を追加するとき
S[a]++; S[b+1]--;としておく．
• 全ての区間を前処理したあと、
for(i=1;i<=1000000;i++) s[i] += s[i-1]; // 0-indexed
のように累積和をとる．
• 配列Sの各要素にはそれぞれの点の被覆数が格納されている
• 時間計算量O(n+k)
• 今回は必要ないが、座標圧縮(出現する点だけを残す手法)をすれば
O(n)になり、区間の端点が取る値の大きさによらない
• →次のページに動作例](https://image.slidesharecdn.com/abc014-140913092223-phpapp02/85/AtCoder-Beginner-Contest-014-4-320.jpg)
![C - 問題& 解法(3/3)
動作例
• [0,2],[2,3],[2,4],[5,6] (sample1)
• I. s[0]に+1,s[3]に-1
• II. s[2]に+1,s[4]に-1
• III. s[2]に+1,s[5]に-1
• IV. s[5]に+1,s[7]に-1
• V.累積和をとる
• 一番被覆されてるのは
2番目で被覆数3](https://image.slidesharecdn.com/abc014-140913092223-phpapp02/85/AtCoder-Beginner-Contest-014-5-320.jpg)
AtCoder Beginner Contest 014 解説
- 1. A - 問題& 解法 問題 • aにいくつかの数x(x≧0)足して、bの倍数にしたい．xの最小値を出力． • 解法 • a%b==0のとき、0をそのまま出力 • a%b≠0のとき、b-a%bを出力 • 別解 • bが小さいのでforループでaがbの倍数になるまでインクリメントしていってもよい
- 2. B - 問題& 解法 問題 • n個の商品の価値と整数Xが与えられる．Xのk番目のビットがたっているとき、 k番目の商品を選ぶとする．選ぶ価値の合計を出力しなさい． • 解法 • K番目のビットがたっているかどうかの判定は色々あるが、ビット演算を用い るとよい．たとえばC言語だと、if(X >> k & 1) { 立ってるときの処理} とかでか ける． • それを用いて，すべてのk(0≦k≦n-1)についてループで価値を足し合わせる
- 3. C - 問題& 解法(1/3) 問題 • 区間がたくさん与えられる． もっとも区間に被覆されてる頂点のその被覆数を出力しなさい． 考察 • すべての点について確かめるのは時間がかかりそう • 部分点解法 • いずれかの区間の端点を調べるだけで十分(ほかは無駄) • すべての端点(n×2通り)について、含んでいるものがいくつあるかループで 調べる • 端点の数は2n個，区間の数はn個∴時間計算量O(n^2) • 満点解法 • 値の上限をk=1,000,000としてO(n+k) →次ページ
- 4. C - 問題& 解法(2/3) 満点解法 • 一般にいもす法と呼ばれる累積和の応用テクを用いる • 大きさ1000001個の点に対応する配列Sを用意する． 前処理として、ある区間[a,b](aとbを含む閉区間)を追加するとき S[a]++; S[b+1]--;としておく． • 全ての区間を前処理したあと、 for(i=1;i<=1000000;i++) s[i] += s[i-1]; // 0-indexed のように累積和をとる． • 配列Sの各要素にはそれぞれの点の被覆数が格納されている • 時間計算量O(n+k) • 今回は必要ないが、座標圧縮(出現する点だけを残す手法)をすれば O(n)になり、区間の端点が取る値の大きさによらない • →次のページに動作例
- 5. C - 問題& 解法(3/3) 動作例 • [0,2],[2,3],[2,4],[5,6] (sample1) • I. s[0]に+1,s[3]に-1 • II. s[2]に+1,s[4]に-1 • III. s[2]に+1,s[5]に-1 • IV. s[5]に+1,s[7]に-1 • V.累積和をとる • 一番被覆されてるのは 2番目で被覆数3
- 6. D - 問題& 解法(1/4) 問題 • 木に1つの辺を追加するとき，できるループの大きさを出力． 部分点解法 • 与えられる追加辺(a,b)について，aを始点，bを終点とし探索(幅優先探索で も深さ優先探索でも)して得た経路長に+1したものが答え(探索時，追加辺は 考慮しない) • 満点解法 • LCAを用いて，a↔b間の最短距離を求めた上で+1したものを出力すればよ い • →詳しくは次ページ
- 7. D - 問題& 解法(2/4) • 満点解法 • LCAを用いる • 与えられるグラフを，適当な頂点(どこもいい)を根とした根付き木として扱う． • この根付き木について，全ての頂点の深さとその親を配列に格納しておく (ただし根の深さは0で親はいない) ． • LCA(最小共通祖先)と呼ばれるものを高速に計算する． • LCAとは，2つの頂点の共通の祖先(親を巡ってたどり 着ける頂点)で最も近いもの
- 8. D - 問題& 解法(3/4) • それぞれの頂点について，2^k個前の親を予め計算して保持しておく(テーブ ルをつくる) いわゆるダブリング • ある頂点xの2^k(k>0)個前の親= {xの2^(k-1)個前の親}の2^(k-1) 個前の親 (存在しない場合は場合分け) • ということを利用するとこれらはkが小さい場合から全頂点について 逐次計算していけば求まる • そして，LCAを求める際にそのテーブルを用いる． • 具体的には頂点a,bのLCAを求めるとき， ①aとbが同じ深さになるまで片方を登らせた上で， ② 2者が衝突しないギリギリの高さまで2者を登らせる を求める(①と②の操作はどちらもテーブルを利用してlog nで可能．)
- 9. D - 問題& 解法(3/4) 視覚的な例 ①aとbが同じ深さになるまで片方を登らせた上で， ② 2者が衝突しないギリギリの高さまで2者を登らせる
- 10. D - 問題& 解法(4/4) ①aとbが同じ深さになるまで片方を登らせた上で， ② 2者が衝突しないギリギリの高さまで2者を登らせる • これらをO(log n)で行う • 詳しくは正解者のコードを見ると良さそう(すみませんまだかけてませ ん…)． • 出力すべきは(aの深さ) + (bの深さ) – (aとbのLCAの深さ) + 1