Compendiu de rezistenta materialelor

Indira Andreescu Ştefan Mocanu
Compendiu
de
Rezistenţa Materialelor

Prefaţă
Rezistenţa Materialelor este una din disciplinele de bază în
pregătirea studenţilor de la facultăţile mecanice, ea constituind
temelia cursurilor de specialitate, reflectând principiile şi metodele
de calcul necesare acestora.
În cartea de faţă sunt cuprinse cunoştinţele necesare
profilului mecanic şi în special utilajelor pentru construcţii. În
acest scop lucrarea prezintă noţiunile ştiinţifice, metodele concrete
de calcul şi dimensionare ale structurilor sub o formă adecvată
înţelegerii aspectelor fizice cât şi aplicării acestora în cazuri
specifice reale din domeniul mecanic.
Problemele rezolvate la sfârşitul fiecărui capitol constituie
exemple concrete de calcul de proiectare optimă a unor elemente
cu aplicabilitate în practica inginerească.
Autorii
2

Cuprins
Prefaţă ------------------------------------------------------------------------- 1
1. Problemele Rezistenţei Materialelor ----------------------------------- 9
1.1 Obiectul Rezistenţei Materialelor. Relaţii cu alte discipline -- 9
1.2 Rezistenţa Materialelor, probleme specifice ------------------- 10
1.3 Clasificarea corpurilor şi a forţelor care acţionează asupra
acestora ---------------------------------------------------------------------- 11
1.3.1 Clasificarea corpurilor ------------------------------------- 13
1.3.2 Clasificarea forţelor care acţionează asupra corpurilor-14
1.4 Ipoteze în Rezistenţa materialelor ------------------------------- 16
1.5 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă ---------------- 17
1.6 Metode de rezolvare ----------------------------------------------- 18
1.7 Condiţii de îndeplinit în soluţionarea problemelor din
Rezistenţa Materialelor --------------------------------------------------- 18
1.8 Aspecte ale Rezistenţei Materialelor ---------------------------- 19
2. Diagrame de eforturi ---------------------------------------------------- 20
2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte ------------------------------- 20
2.1.1 Determinarea eforturilor într-o secţiune ------------------ 22
2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile analitice
ale eforturilo ---------------------------------------------------------------- 23
2.1.3 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări ------------- 25
2.1.4 Utilizarea relaţiilor diferenţiale la trasarea diagramelor de
eforturi ---------------------------------------------------------------------- 27
2.1.5 Relaţii de recurenţă la grinda dreaptă --------------------- 33
2.1.6 Grinzi cu încărcări complexe. Metoda suprapunerii
efectelor --------------------------------------------------------------------- 34
2.2 Grinzi cu console şi articulaţii ------------------------------------- 36
2.3 Diagrame de eforturi pe cadre ------------------------------------- 38
3. Caracteristicile geometrice ale secţiunilor transversale ale barelor
---------------------------------------------------------------------------------------- 48
3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate ------------ 48
3.2 Momente de inerţie (geometrice) --------------------------------- 49
3.2.1 Momente de inerţie pentru secţiuni simple -------------- 51
3.2.2 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă-52
3.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor ------------- 53
3.4 Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor ---------------- 55
3

3.4.1 Momente de inerţie principale şi direcţii principale ---- 57
3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de
inerţie principale I1, I2, ale unei figuri plane --------------------------- 58
3.5 Moment de inerţie centrifugal maxim ---------------------------- 59
4. Tensiuni şi deformaţii specifice ---------------------------------------- 64
4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor --------------------------------------- 64
4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangenţiale ------------------------- 67
4.1.2 Relaţii de echivalenţă între eforturi şi tensiuni în secţiunea
transversală a unei bare --------------------------------------------------- 68
4.2 Deformaţii specifice. Tensorul deformaţiilor -------------------- 69
4.2.1 Deformaţia specifică liniară ------------------------------- 69
4.2.2 Deformaţia specifică unghiulară -------------------------- 69
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor ------------------------- 70
4.4 Diagrame caracteristice schematizate ---------------------------- 75
5. Solicitarea axială centrică ---------------------------------------------- 78
5.1 Forţa axială. Tensiuni de întindere – compresiune ------------- 78
5.2 Deformaţii şi deplasări --------------------------------------------- 80
5.3 Dimensionarea, verificarea, forţa capabilă ----------------------- 80
5.4 Bare cu secţiune variabilă solicitate la întindere ---------------- 81
5.5 Calculul barelor întinse ţinând seama de greutatea proprie ---- 82
5.6 Sisteme static nedeterminate la forţe axiale --------------------- 84
5.6.1 Bare cu secţiuni neomogene ------------------------------- 85
5.6.2 Bară dublu articulată ---------------------------------------- 86
5.6.3 Sistem de bare paralele ------------------------------------- 87
5.6.4 Sistem de bare articulate concurente --------------------- 88
5.7 Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate ------------------------- 89
5.8 Efectul inexactităţii de execuţie şi montaj în sistemele articulate
static nedeterminate ------------------------------------------------------- 91
6. Forfecarea ----------------------------------------------------------------- 98
6.1 Generalităţi ----------------------------------------------------------- 98
6.2 Probleme de forfecare la îmbinările nituite ---------------------- 99
6.2.1 Forfecarea niturilor ---------------------------------------- 100
6.2.2 Strivirea niturilor ------------------------------------------- 101
6.3 Îmbinări cu şuruburi ----------------------------------------------- 102
6.4 Îmbinări sudate ----------------------------------------------------- 103
6..4.1Calculul sudurilor de colţ --------------------------------- 103
7. Încovoierea barelor drepte -------------------------------------------- 110
7.1 Generalităţi --------------------------------------------------------- 110
7.2 Încovoiere pură. Formula lui Navier ---------------------------- 110
4

7.3 Calculul modulului de rezistenţă axial Wz la secţiunile simple ---
------------------------------------------------------------------------------- 115
7.4 Calculul grinzilor supuse la încovoiere ------------------------- 118
7.5 Alcătuirea raţională a secţiunilor solicitate la încovoiere ---- 118
7.6 Încovoiere simplă -------------------------------------------------- 120
7.6.1 Ipotezele lui Juravski -------------------------------------- 120
7.6.2 Formula lui Juravski --------------------------------------- 121
7.6.3 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunile simple -- 123
7.6.4 Centrul de lunecare ---------------------------------------- 127
7.7 Grinzi compuse supuse la încovoiere --------------------------- 129
7.7.1 Evaluarea forţei de lunecare ------------------------------ 130
7.7.2 Calculul grinzilor compuse nituite ---------------------- 132
7.7.3 Calculul grinzilor compuse sudate ---------------------- 133
8. Deformarea grinzilor drepte solicitate la încovoiere ------------ 142
8.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate ------------------ 142
8.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale --------------- 144
8.3 Metoda grinzii conjugate ----------------------------------------- 151
8.3.1Corespondenţa între reazemele grinzii reale şi conjugate --
------------------------------------------------------------------------------- 153
8.4 Metoda parametrilor în origine ---------------------------------- 153
9. Variaţia tensiunilor în jurul unui punct în cazul stării plane de
tensiuni --------------------------------------------------------------------------- 168
9.1 Expresiile tensiunilor pe o secţiune înclinată cu unghiul α -- 168
9.2 Tensiuni normale principale şi direcţii principale ------------- 170
9.3 Tensiuni tangenţiale maxime ------------------------------------- 171
9.4 Tensiuni pe o suprafaţă înclinată în cazurile solicitărilor simple -
------------------------------------------------------------------------------- 172
10. Torsiunea ----------------------------------------------------------------- 178
10.1 Generalităţi. Torsiunea barelor cu secţiune circulară -------- 178
10.2 Tensiuni în bara de secţiune circulară şi inelară ------------- 179
10.2.1 Condiţia geometrică -------------------------------------- 179
10.2.2 Condiţia de elasticitate ---------------------------------- 182
10.2.3 Condiţia statică ------------------------------------------- 182
10.3 Deformaţii --------------------------------------------------------- 184
10.4 Calculul arborilor de transmisie solicitaţi la torsiune ------- 184
10.5 Calculul modulului de rezistenţă polar Wp ------------------- 185
10.6 Sisteme static nedeterminate la torsiune ---------------------- 186
10.7 Torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară --------------- 188
10.8 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu
deplanări libere ----------------------------------------------------------- 189
5

10.9 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, profil închis, deplanări
libere ----------------------------------------------------------------------- 192
10.10 Arcuri elicoidale cu pasul mic -------------------------------- 194
10.11 Moduri de montare a arcurilor -------------------------------- 196
10.11.1 Montaj în paralel ---------------------------------------- 196
10.11.2 Montaj în serie ------------------------------------------ 197
10.12 Sisteme static nedeterminate alcătuite din arcuri elicoidale ----
------------------------------------------------------------------------------- 197
11. Studiul deplasărilor prin metode energetice ---------------------- 208
11.1 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor elastice ---
------------------------------------------------------------------------------- 208
11.2 Energia potenţială de deformaţie ------------------------------- 209
11.3 Lucrul mecanic exterior ----------------------------------------- 210
11.4 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (teorema lui Betti) -212
11.5 Expresiile lucrului mecanic funcţie de eforturi --------------- 213
11.6 Expresiile energiei potenţiale de deformaţie în funcţie de
eforturi --------------------------------------------------------------------- 214
11.7 Teorema reciprocităţii deplasărilor. Teorema lui Maxwell - 216
11.8 Studiul deplasărilor prin metoda Mohr – Maxwell ---------- 216
11.9 Metoda de integrare Veresceaghin ----------------------------- 218
12. Teorii de rezistenţă ----------------------------------------------------- 224
12.1 Legea lui Hooke generalizată ------------------------------------224
12.2 Deformaţia specifică volumică---------------------------------- 228
12.3 Legătura dintre constantele E, G, μ ---------------------------- 229
12.4 Energia potenţială de deformaţie în problema spaţială ------ 231
12.4.1 Energia specifică necesară variaţiei de volum şi
schimbării formei --------------------------------------------------------- 231
12.5 Teorii de rezistenţă a materialelor ----------------------------- 232
12.5.1 Starea de tensiune limită într-un punct ---------------- 232
12.5.2 Tensiunea echivalentă ----------------------------------- 233
12.5.3 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I) -------- 234
12.5.4 Teoria tensiunilor tangenţiale maxime (teoria III) --- 236
12.5.5 Teoria energiei de deviaţie (teoria V sau IVa) -------- 238
12.5.6 Aplicarea teoriilor de rezistenţă în cazul barelor ----- 240
13. Solicitări compuse ------------------------------------------------------ 242
13.1 Încovoiere dublă sau oblică ------------------------------------- 243
13.1.1 Încovoierea dublă a barelor cu secţiunea transversală
dreptunghiulară sau care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline -
------------------------------------------------------------------------------ 246
13.2 Încovoiere simplă cu forţă axială ------------------------------ 249
6

13.2.1 Cazul secţiunii la care axa de încovoiere este axă de
simetrie -------------------------------------------------------------------- 250
13.3 Încovoiere dublă cu forţă axială -------------------------------- 251
13.3.1 Încovoiere dublă cu forţă axială la secţiunea
dreptunghiulară sau o secţiune care se înscrie într-un dreptunghi cu
colţuri pline --------------------------------------------------------------- 254
13.3.2 Sâmbure central ------------------------------------------ 256
13.3.3 Sâmburele central la secţiunea dreptunghiulară ------ 257
13.3.4 Sâmburele central la secţiunea circulară -------------- 257
13.3.5 Zona activă ------------------------------------------------ 258
13.4 Încovoiere cu torsiune ------------------------------------------- 259
13.4.1Bara de secţiune circulară -------------------------------- 259
13.4.1.1Arbori de transmisie -------------------------------- 261
13.4.2 Bara de secţiune dreptunghiulară ---------------------- 263
14. Sisteme static nedeterminate ----------------------------------------- 274
14.1 Metoda eforturilor în rezolvarea sistemelor o dată static
nedeterminate ------------------------------------------------------------- 277
14.2 Structuri de n ori static nedeterminate ------------------------- 280
14.3Utilizarea simetriei în rezolvarea sistemelor static nedeterminate
------------------------------------------------------------------------------- 282
14.4 Calculul deplasărilor la sisteme static nedeterminate ------- 284
14.5 Grinzi continue --------------------------------------------------- 285
14.5.1 Expresia rotirilor de capăt la grinda simplu rezemată-286
14.5.2 Ecuaţia celor trei momente ------------------------------ 288
15. Bare curbe plane -------------------------------------------------------- 295
15.1 Tensiuni în secţiunea barei curbe ------------------------------ 295
15.1.1 Importanţa mărimii razei de curbură asupra domeniului
de valabilitate a relaţiilor de calcul ------------------------------------ 299
16. Stabilitatea barelor drepte -------------------------------------------- 305
16.1 Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile clasice de
rezemare. Formula lui Euler -------------------------------------------- 307
16.1.1 Bara dublu articulată ------------------------------------- 307
16.1.2 Bara încastrată perfect la un capăt şi liberă la celălalt-309
16.1.3 Bara articulată la un capăt şi încastrată perfect la celălalt
------------------------------------------------------------------------------- 310
16.1.4 Bara dublu încastrată ------------------------------------- 312
16.2 Rezistenţa critică de flambaj. Coeficientul de zvelteţe ------ 313
16.3 Coeficientul de siguranţă la flambaj cf ------------------------ 315
16.4 Calculul practic la flambaj -------------------------------------- 315
7

16.5 Calculul la flambaj folosind metoda coeficientului de flambaj ϕ
------------------------------------------------------------------------------- 316
16.6 Bara cu rezemări diferite după axele principale de inerţie -- 317
16.7 Influenţa forţei tăietoare asupra sarcinii critice de flambaj - 318
16.8 Flambajul barelor cu secţiune compusă ----------------------- 320
16.9 Calculul barelor la flambaj cu încovoiere --------------------- 322
17. Solicitări dinamice ------------------------------------------------------ 327
17.1 Solicitări dinamice prin şoc ------------------------------------- 328
17.1.1 Coeficientul dinamic în cazul când se neglijează masa
corpului supus la şoc ----------------------------------------------------- 329
17.1.2 Coeficientul dinamic în cazul în care se ţine seama de
masa corpului supus la şoc ---------------------------------------------- 331
17.1.3 Solicitări prin şoc orizontal ----------------------------- 333
18. Solicitări variabile ------------------------------------------------------ 337
18.1 Cicluri de solicitări variabile ------------------------------------ 337
18.2 Diagrame de rezistenţă la oboseală ---------------------------- 339
18.3 Diagrame schematizate ------------------------------------------ 342
18.4 Factorii de care depinde rezistenţa la oboseală --------------- 344
18.5 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile simple
------------------------------------------------------------------------------- 345
18.5.1 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitări prin
cicluri alternant simetrice ----------------------------------------------- 346
18.5.2 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitările prin
cicluri asimetrice --------------------------------------------------------- 347
18.6 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări compuse,
produse de sarcini variabile ciclice ------------------------------------ 348
Bibliografie ---------------------------------------------------------------------- 353
8

Capitolul 1
PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR
1.1 Obiectul Rezistenţei Materialelor. Relaţii cu alte discipline
Observaţii asupra naturii înconjurătoare relevă faptul că majoritatea
corpurilor solide sunt capabile să suporte, în anumite limite, acţiunile altor
corpuri, fără să se rupă sau să-şi modifice sensibil forma şi dimensiunile.
Această remarcă este esenţială în definirea obiectului disciplinei aici
examinate.
În practica inginerească se pune în permanenţă problema alegerii
materialului celui mai potrivit pentru anumite utilizări, aceasta însemnând
totodată stabilirea formei şi dimensiunilor sale optime. Se are în vadere ca
materialul ales să reziste la eforturi determinate, adică să nu se rupă şi să nu-
şi modifice geometria, astfel încât acesta să nu atingă stadiul de cedare sau
modificare excesivă, bineînţeles în anumite limite de siguranţă şi
economicitate.
Principiile care stau la baza rezolvării raţionale tocmai a acestor
probleme constituie obiectul Rezistenţei Materialelor.
Rezistenţa Materialelor se ocupă cu studierea comportării, sub
acţiunea forţelor exterioare, a pieselor din alcătuirea unor sisteme sau
complexe tehnice anume configurate, a deformaţiilor şi deplasărilor care se
produc în structurile examinate, precum şi cu determinarea dimensiunilor
limită ale fiecărei piese.
Rezistenţa Materialelor face parte din grupul de discipline denumit
Mecanica corpului solid deformabil, care mai include: Teoria elasticităţii,
Teoria plasticităţii şi alte specialităţi disciplinare.
Dat fiind că interacţiunea dintre corpuri este reprezentată, în mod
obişnuit, prin forţe, în rezolvarea problemelor de Rezistenţa Materialelor
trimiterile de cea mai mare frecvenţă se fac la Mecanica teoretică. Numai
că, spre deosebire de Mecanica teoretică, unde se admite modelul corpului
rigid, indeformabil, Rezistenţa Materialelor, studiind efectul forţelor pe şi
9

mai ales în interiorul elementelor, ţine seama obligatoriu de proprietatea de
deformabilitate a corpurilor. De aceea în Rezistenţa Materialelor se admite
modelul corpului deformabil, a cărui configuraţie geometrică se modifică
sub acţiuni exterioare, cu observaţia că modificările geometrice au drept
consecinţă apariţia unor forţe interioare între particulele structurale ale
corpului solicitat.
Cunoaşterea relaţiilor dintre modificările geometrice, încărcări şi forţe
interioare implică deopotrivă investigaţii teoretice şi experimentale,
respectiv o dinamică a progresului disciplinei ca ştiinţă cu pronunţat caracter
orientat, aplicativ. De altfel, experimentul are un rol deosebit în verificarea
rezultatelor ce se obţin în urma cercetărilor teoretice (implicit în validarea
acestora), aşa cum se întâmplă, de altfel, în toate ramurile ştiinţei.
De menţionat că, faţă de Mecanica teoretică, unde toate forţele sunt
considerate vectori alunecători, în Rezistenţa Materialelor forţele sunt
vectori legaţi, cu reprezentarea intuitivă din fig.1.1
F F
R=2F
I
II
fig.1.1
în care cu I s-a reprezentat deformaţia reală a grinzii sub acţiunea celor două
forţe F (forţe ca vectori legaţi), II fiind deformaţia grinzii sub acţiunea
rezultantei celor două forţe F (forţe ca vectori alunecători).
1.2 Rezistenţa Materialelor, probleme specifice
Să considerăm un corp de o formă dată şi confecţionat dintr-un anumit
material, aşezat (rezemat) într-un anumit mod şi supus la încărcare
exterioară. Rezistenţa Materialelor ne permite să determinăm la un
asemenea corp:
- tensiunile produse de încărcări;
- deformaţiile care rezultă.
10

Practic, în cazurile cele mai simple pot apare trei situaţii care reprezintă,
în general, problemele Rezistenţei Materialelor, şi anume:
- probleme de dimensionare;
- probleme de verificare;
- probleme de determinare a efortului capabil,
cu următoarele precizări:
Problemele de dimensionare. Forţele aplicate sunt cunoscute şi se
alege materialul după anumite criterii; dimensiunile elementului de structură
rezultă din condiţiile ca forţele interne (implicit tensiunile) şi deformaţiile să
nu depăşească anumite valori limită.
Problemele de verificare. Cunoscând forţele exterioare şi
dimensiunile elementului se impune ca tensiunile şi deformaţiile să nu
depăşească anumite valori limită prescrise.
Problemele de determinare a efortului capabil. În acest caz sunt
cunoscute dimensiunile şi proprietăţile mecanice ale elementului şi trebuie
cunoscute/determinate forţa sau şi momentul limită suportabil în secţiunea
critică.
1.3 Clasificarea corpurilor şi a forţelor care acţionează
asupra acestora
În studiul fenomenelor naturale, cărora le sunt proprii diversitatea şi
complexitatea, sintetizarea observaţiilor şi a datelor experimentale şi
definirea, pe această bază, a ceea ce este esenţial şi caracteristic fiecărui
fenomen constituie modul fundamental, raţional, de abordare. Schematizând
proprietăţile materiei, adoptând ipoteze referitoare la cauzele, desfăşurarea şi
efectele unor fenomene reale, în cadrul investigaţiei teoretice cel mai adesea
se procedează la vizualizarea modelului fizic real, respective la substituirea
lui cu un model convenabil (şi acceptabil) pentru calcul, aceasta cu
observaţia că pentru a fi eficiente şi a conduce la rezultate verificabile
experimental, ipotezele care stau la baza adoptării modelului de calcul
trebuie să surprindă ceea ce este specific laturii studiate a fenomenului şi,
bineînţeles, să aibă cuvenita cuprindere.
Ţinând seama de obiectul de studiu al Rezistenţei Materialelor,
schematizările şi ipotezele necesare definirii modelului de calcul
optimal/uzitat în cadrul acestei discipline se vor referi în principal la
proprietăţile geometrice şi mecanice ale corpurilor precum şi la forţele care
acţionează asupra şi în interiorul lor.
11

În continuare, se vor da două criterii de clasificare a solidelor
referitoare la comportarea lor după descărcare şi la mărimea deformaţiilor
care apar la anumite solicitări mecanice.
Într-un accept profesional,ingineresc şi orientat, vom considera
această disciplină de studiu şi aplicativă dedicată în principal analizei şi
evaluării comportării materialelor/corpurilor componente ale sistemelor
tehnice în interacţiune mecanică. Exprimarea matematică adecvată a
interacţiunilor respective reprezintă desigur, o importantă asumare a
disciplinei/ştiinţei considerate (Rezistenţa Materialelor).
Se acceptă, pragmatic, că din punctual de vedere al comportării
materialelor după descărcarea de anumite sarcini/eforturi mecanice se
disting:
• Materiale elastice;
• Materiale plastice;
• Materiale elasto-plastice.
Materale elastice. Se consideră un corp solid încărcat cu forţe
exterioare a căror intensitate creşte de la zero. Sub acţiunea acestor forţe,
corpul se deformează, creându-se un echilibru continuu între forţele externe
şi cele interne. Dacă după un anumit nivel de încărcare se descarcă corpul, în
mod gradat până la zero, acesta va reveni la forma sa iniţială. Dacă
deformaţiile dispar complet şi materialul îşi reia exact forma sa iniţială,
atunci acesta îndreptăţeşte considerarea sa ca solid elastic. În mod
corespunzător se defineşte elasticitatea ca proprietate a materialelor de a se
deforma sub încărcare şi de a reveni la forma iniţială când încărcarea
încetează.
Materiale plastice. Unele materiale se deformează foarte mult chiar
sub încărcări reduse şi nu-şi reiau dimensiunile şi forma iniţială când
încărcarea dispare. Acestea sunt solidele plastice.
Materialele elasto-plastice. Experienţa arată că nu există
materiale/corpuri (solide) perfect elastice şi că deformaţiile produse de
încărcări nu dispar complet după descărcare; în acest caz deformaţiile
corpului sunt de două feluri: o deformare elastică care se diminuează odată
cu reducerea încărcării şi o deformare remanentă (permanentă). Este cazul
majorităţii materialelor folosite pentru obţinerea elementelor din domeniul
construcţiilor de maşini.
Din punctul de vedere al mărimii defomaţiilor care conduc la rupere,
se disting:
• Materiale ductile;
• Materiale casante.
12

Materialele ductile: se caracterizează prin capacitatea de a suporta
deformaţii importante înaintea apariţiei fenomenului de rupere şi au
pronunţate proprietăţi plastice. Se spune că asemenea materiale posedă un
grad înalt de avertizare la rupere (de ex. oţel, aluminiu, etc.).
Materialele casante: sunt cele care se rup brusc la anumite încărcări,
fără a prezenta înainte deformaţii mari (cum ar fi fonta, oţelurile de înaltă
rezistenţă, betonul, piatra, sticla, etc.).
1.3.1 Clasificarea corpurilor
O structură poate fi descompusă într-o serie de elemente simple.
Acestea sunt corpuri având trei dimensiuni. În funcţie de raportul între cele
trei dimensiuni, aceste corpuri pot fi grupate în trei mari categorii:
- bare;
- plăci;
- blocuri.
Barele sunt corpuri la care una din dimensiuni este mare în raport cu
celelalte două. Elementele caracteristice ale unei bare sunt axa sa
longitudinală precum şi forma şi dimensiunile secţiunii (normale)
transversale.
Axa longitudinală a barei reprezintă curba dată de succesiunea
centrelor de greutate ale secţiunilor (normale) transversale.
Secţiunea normală într-un punct din bară este secţiunea plană
perpendiculară pe axa barei.
După forma axei longitudinale barele pot fi drepte, curbe plane şi
curbe în spaţiu.
Forma secţiunii transversale poate fi (fig.1.2):
fig.1.2
O categorie specială de bare o constituie firele, la care secţiunea
transversală a barei are dimensiuni neglijabile.
13

Plăcile sunt corpuri la care două dimensiuni sunt mari în raport cu a
treia. Locul geometric al mijloacelor grosimilor plăcii se numeşte suprafaţă
mediană, grosimea plăcii măsurându-se perpendicular pe suprafaţa mediană.
Plăcile pot fi plane sau curbe.
Blocurile sunt corpuri cu toate cele trei dimensiuni comparabile.
De reţinut menţiunea că metodele de calcul din Rezistenţa
Materialelor sunt valabile numai pentru elementele de tip bară (fir). Pentru
solidele placă sau bloc trebuie apelat la teoria elasticităţii şi teoria
plasticităţii.
1.3.2 Clasificarea forţelor care acţionează asupra corpurilor
Forţele exterioare care acţionează asupra unui corp sunt forţe active,
care tind să imprime corpului o mişcare, aceste forţe fiind denumite sarcini
sau încărcări respectiv forţe care se opun tendinţei de deplasare a corpului,
numite reacţiuni.
Criterii de clasificare:
• După dimensiunea suprafeţei pe care se aplică:
Forţe concentrate: teoretic, se aplică într-un punct;
Forţe distribuite: se caracterizează numeric prin intesitatea pe
unitatea de lungime sau suprafaţă.
• După poziţia zonei unde se aplică forţele în raport cu corpul:
Forţe de suprafaţă;
Forţe masice şi de volum.
• După modul de variaţie în timp a intensităţii forţelor:
Forţe statice – forţe care încarcă treptat construcţia, începând
de la intensitate nulă, la intensitate finală, cu care acţionează
continuu asupra construcţiei (ex. greutatea proprie);
Forţe dinamice – forţe a căror intensitate se modifică în timp
atât de repede, încât provoacă acceleraţii sensibile punctelor
materiale ale corpului. Sunt forţe care se aplică brusc şi produc
şocuri precum şi forţe variabile în timp.
Forţele interioare; cu reprezentarea din figura 1.3 se consideră un
corp supus la un grup de forţe exterioare în echilibru care se secţionează în
două părţi.
Evident, pentru menţinerea echilibrului solidului astfel secţionat
trebuie să acţioneze forţe interioare (interne) corespunzătoare. La echilibru,
forţele interioare de pe cele două feţe ale secţiunii separatoare sunt egale şi
14

de sens contrar, reprezentând, în fapt, forţele de legătură care se opun
separării corpului.
F1
F1
F3
F3
F4
F4
F2
F2
I
I
II
II
M
M
R
R
fig.1.3
Mărimile R şi M semnifică forţe interioare sau eforturi. De menţionat
că eforturile trebuie introduse în centrul de greutate al secţiunii; atare
eforturi pot avea direcţii oarecare în spaţiu.
Fie cazul unei bare cu axa x axă longitudinală a barei respectiv y şi z
axele secţiunii transversale. Se vor reprezenta eforturile R şi M în centrul de
greutate al secţiunii, fiecare efort descompunându-se pe cele trei axe
conform figurii 1.4:
x
z
y
Ty
Tz
T
N
R
Mx
Mz
My
Mi
M
fig.1.4
- R are o componentă după axa barei (axa x), denumită forţă axială N
respectiv o componentă T denumită forţă tăietoare, pe o axă
15

perpendiculară pe axa x. Forţa tăietoare se descompune pe axele y şi z
în componentele forţei tăietoare Ty şi Tz.
- M se descompune în momentul de torsiune Mx (după axa barei) şi un
moment încovoietor Mi (după o axă perpendiculară pe axa x), ale
cărui componente sunt My şi Mz.
Mărimile N, Ty, Tz, Mx, My, Mz se numesc eforturi; fiecărui efort îi
corespunde o solicitare simplă:
- Întindere – compresiune - solicitarea produsă de forţa axială N;
- Tăiere sau forfecare – solicitarea produsă de componentele forţei
tăietoare Ty, Tz;
- Torsiune sau răsucire – solicitare produsă de momentul de torsiune
Mx;
- Încovoiere – solicitarea produsă de componentele momentului
încovoietor My, Mz.
Solicitările compuse corespund cazului când apar simultan cel puţin
două eforturi în secţiune.
1.4 Ipoteze în Rezistenţa Materialelor
În tratarea problemelor propuse Rezistenţa Materialelor operează cu o
serie de ipoteze privitoare la structura materialelor şi comportarea solidului
sub sarcini. Principalele ipoteze de acest fel sunt:
- Ipoteza mediului continuu şi omogen: se consideră solidul ca mediu
continuu şi omogen, ocupând întregul spaţiu corespunzător volumului său.
- Ipoteza izotropiei materialelor: se consideră solidul ca având
proprietăţi identice pe toate direcţiile.
- Ipoteza stării naturale a corpurilor: se admite că mai înainte de
intrarea în acţiune a forţelor care produc solicitarea, în corp nu există forţe
interioare.
- Corpurile studiate sunt în echilibru static sau dinamic: astfel, în
primul caz, în ecuaţiile de echilibru intervin forţe statice reprezentând acţiuni
şi reacţiuni, iar în cel de-al doilea, se adaugă efectul forţelor de inerţie.
- Ipoteza elasticităţii perfecte: se consideră că deformaţiile dispar
complet odată cu dispariţia sarcinilor care le-au produs.
- Ipoteza deformaţiilor mici: deformaţiile se consideră mici în raport cu
dimensiunile corpurilor. De aceea se pot scrie ecuaţiile de echilibru ca în
statică; se neglijează în calcule, puterea a doua (sau superioară) a
deformaţiilor, ca infinit mic de rang superior.
16

- Relaţia liniară între tensiuni şi deformaţii specifice; se adoptă curba
caracteristică schematizată corespunzătoare modelului elasto-plastic. Rezultă
că pentru valori ale deformaţiilor care nu depăşesc εc este valabilă legea lui
Hooke: σ = Eε, adică tensiunile sunt proporţionale cu deformaţiile.
- Principiul lui Saint-Venant: dacă se înlocuiesc forţele care acţionează
asupra unui element de suprafaţă al unui corp elastic printr-un alt sistem de
forţe, echivalent cu primul din punct de vedere static, a doua distribuţie de
forţe produce la locul de aplicare diferenţe apreciabile faţă de prima, dar
rămâne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari faţă de locul de
aplicare a forţelor.
- Ipoteza lui Bernoulli (sau a secţiunilor plane); o secţiune plană,
normală pe axa barei înainte de deformare rămâne plană şi normală pe axă şi
după deformare.
1.5 Rezistenţe admisibile. Coeficienţi de siguranţă
Piesele de maşini trebuie astfel dimensionate, încât să fie exclus
pericolul ruperii, al existenţei deformaţiilor mari sau al fenomenului de
pierdere a stabilităţii. Tensiunile trebuie să fie sub limita de elasticitate dar,
din raţiuni economice, cât mai aproape de aceasta, cerinţă sensibilă,
deoarece pentru o bună siguranţă a integrităţii solidului, tensiunile trebuie să
fie cât mai departe de limita de elasticitate pentru a nu se ajunge la
deformaţii mari.
Valoarea limită a tensiunii până la care poate fi solicitat un material
poartă numele de rezistenţă admisibilă (σa).
Rezistenţa admisibilă se consideră fie în raport cu limita de curgere σc
(pentru materialele ductile), fie în raport cu limita de rupere σr (pentru
materialele casante).
Raportul între tensiunea limită şi rezistenţa admisibilă reprezintă
coeficientul de siguranţă (c); astfel, se definesc:
;;
a
r
r
a
c
c c
σ
c
σ
σ
σ
==
în care: cc – coeficientul de siguranţă la curgere;
cr – coeficientul de siguranţă la rupere.
Pentru o funcţionare optimă a piesei trebuie îndeplinită condiţia:
;ac≥c
17

cu ca fiind notat coeficientul de siguranţă admisibil; acest coeficient se
determină astfel încât să aibă cele mai mici valori pentru care se obţine o
siguranţă deplină a funcţionării piesei pe o durată cât mai îndelungată de
solicitare.
1.6 Metode de rezolvare
Rezolvarea problemelor din Rezistenţa Materialelor se face prin
metode generale şi proprii, dintre care sunt reprezentative:
• Metoda rezistenţelor admisibile (metodă deterministă), comportând
exprimarea valorilor acestui parametru (σa) prin condiţia:
;max a
ef
σ≤σ
unde simbolizează tensiunea efectivă maximă la nivelul elementului în
discuţie. Metoda adoptă un coeficient de siguranţă unic, cu anumite rezerve
sub raportul justificării/confirmării în practică.
ef
maxσ
• Metoda stărilor limită (metodă semiprobabilistică); prin stare limită
se înţelege un stadiu de solicitare a cărui atingere implică pierderea
reversibilă sau ireversibilă a capacităţii solidului/corpului de a satisface
condiţiile de utilizare.
Pentru materiale omogene (metale, ş.a.), expresia de calcul
conformă metodelor uzuale este:
;max Rm⋅≤σ
în care: σmax - valoarea maximă probabilă a tensiunii;
R – rezistenţa de calcul (valoarea minimă probabilă a rezistenţei);
m – coeficient ce ţine seama de reducerea sau majorarea rezistenţelor
de calcul în cazuri specifice ale unor solicitări.
1.7 Condiţii de îndeplinit în soluţionarea problemelor din
Rezistenţa Materialelor
Prevalent în Rezistenţa Materialelor este studiul tensiunilor şi
deformaţiilor, dar la fel de importantă este şi determinarea sau/şi verificarea
condiţiilor de stabilitate a elementelor structurale ale corpurilor în scopul
dimensionării optime. Se convine ca elementele structurale să satisfacă
următoarele cerinţe/condiţii:
18

- Condiţii de rezistenţă: tensiunile nu trebuie să depăşească anumite
limite stabilite experimental pentru fiecare material, respectiv:
.max a
ef
σ≤σ
Δ
- Condiţii de rigiditate: funcţionarea organelor de maşini este
condiţionată de deformaţiile acestora, deformaţii care nu trebuie să
depăşească anumite limite, respectiv:
.max a
ef
Δ≤
- Condiţii de stabilitate: peste anumite valori critice ale sarcinilor,
piesele îşi pierd echilibrul stabil, ceea ce poate duce la distrugerea acestora;
valoarea maximă a unei sarcini se poate exprima:
;max
c
Fcr
=F
în care: Fcr – forţa critică la care poziţia de echilibru elastic a barei devine
instabilă;
c – un coeficient de siguranţă (la stabilitate).
1.8 Aspecte ale Rezistenţei Materialelor
În abordarea şi dezvoltarea/tratarea problemelor de rezistenţă se
disting trei aspecte:
• Aspectul static, care configurează problema astfel, încât solicitările de
referinţă sunt reduse la forţele interne într-un punct sau într-o secţiune, cu
utilizarea ecuaţiilor de echilibru static;
• Aspectul geometric, care se rezumă la examinarea deformaţiilor
solidului încărcat;
• Aspectul fizic, care presupune un fundament experimental, permiţând
stabilirea conexiunilor între forţele interne (tensiuni) şi deformaţii.
19

Capitolul 2
DIAGRAME DE EFORTURI
2.1 Diagrame de eforturi la bare drepte
Elementul de structură fundamental în majoritatea construcţiilor de
clădiri, poduri, construcţii mecanice, îl reprezintă bara şi în special bara
dreaptă. Propunându-se să se determine, în cadrul Rezistenţei Materialelor,
stările de solicitare ale barei sub influenţa diverselor acţiuni, va trebui
rezolvată următoarea problemă: cunoscându-se geometria barei, legăturile ei
cu alte corpuri şi încărcările, să se determine starea de tensiune şi
deformaţie.
Principalele etape de rezolvare a problemei sunt următoarele: 1) mai
întâi trebuie determinat complet sistemul de forţe exterioare care acţionează
asupra barei, adică pe lângă încărcări trebuie determinate reacţiunile, ca
valoare şi natură; 2) trebuie determinate eforturile în secţiunile transversale
ale barei; 3) determinarea tensiunilor în oricare punct al barei. Primele două
etape pot fi soluţionate pentru structuri static determinate folosindu-se
principiile Mecanicii Teoretice.
Noţiunile operatoare în această matrice de abordare includ tipurile de
reazeme.
Orice corp în mişcare plană are trei grade de libertate, încât pentru a-l
reprezenta sunt necesare trei legături simple ale sale cu un anumit suport
referenţial.
Tipurile de reazeme cu care operează Mecanica sunt:
• Reazemul simplu, care are drept echivalent static o forţă verticală V;
V V
20

• Articulaţia plană, care are drept echivalent static două forţe: una
verticală V, iar cealaltă orizontală H;
V V
H H
• Încastrarea, acest tip de reazem având drept echivalent static două
forţe şi un moment;
V
H
M
Dintre posibilităţile de scriere a ecuaţiilor de echilibru cunoscute în
Mecanica Teoretică, cele care convin şi la care se apelează în cazul
determinării reacţiunilor sunt:
I. ;;0,;0,;0 AAAA MMVYHX ⇒=⇒=⇒= ∑∑∑
expresii avantajoase în cazul evaluării consolelor (fig.2.1):
VA
HA
MA
x
y
fig.2.1
A
II. ;;0,;0,;0 ABBAA VMVMHX ⇒=⇒=⇒= ∑∑∑
expresii edificatoare pentru cazul barelor simplu rezemate (fig.2.2):
VA VB
HA x
y
fig.2.2
A B
21

2.1.1 Determinarea eforturilor într-o secţiune
Cunoscând forţele exterioare care acţionează asupra unei bare, se pot
determina eforturile într-o secţiune a ei, în care scop se recurge la metoda
secţiunilor.
Fie o bară solicitată de forţele exterioare în echilibru P1, P2, ..., Pn,
forţe care includ atât încărcările cât şi reacţiunile corespunzătoare. Pentru a
determina eforturile într-o secţiune curentă „i” se secţionează bara după un
plan normal pe axa sa longitudinală (fig.2.3).
N
T
T
M M
P1
P2
P3
PnPn
P3
P2
P1
x
y
1i
fig.2.3
În secţiunea curentă „i” s-au introdus eforturile secţionale care trebuie
să alcătuiască un sistem static echivalent cu sistemul de forţe de pe partea
înlăturată. Dacă se îndepărtează partea din stânga, pentru echilibrul părţii din
dreapta, pe faţa acesteia trebuie introdusă acţiunea părţii înlăturate, acţiune
manifestată prin forţele interioare.
Acest sistem de forţe se va reduce în centrul de masă al secţiunii,
situat pe axa barei, astfel:
- o forţă tangentă la axă (N), forţa axială;
- o forţă normală la axa barei (T), forţa tăietoare;
- un cuplu (M), reprezentând momentul încovoietor.
Dacă în loc să se înlăture partea din stânga s-ar proceda la dislocarea
părţii din dreapta, am avea acelaşi recurs cu excepţia inversării sensului
eforturilor secţionale în raport cu prima situaţie discutată, dar egale ca
valoare cu acestea. Această alternativă dă posibilitatea ca, în scopul reducerii
calculelor numerice, să se aleagă, la determinarea eforturilor, partea pe care
reducerea sistemului de forţe exterioare este cea mai facilă.
Forţa axială (N), reprezintă suma proiecţiilor pe axa barei din
secţiunea considerată a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau din dreapta.
Este considerată pozitivă atunci când pe faţa din dreapta are sens invers
sensului axei x sau, ca sens fizic, este pozitivă când este de întindere (trage
de secţiunea în care se aplică).
N N N N
Forţa tăietoare (T), este suma proiecţiilor pe normala la axa barei în
22

secţiunea considerată a tuturor forţelor din stânga secţiunii sau a celor din
dreapta. Se consideră pozitivă când pe faţa din dreapta are sens invers
sensului axei y; ca sens fizic este pozitivă când roteşte solidul în sensul
acelor de ceasornic.
T T T T
Momentul încovoietor (M), reprezintă suma momentelor, în raport cu
centrul de greutate al secţiunii, a tuturor forţelor de la stânga secţiunii sau a
celor de la dreapta. Se consideră pozitiv când, în secţiune, întinde fibra
inferioară (de jos), respectiv negativ când întinde fibra superioară (de sus).
M MM M
Sunt denumite diagrame de eforturi reprezentările grafice ale valorilor
eforturilor în secţiunile considerate.
Reprezentarea acestor diagrame este strict necesară pentru stabilirea
secţiunilor în care eforturile se situează în limite de atenţie.
Se convine ca în atare grafice ordonatele pozitive să fie reprezentate
astfel:
- pentru momentele încovoietoare, sub linia de referinţă (de partea
întinsă a barei);
- pentru forţa axială sau forţa tăietoare, deasupra liniilor de referinţă
corespunzătoare.
2.1.2 Construirea diagramelor pornind de la expresiile
analitice ale eforturilor
O cale de a construi diagramele de eforturi constă în determinarea
expresiilor analitice pentru secţiunea curentă x şi apoi reprezentarea grafică
a funcţiilor N(x), T(x), M(x). Punctele caracteristice sunt punctele în care se
modifică încărcările.
Exemplu (fig.2.4):
.25.2;02254;0
;75.0;0224;0
;3;0
FVaFaFaVM
FVaFaFaVM
FHX
CCA
AAC
A
==⋅+⋅+⋅−=
==⋅+⋅−⋅=
==
∑
∑
∑
23

x1 x2
x 2F F
3FHA A B C D
VA VC
2a 2a a
N
3F
T
F
1.25F
0.75F
Fa
1.5Fa
M
fig.2.4
+
-
+
+
-
-
Verificare:
.0325.275.0;0 =−+=∑ FFFY
Se stabileşte sensul de parcurgere de la stânga la dreapta; se alege o
secţiune curentă x pe intervalul A-B, x ∈ [0; 2a]:
( )
( )
( )
.5.1;2
;0;0;
;75.0
;3
FaMax
MxxVxM
FVxT
FxN
B
AA
A
=⇒=
=⇒=⋅=
==
−=
Se alege apoi pe intervalul B-C o nouă secţiune curentă, x1 ∈ [2a; 4a]:
( )
( ) ;25.1275.0
;3
1
1
FFFxT
FxN
−=−=
−=
24

( ) ( )
.;4
;5.1;2;2275.0
1
1111
FaMax
FaMaxaxFxFxM
C
B
−=⇒=
=⇒=−−⋅=
Se observă că în punctul B, în expresia lui Tx1 intervine un salt
(discontinuitate) egal cu valoarea forţei 2F şi în sensul acesteia.
Pe consola (tronsonul) C-D se iau forţele de la dreapta în funcţie de
noul parametru curent, x2 ∈ [0; a]:
( )
( )
( )
.;
;0;0;
;
;3
2
222
2
2
FaMax
MxxFxM
FxT
FxN
C
D
−=⇒=
=⇒=⋅−=
=
−=
2.1.3 Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări
Se consideră o bară solicitată de un sistem plan de forţe exterioare
concentrate şi forţe distribuite continuu. Se detaşează un element de lungime
dx separat prin două secţiuni transversale. Pe secţiunea din stânga se aplică
eforturile N, T şi M, iar pe secţiunea din dreapta aceleaşi mărimi cu
creşterile diferenţiale dN, dT şi dM corespunzătoare (fig.2.5).
x dx
N
M
T
pt
q
T+dT
N+dN
M+dM
A B
x
y
dx
fig.2.5
Se exprimă astfel condiţiile de echilibru ale elementului diferenţial
sub acţiunea forţelor exterioare şi a eforturilor secţionale:
( )
( )2;;0;0
1;;0;0
q
dx
dT
dTTdxqTY
p
dx
dN
dNNdxpNX tt
−=⇒=−−⋅−=
−=⇒=++⋅+−=
∑
∑
25

( )3.;0
2
;0
dx
dM
TdxTdMM
dx
dxqMMB =⇒=⋅+−−⋅⋅−=∑
Aceste relaţii au următoarele semnificaţii:
- derivata forţei axiale într-un punct oarecare al unei bare drepte, în
raport cu axa x, este egală în modul cu intensitatea sarcinii uniform
distribuite după tangenta la axa longitudunală a barei;
- derivata forţei tăietoare, în raport cu axa x, este egală în modul cu
intensitatea după normala la axa barei a sarcinii uniform dstribuite;
- derivata momentului încovoietor într-un punct oarecare al barei
drepte, în raport cu axa x, este egală cu forţa tăietoare.
Relaţiile (2) şi (3) au drept corolar:
( )4.2
2
q
dx
dT
dx
Md
−==
Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) rezultă următoarele observaţii:
- când sarcina tangenţială uniform distribuită pt este nulă, forţa axială
este constantă;
- când sarcina normală uniform distribuită q este nulă, forţa tăietoare
este constantă iar momentul încovoietor variază liniar;
- când sarcina normală uniform distribuită este constantă, forţa tăietoare
variază liniar iar momentul încovoietor variază parabolic;
- dacă forţa tăietoare intersectează axa barei (linia de referinţă),
diagrama de moment încovoietor are un punct de extrem în dreptul secţiunii
în care forţa tăietoare este nulă (fig.2.6 – curbura diagramei de moment ţine
sarcina).
Mmax
T
M
fig.2.6
- în dreptul unei sarcini concentrate diagrama forţei tăietoare face un
salt egal cu sarcina din punctul respectiv şi în sensul acesteia, pentru un sens
de parcurgere de la stânga la dreapta, iar diagrama de moment încovoietor
prezintă un vârf în sensul săgeţii sarcinii concentrate (fig.2.7).
26

F
T
M
fig.2.7
+
-
- în dreptul unui cuplu de pe bară diagrama de moment încovoietor
prezintă un salt egal cu valoarea cuplului şi în sensul acestuia (fig.2.8).
T
M
fig.2.8
+
M
M
2.1.4 Utilizarea relaţiilor diferenţiale la trasarea diagramelor de
eforturi
Pentru trasarea diagramelor de eforturi se determină eforturile în
punctele caracteristice prin metoda reducerii: parcurgând bara de la stânga la
dreapta se cumulează forţele longitudinale respective cele transversale
întâlnite.
Între punctele caracteristice se reprezintă diagrama de efort pe baza
relaţiilor diferenţiale. Punctele caracteristice sunt cele în care încărcarea este
discontinuă.
27

Vor fi tratate în continuare o serie de exemple tipice de construire a
diagramelor de eforturi.
a) Grindă simplu rezemată la capete, încărcată cu o forţă concentrată
(fig.2.9).
P
A C B
H =0B
VBVA
a b
l
Pb/l
Pa/l
T
M
Pab/l fig.2.9
+
+
-
.
;0
;
;
;
l
Pab
a
l
Pb
M
MM
T
l
Pa
P
l
Pb
T
T
l
bP
T
l
bP
V
C
BA
st
B
dr
C
st
CA
A
=⋅=
==
=−=−=
=
⋅
=
⋅
=
Caz particular: a = b = l/2, (fig.2.10).
b) Grindă simplu rezemată la capete, încărcată cu o sarcină uniform
distribuită (fig.2.11).
28

P
A C B
H =0B
VBVA
P/2
P/2
T
M
Pl/4 fig.2.10
+
+
-
l/2 l/2
A B
H =0B
VBVA
l
T
M
fig.2.11
x
ql/2
ql/2
l/2
ql/8
2
+
+
-
q
;
2
ql
VV BA ==
;
2
xq
ql
T variaţie liniară;x ⋅−=
29

;
2
;0
;
2
;
;
2
;0
l
x
ql
Tl
ql
T
x
B
A
=⇒=
−==
==
T
x
x
;
222
2
2
x
q
x
qlqx
xVM Ax ⋅−⋅=−⋅= variaţie parabolică;
.
8
;0
2
max
ql
MMM BA ===
c) Grindă simplu rezemată la capete încărcată cu un cuplu
concentrat (fig.2.12)
A C B
VBVA
a b
l
T
M
fig.2.12
+
H =0A
M
M/l
Mb/l
Ma/l
+
-
;0
;
;
==
==
==
BA
st
BA
BA
M
T
l
M
M
l
M
VV
T
.;
l
bM
M
l
aM
M
l
aM
M dr
C
st
C
⋅
−=−
⋅
=
⋅
=
30

d) Grindă în consolă acţionată de o forţă concentrată (fig.2.13)
A B
VA
l
T
M
fig.2.13
+
P
α
N
HA
MA
--
Pcosα
Psinα
Plsinα
.0
;sin
;sin
;cos
;sin;0
;cos;0
;sin;0
=
⋅−=
=⋅=
=⋅=
⋅==
⋅==
⋅==
∑
∑
∑
B
A
st
BA
st
BA
AA
A
A
M
PlM
TP
NPN
PlMM
PHX
PVY
α
α
α
α
α
α
T
e) Grindă în consolă acţionată de o sarcină uniform distribuită (fig.2.14)
.M;
pl
M;
px
xpl
pl
M
;T;plT;pxplT
;
pl
M;M
;plV;Y
BAx
BAx
AA
A
0
222
0
2
0
0
222
2
=−=⇒−⋅+−=
==⇒−=
==
==
∑
∑
31

A B
VA
l
T
M
fig.2.14
MA
p
pl
pl/2
2
+
-
x
f) Grindă cu console acţionată de forţe concentrate (fig.2.15)
P P
AC B
VBVA
l
T
M
fig.2.15
a a
D
P
P
Pa Pa
+
-
-
(datorită simetriei);PVV BA ==
T ;st
AC TP =−=
32

.0
;
;
;
;0
==
⋅−=
⋅−=
==
==+−=
DC
B
A
st
D
dr
B
st
B
dr
A
MM
aPM
aPM
TP
TPP
T
T
2.1.5 Relaţii de recurenţă la grinda dreaptă
Relaţiile de recurenţă pot uşura mult rezolvarea problemelor de trasare
a diagramelor de eforturi. Astfel, într-o secţiune oarecare “i”, efectul
încărcărilor precum şi al forţelor de legătură din secţiune poate fi înlocuit
prin rezultanta acestora, eforturile secţionale Ni, Ti, Mi.
În secţiunea oarecare “j” nu mai este necesar să se reia în discuţie
toate forţele de la stânga, eforturile din “j” putând fi exprimate în funcţie de
eforturile din “i” şi încărcările de pe i-j (fig.2.16):
T
.dsinFdTMM
;sinFT
;cosFNN
jkkijiij
k
kij
k
kij
∑
∑
∑
−⋅+=
−=
−=
α
α
α
Fk
Fk
Mi Mj
Ti
Tj
Ni Nj
djk
dij
1i
k
j
fig.2.16
α
Dacă pe o porţiune cu sarcină distribuită se consideră o secţiune
curentă x (fig.2.17), eforturile vor fi:
33

x
Mi Mj
p
x0
Ti Tj
Ti
Tj
Mi
Mj
Mx0
T
M
+
+
-
fig.2.17
.
2
;;0
;
2
;
max
2
00
2
0
M
p
T
MM
p
T
xxpT
xp
xTMM
xpTT
i
ix
i
i
iix
ix
=+=
=⇒=⋅−
⋅
−⋅+=
− ⋅=
Expresia lui Mx0 se poate scrie şi în funcţie de eforturile din “j”,
obţinându-se aceeaşi valoare.
2.1.6 Grinzi cu încărcări complexe. Metoda suprapunerii
efectelor
Uneori diagramele se pot determina fără calcule, prin suprapunerea
efectelor, recurgându-se la ipoteza micilor deplasări. Ecuaţiile de echilibru
se pot scrie pe forma nedeformată a sistemului, deci la calculul reacţiunilor
şi al eforturilor se poate aplica principiul suprapunerii efectelor (principiul
suprapunerii efectelor este o proprietate a funcţiilor liniare).
Fie grinda simplu rezemată cu consolă încărcată ca în figura 2.18. Se
consideră separat acţiunea fiecărei forţe exterioare şi se trasează diagramele
de moment încovoietor corespunzătoare.
34

F2 F1
A D B C
l
a b c
F1
F ca/l1
F c1
M
F2
F ab/l2
M
F1
F2
M
F c1
A
B
D
D
/
/
//
fig.2.18
+
+
-
-
Diagrama finală se obţine prin adunarea în fiecare secţiune
caracteristică a ordonatelor obţinute în cele două diagrame. Astfel, de la linia
AB/
se scad ordonatele corespunzătoare diagramei MF2; din punctul D/
se
trasează în jos ordonata până în D//
, egală cu valoarea corespunzătoare din
diagrama MF2:
.12
l
ca
F
l
ab
FMD −=
35

2.2 Grinzi cu console şi articulaţii
Sunt sisteme de bare drepte fixate la teren printr-o articulaţie şi
reazeme simple, bare legate între ele prin articulaţii intermediare.
O primă problemă de clarificat este dacă sistemul este sau nu static
determinat.
Se numeşte grad de nedeterminare statică a unui sistem: n = L – 3C
(pentru sisteme plane), cu C – numărul de corpuri libere deschise şi L –
numărul de legături echivalente legăturilor simple ce trebuie suprimate
pentru obţinerea a C corpuri. Pentru n = 0 sistemul este static determinat.
Ecuaţiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul în
ansamblu sau pentru fiecare corp în parte.
Un astfel de sistem este alcătuit dintr-o parte independentă şi una sau
mai multe părţi fundamentale, în următoarea accepţiune:
• Părţi independente sau corpuri de tip I sunt corpuri ale căror forţe de
legătură pot fi determinate din ecuaţii de echilibru proprii. Forţele de
legătură ale părţilor independente depind numai de încărcările exterioare ale
acestora.
• Părţi fundamentale sau corpuri de tip II sunt corpuri care îşi transmit
singure forţele la teren.
Forţele de legătură de pe părţile independente devin acţiuni pe părţile
fundamentale.
Pentru exemplul din figura 2.19 gradul de nedeterminare statică se
calculează astfel:
;02363 =⋅−=−= CLn
sistemul este static determinat. Partea independentă este ABCD, pentru care:
;33.1
3
4
a
M
a
M
VV DA ===
pentru partea fundamentală DEF reacţiunea VD devine acţiune (forţă de
încărcare). Trasarea diagramelor de efort se face ca şi în cazul grinzilor
drepte, pentru fiecare tip de corp (tronson) în parte, diagramele finale fiind
compuse din diagramele corespunzătoare fiecărui tronson reprezentate una
în continuarea celeilalte (fig.2.19).
36

M 3M M/a
2
A B C D E F
a a a 2a 4a
V =1.33M/aA
V =1.33M/aD
1.33M/a
V =4.5M/aE
V =1.16M/aF
1.16M/a
3.33M/a
1.33M/a
T
M
4.66M
1.33M
1.67M0.33M1.33M
fig.2.19
+
+
-
-
-
37

2.3 Diagrame de eforturi pe cadre
Intersecţia a două bare reprezintă un nod. Dacă unghiul făcut de cele
două bare rămâne constant şi după deformare, nodul este rigid. Structurile
din bare care au cel puţin un nod rigid poartă denumirea de cadre.
Cadrele pot fi spaţiale sau plane.
La un nod plan în care se intersectează numai două bare, momentele
sunt egale şi întind aceeaşi fibră.
Linia de referinţă pentru reprezentarea diagramelor este chiar schema
cadrului. Pentru fiecare bară trebuie ales un sistem de axe proprii; axa x este
întotdeauna axa barei (fig.2.20a).
Dacă diagramele de efort sunt trasate corect, nodurile sistemului
trebuie să fie în echilibru. Pentru verificarea corectitudinii trasării
diagramelor se separă fiecare nod, prin secţionarea barelor concurente în nod
şi se introduc pe feţele secţiunilor eforturile, ţinându-se seama de convenţia
de semne şi de sensul de parcurgere (fig.2.20b).
4P
PA B C D
V =3PA
H =PE
E
2a
a a a
V =PE
x
y
x
y
x
y
P
P
N
3P
P
P
T
3Pa
2Pa
2Pa
M
+ +
+
-
-
-
-
fig.2.20a
38

.3;0
;;0
;;0
PVM
PVM
PHX
AE
EA
E
==
==
==
∑
∑
∑
nod C
P
2Pa
P
2Pa
P
P fig.2.20b
Probleme
Problema 2.a
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2.a.
1kN/m 2kN
A B C D x
H =0A
V =3.5kNA V =2.5kND
4m 2m 2m
3.5
0.5 2.5
x0
6.125 6
5
T
M
[kN]
[kNm]
fig.2a
+
+
-
39

Calculul reacţiunilor:
.5.2,0124628;0
;5.3,0822641;0
;0;0
kNVVM
kNVVM
HX
DDA
AAD
A
==⋅⋅−⋅−⋅=
==⋅−⋅+⋅⋅=
==
∑
∑
∑
Verificarea reacţiunilor verticale:
.0241;0 =−⋅−+=∑ DA VVY
Calculul forţei tăietoare:
T
.5.225.0
;5.0415.3
;0
st
D
dr
C
st
CB
dr
A
TkN
TkN
=−=−−=
=−=⋅−=
=
T
T
Calculul momentului încovoietor:
;125.6
2
5.3
2
;624145.3
;0
22
max kNm
q
T
MM
kNmM
MM
A
A
C
DA
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
=⋅⋅−⋅=
==
pentru determinarea secţiunii în care momentul este Mmax se egalează forţa
tăietoare cu zero în această secţiune:
.525.2
;5.315.3;0 0000
kNmM
mxxTT
D
xx
=⋅=
=⇒⋅−==
Problema 2.b
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda din figura 2b.
.
;0275;0
;
5
242
;04225;0
;0;0
FV
FaaFFaaFaVM
F
a
FaFaFaFa
V
FaaFFaaFaVM
HX
B
BE
E
EB
B
=
=+⋅−+⋅−⋅=
=
−++
=
=−⋅−−⋅+⋅=
==
∑
∑
∑
40

F 2Fa F Fa
A B C D E G x
H =0B
V =FB V =FE
2a 2a 2a a a
F F
T
2Fa
Fa
M
fig.2b
-
-
-
-
Verificarea reacţiunilor verticale:
.0;0 =−−+=∑ FFVVY EB
T
.0
;
;0
;
=+−=
=−=
==+−=
=−=
FF
TF
TFF
TF
dr
E
st
E
dr
D
st
D
dr
B
st
B
dr
A
T
T
T
.
;0246
;022
;224
;22
;0
FaMM
FaaFaFM
FaFaM
FaaFaFM
FaaFM
M
GE
D
dr
C
st
C
B
A
−==
=+⋅+⋅−=
=+−=
−=⋅+⋅−=
−=⋅−=
=
41

Problema 2.c
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda în consolă din figura
2c.
10kN 40kNm 20kN
A B C D
1m 1m 1m
30kN
20kN
T
30kNm
20kNm
20kNm
M
+
+
- -
fig.2c
Necalculându-se reacţiunile iniţial, se porneşte cu calculul eforturilor
secţionale (forţă tăietoare şi moment încovoietor), din dreapta către stânga,
luându-se mereu în considerare forţele dinspre capătul liber al consolei:
.3011040320
;040220
;204020
;20120
;0
;301020
;20
kNmM
M
kNmM
kNmM
M
TkN
TkN
A
B
st
C
dr
C
D
dr
A
st
B
dr
B
st
D
−=⋅−+⋅−=
=+⋅−=
=+−=
−=⋅−=
=
==+=
==
T
T
42

Problema 2.d
Să se traseze diagramele de efort pentru grinda cu articulaţie
intermediară din figura 2d.
20kN 20kN/m
A B C
D
E
1m 2m 2m 6m
V =60kNE
20kN
60kN
26.67
46.67
60
60
T
26.67
120
90
M
[kN]
[kNm]
fig.2d
+
+
-
- -
V =60kND
V =106.67kNC
V =26.67kNA
Se calculează gradul de nedeterminare statică:
.02363 =⋅−=−= CLn
Partea independentă este DE; reacţiunile sunt:
.60
2
206
kNVV ED =
⋅
==
Reacţiunea VD devine acţiune pe bara AD; reacţiunile pe bara AD
sunt:
.67.26
3
260202
;0
;67.106
3
605120
;0
kNVM
kNVM
A
ACD
C
C
ACD
A
=
⋅+⋅−
==
=
⋅+⋅
==
∑
∑
T ;
;67.26
drAstB
AdrA
T
kNV
=
T −=−=
43

;67.462067.26 stCdrB TkNT =−=−−=
.60
;6067.10667.46
kNT
TkNT
stE
DdrC
−=
==+−=
.90
8
620
8
;120260
;67.26167.26
;0
22
max kNm
lq
M
kNmM
kNmM
MMM
C
B
EDA
=
⋅
=
⋅
=
−=⋅−=
−=⋅−=
===
Problema 2.e
Pentru cadrul din figura 2e să se traseze diagramele de efort.
40kN
10kN
A
BC
D
3m
1m 2m
H =0A
M =90kNmA
V =30kNA
1 2
3
fig.2e
.90240110;0
;30;0
;0;0
kNmMM
kNVY
HX
AA
A
A
=⋅+⋅==
==
==
∑
∑
∑
44

30
10
40
10
90
80
TN M
-
-
-
+
+
[kN] [kN] [kNm]
Nodul B 10kNm
10kN
40kN
80kNm
30kN
90kNm
1 2
3
Problema 2.f
Pentru cadrul din figura 2f să se traseze diagramele de efort.
34kNm 52kNm V =28.67kNE
H =0A
V =28.67kNA
1m
1m 1m 1m
A
B C D
E
fig.2f
45

.kN.VV EA 6728
3
86
3
5234
==
+
==
28.67
28.67
28.67
5.34
23.33
28.67
N T M
+
+
+
-
-
-
[kN] [kN] [kNm]
Problema 2.g
Pentru cadrul din figura 2g să se traseze diagramele de efort.
1kN/m
3m
2m6m2m
45
0
A
B
C
D
EHE
VE
1 2
3
F
4kN
fig.2g
NB-F
46

( )
.6;0
;8;0
;5.8
,03106436
2
2
;0
kNHX
kNVY
kNN
N
M
E
E
EB
EB
E
==
==
=
=⋅−⋅−+
=
∑
∑
∑
−
−
Nodul C
20kNm
6kN
2kN
2kNm
8kN
18kNm
1 2
3
8.5
6
8
2
6
2
6
2
20
2
18
6kN
6kN
N T
M
[kN] [kN]
[kNm]
+
-
-
- -
+
+
- -
-
47

Capitolul 3
CARACTERISTICILE GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR
TRANSVERSALE ALE BARELOR
3.1 Aria secţiunii. Momente statice. Centre de greutate
Dacă se consideră secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii
elementare dA, atunci aria secţiunii va fi:
.∫=
A
dAA
S
S
Se raportează consideraţiile următoare la o figură plană (secţiunea
transversală a unei bare raportată la un sistem ortogonal de axe de
coordonate Oy1z1) şi se apelează la expresiile:
∫
∫
=
=
A
z
A
y
dAy
dAz
,
;
11
11
reprezentând suma produselor ariilor elementare dA cu distanţa la axa
corespunzătoare (y1 sau z1). Aceste expresii definesc momentele statice ale
secţiunii faţă de axa y1 sau z1 (fig.3.1); unitatea de măsură pentru momentul
static este: [ ] ., 333
mmcmL =
O
y1
z1
z
y
b z
z1
a
y
y1G
dA
fig.3.1
48

În situaţia în care axele z şi y trec prin centrul de greutate al secţiunii,
momentele statice sunt nule:
;0== yz SS
S
y
cu:
∫ ∫==
A A
yz dAzSdAy .,
Se exprimă y şi z în forma:
;; 11 bzzay −=−=
şi se introduc în relaţiile lui Sz şi Sy, astfel:
;0
;0
1
1
=−
=−
∫
∫
A
A
dAbdAz
dAadAy
∫
∫
A
A
rezultă coordonatele centrului de greutate:
.
;
1
1
1
1
1
1
∑
∑∫
∑
∑∫
===
===
i
i
i
ii
G
i
i
i
ii
G
A
Az
A
dAz
z
A
Ay
A
dAy
y
b
a
Orice sistem de axe cu originea în centrul de greutate al figurii
geometrice reprezintă un sistem de axe centrale.
3.2 Momente de inerţie (geometrice)
Se numeşte moment de inerţie axial al figurii plane (de arie A), în
raport cu o axă din planul său, suma produselor elementelor de arie dA cu
pătratul distanţei lor la axa considerată. În raport cu axele Oy şi Oz
momentele de inerţie se exprimă:
∫ ∫==
A A
zy dAyIdAz ,; 22
I
întotdeauna pozitive.
Suma produselor elementelor de arie dA cu distanţele lor la un sistem
de axe rectangular Oyz :
49

;∫=
A
yz dAyzI
I
sumă ce poate fi pozitivă sau negativă, poartă denumirea de moment de
inerţie centrifugal al figurii plane în raport cu axele Oyz.
Momentul de inerţie polar al unei figuri plane în raport cu un punct
(pol) din planul figurii, este reprezentat de suma produselor elementelor de
arie dA cu pătratele distanţelor lor în raport cu acel punct:
∫=
A
p dAr ;2
deoarece r2
= z2
+ y2
(fig.3.2), rezultă:
O
y
z
y
z
r
dA
fig.3.2
( ) .IIdAyzI zy
A
p +=+= ∫
22
Momentul de inerţie polar este aşadar, egal cu suma momentelor de
inerţie axiale Iy şi Iz pentru orice sistem de axe ortogonale Oy şi Oz care trec
prin polul „O”.
Din această relaţie rezultă că suma momentelor de inerţie axiale în
raport cu un sistem de axe rectangulare cu aceeaşi origine, O, reprezintă un
invariant la rotirea sistemului de axe.
Momentele de inerţie (axiale, centrifugale, polare) se exprimă în
unităţi de lungime la puterea a patra: [ ] ., 444
mmcmL =
Dacă axele de referinţă sunt centrale, momentele de inerţie se numesc
centrale.
Uneori în calcule se utilizează razele de inerţie (giraţie), mărimi
liniare, ce se definesc prin expresiile:
.;;
A
I
i
A
I
i
A
I p
p
y
y
z
z ===i
50

3.2.1 Momente de inerţie pentru secţiuni simple
Determinarea momentelor de inerţie, pentru figurile simple se poate
realiza prin integrarea directă în formulele de definiţie.
a. Cazul unei secţiuni dreptunghiulare (fig.3.3)
Să se evalueze momentele de inerţie în raport cu axele centrale Oy şi
Oz paralele cu laturile dreptunghiului.
Pentru determinarea momentului de inerţie în raport cu axa Oz se
consideră o suprafaţă elementară dA, de forma unei fâşii paralele cu axa Oz,
de lăţime b şi înălţime dy:
.
123
;
32
2
32
2
22 bhby
dybydAyI
dybdA
h
h
h
hA
z ====
⋅=
−
−
∫∫
În mod analog se determină:
.
12
3
2 hb
dAzI
A
y == ∫
Momentul de inerţie centrifugal în raport cu sistemul de axe Oyz
este nul, deoarece acestea sunt axe de simetrie.
b
h/2
h/2
y
dy
z
y
O
fig3.3
b. Cazul unei secţiuni circulare (fig.3.4)
Avându-se în vedere simetria secţiunii în raport cu oricare axă
centrală, este indicat să se determine mai întâi momentul de inerţie
polar şi apoi momentele de inerţie în raport cu axele centrale.
Elementul de arie dA este cuprins între două raze care fac între ele
unghiul dϕ şi două cercuri concentrice de rază r şi r+dr, astfel:
z
y
r
drR
R
fig3.4
dA
ϕ
dϕ
.
642
;
322
;
4
44
0
3
2
0
2
DI
II
DR
drrddArI
ddrrdA
p
yz
R
A
p
π
ππ
ϕ
ϕ
π
===
====
⋅⋅=
∫∫∫
51

3.2.2 Momente de inerţie pentru secţiuni de formă complexă
În problemele de calcul ale elementelor de construcţii apare adesea
necesitatea determinării momentelor de inerţie pentru secţiuni de forme mai
complicate, în raport cu diferite axe situate în planul acestor secţiuni. În
acest caz, separând secţiunea în părţi componente simple, la care momentele
de inerţie se pot evalua uşor, momentul de inerţie al întregii secţiuni în
raport cu o axă se va determina ca suma momentelor de inerţie ale tuturor
părţilor componente în raport cu acea axă.
Fie, astfel, o secţiune de o formă oarecare descompusă în figuri
elementare (fig.3.5):
1 2 3
4 5 6
O z
y
y dA
fig.3.5
relaţia de bază avută în vedere este:
....... 21
2
2
1
22
++=++== ∫∫∫ zz
AAA
z IIdAydAydAyI
Dacă secţiunea are goluri, atunci aria corespunzătoare acestora se va
lua cu semnul minus; astfel: De
Di
z
y fig.3.6
( ).
64
44
ieyz DDII −==
π
52

b
h D
z
y fig.3.7
.D
bh
Iz
4
3
6412
π
−=
3.3 Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor
Se consideră o figură plană de arie A raportată la un sistem de axe
ortogonale Oyz, pentru care sunt cunoscute momentele de inerţie raportate la
axele Oy şi Oz. Să se determine momentele de inerţie în raport cu noile axe
O1 y1 şi O1 z1 paralele cu primele (fig.3.8);
O1
y1
z1
z
y
b z
z1
a
y
y1O
dA
fig.3.8
astfel:
( )
( )( ) .
;2;2
;2
;;
11
11
1
22
2222
1
11
AabSbSaIdAbzayI
AbSbIIAaSaII
dAadAyadAydAaydAyI
ayybzz
zyyz
A
yz
yyyzzz
AAAAA
z
⋅+⋅+⋅+=++=
⋅+⋅+=⋅+⋅+=
++=+==
+=+=
∫
∫∫∫∫∫
53

Sz şi Sy reprezintă momentele statice ale figurii în raport cu axele Oy
şi Oz. Dacă aceste axe sunt centrale, atunci momentele statice sunt nule, iar
relaţiile pentru momentele de inerţie raportate la axele paralele cu cele
centrale vor fi:
.
;
;
11
1
1
2
2
AabI
AaI
AbI
zyyz
zz
yy
⋅+=
⋅+=
⋅+=
I
I
I
Adunând primii doi termeni, se obţine:
( ) .AbaIII ppzy ⋅++==+ 22
111
I
Momentele de inerţie axiale sunt minime în raport cu centrul de
greutate al secţiunii; cu cât axele de referinţă sunt mai depărtate de centrul
de greutate cu atât momentele de inerţie axiale cresc.
Exemplu
Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele z şi y care trec
prin centrul de greutate al figurii compuse (fig.3.9):
b2
h2
h1
h2
b1
G
z
y fig.3.9
Rezolvare:
( )
( )
( );
;
;
2
2
∑
∑
∑
⋅+=
⋅+=
⋅+=
i
iyyzzyzzy
i
iyyyy
i
izzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
I
I
I
;
212
20
12
22
2
21
3
22
3
11
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= hb
hhhbhb
Iz
54

;
12
2
12
3
22
3
11 bhbh
y +=I
în care s-au notat cu dz zi distanţa de la axa centrală z la axa zi a
dreptunghiului “i” şi cu dy yi, distanţa de la axa centrală y la axa yi a
dreptunghiului “i”.
3.4 Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor
Dacă se cunosc momentele de inerţie Iz, Iy, Izy ale unei figuri plane în
raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz din planul acesteia, să se determine
momentele de inerţie în raport cu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit
faţă de primul cu un unghi α (fig.3.10).
O E
B
C
y
y1
z
z1
dA
z
z1
y
y1
D
fig.3.10
α
Pentru elementul de arie dA, coordonatele faţă de sistemul respectiv
sunt:
- faţă de Oyz: y şi z;
- faţă de Oy1z1: y1şi z1.
Relaţiile între aceste coordonate sunt:
.cossin
;sincos
1
1
αα
αα
zyOBCDz
zyBECEBCy
+=+=
−=−==
Momentele de inerţie faţă de noile axe sunt:
55

( )
ααα
αααα
αα
2sinsincos
cossin2sincos
sincos
22
2222
22
11
zyyz
AAA
AA
z
III
dAyzdAzdAy
dAzydAyI
−+=
=−+=
=−==
∫∫∫
∫∫
(1)
( )
.2sincossin
cossin2cossin
cossin
22
2222
22
11
ααα
αααα
αα
zyyz
AAA
AA
y
III
dAyzdAzdAy
dAzydAzI
++=
=++=
=+==
∫∫∫
∫∫
(2)
Momentul de inerţie centrifugal este:
( )( )
( )∫∫∫
∫∫
−+−=
=+−==
AAA
AA
yz
dAyzdAzdAy
dAzyzydAzyI
;sincoscossincossin
cossinsincos
2222
1111
αααααα
αααα
.2cos2sin
211
αα zy
yz
yz I
II
I +
−
= (3)
Prin sumarea relaţiilor (1) şi (2), se obţine:
,11 zyzy IIII +=+
adică suma momentelor de inerţie axiale în raport cu două axe ortogonale, cu
aceeaşi origine, este un invariant.
Înlocuind în relaţiile de mai sus:
,
2
2cos1
cos;
2
2cos1
sin 22 α
α
α
α
+
=
−
= relaţiile (1), (2) şi (3) devin:
;2sin2cos
22
2sin
2
2cos1
2
2cos1
1
αα
α
αα
zy
yzyz
zyyzz
I
IIII
IIII
−
−
+
+
=
=−
−
+
+
=
;2sin2cos
22
2sin
2
2cos1
2
2cos1
1
αα
α
αα
zy
yzyz
zyyzy
I
IIII
IIII
+
−
−
+
=
=+
+
+
−
=
(4)
.2cos2sin
211
αα zy
yz
yz I
II
+I
−
=
56

3.4.1 Momente de inerţie principale şi direcţii principale
Din expresiile precedente ale momentelor de inerţie axiale rezultă că
mărimea momentului de inerţie în raport cu o axă oarecare depinde de
unghiul de înclinare a acestei axe în raport cu o axă de referinţă. În acest caz
se poate determina o valoare α a unghiului, pentru care momentul de inerţie
atinge o valoare extremă. Pentru evaluarea acestei limite se va anula prima
derivată a expresiei lui Iz1 din grupul de relaţii (4):
( )
,02cos2sin
2
;0
2 11
1
=−=−
−
−= yzzy
yzz
II
II
d
Id
αα
α
de unde:
.
2
2
zy
zy
II
I
tg
−
=α (5)
Se poate trage concluzia că momentele de inerţie axiale sunt extreme
pe direcţiile pe care momentele de inerţie centrifugale sunt nule. Aceste
direcţii se numesc direcţii principale, iar valorile momentelor de inerţie
respective sunt momente de inerţie principale.
Relaţia (5) conduce la două valori pentru unghiul α: α/
şi α/
+ π/2.
Sunt deci două direcţii principale ortogonale; faţă de una din axe momentul
de inerţie este maxim, faţă de cealaltă, minim. Se notează:
.; 2min1max IIII ==
Pentru a calcula momentele de inerţie principale, se calculează din
relaţia (5):
( )
( )
( )
;
421
1
2cos
;
4
2
21
2
2sin
222
222
zyzy
zy
zyzy
zy
III
II
tg
III
I
tg
tg
+−
−
±=
+
±=
+−
±=
+
±=
α
α
α
α
α
substituind în (4), se obţine:
( ) ( )
;
4
2
422 22222,1
zyzy
zy
zy
zyzy
zyyzyz
III
I
I
III
IIIIII
I
+−+−
−
⋅
−
±
+
= ∓
după simplificări, rezultă forma finală:
57

( ) .4
2
1
2
22
2,1 zyzy
yz
III
II
+−±I
+
= (6)
Măsurarea unghiului α se face în sens orar (pentru unghiuri pozitive),
în raport cu axa z.
Pentru stabilirea axelor principale de inerţie se calculează derivata a
doua a expresiei lui Iz1, notându-se cu α1 unghiul făcut de direcţia principală
corespunzătoare lui I1:
( )
;2sin2cos
22
112
2
1
αα
α
zy
yzz
I
II
d
Id
+
−
−=
prin efectuarea calculelor, rezultă expresia finală a derivatei:
.cos2
2
1
1
22
2
zy
zy
yz
I
tg
I
II α
α ⋅⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎢
⎢
⎣
⎡
(7)
Se observă că semnul expresiei (7) depinde numai de raportul:
zyI
tg 1α
;
pentru un maxim trebuie îndeplinită condiţia:
;01
<
zyI
tgα
astfel, pentru:
.
2
00
;
2
00
11
11
π
αα
π
αα
<⇒>→<
>⇒<→>
tg
tg
zy
zy
I
I
Axele principale de inerţie pot fi precizate în orice punct din planul
figurii. Din punct de vedere practic, interesează în mod deosebit axele
principale centrale de inerţie ale figurii şi momentele de inerţie principale
centrale. Când figura are cel puţin o axă de simetrie, una din axele centrale
principale de inerţie va corespunde cu axa de simetrie, trecând prin centrul
de greutate al figurii.
3.4.2 Etapele de calcul pentru determinarea momentelor de
inerţie centrale principale I1, I2, ale unei figuri plane
În practica inginerească, pentru calculul momentelor de inerţie
centrale principale se procedează astfel:
58

1. Se determină centrul de greutate al secţiunii. Se stabilesc figurile
geometrice elementare componente. Se stabileşte un sistem de axe pentru
fiecare figură.
2. Se determină momentele de inerţie faţă de un sistem de axe centrale
convenabil alese (să treacă prin centrul de greutate şi să fie paralele cu
celelalte axe pentru fiecare figură):
( )
( )
( )∑
∑
∑
⋅+=
⋅+=
⋅+=
i
iyyzzyzzy
i
iyyyy
i
izzzz
AddI
AdI
AdI
iiii
ii
ii
.
;
;
2
2
I
I
I
3. Se calculează momentele de inerţie faţă de axele centrale principale cu
relaţia:
( ) .4
2
1
2
22
2,1 zyzy
yz
III
II
+−±I
+
=
3.1 Se stabilesc axele I şi II, calculându-se α şi α + π/2 cu relaţia:
;
2
2
zy
zy
II
I
−
=αtg
se fac precizări asupra axelor principale I şi II, punând condiţia:
.01
<
zyI
tgα
3.5 Moment de inerţie centrifugal maxim
Se consideră că axele principale de inerţie ale suprafeţei sunt axele
Oy, Oz, astfel încât:
.0;; 21 === zyyz IIIII
Relaţiile (4) devin:
( ) ( )
( )c
II
I
b
IIII
Ia
IIII
I
yz
yz
α
αα
2sin
2
;2cos
22
;2cos
22
21
21212121
11
11
−
=
−
−
+
=
−
+
+
=
(8)
59

Din relaţia (c) rezultă că momentul de inerţie centrifugal are valoarea
maximă pentru:
;4512sin 0
=⇒= αα
această valoare fiind dată de relaţia:
( ) .
2
21
max11
II
yzI
−
=
Deci, momentul de inerţie centrifugal al unei suprafeţe are valoarea
maximă faţă de un sistem rectangular de axe, rotit cu 450
faţă de axele
principale de inerţie ale suprafeţei.
Înlocuind în (a) şi (b) valoarea cos 2α = 0 (α = 450
), se obţin valorile
momentelor de inerţie axiale în raport cu axele rotite cu 450
faţă de axele
principale de ineţie:
.
2
21
11
II
IyzI
+
==
Să se calculeze momentele de inerţie centrale principale pentru
secţiunile de mai jos:
Problema 3.a
68.75
41.25
20
200
G
10 100 10
y =y1
y2
z
z1
z2
fig.3.a
;75.68
;
12020102002
102001102
1
1
mmy
A
Ay
y
G
i
i
i
ii
G
=
⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
∑
∑
60

.10501.115013333
;
12
12020
5510200
12
10200
2
;10156.331563300
;75.6820120
12
20120
25.4110200
12
10200
2
473
2
3
2
3
2
474
1
2
3
2
3
1
mmmmII
II
mmmmII
II
y
y
z
z
⋅===
⋅
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅
==
⋅===
⋅⋅+
⋅
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅
==
Problema 3.b
250
12
600
15
200
10G
306.375
z1
z2 z
z3
y
fig.3.b
.
y
z
G
mm.II
;mm..
..II
;mm.
.
y
4
7
333
2
482
3
2
3
2
3
1
1
105682
12
20015
12
10600
12
25012
1045712530715200
12
15200
375060010
12
60010
37530612250
12
12250
375306
152001060012250
56131520030610600
⋅=
⋅
+
⋅
+
⋅
==
⋅=⋅⋅+
⋅
+
+⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
==
=
⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅
=
61

Problema 3.c
90 12x
I 20
z1
z
z2
y
24.52
fig.3.c
G
( )
.109.110117
12
9012
;1096.252.24105.33102140
52.246.1001290
12
1290
;52.24
105.331290
6.1001290
464
3
2
47224
2
3
1
22
mmII
mm
II
mmy
y
z
G
⋅=⋅+
⋅
==
⋅=⋅⋅+⋅+
+−⋅+
⋅
==
−=
⋅+⋅
⋅⋅−
=
Problema 3.d
100
15 15
8
240
6 6
16.65
32
z1
z2
z
z3
y
y1 fig.3.d
G
U 10
62

( )
.1067.510205326240
12
6240
2
12
1008
;1098.465.165.1351350
103.2965.166240
12
2406
265.1408100
12
8100
;65.16
1350262408100
5.13513501248100
4642
33
2
472
42
3
2
3
1
2
mmII
mm
II
mmy
y
z
G
⋅=⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
⋅
+
⋅
==
⋅=−+
+⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
==
=
+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅
=
Problema 3.e
;20
10601090
501060
;10
10601090
251060
1
1
mmy
mmz
G
G
=
⋅+⋅
⋅⋅
=
=
⋅+⋅
⋅⋅
=
10
100 90
20
30z2
10 15
z1
z
y1 y2
y
α1
fig.3.e
I
II
60 10x
( )( ) ;105.46003015090010200
;1013.415600
12
6010
10900
12
1090
;1051.130600
12
1060
20900
12
9010
45
452
3
2
3
462
3
2
3
mmI
mmI
mmI
zy
y
z
⋅=⋅⋅++⋅−−+=
⋅=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=
⋅=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=
( )
.264419;
2
0,0
;241570
2
264419;264419
;
1051.11013.4
105.42
2
;1052.2;1067.1
;105.4
2
1013.41051.1
2
1013.41051.1
///0
111
///0///0/////0/
65
3
45
2
46
1
25
25656
2,1
−=>⇒<>
=+−=−=
⋅−⋅
⋅⋅
=
⋅=⋅=
⋅+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅−⋅
±
⋅+⋅
=
α
π
αα
π
αα
α
tgI
tg
mmImmI
I
zy
63

Capitolul 4
TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
4.1 Tensiuni. Tensorul tensiunilor
Se consideră un corp / solid, supus acţiunii unor forţe oarecare, în
echilibru, ca in fig.4.1a.
I
II
I I
N
N
ΔP
n
n
ΔA(S)
a) b) c)
-
-
-
-
-
t
dA
p
σ
τ
fig.4.1
După o prealabilă secţionare în două a corpului, se îndepărtează una
din părţi; pe suprafaţa S, în jurul punctului N, se va stabili un element de
suprafaţă de arie ΔA, definit de versorul normalei la suprafaţă, n (fig.4.1b).
Forţa de legătură, care trebuie introdusă ca urmare a secţionării
corpului şi îndepărtării uneia dintre părţi, forţă care revine ariei elementare
ΔA, se notează cu PΔ .
Expresia:
,lim
0
p
A
P
=
A Δ
Δ
→Δ
se numeşte tensiune totală, p , în punctul N.
Dacă prin acelaşi punct N se face o altă secţionare, se va obţine un alt
versor al suprafeţei elementare, o altă forţă de legătură corespunzătoare ariei
elementare şi, prin urmare, o altă tensiune totală. Deci, tensiunea totală într-
un punct este întotdeauna asociată cu versorul planului tangent la secţiunea
dusă prin acel punct.
64

Se descompune tensiunea totală p , după direcţia normalei la
suprafaţa n şi după direcţia conţinută în planul secţiunii, t ; cele două
componente notate cu σ şi τ, sunt tensiunea normală respectiv tensiunea
tangenţială, acestea satisfăcând relaţia (fig.4.1c):
,
222
τσ +=p
sau
.tnp τσ +=
Unitatea de măsură pentru tensiuni este [ : N/mm2
în SI.]2−
FL
Tensiunea tangenţială se poate descompune după două direcţii
perpendiculare pe normala la secţiune şi perpendiculare între ele (fig.4.2).
Dacă aceste direcţii sunt y şi z (axele secţiunii), axa x fiind normala la
secţiune, atunci componentele respective sunt τyx şi τzx; rezultă:
x (i)
z (k)
y (j)
N
τyx
τzx
σx
-
-
- fig.4.2
px
_
.kjip zxyxxx ⋅+⋅+⋅= ττσ
Referitor la notaţiile privind indicii tensiunilor, sunt necesare anumite
precizări, astfel:
- pentru tensiunea σ se utilizează un singur indice, care se referă la
normala la secţiune;
- pentru tensiunea τ se utilizează doi indici, primul se referă la axa cu
care este paralelă tensiunea, iar al doilea, la normala la secţiunea în care este
conţinută tensiunea.
Convenţia semnelor este următoarea: σ este considerată pozitivă când
trage de secţiune (tensiunea σ este în acest caz de întindere), iar tensiunile τ
se consideră pozitive când sunt orientate în sens contrar sensului pozitiv al
axelor după care acţionează.
Printr-un punct P din interiorul unui corp se pot duce numai trei plane
perpendiculare între ele (fig.4.3). Pe fiecare din aceste plane există o
tensiune totală p, cu trei componente; starea de tensiune spaţială într-un
punct este definită de nouă componente (este o mărime tensorială). Tabloul
celor nouă componente, notat cu Tσ, se numeşte tensorul tensiunilor în
punctul P:
65

x
y
z
pz
py
px
σz
σx
σy
τyzτxz
τzy
τxy
τzx
τyx
P
fig.4.3
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
σττ
τστ
ττσ
σ
Fiecare coloană a acestui tensor conţine cele trei componente ale
tensiunii totale corespunzătoare unuia din cele trei plane duse prin punctul P,
definite de versorii kji ,, , astfel:
.
;
;
kjip
kjip
kjip
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
σττ
τστ
ττσ
66

4.1.1 Dualitatea tensiunilor tangenţiale
Dintr-un corp solicitat se detaşează un element de volum, considerat
în jurul unui punct, având laturile dx, dy, dz.
Pe fiecare din feţele acestui element trebuie introduse toate tensiunile
existente (câte trei componente pe fiecare faţă), putându-se scrie, astfel,
ecuaţiile de echilibru pentru elementul considerat.
Deoarece interesează numai ecuaţia de moment faţă de una din axe
(de exemplu faţă de Oy), pe element s-au figurat numai tensiunile care
intervin în această ecuaţie, neglijându-se creşterile acestor tensiuni la
trecerea de la o faţă la alta a elementului (aceste creşteri reprezentând, în
ecuaţia de momente, variaţii mici de ordin superior). Sensul acestor tensiuni
nu se cunoaşte; se presupune că este cel ales în desen (fig.4.4), urmând ca în
ecuaţiile de momente să se confirme sau nu această ipoteză.
dxdy
dz
x
y
z
τxz
τzx
τxz
τzx
fig.4.4
O
Ecuaţia de momente faţă de Oy va avea forma:
( ) ( ) .;0 zxxzzxxz dxdzdydzdydx ττττ =→=− (1)
În mod similar, scriind ecuaţii de momente faţă de axele Ox şi Oz
(după ce în prealabil s-au reprezentat pe feţele elementului tensiunile care
intervin în aceste ecuaţii), se obţin:
;yzzy ττ = (2)
şi .xyyx ττ = (3)
Relaţiile (1), (2) şi (3) reprezintă legea dualităţii tensiunilor
tangenţiale, care se enunţă astfel:
67

„ Pe două plane care fac între ele un unghi de 900
, componentele
tensiunilor tangenţiale, perpendiculare pe linia comună a celor două plane,
sunt egale între ele ca mărime şi au sensurile fie convergente, fie divergente
faţă de această linie” (fig.4.5).
τ τ/
fig.4.5
90
0
4.1.2 Relaţii de echivalenţă între eforturi şi tensiuni în
secţiunea transversală a unei bare
Se consideră partea din dreapta a unei bare secţionate şi se reprezintă
eforturile din secţiune şi tensiunile într-un punct (fig.4.6).
x
z
y
Ty
Tz
N
Mx
Mz
My
fig.4.6
σx
τzx
τyx
dA
Echivalenţa dintre eforturi şi tensiuni se exprimă prin relaţiile (ecuaţii
de proiecţii, respective de moment):
( ) .dAyM;dAzM;dAyzM
;dAT;dAT;dAN
A
xz
A
xy
A
zxyxx
A
zxz
A
yxy
A
x
∫∫∫
∫∫∫
⋅=⋅=⋅+⋅−=
===
σσττ
ττσ
Tensiunile şi eforturile sunt mărimi static echivalente, ele constituind
două moduri de reprezentare a forţelor interioare de pe o secţiune
transversală a barei.
68

4.2 Deformaţii specifice. Tensorul deformaţiilor
4.2.1 Deformaţia specifică liniară
O bară având lungimea iniţială l, în urma solicitărilor mecanice îşi
modifică această dimensiune cu cantitatea Δl = l1 – l, unde Δl este
deformaţia liniară totală, putând fi vorba de alungire totală sau scurtare
totală (fig.4.7).
l Δl
l1
fig.4.7
Raportul:
,1
l
ll
l
l −
=
Δ
=ε
se numeşte deformaţie specifică liniară şi reprezintă deformaţia unui tronson
de bară de lungime egală cu unitatea; poate exista o alungire specifică, caz
ăn care deformaţia se consideră pozitivă sau o scurtare specifică, în care caz
deformaţia se consideră negativă.
Pentru un element de volum cu laturile dx, dy şi dz, deformaţiile
liniare totale după cele trei direcţii sunt Δ(dx), Δ(dy), Δ(dz), iar deformaţiile
specifice liniare:
( ) ( ) ( );,,
dz
dz
dy
dy
dx
dx
zyx
Δ
=
Δ
=
Δ
= εεε
ε reprezintă o mărime adimensională.
4.2.2 Deformaţia specifică unghiulară
În urma deformaţiei unghiurile drepte ale unui corp se modifică
(fig.4.8), potrivit relaţiei:
;11
ab
bb
ab
bb
arctg ≈=γ
69

în care γ este deformaţia specifică unghiulară sau lunecarea, ce indică cu cât
se modifică unghiul drept în urma deformării.
b b1 d d1
a c
γ γ
fig.4.8
Convenţional, se consideră deformaţia specifică unghiulară pozitivă
când unghiul drept se micşorează şi negativă, când unghiul drept se măreşte.
Tabloul (matricea) componentelor deformaţiei specifice, notat cu Tε,
pentru un element de volum considerat în vecinătatea unui punct, se numeşte
tensorul deformaţiilor, scriindu-se prin analogie cu tensorul tensiunilor:
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
εγγ
γεγ
γγε
ε
4.3 Diagrame caracteristice ale materialelor
Diagrama caracteristică a oţelului. Relaţia fizică între tensiuni şi
deformaţii specifice pentru diverse materiale se stabileşte pe cale
experimentală, prin încercarea la diverse solicitări a unor epruvete
confecţionate din materialele respective.
Bunăoară încercarea la întindere pentru oţel se face pe epruvete care
au forma şi dimensiunile standardizate (fig.4.9).
d0
l0
P P
fig.4.9
70

Corpul cilindric al epruvetei este cotat cu d0 – diametrul şi l0 –
lungimea, măsurată între două repere suficient de depărtate de capetele
epruvetei.
Cu ajutorul unei maşini de încercat, epruveta se supune la întindere,
forţa P aplicându-se lent. În timpul încercării, la diverse trepte de încărcare
P1, P2, ..., se măsoară deformaţia liniară totală a epruvetei, Δl1, Δl2, ...;
reprezentând grafic perechile de valori (P, Δl) se obţin o serie de puncte prin
care se trasează diagrama încercării la întindere, diagramă care, evident,
depinde de dimensiunile epruvetei (fig.4.10).
P
Δl
fig.4.10
Se poate trasa însă o diagramă independentă de dimensiunile
epruvetei, prin succesiunea de puncte ale căror coordonate sunt σ şi ε, cu:
;,
00 l
l
A
P Δ
== εσ
aici A0 este aria secţiunii transversale iniţiale a epruvetei, iar l0, lungimea
iniţială a acesteia.
Diagrama astfel obţinută este ceea ce specialiştii numesc diagrama
caracteristică sau curba caracteristică a oţelului.
Încercând până la rupere o epruvetă confecţionată dintr-un oţel de
construcţii (cu conţinut redus de carbon – oţel moale), se înregistrează curba
caracteristică din fig.4.11.
Punctele caracteristice ale unei asemenea diagrame sunt:
(1) σp – limita de proporţionalitate, respectiv valoarea tensiunii σ
până la care, încărcând şi descărcând epruveta, nu se obţine nici o
deformaţie remanentă.
(2) σe – limita de elasticitate, respectiv valoarea tensiunii σ la care
prin descărcare se provoacă în epruvetă o deformaţie remanentă
de 0,01%. Această valoare stabilită convenţional, defineşte limita
de elasticitate tehnică, σ = σ0,01.
71

1
2
3 4
M
5
6
6
M0
fig.4.11
curba reala
curba conventionala
σp
σe
σc
σr
εp εe
εM
εr
σ
ε
α
/
Ο
(3) σc – limita (rezistenţa) de curgere, respectiv valoarea tensiunii la
care deformaţia barei creşte fără ca încărcarea să crească. La
descărcare, se constată deformaţii remanente ale epruvetei.
(5)σr – limita (rezistenţa) de rupere, măsurată prin ordonata maximă a
diagramei caracteristice.
În intervalul O÷2, tensiunea σ poate fi exprimată prin relaţia:
;, Etgtg =⋅= ααεσ
în care E – modul de elasticitate longitudinal.
Se reţine aici legea lui Hooke (σ = E ⋅ ε), conform căreia în zona de
comportare elastică a materialului, tensiunile sunt proporţionale cu
deformaţiile specifice.
În punctul (3) începe zona de curgere, în material producându-se un
dezechilibru, o reaşezare a moleculelor, zona 3÷4 definind un aşa numit
palier de curgere.
Din punctul (4) începe reconsolidarea materialului, deformaţia
epruvetei crescând o dată cu creşterea încărcării.
Zona 4÷5 defineşte ceea ce în metalurgie poartă numele de zonă de
consolidare.
În fine, ruperea efectivă a materialului se produce în punctul (6).
72

Se face precizarea că diagrama caracteristică a oţelului aici
reprezentată este o diagramă convenţională, deoarece ordonatele de pe
această diagramă s-au obţinut raportând valoarea forţei respective la aria
secţiunii iniţiale a epruvetei. În realitate, pe măsură ce forţa aplicată creşte,
epruveta se alungeşte, deci îşi micşorează dimensiunile secţiunii
transversale. Această micşorare este, însă, nesemnificativă până în
apropierea punctului (5), când începe ştrangularea epruvetei.
Pe zona ştrangulată se observă, înainte de rupere, linii (striuri)
orientate la 450
faţă de axa de rupere (fig.4.12).
fig.4.12
45
0
Ruperea se produce, astfel, în partea centrală a secţiunii transversale a
epruvetei (zonă cu aspect rugos), datorată tensiunii normale σmax, pe când în
partea marginală, având unghiul de înclinare de 450
, ruperea este cauzată de
tensiuni tangenţiale τmax.
Punctul M de pe diagrama caracteristică, punct situat pe diagramă
după limita de curgere a materialului, are drept abscisă εM = εp+ εe, εp fiind
deformaţia specifică plastică sau remanentă, care este o deformaţie
ireversibilă după descărcare, iar εe, deformaţia specifică elastică, care este o
deformaţie reversibilă.
Punctul (6) de pe curba caracteristică are drept abscisă deformaţia
specifică liniară la rupere. Această deformaţie se măsoară după ruperea
epruvetei, deci de fapt se măsoară numai deformaţia specifică remanentă. Pe
diagramă, abscisa punctului (6) se obţine printr-o paralelă la dreapta O÷1; εr
reprezintă deformaţia specifică liniară la rupere a materialului.
Informativ, pentru epruvete din OL37, valorile caracteristice sunt:
%.2826%
;/101.2
;/200
;/240210
;/450370
25
2
2
2
÷=
⋅=
=≈
÷=
÷=
r
pe
c
r
mmN
mmN
mmN
mmN
σ
E
ε
σ
σ
σ
73

Pentru materialele casante, a căror diagramă caracteristică este
trasată în figura 4.13 (diagramă fără palier de curgere), se defineşte σ0,2 –
limita tehnică de curgere, ce reprezintă, convenţional, valoarea tensiunii
pentru care, la descărcare, deformaţia specifică este de 0,2%.
σ
ε
0.2%
σ0.2
fig.4.13
Încercarea la compresiune pentru oţel se realizează pe epruvete de
formă cilindrică cu înălţimea egală cu diametrul, şi în acest caz datele fiind
standardizate.
Diagramele caracteristice la compresiune se trasează de obicei pe
aceeaşi diagramă cu diagrama caracteristică la întindere. În zona de
compresiune elastică cele două diagrame sunt identic antisimetrice
(fig.4.14).
fig.4.14
σ
ε
Ο
−ε
−σ
74

Diagrama caracteristică la întindere este o diagramă convenţională, pe
când diagrama caracteristică la compresiune este o diagramă reală.
Ruperea oţelurilor solicitate la compresiune se realizează numai în
cazul oţelurilor casante (epruvetele se sparg); în cazul oţelurilor ductile,
epruvetele se turtesc, fără a se rupe.
Încercarea la torsiune pentru oţel se efectuează pe epruvete tubulare
cu grosimea peretelui mică.
Diagrama caracteristică la torsiune este similară cu diagrama
caracteristică la întindere, pe baza ei obţinându-se graficul funcţiei τ = f(γ)
(fig.4.15).
fig.4.15Ο
β
γ
τ
τr
τc
τe
τp
Până la limita de proporţionalitate (τp), practic până la limita de
elasticitate (τe), este valabilă legea lui Hooke - τ = γ⋅G; G = tgβ, reprezintă
modulul de elasticitate transversal ( la OL37, G = 8,1⋅104
N/mm2
).
4.4 Diagrame caracteristice schematizate
Diagramele caracteristice obţinute pe cale experimentală pentru
diverse materiale, nu se recomandă a fi utilizate în calculele de proiectare,
aceasta impunând reevaluări pentru schematizarea lor.
Astfel, pentru materialele casante se adoptă o diagramă
corespunzătoare unui material având o comportare ideal elastică. Diagrama
75

este reprezentată până la limita de rupere printr-o dreaptă a cărei pantă este E
= tgα (fig.4.16).
σ
σr
α
εr
ε
fig.4.16
Ο
Pentru materialele ductile se adoptă diagrama Prandtl corespunzătoare
unui material ideal elasto-plastic, în care caz până la limita de curgere
materialul are o comportare ideal elastică (dreapte 0÷1 de pantă E = tgα) iar
apoi o comportare ideal plastică (dreapta 1÷2, paralelă cu axa Oε), ca în
fig.4.17.
σ
σc
α
ε
fig.4.17
Ο
1 2
De menţionat că pentru materialele ductile se mai adoptă uneori o
diagramă corespunzătoare unui material elasto-plastic cu consolidare, iar în
76

ceea ce priveşte cele două drepte prin care se prezintă cele două moduri de
comportare a materialului (elastic, respectiv, plastic), acestea au pante
diferite (E = tgα; E1 = tgβ; E1< E), vezi fig.4.18.
σ
σc
α
ε
fig.4.18
Ο
1
2
β
77

Capitolul 5
SOLICITAREA AXIALĂ CENTRICĂ
5.1 Forţa axială. Tensiuni de întindere – compresiune
Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă supusă acţiunii unui
sistem de două forţe P egale şi de sens contrar, aplicate la capetele barei, în
lungul axei longitudinale a acesteia.
Secţionând bara cu un plan normal pe axă, în secţiunea transversală
apare o forţă axială N = P. Se spune că secţiunea transversală este solicitată
axial.
P P
PP N N
x
x
fig.5.1
Solicitarea axială este de întindere dacă forţele trag de bară (fig.5.1)
sau de compresiune când forţele converg spre bară (fig.5.2).
P P
fig.5.2
În vederea determinării mărimii şi legii de distribuţie a tensiunilor,
problema comportă următoarele aspecte:
78

Aspectul geometric
Dacă pe bară se marchează conturul unei secţiuni transversale, se
constată că după încărcare, conturul se deplasează paralel cu el însuşi;
alungirile şi, corespunzător alungirile specifice sunt constante pe contur
(fig.5.3).
x
x u
l Δl
NN
fig.5.3
Este normal ca să se admită că, în interiorul barei, deformaţiile sunt
egale (este valabilă ipoteza secţiunilor plane).
Aspectul fizic
Dacă în secţiunea x, în toate punctele secţiunii transversale, u = ct. şi ε
= ct., din legea lui Hooke rezultă că şi tensiunile normale sunt constante,
deci se distribuie uniform pe secţiune, adică:
.ctE =⋅= εσ
Aspectul static
Se ştie că (fig.5.4):
,AdAdAN
A A
⋅=== ∫ ∫ σσσ
ceea ce implică faptul că tensiunea normală se distribuie uniform pe secţiune
cu intensitatea σ = Ν/Α.
A
N
dA
σ
x
fig.5.4
79

5.2 Deformaţii şi deplasări
Conform legii lui Hooke, alungirea sau scurtarea specifică se
calculează cu relaţia:
.
EA
N
A
N
dar
E
=⇒== εσ
σ
ε
O bară având modulul de elasticitate longitudinal E = ct. şi aria A =
ct., de lungime l, se va alungi sub acţiunea unei forţe de întindere N cu:
;
EA
lN
ll =⋅= εΔ
produsul E⋅A se numeşte rigiditate la întindere sau compresiune.
Dacă se pune problema determinării deplasării unui punct oarecare al
barei solicitate axial, chestiunea se reduce la calculul unei alungiri sau
scurtări (după cum forţa axială este de întindere sau compresiune).
Fie cazul unei bare solicitate axial ca în figura 5.5:
H =NA
N
A C C B
x uC
l Δl
/
fig.5.5
Pentru punctul C, deplasarea CC/
va fi:
.
EA
xN
u
⋅
=C
5.3 Dimensionarea, verificarea, forţa capabilă
Se pleacă de la relaţia de calcul a tensiunii normale σ, în cazul
solicitării axiale:
.
A
N
=σ
80

Verificarea Se dau secţiunea efectivă a barei Aef şi forţa axială
suportată de aceasta; se cere verificarea barei cunoscând rezistenţa
admisibilă σa sau rezistenţa de calcul R, astfel:
;max
max a
ef
ef
ef
A
N
σσ ≤= prin metoda rezistenţelor admisibile
sau
;max
max R
A
N
ef
ef
ef
≤=σ prin metoda stărilor limită.
Dimensionarea Se cere să se dimensioneze secţiunea cunoscându-se
forţa axială suportată de bară şi rezistenţa admisibilă (rezistenţa de calcul);
se obţin relaţiile:
;max
a
ef
nec
N
A
σ
= prin metoda rezistenţelor admisibile,
respectiv,
;max
R
N
A
ef
nec = prin metoda stărilor limită.
Forţa capabilă Cunoscând secţiunea barei şi rezistenţa admisibilă
(rezistenţa de calcul), se calculează forţa capabilă:
;aefcap AN σ⋅= prin metoda rezistenţelor admisibile
şi
;RAN efcap ⋅= prin metoda stărilor limită.
Uneori sunt impuse condiţii restrictive cu privire la deformaţii; relaţia
de verificare în acest caz este de forma:
( ) ;max al Δ≤Δ
cu Δa – deformaţia admisibilă a barei.
5.4 Bare cu secţiune variabilă solicitate la întindere
Există cazuri când secţiunea barei este slăbită de găuri sau crestături
practicate din motive de ordin funcţional sau constructive.
Neglijând concentrările de tensiuni care apar datorită acestor slăbiri
locale, se va lucra cu secţiunea efectivă a barei.
Secţiunea întregă neslăbită (Abr) este denumită secţiune brută,
secţiunea slăbită (Anet) secţiune netă, iar aria slăbirii ΔA.
81

Relaţia de legătură va fi, evident:
.AAbrnetA Δ−=
Se ilustrează în figura 5.6 situaţia în care secţiunea variază datorită
prezenţei găurilor de nit în secţiune:
d
bN
NN
N
t
t
fig.5.6
Secţiunea cea mai mică dintre secţiunile slăbite este secţiunea netă;
aceasta fiind secţiunea periculoasă, în această secţiune vor fi făcute calculele
de rezistenţă. În cazul ales, pentru o platbandă (fig.5.6):
.2 dttbnetA ⋅−⋅=
5.5 Calculul barelor întinse ţinând seama de greutatea proprie
În cazul barelor foarte lungi sau cu secţiune mare comparativ cu
lungimea, trebuie luată în considerare şi greutatea proprie a barei. Fie o bară
cu A aria secţiunii transversale şi γ greutatea specifică a materialului
(fig.5.7); astfel, se calculează:
( )
;
;.
;
max lqPNN
ctAq
xlqPN
B
x
⋅+==
=⋅=
−+=
γ
.
;
;
l
P
A
lAPA
lAPN
A
a
nec
necanec
a
nec
a
B
nec
⋅−
=
⋅⋅+=⋅
⋅⋅+
==
γσ
γσ
σ
γ
σ
82

N = P + AlB γ
N = PA
N
fig.5.7
l
x
q
P
A
B
Barele la care tensiunile maxime
fig.5.8P
sunt egale cu σa în toate secţiunile se
numesc bare de egală rezistenţă, ele
constituind şi cazul cel mai favorabil
pentru opţiuni tehnologice,(fig.5.8),
realizarea practică necesitând, însă,
foarte multă manoperă. Soluţia este o
bară cu secţiunea variind descrescă-
tor, în trepte, fiecare porţiune având
un anumit diametru (fig.5.9). O ase-
menea figură compusă se întâlneşte, de exemplu, în construcţia braţului unor
tipuri de macarale sau alte utilaje specifice domeniului de construcţii.
A3
A2
A1
l3
l2
l1
N = N + G3 2 3
N = N + G2 1 2
N = F + G1 1
F
N
F fig.5.9
83

Potrivit acestei configurări, se fac următoarele determinări:
( )( )
( )( )( )
.
;
;
332211
2
33
2
3
221122
1
2
11
1
lll
F
l
N
A
ll
F
l
N
A
l
F
A
aaa
a
a
aa
a
a
a
γσγσγσ
σ
γσ
γσγσ
σ
γσ
γσ
−−−
=
−
=
−−
=
−
=
−
=
Deformaţii Alungirea specifică a elementului de lungime dx
considerat, conform relaţiei de definiţie, este:
;
dx
dx
x
Δ
=ε
din legea lui Hooke:
;dx
E
dx
dx
dx
E x
x
σ
σ =Δ⇒
Δ
=
dar .
1
dxx
A
P
E
dxx
A
P
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ⇒+= γγσ
Integrând pe lungimea l, se obţine alungirea totală a barei:
;
2
11
;
2
11 2
00
lAlP
EA
l
l
l
A
P
E
dxx
A
P
E
dxl
ll
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ=Δ ∫∫
γ
γ
γ
cu notaţia .
2
11
lGP
EA
lAlG ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=Δ⇒= γ
5.6 Sisteme static nedeterminate la forţe axiale
Un sistem este static nedeterminat când numărul necunoscutelor
depăşeşte numărul ecuaţiilor de echilibru.
Pentru rezolvare se foloseşte metoda compatibilităţii geometrice a
deplasărilor: se scriu ecuaţiile de echilibru static, care se completează cu
numărul de condiţii de compatibilitate geometrică a deplasărilor, egal cu
gradul de nedeterminare statică.
84

5.6.1 Bare cu secţiuni neomogene
Dacă bara are secţiunea constantă şi omogenă atunci tensiunea este
constantă în secţiune. În practică se folosesc însă, cel mai adesea, bare cu
secţiuni neomogene, în sensul că secţiunea acestora este compusă din două
sau mai multe materiale cu caracteristici mecanice diferite.
Este cazul stâlpilor de beton cu armături de oţel sau al cablurilor de
cupru cu inimă de oţel. Se pune problema determinării modului de
repartizare a tensiunilor într-o astfel de secţiune dacă se cunoaşte forţa axială
aplicată întregii secţiuni. Solicitarea produce în cele două materiale din
secţiune tensiuni σ de valori diferite.
Fie cazul barei din fig.5.10, cu secţiunea constantă, alcătuită din două
materiale diferite (acestora corepunzându-le modulele de elasticitate E1 şi
E2), cu ariile secţiunilor transversale A1 şi A2; bara este solicitată axial de
forţa F.
F F
N1
N2
F
E , A1 1
E , A2 2
fig.5.10
Dacă N1 şi N2 sunt forţele axiale preluate de cele două materiale, din
condiţia de echilibru static se poate scrie:
.21 NNF +=
Întrucât cele două materiale sunt solidarizate între ele, deformaţia va
fi aceeaşi pentru fiecare material; aceasta reprezintă condiţia de
compatibilitate geometrică (de deformaţie), astfel:
;21 lll Δ=Δ=Δ
85

;;
22
2
2
11
1
1
AE
lN
l
AE
lN
l =Δ=Δ
sau
.
22112211
21
22
2
11
1
AEAE
F
AEAE
NN
AE
N
AE
N
+
=
+
+
==
Tensiunile în cele două materiale vor fi:
.
;
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
a
i
ii
a
i
ii
AE
EF
A
N
AE
EF
A
N
σσ
σσ
≤==
≤==
∑
∑
=
=
5.6.2 Bară dublu articulată
Se consideră o bară dreaptă, de rigiditate EA, articulată la ambele
capete şi încărcată cu forţa P de-a lungul axei în punctul M (fig.5.11). Se
pune problema determinării reacţiunilor HA şi HB din articulaţii.
HA A M P B HB
a b
l
HA
HB
N
fig.5.11
+
-
Pentru aceasta, se pleacă de la ecuaţia de echilibru static.
,0=−+ PHBAH
ecuaţie cu două necunoscute, căreia îi vom asocia ecuaţia suplimentară de
86

deformaţie: Δl = 0 (bara fiind articulată la ambele capete).
Se obţine:
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⋅−⋅
=
⋅−
+
⋅
.0
;0
bHaH
EA
bPH
EA
aH
BA
AA
Prin rezolvarea sistemului, se ajunge la:
.
;
l
a
P
ba
aP
l
b
P
ba
bP
B
A
=H
H
+
=
=
+
=
5.6.3 Sistem de bare paralele
Se consideră o bară AB (fig.5.12), de rigiditate infinită la încovoiere
(îşi păstrează forma rectilinie în urma solicitărilor), suspendată, în poziţie
orizontală, cu ajutorul a trei bare subţiri, verticale, de lungime l şi rigidităţi
E1A1, E2A2, E3A3. Sub acţiunea forţei verticale P, bara AB se deplasează pe
verticală, înclinându-se cu unghiul α. Se pune problema determinării
eforturilor în bare. Se presupune că, pentru deformaţii mici, punctele A, C, B
se deplasează pe verticală.
l a bE A1 1 E A2 2 E A3 3
N1 N2 N3
Δl1
Δl2
Δl3
c
P
A C B
A
C
B
α
α
/
/
/
fig.5.12
Fie N1, N2 şi N3 eforturile în barele verticale, astfel încât se pot scrie
următoarele ecuaţii de echilibru:
87

- o ecuaţie de proiecţii pe verticală: N1 + N2 + N3 = P; (1)
- o ecuaţie de momente, de exemplu în raport cu C: N1⋅a – N3⋅b + P⋅c = 0.(2)
Sistemul este o dată static nedeterminat; relaţia suplimentară se obţine
prin exprimarea faptului că, datorită rigidităţii perfecte a barei orizontale,
punctele A, C şi B rămân, după alungirea barelor, pe aceeaşi dreaptă,
ajungând în poziţiile finale A/
, C/
şi B/
.
Din asemănări de triunghiuri, vom avea:
;2312
b
ll
a
ll Δ−Δ
=
Δ−Δ
(3)
în care:
.;;
33
3
3
22
2
2
11
1
1
AE
lN
l
AE
lN
l
AE
lN
l =Δ=Δ=Δ
Prin rezolvarea sistemului format din ecuaţiile (1), (2) şi (3) se
determină forţele axiale N1, N2 şi N3 din cele trei bare verticale, după care se
poate face verificarea acestora:
.;;
3
3
3
2
2
2
1
1
1 aaa
A
N
A
N
A
N
σσσσσσ ≤=≤=≤=
5.6.4 Sistem de bare articulate concurente
Fie un sistem de bare concurente DA, DC şi DB, acţionate de forţa
verticală P aplicată în punctul D (fig.5.13). Sistemul este simetric din punct
de vedere geometric şi mecanic; barele AD şi BD au lungimea l2 şi
rigiditatea E2A2, iar bara CD are rigiditatea E1A1 şi lungimea l1. Se cer
eforturile din bare.
Din ecuaţia de proiecţii pe orizontală rezultă că forţa axială din bara
AD este egală cu cea din bara DB, încât se poate scrie:
(1),0cos2;0 12 =−+=∑ PNNY α
sistemul fiind o dată static nedeterminat.
Pentru scrierea ecuaţiei de compatibilitate geometrică, se vor examina
deformaţiile sistemului; fie Δl1 alungirea barei centrale sub acţiunea efortului
N1 şi Δl2 alungirea barelor laterale sub acţiunea eforturilor N2. Cum
alungirile sunt foarte mici în raport cu lungimile iniţiale, se poate face
aproximaţia α1 = α, astfel că:
;cos12 αll Δ=Δ (2)
88

A C B
E A2 2 E A2 2
E A1 1
N2 N2
N1
α α
α1
α1
P
D
D1
Δl1
Δl2
P
l1
l2 l2
fig.5.13
dar:
.cos;; 21
22
22
2
11
11
1 αll
AE
lN
l
AE
lN
l ==Δ=Δ
Relaţia (2) devine:
.cos2
11
11
22
22
α⋅=
AE
lN
AE
lN
(2/
)
Prin rezolvarea sistemului format din ecuaţiile (1) şi (2/
) se determină
eforturile dorite.
5.7 Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate
În cazul în care barele sunt supuse la variaţii de temperatură, se
produc deformaţii liniare. Pentru o bară de lungime l, materialul din care
este confecţionată având coeficientul de dilatare termică α, pentru o creştere
de temperatură Δt = t1 – t0, în care t0 este temperatura la care bara are
lungimea l, are loc o alungire Δl:
.tll Δ⋅⋅=Δ α
Cănd deformaţia nu este împiedicată, nu apar solicitări suplimentare
(fig.5.14); dacă deformaţia (dilatare sau contracţie) este împiedicată, apar
eforturi axiale în secţiunea barei, eforturi care au tocmai rolul de a împiedica
deformaţia în discuţie.
89

l
l
Δl
Δl
Δt > 0
Δt > 0
fig.5.14
Fie cazul barei de rigiditate constantă EA, de lungime l, încastrată la
extremităţi în doi pereţi rigizi (fig.5.15). Prin încălzire cu gradientul de
temperatură Δt, bara se va alungi cu Δl = α⋅l⋅Δt. Pereţii se vor opune
dilatării, ceea ce va duce la apariţia unei forţe axiale de compresiune, N.
l
EA
Δt > 0
l Δl
N N
fig.5.15
Condiţia de deformabilitate a barei este: alungirea barei datorată
încălzirii, minus scurtarea datorată forţei axiale de compresiune (N),
reprezintă deformaţia totală, care pentru cazul de faţă este nulă, astfel:
;0=
⋅
−Δ⋅⋅=
AE
lN
tlltot αΔ
rezultă:
.
;
tE
A
N
tEAN
Δ==
Δ=
ασ
α
90

Dacă la un capăt al barei există un joc tehnologic cunoscut, numit
„rost de dilatare”- de mărime δ, bilanţul deformaţiilor se exprimă:
;δα =
⋅
−Δ⋅⋅=
AE
lN
tlltotΔ
de unde rezultă valoarea forţei, N, respectiv valoarea tensiunii normale σ.
În cazul barei alcătuite din porţiuni cu rigidităţi diferite (fig.5.16),
condiţia de deformaţie este asemănătoare:
,0
22
2
11
1
2211 =
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−Δ⋅⋅+Δ⋅⋅=Δ
AE
lN
AE
lN
tltlltot αα
de unde rezultă valoarea forţei de compresiune N.
l1 l2
E , A ,1 1 α1
E , A ,2 2 α2
N N
Δt > 0
fig.5.16
Pentru anumite valori ale forţei axiale de compresiune, bara îşi pierde
stabilitatea. Pentru a reduce eforturile datorate variaţiei de temperatură,
sistemele se prevăd cu compensatori de dilataţie (fig.5.17).
Valoarea coeficientului α pentru oţel este: α = 12⋅10-6
.
fig.5.17
5.8 Efectul inexactităţii de execuţie şi montaj în sistemele
articulate static nedeterminate
La confecţionarea elementelor sunt posibile mici abateri de la
dimensiunile stabilite în proiect. Dacă barele cu asemenea erori de execuţie
se montează într-un sistem static nedeterminat, acestea induc în sistem
eforturi suplimentare, numite eforturi iniţiale, iar tensiunile corespunzătoare,
91

tensiuni iniţiale. Ca aplicaţie, se va descrie modul de evaluare al acestor
tensiuni iniţiale pe sistemul de bare articulate din figura 5.18, la care se
presupune că bara OB a fost executată mai lungă cu segmentul de lungime
egală cu λ:
A AB
N2 N2
N1
α α
Δl1
Δl2
l1
fig.5.18
O
O
/
/
δ
O
//
λ
EA2
EA1
EA2
Pentru a fi posibilă montarea barei OB în sistem, va trebui recurs la un
efort de scurtare a ei cu segmentul λ, respectiv, la aplicarea unei forţe
exterioare. După motaj, înlăturând forţa care a comprimat bara OB, aceasta
va tinde să revină la lungimea iniţială, dar va fi împiedicată parţial de barele
OA şi OA/
. Nodul O se va deplasa în O/
, antrenând şi barele OA şi OA/
care
se vor alungi corespunzător. În această situaţie vor exista eforturi în barele
sistemului.
Din condiţia de echilibru a nodului O, rezultă:
;0cos2 21 =− αNN (1)
ecuaţia de deformaţie este:
;;cos 12 ll Δ−=⋅=Δ λδαδ (2)
dar
.
cos
;
2
12
2
22
2
1
11
1
αAE
lN
AE
lN
l
AE
lN
l
⋅
=
⋅
=Δ
⋅
=Δ
Rezolvând sistemul alcătuit din ecuaţiile (1) şi (2) rezultă valorile
eforturilor axiale N1 şi N2.
92

Problema 5.a
Să se dimensioneze bara din figura 5a şi să se calculeze deplasarea
totală a capătului liber sub acţiunea încărcărilor; se cunosc: σa = 160 N/mm2
,
E = 2,1⋅105
N/mm2
.
1.2m
0.8m
240kN
120kN
d1
d2
A
B
C
360
120
N [kN] fig.5a
+
Bara fiind solicitată axial, condiţia de dimensionare este:
;max
a
nec
N
σ
=A
secţiunea fiind circulară:
,;
4
dim
2
dim necAA
d
==
π
A
astfel, pe zona AB:
,319.30120
;
4
2
2
2
dim22
mmmmdkNN
d
A
N
A
AB
a
AB
nec
≅=→=
===
π
σ
iar pe zona BC:
.545.53360
;
4
1
2
1
dim11
mmmmdkNN
d
A
N
A
BC
a
BC
nec
≅=→=
===
π
σ
Deplasarea totală a capătului liber este:
.695.0
;
4
31
101.2
80010120
4
54
101.2
12001036
2
5
3
2
5
3
12
mml
AE
lN
AE
lN
l BCBCABAB
=Δ
⋅
⋅⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
+
⋅
=Δ
ππ
93

Problema 5.b
Un stâlp prismatic de zidărie este solicitat la compresiune (fig.5b). Să
se determine volumul stâlpului, cunoscându-se: P = 270 kN, l = 12 m, γ =
1600 daN/m3
, σa = 1 N/mm2
.
P
l/2
l/2
A1
A2
fig.5.b
Ţinându-se seama de greutatea proprie a stâlpului pe cele două
tronsoane de arii diferite, dimensionarea se va face cu relaţiile:
;1031.3
106
10
16000
1
108.2810270
2
;103
106
10
16000
1
10270
2
25
3
9
33
1
2
25
3
9
3
1
mm
l
GP
A
mm
l
P
A
a
nec
a
nec
⋅=
⋅⋅−
⋅+⋅
=
⋅−
+
=
⋅=
⋅⋅−
⋅
=
⋅−
=
γσ
γσ
în care:
.28800
10
16000
108.1
;108.1106103
,
2
;
9
9
1
3935
1
1111
NG
mmV
l
AVVG
=⋅⋅=
⋅=⋅⋅⋅=
⋅=⋅= γ
Volumul stâlpului va fi:
V ,21 VV +=
cu V1 şi V2 volumul celor două tronsoane de stâlp, astfel:
.786.3
;10986.11061031.3
2
3
3935
22
mV
mm
l
AV
=
⋅=⋅⋅⋅=⋅=
94

Problema 5.c
Să se determine tensiunile din barele BB1 şi DD1; se consideră
giditatea barei AD, infinită (fig.5c).ri
B1 D1
20mm 20mm l
NB
ND
A B C D
150kN
ΔlBB1
ΔlDD1
1m 1m 2m
fig.5c
B D
//
Deplasările punctelor B şi D în poziţiile B/
şi D/
se consideră a fi
efectuate pe verticală (deplasările fiind neglijabile în raport cu lungimile
e în raport cu punctul A e
iniţiale ale barelor).
Ecuaţia de moment ste:
21501BN DN ;04 =⋅+⋅−⋅ (1)
tării acestuia de către forţa de 150 kN; din asemănarea
triunghiurilor rezultă:
sistemul este o dată static nedeterminat.
Ecuaţia de compatibilitate geometrică se determină considerând
sistemul în urma solici
;
41
11 DDBB ll Δ
=
Δ
în care:
.; 11
AE
lN
l
AE
lN
l D
DD
B
BB
⋅
=Δ
⋅
=Δ
Astfel, rezultă:
95

.DN
=
4
BN (2)
sistemului format din ecuaţiile (1) şi (2), rezultă:Prin rezolvarea
,59.70;65.17 kNNkNN DB ==
iar tensiunile vor fi:
./8.224
;/2.56
2
2
mmN
A
N
mmN
A
N
D
D
B
B
==
==
σ
σ
Problema 5.d
Să se verifice condiţia de rezistenţă pentru bara dublu articulată
olicitată ca în figura 5d. Secţiunea barei este inelară cu d/D = 0,8; σa = 100
N/mm2
. Rigiditatea barei (E⋅A), este constantă pe toată deschiderea.
s
HA A 175kN 50kN B HB
x
1500 2000mm 1500
107.5
67.5
17.5
N [kN]
+
-
fig.5d
lă, rezultă:
ul este o dată static nedeterminat.
Ecuaţia de compatibilitate geometrică care se ataşează, este:
Din ecuaţia de proiecţii pe orizonta
;050175;0 =++−=∑ BHHX A
sistem
( ) ( ) ;0
15005017520001751500
=
⋅− ⋅ − +
0 ++
⋅
AE
H
AE
HH AAA
→=Δl
AE
96

astfel, rezultă:
H .5.107 kNA =
Se trasează diagrama de for
solicitarea axială este:
ţe axiale; condiţia de rezistenţă la
;max
max
A
N
σ = a
ef
σ≤
kNNîn care 5.107max = . În acest caz:
( )
./100/87.92
8.0164
4
105.107 22
22
3
max ammNmmN σ
π
σ =<=
−
⋅
=
97

Capitolul 6
FORFECAREA
6.1 Generalităţi
O secţiune transversală a unei bare este supusă la solicitarea prin
ste aceea de lunecare a celor două jumătăţi de bară,
în planul de separaţie al forţelor transversale. Bara lucrează, astfel, la
forfecare sau, la tăiere.
forfecare dacă efectul rezultant al forţelor de pe feţele exterioare se va
reduce la un singur efort, forţa tăietoare T, efort cuprins în planul secţiunii.
Se poate considera o bară dreaptă solicitată de către două forţe
transversale egale, de sens contrar şi foarte apropiate una de alta (fig.6.1);
tendinţa de deformare e
T
T
ε
fig.6.1
Distanţa ε dintre cele două forţe tăietoare T fiind foarte mică, efectul
acesteia are un caracter localizat.
98

În fapt, forţele tăietoare nu apar izolat, ci însoţesc întotdeauna
momentele încovoietoare (de altfel, cazul va fi studiat separat).
În situaţii ca cea reprezentată în figura 6.1, momentul încovoietor este
în considerare
implificatoare şi aproximaţii de calcul. Se vor avea în vedere, de
care se determină valoarea tensiunii τ
ste τ = T/A, aceasta constituind formula de bază în calculul simplificat la
rfecare al pieselor de secţiuni mici.
considerat nul sau are valori neglijabile, rămânând a fi luat
doar efectul forţei tăietoare.
Forţa tăietoare produce tensiunea τ în planul secţiunii.
În studiul ce urmează va fi luat în considerare cazul pieselor cu
secţiuni transversale mici, supuse la forfecare, situaţie în care pot fi admise
ipoteze s
asemenea, tipurile uzuale de îmbinări ale barelor, prin nituire, înşurubare sau
sudură.
Astfel, se admite aici ipoteza distribuţiei uniforme a tensiunilor
tangenţiale τ pe întreaga suprafaţă a secţiunii.
În această ipoteză, formula cu
e
fo
6.2 Probleme de forfecare la îmbinările nituite
Din raţiuni de ordin practic, rânduirea niturilor necesare realizării
îmbinării se face respectând anumite reguli privind distanţa dintre două
ituri vecine, precum şi depărtarea minimă faţă de marginile pieselor;
conform marcărilor din figura 6.2, aceste distanţe recomandate sunt:
n
e3
e1
e1
e3
3d e 8d
3d e1 8d
2d e2 4d
1.5d e3 4d
e2 e e fig.6.2
Numărul de nituri necesar îmbinărilor de rezistenţă, pentru bare
solicitate axial, se stabileşte astfel încât transmiterea forţei axiale să se facă
99

în bune condiţii. Pentru aceasta se introduce noţiunea de rezistenţă a nitului,
notată cu R , pornind de la o îmbinare teoretică, cu un singur nit. Forţa axială
maximă pe care o poate transmite o astfel de îmbinare reprezintă tocmai
le, cu mai multe nituri.
a nituită, iar R rezistenţa unui
N, care
olicită îmbinarea, piesele au tendinţa de a luneca una faţă de alta, prin
urmare nitul se poate distruge (prin forfecarea tijei sau prin strivire).
ceea ce am denumit rezistenţa nitului. Este etalonul cu care se poate aprecia
capacitatea de rezistenţă a îmbinărilor rea
Se admite, în cazul barei solicitată axial centric, repartizarea
uniformă a încărcării la toate niturile.
Dacă N este forţa axială pentru îmbinare
singur nit, numărul necesar de nituri va fi: n = N/R (valoarea rezultată se
rotunjeşte la numărul întreg imediat următor).
Pentru a stabili rezistenţa nitului se va considera cazul unui nit folosit
la o îmbinare simplă a două piese (fig.6.3). Sub acţiunea forţei axiale
s
forfecare
strivire
N
N
fig.6.3
6.2.1 Forfecarea niturilor
Cu referire la îmbinarea a două piese, distrugerea niturilor se poate
datora forfecării unei secţiuni, aria secţiunii de forfecare fiind: Af = π ⋅d2
/4.
Evident, o îmbinare de tipul celei ilustrate de fig.6.4 nu este
comandabilă, aceasta prezentând dezavantajul de a introduce o
xcentricitate, t, la transmiterea forţei axiale N de la o piesă la cealaltă.
re
e
100

t
tN
N
O sectiune de forfecare
fig.6.4
În ceea ce priveşte îmbinarea a trei piese, ca în figura 6.5, distrugerea
niturilor se poate produce prin forfecarea concomitentă a două secţiuni
având: Af = 2⋅πd2
/4.
N N
Doua sectiuni de forfecare
fig.6.5
Cunoscând rezistenţa admisibilă şi diametrul nitului, efortul capabil al
unui nit supus la forfecare este: Rf = Af ⋅τaf ; s-a determinat experimental
relaţia: τaf = 0,8σa.
6.2.2 Strivirea niturilor (presiunea pe pereţii găurii)
În practică, distribuirea presiunilor pe pereţii găurii într-o piesă este
neuniformă, în calcule însă, se admite faptul că presiunile se distribuie
uniform pe o secţiune diametrală (fig.6.6).
σstr
fig.6.6
101

Aria de suport a presiunii pe pereţii găurii, în cazul îmbinării a două
piese de grosimi t şi t1 > t (fig.6.7), este:
t ( ) .,min
;
1min
min
ttt
tdstr
==
A ⋅=
N
N
t
t1
fig.6.7
Dacă se îmbină mai multe elemente, aria pe care se exercită în mod
convenţional presiunea pe gaură este:
( ),,min; ///
∑∑∑∑ =⋅= ttttdAstr
în care , reprezintă suma grosimilor pieselor care „lucrează” în
fiecare direcţie a îmbinării.
∑∑ ///
, tt
Rezistenţa admisibilă, determinată experimental, este σa str = 2σa, iar
efortul capabil al unui nit la strivire este Rstr = σa st r⋅Astr.
Rezistenţa nitului, R, va fi cea mai mică valoare dintre Rf şi Rstr:
( ).;min strf RRR =
În principiu, la orice îmbinare, efortul trebuie să rămână centrat, altfel
apar solicitări suplimentare de încovoiere.
6.3 Îmbinări cu şuruburi
În construcţii metalice se utilizează o prindere rapidă şi reversibilă, cu
ajutorul şuruburilor.
Calculul îmbinărilor cu şuruburi este asemănător cu cel al îmbinărilor
nituite, atât pentru determinarea rezistenţei la forfecare cât şi pentru strivire
pe pereţii găurii; în calcul se va lua diametrul tijei şurubului.
102

6.4 Îmbinări sudate
Sudurile se clasifică după poziţia cordoanelor în raport cu piesele pe
care le îmbină în: suduri cap la cap (în adâncime) şi suduri de colţ (în relief).
Sudura cap la cap se execută prin alăturarea suprafeţelor de contact
şi adăugarea între acestea a materialului de lipit.
Sudura de colţ se execută în cazul pieselor suprapuse sau care fac un
unghi oarecare între ele. După poziţia sudurii faţă de direcţia solicitării, se
deosebesc (fig.6.8):
- suduri frontale (aşezate transversal pe direcţia solicitării);
- suduri laterale (paralele cu direcţia solicitării).
N N
Cordon lateral
Cordon frontal
fig.6.8
6.4.1 Calculul sudurilor de colţ
Experimental, se constată că sudurile de colţ se rup prin forfecare în
planul bisector (plan la 450
) al cordonului de sudură, prin depăşirea valorilor
tensiunilor tangenţiale de rupere ale materialului sudurii.
Elementele de calcul caracteristice sunt grosimea şi lungimea
cordonului de sudură (fig.6.9).
45
0
ls
a
fig.6.9
103

Grosimea de calcul a cordonului de sudură, notată cu a, se consideră
egală cu înălţimea triunghiului isoscel înscris în secţiunea transversală a
sudurii. Grosimea recomandabilă se va lua a = 0,7t, cu t – grosimea piesei
celei mai subţiri care se sudează; excepţia o constituie profilele cornier,
pentru care a = 0,85t. Pentru sudurile de rezistenţă, grosimea minimă, amin,
este de 3 ÷ 4mm.
Lungimea de calcul, notată cu l, rezultă din lungimea efectivă a
cordonului, ls, prin scăderea zonelor de la capetele acestuia, unde sudura nu
este suficient pătrunsă în materialul de bază, zonă ce se consideră de o
lungime egală cu a la ambele capete (fig.6.10).
ls
l aa
fig.6.10
Astfel:
( ) .60;40.min,6;2 almmalall s ≤≥−=
Considerând distribuţia uniformă a tensiunilor tangenţiale pe planul
bisector de forfecare al cordonului de sudură şi ţinând seama că forţa
tăietoare, care tinde să foarfece îmbinarea sudată, este egală cu forţa axială
N, condiţia de rezistenţă a sudurii devine:
;sa
i
ii
s
la
N
ττ ≤
⋅
=
∑ prin metoda rezistenţelor admisibile,
;s
f
i
ii
s R
la
N
≤
⋅
=
∑
τ prin metoda stărilor limită,
unde este suma ariilor secţiunilor tuturor cordoanelor de sudură ce
participă la transmiterea forţei N; s-a determinat experimental τa s = 0,65σa.
∑ ⋅
i
ii la
Dimensionarea unei îmbinări sudate se face respectând următoarele
principii:
104

• Principiul centrării efortului – adică eforturile N1 şi N2, prin
care cele două cordoane transmit efortul axial din bară la guseu,
trebuie să aibă suportul rezultantei suprapus peste N.
• Optimizarea îmbinării în sensul ca aceasta să fie cât mai scurtă
(grosimea cordonului de sudură cât mai mare).
Dimensionarea revine, de obicei, la determinarea lungimii cordonului
de sudură, grosimea a fiind în funcţie de grosimea pieselor.
În cazul prinderii de guseu a unui profil metalic (cornier, de exemplu),
pentru centrare, cordoanele de sudură se iau de lungimi diferite, astfel ca
rezultanta eforturilor N1 şi N2 din cele două cordoane să treacă prin centrul
de greutate al cornierului (fig.6.11).
l1
N1
N2
l2
e
b
N
t2
t
a = 0.85t1
a = 0.7t2
fig.6.11
Ecuaţiile de echilibru sunt:
( ) .0;0
,;0
21
21
=−−⋅=
=+=
∑
∑
ebNeNM
NNNX
i
i
Rezultă:
.
;
222
111
as
as
la
b
e
N
la
b
eb
N
τ
τ
⋅⋅≤⋅=
⋅⋅≤
N
N
−
⋅=
Lungimile cordoanelor de calcul corespunzătoare sunt:
( ) .;
2
2
11
1
1
ba
eN
l
ba
ebN
a
N
l
asasas ⋅⋅
⋅
=
⋅⋅
−
=
⋅
=
τττ
Lungimile efective de sudat sunt:
105

.2
;2
22
11
al
al
s
s
+=2
1
l
l +=
Problema 6.a
Pentru sistemul de bare încărcat ca în figura 6a, să se traseze
diagramele de efort; să se verifice bara CD; să se verifice îmbinarea din C.
Se cunoaşte σa = 160N/mm2
; bara CD este alcătuită din două platbande
86x10, iar prinderea în nodul C se face cu un bulon φ30mm.
V = 173.33kND
H = 0D
1m
260kN
H = 0A
V = 86.67kNA
A B C
D
2m 1m
φ30
bara CD
(86x10)
25
bara AC
N T M[kN] [kN] [kNm]
fig.6a
+
+
-
+
173.33
86.67
173.33 173.33
Verificarea barei CD
Bara CD este solicitată axial; condiţia de rezistenţă este:
;max aCD
ef
CDCD
ef
A
N
σ≤=σ
se cunosc: ( )301010862,33.173 ⋅−⋅== CD
efCD AkNN , astfel:
./180/76.154 22
max mmNmmN a
CD
ef =<= σσ
Verificarea îmbinării în C
1. Verificarea la forfecare:
106

.
;/1448.0
;/67.122
4
30
2
1033.173
;
4
2;
2
2
2
3
2
aff
aaf
f
faf
f
CD
f
mmN
mmN
d
A
A
N
ττ
στ
π
τ
π
ττ
<
==
=
⋅⋅
⋅
=
=≤=
2. Verificarea la strivire
( )
.
;/3602
;/88.288
2030
1033.173
;25;1010min;;
2
2
3
strastr
astra
str
strstra
str
CD
str
mmN
mmN
ttdA
A
N
σσ
σσ
σ
σσ
<
==
=
⋅
⋅
=
+=⋅=≤= ∑∑
Problema 6.b
Se dă sistemul de bare încărcat ca în figura 6b. Se cere: a) trasarea
diagramelor de efort; b) verificarea barei BC; c) numărul de nituri necesar
prinderii în B. Se cunoaşte σa = 150N/mm2
. Bara BC este alcătuită din două
platbande 60x10; prinderea în B se face cu nituri φ20mm.
V = 117.5kNC
H = 0C
2m
1m
1m
30kN/m
100kN
H = 100kNF
V = 27.5kNF
1m 2m
A B
C
D
E
F
14
bara BC (60x10)
nod B
fig.6b
107

a)
117.5
27.5
30
87.5
27.5
100
15
100
100
+
+
-
+
-
-
+
b) Bara BC este solicitată axial; condiţia de rezistenţă este:
;max aBC
ef
BCBC
ef
A
N
σ≤=σ
cu: ( ) 2
800102010602,5.117 mmAkNN BC
efBC =⋅−⋅== ; astfel:
./150/146
800
105.117 22
3
max a
BC
ef mmNmmN σσ =<=
⋅
=
c) Numărul de nituri n se calculează cu relaţia:
;
R
Ncap
=n
în care: ( )strfaefcap RRRAN ;min, =⋅= σ ; astfel, se obţin:
( )
;6.1
75398
120000
;14;1010min
;8400015021420
;753981508.0
4
202
4
2 22
==
+=
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅=⋅=
∑
∑
n
t
NtdR
N
d
R
strastr
af
σ
π
τ
π
numărul efectiv de nituri este n = 2
Problema 6.c
Se dă sistemul de bare încărcat ca în fig.6c. Se cere: a) trasarea
diagramelor de efort; b) verificarea barei BC; c) calculul cordoanelor de
sudură. Se dă σa = 170N/mm2
; bara BC este alcătuită din două platbande
40x10 şi este sudată de bara AD în punctul B.
108

H = 0A
V = 20 kNA
V = 130 kNC
H = 0C
2m
40kNm110kN
2m 1m
A B
C
D
130
20
40
+
-
-
a)
fig.6c
16
bara BC
40x10
Nodul B
b) Bara BC este solicitată axial; condiţia de rezistenţă este:
;max aBC
ef
BCBC
ef
A
N
σ≤=σ
ls
cu: ; astfel:10402,130 ⋅⋅== BC
efBC AkNN
./170/5.162 22
max a
BC
mmNmmN σσ =<=
c) Lungimea cordoanelor de sudură se calculează cu relaţia:
;2al +=
cu:
,
4 as
BC
cap
a
N
l
τ
=
existând un număr de patru cordoane de sudură egale; astfel:
( )
.78.527278.38
;78.38
5.110107.04
10120
;16;10min;7.0
;/5.11065.017065.0
;120
3
minmin
2
mm
mm
tta
mmN
kNAN
s
asa
BC
efa
BC
cap
=⋅+=
=
⋅⋅⋅
⋅
=
==
=⋅==
=⋅=
στ
σ
l
l
109

Capitolul 7
ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE
7.1 Generalităţi
Solicitarea la încovoiere a barelor drepte apare cel mai des ca
rezultat al acţiunii cuplurilor şi forţelor exterioare transversale, care
produc momente încovoietoare în secţiuni normale. Datorită acestora,
axa barei îşi modifică curbura. Barele încovoiate sunt în esenţă, grinzi.
Dacă planul forţelor exterioare (cupluri şi forţe transversale) conţine
axa barei, eforturile într-o secţiune sunt , în general, momente încovoietoare
My, Mz şi forţele tăietoare Ty, Tz.
În cele ce urmează se va face referire la unele cazuri particulare,
anume:
• Încovoierea simplă, caz în care eforturile în secţiune se reduc la un
vector moment, situat pe o axă principală, centrală de inerţie a secţiunii,
precum şi o forţă tăietoare corespunzătoare.
• Încovoiere pură, când forţele tăietoare lipsesc din secţiune.
7..2 Încovoiere pură. Formula lui Navier
O bară este solicitată la încovoiere pură când eforturile secţionale se
reduc la un vector moment dirijat după una din axele centrale principale de
inerţie ale secţiunii transversale.
Fie o secţiune transversală a unei grinzi drepte; axele Oy şi Oz ce trec
prin centrul de greutate al secţiunii sunt axe principale. Pentru forţele
exterioare aflate în planul xOy, momentul încovoietor este reprezentat
printr-un vector dirijat după axa Oz (fig.7.1).
110

M
a.
M M
++
x
z
y
dAy
O Mz
b.
σ
fig.7.1
În acest caz, pe suprafaţa secţiunii transverasle a grinzii apar tensiuni
normale, σ.
Pentru a stabili legea de distribuţie, precum şi mărimea tensiunilor
normale σ pe secţiunea transversală, se vor utiliza cele trei condiţii (studii),
la care s-a mai făcut referire, anume:
- condiţia geometrică;
- condiţia de elasticitate;
- condiţia statică.
Condiţia geometrică
Pe o porţiune de grindă cu secţiunea dreprunghiulară se trasează o
reţea de linii ongitudinale şi de contururi ale secţiunilor transversale.
Acţionând extremităţile barei cu cupluri de forţe, se realizează încovoierea
pură a barei; se constată încovoierea grinzii, axa acesteia transformându-se
într-o curbă numită axa deformată a barei (fig.7.2).
Odată cu axa se deformează şi liniile longitudinale, menţinându-se,
însă, distanţa iniţială între ele, astfel că tensiunile normale σ, între fibrele
longitudinale, sunt nule.
Sub acţiunea momentului încovoietor pozitiv, fibrele de la partea
superioară se vor scurta, iar cele de la partea inferioară se vor alungi.
Trecerea de la fibrele alungite la cele scurtate se face continuu,
existând o fâşie intermediară de fibre care se încovoaie, dar nu îşi modifică
lungimea (avem de-a face cu o fâşie neutră). Întersecţia fâşiei neutre cu
palnul unei secţiuni transversale defineşte aşa numita axă neutră a secţiunii.
Liniile, drepte, ale contururilor dreptunghiulare normale la axa
nedeformată a barei se menţin, după deformare, în plane normale la axa
deformată. Extrapolând pentru interiorul grinzii, se admite că secţiunile
normale în întregime rămân în plane normale la axa nedeformată, adică
ipoteza lui Bernoulli.
111

fig.7.2
Se observă că aceste plane sunt normale la toate liniile longitudinale,
prin urmare, tensiunile tangenţiale τ din secţiunile transversale, sunt nule. De
aici se deduce faptul că şi forţele tăietoare precum şi momentele de torsiune,
la nivelul secţiunilor normale, sunt nule, ceea ce confirmă că bara este
solicitată la încovoiere pură.
Secţiunea transversală îşi modifică forma datorită contracţiei
transversale, modificarea fiind însă, neînsemnată. Această modificare fiind
neglijabilă, este suficient de exact a considera că axa neutră este o dreaptă;
în cazul barelor su plan de simetrie, axa neutră este perpendiculară pe acest
plan.
Se poate admite că deformarea prin încovoiere a barei se produce
astfel, încât secţiunile transversale plane se înclină una faţă de alta, rotindu-
se în jurul axelor lor neutre.
dx
a
a
b
b
A B
C D
M M
ρ
dϕ
dx
ds
A B
C D
yy
x
/
//
/
fig.7.3
Astfel, cele două secţiuni transversale a-a şi b-b (fig.7.3), marcate pe
faţa laterală a unei grinzi cu secţiune omogenă, la o distanţă elementară dx
una de alta, formează între ele un unghi elementar dϕ.
În urma deformării, fâşia neutră AB se curbează. Fie ρ - raza de
curbură după deformare, presupusă constantă pe lungimea dx.
Deoarece lungimea fâşiei AB rămâne aceeaşi, se poate scrie:
112

AB = A/
B/
sau dx = ρ⋅dϕ.
O fâşie curentă, CD, cu lungimea dx înainte de deformare, situată la
distanţa y de fâşia neutră, atât înainte, cât şi după deformare, va avea în final
lungimea:
( ) .//
ϕϕρ dydxdyDC +=+
Deformaţia ei absolută va fi:
;//
ϕdyCDD =−C
iar deformaţia specifică liniară:
.
//
ρ
y
CD
CDDC
=
−
=ε
Condiţia de elasticitate
Admiţând că solicitarea are loc în domeniul liniar elastic al
materialului şi ştiind că fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă reciproc,
se poate scrie legea lui Hooke de la solicitările axiale:
.
ρ
ε
y
EE ==σ
Raza de curbură fiind constantă pentru elementul de grindă considerat,
rezultă că deformaţiile specifice liniare şi tensiunile normale variază liniar
cu coordonata măsurată normal la axa neutră şi sunt constante pe linii
paralele cu această axă (fig.7.4).
y1
Axa neutra
σ ρx 1= Ey /
fig.7.4
Condiţia statică
În secţiunea transversală starea de eforturi este:
Mz ≠ 0; N = 0; My = 0.
Prin utilizarea relaţiilor de echivalenţă între eforturi şi tensiuni, se
poate scrie:
∫ ∫∫ =⋅=⋅= ;;; dANdAzMdAyM xxyxz σσσ
înlocuind în ultima relaţie de echivalenţă, se obţine:
113

;;0,0,0 z
AAAA
x SdAydardAydAy
E
dAN ==⇒=⇒== ∫∫∫∫ ρ
σ
momentele statice fiind nule faţă de axele ce trec prin centrul de greutate,
axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii.
Prin prelucrarea celei de-a doua relaţii de echivalenţă, se obţine:
;,0,0,0 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==⇒=⇒=⋅= ∫∫∫∫ yz
AAAA
xy IdAyzdAyzdAzy
E
dAzM
ρ
σ
în care Iyz – momentul de inerţie centrifugal faţă de axele y şi z. Aşadar,
axele y şi z sunt axe principale de inerţie, fiind perpendiculare între ele. Axa
neutră este axa z a vectorului moment; ea se suprapune (se identifică) cu
fibra medie deformată a secţiunii.
În fine, prin explicitarea primei relaţii de echivalenţă se va ajunge la:
;,, 22
ρρ
σ z
zz
AAA
xz
IE
MIdAydAy
E
dAyM =⇒⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==⋅= ∫∫∫
sau:
;
zIE
M
=
1
ρ
cu EIz – rigiditatea la încovoiere a secţiunii.
Prin utilizarea expresiei furnizate de studiul fizic (condiţia de
elasticitate), se ajunge la relaţia:
;y
I
My
E
z
z
x ===
ρ
σσ
sau formula lui Navier; această din urmă relaţie arată că tensiunile sunt
proporţionale cu momentul încovoietor, cu ordonata y măsurată de la axa
neutră şi invers proporţionale cu momentul de inerţie al secţiunii în raport cu
axa neutră a secţiunii; tensiunile σ au semnul dat de efectul pe care îl are
momentul încovoietor asupra secţiunii (fig.7.5).
Mz
y
σmin
σmax
a.n.
σx z z= M y/I
fig7.5
-
+
114

În discuţia ce urmează se porneşte de la expresia:
;maxmax y
I
M
z
z
=σ
se face notaţia:
maxy
I
W ;
z
not
z =
cu: Wz – modulul de rezistenţă axial al secţiunii, în raport cu axa z.
Aşadar, valoarea tensiunii normale maxime se poate scrie:
.max
z
z
W
M
=σ
Situându-ne în cazul în care momentul încovoietor Mz este variabil,
Mz = Mz (x), rezultă că pe grindă, tensiunile normale maxime apar în
secţiunea cu moment încovoietor maxim, în fibrele cele mai depărtate în
raport cu axa neutră a secţiunii.
Dacă se admite aceeaşi valoare a tensiunii normale maxim admisibile,
σa, la întindere şi compresiune, se obţine:
;
max
max a
z
z
W
M
σ≤=σ
anume, condiţia de rezistenţă la încovoiere.
7.3 Calculul modulului de rezistenţă axial Wz
la secţiunile simple
a) Secţiunea dreptunghiulară, (fig.7.6):
Mz
z
y
b
h
fig.7.6
pentru care expresia / relaţia de evaluare este:
115

.
6
2
12
23
max
bh
h
bh
y
I
W z
z ===
b) Secţiunea circulară, (fig.7.7):
Mz
z
y
d
fig.7.7
unde se va opera cu relaţia:
.
32
2
64
34
max
y
z
z W
d
d
d
y
I
W ====
ππ
c) Secţiunea inelară, (fig.7.8):
Mz
z
y fig.7.8
D d
pentru care este valabilă expresia:
( ) ( ) .
32
2
64
44
44
yz WdD
DD
dD
W =−=
−
=
ππ
Pentru profilele laminate modulul axial la încovoiere este dat în tabele
standardizate.
116

d) Secţiuni nesimetrice, (fig.7.9):
b1
b2
h1
h2
ymin
ymax
z
y
σmin z min z= M y /I
σmax z max z= M y /I
fig.7.9
Mz
-
+
z2
z1
dzz1
dzz2
Pentru secţiunile nesimetrice nu se pot însuma modulele de rezistenţă
ale figurilor componente ale secţiunii, iar relaţiile la care vom face apel sunt:
.
1212
;
22
2
3
22
11
2
3
11
21
max
21 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅+=+=
=
hbd
hb
hbd
hb
III
y
I
W
zzzzzzz
z
z
Când axele proprii ale elementelor componente coincid cu axa faţă de
care se calculează modulul de rezistenţă, iar ymax al tuturor elementelor
componente este ymax al întregii secţiuni, atunci (fig.7.10):
∑=
i
izz WW .
z1 z2 z
y1 y2
ymax
fig.7.10
117

7.4 Calculul grinzilor supuse la încovoiere
Rezolvarea problemelor se poate face pe baza criteriului de rezistenţă:
.aef σσ ≤
- Formula de verificare:
.max
max a
efW
M
σ≤=σ
Dacă materialul are tensiuni σa diferite la întindere şi compresiune,
atunci este necesar să se verifice σmax în fibra cea mai îndepărtată de axa
neutră atât din zona întinsă, cât şi din cea comprimată. Astfel, se va obţine:
.
;
2
max
1
max
ca
z
c
ia
z
i
y
I
M
y
I
M
σ
σ
≤=
≤=
σ
σ
- Formula de dimensionare:
.max
a
nec
M
W
σ
=
M
- Formula de determinare a efortului capabil:
.aefcap W σ⋅=
7.5 Alcătuirea raţională a secţiunilor solicitate la încovoiere
Alcătuirea raţională a unei secţiuni, lucrând la încovoiere, înseamnă
găsirea formei, astfel încât pentru o arie dată, să rezulte un modul de
rezistenţă cât mai mare. În context, se vor examina cinci tipuri de secţiuni.
Se exprimă modulul de rezistenţă sub forma:
W ;hAk ⋅⋅=
în care: A – aria secţiunii transversale; h – înălţimea secţiunii; k – un
coeficient numeric depinzând de forma secţiunii. Dacă pentru toate
secţiunile considerate Ah = ct., coeficientul k va reprezenta o măsură a
eficienţei secţiunii. Astfel, pentru secţiunea inelară:
( )
;1
8
1
2/
64
2
2
44
Ah
h
d
h
dh
W i
i
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
−
=
π
118

se notează:
;1
8
1
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
h
di
k
pentru cerc, di = 0; k = 1/8 = 0,125, pentru secţiunea inelară foarte subţire,
di→h; k = 1/4 = 0,25.
Pentru secţiunea alcătuită din două tălpi:
( )
;1
6
1
2/
12
2
2
33
Ah
h
h
h
h
h
hh
t
W ii
i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
−
=
cu notaţia:
;
h
h
h
h
1
6
1
k 2
2
ii
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
astfel, pentru dreptunghi, hi = 0; k = 1/6 = 0,167, pentru tălpi foarte subţiri,
hi→h; k = 1/2 = 0,5.
În tabelul 7.11 se dau valorile determinate ale lui k pentru cele cinci
forme de secţiune considerate.
Tabel 7.11
Forma
secţiunii
h h
h
di
t
h
t
hi h
k 0,125 0,167 1/8(1+di
2
/h2
)
0,32
valoare
medie
1/6(1+hi/h+hi
2
/h2
)
Valori
extreme
- - 0,125÷0,250 0,309÷0,323 0,167÷0,5
Valori
pentru
t→0
- - 0,205 - 0,407
De observat că eficienţa secţiunilor creşte de la forma circulară, spre
secţiunea alcătuită din două tălpi; în cazul secţiunii circulare materialul este
adunat spre axa neutră, pe când la celelalte secţiuni este din ce în ce mai
îndepărtat faţă de aceasta.
119

Aşadar, secţiunea este alcătuită cu atât mai raţional pentru a lucra
eficient la încovoiere, cu cât materialul este mai depărtat de axa neutră.
Această depărtare are însă anumite limite, pentru grinzi prea înalte apărând
pericolul pierderii stabilităţii elastice (flambaj lateral).
7.6 Încovoiere simplă
Se consideră o secţiune transversală simetrică în raport cu axa y,
solicitată de forţa tăietoare Ty. Pe un element de arie dA, situat în vecinătatea
conturului (fig.7.12), tensiunea tangenţială τ, de direcţie arbitrar reprezentată
x
z
y
Ty
τ
τn
τt
τl
dA
fig.7.12
se descompune după tangenta la contur τt şi după normală, τn. În baza
dualităţii tensiunilor tangenţiale, pe faţa laterală a grinzii ar trebui să existe o
tensiune τl = τn; în absenţa încărcării pe faţa laterală care să echilibreze
această tensiune, τl = τn = 0, astfel tensiunea tangenţială τ de pe elementul de
arie dA din secţiunea transversală trebuind să aibă o direcţie tangentă la
contur.
7.6.1 Ipotezele lui Juravski
Secţiunea din figura 7.13 este simetrică în raport cu axa y. Se
consideră linia mn la distanţa y de axa z şi de direcţie paralelă cu aceasta.
Suportul tensiunilor tangenţiale din punctele de pe contur se întâlnesc în A,
punct situat, din raţiuni de simetrie, pe axa y.
Ipoteze:
Se presupune că suportul tensiunilor tangenţiale τ din orice punct de pe linia
mn trece prin A, punct de intersecţie al tangentelor la contur în m şi n cu axa
de simetrie.
120

T
b
z
y
A
m n
yτ ττ τxy
τxz
fig.7.13
P
2. Pentru un punct curent P, de pe segmentul mn, vectorul tensiune
tangenţială se descompune în τxz şi τxy paralele cu axele z şi y. Se admite că
tensiunile τxy, paralele cu forţa tăietoare din secţiune, sunt distribuite
uniform pe linia mn paralelă cu axa neutră.
7.6.2 Formula lui Juravski
Se izolează un element de bară de lungime dx (fig.7.14), sub linia mn;
N+dN
N
m
n
p
q
q
p
n
m
τyx
τxy
/
/
/
/
fig.7.14
121

rezultanta N a tensiunilor normale de pe porţiunea de secţiune mnpq se va
putea exprima:
.z
z
z
Az
z
A z
z
A
S
I
M
dAy
I
M
dAy
I
M
dAN ==== ∫∫∫σ (1)
S-a admis că tensiunile normale σ se distribuie conform formulei lui
Navier; s-a notat cu:
,∫=
A
z dAyS
momentul static al porţiunii de secţiune mnpq în raport cu axa neutră.
Tensiunile tangenţiale τyx fiind distribuite uniform pe elementul de
lungime dx, se poate scrie ecuaţia de echilibru static în raport cu axa x:
( ) ;0;0 =⋅++−=∑ dxbdNNNX yzτ
unde b reprezintă lăţimea secţiunii la nivelul liniei mn.
Astfel, rezultă:
.
1
dx
dN
b
yx =τ (2)
Secţiunea barei fiind constantă, Sz şi Iz nu vor depinde de x şi ţinând
cont de relaţia (1), se poate scrie:
;
dx
dM
I
S
dx
dN z
z
z
=
dar ;T
dx
dMz
=
înlocuind în expresia (2), se obţine formula lui Juravski:
.
z
z
yxxy
Ib
ST
⋅
⋅
== ττ
Rezultă că tensiunile tangenţiale sunt proporţionale cu forţa tăietoare
şi orientate pe secţiune în sensul acesteia. Lăţimea b reprezintă lăţimea
secţiunii în punctul de calcul al tensiunii tangenţiale, valoarea acesteia
obţinându-se prin ducerea prin acel punct a unei drepte paralele cu axa
neutră. Sz este momentul static al părţii din secţiune care tinde să lunece în
raport cu fibra neutră prin tăierea cu dreapta paralelă cu axa neutră; este
vorba de oricare din cele două părţi în care s-a împărţit secţiunea, de regulă
alegându-se acea parte pentru care calculul este mai facil. Pentru fibrele
extreme ale secţiunii Sz fiind nul, rezultă că şi tensiunile tangenţiale vor fi
nule, situaţie opusă celei din cazul tensiunilor normale σ datorate
momentului încovoietor (formula lui Navier), tensiuni a căror valoare
maximă se obţine, de regulă, la extremităţi.
122

7.6.3 Variaţia tensiunilor tangenţiale la secţiunile simple
Pornind de la formula lui Juravski şi de la valorile caracteristicilor
geometrice ale secţiunilor simple se va trasa distribuţia tensiunilor
tangenţiale τxy pentru diverse secţiuni elementare.
a. Dreptunghi (fig.7.15)
b
h
y
T
y
z
τxy
τxy = 1.5T/A
max
fig.7.15
La dreptunghi, momentul de inerţie axial este:
;
12
3
hb
=Iz
pentru aria haşurată, situată la distanţa y de axa neutră z, momentul static al
suprafeţei menţionate faţă de această axă este:
;
422
2
2
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= y
hb
y
h
yy
h
bSz
astfel, rezultă:
.
42
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
⋅
⋅
= y
h
I
T
Ib
ST
zz
z
xyτ
Tensiunea tangenţială are aşadar o variaţie parabolică, cu valoarea
maximă:
,
2
3
8
2
max
A
Th
I
T
z
xy ==τ
valoare obţinută pentru y = 0, (A = bh).
123

b. Cerc (fig.7.16)
z
τxy
τxy = 1.33T/A
max
fig.7.16
D
bz
y
dy
R
T
y
La cerc, momentul de inerţie axial este:
;
464
44
RD
Iyz
ππ
===I
fie aria elementară haşurată, situată la distanţa y faţă de axa z , de lăţime dy
(fig.7.16). Lăţimea bz se poate calcula cu relaţia: .2 22
yRbz −=
Momentul static al acestei arii în raport cu axa neutră z este:
( ) .yR
3
2
dyyRy2dyybS 2
3
2222
zz −=−== ∫∫
Se calculează raportul:
( )
( ).
3
1
2
3
2
22
22
2
3
22
yR
yR
yR
bz
z
−=
−
−
=
S
Rezultă tensiunea tangenţială τxy:
( ) ,1
3
4
4
3 2
2
4
22
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
−
=
⋅
⋅
=
R
y
A
T
R
yRT
Ib
ST
z
z
xy
π
τ
cu A = π⋅R2
. Este vorba, aşadar, de o variaţie parabolică pentru tensiunea
tangenţială τxy; valoarea maximă se obţine pentru y = 0, astfel:
.
3
4max
A
T
xy =τ
124

c. Secţiunea în formă de I (fig.7.17)
H
t
h
t
b (B-b)/2
T
1 1
22
3
3 z
y z
y
B
τxz
τxz
τxy
fig.7.17
+
+
-
-
g
τxy
max
*
Pe inima profilului se dezvoltă tensiuni τxy, pe talpă se dezvoltă
tensiuni τxz.
Deoarece pe inimă tensiunile τxy au sensul forţei tăietoare T, pe talpă
tensiunile τxz se figurează astfel încât să aibă alura vitezelor curbelor de
curent din domeniul curgerii fluidelor; pe tălpi, se strâng afluenţii în partea
de jos, iar în partea de sus afluenţii se desfac. Sensul de curgere este dat de
sensul forţei tăietoare în secţiune.
Tensiunile tangenţiale sunt pozitive când sunt îndreptate în sens invers
axelor.
Distribuţia tensiunilor τxy
Pe linia 1-1 de pe inimă tensiunile se calculează astfel:
.
2
;
2
;
2222
11
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∈⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
−
⋅⋅=− hh
yy
h
y
hbtH
tB
Ib
T
z
xyτ
Rezultă o distribuţie parabolică, cu valoarea maximă pe axa neutră,
pentru y = 0:
125

.
82
2
max
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⋅⋅=
hbtH
tB
Ib
T
z
xyτ
Pe tălpi tensiunile τxy vor apare numai pe lăţimea inimii; fie linia 2-2
la distanţa g de marginea inferioară a tălpii de jos, astfel:
[ ].;0;
2
22
tg
gH
gB
Ib
T
z
xy ∈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅⋅=−
τ
Pentru profilele laminate, unde tălpile sunt subţiri, se poate considera:
;
22
ht
≅
H −
astfel, rezultă:
,
2
Bgh
Ib
T
z
xy =τ
deci o distribuţie liniară.
Distribuţia tensiunilor τxz
Pe linia curentă 3-3 tensiunile tangenţiale τxz se consideră distribuite
uniform pe grosimea t, calculându-se cu relaţia:
,
*
33
z
xz
It
ST
⋅
⋅
=−
τ
cu S∗
- momentul static al părţii care tinde să lunece (fig.7.18).
τxz
t
fig.7.18
Astfel, se obţine:
,
2
** tH
ztS
−
⋅⋅=
rezultând o distribuţie liniară pentru tensiunea tangenţială τxz.
Pe lăţimea inimii tensiunea τxz este nulă.
126

7.6.4 Centrul de lunecare
S-a admis pentru încovoierea simplă că forţele exterioare sunt aplicate
într-un plan principal de inerţie, care conţine linia centrelor de greutate,
adică axa grinzii. Rezultă că în secţiune apar doar tensiuni de încovoiere şi
de lunecare. Acest lucru nu este întotdeauna valabil.
Se consideră o grindă cu secţiunea un profil U, solicitată la încovoiere
simplă (fig.7.19).
O C G
z0 d
H
T
H
t
t
h1
τxz
τxz
τxz
τxz
τxz
max
max
τxz
τxy
τxy
max
τxy
z
y
fig.7.19
+
-
b1
Tensiunile τxy se reduc la o rezultantă T aplicată chiar pe linia
mediană a inimii, tensiunile τxz, la două forţe H care formează un cuplu.
În cazul în care planul forţelor exterioare trece prin G secţiunea este
solicitată şi de un moment de torsiune:
.01 ≠⋅+⋅= dThHMG
Se pune problema determinării poziţiei punctului O prin care să treacă
forţa tăietoare T astfel ca momentul MG să fie nul.
Deoarece cuplul H⋅h1 tinde să rotească în sens orar, rezultă că punctul
O trebuie să fie situat la stânga punctului C.
127

Se notează cu z0 distanţa OC; valoarea sa se determină din ecuaţia de
moment în raport cu punctul O:
;001 =⋅−⋅= zThHMO
rezultă:
.1
0
T
hH
z
⋅
=
H fiind rezultanta tensiunilor tangenţiale τxz, aceasta se calculează
astfel:
,
2
2;
2
11
1
1
max1max
zz
xzxz
I
bhT
It
b
ht
T
b
tH =
⋅
⋅
=⋅⋅= ττ
rezultă:
.
4
2
11
zI
tbhT
=H
Prin înlocuire în expresia lui z0, se obţine:
.
4
2
1
2
1
0
zI
thb
=z
Rezultă că distanţa z0 este independentă de mărimea încărcărilor
exterioare, fiind o caracteristică a secţiunii transversale; punctul O este
denumit centru de încovoiere-torsiune sau centru de lunecare.
Indicaţii privind centrul de lunecare
1. La secţiunea având două axe de simetrie, centrul de încovoiere-
torsiune coincide cu centrul de greutate; este cazul următoarelor secţiuni:
2. La secţiunile formate din dreptunghiuri înguste, ale căror axe converg
într-un punct O, centrul de încovoiere-torsiune coincide cu acest punct, adică
se găseşte la intersecţia liniilor mediane ale aripilor; exemple:
O
O O
128

3. La secţiuni care admit o singură axă de simetrie, de exemplu axa z,
punctul O este situat pe această axă. Pentru determinarea poziţiei sale pe
această axă se calculează succesiv:
- distribuţia tensiunilor tangenţiale, în diferitele elemente componente
ale secţiunii, produse de forţa tăietoare T aplicată în centrul de greutate,
după axa z.
- rezultantele parţiale ale tensiunilor tangenţiale în diferitele elemente
componente ale secţiunii.
- momentul acestor rezultante în raport cu centrul de greutate (MG).
- poziţia abscisei punctului O:
.
T
MG
O =z
7.7 Grinzi compuse supuse la încovoiere
Grinzile compuse sunt bare alcătuite din mai multe elemente
solidarizate între ele. Solidarizarea împiedică lunecarea între elemente,
asigurându-se astfel conlucrarea la încovoiere.
La solicitarea de încovoiere simplă, în secţiunile paralele cu fâşia
neutră, apar tensiuni tangenţiale (pe baza principiului dualităţii tensiunilor
tangenţiale). Rezultanta acestora pe o lungime precizată din grindă se
numeşte forţă de lunecare.
Fie grinda compusă dintr-un pachet de două bare cu secţiune
dreptunghiulară (fig.7.20a), nesolidarizate între ele; sub efectul încărcărilor
grinda se încovoaie.
b
h
h
M1M1 σ
M = 2 W = 2 bh/61cap a aσ σ
2
a)
b)
fig.7.20
129

M2M2
σ
M = W = b(2h)/6 = 2M2 1cap a a capσ σ
2
fig.7.20
c)
Cazul b: barele nefiind solidarizate între ele, fiecare lucrează independent,
fibrele superioare se scurtează, cele inferioare se lungesc. Feţele în contact
ale barelor vor luneca una în raport cu cealaltă.
Cazul c: când barele sunt solidarizate între ele, lunecarea relativă a feţelor în
contact este împiedicată, grinda lucrând ca un singur element. Se observă că
solidarizările măresc considerabil capacitatea portantă a grinzilor compuse.
7.7.1 Evaluarea forţei de lunecare
B C
B C
B C
τyx
b
b)a)
x
z
y
b
T
fig.7.21
Fie cazul elementului de grindă compusă, de lungime dx, din figura
7.21; forţa de lunecare pe linia de separaţie BC este:
;dxbdL yx ⋅= τ
rezultă:
,∫∫ =⋅= dxT
I
S
dxb
z
z
yxτL
cu τyx = τxy = T⋅Sz / b⋅Iz , conform formulei lui Juravski.
130

Dacă forţa tăietoare este constantă pe un interval de lungime e, aceasta
se calculează astfel:
.e
I
ST
z
z
L
⋅
=
Dacă elementul dx corespunde unei grinzi cu încărcarea distribuită,
diagramele T şi M vor fi ca în figura 7.22:
p
1 2
x dx
T1
T2
T
M
M1
M2
fig.7.22
dΩ
T
+
x
Forţa de lunecare pe intervalul 1-2 va fi:
,
2
1
21 ∫ Ω=−
T
z
z
d
I
S
L
cu dΩT
– aria elementară din diagrama T; rezultă:
,2121
T
z
z
I
S
−− Ω=L
în care Ω1-2
T
– aria forţei tăietoare pe intervalul 1-2, Sz – momentul static al
părţii din secţiune care tinde să lunece iar Iz – momentul de inerţie axial al
întregii secţiuni. Conform relaţiilor diferenţiale între eforturi şi încărcări:
.; dMdxTT
dx
dM
=⇒=
Astfel, se poate evalua forţa de lunecare şi cu relaţia:
( );12
2
1
21 MM
I
S
dM
I
S
L
z
z
z
z
−== ∫−
cu M2 şi M1 momentele încovoietoare în secţiunile 2 şi 1.
Pentru preluarea forţelor de lunecare, grinzile compuse sunt
solidarizate prin sudură sau nituire în vederea asigurării conlucrării
elementelor componente.
131

7.7.2 Calculul grinzilor compuse nituite
e
fig7.23
nit de cap
nit de gat
Fie o grindă solicitată la încovoiere a cărei secţiune este alcătuită
(fig.7.23) dintr-o inimă verticală, două tălpi orizontale şi patru corniere,
solidarizarea efectuându-se cu nituri. Niturile de cap împiedică lunecarea
tălpilor faţă de corniere, cele de gât, lunecarea inimii faţă de corniere.
Calculul nituirii se efectuează în mod practic numai pentru niturile de
gât, acestea fiind mai solicitate decât cele de cap. Un singur nit va fi solicitat
de o forţă de lunecare Lnit, care se produce pe distanţa e dintre două nituri
succesive. Niturile se aşează la distanţe egale, iar pe fiecare interval se va
considera valoarea maximă a forţei tăietoare; astfel:
,max
e
I
ST
z
z
nit ⋅L
⋅
=
cu Iz – momentul de inerţie axial brut, Sz – momentul static al tălpii formate
din platbandă şi două corniere. Lunecarea dintre corniere şi inimă, pe
distanţa aferentă unui nit (e), trebuie să îndeplinească condiţia:
Lnit ≤ R,
cu R – rezistenţa nitului şi
R = min(Rf , Rstr);
Rf = Af ⋅ τaf ;
Rstr = Ast r ⋅σa str.
Distanţa dintre nituri se calculează cu expresia:
.
maxTS
IR
e
z
z
⋅
⋅
≤
Constructiv, trebuie respectată relaţia:
132

3 ,8ded ≤≤
dacă din calcule rezultă e > 8d, se alege e = 8d.
Pentru niturile de cap se poate face un calcul asemănător, care practic
nu este necesar, deoarece fiind două nituri, se vor obţine distanţe mai mici.
De aceea şi aceste nituri se dispun la aceeaşi distanţă ca şi niturile de gât, dar
decalate faţă de acestea cu jumătate de interval.
La verificarea criteriului de rezistenţă al grinzii încovoiate (σmax ≤ σa),
se va ţine seama de slăbirile produse de nituri în calculul momentului de
inerţie axial Iz.
7.7.3 Calculul grinzilor compuse sudate
e
fig7.24
a
T
z
y
t1
t2
ls
La grinda compusă sudată (fig.7.24), solidarizarea tălpilor cu inima se
poate realiza prin cordoane continue sau întrerupte de sudură; în calcule se
va considera forţa tăietoare maximă.
Pe un interval de lungime egală cu unitatea, forţa de lunecare va trebui
preluată de cordoanele de sudură; în consecinţă, trebuie îndeplinită condiţia:
.65.0,12,1
;
max
1
1
aass
z
z
ass
aA
I
ST
L
AL
στ
τ
=⋅=⋅
⋅
≤
⋅≤
Rezultă grosimea necesară a cordonului continuu de sudură:
;
2
max
asz
z
I
TS
τ⋅
a
⋅
≥
133

cu Sz – momentul static al unei tălpi, amin = 3 ÷ 4mm.
Când a < amin se realizează cordoane întrerupte; în acest caz, lunecarea
de pe lungimea e trebuie preluată de cele două cordoane de lungime ls şi
grosime a. Condiţia de îndeplinit, în acest caz, este:
.
;2
max
e
I
ST
la
z
z
e
ase
⋅
⋅
=L
L ⋅⋅≤ τ
Astfel, rezultă:
.
2
max z
asz
ST
Ia
⋅l
e ⋅⋅
≤
τ
Problema 7.a
Grinda cu consolă din fig.7a are secţiunea în formă de T. Să se
dimensioneze grinda. Să se traseze distribuţiile de tensiuni σ, τxy şi τxz în
secţiunea C. Se dă σa = 150 N/mm2
.
100kNm 20kN/m
A B C D
2m 2m 3m
V =38kNB V =22kND
x =1.1m0
38
22100
24
12.1
T
M
12t 2t
y1Gz1
z
z2 20t
ymax
2t
y
+
+
-
-
fig.7a1
[kN]
[kNm]
Secţiunea periculoasă este pe intervalul AB unde momentul
încovoietor are valoarea maximă în modul. Condiţia de dimensionare este:
;dimmax
z
a
nec
z W
M
W ==
σ
134

( ) ( ) ( ) ( )
,46.223
;125.14
;33.3156125.440875.624
12
202
12
212
;
;1067.666
150
10100
3dim
max
42222
33
max
dim
33
6
tW
ty
ttttt
tttt
I
y
I
W
mmW
z
z
z
z
nec
z
=
=
=+++=
=
⋅=
⋅
=
rezultă t = 12,5 mm, se alege tef = 13mm.
Distribuţia de tensiuni σ se determină cu formula lui Navier;
reprezentarea s-a făcut în figura 7.a2. Se calculează:
.mm/N25.2713875.7
1333.3156
1024
,t875.7y;mm/N88.48
1346.223
1024
2
4
6
C
min
min
2
3
6
C
max
=⋅⋅
⋅
⋅
=
==
⋅
⋅
=
σ
σ
Mz
y
z
fig.7.a2
τxz
max
σmin
σmax
τxy
1
τxy
max
σ τ
+
+
−
−
+
Pentru tensiunile τxy şi τxz se utilizează formula lui Juravski;
cunoscând TC = 38 kN şi determinând Sz
1
= 12⋅2⋅6,875t3
= 165t3
(fig.7.a2),
rezultă:
./87.5
1333.3156132
131651038 2
4
33
1
mmNxy =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=τ
Calculând:
135

31max
5.199
2
875.5
2875.5 t
t
ttSS zz =⋅⋅+= (fig.7a2);
se obţine:
./1.7
1333.3156132
135.1991038 2
4
33
max
mmNxy =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=τ
La calculul lui τxz
max
, grosimea tălpii este 2t şi Sz
*
= 2t⋅5t⋅6,875t,
astfel:
./44.2
1333.3156132
13875.6251038 2
4
33
max
mmNxz =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=τ
Problema 7.b
Grinda simplu rezemată din figura 7b are secţiunea alcătuită din două
profile I18 solidarizate cu nituri φ20. Să se verifice grinda şi să se calculeze
distanţa dintre nituri; se cunoaşte σa = 150 N/mm2
.
10kN 30kN50kNm
A B C D
V =17.5kNB V =22.5kND
2m 2m 2m
10
7.5
22.5
20
5
45
T
M
[kN]
[kNm]
10.4
φ20
I18
I18
z
y
fig.7b
+
−
−
−
+
Condiţia de verificare este:
.
max
max a
z
z
W
M
σ≤=σ
Secţiunea periculoasă este Cdr, unde Mz are valoarea maximă; aici se
va face verificarea:
136

( ) ( )
,cm04.412
18
12
04.122
299.2714502
y
I
W
;Nmm1045kN45M
3
3
2
max
z
z
6max
z
=
⋅⋅
−⋅+
=
⋅==
rezultă:
.mm/N150mm/N16.109
1004.412
1045 2
a
2
3
6
max =<=
⋅
⋅
= σσ
Determinarea distanţei între nituri se va face utilizând relaţia:
;II,
TS
IR2
e brutzz
z
z
=
⋅
⋅
≤
unde:
( )
;6240015024.1020
;376991508.0
4
20
4
;;min
min
22
NtdR
N
d
R
RRR
astrstr
aff
strf
=⋅⋅⋅=⋅⋅=
=⋅⋅
⋅
=⋅=
=
σ
π
τ
π
rezultă:
.5.22
;1.25199.27
;37699
3
kN
cm
T
S
NR
z
z
=
=⋅=
=
Ţinându-se seama de faptul că în secţiune lucrează simultan câte două
nituri, se calculează:
.19.990
105.22101.251
108.7419376992
33
4
mme =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
Din motive constructive, distanţa maximă dintre nituri trebuie să fie e ≤ 8d
= 160 mm, deci niturile se vor aşeza la intervalul e = 160 mm.
Problema 7.c
Să se dimensioneze grinda metalică încărcată ca în figura 7c.
Secţiunea va fi alcătuită în formă de I, solidarizarea tălpilor cu inima
făcându-se prin cordoane de sudură continue. Grosimea cordoanelor de
sudură este a = 5 mm.; se dă σa = 210 N/mm2
. Să se determine: 1) lăţimea
necesară a tălpilor b; 2) să se verifice cordoanele de sudură.
137

170kN 138kN
A B C D
4.5m 2.5m 2m
115.67
54.33
192.33
T [kN]
520.5
384.67
M [kNm]
V =115.67kNA V =192.33kND
b 25x
b 25x
450 8x
fig.7c
+
+
−
Se determină:
( ) [ ]
( ) .
1025
109.28226075
;25;9.282260754550
1212
458.0
;1057.2478
210
105.520
3
4
max
dim
max
433
3
33
6max
mm
b
y
I
W
cmycmb
b
I
mm
M
W
z
z
z
a
znec
z
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅+
==
=+=−+
⋅
=
⋅=
⋅
==
σ
Din condiţia Wz
nec
= Wz
dim
rezultă b = 197,98 mm; se alege b = 200
mm, rezultă Wz = 2501,33 cm3
.
Pentru sudura continuă se cunosc:
.33.62533
;5.1187
2
5.47
5.220
;33.192
4
3
max
cm
cm
kN
z
z
=
=⋅⋅=
I
S
T =
Se face verificarea cordoanelor de sudură continue astfel:
.
;mm/N5.13621065.065.0
;mm/N5.36
1033.6253352
105.11871033.192
Ia2
ST
ass
2
aas
2
4
33
z
zmax
s
ττ
στ
τ
<
=⋅==
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
⋅
=
138

Problema 7.d
Se dă grinda încărcată ca în figura 7d. Cunoscând σa = 220 N/mm2
, se
cere: a) determinarea forţei capabile Pcap; b) verificarea cordoanelor de
sudură întrerupte cu a = 6 mm, l = 10,8 cm şi e = 24 cm; c) să se determine σ
şi τxy în punctul de coordonate x = 2,625 m şi y = 350 mm.
3P 3P 5P 2P
A B C D E F
V =9PB V =4PE
2.5m 2.5m 2.5m 2.5m 2.5m
3P
6P
3P
2P
4P
T
[kNm]
[kN]
M
7.5P
7.5P
15P
10P
fig.7d
240
15
800 z
15
y
240
9
+
−−
−
+
a) Din diagrama de moment rezultă că secţiunea cea mai solicitată este
cea din D. Folosind relaţia:
cu condiţia,a
ef
z
cap
z WM σ⋅=
,MM max
z
cap
z = rezultă:
;N55830
1015
220106.3806
P 3
3
cap =
⋅
⋅⋅
=
cu:
.106.3806
415
12
8009
5.40715240
12
15240
2
33
3
2
3
max
mm
y
I
W zef
z ⋅=
⋅
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅
==
b) Pentru verificarea cordoanelor de sudură întrerupte se foloseşte
relaţia:
;
2
max
as
z
z
s
la
e
I
ST
τ≤⋅
⋅
=τ
în care:
T ;3349806max NP ==
139

./143/7.56
;/14322065.0
;146775.405.124
22
2
3
mmNmmN
mmN
cmS
ass
as
z
=<=
=⋅=
=⋅⋅=
ττ
τ
c) Pentru calculul tensiunii σx în punctul de coordonate date se foloseşte
formula lui Navier:
;y
I
M
z
z
x ⋅=σ
unde:
./49.83
;10157974;350
;108525.376125.09625.23
2
44
6625.2
mmN
mmImmy
NmmPPM
x
z
mx
z
−=
⋅==
⋅−=⋅+⋅−==
σ
Pentru calculul tensiunii τxy în punctul de coordonate date se foloseşte
formula lui Juravski:
;
z
z
xy
Ib
ST
⋅
⋅
=τ
în care:
./54.38
;9
;75.16355.379.0575.405.124
;334980
2
3
625.2
mmN
mmb
cmS
NT
xy
z
mx
=
=
=⋅⋅+⋅⋅=
==
τ
Problema 7.e
Secţiunea din figura 7e este solicitată la încovoiere simplă. Cunoscând
tensiunea maximă σmax = 125 N/mm2
se cere să se calculeze momentul
încovoietor capabil şi tensiunea minimă.
Se determină poziţia centrului de greutate:
.375.306
152001060012250
5.6131520030610600012250
1 mm
A
yA
y
i
i
i
ii
G =
⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
==
∑
∑
Din raportul de asemănare al triunghiurilor formate în diagrama σ, se
obţine (fig.7e):
140

./1.124;
125625.314
375.312 2
min
min
mmN=⇒= σ
σ
250x12
200x15
600x10y =306.375G
G
z1
z2
z
z3
y
y =312.3751
y =314.6252
σmin=?
σmax=125N/mm
2
fig.7e
−
+
Momentul capabil se calculează plecând de la condiţia de rezistenţă la
solicitarea de încovoiere:
,;max zacapa
z
cap
WM
W
M
⋅=⇒≤= σσσ
în cazul de faţă σa = σmax = 125 N/mm2
, astfel:
;1084.2366 33
max
mm
y
I
W z
z ⋅==
în care:
.625.314;731.74466
,7.3030
12
5.120
0375.060
12
601
6375.3030
12
2.125
max
4
2
3
2
3
2
3
mmycmI
I
z
z
==
⋅+
⋅
+⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=
Astfel, se obţine:
.10855.295 6
NmmMcap ⋅=
141

Capitolul 8
DEFORMAREA GRINZILOR DREPTE SOLICITATE LA
ÎNCOVOIERE
8.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate
În urma solicitării de încovoiere, barele drepte iau forme curbe, axa
barei în acestă situaţie fiind o curbă continuă numită fibră medie deformată.
Studiul deformaţiilor urmăreşte stabilirea formei deformate a grinzii
sau determinarea săgeţilor şi rotirilor produse în dreptul secţiunilor grinzii.
Starea deformată se caracterizează prin deplasarea pe verticală,
numită săgeată, notată cu v şi înclinarea fibrei medii sau a secţiunii
transversale, numită rotire şi notată cu ϕ (fig.8.1).
y
x
P
v
1i
1i
/
x ϕ
ρ
A B
fig.8.1
Rotirea ϕ este considerată pozitivă când axa x se suprapune peste
tangentă prin rotire în sens orar; în ipoteza micilor deplasări:
.
dx
dv
=ϕ
Săgeata v reprezintă o cantitate mică în raport cu lungimea barei iar
deplasarea pe orizontală corespunzătoare aceluiaşi punct i este un infinit mic
în raport cu v, aşadar punctul i se va considera că se deplasează pe verticală
în i/
.
142

La studiul tensiunilor datorate solicitării de încovoiere s-a stabilit
relaţia între curbura barei şi momentul încovoietor:
;
z
z
IE
M
⋅
=
1
ρ
se renunţă la indicele z pentru deplasări în planul xy.
Se ştie că:
;
1
2
3
2
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
dx
dv
dx
vd
ρ
1
dar dv/dx = tgϕ ≅ ϕ se neglijează având valori foarte mici în raport cu
unitatea. Astfel, rezultă:
.2
2
IE
M
dx
vd
==
ρ
1
Datorită faptului că atunci când Mz este pozitiv 1/ρ este de semn
negativ şi invers (fig.8.2), ecuaţia de mai sus se va rescrie:
x
y y
x
Mz
Mz
fig.8.2
ρ
ρ
;
1
IE
M
−=
ρ
(1)
reprezentând ecuaţia simplificată a fibrei medii deformate, de ordinul II.
Dacă produsul EI = ct. şi ştiind că:
,; q
dx
dT
T
dx
dM
−==
se poate scrie ecuaţia diferenţială de ordin IV a fibrei medii deformate:
.4
4
IE
q
dx
v
=
d
143

8.2 Metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale
Se consideră cazul barei cu secţiune constantă şi se presupune
cunoscută legea de variaţie a momentului încovoietor M = M(x). Prin
integrări succesive ale ecuaţiei (1) se va obţine rotirea ϕ = ϕ(x) şi săgeata v
= v(x):
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫
∫
++−==
+−=
.
1
;
1
21
1
CxCdxdxxM
IE
dxxxv
CdxxM
IE
x
ϕ
ϕ
Pentru determinarea constantelor de integrare C1 şi C2 se pun
condiţiile la limită care reprezintă valori ale săgeţilor şi rotirilor în punctele
de rezemare şi în alte secţiuni caracteristice ale grinzii (tabelul 8.1).
Tipul de reazem Condiţii în deplasări Condiţii în eforturi
reazem simplu
încastrare
capăt liber
reazem simplu
intermediar
articulaţie
intermediară
v = 0; ϕ ≠ 0
v = 0; ϕ = 0
v ≠ 0; ϕ ≠ 0
vst = vdr = 0;
ϕst = ϕdr ≠ 0
vst = vdr ≠ 0;
ϕst ≠ ϕdr ≠ 0
M = 0; T ≠ 0
M ≠ 0; T ≠ 0
M = 0; T = 0
Mst = Mdr ≠ 0;
Tst ≠ Tdr ≠ 0
Mst = Mdr = 0;
Tst = Tdr ≠ 0
tabelul 8.1
144

Exemple:
a. Bară încastrată la un capăt, încărcată cu o forţă concentrată la
capătul liber (fig.8.3)
x
EI = ct.
l
P
A B
vB
ϕB
fig.8.3
Într-o secţiune oarecare x, faţă de originea considerată în punctul A,
expresia momentului încovoietor curent este:
( ) ( );xlPxM −−=
rezultă:
( ),2
2
IE
xlP
dx
v −
=
d
prin integrare succesivă de două ori, se obţine:
.
62
;
2
21
32
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−==
CxC
xx
l
IE
P
C
x
lx
IE
P
dx
dv
ϕ
v
Condiţiile la limită sunt:
,0;00 ==⇒= ϕvx
rezultă C1 = C2 = 0.
Ecuaţia fibrei medii deformate este:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
62
32
xxl
IE
P
v .
La capătul liber al barei săgeata şi rotirea au valori maxime:
.
2
;
3
2
max
3
max
EI
lP
EI
lP
vv lx
B
lx
B ==== ==
ϕϕ
145

b. Bară încastrată la un capăt, încărcată cu o sarcină uniform
distribuită pe toată deschiderea (fig.8.4)
xEI = ct.
l
A B
vB
ϕB
fig.8.4
q
Într-o secţiune oarecare situată la distanţa x în raport cu originea A,
momentul încovoietor are expresia:
( )
( ).2
2
;
2
22
2
2
2
xlxl
EI
q
dx
v
xl
q
M
+−=
−−=
d
Integrând de două ori rezultă:
.
12322
;
32
21
4322
1
3
22
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−==
CxC
xlxxl
EI
q
v
C
x
lxxl
EI
q
dx
dv
ϕ
.0
,0;00
21 ==
==⇒=
C
v
C
x ϕ
Ecuaţia fibrei medii deformate este:
.
12322
4322
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
xlxxl
EI
q
v
La capătul liber al barei săgeata şi rotirea sunt maxime:
.
EI6
ql
;
EI8
ql
vv
3
max
lx
B
4
max
lx
B ==== ==
ϕϕ
146

c. Bară simplu rezemată la capete încărcată la mijloc cu o forţă
concentrată (fig.8.5)
P
A B
x
x
l/2 l/2
C
/
fig.8.5
Pe intervalul AB expresia momentului încovoietor este:
( ) .
2
,0;
2 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈⋅=
l
xx
P
xM
Pe intervalul BC expresia momentului încovoietor este:
( ) ( ) .,
2
;
222 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅= l
l
xlx
Pl
xPx
P
xM
Rezultă:
- pe intervalul AB: ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈⋅−=
2
,0;
22
2
l
xx
EI
P
dx
vd
;
- pe intervalul BC: ( ) .,
2
;
22
2
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈−−= l
l
xxl
EI
P
dx
vd
Se integrează de două ori pe ambele intervale:
.
622
;
22
:
,
62
;
22
:
43
32
3
2
21
3
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−==
CxC
xlx
EI
P
v
C
x
lx
EI
P
dx
dv
BC
CxC
x
EI
P
v
C
x
EI
P
dx
dv
AB
ϕ
ϕ
;00 =⇒= Avx
147

.0
,0;
2
=⇒=
==⇒=
C
B
dr
B
st
B
vl
vv
l
ϕ
x
x
Înlocuind în cele patru ecuaţii se obţin cele patru constante:
.
24
;
8
3
;0;
8
3
4
2
32
2
1
l
C
l
CC
l
C =−==−=
Săgeata maximă are loc la mijlocul grinzii:
;
48
3
max
2
EI
Pl
v
l
x
B ==
=
v
rotirile sunt maxime pe reazeme:
.
16
2
EI
Pl
CA =−= ϕϕ
d. Bară simplu rezemată la capete încărcată cu o sarcină uniform
distribuită pe toată deschiderea (fig.8.6)
A B
x
l
fig.8.6
q
Într-o secţiune curentă x expresia momentului încovoietor este:
( ) ;
22
2
qx
x
ql
x −=M
astfel, rezultă:
( ).
2
2
2
2
xlx
EI
q
dx
v
+−=
d
.
Se integrează de două ori:
.
1262
;
322
21
43
1
32
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−==
CxC
xlx
EI
q
C
xlx
EI
q
dx
dv
ϕ
v
148

,0
;00
=⇒=
=⇒=
vl
v
x
x
astfel, rezultă constantele de integrare:
.
12
;0
3
12
l
C ==C
Ecuaţia fibrei medii deformate devine:
.
12126
343
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−=
xlxlx
EI
q
v
Săgeata maximă apare la mijlocul grinzii:
,
384
5 4
2
max
EI
ql
l
x
=
=
v
iar rotirile au valori maxime pe reazeme:
.
24
3
EI
ql
BA =−= ϕϕ
e. Bară simplu rezemată încărcată cu momente pe reazeme (fig.8.7)
A B
x
l
fig.8.7
M0 M0
Într-o secţiune curentă x momentul încovoietor este:
( ) ;0MxM =
rezultă:
.0
2
2
EI
Mv
−=
dx
d
Se integrează succesiv de două ori:
( );1
0
Cx
EI
M
dx
dv
+−== ϕ
149

.
2
21
2
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−= CxC
x
EI
M
v
,0
;00
=⇒=
=⇒=
vl
v
x
x
astfel, rezultă constantele de integrare:
.
2
;0 12
l
C −==C
Ecuaţia fibrei medii deformate va fi:
( ).
2
2
0
EI
xxlM
v
−
=
Săgeata maximă se găseşte la mijlocul grinzii:
;
8
2
02
max
EI
lM
v
l
x
=
=
iar rotirile maxime au loc pe reazeme:
.
2
0
EI
lM
BA =−= ϕϕ
f. Bară dublu încastrată încărcată cu o sarcină uniform distribuită
(fig.8.8a)
p p
M0 M0
l l l
= +
a. b. c.
fig.8.8
Problema este static nedeterminată. Rezolvarea se va face pe baza
principiului suprapunerii efectelor. Încastrarea se înlocuieşte cu un reazem
simplu pe care acţionează un moment M0 a cărui valoare va fi determinată
astfel ca rotirea pe reazem să fie nulă (fig.8.8b şi c); pe cea de a doua grindă
simplu rezemată va acţiona sarcina uniform distribuită, de intensitate p,
cunoscută.
150

Pentru situaţia din figura 8.8b se cunosc, din exemplele precedente:
.
8
;
24
;
384
5
2
2
/
max
3
/
4
2
/
max
pl
EI
pl
EI
pl
l
x
A
l
=
=
=
=
=
M
v
x
ϕ
Pentru figura 8.8c:
.
;
2
;
8
0
//
max
0//
2
0
2
//
max
M
EI
lM
EI
lM
A
l
=
=
=
=
M
v
x
ϕ
Când cele două încărcări lucrează concomitent, mărimile
corespunzătoare se însumează:
dar,///
AAA ϕϕϕ += ;0=Aϕ
se înlocuiesc expresiile lui ϕA
/
şi ϕA
//
:
.
12
,0
224
2
0
0
3
pl
M
EI
lM
EI
pl
−=⇒=+
Momentul şi săgeata maximă la jumătatea deschiderii grinzii vor fi:
.
384812384
5
;
24128
4224
max
222
max
EI
pl
EI
lpl
EI
pl
v
plplpl
M
=−=
=−=
8.3 Metoda grinzii conjugate
Determinarea ecuaţiei axei deformate prin integrarea directă a ecuaţiei
diferenţiale devine nepractică dacă numărul intervalelor cu legi diferite de
variaţie a momentelor încovoietoare creşte. O eficienţă sporită se obţine
utilizând metoda grinzii conjugate sau a grinzii fictive. Această metodă se
bazează pe analogia dintre ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate
151

(relaţia 1) şi expresia care rezultă în cazul ecuaţiei diferenţiale între eforturi
şi încărcări (relaţia 2):
;2
2
EI
M
dx
d
dx
vd
−==
ϕ
(1)
.2
2
p
dx
dT
dx
Md
−== (2)
Se constată că, făcând corespondenţa:
,;; vMT
EI
M
p ↔↔↔ ϕ
un grup de relaţii se transformă în celălalt.
Dacă se notează:
;pf
=
EI
M
(f – fictiv)
şi identificând relaţiile (1) şi (2), rezultă:
;2
2
f
ff
p
dx
dT
dx
Md
−== (2/
)
dar relaţia (2/
) este identică cu relaţia (1). Rezultă că:
.;
EI
M
v
EI
T ff
==ϕ
Calculul deplasărilor ϕ şi v (rotiri şi săgeţi) se reduce la calculul unor
diagrame de eforturi. Grinda pe care se trasează diagramele Tf
şi Mf
(forţă
tăietoare fictivă şi moment încovoietor fictiv), este o grindă convenţională
care trebuie să satisfacă în eforturi condiţiile pe care grinda reală le satisface
în deplasări (rotiri şi săgeţi). Aceasta este grinda conjugată a grinzii reale.
Etapele de calcul pentru determinarea fibrei medii deformate sunt
următoarele:
- se trasează diagrama de momente încovoietoare pe grinda reală;
- se determină grinda conjugată din echivalenţa între tipurile de
legături (tabelul 8.2) şi se încarcă grinda conjugată cu o sarcină distribuită
avînd legea de distribuţie corespunzătoare diagramei de moment răsturnate;
- se determină pe grinda conjugată diagramele de eforturi T f
şi M f
;
- se determină rotirile şi săgeţile grinzii reale cu ajutorul diagramelor de
eforturi anterior trasate, cu relaţiile:
.
;
EI
M
EI
T
f
f
=
=
v
ϕ
152

8.3.1 Corespondenţa între reazemele grinzii reale şi conjugate
grinda reală grinda conjugată
tip de reazem condiţii în deplasări condiţii în eforturi tip de reazem
reazem simplu
încastrare
capăt liber
reazem
intermediar
articulaţie
intermediară
ϕ ≠ 0; v = 0
ϕ = 0; v = 0
ϕ ≠ 0; v ≠ 0
ϕst = ϕdr ≠ 0;
vst = vdr =0
ϕst ≠ ϕdr ≠ 0;
vst = vdr ≠0
T f
≠ 0; M f
=0
T f
=0; M f
=0
T f
≠ 0; M f
≠0
T f
st = T f
dr ≠ 0;
M f
st = M f
dr = 0
T f
st ≠ Tf
dr ≠0;
M f
st = M f
dr ≠ 0
reazem simplu
capăt liber
încastrare
articulaţie
intermediară
reazem
intermediar
tabelul 8.2
8.4 Metoda parametrilor în origine
Metoda parametrilor în origine propune un studiu unitar pentru
mărimile eforturilor secţionale şi deformaţiile datorate solicitării de
încovoiere, dând o semnificaţie fizică constantelor de integrare.
Relaţiile diferenţiale între sarcini şi eforturi sunt:
153

( );2
2
xp
dx
dT
dx
M
−==
d
iar între deplasări şi momentul încovoietor:
.2
2
EI
M
dx
d
dx
v
−==
ϕd
Dintre cele patru necunoscute M, T, ϕ şi v, necunoscuta principală se
alege săgeata v, celelalte urmând a fi exprimate prin intermediul acesteia. Se
pleacă de la relaţia:
( ) ( .;4
4
ctEI )
EI
xp
dx
vd
== (1)
celelalte mărimi se vor exprima în funcţie de v:
.;; 3
3
2
2
dx
vd
EIT
dx
vd
EIM
dx
dv
−=−==ϕ
Soluţia generală a ecuaţiei (1) va fi de forma:
;
−
+= vvpv
cu notaţiile v - soluţia particulară şi - soluţia ecuaţiei omogene:
−
v
.04
4
=
−
dx
vd
EI (2)
O soluţie particulară poate fi obţinută direct prin integrarea de patru
ori:
(3)( ) .
0000
∫∫∫∫=
xxxx
p dxxpdxdxdxvEI
Nu se introduc constante de integrare,acestea apărând în soluţia
ecuaţiei omogene; soluţia (3) poate fi însă exprimată cu ajutorul unei singure
integrale folosind formula lui Cauchy:
( )
( )
( ) ( ) .
!1
1
0
1
int
000
∫∫∫∫
−
−
−
=
x
n
egralen
xxx
dttptx
n
dxxpdxdx …
În membrul din dreapta x = ct., integrarea făcându-se în raport cu t;
pentru un număr de patru integrale:
( ) ( ) .
!3
1
0
3
∫ −=
x
p dttptxvEI
Soluţia ecuaţiei omogene (2) se obţine prin integrare succesivă:
154

.
26
;
2
;
;
43
2
2
3
1
32
2
1
/
21
//
1
///
CxC
x
C
x
CvEI
CxC
x
CvEI
CxCvEI
CvEI
+++=
++=
+=
=
−
−
−
−
Soluţia generală pentru v şi derivatele sale se scrie astfel:
.
26
;
2
;
;
43
2
2
3
1
32
2
1
//
21
////
1
//////
CxC
x
C
x
CvEIvEI
CxC
x
CvEIvEI
CxCvEIvEI
CvEIvEI
p
p
p
p
++++=
+++=
++=
+=
În locul derivatelor lui v vor fi introduse ϕ, M, T, astfel:
.
;
;
2
;
26
1
///
21
//
32
2
1
/
43
2
2
3
1
CvEIT
CxCvEIM
CxC
x
CvEIEI
CxC
x
C
x
CvEIvEI
p
p
p
p
−−=
−−−=
+++=
++++=
ϕ
Constantele C1, C2, C3, C4 au o semnificaţie pur matematică; se vor
calcula valorile mărimilor precedente în originea aleasă la capătul din stânga
al grinzii. Pentru x = 0, soluţia particulară vp şi toate derivatele succesive se
anulează (datorită limitelor de integrare), astfel încât rămâne în discuţie doar
soluţia omogenă. Se notează cu indicele 0 valorile relative în origine.
Rezultă:
.;;; 10203040 CTCMCEICvEI =−=−== ϕ
Mărimile v0, ϕ0, M0, T0 ce reprezintă săgeata, rotirea, momentul
încovoietor şi forţa tăietoare în origine, având o semnificaţie fizică bine
precizată se numesc parametri iniţiali sau în origine.
Aşadar:
155

.
;
;
2
;
26
0
///
00
//
0
0
2
0/
00
2
0
3
0
TvEIT
MxTvEIM
EI
xM
EI
xT
v
vx
EI
xM
EI
xT
vv
p
p
p
p
+−=
++−=
+−−=
++−−=
ϕϕ
ϕ
(4)
Pentru determinarea parametrilor în origine se studiază următoarele
cazuri:
a) încărcarea este continuă pe toată deschiderea grinzii;
b) încărcarea prezintă discontinuităţi (sarcini distribuite parţial, forţe
concentrate, cupluri concentrate, articulaţii intermediare).
Încărcarea continuă pe toată deschiderea grinzii (fig.8.9)
p(x)
x
p0
l
fig.8.9
Într-o secţiune curentă x sarcina distribuită are valoarea:
( ) .0
l
xp
x =p
Conform relaţiilor (1) şi (3) rezultă:
;
;
0
0
000
0
4
4
∫∫∫∫=
=
xxxx
p dx
l
xp
dxdxdxvEI
l
xp
dx
vd
EI
integrând expresia EIvp se obţine:
.
2
;
6
;
24
;
120
2
0///
3
0//
4
0/
5
0
l
xp
vEI
l
xp
vEI
l
xp
vEI
l
xp
vEI
pp
pp
==
==
156

Prin aplicarea formulei lui Cauchy, aceleaşi expresii rezultă:
( ) ( )
,
12054
3
26
33
66
1
5
0
0
54
32
23
0
0
432230
0
03
l
xptxt
tx
tx
l
p
dttxttxtx
l
p
dt
l
tp
txvEI
x
xx
p
=−+−=
=−+−=−= ∫∫
prin urmare acelaşi rezultat.
Expresiile săgeţii, rotirii, momentului încovoietor şi forţei tăietoare
devin:
.
2
;
6
;
224
;
26120
0
2
0
00
3
0
0
0
2
0
4
0
00
2
0
3
0
5
0
T
l
xp
T
MxT
l
xp
M
EI
xM
EI
xT
lEI
xp
vx
EI
xM
EI
xT
lEI
xp
v
+−=
++−=
+−−=
++−−=
ϕϕ
ϕ
(5)
Parametrii iniţiali se vor determina studiind condiţiile la limită în
punctele de rezemare:
- în origine, pe reazem v0 = 0 şi M0 = 0.
Relaţiile (5) se simplifică astfel:
.T
l2
xp
;xT
l6
xp
M
;
EI2
xT
lEI24
xp
;x
EI6
xT
lEI120
xp
0
2
0
0
3
0
0
2
0
4
0
0
3
0
5
0
+−=
+−=
+−=
+−=
ϕϕ
ϕ
T
v
-pe reazemul din dreapta, pentru x = l, M = 0 şi v = 0:
;
6
0
6
0
00
3
0 lp
TlT
l
lp
=→=+−
157

.
360
7
0
6120
3
0
00
3
0
5
0
EI
lp
l
EI
lT
lEI
lp
=→=+− ϕϕ
Sarcini distribuite parţial (fig.8.10)
Soluţia particulară poate fi uşor determinată pornindu-se de la formula
lui Cauchy.
a
b
l
p
AO B C
a) b)
a1
b1
a2
b2
p1 p2
O A B C D E
fig.8.10
l
În figura 8.10a se disting trei intervale, corespunzător cărora rezultă
soluţia particulară:
- pe intervalul OA cu x∈[0, a], neîncărcat: vp = 0;
- pe intervalul AB cu x∈[a, b], încărcat:
( ) ( ) ( ) ;
24246
1
4
43 axp
tx
p
dtptxEIv
x
a
x
a
p
−
=−−=−= ∫
- pe intervalul BC cu x∈[b, l], neîncărcat:
( ) ( ) ( ) ( ) ;
2424246
1
44
43 bxpaxp
tx
p
dtptxEIv
b
a
b
a
p
−
−
−
=−−=−= ∫
În figura 8.10b se disting cinci intervale, astfel:
- pe intervalul OA, cu x∈[0, a1], neîncărcat: vp = 0;
- pe intervalul AB, cu x∈[a1, b1]:
( ) ;
24
4
1
1
ax
p
EIvp −=
- pe intervalul BC, cu x∈[b1, a2]:
( ) ( ) ;
2424
4
1
14
1
1
bx
p
ax
p
EIvp −−−=
- pe intervalul CD, cu x∈[a2, b2]:
158

( ) ( ) ( ) ;
242424
4
2
24
1
14
1
1
ax
p
bx
p
ax
p
EIvp −+−−−=
- pe intervalul DE, cu x∈[b2, l]:
( ) ( ) ( ) ( ) ;
24242424
4
2
24
2
24
1
14
1
1
bx
p
ax
p
bx
p
ax
p
EIvp −−−+−−−=
Acţiunea unei forţe concentrate (fig.8.11)
T0
0
P
a x-a
x fig.8.11
x
Studiind relaţiile (4) se constată că termenii cuprinzând factorul T0
denotă influenţa unei forţe concentrate aplicate în origine (de exemplu
termenul
EI
xT
6
3
0
− reprezintă modul în care este influenţată săgeata v la
dreapta forţei tăietoare T0, sau termenul cu aceeaşi însemnătate în cazul
momentelor).
xT0
Forţa concentrată P (fig.8.11), dirijată în jos, este aplicată în secţiunea
x = a şi influenţa acesteia se va resimţi la dreapta acestei secţiuni. Pentru x ≥
a, influenţa lui P va fi:
- pentru săgeţi:
( ) ;
6
3
EI
axP −
- pentru rotiri:
( ) ;
2
2
EI
axP −
- pentru momentul încovoietor: ( );axP −−
- pentru forţe tăietoare: .P−
Termenii se adaugă expresiilor (4) pentru intervalul de la dreapta
forţei P.
159

Acţiunea unui moment concentrat (fig.8.12)
M0
0
b x-b
x
x
M
fig.8.12
Acţiunea unui moment M, aplicat în secţiunea x = b, se manifestă prin
adăugarea unor noi termeni, astfel:
- pentru săgeţi:
( ) ;
2
2
EI
bxM −
−
- pentru rotiri:
( );
EI
bxM −
−
- pentru moment încovoietor: .M
Efectul unei articulaţii intermediare echivalează cu introducerea în
secţiunea respectivă a unei rotiri α. Valoarea acesteia va rezulta impunând
condiţia suplimentară condiţiilor de rezemare ca în articulaţie momentul
încovoietor să fie nul.
Efectul unui reazem intermediar echivalează cu introducerea în
secţiunea respectivă a unei reacţiuni.
Problema 8.a
Pentru consola din figura 8a să se calculeze săgeata în punctul C
folosind: 1) metoda integrării directe; 2) metoda grinzii conjugate. Se
cunosc: E = 2,1 ⋅ 105
N/mm2
, I = 573 cm4
.
3kN
A C
x
B
M =9kNmB
V =3kNB
1000 2000
fig.8a.1
160

1) Alegând originea în punctul B, expresia momentului încovoietor într-
o secţiune curentă este:
( ) ;103109 36
xxM ⋅+⋅−=
astfel, rezultă:
.
103109 36
2
2
EI
x
dx
v ⋅−⋅
=
d
Se integrează succesiv de două ori, obţinându-se expresiile pentru
rotiri şi săgeţi:
.
6
103
2
109
;
2
103109
21
3226
1
236
CxC
EI
x
EI
x
v
C
EI
x
EI
x
dx
dv
++
⋅
−
⋅
=
+
⋅
−
⋅
==ϕ
Punând condiţiile la limită se determină constantele de integrare; se
ştie că în încastrare atât rotirea cât şi săgeata sunt nule. Deci pentru x = 0, v
= 0 şi ϕ = 0. Rezultă C1 = C2 = 0; se calculează săgeata în punctul C (x =
2000 mm):
( ) ( )
.63.11
;
6
2000103
2
2000109
3326
mmv
EIEI
v
C
C
=
⋅
−
⋅
=
2) Se trasează grinda conjugată încărcată cu diagrama de moment
răsturnată (fig.8a.2), cu ajutorul tabelului 8.2.
3kN
A C B
1000 2000
9
9 3 9
10
10 10 10
6
9
6 6
.
. . .
V = ½A
f
3.
MA
f
M [Nmm]
−
fig.8a.2
161

.63.11
,10
3
1
3
2
1
10
2
27
1039
1
;10393000
3
2
3000109
2
1
121212
126
mmv
EIEI
M
v
M
C
f
C
C
f
A
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅+⋅−⋅⋅==
⋅⋅=⋅⋅⋅=
Problema 8.b
Să se determine rotirea în secţiunea A şi săgeata în secţiunea B pentru
grinda simplu rezemată din figura 8b. Se dau: Iz = 62533,33 cm4
, E = 2,1⋅105
N/mm2
. Se va folosi metoda grinzii conjugate.
170kN 138kN
A B C D
VA = 115.67 kN V = 192.33 kND4.5m 2.5 2
520.5 kNm 384.67 kNm
VA
f
VD
f
M
fig.8b
+
Cu ajutorul tabelului 8.2 se trasează grinda conjugată şi se încarcă cu
diagrama de momente răsturnată. Astfel, se obţin:
( )
( )
;10057.955
,2
3
2
2
1
267.38425.2
3
2
5.2
2
1
67.3845.520
1033.62533101.29
10
225.15.267.3845.45.4
3
1
2
1
5.45.520
1033.62533101.29
10
;
5
45
12
45
12
rad
EI
V
A
A
f
A
A
−
⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⋅⋅⋅⋅
+
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⋅+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
.6.2910
1033.62533101.2
5.4
3
1
2
1
5.45.5205.4
12
45
mm
V
EI
M
v
f
Af
B
B =⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅
==
162

Problema 8.c
Se dă grinda încărcată ca în figura 8c. Să se determine săgeata în
capătul liber A şi rotirea în C. Se va utiliza: 1) metoda grinzii conjugate; 2)
metoda parametrilor în origine.
3P
A B C
a 4a
V = 3.75PB 3Pa
M
3Pa
VB
VB
f
f
VC
f
3Pa
3Pa
M1
f
fig.8c
-
1) Pe baza tabelului 8.2 se trasează grinda conjugată care se încarcă cu
diagrama de momente răsturnată; se obţin:
.
2
;2
4
4
3
1
2
1
43
;
5
;5
3
2
2
1
34
;4
4
4
3
2
2
1
43
2
2
3
32
2
EI
Pa
EI
V
Pa
a
aaPa
EI
Pa
EI
M
PaaaPaaPaM
Pa
a
aaPa
f
C
C
f
C
f
A
A
f
A
f
B
==
=
⋅⋅⋅
=
==
=⋅⋅⋅+⋅=
=
⋅⋅⋅
=
ϕ
V
v
V
163

2) Se porneşte de la relaţia:
.
26
2
0
3
0
00 pv
EI
xM
EI
xT
xv +−−+= ϕv
Studiind originea grinzii, care este un capăt liber şi modul de încărcare
al acesteia, rezultă:
( ) ;
6
75.3
;0
;3
3
0
0
EI
axP
M
P
p
−
−=
=
v
T −=
aşadar:
( ) .
6
75.3
6
3
33
00
EI
axP
EI
xP
xvv
−
−++= ϕ
Din condiţiile la limită pe reazeme se obţine:
( ) ( ) ;
EI6
a4P75.3
EI6
a5P3
a5v0va5x
,
EI6
Pa3
av0vax
33
00C
3
00B
−++==→=
++==→=
ϕ
ϕ
rezultă:
.
5
;5.5
3
0
2
0
Av
EI
Pa
EI
Pa
==
−=
v
ϕ
Expresia săgeţilor devine:
( ) ,
6
75.3
2
5.5
5
3323
EI
axP
EI
Px
EI
xPa
EI
Pa
v
−
−+−=
iar cea a rotirilor:
( ) .
2
75.3
2
3
5.5
222
EI
axP
EI
Px
EI
Pa −
−+−=ϕ
Rotirea în punctul C se obţine egalând x cu 5a:
( ) ( ) .
2
2
475.3
2
535.5 2222
EI
Pa
EI
aP
EI
aP
EI
Pa
C =−+−=ϕ
164

Problema 8.d
Se dă grinda simplu rezemată cu consolă încărcată ca în figura 8d. Să
se calculeze săgeata în secţiunea D şi rotirea în secţiunea F folosind metoda
parametrilor în origine.
3P 2P 0.5P
P/a
A B C D E F
V = 2.89PA V = 3.611PE
1.5a a a a a
fig.8d
Se porneşte de la relaţia (4) corespunzătoare lui v şi se exprimă vp în
funcţie de încărcarea grinzii:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
24
5.4
6
5.4611.3
6
5.35.0
6
5.22
6
5.13
26
433
332
0
3
0
00
EIa
axP
EI
axP
EI
axP
EI
axP
EI
axP
EI
xM
EI
xT
xvv
⋅
−
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+−−+= ϕ
Datorită reazemului din origine v0 = 0, M0 = 0 iar T0 = 2,889P.
Pentru determinarea lui ϕ0 se pune condiţia ca pentru x = 4,5a, v = 0
(pe reazemul din E săgeata este nulă):
( ) ( ) ( )
.76.165
;0
6
5.0
6
22
6
33
6
5.4889.2
5.4
2
0
3333
0
EI
Pa
EI
Pa
EI
aP
EI
aP
EI
aP
a
=
=+++−⋅
ϕ
ϕ
Se scriu expresiile săgeţilor şi rotirilor:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ;
24
5.4
6
5.4611.3
6
5.35.0
6
5.22
6
5.13
6
889.276.165
433
3332
EI
ax
a
P
EI
axP
EI
axP
EI
axP
EI
axP
EI
Px
EI
xPa
v
−
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+−=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ;
6
5.4
2
5.4611.3
2
5.35.0
2
5.22
2
5.13
2
889.276.165
322
2222
EI
ax
a
P
EI
axP
EI
axP
EI
axP
EI
axP
EI
Px
EI
Pa
−
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+−=ϕ
165

Se calculează săgeata în secţiunea D pentru x = 3,5a şi rotirea în F
pentru x = 5.5a:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
42.154
62
611.3
2
25.0
2
32
2
43
2
5.5889.276.165
;
84.563
6
2
6
23
6
5.3889.25.376.165
232
22222
33332
EI
Pa
EI
a
a
P
EI
Pa
EI
aP
EI
aP
EI
aP
EI
aP
EI
Pa
EI
Pa
EI
Pa
EI
aP
EI
aP
EI
aPa
v
F
D
=+−
−+++−=
=++−
⋅
=
ϕ
Problema 8.e
Să se determine valoarea săgeţii în capătul liber al consolei din figură
(secţiunea A), precum şi rotirea secţiunii B; se dau E = 2,1⋅105
N/mm2
; Iz =
573 cm4
.
3kN
1000 2000mm
A B C
6kNm
M
6kNm
A B C
-
fig.8e
Se foloseşte metoda grinzii conjugate; se trasează diagrama de
moment corespunzătoare încărcării consolei, se trasează grinda conjugată şi
se încarcă cu diagrama de moment răsturnată. Astfel, se obţine:
166

.1098.4
10573101.2
2
2000106
;63.11
10573101.2
10002000
3
2
2
2000106
3
45
6
45
6
rad
EI
T
mm
EI
M
v
f
B
B
f
A
A
−
⋅=
⋅⋅⋅
⋅⋅
==
=
⋅⋅⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅⋅
==
ϕ
167

Capitolul 9
VARIAŢIA TENSIUNILOR ÎN JURUL UNUI PUNCT ÎN
CAZUL STĂRII PLANE DE TENSIUNI
9.1 Expresiile tensiunilor pe o secţiune înclinată cu unghiul α
O stare de tensiune este plană când tensiunile se află într-un plan. În
acest caz, tensiunile pe plane cu vector de orientare z (σz, τxz, τzx), vor fi
nule; în secţiunile transversale pe axa x vor apare tensiuni normale σx şi
tensiuni tangenţialeτxy, iar în cele perpendiculare pe axa y, σy şi respectiv
τyx.
Asupra barei de secţiune dreptunghiulară cu lăţimea unitară (fig.9.1),
forţele distribuindu-se uniform, se admite că şi tensiunile se distribuie
uniform pe lăţime, astfel încât apare o stare plană de tensiuni redusă la
planul median.
y
x
x
y
z
y
b = 1
fig.9.1
2 2
1
1
3
3
α
În practică se extinde teoria de la starea de tensiuni plană şi în cazul
barelor a căror secţiune transversală este oarecare, datorită faptului că
tensiunile σ şi τ se distribuie uniform pe lăţimea secţiunii.
Se secţionează bara cu planele 1-1 şi 2-2 pe care tensiunile σx, τxy
respectiv σy şi τyx se presupun cunoscute, fiind determinate cu relaţiile de la
168

solicitările simple. Pe secţiunea 3-3, înclinată cu unghiul α faţă de axa y,
tensiunile σα şi τα au valori necunoscute.
Se izolează prisma elementară triunghiulară 1-1; 2-2; 3-3. Prin
reducerea în planul median se obţine triunghiul dreptunghic din figura 9.2.
1
1
2 2
3
3
dx
dy
ds
fig.9.2
M
σy
τyx
τxy
σx
σατα
α
Elementul prismatic este în echilibru; ecuaţiile de echilibru static vor
fi:
1) Ecuaţia de moment în raport cu punctul M:
;0
2
1
2
1;0 =⋅⋅−⋅⋅=∑
dy
dx
dx
dyM yxxyM ττ
rezultă: yxxy ττ = (1)
adică legea dualităţii tensiunilor tangenţiale (vezi capitolul 4).
2) Ecuaţia de proiecţii pe direcţia tensiunii normale σx:
,0cos1sin1sin1cos11 =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅ ατατασασσα dxdydxdyds yxxyyx
d αsin⋅= dsdx şi αcos⋅= dsdyar , astfel rezultă:
(2a)
proiecţii pe direcţia tensiunii tangenţiale τα:
si2sin2
ταα xyy += .cosncos2
αασασσ x +
3) Ecuaţia de
cos1cos1sin11 ,0sin1+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅ τατασαστα dxdydxdyds yxxyyx =⋅⋅ α
rezultă:
( ) ( ).sincoscossin 22
ααταασστα −+−−= xyyx (2b)
relaţiile trigonometrice elementare:Utilizând
,
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
;sincos2cos;cossin22sin 2
αααα ==
22
2
α
α
α
α
αα
−
=
+
=
−
169

înlocuind corespunzător şi făcând calculele necesare în expresiile 2a şi 2b,
rezultă:
;2sin2cos
22
ατα
σσσσ
σα xy
yxyx
+
−
+
+
= (3a)
( )
.2cos2sin
2
xy
yx
ατα
σσ
τα +
−−
= (3b)
9.2 Tensiuni normale principale şi direcţii principale
Pentru determinarea tensiunilor principale (a tensiunilor normale cu
valori extreme), se derivează expresia (3a) în funcţie de parametrul 2α:
( )
;02cos2sin
22
==+
−
−=α
τατα α
σσ
α
xy
d
rezultă că planul pe care tensiunea normală σ are o valoare extremă este un
σ yxd
plan pe care tensiunea tangenţială τ este nulă. Planele pe care tensiunea
tangenţială este nulă se numesc plane principale de tensiune.
Prin împărţirea cu cos2α în expresia precedentă, rezultă:
;
2 xy
2
yx
tg
σσ
τ
α =
−
(4)
Expresia (4), pentru [ ]πα 2,0∈ are două soluţii: 2α şi 2α +π, adică
istă
ax şi σ2 = σmin.
/ /
ex două plane principale de tensiune perpendiculare între ele, deci două
direcţii principale de tensiune, α/
şi α/
+ π/2, pentru care tensiunile normale
sunt σ1 şi σ2 cu σ1>σ2, altfel spus:
σ1 = σm
Folosind relaţiile trigonometrice:
,
21
1
2cos;
21
2
2sin
22
α
α
α
α
α
tg
±=
tgtg +
±=
+
prin utilizarea expresiei (4), rezultă:
( )
.
2
2
2cos;
2
2sin
2
2
2
2
xy
yx
yx
xy
yx
−xy
α
τ
σσ
τ
α
σ σ
τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
±=
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
Se introduc expresiile lui cos 2α şi sin 2α în relaţia (3a), de unde vor
rezulta tensiunile normale principale:
±=
170

;
22
2
2
2,1
yx σσσσ
σ
⎞⎛ −
±
+
= xy
yx
τ+⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
(5)
i care din unghiurile α/
şi α/
+ π/2 coPentru a stabil respunde lui σ1 se
pune condiţia de maxim
( )
0
2
2
<
α
α
d
. Se derivează încă o dată expresia (3a)
în funcţie de (2α):
( )
2
σd
;2cos2
2
2sin2cos
22
2
α
α
−=
d
x
2
αατ
σσ
ατα
σσσ
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−=−
−
tg
d
xy
yx
xy
y
yx
xy
tg
σσ
τ
α
−
=
2
2dar cu din (4), rezultă:
( )
;
2
2cos
22
2
2
2
2
yx
xy
yx σσα
⎡ ⎞
⎜
⎛ −
d
d
σσ
α
τ
α
σ
−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
+⎟⎟
⎠
⎜
⎝
−=
cu
α
α
α
2
2cos
tg
= , deci:
2sin
( )
,
cossin2
2
2
2
2sin
22d
d 2
2
y
2
τ+⎟
⎞
xy
2
xy
2
yx
yx
xyyx
xy
x
2
τ
αα
τ
σσ
σσ
τσσ
ασσ
α
σα
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=
−
⋅
−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=
ţinând cont de αααααα coscos2cossin22sin tg== , rezultă:
( )
,0<
tgαcos2
22
2
2
2
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=
xy
xy
yx
d
d
τ
α
τ
σσ
α
σα
condiţia de maxim la:ceea ce reduce
.01
>
tgα
xyτ
(6)
9.3 Tensiuni tangenţiale maxime
nct alegând ca axe de
ferinţă axele principale ale secţiunii (fig.9.3).
Se scrie variaţia tensiunilor în jurul unui pu
re
171

1
2
fig.9.3
σ2
σ1
σα
τα (σ + σ )/21 2
(σ − σ )/21 2
Rezultă σx = σ1, σy = σ2, τxy = 0; în acest caz relaţiile 3a şi 3b devin:
;2cos
22
2121
α
σ
σα
σ σ −
+
σ+
= (7a)
.2sin
2
21
α
σσ
τα
−
−=
lui τα se obţin pentru
anelor principale d
(7b)
Valorile extreme ale sin 2α = ±1 sau α1,2 =± π /
4, deci planele bisectoare ale pl e tensiune. Rezultă:
.
2
;
2
21
max
21
min
σσ
τ
σσ
τ
−
−=
−
=
ţionează τmax , respectiv τmin
are valoarea:
Tensiunea normală pe planul pe care ac
.21
2450
σσ
σ
+
=±
9.4 Tensiuni pe o suprafaţă înclinată în cazurile solicitărilor
simple
Se particularizează expresii b corespunzătoare tensiunilor σα
şi τα pentru solicitările simple, astfel:
le 3a şi 3
172

a. Solicitarea de întindere sau compresiune monoaxială (fig.9.4);
fig.9.4
σx
σατα
α
.0
;0
==
=
yxxy
y
ττ
σ
Rezultă tensiunile pe o sup trafaţă înclina ă:
.
2
2sin ασ
α x ;cos2
τ
ασσ
x
a −=
=
rincipale sunt:Tensiunile şi direcţiile p
.
2
;0
π
;0; 121 2α =
ţială maximă este:
ασσσ === x
Tensiunea tangen
2
maxτ = pentru
xσ
4
1
π
α −= .
b. Solicitarea de forfecare pură (fig.9.5);
fig.9.5
τyx
τxy
σατα
α
.0== yx σσ
Rezultă tensiunile pe o suprafaţă înclinată:
;2sin ατσ
.2cos αττα =
α
xy
xy=
173

Tensiunile şi direcţiile principale sunt:
.
4
3
;
4
;; 2121
π
α
π
ατστσ ==−== xyxy
Tensiunea tangenţială maximă este:
τ =max xyτ pentru α1 = 0.
l c
c. Solicitarea de încovoiere simplă
culeazăTensiunea normală σx se ca u formula lui Navier.
Tensiunea normală σ estey nulă.
Tensiunile tangenţiale τ , τ se caxy yx lculează cu formula lui Juravski.
Tensiunile principale se vor calcula astfel:
.2
xy
xx
τ
σσ
σ +⎟
⎞
⎜
⎛
±=
22
2,1
⎠⎝
2
Problema 9.a
Pentru grinda având secţiunea în formă de T ca în figura 9a, se cer
nsiunile principale şi direcţiile principale în punctul P1 al secţiunii Bdr.te
80x20
30.35 N/mm
2m 0.828m
A B C
120x20
40
P1
yG1
28
z
z1
z2
y
fig.9a
Pentru calculul tensiunilor principale se determină iniţial:
.; 1
1
1
zz IbI ⋅
zBdrP
xyP
BdrP
x
ST
y
M ⋅
== τσ
Pentru calculul momentului de inerţie axial Iz se determină mai întâi
poziţia centrului de greutate al secţiunii:
,42
201202080
1 mmyG =
7012020
⋅+⋅
⋅⋅
=
174

apoi se calculează Iz:
.76373002820120
12
12020
422080
12
Iz ⋅+=
2080 4
3
2
3
mm=⋅⋅+
⋅
+⋅
⋅
Astfel, rezultă:
2
;/45.65
7637300
4810414468 21
mmNP ⋅
−=x −=
în care:
σ
;482028
,10414468
2
82835.30
1
2
mmy
NmmM
P
Bdr
=+=
−=
⋅
−=
respectiv:
( ) ;/95.8
763730020
204820408.25129 21
mmNP
xy =
⋅
+⋅⋅
=τ
cu:
( )
.20
,682040
,8.2512982835.30
3
mmb
mmS
NT
z
Bdr
=
⋅⋅=
=⋅=
Tensiunile principale sunt:
./6.66;/2.1
;95.8
2
4.65
2
4.65
22
2,1
xx
+⎟
⎠
⎜
⎝
±= τσ
2
2
2
1
2
2
2
2
mmNmmN
xy
−==
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±−=
⎞⎛
σσ
σσ
Direcţiile principale se determină cu relaţia:
;5182;97
;2.0
4.65
2 −=
−
==
σ
α
x
tg 74
95.822
/0///0/
=−=
⋅
αα
τxy
în urma discuţiei:
;
2
,00;0 11
1 π
αατ
τ
α
<>→>> tg
tg
xy
xy
rezultă:
Problema 9.b
Să se determine tensiunile normale principale şi direcţiile principale
pentru grinda simplu rezemată cu consolă, având secţiunea în formă de I, la
.97,5182 /0
2
/0
1 −== αα
175

îmbinarea inimii cu talpa, în secţiunea cea mai solicitată (fig.9b). Se dau: a =
1m; q = 20 kN/m; t = 11mm.
10qa 5qa q 18t x 2t
a 3a 4a 2aV = 11qaA
11qa
qa
4qa
2qa
2qa
14qa11qa
T
M
z
y
J
36t x t
18t x 2t
fig.9b
22
2
A B C
+
-
+
-+
D E
Tensiunile normale principale se calculează cu relaţia:
,
22
2,1 xy
⎠⎝
2
2
xx
τ
σσ
σ +⎟
⎞
⎜
⎛
±=
în care pentru problema 9.b:
;max
J
z
x y
I
M
⋅=σ
cu:
( ) ( ) ( )
;18
,10378.42990419218
12
218
2
12
36
,14
4842
33
2
max
ty
mmtttt
tttt
I
qaM
J
z
=
⋅==⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅
+
⋅
=
=
rezultă:
;/63.1261118
10378.4
102014 2
8
6
mmNx =⋅⋅
⋅
⋅⋅
=σ
respectiv:
;
z
z
xy
Ib
ST
⋅
⋅
=τ
176

în care:
;
,19218
,4
tb
ttS
qaT
z
=
⋅⋅= t
−=
astfel, se obţine:
./123.15
10378.411
111921810204 2
8
33
mmNxy −=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−=τ
Se fac înlocuirile în expresia tensiunilor principale:
./7.1,/44.128
;123.15
2
63.126
2
63.126
2
2
2
mmNmmN −==
⎠⎝
σσ1
2
2
2,1 +⎟
⎞
⎜
⎛
±=σ
Direcţiile principale se determină cu relaţia:
;141783;46426 /0/////0/
=−= αα
2405.0
63.126
123.1522
2
//
⇒−=
⋅
−==
σ
τ
α xy
tg
în urma discuţiei:
x
2
0,0;0 11
1
;
π
αατ
τ
α
>→<<> tg
tg
xy
xy
rezultă:
.141783,46426 ///0
2
///0
1 =−= αα
177

Capitolul 10
TORSIUNEA
10.1 Generalităţi. Torsiunea barelor cu secţiune circulară
O
trans Mt
– acţionând în plan normal la axa barei, vectorul moment fiind dirijat după
cu axa barei.
nii este posibilă
umai
fiind S , S , S , S cu S > S şi S >
, est
bară este solicitată la torsiune (răsucire) dacă în secţiunile ei
versale forţele interioare se reduc la un cuplu – moment de torsiune
tangenta la axa barei în secţiunea considerată.
Deformaţia barei supusă la torsiune este caracterizată, în principal, de
rotirea secţiunilor transversale una faţă de alta în jurul unei axe care, în cazul
secţiunii având două axe de simetrie, coincide
În cazul barei cu secţiune circulară sau inelară, problema torsiunii se
poate rezolva complet cu ipotezele Rezistenţei Materialelor, în timp ce,
pentru alte tipuri de secţiuni soluţionarea problemei torsiu
n cu metodele Teoriei Elasticităţii.
Momentul de torsiune transmis, în cazul unui arbore pe care sunt
montate două roţi de curea (fig.10.1), roata A fiind motoare iar roata B
condusă, eforturile din ramurile de curea 1 2 3 4 1 2 3
S4 e:
( ) .21 RSSM A
t ⋅−=
S2
S1
S3
S4
A B
R r
fig.10.1Mt
R r
178

Condiţia de echilibru cere ca momentul preluat de roata condusă să fie
egal cu cel transmis:
Momentul de torsiune este constant pe distanţa dintre roţi.
Dacă arborele este antrenat de un motor de putere P[kW] iar turaţia
este n[rot/min], momentul de torsiune (cuplul motor) este:
( ) .
;
43 rSSM
MM
B
t
A
t
B
t
⋅−=
=
[ ].55.9 kNm
n
P
Mt =
10.2 Tensiuni în bara de secţiune circulară şi inelară
Fie o bară dreaptă de secţiune circulară încastrată la o extremitate şi
acţionată la capătul liber de un moment de torsiune Mt (fig.10.2). Pentru
echilibru, în încastrare ia naştere un moment de torsiune egal şi de sens
ne a bareicontrar celui aplicat la capătul liber, astfel că în fiecare secţiu
există un moment de torsiune Mt.
MtMt
x
fig.10.2
10.2.1 Condiţia geometrică
ă se trasează pe suprafaţa laterală a barei, inainte de solicitarea
acesteia, o reţea alcătuită dintr-un sistem de linii paralele cu axa
longitudinală (generatoare) şi dintr-o serie de cercuri, constituind conturul
exterior al secţiunilor transversale, se va constata că după răsucirea barei (în
condiţiile unor deformaţii mici), generatoarele drepte se transformă în curbe
elicoidale, conturul secţiunilor transversale (circulare şi plane înainte de
deformaţie) rămân aceleaşi şi după deformaţie şi la aceleaşi distanţe între
Dac
179

ele, iar axa barei rămâne dreaptă. În urma răsucirii, o secţiune oarecare a
barei s-a rotit faţă de alta cu un anumit unghi de torsiune, transformând
dreptunghiurile reţelei de pe suprafaţa laterală în paralelograme.Deoarece
distanţa între secţiunile transversale nu se modifică, rezultă că fibrele
longitudinale ale barei nu-şi modifică lungimea şi că un element
dreptunghiular, detaşat de pe suprafaţa laterală a barei şi cuprins între două
generatoare şi două cecuri paralele, este supus la forfecare pură în urma
căreia se transformă în paralelogram cu deformaţia unghiulară γ0 (fig.10.3).
Mt Mt
γ0x
l l
fig.10.3
Această observaţie caracterizează modul de deformare al fibrelor de
pe suprafaţa laterală a barei. Pentru precizarea comportării fibrelor din
interior se va accepta ipoteza că secţiunea se roteşte în urma deformării ca
un disc rigid, rămânând indeformabilă în planul ei, razele în secţiune
rămânând raze drepte şi de aceeaşi lungime, dar rotite toate cu acelaşi unghi.
Ipotezele care stau la baza torsiunii barelor cu secţiune circulară sunt
următoarele:
- secţiunile transversale ale barei, plane şi normale la axa acesteia
înainte de deformaţie, rămân plane şi normale şi după deformaţie
(ipoteza secţiunilor plane), secţiunile rotindu-se cu un anumit unghi în
jurul axei.
- razele secţiunii rămân drepte şi de aceeaşi lungime şi după deformaţie.
- distanţele (în lungul axei) între diferitele secţiuni transversale nu se
modifică în urma deformaţiei.
În baza acestor ipoteze, torsiunea barei de secţiune circulară se poate
reprezenta ca rezultatul lunecărilor provocate de rotirile reciproce ale
secţiunilor unele faţă de altele. Ca urmare, în secţiunile transversale se
produc numai tensiuni tangenţiale, tensiunile normale fiind nule.
Se consideră bara de secţiune circulară de rază R încastrat la o
extremitate şi acţionată la capătul liber de momentul de torsiune Mt
(fig.10.4). În urma deformaţiei, generatoarea AB de pe suprafaţa laterală a
ă
180

barei ocupă poziţia AB/
, secţiunea 1-1 situată la distanţa x de capătul
încastrat se roteşte cu unghiul ϕ faţă de secţiunea din încastrare, iar secţiunea
2-2 situată la distanţa x+dx se roteşte faţă de încastrare cu unghiul ϕ+dϕ.
A
B
ϕ ϕ+ ϕd1 2
Mt x
fig.10.4
B
/
Mt
1 2
x dx
Se consideră separat elementul barei de lungime dx (fig.10.5),
unând secţiunea 1-1 fixă, pentru evaluarea unghiului de rotire dpresup ϕ al
secţiunii 2-2 în raport cu 1-1.
fig.10.5
1 2
a b
db1
R
r
γ0
γ
1 2
c
d1
Mt Mt
x
dϕ
dx
Generatoarea ab va ocupa poziţia ab1 după torsiune, cele două poziţii
formând unghiul γ0 între ele, unghi ce reprezintă deformaţia unghiulară pe
suprafaţa cilindrică exterioară a barei şi care, în ipoteza micilor deformaţii se
poate scrie:
181

.1
0
dx
d
R
ab
bb ϕ
γ ==
Pentru o suprafaţă cilindrică interioară de rază r, deformaţia
unghiulară va fi:
.1
dx
d
r
cd
dd ϕ
γ ==
θ
ϕ
=
dx
d
Mărimea se numeşte răsucire specifică şi reprezintă rotirea
dintre două secţiuni situate la o distanţă egală cu unitatea una faţă de
cealaltă.
10.2.2 Condiţia de elasticitate
Această lege este exprimată prin legea lui Hooke la răsucire, astfel:
;θγτ ⋅⋅=⋅=
,max θτ ⋅⋅= RG
rGG
rezultă că tensiunile tangenţiale la torsiune variază liniar cu distanţa până la
xă (sunt nule la nivelul axei şi maxime pe contur, fig.10.6).a
Mt
rτmax
R
fig.10.6
τ
τmax
10.2.3 Condiţia statică
Acest studiu face apel la relaţia de echivalenţă dintre momentul de
ţa
secţiunii transversale, în raport cu axa barei (fig.10.7).
torsiune în secţiune şi momentul forţelor elementare (τ⋅dA), de pe suprafa
182

dAMt
r
τ
fig.10.7
rezultă:
;,.,
;
2
2
p
AA
t
IdArctG
dArGdArM
==
==
∫
∫∫
θ
θτ
A
;pt IGM θ=
astfel:
.tM
=θ
pIG
(1)
Produsul G Ip poartă numele de modul de rigiditate la torsiune a barei
e secţiune circulară sau inelară.
Ştiind că τ = G⋅r⋅θ, se înlocuieşte θ cu expresia (1) şi rezultă:
d
.
;
max R
I
M
r
I
M
p
t
p
t
⋅=
⋅=
τ
τ
Se numeşte modul de rezistenţă polar şi se notează cu Wp mărimea:
,
R
I
W
p
p =
prin urmare:
,max a
p
t
W
M
ττ ≤=
relaţie ce reprezintă condiţia de rezistenţă pentru bara supusă la torsiune.
183

10.3 Deformaţii
Răsucirea specifică se calculează conform relaţiei (1):
;tM
=θ
pIG
ţinându-se seama de:
.dxd
dx
d
θϕ
ϕ
θ =⇒=
Rotirea relativă între două secţiuni aflate la distanţa l una faţă de alta
este:
.
0 p
t
l
IG
lM
dx == ∫θϕ
Pentru consola din figura 10.8 ϕ reprezintă unghiul de torsiune la
capătul liber al barei.
MtMt
l
ϕ
fig.10.8
x
aţiilor limită la
torsiune putând afecta funcţionarea normal a arborilor), intervine condiţia
de deformaţie:
Când se impune limitarea rotirilor (depăşirea deform
ă
.aθθ ≤
10.4 Calculul arborilor de transmisie solicitaţi la torsiune
A. Criteriul de rezistenţă (τmax≤τa)
Formula de verificare:
;
max
max aef
tM
ττ ≤=
pW
184

Formula de dimensionare:
;
max
a
tnec
p
M
W
τ
=
Formula de calcul a efortului capabil:
B.
.a
ef
p
cap
t WM τ⋅=
Criteriul de deformaţie (θmax≤θa)
Formula de verificare:
;
max
M
max aef
p
t
IG
θθ ≤
⋅
=
Formula de dimensionare:
;
a
tnec
p
G
I
θ⋅
=
max
M
Formula de calcul a efortului capabil:
10.5 Calculul modulului de rezistenţă polar W
cap
t GM ⋅= .a
ef
pI θ⋅
p
Secţiunea circulară (fig.10.9)
D
R
z
y fig.10.9
,
32
;
4
D
I
R
I
W p
p
p
⋅
==
π
re :zultă
.
16
3
D
Wp
⋅
=
π
10Secţiunea inelară (fig. .10)
( ),
D
R
z
y fig.10.10
d
32R
re :
; 44
dDI
I
W p
p
p −==
π
zultă
( )44
16
dD
D
Wp −=
π
.
185

10.6 Sisteme static nedeterminate la torsiune
Fie o bară dublu încastrată (fig.10.11) solicitată în secţiunea C de
omentul de torsiune Mt . Momentul de inerţie la torsiune este diferit pe
intervalele AC şi CB. Se cere trasarea diagramei de moment de torsiune.
crie ecuaţia de momente de torsiune faţă de axa barei:
m
Se s
,0=+−− ttBtA MMM (1)
ecuaţia conţinând două necunoscute (MtA şi MtB), sistemul este o dată static
ntru a se st ili a doua relaţie din sistem – o relaţie de
ompatibilitate geometrică a deplasărilor – se suprimă o legătură, de
xemp -se o formă de bază a sistemului iniţial.
nedeterminat. Pe ab
c
e lu încastrarea din A, obţinându
A
It1 Mt It2
C B
a b
l
MtX = M1t tA MtB
X1t X1t
X1t
fi
Mt (X )1t
g.10.11
Mt Mt
Mt (M )t
Mt
M - Xt 1t
-
+
+
-
Se notează cu X1t momentul de torsiune din încastrarea din A. Ecuaţia
care se poate scrie este ϕAt = 0, adică rotirea datorată torsiunii în încastrarea
din A este nulă. Rotirea s-ar datora pe de o parte momentului de torsiune
necunoscut X1t iar pe de alta, momentului de torsiune din C:
( ) ( ) ,01 =+= tAttAtAt MX ϕϕϕ (2)
dar:
( ) ,
2
1
1
1
1
t
t
t
t
t
t
tAt
IG
bX
IG
aX
dx
IG
M
X
⋅
⋅−
+
⋅
⋅−
== ∫ϕ (3)
respectiv
186

( ) ;
2t
t
tAt
IG
bM
M
⋅
⋅
=ϕ (4)
se introduc expresiile (3) şi (4) în (2), rezultă:
.
21
2
1
tt
t
tt
I
b
I
a
I
b
MX
+
= (5)
Diagrama finală de moment de torsiune se obţine prin suprapunerea
efectelor.
Se introduc lungimi reduse în expresia (5):
,;
2
0/
1
0/
t
t
t
t
I
I
bb
I
I
aa == (6)
cu I0t un moment de inerţie la torsiune ales arbitrar; acesta poate fi unul
omentele de inerţie ale barei, de regulă cel care corespundedintre m
tronsonului de bară cu lungimea cea mai mare. Din expresia (5) rezultă:
;, /
/
1/
/
1
l
a
MXM
l
b
MX ttttt =−=
Din studiul diagramei Mt (fig.10.11), se observă că, de fapt, este cazul
to udiagramei de forţe tăietoare corespunz grinzi simplu rezemate
A/
B/
C/
convenţionale, î n punctul C/
este o forţă
ă are nei
n care forţa care acţionează î
enţională obţinută prin rotirea în sens trigonometric cu 900
a vectorului
une (fig.10.12); cu TC s-a notat diagrama
conv
moment de torsi de forţe tăietoare
convenţională.
A C B
Mt
Mt
a b
l
/ / /
Mt a/l/ /
M b/lt
//
TC Mt
V = Ma/ltB tV = M b/ltA t
fig.10.12
/ /
/
/ /// //
-
+
=_
187

Aceasta este metoda grinzii convenţionale pentru trasarea diagramei
t pe o grindă dublu în
inda
convenţională este identică cu diagrama de momente de torsiune pe grinda
reală.
de momente de torsiune M castrată; se porneşte de la
bara reală dublu încastrată, se determină grinda convenţională simplu
rezemată având deschiderile precizate de relaţiile (6). Grinda convenţională
se încarcă cu forţe convenţionale provenite din rotirea vectorului moment de
torsiune cu 900
în sens trigonometric; diagrama de forţe tăietoare pe gr
10.7 Torsiunea barelor cu secţiune dreptunghiulară
Problema torsiunii unei bare cu secţiune transversală necirculară este
mai complexă decât cea a barei cu secţiune circulară, deoarece ipotezele
admise la bara cu secţiune circulară nu rămân valabile pentru barele cu
ecţiune oarecare; în special ipoteza secţiunilor plane (Bernoulli), cum arată
experimentele, nu este respectată, diferitele puncte ale secţiunii transversale
deplasându-se diferit în lungul axei barei, astfel că secţiunile transversale ale
barei se deplanează.
Dacă pe suprafaţa laterală a unei bare de secţiune dreptunghiulară
constantă se trasează o reţea ortogonală şi apoi se supune bara la torsiune, se
constată deplanarea (strâmbarea) secţiunilor transversale (fig.10.13).
Dreptunghiurile de pe suprafaţa laterală a barei se deformează
transformându-se în paralelograme, deformarea lor fiind cu atât mai
accentuată cu cât sunt situate mai aproape de mijlocul feţei laterale;
dreptunghiurile de lângă muchii rămân aproape nedeformate. Aceste
observaţii duc la concluzia că tensiunile tangenţiale maxime au loc la
ijlocul feţelor, deoarece în aceste zone deformaţiile unghiulare sunt
axim
s
m
m e, iar la muchii (în colţuri) unde deformaţiile unghiulare sunt nule,
tensiunile tangenţiale vor fi şi ele nule.
Mt
b
h
τmax
τ1max
Mt
fig.10.14fig.10.13
188

Se vor da câteva rezultate ale soluţiei exacte pentru bara de secţiune
dreptunghiulară, în cazul deplanărilor libere (fig.10.14), pentru distribuţia
tensiunilor tangenţiale de-a lungul axelor principale, al diagonalelor şi pe
contur.
Expresiile care dau tensiunile tangenţiale maxime şi unghiul de
torsiune specific sunt:
,max
t
t
W
=τ la mijlocul laturii lungi;
,maxmax1
M
τγτ ⋅= la mijlocul laturii scurte;
,
t
t
IG
M
⋅
=θ
cu:
;, 23
bhWbhI tt αβ ==
unde α, β, γ sunt coeficienţi numerici care depind de raportul h/b al laturilor
secţiunii (h fiind latura lungă şi b, latura scurtă a dreptunghiului). Valorile
sunt date în tabelul 10.1.
h/b 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00 4
α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
Tabel 10.1
10.8 Torsiunea barelor cu pereţi subţiri, cu profil deschis, cu
deplanări libere
chis, cu grosime foarte mică (fig.10.15).
Frecvent în practică se întâlnesc bare a căror secţiune transversală este
alcătuită din dreptunghiuri înguste legate rigid între ele sau cu un contur
curb des
fig.10.15
189

Este cazul profilelor laminate care sunt considerate secţiuni cu profil
Deoarece şi în acest caz prin torsiune se produce deplanarea
nilor transversale, problema torsiunii nu se poate rezolva cu metodele
zei secţiunilor plane.
e,
torsiunea secţiunii dreptunghiulare înguste. Se
cceptă în mod aproximativ că la torsiunea secţiunii din figura 10.16 fiecare
d g e de n di n se l u d
d o tu r m t
deschis şi pereţi subţiri.
secţiu
elementare, pe baza ipote
În cazul torsiunii libere se poate da o metodă aproximativă pentru
determinarea tensiunilor tangenţiale maxime şi a unghiului de torsiun
utilizând soluţia pentru
a
reptun hi lucr ază in pende t, rigi tatea î tregii cţiuni a torsi ne fiin
ată de suma rigidităţil r drep nghiu ilor co ponen e.
h1
b1
τ2max
h
bi
b2
h2
M
Mt2
fig.10.16 fig.10.17
1
b1
t1
hi
Mt
τimax hi
Mti
b2
h2
bi
În cazul general, pentru o secţiune alcătuită din n dreptunghiuri, hi şi
bi fiind dimensiunile dreptunghiului i, fiind aproape întotdeauna îndeplinită
ondiţc ia h/b > 10 (α = β = 1/3), rezultă:
( ) .
3 11
∑∑ ==
⋅==
i
ii
i
itt bhII
Pentru determinarea tensiunilor tangenţiale în secţiune este necesar să
se cunoască momentul de torsiune pe care
1 3
nn
îl preia fiecare dreptunghi
component (Mti), din momentul de torsiune total Mt care acţionează pe
secţiune (fig.10.17), cu:
.21 ttitt MMMM =++
190

Deoarece întreaga secţiune se roteşte ca un disc rigid, unghiul de
torsiune specific al întregii secţiuni este acelaşi cu cel al fiecărui dreptunghi
omponent:c
;;
;21
t
t
ti
ti
i
i
IG
M
IG
M
==
===
θθ
θθθθ
rezultă:
.; ti
t
t
ti
t
t
ti
ti
I
I
M
M
I
M
I
M
==
Tensiunea tangenţială maximă pentru dreptunghiul „i” va fi:
.,
3
1
;
3
1
,
max
23
max
i
t
ti
i
ti
ti
iitiiiti
ti
ti
t
t
ti
tii
b
I
M
b
W
I
bhWbhI
W
I
I
M
W
M
==
⇒==
==
τ
τ
Tensiunea maximă în secţiune va fi:
,max b
I
M
t
t
=τ max
această valoare obţinându-se la mijlocul dreptunghiului component cu
grosimea cea mai mare (fig.10.16).
e a lucrului independent al fiecărui dreptunghi
component, fără a ţine seama că porţiunile sunt prinse rigid între ele. Se
- pentru profilul cornier L, η =1 ;
- pentru profilul U, η = 1,1÷1,2;
- pentru profilul I, η = 1,3.
La racordările dintre elementele unui profil apar concentrări de
siuni, care pot duce la valori ale tensiunilor tangenţiale superioare
celor determinate ca maxime, prin utilizarea formulelor precedente.
Astfel, în zona racordărilor tensiunile tangenţiale se calculează cu re-
În legătură cu calculul aproximativ arătat se face menţiunea că
experienţele demonstrează o rigiditate a barelor cu pereţi subţiri cu profil
deschis mai mare decât cea dată de formule. Acest lucru se explică prin
considerarea în formul
recomandă în acest sens corectarea momentului de inerţie la torsiune dat de
relaţia anterioară prin înmulţirea cu factorul η care ţine seama de forma
profilului:
ten
191

laţia:
;74.1
,
3
maxmax
r
b
k
k
k
=
⋅=
α
τατ
în care b – grosimea profilului la racordare, r – raza de racordare.
ţiri, profil închis, deplanări10.9 Torsiunea barelor cu pereţi sub
libere
Pentru secţiunea tip profil închis cu pereţi subţiri (fig.10.18) se vor da
câteva rezultate ale soluţiei în cazul deplanărilor libere pentru situaţia în care
S/b ≥ 8÷10, cu S – lungimea oi min c nturului median al secţiunii şi bi –
grosimea peretelui în punctul i al secţiunii.
dF
b
dS
S
τ
21
1
2
Mt
fig.10.18
bi
Tensiunile tangenţiale sunt tangente la contur şi datorită grosimii
b a conturului.
Se secţionează transversal în 1-1 şi 2-2 (fig.10.18) şi se decupează din
tub un tronson delimitat de două secţiuni transversale situate la o distanţă
egală cu unitatea şi de două plane paralele cu axa tubului (fig.10.19).
pe 2-2, de
ime b2, tensiunile tangenţiale sunt τ2. Tensiunile τ1 şi τ2 sunt uniform
istribuite pe grosimile b1 şi b2. Pe feţele longitudinale se dezvoltă tensiuni
t
τ1 şi 2). Din ecuaţia de proiecţii pe axa longitudinală a tubului, rezultă:
mici pot fi considerate constante pe grosimea
τ
Pe muchia 1-1, de lăţime b1, tensiunile tangenţiale sunt τ1,
lăţ
d
angenţiale care respectă legea dualităţii tensiunilor tangenţiale (de valori tot
τ
192

1
1
τ1
τ2
1
2
2
fig.10.19
;2211 fbbb ττττ ===
cu τf – fluxul tensiunilor tangenţiale.
Prin scrierea relaţiei de echivalenţă dintre momentul de torsiune în
secţiune şi momentul forţelor elementare dF = τb ds de pe suprafaţa secţiunii
ansversale, în raport cu axa barei (h fiind perpendiculara din O pe dF), se
bţine
tr
o (fig.10.20):
( )
;2Ω=∫S
S
dsh
;., == ∫t ctbhdsbM ττ
Ω d aria închisă de conturul median (fig.10.21).fiin
dS Ω
h
fig.10.20 fig.10.21
Ο
193

Astfel, rezultă:
;
2
,2
b
M
bM
t
t
Ω
=
Ω=
τ
τ
prima formulă a lui Bredt. Condiţia de rezistenţă devine:
;
2 min
max a
t
b
M
ττ ≤
Ω
=
se poate face notaţia
Pentru determinarea tensiunii specifice se apelează la cea de-a doua
rmulă a lui Bredt:
min2 bWt Ω= .
fo
,
4
,
2
∫S
b
pentru tuburi cu pereţi de grosime constantă se poate scrie:
Ω
== t
t
ds
I
M
θ
tIG
.
b
sds
=
bS
∫
10.10 Arcuri elicoidale cu pasul mic
idal cu pasul mic sunt
ig.10.22):
Caracteristicile geometrice ale arcului elico
(f
F
F
R
p
d
α
fig.10.22
194

• p – pasul arcului, reprezentând distanţa dintre două spire consecutive;
• R – raza arcului;
• d – diametrul spirei arcului;
lara pe axa arcului;
ximaţii:
sinα = 0; cosα = 1
Datorită aproximaţiilor mai sus menţionate, secţiunea spirei arcului
oment de torsiune Mt = F⋅R şi o forţă tăietoare T = F
• α - unghiul făcut de tangenta la spiră cu perpendicu
α fiind mai mic de 80
pot fi făcute următoarele apro
.
este solicitată la un m
(fig.10.23). Ambele eforturi produc pe secţiunea spirei tensiuni tangenţiale.
M = FRt
T = FR
1 2
τMt
τT = 4F/3A
τM t pt = M /W
τmax
fig.10.23
Din compunerea tensiunilor tangenţiale rezultă că punctul cel mai
solicitat este cel de la interiorul spirei de arc.
Tensiunea maximă şi condiţia de rezistenţă se exprimă astfel:
.
3
1
3
41
max a
p
t
p
t
R
d
W
M
A
F
W
M
ττ ≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
Pornind de la condiţia de rezistenţă se obţine o formulă de
dimensionare; diametrul va rezulta ca rădăcina maximă a unei ecuaţii de
gradul trei.
Dimensionarea practică a arcurilor se face astfel:
- se neglijează iniţial influenţa forţei tăietoare şi se face dimensionarea
doar din efectul momentului de torsiune:
195

;
16
3
dim d
W
FRM
p
π
τ
==W
aa
- diametrul efectiv al spirei va rezulta prin multiplicarea diametrului
anterior calculat, astfel:
tnec
p
τ
==
;
3
13
R
d
ddef +⋅=
- în mod obligatoriu, se va verifica condiţia de rezistenţă cu def rezultat.
Deplasarea capătului liber a unui arc elicoidal (fig.10.24), se
calculează astfel:
;
64
4
3
dG
nFR
arc =Δ
cu n – numărul de spire al arcului.
Săgeata produsă de o forţă unitară se numeşte coeficient de elasticitate
şi se notează cu δarc [m/N]. Inversul acesteia, K = 1/δ [N/m], se numeşte
coeficient de rigiditate sau constanta elastică a arcului şi reprezintă mărimea
forţei care produce o deplasare unitară. În funcţie de aceste mărimi se pot
scrie relaţiile:
B
B
/
F
Δarc
fig.10.24
A
.
;
Δ⋅=
⋅=Δ
KF
Farcarc δ
10.11 Moduri de montare a arcurilor
10.11.1 Montaj în paralel (fig.10.25)
F
K1 K2
F
F1 F2
fig.10.25
Δ F
196

Sub acţiunea forţei F, sistemul format din cele două arcuri, având
constantele elastice K1 şi K2 , se deplasează cu Δ. Dacă se notează cu F1 şi F2
forţele ce iau naştere în cele două arcuri, se poate scrie relaţia:
;,; 2211121 2 Δ⋅=Δ⋅=+= KFKFFFF
deplasarea întregului sistem este deplasarea fiecărui arc în parte:
,21 Δ=Δ=Δ
: ( )Δ+= 21 KKFrezultă , aşadar:
.
21 KK
F
+
=Δ
Se notează cu K constanta elastică a ansamblului; rezultă în final:ech
Kech .21 KK +=
10.11.2 Montaj în serie (fig.10.26)
Forţa F care acţionează asupra
sistemului celor două arcuri este
forţa care acţionează asupra
fiecărui arc în parte:
F
K1
.21 FFF ==K2
F
Δ
fig.10.26
Deplasarea sistemului se
compune din suma deplasărilor
celor două arcuri:
,21 Δ+Δ=Δ
dar F1 = K1Δ1 şi F2 = K2 2Δ , astfel:
,
2
21 FFF
1 echKKK
=+=Δ
adică:
.
111
21 KKKech
+=
10.12 Sisteme static nedeterminate alcătuite din arcuri elicoidale
Pentru sistemul de arcuri din figura 10.27 se cere să se calculeze forţa
capabilă suportată.
197

A
K1
K2
B
2
K3
F2
F3
F4
a.
fig.10.2
B
C
B
/
ΔBF/2 F/
F/2 F/2
K4
b.
7
Se izolează punctul B în poziţia deplasa .10.27b); rez ltă:tă B (fig u/
32 FFF ++= .4F (1)
e-o parte datorată forţelor F1 şi F2Deplasarea punctului B este pe d
(într-un sens) şi pe de alta forţelor F3, F4 (în sens contrar), astfel:
;2,1
2
ech
B
K
F
=Δ (2)
.
43
43
4
4
3 KK
FF
K
F
K
B
+
+
==Δ (3)
Se introduc relaţiile (2) şi (3) în (1):
3F
=
( ) .43
2,1
FKKKechB =++Δ
Din condiţia de rezistenţă pentru fiecare arc în parte va rezulta o
valoare a forţei capabile suportată de sistemul de arcuri (patru valori
iferite), astfel:
Dintre cele patru valori se va alege cea mai mică dintre ele , rezultă:
d
;/2,1
FFKFF →≤Δ⋅== 121 capcapBech
;//2,1
FFKF →≤Δ⋅= 22 capcapBech
;///
333 capcapB FFKF →≤Δ⋅=
.444
IV
capcapB FFKF →≤Δ⋅=
( ).;;;min ////// IV
capcapcapcapcap FFFFF =
198

Problema 10.a
O bară cilindrică încastrată la un capăt este încărcată cu cuplurile de
forţe conform fig. 10a. Se cere să se dimensioneze bara; τa = 80 N/mm2
, θa =
1,35⋅10-5
rad/mm, G = 8,4⋅104
N/mm2
.
600
1000 2000mm
6kN 12kN
6kN 12kN
A B Cd 2d1 x
36
M [Nmm]
10
5
.
108 10. 5
+
fig.10a
Se calculează momentele de torsiune produse de cele două cupluri de
forţe; se trasează diagrama de momente de torsiune.
Se determină Wp din co zistenţă la solicitarea de torsiune:nec
ndiţia de re
;
max
max a
p
t
W
M
ττ ≤=
.
16
3
dim
max
d
W
M
W
BAtnec
p ==
−
BAp
a
⋅
=−
π
τBA−
Pe intervalul A-B de diametru d:
.70
;18.61
80
16103616 3
5
mm
M
d BAt
=
⋅⋅
=
⋅
= −
3
mmdef
a
=
⋅πτπ
Cu def se verifică condiţia de deformaţie:
;
max
max a
BAp
t
BA
IG
M
θθ ≤
⋅
=
−
−
;107.235
32
70 44
44
d
I ⋅
⋅
=
⋅ ππ
32
mmBAp ==−
199

./10818.1
107.235104.8
5
44max aef mmrad θθ >⋅=
1036 5
⋅⋅⋅
= −
Aşadar diametrul de 70 mm nu verifică condiţia de deformaţie; se
redimensionează bara din această condi
⋅
ţie:
,4.75;
32
;103174
1035.1104.8
1036
4
dim
44
54
5
mmdI
d
I
mm
G
M
I
BA
nec
pBAp
a
BAt
BA
nec
p
=⇒=
⋅
=
⋅=
⋅⋅⋅
⋅
=
⋅
=
−−
−
−
−
π
θ
se alege def = 80 mm.
Pe intervalul B-C de diametru 2d1:
;max a
CBp
CBt
W
M
ττ ≤=
−
−
( )
;
16
2
80
10108
3
1dim
5
d
W
M
W CBp
a
CBt
CB
nec
p
⋅
==
⋅
== −
−
−
π
τ
astfel, rezultă d1 = 44,5 mm. Se alege d1ef = 50 mm.
Se verifică condiţia de deformaţie cu acest diametru:
;max a
CBt
CB
IG
M
θθ ≤
⋅
= −
−
CBp −
;107.981
32
100 44
4
mmI CBp ⋅=
⋅
=−
π
./1031.1
107.981104.8
10108 5
44
5
max aCB
mmrad θθ <⋅=
⋅⋅⋅
⋅
= −
−
Rezultă că diametrul pe intervalul B-C este 2d1 = 100 mm.
Arborele ABCD este dublu încastrat, având secţiunile din fig. 10b.1.
Să se dimensioneze şi să se calculeze rotirile în secţiunile caracteristice. Se
dau: τa = 60 N/mm2
, G = 8,4⋅104
N/mm2
.
sistem static nedeterminat,
pentru trasarea diagramei de moment de torsiune se foloseşte metoda grinzii
convenţionale; se calculează momentele de inerţie la torsiune pe cele două
intervale cu secţiuni diferite:
Problema 10.b
Arborele fiind dublu încastrat, deci un
200

+
+
0.4m d
0.5m 0.5m 0.6m
A B C D
4.96
2.56
2.24
ABC
CD
d
b
b
Mt [kNm]
fig.10b.1
+
-
6kN 12kN
;098.0
32
4
4
d
d
II pABCt =
⋅
==
π
;3
⎟
⎞
⎜
⎛
==
d
hbI ββ
2 ⎠⎝
CDt
4
pentru h/b = 1, β = 0,141, rezultă:
Se al se calculează lungimile reduse:
.035.0 4
dI CDt =
ege ;0 ABCtt
II =
.68.1
035.0
098.0
6.0
;1
4
4
0/
/
m
d
d
I
I
ll
mll
CDt
Se trasează grinda convenţională simplu rezemată, încărcată
t
CDCD
ABCABC
===
==
cu forţele
tirea cu 900
în sens trigonometric a vectorilor moment deobţinute prin ro
torsiune din secţiunile B şi C (fig.10b.2).
Se trasează pe această grindă diagrama de forţe tăietoare
convenţionale care va fi identică cu cea de momente de torsiune pe grinda
reală.
Se dimensionează pe intervalul AB pe care momentul de torsiune este
maxim şi unde secţiunea este circulară, pornindu-se de la condiţia de
rezistenţă:
;
max
M
τmax a
p
t
W
τ≤=
201

A B C D
/ / / /
V = 4.96A
/
2.4 4.8
0.5m 0.5m 1.68m
4.96
2.56
2.24
T = MC t [kNm]
fig.10b.2
M = 6 0.4 = 2.4 kNmtB
M = 12 0.4 = 4.8 kNmtC
.
.
+
-
se obţine:
;
16
;106.82
60
1096.4
3
dim
33
6max
d
WW
mm
M
W
p
nec
p
a
tnec
p
⋅
==
⋅=
⋅
==
π
τ
Se verifică secţiunea pătrată din condiţia de rezistenţă:
rezultă d = 74,95 mm, se alege def = 75 mm.
,CDtM
ττ ≤= cumax a
CDt
CD
W
./3.72
1024.2
22
2
3
6
max N
b
τ =
⋅
=
1096.30 ⋅
Condiţia de rezistenţă nefiind satisfăcută, se redimensionează din
această condiţie pe intervalul CD:
;53
75
,1208.0
1096.3053208.0 333
a
CDt
mm
mm
d
b
h
mmbW
τ
α
α
>
====←=
⋅=⋅== ;3
;1033.37
60
1024.2 3dim3
6
bW
M
W t
a
CDt
CD
nec
t α
τ
==⋅=
⋅
==
rezultă b = ;6.802 mmbd ==56,4 mm, se alege bef = 57 mm şi se alege
def = 85 mm.
202

Problema 10.c
Arborele ABCD, dublu încastrat, are secţiunea casetată şi este solicitat
ca în figura 10c. Se cere să se dimensioneze; τa = 100 N/mm2
, Mt = 4,3
kNm.
A B C D
l/3 l/3 l/3
Mt 2Mt
Mt 2Mt
V = 1.33MA t
1.33Mt
0.33Mt
1.67Mt
T = MC T t 6t t
2t
10t
2t
Mt
τ1
τ2
fig.10c
-
+
/
Bara având momentul de inerţie la torsiune constant, grinda
convenţională va avea aceleaşi deschideri. Se trasează diagrama de forţe
tăietoare convenţională identică cu diagrama de e torsiune.
Dimensionarea se face pornind de la condiţia de rezistenţă la torsiune
pentru secţiunea cu pereţi subţiri, profil închis:
momente d
( ) ;2;min,84712,
2
min
2
min
max
max tttbttt
b
M
a
t
===⋅=Ω≤
Ω
= ττ
rezultă:
.853.7
842
3 mmtmm
M
t ef
a
t
=⇒=
⋅⋅
=
τ
În colţ cele două tensiuni τ1 şi τ2 se compun:
,2
2
2
1max aττττ ≤+=
înlocuind, se obţine:
.881.7;
2
11
2
2
2
mmtmmt
tt
M
efa
t
=⇒=≤⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
Ω
τ
203

Problema 10.d
Sistemul de bare ABCDE este plan, încărcat cu forţele F
perpendiculare pe plan (fig.10d.1). Să se dimensioneze barele şi să se
determine deplasarea punctului D. Se cunosc F = 10 kN, a = 0,5 m, τa = 75
/mm2
, σa = 150 N/mm2
, G = 8,1⋅104
N/mm2
, E = 2,1⋅105
N/mm2
.N
t 10t t
2t
14t
2t
Mt
τ1
τ2
F
1.5a
1.5a
2a
A
E
C D
B
a
AB, CD, BE CB
b
h = 1.5b
Fa
2Fa
-
-
Mz 2Fa Mt
Fa
fig.10d.1
trasează diagramele de moment de torsiune şi de moment
încovoietor; se dimensionează bara BC la torsiune din condiţia de rezistenţă
pentru o secţiune profil închis cu pereţi subţiri:
Se
.176,
M BCt
=Ω≤= ττ
2
2
min
t
b
aBC
Ω
ai solicitat este în colţul secţiunii unde se compun
tensiunile τ1 şi τ2:
Punctul cel m
;
2
11
2
2
2
max2
2
2
1 a
t
tt
M
ττττ ≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Ω
=+=
204

,10105.01022 734
NmmFaM BCt =⋅⋅⋅==
rezultă t = 8,08 mm, se alege tef = 9 mm.
Se dimensionează bara AB solicitată tot la torsiune, din condiţia de
rezistenţă pentru o secţiune de formă dreptunghiulară:
,231.05.1;2
=→=≤= ατ
α
τ
b
h
bh
M
a
ABt
AB
rezultă:
;73.57
755.1231.0
105 6
mmb =
⋅⋅
⋅
=
se alege bef = 60 mm şi hef = 90 mm.
Se verifică barele încovoiate cu dimensiunile bef şi hef:
./45.123
6
6090
10
;
6
,
2
2
7
max
2
max
a
za
z
z
mmN
bh
W
W
M
σσ
σσ
<=
⋅
=
=≤=
Aşadar dimensiunile bef şi hef sunt 60 mm, respectiv 90 mm.
Deplasarea punctului D (fig.10d.2), este compusă din deplasarea
datorată rotirii din torsiune în punctul C precum şi din deplasarea din
încovoiere pe bara CD considerată ca o bară încastrată în C şi liberă în D,
astfel:
A
C
ϕC
t
ϕC
t
2a.
F(2a)
3EIz
3
ΔD
fig.10d.2
D
205

( ) ;
3
2
2
z
t
CD
EI
a +⋅=Δ ϕ
3
aF
∫=
C
A t
t
C dx
IG
M
;ϕ
( ) ;1015.189
992b ⎠⎝ ⋅
916
917644
,10024.3816090196.0
45
222
4432
mm
ds
I
mmhbI
BCt
ABt
⋅=
⎟
⎞⋅⋅
⋅⋅
=
Ω
=
⋅=⋅⋅== β
911
2⎜
⎛
+∫
( ) .47.23
10364101.23
5002017.0 45
mmD =
105.0210
;105.364
12
;.017.0
5.125.1
334
44
3
mm
bh
I
rad
GI
aFa
GI
aaF
CDz
BCtABt
C
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅==
=+=ϕ
erifice bara CD ştiind că secţiunea este un profil I 28 iar τa = 300
N/mm2
.
+⋅⋅=Δ
⋅⋅⋅
Problema 10.e
Pentru cadrul plan din figura 10e să se traseze diagramele de efort şi
să se v
A
B
C D
E
8kN
4kN
2kN/m
3m
2m
2m
8
4
4
4
4
12
T [kN]
Mt [kNm] Mz [kNm]
fig.10e
-
206

Bara CD este solicitată la torsiune; secţiunea fiind un profil deschis cu
pereţi subţiri, condiţia de rezistenţă este:
.maxmax a
t
t
b
I
M
ττ ≤⋅=
4
Pentru profilul I 28: It = 47,36 cm , bmax = max (binimă; btalpă) cu bmax =
max (15,2; 10,1) = 15,2 mm. Astfel, rezultă:
./37.1282.15
1036.47
104 2
4
6
max mmN=⋅
⋅
⋅
=τ
În zona de racordare:
./8.255
,993.1
1.10
2.15
74.174.1
;
2*
max
33
max
*
max
a
k
k
mmN
r
b
ττ
α
τατ
<=
===
⋅=
207

Capitolul 11
ETODE ENERGETICESTUDIUL DEPLASĂRILOR PRIN M
11.1 Principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor
elastice
Principiul lucrului mecanic virtual se enunţă astfel: „Pentru un sistem
de forţe în echilibru, lucrul mecanic virtual, într-o deplasare virtuală,
finitezimală, compatibilă cu legăturile, este nul”.
Lucrul mecanic virtual în cazul corpurilor deformabile este produs
tât de forţele exterioare cât şi de cele interioare.
Prin deplasare virtuală se înţelege o deplasare posibilă, independentă
e timp. Se poate scrie aşadar că:
in
a
d
.0int =+ LLext (1)
Fie o bară simplu rezemată, acţionată de o forţă exterioară P
ig.11.1).(f
P
1
2
ds + (ds)Δ
ds
F
F
Δ
_
_
fig.11.1
Poziţia 1 este poziţia de echilibru elastic a barei sub acţiunea
cărcărilor. Poziţia 2 este poziţia deformată datorată unei deplasări virtuale,
ompatibilă cu legăturile elastice ale sistemului. Datorită deplasării virtuale,
rţele de legătură F vor produce un lucru mecanic; simbolurile virtuale vor
urta bară deasupra.
Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare va fi:
în
c
fo
p
208

.Δ⋅= PLext
Lucrul mecanic virtual or interioare va fi:elementar al forţel
( ).int dsFL Δ⋅−=d
11.2 Energia potenţială de deformaţie
Fie o bară alcătuită dintr-un şir de puncte materiale dispuse în lungul
axei. Se presupune că bara este supu la întindere de forţele F aplicate la
cape nţa
ds u cu
antitatea Δ(ds). Forţele de atrac cele două puncte materiale vor
să
te (fig.11.2). Considerându-se două puncte materiale situate la dista
nul faţă de celălalt, acestea se vor depărta ca urmare a alungirii barei
ţie dintrec
produce lucrul mecanic:
( );dsFLd i Δ⋅−= (2)
semnul minus apare deoarece forţa F şi deplasarea Δ(ds) au sensuri contrare.
F F
ds Δ(ds)
fig.11.2
Dacă se consideră bara ca un mediu continuu şi se izolează un element
de lungime ds din aceasta (fig.11.3), la cele două extremităţi trebuiesc
introduse forţele de întindere F.
F
F F
F
ds Δ(ds) fig.11.3
209

Fiind mărimi secţionale, acestea (forţele F) reprezintă forţe exterioare
pentru elementul considerat:
( ).dsFLd ef Δ⋅= (3)
Din expresiile (2) şi (3) rezultă:
;ief LdLd −=
.ief LL −= (4)
Din relaţiile (1) şi (4) rezultă că:
,efext LL =
ceea ce constituie principiul lucrului mecanic virtual aplicat corpurilor
elastice.
Lucrul mecanic produs de eforturile interioare (mărimile secţionale)
într-un corp deformabil, apare ca urmare a producerii deformaţiilor; acesta
e deformaţie (U)este numit energie potenţială d . Astfel, rezultă:
ULext = ,
expresia constituind teorema lui Clapeyron care se enunţă astfel: „dacă un
corp elastic se găseşte în repaos, lucrul mecanic al forţelor exterioare este
egal cu energia potenţială de deformaţie acumulată în corp” sau „în timpul
încărcării unui corp elastic forţele exterioare vor executa un lucru mecanic
care va fi egal cu variaţia energiei potenţiale de poziţie a acestor forţe”.
Acest lucru mecanic exterior se înmagazinează în corp sub formă de energie
potenţială de deformaţie, reprezentând lucrul mecanic pe care îl execută
eforturile interioare din corp.
Considerându-se procesul de deformare reversibil, întregul lucru
mecanic exterior sau întreaga energie potenţială de poziţie a forţelor
exterioare se va transforma în energie potenţială de deformaţie, iar la
escăr
11.3 Lucrul mecanic exterior
d care, aceasta va fi restituită integral. Aşadar, energia potenţială de
deformaţie nu va depinde de modul în care sunt aplicate forţele exterioare
asupra corpului, ci numai de intensitatea lor finală.
Lucrul mecanic este definit prin produsul dintre o forţă şi proiecţia
deplasării pe direcţia forţei (sau dintre o deplasare şi proiecţia forţei pe
direcţia deplasării), respectiv produsul dintre un cuplu şi proiecţia vectorului
rotaţie pe suportul vectorului cuplu.
210

Asupra unui corp elastic forţele nu acţionează de la început cu
întreaga intensitate ci sunt aplicate cu o intensitate variind de la zero la
forţe concentrate P aplicată într-un
de aplicare a forţei se va produce o
deplasare Δ, a cărei valoare va creşte odată cu creşterea forţei, de la valoarea
fi scris ca un produs P⋅Δ, deoarece
p. La momentul t,
Δ
valoarea finală.
Se consideră cazul unei singure
punct al corpului. În punct, pe direcţia
zero la valoarea finală Δ.
Lucrul mecanic nu va mai putea
valorile ambilor factori reprezintă variabile de tim
intensitatea forţei este P, deplasarea corespunzătoare este . O creştere dP a
forţei va produce o creştere dΔ a deplasării pe direcţia forţei.
Variaţia lucrului mecanic va fi:
( ) .Δ≅Δ+= dPddPPdLext
Lucrul mecanic exterior se va calcula aşadar:
∫ Δ= .dPLext
Conform legii lui Hooke, între P şi Δ există o relaţie de
proporţionalitate: P = kΔ, făcând înlocuirile rezultă:
.
22
2
Δ=
Δ
=
P
kLext
Aşadar, dacă se admite că intensitatea forţei creşte încet de la zero la
valoarea finală, lucrul mecanic exterior se exprimă în limitele deformaţiilor
perfect elastice ale sistemului, prin jumătatea produsului dintre valoarea
întreagă a forţei şi valoarea deformaţiei provocate de această forţă, pe
direcţia şi în punctul ei de aplicare.
În cazul aplicării unui cuplu M care produce o rotire ϕ, în punctul de
aplicare lucrul mecanic exterior va fi:
.
2
1
ϕMLext =
Când asupra sistemului elastic sunt aplicate concomitent mai multe
rţe P1, P2, ..., Pn şi mai multe cupluri M1, M2, ..., Mm, care produc în
respective deplasările liniare
1, Δ2, ..., Δn 1 2 ϕm, lucrul mecanic exterior
a fi:
fo
punctele de aplicaţie şi pe direcţiile de acţiune
şi deplasările unghiulare ϕ , ϕ , ...,Δ
v
∑∑ ==
+Δ=
m
j
jj
n
i
iiext MPL
11
.
2
1
2
1
ϕ
Teorema a 2-a a lui Clapeyron se enunţă astfel: „lucrul mecanic
efectuat de forţe exterioare acţionând static asupra unui corp liniar elastic
211

este independent de ordinea în care sunt aplicate aceste forţe şi este egal cu
semisuma produselor fiecărei forţe prin deplasarea corespunzătoare”.
11.4 Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (teorema lui Betti)
Se consideră un corp elastic încărcat cu două grupe de forţe, P1, P2, ...,
i şi Q
i pe direcţiile
le Pi.
- δj , deplasările punctelor de aplicare ale forţelor Qj pe direcţiile
- δi , deplasările punctelor de aplicare ale forţelor Pi pe direcţiile
corespunzătoare, când acţionează doar forţele Q .
-
Se presupune că cele două grupe de forţ ţionează simultan asupra
corpului elastic, fiind valabil principiul suprapunerii efectelor. Deplasările
P 1, Q2, ..., Qj. Se notează cu δ/
efectul forţelor Pi şi cu δ//
efectul forţelor
Qj.
Se produc următoarele deplasări:
- δi
/
, deplasările punctelor de aplicare ale forţelor P
corespunzătoare, când acţionează forţe
/
corespunzătoare, când acţionează forţele Pi.
//
j
δj
//
, deplasările punctelor de aplicare ale forţelor Qj pe direcţiile
corespunzătoare când acţionează doar forţele Qj.
e ac
fiecărui punct fiind (δ/
+δ//
), lucrul mecanic exterior va avea expresia:
( ) ( )∑∑ +++=
j
jjj
i
iiiext QPL .
2
1
2
1 //////
δδδδ (1)
Valoarea lui Lext nu depinde de ordinea de aplicare a forţelor, de aceea
se va considera un al doilea tip de încărcare. Se presupune că se aplică întâi
rimup l grup de forţe, Pi ; lucrul mecanic este:
.
2
1 /
1 ∑=
i
iiext PL δ (2)
ntensitate este cea finală.
Lucrul mecanic suplimentar devine:
În această situaţie se aplică al doilea grup de forţe, Qj ; corpul elastic
se va deplasa datorită forţelor Qj. Deplasările vor fi:
- δj
//
pe direcţiile forţelor nou aplicate (grupa a doua de forţe, Qj), a
căror intensitate creşte de la zero la valoarea finală.
- δi
//
pe direcţiile forţelor precedent aplicate (prima grupă de forţe, Pi), a
căror i
.Q
2
PL
j
jj
i
ii2ext ∑∑ += δδ (3)
Ordinea de încărcare neavând importanţă, rezultă:
1 ////
212

.21 extextext LLL +=
Din (1), (2) şi (3) rezultă:
∑∑ ⋅=⋅ jjii QP .///
δδ
ji
Expresia (4) reprezintă teorema lui Betti sau a reciprocităţii lucrului
(4)
ecanic exterior; teorema se enunţă astfel:”Lucrul mecanic produs de un
ul de forţe P ”.
funcţie de eforturi
m
grup de forţe Pi prin deplasările produse de un grup de forţe Qj este egal cu
lucrul mecanic produs de un grup de forţe Qj prin deplasările provocate de
grup i
11.5 Expresiile lucrului mecanic
gime ds supus solicitării axiale,Se consideră un element de bară de lun
o dată datorită forţei axiale reale jxN şi apoi datorită forţei axiale virtuale
ixN .(fig.11.4)
Nx j Nx j Nx
_ _
1i Nx i
Δ x j
ale reale este Δuxj. Lucrul
ea reală Δuxj de fo
1
ds u ds
fig.11.4
Alungirea totală sub acţiunea forţei axi jxN
mecanic produs prin deplasar rţa virtuală ixN este:
.∫∫ ==
EA
dsN
NduNL
xj
xixjxief
În cazul solicitării de încovoiere, momentul de încovoiere real fiind
jxM cu rotirea corespunzătoare Δϕ j , iar momentul de încovoiere virtual
ixM (fig.11.5), lucrul mecanic produs prin deplasarea unghiulară reală
EI
dsM xj
de momentul încovoietor virtualjΔϕ = xiM este:
.∫=
EI
dsM xj
ML xief
213

ds ds
fig.11.5
Mx j Mx j Mx Mx
_ _
1i
Δϕj
Lucrul mecanic la torsiune, pentru momentul de torsiune real şi
el vir
1i
j
t
xM
i
t
xM aplicate elementului de bară de lungime ds, va fi:c tual
∫= .
t
j
t
x
i
t
ef
GI
dsM
ML
Lucrul m
x
ecanic la forfecare, pentru o forţă tăietoare reală şi una
virtuală
jxT
xiT aplicate elementului de bară de lungime ds, va fi:
.∫=
GA
dsT
TL
xj
ixef η
11.6 Expresiile energiei potenţiale de deformaţie în funcţie de
eforturi
σ ărcări
ă;
coordonatele punctului M/
sunt (σ/
+Δσ/
, ε/+Δε/
)(fig.11.6).
Pe curba caracteristică a oţelului, în zona de proporţionalitate, se
consideră un punct M de coordonate ( /
, ε/
) corespunzător unei înc
oarecare. Punctul M/
va corespunde unei mici creşteri pe diagram
σ
M
M
ε
/
A
B
B
/
Δσ/
σp
σ/
ε Δε/ /
fig.11.6
214

Variaţia energiei potenţiale de la M la M/
se notează ΔU1:
.
;
2
1
//
1
//////
1
εσ
εσεσεσ
ddU
U
=
Δ≅Δ⋅Δ+Δ⋅=Δ
Astfel, rezultă energia potenţială pe întreg domeniul AB:
dar din legea lui Hooke rezultă i se poate scrie:
,//
11 ∫∫ ==
B
A
B
A
ddUU εσ
E//
εσ = ş
.
2
1 2
0
//
1 εεε EdEU == ∫
Dacă pra volumului elementar acţionează tensiunea tan
ε
asu genţială τ,
se poate scrie:
.
2
1
Pentru a se obţine energia potenţială U a întregului sistem se
integreaz U1 pe volumul V al sistemului:
1 2
γGU =
ă
.
2
1 2
1 dV
E
dVUU
VV
∫∫ ==
σ
În cazul solicitării axiale,
A
tenţiale a întregului sistem (U) şi se obţine:
N
=σ ; se înlocuieşte în expresia energiei
po
.
22 2
EAEA A
În cazul solicitării de încovoiere,
11 22
∫∫∫ == ds
N
dAds
N
U
y
I
M
z
z
=σ ; rezultă:
.
2
11 22
dsMdsM
2
2
2 ∫∫∫ ==
z
z
Az
z
EI
dAy
EI
U
În cazul solicitării de torsiune:
∫= .
2
1 2
t
t
GI
dsM
U
În cazul solicitării de forfecare:
∫= .
2
1 2
ds
GA
T
U η
215

Maxwell11.7 Teorema reciprocităţii deplasărilor. Teorema lui
Această teoremă poate fi considerată ca un caz par
reciprocităţii lucrului mecanic. Se consideră că cele două ţe se
Qj (aplicată
ticular al teoremei
grupe de for
reduc la câte o singură forţă Pi (aplicată în punctul i), respectiv
în punctul j); teorema lui Betti devine:
,ijjjii QP δδ ⋅=⋅
în care: δ reprezintă deplasarea în i (pe direcţia forţei P ) când în punctul j
δji reprezintă deplasarea în j (pe direcţia forţei Qj) când în punctul i
acţionează forţa Pi .
ij i
acţionează forţa Qj;
Se presupune că forţele Pi şi Qj sunt numeric egale cu unitatea;
rezultă:
.ijji δδ =
Aşadar, când un corp elastic este acţionat de către două forţe numeric
usă în secţiunea (1) a unei bare,
când o forţă oarecare este aplicată în secţiunea (2), este egală cu deplasarea
produsă în secţiunea (2) când aceeaşi forţă acţionea în secţiunea (1).
da Mohr – Maxwell
egale cu unitatea, deplasarea provocată de forţa a doua pe direcţia primei
forţe este egală numeric cu deplasarea provocată de prima forţă pe direcţia
celei de-a doua forţe sau deplasarea prod
ză
11.8 Studiul deplasărior prin meto
Pentru determinarea formei deformate a unei bare este necesar să se
determine deplasarea liniară a fiecărui punct al axei longitudinale precum şi
deplasări se pot obţine cu ajutorul
e se pot d sind teorema lui
Clapeyron, potrivit căreia lucrul mecanic al forţelor exterioare este egal cu
energia de deformaţie acumulată de corp.
Se consideră cazul unei bare în două situaţii de încărcare; prima este
cărc deplasarea Δi care trebuie determinată
în punctul i, a doua fiind o încărcare auxiliară fictivă, dată de o sarcină
unitară aplicată în punctul şi pe direcţia deplas rii căutate. (fig.11.7)
eforturilor forţe este neglijabilă în
rotirea secţiunilor transversale. Aceste
unor relaţii generale de calcul, relaţii car educe folo
în area reală, sub care se produce
ă
Energia de deformaţie datorată
raport cu cea datorată momentelor încovoietoare.
216

Pk
Δi = ? δi
1
_
1i 1i
1.7fig.1
incarcarea reala incarcarea auxiliara
În situaţia de încărcare cu sarcini reale, te rema lui Clapeyron este:o
;
11 2l
dxM
22 0k EI
în situaţia corespunzătoare încărcării cu sarcina unitară în i, aceeaşi teoremă
∫∑ =ΔkkP
se scrie:
,
2
1
1
2
1
0
2
∫=⋅
l
i
EI
dxm
δ
cu: Δk – deplasarea pe direcţia sarcinii Pk ;
δi – deplasarea pe direcţia sarcinii unitare;
M şi m – diagramele de moment încovoietor corespunzătoare celor două
situaţii de încărcare.
Se încarcă grinda întâi cu sarcina unitară, apoi cu sarcinile reale;
ecuaţia lui Clapeyron devine:
.
2222 000
ii
k
kk
EIEIEI
11
11
11 22
∫∫∫∑ ++=Δ⋅+⋅+Δ
lll
dxMmdxmdxM
P δ
În membrul stâng, al treilea termen nu este afectat de coeficientul 1/2
pentru că sarcina unitară acţionează tot timpul cu întreaga mărime pe
distanţa Δi. Al treilea termen din membrul drept reprezintă energia
acumulată de bară datorită momentului încovoietor m şi a rotirii secţiunii cu
unghiul
EI
dxM
, produs de aplicarea ulterioară a sarcinii reale:
;∫∫ = dx
EI
Mm
dm ϕ
rezultă:
∫=Δ
l
i dx
mM
EI0
217

Aceasta este expresia Mohr – Maxwell pentru calculul deplasărilor
produse de sarcini.
În cazul grinzilor cu zăbrele expresia deplasărilor va fi:
,
0
∫=Δ
l
i dx
EI
nN
cu N şi n diagramele de forţe axiale pentru încărcarea reală respectiv unitară.
Sarcina unitară din situaţia auxiliară se aplică pe direcţia deplasării
căutate. Această sarcină poate fi forţă sau moment, pentru determinarea
săgeţii sau rotirii în punctul respectiv.
Dacă Δi rezultă pozitiv din calcul, deplasarea are sensul sarcinii
unitare, dacă este negativ are sens invers sarcinii unitare.
Pentru calculul deplasării Δi se procedează astfel:
ia
deplasării căutate;
- se determină diagramele corespunzătoare mi i ;
- se trasează separat diagramele M, N produse de forţele exterioare
efectuează integralele obţinându-se Δi.
Procedeul integrării directe a expresiilor Mohr – Maxwell este dificil
datorită faptului că integrarea trebuie efectuată pe fiecare interval de
variaţie continuă a încărcării.
- se introduce o forţă unitară virtuală în acel punct, după direcţ
sau n
reale;
- se
11.9 Metoda de integrare Veresceaghin
În cazul barelor drepte sau a cadrelor formate din bare drepte, pentru
care în calculul integralelor se reţine doar termenul datorat momentului
încovoietor, deoarece diagrama m este o funcţie liniară s-a elaborat o metodă
de integrare grafo-analitică numită metoda Veresceaghin.(fig.11.8)
Fie diagrama M = M(x) de o formă oarecare şi diagrama m(x) liniară
care face unghiul α cu axa x. Fie în diagrama M un element de arie dΩ =
Mdx. În diagrama m(x), în dreptul secţiunii x, ordonata este m = x tgα;
rezultă:
,
11
∫∫∫ =Ω=Ω= dx∫ Ω
EI
tg
dtgx
EI
dm
EI
dx
EI
Mm α
α
cu - momentul static al ariei diagramei M, cu xG abscisa
centrului de greutate al acestei diagrame.
Gxdx ⋅Ω=Ω∫
218

1d = M dxΩ 1x
1x
1y
G
M
1m
x dx
xG
α
yG
m = x tgα
fig.11.8
Dar xG tgα = yG , ordonata din diagrama m corespunzătoare centrului
de greutate al diagramei M; astfel rezultă:
,
1
Gy
EI
dx
EI
Mm
ă, este egală cu produsul dintre aria
ă, ordonată citită în dreptul
centrulu
diagra
Problema 11.a
Pentru grinda în consolă din figura 11a, având EI = ct., să se
⋅Ω=∫
ce reprezintă formula lui Veresceaghin, adică integrala produsului a două
diagrame, dintre care una liniar
diagramei curbe şi ordonata din cealaltă diagram
i de greutate al ariei considerate.
În cazul în care diagrama M este şi ea liniară, rolul celor două
me poate fi inversat.
determine săgeata în capătul liber folosind teorema lui Clapeyron.
P
AB
x
vA
l fig.11a
219

Pornind de la teorema lui Clapeyron se poate scrie:
U L=
cu
( ) ;
2
1
,
2
2l
EI
dxxM
U = ∫0
AvPL ⋅=
dar
( ) ( )
( ) ;
62
,
32
0
2
2
EI
lP
dxxl
EI
P
U
xlPxM
l
=−=
−−=
∫
rezultă:
.
3
3
EI
Pl
vA =
Problema 11.b
Pornind de la teorema reciprocităţii deplasărilor, să se calculeze
săgeata în secţiunea (1) când în secţiunea (2) se aplică forţa P. Se consideră
EI = ct.(fig.11b)
A B1 2
Δ12
Pl
VB
VB
f
f
starea I
fig.11b
Δ21
P
starea II
l/2 l/2
M
Pl/4
220

Pornind de la teorema reciprocităţii deplasărilor se înlocuieşte starea I
cu o stare II în care încărcarea se aplică în punctul 1 şi se calculează
deplasarea în 2, cu Δ21 = Δ12 .
Pentru starea II se trasează diagrama de moment şi apoi pentru
calculul deplasării se utilizează metoda grinzii conjugate:
;
16162
1lPlf
24
;
22
21
EI
PlPl
V
T
l
BB
f
B
=⇒=⋅⋅=
⋅
;, VT
EI
f
B
f
B
B
B ==
=Δ
ϕ
ϕ
ϕ
rezultă:
.
16
3
1221
EI
Pl
=Δ=Δ
Problema 11.c
Se dă grinda în consolă, încărcată cu o forţă de 3kN în punctul B. Să
ăgeata în punctul A. Se dau E = 2,1⋅105
N/mm2
; Iz = 573 cm4
.se calculeze s
(fig.11c)
A B C
3kN
1000 2000
6kNm
G
M
3000mm
yG
1000
1
_
fig.11c
mvA
Se trasează diagrama de moment pentru încărcarea dată, M; se
trasează diagrama de moment mvA pentru o încărcare unitară virtuală 1
aplicată în A, în punctual şi pe direcţia deplasării căutate.
Se aplică regula Veresceaghin:
221

.63.11
10573101.2
2000
3
2
1000102106
2
1
45
36
mm
EI
dxMm
v Av
A =
⋅⋅⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅⋅
== ∫
Problema 11.d
Pentru cadrul din figura 11d.1. să se calculeze deplasarea punctului D,
ΔD şi rotirea nodului C, ϕC.
3a
5a a
I
2I
A
BC D
p
p(5a)/8 pa/80.5pa
2 2 2
M
1. 2.
1
_
13a
_a
3a
u
3. 4.
1
_
1
mCϕ
fig.11d
mDv mD
+ -
+
-
+
+
5.
222

Se trasează diagrama de moment M (fig.11d2.) pentru încărcarea dată;
omentele de inerţie pe bare sunt diferite:
aplicând apoi regula lui Veresceaghin, pentru deplasările căutate, se trasează
diagramele mDv, mDu, mCϕ şi se calculează deplasările, ţinând seama de
faptul că m
( ) ;
283
2
3
2
2
5.0
2
1
8
5
3
2
5
3
2
2
5.05
2
1 2222
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−⋅
⋅
+⋅⋅−
⋅
=
a
a
pa
a
apa
a
a
pa
apaa
EI
vD
,125.2
4
EI
pa
vD −=
( ) ;
2
3
8
5
5
3
2
3
3
1
2
5.05
2
1
22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅
⋅
−=
aap
aa
paa
EI
uD
,188.7
4
EI
pa
uD =
,5.7
4
22
EI
pa
uv DDD =+=Δ
( ) .396.2
283322 EIEI
C ⎟
⎠
⎜
⎝
15
5
2
1
15.051 322
paap
a
paa
=⎟
⎞
⎜
⎛
⋅+⋅
⋅
−=ϕ
223

Capitolul 12
TEORII DE REZISTENŢĂ
12.1 Legea lui Hooke generalizată
Sub acţiunea încărcărilor şi a forţelor de legătură, într-un corp se
produce o stare de solicitare care se caracterizează prin următoarele aspecte
importante:
- o stare de tensiune, caracterizată prin forţele interioare care iau naştere
în corp;
- o stare de deformaţie, caracterizată prin schimbările de formă pe care
le suferă corpul.
Legea lui Hooke pentru corpurile tip bară are forma σ = E⋅ε; se vor
examina în continuare, în baza deformaţiilor infinitezimale şi a unui material
omogen şi izotrop, corpurile de tip placă sau bloc unde problema este plană
(în două variabile independente), respectiv spaţială (în trei variabile
independente). În aceste cazuri, legea constitutivă a materialului, presupus
perfect elastic, devine mai complexă, intervenind un nou fenomen –
contracţia transversală.
Se constată experimental (chiar la bare) că, dacă un corp este supus la
întindere după o direcţie, se produc alungiri în direcţia respectivă şi
contracţii în direcţiile transversale. Mărimea contracţiei se evaluează cu
ajutorul coeficientului de contracţie transversală (coeficientul lui Poisson),
care este raportul dintre deplasarea transversală specifică (-εtr) şi alungirea
longitudinală specifică (ε):
.
ε
ε
μ tr
−=
Pentru corpurile perfect elastice se poate admite că μ este independent
de mărimea forţelor aplicate, prin urmare reprezintă o constantă elastică a
fiecărui material. Experimental şi teoretic rezultă că μ este întotdeauna
ozitiv şi are valori cuprinse între 0 şi 0,5.p
224

Se consideră un punct P şi în jurul lui un element paralelipipedic
elementar, izolat dintr-un corp solicitat arbitrar. Elementul este astfel
orientat încât normalele la feţele acestuia sunt paralele cu direcţiile
tensiunilor normale principale din punctul considerat. (fig.12.1)
fig12.1
P
σ3
σ3
σ2σ2
σ1
σ1
Fie σ1, σ2, σ3 tensiunile normale principale şi ε1, ε2, ε3 alungirile
pecifice corespunzătoare. Datorită contracţiei transversale, fiecare mărime
intr-o grupă va depinde de toate cele trei mărimi din cealaltă grupă. Pentru
tabilirea acestor relaţii se va aplica principiul suprapunerii efectelor,
onsiderându-se că acţionează succesiv câte o singură tensiune normală pe
ouă feţe opuse.
Când acţionează doar σ1, pe direcţia 1 se va produce alungirea
pecifică
s
d
s
c
d
E
1/
1
σ
ε =s iar în sens transversal, pe direcţiile 2 şi 3 se vor produce
ontracţiile:c
.1/
1
/
3
/
2
E
σ
μεμεε −=−==
E
2//
2
σ
ε =Când acţionează doar σ2 sau σ3 se vor produce alungirile ,
spectiv
E
3///
3
σ
ε =re şi contracţiile:
,2//
2
//
3
//
1
E
σ
μεμε −=−==ε
respectiv
.3///
3
///
2
///
1
E
σ
μεμεε −=−==
225

Valorile astfel ice se introduc în
tabelul 12.1; însumând pe câte o coloană în parte, se obţin alungirile
specifice produse de acţiunea simultan a tensiunilor normale principale.
Dir 3
obţinute ale deformaţiilor specif
ă
ecţia 1 2
Tensiunea
σ1
E
1σ
E
1σ
μ−
E
1σ
μ−
σ2
E
2σ
μ−
E
2σ
E
2σ
μ−
σ3
E
3
μ−
σ
E
3
μ−
σ
E
3σ
Tabelul 12.1
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ].
1
,
1
,
1
2133
3122
3211
σσμσε
σσμσε
σσμσε
+−=
+−=
+−=
E
E
E
(1)
Relaţiile (1) generalizează legea lui Hooke din problema monoaxială;
rezolvând în raport cu tensiunile, se poate scrie:
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ].1
21
2133
132
εεμμσ
μ
++−=
−
E
,1
1
,1
211
2
3211
εεμεμ
μ
σ
εεμεμ
μμ
σ
++−
+
=
++−
−+
=
E
E
211 μμ −+
Relaţiile (1) rămân valabile şi dacă se dă o altă orientare feţelor
elementului; pentru axele x, y şi z ortogonale, rezultă:
ε
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]1
,
1
zxyy
z
E
E
σσμσε +−=
.
,
yxzz
E
σσμσε
σ
+−=
+
1
yxx σμσε −=
226

Atunci însă, pe cele şase feţe ale elementului apar perechi de tensiuni
tangenţiale: τxy = τyx; τzy = τyz; τzx = τxz, care produc lunecări specifice γxy;
γyz; γxz :
,;;
GGG
yz
yz
xz
xz
xy
xy
τ
γ
τ
γ
τ
γ ===
aşadar, când raportarea s-a făcut la un sistem de trei axe ortogonale oarecare,
legea lui Hooke este caracterizată prin şase relaţii.
Problema plană
Problema plană corespunde următoarelor două tipuri de corpuri:
distribuite în lungul generatoarelor şi normale pe
unitatea, se comportă identic, ajungându-se astfel la o stare de deformaţie
are se p
corpurile de tip a) se consideră direcţia principală 3 normală pe
ţiile 1 şi 2 cuprinse în planul median; din relaţiile (1) rezultă:
a) corpuri de tip placă, la care forţele sunt paralele cu planul median şi
distribuite uniform pe grosime, astfel încât pot fi reduse la planul median,
ceea ce corespunde unei stări de tensiune plană, la care se poate considera
σ3 = 0;
b) corpuri prismatice sau cilindrice foarte lungi, teoretic infinite, supuse
acţiunii unor forţe uniform
direcţia acestora; în asemenea cazuri toate fâşiile din corp, de lăţime egală cu
plană, la c oate considera ε3 = 0.
Pentru
placă, iar direc
( )
( )
( )213
122
211 ,
1
σσ
μ
σμσε
+
−=
,
1
ε
σμσε
−=
−=
E
E
E
(2)
ezultă că se produc contra ii transversale şi după
solicitată.
tru corpurile de tip b) se consideră că direcţia principală 3 coincide
cu direcţia generatoarelor; considerându-se ε3 = 0, din cea de-a treia relaţie a
grupului (1) rezultă:
Din aceste relaţii r cţ
direcţia ne
Pen
( ),213 σσμσ +=
iar prin substituirea relaţiei de mai sus în primele două expresii ale grupului
1) rezultă:(
( )[ ] ,
1
11
21
2
21211 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
=+⋅−−= σ
μ
μ
σ
μ
σσμμσμσε
EE
227

.
1
1
12
2
2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
μ
μ
σ
μ
ε
E
acă se aleg următoarele noi constante elastice:
σ
D
,
1
;
1
020
μ
μ
μ
μ −
==
E
E
precedente devin:
−
relaţiile
( )
( ),
1
,
1
102
0
2
201
0
1
σμσε
σμσε
−=
−=
E
E
adică sunt identice formal
Prin urmare, rezul
cu relaţiile (2).
tă că cele două stări pot fi studiate cu ajutorul
aceloraşi ecuaţii generale (de echilibru, de deformaţii şi de elasticitate),
diferind doar constantele elastice care trebuie să fie luate în considerare.
12.2 Deformaţia specifică volumică
Fie un paralelipiped elementar de laturi dx, dy şi dz (considerând
axele x, y şi z direcţiile principale). Înainte de încărcare, volumul corpului
este: dV = dx⋅dy⋅dz; după deformare, laturile devin:
( ) ( ) ( ) ,1;1;1 dzdydx zyx εεε +++
iar volumul devine:
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) .111111/
dVdzdydxdVdVdV zyxzyx εεεεεε +++=+++=Δ+=
Dezvoltând parantezele se obţine:
( )( )( ) .1111 zyxzyzxyxzyxzyx εεεεεεεεεεεεεεε +++++++=+++
Variaţia de volum va fi:
( ) ( ) ,/
dVdVdVdV yx εεε ++≈−=Δ z
în care s-au neglijat produsele deoarece au un ordin de mărime foarte redus
în raport cu termenii liniari.
Deformaţia specifică volumică εV se defineşte ca variaţia unităţii de
volum sau ca raportul dintre variaţia de volum Δ(dV) şi volumul iniţial dV:
( ) .zyxV
dV
dV
εεεε ++=
Δ
=
228

12.3 Legătura dintre constantele E, G, μ
În relaţiile care reprezintă legea lui Hooke generalizată intervin trei
, modulul de elasticitate longitudinal E, modulul de
ţia perpendiculară (fig.12.2); absenţa tensiunilor tangenţiale
constante elastice, anume
elasticitate transversal G şi coeficientul de contracţie transversală μ.
Pentru a arăta că cele trei constante nu sunt independente, ci între ele
există o relaţie de legătură, se va studia o placă solicitată la întindere de
tensiunea normală σ1 = σ pe o direcţie şi la compresiune de tensiunea
σ2 = −σ pe direc
arată că 1 şi 2 sunt direcţii principale. În secţiunile înclinate la 450
faţă de
direcţiile 1 şi 2 vor apare numai tensiuni de forfecare.
σ
σ
AC
fig.12.2
aa
a
a
B
D
Sub acţiunea acestor tensiuni, patrulaterul ABCD, având diagonalele
egale cu 2a, paralele cu direcţiile 1 şi 2, se va deforma, devenind rombul
/
B/
C/ /
A D (fig.12.3).
A A
B
B
C
π/2+γ
C
D
D
τ45
τ45
τ45
τ45
0
0
0
0
π/2−γ
π/2
fig.12.3
/ /
/
/
Ο
229

Unghiul iniţial , devine după deformare:BAO
^
,
2422
1/
^
/ γπ
γ
π
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=BAO
în care γ reprezintă lunecarea specifică a cărei valoare trebuie determinată.
Între semidiagonalele patrulaterului a şi diagonalele rombului există
relaţiile:
( )
;
,1 1
/
ε
ε+= aOA
(1/
+= aOB )2
alungirile specifice pot fi însă exprimate cu ajutorul legii lui Hooke
generalizate, prin intermediul tensiunilor:
( )
( ) .
11
122 σ
μ
σμσε
+
−=−=
,211 σσμσε
EE
EE
=−=
11 μ+
Din adunarea şi scăderea celor două relaţii se obţine:
( ) .
12
,021
μ
21 σεε
εε
E
=−
+
=+
Din triunghiul dreptunghic B/
OA/
se deduce:
( )
( )
( )
( )
.
1
1
1
1
24 /⎟
⎠
⎜
⎝ aOA
tg
1
2
1
2
/
ε
ε
ε
εγπ
+
+
=
+
+
==
⎞⎛
−
aOB
Unghiul γ fiind foarte mic, se poate asimila tangenta cu arcul:
;
2
11
24 γ
2
1
24
24
γ
γπ
π γ
γπ
−
≈
−
=⎟
⎞
⎜
⎛
−
tgtg
tg
prin în
+⋅+⎠⎝ tgtg
locuire în relaţia precedentă, se obţine:
.
1
1
2
1
2
1
ε
1
2
εγ
γ
+
=
+
Dezvoltând şi explicitând pe γ se obţine:
+
−
( ) ( ) .
2 21
21
σ
122 μ
εε
εε
γ
E
+
=
++
−
= (3)
230

Pe de altă parte, aplicându-se legea lui Hooke pentru tensiunile
tangenţiale şi ţinând seama că τ45
0
= σ, rezultă:
.45
GG
0 στ
γ == (4)
Din compararea expresiilor (3) şi (4) rezultă relaţia:
( )
.
12 μ+
=
E
G
Pentru oţel μ = 0,3, E = 2,1⋅105
N/mm2
, rezultă G 4 2
= 8,1⋅10 N/mm .
12.4 Energia potenţială de deformaţie în problema spaţială
Dacă se trece de la problema barelor (monoaxială), la cea spaţială,
energia potenţială de deformaţie va fi suma energiilor după cele trei direcţii.
Se va trata numai energia specifică.
Pentru a se opera cu expresii mai simple, raportarea se face la cele trei
direcţii principale din fiecare punct. Astfel vor apare tensiuni normale
rincipale σ1, σ2, σ3 şi corespunzător alungiri specifice ε1, ε2, εp 3 :
( )[ ];
1
3211 σσμσε +−=
( )[ ]
( )[ ].
1
;
1
1233
1322
σσμσε
σσμσε
+−=
+−=
E
E
Energia specifică va fi:
E
( ) ( )[ ].2
2
1
2
1
133221
2
3
2
2
2
1332211 σσσσσσμσσσεσεσεσ ++−++=++=
E
Us
12.4.1 Energia specifică necesară variaţiei de volum şi schimbării formei
Când un corp elastic este supus acţiunii unei forţe exterioare, el se
deformează; deformaţia corpului poate fi separată în două:
um;
- o schimbare a formei.
- o variaţie de vol
231

Ca urmare a acestor două aspecte, energia specifică poate fi
considerată ca suma dintre energia necesară variaţiei de volum U1V şi
energia necesară schimbării formei (energia de deviaţie) U1D, astfel:
.UUU DVs +=
Energia necesară variaţiei de volum are expresia:
.p
1
UV ⋅=
2
Vε
Deformaţia specifică volumică este definită de expresia:
( )321
21
σσσ
μ
ε ++
−
=
E
V
şi poate fi privită ca fiind produsă de o presiune medie:
,
3
321 σσσ ++
=p
astfel, rezultă:
( )
E6
U
2
321V σσσ .
21−
=
μ
++
Prin urmare, energia de deviaţie se va calcula astfel:
( ).
E3
1332213
1
UUU 22
2
2
σσσσσσσσσ1VsD
μ
−−−++
+
=−=
12.5 Teorii de rezistenţă a materialelor
punct
Asigurarea comportării corespunzătoare a elementelor de rezistenţă
sau a structurii, în timpul exploatării, pune pe prim plan problema raportării
stării de tensiune efective sub încărcări de exploatare, la starea de tensiune
limită, corespunzătoare scoaterii din lucru a elementului sau structurii.
punde trecerii dintr-un
e e materialului, într-unul cu
ferite de primul, a cărui
tinge într-un punct poate fi
apreciat prin tensiuni sau deformaţii, mărimi relativ simplu de determinat,
ină uşor
ure. Prin astfel
12.5.1 Starea de tensiune limită într-un
Starea de tensiune limită într-un punct cores
domeniu cu anumite proprietăţi m canice al
proprietăţi calitativ di evoluţie ulterioară, sub
încărcări crescătoare, constituie o stare periculoasă pentru exploatarea
elementelor de construcţie.
Nivelul pe care starea de tensiune îl a
sau prin energia de deformaţie.
Parametrii ce corespund stării de tensiune limită se determ
experimental în cazul întinderii, compresiunii şi forfecării p
232

de încercări se determină tensiunea limită care, la materialele ductile este
considerată tensiunea de curgere σc , iar la materialele casante, tensiunea de
rin tensiuni, ar trebui efectuate pentru fiecare material un număr mare de
xp de
peri o
ă (tensiune, deformaţie, energie de deformaţie) care să se
ulţi factori,
având un caracter specific de la material la material şi de la un tip de
solicitare la altul, nu poate fi găsit un criteriu unic. De aici existenţa mai
multor teorii ale stărilor de tensiune limită.
Drept factor caracteristic al stării de solicitare poate fi aleasă tensiunea
normală maximă, deformaţia specifică liniară maximă, tensiunea tangenţială
maximă, energia potenţială de deformaţie totală sau cea de deviaţie, fiecare
ţă.
12.5.2 Tensiunea echivalentă
Pentru un anumit material se consideră două stări de tensiune, având
celaşi grad de periculozitate: o stare de tensiune caracterizată de tensiunile
rincipale σ , σ şi σ şi o stare de întindere simplă, caracterizată de
t
rupere σr.
În cazul general de solicitare, limitându-ne la caracterizarea acesteia
p
e erienţe, de aceea s-a convenit ca, pentru aprecierea gradului
culozitate al unei solicitări comp ă se aleagă un factor carelexe, s
caracterizeaz
compare cu mărimea corespunzătoare stării de tensiune limită determinată
printr-o încercare simplă (întindere, compresiune, forfecare). Stabilirea
factorului care să permită aprecierea cu un grad de generalitate satisfăcător a
nivelului de pericol al unei stări de tensiune reale în raport cu cea limită
constituie obiectivul teoriilor stărilor de tensiune limită sau a teoriilor de
rezistenţă.
Deoarece atingerea stării limită într-un punct depinde de m
conducând la o teorie de rezisten
a
p 1 2 3
ensiunea principală σech.(fig.12.4)
fig12.4
σ3
σ2
σechσechσ1σ1
σ3
σ2
233

Tensiunea echivalentă este deci tensiunea normală principală care ar
trebui produsă într-o epruvetă supusă la întindere simplă, pentru a se crea în
ca şi starea
dată.
În continuare se vor studia numai teoriile de rezistenţă cu
12.5.3 Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I)
preponderent este tensiunea normală maximă σmax ; un corp,
într-un punct al său, atinge starea limită când tensiunea normală maximă
atinge valoarea maximă de la solicitarea de întindere simplă, indiferent de
Notându-se cu σ0 limita de curgere σc pentru materialele tenace sau
rezistenţa de rupere σr pentru materialele casante, valori determinate
xperimental, se poate scrie, în cazul stării de tensiune spaţială, pentru
celaşi σ0 la întindere şi compresiune:
epruvetă o stare de tensiune cu acelaşi grad de periculozitate
aplicabilitate practică.
Factorul
tipul de solicitare.
e
a
010 σσσ ≤≤−
030
020
σσσ
σσσ ≤≤−
≤≤−
sau pentru tensiuni σ0 diferite la întindere (σ0t) şi compresiune (σ0c):
020
010
tc
tc
σσσ
σσσ
.030 tc σσσ ≤≤−
≤≤−
≤≤−
În problema plană, unde σ3 = 0, relaţiile precedente devin:
20
010
σσ
σσσ
0σ≤≤−
≤≤−
sau
010 tc σσσ
.020 σσσ− tc ≤≤
≤≤−
În reprezentarea spaţială, la limită, condiţiile de rezistenţă în punct
reprezintă şase plane care formează un paralelipiped cu laturile egale cu 2σ0,
suprafaţa cubului reprezentând suprafaţa limită.(fig.12.5)
σ3
fig12.5
σ2
σ1
σ0 σ0
σ0
σ0
σ0
σ0
234

În plan, reprezentarea condiţiilor la limită conduce la un pătrat de
laturi 2σ0,(fig.12.6):
M
σ2 σ2
σ1
σ1
σ1 σ1
σ2
σ0
σ0−σ0
σ0t
σ0tσ0c
fig.12.6
σ2
−σ0 σ0c
Punctele din interiorul cubului sau pătratului corespund unor stări de
tensiune posibile în punct (nu conduc la starea de tensiune limită), iar
punctele de pe suprafaţă (contur) sau din afara acestora reprezintă stări de
tensiune limită, respectiv stări de tensiune care depăşesc starea limită.
Când tensiunile limită la întindere şi compresiune sunt diferite (σ0t şi
0c), domeniile de rezistenţă precedente se construiesc în mod analog prin
crierea corespunzătoare a condiţiilor de rezistenţă la limită.
nea σ0c corespunzătoare compresiunii
simple.
2. În cazul forfecării pure, tensiunile principale fiind:
σ
s
Dezavantajele teoriei
1. Teoria este infirmată de experienţele Főpple, pentru o stare de
compresiune uniformă triaxială (compresiune hidrostatică), la care
se constată că starea limită se atinge pentru tensiuni σ care
depăşesc cu mult tensiu
,; 21 τστσ −==
prin urmare materialul cedează când 0lim21 στσσ ==−= ;
experienţele Bauschinger arată că cedarea se produce când
2
0
lim
σ
τ = , infirmând astfel valabilit
forfecării pure.
Teoria tensiunilor principale maxime dă rezultate satisfăcătoare numai
la solicitarea de întindere în cazul materilelor casante.
atea teoriei pentru cazul
Pentru tensiunile de exploatare, când se consideră σc şi σt ca având
aceleaşi valori, criteriul de rezistenţă devine:
[ ] .;;max 321 aech σσσσσ ≤=
Dacă σ1>0, σ2>0, σ3<0 condiţia de rezistenţă devine:
235

[ ] ;;max 21 tatech σσσσ ≤=
.3 cacech σσσ ≤=
În mod obişnuit nu se dispune de valoarea tensiunii σac ci numai de
σat.
ponderent este tensiunea tangenţială maximă τmax ; un
mită trebuie îndeplinite următoarele
condiţii:
12.5.4 Teoria tensiunilor tangenţiale maxime (teoria a III-a)
Factorul pre
corp într-un punct al său atinge starea limită, indiferent de tipul de solicitare,
când tensiunea tangenţială maximă din acel punct atinge valoarea limită
corespunzătoare solicitării de intindere simplă.
Pentru a nu se atinge starea li
,0310
;
;
0230
0120
τττ
τττ
τττ
≤≤−
≤≤−
≤≤−
dar:
,
2
;
2
;
2
;
2
31
31
32
23
21
12
0
0
σσ
τ
σσ
τ
σσ
τ
σ
τ
−
=
−
=
−
==
astfel, se poate scrie:
;0210 σσσσ ≤−≤−
.
;00
σσσσ
σσ 32 σσ
0310 ≤−≤−
− ≤−≤
În reprezentarea grafică spaţială, relaţiile de forma 021 σσσ ±=−
reprezintă şase plane paralele două câte două, înclinate la 450
în raport cu
câte două axe şi paralele cu a treia axă; acestea vor determina o prismă
hexagonală de lungime infinită (fig.12.7).
Pentru reprezentarea plană, ( )03 =σ :
,
;
;
020
010
σσσσ
σσσ
0210
σσσ
≤−≤−
≤≤−
≤≤−
se ine un hxagon semiregulat (fig.12.8).obţ
236

1
2
3
2
1
fig.12.7 fig.12.8
Experienţele lui Föpple efectuate pe cuburi de ciment, gresie, granit la
compresiune, pe o direcţie şi pe două direcţii, au condus la conclu
σ0
σ0
zia că
ateri
rienţele Föpple
i pe t tă este deschisă şi în zona de întindere, ceea
ex
co erialului, neputând fi aplicată decât la materiale pentru
m alul cedează în ambele cazuri la valoarea tensiunii limită obţinută
pentru cazul compresiunii pe o singură direcţie. Suprafaţa limită este
deschisă în zona compresiunii triaxiale deci se confirmă expe
ş rei direcţii; suprafaţa limi
ce nu corespunde datelor experimentale.
Acest criteriu este verificat şi în cazul forfecării pure, prin
perimentele lui Bauschinger.
Teoria nu poate ţine seama de tensiunile limită diferite la întindere şi
mpresiune ale mat
care c0t0 σσ = , cum este cazul oţelurilor.
Teoria nu ţine seama, în cazul solicitării spaţiale, de influenţa tensiunii
principale 2σ .
oria nu se aplică pentru stări de tensiune apropiate de întinderea
nile tangenţiale şi lunecările specifice asociate există o
proporţionalitat
Te
triaxială.
Între tensiu
relaţie de e. Apariţia deformaţiilor permanente la metale are
rivit ca un criteriu de
În exploatare, condiţia la limită este:
loc ca urmare a lunecărilor care se produc în structura materialului, astfel
încât criteriul tensiunii tangenţiale maxime poate fi p
plasticitate (criteriu de curgere plastică), în timp ce teoria I este o teorie de
rupere.
[ ] ;;;max 313221 aech σσσσσσσσ ≤−−−=
plan:în
[ ] .;;max 2121 aech σσσσσσ ≤−=
237

În cazul barelor unde 021 <⋅σσ , se ajunge la o relaţie de forma:
.21 aech σσσσ ≤−=
12.5.5 Teoria energiei de deviaţie (teoriaVsau IV )
F nergia
la solicitarea de întindere
mplă
tru a nu se depăşi starea limită trebuie îndeplinită condiţia:
a
actorul preponderent în atingerea stării limită îl constituie e
specifică de deviaţie UD.
Un corp atinge starea limită într-un punct al său, indiferent de tipul
solicitării când energia potenţială de deformaţie de variaţie a formei
specifică atinge valoarea corespunzătoare de
si .
Pen
( )
;
E3
1
U
,
E3
1
U
;UU
2
0D
133221
2
3
2
2
2
1D
DD
0
0
σ
μ
σσσσσσσσσ
μ
+
=
−−−++
+
=
≤
rezultă că se poate scrie:
sau
2
1σ + ,2
0133221
2
3
2
2 σσσσσσσσσ ≤−−−+
0133221
2
3
2
2
2
1 σσσσσσσσσσσ ≤−−−++=ech ,
ceea ce are ca reprezentare grafică în spaţiu un cilindru circular deschis la
bel ei din teoriaam e capete (fig.12.9),cilindrul fiind circumscris prism
tensiunilor tangenţiale maxime, respectiv în plan:
,2
021
2
2
2
1 σσσσσ ≤−+
altfel spus
,021
2
2
2
σσσ = 1 σσσ ≤−+ech
ceea ce reprezintă o elipsă obţinută prin intersecţia cilindrului cu planul σ3 =
0, (fig.12.10).
În cazul solicitării de forfecare pură σ1 = τ şi σ2 = −τ, se introduc cele
incipale în expresia tensiuniidouă valori ale tensiunilor normale pr
chivalente şi rezultă:e
0
222
,3 σσττττσ ≤=++= echech , adică
0
0
0 577.0
3
σ
σ
τ ≅= , această valoare fiind confirmată prin experimente.
238

1
2
3
2
1
fig.12.9 fig.12.10
σ0
σ0
−σ0
−σ0
La solicitarea de compresiune triaxială σ1 = σ2 = σ3 = -p; rezultă:
,; 0
222222
σσσ ≤−−−++= echech pppppp
adică:
∞→=
0
0σ
p , valoare verificată de experienţe.
Teoria ţine seama de tensiunea principală σ2, a cărei influenţă a
transformat prisma din teoria tensiunilor tangenţiale maxime în cilindrul
erii pe toate direcţiile.
acestei teorii.
Suprafaţa limită fiind deschisă în zona întinderii uniforme triaxiale,
criteriul este inaplicabil pentru cazul întind
Criteriul are în vedere numai materialele cu aceeaşi tensiune limită la
întindere şi compresiune simplă.
La so iclic tarea de întindere uniformă pe două direcţii:
σσσ == ,21
astfel, rezultă
σσσσσ =−+= 222
ech ,
ceea ce confirmă experienţele.
În cazul materialelor ductile, această teorie oferă condiţia pntru
apariţia curgerii într-un punct, motiv pentru care criteriul energiei potenţiale
de deformaţie pentru modificarea formei reprezint
(condiţie de curgere), ca şi
ă un criteriu de plasticitate
criteriul tensiunii tangnţiale maxime. Coincidenţa
rezultatelor teoretice obţinute cu cele experimentale face ca acest criteriu de
ă să fie larg aplicat în cazul materialelor cu proprietăţi plastice.rezistenţ
239

12.5.6 Aplicarea teoriilor de rezistenţă n cazul barelor
Starea cea mai generală de solicitare în cazul unei bare se reduce la
rmătoarele tensiuni:
î
u
.; 22
xzxyx τττσσ +==
Pentru a se verifica dacă starea de tensiune nu o depăşeşte pe cea
mităli trebuie făcută verificarea:
.aech σσ ≤
Pentru calculul lui σech trebuie cunoscută teoria de rezistenţă care se
plică; astfel:a
pentru teoria tensiunilor normale maxime (Tσ):•
a
2
2
xxech
2
1
2
1
στσσσ ≤+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= (1)
• pentru teoria tensiunilor tangenţiale maxime (Tτ):
,
2222
2
2
2
2
21ech τ
σσ
τ
σσ
σσσ +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=−= xxxx
unde:
;
22
2
2
1 τ
σσ
σ +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= xx
.
22
2
2
2 τ
σσ
σ +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= xx
Astfel:
a
22
xech 4 στσσ ≤+= (2)
• pentru teoria energiei de devia ie (Tţ ED):
( ) ,
22
4 2
22
22
21
2
2121
2
2
2
1 τ
σσ
τσσσσσσσσσ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=+−=−+ xx
xσ =ech
rezultă:
a
22
xech 3 στσσ ≤+= (3)
enţială admisibilă pe baza teoriei tensiunilor
xime se calculează astfel:
În cazul solicitării axiale se aplică relaţia (1). Pentru orice alt tip de
solicitare se aplică relaţiile (2) sau (3).
Tensiunea tang
tangenţiale ma
,2 max aech στσ ≤=
240

prin urmare:
.5.0 aa στ =
În cazul teoriei energiei de deviaţie:
,3 max aech στσ ≤=
.577.0 aa στ =
241

Capitolul 13
SOLICITĂRI COMPUSE
ntr-o stare de solicitare simplă de întindere, compresiune,
În practică se întâlneşte adeseori acţiunea simultană, într-o secţiune a
une au mai multe dintre aceste efortur
compuse.
iune şi deformaţie a
barelor, la care, în secţiunile transversale ale acestora apar cel puţin două
componente ale eforturilor secţionale.
Se consideră o bară dreaptă, acţionată de un sistem spaţial de forţe în
echilibru; în cazul cel mai general, în centrul de greutate al secţiunii
transversale, eforturile elementare se reduc la componentele Ty, Tz, N, My,
Mz, Mt (fig.13.1).
Când în secţiunea unei bare apare un singur efort N, T, Mt, Mi, atunci
bara se află î
forfecare, torsiune sau încovoiere.
i bare, a două s i, rezultând solicitări
Se numeşte solicitare compusă, acea stare de tens
x
z
y
N
Tz
Ty
Mt
Mz
My
ce în secţiunea transversală tensiuni
le barelor se va considera valabil
principiul independenţei acţiunii forţelor, o ţinând astfel tensiunile şi
deformaţiile într-un punct prin însumarea geometrică a tensiunilor şi
fig.13.1
EforturileN, My şi Mz vor produ
normale σx, iar componentele Ty, Tz şi Mt vor produce tensiuni tangenţiale τ.
În studiul solicitărilor compuse a
b
242

deformaţiilor mici provocate de fiecare solicitare simplă prezentă. Acest
mod de calcul se poate accepta numai pentru barele la care deformaţiile mici
difică esenţial forma iniţială a
ţele aplicate să
nu influenţeze sensibil asupra poziţiilor şi rezultantelor acţiunilor celorlalte
încărcări.
Cazuri de solicitări compuse:
• încovoiere simplă cu forţă axială, caracterizată de eforturile secţionale
, My) sau (N, Mz).
• încovoiere dublă sau oblică, caracterizată de eforturile secţionale (My,
z).
• încovoiere dublă cu forţă axială, caracterizată de eforturile secţionale
, My, Mz).
• încovoiere cu torsiune, caracterizată de eforturile secţionale (My, Mt),
z, Mt), (My, Mz, Mt).
• încovoiere cu torsiune cu forţă axială, caracterizată de eforturile
ecţionale (N, My, Mz, Mt).
13.1 Încovoiere dublă sau oblică
produse de acţiunea încărcărilor nu mo
acestora, astfel încât deformaţiile produse de fiecare din for
(N
M
(N
(M
s
Se numeşte încovoiere oblică, încovoierea unei bare la care planul de
cţiune al momentului încovoietor nu conţine în secţiune nici una din axele
rincipale de inerţie ale secţiunii barei.
Fie secţiunea oarecare a unei bare la care momentul încovoietor Mi
rmează unghiul α cu axa z (fig.13.2); vectorul moment se va descompune
upă axele principale de inerţie în:
a
p
fo
d
.sin
;cos
α
α
iy
iz
MM
MM
=
=
Pentru un punct P din primul cadran tensiunile normale pe cele două
xe se calculează astfel:a
.
;
z
I
M
y
I
M
y
yP
M
z
zP
M
y
z
−=
=
σ
σ
243

S
S
My
Mz
M
P
1
1σ(M )z
1z
/
α
1β
1
1y
1σ(M )y
1σmin
1σmax
1ββ
1
+ P
+
+
-
-
x
n
P
-
-
-
+
-
+
+
+
-
1fig.13.2aa
eutra
Aplicând principiul suprapunerii efectelor rezultă:
,
sincos
;−=+=
y
y
z
zP
M
P
M
P
z
I
M
y
I
M
yz
σσσ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
yz
i
I
z
I
y
M
αα
σ
relaţie ce reprezintă expresia tensiunii într-un punct curent, pentru solicitarea
de încovoiere oblică.
Prin egalarea expresiei tensiunii σ cu zero se obţine ecuaţia axei
neutre în secţiune:
;0
sincos
=−
yz I
z
I
y αα
expresia reprezintă o dreaptă ce trece prin originea axelor de coordonate,
înclinarea dreptei fiind:
.αβ tg
I
I
z
y
tg
y
z
==
Se constată că direcţia axei neutre nu coincide cu direcţia momentului
încovoietor Mi decât dacă Iz = Iy ; este cazul secţiunilor circulară, inelară,
pătrată, în care caz încovoierea devine simplă.
244

După determinarea poziţiei axei neutre se duc paralele la această axă,
tangente la conturul secţiunii transversale, prin punctele cele mai depărtate
de ea; se determină punctele S şi S/
.
Se trasează distribuţia de tensiuni σ pentru solicitarea compusă,
semnele corespunzătoare datorându-se compunerii semnelor fiecărei tensiuni
σMy şi σMz pentru punctele S şi S/
.
ale materialelor cu comportament diferitPentru rezistenţele admisibile
la întindere şi compresiune, condiţiile de rezistenţă sunt:
.z
M
y
M yz
σσσ ≤−==
(1)
II
MM
caSSSmin
yz
///
;z
I
y
I taS
y
S
z
Smax σσσ ≤−==
yz
Pentru aceeaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune:
[ ] .;max / aSSech σσσσ ≤=
Condiţia de rezistenţă nu se poate transforma într-o formulă de
imensionare în cazul general, adică pentru orice tip de secţiune; o astfel de
ecţiune poate fi numai verificată.
e admite secţiunea şi se
erifică condiţia de rezistenţă, astfel, dacă:
d
s
Dimensionarea se efectuează prin încercări; s
v
,02.195.0 max aefa σσσ ≤≤
atunci secţiunea este bună. În caz contrar, se schimbă secţiunea şi se reface
calculul de verificare.
În această categorie intră profilul cornier (fig.13.3):
F
S
S
/
axa
n
η
M
z
y
ξ
η
ξ
Mi
M
eutra
σ = σS max
β
fig.13.3
σ σS min=/
245

Înclinarea axei neutre este dată de relaţia:
.αβ
η
ξ
tg
I
I
tg =
/
Tensiunile normale în punctele S şi S se calculează cu relaţiile:
.
,
/// min
max
SSS
SSS
I
M
I
M
I
M
I
M
ξησσ
ξησσ
η
η
ξ
ξ
η
η
ξ
ξ
−==
−==
13.1.1 Încovoierea dublă a barelor cu secţiunea transversală
dreptunghiulară sau care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline
(fig.13.4)
fig.13.4
Pentru secţiunea dreptunghiulară din figura 13.5, acţionată de un
moment încovoietor M , făcând unghiul α cu xa z, se trasează distribuţiile
istribuţia finală σ.
i
de tensiuni normale corespunzătoare momentelor încovoietoare My şi Mz şi
apoi prin compunere d
S
/
M /Wz z
S
My
Mi
α
Mz z
M /Wz z
M /Wy y
β
σ
fig.13.5
y
M /Wy y
σmin
σmax
axa
neutra
-
+
+
-
+
-
246

Expresiile tensiunilor maximă şi minimă vor fi:
.min
yz
yz
MM
WW
−−== σσ
,
/
S
WW
max
yz
S
MM
+== σσ
yz
Condiţia de rezistenţă devine:
;max a
y
y
z
z
ech
W
M
W
M
σσσ ≤+== (1/
)
ransforma într-o condiţie de dimens
factor comun forţat raportul
expresia se poate t ionare astfel: se dă
zW
zM
:
,1max a
zyz MWW ⎠⎝
rezultă condiţia de dimensionare:
yzz W
σ ≤
⎟
⎟
⎜
⎜ +=
MM ⎞⎛
σ
.1 dimz
z
y
y
z
a
necz W
MW
W =
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
+=
σ
(2)
zM ⎛ MW ⎞
Raportul
y
dreptunghi, unde
z
W
W
se alege în funcţie de tipul secţiunii; de exemplu, la
6
z şi
2
bh
W =
6
y ,
2
hb
W =
bWy
, la profilele lam
hWz
= inate
portul variază între 7 şi 10.
Dimensionarea se face astfel: se ia un raport
ra
y
z
W
W
pe baza căruia se
aplică relaţia (2), după care, în mod obligatoriu, se verifică condiţia de
rezistenţă (1) sau (1/
) introducând valorile efective ale modulelor de
rezistenţă axiale Wz şi Wy.
Dacă bara este solicitată la încovoiere dublă prin forţe care nu sunt
situate în acelaşi plan se vor evalua componentele forţelor după axele y şi z
şi se vor construi diagramele momentelor My şi Mz, secţiunea periculoasă
urmând a fi precizată după cum urmează.
247

Fie grinda din figura 13.6 solicitată de forţele F1 acţionând pe direcţia
axei y şi F2, pe direcţia axei z.
y fig.13.6
Se descompune sistemul în două sisteme plane xy şi xz pe care s
z
x
A C F2
e
trasează diagramele de moment încovoietor My şi Mz (fig.13.7a şi b).
D
BF1
F1
A C D B x
y
z
xA C D B
F2
Mz My
M
M M
MCz
Dz
Cy
Dy
a. b.
fig.13.7
Dacă diagramele My şi Mz sunt liniare atunci valoarea maximă pentru
momentul încovoietor Mi se găseşte într-unul din punctele în care
diagramele au vârfuri (C sau D).
Se calculează momentele încovoietoare în aceste puncte:
.
;
22
22
yDzDiD
yCzCiC
MMM
MMM
+=
+=
Secţiunea periculoasă este cea în care Mi are valoarea maximă:
[ ].;maxmax iDiCi MMM = .
248

13.2 Încovoiere simplă cu forţă axială
Dacă în secţiunea transversală a barei mărim e secţionale se reduc la
un moment încovoietor şi o forţă axială, atunci bara este solicitată la
3.8).
te mare şi neglijând deplasările din
aplica principiul suprapunerii e
il
încovoiere simplă cu forţă axială (fig.1
Presupunând bara de rigidita
încovoiere, se va putea fectelor (fig.13.9).
x
S min
z
y
N Mz
/
S
N Mz
3.8
z
y
y0
axa
neutra
σN
σ
− −
fig.1 fig.13.9
σMz
σmax
σ
+
+
+
tensiunile normale datorate forţei i m lui încovoietor Mz:
Într-un punct curent din primul cadran al secţiunii se însumează
axiale N ş omentu
.y
I
M
A
N
z
z
MN z
+=+= σσ σ
Punând condiţia σ = 0 se obţine poziţia axei neutre în secţiune:
,00 =+ y
I
M
A
N
z
z
rezultă:
.0
z
Prin urmare, axa neutră este o dreaptă paralelă cu axa z care nu trece
prin centrul de greutate al secţiunii. Se duc paralele la axa neutră, tangente la
conturul secţiunii transversale, rezultând punctele S şi S/
, cu valorile
corespunzătoare pentru tensiunile normale
z
M
N
A
I
y −=
:
249

.min
max
//
,
S
z
z
S
S
z
z
S y
MN
+== σσ
y
I
M
A
N
IA
−== σσ
Dacă se admite că materialul are rezistenţe admisibile identice la
întindere şi compresiune, condiţia de rezistenţă devine:
[ ] .;max / aSSech σσσσ ≤=
Această relaţie se poate transforma într-o relaţie de dimensionare,
rezultând o ecuaţie de gradul trei.
O secţiune oarecare supusă la încovoiere simplă cu forţă axială se
dimensionează prin încercări; se dă secţiunea şi se verifică condiţia de
rezistenţă. Condiţia de rezistenţă este îndeplinită satisfăcător când:
.02.195.0 max aefa σσσ ≤≤
13.2.1 Cazul secţiunii la care axa de încovoiere este axă de simetrie
(fig.13.10)
fig.13.10
Fie cazul unei secţiuni transversale de formă dreptunghiulară solicitată
la încovoiere simplă cu forţă axială (fig.13.11).
σmin σmin σmin = 0S/
S
y
N/A M /Wz z σmax σmax σmax
N Mz
z
N/A N/A N/AM /Wz z M / z M /Wz z<> =σN σMz
fig.13.11
−
+
Wz
+
250

Din compunerea tensiunilor normale datorate forţei axiale şi
omentului încovoietor pot rezulta trei situaţii în funcţie de mărimea
În punctele S şi S tensiunile normale vor avea valori extreme:
m
raportului Mz/Wz faţă de N/A.
/
,max
z
z
S
W
M
A
N
+== σσ
./min
z
z
S
W
M
A
N
−== σσ
Pentru aceeaşi rezistenţă admisibilă la întindere şi compresiune,
condiţia de rezistenţă devine:
.max a
z
z
ech
W
M
A
N
σσσ ≤+==
Formula este riguroasă pentru forţele axiale de întindere şi poate fi
folosită şi în cazul forţelor axiale de compresiune dacă acestea nu produc
pierderi de stabilitate.
Dimensionarea practică
Se neglijează termenul de importanţă mai mică din condiţia de
rezistenţă, de regulă
A
N
şi se dimensionează secţiunea la solicitarea simplă
reponderentă, de regulă Mz, după care, secţiunea obţinută se majoreaz
13.3 Încovoiere dublă cu forţă axială
ăp
ţinându-se seama de influenţa termenului neglijat. După alegerea secţiunii,
în mod obligatoriu se verifică condiţia de rezistenţă.
Dacă în secţiunea transversală a barei m rimile secţionale se reduc în
raport cu centrul de greutate al acesteia la momente încovoietoare după
principale de inerţie, Mz şi My şi o forţă axială N, atunci bara este
solicitată la încovoiere dublă cu forţă axială (fig.13.12).
Presupunând bara de rigiditate mare şi neglijând deplasările din
ă
direcţiile
încovoiere, se va putea aplica principiul suprapunerii efectelor astfel încât
într-un punct al secţiunii, situat în primul cadran (fig.13.13), tensiunea
normală va avea expresia:
.
z
z
y
y yMzMN ⋅
+
IIA
⋅
−=σ
251

x
S
/
N Mz
f .13.13
y
σσN Mz
+
z
N Mz
S +
y
fig.13.12
−
N/A M y/Iz z
y
P
z
M
My
M z/Iy y
σMy
σ
σmax
σmin
axa
neutra
ig
Se consideră în secţiunea din fig. 13.14, raportată la un sistem de axe
prin 0).
Reducând forţa N în raport cu ce utate al secţiunii se obţine forţa
axială N şi momentele încovoietoare
cipale de inerţie, o forţă normală N acţionând în punctul A(y0, z
ntrul de gre
., 00 zNMyNM yz ⋅=⋅=
x
z
y
N fig.13.14A
Suprapunând efectele celor trei eforturi secţionale, tensiunea normală
σ va avea expresia:
;1 2
0
2
000
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅
+
⋅
+=
⋅⋅
+
⋅⋅
+=
zyzy i
yy
i
zz
A
N
I
yyN
I
zzN
A
N
σ
cu iy şi iz razele principale de inerţie (giraţie) ale secţiunii.
Punând condiţia σ = 0 se obţine poziţia axei neutre în secţiune:
252

.01 2
0
2
0
=
⋅
+
⋅
+
zy i
yy
i
zz
(1)
Rezultă că axa neutră este o dreaptă care nu trece prin cen
greutate. Punând ecuaţia sub forma normală:
trul de
1
z
z
y
y
00
=+ (2)
şi identificând (1) cu (2) se poate scrie:
,122
=+
−
ii yz
(3)
00
−
z
z
y
y
sau
,1=+
zy aa
(4)
cu:
zy
,;
00
reprezentând tăieturile axei neutre pe axele de coordonate.
După trasarea axei neutre (fig.13.13), se duc paralele la această axă
prin punctele cele mai depărtate ale secţiunii, tangente la contur şi se
trasează distribuţia tensiunilor normale σ cu:
22
z
i
a
y
i
a
y
z
z
y −=−= (4/
)
.
;max
y
S
z
S
I
M
y
I
M
A
N
⋅−⋅+== σσ
/// min S
y
y
S
z
z
S
z
I
y
IA
⋅−⋅+== σσ
S
yz
MMN
z
[ ] ;;max / aSSech σσσσ ≤=
secţiunea se poate dimensiona prin încercări.
253

13.3.1 Încovoire dublă cu forţă axială la secţiunea dreptunghiulară sau o
secţiune care se înscrie într-un dreptunghi cu colţuri pline (fig.13.15)
S
/
S
N Mz
My
z
y
fig.13.15
axa
neutra
σmax
σmin
+
-
Tensiunile normale cu valori extreme se vor calcula astfel:
.
;
/min
max
y
S
y
y
z
z
S
MMN
W
M
W
M
A
N
==
++==
σσ
σσ
yz
z
WWA
−−
Condiţia de rezistenţă se exprimă:
[ ] aSSech σσσσ ≤= /;max
sau
.max a
y
y
z
z
W
M
W
M
A
N
σσ ≤++= (5)
Formula (5) este riguroasă pentru cazul forţei axiale de întindere; în
cazul compresiunii nu mai este riguroasă dar poate fi aplicată în cazurile în
care forţa axială de compresiune este relativ mică şi nu intervin fenomene de
ierder
ă într-una de dimensionare. Se neglijează factorul mai
puţin preponderent, de regulă
p e a stabilităţii.
Pentru secţiunile la care se cunoaşte raportul Wz/Wy această formulă
poate fi transformat
A
N
, se calculează Wz nec:
,1 dimz
zya
necz W
MW
W ≤
⎟
⎠
⎜
⎝
+=
σ
yzz MWM
⎟
⎞
⎜
⎛
254

apoi se măreşte secţiunea ţinându-se seama de termenul neglijat şi cu
se se face, obligato
reziste
az sunt de semne contrare
0), axa n
2. Cu cât polul A(z0, y0) este mai depărtat de originea axelor de
este mai apropia
la infinit, axa neutră trece prin centrul de greutate al secţiunii şi deoarece Mz
= N y0 şi My = N z0 rezultă că acest caz este posibil numai pentru N = 0, Mz
i My ≠ 0, deci pentru cazul încovoierii oblice. Dacă y0 = z0 = 0 rezultă
tuată la inf
orm distribuite în secţiune.
Dacă polul A(z0, y0) este situat pe o axă principală de inerţie, atunci
culară pe această axă
y it şi axa neutră va fi pa
4.
Se presupune că axa neutră
corespunzătoare polului A (y0, z0)se roteşte în jurul unui punct C(yC, zC).
Deoarece ecuaţia axei neutre:
dimensiunile efective ale riu, verificarea condiţiei de
nţă (5).
Relaţiile (4) şi (4/
) conduc la următoarele observaţii:
1. Deoarece tăieturile pe axe ay şi
coordonatelor punctului A(z0, y eutră va trece prin cadranul opus
celui în care este aplicată forţa N. Punctul A în care se aplică forţa excentrică
N se numeşte polul forţei N.
coordonate, cu atât axa neutră tă de origine; dacă y0 = z0 tind
≠ 0 ş
că ay şi az tind la minus infinit, deci pentru o aplicare centrică a forţei
normale N, axa neutră va fi si init, tensiunile normale σ fiind
unif
3.
axa neutră este perpendi ; astfel, pentru A(z0, 0)
segmentul a tinde la infin ralelă cu axa y, la distanţa
az de aceasta.
Dacă polul A(z0, y0) se deplasează pe dreapta OA (fig.13.16), raportul
z0/y0 rămâne constant, astfel că la deplasarea polului A pe dreapta OA, axa
neutră se va deplasa paralel cu ea însăşi.
01 2
0
2
0
=++
zy i
yy
i
zz
trebuie satisfăcută în permanenţă de coordonatele punctului C, rezultă:
01 0
+ C zz
2
0
2
=+
z
C
y i
yy
i
.
În această ecuaţie coordonatele curente sunt 0 şi z0 astfel că această
eplasează polul A(z0, y0) când
xa neutră n-n se roteşte în jurul punctului C(yC, zC).
y
relaţie va exprima o dreaptă A1A2 pe care se d
a
C (y , z )C C
az
ay
z0
y0
y
z
A
A2
A1
n
n
fig13.16
O
255

ia
unctului de aplicaţie al forţei normale N, tensiunile în secţiune vor fi de
semne diferite dacă axa neutră intersectează secţiunea şi de acelaşi semn
dacă axa neutră se situează în afara secţiunii.
În cazul elementelor de construcţii alcătuite din materiale care au
rezistenţă mică la întindere (betoane simple, piatră naturală, zidărie de
cărămidă) este important, pentru comportarea acestora, ca pe întrega
secţiune să se producă numai tensiuni normale de compresiune. Deoarece,
pentru o anumită secţiune, poziţia axei neutre depinde de polul A(y0, z0), se
pune problema precizării domeniului din secţiune în care se poate aplica
forţa normală N astfel ca pe secţiune tensiunile normale σ să aibă acelaşi
semn.
Domeniul din secţiune, din jurul centrului de greutate al acesteia, în
, astfel ca
e numeşte
sâmburele central al secţiunii.
Dacă polul A(y0, z0), în care este aplicată forţa axială N, se găseşte în
interiorul sâmburelui central, atunci axa neutră se va situa în afara secţiunii.
La limită, când axa neutră va fi tangentă la conturul secţiunii, polul A(y0, z0)
corespunzător se va situa pe limita domeniului sâmburelui central. Din
eterminare a sâmburelui central
(fig.13.17).
13.3.2 Sâmbure central
Din expresia tensiunilor normale rezultă că funcţie de poziţ
p
interiorul căruia poate fi aplicată o forţă normală excentrică
tensiunile normale σ să fie de acelaşi semn pe întrega secţiune, s
această observaţie rezultă modul de d
fig.13.17
n1
n1
n2
n2
n4
A1A3
n3
n3
n4
A4
A2
Locul geometric al polului A(y0, z0), când axa neutră n-n se deplasează pe
ră să taie secţiunea,
va închide domeniul sâmburelui central. Pentru o anumită poziţie a axei
neutre tangentă la conturul secţiunii, polul A(y0, z0) va avea poziţia în
secţiune determinată de relaţiile:
Se va lua o poziţie a axei neutre n-n, astfel ca aceasta să fie tangentă la
conturul secţiunii şi se va determina polul A(y0, z0) corespunzător acesteia.
conturul secţiunii, rămânând mereu tangentă la acesta, fă
256

.;
2
0
2
0
yz
a
i
z
a
i
y
−
=
−
=
zy
central va fi de
entral la secţiunea dreptunghiulară
Dacă secţiunea are un centru poligonal, sâmburele
aesmenea un poligon, la un contur curb al secţiunii va corespunde un contur
curb pentru sâmburele central.
13.3.3 Sâmburele c
b
h
n2n3 n3n4
h/6
A1
A2
A3
A4 z
n1n1
n2 n4
b/6
fig.13.18y
Fie secţiunea dreptunghiulară de laturi b şi h (fig.13.18); dacă axa
neutră ocupă poziţia n1n1 punctul de aplicaţie al forţei excentrice este A1 de
coordonate 00 =z şi
y
zi
y
2
0
−
= , cu
2
h
a = - tăietura axei neutre şiy
a
12
2
2 h
A
I
i z
z == ; rezultă
6
0
h
y −= .
Similar se determină coordonatele punctelor A2, A3, A4.
Sâmburele central are forma unui romb, diagonala mare fiind paralelă
cu latura mare a dreptunghiului. Lungimile diagonalelor sunt h/3 şi b/3.
13.3.4 Sâmburele central la secţiunea circulară
n1
n1
A1
r
D = 2R
y
z
fig.13.19
r = R/4
257

Fie secţiunea circulară cu diametrul D (fig.13.19); poziţiei n1n1 a axei
neutre îi corespunde punctul de aplicaţie al forţei excentrice A1 de
coordonate 00 =y şi
z
y
a
i
z
2
0
−
= cu
2
D
az −= şi
16
2
2 D
A
I
i
y
y == ; rezultă
48
0
R
z == .
Acelaşi rezultat se obţine pentru orice poziţie a axei neutre tangentă la
contur. Prin urmare, sâmburele central este un cerc de rază
D
4
R
r = .
13.3.5 Zona activă
Dacă punctul de aplicaţie al forţei normale excentrice este situat în
afara sâmburelui central al secţiunii, axa neutră corespunzătoare taie
cţiu
en, nu se pot prelua tensiuni normale de
e stabilească poziţia axei neutre precum şi tensiunile normale
maxime de compresiune care se produc.
Fie secţiunea dreptunghiulară şi forţa normală N de compresiune
aplicată în punctul A pe o axă principală de inerţie în afara sâmburelui
central, la o distanţă
se nea şi, în consecinţă, pe secţiune se produc atât tensiuni normale de
compresiune cât şi de întindere. În cazul unor materiale care nu pot prelua
decât eforturi de compresiune, cum este cazul unei fundaţii la care, pe faţa
de contact dintre aceasta şi ter
întindere, în secţiunea transversală, acţiunea forţei normale excentrice va
produce pe o parte a secţiunii tensiuni normale de compresiune, cealaltă
parte a secţiunii putând fi fisurată. În acest fel va exista pe secţiune o zonă
activă din punct de vedere al preluării tensiunilor, axa neutră fiind definită
aici de linia de separaţie a acestei zone. Pentru calculele de rezistenţă este
necesar să s
6
h
N
M
e >= de axa z (fig.13.20).
b
h
O
A
e
N
2c
c
z
y
σmax
n n
fig.13.20
258

Se va admite că distribuţia tensiunilor normale pe secţiune este liniară.
Sistemul forţelor elementare σdA pe secţiune trebuie să se reducă la forţa
normală de compresiune N. Se delimitează astfel zona activă, ţinând seama
ţiune şi înălţimea b care reprezintă de fapt
imea sec
ţie A b, cu c,
istanţa punctului de aplicaţie al forţei N în raport cu latura cea mai
apropiată, paralelă cu axa neutră.
Din egalitatea rezultantei forţelor elementare σdA pe secţiunea activă
cu forţa normală N, se obţine:
că volumul format de vectorii σ pe secţiune este volumul unei prisme
triunghiulare având drept bază triunghiul care exprimă diagrama de variaţie
a tensiunilor normale σ pe sec
ţiunii. Axa neutră va fi situată la distanţa 2c de punctul de
al forţei N, iar zona activă va avea dimensiunile 3c x
lăţ
aplica
d
,
bc3
N2
Nb
2
c3 pamant
a
ecompresiun
max
max
σσ
σ
≤=⇒=
⋅
cu
13.4 Încovoiere cu torsiune
./4.02.0 2
mmNpamant
a ÷=σ
e se po
ă cele d ări, încovoiere şi
influenţeze reciproc. Starea de tensiune care ia naştere în bară se va evalua
pe baza principiului independen i acţiunii solicitărilor. Astfel, într-un punct
al secţiunii transversale a barei, tensiunea normală se va determina ca şi în
lă, ca suma
tensiu
u se
ai poate considera ca în cazurile precedente de solicitări compuse o stare
liniară de tens ensiune care
se produce în acest punct, urmând s n criteriu de stare limită
pentru condiţia de rezistenţă.
13.4.1 Bara de secţiune circulară
Secţiunea circulară din figura 13.21 este solicitată de un moment
încovoietor Mi şi un moment de torsiune Mt.
Acţiunea simultană a solicitărilor de încovoiere este frecventă cu
deosebire la organele de maşini; arborii de transmisie constituie un exemplu
tipic în acest sens.
În cazul barelor de rigiditate mar ate presupune, cu suficientă
exactitate, c ouă solicit torsiune, se produc fără să se
ţe
cazul încovoierii simple sau duble, iar tensiunea tangenţia
nilor tangenţiale din încovoiere cu lunecare şi torsiune. Cum tensiunile
tangenţiale în punctul cel mai solicitat al secţiunii pot fi importante, n
m
iune, ci va trebui ţinut seama de starea plană de t
ă se aplice u
259

Mt
Mi
S
/
σmin
-
+
σmax
S
τmax
fig.13.21
Momentul încovoietor Mi va produce tensiuni normale σ. Momentul
de torsiune Mt va produce tensiuni tangenţiale τ.
Aprecierea rezistenţei barei în secţiune numai pe baza tensiunilor
normale şi tangenţiale maxime, având expresiile:
,
32
d
Wcu
W
M 3
i
i
i
max
π
σ == (1)
,
16
d
Wcu
W
M 3
p
p
t
max
π
τ == (2)
nu este suficientă, dată fiind starea de tensiune plană existentă în jurul unui
punct din bară. Astfel, valorile tensiunilor normale principale sau ale
tensiunilor tangenţiale extreme în anumite puncte din secţiune pot depăşi
valorile date de expresiile corespunzătoare lui σmax şi τmax .
Pentru evaluarea acestora se observă că în punctele S şi S/
tensiunea
normală atinge valoarea maximă simultan cu tensiunea tangenţială dată de
momentul de torsiune. Pentru scrierea condiţiei de rezistenţă trebuie
precizată teoria de rezistenţă care se va folosi:
,max aTech k σσσ ≤⋅= (3)
cu:
,41;41
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
σ
τ
σ
τ
τ EDTT kkkk
corespunzător teoriei tensiunilor tangenţiale maxime (Tτ), respectiv teoriei
energiei de deviaţie (TΕD); înlocuind expresiile lui σ şi τ cu relaţiile (1) şi
), rezultă:(2
260

.75.01
;1
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
i
t
ED
i
t
M
M
k
M
M
kτ
Relaţia (3) devine:
,1
2
ti
ech
M
k
W
M
σσ ≤⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+= (4)0 a
M ⎠⎝
forma într-o relaţie de dimensionare:
ii
cu k0 = 1 pentru Tτ şi k0 = 0,75 pentru TED.
Relaţia (4) se poate trans
.dim
2
01 i
i
t
a
i
nei c
W
M
M
k
M
W =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
σ
13.4.1.1 Arbori de transmisie
ontate două roţi de curea.
unoscându-se puterea transmisă P[kW] şi turaţia n[rot/min], se cere
Pe arborele din figura 13.22 sunt m
C
determinarea secţiunii periculoase.
1
2A
B
y
x
T1
T1
/
T2
T2
/
z T1
T +T1 1
/
T1
/
y
z z
y
Mt1 Mt2
R1 R2
T2
T2
/
>T1
>T2 T +T2 2
/
fig.13.22
roata 1 roata 2
α
β
Momentul de torsiune în dreptul roţii 1 va fi:
n
Din ecuaţia de momente de torsiune în raport cu axa x rezultă:
.MM
P
kNm].Mt 55.91
= [
21 tt −=
261

Se reduc forţele din curele în raport cu axa arborelui; forţele care
acţionează asupra arborelui sunt în plane diferite. Se calculează
componentele după axele y şi z:
( )
( )
( )
( ) .sin
;cos
;sin
;cos
/
221
/
222
/
111
/
111
α
β
α
α
TTF
TTF
TTF
TTF
z
y
z
y
+=
+−=
+=
+=
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane şi se trasează
diagramele Mt, Mz, My (fig.13.23 şi 13.24).
y
A
1
F1y
B
F2y
x
Mz
My
z
x
F1z
F2z
A B
12 2
Mt1 Mt2
Mt
fig.13.23 fig.13.24
Secţiunea periculoasă rezultă din condiţia de rezistenţă:
,1 0 a
i
t
i
i
ech
M
M
k
W
M
σσ ≤⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
sau
2
a
i
ech
ech σσ ≤= (5)
i
ti
W
M
W
MkM
=
+ 0
unde s-a notat cu
22
2
0
22
tzyech MkMMM ++= .
Secţiunea periculoasă este cea în care Mech are valoarea maximă;
deoarece variaţiile lui Mt, Mz, My sunt liniare rezultă că Mech este maxim
într-una din secţiunile în care componentele Mt, Mz, My sunt maxime.
262

Trebuie cercetate toate secţiunile în care una din componente este maximă.
În cazul exemplului dat se calculează Mech 1 şi Mech B. Rezultă:
[ ].;max 1 Bechechech MMM =
Arborele are o mişcare de rotaţie. Punctul S întins cu σmax, după o
rotire cu 1800
ajunge în S/
căruia îi corespunde o tensiune -σmax . Rezultă că
în punctul S apare o solicitare variabilă, lucru valabil pentru toate punctele
arborelui.
le piesele se rup la tensiuni inferioare limitelor de
rezistenţă statică. În condiţia de rezistenţă (5) rezistenţele admisibile vor
elor de la solicitările statice.
p nghiulară
ovoiere
z y t
La solicitări variabi
avea valori inferioare c
13.4.2 Bara cu secţiune dre tu
Secţiunea dreptunghiulară din figura 13.25 este solicitată la înc
dublă prin momentele M şi M şi la torsiune prin momentul M .
b
h
Mt
z
3
y
h > b
fig.13.25
M /Wy y
M /Wz z
1
2
τ αmax t= M / hb
2
τ α1 1max t= M / hb
2
-
+
+
-
z
My
M
Pentru a putea dimensiona trebuie cercetat punctul cel mai solicitat
din secţiune. Se studiază toate punctele în care una din componentele
tensiunilor este maximă.
Pentru punctul „1”:
.0; =+= τσ
yz WW
Se face dimensionarea la încovoiere dublă:
yz
MM
263

.
6
1 dim
bh
W
M
W z
z
necz =
⎜
⎜
⎛
=
2
MW yz
=
⎟
⎟
⎞
+
σ
dimensiunile b
MW zya ⎠⎝
Din această relaţie rezultă /
şi h/
.
Pentru punctul „2”: 2
1
,
hb
M
W
M t
z
z
α
τσ == .
Se face dimensionarea la încovoiere cu torsiune:
;
6
41
22
bhM
W
a
z
necz =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
σ
τ
σ
// //
rezultă un nou grup de dimensiuni, b şi h .
Pentru punctul „3”: .
hb
M
,
W
M
2
t
y
y
α
τσ ==
Se face dimensionarea la încovoiere cu torsiune:
;
6
41
22
hbM
W
a
y
necy =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
σ
τ
σ
/// ///
rezultă setul de dimensiuni b şi h .
Dimensiunile secţiunii se aleg din condiţia:
( ) ( ) ( ) ( )[ ].,;,;,max, ////////////
hbhbhbhb =
Problema 13.a
Grinda AB (fig.13a.1), cu secţiunea un profil I, este solicitată de o
sarcină uniform distribuită în planul xy şi de o forţă concentrată în punctul
C, având direcţia axei z. Să se dimensioneze grinda. Se dă σa = 150 N/mm2
.
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz ş se
şi 3).
Se calculează momentele încovoietoare în secţiunile C şi D:
i
trasează diagramele de moment încovoietor Mz şi My (fig.13a.2
.83.37
,83.3755.37
,49.36636
max
22
22
Dii
Di
Ci
MkNmM
kNmM
kNmM
==
=+=
=+=
Rezultă că secţiunea periculoasă este D. Aici se face dimensionarea;
solicitarea fiind de încovoiere dublă, condiţia de dimensionare este:
264

5kN
A
C
B
z
x
y 1.
D
36kNm 37.5kNm 6kNm 5kNm
2. 3.
fig.13a
12kN/m
xA B
z
xA C D B
y 2m 3m
C
5kN
2m 3m
2.5m
Mz My
+
-
.1 dimz
z
y
y
z
a
z
necz W
M
M
W
WM
W =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
σ
Pentru determinarea raportului
y
z
W
W
se face o predimensionare numai
la solicitarea de încovoiere preponderentă (în cazul de faţă încovoiere pe axa
z):
.10250
150aσ
105.37 33
6
mm
M
W z
necz ⋅=
⋅
==
265

Din tabelul standardizat rezultă Wz ef = 278 cm3
, care corespunde unui
profil I22, având Wy = 33.1 cm3
. Rezultă raportu 39.8=
y
z
W
W
l ; se introduce
rea dublă, astfel:raportul în condiţia de dimensionare de la încovoie
.1067.529
5.37
5
39.81
150
105.37 33
6
mmW necz ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
3
Din tabelul standardizat rezultă Wz ef = 542 cm , care corespunde unui
3
ncovoierea dublă:
profil I28, având Wy = 61,2 cm .
Se verifică obligatoriu condiţia de rezistenţă la î
./15302.1
,/87.150
102.6110542 33
WW yz ⋅⋅
105105.37
2
max
2
66
max
mmN
mmN
a =<
=
⋅
+
⋅
=
σσ
Deci secţiunea corespunzătoare grinzii AB este un profil I28.
ţial din figura 13b.1 având secţiunea un profil
ornie ere să se determine valoarea forţei capabile F şi
deplas
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz şi se
trasează diagramele de moment încovoietor Mz şi My (fig.13b.2 şi 3);
lează înclinarea axei neutre:
MM yz
+=σ
Problema 13.b
Pentru sistemul spa ,
c r L150x150x14 se c
area punctului D. Se dă σa = 150 N/mm2
.
secţiunea periculoasă este D. Se calcu
.1173309.3851.0
347
1340
;80==αα
M
tgg
I
tg
yz
51.,
/0
=⇒=⋅=
=
ββ
β
tg
M
t
I zy
β se măsoară în raport cu axa z, în sens orar fiind consideratUnghiul
de semn pozitiv.
Se trasează distribuţia de tensiuni σ, punctele S şi S/
fiind cele mai
solicitate în secţiune:
( )
1;0 vzy SS ==
210571.2 FM yz
S
⋅
σ 4
;/044.01095.5
10347
mmNFz
I
y
I
s
y
S
z
=⋅−
⋅
−=−=
3
M
266

( ) ( ) 2
4
3
4
3
/058.01065.4
10347101340 ⋅⋅
;/ wyS
=
10571.2
106.10
103
///
mmNF
FF
z
I
M
y
I
M
S
y
y
S
z
z
S
−=⋅
⋅
−⋅−
⋅
=
=⋅−⋅=σ
z .1/ vwS
−=
A
C
B
x
y
z
1.
x
y
A C
D
B
Mz
z
xA C
D
B
My
2. 3.
fig.13b
D
4F
F
4F F 3F
1.5m 2m 1m 1.5m 2m 1m
Fm
3Fm
2.571Fm
+
-
+
4.
S
/
S
++ --
wv1
Mi
MzMy
y(η)
z(ξ)
σS
σS
/
+
-
α
β
267

Din condiţia de rezistenţă se determină valoarea forţei capabile:
[ ] aSSech /
Pentru calculul deplasării punctului D se foloseşte metoda
punctul D pe axele y respectiv z (fig.13b .1 şi 2).
σσσσ ≤= ;max
sau
.2586150058.0 NFF cap =⇒≤
Veresceaghin; se trasează diagramele mz şi my pentru încărcarea unitară în
/
x
y
A CB
z
A B
D
xC
D
1. 2.
1.5m 2m 1m 1.5m 2m 1m
++
_
mDz mDy
3/3.5 3/3.5
1 1
_
fig.13b/
;59.271.2
,
5.3
3
2
3
1
2
1
5.3
3
32
3
2
2
1
5.3
3
35.1
3
2
2
1
mm
F
EI
F
dx
EI z
zDz
yD
==Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=Δ ∫
EIyD
=
mM
z
( )
;12.957.2 mm
EI
F
y
zD ==Δ
,25.1
5.3
3
571.2
3
2
2
1
EI
F
EI
mM
y
yDy
zD ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+⋅⋅⋅==Δ ∫
.43.922
mmzDyDD =Δ+Δ=Δ
268

Problema 13.c
Să se verifice bara din fontă din fig.13c. Secţiunea barei este
dreptunghiulară cu dimensiunile b = 40 mm şi h = 150 mm. Se cunosc σa t =
60 N/mm2
; σa c = 120 N/mm2
.
fig.13c
+
-
-
+
-
-
+
-
+
Se trasează diagramele de efort.
Secţiunea periculoasă este C; ea este solicitată la încovoiere cu forţă
axială. Se trasează distribuţia tensiunilor normale σ în această secţiune din
compunerea distribuţiilor tensiunilor normale datorate forţei axiale şi
momentului încovoietor. Distanţa între axa z şi axa neutră este:
.036.8
1014
1060
4015012
40150
6
33
0 mm
M
N
A
I
y
z
z
=
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅
==
Tensiunile normale cu valori extreme sunt:
.
;/3.103
;/3.83
6
15040
1014
40150
1060
/
/
2
2
2
63
acS
z
z
S
at
z
z
S
mmN
W
M
A
N
mmN
W
M
A
N
σσ
σ
σσ
<
−−−=
>=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−=+−=
Rezultă faptul că secţiunea nu rezistă la tracţiune.
269

Problema 13.d
Secţiunea din figura 13d este solicitată de forţele 16Q şi 11Q paralele
cu axa x a barei. Să se calculeze Q capabil dacă se cunoaşte σa = 150
N/mm2
.
fig.13d
Se calculează poziţia axei z a secţiunii:
.42.143
1880830014140
31618801578300014140
1 mm
A
yA
y
i
i
i
ii
G =
⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
==
∑
∑
Eforturile care apar în secţiune în raport cu centrul de greutate sunt:
Solicitarea la care este supusă secţiunea este încovoiere dublă cu for
xială; condiţia de rezistenţă este:
( ) ( ) .1.4180942.14331611742.14316
;156040117016
;51116
QQQM
QQQM
QQQN
z
y
=+−−−−=
=⋅+⋅=
=−=
ţă
a
;max a
yz WWA
σσ ≤++=
în care:
yz
MMN
;1018.560;5800 33
max
2
mm
y
I
WmmA z
z ⋅===
,58.1721880
12
1880
58.138300
12
3008
42.14314140
12
14140 2
3
2
3
2
3
⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
=zI
270

;58.181;10066.101718 max
43
mmymmIz =⋅=
,
12
1880
12
3008
12
14140
;1088.56 33
⋅==
y
y mm
I
W
333
max
⋅
+
⋅
+
⋅
=yI
z
Se înlocuiesc toate valorile în condiţia de rezistenţă, de unde va
rezulta valoarea lui Qcap:
.70;101.3982 max
33
mmzmmI y =⋅=
;150
1088.56
1560
1018.560
1.4180
5800
5
33
≤
⋅
+
⋅
+
QQQ
astfel: Qcap = 4195 N.
Problema 13.e
Sistemul de bare cu secţiunea circulară din figura 13e.1 este acţionat
de forţele de 220daN şi 80daN pe direcţia y şi de forţele 3V şi V pe direcţ
. Să se verifice barele sistemului conform teoriei a IIIa de rezistenţă
cunoscând diametrul secţiunii circulare d = 52 mm şi σa = 70 N/mm2
.
ia
z
80daN
220daN
0.3
0.1
0.2m 0.5m 0.3m
3V
V
A
B C D
y fig.13e.1
0.1
0.4
x
z
271

300daN
58daNm
58daNm
C
60daNm
Mz
58daNm
Mt
165.7daNz
My
C
31.06daNm
y 22.5daNm
Din ecuaţia de momente de torsiune în raport cu axa x rezultă valoarea
forţei V:
.85.82
;1.0803.02204.01.03
daNV
VV
=
⋅−⋅=⋅+⋅
Se descompune sistemul spaţial în două sisteme plane xy şi xz, se
asează diagramele de moment încovoietor My, Mz şi diagrama de moment
e torsiune M .
este solicitat la încovoiere dublă cu torsiune, secţiunea
tr
d t
Sistemul
periculoasă este B; aici se va face verificarea :
;a
i
echM
σσ ≤=ech
W
272

i
32
d
W
3
i
π
= .
2
0
22
tzyech MkMMM ++= şcu :
Pentru teoria a IIIa de rezistenţă k0 = 1, astfel:
./70/48.60
32
52
105860 22
3
422
mmNmmN aech =<=
⋅+
= σ
π
σ
273

Capitolul 14
SISTEME STATIC NEDETERMINATE
de echilibru nu este suficient
entru determinarea în mod unic a eforturilor şi deplasărilor, sistemul este
inat. Există două metode generale de rezolvare a unui astfel
În cazul în care numărul ecuaţiilor
p
static nedeterm
de sistem: metoda eforturilor şi metoda deplasărilor.
Metoda eforturilor, care este o metodă directă de rezolvare, are ca
necunoscute reacţiuni sau eforturi care nu se pot determina direct din ecuaţii
de echilibru.
Metoda deplasărilor, care este o metodă indirectă, are ca
necunoscute deplasări, translaţii sau rotiri, în funcţie de care poate fi
exprimată starea de deformaţie sau efort, în mod unic.
Metoda eforturilor
Se stabileşte iniţial gradul de nedeterminare statică a sistemului, adică
numărul de forţe sau eforturi care nu pot fi determinate din ecuaţiile de
echilibru.
Procedeele de stabilire a gradului de nedeterminare statică sunt
următoarele:
a. Procedeul contururilor închise
Se consideră sistemul de bare (fig.14.1) care formează un contur
închis. Se secţionează conturul şi se introduc cele trei eforturi
corespunzătoare; sistemul astfel obţinut este static determinat.
fig.14.1
X1X2
X3
274

Aşadar, un contur închis, fără nici o discontinuitate a fibrei medii
deformate şi a tangentelor sale (de exemplu, fără nici o articulaţie), este de
trei ori static nedeterminat.
Tot un contur închis, însă prin teren, este, de exemplu, cel din figura
14.2.
fig.14.2
X1X2
X3
Dacă un sistem plan conţine k contururi închise, fără discontinuităţi,
gradul de nedeterminare statică este n = 3k.
Pentru sistemul din figura 14.3 - k = 5, de unde rezultă gradul de
nedeterminare statică 1553 =⋅=n .
1
2 3
4 5
fig.14.3
Există situaţii, cum este cea din figura 14.4, când pot apare contururi
false, astfel:
1 2
3
4
5
ţine nici o bară care să nu fi fost parcursă, deci
fig.14.4
după ce s-au parcurs barele care formează contururile 1-2-4-1; 2-4-5-2 şi 2-
5-3-2, conturul 1-2-3-1 nu con
este vorba despre un contur fals. Gradul de nedeterminare statică este:
( );933 ==⋅= kn .3
Dacă structura conţine articulaţii interioare, reazeme articulate sau
reazeme simple, deci prezintă discontinuităţi ale fibrei medii deformate şi ale
tangentelor sale, acestea vor furniza condiţii statice suplimentare care
275

micşorează gradul de nedeterminare statică, care devine în cazul sistemelor
plane:
;3 ∑−= skn
în care - numărul condiţiilor statice suplimentare.
Condiţiile statice suplimentare sunt:
• pentru o articulaţie în care se întâlnesc un număr de două bare, s =1;
• pentru o articulaţie în care se întâlnesc un număr de m bare, s = m-1;
• pentru un reazem articulat, s = 1
• pentru un reazem simplu, s = 2.
Pentru exemplul din figura 14.5,
∑s
;
6,4 == ∑sk şi gradul de
edeterminare statică este n = 6.n
s = 1
s = 1
s = 1
s = 1
s = 2
fig.14.5
b. Procedeul barelor
Se consideră structura separată în bare şi noduri prin secţiuni
efectuate lângă noduri.
Barele, din punct de vedere al modului de rezemare şi deci al
umărului de necunoscute introduse, pot fi:
- încastrate la ambele capete, cu simbolul bii şi numărul de necunoscute
introduse 3;
- încastrate la un capăt şi articulate la celălalt, cu simbolul bia şi
numărul de necunoscute introduse 2;
- încastrate la un capăt şi simplu rezemate la celălalt, cu simbolul bir şi
numărul de necunoscute introduse 1;
- articulate la ambele capete, cu simbolul baa şi numărul de necunoscute
introduse 1.
Numărul total de necunoscute introduse de bare va fi:
n
.23 aairiaii bbbbB +++=
Reazemele structurii introduc necunoscute astfel:
276

- reazemele încastrate, cu simbolul ri şi numărul de necunoscute
introduse 3;
- reazemele articulate, i numărul de necunoscute
introduse 2;
- reazeme simple, cu simbolul rs ş numărul de necunoscute introduse 1.
Numărul total de necunoscute introduse de reazeme va fi:
cu simbolul ra ş
i
.23 sai rrrR ++=
micşorează gradul de nedeterminare statică prin ecuaNodurile ţii de
echilibru suplimentare, astfel:
- nodurile încastrate, cu simbolul i;
-
n
nnodurile articulate, cu simbolul a;
- nodurile simplu rezemate, cu simbolul ns.
Numărul total de ecuaţii de echilibru în noduri va fi:
.23 sai nnnN ++=
Aplicând procedeul barelor, gradul de nedeterminare statică se
calculează astfel:
.NRBn −+=
14.1 Metoda eforturilor în rezolvarea sistemelor o dată static
nedeterminate
determinat din fig.14.6:Se consideră sistemul static ne
PP
2 3 4
2I
I l
2l/3 1/3
1 5
fig.14.6 fig.14.7
X1
I
forma de baza
277

Etapele de rezolvare sunt următoarele:
• se stabileşte gradul de nedeterminare statică al sistemului; aplicând
unul din procedele expuse anterior sau făcând diferenţa dintre
calculează n = 4-3 = 1.
• se suprimă un număr de legături egal cu gradul de nedeterminare
statică al structurii, adică se suprimă o legătură şi se introduce forţa de
legătură corespunzătoare notată cu X1; sistemul astfel obţinut este un
sistem static determinat numit formă de bază, a sistemului iniţial
(fig.14.7). Suprimarea legăturilor se poate face în orice secţiune a
sistemului static nedeterminat, cu condiţia ca forma de bază obţinută
să fie corectă, adică să constituie un sistem static determinat în
ansamblu şi pe porţiuni.
cu sistemul iniţial; înseamnă că
i X1 să fie nulă, deoarece în sistemul iniţial deplasarea
pe orizontală în această secţiune nu este posibilă. Exprimarea condiţiei
Δ1 = 0 constituie ecuaţia din care rezultă X1. Deplasarea Δ1, fiind o
funcţie liniară de încărcări (P şi X1), se poate determina prin
suprapunerea efectelor, astfel:
numărul de necunoscute şi numărul de ecuaţii de echilibru se
• se pune condiţia ca forma de bază, încărcată cu sarcina P şi cu forţa
necunoscută X1 să se comporte identic
deplasarea pe orizontală în secţiunea „1”, Δ1, a formei de bază
încărcată cu P ş
;11101 ΔΔΔ +=
cu:
11 eplasarea în secţiunea „1”, pe direcţia necunoscutei X1, produsă
de forţa necunoscută X1 pe forma de bază.
Dar tot prin suprapunerea efectelor se calculează
− Δ10 deplasarea în secţiunea „1”, pe direcţia necunoscutei X1, produsă
de încărcarea P pe forma de bază;
− Δ d
11111 δ⋅=Δ X
cu δ11 deplasarea în secţiunea „1”, pe direcţia necunoscutei X1,
produsă de X1 = 1 pe forma de bază.
Rezultă că:
0101111 =Δ+⋅=Δ δX (1)
• se determină deplasările elastice δ11, Δ10 şi se rezolvă ecuaţia (1).
Determinarea deplasărilor, care sunt punctuale, pe un sistem
static determinat (forma de bază) se face cu ajutorul formulei
Maxwell-Mohr. Se construiesc diagramele de momente încovoietoare
pe forma de bază încărcată cu X1 = 1 şi respectiv P. La calculul lui
δ11 şi Δ10 se neglijează efectul forţei tăietoare şi axiale (fig.14.8 a şi b).
278

Se notează cu „m1” diagrama corespunzătoare încărcării formei de
bază cu X1 = 1 şi cu „M0” diagrama din încărcarea formei de bază cu
P.
X = 11
P
2Pl/9 l l
M0 m1
fig.14.8
a. b.
+
+
+ +
.
182
1
9
2
2
1
;
6
7
2
1
3
2
2
2
1
3
10
10
32
1
11
EI
Pl
ll
lP
EIEI
dxmM
EI
l
lll
EI
l
ll
EIEI
dxm
=⋅⋅==Δ
=⋅⋅+
⋅
==
∫
∫δ
Din ecuaţia (1) rezultă:
.
21
110
1 PX −=
Δ
−=
11δ
• se trasează diagramele de eforturi N, T, M (fig.14.9) pentru sistemul
1
static nedeterminat fie prin rezolvarea formei de bază încărcată cu P şi
X1 simultan, fie separat cu P şi X utilizând apoi suprapunerea
efectelor:
,10 mXMM ⋅+= 1
,
;110
110
nXNN
tXTT
⋅+=
⋅+=
în care M0, T , N sunt diagramele de eforturi pe forma de bază
în
0 0
ri pe forma de
b 1
cărcată cu P, respectiv m1, t1, n1 diagramele de efortu
ază încărcată cu X = 1.
279

P P/3 Pl/21 Pl/21
P/21
P/3 2P/3 P/21 P/21
4.9
P/21
P/3 2P/3
N T M
l l 2P/3 11Pl/63
-
-
- + -
- -
+
P/21
- - - +
fig.1
te14. 2 Structuri de n ori static nedetermina
se transforma sistemul într-unul static determinat – forma
de bază a sistemului iniţial. În locul celor n legături suprimate se introduc
rţele sau cuplurile de legătură corespunzătoare X1, X2, ..., Xn.
Sub acţiunea încărcării iniţiale (sarcinile P) şi a necunoscutelor X1,
2 st
sup ei
Xj, care, în baza principiului s lor, poate fi scrisă:
Pentru un sistem de n ori static nedeterminat se suprimă un număr de
n legături, pentru a
fo
X , ..., Xn , într-o secţiune oarecare j a formei de bază, secţiune în care a fo
rimată o legătură, se produce deplasarea Δj, după direcţia necunoscut
uprapune ii efecter
;02211 jjnnjjj XXX Δ++++=Δ δδδ
care:în
− δjn este deplasarea în j pe direcţia necunoscutei Xj, produsă de încărcarea
Xn = 1, pe forma de bază.
- Xnδjn este deplasarea în j pe direcţia Xj, produsă de încărcarea Xn, pe forma
de bază.
− Δj0 este deplasarea în j pe direcţia Xj, produsă de sarcinile P, pe forma de
bază.
Condiţia de restabilire a continuităţii sistemului în j este Δj = 0:
0011 =Δ+++=Δ jjnnjj XX δδ . (2)
Relaţia (2) reprezintă condiţia de continuitate pe direcţia Xj; scriindu-
se ecuaţii de continuitate asemenea condiţiei (2) pe direcţia tuturor
necunoscutelor, se obţine sistemul de ecuaţii de forma:
280

,
;002211 =Δ++++++=Δ
0
,0
2211
20222222112
=Δ+++++=Δ
=Δ++++++=Δ
,0
0
101 =11221111 ++++=Δ jjXXX Δ++
jjnnjjj
nnXδδδ δ
jjj
nnjj
XXXX
XXXX
δδδδ
δδδδ
(3)
nnnnnjjnnn XXXX δδδδ
cu
∫∫∫ ++=
GA
ds
tt
EA
ds
nn
EI
ds
mm hjhjhjjh ηδ
şi
;0000
GAEAEI
jjjj
unde:
- mj, tj, nj sunt diagrame de eforturi din încărcarea formei de bază numai
cu Xj = 1;
- mh, th, nh sunt diagrame de eforturi din încărcarea formei de bază numai
cu Xh = 1;
- M0, T0, N0 sunt diagrame de eforturi din încărcarea formei de bază
numai cu sarcinile P.
La sistemele plane , ale c
∫∫ ++ tTnN η
ăror bare sunt solicitate numai la
ă numai influen a momentului încovoietor; în
l grinzilor cu zăbrele, se va ţine seama doar de influenţa forţelor
uaţii se obţin valorile X , ..., X .
∫=Δ
dsdsds
mM
încovoiere, se consider
cazu
ţ
axiale.
După rezolvarea sistemului de ec 1 n
Diagramele de eforturi se calculează prin suprapunerea eforturilor:
mXmXMM
.
;
22110
22110
22110
nn
nn
nXnXnXNN
tXtXtXTT
++++=
++++=
;
nn
mX++++=
re a unui sistem static nedeterminat prin metoda
efortu
3.
4.
Etapele de rezolva
rilor sunt:
1. stabilirea gradului de nedeterminare statică n a sistemului;
2. suprimarea a n legături şi introducerea forţelor sau cuplurilor
corespunzătoare X1, X2, ..., Xn, obţinându-se astfel forma de bază a
sistemului iniţial;
scrierea sistemului de ecuaţii de continuitate (3);
încărcarea formei de bază, pe rând, cu fiecare din cele n necunoscute
de valoare unitară:
281

( )
( );0,1
;0,1 321
=====
( );0,1 121
312
=====
===== n
XXXX
XXXX
…
…
−nn
n
XXXX …
şi cu sarcinile P şi apoi trasarea diagramelor de efort corespunzătoare.
5) determinarea deplasărilor δjh şi Δj0;
6) rezolvarea sistemului de ecuaţii;
7) trasarea diagramelor de efort prin suprapunerea efectelor sau prin
rezolvarea formei de bază încărcată atât cu sarcinile P cât şi cu forţele
X1, ..., Xn.
14. 3 Utilizarea simetriei în rezolvarea sistemelor static
nedeterminate
Se consideră sistemul de trei ori static nedeterminat din figura 14.10 a
simetric faţă de axa I-I şi încărcat cu forţa P. Forma de bază se obţine făcând
o secţiune prin axa de simetrie şi introducând forţele de legătură
corespunzătoare (fig.14.10 ab).
P P
I
X
X2
X3 X3
X1 X1
fig.14.10
2
I
forma de
baza
a. b.
Sistemul de ecuaţii de continuitate este de forma:
de moment încovoietor provenind din
cărcarea formei de bază, pe rând, cu fiecare din cele trei necunoscute egale
u unitatea (fig.14.11).
⎪
⎩
⎨
=Δ+++
=Δ+++
.0
;0
30333322311
20233222211
δδδ
δδδ
XXX
XXX (4)
Se trasează diagramele
⎪
⎧ =Δ+++ ;010133122111 δδδ XXX
în
c
282

X =11 X =12 X =13
m1 m2 m3
fig.14.11
-
- -
-
-
-
-
+
+
+ +
+
+ +
+
+
Se observă că X1 şi X3 constituind încărcări simetrice conduc la
iagrame simetrice, X fiind antisimetrică conduce la o diagramă
antisimetrică
d 2
; astfel, rezultă:
;02112 == δδ
,02332 == δδ
provenind din integrarea unei diagrame simetrice cu una antisimetrică.
Rezolvarea sistemului (4) se reduce la rezolvarea unui sistem de două
ecuaţii cu două necunoscute şi a unei ecuaţii cu o singură necunoscută:
⎩
⎨
⎧
=Δ++
=Δ++
.0
;0
30333311
10133111
δδ
δδ
XX
XX
(5)
020222 =Δ+δX . (6)
Când încărcarea P este simetrică sau antisimetrică faţă de axa I-I,
unii din termenii liberi ai ecuaţiilor sistemului (4) devin nuli.
zultă Δ20 = 0 şi deci X2 = 0. Astfel, va rămâne de
atunci şi
În cazul în care încărcarea este simetrică (fig.14.12a), diagrama M0 va
fi simetrică (fig.14.12b); re
rezolvat numai sistemul (5).
P PI
I
a. b.
fig.14.12
M0
-
-
- -
283

Când încărcarea P este antisimetrică (fig.14.13a), diagrama M0 va fi
antisimetrică (fig.14.13b). Rezultă Δ10 = 0 şi Δ30 = 0, de unde X1 = X3 = 0,
rămânând de rezolvat numai ecuaţia (6).
P PI
I
a. b.
fig.14.13
M0
-
-
+
+
14.4 Calculul deplasărilor la sisteme static nedeterminate
deplasărilor cu metoda Maxwell-Mohr, în cazul unui sistem
te cât şi pentru cele static nedeterminate.
C
calcul
Calculul
de bare elastice, produse de sarcinile exterioare, este acelaşi atât pentru
sistemele static determina
onsiderând un sistem plan de bare, încărcate în plan, deplasarea Δi se
ează astfel:
;∫∫∫ ++=Δ Tt
EI
ds
GA
ds
Mm
EA
e mai poate scrie:
( )
ds
Nn iiii η
care s
( ) ( )., TtmN ,, Mn iiii ++=Δ (7)
Conform relaţiei (7), pentru un sistem static determinat cât şi pentru
unul nedeterminat, diagramele N, T, M reprezintă diagramele din încărcări
exterioare iar ni, mi, ti diagramele din încărcarea sistemului exclusiv cu
ul static nedeterminat coincide cu forma sa de bază dacă pe
egătură X1,
sarcina unitară acţionând în secţiunea şi după direcţia deplasării căutate.
Dar sistem
direcţia legăturilor suprimate acţionează forţele sau cuplurile de l
..., Xn. Aşadar, o deplasare pe un sistem static nedeterminat, poate fi scrisă
pe baza suprapunerii efectelor, sub forma:
i ;01010 ninii XX δδ +++Δ=Δ (8)
în care ...,,, 0100 niii δδΔ reprezintă deplasări pe o formă de bază a
sistemului iniţial (static determinat).
284

Conform Maxwel-Mohr:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( .,,,
;,,,
10010010010
0000000
ttmmnn
TtMmNn
iiii
iiii
++= )
++=Δ
δ
(9)
Substituind relaţia (9) în relaţia (8), rezultă:
( )[ ] ( )[ ]
)]
,, 1010010100 …… +
([ 00 ++ ;, 101 …+
+++++=Δ mXMmnXNn iii
XTti t
dar:
,
,1010
…
…
++=
++=
.1010
1010
…++= tXTT
mXMM
nXNN
(10)
Ţinând seama de expresiile (10), Δi se scrie:
( ) ( ) ( );,,, 000 TtMmNn iiii ++=Δ
sau
.000
∫∫∫ ++=Δ
GA
dsTt
EI
dsMm
EA
iii
i η (11)
Cu relaţia (11) se calculează deplasarea sistemului static nedeterminat;
în această expresie N, T, M sunt diagramele de eforturi din sarcinile
exterioare pe sistemul static n
dsNn
edeterminat, iar ni0, mi0, ti0 diagramele de
eforturi pe orice formă de bază a sistemului dat, încărcată cu o sarcină
unitară virtuală în punctul şi pe direcţia deplasării căutate.
Etapele de determinare a deplasării pe un sistem static nedeterminat:
• rezolvarea sistemului static nedeterminat şi trasarea diagramelor N, T,
M.
• încărcarea formei de bază, care a folosit la rezolvarea sistemului static
nedeterminat sau a oricărei forme de bază corespunzătoare sistemului dat, cu
o sarcină virtuală unitară, în punctul şi pe direcţia deplasării căutate şi
trasarea diagramelor de efort ni0, mi0, ti0.
• determinarea deplasării cu expresia (11).
14.5 Grinzi continue
Grinzile continue sunt grinzi drepte aşezate pe mai multe reazeme
succesive, dintre care unul este fix (o articulaţie sau o încastrare), iar
celelalte sunt mobile (reazeme simple), (fig.14.14a şi b).
285

a.
b.
fig.14.14
În cazul din figura 14.14a grinda este de trei ori static nedetermina ,
nuitate a grinzii, care se exprimă prin faptul că
pe un reazem intermediar rotirea relativă a două secţiuni vecine este nulă.
tă
ni şi
ărindu-se determinarea ro
tă
în cazul din fig.14.14b gradul de nedeterminare statică fiind patru.
Grinzile continue se pot rezolva cu metoda generală a eforturilor; se
pleacă de la condiţia de conti
14.5.1 Expresia rotirilor de capăt la grinda simplu rezema
Se examinează o grindă simplu rezemată încărcată cu sarci
momente de capăt, urm tirilor ϕ1 şi ϕ2 la cele două
extremităţi (fig.14.15).
P1 P2
M1 M2
l
M1
C
C
/
//
A/
M2
M0
C
xC xC
/ //
A//
A
M
m = 11
yC
/
yC
//
y = x1 C/l
y = x1 C/l
1
1
m1
m2
m = 12
a.
b.
c.
fig.14.15
//
/
+
+
+
+
+
286

Considerând diagrama M construită pe baza principiului suprapunerii
efectelor, se va utiliza formula Mohr-Maxwell, încărcările auxiliare fiind
momente egale cu unitatea acţionând la extremităţile barei (fig.14.15b şi c).
e aplică regula lui Veresceaghin, astfel:S
( )
,
6
2
6
3
1
2
1
3
2
2
111
121
1211
//////1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=++== ∫
Ay
l
MM
EI
l
AylMlM
EI
AyyAyA
EIEI
dxMm
CCϕ
l
xy C
//
1
1
= deci 2
//
1 6
6
l
Ax
l
Ay C
= .dar
Produsul reprezintă momentul static al suprafeţei diagramei M0
în raport cu secţiunea 2; se poate face notaţia:
expres
//
CAx
,21
//
SAxC =
ia 212
216
m
l
S
= fiind denumită caracteristică (termen) de încărcare.
Prin urmare:
( )21211 2
6
mMM
EI
l
++=ϕ (1)
Analog se obţine expresia rotirii secţiunii 2:
;
6
2
6
=
3
2
2
1
3
1
2
11
2
21
221
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=∫
l
Ay
MM
EI
l
AylMlM
EIEI
dxMm
2 =ϕ
dar
l
xy /
C2
1
= şi 2
2 6
l
Ax
l
C
= .
Produsul 12
/
SAxC = reprezintă momentul static al suprafeţei
/
6Ay
diagramei M0 în raport cu secţiunea 1; expresia 122
12
m
l
= se numeşte
caracteristică (termen) de încărcare. Astfel, rotirea secţiunii 2 devine:
6S
( 12 2MM )122
6
m
EI
l
+=ϕ + (2)
de în
teva cazuri frecvente de încărcare:
Caracteristicile oment, iar valorile lorcărcare au dimensiuni de m
se pot calcula pentru diverse încărcări. În continuare se vor stabili
caracteristicile de încărcare pentru câ
287

ită pe întreaga deschidere (fig.14.16)Sarcina uniform distribu
q
1 2
l
M
2
fig.14.16
4283
26
6
22
2
2
12
2112
qll
l
ql
l
l
S
mm
=⋅=
===
+
ql/8
a (fig.14.17)Forţa concentrată cţionând în mijlocul deschiderii
1 2
M
P
Pl
l
l
Pl
l
l
8
3
242
16
2
22112
=⋅=
S12
=mm
6
==
l/2 l/2
+
Pl/4
fig.14.17
14.5.2 Ecuaţia celor trei momente
Fie grinda continuă de n ori static nedeterminată din figura 14.18.
mele intermediare se obţine
istemul de bază static determinat, format dintr-o succesiune de grinzi
implu rezemate încărcate cu sarcinile exterioare şi cu momentele
necunoscute i care asigură continuitatea grinzii pe
azeme.
Prin introducerea de articulaţii pe reaze
s
s
introduse în articulaţii ş
re
Pe grinda simplu rezemată i –1, i (fig.14.19a), rotirea capătului liber i
este, conform relaţiei (2):
( )i
mM2M
l
++=ϕ ,i,1ii1isi
EI6
−−
288

Pe grinda i, i+1(fig.14.19b), rotirea în secţiunea i este, conform relaţiei (1):
( ).2
6
,11
1
iiii
i
dri mMM
EI
l
++
+
++=ϕ
1 2 i-1 i+1 n n+11i
1 2 i-1 i+1 n n+11i
l1 l2 li li+1
0
0
M1 M2 Mi-1 Mi Mi+1 Mn
fig.14.18
i-1 1i1i i+1
Mi
Ai
ai bi
a.
Mi-1, 1i Mi, i+1
0 0
Mi+1
Ai+1
ai+1 bi+1
b.
fig.14.19
Mi-1 Mi Mi Mi+1
Mi-1 Mi
li li+1
+ +
+ +
+ +
Condiţia de continuitate a grinzii în secţiunea i impune ca:
,01 =+ dris ϕϕ
ceea ce duce la relaţia:
( ) ( ) 02
6
2
6
,11
1
,11 =+++++ ++
+
−− iiii
i
iiii
i
mMM
EI
l
mMM
EI
l
sau
( ) .02 ,11,11111 =+++++ ++−+++− iiiiiiiiiiiii mlmlMlMllMl (3)
Relaţia (3) reprezintă ecuaţia celor trei momente sau ecuaţia lui
Clapeyron.
289

Caracteristicile de încărcare, cu notaţiile din figura 14.19 se
calculează astfel:
.
6
;
6
2,1− = i
i
ii aA
l
m
112
1
,1 ++
+
+ = ii
i
ii
i
bA
l
m
Pentru rezolvarea grinzii continue se va scrie câte o ecuaţie de trei
momente pentru fiecare reazem intermediar; se va obţine un sistem de
ecuaţii în număr egal cu cel al momentelor necunoscute.
r, ca în fig.14.20 şi 14.21;
Etape în utilizarea ecuaţiei celor trei momente
• Se numerotează toate razemele, după ce s-au efectuat eventualele
transformări ale încastrărilor şi consolelo
1 2 0 1 2
l
l = 01
l = l2
fig.14.20
În cazul încastrării, aceasta se înlocuieşte cu o articulaţie şi un
reazem simplu, infinit apropiat.
1 2
fig.14.21
1 23 4 3
P
l1 l2 a l1 l2
Pa
Consola 3-4 se în reazemul “3”.locuieşte cu un moment pe
•
re.
Se construiesc diagramele de moment încovoietor ca urmare a acţiunii
sarcinilor efectiv aplicate pe grinzile simplu rezemate.
• Se calculează caracteristicile de încărcare pe reazemele intermedia
290

• egal
cu gradul de nedeterminare statică şi prin rezolvarea sistemului de
ecuaţii se determină momentele aplicate în articulaţii.
• Se calculează reacţiunile pe reazeme.
• Se trasează diagramele de eforturi şi se verifică cu ajutorul relaţiilor
diferenţiale dintre eforturi (şi încărcări).
Problema 14.a
Să se traseze diagramele de efort şi să se determine deplasarea
verticală a secţiunii D şi rotirea nodului B (fig.14a.1).
Se scriu ecuaţiile celor trei momente pentru un număr de reazeme
q
6qa
3a
4a 2a
A
B C D
X1
q
6qa
forma de baza
q
6qa
2qa
5qa/2
1
¾
X = 11
¾ 0.5qa
3a
3a
m1 M0
2
0.57qa
2
2qa
2
0.19qa
6qa
M T N
mϕB
0
fig.14a
2.
3. 4.
8.
1.
2qa
0.57qa
2
0.6425qa
0.19qa 0.6425qa
1-2a
1-
5. 6. 7.
1
mD
0
9.
+
-
-
+
+
+
+
+ -
-
+
291

Cadrul este o dată static nedeterminat; se înlocuieşte articulaţia din A
cu un reazem simplu şi o forţă X1 orizontală, obţinându-se astfel forma de
bază (fig.14a.2). Se încarcă forma de bază cu X1 = 1 şi se trasează diagrama
de moment m1 (fig.14a.3). Se încarcă apoi forma de bază cu sarcinile
exterioare şi se trasează diagrama de moment M0 (fig.14a.4). Se aplică
ecuaţia de condiţie:
,010111 =Δ+δX
cu:
.; 0110
2
111 ∫∫ =Δ=
EI
dx
Mm
EI
dx
mδ
Se utilizează regula lui Veresceaghin:
.19.0
,
4
3
3
1
2
421
;
21
3
3
2
2
43
3
3
2
2
321
1
42
10
3
11
qaX
EI
qa
a
aqa
EI
EI
a
a
aa
a
aa
EI
=
−=⋅
⋅
−=Δ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+⋅
⋅
=δ
Diagramele de efort sunt reprezentate în fig. 14a.5-7.
Pe forma de bază se introduce o forţă virtuală unitară în punctul D, pe
direcţie verticală; se construieşte diagrama mD
0
şi se calculează deplasarea
verticală:
;257.04
6
1
224
3
1
2
23
2
222
3
11 22
2
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅−⋅+⋅−⋅⋅= aqaaqaaaaa
qa
aqaa
EI
vD
.
57.6 4
EI
qa
vD =
Pe forma de bază se introduce un cuplu virtual unitar în nodul B şi se
trasează diagrama mϕB
0
; se calculează rotirea:
;241
1
57.014
11 22
⎟
⎞
⎜
⎛
⋅⋅⋅−⋅⋅= qaaqaaBϕ
63 ⎠⎝EI
.
57.0 3
EI
qa
B −=ϕ
lema 14.b
ntru grinda continuă din figura 14b.1, având dimensi
le indicate, să se traseze diagramele de efort.
Prob
Pe unile şi
încărcări
292

2ql
q 2ql
0 4 1 2
l/2 l/2 l
ql/4
3ql/4
5ql/4
3ql/4
l/4
0 4 1
l/2 l/2
ql/4
V V
3.
1. fig.14b
3ql/8
ql/32
M
ql/4
0 1st
2.
q
ql/4
T
V1dr V2
l
2
2
2
2
2
+
-
+
1 2
+
-
-
+
Sistemul este o dată static nedeterminat; se scrie ecuaţia celor trei
momente:
( ) ,02 2101210 =+++++ lmlmlMMlllM
în care:
.
4
;
3
2
8
3 2
01 qllqlm =⋅=
4
;0
2
21
20
ql
m
MM
=
==
Rezultă .
4
2
1
ql
M −=
Se calculează, pe forma de bază, pe intervalul 0-1, reacţiunile, forţele
tăietoare şi momentul încovoietor în secţiunea 4 (fig.14b.2), astfel:
;
4
5
,
4
5
0
42
2,0 111
2
0
ql
T
ql
VlV
qll
qlM ststst
−=⇒=⋅−+⋅=∑
.
824
4M =⋅=
33
442
2
0001
qllql
;
3
02,0
2
T
ql
V
ql
lV
l
qlM ==⇒=−−⋅=∑
293

Pe forma de bază 1-2 (fig.14b.3) se calculează reacţiunile, forţele
tăietoare şi momentul încovoietor maxim:
.
3224
2
max ql
q
qlM =⎟
⎠
⎜
⎝
=
111
;
424
;
44
2
11
22
TqlV
ql
drdr
⎞⎛
==⇒
−=,
2
T
ql
V
qll
=0
42
,0 21 lVqlM ⇒=−−⋅=∑
3
0,0 1
2
2 lV
l
ql
ql
M dr
=⋅−⋅+=∑
294

Capitolul 15
BARE CURBE PLANE
Se va studia bara curbă cu axa longitudinală de forma unei curbe
plane, secţiunea transversală având o axă de simetrie, planul axei barei fiind
plan de simetrie pentru bară. Forţele exterioare acţionează în planul axei
ra sau al elementului de lanţ
(za)(fig.15.1).
barei curbe. Este cazul cârligului de maca
fig.15.1
F
F
F F
Deformaţia va avea un caracter plan, axa deformată fiind şi după
15.1 Tensiuni în secţiunea barei curbe
deformaţie o curbă plană.
Ca şi în cazul barei drepte, se poate accepta în cazul barelor curbe
ipoteza secţiunilor drepte, o secţiune rămânând plană şi normală la axa barei
i după deformaţie. Se admite că între fibrele barei nu există presiune
astă ipoteză nu corespunde realităţii, aşa cum rezultă din
nsiuni normale σr, este neglijabilă pentru secţiunile pline.
ş
reciprocă – ace
considerarea echilibrului unei fibre din bară, care atestă prezenţa tensiunilor
normale radiale. Se constată că influenţa interacţiunii între fibre, prin
te
295

Se consideră o bară curbă de secţiune simetrică în raport cu planul
care conţine axa barei, solicitată la încovoiere pură produsă de momente
acţionând în acest plan, axa barei având raza de curbură R. Se detaşează din
bară un element prin două plane infinit vecine normale pe axă, trecând prin
centrul de curbură, care fac între ele unghiul dϕ (fig.15.2). În secţiunile de
capăt acţionează momentele concentrate M, astfel că bara se deformează,
secţiunea CD rotindu-se faţă de AB cu cantitatea Δdϕ.
y
M M
e
G
O
dφ
Δ φd
y
+
-
Rext
R
R0
Rint
yext
yint
σint
σext
B
A
D
C
ds
ds0
dsy
Δdsy
axa
neutra
fig.15.2
În acestă stare de deformaţie fibrele longitudinale din partea
superioară se scurtează, iar cele din partea inferioară se lungesc. Va exista o
fâşie de fibre longitudinale care nu vor suferi nici alungiri, nici scurtări,
numită fâşie neutră; intersecţia fâşiei neutre cu secţiunea transversală va
reprezenta axa neutră în secţiune.
Lungimea unei fibre din fâşia neutră cu R0 raza de curbură se notează
cu ds0; cu dsy se notează lungimea unei fibre la distanţa y de axa neutră:
( ) .0 ϕdyRdsy −=
Alungirea specifică a fibrei dsy va fi:
( )
( )
.
0 ϕ
ϕ
ε
dyR
dy
ds
ds
y
y
−
Δ
=
Δ
=
Considerându-se că între fibre nu există o interacţiune şi presupunând
comportarea elastică a materialului, din legea lui Hooke rezultă:
.
0 yR
y
d
d
EE
−
Δ
=⋅=
ϕ
ϕ
εσ (1)
Ţinându-se seama de solicitarea din secţiunea dată, numai prin
moment încovoietor M, tensiunile normale vor trebui să satisfacă
următoarele trei condiţii:
296

.;0;0 MdAydAzdA
AA
=== ∫∫∫ σσσ (2)
A
Înlocuind expresia (1) în prima relaţie a grupului (2), rezultă:
.0
00
=
−
Δ
=
−
Δ
∫∫ AA
dA
yR
y
d
d
EdA
yR
y
d
d
E
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Deoarece multiplicatorul din faţa integralei nu poate fi nul, rezultă că
0
0
=
−∫A
dA
yR
y
, relaţia precizând poziţia axei neutre în secţiune; se constată
ă axa neutră nu trece prin centrul de greutate al secţiunii.
Înlocuind expresia (1) în a doua relaţie a grupului (2), rezultă:
c
;0
0
=
−
Δ
∫ dA
yR
zy
d
d
E
A
ϕ
ϕ
relaţia este satisfăcută pentru că axa Oy este o axă de simetrie.
Înlocuind expresia (1) în a treia relaţie a grupului (2), rezultă:
.
0
2
MdA
yR
y
d
d
E
A
=
−
Δ
∫ϕ
ϕ
(3)
Se studiază separat integrala:
( )
;
,
0
2
0
0
0
0
00
0
2
eAdAydA
yR
y
dA
yR
y
RdAy
yR
dARRyy
dA
yR
y
AA
A AAA
⋅=−=
−
−
+−=
−
−+
=
−
∫∫
∫ ∫∫∫
(4)
emnul minus dispare pentru că sensul de măsurare al lui e este invers
ensului axei y.
Produsul Ae reprezintă momentul static al ariei secţiunii în raport cu
xa neutră, e fiind distanţa între centrul de greutate al ariei secţiunii şi axa
eutră în secţiune.
Înlocuind expresia (4) în relaţia (3), se obţine:
s
s
a
n
MAe
d
d
E =
Δ
ϕ
ϕ
, deci
EAe
M
d
d
=
Δ
ϕ
ϕ
reprezintă expresia
are se înlocuieşte în relaţia (1); rezultă:c
.
0 yR
y
Ae
M
−
=σ (5)
Din relaţia (5) se constată că tensiunile normale pe înălţimea secţiunii
ariază hiperbolic (fig.15.2) şi nu liniar, precum în cazul barei drepte.v
297

.
;
0
int
int
int0
MyM
RAeyRe −
int
int
ext
ext
ext
e
ext
R
y
AeRAe
yMy
A
M
−=
+
−=
==
σ
σ
Pentru aplicarea r nsiunilor normale este
necesară cunoaşterea po ceastă poziţie poate fi
precizată fie prin distanţa e de la centrul de greutate al secţiunii, fie prin raza
xt
y
elaţiei (5) la determinarea te
ziţiei axei neutre în secţiune. A
de curbură R0 a fâşiei neutre, între ele existând relaţia:
.0RRe −=
Se notează cu ρ raza de curbură a unei fibre, la distanţa y de axa
neutră:
;0 yR −=ρ
dA
yR
y
A
∫ −0
atunci relaţia devine:
.
,0
0
0
0
∫
∫∫∫
=
=+−=
−
A
dA
A
R
dA
RdAdA
R
ρ
ρρ
ρ
Dacă secţiunea barei curbe este dreptunghiulară (fig.15.3), R0 se
calculează astfel:
b
h e
y
dρ
ρ
Rint
R0
R
fig.15.3y dA = bdρ
Rext
G
O
298

.
ln
;ln
int
0
intint
R
R
h
dA
A
R
R
R
b
d
b
dA
ext
A
ext
R
RA
ext
==
==
∫
∫∫
ρ
ρ
ρ
ρ
Pentru cazul în care în secţiunea transversală a barei curbe se dezvoltă
simultan moment încovoietor şi forţă axială, în baza principiului
suprapunerii efectelor, expresia tensiunii σ într-un punct curent va fi:
.
0 yR
y
Ae
M
A
N
−
+=σ
15.1.1 Importanţa mărimii razei de curbură asupra domeniului
de valabilitate a relaţiilor de calcul
Aplicând formula lui Navier, stabilită la încovoierea barelor drepte,
ni şi
deformaţii se utilizează relaţiile de la bare drepte.
Problema 15.a
Să se arate cum trebuie a fi poziţionată secţiunea barei curbe de
picătură) la
a de aplicare a sarcinilo
ac
2
; Rint = 100 mm; Rext = 20
pentru calculul tensiunilor normale în cazul barelor curbe se obţin pentru
diferite valori ale raportului R/h următoarele erori:
R/h = 10 eroare 3,2%
R/h = 2 eroare 17%
R/h = 1 eroare 35%
Rezultă că dacă R/h<10 (barele cu mare curbură), se aplică relaţiile de
la bare curbe iar pentru R/h≥10 (barele cu mică curbură), pentru tensiu
curbură mare din figura 15a pentru a se obţine forţa capabilă Pcap maximă;
inelul este confecţionat din fontă şi este prevăzut cu un rost (des
partea inferioară, în zon r P. Se cunosc: σat = 60
N/mm2
; σ = 140 N/mm 0 mm.
299

Rext
Rint
P P =
a. b.
=
A - A
b.a.
23.4
h=2
e=
27.8
1.058E-2P 2.26E-2P
R=ext
1
5
h=1
1
A
A
b /2 = 4mm2 1.194E-2P 6.73E-3P
4
85m
6.3
72.2
m
200
15R=1int
R=
a=11
R=0
00
134.
27.8
b = 401
y y
z
z
N M
40.
59.2
23.44
15h=852
R
=9
5
R=00t
e=6.7
8
h=1
a=
=100int
R
R=10
ex
185
165.
9.2
2
N M
b = 401
b /2 = 4mm2
+
+
- -
σ σ
fig.15a
re a acesteia (a.); calculul s-a efectuat prin
Se calculează poziţia centrului de greutate al secţiunii barei curbe în
prima variantă de poziţiona
descompunerea grafică a secţiunii în trei dreptunghiuri, axa ajutătoare de
referinţă trecând prin centrele locale de greutate ale inimilor secţiunii 85mm
x 4mm (fig.15a.a.), astfel:
300

.44.23
48521540
501540
mmycg =
⋅⋅+⋅
⋅⋅
=
Se calculează poziţia axei neutre a secţiunii barei curbe în raport cu
axa ce trece prin centrul de curbură al acesteia, prin utilizarea relaţiilor
tabelate pentru determinarea acestui parametru în funcţie de forma secţiunii
barei; prin înlocuire se obţine:
,8.127
1280
0 mmR ==
115
200
ln8
100
115
ln40
int aR
+
implicit, se determină excentricitatea axei neutre în raport cu axa centrală a
;
lnln 21
0
R
b
a
b
A
R
ext
ef
+
=
secţiunii:
.3.68.1271.1340 =−=−= RRe
Se reduce efectul perechii de forţe P în raport cu centrul de greutate al
secţiunii şi se calculează valorile tensiunii normale σ în punctele situate la
intradosul I (interiorul), respectiv extradosul E (exteriorul) acesteia; se
folosesc expresiile tensiunii σ pentru solicitarea de încovoiere cu întindere:
[ ]
[ ]
.P10194.1
200
2.72
12803.6
P1.284
1280
P
;P10058.1
100
8.27
12803.6
P1.284
1280
P
2
;NPN
2
E
2
I
int
−
−
⋅−=
−
⋅
⋅
+=
⋅=⋅
⋅
+=
⎠⎝⎠
=
σ
σ
Prin parcurgerea aceloraşi paşi ai algoritmului de rezolvare, pentru
varianta b. de poziţionare a secţiunii barei curbe (fig.15a.b.), se obţin:
,mmNP1.2841.134100
8515
PRR
2
hh
PM 21
=⎟
⎞
⎜
⎛
++
+
=⎟
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
=
[ ];NPN
;mm7.62.1599.165e
;mm2.159
185
200
ln40
100
185
ln8
1280
R
;mm44.23
48521540
501540
y
0
cg
=
=−=
=
+
=
−=
⋅⋅+⋅
⋅⋅−
=
301

[ ]NmmP9.3159.165100
2
8515
PRR
2
hh
PM int
21
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
=
Pentru solicitarea compusă de întindere cu încovoiere, cu respectarea
expresiilor tensiunii normale în cazul barelor curbe de curbură mare (rază
mică de curbură), se obţin:
.1073.6
200
8.40
12807.6
9.315
1280
3
P
PP
E
−
⋅−=
−
⋅
⋅
+=σ
Ţinându-se seama de mărimile tensiunilor maxime admisib
;1026.2
100
2.59
12807.6
9.315
1280
2
P
PP
I
−
⋅=⋅
⋅
+=σ
ile ale
materialului din care este confecţionat inelul elastic, se obţin, funcţie de
varianta de poziţionare respectiv punctele de interes ale secţiunii, valorile:
con oziţionare a. permite atingerea unei valori
e pes dou ametrului de încărcare Pcap, comparativ cu
roblema 15.b
ermine sarcina capabilă a cârligului din figură (fig.15b) şi să
,65.2601026.2.
,67.5/6010058.1.
22
22
22
kNPmmNPb
kNPmmNPa
=→=⋅
=→=⋅
−
−
−
67.5
;7.11/14010194.1
kNP
kNPmmNP
cap =
=→=⋅
/
.65.2
;8.20/1401073.6 23
kNP
kNPmmNP
cap =
=→=⋅ −
În cluzie , varianta de p
d te ă ori mai mare a par
varianta b. de poziţionare.
P
Să se det
se traseze diagrama de distribuţie a tensiunii normale σ în secţiunea
pericuoasă. Se cunosc: h = 60 mm, b = 30 mm, σa = 210 N/mm2
, Rint =
48mm.
302

Rint
h
b
P
B B
B-B
fig.15b
R=108mmext
R=78mm
b = 30
R=48mmint
R=75mm0
z
y
e=3mm
h=60mm
σN σM σ σmax =1,105E-2 P
E
I
fig.15b.1
+
+ +
--
N M
σmin =0,491E-2 P
Se reduce efectul forţei P în raport cu centrul de greutate al secţiunii;
se obţin eforturile secţionale:
[ ]
[ ].78
;
mmNPM
NPN
=
=
Se calculează caracteristicile geometrice de interes ale secţiunii
precum şi poziţia axei neutre a secţiunii:
;1414
4
3060
22
2
mm
bh
A =
⋅⋅
=⋅=
π
π
303

( )
( )
.37578
,
0
22
2
0
mm
hRR
h
R
=−
−−
=
Se determină valorile tensiunilor normale σ datorate solicitărilor
produse de eforturile secţionale obţinute; solicitarea este de întindere cu
încovoiere, astfel:
;75
607847824
60
424
22
2
0
RRe
mmR
=−=
=
−⋅−⋅
=
;10034.1
4831414int
P
RAeIx ⋅=⋅
⋅
==σ
2778
;10072.7
1414
2
4
PyM
P
P
A
N
IM
N
x
−
−
⋅===σ
.10072.7
78
3
31414
78
;10618.5
10831414
4
0
P
P
eR
e
Ae
M
P
RAe
cg
M
x
ext
Ex
−
⋅−=
−
⋅
⋅
=
−
=
⋅−
3378 3PyM EM − −
⋅
⋅
==
σ
σ
Se exprimă tensiunea normală maximă funcţie de parametrul
necunoscut P şi se egalează cu valoarea maximă admisibilă a materialului
utilizat; se obţine astfel:
.19
;/21010105.110034.110072.7 2224
max
kNP
mmNPPP
cap
I
=
=⋅=⋅+⋅== −−−
σσ
.10491,010618.510072.7 234
min PPPE
−−−
⋅−=⋅−⋅== σσ
304

Capitolul 16
ATEA BARELOR DREPTESTABILIT
Studiul asupra solicitărilor simple şi compuse a urmărit determinarea
eforturilor interioare în bare considerate a fi în echilibru stabil, adică în bare
ţii
mici proporţionale.
Pot interveni, însă, cazuri în care starea de echilibru devine instabilă
din punct de vedere elastic, adică nu mai este asigurată stabilitatea formei de
echilibru. În acest caz, unor creşteri mici ale forţelor aplicate le pot
corespunde creşteri foarte mari ale deformaţiilor şi tensiunilor.
Trecerea formei deformate dintr-o poziţie de echilibru stabil într-o
poziţie de echilibru instabil se numeşte flambaj.
În asemenea situaţii echilibrul trebuie exprimat pe forma deformată a
elementului, în plus nu mai rămâne valabil principiul suprapunerii efectelor.
e, solicitarea fiind de compresiune simplă.
la care este asigurată stabilitatea formei de echilibru. În acest caz,
deformaţiile elastice sunt atât de mici încât nu modifică forma generală a
corpului – pentru creşteri mici ale forţelor exterioare corespund deforma
Pentru demonstrarea flambajului se efectuează următoarea experienţă
(fig.16.1a); se consideră o vergea dreaptă subţire, dublu articulată, acţionată
la capete de două forţe de compresiune P. Pentru valori mici ale forţei P bara
îşi păstrează forma rectilini
P
P
Pcr
Pcra. b. fig.16.1
Mărind forţele P până la o anumită valoare, bara continuă să-şi
ăstreze forma dreaptă, apoi se încovoaie brusc (fig.16.1b) luând o formă dep
305

306
echilibru curbilinie. Valoarea forţei P pentru care bara trece de la forma
rectilinie la o formă curbilinie de echilibru este denumită forţă critică de
flambaj Pcr.
Pentru o forţă P inferioară valorii forţei critice Pcr, bara rămâne
dreaptă; când forţa P atinge valoarea critică Pcr, bara poate lua orice formă
curbilinie în jurul poziţiei drepte (în limitele deformaţiilor infinitezimale).
Când forţa P depăşeşte valoarea forţei critice Pcr, încovoierea barei se
accentuează ajungându-se la ruină fie prin atingerea limitei de curgere sau a
rezistenţei de rupere, fie prin deformaţii foarte mari care nu mai fac posibilă
exploatarea ei normală. Rezultă că în problemele de stabilitate a formei de
echilibru interesează determinarea forţei critice pentru prevenirea
eformaţiilor nepermise. Valoarea forţei critice diferă considerabil în funcţie
de modul de rezemare, de natura materialului precum şi de geometria barei.
Deci, pentru anumite valori ale forţei de compresiune, barele îşi pot
pierde forma iniţială de echilibru. Această formă de echilibru poate fi stabilă
sau instabilă. Poziţia de echilibru este stabilă dacă prin modificarea acesteia
cu valori mici, sistemul revine la poziţia de echilibru (sau oscilează în jurul
acesteia). Dacă sistemul nu are această proprietate, prin scoaterea din poziţia
de echilibru, cu valori mici, el nu mai revine în această poziţie, putând suferi
deformaţii mari care să ducă la distrugerea sa. Flambajul reprezintă
pierderea stabilităţii sistemelor deformate sub acţiunea încărcărilor.
În secţiunea barei drepte din figura 16.2, dublu articulată, solicitată la
capete de forţele de compresiune P, se dezvoltă tensiuni normale negative.
d
Când forţa P atinge valoarea Pcr, adică
forţa critică de flambaj, bara îşi pierde
poziţia dreaptă de echilibru şi flambează.
critică de flambaj σcr, care se calculează
P
Forţei critice îi corespunde o tensiune
fig.16.2
cu relaţia:
,
A
P
rsale a barei.
Bara nu va flamba dacă este comprimată cu o for inferioară valorii
critice:
cr
cr =σ
în care A reprezintă aria secţiunii transve
ţă
,
f
cr
c
P
P =

cu cf coeficientul de siguranţă la flambaj, coeficient care are valori mai mari
decât unitatea; mărimea acestuia se fixează prin norme standardizate în
funcţie de condiţiile de exploatare, de materialele folosite şi de importanţa
pieselor.
Pericolul deosebit al flambajului constă în faptul că cesta se produce
în mod brusc şi nu mai permite executarea unor lucrări de consolidare.
a
16.1 Determinarea forţei critice de flambaj pentru cazurile
clasice de rezemare. Formula lui Euler
16.1.1 Bara dublu articulată
Fie cazul unei bare zvelte, dublu articulate la capete (fig.16.3), de
giditate constantă în fiecare secţiune transversală. Ea se comprimă cu forţa
critică de flambaj Pcr; ca urmare, bara capătă forma din figură:
ri
Pcr
Pcr
x
y
l
x
v
A
B
fig.16.3
cuaţia fibrei medii deformate devine:
Ecuaţia diferenţială obţinută este de ordinul doi, liniară, cu coeficienţi
onstanţi şi omogenă; soluţia ei poate fi scrisă sub forma generală:
Ecuaţia diferenţială obţinută este de ordinul doi, liniară, cu coeficienţi
onstanţi şi omogenă; soluţia ei poate fi scrisă sub forma generală:
În secţiunea transversală, situată la
distanţa x de capătul A, se dezvolt omentul
încovoietor de forma:
ă m
( ) ;vPxM cr ⋅=
ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate
devine:
( ) ;2
2
v
EI
P
EI
xM
dx
vd cr
−=−=
se notează
2
k
EI
Pcr
= ; (1)
e
.02//
=+ vkv kv
cc
,sincos 21 kxCkxCv ,sincos 21 kxCkxCv += (2)
u C1 şi C2 constante de integrare care urmează a fi determinate din
ondiţiile la limită. Din examinarea condiţiilor de rezemare rezultă că la
apetele barei săgeţile trebuie să fie nule, adică:
c
c
c
0
;00
=→=
=→=
vlx
vx
307

Prima condiţie introdusă în relaţia (2) impune ca :
C = 0,
iar a doua:
C2sin kl = 0.
Constanta C2 nu poate fi nulă, deoarece în acest caz ar rezulta v = 0
adică bara de form
fenomenul de f rece în relaţia
(1) ar rezulta P = 0, adică bara neîncărcată. Ultima posibilitate este sin kl = 0
din care rezultă:
1
ă dreaptă, contrar ipotezei că s-ar fi produs deja
lambaj. De asemenea, k nu poate fi zero, deoa
…3,2,1; == n
l
n
k
π
Deci forţa critică de flambaj este:
.2
22
l
EIn
Pcr
π
=
Pentru n = 1 se realizează starea de flambaj din figura 16.3; celelalte
soluţii, n = 2, 3,…, conduc la valori mai mari ale forţei critice, valori care nu
se mai ating, deoarece flambajul apare pentru forţa critică cea mai mică .
Când n = 1, ecuaţia fibrei medii deformate devine:
,sin2
l
x
Cv
π
=
car reprezintă o sinusoidă cu o semiundă.
Constanta C2 nu poate fi determinată din condiţiile la limită;
se ficaţia ei fizică reiese dând valoarea parametrului x:mni
;
2
max2 vC
l
x =→=
adică aceasta reprezintă săgeata maximă a barei flambate.
În continuare, pentru n = 2, ecuaţia fibrei medii deformate se scrie:
,
2
sin2
l
x
Cv
π
=
reprezentând o sinusoidă cu două semiunde; flambajul se produce aşadar ca
şi cum mijlocul barei ar fi fix (fig.16.4).
Pcr Pcr
l/2 l/2
fig.16.4
lungimea l/2, astfel:
Cum capetele şi mijlocul barei
reprezintă puncte de inflexiune ale
sinusoidei, forţa critică poate fi evaluată ca
pentru o bară dublu articulată ândav
308

.2
2
⎞⎛
=
l
EI
Pcr
π
2 ⎠⎝
O ultimă observaţie care se face este relativ la momentul de inerţie
care trebuie utilizat în relaţie; se ştie că în planul unei secţiuni există două
axe principale de inerţie în raport cu care se consideră momentele de inerţie
principale (unul maxim, celălalt minim).
Flambajul se produce întotdeauna după direcţia după care momentul
de inerţie este minim, astfel încât formula care determină forţa critică va fi:
⎟⎜
.2
min
2
f
cr
l
EI
P
π
=
Aceasta reprezintă formula lui Euler pentru determinarea forţei critice
de flambaj.
Lungimea lf se numeşte lungime de flambaj şi reprezintă distanţa
dintre două puncte succesive de inflexiune ale formei deformate de pierdere
a stabilităţii; în cazul barei dublu articulată lf = l.
16.1.2 Bara încastrată perfect la un capăt şi liberă la celălalt
Pcr
x
Pentru bara liberă la un capăt şi încastrată la
vl
l = 2lf
fig.16.5
celălalt (fi
extremitate
(originea e
secţiune x,
g.16.5), originea axelor este aleasă în
a liberă a barei, fiind ataşată acesteia
ste mobilă odată cu capătul liber). Într-o
momentul încovoietor are expresia:
( ) ,vPxM ⋅=
iar ecua a diferenţială este dată tot de relaţia (1) şi
soluţia (2). Se scrie această soluţie împreună cu
prima derivată:
ţi
;sincos kxCkxCv
.cossin 21 kxkCkxkCv +−=/
21 +=
Condiţiile la limită vor fi în funcţie de
condiţiile de rezemare, astfel:
.0;00 /
=→==→= vlxvx
309

Prin introducerea condiţiilor la limită în relaţiile precedente se obţine:
.0cos
;01
=2
=
klkC
C
Deoarece kC2 nu poate fi nul, rezultă:
,0cos =kl
ecuaţia caracteristică având soluţia:
( ) …2,1,0;
2
12 =+= nnkl
π
Rezultă:
( )
,
2l
Pcr = 2
2
EIπ
şadar, în cazul barei liberă la un capăt şi încastrată la celălalt lf = 2l.
t la celălalt
a
16.1.3 Bara articulată la un capăt şi încastrată perfec
Pcr
x
l
fig.16.6
H
0.7l v
x
( )
EI
xHvP
EIdx
−=2
xMv +
−=
2
sau
d
EI
xH
v
EI
P
x
vd
−=+2
2
d
sau
.2
2
2
EI
xH
vk
dx
vd
−=+
Soluţiei ecuaţiei omogene (2) va trebui să i se asocieze o soluţie
particulară. Aceasta se găseşte uşor observând că partea dreaptă este funcţie
liniară de x şi căutând o soluţie de aceeaşi formă, rezultă:
ată la celălalt. Pentru a
putea scrie momentul încovoietor într-o
ponenta H a reacţiunii din articulaţie:
Bara din figura 16.6 este încastrată la
un capăt şi articul
secţiune x trebuie să fie luată în considerare
şi com
( ) .xHvPxM +=
Ecuaţia diferenţială a fibrei madii
deformate se poate scrie în forma:
310

,
H
v x
P
−=p
particulară.
Soluţia generală va fi de f
cu vp soluţia
orma:
;sincos 21 x
P
H
kxCkxCv −+=
prima derivată este:
.cossin 21
/
P
H
kxkCkxkCv −+−=
.0,0
;0
/
==→=
0 =→=
vvlx
vx
Prin introducerea condiţiilor la limită în relaţiile precedente, se obţine:
=
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎧
=−
⎨
=− .cos2
P
klkC
3)
noscute H/P şi C2; sistemul este
,0sin
;0
2
1
l
H
klC
C
(
0
H
P
Sistemul de ecuaţii (3) are ca necu
omogen şi poate admite soluţii nebanale doar dacă:
.0
sin
=
− lkl
1cos −klk
Din dezvoltarea determinantului se obţine ecuaţia caracteristică:
;klkltg = (4)
dăciră na cea mai mică a ecuaţiei transcendente (4) este:
,
7.0
π
≅kl
astfel, rezultă:
( )
.
7.0
2
l
cr
iculată la un capăt şi încastrată la celălalt lf =
minI
P =
Aşadar, în cazul barei art
0,7l.
2
Eπ
311

312
16.1.4 Bara dublu încastrată
x
Pcr
l
fig.16.7
H
0.5l v
x
M0
EI
M
EI
v
xH
EIdx
0
2
−−=+
sau
Pvd2
,02
2
2
EI
M
EI
vk
dx
−−=+
u
xHvd
c soluţia generală:
P
MH
x
P
kxCkxCv 0
21 cos −−+=
şi prima derivată:
sin
.cossin 21
/
P
H
kxkCkxkCv −+−=
mită, ţinându-se seama de încastrările din cele două
unt:
Condiţiile la li
extremităţi ale barei, s
introducându-le în rel se obţine un sistem de patru ecuaţii cu
patru necunoscute: C1, C2, M0/P şi H/P, astfel:
;0,0
;0,00
/
==→=
==→=
vvlx
vvx
aţiile precedente
/
0
01cossin
1sincos
0
1
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
P
M
P
C
klkklk
lklkl .
încovoietor în secţiunea x are
Bara din figura 16.7 este dublu
încastrată; ţinând seama că o încastrare
comportă trei necunoscute (P, H, M0),
momentul
expresia:
( ) ,0MxHvPxM ++=
iar ecuaţia fibrei medii deformate se poate
scrie:
010
1001
2 ⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎥
⎥
⎤
−
−
H
C
k

Din condiţia de anulare a determinantului principal rezultă ecuaţia
caracteristică:
( ) ;0sincos12 =−− kklkl l
cea mai mică rădăcină este:
2 .π=kl
Astfel, rezultă:
.
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
EI
Pcr
π
În cazul barei dublu încastrate lf = l/2.
ţe16.2 Rezistenţa critică de flambaj. Coeficientul de zvelte
Pentru bara dreaptă comprimată s-a dedus formula lui Euler, pentru
calculul forţei critice de flambaj:
.2
min
f
cr
l
P
apare în secţiune când forţa aplicată atinge
stenţă critică de flambaj (σcr):
2
EIπ
=
Tensiunea normală care
valoarea critică se numeşte rezi
,min
2
EIPcr π
== 2
AlA f
crσ
cu A aria secţiunii transversale
Raportul
a barei.
2
min
min
i
A
I
= reprezintă pătratul razei minime de inerţie a
secţiunii şi se poate nota mai departe:
.2
min
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
i
l
E
f
cr
π
σ
λ=
mini
lf
Se face notaţia , cu λ coeficient de zvelteţe sau subţirime al
barei; rezultă:
2
2
λ
π
σ
E
cr = (5)
313

Relaţia (5) este valabilă numai în domeniul elastic de proporţionalitate
şi arată dependenţa dintre tensiunea critică de flambaj şi coeficientul de
svelteţe, dependenţă care este hiperbolică.
Se trasează graficul funcţiei σcr(λ)(fig.16.8), care reprezintă curba
caracteristică de flambaj, astfel se disting:
σcr
λ
A
B
CD
λ1 λ00
hiperbola lui Euler
fig.16.8
σp
- zona AB pe care σcr< σp, ce corespunde
corespunde un coeficient de svelteţe λ0. În cazul materialului OL37,
valoarea coeficientului λ0 se determină considerând σp = 190 N/mm2
:
flambajului în domeniul
elastic, pentru care este valabilă legea lui Hooke; punctului B îi
.1050 ==λ
190
101.2 522
⋅⋅
=
π
σ
π
p
E
- zona BC pe care σcr> σp, ce corespunde flambajului în domeniul
cestuia se determină cu
formule empirice bazate pe determinări experimentale care dau relaţii
între σcr şi λ în zona flambajului plastic. Cea mai cunoscută şi aplicată
plastic; pe această zonă λ < λ0. Pentru valori λ < λ0, σcr nu mai
corespunde hiperbolei lui Euler. Valoarea a
este formula Tetmayer – Iasinski:
a ,λbσcr −=
corespunzătoare dreptei BC. Coeficienţii a şi
dependente de material şi se determină experimental.
b sunt constante
- punctul C corespunde unui coeficient de svelteţe λ1; pentru λ < λ1 se
consideră că bara nu mai flambează, calculul făcându-se numai la
une simplă.compresi
314

16.3 Coeficientul de siguranţă la flambaj cf
Rezistenţa admisibilă la flambaj se calculează cu relaţia:
,cr
f
fa
c
σ
σ =
cf reprezentând coeficientul de gur i
este recomandat în funcţie
subţirimea (coeficientul de sv
si anţă la flambaj; nu are valori prescrise ş
de tipul şi importanţa piesei, depinzând de
elteţe) barei, ( )λfcf = .
16.4 Calcul practic la flambaj
Calculul la flambaj con te
coeficientul de siguranţă la flam
siguranţă la flambaj dacă se cunosc celelalte elemente.
Calculul de verificare. Se determină iniţial coeficientul de svelteţe λ,
stă fie în a dimensiona o bară dacă se cunoaş
baj, fie a verifica valoarea coeficientului de
mini
lf
=λ . Funcţie de valoarea acestuia pot apare trei situaţii:
λ > λ0 ; calculul continuă folosind formula lui Euler:
.2
min
2
f
cr
l
EI
P
π
=
Bara se consideră a fi în echilibru stabil dacă:
,af
cr
f c
P
P
c ≥=
cu coeficientul de siguranţă admisibil, la flambaj.
cr
af
λ1 < λ < λ0; se utilizează o relaţie de calcul în domeniul plastic pentru
calculul lui σ :
c
.; APba crcrcr ⋅=−= σλσ
Bara este în echilibru stabil dacă:
.af
cr
f c
P
P
c ≥=
λ < λ1; bara se verifică numai la compresiune simplă.
Calculul de dimensionare. Este mai dificil, neputându-se aprecia de
la început domeniul de flambaj în care se va situa bara după efectuarea
315

dimensionării. De aceea se consideră că flambajul are loc în domeniul elastic
şi se aplică formula lui Euler:
.dimmin2
2
max
min
2
min
2
max ;
I
E
lPc
I
l
EI
PcP
ff
nec
f
fcr
=
⋅⋅
=
=⋅=
π
π
icare în mod obligatoriu, determinându-se coeficientul de
zvelteţe λ. Dacă λ ≥ λ atunci formula lui Euler a fost corect aplicată, iar
ctuat. Se face apoi verificarea condiţiei de
rezistenţă:
După alegerea dimensiunilor secţiunii transversale trebuie efectuat un
calcul de verif
0
calculul a fost corect efe
,max faσσ ≤
cu
.;max
f
elasticcr
fa
cA
P σ
σσ ==
jutorul relaţiilor de calcul din
omeniul flambajului plastic:
Dacă λ1 < λ < λ0 se va verifica cu a
d
.; max
Pplastica
fa == σ
Acf
σ
σ
.max faσσ ≤
În cazul în care nu se verifică se măresc dimensiunile secţiunii
transversale şi se reface calculul de verificare până ce se îndeplineşte
16.5 Calculul la flambaj folosind metoda coeficientului de
condiţia de rezistenţă.
Dacă λ < λ1 calculul se face la compresiune simplă.
flambaj ϕ
Metoda lui Euler de calcul la flambaj a barelor drepte comprimate are
lcul diferite dependente de domeniul
de flambaj. Acest inconvenient se poate elimina utilizând în calcul rezistenţa
admisibilă de flambaj σaf care ţine cont de pericolul pierderii stabilităţii,
calculul reducându-se la cel al compresiunii simple.
dezavantajul că utilizează relaţii de ca
316

Pe baza acestei metode, condiţia de stabilitate a barei comprimate se
exprimă prin relaţia:
,faef
A
P
σσ ≤=
cu P forţa de compresiune şi A aria secţiunii transversale.
ă de
simplă σac şi un coeficient ϕ, astfel:
Rezistenţa admisibil flambaj σaf se calculează în funcţie de cea de
la compresiune
;ϕσσ ⋅= cafa
coeficientul ϕ se numeşte coeficient de flambaj iar ecuaţia sa de definiţie o
constituie chiar relaţia anterioară scrisă sub forma:
.
fa
σ ca
σ
ϕ =
Acest coeficient este subunitar şi este cu atât mai mic cu cât pericolul
de flambaj este mai mare; valoarea coeficientului ϕ depinde de coeficientul
de zvelteţe λ.
Condiţia de stabilitate devine:
.ca
A
P
σ
ϕ
σϕ ≤=
Calculul practic la flambaj folosind metoda ϕ este următorul: se
determină coeficientul de zvelteţe λ, din tabele se extrage valoarea ϕ
corespunzătoare, se verifică condiţia de stabilitate anterioară. Această relaţie
nu poate fi utilizată pentru calculul de dimensionare.
16.6 Bara cu rezemări diferite după axele principale de inerţie
Fie bara din figura 16.9a rezemată diferit în cele două plane xy şi xz şi
solicitată la compresiune de forţa P. Se descompune sistemul după cele două
plane xy şi xz (fig.16.9b şi c).
.
12
,
;
12
,
3
2
2
2
bh
I
l
EI
PP
I
l
PP
y
yf
yy
cr
xz
cr
z
zf
z
crcr
===
===
π
32
hbEIzxy π
317

x
y
z
b
h
P
a.
l =2l
l =0.7lfz
P
b.c.
fig.16.9
x
P
x
z fy y
z
z
y
y
Forţa critică de flambaj va fi valoarea minimă dintre cele două valori
ale forţei critice:
[ ].y
crcrcr P;min z
PP =
a
Coeficientul de zvelteţe va fi valoarea maximă dintre cele două valori
le coeficienţilor de zvelteţe:
[ ].,maxmax yz λλλ =
După determinarea lui λmax se extrage din tabele valoarea lui ϕ şi se
verifică condiţia de rezistenţă:
.maxP
σσ ≤= ca
Aϕ
ϕ
ţiunea economică la flambaj este aceea în care λz =Sec λy.
critice de flambaj16.7 Influenţa forţei tăietoare asupra sarcinii
La stabilirea forţei critice de flambaj s-a plecat de la ecuaţia
ţinut seama numai de
momentul încovoietor, cu neglijarea influenţ ţei tăietoare. Totuşi, la
producerea flambajului, forţa tăietoare apare în multe situaţii, cum este cazul
diferenţială a fibrei medii deformate, în care s-a
ei for
318

barelor cu secţiune compusă. Forţa tăietoare trebuie luată în considerare atât
la calculul barelor cât şi al elementelor de solidarizare.
Momentul încovoietor vPM = se derivează, astfel:
.
dx
dv
PT =
La studiul deformaţiilor elastice, s-a obţinut pentru deplasarea produsă
de forţa tăietoare:
,T
dx
T
⋅= γ
dv
în care
GA
η
γ = este lunecarea produsă de o forţă tăietoare unitară.
Înlocuindu-l pe T din relaţia precedentă, se obţine:
.
dx
dv
P
dx
dvT
γ=
Prin derivare se obţine curbura produsă de forţa tăietoare:
,2
2
2
2
dx
vd
P
dx
vd T
γ=
la care se adaugă curbura datorată momentului încovoietor, astfel:
2
2
2
2
dx
vd
P
EI
Pv
dx
vd
γ+−=
sau
.0
1
1
2
2
=
−
⋅+ v
PEI
P
dx
vd
γ
raţionamentul de la bara dublu articulată, se notează:Repetând
2
2
2
1
1
l
k
PEI
P π
γ
==
−
⋅
sau
,;
1 2
2
2
2
EP
l
EI
l
EI
P
==
−
ππ
γ
ţinut seama de influenţa forţei
Rezultă relaţia:
P
cu PE forţa critică euleriană la care nu s-a
tăietoare.
;
1 E
E
cr
P
P
P
γ+
=
din această relaţie rezultă că Pcr< PE.
319

Pentru a putea aprecia influenţa numitorului expresiei de mai sus, se
xaminează două cazuri:
1
2. bara cu secţiune compusă, elementele componente fiind solidarizate.
În cazul barelor cu secţiu menul γ⋅PE are valori reduse în
e
. bara cu secţiune plină;
ne pli , ternă
raport cu unitatea, astfel încât influenţa forţei tăietoare asupra forţei critice
de flambaj poate fi neglijată.
Al doilea caz se va examina în continuare pentru cazul barelor
solidarizate cu zăbreluţe sau cu plăcuţe.
16.8 Flambajul barelor cu secţiune compusă
În cazul forţelor axiale de compresiune de valori mari, când bara nu se
ţiunepoate alcătui dintr-un singur element, se utilizează barele de sec
compusă solidarizate cu plăcuţe sau zăbreluţe. Prinderea plăcuţelor sau
zăbreluţelor se poate face cu nituri sau prin sudură (fig.16.10).
l1 l /21
z
y
z
fig.16.10
y
În cazul barelor cu secţiune compusă există două posibilităţi de
ip erdere a stabilităţii echilibrului elastic, astfel:
- flambajul general al barei;
320

-
lă a unor astfel de bare trebuie să asigure ca
flambajul general să se producă simultan cu flambajul între două
solidarizări.
După axa y lunecările sunt mari şi în consecinţă trebuie ţinut seama de
ele în considerarea forţei tăietoare. Astfel, tensiunea critică se calculează în
felul următor:
flambajul individual al elementelor din care este alcătuită bara între
două solidarizări.
Dimensionarea raţiona
( )
,
1 E
Ecr
cr
PA
P
A
P
γ
σ
+
==
cu
;2
min
2
f
E
l
EI
P
π
=
rezultă:
.22
2
EA
E
cr
πγλ
π
σ
+
=
EAtr
22
πγλλ +=Se notează şi se numeşte coeficient de zvelteţe
transformat. Este o mărime convenţională; prescripţiile recomandă formule
aproximative pentru calculul lui λtr. Astfel, pentru plăcuţe relaţia de calcul
este:
,2
1
2
λλλ +=tr
y
yf
y
i
l
== λλîn care , cu lfy lungimea de flambaj după axa y şi iy raza de
erţia a secţiunii barei pe axa y iarin
1y
unui singur profil pe distanţa dintre două solidarizări, iy1 raza de inerţie a
secţiunii unui sin
1
1
i
l
=λ , cu λ1 coeficientul de zvelteţe al
gur profil faţă de axa y1 a acelui profil şi l1 distanţa dintre
două plăcuţe (fig.16.10).
condiţii:
Pentru ca flambajul individual să nu se producă înaintea celui general
trebuie îndeplinite următoarele
.50
;
1
1
<
;1 <
<
λ
λλ z
λλ y
321

Verificarea la flambaj a barelor cu secţiune compusă se efectuează
procedând la fel ca în cazul barelor cu se iune plină, cu următoarele
de zvelteţe
cţ
precizări: faţă de axa z calculul se face utilizând coeficientul
z
zf
z
i
l
=λ , iar faţă de axa y calculul se va face utilizând λtr.
vedere ca flambajul între două solidarizări să nu fie mai periculos decât
mba
Dimensionarea barelor cu secţiune compusă se efectuează având în
fla jul general al barei.
Se efectuează operaţia de dimensionare ca la barele cu secţiune plină,
luând în considerare axa care taie materialul secţiunii (axa z, coeficientul de
zvelteţe fiind
z
zf
z
i
l
=λ ). Astfel rezultă profilele din care este alcătuită
secţiunea.
Se determină distanţa dintre a le profilelor, din condxe iţia ca flambajul
în raport cu axa care nu taie materialul secţiunii (axa y) să nu fie mai
periculos:
.ztr λλ =
Coeficientul λ1 se determină din condiţia ca flambajul unui profil între
două solidarizări să nu fie mai periculos decât flambajul general al barei:
;1 ≤ λλ z
;1 ≤ λλ y
.501 ≤λ
16.9 Calculul barelor la flambaj cu încovoiere
Pentru calculul tensiunii maxime în cazul solicitării de flambaj cu
rilor transversale relativ
formula lui Iasinski:
încovoiere există mai multe teorii.
Pentru cazul deplasă mici se poate folosi
,max
W
M
A
P Q
+=
ϕ
σ
cu MQ
momentul încovoietor dat de sarcina care acţionează transversal pe
bară.
Formula nu are justificare teoretică.
322

Problema 16.a
Să se dimensioneze stâlpul din figura 16a având secţiunea un profil I.
nosc λ0 = 105, caf = 5, σac = 150 N/mm2
.Se cu
x
P = 45kN
l = 2,8m l = 0,5lf
fig.16a
Se presupune că flambajul are loc în domeniul elastic şi se
dimensionează folosind formula lui Euler:
.103,21
2
140051045 44
2
3
2
2
min mm
E
lcP
I
ffa
nec
⋅=
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
ππ 101, 5
⋅
Din tabele rezultă profilul I12 cu Imin = Iy = 21,5cm4
şi imin = iy =
,23cm.
Se v lând λ şi
comparându-l cu λ :
;2
min
2
l
EI
PcP
f
facr =⋅=
π
1
erifică domeniul în care are loc flambajul, calcu
0
.8,113
3,12
1400
0
min
λλ >===
i
lf
Flambajul are loc în domeniul elastic, aşadar dimensionarea este
corectă.
Se verifică condiţia de rezistenţă:
;mm/N59,68
462,0102,14
45000
,
A
P
2
2
ac
=
⋅⋅
=
≤
⋅
=
ϕ
ϕ
σ
σ
ϕ
σ
cu ϕ = 0,462 corespunzător unui coeficient de zvelteţe λ = 113,8.
323

Rezultă că este îndeplinită şi condiţia de rezistenţă şi deci profilul este
I12.
Problema 16.b
Să se verifice bara de la talpa comprimată a unei grinzi cu zăbrele
având secţiunea compusă ca în fig.16b. Bara are de suportat efortul P =
2200kN. Lungimile de flambaj sunt: normal pe planul grinzii lfy = 4,25m; în
planul grinzii lfz = 3,4m. Se cunoaşte rezistenţa de calcul R = 225N/mm2
şi
distanţa dintre plăcuţe l1 = 1m.
140
83,23
z1
z
300x15
U24
fig.16b
y
.23,83
4230215300
5,127423002
1 mmyG =
⋅+⋅
⋅⋅
=
Verificarea după axa z
,27,44103.422103600223,8315300
12
15300 2242
3
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+
⋅
=zI
.36,35
16,96
3400
;16,96
;12960
;1071,11983
2
44
==
==
=
⋅=
z
zf
z
z
z
i
l
mm
A
I
i
mmA
mmI
Din tabele se extrage valoarea lui ϕz = 0,865, astfel:
=zλ
324

./2,196
12960865,0
2
3
RmmN
Az
z
<=
⋅ϕ
σϕ
102200P ⋅
==
Verificarea după axa y
( )
;38,49
07,86
;
===
=
y
y
y
y
i
mmi
λ
4250
07,86
;102,96013.227042302102482
12
30015 4424
3
=
⋅=+⋅+⋅⋅+
⋅
=
f
y
y
l
A
I
mmI
.38,642
1
2
=+= λλλ ytr
Din tabele rezultă ϕy = 0,757, prin
;32,41
2,24
1000
min
1
1 ===λ
i
l
urmare:
./24,224
12960757,0
102200 2
3
RmmNy
<=
⋅
⋅
=ϕσ
calculeze forţa Q aplicată transversal la capătul liber, dacă Pmax = 0,11Pcr,
prin utili
Problema 16.c
Stâlpul din figura 16c este supus unei forţe de compresiune P; se cere
determinarea sarcinii critice de flambaj Pcr. Se cunoaşte caf = 2,287. Să se
zarea formulei lui Iasinski.
x
PQ
l = 3,2m
y
z
y
65mm
U16
fig.16c
325

Folosind metoda ϕ se calculează Pcr:
.facacr cAP ⋅⋅⋅= ϕσ
Pentru a-l cunoaşte pe ϕ se calculează λ:
[ ] ;6,21985,6243,852 42
cmIy =⋅+=
;76,6minmin cm
A
iII
y
y ==→=
;18509252
;
44
min
I
cmcmI
i
l
z
f
=⋅=
=λ
.67,94
102,32 3
=
⋅⋅
==
lf
λ
6,67mini
Din tabele rezultă ϕ = 0,625, deci:
.205830010242150625,0287,2 2
NPcr =⋅⋅⋅⋅⋅=
Pentru calculul lui Q se aplică formula lui Iasinski:
.5400150
101162
102,3
10242625,0
226413
32
NQ
Q
=→≤
⋅⋅
⋅⋅
+
⋅⋅⋅
;226413205830011,011,0
3
NNP
MP
cr
Q
=⋅=
;max
WA
a
z
≤+= σ
ϕ
σ
P =
326

Capitolul 17
SOLICITĂRI DINAMICE
ă a încărcărilor, adică forţe aplicate progresiv şi încet
asupra barelor, începând cu valoarea zero şi sfârşind cu valoarea lor finală.
În timpul aplicării forţelor, bara trece cu viteză mică din poziţia nedeformată
e. Se consideră că sub acţiunea încărcărilor statice bara se găseşte
Există numeroase cazuri de acţiune a forţelor asupra unui corp, când
acestea îşi modifică în timpul aplicării în mod sensibil mărimea, semnul,
direcţia şi poziţia lor, astfel încât, sub acţiunea acestor forţ ă în
mişcare. În acest caz, acceleraţiile imprimate diferitelor puncte ale corpului
nu mai sunt neglijabile, procesul de solicitare fiind caracterizat şi de apariţia
nea unor maşini şi utilaje cu elemente neechilibrate în mişcare asupra
onstrucţiilor şi fundaţiilor, acţiunea forţelor de inerţie produse la mişcarea
formă sau de rotaţie, căderea unor corpuri pe elemente de
cceleraţie constantă în mărime şi direcţie
a exemple se pot da cazul mişcării de translaţie uniform accelerată, cum se
oate considera pornirea sau oprirea unui ascensor sau cazul solicitării
volantului unei maşini care se roteşte cu o viteză uniformă de rotaţie în jurul
axei sale;
• solcitări dinamice cu acceleraţie variabilă în timp şi de obicei
periodică numite vibraţii;
• solicitări dinamice prin şoc, la care acceleraţia variază foarte repede
în timp; este cazul contactului brusc dintre două corpuri. În această situaţie
nu se cunoaşte legea de variaţie a acceleraţiei.
Analiza stărilor de tensiune şi deformaţie în sisteme de bare a avut în
vedere acţiunea static
în poziţia finală, deformată, astfel că acceleraţiile diferitelor puncte sunt
neglijabil
în repaus.
e, corpul se afl
forţelor de inerţie; asemenea încărcări se numesc încărcări dinamice.
Cauzele care conduc la încărcări dinamice sunt diverse şi anume:
acţiu
c
cu viteză neuni
construcţie, acţiunea vântului de intensitate variabilă, neregularitatea căilor
de rulare etc.
Funcţie de modul cum variază acceleraţiile se obişnuieşte să se
clasifice acţiunile dinamice în:
• solicitări dinamice cu a
c
p
327

17.1 Solicitări dinamice prin şoc
Se numeşte solicitare prin şoc solicitare unui corp printr-o forţă,
aplicată acestuia, într-un interval de timp foarte scurt.
În cazul barelor, în funcţie de direcţia solicitării prin şoc şi caracterul
deformaţiilor produse, pot exista: şoc longitudinal, producând deformaţii de
întindere sau compresiune, şoc transversal sau de încovoiere şi şoc de
torsiune.
Se va studia cazul solicitării prin şoc care produce deformaţii elastice
şi numai acea etapă a solicitării când procesul de deformaţie s-a propagat în
toată bara, producându-se deplasările maxime.
Pentru determinarea stării de tensiune în bară, datorat şocului, nu se
va putea utiliza condiţia de echilibru dinamic, deoarece forţele de inerţie
care intervin în această condiţie sunt necunoscute.
mplificatoare:
ntă un corp neelastic şi din momentul aplicării
lui pe bară rămâne legat de aceasta (şoc plastic), pe toată perioada procesului
următor de mişcare.
• corpul lovit rămâne în domeniul elastic, deplasările fiind
proporţionale cu încărcarea exterioară;
• masa corpului lovit este o masă redusă în punctul de ciocnire;
• se consideră transmiterea instantanee a undei de şoc;
• deformaţia barei, din forţa aplicată prin şoc propagată în toată bara,
ascultă de legea lui Hooke şi este asemenea deformaţiei produse de aceeaşi
forţă aplicată static. Prin urmare, la solicitarea prin şoc, legătura dintre
forţele dinamice şi deplasările dinamice sau dintre tensiunile dinamice şi
tatice (se acceptă
acelaşi modul de elasticitate ca şi în cazul solicitărilor statice).
Deoarece curba forţă – deplasare pentru cazul aplicării încărcării prin
ţinută pentru aceeaşi forţă aplicată static
solicitării prin şoc vor fi obţinute din deplasă-
ă
Se admit următoarele ipoteze si
• corpul care cade reprezi
deformaţiile dinamice este aceeaşi ca şi în cazul forţelor s
şoc este asemenea curbei ob
(fig.17.1), deplasările în cazul
P
Δ
Pst
Pdin
Δst Δdin fig.17.1
328

rile statice prin multiplicarea acestora cu un coeficient ψ > 1, identic în toate
punctele corpului; ψ este numit coeficient dinamic sau multiplicator de
impact.
17.1.1 Coeficientul dinamic în cazul când se neglijează masa
corpului supus la şoc
eră cazul când masa corpului elastic care suportă şocul esteSe consid
ică îm n raport cu masa corpului care cade şi se poate neglija.
Se presupune o grindă supusă la încovoiere prin şoc vertical, dar
rezultatele vor fi valabile şi pentru alte cazuri de solicitare (fig.17.2a).
P
x
Px
a.
b.
fig.17.2
Δx d Δd
Δx st Δst
h
Fie Δd cea mai mare deplasare dinamică (prin şoc) după direcţia forţei
P şi Δst deplasarea corespunzătoare aplicării statice a forţei P (fig.17.2b).
Forţa P căzând de la distanţa (înălţimea de cădere) h, va produce un lucru
mecanic de forma:
( ).hPL dΔ+=
Energia cinetică a corpului care cade va fi egală cu cantitatea cu care
se micşorează energia potenţială a acestui corp, adică cu lucrul mecanic
potenţială de deformaţie a
corpului lovit se poate scrie, ţinând seama de ipotezele făcute şi de teorema
lui Clapeyron:
efectuat de către forţa P în cădere. Energia
,
2
1
ddPU Δ⋅=
în care Pd este forţa dinamică corespunzătoare deplasării maxime apreciată
ca un echivalent static al forţei P aplicată prin şoc.
Din ipotezele făcute rezultă că:
.; stdd PP Δ⋅=Δ⋅= ψψ
329

Dacă L = U, rezultă:
( ) .
2
Efectuând calculele rezultă:
1
ddd PhP Δ⋅=Δ+
.
2
11
h
Δ
++=ψ
st
Dacă se notează cu v viteza corpului care cade în momentul
contactului cu corpul care suferă şocul şi gh2=v , rezultă:
.11
2
stg
v
Δ
++=ψ
Forţa dinamică maximă, deplasarea dinamică maximă şi tensiunile
axime în bara supusă la şoc vor fi date de relaţiile:m
.;; stdstdd PP σψσψψ ⋅=Δ⋅=Δ⋅=
Se consideră cazul particular h = 0, reprezentând o aplicare bruscă a
rţei P asupra corpului; rezultă:fo
,2=ψ
de unde rezultă că prin aplicarea bruscă a forţelor se produc tensiuni şi
eformaţii de două ori mai mari decât în cazul când aceste forţe ar fi aplicate
tatic.
Când viteza de mişcare v a corpului care cade este mare (sau înălţimea
e cădere este mare) se poate neglija unitatea de sub radical, astfel încât
oeficientul ψ ia forma:
d
s
d
c
;1
2
1
2
stst g
vh
Δ
+=
Δ
+=ψ
expresia se poate folosi pentru 10010 ≤
Δ
<
st
.
2h
Pentru valori foarte mari ale mărimilor de sub radical, 100
2
>
Δst
h
,
coeficientul dinamic ψ se poate scrie sub forma:
.
2 2
stst g ΔΔ
Relaţiile deduse pentru coeficientul dinamic ψ arată că acesta este cu
atât mai mic cu cât deplasarea statică Δst este mai mare. De aceea, pentru a
micşora efectul solicitării prin şoc este necesar să se micşoreze rigiditatea
vh
≅ψ =
330

elementului supus la şoc.
17.1.2 Coeficientul dinamic în cazul în care se ţine seama de
masa corpului supus la şoc
În cele precedente s-a considerat că masa corpului supus la şoc este
mică în raport cu masa încărcării care produce şocul, neglijând astfel energia
ineticc ă consumată pentru transmiterea vitezei şi punerea în mişcare a
elementului de masă a corpului lovit. Acest lucru este echivalent cu a
considera că în timpul impactului viteza corpului care cade nu se modifică.
În realitate, în momentul impactului, corpul care cade pierde din viteză, iar
partea din corpul lovit în contact cu corpul care a căzut preia viteză, viteza
corpului căzut modificându-se până ce acesta împreună cu corpul lovit în
punctul de contact au aceeaşi viteză. Se evaluează energia cinetică
consumată pentru punerea în mişcare a masei corpului lovit, înlocuind cazul
real cu masa distribuită cu un corp liber cu o masă echivalentă
concentrată în punctul de contact, având aceeaşi energie cinetică şi aceeaşi
cantitate de mişcare ca şi corpul lovit în momentul şocului (fig.17.3).
mg
m +mr
1
Δd
2
fig.17.3
Momentele caracteristice solicitării prin şoc sunt:
• momentul care precede imediat contactul celor două corpuri şi în care
viteza forţei mg este ghv 20 = , iar cea a corpului echivalent este nulă;
• momentul după efectuarea contactului când forţa mg împreună cu
corpul echivalent au aceeaşi viteză v1. Determinarea lui v1 se face cunoscând
că în cazul şocului plastic cantitatea de mişcare până la ciocnire este egală cu
cea de după ciocnire (legea conservării impulsului):
( )
.
1
; 110
0
1
10
m
kkv
mm
mv
v
r
rr
==
+
=
1
;0
m
vmmmvm
r
+
+=⋅+
1. poziţia imediat după ciocnire;
2. poziţia cu deplasare maximă.
331

• momentul când cele două corpuri puse în mişcare ating deplasările
maxime, iar viteza masei m şi a corpului lovit este nulă. După acest moment
mişcarea celor două corpuri se continuă cu deplasări de celălalt sens. Pe baza
teoremei conservării energiei se poate scrie:
,int12 LLEE ext +=−
cu E2 energia cinetică finală. Ea este nulă, reprezentând energia cinetică în
momentul deplasării maxime, când viteza este nulă;
E1 energia cinetică iniţială, după ciocnire, când cele două corpuri au
viteza comună v ;1
L lucrul mecanic al forţelor exterioare;ext
Lint lucrul mecanic al forţelor interioare:
( )
( )
.
2
1
;
;
2
1
2
1
int
1
2
0
2
11
drd
drext
r
gmmgL
gmmL
mkvvmmE
Δ−Δ−=
Δ+=
=+=
ψ
parcurge cu toată intensitatea Δd.
Rezultă:
Relaţiile ţin seama că forţele exterioare mg şi mrg parcurg deplasarea
Δd şi că lucrul mecanic interior este egal cu energia potenţială de deformaţie
cu semn schimbat, dat de forţa mg aplicată dinamic şi de forţa mrg care
.
2
11 1k
h
stΔ
++=ψ
Ţinând seama de ipoteza conform căreia raportul vitezelor între două
puncte ale sistemului este egal cu raportul săgeţilor statice din puncte, se
determină masa corpului lovit pe baza conservării energiei cinetice a masei
reduse şi a celei distribuite după efectuarea şocului:
( ) ,
11 22
∫=
l
vdxmvm
22 0
1 xr
u m masa unităţii de lungime şi este constantă;c
∫=
l
x
r dx
v
v
mm
0
2
1
2
;
dar
.
1 st
stx
st
stx
d
dxx
v
v
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
ψ
ψ
332

Astfel, rezultă:
;
1
22
⎞⎛ Δ⎞⎛ Δ
l
x
l
x
00
∫∫ ⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ Δ
=⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ Δ
=
stst
r dx
l
lmdxmm
cu notaţiile :
,totmlm = masa totală a barei,
respectiv:
;
1
2
0
2
kdx
l
l
st
x
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
∫
rezultă:
.kmm 2totr ⋅=
17.1.3 Solicitări prin şoc orizontal
Masa
g
P
m = a unui pendul (fig.17.4), loveşte grinda simplu rezemată
cu viteza orizontală ghv 20 = .
mg = P
h
Pst
fig.17.4
Δd
Δst
După ciocnire cele două mase pornesc împreună cu aceeaşi viteză
orizontală v1; teorema impulsului se poate scrie astfel:
333

( ) .;0 100110 kvv
mm
m
vvmmmvm
r
rr =
+
=+=⋅+⋅
Legea conservării energiei va avea forma:
,int12 LLEE ext −=−
în care E2 nul, deoarece viteza este zero când se ajunge la deplasarea
maximă iar Lext este nul pentru că forţa P ca şi mrg sunt perpendiculare pe
direcţia deplasării.
( ) ;
1
2
2
int
vmmE
d
+=
2
;
1
11
mgL
r
= ψ
zultă
Δ
re :
.1
2
v0
k
g stΔ
=ψ
ră un cablu cu diametrul d = 18mm (fig.17a),
care suportă o greutate P = 12kN care coboară cu viteza v = 1m/s. Între
blu astică k =
400N/mm. După ce s-a desfăşurat o lungime l = 10m din cablu, toba se
se produce în cablu; σa =
150N/mm2
, E = 2,1⋅105
N/mm2
.
Problema 17.a
De pe o tobă se desfăşoa
ca şi greutate se introduce un arc amortizor cu constanta el
blochează brusc. Să se verifice tensiunea care
l
k
P
d
fig.17a
Condiţia de rezistenţă este:
334

;11,
;
2
st
st
astd
g
v
A
P
Δ
++==
≤=
ψσ
σσψσ
mm
k
P
EA
Pl
st 27,32
400
1012
4
18
101.2
101012 3
2
5
43
=
⋅
+
⋅
⋅⋅
⋅⋅
=+=Δ
π ,
( ) ;04,3
27,321081,9
10
11 3
23
ψ =
⋅⋅
++=
./150/145 22
ammNmmN σ=<=
4
18
1012
04,3 2
3
d
π
σ
⋅
⋅
=
Problema 17.b
Să se calculeze deplasarea capătului consolei (fig.17b), ştiind că
ecţiun h = 50mm, l = 2m, as ea grinzii este un profil I14. Se cunosc: P = 1kN,
= 1m.
l a
h
P
A B C
Pa
P
1
-a
-
-
fig.17b
Deplasarea dinamică din secţiunea C se calculează cu relaţia:
,std Δ=Δ
.
2
11
stΔ
h
++=ψ
ψ
lculează cu regula lui
entru încărcarea virtuală unitară din secţiunea C, astfel:
Deplasarea statică în aceeaşi secţiune se ca
Veresceaghin; se trasează diagramele de moment pentru încărcarea statică cu
forţa P, respectiv p
335

( );
33
111
PalaPa
⎛
⋅+⋅⋅=Δ
3
2
3
al
EI
Pa
a
EI
st +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
( ) ( )
.1083,012
83,0
mmd =⋅=Δ
;12
502
11
;83,10210
10573101,23
1010 33
45
233
mmst
=
⋅
++=
=⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅
=Δ
ψ
0
336

Capitolul 18
SOLICITĂRI VARIABILE
cluri de s licitări variabile18.1 Ci o
Când variaţia forţelor în timp se produce de un număr mare de ori,
acest fapt are o influenţă defavorabilă asupra caracteristicilor mecanice ale
materialului şi în special a tensiunilor.
Cauza ciclurilor de solicitări variabile poate fi mişcarea de rotaţie sau
mişcarea alternativă a diferitelor piese de maşini.
După modul cum variază în timp, solicitările variabile pot fi:
• aleatoare, când nu există o regulă de variaţie a tensiunilor;
• periodice, când tensiunile se produc după intervale de timp regulate.
Solicitările periodice pot fi la rândul lor:
• staţionare, când tensiunile variază între o limită superioară şi una
inferioară;
• nestaţionare, când tensiunile variază ca amplitudine în decursul unei
perioade.
La solicitările staţionare variaţia tensiunii, pornind de la o valoare şi
trece o singură dată
printr-o valoare maximă, denumită limita superioară a tensiunii, respectiv o
valoare minimă, denumită limita inferioară a tensiunii.
icitare se numeşte perioada
până ajunge din nou la aceeaşi valoare (de acelaşi sens de variaţie), formează
un ciclu al solicitării. În decursul unui ciclu tensiunea
Timpul în care se produce un ciclu de sol
ciclului.
Tensiunea medie, σm, este egală cu semisuma tensiunilor maximă şi
minimă:
;
2
minmax σσ
σ
+
=m
Amplitudinea tensiunii, σa, este egală cu semidiferenţa tensiunilor
maximă şi minimă:
337

.
2
minmax σσ
σ
−
=a
Un ciclu de solicitări variabile este definit fie de σmax şi σmin, fie de σm
şi σa.
R se numeşte coeficientul de asimetrie al ciclului sau caracteristica
ciclului:
.
max
min
σ
σ
=R
Solicitările variabile pot fi clasificate după următoarele criterii:
mărimea coeficientului de asimetrie:
• cicluri simetrice (R = -1);
• cicluri asimetrice (R ≠ -1).
semnele algebrice ale tensiunilor:
• cicluri alternante (tensiunea schimbă semnul);
• cicluri oscilante (tensiunea păstrează acelaşi semn).
Ciclurile oscilante pot fi:
• pozitive;
• negative;
• pulsante (una din limite este nulă).
Când amplitudinea ciclului este foarte mică, ea poate fi considerată
practic nulă şi apare solicitarea statică.
t t t
tt
t
solicitare
statica R = 1
ciclu oscilant
pozitiv
ciclu pulsant
pozitiv R = 0
ciclu pulsant
negativ ciclu alternant ciclu alternant
simetric R = -1
fig.18.1
σmax
σ σ σ
σσσ
σmax σmin
σmax
σmin
338

Piesele supuse la solicitări variabile se rup după un număr de cicluri
xime la care o epruvetă standardizată nu se rupe
ricât de mare ar fi numărul de cicluri de solicitare se numeşte rezistenţă la
oboseală.
18.2 Diagrame de rezistenţă la oboseală
de solicitare la tensiuni inferioare limitei de rezistenţă statică. Acesta este
fenomenul de oboseală a materialului.
Valoarea tensiunii ma
o
Determinarea rezistenţei la oboseală se face experimental pe epruvete
standardizate solicitate variabil. Sunt necesare circa 8 ÷ 10 epruvete;
încercarea decurge în felul următor: se încarcă prima epruvetă până la o
tensiune maximă σmax = σ1 (fig.18.2), care are valoarea 0,6σr pentru oţeluri.
Se supune epruveta unui ciclu de eforturi alternante pâna la ruperea acesteia
ip şi se
încarcă la o tensiune maximă mai mică cu 0,1 ÷ 0,2 N/mm2
decât σ1;
epruveta se va rupe după N2 cicluri (N2 > N1). Se continuă până la o tensiune
maximă pentru care epruveta nu se mai rupe, adică rezistă la un număr
nelimitat de cicluri.
după un număr de cicluri N1. Se ia a doua epruvetă de acelaşi t
fig.18.2
N cicluri
N1 N2 N = 10-10 pt.OLB
σ
σ−1
σ1
σ2
76
Diagrama se poate construi în coordonate semilogaritmice (fig.18.3)
au logaritmice.s
fig.18.3lgN
σR
σmax
Curba lui Wöhler
(curba de durabilitate)
N – încercarea de bazăB
339

Practica arată că punctele obţinute experimental nu se înscriu pe o
urbă cu traseu continuu ca cea din curba Wöhler. Ele prezintă o dispersie
are datorită neomogenităţii materialului, influenţei eforturilor iniţiale etc,
eea ce îngreunează determinarea exactă a rezistenţei la oboseală. De aceea
ste util să se încerce un număr mare – câteva zeci – de epruvete. Prin
ărirea numărului de epruvete însă, creşte probabilitatea apariţiei
xemplarelor defecte ceea ce poate conduce la coborârea diagramei
zistenţei la oboseală şi prin urmare a rezistenţei la oboseală (fig.18.4).
c
m
c
e
m
e
re
p = 95%
p = 50%
p = 5%
σmax
N
fig.18.4
Determinarea rezistenţei la oboseală prezintă complicaţii în ceea ce
riveşte metodologia experimentală când este vorba de alte cicluri decât cel
lternant simetric.
Diagrama în coordonate σm, σa oferă o reprezentare clară a rezistenţei
aterialului în cazul tensiunilor variabile (fig.18.5).
p
a
m
a
σa
b
A2
III II
A1
C1C2
IIIF2
E
F1
K
IV IV V
L
V
σm0
45
0
45
0
45
0
45
0
σcc σc
σcc
σrc
c
σr <
<σ
σrc σr
fig.18.5
Din extremităţile segmentelor OA1, OA2, OC1, OC2 se duc drepte la
450
faţă de abscisă; rezultă dreptele A1K, A2K, C1L, C2L. Linia frântă A1KA2
Curba probabilităţii de rupere
340

îm e câmpul diagramei în două părţi. Punctele care se află în exteriorul
acestei linii corespund ciclurilor la care σmax > σ
part
(dreapta) şi ⎪σ n⎪>⎪σrc⎪
înaintea
r
posibi
izare este legată de apariţia deformaţiilor plastice, σmax > σc şi
azul ciclurilor reprezentate prin punctele situate în domeniul
C1LbA
eformaţiilor elastice
pure σ
această diagramă se trasează curba limită obţinută experimental
pentru
poate fi repetată de un număr nelimitat de ori fără ca să se
producă ruperea, de domeniul în care este posibilă ruperea la oboseală.
Astfel, această curbă limită ocupă poziţia A1EA2. Dificultatea deosebită o
consti
ste porţiuni se trasează aproximativ.
Astfel, apar cinci domenii:
I Domeniul ciclurilor la care nu iau naştere deformaţii plastice şi
deci acestea se pot repeta fără distrugere de nenumărate ori;
u e
r;
IV Domeniul ciclurilor la care iau naştere deformaţii plastice şi
ruperea se produce după un număr oarecare de cicluri;
comportarea materialelor pentru
i pe cale experimentală a curbei limită şi a
efe ormă analitică se folosesc reprezentări
r mi
(stânga). Aceste cicluri nu se pot realiza deoarece materialul se rupe
efectuării ciclului respectiv.
Domeniul din interiorul liniei frânte A1KA2 este domeniul ciclurilo
le, aici σmax < σr şi ⎪σmin⎪<⎪σrc⎪.
Domeniul mărginit de liniile C1LC2 şi A1KA2 este domeniul ciclurilor
a căror real
⎪σmin⎪>⎪σcc⎪.
În c
1, deformaţiile plastice iau naştere în porţiunea pozitivă – la întindere;
în cazul realizării ciclurilor din regiunea C2LaA2 – la compresiune.
Dacă ciclul este reprezentat printr-un punct în domeniul aLbK atunci
deformaţia plastică apare şi l întindere şi la compresiune. Porţiunea C1LC2
corespunde ciclurilor care se efectuează în domeniul d
max < σc şi ⎪σmin⎪<⎪σcc⎪.
Pe
un anumit material, care delimitează domeniul ciclurilor pentru care
solicitarea
tuie obţinerea porţiunilor F1A1 şi F2A2 când σmax este apropiat de σr şi
⎪σmin⎪ de ⎪σcc⎪. Ace
II Domeniul ciclurilor pentru care pericolul r perii ste exclus,
însă iau naştere deformaţii plastice la primul ciclu;
III Domeniul ciclurilor la care nu iau naştere deformaţii plastice,
dar ruperea se produce după un număr suficient de mare de variaţii ale
tensiunilo
V Domeniul ciclurilor care nu se pot realiza.
Cel mai complet a fost studiată
tensiuni cu σm ≥ 0 (fig.18.6).
Datorită dificultăţii obţineri
ctuării calculelor la oboseală sub f
341

simplificate şi aproximative ale acestei curbe numite diagrame
schematizate.
σa
B
D
E
F
O C A
fig.18.6
σm
σc
σr
σ-1
18.3 Diagrame schematizate
Diagrama Haigh (fig.18.7)
σa
A
B N
O C σm
M
L
0
σ0/2
σ0/2
σ-1
45
fig.18.7
Punctele caracteristice ale diagramei sunt:
• A care reprezintă un ciclu simetric şi are coordonatele:
.;0 1−== σσσ am
342

• B care repreziintă un ciclu pulsant şi are coordonatele:
.
2
0σ
σσ == am
• C care reprezintă o solicitare statică şi are coordonatele:
.0; == arm σσσ
Punctul L corespunde unui ciclu limită la care tensiunea maximă este
egală cu rezistenţa la oboseală a materialului.
Punctul M este un punct oarecare din interiorul diagramei şi reprezintă
un ciclu nepericulos.
Punctul N este un punct înafara diagram ciclu care
duce la ruperea prin oboseală.
ei şi reprezintă un
P
A
O C
fig 8.8
σa
σm
.1
σ-1
45
0
σc
D
Diagrama Smith (fig.18.9)
În această diagramă, orice ciclu este reprezentat printr-o pereche de
puncte cu aceeaşi abscisă. Astfel:
• A1, A2 reprezintă un ciclu simetric
• B1, B2 reprezintă un ciclu pulsant pozitiv limită;
• B1
/
, B2
/
reprezintă un ciclu pulsant negativ limită;
Schematizarea Goodman (Soderberg) este reprezentată de dreapta
AC din figura 18.8; se cunoaşte numai σ-1.
Schematizarea Serensen este reprezentată de dreptele AP şi PC din
figura 18.8; se cunosc σ-1 şi σ0.
Schematizarea Gerber este reprezentată de parabola APD trasată cu
linei punctată în figura 18.8.
limită;
343

CB1
B2
D1
D2
A1
σ
A2B2
/
σmax min,
σm
σrt
σ0t
σ-1t
σm
ax
45
0
σ0c
σrt
fig.18.9
B1
E1
E2
/
(σ0t/2)
σm
in
σrc
C
/
σrc
• C, C/
reprezintă o solicitare statică;
• D1, D2 reprezintă un ciclu nepericulos;
• E1, E2 reprezintă un ciclu care duce la ruperea prin oboseală.
Metodica determinării rezistenţelor la oboseală în cazul forfecării pure
τr este analogă metodicii pentru determinarea rezistenţelor la oboseală, σr, în
cazul stării de tensiune monoaxială.
18.4 Factorii de care depinde rezistenţa la oboseală
a. Factorii constructivi
• concentrările de tensiuni, care se măsoară prin coeficientul
efectiv de concentrare βk. Acesta se determină experimental şi depinde de
forma concentratorului (tipul de discontinuitate a secţiunii, a racordării,
existenţa găurilor), de tipul de solicitare, de material; βk este supraunitar şi
se calculează cu relaţia:
( )
( )
,01 d
k
−
−
=
σ 01k d
σ
β
cu (σ-1)d0 corespunzător unei epruvete netede standardizată;
(σ-1k)d0 corespunzător unei epruvete cu concentrator standardizată.
mărimea piesei, care se măsoară prin coeficientul dimensional εk.
344

Cu cât dimensiunile piesei sunt mai mari cu atât rezistenţa la oboseală
scade datorită creşterii probabilităţii de existenţă a defectelor interne; εk este
subunitar şi se determină experimental, fiind calculat cu relaţia:
( )
( )
,
01
1
d
d
k
k
k
−
−
=
σ
σ
ε
cu (σ-1k)d corespunzător unei epruvete cu concentrator şi diametru oarecare,
(σ-1k)d0 corespunzător unei epruvete cu concentrator şi diametru
standardizat.
b. Factorii tehnologici
• starea suprafeţei piesei, care se exprimă prin coeficientul de stare a
suprafeţei γk; γk este subunitar, se determină experimental şi se calculează
cu ajutorul relaţiei:
,
1−
=
σ
1−σ p
γk
cu σ-1p corespunzător unei prelucrări oarecare a suprafeţei epruvetei;
σ-1 corespunzător unei suprafeţe lustruite a acesteia.
Cauzele care fac ca suprafaţa materialului să fie punctul slab al
rezistenţei la oboseală se datorează zgârieturilor din prelucrare care
constituie amorse de fisuri, motiv pentru care lustruirea suprafeţei are o
importanţă deosebită în mărirea rezistenţei la oboseală.
c. Factori de exploatare
•
şi a coeficientului de asimetrie care sunt prinse în
diagramele de rezistenţă la oboseală.
18.5 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile
acţiunea agenţilor corozivi;
• tipul solicitării;
• suprasolicitările, care sunt solicitări de durată limitată având valori ale
tensiunilor superioare σr;
• temperatura.
În calculele de rezistenţă condiţiile de lucru se introduc prin efectele
tipului de solicitare
simple
Pentru calculul coeficientului de siguranţă la solicitări variabile
staţionare trebuie cunoscute următoarele elemente:
345

• ciclul de solicitări variabile nominal produs în piesă adică:
σmax, σmin, σm, σa, R care se calculează cu formulele clasice de rezistenţă;
• materialul piesei reprezentat de:
σ-1, σ0, σc, σr respectiv construirea diagramei rezistenţei la oboseală;
• factorii care influenţează rezistenţa la oboseală:
- coeficientul de concentrare βk;
- coeficientul dimensional εk;
- coeficientul de stare a suprafeţei γk.
Coeficientul de siguranţă la rupere se defineşte ca raportul dintre
rezistenţa la oboseală σr şi tensiunea maximă a ciclului real σmax:
.
maxσ
σr
rc =
Coeficientul de siguranţă la curgere va fi în acest caz:
,
maxσ
σc
cc =
cu σc limita de curgere.
Determinarea coeficienţilor de siguranţă poate fi efectuată analitic,
ele schematizate.
18.5.1 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitări prin
cicluri alternant simatrice
Tensiunea nominală în piesa solicitată alternant simetric este:
scop pentru care se folosesc diagram
.max aσσ =
Rezistenţa la oboseală a piesei reale, la cicluri simetrice, este:
;1p−σ
coeficientul de siguranţă la oboseală va fi:
,
1
aσ
p
c
σ−
=
iar dacă se cunoaşte doar 1−σ a materialului:
.1
1
k
c
σβ
a
k
ka
kk
σ
γε
βσ
ε γ
σ
−
−
==
k
346

18.
ialelor fragile se foloseşte schematizarea Goodman
5.2 Calculul coeficienţilor de siguranţă la solicitările prin
cicluri asimetrice
În cazul mater
(fig.18.10) pentru calculul coeficienţilor de siguranţă.
O
C
A
σa
σm
σ-1
σr
fig.18.10
σ-1/c
σa
σr/c
σm
A
/
L
M
R
/
CS
c > 1
c = 1
Coeficientul de siguranţă se calculează ca raportul între tensiunile
maxime corespunzătoare unui punct L de pe ciclul limită şi unui punct M
corespunzător unui ciclu nepericulos (c>1).
,
max
max
SMOS
RLOR
c
M
L
+
+
==
σ
σ
asemenea; rezultă că:dar triunghiurile SOM şi ORL sunt
.LaLm
SM
RL
OS
OR
SMOS
RLOR
c
σam
σ
σ
σ
====
+
=
+
e poate scrie:Din triunghiurile asemenea MC/
S şi AOC s
OCSC/
AOMS
=
sau
347

.
1
1
1
r
mar
m
r
a
c
c σ
σ
σ
σσ
σ
σ
σ
σ
+
=⇒=
−
−
−
Pentru materialele reale coeficientul de siguranţă în raport cu
rezistenţa la oboseală se va scrie:
.
1
1 r
ma
kk
k
c
σ
σ
σ
σ
γε
β
+
=
−
Coeficientul de siguranţă la curgere se va scrie ţinând cont că
dimensiunile piesei şi starea suprafeţei materialului nu au de obicei o
influenţă sensibilă asupra deformaţiilor plastice în masa de bază a
materialului piesei:
.
max am
cc
cc
σσ
σ
σ
σ
+
==
În cazul materialelor tenace se foloseşte schematizarea Soderberg
pentru care, în figura 18.10, punctului îi corespunde limita de curgere (σc).C
Rezultă coeficientul de siguranţă:
1
.
1 c
ma
kk
k
σσγε
+
−
c
σσβ
=
18.6 Calculul coeficientului de siguranţă la solicitări compuse,
produse de sarcini variabile ciclice
Gough şi Pollard a
va ia e co
u trasat experimental curba pentru solicitări
r bil mpuse, de încovoiere şi răsucire, prin cicluri în fază
corespunzător unui sfert de elipsă (fig.18.11).
.1
2
1
2
1
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−− τ
τ
σ
σ LaLa
(1)
Coordonatele punctului L de pe elipsă, τaL şi σaL, reprezintă un ciclu
simetric de torsiune şi un ciclu simetric de încovoiere care, acţionând în
fază, produc ruperea după um număr nelimitat de alternanţe, deci corespund
e
definiţiei rezistenţei la oboseală.
La extremităţile sfertului de elipsă se găseşte solicitarea simplă d
încovoiere prin ciclu simetric σ-1, respectiv de torsiune τ-1.
348

fig.18.11σ-1
σa
σa
σaL
L
B
τa
M
AA
/
= 1B
/
c
c > 1
τ-1
τaL
τaτ /−1 c
O
.//
aaOMOBOA τ
LaLaOLOBOA
c
τ
σ
σ
=====
torsiune, parţiali, se
lcul
Coeficienţii de siguranţă la încovoiere, respectiv
ca ează:
.; 11
aa
cc
τ
τ
σ
σ
τσ
−−
== (2)
Se împarte relaţia (1) la numărător şi numitor cu τa
2
şi σa
2
, astfel:
.12
1
2
2
2
=
⎠⎝
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎠⎝
⎟⎟
⎠
⎞⎛
a
a
La
a
La
τ
τ
τ
σ
σ
e relaţia (2) rezultă:
1
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ −− τσ
⎜⎜
⎝ aσ
Ţinând cont d
12
2
2
2
=+
τσ c
c
c
c
sau
,
2
σ
τσ
c
cc
c
+
=
2
τc
care reprezintă relaţia de calcul pentru coeficientul de siguranţă la solicitarea
mpu
a fi:
co să de încovoiere cu torsiune pentru materialele tenace.
În cazul materialelor fragile relaţia de calcul v
349

( ) ( ) ,1
22
=+−φ
ccc
212
+−φ
cc 2
cτσσ
cu .1−
=
τ
σ
1−
φ
Pentru 2=φ se obţine relaţia de la materialele tenace.
Proble
c rea. Să se
P = 70kW, n = 200 rot/min, σa = 80 N/mm2
, σc = 460 N/mm2
, σ-1 = 120
/mm
ma 18.a
Pe arborele din fig.18a sunt montate două roţi de u
predimensioneze arborele cu secţiune circulară şi apoi să se verifice. Se dau
N 2
, 56,1,85,1 =⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
=⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
γε
β
γε
β kk
, ca = 1,5. Se v
⎠⎝⎠⎝ τσ kkkk
a folosi teoria
energie de deviaţie.
A B 1 2 1 2
600 400 400 200
C
5,198
m]
T1 T2
2
m
fig.18a
20cm
30
c
3,342
M [kNt
3T1 2,5T
1,379
M [kNm]i
+
+
-
-
3,396
.99,255.3,426,7
3,05,1
342,3
5,1
;424,334,356,8
2,02
342,3
2
;2 111
rTMM tt ==
;342,3
200
70
55,955,9
22
2
2
11
1
1
kNTFkN
r
M
T
kNTFkN
r
M
T
kNm
n
P
M
y
t
y
t
t
===
⋅
==
===
⋅
==
===
350

Pentru trasarea diagramei Mi se aplică ecuaţia celor trei momente:
( ) ,02 1,1,11111 =+++++ ++−+++− iiiiiiiiiiiii lmlmlMMllMl
cu: ;1;;1 CiBiAi =+==−
rezultă:
( )
( ) .027,10,8,0,424,33
8
3
;198,52,099,25,0 kNmMM CA −=⋅−=
,0
;08,06,08,08,06,026,0
kNmmmlkNPcuPlmm
mMMM
CBCBAB
CBABCBA
=====
=
m+++
Ecuaţia devine:
⋅ + ⋅ + ⋅ =
.379,1
;08,0027,108,0198,54,12
kNmM
M
B
B
−=
=⋅+⋅−⋅
Pentru calculul momentului în secţiunea „1” se apelează la grinda
mică BC încărcată cu momentele determinate şi forţa din punctul 1 (fig.18b).
33,425 kN
1,379 kNm 5,198 kNm
B 1 C
0,4 m 0,4 m
fig.18b
VB dr VC st
;kN938,11
8,0
198
2
V drB =
,5379,1424,33 −
.kNm396,34,0938,11379,1M1 =⋅+−=
+=
t şi moment
încovoietor Mi se observă că secţiunea periculoasă este C aici se face
dimensionarea la încovoiere cu torsiune:
După trasarea diagramelor de moment de torsiune M
;
;95,5342,375,0198,575,0
,
32
2222
3
dMech π
dim
kNmMM
WW
tih
i
a
neci
=⋅+=+=
===
σ
rezultă
Mec
d = 91mm.
351

Se alege def = 110mm şi se verifică la oboseală prin coeficientul de
siguranţă:
,
22
τσ cc +
cu
τσ cc
c =
,
max
1
σ
σ
γε
β
σ
σ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= −
kk
k
c
solicitarea de încovoiere fiind o solicitare alternant simetrică.
Astfel, se obţine:
.63,1
8,3985,1 ⋅
σ
În plus:
120
32
110
==
⋅π
c
Wi
;/8,39
10198,5 2
3
6
max
max =
⋅
==σ mmN
M i
,
1
1 r
ma
kk
k
c
τ
τ
τ
τ
γε
β
τ
τ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
fiind vorba de o solicitare asimetrică (pulsantă). Astfel:
( )
,
3
,
3
2
1
1
min
r
r
ma
σ
τ
σ
τ == −
−
;0
10342,3
max
2
6
tM
τ
τ
ττ ==
⋅
valorile τ , τ conform teoriei energiei de deviaţie.
;/8,12
16
1103max
p
mmN
W π
τ =
⋅
==
=
-1 r
Rezultă:
.5,157,1
63,195,5 22
=>=
+
ac
63,
2
195,5
;95,5
42,265
8,12
56,1
24,69
8,12
⋅
=
=
+⋅
=
c
cτ
352

353
Bibliografie
1. I. Andreescu, Şt. Mocanu Probleme de Rezistenţa Materialelor
Ed. MATRIXROM
Bucureşti 2003.
2. Al. Constantinescu Metode matematice ale mecanicii solidului
rigid
Ed. MAT IXROM
Bucureşti 2002.
3. C. Diaconu, Fl. Bauşic Rezistenţa Materialelor
Universitatea Tehnică de Construcţii
Al. Anghel, Rezistenţa materialelor. Probleme
C. Manea, Gh. Hotea Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică
Bucureşti 1986.
5. M. Soare, C. Bi i Teoria Elasticităţii
Bucureşti 1983.
6. I. Ungureanu, B. Ispas, Rezistenţa Materialelor.
E. Constantinescu Universitatea Tehnic de Construcţii
Bucureşti 1981-1982.
R
Bucureşti 1997.
4. N. Posea,
a, V. Ille Rezistenţa materialelor ş
Ed. Didactică şi Pedagogică
ă

Compendiu de rezistenta materialelor

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (9)

Compendiu de rezistenta materialelor