Bernoulli-D'Alembert

Il vaccino contro il vaiolo: analisi quantitativa e psicologia del rischio
Il vaccino contro il vaiolo:
analisi quantitativa e
psicologia del rischio
Camilla Colombo
23 Aprile 2013

I protagonisti
Daniel Bernoulli, “Réflexions sur les avantages de
l’inoculation”. Mercure de France, 173-190 (1760).
Daniel Bernoulli, “Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité
causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation
pour la prévenir”. Hist. Acad. R. Sci. Paris, 1-45
(1760/1766).
Jean Baptiste Le Ronde D’Alembert, “Onziéme mémoire, Sur
l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la
petite vérole”. Opuscules mathématiques, Tome second, pp.
26-95. Davide, Paris, 1761.

Il dibattito sul vaccino
Nella prima metà del XVII secolo, si stimava che il 10% della
popolazione di Londra e Parigi fosse morta di vaiolo.
Dal 1718, in Inghilterra era stata introdotta la pratica del vaccino
da Lady Montagu, moglie dell’ambasciatore inglese nell’impero
Ottomano. La procedura consisteva nell’inoculazione del virus del
vaiolo, che causava deboli febbri e uno stato di bassa contagiosità.
Vaccinarsi non era privo di rischi e vi erano molti casi di morte
causata dal vaccino.
A metà del secolo, in Francia, questa pratica era poco diffusa e
guardata con sospetto, nonstante la morte dell’erede al trono di
Luigi XIV nel 1711.

Tra il 1750 e il 1770, il dibattito sul vaccino diventa una delle
crociate ideologiche dei philosophes:
Voltaire: sopravvissuto al vaiolo nel 1723, osserva la pratica
della vaccinazione in Inghilterra e si dichiara a favore nelle
Lettres Philosophiques (1743)
La Condamine: interviene a favore del vaccino nel 1754
all’Accademia delle Scienze
Maupertuis: nel 1759 convince Daniel Bernoulli a trattare
matematicamente il problema del vaccino

Questione di attualità e urgenza, su cui le intuizioni e il buonsenso
divergono...
Gli Europei continentali pensano che gli inglesi siano
folli e scriteriati: folli perché procurano il vaiolo ai loro
figli per evitare che si ammalino di vaiolo; scriteriati
perché volontariamente infettano questi bambini con una
malattia certa e dannosa per prevenire un male incerto.
Voltaire, Lettres Philosophiques [65]

Il problema di decisione: prospettiva sociale e prospettiva
individuale
Un parigino intorno al 1750 ha probabilità di circa 1/8 di
ammalarsi di vaiolo nel corso della sua vita
La probabilità di morire entro i due mesi successivi alla
vaccinazione è circa di 1/200
Lo Stato dovrebbe promuovere la vaccinazione per tutti gli
individui alla nascita? (domanda di Bernoulli)
Per un individuo è ragionevole vaccinarsi? (domanda di
D’Alembert)

L’argomento di D. Bernoulli
1 Costruzione di un modello popolazionale
2 Calcolo della variazione dell’aspettativa di vita rispetto alla
condizione iniziale una volta che il vaiolo sia stato eradicato,
posto che la vaccinazione sia completamente sicura
3 Calcolo della variazione dell’aspettativa di vita una volta che il
vaiolo sia stato eradicato, considerato il rischio di morire a
causa della vaccinazione

Ipotesi
Le persone infettate dal vaiolo per la prima volta muoiono con
probabilità p (indipendente dall’età) e sopravvivono con
probabilità 1 − p
Ciascuno ha la probabilità q di essere infettato ogni anno; più
precisamente, per un periodo di tempo infinitesimale dx, la
probabilità di essere infettati tra l’età x e l’età x + dx è qdx
Le persone che sopravvivono al vaiolo sono immunizzate per
tutto il resto della vita

Sia m(x) la mortalità all’età x per cause differenti dal vaiolo. La
probabilità per un individuo di morire nell’intervallo infinitesimale
dx tra l’età x e x + dx è quindi m(x)dx.
Sia P0 un gruppo di persone nate lo stesso anno; chiamiamo:
S(x) il numero delle persone “a rischio” di ammalarsi, ancora
vive all’età x senza essere mai state infettate dal vaiolo
R(x) il numero delle persone vive all’età x che sono
sopravvissute al vaiolo
P(x) = S(x) + R(x) il numero totale delle persone vive all’età
x
Si pone x = 0 come la nascita, dove S(0) = P(0) = P0 e R(0) = 0

Tra x e x + dx, ogni individuo a rischio ha la probabilità qdx di
essere infettato e m(x)dx di morire per altre cause. La variazione
delle persone a rischio è quindi dS = −Sqdx − Sm(x)dx, il che
conduce all’equazione differenziale:
(1)
dS
dx
= −qS − m(x)S,
dove dS
dx è la derivata della funzione S(x).

Durante lo stesso periodo di tempo, il numero di persone morte di
vaiolo `e pSqdx e il numero di persone sopravvissute al vaiolo `e
(1 − p)Sqdx. Si aggiungono poi le persone Rm(x)dx che muoiono
per altre cause. Quindi:
(2)
dR
dx
= q(1 − p)S − m(x)R
Sommando le equazioni 1 e 2, si ottiene:
(3)
dP
dx
= −pqS − m(x)P

Si elimina m(x) da 1 e 3 :
−m(x) = q +
1
S
dS
dx
= pq
S
P
+
1
P
dP
dx
e si ottiene:
1
P
dS
dx
−
S
P2
dP
dx
= −q
S
P
+ pq
S
P
2
Il lato sinistro dell’equazione è la derivata di f (x) = S(x)
P(x) , che è la
frazione degli individui a rischio all’età x. Quindi
df
dx
= −qf + pqf 2

La soluzione di questa equazione si poteva facilmente calcolare
grazie al metodo di Jakob Bernoulli, ottenendo che la frazione delle
persone a rischio all’et`a x `e:
(4)
S(x)
P(x)
=
1
(1 − p)eqx + p

La tavola di Halley
Bernoulli prende i dati relativi alla mortalit`a dalla tavola di Halley,
che era riuscito a determinare quante persone fossero ancora vive
all’et`a x tra un gruppo di 1300 nati nell’anno 0.

Age Alive Susceptible Immune Smallpox No smallpox
x P x S x R x deaths P° x
0 1300 1300 0 17.2 1300
1 1000 896 104 12.3 1015
2 855 685 170 9.8 879
4 760 485 275 7. 799
5 732 416 316 6.1 777
6 710 359 351 5.2 760
7 692 311 381 4.6 746
8 680 272 408 4. 738
9 670 238 432 3.5 732
10 661 208 453 3. 726
11 653 182 471 2.7 720
12 646 160 486 2.3 715
13 640 140 500 2.1 711
14 634 123 511 1.8 707
15 628 108 520 1.6 702
16 622 94 528 1.4 697
17
La tavola di Halley, da Baca¨er, A Short History of Mathematical
Polulation Dynamics, p. 24

Bernoulli prende poi p = 1/8, in accordo con le osservazioni del
tempo. q non poteva essere stimato direttamente; Bernoulli lo
ricava in modo indiretto in modo che il numero totale di morti per
vaiolo sia 1/13 della mortalità totale (dato noto). q = 1/8 si
rivelerà un paramentro abbastanza accurato.
Si può calcolare, con i dati P(x) nella tavola e la formula (4), il
numero S(x) delle persone a rischio all’età x, e il numero
R(x) = P(x) − S(x) delle persone di età x sopravvissute al vaiolo.
Il numero di morti dovute al vaiolo tra l’età x e l’età x + 1
dovrebbe essere l’integrale pq x+1
x S(t) dt ma la formula
pq[S(x) + S(x + 1)]/2 usata da Bernoulli costituisce una buona
approssimazione.

Il metodo dei trapezi
4 5 6 7 8 9 10
20
40
60
80
100

Bernoulli considera la situazione in cui il vaccino venga inoculato a
tutti gli individui alla nascita senza causare alcun decesso. Si tratta
quindi di calcolare l’incremento nell’aspettativa di vita una volta
eradicato il vaiolo. Partendo dallo stesso numero di nascite P0,
chiamiamo P∗(x) il numero di persone di età x con la scomparsa
del vaiolo.
dP∗
dx
= −m(x)P∗
Quindi
P∗
(x) =
P(x)
1 − p + pe−qx
Dove P(x) è la popolazione di età x quando il vaiolo non sia
ancora stato eradicato.

Paragonare P(x) e P∗(x) significa stimare l’aspettativa di vita alla
nascita, cioè l’integrale 1
P0
∞
0 P(x) dx. (con il vaiolo, oppure senza
vaiolo sostituendo P∗(x)). Bernoulli utilizzò la formula
approssimata [1
2P(0) + P(1) + P(2) + ...]/P0. Si ottengono cos`ı;
Aspettativa di vita con il
vaiolo= E = [1
21300 + 1000 + ... + 20]/1300 26.57 anni
Aspettativa di vita senza
vaiolo= E∗ = [1
21300 + 1015 + ... + 23]/1300 29.65 anni
La vaccinazione alla nascita garantisce quindi un incremento
nell’aspettativa di vita di oltre tre anni.

Ma il vaccino contro il vaiolo non è una procedura sicura. Sia p la
probabilità di morire a causa del vaccino, con p < p; l’aspettativa
di vita è allora (1 − p )E∗ se tutti si vaccinassero alla nascita.
Perché vaccinarsi sia ragionevole, Bernoulli osserva che la seguente
disequazione deve essere soddisfatta:
p < 1 − E/E∗
cioè p = 11%. Anche in assenza di dati accurati, la mortalità
dopo la vaccinazione era sicuramente più bassa (Bernoulli la stima
a meno dell’1%).

Pu`o quindi concludere che la vaccinazione deve essere promossa
dallo Stato:
Auspico semplicemente che, in una questione che
riguarda cos`ı da vicino il benessere del genere umano,
nessuna decisione dovrebbe essere presa senza
considerare tutte le informazioni che una modesta analisi
e il calcolo possono fornire.

Le critiche di D’Alembert
La probabilità di essere infettati dal vaiolo non è
indipendente dall’età, come assunto da Bernoulli.
D’Alembert propone un modello alternativo dove v(x) è la
mortalità dovuta al vaiolo all’età x, m(x) la mortalità dovuta ad
altre cause e P(x) il numero di persone vive. Quindi
dP
dx
= −v(x)P − m(x)P
Ma a partire da questa correzione il modello di D’Alembert è
equivalente a quello di Bernoulli, e soprattutto v(x) è un dato non
disponibile!

Il criterio dell’aspettativa di vita non è una misura adeguata
esempio delle due curve di popolazione: l’aspettativa di vita
(integrale) è uguale, ma quella rossa è ovviamente preferibile
a quella blu.
10 20 30 40 50 60
age
200
400
600
800
1000
1200
living
1
non tutti gli anni di vita sono uguali. Differenza tra vita fisica,
vita reale (effettivamente goduta) e vita civile (porzione della
vita in cui un individuo è utile allo stato).
1
da Daston, Classical Probability in the Enlightenment, p. 86

psicologia del rischio. L’analisi matematica non `e in grado di
cogliere gli aspetti dell’esperienza morale che si prova
correndo un rischio.
D’Alembert riassume le sue critiche all’inadeguatezza
dell’analisi condotta con il metodo probabilistico rispetto
all’esperienza morale attraverso un esperimento mentale.

Esperimento mentale
Una lotteria L a cui partecipano tutti gli abitanti della popolazione
assegna
con probabilità 1/2 morte immediata
con probabilità 1/2 un’aspettativa di vita sana di 100 anni
Anche se E(L) = 50 anni, che è superiore all’aspettativa di vita
media a quel tempo, D’Alembert dubita che qualcuno accetti
volontariamente di partecipare alla lotteria.

“Come possiamo comparare il rischio presente ad un beneficio
sconosciuto e remoto? Rispetto a questo, l’analisi dei giochi
d’azzardo non può dirci nulla”.
È sbagliato paragonare il rischio immediato di morire a causa
della vaccinazione con il beneficio di essere immuni per il resto
della vita

Applicazione del calcolo della probabilità
Bernoulli: auspica che più dati siano presto resi disponbili e
che i medici tengano dei registri accurati. È comunque
possibile applicare la teoria della probabilità al problema del
vaccino e trarne delle indicazioni.
D’Alembert: inadeguatezza della teoria della probabilità nel
trattare problemi del mondo fisico e dell’esperienza morale,
che ha sempre il primato sul calcolo.
“Non credo sia necessario, come ha fatto lui [Bernoulli],
costruire calcoli complessi a partire da ipotesi vaghe, in una
questione concernente la vita umana.”

Razionalità e incertezza
D’Alembert: in condizioni di incertezza, quando mancano dei dati
cruciali per la costruzione di un modello accurato (e tali dati, come
quelli rigurdanti l’esperienze morale, non sembrano riducibili ad
un’analisi matematica), non è legittimo fornire indicazioni. Se
costretti a compiere una scelta, bisogna applicare un altro principio
morale, il “primum non nocere”:
È peggio causare un danno con l’azione che con
l’inazione.
Regola prudenziale, di cui Bernoulli non tiene conto:
Non sacrificare un bene presente certo nella speranza
di un bene più grande ma incerto nel futuro.

Bibliografia
N. Bacaër, A Short History of Mathematical Polulation
Dynamics, cap. II e IV, Springer, 2011.
L. Daston, Classical Probability and the Enlightenment, cap.
2, Princeton university Press, 1988
J. M. Keynes, A Treatise on Probability, cap. 26, Macmillan,
1921
T. W. Körner, Naive Decision making: Mathematics Applied
to the Social World, pp. 86-103, Cambridge University Press,
2008.
A. A. Rusnock, Vital Accounts: Quantifying Health and
Population in Eighteenth-Century England and France, pp.
81-89, Cambridge University Press, 2002.

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