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10. 논리와 스위치
                       CODE
The Hidden Language of Computer Hardware and Software




                                                             김지훈
                                                             아꿈사
                                                        2013. 01. 26.
논리의 탐구
CODE




         2
아리스토텔레스

       모든 인간은 죽는다.

      소크라테스는 인간이다.

     따라서 소크라테스도 죽는다.




                       3
찰스 도즈슨

         모든 철학자는 논리적이다.

   논리적이지 않은 사람은 항상 옹고집이다.

         철학자는 옹고집이 아니다?



                            4
조지 부울 (1815-1864)
 부울대수
 논리를 수학으로 표현하려는 시도
 발상의 전환




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부울 대수
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        6
기존의 대수학
에냐는 1킬로그램의 두부를 가지고 있습니다.             A=1
베티는 에냐보다 2배 많은 두부를 가지고 있습니다.         B=2xA
카르멘은 베티보다 2킬로그램 많은 두부를 가지고 있습니다.     C=B+2
디어드라는 카르멘보다 3배 많은 두부를 가지고 있다고 할 때,   D=3xC
디어드라가 가지고 있는 두부의 양은 얼마일까요.           D=?




                                             7
기존의 대수학
에냐는 1킬로그램의 두부를 가지고 있습니다.             A=1
베티는 에냐보다 2배 많은 두부를 가지고 있습니다.         B=2xA
카르멘은 베티보다 2킬로그램 많은 두부를 가지고 있습니다.     C=B+2
디어드라는 카르멘보다 3배 많은 두부를 가지고 있다고 할 때,   D=3xC
디어드라가 가지고 있는 두부의 양은 얼마일까요.           D=?     D = 3 x (B + 2)
                                             D = 3 x ((2 x A) + 2)
                                             D = 3 x ((2 x 1) + 2)
                                             D = 12            8
대수학의 법칙

          A + B = B + A

          A x B = B x A

     A + (B + C) = (A + B) + C

     A x (B x C) = (A x B) x C

     A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
                                       9
부울 대수


대수학은 숫자에 대해 연산을 수행

부울대수는 집합에 대해 연산을 수행




                      10
고양이의 종류

 수컷       암컷


 검정색      갈색       흰색


 중성화 함    중성화 안함



                        11
부울 대수의 연산




            12
부울 대수의 연산




            13
부울 대수의 연산




    W + (B x F) = (W + B) x (W + F)

    W x (B + F) = (W x B) + (W x F )

                                       14
부울 대수의 연산

           A + B = B + A

           A x B = B x A

     A + (B + C) = (A + B) + C

      A x (B x C) = (A x B) x C

        일반적인 대수와 동일
                                  15
부울 대수의 연산

       1은 전체 집합을 의미

          M + F = 1

       T + B + W + O = 1

            N + U = 1

            1 – M = F

                           16
부울 대수의 연산

     0은 아무 것도 포함하지 않는 집합

            M x F = 0

            1 x F = F

            0 x F = 0

            0 + F = F

                           17
부울 대수의 연산

            1 + F = 1
        F + (1 – F) = 1
        F x (1 – F) = 0
            F x F = F
             X2 = X
            F + F = F
                          18
M
모든 인간은 죽는다.            PxM=P
                   P



               P
소크라테스는 인간이다.           SxP=S
                   S




                               19
M
모든 인간은 죽는다.                  PxM=P
                   P



               P
소크라테스는 인간이다.                  SxP=S
                   S

                           S x (P x M) = S
               M
                           (S x P) x M = S
소크라테스는 죽는다.                   SxM=S
                       S



                                             20
부울 대수의 연산
“중성화된 수컷 고양인데, 하얀색이나 갈색이었으면 좋겠어요.
 아니면 중성화된 암컷 고양이에 하얀색만 아니면 괜찮을 것 같아요.
음… 검정 고양이면 아무거나 괜찮을 것 같기도 하네요.”


           (M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B

             중성화 되지 않은 수컷 갈색 고양이?


            (1 x 0 x (0 + 1)) + (0 x 0 x (1 – 0)) + 0


                                                        21
부울 대수의 연산
     중성화 되지 않은 수컷 갈색 고양이?
         U      M T

     (M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B

      (1 x 0 x (0 + 1)) + (0 x 0 x (1 – 0)) + 0




                                                  22
부울 대수의 연산

      0x0=0   X   0   1
      0x1=0
              0   0   0
      1x0=0
      1x1=1   1   0   1



      0+0=0   +   0   1
      0+1=1
              0   0   1
      1+0=1
      1+1=1   1   1   1



                          23
부울 대수의 연산

                                            X   0   1
(1 x 0 x (0 + 1)) + (0 x 0 x (1 – 0)) + 0
                                            0   0   0
= (1 x 0 x 1) + (0 x 0 x 1) + 0             1   0   1

=0+0+0
=0                                          +   0   1

                                            0   0   1

                                            1   1   1



                                                        24
부울 대수의 연산
중성화된 회색 암컷 고양이?                             X   0   1

     N       O      F                       0   0   0

(M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B   1   0   1


(0 x 1 x (0 + 0)) + (1 x 1 x (1 – 0)) + 0
                                            +   0   1
= (0 x 1 x 0) + (1 x 1 x 1) + 0
                                            0   0   1
=0+1+0                                      1   1   1

=1
                                                        25
다시 회로를 만들어 봅시다.
CODE




                  26
AND




      AND   0   1

       0    0   0

       1    0   1


                    27
OR




     OR   0   1

     0    0   1

     1    1   1

                  28
(M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B




                                            29
중성화 안된 수컷 갈색 고양이
  U     M  T




                   30
중성화된 암컷 흰색 고양이
  N   F  W




                 31
중성화된 회색 암컷 고양이
  N   W  F




                 32
중성화된 회색 암컷 고양이
  N   W  F




                 33
결론




     부울 대수는 전기 회로로 표현 할 수 있다.




                                34

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  • 1. 10. 논리와 스위치 CODE The Hidden Language of Computer Hardware and Software 김지훈 아꿈사 2013. 01. 26.
  • 3. 아리스토텔레스 모든 인간은 죽는다. 소크라테스는 인간이다. 따라서 소크라테스도 죽는다. 3
  • 4. 찰스 도즈슨 모든 철학자는 논리적이다. 논리적이지 않은 사람은 항상 옹고집이다. 철학자는 옹고집이 아니다? 4
  • 5. 조지 부울 (1815-1864)  부울대수  논리를 수학으로 표현하려는 시도  발상의 전환 5
  • 7. 기존의 대수학 에냐는 1킬로그램의 두부를 가지고 있습니다. A=1 베티는 에냐보다 2배 많은 두부를 가지고 있습니다. B=2xA 카르멘은 베티보다 2킬로그램 많은 두부를 가지고 있습니다. C=B+2 디어드라는 카르멘보다 3배 많은 두부를 가지고 있다고 할 때, D=3xC 디어드라가 가지고 있는 두부의 양은 얼마일까요. D=? 7
  • 8. 기존의 대수학 에냐는 1킬로그램의 두부를 가지고 있습니다. A=1 베티는 에냐보다 2배 많은 두부를 가지고 있습니다. B=2xA 카르멘은 베티보다 2킬로그램 많은 두부를 가지고 있습니다. C=B+2 디어드라는 카르멘보다 3배 많은 두부를 가지고 있다고 할 때, D=3xC 디어드라가 가지고 있는 두부의 양은 얼마일까요. D=? D = 3 x (B + 2) D = 3 x ((2 x A) + 2) D = 3 x ((2 x 1) + 2) D = 12 8
  • 9. 대수학의 법칙 A + B = B + A A x B = B x A A + (B + C) = (A + B) + C A x (B x C) = (A x B) x C A x (B + C) = (A x B) + (A x C) 9
  • 10. 부울 대수 대수학은 숫자에 대해 연산을 수행 부울대수는 집합에 대해 연산을 수행 10
  • 11. 고양이의 종류 수컷 암컷 검정색 갈색 흰색 중성화 함 중성화 안함 11
  • 14. 부울 대수의 연산 W + (B x F) = (W + B) x (W + F) W x (B + F) = (W x B) + (W x F ) 14
  • 15. 부울 대수의 연산 A + B = B + A A x B = B x A A + (B + C) = (A + B) + C A x (B x C) = (A x B) x C 일반적인 대수와 동일 15
  • 16. 부울 대수의 연산 1은 전체 집합을 의미 M + F = 1 T + B + W + O = 1 N + U = 1 1 – M = F 16
  • 17. 부울 대수의 연산 0은 아무 것도 포함하지 않는 집합 M x F = 0 1 x F = F 0 x F = 0 0 + F = F 17
  • 18. 부울 대수의 연산 1 + F = 1 F + (1 – F) = 1 F x (1 – F) = 0 F x F = F X2 = X F + F = F 18
  • 19. M 모든 인간은 죽는다. PxM=P P P 소크라테스는 인간이다. SxP=S S 19
  • 20. M 모든 인간은 죽는다. PxM=P P P 소크라테스는 인간이다. SxP=S S S x (P x M) = S M (S x P) x M = S 소크라테스는 죽는다. SxM=S S 20
  • 21. 부울 대수의 연산 “중성화된 수컷 고양인데, 하얀색이나 갈색이었으면 좋겠어요. 아니면 중성화된 암컷 고양이에 하얀색만 아니면 괜찮을 것 같아요. 음… 검정 고양이면 아무거나 괜찮을 것 같기도 하네요.” (M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B 중성화 되지 않은 수컷 갈색 고양이? (1 x 0 x (0 + 1)) + (0 x 0 x (1 – 0)) + 0 21
  • 22. 부울 대수의 연산 중성화 되지 않은 수컷 갈색 고양이? U M T (M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B (1 x 0 x (0 + 1)) + (0 x 0 x (1 – 0)) + 0 22
  • 23. 부울 대수의 연산 0x0=0 X 0 1 0x1=0 0 0 0 1x0=0 1x1=1 1 0 1 0+0=0 + 0 1 0+1=1 0 0 1 1+0=1 1+1=1 1 1 1 23
  • 24. 부울 대수의 연산 X 0 1 (1 x 0 x (0 + 1)) + (0 x 0 x (1 – 0)) + 0 0 0 0 = (1 x 0 x 1) + (0 x 0 x 1) + 0 1 0 1 =0+0+0 =0 + 0 1 0 0 1 1 1 1 24
  • 25. 부울 대수의 연산 중성화된 회색 암컷 고양이? X 0 1 N O F 0 0 0 (M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B 1 0 1 (0 x 1 x (0 + 0)) + (1 x 1 x (1 – 0)) + 0 + 0 1 = (0 x 1 x 0) + (1 x 1 x 1) + 0 0 0 1 =0+1+0 1 1 1 =1 25
  • 26. 다시 회로를 만들어 봅시다. CODE 26
  • 27. AND AND 0 1 0 0 0 1 0 1 27
  • 28. OR OR 0 1 0 0 1 1 1 1 28
  • 29. (M x N x (W + T)) + (F x N x (1 – W)) + B 29
  • 30. 중성화 안된 수컷 갈색 고양이 U M T 30
  • 31. 중성화된 암컷 흰색 고양이 N F W 31
  • 32. 중성화된 회색 암컷 고양이 N W F 32
  • 33. 중성화된 회색 암컷 고양이 N W F 33
  • 34. 결론 부울 대수는 전기 회로로 표현 할 수 있다. 34

Editor's Notes

  • #3: 그럼 우선 논리가 어떻게 발전해갔는지 볼텐데요
  • #4: 우선 아리스토텔레스의 삼단 논법이예요아리스토텔레스는 논리란 진리를 다루는 것. 이라 생각해서이렇게 진리를 탐구하는데 논리적인 접근을 했다고 해요.
  • #5: 후에 또다른 철학자는 이런 삼단 논법을 제시했어요
  • #6: 그러 다가 조지 부울 이라는 사람이 나타납니다.생각의 법칙 : 논리를 수학으로 나타낼수 있다면 인간의 뇌의 활동도 수학적으로 해석할 수 있을 것.
  • #11: 대수학 : 뭐가 많고 뭐가 적음을 나타냄부울 : 어떠한 종류들이 있는가에 관심
  • #12: 그래서 부울대수의 연산에 대해 알아 볼텐데요문제는 부울대수의 연산을 우리가 이미 다 알아요.그래서 좀 재밌게 해 볼라고 그림을 만들어 봤습니다.
  • #13: 여기서 볼 수 있는 건더하기 연산자를 더 추상화 시켰음
  • #17: O = other
  • #19: F x (1 – F) = 0: 모순의 법칙. 자신과 자기자신과 반대되는것에 모두 속할 수 없음
  • #20: 사람에 죽음이 포함되어 있다는 말이니깐,사람은 죽는단 뜻이 되겠죠소크라테스 집합과 죽는 모든것의 집합간의 교집합은 S이고, 이건 S가 M에 속한다는 말이니깐 소크라테스는 죽는다는 것을 의미
  • #21: 사람에 죽음이 포함되어 있다는 말이니깐,사람은 죽는단 뜻이 되겠죠소크라테스 집합과 죽는 모든것의 집합간의 교집합은 S이고, 이건 S가 M에 속한다는 말이니깐 소크라테스는 죽는다는 것을 의미
  • #22: 책에 보면 애완동물 가게 얘기가 나오는데요.이걸 들은 판매원은 아마 수학을 전공했나봐요.
  • #23: 책에 보면 애완동물 가게 얘기가 나오는데요.이걸 들은 판매원은 아마 수학을 전공했나봐요.
  • #34: 부울 대수는 전기 회로로 표현 할 수 있다. 라는게 이장에서 설명하고자 하는 핵심이에요.