Dethidaihoc 0266

Nguyễn Tuấn Anh

Tuyển tập các đề thi đại học
2002-2012
theo chủ đề

Trường THPT Sơn Tây

Mục lục

1 Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 3
1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ . . . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit . . . . . . . . 8
1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . . . . . . . . . 12
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Bất đẳng thức 17
2.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Hình học giải tích trong mặt phẳng 22
3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Tổ hợp và số phức 30
4.1 Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Công thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Khảo sát hàm số 36
5.1 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Hình học giải tích trong không gian 44
6.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 51
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Tích phân và ứng dụng 57
7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: . . . . 59
7.3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng (H) khi quay
quanh Ox. Biết (H) được giới hạn bởi các đường sau: . . . . . . . 59
Đáp Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chương 1

Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ
BPT

1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit . . . . . . 8
1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . . . . . 12
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Phương trình và bất phương trình
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ
Bài 1.1 (B-12). Giải bất phương trình
√ √
x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x.
Bài 1.2 (B-11). Giải phương trình sau:
√ √ √
3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x (x ∈ R)

Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT 4

Bài 1.3 (D-02). Giải bất phương trình sau:
√
(x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.

Bài 1.4 (D-05). Giải phương trình sau:
√ √
2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.

√
2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. (x ∈ R)

√ √
3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0.

Bài 1.7 (A-04). Giải bất phương trình sau:

2(x2 − 16) √ 7−x
√ + x−3> √ .
x−3 x−3

√ √ √
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.

Bài 1.9 (A-09). Giải phương trình sau:
√ √
2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0.

√
x− x
≥ 1.
1− 2(x2 − x + 1)

1.1.2 Phương trình lượng giác
√
Bài 1.11 (D-12). Giải phương trình sin 3x + cos 3x˘ sin x + cos x = 2 cos 2x
Bài 1.12 (B-12). Giải phương trình
√ √
2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1.


√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1

sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
√ = 0.
tan x + 3

sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

Bài 1.16 (A-11). Giải phương trình
1 + sin 2x + cos 2x √
= 2 sin x sin 2x.
1 + cot2 x
Bài 1.17 (D-02). Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng của phương trình:

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.

x π x
sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 0.
2 4 2

(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.

π π 3
cos4 x + sin4 x + cos (x − ) sin (3x − ) − = 0.
4 4 2

cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.

x x 2 √
(sin + cos ) + 3 cos x = 2.
2 2



2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.

√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.


sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.


sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.

2
cot x − tan x + 4 sin 2x = .
sin 2x

5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x.


1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

x
cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4.
2

2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.

√ √
sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.

√
sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).



(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.

Bài 1.35 (A-02). Tìm ngiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình:

cos 3x + sin 3x
5 sin x + = cos 2x + 3.
1 + 2 sin 2x

cos 2x 1
cot x − 1 = + sin2 x − sin 2x.
1 + tan x 2

cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.


2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√ = 0.
2 − 2 sin x

(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.

1 1 7π
+ = 4 sin ( − x).
sin x 3π 4
sin (x − )
2
(1 − 2 sin x) cos x √
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)

π
(1 + sin x + cos 2x) sin (x + ) 1
4 = √ cos x.
1 + tan x 2


1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit
√ √
log2 (8 − x2 ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x) − 2 = 0 (x ∈ R)
2

2 −x 2
2x − 22+x−x = 3.

2 +x 2 −x
2x − 4.2x − 22x + 4 = 0.

1
log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 ( ) = 0.
4.2x − 3
Bài 1.47 (D-08). Giải bất phương trình sau:

x2 − 3x + 2
log 1 ≥ 0.
2 x
√ 3
√ 3 +4x−4
42x+ x+2
+ 2x = 42+ x+2
+ 2x (x ∈ R)

Bài 1.49 (B-02). Giải bất phương trình sau:

logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1.

Bài 1.50 (B-05). Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:
12 x 15 x 20 x
( ) + ( ) + ( ) ≥ 3x + 4x + 5x .
5 4 3
Khi nào đẳng thức sảy ra?


log5 (4x + 144) − 4 log2 5 < 1 + log5 (2x−2 + 1).


√ √ √
( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.


x2 + x
log0,7 (log6 ( )) < 0.
x+4

3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.


2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2.
3


log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4.

1.2 Hệ Phương trình
Bài 1.57 (D-12). Giải hệ phương trình

xy + x − 2 = 0
; (x; y ∈ R)
2x3 − x2 y + x2 + y 2 − 2xy − y = 0

Bài 1.58 (A-12). Giải hệ phương trình

x3 − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y
1 (x, y ∈ R).
x2 + y 2 − x + y =
2
Bài 1.59 (A-11). Giải hệ phương trình:

5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0
(x, y ∈ R)
xy(x2 + y 2 ) + 2 = (x + y)2


Bài 1.60 (D-02). Giải hệ phương trình sau:

23x = 5y 2 − 4y
x x+1
4 + 2 = y.
2x + 2
xy + x + y = x2 − 2y 2
√ √ (x, y ∈ R).
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
x(x + y + 1) − 3 = 0
5 (x, y ∈ R).
(x + y)2 − 2 + 1 = 0
x
x2 − 4x + y + 2 = 0
(x, y ∈ R).
2 log2 (x − 2) − log√2 y = 0
Bài 1.64 (B-02). Giải hệ phương trình sau:
√ √
3
x−y = x−y
√
x + y = x + y + 2.
2
 3y = y + 2



 x2
2
 3x = x + 2 .



y2
√ √
x−1+ 2−y =1
3 log9 (9x2 ) − log3 y 3 = 3.
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
(x, y ∈ R).
x2 + 2xy = 6x + 6



xy + x + 1 = 7y
(x, y ∈ R).
x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2


log2 (3y − 1) = x
4x + 2x = 3y 2 .

Bài 1.70 (A-03). Giải hệ phương trình sau:

1 1
x− =y−

x y
 2y = x3 + 1.


1
log 1 (y − x) − log4 = 1

4 y
 x2 + y 2 = 25.

√
√+ y − √ = 3
x xy
x + 1 + y + 1 = 4.


 x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5
 2
4
 x4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5 .

4

log2 (x2 + y 2 ) = 1 + log2 (xy)
2 2
3x −xy+y = 81.

√
(4x2 + 1)x +√ − 3) 5 − 2y = 0
(y
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7.


1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số
Bài 1.76 (D-11). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

2x3 − (y + 2)x2 + xy = m
(x, y ∈ R)
x2 + x − y = 1 − 2m

Bài 1.77 (D-04). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
√ √
√+ y =1
x
√
x x + y y = 1 − 3m.

Bài 1.78 (D-04). Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:

x5 − x2 − 2x − 1 = 0.

Bài 1.79 (D-06). Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất:
ex − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y)
y − x = a.

Bài 1.80 (D-07). Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực:

 x+ 1 +y+ 1 =5


x y
 x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10.

x3 y3

Bài 1.81 (B-04). Xác định m để phương trình sau có nghiệm
√ √ √ √ √
m 1 + x2 − 1 − x2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .

Bài 1.82 (B-06). Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
√
x2 + mx + 2 = 2x + 1.

Bài 1.83 (B-07). Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương
trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

x2 + 2x − 8 = m(x − 2).


Bài 1.84 (A-02). Cho phương trình:

log2 x +
3 log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham số).
3

1. Giải phương trình khi m = 2. √
2. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ].

Bài 1.85 (A-07). Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
√ √ √4
3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1.

Bài 1.86 (A-08). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai
nghiệm thực phân biệt:
√
4
√ √ √
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).

Đáp số
1
0≤x≤ 4 1.9 x = −2
1.1
x≥4 √
3− 5
1.10 x = 2
6
1.2 x = 5 π
x = − 12 + k2π
1.11
x = 7π + k2π
12
x ≤ −1

2
1.3  x = 2 x = ± 2π + k2π
1.12 3
x≥3 x = k2π

x = π + kπ

1.4 x = 3 2
1.13  x = k2π
√
1.5 x = 1 ∨ x = 2 − 2 x = 2π + k2π
3

π
1.14 x = 3
+ k2π
1.6 x = 5
1
√ 1.15 cos x = −1; cos x = 2
1.7 x > 10 − 34
π
x= 2
+ kπ
1.16 π
1.8 2 ≤ x < 10 x= 4
+ k2π

π
1.17 x = π ; x =
2
3π
2
; x= 5π
2
; x= 7π
2 1.30
x= 12
+ kπ
(k ∈ Z)
5π
x= 12
+ kπ
x = π + k2π
1.18 π (k ∈ Z) 1.31 x = π + k π
x = − + kπ 8 4
4 x = 18 + k 2π
π
3
x = 5π + k 2π
18 3
x = ± π + k2π
1.19 3 (k ∈ Z)
x = − π + kπ
4 x = π + kπ
1.32 4 2 (k ∈ Z)
x = − π + kπ
3
π
1.20 x = + kπ (k ∈ Z)
4 x = − π + k2π
1.33 6 (k ∈ Z)
x = kπ x = 42 + k 2π
π
7
1.21 2π (k ∈ Z)
x=± + k2π 1.34 x = π
+ kπ (k ∈ Z)
3 4 2

π
x = π + k2π 1.35
x= 3
1.22 2 (k ∈ Z) 5π
x = − π + k2π
6
x= 3

π
x = ± 2π + k2π 1.36 x = 4
+ kπ (k ∈ Z)
1.23 3 (k ∈ Z)
x = π + kπ
4
1.37 x = k π
2
(k ∈ Z)
π
x = 18 + k π
1.24 3 (k ∈ Z) 1.38 x = 5π
+ k2π (k ∈ Z)
x = −π + k π
6 2
4

x= π
+ k2π 1.39 x = − π + kπ
4
1.25 6
5π (k ∈ Z) x = π + k2π
x= 6
+ k2π 2
x = k2π
kπ
x=
1.26 9
kπ (k ∈ Z) 1.40 x = − π + kπ
4
x= 2 x = − π + kπ
8
x = 5π + kπ
1.27 x = ± π + kπ
3
(k ∈ Z) 8

π
1.41 x = − 18 + k 2π
π
3
(k ∈ Z)
x= + k2π
1.28 6
5π (k ∈ Z)
x= + k2π
6 x = − π + k2π
1.42 6 (k ∈ Z)
x = 7π + k2π
6
x= − π + kπ
1.29 4 (k ∈ Z)
x= ± 2π + k2π
3 1.43 x = 0


x = −1 x=0 x=2
1.44 1.60 ∨
x=2 y=1 y=4

1.45 x = 0 ∨ x = 1 1.61 (x; y) = (5; 2)

1.46 x = log2 3 3
1.62 (x; y) = (1; 1); (2; − )
2
√ √
1.47 S = [2 − 2; 1) ∪ (2; 2 + 2] 1.63 (x; y) = (3; 1)

1.48 x = 1 ∨ x = 2 1.64 (x; y) = (1; 1); ( 3 ; 1 )
2 2

1.49 log9 73 < x ≤ 2 1.65 x = y = 1

1.66 (x; y) = (1; 1); (2; 2)
1.50 x = 0
1.67 (x; y) = (−4; 17 )
4
1.51 2 < x < 4
1
1.68 (x; y) = (1; 3 ); (3; 1)
1.52 x = 1 ∨ x = −1
1.69 (x; y) = (−1; 1 )
2
1.53 S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) √ √
1.70 √ y) = (1; 1); ( −1+
(x; √ 2
5 −1+ 5
; 2 )
−1− 5 −1− 5
1.54 x = 1 ( 2 ; 2 )

3 1.71 (x; y) = (3; 4)
1.55 4
<x≤3
1.72 (x; y) = (3; 3)
5
1.56 x = 2 ∨ x = 4
1.73 (x; y) = ( 3 5 ; − 3
4
25
16
) 3
= (1; − 2 )
(x; y) = (1; 1)

√ √
1.57  ( −1+ 5 ; 5) 1.74 x = y = 2
2√ √
( −1− 5 ; − 5)
2
x = y = −2

3 1 −3 1.75 (x; y) = ( 1 ; 2)
1.58 (x; y) = 2
; −1
2
; ;
2 2
2
√
2− 3
√ √ 1.76 m ≤ 2
1.59 (1; 1); (−1; −1); ( 2√52 ; √2 );
5
√ √
(− 2√52 ; − √2 ) 1
5 1.77 0 ≤ m ≤
4


1.78 f (x) = vt đb trên[1; +∞) 1.83
√
7 1.84 1.x = 3± 3
≤m≤2
1.80 4 2.0 ≤ m ≤ 2
m ≥ 22
√ 1.85 −1 < m ≤ 1
1.81 2−1≤m≤1 3

9
√ √ √
1.82 m ≥ 2
1.86 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6

Chương 2

Bất đẳng thức

2.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Bất đẳng thức
Bài 2.1 (A-09). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z
thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 .
1 1 1
Bài 2.2 (A-05). Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn + + = 4. Chứng
x y z
minh rằng
1 1 1
+ + ≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Bài 2.3 (A-03). Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng
1 1 1 √
x2 + + y2 + + z2 + ≥ 82.
x2 y2 z2

Chương 2.Bất đẳng thức 18
b
a 1
Bài 2.4 (D-07). Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng : 2 + a ≤
2
a
b 1
2 + b .
2
Bài 2.5 (D-05). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng

1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 √
+ + ≥ 3 3.
xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?

2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất
Bài 2.6 (D-12). Cho các số thực x, y thỏa mãn (x˘4)2 + (y˘4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y 3 + 3(xy˘1)(x + y˘2).
Bài 2.7 (B-12). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và

x2 + y 2 + z 2 = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x5 + y 5 + z 5 .

Bài 2.8 (A-12). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y 2 + 6z 2

Bài 2.9 (B-11). Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn
2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3 b 3 a2 b 2
P= 4 3 + 3 − 9 2 + 2 .
b a b a
Bài 2.10 (A-11). Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm
x y z
P = + +
2x + 3y y + z z + x
.


Bài 2.11 (D-11). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
2x2 + 3x + 3
trên đoạn [0; 2].
x+1
Bài 2.12 (A-07). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y)
P = √ √ + √ √ + √ √ .
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y

Bài 2.13 (A-06). Cho hai số thực x = 0, y = 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

(x + y)xy = x2 + y 2 − xy.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1
A= 3
+ 3.
x y

Bài 2.14 (B-10). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm
√
M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 .

Bài 2.15 (B-09). Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãm (x + y)3 + 4xy ≥ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 3(x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2(x2 + y 2 ) + 1.

Bài 2.16 (B-08). Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y 2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2(x2 + 6xy)
P = .
1 + 2xy + 2y 2

Bài 2.17 (B-07). Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
x 1 y 1 z 1
P =x + +y + +z + .
2 yz 2 zx 2 xy


Bài 2.18 (B-06). Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
A = (x − 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 + |y − 2|.

Bài 2.19 √
(B-03). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x + 4 − x2 .

Bài 2.20 (D-10). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
√ √
y = −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10.

Bài 2.21 (D-09). Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = (4x2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy.

Bài 2.22 (D-08). Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(x − y)(1 − xy)
P = .
(1 + x)2 (1 + y)2

Bài 2.23 (D-03). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x+1
√ trên đoạn [−1; 2].
x2 + 1

2.3 Nhận dạng tam giác
Bài 2.24 (A-04). Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện
√ √
cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3.

Tính ba góc của tam giác ABC.

Đáp số

√
17−5 5
√
2.6 Amin = 4
2.13 Amax = 16 2.20 ymin = 2
√ 2.14 Mmin = 2
5 6 25
2.7 P = 2.21 Smax = 2
; Smin =
36 9 191
2.15 Amin = 16
16
2.8 Pmin = 3
2.16 Pmax = 3; Pmin = 2.22 P =
min
2.9 min P = − 23 −6 − 1 ; Pmax = 4
1
4 4
9
2.10 Pmin = 34 2.17 Pmin = √
33 2
√ 2.23 ymax = 2; ymin =
2.11 GTLN là 17 ;GTNN 2.18 Amin = 2 + 3 0
3
là 3 √
2.19 max y = 2 2
[−2;2] 2.24 A = 90o ; B = C =
2.12 Pmin = 2 min y = −2 45o
[−2;2]

Chương 3

Hình học giải tích trong mặt phẳng

3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Đường thẳng
Bài 3.1 (D-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.
Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+3y = 0 và x˘y +4 = 0;
đường thẳng BD đi qua điểm M (− 1 ; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
3
ABCD.

Bài 3.2 (A-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi
M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử
M 11 ; 1 và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm
2 2
A.

Bài 3.3 (D-11). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1),
trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

Chương 3.Hình học giải tích trong mặt phẳng 23

Bài 3.4 (B-11). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x−y −4 =
0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường
thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
Bài 3.5 (A-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh
AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm
E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Bài 3.6 (A-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình
chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 3.7 (A-06). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho các
đường thẳng :

d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0.

Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 .
Bài 3.8 (A-05). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
đường thẳng :
d1 : x − y = 0 và d2 : 2x + y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C
thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Bài 3.9 (A-04). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
√
điểm A(0;2) và B(− 3; −1). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp của tam giác OAB.
Bài 3.10 (A-02). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac √ vuông góc Oxy, xét tam
√
giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x − y − 3 = 0, các
đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 3.11 (B-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC
bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.


giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ :
x − y − 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C, biết rằng diện tích tam giác ABC
bằng 18.
Bài 3.13 (B-08). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác
định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên
đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương
trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0.
Bài 3.14 (B-07). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm
A(2;2) và các đường thẳng :
d1 : x + y − 2 = 0, d2 : x + y − 8 = 0.
Tìm tọa độ điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A.
Bài 3.15 (B-04). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − 2y − 1 = 0 sao cho
khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
giác ABC có AB=AC, BAC = 90o . Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và
2
G( ; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
3
Bài 3.17 (B-02). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hình
1
chữ nhật ABCD có tâm I( ; 0), phương trình đường thẳng AB là x − 2y + 2 = 0
2
và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Bài 3.18 (D-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm
A(0;2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết rằng khoảng cách từ H đến trục hoành
bằng AH.
Bài 3.19 (D-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao
đi qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Viết
phương trình đường thẳng AC.
giác ABC có các đỉnh A(-1;0); B(4;0); C(0;m) với m = 0. Tìm tọa độ trọng tâm
G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.


3.2 Đường tròn
Bài 3.21 (D-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x˘y +
3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt
trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
Bài 3.22 (B-12). Trong mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1) :
x2 + y 2 =, (C2) : x2 + y 2 − 12x + 18 = 0 và đường thẳng d : x − y − 4 = 0.
Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
Bài 3.23 (D-11). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn
(C) : x2 + y 2 − 2x + 4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại
điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Bài 3.24 (B-11). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B( 1 ; 1).
2
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng
tại các điểm D, E, F. Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0.
Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
Bài 3.25 (A-11). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0
và đường tròn (C) : x2 + y 2 − 4x − 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc
∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm
tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Bài 3.26 (A-10). √Trong mặt phẳng với √ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
hệ
đường thẳng d1 : 3x + y = 0 và d2 : 3x − y = 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp
xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B.
√
3
Viết phương trình của (T), biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng và điểm
2
A có hoành độ dương.
Bài 3.27 (A-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường
tròn (C) : x2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0,
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại
hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Bài 3.28 (A-07). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam
giác ABC có A(0;2), B(-2;-2), và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi
qua các điểm H, M, N.


Bài 3.29 (B-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường
4
tròn (C): (x − 2)2 + y 2 = và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0.
5
Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn (C1 ); biết đường tròn (C1 ) tiếp
xúc với các đường thẳng ∆1 , ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C).
Bài 3.30 (B-06). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường
tròn (C): x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M(-3;1). Gọi T1 và T2 là các tiếp
điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1 T2 .
Bài 3.31 (B-05). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho hai
điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành
tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-
2;0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
Bài 3.33 (D-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho đường
tròn (C): (x − 1)2 + y 2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc
(C) sao cho IM O = 30o .
tròn (C): (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x − 4y + m = 0.
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến
PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
tròn (C): x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x − y + 3 = 0. Tìm tọa
độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính
đường tròn (C), tiếp xục ngoài với đường tròn (C).
tròn (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d: x − y − 1 = 0.
1. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng
d.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).

3.3 Cônic
Bài 3.37 (B-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có
AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình


x2 + y 2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D
của hình thoi. Biết A thuộc Ox.
Bài 3.38 (A-12). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
(C) : x2 + y 2 = 8. Viết phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục
lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
x2 y2
Bài 3.39 (A-11). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = 1. Tìm
4 1
tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân
tại O và có diện tích lớn nhất.
Bài 3.40 (A-08). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, hãy viết
√
5
phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng và hình chữ
3
nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
Bài 3.41 (B-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm
√ x2 y 2
A(2; 3) và elip (E): + = 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có
3 2
hoành độ âm), M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E), N
là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
AN F2 .
Bài 3.42 (D-08). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho
parabol (P): y 2 = 16x và điểm A(1;4). Hai điểm phân biệt B,C (B và C khác
A) di động trên (P) sao cho góc BAC = 90o . Chứng minh rằng đường thẳng BC
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3.43 (D-02). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip
x2 y 2
(E) có phương trình + = 1. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N
16 9
chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định
tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3.44 (D-05). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho điểm
x2 y2
C(2;0) và elíp (E): + = 1. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng
4 1
A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Đáp số


3.1 A(−3; 1); D(−1; 3).B(1; −3).C(3; −1) A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2)
3.17
√ √
3.2 A(1; −1); A(4; 5). 3.18 ( 5 − 1)x ± 2 5 − 2y = 0

3.3 A(4; 3); C(3; −1) 3.19 3x − 4y + 5 = 0
√
3.4 N (0; −4), M (0; −2) 3.20 m = ±3 6
N (6; 2); M ( 5 ; 2 )
6
5
3.21 (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
3.5 B(0; −4), C(−4; 0)
hoặc B(−6; 2), C(2; −6) 3.22 (C) : x2 + y 2 − 6x − 6y + 10 = 0

3.6 y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0 3.23 ∆ : y = 1; y = −3

3.7 M (−22; −11), M (2; 1) 3.24 A(3; 13 )
3

3.8 A(1; 1), B(0; 0), C(1; −1), D(2; 0) 3.25 M (2; −4) và M (−3; 1)
A(1; 1), B(2; 0), C(1; −1), D(0; 0) 1 2
3.26 (x + 2√3 )2 + (y + 3 )2 = 1
√ √
3.9 H( 3; −1), I(− 3; 1) 8
3.27 m = 0 ∨ m = 15
√ √
3.10 G1 ( 7+4 3 ; 6+2 3 )
√ 3
−4 3−1 −6−2 3
√3 3.28 x2 + y 2 − x + y − 2 = 0
G2 ( 3 ; 3 )
√
2 2
8
3.29 K( 5 ; 4 ); R =
5 5
3.11 3x − 4y + 16 = 0
3.30 2x + y − 3 = 0
3.12 B( 11 ; 3 ); C( 3 ; − 5 )
2 2 2 2
3
B( 2 ; − 5 ); C( 11 ; 3 )
2 2 2 3.31 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1
(x − 2)2 + (y − 7)2 = 49
3.13 C(− 10 ; 3 )
3 4 √
3.32 C(−2 + 65; 3)
3.14 B(−1; 3), C(3; 5) √
B(3; −1), C(5; 3) 3.33 M ( 3 ; ± 3
)
2 2

3.15 C = (7; 3); (− 11 ; − 27 )
43
11 3.34 m = 19 ∨ m = −41

3.16 B, C = (4; 0); (−2; −2) 3.35 M = (1; 4); (−2; 1)

√
2 3 2 4
3.36 (x − 3)2 + y 2 = 4 3.41 (x − 1)2 + (y − 3
) = 3
A(1; 0), B(3; 2)

3.37 x2
+ y2
=1 3.42 I(17; −4)
20 5

3.38 x2
+ y2
16 =1 √ √
16 3 3.43 M (2 7; 0); N (0; 21)
√ √ √ √ gtnn(M N ) = 7
3.39 A, B = ( 2; 22 ); ( 2; − 22 )
√ √
x2 y2
3.40 9
+ 4
=1 3.44 A, B = ( 7 ; 4 7 3 ); ( 2 ; − 4 7 3 )
2
7

Chương 4

Tổ hợp và số phức

4.1 Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Công thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Bài toán đếm
Bài 4.1 (B-12). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ.
Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học
sinh được gọi có cả nam và nữ.

Bài 4.2 (B-05). Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3
tỉnh miềm núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

Bài 4.3 (B-04). Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu
hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được

Chương 4.Tổ hợp và số phức 31

bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất
thiết phải đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Bài 4.4 (B-02). Cho đa giác đều A1 A2 · · · A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường
tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , · · · , A2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , · · · , A2n ,
tìm n.

Bài 4.5 (D-06). Đội thanh nhiên xung kích của một trường phổ thông có 12 học
sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học
sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

4.2 Công thức tổ hợp
Bài 4.6 (B-08). Cho n, k nguyên dương, k ≤ n. Chứng minh rằng

n+1 1 1 1
k
+ k+1
= k
.
n+2 Cn+1 Cn+1 Cn

Bài 4.7 (B-06). Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng, số tập con gồm 4
phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, · · · , n}
sao cho tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
A4 + 3A3
n+1 n
Bài 4.8 (D-05). Tính giá trị của biểu thức M =
(n + 1)!
2 2 2 2
Biết rằng Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 (n là số nguyên dương).

4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển
Bài 4.9 (A-07). Chứng minh rằng :

1 1 1 3 1 5 1 2n−1 22n − 1
C2n + C2n + C2n + · · · + C2n =
2 4 6 2n 2n + 1
(n là số nguyên dương).


Bài 4.10 (A-05). Tìm số nguyên dương n sao cho

C2n+1 − 2.2C2n+1 + 3.22 C2n+1 − 4.23 C2n+1 + · · · + (2n + 1).22n C2n+1 = 2005.
1 2 3 4 2n+1

Bài 4.11 (B-03). Cho n nguyên dương. Tính tổng

0 22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n
Cn + Cn + Cn + · · · + C .
2 3 n+1 n
Bài 4.12 (D-08). Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
1 3 2n−1
C2n + C2n + · · · + C2n = 2048.

4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức
n−1 3
Bài 4.13 (A-12). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn = Cn . Tìm số hạng
2 n
nx 1
chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn − , x = 0.
14 x
Bài 4.14 (A-08). Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1 x + · · · + an xn , trong đó
a1 an
n ∈ N∗ và các hệ số a0 , a1 , · · · , an thỏa mãn hệ thức a0 + + · · · + n = 4096.
2 2
Tìm hệ số lớn nhất trong các số a0 , a1 , · · · , an .
Bài 4.15 (A-06). Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niuton
n
1
của + x7 , biết rằng
x4
1 2
C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 = 220 − 1
n

Bài 4.16 (A-04). Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2 (1 −
x)]8 .
Bài 4.17 (A-03). Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niuton
1 √ n
của + x 5 , biết rằng
x3
n+1 n
Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3)

(n là số nguyên dương, x > 0).


Bài 4.18 (A-02). Cho khai triển nhị thức:
x−1 −x n x−1 n x−1 n−1 −x x−1 −x n−1 −x n
0 1 n−1 n
2 2 +2 3 = Cn 2 2 +Cn 2 2 2 3 +· · ·+Cn 2 2 2 3 +Cn 2 3 .

3 1
(n nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn = 5Cn và số hạng thứ tư
bằng 20n, tìm n và x.
Bài 4.19 (B-07). Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niuton
của (2 + x)n , biết:

3n Cn − 3n−1 Cn + 3n−2 Cn − 3n−3 Cn + · · · + (−1)n Cn = 2048
0 1 2 3 n

Bài 4.20 (D-07). Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:

x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 .

Bài 4.21 (D-04). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niuton của
7
√ 1
3
x+ √ với x > 0.
4
x
Bài 4.22 (D-03). Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong
khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x + 2)n . Tìm n để a3n−3 = 26n.

4.5 Số phức
Bài 4.23 (D-12). Giải phương trình z 2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số
phức.
2(1 + 2i)
Bài 4.24 (D-12). Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = 7 + 8i. Tìm
1+i
môđun của số phức w = z + 1 + i.
√
Bài 4.25 (B-12). Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 3iz −
4 = 0. Viết dạng lượng giác của z1 và z2
5(z + i)
Bài 4.26 (A-12). Cho số phức z thỏa = 2 − i. Tính môđun của số phức
z+1
w = 1 + z + z2.


Bài 4.27 (D-11). Tìm số phức z, biết :z − (2 + 3i)z = 1 − 9i.
Bài 4.28 (B-11).
√
5+i 3
1. Tìm số phức z, biết: z − − 1 = 0.
z
√ 3
1+i 3
2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = .
1+i

Bài 4.29 (A-11).

1. Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = |z|2 + z.

2. Tính môđun của số phức z, biết:

(2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i.

Bài 4.30 (A-10).
− √ √
1. Tìm phần ảo của số phức z, biết z = ( 2 + i)2 (1 − 2i).
√
− (1 − 3i)3 −
2. Cho số phức z thỏa mãn z = . Tìm môđun của số phức z + iz.
1−i
Bài 4.31 (A-09). Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 =
0. Tính giá trị của biểu thức A = |z1 |2 + |z2 |2 .
Bài 4.32 (B-10). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, tìm tập
hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

|z − i| = |(1 + i)z|.
√ −
Bài 4.33 (B-09). Tìm số phức z thỏa mãn: |z − (2 + i)| = 10 và z z = 25.
Bài 4.34 (D-09). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, tìm tập
hợp điểm biểu diễn các số phưc z thỏa mãn điều kiện |z − (3 − 4i)| = 2.
√
Bài 4.35 (D-10). Tìm số phức z thỏa mãn: |z| = 2 và z 2 là số thuần ảo.

Đáp số


443 4
4.21 C7 = 35
4.1 P =
506
1 4 2 4 1 4
4.2 C3 .C12 .C1 .C8 .C1 .C4 = 207900 4.22 n = 5

2 2 1 2 1 2
4.3 C15 .C10 .C5 + C15 .C10 .C5 + 4.23 z = −1˘2i; z = −2˘i
3 1 1
C15 .C10 .C5 = 56875
4.24 |w| = 5
4.4 n = 8
4.25 z1 = 2(cos 2π + i sin 2π )
3 3
4 2 1 1 1 2 1
4.5 C12 − (C5 .C4 .C3 + C5 .C4 .C3 + z2 = 2(cos π + i sin π )
3 3
1 1 2
C5 .C4 .C3 ) = 225
√ √
4.26 ⇒ |w| = 4 + 9 = 13
4.7 k = 9
3 4.27 z = 2 − i
4.8 M = 4

4.10 n = 1002 4.28
√ √
n+1
3 −2 n+1 1. z = −1 − 3i; z = 2 − 3i
4.11
n+1 2. z = 2 + 2i
4.12 n = 6
4.29 z√= 0, z = − 1 ± 1 i
2 2
−35 5
4.13 16
.x |z| = 32

4.14 a8 = 28 C12 = 126720
8 √
4.30 Phần ảo z là: − 2
− √
6 |z + iz| = 8 2
4.15 C10 = 210

3 2 4 0
4.16 C8 .C3 + C8 .C4 = 238 4.31 A = 20

4
4.17 C12 = 495 4.32 x2 + (y + 1)2 = 2

4.18 n = 7, x = 4 4.33 z = 3 + 4i hoặc z = 5

4.19 C11 .21 = 22
10
4.34 (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4

4.20 (−2)4 C5 + 33 .C10 = 3320
4 3
4.35 1 + i; 1 − i; −1 + i; −1 − i

Chương 5

Khảo sát hàm số

5.1 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1 Tiếp tuyến
−x + 1
Bài 5.1 (A-11). Cho hàm số y =
2x − 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp
tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
(2m − 1)x − m2
Bài 5.2 (D-02). Cho hàm số : y= (1) (m là tham số).
x−1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m= −1.

Chương 5.Khảo sát hàm số 37

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
1 3 m 2 1
Bài 5.3 (D-05). Gọi (Cm ) là đồ thị hàm số y = x − x + (*) (m là
3 2 3
tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 2.
2. Gọi M là điểm thuộc (Cm ) có hoành độ bằng −1 . Tìm m để tiếp tuyến của
(Cm ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0.
2x
Bài 5.4 (D-07). Cho hàm số y= .
x+1
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy
tại
1
A, B và tam giác OAB có diện tích bằng .
4
Bài 5.5 (D-10). Cho hàm số y = −x4 − x2 + 6.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường
1
thẳng y = x − 1.
6
1
Bài 5.6 (B-04). Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x (1) có đồ thị (C).
3
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là
tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
x2 + x − 1
Bài 5.7 (B-06). Cho hàm số y =
x+2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với
tiệm cận xiên của (C).

Bài 5.8 (B-08). Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua điểm M(−1; −9).


x+2
Bài 5.9 (A-09). Cho hàm số y = (1).
2x + 3
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc
tọa độ O.

5.2 Cực trị
Bài 5.10 (D-12). Cho hàm số y = 2 x3 ˘mx2 ˘2(3m2˘1)x +
3
2
3
(1), m là tham số
thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 vàx2 sao cho x1 .x2 +2(x1 +x2 ) =
1

Bài 5.11 (B-12). Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m2 , (1), m là tham số thực.


2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng 48.

Bài 5.12 (A-12). Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 , (1) ,với m là tham
số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
tam giác vuông.

Bài 5.13 (B-11). Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m, (1), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O
là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.


Bài 5.14 (B-02). Cho hàm số : y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1) (m là
tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m= 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
x2 + (m + 1)x + m + 1
Bài 5.15 (B-05). Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y = (*)
x+1
(m là tham số).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m= 1.
2. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm ) √
luôn luôn có điểm cực đại, điểm
cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20.

Bài 5.16 (B-07). Cho hàm số: y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (1), m là
tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m= 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
(1) cách đều gốc tọa độ O.

Bài 5.17 (A-02). Cho hàm số: y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 (1)
(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàn số (1) khi m = −1.
2. Tìm k để phương trình: −x3 + 3x2 + k 3 − 3k 2 = 0 có ba nghiệm phân
biệt.
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
1
Bài 5.18 (A-05). Gọi(Cm ) là đồ thị của hàm số y = mx + (*) (m là tham
x
số).
1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
4
2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm ) đến
1
tiệm cận xiên của (Cm ) bằng √ .
2
x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m
Bài 5.19 (A-07). Cho hàm số y = (1), m là tham
x+2
số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ
thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.


5.3 Tương giao đồ thị
2x + 1
Bài 5.20 (D-11). Cho hàm số y =
x+1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Bài 5.21 (D-03).
x2 − 2x + 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y= (1).
x−2
2. Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai
điểm phân biệt.

Bài 5.22 (D-06). Cho hàm số : y = x3 − 3x + 2.
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.

Bài 5.23 (D-08). Cho hàm số : y = x3 − 3x2 + 4 (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k> −3)
đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung
điểm của đoạn thẳng AB.

Bài 5.24 (D-09).
I. Cho hàm số y = x4 − (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm ), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m= 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm ) tại 4 điểm phân biệt đều có
hoành độ nhỏ hơn 2.
II. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số
x2 + x − 1
y= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng
x
AB thuộc trục tung.

Bài 5.25 (B-09).
I. Cho hàm số y = 2x4 − 4x2 (1).


2. Với giá trị nào của m, phương trình x2 |x2 − 2| = m có đúng 6 nghiệm thực
phân biệt?
II. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số
x2 − 1
y= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 4.
x
2x + 1
Bài 5.26 (B-10). Cho hàm số y = .
x+1
2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B
√
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).
mx2 + x + m
Bài 5.27 (A-03). Cho hàm số y= (1) (mlà tham số).
x−1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm
đó có hoành độ dương.
−x2 + 3x − 3
Bài 5.28 (A-04). Cho hàm số y= (1).
2(x − 1)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho
AB= 1.
Bài 5.29 (A-06).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x3 | − 9x2 + 12|x| = m.
Bài 5.30 (A-10). Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m là tham số
thực.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x2 + x2 + x2 < 4.
1 2 3

5.4 Bài toán khác
Bài 5.31 (D-04). Cho hàm số : y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1) (m là tham
số).
1. Khảo sát hàm số (1) ứng với m = 2.
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.


Bài 5.32 (B-03). Cho hàm số : y = x3 − 3x2 + m (1) (m là tham số).
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc
tọa độ.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m= 2.
mx2 + (3m2 − 2)x − 2
Bài 5.33 (A-08). Cho hàm số y = (1), với m là tham
x + 3m
số thực.
2. Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm
số (1) bằng 45o .

Đáp số

5.1 m = −1 5.12 m = 0
√
5.2 −1 + 4 ln 4 ; m = 1 5.13 m = 2 ± 2 2
3

5.3 m = 4 5.14 m < −3 or 0 < m < 3

5.15 M (−2; m − 3); N (0; m + 1)
5.4 M (− 1 ; −2); M (1; 1)
2
5.16 m = ± 1
2
5.5 y = −6x + 10
5.17 −1 < k < 3, k = 0, k = 2
8
5.6 y = −x + 3 y = 2x − m2 + m
√ √
5.7 y = −x+2 2−5; y = −x−2 2− 5.18 m = 1
5 √
5.19 m = −4 ± 2 6
15 21
5.8 y = 24x + 15; y = 4
x − 4
5.20 k = −3
5.9 y = −x − 2 5.21 m > 1
2
5.10 m = 3 5.22 m > 15
,m = 24
4

5.11 m = ±2 5.23


5.24 I(− 1 < m < 1, m = 0); II(m = 5.29 4 < m < 5
3
1)
√ 5.30 − 1 < m < 1, m = 0
4
5.25 I(0 < m < 1); II(m = ±2 6)

5.26 m = ±2 5.31 m = 0 or m = ±2

5.27 − 1 < m < 0
2
5.32 m > 0
√
1± 5
5.28 m = 2
5.33 m = ±1

Chương 6

Hình học giải tích trong không gian

6.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . 51
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1 Đường thẳng và mặt phẳng
Bài 6.1 (D-12). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x−1 y+1 z
= = và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0). Xác định tọa độ
2 −1 1
điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Bài 6.2 (B-12). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0).
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C
sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Bài 6.3 (A-12). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x+1 y z−2
d: = = , mặt phẳng (P) :x + y − 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1;
2 1 1
2). Viết phương trình đường thẳng δ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là
trung điểm của đoạn thẳng MN.

Chương 6.Hình học giải tích trong không gian 45

Bài 6.4 (D-11). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và
x+1 y z−3
đường thẳng d : = = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
2 1 −2
điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
Bài 6.5 (B-11).

1. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x−2 y+1 z
∆ : = = và mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0. Gọi I
1 −2 −1
là giao điểm của ∆ √ (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông
và
góc với ∆ và MI =4 14.

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x+2 y−1 z+5
∆: = = và hai điểm A(−2; 1; 1); B(−3; −1; 2). Tìm
1 3 −2
điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích
tọa độ √
bằng 3 5.
Bài 6.6 (A-11). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(2; 0; 1), B(0; −2; 3) và mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ
điểm M thuộc (P ) sao cho M A = M B = 3.
Bài 6.7 (D-02). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P) : 2x − y + 2 = 0 và đường thẳng
(2m + 1)x + (1 − m)y + m − 1 = 0
dm :
mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0
(m là tham số).
Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).
Bài 6.8 (D-03). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
x + 3ky − z + 2 = 0
(P) : x − y − 2z + 5 = 0 và đường thẳng dk : (k là tham
kx − y + z + 1 = 0
số).
Xác định k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 6.9 (D-04). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng
ABC.A1 B1 C1 . Biết A(a;0;0), B(−a;0;0), C(0;1;0), B1 (−a;0;b), a> 0, b> 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1 C và AC1 theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn a+b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa
hai đường thẳng B1 C và AC1 lớn nhất.


Bài 6.10 (D-05). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

x−1 y+2 z+1 x+y−z−2=0
d1 : = = và d2 :
3 −1 2 x + 3y − 12 = 0.

a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2 .
b) Mặt phẳng tọa độ Oxy cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt tại các điểm A, B.
Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).

Bài 6.11 (D-06). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai
đường thẳng:
x−2 y+2 z−3 x−1 y−1 z+1
d1 : = = , d2 : = = .
2 −1 1 −1 2 1

1. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 .
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 .

Bài 6.12 (D-07). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2),
x−1 y+2 z
B(−1;2;4) và đường thẳng ∆ : = = .
−1 1 2
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc mặt phẳng (OAB).
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất.

Bài 6.13 (D-09).
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0)
và mặt phẳng (P): x + y + z − 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng
AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
x+2 y−2
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = =
1 1
z
và mặt phẳng (P):x + 2y − 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm
−1
trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆.

Bài 6.14 (D-10).
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0
và (Q):x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và
(Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.


 x=3+t
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : y=t
z=t

x−2 y−1 z
và ∆2 : = = . Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng
2 1 2
cách từ M đến ∆2 bằng 1.
Bài 6.15 (B-03). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;0),
−→
B(0;0;8) và điểm C sao cho AC =(0;6;0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của
BC đến đường thẳng OA.
Bài 6.16 (B-04). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−4;−2;4) và

 x = −3 + 2t
đường thẳng d: y = 1 − t . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
z = −1 + 4t

A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 6.17 (B-06). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai
đường thẳng:

x y−1 z+1  x=1+t
d1 : = = , d2 : y = −1 − 2t
2 1 −1
z = 2 + t.


1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2 .
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng
hàng.
Bài 6.18 (B-08). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2),
B(2;−2:1), C(−2;0;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z −3 = 0 sao cho MA=MB=MC.
Bài 6.19 (B-09).
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1),
B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B
sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − 5 = 0
và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song
với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng
đó nhỏ nhất.


Bài 6.20 (B-10).
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0),
C(0;0;c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P):y − z + 1 = 0. Xác định b và
c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O
1
đến mặt phẳng (ABC) bằng .
3
x y−1 z
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = .
2 1 2
Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng
OM.
Bài 6.21 (A-02). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

 x=1+t
x − 2y + z − 4 = 0
∆1 : và ∆2 : y =2+t .
x + 2y − 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t


1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường
thẳng ∆2 .
2. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc ∆2 sao cho đoạn MH có độ dài
nhỏ nhất.
Bài 6.22 (A-03). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ trục tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0),
A’(0;0;b) (a> 0,b> 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
1. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
a
2. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b
Bài 6.23 (A-04). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),
√
S(0;0;2 2). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối
chóp S.ABMN.
Bài 6.24 (A-05). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
x−1 y+3 z−3
đường thẳng d: = = và mặt phẳng (P):2x + y − 2z + 9 = 0.
−1 2 1
1. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
2. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình
tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông
góc với d.


Bài 6.25 (A-06). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của AB và CD.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α
1
biết cos α = √ .
6
Bài 6.26 (A-07). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x y−1 z+2  x = −1 + 2t
d1 : = = và d2 : y =1+t
2 −1 1
z = 3.


1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y − 4z = 0
và cắt hai đường thẳng d1 , d2 .

Bài 6.27 (A-08). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và
x−1 y z−2
đường thẳng d: = = .
2 1 2
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn
nhất.

Bài 6.28 (A-09). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x+1 y z+9
mặt phẳng (P):x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 : = = ,
1 1 6
x−1 y−3 z+1
∆2 : = = . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1
2 1 −2
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
x−1
Bài 6.29 (A-10). Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : =
2
y z+2
= và mặt phẳng (P):x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P),
1 −1 √
M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC= 6.


6.2 Mặt cầu
Bài 6.30 (D-12). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +
y˘2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo
một đường tròn có bán kính bằng 4.
Bài 6.31 (B-12). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x−1 y z
= = và hai điểm A(2;1;0), B(-2;3;2). Viết phương trình mặt cầu đi
2 1 −2
qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Bài 6.32 (A-12). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x+1 y z−2
= = và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I
1 2 1
và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Bài 6.33 (D-11). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x−1 y−3 z
= = và mặt phẳng (P): 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình mặt
2 4 1
cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Bài 6.34 (A-11). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S) : x2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y − 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt
phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài 6.35 (D-04). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1),
B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) : x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt
cầu đi qua ba điểm A, B, C, và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Bài 6.36 (D-08). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0),
B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 6.37 (B-05). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng
ABC.A1 B1 C1 với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4).
1. Tìm tọa độ các đỉnh A1 , C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc
với mặt phẳng (BCC1 B1 ).
2. Gọi M là trung điểm của A1 B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai
điểm A, M và song song với BC1 . Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 tại điểm
N. Tính độ dài đoạn MN.


Bài 6.38 (B-07). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn
có bán kính bằng 3.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(P) lớn nhất.

Bài 6.39 (A-09). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P):2x − 2y − z − 4 = 0 và mặt cầu (S):x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0.
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác tọa độ
định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Bài 6.40 (A-10). Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;−2) và đường
thẳng
x+2 y−2 z+3
∆: = = . Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình
2 3 2
mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC=8.

6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Bài 6.41 (D-12). Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam
giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách
từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

Bài 6.42 (B-12). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt
phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

Bài 6.43 (A-12). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA
=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o . Tính thể tích
của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Bài 6.44 (D-11). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB
√
=2a 3và SBC = 30o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SAC) theo a.


Bài 6.45 (B-11).√ lăng trụ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật.
Cho
AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD)
bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt
phẳng (A1 BD) theo a.
Bài 6.46 (A-11). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích
khối chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 6.47 (D-03). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến
là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điển A, B với AB=a. Trong mặt phẳng (P) lấy
điển C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆
và AC=BD=AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 6.48 (D-06). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp
A.BCMN.
Bài 6.49 (D-07). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = BAD =
√
90o , BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với dáy và SA=a 2. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính
(theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Bài 6.50 (D-08). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
√
AB=BC=a, cạnh bên AA’=a 2. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
Bài 6.51 (D-09). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao
điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 6.52 (D-10). Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm
AC
H thuộc đoạn AC, AH= . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng
4
minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.


Bài 6.53 (B-02). Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB1 , CD, A1 D1 . Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C1 N.

Bài 6.54 (B-03). Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một
hình thoi cạnh a, góc BAD = 60o . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung
điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc mặt phẳng.
Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.

Bài 6.55 (B-04). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0o < ϕ < 90o ). Tính tan của góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.

Bài 6.56 (B-06). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
√
AB=a, AD=a 2, SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng
mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện
ANIB.

Bài 6.57 (B-07). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của
AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a)
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Bài 6.58 (B-08). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
√
SA=a, SB=a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN
và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Bài 6.59 (B-09). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa
đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60o , tam giác ABC vuông tại C và
BAC = 60o . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

Bài 6.60 (B-10). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, góc giữa
hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC.
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC theo a.


Bài 6.61 (A-02). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy
bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện
tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Bài 6.62 (A-03). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo góc phẳng
nhị diện [B, A C, D].

Bài 6.63 (A-06). Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính
đáy bằng chiều cao và bẳng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn
tâm O’ lấy điểm B sao cho AB=2a. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB.

Bài 6.64 (A-07). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc
với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Bài 6.65 (A-08). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC
√
là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A’ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.

Bài 6.66 (A-09). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D; AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o .
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 6.67 (A-10). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN
√
với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=a 3. Tính thể tích
khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Đáp số
y−2
6.1 M (1; −1; 0) : M ( 3 ; − 5 ; 2 ).
7
3 3
6.4 ∆ : x−1
2
= 2
= z−3
3

6.2 6x + 3y − 4z + 12 = 0 6.5 1. M = (4; −7; 6); (5; 9; −11)

6.3 x+1
= y+4
= z 2. M (−2; 1; −5); M (−14; −35; 19)
2 3 2

√ √
6.6 M (0; 1; 3) hay M (− 6 ; 4 ; 12 )
7 7 7
6.23 30o , 2 3 6 ; 2

1
6.7 m = − 2 6.24 I(−3; 5; 7)orI(3; −7; 1)
x = t, y = −1, z = 4 + t
6.8 k = 1
1
6.25 2√2
6.9 √ ab ;a =b=2 2x − y + z − 1 = 0; x − 2y − z + 1 = 0
a2 +b2

6.10 15x+11y−17z−10 = 0; SOAB = 6.26 x−2 = y = z+1
7 1 −4
5
6.27 H(3; 1; 4); x − 4y + z − 3 = 0
6.11 A (−1; −4; 1); x−1 = y−2 = z−3
1 −3 −5
18
6.28 M (0; 1; −3)orM ( 35 ; 53 ; 35 )
35
3

6.12 x = y−2 = z−2 ; M (−1; 0; 4)
2 −1 1
1
6.29 √6
6.13 D( 5 ; 1 ; −1); x+3 = y−1 = z−1
2 2 1 −2 −1
6.30 (S) : (x˘2)2 + (y˘1)2 + (z˘3)2 =
√
6.14 x−z±2 2 = 0; M (4; 1; 1), M (7; 4; 25.
4)

6.15 5 6.31 (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 =
17
x+4 y+2 z−4
6.16 3
= 2
= −1
6.32 x2 + y 2 + (z − 3)2 = 8
3
6.17 x + 3y + 5z − 13 = 0
M (0; 1; −1), N (0; 1; 1) 6.33 (x − 5)2 +(y − 11)2 +(z − 2)2 = 1
(x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1
6.18 x + 2y − 4z + 6 = 0; M (2; 3; −7)
6.34 x − y + z = 0; x − y − z = 0
6.19 4x+2y+7z−15 = 0; 2x+3z−5 =
0 6.35 (x − 1)2 + y 2 + (z − 1)2 = 1
x+3 y z−1
26
= 11 = −2
6.36 x2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z = 0
6.20 b = c = 1 ; M (−1; 0; 0), M (2; 0; 0) H(2; 2; 2)
2
√
576 17
6.21 2x − z = 0; H(2; 3; 4) 6.37 x2 + (y + 2)2 + z 2 = 25
; 2

a2 b a
6.22 4
;b =1 6.38 y − 2z = 0; M (−1; −1; −3)

a
√ ; 90o
6.39 H(3; 0; 2); r = 4 6.53 6

6.40 x2 + y 2 + (z + 2)2 = 25 √
6.54 a 2
a3 √
2 3
6.41 V = √ 6.55 6
a tan ϕ
24 2
a
d= √ √
a3 2
6 6.56 36
√
7a3 11 √
6.42 V(SABH) = 96 6.57 a 2
4
2
√ 3
√
6.43 V (S, ABC) = 3 a 4√ a = a √ 7
1 7 √ √
a3 3
12 6.58 3
; 55
d [BC, SA] = 2 HI = 3 a 12 = a 842
3
2
42

√ 6a 6.59 9a3
6.44 V = 2a3 3; h = √
7
208

√
√ 3a3 3 7a
3a3 a 3 6.60 ; 12
6.45 V = 2
;h = 2
8

√
√ 3
√
a 12 6.61 a2 10
6.46 V(SM N CB) = 3a ; h = √
13
16

√ √
a 3 a 2 6.62 120o
6.47 2
; 2
√
√ 3a3
3 3a3 6.63 12
6.48 50
√
3a3
6.49 a 6.64 96
3

√
a 7 a3 1
6.50 7
6.65 ;
2 4

√ √
4a3 2a 5 3 15a3
6.51 9
; 5 6.66 5
√
a3 14 √ √
6.52 48 6.67 5 3a3 2 3a
; √19
24

Chương 7

Tích phân và ứng dụng

7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: 59
7.3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng (H)
khi quay quanh Ox. Biết (H) được giới hạn bởi các đường
sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Đáp Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.1 Tính các tích phân sau:
Bài 7.1 (D-12). Bài 7.3 (A-12).
π
4 3
I= x(1 + sin 2x)dx 1 + ln(x + 1)
I= dx
x2
0 1

Bài 7.2 (B-12).
Bài 7.4 (D-11).
1
x3 4
I= dx. 4x − 1
x4 + 3x2 + 2 I= √ dx
0 0 2x + 1 + 2

Chương 7.Tích phân và ứng dụng 58

Bài 7.5 (B-11). Bài 7.14 (D-10).
π
1 + x sin x e
3 3
I= dx I= (2x − ) ln x dx.
0 cos2 x 1 x
Bài 7.6 (A-11). Bài 7.15 (B-03).
π
4 x sin x + (x + 1) cos x π
I= dx 4 1 − 2 sin2 x
0 x sin x + cos x I= dx.
0 1 + sin 2x
Bài 7.7 (D-03).
Bài 7.16 (B-04).
2
I= |x2 − x| dx. e
√
0 1 + 3 ln x ln x
I= dx.
1 x
Bài 7.8 (D-04).
3 Bài 7.17 (B-05).
I= ln(x2 − x) dx.
π
2 2 sin 2x cos x
I= dx.
Bài 7.9 (D-05). 0 1 + cos x
π
2
I= (esin x + cos x) cos x dx. Bài 7.18 (B-06).
0
ln 5
dx
Bài 7.10 (D-06). I= .
ln 3 e + 2e−x − 3
x
1
I= (x − 2)e2x dx. Bài 7.19 (B-08).
0
π
Bài 7.11 (D-07). π
4 sin(x −
)dx
I= 4 .
e
sin 2x + 2(1 + sin x + cos x)
I= x3 ln2 x dx. 0
1
Bài 7.20 (B-09).
Bài 7.12 (D-08).
3
2 3 + ln x
ln x I= dx.
I= dx. 1 (x + 1)2
1 x3
Bài 7.13 (D-09). Bài 7.21 (B-10).
3 e
dx ln x
I= . I= dx.
1
x
e −1 1 x(2 + ln x)2


Bài 7.22 (A-03). Bài 7.26 (A-08).
√
2 3
dx π
I= √
√ . 6 tan4 x
5 x x2 + 4 I= dx.
0 cos 2x
Bài 7.23 (A-04).
2
x Bài 7.27 (A-09).
I= √ dx.
1 1+ x−1
π
Bài 7.24 (A-05). 2

π
I= (cos3 x − 1) cos2 x dx.
2 sin 2x + sinx 0
I= √ dx.
0 1 + 3 cos x
Bài 7.28 (A-10).
Bài 7.25 (A-06).
π
2 sin 2x 1
x2 + ex + 2x2 ex
I= dx. I= dx.
0 cos2 x + 4 sin2 x 0 1 + 2ex

7.2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các
đường sau:
2 2
Bài 7.29 (B-02). y= 4− x
4 và y= x .
√
4 2
Bài 7.30 (A-02). y = |x2 − 4x + 3| và y = x + 3.

Bài 7.31 (A-07). y = (e + 1)x và y = (1 + ex )x.

7.3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình
phẳng (H) khi quay quanh Ox. Biết (H) được
giới hạn bởi các đường sau:
Bài 7.32 (B-07). y = x ln x, y = 0 , x = e.


Đáp số

π2 1 −1
7.11 ( 5e32 )
4 5
7.22 ( 1 ln 3 )
7.1 + 4
32 4
1 7.12 ( 3−2 ln 2 )
16
7.23 ( 11 − 4 ln 2)
3
7.2 2
(2 ln 3 − 3 ln 2)
7.13 (ln(e2 + e + 1) − 2) 7.24 ( 34 )
7.3 I= 27

2 −2 2
7.14 ( e2 − 1) 7.25 ( 2 )
+ ln 2 + ln 3 3
3 3
√
7.4 34 3
+ 10 ln 5 7.15 ( 1 ln 2)
2 7.26 ( 1 ln(2+ 3)− 9103 )
2
√
3

√ √ 116
7.16 ( 135 )
7.5 3+ 2π 2−
+ 1 ln 2+√3 7.27 ( 15 − π )
8
4
3 2 3

π
√
2π
√
2
7.17 (2 ln 2 − 1) 7.28 ( 1 + 1 ln 1+2e )
7.6 4
+ ln( 8
+ 2
) 3 2 3

3
7.18 (ln 2 ) 7.29 (2π + 4 )
7.7 (1) 3
√
7.8 (3 ln 3 − 2) 7.19 ( 4−3
4
2
) 7.30 ( 109 )
6

π
7.9 (e + 4
− 1) 7.20 ( 1 (3 + ln 16 ))
4
27 e
7.31 ( 2 − 1)
2
7.10 I = ( 5−3e )
4
7.21 (− 1 + ln 2 )
3
3 3
7.32 ( π(5e −2) )
27

Dethidaihoc 0266

More Related Content

What's hot (18)

Similar to Dethidaihoc 0266 (20)

Dethidaihoc 0266