南开大学暑期ACM集训
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本文介绍了在区间 [a,b] 上通过二分法求解连续函数 f(x)=0 的实根的方法。采用中点逐步缩小区间直至满足精度要求，以及收敛性分析和方法的优缺点。文中还附有例题以示范二分法的具体应用。
![1) 问题：
给定方程 f(x)=0, 设 f(x) 在区间 [a,b] 连续 , 且
f(a)f(b)<0, 则方程 f(x) 在 (a,b) 内至少有一根 , 为便于讨论
, 不妨设方程 f(x)=0 在 (a,b) 内只有一个 ( 重根视为一个 )x*
~
x
实根 ，求满足精度要求的的近似值实根 。
2) 解题思路
取 [a,b] 区间二等分的中点 x1 =(a+b)/2,
若 f(x1)=0, 则 x1 是 f(x)=0 的实根
若 f(a)f(x1)<0 成立 , 则* x 必在区间 (a, x1) 内 , 取
a1=a,b*= x1; 否则
x1 必在区间 (x1,b) 内 , 取 a1= x1,b =b,
1
这样 , 得到新区间 [a1,b1], 其长度为 [a,b] 的一半 , 如此继
续下去 , 进行 n 次等分后 , 得到一组不断缩小的区间 ,
[a,b],[a1,b1],......[an,bn]….](https://image.slidesharecdn.com/random-120308055109-phpapp02/85/ACM-2-320.jpg)
![中每一个区间都是前一个长度的一半 , 从而 [ , an bn
] 的长度为
bn − an = (b − a) / 2n
此继续下去 , 则有这些区间将收敛于一点 , 该点即为所求的根 .
做到第 n 步时，若有
bn − an ≤ ε
为给定精度
时 ∀~ ∈ [an , bn ]
x x* ~
均满足 − x ≤ ε 即为所求方程的
以上方法就是用于求方程实根近似值的二分法
3) 迭代步数 n 的确定
因为
b− a
bn − an = bn − an = n
2](https://image.slidesharecdn.com/random-120308055109-phpapp02/85/ACM-3-320.jpg)
![所以由 bn − an ≤ ε 得
b −a b −a
≤ ε ⇒ n ≥ log 2 ( )
2 n
ε
b−a
因此只要对分 n = [log 2 ( )] + 1 次，则
ε
~ ∈ [a , b ]
∀x ~
n n x* −x ≤ε 有
an−1 + bn−1 [ an , bn ]
xn =
注：因为 2 为 的一个端
[ a, b]
点，所以将区间 1 = [log ( b − a )]
n− 2
ε
对分
[ an−1 , bn−1 ] xn x *
后，取 ≤ε
x* −xn 的中点 作为
的近似值，满足](https://image.slidesharecdn.com/random-120308055109-phpapp02/85/ACM-4-320.jpg)
![收敛性分析
现在来研究用二分法求 函数的根时的精确性。假定 f(
是连续函数 , 并且它在区间 [a0.b0] 的两端点 所取的值有相反
的符号 , 于是在 [a0.b0] 中有一个根 r, 如果用中点 c0 = (a0+b0)/2
作为对 r 的估计则有的 r- c0 ≤(b0 -a0)/2. 如图所示 :
r- c0
←→
→
a0 r c0 b0
现在应用二分算法 , 并将算出的量用 a0, b0 ,c0,a1,b1,c1 等来表
示 , 则由同样的推理 , r- cn≤(bn-an)/2 n=0,1,2,......
由于这些区间的宽度在每一步中都除以 2, 所以可断定
r- cn≤ b0 − a0 可见经过 n 步后将算出一个近似根其误
2n+1
差至多为 (b0 − a0 ) 2n+1](https://image.slidesharecdn.com/random-120308055109-phpapp02/85/ACM-6-320.jpg)
![例题求解
例 1: 用二分法求方程 2 x
3
− 5x − 1 = 0
在区间 (1,2)
ε ≤ 10 −2
内的实根 , 要求误差限为 。
f ( x) = 2 x − 5x − 1
3
解：令
f(1)<0, f(2)>0 记 I0=[1,2] , x0 =(1+2)/2=1.5
因为 f(x0) f(1)>0 得 I1=[1.5, 2] , x1 =(1.5+2)/2=1.75
f(x1) f(1.5)<0 得 I2=[1.5, 1.75] , x2 =(1.5+1.75)/2=1.625
…….
I6=[1.681875, 1.6875], I7=[1.671875, 1.679688]
b7 - a7=0.7813×10-2 < 10-2
∴x*≈x7 =1.6758](https://image.slidesharecdn.com/random-120308055109-phpapp02/85/ACM-8-320.jpg)
南开大学暑期ACM集训
- 1. 南开大学暑期 ACM 集训之 二分法解方程
- 2. 1) 问题： 给定方程 f(x)=0, 设 f(x) 在区间 [a,b] 连续 , 且 f(a)f(b)<0, 则方程 f(x) 在 (a,b) 内至少有一根 , 为便于讨论 , 不妨设方程 f(x)=0 在 (a,b) 内只有一个 ( 重根视为一个 )x* ~ x 实根 ，求满足精度要求的的近似值实根 。 2) 解题思路 取 [a,b] 区间二等分的中点 x1 =(a+b)/2, 若 f(x1)=0, 则 x1 是 f(x)=0 的实根 若 f(a)f(x1)<0 成立 , 则* x 必在区间 (a, x1) 内 , 取 a1=a,b*= x1; 否则 x1 必在区间 (x1,b) 内 , 取 a1= x1,b =b, 1 这样 , 得到新区间 [a1,b1], 其长度为 [a,b] 的一半 , 如此继 续下去 , 进行 n 次等分后 , 得到一组不断缩小的区间 , [a,b],[a1,b1],......[an,bn]….
- 3. 中每一个区间都是前一个长度的一半 , 从而 [ , an bn ] 的长度为 bn − an = (b − a) / 2n 此继续下去 , 则有这些区间将收敛于一点 , 该点即为所求的根 . 做到第 n 步时，若有 bn − an ≤ ε 为给定精度 时 ∀~ ∈ [an , bn ] x x* ~ 均满足 − x ≤ ε 即为所求方程的 以上方法就是用于求方程实根近似值的二分法 3) 迭代步数 n 的确定 因为 b− a bn − an = bn − an = n 2
- 4. 所以由 bn − an ≤ ε 得 b −a b −a ≤ ε ⇒ n ≥ log 2 ( ) 2 n ε b−a 因此只要对分 n = [log 2 ( )] + 1 次，则 ε ~ ∈ [a , b ] ∀x ~ n n x* −x ≤ε 有 an−1 + bn−1 [ an , bn ] xn = 注：因为 2 为 的一个端 [ a, b] 点，所以将区间 1 = [log ( b − a )] n− 2 ε 对分 [ an−1 , bn−1 ] xn x * 后，取 ≤ε x* −xn 的中点 作为 的近似值，满足
- 5. 4) 计算框架图
- 6. 收敛性分析 现在来研究用二分法求 函数的根时的精确性。假定 f( 是连续函数 , 并且它在区间 [a0.b0] 的两端点 所取的值有相反 的符号 , 于是在 [a0.b0] 中有一个根 r, 如果用中点 c0 = (a0+b0)/2 作为对 r 的估计则有的 r- c0 ≤(b0 -a0)/2. 如图所示 : r- c0 ←→ → a0 r c0 b0 现在应用二分算法 , 并将算出的量用 a0, b0 ,c0,a1,b1,c1 等来表 示 , 则由同样的推理 , r- cn≤(bn-an)/2 n=0,1,2,...... 由于这些区间的宽度在每一步中都除以 2, 所以可断定 r- cn≤ b0 − a0 可见经过 n 步后将算出一个近似根其误 2n+1 差至多为 (b0 − a0 ) 2n+1
- 7. 二分法的优缺点 二分法计算过程简单 , 程序容易实现 . 可在 大范围内求根，但该方法收敛较慢 , 且不能求重根 和复根 , 一般用于求根的初始近似值 , 而后在使用其 它的求根方法。 二分法收敛速度不快 , 其收敛速度仅与一个 以 1/2 为比值的等比级数相同 。
- 8. 例题求解 例 1: 用二分法求方程 2 x 3 − 5x − 1 = 0 在区间 (1,2) ε ≤ 10 −2 内的实根 , 要求误差限为 。 f ( x) = 2 x − 5x − 1 3 解：令 f(1)<0, f(2)>0 记 I0=[1,2] , x0 =(1+2)/2=1.5 因为 f(x0) f(1)>0 得 I1=[1.5, 2] , x1 =(1.5+2)/2=1.75 f(x1) f(1.5)<0 得 I2=[1.5, 1.75] , x2 =(1.5+1.75)/2=1.625 ……. I6=[1.681875, 1.6875], I7=[1.671875, 1.679688] b7 - a7=0.7813×10-2 < 10-2 ∴x*≈x7 =1.6758
- 9. 例 2 ，求方程 f(x)= x 3 –e-x =0 的一个实根。 因为 f(0)<0,f(1)>0 。 故 f(x) 在 (0,1) 内有根 用二分法解之， (a,b ） = （ 0,1)’ 计算结果如表： k a bk xk f(xk) 符号 0 0 1 0.5000 － 1 0.5000 － 0.7500 － 2 0.7500 － 0.8750 ＋ 3 － 0.8750 0.8125 ＋ 4 － 0.8125 0.7812 ＋ 5 － 0.7812 0.7656 － 6 0.7656 － 0.7734 ＋ 7 － 0.7734 0.7695 － 8 0.7695 － 0.7714 － 9 0.7714 － 0.7724
- 10. 相关练习 1133: 铁皮容器