File pendukung powerpoint matriks

BAB II ~ Matriks 33
MATRIKS
II
BAB
Tujuan Pembelajaran
Pengantar
Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:
1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks
persegi merupakan invers dari matriks persegi yang lain,
2. menentukan determinan dan invers matriks,
3. menggunakan determinan dan invers matriks dalam menyelesaikan sistem
persamaan linear dua variabel.
Gambar2.1 Kantorkelurahan
Jika Anda pergi ke kantor kelurahan atau desa, Anda pasti akan menjumpai data
statistik penduduk yang menyajikan data tentang jumlah penduduk berdasarkan
pekerjaan, tingkat pendidikan, agama, umur, dan lain-lain. Data tersebut pasti disajikan
secara rapi dan jelas dibaca. Tampilan data tersebut dinamakan matriks. Anda akan
mempelajari pengertian matriks dan sifat-sifatnya di dalam bab ini.
Sumber:jakartawater.org

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa34
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat menggunakan sifat-sifat
dan operasi-operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi dan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear. Selanjutnya dapat juga menyelesaikan
persoalan-persoalan sehari-hari yang melibatkan matriks. Untuk memahami materi
bab ini, Anda perlu memahami lagi operasi dan sifat-sifat aljabar pada sistem bilangan
real dan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan
eliminasi dan substitusi.
Untuk menunjang pencapaian tujuan di atas, di dalam bab ini akan dibahas
berturut-turut pengertian matriks, kesamaan matriks, jenis-jenis matriks, transpose
matriks, operasi aljabar pada matriks, determinan matriks, invers matriks, dan
aplikasinya pada penyelesaian sistem persamaan linear.
2.1 Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai suatu informasi yang terdiri dari
susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam bentuk persegi
panjang. Berikut ini beberapa contoh tentang hal ini.
Contoh 2.1.1
Di dalam kelas sering dijumpai papan presensi kehadiran siswa dalam seminggu, seperti
tampak pada tabel berikut.
W
Contoh 2.1.2
Bagi siswa yang tertarik pada sepak bola liga Inggris, berikut sebuah data tentang
hasil klasemen sementara 4 besar liga Inggris.
W
Contoh 2.1.3
Harga karcis masuk pameran pembangunan adalah:
W
Hari Hadir Absen Banyak Siswa
Senin 42 3 45
Selasa 44 1 45
Rabu 45 0 45
Kamis 43 2 45
Jumat 45 0 45
Sabtu 44 1 45
Klub Main Menang Seri Kalah Nilai
Chelsea 17 12 4 1 40
Everton 17 11 3 3 36
Arsenal 17 10 5 2 35
Man. United 16 8 6 2 30
Hari Biasa Hari Minggu
(Rp) (Rp)
Anak-anak 2.000 2.500
Dewasa 3.000 4.000

BAB II ~ Matriks 35
Masih banyak lagi contoh informasi seperti di atas yang dapat dijumpai di dalam
kehidupan sehari-hari. Sekarang kita perhatikan Contoh 2.1.3, jika kepala lajur dan
kepala baris dihilangkan, maka akan tampak sebagai berikut.
2.000 2.500
3.000 4.000
Susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang seperti di atas dikatakan
membentuk suatu matriks, dan selanjutnya matriks ini sering dinotasikan sebagai
berikut.
2000 2500
3000 4000
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
atau
2000 2500
3000 4000
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Secara umum, pengertian matriks didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1
Sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan
kolom dalam bentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut
disebut elemen atau entri atau unsur dalam matriks.
Contoh 2.1.4
Susunan-susunan berikut adalah suatu matriks.
2
1 3 0
3
2 4 7 ,
7
1 0 6
5
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
, (1 –3 0), (8)
Seperti ditunjukkan pada Contoh 2.1.4, terdapat berbagai macam ukuran matriks.
Ukuran (ordo) matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan banyaknya
kolom yang ada dalam matriks tersebut. Jika sebuah matriks mempunyai m baris dan
n kolom, maka dikatakan bahwa ukuran (ordo) dari matriks tersebut adalah m × n.
Ordo m × n berbeda dengan ordo n × m. Matriks pertama dalam Contoh 2.1.4 mempunyai
ordo 3 × 3, matriks ke-2 mempunyai ordo 4 × 1, matriks ke-3 mempunyai ordo 1 × 3, dan
matriks yang terakhir mempunyai ordo 1 × 1. Untuk matriks ordo 1 × 1 sering dituliskan
tanpa tanda kurung. Jadi, matriks (8) biasa ditulis dengan 8 saja.
Nama matriks akan diberikan dengan notasi huruf besar dan elemen-elemennya
akan dilambangkan dengan huruf kecil, sebagai contoh
A =
3 0 6
1 2 4
4 5 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
atau B =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a b c
d e f
Dari matriks A diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut.
• Ordo matriks A adalah 3 × 3 karena mempunyai 3 baris dan 3 kolom.
• Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 3, 0, dan 6.
• Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah 1, 2, dan 4.
• Elemen-elemen pada baris ke-3 adalah –4, 5, dan 1.

• Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah 3, 1, dan -4.
• Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah 0, 2, dan 5.
• Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 6, 4, dan 1.
Dari matriks B diperoleh keterangan-keterangan sebagai berikut.
• Ordo matriks B adalah 2 × 3 karena mempunyai 2 baris dan 3 kolom.
• Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah a, b, dan c.
• Elemen-elemen pada baris ke-2 adalah d, e, dan f.
• Elemen-elemen pada kolom ke-1 adalah a dan d.
• Elemen-elemen pada kolom ke-2 adalah b dan e.
• Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah c dan f.
W
1. Bentuklah matriks dari keterangan-keterangan yang ada di dalam tabel berikut, dan
kemudian tentukan ordo dari matriks yang Anda peroleh.
a. Tabel berikut menunjukkan hasil operasi penjumlahan pada jam limaan.
b. Tabel berikut menyajikan nilai tugas dan nilai ujian dari Amir dan Ani, untuk mata
pelajaran Agama, Bahasa Indonesia, Matematika, dan Bahasa Inggris.
c. Tabel berikut menunjukkan harga jual tiga kebutuhan pokok pada bulan Januari,
Februari, dan Maret dalam satuan kilogram.
Latihan 2.1
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Amir A n i
Tugas Ujian Tugas Ujian
Agama 90 85 90 75
Bahasa Indonesia 85 90 80 85
Matematika 90 85 70 75
Bahasa Inggris 75 85 85 80
Mata Pelajaran
Beras Gula Minyak Goreng
(Rp) (Rp) (Rp)
Januari 3.000 4.500 6.500
Februari 2.750 4.300 6.250
Maret 2.800 4.250 6.400
Bulan

BAB II ~ Matriks 37
2. Carilah informasi atau keterangan di sekitar lingkungan Anda yang dinyatakan dalam
bentuk tabel bilangan, kemudian buatlah daftar matriksnya. Berapakah ordo dari
matriks yang Anda peroleh?
3. Diberikan matriks:
A=
8 0 2 2 1
1
3 5 4 5
2
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan ordo matriks A.
b. Tentukan elemen-elemen pada baris pertama.
c. Tentukan elemen-elemen pada kolom ketiga.
d. Tentukan elemen pada baris kedua dan kolom keempat.
e. Tentukan elemen pada baris pertama dan kolom kelima.
4. Buatlah daftar penjumlahan dan perkalian dalam jam empatan, kemudian buatlah daftar
matriknya, dan tentukan ordo matriks yang Anda peroleh.
2.2 Kesamaan Dua Matriks
Dua buah matriks, A dan B, dikatakan sama, ditulis A = B, jika kedua matriks
tersebut mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak)
sama.
Contoh 2.2.1
Tinjaulah matriks-matriks berikut.
A=
3 1
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B =
1 1
0 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C =
2 1 1
0 3 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
D =
1 1
2 2 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Walaupun ordo matriks A dan ordo matriks B sama juga elemen-elemennya sama,
tetapi tidak semua elemen-elemen yang seletak sama, maka A ≠ B. Karena ordo matriks
A tidak sama dengan ordo matriks C, maka A ≠ C. Ordo matriks B sama dengan ordo
matriks D dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks ini juga sama, maka
B = D.
W
Contoh 2.2.2
Diketahui matriks A =
0
1
a
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
2 0
3
b
c c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Jika A = B, tentukan nilai-nilai dari
a, b, dan c.
Penyelesaian:
Dari A = B diperoleh hubungan:
0
1
a
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
2 0
3
b
c c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Berdasarkan sifat kesamaan dua buah matriks, diperoleh:
a = 2b, –1 = c, b = 3c
Dari persamaan-persamaan ini, diperoleh:
c = –1, b = 3c = 3(-1) = –3, dan a = 2b = 2(–3) = -6
W

Contoh 2.2.3
cos sin
sin cos
α α
α α
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Jika A = B, tentukan nilai α.
Penyelesaian:
Karena A = B, maka cos α = 1 dan sin α = 0. Dari hubungan cos α = 1, diperoleh nilai
α = 0 + 2kπ . Dari hubungan sin α = 0, diperoleh α = 0 + kπ. Jadi, α = 0 + 2kπ.
W
1. Diketahui ordo matriks A adalah m × n dan ordo matriks B adalah p × q. Jika A = B, apa
yang Anda ketahui tentang hubungan antara m, n, p, dan q?
2. Jika ordo dari matriks A sama dengan ordo matriks B, apakah A = B? Jika jawaban Anda
ya, jelaskan, tetapi jika tidak berikan contohnya.
3. Jika matriks A sama dengan matriks B, apakah ordo matriks A sama dengan ordo matrik
B? Berikan penjelasan.
4. Jika matriks A dan matriks B mempunyai ordo m × n dan A = B, apa yang Anda ketahui
tentang hubungan antara m dan n?
5. Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga
2 3
4 5
x y
x y
−⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
=
15
7
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
6. Tentukan nilai x dan y sedemikian hingga
3 4 2
5 5
x y
x y
+⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
11 2
5 8
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
7. Apakah ada nilai x dan y sedemikian hingga
0
1 2
x y
x y
+⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
3 1
1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
?
8. Diketahui matriks A =
cos sin
sin cos
α α
α α
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
1 1
3
2 2
1 1
3
2 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Jika A = B, tentukan nilai α.
2.3 Jenis-Jenis Matriks
Berikut ini diberikan jenis-jenis matriks yang mempunyai sifat-sifat khusus.
a. Matriks Persegi
Jika suatu matriks mempunyai banyak baris sama dengan banyak kolom,
maka matriks demikian disebut matriks persegi. Jika banyaknya baris pada matriks
persegi adalah n, maka matriks tersebut disebut matriks persegi ordo n × n atau
sering disebut matriks persegi ordo n.
Latihan 2.2

BAB II ~ Matriks 39
Berikut ini diberikan beberapa contoh matriks persegi.
A =
1 4
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
matriks persegi ordo 2
B =
3 0 4
2 5 5
4 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
matriks persegi ordo 3
b. Matriks Diagonal
Jika diberikan matriks persegi
A =
a b c d
e f g h
i j k l
m n o p
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka elemen-elemen a, f, k, dan p disebut elemen-elemen yang terletak pada diagonal
utama matriks A. Sebuah matriks persegi dinamakan matriks diagonal, jika semua
elemen di luar diagonal utama adalah nol. Berikut ini diberikan beberapa contoh
matriks diagonal.
A =
2 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C =
4 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Suatu matriks disebut matriks segitiga atas, jika semua elemen di bawah elemen
diagonal utama adalah nol. Berikut ini beberapa contoh matriks segitiga atas.
P =
3 1
0 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Q =
5 0 2
0 1 3
0 0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Suatu matriks disebut matriks segitiga bawah, jika semua elemen di atas elemen
diagonal utama adalah nol. Berikut ini beberapa contoh matriks segitiga bawah.
S =
2 0 0
4 1 0
3 0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
T =
4 0 0 0
7 2 0 0
8 0 1 0
2 3 0 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
c. Matriks Identitas
Sebuah matriks diagonal dinamakan matriks identitas atau matriks satuan,
jika setiap elemen pada diagonal utama dari matriks diagonal tersebut adalah 1.
Matriks identitas sering dilambangkan dengan In
, dengan n melambangkan
ordo dari matriks identitas tersebut. Matriks identitas juga sering dinotasikan
dengan I saja.

Berikut ini diberikan contoh matriks identitas.
I2
=
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
I3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d. Matriks Nol
Sebuah matriks dikatakan matriks nol jika setiap elemen dari matriks tersebut
adalah nol. Matriks nol sering dituliskan dengan O. Berikut ini diberikan beberapa
contoh matriks nol.
0 0
0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan ( )0 0 0 0
e. Matriks Baris
Sebuah matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris.
Berikut ini beberapa contoh matriks baris.
( 1 2 3), (–1 4 7 8), dan (9 0 8 –5 7 6 4)
f. Matriks Kolom
Sebuah matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom.
Berikut ini beberapa contoh matriks kolom.
2
0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
1
1
0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan
1
6
3
7
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
1. Apakah matriks nol selalu merupakan matriks persegi?
2. Apakah matriks identitas selalu merupakan matriks persegi?
3. Apakah matriks diagonal selalu matriks persegi?
4. Apakah matriks nol merupakan matriks diagonal?
5. Apakah matriks identitas merupakan matriks diagonal?
6. Apakah matriks nol persegi merupakan matriks diagonal?
Latihan 2.3

BAB II ~ Matriks 41
7. Berikan contoh matriks nol yang juga merupakan matriks baris?
8. Berikan sebuah contoh matriks nol yang juga matriks kolom.
9. Adakah matriks yang sekaligus merupakan matriks baris dan juga matriks kolom?
10. Apakah matriks identitas merupakan matriks segitiga atas?
11. Apakah matriks identitas merupakan matriks segitiga bawah?
12. Apakah ada matriks yang merupakan matriks segitiga atas sekaligus juga merupakan
matriks segitiga bawah?
13. Apakah matriks nol yang persegi juga merupakan matriks segitiga atas?
2.4 Transpose Matriks
Transpose matriks A, ditulis dengan At
, adalah matriks yang elemen-elemennya
diperoleh dari elemen-elemen matriks A dengan mengubah setiap elemen baris ke-n
dari matriks A menjadi elemen kolom ke-n dari matriks At
dan setiap elemen kolom
ke-m matriks A menjadi elemen baris ke-m dari matriks At
. Jika A merupakan matriks
persegi ordo n, maka matriks At
juga matriks persegi ordo n, tetapi jika A matriks
berordo m × n, maka matriks At
merupakan matriks berordo n × m. Berikut ini diberikan
cara menentukan transpose suatu matriks.
Contoh 2.4.1
Jika diberikan matriks-matriks:
A =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, B =
1 2 0
2 3 1
0 1 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, dan C =
0 1
1 0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka transpose dari matriks-matriks tersebut adalah:
At
=
1 2
0 3
7 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, Bt
=
1 2 0
2 3 1
0 1 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, dan Ct
=
0 1
1 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
W
Dengan memperhatikan definisi transpose matriks di atas, dapat disimpulkan
bahwa transpose matriks mempunyai sifat (At
)t
= A. Selanjutnya, sebuah matriks yang
mempunyai sifat At
= A disebut matriks simetris, sedangkan sebuah matriks yang
mempunyai sifat At
= –A disebut matriks skew-simetris, dengan –A adalah matriks
yang entri-entrinya adalah negatif dari entri-entri matriks A.

1. Tentukan transpose dari matriks-matriks berikut.
A=
2 0 0
4 1 0
3 0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, B =
5 0 2
0 1 3
0 0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, C =
1
6
3
7
⎛ ⎞
⎜
⎜
⎜ −
⎜⎜−⎝ ⎠
,
D =
3 0 4
2 5 5
4 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
, E =
5 4 3
0 7 1
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, F = (–1 4 7 8),
G =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, H =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. Berikan beberapa contoh matriks yang menunjukkan bahwa (At
)t
= A.
3. Berikan beberapa contoh matriks simetris.
4. Berikan beberapa contoh matriks skew-simetris.
5. Apakah matriks identitas merupakan matriks simetris?
6. Apakah matriks nol yang persegi merupakan matriks simetris?
7. Apakah (–At
) = (–A)t
? Berikan beberapa contoh.
8. Apakah matriks simetris harus merupakan matriks persegi?
9. Apakah matriks skew-simetris harus merupakan matriks persegi?
10. Adakah matriks simetris yang sekaligus matriks skew-simetris? Jika ada berikan
contohnya.
2.5 Operasi Aljabar Dua Matriks
Untuk mengoptimalkan peranan matriks dalam berbagai persoalan, dalam
subbab ini akan dibahas “ilmu hitung matriks” yang meliputi penjumlahan dua
matriks, pengurangan dua matriks, perkalian skalar dengan matriks, dan perkalian
dua matriks.
2.5.1 Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks
Berikut ini diberikan daftar penerimaan tiga barang dagangan dari sebuah
toko bahan kebutuhan pokok yang diperoleh dari tiga orang penyalur (penyalur
Amir, Budi, dan Siti) pada bulan Januari dan bulan Februari.
Latihan 2.4

BAB II ~ Matriks 43
Daftar Penerimaan Barang Bulan Januari
Daftar Penerimaan Barang Bulan Februari
Dari dua daftar penerimaan barang tersebut, pemilik toko membuat daftar
penerimaan barang total dua bulan dari tiga penyalur tersebut, sehingga
diperoleh daftar penerimaan barang sebagai berikut.
Daftar Penerimaan Barang Bulan Januari dan Februari
Perhatikan bahwa tabel ketiga diperoleh dengan menjumlahkan elemen-
elemen pada sel yang seletak dari tabel pertama dan tabel kedua. Dari persoalan
tersebut muncul ide untuk menjumlahkan dua buah matriks. Berikut ini
diberikan definisi penjumlahan dua buah matriks yang mempunyai ordo sama.
Untuk dua matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan.
Penyalur
Amir Budi Siti
Beras 100 150 125
Gula 50 75 60
Minyak 75 50 80
Nama Barang
Penyalur
Amir Budi Siti
Beras 75 100 100
Gula 75 50 150
Minyak 100 80 75
Nama Barang
Penyalur
Amir Budi Siti
Beras 175 250 225
Gula 125 125 210
Minyak 175 130 155
Nama Barang

Definisi 2.2
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang mempunyai ordo sama,
maka jumlah dua matriks A + B adalah matriks yang diperoleh dengan
menambahkan bersama-sama elemen-elemen yang bersesuaian dari
kedua matriks tersebut.
Contoh 2.5.1
Jika diketahui matriks-matriks:
A =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, B =
5 4 3
0 7 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, dan C =
1 2 0
2 3 1
0 1 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
maka
A + B =
1 5 0 4 7 3
2 0 3 7 4 ( 1)
+ + − +⎛ ⎞
⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠
=
6 4 4
2 4 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
sedangkan A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan atau tidak didefinisikan
karena matriks A dan C serta matriks B dan C tidak mempunyai ordo yang
sama.
Jika B merupakan sebarang matriks, maka –B adalah matriks yang elemen-
elemennya adalah negatif dari elemen-elemen matriks B yang seletak, sebagai
contoh jika
B =
5 4 3
0 7 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
maka
–B =
5 4 3
0 7 1
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
W
Definisi 2.3
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang mempunyai ordo sama,
maka selisih dua buah matriks, A – B adalah matriks yang merupakan
jumlah dari matriks A dan (–B) atau A – B = A + (–B).
Contoh 2.5.2
Jika diketahui matriks-matriks:
A =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
5 4 3
0 7 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠

BAB II ~ Matriks 45
maka
A – B = A + (–B)
=
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
+
5 4 3
0 7 1
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
4 4 10
2 10 5
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Perhatikan bahwa A – B dapat diperoleh secara langsung dengan
mengurangkan elemen-elemen B dari elemen-elemen A yang seletak.
Berikut ini diberikan sifat-sifat operasi penjumlahan dua buah matriks.
Teorema 2.1
Jika A, B, dan C merupakan matriks-matriks dengan ordo yang sama,
maka berlaku:
a. A + B = B + A (sifat komutatif terhadap penjumlahan)
b. A + (B + C) = (A + B) + C (sifat asosiatif terhadap penjumlahan)
c. Terdapat matriks nol O, sehingga:
A + O = O + A = A
d. Terdapat matriks (–A), sehingga:
A + (–A) = (–A) + A = O
Berikut ini diberikan contoh untuk memberikan gambaran dari teorema di atas.
Contoh 2.5.3
Jika diberikan matriks:
A =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
5 4 3
0 7 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
maka
A + B =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
+
5 4 3
0 7 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
6 4 4
2 4 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
sedangkan
B + A =
5 4 3
0 7 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
+
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
6 4 4
2 4 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dari contoh ini jelas bahwa A + B = B + A.
W
Para siswa diharapkan dapat menunjukkan sifat-sifat yang lain dengan
memberikan contoh-contoh.

1. Perusahaan “Adi Prabowo” mempunyai dua anak cabang perusahaan, yaitu “Adi
Prabowo I” dan “Adi Prabowo II”, masing-masing mempunyai produk mesin jenis S, T,
dan U. Banyaknya produksi pada bulan Januari, Februari, dan Maret disajikan dalam
tabel berikut.
a. Nyatakan data banyaknya produksi anak cabang perusahaan “Adi Prabowo I”
sebagai matriks A.
b. Nyatakan data banyaknya produksi anak cabang perusahaan “Adi Prabowo II”
sebagai matriks B.
c. Berapa ordo matriks A dan berapa ordo matriks B?
d. Nyatakan data-data pada tabel di atas sebagai penjumlahan matriks.
2. Berikan sebuah contoh penyajian data yang ada di sekitar Anda, yang menunjukkan
adanya operasi penjumlahan matriks.
A =
5 12
8 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, B =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, C =
5 2
3 0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
D =
2 0 4
1 5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, E =
2 10 6
8 5 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tentukan matriks-matriks berikut jika mungkin, dan berikan alasan jika tidak mungkin.
a. A+ B k. A–C
b. A+C l. D – E
c. B + C m. C – A
d. B + A n. E – D
e. A+ E o. D – A
f. D + E p. E + (-E)
g. (–A) q. (A + B) + C
h. (–B) r. A + (B + C)
i. A– B s. (A + C) + B
j. B – C t. A + (C + B)
Latihan 2.5.1
Adi Prabowo I Adi Prabowo II Adi Prabowo
S T U S T U S T U
Januari 200 150 175 250 100 50 450 250 225
Februari 100 75 125 100 100 75 200 175 200
Maret 150 125 100 125 150 125 275 275 225
Bulan

BAB II ~ Matriks 47
4. Diberikan matriks-matriks:
P =
3 4 0
1 6 1
2 0 3
5 2 8
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan O =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tentukan matriks-matriks berikut.
a. (–P) e. O + P
b. P + (–P) f. O – P
c. (–P) + P g. P – O
d. P + O
5. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui:
2
1
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
+
5
4
z
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
1 3
y⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6. Tentukan nilai a, b, dan c jika diketahui:
a a
c b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
0
b b
c
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
10 6
1 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
7. Apakah terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.
1 1 1
1 1 0
a c a b a c
a b c
+ + −⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ + +⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 3 2
3 2 1
1 1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
8. Tentukan matriks A dan matriks B sedemikian hingga berlaku:
a.
2 0 5
1 3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
+ A =
6 4 0
1 2 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b.
8 1
5 0
7 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
– B =
2 5
4 3
6 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
9. Jika diketahui matriks:
A =
2 0 4
1 5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 10 6
8 5 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka perlihatkan bahwa:
a. (A + B)t
= At
+ Bt
b. (A – B)t
= At
– Bt
10. a. Buktikan bahwa jika A matriks simetrik (At
= A), maka matriks (A + At
) juga matriks
simetrik.
b. Buktikan bahwa jika B matriks skew-simetrik (At
= -A), maka matriks (B – Bt
) juga
skew-simetrik.

2.5.2 Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika c suatu skalar yang merupakan elemen dari bilangan real dan A suatu
matriks, maka kita dapat melakukan operasi perkalian cA yang didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 2.4
Jika A suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks
yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen dari A
dengan c.
Contoh 2.5.4
Jika diberikan matriks
A=
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
maka
2A =
2 0 14
4 6 8
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan –3A =
3 0 21
6 9 12
−⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
W
Berikut ini diberikan beberapa sifat perkalian skalar dengan matriks.
Teorema 2.2
Dengan menganggap bahwa operasi-operasi penjumlahan berikut
terdefinisi, maka aturan-aturan perkalian skalar berikut berlaku.
a. (km)A = k(mA) (k dan m sebarang skalar)
b. (k+m)A = kA+mA (k dan m sebarang skalar)
c. k(A+B) = kA+kB (k sebarang skalar)
d. 1A = A
e. 0A = O (O matriks nol)

BAB II ~ Matriks 49
1. Diketahui matriks-matriks:
A =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, B =
2 1
5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, C =
6 4 0
1 2 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
D =
2 0 5
1 3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, E =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, F =
3 5
1 2
0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Tentukan matriks-matriks berikut jika mungkin dan berikan penjelasan jika tidak
mungkin.
a. 5A k. 0F
b. 2C l. 5(2A)
c. –3D m. 10A
d. –5F n. 3(A + B)
e. 4A + 3B o. 3A + 3B
f. 5B + 2C p. 2(C – D)
g. 6C + 2D q. (4 + 5)F
h. 3E + F r. 9F
i. 2A – 3B s. 1E
j. 7C – 4D
A =
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
3 2
1 3
, B =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 1
0 5
, C =
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
0 6
4 1
dan skalar: a = 2, b = –3.
Dengan menghitung matriks-matriks berikut, tunjukkan bahwa:
a. (a + b)C = aC + bC d. a(bC)=(ab)C
b. (a – b)C = aC – bC e. 1A=A
c. a(B + C) = aB + aC f. 0A= O
3. Tentukan nilai x, y, dan z jika persamaan matriks berikut benar.
3
2
1
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 2
5
4
z
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
1 11
y⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A =
5 12
8 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Perlihatkan bahwa:
a. (5A)t
= 5At
b. (3A – 2B)t
= 3At
– 2Bt
Latihan 2.5.2

5. Jika diketahui:
A =
a c
b d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
s t
u v
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
serta m dan n merupakan sebarang skalar, tunjukkan bahwa:
a. (mA)t
=mAt
b. (mA +nB)t
= mAt
+ nBt
2.5.3 Perkalian Dua Matriks
Di dalam subbab sebelumnya telah didefinisikan perkalian antara skalar
dengan matriks. Pertanyaan berikutnya adalah bagaimana definisi perkalian
antara dua buah matriks? Dengan memperhatikan definisi penjumlahan dua
buah matriks, maka cukup beralasan jika ada orang yang memikirkan bahwa
perkalian dua buah matriks didefinisikan sebagai perkalian entri-entri yang
seletak. Tetapi, definisi ini ternyata tidak begitu berguna untuk berbagai masalah.
Berikut ini diberikan gambaran yang dapat memotivasi pendefinisian perkalian
dua buah matriks. Perhatikan dua buah daftar berikut. Daftar pertama
menunjukkan daftar pembelian gula yang dilakukan oleh ibu Ani dan ibu Yuli
dalam bulan Januari dan bulan Februari. Daftar kedua menunjukkan harga gula
per kg dalam bulan Januari dan Februari.
Daftar Pertama Daftar Kedua
Dari daftar di atas, diperoleh informasi bahwa:
1. Uang yang dikeluarkan ibu Ani adalah:
30 × Rp4.500,00 + 20 × Rp4.000,00 = Rp215.000,00
2. Uang yang dikeluarkan ibu Yuli adalah
50 × Rp4.500,00 + 40 × Rp4.000,00 = Rp385.000,00
Jika permasalahan tersebut disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh bentuk
sebagai berikut.
30 20
50 40
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
4.500
4.000
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
30 4.500 20 4.000
50 4.500 40 4.000
× + ×⎛ ⎞
⎜ ⎟× + ×⎝ ⎠
=
215.000
385.000
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Perhatikan bahwa setiap elemen baris ke-n (baris ke-1 atau baris ke-2) dari
matriks pertama dikalikan dengan elemen-elemen pada kolom matriks kedua,
kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan matriks yang baru.
Dengan memperhatikan permasalahan tersebut, para matematikawan
mendefinisikan perkalian matriks sebagai berikut.
Januari Februari
Ibu Ani 30 kg 20 kg
Ibu Yuli 50 kg 40 kg
Harga
Januari Rp4.500,00
Februari Rp4.000,00

BAB II ~ Matriks 51
Definisi 2.5
Jika A adalah matriks berordo m × r dan B adalah matriks berordo r × n,
maka hasil kali AB adalah matriks berordo m × n yang elemen-elemennya
ditentukan sebagai berikut. Elemen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari
matriks AB diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali elemen-elemen
baris ke-i dari matriks A dengan elemen-elemen kolom ke-j matriks B.
Untuk memperjelas definisi di atas, berikut diberikan contoh perkalian
dua buah matriks.
Contoh 2.5.5
Diberikan dua buah matriks:
A =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
2
1
4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Karena A merupakan matriks berordo 2 × 3 dan B matriks berordo 3 × 1, maka
matriks hasil kali AB adalah matriks berordo 2 × 1. Untuk menentukan elemen
dalam baris pertama dan kolom pertama dari AB, kita dapat mengalikan elemen-
elemen baris pertama dari matriks A dengan elemen-elemen kolom pertama
matriks B, sehingga diperoleh
1(2) + 0(1) + (–7)(4) = 2 + 0 – 28 = –26
Untuk menentukan elemen dalam baris kedua dan kolom pertama dari AB, kita
dapat mengalikan elemen-elemen baris kedua dari matriks A dengan elemen-
elemen kolom pertama matriks B, sehingga diperoleh:
2(2) + (–3)(1) + 4(4) = 4 – 3 + 16 = 17
Jadi, matriks hasil kali AB adalah
AB =
26
17
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Karena matriks B mempunyai ordo 3 × 1 dan matriks A mempunyai ordo 2 × 3,
berdasarkan definisi di atas, maka perkalian matriks BA tidak terdefinisi.
Contoh 2.5.6
Diberikan dua buah matriks:
A =
1 3
2 5
0 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
2 0 7 4
1 3 2 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Karena A merupakan matriks berordo 3 × 2 dan B matriks berordo 2 × 4, maka AB
merupakan matriks berordo 3 × 4. Elemen-elemen dari matriks AB dapat
ditentukan sebagai berikut.
Ø Elemen baris pertama dan kolom pertama adalah:
1(2) + (–3)(1) = 2 – 3 = –1
Ø Elemen baris pertama dan kolom kedua adalah:
1(0) + (–3)(–3) = 0 + 9 = 9
Ø Elemen baris pertama dan kolom ketiga adalah:
1(7) + (–3)(2) = 7 – 6 = 1

Ø Elemen baris pertama dan kolom keempat adalah:
1(4) + (–3)(0) = 4 + 0 = 4
Ø Elemen baris kedua dan kolom pertama adalah:
2(2) + 5(1) = 4 + 5 = 9
Ø Elemen baris kedua dan kolom kedua adalah:
2(0) + 5(–3) = 0 – 15 = –15
Ø Elemen baris kedua dan kolom ketiga adalah:
2(7) + 5(2) = 14 + 10 = 24
Ø Elemen baris kedua dan kolom keempat adalah:
2(4) + 5(0) = 8 + 0 = 8
Ø Elemen baris ketiga dan kolom pertama adalah:
0(2) + (–1)(1) = 0 – 1 = –1
Ø Elemen baris ketiga dan kolom kedua adalah:
0(0) + (–1)(–3) = 0 + 3 = 3
Ø Elemen baris ketiga dan kolom ketiga adalah:
0(7) + (–1)(2) = 0 – 2 = –2
Ø Elemen baris ketiga dan kolom keempat adalah:
0(4) + (–1)(0) = 0 + 0 = 0
Jadi, matriks AB adalah:
AB =
1 9 1 4
9 15 24 8
1 3 2 0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Dengan alasan yang sama dengan contoh sebelumnya, maka perkalian matriks
BA tidak terdefinisikan.
Contoh 2.5.7
Diketahui matriks:
A =
2 0 3
1 4 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 5
1 2
0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Tentukan matriks AB dan matriks BA.
Penyelesaian:
Karena matriks A berordo 2 × 3 dan matriks B berordo 3 × 2 maka matriks AB
berordo 2 × 2, sedangkan matriks BA berordo 3 × 3.
Dengan perhitungan seperti contoh sebelumnya, diperoleh:
AB =
2 0 3
1 4 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 5
1 2
0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
6 0 0 10 0 12 6 2
3 4 0 5 8 20 7 7
+ + + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dan
BA =
3 5
1 2
0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 0 3
1 4 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
6 5 0 20 9 25 11 20 34
2 2 0 8 3 10 4 8 13
0 4 0 16 0 20 4 16 20
+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tampak bahwa AB tidak sama dengan BA.
W

BAB II ~ Matriks 53
Contoh 2.5.8
Diketahui A =
2 1
5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Tentukan matriks AB.
Penyelesaian:
AB =
2 1
5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2
5 3
x y
x y
+⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
W
Catatan:
1. Definisi perkalian matriks A dan B menyaratkan bahwa banyaknya
kolom matrik A harus sama dengan banyaknya baris matriks B, untuk
mendapatkan matriks AB.
Am × r
Br × n
= ABm × n
Jika syarat tersebut tidak dipenuhi, maka operasi perkalian tersebut
tidak terdefinisi.
2. Tidak seperti perkalian pada bilangan real yang berlaku sifat
komutatif, perkalian matriks tidak bersifat komutatif, yaitu untuk
sebarang matriks A dan B, AB tidak selalu sama dengan BA. Terdapat
tiga kemungkinan matriks AB tidak sama dengan matriks BA.
Ø Kemungkinan I. Matriks AB terdefinisi, sedangkan matriks BA
tidak terdefinisi, sebagai contoh jika matriks A berukuran 3 × 2
dan B berukuran 2 × 4, maka matriks AB berukuran 3 × 4 sedangkan
matriks BA tidak terdefinisi.
Ø Kemungkinan II. Matriks AB dan matriks BA terdefinisi, tetapi
mempunyai ukuran (ordo) yang berbeda, sebagai contoh jika
matriks A berukuran 3 × 2 dan B berukuran 2 × 3, maka matriks AB
berukuran 3 × 3 sedangkan matriks BA berukuran 2 × 2.
Ø Kemungkinan III. Matriks AB dan matriks BA terdefinisi dan
mempunyai ukuran (ordo) yang sama, tetapi elemen-elemen dari
matriks AB dan BA berbeda. Berikut ini sebuah contoh yang
menggambarkan hal ini.
Diberikan matriks A dan B:
A =
1 0
2 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dengan mengalikan kedua matriks tersebut, diperoleh:
AB =
1 2
11 4
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan BA =
3 6
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Jadi, AB ≠ BA.

Berikut ini diberikan sifat-sifat perkalian dua buah matriks.
Teorema 2.3
Dengan menganggap bahwa operasi-operasi perkalian berikut terdefinisi,
maka aturan-aturan perkalian matriks berikut berlaku.
a. k(AB) = (kA)B (k sebarang skalar)
b. A(BC) = (AB)C (sifat asosiatif terhadap perkalian)
c. A(B+ C) = AB + AC (sifat distributif kanan)
d. (B + C)A = BA + CA (sifat distributif kiri)
e. AI = IA = A (I matriks identitas)
f. AO=OA = O (O matriks nol)
Para siswa diharapkan mencoba membuktikan beberapa sifat di atas
dengan memberikan contoh beberapa matriks yang berbeda-beda.
1. Diketahui matriks:
A =
2 3 1
4 1 2
3 2 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 0 4
2 5 5
4 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Tentukan:
a. baris pertama matriks AB e. kolom kedua matriks AB
b. baris pertama matriks BA f. kolom kedua matriks BA
c. baris ketiga matriks AB g. baris ketiga matriks AA
d. baris ketiga matriks BA h. kolom ketiga matriks BB
A =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, B =
2 1
5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, C =
6 4 0
1 2 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
D =
2 0 5
1 3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, E =
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, F =
3 5
1 2
0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Tentukan matriks-matriks berikut jika mungkin dan berikan penjelasan jika tidak
mungkin.
a. AB e. A2
b. BA f. CD
c. AC g. EF
d. CA h. FE
Latihan 2.5.3

BAB II ~ Matriks 55
i. A(BC) m. 5(AB)
j. (AB)C n. (5A)B
k. (A+B)C o. A(D+ E)
l. AC + BC p. AD +AE
A =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, I =
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, O =
0 0
0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. AI c. AO
b. IA d. OA
4. Carilah matriks A, B, dan C sedemikian hingga persamaan matriks berikut benar.
a. 3
2 1
5 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ A =
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b. 2
1 0 7
2 3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
– 3B =
2 0 5
1 3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
c. 5C + 3
3 5
1 2
0 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
2 5
4 3
6 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 3 1
4 1 2
3 2 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, B =
x
y
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan C =
1
2
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan matriks AB.
b. Jika AB = C, nyatakan persamaan matriks tersebut sebagai sistem persamaan linear.
6. Nyatakan sistem persamaan linear berikut sebagai persamaan matriks.
a.
2 3 8
5 10
x y
x y
+ =⎧
⎨
− =⎩
b.
5 2
2 5 6
x y
x y
+ = −⎧
⎨
− =⎩
c.
2 3 5
2 5 8
3 4 5 10
x y z
x y z
x y z
+ − =⎧
⎪
− + =⎨
⎪ + − =⎩

A =
5 12
8 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Perlihatkan bahwa:
a. (AB)t
= Bt
At
b. (BA)t
= At
Bt
8. Buktikan bahwa jika B merupakan matriks simetrik (Bt
= B), maka BBt
juga merupakan
matriks simetrik.
2.5.4 Perpangkatan Matriks
Seperti halnya di dalam operasi bilangan, di dalam matriks pun kita juga
mengenal operasi perpangkatan. Karena perpangkatan merupakan operasi
perkalian yang diulang-ulang, maka untuk melakukan perpangkatan syarat
yang ada di dalam perkalian matriks harus dipenuhi pada operasi perpangkatan,
yaitu banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris
matriks kedua. Di dalam perpangkatan, matriks pertama sama dengan matriks
kedua, sehingga untuk melakukan perpangkatan harus dipenuhi bahwa
banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Ini berarti, untuk melakukan
operasi perpangkatan, matriknya harus merupakan matriks persegi.
Untuk matriks persegi A, perpangkatan matriks A didefinisikan sebagai
berikut:
faktor
n
n
A AAA A= L14243
Untuk n = 0, didefinisikan A0
= I, dengan I adalah matriks identitas.
Contoh 2.5.9
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
a. Tentukan A2
.
b. Jika f(x) = 3x2
+ 5x – 2, tentukan f(A).
Penyelesaian:
a. A2
= AA
=
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎛ ⎞
⎜ ⎟⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎝ ⎠
1 1 2 3 1 2 2 0
3 1 0 3 3 2 0 0
=
7 2
3 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

BAB II ~ Matriks 57
b. f(A) = 3A2
+ 5A – 2I
= 3
7 2
3 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 5
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
– 2
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
21 6
9 18
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
5 10
15 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
–
2 0
0 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
24 16
24 16
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
W
Catatan:
Dalam hal ini digunakan aturan bahwa jika f(x) = ax2
+ bx + c, dengan a,b,c
bilangan real, maka untuk sebarang matriks persegi A berlaku:
f(A) = aA2
+ bA2
+ cI,
dengan I matriks identitas dengan ordo sama dengan ordo dari A.
A =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hitunglah:
a. A2
b. A3
c. A2
+ 2A + I
B =
2 3 1
1 1 2
3 2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hitunglah:
a. B2
c. f(B), jika f(x) = x2
+ 2x + 3
b. B3
d. g(B), jika g(x) = x3
– x2
+ x – 1
3. Jika diketahui:
A =
2 3
0 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
tentukan nilai m dan n sedemikian hingga berlaku A2
= mA + nI.
Latihan 2.5.4

4. Buktikan bahwa jika
B =
1 3
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan n sebarang bilangan nonnegatif, maka berlaku Bn
=
1 3
0 1
n⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
5. Jika A merupakan matriks persegi dan n bilangan bulat nonnegatif, apakah benar bahwa
(An
)t
= (At
)n
? Apakah pernyataan tersebut juga benar untuk matriks A yang bukan matriks
persegi?
2.6 Determinan Matriks
Kita semua sudah cukup mengenal fungsi f(x) = x + 2, g(x) = x2
– 5x + 6, dan lain-
lain, yaitu suatu fungsi yang mengawankan bilangan real x dengan bilangan real f(x).
Fungsi demikian disebut fungsi bernilai real dari sebuah variabel real. Di dalam subbab
ini, kita akan mengkaji fungsi bernilai real dari sebuah variabel matriks. Ini berarti
bahwa daerah asal (domain) fungsinya adalah himpunan semua matriks persegi dan
daerah kawan (kodomain) fungsinya adalah himpunan bilangan real. Fungsi ini
selanjutnya akan disebut determinan.
Berikut ini diberikan definisi determinan matriks persegi ordo 2 × 2.
Definisi 2.6
Jika A merupakan matriks persegi ordo 2 × 2, misalkan:
A=
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka yang dimaksud dengan determinan dari A adalah bilangan real yang
didefinisikan dengan det(A) = ad – bc.
Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 2 × 2, perhatikan
bentuk berikut.
Rumus determinan matriks A, det(A) diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen pada
panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada
panah yang mengarah ke kiri.
Determinan matriks A sering dituliskan dengan det(A) atau |A|. Jika det(A) = 0,
maka matriks A disebut matriks singular, dan jika det(A) ≠ 0, maka matriks A disebut
matriks nonsingular.
Untuk memahami definisi determinan, berikut ini diberikan beberapa contoh
menghitung nilai determinan suatu matriks.
a b
c d
(-) (+)

BAB II ~ Matriks 59
Contoh 2.6.1
Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut.
a. A=
3 1
4 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b. B =
1 2
4 3
k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
c. C =
7 5
0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Penyelesaian:
a. det(A) = (3) ⋅ (–2) – (1) ⋅ (4) = –6 – 4 = –10.
b. det(B) = (k – 1)(k – 3) – (2)(4) = k2
– 4k + 3 – 8 = k2
– 4k – 5.
c. det(C) = (7)(0) – (5)(0) = 0 – 0 = 0.
W
Contoh 2.6.2
Tentukan semua nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika A =
1 2
1 4
k
k
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
Penyelesaian:
det(A) = 0 ⇔ (k – 1)(k – 4) – (–2)(1) = 0
⇔ k2
– 5k + 4 + 2 = 0
⇔ k2
– 5k + 6 = 0
⇔ (k – 3)(k – 2) = 0
⇔ k – 3 = 0 atau k – 2 = 0
⇔ k = 3 atau k = 2
W
Sekarang kita berikan definisi determinan matriks persegi berordo 3 × 3.
Definisi 2.7
Jika A merupakan matriks persegi ordo 3 × 3, misalkan:
A=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka yang dimaksud dengan determinan dari A, ditulis dengan det(A), adalah
bilangan real yang didefinisikan dengan:
det(A) = a11
⋅a22
⋅a33
+ a12
⋅a23
⋅a31
+ a13
⋅a21
⋅a32
- a13
⋅a22
⋅a31
- a11
⋅a23
⋅a32
- a12
⋅a21
⋅a33
.

Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 3 × 3, perhatikan
bentuk berikut.
Langkah pertama kita menyalin kolom pertama dan kolom kedua, dan diletakkan pada
sisi sebelah kanan dari matriks seperti tampak pada gambar di atas. Langkah kedua
menjumlahkan hasil kali elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kanan dan
mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada panah-panah yang mengarah ke kiri.
Hasil tersebut adalah determinan yang dimaksud.
Contoh 2.6.3
Tentukan determinan matriks-matriks berikut.
a. A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b. B =
1 0 3
4 0 5
3 0 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Penyelesaian:
a. det(A) =
1 2 3 1 2
4 5 6 4 5
7 8 9 7 8
− −
− −
= (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(–4)(–8) – (3)(5)(7) – (1)(6)(–8) – (2)(–4)(9)
= 45 + 84 + 96 – 105 + 48 + 72
= 240
b. det(B) =
1 0 3 1 0
4 0 5 4 0
3 0 9 3 0
= (1)(0)(9) + (0)(5)(3) + (3)(4)(0) – (3)(0)(3) – (1)(5)(0) – (0)(4)(9)
= 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0
= 0
W
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
(-) (-) (-) (+) (+) (+)

BAB II ~ Matriks 61
1. Hitunglah determinan dari matriks-matriks ordo 2 × 2 berikut ini.
a. A=
1 2
1 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d. D =
1 2
4 3
k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b. B =
6 2
3 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
e. E =
2 4
6 5
k
k
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− +⎝ ⎠
c. C =
5 10
3 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2. Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika:
A =
3 2
8 5
k
k
+ −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A =
1 2
4 3
k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
4. Hitunglah determinan matriks ordo 3 × 3 berikut ini.
a. A=
1 3 1
2 2 1
4 0 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
c. C =
4 0 1
2 2 1
3 4 5
k
k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b. B =
1 8 6
4 0 1
2 0 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A=
6 0 0
0 1
0 4 2
k
k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
6. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris yang elemen-elemennya
bilangan nol, maka det(A) = 0.
7. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 3 × 3 mempunyai kolom yang elemen-elemennya
bilangan nol, maka det(A) = 0.
8. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris kedua yang elemen-
elemennya dua kali baris pertama, maka det(A) = 0.
9. Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa det(A) = det(At
).
10. Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2, maka
det(kA)=k2
det(A).
Latihan 2.6

2.7 Invers Matriks
Dalam teori bilangan, kita mengenal bahwa kebalikan (invers) bilangan 2
terhadap perkalian yaitu bilangan
1
2
, sebab (2)
1
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1. Demikian juga kebalikan (invers)
bilangan
3
5
adalah
5
3
sebab
3
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 1. Sekarang kita akan memperhatikan invers
dari suatu matriks persegi.
Definisi 2.8
Matriks A disebut invers matriks B, jika berlaku AB = BA = I, dengan I merupakan
matriks identitas.
Catatan:
1. Invers matriks B dituliskan dengan B-1
.
2. Jika A merupakan invers matriks B, maka dituliskan bahwa B-1
= A.
3. Jika A invers matriks B, maka B juga merupakan invers matriks A.
4. Pembahasan invers matriks hanya dibatasi pada matriks persegi, tidak ada
definisi invers matriks yang tidak persegi.
Contoh 2.7.1
Jika diketahui:
A =
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
tunjukkan bahwa A merupakan invers matriks B.
Penyelesaian:
Akan ditunjukkan bahwa AB = BA = I.
Perhatikan bahwa:
AB =
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
6 5 3 3
10 10 5 6
− − +⎛ ⎞
⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
=
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

BAB II ~ Matriks 63
dan
BA =
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
6 5 2 2
15 15 5 6
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
=
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jadi, terbukti bahwa AB = BA = I. Ini berarti bahwa A merupakan invers matriks B dan
sebaliknya B merupakan invers matriks A.
W
Pertanyaan berikutnya, bagaimana menentukan invers suatu matriks persegi?
Berikut ini diberikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan invers suatu
matriks berordo 2 × 2.
Teorema 2.4
Jika A =
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka A-1
=
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
, asalkan ad – bc ≠ 0.
B u k t i:
Akan ditunjukkan bahwa AA-1
= A-1
A = I.
Perhatikan bahwa:
AA-1
=
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
=
1
ad bc−
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d b
c a
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
1
ad bc−
ad bc ab ba
cd dc bc da
− − +⎛ ⎞
⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
=
1
ad bc−
0
0
ad bc
ad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

dan
A-1
A =
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
ad bc−
da bc db bd
ca ac cb ad
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
=
1
ad bc−
0
0
ad bc
ad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Karena AA-1
= A-1
A = I, maka terbuktilah bahwa A-1
merupakan invers dari
matriks A.
W
Catatan:
1. Ingat kembali bahwa bilangan “ad – bc “ adalah determinan matriks A, atau
det(A) = ad –bc, jika A =
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
2. Dari Teorema 2.4, jika A merupakan matriks nonsingular atau det(A) ≠ 0,
maka invers matriks A ada, tetapi jika matriks A merupakan matriks singular
atau det(A) = 0, maka invers matriks A tidak ada.
Contoh 2.7.2
Tentukan invers matriks-matriks berikut (jika ada).
a. A=
5 2
7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b. B =
3 1
6 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
c. C =
cos sin
sin cos
α α
α α
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠

BAB II ~ Matriks 65
Penyelesaian:
a. Karena det(A) = (5)(3) – (2)(7) = 15 – 14 = 1 ≠ 0, maka invers matriks A ada.
Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:
A-1
=
3 21
7 515 14
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
=
3 2
7 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b. Karena det(B) = (3)(–2) – (–1)(6) = –6 + 6 = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers.
c. Karena untuk sebarang sudut α, berlaku det(C) = cos2
α + sin2
α = 1 ≠ 0, maka invers
matriks C ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:
C-1
= 2 2
cos sin1
sin coscos sin
α α
α αα α
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠
=
cos sin
sin cos
α α
α α
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
W
Contoh 2.7.3
Tentukan matriks A dan matriks B yang memenuhi persamaan matriks berikut.
a.
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
b. B
5 2
7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 3
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Penyelesaian:
a. Perhatikan persamaan matriks:
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
(i)
Jika dimisalkan P =
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka P-1
=
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
Akibatnya, jika persamaan (i) dikalikan dari kiri dengan P-1
, maka diperoleh:
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⇔
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =
8 7
22 19
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⇔ A =
8 7
22 19
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
b. Perhatikan persamaan matriks:
B
5 2
7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 3
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(ii)

Jika dimisalkan Q =
5 2
7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka Q-1
=
3 2
7 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
Akibatnya, jika persamaan (ii) dikalikan dari kanan dengan Q-1
, maka diperoleh:
B
5 2
7 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 2
7 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
2 3
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 2
7 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔ B
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
15 11
22 16
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇔ B =
15 11
22 16
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
W
Teorema 2.5
Jika matriks A dan B mempunyai invers, maka matriks AB juga mempunyai
invers dan
(AB)-1
= B-1
A-1
B u k t i:
Harus ditunjukkan bahwa (AB)( B-1
A-1
) = (B-1
A-1
)(AB) = I.
Perhatikan bahwa:
(AB)( B-1
A-1
) = A(BB-1
)A-1
= AIA-1
= AA-1
= I
dan
( B-1
A-1
)(AB) = B-1
(A-1
A)B= B-1
IB= B-1
B= I
Jadi, terbukti bahwa (AB)-1
= B-1
A-1
.
W
Contoh 2.7.4
Jika diketahui:
A =
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
,
tentukan:
a. matriks AB
b. invers matriks AB atau (AB)-1
c. matriks A-1
d. matriks B-1
e. matriks A-1
B-1
f. matriks B-1
A-1
Penyelesaian:
a. AB =
3 1
5 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
=
2 3
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

BAB II ~ Matriks 67
b. (AB)-1
=
4 31
2 28 6
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
=
3
2
2
1 1
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
c. A-1
=
2 11
5 36 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
=
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
d. B-1
=
3 21
4 26 8
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
− + ⎝ ⎠
=
3
1
2
2 1
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
e. A-1
B-1
=
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
3
1
2
2 1
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
5 3
27
8
2
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
f. B-1
A-1
=
3
1
2
2 1
⎛ ⎞− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
5 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
3
2
2
1 1
Dari contoh ini tampak bahwa (AB)-1
= B-1
A-1
dan (AB)-1
≠ A-1
B-1
.
W
1. Carilah invers dari matriks-matriks berikut (jika ada).
a. A=
3 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
d. D =
2 3
1 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
b. B =
5 4
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
e. E =
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
2 2
1
1
3
c. C =
1 3
2 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
f. F =
cos sin
sin cos
x x
x x
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2. Tentukan nilai k sedemikian hingga matriks-matriks berikut punya invers.
a. A = 2
2 2
1
k
k k
⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
c. C =
2
3 2
2
k k
k k
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b. B =
1 5
1 3
k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
(Ingat bahwa suatu matriks punya invers, jika determinannya tidak sama dengan nol).
Latihan 2.7

A =
2 1
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 5
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
a. A-1
i. At
b. B-1
j. (At
)-1
c. AB k. (A-1
)t
d. (AB)-1
l. 2A
e. A-1
B-1
m. (2A)-1
f. B-1
A-1
n. (A + B)
g. A-1
A o. (A + B)-1
h. AA-1
p. A-1
+ B-1
4. Dengan menggunakan hasil-hasil dari No. 3, jawablah pertanyaan berikut ini.
a. Apakah (AB)-1
= A-1
B-1
?
b. Apakah (AB)-1
= B-1
A-1
?
c. Apakah A-1
A = AA-1
= I?
d. Apakah (At
)-1
= (A-1
)t
?
e. Apakah (2A)-1
= 2A-1
?
f. Apakah (A + B)-1
= A-1
+ B-1
?
5. Tentukan matriks X sedemikian hingga persamaan-persamaan matriks berikut benar.
a.
2 1
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
X =
2
5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
c.
5 4
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
X =
1 3
2 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b. X
3 5
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= ( )1 3− d. X
3 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2 3
1 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
6. a. Apakah matriks nol (O) berordo 2 × 2 mempunyai invers?
b. Apakah matriks identitas (I) berordo 2 × 2 mempunyai invers? Jika ya, tentukan
inversnya.
7. Diketahui:
A =
5 3
6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
5 4
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
a. A-1
f.
1
3
A-1
b. (A-1
)-1
g. (A+B)
c. 3A h. (A+ B)(A+B)
d. (3A)-1
i. AA + 2AB + BB
e. 3 A-1
j. AA + AB + BA + BB

BAB II ~ Matriks 69
8. Diketahui:
A =
2 1
3 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A mempunyai invers.
b. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A tidak mempunyai invers.
9. Tunjukkan bahwa jika B dan C merupakan invers dari matriks A, maka B = C.
10. Tunjukkan bahwa jika AB = BA, maka (A + B)2
= A2
+ 2AB + B2
, dengan A2
= AA.
2.8 Aplikasi Invers Matriks pada Sistem Persamaan Linear
Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Di dalam subbab ini akan dibahas aplikasi invers matriks pada penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabel.
Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabel
berikut ini.
ax + by = e
bx + dy = f.
Kita dapat menyatakan sistem persamaan linear ini dengan persamaan matriks sebagai
berikut.
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
e
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(*)
Misalkan:
A =
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, X =
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan B =
e
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika det(A) = ad – bc ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers dan inversnya adalah:
A-1
=
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
Jika persamaan matriks (*) dikalikan A-1
dari kiri, maka diperoleh:
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
a b
c d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
e
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
e
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 d b
c aad bc
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
e
f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jadi, jika det(A) ≠ 0, maka sistem persamaan linear di atas mempunyai penyelesaian.

Catatan:
1. Jika kedua persamaan dari sistem persamaan linear di atas masing-masing
digambarkan pada sistem koordinat, maka grafiknya berupa garis lurus.
2. Jika dari sistem persamaan linear tersebut diketahui ad – bc ≠ 0, maka grafik
garis lurusnya akan berpotongan tepat pada satu titik. Ini berarti, sistem
persamaan linear tersebut mempunyai tepat satu penyelesaian.
Bagaimana jika diketahui ad – bc = 0? Berikan beberapa contoh untuk kasus ini dan
gambarkan masing-masing pada sistem koordinat. (Perhatikan: Jika grafik dari kedua
persamaan tersebut berimpit, berarti sistem persamaan linear tersebut mempunyai
penyelesaian yang banyaknya tak hingga, sedangkan jika grafik dari kedua persamaan
linear tersebut saling sejajar, maka sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai
penyelesaian).
Berikut ini diberikan contoh cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan
menggunakan invers matriks.
Contoh 2.8.1
Dengan menggunakan invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear berikut.
3 2 8
4 3 15
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa sistem persamaan linear:
3 2 8
4 3 15
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
3 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
8
15
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika matriks A =
3 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka det (A) = (3)(3) – (2)(4) = 9 – 8 = 1. Akibatnya, matriks A
mempunyai invers dengan:
Tugas Kelompok

BAB II ~ Matriks 71
A-1
=
3 2
4 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Jika persamaan matriks di atas dikalikan A-1
dari kiri, maka akan diperoleh:
3 2
4 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
3 2
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
3 2
4 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
8
15
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
24 30
32 45
−⎛ ⎞
⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇔
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
6
13
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ x = –6 dan y = 13
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {(–6,13)}.
W
Contoh 2.8.2
Diketahui sistem persamaan linear:
5 3
6 4
x y k
x y m
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Nyatakan penyelesaian untuk x dan y dalam k dan m.
Penyelesaian:
Sistem persamaan linear di atas dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks
sebagai berikut.
5 3
6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
k
m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika A =
5 3
6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka A-1
=
1
20 18−
4 3
6 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
=
1
2
4 3
6 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
Jika persamaan matriks di atas dikalikan A-1
dari kiri, maka diperoleh:
1
2
4 3
6 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
5 3
6 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
2
4 3
6 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
k
m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
2
4 3
6 5
k m
k m
−⎛ ⎞
⎜ ⎟− +⎝ ⎠
⇔
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1
2
4 3
6 5
k m
k m
−⎛ ⎞
⎜ ⎟− +⎝ ⎠
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:
x =
1
2
(4k – 3m) dan y =
1
2
(–6k + 5m)

1. Dengan menggunakan invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
a.
3 2 5
2
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
d.
5 6 15
2 3 6
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
b.
2 4 1
2 3 2
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ = −⎩
e.
2 3 0
1 0
x y
x y
+ + =⎧
⎨
− − =⎩
c.
2 4
5 2
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
f.
4 5 15 0
3 8 0
x y
x y
+ − =⎧
⎨
+ + =⎩
2. a. Jika AX = B, dengan:
A =
5 9
2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, X =
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan B =
4
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
tentukan nilai-nilai dari x dan y.
b. Jika AX = B, dengan:
A =
5 3
2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, X =
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan B =
1
2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
tentukan nilai-nilai dari x dan y.
3. Dengan menggunakan invers matriks, selesaikan sistem persamaan linear berikut.
3 2 8
6 4 16
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
a. Apakah sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan invers matriks?
b. Gambarkan masing-masing persamaan linear di atas dalam sistem koordinat
Cartesius?
c. Diskusikan dengan teman Anda, apakah sistem persamaan linear tersebut
mempunyai penyelesaian? Jika ada, sebutkan penyelesaiannya.
4. Dengan menggunakan invers matriks, selesaikan sistem persamaan linear berikut.
2 3
2 4 5
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
a. Apakah sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan invers matriks?
b. Gambarkan masing-masing persamaan linear di atas dalam sistem koordinat
Cartesius?
c. Diskusikan dengan teman Anda, apakah sistem persamaan linear tersebut
mempunyai penyelesaian? Jika ada, sebutkan penyelesaiannya.
Latihan 2.8

BAB II ~ Matriks 73
5. Dari sistem persamaan linear berikut ini, tentukan mana sistem persamaan linear yang
mempunyai tepat satu penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian, dan mempunyai
penyelesaian yang banyaknya tak hingga.
a.
2 3
2 4
x y
x y
+ =⎧
⎨
− =⎩
b.
3
3 3 9
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
c.
4
5 5 15
x y
x y
− =⎧
⎨
− =⎩
2.9 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Determinan
Di dalam Buku Matematika Kelas X telah dibahas penyelesaian sistem persamaan
linear dua variabel dan tiga variabel dengan menggunakan cara eliminasi. Pada subbab
ini akan dibahas penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel
dengan cara determinan.
2.9.1 Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Sebelum kita menggunakan cara determinan, sebagai penyegaran kita
ingat sekilas penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
menggunakan cara eliminasi. Untuk ini perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.9.1
Dengan menggunakan cara eliminasi, selesaikan sistem persamaan linear berikut.
3 2 8
4 3 15
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Penyelesaian:
Dari sistem persamaan linear di atas, diperoleh:
3x + 2y = 8 | × 3 | ⇒ 9x + 6y = 24
4x + 3y = 15 | × 2 | ⇒ 8x + 6y = 30 _
x = –6
Dari x = –6 dan 3x + 2y = 8, diperoleh:
(3)(–6) + 2y = 8 ⇔ 2y = 8 + 18
⇔ 2y = 26
⇔ y = 13
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah x = –6 dan y = 13.
W

Sekarang perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua
variabel berikut.
ax by k
cx dy m
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Dengan menggunakan cara eliminasi, diperoleh sebagai berikut.
ax + by = k | × c | ⇒ acx+bcy=kc
cx + dy = m | × a | ⇒ acx +ady = ma _
(bc–ad)y=kc–ma
Jika bc – ad ≠ 0, maka diperoleh:
y =
kc ma am ck
bc ad ad bc
− −
=
− −
dan
ax + by = k | × d | ⇒ adx+bdy=kd
cx+dy=m | × b | ⇒ bcx+bdy=bm _
(ad–bc)x=kd–bm
x =
kd bm
ad bc
−
−
Jadi, penyelesaian bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel
adalah:
x =
kd bm
ad bc
−
−
dan y =
am ck
ad bc
−
−
Sekarang akan dibahas cara penyelesaian untuk sistem persamaan linear
dua variabel dengan cara determinan. Perhatikan lagi bentuk umum sistem
persamaan linear dengan dua variabel berikut.
ax by k
cx dy m
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Jika dimisalkan:
Δ =
a b
c d
= ad – bc, Δx
=
k b
m d
= kd – bm, dan Δy
=
a k
c m
= am – ck
maka penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:
x =
kd bm
ad bc
−
−
=
xΔ
Δ
dan y =
am ck
ad bc
−
−
=
yΔ
Δ
Cara penyelesaian yang terakhir ini yang disebut dengan penyelesaian cara
determinan.

BAB II ~ Matriks 75
Contoh 2.9.2
Dengan menggunakan cara determinan, tentukan penyelesaian sistem
6 7 9
3 4 6
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Penyelesaian:
Kita hitung lebih dahulu:
Δ =
6 7
3 4
= 24 – 21 = 3
Δx
=
9 7
6 4
= 36 – 42 = –6
Δy
=
6 9
3 6
= 36 – 27 = 9
sehingga:
x =
xΔ
Δ
= –2 dan y =
yΔ
Δ
= 3
W
Catatan:
1. Jika pada sistem persamaan linear di atas didapat Δ ≠ 0, maka sistem
persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian dan
penyelesaiannya tunggal.
2. Jika pada sistem persamaan linear di atas didapat Δ = 0, maka terdapat
dua kemungkinan, kemungkinan pertama sistem persamaan linear
tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan kemungkinan kedua
mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak hingga.
1. Berikan penjelasan lebih detail untuk sistem persamaan linear AX = b, dengan
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
x
X
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
k
b
m
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, dan det(A) = 0, dengan pendekatan aljabar dan
pendekatan geometri.
2. Berikan beberapa kemungkinan penyelesaian untuk soal No. 1.
Tugas Mandiri

Untuk memberikan penjelasan catatan kedua, perhatikan contoh berikut
ini.
Contoh 2.9.3
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut (jika
ada).
a.
2 3 1
4 6 2
x y
x y
+ = −⎧
⎨
+ = −⎩
b.
4 6 10
2 3 6
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Penyelesaian:
a. Semua pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan 2x + 3y = –1
pasti juga memenuhi persamaan 4x + 6y = –2. Ini berarti bahwa himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah:
HP = {(x,y) | 2x + 3y = -1}.
Karena banyaknya pasangan (x,y) yang memenuhi persamaan tersebut
banyaknya tak hingga, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang
banyaknya tak hingga. Perhatikan bahwa untuk sistem persamaan linear
ini diperoleh Δ = (2)(6) – (3)(4) = 12 – 12 = 0.
b. Jika persamaan 4x + 6y = 10 dibagi dua, maka diperoleh 2x + 3y = 5. Pasangan
(x,y) yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 5 dan sekaligus persamaan
2x + 3y = 6 tidak ada. Ini berarti, sistem persamaan linear tersebut tidak
mempunyai penyelesaian. Perhatikan bahwa untuk sistem persamaan linear
ini diperoleh Δ = (4)(3) – (6)(2) = 12 – 12 = 0.
W
Di dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai suatu persoalan yang
model matematikanya berupa sistem persamaan linear. Berikut sebuah contoh
tentang hal ini.
Contoh 2.9.4
Seorang siswa ingin membeli kue dan es krim. Jika ia membeli 3 kue dan 3 es
krim, maka ia harus membayar Rp7.500,00, sedangkan jika ia membeli 2 kue
dan 4 es krim, maka ia harus membayar Rp8.000,00. Berapakah harga sebuah
kue dan sebuah es krim?
Penyelesaian:
Misalkan: harga sebuah kue adalah x rupiah
harga sebuah es krim adalah y rupiah
Dari informasi yang diberikan dalam soal di atas, diperoleh model matematika:
3x + 3y = 7.500
2x + 4y = 8.000
sehingga:
Δ =
3 3
2 4
= 12 – 6 = 6

BAB II ~ Matriks 77
Δx
=
7.500 3
8.000 4
= 30.000 – 24.000 = 6.000
Δy
=
3 7.500
2 8.000
= 24.000– 15.000 = 9.000
Akibatnya,
x =
xΔ
Δ
= 1.000 dan y =
yΔ
Δ
= 1.500
Jadi, harga sebuah kue adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah es krim adalah
Rp1.500,00.
W
2.9.2 Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
Kita ingat kembali definisi determinan matriks persegi ordo 3 × 3,
jika
A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka determinan dari A adalah bilangan real yang didefinisikan dengan
det(A) = a11
⋅a22
⋅a33
+ a12
⋅a23
⋅a31
+ a13
⋅a21
⋅a32
- a13
⋅a22
⋅a31
- a11
⋅a23
⋅a32
- a12
⋅a21
⋅a33
.
Untuk mengingat rumus determinan matriks ordo 3 × 3 ini, kita
perhatikan bentuk berikut.
Dengan menggunakan rumus determinan matriks ordo 3 × 3, kita
akan menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan
tiga variabel. Bentuk umum dari sistem persamaan linear ini adalah:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a x a y a z p
a x a y a z q
a x a y a z r
+ + =⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ + + =⎩
Jika dimisalkan:
Δ =
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
(–) (–) (–) (+) (+) (+)

Δx
=
12 13 12
22 23 22
32 33 32
p a a p a
q a a q a
r a a r a
Δy
=
11 13 11
21 23 21
31 33 31
a p a a p
a q a a q
a r a a r
Δz
=
11 12 11 12
21 22 21 22
31 32 31 32
a a p a a
a a q a a
a a r a a
maka penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan
tiga variabel di atas adalah:
x =
xΔ
Δ
, y =
yΔ
Δ
, dan z =
xΔ
Δ
Cara penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara di atas disebut
penyelesaian cara determinan atau sering disebut juga cara aturan
Cramer.
Contoh 2.9.5
Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan
linear berikut.
2 2 1
3 4
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + = −⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ + + =⎩
Penyelesaian:
Kita hitung lebih dahulu:
Δ =
1 2 2 1 2
1 3 1 1 3
1 3 2 1 3
= 6 + 2 + 6 – 6 – 3 – 4 = 1
Δx
=
1 2 2 1 2
4 3 1 4 3
3 3 2 3 3
− −
= –6 + 6 + 24 – 18 + 3 – 16 = –7
Δy
=
1 1 2 1 1
1 4 1 1 4
1 3 2 1 3
− −
= 8 – 1 + 6 – 8 –3 + 2 = 4

BAB II ~ Matriks 79
Δz
=
1 2 1 1 2
1 3 4 1 3
1 3 3 1 3
−
= 9 + 8 – 3 + 3 – 12 – 6 = –1
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah:
x =
xΔ
Δ
= –7, y =
yΔ
Δ
= 4, dan z =
xΔ
Δ
= 1
W
Contoh 2.9.6
Seorang anak ingin membeli buah jeruk, apel, dan mangga. Jika dia
membeli 2 jeruk, 3 apel, dan 1 mangga, maka dia harus membayar
Rp8.500,00. Jika dia membeli 1 jeruk, 4 apel, dan 2 mangga, maka dia harus
membayar Rp11.000,00, sedangkan jika dia membeli 3 jeruk, 2 apel, dan 2
mangga, maka dia harus membayar Rp10.000,00.
a. Buatlah model matematika untuk persoalan di atas dalam bentuk
sistem persamaan linear.
b. Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan
linear yang telah diperoleh.
c. Berapakah harga 1 buah jeruk, 1 buah apel, dan 1 buah mangga?
Penyelesaian:
a. Misalkan: harga satu buah jeruk adalah x rupiah,
harga satu buah apel adalah y rupiah, dan
harga satu buah mangga adalah z rupiah.
Dari informasi pada soal di atas, diperoleh model matematika yang
berupa sistem persamaan linear dengan tiga variabel dan tiga
persamaan, sebagai berikut.
2x + 3y + z = 8.500
x + 4y + 2z = 11.000
3x + 2y + 2z = 10.000
b. Dengan menggunakan cara determinan, sistem persamaan linear ini
dapat diselesaikan sebagai berikut.
Dari sistem persamaan linear yang diperoleh, diketahui:
Δ =
2 3 1 2 3
1 4 2 1 4
3 2 2 3 2
= 16 +18 + 2 – 12 – 8 – 6
= 10
Δx
=
8.500 3 1 8.500 3
11.000 4 2 11.000 4
10.000 2 2 10.000 2
= 68.000 + 60.000 + 22.000 – 40.000 – 34.000 – 66.000
= 10.000

Δy
=
2 8.500 1 2 8.500
1 11.000 2 1 11.000
3 10.000 2 3 10.000
= 44.000 + 51.000 + 10.000 – 33.000 – 40.000 – 17.000
= 15.000
Δz
=
2 3 8.500 2 3
1 4 11.000 1 4
3 2 10.000 3 2
= 80.000 + 99.000 + 17.000 – 102.000 – 44.000 – 30.000
= 20.000
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas, adalah:
x =
xΔ
Δ
= 1.000, y =
yΔ
Δ
= 1.500, dan z =
xΔ
Δ
= 2.000
c. Jadi, harga satu buah jeruk adalah Rp1.000,00,
harga satu buah apel adalah Rp1.500,00, dan
harga satu buah mangga adalah Rp2.000,00.
W
1. Dengan menggunakan cara determinan, tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
berikut.
a.
2 3
3 1
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
d.
5 3 18
2 3 9
x y
x y
+ =⎧
⎨
− − =⎩
b.
2 4 1
3 2
x y
x y
− = −⎧
⎨
+ = −⎩
e.
3 2 14 0
2 7 0
x y
x y
+ + =⎧
⎨
− − =⎩
c.
2 6
2 6 10
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
f.
4 5 12 0
3 5 8 0
x y
x y
+ − =⎧
⎨
+ + =⎩
2. Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear berikut.
a.
2 3
1
3 2
x y
yx
− =⎧
⎪
⎨
+ =⎪⎩
b.
8
4 3
3
2 5
yx
yx
⎧
− =⎪⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩
Latihan 2.9

BAB II ~ Matriks 81
c.
6 0
3 5
3 0
4 5
yx
yx
⎧
− − =⎪⎪
⎨
⎪ + − =
⎪⎩
e.
21
2 0
3 5
13
1 0
2 5
yx
yx
+−⎧ + + =⎪⎪
⎨
−+⎪ + + =
⎪⎩
d.
1 0
2 9
2 0
2 3
yx
yx
⎧
+ + =⎪⎪
⎨
⎪ + + =
⎪⎩
f.
21
1 0
3 4
22
1 0
2 2
yx
yx
−+⎧
+ + =⎪⎪
⎨
−−⎪ + − =
⎪⎩
3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut (jika mungkin) dan
berikan penjelasan jika tidak mungkin.
a.
2 3
3 6 9
x y
x y
+ =⎧
⎨
+ =⎩
b.
2 1
4 2 0
x y
x y
− = −⎧
⎨
− =⎩
.
4. Jumlah dua buah bilangan adalah 37, sedangkan selisih dua buah bilangan tersebut
adalah 13.
a. Buatlah model matematika untuk persoalan ini dalam bentuk sistem persamaan
linear.
b. Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear yang
telah diperoleh.
c. Berapakah bilangan-bilangan tersebut?
5. Seorang pemborong bangunan mempekerjakan beberapa tukang batu dan beberapa
tukang kayu. Jika dia mempekerjakan 3 tukang batu dan 2 tukang kayu, maka dia harus
membayar Rp135.000,00 setiap hari, sedangkan jika dia mempekerjakan 4 tukang batu
dan 3 tukang kayu, maka dia harus membayar Rp190.000,00.
linear.
telah diperoleh.
c. Berapakah upah tukang batu dan tukang kayu setiap hari?
6. Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear dengan tiga
variabel dan tiga persamaan berikut ini.
a.
2 3 6
3 4 3
2 3 5 7
x y z
x y z
x y z
− + =⎧
⎪
− + + =⎨
⎪ + − =⎩
c.
5 3 12 0
2 3 3 10 0
3 3 6 15 0
x y z
x y z
x y z
− + − =⎧
⎪
+ − + =⎨
⎪ − − − =⎩
b.
2 4 3 5
5 2 4 8
2 6 5 12
x y z
x y z
x y z
− − =⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ + − =⎩
d.
5 2 4 15 0
4 3 2 8 0
2 3 3 12 0
x y z
x y z
x y z
− − − =⎧
⎪
+ + − =⎨
⎪ + − − =⎩

Rangkuman
7. Apakah sistem persamaan linear berikut mempunyai penyelesaian? Berikan alasannya.
a.
6
2 2 2 12
3 3 3 18
x y z
x y z
x y z
+ + =⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ + + =⎩
b.
5
2 2 2 8
2 2 5 10
x y z
x y z
x y z
+ + =⎧
⎪
+ + =⎨
⎪ + − =⎩
8. Budi, Hasan, dan Alia menabung uang di sebuah bank. Jumlah tabungan ketiga anak
tersebut adalah Rp1.000.000,00. Jumlah tabungan Budi dan Hasan adalah Rp500.000,00,
sedangkan jumlah tabungan Hasan dan Alia adalah Rp800.000,00.
linear.
telah diperoleh.
c. Berapakah masing-masing tabungan Budi, Hasan, dan Alia?
1. Pengertian dan Ordo Matriks
a. Pengertian matriks
Matriks adalah susunan dari bilangan-bilangan yang berbentuk persegi
panjang dan disusun dalam bentuk baris dan kolom. Selanjutnya matriks
dinotasikan dengan huruf besar (kapital).
b. Ordo matriks
Matriks A dikatakan mempunyai ordo atau ukuran m × n, jika matriks A mem-
punyai m baris dan n kolom. Selanjutnnya matriks dengan ordo m × n dinotasikan
denganAmxn
.
2. Jenis-jenis Matriks
a. Berdasarkan banyaknya baris dan kolom penyusunnya
1) Matriks baris, yaitu matriks yang mempunyai satu baris saja.
2) Matriks kolom, yaitu matriks yang mempunyai satu kolom saja.
3) Matriks persegi, yaitu matriks yang mempunyai banyak baris sama dengan
banyaknya kolom.
b. Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya
1) Matriks nol, yaitu matriks yang semua entrinya nol.
2) Matriks identitas, yaitu matriks persegi yang semua entri pada diagonal
utamanya bernilai 1 dan entri yang lain bernilai nol.
3) Matriks diagonal, yaitu matriks yang entri-entri di luar diagonal utama
bernilai nol.

BAB II ~ Matriks 83
4) Matriks segitiga atas, yaitu matriks yang entri-entri di bawah diagonal
utama bernilai nol.
5) Matriks segitiga bawah, yaitu matriks yang entri-entri di atas diagonal
utama bernilai nol.
3. Transpose Matriks
Transpose suatu matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan menukar
baris dengan kolom. Selanjutnya notasi dari transpose matriks A adalah At
.
4. Kesamaan Dua buah Matriks
Matriks A dikatakan sama dengan matriks B, jika ordo matriks A sama dengan ordo
matriks B dan entri-entri yang seletak nilainya sama.
5. Operasi Aljabar pada Matriks
a. Penjumlahan matriks
Jika matriks A = (aij
) dan matriks B = (bij
) adalah dua buah matriks yang berordo
sama m× n, maka jumlah kedua matriks dinotasikan dengan A + B adalah suatu
matriks baru C = (cij
) juga berodo m× n dangan cij
= aij
+ bij
untuk setiap i dan j.
b. Pengurangan matriks
Jika matriks A = (aij
) dan matriks B = (bij
) adalah dua buah matriks yang berordo
sama m× n, maka matriks A dikurangi matriks B dinotasikan dengan A – B adalah
suatu matriks baru C = (cij
) juga berodo m× n dengan cij
= aij
– bij
untuk setiap i dan
j.
c. Perkalian matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan, jika banyaknya kolom matriks pertama
sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Jika matriks A = (aij
) berodo m × n
dan matriks B = (bij
) berordo n× q, maka matriks C = AB adalah matriks berordo
m× qdengan:
cij
= ai1
b1j
+ ai2
b2j
+ ai3
b3j
+ ... + ain
bnj
untuk setiap i dan j.
6. Invers Matriks
Matriks A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian hingga
AB = I = BA. Jika A matriks berordo 2 × 2 dengan
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka invers matriks A
dilambangkan dengan A-1
, dengan 1 1 d b
A
c aad bc
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
.
7. Aplikasi Matriks pada Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem persamaan linear dapat diubah menjadi persamaan matriks berbentuk
AX = B, selanjutnya jika matriks A mempunyai invers A-1
, maka penyelesaian sistem
persamaan linearnya dapat dinyatakan dengan X = A-1
B.

Math Info
Arthur Cayley merupakan salah satu ilmuwan yang
terkenal pada abad 19 yang berasal dari Inggris. Ia lahir
di Richmond, Surrey, Inggris pada tanggal 16 Agustus
1821. Di bidang matematika, beliau sangat terkenal
karena pengembangan teori matriksnya. Di awal
perkem-bangannya matriks hanya dianggap sebagai
suatu permainan karena tidak mempunyai aplikasi.
Tetapi setelah beliau meninggal, teori matriks banyak
mempunyai aplikasi, salah satunya pada bidang fisika
kuantum, selanjutnya teori matriks mempunyai
perkembangan yang cukup pesat dan mempunyai
aplikasi pada berbagai bidang.
Gambar 2.2 Arthur Cayley
Sumber:nl.wikipedia.org

BAB II ~ Matriks 85
A. Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yang
paling tepat! Kerjakan di buku tugas Anda!
1. Banyaknya kolom dari matriks:
A =
1 2 3 1
0 5 4 2
3 7 2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
adalah ... .
A. tiga D. lima
B. empat E. dua belas
C. lima belas
2. Elemen yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-2 pada matriks A di atas
adalah ... .
A. 4 D. 7
B. 1 E. 5
C. 6
A =
1 1 2
0 3 1
1 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
dan B =
1 2
0 1
1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
Jika matriks C = AB, maka matriks C tersebut adalah ... .
A.
1 5
2 0
1 1
−⎛ ⎞
⎜
⎜
⎜ −⎝ ⎠
D.
2 0
1 5
1 1
⎛ ⎞
⎜
−⎜
⎜− −⎝ ⎠
B.
1 5
1 1
2 0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
E.
1 1
1 5
2 0
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C.
−⎛ ⎞
⎜
−⎜
⎜
⎝ ⎠
1 5
1 1
2 1
F =
4
5
x
y
⎛ ⎞
⎜
⎝ ⎠
, G =
3x
z w
⎛ ⎞
⎜
⎝ ⎠
, dan H =
5
1 2
y
z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika 2F = G + H, maka nilai dari x, y, z, dan w masing-masing adalah ... .
A. 4, 4, 7, dan –4 D. 4, –4, 7, dan 4
B. 4, 4, –7, dan –4 E. 4, –4, –7, dan –4
C. 4, –4, 7, dan –4
Uji Kompetensi

5. Misalkan:
A =
3 2 7
6 5 4
0 4 9
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
6 2 4
0 1 3
7 7 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Entri-entri baris ketiga dari matriks AB adalah ... .
A. 0, 28, dan 45 D. 63, 67, dan 57
B. 7, 11, dan 14 E. 67, 63, dan 57
C. 63, 57, dan 67
6. Diketahui persamaan matriks:
8 1
7 63 2 4
a b b c
d c a d
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠
Nilai a, b, c, dan d dari persamaan matriks di atas adalah ... .
A. 5, –3, –4, dan –1 D. 5, –3, 4, dan –1
B. 5, –3, 4, dan 1 E. 5, 3, 4, dan 1
C. 5, –3, 4, dan 1
7. Jika P =
1 0
2 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan Q =
2 4
5 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, maka matriks 5P – 2Q adalah ... .
A.
1 8
0 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
D.
1 8
0 3
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
B.
1 8
0 3
⎛ ⎞
⎜
⎝ ⎠
E.
1 8
0 3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C.
1 8
0 3
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
8. Misalkan A dan B adalah matriks berukuran 2 × 2 dan masing-masing
mempunyai invers A-1
dan B-1
. Pernyataan berikut bernilai benar, kecuali ... .
A. (AB)t
= Bt
At
D. AB = BA
B. (AB)-1
= B-1
A-1
E. (A-1
)-1
= A
C. (kA)-1
=
−11
A
k
9. Jika diketahui invers dari matriks A adalah:
− ⎛ ⎞
= ⎜
⎝ ⎠
1
2 1
3 2
A
maka matriks B = 4A adalah ... .
A.
8 4
12 8
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
D.
8 4
12 8
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
B.
8 4
12 8
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
E.
8 4
12 8
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
C.
8 4
12 8
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠

BAB II ~ Matriks 87
10. Diketahui persamaan berikut.
1 5
2 2 1
x x x
x x x
+ −
=
−
Nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah ... .
A. x1
= –1 atau x2
= 3 D. x1
= 1 atau x2
= –3
B. x1
= –1 atau x2
= –3 E. x1
= 1 atau x2
= 3
C. x1
= –2 atau x2
= 3
4
2 3
x
y z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 3 2 4
7
y z x
x y
+ +⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
. Jika 2A = Bt
, maka
nilai x, y, dan z masing-masing adalah ... .
A. 2, 5, dan 8 D. 8, 5, dan 2
B. 5, 2, dan 8 E. 8, 2, dan 5
C. 5, 8, dan 2
3
5
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 4
4 5
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
. Jika A = B-1
, maka nilai x dan y
masing-masing adalah ... .
A. 4 dan –2 D. –2 dan 4
B. 3 dan 5 E. –4 dan –4
C. 4 dan 4
13. Diketahui sistem persamaan linear:
x + y = 8
2x – y = 1
Nilai x dan y dari sistem persamaan linear di atas adalah ... .
A. 5 dan 3 D. –5 dan –3
B. 3 dan 5 E. –3 dan –5
C. –3 dan 5
14. Diketahui persamaan garis g1
: 2x – y – 5 = 0 dan g2
: 3x – y – 7 = 0 . Kedua garis
tersebut berpotongan di titik ... .
A. (2,1) D. (–2,–1)
B. (–2,1) E. (2,3)
C. (2,–1)
15. Nilai a agar matriks A =
2 2
1 3
a
a a
+⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
merupakan matriks singular adalah ... .
A. –2 atau 3 D. –1 atau 4
B. 2 atau –3 E. 1 atau –4
C. 1 atau 4
{

B. Untuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan langkah-
langkah yang tepat!
16. a. Berikan contoh matriks A dan B berukuran 2 × 2 sehingga:
(A + B)2
≠ A2
+ 2AB + B2
b. Berikan syarat pada matriks A dan B sedemikian hingga berlaku:
(A + B)2
= A2
+ 2AB + B2
2x + 3y = 3
3x + 5y = 4
a. Nyatakan sistem persamaan linear ini dalam bentuk persamaan matriks.
b. Selesaikan persamaan matriksnya dengan menggunakan invers matriks.
6 2
3 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 4
4 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Tentukan:
a. AB c. A-1
B-1
b. (AB)-1
d. B-1
A-1
19. Wisnu dan Yuli membeli 2 jenis mainan, yaitu boneka dan bola. Wisnu membeli
5 buah boneka dan 2 buah bola, sedangkan Yuli membeli 3 buah boneka dan
3 buah bola. Mereka masing-masing membayar Rp360.000,00 dan Rp270.000,00.
a. Susunlah sistem persamaan linear dari persoalan di atas.
b. Nyatakan sistem persamaan linear yang diperoleh dalam bentuk persa-
maan matriks.
c. Tentukan harga dari sebuah boneka dan sebuah bola.
20. Ali, Budi, dan Ani menabung di sebuah bank. Jumlah tabungan ketiga anak
tersebut adalah Rp30.000,00. Jumlah tabungan Ali dan Budi dikurangi tabungan
Ani adalah Rp15.000,00, sedangkan jumlah tabungan Ali dan Ani adalah
Rp21.500,00.
a. Buatlah model matematika untuk persoalan ini.
b. Dengan menggunakan cara determinan, selesaikan sistem persamaan linear
yang telah diperoleh dari a.
c. Berapakah besar masing-masing tabungan dari Ali, Budi, dan Ani?
1. Seorang pedagang buah-buahan membeli 20 kg buah jeruk, 30 kg buah apel, 25 kg
buah mangga, dan 15 kg buah pepaya. Jika harga per kg berturut-turut Rp7.000,00,
Rp10.000,00, Rp3.000,00, dan Rp1500,00, selesaikan dengan matriks untuk
memperoleh jumlah uang yang harus dibayarkan oleh pedagang buah tersebut.
2. Sebuah gedung pertunjukan mempunyai tempat duduk 10.000 kursi. Suatu panitia
pertunjukkan akan mengadakan pertunjukan spektakuler yang menampilkan artis
ibukota di gedung itu dengan menjual 3 jenis karcis, masing-masing adalah kelas
biasa seharga Rp20.000,00, kelas VIP seharga Rp50.000,00, dan kelas super VIP
seharga Rp100.000,00. Berapa karcis yang terjual untuk masing-masing kelas agar
diperoleh pemasukan Rp350.000.000,00?
{
Soal Analisis

BAB II ~ Matriks 89
Aktivitas
Nama : .................................................. Tanggal : .........................................................
Kelas : XII Materi Pokok : Matriks
Kelompok : .................................................. Semester : 1 (satu)
Kegiatan : Survei tentang data waktu belajar di luar sekolah
Tujuan : Menentukan rerata waktu jam belajar di luar sekolah
A. Alat dan bahan yang digunakan
1. Alat tulis 3. Daftar isian
2. Buku catatan 4. Kelas yang disurvei
B. Cara kerja
1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 4 atau 5 siswa.
2. Ambillah dua kelas di sekolah Anda untuk disurvei tentang lamanya belajar
di luar sekolah.
3. Lakukan wawancara dengan siswa dari kelas yang telah Anda pilih tentang
lamanya belajar di luar sekolah. Catat hasil wawancara Anda, dan bedakan
untuk setiap kelas antara laki-laki dan perempuan.
4. Jumlahkan lamanya waktu belajar untuk setiap kategori (laki-laki dan
perempuan) untuk setiap kelas. Tentukan rerata untuk setiap kategori dan
rerata kelas (bulatkan). Kemudian isikan ke dalam daftar isian berikut.
C. Analisis
1. Misalkan x adalah jumlah siswa laki-laki dan y adalah jumlah siswa
perempuan, tentukan model matematika dari data yang Anda peroleh.
2. Nyatakan model yang Anda peroleh dengan notasi matrik. Misalkan A adalah
matriks lamanya waktu belajar. Tentukan x dan y dengan menggunakan invers
dari A.
3. Tentukan rerata waktu belajar untuk siswa laki-laki, siswa perempuan, kelas
A, dan kelas B.
Aktivitas Proyek
Lamanya Belajar
Laki-laki Perempuan
Kelas A
Kelas B
Jumlah

Kode Rahasia dengan Menggunakan Matriks
Misalkan agen rahasia 007 mengirimkan informasi “siap”, yang maksudnya siap untuk
menyerang. Ia memberi nomor kepada huruf alphabet Latin 1, 2, 3, ... , 26 untuk huruf-
huruf A, B, C, ... , Z berturut-turut (boleh juga berlainan), sehingga huruf-huruf pada
perkataan “siap” menjadi 19, 9, 1, 16. Kemudian 19, 9, 1, dan 16 ditulis dalam bentuk
matriks
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
19 9
1 16
. Untuk menghindarkan orang lain dapat menerka perkataan yang
ditulis dengan
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
19 9
1 16
, maka matriks tersebut dikalikan dengan matriks kode
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
3 4
.
Hasilnya
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
19 9
1 16
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
3 4
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
46 74
49 66
.
Karena 46, 74, 49, dan 66 tidak terdapat di antara nomor-nomor kode huruf itu dan
karena paling besar nomor kode huruf itu 26, ia kurangi 46, 74, 49, dan 66 itu dengan
kelipatan 26 sehingga sisanya masing-masing kurang dari 26. Setelah ia melakukan
pengurangan itu maka 46, 74, 49, dan 66 itu menjadi 20, 22, 23, dan 14. Kode 20, 22, 23,
dan 14 diubah lagi ke dalam huruf menjadi TXWN.
Jadi, agen rahasia 007 itu menyampaikan (tertulis) ”TXWN” yang artinya ”siap”. Perlu
diingat bahwa huruf berulang pada kata yang sudah dikodekan bukan merupakan
huruf berulang pada kata asal dan sebaliknya.
Sekarang coba buatlah kode rahasia dari kata ”Awas”.
Teka-Teki Matematika

Latihan Ulangan Umum Semester 1 91
A. Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 30, pilihlah satu jawaban yang paling
tepat! Kerjakan di buku tugas Anda!
1. Persamaan garis yang melalui titik (0,10) dan (8,0) adalah ... .
A. 4y = 5x + 40 D. 5y = 4x – 40
B. 4y = –5x + 40 E. 5y = –4x + 40
C. 4y = 5x – 40
2. Titik potong garis 3x – 4y = 10 dan x + y = 8 adalah ... .
A. (6,2) D. (2,6)
B. (–6,2) E. (–6,–2)
C. (–2,6)
3. Bangun datar yang menggambarkan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear:
3x + 2y ≤ 30, 2x + 3y ≤ 30, x ≥ 0, dan y ≥ 0 berbentuk ... .
A. trapesium D. empat persegi panjang
B. segi empat E. segitiga
C. segi lima
4. Banyaknya baris dari matriks:
A=
1 2 3 1
5 5 4 2
3 7 2 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
adalah ... .
A. tiga D. lima
B. empat E. dua belas
C. lima belas
5. Elemen yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-2 pada matriks A di atas adalah ... .
A. 4 D. 7
B. 1 E. 5
C. 6
6. Jika diketahui matriks A =
1 2
3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan f(x) = 3x2
+ 5x – 2, maka f(A) adalah ... .
A.
21 6
9 18
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
D.
24 24
16 16
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B.
6 20
40 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
E.
6 20
40 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C.
24 16
24 16
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Latihan Ulangan Umum Semester 1

7. Seorang penjahit ingin membuat 2 jenis pakaian yaitu jenis A dan jenis B, masing-
masing memerlukan dua bahan kain, yaitu bahan I dan bahan II. Untuk pakaian
jenis A memerlukan kain bahan I sebanyak 2 m dan kain bahan II sebanyak 0,25 m.
Untuk pakaian jenis B memerlukan kain bahan I sebanyak 1 m dan kain bahan II
sebanyak 0,5 m. Kain bahan I tersedia 30 m dan kain bahan II tersedia 12 m. Jumlah
kedua pakaian yang dapat dibuat sebanyak-banyaknya adalah ... .
A. 15 D. 30
B. 24 E. 48
C. 26
8. Matriks B dikatakan serupa dengan matrik A, jika terdapat matriks P yang dapat
dibalik sedemikian hingga B = P-1
AP. Jika A dan B merupakan matriks-matriks yang
serupa, maka pernyataan berikut benar, kecuali ... .
A. At
dan Bt
serupa
B. A dapat dibalik jika dan hanya jika B dapat dibalik
C. Jika A dan B dapat dibalik, maka A-1
dan B-1
serupa
D. Matriks A sama dengan matriks B
E. Jika A serupa dengan B dan B serupa dengan C, maka A serupa dengan C
9. Jika A matriks berukuran 3 × 3 dan det(A) = 5, maka nilai dari det((2A)-1
) adalah ... .
A. 10 D.
1
45
B. 40 E.
1
40
C. 45
1 0
2 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, B =
1 0
1 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, dan X adalah matriks berordo 2 × 2. Bila
AX = B, maka matriks X adalah ... .
A.
1 1
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
D.
1 0
1 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B.
1 1
2 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
E.
1 1
2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C.
1 1
2 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠

11. Daerah yang diarsir pada diagram Cartesius di bawah ini merupakan daerah
penyelesaian sistem pertidaksamaan ... .
A. x + y ≤ 4 D. x + y ≥ 4
x + 2y ≥ 4 x + 2y ≥ 4
x – 2y ≤ –4 x – 2y ≤ –4
2x – y ≥ 4 2x – y ≤ 4
B. x + y ≤ 4 E. x + y ≤ 4
x + 2y ≥ 4 x + 2y ≥ 4
x – 2y ≥ 4 x – 2y ≥ –4
2x – y ≤ 4 2x – y ≤ 4
C. x + y ≤ 4
x + 2y ≤ 4
x – 2y ≤ –4
2x – y ≤ 4
12. Jika diketahui matriks A =
4
2 3
x
y z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 3 2 1
7
z y x
x y
− +⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
serta A = 2Bt
, maka
nilai z adalah ... .
A. 10 D. 3
B. 8 E. 2
C. 5
13. Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 5y pada himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear: x + y ≤ 12, x + 2y ≤ 16, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ... .
A. 12 D. 40
B. 24 E. 52
C. 36
14. Jika diketahui matriks A=
5
5 3
a a
a
+⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B=
9
7 4
a−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
sertadet(A)=det(B),makanilai
a adalah ... .
A. 3 atau 4 D. –4 atau 5
B. –3 atau 4 E. 3 atau –5
C. 3 atau –4
Y
X
4
2
0 2 4
(4,4)

15. Jika A matriks simetrik (At
= A), maka pernyataan berikut benar, kecuali ... .
A. At
juga simetrik D. –A juga simetrik
B. (A + At
) juga simetrik E. A mempunyai invers
C. (A – At
) juga simetrik
16. Nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan: f(x,y) = 5x + 4y pada daerah
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: 3x + y ≤ 15, x + y ≤ 9, x ≥ 0, dan
y ≥ 0 adalah ... .
A. 38 D. 36
B. 45 E. 25
C. 60
17. Nilai minimum fungsi f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear: 2x + y ≥ 30, x + 2y ≥ 24, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ... .
A. 192 D. 132
B. 180 E. 72
C. 142
4
2 3
x
y z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 3 2 4
7
y z x
x y
+ +⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
. Jika 2A = Bt
, maka nilai x,
y, dan z masing-masing adalah ... .
A. 2, 5, dan 8 D. 8, 5, dan 2
B. 5, 2, dan 8 E. 8, 2, dan 5
C. 5, 8, dan 2
19. Diketahui A =
3
5
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 4
4 5
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
. Jika A = B-1
, maka nilai x dan y masing-
masing adalah ... .
A. 4 dan –2 D. –2 dan 4
B. 3 dan 5 E. –4 dan –4
C. 4 dan 4
x + y = 8
2x – y = 1
Nilai x dan y dari sistem persamaan linear di atas adalah ... .
A. 5 dan 3 D. –5 dan –3
B. 3 dan 5 E. –3 dan –5
C. –3 dan 5
21. Diketahui persamaan garis g1
: 2x – y – 5 = 0 dan g2
: 3x – y – 7 = 0. Kedua garis tersebut
berpotongan di titik ... .
A. (2,1) D. (–2,–1)
B. (–2,1) E. (2,3)
C. (2,–1)
{

22. Nilai a agar matriks A =
2 2
1 3
a
a a
+⎛ ⎞
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
merupakan matriks singular adalah ... .
A. –2 atau 3 D. –1 atau 4
B. 2 atau –3 E. 1 atau –4
C. 1 atau 4
23. Jika matriks
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
, maka det(2A) = ... .
A. 240 D. 720
B. 480 E. 1.920
C. –240
24. Nilai k agar matriks A berikut merupakan matriks singular adalah ... .
6 0 0
0 1
0 4 2
k
A k
k
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A. 2 atau 6 D. –2 atau –6
B. –2 atau 6 E. –2, 2, atau 6
C. 2 atau –6
25. Diketahui persamaan berikut.
1 5
2 2 1
x x x
x x x
+ −
=
−
Nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah ... .
A. x1
= –1 atau x2
= 3 D. x1
= 1 atau x2
= –3
B. x1
= –1 atau x2
= –3 E. x1
= 1 atau x2
= 3
C. x1
= –2 atau x2
= 3
4
2 3
x
y z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
2 3 2 4
7
y z x
x y
+ +⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
. Jika 2A = Bt
, maka nilai x,
y, dan z masing-masing adalah ... .
A. 2, 5, dan 8 D. 8, 5, dan 2
B. 5, 2, dan 8 E. 8, 2, dan 5
C. 5, 8, dan 2
27. Perusahaan “Beta Perkasa” memproduksi 2 jenis mesin yaitu jenis A dan jenis B,
masing-masing memerlukan dua bahan, yaitu bahan I dan bahan II. Untuk mesin
jenis A memerlukan bahan I sebanyak 2 satuan dan bahan II sebanyak 0,25 m. Untuk
mesin jenis B memerlukan bahan I sebanyak 1 satuan dan bahan II sebanyak 0,5
satuan. Bahan I tersedia 30 satuan dan bahan II tersedia 12 satuan. Jumlah kedua
mesin yang dapat dibuat sebanyak-banyaknya adalah ... .
A. 15 D. 30
B. 24 E. 26
C. 28

28. Setiap bulan seseorang membutuhkan bahan makanan yang mengandung zat kimia
jenis A tidak kurang dari 30 satuan dan jenis B tidak kurang dari 24 satuan. Untuk
memenuhi kebutuhan tersebut terdapat 2 macam jenis makanan, yaitu makanan
jenis M1
dan M2
. Makanan jenis M1
setiap 1 kg mengandung 2 satuan zat kimia jenis
A dan 2 satuan zat kimia jenis B. Makanan jenis M2
setiap 1 kg mengandung 2 satuan
zat kimia jenis A dan 1 satuan zat kimia jenis B. Harga makanan jenis M1
adalah
Rp8.000,00 per kg dan harga makanan jenis M2
adalah Rp5.000,00 per kg. Besarnya
biaya minimal yang harus dikeluarkan orang tersebut agar kebutuhan zat kimia
tersebut terpenuhi adalah ... .
A. Rp60.000,00 D. Rp96.000,00
B. Rp75.000,00 E. Rp93.000,00
C. Rp120.000,00
29. Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 300 penumpang.
Setiap penumpang kelas eksekutif boleh membawa barang di bagasi maksimum
60 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi bagasinya dibatasi 20 kg. Pesawat itu
hanya dapat membawa bagasi tidak lebih dari 12.000 kg. Bila tiket untuk setiap
penumpang kelas eksekutif Rp800.000,00 dan tiket untuk kelas ekonomi
Rp500.000,00, maka banyaknya penumpang masing-masing kelas tersebut agar
diperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya adalah ... .
A. Rp195.000.000,00 D. Rp240.000.000,00
B. Rp160.000.000,00 E. Rp300.000.000,00
C. Rp150.000.000,00
30. Diketahui sistem persamaan linear dengan dua variabel:
5 3
6 4
x y p
x y q
+ =⎧
⎨
+ =⎩
Penyelesaian dari sistem persamaan linear ini adalah ... .
A.
1
( 4 3 )
2
x p q= − + dan
1
( 6 5 )
2
y p q= − +
B.
1
(4 3 )
2
x p q= − dan
1
( 6 5 )
2
y p q= − +
C.
1
(4 3 )
2
x p q= − dan
1
(6 5 )
2
y p q= +
D.
1
(4 3 )
2
x p q= + dan
1
( 6 5 )
2
y p q= − +
E.
1
(4 3 )
2
x p q= + dan
1
(6 5 )
2
y p q= +

B. Untuk soal nomor 31 sampai dengan nomor 40, kerjakan dengan langkah-langkah
yang tepat!
31. Jika f(x,y) = 3x + 4y dan g(x,y) = 4x + 3y serta x, y adalah bilangan-bilangan real
nonnegatif, tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi f dan g pada
masing-masing sistem pertidaksamaan linear berikut.
a. 2x + 3y ≤ 12, x + 6y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
b. 5x + 2y ≤ 10, 2x + 5y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0
3x + 5y = 3
2x + 4y = 4
a. Nyatakan sistem persamaan linear ini dalam bentuk persamaan matriks.
b. Selesaikan persamaan matriksnya dengan menggunakan invers matriks.
5 4
4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan B =
3 5
4 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Tentukan:
a. AB d. A-1
B-1
b. (AB)t
e. B-1
A-1
c. Bt
At
34. Luas daerah parkir adalah 100 m2
. Luas rata-rata untuk sebuah mobil 10 m2
dan
untuk sebuah bis 20 m2
. Daerah parkir tersebut tidak boleh menampung lebih dari
8 kendaraan. Jika tarif parkir untuk mobil dan bis masing-masing adalah Rp3.000,00
dan Rp5.000,00, hitunglah banyaknya mobil dan bis masing-masing harus parkir
agar diperoleh pendapatan maksimum dan tentukan pendapatan maksimum
tersebut.
35. Seorang petani menginginkan tanamannya tidak terserang hama. Agar keinginannya
tersebut terlaksana, tanaman tersebut harus diberi pupuk yang mengandung unsur
kimia jenis U, V, dan W masing-masing paling sedikit 24, 22, dan 36 satuan unsur
kimia tersebut. Dua jenis pupuk P dan Q diberikan pada tanaman tersebut. Satu kg
pupuk jenis P mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing sebesar
2, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg pupuk jenis Q mengandung unsur kimia jenis
U, V, dan W masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Harga satu kg pupuk jenis P
dan Q masing-masing adalah Rp8.000,00 dan Rp6.000,00. Tentukan biaya minimum
yang dikeluarkan petani agar keinginannya tercapai.
36. Althof, Rizqa, dan Nadia bermain kelereng. Jumlah kelereng ketiga anak tersebut
adalah 75. Jumlah kelereng Althof dan Rizqa dikurangi kelereng Nadia adalah 45,
sedangkan jumlah kelereng Althof dan Nadia adalah 50.
a. Buatlah model matematika untuk persoalan ini.
telah diperoleh dari a.
c. Berapakan masing-masing kelereng Althof, Rizqa, dan Nadia?
{

37. Seorang anak ingin membeli buku, bolpoin, dan pensil. Jika dia membeli 2 buku, 3
bolpoin, dan 1 pensil, maka dia harus membayar Rp11.000,00. Jika dia membeli 1
buku, 4 bolpoin, dan 2 pensil, maka dia harus membayar Rp12.500,00, sedangkan
jika dia membeli 3 buku, 2 pensil, dan 2 bolpoin, maka dia harus membayar
Rp15.500,00.
a. Buatlah model matematika untuk persoalan di atas dalam bentuk sistem
persamaan linear.
telah diperoleh.
c. Berapakah harga 1 buah buku, 1 buah bolpoin, dan 1 buah pensil?
38. Agus, Aulia, dan Endra menabung uang di sebuah bank. Jumlah tabungan ketiga
anak tersebut adalah Rp2.000.000,00. Jumlah tabungan Agus dan Aulia adalah
Rp1.500.000,00, sedangkan jumlah tabungan Aulia dan Endra adalah Rp1.000.000,00.
linear.
telah diperoleh.
c. Berapakah masing-masing tabungan Agus, Aulia, dan Endra?
39. Diketahui:
A =
3 4
2 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan I =
1 0
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A mempunyai invers.
b. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A tidak mempunyai
invers.
40. Tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan fungsi tujuan: f(x,y) = 5x + 4y pada
daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: 3x + y ≤ 15, x + y ≤ 9, x ≥ 0,
dan y ≥ 0.

File pendukung powerpoint matriks

More Related Content

What's hot (18)

Viewers also liked (10)

Similar to File pendukung powerpoint matriks (20)

Recently uploaded (20)

File pendukung powerpoint matriks