Dai so boole

Bài Giảng Kỹ Thuật Số Chương 2

CHƯƠNG 2.
ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC CỔNG LOGIC
2.1. KHÁI NIỆM VỀ LOGIC HAI TRẠNG THÁI
Pheùp toaùn cô baûn trong thieát keá logic caùc heä thoáng soá laø ñaïi soá Boolean. Ñaïi soá
Boolean coù nhieàu öùng duïng khaùc nhau bao goàm lyù thuyeát taäp hôïp vaø logic toaùn,
vì taát caû caùc phaàn töû chuyeån maïch veà cô baûn ñeàu laø caùc phaàn töû hai traïng thaùi
(nhö diode, transistor), cho neân seõ taäp trung khaûo saùt tröôøng hôïp ñaïi soá Boolean
vôùi söï thay ñoåi giaû söû chæ ôû 1 trong 2 giaù trò. Ñaïi soá Boolean söû duïng 2 giaù trò
naøy xem nhö ñaïi soá veà chuyeån maïch.
Phaàn naøy söû duïng caùc bieán Boolean nhö X hoaëc Y… ñeå bieåu dieãn ngoõ vaøo hoaëc
ngoõ ra cuûa maïch chuyeån maïch, moãi bieán coù theå laáy 1 trong hai giaù trò. Kyù hieäu
“0” vaø “1” ñöôïc duøng ñeå ñaïi dieän cho hai giaù trò khaùc nhau naøy. Vì vaäy, neáu X
laø bieán chuyeån maïch hay bieán Boolean thì hoaëc X=0, hoaëc X=1
Maëc duø kyù hieäu “0” vaø “1” gioáng nhö soá nhò phaân, nhöng khoâng phaûi nhö vaäy.
Ñaây chæ laø 2 kyù töï ñaïi dieän cho 2 giaù trò cuûa bieán chuyeån maïch vaø ñöôïc xem laø
möùc logic, moät soá vò duï veà caùc hieän töôïng maø möùc logic ñaïi dieän nhö sau

LOGIC 0 LOGIC 1
Sai Ñuùng
Taét Môû
Möùc ñieän aùp thaáp Möùc ñieän aùp cao
Khoâng Coù
Môû maïch Ñoùng maïch
Vì chæ coù hai giaù trò, neân ñaïi soá Boolean töông ñoái deã daøng hôn so vôùi ñaïi soá
thoâng thöôøng. ÔÛ ñaïi soá Boolean, khoâng coù phaân soá, thaäp phaân, caên baäc hai, caên
baäc ba, logarit, soá aûo, v.v. Ñaïi soá Boolean chæ coù 3 pheùp toaùn cô baûn: coäng (OR),
nhaân (AND) vaø laáy buø (NOT).
2.2. BẢNG SỰ THẬT
Baûng söï thaät (Truth Table) moâ taû caùc ñaùp öùng ngoõ ra cuûa maïch logic öùng vôùi
caùc toå hôïp khaùc nhau taïi ngoõ vaøo.
Ví dụ

A
A Maïng
A Maïng B Maïng
chuyeån X B chuyeån X chuyeån X
B maïch maïch C maïch
C
D

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 24


Caùc baûng söï thaät tieâu bieåu öùng vôùi caùc maïng chuyeån maïch treân nhö sau:

A B C X A B C D X
Ngoõ vaøo Ngoõ ra
0 0 0 ? 0 0 0 0 ?
↓ ↓ ↓ 0 0 0 1 ?
A B X 0 0 1 ?
0 0 1 0 ?
0 0 ? 0 1 0 ?
0 0 1 1 ?
0 1 ? 0 1 1 ?
0 1 0 0 ?
1 0 ? 1 0 0 ? 0 1 0 1 ?
1 1 ? 1 0 1 ? 0 1 1 0 ?
1 1 0 ? 0 1 1 1 ?
1 1 1 ? 1 0 0 0 ?
1 0 0 1 ?
1 0 1 0 ?
1 0 1 1 ?
1 1 0 0 ?
1 1 0 1 ?
1 1 1 0 ?
1 1 1 1 ?

ÔÛ moãi baûng söï thaät, caùc toå hôïp möùc logic 0 vaø 1 ñoái vôùi ngoõ vaøo (A, B, C, D)
ñöôïc theå hieän beân traùi, möùc logic ôû ngoõ ra X ñöôïc theå hieän beân phaûi
Löu yù, neáu coù 2 ngoõ vaøo thì coù 4 khaû naêng xaûy ra, töông töï 8 khaû naêng cho 3 ngoõ
vaøo vaø 16 khaû naêng cho 4 ngoõ vaøo. Seõ coù 2N khaû naêng xaûy ra ñoái vôùi N ngoõ vaøo.
Taát caû caùc toå hôïp ngoõ vaøo ñöôïc theå hieän theo chuoãi ñeám nhò phaân.
2.3. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
2.3.1. Phép toán OR và cổng OR
Goïi A vaø B laø 2 bieán logic ñoäc laäp. Khi A vaø B keát hôïp qua pheùp toaùn OR, keát
quaû x ñöôïc moâ taû nhö sau:
X=A+B
Trong bieåu thöùc naøy, daáu “+” khoâng coù nghóa laø pheùp coäng thuaàn tuùy. Noù laø
pheùp toaùn OR, keát quaû cuûa pheùp toaùn OR ñöôïc cho trong baûng söï thaät sau:

A B X=A+B A
0 0 0 Y=A+B
0 1 1
B
1 0 1 Coång OR
1 1 1

Keát luaän
• Pheùp toaùn OR seõ coù keát quaû baèng 1 neáu moät hay nhieàu bieán ngoõ vaøo
baèng 1
• Coång OR chæ coù moät ngoõ ra vaø coù theå coù nhieàu hôn hai ngoõ vaøo

GV: Nguyễn Trọng Hải Trang 25


Kyù hieäu vaø baûng söï thaät cho coång OR 3 ngoõ vaøo A B C X=A+B+C
0 0 0 0
0 0 1 1
A 0 1 0 1
X=A+B+C
B 0 1 1 1
C 1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Ví dụ
Xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra coång OR khi ngoõ vaøo A, B thay ñoåi theo giaûn ñoà sau:
1

A 0
A
Out
B
B

2.3.2. Phép toán AND và cổng AND
Neáu hai bieán logic A vaø B ñöôïc keát hôïp qua pheùp AND, keát quaû laø:
X= A.B
Baûng söï thaät cuûa pheùp nhaân 2 bieán A vaø B nhö sau:
A B X=A.B
0 0 0 A
X = AB
0 1 0 B
1 0 0 Coång AND
1 1 1

Keát luaän
• Pheùp toaùn AND seõ coù keát quaû baèng 0 neáu moät hay nhieàu bieán ngoõ vaøo
baèng 0
• Coång AND chæ coù moät ngoõ ra vaø coù theå coù nhieàu hôn hai ngoõ vaøo
Ví duï AND 3 ngoõ vaøo coù baûng söï thaät nhö sau
A B C X = ABC
0 0 0 0
0 0 1 0
A 0 1 0 0
B X = ABC 0 1 1 0
C 1 0 0 0
Coång AND 1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

Trang 23


Ví dụ
Xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra cuûa coång AND öùng vôùi caùc ngoõ vaøo nhö sau
`
A A
X = AB
B B

Trong ví duï naøy thaáy raèng, ngoõ ra x seõ baèng vôùi ngoõ vaøo A khi B ôû möùc logic 1.
Vì vaäy ta coù theå xem ngoõ vaøo B nhö ngoõ vaøo ñieàu khieån, noù cho pheùp daïng
soùng ôû ngoõ vaøo A xuaát hieän ôû ngoõ ra hay khoâng. Trong tröôøng hôïp naøy coång
AND ñöôïc duøng nhö moät maïch cho pheùp, vaø ñaây laø öùng duïng raát quan troïng cuûa
coång AND vaø seõ ñöôïc khaûo saùt sau.
2.3.3. Phép toán NOT và cổng NOT
Neáu bieán A ñöôïc ñöa qua pheùp toaùn NOT, keát quaû x seõ laø:
X= A
Ta coù 1 = 0 vaø 0 = 1 , baûng söï thaät cho pheùp toaùn NOT nhö sau:

A X= A A X=A
0 1
1 0 Coång NOT

Coång NOT chæ coù moät ngoõ vaøo vaø moät ngoõ ra
2.4. MÔ TẢ CÁC MẠCH LOGIC THEO PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
Baát cöù moät maïch logic naøo cuõng coù theå ñöôïc moâ taû baèng caùch söû duïng caùc pheùp
toaùn Boolean ñaõ ñeà caäp ôû treân (coång OR, AND vaø NOT laø nhöõng khoái cô baûn
trong moät heä thoáng soá).
Ví dụ, xeùt maïch sau

A A.B
B X = A.B + C
C

Maïch coù 3 ngoõ vaøo A, B vaø C vaø moät ngoõ ra x. Söû duïng caùc bieåu thöùc Boolean
cho moãi coång ta xaùc ñònh ñöôïc bieåu thöùc ngoõ ra x = AB + C.
Ví dụ

A A+B
B X = (A+B).C
C

Trang 24


Ví dụ xaùc ñònh haøm ngoõ ra cuûa maïch sau

A

B
(a)

A
B
C
D
(b)

2.5. THỰC HIỆN CÁC MẠCH LOGIC TỪ BIỂU THỨC BOOLEAN
Ví dụ thöïc hieän bieåu thöùc sau: y = AC+BC+ABC

A AC

C
B
B BC
y=AC+BC+ABC
C

A
B ABC
C
Ví dụ veõ sô ñoà maïch thöïc hieän bieåu thöùc sau: x= AB+BC

( )
Ví dụ veõ sô ñoà maïch thöïc hieän bieåu thöùc x = ABC A+D söû duïng caùc coång coù soá
ngoõ vaøo nhoû hôn 3
2.6. CỔNG NOR VÀ CỔNG NAND
Coång NAND vaø coång NOR ñöôïc duøng raát roäng raõi trong caùc maïch soá. Thöïc söï
caùc coång naøy ñeàu ñöôïc keát hôïp töø caùc pheùp toùan cô baûn AND, OR vaø NOT.
2.6.1. Cổng NOR
Coång NOR hoïat ñoäng gioáng nhö hai coång OR vaø NOT maéc noái tieáp nhö hình veõ
vaø bieåu thöùc ngoõ ra laø x= A+B , baûng söï thaät nhö sau:
OR NOR A X= A+B
A B A+B A+B B
0 0 0 1 Kyù hieäu ñaûo
0 1 1 0
A X= A+B
1 0 1 0
B
1 1 1 0
Ngoõ ra coång NOR laø ñaûo vôùi ngoõ ra coång OR

Trang 25


Ví dụ, xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra cuûa coång NOR öùng vôùi ngoõ vaøo nhö sau
1

A 0
A
B
B

2.6.2. Cổng NAND
Coång NAND töông ñöông vôùi AND coäng vôùi NOT, ngoõ ra cuûa NAND seõ laø
x= AB , baûng söï thaät cho nhö sau:
AND NAND A X= A+B
A B AB AB B
0 0 0 1 Kyù hieäu ñaûo
0 1 0 1 A X= A+B
1 0 0 1 B
1 1 1 0
Ngoõ ra coång NAND laø ñaûo vôùi ngoõ ra coång AND
Ví dụ, xaùc ñònh daïng soùng ngoõ ra cuûa coång NAND öùng vôùi ngoõ vaøo nhö sau

A A
X
B
B

Ví duï, thöïc hieän maïch logic coù bieåu thöùc nhö sau: x = AB(C + D) chæ duøng
coång NOR vaø NAND
Ví dụ xaùc ñònh möùc logic ngoõ ra cuûa ví duï treân vôùi A=B=C=1 vaø D=0
2.7. PHÉP TOÁN XOR (Exclusive-OR) và phép toán tương đương
2.7.1. Phép toán XOR và cổng XOR
Pheùp toaùn XOR (kyù hieäu ⊕) coù baûng söï thaät nhö sau:
X Y X⊕Y
0 0 0 X
X⊕Y
0 1 1 Y
1 0 1 Cổng XOR
1 1 0
Töø baûng söï thaät thaáy raèng X ⊕ Y =1 khi X≠ Y vaø X ⊕ Y =0 khi X= Y
Bieåu thöùc toaùn cuûa pheùp toaùn XOR: X ⊕ Y = XY+YX

Trang 26


2.7.2. Phép toán tương đương và cổng XNOR
Pheùp toùan töông ñöông (kyù hieäu ≡) coù baûng söï thaät nhö sau:
X Y X≡Y X
0 0 1 X⊕Y
Y
0 1 0
1 0 0 Cổng XNOR
1 1 1
Töø baûng söï thaät thaáy raèng X ≡ Y = 0 khi X≠ Y vaø X ≡ Y = 1 khi X= Y
Bieåu thöùc toaùn: X ≡ Y = X ⊕ Y = XY + X.Y
2.8. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN
(1) X . 0 = 0 (5) X + 0 = X
(2) X . 1 = X (6) X + 1 =1
(3) X . X = X (7) X + X = X
(8) X + X = 1
(4) X . X = 0
2.8.1. Phép giao hoán, kết hợp và phân phối
(9) X+Y=Y+X
(10) X.Y=Y.X
(11) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z
(12) X(YZ) = (XY)Z = XYZ
(13) X(Y + Z) = XY + XZ
(14) (W + X)(Y + Z) = WY + XY + WZ + XZ
(15) X + XY = X (vì X(1+Y) = X)
(16) X + XY = X + Y (vì X + X Y = (X + Y)(X + X ))
(17) (X + Y)(X + Y ) = X
2.8.2. Định lý DeMorgan
(18) X + Y = X.Y
(19) ( X.Y) = X + Y
2.8.3. Định lý Consensus
(20) XY + XZ + YZ = XY + XZ
(21) ( X + Y)( X + Z)(Y + Z) = ( X + Y)( X + Z)
2.8.4. Các định lý cho phép tóan XOR
(22) X⊕0=X

Trang 27


(23) X⊕1= X
(24) X⊕X=0

(25) X⊕ X =1
(26) X ⊕ Y = Y ⊕ X (Giao hoaùn)
(27) (X ⊕ Y) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z) = X ⊕ Y ⊕ Z (Keát hôïp)
(28) X(Y ⊕ Z) = XY ⊕ XZ (Phaân phoái)

(29) ( X ⊕ Y) = X ⊕ Y = X ⊕ Y = XY + X.Y

Ví dụ, ruùt goïn bieåu thöùc y = A BD + A B.D

Giải. y = A B(D + D) , söû duïng ñònh lyù (8): D + D = 1

y = A B.1 = A B

Ví dụ, Ruùt goïn bieåu thöùc x = ACD + ABCD

Ví dụ Ruùt goïn bieåu thöùc z = (A + C).(B + D)

Ví dụ Thöïc hieän maïch logic vôùi bieåu thöùc ngoõ ra z = A + B + C chæ duøng coång
NAND vaø coång ñaûo
Ví dụ Ruùt goïn bieåu thöùc a.b+ac+bc+bc+ab
Ví dụ Ruùt goïn bieåu thöùc (a+b+c)(a+b+d)(b+c+d)
2.8.5. Các phép biến đổi trên cổng NAND và NOR
Taát caû caùc bieåu thöùc Boolean ñeàu coù theå ñöôïc thöïc hieän thoâng qua caùc coång OR,
AND vaø NOT. Tuy nhieân, ñeå thöïc hieän caùc bieåu thöùc logic maø chæ duøng 1 loaïi
coång NAND (hay coång NOR), ta seõ bieán ñoåi coång NAND (hay coång NOR) ñeå
thöïc hieän caùc pheùp toaùn AND, OR, NOT nhö sau
Thực hiện các phép toán bằng cổng NAND
A
x = A.A = A

A x=AB
B

A
x = A.B = A + B

B

Trang 28


Thực hiện các phép toán bằng cổng NOR

A
x =A+A=A

A x=A+B
B

A
x = A + B = A.B

B

Ví dụ. Thieát keá maïch thöïc hieän bieåu thöùc x=AB+CD, sao cho duøng ít IC nhaát.
Giaû söû coù caùc IC sau
14 13 12 11 10 9 8 Vcc 14 13 12 11 10 9 8

7400 7408

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
GND

Vcc 14 13 12 11 10 9 8

7432

1 2 3 4 5 6 7
GND

2.8.6. Biểu diễn qua lại giữa các cổng
ÔÛ treân ñaõ khaûo saùt 5 loaïi coång logic (AND, OR, NOT, NAND, NOR) vaø caùc kyù
hieäu chuaån ñeå bieåu dieãn chuùng treân moät maïch logic. Maëc duø vaäy moät soá maïch
cuõng söû duïng theâm moät soá caùch bieåu dieãn khaùc nhö sau:

Trang 29


AND
A AB A A + B = AB

B B

OR
A A+B A A.B = A + B
B B

NAND
A A + B = AB
A AB
B B

NOR A
A.B = A + B
A A+B
B B

NOT
A
A A A

Khái nhiệm về mức logic tích cực.

A A A A

A tích cực A tích cực A tích cực A tích cực
mức 1 mức 0 cạnh lên cạnh xuống

Ví dụ,
A A + B = AB
A AB
B B

(a) (b)

ÔÛ coång NAND (a) coù theå dieãn giaûi: Ngoõ ra tích cöïc ôû möùc thaáp chæ khi A vaø B ôû
möùc cao
ÔÛ coång NAND (b): Ngoõ ra tích cöïc ôû möùc cao khi A hoaëc B ôû möùc thaáp
Ví duï, dieãn giaûi yù nghóa ngoõ ra Z theo caùc ngoõ vaøo ABCD sau
`
A
B
Z
C
D
(a)

Trang 30


A
B
Z
C
D
(b)

A
B
Z
C
D (c)

Löu yù: khi hoaùn chuyeån caùc coång, moät nguyeân lyù chung laø: Keát noái ngoõ ra
ñaûo cuûa coång naøy vaøo ngoõ vaøo ñaûo cuûa coång kia (hình b), vaø ngoû ra khoâng
ñaûo cuûa coång naøy naøo ngoõ ra khoâng ñaûo cuûa coång kia (hình c)
2.9. LOGIC DƯƠNG VÀ LOGIC ÂM
ÖÙng vôùi ñieàu kieän hoïat ñoäng bình thöôøng, ñieän aùp cung caáp cho caùc ngoõ vaøo cuûa
coång logic ñöôïc haïn cheá ñeå coù ñöôïc moät trong hai giaù trò 0 vaø 1. Khi möùc ñieän
aùp ngoõ vaøo ñuùng cung caáp cho moät coång logic thì ñieän aùp ngoû ra seõ nhaän moät
trong hai giaù trò.
Logic döông: Möùc ñieän aùp cao trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 1 vaø
möùc ñieän aùp thaáp trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 0
Logic aâm: Möùc ñieän aùp thaáp trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 1 vaø möùc
ñieän aùp cao trong hai möùc ñieän aùp bieåu thò möùc logic 0
Ví duï cho coång logic vaø quan heä giöõa ngoõ vaøo vaø ngoõ ra nhö sau:
E1
Coång E0
E2
Logic
E3

E1 E2 E3 E0
0 0 0 0
0 0 +V 0
0 +V 0 0
0 +V +V 0
+V 0 0 0
+V 0 +V 0
+V +V 0 0
+V +V +V +V

Trang 31


Baûng traïng thaùi logic döông ñöôïc moâ taû nhö sau

E1 E2 E3 E0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Thaáy raèng E0 = 1 neáu E1, E2 vaø E3 = 1, nghóa laø: E0 = E1E2E3
Töø ñoù thaáy raèng, coång treân töông ñöông vôùi coång AND cho maïch logic döông
Neáu chuyeån baûng traïng thaùi sang logic aâm, ñöôïc nhö sau

E1 E2 E3 E0
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
E0 = 1 neáu E1 hoaëc E2 hoaëc E3 = 1, nghóa laø: E0 = E1+E2+E3
Töø ñoù thaáy raèng, coång treân töông ñöông vôùi coång OR cho maïch logic aâm
Neáu coù moät haøm ñoái vôùi maïch logic döông, deã daøng xaùc ñònh haøm cho maïch ñoù
nhöng öùng vôùi logic aâm baèng caùch aùp duïng ñònh lyù logic aâm
Định lý logic âm
Neáu moät maïch toå hôïp coù haøm F quan heä giöõa ngoõ ra vaø ngoõ vaøo theo logic
döông, thì maïch toå hôïp ñoù seõ coù haøm ñoái ngaãu vôùi haøm F khi ngoõ vaøo vaø ngoõ ra
ñöôïc ñònh nghóa theo logic aâm baèng caùch bieán ñoåi AND thaønh OR vaø ngöôïc laïi
Ví dụ. Xeùt maïch toå hôïp sau:

A
B G
C

Giaû söû haøm G ñöôïc ñònh nghóa theo logic döông laø
G= ABC + A.BC

Trang 32


thì haøm G ñònh nghóa theo logic aâm seõ laø
G = ( ABC + A.BC )D = ( A + B + C)(A + B + C)
Ví dụ. ÖÙng duïng ñònh lyù logic aâm, tìm ñoái ngaãu cuûa haøm XOR

2.10. CÁC HÀM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ BOOLEAN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP
BIỂU DIỄN
2.10.1. Hàm logic cơ bản
Moät haøm y=f(x1, x2, …, xn) vôùi caùc bieán x1, x2, …, xn chæ nhaän hai giaù trò 0 hoaëc 1
vaø haøm y cuõng chæ nhaän hai giaù trò 0 hoaëc 1 ñöôïc goïi laø haøm logic
(1) Hàm logic một biến: y=f(x)
Vì bieán x seõ nhaän moät trong hai giaù trò: 0 hoaëc 1, neân haøm y coù 4 khaû naêng hay
thöôøng goïi laø 4 haøm y0, y1, y2, y3, vaø baûng chaân lyù nhö sau:
Baûng chaân lyù
Teân haøm Thuaät toùan logic Ghi chuù
x 0 1
Haøm khoâng y0 0 0 y0 = 0 Haøm luoân baèng 0
Haøm ñaûo y1 1 0 y1 = x
Haøm laëp y2 0 1 y2 = x
Haøm ñôn vò y3 1 1 y3 = 1 Haøm luoân baèng 1
y3= x + x
(2) Haøm logic hai bieán y=f(x1, x2)
Vôùi hai bieán logic x1, x2, moãi bieán nhaän hai giaù trò laø 0, 1, nhö vaäy coù 16 toå hôïp
logic taïo thaønh 16 haøm. Baûng toùm taét 16 haøm töø y0 – y15

Teân haøm Baûng chaân trò Thuaät toaùn logic Ghi
x1 1 1 0 0 Chuù
x2 1 0 1 0
Haøm khoâng y0 0 0 0 0 Y0 = 0
Haøm Piec y1 0 0 0 1 Y1= x 1 .x 2 = x 1 + x 2
Haøm caám x1 y2 0 0 1 0 Y 2= x 1 x 2
Haøm ñaûo x1 y3 0 0 1 1 Y3 = x 1
Haøm caám x2 y4 0 1 0 0 Y 4= x 2 x 1
Haøm ñaûo x2 y5 0 1 0 1 Y5 = x 2
Haøm XOR y6 0 1 1 0 Y6= x 1 x 2 + x 1 .x 2
Haøm Cheffer y7 0 1 1 1 Y 7= x 1 + x 2 = x 1 x 2
Haøm AND y8 1 0 0 0 Y8 = x1x2
Haøm XNOR y9 1 0 0 1 Y9 = x1x2 + x 1 .x 2
Haøm laëp theo x2 y10 1 0 1 0 y10 = x2
Haøm keùo theo x2 y11 1 0 1 1 Y11= x 1 +x2

Trang 33


Haøm laëp theo x1 y12 1 1 0 0 y12= x1
Haøm keùo theo x1 y13 1 1 0 1 y13= x1+ x 2
Haøm OR y14 1 1 1 0 y14 = x1 + x2
Haøm ñôn vò y15 1 1 1 1 y15=1
(3) Hàm logic n biến y=f(x1, x2,…, xn)
Vôùi haøm logic n bieán, moãi bieán nhaän moät trong hai giaù trò 0 hoaëc 1 neân ta coù 2n
toå hôïp bieán, moãi toå hôïp bieán laïi nhaän hai giaù trò 0 hoaëc 1, do vaäy soá haøm logic
taát caû laø 2 2 . Vôùi 1 bieán coù 4 khaû naêng taïo haøm, vôùi 2 bieán coù 16 khaû naêng taïo
n

haøm, vôùi 3 bieán coù 256 khaû naêng taïo haøm, nhö vaäy khi soá bieán taêng thì soá haøm
coù khaû naêng taïo thaønh raát lôùn. Tuy nhieân taát caû khaû naêng naøy ñeàu ñöôïc bieåu
hieän qua caùc khaû naêng toång logic, tích logic vaø nghòch ñaûo logic cuûa caùc bieán.
Trong taát caû caùc haøm ñöôïc taïo thaønh, ñaëc bieät chuù yù ñeán haøm toång chuaån vaø
haøm tích chuaån.
Haøm toång chuaån laø haøm chöùa toång caùc tích maø moãi tích coù ñuû taát caû caùc bieán
cuûa haøm.
Haøm tích chuaån laø haøm chöùa tích caùc toång maø moåi toång ñeàu coù ñuû taát caû caùc
bieán cuûa haøm

2.10.2. Các phương pháp biểu diễn hàm logic
(1) Phương pháp biểu diễn thành bảng
ÔÛ ñaây caùc giaù trò cuûa haøm phuï thuoäc vaøo caùc bieán ñöôïc trình baøy trong moät baûng
goïi laø baûng söï thaät.
Ví dụ. moät haøm 2 bieán vôùi giaù trò haøm ñaõ cho ñöôïc bieåu dieãn thaønh baûng nhö
sau:
Giá trị thập phân
của tổ hợp biến X2 X1 Y
0 0 0 1
1 0 1 X
2 1 0 0
3 1 1 1
Ghi chuù: daáu X laø giaù trò haøm khoâng xaùc ñònh (coù theå 0 hay 1)
Öu ñieåm cuûa caùch bieåu dieãn haøm baèng baûng laø deã nhìn, ít nhaàm laãn.
Nhöôïc ñieåm cuûa phöông phaùp naøy laø coàng keành, ñaëc bieät khi soá bieán lôùn
(2) Phương pháp hình học
ÔÛ ñaây mieàn xaùc ñònh cuûa haøm ñöôïc bieåu dieãn trong khoâng gian n chieàu. Moãi toå
hôïp bieán ñöôïc bieåu dieãn thaønh 1 ñieåm ôû trong khoâng gian ñoù, öùng vôùi moãi ñieåm
seõ ghi 1 giaù trò cuûa haøm. Hai ñieåm naèm treân cuøng moät truïc chæ khaùc nhau bôûi söï
thay ñoåi giaù trò cuûa moät bieán.

Trang 34


Sau ñaây minh hoïa caùch bieåu dieãn haøm logic 1 bieán, 2, 3 bieán döôùi daïng hình hoïc
x1
0 1 x
010 110
(a) 111
011 x2
x1

000 100
10 11
001
101
x2
x3
(c)
00 01
(b)

(3) Phương pháp biểu thức đại số
Moät haøm logic n bieán baát kyø bao giôø cuõng coù theå bieåu dieãn thaønh haøm toång
chuaån ñaày ñuû vaø tích chuaån ñaày ñuû
Cách viết hàm dưới dạng tổng chuẩn đầy đủ
• Chæ quan taâm ñeán toå hôïp bieán maø haøm coù giaù trò baèng 1. Soá laàn haøm
baèng 1 seõ chính laø soá tích (minterm) cuûa caùc toå hôïp bieán
• Trong moãi tích, caùc bieán coù giaù trò baèng 1 ñöôïc giöõ nguyeân, coøn caùc bieán
coù giaù trò baèng 0 thì ñöôïc laáy giaù trò ñaûo
• Haøm toång chuaån ñaày ñuû seõ laø toång caùc tích ñoù
Ví dụ,
Thöù töï toå hôïp bieán A B C F Minterm
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1 → ABC
3 0 1 1 1 → ABC
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1 → ABC
Vaäy F =ΣABC (2,3,7) = ABC + ABC + ABC
Cách viết hàm dưới dạng tích chuẩn đầy đủ
• Chæ quan taâm ñeán toå hôïp bieán maø haøm coù giaù trò baèng 0. Soá laàn haøm
baèng 0 seõ chính laø soá toång (maxterm) cuûa caùc toå hôïp bieán
• Trong moãi toång caùc bieán coù giaù trò 0 ñöôïc giöõ nguyeân, coøn caùc bieán coù
giaù trò 1 ñöôïc laáy ñaûo.
• Haøm tích chuaån ñaày ñuû seõ laø tích caùc toång ñoù

Trang 35


Ví dụ,
Thöù töï toå hôïp bieán A B f Maxterm
0 0 0 0 A+B
1 0 1 1
2 1 0 0 A+B
3 1 1 0 A+B

Vaäy f= ΠAB(0,2,3) = (A+B) ( A+B )( A+B )

(4) Phương pháp biểu diễn bằng bìa Karnaugh
• Ñeå bieåu dieãn haøm logic n bieán, caàn thaønh laäp moät baûng coù 2n oâ, moãi oâ
töông öùng vôùi moät toå hôïp bieán. Ñaùnh soá thöù töï cuûa caùc oâ trong baûng
töông öùng vôùi giaù trò cuûa toå hôïp bieán
• Caùc oâ caïnh nhau hoaëc ñoái xöùng nhau chæ cho pheùp khaùc nhau veà giaù trò
cuûa moät bieán
• Trong caùc oâ ghi giaù trò cuûa haøm töông öùng vôùi giaù trò cuûa toå hôïp bieán ñoù

Mô tả hàm f hai biến bằng bìa Karnaugh

f
A
B 0 1
0
A=0, B=0 A=1, B=0
1
A=0, B=1 A=1, B=1

Moãi moät oâ vuoâng bieåu dieãn moät minterm cuûa haøm f neáu noù coù giaù trò 1, vaø bieåu
dieãn moät maxterm neáu coù giaù trò 0. Ñoïc giaù trò minterm, maxterm naøy gioáng nhö
ñoái vôùi baûng söï thaät
Ví dụ, Haøm f ñöôïc bieåu dieãn baèng baûng söï thaät vaø baèng bìa Karnaugh nhö sau

f f
A B f A A
B 0 1 B 0 1
0 0 1
0 1 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 A.B
1 1 0 1 1 0
1 1 0 AB

Töø bìa Karnaugh ta cuõng coù theå vieát laïi haøm f = A.B + AB

Trang 36


Mô tả hàm f ba biến bằng bìa Karnaugh
A B C f f
A
0 0 0 0 0 1
BC
0 0 1 0
0 1 0 1 00 0 1
0 1 1 1 01 0 0
1 0 0 1
11 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1 10 1 1 ABC=110
1 1 1 0 thì f=1

Lưu ý: caùc oâ caïnh nhau hoaëc ñoái xöùng nhau chæ cho pheùp khaùc nhau veà giaù trò
cuûa moät bieán
Mô tả hàm f 4 biến bằng bìa Karnaugh
Ví dụ, Moâ taû haøm f(a,b,c,d) = acd + ab + d
f ab
cd 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 1
10 0 1 0 0

Moät bìa 5 bieán coù theå ñöôïc xaây döïng treân khoâng gian 3 chieàu baèng caùch ñaët moät
bìa 4 bieán treân moät bìa thöù hai. Soá haïng lôùp döôùi ñöôïc ñaùnh soá töø 0 ñeán 15, soá
haïng ôû lôùp treân ñöôïc ñaùnh soá töø 16 ñeán 31. Vì vaäy soá haïng nhoùm döôùi chöùa A
vaø soá haïng nhoùm treân chöùa A
f
BC
DE 00 01 11 10
16 20 28 24
00 1 1 1
A 1 0 4 1 12 18
17 21 29 25
1/0 01 1 1
A.BCDE
1 5 113 19
19 23 31 27
1 1
11 1 1
3 7 15 11
18 22 30 26
A.B.CDE 1 1
10
2 6 14 10

Trang 37


Ngoaøi ra ta coù theå moâ taû haøm 5 bieán nhö sau:

f A=0 A=1
BC
DE 00 01 11 11 10 11 01 00
00 0 2 6 4 5 7 3 1
01 8 10 14 12 13 15 11 9
11 24 26 30 28 29 21 27 25
10 16 18 22 20 21 23 19 17


f ABC
DEF 000 001 011 010 110 111 101 100

000 0 1 3 2 6 7 5 4
001 8 9 11 10 14 15 13 12
011 24 25 27 26 30 21 29 28
010 16 17 19 18 22 33 21 20
110 48 49 51 50 54 55 53 52
111 56 57 59 58 62 63 61 60
101 40 41 43 42 46 47 45 44
100 32 33 35 34 38 39 37 36

2.11. TỐI THIỂU HÓA HÀM LOGIC BẰNG BÌA KARNAUGH

Các bước thực hiện
Bước 1. Bieåu dieãn haøm ñaõ cho thaønh baûng Karnaugh
Bước 2. Xaùc ñònh nhoùm caùc tích cöïc tieåu hoaëc caùc toång cöïc tieåu (nhoùm 2k oâ keá caän
hoaëc ñoái xöùng vôùi ñieàu kieän trong moãi nhoùm phaûi coù ít nhaát 1 oâ chöa ñöôïc nhoùm bôûi
caùc nhoùm khaùc)
Bước 3. Trong moãi nhoùm, caùc bieán coù giaù trò gioáng nhau thì giöõ laïi, caùc bieán coù giaù
trò khaùc nhau thì ñôn giaûn, sau ñoù vieát haøm keát quaû theo toång hoaëc theo tích

Trang 38


Ví dụ, tích cực tiểu 2 ô kế cận
x x
C C C C
A.B 0 0 A.B 0 0
A.B 1 0 x=ABC+ABC = BC A.B 1 X x=ABC+ABC = AB
AB 1 0 AB 0 0
AB 0 0 AB 0 0
(a) (b)
Ví dụ, ruùt goïn bìa K sau
x x
C C C.D CD CD CD
A.B 1 X A.B 0 0 1 1
A.B 0 X A.B 0 0 0 0
AB 0 0 AB 0 X 0 0
AB 1 0 AB 1 0 0 X
(c) (d)
x x
C C C.D CD CD CD
A.B 0 1 A.B 0 0 X 0
A.B 0 X x=C A.B 0 0 0 0
AB X 1 x=AB
AB 1 1 X 1
AB 0 1 AB 0 0 0 0
(a) (b)

x x CD CD
C.D CD CD CD C.D CD
A.B 1 0 0 0 A.B 0 0 X 1
A.B 0 1 1 0 A.B 0 0 0 0
AB 0 X 1 0 AB X 0 0 1
AB X 0 0 0 AB 1 0 X 1
(c) x (d)
C.D CD CD CD
A.B 1 0 0 1
A.B 0 1 0 0
AB 0 0 0 0
AB 1 X X X
(e)

Trang 39



x x
CD CD C.D CD CD CD
C.D CD
0 0 X 0 A.B 1 1 0 0 x= C
A.B
A.B 1 1 1 1 x=B A.B X X 0 X
AB 1 1 X 1 AB 1 1 0 0
AB 0 0 X 0 AB 1 1 0 0
(a) (b)

x
x
C.D CD CD CD C.D CD CD CD
A.B 1 0 0 1
A.B 1 1 1 1
A.B 1 0 0 1
A.B X 0 0 X
AB 1 0 0 1
AB 0 0 0 0
AB 1 0 0 1
AB 1 1 1 1
(d)
(c)

Trang 40


Bài tập chương 2

2.1. Vẽ dạng sóng ngõ ra cho mạch hình sau

(A)
(A)
(B) X
(B) (C)
(C)

2.2. Giả sử ngõ vào A (bài 2.1) = 0, vẽ dạng sóng ngõ ra.
2.3. Giả sử ngõ vào A (bài 2.1) = 1, vẽ dạng sóng ngõ ra.
2.4. Có bao nhiêu tổ hợp ngõ vào của cổng OR 5 ngõ vào làm cho ngõ ra ở
mức cao?
2.5. Thay đổi cổng OR ở bài 2.1 thành cổng AND
a. Vẽ sóng ngõ ra
b. Vẽ sóng ngõ ra nếu ngõ vào A nối mass
c. Vẽ sóng ngõ ra nếu ngõ vào A nối +5V
2.6. Thêm cổng đảo ở ngõ ra của cổng OR (bài 2.1). Vẽ dạng sóng tại ngõ ra
của cổng đảo.
2.7. Viết biểu thức Boolean cho ngõ ra X. Xác định gia trị của X ứng với các
điều kiện ngõ vào có thể và liệt kê các giá trị vào bảng sự thật.

A

B
X
C

2.8. Làm lại với các yêu cầu tương tự bài 2.7

A

B

C

X

D

Trang 41


2.9. Xác định bảng sự thật đầy đủ cho mạch ở bài 2.8 bằng cách tìm mức
logic hiện điện tại ngõ ra ứng với mỗi sự kết hợp của ngõ vào.
2.10. Thay cổng OR thành cổng AND, cổng AND thành cổng OR ở bài 2.8,
viết biểu thức ngõ ra.
2.11. Ứng với mỗi biểu thức bên dưới, xây dựng mạch logic tương ứng,
dùng cổng AND, OR, cổng đảo
a. x = AB(C + D )
b. z = ( A + B + CD E ) + BC D
c. y = ( M + N ) + PQ
d. x = W + PQ
e. z = MN ( P + N )
2.12. Vẽ dạng sóng ngõ ra
(A)
(A)
(B) X
(B) (C)

(C)

2.13. Làm lại bài 2.12 với cổng NAND
2.14. Viết biểu thức ngõ ra cho mạch sau và xác định bảng sự thật

A
B X

C

2.15. Thay đổi mạch điện được xây dựng trong bài 2.15 chỉ dùng cổng NAND
2.16. Hoàn tất các biểu thức sau
a. A + 1 =
b. A . A =
c. B . B =
d. C + C =
e. X . 0 =
f. D . 1 =
g. D + 0 =
h. C + C =
i. G + GF =
j. y + wy =

Trang 42


2.17. Đơn giản biểu thức sau
a. x = ABC + AC
b. y = (Q + R ) Q + R ( )
c. w = ABC + ABC + A
(
d. q = RST R + S + T )
e. x = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
f. ( )(
z = B +C B +C A+ B +C )
g. x=(M+N)(M+P)(N+P)
h. z=ABC+ABC+BCD
( )
i. y = C + D + AC D + ABC + ABCD + AC D

2.18. Hãy chứng minh định lý DeMorgan bằng tất cả các cách có thể.
2.19. Đơn giản biểu thức bên dưới dùng định lý DeMorgan:
a. ABC
b. A+BC
c. ABCD
d. A(B+C)D
e. (M+N)(M+N)
f. ABCD
2.20. Trình bày cách tạo cổng NAND 2 ngõ vào từ cổng NOT 2 ngõ vào.
2.21. Trình bày cách tạo cổng NOR 2 ngõ vào từ cổng NAND 2 ngõ vào.
2.22. Hoàn tất bảng sự thật cho mạch sau
A
B
X

C
D

E

2.23. Chỉ ra cách thực hiện x = A BC bằng 1 cổng NOR 2 ngõ vào và 1 cổng
NAND 2 ngõ vào.
2.24. Thực hiện biểu thức Y = ABCD sử dụng các cổng NAND 2 ngõ vào.

Trang 43


2.25 Rút gọn bìa Karnaugh sau

C.D CD CD CD C.D CD CD CD
A.B 0 0 0 1 A.B 0 0 1 0
A.B X 1 1 0 A.B 1 1 1 1
AB 0 1 X 0 AB 1 1 0 0
AB 0 0 1 0 AB 0 0 0 0
(a) (b)

C.D CD CD CD
A.B X 1 0 0
A.B 0 1 X 1
AB 1 X 1 0
AB 0 0 1 0
(c)
2.26 Rút gọn hàm bài 2.17 dùng bìa Karnaugh

Trang 44

Dai so boole

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to Dai so boole (7)

Dai so boole