3,22.
► 25,147 [ Т ] 3,22 [ Г ] 28,367. <
Задача 4 Найти разность 198,023-74,986.
► 198,023 [2^] 74,986 123,037. <3
Задача 5 Вычислить -256 37-49 801.
► 25637 |/-/ |Р^| 49801 р~| -75438. <3
70

Задача 6 Найти произведение 37,56 •47.
► 37,56 |~х~] 47 Р~| 1765,32. <
Задача 7 Найти частное 4319,4:93,9.
► 4319,4 [ 7 ] 93,9 [ Г ] 46. <
Задача 8 Найти произведение 25,4395-4,353.
► 25,4395 | ~ х ~ ] 4,353 Р ~ ] 110,73814. <3
Появившийся на табло результат вычислений яв
ляется приближенным значением произведения.
Точный ответ 110,7381435 содержит 10 цифр, а на
табло большинства микрокалькуляторов помеща
ется не более восьми цифр. В этом случае микро
калькулятор автоматически осуществляет округле
ние до восьми цифр.
При решении практических задач, как правило,
достаточно получить 3— 4 первые значащие циф
ры. Поэтому результат вычислений обычно округ
ляют с требуемой точностью.
Задача 9 Найти частное 25:13 с точностью до 0,01.
► 25 |+ |13 |= |1,9230769. Округляя до 0,01, полу
чаем 1,92. <]
Задача 10 Найти произведение ab, если а ~ 35,28, b = 7,31.
► С помощью МК находим 35,28 • 7,31 = 257,8968.
Согласно правилу 2 (см. §15) результат округляем
до трех значащих цифр, получим ab ~ 258.
Ответ ab ~ 258. <1
Если на МК попытаться выполнить невозможную
операцию, например деление на нуль, то на табло
высветится буква «Е » (первая буква английского
слова error — ошибка) либо error.
Ввести в микрокалькулятор число (246— 248).
246 1) 326; 2) 108;
247 1)
сі
со
2) 8,45;
248 1) -834; 2) -725
249 Найти сумму:
1) 32,405 + 1,024;
3) 3,74809 + 2,34705;
3) 5601; 4) 7060.
3) 0,104; 4) 0,2903.
3) -1,032; 4) -5,409.
2) 3,104+21,98;
4) 981,504 + 3021,457.
71

1. Д А Н Н У Ю Ф И Г У Р У Р А З Р Е З А Т Ь Н А ДВЕ
Р А В Н Ы Е ЧАСТИ.
2. Д А Н Н У Ю Ф И Г У Р У Р А З Р Е З А Т Ь Н А ТРИ
3. Д А Н Н У Ю Ф И Г У Р У Р А З Р Е З А Т Ь Н А Ч Е ТЫ РЕ
250
251
252
253
254
Найти разность:
1) 73,54-21,012;
3) 421,53-627,3;
Вычислить:
1) -9843-7025;
3) -35,287-563,14;
Найти произведение:
1) 341,7 13,4;
3) 3,795-78,6;
Найти частное:
1) 8748:27;
3) 13,3974:8,27;
2) 81,032-59,807;
4) 2,5894-13,1037.
2) -10 134-543 210;
4) -6845,1-320,02.
2) 74,53-14,2;
4) 86,5-6,302.
2) 22 506:31;
4) 31,284:6,32.
Найти произведение с точностью до 0,01:
1) 4,31-28,37; 2) 56,78-2,3404;
3) 507,63-4,2102; 4) 2,3171-508,13.
72

255
256
257
258
259
260
Найти частное с точностью до 0,001:
1) 341:23,5; 2) 724:51,7; 3) 6,135:2,3; 4) 14,38:5,5.
Плотность ртути 13,6 г/см3. Какова масса ртути, заполнив
шей сосуд объемом 11,3 см3?
Найти объем сосуда, заполненного углекислым газом массой
9,35 кг, если плотность углекислого газа равна 1,98 кг/м3.
Размеры заготовки прямоугольного сечения равны 35,15 мм
и 40,23 мм. Найти площадь сечения заготовки. Округлить
результат до 0,01 мм2.
Упростить выражение и найти его числовое значение с точ
ностью до 0,01:
1) п - (1 + п 2) :(п - 1) прил = -0,37;
2) ( - - — 1■1 при п = -1,647.
1^3 3 + п ) п
Найти с точностью до 0,1 значения функции у = 7 ,3 х при
х = -2,1; 0,8; 1,7; 2,5.
Действия с числами,
записанными в стандартном виде
I17
■Многие инженерные МК позволяют оперировать
с числами, записанными в десятичной форме, если
эти числа и результаты операций не превышают
99999999. Для того чтобы можно было выполнять
действия с большими числами, используют запись
чисел в стандартном виде.
В инструкциях по эксплуатации микрокалькуля
торов при записи числа в стандартном виде а • 10"
(где 1 < а < 10) число а называют мантиссой,
а п — порядком числа.
Например:
1) 275 = 2,75-102; здесь 2,75 — мантисса числа
275, а 2 — его порядок;
2) -2 7 5 3 = -2 ,7 5 3 -103; здесь -2,753 — мантисса
числа -2753, а 3 — его порядок.
73

Задача 1
3) 0,27 = 2,7 ■^ = 2,7 • 1 0 '1; здесь 2,7 — мантисса
числа 0,27; -1 — его порядок;
4) -0,0275 = - 2 , 7 5 - ^ = -2 ,7 5 -10 2; здесь-2,75 —
мантисса числа -0,0275; -2 — его порядок;
5) 3,81-10-3= 3,81-
1000
= 0,00381.
Покажем на примерах, как на табло МК-51 изобра
жается стандартный вид числа.
1) Число -8 ,3 1 -10“7 изображается так:
- 8. 3 1 - 0 7
мантисса
числа
порядок
числа
:ло 5,3894-1021 изображается так:
5. 3 8 9 4 2 1
мантисса
числа
порядок
числа
Обратите внимание: при изображении на табло
числа в стандартном виде третья справа ячейка
предназначена для знака порядка числа, причем
знак « + », как и в обычной записи показателя
степени, не пишется (пример 2).
Стандартный вид числа на табло распознается сле
дующим образом: если третья справа ячейка либо
пустая, либо в ней записан знак « - » , а слева от
этой ячейки записано некоторое число а, такое, что
1 < а < 10, то на табло изображено число в стандарт
ном виде.
(вводВППосмотрите, как с помощью клавиши
порядка) вводятся в МК числа, записанные в стан
дартном виде.
Ввести число 4,935-1023.
► Программа ввода такова:
4,935
На табло получается
ВП 23.
4. 9 3 5 2 3
74

Задача 2 Ввести число -2,59 • 10 3
► Программа ввода такова:
2,59 /-/
На табло получается
ВП З
- 2. 5 9 - 0 3
ВП
Таким образом, для введения в МК числа, запи
санного в стандартном виде, нужно:
1) ввести мантиссу числа;
2) нажать клавишу ввода порядка числа
3) ввести порядок числа.
При этом для изображенного числа на табло МК-51
первые слева шесть ячеек отводятся для мантиссы
числа, а последние три — для его порядка. Поэто
му число, записанное в стандартном виде, можно
ввести в МК только тогда, когда его мантисса со
держит не более шести цифр, если она положи
тельна, и не более пяти цифр, если она отрицатель
на; его порядок содержит не более двух цифр.
Таким образом, МК может выполнять вычисления
с числами от -9,9999 1 0 " до 9,99999-10". При
этом действия над числами, записанными в стан
дартном виде, выполняются так же, как и над чис
лами, записанными в обычном виде.
Задача 3 Найти произведение 3,56 • 1014 •5,8 • 107.
► 3,56 [ВП| 14 [~х~| 5,8 [І Ї Ї ] 7 |"^~| 2,0648 •1022■ <1
Задача 4 Найти произведение 0,024-0,032.
► 0,024 [~х~| 0,032 7,68 •10-*. <
Всегда, как и в этой задаче, если в промежуточном
или окончательном результате вычислений получа
ется число, модуль которого меньше 0,01, то это
число появляется на табло МК в стандартном виде.
Задача 5 Найти частное (7 ,8 3 -109) :(3,4 - 1012).
► 7,83 [в п ] 9 [Т | 3,4 [ВП] 12 2,30294 Ю ' 3 «
* 2,3 • 10-3. <]
75

При решении этой задачи МК автоматически
округлил мантиссу результата, сохранив ее первые
шесть цифр. Затем было произведено округление
результата до двух значащих цифр.
Задача 6 Найти сумму 89000 + 7,35-108.
► 89000 [ 7 ] 7,35 [в п ] 8 7,35089-108. <1
Задача 7 Найти разность 1,2 • 108- 98300000.
► 1,2 [1 Е ] 8 Р~| 98300000 р~| 21700000. <3
Задача 8 Найти частное (3 ,4 -109):(1 ,7 -1 0 8).
► 3 , 4 [ в п ] 9 [ Т ] 1 , 7 [ в п ] 8 [ = ] 2 0 . <1
Рассмотренные примеры показывают, что при вы
полнении вычислений на МК-51 одни из данных
чисел можно вводить в обычном виде, а другие —
в стандартном. Результат вычислений может быть
как точным, так и приближенным, и появляться
на табло как в обычном, так и в стандартном виде.
261 Записать в стандартном виде число, выражающее:
1) массу атома кислорода
0,0000000000000000000000 2662 г;
22 нуля
2) толщину пленки мыльного пузыря 0,00000006 см;
3) единицу длины ангстрем (применяется в молекулярной
физике) 0,0000001 см;
4) диаметр молекулы воды 0,00000003 см.
Записать число в стандартном виде, назвать его знак, ман
тиссу, знак порядка и порядок (262— 263).
262 1) 35,801; 2) 430,24; 3) 5,2004; 4) 3602,1;
5) 0,48352; 6) 0,068345; 7) 2 843 154; 8) 12 345 678.
263 1) -0,35; 2) -0,453; 3) -23,4578;
4) -450,102; 5) -87 654 321; 6) -3,54001;
7) -6814,1234; 8) -12 345,678.
264 Ввести в МК число:
1) 3,58 ■108; 2) 7,01-109;
3) -5 ,8 7 4 -10 й ; 4) -6 ,8 5 4 -Ю "23.
76

265 Вычислить (результат записать в обычном виде):
1) 1,6524:3,24; 2) 151,34:658;
3) 11,3336:248; 4) 0,8211:357.
266 Найти частное с точностью до 0,001:
1) 39:286; 2) 87:124; 3) 1,7:58,3; 4) 1,9:38,7.
Вычислить на МК (267— 270).
267 1) 98 765432 + 12 345678; 2) -87 654 3 2 1 -5 6 789 012;
3) 6,324-10-з + 8,123-10"2; 4) 5,729 • Ю "4- 3,456 •10"3.
268 1) -98,7 65 +5 ,4 3-105; 2) 3,456 • 104+ 5678;
3) 85006 401 + 3,84-108; 4) 98 764 530 + 4,56 • 108.
269 1) 12 340 000-87 600 000; 2) 90 080 000-20 300 000;
3) 1 , 5 8 - Ю- з -65; 4) 843- 3,47 •10"2.
270 1) (6,58• 1024):(3 ,2 9 • 103); 2) (7 ,4 1 -1031) :(2,47• 1015);
3) (4,57 • 1051) :(3,12 •1049); 4) (8 ,3 1 -1063) : (4,2 - 1061).
271 Найти с точностью до 0,0001 г массу газа плотности р, зани
мающую объем V, если:
1) р=1 ,9 8 -1 0 "3 г/см3, V = 0,725 см3 (углекислый газ);
2) р = 1,29 •10"3 г/см3, V = 1125 см3 (воздух при 0 °С);
3) р = 1,43-10-з г/см3, У = 355см3 (кислород);
4) р = 9 •10"5 г/см3, V = 789 см3 (водород).
272 Упростить выражение и найти его числовое значение с точ
1 . а а - 9
^(а + З)2 а2- 9 а'г - 9
2) ( а + 2)
а + 6 1 ( а + 2)2 ^
у « 2'
(а - 3) при а = 6,47 •10*3
при а = -2,89 • 10'
Вычисления на микрокалькуляторе
степени и числа, обратного данному
Для вычисления степени ух на МК нужно ввести
число у, нажать клавишу
нажать клавишу
Г в в е с т и ЧИСЛО X и
77

Задача 1
Задача 2
Задача З
Вычислить: 1) (2.57)3; 2) (386)15; 3) (2 ,5 -104) 8.
► 1) 2,57 [у7] 3 = 16,974593;
2) 386 [у7] 15 = 6,2923-1038;
3) 2,5 [вп|4 [у7 ! 8 = 1,52587 • 1035. <1
В 9-м классе вы узнаете, что выражение ух имеет
смысл для любых значений х только при у > 0 . По
этому МК не может вычислить значение ух, если
у < 0. Например, если на МК-51 набрать программу
для вычисления степени (—2)4, то на табло появит
ся сигнал ошибки — буква «Е».
1 - І Г 4 = Е.
1/хТеперь посмотрите, как с помощью клавиши
на МК вычисляется число, обратное данному.
Вычислить: 1) 2 ) - ^ - ; 3 ) с точностью до
50 625 27
0,001; 4) -
0,13
с точностью до 0,1.
► 1) 50
2) 625
1/х
1/х
0, 02;
1,6 - 10-3;
3) 27 11/х |0,037037 ~ 0,037;
4) 0,13 |/-/ 111/х I-7,6923076 ~ -7,7. <!
Так как после нажатия клавиши 1/х на табло
сразу появляется число, обратное данному (без на-
жатия клавиши то с этим числом можно вы
полнить и другие операции.
Вычислить: 1) -^-- + 0,58; 2) 0,21 — ; 3) +
14 1 ,5 1/
4)
(0,34 )2
78

3) 1 7 11/ х11 + |2 1 11/х11 = |0,1064425;
4) 0,34 11/х |[у 7] 2 |~^~| 8,650519. <
Вычисление значений выражения х 2 можно выпол
нять с помощью клавиш |Г |и |х 2 | (в некоторых
моделях МК не требуется перед клавишей |х 2 | на
жимать клавишу перехода режима |Е |).
Задача 4 Вычислить: 1) (3,78)2; 2) (1,58)2+ —— .
Записать показания табло МК после выполнения действий
(273— 276).
2 7 3 1 ) (1 7 , 2 )2; 2 ) ( 2 3 , 4 ) 2; 3 ) 4 5 3 2;
4 ) 1 5 9 2; 5 ) (0 ,7 8 )2; 6 ) (0 ,0 1 4 1 )2.
2 7 4 1)
1
1 7 ’ 2)^: 3 )
_ 1 .
23 ’
4 )
1 .
1 4 ’
5 )
1
6 ) 1 • 7 )
1
8 )
1
3 ,7 8 ’ ' 8 ,1 2 ’ 0 ,0 1 3 ’ 0,081
2 7 5 1) 1 2 3; 2 ) 2 13; 3 ) ( 1 , 4 8 ) 5; 4 ) (3 , 7 1 ) 5;
5)
О
О
СО
6 ) (0 ,0 8 2 )6; 7 )
1
8 )
1
(0 ,1 5 )2 ’ (0 ,4 2 )2 '
2 7 6 1 ) 0 ,2 8 1 ; 2 ) 0 , 3 7 - - ^ ;
1о
3 ) ± + ± .
71 6 3 ’
4 )
1 1
0,17 0 ,2 3 ’
5 ) — : — ;
3,4 6 ,3
6 )
1 1
0,28 0,43
277 Найти площадь квадратного участка земли, если длина его
стороны равна 1915 м.
278 Вычислить:
1) (3,2• 107)3; 2) (9 ,2 3 -10~7)3.
279 Упростить выражение и найти его числовое значение с точ
1 9 а2-1 6 а2 - 6 а + 9
1) -------------------- ;--------;-------— при а = 0,0478;
(За + 4)(а - З )2 За3 - 4 а 2
оч 462 - 26 + 1 863 + 1 ь _______
2) — ---------- — : — ------- г при 6 = 0,1385.
(26 + 1)63 4 6 + 4 6 + 6
280 Дана функция у = х 3. Найти с точностью до 0,01 значения
функции при х = —1,11; -3,111; 1,21; 2,31.
79

Последовательное выполнение
в операций на микрокалькуляторе
Задача 1
Ответ
Задача 2
Ответ
Задача 3
Ответ
Задача 4
Ответ
Вычислить высоту, на которую поднимается ка
мень, брошенный вертикально вверх со скоро-
V 2
стью о, используя формулу Л = — , где V ~ 25 м/с,
9,8 м/с2.
► Вычисления можно провести по программе
25 [>Г] 25 [ Т ] 2 [ Т ] 9,8 [ ^ ] 31,887755.
Л * 32 м.
Отметим, что при нажатии очередной клавиши
операции на табло высвечивается результат всех
предыдущих вычислений.
Определить сопротивление участка электрической
цепи, состоящей из двух последовательно соеди
ненных сопротивлений, если величина первого из
них В 1~ 5,15 0м, а на втором падение напряжения
и ~ 12,5 В происходит при силе тока / = 2,1 А.
► Сопротивление Д на данном участке цепи можно
найти по формуле
Д = ^ + Д,.
Получаем 12,5 [ Т ] 2,1 [ Т ] 5,15 [ = ] 11,102381.
Я ~ 11 Ом. <
8,375-26,3
Вычислить значение выражения
507
-0 ,1 5
► 8,375 [ х ] 26,3 [ + ] 507 0,15 [ £ ] 0,2844428.
0,28.
Вычислить 1632+ 1222- 1792.
1г 1
|X2 | +
1221г 1
I*2 -
179 г 1
|х2
[~=~| 9412.
9412.
80

Задача 5 Вычислить — -------- -— )- — с точностью до 0,0001.
152 354 23 _____ _____
► 152 11/х |Р~| 354 11/х [ | Т ] 23 |1/х |р~| 0,0472323.
Ответ 0,0472. 2
Задача 6 Вычислить — + (4,56)2- (5,28)2 с точностью
до 0,01. V0-24
1 / х м |х2|1+ 1
Г 7 1 И П 10.276311-
Ответ 10,28.
(281— 282).
281 1) 484-5,87+6032; 2) 353:4,1 + 120;
I7.34S-29_.95 _ 4 348 4) 1,398-9.348 _ _
425 14,25
282 1) (2,348-1,453)-2,379; 2) (16,87 + 35,67): 254;
3) ( — -2з1-44; 4) [ — + 46 1:247.
Ч 34 ) I 54
283 Найти периметр и площадь прямоугольника со сторонами а
и Ь, если а ~ 4,8 см, Ь ~ 14,5 см.
284 Какой должна быть ширина прямоугольного участка земли,
чтобы при длине 164 м он имел площадь 8,6 •102 м2?
1) 2562+ 3212; 2) 5242-4 9 9 2;
3) 2342- 4832+ 1972; 4) 1862+ 2712- 3282.
286 Вычислить с точностью до 0,001:
14 _! 1 L • 2) ^ к +
’ 2,1 8 ,3 7 ,1 ’ 3,4 6 ,8 1 ,2 '
/ ч2
1 „ ч [ 1

1) (5,1)3+ (4,3)2; 2) (3,7)3- (2,3)2;
3) (3,2)5-(1 ,3 )2+ - 1 - ; 4) (7,8)4+ (3,8)2- - ± - .
U , 1 5 U , z 4
289 Электрическая плитка работала t = 5 ч при напряжении
U ~ 127 В и силе тока I ~ 3,5 А. Рассчитать стоимость (в ко
пейках) затраченной электрической энергии А (кВт • ч) при
тарифе 13 к. за 1 кВт •ч ( А = U lt).
290 Чтобы найти диаметр проволоки, ее намотали на стержень,
укладывая витки рядом друг с другом. Оказалось, что
22 витка заняли 9 мм по длине стержня. Найти диаметр
проволоки.
291 Вычислить силу тока на участке цепи, если его сопротивле
ние R ~ 0,75 Ом и падение напряжения на этом участке
U « 10,2 В.
292 Рассчитать сопротивление участка цепи, падение напряже
ния на котором U ~ 3,45 В, при силе тока в цепи 1 ~ 2,1 А.
293 В цепь с напряжением U ~ 220 В включен электрический
утюг мощностью тока Р ~ 0,35 кВт. Определить силу тока I
в цепи (Р = U I).
Упраж нения
к главе II
(294— 298).
294 1) -6 ,5 0 2 -105- 4,987• 106;
2) 3,128-10«+ 5,24-107;
3) 1,23456 • 1043+ 9,87601 • 1042;
4) -8,76 54 -1031- 1,2345-1032.
295 1) 123 456 -4,598-109; 2) 3,874-10й - 98 765;
3) (5,8 • 1013) :(3 ,4 -1015); 4) (7 ,1 -1024) :(5,6 ■1027).
296 1) 5 8 9 7 +6 4 5 3 -2 8 2 -3 8 4 ; 2) 7654-2835 + 351-405;
3) 4,58-3,57:1,2-4,57; 4) 45,28:2,3-357:132.
82

297
298
1
2
3
299
300
301
302
303
304
1) 4,4-6,5 1 ,5 -2 4 7 :1 3 -1 1 8 8 -4 4 ;
2) 2, 4-2,5-60,2:14- 76,8- 3, 5: 48.
2,8 .87-43 + 25 ):83; 2) [ 125' 51-4 ,3 5 Л
68 ) ' I 234
Представить дробь ^ в виде десятичной дроби с точностью
до 0,01.
Записать в стандартном виде число:
44,301; 0,483; -0,25.
Вычислить с точностью до 0,01:
1) ЗЦ + 3 4 - 7 8 ; 2) 3) 2,5 3,7 _ . 18'Л _ .
27 ’ 0,48 2 ,3 9 ’ 1,8 3 ,4 -2 ,6
Вычислить сопротивление Е медного стержня, длина которо
го I ~ 0,25 м, площадь поперечного сечения в « 1,2 • 102 мм2,
если удельное сопротивление меди р ~ 0,017 Ом •мм2/м
Я = р1
в
Вычислить кинетическую энергию тела по формуле
2
Е к= , если т ~ 7,6 кг, V ~ 4,2 м/с.
Вычислить по формуле <3= 12Ш количество тепла (?, выделя
емое проводником за * = 15 с, если его сопротивление
Я ~ 34 Ом и по нему проходит ток силой / ~ 17 А.
В городе с населением 5,70 • 104 человек было проведено
медицинское обследование населения с целью выявления
частоты встречающихся групп крови. Выяснили, что людей
с группой крови I приблизительно 32,9%, с группой кро
ви II — 35,8% , с группой III — 23,2% и с группой IV —
8,1%. Сколько приблизительно человек с каждой из групп
крови проживает в городе?
Упростить выражение и найти его числовое значение с точ
а 2 + 12 а + 2 . 1Г,з
1) — -------------------при а = 4,31 • 10 ,
2)
■4 а - 2
а + Ь
а + 2Ь а —26 а 2 - 4 Ь 2
при а = 3,78- 104, 6 = 4,23-104.
Дана функция у = 2,1 + —. Найти с точностью до 0,1 значения
х
функции при х = 0,471; 1,551; 3,483; 10,48.
83

305 Калорийность суточного рациона питания для детей
11— 15 лет составляет примерно 3000 ккал. Найти калорий
ность предложенного ниже суточного меню для подростков
оздоровительного лагеря.
Завтрак Калорийность
(ккал на 100 г продукта)
Творог 125 г 86
Сыр голландский 50 г 380
Хлеб пшеничный 30 г 236
Масло сливочное 25 г 661
Кофе натур.
со сгущенным молоком 200 г 310
Обед
Суп из говядины 150 г 187
Курица отварная 125 г 241
Макароны 100 г 332
Салат из помидоров 100 г 19
Компот из сухофруктов 200 г 223
Хлеб ржаной 50 г 190
Ужин
Сосиски 150 г 324
Картофель 100 г 83
Каша манная 100 г 326
Хлеб пшеничный 30 г 236
Чай 200 г —

Задача 1
Задача 2
Ответ
IIIглава
Квадратные
корни
Арифметический
квадратный корень
Сторона квадратного участка земли равна 12 м.
Найти его площадь 5.
► Площадь участка равна квадрату его стороны:
в = 122= 144 (м2). <1
Площадь квадратного участка земли равна 81 дм2.
Найти его сторону.
► Предположим, что длина стороны квадрата равна х
дециметрам. Тогда площадь участка равна х 2 квад
ратным дециметрам. Так как по условию эта
площадь равна 81 дм2, то х2= 81. Длина стороны
квадрата — положительное число. Положитель
ным числом, квадрат которого равен 81, является
число 9.
9 дм. <]
В задаче 2 требовалось найти число х, квадрат ко
торого равен 81, т. е. решить уравнение х 2= 81. Это
уравнение можно записать в виде х 2- 81 = 0 или
(х - 9 )(х + 9) =0 , откуда = 9, х2= -9 . Числа 9 и -9
обращают уравнение х2= 81 в верное числовое ра
венство, т. е. 92= 81 и (- 9 )2= 81. Эти числа называ
ют квадратными корнями из числа 81. Один из
квадратных корней — число 9, является положи
тельным. Его называют арифметическим квадрат-
85

ным корнем из числа 81 и обозначают >/81. Таким
образом, >/8Т = 9.
О п р е д е л е н и е . Арифметическим квадратным
корнем из числа а называется неотрицательное
число, квадрат которого равен а.
Арифметический квадратный корень из числа а
обозначается так: -/а. Знак у[~ называется знаком
арифметического квадратного корня; а называет
ся подкоренным выражением. Выражение 4а чита
ется так: «Арифметический квадратный корень из
числа а ».
Например, -у/36 = 6, так как 6 > 0 и 62= 36.
Приведем другие примеры:
7 0 = ° , Щ = | , ^ 0 А 9 = 0 ,7.
В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметиче
ском квадратном корне, говорят: «Корень квадрат
ный». Действие нахождения квадратного корня из
числа называют извлечением квадратного корня.
Возводить в квадрат можно любые числа, но извле
кать квадратный корень можно не из любого чис
ла. Например, нельзя извлечь квадратный корень
из числа -4 , так как нет такого числа, квадрат ко
торого равен -4 .
86

Итак, выражение л/а имеет смысл только при
а > 0. Определение квадратного корня можно крат
ко записать так:
■іа > О, ( у [ а ) 2 = а.
Равенство ( ' [ а ) 2= а справедливо при а > 0.
Задача 3 Вычислить 5-у/32^2 —Зл/2^8.
► 5>/32 •2 - 3>/278 = 5 л/64-3>/16 = 5 - 8 - 3 - 4 = 2 8 . <1
306 Найти сторону квадрата, если его площадь равна:
1) 16 м2; 2) 100 дм2; 3) 0,64 км2; 4) Щ мм2.
49
307 Вычислить арифметический квадратный корень из числа:
81; 64; 100; 0,16; 0,09; 0,25; 1,44; 4900; 6400.
308 Верно ли равенство:
1) Л б = 4 ; 2) Л 0 0 = 1 0 ; 3) >/25 = -5; 4) >/0=0?
Вычислить (309— 311).
( гтл2
309 1) (>/4)2; 2) (л/9)2; 3) ; 4) (д/0^5)2.
310 1) 3 + ^ 4 ; 2) 7-л/25; 3) - Л б - 9 ;
4) 4 - Д 0 1 ; 5) - y f 0 M ; 6) 0 ,2 5 -у [0 М .
О
311 1) 23+ 5л/Тб; 2) з7 1 2 1 -2 л/144;
3) 2л/3-27 -6 > / 2 -18; 4) ^/22+ 3- 7;
5) д/32+ 42 ; 6) д/172- 152 .
312 Найти значение выражения:
1) Зл/Ю - 2а при а = -3 , а = 3, а = 5;
2) 5л/бх - 2 п р и х = 1, х = -^, х = 3.
О
313 При каких значениях а имеет смысл выражение:
1) л/2а; 2) л/^а; 3) >/2 - а ; 4) л/З+ а?
1) л/х=2; 2) л/х = 10.
315 Сравнить числа:
і} М и 2) и
87

^ Действительные
. числа
г
1. Р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а .
Появление новых чисел в математике связано с не
обходимостью выполнения тех или иных действий.
При сложении и умножении натуральных чисел
всегда получаются натуральные числа. Однако при
вычитании двух натуральных чисел не всегда по
лучается натуральное число. Например, разность
2 - 5 не является натуральным числом. Чтобы
вычитание было всегда выполнимо, были введены
отрицательные числа и число 0. Множество нату
ральных чисел расширилось до множества целых
чисел:
..., -3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3.......
При сложении, умножении, вычитании целых чи
сел всегда получаются целые числа. Однако при де
лении двух целых чисел не всегда получается це
лое число. Например, частное 2 : 5 — нецелое
число. Чтобы деление было всегда выполнимо,
были введены рациональные числа, т. е. числа
вида — , где т — целое число, п — натуральное
п
число. Множество целых чисел расширилось до
множества рациональных чисел.
При выполнении четырех арифметических дейст
вий (кроме деления на нуль) над рациональными
числами всегда получаются рациональные числа.
Рациональное число можно записать в виде деся
тичной дроби, конечной или бесконечной. Напри-
2 3
мер, числа - и — можно записать в виде конечных
5 4
десятичных дробей: - = 0,4; - = 0,75. Числа - и —
5 4 3 11
после деления «уголком» можно записать в виде
бесконечных десятичных дробей:
■1= 0,333...; — = 0,454545....
3 11
88

В записи бесконечной десятичной дроби 0,333...
повторяется цифра 3.
Цифру 3 называют периодом этой дроби; саму
дробь называют периодической с периодом 3, запи
сывают в виде 0,(3) и читают: «Нуль целых и три
в периоде».
В записи дроби 0,454545... повторяется группа из
двух цифр: 45; эту дробь называют периодической
с периодом 45 и записывают в виде 0,(45). При
ведем еще примеры бесконечных периодических
дробей:
- — = -0,2333... = -0,2(3 );
30
27 — = 27,0393939... = 27,0(39).
330
Любое рациональное число можно представить
либо в виде конечной десятичной дроби, либо в
виде бесконечной периодической десятичной дро
би. И наоборот, любую бесконечную периодиче
скую или конечную десятичную дробь можно
представить в виде обыкновенной дроби, т. е.
в виде — , где т — целое, п — натуральное число.
п
27
Задача 1 Представить число — в виде бесконечной десятич
ной дроби.
► Воспользуемся алгоритмом деления «уголком»:
27
22
50
44
60
55
50
44
60
5 5
~5
11
2,4545...
Ответ
Остатки повторяются, поэтому в частном повторя
ется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно,
= 2,4545... = 2,(45).
2,(45). <
89

Задача 2 Представить в виде обыкновенной дроби бесконеч
ную периодическую десятичную дробь:
1) 1,(7); 2) 0,2(18).
► 1) Пусть х = 1,(7) = 1,777..., тогда 10х = 17,(7) =
= 17,777....
Вычитая из второго равенства первое, получаем
1Л
9 х = 16, откуда х = — .
2) Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818..., тогда
10х = 2,(18) = 2,181818...,
1000* = 218,(18) = 218,181818....
Вычитая из третьего равенства второе, получаем
990д: = 216, откуда х = = — .
* 990 55
Ответ 1) 1,(7) = 11; 2) 0,2(18) = ±§. О
У 55
2. И р р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а .
Д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а .
Наряду с бесконечными периодическими десятич
ными дробями в математике рассматриваются
также и бесконечные десятичные непериодические
дроби.
Например, дробь 0,1010010001..., в которой после
первой цифры 1 стоит один нуль, после второй
цифры 1 — два нуля и т. д., является непериоди
ческой. Непериодической является также дробь
0,123456..., в которой после запятой записаны под
ряд все натуральные числа.
Рис. 28
Арифметические действия и правила сравнения
для действительных чисел определяются так, что
свойства этих действий, а также свойства равенств
и неравенств оказываются такими же, как и для
рациональных чисел.
90

Задача З
Ответ
Задача 4
Ответ
Задача 5
Обратимся к действию извлечения корня. В курсе
высшей математики доказывается, что из любого
неотрицательного действительного числа можно
извлечь квадратный корень. В результате извле
чения квадратного корня может получиться как
рациональное, так и иррациональное число.
Например, -у/1,21 = 1,1 — рациональное число,
а л/3 = 1,7320508... — иррациональное число.
Иррациональными являются также числа -/2, >[ь,
•Уб, л/7, л/8 и т. д., т. е. квадратные корни из нату
ральных чисел, которые не являются квадратами
натуральных чисел.
Заметим, что иррациональные числа получаются
не только при извлечении квадрат ных корней.
Например, число к, равное отношению длины
окружности к ее диаметру, является иррациональ
ным числом; отметим, что число л: не может быть
получено извлечением корня из рационального
числа.
На практике для нахождения приближенных зна
чений квадратных корней с требуемой точностью
используются таблицы, микрокалькуляторы и дру
гие вычислительные средства.
Вычислить на МК приближенное значение л/14
► 14 V" 3,7416573.
3,742. <
Вычислить на МК с точностью до 0,1:
23--/34 + 726.
Запишем данное выражение в виде
( V34 + -/26 ) •23
и вычислим его значение по программе
И1-Іи н
143,8. <
Вычислить на МК с точностью до 0,01:
■^2 + ^3 + л/б.
91

► Запишем данное выражение в виде ^ 3 + у[ь + 2 и
вычислим его по программе
ы 5 лГ|1= 1И1+ 1
0708079.
Ответ 2,07. <]
Итак, практические действия над иррациональны
ми числами заменяются действиями над их деся
тичными приближениями.
Геометрически действительные числа изобража
ются точками числовой оси (рис. 29). Каждому
^ действительному числу соответству-
-^2 ет единственная точка числовой оси,
-н 1—I I I (-
_ 0 5 5 0 1 2 я и кажД°и точке числовой оси соот
ветствует единственное действитель
ное. 29 ное число.
316 Прочитать дробь:
1) 0,(2); 2) 2,(21); 3) 15,3(53); 4) -2,77(3).
317 Записать в виде конечной или бесконечной периодической
десятичной дроби:
1} 2) т^5 ’ 3) 1 : 4) п ; 5) ~ Ь 6) Ч
318 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятич
ную периодическую дробь:
1) 0,(6); 2) 0,(7); 3) 4,1(25); 4) 2,3(81).
319 Сравнить числа:
2) 1,03 и 1,0(3);
4) 3,7(2) и 3,72.
1) 0,35 и 0,(35)
3) 2,41 и 2,4(1)
320 Даны числа: -8 ; --/Тб; -0,3; - | ; 12; V ? ; 0; /?; 1. Выпи-
2 V 9
сать те из них, которые являются: натуральными; целыми;
рациональными.
321 (Устно.) Какие из указанных чисел являются иррациональ
ными:
-2 ; 1; 0; Л Т ; -Л б ; -1 ,7 ; л/17; -^ 2 2 Ь 1
5
322 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001:
1) л/8; 2) Л З ; 3) ^ 6 ; 4) /4^3; 5) 6) ^ 0,05.
323 Площадь квадрата равна 12м2. Найти длину его стороны
с точностью до 1 см.
92

К А К И Е Ц И Ф Р Ы З А Ш И Ф Р О В А Н Ы Б У К В А М И
В П РИВ ЕДЕНН О Й ЗАП И СИ СЛОЖ ЕНИЯ ЧИСЕЛ:
+ С М Е X
Г Р О М
Г Р Е М И
1) л/57 + л/31 - л/23; 2) 787 - л/54 + л/17;
3) V687+ >/123; 4) ^801^7250 ;
5) у1у] 35604- л Ж ; 6) ^ 6 0 2 3 + л/5785;
7) 38 ; 8) 871
^у[55-у[28 ^1з2+ 182
325 Вычислить сточностью до 0,1 на микрокалькуляторе:
39 , 44 . ОЛ 86 23 .
} ^5 7 з ’ ’ Я 4 з ’
3) 71322+ 1532 ; 4) 7189 2- 652 ;
5) V332+ 182-2 3 2 ; 6) 7572- 3 7 2+ 162 ;
7) Л --
д/282 - 172 .
1 ) ^ 5 + ^ 3 + л/г'; 2 ) д/л/в + л/2 - 1;
3) / У з + ф Д ; 4) 7бл/5-л/13.
93

Квадратный корень
из степени
Вычислим значение выражения 4 а 2 при а = 3 и
а = -3. По определению квадратного корня л/з2" = 3.
При а = -3 находим ^/(—З)2 = л/з^~ = 3. Так как число
3 является противоположным числу -3 , то можно
записать:
л/(-3)2 = - ( - 3 ) или у ](-3 )2 =|-3|.
Т е о р е м а 1. Для любого числа а справедливо ра
венство
л/о 2 = |а |.
Рассмотрим два случая: а > 0 и а < 0.
1) Если а > 0, то по определению арифметического
корня
л/а5" = а.
2) Если а < 0, то ( - а ) > 0 и поэтому
■[а2 = л/(—а )2 = - а .
Таким образом,
^ 2 - |а ’ если о ^ 0>
[- а , если а < 0,
т. е. л/а^~ = |а|.
Например, ^/(-8)2 =|-8| = 8.
Вместо того чтобы говорить, что равенство л/о2" = |а|
выполняется при любых значениях входящих в
него букв, говорят, что это равенство выполняется
тождественно.
Равенства, справедливые при любых значениях
входящих в них букв, называют тождествами.
Приведем примеры тождеств:
(а + Ь )2= а 2+ 2аЬ + Ь 2.
а 2- Ь2= (а - Ь)(а +Ь ).
94

Задача 1 Упростить: 1) -/а®~; 2) л/а®".
► 1) -Уа®" = -/(а4)2 =|а4|. Так как а 4> 0 при любом а,
то|а4|= а 4 и поэтому >/а®~ = а 4.
2) -/а®~ = д/(а3)2 = |а3|.
Если а > 0, то а 3> 0 и поэтому |а3|= а3.
Если а < 0, то а 3< 0 и поэтому |а3|= - а 3.
Итак, в этом случае знак модуля следует оставить:
л/о®~ = |а3|• <
Т е о р е м а 2. Если а > Ь > 0, то -[а > - Л .
• В самом деле, если допустить, что л/а < 4 ь , то, воз
ведя обе части неравенства в квадрат, получим
а < Ь, что противоречит условию а > Ь. О
Например, т/256 > >/225, так как 256 > 225;
3 < л/10 <4, так как 9 < 10 < 16.
Задача 2 Упростить выражение -/(>/8 - З)2 .
► Используя тождество 4а* =а, получаем:
д / (7 8 -3 )2 =|л/8-3|.
Так как 8 < 9, то по теореме 2 получаем >/8 < 3. По
этому л/8 - 3 < 0 и |-у/8 - 3|= —( л/8 - 3) = 3 - -/8.
Ответ 3 --/ 8 . <]
Задача 3 Решить уравнение ^ ( х - 7)2 = х - 7.
► Так как ^/(х- 7)2 =| х - 7|, то исходное равенство
принимает вид:
х - 7= х - 7.
Это равенство справедливо только при х - 7 > 0 ,
т. е. при * > 7.
Ответ х > 7 . <3
Задача 4 Упростить выражение -у/7 -4>/з.
► Заметим, что 7 - 4-у/з = 4 - 4-/з + 3 = (2 - л/3)2.
Поэтому
л/7 - 4>/з = д/(2 - л/3)2 = |2 - >/3|= 2 - л/3,
так как 2 = ->/4, л/4 > л/з. <3
95

327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
Верно ли равенство:
1) у [ & = 5 ; 2) ^ (- б )2 =5;
3) у1(-5)2 = -5 ; 4) у1(-5)2 =|-5|?
Найти значение выражения Ух2"при:
1) х = 1; 2) х = 2; 3) х = 0; 4) х = ~2.
Вычислить:
1) л/з®~; 2) л/2»~; 3) Уб7;
4) УТТ7 ; 5) ^(-З)4 ; 6) ^ (-5 )6 .
Упростить:
1) 2) Ух17;
3) У а^ , а > 0; 4) У&®".
Найти значение выражения У х 2- 2х + 1 при:
1) х = 5; 2) х = 1;
3) х = 0; 4) х = -5.
Сравнить числа:
1) 4 и >/15; 2) 2,7 и У?;
3) -У3,26 и 1,8; 4) У18,49 и 4,3.
Показать, что:
1) 4 < Л 7 < 5 ; 2) 3 < УТо < 4;
3) 3,1 < УТо < 3,2; 4) 6, 1 < У3 8< 6 , 2 .
Найти два последовательных целых числа, между которыми
заключено число:
1 ) У39; 2) л/ 1 6 0 ;
3) ,/0^; 4) 78/7.
Упростить:
1) 7 (4 -л/5)2 ; 2) д/(л/5-2)2 ;
3) У(Уз~2)2; 4) У(Л5-4)2.
Упростить выражение:
1) У (х - 5)2 , если х 3* 5;
2) 7(а + 3)2, если а < -3;
3) >/1 + 4 й + 4 * 2, если к > -0,5;
4) У а2- баб + 9Ь2, если а < 36.
96

1) а + 5 - ^(а - 5)2 = 2а, если а < 5;
. Г, Г2лг, если х > у,
2) х + у + М х - у)г = ^ _ у
’ 2 1/, если х < г/.
1) у! ( х - 2 ) 2 = х - 2; 2) у ] ( х - 2 ) 2 = 2 - х .
339 Упростив, вычислить на микрокалькуляторе с точностью
до 0,01:
1) V3 - 2л/2 ; 2) V9-4л/5.
из произведения
§ 23
Задача 1 Показать, что >/16 •25 = >/Тб •>/25.
► л/16 •25 = -/400 = 20; >/їб ■>/25 = 4 ■5 = 20. <
Т е о р е м а . Если а > 0, Ь > 0, то
>/аЬ = >/л" •>/ь,
т. е. корень из произведения неотрицательных
множителей равен произведению корней из этих
множителей.
• Для того чтобы доказать, что 4а •4ь есть арифме
тический квадратный корень из аЬ, надо доказать,
что:
1) 4 а - 4 ь > 0; 2) (4 а - 4 ъ )2= аЬ.
По определению квадратного корня 4а > 0, 4ь > 0,
поэтому 4а - 4ь > 0. По свойству степени произведе
ния и определению квадратного корня
(4 а •4 ь )2= (4 а )2(4 ь )2= аЬ.
4 Алимов. 8 кл. 97

Например,
л/2304 = >/36 •64 = л/36 •>/б4 = 6 •8 = 48.
По доказанной теореме при умнож ении корней
можно перемножить подкоренные выражения и из
результата извлечь корень: >/а ■у[ъ = у[аЬ.
Например, >/з •>/12 = >/3• 12 = >/36 = 6.
Отметим, что теорема справедлива для любого чис
ла неотрицательных множителей. Например:
л1аЬс = >/а • 4ь •у[с, если а > 0 , Ь > 0 , с > 0 .
Задача 2 Вычислить >/54- 24.
► ^/54 • 24 = д / 9 - 6 - 6 - 4 = Л/9 - 3 6 - 4 = >/9-Л/ЗбГ-л/4 =
= 3 - 6 - 2 = 36. <3
Пусть дано выражение >/а26. Если а > 0 и ! ) > 0 , то
по теореме о корне из произведения можно за
писать:
>/а2Ь = 4 а ? •>/<> = а>/б.
Такое преобразование называется вынесением мно
жителя из-под знака корня.
Задача 3 Упростить выражение 2л/27 +>/12.
►2>/27+у[2 =2л/9~-~3+>/Т-~3=6л/3+2л/з=8>/з.
В некоторых случаях полезно вносить множите
ли под знак корня, т. е. выполнять преобразова
ние вида
а4ь = л[а2Ь, где а > 0, 6 > 0.
Задача 4 Упростить выражение
где а > 0, Ь > 0.
Внося положительные множители а и Ь под знак
корня, получаем:
= 3>/а6 - 2>/а6 = >/аЬ. <3
98

340 1) л/49 •25; 2) 70,01 -169;
3) ч/б25-9■ 36; 4) ^256• 0,25-81.
341 1) >/8 •50; 2) л/32 - 50; 3) л/Ю8-27; 4) л/27 - 12.
342 Вычислить с помощью разложения подкоренного выраже
ния на множители:
1) л/3136; 2) -У6084; 3) л/4356; 4) л/1764.
343 1) л/2 -л/32; 2) 7 н )-7 9 0 ;
3) л/з-л/7-л/2Т; 4) л/2-л/22-л/ТТ;
• > № * « Л «
344 1) т/пз2- 1122 ; 2) 7 822- 182 ;
3) 7б52-6 3 2 ; 4) 73 132- 3122 .
345 1) 754 •З2 ; 2) 774 •26 ; 3) 7 (~ 5)6 ’ (ОД)2 ; 4) 7122 •З4 .
346 1) (л/8 + л/2)2; 2) (л/7 - л/28)2;
3) (л/7 + Т б)(7 7 - Тб); 4) (5л/2 + 275)(572 - 275).
Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначе
ны положительные числа) (347— 348).
347 1) ТТбх; 2) л/!*2"; 3)Тба4"; 4) Тза®".
348 1) 78у: 2) 775а2 ; 3)7 7 т 8 ; 4) 7б0а3.
1) з 7 2 0 - л/5; 2) 1 7 1 8 + 2 7 2 ;
О
3 ) 2 л/ 2 7 - л/1 2 ; 4 ) 2л/20 - 2 7 4 5 + 1 7 Т б ;
4
5) 5 7 8 + | 7 2 -2 7 1 8 ; 6) 3748 - 775 + 17147.
350 Внести множитель под знак корня:
1) 272; 2) Зл/З; 3) 2 [1 + 1 ^ 2 8 ; 4) 10^0,03.
V 2 2
351 Внести множитель под знак корня (буквами обозначены по
ложительные числа):
1) ал/а; 2) аТ2; 3) а Д ; 4) -1-УЗхГ .
V а х 2
99

352 Сравнить:
1 ) 2 ^ 3 и Зл/2; 2) 2л/40 и 4 Л 0 ;
3) 4>/8 и 2-/18; 4) 2745 и 4^20.
353 Упростить:
1} а>0, б>0;
2) - Т э х ^ + б х Д - х 2 Д , л: > 0.
3 V 4 Ц х
1) (л/5-л/45)2-(л/Тз+л/ТТ)(л/ГГТ- л/Тз);
2) ( Л Т - л/7)(л/7 + Л Т ) - ( Л 2 - л/3)2.
1) |л/128+3>/2+ 2 ^ 7 2 ; 2) 3745 - 7125 + л/80;
3) - 2 7 2 7 + - 7 3 0 0 +573; 4)278 +0,5732 - ^ 7 1 8 .
3 5 о
356 Упростить выражение (буквами обозначены положительные
числа):
1 ) ^ 9 х ь + ^ 4 х 3 - х у Гх + х у Гх 3 ;
О Л
2) 370,04а 3Ь3 -2у ]0,25 а3Ь5 + 4 Ь ^ а 3Ь3 .
357 Разложить на множители по образцу (а > 0, 6 > 0)
9 - а = (3 - 7 а )(3 + 7 а):
1) 25 - а; 2) Ь - 1 6 ; 3) 0 ,0 1 -а ; 4)
358 Сократить дробь (а > 0, 6 > 0):
1Ч 2 5 - а . оч Ь - 1 6 . оч 0,49 - а _ ^ 0 ,8 1 - 6
г= > (—> ' /— ’ ' I—*
5 + 7 а 4 + 7 £> 7 а + 0 , 7 0 , 9 + V Ь
1) 723 -751; 2) 7123-763;
3) 7ТЗ - ТГ7 •719; 4) 715-718-721;
5) 7 з - 7 5 - 7 8 - 7 1 3 ; 6) 7 2 - 7 з - 7 5 - 7 7 .
360 Доказать равенство
^2а + 2-у/а2- Ь = 7 а + 7ь + 7 а ~ 7& ,
если а > 7б, Ь > 0.
361 Построить график функции:
1) у = у [ х * ; 2) у = 7 ( х - 1 ) 2.
100

из дроби
1 24
■
Показать, что = ^Щг.
У 36 Т зб
6 ’ Узб 6'
Т е о р е м а . Если о > О, Ь > 0, то
[ ( [ _
п Я '
т. е. корень из дроби равен корню из числителя,
деленному на корень из знаменателя.
Требуется доказать, что:
4 Т ь 2] { % )'--* ■
Так как Уа > 0 и [ь > 0, то ^ > 0.
у[ь
По свойству возведения дроби в степень и опреде
лению квадратного корня получаем:
Уа ^ _ ( Уа )2 _ а
уГь ) (У б )2 ь ’
Например, Л[ Ш = Щ = 11.
V225 15
По доказанной теореме при делении корней можно
разделить подкоренные выражения и из результа
та извлечь корень:
Уа _ Га
Гъ У ь‘
Например, = -у/36 = 6 .
В некоторых задачах полезно избавиться от ирра
циональных выраж ений в знаменат еле дроби.
101

Задача 2
Задача З
Задача 4
а
Т
1 кг
(У кг)
Рис. ЗО
ли тель и знаменатель дроби на У&, получаем
а _ . а ^ = а ^ . Например:
Уь ъ
п; 1 _ /X л/2 _ л/2
^ 72 2 2
Исклю чить иррациональность из знаменателя:
Уб + Уз
У б - У з ’
Если умножить разность Уб - У з на сумму Уб + У з,
то получится выражение, не содержащее корней.
Поэтому
У5 + У з _ (У5 + Уз)(У5 + У з ) _ (У5 + У з ) 2 _
У б - У з ( Уб - Уз кУб + Уз > 5 - з
= 5 + 2УТб± 3 = 4 + ^
2
Доказать, что среднее арифметическое двух поло
ж ительных чисел а и Ь не меньше среднего геомет
рического этих чисел:
(1)
2
Требуется доказать, что
0.
2
Преобразуя левую часть этого неравенства, получаем:
^ - У^Ь = а + 6 ~ ^ -)2_ > о О
2 2 2
Заметим, что в соотнош ении (1 ) знак равенства
имеет место только при а = Ь.
Продавец взвешивает яблоки на рычажных весах.
Покупатель купил 1 кг яблок, а затем купил еще
ь 1 кг, попросив продавца поменять ме
стами при втором взвешивании гирю
и яблоки. Кто понес убы тки, если
весы не отрегулированы?
► П усть плечи весов равны а и Ь
(рис. 30). При первом взвешивании
покупатель приобрел х килограммов
х яблок. Из курса физики известно, что
(1кг) х -Ь = 1-а, откуда х = %-. При втором
Ь
Пусть дано выражение =, где Ь > 0. Умножая чис-
102

взвешивании покупатель приобрел у килограммов
яблок. Из условия равновесия у а = 1-Ь находим
у = —. Итак, было куплено —+ — килограммов
а Ъ а
яблок. Используя неравенство для среднего ариф-
а Ь
метического и геометрического чисел — и —, полу-
Ь а
£. + Ь. _____
Ь а а Ь а Ь ^ п
чаем —
-
откуда —+ —> 2.
2 V Ь а Ь а
Ответ Убыток понес продавец. <3
368
362
363
364
365
1)
1)
3)
2) 3) 4) б ±.
9
25
1) Щ ;
4з
2)
49 .
1 4 4 ’
л/128
2) 5,/—— 3
V 25
4) М~V 81
Я
3)
4 л Д о ,
4)
9 ;
169
2 2 5 '
20 л/18
5 л/2
1)
3)
6 4 - 4 9
1 9 6 • 3 2 4
I 9_. ± .
V 16 81
36 ,
1 6 9 ’
Л о ’
2)
41 ^
9_
16
52
366 И с к л ю ч и т ь иррациональность из знаменателя:
1) - 4 ;
41
4)
7)
1
3 + 42 ’
4 1 - 4 7 .
Гь + Я '
2)
5)
8)
_2_
Ув*
У 7 -л / Г
Л о + Те
л/То - л / 8 ’
3)
6)
2 - Л ’
3
+ л/2 ’
367 На микрокалькуляторе вычислить с точностью до 0,01 раз
ность между средним арифметическим и средним геометри
ческим чисел:
1) 17 и 39; 2) 71 и 86;
3) 134,2 и 243,1; 4) 150,3 и 210,4.
Площадь одного квадрата 72 см2, а площадь другого квадра
та 2 см2. Во сколько раз сторона первого квадрата больше
стороны второго квадрата?
103

369
370
371
372
373
374
375
376
21 Л 64
Извлечь корень:
./—Ц-, где а > 0; 4) . [ Щ , где а < 0.
4а* V а
3)
1) (*-3) 1
х 2 - 6 х + 9
при: а) х > 3; б) х < 3;
у а2 —4 а +
2) (2 - а ) — ------------ при: а) а >2 ; 2) а < 2 .
Вычислить:
1 3 3 . п ** I **
2 + Уб 2 - Уб' з - ТТТ з + УТТ’
8 )-7 =1 -------- - г =-— ; 4 ) - 3 _ + 2 •
7 П - 3 7ТТ - 2 ’ 3 + 7б 2 + у/б’
3 2 „ ЛГ. 1 . 1 . зУб
I— /— ’ /— I— л
л/7 - 2 л/7 н- 3 3 - 7 5 2 - л /5 4
Доказать с помощью неравенства между средним арифмети
ческим и средним геометрическим, что для любых положи
тельных чисел а и 6 выполняется неравенство
Ь ё >2-
1) - £ - .ь- -4 ь - , 2) 2 (7 1 + ^ ) - - •
оч ху[х + У/ У ' лчауГа + ь/ь
•*) ,— > ,—
х - ху + у а + V аЬ + Ъ
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
У37 -/17 оч 7 2 6 -Т 3 5 .
7 Ж ’ } Ж 3) “ Т И “ ’
7 5 4 -Тб7 , . 7 2 1 - 7 1 7 Т37-Т40
} 7 ^ ’ Т Т з - Т « ’ ' 7 26-7з з ’
Доказать, что для любых положительных чисел а и 6 спра
ведливо неравенство:
1 ) 7 ^ > х 1 _ ; 2) ^ - + ^ - > Г а + 4 ~ Ъ .
а + Ь
Построить график функции: ____________
1) у - ^ х 2- 2 х + 1; 2) у = ^ х 2- 6 х + 9.
104

377
378
379
380
381
382
383
384
к главе III
Вычислить:
1) (л/З)2; 2) (л/ОД)2; 3) ; 4)
Что больше:
1 ) л / 1 7 И Л И >/82;
3) 3 или л/10;
2 ) л / 0 7 2 И Л И л / М ;
4) 5 или л/24?
1) л/21-6-7-8; 2) л/72•6• 45-15;
3) л/225 0,16-400; 4) >/900 •25 •1,69.
1) л/7-УбЗ; 2) л/8 л/98; 3) л/73•л/3;
2л/бЗ
1)
4л/72
3)
Зл/8 ’ 2) л/28 ’
1) л/2®"; 2) л/з®~;
4) л/б®"; 5) л/(-3)6 ;
Упростить:
1) Зч/20 + л/28 + л/45-л/63;
2) (2/|-8# +31/1) ' #
3) (6л/45-Зл/20 +9л/80):(Зл/5);
4) (7л/8- 1 4 ^ 8 +0,7л/12):(7л/2);
5 6
2л/45 .
л/80 ’
3) л/54";
6) Т Г т )5
5)
6)
1+ /б 3 + /б
6 4
л/2 -л/3 л/2 + л/3 '
Сократить дробь:
4) л/10 -л/40.
4^99
4)
9л/44 ’
1)
4)
5а - 35
7 3 7 Г ;
4л/а + л/& ,
Ь - 16а ’
2)
5)
ж3- 3лг
1 7 7 з ;
л/1 5 - 5
л/б - л Д о ’
3)
6)
5х-5л/з .
3 - х 2
9-2л/з
Зл/б-2л/2'
105

1
2
3
4
5
6
Сравнить: 7 и -/48; 2-/3 и 3-/2.
Вычислить: >/81-49; УО .З-120; ^ 2 ^ ; ^ ( - 1 7 ) 2 ; л/з®~-
Зл/ 8 + л/2 - З Л 8 ; (л/5->/2)2; (2 - >/3)(2 + >/3).
Вынести множитель из-под знака корня: л/8а3 , а > 0 .
ж2- 3 у[х+ у[у
л/Г
Исключить иррациональность из знаменателя: -р=;
/7 2+ -/3
1) У х - Т = 4;
3) V 2 (х - 1 )= 2 ;
2) У х + 9 =5;
4) У 2 х - 7 =1.
386 При каких значениях х справедливо равенство:
1) 1х -21 = х - 2; 2) |3 - х|= х - 3;
3) у](х + 3)2 = х + 3; 4) д /(5 -2 х)2 = 2 х -5 ?
1) I/= -/х2- 2х + 1 + ./х2- 6 х + 9 при:
а) х < 1 ; б) 1 < х < 3 ; в) х > 3 .
2) г/= -/а2- 4а + 4 + ./а2- Ю а + 25 при:
а) а <2 ; б) 2 < а < 5 ; в) а > 5.
388 Найти значение выражения 2х2-5 а х + 2а2 при х = У б + У 5
и а = Уб - Уб.
1)
2)
3)
УаЬ - ■
аб
а + Уаб а - Ъ '
а + Уб а - Уб ^ . а - Уб
^ а - ^ Ь
с - -Га
а + Уб , а2+ Ь
с + У5 ^ 2су[й
У5 с - -/5 с + у * ’
4) (2 + УЬ)
26
[ 4 ь + 2 2 - -/б 4 - & >|
390 Сумма двух чисел равна -/14, а их разность УТо. Доказать,
что произведение этих чисел равно 1.
106

391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
! ) <[ху' (~ГхУ ~ 2 л [ ^ ~ ,Д -]> где * > 0 , у > 0;
^ У х у ху J
Исключить иррациональность из знаменателя:
■| ____1 о 2____ , о . дч 5 - 4л/~3
' Т в - Л * Л Т - ^ Г } Л - > / Г ; 5-/з- э '
Доказать, что если а > О, Ь > 0, то а - у[аЬ + Ь > >[аЬ.
Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение
корня с точностью до 0,01:
1 ) 7 ^ 6 ; 2 ) -у/2,13; 3 ) V 3 , 1 4 8 ; 4 ) V I 3 , 6 9 .
На микрокалькуляторе вычислить с точностью до 0,001 зна
чение выражения + - - 2 при:
1) а = 1,1; 2) а = 1,19; 3) а =0,81; 4) а = 0,9.
Вычислить значение выражения у [З х ^ + ^ х --9 с точностью
до 0,1, если:
1) х = 3; 2) ж= 4; 3) * = 5,5;
4) х = 6,3; 5) дг= -25; 6) ж= -31.
Доказать, что если а > 0 и Ь > 0 , то
Доказать, что для любых чисел а и Ь справедливо нера
венство
Упростить:
*±±<
1) 1/= ^/ж2-8 л : + 16 + V * 2- 12х + 36 при:
а ) х < 4 ; б ) 4 < х < 6 ; в ) л: > 6 ;
2) у = V4х2-4 л :+ 1-1 ^9 ж2- 6х + 1 при:
а) * < | ; б) в) * > | .
Сравнить Vа +6 и -у/а + -у/Ь, где а > 0 и &> 0.
107

IVглава
уравнения
Квадратное уравнение
и его корни
# 2 5
..... 1......' ......1......1...... ' ......' ......' ......' ...... 1......1......
Задача 1 Основание прямоугольника больше высоты на
10 см, а его площадь равна 24 см2. Найти высоту
прямоугольника.
► Пусть х сантиметров — высота прямоугольника,
тогда его основание равно ( х + 10) сантиметров. Пло
щадь этого прямоугольника равна дг(х + 10) см2.
По условию задачи х ( х + 10) = 24.
Раскрывая скобки и перенося число 24 с противо
положным знаком в левую часть уравнения, по
лучаем:
х 2+ Ю х - 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители
способом группировки:
х 2+ 10х - 24 = х 2+ 12 х - 2х - 24 =
= х ( х + 12) - 2 ( х + 12) = ( х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно записать так:
(х + 12)(х - 2) = 0.
Это уравнение имеет корни х1= -12, х 2= 2. Так как
длина отрезка не может быть отрицательным чис
лом, то искомая высота равна 2 см. <1
При решении этой задачи было получено урав
нение
х 2+ 10х - 24 = 0,
которое называют квадратным.
108

Квадратным уравнением называется уравнение
вида
ах2+ Ьх + с = О, (1)
где а, Ь, с — заданные числа, а * О, х — неиз
вестное.
Коэффициенты а, Ь, с квадратного уравнения
обычно называют так: а — первым или старшим
коэффициентом, Ь — вторым коэффициентом,
с — свободным членом.
Например, в уравнении З х2- х + 2 = 0 старший ко
эффициент 3, второй коэффициент -1 , свободный
член 2.
Решение многих задач математики, физики, тех
ники сводится к решению квадратных уравнений.
Приведем еще примеры квадратных уравнений:
2 х 2+ х - 1 = 0, Ы 2- Ш + 3 = 0,
х 2- 25 = 0, 2 х г = 0.
При решении многих задач получаются урав
нения, которые с помощью алгебраических пре
образований сводятся к квадратным. Например,
уравнение 2 х 2+ Зх = х 2+ 2 х + 2 после перенесения
всех его членов в левую часть и приведения подоб
ных членов сводится к квадратному уравнению
х 2+ х - 2 =0.
Задача 2 Решить уравнение х 2= 64.
Перенесем 64 в левую часть, получим квадратное
уравнение х 2 - 64 = 0.
Разложим левую часть на множители:
( х - 8 ) ( х + 8) = 0.
Следовательно, уравнение имеет два корня:
х2= -8 . <1
109

Заметим, что первый корень уравнения х 2= 64
является арифметическим корнем из числа 64,
а второй — противоположным ему числом:
х 1=у[б4, х2= - ->/б4.
Эти две формулы обычно объединяют в одну:
х1 2= ±/б4.
Ответ к задаче 2 можно записать так: х 1 2= ±8.
Уравнение х 2= 64 является частным случаем урав
нения вида х 2= й.
Т е о р е м а . Уравнение х 2= (1, где с1 > 0, имеет два
К0рня: Х ^ 4 й , Х2= - Я .
• Перенесем й в левую часть уравнения:
х 2-<Л =0 .
Так как й > 0 , то по определению арифметического
квадратного корня с?=(-У^)2. Поэтому уравнение
можно записать так:
Х 2 - ( у [ 1 ) 2 = 0 .
Разложим левую часть этого уравнения на множи
тели, получим:
( х - Гс1)(х + -У?) = 0,
откуда х г = 41., х 2= -4 (1 . О
„ 4
Например, уравнение х д имеет корни
х 12 = ± ^ = ± ~ ; уравнение х 2= 3 имеет корни
х12 = ±УЗ; уравнение х 2= 8 имеет корни
х 1 2= ± 4 8 = ± 2 4 2 .
Если в уравнении х 2 = й правая часть равна нулю,
то уравнение дг2= 0 имеет один корень х = 0. Так
как уравнение х 2= 0 можно записать в виде
х - х = 0, то иногда говорят, что уравнение х 2= 0
имеет два равных корня: х12 = 0.
Если й <0 , то уравнение х 2= й не имеет действи
тельных корней, так как квадрат действительного
числа не может быть отрицательным числом. На
пример, уравнение х 2= -25 не имеет действитель
ных корней.
110

401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
(Устно.) Какие из данных уравнений являются квадрат
ными:
1) 5х2- 14* + 1 7 = 0 ; 2) § х 2+ 4 = 0;
О
3) - 7 л:2- 1 3 *+ 8 = 0; 4) 17х + 24 = 0;
5) -13;с4+ 26 = 0; 6) х 2- х = 0?
(Устно.) Назвать коэффициенты и свободный член квадрат
ного уравнения:
1) 5л:2- 1 4 * + 1 7 = 0; 2) § х 2+ 4 = 0;
О
3) -л :2+ л:+ | = 0; 4) -7л:2- 13лг + 8 = 0;
5) х 2+ 25х = 0; 6) - х 2- х = 0.
Записать квадратное уравнение ах2+ Ьх + с = 0, если извест
ны его коэффициенты:
1) а = 2, 6 = 3, с = 4; 2) а = -1 , Ь = 0, с = 9;
3) а = 1, Ь = -5, с = 0; 4) а = 1, Ь = 0, с = 0.
Привести данное уравнение к виду квадратного:
1) х (х - 3) = 4; 2) (х - 3)(х - 1) = 12;
3) З х (х - 5) = х (х + 1) - х2;4) 7(л:2- 1) = 2(л; + 2)(л: - 2).
Какие из чисел -3 , -2 , 0, -1 , 1, 2, 3 являются корнями урав
нения:
1) х 2- 9 = 0; 2) х2+ х - 6 = 0; 3) ( х - 1)(х + 2) =0 ;
4) х 2- х = 0; 5) х2- 5 х + 6 = 0; 6) (х + 1 )(х - 3) = х?
(Устно.) Сколько корней имеет уравнение х 2= 36? Найти их.
Какой из них является арифметическим корнем из 36?
(Устно.) Решить уравнение:
1) х 2= 1; 2) х2= 9; 3) х 2= 16;
4) х2= 25; 5) х2= 100; 6) х 2= 0.
Найти корни уравнения:
Х) х2= Тв’ 2) * 2= 5§; 3) х2= 1Ь
4) х2= 2 ^ ; 5) х2= 5; 6) х2= 13.
4
Решить уравнение:
1) х 2-4 9 = 0; 2) х2- 121 = 0; 3) - х 2= 0;
х 2 3
4) ^ - = 0; 5) х2+ 9 = 0; 6) х2+ 12 = 0.
5
Решить квадратное уравнение, разложив его левую часть на
множители:
1) х 2- х = 0; 2) х2+ 2х = 0; 3) Зх2+ 5х = 0;
4) 5х2- 3 х = 0; 5) х2- 4 х + 4 = 0; 6) х 2+ 6х + 9 = 0 .
111

411 Вычислить приближенно с помощью микрокалькулятора
корни уравнения:
1) ж2= 7,12; 2) ж2= 31; 3) ж2= 0,4624;
4) х2= 675; 5) ж2-9735 = 0; 6) ж2-0,021 = 0.
1) (ж - 2)(ж2+ 2ж + 4) - ж2(ж - 18) =0 ;
2) (ж + 1)(ж2- ж+ 1) - ж2(ж + 4) = 0.
413 Показать, что уравнения ж2= 4 и |ж|= 2 имеют одни и те же
корни.
414 Найти такое положительное число Ь, чтобы левая часть
уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и ре
шить полученное уравнение:
1) ж2+ &ж+ 4 = 0; 2) ж2-Ь х + 9 = 0 ;
3) ж2- 8х + 6 = 0; 4) ж2+ |ж + Ь = 0.
О
1) ж2+ 4ж + 3 = 0; 2) ж2+ Зж + 2 = 0.
416 Доказать, что если число х 0 — корень уравнения а х 2+
+ Ьх + с = 0, где с * 0, то число — корень уравнения
2 ь *о
с х 2+ Ьх + а = 0.
; Неполные квадратные
ц; уравнения
ЦЙЦ*..... •......' ......•...... 1..... •......
Квадратное уравнение ах2+ Ьх + с = 0 называют
неполным, если хотя бы один из коэффициентов
Ь или с равен нулю. Таким образом, неполное квад
ратное уравнение есть уравнение одного из следую
щих видов:
а х 2 = О, (1)
а х 2 + с = 0, с * О, (2)
а х 2 + Ьх = 0, Ь 2 0. (3)
Заметим, что в уравнениях (1), (2), (3) коэффици
ент а не равен нулю.
Покажем, как решаются неполные квадратные
уравнения.
112

Задача 1
Задача 2
Задача З
Задача 4
Ответ
Решить уравнение 5л:2= 0.
► Разделив обе части этого уравнения на 5, получим:
х 2= 0,
откуда х = 0. О
Решить уравнение Зх2-2 7 = 0.
► Разделим обе части уравнения на 3:
х2- 9 = 0.
Это уравнение можно записать так:
х 2= 9,
откуда х г 2= ±3. <3
Решить уравнение 2 х 2+ 7 = 0.
► Уравнение можно записать так:
Это уравнение действительных корней не имеет,
так как х 2 > 0 для любого действительного чис
ла X. <]
Решить уравнение - З х 2+ 5х = 0.
► Разложив левую часть уравнения на множители,
получим:
х ( - 3 х + 5) = 0,
п 5откуда * 1 = 0, х2= - .
*1 = °, х2= —-
417 1) х 2= 0; 2) Зле2= 0; 3) 5л:2= 125;
4) 9 л:2= 81; 5) 4л:2-6 4 = 0; 6) л:2- 2 7 = 0 ;
7) 4л:2= 81; 8) 0,01л:2= 4.
418 1) х 2- 7 х = 0; 2) л:2+ 5л: = 0; 3) 5л;2= 3л;;
4) 4х2= 0,16л:; 5) 9л:2-л : = 0; 6) 9л:2+ 1 = 0.
419 1) 4л:2- 169 = 0; 2) 25-16 л:2= 0; 3) 2л:2-1 6 = 0;
4) З х 2= 15; 5) 2л:2= | ; 6) Зл;2= 5-|.
420 1 ) ^ = 5; 2) ^ 1 = 1; 3 ) 4 . ^ ; 4 ) 3 = ^ .
3 5 5 4
421 1) Зх2 + 6л; = 8л:2- 15л;; 2) 17л:2- 5л; = 14х2+ 7х;
3) 10л: + 7л;2= 2л:2+ 8л:; 4) 15л: + 9л:2= 7л:2+ Юл:.
113

422 При каких значениях х значения данных дробей равны:
4х2- 3* х 2+ 5х Зх2+ 7х 7х2- 5х
1) ---------- и— -— ; 2) и -------------- ?
3 2 4 3
1) х (х -1 5 ) = 3(108 -5 х );
2) (х - 7)(х + 3) + (х - 1)(х + 5) = 102;
3) (2 х + 1 )(х - 3) - (1 - х )(х - 5) = 29 - 11х;
4) (Зх - 8)2- (4х - 6)2+ (5х - 2)(5х + 2) = 96.
424 Найти число, квадрат которого равен удвоенному этому чис
лу. Сколько решений имеет задача?
425 Найти число, квадрат которого, уменьшенный на 4, равен
нулю. Сколько решений имеет задача?
426 Площадь круга вычисляется по формуле в = лй 2 (где в —
площадь, Я — радиус круга). На микрокалькуляторе вычис
лить с точностью до 0,1 м диаметр цирковой арены, если ее
площадь составляет 2000 м2.
1) — = 0; 2) 2 £ ± £ 1 = 0 .
х - 3 х + 2
Метод выделения
полного квадрата
§ 27
Для решения квадратных уравнений применяется
метод выделения полного квадрата. Поясним этот
метод на примерах.
Задача 1 Решить квадратное уравнение
х2+ 2х - 3 = 0.
Преобразуем это уравнение так:
х 2+ 2х = 3,
х2+ 2 х + 1 = 3 +1 ,
(х + I )2= 4.
Следовательно, х + 1 = 2 или х + 1 = -2 , откуда х1= 1,
х2= -3. <
114

Задача 2
Задача З
Решая уравнение х 2+ 2 х - 3 = 0, мы преобразовали
его так, что в левой части получился квадрат дву
члена (лг+1)2, а правая часть не содержит неиз
вестное.
Решить уравнение х 2+ 6 х - 7 = 0 .
Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой час
ти получился квадрат двучлена:
х 2+ 6 х = 7,
х 2+ 2 - З х = 7,
д:2+ 2 •Зх + З2= 7 + З2,
(х + 3)2= 16.
Поясним эти преобразования. В выражении х 2+ 6 х
первое слагаемое — квадрат числа х, а второе —
удвоенное произведение х и 3. Поэтому для получе
ния в левой части уравнения квадрата двучлена
нужно прибавить к обеим частям уравнения З2.
Решая уравнение (х + З)2= 16, получаем х + 3 = 4
или х + 3 = -4, откуда х1=1, х 2= - 7 . О
Решить уравнение 4л:2- 8 х + 3 = 0.
4х2 - 8 х = -3,
( 2 х ) 2- 2 ■2 - 2 х = -3,
( 2 х ) 2- 2 2 - 2 х + 4 = - 3 + 4,
( 2 х - 2)2= 1,
Задача 4
2 х - 2 = 1 или 2 х - 2 = -1 , х 1= х 2= ^.
С» и
Решить уравнение х 2+ Ъх - 14 = 0.
<
с2 + 2 -% х + Ц . = 14 + ^ ,
х = ® - І = 2
2 2
2
81
4 ’
* + | =
2 2
= - ? - | = -7 . <
428
Найти такое положительное число т, чтобы данное выраже
ние было квадратом суммы или разности:
1) х 2+ 4х + т 2) х 2- 6 х + т; 3) х2-14д: + т;
4) х2+ 1 6 х + т; 5) х 2+т х + 4; 6) х 2- т х + 9.
115

429 Методом выделения полного квадрата решить уравнение:
1) х2- 4 х - 5 = 0; 2) х 2+ 4 х -1 2 = 0 ;
3) х 2+ 2 х - 15 = 0; 4) х 2- 10* + 16 = 0;
5) х2- 6 х + 3 = 0; 6) х 2+ 8 х - 7 = 0.
430 1) 9 х2+ 6 х - 8 = 0; 2) 25х2- 1 0 * -3 = 0.
431 1) х 2- 5 х + 4 = 0; 2) х 2- З х - 1 0 = 0 .
432 1) 2 х2+ Зх - 5 = 0; 2) 5х2- 7 х - 6 = 0.
Лсшсгшс
: квадратных уравнений
1
2 8
■
В предыдущем параграфе были рассмотрены реше
ния квадратных уравнений методом выделения
полного квадрата. Применим этот метод для выво
да формулы, по которой можно решать квадратное
уравнение общего вида.
Рассмотрим квадратное уравнение общего вида:
ах2+ Ьх + с = 0,
где а Ф0.
Разделив обе части уравнения на а, получим:
* 2 + Ь х + с ^ 0
а а
Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой час
ти получился квадрат двучлена:
х 2 + Ь Х = - ± 1
х 2 + 2 — • х +
2а
_Ь_
2а
= - ! +
Ъ_
2а
х + -
- 4ас
2а 4а
(1)
116

Задача 1
Ответ
Задача 2
Ответ
Задача З
Если Ъ2- 4ас > 0, то х +
2а / 2а
, откуда
ь , > 2-4 ас _ ь > 2-4ас
2а _ - 2а ’ 1>2 2 а " 2а
ИЛИ
- Ь ± 2 - 4ас
1,2 2а
(2)
Формулу (2) называют формулой корней квадрат
ного уравнения общего вида.
Решить уравнение 6 х 2+ х - 2 = 0 .
Здесь а = 6, Ь = 1, с = -2 . По формуле (2) находим:
_ - 1 ± У12 -4 -6 (-2 ) _ _ 1± .Дд _ _х ± 7
* 1,2_ 2-6 12 12
-1 + 7 1 - 1 - 7 2
откуда *> = — = 2 ’ Х2 = - 1 ^ = _ 3 -
*1 = | » Х2= “ | - <
Решить уравнение 4х2 - 4х + 1 = 0.
Здесь а =4, Ь = -4, с = 1. По формуле (2) находим:
_ 4 ± ^42 - 4 •4 •1 _ 4 ± о _ 1
Х 1 ’ 2 - 2-4 8 2"
* - 1 . <3
2
Если в равенстве (1) правая часть отрицательна,
т. е. Ь2- 4ас < 0 , то равенство (1) не может быть
верным ни при каком действительном х, так как
его левая часть неотрицательна.
Поэтому уравнение а х 2+ Ьх + с = 0 не имеет дейст
вительных корней, если Ь2- 4 а с < 0.
Выражение Ь2- 4 а с называют дискриминантом
и обозначают буквой £>, т. е. £> = Ь 2- 4 а с .
Доказать, что уравнение х 2- 4х + 5 = 0 не имеет
действительных корней.
► Здесь а = 1, Ь = -4, с = 5,
62- 4 а с = ( - 4 ) 2- 4 1 - 5 = - 4 < 0 .
Следовательно, данное уравнение не имеет дейст
вительных корней. <3
117

Задача 4 Решить уравнение 2х2+ З х !+ 4 = 0.
► По формуле (2) имеем:
„ _ -3 ± л/9 -4 -2 -4
1,2
4
Число, стоящее под знаком корня, отрицательно:
/> = 9 - 4 - 2 - 4 = 9 - 32 < 0.
Ответ Уравнение не имеет действ «тельных корней. <3
Неполные квадратные ур)авнения также можно
решать по формуле (2), о; ;нако при их решении
удобнее пользоваться прие иами, рассмотренными
в § 26.
Задача 5 Доказать, что корни квадргитного уравнения
ах2+ 2тх + с = 0,
где а Ф0, т г - а с > 0, можно находить по формуле
- т ±
V -
J m 2 - ас
*1, 2 ~
а
► Здесь Ъ= 2т. По общей фор]муле корней квадратно-
го уравнения (2) получаем:
-2т ± J i m 2- 4ас
Y —
-2т ± 2J m 2- ас
1,2 0
2а 2а
- т ± J m 2 -а с
а
• ^і
Задача 6 Решить уравнение Зд:2- 4х + 1= 0.
► Здесь Ь = -4 = 2 (-2 ), т. е. т. = -2 .
По формуле (3) находим:
2+ л/4-3 2 ± 1
1,2 — з - 3 .откуд*а *! = 1, х 2= ± .
Ответ X. = 1, х 2= - . <1
3
433 Найти значение выражения J b 2- 4ас при:
1) а = 3, b = 1, с = -4; 2) а = 3, b = -0 ,2 , с = -0,01;
3) а = 7, Ь = -6 , с = -45; 4) а = - L, Ь = 5, с = 1800.
434 Решить квадратное уравнение:
1) 2 х2+ Зх + 1 = 0; 2) 2л:2- Зх + 1 = 0;
3) 2 x2+ 5x + 2 = 0; 4) 2 х2- 7х + 3 = 0;
5) З х2 + 11* + 6 = 0; 6) 4д:2- 11х + 6 = 0.
118

435
436
437
438
439
440
441
442
443
Найти все значения х, при которых значение выражения
равно нулю:
1) 2 х 2+ 5 х -3 ; 2) 2 х2- 7 х - 4 ;
3) Зх2+ х - 4 ; 4) Зх2+ 2 х -1 ;
5) х 2+ 4х - 3; 6) З х2+ 12* + 10;
7) - 2 х 2+ х + 1; 8) -З х 2- х + 4.
Решить квадратное уравнение (436— 437).
I) 9 х 2- 6 х + 1 = 0; 2) 16х2- 8 х + 1 = 0;
3) 49х2+ 28х + 4 = 0; 4) 36х2+1 2 х + 1= 0.
1) 2 х 2+ х + 1 = 0; 2) Зх2- х + 2 = 0 ;
3) 5х2+ 2х + 3 = 0; 4) я2- 2 х + 10 = 0.
Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет:
1) 2 х 2+ 5х - 7 = 0; 2) Зх2- 7 х - 8 = 0;
3) 4х2+ 4х + 1 = 0; 4) 9 х2- 6 х + 2 = 0.
1) 7х2- 6 х + 2 = 0; 2) Зх2- 5х + 4 = 0;
3) 9 х 2+ 12х + 4 = 0; 4) 4х2- 20х + 25 = 0;
5) 4х2+ 12х + 9 = 0; 6) х2- З х - 4 = 0.
1) 6 х2= 5х + 1; 2) 5х2+ 1= 6х;
3) х ( х - 1 ) = 72; 4) х (х + 1) = 56;
5) 2 х ( х + 2) = 8 х + 3; 6) З х (х - 2) - 1= х - 0,5(8 + х 2).
х2+ Зх _ х + 7 '
2 4 ’
х2- 3 х
2х2+ х 2 - Зх _ хг -6
~ 3 4 6 ’
Найти все значения а, при которых уравнение ах 2+
+ Зх + 2 = 0, где а Ф 0:
1 ) имеет два различных корня;
2 ) не имеет корней;
3) имеет один корень.
Найти все значения 9 , при которых уравнение х 2- 2 х + д = 0:
1 ) имеет два различных корня;
2) имеет один корень.
Решить уравнение, используя формулу (3):
1) 5 *2- 8 х - 4 = 0; 2) 4 * 2+ 4х - 3 = 0;
3) 8 х2- 6х + 1 = 0; 4) 5х2- 26х + 5 = 0.
119

КУБ, Д Л И Н А РЕБРА КОТОРОГО 3 СМ,
П О К Р А Ш Е Н КРАСН ОЙ КРАСКОЙ.
ЕГО Р А З Р Е З А Л И Н А КУ БИ КИ ПО 1 СМ3.
СКОЛЬКО КУБИКОВ ИМЕЮ'Г
ТРИ К Р А С Н Ы Е ГРАН И ?
ДВЕ К Р А С Н Ы Е Г Р А Н И ?
О Д Н У К РА С Н У Ю ГРА Н Ь?
Н И ОДНОЙ К РАСН О Й ГРАН И ?
445 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) 2,5х2- 30,75л: + 93,8 = 0;
2) 1,2х2+ 5,76* + 6,324 = 0;
3) 17х2-9 1 8 х -1 2 5 3 0 7 = 0;
4) 13х2- 7 0 2 х - 82 251 = 0.
446 Записать формулу корней квадратного уравнения х 2+ 2тх +
+ с = 0, решить с помощью этой формулы уравнение:
1) х 2- 1 2 *+ 2 0 =0 ; 2) х2+ 10х + 24 = 0;
3) х 2+ 10х - 24 = 0; 4) х2-$ 0 х + 49 = 0.
447 С помощью микрокалькулятора найти приближенные значе
ния корней уравнения с точностью до 0,01:
1) 1,3х2+ 5,7х + 5,1 = 0; 2) 2 ,3 х | -30,1х + 89 = 0;
3) х 2+ 1 9 х -6 8 =0 ; 4) х 2- 2 3 х -5 1 = 0.
448
449
Доказать, что уравнение х 2+ р х - 1}= 0 при любом р имеет
два различных корня.
Доказать, что уравнение ах2+ Ьх - а
имеет два различных корня.
= 0 при а * 0 и любом Ь
120

Приведенное квадратное уравнение.
Теорема Виета
§ 29
Квадратное уравнение вида
х2+ рх + <7= 0 (1)
называется приведенным.
В этом уравнении старший коэффициент равен
единице. Например, уравнение х 2- Зх - 4 = 0 явля
ется приведенным квадратным уравнением.
Всякое квадратное уравнение а х 2+ Ьх + с = 0 может
быть приведено к виду (1) делением обеих частей
уравнения на а * 0.
Например, уравнение Ах2+ 4х - 3 = 0 делением на 4
3
приводится к виду X2+ X — = 0.
4
Найдем корни приведенного квадратного уравне
ния (1). Для этого воспользуемся формулой корней
квадратного уравнения общего вида
а х 2+ Ьх + с = 0 ,
т. е. формулой
- Ь ± у1Ь2 - 4ас
х 1 2= - • (2)
2 а
Приведенное уравнение
х 2+ рх + <7 = 0
есть частный случай уравнения общего вида, в ко
тором а = 1, Ь = р, с =<?. Поэтому для приведенного
квадратного уравнения формула (2) принимает
вид:
- р ± у ] р 2 - 4 я
*1.2------------7, '
(3)
Формулу (3) называют формулой корней приведен
ного квадратного уравнения. Формулой (3) особен
но удобно пользоваться, когда р — четное число.
121

Задача 1
Ответ
Решить уравнение х 2- 14* -1 5 = 0.
► По формуле (3) находим:
4 , 2 = 7±>/49 + 15 = 7 ± 8 .
х 1= 15, х 2= -1. <3
Для приведенного квадратного уравнения справед
лива следующая теорема:
— корни урав-
о квадратного
Т е о р е м а В и е т а . Если х 1 и х 2
нения
х 2+ рх + д = 0,
то справедливы формулы
*1 + *2 = ~Р<
* , •*2 = 9.
т. е. сумма корней приведенногс
уравнения равна второму коэффициенту, взятому
с противоположным знаком, а произведение кор
ней равно свободному члену.
По формуле (3) имеем:
*1 = - -1 2
Складывая эти равенства, цолучаем:
*9 =1- Р -
Перемножая эти равенства, по формуле разности
квадратов получаем:
х , =
~ + Я = Ч -
Например, уравнение х2- 13х + 30 = 0 имеет корни
^ = 1 0 , х 2= 3; сумма его корней х г + х 2= 13, а их
произведение х 1х 2= 30. Ответим, что теорема Вие
та справедлива и в случае, когда квадратное урав-
Р
нение имеет два равных кф ня: х г = х2= - —.
Например, уравнение х2- 6 х + 9 = 0 имеет равные
корни: х х= х2= 3; их сумма + х 2= 6, произведение
л?!х 2= 9.
122

Задача 2
Ответ
Задача З
Ответ
Задача 4
Один из корней уравнения х 2+ р х - 1 2 = 0 равен
^ = 4. Найти коэффициент р и второй корень х2
этого уравнения.
► По теореме Виета
х 1- х 2= -12, х 1+ х 2= - р .
Так как х х= 4, то 4 х 2= -12, откуда х 2= - 3,
р = - ( * 1 + х2) = -(4 - 3) = - 1.
х2= -3, р = - 1. <1
Составить приведенное квадратное уравнение, кор
ни которого х 1=3, х 2= 4.
► Так как х1= 3, х2= 4 — корни уравнения х 2+ рх +
+ 9 = 0 , то по теореме Виета
р = - ( х 1+ х 2) = - 7, д = х гх2 = 12.
х2- 7 * + 12 = 0. <1
Один из корней уравнения Зх2+ 8 х - 4 = 0 положи
телен. Не решая уравнения, определить знак вто
рого корня.
► Разделив обе части уравнения на 3, получим:
х 2+ ^ х - ± = 0.
По теореме Виета х хх 2= - —< 0. По условию хх>0 ,
О
следовательно, х 2<0 . <]
При решении некоторых задач применяется следу
ющая теорема, обратная теореме Виета:
Если числа р, д, х х, х 2 таковы, что
х 1+ х 2 = - р , х , - х 2 = д, (4)
то х, и х 2 — корни уравнения х2+ рх + <7 =0.
• Подставим в левую часть х2+ р х + д вместо р выра
жение ~ (х 1+ х2), а вместо д произведение х1-х 2.
Получим:
х2+ рх + д = х2- ( х х+ х2)х + х хх2=
= х 2- х хх - х2х + х хх 2= х (х - х,) - х2(х - х1) =
= ( х - х 1) ( х - х 2).
Таким образом, если числа р, д, х 1 и х2 связаны
соотношениями (4), то при всех х выполняется
равенство х 2+ рх + д = (х - х 1)(х - х2), из которо
го следует, ЧТО X ! и х2 — корни уравнения
х2+ р х + д = 0. О
123

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, ино
гда можно подбором най|и корни квадратного
уравнения.
Задача 5 Подбором найти корни уравнения
х 2- 5х + 6 = 0.
Здесь р = -5, д = 6 . Подберем два числа х 1 и х 2 так,
чтобы х1+ х2= 5, х, х2= 6.
Заметив, что 6 = 2-3, а 2 + 3 = 5, по теореме, обрат
ной теореме Виета, получаем, что х 1= 2, х2= 3 —
корни уравнения х2- 5х + 6 = 0.
Задача 6 Упростить дробь
12
х + 3
Разложим числитель дроби на множители:
х 2- х —12 = х 2- 4х + Зх - 12 =
= х ( х - 4) + 3(х - 4) = ( х - 4 )(х + 3).
Следовательно,
хг - х - 12 _ ( х - 4)(х + 3 ) _ ^ ^
х+ 3 х + В
Многочлен ах2+ Ьх + с, где а * 0, называют квад
ратным трехчленом. При решении задачи 5 квад
ратный трехчлен х2- х - 1 2 был разложен на мно
жители способом группировки. Его можно было
также разложить на множители, используя следу-
ющую теорему:
Т е о р е м а . Если х г и х 2 — корн и квадратного
уравнения ах2+ Ьх + с = 0, то при всех х справедли
во равенство
а х 2 + Ьх + с = а ( х - х, ) ( х - ва). (5)
Преобразуем выражение, ртоящее в правой части
равенства (5):
а ( х - х Д х - х 2) = ах2- ах - х х- а х - х2+ ах1х2=
= а х 2- а ( х 1+ х 2) х + ах1х 2. (6)
Так как х 1 и х 2 — корни уравнения ах2+ Ьх + с = 0,
= 0, то по теореме Виетат. е. уравнения х 2+ —х + —
а а
х, + х2= - - ,
откуда а ( х 1+ х 2) = - Ь , а х 1х 2= с.
Подставляя эти выражения в равенство (6) получа
ем формулу (5).
124

Задача 7 Упростить выражение
2 х 2 + 5 х - 3
х2- х - 12
► Разложим числитель и знаменатель дроби на мно
жители.
1) Уравнение 2 х 2 + 5х - 3 = 0 имеет корни
Х1= 2 * х 2= —3.
По доказанной теореме
2х2+ 5 х - 3 = 2
1
х —
2
(х + 3) = ( 2 х - 1)(х + 3).
2) Уравнение х 2- х - 1 2 = 0 имеет корни х1= -3,
х 2= 4. По доказанной теореме
х 2- х - 12 = ( х + 3)( х - 4).
Таким образом,
2х2+ 5х - 3 _ (2х - 1)(х + 3) _ 2х - 1
х2- х - 12 ( х + 3 ) ( х - 4 ) х - 4
450
451
452
453
454
455
456
Решить приведенное квадратное уравнение:
1) х 2+ 4х - 5 = 0; 2) х 2- 6 х - 7 = 0;
3) х 2- 8 х - 9 = 0; 4) х 2+ 6л:-4 0 = 0;
5) х2+ х - 6 = 0; 6) х2- х - 2 = 0 .
(Устно.) Найти сумму и произведение корней приведенного
квадратного уравнения, имеющего корни:
1) х 2- х - 2 = 0 ; 2) х 2- 5 х - 6 = 0;
3) х 2+ Зх + 2 = 0 4) х 2+ З х - 4 = 0;
5) х2- 7 х + 5 = 0; 6) х2+ 9 х - 6 = 0.
(Устно.) Один из корней уравнения х2- 19х + 18 = 0 равен 1.
Найти его второй корень.
(Устно.) Один из корней уравнения 28х2+ 2 3 х -5 = 0 равен
—1. Найти его второй корень.
(Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить
знаки его корней:
1) х2+ 4х - 5 = 0; 2) х2+ 5х + 3 = 0;
3) х2- 5 х + 3 = 0; 4) х2- 8 х - 7 = 0.
Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее кор
ни х х и х2:
1) х ^ З , х2= -1; 2) Х ! = 2, х 2 = 3;
3) х х= -4, х 2 = -5; 4) х1= -3 , х2= 6.
Подбором найти корни уравнения:
1) х2+ 5х + 6 = 0; 2) х 2- 7х + 12 = 0; 3) х2- 6 х + 5 = 0;
4) х2+ 8х + 7 = 0; 5) х 2- 8 х + 1 5 = 0; 6) х2+ 2 х -1 5 = 0.
125

457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
Квадратный трехчлен разложить на
1) х2- 5 х + 6;
3) х 2+ 5 х - 24;
5) 2 х 2 - х - 1;
7) - 6 х 2+ 7 х - 2 ;
^^ х 2+ х - 2
2) х 2+ 4 х -5 ;
4) х 2+ х - 42;
6) 8 х2+ 10х + 3;
8) - 4 х 2- 7х + 2.
множители:
4)
х - 1
х - 8
х —х —56
2)
5)
х + 4х - 12
х ^2 ’
2 х 2- З х - 2
3)
6)
х + 3
х 2 - 6х - 27
3х2 + 8 х - 3
9х 2 - 1
Решить приведенное квадратное уравнение:
1) л:2- 2л/3аг - 1 = 0;
3) х 2+ у[2х - 4 = 0;
Разложить на множители:
1) х 3 - Зх2+ 2х;
3) х 3+ 5 х 2- 24х;
1Ч х 2 + 6 х - 7
' о ’
х г - 7 х + 6
х 2 - 8 х + 15
3) ----;-------------;
- х 2 + 5 х - б
Упростить:
!) ~2 --------
х - 7х + 12
7
2) х 2-
4) х 2-
2) х 3+
4) х 3 -
X*
2)
3)
х - 3
5
5х 2 + З х - 2 5х - 2
4)
2)
4)
36 +
2-/бх +1 = 0;
4л/7х + 4 = 0.
4 х 2- 21х;
9 х 2- 22х.
8х - 9
9х + 8
5 х - х 2
х 24- х - 2 0
+ 6 х + 9
5х + 1
х + 3
5х 2 + х
х2 + 9 х - 1 0 х 2 - 2 х + 1
Пусть уравнение x 2+ p x + q = 0 имеет два действительных
корня хх и х2. Записать приведенное квадратное уравнение,
имеющее корни - х г и - х 2.
Корни х х и х2 квадратного уравнения х2+ 6х + д = 0 удовлет
воряют условию х2= 2 х1. Найти q, х х, х2.
Корни хх и х2 квадратного уравнения х2+ р х + 3 = 0 удовлет
воряют условию х2= 3хг Найти р, х х, х2.
Не вычисляя корней х, и х2уравнения Зх2- 8 х -1 5 = 0, найти:
1) — + — ; 2) х 2+ х|; 3) + 4) х? + х|.
X , Х 2 1 2 Х 2 X I 1 2
С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения; по
теореме Виета выяснить, являются найденные значения точ
ными или приближенными значениями корней уравнения:
1) х 2+ 2х - 1= 0;
3) х 2+ 1 ,8 х - 28,35 = 0;
2) х 2-
4) х 2-
2х - 2 = 0;
3 9 х - 1026=0.
126

Уравнения,
сводящиеся к квадратным
§ 3 0
Задача 1 Решить уравнение х 4- 7 х 2+ 12 = 0.
► Обозначим х2= *, тогда уравнение примет вид:
{ 2- 7£ + 12 =0 .
Решая это квадратное уравнение, получаем:
*1= 4, <2= 3.
Так как < = х 2, то решение исходного уравнения
сводится к решению двух уравнений:
х 2= 4, х 2= 3,
откуда
х 12 = ±2, х 3 < = ±л/з.
Ответ дс, 2= ±2, х3 4= ±у[3. <3
Уравнение
ах4 + Ьлс2 + с = 0,
где а * 0, называют биквадратным.
Заменой х 2= < это уравнение сводится к квадрат
ному.
Задача 2 Решить биквадратное уравнение
9 х4+ 5х2- 4 = 0.
► Обозначим х 2= <. Тогда данное уравнение примет
вид:
9£2+ 5<- 4 = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим:
± = — £ = -1* 1 _ д > Г2 _
Уравнение = ^ имеет корни х1 2= ± ^ , а уравне
ние х 2= -1 не имеет действительных корней.
Ответ х 12 = ±^-. <1
о
127

Задача З
Ответ
Задача 4
Ответ
х + 2
= 3.
► Общий знаменатель дробей, входящих в уравне
ние, равен (х + 2 ) ( х - 3). Если х + 2 * 0 и х - 3 * 0 , т о ,
умножая обе части уравнения на (х + 2 )(х - 3), по
лучаем:
3(х - 3) - 4(х + 2) = 3(х + 2)(х - 3).
Преобразуем это уравнение:
3* - 9 - 4х - 8 = 3( х2- х - 6),
- х - 17 = Зх2- З х - 18,
Зх2- 2х у 1 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение, находим
его корни: х1= 1, х2= - —.
О
Так как при х = 1 и х = - -
ходного уравнения не обращаются в нуль, то числа
1 и —— являются корнями исходного уравнения.
о
хх= 1, х2= ——.
знаменатели дробей ис-
1
( х - 1)(х - 2) 1 х - 2
( 1)
0. Умножая обе части
получаем:
► По условию ( х - 1 ) ( х - 2 ) *
уравнения на (х - 1 )(х - 2),
1 + 3 (х - 2) = ( 3 - х )(х - 1)
Преобразуем это уравнение
1+ Зх - 6 = - х 2+ 4х - 3,
х2- х - 2 = 0. (2)
Решая полученное квадратное уравнение, находим
его корни:
х, = -1, ;:2= 2.
При х = -1 знаменатели исходного уравнения не
обращаются в нуль, следовательно, число —1 — ко
рень исходного уравнения. При х = 2 знаменатели
двух дробей исходного уравнения равны нулю, по
этому число 2 не является (корнем исходного урав
нения.
X = —1. <1
128

В задаче 4 исходное уравнение (1) было сведе
но к квадратному уравнению (2), имеющему два
корня. Один из них х г = -1 является корнем уравне
ния (1). Другой корень х 2= 2 не является корнем
уравнения (1), в этом случае его называют посто
ронним корнем.
Таким образом, при умножении уравнения на вы
ражение, содержащее неизвестное, могут появить
ся посторонние корни. Поэтому при решении урав
нения, содержащего неизвестное в знаменателе
дроби, необходима проверка.
Задача 5 Решить уравнение
х + 4 х + 3 х2 + 7х + 12
► Разложим квадратный трехчлен х 2+ 7 х + 1 2 на
множители. Решая уравнение х2+ 7х + 12 =0 ,
находим его корни х1= -3 , х2= -4. Поэтому
х 2+ 7 х + 12 = ( х + 3)(х + 4). Умножим обе части дан
ного уравнения на общий знаменатель дробей, т. е.
на ( х + 3)( х + 4). Получим:
(х + 7)(х + 3 ) - ( х + 4) + 1 = 0.
Преобразуем это уравнение:
х2+ 10х + 2 1 - х - 4 + 1 = 0,
х 2+ 9х + 18 = 0.
Решая это уравнение, находим его корни:
х, = -3, х2= -6 .
Проверим эти корни. При х = -3 знаменатели вто
рой и третьей дробей исходного уравнения обраща
ются В нуль, поэтому = -3 — посторонний ко
рень. При х = - 6 знаменатели дробей исходного
уравнения не равны нулю. Подстановкой х = -6 в
исходное уравнение можно убедиться, что это чис
ло является корнем уравнения.
х + 7 1
+
1
= 0.
Ответ х = - 6 . <1
468 1) х 4 - 10 х 2+ 9 = 0 ;
3) х4-1 3 х 2+ 3 6 =0 ;
2) х 4- 5х2+ 4 = 0;
4) х4- 5 0 х 2+ 49 = 0
2) х 4+ З х2- 4 = 0;
4) х 4 - 4х2- 5 = 0.
469 1) х 4 - Зх2- 4 = 0;
3) х 4+ х 2-2 0 = 0;

470 1)
471
5)
1)
3)
5)
1 0 8
2)
2
+ ^ = 3;
Xх - 3 х х - 5
1 + і _ з .
4)
40
1
0
1
шЛ
х х + 3 2 0 ’ х -2 С X
1 , 1 _ 5 .
6)
4
1 ^ - 1 5
х - 3 х + 3 8 ’ х - 2 х + 2
Зх + 4 х - 2
х - 6 4х + 3 ’
2)
х + 2 ! х - 2
х - 2 х + 2
13
■ 6 ’
х + 5 ( 1 1
4)
х2 - 2х - 5
, 1
х + 2 ( х + 1 ) ( х + 2 ) х + і ’ ( х - 3 )(х - 1 ) х - 3
СО
1
н
1
о*
*
х2 2 х 3
х + З - 3 - х х + з ’
1
н
1
»-ч
т-Ч
1
Н
х —1
= і;
472 Имеет ли действительные корни уравнение:
1) х4- 5х2+ 7 = 0; 2) х 4 + Зх2+ 2 = 0?
473 При каких значениях х равны значения выражений:
1)
х2- 1 1 -х
и 2 -
х + 4 ,
х + 1 ’
2)
х + 2
1) (х - I )4- 5(х - I )2+ 4 = 0; 2) (х +
х - 2 4 - х
+ 1?
5)4+ 8 (х + 5)2- 9 = 0.
1) х4+ Зх2- 7 = 0 ; 2) х4+ 5х2- 5 = 0;
3) 6 х 4+ 19х2-4 7 = 0; 4) !>х4+ 1 8 х 2- 111 = 0.
Решение задач
с помощью квадратных уравнений
Решим несколько задач с помощью квадратных
уравнений.
Задача 1 В шахту брошен камень, И звук от его удара был
услышан спустя 9 с. Определить глубину шахты,
считая скорость звука равной 320 м/с, а ускорение
силы тяжести ^ равным 10 м/с2.
► Для нахождения глубины шахты достаточно опре
делить время t падения камня, так как глубина
130

Ответ
Задача 2
шахты согласно закону свободного падения равна
ё<2
метрам.
По условию £ = 10 м/с2, поэтому глубина шахты
равна Ы 2 метрам. С другой стороны, глубину шах
ты можно найти, умножив скорость звука 320 м/с
на время его распространения от момента удара
камня до момента, когда был услышан звук, т. е.
на (9 - О секунд. Следовательно, глубина шахты
равна 3 2 0 (9 -* ) метрам. Приравнивая два найден
ных выражения для глубины шахты, получаем
уравнение Ы 2= 320(9 - £). Решим это уравнение:
£2= 64(9 - *)> ( 2+ 64*-6 4 -9 = 0.
Решим полученное квадратное уравнение:
*!,2= -32 ± УІ322+ 64-9 = -32 ± ^32(32 + 18) =
= -32 ± >/32 ■50 = -32 ± л/16 - 100 = -32 ± 40,
*1= 8, <2= -72.
Так как время падения камня положительно, то
г = 8 с. Следовательно, глубина шахты равна
5<2= 5- 82= 320 (м).
320 м. <]
Автобус-экспресс отправился от автовокзала в
аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Че
рез 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на
такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости
автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в
аэропорт они прибыли одновременно.
Пусть х километров в час — скорость автобуса, то
гда скорость такси равна (х + 20) километров в час.
Время движения автобуса равно — часам, а время
X
40 „
движения такси равно часам. По условию за-
х + 20
дачи разница между временем движения автобуса
и такси равна 10 мин, т. е. ^ ч. Следовательно,
6
40 4 0 - 1 ...
х х + 20 6
Решим полученное уравнение. Умножая обе части
уравнения на 6 х (х + 20), получаем:
40 •6 •(х + 20) - 40 •6х = х (х + 20),
240х + 4800 - 240х = х 2+ 20х,
х 2+ 2 0 х - 4800 = 0.
131

Ответ
Задача 3
Корни этого уравнения: х ^ б О , х 2= - 8 0 .
При этих значениях х знаменатели дробей, входя
щих в уравнение (1), не |равны нулю, поэтому
х х= 60 и х 2= -8 0 являются корнями уравнения (1).
Так как скорость автобуса положительна, то усло
вию задачи удовлетворяет только один корень:
х = 60. Поэтому скорость та*
Скорость автобуса
80 км/ч. <1
кси 80 км/ч.
60 км/ч, скорость такси
На перепечатку рукописи фрвая машинистка, ра
ботая одна, потратила бы )| а З ч меньше, чем вто
рая. Работая одновременно, они закончили пере
печатку всей рукописи за 6 ч 40 мин. Сколько
времени потребовалось бы (саждой из них на пере
печатку всей рукописи?
Примем работу по перепечатке всей рукописи за
единицу. Пусть первая машинистка затратит на
перепечатку рукописи х ча^ов, тогда второй на эту
работу потребуется (х + 3) часов. Первая машини
стка за час выполняет — часть работы, а вторая
х
х + 3
А+.
Работая вместе, они выполняют за час
- всей работы, а за 6
х х + 3
они выполняют всю работу
в § [ ‘ +
х +
Это уравнение можно записать так:
ч 40 мин, т. е. за 6 — ч,
3
Поэтому
N
= 1.
X
1
* + л
Умножая обе его части на 2 0 * (х + 3), получаем
20(х + 3) + 20х
4 0 * + 60 = 3
3х2-3 1 х
_3_
20'
(2)
= 3х(д; + 3),
х 2+ 9х,
6 0 =0 .
4 - і
Корни этого уравнения:
* ! = 12,
При этих значениях х знаменатели дробей, входя
щих в уравнение (2), не равны нулю, поэтому
5
^ = 1 2 и х 2 = - — — корни уравнения (2). Так как
3
132

по смыслу задачи х > 0 , то х = 1 2 . Следовательно,
первая машинистка затрачивает на работу 12 ч,
вторая 12ч + 3 ч = 1 5 ч .
Ответ 12 ч и 15 ч. <3
476 Найти два последовательных натуральных числа, произведе
ние которых равно: 1) 156; 2) 210.
477 Найти два последовательных нечетных натуральных числа,
если их произведение равно: 1) 255; 2) 399.
478 Периметр прямоугольника равен 1 м, а площадь — 4 дм2.
Найти его стороны.
479 Сад совхоза площадью 2,45 га обнесен изгородью длиной
630 м. Найти длину и ширину сада, если он имеет прямо
угольную форму.
480 Расстояние в 400 км скорый поезд прошел на час быстрее то
варного. Какова скорость каждого поезда, если скорость то
варного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?
481 Прогулочный теплоход отправился вниз по течению реки от
пристани А и причалил к пристани В. После получасовой
стоянки теплоход отправился обратно и через 8 ч после от
плытия из А вернулся на эту же пристань. Какова скорость
теплохода в стоячей воде, если расстояние между приста
нями А и В равно 36 км, а скорость течения реки 2 км/ч?
482 Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за
6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на
выполнение этой работы, если одной из бригад для этого тре
буется на 5 дней меньше, чем другой?
483 От квадратного листа отрезали полоску шириной 6 см. Пло
щадь оставшейся части равна 135 см2. Определить первона
чальные размеры листа.
484 Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2. Най
ти катеты этого треугольника, если один больше другого на
31 см.
485 Расстояние в 30 км один из двух лыжников прошел на
20 мин быстрее другого. Скорость первого лыжника была на
3 км/ч больше скорости второго. Какова скорость каждого
лыжника?
486 Две бригады студенческого строительного отряда, работая
вместе, построили кошару для овец за 12 дней. Сколько
дней потребовалось бы на строительство такой же кошары
каждой бригаде отдельно, если первой бригаде нужно было
работать на 10 дней больше, чем второй?
133

487
488
489
490
У М А Л Ь Ч И К А СТОЛЬКО СЕСТЕР,
СКОЛЬКО И БРАТЬЕВ, А У ЕГО СЕСТРЫ
ВДВОЕ М Е Н Ь Ш Е СЕСТЕР, ЧЕМ БРАТЬЕВ.
СКОЛЬКО Б РА ТЬЕ В И СЕСТЕР В ЭТОЙ СЕМЬЕ?
Члены школьного кружка натуралистов отправились на ка
тере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по тече
нию реки 35 км, они сделали трех^асовую стоянку, после
чего вернулись назад. Определить скорость катера в стоячей
воде, если на все путешествие ушло 7 ч, а скорость течения
реки 3 км/ч.
На середине пути между станциями А и В поезд был задер
жан на 10 мин. Чтобы прибыть в В 1ко расписанию, машини
сту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на
12 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если изве
стно, что расстояние между станциями равно 120 км.
За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощ-
2 «
ности было вспахано — колхозного поля. За сколько дней
3
можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдель
но, если первым трактором можно вспахать все поле на
5 дней быстрее, чем вторым?
Рабочий положил на хранение Ь сберегательный банк
5000 р. По истечении года к его вкладу были причислены
процентные деньги, и в то же время он увеличил свой
вклад еще на 5000 р., а по истечении еще одного года по
просил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколь
ко процентов в год начисляет Сбербанк, если рабочий полу
чил 1232 р. процентных денег, оставив вклад в 10 000 р. на
новый срок?
134

491 Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а вто
рой — 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и
получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти мас
су первого и второго растворов в смеси, если известно, что
безводной серной кислоты в первом растворе было на 10%
больше, чем во втором.
Решение простейших систем,
содержащих уравнение второй степени
1
32
■
Задача 1 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
13 см, а его площадь 30 см2. Найти катеты.
► Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Исполь
зуя теорему Пифагора и формулу площади пря
моугольного треугольника, условие задачи запи
шем так:
{ х 2+ у2= 169,
(|*г/=зо. (1)
Прибавляя к первому уравнению системы второе,
умноженное на 4, получаем:
х 2+ у2 + 2ху = 289,
откуда ( х + у)2= 289, или *+г/ = ±17. Так как х и
у — положительные числа, то х + у = 17. Из этого
уравнения выразим у через х и подставим в одно
из уравнений системы (1), например во второе:
у = 1 7 - х , ^ 17 - х) = 30. Решим полученное урав
нение: 17* - х2= 60, х 2- 17* + 60 = 0, х, = 5, х 2= 12.
Подставляя эти значения в формулу у = 1 7 - х , на
ходим ул= 12, у2—5. В обоих случаях один из кате
тов равен 5 см, другой 12 см.
Ответ 5 см, 12 см. <]
135

Задача 2
Ответ
Задача З
Ответ
Задача 4
Ответ
Решить систему уравнений
х + у--
ху = -
По теореме, обратной теореме Виета, числа х
и у являются корнями квадратного уравнения
22- З г - 1 0 = 0. Решая это уравнение, получаем
г 1= 5, г2= -2 . Следовательно, решениями системы
=3,
10.
являются следующие две п
и х 2= - 2 , у2= 5.
(5; -2 ), (-2 ; 5). <
дры чисел: х г = 5, ух= -2
х 2+ 4 x y -
3x - у - 6 =
2У
Решим эту систему способом подстановки:
у = 3 х - 6 ,
х 2+ 4х (3 х - 6) - 2
Упростив это уравнение
+ 43 = 0, откуда х 1= 1 , х2
ЧЄНИЯ X В формулу {/= £
у2= 19,8.
(1; -3 ), (8,6; 19,8). <3
6х
х2- у 2
х - у =
► Запишем первое уравнение
( х - у )(х +
Подставляя сюда значен
уравнения системы, получ
і х + у
1х - У
Решая эту систему способ^
х = 5 , у = 3.
(5; 3). О
2= -29,
0.
Зх - 6)2= -29.
получим 5х2- 48х +
=8,6. Подставляя зна-
- 6 , находим ух= -3,
= 16,
2.
системы так:
У) = 16.
ле х - у = 2 из второго
^ем х + у = 8. Итак,
= 8,
= 2.
ом сложения, находим
136

492 Решить систему уравнений
ными:
1) [ 2 х - у = 3, 2) 1
[ 2 у + х = 14;
первой степени с двумя неизвест-
[ х + Ъу = 9,
[Зу —2 х = -5;
3)|
[Зх + у + 4 = 0
[4у + 8 х - 4 =
4) 1
0;
2х - Зу + 8 = 0,
4 х - 2 у + 4 = 0.
493
Решить систему уравнений (493— 497).
1) [ у = х + &, 2) х = 2 - у ,
х 2- 4 у = - 3 ; [у 2+ * = 32;
з , | х + 2 у = 1,
[ х + у2= 4;
у - 3 х = 2,
[ х 2- 2у = 3.
494
*4
х2+ ху = 2,
[ у - З х = 7; 2,1
х 2- х у - у2= 19,
х - у = 7;
» 1 х + у = 1,
[ х 2+ у2= 5; 4)1
[х 2+(/2= 17,
[ х - у = 3.
495
4 і
х + у = 5,
[ху = 6;
ху = 7,
[х + </= 8;
з , ( х + у = 12,
[ху = 11; 4,1
[х + 1/= -7 ,
[ху =10.
496
4 і
1х - у = 7,
[х 2- у2= 14; 2,1
х + у = 3,
[х 2- у2= 15;
а , | х2- у 2= 24,
х + у = 4; 4,1
х 2- у2= 8,
х - у = 2.
497
" 1
х 2+у2= 17,
*і/ = 4;
»1 х у = 10,
х 2+ у2= 29;
зм
ху = 3,
х 2+у2= 10; 411
ху = Ъ,
х 2 + у2= 26.
498 Сумма двух чисел равна 18
числа.
,а их произведение 65. Найти эти
499 Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее
геометрическое 12. Найти эти числа.
137

500 Решить систему уравнений:
1) 1х = 2 у - 3 ,
[ у 2 - 2 х = 3;
2) Jx+j/ = 6,
ху = - 7;
3) ( х 2- у2= 21,
х + у = 7.
Решить систему уравнений (501-503).
501
‘ М
х - у = 2,
1ХУ = 3; 2 1 1
х - у = 3,
[х у = 4;
2 х 2- у2= 46,
ху = 10. 4 , |
( Х - у ) 2=
[х + у = 6;
:4,
« 1 х2- у 2= 0,
і4 + ху = 0;
1
1х+ у = 4,
1 + 1 = 1.
[X у
502
1 1 1
х + ху + у = -1,
[ х - ху + у = 3;
x - x y - i
[ х + х у - 1
= -7 ,
t =1;
з , |х 2- у + 2 = 0,
[ х 2+ у2- 4 = 0; 4 , 1
х 2- 3 ху
[х у = 5.
+ у2= и ,
503
1 1 1
Лс + у[у = 8,
[ х - у = 1 6 ;
Гх - Г у
[ х - у = 5.
= 1,
504 Участок прямоугольной формы нужно огородить забором
длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участ
ка, если его площадь равна 6 га?
505 При делении двузначного числа на сумму его цифр в част
ном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа
на произведение его цифр в частном получается 2, а в остат
ке 16. Найти это число.
1) ( х + у = 5,
х 3+ у3 = 35;
2) 1х3+ у3= 152,
[ х 2- ху + у2= 19.
507 Расстояние от А до В по течению реки катер проходит в
1,5 раза медленнее, чем теплоход, причем за каждый час ка
тер отстает от теплохода на 8 км. Против течения реки путь
от В до А теплоход проходит в 2 раза быстрее катера. Найти
скорости теплохода и катера в стоячей воде.
138

Комплексные
числа
Решение многих задач математики, физики и
практики сводится к решению алгебраических
уравнений. Поэтому естественно стремление сде
лать эти уравнения всегда разрешимыми, что в
свою очередь приводит к расширению понятия чис
ла. Например, для того чтобы любое уравнение
х + а = Ь имело корни, положительных чисел недо
статочно и поэтому возникает потребность ввести
отрицательные числа и нуль.
Вы знаете, что квадратное уравнение может не
иметь действительных корней. Простейшим из та
ких уравнений является уравнение х 2+ 1 = 0. Чтобы
любое квадратное уравнение имело корни, прихо
дится расширять множество действительных чи
сел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа
вместе с действительными образуют множество, ко
торое называют множеством комплексных чисел.
Если комплексные числа введены, то уравнение
х 2+ 1= 0 имеет корень. Этот корень обозначают
буквой I и называют мнимой единицей. Таким
образом, £— это такое комплексное число, что
12= -1.
Замечательным оказывается тот факт, что любое
комплексное число можно записать в виде а + Ы ,
где а и Ь — действительные числа. От вида этого
выражения и происходит название «комплексное»,
т. е. «составное».
Комплексными числами называют выражения
вида а + Ы, где а и Ь — действительные числа,
£2= - 1.
Число а называется действительной частью ком
плексного числа а + Ы , а число Ь — его мнимой
частью.
Например, действительная часть комплексного
числа 2 + Зг равна 2, а мнимая часть равна 3; для
комплексного числа (-2 ) + (-3)£, которое записыва-
139

ют также в виде —2 —3£, действительная часть рав
на -2 , а мнимая часть равна -3 .
Заметим, что действительные числа являются
частными случаями комплексных чисел. Напри
мер, 2 + 0 '( = 2, 0 + 0- г= 0 , 1-4 + 0 •£= -4.
Два к о м п л е к с н ы х ч и с л а а + Ы и с
равными, е с л и а = с и Ь = ( £ , т . е. есл^
ствительные и мним ы е части.
Например, | + У їі = + 2/, "ак как £ = и л/4 = 2
Задача 1 Найти действительные числа х н у , если
( 2 х + у) + ( х - } 1)1 = 5 -2 1 .
По определению равенства
2х + у-
х - у =
Решая эту систему, находи^
Арифметические действия над
числами определяются так, чтобы все свойства
этих действий были такими же, как и для дейст
вительных чисел (переместительное и сочетатель
ное свойства сложения и умножения, распредели
тельное свойство умножения и др.). Поэтому
действия над комплексными числами а + Ы можно
выполнять так же, как и действий над многочле
нами, считая, что £2= -1.
+ СІІ назы ваю т
равны их дей-
комплексных чисел
= 5,
- 2 .
х = 1у у = 3. <
комплексными
Задача 2 Выполнить действия:
1) (4 -3 £ )+ (- 2 + 7£); 2)
3) (2 + 1) (1 -3 1 ); 4)
2 - 3 і
1) (4 - Зі) + (-2 + 7і) = 4 - Зі г- 2 + 7і = 2 + 4г;
2) (8 - 5і) - (9 - 4і) = 8 - 5і - 9 + 4і = -1 - і;
3) (2 + і) •(1 - Зі) = 2 - 6і + і - Зі2= 2 - 5і -
- З -(-1 ) = 5 - 5і;
5 - 1 4 І ( 5 - 1 4 / ) ( 2 + ЗО
4)
2 - зі
52 - ізг
в
13
последнем
(2 - Зі )(2 + Зі)
52 ІЗі
13 13
(8 - 5 і ) - (9 -4 і);
5 -1 4 »
10+ 15г -2 8 і - 4 2 і 2
4 -3
примере для вычисления частного
сначала числитель и знаменатель дроби умножи-
ли на число 2 + Зі. Всегда для вычисления дроби
140

с + ^ нужно сначала умножить числитель и знаме-
а + Ы
натель на число а - Ьі, которое называют сопря
женным с числом а + Ы . Это объясняется тем, что
произведение сопряженных чисел является дейст
вительным числом: (а + Ьі)(а - Ь і ) = а2+ Ь2.
508 (Устно.) Назвать действительную и мнимую части комплекс
ного числа:
1) 6 + 5/; 2) | + | і; 3) л/2+л/Зі; 4) ^ 2 - 2 і.
2 З
509 Записать комплексное число, у которого действительная и
мнимая части соответственно равны:
1) 3 и 4; 2 ) - | и | ; 3) л/3 и -2 ; 4) - § и -3 .
о 4 7
510 Указать, какие из данных комплексных чисел равны:
-0,5 + лДг, 3 -2 і, ~ | + 2і, 7 9 -4 1 , 7 9 - ^ 8 і, ^ 2 7 - Т ї б і ,
^ 2 7 - Т іі.
511 Найти действительные числа х и і/ из равенства:
1) (х + і/ ) + (х -г / )і= 8 + 2і;
2) (2л: + у) + (х - у )і = 18 + Зг;
3) (4х + Зг/) + (2 л:-г/ )г= 3 -1 1 г;
4) (6х+г/) + (2 і/ -7 х )г = 12 + 5г.
512 Найти сумму комплексных чисел:
1) (3 + г) + (2 + Зг)! 2) (3 - 5г) + (2 + і);
3) (1 + Зі) + (-3 + г); 4) (-4 + Зг) + (4 - Зі);
( 1 Л ( л о ^
5) (1 + і) + (-1 —і); 6) _ 1 _ 1 ^
2 3
+ І І - І І
2 3
513 Найти разность комплексных чисел:
1) (2 + 30 - ( 3 + 1); 2) ( 3 - 5 0 - ( 2 + 0 ;
3) (1 + 3 / )-(-3 + 0; 4) (4 + 3 0 - (4 - 3 0 ;
5) (4 + 0 - ( - 5 + 0; 6) (7 + 2 0 - ( 3 + 20-
514 Найти произведение комплексных чисел:
1) (3 + 5 0 (2 + 30; 2) (4 + 7 0 (2 -0 ;
3) (5 - 3 0 (2 - 5 0 ; 4) (-2 + 0 (7 -3 0 .
515 Записать комплексное число, сопряженное с данным числом:
1) 1+г; 2) 2 + З1 ; 3) -3 + 41;
4) -7 -5 / ; 5) 6) 1 + |г.
516 Найти частное двух комплексных чисел:
■* 1 + 1 о 3 - 4/ пч 2 + 3/ 1+2/
1) у ! 3) ) 4) •
1-1 2 + 1 2 - Зг 3 - 2г
141

517
518
519
520
521
Выполнить действия:
1) 21+3 + 4 £ (1 -0 ;
3) З г(1 -г) + 21(1 + £);
5) (3 -2 0 (4 + 0 + Ш ;
Вычислить:
(2 -3 / )(3 -2 £)
2) (1 + І
4) 1/(4
)(—1+ 2і) + 1 - Зі;
+ 2і) + 1 і (3 - 9 і );
1 + /
2 -3 і
1)
4)
(1 - *)(3 + О
1) 2(2 + 0 = 3 -1 ;
3) г(1 + £ )-£ = 4;
6) 6+(5-і)(1 +0-
(3 - і )(1 + 3 і )
2 - і
5 5
1+2і 2 - і
3)
6)
3 -4 І
(1+0(2 - О
3 3
2 - Зі 2 + Зі
1) а 2+ 4£>2; 2) 9а2+ 2562;
Вычислить:
і ) (3 + 2І)2; 2) ( 2 - і ) 3;
5) ( 2 + Зі)2- ( 2 - З і )2;
3) 8а2-1 6 6 2; 4) 81а2+ 5Ь2.
3)
6) (3 + 4і)2+ (3 —4і)2.
( 1 - і '
6
4) I ±2.»
^1+ ' > <^” * У
Квадратное уравнение
с комплексным неизвестным
Рассмотрим сначала простейшее квадратное урав
нение
где а — заданное число,
На множестве действительных
нение:
1) имеет один корень 2 = 0 , если а
2) имеет два действительных
если а > 0;
3) не имеет действительных корне
На множестве комплексных чисел
всегда имеет корень.
ко
+ 5і;2) 2 ( 1 - 2 і ) = 2-
4) 2 (1 - 0 + 3=М.
Разложить на комплексно сопряженйые множители (а и Ь
действительные числа):
— неизвестное,
исел это урав-
=0;
рня г 12 = ^ ^ а у
й, если а < 0.
это уравнение
142

Задача 1
Ответ
Ответ
Ответ
Найти комплексные корни уравнения г2= а, если:
1) а = —1; 2) а = - 25; 3) а = -3.
► 1) г 2= -1. Так как г2= -1, то это уравнение можно
записать в виде г2= 12, или г2- 1 2= 0. Отсюда, рас
кладывая левую часть на множители, получаем
(г - i)(2 + г) = 0, г х= I, г2=
212 = ±1.
2) г 2= -25. Учитывая, что £2= -1, преобразуем это
уравнение:
г 2= (-1 ) •25, г2= г2 •52, г2- 5 2 -12= 0,
(г - 5г)(г + 5^) = 0, откуда гх= 5£, г2= -5г.
«1,2 = ±5/.
3) г2= -3, г2= г2(л/З)2, 22- (л/З)2I2= 0,
( г - У3£)(2 + л/3£) = 0, г 1= у[зI, г2= -л/31.
212 = ±>/3£. <]
Вообще, уравнение г2= а, где а < 0, имеет два ком
плексных корня: 2 Х2= ±7|а|£.
Используя равенство /2= -1, квадратные корни из
отрицательных чисел принято записывать так:
л/^1 = I, У^4=1лД = 2£, ■>/—7 =£л/7.
Итак, л/а определен для любого действительного
числа а (положительного, отрицательного и нуля).
Поэтому любое квадратное уравнение вида
аг2+ Ьг + с = 0,
где а, Ь, с — действительные числа, а * 0, име
ет корни. Эти корни находятся по известной
формуле:
- Ь ± -4ас
2а
(1)
Задача 2 Решить уравнение г 2- 4г + 13 = 0.
► По формуле (1) находим:
4 ± л/16-52 4 ± л/-36
г1.2 ~
4 ± і л/36 4 + 6£
= 2 ± Зі. <3
143

- З і) = 13.
эффициент уравнения
гивоположным знаком,
Задача 3
Заметим, что найденные в Этой задаче корни явля
ются сопряженными: г1= 2 V Зг' и г г = 2 -31. Найдем
сумму и произведение этих! корней:
г+ г 2 ~ (2 + 30 + (2 - Зг) = 4,
г,г2= (2 + 30(2
Число 4 — это второй ко
г 2- 4г + 13 = 0, взятый с про
а число 13 — свободный член, т. е. в этом случае
справедлива теорема Виет г. Она справедлива для
любого квадратного уравнения: если г х и г 2 — корни
уравнения а г 2+ Ьг + с = 0, то г х+ г 2= - —, г 1г 2= —.
Составить приведенное квадратное уравнение с
действительными коэффициентами, имеющее ко
рень 2 [ = -1 - 21.
► Второй корень г 2 уравнения является числом,
Ответ
сопряженным с данным корнем г х, т. е. г2 = - 1 + 2 *.
По теореме Виета находим р = - ( г 1+ г 2) = 2, <7 =
—22^2 —5»
г 2+ 2 г + 5 = 0. <3
Решить уравнение (522—524).
522
523
524
525
526
0.9 г 2+125=
22 - 4 г + 5 = 0;
22+ 4г + 13 = 0;
6 ) 2 2 - 8 2 + 41 = 0.
1 ) 2 2 = -81; 2 ) г 2= -3;
3) г2 + 0,01 = 0; 4)
1 ) 2 2 - 2 г + 2 = 0 ; 2 )
3) г2 + 6 2 + 13 = 0; 4)
5) г2 + 2г + 17 = 0;
1) 9г2 + 6 2 + 10 = 0;
3) 9г2 - 12г + 5 = 0; 4)
5) 2 2+ 4 г + 7 = 0 ; 6 ) 2 2 —6 2 +
Составить приведенное квадратное
корни:
1 ) 2 ^ 2 + 2 1 , г 2= 2 - 2 1 ; 2)
3) г у= -4 + 0 22 = - 4 - i ; 4)
2) 4г2 + 4г +
г 1= 2
2, = І
5 = 0;
16г2- 32г + 17 = 0;
1= 0.
уравнение, имеющее
+ Зг, 2 2 —2 Зі;
7 - 4/, 22= —7 + 4і.
Составить приведенное квадратное уравнение с действитель
ными коэффициентами, имеющее данный корень, и прове
рить ответ, решив полученное уравнение:
1) гг= -1 + -|г; 2) 2, = - | - 1 г ;
3) 2|—V~2 + і V3; 4) 2 != л/ 3 -І л .
144

527 Разложить на множители квадратный трехчлен:
1) г 2+ 2 г + 5;
3) г 2+ 8 г + 5;
1) г 4+ 5г2- 36 = 0;
3) г4- г 2- 6 = 0 ;
5) г4+ Зг2- 18 = 0;
2) г2- 2г + 10;
4) 25г2+ 50г + 26.
2) г 4- 8 г2- 9 = 0 ;
4) г4+ 2г2-1 5 = 0;
6) г 4+ 4г2- 32 = 0.
к главе IV
529 1) х 2- 12 = 0;
3) —х 2+ 2 х = 0;
’ 3
2) х2- 50 = 0;
4) 3 х - § х 2= 0.
5
530
531
532
1) х2+ 4х - 45 = 0;
3) Зх2- 7х - 40 = 0;
1) 4х2- 2х - 3 = 0;
3) 4х2- 8 х - 1 = 0;
2) х 2- 9х - 52 = 0;
4) 5х2+ 1 7 х -1 2 6 = 0 .
2) 9 х 2- Зх - 4 = 0;
4) Зх2+ 4х - 1 = 0.
Не решая уравнения, определить, сколько действительных
корней оно имеет:
1) х2- 5х + 6= 0; 2) 5х2+ 7 х - 8 = 0;
3) 25х2- 10х+ 1 = 0; 4) 9 х2+ ЗОх + 25 = 0.
533 Разложить на множители квадратный трехчлен:
1) х2+ 12х + 30;
3) 2 х2+ х - 1;
534 Сократить дробь:
х2—9
1)
3)
2) х2- 10х + 16;
4) 2 х2- Зх - 2.
х + 3
16х2 - 24х + 9
4 х 2 + 5х - 6
2)
4)
х + 4 хг + 4х '
х + 2
25х2+ 10х+ 1
5х2 - 14ж - 3 '
535 1) х4- 9 х2+ 20 = 0; 2) х4- И х 2+ 18 = 0;
3) 2 х4- 5х2+ 2 = 0 ; 4) 5х4- 16х2+ 3 = 0.
145

536 1)
542
543
544
х х - 2
6 - у у + 5
У2- у
2)
4)
2 + х 5 - х
хг + В х х + 3
У + 4 У
= 2 - - .
537
538
539
540
541
У“ у + У“ у - 4 4 - у у
Найти два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадра
тов равна 5.
Найти два числа, разность которых равна 1, а сумма их
квадратов равна з|.
Одна сторона прямоугольника на 5 м больше другой, а его
площадь равна 84 м2. Найти стороны прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна 675 см2. Найти стороны
прямоугольника, если одна из них на 30 см меньше другой.
Скорость вертолета М и-6 относительно воздуха равна
300 км/ч. Расстояние в 224 км вертолет пролетел дважды:
один раз — по ветру, другой раз — против ветра. Опреде
лить скорость ветра, если на полет против ветра вертолет за
тратил на 6 мин больше, чем на полет по ветру. (При вычис
лении использовать микрокалькулятор.)
Скорость велосипедиста на первой половине пути была на
3 км/ч больше, чем его скорость на второй половине пути.
С какой скоростью велосипедист прозхал вторую половину
пути, если весь путь в 90 км он преодолел за 5,5 ч?
На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада
ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая,
и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня
больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней рабо
тала на посадке деревьев каждая бригада?
Решить уравнение (г — комплексное число):
1) г2 + 2г + 5 = 0; 2) 2 2 - 6 г + 10 = 0;
3) 9г2 - б 2 + 10 = 0; 4) 4г2 + 16г + 17 = 0.
х + у = 1, 2) х + 3у = 0
1 ху = -6 ; ху = 3;
3) х - 2 у = - 7 , 4) х + у —- '
ху = - 6 ;
©I
1-Н
II
5) х г —у2= 200, 6 ) X2- у2= 9,
х + у = 20; х - у = 1;
7) х 2+ у2= 41, 8 ) х - у = 3,
1[ у - х = 1; X2+ у2= э.
146

2
3
4
546
547
548
549
550
551
552
1
2) ( * + 1) ( * - 1) = 0 ;
4) Зх2= 5 х ;
6) х 2- 16л; -1 7 = 0;
8 ) х 2- 4л; + 5 = 0 .
1) Зл:2= 0;
3 ) 4л:2- 1 = 0;
5) 4л:2- 4 х + 1 = 0;
7 ) 0,3л:2+ 5л: = 2 ;
1) х2+ х - 6 ; 2) 2х2- х -3.
Решить задачу:
Расстояние между селами 36 км один велосипедист преодо
левает на 1 ч быстрее другого. Найти скорость каждого вело
сипедиста, если известно, что скорость одного на 3 км/ч
больше скорости другого.
Решить систему уравнений:
х2- у2= 72,
х + у = 9.
1) З х ( х - 2) = х - 4;
1 ) 2 х ( л: - 2 ) = (л: + 1 ) 2 - 9 ;
( х + 2 ) 2 ( х + I ) 2 _ 1-
3 2
I) ( х - 5)(х - 6) = 30;
3) ( х - 1 ) ( х - 4 ) = 3х;
2)
1 - х
6 2 6
2 ) 5 х ( х - 4 ) = (л ; - 8 )2- 6 5 ;
( х - 1 ) 2 ( х - 2 )
4)
4 5
2) ( х + 2 ) ( х + 3) = 6;
4 ) ( х - 2 ) ( х + 8) = 6л;.
= 4.
При каких значениях х выражение х 2+ 3 х - 88 принимает
значение, равное: 1 ) 0 ; 2 ) 2 0 ; 3 ) - 1 8 ; 4) - 7 0 ?
Сколько действительных корней имеет квадратное уравне
ние ах2+ Ьх + с = 0, если:
1 ) а = 3, 6 = 1, с = -4; 2 ) а = 5, Ь = 2, с = 3;
3) а = 2 5 , Ь = - 1 0 , с = 1; 4) а = 1, Ь = 0 , с = - 2 5 ?
При каких значениях х значения данных выражений равны:
1)
3)
2 х + 2
2
1 - З х .
2 - 2 х ’
__________х - 4 .
х - 2 х 2 + 2 х '
х - 1
1
1 ) ( л : - 1 0 )-
х —1
х + 3
2)
4)
х + 4
3 _ 1
х2 - 1 2 2 х - 2
х - 2
И
х2 - 7 х - 3 0 х 2 - 6 х - 4 0
2)
х + 1
2х 2 + З х - 5 Зх + 4х + 1
(6л:2+ 17л:+ 5).
147

1) 1 2 Х + 4 _ З х - 2 2 х + 3 .
х 2 + 2 х — 3 х —1 х + 3 ’
2 j 5 В _ 2 20
х 2 - 4 х 2 - 1 х 2 - З х + 2 х 2 + З х + 2
554 Мастерская в определенный срок должна выпустить
5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар
больше, чем предполагалось, и выполнила заказ на 9 дней
раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?
555 Два туриста выехали одновременно на велосипедах из села А
и направились разными дорогами в село В. Первый должен
был проехать 30 км, а второй — 20 км. Скорость движения
первого туриста была на 3 км/ч больше скорости второго.
Однако второй турист прибыл в В на 20 мин раньше первого.
Сколько времени был в дороге каждый турист?
556 Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за
4 ч. Если бы сначала одна из них отремонтировала половину
всего участка, а затем другая — оставшуюся часть, то весь
ремонт был бы закончен за 9 ч. За сколько времени каж
дая бригада в отдельности могла бы отремонтировать весь
участок?
557 Поезд должен пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задер
жан у семафора на 10 мин. Увеличив скорость после этого на
10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на
2 мин. Определить первоначальную скорость поезда.
558 Экскурсанты отправились из города А в город В на теплохо
де, а возвратились обратно на поезде. Расстояние от А до В
по водному пути равно 108 км, а по железной дороге 88 км.
Поездка по железной дороге продолжалась на 4 ч меньше,
чем на теплоходе. Сколько километров в час проходил
поезд, если его скорость была на 26 км/ч больше скорости
теплохода?
559 В зрительном зале клуба было 320 мест. После того как чис
ло мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один
ряд, в зрительном зале стало 420 мес^. Сколько стало рядов
в зрительном зале клуба?
560 На эстрадный концерт в фабричном клубе было продано на
2000 р. билетов по одной стоимости и на 1200 р. билетов сто
имостью на 5 р. больше. Каковы цены билетов, если на кон
церте было 280 человек?
561 Решить уравнение (г — комплексное число):
1) z2+ 4z + 19 = 0; 2) z2- 2z + 3 = 0;
3) 2z2- z + 2 = 0 ; 4) Зг2+ 2г + 1= 0.
148

562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
1) х2+ у2= 10, 2) 1х2+ у2= 13,
} х 1/ = - 3 ; ху = 6;
3) ( х 2+ у - х = 4, 4) |(дс- 1)( I/—1) = 3,
[ З х 2- у + 2 х = -1 ; |(х + 2)(у + 2) = 24.
На изготовление одной детали первый рабочий затрачивал
на 2,5 мин больше, чем второй. После того как первый рабо
чий начал изготавливать за каждый час на 3 детали больше,
а второй — на одну деталь больше, чем раньше, их произво
дительность труда стала одинаковой. Сколько деталей изго
тавливал каждый рабочий за 1 ч первоначально?
Из пункта А в пункт В отправился автомобиль, а одновре
менно навстречу ему из пункта В отправился автобус. Авто
мобиль прибыл в В через 40 мин после встречи с автобусом,
а автобус прибыл в А через 1,5 ч после их встречи. Найти
скорость автомобиля и автобуса, если расстояние между
пунктами А и В равно 100 км (скорости автомобиля и авто
буса постоянны).
Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее кор
ни х х и х 2:
1) х х= 3, х2= -1; 2) х х= 2, х2= 3;
3) = 0, х2= 4; 4) = —1, х 2= 5.
Пусть х х= -3 — корень уравнения 5х2+ 12х + <7 = 0. Найти х 2.
Не вычисляя корней и х 2 уравнения х 2 - 7л: - 21 = 0,
найти:
1) + 2) х 2 + х 2; 3) — + — ; 4 ) х * + х * .
хг х2 1 х2 Ху 1
В уравнении (а - 7 ) х 2+ 13х - а = 0 один из корней равен 2.
Найти значение а и второй корень уравнения.
Корни квадратного уравнения х 2+ р х + = 0 — взаимно об
ратные положительные числа. Найти q.
Сумма квадратов корней уравнения х 2+ р х - 3 = 0 равна 10.
Найти р.
^ 2 1 { 2 х - 1 . 2 ) _ ? 0 _________13 _ 7 + 18лс
х2- х + 1 х + 1 я3+ 1' х2- 1 дг2+ лг 1 х3-1
На межшкольном шашечном турнире было сыграно 56 пар
тий, причем каждый игрок играл с каждым две партии
(белыми и черными). Сколько школьников участвовало в
турнире?
149

573 В первенстве по шахматам была сыграна 231 партия. Сколь
ко шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каж
дым играл по одному разу?
574 В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколь
ко команд участвовало в чемпионате, если каждая команда
играла с каждой по одному разу?
575 Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой,
обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одно
му сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров по
надобилось 30?
576 Задача Маклорена1. Несколько человек обедали вместе и по
счету должны были уплатить 175 шиллингов. Так как у дво
их из них денег не оказалось, каждому из оставшихся при
шлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек
обедало?
577 Составить программу для вычисления значения выражения
i]b2- 4 а с на микрокалькуляторе и найти его при:
1) а = 3, Ь = 12, с = -4551;
2) а = 2, Ь = 114, с = 1612;
3) а = 1,5, Ь = -2,1, с = -55,08
4) а = 2,5, &= -30,75, с = 93,8
1К. Маклорен (1698— 1746) — шотландский математик, ученик И. Нью
тона.

Vглава
Квадратичная
функция
Определение
квадратичной функции
В VII классе вы познакомились с линейной функ
цией у = к х + Ь и ее графиком.
В различных областях науки и техники часто
встречаются функции, которые называют квадра
тичными. Приведем примеры.
1) Площадь квадрата у со стороной х вычисляется
по формуле у = х 2.
2) Если тело брошено вверх со скоростью V, то рас
стояние в от него до поверхности земли в момент
<#2
времени < определяется формулой в ----— + + в0,
где в0 — расстояние от тела до поверхности земли в
момент времени t = 0 .
В этих примерах рассмотрены функции вида
у = ах2+ Ьх + с . В первом примере а = 1, Ь = с = О,
а переменными являются х и у. Во втором примере
а
а = ~ —,& = и,с = 80, а переменные обозначены буква
ми { И 8.
О п р е д е л е н и е . Функция вида у = а х 2+ Ь х + с,
где а, Ь и с — заданные действительные числа,
аф 0, х — действительная переменная, называ
ется квадратичной функцией.
151

Например, квадратичными являются функции:
у = х 2, у = - 2 х 2, у = х 2- х , у = х 2- 5 х + 6,
у = - Зх2+ - х .
* 2
Задача 1 Найти значение функции у ( х ) = х 2 - 5х + 6 при
х = -2 , х = 0, х = 3.
► у (-2 ) = (- 2 )2- 5 -(-2 ) + 6 = 20;
1/(0) = О2- 5 0 + 6 = 6; у(З) = 32- 5 3 + 6 = 0. <1
Задача 2 При каких значениях х квадратичная функция
у = х 2+ 4х - 5 принимает значение, равное:
1) 7; 2) -9 ; 3)* -10; 4) О?
► 1) По условию х 2+ 4х - 5= 7. Решая это уравнение,
получаем:
х2+ 4х - 1 2 = 0,
х, 2= —2 ± л/4 +12 = -2 ± 4,
Xj = 2, х2= -6 .
2) По условию х2+ 4х - 5 = -9 , откуда
х 2+ 4х + 4 = 0, (х + 2)2= 0, х = -2 .
3)* По условию х2+ 4 х - 5 = -10, откуда х2+ 4х +
+ 5 = 0. Решая это уравнение, находим Xj 2= - 2 ± i .
Следовательно, уравнение не имеет действитель
ных корней, и поэтому данная функция не прини
мает значение -1 0 ни при каких действительных
значениях х.
4) По условию х2+ 4 х - 5 = 0, откуда х х= 1,
х2= -5. <3
В последнем случае были найдены значения х,
при которых функция j/ = x 2+ 4 x - 5 принимает
значение, равное 0, т. е. г/(1) = 0 и г/(—5) = 0. Та
кие значения х называют нулями квадратичной
функции.
Задача 3 Найти нули функции у = х 2—Зх.
► Решая уравнение х 2- 3 х = 0, находим xt= 0,
х2= 3. <3
578 (Устно.) Является ли квадратичной функция:
1) у = 2х2+ х + 3; 2) у = Зх2- 1;
3) {/= 5х + 1; 4) у = х 3+ 7 х - 1 ;
5) у = 4х2; 6) у = -З х 2+ 2х?
152

Н А Ч Е Р Т И Т Р И П Р Я М Ы Е ТА К , ЧТО БЫ К А Ж Д А Я
ТОЧКА О К А З А Л А С Ь О ТДЕЛЕН Н О Й ОТ ЛЮБОЙ
Д РУГО Й ТОЧКИ.
579 Найти действительные значения х, при которых квадратич
ная функция у = х 2- х - 3 принимает значение, равное:
1) -1 ; 2) -3 ; 3) 4) -5 .
4
580 При каких действительных значениях х квадратичная
функция у = - 4 х 2+ Зх - 1 принимает значение, равное:
1) -2 ; 2) -8 ; 3) -0,5; 4) -1?
581 Определить, какие из чисел -2 ; —/3; —1; -0,2; 0; 1; [з явля
ются нулями квадратичной функции:
1) у = х 2+ 2х; 2) у = х 2+ х
3) у = х 2- 3; 4) у = 5 х 2- 4 х - 1 .
582 Найти нули квадратичной функции:
I ) у = х 2- х ; 2) у = х 2+ 3;
3) у = 12х2- 1 7 х + 6; 4) у = - 6 х 2+ 7 х - 2 ;
5) у = Зх2- 5* + 8; 6) у = 2 х 2 - 7х + 9;
7) у = 8 х 2 + 8 х + 2-, 8) (/= ! * 2- х + ! ;
9) у = 2 х 2+ х - 1; 10) у = Зх2 + Ь х - 2 .
583 Найти коэффициенты р и q квадратичной функции
у = х 2+ px + q, если известны нули х х и х 2 этой функции:
1) Ху=2, х2= 3; 2) х х= -4, х2= 1;
3) х 1= - 1 , х 2= - 2 ; 4) х, = 5, х2= -3.
153

584 Найти значения х, при которых функции у = х 2+ 2 х - 3 и
у = 2 х + 1 принимают равные значения.
585 Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1) у = 4х2 + 4х + 1 и у = 2 х + 1;
2) у = х 2-В>х + Ъ и 1/= | х - 2 ;
3) у = х 2- З у[ 2 х + 4 и , = | * - 1 ;
4) у = 4 3 х 2 + 3х и у = Ц - х + 1.
О
: функция
! У - х 2
Рассмотрим функцию у = х 2, т. е. квадратичную
функцию у = ах2+ Ьх + с при а = 1, Ь = с = 0. Для по
строения графика этой функции составим таблицу
некоторых ее значений:
X -4 -3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
ся
X
II
16 9 4 1 0 1 4 9 16
Построив указанные в таблице точки и соединив
их плавной кривой, получим график функции
у = х 2 (рис. 32). Кривая, являющаяся графиком
функции у = х 2, называется параболой.
Рассмотрим свойства функции у = х 2.
1) Значение функции у = х 2 положительно при
х ф О и равно нулю при х = 0. Следовательно, па
рабола у = х 2 проходит через начало координат,
а остальные точки параболы лежат выше оси
абсцисс. Говорят, что парабола у = х 2 касается оси
абсцисс в точке (О; О).
2) График функции у = х 2 симметричен относи
тельно оси ординат, так как ( ~ х ) 2= х 2. Например,
у ( - 3 ) = у(3) = 9 (рис. 32). Таким образом, ось орди
нат является осью симметрии параболы. Точку пе
ресечения параболы с ее осью симметрии называют
154

Рис. 32
вершиной параболы. Для параболы
у = х 2 вершиной является начало коор-
^ динат.
х 3) При х > 0 большему значению х со
ответствует большее значение у. На
пример, 1/(3) > 1/(2). Говорят, что функ
ция и = х 2 возрастает на промежутке
х > 0 (рис. 31).
При х < 0 большему значению х соответствует
меньшее значение у. Например, у ( - 2 ) < у ( - 4).
Говорят, что функция у = х 2 убывает на проме
жутке х < 0 (рис. 31).
Найти координаты точек пересечения параболы
у = х 2 и прямой у = х + 6.
► Координаты точки пересечения являются решени
ем системы уравнений
Ь = * 2,
у = х + 6.
Решая эту систему, получаем х 2= х + 6, х 2- х -
- 6 = 0, откуда х1= 3, хг = - 2 . Подставляя значения
х г и х 2 в одно из уравнений системы, находим
1/1= 9, 1/2= 4.
Ответ (3; 9), (-2 ; 4). О
Парабола обладает многими интересными свойст
вами, которые широко используются в технике.
Например, на оси симметрии параболы есть точка,
которую называют фокусом параболы (рис. 32).
Рис. 31
Задача
155

Если в этой точке находится источник света, то все
отраженные от параболы лучи идут параллельно.
Это свойство используется при изготовлении про
жекторов, локаторов и других приборов.
Фокусом параболы у = х 2 является точка
05 4
586 На миллиметровой бумаге построить график функции у = х 2.
По графику приближенно найти:
1) значение у при х = 0,8; х = 1,5; лс= 1,9; * = -2,3; л: = —1,5;
2) значения х, если у = 2; у = 3; у = 4,5; у = 6,5.
587 Не строя графика функции у = х 2, определить, какие точки
принадлежат ему: А (2; 6), В (-1 ; 1), С (12; 144), 1 )(-3 ; -9 ).
588 (Устно.) Найти координаты точек, симметричных точкам
А (3 ; 9), В ( - 5; 25), С (4; 15), 1)(л/3; 3) относительно оси
ординат. Принадлежат ли все эти точки графику функции
У = х 21
589 (Устно.) Сравнить значения функции у = х 2 при:
1) х = 2,5 и д: = з 1 ; 2) х = 0,4 и х = 0,3;
О
3) х = -0 ,2 и х = -0,1; 4) х = 4,1 и х = -5,2.
590 Найти координаты точек пересечения параболы у = х 2 и пря
мой:
1) у = 25; 2) у = 5; 3) у = - х ;
4) у = 2х; 5) у = 3 - 2 х ; 6) у = 2 х - 1 .
591 Является ли точка А точкой пересечения параболы у = х 2 и
прямой:
1) у = - х - 6 , А (-3 ; 9);
2) у = 5 х - 6 , А ( 2; 4)?
592 Верно ли утверждение, что функция у = х 2 возрастает:
1) на отрезке [1; 4]; 2) на интервале (2; 5);
3) на промежутке х > 3; 4) на отрезке [-3 ; 4]?
593 На одной координатной плоскости построить параболу у = х 2
и прямую у = 3. При каких значениях х точки параболы ле
жат выше прямой? ниже прямой?
594 При каких х значения функции у = х 2:
1) больше 9; 2) не больше 25;
3) не меньше 16; 4) меньше 36?
156

Функция
у = а х 2
1
37
_
Задача 1 Построить график функции у = 2 х 2.
► Составим таблицу значений функции у = 2 х 2:
X -3 - 2 - 1 0 1 2 3
у = 2 х 2 18 8 2 0 2 8 18
Построим найденные точки и проведем через них
плавную кривую. <1
Сравним графики функций у = 2 х 2 и у = х 2
(рис. 33). При одном и том же х значение
функции у = 2 х г в 2 раза больше значения
функции у = х 2.
Это значит, что каждую точку графика
у = 2 х 2 можно получить из точки графика
функции у = х 2 с той же абсциссой увели
чением ее ординаты в 2 раза.
Говорят, что график функции у = 2 х 2
получается растяжением графика функ
ции у = х 2 от оси О х вдоль оси Оу в
2 раза.
Задача 2 Построить график функции у = ^ х 2.
► Составим таблицу значений функции у = ^ х 2:
X -3 - 2 - 1 0 1 2 3
4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5
Построив найденные точки, проведем через них
плавную кривую (рис. 34). <]
157

Сравним графики функций у = ) - х 2 и
и
у = х 2. Каждую точку графика у = - х 2
&
можно получить из точки графика
функции у = х 2 с той же абсциссой
уменьшением ее ординаты в 2 раза.
Говорят, что график функции у = ^ х 2
получается сжатием графика функции
у = х 2 к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.
Задача 3 Построить график функции у = - х 2.
► Сравним функции у = - х 2 и у = х 2. При одном и
том же х значения этих функций равны по модулю
и противоположны по знаку. Следовательно, гра
фик функции у = - х 2 можно получить симметрией
относительно оси Ох графика функции у = х 2
(рис. 35).
Аналогично график функции у = - ^ х г симметри
чен графику функции у = ^ х 2 относительно оси Ох
(рис. 36).
График функции у = ах2 при любом а * 0 также на
зывают параболой. При а > 0 ветви параболы на
правлены вверх, а при а < 0 — вниз.
Рис. 35
158
Рис. 36

Заметим, что фокус параболы у - а х 2 находится в
точке °; 4а
Перечислим основные свойства функции у = ах2,
где аФ 0.
1) Если а > 0, то функция у = ах2 принимает поло
жительные значения при х Ф 0; если а < 0, то функ
ция у = ах2 принимает отрицательные значения
при хф 0; значение функции у - а х 2 равно 0 толь
ко при х = 0.
2) Парабола у = а х 2 симметрична относительно
оси ординат.
3) Если а > 0, то функция у = ах2 возрастает при
х > 0 и убывает при х < 0 ; если а < 0, то функция
у = а х 2 убывает при х > 0 и возрастает при х < 0 .
Все эти свойства видны на графиках (рис. 37, 38).
Задача 4 На одной координатной плоскости построить гра
фики функций у = 2 х 2 и у = 8. С помощью этих гра
фиков решить неравенство 2 х 2 >8.
► Построим графики данных функций
(рис. 39). Для того чтобы решить не
равенство 2 х г > 8 , нужно найти те зна
чения х, при которых точки парабо
лы у - 2 х 2 лежат выше прямой у = 8.
У1
0
/
/
Л *х
/
//
/
у =ах? а < 0
Рис. 38
159

Из рисунка 39 видно, что неравенство 2х2 >8
верно при х < -2 , а также при х > 2. <3
Задача 5 Найти значение а, при котором одна из точек пере
сечения параболы у = а х 2 и прямой у = 2х + 4 имеет
абсциссу х = 2.
► Из уравнения прямой у = 2 х + 4 находим ординату
точки пересечения: у = 2 -2 + 4 = 8. Подставляя
х = 2, у = 8 в уравнение параболы у = ах2, получаем
8 = а ■22, откуда а = 2. *3
595 На миллиметровой бумаге построить график функции
у = 3 х 2. По графику приближенно найти:
1) значения у при * = -2,8; -1,2; 1,5; 2,5;
2) значения х, если у = 9; 6; 2; 8; 1,3.
596 (Устно.) Определить направление ветвей параболы:
1) у = 3 х 2; 2) у = х 2;
О
3) у = -4 х 2; 4) У = - х 2.
597 На одной координатной плоскости построить графики
функций:
1) у = х 2 и у = 3 х 2; 2) у = - х 2 и у = - 3 х 2;
3) у = 3 х 2 и у = - 3 х 2; 4) у = х 2 и у = - х 2.
О У
Используя графики, выяснить, какие из этих функций воз
растают на промежутке х > 0.
598 Найти коэффициент а, если парабола у = ах2 проходит через
точку:
1 ) А ( - 1 ; 1 ) ; 2) В (2; 1); 3) С (1; 1); 4 ) Я ( 3 ; - 1 ) .
599 С помощью графика функции у = - 2 х 2 решить неравенство:
1) - 2 х 2 < - 8; 2) -2 х 2> -1 8 ;
3) - 2 х 2 < 1; 4) -2 х 2 > - 32.
600 При каких х значения функции у = 3 х 2:
1) больше 12; 2) не больше 27;
3) не меньше 3; 4) меньше 75?
601 Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1) у = 2 х 2 и у = Зх + 2;
2) У = ~ х 2 к у = х - 3 .
602 Найти значение а, при котором одна из точек пересечения
параболы у = а х 2 и прямой у = 5 х - 2 имеет абсциссу х = 2.
160

603 Найти значение /г, при котором парабола у = - 5 х 2 и прямая
у = кх + 6 пересекаются в точке с абсциссой х = 2. Имеются ли
другие точки пересечения графиков?
6 0 4 Является ли убывающей на промежутке х < 0 функция:
1) у = 4 х 2; 2) у = х 2-, 3) у = - 5 х 2; 4) у = - х 2?
4 5
6 0 5 Выяснить, является ли функция у = - 2 х 2 возрастающей или
убывающей:
1) на отрезке [-4 ; -2 ]; 2) на интервале (3; 5);
3) на отрезке [-5 ; 0]; 4) на интервале (-3 ; 2).
6 0 6 Путь, пройденный телом при равноускоренном движении,
, а<2
вычисляется по формуле в = гДе в — путь в метрах, а —
ускорение в м/с2, * — время в секундах. Найти ускорение а,
если за 8 с тело прошло путь, равный 96 м.
6 0 7 Пусть парабола у = ах2 и прямая у = к х + Ь имеют только
одну общую точку и абсцисса этой точки равна х0. Доказать,
Функция
у = ах 2+ Ъх + с
1 3 8
■
Задача 1 Построить график функции г/= х 2- 2 х + 3 и срав
нить его с графиком функции у = х 2.
► Составим таблицу значений функции
у = х 2- 2 х + 3:
X -3 -2 -1 0 1 2 3
у = х г - 2 х + 3 18 11 6 3 2 3 6
Построим найденные точки и проведем через них
плавную кривую (рис. 40).
Для сравнения графиков преобразуем формулу
у = х 2- 2 х + 3, используя метод выделения полного

квадрата: у = х 2- 2 х + 1 + 2, у = ( х - 1)2+ 2. Срав
ним графики функций у = х 2 и у = ( х - I )2. Заме
тим, что если (Хр уг) — точка параболы у = х 2,
т. е. уг = х 2, то точка (х !+ 1 ; уг) принадлежит гра
фику функции у = ( х - I ) 2, так как ((л^ + 1) - I )2=
= х 2= уг. Следовательно, графиком функции
у = ( х - I )2 является парабола, полученная из пара
болы у - х 2 сдвигом (параллельным переносом)
вправо на единицу (рис. 41). Теперь сравним гра
фики функций у - ( х - 1)2 и у = ( х - 1 ) 2+ 2. При
каждом х значение функции у = ( х - I ) 2+ 2 больше
значения функции у = ( х - I )2 на 2. Следовательно,
графиком функции у = ( х - 1)2+ 2 является парабо
ла, полученная сдвигом параболы у = ( х - I )2 вверх
на две единицы (рис. 42).
162

Рис. 43
Итак, графиком функции у = х 2- 2х + 3
является парабола, получаемая сдвигом
параболы у = х 2 на единицу вправо и на
две единицы вверх (рис. 43). Осью сим
метрии параболы у = х 2- 2 х + 3 являет
ся прямая, параллельная оси ординат и
проходящая через вершину парабо
лы — точку (1; 2). <
Аналогично доказывается, что графи
ком функции у = а ( х - х 0) 2+ у0 являет
ся парабола, получаемая сдвигом пара
болы у = а х 2:
вдоль оси абсцисс вправо на х0, если х0 > 0, влево
на |х 01, если х 0 < 0;
вдоль оси ординат вверх на у0, если у0 > 0 , вниз на
IУо I» если Уо <0-
Любую квадратичную функцию у = а х 2+ Ьх + с
с помощью выделения полного квадрата можно
записать в виде
Ь - 4 ас
у = а хн-----
У 1 2 а 4а
т. е. в виде у = а ( х - х 0) 2+ у0,
Ь , . Ь2 - 4ас
где х 0= - — , у 0= у ( х 0) = ~-
4 а
Таким образом, графиком функции у = ах2+ Ь х + с
является парабола, получаемая сдвигом парабо
лы у = а х 2 вдоль координатных осей. Равенство
у = а х 2+ Ьх + с называют уравнением параболы.
Координаты (х0; у0) вершины параболы у = а х 2+
+ Ьх + с можно найти по формулам
х о = - тгг» Уо = У(.х о ) = а х о + Ь х о + с-&(I
Ось симметрии параболы у = ах2+ Ьх + с — пря
мая, параллельная оси ординат и проходящая че
рез вершину параболы.
Ветви параболы у = ах2+ Ьх + с направлены вверх,
если а >0 , и направлены вниз, если а < 0.
Задача 2 Найти координаты вершины параболы
у = 2 х 2- х - 3 .
► Абсцисса вершины параболы
х - - А - 1
* ° ~ 2 а ~ 4 '
163

Ответ
Задача 3
Ордината вершины параболы
Л
Уо = ахЪ+ Ьхо + с = 2 ' ^ - ~ 3 = ~3 1 •
і ; - З І
4 8
. <
Записать уравнение параболы, если известно, что
она проходит через точку (-2 ; 5), а ее вершиной
является точка (-1 ; 2).
► Так как вершиной параболы является точка
(-1 ; 2), то уравнение параболы можно записать
в виде
у = а ( х + I )2+ 2.
По условию точка (-2 ; 5) принадлежит параболе,
и, следовательно,
5 = а (-2 + I )2+ 2,
откуда а = 3. Таким образом, парабола задается
уравнением
у = 3( х + I )2+ 2, или у = Зх2+ 6 х + 5. <]
608
609
610
611
Найти координаты вершины параболы (608— 610).
(Устно.)
1) у = ( х - З)2- 2;
3) у = 5 ( х + 2)2- 7;
1) у = х 2+ 4х + 1;
3) у = 2 х 2- 6 х + 11;
1) у = х 2+ 2;
3) у = Зх2- 2 х
612
613
2) у = ( х + 4)2+ 3;
4) у = - 4 ( х - I )2+ 5.
2) у = х 2- 6 х - 7 ;
4) у = - З х 2+ 1 8 х - 7 .
2) у = - х 2- 5;
4) у = - 4 х 2+ х.
Найти на оси О х точку, через которую проходит ось симмет
рии параболы:
1) у = х 2+ 3; 2) у = ( х + 2)2;
3) у = -3 (х + 2)2+ 2; 4) у = ( х - 2)2+ 2;
5) у = х 2+ х + 1; 6) у = 2 х 2- Зх + 5.
Проходит ли ось симметрии параболы у = х 2- 10 х через
точку:
1) (5; 10); 2) (3; -8 ); 3) (5; 0); 4) (-5 ; 1)?
Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко
ординат:
1) у = х 2- Зх + 2; 2) у = - 2 х 2+ Зх - 1;
3) у = Зх2- 7х + 12; 4) у = 3 х 2- 4 х .
164

614 Написать уравнение параболы, если известно, что парабола
проходит через точку (-1 ; 6), а ее вершиной является точка
(1; 2).
615 (Устно.) Принадлежит ли точка (1; -6 ) параболе у = - 3 х 2+
+ 4 х - 7 ?
616 Найти значение к, если точка (-1 ; 2) принадлежит параболе:
1) у = к х 2+ З х - 4 ; 2) у = - 2 х 2 + кх - 6.
617 С помощью шаблона параболы у = х 2 построить график
функции:
1) у = ( х + 2)2; 2) у = ( х - З)2;
3) у = х 2- 2 ; 4) у = - х 2+ 1;
5) 1/= - ( х - 1 ) 2- 3 ; 6) у = ( х + 2)2+ 1.
618 Записать уравнение параболы, полученной из параболы
у = 2 х 2:
1) сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо;
2) сдвигом вдоль оси Оу на 4 единицы вверх;
3) сдвигом вдоль оси Ох на 2 единицы влево и последующим
сдвигом вдоль оси Оу на единицу вниз;
4) сдвигом вдоль оси О х на 1,5 единицы вправо и последую
щим сдвигом вдоль оси Оу на 3,5 единицы вверх.
1) у = х2- 2 ; 2) у = 1 - х 2 ;
3) г/= |2 —(дг —I )2 |; 4) у = х 2- 5х + 6 1.
620 Записать уравнение параболы, пересекающей ось абсцисс
в точках х = -1 и х = 3, а ось ординат в точке у = 2.
Построение графика
Задача 1 Построить график функции у = х 2- 4х + 3.
► 1. Вычислим координаты вершины параболы:
* 0= - ^ = 2, Уо = 22- 4 •2 + 3 = -1.
Построим точку (2; -1 ).
2. Проведем через точку (2; -1 ) прямую, парал
лельную оси ординат, — ось симметрии параболы
(рис. 44, а).
165

в )
Рис. 44
3. Решая уравнение я2- 4 * + 3 = 0, найдем нули
функции: х1=1, х2= 3. Построим точки (1; 0) и
(3; 0) (рис. 44, б).
4. Возьмем две точки на оси Ох, симметричные от
носительно точки х = 2, например точки х = 0 и
х = 4. Вычислим значение функции в этих точках:
у(0) = у(4) = 3. Построим точки (0; 3) и (4; 3).
5. Проведем параболу через построенные точки
(рис. 44, в). <1
По такой же схеме можно построить график лю
бой квадратичной функции у = ах2+ Ьх + с:
1. Построить вершину параболы (х0; у0), вычис
лив х 0, у0 по формулам х 0 = - , у0 = у (х 0).
2. Провести через вершину параболы прямую,
параллельную оси ординат, — ось симметрии па
раболы.
3. Найти нули функции, если они есть, и по
строить на оси абсцисс соответствующие точки па
раболы.
4. Построить две какие-нибудь точки параболы,
симметричные относительно ее оси. Для этого
надо взять две точки на оси Ох, симметричные
относительно точки х0, и вычислить соответствую
щие значения функции (эти значения одинаковы).
Например, можно построить точки параболы с
абсциссами х = 0 и х = 2 х 0, если х 0* 0 (ординаты
этих точек равны с).
5. Провести через построенные точки параболу.
Заметим, что для более точного построения гра
фика полезно найти еще несколько точек па
раболы.
166

Задача 2
Задача 3
Построить график функции у = - 2 х 2+ 1 2 х - 1 9 .
► 1. Вычислим координаты вершины параболы:
х 0 = - Щ = 3, (/0= -2 •З2+ 12 •3 - 19 = -1.
—4
Построим точку (3; -1 ) — вершину параболы
(рис. 45).
2. Проведем через точку (3; -1 ) ось симметрии па
раболы (рис. 45).
3. Решая уравнение -2 х 2+ 12х - 19 = 0, убеждаем
ся, что действительных корней нет, и поэтому па
рабола не пересекает ось Ох.
4. Возьмем две точки на оси Ох, симметричные
относительно точки х = 3, например точки х = 2 и
х = 4. Вычислим значение функции в этих точках:
1/(2) = 1/(4) = -3.
Построим точки (2; -3 ) и (4; -3 ) (рис. 45).
5. Проведем параболу через построенные точки
(рис. 46). <]
Построить график функции у = - х 2+ х + 6 и выяс
нить, какими свойствами обладает эта функция.
► Для построения графика найдем нули функции:
- х 2+ дг+ 6 = 0 , откуда х г = - 2 , ;с2= 3. Координаты
вершины параболы можно найти так:
х, + х9
х п= -
-2 + 3
Уо = У 1 = _ 1 + І + 6 = 6 І .
2 4 2 4
167

Так как а = -1 < 0 , то ветви параболы
У ~ б направлены вниз. Найдем еще несколь
ко точек параболы: (/(-1) = 4, у(О) = 6,
у{ 1) = 6, 1/(2) = 4. Строим параболу
(рис. 47).
С помощью графика получим следую
щие свойства функции
у = - х 2+ х + 6:
1) При любых значениях х значения
функции меньше или равны 6 - .
4
2) Значения функции положительны
при -2 < х < 3, отрицательны при х < -2
и при х > 3, равны нулю при х = -2 и
Рис' 47 х = 3.
3) Функция возрастает на промежутке х < | , убы
вает на промежутке х > | .
4) При х = ^ функция принимает наибольшее зна-
й 1чение, равное 6 - .
4
5) График функции симметричен относительно
прямой * = ^
Отметим, что функция у = ах2+ Ьх + с принимает
наименьшее или наибольшее значение в точке
х 0 = --£ ~, которая является абсциссой вершины
параболы.
Значение функции в точке х 0 можно найти по
формуле у0 = у ( х 0). Если а > 0 , то функция имеет
наименьшее значение, а если а < 0, то функция
имеет наибольшее значение.
Например, функция у - х 2- 4х + 3 при х = 2 прини
мает наименьшее значение, равное -1 (рис. 44, в);
функция у = - 2 х 2+ 1 2 х - 9 при х = 3 принимает
наибольшее значение, равное 9.
Задача 4 Сумма двух положительных чисел равна 6. Найти
эти числа, если сумма их квадратов наименьшая.
Каково наименьшее значение суммы квадратов
этих чисел?
168

► Обозначим первое число буквой х, тогда второе
число равно 6 - х, а сумма их квадратов равна
х 2+ (6 - х ) 2. Преобразуем это выражение:
х 2+ (6 - х ) 2= д:2+ 36 - 12х + х 2=
= 2х2-1 2 х + 36.
Задача свелась к нахождению наименьшего значе
ния функции у = 2 х 2- 1 2 х + 36. Найдем координа
ты вершины этой параболы:
у0= у {3) = 2 •9 - 12 •3 + 36 = 18.
Итак, при д: = 3 функция принимает наименьшее
значение, равное 18. Таким образом, первое число
равно 3, второе также равно 6 - 3 = 3. Значение сум
мы квадратов этих чисел равно 18.
Ответ 18. <]
621 Найти координаты вершины параболы:
1) у = х 2 - 4 х - 5 ; 2) у = х 2+ 3х + 5;
3) у = - х 2- 2 х + 5; 4) у = - х 2+ 5х - 1.
622 Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко
ординат:
1) у = х 2- Зх + Ъ 2) у = - 2 х 2- 8 х + 10;
3) у = - 2 х 2+ 6; 4) у = 7 х 2+14.
623 По данному графику квадратичной функции (рис. 48) выяс
нить ее свойства.
Рис. 48
169

Построить график функции и по графику: 1) найти значе
ния х, при которых значения функции положительны; отри
цательны; 2) найти промежутки возрастания и убывания
функции; 3) выяснить, при каком значении х функция при
нимает наибольшее или наименьшее значение; найти его
(624— 625).
624 1) у = х 2- 7 х + 10; 2) у = - х 2+ х + 2;
3) у = - х 2+ 6 х - 9 ; 4) у = х 2+ 4х + 5.
625 1) у = 4 х 2+ 4х -3 2) у = - З х 2- 2 х + 1;
3) у = - 2 х 2+ Зх + 2; 4) у = Зх2- 8 х + 4;
5) у = 4 х 2+ 12х + 9; 6) у = - 4 х 2+ 4х - 1;
7) у = 2 х 2- 4х + 5; 8) у = - З х 2 - 6х - 4.
626 Число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы
произведение этих чисел было наибольшим.
627 Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их
кубов является наименьшей.
628 Участок прямоугольной формы, примыкающий к стене
дома, требуется огородить с трех сторон забором длиной
12 м. Какими должны быть размеры участка, чтобы пло
щадь его была наибольшей?
629 В треугольнике сумма основания и высоты, опущенной на
это основание, равна 14 см. Может ли такой треугольник
иметь площадь, равную 25 см2?
630 Не строя график, определить, при каком значении х квадра
тичная функция имеет наибольшее (наименьшее) значение;
найти это значение:
1) у = х 2- 6х + 13; 2) у = х 2- 2 х - 4 ;
3) у = - х 2+ 4х + 3 4) у = 3 х 2- 6 х + 1.
631 Определить знаки коэффициентов уравнения параболы
у = ах2+ Ьх + с, если:
1) ветви параболы направлены вверх, абсцисса ее вершины
отрицательна, а ордината положительна;
2) ветви параболы направлены вниз, абсцисса и ордината ее
вершины отрицательны.
1) у = 2х2- х - 1|; 2) у = х2-5 | х | -6 .
633 С высоты 5 м вертикально вверх из лука выпущена стрела с
начальной скоростью 50 м/с. Высота к метров, на которой
находится стрела через < секунд, вычисляется по формуле
Л = Л(<) = 5 + 50* - где £ принять равным 10 м/с . Через
сколько секунд стрела:
1) достигнет наибольшей высоты и какой;
2) упадет на землю?
170

к главе V
634
635
636
637
638
639
640
641
Найти значения х, при которых квадратичная функция
у = 2 х 2- 5х + 3 принимает значение, равное:
1) 0; 2) 1; 3) 10; 4) -1 .
Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1) у = х 2 - 4 и у = 2 х - 4
2) у = х 2 и у = З х - 2 ;
3) у = х 2- 2 х - Ъ и у = 2 х 2+ Зх + ;
4) у = х 2+ х - 2 и і/= (х + 3 )(х -4 ).
1) х2 <5 ; 2) х 2 >36.
Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко
ординат:
1) у = х 2+ х - 12; 2) у = - х 2+ З х+1 0 ;
3) у = - 8 х 2- 2х + 1; 4) у = 7х 2+ 4х - 11;
5) у = 5х2+ х - 1 ; 6) у = 5х2+ Зх - 2;
7) у = 4 х г - 1 1 х + 6; 8) у = Зх2+ 1 3 * - 10.
Найти координаты вершины параболы:
1) у = х 2- 4х - 5; 2) у = - х 2- 2 х + 3;
3) у = х 2- 6 х + 10;
5) у = - 2 х ( х + 2);
4) у = х 2+ х + - ;
4
6) у = ( х - 2 ) ( х + 3).
Построить график функции и по графику выяснить ее свой
ства:
1) у = х 2- 5х + 6; 2) у = х 2+ 10х + 30;
3) у = - х 2- 6 х - 8; 4) у = 2 х 2- 5х + 2;
5) у = -З х 2- Зх + 1; 6) у = - 2 х 2- Зх - 3 .
Не строя график функции, найти ее наибольшее или наи
меньшее значение:
1) у = х 2+ 2 х + 3; 2) у = - х 2+ 2 х + 3;
3) у = - З х 2+ 7х; 4) у = Зх2+ 4х + 5.
Периметр прямоугольника 600 м. Какими должны быть его
высота и основание, чтобы площадь прямоугольника была
наибольшей?
171

1 Построить график функции у = х 2- 6 х + 5 и найти ее наи
меньшее значение.
2 С помощью графика функции у = - х 2+ 2 х + 3 найти значе
ния х, при которых значение функции равно 3.
3 По графику функции у = 1 - х 2 найти значения х, при
которых функция принимает положительные значения;
отрицательные значения.
4 На каких промежутках функция у = 2 х 2 возрастает? убыва
ет? Построить график этой функции.
5 Найти координаты вершины параболы у = ( х - З)2 и постро
ить ее график.
642 Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, концы
которых лежат на противоположных сторонах прямоуголь
ника, и параллельными одной из его сторон. Сумма перимет
ра прямоугольника и длин отрезков равна 1600 м. Найти
стороны прямоугольника, если его площадь наибольшая.
643 Найти коэффициенты р и д квадратичной функции у = х 2+
+ рх + 9 , если эта функция:
1) при х = 0 принимает значение 2, а при х = 1 — значение 3;
2) при х = 0 принимает значение 0, а при х = 2 — значе
ние 6.
644 Найти р и д , если парабола у = х 2+ px + q:
1) пересекает ось абсцисс в точках х = 2 и х = 3;
2) пересекает ось абсцисс в точке х = 1 и ось ординат в точке
3) касается оси абсцисс в точке х = 2.
645 При каких значениях х равны значения функций:
1) у = х 2+ Зх + 2 и у = 7 -х ;
2) у = 3х2 - б х + 3 и у = ]3л: —31?
646 Построить параболу у = ах2+ Ьх + с, если известно, что:
1) парабола проходит через точки с координатами (0; 0),
(2; 0), (3; 3);
2) точка (1; 3) является вершиной параболы, а точка (-1 ; 7)
принадлежит параболе;
3) нулями функции у = ах2+ Ьх + с являются числа дг, = 1 и
*2 = 3, а наибольшее значение равно 2.
647 Найти значение Л, при котором прямая у = к х и парабола
у = х г + 4 * + 1 имеют только одну общую точку.
648 Пусть прямая проходит через точку (х0; у0) параболы у = ах2
и точку
одну общую точку с параболой у = ах2.
что эта прямая имеет только
172

VIглава
Квадратное неравенство
и его решение
Задача 1 Стороны прямоугольника равны 2 и 3 дм. Каждую
сторону увеличили на одинаковое число децимет
ров так, что площадь прямоугольника стала боль
ше 12 дм2. Как изменилась каждая сторона?
► Пусть каждая сторона прямоугольника увеличена
на х дециметров. Тогда стороны нового прямо
угольника равны (2 + * ) и (3 + х) дециметрам, а его
площадь равна (2 + х )(3 + х ) квадратным децимет
рам. По условию задачи (2 + х )(3 + х) > 12, откуда
х 2+ Ъх + 6 > 12, или х 2+ Ъх - 6 > 0.
Разложим левую часть этого неравенства на мно
жители:
( * + 6 )(х - 1 )> 0 .
Так как по условию задачи л: > 0, то х + 6 > 0. Поде
лив обе части неравенства на положительное число
х + 6, получим х - 1 > 0, т. е. д: > 1.
Ответ Каждую сторону прямоугольника увеличили боль
ше чем на 1 дм. О
В неравенстве х 2+ 5х - 6 > 0 буквой х обозначено
неизвестное число. Это пример квадратного нера
венства.
Если в левой части неравенства стоит квадратный
трехчлен, а в правой — нуль, то такое неравенст
во называют квадратным.
173

Задача 2
Ответ
Например, неравенства
2х2- З х + 1 > 0 , - Зх2+ 4х + 5 < О
являются квадратными.
Напомним, что решением неравенства с одним не
известным называется то значение неизвестного,
при котором это неравенство обращается в верное
числовое неравенство. Решить неравенство — это
значит найти все его решения или установить, что
их нет.
Решить неравенство х2- 5х + 6 > 0.
► Квадратное уравнение х2- 5х + 6 = 0 имеет два раз
личных корня х, = 2, х2= 3. Следовательно, квад
ратный трехчлен х 2- 5х + 6 можно разложить на
множители:
х 2- 5х + 6 = (х - 2 )(х - 3).
Поэтому данное неравенство можно записать так:
(х - 2 )(х - 3) > 0.
Произведение двух множителей положительно,
если они имеют одинаковые знаки.
1) Рассмотрим случай, когда оба множителя поло
жительны, т. е. х - 2 > 0 и х - 3 > 0 . Эти два нера
венства образуют систему:
| х - 2 > 0,
} х - 3 > 0 .
Решая систему, получаем 1х > откуда х > 3.
[х > о,
2) Рассмотрим теперь случай, когда оба множите
ля отрицательны, т. е. х - 2 < 0 и х - 3 < 0 . Эти два
неравенства образуют систему:
|х - 2 < 0,
| х - 3 < 0 .
Решая систему, получаем I х < откуда х < 2.
[х < о,
Таким образом, решениями неравенства
(х - 2 )(х - 3) > 0,
а значит, и исходного неравенства
х2- 5х + 6 > 0
являются числа х < 2, а также числа х > 3.
х < 2, х > 3. <
174

Задача З
Ответ
Вообще если квадратное уравнение ах2+ Ъх + с = О
имеет два различных корня, то решение квадрат
ных неравенств а х 2+ Ъх + с > 0 и ах2+ Ьх + с < О
можно свести к решению системы неравенств пер
вой степени, разложив левую часть квадратного не
равенства на множители.
Решить неравенство -З х 2- 5 х + 2 > 0 .
Чтобы удобнее проводить вычисления, представим
данное неравенство в виде квадратного неравенства
с положительным первым коэффициентом. Для
этого умножим обе его части на —1:
Зх2+ 5* - 2 < 0.
Найдем корни уравнения З х 2+ 5х - 2 = 0:
-5 ± у125 + 24 -5 ± 7
* 1’2' 6 ~ ~ 6 ~ ’
Ху = —, х2= —2.
Разложив квадратный трехчлен на множители, по
лучим:
3 ^ * - | |(х + 2 )< 0 .
Отсюда получаем две системы:
| *4> о, |*-{«>.
[х + 2 < 0; [х + 2 > 0.
Первую систему можно записать так:
* з ’
х < —2,
откуда видно, что она не имеет решений.
Решая вторую систему, находим:
!”* < —,
3[ х > - 2 ,
откуда -2 < х < —.
3
Отсюда следует, что решениями неравенства
3| х - — (х + 2) < 0, т. е. неравенства -З х 2- 5 х +
+ 2 > 0 , являются все числа интервала [ —2;
-2 < х < - . <
3
175

649 (Устно.) Указать, какие из следующих неравенств являются
квадратными:
1) х2- 4 > 0 ; 2) х2- З х - 5 < 0 ;
3) Зх + 4 > 0 ; 4) 4х - 5 < 0;
5) л:2- 1 < 0; 6) х4- 1 6 > 0 .
650 Свести к квадратным следующие неравенства:
1) х2 < Зх + 4; 2) Зх2- 1 > х;
3) З х 2 < х 2- 5х + 6; 4) 2 х (х + 1) < х + 5.
651 (Устно.) Какие изчисел 0; -1 ; 2 являются решениями нера
венства:
1) х2+ Зх + 2 > 0 ; 2) - х 2+ 3,5х + 2 > 0;
3) х2- х - 2 < 0; 4) - х 2+ х + —< 0?
4
652 1) (х - 2)(х + 4) > 0; 2) (х - 11)(х - 3) < 0;
3) ( х - 3)(х + 5) < 0; 4) (х + 7)(х + 1) > 0.
653 1) х 2- 4 < 0; 2) х2- 9 >0 ;
3) х 2+ Зх < 0; 4) х 2- 2х > 0.
654 1) х2- Зх + 2 < 0; 2) х 2+ х - 2 <0 ;
3) х 2- 2х - 3 > 0; 4) х 2+ 2 х - 3 > 0 ;
5) 2 х2+ Зх - 2 >0 ; 6) Зх2+ 2х - 1 > 0.
2 2
3) 3х2- 3 < х 2- х ; 4) (х - 1)(х + 3) > 5.
1) у = 2х2; 2) у = - ( х + 1,5)2;
3) у = 2 х 2- х + 2; 4) у = -З х 2- х - 2.
По графику найти все значения х, при которых функция
принимает положительные значения; отрицательные значе
ния; значения, равные нулю.
657 Известно, что числа X! и х2, где х ! < х 2, являются нулями
функции у = а х 2+ Ьх + с. Доказать, что если число х0 заклю
чено между х, и х2, т. е. х, < х0< х2, то выполняется неравен
ство а (аХц + Ьх0 + с) < 0.
658 Из трех последовательных натуральных чисел произведение
первых двух меньше 72, а произведение последних двух не
меньше 72. Найти эти числа.
176

Решение квадратного неравенства
с помощью графика
§ 4 1
-
Напомним, что квадратичная функция задается
формулой у = ах2 + Ьх + с, где а ф 0. Поэтому реше
ние квадратного неравенства можно свести к отыс
канию нулей квадратичной функции, если они
имеются, и промежутков, на которых квадратич
ная функция принимает положительные или отри
цательные значения.
Задача 1 Решить с помощью графика неравенство
2 х 2- х - 1 < 0.
► График квадратичной функции г/= 2 х 2- х - 1 —
парабола, ветви которой направлены вверх.
Выясним, имеет ли эта парабола точки пересече
ния с осью Ох, для чего решим квадратное уравне
ние 2 х г - х - 1= 0:
х.г~
1± л/Т+8 1± 3. , 1
х ~ 1, х2= ~2
Следовательно, парабола пересекает ось
Ох в точках * = и х = 1 (рис. 49). Нера
венству 2 х 2- х - 1 < 0 удовлетворяют те
значения х, при которых значения функ
ции равны нулю или отрицательны, т. е.
те значения х, при которых точки парабо
лы лежат на оси О х или ниже этой оси. Из
рисунка 49 видно, что этими значениями
Ответ
1
являются все числа из отрезка
<
[-*
2
График этой функции можно использовать и при
решении других неравенств, которые отличаются
от данного только знаком неравенства. Из рисун
ка 49 видно, что:
1) решениями неравенства 2 х 2- х - 1 < 0 являются
числа интервала - ^ < х < 1;
177

Задача 2
Ответ
У
_1 О
2
Рис. 50
2) решениями неравенства 2х 2- х - 1 > 0 являются
все числа промежутков х < и л:> 1;
3) решениями неравенства 2 х г - х - 1 > 0 являются
все числа промежутков л :< - |и л :> 1 .
Решить неравенство 4х2+ 4 х + 1 > 0 .
► Построим эскиз графика функции у =4х2+4х + 1.
Ветви этой параболы направлены вверх. Уравнение
4л:2+ 4 х + 1=0 имеет один корень х = - i , поэтому
парабола касается оси Ох в точке | - i ; 0 j. График
этой функции изображен на рисунке 50. Для реше
ния данного неравенства нужно установить, при
каких значениях л: значения функции положитель
ны. Таким образом, неравенству 4л:2+ 4л: + 1>0
удовлетворяют те значения л;, при которых точки
параболы лежат выше оси Ох. Из рисунка 50 вид
но, что такими являются все действительные числа
х, кроме л: = -0,5.
л: * - 0 ,5 . <]
Из рисунка 50 видно также, что:
1) решениями неравенства 4л:2+ 4х + I > 0 являют
ся все действительные числа;
2) неравенство 4л:2+ 4х + 1 < 0 имеет одно решение
* ~ ï ‘
3) неравенство 4л:2+ 4л:+1<0 не имеет решений.
Эти неравенства можно решить устно, если заме
тить, что 4л:2+ 4х + 1 =(2л: + I)2.
= 4х2+4х+1
х
178

► Изобразим эскиз графика функции у = - х 2+ х - 1.
Ветви этой параболы направлены вниз. Уравнение
- х 2+ х - 1 = 0не имеет действительных корней, по
этому парабола не пересекает ось Ох. Следова
тельно, эта парабола расположена ниже оси Ох
(рис. 51). Это означает, что значения квадратичной
функции при всех х отрицательны, т. е. неравенст
во - х 2+ х - 1 < 0 выполняется при всех действи
тельных значениях х. <3
Из рисунка 51 видно также, что решениями нера
венства - х 2+ х - 1 < 0 являются все действитель
ные значения х, а неравенства
- х 2+ х - 1 > 0 и - х 2+ х - 1 > 0
не имеют решений.
Итак, для решения квадратного неравенства с по
мощью графика нужно:
1) определить направление ветвей параболы
по знаку первого коэффициента квадратичной
функции;
2) найти действительные корни соответствующе
го квадратного уравнения или установить, что
их нет;
3) изобразить эскиз графика квадратичной функ
ции, используя точки пересечения (или касания)
с осью Ох, если они есть;
4) по графику определить промежутки, на кото
рых функция принимает нужные значения.
Задача 3 Решить неравенство - х 2+ х - 1 < 0 .
659 Построить график функции у = х 2+ х - 6. Определить по гра
фику значения х, при которых функция принимает положи
тельные значения; отрицательные значения.
Решить квадратное неравенство (660— 664).
660 1) х2- Зх + 2 < 0; 2) х2- Зх - 4 > 0;
3) - х 2+ Зх - 2 < 0; 4) - х 2 + З х + 4 > 0 .
661 1) 2 х2+ 7х - 4 < 0; 2) Зх2- 5х - 2 > 0;
3) -2 х 2+ х + 15* 0; 4) -4 х 2+ Зх + 1 < 0.
662 1) х2- 6х + 9 > 0; 2) х2- 14х + 49 < 0;
3) 4х2- 4х + 1 > 0; 4) 4х2- 20х + 25< 0;
5) -9 х 2- 6х - 1< 0; 6) -2 х 2+ 6 х - 4,5 < 0.
179

663 1) х 2- 4х + 6 > 0;
3) х 2+ х + 2 >0 ;
5) 2 х2- З х + 7 < 0 ;
664 1) 5 - х2 > 0;
3) -2 ,1 х2+ 10,5х < 0;
5) -6 х 2- х + 12 > 0;
7) - | х 2 + 4 , 5 х - 4 > 0 ;
665 (Устно.) Используя график функции
у = а х 2+ Ь х + с (рис. 52), указать, при
каких значениях х эта функция прини
мает положительные значения; отрица
тельные значения; значение, равное
нулю.
2) х2+ 6х + 10 <0 ;
4) х2+ Зх + 5 < 0;
6) 4х2- 8х + 9 > 0.
2) - х 2+ 7 < 0;
4) -3 ,6 х 2- 7,2х < 0;
6) -З х 2- 6х + 45< 0;
8) - х 2- Зх - 2 > 0.
д)
У1
/ Л .
!
0 2 х

1

в)
г)
Рис. 52
666 (Устно.) Решить неравенство:
1) х2+ 10 > 0; 2) х 2+ 9 < 0;
3) (х - I)2+ 1 > 0; 4) (х + 5)2+ 3 < 0;
5) - ( х + I )2- 2 < 0; 6) —(х —2 )2- 4 > 0;
7) 0,5х2+ 8 <0; 8) х - | | + 2 1 > 0 .
180

667 1) 4х2- 9 > 0; 2) 9 х 2- 25> 0;
3) х 2- Зх + 2 >0 ; 4) х2- Зх - 4 < 0;
5) 2 х2- 4х + 9 < 0; 6) Зх2+ 2х + 4 > 0;
7) | х 2- 4 х > - 8 ; 8) 1 х 2+ 2 х « - 3 .
3
668 1) 2 х2- 8 х « - 8 ; 2) х2+ 12х > - 36;
3) 9 х2+ 25< ЗОх; 4) 16х2+ 1 > 8х;
5) 2 х 2- х > 0 ; 6) Зх2+ х < 0.
669 1) х ( х + 1 ) < 2 { 1 - 2 х - X 2).; 2) х2+
3) 6 х 2+ 1 < 5 х - - х 2;
4
4) 2 x 0
5) - Х - - Х 2 < х + 1;
3 6
6 ) | х 2
3
670 Найти все значения х, при которых функция принимает зна
чения, не большие нуля:
1) у = - х 2+ 6 х - 9 ; 2) у = х 2- 2 х + 1;
3) у = - ± х 2- З х - 4 ± ; 4) у = - 1 х2- 4х - 12.
671 Показать, что при <?> 1 решениями неравенства х2- 2 х +
+ д > 0 являются все действительные значения х.
672 Найти все значения г, при которых неравенство
х2- ( 2 + г )х + 4 > 0
выполняется при всех действительных значениях х.
673 Найти все значения г, для которых при всех действительных
значениях х выполняется неравенство
(г 2- 1 ) х 2+ 2 (г - 1 )х + 2 > 0 .
Метод
интервалов
При решении неравенств часто применяется метод
интервалов. Поясним этот метод на примерах.
Задача 1 Выяснить, при каких значениях х квадратный
трехчлен х 2- 4 х + 3 принимает положительные
значения, а при каких — отрицательные.
181

► Найдем корни уравнения х 2- 4 х + 3 = 0:
= 1, х 2= 3.
Поэтому х 2- 4 х + 3 = ( гс- 1)(х - 3). Точки х = 1 и
х = 3 (рис. 53) разбивают числовую ось на три про
межутка:
Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, ви
дим, что на интервале л:>3 трехчлен х 2- 4х + 3 =
= ( х - 1)(зс- 3) принимает положительные значе
ния, так как в этом случае оба множителя х - 1 и
х - 3 положительны.
На следующем интервале 1 < х < 3 этот трехчлен
принимает отрицательные значения и, таким обра
зом, при переходе через точку х = 3 меняет знак.
Это происходит потому, что в произведении
( х - 1)( л: - 3) при переходе через точку х = 3 первый
множитель х - 1 не меняет знак, а второй х - 3 ме
няет знак.
При переходе через точку х = 1 трехчлен снова ме
няет знак, так как в произведении ( х - 1 ) ( х - 3 )
первый множитель х - 1 меняет знак, а второй х - 3
не меняет.
Итак, при движении по числовой оси справа нале
во от одного интервала к соседнему знаки произве
дения ( х - 1)(х - 3) чередуются.
Таким образом, задачу о знаке квадратного трех
члена х г - 4 х + 3 можно решить следующим спо
собом.
Отмечаем на числовой оси корни уравнения
х 2- 4х + 3 = 0 — точки х 1= 1, х2= 3. Они разбивают
числовую ось (рис. 53) на три интервала. Заметив,
что при х > 3 значения трехчлена х 2- 4х + 3 поло
жительны, расставляем его знаки на остальных
интервалах в порядке чередования (рис. 54).
Из рисунка 54 видно, что х 2- 4х + 3 > 0 при х < 1 и
х > 3, а х 2- 4х + 3 < 0 при 1 < х < 3. <1
х < 1 , 1 < х < 3 и х > 3 .
" V ~ V ■"/— г
+
1
+
з X
+
1
4-
3 х
182

Рассмотренный способ называют методом интер
валов. Этот метод используется при решении квад
ратных и некоторых других неравенств.
Например, решая задачу 1, мы практически реши
ли методом интервалов неравенства
х 2- 4 х + 3 > 0 и х 2- 4 х + 3 < 0 .
Задача 2 Решить неравенство х 3- х < 0.
► Разложим многочлен х3- х н а множители:
х3- х = х (х 2- 1) = х (х - 1)(х + 1).
Следовательно, неравенство можно записать так:
(х + 1) л:( д: - 1) < 0.
Отметим на числовой оси точки -1 , 0 и 1. Эти точ
ки разбивают числовую ось на четыре интервала
(рис. 55):
х < —1, - 1 < х < 0 , 0 < х < 1 и х > 1 .
При х > 1 все множители произведения
(х + 1 )х (х - 1 )
положительны, и поэтому (х + 1 )х (х - 1) > 0 на
интервале х > 1 . Учитывая смену знака произве
дения при переходе к соседнему интервалу, най
дем для каждого интервала знак произведения
(х + 1 )х (х - 1) (рис. 56).
Таким образом, решениями неравенства являются
все значения х из интервалов х < - 1 и 0 < х < 1 .
Ответ х < - 1 , 0 < х < 1 . <3
Задача 3 Решить неравенство (х 2- 9 )(х + 3)(х - 2) > 0.
► Данное неравенство можно записать в виде
(х + З)2(х - 2)(х - 3) > 0. (1)
Так как (х + 3)2> 0 при всех х * - 3 , то при х * - 3
множества решений неравенства (1) и неравенства
(х - 2)(х - 3) > 0 (2)
совпадают.
Значение х = -3 не является решением неравен
ства (1), так как при х = -3 левая часть неравенства
равна 0.
183

Рис. 57
-з 2 З
Рис. 58
- 3 - 1 1 4
Ответ
Задача 4
(3)
Ответ
Решая неравенство (2) методом интервалов
(рис. 57), получаем х < 2 , х > 3 .
Учитывая, что х = -3 не является решением исход
ного неравенства, окончательно получаем:
х < - 3 , - 3 < х < 2 , х > 3 . <
х 2 + 2 х - 3
Решить неравенство-----------------> 0.
х 2 - З х - 4
Разложив числитель и знаменатель дроби на мно
жители, получим:
(х + 3 ) ( х - 1 К 0
( х + 1)(дг- 4 ) "
Отметим на числовой оси точки -3 ; -1 ; 1; 4, в кото
рых числитель или знаменатель дроби обращается
в нуль. Эти точки разбивают числовую прямую на
пять интервалов (рис. 58). При х > 4 все множители
числителя и знаменателя дроби положительны,
и поэтому дробь положительна. При переходе от
одного интервала к следующему дробь меняет
знак, поэтому можно расставить знаки дроби так,
как это показано на рисунке 58. Значения х = -3 и
х = 1 удовлетворяют неравенству (3), а при х = -1 и
х = 4 дробь не имеет смысла. Таким образом, исход
ное неравенство имеет следующие решения:
х < - 3 , - 1 < х < 1 , х > 4 . <]
674 (Устно.) Показать, что значение х = 5 является решением не
равенства:
1) (х - 1)(х - 2) > 0; 2) (х + 2)(х + 5 )> 0 ;
3) (х - 7)(х - 10) > 0; 4) (х + 1)(х - 4) > 0.
Решить методом интервалов неравенство (675— 682).
675 1) (х + 2)(х - 7) > 0; 2) (х + 5)(х - 8) < 0;
3) (х - 2) х + 1
2
<0 ; 4) (х + 5)| х - З І > 0.
676
677
1) х2+ 5х > 0; 2)
4) х 2+ 3 х < 0 ; 5)
1) х3- 1 6 х< 0;
3) (х 2- 1)(х + 3) < 0;
х 2- 9х >0;
х 2+ х - 12 < 0 ;
2) 4х3- х > 0;
4) (х 2- 4)(х - 5) > 0.
3) 2 х2- х < 0;
6) х 2- 2 х - 3> 0.
184

678
679
680
681
682
1) (х - 5 )2(х 2- 25) >0;
3) (х - 3)(х2- 9) <0;
5) (х - 8)(х - 1)(х2- 1) > 0;
2) (х + 7)2(х 2- 49) <0;
4) (х - 4)(х2- 16) >0;
6) (х - 5)(х + 2)(х2- 4) <0.
1) ——- >0; 2) — - < 0 ; 3) - > 0 ; 4) 3 , 5 + _х < 0 ;
х + 5 х + 3
5) (2х+ 1 )(х+ 2 )<0; 6)
1)
3)
х - 3
х 2 - 2х + 3
( х - 2 ) 2
X2- X
-т — > 0;
< 0 ;
3 + х
( х - 3)(2х + 4)
х + 1
(х + 4)2
2 х2 - 3 х + 1
9х 2 - 4
х - 7
2)
4)
> 0 .
> 0 ;
<0;
х‘ -4 х -г х ^
5) (х 2- 5х +6 )(х2- 1)>0; 6) (х +2 )(х2+ х - 1 2 )> 0 .
1) (х 2- 7 х + 1 2 )(х 2- х + 2 )< 0 ;
2) (х 2- Зх - 4)(х2- 2х - 15) < 0;
3)
5)
1)
3)
х - х - 1 2
х - 1
х2 + Зх - 10
х 2 + х - 2
х
>0;
;о;
+ 1>
х 2 - 7х - 8
х2 - 64
< 0;
4)
6)
2)
4)
6)
х - 4х - 12
х - 2
х 2 —3х —4
< 0;
х2+ х - 6
> 0 .
+ 2 - х < 5 - х
х2 + Зх х + 3
х 2+ 7 х + 10
х - 4
х2 - 16
2х + 5х - 12
> 0 ;
> 0.
Исследование
Напомним, что квадратичная функция — это
функция, заданная формулой у = а х 2+ Ьх + с, где
а, Ь, с — заданные действительные числа, причем
а * 0, х — действительная переменная. Эту функ
цию можно также задать следующей формулой:
ч2
Ь
у = а х + ■
2а
Ьг - 4ас
4а
(1)
185

Графиком этой функции является парабола с вер
шиной в точке ( х 0 у0), где
Выражение Ь2- 4ас называют дискриминантом и
обозначают буквой Б, т. е.
Поэтому формулы (1) и (2) можно записать так:
Из формулы (4) видно, что знак квадратичной
функции зависит от знаков чисел а и И.
Т е о р е м а 1. Если /) < 0, то при всех действитель
ных значениях х знак квадратичной функции
у = ах2+ Ьх + с совпадает со знаком числа а.
• Воспользуемся следующей формулой:
Выражение в квадратных скобках является поло
жительным при всех действительных значения х,
£ )< 0 знак квадратичной функции у = а х 2+ Ьх + с
совпадает со знаком числа а при всех значени
ях х. О
В этом случае при а > 0 , £><0 вершина параболы
лежит выше оси Ох, так как ее ордината
У о ~ - — > 0 (рис. 59), ветви параболы направлены
4а
вверх и вся парабола также лежит выше оси Ох.
На рисунках 59— 64 координаты вершины парабо
лы х 0 = т, у0 = I.
В случае а < 0 , Б < 0 вершина параболы лежит
ниже оси Ох, ветви параболы направлены вниз и
вся парабола лежит ниже оси Ох (рис. 60). Спра
ведливы и обратные утверждения: вся парабола (6)
лежит выше оси О х только при а > 0, И < 0 и ниже
оси Ох только при а < 0, В < 0.
(2)
£> = Ъ2 - 4ас. (3)
(5)
(4)
2
так как > 0 , -1 )> 0 , а2> 0. Поэтому при
186

У
Задача 1 При каких значениях р вся парабола у = р х 2+
+ рх + 1 лежит выше оси Ох?
► Данная парабола лежит выше оси Ох, если р > 0 и
В = р 2- 4р < 0. Дискриминант Б = р ( р - 4) меньше
нуля только при р < 4, так как р > 0.
Ответ 0 < р < 4. О
Т е о р е м а 2. Если Б = 0, то при всех действитель
ных значениях х, кроме х = ~ ^ ’ знак квадратич
ной функции у = ах2+ Ьх + с совпадает со знаком
числа а; при х = - — значение квадратичной функ-
2а
ции равно нулю.
• Если Б = 0, то формула (6) принимает вид
У = а х + ± (7)
Рис. 62
Если х ф , то и >0 при а > 0 и у < 0 при а < 0 ;
2а
если х = - — , то у = 0. О
2а
В этом случае при а > 0 , 1) = 0 вершина
параболы лежит на оси Ох, ветви параболы
направлены вверх и вся парабола, кроме
ее вершины, лежит выше оси Ох (рис. 61).
В случае а < 0 , £>=0 вершина параболы
также лежит на оси Ох, ветви параболы
направлены вниз и вся парабола, кроме
ее вершины, лежит ниже оси Ох (рис. 62).
Справедливы и обратные утверждения:
вся парабола, кроме ее вершины, лежит
выше оси Ох только при а > 0 , £>=0 и
ниже оси Ох только при а < 0 , 0 = 0.
187

Задача 2 Показать, что при р = ±4 парабола у = - 2 х 2+ р х - 2
лежит ниже оси Ох, кроме ее вершины, лежащей
на оси Ох.
► Так как - 2 < 0 , то по теореме 2 дискриминант
I) = р 2- 16 должен быть равен нулю. В самом деле,
при р = ±4 дискриминант Б = (±4 )2- 16 = 0. <3
Т е о р е м а 3. Если £>>0, то знак квадратичной
функции у = а х 2+ Ь х + с совпадает со знаком чис
ла а для всех х, лежащих вне отрезка [л^; х 2],
т. е. при х < х 1 и при х > х 2, где х 1< х 2 — нули
функции; знак квадратичной функции противопо
ложен знаку числа а при х х< х < х г .
Так как £ )> 0 , то квадратное уравнение ах2+
+ Ьх + с = 0 имеет два действительных корня х 1 и х 2,
где х х< х2, поэтому
у = а х 2+ Ьх + с = а ( х - х г) ( х - х 2).
Если х < х х или х > х2, то ( х - х у ) ( х - х 2) > 0 и знак
функции совпадает со знаком числа а; если
х х< х < х 2, то (х - *!)(:*: - х 2) < 0 и знак функции
противоположен знаку числа а. О
В этом случае если а > 0, £> > 0, то вершина парабо
лы лежит ниже оси Ох, так как ее ордината
у0= ~ — < 0 , ветви параболы направлены вверх, па-
а
рабола лежит ниже оси Ох при х г < х < х 2, пересе
кает ось Ох в точках х г и х 2 и лежит выше оси Ох
при дг<1 , и при х > х2 (рис. 63).
Если а < 0, £>>0, то вершина параболы лежит
выше оси Ох (у0 < 0), ее ветви направлены вниз, па
рабола лежит выше оси Ох при х х< х < х2, пересе-
1
V и
А 0 А 0 [Аг х
А(т; 1)
Рис. 63
188

кает ось Ох в точках x v х 2 и лежит ниже оси Ох
при х < Xj и при х > х 2 (рис. 64).
Задача 3 При каких значениях р функция у = 4 х г + рх + 1
принимает как положительные, так и отрицатель
ные значения?
► По теореме 3 условия задачи означают, что
D = р 2- 16 > 0, откуда -4 < р < 4. <!
Задача 4 Найти условия, при которых квадратное уравнение
ах2+ Ьх + с = 0 имеет два корня, большие единицы.
► Из формулы корней квадратного уравнения
- Ь ± y]b2- 4ас _ - ь ± у [ Ъ
* 1' 2“ 2а 2а
следует, что корни действительны, если D > 0.
Рассмотрим числа Xj - 1 и х2- 1. Они положитель
ны только тогда, когда их сумма и произведение
положительны, т. е.
( х, - 1) + ( х 2- 1) > 0, (х 1- 1 )(х 2- 1 )> 0 ,
откуда х 1+ х 2> 2 , х 1х 2- ( х 1+ х 2) + 1 >0 . Используя
теорему Виета, получаем - —> 2, —+ —+ 1 >0 .
а а а
Но если х х- 1 > 0, х2- 1 > 0, то х г > 1, х 2> 1.
Ответ Ь'г - 4 а с > 0 , —> - 2 , — + —+ 1 >0 . <1
а а а
Задача 5 Найти условия, при которых квадратный трехчлен
х 2- (а + Ь) х + (а - Ь)2 является полным квадратом.
► По формуле (7) из доказательства теоремы 2 трех
член А х 2+ Вх + С является полным квадратом, если
дискриминант D = B 2- 4 A C = 0 и А > 0 . В данном
случае А = 1> 0, D = (а + Ь)2- 4 ( а - Ь ) 2= 0, откуда
а 2+ 2ab + Ь2- 4а2+ 8ab - 4Ь2= 0,
За2- ЮаЬ + ЗЬ2= 0, (8)
За2- 9ab - a b + ЗЬ2= 0,
За (а - ЗЬ) - Ь(а - ЗЬ) = 0, (а - 36)(3а - Ь) = 0.
Это означает, что или а = ЗЬ, или Ъ = За. <1
Найденные условия можно было также получить
из равенства (8), рассматривая его как квадратное
уравнение относительно а:
10Ь± JlOOb2- 36Ь2 Ю6 + 86
6 ~ 6
а |= ЗЬ, а2 = - Ь .
О
189

683 Доказать, что квадратичная функция у ( х ) = ах2+ Ьх + с, где
а * 0, имеет действительные нули х х и х 2 такие, что х г < М ,
хг < М , где М — заданное число, только тогда, когда выпол
няются условия
Ь2- 4ас > О, а у ( М ) > 0.
684 Доказать, что квадратичная функция у ( х ) = а х 2+ Ь х + с, где
а * 0, имеет действительные нули х 1 и х 2 такие, что
К < х х< М , К < х2< М , где К и М — заданные числа, только
тогда, когда выполняются условия
Ь2 - 4 а с > 0 , К < - - £ - < М , а у ( М ) > 0, а у ( К ) > 0 .
СІ
685 Найти все действительные значения Ь, при которых корни х 1
и х 2 уравнения х 2+ 2Ъх + 4Ь = 0 действительные и такие, что
> -1 , х 2> -1.
686 Найти все действительные значения Ь, при которых корни
уравнения х 2- Ь х + 2 = 0 действительные и принадлежат ин
тервалу (0; 3).
: Упраж нения
‘ к главе V I
1) (х - 5 , 7 )(х - 7 ,2 )> 0 ; 2) (х - 3)(х - 4) > 0;
3) (х - 2,5)(3 - х) < 0; 4)
к
і
оэ
г—V
1
Л
О
5) х 2> х; 6) л:2> 36; 7) 4 > х2; 8)
1) -9 л:2+ 1 < 0; 2) -4 х 2+ 1 > 0;
3) -5 х 2- х > 0; 4) -З х 2+ х < 0;
5) - 2 х 2+ 4х + 30 < 0; 6) - 2 х 2+ 9 х - 4 > 0 ;
7) 4х2+ Зх - 1< 0; 8) 2х2+ Зх - 2 <0.
1) 6 х2+ х - 1 > 0; 2) 5х2- 9х + 4 > 0;
3) х2- 2 х + 1 > 0 ; 4) х 2+ 10х + 25 > 0;
5) - х г + 6х - 9 < 0; 6) -4 х 2- 12х - 9 < 0.
190

690 1) х2- Зх + 8 > 0;
3) 2 х2- Зх + 5> 0;
5) - х 2+ 2х + 4 < 0;
2) х2- 5х + 10 < 0;
4) Зх2- 4х + 5 < 0;
6) -4х 2+ 7х - 5 > 0.
691 1) (х - 2 )(х 2- 9) > 0; 2) (х 2- 1)(х + 4) < 0;
3) < о ; 4) --------------------- > 0 ;
х + 1 (4 - х ) ( 2 х + 1)
4 х 2 - 4 х - 3 ^ 2х г - З х - 2 п
5) > 0 ; 6) <0.
х + 3 х —1
1) х 2- Зх - 4 < 0; 2) Зх2- 4х + 8 > 0;
3) - х 2+ Зх - 5 > 0; 4) х 2+ 20х + 100 < 0.
2 Решить методом интервалов неравенство
х ( х - 1)(х + 2 )> 0 .
692 1) х 2> 2 - х; 2) х 2- 5 < 4 х ;
3) х + 8 < Зх2- 9; 4) х 2 «1 0 - Зх;
5) 10х - 12 < 2 х2; 6) 3 - 7 х < 6 х 2.
693 1) х2+ 4 < х; 2) х 2+ 3 > 2 х ; 3) - х 2+ 3 х < 4 ;
4) - х 2- 5х > 8; 5) Зх2- 5 > 2 х ; 6) 2 х 2+ 1 <3 х;
7) — + 2 < — ; 8) — - — > .
10 10 3 3 4
694 1) | х - | х 2 > 1 - х ; 2) | х ( х + 1) < ( х - I ) 2;
3 9 3
3) х(1 - х) > 1 ,5 - х; 4) х - х ( х - 1);
5) х| £ - 1
3 9
х2+ х + 1; 6) 2х - 2,5 > х (х - 1).
у[з 2
695 1) - А Р > — V ; 2) о г ' г •
х - л / 2 х + л / 2 3 - х у! з - х
3) — - — + —:— > 1 - 3* ; 4) - —<■ 3
2 х + 2 х — 1 2 - 2 х х —1 2
л « « -.ч З х 2 - 5 х - 8 4 х 2 + х - 3
696 1) — > 0 ; 2) < 0;
2 х - 5 х - 3 5 х + 9 х - 2
3) 2 + 7 х -1 £ 1 < 0 ; 4) 2 + 9 х - ^ 2- > 0 .
З х 2 + 2 х - 1 З х 2 - 2 х - 1
191

697
698
699
700
Катер должен не более чем за 4 ч пройти по течению реки
22,5 км и вернуться обратно. С какой скоростью относитель
но воды должен идти катер, если скорость течения реки рав
на 3 км/ч?
В одной системе координат построить графики функций и
выяснить, при каких х значения одной функции больше
(меньше) значений другой, результат проверить, решив соот
ветствующее неравенство:
1) у = 2 х 2, у = 2 - З х ;
2) у = х 2- 2 , у = 1 - 2 х ;
3) у = х 2- 5 х + 4, у = 7 - З х ;
4) у = Зх2- 2 х + 5, у = 5х + 3;
5) у = х г - 2 х , у = - х 2+ х + 5;
6) у = 2 х 2- Зх + 5, у = х 2+ 4х - 5.
1} Х < - 5 ^ - 3 6 > 0 ; 2) ХЛ + 4 х 2~ 5 ^ 0;
хг + х - 2 х2+5х + 6
3) ' ‘ - * ' - * <0 ; 4) * ‘ - 2* г ~ 8 > 0 .
х* + х2- 2 х4- 2х2- 3
Найти четыре последовательных целых числа такие, что куб
второго из них больше произведения трех остальных.

Упражнения для повторения
курса алгебры
V III класса
8 .72,
162 69
1) — •
32
2) 38 . 91 . 65 .
147 152 ' 264 ’
3) |- + —
1 8 12 58 58
2 М _ 3^
56 56
5) 34,17:1,7 + |2 ^ + 0,15
1 ~ 23г
6) 5 ,8 6 -3
6 23
15 15, ,2
+ — : 4 - ;
28
1
7)
702
1 2 - - 3 - - 4 — 4-
5 4 11 8
11- - 2 -
3 7
1) ( * - 9 ) ( 2 - х ) = 0;
3) 2 х 2- х = 0;
5) 1 - 4 х 2= 0;
8)
1 1 5 . 3 1
7 4 8 5
10— : 1-^-
13 26
7)
5х
= 0 ;
2) ( х + 4)(3 - д:) = 0;
4) Зх2+ 5л; = 0;
6) 9 л;2—4 = 0;
8) Зх* + х =о.
703
704
Доказать, что если х > - и у > 4, то:
1) 4л: + 3у >14; 2) 2 л ;у -3 > 1 ;
3) х 2у > 1; 4) х 3+ у2> 16.
(Устно.) Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее
неравенству:
1) п < - 7 ; 2) п < -3,6; 3 )п < 4 ,8 ; 4) п < -5 ,6 .
7Алимов, 8 кл. 193

705
706
707
708
709
710
711
712
(Устно.) Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее
неравенству:
1) п > -12; 2) п > -5,2; 3) л >8,1; 4) п > -8,1.
1) * + 4 > 3 - 2 х ; 2) 5(у + 2 ) > 8 - ( 2 - Зу);
3) 2(0,4 + х) - 2,8 > 2,3 + Зх; 4) 7 ( х + 5) + 10 > 17;
5) —— - + —> 7;
2 4
6) —- - — - < 5.
6 3
Какие целые значения может принимать х, если:
1) 0 « я «7 ,2 ; 2) - 5 | « х « 0 ;
О
3) 4 < - і * < 5 ;
О
4) 11 < 3дс< 13?
1}
0,3х - 0,5у = 1, 2) | 2 (х + і / )= (х - У )+ 5,
: 0,5х + 0,2 у = 5,8; 3(х + у) = ( х - У )+ 8;
3)
И + 1 ’ 4 ) .
= 5)
2 4
м|Н
+
со|<с
II
05
* + ^ = 2; х - у = 1; — ——= 1;
6 8 3 5 3 3
6)
1 + 1 = 5’ 7)
4х - 9 у = -24, 8) 5х + 4у = 13,
О '
х _ У _ і.
2 3
[2 х -{/ = 2; Зх + 5у= 13.
Решить систему неравенств:
1) | 5 * - 2 » 6 х - 1 , 2)
[4 - Зх > 2х - 6;
3) | 1 2 х - 3 (* + 2 )» 7 ; е - 5 , 4)
{ 13х + 6 < ( х - 5) ■2 + 3;
|7 (х + 1) - 2л
|з(5-2л:)-1
-2 д :> 9 - 4 х ,
> 4 - 5 х ;
4х - 5 < Зле - 8
7
6 - х
- 1<
4
14х - 3
5 2
Найти целые числа, являющиеся решениями системы нера
венств:
2х - 5
1) - 2 < 3 - х
2)
5х + 1 4 - х .
5 4
1) |х-2 | = 3,4; 2) |3-*| = 5,1;
4) |1- 2 х = 7; 5) |Зх + 2| = 5;
1) х - 2 <5,4; 2) | х -2 | > 5 ,4 ;
4) |3х + 2 1> 5; 5) |2х + 3|<5;
Ю х - 1 2 - Ь х „ 5 - З х
^ 1
2х + 1 > 3 + 7х _ 5 + 4х
3) 2х + 11=5;
6) |7х-3| = 3.
3) |2- х|<5,4;
6) |3х - 2,81> 3.
194

713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
Найти погрешность приближения:
1) числа 0,2781 числом 0,278;
2) числа -2,154 числом -2,15;
7 1
3) чи сла числом — ;
18 3
з
4) числа — числом 0,272.
Доказать, что число 3,5 есть приближенное значение числа
3,5478 с точностью до 0,05.
7
Найти относительную погрешность приближения числа -
числом 0,777.
Представить бесконечную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной:
1) 0,(7); 2) 1,(3); 3) 2,(31); 4) 0,(52); 5) 1,1(3); 6) 2,3(7).
Сравнить числа:
1) л/23 и 5; 2) 3,1 и ТТО;
3) V0,0361 и 0,19; 4) д/'ЛЗ и 2,7.
При каких значениях а верно равенство:
1) Т а + 1 = 2 ; 2) Т 3 -2 а =5;
3) 2 2 = 1; 4) | л / 7 а -4 = 0 ?
Вычислить:
1) (л /2 -2 )(л/2 +2 ); 2) (Зл/5 + 1)(1 - 3>/5).
Разложить на множители по образцу
а 2- 7 = (а - л / 7 )(а + л/7):
1) а 2- 13; 2) 1 5 -6 2; 3) х2-8 0 ; 4) — - х 2.
41
Вычислить:
1 )л / 1 0 - Л б 0 ; 2) Д - Д ; 3) л/з-ТТТ-л/зз;
4) л/7 - л/2Т - л/3; 5) (Зл/12+2>/3)2; 6) (2л/2-Зл/32)2.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если высота
его 712^5 см, ширина >/5 см, длина -/То см.
Площадь одного квадрата равна 7,68 м2, площадь другого
300 дм2. Во сколько раз сторона первого квадрата больше
стороны второго квадрата?
Вынести множитель из-под знака корня:
1) у]16хуг , где х > 0, у < 0; 2) ^45х3у5 , где х < 0, у < 0.
Упростить:
1) л/ 3 -5 л/108+|л/12; 2) - |л/72 + 4^0Д)8 - 2^2.
195

726
727
728
729
730
731
732
733
734
л/Т2 + >/153 + (^^20 - -у/45 + Зл/Т25): 2-/5;
/3 л/17
2) /5 + 2^6 --у/б-гУб +
л/Тэ / л
1) 2л/18+Зл/8+3л/32 - л/50;
2) Зх/20 - 745 + 3 ^ 1 8 + > / 7 2 -7 8 0 ;
3) 5л/а - 3-/4а + 2-/9а, где а > 0;
4) >/х3 + - 7 3 6 х3 - — л/Эх, где х > 0.
2 3
(х + у)2
Вычислить:
1)
3) I
1 Ь а
у + х
аЬ
2хг
2)
в + 1
4) (в+Ь)| 1 - 1
а - Ь
1) 3 (х + 1)(х + 2 ) - ( З х - 4 ) ( х + 2) = 36;
2) 2(3х - 1)(2х + 5) - 6(2 х - 1)(х + 2) = 48;
(а 2-1 );
- Ъ 2
3)
5у - 4 161/+ 1
4)
19 + Зх _ 1 - 9 х
8 5
=0;
5) х + ( х - б ) _ Ц ;
1) х 2= 7;
4) х 2+ 5х = 0;
2) х 2= 11;
5) х2= 8х;
1) 1,5х - 4х2= 6,3х - х2;
3) З х (х + 2) = 2 х (х - 2 );
у2 - 5 15- у 2 у2 - 4
„ 2 х - ( 3 - х ) _ д 3
2 8 ’
3) х2+ 6х = 0;
6) х2= 12 х.
2) 11</-15 = (|/ + 5 )(г,-3 );
4) ^ (З х 2+ 1) -
4
40.г + 3 х - 3
5) 6)
2х* - 1
6
1+ 1,5х2
12
Прямоугольник, одна сторона которого на 2 см больше дру
гой, имеет площадь, равную площади квадрата со стороной,
на 4 см меньшей периметра прямоугольника. Найти сторо
ны прямоугольника.
Прямоугольник, одна сторона которого на 8 см меньше сто
роны квадрата, а другая вдвое больше стороны квадрата,
имеет площадь, равную площади этого квадрата. Найти сто
роны прямоугольника.
1) х2+ 6х + 5 = 0; 2) х2+ 3,5х- 2 = 0 ;
3) х2- 1 , 8 х - 3,6 = 0; 4) 2 х2+ З х - 2 = 0;
5) 4х2- х - 1 4 = 0; 6) х2- х + 3,5 = 0.
196

735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
1) 2 х2+ х - 3 = 0; 2) 20 + 8л:- х 2= 0;
3) 2л:2-9 л : = 35; 4) (х + 5)(х - 3) = 2л: - 7;
5) 2 ( х - 2 ) ( х + 2) = (х + 1,5)2+ 4 | х - 5 ^ Д
6) ( х - 3 ) ( х - 2 ) = 7 х -1 .
' » И + И т И ’ 2 > р - х + 1 - 0 ;
4) ^ . ю .
5 3 6 8 12
1) х 2+ Зх + 70 = 0; 2) л:2-1 2 л :+ 11 = 0;
3) л:2+ 20л:+ 100 = 0; 4) л:2+ 18л: - 208 = 0;
5) х (х - 15) = 3(108 - 5л:);
6) ( х - З)2+ ( х + 4)2- ( л: —5)2= 17л: + 24;
5 Л 9 _ 4 ^ - 9 8)
6 5 7
Найти коэффициенты р и д , если известно, что числа 10 и
-15 являются корнями уравнения х2+ рх + ц =0.
Записать квадратное уравнение, корни которого отличались
бы от корней данного уравнения только знаками:
1) х 2- 8х + 15 = 0; 2) х 2+ Ьх + с = 0.
1) 4л:4-1 7 л:2+ 4 = 0; 2) 4х4- 37х2+ 9 = 0;
3) л:4-7 л :2+ 1 2 =0 ; 4) л:4- 11л:2+ 18 = 0.
1) х4+ л:2- 2 = 0 ; 2) х4- х 2-1 2 = 0;
3) х 4+ Зх2+ 2 = 0 ; 4) х4+ 5х2+ 6 = 0 .
1) —3- = 4 + - ? ~ ; 2) - 1 - = 3+ 3
х + 2 х - 1 х + 1 З х -1
3) 1 + ^ = _б£±2_; 4) 2 + ■ * 1 2 ~ х
Х + 1 ( х + I ) 2 ’ х + 2 ( Х + 2 ) 2 ’
5) - ^ - + —А - = 6) 2Х 1 - 6
х + 2 х - 2 х2— 4 х - 3 х + 3 х2- 9
1) - ^ + — -? ---= —-— ; 2) —^ - + — ----- - ------- = ^ -
х - 3 х - 5 х + 6 2 - х х - 3 х 2 - 7 х + 1 2 х - 4
3) 3 + - ^ - = — ; 4) 5+ 2 - 17
х + 2 х - 2 х + 3
Разложить на множители квадратный трехчлен:
1) х 2- 12х + 35; 2) х 2- 5 х - 3 6 ;
3) 2х2+ х - 3; 4) 2 х2- Зх - 5;
5 ) - 5 х 2 + 1 1 х -2 ; 6) -4 х 2-1 0 х + 6;
7) - -| х 2+ 8х + 27; 8) ± х 2+ х -1 0 .
о 5
197

745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
1) 2) а + 2 ; 3) ° 22+ 7 а + 1 2 ;
а + 2 а - 7 а - 1 8 а + 6 а + 8
„ч 2а2 - 5 а - 3 _ч - 2 а 2 + З а + 2 - 5 а 2+ 1 3 а + 6
4) ------------------; 5) ;6) .
4 а 2 - 6 а - 4 2а2 + 5 а + 2 5а2 - 8 а - 4
1) а * - Ь 4+ Ь2- а 2; 2) т 2п - п + т п 2- т
3) т 5+ т 3- т 2- т 4; 4) х 4- х 3- х + х 2;
5)* 16х2+ 8ху - Зу2; 6)* 4 + а 4- 5 а 2;
7)* Ьл- 13Ь2+ 36; 8)* Зх2- б х т - 9 т 2.
Для приготовления бронзы берется 17 частей меди, 2 части
цинка и одна часть олова. Сколько нужно взять каждого ме
талла отдельно, чтобы получить 400 кг бронзы?
Инспектор рыбнадзора, исследуя свой участок, проплыл на
катере по течению реки за 4 ч расстояние, в 3 раза большее,
чем за 2 ч против течения реки. Какое расстояние преодолел
инспектор, если скорость течения реки 3 км/ч?
Бригада формовщиков должна была в определенный срок
изготовить 48 пресс-форм для отливки деталей. Предложен
ная бригадой новая технология формовки позволила изго
товлять на 4 пресс-формы больше в месяц, поэтому все зада
ние они выполнили за месяц до срока. Сколько пресс-форм
выпускала бригада за месяц?
С одного участка собрали 450 т картофеля, а с другого, пло
щадь которого на 5 га меньше, 400 т. Определить урожай
ность картофеля с каждого участка, если на втором участке
она была на 2 т выше, чем на первом.
Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше зна
менателя. Если к числителю дроби прибавить 5, а к знамена
телю 12, то получится дробь, втрое меньшая исходной. Най
ти эту дробь.
Двумя комбайнами можно убрать урожай с некоторого поля
за 12 дней. Если бы уборку производили на каждом комбай
не отдельно, то первому потребовалось бы на 10 дней боль
ше, чем второму. За сколько дней на каждом из комбайнов
отдельно можно выполнить эту работу?
Две бригады монтажников затратили на сборку агрегата
6 ч 40 мин. Сколько времени потребуется на сборку такого
же агрегата каждой бригаде отдельно, если одной из них по
требуется на эту работу на 3 ч больше, чем другой?
Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению
реки за то же время, которое ему понадобилось для прохож
дения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера,
если известно, что скорость течения реки 3 км/ч?
198

755
756
757
758
759
760
Построить графики функций и найти координаты точек их
пересечения:
1) у = 2 х и у = 3; 2) г/= х - 1 и у = 0;
3) у = 3х и у = - 2 х + 1 ; 4) у = 2 х - 1 и у = - х + 3.
Дана функция у = 2 , 5 х - 5 . Найти:
1) значение х, при котором значение функции равно нулю;
2) координаты точек пересечения графика функции с осями
координат.
Дана функция у = -З х + 1.
1) Вычислить: у ( 0), г/(1), у ( - 1), у ( - 4).
2) Найти значения х, при которых у ( х ) = 1, у ( х ) = -1,
У(х) = -3.
3) Найти значения х, при которых у ( х ) > 0, г/(х) < 0, у ( х ) = 0.
Найти координаты вершины параболы и точки пересечения
параболы с осями координат:
1) у = ( х - 4)2+ 4; 2) у = ( х + 4)2- 4;
3) у = х 2+ х; 4) у = х 2- х ;
5) г/= х 2- 4х + 3; 6) у = х 2+ 6 х + 8;
7 ) у = 2 х 2- З х - 2 ; 8 ) у = 3 + 5х + 2 х 2.
Построить график функции:
1) у = х 2+ 6 х + 9;
3) у = х г - 1 2 х + 4;
5) у = х 2+ х;
7) у = ( х - 2 ) ( х + ЪУ,
2) у = х 2- ± ;
4) у = дг2+ Зд: - 1;
6) у = х 2- х;
8) у = Г * + | 1 (* + 4).
(Устно.) Используя график функции у = ах2+ Ьх + с (рис. 65),
установить ее свойства.
а х
а)
Рис. 65
б)
199

761 Построить график функции и установить ее свойства:
1) у = - 2 х 2- 8 х - 8 ; 2) у = Зх2+ 12* + 16;
3) у = 2 х 2- 12х + 19; 4) у = 3 + 2 х - х г ;
5) у = - 4 х 2- 4 х ; 6) у = 12л: - 4х 2- 9.
762 На одной координатной плоскости построить графики
функций:
1) у = -| х 2 и у = - | х 2; 2) у = 3х2 и у = Зх2- 2 ;
3) I/= ~ | * 2 и у = - 1 ( х + З)2; 4) у = 2х2 и у = 2 ( х - 5)2+ 3.
763 1) (х - 5)(х +3) >0; 2) (х + 15)(х +4) <0;
3) (х - 7 )( х + 11)<0; 4) (х - 12)(х - 13) > 0.
764 1) х 2+ 3 х > 0; 2) х 2- х4 ъ < 0;
3) х 2-1 6 « 0; 4) х 2- 3 >0.
765 1) х 2- 8 х + 7 >0; 2) х 2+З х -5 4 < 0 ;
3) 1 х 2+0,5х - 1>0;
2
4) 5х2+9,5х - 1 <0;
5) - х 2- Зх +4 >0; 6) -8 х 2+ 1 7 х -2 <0.
766 1) х 2- 6х +9 >0; 2) х 2+24х + 144 < 0;
3) | х 2- 4 х +8 <0; 4) х 2+4х + 12 > 0;
О
5) 4х2- 4х + 1 >0; 6) 5х2+2х + 1 <0.
5
767 1) х 2- 10х +30<0; 2) - х 2+ х - 1< 0;
3) х 2+ 4х + 5<0; 4) 2 х2-4 х + 13 >0;
5) 4х 2- 9 х + 7< 0; 6) -11 + 8х - 2 х2< 0.
Решить неравенство методом интервалов (768—770).
768 1) (х + 3)(х - 4) > 0; 2) [ х - | 1 ( х + 0,7)< 0 ;
3) (х - 2,3)(х + 3,7) < 0; 4) (х +2)(х - 1) < 0.
769 1) (х + 2 )(х - 1 )> 0 ; 2) (х + 2 )(х - I) 2 <0;
3) (х + 2 )(х - I) 2> 0; 4) (2 - х)(х + Зх2) > 0.
770 1) ~ — — > ° ; 2 ) 0 ,5 + * < 0 ;
2 + х х - 2
(х - 1 )(х + 2 )
и,
X
тс)
(3 + х Х 1 -х )
771 Делая утреннюю зарядку, мальчик ежедневно пробегал от
дома до леса 600 м. До леса он бежал одну треть пути со ско
ростью 2 м/с, а оставшееся расстояние — со скоростью
3 м/с. Возвращаясь к дому, первую треть пути он пробегал
со скоростью 3 м/с, а оставшееся расстояние — со скоростью
2 м/с. На какой пробег мальчик тратил времени больше: от
дома до леса или от леса до дома?
200

772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
На руднике за день добыли 2000 т руды, содержащей — же-
25
леза от общей массы руды. На соседнем руднике добыли за
О
первую половину дня 1200 т руды, содержащей — железа,
5
5
а за вторую половину дня 1000 т руды, содержащей - железа.
О
На каком руднике добыли за день больше чистого железа?
На спортивных соревнованиях семиклассник пробежал дис
танцию 60 м за 9 с, а десятиклассник — дистанцию 100 м за
14,8 с. Считая, что ученики бежали с постоянными скоро
стями, выяснить, кто бежал быстрее.
1) если ( у - 3 ) 2> (3 + у ) ( у - 3 ) , то у < 3 ;
2) если (За + Ь)2< (3 а - Ь ) 2, то аЬ < 0.
Доказать, что если х < а + Ь , у < — — , г < Ь- с- , то
2 2 2
х + у + г < а + Ь + с .
Высота прямоугольного параллелепипеда больше 15 см, ши
рина больше 2 см, а длина больше 0,3 м. Доказать, что его
объем больше 0,9 дм3.
Масштаб физической карты России в учебнике географии
1 : 20 000 000. На карте расстояние: 1) от Москвы до Орла
больше 2 см; 2) от Москвы до Рязани меньше 2 см. Каковы
эти расстояния в действительности?
Груз массой не более 1,6 кг подняли на высоту 8-го этажа
(не большую 25 м). Какую при этом совершили работу?
Доказать, что на нагревание не менее 2 кг воды в латунном
стакане массой не меньше 1 кг от 20 до 70 °С потребуется не
менее 438 кДж теплоты. Удельная теплоемкость воды
4,19 кДжДкг • °С), латуни 0,38 кДж/(кг ■°С).
Доказать, что при любых а и Ь выполняется неравенство
а2 + 4Ь2- 2 а - 1 2 Ъ + 1 0 > 0 .
Решить систему неравенств:
1) [ 5 х - 4 > х - 3 , 2) Г 3 х < 5 -6 ;с ,
—2 х + 1 1 > х + 1, -З х + 1 < 4х - 1,
[1 2 - З х > 4 - 5 х ; [7 - 2х > 2 х + 9;
3) ( 3 х - 2 > 2 ( х - 3 ) + 5х,
2 х2+ (5 + х ) 2> 3 ( х - 5)(х + 5);
4) Г8х(2 + х )(х - 2) < (2 х - 3)(4х2+ 6х + 9) - 5х,
17
- х + 2 2 - - х I - а - 1 * ^ + 2 | > -3 ;
201

782
783
784
785
786
787
788
5)
6)
2 ^х - - 1(х + 3) > 2 х ( х + 3),
х + 3 ^ 3дс+ 4 .
^ *
Зх + - |(2 - х) + - ( х + 1) > 3(3 - х)(3 + х) - 1 ,
2 - (2 х + З)2+ (3 + 2 х )(2 х - 3) < - 2 1 (9 + х) +
Одна сторона прямоугольника больше другой на 3 см. Какой
может быть длина меньшей стороны прямоугольника, если
периметр его больше 14 см, но меньше 18 см?
За 1 ч улитка проползла меньше 5 м, а за следующие
45 мин, двигаясь с той же скоростью, не менее 3 м. Какова
скорость улитки?
Если часы в Варшаве (первый часовой пояс) показывают вре
мя между 10 и 11 часами, то какое время показывают в этот
момент часы во Владивостоке (девятый часовой пояс)?
1) |2х + 3| < 7 ; 2) |5- Зх| > 4.
1) аУ4а - 2а2 — + а^2Ъа, где а > 0;
Ма 3
2) у]а3Ьь - 6аЬ^аЬ3 + 0,4Ь2 л]а3Ь, где а > 0, Ь > 0.
Вычислить:
1) ^ 3 +Л/5 + ^ 3 - ^ 5
2) (^ 1 3 + 5 7 ^ 2 + ^ 1 3 -5 7 ^ 2
3)
^252 - 2 4 2
21,52 - 14,52 ’
4)
| 232- 222
У132- 1 2 2
1)
2)
3)
4)
а + 1 / ГТ
1= -у1а + 1
VVа -1
1
ч-/а + у]а + 1 Уа - ^ а + 1
V I - а
а + 1
— УТ + а
1
->/а + 1 -/а - 1 у
_ ^ а + 1
V а - 1
- 1
, ^ 1 - а2
Уа о - Уа 1 + Уа
202
Уз-ах/3
а + 1

789
790
791
792
793
794
795
796
797
а + Ь
а + 2Ь
/
■26
Ьс
Ь - с Ь2 - с 2
2аЬ
- 4Ь
4 Ь2
Ь2 - 2 Ь с + с 2
- 2 аЬ
2аЬ
2 - 9 Ь2
а - 46
6
а - З Ь
а + 2Ь
Ь2
1)
2)
3)
4)
° ' а2 + ЗаЬ
Доказать, что при любом у положительно значение выра
жения:
1) (г/-3)(г/-1) + 5; 2) (у - 4)(у - 6) + 3.
Найти множество значений й, при которых уравнение
4у2- Зу + И = 0 не имеет действительных корней.
При каких значениях к число -2 является корнем уравне
ния ( й - 2 ) ж 2- 7 ж - 2 / г 2= 0?
1) Зх2+ 8л: + 5 = 0;
6 X
2) Ъх2+ 4х - 12 = 0;
3)
5)
4 х 2 - 1
30
2 х - 1
13
2 х + 1
7 + 18л:
х ‘ - 1 лг + л: + 1 лг
2х 2 + х
4)
6)
З х - З 2 х 2 + &
х - 1 2 х + 2 ж —1
. 2ж- 1
1)
2)
2лс - 9
2 у + 13
2г/—5
8ж
ж+ 1 ж+ 1
10
4л:2 2х - 11х + 5 5 + 9 ж -2 ж 2
3
2у2 + З у - 2 0 у2- 16 2 г/ 2 —13 г/+ 20
Из пункта А выходит пешеход со скоростью 4 км/ч, через
45 мин из пункта А в том же направлении выезжает велоси
педист со скоростью 8 км/ч. На каком расстоянии от пунк
та А велосипедист догонит пешехода?
С туристской базы вышла группа лыжников. Через 20 мин
вслед за ней вышел опоздавший лыжник, который после
40 мин ходьбы догнал группу. С какой скоростью двигался
опоздавший лыжник, если его скорость была больше скоро
сти группы на 5 км/ч?
Из пункта А в пункт В выезжает грузовой автомобиль со ско
ростью 50 км/ч. Через 24 мин вслед за ним выезжает авто
бус со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между пункта
ми А и В, если грузовой автомобиль и автобус прибыли в
пункт В одновременно?
203

798
799
800
801
802
803
804
805
806
Скорость моторной лодки по течению реки равна 23 км/ч,
а против течения 17 км/ч. Найти скорость течения и собст
венную скорость лодки.
Ученик за 3 блокнота и 2 тетради уплатил 40 р., другой уче
ник за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил 32 р.
Сколько стоил блокнот и сколько стоила тетрадь?
Для отправки груза было подано несколько вагонов. Если
грузить по 15,5 т в вагон, то 4 т груза останутся непогружен
ными; если же грузить по 16,5 т в вагон, то для полной за
грузки не хватит 8 т груза. Сколько было подано вагонов и
сколько было тонн груза?
В техникуме для проведения вступительного экзамена было
заготовлено 750 листов бумаги. Но так как поступающих
оказалось на 45 человек больше, чем предполагалось, то,
хотя и добавили еще 30 листов, каждый получил на один
лист меньше. Сколько листов было заготовлено на каждого
поступающего первоначально?
При испытании двух двигателей было установлено, что рас
ход бензина при работе первого двигателя составил 450 г,
а при работе второго — 288 г, причем второй двигатель рабо
тал на 3 ч меньше и расходовал бензина в час на 6 г меньше.
Сколько граммов бензина расходует в час каждый двигатель?
И н д у с с к а я з а д а ч а «Стая обезьян»:
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
Криком радости двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в стае?
1) (х + 2)2< (2 х - З)2- 8 (х - 5);
2) 2 ± £ _ ^ < 2 £ ^ 5 _ ( 4 _ л;)2
9 3
( 2 * - 3 ) ( * + 2 ) ( х - 7 ) . ( х - 6 ) 2 [ х .
12 3 4 ’
4 ) б.г I ( 3 + 5 х ) 2 ? 8 - 2 * ( х + З Х х + 7 )
2 5 2
Площадь трапеции больше 19,22 см2. Средняя линия ее вдвое
больше высоты. Найти среднюю линию и высоту трапеции.
С самолета, находящегося на высоте, большей 320 м, геоло
гам был сброшен груз. За какое время груз долетит до зем
ли? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
204

807
808
809
810
811
812
813
814
815
Сторона параллелограмма на 2 см больше высоты, опущен
ной на эту сторону. Найти длину этой стороны, если пло
щадь параллелограмма больше 15 см2.
Решить методом интервалов неравенство:
1) ( х + 2 ) ( х + 5)(х - 1)(х + 4) > 0;
2) ( х + 1)(3дс2+ 2 )(х - 2 )(х + 7) < 0;
12
3) - + — - > 2 ;
Зх + 1 х + 3
4)
1—3дг 1+ Зх
1 + З х Зх - 1 1- 9хг
Найти коэффициенты р и д квадратного трехчлена
х 2+ рх + д, если этот трехчлен при х = 0 принимает значение,
равное -14, а при х = - 2 принимает значение -20.
Найти р я д , если парабола у = х 2+ рх + д:
1 2
1) пересекает ось абсцисс в точках х = - ~ и * =
2) касается оси абсцисс в точке х = - 7 ;
3) пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке
У = - 1-
Записать уравнение параболы, если известно, что она пересе
кает ось абсцисс в точке 5, а ее вершиной является точка
2 - ; 10-
4 8
Зеркало отражателя телескопа
(рефлектора) имеет в осевом сече
нии вид параболы (рис. 66). На
писать уравнение этой параболы.
Найти коэффициенты квадра
тичной функции у = ах2+ Ьх + с,
если ее график:
1) проходит через точки А (-1 ; 0),
В (3; 0) и С (0; -6 );
2) проходит через точки К (-2 ; 0),
1,(1; 0) и М (0; 2).
Доказать, что для любых неотрицательных чисел а и Ь спра
1) а2 + Ь2 < ( а + Ь ) 2; 2) а3 + Ъ3 « ( а + Ь)3-,
3) а3+ Ъ3 > а 2Ь + аЬ2-, 4) (а + Ь)3 < 4(а 3+ Ь3).
Доказать, что для любых положительных чисел а, Ь, с спра
Ь
1) £ + - + -£.>3;
Ь с а
а3 + Ь3 + с3 а + Ь + с ,
2 и2 2 ^ о 1
сг + Ьг + <Г 3
оч , ас аЬ 'ч „ . I |
2) — н 1------> а + о + с;
а Ь с
4)
Ь + с с + а а + Ь
205

1) у = - / х 2 ; 2) y = |jc-l|; 3) y = j x 2- 6 x + 9;
4) у = yjх 2+ 4х + 4; 5) у = ^ ( х - I )2 + -J{x + l ) 2 ;
6) г/= -^;с2-4л: + 4+|х + 2|.
817 Найти действительные корни уравнения:
1) х 2—|х-2 = 0; 2) х 2-4| *|+3 = 0;
3) |л:2—л:|= 2; 4) |дс2+ *|=1;
5) |* 2- 2 |= 2; 6) |*2- 26 |=10.
818 Доказать, что квадратное уравнение а х 2+ Ьх + с = 0 имеет два
действительных корня разных знаков при любом Ь, если
ас < 0.
819 Корни х х и х 2 квадратного уравнения х 2- 2гх - 7г2= 0 удов
летворяют условию х 2 + х2 = 18. Найти г.
820 Пусть х х и х 2 — корни уравнения х2- 5 * + 3 = 0. Составить
квадратное уравнение с корнями х и х2, не решая данное.
821 Не вычисляя корни х х и х 2 квадратного уравнения
2 x2+ 7 x - 8 = 0, найти:
1) — + — ; 2) — + — ; 3) x * x 2+ x i x . ; 4) х4 + х.
Х Х Х2 1 2 1 | 1 1
822 Найти все такие значения г, при которых квадратное урав
нение х 2+ ( г - 1) х - 2 ( г - 1) = 0 имеет действительные корни
Xj и х 2, удовлетворяющие условию хг —JC21=3.
823 Доказать, что если коэффициенты квадратных уравнений
х 2+ р гх + q x= 0 и х 2+ р2х + q 2= 0
связаны равенством pl p2= 2 ( q i + q 2) , T O по крайней мере одно
из этих уравнений имеет действительные корни.
824 Квадратичная функция y = x 2+ px + q принимает при jc = 1
наименьшее значение, равное -4 . Найти 1/(0).
825 Квадратичная функция у = - х 2+ Ьх + с принимает при х = 1
наибольшее значение, равное -4 . Найти у (-1 ).
826 Найти коэффициенты а, Ь, с квадратичной функции
у = ах2+ Ьх + с, если она при х = 1 принимает наибольшее зна
чение, равное 3, а 1/(0 ) = 0.
827 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
i>0= 6 м/с. Определить, через сколько секунд после начала
движения тело достигает наибольшей высоты, если высоту
можно найти по формуле h = v 0t ~ ^ 8 t 2 (ускорение свободно
го падения считать равным 10 м/с2).
828 Разложить многочлен на множители:
1) а 4- 2а2- 3; 2) а 4- 5 а 2+ 4.
206

829
830
831
832
833
834
835
836
1Л а2+ а Ь - 6 Ь 2 оч 2а2+ ЪаЬ-ЗЬ2
1' ~о I ГТо" > " )
2Ь2 ’ 4а2 + 4 а Ь - ЗЬ2 ’
. 8а3- 2 7 Ь 3
2а2 + а Ь - З Ь 2 2а2- а Ь - З Ь 2
Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо
неподвижного наблюдателя за 7 с и затрачивает 25 с на то, что
бы пройти с той же скоростью мимо платформы длиной 378 м.
Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалато
ру за 24 с. Если пассажир идет с той же скоростью, но по не
подвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколь
ко секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося
эскалатора?
Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянны
ми скоростями в одном направлении, оказываются рядом че
рез каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в
противоположных направлениях автомобили встречаются
через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую
трассу каждый автомобиль?
Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; ско
рость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один
тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с об
щего старта одновременно и в одном направлении, то ока
жутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся,
если побегут одновременно с общей линии старта в противо
положных направлениях?
Пешеход и велосипедист отправляются из пункта А в
пункт В одновременно. Прибыв в пункт В, велосипедист по
ворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после
начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжа
ет до пункта А, поворачивает обратно и догоняет пешехода
через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход
пройдет путь от А до В?
Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, и одновременно
навстречу ему из пункта В в пункт А выехал велосипедист.
Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с ве
лосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч
после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути
мотоциклист и велосипедист?
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1:
1) 48,3+ .17,83 16’94; 2) 67 8 - 8604 48,4
8,367 7651
3) 5,31 (3,57-4,28-7,04); 4) 1,34 г 8354 + 37 6
375
207

837 Вычислить на микрокалькуляторе приближенно с точностью
до 0,01:
1) 3 4 ,32 - 2 3 ,12 + 1 7 ,8 2 ; 2 ) 7 ,6 2 2 + 3 ,5 6 2 - 6 ,9 8 2;
3 ) —-— + — Ї— + — і — ; 4 ) _ 1 _ - _ L . + . 1
0,54 0,32 0,87 0,17 0,38 0,87
838 Вычислить на микрокалькуляторе приближенно с точностью
до 0,01:
1) 27,3-1,28+ (4 3 ,4 -3 9 ,8 )-2 ,3 4 ;
2) (257 - 189):2,31 - (354 - 487): 3,14.
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1
(839— 842).
1) л/То + л/з; 2)
3) 31,4+ ^820 - У Ї0 4 ; 4)
1) ^ 2 + 7 3 + V H ; 2)
3) ■Jл/з + -J3 + л/3 ; 4)
1)
123 251 .
VTT л/Тз ’
2)
3) у/14,22+ 89,32 ; 4)
1)
л/78 - Т ЇЗ .
■J5 + л/б
2)
426 43 .
V5 Уз’
0.40 1 о Тээ - л/Тз
842 1) — — — ; 2) —= ---- — .
л/89 - л/3
843 С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения:
1)л:2-6 2 л :-7503 = 0; 2) х 2+ 181л: + 5412 = 0;
3)л:2-9 ,7 л :+ 21,42 = 0; 4) х2+ 1 ,5 х -6 2 ,8 5 = 0.
1) х 4 - 14,9х 2+ 50,8369 = 0;
2) х4-8 ,0 1 х 2+ 12,96=0.
Старинные задачи
З а д а ч а П и ф а г о р а С а м о с с к о г о (ок. 580— 500 гг.
до н. э., древнегреческий математик и философ).
845 Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, на
чиная с единицы, есть точный квадрат.
З а д а ч а А р х и м е д а (ок. 287— 212 гг. до н. э., древнегре
ческий математик, физик и механик).
846 Доказать равенство
12+ 22+ 32+ ... + л 2= і и ( л + 1)(2п + 1).
6
208

847
848
849
850
851
852
853
З а д а ч и Д и о ф а н т а (вероятно, III в., дневнегреческий
математик).
Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, дру
гой катет равен разности между кубом числа и самим чис
лом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа.
Найти это число.
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая
его часть от первого деления была вдвое более меньшей час
ти от второго деления и чтобы большая часть от второго де
ления была втрое более меньшей части от первого деления.
И н д и й с к а я з а д а ч а .
Показать, что д/ю + %/24 + л/40 + -ч/бО = у[2 + -^3 + >/5.
З а д а ч а О м а р а Х а й я м а (1048 — ок. 1131, среднеазиат
ский поэт, философ, астроном и математик).
— + 2 — = 1~ .
х 2 х 4
З а д а ч а а л - К а р а д ж и (ум. в 1016, иранский математик,
автор трудов по арифметике и алгебре).
Найти число, которое от умножения на 3 + л/б дает 1.
З а д а ч а Л. Э й л е р а (1707— 1783, математик, механик,
физик и астроном, академик Петербургской академии наук).
Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше,
нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая
сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы
15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня,
о
я выручила бы за них 6 — крейцера». Сколько яиц было
3
у каждой?
З а д а ч а Э. Б е з у (1730— 1783, французский математик).
Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за
24 пистоля. При этой продаже он потерял столько процен
тов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую
сумму он ее купил?

Задачи
для внеклассной
работы
854 Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзнач
ное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в
обратном порядке, то модуль полученной разности будет де
литься на 9 и 11.
855 Если между цифрами двузначного числа х вписать это же
число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз
больше первоначального двузначного. Найти х.
856 Доказать, что сумма ЗЗЗ555+ 555333 делится на 37.
857 Доказать, что сумма 11й + 1212+ 1313 делится на 10.
858 Какой цифрой оканчивается степень 19991999?
859 Сколькими нулями оканчивается число, полученное при пе
ремножении всех натуральных чисел от 1 до 100?
860 Доказать, что сумма 1015+ 1017- 74 делится на 9.
861 Доказать, что значение выражения п 3+ 11« делится на 6 при
любом натуральном п.
Доказать, что значение выражения п 3+ Зп2+ 5п + 3 делится
на 3 при любом натуральном п.
863 Доказать, что при любом целом п значение выражения л 3- п
делится на 30.
864 Доказать, что при любом целом п значение выражения
п ь - 5п3+ 4п делится на 120.
865 Найти пятизначное число, если известно, что при умноже
нии этого числа на 9 получается пятизначное число, запи
санное теми же цифрами, но в обратном порядке.
210

866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
Доказать, что разность между трехзначным числом и чис
лом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке,
не может равняться квадрату натурального числа.
Доказать, что если х и у — целые числа такие, что число
Зх + 8г/ делится на 17, то сумма 35х + 65г/ также делится
на 17.
Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не мо
жет быть квадратом натурального числа.
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных на
туральных чисел не является квадратом натурального
числа.
Доказать, что ни при каком целом п значение выражения
п 2+ 5п + 16 не делится на 169.
Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел
делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.
Доказать, что ни одно из чисел вида п 3 - 3, где п — нату
ральное число, не делится на 7.
Доказать, что если р — простое число, большее трех, то зна
чение выражения р 2- 1 делится на 24.
Найти все простые числа п такие, что га2+ 8 — простое
число.
Доказать, что если р — простое число и р > 5, то остаток от
деления р2 на 12 равен 1.
Доказать, что если п — натуральное число и п > 1, то
п4+ 4 — составное число.
Найти целые числа х и у, удовлетворяющие уравнению
х + у = ху.
Доказать равенство:
2 5 3
У б - ^ З 4з + 2уі2 у [8 -4 ь ’
4 8 4
у[7 + /а Т з -л / П
3) - ± - + — 1— + ... + — ± — = 4 9 9 -1 ;
1 + л/2 л/2 + л/З т/98 + л/99
4) — ^ + --------- *--- + I = _ А _ ;
а(а + 1) ( а + 1 ) ( а + 2 ) ( а + 2 ) ( а + 3 ) а ( а + 3 )
5) п (п + 1)(п + 2)(п + 3) + 1= ( п 2+ Зп + I )2.
Доказать, что 1980 • 1981 • 1982 • 1983 + 1 является квадратом
некоторого натурального числа х, и найти х.
211

880
881
882
883
884
885
886
1) e V - f r ) + f r 3( e - < ) + c 3(.^ g ,) = a + b + c;
а2(с - Ь) + Ь2(а - с) + с2( Ь - а)
2) а(Ь2- с 2) + Ь(с 2- а2) + с ( а 2- Ь2) =(а - £>)(&- с ) ( с - а);
3) (а + Ь + с )3- а 3- Ь 3- с3= 3(а + Ь)(Ь + с)(с + а);
4) а3+ Ь3+ с 3- 3abc = (а + Ь + с )(а 2+ Ь2+ с 2- ab - Ьс - са);
5) (а + Ь + с ) 3 - (а + Ь - с ) 3 - (Ь + с - а)3 - (с + а - Ь ) 3 = 24а6с;
6) (6 - с)3+ (с - а )3+ (а - Ь)3= 3(а - Ь)(а - с)(с - Ь).
Доказать, что из равенства
Доказать равенство:
а Ь с а + Ь + с
следует равенство
-U _ L +J_ = 1 .
а3 Ъ3 с3 а3+ Ь3+ с3
Доказать, что выражение
а2(с - Ь) + Ь2(а - с ) + с 2(Ь - а)
не равно нулю, если а, Ь, с — попарно не равные между со
бой числа.
„ а2 - Ьс Ь2- ас
Доказать, что если афЬ и ------------- = --------------, то
а (1 -6 с ) Ь (1 -а с )
a + f t + c = i + i + i .
a b c
Пусть х + у = а , х у = Ь. Доказать, что:
1) х 3+ у3= а3- ЗаЬ ;
2) х 4+ у* = а 4 - 4а2Ь + 2Ь2;
3) х ь + уь = а 5- Ъ а 3Ь + 5аЬ2;
4) х 6+ у6 = а6- 6а4Ь + 9а2Ь2- 2Ь3.
1) ^ - + - 4 + - ! - + - ^ ;
1 + Л 4 1+ х 2 1+ X 1 - х
а2- Ьс Ь2- ас с2- ab
2) + + ;
( а + 6 ) ( а + с ) ( Ь + с Ц а + Ь ) (а + с ) ( Ь + с )
3) у[х + 2V дс—1 + yj х - 2 л [ х - 1, если 1 < х < 2;
.. у/т + х + - х 2тп „ ^ п п ^ ^ л
4) . — , если х = — , где т > 0, 0 < п < 1.
yjm + x - y j m - x п +1
1) х 2- 2 х - 1 = 2; 2) ( х + 1) х - 2 = 2;
3) 11дс—1|-3| = 2; 4) х2-9 + х 2-4 = 5;
212

887
888
889
890
891
5) х 2 + 3х +
6)
2 - З х - х 2
18
= 1;
18
х2+ 6 х + Ъ х 2 + 6 х + 1 0 х2+ 6л: + 9
7 ) х 2+ - - - 5 х - ^ + 8 = 0; 8) х ( х 2- 1)(х + 2) + 1 = 0.
х 2+ х у = 10,
[у 2+ х у = 15;
х + у + ху = 11,
х 2+ у2+ х у = 19;
1)
3)
5)
1 + 1 = 3
х у 2 ’
- 4 + 4 = *;
7) 2уг - 4ху + З х2= 17,
[ у 2- х 2= 16;
2)
4)
6)
8)
(х -1 )(г / -1 ) = 6,
( х + 2)(у + 2) = 30;
х 2+ у2+ х + у = 18,
х 2- у2+ х - у = 6;
х 4+ у4= 17 ( х + у)2,
ху = 2 ( х + у);
х 2- ху + у2= 21,
у2- 2ху + 15 = 0.
Найти действительные решения системы уравнений:
1) ( х у ( х + у) = 6,
х 3 + у3= 9;
3) ( х 3+ 4у = у3+ 16х,
[1 + у2= 5(1 + х 2);
5) І 2 ( х + у) = 5ху,
8 ( х 3+ у3) = 65;
7) 1 ( х + у ) ( х 2- у 2) = 9,
( х - у ) ( х 2+ у2) = 5;
2)
4)
6)
8)
( х - у ) ( х 2 - у2) = 7,
( х + у ) ( х 2+ у2) = 175;
х 3+ у3+ х 2у + ху2= Ъ,
х 4у2+ х 2у4= 20;
х 3 - у3= 1 9 ( х - у),
х 3+ у3= 7( х + у);
г3
х у + 2 4 = — ,
х у - 6
У°
Найти все значения г, при которых уравнение х 2+ гх +
+ 2 г - 3 = 0 имеет:
1) равные корни;
2) действительные корни, модули которых равны, а знаки
противоположны.
Доказать, что если х г и х 2 — корни квадратного уравнения
х 2- г х - г = 0, где г > 0, то выполняется неравенство
х3+ х + (х 1х2)3>0 .
Доказать, что если ( а + Ь)2> с 2 и (а - Ь ) 2< с 2, то квадратное
уравнение
а 2х 2+ (62+ а2- с 2) х + Ъ2 = 0
не имеет действительных корней.
213

892 Доказать, что если уравнение х 2+ рх + д =0 имеет действи
тельные корни, то уравнение
г + — рх + д г —— | = 0
также имеет действительные корни при любом ГФ 0.
893 Доказать, что если квадратное уравнение х 2+ px + q = 0 , где
р и q — целые числа, имеет рациональные корни, то эти кор
ни — целые числа.
894 Каким условиям удовлетворяют числа а и Ь, если биквадрат
ное уравнение х4- (а + b) х 2+ ab - 0 имеет четыре различных
действительных корня?
895 Доказать, что если г < 0 , то квадратное уравнение
х 2- 2 ( г - 1 ) х + 2г + 1 = 0
имеет действительные корни. При каких значениях г ( г < 0 )
оба корня этого уравнения отрицательны?
896 Найти все значения г, для которых при всех действительных
значениях х выполняется неравенство
(/-2- 1 ) х 2+ 2 ( г - 1 ) х + 1 > 0 .
897 Доказать, что при всех действительных значениях х спра
1 X2 —X + 1
— <3.
3 х 2 + х + 1
898 Найти все значения а, при которых уравнения
х 2+ ах + 1= 0 и х 2+ х + а = 0
имеют хотя бы один общий действительный корень.
899 Пусть а, Ь, с — различные числа, причем с Ф0. Доказать, что
если уравнения х 2+ ах + Ьс = 0 и х 2+ Ъх + са = 0 имеют ровно
один общий корень, то другие корни этих уравнений явля
ются корнями уравнения x 2+ c x + ab = 0.
900 Найти все значения г, при которых корни уравнения
(г - 4) х 2- 2(г - 3) х + г = 0
положительны.
901 Доказать, что корни уравнения х 2+ р х + q - 0 действитель
ные и отрицательные только тогда, когда р2-4<?>0, р > 0,
q > 0.
902 Найти все значения г, при которых корни уравнения
2гх2- ( г + 1)х + 1 = 0 действительны и оба по модулю меньше
единицы.
214

903 Известно, что корни квадратного уравнения х 2+ рх + д = 0 по
модулю больше единицы и имеют разные знаки. Доказать,
что р + д + 1<0, <7 - р + 1 < 0 .
904 Известно, что квадратный трехчлен а х 2+ Ьх + с не имеет дей
ствительных корней. Определить знак числа с, если:
1) а + Ь + с > 0; 2) а - Ь + с < 0.
905 Пусть х х и х 2 — корни квадратного уравнения ах2+ Ьх + с = 0
и пусть вт = х"1+ х2т , где т. — натуральное число, т > 2. До
казать, что
принимает неотрицательные значения при любых значениях
а и £>, не равных нулю.
907 Доказать, что при любых действительных значениях х и у
справедливо неравенство
х 2+ 5у2- 4ху + 2 х - 6 у + 3> 0.
908 Найти все значения а, при которых вершины двух парабол
у = х 2- 2 ( а + 1)х + 1 и 1/= ах2- х + а лежат по разные стороны
3
от прямой у = —.
4
909 Найти все значения а, при которых вершины двух парабол
у = 4х2+ 8ах - а и р 4ах2- 8 х + а - 2 лежат по одну сторону
от прямой у = -5.
910 Разложить на множители:
911 Разложить многочлен х 5+ х + 1 на два множителя с целыми
коэффициентами.
912 Сократить дробь:
asm+ bsm. 1+ csm_ 2= 0.
906 Доказать, что выражение
1) х 3- 6 х 2- * + 30;
2) х 4- х 3- 7 х 2+ х + 6;
3) ( х 2+ х + 1)(х2+ х + 2) - 12;
4) ( х 2+ 4х + 8)2+ З х ( х 2+ 4х + 8) + 2 х 2.
х3- Зх2+ З х - 2 ’ х3 - 4 х 2 + 5 х - 2
* 3 + 5з:2+ 7х + 3 х4 - 16
5)
215

913
914
915
916
917
Построить график функции:
1) у = х2- 2 х ; 2) у = х2+ х;
3) у = х2- Ь х + Ъ;
5) у = х 2- х;
7) 1/= |х2-3 | х | -4 | ;
5 - 4 х
4) у = хг - х - 2 ;
6) у = х 2- 2 х - Ъ ;
8) г/= |х2-6|х| + 5|.
1)
З х2 - х - 4
<4; 2)
19 - 33 лг
7х 2 - 1 1 х + 4
>3;
3)
* 3+ 1
>0; 4)
■8хг
<0;
5) х2- 5х| > 6;
7) |дг2+ 4х + 3|>|дг+ 3|;
хл - 1
6) |2х + 3| > Ах —3 1;
8) |х 2- * + 11< | х 2- Зх + 4 1.
Доказать, что для любых чисел а и Ь справедливо нера
венство:
1) а2+ Ь2 > 2(а + Ь - 1); 2) 2а2+ ЬЬ2 > 2аЬ;
3) а 2+ Ь2 > аЬ + а + Ь - 1; 4) а 2+ аЬ + Ь2 > 0;
5) а4+ Ь4 > а3Ь + аЬ3; 6) (а 2+ Ь2)(а4+ Ь4) > (а 3+ Ь3) 2.
Доказать, что для любых положительных чисел а и Ь спра
1) а + —+ Ь + —^ 2 VаЬ н— Д—;
а Ь ^
2) 1 + 1 + 1> * + 1 1 ;
а ^ л/а л/б л/аб
3) 1 + 1 < -£ - + А ;
а 6 а 2
4 ) +
1+ а + 6 1 + а 1+6
Доказать, что для любых чисел а, Ь, с выполняется нера
венство:
1) а2+ Ь2+ с 2 > аЬ + Ьс + ас;
2) ^ а 2+ Ь2+ с 2 < |а |+|6 1+|с |;
3) ( а + Ь + с )2 < 3 ( а 2+ Ь2+ с 2);
4) ( аЬ +Ьс + ас)2 > 3аЬс (а + Ь + с).

Краткое содержание
VII класса
1. Алгебраические выражения
Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков
действий и скобок.
Например, 1,2 •(-3 ) - 9 :(0,5 + 1,5) — числовое выражение.
Порядок выполнения действий.
Действия первой ступени — сложение и вычитание.
Действия второй ступени — умножение и деление.
Действия третьей ступени — возведение в степень.
1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют
действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, нако
нец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же
ступени выполняют в том порядке, в котором они записаны.
2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют
все действия над числами, заключенными в скобках, а затем все
остальные действия; при этом выполнение действий над числами в
скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1).
3) Если вычисляется значение дробного выражения, то сначала
выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе, а затем
первый результат делится на второй.
4) Если выражение содержит скобки, заключенные внутри дру
гих скобок, то сначала выполняются действия во внутренних скобках.
Алгебраическое выражение образуется из чисел и букв с по
мощью знаков действий и скобок.
Примеры алгебраических выражений:
2 (т + л); За + 2аЬ - 1; ( а - Ь )2; ^ 1 1 .
3
217

Числовое значение алгебраического выражения — число, по
лученное в результате вычислений после замены в этом выражении
букв числами.
Например, числовое значение выражения За + 2аЬ - 1 при а = 2 и
5 = 3 равно
3 - 2 + 2 - 2 - 3 - 1 = 17.
Алгебраическая сумма — запись, состоящая из нескольких
алгебраических выражений, соединенных знаками « + » или « - » .
Правила раскрытия скобок.
1) Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраи
ческая сумма, заключенная в скобки, то скобки и знак « + » перед
скобками можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой
алгебраической суммы.
Например,
14+ ( 7 - 23 + 21) = 14 + 7 - 2 3 + 21,
а + ( Ь - с - с 1 ) = а + Ь - с - й.
2) Если из алгебраического выражения вычитается алгебраиче
ская сумма, заключенная в скобки, то скобки и знак « - » перед
скобками можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой
алгебраической суммы на противоположный.
Например,
14 - (7 - 23 + 21) = 14 - 7 + 23 - 21,
а - ( Ь - с - ( 1 ) = а - Ь + с + с1.
2. Уравнение первой степени с одним неизвестным
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обо
значенное буквой.
Пример уравнения:
2 х + 3 = Зх + 2,
где х — неизвестное число, которое нужно найти.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором урав
нение обращается в верное равенство.
Например, число 3 является корнем уравнения х + 1 = 7 - х, так
как 3 + 1 = 7 - 3.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или уста
новить, что их нет.
Линейное уравнение — уравнение вида ах = Ъ, где а и Ь — за
данные числа, д: — неизвестное.
Основные свойства уравнений.
1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в
другую, изменив его знак на противоположный.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно
и то же число, не равное нулю.
218

3. Одночлены и многочлены
Степень числа а с натуральным показателем п, большим едини
цы, — произведение п множителей, равных а, т. е.
а п = а - а - а .
п раз
Например,
23= 2 •2 •2, т 5= т ■т •т •т ■т.
В записи степени ап число а — основание степени, п — показа
тель степени.
Например, в записи степени 23 число 2 — основание степени,
число 3 — показатель степени.
Первая степень числа — само число: а 1= а. Например, З ^ З ,
4 - * "13 ) 13
Квадрат числа — степень этого числа с показателем 2. Напри
мер, 52 — квадрат числа 5.
Куб числа — степень этого числа с показателем 3. Например,
43 — куб числа 4.
Основные свойства степени.
1) При умножении степеней с равными основаниями основание
остается прежним, а показатели степеней складываются:
а п ■а т= а п + т.
2) При делении степеней с равными основаниями основание
остается прежним, а показатели степеней вычитаются:
а п : а т= а п ~ т.
3) При возведении степени в степень основание остается преж
ним, а показатели перемножаются:
( а п) т= а пт.
4) При возведении в степень произведения в эту степень возво
дится каждый множитель:
( а •Ь )п = а " •Ьп.
5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся
числитель и знаменатель:
а а
Ъп
Стандартный вид числа, большего 10, — запись числа в виде
а ■10", где 1 < а < 1 0 и л — натуральное число.
Например,
358 = 3,58-102; 4084,5 = 4,0845-103.
219

Одночлен — произведение числовых и буквенных множителей.
Примеры одночленов:
3ab, - 2 ab2c 3, а2, а, 0,6ху5у2, - 14.
Например, числовыми множителями одночлена
За2(0,4) •Ь •( —5)с3
являются: 3; 0,4; -5 , а буквенными — а2, Ь, с3.
Одночлен стандартного вида — одночлен, который содержит
только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и сте
пени с различными буквенными основаниями.
Чтобы записать одночлен в стандартном виде, нужно перемно
жить все его числовые множители и результат поставить на первое
место, затем произведения степеней с одинаковыми буквенными
основаниями записать в виде степеней.
Коэффициент одночлена — числовой множитель одночлена, за
писанного в стандартном виде.
О О
Например, коэффициент одночлена —abc2 равен —, коэффици-
4 4
ент одночлена -7 а3Ь равен -7 , коэффициент одночлена а2Ъс ра
вен 1, коэффициент одночлена - a b 2 равен -1 .
Многочлен — алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Примеры многочленов: 4ab2с 3 — одночлен; 2 a b - 3 b c — дву
член; 4ab + 3ас - Ь с — трехчлен.
Члены многочленов — одночлены, из которых состоит много
член. Например, членами многочлена 2аЬ2- За2с + 7bc - Abc явля
ются одночлены 2ab2, - З а 2с, Tbc, -4 Ьс.
Подобные члены — одночлены, которые после приведения к
стандартному виду отличаются только коэффициентами, или оди
наковые одночлены. Например в многочлене 2аЪ - ЗЬа + с 2Ь + с 2Ь
подобными членами являются 2ab и ЗЬа, с 2Ь и с 2Ь.
Приведение подобных членов — упрощение многочлена, при
котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется
одним одночленом.
Например,
2ab - Abc + а с + 3ab + bc = bab - 3bc + ac.
Стандартный вид многочлена — запись многочлена, в кото
рой все члены записаны в стандартном виде и среди них нет по
добных.
Действия над одночленами и многочленами.
1) Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких много
членов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть
скобки и привести подобные члены.
Например,
(2 а 2Ь - 3Ьс) + ( а2Ь + 5Ьс) - (3а2Ь - Ьс) =
= 2а 2Ь - 3Ьс + а 2Ь + 5Ьс - 3а 2Ь + Ьс = 3Ьс.
220

2) Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый
член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произ
ведения сложить.
Например,
(2 ab - ЗЬс)(4ас) = ( 2аЬ)(4ас) + ( -ЗЬс)(4ас) = 8а2Ьс - 12abc2.
3) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить
каждый член одного многочлена на каждый член другого много
члена и полученные произведения сложить.
Например,
(5а - 2Ъ)(За + 4Ь) = (5а)(3а) + (5а)(4*>) + (-2&)(3а) +
+ (~2Ь)(4Ь) = 15а2+ 14а£> - 8Ь2.
4) Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый
член многочлена разделить на этот одночлен и полученные резуль
таты сложить.
Например,
(4а3Ь2- 12а2Ь3):(2 а 6 ) =
= (4а3&2) : (2 ab) + (-1 2 а 2Ь3) : (2аЬ) = 2а2&- 6аЬ2.
4. Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения
(а + Ь ) 2= а2+ 2ab + b2, а3+ b3= (а + Ь)(а2- ab + Ь2),
(а - Ь)2= а 2- 2ab + Ъ2, а3- Ъ3= (а - b)(a2+ ab + Ь2),
а2- Ь2= (а + Ь)(а - Ь).
Разложение многочлена на множители — представление много
члена в виде произведения двух или нескольких многочленов. На
пример,
За* + баг/ = За ( х + 2 у).
При разложении многочлена на множители используются сле
дующие способы.
1) Вынесение общего множителя за скобку. Например,
За* + баг/ = За ( х + 2у).
2) Способ группировки. Например,
а3- 2а2- 2а + 4 = (а 3- 2а2) - (2 а - 4) =
= а 2( а - 2 ) - 2 ( а - 2 ) = (а - 2 ) ( а 2- 2 ).
3) Применение формул сокращенного умножения. Например,
2 7 *3+ 8 у6 = (Зх + 2у2) ( 9 х 2- 6 ху2+ 4у4),
г 2- 14z + 49 = (z - 7)2.
221

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель кото
рой — алгебраические выражения.
гг «г , „ о 2 + 6 З х - 2 1 /
Примеры алгебраических дробей:--------- , .
с а + 1
Предполагается, что буквы, употребляемые в записи алгебраи
ческой дроби, могут принимать только такие значения, при кото
рых знаменатель этой дроби не равен нулю.
Основное свойство дроби: при умножении числителя и знамена
теля дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается
равная ей дробь.
Например,
а - Ь _ (а - Ь)(а - Ь) _ (а - Ь)2
а + Ь ( а + Ь ) ( а - Ь ) а2- Ь2
Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраи
ческую дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Например,
* 2 - 1 _ ( X - 1 )(х + 1) ^ х + 1
х3 - 1 (х - 1 )(х 2 + X + 1) х 2+ х + 1
Сложение и вычитание алгебраических дробей проводятся по
тем же правилам, которые применяются для числовых дробей.
Для нахождения алгебраической суммы двух или нескольких
дробей эти дроби приводят к общему знаменателю и используют
правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Например, общий знаменатель дробей —^- и — равен а2Ьг , по-
а2Ь аЬ2
этому
1 | 1 _ Ь | а _ Ь+ а
а2Ь аЪ2 а2Ь2 а2Ь2 а2Ь2 '
Умножение и деление алгебраических дробей проводятся по
тем же правилам, которые применяются для числовых дробей. Н а
пример,
2а . Ь2 _ 2 аЬ2 _ 1 &
3Ь 4а ЗЬ-4а 6
х2 - у 2 х + у _ ( х 2 — у2)-4х _ 2 ( х — у)
2ху 4х 2ху(х + у) у
6. Линейная функция и ее график
Прямоугольная система координат на плоскости — две взаимно
перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и едини
цей длины.
Эти прямые называются осями координат: прямая, изображае
мая горизонтально, — осью абсцисс, а прямая, изображаемая вер
тикально, — осью ординат.
5. Алгебраические дроби
222

Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — Ох,
ось ординат — Оу.
Координатная плоскость — плоскость, на которой выбрана сис
тема координат.
Функция. Если каждому значению х из некоторого множества
чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то
говорят, что на этом множестве определена функция.
При этом х называют независимой переменной, а г/(х) — зависи
мой переменной, или функцией.
Линейная функция — функция вида у = к х + Ь, где /г и Ь — за
данные числа.
График функции у (х) — множество всех точек координатной
плоскости с координатами (х; у(х)).
Например, график функции у (х ) = 2х + 1 — множество всех то
чек плоскости с координатами (х ; 2 х + 1).
График линейной функции у = к х + Ь — прямая. При Ь = О функ
ция принимает вид: у = кх, ее график проходит через начало коор
динат.
Прямая пропорциональная зависимость: у = к х , где к > 0, х > 0 ,
/г — коэффициент пропорциональности.
Например, в формуле s = vt путь в прямо пропорционален време
ни t при постоянной скорости V .
к
Обратная пропорциональная зависимость: у = —, где к > 0, х > О,
к — коэффициент обратной пропорциональности.
Например, в формуле V = — объем газа V обратно пропорциона-
Р
лен плотности р при постоянной массе т.
7. Системы двух уравпений с двумя неизвестными
Общий вид системы линейных уравнений с двумя неизвест
ными:
{а1х + Ь1у = с 1,
а2х + Ь2у = с2,
где а р Ьг, Сц а2, Ъ2, с2 — заданные числа, х, у — неизвестные
числа.
Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстанов
ке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равен
ство.
Например, решением системы
( 4 х - у = 2,
5х + у = 7
является пара чисел х = 1, у = 2.
Решить систему — это значит найти все ее решения или устано
вить, что их нет.
223

При решении систем уравнений применяются следующие спо
собы.
1) Способ подстановки.
Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают че
рез другое и подставляют в другое уравнение системы.
2) Способ алгебраического сложения.
Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных,
почленным сложением или вычитанием уравнений системы исклю
чают это неизвестное.
3) Графический способ.
В одной системе координат строят графики уравнений системы;
по взаимному расположению прямых определяют число решений
системы; находят координаты общих точек графиков (если они
имеются).
8. Комбинаторика
Правило произведения. Если существует п вариантов выбора
первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора
второго элемента, то всего существует п • т различных пар с вы
бранными первым и вторым элементами.
Например, с помощью букв а, Ь и с можно составить 3 - 3 = 9
различных двухбуквенных кодов, в которых буквы могут повто
ряться, и 3 2 = 6 различных двухбуквенных кодов, в которых
буквы должны быть различными.

Краткое содержание
V III класса
1. Неравенства
Неравенство а > Ь означает, что разность а - Ь положительна,
т. е. а - Ь > 0.
Неравенство а < Ь означает, что разность а - Ь отрицательна,
т. е. а - Ь < 0.
Для любых двух чисел а и Ь только одно из следующих трех со
отношений является верным: а > Ь, а = Ь , а < Ь .
Сравнить числа а и Ь — значит выяснить, какой из знаков
>, =, < нужно поставить между этими числами, чтобы получить
верное соотношение.
Основные свойства числовых неравенств:
1. Если а > Ь, то Ь < а.
2. Если а >Ь и Ь > с , то а > с .
3. Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из
них одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если
а > Ь , то а + с >Ь + с и а - с > Ь - с для любого числа с.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в
другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
4. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то
же отрицательное число, то знак неравенства изменится на проти
воположный.
Если а >Ь, то
ас >Ъ с и - > - при о 0, ас <Ъс и — < - при с < 0 .
с с с с

5. Сложение неравенств. Неравенства одинакового знака мож
но складывать, при этом получается неравенство того же знака:
если а > Ь и с > й, то а + с > Ь + с1.
6. Умножение неравенств. Неравенства одинакового знака,
у которых левые и правые части положительны, можно перемно
жать, при этом получается неравенство того же знака: если а >Ь,
с > (2 и а, Ь, с, й — положительные числа, то ас>Ь<1.
7. Возведение неравенства в степень. Неравенство, у которого
левые и правые части положительны, можно возводить в натураль
ную степень, при этом получается неравенство того же знака: если
а > Ь > 0 , т о а" > Ь п при любом натуральном п .
Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и
< (меньше).
Например, 5 > 3, х < 1.
Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше
или равно) и < (меньше или равно).
Например, а2 + Ь2 > 2аЪ.
Нестрогое неравенство а > Ь означает, что а > Ь или а = Ь .
Свойства нестрогих неравенств такие же, как и свойства стро
гих неравенств. При этом в свойствах строгих неравенств противо
положными считаются знаки > и с, а в свойствах нестрогих нера
венств — знаки > и <.
Неравенство с одним неизвестным — это неравенство, содержа
щее неизвестное число, обозначенное буквой.
Примеры неравенств с одним неизвестным:
Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизве
стного, при котором данное неравенство обращается в верное чис
ловое неравенство.
Например, число 3 является решением неравенства х + 1 > 2 - х ,
так как 3 + 1 > 2 - 3 — верное неравенство.
Решить неравенство — это значит найти все его решения или
установить, что их нет.
Система неравенств с одним неизвестным — это два или не
сколько неравенств, содержащих одно и то же неизвестное число
и рассматриваемых совместно.
Примеры систем неравенств с одним неизвестным:
Решение системы неравенств — то значение неизвестного, при
котором все неравенства системы обращаются в верные числовые
Зх + 4 < 5 х - 2 ;
3 4
226

Например, число 2 является решением системы
Зх - 4 < 2х,
х + 2 >3,
так как 3• 2 - 4 < 2 •2, 2 + 2 > 3 — верные неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все ее решения
или установить, что их нет.
Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Отрезок [а; Ъ] — множество чисел х, удовлетворяющих неравен
ствам о < х < £>, где а < Ь.
Например, отрезок [2; 5] — это множество чисел, удовлетворя
ющих неравенствам 2 < х < 5.
Интервал (а; Ъ) — множество чисел х, удовлетворяющих нера
венствам а < х <Ь, где а < Ь.
Например, интервал (-2 ; 3) — это множество чисел х, удовлет
воряющих неравенствам -2 < х < 3.
Интервалами называют и множества чисел х, удовлетворяющих
неравенствам вида х > а или х < а.
Полуинтервал [а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих
неравенствам а < х < Ь ; полуинтервал (а; Ь] — множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь , где а < Ь.
Например, [3; 8) — множество чисел х, таких, что 3 < х < 8 ;
(-4 ; 2] — множество чисел х, таких, что -4 < х < 2 .
Модуль числа а (обозначается |а|) определяется формулой
Геометрически |а| — расстояние от точки 0 до точки, изобража
ющей число а.
Для любого числа а выполняется неравенство |а|>0, причем
|а| = 0 только при а = 0.
Неравенству |х < а, где а > 0, удовлетворяют числа х из отрезка
[-а ; а], т. е. такие числа х, что - а < х < а .
Неравенству |д:|< а, где а > 0, удовлетворяют числа х из интерва
ла ( - а ; а), т. е. такие числа х, что - а < х < а .
Неравенству |х > а, где а > 0, удовлетворяют все числа х < - а и
числа х > а.
Неравенству |х > а, где а > 0, удовлетворяют все числа х < - а и
числа х > а.
Абсолютная погрешность приближения — модуль разности
между точным значением величины и ее приближенным значе
нием. Если а — приближенное значение, а. х — точное, то абсолют
ная погрешность равна |х - а |.
Запись х = а ± Л означает, что абсолютная погрешность прибли
жения не превосходит Л, т. е. |х - а |< /г, или а - Л < х < а + /г.
а, если а > О,
- а , если а <0.
2. Приближенные вычисления
227

При этом говорят, что х равно а с точностью до к. Например, за
пись тг= 3,14 ± 0,01 означает, что |к - 3,141<0,01, т. е. число к равно
3,14 с точностью до 0,01.
Стандартный вид числа — это запись его в виде а 10", где
1 < а < 10, п — целое число. Например,
348 = 3,48 Ю 2, 0,027 = 2,7 10*2.
При округлении числа с недостатком с точностью до 10" " сохра
няются п первых знаков после запятой, а последующие отбрасы
ваются.
Например, при округлении числа 17,2397 с недостатком до ты
сячных, т. е. до 10_3, получаем 17,239, до сотых — 17,23, до деся
тых — 17,2.
При округлении числа с избытком с точностью до 10-" п-й знак
после запятой увеличивается на единицу, а все последующие отбра
сываются.
Например, при округлении числа 2,5143 с избытком до тысяч
ных получаем 2,515, до сотых — 2,52, до десятых — 2,6.
Погрешность округления в обоих случаях не превосходит 10 ~л.
Округление с наименьшей погрешностью: если первая отбра
сываемая цифра данного числа меньше 5, то округляют с недо
статком, а если эта цифра больше или равна 5, то округляют с из
бытком. Например, при округлении числа 8,351 до сотых получаем
8,35, а при округлении до десятых — 8,4.
Запись х ~ а означает, что число а является приближенным зна
чением числа х. Например, 42 ~ 1,41.
Относительная погрешность — частное от деления абсолютной
погрешности на модуль приближенного значения. Если х — точное
значение, а — приближенное, то относительная погрешность равна
х - а
Iа I '
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Например, если точное значение величины равно 1,95, а прибли
женное равно 2, то относительная погрешность приближения равна
|2- 1,95 1_ 0^05 _ 0 025^ или 2,5%.
2 2
3. Квадратные корни
Квадратный корень из числа а — такое число, квадрат которого
равен а.
Например, 6 — квадратный корень из числа 36; число -6 также
квадратный корень из числа 36.
Извлечение квадратного корня — действие нахождения квад
ратного корня. Извлечь квадратный корень можно только из неот
рицательного числа.
228

Арифметический квадратный корень из числа а (обозначается
л/а) — неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Например, -/16=4, V 144 = 12.
Выражение л/а имеет смысл только для а > 0, при этом
у[а> 0, (л/а)2= а.
Тождество — равенство, справедливое при любых значениях
входящих в него букв.
Равенство уГа2 =а является тождеством, так как выполняется
при любом а.
Например, 7(25)2 = 125|= 25, у1(-15)2 = |-15| = 15.
Если а > Ь > 0, то [а > у[ь.
Например, л/г7 > >/Тз, так как 17 > 13 > 0.
Свойства квадратных корней:
1) у[аЬ = у[а ■4ь , если а > 0, Ь > 0.
Например, -Zl44-196 = л/144 •л/196 = 12 • 14 = 168.
2) . [ ^ = если а > 0, Ь > 0.
V ь
Например, / 1 6 9 = ^ = 1 3 .
V225 ^225 15
3) Вынесение множителя из-под знака корня:
у]а2Ь = а>/б, если а > 0, Ь > 0.
4) Внесение множителя под знак корня:
а^Ь = 4 а 2Ь , если а > 0, 0.
Среднее арифметическое двух чисел а и Ь — число - * &.
Среднее геометрическое двух положительных чисел а и Ь —
число у[аЬ.
Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше
среднего геометрического этих чисел:
—+ Ь > •/аЬ, если а > 0, Ь > 0.
Рациональное число — число вида — , где т — целое, п — на
га
туральное число.
Рациональное число можно представить в виде конечной деся
тичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Например, - = 0,4; =-0,33 3... = -0 ,(3 ).
5 3
Иррациональное число — бесконечная непериодическая деся
тичная дробь.
229

Например, 0,1001000100001... .
Иррациональными числами являются также числа >/2,л/з,->/5,я.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел.
Каждое иррациональное число можно приближенно заменить
конечной десятичной дробью, т. е. рациональным числом.
Например, число л можно приближенно заменить числом 3,14;
л/2 приближенно равен 1,41.
На практике при вычислениях с иррациональными числами вы
полняются действия над их рациональными приближениями.
Например, так как у[2 ~ 1,4, -1з ~ 1,7, то 42 + 4з ^ зд.
Для приближенного нахождения квадратных корней использу
ют таблицы или вычислительные машины.
где а, Ь и с — заданные числа, причем а * 0 , х — неизвестное.
Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а — пер
вый или старший коэффициент, Ъ — второй коэффициент, с — сво
бодный член.
Примеры квадратных уравнений: 2 х 2- х - 1 = 0, Зх2+ 7 = 0.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение
ах2+ Ьх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов Ь или с
равен нулю.
Примеры неполных квадратных уравнений: х2= 0, 5лг2+ 4 = 0,
8 х2+ х = 0.
Уравнение вида х 2= с1, где (I > 0, имеет два действительных кор
ня х 1 2= ±л/^. Если с?= 0, то уравнение х 2= 0 имеет один корень
х = 0 (два равных корня).
Если <2< 0, то уравнение х 2= с1 имеет два комплексных корня
х х 2= |•I (I — такое число, что I2= -1).
Квадратное уравнение а х 2+ Ьх + с = 0, где а, Ь и с — действи
тельные числа, имеет корни х х, х 2 (действительные или комплекс
ные), которые находятся по формуле
Например:
1) уравнение Зх2+ 5 х - 2 = 0 имеет два действительных корня:
4. Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида
ах2+ Ьх + с = 0,
2а
-5 ± л/25 + 24 _ - 5 ± 7
6 6
230

6 ± V 3 6 - 100 0 .
х, о= ------------- =3±4г.1 , 2 2
Приведенное квадратное уравнение — уравнение
х 2+ рх + q = 0.
Формула корней приведенного квадратного уравнения:
2) уравнение х 2- 6 х + 25=0 имеет два комплексных корня:
K .-h Œ 7'-
Например, корни уравнения х 2- 6 х - 7 = 0 таковы:
х, 2= 3 ± V9 + 7 = 3 ± 4, т. е. Xj = 7, х2= -1.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного урав
нения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным
знаком, а их произведение равно свободному члену: если х 1 и х 2 —
корни уравнения х 2+ рх + q = 0, то
х 1+ х2= - р , x l x 2= q.
Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, х х, х 2 та
ковы, что х 1+ х2= - р , x l x 2= q, то х 1 и х 2 — корни уравнения
х 2+ рх + q = 0.
Квадратный трехчлен — многочлен ах2+ Ьх + с, где а * 0 .
Разложение квадратного трехчлена на множители — представ
ление его в виде
ах2+ Ьх + с = а ( х - хх)(х - х 2),
где х г, х2 — корни квадратного уравнения ах2+ Ьх + с = 0.
Например, 2 х2+ Зх - 2 = 2 ^х - ^ j(x + 2).
Комплексное число — выражение вида a +bi, где а и b — дейст
вительные числа, г2= - 1; а — действительная часть, b — мнимая
часть комплексного числа a + b i .
Равенство комплексных чисел: a + b i = c + d i , если а = с, b = d .
Арифметические действия над комплексными числами выпол
няются так же, как действия над многочленами, считая, что г2= -1.
Сопряженные комплексные числа — числа a + b i и a - b i .
5. Квадратичная функция
Квадратичная функция — функция вида у = а х 2+ Ь х + с , где а,
Ь, с — заданные действительные числа, а Ф 0, х — действительная
переменная.
Нули квадратичной функции — значения х, при которых она
обращается в нуль.
Например, функция у = х 2- 2 х - 3 имеет нули: х, = -1 , х2= 3.
231

Графиком квадратичной функции является парабола.
В частности, графиком функции у = х 2 является парабола с вер
шиной в точке (0; 0); ось симметрии параболы — ось ординат.
В общем случае вершиной параболы у = ах2 + Ьх + с =
= а ( х - х 0) 2+ у0 является точка (х0; у0), где х 0= ^ , у0 = у ( х 0). Ось
симметрии параболы — прямая, параллельная оси ординат и про
ходящая через вершину параболы (см. рис. 44).
Параболу у = а х 2+ Ьх + с = а ( х - х 0) 2+ у0 можно получить сдви
гом параболы у = а х 2 вдоль координатных осей.
Схема построения графика квадратичной функции
у = ах2+ Ьх + с :
1. Построить вершину параболы ( х 0 у0), вычислив х0, у0 по
формулам х 0 = - А , Уо = у( х 0).
2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную
оси ординат, — ось симметрии параболы.
3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абс
цисс соответствующие точки параболы.
4. Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные
относительно ее оси, например точки с абсциссами х = 0 и
х = 2 х 0= и ординатой у = с.
5. Построить дополнительно еще две точки параболы. Провести
через построенные точки параболу (рис. 67).
у 1

V /
т
4 г
*° / *х
г) д) е)
Рис. 67
232

Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции.
Функция у = ах2+ Ьх + с = а ( х - х 0) 2+ у0 принимает наименьшее
(если о > 0) или наибольшее (если а < 0) значение, равное у0 = у (х 0),
п р и х = х 0= - ± .
6. Квадратные неравенства
Квадратное неравенство — неравенство, в левой части которого
стоит квадратный трехчлен, а в правой — нуль.
Примеры квадратных неравенств:
х 2 - х + 2 > 0 , 2 х2- Зд:- 4 < 0.
Решение квадратного неравенства — значение неизвестного,
при котором это неравенство обращается в верное числовое нера
венство.
Например, значение х = 1 — решение неравенства х 2- х + 2 > 0,
так как 1 -1 + 2 > 0 — верное неравенство.
Решить неравенство — это значит найти все его решения или
установить, что их нет.
Для решения квадратного неравенства с помощью графика
квадратичной функции нужно:
1) определить направление ветвей параболы по знаку первого
коэффициента;
2) найти корни, если они есть, соответствующего квадратного
уравнения;
3) изобразить эскиз графика и с его помощью определить про
межутки, где функция принимает положительные (неотрицатель
ные) или отрицательные (неположительные) значения.
Решение неравенств методом интервалов рассмотрим на приме
ре неравенства
( х - х у ) ( х - х 2) ( х - х 3) < 0 ,
где х г, х 2, х 3 — заданные числа, х г < х 2< х3. Точки х 2, х 3 разби
вают всю числовую ось на четыре интервала (рис. 68). На каждом
интервале сохраняет знак левая часть неравенства и при переходе
к соседнему интервалу знак левой части меняется на противопо
ложный. Так как при х > х 3 левая
часть неравенства положительна, то
решениями неравенства являются ----------1----------- 1---------- 1--------
следующие значения х:
х < Ху, х2< х < х 3 (рис. 68.) Рис. 68

Ответы
5. 2) 18; 4) -2 . 16. 2) х х= 0, х2= 2; 4) х 1= -4, х2 = -5.17. 2) х х= -1,5, х2= -1;
4) х1= | , х 2 = - | . 18. 2) х х= 0, х2 = 1;4) х х= 0, х 2 = - | . 19. 2) х х= 4, х2 = -4 ;
5 3 3
4) х 1= - , х2 = 20. 2) х = 1; 4) х = - - . 21. 2) х = -1; 4) х = 1 . 22. 2) х х= О,
7 7 2 3
х2 = 2; 4) х х= -3 , х2 = 2; 6 )х = 3 . 23. 2) х х= 7, х2 = -7; 4) х х= 0, х2=
5
24. 1 )х = 10; 2 )х = - ^ ; 3) корней нет; 4) корней нет. 26. 1) —1;2) 0.
7
27. 1) а2; 2) 2. 28. 2) 1 > 0,3; 4) -5 > -0,7. 29. 2) 6 > а; 4) а < Ь. 31. 2) При
3 8
К
а = -0,8 меньше, чем при а = - - . 34. Первый. 36. У к а з а н и е . Доказать
6
равенство ал + Ь4 - а3Ь - а Ь 3= ( а - Ь)2(а 2 + аЬ+ Ь2). 39. 2 )а < 0 ; 4 )а > 0 .
40. 2) -9 < -3. 41. 2) а + 36 > -2 6 . 42. 2) 8 >6. 43. 2) а - 36 < За.
44. 2) а - 5 < 6 -5 . 47. 2) 19 > 12; 4 )-1 2 > -1 4 . 48. 2) а < -0 ,2 5 ; 4) а < 2.
49. 2) 0,9 > -2 ; 4) 5 > 3. 50. 2) а < -2 ; 4 ) х < - | . 52. 2) 0,19а <0,196;
4) - — > 6) - ( а -5 ,2 ) < —(6 -5 ,2 ). 55. 1) Да, при 6 <0; 2) да, при 6 >0;
6 6 3 3
3) да, при 6 = 0; 4) да, при 6 < 0 ; 5) да, при а >26; 6) да, при а = 26.
58. 1) Нет, верно только при 6 > 0 ; 2) нет, верно только при 6 > 0 ; 3) нет,
верно только при аб > 0; 4) верно. 60. 2 )-5 < 7; 4) 71/> 1. 61. 2) 25 <58;
4) 12 < 4 х2 -1. 75. 2) п = 3; 4) п = -6; 6) п = -1. 76. 2) п = 6; 4) п = -3; 6) п = 4.
77. 2) х = -9. 78. 2) Л > 5; 4) V < 60. 79. 2) Верно; 4) неверно. 80. 2) Верно;
4) неверно. 84. 2) 1 3 -х <2; 4) 2 ( х - 3) < 2; 6) 2 х (-4 ) > х - (- 4 ). 85. 2) -2; -5;
234

88. 2) х < - 3; 4) х > 0; 6) х < 0. 90. 2) х < 14; 4) у > 9; 6) z < 4. 91. 2) х > -8 ;
4) г > -15; 6) х < - 2 . 92. 2) х < 6 ; 4) х > 5 ; 6) х < - 2 . 93. 2) х > 3 ; 4) х > 0;
6) х 5> 2. 94. 2) х < - ; 4) х < -3; 6) х < 5^. 95. 2) у > ~ ; 4) у < ~ ; 6) у > - .
8 6 8 8 3
96. 2) у = 4; 4) х = 0. 97. 2) х = -1; 4) х = -4. 98. 2) х > 2,5; 4) у > -4. 99.2) х > і ;
З
4) х > — . 100. 2) Ь < - 5 —; 4) х > -1 —. 101. 2) х — любое число; 4) х — любое
11 3 7
число; 6) х — любое число. 102. 2) Решений нет; 4) решений нет. 103. 2) х < l i
6
4) х < 6.104. 2) х > 2; 4) х > -20; 6) х > 0,5.105. 2) х < 1,6; 4) х < 0.106. 2) х < 7
4) х < 5. 107. 2) х < 0,5; 4) х > -0,5. 108. Не менее 37 платформ. 109. Не ме
нее 43 деталей. 110. 2) 20 см. 111. 11. 112. 14. 113. Не менее 16 км/ч
114. Больше 31 км/ч. 115. х > -0,7.116. х < 2.117. На 63 см. 118. 2) 10; 12
1 1 9 .2 )1 ; 2. 1 2 0 .2 )0 ; 1; 2; 3; 4 )- 5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0; 1; 2; 3
4; 5. 121. 2) [-1 ; 3]; 4) (1; 2); 6) (-4 ; -2 ). 122. 2) -3 < х < -1 ; 4) 0 < х < 3
6) -2 < х < 2. 123. б) -1 < х < 2, (-1 ; 2); г ) - 4 < х < 0 , (-4 ; 0]. 124. Да
125. Да. 127. б) -3 < х < 1; таких значений х не существует; г) -5 < х < 0
таких значений х не существует. 128. 1 )х < 0 ,6 ; 2) х < - —; 3 )х > - 3 ,5
3
4) х > -4,5. 129. 2) * > 0 ; 4) х > - 2 . 130. 2 ) х < - 1 ; 4) х < 0 . 131. 2) 3 < х < 6
4 ) 0 < х < | . 132. 2) -1,5 < х < 1,5; 4 )-0 ,5 < х < 7,5. 133. 2 )х > 4 ; 4 ) х > - 3
134. 2 ) х < - 2 ; 4) х <4. 135. 2) х < -2,5; 4 ) 2 < х < 5 . 136. 2) -5 < х < -1
4) 0 < х < 1 3 7 . 2) -0,5 < х < 2; 4) х > 0.138. 2) 2,1 < х < 3,5; 4) 4,5 < х < 6,5
3
139. 2) х > -17. 140. 2) -4 < х < 13; 4 )- 2 < х < 1 . 1 4 1 .2 )1 ; 2; 4 )4 ; 5
142. 2) Таких значений х не существует; 4) 0 < х < 2.143. 2) х < -2; 4) х < 6
144. 2) Больше 4 м, но меньше 13 м. 145. 24. 146. 36. 147. Не меньше
8 л, но не больше 24 л. 148. Риса больше 20 кг, но не больше 40 кг
ячменя больше 80 кг, но не больше 160 кг. 150. 2) х 12 = ±1,5; 4) x t = 0
х2 = -6. 151. 2) х = 2; 4) х = —. 152. 2) x t = -0,25, х2 = -1,25; 4) х х= 1, х2 = -
4 3
153. 2) * 12 = ±2,1; 4) х 1= -5, х2= 11; 6 ) ^ = 0, х2 = 1,5. 155. 2) -2 < х < 2
156. 2) |х I < 0,3. 157. 2 )-2 ,2 < х < -1,8; 4 ) i < x < l l . 158. 2 )- 3 < х < О
4 4
4) 1 < х < 1,5. 159. 2) х < 0,9, х > 3,1; 4) х < 2 - , х > 3 ^ . 160. 2) х < -1, х >
3 3 3
4) х <0, х > 1,6. 161. 2) -1 ; 0; 4) 0; 1. 162. 2 )-1 < х < 1 - ; 4 )х < 0 , х > 3
3
6 ) х < -2 , х > 5. 163. 2) — < х < 1 -і; 4) - 3 ^ < х < -3 . 164. 2) х < 2. 165. 2) По
3 3 3
ложительно; 4) отрицательно. 166. 2) а > 0; 4) а < 0. 170. 2) Xj = 0, х2 = 1-і
4 ) х 1= -4, х2 =0,5. 171. 2 )х = 0,5; 4 ) х 1= 3, х2 = -2. 172. 2) 2 + Ь - а > О
4) а - 3 - Ь< 0. 178. 2) у — любое число; 4) х > 7. 179. 2) х < 2. 180. б) -3 < х < 3
|х| < 3; г)0 < х < 4, |х-2|< 2; е) -6 < х < -2, |х+4|< 2.181. б) |х|> 2; г) |х-3| > 1
4) і ; 0; -1 ; -2 ; -5 . 86. 2) у > 0; 4) при любом у; 6) у * -2. 87. 2) і/< 2; 4) у < 0.
235

е) |х+ 4 |> 1. 182. 2) х, = 3,4, х 2 = -1,4; 4 ) х х= 1, х 2 = ~. 183. 2) х < -2 ,4 ,
3
х > 4,4; 4) х < -2, х > 1; 6) х < -0,3, х > 0,7. 186. 2), 4) таких значений не су-
ществует. 187. 2) х = 4 - ; 4) решений нет. 188. 34. 189. 47. 190. 7 деталей.
9
191. 24 места. 193. Больше а км/ч, но не больше 2а км/ч. 194. Не менее
15 л. 196. 1) х = 1,5; 2) х = 6,5; 3 )х = 0,5; 4 )х = 1; 5 )х = -5; 6) х = -8 .
199. 2) — ; 4 ) — . 2 00.2) 0,004; 4 ) — . 2 0 1 .2 ) 0,08; 4) 0,08. 202.3°.
18 225 350
203.1. 204. Верно. 205. 2,3 < х < 2,5. 206. 7,42 < х < 7,44. 208. 2) 141« т «1 4 3 ;
7
4) 895 < и < 905; 6) т - п < у < т + п. 209. 2) 2,6 и 2,8; 4) -6,1 и -5,7.
210. 2) Нет; 4) да. 211. 2) Да; 4) нет. 212. 2) 5,5; 4) 3,9; 6) 0,575.
217. Нет. 222. 2) 0,7; 4) 3,7. 223. 2) 0,07; 4) 1,67; 6) 5,07. 224. 2) 0,385;
4) 7,643. 225. 1) В первом. 226. 50 км/ч. 228. 2) 0,41; =3,7% ; 4) 0,108;
10,8%. 229. 2) =2% . 230. 2) Второе. 231. «1 % ; 0,1% ; 0,01%. 232. Первый.
233. 2) 0,000398. 234. Второе. 235. -0 ,2 2 % . 236. Первое. 239. 2) 6; 0 —
верные цифры, 7 — сомнительная цифра; 4), 6), 8) — все цифры верные.
240. 2) х = 2,7±0,1; 4) х = 4,3204±0,0001; 6 )х = 350±1; 8) х = 2,4 • 103 ± 102.
241. 2) 11,3; 4,5; 4) 65,70; 12,76; 6) 9,4; 1,8. 242. 2) 6,9; 3,7; 4) 15,1; 2,5.
243. 2) 4,5; 2,7; 4) 8,2 • 103; 8,9 • 10"4. 244. 2) 10,8 • 102; 4,0 • 102;
4) 5,34 • 103; 2,86 • 103; 6) 177; 65. 245. 2) 0,68; 0,00065; 4) 2,8 • 108;
1,6 • 10°; 6) 1,886 • 10~2; 1,756 • 10°. 255. 2) 14,004; 4) 2,615. 256. 153,68 г.
257. =4,72 м3. 258. 1414,08 мм2. 259. 2) -1,22. 261. 2) 6 -10 8; 4) 3 1 0 "8.
262. 2) 4,3024• 102; 4) 3.6021 103; 6) 6,8345-Ю -2; 8) 1,2345678-107.
263. 2 )-4 ,5 3 -10"1; 4 ) -4.50102 102; 6)-3,54001-10°; 8)-1,2345678-104.
265. 2) 0,23; 4) 0,0023. 266. 2) 0,702; 4) 0,049. 267. 2) -1,4444-Ю 8;
4)-2,8831-10'3. 268.2) 40 238; 4) 554 764 530. 269. 2) 1,828624 • 1015;
4) 29,2521. 270. 2) 3 • 1016; 4) =1,98 • 102. 271. 1) 0,0014 г; 2) 1,4513 г;
3) 0,5077 г; 4) 0,0710 г. 272. 1) 463,7; 2) -69,2. 273. 2) 547,56;
4) 25 281; 6) 1,9881 • 10~4. 274. 2) 4,7619 • 1(Г2; 4) -7,1428 • 10~2;
6) -1,2315 • IO-1; 8) 12,345679. 275. 2) 9261; 4) 702,75; 6) 3,0389 • 10"7;
8) 5,6689342. 276. 2) 0,3075; 4) 25,575447; 6) 1,2458472. 277. 3 667 225 м2.
278. 2) 7,8633047 • 10 23. 2 79.1) 437,67; 2) 52,13. 280.-1,37; -30,11;
1,77; 12,33. 281. 2) =206; 4) =-9,625. 282. 2) 0,3997638; 4) 0,2408157.
283. =38,6 см; =70 см2. 284. =5,2 м. 285. 2) 25575; 4) 453. 286. 2) 0,98.
2 8 7 .2 ) 3,08; 4 )1 5 ,7 ; 6) 2,25. 2 8 8 .2 ) 45,4; 4) 3711,8. 289. =29 к.
290. =0,4 мм. 291. =14 А. 292. =1,60 Ом. 293. =1,6 А. 294. 2) 55 528 000;
4) -2,1111-1032. 295. 2) 3,8261-1016; 4) 1,2678-10_3. 296. 2) 4765;
4) 53,24427. 297. 2) -3,9. 298. 2) 64,102052. 299. = 3 ,5-Ю '50м. 300. =67 Дж.
301. =1,5 • 105 Дж. 302. 1,88 • 104; 2,04 • 104; 1,32 • 104; 4 ,6 0 -Ю 3.
303. 2 ) -0 ,5 8 4 3 . 304. 4 ,2 ; 2 ,7 ; 2 ,4 ; 2 ,2 . 305. 3593,1 к к а л . 306. 2 ) 10 дм ;
4) ? мм. 307. 9; 8; 10; 0,4; 0,3; 0,5; 1,2; 70; 80. 308. 2) Верно; 4) верно.
7
309. 2) 9; 4) 0,25. 310. 2) 2; 4) 0,4; 6) 0,125. 311. 2) 9; 4) 5; 6) 8. 312. 2) 10;
0; 20. 313. 2) а < 0 ; 4 ) а > - 3 . 314. 2) х = 100. 315. 2) ^0,04 < J 0,09.
317. 2) 0,008; 4) 0,(27); 6) -3,(142857). 318. 2) |; 4) Щ . 319. 2) 1,03 < 1,0(3);
236

4) 3,7(2) > 3,72. 322. 2) 3,606; 4) 2,074; 6) 0,224. 323. 3 м 46 см. 324. 4) 28;
6) 12,4. 3 25.2) 47,5; 4) 177,5. 3 2 6 .1 ) 2,66; 2 )1 ,4 4 ; 3 )3 ,2 7 ; 4)3 ,1 3 .
327. 2) Верно; 4) верно. 328. 2) 2; 4) 2. 329. 2) 16; 4) 121; 6) 125. 330. 2) л 6;
4) |63|. 331. 2) 0; 4) 6. 332. 2) 2,7 > л/7; 4) >/18,49 = 4,3. 334. 2) 12 < л/ТбО < 13;
4) 2 < ,/8/7 < 3. 335. 2) >/5-2; 4) 4 - л/15. 336. 2) - а - 3; 4) З Ь - а. 338. 1) х > 2;
2) х < 2. 339. 1) 0,41; 2) 0,24. 340. 2) 1,3; 4) 72. 341. 2) 40; 4) 18. 342. 2) 78; 4) 42.
343. 2) 30; 4) 22; 6) 1. 344. 2) 80; 4) 25. 345. 2) 392; 4) 108. 346. 2) 7; 4) 30.
347. 2) Хл/2; 4) а3 л/з. 348. 2) 5ал/3; 4) 5а^2а. 349. 2) 3^2; 4) 1-2л/б; 6) 8л/з.
350. 2) л/27; 4) л/з. 351. 2) %/2а^; 4) л/Зх. 352. 2) 2л/40 = 4Л О ; 4) 2л/45 < 4л/20.
353. 2) 4 х / х . 354. 2) 1. 355. 2) 8>/5; 4) 5^2. 356. 2) 0,6айл/аЬ.
357. 2) ( >/б - 4 )(л/б + 4); 4) ^л/& + | ^ 358. 2)л/£-4; 4 )0 ,9 -л[ь.
359. 1) 34,2; 2) 88; 3) 64,8; 4) 75,3; 5) 39,5; 6) 14,5. 362. 2) 1 -; 4) 2 - .
7 3
363. 2) 0; 4) -1 ^ . 364. 2) 4; 4) 12. 365. 2) 7 ^ ; 4) 3 - . 366. 2) 4) 3 ~-^ ;
45 15 4 3 7
6) л/5-л/2; 8) 9 + 4л/б. 3 6 7 .2 ) 0,36; 4) 2,52. 368. В 6 раз. 3 6 9 .2 )1 1 ^ 1 ;
8
4) -2 0 . 370. 2) а) -1; б) 1. 371. 4) 1; 6) -11. 373. 2) л/х + З ^ . 374. 1) 1,19;
а 4
2) 0,61; 3) 6,43; 4) 9,63; 5) 0,78; 6) 1,31. 377. 2) 0,1; 4) з 1 . 378. 2) ^ОГЗ;
3
4) 5. 379. 2) 540; 4) 195. 380. 2) 28; 4) 20. 381. 2) 3; 4) 382. 2) 27;
3
4) 216; 6) 49. 383. 2) 1,5; 4) -4 + 0,1л/б; 6) -2л/2-10л/з. 384. 2) х (х -л / 3 );
4 ) — 1 —— ; 6 ) ^ . 385. 2) х = 16; 4 )х = 4. 386. 2 )х > 3 ; 4 )х > 2 ,5 .
>/&-4>/а у[2
387. 2) а) 7 -2 в ; б) 3; в) 2 а -7 . 388. 39. 389. 2) — 4) -2 у[ь. 391. 2)
а + л/й а
392. 2) ■ ^ + 7 3 . 4) 15+11л/3 3 9 4 . 2 ) 1 ,4 6 ; 4) 3,7. 3 9 5 .2 ) 0,174;
4 6
4) 0,105. 396.2) 8,4; 4)12,7; 6) 51,2. 399. 2) а) 2 -5 х ; б) х; в )5 х -2 .
400. ^а + Ь < 4 а + у[ь. 403. 2 ) - х 2 + 9 = 0; 4 )х 2= 0. 404. 2) х 2 - 4 х - 9 = 0;
4) 5х2+ 1= 0. 405. 1 )-3 ; 3; 2 )- 3 ; 2; 3 )- 2 ; 1; 4 )0 ; 1; 5 )1 ; 2; 3;
6) -1; 3. 408. 2) х 12 = ± | ; 4) х 1>2 = ±1,5; 6) х 12 = ±л/Тз. 409. 2) х 12 = ±11;
4 )х = 0; 6) действительных корней нет. 410. 2) х 1= 0, х2 = -2 ; 4 )х 1= 0,
х2 = 0,6; 6) х = -3. 411. 2) х 1>2 *± 5 ,5 7 ; 4) х 1( 2 ~ ± 25,98; 6 ) х 1 2 *± 0 ,1 4 .
412. 2) х 12 = ± 1 . 414. 1) Ь = 4, х = -2; 2) &= 6, х = 3; 3) &= 16, х = 4; 4) Ъ= 1,
2 9
х = - 1 . 415. 1) х 1= -1, х2 = -3; 2) х, = -1, х2 = -2. 417. 2) х = 0; 4) х 1ш2 = ±3;
3
6) х 12 = ±3л/3; 8) х х. 2 = ±20. 418. 2) Ху = 0, х2 = -5; 4) х 1= 0, х2 = 0,04; 6) кор
ней нет. 419. 2) х и2 = ±11; 4 )х 1 .2= ±л/5; 6 )х 1>2 = ±11. 420. 2) х и 2= ±2;
4 3
237

423. 2) х, 2 = ±8 ; 4) х Ь 2 = ±2. 424. О и 2. 425. ±2.426. 50,5 м. 427. 1) х = -3;
2) х = 0. 428. 2) т = 9; 4) ш = 64; 6 ) т = 6 . 429. 2) х, = 2, х2 = ~6: 4) х, = 8 ,
х2 = 2; 6 ) х | _2 = —4 ± л/23. 430. 2) х 1 = ^ , х2 = - 1 . 431. 1) х ,= 1, х2 = 4;
5 5
2) х, = 5, х2 = -2. 432. 1) X! = 1, х2 = -2,5; 2) х, = 2, х2 = - - . 433. 2) 0,4; 4) 85.
5
434. 2 )х ! = 1, х2= 0,5; 4 )х 1 = 3 , х2 = 0,5; 6 ) х 1 = 2, х2 = —. 435. 2 )х 1 = 4,
4
х2 = -0,5; 4 )х ! = -1, х2 = | ; 6 ) 8) ^ = х> х2 = - | . 436. 2 )х = 1;
4) х = - - . 437. 1), 2), 3), 4) действительных корней нет. 438. 2) Два; 4) ни
6
одного. 439. 2) Действительных корней нет; 4) х = 2,5; 6 )Х ! = 4, х2 = -1 .
440. 2 )х , = 1, х2 =0,2; 4 ) х 1 = 7, х2 = - 8 ; 6 ) х 1 2 = ■ 441. 2 )х 1 = 7,
х2 = -11; 4) х 1 = 0,6, х2 = -3. 442. 2) а > 1-. 4 4 3 . 2 ) 9 = 1. 444. 2 ^ = 0,5,
8
х2 =-1,5; 4 ) х 1 = 5, х2= ~. 445.2) х 1 = -3,1, х2 = -1,7; 4 ) х 1 = -57,
5
х2 = 111. 446. х = - т ± -у/т2 - с. 2 )х , = -4, х 2 = - 6 ; 4 )х ! = 49, х2 = 1.
447. 1) х, = -3,13, х2 = -1,25; 2) х х~ 4,51, х2 = 8,57; 3) X! « -22,08, х2 * 3,08;
4) х х~ -2,04, х2 » 25,04. 450. 2 )х х= 7, х 2 = -1 ; 4 ) х х= 4, х2 = -10; 6 ) х ! = 2,
х2 = —1. 455. 2) х 2 - 5х + 6 = 0; 4) х2 - З х - 1 8 = 0 . 456. 2) х ^ З , х2 = 4;
4) X] = -1, х2 = -7; 6 )Х 1 = 3, х2 = -5. 457. 2) ( х - 1 ) ( х + 5); 4) (х + 7 )(х - 6 );
6 ) (2 х + 1)(4х+ 3); 8 )(х + 2 К 1 - 4 х ). 458. 2 )х + 6 ; 4) — 6 ) -£ ± 3 ..
х + 7 З х+1
459. 2) х^ 2 = 4ь ± 2; 4) х ь 2 = 2(^7 ± у[б). 460. 2) х ( х + 7 ) ( х - 3); 4) х (х -1 1 )х
х (х + 2). 461. 2) 4) 462.2 ) - -----; 4) дс~ 1 . 463. х 2 -
х + 8 х - 5 ( х + 3 )2 х (х + 1 0 )
-р х - д = 0. 464. 9 = 8 , х х= -2, х 2 = -4. 465. р = -4, х 1 = 1, х 2 = 3 или р = 4,
х, = —1, х2 = -3. 466. 1 ) - А ; 2) 17—; 3) -3 — ; 4 )5 8 — . 467. 1 ) х , = -2,414,
15 9 45 27
х2 «0,414; 2) X! = -0,732, х2 » 2,732; 3) х х= -6,3, х2 = 4,5; 4) х 1 = -18, х2 = 57;
5) х 1» 1,42; х2 « 10,58. 468. 2 )х 1 > 2 = ±1, х3 > 4 = ±2; 4) х 1-2= ±1, х3 >4 =±7.
469. 2) х 1 2 = ±1; 4 ) х 12 = ± 4 ь . 470. 2) х, = 7, х2 = з А ; 4) х, = 40, х2 = -2 0 ;
3
6 ) х х= 6 , х2 = - —. 471. 2) х, 2 = ±10; 4) корней нет; 6 ) х = -3. 472. 2) Нет.
3
473. 2 )х = 0. 474. 1 )Х ! = 2, х 2 = 0, х 3 = 3, х4 = -1; 2 )Х ! = -4, х2 = - 6 .
475. 1) х, 2 =±1,24; 2) х,, 2 = ±0,924; 3) х ь 2 = ±1,28; 4 ) х 1 > 2 = ±1,8.
476. 2) 14 и 15. 477. 2) 19 и 21. 478. 10 см, 40 см. 479. 140 м, 175 м.
480. 100 км/ч, 80 км/ч. 481. 10 км/ч. 482. 10 дней, 15 дней. 483. Сторона
квадрата равна 15 см. 484. 9 см, 40 см. 485. 18 км/ч, 15 км/ч.
486. 30 дней, 20 дней. 487. 18 км/ч. 488. 60 км/ч. 489. 10 дней, 15 дней.
490. 8 % . 491. 4 кг, 6 кг. 492. 2) (4; 1); 4) (0,5; 3). 493. 2) (7; -5 ), (-4 ; 6 );
4) * ! 2 = ±11. 421. 2) хх= 0, х2= 4; 4) х, =0,х2=-2,5. 422. 2) хх= 0, х2=2А .
238

4) (-1 ; -1 ), (7; 23). 494. 2) (4; -3 ), (17; 10); 4) (4; 1), (-1 ; -4). 495. 2) (1; 7),
(7; 1); 4) (-2 ; -5 ), (-5 ; -2). 496. 2) (4; -1 ); 4) (3; 1). 497. 2) (2; 5), (5; 2),
(-2 ; -5 ), (-5 ; -2); 4) (1; 5), (5; 1), (-1 ; -5 ), (-5 ; -1 ). 498. 5 и 13. 499. 4 и 36.
500. 2) (7; -1 ), (-1 ; 7). 501. 2) (4; 1), (-1 ; -4 ); 4) (2; 4), (4; 2); 6) (2; 2).
502. 2) (1; 4), (-4 ; -1 ); 4) (1; 5), (5; 1), (-1 ; -5 ), (-5 ; -1 ). 503. 2) (9; 4).
504. 300 м, 200 м. 505. 64. 506. 1) (2; 3), (3; 2); 2) (3; 5), (5; 3).
507. 20 км/ч, 12 км/ч. 509. 2) А + Ь ; 4) - ? - 3 / . 510. -0,5 + VI/ = -А+ 2/,
3 4 7 2
3-2/ = >/27 —л/4» = л/9- л/8/, -у/9-4/ = >/27 —л/Тб1 . 511. 2) х = 7, у = 4; 4) х = 1,
|/= 6. 5 1 2 .2 )5 -4 / ; 4 )0 ; 6 )-/ . 5 1 3 .2 )1 -6 / ; 4)6/; 6 )4 . 514.2)15+10/;
4) -11+13/. 515. 2 )2 -3 / ; 4) -7 + 5г; 6 )1 - ^ / . 516. 2 )^ - И / ; 4 ) - — +-?-/.
3 5 5 5 13 13
517. 2 )-2 -2 / ; 4 )2 + 3 / ; 6)12 + 4/. 5 1 8 .2 )0 ,8 + 4,4/; 4)0,7-0,4/; 6 ) — .
13
5 1 9 .1 )1 - / ; 2 ) - 1 ,6 + 1,8/; 3 ) 2,5 —1,5/; 4 ) - 2 - / . 520. 1) (а + 2 Ы ) ( а - 2 Ы );
2 ) ( З а + 5 Ы )(З а - 5 Ь / ); 3 ) (2 л/ 2 а+ 46/ )(2 л/ 2 а - 4 6 / ); 4 ) (9 а + л/56/)(9а-л/56/).
521. 1) 5 + 1 2 / ; 2 ) 2 -1 1 / ; 3)/; 4 ) 1 ; 5 )2 4 / ; 6 ) - 1 4 . 522. 2) г 1>2 = ±/л/3 ;
4) г, 2 = ± ^ ~ 1 . 523. 2) г 12 = 2±/; 4) г 12 = -2 ± 3 / ; 6) г 1>2 = 4±5/.
524. 2) г 1' 2 = -0,5±/; 4) г 12 = 1±1/; 6) г12 = 3±л/21 . 525. 2) г 2 - 4 г +
4
+ 13 = 0; 4) г2 + 14г + 65 = 0. 526. 2) г2+ г + ! ! = 0; 4) г 2-2л/3г + 5 = 0.
36
527. 2 ) (г —1 —3/)(г —1+ 3/);4) (5 г + 5 - /)(5 г + 5 + /). 528. 2 ) г 1-2 = + 3,
г 3,4 = ±/: 4) г 12 = ± л / з, г 3 4 = ±л/5/. 529. 2 ) х^ 2 = ±5л/2; 4 ) ^ = 0, х2 = 7,5.
530. 2) = 13, х2 = -4; 4) х, = 3,6, х2 = -7 . 531. 2) х и 2 = 1±у^ ;
6
4) х 1 2 = ~2 ± ^ .532. 2) Два; 4) один. 533. 2) ( х - 8 ) ( х - 2 ) ; 4) ( х - 2 ) ( 2 х + 1).
3
534. 2) х (х + 2 ); 4) 535. 2) х^ 2= ±3, х3 4 = ±л/2; 4 ) х 1>2 = ±л/3,
х —3
* 3 4 = ± 4 = - 536. 2) х, 2= ±л/б; 4 )у = 1 . 537. 1 и 2. 538. £ и 2 или и -•>.
л/б 3 3 3 3
539. 12 м, 7 м. 540. 15 см, 45 см. 541. 20 км/ч. 542. 15 км/ч. 543. 3 дня,
5 дней. 544. 2) г 1 2 = 3 + /; 4) 2= - 2 ± 0,5/. 545. 2) (1; 3), ^9; ^ 4) (-3; -4),
(- 4 ;- 3 ); 6) (5; 4); 8) (2 ;- 1 ), (1 ;-2 ). 546. 2) х х= 0, х2 = -2. 547. 2) х = 0,5;
4) х1= 7, х2 = -13. 548. 2) X! = 0, х2 = -5; 4) х^ 2 = ±4. 549. 2) х 1= 9, х2 = -12;
4) х, = 3, х2= -6. 550. 2) Ни одного; 4) два. 551. 2) х = -4; 4) х = 3. 552. 2) х -4 .
553. 2) х х= 3, х2 = 1,4. 554. За 36 дней. 555. 1 ч 40 мин и 1 ч 20 мин или
2 ч и 1 ч 40 мин. 556. 12 ч, 6 ч. 557. 50 км/ч. 558. 44 км/ч. 559. 21 ряд
или 5 рядов. 560.10 р. и 15 р. 561. 2 ) г12 = 1± л/ 2 4 ; 4) г х 2 = — ■
3
562. 2) (2; 3); (-2 ; -3 ), (3; 2), (-3 ; -2 ); 4) (2; 4), (4; 2). 563. 6 и 8.
564. 60 км/ч, 40 км/ч. 565. 2) х2 - 5 х + 6 = 0; 4) х 2 - 4 х - 5 = 0. 566. х2 =0,6.
239

567. 2) 91; 4) 7399. 568. а = ~, х2= — . 569. q = 1. 570. р = 2 или р = -2.
3 19
571. 2) Xj = 9, х2 = -4. 572. 8 школьников. 573. 22 шахматиста. 574. 12 ко
манд. 575. 6 спортсменов. 576.7 человек. 577. 2) 10; 4) 2,75. 579. 2) x t = 0,
х2 = 1; 4) нет таких действительных значений х, при которых значение дан
ной функции равно -5 . 580. 2) Xj = 1—, х2= -1; 4) х х= 0, х2 = —. 581. 2) -1; 0;
4 4
4 )-0 ,2 ; 1. 582. 2) Нулей нет; 4) х, = —, х2 = 1; 6) нулей нет; 8 )х = 1.
3 2
583. 2 ) р = 3 , q = - 4; 4 ) р = -2 , q = -1 5 . 584. х, 2 = ±2. 585. 1) (0 ; 1),
(- 0 ,5 ; 0 ); 2 ) J ^ ; ^ j , ( 3 ; 0 ); 3 ) ^ ^ ; | | , (V 2 ; 0 ); 4 ) | | ; ^ + 1 , ( - / 3 ; 0 ) .
587. В и С. 590. 2) (^ 5 ; 5), (-V 5 ; 5); 4) (0; 0), (2; 4); 6) (1; 1). 591. 2) Да.
592. 2) Да; 4) нет. 594. 1 )х < - 3 , х > 3 ; 2 )- 5 < х < 5; 3 ) х < - 4 , х > 4 ;
4) -6 < х < 6. 598.2)а = 1; 4)о = -1 . 599. 2)-3 < х < 3; 4 ) - 4 < х < 4 .
4 9
600. 2 )- 3 < х < 3; 4) -5 < х < 5. 601. 2) (- 3 ;- 4 ,5 ), (2 ;- 2 ). 602. а = 2.
603. ft = -13; да, точка (0,6; -1,8). 604. 2) Да; 4) нет. 605. 1) Возрастающая;
2) убывающая; 3) возрастающая; 4) не является ни возрастающей, ни убы
вающей. 606. 3 м/с2. 609. 2) (3; -16); 4) (3; 20). 610. 2) (0; -5 ); 4) f l ; —
8 16)
611. 2 )х = -2; 4) х = 2; 6 )х = ^ . 612. 2) Нет; 4) нет. 613. 2) (1; 0),
4
(0,5; 0), (0; -1 ); 4) (0; 0), ( i ; o j. 614. у = х2 - 2 х + 3. 616. 2) ft = -10.
618. 1) у = 2 (х - 3 )2; 2) j/= 2 x2+ 4; 3) у = 2 (х + 2)2- 1; 4) i/= 2 (x - l, 5 )2+ 3,5.
620. у = - - х 2 + 1 х + 2. 621. 2) f - 5 ; — 1; 4) ( - ; ^ 1 . 622. 2) (1; 0), (-5 ; 0),
3 3 I 2 4 J 12 4 J
(0; 10); 4) (0; 14). 626. 7,5+ 7,5. 627. 5 и 5. 628. Сторона, параллельная сте
не, равна 6 м; другие стороны по 3 м. 629. Нет. 630. 2) При х = 1 наимень
шее значение у = -5; 4) при х = 1 наименьшее значение у = -2. 631. 1) а > 0,
Ъ> 0, с > 0; 2) а < 0, Ь < 0, с < 0. 633. 1) Через 5 с наибольшая высота равна
130 м; 2) (5 + л/26) с. 634. 2) х 1= 2, х2 = 0,5; 4) ни при каких действитель
ных х. 635. 2) (1; 1), (2; 4); 4) (-5 ; 18). 636. 2) х < -6, х > 6. 637. 2) (5; 0),
(-2 ; 0), (0; 10); 4) (1; 0), ( " у ? <>1 (0 ;-1 1 ). 638. 2) (-1 ; 4); 4) l j ;
6) [ - 1 ; - б ! ]. 640. 2) Наибольшее значение равно 4; 4) наименьшее значе-
V 2 4 )
ние равно 3—, 641. 150 м и 150 м. 642. 200 м и 400 м. 643. 2) р = 1,
3
? = 0 . 644. 2 )р = -4, д = 3. 645. 1 )х х= 1, х2 = -5 ; 2 )x j = 0, х2 = 1, х3 = 2.
6 4 6 .1 )а = 1, Ь = -2, с = 0; 2 )а = 1, Ь = -2, с = 4; 3) о = -2 , 6 = 8, с = -6.
647. ftj = 6, ft2 = 2. 650. 2) Зх2- х - 1 > 0; 4) 2х2 + х - 5 <0. 652. 2) 3 < х < И ;
4 )х < - 7 , х > -1 . 653. 2) х < -3 , х > 3 ; 4 )х < 0 , х > 2 . 654. 2 )-2 < х < 1;
4) х < -3, х > 1; 6) х < -1, х > 1 . 655. 2) х = 1; 4) х < -4, х > 2. 658. 7, 8, 9.
240

659. Положительные значения на промежутках х < - 3 , х > 2 ; отрица
тельн ы е— на интервале - 3 < х < 2 . 660. 2 ) х < - 1 , х > 4 ; 4 ) - 1 < х < 4 .
661. 2 ) х < - —, х >2; 4 )х < - 0 ,2 5 , х > 1 . 662. 2 )х = 7; 4) решений нет;
3
6) х — любое действительное число. 663. 2) Решений нет; 4) решений нет;
6) х — любое действительное число. 664. 2) х < —/7, х > У 7 ; 4 )х < - 2 ,
х > 0 ; 6 )х < - 5 , х > 3; 8 )- 2 < х < - 1 . 667. 2) х < - —, х > —; 4 )- 1 < х < 4 ;
3 3
6) х — любое действительное число; 8) х = -3. 668. 2) х — любое действи-
тельное число; 4) х * 6) - А < х < 0. 669. 2) Решений нет; 4) -0,5 < х < 3;
4 3
6) х — любое действительное число. 670. 2) х = 1; 4) х — любое действи
тельное число. 672. -6 < г < 2. 673. г < -3, г > 1. 675. 2) -5 < х < 8; 4) х < -5,
х > з1 . 676. 2) х < 0, х > 9; 4) -3 < х < 0; 6) х < -1, х > 3. 677. 2) - 1 < х < 0,
2 2
х > 1 ; 4) -2 < х < 2, х > 5. 678. 2 )- 7 < х < 7; 4 ) - 4 < х < 4 , х > 4 ; 6 )х = - 2 ,
2
2 < х < 5. 679. 2) -3 < х < 4; 4) - 3 ,5 < х < 7 ; 6) -2 < х < -1 , х > 3 .
680. 2 )х < 0 ,5 , х > 1 ; 4) х < - —, 0 < х < ^ , х > —; 6) - 4 < х < - 2 , х > 3 .
3 2 3
681. 2 ) - 3 < х < - 1 ; 4 < х < 5; 4 )х < - 2 , 2 < х < 6 ; 6 )х < - 3 , - 1 < х < 2 ,
х > 4. 682. 2) --/15 < х < -3, 0 < х < -УТб; 3 )-8 < х < -1 ; 4) х < -5 , х > 2 ;
5) -1 < х < - —; 6) х < -4, -4 < х < —, х > 4. 685. - 1 < 6 < 0 . 686. 2у[2 < Ь < И .
5 2 2 3
687. 2 )х < 3 , х > 4; 4 ) х < 3 , х > 4 ; 6 ) х < - 6 , х > 6 ; 8 ) - ^ < х < - .
4 4
688. 2) - 1 < х < I ; 4) х < 0, х > А; 6) 1 < х < 4; 8) -2 < х < I . 689. 2) х <
2 2 3 2 2 5
о
х > 1 ; 4) х * - 5 ; 6) Х Ф - —. 690. 2) Решений нет; 4) решений нет; 6) реше-
2
ний нет. 691. 2) х < -4, -1 < х < 1; 4) х < - А , 4 < х < 7; 6) х < - —, 1 < х < 2.
2 2
692. 2) -1 < х < 5; 4) -5 < х < 2; 6) х < - —, х > А. 693. 2) х — любое действи-
2 3
тельное число; 4) решений нет; 6) ^ < х < 1; 8) х — любое действительное
число. 694. 2 ) х < ^ , х > 3 ; 4) х = —; 6) решений нет. 695. 2) х < —[3,
2 3
- у! . < х < 4 3 ; 4) х < -4, —1< х < 1, х > 1. 696. 2) - 1 < х < - ^ , ^ < х < 2 ;
2 5 4
4) - А < х < - ^ , 1 < х < 2 . 697. Не меньше 12 км/ч. 699. 1) х < - 3, -2 < х < 1,
3 5
х > 3 ; 2 ) - 3 < х < - 2 , - 1 < х < 1; 3 )- л / 2 < х < - 1 , 1 < х < -У 2 ; 4 )х < - 2 ,
- 7 3 < Х < ^ 3 , х > 2 . 700. 0; 1; 2; 3 или -1 ; 0; 1; 2. 701. 2) 4 )- 5 ;
35 6
6) 3,485; 8) 4,5. 702. 2) х ^ З , х2= -4; 4) х, = 0, х2= - 1 - ; 6 )х 12 = ± - ;
3 3
241

8) х = - 1 . 706. 2) у > -2; 4) х > -4; 6) х < ц 1 . 707. 2) -5; -4; -3 ; -2 ; -1 ; 0;
3 3
4) 4. 708. 2) (2; 1); 4) (-13,5; -27,5); 6) (6; 6); 8) (1; 2). 709. 2) ^ < х < 10;
9
4) х > 7,2. 710. 2) -15; -14; -1 ; 0. 711. 2) х 1= 8,1. х2= -2,1; 4) х, = 4,
х2 = -3; 6 )Х ! = 0, х2 = Л . 712. 2) х < -3,4, х > 7 ,4 ; 4 ) х < - 2 1 , х> 1 ;
7 3
6 ) х < - ± , х > 2 9 . 713. 2) 0,004; 4) — -— . 715. =0,1% . 716. 2) I I ; 4) 5^;
15 15 1375 3 99
6) 2— , 717. 2) 3,1 < л/10; 4) ^ Л З > 2,7. 718. 2) а = -11; 4) а = 719. 2) -44.
45 7
3^2 _ )( Зл/2 + х , 721 2) х; 4) 21; б) 200
720. 2 )(Л 5 -6 )(л / 1 5 + &);4)
1^41 А л/41
722. 25 см3. 723. В 1,6 раза. 724. 2) -Зху 2 у[Ьху. 725. 2) -4,2-/2.
726.2) 8. 727. 2) 15л/2-л/5; 4)2хл/х. 728. 2) 3 - а 2; 4) -аЬ. 729. 2) х = 5 ^;
4
4) х = -1; 6) х = 3—. 730. 2) X! 2= ±л/П; 4) х ^ О , х2 = -5 ; 6 )х х= 0,
4
х2 = 12. 731. 2 ) ^ = 0, у2= 9; 4 ) х х= 0, х2 = 9; 6 ) х 12 = ±1,5. 732. — см,
15
2— см. 733. 8 см; 32 см. 734. 2 )х 1= -4, х2 = 0,5; 4 )х , = 0,5, х2= -2;
15
6) х х 2 = 7 3 5 . 2) х 1= 10, х2= -2; 4) х 1#2 = ±2л/2; 6) х 12 = 6±л/29.
736. 2) х ! = - , х 2= -?-;4) х 1-2 = ±5.737. 6) х 1= 8 ,х 2 = -3; 8) Х1 = 7 ,х 2 = -11.
3 15
738. р = 5, 9 = -150. 739. 2) х2 - 6 х + с = 0. 740. 2) х 12 = ±3, х3-4 = ± | ;
4 ) х 12 = ±3, х3 4 = ±л/2. 741. 2) х 1 2 = ±2, х3>4 = ±»л/3; 4 ) х 12 = ± 1 л/з,
х 3 4 = ± 1 л/ 2 . 742. 2) х = - I ; 4) х, = А, х2 = -4 ; 6) х = - . 743. 2) х = -2;
3 3 2
4) х 12 = 1 ± (. 744. 2) ( х - 9 ) ( х + 4); 4) (х + 1 )(2 х - 5 ); 6) 2 (х + 3 )(1 - 2 х );
8) ^ ( х - 5 ) ( х + 10). 745. 2) —-— ; 4) а ~ 3 ; 6 ) ^ ^ . 746. 1) (а - Ь)( а + Ь)х
5 а - 9 2 (а - 2 ) а - 2
х ( а 2 + Ь2 -1 ); 2) ( т + л )(я ш -1 ); 3) т 2( т - 1 )(т 2 + 1); 4) х (х - 1 )(х 2 + 1);
5) ( 4 х - у ) ( 4 х + Зу); 6) (а - 1 )(а + 1 )(а - 2 )(а + 2); 7) (Ь - 2 )(Ь + 2 ) ( Ъ - 3)х
х (Ь + 3 ); 8) 3 (х + т ) ( х - З т ) . 747.340 кг, 40 кг, 20 кг. 748.96 км.
749. 16 пресс-форм. 750. 18 т с га, 20 т с га. 751. — . 752. 30 дней, 20 дней.
4
753. 15 ч, 12 ч. 754. 27 км/ч. 755. 2) (1; 0); 4) ( - ]. 756. 2) (2; 0),
3 3 /
(0 ;-5 ). 757. 2) х = 0, х = ~ , х = - . 758. 2) (- 4 ;- 4 ), (-2 ; 0), (-6 ; 0),
3 3
(0; 12); 4) Г|; -1 | , (0; 0), (1; 0); 6) (-3 ; -1 ), (-2 ; 0), (-4 ; 0), (0; 8);
242

8) f - | ; - і j, (-1 ; 0), (-1,5; О), (0; 3). 763. 2) -15 < x < -4; 4) x < 12; x > 13.
764. 2) 0 < x < л/5; 4) х < -л / з , х>урЗ. 765. 2) - 9 < x < 6 ; 4) - 2 < x < 0 , l;
6) x < i , x > 2. 766. 2) x = -12; 4) x — любое действительное число; 6) реше-
8
ний нет. 767. 2) x — любое действительное число; 4) х — любое действи
тельное число; 6) х — любое действительное число. 768. 2) -0,7 < х < і ;
4) -2 < х < 1. 769. 2 )х < - 2 , х = 1; 4) х < - А , 0 < х < 2. 770. 2 )-0 ,5 < х < 2;
3
4) -3 < х < 0, х > 1. 771. От леса до дома. 772. На первом руднике. 773. Деся
тиклассник. 777. 2) Меньше 400 км. 778. Не более 400 Дж. 781. 2) Ре
шений нет; 4 )1 < х < 4 ; 6 ) х > 4 — . 782. Больше 2 см, но меньше Зсм .
12
783. Не меньше 4 м/ч, но меньше 5 м/ч. 784. Между 18 и 19 часами.
785. 2) x < —, х > 3. 786. 2) -4 ,баб2 -lab. 787. 2) 42; 4) 3. 788. 2) 2у[а^1;
3
4) -л/3. 789. 2) Ь~ с ; 4) Я. 791. k > ^ - . 792. = 3,k 2 = -1. 793. 2) х, = 1,2,
4(й+ с) b 16
х2 = -2; 4) х = 3; 6) х = 2. 794. 2) у+ 4. 795. 6 км. 796. 15 км/ч. 797. 120 км.
798. 3 км/ч, 20 км/ч. 799. 12 р., 2 р. 800. 12 вагонов, 190 т. 801. 5 листов.
802. 30 г, 24 г. 803. 16 или 48 обезьян. 804. 2 ) 2 ^ < х < 7 ; 4) x < -1 — ,
9 65
x > -1. 805. Высота больше 3,1 см, средняя линия больше 6,2 см. 806. Боль
ше 8 с. 807. Больше 5 см. 808. 2) х < - 7 , - 1 < х < 2 ; 4) - 1 < х < - А ,
3
х > ~ . 809. /7= 5, q = -14. 810. 2 )р = 14, q = 49. 811. у = -2 х 2 + l l x - 5 .
3
812. у = -^ - х 2. 813. 2) а = -1, Ь = —1, с = 2. 815. У к а з а н и я . 1) Обозначая
г2
— = А 3, - = В3, — = С3 и учитывая равенство ABC = 1, записать данное нера-
Ь с а
венство в виде А 3 + В3 + С3 > 3ABC, которое преобразовать к виду ( А + В + С )х
х ( А 2+ В2 + С2 - А В - А С - В С ) >0. Неравенство А 2 + В2 + С2 > А В + А С + ВС
получается сложением неравенств А 2 + В 2 >2АВ, А 2 + С2>2 АС,
В2+С 2>2ВС; 2) сложить неравенства для среднего арифметического и сред
него геометрического: — + — > 2с, — + — > 2а, — + — >26; 3) вычесть из
а b Ь с с а
левой части неравенства правую и числитель нолученной дроби записать в
виде (а + Ь ) ( а - Ь ) 2 + (й + с )(6 - с )2 + (а + с ) ( а - с ) 2; 4) см. указание к 815(3).
817. 1) Xj 2 = ±2; 2) х, 2 = ±1. х3 4 = ±3; 3) х х= -1 , х2 = 2; 4) х 12 = 1
5) Xj —0, х 2 і з = ±2; 6) х 12 = ±4, х3 4 = ±6. 819. г12 = ±1- 820. х 2-
- 343х+ 81 = 0. 821. 1) I ; 2) - 5 — ; 3) 339,5; 4) 378— . 822. г1= 2, г2= -8 .
8 16 16
824. -3. 825. -8 . 826. а = -3, b = 6, с = 0. 827. Через 0,6 с. 828. 1 )(а - л / з )х
243

х (а + / 3 )(а 2 + 1); 2) ( а - 1 )(а + 1 )(а - 2 )(а + 2). 829. 1) а + з ь ; 2) а+ ЗЬ ;
а + Ь 2а+ 36
4а2 -6 а6 + 962 .. 4а2 + 6а6+962 оол 001
3) --------------------- ; 4 ) ---------------------- . 830. 21 м/с, 147 м. 831. 56 с.
а - 6 а + Ь
832. 14 мин, 18 мин 40 с. 833. 6 с. 834. 1 ч. 835. 5 ч, 7,5 ч. 836. 1) 84,7;
2) 13,4; 3) 43,8; 4) 80,2. 837. 1) 959,72; 2) 22,02; 3) 6,13; 4) 4,4. 838. 1) 43,37;
2) 71,79. 839. 1) 4,9; 2) 2,9; 3) 59,9; 4) 63,3. 840. 1) 2,1; 2) 5,1; 3) 1,9;
4) 3,5. 841. 1 )-3 2 ,5 ; 2)165,7; 3 )9 0 ,4 ; 4) 29,8. 8 4 2 .1 ) 1,1; 2 )0 ,8 .
843. 1) = -61, * 2 = 123; 2 )x j« - 1 4 3 , х2 ~ -3 8 ; 3 ) х 1= 6,3, jc2=3,4;
4) x t « -8,7; х2 -7 ,2 . 844. 1) х х 2= ±2,3, х34 = ±3,1; 2) x lf 2= ±1,5, х3 4= ±2,4.
845. Доказать, что 1+3 + 5 + ...+ (2 л+ 1 ) = (я + 1)2. 847. п = 2. 848. 100 =80+20,
100 = 40 + 60. 849. У к а з а н и е . Возвести обе части равенства в квадрат.
850. х , = 2, х2 = - - . 851. . 852. 40 яиц и 60 яиц. 853. 60 или 40 пис-
5 4
толей. 855. 18. 858. 9. 859. 24. 865. 10 989. 874. 3. 877. х, = уг = 0, х 2 = у2 = 2.
879. 3 926 341. 885. 1) 8 ; 2) 0; 3) 2; 4 )1 . 886. 1 ) ^ = 2, х2 = -1-л/5;
1 - х 8 п
2) Xj = 0, х2= 1, х3= ! 3) Xj = -4, х2= 0, х3 = 2, х4= 6; 4) х — любое
число такое, что 2 < |х| < 3; 5 )X j = -4, х2 = - 3 , х3 = 3 , х4 = 1;
6) Xi = -6, x2 = - 3 - V 8 , x3 = -3 + V8, х4 =0; 7) Xi = i ^ , х2= 1, х3 = 1 ± _ ^ ;
8) X, = Z Î ± ^ Ï , x2 = - ± ± J l . 887. 1) (2; 3), (- 2 ; - 3 ); 2) (3; 4), (4; 3);
Ci Ct
3) (2; 3), (3; 2); 4) (-4 ; -3 ), (-4 ; 2), (3; -3 ), (3; 2); 5) (1; 2), (2; 1); 6) (0; 0),
(6; 3), (3; 6), (-2 ; 1), (1; -2 ); 7) (-3 ; -5 ), (3; 5), ( - J ; - l â j , ( | ; H j ;
8) (-4 ; -5 ), (4; 5), (-Зл/ÏÏ; -л/3), (3 ^ 3 ; л/3). 888. 1) (1; 2), (2; 1); 2) (4; 3),
(3; 4); 3) (0; 2), (0; -2 ), (1; -3 ), (-1 ; 3); 4) (2; -1 ), (-1 ; 2); 5) ^2; | U | ; 2 j;
6) (0; 0), ( л/7; V7 ), ( - V7 ; - V7 ), ( Л 9 ; - V Ï9 ), ( - V Ï9 ; V Ï9 ), (2; 3), (-2; -3); (3; 2),
(- 3 ;- 2 ); 7) (2; 1), (- 1 ;- 2 ); 8) (- 4 ;- 2 ), (4; 2). 889. l ) r , = 6, r2 = 2 ;2 )r = 0.
894. a >0, 6 > 0 , a * 6. 895. -0,5 < r < 0. 896. r > 1. 898. a = -2. 900. r < 0,
4 < r < 4,5 . 902. r < - —, r > 3 + 2^2 . 904. 1) с >0 ; 2) с < 0. 908. < a < - 1 ,
3 2 2
- i < a < 0, a > 1. 909. a < -4 , - ^ < a < 0 . 910. 1) ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) ;
4 4
2) ( x + 2 ) ( x + l ) ( x - l ) ( x - 3 ) ; 3) ( x - l ) ( x + 2 ) ( x 2 + x + 5 ); 4) (x + 2 )(x + 4 )x
x (x 2 + 5 x+ 8). 911. (x 3- x 2 + l ) ( x 2 + x + 1). 912. 1) ( x - l ) ( x 2 + 1); 2)
x + 2 .
х + Г
3) x + 1; 4) * 2 + 1; 5 ) *±3..; 6 ) * ± 1 . 914. l ) x < - ^ , - l < x < ^ , x > ~ ;
x - 2 2 x + 1 x - 2 2 2 3
2 ) — — < x < - , - i - < x < l ; 4 )x < - 3 , l < x < 3 ; 6 )0 < x < 3 ; 8) x < —.
л / 3 7 ^3 2
244

Глава I. 2. 1) л: <2,4; 2) х > -1 5 ; 3 )х < 5 . 3. 1) 4 ^ < х < 6^; 2) х > 3;
3 4
3) х < -5.
Глава II. 1. 0,(4). 2. 4.4 3 0 Ы 0 1; 4,83-10-1; -2,5-Ю -1. 3. 1) =2664,89;
2) =2,50; 3) =3,00.
Глава III. 1. 7>л/48; 2-/3 <Зл/2. 2 .6 3 ; 6; 5; 1 ; 17; 27. 3 .-2 ^ 2 ;
2
7 -2 -Л 0 ; 1. 4. 2ау[2а. 5. х - / З ; -----^---- . 6. ^ И ; 2 - л/з.
Л - Л 7
Глава IV. 1. 1 )х = 0; 2) хх= -1, х2= 2; 3 )х 1|2 = ± —; 4) х 1= 0, х2 = 1—;
2 3
5) х 1 2= —; 6) Х !=17, х2 = -1 ; 7) х 1= -2, х2= —; 8) нет корней.
2 3
2. 1) ( х - 2 ) ( х + 3); 2) (х + 1 )(2 х -3 ). 3. 9 км/ч; 12 км/ч. 4. (8,5; 0,5).
Глава V. 1. Рис. 69. 2. х 1= 0, х2 = 2. 3. у > 0 при -1 < х < 1; у < 0 при
х < —1; х > 1. 4. Функция возрастает при х > 0; функция убывает при х < 0.
5. (3; 0); рис. 70.
Глава VI. 1. 1) -1 < х < 4; 2) х — любое действительное число; 3) нет ре
шений; 4) х = -10. 2. х > 1, -2 < х < 0.
Ответы к заданиям «Проверь себя!»
Указания к решению задач для внеклассной работы
856. Воспользоваться равенством 111 = 3-37, откуда 333 = 9-37,555 = 15- 37.
857. Число I I 11 оканчивается цифрой 1. Число 1212 оканчивается циф
рой 6, так как число 124 оканчивается цифрой 6 (проверить умножением),
1212 = (124)3; а произведение чисел, оканчивающихся цифрой 6, также
оканчивается цифрой 6. Число 1313 оканчивается цифрой 3, так как число
134 оканчивается цифрой 1 (проверить умножением), поэтому число
1312= (1 3 4)3 также оканчивается цифрой 1, а число 1313 = 1312-13 — циф-
245

рой 3. Данное число оканчивается нулем, так как 1+ 6 + 3 = 10. 858. Данное
число оканчивается цифрой 4, так как 19821982 =(198 24)495 -19822 и в этом
произведении первое число оканчивается цифрой 6 (см. указание к задаче
857), а второе — цифрой 4. 859. Произведение двух натуральных чисел
оканчивается нулем только в двух случаях: 1) когда хотя бы одно из этих
чисел оканчивается нулем; 2) одно из этих чисел оканчивается цифрой 5,
а другое — четное число. Выяснить, сколькими нулями оканчивается про
изведение чисел от 1 до 10, затем от 11 до 20 и т. д., обратив особое внима
ние на произведение от 41 до 50 и от 91 до 100. 860. Известно, что при деле
нии степени числа 10 с любым натуральным показателем на 9 остаток
равен 1. Поэтому при делении числа 1025 + 1017 на 9 остаток равен 2.
861. При решении таких задач полезно использовать следующее свойство
делимости чисел: если натуральные числа п и т делятся на натуральное
число к, то числа п + т и п - т (при п > т) также делятся на число к. Произ
ведение (л - 1 )л(л + 1) = л 3 - л, где натуральное число л > 2, трех последова
тельных натуральных чисел делится на 6, так как одно из них делится на 3
и хотя бы одно из них является четным. Вычтем из данного числа л 3 + 11
и число л 3 - л (с целью уничтожения л 3) и прибавим это же число
л 3 + 1 1 л - (л 3- л ) + ( л 3 - л ) = 12л + ( л 3 - л ). Так как 12л делится на 6 и л 3- л
делится на 6, то их сумма, т. е. данное число, также делится на 6.
862. См. указание к задаче 861. 863. Из разложения данного числа на мно
жители л 5 - л = ( л - 1 )л(л + 1 )(л 2+ 1) следует, что это число делится на 6
(см. указание к задаче 861). Если ни одно из чисел л -1 , л, л + 1 не делится
на 5, то л = 5т + 2 или л = Ът + 3, где т — целое число. Показать, что в обоих
этих случаях число л 2 + 1 делится на 5. 864. Показать, что л 5- 5 л 3+ 4л =
= ( л - 2 ) ( л - 1 )л(л + 1)(л + 2). 865. Запишем искомое пятизначное число х в
виде суммы разрядных слагаемых х = 10 000а + 10006+ 100с + 10гі+ где
а, 6, с, < — цифры, причем а / 0. По условию задачи второе число
у = 9х = 10 000* + 1000с/ + 100с + 106+ а. Заметим, что если а > 1, то число 9х
шестизначное. Следовательно, а = 1, поэтому ( = 9 и равенство у = 9х та
ково: 90 000 + 90006+ 900с + 90с* + 81 = 90 000 + 1000^+ 100с + 106+ 1, отку
да 8996 + 80с + 8 = 9Ш. Из этого равенства следует, что 6 = 0, так как при
6 > 1 левая часть равенства больше 899, а правая часть меньше или равна
91-9 = 819. Из равенства 80с + 8 = 91гі следует, что <1*0 и <1 делится
на 8, т. е. (1= 8, и поэтому с = 9. 866. Если первое трехзначное число
х = 100а + 106+ с, где а, 6, с — цифры и а * 0, то второе число
у = 1 0 0 с+ 106+ а и с * 0. Разность х - у = 9 9 ( а - с ) . Предположим, что
99(а - с) = л 2, где л — натуральное число. Тогда л делится на 3, т. е. л = Зк,
и поэтому 1 1 (а - с )= А2. Из этого равенства должно следовать, что к делит
ся на 11, но тогда разность а - с должна делиться на 11, а этого не может
быть, так как а и с — цифры. 867. Воспользоваться равенством
35х+ 6оу = 6 (Зх + 8і/)+ 17(дг+ у). 868. Показать, что сумма квадратов двух
нечетных чисел является четным числом, не делящимся на 4, и что такое
число не может быть квадратом натурального числа. 869. Сумму в квадра
тов пяти последовательных натуральных чисел можно записать так:
в = ( п - 2 ) 2 + ( л - I ) 2 + л 2 + (л + I ) 2 + (л + 2 )2= 5 (л 2 + 2), где натуральное чис
ло п > 3. Если предположить, что 5 (л 2+ 2) = й2, где к — натуральное число,
то число к должно делиться на 5 и поэтому число п2+ 2 также должно де
литься на 5. Однако покажем, что число л 2+ 2 не делится на 5 ни при каком
натуральном л. При делении натурального числа л на число 5 остаток г мо
жет быть равен одному из чисел 0, 1,2, 3, 4, т. е. л = Ък + г, где к — неотри-
246

цателыюе целое число. Тогда п 2+ 2 = 5(5к2 + 2кг) + г2 + 2. Для того чтобы
это число делилось на 5, нужно, чтобы число г 2+ 2 делилось на 5. Однако
при г, равном 0, 1, 2, 3, 4, значения г 2 + 2 равны соответственно 2, 3, 6, 11,
18. 870. Данное число а = п2 + 5л + 16 можно записать так: а = (л - 4 ) 2 + 13л.
Если это число делится на 169 = 13-13, то число (л - 4 ) 2 и число л - 4 делят
ся на 13, т. е. л = 4+ 13к, где к — неотрицательное целое число. Но тогда
а = 169Й2 + 13(4 + 13й) = 169(£2+ /г)+13-4, а это число не делится на 169.
871. Нужно доказать, что если хотя бы одно из натуральных чисел л, от не
делится на 3, то и число л 2 + т 2 не делится на 3. Пусть число л не делится
на 3, т. е. или л = Зк + 1, или л = 3£ + 2, где к — неотрицательное целое чис
ло. Тогда или л 2 = 3 (3 к2 + 2/г)+ 1, или л 2= 3(3 й 2 + Ак + 1)+ 1. В обоих слу
чаях при делении числа л 2 на 3 остаток равен 1. Поэтому при делении чис
ла л 2 + т 2 на 3 остаток равен 1, если число от делится на 3, или остаток
равен 2, если число от не делится на 3, т. е. число л 2 + от2 не делится на 3.
872. Показать, что если п = 7от + г, где от — неотрицательное целое число,
а г — остаток от деления числа п на 7, то л 3 - 3 = 7& + г3 - 3, где й — целое
неотрицательное число. Осталось проверить, что при каждом значении г,
равном 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, число г 3 - 3 не делится на 7. 873. Так как
р — простое число, то оно нечетное: р = 2к+ 1, где к — натуральное число,
к >2. Поэтому число р2 -1 = 4/е(й+1) делится на 8. Так как число р не де
лится на 3, то р = 3от + 1 или р = Зот + 2, где от — натуральное число. В пер
вом случае число р2 -1 = 3( Зот2 + 2от) делится на 3, во втором случае число
р2 -1 = 3(9от2+ 4от + 1) также делится на 3. 874. При л = 3 значение
л 2 + 8 = 17 — простое число. Если л > 3, л — простое число, то число л 2 + 8
не является простым, так как л 2 + 8 = ( л 2- 1 )+ 9 делится на 3 (см. указание
к задаче 873). 875. Так же как и в задаче 873, показать, что при делении р2
на 4 и на 3 остаток равен 1. Пусть г — остаток от деления числа р2 на 12,
т. е. р2 = 12л + г, где л — натуральное число, а г — целое число, 0 < г < 11.
Так как 12 делится на 4 и на 3, то при делении числа 12л + г на 4 получает
ся такой же остаток, какой и при делении числа г на 4. Аналогично при де
лении числа 12л + г на 3 получается такой же остаток, какой и при делении
числа г на 3. Итак, при делении числа г на 4 и на 3 остаток равен 1.
Проверкой показать, что среди чисел г, равных 0, 1, 2, ..., 11, только
г = 1 удовлетворяет этому условию. 876. Воспользоваться равенством
л 4 + 4 = ( л 2 + 2 )2- 4 л 2 = ( л 2+ 2 + 2л )(л 2 + 2 - 2 л ). 877. Записать уравнение
в виде (х - 1 ) ( у - 1 ) = 1. 878. 1)— 3) Избавиться от иррациональностей в
1 _ -уГа-у[ь 1 _ -уГа + у[ьзнаменателях с помощью формул
т/а + л/б а - Ь
где а > О, Ь > 0, а ф Ь. 4) Воспользоваться равенством
1 1
(а + л )(а + л + 1)
5) Выражения левой и правой частей равенства п
а + л а + л + 1
вить в виде многочленов стандартного вида и сравнить их. 879. Воспользо
ваться равенством задачи 878 (5). 881. Преобразовать исходное равенство
к виду (а + Ь)(Ь+ с )(с + а ) = 0. 882. Показать, что данное выражение рав
но ( а - Ь ) ( Ь - с ) ( с - а). 883. Преобразовать исходное равенство к виду
a b ( a - b ) + с(а2- Ь2) = abc(a2- b 2)+ abc2( а - Ь ) . Делением обеих частей это
го равенства на ( а - Ь ) получается равенство ab+ bc+ са = abc(a+ Ь+ с),
откуда делением на abc получается равенство, которое нужно доказать.
247

884. Полезно ввести обозначение = х " + уп, где п — натуральное число.
По условию = х + у = а, ху =Ь. Поэтому в 2 = х 2 + у2 = (х + у)2 - 2 х у =
= а2 -26. Показать, что при п > 3 справедлива формула = а8п _ , - бв,, _ 2.
По этой формуле поочередно выразить З 3, 3 4, в 5, в 6 через а и 6.
885. 1) Сначала сложить третью и четвертую дроби данного выражения,
к результату прибавить вторую дробь и к последнему результату прибавить
первую дробь. 2) Привести дроби к общему знаменателю и упростить чис
литель полученной дроби. 3) Показать, что при 1 < х < 2 справедливы равен-
ства ^х +2л Гх- 1 = 1+ уГх ^ I ) 2 = 1+ -/х-1, -/х-2Ух-1 = 1- -Гх-- )2 =
= |1—-ч/х—1|= 1—>/х—1. 4) Сначала показать, что при данных условиях под
коренные выражения данного выражения положительны и его знаменатель
не равен нулю, затем исключить иррациональность в знаменателе умноже
нием числителя и знаменателя на (У т + х + Утп - х ). При дальнейших пре
образованиях воспользоваться равенством л](п2 - 1)2 = 1- и 2 при 0 < п < 1.
886. 1)— 4) Используя определение модуля числа, рассмотреть различные
случаи значения модуля выражения, содержащего неизвестное. 5) Для
краткости записи удобно ввести обозначение, например, х 2+ 3 х = <.
6) Удобно ввести обозначение, например, х2+ 6х + 5 = <• 7) Ввести обозначе
ние х + А = г, тогда х 2 + — = <2 -2 . 8) Данное уравнение можно записать
х х 2
так: х (х + 1 )(х - 1 )(х + 2 )+ 1 = 0, или, перемножая х на (х + 1 ) и ( х - 1 ) на
(х + 2 ), так: (х 2 + х )(х 2 + х - 2 ) + 1 = 0, поэтому удобно ввести обозначение
х 2 + х = <. 887. 1) Складывая уравнения системы, получаем ( х + у ) 2 = 25,
откуда х + у = ±5; далее применить способ подстановки. 2) Вычитая из вто
рого уравнения первое, получаем х + 1/= 7; далее применить способ подста
новки. 3) Складывая уравнения системы, получаем (х + у)2+ (х + у) - 30 = 0,
откуда х + у = 5 или х+(/ = - 6; далее применить способ подстановки.
4) Складывая уравнения системы, получаем х2+ х - 12 =0, откуда х = 3 или
х = -4. Подставляя эти значения х в одно (любое) из уравнений системы,
находим соответствующие значения у. 5) Вычитая из второго уравнения
первое, возведенное в квадрат, получаем ху = 2; далее применить способ
подстановки. 6) Обозначая х + у = и, xy = v и используя равенство задачи
884 (2), получаем систему
|и4 -4 и 2и + 2у2 -17ы 2=0,
1у =2м ,
которую можно решить способом подстановки. 7) Вычитая из первого урав
нения второе, получаем ( у - 2х )2= 1, откуда у = 2х + 1 или у = 2 х -1 . 8) При
бавляя к первому уравнению, умноженному на 5, второе, умноженное на 7,
получаем уравнение 12у2- 19ху+ 5х2= 0, решая которое как квадратное от
носительно у, находим у = — или у = —. 888. 1) Разделив второе уравнение
4 3
на первое, получим уравнение 2у2 - 5 х у + 2х2 = 0, решая которое как квад
ратное относительно у, находим у = 2х или у = - х . 2) Разделив второе урав-
2
л *}
нение на первое, получим 12г/2 -2 5 х у + 1 2 х 2= 0, откуда у - —х или у = —х.
3 4
248

3) Из второго уравнения получаем у2 - 5 х 2 + 4. Подставляя это значение у2
в первое уравнение системы, получаем х 3- Ъ х 2у - 16х = 0, откуда или х = О,
или х 2- Ъ х у = 16. При х = 0 по формуле у2= 5х 2+ 4 находим у = ±1. Во вто
ром случае получается система
|х 2- Ъ х у = 16,
[5 х 2 - у2 = -4.
Разделив первое уравнение на второе, получаем 4у2 + Ь х у - 2 1 х 2 = 0, откуда
1х
у = - 3 х или (/= — . 4) Обозначая х + у = и, xy = v и используя равенство
4
х 2 + у2 - и2 - 2v, получаем систему
и(и2 - 2 у ) = 5,
v2( и 2 - 2 v ) = 20.
Разделив первое уравнение на второе, находим u = - v 2. Подставляя это
4
значение и в одно из уравнений системы, получаем уравнение
у6 - З2у3 - 320 = 0, квадратное относительно и3, откуда v = -2 и тогда и = 1,
или у = 234 ъ и тогда и = л/25. Возвращаясь к неизвестным х н у , получаем
две системы
f * + j / = l , j x + (/ = л / 2 5 ,
х у = - 2, |XI/= 2^5.
Первая из них имеет два действительных решения (2; -1 ) и (-1 ; 2), а вто
рая не имеет действительных решений. 5) Обозначая х + у = и, ху = и и
используя равенство задачи 884 (1), получаем систему
!“■!»•
[в (ц 3 - 3uv) = 65.
Подставляя значение и из первого уравнения во второе, получаем уравне
ние 125и3 -6 0 и 2 -6 5 =0 , которое с помощью разложения его левой части на
множители можно записать так: (и - l)(125i>2+ 65i> + 65) = 0, откуда v = 1,
так как уравнение 125и2 + 65у + 65 = 0 не имеет действительных корней.
6) Сначала рассмотреть случаи у = ± х. При у * ± х , разделив первое уравне
ние на х - у , а второе — на х + у, получаем систему
х2 + ху+ у2 = 19,
х2 - х у + у2 = 7.
Вычитая из первого уравнения этой системы второе уравнение, получаем
2ху=12, откуда у = —. 7) Разделив первое уравнение на второе, получаем
х
2у2- Ъхул- 2х2 = 0, откуда у = 2х или у = i x . 8) Перемножая уравнения, по-
О
лучаем ху = 8, откуда у - —- 889. 1) С помощью формулы корней квадратно-
X
го уравнения ах2+ Ь х + с = 0, где а * 0 , показать, что это уравнение имеет
равные корни (т. е. один корень) только тогда, когда D = Ь2 - 4 ас = 0. В дан
ном случае D = г 2 - 4 ( 2 г - 3). 2) Если корни квадратного уравнения дейст
249

вительные, то из теоремы Виета следует, что они являются противополож
ными числами только при Ь = 0, т. е. в данном случае Ь = г = 0. Осталось
показать, что при г = 0 корни данного уравнения действительные. 890. По
казать, что при г > 0 корни данного квадратного уравнения действитель
ные, поэтому х1+ х2 = г, х 1х2 = - г. Используя эти равенства и равенства за
дачи 884 (1), показать, что х 3+ х 3 + (хух2)3= Зг2. 891. Доказать, что в
данном случае £>= ((а + Ь)2 - с2)((а - Ь)2- с2). 892. Доказать равенство
г+ 1 1 р2 -4</| г - - у |= 4 р 2 + |г - - j ( р2 -4</). 893. Пусть рациональное
число х = ~ , где т — целое число, л — натуральное число, — — несокра-
п п
2 т
тимая дробь, является корнем данного уравнения, т. е. ---- + Р — + 9 = 0 .
п2 п
т 2
Т огда = - р т - цп — целое число, поэтому п = 1. 894. Данное биквадрат-
п
ное уравнение имеет четыре различных действительных корня только тог
да, когда уравнение <2 - ( а + 6)< + аЬ = 0 имеет два действительных раз
личных положительных корня, т. е. когда, во-первых, (а + Ь )2 -4а6 =
= (а - Ь)2 >0, откуда а *■Ь, и, во-вторых, по теореме Виета а + 6 > 0 и а 6 > 0 ,
откуда а > О, Ь > 0. 895. Корни данного уравнения действительные, так как
4 (г - 1 )2 - 4 (2 г + 1 ) = 4 г2 - 1 6 г > 0 при г < 0. По теореме Виета оба корня от
рицательны только тогда, когда г - 1 < 0 и 2г + I > 0. 896. Сначала рассмот
реть случаи, когда первый коэффициент г2-1 = 0, т. е. г = ±1. При г * ±1
данное неравенство является квадратным. Так как оно должно выпол
няться при всех действительных значениях х, то уравнение ( г 2-1)дг2 +
+ 2 (г - 1 )х + 1 = 0 не должно иметь действительных корней, т. е. должно вы
полняться условие 4 (г - 1 )2 - 4 ( г 2 - 1 ) < 0, откуда г > 1. Таким образом, если
г > 1, то квадратичная функция у (х ) = ( г 2—1)дг2 + 2 (г - 1)х+ 1 при всех дей
ствительных значениях х принимает значения одного знака: или только
положительные, или только отрицательные. Осталось заметить, что
1/(0) = 1 > 0. 897. Сначала показать, что х 2 + х + 1 > 0 при всех значениях х.
Поэтому, умножая исходное двойное неравенство на х 2 + х+ 1 , получаем
—{ х 2 + х + 1) < х 2 - х + 1 < 3 ( х 2 + х + 1). В этом двойном неравенстве первое
3
неравенство преобразовать к виду (д :-1 )2 >0 , а второе — к виду ( х + I ) 2 >0.
898. Пусть х — общий действительный корень данных уравнений, т. е.
х2 + ах + 1= 0 и х 2 + х + а = 0 — верные равенства. Вычитая из первого ра
венства второе, получаем (а - 1 )(д :- 1 ) = 0. Если а = 1, то исходные уравне
ния одинаковы и не имеют действительных корней. Следовательно, общим
корнем может быть только х = 1. Подставляя х = 1в первое уравнение, нахо
дим а = -2. Проверка показывает, что при а = -2 оба уравнения имеют об
щий корень х = 1. 899. Пусть х 1 — общий корень данных уравнений,
х 2 — второй корень первого уравнения, х 3 — второй корень второго урав
нения. Вычитая из равенства х 2+ ахх+ Ьс = 0 равенство х 2 + Ьхх+ ас = 0, по
лучаем ( а - Ь ) ( х 1- с ) = 0. Так как а * Ь, то х х= с. Подставляя х = с в первое
уравнение, получаем с (а + 6 + с ) = 0. Так как с * 0, то а + 6+ с = 0. По теоре
ме Виета находим х2 = Ь, х 3 = а. Осталось проверить, что если а + Ь+ с = 0, то
X) = с, х2= Ь — корни первого уравнения, х 1= с, х3 = а — корни второго
уравнения, х2 = Ь, х3 = а — корни третьего уравнения. 900. Сначала рас
смотреть случай г = 4. При г * 4 данное уравнение является квадратным.
250

Показать, что корни уравнения х 2 + рх + с/= 0 положительны только тогда,
когда р2- 4 <7 > О, р < 0, <? >0. Поэтому при г * 4 задача сводится к решению
системы неравенств
9- 2г >0,
3 - г <0,
г - 4
- ^ > 0 .
г - 4
901. Воспользоваться формулой корней квадратного уравнения и теоремой
Виета. 902. Сначала рассмотреть случай г = 0. При г * 0 данное уравнение
имеет действительные корни только при условии (г + 1 )2- 8 г > 0 , откуда
г < 3 - 2 у [ 2 или г > 3 + 2^2. Пусть г > 0. Тогда графиком функции
у = {/(х ) = 2гх2 - ( г + 1)х + 1 является парабола, ветви которой направлены
вверх. С помощью эскиза графика показать, что нули х х, х2 этой функции
К 1
принадлежат интервалу -1 < х < 1 только тогда, когда абсцисса х 0 = ------
4г
вершины параболы также принадлежит этому интервалу и г/(—1) > 0,
у( 1) > 0. Получается система неравенств
4 г
2г + (г + 1)+ 1>0,
2 г - (г + 1)+ 1>0.
Решая эту систему, получаем г > А . Далее показать, что 3 —2-^2^ < — <
3 3
< 3 + 2 ^ 2 . Следовательно, г > 3 + 2^2. Аналогично рассмотреть случай г < 0.
903. С помощью эскиза графика функции y = x 2 + p x + q показать, что
у ( - 1) < 0, {/(1) < 0. 904. 1) Так как график функции у = ах2+ Ьх+ с не имеет
общих точек с осью абсцисс и г/(1) = а + Ь+ с > 0, то весь график расположен
выше оси абсцисс, в частности 1/(0) = с > 0. 2) Аналогично, как и в предыду
щем случае использовать условие <7 - р + 1= у ( - 1) < 0. 905. Сначала доказать
равенство 5 т = (х х+ х2)5 т _ ! - х 1х 23 т _ 2. Поэтому аЗп + Ьвт _ х+ св т _ 2=
= ( а ( х 1+ х2)+ Ь )З т_ ! + ( ~ а х 1х2 + с ) З т _2= 0, так как по теореме Виета
х1+ х 2= ~ —> хх2 = —■ 906. Пусть —+ — = <. Тогда— + — = <2 - 2 и дан-
а а Ь а Ь2 а2
ное выражение у таково:г/= 3<2 —8< + 4 = З^г —^ ^(# —2). Е с л и а Ь < 0 , то
< <0 и у = 3<2 -8 * + 4 > 0. Если аЬ > 0, то ? = — = — —^ 1 _ + 2 > 2 и
аЬ аЬ
у = 3 ^ - - ^ ^(<—2 )> 0 . 907. Доказать равенство х 2 + 5у2- 4 х у + 2 х - 6 у + 3 =
= ( х - 2 у + I ) 2 + ( у - 1 ) 2 + 1. 908. Показать, что ордината вершины первой
параболы равна - а 2 - 2 а , а ордината вершины второй параболы равна
4а2- 1 тт ( 2 о 3-. Поэтому задача сводится к решению неравенства 1■^ -а 2 - 2 а -
4а V 4
4а2 -1 3
х | --------------- I< 0, которое можно решить методом интервалов. 909. По-
4а 4
казать, что задача сводится (как и в задаче 908) к решению неравен-
251

ства (-4 а2 - а + 5 ) ( а - 2 ~ —+ ö) > 0. 910. 1) х3 - 6 х 2 - х + 30 = х3 + 2х2 -
а
- ( 8 х 2 - 3 2 )~ х - 2 . 2) х 4 - х 3 - 7 х 2 + х + 6 = х4 - х 3 - ( 7 х 2 - 7 ) + ( х - 1 ) =
= (х - 1 )(х3 - 7 х -7 + 1) = (х - 1 )(х3+ 1 - 7 ( х + 1 )) = ( х - 1 ) (х + 1 )(х 2 - х + 1 -7 ).
3) Обозначая х 2+ х + 1 = £, показать, что данное выражение равно (< + 4)х
x ( t - 3). 4) Обозначая x2+ 4 x + 8 = t, показать, что данное выражение равно
(х + f)(2 x + t). 911. х5 + х + 1 = х 5 + х4 - х 4 + х3 - х 3 + х2 - х 2+ х + 1= х5+ х4 +
+ х3+ х 2 + х + 1 - ( х 4 + х 3+ х 2) = х 3(х 2+ х + 1 )+ (х 2 + х + 1 )- х 2(х 2 + х + 1).
912. 1) Числитель равен (х 2 + I ) 2( х - 1 )(х + 1), знаменатель равен (х 2+ 1)х
х (х + 1). 2) Числитель равен (х + 1 )(х + 2 )(х - 2 ), знаменатель равен (х + 1)2х
х ( х - 2 ) . 3) Числитель равен х3( х - 2 ) + ( х - 2 ) = ( х + 1 )(х - 2 )(х 2- х + 1),
знаменатель равен х 3 - х 2+ х - 2 х2+ 2 х - 2 = ( х - 2 ) ( х 2- х + 1 ). 4 ) Числитель
равен (х 4 - 2х3 + х2) + (х 2 —2х + 1) = ( х - 1 ) 2(х 2 + 1), знаменатель равен
(х 3—2х2+ х ) - 2х2 + 4х - 2 = х (х 2 - 2х + 1 )- 2 (х 2 - 2 х + 1) = ( х - 1 ) 2( х - 2 ) .
914. 1)— 4) Воспользоваться методом интервалов. 5) Показать, что
|х2- 5 х |= х2 - 5 х прих < 0и прих > 5, |х2 - 5 х |= - ( х 2 - 5 х ) при 0 <х < 5.
3 3 3 3
6) Рассмотреть случаих < , - — <х < —, х > —. 7) Показать, чтоданное не-
2 2 4 4
Савенство таково: |х + 1| |х+ 3|> |х+ 3|. Поэтому нужно решить неравенство
с+ 1|> 1 при условии х * -3. 8) Показать, что х 2 - х + 1 > 0 и х 2 - З х + 4 > 0
при всех значениях х . Поэтому данное равенство таково: х 2 - х + 1 <
< х 2 - З х + 4 . 915. Преобразовать в неравенство: 1) ( а - 1 ) 2 + ( Ь - 1 ) 2 > 0 ;

Предметный
: указатель
Абсолютная погрешность 52
Арифметический квадратный ко
рень 85
Биквадратное уравнение 127
График квадратичной функции 166
Двойное неравенство 33
Действительное число 90
Иррациональное число 90
Квадратный корень 85
Квадратное неравенство 173
Квадратный трехчлен 124
Квадратное уравнение 109
Квадратичная функция 151
Комплексное число 139
Метод выделения полного квадрата
114
— интервалов 181
Микрокалькулятор 68
Модуль числа 42
Неполное квадратное уравнение 112
Неравенство с одним неизвестным
23
Нестрогое неравенство 21
Округление чисел 57
Основные свойства неравенств 26
Относительная погрешность 60
Отрицательное рациональное число 3
Парабола 154
Периодическая дробь 89
Положительное рациональное число 3
Посторонний корень 129
Приближенное значение величи
ны 51
Приведенное квадратное уравне
ние 121
Растяжение графика функции
157
Рациональные числа 88
Решение квадратных уравнений
116
— неравенства 24
— системы неравенств 37
, содержащей уравнение
второй степени 135
Свойства числовых неравенств 13
Сдвиг графика функции 162
Сжатие графика функции 158
Система неравенств с одним не
известным 32
Сложение неравенств 17
Стандартный вид числа 73
Строгое неравенство 20
Теорема Виета 122
— , обратная теореме Виета 123
— о квадратном корне из дроби
101
— о квадратном корне из произ
ведения 97
— о квадратном корне из степе
ни 94
— о разложении квадратного
трехчлена на множители 124
Тождество 94
Точность измерения 55
Умножение неравенств 17
Фокус параболы 155
Формула корней квадратного
уравнения 117
Числовое неравенство 10
Числовой промежуток 33
253

О Г Л А В Л Е Н И Е
Глава I . Неравенства
§ 1. Положительные и отрицательные числа............................... 3
§2. Числовые неравенства............................................................. 10
§ 3. Основные свойства числовых неравенств................................. 13
§ 4. Сложение и умножение неравенств......................................... 17
§ 5. Строгие и нестрогие неравенства............................................. 20
§ 6. Неравенства с одним неизвестным........................................... 23
§ 7. Решение неравенств................................................................. 25
§ 8. Системы неравенств с одним неизвестным.
Числовые промежутки............................................................ 32
§ 9. Решение систем неравенств..................................................... 37
§ 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства,содержащие модуль 42
Упражнения к главе I .............................................................. 47
Глава И . Приближ енны е вычисления
§11. Приближенные значения величин. Погрешность прибли
жения ....................................................................................... 51
§12. Оценка погрешности............................................................... 54
§13. Округление чисел.................................................................... 57
§ 14. Относительная погрешность................................................... 60
§15. Практические приемы приближенных вычислений.............. 62
§ 16. Простейшие вычисления на микрокалькуляторе................... 68
§17. Действия над числами, записанными в стандартном виде . . . 73
§ 18. Вычисления на микрокалькуляторе степени и числа, обрат
ного данному............................................................................. 77
§ 19. Последовательное выполнение операцийна микрокальку
ляторе 80
Упражнения к главе I I ............................................................ 82
Глава I I I . Квадратные корни
§ 20. Арифметический квадратный корень..................................... 85
§21. Действительные ч и с л а ........................................................... 88
§ 22. Квадратный корень из степени.............................................. 94
§ 23. Квадратный корень из произведения.................................... 97
§24. Квадратный корень из д роби ...................................................101
Упражнения к главе I I I .............................................................. 105
254

§ 25. Квадратное уравнение и его корни........................................... 108
§26. Неполные квадратные уравнения........................................... 112
§27. Метод выделения полного квадрата.........................................114
§28. Решение квадратных уравнений..............................................116
§ 29. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета................ 121
§ 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным.................................... 127
§31. Решение задач с помощью квадратных уравнений...................130
§ 32. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй
степени.......................................................................................135
§ 33*. Комплексные ч и сла................................................................... 139
§ 34*. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным...............142
Упражнения к главе I V .............................................................. 145
Глава V. Квадратичная функция
§ 35. Определение квадратичной функции.......................................151
§36. Функция у = х 2 ......................................................................... 154
§37. Функция у = ах2 .......................................................................157
§38. Функция у = ах2+ Ьх + с.............................................................161
§ 39. Построение графика квадратичной функции.......................... 165
Упражнения к главе V .................................................................171
Глава VI. Квадратные неравенства
§ 40. Квадратное неравенство и его решение..................................... 173
§41. Решение квадратного неравенства с помощью графика
квадратичной функции.............................................................. 177
§ 42. Метод интервалов.......................................................................181
§ 43*. Исследование квадратичной функции........................................185
Упражнения к главе V I .............................................................. 190
Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса . . . 193
Задачи для внеклассной работы............................................... 210
Краткое содержание курса алгебры VII к л ас с а ...................... 217
Краткое содержание курса алгебры VIII класса...................... 225
Ответы.......................................................................................234
Предметный указатель.............................................................. 253
Глава IV. Квадратны е уравнения

У ч е б н о е и з д а н и е
Алимов Шавкат Арифджанович
Колягин Юрий Михайлович
Сидоров Юрий Викторович
Ткачёва Мария Владимировна
Фёдорова Надежда Евгеньевна
Шабунин Михаил Иванович
А ЛГЕБ РА
8 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Л. Я. Велоновская, Я. Я. Сорокина
Младший редактор Е. А. Андреенкова
Художники В. А. Андрианов, И. В. Гущин, В. В. Костин
Художественный редактор О. Я. Богомолова
Технический редактор Л. М. Абрамова
Корректоры О. Я. Леонова, А. В. Рудакова
Н а л о г о в а я л ь г о т а — О б щ е р о с с и й с к и й к л а с с и ф и к а т о р п р о д у к ц и и О К 0 0 5 -9 3 —
9 5 3 0 0 0 . И з д . л и ц . С е р и я И Д 0 5 8 2 4 о т 1 2 .0 9 .0 1 . П о д п и с а н о в п е ч а ть 0 2 .0 4 .1 2 .
Ф о р м а т 6 0 х 9 0 7 ,,. Б у м а га о ф се т н а я . Г а р н и т у р а Ш к о л ь н а я . П е ч а т ь о ф се тн а я .
У ч .-и з д . л . 13,51 + 0 ,4 2 ф ор з. Т и р а ж 15 00 0 э к з. З ак аз № 32832.
О т к р ы т о е а к ц и о н ер н о е о бщ е ств о »И з д а т е л ь с т в о «П р о с в е щ е н и е ».
1 2 7 5 2 1 , М о ск в а , 3 -й п р ое зд М а р ь и н о й р о щ и , 41.
О тп еч а та н о в О А О «С а р а т о в с к и й п о л и гр а ф к о м б и н а т ».
4 1 0 0 0 4 , г. С а р а тов , у л . Ч е р н ы ш е в с к о го , 59. w w w .s a rp k .ru

корни
Формулы
Виета
х2+рх +д = О
х 7+ х = -р
х 1* 2= д
ах2+Ьх +с = О
Ъ

Квадратичная
функция
у = а х 2+ Ь х + с , а # 0
= а х 2 + Ь х + с = а ( х - х 0) 2+ у
х = - 2 а ’ У » = а х - + Ь х + с0 0 0
Наименьшее
значение равно
у„=у(х»)
У ‘ а < 0
Уо
0
Наибольшее
значение равно
У о= У ( х <)

8 a a_2012

More Related Content

What's hot (14)

Similar to 8 a a_2012 (20)

More from Svinka Pepa (20)

8 a a_2012