Giaotrinh fem v1

i
PHƯƠNG PHÁP PHẦN
TỬ HỮU HẠN
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB
THÁI NGUYÊN 2011
NGÔ NHƯ KHOA

Ngô Như Khoa
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
THÁI NGUYÊN 2011

i
MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên
cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trình
Matlab. GS.TS. Trần Ích Thịnh, TS. Ngô Như Khoa. NXB Khoa học Kỹ thuật 2007.
Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên
khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ
thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo
trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy,
Kỹ thuật cơ khí, v.v. Với các nội dung:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 11 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui
chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương
pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút
chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một
chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ
thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn
tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và
ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử
tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài
toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt
một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn.
Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèm
theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tác giả

ii
MỤC LỤC
Chương 1. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
1. GIỚI THIỆU CHUNG 1
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 1
3.1. Nút hình học 1
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 2
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 3
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 3
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 5
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 5
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 6
Chương 2. ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNGPHÁP KHỬ GAUSSIAN 8
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 8
1.1. Véctơ 8
1.2. Ma trận đơn vị 8
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. 9
1.4. Nhân ma trận với hằng số 9
1.5. Nhân hai ma trận 9
1.6. Chuyển vị ma trận 10
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 10
1.8. Định thức của ma trận 10
1.9. Nghịch đảo ma trận 11
1.10. Ma trận đường chéo 11
1.11. Ma trận đối xứng 11
1.12. Ma trận tam giác 12
2. PHÉP KHỬ GAUSS 12
2.1. Mô tả 12
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 13
Chương 3. THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 16
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 16
1. CÁC VÍ DỤ 16
1.1. Ví dụ 1 16
1.2. Ví dụ 2 18
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 20
2.1. Nguyên tắc chung 20
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 22
Chương 4. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONGBÀI TOÁN MỘT CHIỀU 23
1. MỞ ĐẦU 23
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 23
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 24
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 26

iii
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 26
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 27
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 28
8. VÍ DỤ 30
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 35
Chương 5. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 37
1. MỞ ĐẦU 37
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 37
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 38
4. ỨNG SUẤT 39
5. VÍ DỤ 39
Chương 6. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONGBÀI TOÁN HAI CHIỀU 44
1. MỞ ĐẦU 44
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 44
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 45
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 45
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 47
4. THẾ NĂNG 49
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 50
7. VÍ DỤ 53
Chương 7. BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 59
1. MỞ ĐẦU 59
2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 59
3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 60
Chương 8. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 70
1. MỞ ĐẦU 70
2. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 70
3. HÀM DẠNG 70
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 72
6. TÍCH PHÂN SỐ 74
7. TÍNH ỨNG SUẤT 77
8. VÍ DỤ 77
Chương 9. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONGTÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦMVÀ KHUNG 80
1. GIỚI THIỆU 80
2. THẾ NĂNG 80
3. HÀM DẠNG HERMITE 81
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 82
5. QUY ĐỔI LỰC NÚT 84
6. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 85
7. KHUNG PHẲNG 85

iv
8. VÍ DỤ 87
Chương 10. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 93
2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 93
2.1. Mô tả bài toán 93
2.2. Phần tử một chiều 93
2.3. Ví dụ 94
3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 96
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 96
3.2. Điều kiện biên 96
3.3. Phần tử tam giác 97
3.4. Xây dựng phiếm hàm 99
3.5. Ví dụ 102
Chương 11. PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 106
2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 106
3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 108
4. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 113
5. PHẦN TỬ VỎ 116
TÀI LIỆU THAM KHẢO 120

1
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày
càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu
hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái
ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ,
khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý
thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v.
Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức
tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.
Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng
lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ
thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng
suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự
do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền
ve.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các
phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút
của ve và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục
trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con ve được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia
miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn
giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo
các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên
biên của nó.

2
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau:
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng.
Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử
có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1).
- Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho
trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong
mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất),
bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu
hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử hai chiều
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
biên giới biên giới
v2v1
biên giới
v2
v1 v1
v2
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử

3
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp,
chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr.
Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui
chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi
hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui
tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được
chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong phần tử
qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và
ngược lại.
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng
với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng.
Chú ý:
- Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại
nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần
tử bố-mẹ.
- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản.
-  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
0 1-1  0 1-1  -1/2 1-1 1/20
vr
v3
v2
v1
1,00,0
y
 x
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

r3
r2
r1
0,1
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

4
Phần tử qui chiếu hai chiều
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử sáu mặt
vr

0,1,1

vr


1,1,0

0,1,1
1,1,0

vr


0,1,1
1,1,0

vr
0,1,0
0,0,0
0,0,1

vr
0,1,0
0,0,1
vr


1,0,0

1,0,0



0,1,0
1,0,0
0,0,1

vr
10,0
1

vr
10,0
1

vr
10,0
1
  
1/2
,1/2
1/2
1/2
1/3
,2/3
2/3
,1/3
2/3
1/3
1/3
2/3

5
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:
- Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T
- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T
- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w] T (1.1)
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
 = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w
z
v
z
w
y
v
x
u



























 (1.3)
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
 = [x ,  y, z,  yz,  xz,  xy] T (1.4)
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến
dạng:
 = D  (1.5)
Trong đó:
  



































5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D
E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U
và công của ngoại lực tác dụng W:
 = U + W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích
được xác định bởi:  T
2
1
Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:

V
T
dvU 
2
1
(1.7)

6
Công của ngoại lực được xác định bởi:
 

n
i
i
T
i
S
T
V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
 

n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV
12
1
 (1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là ui
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di
chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực
trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và
phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ
số dẫn nhiệt...), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết
của kết cấu (điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi phần
tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ
(ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến đổi ma trận độ
cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị chung
Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ, v.v.) ;
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại lượng
theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

7
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH

8
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến
một loạt các phép toán trên ma trận. Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và
phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung
chính được đề cập trong chương này.
1. ĐẠI SỐ MA TRẬN
Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ
bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa







2211
22222121
11212111
(2.1)
trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu
diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n n), và x và b là các véctơ (n1), được
biển diễn như sau:













nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211















nx
x
x
x

2
1















nb
b
b
b

2
1
1.1. Véctơ
Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước
(n 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 4):
 61222 r
và véctơ cột (3 1):











34
2
11
c
1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng
1, ví dụ:

9











100
010
001
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n). Tổng của chúng là 1 ma trận
C = A + B và được định nghĩa như sau:
cij = aij + bij (2.3)
Ví dụ:






















 34
75
21
58
15
23
phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[caij] (2.4)
Ví dụ:













 100500
200300
15
23
102
1.5. Nhân hai ma trận
Tích của ma trận A kích thước (m n) với ma trận B kích thước (n p) là 1 ma trận
C kích thước (m p), được định nghĩa như sau:
A  B = C (2.5)
(m n) (n p) (m p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:


n
k
kjikij bac
1
(2.6)
Ví dụ:























3638
7054
46
52
54
413
582
Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma trận A phải
bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB và BA, thì tích
2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB  BA.

10
1.6. Chuyển vị ma trận
Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có
kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A
thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A.
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần
theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(ABC)T=CTBT AT. (2.7)
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số,
chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:














yxx
yx
xyxyx
A
46
2
52 2
Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép
đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích
phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:







dx
xda
xA
dx
d ij )(
)( (2.8)
   dxdyaAdxdy ij
(2.9)
Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình
PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số
hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
)(
(2.10)
trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n n). Định thức của ma trận A được
định nghĩa như sau:
   
1
11 11 12 12 1 1
1
det( ) det( ) det( ) 1 det( ) 1 det( )
n
n i j
n n ij ij
j
A a A a A a A a A
 

      (2.11)
trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1 n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j
của ma trận A.

11
Ví dụ:


























nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A








32
33332
22322
11
21
22221
11211
Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận
vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các
ma trận có kích thước (n-1 n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1 1) có:
det(apq) = apq (2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-
1. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A-1A = AA-1 = I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu
det(A)  0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định
như sau:
1
det
adjA
A
A

 (2.14)
Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử   )det(1 ji
ji
ij Aa

 và Aji là ma
trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.
Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2 2) là:

















1121
1222
1
2221
12111
det
1
aa
aa
Aaa
aa
A
1.10.Ma trận đường chéo
Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường
chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:











500
030
002
D
1.11.Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
aij = aji hay: A = AT (2.15)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.

12
1.12.Ma trận tam giác
Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là
các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng
không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A
và ma trận tam giác dưới B:













900
040
1132
A












9011
043
002
B
2. PHÉP KHỬ GAUSS
Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
Ax = b
trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n n). Nếu detA  0, thì ta có thể thực hiện
phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A-1 và nhận được nghiệm: x =
A-1b. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của ma trận A là rất
lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính
toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp phải sai số do việc làm tròn
trong các phép tính. Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho
việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
2.1. Mô tả
Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau
đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát.
Xét hệ phương trình:
152 321  xxx (1)
2352 321  xxx (2)
415 321  xxx (3)
Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đương để khử x1 trong các phương trình (2) và
(3), ta được hệ:
152 321  xxx (1)
470 321  xxx (21)
5200 321  xxx (31)
Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:
152 321  xxx (1)
470 321  xxx (21)
92700 321  xxx (32)

13
Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam
giác trên. Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các
nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (21) và (1). Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm
như sau:
3
8
;
3
5
;
3
1
123  xxx . Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là
ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế ngược.
Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:


































92700
4710
1521
52010
4710
1521
41511
2352
1521
bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:
3
8
;
3
5
;
3
1
123  xxx
2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát
Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện
đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:



































































n
i
n
i
nnnjnnn
inijiii
nj
nj
nj
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa











3
2
1
3
2
1
321
321
33333231
22232221
11131211
(2.16)
Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các ma trận
hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:






















nnnjnnn
inijiii
nj
nj
nj
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa







321
321
33333231
22232221
11131211






















n
i
b
b
b
b
b


3
2
1
(2.17)
Bước 1. Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình
còn lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu và làm cho
các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép biến đổi (2.18)
sau:

14
 
 









njib
a
a
bb
a
a
a
aa
i
ii
j
i
ijij
,...,2,;1
11
11
1
11
11
(2.18)
Bước 2. Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x2 ra khỏi các phương trình còn
lại. Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và
làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không.
       
       
       
       





















111
3
1
2
111
3
1
2
1
3
1
3
1
33
1
32
1
2
1
2
1
23
1
22
11131211
0
0
0
0
nnnjnn
inijii
nj
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaaa







 
 
 
 





















1
1
1
3
1
2
1
n
i
b
b
b
b
b

 (2.19)
Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một
cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:
       
     
     
     
      





































1
,
1
,
1
1,
1
,
1
,
1
1,
1
,1
1
,1
1
1,1
2
3
2
3
2
33
1
2
1
2
1
23
1
22
11131211
000
000
000
00
0
k
nn
k
jn
k
kn
k
ni
k
ji
k
ki
k
nk
k
jk
k
kk
nj
nj
nj
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaaa









 
 
 
 
 

































1
1
1
1
3
3
1
2
1
k
n
k
i
k
k
b
b
b
b
b
b



(2.20)
Ở bước này, các phần tử trong miền đánh dấu được tác động nhờ phép biến đổi
   
 
 
 
   
 
 
 


















nkjib
a
a
bb
nkjia
a
a
aa
k
kk
kk
k
ikk
i
k
i
k
kjk
kk
k
ikk
ij
k
ij
,...,1,;
,...,1,;
1
1
1
1
1
1
1
1
(2.21)
Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, chúng ta nhận được hệ (2.16) dưới dạng:





























































 )1(
)3(
4
)2(
3
)1(
2
1
4
3
2
1
)1(
)3(
4
)3(
44
)2(
3
)2(
34
)2(
33
)1(
2
)1(
24
)1(
23
)1(
22
114131211
0
n
nn
n
nn
n
n
n
n
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
aaaaa





(2.22)

15
Từ hệ (2.22) này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các
nghiệm của hệ phương trình (2.16) như sau (ở đây, để tiện theo dõi, chúng ta bỏ qua
ký hiệu chỉ số trên trong các hệ số của ma trận A và b):
121
1
,,n,ni;
a
xab
x,;
a
b
x
ii
n
ij
jiji
i
nn
n
n  



(2.23)

16
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra ma
trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình
PTHH là một vấn đề quan trọng.
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương
ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực
chung.
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ
cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các
số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi
dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên.
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ.
1. CÁC VÍ DỤ
1.1. Ví dụ 1
Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1. Mỗi phần tử có 3 nút;
mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ).
Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu
tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:











521
263
137
1
k ;











432
371
218
2
k ;











501
064
149
3
k
1 2 3
54 6
7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
e
1 2
3
Hình 3.1

17
Lời giải
1. Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)
Bậc tự do
Phần tử
1 2 3
1 1 2 4
2 4 2 5
3 2 3 5
2. Xét từng phần tử
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
4
2
1
521
263
137
421
1










k
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:







5
4
3
2
1
00000
05021
00000
02063
01037
54321




















K
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
5
2
4
432
371
218
524
2










k
Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta







5
4
3
2
1
42030
2850121
00000
3120763
01037
54321






















K
Với phần tử 3:

18
5
3
2
501
064
149
532
3










k
Các số hạng của ma trận k3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta







5
4
3
2
1
54200130
213031
000640
13349133
01037
54321























K
Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn
tương tự.
1.2. Ví dụ 2
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi
nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2). Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K
và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1,
k4, f1 và f4 cho trước như sau:



























2428572
2164316
8431694
5363097
7199293
2647322
1
k ;





















5
7
1
4
6
3
1
f



























2874755
7272873
4225768
7873026
5742191
5386123
4
k ;





















5
4
2
6
7
9
4
f
i
1
2
3
1
4
5 6
21
Hình 3.2
2

19
Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
   TT
kkjjii qqqqqqqqqqqq 10943212122121212 
Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do
tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của
ma trận độ cứng chung.
10
9
4
3
2
1
2428572
2164316
8431694
5363097
7199293
2647322
1094321
1


























k














12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
000000000000
000000000000
0024200008572
0021600004316
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
0084000031694
0053000063097
0071000099293
00026000047322
121110987654321














































K
Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4. Các nút của phần tử 4 là:
(5, 2, 6). Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
   TT
kkjjii qqqqqqqqqqqq 1211431092122121212 
12
11
4
3
10
9
2874755
7272873
4225768
7873026
5742191
5386123
121143109
4


























k
Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng
chung, ta nhận được kết quả như sau:

20














12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2875500004700
7277300002800
57433000012772
53339000012916
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
4214120000561394
78790000166097
0071000099293
0026000047322
121110987654321
















































K
Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo
cách tương tự:
10
9
4
3
2
1
5
7
1
4
6
3
1




















f 

12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
7
0
0
0
0
1
4
6
3










































F ;
12
11
4
3
10
9
5
4
2
6
7
9
4




















f 

12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
4
12
16
0
0
0
0
3
10
6
3










































F
2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F
2.1. Nguyên tắc chung
Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng của các ma trận
mở rộng [ke] của các phần tử. Véctơ lực chung F cũng chính là tổng của các véctơ lực
mở rộng {fe} của các phần tử:
 ;e e
e e
K k F f     (3.1)
Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần tử.
Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của qn trong Qn. Kích thước của

21
bảng index là (noe  edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là
ký hiệu cho tổng số phần tử.
Mỗi nút có một bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên.
Khi ấy:  T
QQQQQQ 54321
- Với phần tử 1 (e =1) :
 
 421:),1(
421


index
QQQq
T
- Với phần tử 2 (e =2)
 
 524:),2(
524


index
QQQq
T
- Với phần tử 3 (e =3)
 
 532:),3(
532


index
QQQq
T
Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng e của index.
Mỗi nút có hai bậc tự do
Trở lại ví dụ 3.2 đã xét ở trên, bảng index là:
Bậc tự do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 9 10
... ... ... ...
4 9 10 3 4 11 12
Khi ấy:
 T
QQQQQQQQQQQQQ 121110987654321
- Với phần tử số 1
 
 1094321:),1(
1094321


index
QQQQQQq
T
- Với phần tử số 4
 
 121143109:),4(
121143109


index
QQQQQQq
T
Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng kij của ma trận ke được cộng vào IJK của
[K] sao cho:
I = index(e,i), với i = 1.. sdof
J = index(e,j), với j = 1.. sdof
hoặc: ji
e
jeieIJ kKK  ),(index),(index (3.2)
Tương tự, mỗi số hạng fi của {fe}được chuyển sang FI của F sao cho:
i
e
ieI fFK  ),(index (3.3)

22
2.2. Thuật toán ghép nối phần tử:
Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và véctơ cột {F} có
kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không. Trong đó, sdof là ký hiệu cho tổng
số bậc tự do của các nút trong toàn hệ.
Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng kij của của ma
trận phần tử ke vào số hạng IJK của ma trận [K]:
),(),,(;:1,; jeindexJieindexIedofjikKK ji
e
IJIJ  (3.4)
Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng fi của của véctơ
lực phần tử f vào số hạng FI của véctơ lực chung F:
),(;:1; ieindexIedofifFF i
e
II  (3.5)
Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:
K=zero(sdof,sodf);
F=zero(sdof,1);
e =1; i = 1; j = 1;
     jikieindexieindexKieindexieindexK e
,),(),,(),(),,( 
j  edof
j = j + 1;
i = i+1;
i  edof
     ifieindexFieindexF e
 ),(),(
e = e +1;
e  noe
..
.
..
.
T
T
T
F
F
F
Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử

23
Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1. MỞ ĐẦU
Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ
sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-
biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị. Với bài toán hai chiều (2D) và ba chiều (3D),
cách tiếp cận cũng tương tự.
Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ phụ
thuộc vào biến x. Ta biểu diễn chúng như sau:
 ;xuu   ;x   x  (4.1)
Quan hệ giữa ứng suất với biến dạng, biến dạng với chuyển vị:
dx
du
E   ; (4.2)
Với bài toán một chiều, vi phân thể tích dv được viết dưới dạng:
dv=Adx (4.2)
trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang.
2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc
thay đổi). Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút được đánh số từ 1 đến 6,
các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2,
các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b).
Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phương x . Vì vậy
mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do.
Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Qi ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của mỗi
phần tử được ký hiệu là qj; j = 1, 2
Véctơ cột  Q Qi
T
 được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể).
Lực nút được kí hiệu là Fi ; i = 1, n.
Véctơ cột  F Fi
T
 được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể).
Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau:
1 2 3 4 5
x
1 2 3 4 5 6
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
e1 2
q1 q2
Hình 4.1a. Chỉ số toàn cục Hình 4.1b. Chỉ số cục bộ

24
Bảng 3.1. Bảng ghép nối các phần tử
Phần tử
Nút
1(đầu) 2(cuối)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG
Khảo sát một phần tử e như Hình 4.2. Theo sơ đồ đánh số nút cục bộ:
Nút thứ nhất là 1
Nút thứ hai là 2
Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai. Ta định
nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là  như sau:
  1
2
1
12


 xx
xx
 





1
1
2
1


xx
xx
(4.3)
Vậy:    21 :1:1 xxx
Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ra
trường chuyển vị trong các phần tử.
Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phép
biến đổi tuyến tính (Hình 4.3).
Để thực hiện được phép nội suy này, cần đưa vào một hàm dạng tuyến tính:
   
2
1
;
2
1
21







 NN (4.4)
e
1 2
x2
x
x1 
 = -1  = 1
(b)(a)
Hình 4.2. Phần tử trong hệ toạ độ x và 
e1 2
u2u1
Hình 4.3. Nội suy tuyến tính trường chuyển vị của một phần tử
q2
q1
e1 2
Chỉ số địa phương
Chỉ số chung

25
Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4. Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình 4.4a
được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N1 = 0 tại  = 1. Tương tự ta có
đồ thị của N2.
Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được biểu diễn
qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:
2211 qNqNu  (4.5)
Hoặc dưới dạng ma trận:
u = Nq (4.6)
Trong đó:  N N N 1 2,
 T
qqq 11 (4.7)
Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử. Từ (4.5), ta thấy u = q1 tại nút
1; u = q2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c).
Ta đã biết: 1
2
1
1
0
1
1 qu
N
N
xx 





 
2
2
1
2
1
0
1 qu
N
N
xx 





 
Bây giờ ta nội suy tọa độ x nhờ các hàm dạng 21 , NN
2211 xNxNx  (4.8)
So sánh:





2211
2211
qNqNu
xNxNx
ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các hàm dạng
N1 và N2. Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số.
Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:
1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn,
2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử.
Mặt khác:
dx
d
d
du
dx
du 

  (4.9)
1
N1
Hình 4.4. (a), (b). Hàm dạng N1, N2; (c). Nội suy tuyến tính
-1 0 1 
1
N2

u
1 2 
2
1
1

N
2
1
2

N
q1
q2
u=N1q1+N2q2
211 2
(a) (b) (c)
-1 0 1

26
mà:
2 1
2d
dx x x



(4.10)
suy ra
212211
2
1
2
1
qqqNqNu
 


 (4.11)
2
21 qq
d
du 


(4.12)
 21
12
1
qq
xx


 (4.13)
do đó:
 11
1
;
12



xx
BBq (4.14)
Trong đó ma trận B được gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử.
Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:
 = EBq (4.15)
Chú ý:
B, ,  là các đại lượng hằng số;
Các biểu thức u = Nq;  = Bq;  = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và ứng
suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử. Ta sẽ thế các biểu thức này vào
biểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của
phần tử.
4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Áp dụng công thức (1.3) - Chương 1, ta tính được thế năng toàn phần của thanh:
 

n
i
i
T
i
L
T
L
T
L
T
PuTdxuAdxfuxdA
12
1
 (4.16)
Khi vật thể được chia ra làm nhiều phần tử hữu hạn, thì
 

n
i
ii
e e
T
e e
T
e e
T
PQTdxuAdxfuxdA
12
1
 (4.17)
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
Gọi:
xdAU
e
T
e  
2
1
là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:

27
1 1
2 2
T T T T
e e e e e
e e
U q B E Bq A dx q B E B A dx q
 
   
 
  (4.18)
Chú ý rằng: Ae, Ee và B là các đại lượng hằng số, và
 d
l
dxd
xx
dx e
22
12


 , với: 12;11 xxle  
Khi ấy, ta có biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử:
qdBBE
l
AqU T
e
e
e
T
e 





 
1
1
22
1

với:
 11
1
12



xx
B
ta có:
q
l
EA
qU
e
eeT
e 








11
11
2
1
Gọi:









11
11
e
eee
l
EA
k (4.19)
là ma trận độ cứng của phần tử .
Khi đó, biểu thức thế năng (4.18) được biểu diễn ở dạng thu gọn như sau:
qkqU eT
e
2
1
 (4.20)
6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT
Khi vật thể đã được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn với các nút xác định, ta
phải qui đổi các loại lực tác dụng về nút.
Lần lượt xét từng thành phần biểu diễn công của ngoại lực trong biểu thức thế năng
 (4.17), ta có:
- Công do lực khối:














e
e
e
e
T
e
T
dxNfA
dxNfA
qAdxfu
2
1
mà:

















22
1
2
22
1
2
1
1
2
1
1
1
ee
e
ee
e
l
d
l
dxN
l
d
l
dxN





28
eTeeT
e
T
fq
lfA
qAdxfu 






  1
1
2
Với:







1
1
2
eee lfA
f (4.21)
là lực thể tích quy đổi về nút của phần tử
- Công do lực diện tích:
  eT
e
eT
T
e
T
Tq
dxNT
dxNT
qdxTqNqNdxTu 













 2
1
2211
Với:







1
1
2
ee lT
T (4.22)
được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử
Cuối cùng, biểu thức  được viết gọn dưới dạng
FQKQQ TT

2
1
(4.23)
Trong đó:
Q là véctơ chuyển vị nút chung,
K là ma trận độ cứng chung, được xác định từ các ma trận độ cứng ke của các
phần tử:
Kk
e
e

F là véctơ lực nút chung, được xác định từ các véctơ lực nút: fe, Te, P của các
phần tử:
  FPTf
e
ee

Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép nối
phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F.
7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta xác định được
biểu thức thế năng toàn phần (4.23).
Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định các chuyển vị nút,
sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên kết.
Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng  đối với Q, tức là cho cho thế năng biến
dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình cân bằng.

29
Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên. Phương pháp này được áp dụng
không chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán hai, ba chiều.
Điều kiện biên thường có dạng:
Qi = ai
Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Qi phải bằng ai .
Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện biên.
Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1.
Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có
 T
nQQQQ 21
 T
nFFFF 21
Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:













nnnn
n
n
KKK
KKK
KKK
K




21
22221
11211
(4.24)
K là ma trận đối xứng
Ta viết biểu thức của thế năng  dưới dạng khai triển như sau:
 nn
nnnnnnnn
nn
nn
FQFQFQ
QKQQKQQKQ
QKQQKQQKQ
QKQQKQQKQ


















 




2211
2211
2222221212
1121211111
2
1
(4.25)
Thay Q1 = a1 vào phương trình trên, ta được:
 nn
nnnnnnnn
nn
nn
FQFQFa
QKQQKQaKQ
QKQQKQaKQ
QKaQKaaKa


















 




2211
2211
2222221212
1121211111
2
1
(4.26)
Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên. Áp dụng
điều kiện cực tiểu thế năng:
ni
Qi
,...,2;0 


(4.27)
ta thu được:










113322
13133333232
12122323222
aKFQKQKQK
aKFQKQKQK
aKFQKQKQK
nnnnnnn
nn
nn




(4.28)

30
Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:












































11
1313
1212
3
2
32
33332
22322
aKF
aKF
aKF
Q
Q
Q
KKK
KKK
KKK
nnnnnnn
n
n





(4.29)
Nhận xét: Ma trận độ cứng (n-1)(n-1) ở trên được nhận từ ma trận độ cứng (nn) ban
đầu (4.23) bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất (vì Q1 = a1). Hệ phương trình
(4.28) được viết dưới dạng cô đọng:
KQ = F (4.30)
Ma trận K trong (4.30) là ma trận không kỳ dị còn ma trận K ban đầu (4.24) là ma trận
kỳ dị (det K=0).
Áp dụng phương pháp khử Gauss (xem chương 2) để giải hệ phương trình (4.30), ta sẽ
tìm được chuyển vị Q;
Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định được
chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên.
Áp dụng công thức EBq ta tìm được ứng suất;
Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1:
111212111 )( RTfQKQKQK ee
nn   (4.31)
Trong đó Qi đã được xác định, (fe+Te)1 là lực tác dụng tại nơi đặt liên kết cũng đã biết.
8. VÍ DỤ
Ví dụ 4.1.
Cho một trục bậc chịu tác dụng của lực P = 10 N (hình 4.5a). Biết tiết diện các
đoạn: A1=20 mm2; A2 = 10 mm2; chiều dài các đoạn l1 = l2 = 100 mm; và môđun đàn
hồi: E1 = E2 = 200 gPa. Hãy xác định chuyển vị tại B và C; biến dạng, ứng suất trong
các đoạn trục AB, BC.
Lời giải
Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, Hình 4.5b.
A
1
Hình 4.5. (a) Trục bậc chịu kéo đúng tâm; (b) Sơ đồ phần tử
P=10 kN
x
B C
1 2
2 3
(a)
(b)

31
1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:
Phần tử Nút i Nút j
1 1 2
2 2 3
2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2
mm
N
l
EA
k 4
1
111
10
44
44
11
11

















mm
N
l
EA
k 4
2
222
10
22
22
11
11

















3. Ma trận độ cứng chung K:
mm
NK 4
10
220
2244
044















4. Véctơ lực nút chung F: F = [R 0 10]T
5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:



































10
0
220
2244
044
10
3
2
1
4
R
Q
Q
Q
6. Áp đặt điều kiện biên:
Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A), do đó ta loại dòng 1 và cột 1 trong hệ phương trình
trên. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:






















10
0
22
26
10
3
24
Q
Q
7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải hệ phương trình trên ta được:
Q2 = 0,25  10-3 mm
Q3 = 0,75  10-3 mm
áp dụng công thức (4.31), ta tìm được phản lực liên kết:
R1 =104  (-4 Q2 ) = -10 N
Biến dạng được tính cho mỗi phần tử
1 = (-q1 + q2 )/l = 0,25 x10-5 /100 = 2,5 x10-6
2 = (-q2 + q3 )/l = 5 x10-6
Ứng suất được tính cho mỗi phần tử
1 = E 1 = 0,5 N/mm2
2 = E 2 = 1 N/mm2

32
Ví dụ 4.2.
Cho một trục bậc chịu liên kết ngàm 2 đầu và tác dụng của lực P = 200 kN (hình
4.6a). Biết tiết diện các đoạn: A1=2400 mm2; A2 = 600 mm2; chiều dài các đoạn l1 =
300mm, l2 = 400 mm; và môđun đàn hồi: E1 = 70 gPa, E2 = 200 gPa. Hãy xác định
chuyển vị tại B; ứng suất trong các đoạn trục AB, BC và phản lực tại A và C.
Lời giải
Chia trục làm hai phần tử: 1 và 2, như hình 4.5b ở ví dụ 4.1.
1. Bảng ghép nối phần tử được thiết lập như sau:
Phần tử Nút i Nút j
1 1 2
2 2 3
2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử 1: k1 và 2: k2
mm
N
l
EA
k 
















11
11
300
10702400
11
11 3
1
111
mm
N
l
EA
k 
















11
11
400
10200600
11
11 3
2
222
3. Ma trận độ cứng chung K:
mm
NK 3
10
300300
300860560
0560560















4. Véctơ lực nút chung F:
F = [R1 200103 R3]T
5. Hệ phương trình phần tử hữu hạn:



































3
3
1
3
2
1
3
10200
3003000
300860560
0560560
10
R
R
Q
Q
Q
6. Áp đặt điều kiện biên:
2
A
Hình 4.6. Trục bậc chịu kéo đúng tâm
x
1 B
C
P=200
KN

33
Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 0 (liên kết ngàm tại C) , do đó ta loại dòng 1,
cột 1 và dòng 3, cột 3 trong hệ phương trình trên. Cuối cùng ta thu được phương trình:
860 Q2 = 200
7. Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải phương trình trên ta được:
Q2 = 0,23257 mm
Áp dụng công thức (4.31), ta tìm được các phản lực liên kết:
R1 =103  (-560 Q2 ) = -130,233 KN
R3 =103  (-300 Q2 ) = -69,767 KN
Biến dạng được tính cho mỗi phần tử
1 = (-q1 + q2 )/l1 = 0,23257 /300 = 7,752 10-4
2 = (-q2 + q3 )/l2 = -0,23257 /400 = 5,81410-4
Ứng suất được tính cho mỗi phần tử
1 = E11 = 54,26 N/mm2
2 = E2 2 = 116,28 N/mm2
Ví dụ 4.3.
Cho một trục tròn chịu liên kết ngàm tại A, khe hở giữa đầu C và thành cứng là
1,2mm, chịu tác dụng của lực P = 60 kN tại B (hình 4.7). Biết tiết diện của thanh là
A=250 mm2; và môđun đàn hồi: E = 20103N/mm2 Hãy xác định chuyển vị tại B; và
phản lực tại A và C.
Lời giải
Ở đây, ta đã xem như đã thực hiện bước kiểm tra để kết luận rằng, trong quá trình biến
dạng, đầu C của trục đã tiếp xúc với thành cứng và tiếp tục biến dạng. Tương tự các ví
dụ trên, ta chia trục làm hai phần tử (1) và (2). Khi đó, ma trận độ cứng chung K được
xác định như sau:
mm
NK















110
121
011
150
1020250 3
Véctơ lực nút chung F: F = [R1 60103 R3]T
Hệ phương trình phần tử hữu hạn:
2A
Hình 4.7. Tính kết cấu bằng phương pháp PTHH
x
1 B C
150mm150mm 1,2mm
P=60 KN

34




































3
3
1
3
2
13
1060
110
121
011
150
1020250
R
R
Q
Q
Q
Áp đặt điều kiện biên: Do Q1 = 0 (liên kết ngàm tại A) và Q3 = 1,2 (khe hở tại C) , do
đó ta loại dòng 1, cột 1. Cuối cùng ta thu được hệ phương trình:
3,3333104(2 Q2 – 1,2)= 60103
3,3333104(- Q2 + 1,2) = R3
Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất
Giải phương trình trên ta được:
Q2 = 1,5 mm;
R3 =3,3333104 (-Q2 + 1,2) = - 10 kN
R1 =3,3333104 (- Q2) = -50 kN

35
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
1. Cho kết cấu 1D được rời rạc hoá bởi 2 phần tử một chiều như Hình C4.1
dưới đây.
a. Hãy chứng tỏ rằng ma trận độ cứng tổng thế K là ma trận kỳ dị.
b. Chỉ ra một véctơ chuyển vị Q0  0 mà thoả mãn KQ0 = F = 0. Bằng cách mô tả
qua hình vẽ, hãy phân tích ý nghĩa của các chuyển vị này. Và chỉ ra năng lượng
biến dạng đàn hồi trong cấu trúc ở trường hợp này ?
c. Chứng minh ở dạng tổng quát rằng, với bất kỳ véctơ chuyển vị Q  0 là nghiệm
của hệ phương trình KQ = 0, với K là ma trận kỳ dị.
2. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi E=200×109N/m2. Có liên kết và
chịu lực như Hình C4.2. Xác định các chuyển vị nút (các chấm đen trên hình), ứng
suất trong các phần tử và các thành phần phản lực tại ngàm. Hãy giải bài toán bằng tay
và nghiên cứu kỹ Chương trình đã cho, sửa đổi lại một số điểm nếu cần thiết và bổ
sung phần chương trình tính ứng suất trong các phần tử; thực hành tính toán bằng
chương trình và so sánh kết quả.
3. Xét kết cấu thanh bằng thép, môđun đàn hồi E=200×109N/m2. Có liên kết và
chịu lực như Hình C4.3. Xác định các chuyển vị nút, ứng suất trong các phần tử và các
thành phần phản lực tại ngàm.
150mm150mm 200mm 200mm
250mm2 400mm2
P=300 kN
P=600 kN x
3.5mm
Hình C4. 3
150mm150mm 300mm
x
P=300 kN
250mm2 400mm2
Hình C4. 2
1 2 3
x
Hình C4.1

36
4. Xét kết cấu liên kết và chịu lực như Hình C4. 4. Thanh nằm ngang được xem
như là tuyệt đối cứng, các thanh treo được làm bằng thép và nhôm, có môđun đàn hồi
như chỉ ra trên hình vẽ. Tính ứng suất trong mỗi thanh treo.
Hình C4. 4
thép
2×2 cm
E=200×109 N/m2
Nhôm
2×4 cm
50cm
40 cm 30 cm 20 cm
60 KN
Thanh tuyệt đối cứng, trọng lượng không đáng kể
E=70×109 N/m2

37
Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. MỞ ĐẦU
Trong chương này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán
hệ thanh phẳng (hệ gồm n thanh liên kết với nhau bởi các khớp quay). Hệ thanh phẳng
điển hình được trình bày trên Hình 5.1.
Trong hệ thanh, tải trọng hoặc phản lực liên kết đặt ở các khớp nối; bỏ qua ma sát
trong các khớp nối. Rõ ràng, mỗi phần tử của hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén.
Ta có thể gặp hệ thanh tĩnh định hoặc siêu tĩnh.
2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG
Hệ thanh khác với các kết cấu một chiều đã xét trong Chương 4 ở chỗ: trong hệ
thanh, các phần tử (các thanh) có các phương khác nhau. Để có thể tính đến sự khác
nhau về phương của các phần tử trong hệ, ta cần phải đưa ra khái niệm hệ toạ độ địa
phương và hệ toạ độ chung.
Một phần tử thanh được mô tả trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung như
trong Hình 5.2.
2 3 4 5
6 7 8
1
Q2
Q1 Q5 Q7 Q9
Q4
Q3
Q6 Q8 Q10
Q15
Q16
Q13
Q14
Q11
Q12
Hình 5.1. Hệ thanh phẳng
x
y
x’
1
(a)


q1
q2
q4
q3
q1cos
q2sin
q3cos
q4sin
q’1
q’2
(b)
Hình 5.2. (a) Phần tử thanh trong hệ toạ độ địa phương và (b) trong hệ toạ độ chung

38
Trong sơ đồ đánh số nút địa phương, hai nút của phần tử được đánh số 1 và số 2. Hệ
toạ độ địa phương hướng theo trục x’, chạy từ nút 1 đến nút 2. Tất cả các đại lượng
trong hệ toạ độ địa phương được ký hiệu bởi dấu (’). Hệ toạ độ chung (x,y) là cố định
và không phụ thuộc vào phương của các phần tử.
Trong hệ toạ chung, mỗi nút cũng có hai bậc tự do. Chẳng hạn, nút “j” sẽ có hai
chuyển vị là Q2j-1 và Q2j.
Gọi q1’ và q2’ là các chuyển vị của nút 1 và 2 tương ứng trong hệ toạ độ địa phương.
Ta ký hiệu véctơ chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương bởi:
q’ = [q1’ , q2’]T (5.1)
Trong hệ toạ độ chung, véctơ chuyển vị có 4 thành phần:
q = [q1, q2 , q3 , q4 ]T (5.2)
Ta đi tìm quan hệ giữa q và q’.
Dễ thấy
q1’ = q1 cos + q2 sin (5.3a)
q2’ = q3 cos + q4 sin (5.3b)
Ký hiệu
 = cos (5.4a)
m = sin (5.4b)
Ta có thể viết
q’ = T q (5.5)
Trong đó T là ma trận chuyển đổi hệ cơ sở, được viết dưới dạng:







ml
ml
T
00
00
(5.6)
3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ
Các phần tử trong hệ thanh đều là các phần tử một chiều. Vì vậy, ta áp dụng những kết
quả của chương 4 vào hệ thanh.
Trong hệ toạ độ địa phương, ta đã xác định được ma trận độ cứng của phần tử









11
11
'
e
ee
l
AE
k (5.7)
Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung, ta chú ý tới biểu thức
năng lượng biến dạng của phần tử
'''
2
1
qkqU T
e  (5.8)
Thay q’ = Tq vào biểu thức trên, ta được
 qTkTqU TT
e '
2
1
 (5.9)
Cuối cùng, năng lượng biến dạng trong hệ toạ độ chung được viết dưới dạng:

39
qkqU T
e
2
1
 (5.10)
Trong đó k là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung và
k = TT k' T (5.11)
Thay biểu thức của T từ (5.6) và của k' từ (5.7) vào (5.11), ta được



















22
22
22
22
mlmmlm
lmllml
mlmmlm
lmllml
l
AE
k
e
ee
(5.12)
Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử, ta sẽ thu được
ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh.
4. ỨNG SUẤT
Như đã lưu ý ở trên, mỗi phần tử trong hệ thanh hoặc chịu kéo, hoặc chịu nén. Do đó,
ứng suất trong thanh được xác định bởi:  = Ee 
Hoặc
   Lq
l
E
q
q
l
E
l
qq
E
e
e
e
e
e
e 11
'
'
11
''
2
112










Thế biểu thức của L từ (5.6) vào biểu thức trên ta được:
 qmlml
l
E
e
e
 (5.13)
Sau khi tìm được chuyển vị, ta sẽ xác định được ứng suất trong mỗi phần tử của hệ.
5. VÍ DỤ
Khảo sát hệ gồm hai thanh chịu lực P như hình dưới. Các thanh có cùng diện tích mặt
cắt ngang và cùng vật liệu. Xác định chuyển vị tại điểm đặt lực.
Lời giải
1. Mô hình hoá hệ thanh bởi 2 phần tử hữu hạn; mỗi nút phần tử có 2 bậc tự do.
2. Xác định ma trận độ cứng của các phần tử
x
300
y
L, A, E 1 2
300
P
3
2
1
(b)(a)
Hình 5.3. (a) Kết cấu bằng chịu lực, (b) sơ đồ phần tử

40
Áp dụng công thức (5.12), ta tính được các ma trận độ cứng của các phần tử.
Với phần tử 1: LLml  1;0sin;1cos 















0000
0101
0000
0101
1
L
EA
k
Với phần tử 2: LLml
3
2
;
2
1
sin;
2
3
cos 2 

 



























8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
33
8
3
8
33
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
33
8
3
8
33
2
L
EA
k
Từ đây, ta thiết lập được ma trận độ cứng chung K và hệ phương trình:











































































6
5
2
1
4
3 0
0
0
0
0
8
3
8
3
8
3
8
3
00
8
3
8
33
8
3
8
33
00
8
3
8
3
8
3
8
3
00
8
3
8
33
8
3
8
33
101
000000
000101
R
R
P
R
R
Q
Q
L
EA
Áp dụng điều kiện biên: Q1 = Q2 = Q5 = Q6 =0, ta thu được hệ phương trình PTHH:




























PQ
Q
L
EA 0
8
3
8
3
8
3
8
33
1
4
3
Giải hệ phương trình trên, ta được:



























EA
LP
EA
LP
Q
Q
3
3
8
3
4
3
Thay các giá trị chuyển vị trên vào (5.14), ta tìm được phản lực liên kết:
   PRRRRR 13036521 

41
1. Một kết cấu thanh giằng như trên Hình C5.1. Vật liệu các thanh bằng thép,
có môđun đàn hồi E=200gPa. Xác định ma trận độ cứng tổng thể của hệ.
2. Một kết cấu giàn gồm 3 thanh được đánh
số (nút và thanh) như trên Hình C5.2. Vật liệu của
các thanh I và II là nhôm, vật liệu của thanh III là
thép. Tiết diện của thanh I là 15cm2 và tiết diện của
thanh II và III là 8cm2. Xác định chuyển vị của nút 2
và ứng suất trong các thanh. Giải bài toán bằng tay
và bằng cách sử dụng phần mềm tính toán kết cấu
tương ứng. Khi giải bằng tay yêu cầu biểu diễn ma
trận độ cứng tổng thể dưới dạng toàn bộ và dưới
dạng rút gọn. Cho Enhôm = 70gPa, Ethép = 210gPa.
3. Một kết cấu giàn gồm 5 thanh được đánh
số (nút và thanh) như trên Hình C5.3. Vật liệu của
các thanh đều là thép và có môđun đàn hồi Ethép =
210gPa. Tiết diện của thanh I, II và III là 15cm2 và
tiết diện của thanh IV và V là 8cm2. Xác định
chuyển vị của các nút và ứng suất trong các thanh.
Giải bài toán bằng tay và bằng cách sử dụng
chương trình tính toán kết cấu tương ứng. Khi giải
bằng tay nên chú ý đến tính đối xứng của kết cấu.
Cho a = 0,5 m; α = 600; P = 2kN; Q = 4kN.
4. Một cây cầu đường sắt được ghép từ các thanh thép, E = 210x109N/m2, tiết
diện của các thanh thép bằng nhau và bằng 3250 mm2. Một đoàn tàu dừng trên cầu,
cầu phải chịu tải trọng của đoàn tàu (Hình C5.4). Tính chuyển vị theo phương ngang
Hình C5.1
1000 mm2
1250 mm2
P
500 mm
750 mm
Q2i
Q2i-1
1
2
3
i
0,7m
1 2
8 kN
3 4
5 kN
y
x
I
IIIII
0,5m
1m
Hình C5.2. Dàn chịu lực
y
a a
x
1
2
3
45
I
IV V
III
II
Q
P
αα
Hình C5.3. Dàn chịu lực
Q
P

42
gối di động R dưới tác dụng của các tải trọng. Xác định chuyển vị tại các nút và ứng
suất trong mỗi thanh cầu.
5. Một kết cấu cầu được tính toán thiết kế theo mô hình dàn thanh như trên
Hình C5.5. Kết cấu này được cấu thành từ 6 nhịp. Tải trọng biểu diễn trên hình vẽ mô
tả trạng thái làm việc nguy hiểm nhất của kết cấu. Vật liệu sử dụng trong kết cấu là
thép với môđun đàn hồi Ethép = 210gPa. Xác định tiết diện cho các thanh sao cho tối ưu
theo điều kiện bền. Cho a=5,5m; b=4,5m; c=1m; P1=25kN; P2=15kN; P3=40kN và
P4=20kN.
Chú ý: Kết cấu này sẽ được tính toán, thiết kế lại theo mô hình khung (xem bài tập
Chương 8).
6. Sơ đồ kết cấu của một chiếc cần cẩu
được thể hiện trên Hình C5.6, tải trọng thiết kế
là 10 tấn. Chọn loại thép phù hợp và sử dụng
hệ số an toàn bằng 4, xác định tiết diện cho tất
cả các thanh. Cho a=3m; b=9m; P=10000kg.
P1 P2 P3 P4
a
c
b
Hình C5.5. Mô hình dầm cầu chịu lực
280 kN 210 kN 280 kN 360 kN
3.118m
3.6m 3.6m 3.6m
600600
Hình C5.4. Mô hình một nhịp cầu chịu lực
R
a
b
b
a
P
Hình C5.6. Mô hình cần cẩu

43
7. Một kết cấu giàn công xôn phải chịu tải như trên Hình C5.7; các thanh đều
bằng thép và có tiết diện 8cm2, ứng suất cho phép của vật liệu là 600mPa. Kiểm tra
xem thiết kế có thỏa mãn điều kiện bền hay không? Thiết kế lại (thiết kế tinh) với điều
kiện sử dụng cùng loại vật liệu và giữ nguyên đường bao của kết cấu. Thiết kế lại ở
đây có thể hiểu là thay đổi cách sắp xếp các thanh, loại bỏ một số thanh, hoặc thay đổi
tiết diện của các thanh. Một trong các mục đích của thiết kế tinh ví dụ là tìm cách làm
giảm khối lượng tổng thể của kết cấu. Cho a=0,5m ; b=0,9m; c=0,4m; d=0,6m; α=600;
P = 30kN; Q = 40kN.
8. Cho kết cấu giàn như Hình C5.8. Vật liệu và tiết diện của các thanh giống
như ở bài 7. Hãy phân tích bài toán giống như đã làm với bài toán 7. Cho a=0,4m;
b=6,5m; c=0,4m; α = 300; P = 40kN; Q = 60kN.
a
a
c db
P
Q
Hình C5.7. Mô hình dàn công xôn chịu lực
a
a
b cb
P
Q
Hình C5.8. Mô hình dàn công xôn chịu lực

44
Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. MỞ ĐẦU
Trong chương này, chúng ta áp dụng phương pháp PTHH để tính kết cấu phẳng
(2D) của bài toán đàn hồi. Các bước được tiến hành giống như bài toán một chiều đã
xét trong chương 4.
Véctơ chuyển vị u được xác định bởi: u = [u v]T (6.1)
Trong đó: u, v là các chuyển vị theo phương x và y tương ứng (Hình 6.1).
Ứng suất và biến dạng được ký hiệu bởi:
 = [x, y, xy]T (6.2)
 = [x, y, xy] T (6.3)
Lực thể tích, lực diện tích và vi phân thể tích được xác định như sau:
f = [fx fy]T ; T = [Tx Ty]T và dv = tdA (6.4)
trong đó: t là độ dầy theo phương z.
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:
T
x
v
y
u
y
v
x
u















 (6.5)
Xét quan hệ ứng suất với biến dạng cho hai trường hợp:
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng


































xy
y
x
xy
y
x
E










2
1
00
01
01
1 2
(6.6)
Hoặc:  = D (6.7)
x
u
v
fx
fy
i
(x,y)
A
L
y
T
u=0
v=0
Hình 6.1. Bài toán hai chiều

45
Trong đó














2
1
00
01
01
1 2




E
D (6.8)
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng
   




































xy
y
x
xy
y
x
E










2
21
00
01
01
211
(6.9)
Hoặc:
 = D (6.10)
Trong đó
  

















2
21
00
01
01
211 



E
D (6.11)
E là môđun đàn hồi;  là hệ số Poisson của vật liệu.
2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC
Miền hai chiều được rời rạc hoá bằng các phần tử tam giác như hình 6.2. Mỗi phần tử
tam giác có 3 nút, mỗi nút có 2 chuyển vị (theo phương x và y).
Ta ký hiệu véctơ chuyển vị nút chung bởi:
 T
nQQQQ 21 (6.12)
Để tiện tính toán, các thông tin về việc chia miền thành các phần tử tam giác sẽ
được thể hiện qua các bảng toạ độ nút và bảng định vị các phần tử.
x
1
y
T
Hình 6.2. Rời rạc kết cấu bằng phần tử tam giác
Q1
Q2
1 3
42
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
78
9
10
11
Q3
Q4
Q5
Q6
Q2j-1
j
Q2j

46
Bảng định vị các phần tử được thiết lập như sau:
Bậc t.do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 11 12
2 3 4 13 14 11 12
3 3 4 5 6 13 14
...
11 13 14 9 10 21 22
Qui ước: Đường đi từ nút đầu đến nút cuối trong mỗi phần tử theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ. Bảng định vị phần tử mô tả tính tương ứng giữa chuyển vị địa phương và
chuyển vị chung của phần tử. Các thành phần chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương
của nút i được kí hiệu là q2i-1 và q2i theo phương x và y tương ứng.
Ta ký hiệu véctơ chuyển vị của phần tử bởi:
 T
qqqq 621  (6.13)
Từ bảng định vị các phần tử ở trên, sau khi tìm được véctơ chuyển vị chung Q, ta
sẽ tìm được véctơ chuyển vị nút của từng phần tử để rồi từ đó đi xác định các đại
lượng khác như ứng suất, biến dạng trong mỗi phần tử.
Chuyển vị tại một điểm bất kì trong phần tử được biểu diễn qua các thành phần
chuyển vị của nút phần tử. Đối với phần tử tam giác có biến dạng là hằng số, các hàm
dạng biến thiên tuyến tính trong phần tử.
Ta có thể biểu diễn các hàm dạng N1, N2, N3 như trên Hình 6.3.
Nhận xét:
- Hàm dạng N1=1 ở nút 1, giảm tuyến tính đến 0 tại nút 2 và nút 3. Tương tự đối với
N2 và N3.
- Bất kì một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm dạng trên cũng đều biểu diễn một
mặt phẳng.
- Tổng N1+ N2+ N3 biểu diễn một mặt phẳng có chiều cao là một đơn vị ở các nút 1,
2 và 3; mặt phẳng này song song với mặt phẳng (1, 2, 3). Vì vậy, với N1, N2 và N3
bất kỳ, ta có: N1+ N2+ N3 = 1


 =1
2
N1=1
1
3
 =1
N1


 =1
2
1
3
 =1
N2
N2 =1


 =1
2
1
3
 =1
N3 =1
N3
Hình 6.3. Biểu diễn hình học các hàm dạng

47
Trong ba hàm dạng, có hai hàm là độc lập. Các hàm dạng được biểu diễn qua  và
 như sau:
N1= 1- - ; N2 = ; N3 =. (6.14)
Trong đó  và  được gọi là các toạ độ chuẩn hoá hay toạ độ tự nhiên.
Tương tự như trong bài toán một chiều (toạ độ x được biến đổi qua toạ độ , các
hàm dạng là hàm số của ), trong bài toán hai chiều, các toạ độ x, y cũng được biểu
diễn qua các toạ độ  và .
Về mặt vật lý, các hàm dạng được biểu diễn bởi các toạ độ diện tích. Khi nối một
điểm nằm trong một tam giác với ba đỉnh, tam giác đó sẽ được chia ra ba tam giác có
diện tích A1, A2, A3 như Hình 6.4.
A
A
N
A
A
N
A
A
N 3
3
2
2
1
1 ;; 
Trong đó A là diện tích của phần tử.
3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ
Ta biểu diễn chuyển vị trong phần tử qua các hàm dạng và các chuyển vị nút của
nó như sau:





634221
533211
qNqNqNv
qNqNqNu
(6.15)
hay
u = Nq (6.16)
Trong đó







321
321
000
000
NNN
NNN
N (6.17)
Thay (6.14) vào (6.15), ta có biểu thức xác định chuyển vị qua chuyển vị nút xét trong
hệ toạ độ quy chiếu như sau:
   
    




22624
11513
qqqqqv
qqqqqu


(6.18)
(x,y)
A1
A3
A2
1
2
3
Hình 6.4. Toạ độ diện tích

48
Đối với phần tử tam giác, nhờ phép mô tả đẳng tham số, ta có thể biểu diễn toạ độ
(x,y) qua toạ độ nút phần tử với cùng các hàm dạng trên:





332211
332211
yNyNyNy
xNxNxNx
(6.19)
Hay
   
    




11312
11312
yyyyyy
xxxxxx


(6.20)
Ta kí hiệu: xij = xi - xj
yij = yi - yj
Từ (6.20), suy ra:





13121
13121
yyyy
xxxx


(6.21)
Đây là mối liên hệ giữa (x, y) với (, ). Để xác định các thành phần biến dạng, ta cần
tính các đạo hàm riêng u và v theo x và y.
Ta có:
u = u(x(, ), y(, )).
v = v(x(, ), y(, )).
Áp dụng qui tắc đạo hàm hàm hợp:


























y
y
ux
x
uu
y
y
ux
x
uu
(6.22)





















































y
u
x
u
yx
yx
u
u




(6.23)
Trong đó ma trận vuông (2x2) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:







3131
2121
yx
yx
J ( ((
Triển khai lấy đạo hàm của x và y theo  và , ta được:




































u
u
J
y
u
x
u
1
(6.24)
1
J là ma trận nghịch đảo của J : 








2131
21311
det
1
xx
yy
J
J (6.25)

49
Trong đó: det J = x21 y31 – x31 y21
Ta cũng biết rằng, det J chính bằng hai lần diện tích tam giác.
det J= 2A (6.26)
Chú ý: Nếu các nút 1, 2, 3 được xếp đặt theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, thì det J
luôn có dấu dương.
Từ (6.24), (6.25), ta có thể viết:










































u
x
u
x
u
y
u
y
J
y
u
x
u
2131
2131
det
1
(6.27)
Thay vai trò của u bởi v, ta cũng được biểu thức tương tự:










































v
x
v
x
v
y
v
y
J
y
v
x
v
2131
2131
det
1
(6.28)
Khi ấy, các thành phần biến dạng được xác định bởi:










































612521431313223132
621413232
512331123
det
1
qyqxqyqxqyqx
qxqxqx
qyqyqy
J
x
v
y
u
y
v
x
u

(6.29)
 = B q (6.30)
Trong đó:











122131132332
211332
123123
000
000
det
1
yxyxyx
xxx
yyy
J
B (6.31)
Đây là ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút, trong đó các số hạng đều là các
hằng số và đựơc xác định qua các toạ độ nút của các phần tử.
4. THẾ NĂNG
Thế năng của hệ được xác định bởi:
 
i
i
T
i
L
T
A
T
A
T
PudlTtdAftudAtD 
2
1
(6.32)

50
Trong đó:
T: lực diện tích; f: lực thể tích; t: chiều dầy phần tử
Pi: lực tập trung, Pi = [Px, Py]i
T
Theo sơ đồ phần tử hữu hạn, thế năng được viết dưới dạng:
  
i
i
T
i
e e
T
e e
T
e e
T
PudlTtdAftudAtD 
2
1
(6.33)
Hoặc
 
i
i
T
i
e e
T
e e
T
e
e PudlTtdAftuU  (6.34)
Trong đó:

e
T
e dAtDU 
2
1
là năng lượng biến dạng của phần tử
5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC
Thế biểu thức của biến dạng vào biểu thức của thế năng biến dạng của phần tử, sẽ
được:
 
e
TT
e
T
e dADBqtBqdAtDU
2
1
2
1
 (6.35)
Vì: t, D, B là hằng số và các ma trận hằng số, do đó

e
e
TT
e dAqtDBBqU
2
1
(6.36)
Mặt khác: e
e
AdA  , nên cuối cùng ta được:
qkqqDBBAtqU eTT
ee
T
e
2
1
2
1
 (6.37)
Trong đó:
DBBAtk T
ee
e
 (6.38)
là ma trận độ cứng của phần tử tam giác; t là độ dầy của phần tử; Ae là diện tích của
phần tử; B là ma trận liên hệ biến dạng-chuyển vị nút của phần tử; D là ma trận liên hệ
ứng suất-biến dạng, nó phụ thuộc vào vật liệu khảo sát. Vì D là ma trận đối xứng, do
đó ke cũng là ma trận đối xứng.
Từ các ma trận độ cứng ke của các phần tử, ta sẽ suy ra ma trận độ cứng K của cả kết
cấu; khi ấy, thế năng biến dạng của cả kết cấu được xác định bởi:
QKQU T
e
2
1
 (6.39)
Ma trận K là ma trận đối xứng, thường có dạng dải băng

51
Chú ý: Muốn giảm chiều rộng dải băng trong ma trận K, ta cần giảm hiệu số giữa các
chữ số ở nút của mỗi phần tử trong kết cấu.
6.1. Qui đổi lực thể tích
Ta có:
  
e
yxe
e
T
dAvfuftdAftu (6.40)
Áp dụng biểu thức nội suy của u và v ta được:






















































e
ye
e
xe
e
ye
e
xe
e
ye
e
xe
e
T
dANftqdANftq
dANftqdANftq
dANftqdANftqdAftu
3635
2423
1211
(6.41)
Với chú ý:
   


1
0
1
0
1
0
1
0
11
3
1
12det

 ee
e
AddAddJNdAN (6.42a)
  


1
0
1
0
1
0
1
0
22
3
1
2det

 ee
e
AddAddJNdAN (6.42b)
  


1
0
1
0
1
0
1
0
23
3
1
2det

 ee
e
AddAddJNdAN (6.42c)
biểu thức (6.41) sẽ cho
eT
e
T
fqdAftu 
Trong đó fe là véctơ lực thể tích qui đổi về nút, và
 T
yxyxyx
eee
ffffff
At
f
3
 (6.43)
Sau khi xác định được các lực nút fe của phần tử, ta suy ra véctơ lực F chung.
6.2. Qui đổi lực diện tích
Lực diện tích thường là các lực tác dụng trên các cạnh nối các nút phần tử. Vấn đề
là ta phải qui đổi các lực này về nút.
Giả sử cạnh 21l chịu tác dụng của lực kéo Tx và Ty (Hình 6.5).
 


21l
yx
L
T
dltvTuTdlTtu (6.44)

52
Thay u = Nq, ta sẽ được:






































1212
1212
2423
1211
l
ye
l
xe
l
ye
l
xe
L
T
dANTtqdANTtq
dlNTtqdlNTtqdlTtu
(6.45)
Vì N3 = 0 trên cạnh (1-2) suy ra: N1 + N2 = 1;
do đó
121
2
1
12
ldlN
l

Trong đó
   2
12
2
1212 yyxxl 
eT
L
T
TqdlTtu 
ở đây, q là tập hợp các bậc tự do nút tương ứng với cạnh 1-2.
 T
qqqqq 4321 (6.46)
Cuối cùng
 T
yxyx
ee
TTTT
lt
T 00
2
12
 (6.47)
6.3. Lực tập trung
Để tiện cho việc tính toán, người ta thường lấy nút tại điểm đặt lực tập trung.
Nếu i là nút có lực: Pi = [Px, Py]T tác dụng, thì
ui
TPi = Q2i-1 Px + Q2i Py (6.48)
Cuối cùng ta có thể viết
  FPTf ee
 (6.49)
Sau khi tính được năng lượng biến dạng và các thành phần lực nút, ta viết biểu thức
thế năng toàn phần dưới dạng:
1
2
3
y
x
Tx
Ty
Tx2
Ty2
Ty1
Tx1
l12
Hình 6.5. Lực tác dụng trên cạnh phần tử

53
FQKQQ TT

2
1
(6.50)
Áp dụng điều kiện cực tiểu hoá thế năng, ta thu được hệ phương trình:
K Q = F (6.51)
Giải hệ phương trình (6.51), ta tìm được véctơ chuyển vị nút Q.
6.4. Tính ứng suất
Vì biến dạng là hằng số trong phần tử, do đó ứng suất cũng là hằng số. Ta cần xác
định giá trị ứng suất trong mỗi phần tử:  = D.
Mà:  = Bq, do đó:
 = DBq (6.52)
Từ chuyển vị chung Q, nhờ bảng ghép nối phần tử, suy ra các chuyển vị nút q của
từng phần tử, sau đó thay vào (6.52) sẽ tính được ứng suất. Ứng suất chính và phương
chính được xác định nhờ vòng Mohr ứng suất.
7. VÍ DỤ
Cho một tấm kim loại hình vuông, cạnh dài 2m, chịu lực như Hình 6.6.
Biết E = 182 gPa;  = 0,3; t = 0,01 m. Xác định ứng suất trong tấm cho hai trường
hợp:
a. Chỉ có P = 100 kN tác dụng,
b. Chỉ có p = 10 mN/m2 tác dụng.
P=100 kN
P
p=10mN/m2
P
P
p
2m
y
x
q
(a)
(b)
Hình 6.6. Mô hình PTHH tính tấm vuông chịu kéo
1 2
1
2
43
P=100 kN

54
Lời giải
Do kết cấu đối xứng, chịu tải trọng đối xứng, nên ta chỉ cần xét một phần tư tấm
với hai phần tử (Hình 6.6b).
Ta thiết lập được bảng định vị các phần tử
Bậc t.do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 3 4 7 8 5 6
Điều kiện biên:
Tại nút 1: u = v = 0, tương ứng ta có Q1 = Q2 = 0;
Tại nút 2: v = 0, tương ứng ta có Q4 = 0;
Tại nút 3: u = 0, tương ứng ta có Q5 = 0;
Áp dụng các công thức (6.38): ke = te Ae BT DB Ta xác định được ma trận độ cứng cho
từng phần tử.
Phần tử 1
 mm/Nk 31
10
1000003001000300
03503500350350
03503500350350
3000010003001000
10003503503001350650
30035035010006501350




























Phần tử 2
 mm/Nk 32
10
35003503500350
0100030010003000
35030013506501000350
35010006501350300350
0300100030010000
35003503500350




























Ma trận độ cứng chung K
3
10
1350650350300100035000
6501350350100030035000
3503501350006501000300
3001000013506500350350
1000300065013500350350
3503506500013503001000
0010003503503001350650
0030035035010006501350



































K

55
Trường hợp 1: P = 100 kN
Sau khi áp đặt điều kiện biên ta có hệ phương trình:
3
8
7
6
3
3
10
0
100
0
0
1350650350350
6501350350350
3503501350650
3503506501350
10 














































Q
Q
Q
Q
Giải hệ phương trình, ta được:
Q3 = 9,971510-3 (mm)
Q6 = 9,971510-3 (mm)
Q7 = 99,91910-3 (mm)
Q8 = -42,93810-3 (mm)
Để tính ứng suất trong mỗi phần tử, ta áp dụng công thức (6.52):
 = D B q
Trong đó
 mND /
7000
020060
060200
109











 T
q 09715,9009715,9010 61
 














101101
001010
010100
1
B
Cuối cùng ta tính được ứng suất trong phần tử 1
 MPa,
,
xy
y
x





















0
5932
5932



Thực hiện các bước tương tự cho phần tử 2:
 T
q 938,42919,9909715,99715,9010 62
 














110110
101000
010001
2
B
Và ứng suất trong phần tử 2:
 MPa
,
,
,
xy
y
x





















59262
59262
40717




56
Trường hợp 2: p =10 mN/m2
Áp dụng công thức (6.47) để tính lực nút qui đổi, ta được:
F3 = 50000 N và F7 = 50000 N
Ta thiết lập được hệ phương trình:
3
8
7
6
3
3
10
0
50
0
50
1350650350350
6501350350350
3503501350650
3503506501350
10 














































Q
Q
Q
Q
Giải hệ phương trình, ta tìm được các chuyển vị nút
Q3 = 54,945110-3 (mm); Q6 = -16,483510-3 (mm);
Q7 = 54,945110-3 (mm); Q8 = -16,483510-3 (mm).
Cuối cùng ta tính được các thành phần ứng suất trong các phần tử 1 và 2 (có cùng giá
trị):
 MPa
xy
y
x





















0
0
10



Trong cả hai trường hợp đặt tải, kết quả theo phương pháp phần tử hữu hạn trùng với
kết quả chính xác.

57
1. Tìm chuyển vị tại hai điểm A và B và phân bố ứng suất trong tấm phẳng có
kích thước và chịu tải trọng như Hình C6.1. Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi
Ethép=210gPa và hệ số Poisson =0,22; với a = 0,2 m ; b = 0,3 m; t = 5 mm và q = 8
kN/m2. Hãy xét với các trường hợp chia lưới như sau:
a. Hai phần tử tam giác như trên Hình C6.1a
b. Ba phần tử tam giác như trên Hình C6. 1b
c. So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và đưa ra nhận xét và khuyến cáo.
d. Thay đổi liên kết của tấm như trên Hình C6.1c và d, liệu các kết quả tính trên
Hình C6.1a và b có thay đổi hay không? Giải thích?
2. Một vòng dẹt ( h << ri , re ) chịu áp suất
trong p như trên Hình C6.2. Hãy tính chuyển vị và
ứng suất trong vòng. Đây là dạng bài toán vật đối
xứng trục chịu tải đối xứng trục và có thể sử dụng
các phần tử dạng vỏ đối xứng trục để giải. Nhưng
ở đây ta sẽ sử dụng mô hình bài toán ứng suất
phẳng để giải quyết. Với: ri = 15mm; re = 30mm;
p = 120N/mm2; E = 70000 N/mm2;  = 0,3 và h =
1mm.
So sánh kết quả tìm được với các kết quả giải
tích như sau:
4 3
21
b
a
II
I
B
A
q
4 3
21
b/2
a
II
I
B
q
III 5
b/2
b
4 3
21
b
a
II
I
B
q
4 3
21
b/2
a
II
I
B
q
II
I
5
b/2
b
a) b)
c) d)
Hình C6.1.Các dạng luới với phần tử tam giác
A
A A
p
ơ
h
re
ri
Hình C6.2. Vòng dẹt chịu áp lực

58
     
    





























2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
1;1
11
r
r
rr
pr
r
r
rr
pr
r
r
rrE
prr
u
e
ie
ie
ie
i
r
e
ie
i
r


3. Một tấm thép hình tam giác được bắt
chặt vào một cột thép bằng 5 bu-lông đường kính
8mm như trên hình vẽ C6.3. Giả thiết là cột thép
và bu-lông là rất cứng so với tấm thép và bỏ qua
ma sát giữa tấm và cột, hãy xác định xem bu-lông
nào chịu tải trọng lớn nhất và xác định giá trị đó.
So sánh với kết quả theo phương pháp giải tích
thông dụng cho một nhóm bu-lông chịu tải lệch.
Nếu tấm trên làm bằng nhôm thì tải trọng mà bu-
lông phải chịu có thay đổi không?
Lưu ý: Do kích thước tương đối giữa bu-lông, tấm
và cột, chỉ cần mô phỏng mỗi bu-lông bằng một
hoặc một vài nút, và đặt các chuyển vị nút này
bằng không (= 0). Phản lực tại các nút cố định này sẽ chính là tải mà bu-lông tương
ứng phải chịu. Tuy nhiên để có một phân bố khá chính xác của ứng suất trên tấm ta
cần phải có một lưới đủ mịn cho tấm. Sử dụng phần tử tam giác tuyến tính. Biết: a =
100mm; b = 120mm; c = 300mm; d = 600mm; E = 210gPa;  = 0,22 và P = 4kN.
4. Bài toán tương ứng như bài 3, lần này tấm thép có dạng hình thang như trên
hình vẽ C6.4 và được bắt bằng tám bu-lông đường kính 16mm. Sử dụng phần tử tam
giác tuyến tính. Biết: a = 50mm; b = 75mm; c = 500mm và P = 8kN.
c
2b
2b
a
a b P2b b a
a
Hình C6.4. Kết cấu lắp ghép
d
a
a
a
a b c P
d

59
Chương 7
BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG
1. MỞ ĐẦU
Để tính toán một vật đối xứng trục hay còn gọi là vật tròn xoay chịu tải trọng đối
xứng trục, ta đưa bài toán về bài toán hai chiều đơn giản.
Vì vật đối xứng hoàn toàn đối với trục z, nên các thành phần biến dạng và ứng suất
không phụ thuộc vào góc quay . Do đó, bài toán được xem xét như một bài toán hai
chiều trong mặt phẳng (rz), trong đó z là trục đứng, r là trục hướng kính.
2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC
Khảo sát một vi phân thể tích như trên Hình 7.1:
Vi phân thể tích dv = rddrdz = rddA. Khi đó biểu thức thế năng sẽ có dạng:
 
i
i
T
i
L
T
A
T
A
T
PuTrdldufrdAdurdAd


2
0
2
0
2
0
2
1
(7.1)
với Pi là lực tập trung tác dụng trên chu tuyến đối xứng qua trục z.
Vì tất cả các biến trong tích phân trên không phụ thuộc vào  , do đó, hệ thức (7.1)
cho ta:
 








i
i
T
i
L
T
A
T
A
T
PuTrdlufrdAurdA
2
1
2 (7.2)
Ở đây:
dV
r
z
Pi
w
u
r,z
dA
biên L
r
z
(a) (b)
Hình 7.1. Vật đối xứng trục

60
u = [u w]T (7.3)
f = [fr fz]T (7.4)
T = [Tr Tz]T (7.5)
Từ (7.3), ta có quan hệ giữa biến dạng  và chuyển vị u:
 
T
T
rzzr
r
u
r
w
z
u
z
w
r
u















  (7.6)
Véctơ ứng suất:
 T
rzzr   (7.7)
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
 = D (7.8)
với:
 
  
 




























10
11
0
12
21
00
1
01
1
1
0
1
1
211
1















E
D (7.9)
3. PHẦN TỬ TAM GIÁC
Xét một miền hai chiều (mặt cắt) được trích ra từ vật thể tròn xoay. Ta chia miền
này thành các phần tử tam giác. Một phần tử đại diện với 3 nút là 1, 2, 3 và các chuyển
vị tương ứng q1, q2, q3, q4, q5 và q6 được biểu diễn như trên Hình 7.2.
Với chú ý rằng các toạ độ r và z đóng vai trò giống như x và y trong bài toán hai chiều
đã xét trong Chương 6.
Ae
r
z
Hình 7.2. Phần tử tam giác đối xứng trục
u
w
(r3,z3) 3
1
(r1,z1)
2
(r2,z2 )
q3
q4
q5
q6
q1
q2

61
Nhờ các hàm dạng N1, N2, N3 đã biết trong chương 6, ta biểu diễn hàm chuyển vị bởi:
u = Nq (7.10)
trong đó:







321
321
000
000
NNN
NNN
N (7.11)
 T
qqqqqqq 654321 (7.12)
Chú ý rằng:
N1 = 1 -  - , N2 = , N3 = 
Suy ra:
 
 




642
531
1
1
qqqv
qqqu


(7.13)
Dùng phép mô tả đẳng tham số ta cũng được:
 
 




321
321
1
1
zzzz
rrrr


(7.14)
Từ đó ta có:































z
u
r
u
J
u
u


(7.15)
và































z
w
r
w
J
w
w


(7.16)
Trong đó ma trận vuông (22) được gọi là Jacobian của phép biến đổi, ký hiệu là J:







3131
2121
zr
zr
J ( (( (7.17)
Ký hiệu: rịj = ri - rj ; zị = zi - zj
Suy ra:
detJ = r21z31 – r31z21 (7.18)
vậy : |detJ| = 2Ae
Nghịch đảo (7.15) và (7.16) ta được:



































































w
w
J
z
w
r
w
u
u
J
z
u
r
u
11
; (7.19)

62
Trong đó, 1
J là ma trận nghịch đảo của J và được xác định bởi:









2131
21311
det
1
rr
zz
J
J (7.20)
 
T
T
rzzr
r
u
r
w
z
u
z
w
r
u















  (7.21)
 
 




642
531
1
1
qqqv
qqqu


(7.22)
Thay các quan hệ trên vào biểu thức biến dạng - chuyển vị (7.6), ta được:
   
   
       



























r
qNqNqN
J
qqzqqzqqrqqr
J
qqrqqr
J
qqzqqz
533211
2621243115211331
26212431
15211331
det
det
det

 = Bq (7.23)
Trong đó, ma trận biến dạng - chuyển vị B được xác định bởi:





















000
detdetdetdetdetdet
det
0
det
0
det
0
0
det
0
det
0
det
321
122131132332
211332
123123
r
N
r
N
r
N
J
z
J
r
J
z
J
r
J
z
J
r
J
r
J
r
J
r
J
z
J
z
J
z
B (7.24)
3.1. Ma trận độ cứng của phần tử
Trước hết ta xác định biểu thức thế năng biến dạng như sau:
  

















i
i
T
i
e e
T
e
T
e
T
PudrTudfrudrD l2A2A2
2
1
 (7.25)
Số hạng đầu trong dấu móc [], chính là năng lượng biến dạng của phần tử. Sau khi
thay  = Bq, ta sẽ được:
qdrBDBqU
e
TT
e 







  A2
2
1
 (7.26)
Đại lượng

e
Te
drBDBk A2 (7.27)
được gọi là ma trận độ cứng của phần tử.

63
Chú ý rằng hàng thứ tư của ma trận B và tích phân (7.25) có chứa biến r. Trong thực
tế, để đơn giản hoá việc xác định ma trận độ cứng ke, ta tính gần đúng giá trị của B và
r đối với trọng tâm của tam giác và coi đây là giá trị đặc trưng của tam giác đó. Do đó,
đối với trọng tâm tam giác thì:
3
1
321  NNN (7.28)
Ký hiệu:
3
321 rrr
r

 ; trong đó r là bán kính của trọng tâm tam giác.
Ký hiệu B là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị của phần tử được tính đối với trọng
tâm tam giác, khi đó ta có:

e
Te
dBDBrk A2
Cuối cùng, ma trận độ cứng của phần tử được xác định bởi:
BDBArk
T
e
e
2 (7.29)
Chú ý: số hạng eAr2 chính là thể tích của phần tử vành, còn diện tích Ae được xác
định bởi:
2
det J
Ae 
3.2. Lực nút qui đổi
3.2.1. Lực thể tích
Ta có:
 
    



e
zr
e
zr
e
T
rdAfqNqNqNfqNqNqN
rdAwfuffrdAu
6342215332112
22


Lấy xấp xỉ các biến bằng các giá trị tương ứng tại trọng tâm tam giác, ta được:
eT
e
T
fqfrdAu 2 (7.30)
trong đó:
 T
zrzrzr
ee
ffffff
Ar
f
3
2
 (7.31)
Ký hiệu rff zr ,, trong (7.31) chỉ các đại lượng được biểu diễn đối với trọng tâm
của tam giác.
3.2.2. Lực diện tích
Xét trường hợp lực tác dụng đều trên cạnh nối nút 1 và nút 2 có các thành phần là Tr,
Tz (Hình 7.3).

64
Dựa vào biểu thức:
eT
e
T
TqTrdlu 2 (7.32)
trong đó:
 T
qqqqqqq 654321 (7.33)
 T
zrzr
e
bTbTaTaTlT 122 (7.34)
với
   2
12
2
1212
2121
6
2
;
6
2
zzrrl
rr
b
rr
a





(7.35)
Chú ý trong tích phân (7.32), r = N1r1 + N2r2. Khi cạnh 1-2 song song với trục z,
thì a = b = 0,5r1 và r1 = r2
3.3. Ứng suất
Sau khi tính được thế năng toàn phần, điều kiện biên sẽ được áp dụng trong quá
trình cực tiểu hoá thế năng, cuối cùng ta được thu được hệ phương trình dạng quen
thuộc sau:
K Q = F (7.36)
trong đó: K là ma trận độ cứng chung; Q là véctơ chuyển vị nút chung; F là véctơ lực
nút chung.
Từ (7.36) ta sẽ giải được các chuyển vị nút Q, sau đó nhờ bảng định vị phần tử sẽ suy
ra chuyển vị qi của từng phần tử.
Tiếp tục áp dụng biểu thức quan hệ ứng suất-biến dạng và biến dạng-chuyển vị, ta sẽ
tính được
qBD (7.37)
Chú ý:  là một ứng suất chính, hai ứng suất chính khác là 1 và 2 sẽ được xác định
qua r, z và rz nhờ vòng tròn Mohr ứng suất.
1
2
3
r
T
q3
l12
Hình 7.3. Lực tác dụng trên cạnh phần tử
q4
q2
q1
Tr
Tz

65
3.4. Ví dụ
Cho một ống trụ dài có đường kính trong bằng 80mm, đường kính ngoài bằng
120mm. Ống được ghép căng xung quanh đường sinh với một vật cứng khác và chịu
áp lực từ bên trong p = 2 mPa. Bằng mô hình hai phần tử hữu hạn trên chiều dài
10mm, hãy xác định các chuyển vị, ứng suất của điểm bên trong thành ống, biết E =
200 gPa,  = 0,3.
Lời giải
Mô hình 2 phần tử trên chiều dài 10mm theo phương z được minh hoạ như trên
Hình 7.4.
Với ống chịu liên kết như trên, chuyển vị phía ngoài ống không có; coi liên kết
tại nút 3 và 4 là cố định. Tương tự, chuyển vị dọc trục cũng không có; liên kết tại nút 1
và 2 là cố định theo phương dọc trục z.
Theo nhận xét trên ta có:
Q2 = Q4 = 0 (chuyển vị dọc trục)
Q5 = Q6 = Q7 = Q8 = 0 (chuyển vị phía ngoài ống)
Ta lập bảng định vị các phần tử:
Bậc t.do
Phần tử
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 7 8
2 3 4 5 6 7 8
Khi lấy gốc toạ độ trùng với nút 2, ta có bảng toạ độ các nút như sau:
Nút r z
1 40 10
2 40 0
3 60 0
4 60 10
2mPa
80mm
120mm
1
2
10mm
1
F1
F2 2
3
4
z
60mm
40mm
Hình 7.4. Mô hình hai phần tử

66
Tính ma trận D theo biểu thức (7.9):



















555
5
555
555
1069,201015,11015,1
01077,000
1015,101069,21015,1
1015,101015,11069,2
D
Với cả 2 phần tử, ta đều có: detJ = 200mm2 và diện tích của phần tử là Ae= 100mm2.
Các lực nút được xác định bởi:
 N
lpr
FF 2514
2
2104014,32
2
2 1
21 



Xét phần tử 1
   mmr 67,46604040
3
1
1 
















00071,000071,000071,0
05,0001,005,01,0
001,001,00
005,000005,0
1B
Xét phần tử 2
   mmr 33,53606040
3
1
2 
















000625,0000625,0000625,0
01,005,01,005,01,0
1,001,0000
00005,0005,0
2B
Áp dụng công thức (7.29), ta tính được:

























565,0
025,2
093,189,7
13,116,024,030,2
565,093,189,737,145,8
13,1932,145,134,258,203,4
1071
DX
k

























01,9
241,062,2
01,905,166,9
17,242,246,311,5
029,1645,029,1645,0
69,1085,069,122,2005,2
1072
DX
k
Ghép 2 phần tử với ma trận độ cứng là k1 và k2 rồi áp đặt các điều kiện biên: Q2 = Q4
= Q5 = Q6 = Q7 =Q8 = 0.

67
Ta thu được hệ hai phương trình, hai ẩn số:






















2514
2514
35,434,2
34,203,4
10
3
17
Q
Q
Giải hệ phương trình trên ta thu được:
 mm
Q
Q

















2
2
3
1
100133,0
10014,0
Chuyển vị nút của từng phần tử:
   mmq
T 2
1 100000133,00014,0 

   mmq
T 2
2 10000000133,0 

Xác định ứng suất
Dựa vào phương trình quan hệ ứng suất - biến dạng (7.37) ; ta nhận được các kết quả
sau:
   mPa,,
T 21
1042854258166 

   mPa,,
T 22
105409663169 


68
1. Một ống dày hình trụ chịu áp suất trong p
như trên hình vẽ C7.1, tìm chuyển vị và ứng suất
trong ống. Đây là dạng bài toán vật đối xứng trục
chịu tải đối xứng trục. Hãy sử dụng các phần tử
phẳng tuyến tính (tam giác hoặc tứ giác) để giải cho
một lát mỏng (bài toán biến dạng phẳng).
ri = 15; re = 30 mm; h = 10 mm ;
E = 70000N/mm2;  = 0,3 ;
p = 120 N/mm2.
So sánh kết quả tìm được với các kết quả tìm được
bằng phương pháp giải tích như sau:
     
    





























2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
1;1
11
r
r
rr
pr
r
r
rr
pr
r
r
rrE
prr
u
e
ie
ie
ie
i
r
e
ie
i
r


2. Một tấm tròn đường kính R=120mm, chiều dày h=15mm, bị ngàm chặt trên
toàn bộ biên chịu một áp suất phân bố đều p=2mPa theo phương vuông góc trên một
mặt của nó.
- Xác định độ võng cực đại của tấm biết rằng vật liệu của tấm có môđun đàn hồi
E=210 gPa và hệ số Poisson =0,3.
- So sánh với kết quả giải tích biểu diễn dưới dạng:
D
pR
wmax
64
4

trong đó, D là độ cứng chống uốn:
 2
3
112
D


Eh
3. Ống trụ rỗng không đáy (Hình C7.3) chịu áp lực tác dụng từ phía trong, độ
lớn 1MPa. Xác định biến dạng của ống và sự phân bố của ứng suất chính. Biết E = 200
gPa và  = 0,3.
R
h
p
Hình C7.2. Đĩa tròn chịu lực phân bố đều
p
h
re
ri
Hình C7.1. Vòng dẹt chịu áp lực

69
4. Một khuôn thép hình chiếc cốc, được đặt vừa khít vào một đai thép hình vành
khăn (Hình C7.4a). Chày dập tác dụng lực ép lên phôi để tạo ra vật có hình dáng như
chiếc cốc. Giả sử quá trình dập là lý tưởng với lực tác dụng vào khuôn thay đổi tuyến
tính theo bề mặt chịu lực ép (Hình C7.4b). Xác định vị trí và độ lớn của ứng suất chính
lớn nhất trong khuôn trong các trường hợp sau:
a. Khuôn không có đai thép vành khăn bao ngoài.
b. Khuôn có đai thép bao ngoài và không có sự trượt giữa khuôn thép với đai
thép.
c. Khuôn có đai thép bao ngoài có kể đến ma sát trượt (gợi ý: cần phải tách riêng
bề mặt tiếp xúc giữa khuôn và đai thép. Nếu I và J là là một cặp điểm trên bề
mặt tiếp xúc, khi đó ràng buộc giữa các điểm là: Q2I-1 – Q2J-1 = 0.
Đai thép
hợp kim
Khuôn
Phôi
Chầy dập
190
100
 220
 320
 420
320
300
1 2
3
p1
1
p2
p2
p3
(a) (b)
Hình C7.4. Mô hình chịu lực của bộ chầy - cối dập
16 mm
200 mm
100 mm
Hình C7.3. Ống thép hở, chịu áp lực trong lòng ống
1 mPa

70
Chương 8
PHẦN TỬ TỨ GIÁC
1. MỞ ĐẦU
Trong chương 6 và 7 chúng ta đã làm quen với phần tử tam giác 3 nút có biến
dạng là hằng số. Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát phần tử tứ giác 4 nút, mỗi nút
có 2 bậc tự do. Các phần tử tứ giác được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật để giải các bài
toán hai và ba chiều.
2. PHẦN TỬ TỨ GIÁC
Khảo sát một phần tử tứ giác tổng quát như Hình 8.1. Phần tử có bốn nút: 1, 2, 3
và 4 được đánh số ngược chiều kim đồng hồ, mỗi nút có 2 bậc tự do; (xi, yi) là toạ độ
của nút i. Véctơ chuyển vị nút của phần tử được ký hiệu bởi:
 T
qqqq 821 
Chuyển vị của một điểm M(x, y) bất kỳ trong phần tử được ký hiệu là u: u = [u(x,
y), v(x, y)] T
3. HÀM DẠNG
Giống như các chương trước, trong chương này, phần tử qui chiếu tứ giác có dạng
hình vuông được xác định trong hệ toạ độ (, ) (Hình 8.1). Các hàm dạng Ni (i = 1, 2,
3, 4) có tính chất: Ni = 1 tại nút i và bằng không tại các nút khác. Chẳng hạn: N1 bằng
1 tại nút 1; bằng 0 tại các nút còn lại (2, 3, 4). Yêu cầu N1 = 0 tại nút 2, 3, 4 có nghĩa
là N1 = 0 dọc theo cạnh =1 và  =1. Vì vậy, N1 phải có dạng: N1 = c(1- )(1- ) ;
trong đó c là hằng số cần xác định.
Từ điều kiện N1= 1 tại nút 1 ( = -1;  = -1), suy ra:
4
1
c .
Hình 8.1. Phần tử tứ giác 4 nút
x
y
1
2
34
q2
q1
q8
q7
q6
q5
q4
q3
M(x,y)
v
u
1
(-1,-1)
2
(1,-1)
(1,1)
3
(-1,1)
4


(0,0)

71
Tương tự như trên, ta cũng xác định được biểu thức của các hàm dạng còn lại. Cuối
cùng, biểu thức của các hàm dạng Ni như sau:
  
  
  
  







11
4
1
11
4
1
11
4
1
11
4
1
4
3
2
1
N
N
N
N
(8.1)
Ta có thể biểu diễn các hàm dạng một cách tổng quát như sau:
  iiiN   11
4
1
(8.2)
trong đó (i ,  i) là toạ độ của nút i.
Bây giờ ta mô tả trường chuyển vị của phần tử theo chuyển vị nút của nó. Ta thấy:
u = N1q1 + N2q3 + N3q5 + N4q7
v = N1q2 + N2q4 + N3q6 + N4q8 (8.3)
Hoặc dưới dạng ma trận
u = Nq (8.4)
Trong đó







4321
4321
0000
0000
NNNN
NNNN
N (8.5)
Nhờ cách mô tả đẳng tham số, ta biểu diễn toạ độ của một điểm trong phần tử qua toạ
độ các nút phần tử cũng nhờ các hàm dạng Ni ở trên:
x = N1x1 + N2x2 + N3x3 + N4x4
y = N1y1 + N2y2 + N3y3 + N4y4 (8.6)
Trước hết, ta tính đạo hàm của hàm hợp f = f(x, y) = f[x(, ), y(, )] theo  và .


























y
y
fx
x
ff
y
y
fx
x
ff
(8.7)
Hoặc:

































y
f
x
f
J
f
f


(8.8)
Trong đó J là ma trận Jacôbiên :























yx
yx
J (8.9)

72
Từ (8.1) và (8.6), ta có:
           
           
2 1 3 4 2 1 3 4 11 12
4 1 3 2 4 1 3 2 21 22
1 1 1 11
1 1 1 14
x x x x y y y y J J
J
x x x x y y y y J J
   
   
            
                
(8.10)
Nghịch đảo (8.8) ta có quan hệ:




































f
f
J
y
f
x
f
1
(8.11)
Hoặc











































f
f
JJ
JJ
J
y
f
x
f
1121
1222
det
1
(8.12)
Ta sẽ sử dụng các biểu thức trên để xây dựng ma trận độ cứng của phần tử.
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ
Năng lượng biến dạng của vật thể đàn hồi được xác định bởi:

V
T
dVU 
2
1
(8.13)
hoặc
 
e V
T
e dAtU 
2
1
(8.14)
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:







































x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x



 (8.15)
Nếu trong (8.12), coi vai trò của f là u, ta được:











































u
u
JJ
JJ
J
y
u
x
u
1121
1222
det
1
(8.16)
Tương tự,











































v
v
JJ
JJ
J
y
v
x
v
1121
1222
det
1
(8.17)

73
Biểu thức (8.15), (8.16) và (8.17) cho ta:




































v
v
u
u
A (8.18)
Trong đó A được xác định bởi














12221121
1121
1222
00
00
det
1
JJJJ
JJ
JJ
J
A (8.19)
Từ phương trình nội suy (8.3), ta có thể viết:
u
u
G q
v
v




 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
(8.20)
Trong đó





















10101010
10101010
01010101
01010101
4
1
G (8.21)
Cuối cùng ta có:
 = Bq (8.22)
Trong đó: B = AG (8.23)
và ứng suất được xác định bởi
 = DBq (8.24)
Quay lại biểu thức năng lượng biến dạng (8.14),
  






  e
eT
e
T
e
T
qkqqddJDBBtqU
2
1
det
2
1
1
1
1
1
 (8.25)
Trong đó:  

1
1
1
1
det  ddJDBBtk T
e
e
(8.26)
chính là ma trận độ cứng của phần tử tứ giác.

74
5.1. Lực thể tích
Để ý tích phân:
V
T
dVfu (8.27)
với: u = Nq và giả thiết rằng các thành phần lực khối f = [fx, fy]T phân bố là hằng số
trong mỗi phần tử, ta sẽ có:
 
e
eT
V
T
fqdVfu (8.28)
Trong đó:












   y
xT
e
e
f
f
ddJNtf
1
1
1
1
det  (8.29)
5.2. Lực diện tích
Giả sử lực diện tích T = [Tx, Ty ]T bằng hằng số, tác dụng trên cạnh 2-3 của phần tử
tứ giác. Dọc theo cạnh 2-3,  = 1 và khi ấy các hàm dạng trở nên:
2
1
;
2
1
;0 3241
 


 NNNN
Ta tính được các thành phần của véctơ lực nút phần tử:
 T
yxyx
ee
TTTT
lt
T 0000
2
23
 (8.30)
Chú ý: Trong công thức ma trận độ cứng (8.26) và công thức qui đổi lực thể tích
(8.29), các đại lượng B và detJ đều là các hàm số của  và . Ta cần phải số hoá các
tích phân trên. Dưới đây chúng ta nhắc lại một vài khái niệm về tích phân số.
6. TÍCH PHÂN SỐ
6.1. Tích phân số một biến
Cho tích phân
 
1
1
I f d 

  (8.31)
Ta sẽ xấp xỉ tích phân I trên dưới dạng một tổng n điểm xấp xỉ như sau:
       
1
1 1 2 2
1
n nI f d w f w f w f    

     (8.32)
Trong đó w1, w2, ..., wn là các hàm trọng số và 1, 2, ..., n là các điểm Gauss. Tư
tưởng của phương pháp cầu phương Gauss là chọn n điểm Gauss và n hàm trọng số
sao cho tích phân (8.31) cho kết quả chính xác nhất đối với đa thức f(). Nói khác đi,
công thức tích phân n điểm là chính xác cho tất cả các đa thức bậc đủ cao, và công
thức tích phân trên vẫn đúng thậm chí khi f không phải là một đa thức. Để hiểu được
bản chất của phương pháp, chúng ta xét công thức tích phân 1- điểm và tích phân 2-
điểm như sau:

75
6.1.1. Công thức tích phân 1- điểm
Khi n = 1:
   
1
1 1
1
I f d w f  

  (8.33)
Có 2 tham số w1 và 1 cần xác định, với yêu cầu là (8.33) cho kết quả chính xác khi
f() là một đa thức bậc nhất. Điều này có nghĩa là nếu f() là một đa thức bậc nhất, thì
sai số:
    011
1
1
10  
 fwdaa (8.34a)
hoặc
  02 11010  aawa (8.34b)
  02 11110  awwa (8.34c)
Từ (8.34c), suy ra  = 0 khi:





0
2
1
1

w
(8.35)
Với hàm f tổng quát và tuỳ ý, ta có:
   02
1
1
fdfI  
 (8.36)
Kết quả tính giống như phương pháp trung điểm (phương pháp hình chữ nhật), như mô
tả ở Hình 8.2 sau.
6.1.2. Công thức tích phân 2- điểm
Khi n = 2
     2211
1
1
 fwfwdfI  
(8.37)
Ở đây, có 4 thông số cần xác định là: w1; w2 ; 1 và 2. Chọn
  3
3
2
210  aaaaf  , ta có:

f(0)
f
-1 0 1
Phần diện tích
xấp xỷ = 2f(0)
Phần diện tích
chính xác
f()
)
Hình 8.2. Cầu phương 1 điểm Gauss

76
       02211
1
1
3
3
2
210  
 fwfwdaaaa (8.38)
Để thoả mãn (8.38):  = 0, khi đó ta phải có:












0
3
2
0
2
3
22
3
11
2
22
2
11
2211
21



ww
ww
ww
ww
(8.39)
Hệ phương trình phi tuyến (8.39) có nghiệm duy nhất là:







57735,0
3
1
1
21
21

ww
(8.40)
Từ đây, chúng ta có thể kết luận rằng phương pháp cầu phương Gauss n-điểm sẽ cho
kết quả chính xác nếu f là một đa thức bậc (2n-1) hoặc nhỏ hơn. Bảng dưới cho các giá
trị của wi và i theo công thức Gauss với n =1,...,6.
Bảng 8.1. Điểm Gauss và hàm trọng lượng
n i wi n i wi
1 0 2
5
0,9061798459 0,2369268851
2 0,5773502692 1 0,5384693101 0,4786286705
3
0,7745966692 0,5555555556 0 0,5688888889
0 0, 888888889
6
0,9324695142 0,1713244924
4
0,8611363116 0,3478548451 0,6612093865 0,3607615730
0,3399810436 0,6521451549 0,2386191861 0,4679139346
6.2. Tích phân số hai biến
Xét tích phân
   ddfI  

1
1
1
1
, (8.41)
Ta có
        

n
i
n
j
jiji
n n
jiij
n
ii fwwfwwdfwI
1 11 1
1
1 1
,,,  (8.42)
6.3. Tích phân ma trận độ cứng
Từ công thức (8.26):
 

1
1
1
1
det  ddJDBBtk T
e
e
Chú ý ke là ma trận độ cứng (8x8) đối xứng, do đó ta chỉ cần lấy tích phân các số hạng
ở phía trên đường chéo chính là đủ.

77
Ký hiệu
   ij
T
e JDBBt det,   (8.43)
và áp dụng công thức (8.42), ta được
       22
2
21212212111
2
1 ,,,,   wwwwwwkij (8.44)
Trong đó:





57735,0;57735,0
1
2211
21

ww
Các điểm Gauss theo công thức tích phân 2- điểm ở trên được mô tả trên Hình 8.3.
Nếu gọi các điểm Gauss lần lượt là 1, 2, 3, 4 thì kij trong (8.44) được viết dưới dạng:


4
1K
Kkji Wk (8.45)
Trong đó K là giá trị của  và WK là hàm trọng số tại điểm tích phân k. Chú ý rằng
WK = (1)(1) = 1. Công thức (8.45) rất thuận lợi cho chúng ta khi lập trình tính toán ma
trận độ cứng.
7. TÍNH ỨNG SUẤT
Không giống như phần tử tam giác có biến dạng hằng số; với phần tử tứ giác, ứng
suất  = DBq không phải là hằng số trong phạm vi một phần tử, mà chúng thay đổi
theo  và . Trong thực tế, ứng suất được tính tại các điểm Gauss, đây cũng là những
điểm được sử dụng trong khi tính ma trận độ cứng ke. Như vậy, với phần tử tứ giác, ta
sẽ có 4 giá trị ứng suất. Để tránh sinh ra nhiều số liệu, ta chỉ cần tính ứng suất tại một
điểm cho mỗi phần tử, chẳng hạn điểm ( = 0, = 0).
8. VÍ DỤ
Khảo sát một phần tử chữ nhật như hình vẽ dưới đây. Giả thiết phần tử chịu trạng
thái ứng suất phẳng và có các thành phần chuyển vị:
   mmq
T
00081,0152,0076,0051,000 . Biết E = 206 gPa,  = 0,3. Hãy
xác định các đại lượng J, B và  tại điểm ( = 0,  = 0).
1
1 2
34


3
1

3
1

3
1

3
1

Hình 8.3. Điểm Gauss theo qui tắc tích phân 2 điểm

78
Bài giải
Theo công thức (8.10), ta có:
       
        
















2
1
0
01
111212
111212
4
1


J
Áp dụng công thức (8.19), ta được:















0
2
1
10
1000
000
2
1
21
1
A
Áp dụng công thức (8.21) và (8.23) với  = 0,  = 0 ta sẽ được:




















4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
0
4
1
0
4
1
0
4
1
0
4
1
B
Ma trận D được xác định bởi (6.8)













35,000
013,0
03,01
09,01
10206 3
D
Cuối cùng ta tính được  tại điểm  = 0,  = 0:
   MPaDBq
T
282159461
3
(2,1)
y
x
2 (2,0)1 (0,0)
4
(0,1)
q7
q8
q5
q6
q3
q4
q1
q2

79
1. Xác định chuyển vị tại hai điểm A và B, và phân bố của ứng suất trong tấm.
Vật liệu của tấm là thép có môđun đàn hồi E=210 gPa và hệ số Poisson = 0,22. Hãy
chia tấm ra thành hai phần tử chữ nhật theo hai cách được mô tả trong các hình: Hình
C8.1a,b. So sánh kết quả trong hai trường hợp trên và so sánh với kết quả tìm được
bằng các phần tử tam giác như trong bài toán 1 chương 6. Biết: a = 0,2 m; b = 0,3 m;
t = 5mm và q = 8 kN/m.
2. Một kết cấu được mô tả như Hình C8.2. Bằng các phần tử chữ nhật tuyến
tính, hãy giải lại bài toán theo yêu cầu như bài toán 4 chương 6.
3. Xác định ma trận độ cứng tổng thể các lưới phần tử như trên hình vẽ C8.3.
Giả thiết mỗi nút có một bậc tự do và gọi [K(e)] là ma trận độ cứng của phần tử thứ e.
(Kết quả có thể biểu diễn thông qua các số hạng Kij
(e)).
c
2b
2b
a
a b P2b b a
a
a = 50mm;
b = 75mm;
c = 500mm
P = 8kN.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
1 2 3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hình C8.3. Sơ đồ lưới phần tử
4 3
21
b
a
B
A
q
a
b q
B21
4 3 A
1
2
1 2
Hình C8.1. Sơ đồ hoá PTHH với phần tử tứ giác

80
Chương 9
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG
1. GIỚI THIỆU
Dầm và khung được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Trong chương này chúng ta
sẽ áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính dầm sau đó mở rộng cho kết cấu
khung hai chiều.
Ta chỉ xét dầm có mặt cắt ngang đối xứng so với mặt phẳng tải trọng. Sơ đồ hoá
dầm chịu uốn và biến dạng (độ võng) của trục dầm được minh hoạ như Hình 9.1 dưới
đây.
Trong trường hợp biến dạng nhỏ, ta đã có kết quả quen biết sau:
y
J
M
 (9.1)
E

  (9.2)
Phương trình độ võng:
J2
2
E
M
dx
vd
 (9.3)
Trong đó:  là ứng suất pháp,  là biến dạng dài, M là mômen uốn nội lực trên mặt cắt
ngang, v là độ võng của trục x và J là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục
trung hoà (trục z đi qua trọng tâm mặt cắt ngang).
2. THẾ NĂNG
Năng lượng biến dạng trong một phân tố có chiều dài dx được xác định bởi:
dAdxdu 
A
2
1
 (9.4)
Thay (9.1) và (9.2) vào (9.4) ta được:
Mkm
Pkpp
y
x
Hình 9.1. (a) Sơ đồ hoá dầm chịu uốn; (b). Biến dạng của trục dầm
x
v
(a)
(b)
kp km

81
dx
EJ
M
dxdAy
EJ
M
dAdxdu
A
2
2
2
2
2
A
2
1
2
1
2
1






   (9.5)
Từ (9.5) ta tính được năng lượng biến dạng toàn phần trong dầm:
dx
dx
vd
EJU  






L
2
2
2
1
(9.6)
Thế năng  của dầm được xác định bởi:
 






km
kmkm
kp
kpkp
LL
MvPvdxdx
dx
v

0
2
0
2
2
p
d
EJ
2
1
(9.7)
Trong đó: p là tải trọng phân bố trên một đơn vị dài; Pkp là lực tập trung tại điểm kp;
Mkm là mômen của ngẫu lực tại điểm km; vkp là độ võng tại điểm kp và km là góc xoay
của mặt cắt ngang tại km.
3. HÀM DẠNG HERMITE
Giả sử ta chia dầm thành bốn phần tử như Hình 9.2, mỗi phần tử có 2 nút; mỗi nút
có 2 bậc tự do. Hai bậc tự do của nút i được ký hiệu là Q2i-1 và Q2i. Trong đó Q2i-1 là
độ võng; Q2i là góc xoay.
Q là véctơ chuyển vị chung:
Q = [ Q1, Q2 , Q3, ..., Q10 ]T (9.8)
Bốn bậc tự do địa phương của mỗi phần tử được ký hiệu bởi: q = [q1, q2, q3, q4]T.
trong đó: q1, q3 là độ võng và q2, q4 là góc xoay.
Các hàm dạng để nội suy chuyển vị trên một phần tử dầm sẽ được xác định theo
; trong đó -1   1.
Các hàm dạng đối với phần tử dầm khác với các hàm dạng mà ta đã biết trong các
chương trước. Vì có cả chuyển vị ngang (độ võng) và góc xoay do đó chúng ta đưa
vào hàm dạng Hermite như sau:
Hi = a i + b i  + ci2 + di 3; với (i = 1, 2, 3, 4) (9.9)
Các hàm dạng Hermite thoả mãn các điều kiện:
H1 H1’ H2 H2’ H3 H3’ H4 H4’
 = -1 1 0 0 1 0 0 0 0
 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 2 3 4 e
Q10
Q9Q6
Q8
Q5
Q6
Q3
Q4
Q1
Q2 q4
q3q1
q2
21
v1
v’2
v2
v’1
(a) (b)
Hình 9.2. Rời rạc dầm bằng phần tử hữu hạn

82
Các hệ số ai, bi, ci và di được xác định nhờ các điều kiện trong bảng trên.
Kết quả cho ta:
H1 = ( 1 - )2(2 + )/4 = (2 - 3 + 3)/4
H2 = (1 - )2 (1 + )/4 = (1 -  - 2 + 3)/4
H3 = (1 + )2(2 - )/4 = (2 + 3 - 3)/4 (9.10)
H4 = (1 + )0( - 1)/4 = (-1 -  + 2 + 3)/4
Biểu diễn hình học các hàm dạng như Hình 9.3:
4. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM
Trước hết, ta sử dụng các hàm dạng Hermite trên để xây dựng biểu thức chuyển vị
v():
v() = H1v1 + H2 (dv/d)1 + H3v2 + H4 (dv/d)2 (9.11)
Mặt khác:


222
1
2
1 1221
21
xxxx
xxx







 (9.12)
Vì (x2 - x1 = le) là độ dài phần tử, do đó: d
l
dx e
2
 ; và
 d
dx
dx
dv
d
dv
 , nên ta có quan hệ
đạo hàm sau:
dx
dvl
d
dv e
2


(9.13)
Chú ý rằng (dv/dx) tại nút 1 và nút 2 chính là q2 và q4, suy ra:
  44332211
22
qH
l
qHqH
l
qHv ee
 (9.14)
Hình 9.3. Hàm dạng Hermite

83
hay viết dưới dạng cô đọng:
v = H q (9.15)
Trong đó:






 4321
22
H
l
HH
l
HH ee (9.16)
Năng lượng biến dạng của phần tử được xác định bởi:
dx
dx
vd
EJU
e
e
2
2
2
2
1
 






Từ (9.13) suy ra:
d
dv
ldx
dv
e
2
 và 2
2
22
2
4
d
vd
ldx
vd
e

Thay v = Hq, ta được:





 


























22
31
2
3
22
31
2
3
16
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
ee
T
e
T
ll
d
Hd
q
d
Hd
d
Hd
l
q
dx
vd






(9.17)
Chú ý: d
l
dx e
2
 , biểu thức của năng lượng biến dạng của phần tử được viết dưới
dạng:
   
 
 
qd
l
lDX
lll
ll
l
EJ
qU
e
e
eee
ee
e
T
e 




































 







 


1
1
2
2
2
2
2
2
2
22
3
4
31
31
8
3
4
9
16
91
31
8
3
4
31
31
8
3
4
9
31
8
3
4
9
8
2
1 (9.18)
cuối cùng ta thu được:
qkqU eT
e
2
1
 (9.19)
Trong đó ke là ma trận độ cứng của phần tử dầm

















eeee
ee
eeee
ee
e
e
llll
ll
llll
ll
l
EJ
k
4626
612612
2646
612612
3
(9.20)

84
5. QUY ĐỔI LỰC NÚT
Các dạng tải trọng tác dụng gây uốn trên phần tử dầm như chỉ ra trong Hình 9.4.
Việc quy đổi các tải trọng này về nút được thực hiện như sau:
5.1. Lực phân bố đều, cường độ p (Hình 9.4a)
qdH
pl
pvdx e
e








  
1
1
2
 (9.21)
Thay biểu thức của H từ (9.10) và (9.16) vào (9.21), sau đó lấy tích phân ta được:
qfpvdx eT
e
 (9.22)
Trong đó:
 T
ee
ee
ll
pl
f  66
12
(9.23)
5.2. Lực phân bố bậc nhất (0: p0) (Hình 9.4b)
qdH
lp
vdx
l
xp
pvdx e
e ee








  
1
1
00
)1(
4
 (9.24)
Thay biểu thức của H từ (9.10) và (9.16) vào (9.24), sau đó lấy tích phân ta sẽ nhận
được:
 T
ee
ee
ll
lp
f 32129
60
0
 (9.25)
5.3. Lực tập trung P0 (Hình 9.4c)
qHPvP kpkp 00   (9.26)
Tương tự như trên, ta có:
l x
y
p
l x
y
l
xp
xp 0
)(  p0
x
y
P0
x0
l
x
y
M0
x0
(a) (b)
(c) (d)
Hình 9.4. Các dạng tải trọng gây uốn trên phần tử dầm
l

85
T
eee
H
l
HH
l
HPf 





 )(
2
)()(
2
)( 040302010  (9.27)
trong đó:
1
2 0
0 
el
x
 (9.28)
5.4. Ngẫu lực có mômen M0 (Hình 9.4d)
Tương tự như trên, ta có:
        T
eeeeeee
e
e
lxlxlxxxlxlllxx
l
M
f 236346 0000
2
00
2
003
0
 (9.29)
Chú ý: véctơ lực nút fe cũng có thể được biểu diễn theo biến 0, bằng cách thay
 1
2
00  x
l
x e
vào biểu thức (9.29).
6. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT
Áp dụng hệ thức mômen uốn và lực cắt:
dx
dM
Q
dx
vd
EJM  ;2
2
, trong đó: v = Hq
Suy ra
    43212
136136 qlqqlq
l
EJ
M ee
e
  (9.30)
 43213
22
6
qlqqlq
l
EJ
Q ee
e
 (9.31)
7. KHUNG PHẲNG
Khảo sát một kết cấu phẳng gồm các dầm liên kết cứng với nhau. Các phần tử
trong kết cấu có thể có nhiều phương khác nhau. Hình 9.5 giới thiệu một phần tử
khung.
x
y
y’
x’
q6 (q’6)
q5
q’5
q4
q’4
q2
q’2
q1
q’1
q3 (q’3)
Hình 9.5. Phần tử khung phẳng

86
Mỗi nút phần tử có hai chuyển vị theo x,y và một góc xoay. Ta ký hiệu véctơ
chuyển vị nút của phần tử bởi:
q = [ q1, q2, q3, q4, q5, q6]T (9.32)
Ta qui ước hệ toạ độ địa phương (x’, y’) sao cho x’ hướng dọc theo phần tử khung
với các cosin chỉ phương l = cos và m = sin.
Trong hệ toạ độ địa phương, véctơ chuyển vị nút được xác định bởi:
q' = [ q'1, q'2, q'3, q'4, q'5, q'6]T (9.33)
Chú ý: q’3 = q3 ; q’6 = q6, ta tìm được biểu thức quan hệ giữa q và q’:
q' = Lq (9.34)
Trong đó:























100000
0000
0000
000100
0000
0000
lm
ml
lm
ml
L (9.35)
Ở đây, ta coi q'2, q'3, q'5, q'6 như các bậc tự do của một phần tử dầm chịu uốn; còn q'1
và q'4 giống như các chuyển vị của một phần tử thanh chịu kéo hoặc nén (Chương 4).
Tổng hợp các độ cứng theo đúng vị trí cần có, ta xác định được ma trận độ cứng
của phần tử khung như sau:







































eeee
eeee
ee
eeee
eeee
ee
e
l
EA
l
EJ
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
l
EA
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EJ
l
EA
l
EA
k
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
'
22
2323
22
2323
(9.36)
Tương tự như phần hệ thanh phẳng (Chương 5), ta có thể xác định được năng
lượng biến dạng của phần tử khung:
qkqLqkLqqkqU eTeTTeT
e
2
1
'
2
1
'''
2
1
 (9.37)
trong đó:
ke = LT k'e L (9.38)
là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ toạ độ chung (x, y).
Trong các chương trình phần tử hữu hạn, trước hết ta xác định ma trận k’e, sau đó
tiến hành nhân các ma trận ở trên theo (9.38) để được ke.

87
Nếu trên khung có tải trọng phân bố tác dụng, chẳng hạn như Hình 9.6. Ta có:
q’Tf' = qT LT f'
trong đó
T
eeee PlPlPlPl
f 






122
0
122
0'
22
(9.39)
Vậy, tải trọng nút do p gây ra sẽ được xác định bởi:
f = LT f' (9.40)
Các giá trị của f được cộng vào véctơ lực nút chung, với chú ý là chiều dương của p
được lấy theo chiều của y'.
Lực tập trung và mômen của ngẫu lực uốn cũng được cộng một cách đơn giản vào
véctơ lực nút chung.
Áp đặt điều kiện biên, cuối cùng ta thu được hệ phương trình PTHH: KQ = F cho
phép tính chuyển vị tại một điểm bất kỳ của khung chịu lực.
8. VÍ DỤ
8.1. Ví dụ 1
Cho một dầm chịu lực như Hình 9.7. Biết E = 200 gPa, J = 4106 mm4, = 1000
mm, p = 12 kN/m. Xác định góc xoay tại B, C và độ võng tại điểm giữa đoạn BC.
p
ll
2 31 1 2
A B C
Hình 9.7. Tính dầm chịu uốn bằng phương pháp PTHH
Q3
Q4
Q1
Q2
Q5
Q6
x
y
y’
x’
p
2
ePl
Hình 9.6. Qui đổi lực phân bố về nút
2
ePl
12
2
ePl
12
2
ePl


88
Lời giải
Chia dầm ra 2 phần tử; mỗi phần tử có 2 nút; mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 9.7).
Các chuyển vị Q1 = Q2= Q3= Q5= 0; cần tìm Q4 và Q6.
Ta có:
   mN
l
EJ
e
/108
1
10410200 5
3
69
3





















4626
612612
2646
612612
108 521
kk
Áp dụng công thức (9.23), ta tính được lực nút qui đổi: F4 = -1000 Nm ;F6 = 1000
Nm
Ghép hai phần tử, ta thu được ma trận độ cứng chung của dầm











 

42
28
108 5
44
2
24
2
24
2
22
2
44
1
kk
kkk
K
và hệ phương trình




















1000
1000
42
28
108
6
45
Q
Q
Giải hệ phương trình trên sẽ được

















4
4
6
4
10464.4
10679.2
Q
Q
(Rad)
Đối với phần tử 2: q1 = 0; q2 = Q4; q3 = 0; q4 = Q6. Để xác định độ võng tại điểm giữa
của phần tử 2, ta áp dụng công thức (9.15): v = Hq, tại  = 0
Suy ra:
)(0893.0)(1093.8
2
0
2
0 5
6442 mmmQH
l
QH
l
v ee
 
8.2. Ví dụ 2
Xác định chuyển vị tại điểm B của khung chịu lực như hình dưới. Biết A =
0,006m2; J = 0,0002m4; E = 200 gPa.
Lời giải
1. Bảng định vị các phần tử
Kết cấu được chia ra 2 phần tử như Hình 9.8; số nút chung là 1, 2 và 3.
Bậc t.do
PT
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 7 8 9
2 7 8 9 4 5 6

89
2. Các thông số liên quan
PT () sin cos E(N/m2) l(m) J(m4) EJ/l3 A(m2)
1
2
22,02
0
0.375
0
0,927
1
200.109
200.109
8
8
0,0002
0,0002
78,125
78,125
0,006
0,006
3. Ma trận độ cứng của các phần tử
Áp dụng công thức (9.36), ta tính được ma trận độ cứng của các phần tử:

























20
477,39,21
406,182,51129
10477,3406,120
477,39,2182,51477,390,21
406,182,51129406,182,51129
10
987321
61
DX
k

























20
75,39375,0
00150
1075,3020
75,39375,0075,39375,0
0015000150
10
654987
62
DX
k
4. Xác định véctơ lực nút của các phần tử:
- Trên phần tử 1, lực tập trung P không đặt đúng nút, nên có thể sử dụng các công thức
(9.10), (9.27) và (9.28), ta được:
2
1
P=50kN
1
3 2
p=4 kN/m
5m
3m 8m 3m
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6Q9
Q8
Q7
2
1
1
3 2
Hình 9.8. Bài toán khung phẳng chịu lực

90
)(
15,35
66,15
932,5
59,58
68,31
82,12
1031
Nf























 ;
- Trên phần tử 2, có lực phân bố đều tác dụng, áp dụng công thức (9.34) và (9.35), ta
được:
)(
33,21
16
0
33,21
16
0
1032
Nf
























Ghép hai ma trận độ cứng trên ta sẽ được ma trận độ cứng chung K; ghép hai véctơ lực
nút phần tử trên ta được véctơ lực nút chung F. Áp dụng điều kiện biên (Q1 = Q2=
Q3= Q4= Q5= Q6 =0); cuối cùng ta thu được hệ phương trình:



































48,56
34,1
932,5
10
402735,0406,1
2735,084,2282,51
406,182,51279
10 3
9
8
7
6
Q
Q
Q
Giải hệ phương trình trên, ta được các thành phần chuyển vị tại điểm B:
























)(001412,0
)(01631,0
)(0111,0
9
8
7
Rad
mm
mm
Q
Q
Q

91
1-6. Trong các bài toán về dầm, biểu diễn trên các hình vẽ từ 9.10.1-9.10.6.
Biết: EJ = 3E6 Nm2; L = 4 m; xC = 0,4L; q = 15kN/m; m = 10kN.m. Hãy xác định: Ma
trận độ cứng tổng thể và véctơ lực tổng thể ; các chuyển vị tổng thể và mômen uốn tại
điểm C trên dầm. Chú ý: Sử dụng số lượng phần tử cần thiết tối thiểu trong mỗi bài.
7. Hãy chỉ ra tính hội tụ của các mô hình phần tử hữu hạn cho một dầm tựa trên
hai gối đỡ đơn giản và chịu tải phân bố đều, như Hình C9.7. Hãy chia lưới mịn dần để
xác định chuyển vị (ở đây là độ võng) cực đại và ứng suất cực đại với sai số nhỏ hơn
5%. Dầm có chiều dài gấp 10 lần chiều cao và có chiều dày đơn vị. So sánh kết quả
tính được với ứng suất uốn và độ võng ở giữa dầm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng
trượt theo biểu thức giải tích sau:
 
Ebc
qL
Ebc
qL
y
bc
qL
5
13
16
5
;
4
3 2
3
4
max2
2




8. Xác định độ võng cực đại và ứng suất cực đại cho một dầm công xôn chịu tải
phân bố đều, như Hình C9.8. Chiều dày của dầm bằng đơn vị và chiều dài của dầm
x
q
x
L L L
Hình C9.1 Hình C9.2
4J1 2J1 J1
Pq
L 2L
x
L L L
mm q
x
LLL
x
LLL
L
x
L L
y
x
b
2c
q
Hình C9.7. Dầm liên kết tựa bản lề chịu uốn

92
gấp 5 lần chiều cao của nó. So sánh kết quả tính được với ứng suất uốn và độ võng ở
giữa dầm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt theo biểu thức giải tích sau:
 
Ebc
qL
Ebc
qL
y
bc
qL
5
13
16
5
;
4
3 2
3
4
max2
2




9-10. Trong các bài toán về khung biểu diễn trên các hình vẽ từ Hình 9.10.9 -
9.10.10. Hãy xác định: Ma trận độ cứng tổng thể; véctơ lực nút tổng thể; các chuyển vị
nút và các phản lực tại các liên kết. Cho Q = 15 kN ; P= 10 kN; L = 3m; E = 200 gPa;
đường kính D = 0,1m.
11. Cho kết cấu khung xe đạp như Hình C9.11. Thiết kế theo chế độ tải trọng
như sau: tải tác dụng theo phương thẳng đứng tại vị trí yên xe là 75 kg và tại vị trí tay
lái xe (ghi đông) là 12 kg. Kể đến ảnh hưởng của lực quán tính bằng cách sử dụng hệ
số tải trọng 2,5. Giả thiết ban đầu là tất cả các dầm đều là thép ống với đường kính
ngoài là 25 mm và chiều dày thành ống là 1,5 mm. Kiểm tra xem khung xe có bị phá
hủy cục bộ (tại một điểm nào đó trên khung) nếu vật liệu là thép giàu cacbon với giới
hạn đàn hồi là 600gPa? Nếu phá
hủy xảy ra thì hãy thiết kế lại (thiết
kế tinh) ví dụ thay vật liệu bằng
loại có giới hạn đàn hồi cao hơn
hoặc có tiết diện lớn hơn hoặc thay
đổi hình dạng của khung để chống
phá hủy. Nếu khung được thiết kế
quá thừa bền thì hãy thiết kế tinh
để giảm khối lượng của khung.
L
y
x
q
b
2c
Hình C9.8. Dầm công xôn chịu uốn
P
Q
L
P
L
L L
915
75 kg
12 kg
458
813
305
380
255
790
Hình C9.11. Mô hình khung xe đạp chịu lực

93
Chương 10
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. GIỚI THIỆU
Trong kỹ thuật, việc xác định ứng suất nhiệt trong quá trình hàn, ứng suất nhiệt do
các động cơ nhiệt hoạt động gây ra và xác định các biến dạng nhiệt do ánh sáng mặt
trời gây ra trên các kết cấu v.v, có ý nghĩa rất quan trọng. Để giải quyết vấn đề trên, ta
cần thiết phải biết sự phân bố nhiệt độ trong vật.
Dưới đây, ta xét bài toán dẫn nhiệt một chiều và hai chiều trong môi trường dừng
nhờ phương pháp phần tử hữu hạn.
2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU
2.1. Mô tả bài toán
Bài toán dẫn nhiệt một chiều còn được gọi là bài toán thanh nhiệt, Hình 10.1.
2.2. Phần tử một chiều
Giả thiết nhiệt độ biến thiên tuyến tính dọc chiều dài thanh, khi đó ta có thể sử
dụng mô hình phần tử 2 nút với hàm dạng tuyến tính để xây dựng mô hình PTHH cho
bài toán truyền nhiệt một chiều (Hình 10.2). Nhiệt độ tại các nút được ký hiệu là T (tại
nút 1 là T1 và nút 2 là T2) là các ẩn số cần tìm.
Trong chương này, các ký hiệu được sử dụng như sau:
T là nhiệt độ,
k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m 0C),
qA
Adx
dx
dq
q 






x dx
dòng
nhiệt
Vật dẫn
nhiệt
Hình 10.1. Mô hình bài toán dẫn nhiệt một chiều
QAdx
1 2
1 2 3 L
T1=T0
q=h(TL-T)
X
Hình 10.2. Mô hình phần tử hữu hạn cho bài toán dẫn nhiệt

94
q là mật độ dòng nhiệt (W/ m2),
Q là nguồn nhiệt trên một đơn vị thể tích hoặc trên một đơn vị diện tích,
h là hệ số đối lưu nhiệt (W/m2 0C),
Định luật Fourier cho rằng: Dòng nhiệt đi qua thanh tỉ lệ thuận với građiên nhiệt độ
T/x theo phương dẫn. Do đó,
dx
dT
kAQ  (10.1)
Trong đó: Q là nhiệt lượng; k là hệ số dẫn nhiệt; A là diện tích mặt cắt ngang (mặt
đẳng nhiệt vuông góc với hướng truyền nhiệt).
và:
e
ij
ij
ij
l
TT
xx
TT
dx
dT 



 (10.2)
do đó:
   ji
e
jij
e
i TT
l
kA
QTT
l
kA
Q  ;
hoặc dưới dạng ma trận:






















j
i
j
i
e
Q
Q
T
T
l
kA
11
11
(10.3)
Đây là phương trình cân bằng của phần tử cho bài toán thanh nhiệt.
So sánh với bài toán một chiều (Chương 4), ta dễ thấy có một sự tương tự:
QfTu
l
kA
l
EA
 ;;
Tiến hành ghép các phần tử như trong bài toán một chiều (1D). Cuối cùng ta cũng
thu được hệ phương trình PTHH dưới dạng tổng quát:
KT = R (10.4)
2.3. Ví dụ
Khảo sát sự phân bố nhiệt qua vách phẳng được ghép từ 3 lớp vật liệu như Hình
10.3; với hệ số dẫn nhiệt của các lớp vật liệu là: k1=8010-3W/mm 0C; k2=110-
3W/mm 0C; k3=8010-3 W/mm 0C.
1 2
1 2 3
T1=2000C
x
Hình 10.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp
4
3
k1 k2 k3
T4=200C
10 5 10

95
Lời giải
Ta có thể mô tả bài toán như một thanh nhiệt gồm 3 phần tử; diện tích mặt cắt
ngang bằng 1 đơn vị.
Trước hết ta xây dựng bảng ghép nối các phần tử, như bảng sau:
Bậc t.do
Phần tử
1 2
1 1 2
2 2 3
3 3 4
Sau đó tính các ma trận dẫn nhiệt của các phần tử:
 Cw 03
3
/
11
11
108
11
11
10
1080















 

 Cw 03
3
/
11
11
102,0
11
11
5
101















 

 Cw 03
3
/
11
11
108
11
11
10
1080















 

Từ đây, ta tính được ma trận dẫn nhiệt K:
 CwK 03
/10
8800
82,82,00
02,02,88
0088



















và hệ phương trình PTHH có dạng:














































4
1
4
3
2
1
3
0
0
8800
82,82,00
02,02,88
0088
10
R
R
T
T
T
T
Áp đặt điều kiện biên: T1 = 2000C, T4 = 200C vào hệ phương trình trên (tức là loại bỏ
dòng 1, cột 1 và dòng 4, cột 4); sau đó giải hệ phương trình, ta sẽ được:
T2 = 195,710C
T3 = 24,29 0C
Thay các giá trị của T vào hệ phương trình trên, ta tìm được lượng nhiệt cần cung cấp
tại nút 1 và 4 sẽ là:
R1 = -R4 = 34,3210-3 W/mm2

96
3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều
Mục đích của chúng ta ở đây là đi xác định sự phân bố nhiệt độ T(x, y) trong một
vật thể dài, hình lăng trụ; chẳng hạn trong ống khói có tiết diện ngang chữ nhật như
Hình 10.4.
Khảo sát một vi phân thể tích như Hình 10.4b. Vi phân thể tích có độ dầy t là hằng
số theo phương z. Lượng nhiệt phát sinh trong phân tố được ký hiệu là Q(W/m3). Vì
lượng nhiệt đi vào vi phân thể tích cộng với lượng nhiệt phát sinh phải bằng lượng
nhiệt đi ra; do đó:
tdxdy
y
q
qtdydx
x
q
qtQdxdytdxqtdyq
y
y
x
xyx 















 (10.5)
Từ (10.5), suy ra:
0





Q
y
q
x
q yx
(10.6)
thay yTkqxTkq yx  ; vào (10.6), ta sẽ được phương trình dẫn nhiệt:
0



















Q
y
T
k
yx
T
k
x
(10.7)
Phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt 2 chiều (10.7) là một
trường hợp riêng của phương trình tổng quát cho quá trình dẫn nhiệt Helmholtz.
3.2. Điều kiện biên
Phương trình (10.7) phải được giải quyết với các điều kiện biên xác định. Có ba dạng
điều kiện biên như mô tả trên Hình 10.5.
A A
A-A
Hình 10.4. (a). Mô hình bài toán dẫn nhiệt hai chiều
(b).Vi phân thể tích dẫn nhiệt
y
x
Q
(b)(a)
qy
dx
q
q
x
x
x



dy
q
q
y
y
y



qx
dx
dy

97
Các điều kiện biên được phát biểu cụ thể như sau:
i. Cho trước nhiệt độ T = T0 trên biên ST;
ii. Cho trước mật độ nhiệt qn = q0 trên Sq;
iii. Cho trước qui luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt của vật và môi trường qn = h(T-
T) trên Sc.
Phần bên trong vật ký hiệu là A. Biên tổng cộng là S = (ST + Sq + Sc). Ngoài ra, véctơ
mật độ nhiệt qn vuông góc với biên dẫn. Ở đây ta qui ước: q0 >0 nếu nhiệt đi ra ngoài
vật và q0 <0 nếu nhiệt đi vào trong vật.
3.3. Phần tử tam giác
Dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng phần tử tam giác để giải bài toán dẫn nhiệt (Hình
10.6). Việc mở rộng cho phần tử tứ giác đẳng tham số cũng được thực hiện tương tự
như Chương 8.
Ta biểu diễn trường nhiệt độ trong phần tử được biểu diễn bởi:
T = T1 N1 + T2 N2 + T3 N3 (10.8)
Hoặc: T = NTe
Trong đó:
Sc: qn = h(T-T)
ST: T=T0
Sq: qn = q0
Hình 10.5. Các điều kiện biên của bài toán dẫn nhiệt hai chiều
A
1
2
3
1
2
3


 = 1
 = 1
y
x
T(x,y)
T1
T3
T2
Hình 10.6. Phần tử tam giác bậc nhất trong bài toán dẫn nhiệt hai chiều
Phần tử quy chiếu

98
   1N là các hàm dạng và  Te
TTTT 321 tương ứng là nhiệt
độ tại các nút và là các ẩn số cần tìm.
Tương tự như ở Chương 6, với phần tử tam giác đẳng tham số ta có:
x = N1 x1 + N2 x2+ N3 x3
y = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 (10.9)
Suy ra
 










 y
y
Tx
x
TT
và
 










 y
y
Tx
x
TT
(10.10)
Hay

































y
T
x
T
J
T
T


(10.11)
J là ma trận Jacobian được xác định bởi:







3131
2121
yx
yx
J
Trong đó: xij = xi - xj; yij = yi - yj và eAJ 2det  , với Ae là diện tích của phần tử tam
giác.
Nghịch đảo (10.11), dẫn đến:
e
T
xx
yy
JT
T
J
y
T
x
T



















































101
011
det
1
2131
21311


(10.12)
Hay:
e
T TB
y
T
x
T

















(10.13)
Trong đó















211332
123123
21312131
21313121
det
1
det
1
xxx
yyy
Jxxxx
yyyy
J
BT (10.14)
Kết quả là:
e
T
T
T
Te
TBBT
y
T
x
T
y
T
x
T
y
T
x
T











































22
(10.15)

99
3.4. Xây dựng phiếm hàm
Như đã đề cập ở mục trên, chúng ta cần giải phương trình (10.7) với các điều kiện
biên: (i). T = T0 trên ST; (ii). qn = q0 trên Sq; (iii). qn = h(T-T) trên Sc. Việc giải bài
toán này tương đương với việc cực tiểu hoá phiếm hàm:
  

























cq SSA
tdSTThTtdSqtdAQT
y
T
k
x
T
k
2
0
22
2
1
2
2
1 (10.16)
sao cho T = T0 trên ST.
Thế (10.15) vào hai số hạng đầu trong biểu thức tích phân thứ nhất của , ta sẽ được:
e
T
Te
e
e
T
Te
e
e
T
T
Te
Te
e e
e
T
T
T
Te
A
TKTTkTTBBktAT
tdATBBkT
tdA
y
T
k
x
T
k
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2




























 

(10.17)
Trong đó ma trận dẫn nhiệt của phần tử được xác định bởi:
T
T
TeT BBktAk  (10.18)
và ma trận dẫn nhiệt của cả hệ:

e
TT kK (10.19)
a. Xét số hạng thứ ba trong biểu thức tích phân thứ nhất của , có ba trường hợp xảy
ra:
1. Khi Q =Qe là hằng số trong phần tử; độ dày phần tử t = const.
e
e
T
Q
e
e e
e
A
TrTNtdAQQTtdA   








 (10.20)
Vì e
e
i AdAN
3
1
 , do đó véctơ lượng nhiệt:
 Tee
Q
tAQ
r 111
3
 (10.21)
2. Khi Q biến thiên tuyến tính với Qe = [Q1, Q2 , Q3 ]T. Khi ấy, ta có:
Q(, ) = NQe (10.22)
Thế (10.22) vào 
A
QTtdA, sẽ được:
 Te
Q QQQQQQQQQ
tA
r 321321321 222
12
 (10.23)
3. Trường hợp điểm nhiệt. Giả sử Q0 là biên độ của điểm nhiệt tại (0, 0) trong phần
tử. Nếu điểm nhiệt trùng với nút của phần tử thì Q0 được cộng vào véctơ tải trọng ở vế
phải; nếu điểm nhiệt nằm bên trong phần tử thì:

100
  eT
Q
e
e
TrTNtQTtQQTtdA  00000 , (10.24)
Trong đó:  000 ,T
Q NtQr 
Hay
 T
Q tQr 00000 1   (10.25)
b. Xét tích phân tiếp theo
   








qS e
e
e
q TNtdSqTtdSq 00 (10.26)
Giả thiết rằng điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 2-3
của phần tử như Hình 10.7.
Khi ấy, dọc theo cạnh 2-3, ta có:    10N và dldS 23 . Vì vậy
     

















e
eT
Q
e
ee
e
e
q TrtTdlqTNtdSq 
1
0
2300 10 (10.27)
Trong đó:
 T
Q
tlq
r 110
2
230
 (10.28)
Tương tự, nếu điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 1-2
của phần tử, ta sẽ có:
 T
Q
tlq
r 011
2
120
 (10.29)
Và nếu điều kiện biên mật độ nhiệt q = q0 được cho vuông góc với cạnh 1-3 của phần
tử, ta sẽ có:
 T
Q
tlq
r 101
2
130
 (10.30)
c. Xét tích phân cuối cùng
1
2
3
q = q0
Hình 10.7. Điều kiện biên dẫn trên cạnh 2-3 của phần tử tam giác
 = 0
 = 0
 = 1
 = 0
 = 0
 = 1
x

101
 
 
   

























e e
c
e
eTe
e
T
Te
e e
c
e
e
e
c
e
e e
c
TTe
SSSS
dSthTTrThT
dSthTTNtdShTTNtdShNT
tdShTtdShTTtdShTtdSTTh
cccc
2
2
222
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(10.31)
Nếu cạnh 2-3 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy    10N và
dldS 23 , nên ta có:











210
120
000
6
23htl
hT (10.32)
 TlhtT
r 110
2
23
  (10.33)
Nếu cạnh 1-2 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy  01 N và
dldS 12 , nên ta có:











000
021
012
6
12htl
hT (10.34)
 TlhtT
r 011
2
12
  (10.35)
Nếu cạnh 1-3 là cạnh toả nhiệt đối lưu của phần tử, khi ấy   01N và
dldS 13 , nên ta có:











201
000
102
6
13htl
hT (10.36)
 TlhtT
r 101
2
13
  (10.37)
cuối cùng, số hạng  
e e
cdSthT
2
2
1
trong (10.31) được bỏ qua vì nó không chứa các
thành phần của vectơ Te, nên sẽ tự động bị triệt tiêu trong phép toán tìm cực trị của
phiếm hàm.
Cuối cùng, ta viết phiếm hàm (10.16) dưới dạng:
TRKTT TT

2
1
(10.38)
Trong đó
 
e
TT hkK (10.39)

102
  
e
qQ rrrR (10.40)
Việc cực tiểu hoá phiếm hàm  phải được thực hiện sao cho thoả mãn điều kiện T =
T0 ở tất cả các nút trên ST.
3.5. Ví dụ
Một vật thể đủ dài, tiết diện ngang chữ nhật, có hệ số dẫn nhiệt là 1,5W/m 0C chịu
điều kiện biên như Hình 10.8. Hai mặt đối diện trên và dưới được giữ ở nhiệt độ
1800C; mặt trái cách nhiệt; mặt phải chịu sự trao đối nhiệt đối lưu với T = 250C; h =
50 W/m2 0C. Xác định sự phân bố nhiệt độ trong vật thể.
Lời giải
Do mặt cắt ngang đối xứng nên ta chỉ xét một nửa chiều cao mặt cắt ngang. Phần
mặt cắt khảo sát được chia ra 3 phần tử với 5 nút như Hình 10.8.
Từ sơ đồ lưới phần tử như trên, ta xây dựng được bảng ghép nối các phần tử:
Bậc t.do
Phần tử
1 2 3
1 1 2 3
2 5 1 3
3 5 3 4
Theo công thức (10.14)







211332
123123
det
1
xxx
yyy
J
BT
Ta tính được









4,04,00
015,015,0
06,0
11
B
k=1,5W/m0C
2
3
1
1
5 4
3
2
0,4m
0,6m
h, T
h, T
T=1800
T=1800
q=0
Hình 10.8. Mô hình bài toán thanh dẫn nhiệt
T=1800

103









04,04,0
3,015,015,0
12,0
12
B









4,04,00
015,015,0
06,0
13
B
Áp dụng công thức T
T
TeT BBkAk  (t=1 đơn vị), ta tính được các ma trận nhiệt của các
phần tử:
   















220
22813,22813,0
02813,02813,0
)03,0()5,1( 111
T
T
TT BBk














5625,02813,02813,0
2813,014,186,0
2813,086,014,1
2
Tk














220
22813,22813,0
02813,02813,0
3
Tk
Tiếp theo, cần tính ma trận hT cho phần tử có cạnh đối lưu. Vì hai phần tử 1 và 3
cùng có cạnh 2-3 (nút địa phương) đối lưu, áp dụng biểu thức (10.32) ta có:











210
120
000
6
23htl
hT
thay số vào ta được:











5,225,10
25,15,20
000
31
TT hh
Ma trận dẫn nhiệt của cả hệ (kích thước 5x5) sẽ được xây dựng nhờ bảng ghép nối
các phần tử ở trên. Chú ý đến điều kiện biên T = 1800C tại nút 4 và 5 (bỏ hàng 4, cột
4; hàng 5, cột 5), ta được:














563,975,02813,0
75,07813,42813,0
2813,02813,04213,1
K
Bây giờ ta đi tính véctơ lượng nhiệt R theo công thức (10.33):
 TlhtT
r 110
2
23
 
ta có:

104
 T
rr 110
2
15,0255031 
 
Vậy
R = 93,75 [ 0 1 2 ]T
Giải hệ phương trình: (KT = R) ta được:
   TT
TTTTTT 1801804,40345,12454321 
Nếu chia cạnh 2-4 ra nhiều nút, ta sẽ có kết quả chính xác hơn.

105
1. Trong một bài toán dẫn nhiệt của một kết cấu,
người ta cho biết rằng nhiệt độ tại các nút của phần tử
tam giác số (5) là: T6 = 488,66 0K; T7 = 425,16 0K; T8
= 496,08 0K, như trên Hình C10.1. Xác định građien
nhiệt độ trong phần tử. Xác định xem đường đẳng
nhiệt 4910K cắt biên của phần tử tại đâu?
2. Trong một bài toán dẫn nhiệt tương tự như bài
10.1 người ta biết nhiệt độ tại các nút của phần tử
chữ nhật số (10) là: T5 = 258,46 0K; T6 = 288,66 0K;
T7 = 325,16 0K; T8 = 196,08 0K như trên Hình C10.2.
Xác định građien nhiệt độ trong phần tử. Xác định
xem đường đẳng nhiệt 260 0K cắt biên của phần tử
tại đâu?
3. Khảo sát một bức tường có chiều dày L=30
cm, hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 0.7 W/m .oC. Bề
mặt trong có nhiệt độ 28oC và bề mặt ngoài tiếp xúc
với không khí lạnh ở nhiệt độ -15oC. Hệ số đối lưu
nhiệt của bề mặt là h = 40W/m2 .oC. Hãy xác định giá
trị nhiệt độ trung bình phân bố trong tường và lượng
nhiệt đi qua tường.
4. Xét kết cấu nhiệt như Hình C10.4. Mặt ngoài
của bộ phát nhiệt (dạng băng) được gắn với 1 lớp
cách nhiệt, mặt trong được gắn với một tấm thép
không gỉ dày 2cm, hệ số dẫn nhiệt k =16.6W/m.oC.
Bề mặt kia của tấm thép được tiếp xúc với không
khí ở nhiệt độ 20oC. Nhiệt lượng phát sinh từ bộ
phát nhiệt ở cường độ 500W/m2. Hãy xác định
nhiệt độ tại bề mặt mà dải nhiệt gắn với tấm thép tản
nhiệt.
y
x
8
76
Hình C10.1
5
y
x
8 7
65
Hình C10.2
10
Hình C10.3
k=0.7W/mo
C
28o
C
h=40W/m2 oC
T = -15oC
30 cm
2cm
Hình C10.4
h =5W/m2
.0
C
T =20o
C
Thép trắng
k =16.6W/mo
C
Phần tử phát nhiệt
Lớp cách nhiệt

106
Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. GIỚI THIỆU
Tấm và vỏ là các dạng kết cấu được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và chúng thường
chịu biến dạng chịu uốn. Các phương trình PTHH đối với các kết cấu tấm-vỏ thường
phức tạp hơn nhiều so với các dạng kết cấu khác. Chương 11 sẽ giới thiệu về hai lý
thuyết tấm được sử dụng phổ biến trong các bài toán kết cấu tấm-vỏ: lý thuyết tấm
kinh điển của Kirchoff (gọi tắt là tấm Kirchoff) và lý thuyết tấm bậc nhất của Mindlin
(gọi tắt là tấm Mindlin).
Các thuật toán PTHH đối với tấm chịu uốn tương ứng với hai lý thuyết trên đã
được thiết lập chi tiết.
Phần tử vỏ được xem là tổ hợp của phần tử tấm chịu uốn và phần tử tấm chịu trạng
thái ứng suất phẳng.
2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF
Giả thiết cơ bản của lý thuyết uốn tấm Kirchoff là: đoạn thẳng vuông góc với mặt
trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung
bình sau khi biến dạng. Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến
dạng cắt ngang ( 0 xzyz  ). Do đó, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v
và w được biểu diễn như sau:
















),(),,(
),,(
),,(
0
yxwzyxw
y
w
zzyxv
x
w
zzyxu
(11.1)
trong đó, mặt phẳng (0, x, y) là mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với bề mặt tấm.
Các thành phần u, v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x, phương y và phương
z; w0 là chuyển vị tại mặt trung bình (giả thiết biến dạng màng: u0 = v0 = 0).
Vì bỏ qua biến dạng cắt, nên các thành phần biến dạng trong mặt phẳng được viết ở
dạng sau:
     xyyxxyyx
T
z   (11.2)
Trong đó:
   













yx
w
y
w
x
w
xyyx
T
2
2
2
2
2
2 (11.3)
được gọi là các thành phần độ cong.

107
Thay các biểu thức (11.2) và (11.3) vào quan hệ ứng suất biến dạng      D ta
được biểu thức sau:
     Dz (11.4)
Trong đó:
   T
xyyx  
 














2
1
00
01
01
1 2
v
E
D 


Các thành phần nội lực trên các mặt cắt ngang được mô tả trong Hình 11.1.
Các thành phần mômen được xác định bởi:
    dzzM
h
h



2
2
 (11.5)
Trong đó:    T
xyyx MMMM  và h là chiều dày tấm. Thay biểu thức (11.4) vào
(11.5), ta thu được quan hệ giữa mômen và các thành phần độ cong như sau:
   M D     (11.6)
Trong đó:
   D
h
D
12
3
 (11.7)
x
y
z
Mxy
Mx
Qx
Qy
Mxy
My dy
y
M
M
y
y



dx
x
M
M
xy
xy



dx
x
M
M x
x



dy
y
M
M
xy
xy



dx
x
Q
Q x
x



dy
y
Q
Q
y
y



dy
dx
Hình 11.1. Nội lực trên phần tử tấm chịu uốn

108
Các phương trình cân bằng (cân bằng mômen đối với các trục x, y và cân bằng lực đối
với trục z, được suy ra từ điều kiện cân bằng tĩnh học của phần tử tấm (Hình 11.1). Sau
khi đã bỏ qua các thành phần bậc cao, ta thu được các phương trình cân bằng sau:




























0
0
0
p
y
Q
x
Q
Q
y
M
x
M
Q
y
M
x
M
yx
y
yxy
x
xyx
(11.8)
Trong đó, Qx và Qy là các lực cắt và p là tải trọng phân bố gây uốn tấm (phương tác
dụng vuông góc với mặt phẳng tấm). Khử các thành phần lực cắt trong các phương
trình của hệ (11.8) ta được:
02 2
22
2
2









p
y
M
yx
M
x
M yxyx
(11.9)
Tổ hợp các biểu thức (11.3), (11.6) và (11.9), qua một số phép biến đổi đơn giản cuối
cùng ta nhận được phương trình vi phân cân bằng đối với tấm chịu uốn như sau:
rD
p
y
w
yx
w
x
w









4
4
22
4
4
4
2 (11.10)
Trong đó:
)1(12 2
3


Eh
Dr
là độ cứng chống uốn của tấm.
3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN
Dựa trên lý thuyết tấm kinh điển đã trình bày ở trên, chúng ta sẽ xây dựng thuật
toán PTHH cho phần tử tứ giác bốn nút tại đỉnh chịu uốn. Phần tử được mô tả trong
Hình 11.2.
(x2,y2)
1
(x1,y1)
4
(x4,y4)
3
(x3,y3)
x
y
z
w
yx
Hình 11.3. Phần tử tứ giác Kirchoff

109
Mỗi nút của phần tử có 3 bậc tự do: Chuyển vị w theo phương z và hai góc xoay x
= w,x và y = w,y (dấu phảy là ký hiệu của đạo hàm riêng phần của w theo các biến x
và y) quanh trục x và y tương ứng. Ký hiệu véctơ chuyển vị nút là di, ta có:
T
ii
ii
y
w
x
w
wd
























 (11.11)
Với phần tử tứ giác 4 nút, véctơ chuyển vị nút phần tử được biểu diễn như sau:
 TTTTT
ddddq 4321 (11.12)
và véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử là:
 T
yxwd 0
 (11.13)
Véctơ chuyển vị nút phần tử (11.11) có chứa các thành phần là đạo hàm bậc nhất
tương ứng với các góc xoay tại nút. Do đó, các thành phần chuyển vị của véctơ chuyển
vị (11.13) sẽ được nội suy qua các giá trị chuyển vị nút như sau:
- Thành phần chuyển vị độ võng tấm (w) được xấp xỉ theo hàm nội suy Hecmit,
tức là:
4
12
4
11
0
410
1
3
1
2
0
11 ... 
































y
w
H
x
w
HwH
y
w
H
x
w
HwHw (11.14)
- Các thành phần chuyển vị góc xoay được nội suy qua các thành phần chuyển vị
nút:

 






























4
1
31323
i i
i
i
iiix
y
w
H
x
w
HwH
xx
w
 (11.15)

 






























4
1
31323
i i
i
i
iiiy
y
w
H
x
w
HwH
yy
w
 (11.16)
Khi đó, quan hệ giữa véctơ chuyển vị được nội suy qua véctơ chuyển vị nút phần tử
như sau:
d = B q. (11.17)
Trong đó: B là ma trận nội suy, được biểu diễn như sau:









































121110321
121110321
121110321
H
y
H
y
H
y
H
y
H
y
H
y
H
x
H
x
H
x
H
x
H
x
H
x
HHHHHH
B



(11.18)
Thay vào biểu thức (11.3) ta có thể biểu diễn các thành phần biến dạng qua véctơ
chuyển vị dưới dạng:
    dL ; (11.19)
với L là ma trận toán tử đạo hàm, được xác định như sau:

110



























xy
y
x
L
0
00
00
(11.20)
Cuối cùng, các thành phần biến dạng được viết lại dưới dạng:
  BqqBLL  d (11.21)
với B là ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị.
Từ biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi:

V
t
e dVU 
2
1
(11.22)
Đưa các quan hệ (11.2), (11.3) và (11.4) vào (11.22) và qua một số khai triển, chú ý
đến biểu thức của các thành phần nội lực, ta được biểu thức của năng lượng biến dạng
đàn hồi:
          
       qBdSDB
h
qdSD
h
dzzdSDdSdzDzzU
ee
ee
S
TT
S
T
h
h S
T
h
h S
T
e



















  

2424
2
1
2
1
33
2
2
2
2
2


Cuối cùng, thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử được biểu diễn dưới dạng cô
đọng:
qq
2
1 et
e kU  (11.23)
trong đó ke là ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff và được xác định theo biểu
thức:
 
eS
Te
BdSDB
h
k
24
3
(11.24)
Để xác định được ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff, ta cần xây dựng được
các hàm nội suy Hecmit Hi (i = 1, 2, .., 12). Các hàm này được xác định trong hệ toạ
độ quy chiếu (, ) và với tính chất:
Nút 1
, H1 H1’ H1’ H2 H2’ H2’ H3 H3’ H3’
-1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Nút 2

111
, H4 H4’ H4’ H5 H5’ H5’ H6 H6’ H6’
-1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Nút 3
, H7 H7’ H7’ H8 H8’ H8’ H9 H9’ H9’
-1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
-1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Nút 4
, H10 H10’ H10’ H11 H11’ H11’ H12 H12’ H12’
-1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1,1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Ta có thể chọn các hàm dạng Hi dưới dạng sau:
H = a0 + a1 + a2+ a32 + a4 + a52 +
+ a63 + a72 + a82 + a93+ a103 + a113
Từ bảng trên, ta sẽ xác định được các hệ số ai (i = 0 .. 11). Cuối cùng, ta sẽ thu
được các hàm nội suy Hecmit như sau:
   22
1 211
8
1
 H (11.25a)
   2
2 111
8
1
 H ;    2
3 111
8
1
 H
   22
4 211
8
1
 H (11.25b)
   2
5 111
8
1
 H ;    2
6 111
8
1
 H
   22
7 211
8
1
 H (11.25c)
   2
8 111
8
1
 H ;    2
9 111
8
1
 H
   22
10 211
8
1
 H (11.25d)
   2
11 111
8
1
 H ;    2
12 111
8
1
 H
Quan hệ giữa 2 hệ toạ độ (x,y) và (, ) được thể hiện dưới dạng:

112
   











CC
CC
y
b
yx
a
x
b
yy
a
xx


2
;
2
2
;
2
(11.26)
trong đó : a, b là kích thước phần tử chữ nhật; xC, yC là tọa độ trọng tâm C của phần tử.
Như đã thấy trên đây, các hàm nội suy Hi tương ứng với nút i được biểu diễn theo
các toạ độ quy chiếu (,). Các biểu thức của ma trận toán tử L (11.20), có chứa đạo
hàm riêng phần của các hàm Hi lấy theo biến x và y của hệ toạ độ thực. Do đó, ta cần
thực hiện phép tính đạo hàm của hàm hợp:
 






































































y
xJ
y
x
yx
yx




(11.27a)
và:
 





























































*
22
*
21
*
12
*
111
JJ
JJ
J
y
x (11.27b)
với:   1
J là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacôbiên   






b
a
J
0
0
.
Vậy ta có:
 


















b
a
JJ
JJ
J
1
0
0
1
*
22
*
21
*
12
*
111
(11.28)
và:



































b
a
y
x
1
1
;

































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1


b
a
y
x (11.29)
Khi đó các biểu thức (10.20) của ma trận toán tử đạo hàm được biểu diễn theo hệ
toạ độ quy chiếu (, ):






























ab
b
a
L
22
0
2
00
0
2
0
(11.30)
và ma trận B được biểu diễn như sau:

113


























































12
2
11
2
10
2
3
2
2
2
1
2
2
12
2
22
11
2
22
10
2
22
3
2
22
2
2
22
1
2
2
2
12
2
22
11
2
22
10
2
22
3
2
22
2
2
22
1
2
2
888888
444444
444444
H
ab
H
ab
H
ab
H
ab
H
ab
H
ab
H
b
H
b
H
b
H
b
H
b
H
b
H
a
H
a
H
a
H
a
H
a
H
a
B



(11.31)
Trong đó:
 




1
4
3
2
1
2
H
;  




1
4
3
2
1
2
H
. (11.32a)
  131
4
1
2
2
2





H
; 02
2
2




H
. (11.32b)
02
3
2




H
;   131
4
1
2
3
2





H
(11.32c)
 




1
4
3
2
4
2
H
;  




1
4
3
2
4
2
H
(11.32d)
  131
4
1
2
5
2





H
; 02
5
2




H
(11.32e)
02
6
2




H
;   131
4
1
2
6
2





H
(11.32f)
 




1
4
3
2
7
2
H
;  




1
4
3
2
7
2
H
. (11.32g)
  131
4
1
2
8
2





H
; 02
8
2




H
, (11.32h)
02
9
2




H
;   131
4
1
2
9
2





H
(11.32i)
 




1
4
3
2
10
2
H
;  




1
4
3
2
10
2
H
(11.32k)
  131
4
1
2
11
2





H
; 02
11
2




H
(11.32m)
02
12
2




H
;   131
4
1
2
12
2





H
(11.32n)
4. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN
Khác với lý thuyết tấm Kirchoff, lý thuyết tấm của Mindlin có kể đến ảnh hưởng
của các thành phần biến dạng cắt ngang ( 0 xzyz  ). Khi đó, biểu thức của năng
lượng biến dạng đàn hồi của tấm có chứa thêm biểu thức năng lượng biến dạng cắt
ngang:
       dVdVU
V
s
T
s
V
b
T
be   
2
1
2
1
(11.33)
trong đó :

114
   T
xyyxb   (11.34)
   T
xyyxb   (11.35)
là các thành phần ứng suất và biến dạng uốn, còn:
   T
yzxzs   (11.36)
   T
yzxzs   (11.37)
là các thành phần ứng suất và biến dạng cắt ngang (trong các mặt phẳng vuông góc với
mặt trung bình).
Trong các tính toán kỹ thuật theo lý thuyết tấm của Mindin, ta cần phải sử dụng thêm
hệ số hiệu chỉnh cắt, hệ số này thường được chọn là
6
5
. Khi đó, năng lượng biến dạng
đàn hồi của tấm chịu uốn có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt sẽ được biểu diễn
dưới dạng:
         dVDdVDU
V
ss
T
s
V
bb
T
be   
12
5
2
1
(11.38)
trong đó :
 














2
1
00
01
01
1 2
v
E
Db 


(11.39)
và
  






G
G
Ds
0
0
(11.40)
Theo lý thuyết tấm Mindlin, trường chuyển vị được biểu diễn như sau :








),(),,(
),(),,(
),(),,(
0
yxwzyxw
yxzzyxv
yxzzyxu
y
x


(11.41)
trong đó, yx  , là các góc xoay của mặt trung bình quanh trục y và trục x tương ứng.
Ở đây, ta giả thiết: không có các thành phần biến dạng trong mặt phẳng trung bình
(không có biến dạng màng). Các thành phần góc xoay này được biểu diễn bởi:














yzy
xzx
y
w
x
w


(11.42)
Vì chuyển vị w và các góc xoay yx  , là các thành phần độc lập nhau, nên chúng ta
cần có các hàm dạng để nội suy chúng một cách độc lập. Do đó, với phần tử tấm chịu
uốn có kể đến biến dạng cắt ngang này sẽ yêu cầu sử dụng phàn tử tương thích C0. Các

115
hàm dạng đẳng tham số sẽ được sử dụng cho các phương trình PTHH của phần tử tấm
chịu uốn, cụ thể như sau :
 
  
   

















n
i
iyiy
n
i
ixix
n
i
ii
N
N
wNw
1
1
1
,
,
,



(11.43)
Ở đây, n là số nút của phần tử. Để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng các hàm
dạng song tuyến tính (Chương 8) cho phần tử tứ giác bốn nút. Đối với các bài toán có
yêu cầu cao về độ chính xác, người ta thường sử dụng các hàm dạng bậc cao hơn.
Ta có:
    
    





e
ss
e
pb
dBz
dBz


(11.44)
trong đó :
 



















































0000
00000000
00000000
44332211
4321
4321
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
Bp
(11.45)
 
31 2 4
1 2 3 4
31 2 4
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
s
NN N N
N N N N
x x x x
B
NN N N
N N N N
y y y y
   
       
 
      
     
(11.46)
và
   T
yxyxyxyx
e
wwwwd 444333222111  (11.47)
Thay các biểu thức trong (11.44) vào (11.38) ta được :
                 e
V z
ss
T
s
Tee
A z
bb
T
b
Te
e ddAdzBDBdddAdzDBdU
e















  12
5
2
1
 (11.48)
Cuối cùng, ta thu được ma trận độ cứng của phần tử tấm tứ giác bậc nhất chịu uốn
dưới dạng:
          
V
ss
T
s
A
bb
T
b
e
dABDBhdADB
h
k
e 6
5
12
3
 (11.49)
trong đó, h là chiều dày tấm.
Chú ý: khi chiều dày h của tấm rất nhỏ so với kích thước của 2 phương còn lại (tấm
mỏng), năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng cắt (tỉ lệ với h) sẽ
lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng uốn

116
(tỉ lệ với h3) gây ra. Hiện tượng này được gọi là ‘‘nghẽn cắt’’ (shear locking), khiến
cho lời giải số của bài toán không hội tụ. Để khắc phục hiện tượng này, người ta có thể
sử dụng kỹ thuật tích phân rút gọn (reduced integration) hoặc tích phân lựa chọn
(selective integration). Nội dung chính của các kỹ thuật này là: biểu thức năng lượng
của biến dạng uốn sẽ được tính theo luật tích phân đúng cấp, còn biểu thức năng lượng
của biến dạng cắt sẽ được lấy tích phân ở mức độ kém chính xác hơn một cấp. Chẳng
hạn, với phần tử tứ giác 4 nút đẳng tham số, ta sử dụng tích phân số với 22 điểm
Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, còn đối với biểu thức
tích phân năng lượng biến dạng cắt chỉ sử dụng 1 điểm Gauss. Tương tự, với phần tử
tứ giác 9 nút đẳng tham số, nếu sử dụng tích phân số 33 điểm Gauss đối với biểu
thức tích phân năng lượng biến dạng uốn, thì ta sẽ chỉ sử dụng tích phân số 22 điểm
Gauss đối với biểu thức tích phân năng lượng biến dạng cắt.
5. PHẦN TỬ VỎ
Kết cấu vỏ tương tự như kết cấu tấm nhưng có độ cong không đổi hoặc thay đổi
theo các phương x và y. Có thể coi kết cấu tấm phẳng là trường hợp riêng của kết cấu
vỏ, khi bán kính cong bằng vô cùng. Khi vỏ được chia thành một số hữu hạn các phần
tử có kích thước đủ nhỏ, thì mỗi phần tử có thể được xem như là phần tử tấm phẳng
chịu uốn với một phương xác định trong không gian. Tuy nhiên, mỗi phần tử này lại
có phương khác nhau (phương véctơ pháp tuyến của mặt), vì vậy biến dạng uốn trong
phần tử này có thể gây ra biến dạng trong mặt phẳng cho phần tử kế tiếp.
Kết quả là, một phần tử vỏ có thể được xác định như là tổ hợp của một phần tử
chịu uốn và một phần tử ở trạng thái ứng suất phẳng, tương tự như phần tử khung 2
chiều được xây dựng từ phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh chịu kéo hoặc nén.
Hình 11. 3 mô tả tổ hợp hai phần tử nói trên để tạo ra phần tử vỏ có 5 bậc tự do tại mỗi
nút: ba chuyển vị thẳng và hai chuyển vị góc. Ma trận độ cứng của phần tử vỏ được
biểu diễn như sau:
 
 
 
 
 
 


















m
b
m
b
m
b
F
F
d
d
K
K
0
0
(11.50)
trong đó: K, d và F tương ứng là ma trận độ cứng, véctơ chuyển vị nút và véctơ lực
nút. Các ma trận và các véctơ trên bao gồm hai phần, một là từ phần tử tấm chịu uốn
và hai là từ phần tử tấm chịu kéo (nén). Các chỉ số dưới b và m chỉ các biến dạng uốn
và biến dạng màng (kéo, nén) của phần tử vỏ.

117
Khi các phần tử vỏ có phương khác nhau, ví dụ
khi xét ở vị trí góc của một hình hộp (Hình
11.4), tại đây có 3 phần tử kề nhau; ta có thể
thấy rằng thành phần góc xoay của phần tử này
sẽ là góc xoắn của phần tử kế tiếp. Do đó, khi
ghép nối các ma trận độ cứng phần tử và véctơ
lực nút phần tử ta cần phải tính đến góc xoắn
nói trên. Kết quả là, số bậc tự do của các ma trận
và véctơ phần tử cần phải tăng thêm 1 tại mỗi
nút. Như vậy, phương trình (11.50) sẽ được viết
lại như sau :
 
 
 
 
 
 
0 0
0 0
0 0 0 0
b b b
m m m
z
K d F
K d F

    
    
    
        
(11.51)
Các ma trận và véctơ trong phương trình (11.45) được xác định trong hệ trục toạ
độ địa phương của mỗi phần tử, với trục x và y nằm trong mặt phẳng trung bình của
phần tử vỏ và trục z là trục vuông góc với mặt phẳng phần tử. Vì vậy, để ghép nối các
ma trận và véctơ này thành ma trận độ cứng tổng thể và véctơ lực nút tổng thể ở hệ
trục toạ độ chung thì chúng phải được biến đổi sang hệ trục toạ độ chung trước khi tiến
hành ghép nối. Nếu gọi ma trận chuyển đổi hệ trục là T, ta có :
    gl
dTd  (11.52)
Trong đó, l và g là ký hiệu cho hệ trục địa phương và hệ trục chung tương ứng.
Như vậy, ma trận T chuyển đổi các bậc tự do chung sang các bậc tự do địa
phương. Nó chứa các cosin chỉ phương của các trục toạ độ địa phương trong hệ trục
toạ độ chung.
Tại mỗi nút, quan hệ giữa các bậc tự do trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chung
được mô tả bởi:
x
y
z
w
v
u
x
y
y
x
v
u
w
+ =
Hình 11. 3. Phần tử vỏ là tổ hợp của 2 phần tử
X
Y
zk
y
Hình 11. 4
zj
zi
Z
x
w
j
k
i

118





























































g
z
g
y
g
x
g
g
g
l
z
l
y
l
x
l
l
l
w
v
u
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
w
v
u






131211
131211
131211
333231
232221
131211
000
000
000
000
000
000
(11.53)
Trong đó, cij là cosin của góc hợp bởi trục toạ độ địa phương xi và trục toạ độ chung
Xj. Quan hệ này được sử dụng cho từng nút phần tử. Như vậy, ma trận chuyển đổi T
đối với phần tử tứ giác 4 nút sẽ được biểu diễn dưới dạng:
 
 
 
 
 












d
d
d
d
T
T
T
T
T
000
000
000
000
(11.54)
với Td được xác định theo biểu thức (11.53).
Cuối cùng, ta xác định được ma trận độ cứng và véctơ lực nút phần tử như sau :
      TKTK lTg
 (11.55)
     lTg
FTF  (11.57)
Chú ý: khi vỏ suy biến về tấm phẳng, ma trận độ cứng tổng thể sẽ là một ma trận kỳ dị
vì trước đó ta đã gán thêm góc xoắn vào véctơ chuyển vị nút. Để khắc phục hiện tượng
trên, người ta thường cộng thêm một giá trị nhỏ vào bậc tự do góc xoắn. Giá trị cộng
thêm này không được quá nhỏ để cho ma trận đã được sửa đổi là một ma trận không
kỳ dị. Đồng thời, giá trị này cũng không quá lớn để tránh ảnh hưởng đến độ chính xác
của kết quả tính. Trong thực tế tính toán, người ta thường khắc phục hiện tượng trên
bằng cách đặt K(i,i) = 1, với i là chỉ số ứng với bậc tự do góc xoắn.

119
1. Một kết cấu tấm bằng hợp kim nhôm, có môđun đàn hồi E = 75gPa và hệ số
Poisson  = 0,3. Tấm có kích thước 500100mm và chiều dày h = 5mm; chịu liên kết
tựa bản lề trên 2 cạnh đối diện và chịu tải trọng phân bố đều, cường độ p= 0,5 N/mm
trên suốt chiều rộng và nằm ở giữa chiều dài của nó như trên Hình C11.1. Xác định độ
võng cực đại của kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. So sánh với kết quả giải
tích theo lý thuyết dầm: Độ võng của dầm chịu uốn (có kể đến cả ảnh hưởng của lực
cắt):
*448
3
GS
hL
EJ
hL
w 
Trong đó: G là modul đàn hồi trượt ; S* là tiết diện chịu cắt thực tế: SS
6
5
*  .
Gợi ý: có thể dùng mô hình dầm hoặc mô hình tấm (chịu cả kéo nén và uốn), và chú ý
tính đối xứng của kết cấu.
2. Cho kết cấu như bài tập 1, hãy tính độ võng cực đại của kết cấu khi chịu tải
trọng phân bố đều trên toàn bộ bề mặt tấm, với cường độ p= 0,1 N/mm2.
3. Hãy giải bài toán với kết cấu và tải trọng như ở bài tập 2, những thay liên kết
tựa bản lề trên hai cạnh bằng liên kết ngàm trên cả hai cạnh này.
p
z
y
x
Hình C11.1. Sơ đồ hoá tấm chữ nhật chịu uốn
b=100mm
L =500mm
h=5mm

120
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Ích Thịnh – Ngô Như Khoa. Phương pháp phần tử hữu hạn trong kỹ thuật.
NXB Khoa học Kỹ thuật – Hà Nội, 2007.
2. Tirupathi R. Chandrupatla – Ashok D. Belegundu. Introduction Finite
Elements in Engineering. Third Edition.
3. Young W. Hwon - Hyochoong Bang. The Finite Element Method Using
MATLAB. Second Editor. CRC Press, 2000.
4. J. N. Reddy. An Introduction To The Finite Element Method. Third Edition. Tata
McGraw-Hill, 2005.
5. Klaus – Jürgen Bathe. Finite Element Procedures. Prentice-Hall of India, New
Delhi, 2005.
6. K Chandrashekhara. Theory of Plates. Universities Press, 2001.
7. O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. The Finite Element Method, Fifth Edition.
Volume 2, Solid Mechanics. Butterworth Heinemann, 2000.
8. O. C. Zienkiewicz and K. Morgan. Finite Element and Approximation. New
York: Wiley – Iterscience, 1982.
9. Akin J. E. Finite Element for Analysis and Design. Academic Press Limited,
London, 1994.
10. Batoz J. L. Et Dhatt DG. Modélesation des structues par élements finis.Vol. 1, 2,
3. Ed. Hermès. Paris, 1995.
11. Dhatt G. Et Touzot G. Une présentation de la méthode des élements finis.
Maloine S.A. Editeur, 1981.
12. Ochoa O. O, Readdy, J. N. Finite Element Analysis of Composite Laminates.
Klwer Academic Publisher, 1992.

Giaotrinh fem v1

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Giaotrinh fem v1 (20)

Giaotrinh fem v1