Chap2 deterministic signal_analysis

第二章确定信号处理

彭涛
pengtao@bupt.edu.cn

2.12 希尔伯特变换
 定义
 希尔伯特变换
1  f  
f t   H  f t  
   d
  t 
 希尔伯特反变换
1  g  
 g t   
1
H  
   t 
d

 希尔伯特变换的等效线性系统

 该系统的单位冲激响应和传递函数为
1
h t  
t
 1 
H     F     j sgn   
 t 
 1,  0
其中，    
sgn
  1,  0


 1,  0
sgn       lim  e u     e u     
 

  1,   0  0  

 1  1  
 sgn      lim  u   e u    e
1  j t  j t
F    0
 2
 
e d 
2
 
e d 

1  1 1  1 2 jt j
 lim      0
lim 
  0 2
    jt   jt  2   t t
2 2

1
   j sgn   
t

 希尔伯特变换的等效线性系统
 传递函数
  j,  0
H      j sg n     
 j,  0

 可见，希尔伯特变换等效于一个理想移相器

  0时，相移为 - ；
2

  0时，相移为
2

 希尔伯特反变换的等效线性系统
 单位冲激响应 h  t    1
t
传递函数  1 
H    F     j sgn   


 t 
 也等效于一个理想移相器

  0时，相移为；
2

  0时，相移为 -
2

 例2.12.1
f  t   cos  t , 其中   0, 求 f  t  , f  t  和 H
1
 f t 
 
  
f  t   cos   t    sin  t
 2
  
f  t   sin   t     cos  t
 2
  
 f  t    sin  t 
  cos  t  f  t 
1
H 
   2

 希尔伯特变换的性质
1  H
1
 f t   f t 
 

2 H  f t   f t    f t 
 
  2
3  
f
2
 t  dt   
f  t  dt
4 若 f t 为偶函数，则 f t 为奇函数；

若 f t 为奇函数，则 f t 为偶函数

5  
f  t  f  t  dt  0

 希尔伯特变换的性质（证明）
1  F  H
1
  
 f  t    F  f  t     j sgn      j sgn      F  f  t  
     

H
1
 f t   f t 
 

3 f t   F     F      j sgn    
 
 2 1  2 1  2

 f  t  dt   F   d    F      j sgn     d 
 
 2  2 

1  
F   d    t  dt
2
  
2
f
2  

 希尔伯特变换的性质（证明）
5  若 f  t   f t  ,则

1  f   1  f   
f  t    d   d
  t     t  
令  ' 
1  f  ' 
   d '   f  t 
  t  '

2.13 解析信号
 定义
 实信号f(t)的解析信号为复信号

z t   f t   j f t 

2.13 解析信号
 解析信号的性质
1  f t   Re  z t 
 
1
2 f t    z t   z* t 
2 

3 令 f  t   F   , z  t   Z   , 则

 2 F   ,  0
Z    2 F   u    
 0,  0
1  1 
4 z t    2 F   e
j t
d   F   e
j t
d
2 0  0

2.13 解析信号
 解析信号的性质
 0,  0
5  z  t    2 F    u     

*

 2 F   ,  0

6 令 z1  t  和 z 2  t  为解析信号，则

z1  t  * z 2  t   0； z1  t  * z 2  t   0
* *

7 解析信号的能量是实信号能量的两倍

2.13 解析信号
 解析信号的性质（证明）
3 Z     F  f  t   j f  t    F     jF      j sgn    
   

 F    1  sgn      2 F    u   
 
6 z1  t   2 F1    u    ; z 2  t   2 F2    u    
*

z1  t  * z 2  t   2 F1    u    2 F2    u      0
*

 z1  t  * z 2  t   0
*

 
7 z  t  dt   f  t   j f  t    f  t   j f  t   dt
2
Ez       

  f
2
 dt  2  f
 
2
t   f t  
2
 t  dt  2E f
 

2.13 解析信号
 判断复信号z(t)=x(t)+jy(t)是否为解析信
号的方法
方法 1：若 y  t  是 x  t  的希尔伯特变换，

则 z t 是解析信号

方法 2：若满足性质  3  ，即 Z     2 X    u    ，


方法 3：若 z  t  的傅氏变换只在   0时取非零值，


2.13 解析信号
 例2.13.1
确定e
j 0 t
 0  0是否为解析信号

 cos  0 t  j sin  0 t，且 sin  0 t  H  cos  0 t 
j 0 t
方法 1： e
j 0 t
e 是解析信号
 2      0  ，  0 t         0        0  
j 0 t
方法 2： e cos  
j 0 t
 2      0 
j 0 t
方法 3： e
j 0 t

2.13 解析信号
 求已知实信号f(t)的解析信号的方法
方法 1：求 f  t  的希尔伯特变换 f  t  ，再构造解析信号

z t   f t   j f t 

方法 2：求 f  t  的傅立叶变换 F    ，再由性质  4  求出
1 
z t   F   e
j t

  0
d

2.13 解析信号
 例2.13.2
求 f  t   cos  0 t   0  0  的解析信号

  
方法 1：  t   cos   0 t    sin  0 t
f
 2
 z  t   cos  0 t  j sin  0 t  e
j 0 t

方法 2：  0 t         0        0  
cos  
1 
 z t          0        0   d 
 
 0

1 
2      0  d   e
j 0 t

2
 

2.14 频带信号与带通系统
 频带信号的定义
 若信号频谱集中在某一频率的附近，如下图，
则此信号即为频带信号或带通信号
 若 c 2W ，则此频带信号为窄带信号

 频带信号的解析信号
z  t   f  t   j f  t   Z    2 F   u  

 频带信号的复包络信号（复基带信号）
fL t   z t  e
 j t
c

f L  t   FL     Z     c   2 F     c  u     c 

 用复包络信号表示频带信号
 用同相分量、正交分量表示
令 f L  t   f c  t   jf s  t 

则 f t   Re  z t   Re  fL t  e c 
j t
   

 
 R e  f c  t   jf s  t    co s  c t  j sin  c t 
 
 f c  t  co s  c t  f s  t  sin  c t

 用包络分量、相位分量表示
j  t 
令 fL t   a t  e

则 f t   Re  z t   Re  fL t  e c 
j t
   


 Re a t  e
j  c t    t  
 
  a  t  cos  t    t  
c

 从上面两种表示法均可看出，复包络信号包
含了频带信号中除了载波频率外的所有信息
 频域表示：
1
f 
*
f t   Re  z t   t  e   fL t  e
j c t j c t
  
2
L  
1
 F     F L     c   F L*      c  
2 

易见： FL     c  是正频部分，

FL      c  是负频部分
*

 例2.14.1
基带信号 m  t 的带宽为 W 。

求 s t   m t  e
j 0 t
是解析信号的条件；

求 m  t  cos  0 t的希尔伯特变换

S    M    0 

当 W   0时， S    只在   0时取非零值，即 s  t  是解析信号

s t   m t  e  m  t  cos  0 t  jm  t  sin  0 t
j 0 t

当 W   0时， s  t  是解析信号

 m  t  cos  0 t的希尔伯特变换是 m  t  sin  0 t

 带通系统
 若系统的通频带位于某一频率附近，其传递
函数如下图，则此系统为带通系统
 若 2W  0，则称此系统为窄带系统

 带通系统的单位冲激响应
h  t   H  ， h  t  是一频带信号

 其解析信号
z  t   h  t   j h  t   Z    2 H   u  

 带通系统的等效低通系统
1
 等效低通冲激响应 h L  t   z t  e
 j 0 t

2
 等效低通传递函数
1
hL  t   H L     Z    0   H    0  u    0 
2
 注意：这里引入系数1/2是为了方便分析后
面的频带信号通过带通系统

 带通系统用等效低通系统表示
 单位冲激响应用等效低通单位冲激响应表示
h t   Re  z t   Re 
   2 h L  t  e j 0 t 

*
 hL  t  e   hL  t  e
j 0 t j 0 t

 
 传递函数用等效低通传递函数表示
H    H L    0   H     0 
*
L

 频带信号通过带通系统
输入信号 x t 、系统单位冲激响应 h t 

和输出信号 y t 都是频带信号，即
1
x  t   R e  x L  t  e 0  ， X      X L     0   X L     0  
j t *
  2 

h  t   R e  2 hL  t  e 0  ， H     H L     0   H L     0 
j t *
 
1
y  t   R e  y L  t  e 0  ， Y     Y L     0   Y L      0  
j t *
  2 

我们知道： y  t   x  t  * h  t ， Y    X   H  

问题： y L  t  和 x L  t  、 hL  t  ，以及 YL    和 X L    、 H L    有什么关系？

 频带信号通过带通系统
Y    X   H  
1
  X L    0   X L     0    H L    0   H L     0  
* *

2  
1
  X L     0  H L    0   X L     0  H L     0  
* *

2 
1
Y     Y L     0   Y L*      0  
2 

 YL     0   X L     0  H L     0 

 y L  t   x L  t  * hL  t 

 由上面推导可见，频带信号通过带通系
统的性能完全可以用对应的复包络信号
通过等效低通系统代替
 以上结论是通信仿真的基础
 以上结论也为求频带信号通过带通系统
的输出提供了另一种方法

 例2.14.2  cos  0 t , 0tT
带通系统的单位冲激响应 h t    ，且  0T 1
 0 其他t
输入窄带信号 x  t   m  t  cos  0 t，求输出 y  t 
1 1 1
hL  t   z t  e
 j 0 t j 0 t  j 0 t
 e e  ， 0tT
2 2 2
x L  t   m  t  sin  0 t
1 t 1 t
y L  t   x L  t  * hL  t    x L   d    m   d 
2 t T 2 t T

1 t
y t   Re  yL t  e   cos  0 t  m    d 
j 0 t
  2 t T

Chap2 deterministic signal_analysis

More Related Content

Viewers also liked (8)

Chap2 deterministic signal_analysis