![1 Introduction
1.1 PRELIMINARIES
The ultimate goal of control engineering is to implement an automatic system which
could operate with increasing independence from human actions in an unstructured
and uncertain environment. Such a system can be called autonomous or intelligent.
It would need only to be presented with a goal and would achieve its objective by
learning through continuous interaction with its environment through feedback about
its behavior [17].
One class of models which has the capability to implement this learning is the ar-
tificial neural networks. Indeed, the neural morphologyof the nervous system is quite
complex to analyze. Nevertheless, simplified analogies have been developed, which
could be used for engineering applications. Based on these simplified understandings,
artificial neural networks are built [9].
An artificial neural network is a massively parallel distributed processor, inspired
by biological neural networks, which can store experimental knowledge and have it
available for use. An artificial neural network consists of a finite number of neurons
(structural element), which are interconnected to each other. It has some similarities
with the brain: knowledge is acquired through a learning process, and interneuron
connectivity called synaptic weights are used to store this knowledge, among others
[17].
The research on neural networks, since its rebirth in the early 1980s, promotes
great interest principally due to the capability of static neural networks to approx-
imate arbitrarily well any continuous function. Besides, in recent years, the use of
recurrent neural networks has increased; their information processing is described by
differential equations for continuous time or by difference equations for discrete time
[9].
Using neural networks, control algorithms can be developed to be robust to uncer-
3](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-28-320.jpg)
![4 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
tainties and modeling errors. The most used neural network structures are: Feedfor-
ward networks and Recurrent ones [1, 18]. The last type offers a tool that is better
suited to model and control nonlinear systems [15].
There exist different training algorithms for neural networks, which, however,
normally encounter technical problems such as local minima, slow learning, and high
sensitivity to initial conditions, among others. As a viable alternative, new training
algorithms, e.g., those based on Kalman filtering, have been proposed [8, 9, 19]. Due
to the fact that training a neural network typically results in a nonlinear problem, the
Extended Kalman Filter (EKF) is a common tool to use, instead of a linear Kalman
filter [9].
There already exist publications about trajectory tracking using neural networks
([4], [10], [11], [12], [13], [15], [16], [18]); in most of them, the design method-
ology is based on the Lyapunov approach. However, the majority of those works
were developed for continuous-time systems. On the other hand, while extensive lit-
erature is available for linear discrete-time control systems, nonlinear discrete-time
control design techniques have not been discussed to the same degree. For nonlinear
discrete-time systems, the control problem is more complex due to couplings among
subsystems, inputs and outputs [2, 7, 11]. Besides, discrete-time neural networks
are better fitted for real-time implementations. There are two advantages to working
in a discrete-time framework: a) appropriate technology can be used to implement
digital controllers rather than analog ones b) the synthesized controller is directly
implemented in a digital processor. Therefore, control methodologies developed for
discrete-time nonlinear systems can be implemented in real systems more effectively.
In this book, it is considered a class of nonlinear systems, the affine nonlinear one,
which represents a great variety of them, most of which are approximate discretiza-
tions of continuous-time systems.
This book presents two types of controllers for trajectory tracking of unknown
discrete-time nonlinear systems with external disturbances and internal uncertainties
based on two approaches; the first one is based on the sliding mode technique, and the
second one uses inverse optimal control; both of them are designed based on a neural](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-29-320.jpg)
![Introduction 5
model, and the applicability of the proposed controllers is illustrated, via simulations
and real-time results. As a special case, the proposed control scheme is applied to
electric machines. It is worth mentioning that if a continuous-time control scheme is
real-time implemented, there is no guarantee that it preserves its properties, such as
stability margins and adequate performance. Even worse, it is known that continuous
time schemes could become unstable after sampling.
To control a system is to force it to behave in a desired way. How to express this
“desired behavior” depends primarily on the task to be solved; however,the dynamics
of the system, the actuators, the measurement equipment, the available computational
power, etc., influence the formulation of the desired behavior as well. Although the
desired behavior obviously is very dependent of the application, the need to express it
in mathematical terms suited for practical design of control systems seriously limits
the means of expression. At the higher level, it is customary to distinguish two basic
types of problems [14]:
Regulation. The fundamental desired behavior is to keep the output of the system
at a constant level regardless of the disturbances acting on the system.
Tracking. The fundamental desired behavior is to force the system output to track
a reference trajectory closely.
Neural networks (NNs) have become a well-established methodology as exem-
plified by their applications to identification and control of general nonlinear and
complex systems [6, 14]; the use of high order neural networks for modeling and
learning has recently increased [18]. Specifically, the problem of designing robust
neural controllers for nonlinear systems with parametric uncertainties, unmodeled
dynamics and external disturbances, which guarantees stability and trajectory track-
ing,hasreceivedincreasingattentionlately.Usingneuralnetworks,controlalgorithms
can be developed to be robust in the presence of such events.
Neural controller synthesis can be approached in two different ways:
Direct control system design. “Direct” means that the controller is a neural net-
work. A neural network controller is often advantageous when the real-time platform
available prohibits complicated solutions. The implementation is simple while the](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-30-320.jpg)
![6 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
design and tuning are difficult. With a few exceptions this class of designs is model-
based in the sense that a model of the system is required in order to determine the
controller.
Indirect control system design. This class of designs is always model-based. The
idea is to use a neural network to model the system to be controlled, which is then
employed in a more “conventional” controller design. The model is typically trained
in advance, but the controller is designed on-line. As yo will see, the indirect design
is very flexible; thus it is the most appropriate.
The increasing use of NNs for modeling and control of nonlinear systems is in
great part due to the following features, which make them particularly attractive [5]:
• NNs are universal approximators. It has been proven that any continuous
nonlinear function can be approximated arbitrarily well over a compact set
by a multilayer neural network which consists of one or more hidden layers
[3].
• Learning and adaptation. The intelligence of neural networks comes from
their generalization ability with respect to unknown data. On-line adaptation
of the weights is also possible.
1.2 MOTIVATION
Taking into account the facts exposedabove,the need to synthesize control algorithms
for Multiple InputMultiple Output (MIMO) discrete-time nonlinearsystems based on
neuralnetworksisobvious.Thesealgorithmsshouldberobusttoexternaldisturbances
as well as parametric variations.
On the other hand, in most nonlinear control designs, it is usually assumed that
the system model is previously known, as well as its parameters and disturbances.
In practice, however, only part of this model is known. For this reason, identification
remains an important topic, particularly neural identification.
Therefore, the major motivation for this book is to develop alternative methodolo-
gies, which allow the design of robust controllers for discrete-time nonlinear systems](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-31-320.jpg)
![2 Mathematical Preliminaries
This chapter briefly describes useful results on optimal control theory, Lyapunov
stability, passivity, and neural identification, required in future chapters.
2.1 OPTIMAL CONTROL
This section briefly discusses the optimal control methodology and its limitations.
Consider the affine-in-the-input discrete-time nonlinear system:
xk+1 = f(xk)+ g(xk)uk, x0 = x(0), (2.1)
where xk ∈ Rn is the state of the system at time k ∈ Z+ ∪ 0 = {0,1,2,...}, uk ∈ Rm
is the input, f : Rn
→ Rn
and g : Rn
→ Rn×m
are smooth mappings, f(0) = 0 and
g(xk) 6= 0 for all xk 6= 0.
For system (2.1), it is desired to determine a control law uk = u(xk) which mini-
mizes the following cost functional:
V(xk) =
∞
∑
n=k
l(xn)+ uT
n Run
, (2.2)
whereV : Rn → R+ is a performancemeasure [13]; l : Rn → R+ is a positive semidef-
inite1 function weighting the performance of the state vector xk, and R : Rn → Rm×m
is a real symmetric and positive definite2 matrix weighting the control effort expen-
diture. The entries of R could be functions of the system state in order to vary the
weighting on control efforts according to the state value [13].
1A function l(z) is a positive semidefinite (or nonnegative definite) function if for all vectors z, l(z) ≥ 0.
In other words, there are vectors z for which l(z) = 0, and for all others z, l(z) 0 [13].
2A real symmetric matrix R is positive definite if zT Rz 0 for all z 6= 0 [13].
13](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-38-320.jpg)
![14 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
Equation (2.2) can be rewritten as
V(xk) = l(xk)+ uT
k Ruk +
∞
∑
n=k+1
l(xn)+ uT
n Run
= l(xk)+ uT
k Ruk +V(xk+1). (2.3)
From Bellman’s optimality principle [17], it is known that, for the infinite horizon
optimization case, the value function V∗(xk) becomes time invariant and satisfies the
discrete-time Bellman equation [17]
V∗
(xk) = min
uk
l(xk)+ uT
k Ruk +V∗
(xk+1) . (2.4)
Note that the Bellman equation is solved backwards in time [17].
In order to establish the conditions that the optimal control law must satisfy, we
define the discrete-time Hamiltonian H (xk,uk) as
H (xk,uk) = l(xk)+ uT
k Ruk +V∗
(xk+1)−V∗
(xk), (2.5)
which is used to obtain the control law uk by calculating
min
uk
H (xk,uk).
The value of uk, which achieves this minimization, is a feedback control law denoted
as uk = u(xk), then
min
uk
H (xk,uk) = H (xk,u(xk)).
A necessary condition, which this feedback optimal control law u(xk) must satisfy
[13], is
H (xk,u(xk)) = 0. (2.6)
u(xk) is obtained by calculating the gradient of the Right-Hand Side (RHS) of (2.5)](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-39-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 15
with respect to uk [17]
0 = 2Ruk +
∂V∗(xk+1)
∂uk
= 2Ruk + gT
(xk)
∂V∗(xk+1)
∂xk+1
. (2.7)
Therefore, the optimal control law is formulated as
u∗
k = u(xk)
= −
1
2
R−1
gT
(xk)
∂V∗
(xk+1)
∂xk+1
, (2.8)
which is a state feedback control law u(xk) with u(0) = 0. Hence, the boundary
conditionV(0) = 0 in (2.2)and (2.3)is satisfied forV(xk), andV becomes a Lyapunov
function; u∗
k is used to emphasize that uk is optimal.
Moreover, if H (xk,uk) is a quadratic form in uk and R 0, then
∂2H (xk,uk)
∂u2
k
0
holds as a sufficient condition such that optimal control law (2.8) (globally [13])
minimizes H (xk,uk) and the performance index (2.2) [17]. Substituting (2.8) into
(2.4), we obtain
V∗
(xk) = l(xk)+
−
1
2
R−1
gT
(xk)
∂V∗(xk+1)
∂xk+1
T
×R
−
1
2
R−1
gT
(xk)
∂V∗(xk+1)
∂xk+1
+V∗
(xk+1) (2.9)
= l(xk)+V∗
(xk+1)+
1
4
∂V∗T (xk+1)
∂xk+1
g(xk)R−1
gT
(xk)
∂V∗(xk+1)
∂xk+1
which can be rewritten as
l(xk)+V∗
(xk+1)−V∗
(xk)+
1
4
∂V∗T (xk+1)
∂xk+1
g(xk)R−1
gT
(xk)
∂V∗(xk+1)
∂xk+1
= 0. (2.10)
Equation (2.10) is known as the discrete-time HJB equation [17]. Solving this partial-](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-40-320.jpg)
![16 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
differential equation for V∗(xk) is not straightforward. This is one of the main draw-
backs in discrete-time optimal control for nonlinear systems. To overcome this prob-
lem, we propose using inverse optimal control.
2.2 LYAPUNOV STABILITY
In order to establish stability, we recall important related properties.
Definition 2.1: Radially Unbounded Function [12] A positive definite function
V(xk) satisfying V(xk) → ∞ as kxkk → ∞ is said to be radially unbounded.
Definition 2.2: Decrescent Function [12] A function V : Rn → R is said to be
decrescent if there is a positive definite function β such that the following inequality
holds:
V(xk) ≤ β(kxkk), ∀k ≥ 0.
Definition 2.3: K and K∞ functions [21] A function γ : R≥0 → R≥0 is a K –
function if it is continuous, strictly increasing and γ(0) = 0; it is a K∞–function if it
is a K –function and also γ(s) → ∞ as s → ∞; and it is a positive definite function if
γ(s) 0 for all s 0, and γ(0) = 0.
Definition 2.4: K L -function [21] A function β : R≥0 × R≥0 → R≥0 is a K L -
function if, for each fixed t ≥ 0, the function β(·,t) is a K –function, and for each
fixed s ≥ 0, the function β(s,·) is decreasing and β(s,t) → 0 as t → ∞. R≥0 means
nonnegative real numbers.](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-41-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 17
Theorem 2.1: Global Asymptotic Stability [15]
The equilibrium point xk = 0 of (2.1) is globally asymptotically stable if there exists
a function V : Rn → R such that (i) V is a positive definite function, decrescent
and radially unbounded, and (ii) −∆V(xk,uk) is a positive definite function, where
∆V(xk,uk) = V (xk+1)−V(xk).
Theorem 2.2: Exponential Stability [27]
Suppose that there exists a positive definite function V : Rn → R and constants
c1, c2, c3 0 and p 1 such that
c1 kxkp
≤ V(xk) ≤ c2 kxkp
(2.11)
∆V(xk) ≤ −c3 kxkp
, ∀k ≥ 0, ∀x ∈ Rn
. (2.12)
Then xk = 0 is an exponentially stable equilibrium for system (2.1).
Clearly, exponential stability implies asymptotic stability. The converse is, how-
ever, not true.
Due to the fact that the inverse optimal control is based on a Lyapunov function,
we establish the following definitions.
Definition 2.5: Control Lyapunov Function [2, 11] Let V(xk) be a radially un-
bounded function, with V(xk) 0, ∀xk 6= 0 and V(0) = 0. If for any xk ∈ Rn there
exist real values uk such that
∆V(xk,uk) 0,
where we define the Lyapunov difference as ∆V(xk,uk) = V (f(xk)+ g(xk)uk) −
V(xk), then V(·) is said to be a discrete-time control Lyapunov function (CLF) for](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-42-320.jpg)
![18 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
system (2.1).
Assumption 2.1 Let us assume that x = 0 is an equilibrium point for (2.1), and that
there exists a control Lyapunov function V(xk) such that
α1(kxkk) ≤ V(xk) ≤ α2(kxkk) (2.13)
∆V(xk,uk) ≤ −α3(kxkk), (2.14)
where α1, α2, and α3 are class K∞ functions3
and k·k denotes the usual Euclidean
norm. Then, the origin of the system is an asymptotically stable equilibrium point by
means of uk as input.
The existence of this CLF is guaranteed by the converse theorem of the Lyapunov
stability theory [3].
As a special case, the calculus of class K∞– functions in (2.13) simplifies when
they take the special form αi(r) = κirc, κi 0, c = 2, and i = 1,2. In particular, for
a quadratic positive definite functionV(xk) = 1
2 xT
k Pxk, with P a positive definite and
symmetric matrix, inequality (2.13) results in
λmin(P)kxk2
≤ xT
k Pxk ≤ λmax(P)kxk2
, (2.15)
where λmin(P) is the minimum eigenvalue of matrix P and λmax(P) is the maximum
eigenvalue of matrix P.
2.3 ROBUST STABILITY ANALYSIS
This section reviews stability results for disturbed nonlinear systems, for which non-
vanishing disturbances are considered. We can no longer study the stability of the
3αi, i = 1,2,3 belong to class K∞ functions because later we will select a radially unbounded function
V(xk).](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-43-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 19
origin as an equilibrium point, nor should we expect the solution of the disturbed
system to approach the origin as k → ∞. The best we can hope for is that if the dis-
turbance is small in some sense, then the system solution will be ultimately bounded
by a small bound [12], which connects to the concept of ultimate boundedness.
Definition 2.6: Ultimate Bound [6, 12] The solutions of (2.1) with uk = 0 are said
to be uniformly ultimately bounded if there exist positive constants b and c, and for
every a ∈ (0,c) there is a positive constant T = T(a), such that
kx0k a ⇒ kxkk ≤ b, ∀k ≥ k0 + T, (2.16)
where k0 is the initial time instant. They are said to be globally uniformly ultimately
bounded if (2.16) holds for arbitrarily large a. The constant b in (2.16) is known as
the ultimate bound.
Definition 2.7: BIBS [21] System (2.1) is uniformly bounded-input bounded-state
(BIBS) stable with respect to uk, if bounded initial states and inputs produce uniformly
bounded trajectories.
Definition 2.8: ISS Property [19, 21] System (2.1) is (globally) input-to-state stable
(ISS) with respect to uk if there exist a K L – function β and a K – function γ such
that, for each input u ∈ lm
∞ and each x0 ∈ Rn, it holds that the solution of (2.1) satisfies
kxkk ≤ β(kx0k,k)+ γ sup
τ∈[k0,∞)
kuτk
!
, (2.17)
where supτ∈[k0,∞){kuτk : τ ∈ Z+} ∞, which is denoted by u ∈ ℓm
∞.](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-44-320.jpg)
![20 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
Thus, system (2.1) is said to be ISS if property (2.17) is satisfied [14]. The interpre-
FIGURE 2.1 System trajectories with the ISS property.
tation of (2.17) is the following: for a bounded input u, the system solution remains
in the ball of radius β(kx0k,k) + γ
supτ∈[k0,∞) kuτk
. Furthermore, as k increases,
all trajectories approach the ball of radius γ
supτ∈[k0,∞) kuτk
, i.e., all trajectories
will be ultimately bounded with ultimate bound γ. Due to the fact that γ is of class
K , this ball is a small neighborhood of the origin whenever kuk is small (see Figure
2.1). ISS is used to analyze stability of the solutions for disturbed nonlinear systems.
The ISS property captures the notion of BIBS stability.
Definition 2.9: Asymptotic Gain Property [21] System (2.1) is said to have K –
asymptotic gain if there exists some γ ∈ K such that
lim
k→∞
kxk(x0,u)k ≤ lim
k→∞
γ(kukk), (2.18)
for all x0 ∈ Rn
.](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-45-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 21
Theorem 2.3: ISS System [21]
Consider system (2.1). The following are equivalent:
1. It is ISS.
2. It is BIBS and it admits K – asymptotic gain.
Let ℓd be the Lipschitz constant such that for all β1 and β2 in some bounded
neighborhood of (xk,uk), the Lyapunov function V(xk) satisfies the condition [24]
kV(β1)−V(β2)k ≤ ℓd kβ1 − β2k, ℓd 0. (2.19)
Definition 2.10: ISS – Lyapunov Function [21] A continuous function V on Rn is
called an ISS–Lyapunov function for system (2.1) if
α1(kxkk) ≤ V(xk) ≤ α2(kxkk), (2.20)
holds for some α1, α2 ∈ K∞, and
V(f(xk,uk))−V(xk) ≤ −α3(kxkk)+ σ(kukk), (2.21)
for some α3 ∈ K∞, σ ∈ K . A smooth ISS–Lyapunov function is one which is smooth.
Note that if V(xk) is an ISS–Lyapunov function for (2.1), then V(xk) is a DT
Lyapunov function for the 0-input system xk+1 = f(xk)+ g(xk)0.
Proposition 2.1
If system (2.1) admits an ISS–Lyapunov function, then it is ISS [21].](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-46-320.jpg)
![22 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
Now, consider the disturbed system
xk+1 = f(xk)+ g(xk)uk + dk, x0 = x(0), (2.22)
wherexk ∈ Rn isthestateofthesystemattimek∈ Z+,uk ∈ Rm isthecontrol,dk ∈ Rn is
the disturbance term, f : Rn → Rn and g : Rn → Rn×m are smooth mappings, f(0)= 0.
dk could result from modeling errors, aging, or uncertainties and disturbances which
exist for any realistic problem [12].
Definition 2.11: ISS–CLF Function A smooth positive definite radially unbounded
function V: Rn
→ R is said to be an ISS–CLF for system (2.22) if there exists a class
K∞ function ρ such that the following inequalities hold ∀x 6= 0 and ∀d ∈ Rn:
α1(kxkk) ≤ V(xk) ≤ α2(kxkk), (2.23)
for some α1, α2 ∈ K∞, and
kxkk ≥ ρ(kdkk) ⇒ inf
uk∈Rm
∆Vd(xk,dk) −α3(kxkk), (2.24)
where ∆Vd(xk,dk) := V (xk+1)−V(xk) and α3 ∈ K∞.
Comment 2.1 The connection between the existence of a Lyapunov function and
the input-to-state stability is that an estimate of the gain function γ in (2.17) is γ =
α−1
1 ◦α2 ◦ρ, where ◦ means composition4 of functions with α1 and α2 as defined in
(2.23) [14].
Note that if V(xk) is an ISS–control Lyapunov function for (2.22), then V(xk) is a
control Lyapunov function for the 0-disturbance system xk+1 = f(xk)+ g(xk)uk.
4α1(·)◦α2(·) = α1(α2(·)).](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-47-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 23
Proposition 2.2: ISS–CLF System
If system (2.22) admits an ISS–CLF, then it is ISS.
2.3.1 OPTIMAL CONTROL FOR DISTURBED SYSTEMS
For a disturbed discrete-time nonlinear system (2.22), the Bellman equation becomes
the Isaacs equation described by
V(xk) = min
uk
l(xk)+ uT
k R(xk)uk +V(xk,uk,dk) , (2.25)
and the Hamilton–Jacobi–Isaacs (HJI) equation associated with system (2.22) and
cost functional (2.2) is
0 = inf
u
sup
d∈D
l(xk)+ uT
k R(xk)uk +V(xk+1)−V(xk)
= inf
u
sup
d∈D
l(xk)+ uT
k R(xk)uk +V(xk,uk,dk)−V(xk) (2.26)
where D is the set of locally bounded functions, and function V(xk) is unknown.
However, determining a solution of the HJI equation (2.26) forV(xk) with (2.8) is the
main drawback of robust optimal control; this solution may not exist or may be pretty
difficult to solve [8]. Note that V(xk+1) in (2.26) is a function of the disturbance term
dk.
2.4 PASSIVITY
Let us consider a nonlinear affine system and an output given as
xk+1 = f (xk)+ g(xk)uk, x0 = x(0) (2.27)
yk = h(xk)+ J(xk)uk (2.28)](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-48-320.jpg)
![24 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
where xk ∈ Rn is the state of the system at time k, output yk ∈ Rm; h(xk) : Rn → Rm,
and J(xk) : Rn → Rm×m are smooth mappings. We assume h(0) = 0.
Definition 2.12: Passivity [4] System (2.27)–(2.28) is said to be passive if there
exists a nonnegative function V(xk), called the storage function, such that for all uk,
V(xk+1)−V(xk) ≤ yT
k uk, (2.29)
where (·)T denotes transpose.
This storage function may be selected as a CLF candidate if it is a positive definite
function [25]. It is worth noting that the output which renders the system passive is
not in general the variable we wish to control, and it is used only for control synthesis.
Definition 2.13: Zero–State Observable System [5] A system (2.27)–(2.28) is
locally zero-state observable(respectively,locally zero-state detectable)if there exists
a neighborhood Z of xk = 0 in Rn such that for all x0 ∈ Z
yk|uk=0 = h(φ(k,x0,0)) = 0 ∀k =⇒ xk = 0
respectively lim
k→∞
φ(k,x0,0) = 0
,
where φ(k,x0,0) = fk(xk) is the trajectory of the unforced dynamics xk+1 = f(xk)
with initial condition x0. If Z = Rn, the system is zero-state observable (respectively,
zero-state detectable).
Additionally, the following definition is introduced.
Definition 2.14: Feedback Passive System System (2.27)–(2.28) is said to be](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-49-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 25
feedback passive if there exists a passivation law
uk = α(xk)+ vk, α,v ∈ Rm
, (2.30)
with a smooth function α(xk) and a storage function V(x), such that system (2.27)
with (2.30), described by
xk+1 = ¯
f (xk)+ g(xk)vk, x0 = x(0), (2.31)
and output
ȳk = h̄(xk)+ J(xk)vk, (2.32)
satisfies relation (2.29) with vk as the new input, where ¯
f(xk) = f(xk)+ g(xk)α(xk)
and h̄ : Rn → Rm is a smooth mapping, which will be defined later, with h̄(0) = 0.
Roughly speaking, to render system (2.27) feedback passive can be summarized as
determining a passivation law uk and an output ȳk, such that relation (2.29) is satisfied
with respect to the new input vk.
2.5 DISCRETE-TIME HIGH ORDER NEURAL NETWORKS
The use of multilayer neural networks is well known for pattern recognition and for
modeling of nonlinear functions. The NN is trained to learn an input-output map.
Theoretical works have proven that, even with just one hidden layer, an NN can
uniformly approximate any continuous function over a compact domain, provided
that the NN has a sufficient number of synaptic connections.
For control tasks, extensions of the first order Hopfield model called Recurrent
High Order Neural Networks (RHONN), which present more interactions among the
neurons,are proposedin ([20], [23]). Additionally,the RHONN model is very flexible
and allows us to incorporatein the neural model a priori information about the system
structure.
Consider the following discrete-time recurrent high order neural network](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-50-320.jpg)
![26 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
(RHONN):
b
xi,k+1 = w⊤
i zi(b
xk,υk), i = 1,··· ,n, (2.33)
where b
xi (i = 1,2,··· ,n) is the state of the i-th neuron, Li is the respective number
of high-order connections, {I1,I2,··· ,ILi } is a collection of non-ordered subsets of
{1,2,··· ,n + m}, n is the state dimension, m is the number of external inputs, wi
(i = 1,2,··· ,n) is the respective on-line adapted weight vector, and zi(b
xk,ρk) is given
by
zi(xk,ρk) =
zi1
zi2
.
.
.
ziLi
=
Πj∈I1 ξ
dij(1)
ij
Πj∈I2 ξ
dij(2)
ij
.
.
.
Πj∈ILi
ξ
dij(Li)
ij
, (2.34)
with dji,k being non-negative integers, and ξi defined as follows:
ξi =
ξi1
.
.
.
ξi1
ξin+1
.
.
.
ξin+m
=
S(x1)
.
.
.
S(xn)
ρ1
.
.
.
ρm
. (2.35)
In (2.35), ρ = [ρ1,ρ2,...,ρm]⊤ is the input vector to the neural network, and S(•)
is defined by
S(ς) =
1
1 + exp(−βς)
, β 0, (2.36)
where ς is any real value variable.
Consider the problem to approximatingthe general discrete-time nonlinear system
(2.1), by the following discrete-time RHONN series-parallel representation [23]:
b
xi,k+1 = w∗⊤
i zi (xk,ρk)+ εzi , i = 1,··· ,n, (2.37)](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-51-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 27
where xi is the i-th plant state, εzi is a bounded approximation error, which can be
reduced by increasing the number of the adjustable weights [23]. Assume that there
exists an ideal weight vector w∗
i such that kεzi k can be minimized on a compact set
Ωzi ⊂ ℜLi . The ideal weight vector w∗
i is an artificial quantity required for analytical
purposes [23]. In general, it is assumed that this vector exists and is constant but
unknown. Let us define its estimate as wi and the estimation error as
e
wi,k = w∗
i − wi,k . (2.38)
The estimate wi is used for stability analysis, which will be discussed later. Since
w∗
i is constant, then e
wi,k+1 − e
wi,k = wi,k+1 − wi,k, ∀k ∈ 0 ∪Z+.
From (2.33) three possible models can be derived:
• Parallel model
b
xi,k+1 = w⊤
i zi(b
xk,ρk), i = 1,··· ,n, (2.39)
• Series-Parallel model
b
xi,k+1 = w⊤
i zi(xk,ρk), i = 1,··· ,n, (2.40)
• Feedforward model (HONN)
b
xi,k = w⊤
i zi(ρk), i = 1,··· ,n, (2.41)
where b
x is the NN state vector, x is the plant state vector and ρ is the input
vector to the NN.
2.6 THE EKF TRAINING ALGORITHM
The best well-knowntraining approachfor recurrentneural networks (RNNs) is back-
propagation through time learning [28]. However, it is a first order gradient descent
method and hence its learning speed could be very slow [16]. Recently, Extended
Kalman Filter (EKF)-based algorithms have been introduced to train neural networks](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-52-320.jpg)
![28 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications
[1, 7]. With the EKF-based algorithm, the learning convergenceis improved[16]. The
EKF training of neural networks, both feedforward and recurrent ones, has proven to
be reliable and practical for many applications over the past ten years [7].
It is known that Kalman filtering (KF) estimates the state of a linear system with
an additive state and an output of white noises [9, 26]. For EKF-based neural network
training, the network weights become the states to be estimated. In this case, the error
between the neural network output and the measured plant output can be considered
as additive white noise. Due to the fact that the neural network mapping is nonlinear,
an EKF-type is required (see [22] and references therein).
The training goal is to determine the optimal weight values which minimize the
prediction error. The EKF-based training algorithm is described by [9]:
Ki,k = Pi,kHi,k
h
Ri,k + H⊤
i,kPi,kHi,k
i−1
wi,k+1 = wi,k + ηiKi,k [yk − b
yk] (2.42)
Pi,k+1 = Pi,k − Ki,kH⊤
i,kPi,k + Qi,k
where Pi ∈ ℜ
Li×Li
is the prediction error associated with the covariance matrix,
wi ∈ ℜ
Li
is the weight (state) vector, Li is the total number of neural network weights,
y ∈ ℜm is the measured output vector, b
y ∈ ℜ
m
is the network output, ηi is a design
parameter, Ki ∈ ℜ
Li×m
is the Kalman gain matrix, Qi ∈ ℜ
Li×Li
is the state noise asso-
ciated covariance matrix, Ri ∈ ℜm×m is the measurement noise associated covariance
matrix, and Hi ∈ ℜ
Li×m
is a matrix for which each entry (Hij ) is the derivative of one
of the neural network outputs, (b
y), with respect to one neural network weight, (wij ),
as follows:
Hij,k
=
∂b
yk
∂wij,k
#
wi,k=b
wi,k+1
, i = 1,...,n and j = 1,...,Li (2.43)
Usually Pi, Qi and Ri are initialized as diagonal matrices, with entries Pi (0), Qi (0)
and Ri (0), respectively. It is important to note that Hi,k, Ki,k and Pi,k for the EKF are](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-53-320.jpg)
![Mathematical Preliminaries 29
bounded [26]. Therefore, there exist constants Hi 0, Ki 0 and Pi 0 such that:
Hi,k ≤ Hi
Ki,k ≤ Ki (2.44)
Pi,k ≤ Pi
Comment 2.2 The measurement and process noises are typically characterized as
zero-mean white noises with covariances given by δk,jRi,k and δk,jQi,k, respectively,
with δk,j a Kronecker delta function (zero for k 6= l and 1 for k = l) [10]. In order
to simplify the notation in this book, the covariances will be represented by their
respective associated matrices, Ri,k and Qi,k, for the noises and Pi,k for the prediction
error.
2.7 SEPARATION PRINCIPLE FOR DISCRETE-TIME NONLINEAR
SYSTEMS
Consider a MIMO nonlinear system
xk+1 = F(xk,uk) (2.45)
yk = h(xk), (2.46)
wherexk ∈ Rn,k ∈ Z+ ∪ 0 = {0,1,2,...},uk ∈ Rm istheinput,and F ∈ Rn ×Rm → Rn
is a nonlinear function.](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-54-320.jpg)
![impedire che la loro patria non venisse in mano di Mastino della
Scala, ed unitisi a Fazio, attaccarono i gentiluomini con tanto vigore
che li cacciarono subito di città. I Gualandi, Sismondi, Lanfranchi, e
quasi tutte le famiglie dell'alta nobiltà furono esiliate[273].
I Fiorentini informati di questa sedizione di Pisa, ed avvisati in pari
tempo che Pietro de' Rossi erasi avanzato fino ad Asciano alla testa
dei soldati di Mastino per sostenere i Ghibellini, e che gli aveva
incontrati mentre fuggivano, conobbero facilmente le pratiche che il
signore di Verona stendeva in tutta la Toscana. Essi lo invitarono
ancora una volta ad aprir loro le porte di Lucca, in conformità delle
convenzioni; e per non lasciare veruna scusa alla sua mala fede,
acconsentirono di pagargli tutto quanto saprebbe chiedere per
indennizzarlo delle spese sostenute per conto di Lucca. Mastino
portò le sue pretese all'esorbitante somma di trecento sessanta mila
fiorini; e quando con estrema sua sorpresa gli ambasciatori della
repubblica risposero che erano pronti a pagarla, gridò ch'era
abbastanza ricco per non avere bisogno del loro danaro, e che non
evacuerebbe Lucca se i Fiorentini non gli permettevano
d'impadronirsi di Bologna. Così fu rotta la negoziazione il 23 febbrajo
del 1336, e subito cominciarono le ostilità in Val di Nievole[274].
In tal maniera i Fiorentini trovaronsi impegnati in una pericolosa
guerra con un tiranno, ch'essi avevano in parte sollevato a tanto
potere. Mastino era allora signore di nove città altra volta capitali
d'altrettanti stati sovrani[275], e traeva dalle gabelle loro settecento
mila fiorini d'entrata. Verun monarca della cristianità, ad eccezione di
quello di Francia, possedeva tante ricchezze. Tutto il rimanente della
Lombardia era soggetto a principi ghibellini, alleati naturali della casa
della Scala, e la corte di Mastino era l'asilo di tutti gl'illustri esiliati. Lo
storico Cortusio, mandato di que' tempi per un'ambasciata a
Mastino, lo trovò circondato da ventitre principi spogliati dei loro stati
i quali s'erano rifugiati nella sua capitale[276]. Il signore di Verona,
reso orgoglioso dalle sue alleanze, dalle sue ricchezze e dalla
prosperità delle sue armi, non aspirava niente meno che alla](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-56-320.jpg)
![conquista di tutta l'Italia; ed i Fiorentini erano i soli che ardissero
opporsi a' suoi ambiziosi disegni.
Troppo mancava perchè la repubblica fiorentina potesse pareggiarsi
a Mastino sia pel numero delle piazze forti e de' sudditi, che pel
numero de' soldati e per la quantità delle pubbliche entrate. Pure le
private ricchezze dei Fiorentini in allora padroni di molta parte del
commercio del mondo, davano alla loro repubblica un rango assai
distinto tra le potenze, perchè sagrificavano sempre con piacere le
proprie ricchezze in servigio della patria. Quando scoppiò la guerra
con Mastino della Scala, formarono un consiglio di finanza, incaricato
di trovare danaro; e tutte le casse del commercio gli furono aperte;
onde la repubblica si trovò a portata di opporsi a così formidabile
avversario[277]. Fu pure creato un consiglio militare, detto Ufficio
della guerra, e composto di sei cittadini deputati dai sei quartieri
della città al quale fu rimessa la direzione delle operazioni
dell'armata per tutto un anno; affinchè la più frequente rielezione
della signoria non interrompesse l'andamento degli affari.
Ma i Fiorentini non erano soltanto esposti ad essere attaccati dalla
parte di Lucca: un ardito capo de' Ghibellini dava loro vivissime
inquietudini all'opposto confine. Pietro Saccone dei Tarlati, uno de'
signori di Pietra Mala, era succeduto, nel governo d'Arezzo, a suo
fratello ch'era stato vescovo di quella città. Allevato nella più
selvaggia regione degli Appennini ove il castello di Pietra Mala
signoreggia i deserti coperti per più mesi dell'anno da alte nevi,
Saccone era avvezzo a sprezzare tutti i pericoli, tutte le fatiche e le
intemperie dell'aria. In un secolo incivilito, tra popoli ammolliti,
conservava Saccone i costumi e le abitudini dei conquistatori del
Nord, autori della sua stirpe. Egli disprezzava il lusso e la mollezza
d'Italia, ma ne conosceva la politica e sapeva valersi de' suoi artifizj.
Era nello stesso tempo sul campo di battaglia uno de' più formidabili
soldati, ed il più accorto ed ingegnoso condottiere quando trattavasi
di sorprendere una piazza o d'ingannare i nemici con qualche
stratagemma. Affezionato alle sue montagne, pareva piuttosto
aspirare alla sovranità delle Alpi, che a signoreggiare le fertili
contrade che stanno alle loro falde; come l'aquila che vola sugli](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-57-320.jpg)
![Appennini di balza in balza, ma che rare volte scende al piano. Egli
aveva interamente sottomessa la famiglia della Faggiuola che aveva
spogliata di Massa Trebaria e di tutta la sua eredità; aveva pure
soggiogati gli Ubertini con tutti i loro castelli ed i conti di Montefeltro
e di Montedoglio[278], di modo che la sua potenza stendevasi su
tutte le montagne della Toscana, della Romagna e della Marca
d'Ancona. Dalla signoria d'Arezzo era in seguito passato a quella di
città di Castello e di Borgo san Sepolcro; e per ultimo aveva
attaccata Perugia che a stento si andava contro di lui difendendo.
Saccone aveva osservata fedelmente la pace che vent'anni prima
erasi fatta tra le repubbliche di Fiorenza e di Arezzo, ed aveva,
sebbene capo del partito ghibellino, schivato di provocare sopra di sè
le potenti armi della signoria. Ma quando Mastino della Scala portò la
guerra in Toscana, Saccone accettò la sua alleanza, ed obbligossi ad
introdurre in Arezzo ottocento cavalli che il signore di Verona aveva
mandati fino a Forlì. In tali circostanze l'Ufficio della guerra non volle
più rimanere esposto alle sorprese di un vicino che aspettava il
favorevole istante per ismascherarsi. Perciò i Fiorentini dichiararono
la guerra al signore d'Arezzo, ed il 4 aprile del 1336 spinsero un
corpo di cavalleria in Romagna per opporsi a quella di Mastino, e
fecero guastare dalle truppe tutto lo stato d'Arezzo[279].
Le città di Siena, Perugia e Bologna erano, siccome ancora il re
Roberto, obbligati da un'antica alleanza a difendere i Fiorentini per la
salvezza del partito guelfo. L'Ufficio della guerra rinnovò
quest'alleanza, sebbene se ne potessero sperare pochi frutti,
perciocchè le repubbliche erano snervate dalle guerre civili, ed il re
Roberto dall'età e dallo scoraggiamento. Non si poteva far conto dei
soccorsi della repubblica di Genova, già da due anni in preda al
partito ghibellino che volgeva tutte le forze dello stato contro la
stessa repubblica[280]. Il potere della chiesa era in Italia omai spento
affatto; e le città della Romagna e della Marca erano dominate da
piccoli tiranni, la di cui politica limitavasi a far lega colla parte più
potente onde essere risparmiati dall'usurpatore almeno per tutto il
tempo che questi avrebbe qualche cagione di temere. Luigi di](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-58-320.jpg)
![Baviera continuava a proteggere Mastino, il quale chiamavasi sempre
vicario imperiale; e se alcuna potenza d'oltremonti doveva prendere
parte nella guerra che stava per ricominciare, non poteva farlo che in
favore del signore di Verona.
Venezia soltanto, mossa da più profonda politica, avrebbe potuto
associarsi a Fiorenza per difesa della libertà italiana. La potente
repubblica di Venezia fin allora occupata unicamente delle sue
conquiste del Levante, della marina, del commercio, non aveva
acquistato alcun possedimento sul continente, non aveva voluto
contrarre alleanze, nè prender parte alla politica italiana. I nomi de'
Guelfi e de' Ghibellini erano esclusi dai suoi dominj; non dipendeva
dall'impero e teneva il clero subordinato al proprio governo.
Risguardavasi non pertanto piuttosto come affezionata al partito
imperiale; ed una certa gelosia di commercio o di possanza
sembrava che l'alienasse dai Fiorentini.
I signori della guerra di Fiorenza non si lasciarono ributtare da
queste apparenze. Per non risvegliare l'attenzione di Mastino sulle
loro negoziazioni, ne diedero l'incarico ad alcuni mercanti fiorentini
stabiliti in Venezia, e trovarono, siccome lo avevano preveduto,
questa signoria disposta ad ascoltarli.
Aveva Mastino della Scala con diverse imprese offesa la repubblica
sua potente vicina. Aveva tentato di togliere il castello di Camino alla
famiglia di tal nome, che in addietro aveva regnato a Treviso, e che
posteriormente erasi aggregata alla nobiltà veneziana; fabbricava un
castello tra Padova e Chioggia per impedire ai Veneziani di far sali su
quelle coste, e per assicurarne l'esclusiva fabbricazione ai suoi
sudditi; finalmente aveva fatto chiudere con una catena il Po ad
Ostiglia, ed assoggettate ad un gravoso pedaggio le navi che
rimontavano il fiume[281]. Tali novità erano tutte contrarie ai trattati
stipulati dai suoi predecessori colla repubblica, onde la signoria
accolse con piacere l'occasione di rintuzzare l'orgoglio di un vicino
potente che incominciava ad adombrarla.
Il trattato d'alleanza tra le due repubbliche fu segnato il 21 giugno
del 1336. Fiorenza non cercava che il vantaggio di sollevare contro](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-59-320.jpg)
![Mastino un potente nemico: obbligavasi a mantenere metà
dell'armata ed a sostenere metà delle spese per attaccare il signore
di Verona nella Marca Trivigiana; ma tutti gli acquisti che farebbe
quest'armata, dovevano appartenere ai Veneziani, non riservandosi i
Fiorentini che la città di Lucca, che dovevano acquistare a proprie
spese e colle loro forze[282].
Un solo generale doveva avere l'assoluto comando delle due armate
repubblicane; e la cupidigia di Mastino ne presentò loro uno
veramente meritevole di tanta confidenza. L'illustre famiglia de' Rossi
di Parma era stata capo del partito guelfo fino ai tempi ne' quali la
perfidia di Bertrando del Poggetto l'aveva sforzata a rifugiarsi tra i
nemici della chiesa: nella venuta di Giovanni di Boemia gli aveva
ceduta la sua sovranità, che aveva ricomperata quando Giovanni
abbandonò l'Italia. Finalmente la guerra aveala obbligata a
rinunciare a Mastino della Scala tutti i suoi diritti sopra Parma e
sopra Lucca. La città di Pontremoli e molte castella con ragguardevoli
proprietà erano state da Mastino guarentite ai Rossi; ma quando il
signore di Verona ebbe raccolti i frutti del suo trattato, pensò a
sciogliersi dagli obblighi del trattato. Eccitò contro i Rossi i
Corregieschi capi dell'opposta fazione in Parma; e spogliatili di tutti i
loro castelli, gli assediò in Pontremoli loro ultimo asilo. Pietro de'
Rossi, il più giovane de' sei fratelli, aveva allora opinione di essere il
più perfetto cavaliere d'Italia. Nelle guerre civili che da tanto tempo
desolavano il suo paese, aveva date luminose prove di valore, senza
macchiarsi mai con atti di crudeltà. I soldati tedeschi che servivano
allora in Italia, l'avevano chiamato loro signore e gli mostravano un
illimitato attaccamento. Liberale coi suoi compagni d'armi fino
all'imprudenza, appena per sè conservava una tonaca ed un cavallo.
L'alta sua statura e le sue eleganti maniere chiamavano sulla di lui
persona gli sguardi di tutte le donne, e la verginale purità de' suoi
costumi, che assicuravasi non esser giammai stata smentita, dava un
nuovo pregio alla sua nobile figura[283]. Pietro de' Rossi era ritenuto
come ostaggio a Verona, ma trovò modo di fuggire, e venne a
chiedere soccorso ai Fiorentini, che seppe eccitare alla vendetta.
Dopo aver date prove de' suoi militari talenti in una breve campagna](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-60-320.jpg)
![nel territorio di Lucca, passò il primo ottobre al comando della
grande armata della lega nella Marca Trivigiana[284].
Pietro de' Rossi attraversò colla sua armata i territorj di Treviso e di
Padova, insultò le guarnigioni delle due città, abbandonò le
campagne al saccheggio, e con mille cinquecento cavalli tenne a
bada l'armata di Mastino composta di quattro mila. Ma i Veneziani
vedendolo aggirarsi in quel labirinto di fiumi e di canali, che
attraversano in mille maniere il territorio padovano, ne furono
inquietissimi, tanto più che il nemico aveva rotti tutti i ponti e
fortificati i passaggi: ma Pietro finse di cercar la battaglia, e secondo
la costumanza cavalleresca mandò ad offrirne il pegno al campo di
Mastino; perchè questi persuadendosi che doveva essere per lui
vantaggioso il non far quello che desiderava il nemico, lasciò fuggire
l'occasione d'attaccarlo e gli permise di stabilirsi e di fortificarsi a
Bovolento sul Bacchiglione, sette miglia al di sotto di Padova[285].
Nel tempo che i Fiorentini mantenevano un'armata nella Marca
Trivigiana, e combattevano in Toscana contro i Lucchesi, e contro
Pietro Saccone e gli Aretini, non ignoravano che dovevano stare in
guardia contro le trame dei Ghibellini, che nelle città della provincia
ed anche entro Firenze mantenevano segrete intelligenze, oltre che
venivano caldamente eccitati dalle promesse di Saccone e dagli
artificj di Mastino. In così pericolose circostanze sapevano che i
Romani avrebbero creato un dittatore; onde, seguendo l'esempio
loro, credettero di dovere innalzare un magistrato al di sopra delle
leggi, affinchè il grandissimo potere che gli confidavano, tenesse in
dovere i segreti nemici della repubblica, e la rapidità de' giudizj li
colpisse a tempo ne' loro complotti. Ma presso i Romani, popolo
affatto militare, il dittatore diventava il generale dell'armata. I
Fiorentini non avevano trovato tra i loro concittadini un generale
abbastanza sperimentato da mettersi alla testa di tutto lo stato:
accostumati a confidare agli stranieri il potere dell'armi, avrebbero
temuto assai più di riunire in mani sconosciute la potenza civile e
militare; e se giammai si fossero in tal maniera dato un padrone,
difficilmente avrebbero poi potuto scuoterne il giogo. Immaginarono
quindi di non rivestire il loro nuovo magistrato che dell'autorità di](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-61-320.jpg)
![supremo giudice, e lo nominarono conservatore, dandogli una
guardia di cinquanta cavalieri e di cento fanti, autorizzandolo a
giudicare compendiosamente ed a far eseguire all'istante le
sentenze. Uno straniero, Giacomo Gabriello d'Agobbio, fu chiamato il
primo ad occupare questa carica. Il popolo doveva tremare innanzi a
questo magistrato, ma la signoria tenutasi superiore alla sua
giurisdizione poteva sopravvegliarlo ed imporre limiti al suo potere.
Frattanto il Gabrielli, abbandonandosi senza ritegno al suo carattere
sospettoso e crudele, fece spargere dai suoi carnefici molto sangue.
Quando uscì di carica, il popolo, sdegnato contro di lui, promulgò
una legge che proibiva di nominare in avvenire giudici di Agobbio o
del suo territorio[286]. Dopo di lui un altro conservatore,
Accorimbeno di Tolentino, fece succedere la giustizia venale alla
crudeltà; ed i Fiorentini, abolendo tale carica, si convinsero
finalmente che la libertà non si mantiene giammai con mezzi
dispotici, e che l'innalzare un potere al di sopra delle leggi,
quand'anche fosse per la loro difesa, è lo stesso che preparare la
loro ruina[287].
Nel susseguente anno 1337 la campagna s'aprì dai Fiorentini in
Toscana con uno strepitoso avvenimento. Pietro Saccone, stretto
dalle armate di Fiorenza e di Perugia, e non potendo tenere aperta
comunicazione con Mastino che non gli mandava i promessi soccorsi,
vedendo di avere già perduti molti castelli, prese finalmente il partito
di negoziare vendendo ai Fiorentini la signoria d'Arezzo. La
repubblica acquistò separatamente i diritti di Pietro Saccone e quelli
del conte Guido; pagò il soldo delle truppe assediate e sborsò circa
sessanta mila fiorini per ottenere il possesso della città, che le fu
aperta il 10 di marzo. Ma tal acquisto costò alla repubblica assai più
che tesori, avendo compromessa la sua buona fede: per la prima
volta fu accusata d'avere mal osservato i trattati, d'avere combattuto
di concerto coi Perugini, e d'aver sola raccolti i frutti del loro sudore,
e del loro sangue[288]. Il partito guelfo venne in Arezzo ristabilito
dopo un esilio di sessant'anni; i Tarlati furono ridotti alla condizione
di cittadini; si fabbricarono nella città due fortezze per tenerla in](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-62-320.jpg)
![soggezione, e venne stabilita una nuova magistratura incaricata di
sopravvegliare alla tranquillità ed al buon essere degli Aretini[289].
I Fiorentini che nella precedente guerra erano stati vittima dei loro
riguardi per il territorio di Lucca, tenevansi fermi nello stesso sistema
di politica: la guerra che gl'interessava esclusivamente e che si
faceva senza il concorso de' loro alleati, era quella che facevasi meno
vigorosamente. Accontentaronsi in questa campagna di saccheggiar
Pescia, Buggiano e pochi altri castelli di Val di Nievole e di Val di
Serchio, senza fare verun acquisto[290].
Ma nello stesso tempo spingevano con una straordinaria attività il
loro progetto di eccitare in Lombardia nuovi nemici a Mastino della
Scala. Nella stessa maniera ch'essi avevano chiamati i capi dei
Ghibellini a dividere le conquiste del re di Boemia, abbandonavano
adesso alla loro avidità gli stati del signore di Verona. Ricordavano a
ciascheduno l'insultante arroganza di Mastino, ed offrivano
ricompense a qualunque volesse far lega con loro per punirlo. Obizzo
d'Este, Luigi di Gonzaga ed Azzo Visconti entrarono successivamente
nella lega delle due repubbliche. L'ultimo aveva approfittato della
guerra generale, cui avevano preso parte i suoi vicini per
impadronirsi nello stesso tempo di Lodi, di Como e di Crema[291].
Carlo, figliuolo di Giovanni di Boemia e duca di Carintia, si unì
anch'esso ai nemici di Mastino, e gli tolse in sul cominciare di luglio
le città di Cividiale e di Feltre[292].
Mentre un'armata condotta da Lucchino Visconti minacciava a
ponente gli stati di Mastino, indi ritiravasi senza combattere[293],
Pietro de' Rossi rimaneva nelle vicinanze di Padova onde cogliere
qualche opportunità per togliere questa grande città ad Alberto della
Scala, che ne aveva il comando. Alberto, fratel maggiore di Mastino,
era suo eguale in autorità, ma di talenti e di coraggio a lui inferiore
d'assai. Impaziente del travaglio, abbandonava i pubblici affari per
dedicarsi interamente ai piaceri. Marsiglio ed Ubertino da Carrara, gli
antichi signori di Padova e capi del partito guelfo, erano i soli suoi
consiglieri. Nell'ebbrezza dell'assoluto potere aveva fatto violenza alla
moglie d'Ubertino da Carrara; ma come egli aveva dimenticato](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-63-320.jpg)
![quest'oltraggio, figuravasi che lo avesse egualmente dimenticato
ancora l'offeso. Ubertino non erasene in verun modo lagnato, o dato
indizio dell'interna sua rabbia; ma aveva aggiunto alla testa di moro,
che formava il cimiero del suo elmo, due corna di oro, perchè gli
rammentassero continuamente la sua vergogna e la vendetta che
meditava di fare[294].
Mastino, che non accordava ai Carrara tanta confidenza, aveva più
volte scritto a suo fratello di osservarne gli andamenti, di arrestarli
ed anche di farli morire. Alberto mostrava tutte queste lettere ai
Carrara; e questi che già da più mesi trattavano col doge di
Venezia[295], cercavano di risvegliare in Padova lo zelo de' loro
partigiani, e mantenevano strette intelligenze con Pietro de' Rossi,
loro nipote, cui chiedevano all'opportunità soccorso di gente. Mastino
scoperse tutte queste pratiche e scrisse il 2 agosto a suo fratello di
far arrestare senza ritardo i due Carrara che lo tradivano e di farli
morire. Quando fu introdotto il messaggiere, che aveva ordine di
consegnare la lettera al solo Alberto, questi stava giocando agli
scacchi. Egli prese la lettera e senza aprirla la consegnò a Marsiglio
da Carrara, che gli stava vicino. Marsiglio lesse l'ordine del suo
supplicio senza lasciar travedere sul suo volto alcun turbamento.
«Vostro fratello, disse in seguito al signore, domanda che voi gli
mandiate senza ritardo un falcone pellegrino di cui abbisogna per la
caccia.» Nello stesso tempo prevenne Ubertino di apparecchiare ogni
cosa per quella notte, e più non perdette Alberto di vista onde
impedire che gli giugnesse qualche nuovo avviso[296].
A mezza notte i Guelfi ch'erano di guardia alla porta di ponte Curvo,
l'aprirono a Pietro de' Rossi, che entrò in Padova alla testa della sua
cavalleria. I partigiani di Carrara che si erano adunati in silenzio
intorno al palazzo pubblico, sorpresero nell'ora medesima le guardie,
le disarmarono, arrestarono Alberto della Scala nel suo
appartamento, e lo condussero subito nelle prigioni di Venezia.
Nicoletto, suo buffone, domandò di partecipare alla sua sorte, e fu il
solo che lo accompagnasse in quella trista dimora: un così generoso
sentimento trovossi in un uomo che aveva fin allora fatto traffico di](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-64-320.jpg)
![una vile buffoneria, e che nelle altrui risate aveva cercata
l'indipendenza[297].
Pietro de' Rossi fece osservare ai suoi soldati la più severa disciplina.
Impadronendosi di Padova, non fu commesso verun rubamento,
verun disordine turbò il contento del popolo che tornava alle fazioni
de' suoi padri. Furono sequestrate le sole proprietà della casa della
Scala, siccome appartenenti al vincitore. Marsiglio di Carrara fu
proclamato signore di Padova da' suoi concittadini; ed ammesso
nella lega delle repubbliche, si obbligò a somministrare quattrocento
cavalieri all'armata che faceva la guerra a Mastino[298].
Questo segnalato vantaggio ottenuto dalla lega fu ben tosto
funestato dalla morte di colui che lo aveva procurato. Pietro de' Rossi
avendo intrapreso l'assedio del castello di Monselice, vi fu colpito il 7
agosto da un colpo di lancia, e morì il susseguente giorno. Suo
fratello Marsiglio che aveva un comando nella medesima armata,
morì di febbre sette giorni dopo[299]. Per riconoscenza e per rispetto
dovuto alla memoria di questi due generali, la lega affidò il comando
della loro armata ad un terzo fratello, Orlando de' Rossi che non
aveva i talenti de' suoi predecessori.
Ma la situazione di Mastino della Scala era diventata così pericolosa,
che la lega non aveva omai più bisogno d'un grande generale per
trarre profitto dai già ottenuti vantaggi. Tutti i Guelfi che avevano
ubbidito a questo signore, tutti i gentiluomini che avevano motivo di
dolersi di lui, coglievano avidamente l'occasione di ribellarsi, e si
scoprivano nella condotta dell'uomo potente caduto in minor fortuna
offese prima egualmente ignorate dall'offensore e dall'offeso. Brescia
si ribellò l'8 ottobre contro Mastino; e la guarnigione tedesca, dopo
avere difesa alcun tempo la città nuova, fu costretta anch'essa di
capitolare. Questa nuova conquista passò in dominio d'Azzo Visconti,
che vi aveva più degli altri contribuito[300].
Questa guerra non era per anco stata illustrata da una battaglia
formale, nè meno quando le armate nemiche presso a poco di forze
eguali non dovevano temere di far prova del loro valore. Ma dopo
l'abbassamento del signore della Scala, più non poteva aver luogo un](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-65-320.jpg)
![fatto importante, poichè egli tenevasi chiuso nella sua capitale,
difendeva i suoi castelli e non ardiva avventurare una battaglia. Si
consumò l'inverno in trattati infruttuosi, e la seguente campagna del
1338 fu consacrata all'assedio di alcune fortezze. Frattanto i
Fiorentini distribuirono i premj per la corsa sotto le stesse mura di
Verona. Occuparono in appresso Soave, Montecchio e Monselice, e
verso la metà d'ottobre s'impadronirono finalmente dei sobborghi di
Vicenza[301]. Mastino aveva chiesti gli ajuti dell'imperatore Luigi di
Baviera, al di cui partito erasi sempre conservato fedele. Ma Luigi era
allora il nemico della casa di Lussemburgo, con cui aveva tanto
tempo fatto causa comune; ed il conte Giovanni Enrico, secondo
figlio del re di Boemia, occupò i passaggi delle montagne, e
trattenne in Tirolo l'imperatore che con sei mila cavalli veniva in
soccorso del signore di Verona[302]. Mastino abbandonato da tutti i
suoi alleati, e temendo di vedersi in breve assediato nella propria
capitale, si appigliò finalmente alle negoziazioni. Doveva trattare con
una lega, onde impiegò contro la medesima quell'arte che d'ordinario
basta per discioglierle. Offrì di dare pieno soddisfacimento ad uno
de' confederati, e lo fece rinunciare alla difesa degl'interessi altrui. I
Veneziani trattarono con lui separatamente, ed avendo ottenuto
quanto desideravano, il 17 dicembre del 1338 firmarono un trattato
che comunicarono soltanto dopo fatto alla repubblica Fiorentina,
perchè ancor essa vi si uniformasse[303].
Con tale trattato Treviso, Castelfranco e Ceneda venivano cedute alla
signoria di Venezia; Bassano e Castel Baldo al signore di Padova;
Pescia ed alcune castella di Val di Nievole ai Fiorentini[304]. La
navigazione del Po era dichiarata libera; i Rossi dovevano rientrare al
possesso de' loro beni nello stato di Parma, ed Alberto della Scala
sarebbe liberato senza taglia.
Queste condizioni erano troppo diverse da quelle che i Fiorentini
chiedevano, e che loro erano state promesse dagli alleati. Da una
guerra che loro costava seicento mila fiorini, altro frutto non
raccoglievano che l'acquisto di tre o quattro castelli che Mastino più
non poteva difendere; mentre colla stessa guerra la casa di Carrara](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-66-320.jpg)
![aveva acquistata la signoria di Padova, il Visconti facevasi assicurare
quella di Brescia, ed i Veneziani gittavano i fondamenti d'una nuova
potenza in terra ferma[305]. Rimasero alcun tempo incerti se
dovessero restar soli in guerra contro Mastino, piuttosto che aderire
a così svantaggioso trattato, e lasciarsi in tal modo deludere un'altra
volta dai loro alleati. Pure essi avevano contratto un debito di
quattrocento cinquanta mila fiorini; avevano impegnate ai loro
creditori le gabelle per sei anni; e due enormi perdite fatte in
quest'epoca dal loro commercio li determinarono ad accettare il
trattato di Venezia, e la pace si pubblicò in Toscana il giorno 11
febbrajo del 1339[306].
Per terminare la guerra, un motivo assai più potente dell'abbandono
in cui trovavansi i Fiorentini, fu la ruina che apportava al loro
commercio la guerra tra Filippo di Valois ed Edoardo III d'Inghilterra.
Questi due monarchi non erano stati troppo scrupolosi nello scegliere
i mezzi di far danaro. Filippo aveva più volte alterate le monete del
suo regno, di modo che il fiorino d'oro di Fiorenza, che ne' primi anni
del suo regno valeva dieci soldi di Parigi, giunse in breve al valore di
trenta. In appresso fece arrestare in un sol giorno (10 aprile 1337)
tutti gl'Italiani che commerciavano ne' suoi stati, ed accusandoli
d'usura, li forzò a liberarsi con enormi contribuzioni[307]. D'altra
parte Edoardo d'Inghilterra aveva scelti per banchieri due negozianti
o case di Firenze, ed i prestiti che faceva per loro mezzo, superavano
talmente gli assegni del rimborso, che i Bardi trovarono d'avergli
prestate cento ottanta mila marchi sterlini, ed i Peruzzi cento
trentacinque mila; ossia, fra l'uno e l'altro, sedici milioni trecento
mila lire delle nostre lire d'Italia, in un tempo in cui il denaro era
cinque o sei volte più raro che a' nostri giorni[308]. Queste due case
furono obbligate di sospendere i loro pagamenti, dal che ne risultò
per contraccolpo un infinito numero di fallimenti in Fiorenza[309]. Tali
furono le circostanze che consigliarono la repubblica ad accettare la
pace di Venezia, senza che la sua pubblicazione cagionasse
allegrezza nel popolo[310].](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-67-320.jpg)
![CAPITOLO XXXIV.
Bologna sottomessa da Taddeo de' Pepoli. — Guerra
de' mercenarj o di Parabiago. — I Genovesi creano il
doge. — Celebrità del Petrarca: viene coronato in
Campidoglio.
1338 = 1341.
La repubblica di Bologna, posta quasi nel centro dell'Italia, aveva
lungo tempo disputato a Fiorenza il primato nella parte guelfa; nè
meno popolata, nè meno ricca, o meno commerciante, aveva sopra
le città della Romagna quella stessa influenza che Fiorenza sopra
quelle della Toscana; finalmente Bologna era resa celebre dalla più
antica università d'Italia. Irremovibile pel suo attaccamento alla
parte guelfa, questa repubblica aveva acquistati i suoi primi trionfi
con lunghe e ruinose guerre. I Lambertazzi e molte migliaja dei loro
partigiani erano stati esiliati l'anno 1237, e la loro partenza aveva
lasciata la città deserta[311]. Ma i disastri della guerra civile erano
stati rifatti dalla uniforme e vigorosa amministrazione del partito
vittorioso. Il governo più assodato aveva potuto ponderatamente
maturare i suoi progetti ed eseguirli, e procurare allo stato una lunga
prosperità. Ora siamo giunti all'epoca in cui questa prosperità ebbe
fine. La tirannide del legato Bertrando aveva viziato il principio vitale
della repubblica; i cittadini corrotti da alcuni anni di servitù non
erano più capaci di reggersi liberi. I loro odj provocati da più gravi
oltraggi avevano preso un più feroce carattere; essi non erano più
repressi dall'antico spirito pubblico; la salute della patria o il timore
di compromettere la libertà più non essendo bastanti motivi per farli](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-68-320.jpg)
![tacere, assoggettarono Bologna dopo quattro anni di agitazioni ad
una nuova tirannide. Questa, a dir vero, fu più volte rovesciata, ma
la libertà che le teneva dietro, non era di più lunga durata, o meno
vacillante ed incerta del potere tirannico.
Le recenti fazioni di Bologna eransi manifestate quando Romeo de'
Pepoli, il più ricco cittadino di questa repubblica, era stato esiliato:
egli morì lontano dalla sua patria; ma suo figliuolo Taddeo vi era
stato richiamato in tempo dell'amministrazione del legato. I Pepoli
eransi fatti molti partigiani tra il basso popolo e tra la povera nobiltà
col mezzo delle loro immense ricchezze di cui usavano
generosamente. Essi eransi mostrati zelantissimi per il partito guelfo,
ed erano rimasti attaccati al legato più lungo tempo dei Maltraversa
loro avversarj[312]. Accusavano essi questi ultimi di favorire i
Ghibellini, e quest'accusa poco non influiva sullo spirito del popolo.
Alcune illustri famiglie erano attaccate alla loro sorte[313], la più
rinomata delle quali era quella dei Bentivoglio, che i suoi genealogisti
fanno discendere da Enzio, re di Sardegna e figliuolo di Federico II,
che morì prigioniere in Bologna. I nemici di questa famiglia, che
doveva un giorno signoreggiare Bologna, dicevano al contrario che
discendeva da un macellajo[314].
Poco dopo la cacciata del legato, manifestossi in Bologna una
sollevazione, il 27 aprile del 1334, nella quale le due fazioni
s'azzuffarono sulla piazza, essendo stati rotti i Maltraversi,
saccheggiate le case de' Sabbadini, e tutti i capi di queste grandi
famiglie esiliati[315]. I soli Gozzadini erano stati eccettuati da questa
proscrizione in ricompensa della parte grandissima che avevano
avuta nell'espulsione del legato[316].
La fazione de' Pepoli, per assicurarsi la vittoria, o per raccoglierne i
frutti, procedette ben tosto a nuovi atti di rigore contro i suoi
avversarj. Tutti i Ghibellini ch'erano stati esiliati coi Lambertazzi, e
che in seguito erano tornati a Bologna per condiscendenza del
governo, furono di nuovo esiliati in numero di trecento
cinquantasette; i loro padri ed i loro fratelli obbligati a fissare il loro
domicilio in campagna; e quando gli affari li chiamavano in città, era](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-69-320.jpg)
![loro vietato d'avvicinarsi alla piazza sino a cinquanta braccia sotto
pena di due mila lire di multa[317].
I Pepoli si comportavano in città come se già ne fossero padroni.
Giacomo, figlio di Taddeo, aveva promesso ad un prete suo amico di
procurargli un beneficio vacante, ed avendolo chiesto inutilmente al
vescovo, in un impeto di collera oltraggiò il prelato cogli schiaffi: il
vescovo, preso un coltello, ferì il Pepoli in una guancia. Si corse alle
armi da ambe le parti; il palazzo vescovile fu saccheggiato ed
abbruciato; ed il capo della Chiesa di Bologna si sottrasse alla morte
colla fuga[318].
Non pertanto, la considerazione personale che si era acquistata
Brandaligi dei Gozzadini coll'espulsione del legato, conservava alcuna
indipendenza al partito Maltraversa di cui era capo. L'anno 1337
Taddeo dei Pepoli eccitò contro i Gozzadini i Bianchi, loro particolari
nemici; e quando seppe che gli uni e gli altri erano armati e pronti a
battersi, si fece innanzi in mezzo a loro sulla piazza maggiore
offrendosi loro mediatore. Prese Brandaligi per la mano, lo chiamò
suo fratello e l'arbitro di Bologna; lo ricondusse a casa sua
prodigandogli gli attestati del suo rispetto e del suo attaccamento;
fece deporre le armi a' suoi proprj figliuoli, ch'eransi associati ai
Bianchi, e determinò tutta la fazione dei Maltraversa a deporre le
armi ed a disperdersi; ma appena si era il Pepoli ritirato, che i suoi
partigiani, adunati in un altro quartiere, piombarono sopra le case
dei Gozzadini, le saccheggiarono, le bruciarono, e forzarono
Brandaligi a fuggire. Dopo ciò i sediziosi scacciarono dalla signoria
tutti i magistrati attaccati al partito Maltraversa, e costrinsero gli altri
a condannare all'esilio i Gozzadini ed i loro partigiani[319].
I Bolognesi erano entrati nella lega de' Fiorentini e de' Veneziani
contro i signori della Scala, e la guerra in cui trovavansi impegnati,
obbligavali a tenere molti cavalieri al loro soldo. Questi mercenarj,
per la maggior parte Tedeschi, preferivano il servigio di un principe a
quello della repubblica. D'altra parte, i tiranni la di cui potenza era
fondata sulla forza militare avevano tutti studiata l'arte di rendersi
cari ai soldati. Taddeo dei Pepoli aveva saputo guadagnarsi coloro](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-70-320.jpg)
![che stavano allora in Bologna; avevali impegnati per mezzo di segreti
emissarj ad accorrere a romore sulla piazza il 28 agosto 1337,
gridando: viva messer Taddeo dei Pepoli!... I cittadini si ragunarono
alle grida di viva il popolo; ma essi erano senza capo, ed i veri
repubblicani erano stati esiliati colla fazione de' Maltraversa. Taddeo
incoraggiava i suoi soldati, che disarmarono la guardia della signoria,
e senza combattere, anzi senza resistenza, Taddeo fu introdotto nel
pubblico palazzo. I mercenarj, che gli avevano aperto l'ingresso, lo
proclamarono i primi signore generale di Bologna; alcuni giorni dopo
le compagnie delle milizie, e più tardi ancora il consiglio del popolo
acconsentirono a questa elezione. Gli amici della libertà erano affatto
scoraggiati; e, perduta ogni speranza d'impedire lo stabilimento del
despotismo, si assentarono da queste assemblee, nelle quali dieci
soli cittadini ebbero la fermezza, di dichiararsi contro Taddeo dei
Pepoli[320].
Il nuovo signore scoprì ben tosto, o suppose delle congiure contro di
lui per esiliare, sotto questo pretesto, i cittadini che potevano ancora
tenerlo inquieto[321]. Cercò poi di rappacificarsi col papa, che aveva
messa la sua capitale sotto l'interdetto; riconobbe la sovranità dei
pontefici sopra Bologna; promise alla Chiesa un annuo tributo di otto
mila lire bolognesi; obbligossi a far marciare le sue truppe qualunque
volta ne fosse richiesto dalla corte d'Avignone, ed ottenne a questi
patti d'essere ammesso da Benedetto XII in seno della Chiesa, e fu
riconosciuta la legittimità del suo potere[322].
La pace di Venezia fu posteriore a queste diverse rivoluzioni di
Bologna. Questa pace, smembrando gli stati di Mastino della Scala,
aveva posto il rimanente dell'Italia al coperto dalla sua ambizione;
ma una casa più potente erasi di già arricchita delle sue spoglie. I
talenti e le virtù d'Azzo Visconti, il quale era succeduto in Lombardia
alla preponderanza di Mastino, rendeva la sua ambizione ancora più
pericolosa. Visconti era in allora il solo signore che si occupasse del
ben essere de' suoi popoli, e che sapesse farsi amare. La dolcezza
della sua amministrazione gli guadagnava ammiratori e partigiani in
ogni luogo, ed i sudditi del tiranno si felicitavano d'essere da lui](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-71-320.jpg)
![degl'Italiani erano affatto indifferenti a questi stranieri, vendevansi
sempre al migliore offerente.
Generalmente parlando, ai principi tornava meglio d'avere dei
Tedeschi al loro soldo, che dei nazionali, perchè la diversità della
lingua li faceva più stranieri allo spirito di partito, e meno accessibili
agl'intrighi. Sembrò a bella prima che le truppe mercenarie avessero
pure altri vantaggi. Le forze degli stati si proporzionarono alle loro
ricchezze, non alla popolazione; esse s'accrebbero coll'industria e
coll'attività, e si perdettero per l'inerzia; si risparmiò il sangue de'
sudditi cittadini; gli stessi soldati vestirono un carattere più umano, e
la guerra si trattò con minor ferocia, perchè i combattenti erano
quasi tutti compatriotti e non avevano veruna cagione di odio, che
gli esacerbasse gli uni contro gli altri. In tempo della battaglia si
risparmiavano reciprocamente; dopo la vittoria i vinti venivano
spogliati delle loro armi e de' loro cavalli, e posti in libertà senza
taglia. Non si previde a principio che l'uso de' soldati stranieri faceva
perdere alla nazione il carattere militare, e la privava dei mezzi di
respingere colle proprie forze le aggressioni che potevano
opprimerla; non si previde che i mercenarj, ne' quali essa riponeva la
sua confidenza, potevano un giorno tradirla. La negoziazione di
Lodrisio Visconti con quelli che occupavano i sobborghi di Vicenza,
fece per la prima volta conoscere ciò che doveva temersi da tali
truppe.
Lodrisio Visconti giunse presso ai Tedeschi che occupavano i
sobborghi di Vicenza, col danaro datogli da Mastino. Propose loro,
poichè allora verun sovrano assoldava truppe, di marciare con lui
contro Azzo Visconti; ed in cambio di soldo promise loro il
saccheggio della città e del territorio di Milano. Richiamò alla loro
memoria la grande compagnia de' Catalani ed Arragonesi che in
principio del secolo era passata in Grecia e vi aveva fondato uno
stabilimento, e li determinò ad intraprendere la guerra per conto loro
proprio. I Tedeschi nominarono generali Lodrisio Visconti ed uno de'
loro compatriotti detto Rinaldo di Givres[323]; presero il titolo di
compagnia di san Giorgio, ed in principio di febbrajo del 1339
passarono l'Adige per entrare nel territorio milanese. La compagnia](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-73-320.jpg)
![orribile macello di questi avventurieri; libera Lucchino e fa Lodrisio
prigioniero.
In una sola giornata la compagnia aveva ottenute due vittorie, e due
ne aveva pure ottenute il conte da Panigo suo avversario. Questi
ricondusse allora le vittoriose sue truppe verso Milano. Al passaggio
dell'Olona incontrò il capitano tedesco Malerba che da Lodrisio era
stato posto alla custodia di quel fiume per tagliare la ritirata ai
fuggitivi. Fu anche questi disfatto dopo un ostinato combattimento
che fu il quinto di questo giorno e pose fine alla battaglia di
Parabiago distruggendo la compagnia di san Giorgio. Questa rapida
campagna, terminata in meno di venti giorni, richiamò a sè gli
sguardi di tutta l'Italia: l'incredibile accanimento con cui aveano
combattuto i mercenarj in quest'occasione, nella quale portavano le
armi contro l'intera società, ispirava tanto maggiore spavento, in
quanto che si paragonava alla mollezza con cui sostenevano le altre
guerre. La spedizione di Parabiago disvelò il loro segreto.
Si osservò che le loro ordinarie battaglie non erano che un trastullo
nel quale cercavano di guadagnare la paga col minor sangue e fatica
possibile; ma che non facevan uso di tutte le loro forze, che quando
le destinavano alla sovversione dell'ordine sociale. Più di quattro mila
cavalieri delle due armate erano rimasti sul campo di battaglia[324]:
assai maggiori erano i morti dell'infanteria. I soli Milanesi avevano
perduti più di cinquecento cavalieri e di tre mila fanti[325]. Lodrisio
Visconti ed i due suoi figliuoli furono chiusi nelle prigioni di Milano. Si
rimandarono senza taglia gli altri prigionieri dopo aver loro tolti i
cavalli e le armi e avuta da loro la promessa che più non
servirebbero contro i Visconti. Non si sarebbero potuti ritenere senza
condannarli ad una perpetua prigionia, perchè veruna potenza
sarebbesi curata di comperare la loro libertà[326].
Sebbene la guerra di Parabiago togliesse al Visconti alcune migliaja
di soldati, aveva non pertanto accresciuta la sua riputazione e la sua
potenza. Era a quest'epoca sovrano di dieci città lombarde prima
indipendenti[327], senza contare Pavia di cui ne divideva il dominio
colla casa Beccaria. Cercava occasione d'acquistare qualche diritto in](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-75-320.jpg)
![Toscana, onde aprirvi una nuova carriera alle sue pratiche ed alla sua
ambizione; nè dovette aspettarne lungo tempo l'occasione: sua
madre Beatrice d'Este aveva avuto dal suo primo marito, il giudice
Nino di Gallura, una unica figliuola detta Giovanna, sorella uterina
d'Azzo Visconti; la quale morì ed era l'ultima erede dei Visconti di
Pisa, signori di una parte della Sardegna. Azzo presentossi subito per
raccogliere l'eredità di quest'illustre famiglia; chiese ed ottenne la
cittadinanza pisana, entrò in possesso dei beni di sua sorella, e per
far comprendere che le sue pretensioni stendevansi altresì sul terzo
della Sardegna, che gli Arragonesi avevano tolta ai giudici di Gallura,
inquartò i suoi stemmi coi loro[328]. I Pisani desideravano
ardentemente la sua alleanza, e le loro forze riunite avrebbero
potuto togliere agli Arragonesi quest'isola, sulla quale i Pisani
avevano così giusti diritti, ed il di cui possesso era tanto necessario
alla sua potenza marittima. Ma Azzo Visconti fu colpito dalla morte
nel colmo delle sue prosperità e de' suoi vasti progetti. Spirò il 16
agosto del 1339 nella fresca età di 37 anni[329]; e perchè non
lasciava figliuoli maschi, i suoi due zii, Giovanni, vescovo di Novara, e
Lucchino, ambedue figliuoli di Matteo, furono dall'elezione della
nobiltà e del popolo chiamati insieme alla sovranità di Milano[330]. Il
primo rassegnò ben tosto al fratello la parte della sua signoria, per
sollecitare l'investitura del vacante arcivescovado di Milano, che
ottenne dalla corte d'Avignone contro il pagamento di cinquanta mila
fiorini, e la riserva di dieci mila fiorini di rendita[331].
Fu pure quest'anno memorabile per una importante rivoluzione nella
repubblica di Genova. Dopo liberata dall'assedio, ci siamo limitati,
rispetto a questa città, d'indicare sommariamente gli avvenimenti
della guerra civile che laceravano questa repubblica: indebolita da
continue zuffe, non impiegava nelle sue guerre intestine tali forze
che richiamar potessero l'attenzione dell'Italia. Ma le nuove fazioni,
che si manifestarono nel presente anno, meritano di essere più
circostanziatamente descritte, poichè produssero nel governo della
repubblica un durevole cambiamento, che forma epoca nella sua
storia.](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-76-320.jpg)
![Era questo il tempo in cui Filippo di Valois sosteneva contro gl'Inglesi
una ruinosa guerra. L'anno 1338 aveva prese al suo servigio venti
galere armate dai Guelfi di Monaco e venti armate dai Ghibellini
genovesi. Queste quaranta galere passarono in Francia sotto il
comando d'Antonio Doria. I marinai genovesi dopo un anno di
servigio lagnaronsi che questo ammiraglio loro non pagasse l'intero
soldo. In una sedizione, ch'ebbe luogo sopra le galere, furono
scacciati il Doria ed i suoi capitani, ed i marinai nominarono altri
ufficiali[332]. Il re di Francia si dichiarò a favore dell'ammiraglio; fece
porre in prigione Pietro Capurro di Valtaggio risguardato quale capo
dei sediziosi e quindici suoi compagni. La subordinazione si ristabilì
sulla flotta, ma fu abbandonata da moltissimi marinai, che tornarono
alla loro patria lagnandosi dell'ammiraglio.
Al loro arrivo questi uomini inquieti trovarono molti concittadini mal
disposti contro gli Spinola, i Doria, i Fieschi ed i Grimaldi. Da oltre
sessant'anni queste quattro grandi famiglie avevano scossa la
repubblica colle loro rivalità. A vicenda vittoriose o fuggitive, avevano
a vicenda oppressi gli altri nobili ed il popolo. Sembrava che
aspirassero ad assoggettare Genova ad una oligarchia ereditaria;
attribuivansi tutte le funzioni onorevoli sia nella capitale, sia nelle
città e castelli che ne dipendevano, come nelle flotte e nelle armate.
Gli abitanti di Valtaggio presero i primi le armi per difendere o
vendicare il loro compatriota Pietro Capurro, capo de' sediziosi della
flotta. Il loro esempio fu seguìto dagli abitanti delle valli della
Polsevera e di Bisagno ed in ultimo dai cittadini di Savona; nella
quale città i sediziosi si adunarono nella chiesa di san Domenico, ove
uno de' loro capi, salito sulla cattedra dei predicatori, e richiamando
alla memoria de' suoi uditori le ingiurie e l'orgoglio della nobiltà, gli
eccitò a scuotere il giogo di quest'ordine, ed a vendicarsi.
«L'arroganza de' nobili è tanto grande, egli disse, che sdegnansi
perfino che il popolo riclami i diritti guarentiti dalle leggi. Colui che
alza gli occhi sopra di loro, e che ricordandosi d'essere Genovese osa
invocare la libertà, viene strascinato in prigione o punito di morte
come un ribelle. Chi dobbiamo però accusare di una così ingiuriosa
oppressione? La nobiltà che l'impone, o noi che la soffriamo? La](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-77-320.jpg)
![nobiltà prima di tutto nulla fece di nuovo, nulla che non sia conforme
alla sua natura: ma noi con una vergognosa viltà, con una
imperdonabile debolezza, noi non impieghiamo in nostra difesa le
armi che d'ogni tempo sono state riservate al popolo. Non lo
sappiamo noi forse, che agli oppressi non rimane che una risorsa, la
sollevazione? E che in questa sola trovano la guarenzia dei loro
diritti? Speriamo noi forse che un giudizio, o procedure giudiziali ne
ridonino i nostri privilegi? Che potremmo noi sperare dai consigli
composti di soli nobili, da tribunali creati da loro, da giuristi che
sviano con tutti i sutterfugi della cavillazione? Il popolo ha egli un
mezzo regolare d'ottenere giustizia quando la domanda contro i suoi
magistrati? Può egli invocare in suo soccorso l'ordine sociale, quando
questo istesso ordine sociale è corrotto? Non temete, cittadini, i
giudizj dei tribunali venduti ai vostri nemici, l'obbrobrio di cui
vorrebbero vedervi coperti, o i supplicj di cui vi minacciano; non
temete i nomi di ribelli e di sediziosi di cui vi caricano; voi conoscete
i vostri diritti, le leggi che devono proteggervi, e ch'essi violano
senza pudore; voi le avete tutte scolpite nella vostra memoria;
queste medesime leggi si sono fatte delle vostre braccia l'ultima
guarenzia[333].»
Gli abitanti di Savona, riscaldati da questo discorso, assediano il
pretorio, ove Odoardo Doria governatore della città erasi rifugiato coi
magistrati e con pochi gentiluomini. Dopo averli costretti ad
arrendersi, li rinchiusero nella fortezza di santa Maria; nominarono
capitani del popolo due plebei, e formarono loro un consiglio di venti
marinai. Marciarono in appresso contro Genova, ove tutto era
disposto per un'eguale rivoluzione che non tardò a scoppiare. La
repubblica era governata da due capitani di parte ghibellina, un
Doria ed uno Spinola, i quali avevano spogliato il popolo dell'elezione
del suo Abate, magistrato che come i tribuni di Roma era
specialmente incaricato della protezione e della difesa de' plebei. I
malcontenti di Genova, tosto che videro arrivare in loro soccorso gli
ammutinati di Savona, domandarono che fosse loro restituito il
diritto d'eleggere il magistrato del popolo; ed il governo riconobbe la
giustizia di questa domanda.](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-78-320.jpg)
![Venti plebei scelti dai loro concittadini per l'elezione dell'Abate
adunaronsi in pretorio il 23 settembre del 1339[334]. I capitani, i
nobili ed il popolo riuniti intorno a loro ne aspettavano la decisione;
quando un uomo oscuro, alzando la voce, propose di nominare alla
vacante piazza Simone Boccanigra, uomo attivo e pieno
d'esperienza, che a somma prudenza univa un coraggio a tutte
prove, e che sempre aveva protetti i plebei sebbene appartenente ad
una delle più antiche famiglie della nobiltà. Questo nome venne
ripetuto con entusiasmo; il popolo unendo la sua voce a quella degli
elettori proclama il nuovo Abate che malgrado la sua resistenza fu
costretto a sedersi tra i due capitani del popolo, e gli fu posta in
mano la spada del comando.
Quando Boccanigra potè ottenere un istante di silenzio, disse: «Io
sento, cittadini, tutta la riconoscenza ch'io debbo a tanto zelo, a
tanta benevolenza; ma il titolo che voi mi date, non era ancora
entrato nella mia famiglia, ed io non voglio essere il primo ad
introdurvelo. Accordate dunque, vi prego, quest'onore ad alcun altro
cui meglio che a me si convenga[335].» I cittadini sentirono allora
che il titolo di Abate del popolo non poteva appartenere che ad un
plebeo, e che Boccanigra, che contava un capitano del popolo tra i
suoi antenati, non poteva, senza far loro torto, accettare una così
diversa magistratura[336]. «Siate dunque nostro signore, nostro
doge, gridarono essi; ma siete voi, voi solo che vogliamo riconoscere
per nostro protettore.» I medesimi capitani del popolo, temendo che
la rivoluzione si rendesse più feroce, supplicarono Boccanigra ad
accettare la sua elezione; e perchè il titolo di doge, che per
accidente eragli stato offerto, ricordava il doge di Venezia, capo
d'uno stato libero simile a Genova, la nuova costituzione, stabilita in
mezzo ai clamori popolari, rimase libera e repubblicana: Boccanigra
ebbe un consiglio popolare, e la sua autorità venne limitata dai
poteri che si riservò la nazione[337].
Boccanigra nel corso de' cinque anni che tenne l'affidatogli potere,
ne usò gloriosamente: con mano vigorosa represse gli eccessi cui il
popolo si abbandonava ne' primi istanti della rivoluzione; trasse di](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-79-320.jpg)
![mano ai sediziosi Rebella Grimaldi, sebbene suo particolare nemico;
contenne il marchese del Carretto e gli altri feudatarj che
commettevano frequenti ladronecci in vicinanza de' loro feudi;
assoggettò ai magistrati della repubblica le fortezze tutte ed i castelli
delle due riviere, tranne Monaco, difeso dai Grimaldi, e Ventimiglia in
cui si erano uniti i capi delle quattro grandi famiglie[338]. E la sua
amministrazione fu pure illustrata da alcune vittorie ottenute dalle
flotte della repubblica sui Turchi nel mar nero, sui Tartari presso
Caffa, ed in Ispagna sui Mori[339].
Peraltro dovette lottare incessantemente contro gl'intrighi delle
quattro potenti famiglie escluse dal governo; le quali avevano
dimenticate le vicendevoli nimistà ed i nomi di Guelfi e di Ghibellini,
che le tennero tanti anni divise, per collegarsi contro di lui; ed unitesi
in Venti miglia mossero guerra alla repubblica ed al suo capo[340].
Vedremo altrove il Boccanigra, stanco di così lunga guerra, deporre
spontaneamente il comando, e lasciare in altrui mano la cura di
proteggere il popolo contro la nobiltà.
E per tal modo gli stati d'Italia o monarchici o repubblicani andavano
perdendo per le interne loro convulsioni i vantaggi dell'ordine
sociale; verun riposo compensava sotto il governo dei principi la
perdita della libertà; nelle repubbliche veruna stabile
amministrazione rassicurava dai timori d'un tempestoso avvenire.
Ogni anno un'improvvisa rivoluzione precipitava dal suo trono un
principe italiano, o in una città libera privava un partito dell'autorità
che godeva. Masnadieri riuniti in regolari corpi d'armata movevano
guerra ai sovrani, e ne minacciavano l'esistenza; avventurieri, scesi
in Italia dalla Francia e dalla Germania, innalzavano rapidamente
grandiosi edificj di nuovi potentati che venivano rapidamente
distrutti. Siamo perciò costretti di presentare ai nostri lettori, come
sopra una mobile scena, nuovi stati e nuovi personaggi che si
premono e incalzano e distruggono gli uni gli altri, senza dar tempo
di fissare sopra di loro lo sguardo. Non è da dubitarsi che i popoli
soffrissero per questa instabilità d'istituzioni, ma i loro patimenti ci
pajono ancora più grandi di quel che lo fossero realmente, perchè](https://image.slidesharecdn.com/4976327-250523033720-df76d34f/85/Discretetime-Recurrent-Neural-Control-Analysis-And-Applications-Sanchez-80-320.jpg)
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- 11. CRC Press Taylor & Francis Group 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300 Boca Raton, FL 33487-2742 © 2019 by Taylor & Francis Group, LLC CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group, an Informa business No claim to original U.S. Government works Printed on acid-free paper Version Date: 20180802 International Standard Book Number-13: 978-1-138-55020-9 (Hardback) This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or the consequences of their use. The authors and publishers have attempted to trace the copyright holders of all material reproduced in this publication and apologize to copyright holders if permission to publish in this form has not been obtained. If any copyright material has not been acknowledged please write and let us know so we may rectify in any future reprint. Except as permitted under U.S. Copyright Law, no part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic, mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and recording, or in any information storage or retrieval system, without written permission from the publishers. For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com (http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC), 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate system of payment has been arranged. Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation without intent to infringe. Visit the Taylor & Francis Web site at http://www.taylorandfrancis.com and the CRC Press Web site at http://www.crcpress.com
- 12. Dedication To my wife: María de Lourdes, our sons: Zulia Mayari, Ana María and Edgar Camilo, and our grandsons: Esteban, Santiago and Amelia
- 14. Contents Preface.....................................................................................................................xv Acknowledgments ................................................................................................xvii Authors...................................................................................................................xix SECTION I Analyses Chapter 1 Introduction ..........................................................................................3 1.1 Preliminaries....................................................................................3 1.2 Motivation .......................................................................................6 1.3 Objectives........................................................................................7 1.4 Book Structure.................................................................................7 1.5 Notation...........................................................................................8 1.6 Acronyms ........................................................................................9 Chapter 2 Mathematical Preliminaries................................................................13 2.1 Optimal Control.............................................................................13 2.2 Lyapunov Stability.........................................................................16 2.3 Robust Stability Analysis ..............................................................18 2.3.1 Optimal Control for Disturbed Systems..............................23 2.4 Passivity.........................................................................................23 2.5 Discrete-time High Order Neural Networks..................................25 2.6 The EKF Training Algorithm........................................................27 2.7 Separation Principle for Discrete-time Nonlinear Systems...........29 ix
- 15. x Contents Chapter 3 Neural Block Control .........................................................................35 3.1 Identification..................................................................................36 3.2 Illustrative Example.......................................................................41 3.3 Neural Block Controller Design....................................................46 3.4 Applications...................................................................................51 3.4.1 Neural Network Identification.............................................51 3.4.2 Neural Block Controller Design..........................................52 3.4.3 Reduced Order Nonlinear Observer ....................................54 3.4.4 Simulation Results...............................................................56 3.5 Conclusions ...................................................................................57 Chapter 4 Neural Optimal Control......................................................................63 4.1 Inverse Optimal Control via CLF..................................................63 4.1.1 Example...............................................................................70 4.1.2 Inverse Optimal Control for Linear Systems.......................72 4.2 Robust Inverse Optimal Control....................................................75 4.3 Trajectory Tracking Inverse Optimal Control ...............................86 4.3.1 Application to the Boost Converter.....................................92 4.3.1.1 Boost Converter Model ...........................................94 4.3.1.2 Control Synthesis ....................................................95 4.3.1.3 Simulation Results...................................................96 4.4 CLF-based Inverse Optimal Control for a Class of Nonlinear Positive Systems............................................................................97 4.5 Speed-gradient for the Inverse Optimal Control .........................102 4.5.1 Speed-gradient Algorithm.................................................103 4.5.2 Summary of the Proposed SG Algorithm to Calculate Parameter pk ......................................................................108 4.5.3 SG Inverse Optimal Control..............................................108 4.5.3.1 Example.................................................................112 4.5.4 Application to the Inverted Pendulum on a Cart ...............115
- 16. Contents xi 4.5.4.1 Simulation Results.................................................116 4.6 Speed-gradient Algorithm for Trajectory Tracking.....................119 4.6.1 Example.............................................................................123 4.7 Trajectory Tracking for Systems in Block-control Form ............124 4.7.1 Example.............................................................................128 4.8 Neural Inverse Optimal Control ..................................................129 4.8.1 Stabilization.......................................................................131 4.8.1.1 Example.................................................................131 4.8.2 Trajectory Tracking ...........................................................134 4.8.2.1 Application to a Synchronous Generator ..............136 4.8.2.2 Comparison ...........................................................144 4.9 Block-control Form: A Nonlinear Systems Particular Class.......145 4.9.1 Block Transformation........................................................145 4.9.2 Block Inverse Optimal Control..........................................148 4.10 Conclusions .................................................................................148 SECTION II Real-Time Applications Chapter 5 Induction Motors..............................................................................155 5.1 Neural Identifier ..........................................................................156 5.2 Discrete-time Super-twisting Observer.......................................157 5.3 Neural Sliding Modes Block Control..........................................158 5.4 Neural Inverse Optimal Control ..................................................160 5.5 Implementation............................................................................161 5.6 Prototype .....................................................................................162 5.6.1 RCP System.......................................................................162 5.6.2 Power Electronics..............................................................166 5.6.3 Signal Conditioning for ADC............................................168 5.6.4 Real-time Controller Implementation................................168 5.6.4.1 Induction Motor Inputs and Outputs .....................169
- 17. xii Contents 5.6.4.2 Flux Observer........................................................175 5.6.4.3 Neural Identifier ....................................................175 5.6.4.4 Serial Communication Interface............................175 5.6.5 Neural Sliding Mode Real-time Results............................175 5.6.6 Neural Inverse Optimal Control Real-time Results...........176 5.7 Conclusions .................................................................................180 Chapter 6 Doubly Fed Induction Generator......................................................183 6.1 Neural Identifiers.........................................................................184 6.1.1 DFIG Neural Identifier......................................................184 6.1.2 DC Link Neural Identifier ................................................185 6.2 Neural Sliding Mode Block Control ..........................................186 6.2.1 DFIG Controller ................................................................186 6.2.1.1 Simulation Results.................................................191 6.2.2 DC Link Controller............................................................196 6.2.2.1 Simulation Results.................................................199 6.3 Neural Inverse Optimal Control ..................................................203 6.3.1 DFIG Controller ................................................................203 6.3.1.1 Simulation Results.................................................207 6.3.2 DC Link Controller............................................................210 6.3.2.1 Simulation Results.................................................213 6.4 Implementation on a Wind Energy Testbed ................................215 6.4.1 Real-time Controller Programing......................................216 6.4.2 Doubly Fed Induction Generator Prototype ......................220 6.4.3 Sliding Mode Real-time Results........................................227 6.4.4 Neural Sliding Mode Real-time Results............................230 6.4.5 Neural Inverse Optimal Control Real-time Results...........233 6.5 Conclusions .................................................................................237
- 18. Contents xiii Chapter 7 Conclusions ......................................................................................241 A. DFIG and DC Link Mathematical Model.........................................................243 A.1 DFIG Mathematical Model .........................................................243 A.1.1 Variables Transformation Referred to a Reference Frame Fixed in the Rotor..............................................................249 A.1.2 Torque Equation in Arbitrary Reference-frame Variables.252 A.1.3 Per-unit Conversion...........................................................253 A.1.4 DFIG State Variables Model .............................................257 A.2 DC Link Mathematical Model ....................................................260 Index......................................................................................................................267
- 20. Preface Neural networks are nowadays a well-established methodology for identification and control of general nonlinear and complex systems. Applying neural networks, control schemes can be developed to be robust in the presence of disturbances, parameter variations and modeling errors. The most utilized NN structures are feedforward networks and recurrent ones; the latter type is better suited to model and control of nonlinear systems. There exist different procedures to train neural networks, which normally face technical difficulties such as local minima, slow learning, and high sensitivity, among others. As a feasible alternative, methods based on Kalman filtering have been proposed. There already exist results for trajectory tracking using neural networks; however most of them consider continuous-time systems. On the other hand, while a large number of publications are related to linear discrete-time control systems, the nonlin- ear case has not been considered to the same extent, even if discrete-time controllers are better fitted for real-time implementation. Considering the above facts, the present book develops two discrete-time neural control schemes for trajectory tracking of nonlinear systems. Both of them are based on determining a model for the unknown system using a recurrent neural network, trained on-line with a Kalman filter, for identification. Once this model is obtained, two control methodologies are applied. First, block controllableforms combined with sliding modes are used, and then the inverse optimal control approach is employed. Theschememadeupbytheneuralidentifierandthecontrollawconstitutesanadaptive controller. The book is organizedin two sections. The first one covers accurate analysis of the properties of the proposed schemes, which is mainly done by means of the Lyapunov methodology; the last section presents real-time implementations of these schemes, which are performed using three-phases induction motors, widely used for industrial xv
- 21. xvi Preface applications, and doubly fed induction generators, crucial for wind energy. The book describes research results obtained during the last fourteen years at the Automatic Control Systems Laboratory of the CINVESTAV-IPN, from its name in Spanish: Center for Research and Advanced Studios of the National Polytechnic Institute, Guadalajara Campus. Guadalajara, Mexico December 2017
- 22. Acknowledgments The author thanks National Council for Science and Technology (CONACyT for its name in Spanish, Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología), Mexico, for financial support on Project Nos. 57801, 131678 and 257200, which allowed us to develop the research reported in this book. He also thanks CINVESTAV-IPN (Center for Research and Advanced Studies of the National Polytechnic Institute), Mexico for providing him with the outstanding environment and resources to develop his research, from 1997 to date. Additionally, he expresses his gratitude to Ronald G. Harley, professor at the SchoolofElectricalandComputerEngineeringoftheGeorgiaInstituteofTechnology, Atlanta, Georgia, USA, for his support over the years and for giving permission to use the equipment at the Intelligent Power Infrastructure Consortium Laboratory of such institute. The author is very grateful to his former PhD students, Alma Y. Alanis, professor at University of Guadalajara, Guadalajara, Mexico, Fernando Ornelas-Tellez, profes- sor at Michoacan University, Morelia, Mexico and Riemann Ruiz-Cruz, professor at ITESO University, Guadalajara, Mexico, as well as to his present PhD students, Ed- uardo Quintero-Manriquez, María E. Antonio-Toledo, and Carlos J. Vega-Pérez; all of them, with their creativity, commitment and hard work, made this book possible. xvii
- 24. Author Edgar N. Sanchez was born in 1949 in Sardinata, Colombia, South America. He obtained a BSEE, with a major in power systems, from Universidad Industrial de Santander (UIS), Bucaramanga, Colombia in 1971, an MSEE from CINVESTAV- IPN (Center for Research and Advanced Studies of the National Polytechnic In- stitute), with a major in automatic control, Mexico City, Mexico, in 1974 and the Docteur Ingenieur degree in automatic control from Institut Nationale Polytechnique de Grenoble, France in 1980. He was granted a National Research Council Award as a research associate at NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, USA (January 1985 to March 1987). His research interests center on neural networks and fuzzy logic as applied to automatic control systems. Since January 1997, he has been with CINVESTAV-IPN, Guadalajara Campus, Mexico, as a professor of electrical engineering graduate programs. He has been the advisor of 24 PhD thesis and 42 MSc thesis students. He is also member of the Mexican National Research System (promoted to the highest rank, III, in 2005), the Mexican Academy of Science and the Mexican Academy of Engineering. He has published 7 books, more than 300 tech- nical papers in international journals and conferences, and has served as associate editor and reviewer for different international journals and conferences. He has also been a member of many international IEEE and IFAC conference IPCs. xix
- 28. 1 Introduction 1.1 PRELIMINARIES The ultimate goal of control engineering is to implement an automatic system which could operate with increasing independence from human actions in an unstructured and uncertain environment. Such a system can be called autonomous or intelligent. It would need only to be presented with a goal and would achieve its objective by learning through continuous interaction with its environment through feedback about its behavior [17]. One class of models which has the capability to implement this learning is the ar- tificial neural networks. Indeed, the neural morphologyof the nervous system is quite complex to analyze. Nevertheless, simplified analogies have been developed, which could be used for engineering applications. Based on these simplified understandings, artificial neural networks are built [9]. An artificial neural network is a massively parallel distributed processor, inspired by biological neural networks, which can store experimental knowledge and have it available for use. An artificial neural network consists of a finite number of neurons (structural element), which are interconnected to each other. It has some similarities with the brain: knowledge is acquired through a learning process, and interneuron connectivity called synaptic weights are used to store this knowledge, among others [17]. The research on neural networks, since its rebirth in the early 1980s, promotes great interest principally due to the capability of static neural networks to approx- imate arbitrarily well any continuous function. Besides, in recent years, the use of recurrent neural networks has increased; their information processing is described by differential equations for continuous time or by difference equations for discrete time [9]. Using neural networks, control algorithms can be developed to be robust to uncer- 3
- 29. 4 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications tainties and modeling errors. The most used neural network structures are: Feedfor- ward networks and Recurrent ones [1, 18]. The last type offers a tool that is better suited to model and control nonlinear systems [15]. There exist different training algorithms for neural networks, which, however, normally encounter technical problems such as local minima, slow learning, and high sensitivity to initial conditions, among others. As a viable alternative, new training algorithms, e.g., those based on Kalman filtering, have been proposed [8, 9, 19]. Due to the fact that training a neural network typically results in a nonlinear problem, the Extended Kalman Filter (EKF) is a common tool to use, instead of a linear Kalman filter [9]. There already exist publications about trajectory tracking using neural networks ([4], [10], [11], [12], [13], [15], [16], [18]); in most of them, the design method- ology is based on the Lyapunov approach. However, the majority of those works were developed for continuous-time systems. On the other hand, while extensive lit- erature is available for linear discrete-time control systems, nonlinear discrete-time control design techniques have not been discussed to the same degree. For nonlinear discrete-time systems, the control problem is more complex due to couplings among subsystems, inputs and outputs [2, 7, 11]. Besides, discrete-time neural networks are better fitted for real-time implementations. There are two advantages to working in a discrete-time framework: a) appropriate technology can be used to implement digital controllers rather than analog ones b) the synthesized controller is directly implemented in a digital processor. Therefore, control methodologies developed for discrete-time nonlinear systems can be implemented in real systems more effectively. In this book, it is considered a class of nonlinear systems, the affine nonlinear one, which represents a great variety of them, most of which are approximate discretiza- tions of continuous-time systems. This book presents two types of controllers for trajectory tracking of unknown discrete-time nonlinear systems with external disturbances and internal uncertainties based on two approaches; the first one is based on the sliding mode technique, and the second one uses inverse optimal control; both of them are designed based on a neural
- 30. Introduction 5 model, and the applicability of the proposed controllers is illustrated, via simulations and real-time results. As a special case, the proposed control scheme is applied to electric machines. It is worth mentioning that if a continuous-time control scheme is real-time implemented, there is no guarantee that it preserves its properties, such as stability margins and adequate performance. Even worse, it is known that continuous time schemes could become unstable after sampling. To control a system is to force it to behave in a desired way. How to express this “desired behavior” depends primarily on the task to be solved; however,the dynamics of the system, the actuators, the measurement equipment, the available computational power, etc., influence the formulation of the desired behavior as well. Although the desired behavior obviously is very dependent of the application, the need to express it in mathematical terms suited for practical design of control systems seriously limits the means of expression. At the higher level, it is customary to distinguish two basic types of problems [14]: Regulation. The fundamental desired behavior is to keep the output of the system at a constant level regardless of the disturbances acting on the system. Tracking. The fundamental desired behavior is to force the system output to track a reference trajectory closely. Neural networks (NNs) have become a well-established methodology as exem- plified by their applications to identification and control of general nonlinear and complex systems [6, 14]; the use of high order neural networks for modeling and learning has recently increased [18]. Specifically, the problem of designing robust neural controllers for nonlinear systems with parametric uncertainties, unmodeled dynamics and external disturbances, which guarantees stability and trajectory track- ing,hasreceivedincreasingattentionlately.Usingneuralnetworks,controlalgorithms can be developed to be robust in the presence of such events. Neural controller synthesis can be approached in two different ways: Direct control system design. “Direct” means that the controller is a neural net- work. A neural network controller is often advantageous when the real-time platform available prohibits complicated solutions. The implementation is simple while the
- 31. 6 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications design and tuning are difficult. With a few exceptions this class of designs is model- based in the sense that a model of the system is required in order to determine the controller. Indirect control system design. This class of designs is always model-based. The idea is to use a neural network to model the system to be controlled, which is then employed in a more “conventional” controller design. The model is typically trained in advance, but the controller is designed on-line. As yo will see, the indirect design is very flexible; thus it is the most appropriate. The increasing use of NNs for modeling and control of nonlinear systems is in great part due to the following features, which make them particularly attractive [5]: • NNs are universal approximators. It has been proven that any continuous nonlinear function can be approximated arbitrarily well over a compact set by a multilayer neural network which consists of one or more hidden layers [3]. • Learning and adaptation. The intelligence of neural networks comes from their generalization ability with respect to unknown data. On-line adaptation of the weights is also possible. 1.2 MOTIVATION Taking into account the facts exposedabove,the need to synthesize control algorithms for Multiple InputMultiple Output (MIMO) discrete-time nonlinearsystems based on neuralnetworksisobvious.Thesealgorithmsshouldberobusttoexternaldisturbances as well as parametric variations. On the other hand, in most nonlinear control designs, it is usually assumed that the system model is previously known, as well as its parameters and disturbances. In practice, however, only part of this model is known. For this reason, identification remains an important topic, particularly neural identification. Therefore, the major motivation for this book is to develop alternative methodolo- gies, which allow the design of robust controllers for discrete-time nonlinear systems
- 32. Introduction 7 with unknown dynamics. Finally, there only exist a few published results on real-time implementations of neural controllers; so this book contains mathematical analysis, simulation examples and real-time implementation for all the proposed schemes. 1.3 OBJECTIVES The main objectives of this book are stated as follows: • To synthesize a neural identifier for a class of MIMO discrete-time nonlinear systems, using a training algorithm based on an EKF. • To synthesize a scheme for output trajectory tracking based on a Recurrent High Order Neural Network (RHONN) trained with an EKF, to identify a MIMO discrete-time nonlinear system and based on the neural model, to design a control law by the block control and sliding mode techniques. • To synthesize a scheme for output trajectory tracking based on a Recurrent High Order Neural Network (RHONN) trained with an EKF, to identify a MIMO discrete-time nonlinear system, and based on the neural model, to define a control law by the inverse optimal control technique. • To establish the stability analyses, using the Lyapunov approach, for each one of the proposed schemes. • To implement real-time experiments for each one of the proposed schemes. 1.4 BOOK STRUCTURE This book presents a solution for the trajectory trackingof unknown nonlinearsystems based on two schemes. For the first one, an indirect method, is solved with the block control and the sliding mode techniques, under the assumption of complete access to the state; the second one considers an indirect method, solved with the inverse optimal control technique, under the same assumption. Both schemes are developed in discrete-time. This book is organized as follows.
- 33. 8 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications In Chapter 2, mathematical preliminaries are introduced, including stability def- initions, artificial neural network foundations, and the principle of separation for discrete-time nonlinear systems. Then in Chapter 3, the identified model is used to design a block control form controller, based on sliding mode. The training of the neural networks is performed on-line using an extended Kalman filter. After that, in Chapter 4, the identified model is used to design an inverse optimal neural control. The training of the neural networks is performed on-line using an extended Kalman filter. Chapter 5 includes real-time results for the neural identifier and the two control schemes developed in the previous chapters are applied to a three-phase induction motor. In Chapter 6, real-time results are presented for the neural identifier and the con- trollers previously explained are applied to a double feed induction generator (DFIG). Chapter 7 presents relevant conclusions. Additionally, an appendix is included at the end of this book. In this appendix, the DFIG and DC Link mathematical model development is detailed. 1.5 NOTATION Through this book, we use the following notation: k ∈ 0 ∪Z+ Sampling step |•| Absolute value k•k Euclidian norm for vectors and any adequate norm for matrices S(•) Sigmoid function x ∈ ℜn Plant state b x ∈ ℜn Neural network state wi ∈ ℜL i-th neural network estimated weight vector w∗ i ∈ ℜL i-th neural network ideal weight vector
- 34. Introduction 9 Li ∈ ℜ Number of high-order connections u ∈ ℜm Control action u∗ ∈ ℜm Ideal control action ρ ∈ ℜm Neural network external input zi ∈ ℜLi High-order terms K ∈ ℜLi×m Kalman gain matrix P ∈ ℜLi×Li Associated prediction error covariance matrix Q ∈ ℜLi×Li Associated state noise covariance matrix R ∈ ℜm×m Associated measurement noise covariance matrix gi ∈ ℜ i-th neural observer gain r ∈ ℜ Number of blocks ni ∈ ℜ Dimension of the i-th block SD ∈ ℜnr Sliding manifold ki ∈ ℜ Control gain of the i-th block zi ∈ ℜni State transformation of the i-th block e ∈ ℜp Output error e x ∈ ℜn State observer error e wi ∈ ℜLi Weights estimation error 1.6 ACRONYMS BIBS Bounded-Input Bounded-State CLA Control Accelerator CLF Control Lyapunov Function DARE Discrete-Time Algebraic Riccati Equation DC Direct Current DFIG Doubly Fed Induction Generator DT Discrete-Time EKF Extended Kalman Filter FOC Field Oriented Control
- 35. 10 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications GAS Globally Asymptotically Stable GS Globally Stable GSC Grid Side Converter HJB Hamilton-Jacobi-Bellman HJI Hamilton-Jacobi-Isaacs IOC Inverse Optimal Control ISS Input-to-State Stable KF Kalman Filtering LQR Linear Quadratic Regulator NIOC Neural Inverse Optimal Control NN Neural Network PWM Pulse-Width Modulation QEP Quadrature Encoder Pulse RCP Rapid Control Prototyping RHONN Recurrent High Order Neural Network RHS Right-Hand Side RNN Recurrent Neural Network RSC Rotor Side Converter SCI Serial Communications Interface SMC Sliding Mode Control SG Speed-Gradient SG-IOC Speed-Gradient Inverse Optimal Control SG-IONC Speed-Gradient Inverse Optimal Neural Control SGUUB Semiglobally Uniformly Ultimately Bounded SVM Space Vector Modulation REFERENCES 1. A. Y. Alanis, Neural network training using Kalman Filtering, Master’s Dis- sertation, Cinvestav, Unidad Guadalajara, Guadalajara Jalisco Mexico, 2004 (in spanish).
- 36. Introduction 11 2. F. Chen and H. Khalil, Adaptive control of a class of nonlinear discrete-time systems using neural networks, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 40, no. 5, pp. 791–801, 1995. 3. N. Cotter. The Stone-Weiertrass theorem and its application to neural networks, IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 1, no. 4, pp. 290-295, 1990. 4. L. A. Feldkamp, D. V. Prokhorov and T. M. Feldkamp, Simple and conditioned adaptive behavior from Kalman filter trained recurrent networks, Neural Net- works, vol. 16, pp. 683–689, 2003. 5. R. A. Felix, Variable Structure Neural Control, PhD Dissertation, Cinvestav, Unidad Guadalajara, Guadalajara Jalisco Mexico, 2004. 6. S.S. Ge, T.H. Lee, and C.J. Harris, Adaptive Neural Network Control for Robotic Manipulators, World Scientific, Singapore, 1998. 7. S. S. Ge, J. Zhang and T. H. Lee, Adaptive neural network control for a class of MIMO nonlinear systems with disturbances in discrete-time, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part B, vol. 34, no. 4, August, 2004. 8. R. Grover and P. Y. C. Hwang, Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, 2nd ed., John Wiley and Sons, N. Y., USA, 1992. 9. S. Haykin, Kalman Filtering and Neural Networks, John Wiley and Sons, N. Y., USA, 2001. 10. S. Jagannathan, Control of a class of nonlinear discrete-time systems using mul- tilayer neural networks, IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 12, no. 5, pp. 1113–1120, 2001. 11. F.L. Lewis, J. Campos, and R. Selmic, Neuro-Fuzzy Control of Industrial Systems with Actuator Nonlinearities, Society of Industrial and Applied Mathematics Press, Philadelphia, 2002. 12. F.L. Lewis, S. Jagannathan,and A. Yesildirek, “Neural Network Control of Robot Manipulators and Nonlinear Systems”, Taylor and Francis, London, 1999. 13. K.S. Narendra and K. Parthasarathy, “Identification and control of dynamical systems using neural networks,” IEEE Transactions on. Neural Networks, vol. 1, pp. 4–27, Mar. 1990.
- 37. 12 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications 14. M. Norgaard, O. Ravn, N. K. Poulsen and L. K. Hansen, Neural Networks for Modelling and Control of Dynamic Systems, Springer Verlag, New York, USA, 2000. 15. A. S. Poznyak,E. N. Sanchez and W. Yu, Differential Neural Networks for Robust Nonlinear Control, World Scientific, Singapore, 2001. 16. G.A. Rovithakis and M.A. Chistodoulou, Adaptive Control with Recurrent High- Order Neural Networks, Springer Verlag, Berlin, Germany, 2000. 17. E. N. Sanchez, A. Y. Alanis and G. Chen, Recurrent neural networks trained with Kalman filtering for discrete chaos reconstruction,Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B (DCDIS_B), vol. 13, pp. 1–18, 2006. 18. E. N. Sanchez and L. J. Ricalde, Trajectory tracking via adaptive recurrent neural control with input saturation, Proceedings of International Joint Conference on Neural Networks’03, Portland, Oregon, USA, July, 2003. 19. S. Singhal and L. Wu, Training multilayer perceptrons with the extended Kalman algorithm, in D. S. Touretzky (ed.), Advances in Neural Information Processing Systems, Vol. 1, pp. 133–140, Morgan Kaufmann, San Mateo, CA, USA, 1989.
- 38. 2 Mathematical Preliminaries This chapter briefly describes useful results on optimal control theory, Lyapunov stability, passivity, and neural identification, required in future chapters. 2.1 OPTIMAL CONTROL This section briefly discusses the optimal control methodology and its limitations. Consider the affine-in-the-input discrete-time nonlinear system: xk+1 = f(xk)+ g(xk)uk, x0 = x(0), (2.1) where xk ∈ Rn is the state of the system at time k ∈ Z+ ∪ 0 = {0,1,2,...}, uk ∈ Rm is the input, f : Rn → Rn and g : Rn → Rn×m are smooth mappings, f(0) = 0 and g(xk) 6= 0 for all xk 6= 0. For system (2.1), it is desired to determine a control law uk = u(xk) which mini- mizes the following cost functional: V(xk) = ∞ ∑ n=k l(xn)+ uT n Run , (2.2) whereV : Rn → R+ is a performancemeasure [13]; l : Rn → R+ is a positive semidef- inite1 function weighting the performance of the state vector xk, and R : Rn → Rm×m is a real symmetric and positive definite2 matrix weighting the control effort expen- diture. The entries of R could be functions of the system state in order to vary the weighting on control efforts according to the state value [13]. 1A function l(z) is a positive semidefinite (or nonnegative definite) function if for all vectors z, l(z) ≥ 0. In other words, there are vectors z for which l(z) = 0, and for all others z, l(z) 0 [13]. 2A real symmetric matrix R is positive definite if zT Rz 0 for all z 6= 0 [13]. 13
- 39. 14 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications Equation (2.2) can be rewritten as V(xk) = l(xk)+ uT k Ruk + ∞ ∑ n=k+1 l(xn)+ uT n Run = l(xk)+ uT k Ruk +V(xk+1). (2.3) From Bellman’s optimality principle [17], it is known that, for the infinite horizon optimization case, the value function V∗(xk) becomes time invariant and satisfies the discrete-time Bellman equation [17] V∗ (xk) = min uk l(xk)+ uT k Ruk +V∗ (xk+1) . (2.4) Note that the Bellman equation is solved backwards in time [17]. In order to establish the conditions that the optimal control law must satisfy, we define the discrete-time Hamiltonian H (xk,uk) as H (xk,uk) = l(xk)+ uT k Ruk +V∗ (xk+1)−V∗ (xk), (2.5) which is used to obtain the control law uk by calculating min uk H (xk,uk). The value of uk, which achieves this minimization, is a feedback control law denoted as uk = u(xk), then min uk H (xk,uk) = H (xk,u(xk)). A necessary condition, which this feedback optimal control law u(xk) must satisfy [13], is H (xk,u(xk)) = 0. (2.6) u(xk) is obtained by calculating the gradient of the Right-Hand Side (RHS) of (2.5)
- 40. Mathematical Preliminaries 15 with respect to uk [17] 0 = 2Ruk + ∂V∗(xk+1) ∂uk = 2Ruk + gT (xk) ∂V∗(xk+1) ∂xk+1 . (2.7) Therefore, the optimal control law is formulated as u∗ k = u(xk) = − 1 2 R−1 gT (xk) ∂V∗ (xk+1) ∂xk+1 , (2.8) which is a state feedback control law u(xk) with u(0) = 0. Hence, the boundary conditionV(0) = 0 in (2.2)and (2.3)is satisfied forV(xk), andV becomes a Lyapunov function; u∗ k is used to emphasize that uk is optimal. Moreover, if H (xk,uk) is a quadratic form in uk and R 0, then ∂2H (xk,uk) ∂u2 k 0 holds as a sufficient condition such that optimal control law (2.8) (globally [13]) minimizes H (xk,uk) and the performance index (2.2) [17]. Substituting (2.8) into (2.4), we obtain V∗ (xk) = l(xk)+ − 1 2 R−1 gT (xk) ∂V∗(xk+1) ∂xk+1 T ×R − 1 2 R−1 gT (xk) ∂V∗(xk+1) ∂xk+1 +V∗ (xk+1) (2.9) = l(xk)+V∗ (xk+1)+ 1 4 ∂V∗T (xk+1) ∂xk+1 g(xk)R−1 gT (xk) ∂V∗(xk+1) ∂xk+1 which can be rewritten as l(xk)+V∗ (xk+1)−V∗ (xk)+ 1 4 ∂V∗T (xk+1) ∂xk+1 g(xk)R−1 gT (xk) ∂V∗(xk+1) ∂xk+1 = 0. (2.10) Equation (2.10) is known as the discrete-time HJB equation [17]. Solving this partial-
- 41. 16 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications differential equation for V∗(xk) is not straightforward. This is one of the main draw- backs in discrete-time optimal control for nonlinear systems. To overcome this prob- lem, we propose using inverse optimal control. 2.2 LYAPUNOV STABILITY In order to establish stability, we recall important related properties. Definition 2.1: Radially Unbounded Function [12] A positive definite function V(xk) satisfying V(xk) → ∞ as kxkk → ∞ is said to be radially unbounded. Definition 2.2: Decrescent Function [12] A function V : Rn → R is said to be decrescent if there is a positive definite function β such that the following inequality holds: V(xk) ≤ β(kxkk), ∀k ≥ 0. Definition 2.3: K and K∞ functions [21] A function γ : R≥0 → R≥0 is a K – function if it is continuous, strictly increasing and γ(0) = 0; it is a K∞–function if it is a K –function and also γ(s) → ∞ as s → ∞; and it is a positive definite function if γ(s) 0 for all s 0, and γ(0) = 0. Definition 2.4: K L -function [21] A function β : R≥0 × R≥0 → R≥0 is a K L - function if, for each fixed t ≥ 0, the function β(·,t) is a K –function, and for each fixed s ≥ 0, the function β(s,·) is decreasing and β(s,t) → 0 as t → ∞. R≥0 means nonnegative real numbers.
- 42. Mathematical Preliminaries 17 Theorem 2.1: Global Asymptotic Stability [15] The equilibrium point xk = 0 of (2.1) is globally asymptotically stable if there exists a function V : Rn → R such that (i) V is a positive definite function, decrescent and radially unbounded, and (ii) −∆V(xk,uk) is a positive definite function, where ∆V(xk,uk) = V (xk+1)−V(xk). Theorem 2.2: Exponential Stability [27] Suppose that there exists a positive definite function V : Rn → R and constants c1, c2, c3 0 and p 1 such that c1 kxkp ≤ V(xk) ≤ c2 kxkp (2.11) ∆V(xk) ≤ −c3 kxkp , ∀k ≥ 0, ∀x ∈ Rn . (2.12) Then xk = 0 is an exponentially stable equilibrium for system (2.1). Clearly, exponential stability implies asymptotic stability. The converse is, how- ever, not true. Due to the fact that the inverse optimal control is based on a Lyapunov function, we establish the following definitions. Definition 2.5: Control Lyapunov Function [2, 11] Let V(xk) be a radially un- bounded function, with V(xk) 0, ∀xk 6= 0 and V(0) = 0. If for any xk ∈ Rn there exist real values uk such that ∆V(xk,uk) 0, where we define the Lyapunov difference as ∆V(xk,uk) = V (f(xk)+ g(xk)uk) − V(xk), then V(·) is said to be a discrete-time control Lyapunov function (CLF) for
- 43. 18 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications system (2.1). Assumption 2.1 Let us assume that x = 0 is an equilibrium point for (2.1), and that there exists a control Lyapunov function V(xk) such that α1(kxkk) ≤ V(xk) ≤ α2(kxkk) (2.13) ∆V(xk,uk) ≤ −α3(kxkk), (2.14) where α1, α2, and α3 are class K∞ functions3 and k·k denotes the usual Euclidean norm. Then, the origin of the system is an asymptotically stable equilibrium point by means of uk as input. The existence of this CLF is guaranteed by the converse theorem of the Lyapunov stability theory [3]. As a special case, the calculus of class K∞– functions in (2.13) simplifies when they take the special form αi(r) = κirc, κi 0, c = 2, and i = 1,2. In particular, for a quadratic positive definite functionV(xk) = 1 2 xT k Pxk, with P a positive definite and symmetric matrix, inequality (2.13) results in λmin(P)kxk2 ≤ xT k Pxk ≤ λmax(P)kxk2 , (2.15) where λmin(P) is the minimum eigenvalue of matrix P and λmax(P) is the maximum eigenvalue of matrix P. 2.3 ROBUST STABILITY ANALYSIS This section reviews stability results for disturbed nonlinear systems, for which non- vanishing disturbances are considered. We can no longer study the stability of the 3αi, i = 1,2,3 belong to class K∞ functions because later we will select a radially unbounded function V(xk).
- 44. Mathematical Preliminaries 19 origin as an equilibrium point, nor should we expect the solution of the disturbed system to approach the origin as k → ∞. The best we can hope for is that if the dis- turbance is small in some sense, then the system solution will be ultimately bounded by a small bound [12], which connects to the concept of ultimate boundedness. Definition 2.6: Ultimate Bound [6, 12] The solutions of (2.1) with uk = 0 are said to be uniformly ultimately bounded if there exist positive constants b and c, and for every a ∈ (0,c) there is a positive constant T = T(a), such that kx0k a ⇒ kxkk ≤ b, ∀k ≥ k0 + T, (2.16) where k0 is the initial time instant. They are said to be globally uniformly ultimately bounded if (2.16) holds for arbitrarily large a. The constant b in (2.16) is known as the ultimate bound. Definition 2.7: BIBS [21] System (2.1) is uniformly bounded-input bounded-state (BIBS) stable with respect to uk, if bounded initial states and inputs produce uniformly bounded trajectories. Definition 2.8: ISS Property [19, 21] System (2.1) is (globally) input-to-state stable (ISS) with respect to uk if there exist a K L – function β and a K – function γ such that, for each input u ∈ lm ∞ and each x0 ∈ Rn, it holds that the solution of (2.1) satisfies kxkk ≤ β(kx0k,k)+ γ sup τ∈[k0,∞) kuτk ! , (2.17) where supτ∈[k0,∞){kuτk : τ ∈ Z+} ∞, which is denoted by u ∈ ℓm ∞.
- 45. 20 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications Thus, system (2.1) is said to be ISS if property (2.17) is satisfied [14]. The interpre- FIGURE 2.1 System trajectories with the ISS property. tation of (2.17) is the following: for a bounded input u, the system solution remains in the ball of radius β(kx0k,k) + γ supτ∈[k0,∞) kuτk . Furthermore, as k increases, all trajectories approach the ball of radius γ supτ∈[k0,∞) kuτk , i.e., all trajectories will be ultimately bounded with ultimate bound γ. Due to the fact that γ is of class K , this ball is a small neighborhood of the origin whenever kuk is small (see Figure 2.1). ISS is used to analyze stability of the solutions for disturbed nonlinear systems. The ISS property captures the notion of BIBS stability. Definition 2.9: Asymptotic Gain Property [21] System (2.1) is said to have K – asymptotic gain if there exists some γ ∈ K such that lim k→∞ kxk(x0,u)k ≤ lim k→∞ γ(kukk), (2.18) for all x0 ∈ Rn .
- 46. Mathematical Preliminaries 21 Theorem 2.3: ISS System [21] Consider system (2.1). The following are equivalent: 1. It is ISS. 2. It is BIBS and it admits K – asymptotic gain. Let ℓd be the Lipschitz constant such that for all β1 and β2 in some bounded neighborhood of (xk,uk), the Lyapunov function V(xk) satisfies the condition [24] kV(β1)−V(β2)k ≤ ℓd kβ1 − β2k, ℓd 0. (2.19) Definition 2.10: ISS – Lyapunov Function [21] A continuous function V on Rn is called an ISS–Lyapunov function for system (2.1) if α1(kxkk) ≤ V(xk) ≤ α2(kxkk), (2.20) holds for some α1, α2 ∈ K∞, and V(f(xk,uk))−V(xk) ≤ −α3(kxkk)+ σ(kukk), (2.21) for some α3 ∈ K∞, σ ∈ K . A smooth ISS–Lyapunov function is one which is smooth. Note that if V(xk) is an ISS–Lyapunov function for (2.1), then V(xk) is a DT Lyapunov function for the 0-input system xk+1 = f(xk)+ g(xk)0. Proposition 2.1 If system (2.1) admits an ISS–Lyapunov function, then it is ISS [21].
- 47. 22 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications Now, consider the disturbed system xk+1 = f(xk)+ g(xk)uk + dk, x0 = x(0), (2.22) wherexk ∈ Rn isthestateofthesystemattimek∈ Z+,uk ∈ Rm isthecontrol,dk ∈ Rn is the disturbance term, f : Rn → Rn and g : Rn → Rn×m are smooth mappings, f(0)= 0. dk could result from modeling errors, aging, or uncertainties and disturbances which exist for any realistic problem [12]. Definition 2.11: ISS–CLF Function A smooth positive definite radially unbounded function V: Rn → R is said to be an ISS–CLF for system (2.22) if there exists a class K∞ function ρ such that the following inequalities hold ∀x 6= 0 and ∀d ∈ Rn: α1(kxkk) ≤ V(xk) ≤ α2(kxkk), (2.23) for some α1, α2 ∈ K∞, and kxkk ≥ ρ(kdkk) ⇒ inf uk∈Rm ∆Vd(xk,dk) −α3(kxkk), (2.24) where ∆Vd(xk,dk) := V (xk+1)−V(xk) and α3 ∈ K∞. Comment 2.1 The connection between the existence of a Lyapunov function and the input-to-state stability is that an estimate of the gain function γ in (2.17) is γ = α−1 1 ◦α2 ◦ρ, where ◦ means composition4 of functions with α1 and α2 as defined in (2.23) [14]. Note that if V(xk) is an ISS–control Lyapunov function for (2.22), then V(xk) is a control Lyapunov function for the 0-disturbance system xk+1 = f(xk)+ g(xk)uk. 4α1(·)◦α2(·) = α1(α2(·)).
- 48. Mathematical Preliminaries 23 Proposition 2.2: ISS–CLF System If system (2.22) admits an ISS–CLF, then it is ISS. 2.3.1 OPTIMAL CONTROL FOR DISTURBED SYSTEMS For a disturbed discrete-time nonlinear system (2.22), the Bellman equation becomes the Isaacs equation described by V(xk) = min uk l(xk)+ uT k R(xk)uk +V(xk,uk,dk) , (2.25) and the Hamilton–Jacobi–Isaacs (HJI) equation associated with system (2.22) and cost functional (2.2) is 0 = inf u sup d∈D l(xk)+ uT k R(xk)uk +V(xk+1)−V(xk) = inf u sup d∈D l(xk)+ uT k R(xk)uk +V(xk,uk,dk)−V(xk) (2.26) where D is the set of locally bounded functions, and function V(xk) is unknown. However, determining a solution of the HJI equation (2.26) forV(xk) with (2.8) is the main drawback of robust optimal control; this solution may not exist or may be pretty difficult to solve [8]. Note that V(xk+1) in (2.26) is a function of the disturbance term dk. 2.4 PASSIVITY Let us consider a nonlinear affine system and an output given as xk+1 = f (xk)+ g(xk)uk, x0 = x(0) (2.27) yk = h(xk)+ J(xk)uk (2.28)
- 49. 24 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications where xk ∈ Rn is the state of the system at time k, output yk ∈ Rm; h(xk) : Rn → Rm, and J(xk) : Rn → Rm×m are smooth mappings. We assume h(0) = 0. Definition 2.12: Passivity [4] System (2.27)–(2.28) is said to be passive if there exists a nonnegative function V(xk), called the storage function, such that for all uk, V(xk+1)−V(xk) ≤ yT k uk, (2.29) where (·)T denotes transpose. This storage function may be selected as a CLF candidate if it is a positive definite function [25]. It is worth noting that the output which renders the system passive is not in general the variable we wish to control, and it is used only for control synthesis. Definition 2.13: Zero–State Observable System [5] A system (2.27)–(2.28) is locally zero-state observable(respectively,locally zero-state detectable)if there exists a neighborhood Z of xk = 0 in Rn such that for all x0 ∈ Z yk|uk=0 = h(φ(k,x0,0)) = 0 ∀k =⇒ xk = 0 respectively lim k→∞ φ(k,x0,0) = 0 , where φ(k,x0,0) = fk(xk) is the trajectory of the unforced dynamics xk+1 = f(xk) with initial condition x0. If Z = Rn, the system is zero-state observable (respectively, zero-state detectable). Additionally, the following definition is introduced. Definition 2.14: Feedback Passive System System (2.27)–(2.28) is said to be
- 50. Mathematical Preliminaries 25 feedback passive if there exists a passivation law uk = α(xk)+ vk, α,v ∈ Rm , (2.30) with a smooth function α(xk) and a storage function V(x), such that system (2.27) with (2.30), described by xk+1 = ¯ f (xk)+ g(xk)vk, x0 = x(0), (2.31) and output ȳk = h̄(xk)+ J(xk)vk, (2.32) satisfies relation (2.29) with vk as the new input, where ¯ f(xk) = f(xk)+ g(xk)α(xk) and h̄ : Rn → Rm is a smooth mapping, which will be defined later, with h̄(0) = 0. Roughly speaking, to render system (2.27) feedback passive can be summarized as determining a passivation law uk and an output ȳk, such that relation (2.29) is satisfied with respect to the new input vk. 2.5 DISCRETE-TIME HIGH ORDER NEURAL NETWORKS The use of multilayer neural networks is well known for pattern recognition and for modeling of nonlinear functions. The NN is trained to learn an input-output map. Theoretical works have proven that, even with just one hidden layer, an NN can uniformly approximate any continuous function over a compact domain, provided that the NN has a sufficient number of synaptic connections. For control tasks, extensions of the first order Hopfield model called Recurrent High Order Neural Networks (RHONN), which present more interactions among the neurons,are proposedin ([20], [23]). Additionally,the RHONN model is very flexible and allows us to incorporatein the neural model a priori information about the system structure. Consider the following discrete-time recurrent high order neural network
- 51. 26 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications (RHONN): b xi,k+1 = w⊤ i zi(b xk,υk), i = 1,··· ,n, (2.33) where b xi (i = 1,2,··· ,n) is the state of the i-th neuron, Li is the respective number of high-order connections, {I1,I2,··· ,ILi } is a collection of non-ordered subsets of {1,2,··· ,n + m}, n is the state dimension, m is the number of external inputs, wi (i = 1,2,··· ,n) is the respective on-line adapted weight vector, and zi(b xk,ρk) is given by zi(xk,ρk) = zi1 zi2 . . . ziLi = Πj∈I1 ξ dij(1) ij Πj∈I2 ξ dij(2) ij . . . Πj∈ILi ξ dij(Li) ij , (2.34) with dji,k being non-negative integers, and ξi defined as follows: ξi = ξi1 . . . ξi1 ξin+1 . . . ξin+m = S(x1) . . . S(xn) ρ1 . . . ρm . (2.35) In (2.35), ρ = [ρ1,ρ2,...,ρm]⊤ is the input vector to the neural network, and S(•) is defined by S(ς) = 1 1 + exp(−βς) , β 0, (2.36) where ς is any real value variable. Consider the problem to approximatingthe general discrete-time nonlinear system (2.1), by the following discrete-time RHONN series-parallel representation [23]: b xi,k+1 = w∗⊤ i zi (xk,ρk)+ εzi , i = 1,··· ,n, (2.37)
- 52. Mathematical Preliminaries 27 where xi is the i-th plant state, εzi is a bounded approximation error, which can be reduced by increasing the number of the adjustable weights [23]. Assume that there exists an ideal weight vector w∗ i such that kεzi k can be minimized on a compact set Ωzi ⊂ ℜLi . The ideal weight vector w∗ i is an artificial quantity required for analytical purposes [23]. In general, it is assumed that this vector exists and is constant but unknown. Let us define its estimate as wi and the estimation error as e wi,k = w∗ i − wi,k . (2.38) The estimate wi is used for stability analysis, which will be discussed later. Since w∗ i is constant, then e wi,k+1 − e wi,k = wi,k+1 − wi,k, ∀k ∈ 0 ∪Z+. From (2.33) three possible models can be derived: • Parallel model b xi,k+1 = w⊤ i zi(b xk,ρk), i = 1,··· ,n, (2.39) • Series-Parallel model b xi,k+1 = w⊤ i zi(xk,ρk), i = 1,··· ,n, (2.40) • Feedforward model (HONN) b xi,k = w⊤ i zi(ρk), i = 1,··· ,n, (2.41) where b x is the NN state vector, x is the plant state vector and ρ is the input vector to the NN. 2.6 THE EKF TRAINING ALGORITHM The best well-knowntraining approachfor recurrentneural networks (RNNs) is back- propagation through time learning [28]. However, it is a first order gradient descent method and hence its learning speed could be very slow [16]. Recently, Extended Kalman Filter (EKF)-based algorithms have been introduced to train neural networks
- 53. 28 Discrete-Time Recurrent Neural Control: Analysis and Applications [1, 7]. With the EKF-based algorithm, the learning convergenceis improved[16]. The EKF training of neural networks, both feedforward and recurrent ones, has proven to be reliable and practical for many applications over the past ten years [7]. It is known that Kalman filtering (KF) estimates the state of a linear system with an additive state and an output of white noises [9, 26]. For EKF-based neural network training, the network weights become the states to be estimated. In this case, the error between the neural network output and the measured plant output can be considered as additive white noise. Due to the fact that the neural network mapping is nonlinear, an EKF-type is required (see [22] and references therein). The training goal is to determine the optimal weight values which minimize the prediction error. The EKF-based training algorithm is described by [9]: Ki,k = Pi,kHi,k h Ri,k + H⊤ i,kPi,kHi,k i−1 wi,k+1 = wi,k + ηiKi,k [yk − b yk] (2.42) Pi,k+1 = Pi,k − Ki,kH⊤ i,kPi,k + Qi,k where Pi ∈ ℜ Li×Li is the prediction error associated with the covariance matrix, wi ∈ ℜ Li is the weight (state) vector, Li is the total number of neural network weights, y ∈ ℜm is the measured output vector, b y ∈ ℜ m is the network output, ηi is a design parameter, Ki ∈ ℜ Li×m is the Kalman gain matrix, Qi ∈ ℜ Li×Li is the state noise asso- ciated covariance matrix, Ri ∈ ℜm×m is the measurement noise associated covariance matrix, and Hi ∈ ℜ Li×m is a matrix for which each entry (Hij ) is the derivative of one of the neural network outputs, (b y), with respect to one neural network weight, (wij ), as follows: Hij,k = ∂b yk ∂wij,k # wi,k=b wi,k+1 , i = 1,...,n and j = 1,...,Li (2.43) Usually Pi, Qi and Ri are initialized as diagonal matrices, with entries Pi (0), Qi (0) and Ri (0), respectively. It is important to note that Hi,k, Ki,k and Pi,k for the EKF are
- 54. Mathematical Preliminaries 29 bounded [26]. Therefore, there exist constants Hi 0, Ki 0 and Pi 0 such that: Hi,k ≤ Hi Ki,k ≤ Ki (2.44) Pi,k ≤ Pi Comment 2.2 The measurement and process noises are typically characterized as zero-mean white noises with covariances given by δk,jRi,k and δk,jQi,k, respectively, with δk,j a Kronecker delta function (zero for k 6= l and 1 for k = l) [10]. In order to simplify the notation in this book, the covariances will be represented by their respective associated matrices, Ri,k and Qi,k, for the noises and Pi,k for the prediction error. 2.7 SEPARATION PRINCIPLE FOR DISCRETE-TIME NONLINEAR SYSTEMS Consider a MIMO nonlinear system xk+1 = F(xk,uk) (2.45) yk = h(xk), (2.46) wherexk ∈ Rn,k ∈ Z+ ∪ 0 = {0,1,2,...},uk ∈ Rm istheinput,and F ∈ Rn ×Rm → Rn is a nonlinear function.
- 55. Exploring the Variety of Random Documents with Different Content
- 56. impedire che la loro patria non venisse in mano di Mastino della Scala, ed unitisi a Fazio, attaccarono i gentiluomini con tanto vigore che li cacciarono subito di città. I Gualandi, Sismondi, Lanfranchi, e quasi tutte le famiglie dell'alta nobiltà furono esiliate[273]. I Fiorentini informati di questa sedizione di Pisa, ed avvisati in pari tempo che Pietro de' Rossi erasi avanzato fino ad Asciano alla testa dei soldati di Mastino per sostenere i Ghibellini, e che gli aveva incontrati mentre fuggivano, conobbero facilmente le pratiche che il signore di Verona stendeva in tutta la Toscana. Essi lo invitarono ancora una volta ad aprir loro le porte di Lucca, in conformità delle convenzioni; e per non lasciare veruna scusa alla sua mala fede, acconsentirono di pagargli tutto quanto saprebbe chiedere per indennizzarlo delle spese sostenute per conto di Lucca. Mastino portò le sue pretese all'esorbitante somma di trecento sessanta mila fiorini; e quando con estrema sua sorpresa gli ambasciatori della repubblica risposero che erano pronti a pagarla, gridò ch'era abbastanza ricco per non avere bisogno del loro danaro, e che non evacuerebbe Lucca se i Fiorentini non gli permettevano d'impadronirsi di Bologna. Così fu rotta la negoziazione il 23 febbrajo del 1336, e subito cominciarono le ostilità in Val di Nievole[274]. In tal maniera i Fiorentini trovaronsi impegnati in una pericolosa guerra con un tiranno, ch'essi avevano in parte sollevato a tanto potere. Mastino era allora signore di nove città altra volta capitali d'altrettanti stati sovrani[275], e traeva dalle gabelle loro settecento mila fiorini d'entrata. Verun monarca della cristianità, ad eccezione di quello di Francia, possedeva tante ricchezze. Tutto il rimanente della Lombardia era soggetto a principi ghibellini, alleati naturali della casa della Scala, e la corte di Mastino era l'asilo di tutti gl'illustri esiliati. Lo storico Cortusio, mandato di que' tempi per un'ambasciata a Mastino, lo trovò circondato da ventitre principi spogliati dei loro stati i quali s'erano rifugiati nella sua capitale[276]. Il signore di Verona, reso orgoglioso dalle sue alleanze, dalle sue ricchezze e dalla prosperità delle sue armi, non aspirava niente meno che alla
- 57. conquista di tutta l'Italia; ed i Fiorentini erano i soli che ardissero opporsi a' suoi ambiziosi disegni. Troppo mancava perchè la repubblica fiorentina potesse pareggiarsi a Mastino sia pel numero delle piazze forti e de' sudditi, che pel numero de' soldati e per la quantità delle pubbliche entrate. Pure le private ricchezze dei Fiorentini in allora padroni di molta parte del commercio del mondo, davano alla loro repubblica un rango assai distinto tra le potenze, perchè sagrificavano sempre con piacere le proprie ricchezze in servigio della patria. Quando scoppiò la guerra con Mastino della Scala, formarono un consiglio di finanza, incaricato di trovare danaro; e tutte le casse del commercio gli furono aperte; onde la repubblica si trovò a portata di opporsi a così formidabile avversario[277]. Fu pure creato un consiglio militare, detto Ufficio della guerra, e composto di sei cittadini deputati dai sei quartieri della città al quale fu rimessa la direzione delle operazioni dell'armata per tutto un anno; affinchè la più frequente rielezione della signoria non interrompesse l'andamento degli affari. Ma i Fiorentini non erano soltanto esposti ad essere attaccati dalla parte di Lucca: un ardito capo de' Ghibellini dava loro vivissime inquietudini all'opposto confine. Pietro Saccone dei Tarlati, uno de' signori di Pietra Mala, era succeduto, nel governo d'Arezzo, a suo fratello ch'era stato vescovo di quella città. Allevato nella più selvaggia regione degli Appennini ove il castello di Pietra Mala signoreggia i deserti coperti per più mesi dell'anno da alte nevi, Saccone era avvezzo a sprezzare tutti i pericoli, tutte le fatiche e le intemperie dell'aria. In un secolo incivilito, tra popoli ammolliti, conservava Saccone i costumi e le abitudini dei conquistatori del Nord, autori della sua stirpe. Egli disprezzava il lusso e la mollezza d'Italia, ma ne conosceva la politica e sapeva valersi de' suoi artifizj. Era nello stesso tempo sul campo di battaglia uno de' più formidabili soldati, ed il più accorto ed ingegnoso condottiere quando trattavasi di sorprendere una piazza o d'ingannare i nemici con qualche stratagemma. Affezionato alle sue montagne, pareva piuttosto aspirare alla sovranità delle Alpi, che a signoreggiare le fertili contrade che stanno alle loro falde; come l'aquila che vola sugli
- 58. Appennini di balza in balza, ma che rare volte scende al piano. Egli aveva interamente sottomessa la famiglia della Faggiuola che aveva spogliata di Massa Trebaria e di tutta la sua eredità; aveva pure soggiogati gli Ubertini con tutti i loro castelli ed i conti di Montefeltro e di Montedoglio[278], di modo che la sua potenza stendevasi su tutte le montagne della Toscana, della Romagna e della Marca d'Ancona. Dalla signoria d'Arezzo era in seguito passato a quella di città di Castello e di Borgo san Sepolcro; e per ultimo aveva attaccata Perugia che a stento si andava contro di lui difendendo. Saccone aveva osservata fedelmente la pace che vent'anni prima erasi fatta tra le repubbliche di Fiorenza e di Arezzo, ed aveva, sebbene capo del partito ghibellino, schivato di provocare sopra di sè le potenti armi della signoria. Ma quando Mastino della Scala portò la guerra in Toscana, Saccone accettò la sua alleanza, ed obbligossi ad introdurre in Arezzo ottocento cavalli che il signore di Verona aveva mandati fino a Forlì. In tali circostanze l'Ufficio della guerra non volle più rimanere esposto alle sorprese di un vicino che aspettava il favorevole istante per ismascherarsi. Perciò i Fiorentini dichiararono la guerra al signore d'Arezzo, ed il 4 aprile del 1336 spinsero un corpo di cavalleria in Romagna per opporsi a quella di Mastino, e fecero guastare dalle truppe tutto lo stato d'Arezzo[279]. Le città di Siena, Perugia e Bologna erano, siccome ancora il re Roberto, obbligati da un'antica alleanza a difendere i Fiorentini per la salvezza del partito guelfo. L'Ufficio della guerra rinnovò quest'alleanza, sebbene se ne potessero sperare pochi frutti, perciocchè le repubbliche erano snervate dalle guerre civili, ed il re Roberto dall'età e dallo scoraggiamento. Non si poteva far conto dei soccorsi della repubblica di Genova, già da due anni in preda al partito ghibellino che volgeva tutte le forze dello stato contro la stessa repubblica[280]. Il potere della chiesa era in Italia omai spento affatto; e le città della Romagna e della Marca erano dominate da piccoli tiranni, la di cui politica limitavasi a far lega colla parte più potente onde essere risparmiati dall'usurpatore almeno per tutto il tempo che questi avrebbe qualche cagione di temere. Luigi di
- 59. Baviera continuava a proteggere Mastino, il quale chiamavasi sempre vicario imperiale; e se alcuna potenza d'oltremonti doveva prendere parte nella guerra che stava per ricominciare, non poteva farlo che in favore del signore di Verona. Venezia soltanto, mossa da più profonda politica, avrebbe potuto associarsi a Fiorenza per difesa della libertà italiana. La potente repubblica di Venezia fin allora occupata unicamente delle sue conquiste del Levante, della marina, del commercio, non aveva acquistato alcun possedimento sul continente, non aveva voluto contrarre alleanze, nè prender parte alla politica italiana. I nomi de' Guelfi e de' Ghibellini erano esclusi dai suoi dominj; non dipendeva dall'impero e teneva il clero subordinato al proprio governo. Risguardavasi non pertanto piuttosto come affezionata al partito imperiale; ed una certa gelosia di commercio o di possanza sembrava che l'alienasse dai Fiorentini. I signori della guerra di Fiorenza non si lasciarono ributtare da queste apparenze. Per non risvegliare l'attenzione di Mastino sulle loro negoziazioni, ne diedero l'incarico ad alcuni mercanti fiorentini stabiliti in Venezia, e trovarono, siccome lo avevano preveduto, questa signoria disposta ad ascoltarli. Aveva Mastino della Scala con diverse imprese offesa la repubblica sua potente vicina. Aveva tentato di togliere il castello di Camino alla famiglia di tal nome, che in addietro aveva regnato a Treviso, e che posteriormente erasi aggregata alla nobiltà veneziana; fabbricava un castello tra Padova e Chioggia per impedire ai Veneziani di far sali su quelle coste, e per assicurarne l'esclusiva fabbricazione ai suoi sudditi; finalmente aveva fatto chiudere con una catena il Po ad Ostiglia, ed assoggettate ad un gravoso pedaggio le navi che rimontavano il fiume[281]. Tali novità erano tutte contrarie ai trattati stipulati dai suoi predecessori colla repubblica, onde la signoria accolse con piacere l'occasione di rintuzzare l'orgoglio di un vicino potente che incominciava ad adombrarla. Il trattato d'alleanza tra le due repubbliche fu segnato il 21 giugno del 1336. Fiorenza non cercava che il vantaggio di sollevare contro
- 60. Mastino un potente nemico: obbligavasi a mantenere metà dell'armata ed a sostenere metà delle spese per attaccare il signore di Verona nella Marca Trivigiana; ma tutti gli acquisti che farebbe quest'armata, dovevano appartenere ai Veneziani, non riservandosi i Fiorentini che la città di Lucca, che dovevano acquistare a proprie spese e colle loro forze[282]. Un solo generale doveva avere l'assoluto comando delle due armate repubblicane; e la cupidigia di Mastino ne presentò loro uno veramente meritevole di tanta confidenza. L'illustre famiglia de' Rossi di Parma era stata capo del partito guelfo fino ai tempi ne' quali la perfidia di Bertrando del Poggetto l'aveva sforzata a rifugiarsi tra i nemici della chiesa: nella venuta di Giovanni di Boemia gli aveva ceduta la sua sovranità, che aveva ricomperata quando Giovanni abbandonò l'Italia. Finalmente la guerra aveala obbligata a rinunciare a Mastino della Scala tutti i suoi diritti sopra Parma e sopra Lucca. La città di Pontremoli e molte castella con ragguardevoli proprietà erano state da Mastino guarentite ai Rossi; ma quando il signore di Verona ebbe raccolti i frutti del suo trattato, pensò a sciogliersi dagli obblighi del trattato. Eccitò contro i Rossi i Corregieschi capi dell'opposta fazione in Parma; e spogliatili di tutti i loro castelli, gli assediò in Pontremoli loro ultimo asilo. Pietro de' Rossi, il più giovane de' sei fratelli, aveva allora opinione di essere il più perfetto cavaliere d'Italia. Nelle guerre civili che da tanto tempo desolavano il suo paese, aveva date luminose prove di valore, senza macchiarsi mai con atti di crudeltà. I soldati tedeschi che servivano allora in Italia, l'avevano chiamato loro signore e gli mostravano un illimitato attaccamento. Liberale coi suoi compagni d'armi fino all'imprudenza, appena per sè conservava una tonaca ed un cavallo. L'alta sua statura e le sue eleganti maniere chiamavano sulla di lui persona gli sguardi di tutte le donne, e la verginale purità de' suoi costumi, che assicuravasi non esser giammai stata smentita, dava un nuovo pregio alla sua nobile figura[283]. Pietro de' Rossi era ritenuto come ostaggio a Verona, ma trovò modo di fuggire, e venne a chiedere soccorso ai Fiorentini, che seppe eccitare alla vendetta. Dopo aver date prove de' suoi militari talenti in una breve campagna
- 61. nel territorio di Lucca, passò il primo ottobre al comando della grande armata della lega nella Marca Trivigiana[284]. Pietro de' Rossi attraversò colla sua armata i territorj di Treviso e di Padova, insultò le guarnigioni delle due città, abbandonò le campagne al saccheggio, e con mille cinquecento cavalli tenne a bada l'armata di Mastino composta di quattro mila. Ma i Veneziani vedendolo aggirarsi in quel labirinto di fiumi e di canali, che attraversano in mille maniere il territorio padovano, ne furono inquietissimi, tanto più che il nemico aveva rotti tutti i ponti e fortificati i passaggi: ma Pietro finse di cercar la battaglia, e secondo la costumanza cavalleresca mandò ad offrirne il pegno al campo di Mastino; perchè questi persuadendosi che doveva essere per lui vantaggioso il non far quello che desiderava il nemico, lasciò fuggire l'occasione d'attaccarlo e gli permise di stabilirsi e di fortificarsi a Bovolento sul Bacchiglione, sette miglia al di sotto di Padova[285]. Nel tempo che i Fiorentini mantenevano un'armata nella Marca Trivigiana, e combattevano in Toscana contro i Lucchesi, e contro Pietro Saccone e gli Aretini, non ignoravano che dovevano stare in guardia contro le trame dei Ghibellini, che nelle città della provincia ed anche entro Firenze mantenevano segrete intelligenze, oltre che venivano caldamente eccitati dalle promesse di Saccone e dagli artificj di Mastino. In così pericolose circostanze sapevano che i Romani avrebbero creato un dittatore; onde, seguendo l'esempio loro, credettero di dovere innalzare un magistrato al di sopra delle leggi, affinchè il grandissimo potere che gli confidavano, tenesse in dovere i segreti nemici della repubblica, e la rapidità de' giudizj li colpisse a tempo ne' loro complotti. Ma presso i Romani, popolo affatto militare, il dittatore diventava il generale dell'armata. I Fiorentini non avevano trovato tra i loro concittadini un generale abbastanza sperimentato da mettersi alla testa di tutto lo stato: accostumati a confidare agli stranieri il potere dell'armi, avrebbero temuto assai più di riunire in mani sconosciute la potenza civile e militare; e se giammai si fossero in tal maniera dato un padrone, difficilmente avrebbero poi potuto scuoterne il giogo. Immaginarono quindi di non rivestire il loro nuovo magistrato che dell'autorità di
- 62. supremo giudice, e lo nominarono conservatore, dandogli una guardia di cinquanta cavalieri e di cento fanti, autorizzandolo a giudicare compendiosamente ed a far eseguire all'istante le sentenze. Uno straniero, Giacomo Gabriello d'Agobbio, fu chiamato il primo ad occupare questa carica. Il popolo doveva tremare innanzi a questo magistrato, ma la signoria tenutasi superiore alla sua giurisdizione poteva sopravvegliarlo ed imporre limiti al suo potere. Frattanto il Gabrielli, abbandonandosi senza ritegno al suo carattere sospettoso e crudele, fece spargere dai suoi carnefici molto sangue. Quando uscì di carica, il popolo, sdegnato contro di lui, promulgò una legge che proibiva di nominare in avvenire giudici di Agobbio o del suo territorio[286]. Dopo di lui un altro conservatore, Accorimbeno di Tolentino, fece succedere la giustizia venale alla crudeltà; ed i Fiorentini, abolendo tale carica, si convinsero finalmente che la libertà non si mantiene giammai con mezzi dispotici, e che l'innalzare un potere al di sopra delle leggi, quand'anche fosse per la loro difesa, è lo stesso che preparare la loro ruina[287]. Nel susseguente anno 1337 la campagna s'aprì dai Fiorentini in Toscana con uno strepitoso avvenimento. Pietro Saccone, stretto dalle armate di Fiorenza e di Perugia, e non potendo tenere aperta comunicazione con Mastino che non gli mandava i promessi soccorsi, vedendo di avere già perduti molti castelli, prese finalmente il partito di negoziare vendendo ai Fiorentini la signoria d'Arezzo. La repubblica acquistò separatamente i diritti di Pietro Saccone e quelli del conte Guido; pagò il soldo delle truppe assediate e sborsò circa sessanta mila fiorini per ottenere il possesso della città, che le fu aperta il 10 di marzo. Ma tal acquisto costò alla repubblica assai più che tesori, avendo compromessa la sua buona fede: per la prima volta fu accusata d'avere mal osservato i trattati, d'avere combattuto di concerto coi Perugini, e d'aver sola raccolti i frutti del loro sudore, e del loro sangue[288]. Il partito guelfo venne in Arezzo ristabilito dopo un esilio di sessant'anni; i Tarlati furono ridotti alla condizione di cittadini; si fabbricarono nella città due fortezze per tenerla in
- 63. soggezione, e venne stabilita una nuova magistratura incaricata di sopravvegliare alla tranquillità ed al buon essere degli Aretini[289]. I Fiorentini che nella precedente guerra erano stati vittima dei loro riguardi per il territorio di Lucca, tenevansi fermi nello stesso sistema di politica: la guerra che gl'interessava esclusivamente e che si faceva senza il concorso de' loro alleati, era quella che facevasi meno vigorosamente. Accontentaronsi in questa campagna di saccheggiar Pescia, Buggiano e pochi altri castelli di Val di Nievole e di Val di Serchio, senza fare verun acquisto[290]. Ma nello stesso tempo spingevano con una straordinaria attività il loro progetto di eccitare in Lombardia nuovi nemici a Mastino della Scala. Nella stessa maniera ch'essi avevano chiamati i capi dei Ghibellini a dividere le conquiste del re di Boemia, abbandonavano adesso alla loro avidità gli stati del signore di Verona. Ricordavano a ciascheduno l'insultante arroganza di Mastino, ed offrivano ricompense a qualunque volesse far lega con loro per punirlo. Obizzo d'Este, Luigi di Gonzaga ed Azzo Visconti entrarono successivamente nella lega delle due repubbliche. L'ultimo aveva approfittato della guerra generale, cui avevano preso parte i suoi vicini per impadronirsi nello stesso tempo di Lodi, di Como e di Crema[291]. Carlo, figliuolo di Giovanni di Boemia e duca di Carintia, si unì anch'esso ai nemici di Mastino, e gli tolse in sul cominciare di luglio le città di Cividiale e di Feltre[292]. Mentre un'armata condotta da Lucchino Visconti minacciava a ponente gli stati di Mastino, indi ritiravasi senza combattere[293], Pietro de' Rossi rimaneva nelle vicinanze di Padova onde cogliere qualche opportunità per togliere questa grande città ad Alberto della Scala, che ne aveva il comando. Alberto, fratel maggiore di Mastino, era suo eguale in autorità, ma di talenti e di coraggio a lui inferiore d'assai. Impaziente del travaglio, abbandonava i pubblici affari per dedicarsi interamente ai piaceri. Marsiglio ed Ubertino da Carrara, gli antichi signori di Padova e capi del partito guelfo, erano i soli suoi consiglieri. Nell'ebbrezza dell'assoluto potere aveva fatto violenza alla moglie d'Ubertino da Carrara; ma come egli aveva dimenticato
- 64. quest'oltraggio, figuravasi che lo avesse egualmente dimenticato ancora l'offeso. Ubertino non erasene in verun modo lagnato, o dato indizio dell'interna sua rabbia; ma aveva aggiunto alla testa di moro, che formava il cimiero del suo elmo, due corna di oro, perchè gli rammentassero continuamente la sua vergogna e la vendetta che meditava di fare[294]. Mastino, che non accordava ai Carrara tanta confidenza, aveva più volte scritto a suo fratello di osservarne gli andamenti, di arrestarli ed anche di farli morire. Alberto mostrava tutte queste lettere ai Carrara; e questi che già da più mesi trattavano col doge di Venezia[295], cercavano di risvegliare in Padova lo zelo de' loro partigiani, e mantenevano strette intelligenze con Pietro de' Rossi, loro nipote, cui chiedevano all'opportunità soccorso di gente. Mastino scoperse tutte queste pratiche e scrisse il 2 agosto a suo fratello di far arrestare senza ritardo i due Carrara che lo tradivano e di farli morire. Quando fu introdotto il messaggiere, che aveva ordine di consegnare la lettera al solo Alberto, questi stava giocando agli scacchi. Egli prese la lettera e senza aprirla la consegnò a Marsiglio da Carrara, che gli stava vicino. Marsiglio lesse l'ordine del suo supplicio senza lasciar travedere sul suo volto alcun turbamento. «Vostro fratello, disse in seguito al signore, domanda che voi gli mandiate senza ritardo un falcone pellegrino di cui abbisogna per la caccia.» Nello stesso tempo prevenne Ubertino di apparecchiare ogni cosa per quella notte, e più non perdette Alberto di vista onde impedire che gli giugnesse qualche nuovo avviso[296]. A mezza notte i Guelfi ch'erano di guardia alla porta di ponte Curvo, l'aprirono a Pietro de' Rossi, che entrò in Padova alla testa della sua cavalleria. I partigiani di Carrara che si erano adunati in silenzio intorno al palazzo pubblico, sorpresero nell'ora medesima le guardie, le disarmarono, arrestarono Alberto della Scala nel suo appartamento, e lo condussero subito nelle prigioni di Venezia. Nicoletto, suo buffone, domandò di partecipare alla sua sorte, e fu il solo che lo accompagnasse in quella trista dimora: un così generoso sentimento trovossi in un uomo che aveva fin allora fatto traffico di
- 65. una vile buffoneria, e che nelle altrui risate aveva cercata l'indipendenza[297]. Pietro de' Rossi fece osservare ai suoi soldati la più severa disciplina. Impadronendosi di Padova, non fu commesso verun rubamento, verun disordine turbò il contento del popolo che tornava alle fazioni de' suoi padri. Furono sequestrate le sole proprietà della casa della Scala, siccome appartenenti al vincitore. Marsiglio di Carrara fu proclamato signore di Padova da' suoi concittadini; ed ammesso nella lega delle repubbliche, si obbligò a somministrare quattrocento cavalieri all'armata che faceva la guerra a Mastino[298]. Questo segnalato vantaggio ottenuto dalla lega fu ben tosto funestato dalla morte di colui che lo aveva procurato. Pietro de' Rossi avendo intrapreso l'assedio del castello di Monselice, vi fu colpito il 7 agosto da un colpo di lancia, e morì il susseguente giorno. Suo fratello Marsiglio che aveva un comando nella medesima armata, morì di febbre sette giorni dopo[299]. Per riconoscenza e per rispetto dovuto alla memoria di questi due generali, la lega affidò il comando della loro armata ad un terzo fratello, Orlando de' Rossi che non aveva i talenti de' suoi predecessori. Ma la situazione di Mastino della Scala era diventata così pericolosa, che la lega non aveva omai più bisogno d'un grande generale per trarre profitto dai già ottenuti vantaggi. Tutti i Guelfi che avevano ubbidito a questo signore, tutti i gentiluomini che avevano motivo di dolersi di lui, coglievano avidamente l'occasione di ribellarsi, e si scoprivano nella condotta dell'uomo potente caduto in minor fortuna offese prima egualmente ignorate dall'offensore e dall'offeso. Brescia si ribellò l'8 ottobre contro Mastino; e la guarnigione tedesca, dopo avere difesa alcun tempo la città nuova, fu costretta anch'essa di capitolare. Questa nuova conquista passò in dominio d'Azzo Visconti, che vi aveva più degli altri contribuito[300]. Questa guerra non era per anco stata illustrata da una battaglia formale, nè meno quando le armate nemiche presso a poco di forze eguali non dovevano temere di far prova del loro valore. Ma dopo l'abbassamento del signore della Scala, più non poteva aver luogo un
- 66. fatto importante, poichè egli tenevasi chiuso nella sua capitale, difendeva i suoi castelli e non ardiva avventurare una battaglia. Si consumò l'inverno in trattati infruttuosi, e la seguente campagna del 1338 fu consacrata all'assedio di alcune fortezze. Frattanto i Fiorentini distribuirono i premj per la corsa sotto le stesse mura di Verona. Occuparono in appresso Soave, Montecchio e Monselice, e verso la metà d'ottobre s'impadronirono finalmente dei sobborghi di Vicenza[301]. Mastino aveva chiesti gli ajuti dell'imperatore Luigi di Baviera, al di cui partito erasi sempre conservato fedele. Ma Luigi era allora il nemico della casa di Lussemburgo, con cui aveva tanto tempo fatto causa comune; ed il conte Giovanni Enrico, secondo figlio del re di Boemia, occupò i passaggi delle montagne, e trattenne in Tirolo l'imperatore che con sei mila cavalli veniva in soccorso del signore di Verona[302]. Mastino abbandonato da tutti i suoi alleati, e temendo di vedersi in breve assediato nella propria capitale, si appigliò finalmente alle negoziazioni. Doveva trattare con una lega, onde impiegò contro la medesima quell'arte che d'ordinario basta per discioglierle. Offrì di dare pieno soddisfacimento ad uno de' confederati, e lo fece rinunciare alla difesa degl'interessi altrui. I Veneziani trattarono con lui separatamente, ed avendo ottenuto quanto desideravano, il 17 dicembre del 1338 firmarono un trattato che comunicarono soltanto dopo fatto alla repubblica Fiorentina, perchè ancor essa vi si uniformasse[303]. Con tale trattato Treviso, Castelfranco e Ceneda venivano cedute alla signoria di Venezia; Bassano e Castel Baldo al signore di Padova; Pescia ed alcune castella di Val di Nievole ai Fiorentini[304]. La navigazione del Po era dichiarata libera; i Rossi dovevano rientrare al possesso de' loro beni nello stato di Parma, ed Alberto della Scala sarebbe liberato senza taglia. Queste condizioni erano troppo diverse da quelle che i Fiorentini chiedevano, e che loro erano state promesse dagli alleati. Da una guerra che loro costava seicento mila fiorini, altro frutto non raccoglievano che l'acquisto di tre o quattro castelli che Mastino più non poteva difendere; mentre colla stessa guerra la casa di Carrara
- 67. aveva acquistata la signoria di Padova, il Visconti facevasi assicurare quella di Brescia, ed i Veneziani gittavano i fondamenti d'una nuova potenza in terra ferma[305]. Rimasero alcun tempo incerti se dovessero restar soli in guerra contro Mastino, piuttosto che aderire a così svantaggioso trattato, e lasciarsi in tal modo deludere un'altra volta dai loro alleati. Pure essi avevano contratto un debito di quattrocento cinquanta mila fiorini; avevano impegnate ai loro creditori le gabelle per sei anni; e due enormi perdite fatte in quest'epoca dal loro commercio li determinarono ad accettare il trattato di Venezia, e la pace si pubblicò in Toscana il giorno 11 febbrajo del 1339[306]. Per terminare la guerra, un motivo assai più potente dell'abbandono in cui trovavansi i Fiorentini, fu la ruina che apportava al loro commercio la guerra tra Filippo di Valois ed Edoardo III d'Inghilterra. Questi due monarchi non erano stati troppo scrupolosi nello scegliere i mezzi di far danaro. Filippo aveva più volte alterate le monete del suo regno, di modo che il fiorino d'oro di Fiorenza, che ne' primi anni del suo regno valeva dieci soldi di Parigi, giunse in breve al valore di trenta. In appresso fece arrestare in un sol giorno (10 aprile 1337) tutti gl'Italiani che commerciavano ne' suoi stati, ed accusandoli d'usura, li forzò a liberarsi con enormi contribuzioni[307]. D'altra parte Edoardo d'Inghilterra aveva scelti per banchieri due negozianti o case di Firenze, ed i prestiti che faceva per loro mezzo, superavano talmente gli assegni del rimborso, che i Bardi trovarono d'avergli prestate cento ottanta mila marchi sterlini, ed i Peruzzi cento trentacinque mila; ossia, fra l'uno e l'altro, sedici milioni trecento mila lire delle nostre lire d'Italia, in un tempo in cui il denaro era cinque o sei volte più raro che a' nostri giorni[308]. Queste due case furono obbligate di sospendere i loro pagamenti, dal che ne risultò per contraccolpo un infinito numero di fallimenti in Fiorenza[309]. Tali furono le circostanze che consigliarono la repubblica ad accettare la pace di Venezia, senza che la sua pubblicazione cagionasse allegrezza nel popolo[310].
- 68. CAPITOLO XXXIV. Bologna sottomessa da Taddeo de' Pepoli. — Guerra de' mercenarj o di Parabiago. — I Genovesi creano il doge. — Celebrità del Petrarca: viene coronato in Campidoglio. 1338 = 1341. La repubblica di Bologna, posta quasi nel centro dell'Italia, aveva lungo tempo disputato a Fiorenza il primato nella parte guelfa; nè meno popolata, nè meno ricca, o meno commerciante, aveva sopra le città della Romagna quella stessa influenza che Fiorenza sopra quelle della Toscana; finalmente Bologna era resa celebre dalla più antica università d'Italia. Irremovibile pel suo attaccamento alla parte guelfa, questa repubblica aveva acquistati i suoi primi trionfi con lunghe e ruinose guerre. I Lambertazzi e molte migliaja dei loro partigiani erano stati esiliati l'anno 1237, e la loro partenza aveva lasciata la città deserta[311]. Ma i disastri della guerra civile erano stati rifatti dalla uniforme e vigorosa amministrazione del partito vittorioso. Il governo più assodato aveva potuto ponderatamente maturare i suoi progetti ed eseguirli, e procurare allo stato una lunga prosperità. Ora siamo giunti all'epoca in cui questa prosperità ebbe fine. La tirannide del legato Bertrando aveva viziato il principio vitale della repubblica; i cittadini corrotti da alcuni anni di servitù non erano più capaci di reggersi liberi. I loro odj provocati da più gravi oltraggi avevano preso un più feroce carattere; essi non erano più repressi dall'antico spirito pubblico; la salute della patria o il timore di compromettere la libertà più non essendo bastanti motivi per farli
- 69. tacere, assoggettarono Bologna dopo quattro anni di agitazioni ad una nuova tirannide. Questa, a dir vero, fu più volte rovesciata, ma la libertà che le teneva dietro, non era di più lunga durata, o meno vacillante ed incerta del potere tirannico. Le recenti fazioni di Bologna eransi manifestate quando Romeo de' Pepoli, il più ricco cittadino di questa repubblica, era stato esiliato: egli morì lontano dalla sua patria; ma suo figliuolo Taddeo vi era stato richiamato in tempo dell'amministrazione del legato. I Pepoli eransi fatti molti partigiani tra il basso popolo e tra la povera nobiltà col mezzo delle loro immense ricchezze di cui usavano generosamente. Essi eransi mostrati zelantissimi per il partito guelfo, ed erano rimasti attaccati al legato più lungo tempo dei Maltraversa loro avversarj[312]. Accusavano essi questi ultimi di favorire i Ghibellini, e quest'accusa poco non influiva sullo spirito del popolo. Alcune illustri famiglie erano attaccate alla loro sorte[313], la più rinomata delle quali era quella dei Bentivoglio, che i suoi genealogisti fanno discendere da Enzio, re di Sardegna e figliuolo di Federico II, che morì prigioniere in Bologna. I nemici di questa famiglia, che doveva un giorno signoreggiare Bologna, dicevano al contrario che discendeva da un macellajo[314]. Poco dopo la cacciata del legato, manifestossi in Bologna una sollevazione, il 27 aprile del 1334, nella quale le due fazioni s'azzuffarono sulla piazza, essendo stati rotti i Maltraversi, saccheggiate le case de' Sabbadini, e tutti i capi di queste grandi famiglie esiliati[315]. I soli Gozzadini erano stati eccettuati da questa proscrizione in ricompensa della parte grandissima che avevano avuta nell'espulsione del legato[316]. La fazione de' Pepoli, per assicurarsi la vittoria, o per raccoglierne i frutti, procedette ben tosto a nuovi atti di rigore contro i suoi avversarj. Tutti i Ghibellini ch'erano stati esiliati coi Lambertazzi, e che in seguito erano tornati a Bologna per condiscendenza del governo, furono di nuovo esiliati in numero di trecento cinquantasette; i loro padri ed i loro fratelli obbligati a fissare il loro domicilio in campagna; e quando gli affari li chiamavano in città, era
- 70. loro vietato d'avvicinarsi alla piazza sino a cinquanta braccia sotto pena di due mila lire di multa[317]. I Pepoli si comportavano in città come se già ne fossero padroni. Giacomo, figlio di Taddeo, aveva promesso ad un prete suo amico di procurargli un beneficio vacante, ed avendolo chiesto inutilmente al vescovo, in un impeto di collera oltraggiò il prelato cogli schiaffi: il vescovo, preso un coltello, ferì il Pepoli in una guancia. Si corse alle armi da ambe le parti; il palazzo vescovile fu saccheggiato ed abbruciato; ed il capo della Chiesa di Bologna si sottrasse alla morte colla fuga[318]. Non pertanto, la considerazione personale che si era acquistata Brandaligi dei Gozzadini coll'espulsione del legato, conservava alcuna indipendenza al partito Maltraversa di cui era capo. L'anno 1337 Taddeo dei Pepoli eccitò contro i Gozzadini i Bianchi, loro particolari nemici; e quando seppe che gli uni e gli altri erano armati e pronti a battersi, si fece innanzi in mezzo a loro sulla piazza maggiore offrendosi loro mediatore. Prese Brandaligi per la mano, lo chiamò suo fratello e l'arbitro di Bologna; lo ricondusse a casa sua prodigandogli gli attestati del suo rispetto e del suo attaccamento; fece deporre le armi a' suoi proprj figliuoli, ch'eransi associati ai Bianchi, e determinò tutta la fazione dei Maltraversa a deporre le armi ed a disperdersi; ma appena si era il Pepoli ritirato, che i suoi partigiani, adunati in un altro quartiere, piombarono sopra le case dei Gozzadini, le saccheggiarono, le bruciarono, e forzarono Brandaligi a fuggire. Dopo ciò i sediziosi scacciarono dalla signoria tutti i magistrati attaccati al partito Maltraversa, e costrinsero gli altri a condannare all'esilio i Gozzadini ed i loro partigiani[319]. I Bolognesi erano entrati nella lega de' Fiorentini e de' Veneziani contro i signori della Scala, e la guerra in cui trovavansi impegnati, obbligavali a tenere molti cavalieri al loro soldo. Questi mercenarj, per la maggior parte Tedeschi, preferivano il servigio di un principe a quello della repubblica. D'altra parte, i tiranni la di cui potenza era fondata sulla forza militare avevano tutti studiata l'arte di rendersi cari ai soldati. Taddeo dei Pepoli aveva saputo guadagnarsi coloro
- 71. che stavano allora in Bologna; avevali impegnati per mezzo di segreti emissarj ad accorrere a romore sulla piazza il 28 agosto 1337, gridando: viva messer Taddeo dei Pepoli!... I cittadini si ragunarono alle grida di viva il popolo; ma essi erano senza capo, ed i veri repubblicani erano stati esiliati colla fazione de' Maltraversa. Taddeo incoraggiava i suoi soldati, che disarmarono la guardia della signoria, e senza combattere, anzi senza resistenza, Taddeo fu introdotto nel pubblico palazzo. I mercenarj, che gli avevano aperto l'ingresso, lo proclamarono i primi signore generale di Bologna; alcuni giorni dopo le compagnie delle milizie, e più tardi ancora il consiglio del popolo acconsentirono a questa elezione. Gli amici della libertà erano affatto scoraggiati; e, perduta ogni speranza d'impedire lo stabilimento del despotismo, si assentarono da queste assemblee, nelle quali dieci soli cittadini ebbero la fermezza, di dichiararsi contro Taddeo dei Pepoli[320]. Il nuovo signore scoprì ben tosto, o suppose delle congiure contro di lui per esiliare, sotto questo pretesto, i cittadini che potevano ancora tenerlo inquieto[321]. Cercò poi di rappacificarsi col papa, che aveva messa la sua capitale sotto l'interdetto; riconobbe la sovranità dei pontefici sopra Bologna; promise alla Chiesa un annuo tributo di otto mila lire bolognesi; obbligossi a far marciare le sue truppe qualunque volta ne fosse richiesto dalla corte d'Avignone, ed ottenne a questi patti d'essere ammesso da Benedetto XII in seno della Chiesa, e fu riconosciuta la legittimità del suo potere[322]. La pace di Venezia fu posteriore a queste diverse rivoluzioni di Bologna. Questa pace, smembrando gli stati di Mastino della Scala, aveva posto il rimanente dell'Italia al coperto dalla sua ambizione; ma una casa più potente erasi di già arricchita delle sue spoglie. I talenti e le virtù d'Azzo Visconti, il quale era succeduto in Lombardia alla preponderanza di Mastino, rendeva la sua ambizione ancora più pericolosa. Visconti era in allora il solo signore che si occupasse del ben essere de' suoi popoli, e che sapesse farsi amare. La dolcezza della sua amministrazione gli guadagnava ammiratori e partigiani in ogni luogo, ed i sudditi del tiranno si felicitavano d'essere da lui
- 72. conquistati. Brescia erasi ribellata contro Mastino per aprire le porte al signore di Milano; ed altre città avevano tentato d'imitarne l'esempio; ma il signore di Verona, facendo la pace con Azzo, occupavasi di già della sua vendetta; e fu precisamente col deporre le armi che suscitò contro al principe che lo aveva umiliato, i più pericolosi nemici. (1338) Noi abbiamo veduto che i sobborghi di Vicenza erano stati abbandonati all'armata della lega: i Tedeschi assoldati prima da Fiorenza e da Venezia, vi si erano accantonati dopo conchiusa la pace, conservandoli come pegno d'una pretesa indennizzazione; onde rifiutarono di separarsi minacciando egualmente Mastino e gli alleati al di cui servigio erano stati fin allora. Il signore di Verona, volendosene liberare, pensò di rovesciarli addosso ad Azzo Visconti. Incaricò di quest'affare quello stesso Lodrisio Visconti che aveva due volte congiurato contro Galeazzo, e, costretto ad emigrare da Milano, erasi riparato a Verona. (1339) Enrico VII, Federico d'Austria, Luigi di Baviera, il duca di Carinzia ed il re di Boemia avevano successivamente condotte in Italia nuove armate tedesche, e ben pochi degli avventurieri venuti con loro erano tornati in Germania: i sovrani d'Italia gli avevano assoldati, promettendo loro ricompense maggiori di quelle che trovar potevano nella loro patria. La prodigiosa superiorità che aveva nelle battaglie la cavalleria pesante, dovevasi molto meno al numero che all'abitudine delle armi: il cavaliere aveva un soldo proporzionato al lungo tempo che doveva impiegare, ed ai pericoli cui doveva soggiacere per imparare un tale mestiere; e mentre oggi la paga del soldato è minore di quella dell'ultimo mercenario, era in allora maggiore di quella del più esperto e ricco artefice. I principi e le città d'Italia non erano in istato di tenere costantemente queste truppe al loro soldo; in tempo di guerra invitavano i mercenarj che avevano militato in altre armate, e li licenziavano all'epoca della pace. I Tedeschi, arrivati in Italia al seguito de' loro principi, erano ben tosto chiamati a servire altre potenze coll'allettamento di più larga mercede; e perchè le contese
- 73. degl'Italiani erano affatto indifferenti a questi stranieri, vendevansi sempre al migliore offerente. Generalmente parlando, ai principi tornava meglio d'avere dei Tedeschi al loro soldo, che dei nazionali, perchè la diversità della lingua li faceva più stranieri allo spirito di partito, e meno accessibili agl'intrighi. Sembrò a bella prima che le truppe mercenarie avessero pure altri vantaggi. Le forze degli stati si proporzionarono alle loro ricchezze, non alla popolazione; esse s'accrebbero coll'industria e coll'attività, e si perdettero per l'inerzia; si risparmiò il sangue de' sudditi cittadini; gli stessi soldati vestirono un carattere più umano, e la guerra si trattò con minor ferocia, perchè i combattenti erano quasi tutti compatriotti e non avevano veruna cagione di odio, che gli esacerbasse gli uni contro gli altri. In tempo della battaglia si risparmiavano reciprocamente; dopo la vittoria i vinti venivano spogliati delle loro armi e de' loro cavalli, e posti in libertà senza taglia. Non si previde a principio che l'uso de' soldati stranieri faceva perdere alla nazione il carattere militare, e la privava dei mezzi di respingere colle proprie forze le aggressioni che potevano opprimerla; non si previde che i mercenarj, ne' quali essa riponeva la sua confidenza, potevano un giorno tradirla. La negoziazione di Lodrisio Visconti con quelli che occupavano i sobborghi di Vicenza, fece per la prima volta conoscere ciò che doveva temersi da tali truppe. Lodrisio Visconti giunse presso ai Tedeschi che occupavano i sobborghi di Vicenza, col danaro datogli da Mastino. Propose loro, poichè allora verun sovrano assoldava truppe, di marciare con lui contro Azzo Visconti; ed in cambio di soldo promise loro il saccheggio della città e del territorio di Milano. Richiamò alla loro memoria la grande compagnia de' Catalani ed Arragonesi che in principio del secolo era passata in Grecia e vi aveva fondato uno stabilimento, e li determinò ad intraprendere la guerra per conto loro proprio. I Tedeschi nominarono generali Lodrisio Visconti ed uno de' loro compatriotti detto Rinaldo di Givres[323]; presero il titolo di compagnia di san Giorgio, ed in principio di febbrajo del 1339 passarono l'Adige per entrare nel territorio milanese. La compagnia
- 74. quando si pose in cammino era numerosa di due mila cinquecento cavalli e di molta infanteria, e di mano in mano che andava avanzando, faceva sempre nuove reclute. Azzo Visconti trovavasi allora a letto tormentato dalla gotta, onde gli fu forza di affidare il comando della sua armata a suo zio Lucchino Visconti. Quest'armata, composta di tre mila cavalli e di dieci mila pedoni, uscì di Milano il giorno 15 febbrajo per andar contro alla compagnia di san Giorgio ch'erasi accampata a Legnano, e guastava il territorio milanese. Lucchino divise la sua armata in due colonne, una delle quali sotto gli ordini di Giovanni da Fieno e di Giovanelli Visconti, e stabilì il suo quartiere a Parabiago; l'altra sotto l'immediato comando di Lucchino s'accampò a Nerviano. Lodrisio approfittò di questa divisione, e la notte del 19 al 20 febbrajo piombò improvvisamente sopra la colonna di Parabiago, e la ruppe interamente. Lasciò allora quattrocento cavalli a Parabiago per custodire il bottino ed i prigionieri, ne mandò settecento presso all'Olona per tagliare la ritirata ai fuggiaschi, e col rimanente s'avanzò contro Lucchino. La battaglia si rinnovò con un furore che non erasi da molto tempo veduto nelle guerre d'Italia: la speranza del saccheggio di Milano animava i soldati della compagnia; quelli di Lucchino erano animati dalla difesa di quanto avevano di più prezioso contro una truppa di assassini che non avrebbero usato moderatamente della vittoria. Pure i Milanesi furono vinti, ma dopo una vigorosa difesa che aveva poco meno dei vinti indeboliti anche i vincitori. Lo stesso Lucchino venne in potere de' nemici. Mentre durava la battaglia, un'altra colonna di settecento cavalieri tutti italiani era uscita di Milano sotto la condotta d'Ettore da Panigo, ed entrata in Parabiago, aveva sorpresi e tagliati in pezzi i quattrocento cavalieri lasciati da Lodrisio a guardare il castello, e si era ingrossata coi prigionieri che aveva liberati. Di là marciò verso Nerviano, e giunse sul campo di battaglia mentre lo truppe di Lucchino di già rotte si difendevano ancora debolmente. Ettore da Panigo piomba su la compagnia rifinita dalla fatica di due battaglie e disordinata dalla caccia data al vinti, fa un
- 75. orribile macello di questi avventurieri; libera Lucchino e fa Lodrisio prigioniero. In una sola giornata la compagnia aveva ottenute due vittorie, e due ne aveva pure ottenute il conte da Panigo suo avversario. Questi ricondusse allora le vittoriose sue truppe verso Milano. Al passaggio dell'Olona incontrò il capitano tedesco Malerba che da Lodrisio era stato posto alla custodia di quel fiume per tagliare la ritirata ai fuggitivi. Fu anche questi disfatto dopo un ostinato combattimento che fu il quinto di questo giorno e pose fine alla battaglia di Parabiago distruggendo la compagnia di san Giorgio. Questa rapida campagna, terminata in meno di venti giorni, richiamò a sè gli sguardi di tutta l'Italia: l'incredibile accanimento con cui aveano combattuto i mercenarj in quest'occasione, nella quale portavano le armi contro l'intera società, ispirava tanto maggiore spavento, in quanto che si paragonava alla mollezza con cui sostenevano le altre guerre. La spedizione di Parabiago disvelò il loro segreto. Si osservò che le loro ordinarie battaglie non erano che un trastullo nel quale cercavano di guadagnare la paga col minor sangue e fatica possibile; ma che non facevan uso di tutte le loro forze, che quando le destinavano alla sovversione dell'ordine sociale. Più di quattro mila cavalieri delle due armate erano rimasti sul campo di battaglia[324]: assai maggiori erano i morti dell'infanteria. I soli Milanesi avevano perduti più di cinquecento cavalieri e di tre mila fanti[325]. Lodrisio Visconti ed i due suoi figliuoli furono chiusi nelle prigioni di Milano. Si rimandarono senza taglia gli altri prigionieri dopo aver loro tolti i cavalli e le armi e avuta da loro la promessa che più non servirebbero contro i Visconti. Non si sarebbero potuti ritenere senza condannarli ad una perpetua prigionia, perchè veruna potenza sarebbesi curata di comperare la loro libertà[326]. Sebbene la guerra di Parabiago togliesse al Visconti alcune migliaja di soldati, aveva non pertanto accresciuta la sua riputazione e la sua potenza. Era a quest'epoca sovrano di dieci città lombarde prima indipendenti[327], senza contare Pavia di cui ne divideva il dominio colla casa Beccaria. Cercava occasione d'acquistare qualche diritto in
- 76. Toscana, onde aprirvi una nuova carriera alle sue pratiche ed alla sua ambizione; nè dovette aspettarne lungo tempo l'occasione: sua madre Beatrice d'Este aveva avuto dal suo primo marito, il giudice Nino di Gallura, una unica figliuola detta Giovanna, sorella uterina d'Azzo Visconti; la quale morì ed era l'ultima erede dei Visconti di Pisa, signori di una parte della Sardegna. Azzo presentossi subito per raccogliere l'eredità di quest'illustre famiglia; chiese ed ottenne la cittadinanza pisana, entrò in possesso dei beni di sua sorella, e per far comprendere che le sue pretensioni stendevansi altresì sul terzo della Sardegna, che gli Arragonesi avevano tolta ai giudici di Gallura, inquartò i suoi stemmi coi loro[328]. I Pisani desideravano ardentemente la sua alleanza, e le loro forze riunite avrebbero potuto togliere agli Arragonesi quest'isola, sulla quale i Pisani avevano così giusti diritti, ed il di cui possesso era tanto necessario alla sua potenza marittima. Ma Azzo Visconti fu colpito dalla morte nel colmo delle sue prosperità e de' suoi vasti progetti. Spirò il 16 agosto del 1339 nella fresca età di 37 anni[329]; e perchè non lasciava figliuoli maschi, i suoi due zii, Giovanni, vescovo di Novara, e Lucchino, ambedue figliuoli di Matteo, furono dall'elezione della nobiltà e del popolo chiamati insieme alla sovranità di Milano[330]. Il primo rassegnò ben tosto al fratello la parte della sua signoria, per sollecitare l'investitura del vacante arcivescovado di Milano, che ottenne dalla corte d'Avignone contro il pagamento di cinquanta mila fiorini, e la riserva di dieci mila fiorini di rendita[331]. Fu pure quest'anno memorabile per una importante rivoluzione nella repubblica di Genova. Dopo liberata dall'assedio, ci siamo limitati, rispetto a questa città, d'indicare sommariamente gli avvenimenti della guerra civile che laceravano questa repubblica: indebolita da continue zuffe, non impiegava nelle sue guerre intestine tali forze che richiamar potessero l'attenzione dell'Italia. Ma le nuove fazioni, che si manifestarono nel presente anno, meritano di essere più circostanziatamente descritte, poichè produssero nel governo della repubblica un durevole cambiamento, che forma epoca nella sua storia.
- 77. Era questo il tempo in cui Filippo di Valois sosteneva contro gl'Inglesi una ruinosa guerra. L'anno 1338 aveva prese al suo servigio venti galere armate dai Guelfi di Monaco e venti armate dai Ghibellini genovesi. Queste quaranta galere passarono in Francia sotto il comando d'Antonio Doria. I marinai genovesi dopo un anno di servigio lagnaronsi che questo ammiraglio loro non pagasse l'intero soldo. In una sedizione, ch'ebbe luogo sopra le galere, furono scacciati il Doria ed i suoi capitani, ed i marinai nominarono altri ufficiali[332]. Il re di Francia si dichiarò a favore dell'ammiraglio; fece porre in prigione Pietro Capurro di Valtaggio risguardato quale capo dei sediziosi e quindici suoi compagni. La subordinazione si ristabilì sulla flotta, ma fu abbandonata da moltissimi marinai, che tornarono alla loro patria lagnandosi dell'ammiraglio. Al loro arrivo questi uomini inquieti trovarono molti concittadini mal disposti contro gli Spinola, i Doria, i Fieschi ed i Grimaldi. Da oltre sessant'anni queste quattro grandi famiglie avevano scossa la repubblica colle loro rivalità. A vicenda vittoriose o fuggitive, avevano a vicenda oppressi gli altri nobili ed il popolo. Sembrava che aspirassero ad assoggettare Genova ad una oligarchia ereditaria; attribuivansi tutte le funzioni onorevoli sia nella capitale, sia nelle città e castelli che ne dipendevano, come nelle flotte e nelle armate. Gli abitanti di Valtaggio presero i primi le armi per difendere o vendicare il loro compatriota Pietro Capurro, capo de' sediziosi della flotta. Il loro esempio fu seguìto dagli abitanti delle valli della Polsevera e di Bisagno ed in ultimo dai cittadini di Savona; nella quale città i sediziosi si adunarono nella chiesa di san Domenico, ove uno de' loro capi, salito sulla cattedra dei predicatori, e richiamando alla memoria de' suoi uditori le ingiurie e l'orgoglio della nobiltà, gli eccitò a scuotere il giogo di quest'ordine, ed a vendicarsi. «L'arroganza de' nobili è tanto grande, egli disse, che sdegnansi perfino che il popolo riclami i diritti guarentiti dalle leggi. Colui che alza gli occhi sopra di loro, e che ricordandosi d'essere Genovese osa invocare la libertà, viene strascinato in prigione o punito di morte come un ribelle. Chi dobbiamo però accusare di una così ingiuriosa oppressione? La nobiltà che l'impone, o noi che la soffriamo? La
- 78. nobiltà prima di tutto nulla fece di nuovo, nulla che non sia conforme alla sua natura: ma noi con una vergognosa viltà, con una imperdonabile debolezza, noi non impieghiamo in nostra difesa le armi che d'ogni tempo sono state riservate al popolo. Non lo sappiamo noi forse, che agli oppressi non rimane che una risorsa, la sollevazione? E che in questa sola trovano la guarenzia dei loro diritti? Speriamo noi forse che un giudizio, o procedure giudiziali ne ridonino i nostri privilegi? Che potremmo noi sperare dai consigli composti di soli nobili, da tribunali creati da loro, da giuristi che sviano con tutti i sutterfugi della cavillazione? Il popolo ha egli un mezzo regolare d'ottenere giustizia quando la domanda contro i suoi magistrati? Può egli invocare in suo soccorso l'ordine sociale, quando questo istesso ordine sociale è corrotto? Non temete, cittadini, i giudizj dei tribunali venduti ai vostri nemici, l'obbrobrio di cui vorrebbero vedervi coperti, o i supplicj di cui vi minacciano; non temete i nomi di ribelli e di sediziosi di cui vi caricano; voi conoscete i vostri diritti, le leggi che devono proteggervi, e ch'essi violano senza pudore; voi le avete tutte scolpite nella vostra memoria; queste medesime leggi si sono fatte delle vostre braccia l'ultima guarenzia[333].» Gli abitanti di Savona, riscaldati da questo discorso, assediano il pretorio, ove Odoardo Doria governatore della città erasi rifugiato coi magistrati e con pochi gentiluomini. Dopo averli costretti ad arrendersi, li rinchiusero nella fortezza di santa Maria; nominarono capitani del popolo due plebei, e formarono loro un consiglio di venti marinai. Marciarono in appresso contro Genova, ove tutto era disposto per un'eguale rivoluzione che non tardò a scoppiare. La repubblica era governata da due capitani di parte ghibellina, un Doria ed uno Spinola, i quali avevano spogliato il popolo dell'elezione del suo Abate, magistrato che come i tribuni di Roma era specialmente incaricato della protezione e della difesa de' plebei. I malcontenti di Genova, tosto che videro arrivare in loro soccorso gli ammutinati di Savona, domandarono che fosse loro restituito il diritto d'eleggere il magistrato del popolo; ed il governo riconobbe la giustizia di questa domanda.
- 79. Venti plebei scelti dai loro concittadini per l'elezione dell'Abate adunaronsi in pretorio il 23 settembre del 1339[334]. I capitani, i nobili ed il popolo riuniti intorno a loro ne aspettavano la decisione; quando un uomo oscuro, alzando la voce, propose di nominare alla vacante piazza Simone Boccanigra, uomo attivo e pieno d'esperienza, che a somma prudenza univa un coraggio a tutte prove, e che sempre aveva protetti i plebei sebbene appartenente ad una delle più antiche famiglie della nobiltà. Questo nome venne ripetuto con entusiasmo; il popolo unendo la sua voce a quella degli elettori proclama il nuovo Abate che malgrado la sua resistenza fu costretto a sedersi tra i due capitani del popolo, e gli fu posta in mano la spada del comando. Quando Boccanigra potè ottenere un istante di silenzio, disse: «Io sento, cittadini, tutta la riconoscenza ch'io debbo a tanto zelo, a tanta benevolenza; ma il titolo che voi mi date, non era ancora entrato nella mia famiglia, ed io non voglio essere il primo ad introdurvelo. Accordate dunque, vi prego, quest'onore ad alcun altro cui meglio che a me si convenga[335].» I cittadini sentirono allora che il titolo di Abate del popolo non poteva appartenere che ad un plebeo, e che Boccanigra, che contava un capitano del popolo tra i suoi antenati, non poteva, senza far loro torto, accettare una così diversa magistratura[336]. «Siate dunque nostro signore, nostro doge, gridarono essi; ma siete voi, voi solo che vogliamo riconoscere per nostro protettore.» I medesimi capitani del popolo, temendo che la rivoluzione si rendesse più feroce, supplicarono Boccanigra ad accettare la sua elezione; e perchè il titolo di doge, che per accidente eragli stato offerto, ricordava il doge di Venezia, capo d'uno stato libero simile a Genova, la nuova costituzione, stabilita in mezzo ai clamori popolari, rimase libera e repubblicana: Boccanigra ebbe un consiglio popolare, e la sua autorità venne limitata dai poteri che si riservò la nazione[337]. Boccanigra nel corso de' cinque anni che tenne l'affidatogli potere, ne usò gloriosamente: con mano vigorosa represse gli eccessi cui il popolo si abbandonava ne' primi istanti della rivoluzione; trasse di
- 80. mano ai sediziosi Rebella Grimaldi, sebbene suo particolare nemico; contenne il marchese del Carretto e gli altri feudatarj che commettevano frequenti ladronecci in vicinanza de' loro feudi; assoggettò ai magistrati della repubblica le fortezze tutte ed i castelli delle due riviere, tranne Monaco, difeso dai Grimaldi, e Ventimiglia in cui si erano uniti i capi delle quattro grandi famiglie[338]. E la sua amministrazione fu pure illustrata da alcune vittorie ottenute dalle flotte della repubblica sui Turchi nel mar nero, sui Tartari presso Caffa, ed in Ispagna sui Mori[339]. Peraltro dovette lottare incessantemente contro gl'intrighi delle quattro potenti famiglie escluse dal governo; le quali avevano dimenticate le vicendevoli nimistà ed i nomi di Guelfi e di Ghibellini, che le tennero tanti anni divise, per collegarsi contro di lui; ed unitesi in Venti miglia mossero guerra alla repubblica ed al suo capo[340]. Vedremo altrove il Boccanigra, stanco di così lunga guerra, deporre spontaneamente il comando, e lasciare in altrui mano la cura di proteggere il popolo contro la nobiltà. E per tal modo gli stati d'Italia o monarchici o repubblicani andavano perdendo per le interne loro convulsioni i vantaggi dell'ordine sociale; verun riposo compensava sotto il governo dei principi la perdita della libertà; nelle repubbliche veruna stabile amministrazione rassicurava dai timori d'un tempestoso avvenire. Ogni anno un'improvvisa rivoluzione precipitava dal suo trono un principe italiano, o in una città libera privava un partito dell'autorità che godeva. Masnadieri riuniti in regolari corpi d'armata movevano guerra ai sovrani, e ne minacciavano l'esistenza; avventurieri, scesi in Italia dalla Francia e dalla Germania, innalzavano rapidamente grandiosi edificj di nuovi potentati che venivano rapidamente distrutti. Siamo perciò costretti di presentare ai nostri lettori, come sopra una mobile scena, nuovi stati e nuovi personaggi che si premono e incalzano e distruggono gli uni gli altri, senza dar tempo di fissare sopra di loro lo sguardo. Non è da dubitarsi che i popoli soffrissero per questa instabilità d'istituzioni, ma i loro patimenti ci pajono ancora più grandi di quel che lo fossero realmente, perchè
- 81. nella narrazione storica gli avvenimenti lontani si vanno gli uni sugli altri ammucchiando. Era l'Italia più tosto agitata che infelice; e lo sforzo energico e costante di tutti i cittadini rialzava la fortuna nazionale abbattuta da ogni pubblica calamità: la piccolezza degli stati favoreggiava la fuga de' proscritti, cui prestava facile asilo la gelosia de' sovrani, e conforto nel loro esilio la speranza di non lontana vendetta. Quell'attività di spirito, quella energia di carattere, quella fermezza di volontà, di cui i moderni tempi non ci offrono verun esempio, erano per l'intera popolazione il risultato d'una vita agitata. L'uomo non può giungere alla grandezza, cui fu destinato dalla divinità, finchè ogni individuo non si risguarda come un essere indipendente, e come una potenza isolata rimpetto agli altri. Guasto è l'ordine sociale e degradata l'umana natura, quando ogni uomo cessa d'essere lo scopo della sua propria esistenza, e non è che un mezzo impiegato dal sovrano per soddisfare alla propria ambizione. Passioni più violenti di quelle della presente età strascinavano gli uomini nei pubblici affari: ma al potere politico non andava congiunta molta celebrità; e nell'agitamento d'una vita tanto attiva, più che la vanità, era soddisfatta l'ambizione. Il magistrato d'una repubblica, il ministro d'un principe appena potevano sperare di rendersi noti a tutta l'Italia; e un nome che fosse noto a tutta Europa, non poteva acquistarsi che colla superiorità dell'ingegno. La considerazione era la ricompensa accordata ad una vita consacrata al ben pubblico; la gloria si acquistava soltanto colle lettere; e questa divisione riusciva egualmente utile all'amministrazione ed alla scienza. La piccolezza degli stati tanto favorevole alla indipendenza, diminuendo alquanto il lustro de' principi, dava ai sommi ingegni un rango superiore a quello de' sovrani. Era infatti convenevole cosa che a coloro, i quali consacravano allo studio que' talenti che avrebbero potuto procurar loro le principali cariche ed il supremo potere dello stato, si accordassero le più onorevoli ricompense. La lingua era appena formata, ed il capo d'opera di Dante faceva soltanto conoscere quel che poteva diventare. Non erano per anco stabilmente fissati i confini tra l'italiano ed il latino idioma; il primo non aveva ancora la sua
- 82. grammatica, ed ancora incerto ne era il carattere. Il Villani, il Boccaccio e Franco Sacchetti formarono la prosa, e lasciarono eccellenti esemplari d'eleganza, di chiarezza, d'ingenuità e di gusto, che i susseguenti secoli non superarono. Cino da Pistoja, Cecco d'Ascoli, Petrarca, Zanobio Strada crearono, o perfezionarono la poesia lirica; facendo a vicenda parlare ne' loro versi l'amore, la religione, l'immaginazione e l'entusiasmo; fissarono per l'Italiano il linguaggio poetico, quel linguaggio pittorico, ove non sono ammessi vocaboli che non presentino alcuna immagine. L'antichità era mal conosciuta, e su la terra la più doviziosa d'ogni altra per antiche memorie, il popolo poteva appena approfittare dell'esperienza de' passati secoli. Ma Albertino Mussato, Ferreto Vicentino e Giovanni da Cermenate mostrarono come doveva studiarsi la lingua de' Romani per possederla come se fosse la propria. Cola da Rienzo, Petrarca e Boccaccio insegnarono il modo di cercare lo spirito dell'antichità ne' suoi monumenti e ne' suoi scrittori, di spiegar gli uni col soccorso degli altri, riunendo in un solo corpo le parti staccate dell'erudizione classica. Giovanni Calderino e Giovanni Andrea consacrarono un'erudizione dello stesso genere nell'interpretazione delle leggi civili e canoniche; Giovanni Gianduno e Marsiglio di Padova rischiararono coi lumi della filosofia i rapporti che esistono tra l'autorità civile e l'autorità religiosa; la medicina, la fisica, le scienze naturali cominciarono in pari tempo ad uscire dalle tenebre che le avevano affatto ricoperte. Lo zelo dei discepoli era più caldo di quello de' maestri: ogni città voleva avere un'università, per leggere nella quale chiamava gli uomini più famosi per dottrina, cercando colle ricompense e cogli onori, che loro accordava, di soverchiare le città vicine. A fronte di tanti studi pubblici, nella sola Bologna contavansi dieci mila scolari che udivano le lezioni de' più illustri professori. In altro tempo non eransi giammai con tanta passione coltivate le scienze e le lettere; al merito letterario non era mai stata accordata così larga ricompensa di gloria, nè così magnifici trionfi ai poeti ed ai filosofi. Tra i sommi ingegni, che illustrarono il quattordicesimo secolo, parve che il Petrarca fosse scelto dai suoi contemporanei per ricevere in
- 83. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and knowledge seekers. We believe that every book holds a new world, offering opportunities for learning, discovery, and personal growth. That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of books, ranging from classic literature and specialized publications to self-development guides and children's books. More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can quickly find the books that best suit your interests. Additionally, our special promotions and home delivery services help you save time and fully enjoy the joy of reading. Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and personal growth every day! ebookbell.com