코딩 테스트 합격자 되기 C++ 11장 그래프에 대한 강의 자료 입니다.

코딩테스트 합격자 되기 C++
11장 그래프
저자 박경록

목차
- 그래프의 개념
- 그래프의 종류
- 그래프의 표현(배열/인접리스트)
- 깊이우선 탐색 / 너비우선 탐색
- 최소경로 알고리즘(다익스트라 / 밸만 포드)

그래프의 개념
노드와 간선을 이용한 비선형 자료구조
- 목적에 따라 간선의 가중치나 방향이 있을 수 있음

그래프의 구현(인접 행렬)
- 행과 열의 인덱스로 노드의 값을 나타내고, 배열의 값은 간선의 가중치가 됨
- 노드 대비 간선이 적을 경우 메모리 공간효율이 좋지 않음
- 노드 “서울” 에서 노드 “부산” 방향으로 가는 간선의 가중치는 400
- 가중치가 없는 간선을 나타내는 경우 간선이 있으면 1, 없으면 0으로 표기
- 노드가 100개이고 간선이 1개인 경우에도 100x100 행렬이 필요함(메모리 낭비)
- 특정 노드 사이 간선존재 여부를 한번에 알수 있음

그래프의 구현(인접 리스트)
- 특정 시작 노드를 기준으로 연결된 노드들을 리스트로 연결하는 방식
- 실제 그래프의 노드 갯수만큼만 추가하므로 메모리 낭비 없음
- 특정 노드에 모든노드가 연결된 경우, 탐색시 O(N)이 될수 있음(드문 케이스)
인접 리스트 표현 방식
1. 노드 개수 만큼 배열을 준비한다.(각 배열 인덱스는 시작 노드 의미)
2. 각 배열의 인덱스는 시작 노드를 나타냄, 해당 인덱스에 연결된 노드 추가

인접 리스트를 표현하기 전에….
인접 리스트용 노드를 정의하자!
* 그림에서 시작 노드는 {1}
v, w 시작 노드에서 정점 V까지 가중치
시작노드에서 가중치 W로 연결된 정점
1
2
3
4
5
배열

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
노드 1과 노드 2를 잇고 가중치가 3인 간선을 인접 리스트에 추가
42
13
9
6
3

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
노드 2와 노드 1를 잇고 가중치가 6인 간선을 인접 리스트에 추가
42
13
9
6
3
1, 6

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
42
13
9
6
3
1, 6 3, 5

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
노드 3과 노드 1를 잇고 가중치가 1인 간선을 인접 리스트에 추가
42
13
9
6
3
1, 6 3, 5
2, 1

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
42
13
9
6
3
1, 6 3, 5
2, 1
4, 9

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
노드 3과 노드 4를 잇고 가중치가 13인 간선을 인접리스트에 추가
최종적으로 완료!
42
13
9
6
3
1, 6 3, 5
2, 1
4, 9
4, 13

2 3
1 4
1
5
1
2
3
4
그래프 배열
2, 3
노드 4과 노드 1를 잇고 가중치가 42인 간선을 인접리스트에 추가
42
13
9
6
3
1, 6 3, 5
2, 1
4, 9 1, 42
4, 13

인접 행렬 VS 인접 리스트
공간 복잡도 특정 정점의 간선을
찾는 경우
그래프의 모든 간선
을 찾는 경우
인접 행렬 O(V^2) O(1) O(V^2)
인접 리스트 O(V+E) O(E), 대부분은
O(E/V)
O(V+E)
노드의 갯수가 많을때는 인접 리스트를 써야 함(인접행렬 사용시 메모리 초과 가능성)
특정 정점의 간선을 찾는 경우가 많으면 인접 행렬 사용 고려해보는 것도 좋음
뭘 써야 할지 모른다면 인접 리스트

그래프의 탐색
그래프를 정해진 순서로 순회하는 방법
깊이 우선 탐색(DFS)
- 더이상 탐색할 노드가 없을 때까지 일단 간다.
- 더 이상 탐색할 노드가 없으면 최근에 방문했던 퇴각 후, 가지 않은 노드 방문
너비 우선 탐색(BFS)
- 현재 위치에서 가장 가까운 노드 부터 방문 하고 다음 노드로 넘어감
- 모든 노드를 방문할 때 까지 위 과정 반복

그래프의 탐색(깊이 우선 탐색)
A
B
D
C
- 노드 {A}에서 노드 {B}와 노드 {D}를 순차적으로 방문
- 노드 {D}에서는 더 이상 깊이 들어가서 방문할 노드가 없음
E

A
B
D
C
- 노드 {D}에서는 더 이상 깊이 들어가서 방문할 노드가 없으므
로 노드{B}로 퇴각함(백트래킹)
- 노드 {B}에서 아직 방문하지 않은 노드가 있으므로 깊이 들어
가 봄, 노드 {E} 방문
E

A
B
D
C
- 노드 {E}에서는 더 이상 깊이 들어가서 방문할 노드가 없으므
로 노드{B}로 퇴각함(백트래킹)
- 노드 {B}에서는 더 이상 깊이 들어가서 방문할 노드가 없으므
로 노드{A}로 퇴각함(백트래킹)
E

A
B
D
C
- 노드 {A}에서 노드 {C}를 방문
모든 노드를 방문했으므로 탐색 종료
E

깊이 우선 탐색 구현하기
구현해야 할 동작
1. 계속해서 깊이 탐색할 수 있어야 함
2. 더 이상 깊은 곳이 없는 경우, 가장 최근에 방문했던 노드로 퇴각해야 함
3. 이미 방문한 노드는 중복해서 방문하지 않아야 함
가장 최근에 방문했던 노드로 가는 효율적인 방법은 뭐가 있을까요?
=> LIFO(Last In First Out) 로 동작하는 스택을 활용
=> 방문할 노드는 푸시, 방문한 노드는 팝 하면 스택의 top은 가장 최근에 방문한 노드
=> 함수의 call stack도 stack과 같이 동작하므로 재귀함수로 구현하는 경우가 많음
=> visited 배열을 활용해서 방문 여부를 확인 후 방문함

그래프의 탐색(깊이 우선 탐색, with 재귀)
A
B
D
C
E A
A B C D E
V
A
A B C D E
V V
B
A
A B C D E
V V V
B
D
- dfs(A) 호출, 노드 A 방문 처리
- dfs(A)에서 A와 연결된 노드 중 아직 방문하지 않은 노드 확인, dfs(B) 호출, 노드 B 방문 처리
* 아직 노드 A와 연결된 모든 노드중 방문하지 않은 노드가 있으므로 팝 하지 않음
- dfs(B)에서 B와 연결된 노드 중 아직 방문하지 않은 노드 확인, dfs(D) 호출, 노드 D 방문 처리
* 아직 노드 B와 연결된 모든 노드중 방문하지 않은 노드가 있으므로 팝 하지 않음

A
B
D
C
E A
A B C D E
V V V
B
D
A
A B C D E
V V V V
B
E
- 현재 dfs(D)가 호출된 상황이고 연결된 노드 중, 더 이상 방문할 노드가 없음 따라서 함수 종료
- call stack에 의해 dfs(B)의 남은 부분이 호출됨.
- B와 연결된 노드중 아직 방문하지 않은 노드 E확인 후 dfs(E) 호출, 노드 E 방문 처리

A
B
D
C
E
A
A B C D E
V V V V
B
E
A
A B C D E
V V V V
B
- 현재 dfs(E)가 호출된 상황이고 연결된 노드 중, 더 이상 방문할 노드가 없음 따라서 함수 종료
- call stack에 의해 dfs(B)의 남은 부분이 호출됨.
- 현재 dfs(B)가 호출된 상황이고 연결된 노드 중, 더 이상 방문할 노드가 없음 따라서 함수 종료
- call stack에 의해 dfs(A)의 남은 부분이 호출됨.

A
B
D
C
E A
A B C D E
V V V V
A
A B C D E
V V V V V
C
A
A B C D E
V V V V V
C
A
A B C D E
V V V V V
- 현재 dfs(A)가 호출된 상황이고 연결된 노드 중, 더 이상 방문할 노드가 없음 따라서 함수 종료
- A와 연결된 노드중 아직 방문하지 않은 노드 C확인 후 dfs(C) 호출, 노드 C 방문처리
- 현재 dfs(C)가 호출된 상황이고 연결된 노드 중, 더 이상 방문할 노드가 없음 따라서 함수 종료
- 더 이상 방문할 노드가 없으므로 함수 종료

그래프 탐색(너비 우선 탐색)
A
B
D
C
E - 노드 {A}를 방문

A
B
D
C
E - 노드 {A}에서 가장 가까운 노드 {B,C}를 방문(간선 1개를 거쳐
갈수 있음)

A
B
D
C
E
- 노드 {D,E}를 방문(간선 2개를 거쳐 갈수 있음)
모든 노드를 방문했으므로 탐색 끝.

너비 우선 탐색 구현하기
구현해야 할 동작
1. 루트노드부터 시작해서, 가장 가까운 노드들부터 방문할수 있어야 함
* 루트노드방문 -> 1개 간선으로 갈수있는 노드 방문 -> 2개 간선으로 갈수 있는
노드 방문 …..(모든 노드를 방문할때 까지 반복)
가장 가까운 노드부터 방문하는 효율적인 방법은 뭐가 있을까요?
=> FIFO(First In First Out) 로 동작하는 큐를 활용
1. 시작 노드 푸시
2. 팝 후에 방문 처리 이후, 현재 노드에서 연결된 노드중 방문하지 않은 노드 모두 푸시
=> 모든 노드를 방문할 때까지 2.를 반복

A
B
D
C
E A
A B C D E
v

A
B
D
C
E
A
A B C D E
V
B
A B C D E
V V V
C

A
B
D
C
E
B
A B C D E
V V V
C
C
A B C D E
V V V V V
D
E
C
A B C D E
V V V V V
D
E

A
B
D
C
E
A B C D E
V V V V V
D
E
A B C D E
V V V V V
E

깊이 우선 탐색 vs 너비 우선 탐색
- 백트래킹은 깊이우선 탐색에만 존재
* 스도쿠 문제, 1~5를 사용해서 합이 10이 되는 모든 경우
- 너비우선탐색으로 찾은 해만 최적해를 보장
* 시작점에서 끝지점 까지 가는데 최소 스텝수
- 너비우선탐색은 모든 다음노드를 큐에 푸시하므로 깊이우선탐색보다 메모리사용
량이 높음
- 물론 둘다 되는 경우가 존재… 애매하면 깊이 우선 탐색 먼저 시도

최단경로 알고리즘
두 노드를 잇는 가중치의 합을 최소로 하는 경로를 찾는 알고리즘
아래 경우 노드1에서 노드 5 까지 최단경로는 1-> 4 -> 5이고 이때 가중치 합은 53

최단 경로를 구하기 위한 아이디어 1
A F
B
C
20
15 900
50
노드 길이
A 0
B INF
15
C INF
20
F INF
- 시작 노드는 A
- A에서 바로 갈수 있는 노드는 노드 B와 노드 C
- 현재 기준 노드 모든 노드까지 가는 최소 비용중 B까지 가
는 최소비용이 15로 가장 적음
- 간선의 가중치가 모두 양수라면, 현재까지 구한 최소 비용
중 가작 적은 비용은 추후에 갱신 될 여지가 없음
* 예를 들면 A->B 경로는 현재까지 구한 최소 비용중 가장
적은 비용이고, 이후에 A->B의 경로가 갱신될 경우는 없음

최단 경로를 구하기 위한 아이디어 2
A F
B
C
20
15 900
50
노드 길이
A 0
B INF
C INF
F INF
노드 길이
A 0
B INF
15
C INF
20
F INF
-노드 A에서 갈수있는 노드 B, C의 최소 비용 업데이트
* 현재기준 노드 B까지 최소 비용이 제일 적음(후보노드)
노드 길이
A 0
B 15
C 20
F INF
915
후보노드를 거쳐서 최소 비용을 갱신할
수 있는지 확인
- 후보노드 까지는 지금까지 구한 최소
경로의 값 사용
- 후보노드에서 각 간선의 가중치는 그
래프 데이터 참조
- 15 + 900 < INF 이므로 노드 F갱신
이 과정을 모든 정점에 대해 한번씩 수행하면 시작 노드에서 각 정점까지 최소 비용을 구할수 있게됨!

다익스트라 알고리즘으로 실제 최단경로 구하기
시작 노드 A의 최소 비용을 0으로 하고, 직전 노드를 A로 변경함

A를 후보노드로 정함(visited에 속하지 않은 노드 중 최소비용 임)
시작 노드 A에서 갈 수 있는 노드들 중, 최단 경로를 갱신할 수 있는 노드들을 확인함
* A까지 최소 비용 + (A -> B) < INF(현재 B까지 최소비용)
* A까지 최소 비용 + (A -> C) < INF(현재 C까지 최소비용)
* A까지 최소 비용 + (A -> E) < INF(현재 까지 최소비용)

E를 후보 노드로 정함(visited에 속하지 않은 노드 중 최소 비용 임)
E까지 최소 비용으로 가고 E에서 갈 수 있는 노드들 중, 최단 경로를 갱신할 수 있는 노드들을 확인함
* E까지 최소 비용 + (E ->C) < 4(현재 C까지 최소 비용)

C를 후보 노드로 정함(visited에 속하지 않은 노드 중 최소 비용 임)
C까지 최소 비용으로 가고 C에서 갈 수 있는 노드들 중, 최단 경로를 갱신할 수 있는 노드들을 확인함
* C까지 최소 비용 + (C -> D) < INF(현재 D까지 최소 비용)

B를 후보 노드로 정함(visited에 속하지 않은 노드 중 최소 비용 임)
B까지 최소 비용으로 가고 B에서 갈 수 있는 노드들 중, 최단 경로를 갱신할 수 있는 노드들을 확인함
* 없음

D를 후보 노드로 정함(visited에 속하지 않은 노드 중 최소 비용 임)
D까지 최소 비용으로 가고 B에서 갈 수 있는 노드들 중, 최단 경로를 갱신할 수 있는 노드들을 확인함
* 없음
* 최종 완성

다익스트라 알고리즘의 결과 분석
아래를 종합하면 E까지 가는 경로는 A->E->C이고 최소비용은 1+2 = 3 임을 알 수 있습니다.
노드C의 직전 노드는 노드 E
노드 E의 직전 노드는 A
A의 직전 노드는 A(시작 노드)

다익스트라 알고리즘의 구현
후보노드는 현재까지 후보가 되지 않았던 노드 중, 최소비용이 가장 적은 노드
=> visited 배열을 활용해 방문여부를 체크
=> 최소비용이 가장 적은 노드는 우선순위큐를 활용해서 확인
* 최소비용이 갱신된 노드는 우선순위큐에 푸시
* 우선순위큐에서 팝을 할때 visited를 활용해서 이미 방문여부를 확인,
@ 방문했다면 아무 동작도 하지 않음
@ 방문하지 않았다면 최소비용 갱신 진행
각 노드까지 최소비용과 최단 경로가 업데이트 되야함
=> 후보노드가 X인경우, 아래와 같은 상황일 것임
@ 직전노드는 X로 변경,
@최소비용은 X까지 최소비용 + X에서 Y까지 가중치
A X Y
….
X까지 최소비용
(단일 간선이 아닐수도 있음, 중간 생략)
X에서 Y까지 가중치
(단일 간선)

음의 가중치가 있는 그래프에서 다익스트라 알고리즘은?
다익스트라 알고리즘이 찾은 최단경로
실제 최단경로
다익스트라에서 각 노드는 정확히 한번씩 후보노드가 됨(중복되서 후보노드가 되지 않음)
=> 위 그래프에서 노드 B가 첫번째 후보노드가 됨
@ 현재기준 가장 최소비용이 적은 노드는 추후 최소비용이 갱신될 가능성이 없다고봄(그리디적 선택)
@ 하지만 실제 A->B보다, A->C->B 경로의 비용이 더 적음
@ 이런 이유로 음의 가중치가 있는경우 다익스트라의 정상동작을 보장할 수 없음
# 음의 가중치가 있을 경우 밸만-포드 알고리즘을 사용해야 함(책 참조)

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- 저자 직접 운영
- 대략 400명 정도 인원이 자유롭게 소통
- 개인적인 주제 및 코딩 관련 소통 가능

커뮤니티 소개(오픈카톡방)

커뮤니티 소개(깃허브) cont’d
- 책 문제의 정답코드
- 코딩테스트 준비를 위해 필요한 자료구조 및 알고리즘
- C++ 기본 문법
- STL의 성능 비교

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커뮤니티 소개(디스코드) cont’d
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- 책 관련 문의 / 답변

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