Add m1-1-chapter1

บทที่ 1
การประยุกต 1 (16 ชั่วโมง)
1.1 รูปเรขาคณิต (3 ชั่วโมง)
1.2 จํานวนนับ (5 ชั่วโมง)
1.3 รอยละในชีวิตประจําวัน (4 ชั่วโมง)
1.4 ปญหาชวนคิด (4 ชั่วโมง)

ในบทเรียนนี้มุงเนนการจัดการเรียนการสอนใหสอดคลองตามมาตรฐานการเรียนรู สาระที่ 6
ทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรและ
เชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่นๆ ตลอดจนความคิดริเริ่มสรางสรรค
เนื้ อ หาสาระที่ นําเสนออยู ใ นรู ป ของกิ จ กรรมและใช ค วามรู พื้ น ฐานคณิ ต ศาสตร เ ดิ ม ในชั้ น
ประถมศึกษา รูปแบบของกิจกรรมมีหลากหลาย ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นลําดับขั้นตอนของการเรียนรู
และสามารถนําไปประยุกตใชในชีวิตจนเกิดเปนกิจนิสัย
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูควรใหนกเรียนไดลงมือปฏิบติ มีการสนทนา อภิปราย
ั ั
และนําเสนอผลงานหรือขอสรุป ขั้นสุดทาย ครูและนักเรียนจะตองชวยกันสรุปวา ในแตละกิจกรรม
นักเรียนไดเรียนรูสาระอะไรบาง ความคิดรวบยอดของเรื่องนั้นเปนอยางไรและสามารถนําความรูนั้น
ไปใชไดอยางไร
สําหรับการวัดผลและการประเมินผลของบทนี้ ใหครูเนนการวัดกระบวนการมากกวาคําตอบ
ครูควรวัดผลระหวางทํากิจกรรม และเมื่อจบบทเรียนนีแลวควรมีการวัดผลโดยใชขอสอบแบบปลายเปด
้ 
ใหนักเรียนไดคิดอยางอิสระ เพื่อจะไดประเมินผลแนวคิดที่หลากหลายของนักเรียน

ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตาง ๆ ได
2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 รูปเรขาคณิต (3 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกความสัมพันธระหวางผลบวกของความยาวของดานสองดานกับความยาวของดานทีสาม ่
ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได
2. บอกไดวาจุดที่กําหนดใหในรูปเสนโคงปดเชิงเดียวเปนจุดขางในหรือจุดขางนอก
3. สรางแทนแกรมไดและบอกความสัมพันธของรูปเรขาคณิตตางๆ ของแทนแกรมได
4. ใชความรูและทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรแกปญหาตางๆ ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
ความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูจักใชกระบวนการทางคณิตศาสตรคนหาสมบัติทางเรขาคณิต
เกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม

ขอเสนอแนะ
1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมดวยการสนทนาและซักถามนักเรียนเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่นักเรียนได
เรียนมาแลว เชน ใหบอกบทนิยาม บอกชนิดของรูปสามเหลี่ยม ยกตัวอยางสิ่งของเครื่องใชที่มี
สวนประกอบของรูปสามเหลียมดานเทา รูปสามเหลียมหนาจัว เปนตน
่ ่ ่
2. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเปนกลุมและดําเนินกิจกรรมตามลําดับขั้นตอนที่ระบุไวใน
หนังสือเรียนเพื่อใหนักเรียนไดใชกระบวนการดังแผนภูมิตอไปนี้

3

สถานการณ / ปญหา

(กิจกรรมขอ 2) ศึกษาสํารวจและจดบันทึกขอมูล

(กิจกรรมขอ 3 และขอ 4) สังเกตขอมูล / วิเคราะหแบบรูปของคําตอบ

(กิจกรรมขอ 4 และขอ 5) สรางขอความคาดการณ

(แบบฝกหัดขอ 1) ตรวจสอบ

(แบบฝกหัดขอ 2 และ ขอ 3) สรุปผล

(แบบฝกหัดขอ 4 และ ขอ 5) นําไปใช

ในขณะที่นักเรียนทํากิจกรรม ครูควรสังเกตแนวคิดและการบันทึกผลเกี่ยวกับการกําหนด
ความยาวที่ใชในแตละดาน อาจชี้แนะใหนักเรียนแจงกรณีอยางเปนระบบเพื่อใหไดคําตอบครบทุกกรณี
จากกิจกรรมนีนกเรียนควรสรุปสมบัตเิ กียวกับความยาวของดานของรูปสามเหลียมใดๆ ไดวา
้ ั ่ ่ 
ผลบวกของความยาวของดานสองดานใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม
3. ครูอาจยกตัวอยาง การใชสมบัติเกี่ยวกับความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมเปนหลักใน
การออกแบบเครื่องใชในชีวิตประจําวัน เชน ที่รองรีดผาซึ่งสามารถปรับความสูงและพับเก็บแบนราบ
โดยใชความรูในกรณีทใชความยาวของสวนของเสนตรง 3 เสนมาประกอบกันแลวไมเกิดรูปสามเหลียม
 ี่ ่
การทําใหที่รองรีดผาสามารถปรับเก็บแบนราบได จะตองปรับเลื่อนดานที่สามของรูป
สามเหลี่ยมใหความยาวของดานที่สามเทากับผลบวกของความยาวของดานอีกสองดานที่เหลือ ดังรูป

4

A C

B

จากรูป ∆ ABC จะเห็นวา AB และ BC เปนความยาวที่คงตัว
เนื่องจากที่รองผาสามารถปรับความยาวของดานที่แทนดวย AC ได
ดังนั้น ถาปรับเลื่อนให AC ยาวมากขึ้น ขาโตะที่รองรีดผาจะหางกันมากขึ้นดวยดังรูป

A C
A C
A B C

ถาปรับ AC = AB + BC ที่รองรีดผาจะพับแบนราบได

จุดขางในและจุดขางนอก
กิจกรรมนี้ตองการใหนกเรียนรูจักใชกระบวนการทางคณิตศาสตร
 ั

1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมดวยการสนทนาเกี่ยวกับรูปปดที่นักเรียนรูจักมาแลว เชน รูปสามเหลี่ยม
รูปสี่เหลี่ยม ซึ่งมีเสนรอบรูปประกอบดวยสวนของเสนตรง จากนั้นใหครูใชเชือกแสดงรูปเสนโคงปด
เชิงเดียว
ครูอาจใหนกเรียน 2 – 3 คน ออกมาเขียนเสนโคงปดเชิงเดียวพรอมจุดบนกระดานดํา แลวให
ั
ครูอธิบายความหมายของจุดขางนอกและจุดขางในโดยใชรูปที่นกเรียนเขียน
ั
2. ครูควรศึกษากิจกรรมที่กําหนดไวในเรื่องนี้อยางละเอียดทุกขั้นตอน และควรจัดกิจกรรม
ตามลําดับขั้นตอนที่เสนอไวตามแนวทางของกิจกรรม “ สํารวจจุด” ดังนี้

5

ปญหาที่ไมซับซอน
ขอ 1 ขอ 1) – 4)

แกปญหาตามเงื่อนไข

ขอ 1 ขอ 5) ปญหาลักษณะเดียวกัน แตมีความซับซอน

ขอ 3 สืบเสาะหาวิธีแกปญหาใหมที่เร็วขึ้นโดย
ขอ 4 ขอ 1) และ 2) สํารวจ สังเกต และวิเคราะห

ขอ 4 ขอ 3) สรางขอความคาดการณ

ขอ 5 ตรวจสอบ

ผลสรุปทายหนา 9 สรุปผล

กิจกรรม “ลองทําดู”
“พวกเดียวกันหรือไม” นําไปใช
และ “ชวนคิด”

กิจกรรมนี้เริ่มจากปญหาที่ไมซับซอนที่นักเรียนสามารถหาคําตอบไดงายกอน แลวจึงให
ปญหาในลักษณะเดียวกันแตซบซอนขึนเพือใหนกเรียนรูสกวา วิธการหาคําตอบที่ใชอยูเดิมนั้นไมสะดวก
ั ้ ่ ั  ึ ี
แลว นักเรียนควรคิด พิจารณา สืบเสาะและวิเคราะหหาแนวทางแกปญหาใหม แตกิจกรรมนี้เปนการ
เริ่มตนการเรียนรูในแนวนี้ จึงไดบอกวิธีคิดใหกอน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธจากแบบ

6

รูปของคําตอบแลวสรางขอความคาดการณได และใชขอความคาดการณที่สรางขึ้นตรวจสอบกับปญหา
ในลักษณะเดียวกันจนแนใจวา สามารถนําขอความคาดการณนั้นไปใชได
3. กิจกรรม “สํารวจจุด” ขอ 2 เปนคําถามที่ตองการใหนักเรียนฉุกคิดวา วิธีการหาคําตอบ
โดยลากเสนจากจุดทีกาหนดใหออกมาขางนอกรูปเพือหาวา จุดใดเปนจุดขางในและจุดใดเปนจุดขางนอก
่ํ ่
ไมนาจะเปนวิธีที่ดี ควรมีวิธีที่สะดวกกวาและหาคําตอบไดเร็วกวา

กอนใหทําขอ 3 และขอ 4 ครูควรใหนักเรียนลองหาวิธีที่จะหาคําตอบดวยตัวเองกอน และ
ชี้ประเด็นใหเห็นวาขอ 3 และขอ 4 นี้เปนขั้นตอนที่สําคัญของการสรางองคความรูใหม
ในการทําขอ 4 นักเรียนควรสังเกตผลจากการทดลองโดยวิธีใหม และวิเคราะหแบบรูปของ
คําตอบเพื่อสรางขอความคาดการณ
ขอ 5 เปนคําถามที่ใหนักเรียนเห็นวา เมื่อสรางขอความคาดการณแลวตองนําขอความ
คาดการณนั้นไปตรวจสอบกับปญหาในลักษณะเดียวกัน เพื่อดูวาขอความนั้นใชไดหรือไม
ในทางคณิตศาสตรเมื่อตองการยืนยันวาขอความคาดการณที่สรางขึ้นเปนจริง จะตองพิสูจน
โดยการใหเหตุผลแบบนิรนัย แตในกิจกรรมนีจะใชการตรวจสอบแทนการพิสจน ครูควรบอกใหนกเรียน
้ ู ั
ทราบวาขอความคาดการณที่นักเรียนสรางขึ้นเปนทฤษฎีบทของฌอรดองและใหนาทฤษฎีบทนี้ไปใชใน
ํ
การทํากิจกรรมตอนทายตอไป
กิจกรรม “ลองทําดู” เปนกิจกรรมที่ใชตรวจสอบความรูความเขาใจและพัฒนาความคิด
สรางสรรค
สําหรับกิจกรรม “พวกเดียวกันหรือไม” เปนกิจกรรมที่ใหเห็นการนําความรูไปใชแกปญหา
4. สําหรับปญหาชวนคิด เมื่อใชทฤษฎีบทของฌอรดองตรวจสอบ จะพบวา ถาลากสวนของ
เสนตรงจากจุด A ตัดเสนรอบรูปจะไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคี่แสดงวา A เปนจุดขางใน เพื่อใหได
จํานวนจุดตัดเปนจํานวนคู ขุนแผนจะตองสะเดาะกลอนผานกําแพงออกมา 1 ชั้น ขุนแผนก็จะมาอยูใน
ตําแหนงของจุดขางนอกได
5. สําหรับกิจกรรม “เชื่อสายตาหรือไม” เสนอไวเพื่อใหนักเรียนตระหนักวา การหาคําตอบ
โดยใชสายตาเปนเครื่องวัดอาจจะเชื่อถือไมไดเสมอไป

แทนแกรม
กิจกรรมนี้ตองการใหนกเรียนเห็นความสัมพันธของรูปเรขาคณิตตาง ๆ ของแทนแกรม ใหเห็น
 ั
การเชือมโยงความรูระหวางรูปเรขาคณิตกับเศษสวน และใชเปนกิจกรรมทีชวยพัฒนาความคิดสรางสรรค
่  ่
และความรูสึกเชิงปริภูมิ

7

1. ครูนําเขาสูกิจกรรมโดยสนทนาเกี่ยวกับเกมตอภาพตางๆ อาจใหนักเรียนยกตัวอยางเกมตอ
ภาพที่เคยเลนมาแลว
2. กอนใหนักเรียนสรางแทนแกรม ครูควรใหนักเรียนบอกความสัมพันธของรูปตางๆ ใน
แทนแกรมกอนแลวใหนักเรียนทุกคนสรางแทนแกรมตามขั้นตอนที่กําหนดให อาจใหแตละคนใช
กระดาษสีตางกัน เพื่อทํากิจกรรมขอ 5 ขางลางนี้
3. ครูใหนักเรียนตัดกระดาษตามรูปแทนแกรมทั้งเจ็ดชิ้น แลวพิจารณาวาแตละรูปเปนรูป
เรขาคณิตชนิดใดบางและมีความสัมพันธกันอยางไร เชน บางรูปเทากันทุกประการ (ทับกันสนิทพอดี)
บางรูปนํามาตอกันจะไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ในกิจกรรม “คิดเปนเศษสวนเทาไร” ครูอาจแบงนักเรียนออกเปนกลุมใหชวยกันหาคําตอบ
แลวนําเสนอวิธีการแกปญหาของแตละกลุม
5. สําหรับกิจกรรมตอภาพแทนแกรมใหนักเรียนแลกเปลี่ยนชิ้นสวนของแทนแกรมเพื่อให
แตละคนมีแทนแกรมทีหลากสีซงจะไดภาพทีมความสวยงามมากขึน เมือนักเรียนทําตามคําสังในกิจกรรม
่ ึ่ ่ ี ้ ่ ่
แลว ควรนําผลงานของนักเรียนไปแสดงใหเพื่อนๆ เห็น

1.2 จํานวนนับ (5 ชั่วโมง)
1. อธิบายแบบรูปและความสัมพันธของผลคูณในสูตรคูณแมตาง ๆ ได
2. ใชตะแกรงของเอราทอสเทนีสหาจํานวนเฉพาะได
3. ใชขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับที่มคามาก ๆ ได
ี

สูตรคูณ
กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นความสัมพันธระหวางการบวกและการคูณในสูตรคูณแมตางๆ และใช

ความสัมพันธนี้สรางขอความคาดการณเกี่ยวกับสูตรคูณแมอื่นๆ นอกเหนือจากที่เรียนมา ตลอดจน
สังเกตเห็นแบบรูปที่นาสนใจที่ไดจากสูตรคูณเหลานั้น

8

1. ครูอาจเริ่มกิจกรรมใหนักเรียนทองสูตรคูณ สองแมหรือสามแมที่ครูกําหนด หลังจากนั้น
ครู ใ ชคําถามใหนักเรียนบอกความสัมพันธระหวางการบวกซ้ําๆ ดวยจํานวนที่เปนแมสูตรคูณที่ครู
กําหนด แลวโยงไปสูรูปการคูณซึ่งทําใหเกิดสูตรคูณแมตางๆ ขึ้น
2. ใหนักเรียนทํากิจกรรม “สูตรคูณแสนสนุก” หลังจากนักเรียนตอบคําถามขอ 2 แลว
ครูควรตรวจสอบความรู ความเขาใจและการใหเหตุผลของนักเรียนวาถูกตองหรือไม
ในระหวางที่นักเรียนหาคําตอบขอ 3 ครูควรสังเกตวานักเรียนเห็นแบบรูปที่ปรากฏใน
สูตรคูณแม 4 และสูตรคูณแม 6 หรือไม นักเรียนควรสังเกตเห็นวาเลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผล
คูณของสูตรคูณทั้งสองแมเปนเลขโดดชุดเดียวกัน แตเรียงสลับกันดังนี้
สูตรคูณแม 4 เลขโดดคือ 4 8 2 6 0
สูตรคูณแม 6 เลขโดดคือ 6 2 8 4 0
ครูอาจใหนักเรียนโยงสวนของเสนตรงในรูปวงกลมของสูตรคูณ พรอมแสดงทิศทางที่ได
เลขโดดในหลักหนวยของผลคูณเพื่อใหเห็นภาพที่มีความเกี่ยวของกัน
ในการทํากิจกรรมขอ 4 ครูอาจใชคําถามกระตุนใหนักเรียนสังเกตเห็นความเกี่ยวของกัน
ระหวางแมสตรคูณซึงใหภาพเหมือนกัน และอาจแนะนําใหระบายสีหรือแตงรูปทีไดใหเกิดความสวยงาม
ู ่ ่
ก็ได
สําหรับคําถามขอ 7 ตองการใหนกเรียนนําความรูขอ 6 มาอางอิงและใชการคาดการณ
ั 
หรือใหเหตุผลอืนเพิมเติมโดยไมตองเขียนสูตรคูณเม 13 ถึงแม 24 จริง ๆ เชน สูตรคูณแม 13 มีภาพ
่ ่ 
เหมือนกันและมีทิศทางการโยงจํานวนเหมือนกันกับสูตรคูณแม 3 เพราะวา 13 = 10 + 3 ดังนั้นเมื่อ
นํา 13 ไปคูณจํานวนนับใดๆ เลขโดดในหลักหนวยของผลคูณนันก็จะเหมือนกับเลขโดดในหลักหนวย
้
ของผลคูณของสูตรคูณแม 3 (ครูอาจแสดงการคูณใหเห็นไดโดยใชสมบัติการแจกแจง)

รอนหาจํานวนเฉพาะ
กิจกรรมนีตองการใหนกเรียนเห็นขันตอนการหาจํานวนเฉพาะ โดยใชตะแกรงของเอราทอสเทนีส
้ ั ้
และรูจักวิธีการตรวจวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะ

1. ครูอาจนําเขาสูกิจกรรมโดยใชการถามตอบ ทบทวนความหมายของจํานวนเฉพาะภายใต
ขอบเขตของจํานวนนับ แลวจึงใหนกเรียนศึกษาวิธีการรอนหาจํานวนเฉพาะของเอราทอสเทนีส โดย
ั
ใชแผนภูมิจํานวนนับ 1 ถึง 40 เพื่อสาธิตวิธีการตามลําดับขั้นตอนที่ปรากฏในหนังสือเรียน ครูอาจใช
ไมเคาะชี้ตัวเลขบนแผนภูมิใหเห็นการนับ ตามขั้นตอนขอ 2 หลังจากนั้นใหนักเรียนชวยกันทําตามใน

9

ขั้นตอนขอ 3 - ขอ 5 ในการขีดฆาจํานวนทิ้งควรใชสีที่ตางกัน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธ
ของจํานวนที่ถูกขีดฆาทิ้งมากกวาหนึ่งครั้งดวย
2. ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนระหวาง 1 ถึง 102 ในหนังสือเรียนหนา 24 มีเจตนา
เขียนไวแถวละ 6 จํานวน เพื่อใหนักเรียนสังเกตเห็นวาจํานวนเฉพาะเกือบทุกจํานวนจะอยูในหลักที่
หนึ่งและหลักที่หา นักเรียนจะสามารถหาจํานวนเฉพาะไดงายขึ้น

1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102

จํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 102 ไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101
3. กอนใหตัวอยางการตรวจสอบวา 79 เปนจํานวนเฉพาะ ครูควรอธิบายสาระหนา 23 – 25
ในหนังสือเรียนใหนักเรียนเขาใจขั้นตอนวิธีการตรวจสอบวา จํานวนนับ n ที่กาหนดเปนจํานวนเฉพาะ
ํ
หรือไม โดยใหใชจํานวนเฉพาะ p ที่เมื่อคูณตัวเองแลวผลคูณนอยกวาหรือเทากับ n มาหาร n ถา p
ทุกตัวหาร n ไมลงตัวแลว n เปนจํานวนเฉพาะ

10

สําหรับขอความ “แนวคิดทางคณิตศาสตร” ที่อางถึงในหนังสือเรียนหนา 25 นั้นมีความ
หมายดังนี้
สําหรับจํานวนเต็ม n ที่มากกวา 1 ถา n ไมเปนจํานวนเฉพาะ จะมีจํานวนเฉพาะ p ที่
นอยกวาหรือเทากับ n ซึ่งหาร n ลงตัว
หลังจากอธิบายตัวอยางตามที่กลาวไวในหนังสือเรียนแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุป
หลักการตรวจสอบวาจํานวนนับใดเปนจํานวนเฉพาะหรือไม
4. สําหรั บ ข อ ความสนทนาที่ อ ยู ใ นก อ นเมฆเสนอไว เ พื่ อ ให นั ก เรี ย นเห็ น เป น ตั ว อย า งว า
เมื่อเรียนรูเรื่องใดแลว นักเรียนควรไดฝกการนําไปใช ในที่นี้คือฝกสังเกตหาความสัมพันธและสราง
ขอความคาดการณในเรื่องที่ตอเนื่องกัน เชน ในบทเรียนกุงและกอยพบจํานวนเฉพาะ 13 และ 31 ที่มี
เลขโดดชุดเดียวกันแตสลับหลักกันและจากการสืบเสาะของกุงและกอย ทั้งสองควรจะพบวาจํานวนนับ
ตั้งแต 1 ถึง 102 ในตารางจะมีจํานวนเฉพาะที่มีลักษณะพิเศษนี้อีก ไดแก 17 กับ 71 37 กับ 73
และ 79 กับ 97
นอกจากนี้ กุงและกอยยังพบจํานวนเฉพาะแฝดเพิ่มเติมอีก ไดแก 5 กับ 7 11 กับ 13
17 กับ 19 29 กับ 31 41 กับ 43 59 กับ 61 71 กับ 73 และ 87 กับ 89 ซึ่งเสนอไว ใน
กอนเมฆทายตารางหนา 24
ปญหาชวนคิดที่นําเสนอไวหนา 26 ตองการใหนักเรียนเห็นตัวอยางขอความคาดการณที่
ไดจากการพยายามพิจารณาหาแบบรูปของความสัมพันธวา ในบางครั้งขอความคาดการณที่สรางขึ้นอาจ
ไมเปนจริงสําหรับกรณีทั่วๆ ไป ซึ่งนักเรียนสามารถหาตัวอยางมาคานได เชน (2 × 7) + 1 = 15 และ
15 ไมใชจํานวนเฉพาะ ดังนั้นขอความคาดการณของกวีจึงไมเปนจริง

ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด
กิจกรรมนี้ตองการใหความรูเกี่ยวกับวิธหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนทีมคา
 ี ่ ี
มากๆ โดยใชขนตอนวิธแบบยุคลิดและใหเห็นความสัมพันธของ ห.ร.ม. ค.ร.น. กับจํานวนนับทีกาหนดให
ั้ ี ่ํ

1. ครูนําเขาสูบทเรียนดวยการทบทวนวิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวน
ตามที่นักเรียนไดเรียนมาแลว เชน พิจารณาตัวประกอบ การตั้งหาร หรือการแยกตัวประกอบ จากนั้น
ครูกําหนดจํานวนนับที่มีสามหลักสองจํานวนและมี ห.ร.ม. เปนจํานวนนับที่มีสองหลัก ใหนักเรียนชวย
กันหา ห.ร.ม. ตามวิธีที่เคยรูมาแลว ตอจากนั้นครูจึงเสนอวิธี หา ห.ร.ม. ตามขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดซึ่ง
สามารถหา ห.ร.ม. ไดเร็วกวา ครูไมจําเปนตองอธิบายถึงหลักการและเหตุผลของวิธีการดังกลาว ใน
ชั้นนี้ตองการใหนักเรียนจําวิธีการและนําไปใชได

11

2. สําหรับการหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับสามจํานวนที่มีคามาก ๆ นักเรียนจะเลือกหา ห.ร.ม.
สองจํานวนใดกอนก็ไดและใชวิธีหา ห.ร.ม. วิธีใดก็ได แตครูควรถามถึงเหตุผลในการเลือก
3. กอนใหนกเรียนหา ค.ร.น. ของจํานวนนับสามจํานวนทีมคามากๆ ครูควรใหนกเรียนสํารวจดูวา
ั ่ ี ั 
ถามีจานวนนับสามจํานวนทีตองการใหหา ค.ร.น. จะสามารถประยุกตสตรในทํานองเดียวกันกับสูตร ค.ร.น.
ํ ่ ู
a×b
ของ a และ b = ห.ร.ม. ของ a และ b มาใชกับจํานวนนับสามจํานวนไดหรือไม
4. สําหรับโจทยประยุกตในแบบฝกหัดขอ 3 ขอ 4 และขอ 5 กอนใหนกเรียนทํา ครูควรทบทวน
ั
โดยใชการถามตอบเพื่อตรวจสอบความรูและความเขาใจในพื้นฐานความรูที่เรียนมาแลวจาก รายวิชา
คณิตศาสตรพื้นฐานเรื่องสมบัติของจํานวนนับ

1.3 รอยละในชีวิตประจําวัน (4 ชั่วโมง)
1. ใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ บอกคําตอบและเหตุผลได
2. ใชรอยละแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได

รอยละของจํานวนใด
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนมีความรู ความเขาใจและมีความรูสกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ
ึ
และนําไปใชอยางถูกตองในสถานการณจริง

1. ครูนําเขาสูกิจกรรมดวยการสนทนาซักถามเรื่องรอยละที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวัน เชน
การลดราคาสินคา ดอกเบี้ยเงินฝากของธนาคาร ฯลฯ โดยเนนวารอยละที่กาหนดใหเปนรอยละของ
ํ
จํานวนใดจํานวนหนึ่ง ครูอาจใหนกเรียนยกตัวอยางจํานวนที่แสดงวา รอยละเดียวกันของจํานวนที่ตาง
ั
กันจะไมเทากัน หลายๆ ตัวอยาง

12

สาระสําคัญของกิจกรรมนี้ มุงเนนการเรียนรูที่ทําใหเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับรอยละ
12
เชน เมื่อพูดถึง 12% นักเรียนจะตองรูทันทีวาจํานวนนี้เปน 12% หรือ 100 หรือ 0.12 เทาของ
จํานวนใดจํานวนหนึ่ง
เพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับรอยละยิ่งขึ้น ครูอาจใหโจทยเพิ่มเติมในทํานองเดียวกันกับ
คําถามตอไปนี้
1) มะลิขายสมไดกําไร 20% ขายมะมวงไดกําไร 25% จะสรุปวามะลิขายสมและมะมวง
รวมกันไดกาไร 45% ไดหรือไม เพราะเหตุใด (สรุปไมไดเพราะวา ราคาทุนของสมและมะมวงอาจไม
ํ
ใชจานวนเดียวกัน)
ํ
2) รุงฟาขายนาฬิกาปลุกรุนเกาขาดทุน 15% แตขายเครื่องคิดเลขไดกําไร 20% จะสรุปวา
รุงฟาขายของสองอยางนี้ไดกําไร 5% ไดหรือไม เพราะเหตุใด (สรุปไมไดเพราะวาราคาทุนของนาฬิกา
และเครื่องคิดเลขอาจไมใชจํานวนเดียวกัน)
ครูอาจใหนักเรียนตรวจสอบโดยกําหนดตัวอยางราคาทุนของสมเปน 400 บาท และราคา
ทุนของมะมวงเปน 500 บาท รวมเปนทุน 900 บาท และ (100 × 400 )+ (100 × 500 ) ≠ (100 × 900 )
20 25 45
2. สําหรับการจัดกิจกรรมในตัวอยางที่ 1 ครูอาจถามนักเรียนวา ทําไมจึงนํารอยละที่เพิ่มขึ้น
ของดานยาวบวกกับรอยละที่เพิ่มของดานกวางไมได และอาจเขียนภาพประกอบเพื่อสื่อความหมาย
ทําความเขาใจและชี้ประเด็นใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ รอยละของความยาวของแตละ
ดานที่เพิ่มขึ้นกับรอยละของพื้นที่ที่เพิ่มขึ้น ดังนี้
2
D2
C

A 20 20 A B
20
20

พื้นที่ของรูปเดิมหรือรูป A เทากับ 20 × 20 = 400 ตารางเซนติเมตร
พื้นที่ของรูป B ซึ่งเปนสวนที่เพิ่มขึ้นเทากับ 2 × 20 = 40 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่ของรูป B คิดเปน 40 10 10% ของพื้นที่ของรูปเดิม
400 = 100 =
ในทํานองเดียวกันพื้นที่ของรูป C คิดเปน 10% ของพื้นที่ของรูปเดิมดวย
พื้นที่ของรูป D ซึ่งเปนสวนที่เพิ่มขึ้นเทากับ 2 × 2 = 4 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้นพื้นที่ของรูป D คิดเปน 400 = 1004 1 = 1% ของพื้นที่ของรูปเดิม

13

ครูควรชี้แนะใหนักเรียนสังเกตเห็นวาการเพิ่มขึ้นของพืนทีของรูปเรขาคณิตสองมิติ พืนที่
้ ่ ้
ของสวนที่เพิ่มขึ้นนั้นขึ้นอยูกับการเพิ่มขึ้นของทั้งดานยาวและดานกวางของรูปเรขาคณิตสองมิตินั้น
ดังนั้นเมื่อเพิ่มความยาวของดานกวาง 10% ก็มิไดหมายความวาพื้นที่จะเพิ่มขึ้น 10% หรือเมื่อเพิ่มความ
ยาวของดานกวาง 10% และดานยาว 10% ก็มิไดหมายความวาพื้นที่จะเพิ่มขึ้น 20% ดวย

ครูอาจนําเสนอโดยใชรูปดังนี้
22
C

A 20 A B 22

20

จากรูปขางตนจะไดพื้นที่ของรูป B เปน 10% ของพื้นที่ของรูปเดิมและไดพื้นที่ของรูป C
เปน 11% ของพื้นที่ของรูปเดิม ครูถามนักเรียนวาสามารถนํา 10% และ 11% ที่ไดมาบวกกันไดหรือ
ไม เพราะเหตุใด (บวกกันได เพราะวา เปนรอยละของจํานวนเดียวกัน คือพื้นที่ของรูปเดิม)
ครูอาจอธิบายเพิ่มเติม ดังนี้
(100 × 400 )+ (100 × 400 ) = (100 + 100 ) × 400
10 11 10 11
21
= 100 × 400
ดังนั้นพื้นที่ของสวนที่เพิ่มขึ้นทั้งหมดจึงคิดเปน 21% ของพื้นที่ของรูปเดิม
สําหรับวิธีทําของตัวอยางทั้งสามนี้ ครูไมควรตองเสียเวลาเขียนและอธิบายบนกระดาน
แตควรใหนักเรียนกลับไปศึกษาดวยตัวเองอีกครั้งหนึ่ง
3. กิจกรรม “ความคิดเห็นของฉัน” เปนกิจกรรมที่ตองการใหเห็นการนําความรูไปใชใน
ชีวิตจริง ฝกใหนักเรียนมีความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับรอยละ ไมไดมงใหนกเรียนตองคิดคํานวณจริงๆ
ุ ั
แตใหใชความรูสึกเชิงจํานวนประกอบเหตุผลที่สมเหตุสมผล ตัดสินใจและใหคําตอบ
การใหเหตุผลประกอบคําตอบเปนสิ่งสําคัญที่จะทราบวานักเรียนมีความรูความเขาใจและมี
ความรูสึกเชิงจํานวนเพียงใด การใหเหตุผลของนักเรียนอาจแตกตางกัน ครูควรพิจารณาเหตุผลและ
ยืดหยุนคําตอบตามความเหมาะสม
4. สําหรับเรือง “ผูซอ ผูขาย” ครูควรเนนใหนกเรียนทําความเขาใจเกียวกับตนทุนหรือราคาทุน
่  ื้  ั ่
กําไรหรือขาดทุนที่คิดเปนรอยละ แลวใหนกเรียนพิจารณาตัวอยาง สําหรับกิจกรรมที่ใหนักเรียนสมมติ
ั
ตัวเองเปนเจาของกิจการมีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นการนําความรูไปใชในชีวิตจริง ถามีเวลาครูอาจให

14

นักเรียนทํากิจกรรมนี้โดยสรางสถานการณซื้อขายจําลองในชั้นเรียน แลวหาขอสรุปวาไดผลเปนไปตาม
ที่นกเรียนคิดและวางแผนไวหรือไม
ั
นอกจากนั้นครูควรสอดแทรกดานคุณธรรม ใหมีความซื่อสัตยและไมเอาเปรียบซึ่งกันและ
กันระหวางผูซื้อกับผูขายดวย
5. สําหรับเรื่อง “ลดแลว ลดอีก” ครูควรใหนักเรียนเขียนแผนภาพหาแนวคิด แสดงใหเห็น
การลดราคาแตละขั้นตอน อาจเขียนแผนภาพแสดงการหาคําตอบแตละคําถามในปญหารถจักรยานดังนี้

ราคาขาย
ตอบคําถามขอ 5 ที่ลด 20%

ตอบคําถามขอ 1 ราคา กําไร 30% ราคาขาย ลดราคา ราคาขาย
ทุน 2,600 บาท 30% ที่ลด 30%
ลดราคา 10%

ปดราคาขาย ตอบคําถามขอ 4
ตอบคําถามขอ 2 จากการลดครั้งแรก
ลดราคา 10%

ปดราคาขาย
ตอบคําถามขอ 3 จากการลดราคาครั้งที่สอง

ดอกเบี้ย
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชรอยละในชีวิตจริงเกี่ยวกับการฝากเงิน การกูเงิน
การคิดดอกเบี้ย โดยกําหนดสถานการณปญหาที่กระตุนใหนักเรียนรูจกการออมเงิน
ั

1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการใชจายเงินของนักเรียนที่ไดรับเปนรายวัน รายสัปดาห หรือ
รายเดือน วิธการออมเงินหรือการฝากเงินของนักเรียน
ี
2. ใหนักเรียนศึกษาขอมูลเกี่ยวกับการฝากเงินกับธนาคารและอัตราดอกเบี้ยที่จะไดรับในการ
ฝากเงินแตละประเภท ครูอาจใหนักเรียนออกมาสรุปผลจากการศึกษาขอมูลในกิจกรรมนี้เพื่อตรวจสอบ
ความเขาใจของนักเรียนกอนใหตัวอยาง

15

3. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินฝาก” แลว ครูอาจใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น
วา ถานักเรียนจะฝากเงินควรเลือกฝากประเภทใดและมีเหตุผลอยางไร
4. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินกู” แลวครูควรใหนักเรียนรวมกันแสดงความคิด
เห็นวา อัตราดอกเบี้ยเงินกูกับอัตราดอกเบี้ยเงินฝากตางกันอยางไร อาจใหนักเรียนทราบวาสวนตาง
ของอัตราดอกเบี้ยนี้เปนสวนหนึ่งของรายไดของธนาคาร และอาจใหขอคิดกับนักเรียนเกี่ยวกับการกูเงิน
นอกระบบซึ่งตองจายดอกเบี้ยในอัตราที่สูงกวาและอาจตองจายดอกเบี้ยเปนรายเดือนดวย ถาไมจําเปน
จริง ๆ ไมควรกูเงินนอกระบบ

เงินโบนัส
กิจกรรมนี้ตองการใหนกเรียนเห็นการใชรอยละในชีวตจริง และไดฝกทักษะการคิดคํานวณจาก
 ั ิ
สถานการณปญหา

1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับคําวา “โบนัส” ที่ใชกันในหลายสถานการณ เชน คะแนนโบนัส
แตมโบนัส รางวัลโบนัส และเงินโบนัส อาจใหนักเรียนเลาวาในสถานการณจริงๆ ของนักเรียนเคยได
โบนัสในเรื่องใดบาง
2. ครูใหความรูเกี่ยวกับเงินโบนัส และอาจยกตัวอยางการจายเงินโบนัสขององคกร บริษัท
หรือหางรานตางๆ มาเลาใหนักเรียนฟงวาแตละหนวยงานมีหลักเกณฑการจายเงินโบนัสอยางไรบาง
3. กิจกรรม “เงินโบนัสของปติ” และ “ใชเงินโบนัสอยางไรดี” เปนกิจกรรมที่นอกจาก
ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรูเรื่องรอยละไปใชในชีวิตจริงแลว ยังเปนการฝกทักษะการคํานวณ
โดยใชรอยละดวย
กอนใหนักเรียนทํากิจกรรม “เงินโบนัสของปติ” ครูควรกลาวถึงเงินกองทุนสํารองเลี้ยง
ชีพซึ่งเกี่ยวของกับเงินเดือนและเงินโบนัส อาจใหความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชนที่จะไดรับจากเงิน
กองทุนสํารองเลี้ยงชีพ แตไมจําเปนตองใหรายละเอียดเกี่ยวกับการสะสมเงินกองทุนสํารองเลี้ยงชีพ
เพราะเรื่องนี้มีรายละเอียดมาก
4. ในการดําเนินกิจกรรม “ใชเงินโบนัสอยางไรดี” ครูอาจตั้งประเด็นใหนักเรียนรวมกัน
อภิปรายเกี่ยวกับการใชเงินโบนัสของปติ เชน ชี้ใหเห็นวาปติเปนผูชายที่รักครอบครัวไดเงินโบนัสมาก็
อยากจะแบงปนใหภรรยาและลูกๆ ดวย

16

ครูอาจใชคาถามทีเ่ สริมสรางลักษณะนิสย ใหนกเรียนรูจักวางแผนการใชเงินอยางมีคุณคา
ํ ั ั
เชน ถานักเรียนไดรับเงินโบนัส
1) นักเรียนจะวางแผนการใชเงินโบนัสอยางไรบางและ มีเหตุผลอยางไรในการใชเงิน
จํานวนนั้น
2) นักเรียนคิดวาจะออมเงินสวนหนึ่งของเงินโบนัสโดยฝากไวกับธนาคารบางหรือไม
เพราะเหตุใด
5. ปญหา “คิด” เปนตัวอยางโจทยที่เชื่อมโยงสาระทางคณิตศาสตรระหวางจํานวนกับ
เรขาคณิต ในเรืองรอยละกับพืนทีของวงกลม ไดฝกทักษะเกียวกับใชสมบัตของการเทากัน (การแทนคา)
่ ้ ่  ่ ิ
พัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนและความรูสึกเชิงปริภูมิ

1.4 ปญหาชวนคิด (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถแกปญหาโดยใชยุทธวิธีตางๆ เชน สรางแบบจําลองสถานการณ
คนหาแบบรูป หาคําตอบโดยใชวิธีการแจกแจงกรณีหรือคิดยอนกลับ

ผลบวกของจํานวนคี่
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนรูวิธีหาคําตอบโดยการสํารวจ สังเกต วิเคราะหแบบรูปการเพิ่ม
จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและนําผลสรุปที่ไดไปใชในการหาคําตอบ

1. ใหนักเรียนศึกษาและทํากิจกรรม “ผลบวกของจํานวนคี่” ถาครูเห็นวานักเรียนมีปญหาใน
การหาคําตอบ ครู ค วรใช คําถามดั ง ต อ ไปนี้ ชี้ นําให นั ก เรี ย นสั ง เกตแบบรู ป จนได ข อ สรุ ป
1) จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แรเงาและไมแรเงามีความเกี่ยวของกันอยางไร

นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปไดดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 ---

จํานวนรูปที่แรเงา 0 1 1+3 1+3+5 ---

จํานวนรูปที่ไมแรเงา 1 3 5 7 ---

17

2) ลําดับที่ของรูปเกี่ยวของกับจํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดอยางไร

นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปที่ไดดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 ---

จํานวนรูปสี่เหลี่ยม 1 22 32 42 ---
ทั้งหมด (1) (1 + 3) (1 + 3 + 5) (1 + 3 + 5 + 7)

3) ลําดับที่ของรูปสัมพันธกับจํานวนของจํานวนคี่ที่นํามาบวกกันอยางไร

นักเรียนควรอธิบายและบอกความสัมพันธของแบบรูปที่ไดดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 ---

จํานวนของจํานวนคี่ 1 2 3 4 ---
ที่นํามาบวกกัน (1) (1 + 3) (1 + 3 + 5) (1 + 3 + 5 + 7)

2. กิจกรรมนี้ตองการใหนกเรียนหาคําตอบโดยการสังเกตแบบรูป ยังไมตองการใหหาผลบวก
ั
ของจํานวนนับโดยใชสูตร n (a + l ) เมื่อ a แทนจํานวนแรก l แทนจํานวนสุดทายและ n แทน
2
จํานวนทั้งหมดที่นํามาบวกกัน

มีอะไรอยูเ ทาไร
กิจกรรมนีตองการใหนกเรียนรูจกแกปญหาโดยสังเกตแบบรูป วิเคราะหความสัมพันธ และใช
้ ั ั 
แบบรูปในการหาคําตอบ

1. ในการทํากิจกรรมเรื่องนี้ครูควรใหนักเรียนทํางานเปนกลุมเพื่อชวยกันสรางแบบรูป
นักเรียนควรหาคําตอบโดยการลองแทนคาจํานวนในตารางตอไปเรื่อยๆ กอน
2. การหาคําตอบของขอ 2 ที่อยูในสวนเฉลยคําตอบทายบทนี้ เปนคําตอบที่นักเรียนอาจได
จากการสืบเสาะหาคําตอบตอกันไปเรื่อยตามแบบรูปที่พบ ซึ่งอาจไมเห็นความสัมพันธที่จะชวยใหได

18

คําตอบอยางรวดเร็ว ถาครูเห็นวานักเรียนมีความพรอมพอที่จะใหสังเกตพบความสัมพันธได ครูอาจใช
คําถามกระตุนใหนักเรียนคิดและสามารถเห็นความสัมพันธของลําดับของรูปกับจํานวนรูปสามเหลี่ยม
ลําดับของรูปกับจํานวนจุดยอด และลําดับของรูปกับจํานวนดานของรูปสามเหลียม ดังในวงเล็บทีอยูใน
่ ่ 
ตารางขางลางนี้

รูปที่ 1 2 3 4 5 ---
จํานวน 1 3 5 7 9
---
รูปสามเหลี่ยม [(2 × 1) – 1] [(2 × 2) – 1] [(2 × 3) – 1] [(2 × 4) – 1] [(2 × 5) – 1]
3 7 11 15 19
---
จํานวนจุดยอด [(4 × 1) – 1] [(4 × 2) – 1] [(4 × 3) – 1] [(4 × 4) – 1] [(4 × 5) – 1]
จํานวนดานของ 3 9 15 21 27
---
รูปสามเหลี่ยม [(6 × 1) – 3] [(6 × 2) – 3] [(6 × 3) – 3] [(6 × 4) – 3] [(6 × 5) – 3]

3. สําหรับการหาคําตอบขออื่น ๆ นักเรียนควรใชแบบรูปที่ไดเสนอไวในตารางในขอ 2 เปน
แนวคิดหาคําตอบ ในกิจกรรมนียงไมไดมงใหนกเรียนเขียนแบบรูปแสดงความสัมพันธเปนกรณีทวไป
้ั ุ ั ั่
แตครูอาจใหนักเรียนบางคนที่มีความสนใจเปนพิเศษคนหาความสัมพันธจากแบบรูป ซึ่งจะไดรูปทั่วไป
เปนดังนี้
ให n แทนลําดับที่ของรูป
หาจํานวนรูปสามเหลี่ยมไดจาก 2n – 1
หาจํานวนจุดยอดไดจาก 4n – 1
หาจํานวนดานของรูปสามเหลี่ยมไดจาก 6n – 3

เงิน – เงิน – เงิน
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นการใชคณิตศาสตรในชีวิตประจําวันและรูจักนํายุทธวิธีบาง
ประการมาชวยในการแกปญหา เชน การแจกแจงกรณี

1. ครู นําเข า สู กิ จ กรรมด ว ยการสนทนาเกี่ ย วกั บ ความเป นมาของธนบัตรไทยอย างคราวๆ
2. กิจกรรม “แลกเงิน” เปนกิจกรรมที่มีสถานการณใกลตัวนักเรียนมาก แตนกเรียนอาจไม
ั

19

สนใจและไมเกิดความรูสึกวามีปญหา ถากําหนดเงื่อนไขในการแลกเงินให กิจกรรมนี้จะเปนปญหาที่
ตองคิดและตองใชความรอบคอบในการหาคําตอบ ครูอาจใหนกเรียนทําเปนกลุมยอย ๆ ใหชวยกัน
ั  
วิเคราะหและหาคําตอบทังควรใหนาเสนอหนาชันเรียน ครูควรชี้ใหเห็นความสําคัญของการเขียนคําตอบ
้ ํ ้
ใหเปนระบบ ซึ่งจะชวยใหนักเรียนหาคําตอบไดครบทุกกรณีงายขึ้น
กอนใหนักเรียนทํากิจกรรม ครูอาจยกตัวอยางปญหาการแลกธนบัตร 50 บาท เปนเหรียญ
หาบาทหรือเหรียญสิบบาท จะเปนชนิดเดียวกันหรือตางชนิดกันก็ไดใหครบทุกกรณี
3. กิจกรรม “แลกเงินตรา” เปนกิจกรรมทีมสถานการณใกลตวนักเรียนเชนกัน นักเรียนควรรู
่ ี ั
ไวเพราะเชือมโยงกับธุรกิจและเศรษฐกิจของประเทศ มีขาวสารเกียวกับอัตราแลกเปลียนเงินตราทีเ่ ปลียน
่  ่ ่ ่
แปลงเกือบทุกวัน ครูอาจหาอัตราแลกเปลียนเงินตราจากหนังสือพิมพรายวันหลาย ๆ วันมาแทนขอมูลใน
่
หนังสือเรียนก็ได
ในการดําเนินกิจกรรมนีครูอาจใชการสนทนาสอดแทรกใหนกเรียนเห็นความมีนําใจของยุวดี
้ ั ้
ที่ดูแลและชวยเหลือเพื่อนตางชาติ ซึ่งนักเรียนควรถือเปนตัวอยาง
4. สําหรับกิจกรรม “ซื้อสินคา” เปนกิจกรรมที่ตองการฝกใหนักเรียนใชวิธีแจกแจงกรณี
ชวยในการหาคําตอบ สิงสําคัญในกิจกรรมนีคอการหาคําตอบอยางเปนระบบ ซึงครูควรใหนกเรียนมานํา
่ ้ื ่ ั
เสนอบนกระดานดําบาง เพื่อใหนักเรียนในชั้นไดเห็นขอดีและขอบกพรองที่ควรไดแกไขไปพรอมๆ กัน

เรียงอิฐปูพื้น
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดฝกแกปญหาโดยใชวิธีการแจกแจงกรณี รูจักจัดขอมูลใหเปน
ระบบ

1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับรูปแบบของการเรียงอิฐซึ่งจะแตกตางกันตามความชอบหรือวัตถุ
ประสงคของการใชงาน สําหรับกิจกรรมนีจะใหเรียงอิฐตามเงื่อนไขที่กําหนด
้
2. ครู ใ ห นั ก เรี ย นศึ ก ษาตารางซึ่ ง เป น ตั ว อย า งการเรี ย งอิ ฐ ตามจํานวนก อ นอิ ฐ ที่ กําหนด
ในเบื้องตนครูควรชี้ใหนักเรียนสังเกตวิธีเรียงอิฐอยางเปนระบบและคนพบแบบรูปดวยตัวเอง อาจใหมี
การอภิปรายภายในกลุมจนไดขอสรุป ถานักเรียนมีปญหาในการสังเกตแบบรูปก็ใหครูช้แนะ ี
3. ครูควรใหนักเรียนสังเกตการหาคําตอบโดยใชตารางซึ่งใชการวิเคราะหและแจกแจงกรณี
ควรใหมการอภิปรายกันภายในกลุมเพื่อหาขอสรุปถึงการเรียงอิฐที่เปนไปไดและเปนไปไมได และให
ี
สังเกตแบบรูปของการเรียงอิฐในแนวนอนและแนวตั้ง นักเรียนควรสังเกตไดวาอิฐที่เรียงในแนวนอน
ตองเปนจํานวนคู

20

4. หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมขอ 1 และขอ 2 แลว ครูอาจใหนักเรียนสังเกตจํานวนรูปแบบ
ในตารางชองขวาสุดวาจํานวนรูปแบบที่ไดมีความสัมพันธกันอยางไร อาจมีนักเรียนสังเกตไดวา
จํานวนรู ป แบบที่ ต อ งการหาเท ากั บ ผลบวกของจํานวนรู ป แบบสองจํานวนที่ อยูถัดขึ้นไปก อ นหนา
ดังแผนภาพ

ผลรวม 1 2 3 5 8 13 ---

ความสัมพันธ 1 2 (1 + 2) (2 + 3) (3 + 5) (5 + 8) ---

แบงที่ดินปลูกผัก
กิจกรรมนี้ตองการฝกทักษะการแกปญหาโดยใชการวิเคราะห


ในกิจกรรมนี้ครูอาจใหนักเรียนคิดวิเคราะหหาคําตอบดวยตัวเองกอน แลวนําเสนอแนวคิด ซึ่ง
นักเรียนอาจมีวิธีคิดที่แตกตางกัน ครูอาจเพิ่มเติมแนวคิดใหชัดเจนโดยใชการถามตอบพรอมทั้งเขียน
ภาพประกอบ เพื่อเนนใหนักเรียนเห็นวาการคิดวิเคราะหในเรื่องนี้จะตองเริ่มมาจาก สิ่งที่โจทยบอกหรือ
เริ่มจากสิ่งที่รูไปหาสิ่งที่ไมรู ในที่นี้จะเริ่มจากพื้นที่ปลูกผักคะนาที่โจทยกําหนดพื้นที่ให 20 ตารางเมตร
ใหครูเขียน 20 ลงในแผนภาพแลวใหนักเรียน หาพื้นที่ของที่ดินแปลงตอไปตามเงื่อนไขที่โจทย
กําหนดซึ่งตองคิดตามลําดับจากสิ่งที่รูดังภาพประกอบตอไปนี้

บวบ
2×(20×2)
ถั่วฝกยาว
2×{2×(20×2)} คะนา
ผักบุงจีน
(20)
(20×2) พริกขี้หนู ตะไคร
(20÷2) (20÷2)

21

มีลูกอมอยูกี่เม็ด
กิจกรรมนี้ตองการฝกทักษะการแกปญหาโดยใชวิธีการคิดยอนกลับ


1. การแกปญหาในกิจกรรมนีตองคิดยอนกลับโดยเริมคิดจากจํานวนลูกอมทีเ่ หลืออยูสดทาย 1 เม็ด
 ้ ่  ุ
ครูอาจใชการถามตอบใหนักเรียนชวยกันคิด และเติมคําตอบในตารางใหไดคาตอบดังนี้
ํ

การแบง จํานวนลูกอม (เม็ด) จํานวนลูกอมที่เพื่อนไดรับ (เม็ด)

ครั้งที่ เหลือ กอนการแถม กอนการแบง คนที่ 3 คนที่ 2 คนที่ 1

3 1 1+1 = 2 2×2 = 4 2+1=3

2 4 4+1 = 5 2 × 5 = 10 5+1= 6

1 10 10 + 1 = 11 2 × 11 = 22 11 + 1 = 12

นั่นคือ เดิมกนกมีลกอมทั้งหมด
ู 22 เม็ด

การแกปญหานี้ทางตรง จะเริ่มคิดจากจํานวนลูกอมที่มีอยูเดิมกอนที่จะแจกใหเพื่อนๆ โดย
ใชสมการชวยหาคําตอบดังนี้
สมมุติใหกนกมีลูกอมอยูเดิม x เม็ด
เพื่อนคนที่หนึ่งจะไดรับลูกอม x +1 เม็ด
2
หลังจากใหเพื่อนคนที่หนึ่งแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก x − (x + 1) = x − 1 เม็ด
2 2
เพื่อนคนที่สองจะไดรับลูกอม 1  x − 1 + 1 = x − 1 + 1
22 
  4 2
x + 1 เม็ด
= 2 2

หลังจากใหเพื่อนคนที่สองแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก (x − 1) − (x + 1 ) = x − 2 เม็ด
2 4 2 4
3

เพื่อนคนที่สามจะไดรับลูกอม 1 (x − 3 ) + 1 = x − 3 + 1
24 2 8 4
= x+1
8 4 เม็ด
หลังจากใหเพือนคนทีสามแลวกนกยังเหลือลูกอมอีก
่ ่ (x − 2 ) − (x + 4 )
4
3
8
1
8
7
= x−4 เม็ด

22

จํานวนลูกอมที่เหลืออยูในครั้งนี้เทากับ 1 เม็ด
จึงไดสมการ x−7 = 1
8 4
x − 14 = 8
x = 22

เมื่อตรวจสอบจะไดวาจํานวนลูกอม 22 เม็ด เปนคําตอบที่ถูกตอง
ดังนั้น กนกมีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด
เนื่องจากนักเรียนในชั้นนี้ยังไมมความรูในการแกสมการที่ซับซอน วิธีนี้จงยังไมเหมาะที่จะ
ี ึ
นํามาใช ครูจึงควรชี้แนะใหนักเรียนหาคําตอบโดยคิดแบบยอนกลับ
ถาครูพิจารณาเห็นวาปญหานี้ยากเกินไปสําหรับนักเรียนทุกคน อาจใหเฉพาะนักเรียนที่มี
ความสามารถพิเศษทําก็ได
2. ในการแกปญหาเรื่องนี้ครูอาจจําลองสถานการณโดยใชลูกอมหรือวัตถุอยางอื่นแทน เชน
เม็ดมะขาม กอนหิน ใหนักเรียนไดคิดและปฏิบัติจริงๆ ถาครูเห็นวานักเรียนตอบไดและเขาใจดีแลว
ครูอาจขยายปญหาใหยากขึ้นโดยปรับโจทยใหมีการแบงใหเพื่อน 5 คน หรือ 6 คนก็ได
ครูควรกลาวสรุปปดทายบทเรียนวาวิธีแกปญหาทางคณิตศาสตรมียุทธวิธีหลากหลาย นักเรียน
จะตองมีความคิดยืดหยุนและพยายามใชวิธีแกปญหาหลายๆ วิธี การไดฝกทักษะในการแกปญหา
ทางคณิตศาสตรมากๆ จะชวยทําใหนักเรียนเรียนคณิตศาสตรไดดีขึ้นดวย

23

คําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม”

2. ใชไมจิ้มฟน 4 อันถึง 8 อันเพื่อตอกันเปนรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูป บันทึกผลที่ไดในตารางใหครบ
ทุกกรณี ไดดังนี้

ตอกันเปน จํานวนไมจิ้มฟนที่ตอเปนดาน
จํานวนไมจิ้มฟน
รูปสามเหลี่ยม (อัน)
ทั้งหมด (อัน)
ได ไมได ดานที่ 1 ดานที่ 2 ดานที่ 3
3 1 1 1
4 1 1 2
1 1 3
5
1 2 2
1 1 4
6 1 2 3
2 2 2
1 1 5
1 2 4
7 1 3 3
2 2 3
1 1 6
1 2 5
8 1 3 4
2 2 4
2 3 3

24

3.
ความยาวของดาน (หนวย)
ความยาวรอบรูป (หนวย)
ดานที่ 1 ดานที่ 2 ดานที่ 3
3 1 1 1
5 1 2 2
6 2 2 2
7 1 3 3
2 2 3
8 2 3 3
4.
1) ไมมี
2) ไมมี
3) ทุกกรณี
4) ผลบวกของความยาวของดานสองดานใด ๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะมากกวาความยาวของดาน
ที่เหลือเสมอ
5. ใช

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”
1.
(1) ขอ 1), 4), 5) และ 6) เพราะมีผลบวกของความยาวของดานสองดานทุกคูมากกวาดานทีเ่ หลือ

(2) ขอ 2) และ 3) เพราะมีผลบวกของความยาวของดานสองดานอยางนอย 1 คูนอยกวา
หรือเทากับความยาวของดานที่เหลือ
2. AB + BC = AC
3. กรณีที่ 1 ได ในกรณีที่ A, B และ C เปนจุดสามจุดที่ไมเรียงอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน
ดังตัวอยาง
B

AB + BC มากกวา AC
A C
กรณีที่ 2 ไมได ในกรณีที่ A, B และ C เปนจุดสามจุดที่เรียงกันดังตัวอยาง

AB + BC มากกวา AC
A C B

25

4. เดินตามแนว AB เพราะวาทางเดินในแนวอื่นๆ จะอยูในลักษณะ AC + CB ซึ่งยาวกวา AB
ดังรูปตัวอยาง
C A

B
5. ทําได เพราะวาความยาวของแตละดานไมจาเปนตองเปนจํานวนนับ เชน อาจวางเชือกใหมความยาว
ํ ี
ของดานเปน 1.5 เมตร 1.5 เมตร และ 1 เมตร

คําตอบกิจกรรม “สํารวจจุด”
1.
ขอ จุดขางนอก จุดขางใน
1) B A และ C
2) A และ B C
3) B และ C A
4) B A และ C
5) A และ C B

2. วิธีที่ใชหาคําตอบในขอ 1 เมื่อใชกับรูปในขอ 5) จะไมสะดวกเพราะตองใชเวลานานขึ้น นาจะมีวิธี
หาคําตอบที่ดีกวานี้
3.

ขอ จุด จุดขางใน จุดขางนอก จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียว (จุด)
1) A 1
B 2
C 1
2) A 2
B 2
C 3

26

ขอ จุด จุดขางใน จุดขางนอก จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียว (จุด)
3) A 1
B 2
C 2
4) A 5
B 2
C 3
5) A 4
B 5
C 4

หมายเหตุ จํานวนจุดตัดเสนรอบรูปของเสนโคงปดเชิงเดียวอาจหาไดแตกตางกัน

4.
1) จุดขางนอก
2) จุดขางใน
3) ถาลากสวนของเสนตรงจากจุดที่กําหนดใหออกมาขางนอกรูป ถาไดจํานวนจุดตัดเปน
จํานวนคู จุดนั้นจะเปนจุดขางนอก และถาไดจํานวนจุดตัดเปนจํานวนคี่ จุดนั้นจะเปนจุด
ขางใน

5. P และ X เปนจุดขางนอก
Q และ Y เปนจุดขางใน

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”
3. A, B, E และ F เปนจุดขางใน
C และ D เปนจุดขางนอก

คําตอบกิจกรรม “พวกเดียวกันหรือไม”
1. สามารถลากเสนเชื่อมจุด P กับจุด Q ไดโดยไมตัดผานเสนรอบรูป
2. สามารถลากเสนเชื่อมจุด X และจุด Y ไดโดยไมตัดผานเสนรอบรูป

27

คําตอบปญหา “ชวนคิด”
ขุนแผนจะตองสะเดาะกลอนผานกําแพงอยางนอยหนึ่งชั้น เพราะจุด A ที่ขนแผนยืนอยูเปนจุดขาง
ุ
ในคายกลที่มีลักษณะเปนเสนโคงปดเชิงเดียว

คําตอบกิจกรรม “เชื่อสายตาหรือไม”
1. ยาวเทากัน
3. ยาวไมเทากัน
5. ทุกคูขนานกันหมด
6. พื้นที่เทากัน (วงกลมในที่นี้หมายถึงรูปที่มีเสนทึบ)

คําตอบกิจกรรม “สรางแทนแกรม”
2.
1) ∆ DEF, ∆ ERC, ∆ IPQ, ∆ ABQ และ ∆ BQC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปในขอ 1) เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวย
3) IERQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4) IFAP เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

3. ตัวอยาง ความสัมพันธที่พบ
1) FI = IE, ER = IQ, IP = EC ฯลฯ
2) ∆ ERC กับ ∆ IQP ทับกันไดสนิทพอดี
3) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ ∆ DEF
4) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ IERQ
5) พื้นที่ของ ∆ ERC + พื้นที่ของ ∆ IQP เทากับพื้นที่ของ IFAP
6) พื้นที่ของ ∆ DEF เทากับพื้นที่ของ IERQ และเทากับพื้นที่ของ IFAP
7) พื้นที่ของ ∆ DEF = 1 ของพื้นที่ของ ∆ ADC
4
8) พื้นที่ของ ∆ ABQ เทากับพื้นที่ของ ∆ BQC

28

9) พื้นที่ของ ∆ ABQ = 1 ของพื้นที่ของ ABCD
4
10) พื้นที่ของ ∆ DEF = 1 ของพื้นที่ของ ∆ ABQ
2
ฯลฯ

คําตอบกิจกรรม “คิดเปนเศษสวนเทาไร”
1. รูป A และรูป B มีพื้นที่เทากัน
รูป D และรูป F มีพื้นที่เทากัน
รูป E รูป C และรูป G มีพื้นที่เทากัน
2. รูป A มีพื้นที่เทากับ 1 ของพื้นที่ของ PQRS
4
1 ของพื้นที่ของรูป E
3. รูป F มีพื้นที่เทากับ 2
4. รูป E มีพื้นที่เทากับ 1 ของพื้นที่ของรูป A
2
5. รูป E มีพื้นที่เทากับ 1 ของพื้นที่ของ ∆ PQR
4
6. รูป C มีพื้นที่เทากับ 1 ของพื้นที่ของ PQRS
8
1
7. รูป D มีพื้นที่เทากับ 16 ของพื้นที่ของ PQRS
8. พื้นที่ของ PQRS เทากับ 16 ตารางหนวย

29

คําตอบกิจกรรม “สูตรคูณแสนสนุก”
1.
แม 2 แม 3 แม 4 แม 5 แม 6 แม 7 แม 8 แม 9 แม 10 แม 11 แม 12

ตัวตั้ง
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ตัวคูณ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

2.
1) สูตรคูณแม 2, 4, 6, 8, 10 และ 12 เพราะผลคูณของจํานวนคูกบจํานวนเต็มใดๆ จะเปน
ั
จํานวนคูเสมอ
2) ไมมี เพราะสูตรคูณทุกแมตองมีตัวคูณเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลคูณจึงมีทั้งจํานวนคู
และจํานวนคี่
3) สูตรคูณแม 3, 5, 7, 9 และ 11 เพราะเมื่อนําแมสูตรคูณไปคูณกับจํานวนคูจะใหผลคูณ
เปนจํานวนคูและเมื่อไปคูณกับจํานวนคี่จะใหผลคูณเปนจํานวนคี่
4) สูตรคูณแม 3, 7, 9 และ 11
5) มีคําตอบไดหลากหลาย เชน สูตรคูณแม 5 เปนสูตรคูณเดียวที่มีเลขโดดในหลักหนวยของ
ผลคูณเปนจํานวนคี่ คือ 5 หรือจํานวนคู คือ 0 เทานั้น

30

3. 8 9
0
7
6 1

2
5
4 3
แม 6

1) ไดภาพเหมือนกันแตตางกันที่ทิศทางการโยงจํานวนซึ่งมีลูกศรกลับทิศกัน เพราะวาไดเลข
โดดในหลักหนวยของผลคูณชุดเดียวกันแตเรียงลําดับกลับกัน
2) ชุดเดียวกัน
3) อาจใหชื่อภาพวา “ดาว” หรือ “ดาวตางดวง” ฯลฯ
4.
8 9 8 9
0 0
7 7
6 1 6 1

2 2
5 5
4 3 4 3
แม 2 แม 3

8 9 8 9
0 0
7 7
6 1 6 1

2 2
5 5
4 3 4 3
แม 4 แม 5

31
8 9 8 9
0 0
7 7
6 1 6 1

2 2
5 5
4 3 4 3
แม 6 แม 7
8 9 8 9
0 0
7 7
6 1 6 1

2 2
5 5
4 3 4 3
แม 8 แม 9

8 9 8 9
0 0
7 7
6 1 6 1

2 2
5 5
4 3 4 3
แม 10 แม 11
8 9
0
7
6 1

2
5
4 3
แม 12
หมายเหตุ เนื่องจากสูตรคูณแม 10 มีหลักหนวยของผลคูณเปน 0 เพียงตัวเดียว จึงไมสามารถ
ลากสวนของเสนตรงเชื่อมโยงกับจํานวนอื่นๆ ได

32

5.
1) แม 2 กับแม 8 แม 3 กับแม 7 แม 4 กับแม 6 และแม 9 กับแม 11 เพราะวา
สูตรคูณแตละคูมีหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกัน แตการเรียงลําดับของเลข
โดดจะกลับกัน
2) แม 2 กับแม 12 เพราะวาสูตรคูณทั้งสองมีหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกัน
และเรียงลําดับเหมือนกัน หรือเพราะวา 12 = 10 + 2 เมื่อนํา 12 ไปคูณกับจํานวนเต็มตั้ง
แต 1 ถึง 12 จะไดหลักหนวยของผลคูณเปนเลขโดดชุดเดียวกันกับที่ปรากฏในผลคูณ
ของสูตรคูณแม 2
6.
1) กรณีใหภาพเหมือนกันและมีทิศทางของเสนไปทางเดียวกัน ผลตางของแมสูตรคูณทั้งสอง
จะหารดวย 10 ลงตัว
2) กรณีใหภาพเหมือนกันและมีทิศทางของเสนตรงขามกัน ผลบวกของแมสูตรคูณทั้งสองจะ
หารดวย 10 ลงตัว
7. แตละขอมีหลายคําตอบ เชน
1) แม 6 กับแม 16 แม 13 กับแม 23 แม 14 กับแม 24 ฯลฯ
2) แม 7 กับแม 13 แม 14 กับแม 16 แม 19 กับแม 21 ฯลฯ

คําตอบกิจกรรม “รอนหาจํานวนเฉพาะ”
คําตอบของคําถามหนา 24
จํานวนเฉพาะระหวาง 1 ถึง 102 มี 26 จํานวนไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 และ 101

คําตอบของคําถามหนา 25
89, 149 และ 179 เปนจํานวนเฉพาะ
221, 413, 779 และ 893 ไมเปนจํานวนเฉพาะ
เพราะ 221 = 17 × 13 779 = 19 × 41
413 = 7 × 59 893 = 19 × 47

33

คําตอบ “ปญหาชวนคิด”
ขอความคาดการณของกวีไมจริง สามารถยกตัวอยางคานไดวา (2 × 7) + 1 = 15 และ 15
ไมใชจานวนเฉพาะ
ํ

คําตอบกิจกรรม “ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด”
คําตอบแบบฝกหัดหนา 31
1.
1) 39
2) 3
3) 2
4) 12
2.
1) 3,556
2) 39,648
3) 3,640
4) 9,240
3. 59,581
4. 168
5. 1,311 และ 1,748

คําตอบกิจกรรม “ลองเปรียบเทียบดู”

1. ไมเทากัน เพราะเปนรอยละเดียวกันของจํานวนที่ตางกัน
2. มากกวา 45 เพราะวาจํานวนทีนามาคิดเปนรอยละเปนจํานวนเดียวกันคือ 500 แต 12% มากกวา 9%
่ ํ
3. นอยกวา 36 เพราะวาเปนรอยละเดียวกันของจํานวนทีตางกันคือ 270 และ 300 แต 270 นอยกวา 300
่

34

4. 1% ของ 250,000 มากกวา 10% ของ 3,800 เพราะวา
1% ของ 250,000 คือ 2500
10% ของ 3800 คือ 380
และ 2500 มากกวา 380

คําตอบกิจกรรม “ความคิดเห็นของฉัน”
ตอไปนี้เปนตัวอยางคําตอบซึ่งอาจแตกตางไปจากคําตอบของนักเรียน
1. ขอความนี้เปนโฆษณาชวนเชื่อ อาจเปนกลยุทธหนึ่งในการเชิญชวนใหลูกคาสนใจ แตเชื่อไมไดวา
รถที่ซื้อจะไมคิดดอกเบี้ยในการผอนชําระรายเดือน อาจไมคดดอกเบี้ยเฉพาะเงินดาวนก็ไดขอความนี้
ิ 
จึงขาดความชัดเจน
2. ไมทราบ เพราะไมทราบจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมดของแตละโรงเรียน
3. บอกไมได เพราะไมทราบเงินเดือนเดิมหรือเงินเพิ่มของพรต เงินเดือนที่เพิ่มขึ้นอาจเทากันหรือไม
เทากันก็ได
4. จํานงพูดไมถูกตอง เพราะวา ความยาวของดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มทั้งดานกวางและดานยาว
ทําให พื้ น ที่ เ พิ่ ม ขึ้ น มากกว า 20% (การหาคําตอบในข อ นี้ ไ ม ต องการใหคํานวณจริ งๆ แตใหใช
ความรูสึกเชิงจํานวนและความรูสึกเชิงปริภูมในการหาคําตอบหลังจากที่นักเรียนมีความรูมาแลวจาก
ิ
หนังสือเรียนหนา 33)
5. เปนไปได เพราะถาโรงเรียน ก. มีจํานวนผูสมัครสอบมากกวาโรงเรียน ข. และเปนจํานวนที่พอดี
กับทีทาใหจานวนนักเรียนทีสอบเขาไดเทากันพอดี เชน โรงเรียน ก. มีผสมัครสอบ 200 คน โรงเรียน ข.
่ ํ ํ ่ ู
มีผูสมัครสอบ 120 คน
6. เปนไปได เพราะถาเงินลงทุนในการคาของมนัสมีมูลคามาก ยอมไดกําไรมาก แมวาพีระจะได
กําไรคิดเปนรอยละมากกวา แตถาคิดจากเงินลงทุนที่มีมูลคานอย พีระก็อาจไดกําไรเพียงเล็กนอย
เทานั้น เชน มนัสลงทุน 1,000,000 บาท ขณะที่พีระลงทุน 1,000 บาท
7. ยังตัดสินใจทันทีไมได เพราะไมทราบวาสินคาของบริษัทใดจะมียอดขายมากกวากัน ดังนั้น คา
ตอบแทนที่คิดเปนรอยละมากกวาก็ไมไดหมายความวาจะไดรับเงินมากกวา ทั้งนี้เพราะไมทราบวา
จํานวนนั้นเปนรอยละของจํานวนใด
8. เปนไปได เพราะเงินเดือนของอัญชันอาจมากพอทีจะทําใหมเี งินออมมากกวา เงินออมของพุดซอนได
่

35

9. เปนไปได เพราะวาความยาวเพิ่มขึ้นเล็กนอย แตความกวางเพิ่มขึ้นมาก ความกวางและความยาวที่
เพิ่มแลวอาจทําใหไดความยาวเทากันไดพอดี
แตถานับทองพูดใหม ขอความนั้นจะเปนไปไมได เพราะรอยละที่เพิ่มขึ้นใกลเคียงกันมาก แต
ละดานจะมีความยาวเพิ่มขึ้นพอๆ กันรูปสี่เหลี่ยมที่ไดยังคงเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาเชนเดิม (คําตอบแรก
นักเรียนอาจตรวจสอบโดยการคํานวณจริง จะไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเปน 27.3
เซนติเมตร สําหรั บคําตอบหลั ง นักเรียนควรบอกคําตอบโดยใชความรูสึกเชิงจํานวนมากกวา
การคํานวณ)

คําตอบกิจกรรม “ลดแลวลดอีก”
1. 2,000 บาท
2. 2,340 บาท
3. 2,106 บาท
4. ไมเทากับตนทุน เพราะลดราคา 30% ของราคาที่ปดไวจะเทากับขายไปในราคา 70% ของราคาที่
70
ปดไวจะได 100 × 2600 = 1820 ซึ่ง 1820 บาท นอยกวาตนทุน 2000 บาท (คําตอบขอ 1)
5. ขายคนละราคา เพราะลดราคา 20% ของราคาที่ปดไวจะเทากับขายไปในราคา 80% ของราคาที่

80
ปดไว จะได 100 × 2600 = 2080 ซึ่ง 2080 บาทนอยกวาราคาขาย 2106 บาท (คําตอบขอ 3)

คําตอบกิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินฝาก”
รจนามียอดเงินในบัญชีมากกวาสุดาอยู 75 สตางค
แนวคิด สุดาฝากแบบประจํา 6 เดือนอัตราดอกเบี้ย 2% ตอป
2
สุดาฝากเงิน 3,000 บาท จะไดดอกเบี้ย (100 × 3000) × 6 = 30 บาท
12
หักภาษี 15% ของดอกเบี้ยที่ได คิดเปน 15 = 4.50 บาท
100 × 30
เมื่อสุดาฝากเงินครบ 6 เดือนจะไดดอกเบี้ย 30 – 4.50 = 25.50 บาท
ดังนั้นยอดเงินในบัญชีของสุดาจะมีอยู 3000 + 25.50 = 3025.50 บาท
รจนาฝากแบบออมทรัพย อัตราดอกเบี้ย 1.75% ตอป
รจนาฝากเงิน 3,000 บาท จะไดดอกเบี้ย (1.75 × 3000) × 6
100 = 26.25 บาท
12
ดังนั้นยอดเงินในบัญชีของรจนาจะมีอยู 3000 + 26.25 = 3026.25 บาท
นันคือยอดเงินในบัญชีของรจนามากกวาของสุดาอยู 3026.25 – 3025.50 = 0.75 บาท
่

36

คําตอบกิจกรรม “ดอกเบี้ยเงินกู”

ไพลินจายเงินคืนงวดละ 56000, 54500, 53000 และ 51500 ตามลําดับ และจายเปนดอกเบียเงินกู
้
ทั้งหมด 15,000 บาท
แนวคิด เงินกูครั้งแรก 200,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 12%
ดอกเบี้ยงวดที่ 1 เทากับ 12 3
( 100 × 200000) × 12 = 6000 บาท

ไพลินคืนเงินตนงวดละ 50,000 บาท
ดังนั้นไพลินจายเงินงวดที่ 1 เทากับ 50000 + 6000 = 56000 บาท
เหลือเงินกูคางอีก 200000 – 50000 = 150000 บาท
( 100 ×150000) × 12 = 4500 บาท

ไพลินจายเงินงวดที่ 2 เทากับ 50000 + 4500 = 54500 บาท
เหลือเงินกูคางอยูอีก 150000 – 50000 = 100000 บาท
( 100 ×100000) × 12 = 3000 บาท

เหลือเงินกูคางอยูอีก 100000 – 50000 = 50000 บาท
ดอกเบี้ยงวดที่ 4 เทากับ 1500 12 3
( 100 × 50000) × 12 = 1500 บาท

ดังนั้นไพลินจายเงินคืน 4 งวด คิดเปน 56000, 54500, 53000, 51500 ตามลําดับ
รวมดอกเบียเงินกูทั้งหมด 6000 + 4500 + 3000 + 1500 =
้ 15000 บาท

คําตอบกิจกรรม “เงินโบนัสของปติ”

1. 85,500 บาท
2. 76,950 บาท
3. 40,850 บาท
4. 117,800 บาท

37

คําตอบกิจกรรม “ใชเงินโบนัสอยางไรดี”
ตัวอยางความคิดเห็นในที่นี้ อาจจะแตกตางจากของนักเรียน
ปติควรจะมอบความสุขใหทั้งตนเอง ภรรยา และลูก โดยซื้อเครื่องเสียงใหตัวเอง 14,900 บาท
ซื้อเครื่องซักผาใหภรรยา 15,890 บาท ซื้อคอมพิวเตอรใหลูกสาว 25,400 บาท และซื้อจักรยานให
ลูกชาย 1,950 บาท รวมเปนเงินทั้งหมด 58,140 บาท ยังมีเงินโบนัสเหลืออีก 18,810 บาท ซึ่งอาจเก็บ
เปนเงินออม หรือนําไปชําระหนี้บางสวนที่กูมาซื้อบานก็ได

คําตอบปญหา “คิด”

A C D B

รูปวงกลม D มีพื้นที่คิดเปน 6.25 % ของพื้นที่ของวงกลม A

แนวคิด
ความยาวของรัศมีของวงกลม C เปนครึ่งหนึ่งของความยาวของรัศมีของวงกลม A
ดังนั้น AC = 1 AB
2
ความยาวของรัศมีของวงกลม D เปนครึ่งหนึ่งของความยาวของรัศมีของวงกลม C
ดังนั้น CD = 1 × 1 AB
2 2
= 1 AB
4
เนื่องจากพื้นที่ของวงกลม A เทากับ π(AB)2
และพื้นที่ของวงกลม D เทากับ π( 1 AB)2 =
4
1
16 {π(AB) }
2

1 {π(AB)2 }
ดังนั้นพื้นที่ของวงกลม D คิดเปนรอยละ 16 π(AB)2 × 100
= 100
16
= 6.25 ของพื้นที่ของวงกลม A

38

คําตอบกิจกรรม “ผลบวกของจํานวนคี่”
1. 25 รูป
2. 961 รูป
3. รูปที่ 12
4. 1 + 3 + 5 + … + 31 + 33 และผลบวกเทากับ 289
5. 1 + 3 + 5 + … + 21 + 23 + 25 และผลบวกเทากับ 132 = 169
6. 18 × 18 หรือ 182 (มีจํานวนคี่ที่นํามาบวกกัน 18 จํานวน)
7. 900 (มีจํานวนคี่ที่นํามาบวกกัน 30 จํานวน)

คําตอบกิจกรรม “มีอะไรอยูเทาไร”
1.
รูปที่ 1 2 3 4 5 6 7
จํานวนรูปสามเหลี่ยม 1 3 5 7 9 11 13
จํานวนจุดยอด 3 7 11 15 19 23 27
จํานวนดานของรูปสามเหลี่ยม 3 9 15 21 27 33 39

2.
1) เริ่มตนที่ 1 และเพิ่มขึ้นครั้งละ 2 รูป ไดแบบรูปเปน 1, 3, 5, 7, …
2) เริ่มตนที่ 3 และเพิ่มขึ้นครั้งละ 4 จุด ไดแบบรูปเปน 3, 7, 11, 15, …
3) เริ่มตนที่ 3 และเพิ่มขึ้นครั้งละ 6 ดาน ไดแบบรูปเปน 3, 9, 15, 21, …
4) 23 รูป
5) ได เพราะเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 1)
6) ได เพราะเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 2)
7) ไมได เพราะไมเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 2)
8) ไมได เพราะไมเปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 3)
9) ได เพราะ เปนจํานวนในแบบรูปตามขอ 3)
3.
1) 51 จุด
2) 47 รูป

39

3) รูปที่ 20
4) รูปที่ 25
5) 135 จุด

คําตอบกิจกรรม “แลกเงิน”

1. มีวิธีแลกเหรียญได 9 วิธีดังนี้

จํานวนเหรียญ
เหรียญ 10 บาท เหรียญ 5 บาท เหรียญ 1 บาท
2 – –
1 2
1 1 5
1 – 10
– 4 –
– 3 5
– 2 10
– 1 15
– – 20

2. มีวิธีแลกธนบัตรได 18 วิธีดังนี้

จํานวนธนบัตร (ฉบับ) จํานวนธนบัตร (ฉบับ)
500 บาท 100 บาท 50 บาท 500 บาท 100 บาท 50 บาท
2 – – – 8 4
1 5 – – 7 6
1 4 2 6 8
1 3 4 – 5 10
1 2 6 – 4 12
1 1 8 – 3 14
1 – 10 – 2 16
– 10 – – 1 18
– 9 2 – 20

40

คําตอบกิจกรรม “แลกเงินตรา”
1. 5,665.40 บาท
2. 11,993.40 บาท
3. 404 รอยเยน หรือ 40,400 เยน เหลือเงินไทย 4.48 บาท (โจทยถามวากี่รอยเยนหมายความตอบ
เปนจํานวนเต็มรอยเยน)
แนวคิด เงินบาท 35.88 บาท แลกซื้อเงินเยนได 1 รอยเยน
เงินบาท 14,500 บาท แลกซื้อเงินเยนได 1× 14500 ≈ 404.1249 รอยเยน
35.88
404 รอยเยนคิดเปนเงินไทย 404 × 35.88 = 14495.52 บาท
เหลือเปนเงินไทย 14500 – 14495.52 = 4.48 บาท
หมายเหตุ ในทางปฏิบัตธนาคารจะไมนําเศษเงิน .1249 รอยเยน มาคิดเทียบเปนเงินไทยแตจะนํา
ิ
เงินเยนที่จะแลกไดมาคิดเปนเงินไทยกอน แลวนําไปหักออกจากเงินไทยทั้งหมดที่
นํามาแลกก็จะไดเศษเงินเปนเงินไทยตามความเปนจริง โดยไมตองปดเศษ

คําตอบกิจกรรม “ซื้อสินคา”
1. ยุวดีไดรับเงินทอน 280 บาท
จํานวนธนบัตร (ฉบับ)
เงินที่ไดรับทอนอาจเปนดังนี้
100 บาท 50 บาท 20 บาท

2 – 4
1 2 4
1 – 9
– 4 4
– 2 9
– – 14

2. ยุวดีมีวิธีจายเงินดังนี้
จํานวนธนบัตร (ฉบับ)
100 บาท 50 บาท 20 บาท

1 1 4
– 3 4
– 1 9

41

คําตอบกิจกรรม “เรียงอิฐปูพื้น”
1.
จํานวนอิฐ
รูปแบบการเรียงอิฐ จํานวนรูปแบบ
(กอน)

1 1

2 2

3 3

5
4

5 8

จากตารางจะสังเกตแบบรูปของการเรียงอิฐไดวา ในกรณีที่มีกอนอิฐมากกวา 1 กอน จะเรียง

อิฐในแนวนอนกอนแนวตั้ง โดยพิจารณาจํานวนอิฐในแนวนอนใหมากกอนที่สดกอน เมื่อไดรูปแบบ
ุ
แลวจึงสลับตําแหนงของกอนอิฐแนวนอนกับแนวตั้งใหครบทุกกรณี เชน
ในกรณีที่เรียงอิฐ 5 กอนจะมีรูปแบบที่เรียงอิฐ ดังนี้

42

เมื่อวางแนวนอน 4 กอน แนวตั้ง 1 กอน จะสลับได 3 รูปแบบ
เมื่อวางแนวนอน 2 กอน แนวตั้ง 3 กอน จะสลับได 3 รูปแบบ
เมื่อวางแนวนอน 0 กอน แนวตั้ง 5 กอน จะวางไดเพียง 1 รูปแบบ

อาจใชการวิเคราะหและแจกแจงกรณีของการเรียงอิฐดังนี้

จํานวนอิฐ จํานวนอิฐที่วาง (กอน) การเรียง
จํานวนรูปแบบ รวม
(กอน) แนวนอน แนวตั้ง เปนไปไมได เปนไปได
5 0 0
4 1 3
1. 5 3 2 0 8
2 3 4
1 4 0
0 5 1
6 0 1
5 1 0
4 2 6
2. 6 3 3 0 13
2 4 5
1 5 0
0 6 1

คําตอบกิจกรรม “แบงที่ดินปลูกผัก”
1. พื้นที่ของที่ดินที่ใชปลูกผักสวนครัวแตละชนิด เปนดังนี้
ผักคะนา 20 ตารางเมตร
ผักบุงจีน 40 ตารางเมตร
บวบ 80 ตารางเมตร
ถั่วฝกยาว 160 ตารางเมตร
พริกขี้หนู 10 ตารางเมตร
ตะไคร 10 ตารางเมตร

43

แนวคิด
ในการหาคําตอบอาจมีรูปแบบอื่นนอกจากที่กลาวไวใน ขอเสนอแนะในการจัด
กิ จ กรรมการเรี ย นการสอน เช น เริ่ ม ตั้ งตน จากพื้นที่ท่ีปลูก ผัก คะนาแล ว หาพื้น ที่
สวนที่เปนครึ่งหนึ่งและหาสวนที่เปนสองเทาไปเรื่อยๆ ดังแผนภาพ

พริกขี้หนู
1 × 20
2
ผักบุงจีน ผักคะนา
2 × 20 20
ตะไคร
1 × 20
2
บวบ
2 ×(2 × 20)

ถั่วฝกยาว
2 × 2 ×(2 × 20)

2. 320 ตารางเมตร

คําตอบกิจกรรม “มีลูกอมอยูกี่เม็ด”
1. เพื่อนคนที่ 3 ไดรับลูกอม 3 เม็ด
4. มีลูกอมทั้งหมด 22 เม็ด
(1 + 3 + 6 + 12 = 22)

44

แนวคิด การหาคําตอบตองคิดยอนกลับ ใชตารางชวยในการหาคําตอบดังทีกลาวไวในขอเสนอแนะ
่
ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน หรืออาจเขียนแผนภาพชวยดังนี้

กอนใหเพื่อน
คนที่หนึ่ง

22 = 11 คนที่หนึ่ง
22 เม็ด 2 +1 11 + 1 = 12

+1
กอนใหเพื่อน 10 = 5 คนที่สอง
10 เม็ด 2
คนที่สอง +1 5+1 = 6

+1
กอนใหเพื่อน 4 =2 คนที่สาม
4 เม็ด 2
คนที่สาม +1 2+1 = 3

+1

กนกเหลือ 1

Add m1-1-chapter1

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (7)

Similar to Add m1-1-chapter1 (20)

Add m1-1-chapter1