ネットワーク科学　構造と伝わりやすさ

構造と伝わりやすさ
林幸雄
北陸先端科学技術大学院大学
改訂第 1版 2019
林幸雄 (北陸先端科学技術大学院大学) 構造と伝わりやすさ 1/ 21

1. パーコレーション：浸透
ビンゴカードと破れた魚網（小さな穴が繋がると.. )
http://ryokichi.com/blog-entry-208.html

浸透印：気孔の繋がり
http://bunyoudou.co.jp/the shachihata

正方格子の場合
今野著図解雑学複雑系, ナツメ社, 1999

いろいろな二次元格子の場合
小田垣著つながりの科学, 裳華房, 2000

頑健性指標
一様ランダムにあるいは確率的に標的を選んで占有ノードが浸透して
いくのがパーコレーション
ノード占有率p ⇔ ノード除去率q = 1 − p
浸透相↔ 非浸透相との臨界値pc（あるいは qc）が同じでも相転移が緩
やか or 急峻かで変化の度合いが異なる為, この違いを測る指標が必要
頑健性指標：
S(q) は除去率q において GCに含まれるノード数：最大連結成分のサイズ
⇒ 連結成分のサイズはラベリング法で求まれば良い

パーコレーションの数値解析
ネットワークにおいて, ある割合q だけ故障や攻撃等でノードが正常に機
能しなくなったとして, それらのノードを除いた連結領域（クラスタ）
の大きさを計る. ノード除去の割合q を高めるに従って複数の孤立した
連結領域ができるが, システム内で生き残っている S(q) 個のノードか
らなる最大連結成分GCが崩壊する臨界点qc が特に着目される.
この臨界点でS(q) が急減して GCが崩壊すると, 二番以降の大きさの孤
立クラスタの平均サイズ s〈(q)〉が増大してピーク値を示す. より大き
な臨界値qc を持つ中で, q の増加に対して S(q) の減少がより緩やかなほ
ど, 故障や攻撃に耐えて多くのノードが繋がって頑健性が高い.

2. 理論解析： Generating function
次数k をもつノードの∀P(k) に対する母関数を考えると, リンク先の１
個のノードが x に対応する.
林編著ネットワーク科学の道具箱, 第 4 章, 近代科学社, 2007
例えば,ポアソン分布の平均値は
，
.

Generating function (cont.)
あるノード v に隣接する v′ が次数 k である確率 kP(k)：リンク選択
∀ノードから距離 2のノード数：木上の再帰表現
x
G1(x)
x
G1(x)
v’ v"
v v
x
(a) 1 step (b) 2 step

Cluster size
H1(x) = xG1(H1(x)),
ランダム選択ノードの場合も同様に,
H0(x) = xG0(H1(x)).
1 1G0(1) = G1(1) = 1, H1(1) = G1(H1(1)) = 1, H′ (1) = 1/ (1 −G′(1)) より,
平均クラスタサイズは,
𝑁 → ∞で⟨S⟩ → ∞: G′(1)=1 ֞ 条件〈𝑘2
〉/〈𝑘〉 = 2.
あるランダム選択リンクからのクラスタサイズSに関する母関数
は,

Cite Percolation
ランダム占有率 q の ∀P(k) における実効的な次数分布
k¯= 1: P(1)1C1q(1 −q)0 +P(2)2C1q(1 −q)2−1 +P(3)3C1q(1 −q)3−1 + ...
k¯= 2:
k¯= 3:
2P(2)2C2q2(1 −q)0 +2P(3)3C2q2(1 −q)3−2
3P(3)3C3q3(1 −q)0
+...
+...
+
.
.
.
P(1)q +2P(2)q +3P(3)q + ...
，
.

ランダム故障への強結合耐性
巨大連結成分GCが出来る条件式より , 臨界値 qc は,
現実の SFネットでは, べき指数は 2 < γ < 3なので,
強結合耐性（不可避なウィルス拡散）
R.Cohen et al., Phys.Rev.Lett., 2000.
，

別解法
GCが出来るには, あるノード i が j に結合する条件付きで, i の平均次数
が最低 2 であることより ,
R.Cohen et al., Chapter 4, In S. Bornholdt, and H.G. Svchster Eds. Handbook of Graphs
and Networks, 2003, WILEY-VCH.
ゆえに〈𝑘2
〉/〈𝑘〉 = 2.
𝑃 𝑘𝑖|𝑖 ↔ 𝑗 = 𝑃 𝑖 ↔ 𝑗|𝑘𝑖 𝑃 𝑘𝑖 /𝑃 𝑖 ↔ 𝑗 を用い,
𝑃 𝑖 ↔ 𝑗|𝑘𝑖 = 𝑘𝑖/ 𝑁 − 1 , 𝑃 𝑖 ↔ 𝑗 = 𝑘 /(𝑁 − 1)より,

4. SIS, SIR Models
感染流行モデルにおける各ノードの状態遷移
Susceptible
↓↑
Infected
Susceptible
↓contact
Infected
↓immune
Recovered/ Removed
風土病：一定人口(出生死亡率) や一様な接触感染を仮定従
来のモデルでは, 感染率ρがしきい値以下なら拡大しない
⇒ 現代では, 長距離の移動手段, 局所的に集中する人々,
人ごとに偏った接触機会

Kermack-McKendrickの SISモデル
古典的な Kermack-McKendrick(1927) の SIS モデルでは単純化して, 一定
人口における一様な接触機会：繋がり方で一定割合の感染率β を考える.
s + i = 1,
dt
を用いて, di = β(1 −i)i −γi を変数分離型として積分して解くと,
もし弱い感染力(β < γ) なら i(t) は単調減少で感染は広がらない
→ 現実の人々の接触感染では誤り
，
.

Absence of the Threshold on SF Net
人の繋がりを表す SFネット上の SISモデルにおける次数k を持つノー
ドごとの感染密度ρk を考える.
R.P.-Satorras and A.Vespignani, Phys.Rev. E 63, 066117, 2001
ሶ𝜌 𝑘 𝑡 = −𝜌 𝑘 + 𝜆𝑘 1 − 𝜌 𝑘 𝑡 Θ 𝑡 , 𝑠 𝑘 𝑡 + 𝜌 𝑘 𝑡 = 1.
感染の平均場近似Θ ≝ σ 𝑘
𝑘𝑃 𝑘 𝜌 𝑘
𝑘
に, ሶ𝜌 𝑘 𝑡 = 0の平衡解𝜌 𝑘 =
𝜆𝑘Θ
1+𝜆𝑘Θ
を代入
してΘ = 𝑓 Θ として表す
条件∃ 𝜌 𝑘
≠ 0は
𝑑𝑓(Θ)
𝑑Θ
|Θ=0 ≥ 1と等価.
ゆえに,感染の流行のしきい値𝜆 𝑐は,
𝜆 𝑐 ≤
𝑘
𝑘2 ~
1
ln 𝑁
→ 0 𝑁 → ∞ .

E-mail Data
現実の電子メールの送受信関係は SFネットワーク
⇒ 従来の格子上あるいは一様ランダムな接触ではない!
World Internet Projects 日本調査より (H12 10-11, 2555 人)

Epidemic Spreading
典型的に観測される再流行現象
SARSin Singapore, Sciencexpress
May 23,2003

Stochastic Model
確率的な SHIR状態遷移を, 電子メール送受信のSFネット上でシミュ
レート
Susceptible Hidden infected Infectious
( − )ni  − ( − )ni
 − ( − )ni
detectionfrom
receive-mails
receive-mails
.
.
.
infected diseases
detectionby
execution
 − ( − )ni
propagation by sent-mails
. . .
detection befor the infections
Recovered
(Immune)
in the latents − ( − )n i
林, 箕浦, 松久保, 情処論 Vol.44, SIG(TOM9), 2003

重点的な免疫化と隔離の意味
ハブ免疫化ランダム免疫化
確率的SHIR推移モデルで, 30ステップ（ 1ヶ月に相当）ごとに, 成長した
規模の 10, 20, 30 % の頂点を免疫化した場合の, 感染数の平均値.
ハブ免疫率 30 %で絶滅！, ランダム免疫で再流行
林, 箕浦, 松久保, 情処論 Vol.44, SIG(TOM9), 2003, Y.Hayashi et al., Phys.Rev. E 69,
016112, 2004.

パンデミック：感染爆発の脅威
鳥インフルエンザの発生状況
http://www.fao.org/japan/portal-sites/avian-flu/related-information/status-of-
occurance/en/

ネットワーク科学　構造と伝わりやすさ

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