Contoh notasi-sigma2
- 1. Contoh Notasi Sigma Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk penjumlahan ∑= + 5 1 )1( k kk Jawab: ∑= + 5 1 )1( k kk = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 Contoh 2: Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma. a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 b. 5 4 4 3 3 2 2 1 +−+− c. ab 5 + a 2 b 4 + a 3 b 3 + a 4 b 2 Jawab: a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 ×4 + 2 × 5 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = ∑= 5 1 2 k k b. 5 4 4 3 3 2 2 1 +−+− = (–1) 11 1 + + (–1) 2 12 2 + + (–1) 3 13 3 + + (–1) 4 14 4 + = ∑= + − 4 1 1 .)1( k k k k c. ab 5 + a 2 b 4 + a 3 b 3 + a 4 b 2 = a 1 b 16− + a 2 b 26− + a 3 b 36− + a 4 b 46− = ∑= − 4 1 6 k kk ba Contoh 3:
- 2. Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut. a. ∑= 10 1p p b. ∑= 6 3 2 2 n n Jawab: a. ∑= 10 1p p = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 = 55 b. ∑= 6 3 2 2 n n = 2(3 2 ) + 2(4 2 ) + 2(5 2 ) + 2(6 2 ) = 18 + 32 + 50 + 72 = 172 Contoh 4: Hitunglah nilai dari ∑= − 4 1 2 )4( k kk Jawab: Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas. Cara 1: ∑= − 4 1 2 )4( k kk = (1 2 – 4(1)) + (2 2 – 4(2)) + (3 2 – 4(3)) + (4 2 – 4(4)) = (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16) = – 3 – 4 – 3 + 0 = –10 Cara 2: ∑= − 4 1 2 )4( k kk = ∑∑ == − 4 1 4 1 2 4 kk kk = ∑∑ == − 4 1 4 1 2 4 kk kk = (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) – 4( 1 + 2+ 3 + 4) = (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10) = 30 – 40 = –10
- 3. Contoh 5: Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa : nkkk n k n k n k 16164)42( 11 2 1 2 +−=− ∑∑∑ === Jawab: ∑∑ == +−=− n k n k kkk 1 2 1 2 )16164()42( = ∑∑∑ === +− n k n k n k kk 111 2 116164 nkk n k n k 16164 11 2 +−= ∑∑ == .............................................(terbukti) Contoh 6: Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma berikut : a. ∑= + 5 3 )1( k k b. ∑= − 4 0 )23( k k Jawab: a. ∑= + 5 3 )1( k k = ∑∑ = − −= +=++ 3 1 25 23 )3(1)2( kk kk b. ∑= − 4 0 )23( k k = ∑ + += −− 14 10 ))1(23( k k = ∑∑ == −=+− 5 1 5 1 )25()223( kk kk Contoh 7: Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut : a. ∑= + 10 1 )12( n n b. ∑= 6 1 2 n n Deret apakah itu? Kemudian, tentukan nilainya. Jawab:
- 4. a. ∑= + 10 1 )12( n n = (2(1) + 1) + (2(2) + 1) + (2(3) + 1) + ... + (2(10) + 1) = (2 + 1) + (4 + 1) + (6 + 1) + ... + (20 + 1) = 3 + 5 + 7 + ... + 21 Tampak bahwa deret itu memiliki suku-suku yang selisihnya tetap, yaitu 2. Jadi, deret itu adalah deret aritmetika dengan suku awal a = 3, beda b = 2, dan U 10 = 21. Nilai ∑= + 10 1 )12( n n sama dengan nilai jumlah n suku pertama, S10 . Dengan menggunakan jumlah 10 suku pertama yang kalian ketahui, diperoleh S n = )( 2 1 nUan + = 2 1 (10)(3 + 21) = 120 Jadi, ∑= + 10 1 )12( n n = 120 b. ∑= 6 1 2 n n = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r = 2. Jadi, deret ini termasuk deret geometri dengan suku awal a = 2 dan rasio r = 2. Oleh karena itu ∑= 6 1 2 n n = S6. Karena r = 2 > 1, kita gunakan rumus berikut. 1 )1( − − = r ra S n n 12 )12(2 6 6 − − =S 1 )164(2 − = = 126